4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 4-21

ตัวอยา งที่ 4-7
กาํ หนดใหโ ครงสรางมลี กั ษณะดงั ทแี่ สดงในรูปที่ Ex 4-7 และชน้ิ สว น AB ทาํ ดว ย steel alloy A36 มคี า

α st = 17(10−6 )/ oC , Est = 200 GPa , σ y = 250 MPa และมีพืน้ ท่หี นาตัด AAB = 600 mm2 และชนิ้ สวน
CD ทาํ ดว ย aluminum alloy 2014-T6 มคี า α al = 24(10−6 )/oC , Eal = 70 GPa , σ y = 414 MPa และมพี นื้
ท่หี นา ตัด ACD = 1200 mm2 เมื่ออุณหภมู ขิ องโครงสรา งเพ่ิมขึน้ จาก 25oC เปน 125oC จงหาคา เฉลี่ยของหนว ย
แรงทีเ่ กดิ ขน้ึ ในชิ้นสว น AB และ CD

รปู ท่ี Ex 4-7

เม่ืออุณหภูมิของโครงสรางเพิ่มสูงข้ึน ช้ินสวนทั้งสองของโครงสรางจะเกิดการยืดตัวที่ไมเทากันและจะทําใหจุด
B และจุด C ชนกัน ซง่ึ จะทาํ ใหเกดิ แรงกดอัดภายในโครงสรา งทีม่ ีคา เทากัน

จากสมการความสมดลุ ของแรงในแนวแกนของโครงสราง

Fst = Fal = F

เนอ่ื งจากการเปลยี่ นตําแหนงสัมพัทธข องจุด A เทยี บกับจดุ D มคี า เทา กับชองวางระหวา งจดุ B และจุด C

ดังน้นั สมการความสอดคลอ ง (compatibility equation) ของโครงสรา งจะเขียนไดในรปู

δ A/ D = 0.001 m

เน่ืองจากการเพ่ิมสูงข้ึนของอุณหภูมิทําใหช้ินสวนท้ังสองของโครงสรางเกิดการยืดตัว ดังน้ัน คาการเปล่ียน

ตาํ แหนง ท่ีเกดิ ขึ้นจะมคี าเปน บวก และเม่อื จุด B และจดุ C ชนกนั แลว แรงกดอัดจะเกิดขึ้นภายในช้นิ สวนของโครงสรา ง

ซึ่งจะทาํ ใหคาการเปล่ียนตาํ แหนง ท่เี กดิ ขน้ึ มีคา เปนลบ ดังนน้ั

− Fst LAB + α st ∆TLAB − Fal LCD + α al ∆TLCD = 0.001
AAB Est ACD Eal

− F (0.6) ) + 17(10 −6 )100(0.6) − F (0.4) ) + 27(10 −6 )100(0.4) = 0.001
600(10−6 )200(109 1200(10−6 )70(109

9.762(10−9 )F = 0.0011

F = 112.68 kN

คา เฉล่ียของหนวยแรงทีเ่ กิดข้นึ ในชนิ้ สว น AB และ CD จะมคี าเทา กับ

σ AB = 112.68 = 187.8 MPa <σ y = 250 MPa O.K.
600(10−6 )

σ CD = 112.68 = 93.9 MPa <σy = 414 MPa O.K.
1200(10−6 )

ดงั นนั้ หนวยแรงท่ีเกดิ ข้ึนในชิน้ สว น AB และ CD สอดคลอ งกบั สมมตุ ิฐานทว่ี าวสั ดยุ งั คงมพี ฤตกิ รรมอยูในชว งยดื หยุน

(elastic) ภายใตการเปล่ียนแปลงของอุณหภมู ิ Ans.

Mechanics of Materials 4-22

แบบฝก หดั ทา ยบทท่ี 4
4-1 กําหนดใหแทง เหล็กท่ีมพี น้ื ที่หนา ตัด 60 mm2 รองรับแรงกระทาํ ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี Prob. 4-1 จงหาคา การเปลีย่ น
ตาํ แหนง ทีจ่ ดุ A และ B

รูปท่ี Prob. 4-1
4-2 กําหนดใหแ ทง เหลก็ มีขนาดและลักษณะดังที่แสดงในรปู ที่ Prob. 4-2 ถูกกระทาํ โดยแรงในแนวแกน (axial load)
P = 50 kN จงหาคา การเปล่ยี นแปลงรูปรางในแนวแกนและทหี่ นาตดั a − a เม่ือ Est = 200 GPa และ ν = 0.29

รปู ที่ Prob. 4-2
4-3 ถาชิน้ สวนตา งๆ ของโครงขอ หมนุ (truss) เหล็ก ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Prob. 4-3 มีพื้นทห่ี นา ตดั 400 mm2 จงหาคาของ
แรง P ท่ีทาํ ให roller เกิดการเคล่อื นทไี่ ปทางขวามือ 0.2 mm เมอื่ Est = 200 GPa (4-12)

รปู ท่ี Prob. 4-3
4-4 แทงเหล็กที่มคี วามแกรง สงู มากถกู รองรับโดยแทง aluminum 6061-T6 ท่มี ีพ้ืนทหี่ นาตดั 14 mm2 ดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี
Prob. 4-4 จงหาคาการเปล่ยี นแปลงรปู รางในแนวดง่ิ ทจ่ี ดุ D เนือ่ งจากนาํ้ หนกั บรรทกุ กระจาย (4-19)

Mechanics of Materials 4-23

รปู ที่ Prob. 4-4

4-5 เสาประกอบคอนกรีต-เหลก็ ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 4-5 ถกู กระทําโดยแรงกดอดั 80 kN จงหาหนวยแรงทีเ่ กดิ ขนึ้ ใน
คอนกรตี และเหล็ก และจงหาความยาวท่เี ปลยี่ นไปของเสา เม่อื ทอเหลก็ มีเสน ผา ศนู ยก ลางภายนอก 80 mm และเสนผา
ศนู ยกลางภายใน 70 mm และ Est = 200 GPa , Ec = 24 GPa

รปู ที่ Prob. 4-5
4-6 Composite bar ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี Prob. 4-6 มชี ้นิ สว น AB ทาํ ดวยเหลก็ ( Est = 200 GPa ) และช้ินสว น DA
และ BC ทาํ ดวยทองเหลือง ( Ebr = 100 GPa ) จงหา normal stress ที่เกิดขนึ้ ในแตล ะชิน้ สว นและจงหาการเปลี่ยน
ตําแหนง ทีจ่ ุด A เทียบกับจุด B

รปู ที่ Prob. 4-6
4-7 แทง เหล็ก ACE ถกู รองรับโดยแทง aluminum AB และ EF และแทง เหล็ก CD ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Prob. 4-7 ถา
แทง เหลก็ และแทง aluminum มพี ้นื ทห่ี นา ตดั 450 mm2 จงหาขนาดของนํ้าหนักบรรทกุ กระจาย w สงู สดุ ทย่ี อมให
กระทําตอแทงเหล็ก ACE เม่ือเหล็กและ aluminum มีหนวยแรงดึงท่ียอมให (σ allow )st = 180 MPa และ
(σ allow )al = 94 MPa ตามลําดับ และ Eal = 70 GPa และ Est = 200 GPa

Mechanics of Materials 4-24

รปู ท่ี Prob. 4-7
4-8 แทง เหล็ก ACEB ถูกรองรับโดยแทง aluminum CD และ EF และถูกกระทาํ โดยแรง 20 kN ดงั ที่แสดงในรูปท่ี
Prob. 4-8 ถาแทง aluminum มเี สน ผา ศูนยกลาง 25 mm จงหาการเปลี่ยนตําแหนงทจี่ ุด B และหนวยแรงที่เกิดขึน้ ใน
แทง aluminum

รปู ท่ี Prob. 4-8
4-9 สลักเกลยี วเหลก็ เสนผา ศนู ย 10 mm และถูกหมุ ดวยทอ ทองเหลอื ง ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี Prob. 4-9 ถาสลักเกลยี วถูก
กระทําโดยหนวยแรงกดอัด P = 20 kN จงหาคาหนวยแรงตั้งฉากท่ีเกิดข้ึนในสลักเกลียวเหล็กและทอทองเหลือง
กาํ หนดให Est = 200 GPa และ Ebr = 100 GPa

รูปที่ Prob. 4-9

4-10 กาํ หนดใหชิ้นสว นของโครงสรา ง ABD ถกู แขวนโดยใชเ คเบลิ ที่มพี ื้นท่หี นาตดั 32 mm2 และ E = 200 GPa
สองเสน ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี Prob. 4-10 จงหาคาหนวยแรงตง้ั ฉากท่ีเกิดขึ้นในเคเบลิ และคาการหมุนของ ชิ้นสว นของโครง
สรา ง ABD

Mechanics of Materials 4-25

รูปท่ี Prob. 4-10
4-11 จงหาคา หนวยแรงในแนวแกนทเ่ี กิดขนึ้ ในแตล ะช้นิ สวนของโครงสรา ง ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ Prob. 4-11 เมอ่ื อุณหภมู ิของ
โครงสรา งเพิม่ ขนึ้ จาก 12oC เปน 18oC

รูปท่ี Prob. 4-11
4-12 กาํ หนดใหโครงขอหมนุ เหลก็ มลี ักษณะดังท่แี สดงในรปู ท่ี Prob. 4-12 จงหาการเปลี่ยนตาํ แหนง ในแนวดง่ิ ท่ีจุดเชื่อมตอ
A เม่อื อุณหภมู ิของโครงขอ หมนุ เพิ่มขน้ึ 55oC เมอ่ื ชิ้นสวนตา งๆ ของโครงขอหมุนมพี ้ืนทหี่ นาตัด 1200 mm2 และจง
หาหนวยแรงทีเ่ กดิ ขึ้นในแตล ะชิ้นสวนของโครงขอหมนุ

รูปท่ี Prob. 4-12



Mechanics of Materials 5-1

บทท่ี 5
การบิด (Torsion)

เรียบเรยี งโดย ดร. สิทธิชัย แสงอาทิตย

5.1 การเปลีย่ นแปลงรูปรา งเนือ่ งจากการบดิ เพลากลม (Torsional Deformation of a Circular Shaft)
Torsion เปน การบดิ ของชนิ้ สว นของโครงสรา งหรอื ชิ้นสวนของเครอ่ื งจกั รกล เชน เพลารถยนต เปน ตน เนือ่ งจาก

การกระทําของแรงบิด (torque) โดยทแ่ี รงบดิ เปน โมเมนต (moment) ทพ่ี ยายามทจ่ี ะบิดชิน้ สว นของโครงสรางในแนวแกน
ของช้นิ สว นของโครงสรา งนัน้

พจิ ารณาเพลาท่ที ําดว ยวัสดุท่ีมีเนอื้ เดียว (homogeneous material) และสามารถเปลยี่ นแปลงรปู รา งไดงา ย เชน
เพลายาง เปน ตน ดังท่แี สดงในรูปท่ี 5-1a เม่ือแรงบิดกระทําตอเพลายางน้ี grid lines ทปี่ ระกอบดว ยเสนวงกลมและเสน
ตรงทอี่ ยใู นแนวแกนของเพลาจะเกดิ การบดิ ข้นึ ในลกั ษณะดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 5-1b ซึ่งเราจะเห็นไดว า เสน วงกลมจะยงั คงมี
รูปรา งเปน ทรงกลมเหมอื นเดิม แตเสนตรงแตล ะเสน ท่ีอยใู นแนวแกนของเพลาจะเกดิ การบดิ เปน เกลียว (helix) และจะตดั
กบั เสน วงกลมเปนมุมทเ่ี ทา กันตลอดความยาวของเพลายาง นอกจากนั้นแลว หนา ตดั ทปี่ ลายของเพลาก็จะยังคงมีลักษณะ
ราบเรยี บ (flat) และเสนในแนวรศั มี (radial line) ท่ีปลายของเพลาก็จะยงั คงมีลักษณะเปนเสนตรงเหมือนเดมิ

รปู ท่ี 5-1

จากการสังเกตดงั กลาว เราสรปุ ไดว า ถา มมุ บิด (angle of rotation) มคี านอ ยๆ แลว ความยาวและรศั มีของเพลา
จะไมม ีการเปลี่ยนแปลงภายใตแ รงบดิ ดงั น้ัน ถาเพลาถกู ยึดแนน ทป่ี ลายดา นหน่ึง ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ 5-2 และถูกกระทําโดย
แรงบิดท่ีปลายอีกดา นหนึ่งแลว ระนาบทร่ี ะบายสีทึบจะเกดิ การบดิ เอียง (skew) ดงั ที่แสดงในรูป และมมุ ท่ีเกิดการบิดเอียง
หรอื มมุ บดิ (angle of twist) จะมีคา ขน้ึ อยูกับตาํ แหนง x

ในการหาคา ความเครยี ดทเี่ กดิ ขึ้นเน่อื งจากการบิด (distortion strain) ใหเราพจิ ารณา differential element ท่ีตัด
ออกมาจากเพลาที่รศั มี ρ จากจุดศนู ยก ลางของหนาตดั ของเพลา ดังที่แสดงในรูปที่ 5-3 จากรูปท่ี 5-2 และ 5-3 เราจะเห็น
ไดวา หนาตัดของ differential element ท่ีตัดออกมาจากเพลาทีร่ ะยะ x จะเกดิ การบิดเปน มุม φ(x) และหนาตดั ของ
differential element ทตี่ ัดออกมาจากเพลาทร่ี ะยะ x + ∆x จะเกิดการบิดเปนมุม φ(x) + ∆φ ดังน้ัน คา ความแตกตาง
ของการบิดที่เกดิ ขน้ึ จะทําให differential element นถ้ี ูกกระทําโดยความเครยี ดเฉอื น (shear strain)

Mechanics of Materials 5-2

รูปที่5-2

รปู ที่ 5-3

จากรูปท่ี 5-3 เราจะเห็นไดว า กอนเกดิ การเปล่ียนแปลงรปู ราง มมุ ระหวา งขอบ AB และ AC มคี า เทากบั

90o แตห ลังเกดิ การเปลี่ยนแปลงรปู รา ง มุมดังกลาวมคี าเทา กบั θ ′ ดงั นั้น จากนยิ ามของความเครยี ดเฉือน

γ = π − limθ ′
2 C→ A along CA
D→ A along BA

ถา ∆x → dx และ ∆φ → dφ แลว ความยาวจาก B ถึง D ซ่ึงมีคา นอ ยมากและจะมคี า เทา กับ

BD = ρ dφ = γ dx

γ = ρ dφ (5-1)
dx

Mechanics of Materials 5-3

เน่อื งจากมมุ dφ และระยะ dx ของทุกๆ differential element ท่อี ยูทีห่ นาตัดทร่ี ะยะ x มคี า คงทต่ี ลอดท้งั หนา

ตัด ดังนน้ั dφ / dx ท่หี นาตัดใดๆ จะมคี าคงท่ี และจากสมการท่ี 5-1 เราจะไดวา คา ความเครยี ดเฉือนของ differential

element เหลานีจ้ ะแปรผันโดยตรงกบั รัศมี ρ ของเพลา โดยจะมีคาเทากับศนู ยท ่ีแกนของเพลาและจะมคี า มากทสี่ ดุ ทผ่ี ิว

ดานนอกของเพลา ถากาํ หนดใหความยาวของรศั มขี องเพลาทีผ่ วิ ดา นนอกมคี า เทา กับ c แลว การบดิ ของ differential

element ทร่ี ศั มี ρ และท่ี ρ = c จะมลี กั ษณะดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี 5-4

เนื่องจาก dφ / dx = γ / ρ = γ max / c ดงั น้นั

γ = ρ γ max (5-2)
c

สมการท่ี 5-2 น้ีนอกจากจะใชไ ดกบั ทอกลมตนั แลวยังใชไ ดก บั ทอกลมกลวงดว ย

โดยการใช theory of elasticity เราสามารถทจี่ ะแสดงใหเ หน็ ไดวา ภายใตขอสมมตุ ิฐานท่ีกลาวไปแลวน้นั องค

ประกอบอ่ืนๆ ของหนวยแรงตัง้ ฉากและความเครียดเฉอื นจะมีคาเปน ศนู ยเ ม่ือเพลาถกู กระทําโดยแรงบิด และสภาวะของ

หนว ยแรงที่เกิดข้ึนในเพลาซ่งึ ถูกกระทาํ โดยแรงบิดในแนวแกนนจ้ี ะถกู เรียกวา pure shear

รูปที่ 5-4
5.2 สตู รการบดิ (Torsion Formula)

เมื่อเพลาถูกกระทําโดยแรงบิดภายนอกแลว เพลาจะตานทานแรงบิดดังกลาวโดยพัฒนาแรงบิดลัพธภายในตัว

เพลาขึน้ เพื่อทาํ ใหเ พลาอยใู นสภาวะสมดลุ

ถาภายใตแ รงบดิ ภายนอกน้ี วัสดุทใ่ี ชทาํ เพลายังคงมพี ฤตกิ รรมแบบ linear elastic แลว จาก Hooke’s law เราจะ

ไดวา τ = G γ ดงั น้นั จากขอ สรุปท่วี า ความเครียดเฉอื นทีเ่ กดิ ข้นึ ในเพลาจะแปรผนั โดยตรงกับระยะในแนวรัศมีของเพลา
เราจะไดวา หนว ยแรงเฉอื นกจ็ ะแปรผันโดยตรงกับระยะในแนวรัศมีของเพลาดว ย และจะมคี าเทา กับศนู ยท แ่ี กนของเพลา

และจะมคี ามากทสี่ ดุ ที่ผิวดา นนอกของเพลา ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี 5-5 โดยใชหลักการสามเหลี่ยมคลาย เราจะไดวา

τ = ρ τ max (5-3)
c

เน่ืองจากแรงบิดลัพธภายในตัวเพลาเกิดจากการกระจายของหนวยแรงเฉือนที่กระจายอยูตลอดท้ังหนาตัดของ

เพลา ดงั น้นั differential element ใดๆ ที่มีพ้นื ที่ dA และมีระยะในแนวรัศมี ρ จากแกนของเพลาจะถูกกระทาํ โดยแรง

dF = τ dA

Mechanics of Materials 5-4

และแรงบิดทเ่ี กิดจากแรงนจ้ี ะมคี าเทา กับ (5-4)
(5-5)
dT = ρ(τ dA)

เมื่อเราพิจารณาตลอดท้งั หนาตัดของเพลาแลว แรงบดิ ภายในตัวเพลาจะมคี า เทากับ

∫ ∫T = ( ρ ) dA
ρ(τ dA) = A ρ c τ max

A

เนื่องจาก τ max / c มีคา คงที่ ดังนน้ั

=∫Tτ max ρ 2dA
c
A

รปู ที่ 5-5

เทอม integral ในสมการที่ 5-5 จะขนึ้ อยูกับรูปรางของหนาตดั ของเพลาเพียงอยา งเดียวและจะถกู เรยี กวา polar

moment of inertia ของพนื้ ท่หี นาตัดของเพลาหรอื J ดงั น้นั เราจะเขียนสมการที่ 5-5 ไดใ หมเปน

Tc (5-6)
τ max = J

เม่ือ τ max = คา สงู สุดของหนว ยแรงเฉือนทเี่ กิดขึน้ ทีผ่ ิวดา นนอกของเพลา

T = แรงบดิ ลัพธภายในทเี่ กดิ ขึ้นท่ีหนาตดั ของเพลาเนือ่ งจากแรงบดิ

J = polar moment of inertia ของพ้ืนท่หี นาตัดของเพลา

c = รศั มีของเพลา

จากสมการท่ี 5-3 และ 5-6 คา ของหนวยแรงเฉือนทร่ี ศั มี ρ ใดๆ ของเพลาจะหาไดจ ากสมการ

τ = Tρ (5-7)
J

สมการท่ี 5-6 และ 5-7 นี้มกั จะถกู เรยี กวา torsion formula ซ่งึ ใชไดกับเพลาท่มี หี นาตัดทรงกลมที่ทาํ ดวยวสั ดุแบบ

homogenous และมพี ฤติกรรมแบบ linear elastic เทาน้ัน

Mechanics of Materials 5-5

Solid Shaft

รปู ท่ี 5-6

ในกรณที เ่ี พลามีหนาตัดกลมตันแลว คา polar moment of inertia J จะหามาไดโ ดยการพิจารณา differential

ring ท่ีมีความหนาเทา กบั dρ และมีเสน รอบวงเทากบั 2πρ ดังทีแ่ สดงในรปู ที่ 5-6 และมพี ื้นท่เี ทา กับ dA = 2πρ dρ

ดังน้ัน เราจะไดวา

ρ 2dA = c ρ 2 (2πρ ) dρ = 2π c ρ3 dρ ρ4 c
4 0
A 0 0
∫ ∫ ∫J = = 2π

J = π c4 (5-8)
2

จากสมการท่ี 5-8 เราจะเหน็ วา J จะมีคา ขึน้ อยกู ับรศั มีหรอื เสน ผาศนู ยก ลางของเพลาเทา นนั้ และจะมคี า เปน

บวกเสมอ

รูปท่ี 5-7a แสดงการกระจายของหนว ยแรงเฉอื นในแนวรัศมีบนหนาตัดของเพลาตัน ซ่งึ มีลกั ษณะเปน เสนตรง

โดยมีคาเปน ศูนยที่แกนของเพลาและมีคา สงู สดุ ทผ่ี วิ นอกของเพลา จากรปู เราจะเห็นไดว า หนว ยแรงเฉอื นตา งๆ ท่ีเกดิ ข้ึน

บนแตล ะ differential element เลก็ ๆ จะมีทศิ ทางไปทางเดยี วกับแรงบิด T ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิการอบจุดศูนยกลาง

ของหนา ตัดของเพลา

นอกจากหนวยแรงเฉือนในแนวขนานกบั หนาตัดแลว ถาเราตัด cubic volume element เล็กๆ ออกมาจากเพลา

ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี 5-7a แลว เราจะเห็นไดวา cubic volume element ดังกลาวจะตอ งมีหนวยแรงเฉอื นเกิดขึน้ บนหนา ตดั

อีก 3 หนา ตัดที่อยูทางดานขา งของ cubic volume element โดยทหี่ นวยแรงเฉือนท้งั สามจะตองมีคาเทากับหนว ยแรงเฉือน

ในแนวขนานกับหนา ตดั และทิศทาง ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี 5-7 เพ่อื ทําใหเกิดสมดลุ ของแรงและ moment บน cubic volume

element ดังกลา ว

การกระจายของหนวยแรงเฉือนที่มีทิศทางในแนวแกนของเพลาจะมีลักษณะเชนเดียวกับหนวยแรงเฉือนในแนว

ขนานกบั หนา ตดั ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ 5-7c หนวยแรงเฉือนนีจ้ ะเปน สาเหตทุ ําใหเ พลาไม ซึง่ ถกู กระทําโดยแรงบิดเกิดการวิบตั ิ

โดยการแตกราวในแนวแกนของเพลาไม ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 5-8 ทงั้ น้เี นอื่ งจากไมมีกาํ ลังรับแรงเฉอื นในแนวตามเส้ยี นต่าํ กวา

ในแนวขวางเส้ียน

Mechanics of Materials 5-6

รูปที่ 5-7

รปู ท่ี 5-8
Tubular Shaft

การวเิ คราะหเ พลากลวงซงึ่ ถกู กระทาํ โดยแรงบิดจะมลี กั ษณะทค่ี ลา ยคลงึ กบั การวิเคราะหเ พลาตนั ในกรณีที่เพลา
กลวง ซ่งึ มรี ัศมีภายใน ci และรัศมภี ายนอก co แลว จากสมการท่ี 5-8 เราจะหาคา polar moment of inertia J ไดโ ดย
การหกั คา J ของเพลาตันท่มี รี ศั มี ci ออกจากคา J ของเพลาตันทม่ี รี ศั มี co ดงั น้ัน เราจะได

Mechanics of Materials 5-7

J = π (co4 − ci4 ) (5-9)
2

รปู ท่ี 5-9 แสดงการกระจายของหนว ยแรงเฉอื นในแนวรัศมีและในแนวแกนของเพลากลวง เราจะเห็นไดวา เพลา

กลวงมีประสิทธิภาพในการใชวัสดุในการตานทานตอแรงบิดมากกวาเพลาตัน เนื่องจากวาพื้นที่โดยสวนใหญของเพลา

กลวงที่ใชในการรับแรงบิดอยูหางออกไปจากศูนยก ลางของเพลา ดังน้นั วัสดทุ ใ่ี ชท าํ เพลากลวงโดยสวนใหญจะรบั หนว ย

แรงเฉือนทีม่ ีคา คอ นขางสงู นอกจากนั้นแลว หนวยแรงเฉอื นยังมี moment arms ในการตานทานแรงบิดที่มากกวา เพลาตนั

ดวย

รูปท่ี 5-9
Absolute Maximum Torsional Stress

ทหี่ นาตัดใดๆ ของเพลา คาสงู สดุ ของหนว ยแรงเฉอื นจะเกิดขึ้นท่ีผวิ ดา นนอกของเพลา ในกรณที เ่ี พลาถกู กระทาํ
โดยแรงบดิ ภายนอกหลายๆ คาหรือรัศมขี องเพลามีการเปลยี่ นแปลงเปน ชวงๆ ดังท่แี สดงในรูปที่ 5-10 แลว คาสูงสดุ ของ
หนวยแรงเฉือนที่เกิดขึ้นจะมีความแตกตางกันจากหนาตัดหนึ่งไปยังอีกหนาตัดหนึ่ง ในการออกแบบเพลาที่มีลักษณะดัง
กลาว เราจําเปน ท่จี ะตองหาคาสงู สดุ สมั บรู ณ (absolute maximum) ของหนวยแรงเฉอื นและตาํ แหนง ท่ีเกิดดว ย ซึง่ จะทาํ
ไดโดยการเขียน torque diagram ท่เี ปนแผนภาพแสดงการเปล่ียนแปลงของแรงบิดภายใน T ทีเ่ กดิ ข้ึนเทยี บกบั ระยะ x
ในแนวแกนของเพลา ในการเขียนแผนภาพน้ี เราจะใหแ รงบดิ ภายใน T มคี าเปนบวกเม่อื มีทศิ ทางพุงออกจากหนาตดั ของ
เพลาโดยใชก ฎมือขวา ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี 5-5 หลงั จากท่ไี ด torque diagram แลว เราจะหาคา absolute maximum ของ
หนวยแรงเฉือนและตาํ แหนง ทเ่ี กดิ ไดโดยงา ย

รูปท่ี 5-10

Mechanics of Materials 5-8

5.3 มมุ บดิ (Angle of Twist)
พิจารณาเพลาที่มหี นา ตัดทรงกลมและมหี นา ตัดทเ่ี ปล่ียนแปลงอยา งตอ เนอื่ งตลอดความยาวของเพลา ดงั ทีแ่ สดง

ในรปู ท่ี 5-11a กําหนดใหเ พลาถูกยดึ แนน ทปี่ ลายดา นหนง่ึ โดยทป่ี ลายอกี ดานหนึง่ เปน อสิ ระ วสั ดุที่ใชทําเพลาเปน วสั ดุแบบ
homogeneous และมพี ฤตกิ รรมแบบ linear elastic ภายใตแ รงบดิ และไมพ จิ ารณา localized deformation ทีเ่ กดิ ขึน้ ทจ่ี ดุ
ท่ีแรงบิดกระทํา ทีจ่ ุดยึดแนน และทีจ่ ดุ ที่หนา ตดั ของเพลามกี ารเปลยี่ นแปลงแบบทนั ทีทันใด

รปู ท่ี 5-11

โดยใช method of section เราจะตัด differential disk ที่ระยะในแนวแกน x จากปลายของเพลาดา นที่ถูกยึด

แนนได ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 5-11b ซ่งึ กาํ หนดให differential disk นม้ี คี วามหนา dx

เน่อื งจากแรงบิดภายนอกอาจจะทําใหแ รงบิดลพั ธภายในมีคาเปลย่ี นแปลงตลอดความยาวของเพลา ดังนน้ั เรา

จะใหแ รงบดิ ภายในท่เี กิดขึ้นเปน function กบั x หรอื T(x) เนอื่ งจากแรงบดิ นี้ หนา ตัดดานหนงึ่ ของ differential disk

จะมีการหมนุ สัมพัทธเทยี บกับอกี หนา ตดั หน่งึ เปน มมุ dφ ดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี 5-11b และ differential element เลก็ ๆ ทีอ่ ยูที่

ตาํ แหนงในแนวรัศมี ρ ใดๆ จะมคี วามเครยี ดเฉือน (shear strain) γ เกิดขึน้ ซ่งึ จากสมการท่ี 5-1 เราจะไดว า

dφ = γ dx (5-10)
ρ

จาก Hooke’s law γ = τ / G และจาก torsion formula τ = T (x)ρ / J (x) เราจะเขียนสมการของ

ความเครียดเฉือนอยูในรปู ของแรงบิดไดเ ปน

γ = T (x)ρ
J (x)G

เมื่อ แทนสมการของความเครียดเฉือน γ ลงในสมการท่ี 5-10 เราจะได

dφ = T (x) dx
J (x)G

และคา มมุ บิดทเี่ กดิ ขน้ึ ตลอดความยาว L ของเพลาจะหาไดจาก

∫φ =L T (x) dx (5-11)
0 J (x)G

เม่อื φ = มุมบดิ ทีเ่ กิดข้นึ ทีป่ ลายดา นหนง่ึ ของเพลาเทยี บกบั ปลายอกี ดานหนงึ่ ซงึ่ มีหนว ยเปน radian

T(x) = แรงบดิ ภายในท่ีเกิดขน้ึ ที่ระยะ x ใดๆ

Mechanics of Materials 5-9

J(x) = polar moment of inertia ของหนา ตดั ของเพลาทีร่ ะยะ x ใดๆ

G = shear modulus ของวัสดุท่ใี ชทาํ เพลา

Constant Torque and Cross-Sectional Area
โดยทว่ั ไปแลว เพลาจะทําดว ยวัสดแุ บบ homogenous และมพี น้ื ทห่ี นาตัดทค่ี งทแี่ ละถกู กระทําโดยแรงบดิ ท่ีมคี า

คงทต่ี ลอดความยาวของเพลา ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 5-12 ดังนนั้ คา T (x) = T , J (x) = J , และ G มีคา คงที่และสมการ

ที่ 5-11 จะลดรูปลงเปน

φ = TL (5-12)
GJ

รูปท่ี 5-12

ในกรณที เี่ พลาถกู กระทําโดยแรงบดิ หลายแรงบดิ ตลอดความยาวของเพลา หรือพ้นื ท่ีหนา ตดั หรือวัสดทุ ่ีใชท ําเพลา

มีการเปลี่ยนแปลงจากสว นหนง่ึ ของเพลาไปยงั อกี สว นหนง่ึ แลว ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 5-13 แลว มมุ บดิ ทเี่ กิดขึน้ ท่จี ุดๆ หน่ึง

เทียบกับจุดอา งอิงบนเพลาดงั กลาวจะหาไดจากสมการ

∑φ = Ti Li (5-13)
Gi J i
i

รปู ท่ี 5-13

Mechanics of Materials 5-10

Sign Convention
Sign convention ท่จี ะใชในการคาํ นวณหามุมบิดจะเปนไปตามกฎมอื ขวา โดยท่แี รงบิดและมมุ บิดที่เกิดขึน้ จะมี

คาเปนบวกเมอ่ื มที ศิ ทางพงุ ออกมาจากหนา ตัดของเพลา ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ 5-14 และจะมคี าเปนลบเมื่อมีทศิ ทางพงุ เขาหา
หนา ตัดของเพลา

รปู ที่ 5-14

Mechanics of Materials 5-11

ตัวอยา งท่ี 5-1
เพลาตันและเพลากลวง ดังท่แี สดงในรูปท่ี Ex5-1 ทําดว ยวัสดุชนิดเดียวกนั โดยมีความยาว L และรศั มภี ายนอก

co = R เทากัน กําหนดใหเ พลากลวงมีรศั มภี ายในเทากบั ci = 0.6R สมมุตใิ หเ พลาทงั้ สองถูกกระทาํ โดยแรงบดิ T
(torque) ท่ีมคี า เทากัน จงเปรียบเทยี บคา สงู สดุ ของหนวยแรงเฉอื นที่เกดิ ข้นึ มุมบดิ ทีเ่ กดิ ขึน้ และนํ้าหนกั ของเพลากลวงตอ
เพลาตัน

RR

0.6R

รูปท่ี Ex 5-1

จาก torsion formula, τ max = Tc เราจะเหน็ ไดว า เมือ่ แรงบิดและรัศมีภายนอกมีคาคงที่แลว คา สูงสุดของ
J

หนวยแรงเฉอื นจะเปน สัดสวนผกผันกบั คา polar moment of inertia ของเพลา

Polar moment of inertia ของเพลาตันและเพลากลวงจะหาไดจ าก

J1 = πR 4 = 0.5πR4
2

J2 = π (co4 − ci4 ) = π (R4 − (0.6R)4 ) = 0.4352πR 4
2 2

ดังนน้ั อัตราสวนของคาสูงสดุ ของหนวยแรงเฉอื นที่เกิดขน้ึ ในเพลากลวงเทยี บกบั เพลาตนั จะมคี า เทากับ

(τ max ) 2 = TR 0.5πR 4 = 0.5 = 1.15 Ans.
(τ max )1 0.4352πR 4 TR 0.4352

เชน เดียวกบั ในกรณขี องคาสงู สุดของหนวยแรงเฉือน จากสมการของมุมบิด, φ = TL เราจะเหน็ ไดวา เมื่อแรง
GJ

บิดและรศั มีภายนอกมีคา คงท่แี ลว คามมุ บิดจะเปนสัดสว นผกผันกบั คา polar moment of inertia ของเพลา ดงั นนั้ เมอื่

เพลาทง้ั สองทําดวยวสั ดชุ นิดเดียวกนั แลว อัตราสวนของมมุ บดิ ที่เกดิ ขน้ึ ในเพลากลวงเทียบกับเพลาตันจะมีคา เทากับ

(φ )2 = TL G(0.5πR 4 ) = 1.15 Ans.
(φ )1 G(0.4352πR 4 ) TL

และเมือ่ เพลาท้ังสองทําดวยวัสดชุ นิดเดยี วกัน (ความหนาแนนและความถวงจาํ เพาะจะมคี า เทา กัน) แลว อัตราสว นของนาํ้

หนกั ของเพลากลวงเทียบกับเพลาตันจะมีคา เทา กับ

(W )2 = γLπ (0.6R)2 = 0.64 Ans.
(W )1 γLπR 2

จากคําตอบทง้ั สาม เราจะเห็นไดวา ถงึ แมนเพลากลวงจะมคี า สูงสุดของหนว ยแรงเฉือนและมุมบิดมากกวาเพลาตนั 15%

แตเ พลากลวงจะมนี า้ํ หนักเบากวา เพลาตนั ถงึ 36%

Mechanics of Materials 5-12

ตวั อยางท่ี 5-2
พจิ ารณาเพลาเหล็ก ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี Ex 5-2a ซ่ึงถกู ยดึ แนนกับผนงั ทีจ่ ุด E กาํ หนดให G = 80 GPa จงหา
a.) คา สงู สุดของหนว ยแรงเฉอื นทเ่ี กิดขนึ้ ในเพลา
b.) คาสงู สดุ ของมมุ บิดที่เกดิ ขึ้นในเพลา

รูปท่ี Ex 5-2

จากรูปตัดของเพลา ดังทแ่ี สดงในรูปที่ Ex 5-2a เราจะหาคา polar moment of inertia ของหนาตัดของสว น

ABC และ CDE ของเพลาเหลก็ ไดด ังนี้

πd 4 π (25) 4 = 38.3(103 ) mm4
32 32
J AB = J BC = =

J CD = J DE = π (d 4 − d 4 ) = π (504 − 254 ) = 575(103 ) mm4
32 o i 32

โดยการตัด sections ตา งๆ ของเพลาและใชส มการความสมดลุ ของแรงบดิ รอบแกนของเพลาเหล็ก ดังตวั อยางที่

แสดงในรปู ที่ Ex 5-2b เราจะเขยี นแผนภาพ torque diagram ของเพลาไดด ังทแ่ี สดงในรูปท่ี Ex 5-2c

a.) คาสงู สุดของหนวยแรงเฉอื นท่เี กิดขึน้ ในเพลา
จากแผนภาพ torque diagram ของเพลา เราจะเห็นไดว า คา สงู สดุ ของแรงบิดเกดิ ขึ้นท่สี วน DE ของเพลา แต

เน่ืองจากสว น BC ของเพลามีคา polar moment of inertia ของหนา ตัดต่ํากวา สว น DE ของเพลา ดงั น้นั เราตองทาํ

การตรวจสอบคาหนวยแรงเฉอื นที่เกดิ ขนึ้ ในสวนทงั้ สองของเพลา

จากสมการ torsion formula เราจะไดว า

τ BC = 150(25 / 2)10−3 = 48.96 MPa
38.3(103 )(10−12 )

τ DE 1150(50 / 2)10−3 = 50 MPa
= 575(103 )(10−12 )

ดังนั้น คา สงู สุดของหนว ยแรงเฉอื นเกดิ ขน้ึ ทส่ี วน DE ของเพลาและมคี าเทา กบั 50 MPa Ans.

Mechanics of Materials 5-13

b.) คา สงู สดุ ของมมุ บิดทีเ่ กิดข้นึ ในเพลา
คา สูงสุดของมุมบิดที่เกดิ ข้นึ ในเพลาจะหาไดจากผลรวมขอมุมบิดทีเ่ กดิ ขึน้ ในช้ินสว นตางๆ ของเพลา

∑φ = Ti Li = TAB LAB + TBC LBC + TCD LCD + TDE LDE
Gi J i GJ AB GJ BC GJ CD GJ DE
i

แทนคาตางๆ ลงในสมการ เราจะไดวา

φ = 0 + 150(103 )200 + 150(103 )300 + 1150(103 )500 = 23.3(10−3 ) rad
38.3(103 )80(103 ) 575(103 )80(103 ) 575(103 )80(103 )

ซ่งึ มีทศิ ทางเปนบวก Ans.

Mechanics of Materials 5-14

ตัวอยางท่ี 5-3
กําหนดให mechanical system มีลกั ษณะดงั ท่แี สดงในรูปที่ Ex5-3 ซง่ึ ประกอบดว ยเพลาเหลก็ ตัน 2 ทอ น เสน ผา

ศนู ยก ลางเพลาเหล็กเทา กับ 20 mm จงหาคาแรงบดิ สงู สดุ ที่ mechanical system สามารถรองรบั ได เมื่อมุมบดิ สงู สดุ ที่
เกดิ ขน้ึ มคี าไดไ มเกนิ 0.10 rad และ G = 80 GPa

รูปท่ี Ex5-3

คา polar moment of inertia ของหนา ตดั ของเพลา AB และเพลา CD มคี า เทากบั

πd 4 π (0.020) 4 = 15.708(10−9 ) m4
32 32
J AB = J CD = =

หาแรงบิดที่เกดิ ขึน้ ภายใน

แรงบดิ ที่เกดิ ขน้ึ ภายในเพลา AB มีคาเทา กบั T และทาํ ใหเกิดแรงกระทาํ ตอฟน เฟองของเฟอง B เทากบั

F = T
0.15

แรงดงั กลาวจะกระทาํ ตอฟน เฟอ งของเฟอง C และทําใหเ กดิ แรงบดิ บนเพลาเทา กบั

TCD = F (0.075) = 0.5T

หามุมบิดสงู สดุ ทีเ่ กิดข้ึน

มมุ บิดทเ่ี กิดข้ึนท่ีเฟอง C เทียบกบั จุดยึดแนน D ในเพลา CD มีคา เทา กับ

φC / D = TCD LCD 0.5T (1.5) = 5.968(10−4 )T rad
GJ = 80(109 )15.708(10−9 )

เมือ่ เฟอง C บดิ ไปเปนมุม φC / D แลว ฟน เฟองของเฟอ ง C จะเคลื่อนท่ไี ปเปนระยะเทา กบั

φC / D (0.075) = 4.476(10−5 )T m

ซึง่ จะทาํ ใหฟ นเฟอ งของเฟอ ง B บิดไปเปนมมุ เทากบั

φB = 4.476(10−5 )T = 2.984(10−4 )T rad
0.150

มมุ บดิ ที่เกิดขนึ้ ระหวา งปลาย A ในเพลา AB เทยี บกับจุดยดึ แนน D จะมีคาเทา กับ

φ A/ D = φB + TL AB = 2.984(10−4 )T + 80(109 T (2) ) = 1.890(10−3 )T rad
GJ )15.708(10 −9

เนือ่ งจากมมุ บดิ สงู สดุ ทีเ่ กดิ ขึ้นใน mechanical system มคี าไดไมเ กนิ 0.10 rad ดงั น้ัน

Tmax = 0.1 = 52.9 N-m Ans.
1.89(10−3 )

Mechanics of Materials 5-15

5.4 เพลาสงกาํ ลัง (Power Shaft)

รปู ที่ 5-15

เพลากลมตันและเพลากลมกลวงมักจะถูกนํามาใชในการถายแรงในเครอ่ื งจกั รกลตา งๆ ดังเชน ที่แสดงในรูปท่ี 5-

15 ในกรณนี ี้คา แรงบดิ ที่กระทํากบั เพลาจะขึ้นอยกู บั กาํ ลงั ของเคร่ืองจกั รและความเร็วเชงิ มุมของเพลา กาํ ลังของเครอื่ งจักร

P จะเปนงานท่ีเคร่ืองจกั รทําใหเกดิ ขึน้ ตอหนึ่งหนว ยเวลา ซึ่งจะมีคาเทา กับผลคูณของแรงบิดกบั มุมบดิ ท่ีเกิดข้นึ จากแรง

บดิ นัน้ ดงั นนั้ ถาในชว งเวลา dt เครอ่ื งจกั รสง แรงบิดกระทําตอ เพลา T และทําใหเ พลาหมนุ ไปเปน มุม dθ แลว กาํ ลังที่
เกิดขึน้ จะมีคา เทากับ

P = T dθ
dt

เนอ่ื งจากความเร็วเชงิ มมุ ของเพลา ω = dθ / dt ดังนน้ั

P = Tω (5-14)

และเนอื่ งจากความถ่ขี องการหมุนของเพลา f = ω / 2π ดงั นน้ั

P = 2πf T (5-15)

Shaft Design

เมื่อเราทราบกาํ ลังของเครือ่ งจกั ร P และความเรว็ เชงิ มมุ ของเพลา ω หรือความถ่ีของการหมนุ ของเพลา f

แลว เราจะหาคา แรงบดิ ทกี่ ระทาํ กบั เพลา T ได และถาเราทราบคาหนว ยแรงเฉือนทย่ี อมให (allowable shear stress)

τ allow ของวัสดุที่ใชท ําเพลาแลว เราจะหาขนาดของหนาตัดของเพลาไดจ ากสมการ

JT (5-16)
=
c τ allow

ในกรณีที่เพลาเปน เพลาตัน ขนาดหนา ตัดของเพลาจะหามาไดโดยงา ยโดยใชส มการที่ 5-16 แตถ า เพลาเปนเพลา

กลวง ซง่ึ J = π (co4 − ci4 ) แลว ขนาดของหนา ตดั ของเพลาจะมคี าไดห ลายคา โดยปกตแิ ลว เราจะกาํ หนดคาใดคา
2

หนงึ่ ของ co หรือ ci ขึ้นมาคา หนึง่ กอ น จากนนั้ เราจะหาคาอกี คา หนง่ึ ท่ีเหลอื โดยใชส มการดงั กลาว

Mechanics of Materials 5-16

ตวั อยางที่ 5-4
เครอื่ งกําเนิดไฟฟา G ดังทแ่ี สดงในรูปที่ Ex 5-4 ถกู เชือ่ มตอเขากับเคร่ืองยนตโ ดยใชเ พลาเหล็กกลวง A36 ซ่ึงมี

ความยาว 1.2 m และมเี สน ผาศูนยก ลางภายนอก 40 mm ขณะทาํ การผลิตกระแสไฟฟา เพลาดังกลา วจะหมุนดว ย
ความเร็วเชงิ มุม ω = 100 rad/sec และตองสงกําลงั P = 50 kW จงหาความหนาทน่ี อ ยท่ีสดุ ของเพลาเหล็กกลวง
เม่ือกาํ หนดให ultimate shear stress ของเหลก็ เทากบั 200 MPa และมมุ บดิ สงู สดุ จะตอ งมีคาไมเ กิน 3o ใช factor of
safety เทา กบั 2.0 ในการออกแบบเพลาและ Gst = 80 MPa

รปู ท่ี Ex 5-4

ในการออกแบบหาความหนาของเพลา เราจะตอ งทาํ การหาความหนาโดยใหเพลามีกาํ ลงั ทีเ่ พยี งพอในการตา น

ทานตอ แรงบดิ และเพลาจะตอ งมีมุมบิดไมเกนิ คาที่กําหนด

หาความหนาของเพลาโดยใหเพลามกี ําลงั ที่เพยี งพอในการตานทานตอแรงบิด
แรงบดิ ทีก่ ระทาํ ตอเพลาจะหาไดจ ากสมการ P = Tω ดงั น้นั

T = P = 50000 = 500 N.m
ω 100

คาหนวยแรงเฉอื นที่ยอมให

τ allow = τ ult = 200 = 100 MPa
F.S. 2

จากสมการ torsion formula τ = Tc / J เราจะหาคา polar moment of inertia ของหนาตดั ของเพลาเหล็กได

J req'd Tc = 500(0.040 / 2) = 0.10(10−6 ) m 4
= 100(106 )

τ allow

สมการของ polar moment of inertia ของหนา ตดั ของเพลาเหลก็ กลวงจะอยใู นรูป

J = π (ro4 − ri4 )
2

0.10(10 −6 ) = π (0.020 4 − ri4 )
2

ri = 0.0176 m =17.6 mm

t1 = 20 −17.6 = 2.4 mm

หาความหนาของเพลาโดยใหเ พลามมี ุมบดิ ไมเกนิ คา ท่กี ําหนด

จากสมการของมมุ บดิ φ = TL / GJ เราจะหา polar moment of inertia ของหนา ตดั ของเพลาเหลก็ กลวงจะอยู

ในรปู

J req'd = TL = 500(1.2) = 0.1432(10−6 ) m4
Gφ allow 80(109 )(3π /180)

Mechanics of Materials 5-17

ดงั นัน้ Ans.

0.1432(10−6 ) = π (0.020 4 − ri4 )
2

ri = 0.0162 m =16.2 mm

t2 = 20 −16.2 = 3.8 mm > t1 = 2.4 mm

ดังนัน้ มุมบิดควบคมุ การออกแบบเพลาและความหนาของเพลาเหล็กกลวงตองมีคาอยางนอ ย 3.8 mm

Mechanics of Materials 5-18

ตัวอยา งที่ 5-5
วศิ วกรตอ งการออกแบบเพลาเหลก็ สง กําลงั จาก motor ซึง่ มีกําลงั 12.5 kW และหมนุ ดวยความเร็วเชิงมมุ

ω = 100 rpm ไปยังสายพาน ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี EX 5-5 กําหนดใหมุมบิดทเ่ี กิดข้นึ มีคาไมเกิน φmax = 0.015 rad ตอ
ความยาวของเพลา 1 m. คา allowable shear stress ของเหลก็ , τ allow = 40 MPa และคา shear modulus of
elasticity ของเหลก็ , G = 75 GPa จงหา

a.) เสนผา ศูนยกลางของเพลาตัน do ทีต่ อ งใชในการสงกาํ ลงั
b.) เสนผาศูนยกลางภายนอกของเพลากลวง d2 ที่ตองใชในการสงกําลัง ถากาํ หนดใหความหนาของเพลา

t = d2 / 10

c.) อัตราสว นของ d2 / do และอัตราสวนของนาํ้ หนักของเพลากลวงตอ น้าํ หนักของเพลาตัน

t=d2/10

do d1

d2

รปู ที่ Ex 5-5

ความเร็วเชงิ มุมของเพลามีคาเทากับ

ω = 100 rpm = 100 rev  2π  1 min = 10.47 rad/s
min  1 rev  60 s

ดงั น้ัน แรงบดิ ทเี่ กดิ จากกาํ ลงั ของ motor จะหาไดจาก

T = P = 12500 N - m/s = 1193.7 N-m
ω 10.47 rad/s

a.) หาเสนผา ศนู ยก ลางของเพลาตัน do ท่ีตอ งใชใ นการสงกาํ ลงั
ขนาดของเสน ผา ศูนยก ลางของเพลาตัน do ทตี่ อ งใชใ นการสงกําลงั จะหาไดจากคา ของ τallow และ φmax และ

ใชคาสงู สดุ ทีห่ าไดใ นการออกแบบ

จาก torsion formula เราจะไดวา τ allow = Tc และ J = π c4 = π d4 T
J c 2 c 32 (d / 2) =

τ allow

ดงั นนั้

 16T 1/ 3  16(1193.7 N - m) 1 / 3
πτ allow π (40(106 ) N/m 2 )
d = = = 0.0534 m

จากสมการของ angle of twist เราจะไดวา φ max = TL และ J = πd 4 = TL
GJ 32 Gφ max

ดงั น้ัน

 32TL 1/ 4  32(1193.7 N - m)(1 m) 1 / 4
πGφ max (75(109 ) N/m2 )0.015 rad
d = = π = 0.0573 m

Mechanics of Materials 5-19

เมอ่ื ทาํ การเปรยี บเทยี บคา do ทห่ี ามาได เราจะเห็นวา คา ของมุมบดิ สงู สุดจะเปนตัวควบคมุ การออกแบบเพลา

ตัน โดยเพลาตันท่ีจะเลือกมาใชตองมเี สน ผาศูนยก ลางอยางนอ ยท่ีสุดเทากับ 0.0573 m Ans.

b.) เสน ผาศูนยกลางภายนอกของเพลากลวง d2 ทตี่ อ งใชในการสงกําลงั
เสนผาศูนยก ลางภายในของเพลากลวงมีคา เทา กับ

d1 = d2 − 2t = d2 − 2(0.1d2 ) = 0.8d2

ดงั นั้น polar moment of inertia ของเพลากลวงมคี า เทา กับ

J = π (co4 − ci4 ) = π (d 4 − d 4 ) = π (d 4 − d14 )
2 32 o i 32 2

J = π (d 4 − (0.8d2 )4 ) = π (0.5904d 4 ) = 0.05796d 4
32 2 32 2 2

จาก torsion formula เราจะไดวา τ allow = Tc = T (d2 / 2) = T
J
0.05796d 4 0.1159d 3
2 2

ดงั นนั้

d2 =  T 1/ 3 =  1193.7 N - m 2 1/ 3 = 0.0636 m
0.1159τ 0.1159(40(106 )) N/m
allow

จากสมการของ angle of twist เราจะไดวา φ max = TL = TL
GJ
G(0.05796d 4 )
2

ดงั นั้น

d2 =  1193.7 N - m(1 m)  1/4 = 0.0654 m
 0.05796(75(109 ) N / m2 )0.015 rad 

เม่อื ทําการเปรยี บเทียบคา d2 ทห่ี ามาได เราจะเหน็ วา คา ของมุมบดิ สูงสุดจะเปน ตัวควบคุมการออกแบบ โดย

เพลากลวงท่ีจะเลือกมาใชตอ งมีเสน ผาศนู ยกลางอยา งนอยท่สี ดุ เทากบั 0.0654 m Ans.

c.) อตั ราสวนของ d2 / do และอตั ราสวนของนาํ้ หนกั ของเพลากลวงตอ น้าํ หนักของเพลาตัน

อัตราสวนของ d2 / do ,

d2 = 0.0654 m = 1.14 Ans.
do 0.0573 m

อัตราสวนของนา้ํ หนักของเพลากลวงตอ นํ้าหนักของเพลาตันเทา กับ

π (d 2 − d12 ) / 4 = d 2 − d12 = (0.0654 m)2 − (0.8(0.0654 m))2 = 0.47 Ans.
2 2 (0.0573 m)2

πd 2 / 4 d 2
o o

จากอัตราสวนทั้งสอง เราจะเหน็ ไดว า เพลากลวงจะมนี า้ํ หนกั เบากวาเพลาตนั ถึง 47% แตจะมเี สน ผา ศนู ยกลางภายนอก

ใหญกวาเพลาตนั 14%

Mechanics of Materials 5-20

5.5 การวิเคราะหช้นิ สว นของโครงสรา งแบบ Statically Indeterminate ทร่ี บั แรงบิด (Statically Indeterminate
Torque-Loaded Members)

เพลาจะเปนโครงสรา งแบบ statically indeterminate เมอ่ื เราไมสามารถคาํ นวณหาแรงบิดลพั ธท ี่เกิดขน้ึ ภายใน

เพลาไดโดยใชสมการความสมดุลของโมเมนตในแนวแกนของเพลาเพียงสมการเดียว ดังที่แสดงในรูปที่ 5-16a จากรูป

ปลายของเพลาถูกยดึ แนนทีจ่ ุด A และจดุ B ซ่ึงเราจะเขียนแผนภาพ free-body diagram ของเพลาดงั กลาวได ดงั ท่ี

แสดงในรูปท่ี 5-16b จากแผนภาพ เราจะมแี รงบิดปฏิกรยิ าทีไ่ มท ราบคาสองคา ท่ีจุด A และทจี่ ดุ B ซง่ึ เราจะหาคาแรง
บิดปฏกิ รยิ าดังกลาวได โดยใชสมการความสมดลุ ทมี่ ีอยูหนึ่งสมการและสมการความสอดคลอ ง (compatibility equation)
อกี หนึ่งสมการ

จากสมการความสมดุลของโมเมนตใ นแนวแกนของเพลา เราจะไดวา

∑Mx = 0; T − TA − TB = 0

จาก compatibility เราจะไดวา เนอ่ื งจากปลายของเพลาถกู ยดึ แนน ท้ังสองดาน ดงั นัน้ ภายใตการกระทาํ ของแรง

บิด มมุ บดิ ท่ีเกิดขึ้นทปี่ ลายดา นหน่ึงของเพลาเทียบกบั มุมบิดท่เี กดิ ขึ้นที่ปลายอกี ดา นหน่งึ ของเพลาจะมีคาเปนศูนย หรอื

φA/B = 0

รูปที่ 5-16

จากสมการของมมุ บิด φ = TL / GJ และจากแผนภาพ free-body diagram เราจะไดว า แรงบดิ ภายในทเี่ กดิ

ข้ึนในสว น AC มีคา เทากบั + TA และแรงบดิ ภายในที่เกดิ ขน้ึ ในสวน CB มคี า เทากับ − TB ดังนน้ั เราจะเขยี นสมการ
compatibility ไดใหมเปน

TA LAC − TB LBC =0
GJ GJ

เน่ืองจาก L = LAC + LBC และถาเราให GJ มคี าคงที่แลว จากสมการความสมดลุ และสมการ compatibility เราจะ

หาสมการของแรงบิด TA และ TB ไดใ นรปู

TA =T LBC
L

TB = T L AC
L

Mechanics of Materials 5-21

ตัวอยางที่ 5-6
กําหนดใหเ พลาเหล็กมีลักษณะดังที่แสดงในรูปที่ EX 5-6 และให Gst = 75 GPa , T = 100 N - m จงหา
a.) maximum shear stress ที่เกดิ ขึน้ ในเพลาเหล็ก

b.) ถา allowable shear stress ของเหลก็ มคี าเทากบั 60 MPa จงหาคา ของแรงบดิ T สูงสุดท่ยี อมใหก ระทํา
กบั เพลา

รูปที่ EX 5-6

a.) maximum shear stress ท่เี กิดขน้ึ ในเพลาเหลก็
กําหนดให แรงบิดปฎิกรยิ าทเี่ กดิ ขนึ้ ทจ่ี ุดรองรับ A และ B มที ศิ ทางพงุ จาก A ไป B ดงั น้นั แผนภาพ free-

body diagram ของเพลาจะมลี ักษณะดงั ทแ่ี สดงในรปู

TA A C D B TB
T

100 mm 200 mm 300 mm

จากสมการความสมดลุ

TA + TB = 100

จากสมการ compatibility

φD/ A = φB/ A

TA (0.10) + TA (0.20) = TB (0.30)
π  G π2  π 
G  2 (0.006) 4  (0.0125) 4  G  2 (0.0125) 4 

TA = 0.144TB

แทน TA ลงในสมการความสมดุล เราจะได

TB = 100 = 87.4 N - m
1.144

ดังนน้ั TA = 100 − 87.4 = 12.6 N - m

เนอ่ื งจากหนาตัดของสว น AC มคี าไมเทา กับหนา ตัดของสวน BD ดังนั้น คาหนวยแรงเฉือนสูงสุดที่เกดิ ขน้ึ ใน

เพลาเหล็กจะหาไดจ ากคาที่มากกวา ทเ่ี กิดขน้ึ ในสองสวนนี้ของเพลา

Mechanics of Materials 5-22

τ AC = TAc AC = 12.6(0.006) = 37.1 MPa
J AC
π (0.006) 4 
 2 

τ BD = TB cBD = 87.4(0.0125) = 28.5 MPa
J BD
π (0.0125) 4 
 2 

ดงั น้นั คาหนวยแรงเฉอื นสูงสุดจะเกิดขึ้นท่ีสวน AC ของเพลาเหล็กและมคี า เทากบั 37.1MPa Ans.

b.) หาคาของแรงบิด T สงู สุดทย่ี อมใหกระทํากับเพลา
เนอ่ื งจากหนว ยแรงเฉอื นสูงสดุ เกิดขนึ้ ทสี่ วน AC ของเพลาเหลก็ ดังน้นั จาก torsion formula เราจะได

TA = τ Jallow AC = 60(106 ) π (0.006) 4  = 20.4 N - m
c AC 0.006  2 

TB = TA = 141.4 N-m
0.144

ดังนั้น คาของแรงบิด T สูงสดุ ทีย่ อมใหกระทาํ กบั เพลาจะมคี า เทา กับ

Tallow = 20.4 + 141.4 = 161.8 N - m Ans.

Mechanics of Materials 5-23

ตัวอยา งที่ 5-7
กําหนดใหเ พลาแบบ statically indeterminate มีลักษณะดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี Ex 5-7a โดยทป่ี ลาย A ถูกยดึ แนน

และถกู กระทาํ โดยแรงบดิ T ที่ปลายอิสระ B เพลานี้ประกอบดว ยเพลาตันท่ีทาํ ดว ยวัสดชุ นิดที่ 1 (Bar (1)) และอยูภาย
ในเพลากลวงท่ที ําดว ยวัสดุชนิดที่ 2 (Tube (2)) โดยท่ีเพลาทัง้ สองถูกเชื่อมตอ กนั อยา งแข็งแกรง ท่ีปลาย B

จงหาสมการของแรงบิดทีเ่ กิดข้ึนในเพลากลวงและเพลาตนั ดังกลา ว

รปู ท่ี Ex 5-7a

ภายใตก ารกระทาํ โดยแรงบิด T ปลายอิสระ B ของเพลาจะเกิดมมุ บิดขน้ึ เปนมมุ φ ทม่ี ีขนาดนอยมาก ดังท่ี
แสดงในรปู ท่ี Ex 5-7b

เมื่อกําหนดใหเพลาตันรับแรงบดิ T1 และเพลากลวงรบั แรงบดิ T2 แลว เราจะเขยี นแผนภาพ free-body
diagram ของเพลาทงั้ สองได ดังที่แสดงในรูปที่ Ex 5-7c และ Ex 5-7d ตามลาํ ดบั ดังน้ัน จากสมการความสมดลุ เราจะได
วา

T = T1 + T2

เนอื่ งจากเพลาทัง้ สองถูกเชื่อมตอกนั อยา งแข็งแกรง ทปี่ ลาย B ดงั นั้น มุมบดิ ท่เี กดิ ขึ้นที่จดุ B จะตอ งมีคา เทากัน

และเราจะเขียนสมการ compatibility ของเพลาไดเปน

φ = φ1 = φ2

โดยที่ φ1 = T1L และ φ2 = T2 L
G1 J 1 G2 J 2

จากนนั้ เม่อื เราให φ1 = φ2 แลว เราจะหาคา ของแรงบดิ T1 ได และเมอื่ เราแทนคา T1 ลงในสมการความสมดลุ

แลว เราจะสามารถหาคา ของแรงบิด T2 โดยท่ี

T1 = T  G1 G1 J1 J 
 J1 + G2 
 2 

T2 = T  G1 G2 J2 J  Ans.
 J1 + G2 
 2 

Mechanics of Materials 5-24

แบบฝก หดั ทา ยบทที่ 5
5-1 แทง เหลก็ ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 5-1 มเี สนผา ศูนยกลาง 12.5 mm และมีนา้ํ หนัก 75 kg/m จงหาคา หนว ยแรง

เฉือนสูงสุดท่จี ุด A และคา มุมบดิ ทจี่ ดุ B

รูปที่ Prob. 5-1
5-2 เพลาตันเสนผาศนู ยกลาง 19 mm ถูกกระทําโดยแรงบิด ดังทแ่ี สดงในรูปที่ Prob. 5-2 กําหนดให bearing ทจ่ี ุด A
และจุด F ไมม ีความฝด จงหาคาหนว ยแรงเฉือนสงู สุดและมมุ บิดสงู สุดทีเ่ กิดขึ้นในเพลา

รปู ท่ี Prob. 5-2
5-3 กาํ หนดใหเ พลาถกู กระทําโดยแรงบิด ดังทแี่ สดงในรูปที่ Prob. 5-3 จงหาคา หนว ยแรงเฉอื นสงู สดุ เขยี นแผนภาพการ
กระจายของหนว ยแรงเฉือนทีจ่ ดุ ดงั กลา ว และคา ระยะทจ่ี ดุ A เปล่ยี นตาํ แหนง

รปู ท่ี Prob. 5-3
5-4 เพลาเหล็กกลวงมีเสนผา ศูนยก ลางภายนอก 62 mm ใชในการถา ยแรงจากเครอื่ งยนตขนาด 35 แรงมา ซึ่งหมุน 2700
รอบตอ นาที จงหาขนาดเสน ผาศูนยก ลางภายใน d ของเพลาถาหนวยแรงเฉือนทีย่ อมให τ allow = 70 MPa
5-5 เพลารถยนตท าํ ดวยเหล็กกลวงมีเสน ผา ศูนยกลางภายนอก 62 mm ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ Prob. 5-5 ใชในการถา ยแรง
จากเครื่องยนตข นาด 150 แรงมา ซง่ึ หมนุ 1500 รอบตอ นาที จงหาขนาดเสน ผาศนู ยกลางภายใน d ของเพลาถา หนว ย
แรงเฉือนท่ยี อมให τ allow = 70 MPa (5-33)

Mechanics of Materials 5-25

รปู ท่ี Prob. 5-5

5-6 มอเตอร ดังท่แี สดงในรูปท่ี Prob. 5-6 มกี ําลัง 150 kW ถายกาํ ลังไปยังเกียร C 70% และเกยี ร D 30% ถา เพลาทาํ
ดวยเหลก็ มีเสน ผา ศูนยก ลาง 100 mm หมุนดวยความเรว็ เชงิ มมุ ω = 1000 รอบตอนาที จงหาคาหนว ยแรงเฉือนสูงสดุ
ทเ่ี กิดขึน้ ในเพลาและมมุ บดิ ทจี่ ดุ E เทียบกับจดุ B เมือ่ bearing ท่จี ุด E ไมม คี วามฝด

รูปที่ Prob. 5-6
5-7 ชน้ิ สว นของเคร่ืองจักรกลประกอบดว ยแทง เหล็กตนั AB เชอ่ื มตอโดยแผน เหล็กเขากับทอเหล็กกลวง BC ท่จี ุด B
ดังท่แี สดงในรปู ที่ Prob. 5-7 กาํ หนดใหแ ทงเหล็กตนั AB มเี สน ผาศนู ยก ลาง 25 mm และทอ เหล็กกลวง BC มเี สนผา
ศูนยก ลางภายใน 30 mm และหนา 3 mm จงหาหนวยแรงเฉือนสงู สดุ ที่เกิดขึ้นในแตละชน้ิ สวนและมมุ บดิ ท่ีจุด C

รปู ท่ี Prob. 5-7
5-8 เพลาเหลก็ AC ยาว 0.40 m มเี สน ผา กลางศูนย 28.0 mm และเพลาเหล็ก BC ยาว 0.60 m มีเสนผา กลาง
ศนู ย 37.5 mm ถูกเช่ือมตอกันทจ่ี ุด C ถกู รองรบั อยา งยดึ แนน ทีป่ ลาย A และ B และถกู กระทําโดยแรงคคู วบ ดังท่ี
แสดงในรูปที่ Prob. 5-8 จงหาหนวยแรงเฉือนสูงสดุ ที่เกิดข้ึนและมุมบดิ ท่ีจุด C เมอ่ื Gst = 70 GPa (5-73)

Mechanics of Materials 5-26

รปู ที่ Prob. 5-8
5-9 เพลา ABC ถกู รองรบั อยางยึดแนนทป่ี ลาย A มีสว น AB เปน เหล็กตันและสว น BC เปนเหล็กกลวงทีม่ แี ทงทอง
เหลอื งตันฝงอยภู ายใน ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ Prob. 5-9 ถา ปลาย C ของเพลาถูกกระทาํ โดยแรงบิด T = 60 N - m จงหา
มุมบดิ ที่เกดิ ขึ้นท่ีปลาย C และหนว ยแรงเฉอื นและความเครยี ดเฉือนสูงสุดท่เี กดิ ขึ้นในเหล็กและทองเหลือง เม่อื เหลก็ และ
ทองเหลืองมี Gst = 80 GPa และ Ebr = 40 GPa (5-79)

รปู ที่ Prob. 5-9
5-10 เพลาเหลก็ ACE ยาว 0.75 m และเพลาเหล็ก BDF ยาว 0.60 m มีเสน ผา กลางศนู ย 37.5 mm ถกู ยดึ แนน
ท่ีปลาย A และ B ตามลําดบั และถูกเชื่อมตอ โดยเกยี ร E และ F ดังที่แสดงในรปู ท่ี Prob. 5-10 กําหนดให bearing
ทีจ่ ุด C และ D ไมม ีความฝดและเกียร E ถกู กระทําโดยแรงบิด 1800 N - m จงหาหนวยแรงเฉอื นสงู สดุ ทีเ่ กดิ ขน้ึ ใน
เพลา

รูปที่ Prob. 5-10

Mechanics of Materials 6-1

บทท่ี 6

การดัด (Bending)

เรยี บเรยี งโดย ดร. สิทธิชยั แสงอาทติ ย

6.1 แผนภาพแรงเฉือนและโมเมนตด ดั (Shear and Moment Diagrams)

คาน (beam) เปนองคอาคารของโครงสรา งที่มลี กั ษณะตรง วางอยใู นแนวนอน และถกู กระทาํ โดยแรงตามขวาง

(transverse loads) คานมกั จะถูกเรียกตามลักษณะที่คานถกู รองรบั ดังที่แสดงในรูปท่ี 6-1

- คานชวงเดี่ยวท่ีถูกรองรับโดยหมุด (pin) และลอเล่ือน (roller) จะถูกเรียกวา คานชวงเดี่ยวรองรับแบบ

ธรรมดา (simply-supported beam) ดงั ที่แสดงในรปู ที่ 6-1a

- คานท่ีถูกรองรับแบบยึดแนนที่ปลายดานหน่ึงและปลายอีกดานหน่ึงเปนอิสระจะถูกเรียกวา คานย่ืน

(cantilevered beam) ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี 6-1b

- คานชว งเดย่ี วรองรับแบบธรรมดาทมี่ ปี ลายยืน่ จะถูกเรยี กวา overhanging beam ดังท่แี สดงในรปู ท่ี 6-1c

ภายใตการกระทําของแรง คานจะตานทานตอแรงดังกลาวโดยแรงเฉือนภายใน (internal shear force) V และ

โมเมนตดัดภายใน (internal bending moment) M โดยท่ีแรงเฉือนและโมเมนตดัดดังกลาวมักจะมีคาเปลี่ยนแปลงไป

ตามแนวแกนของคาน

รปู ท่ี 6-1

ในการออกแบบคาน เราจะตองทราบคาแรงเฉือนสูงสุดและโมเมนตดัดสูงสุดท่ีเกิดขึ้นภายในคานและตําแหนงที่
เกิด ซ่งึ จะทาํ ไดโดยการเขียนแผนภาพ shear diagram และ bending moment diagram

โดยทั่วไปแลว เม่ือคานถูกกระทําโดยแรงกระทําเปนจุด (concentrated loads) หรือโมเมนต (moment) หรือเมื่อ
คาของแรงแผกระจาย (distributed loads) มีการเปลี่ยนแปลงอยางทันทีทันใดท่ีจุดใดจุดหน่ึงบนคานแลว สมการของแรง
เฉือนและโมเมนตดัด และ/หรือสมการของความชัน (slope) ของแรงเฉือนและโมเมนตดัดจะไมมีความตอเนื่องท่ีจุด
ดังกลาว ในกรณีเชนน้ี สมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดจะตองหามาจากแตละชวงของคานท่ีอยูระหวางความไม
ตอ เนือ่ งของแรงและโมเมนตที่กระทาํ ตอคาน ดังท่ีแสดงในรปู ที่ 6-2a

Mechanics of Materials 6-2

จากรูป เราจะเห็นไดวา เน่ืองจากความไมตอเน่ืองของแรงและโมเมนตท่ีกระทําตอคาน คานดังกลาวจะถูกแบง

ออกไดเ ปน 3 ชว งคือ

1. ชว ง AB มพี ิกัด (coordinate) เปน x1
2. ชว ง BC มพี กิ ดั เปน x2
3. ชว ง CD มีพกิ ัดเปน x3
โดยท่ีพิกัด x1 x2 และ x3 อาจจะมีจุดเร่ิมตนท่ี A เพียงจุดเดียว ดังที่แสดงในรูปท่ี 6-2a หรืออาจจะมีจุดเริ่มตนท่ีจุดท่ี
ตางกัน เชน จุด A จุด B และจุด D ดังท่ีแสดงในรูปที่ 6-2b ก็ได แตถาเราสังเกตใหดีแลว เราจะเห็นไดวา ในกรณีน้ี

พิกัดแบบทีส่ องจะชวยใหเ ราหาสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดไดง า ยกวา ในกรณที ่ีเราใชพกิ ดั แบบแรก

รูปที่ 6-2
Beam Sign Convention

รูปท่ี 6-3 แสดง sign convention ทม่ี คี า เปน บวกของแรงกระทําภายนอก w แรงเฉือน V และโมเมนตด ดั M
จากรปู แรงกระทําภายนอกจะมีคา บวก เมื่อแรงกระทาํ ภายนอกมที ิศทางชีล้ งขางลาง แรงเฉอื นจะมคี า บวก เมอ่ื แรงเฉือน
กระทาํ กับช้นิ สว นเล็กๆ ของคานในทศิ ทางตามเขม็ นาฬิกา และโมเมนตด ัดจะมคี า เปน บวก เมอ่ื โมเมนตด ดั น้นั ทาํ ใหช ้ินสว น
เลก็ ๆ ของคานเกดิ การแอน หงายข้นึ
Procedure for Analysis

1. เขยี นแผนภาพ free-body diagram ของคานและใชสมการความสมดุล (equilibrium equations) หาคาแรง
ปฏิกรยิ าท่เี กดิ ขน้ึ ทจี่ ดุ รองรับ (support reactions)

2. เลือกตําแหนงของพิกัด x โดยใหพิกัดแตละคาอยูในชวงที่อยูระหวางแรงกระทําเปนจุด, แรงคูควบ
(couples), และแรงแผกระจาย โดยจุดเร่ิมตน ของพิกดั x นจ้ี ะอยทู จี่ ดุ ใดก็ไดขึ้นอยกู บั ความเหมาะสม

3. ตัดคานออกที่ตําแหนง x ใดๆ โดยใหหนาตัดของคานต้ังฉากกับแนวแกนของคาน แลวเขียนแผนภาพ free
body diagram ทหี่ นา ตดั ของคานดังกลาว โดยใช sign convention ที่ไดก ลาวถงึ ไปแลว

Mechanics of Materials 6-3

4. ใชสมการความสมดุลหาสมการของแรงเฉือนและโมเมนตท่ีเกิดขึ้นภายในคานและตรวจสอบความถูกตอง
ของสมการท่ีไดโ ดยใชส มการ V (x) = dM / dx และ w(x) = −dV / dx ท่ีจะกลา วถึงตอ ไป

5. เขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram โดยใหแกน x เปนแกนนอนและคาของ V (x)
และ M (x) เปนแกนต้งั

รปู ที่ 6-3

Mechanics of Materials 6-4

ตวั อยา งที่ 6-1
จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดังท่ีแสดงในรปู ที่ Ex 6-1a

รูปท่ี Ex 6-1

หาแรงปฎิกรยิ า
โดยใชแ ผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะหาแรงปฎิกริยาท่ีเกิดข้ึนท่ีจุดรองรับ

ของคานได ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ 6-1d
Functions ของแรงเฉือนและโมเมนตด ัด

ในการหา functions ของแรงเฉือนและโมเมนตดัดในกรณีน้ี เราจะตองแบงคานออกเปน 2 ชวง เน่ืองจากคานมี
ความไมต อเนือ่ งท่จี ดุ ท่แี รงกระทาํ

0≤ x<a

ทาํ การตัดคานทร่ี ะยะ x จากจุดรองรบั A ในชว ง AB ของคาน

ทาํ การเขียนแผนภาพ free-body diagram ของสวนดงั กลาวของคาน โดยใช sign convention ของแรงเฉือนและ

โมเมนตด ดั ทม่ี ีคา เปน บวก ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 6-1b

จากสมการความสมดลุ

↑+ ∑ Fy = 0; V = Pb
+ ∑ M = 0; L

M = Pb x
L

Mechanics of Materials 6-5

a<x≤L

ทาํ การตดั คานท่รี ะยะ x จากจดุ รองรับ A ในชว ง BC ของคาน

ทําการเขียนแผนภาพ free-body diagram ของสวนดงั กลาวของคาน โดยใช sign convention ของแรงเฉือนและ

โมเมนตดดั ที่มีคา เปนบวก ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี 6-1c

จากสมการความสมดุล

↑+ ∑ Fy = 0; V = Pb − P = − Pa
L L

+ ∑ M = 0; M = Pb x − P(x − a) = Pa (L − x)
L L

เม่ือนําสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดท่ีไดมา plot เทียบกับระยะ x เราจะไดแผนภาพ shear diagram

และ moment diagram ของคาน ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 6-1d Ans.

จากแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน เราจะไดว า

ในกรณีที่ b > a คา แรงเฉอื นสูงสดุ จะเกดิ ข้นึ ในชวง AB และจะหาไดจากสมการ

Vmax = Pb
L

คาสงู สดุ ของโมเมนตด ดั เกิดขึ้นทีจ่ ุดทแ่ี รงกระทําหรือจดุ B และจะหาไดจากสมการ

M max = Pab
L

Mechanics of Materials 6-6

ตัวอยา งท่ี 6-2
จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดังท่ีแสดงในรูปที่ Ex 6-2a

รปู ท่ี Ex 6-2

หาแรงปฎิกริยา

โดยใชแ ผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะหาแรงปฎิกริยาที่เกิดข้ึนที่จุดรองรับ

ของคานได ดังท่แี สดงในรูปที่ 6-2c

เน่ืองจากคานและแรงกระทํามีความสมมาตร ดงั น้นั แรงปฎกิ รยิ าทเ่ี กิดขึน้ ทีจ่ ุดรองรบั ทงั้ สองจะมคี าเทา กัน

Functions ของแรงเฉือนและโมเมนตด ดั

ในการหา functions ของแรงเฉือนและโมเมนตดัดในกรณีน้ี เราจะพิจารณาคานเพียงชวงเดียว เน่ืองจากแรง

กระทาํ มคี วามตอเนือ่ งตลอดความยาวคาน

ทําการตัดคานทร่ี ะยะ x จากจดุ รองรับ A

ทําการเขียนแผนภาพ free-body diagram ของสว นดงั กลา วของคาน โดยใช sign convention ของแรงเฉือนและ

โมเมนตดัดที่มีคาเปนบวก ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี 6-1b

จากสมการความสมดุล

↑+ ∑ Fy = 0; V = wL − wx
2

+ ∑ M = 0; M = wL x− wx 2
2 2

เมื่อนําสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดท่ีไดมา plot เทียบกับระยะ x เราจะไดแผนภาพ shear diagram

และ moment diagram ของคาน ดังทแี่ สดงในรปู ที่ 6-1c Ans.

จากแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน เราจะไดว า

คา แรงเฉือนสงู สุดจะเกิดขึน้ ที่จดุ รองรบั และจะหาไดจากสมการ

Vmax = WL
2

Mechanics of Materials 6-7

จากแผนภาพ คาสูงสุดของโมเมนตดัดเกิดขึ้นท่ีจุดท่ีแรงเฉือนมีคาเทากับศูนย โดยมีระยะจากจุดรองรับ A

เทากบั

V = wL − wx = 0
2

x = L
2

ดังนนั้ คา สูงสุดของโมเมนตดดั จะหาไดจ ากสมการ

wL L w  L  2 wL2
2 2 2  2  8
M max = − =

Mechanics of Materials 6-8

ตัวอยา งที่ 6-3
จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดังที่แสดงในรปู ท่ี Ex 6-3a

รูปท่ี Ex 6-3

หาแรงปฎิกริยา
โดยใชแผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะหาแรงปฎิกริยาที่เกิดข้ึนที่จุดรองรับ

ของคานได ดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี 6-3d
Functions ของแรงเฉือนและโมเมนตด ดั

ในการหา functions ของแรงเฉือนและโมเมนตดัดในกรณีน้ี เราจะตองแบงคานออกเปน 2 ชวง เน่ืองจากคานมี
ความไมต อ เน่ืองท่ีจดุ ทโี่ มเมนตดดั กระทาํ

0≤ x<a

ทาํ การตัดคานทร่ี ะยะ x จากจุดรองรบั A ในชว ง AB ของคาน

ทําการเขียนแผนภาพ free-body diagram ของสวนดังกลา วของคาน โดยใช sign convention ของแรงเฉือนและ

โมเมนตดัดทมี่ ีคาเปน บวก ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ 6-3b

จากสมการความสมดลุ

↑+ ∑ Fy = 0; V = − Mo
+ ∑ M = 0; L

M = − Mo x
L

Mechanics of Materials 6-9

a<x≤L

ทาํ การตดั คานทร่ี ะยะ x จากจุดรองรับ A ในชว ง BC ของคาน

ทาํ การเขยี นแผนภาพ free-body diagram ของสว นดังกลาวของคาน โดยใช sign convention ของแรงเฉือนและ

โมเมนตด ดั ทม่ี คี าเปน บวก ดังท่แี สดงในรปู ที่ 6-3c

จากสมการความสมดุล

↑+ ∑ Fy = 0; V = − Mo
L

+ ∑ M = 0; M = Mo − Mo x = M o 1 − x
L L 

เม่ือนําสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดท่ีไดมา plot เทียบกับระยะ x เราจะไดแผนภาพ shear diagram

และ moment diagram ของคาน ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ 6-3d Ans.

จากแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน เราจะไดว า

คา แรงเฉอื นสูงสุดจะเกิดขึ้นในคานมีคาเทา กนั ตลอดคาน และจะหาไดจากสมการ

Vmax = − Mo
L

คาสงู สดุ ของโมเมนตดัดเกดิ ข้นึ ท่ขี นึ้ อยูก ับระยะของ a และ b ถา b > a แลว โมเมนตดัดสูงสุดจะเกิดขึ้นที่จุดท่ี

โมเมนต M o กระทาํ และจะหาไดจ ากสมการ

M max = M ob
L

Mechanics of Materials 6-10

ตวั อยางที่ 6-4
จงหาฟง กช นั ของแรงเฉอื นและโมเมนตด ัดและเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

ดังทแี่ สดงในรปู ที่ Ex 6-4a กาํ หนดให w0 = 10 kN/m และ P = 2 kN

(a)
รปู ท่ี Ex 6-4

หาแรงปฏกิ ริยาทจ่ี ดุ รองรับ A และ C

+ ∑ M C = 0; RA (5) + 2(2) − 0.5(3)10(2 + 3 / 3) = 0

↑+ ∑ Fy = 0; RA = 8.2 kN
RA + RC − 0.5(3)10 = 0

RC = 8.8 kN

Functions ของแรงเฉือนและโมเมนตดัด

0 ≤ x1 ≤ 3 m;

จากแผนภาพ free-body diagram ของคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี Ex 6-4b และโดยการใชสามเหล่ียมคลาย เราจะ

หาคา ของ w(x1 ) ได โดยท่ี w(x1 ) = 10 x1 ดังนั้น จากสมการความสมดลุ เราจะไดว า
3

V (x1 ) = 8.2 − 0.5( x1 ) 10 x1 = 8.2 − 5 x12 kN
3 3

M (x1 ) = 8.2 x1 − 0.5( x1 ) 10 x1 ( x1 ) = 8.2x1 − 5 x13 kN - m
3 3 9

(b)

3 m ≤ x2 ≤ 5 m;

จากแผนภาพ free-body diagram ของคาน ดังที่แสดงในรูปที่ Ex 6-4c ระยะหางระหวางจุด B และรอยตัดมี
คา เทากับ x2 − 3 m ดังนั้น จากสมการความสมดุล เราจะไดวา

Mechanics of Materials 6-11

V (x2 ) = 8.2 − 0.5(3)10 = −8.8 kN

M (x2 ) = 8.2x2 − 0.5(3)10( 3 + (x2 − 3)) = −6.8x2 + 30 kN - m
3

(c)

0 ≤ x3 ≤ 2 m;

จากแผนภาพ free-body diagram ของคาน ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี Ex 6-4c และสมการความสมดลุ เราจะไดวา

V (x3 ) = 2 kN
M (x3 ) = −2x3 kN - m

(d)

จากสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดท่ีหาได เราจะเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram

ของคานไดด ังท่ีแสดงในรูปที่ Ex6-4e Ans.

(e)

Mechanics of Materials 6-12

ตําแหนงทีเ่ กิดโมเมนตด ดั สูงสดุ และคาโมเมนตดดั สงู สุดจะหาไดดงั น้ี

จากสมการของ V (x1) เราจะสามาหาระยะ x1 ซ่ึงทําให V (x1) จะมีคาเปนศูนยจากการแทนคา

V (x1) = 0 ลงในสมการของ V (x1) ดงั นั้น

0 = 8.2 − 5 x12 ⇒ x1 = 2.218 m
3

ดังนน้ั คาสูงสุดของโมเมนตด ัดทเี่ กดิ ขึ้นในคานจะมีคา เทากบั

M ( x1 = 2.218 m) = 8.2(2.218) − 5 (2.218)3 = 12.126 kN - m
9

Mechanics of Materials 6-13

6.2 การเขียนแผนภาพแรงเฉอื นและโมเมนตด ดั โดยวธิ กี ราฟฟค (Graphical Method for Constructing Shear and
Moment Diagram)

วิธกี ารทางกราฟก (graphical method) จะชวยใหก ารเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
ของคานมีความงายข้ึน โดยเฉพาะในกรณที ี่คานถกู กระทาํ โดยแรงกระทําเปน จุด (concentrated loads) แรงคูควบ
(couples) และแรงแผกระจาย (distributed loads) หลายๆ คา ในเวลาเดียวกัน
ชว งทค่ี านถกู กระทาํ โดย Distributed Load

รปู ท่ี 6-4

พิจารณาคานและแผนภาพ free body diagram ของสวนของคานที่มีขนาดความยาวนอยมาก ∆x ซ่ึงตัด

ออกมาท่รี ะยะ x และ x + ∆x จากจดุ รองรบั ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 6-4a และ 6-4b ตามลําดับ

จาก sign convention กําหนดใหทิศทางของแรงและ couples มีคาเปนบวก และแรงลัพธท่ีเกิดจากแรงแผ

กระจาย w(x) มีคา เทากับ w(x)∆x และกระทาํ ทรี่ ะยะ k ∆x จากจดุ O เม่ือ 0 < k < 1

โดยใชสมการความสมดลุ เราจะไดวา

+↑ ∑ Fy = 0 ; V − w(x)∆x − (V + ∆V ) = 0

∆V = −w(x)∆x

Mechanics of Materials 6-14

เมอื่ หารสมการขางตน ดวย ∆x และใส limit โดยให ∆x → 0 แลว เราจะไดว า

dV = − w( x) (6-1)
dx

(ความชันของ shear diagram ที่จดุ ใดๆ = คาลบของแรงกระจายทจ่ี ดุ นั้น)

+∑Mo = 0; − V∆x − M + w(x)∆x[k∆x] + (M + ∆M ) = 0

∆M = V∆x − w(x)k(∆x)2

ทําการตดั เทอมท่ีมี high order ออก แลวหารสมการขางตน ดว ย ∆x และใส limit โดยให ∆x → 0 เราจะไดว า

dM =V (6-2)
dx

(ความชนั ของ moment diagram ท่จี ดุ ใดๆ = คาแรงเฉอื นทีจ่ ุดน้นั )

เราจะเห็นความหมายของสมการที่ 6-1 และ 6-2 ไดชัดเจนข้ึน ถาเราทําการวิเคราะหรูปท่ี 6-5 จากสมการที่ 6-2

เราจะเห็นวา เม่ือ V = 0 แลว dM / dx = 0 ซ่ึงหมายความวา จุดที่มีแรงเฉือนเทากับศูนยจะเปนจุดที่โมเมนตมี

คาสูงสุดหรือตํ่าสุด โดยที่เม่ือคาของแรงเฉือนเปล่ียนจากคาบวกเปนคาลบ ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 6-5 แลว คาโมเมนตจะเปน

คาสงู สดุ และเม่อื คาของแรงเฉอื นเปลย่ี นจากคา ลบเปน คา บวกแลว คาโมเมนตจะเปน คา ต่ําสุด

เมื่อเขียนสมการท่ี 6-1 และ 6-2 ใหมใ หอ ยูในรูป dV = −w(x)dx และ M = Vdx แลว สมการทง้ั สองจะเปน

พืน้ ทขี่ นาดเลก็ ๆ ภายใตแ รงแผกระจายและ shear diagram ตามลาํ ดบั เมื่อทาํ การ integrate สมการท้ังสองน้ีระหวางจุดที่

แรงกระทาํ เปนจดุ หรือแรงคูควบกระทาํ อยางเชน จดุ A และจดุ B แลว เราจะไดว า

รูปท่ี 6-5

Mechanics of Materials 6-15

∆V = −∫ w(x) dx (6-3)

(การเปลี่ยนแปลงของแรงเฉือน = คาลบของพน้ื ท่ภี ายใต distributed load)

∆M = ∫V (x) dx (6-4)

(การเปลีย่ นแปลงของ moment = พน้ื ท่ภี ายใต shear diagram)

เราจะเห็นความหมายของสมการท่ี 6-3 และ 6-4 ไดชัดเจนข้ึน ถาเราทําการวิเคราะหรูปท่ี 6-5 นอกจากนั้นแลว

เราจะเห็นไดวา สมการของแรงเฉือน V (x) จะมีกําลังของตัวแปร x มากกวาสมการแรงแผกระจาย w(x) หน่ึงคาและ

สมการของโมเมนต M(x) จะมกี าํ ลังของตัวแปร x มากกวาสมการของแรงเฉือน V (x) หน่ึงคา ยกตัวอยางเชน ถาแรง

แบบกระจายมีคา เปนคา คงท่ี w แลว V (x) = −wx + C1 และ M (x) = −w x2 + C1x + C2 เปนตน
2

ชวงที่คานถกู กระทาํ โดยแรงกระทําเปน จดุ และแรงคคู วบ

เราจะไมสามารถใชสมการของ ∆V และ ∆M ท่ีหามาไดขางตนตรงจุดท่ีแรงกระทําเปนจุด (concentrated

forces) และแรงคูควบกระทํา (couples) กระทํา เน่ืองจากวาสมการของ ∆V และ ∆M ดังกลาวไมไดรวมถึงการ

เปลย่ี นแปลงอยางไมตอ เนอ่ื งของคา ของแรงเฉือนและโมเมนตท ่ีจดุ ท่แี รงดงั กลาวกระทํา

รูปที่ 6-6

พิจารณาแผนภาพ free body diagrams ของสวนของคานท่ีมีความยาวนอยมาก ∆x ซึ่งตัดออกมาท่ีจุดท่ีแรง

กระทําเปนจุดและแรงคูค วบกระทํา ดังท่ีแสดงในรูปที่ 6-6 โดยใชส มการความสมดุลของแรง การเปล่ยี นแปลงของแรงเฉือน

∆V จะอยูในรูป

+↑ ∑ Fy = 0; V − F − (V + ∆V ) = 0
∆V = −F
(6-5)

ซง่ึ หมายความวา เมอื่ แรงกระทําเปนจดุ F มที ิศทางพุงเขาหาคานแลว คา ∆V จะมีคา เปนลบ (-) และ shear diagram

จะมีคา ลดลงเทากบั คาแรง F ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ 6-5b

โดยใชส มการความสมดลุ ของโมเมนตร อบจดุ O การเปลยี่ นแปลงของโมเมนต ∆M จะอยใู นรปู

+ ∑ M o = 0; (M + ∆M ) − M ′ − V∆x − M = 0 (6-6)
∆M = M ′
ถา ∆x → 0 ,

ซ่งึ หมายความวา เมอื่ แรงคูค วบ M ′ มีทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าแลว คา ∆M จะมคี าเปน บวกและ moment diagram จะมี

คา เพม่ิ ข้ึนเทากบั คา M ′ ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 6-5c

Mechanics of Materials 6-16

ตวั อยางท่ี 6-5
จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ACB ซึ่งถูกกระทําโดยนํ้าหนักบรรทุก

กระจายสมาํ่ เสมอ (Uniformly distributed load) w ดังท่แี สดงในรปู ท่ี Ex 6-5a

(a)
รปู ที่ Ex 6-5

จากตวั อยางท่ี 6-3 เราไดส มการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดภายในที่เกิดขนึ้ ที่หนาตดั x อยใู นรปู

V (x) = wL − wx
2

M (x) = wL x − wx 2
2 2

จากสมการของแรงเฉอื น V (x) และโมเมนตดดั M (x) ดังกลา ว เราจะเหน็ ไดวา

dV (x) = d ( wL − wx) = −w
dx dx 2

dM (x) = d ( wL x − wx 2 ) = wL − wx = V (x)
dx dx 2 2 2

ซง่ึ สอดคลองกบั สมการท่ี (6-1) และ (6-2)

รูปท่ี Ex 6-5b แสดงแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน จากแผนภาพ เราจะเห็นไดวา

แรงเฉือนมีคา เทา กับศนู ยท ่รี ะยะ x = L / 2 โดยที่ shear diagram เปลีย่ นคา จากบวกเปน ลบท่ีจุดดังกลาว ดังนั้น จุดนี้จะ

เปนจดุ ท่คี า โมเมนตส ูงสดุ

จาก shear diagram การเปลี่ยนแปลงของแรงเฉือนระหวางจุด A ไปยงั จุด C มคี าเทา กบั

∆VC − A = 0− wL = − wL
2 2

ซ่ึงมคี า เทา กบั คา ลบของพ้นื ทภ่ี ายใตแ รงกระจายในชว ง จุด A ถึงจดุ C ดังทแ่ี สดงในสมการที่ (6-3)

=∫∆VC − A L/2 = −wx L/2 = −( wL − 0) = − wL
0 2 2
− wdx

0

จาก moment diagram การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตร ะหวางจุด A ไปยังจดุ C มคี า เทา กบั

∆M C− A = wL2 −0 = wL2
8 8

Mechanics of Materials 6-17

ซง่ึ มคี าเทากบั คาของพนื้ ทีภ่ ายใต shear diagram ในชว ง จุด A ถงึ จดุ C ดังท่แี สดงในสมการท่ี (6-4) ซง่ึ มคี า เทา กับ

L / 2 ( wL wL wx 2 ]0L / 2 wL2 wL2
02 2 2 8 8
=∫∆M C−A − wx)dx = [ x− = −0 =

ดังนนั้ เราจะเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคานไดดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี Ex6-5b Ans.

(b)

Mechanics of Materials 6-18

ตัวอยางท่ี 6-6

จงเขียน shear diagram และ moment diagram ของคานย่ืน ซึ่งถูกกระทําโดยนํ้าหนักบรรทุกแบบกระจายเชิง

เสน (linearly distributed load) ดังท่แี สดงในรูปที่ Ex 6-6a

จากรปู ท่ี Ex 6-6a สมการของนํา้ หนักบรรทุกท่รี ะยะ x หรอื w(x) จะหามาไดโ ดยใชส ามเหลย่ี มคลาย

10 kN = w( x)
4m 4−x

w(x) = 10 − 2.5x

(a)
รปู ท่ี Ex 6-6

จาก free body diagram ของสวนตัดของคานทีร่ ะยะ x เราจะหาสมการของแรงเฉอื นและโมเมนตด ัดไดดังน้ี

+↑ ∑ Fy = 0; − V (x) − 1 [10 − (10 − 2.5x)]x − (10 − 2.5 x) x = 0
2

V (x) = 5 x2 − 10 x kN
4

+ ∑ M = 0; M ( x) + 1 [10 − (10 − 2.5x)]x( 2 x) + (10 − 2.5 x) x( x ) = 0
2 3 2

M (x) = 5 x3 − 5x2 kN - m
12

เราสามารถตรวจสอบความถูกตอ งของสมการของแรงเฉือนและโมเมนตด ัดที่ได โดยใชสมการท่ี (6-1) และ (6-2)

V (x) = dM = d [ 5 x3 − 5x2 ] = 5 x2 − 10 x
dx dx 12 4

w( x) = − dV = − d [ 5 x 2 −10x] = −(2.5x −10) = 10 − 2.5x
dx dx 4

และเราจะเขียน shear diagram และ moment diagram ของคานได ดังท่แี สดงในรูปท่ี Ex 6-6b

จาก shear diagram การเปลีย่ นแปลงของแรงเฉอื นระหวางจุด A ไปยงั จดุ B

∆VC−A = 20 kN

ซ่ึงมีคา เทา กบั คา ลบของพน้ื ท่ีภายใตแรงกระจายในชว งจุด A ถงึ จุด B ดงั ทีแ่ สดงในสมการท่ี (6-3)