4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 6-19

L 4 = − (10x −1.25x 2 ) 4 −20 kN
0
− wdx − (10 − 2.5x)dx
=∫ ∫∆VC−A = =

00

จาก moment diagram การเปลยี่ นแปลงของโมเมนตร ะหวางจดุ A ไปยงั จุด B

∆M C−A = −53.33 kN - m

ซงึ่ มีคา เทา กับคาของพ้ืนท่ภี ายใต shear diagram ในชว ง จดุ A ถึงจดุ C ดังทแี่ สดงในสมการท่ี (6-4) ซ่งึ มคี าเทากับ

∫∆M C−A=L ( 5 x2 − 10 x)dx = [152 x3 − 5x 2 ]04 = −53.33 kN - m
0 4

ดังน้นั เราจะเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคานไดด งั ท่แี สดงในรปู ท่ี Ex6-6b Ans.

(b)

Mechanics of Materials 6-20

ตวั อยา งที่ 6-7
จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดังท่ีแสดงในรูปที่ Ex 6-7a

รปู ที่ Ex 6-7

โดยใชแ ผนภาพ free-body diagram ของคานและสมการความสมดุล เราจะหาแรงปฎิกริยาท่ีเกิดข้ึนท่ีจุดรองรับ
ของคานได ดังท่แี สดงในรูปท่ี Ex 6-7a

ตาม sign convention ทเี่ ราใช ในการเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram โดยวิธีกราฟก เรา
จะตองเรมิ่ ตน การเขียนแผนภาพจากทางซายมือของคานไปยงั ปลายทางดานขวามือของคาน
Shear diagram

จากรูปท่ี Ex 6-7a และ slope ที่จุดใดๆ ของแผนภาพ shear diagram มีคาเทากับคาลบของแรงกระจายที่จุดนั้น
และคาท่ีเปลีย่ นแปลงไปของแรงเฉือนระหวา งจดุ สองจุดมีคา เทากับคา ลบของพื้นท่ใี ตแ รงกระจายระหวางจดุ สองจุดน้ัน เรา
จะไดว า

ชวง CA ของคาน
slope ของแผนภาพ shear diagram ที่จุด C จะมีคาเทากับศูนยและ slope ของแผนภาพ shear diagram ท่ี
จุด A จะมีคาเทากับ -90 เน่ืองจากแรงแบบกระจายมีคาเทากับศูนยท่ีจุด C และ 90 kN/m ที่จุด A และคาของแรง
เฉอื นที่เกิดขึน้ ทางดา นซา ยมือของจุด A จะมคี า เทา กับ

∫VAL − VC = − wdx

V AL = − 1 (2 m)(90 kN/m) − 0 = −45 kN
2

Mechanics of Materials 6-21

ชวง AD ของคาน
แรงปฎกิ รยิ าในแนวด่ิงทีจ่ ุด A มีคาเทากับ 165 kN ดังน้ัน คาของแรงเฉือนที่เกิดขึ้นทางดานขวามือจุด A จะ

มีคา เทากับ

VAR − (−90) = 165

VAR = 165 − 90 = 75 kN

เน่ืองจากคานในชวง AD น้ี ไมถูกกระทําโดยแรงแบบกระจาย ดังนั้น slope ของแผนภาพ shear diagram
ในชว งน้จี ะมีคาเทากับศนู ยห รือแรงเฉอื นมีคา คงทใี่ นชว งนแ้ี ละจะมคี า เทา กับ 75 kN

ชวง DB ของคาน
ท่ีจุด D คานถูกกระทําโดยองคประกอบในแนวด่ิงของแรง 200 kN ซึ่งมีคาเทากับ 160 kN ดังน้ัน คาของ
แรงเฉอื นทเี่ กดิ ขึ้นทางดานขวามอื จุด D จะมีคาเทา กับ

VDR − VDL = VDR − 75 = −160

VDR = −85 kN

เน่ืองจากคานในชวง DB นี้ ไมถูกกระทําโดยแรงแบบกระจาย ดังน้ัน slope ของแผนภาพ shear diagram
ในชว งนจ้ี ะมีคาเทา กบั ศนู ยหรอื แรงเฉือนมีคา คงท่ใี นชว งน้แี ละจะมีคาเทา กับ − 85 kN

ชวง BE ของคาน
แรงปฎกิ รยิ าในแนวดง่ิ ท่ีจุด B มีคาเทากับ 125 kN ดังนั้น คาของแรงเฉือนที่เกิดข้ึนทางดานขวามือจุด B จะ
มีคาเทากบั

VBR − (−125) = −85

VAR = −85 + 125 = 40 kN

เน่ืองจากคานในชวง BE น้ี ไมถูกกระทําโดยแรงแบบกระจาย ดังน้ัน slope ของแผนภาพ shear diagram
ในชว งน้ีจะมีคา เทากับศนู ยหรือแรงเฉือนมีคา คงทใ่ี นชวงนีแ้ ละจะมีคาเทากับ 40 kN

ชวง EF ของคาน
slope ของแผนภาพ shear diagram ท่ีจุด E และจุด F จะมีคาเทากับ -20 เน่ืองจากแรงแบบกระจายมี
คาคงทเ่ี ทา กบั 20 kN/m ในชว งนีข้ องคานและคาของแรงเฉอื นทเ่ี กิดขึน้ ทีจ่ ดุ F จะมีคา เทา กบั

∫VF − VE = − wdx

VF = −(2 m)(20 kN/m) + 40 = 0 kN

ชวง FG ของคาน

เน่ืองจากคานไมถ กู กระทาํ โดยแรงในชวงน้ีและ VF = 0 kN ดังนนั้ คานจะไมถ กู กระทําโดยแรงเฉือน
Moment diagram

จากรูปท่ี Ex 6-7b และ slope ท่ีจุดใดๆ ของแผนภาพ moment diagram มีคาเทากับคาของแรงเฉือนท่ีจุดน้ัน

และคาท่เี ปลี่ยนแปลงไปของ moment ระหวางจุดสองจุดมีคาเทากับพื้นที่ใต shear diagram ระหวางจุดสองจุดนั้น เราจะ

ไดวา

ชว ง CA ของคาน

slope ของแผนภาพ moment diagram ที่จุด C จะมีคาเทากับศูนยและ slope ของแผนภาพ moment

diagram ที่จุด A จะมีคาเทากับ -90 เน่ืองจากแรงเฉือนมีคาเทากับศูนยที่จุด C และ − 90 kN ท่ีจุด A และคาของ

moment ที่เกดิ ขนึ้ ทีจ่ ุด A จะมีคาเทา กบั

Mechanics of Materials 6-22

∫M A − M C = Vdx

M A = 1 (2 m)(90 kN) + 0 = 60 kN - m
3

ชวง AD ของคาน

slope ของแผนภาพ moment diagram ทางดานขวามือของจุด A จนถึงทางดานซายมือของจุด D จะมีคา

เทากับ + 75 เนื่องจากแรงเฉือนท่ีเกิดขึ้นในชวงนี้คานมีคาเทากับ 75 kN และคาของ moment ท่ีเกิดข้ึนที่จุด D จะมี

คาเทา กับ

∫M D − M A = Vdx

M D = (2 m)(75 kN) - 60 = 90 kN - m

ชวง DB ของคาน

slope ของแผนภาพ moment diagram ทางดานขวามือของจุด D จนถึงทางดานซายมือของจุด B จะมีคา

เทากบั − 85 เนอ่ื งจากแรงเฉือนทเ่ี กดิ ข้นึ ในชวงนค้ี านมีคา เทา กับ − 85 kN และคาของ moment ท่ีเกิดข้ึนที่จุด B จะมี

คาเทา กับ

∫M B − M D = Vdx

M B = (2 m)(−85 kN) + 90 = -80 kN - m

ชว ง BE ของคาน
slope ของแผนภาพ moment diagram ทางดานขวามือของจุด B จนถึงทางดานซายมือของจุด E จะมีคา

เทากับ + 40 เน่ืองจากแรงเฉือนที่เกิดขึ้นในชวงนี้คานมีคาเทากับ + 40 kN และคาของ moment ที่เกิดข้ึนที่จุด E จะ

มคี า เทา กบั

∫M E − M B = Vdx

M E = (1 m)(40 kN) − 80 = −40 kN - m

ชวง EF ของคาน

slope ของแผนภาพ moment diagram ทางดานขวามือของจุด E จะมีคาเทากับ + 40 และ slope ของ

แผนภาพ moment diagram ทางดานซายมือของจุด F จะมีคาเทากับศูนย เนื่องจากแรงเฉือนมีคาเทากับ + 40 ที่จุด

E และ 0 kN ท่ีจดุ F และคา ของ moment ท่เี กดิ ขนึ้ ทจ่ี ดุ F จะมคี า เทา กบั

∫M F − M E = Vdx

MF = 1 (2 m)(40 kN) − 40 = 0 kN - m
2

ชวง FG ของคาน

เน่ืองจากคานไมถูกกระทําโดยแรงในชวงน้ีและ M F = 0 kN - m ดังน้ัน คานจะไมถูกกระทําโดย moment
ในชวงนี้ของคาน

สดุ ทาย เราจะไดแ ผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคานดังทแ่ี สดงในรปู ที่ Ex6-7b Ans.

Mechanics of Materials 6-23

6.3 การเปลีย่ นแปลงรูปรางเน่อื งจากการดัดของช้ินสวนโครงสรา ง (Bending Deformation of a Straight
Member)

รปู ที่ 6-7

พิจารณาคาน ซึ่งทําดวยวัสดุเปนเน้ือเดียวกัน (homogeneous material) และมีหนาตัดท่ีคงที่และสมมาตรรอบ
แกน y ตลอดความยาวของคาน ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี 6-7a

กําหนดใหคานถูกกระทําโดยโมเมนตดัด (bending moment) M ซ่ึงมีทิศทางในแนวแกน + z และภายใตการ
กระทําของโมเมนตดัด คานจะเกิดการดัด ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 6-7b โดยท่ีวัสดุที่อยูสวนบนของหนาตัดของคานจะถูกทําให
หดตวั ลง และวสั ดทุ ่ีอยูส วนลางของหนาตัดของคานจะถูกทําใหยืดออก ดังนั้น จะตองมีระนาบๆ หนึ่ง ที่อยูระหวางสวนบน
และสว นลา งดงั กลา วท่ไี มมกี ารยดื หรอื หดตวั เกิดขนึ้ เลย ระนาบนมี้ ักจะถูกเรยี กวา ระนาบสะเทนิ (neutral plane)

กําหนดใหก ารเปลี่ยนแปลงรปู รางของคานมีลักษณะตามขอ สมมตุ ฐิ านดังตอไปน้ี
1. แกนตามยาว (longitudinal axis) ที่อยูบนระนาบสะเทินของคานจะไมมีการเปลี่ยนแปลงความยาว แตจะ

ถูกดัดใหเปนเสนโคง ทีอ่ ยบู นระนาบ x − y
2. ระนาบของหนาตัดของคานท่ีตําแหนงใดๆ จะยังคงรูปเปนระนาบเหมือนเดิมและยังคงต้ังฉากกับแกน

ตามยาวของคาน ขณะที่คานเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปราง (ไมพิจารณาการเปลี่ยนแปลงรูปรางของระนาบ
ของหนา ตัดของคานเนอื่ งจากแรงเฉือน)
3. เราจะไมนําคาการเปล่ียนแปลงรูปรางในระนาบของหนาตัดของคาน ดังท่ีแสดงในรูปที่ 6-8 มาพิจารณา
หรอื เราจะไมพจิ ารณาผลของ Poisson’s effect ทเ่ี กดิ ขนึ้ บนหนา ตดั ของคาน ซงึ่ มคี า ที่นอยมากๆ

Mechanics of Materials 6-24

รปู ท่ี 6-8

พจิ ารณารูปที่ 6-9 ซ่ึงเปน สวนของคานทตี่ ัดออกมาจากคานในรปู ท่ี 6-7a ทต่ี าํ แหนง x จากจดุ เรมิ่ ตน ของแกน
อา งอิงและมคี วามยาว ∆x

รูปที่ 6-9

จากนิยามของความเครียดตั้งฉาก (normal strains) เราจะเขียนสมการความเครียดตั้งฉากในแนวแกนของคาน

ท่ีระยะ y จากแกนตามยาว (longitudinal axis) ของคาน ซึ่งมีความยาวเริ่มตนเทากับ ∆s และมีความยาวหลังจากเกิด

การเปลีย่ นแปลงรปู รา ง ∆s′ ไดวา

ε = lim ∆s′ − ∆s
∆s
∆s→0

กอ นทจี่ ะเกิดการเปลยี่ นแปลงรปู ราง:

∆s = ∆x = ρ∆θ

หลังจากที่เกดิ การเปลย่ี นแปลงรูปรา งระยะ ∆s จะเปลีย่ นเปน :

∆s′ = (ρ − y)∆θ

แทน ∆s และ ∆s′ ลงในสมการของความเครียดตั้งฉาก เราจะไดว า

ε = lim (ρ − y)∆θ − ρ∆θ
∆s → 0 ρ∆θ

Mechanics of Materials 6-25

ε =− y (6-7)
ρ

จากสมการท่ี 6-7 เราไดว า ทห่ี นาตัดใดๆ ทม่ี รี ัศมีความโคง (radius of curvature) ρ คาความเครียดต้ังฉากของ

คานจะแปรผันโดยตรงกับระยะ y ดังนน้ั ความเครียดตัง้ ฉากจะมกี ารกระจายบนหนา ตดั ของคาน ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 6-10

รปู ท่ี 6-10

จากรูปท่ี 6-10 เราจะไดวา ε max = c / ρ และจากสมการท่ี 6-7 เราจะไดวา

ε = − y ε max (6-8)
c

จากการพิจารณาคานที่ผานมาและจากขอสมมุติฐานท่ี 3 เราจะสรุปไดวา คานที่ถูกกระทําโดยโมเมนตดัดจะมี

หนวยแรงตงั้ ฉากและความเครียดเกิดขึ้นในแนวแกน x เทาน้ัน โดยไมมีหนวยแรงและความเครียดในแนวอื่นๆ เกิดข้ึนเลย

ซงึ่ จาก Hooke’s law เราจะไดว า σ x = Eε x
6.4 สูตรการดัด (Flexural Formula)

เน่ืองจากคานมีพฤติกรรมแบบยดื หยนุ เชงิ เสน (linear elastic) ภายใตการกระทําของโมเมนตด ัด M ดังนัน้ เมอื่

แทน Hooke’s law, ε x = σ x / E ลงในสมการที่ 6-8 แลว เราจะไดสมการการกระจายของหนว ยแรงตงั้ ฉากบนหนา ตัด
ของคานในรูป

σ = − y σ max (6-9)
c

ซ่ึงจะมีการกระจายดังที่แสดงในรูปที่ 6-12b โดยที่เมื่อ y มีคาเปนบวก สวนของคานดังกลาวจะถูกกระทําโดยหนวยแรง

กดอัด (compressive stress) และเม่ือ y มีคาเปนลบ สวนของคานดังกลาวจะถูกกระทําโดยหนวยแรงดึง (tensile

stress)

ตําแหนง ของแกนสะเทนิ (neutral axis) ของคานจะหาไดโ ดยใชเ งอื่ นไขความสมดุลของแรงลัพธท่ีเกิดจากหนว ย

แรงตัง้ ฉากบนหนา ตัดของคาน จากสมการความสมดุลของแรงในแนวแกนของคาน เราจะไดว า

∑FR = Fx ; y max dA σ max ydA
∫ ∫ ∫ ∫0 = c
dF = σdA = − σ = − c A

A A A

เนื่องจากคา σ max / c มีคา ไมเทากับศูนย ดังนนั้

∫ y dA = 0 (6-10)

A

ดังนั้น จากสมการที่ 6-10 เราจะเห็นไดวา เงื่อนไขความสมดุลของแรงดังกลาวจะเปนจริงไดก็ตอเมื่อคาโมเมนตของ

พ้ืนท่ีหนาตดั ของคานรอบแกนสะเทนิ จะตอ งมคี า เทากับศูนย

จากวชิ า statics จุด centroid ของหนาตัดของคานจะหาไดจ ากสมการ

Mechanics of Materials 6-26

∫ ydA

y= A

∫ dA

A

แตเน่ืองจาก ∫ y dA = 0 ดังน้ัน แกนสะเทิน (neutral axis) จะเปนแกนเดียวกับแกนในแนวนอนท่ีตัดผานจุด centroid
A

ของหนา ตัดของคาน

รูปท่ี 6-11

คาของหนวยแรงที่เกิดขึ้นที่หนาตัดของคานจะหาไดไดโดยใชเง่ือนไขความสมดุลของโมเมนตลัพธภายใน M
กับ moment ที่เกิดจากการกระจายของหนวยแรงรอบแกน neutral axis หรือ

dM = ydF = y(−σdA)

∑(M R ) z = M z ; ∫ ∫M y( y ) dA
= − y σdA = c σ max

A A

∫M = σ max y 2dA (6-11)
c
A

เนื่องจากเทอม ∫ y2dA เปนคา moment of inertia ของพื้นที่หนาตัดของคานรอบแกน neutral axis หรือ I
A

ดังน้ัน เราจะไดวา

Mechanics of Materials 6-27

σ max = Mc (6-12)
I

เมอ่ื σ max = หนว ยแรงต้ังฉากสูงสดุ ที่เกิดทจ่ี ดุ บนหนา ตัดของคานทหี่ า งจากแกน neutral axis ที่มากทส่ี ุด

M = moment ลพั ธภายในท่ีเกิดขน้ึ ทีห่ นาตัดรอบแกน neutral axis

I = moment of inertia ของหนาตดั ของคานรอบแกน neutral axis

c = ระยะตง้ั ฉากจากแกน neutral axis ถึงจุดบนหนา ตดั ของคานทเ่ี รากําลังพิจารณา

และเนื่องจาก σ max = − σ เราจะไดว า
c y

σ = − My (6-13)
I

สมการที่ 6-12 และ 6-13 มักจะถูกเรียกวา flexural formula และคาหนวยแรงที่คํานวณไดจากสมการทั้งสองน้ี

จะถกู เรยี กวา หนวยแรงดดั (bending stress หรือ flexural stress) ซึ่งจะมีคาเปนบวกเม่ือหนวยแรงดังกลาวเปนหนวยแรง

ดึง และจะมีคาเปน ลบเมือ่ หนวยแรงดังกลาวเปนหนว ยแรงกดอดั

ถา เราพจิ ารณาหนาตัดของคานที่ถูกกระทําโดยโมเมนตืดัดท่ีมีคาคงที่คาหน่ึงแลว เราจะเห็นไดวา หนวยแรงดัดที่

เกดิ ขึน้ บนหนาตดั ของคานจะแปรผกผันกับคา I ของหนาตดั ของคาน ดงั นั้น คานทมี่ ีคา I สงู จะมีหนวยแรงดัดเกิดข้ึนตํ่า

กวาคานท่มี คี า I ต่ํากวา

ภาคผนวกท่ี 3 แสดงคาของพื้นทีแ่ ละ moment of inertia ของหนา ตดั ของคานท่ีเรามกั จะพบในทางวิศวกรรม

Mechanics of Materials 6-28

ตวั อยา งที่ 6-8
กําหนดใหคานเหลก็ ดงั ท่ีแสดงในรูปที่ EX 6-8a มีหนา ตัด แบบ wide-flange ดังที่แสดงในรูปท่ี EX 6-8b จงหา

คาหนว ยแรงดัดสงู สุดท่ีเกดิ ข้นึ ในคานและจงเขยี นการกระจายของหนว ยแรงดัดบนหนา ตดั a − a

รปู ท่ี EX 6-8

หาคา bending moment สูงสดุ
จากตัวอยางที่ 6-2 และรปู ท่ี EX 6-8c คา moment สูงสุดของคานในกรณจี ะหาไดจ ากสมการ

M max = wL2 5(6) 2 = 22.5 kN - m
8 =8

หาคุณสมบัตขิ องหนา ตดั
จากรปู ท่ี EX 6-8b เราจะเหน็ ไดว า คานมหี นา ตัดทสี่ มมาตรรอบแกนนอนและแกนด่งิ ดังนน้ั จดุ centroid จะอยูที่

กึ่งกลางของหนาตดั และแกนสะเทิน (neutral axis) ของคานจะอยทู ีก่ ่ึงกลางความลกึ ของหนา ตัด

เม่อื ทําการแบงหนา ตัดออกเปน 3 สวนคอื ปกบน (top flange) ปกลาง (bottom flange) และเอว (web) แลว เรา

จะหาคา moment of inertia ของหนาตดั รอบแกนสะเทินไดจากสมการ

I = ∑ (I + ad 2 )

I = 2112 (0.25)0.0203 + 0.25(0.020)0.1602  + 1 (0.020)0.300 3  = 301.3(10−6 ) m4
 12 

หาคาหนว ยแรงดดั

จากสมการ flexural formula คาหนวยแรงดดั สูงสดุ ท่เี กดิ ข้นึ ทผ่ี วิ บนสุดและผิวลางสุดของหนาตัดคานจะหาได

จากสมการ

σ max = M max c
I

σ max = 22.5(103 )(0.170) = 12.7 MPa Ans.
301.3(10−6 )

Mechanics of Materials 6-29

เนือ่ งจาก σ max < σ y = 250 MPa ดงั นน้ั การคาํ นวณจึงสอดคลองกบั สมมตุ ิฐานวาวัสดมุ พี ฤติกรรมอยู
ในชวง linear elastic ภายใตการกระทาํ ของน้าํ หนักบรรทกุ และการกระจายของหนว ยแรงดดั ท่เี กดิ ขน้ึ ท่บี นของหนาตดั

คานจะมกี ารกระจายเปนแบบเสนตรงข้นึ อยูกับระยะ y จากแกนสะเทนิ ดงั น้นั กระจายของหนว ยแรงดดั จะมลี กั ษณะดงั ท่ี

แสดงในรปู ที่ EX 6-8d Ans.

Mechanics of Materials 6-30

ตัวอยา งที่ 6-9
จงหาคา หนวยแรงดึงและหนวยแรงกดอัดสงู สุดท่ีเกิดขนึ้ ในคานเหลก็ ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ EX 6-9a เม่ือคานมีหนา

ตดั เปนรปู รางน้ํา ( C section) ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ EX 6-9b

รูปที่ EX 6-9

หาคา bending moment สงู สดุ
รูปท่ี EX 6-8c และรูปที่ EX 6-8d แสดงแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ตามลําดับ

และคา moment สูงสุดของคานมีคาเทากับ − 3.375 kN - m ซ่ึงจะทําใหคานเกิดหนวยแรงดึงท่ีผิวดานบนและเกิด
หนวยแรงกดอัดท่ผี ิวดา นลา ง

หาคุณสมบัตขิ องหนาตดั

จากรปู ท่ี EX 6-9b เราจะเห็นไดวา คานมีหนา ตัดที่สมมาตรรอบแกน y เทานน้ั ดงั นัน้ จุด centroid จะอยูบ น

แกน y และตาํ แหนงของแกนสะเทนิ (neutral axis) ของของหนา ตดั จะหาไดจากการพิจารณา moment ของพื้นท่หี นา ตัด

ของคานรอบแกนอา งองิ Z − Z เม่อื ทําการแบง หนาตดั ออกเปน 3 สว น โดยท่ี A2 = A3 แลว

∑∑c1 =yi Ai = y1 A1 + 2 y2 A2
Ai A1 + 2 A2

c1 = 6(276)12 + 2(40)80(12) = 18.48 mm
276(12) + 2(80)12

c2 = h − c1 = 80 −18.48 = 61.52 mm

คา moment of inertia ของหนา ตัดรอบแกนสะเทนิ ไดจ ากสมการ

Mechanics of Materials 6-31

I = ∑ (I + ad 2 )

I = 1 (276)12 3 + 276(12)(18.48 − 6) 2  + 2112 (12)803 + 80(12)(40 − 18.48) 2 
12  

= 2.469(106 ) mm4 = 2.469(10−6 ) m4

หาคาหนว ยแรงดัด
จากสมการ flexural formula คา หนวยแรงดัดสูงสดุ ทเ่ี กดิ ข้ึนที่ผวิ บนสุดและผิวลางสดุ ของหนาตัดคานจะหาได

จากสมการ

σ max = M max c
I

(σ t ) max = 3.375(103 )(0.01848) = 25.3 MPa
2.469(10−6 )

(σ c ) max = − 3.375(103 )(0.06152) = −84.2 MPa
2.469(10−6 )

ขอใหสังเกตดวยวาคา σ max < σ y = 250 MPa ดังนั้น วัสดุมีพฤติกรรมอยูในชวง linear elastic ภายใตการ

กระทําของนํ้าหนกั บรรทกุ Ans.

Mechanics of Materials 6-32

6.5 การดัดที่ไมสมมาตร (Unsymmetrical Bending)
Moment Applied Along Principal Axis

พิจารณาคานท่มี ีหนาตดั ที่ไมสมมาตรรอบแกน x , y , และ z ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี 6-12a กําหนดใหจ ุด C เปน

จดุ centroid ของพืน้ ท่ีหนา ตัดของคานและเปน จดุ เร่ิมตนของแกนอางอิงตง้ั ฉาก x , y , และ z ภายใตแรงกระทาํ ใดๆ

คานจะมีโมเมนตลพั ธภายใน M เกิดขน้ึ ซึ่งกระทํารอบแกน + z เทา นนั้

รูปท่ี 6-12

โดยใชเ งอ่ื นไขความสมดุลของแรงลัพธภายในคานในแนวแกน x และเงือ่ นไขความสมดลุ ของโมเมนตรอบแกน
y และแกน z จากรูปที่ 6-12a แรงที่กระทาํ อยบู น differential element dA ทอ่ี ยูทต่ี ําแหนง ( 0, y, z ) จะมีคา เทากับ
dF = σ dA ดังนัน้

∑FR = Fx ; 0 = ∫σdA (6-14)

A

∑( M R ) y = M y ; 0 = ∫ z σdA (6-15)

A

∑( M R ) z = M z ; M = ∫ − y σdA (6-16)

A

สมการท่ี 6-14 จะถูกตองโดยอัตโนมัติเนอื่ งจากแกน z เปน แกนท่ีผา นจดุ centroid ของหนาตดั ของคานและ

เปน แกนสะเทิน (neutral axis) ของคาน ดงั นัน้ ความเครยี ดตง้ั ฉากจะมคี าเทา กับศูนยบ นแกนน้แี ละจะแปรผนั โดยตรงกบั

ระยะ y ซ่ึงจะมคี ามากท่ีสุดเมอื่ y มคี ามากทีส่ ุดหรอื ที่ y = c ดังที่แสดงในรูปท่ี 6-12b
ถา วัสดมุ พี ฤตกิ รรมแบบยืดหยนุ เชงิ เสน (linear elastic) แลว การกระจายของหนวยแรงตัง้ ฉากบนหนาตัดของ

คานจะเปนแบบเชิงเสนตรง (linear) เชนเดยี วกบั ความเครียดต้งั ฉาก ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี 6-12c ซงึ่ เราทราบมาแลววา
σ = −( y / c)σ max เม่ือเราแทนสมการของหนวยแรงต้งั ฉากดงั กลาวลงในสมการที่ 6-16 แลว เราจะได flexural
formula,

σ max = Mc / I

Mechanics of Materials 6-33

เมือ่ เราแทนสมการ flexural formula ลงในสมการที่ 6-15 แลว เราจะไดว า

σ max
∫0 = yz dA
c
A

จากสมการขางตน เนื่องจากเทอม σ max มีคาไมเทากบั ศนู ยภ ายใตก ารกระทําของแรงใดๆ ดงั นนั้ คา product

c

of inertia ของพนื้ ทหี่ นา ตดั ของคาน ∫ yz dA จะตอ งมีคาเทา กบั ศูนย และจากวิชา statics เมอื่ เทอม ∫ yz dA = 0
AA

แลว เราจะไดวา แกน y และแกน z จะเปนแกน principal axes of inertia ของพ้ืนท่หี นา ตดั ของคาน ดงั นั้น สมการท่ี 6-

14 ถงึ 6-16 จะมคี วามถกู ตองไดกต็ อเมอ่ื โมเมนต M กระทาํ อยรู อบแกน y หรอื แกน z อยา งเชนทแ่ี สดงในรูปที่ 6-13

เทานั้น

รูปที่ 6-13

Moment Arbitrary Applied

เมื่อหนาตัดของคานถูกกระทําโดยโมเมนต M ท่ที าํ มมุ θ กบั แกน principal z axis เมอื่ กาํ หนดให θ มคี า

เปนบวก เมอื่ วัดจากแกน + z ไปยังแกน + y ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี 6-14a แลว เราจะแตกโมเมนต M ออกเปนองค

ประกอบรอบแกน principal axes y และ z ไดเ ปน M z = M cosθ และ M y = M sinθ ดงั ที่แสดงในรูปที่ 6-14b
และ 6-14c ตามลําดับ จากนน้ั เราจะใช flexural formula หาคา ของหนวยแรงต้ังฉากลัพธท ี่เกดิ ขึน้ จากองคประกอบของ

moment แตละอัน และสดุ ทา ย คา หนวยแรงตง้ั ฉาก σ ท่จี ดุ ใดๆ ( y , z ) จะหามาไดโดยใช principle of superposition

โดยที่

σ = − Mzy + Myz (6-17)
Iz Iy

Mechanics of Materials 6-34

เมอ่ื σ = คาหนวยแรงตงั้ ฉาก (normal stress) ทจ่ี ดุ ใดๆ บนหนาตดั ของคาน
y , z = ระยะในแนวแกน y และแกน z ถงึ จดุ ใดๆ บนหนาตัดของคานทเี่ ราตอ งการหาคาหนว ยแรงตั้งฉาก
M y , Mz = องคประกอบของโมเมนตลัพธภายในที่อยูในแนวแกน y และแกน z
I y , Iz = principal moment of inertia ของพืน้ ทห่ี นา ตดั ของคานรอบแกน y และแกน z

รปู ที่ 6-14

Mechanics of Materials 6-35

รปู ท่ี 6-14d แสดงการกระจายของหนวยแรงตงั้ ฉากลพั ธบนหนา ตดั ของคานดงั กลาว โดยทก่ี ารกระจายของหนวย

แรงตงั้ ฉากน้จี ะเกิดจากการรวมกันกบั การกระจายของหนว ยแรงต้ังฉากเนือ่ งจากโมเมนต Mz และ M y ดงั ท่แี สดงในรปู
ท่ี 6-14e และ 6-14f ตามลาํ ดับ

Orientation of the Neutral Axis

ทศิ ทางของแกนสะเทนิ (neutral axis) ท่ีกระทาํ กับแกน principal axes หรอื มุม α จะหาไดจ ากสมการท่ี 6-17

โดยใชหลักการทว่ี า บนแกน neutral axis คาของหนวยแรงตงั้ ฉาก σ = 0 ดังนน้ั

y = M yIz
z MzIy

เนอ่ื งจาก M z = M cosθ และ M y = M sinθ ดังนัน้

y = Iz tanθ (6-18)
z Iy

และเนื่องจาก slope ของแกน neutral axis มคี า เทากบั tan α = y สมการท่ี 6-18 จะถูกเขียนใหมไดเปน
z

tanα = Iz tanθ (6-19)
Iy

จากสมการท่ี 6-19 เราจะเห็นไดวา ทศิ ทางของโมเมนต M หรือมมุ θ จะมคี า เทา กบั ทิศทางของแกน neutral

axis หรือมมุ α เม่อื I y = I z ถากําหนดใหพกิ ดั บนหนาตดั ของคานในลักษณะทใี่ ห I z > I y แลว จากสมการท่ี 6-19
เราจะไดว า คา tanα > tanθ และมมุ α จะอยูระหวา งแนวกระทําของโมเมนต M กับแกน + y หรือ

θ ≤ α ≤ 90o

Mechanics of Materials 6-36

ตวั อยางที่ 6-10
กาํ หนดใหค านยืน่ ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Ex6-10a ซึ่งมคี วามยาว L = 4 m และมีลกั ษณะหนาตดั เปน รปู ตัว I เกดิ

การบิดเอยี งจากแนวดงิ่ เปนมมุ β เน่อื งจากการกอ สรา ง และถูกกระทาํ โดยแรง P = 60 kN ในแนวด่ิงทป่ี ลายของคาน
ตามทแ่ี สดงในรปู นอกจากนนั้ แลว กําหนดใหห นาตัดของคานมคี ณุ สมบตั ิดังน้ี
I z = 874.1×10−6 m4 , I y = 17.56 ×10−6 m4 , ความลกึ h = 0.6 m , ความกวางของ flange b f = 0.2 m
จงหา a.) คา maximum bending stresses ท่ีเกิดขึ้นบนคานเมอื่ β = 0o

b.) คา maximum bending stresses ทเ่ี กดิ ข้ึนบนคานเมือ่ β = 2o

รูปท่ี Ex6-10

a.) คา maximum bending stresses ท่เี กดิ ขึ้นบนคานเม่ือ β = 0o
จากรูป maximum bending moment จะมคี าสงู สดุ ทจ่ี ดุ รองรบั และจะมคี าเปน

M max = PL

เมือ่ β = 0o แกน neutral axis ของคานจะเปน แกน z ดงั นน้ั จาก flexural formula เราจะไดวา maximum

bending stresses จะเกิดข้ึนทผ่ี ิวบนสุดและผิวลางสดุ ของปก (flange) ของคาน โดยเปน หนว ยแรงกดอดั ท่ีผิวดานลา งและ

เปนหนว ยแรงดงึ ทีผ่ ิวดานบน

σ max = My = PL(h / 2) = 60 kN (4 m)(0.6 m / 2) = 82.37 MPa Ans.
Iz Iz 874.1×10-6 m4

b.) คา maximum bending stresses ที่เกดิ ขน้ึ บนคานเมอื่ β = 2o
เม่อื แตกแรง P ในแนวแกน y และแกน z เราจะไดว า

Py = P cos β

Pz = P sin β

แรง Py จะทําใหเกิด moment รอบแกน z บนหนาตดั ทจ่ี ุด C บนดา นทีต่ ดิ กับผนังมีคาเปน

M z = −(P cos β )L = −(60 kN) cos 2o (4 m) = − 239.85 kN - m

(การทเ่ี ราพิจารณาหนาตดั ทีจ่ ุด C บนดา นทตี่ ิดกับผนังนัน้ เน่ืองมาจาก sign convention ที่เราใชในรปู ท่ี 16.4)

Mechanics of Materials 6-37

แรง Pz จะทําใหเกดิ moment รอบแกน y บนหนาตดั ทจี่ ดุ C บนดา นท่ตี ดิ กับผนังมีคาเปน

M y = −(P sin β )L = −(60 kN) sin 2o (4 m) = − 8.38 kN - m

มมุ ที่แกน neutral axis n − n กระทาํ กับแกน z มีคา เทา กบั

tan α = y = M yIz = (−8.38 kN - m)874.1×10−6 m4 = 1.739
z MzIy (−239.85 kN - m)17.56 ×10-6 m4

α = 60.1o

ดงั น้ัน เราจะเห็นไดวา maximum bending stresses จะเกิดขึน้ ทีจ่ ุด A และจดุ B ซง่ึ เปนจุดทอี่ ยูหา งไกลจากแกน

neutral axis มากทส่ี ดุ

เนือ่ งจากมุม β มคี า นอ ยมาก เราจะประมาณคาของ coordinate ท่จี ดุ A ไดเ ปน
yA = +0.3 m และ z A = −0.1 m

ดังนนั้ tensile stress ที่เกิดขึน้ ท่จี ุด A จะมีคา เทา กบั

σA = M yzA − M z yA = (−8.38 kN - m)(−0.1 m) − (−239.85 kN - m)(+0.3m)
Iy Iz 17.56 ×10-6 m 4 874.1×10-6 m4

σ A = 130.04 MPa Ans.

และ compressive stress ทเ่ี กิดขน้ึ ที่จดุ B จะมคี าเทากบั

σ B = −130.04 MPa Ans.

Note เราจะเห็นไดว า ในกรณีของคานท่มี ีหนาตดั ตามรูป ( I z >> I y ) คา maximum bending stresses ท่เี กดิ ขึ้นในขอ
b. จะมีคามากกวา คา maximum bending stressesทีเ่ กิดข้นึ ในขอ a.) เทา กบั

130.04 − 82.37 × 100% = 36.7%
130.04

ซ่ึงแสดงถึงความสําคัญของความเที่ยงตรงในการกอสรางคานดังกลาว และเราควรที่จะตองระมัดระวังมากข้ึนในการใช

คานที่มลี กั ษณะเชนน้ี

Mechanics of Materials 6-38

ตัวอยา งท่ี 6-11
กําหนดใหค านไมชวงเด่ยี วรองรบั แบบธรรมดา (simple support) ซึ่งมี span L = 4 m และถกู กระทาํ โดยนา้ํ

หนักบรรทกุ แบบกระจายสม่าํ เสมอ (uniformly distributed load) w = 1kN/m และแรงกระทําเปน จดุ (concentrated
load) P ท่กี งึ่ กลาง span ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ Ex6-11 กาํ หนดใหสวนของความปลอดภัย (factor of safety) F.S. = 2.0 ,
หนวยแรงดัดสูงสดุ ของไม σ ult = 10 MPa จงหาคา สูงสุดของแรง P ทีค่ านไมสามารถรบั ได

y

zx
(a)

รูปท่ี Ex6-11

โดยการเขยี นแผนภาพ free-body diagram และใชส มการความสมดุล แผนภาพ bending moment diagram

ของคานเน่ืองจากน้ําหนักบรรทุกแบบกระจายสมาํ่ เสมอ w จะมลี กั ษณะดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี Ex 6-1 และเนอ่ื งจากแรง

กระทาํ เปนจดุ P มีลักษณะดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี Ex 6-2

สมการของ bending moment สงู สุดทเี่ กิดขึ้นเนอ่ื งจากน้าํ หนกั บรรทกุ แบบกระจายสมํ่าเสมอ w ที่หนา ตดั C

ของคาน (รอบแกน z ) ซงึ่ ทําใหเกดิ แรงกดอดั บนผิวดา นบนของคานจะอยูในรูป

wL2 1000(4) 2
8 8
Mz = = = 2000 N - m

สมการของ bending moment สงู สุดทีเ่ กดิ ขึ้นเนอื่ งจากแรงกระทําเปน จดุ P ทีห่ นาตดั C ของคาน (รอบแกน

y ) ซง่ึ ทําใหเ กิดแรงกดอดั บนผิวดา นขางของคาน ทถี่ ูกกระทําโดยแรง P จะอยูในรูป

My = − PL = −P N - m
4

โดยใช principle of superposition เราจะได bending moment สูงสดุ จะเกิดขน้ึ ท่จี ุด a (หนวยแรงกดอัด) และ

จดุ d (หนว ยแรงดงึ ) ดังท่ีแสดงในรปู ที่ Ex 6-11b

y

ab

z

cd
(b) หนาตัด C ของคาน

Mechanics of Materials 6-39

คา สงู สดุ ของหนว ยแรงดัดที่เกดิ ขนึ้ ท่จี ดุ a (หนวยแรงกดอัด) และจุด d (หนวยแรงดงึ ) หนาตัด C ของคานจะ

หาไดจ ากสมการ

σ = − Mzy + Myz
Iz Iy

ซึง่ จะมคี าเทากับหนวยแรงดัดทยี่ อมใหของไม

σ allow = σ ult = 10 = 5 MPa
F.S. 2

และ moment of inertia ของพืน้ ท่ีหนาตัดของคานรอบแกน y และแกน z มคี า เทา กับ

Iy = 0.2(0.1)3 = 16.67(10−6 ) m 4
12

Iz = 0.1(0.2)3 = 66.67(10−6 ) m4
12

ดังนน้ั

σa = 2000(0.1) + (−P)(0.050) = −5(106 )
− 66.67(10−6 ) 16.67(10−6 )

P = 0.667 kN Ans.

Mechanics of Materials 6-40

6.6 คานท่ีทาํ จากวัสดุตางชนดิ กัน (Composite Beams)
Composite beam เปน คานที่ถูกสรางขึน้ จากวัสดุที่ตา งกนั อยา งนอ ยสองชนิด เชน คานไมเสริมเหลก็ แผน คาน

คอนกรตี เสรมิ เหลก็ (reinforced concrete beam) และคานเหล็กประกอบ ดังท่ีแสดงตามรปู ท่ี 6-15 เปนตน

รูปท่ี 6-15

การใช flexural formula กับคาน composite beams น้ี เราจะตอ งแปลง (transform) วัสดุตางๆ ที่ใชท ําคานให
เปนวสั ดุประเภทเดยี วกัน โดยใชวธิ ีการทเ่ี รียกวา วธิ ีการแปลงหนา ตดั (transformed section method)

พิจารณาcomposite beam ดังที่แสดงตามรปู ที่ 6-16a กาํ หนดใหร ะนาบของหนาตดั ของคานยังคงเปน ระนาบ
เหมือนเดิมหลังจากท่ีคานถูกกระทําโดยโมเมนตดัด M ดังน้ัน ความเครียดตั้งฉากท่ีเกิดข้ึนบนหนาตัดของคานจะมี
ลักษณะดังทแี่ สดงตามรูปท่ี 6-16b และจาก Hooke’s law เราจะไดว า หนว ยแรงตง้ั ฉากท่ีจดุ ใดๆ ในวัสดุหมายเลข 1 จะมี
คา เทา กบั σ = E1ε และหนวยแรงตง้ั ฉากท่จี ุดใดๆ ในวัสดุหมายเลข 2 จะมคี าเทากับ σ = E2ε ถาวสั ดุหมายเลข 1 มี
ความแกรง มากกวา วัสดุหมายเลข 2 แลว การกระจายของหนวยแรงต้ังฉากบนหนาตัดของคานจะมีลักษณะตามทแี่ สดงใน
รปู ที่ 6-16c

ถา เรากาํ หนดใหค านถกู สรางขนึ้ มาจากวัสดุทม่ี คี วามแกรง นอยกวา (วสั ดหุ มายเลข 2) เทา นั้น และกาํ หนดให
ความลึกของคาน h มีคา เทาเดมิ หลงั จากทีม่ ีการแปลงวัสดุ (เพอ่ื ใหก ารกระจายของความเครยี ดต้ังฉากบนหนา ตัดของ
คานมลี กั ษณะคงเดิม) แลว สว นของคานท่ีทําดว ยวัสดุหมายเลข 1 จะตอ งถูกขยายใหกวางข้นึ เพ่อื ทจ่ี ะรองรบั แรงกระทํา
ซ่งึ มีคาเทากบั แรงกระทาํ ทวี่ ัสดุหมายเลข 1 รองรับกอ นทีจ่ ะมีการแปลงวัสดุ ดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี 6-16e ดังนน้ั เราจะสามารถ
หาคา transformation factor n ท่ีใชใ นการแปลงวัสดหุ มายเลข 1 เปนวสั ดุหมายเลข 2 ไดจาก

แรงกระทาํ ทวี่ สั ดุหมายเลข 1 รองรบั ,

dF = σ dA = (E1ε ) dzdy

แรงกระทําท่วี สั ดุหมายเลข 1 ท่ีถูกแปลงเปน วัสดหุ มายเลข 2 และมคี วามกวางของคานเพิ่มขน้ึ เปน nz รองรบั ,

dF ′ = σ ′ dA′ = (E2ε )n dzdy

Mechanics of Materials 6-41

รูปท่ี 6-16

Mechanics of Materials 6-42

เนือ่ งจากวา แรง dF = dF ′ เราจะเขยี นสมการ transformation factor ไดเ ปน

n = E1 (6-20)
E2

ดังนนั้ ในกรณนี ี้ ความกวาง b ของคานทท่ี ําดว ยวัสดุหมายเลข 1 ซงึ่ แกรง กวา จะถูกเปลีย่ นไปเปนความกวาง nb ของ

คานทีท่ าํ ดวยวสั ดหุ มายเลข 2 ทแี่ กรง นอยกวา ดังที่แสดงในรปู ที่ 6-16e

หลังจากทเ่ี ราทราบการกระจายของหนวยแรงบนหนา ตัดของคานทถ่ี กู แปลง ดงั ท่แี สดงในรูปที่ 6-16g แลว คา

หนวยแรงดังกลาวจะตองถูกคูณดวย transformation factor เพื่อที่จะแปลงคา หนวยแรงท่ีเกิดขนึ้ กลับไปเปนคา หนว ยแรง

บนหนาตดั กอนท่ีจะถกู แปลง เนื่องจากพนื้ ทข่ี องสวนของหนาตดั ท่ถี กู เปลยี่ นแปลงมคี า เปน n เทา ของพน้ื ที่ของสว นของ

หนา ตดั กอ นทีจ่ ะถกู แปลง ดังนนั้

dF = σ dA = σ ′ dA′

σ dzdy = σ ′ n dzdy

σ = nσ ′ (6-21)

ในลกั ษณะท่ตี รงกันขา ม ถา เรากาํ หนดใหค านถกู สรางข้นึ มาจากวสั ดุที่มีความแกรงมากกวา (วัสดุหมายเลข 1)

เทาน้ันแลว สว นของคานทที่ ําดวยวสั ดหุ มายเลข 2 จะตองถูกทําใหก วางลดลงเปน n′b โดยที่ n′ = E2 / E1 < 1 ดังท่ี
แสดงในรูปที่ 6-16f และการกระจายของหนวยแรงบนหนาตัดของคานจะมีลักษณะดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 6-16h หลังจากที่เรา

ทราบการกระจายของหนว ยแรงแลว คา ของหนวยแรงที่เกิดขนึ้ ในหนาตัดที่ถูกแปลงจะถกู เปล่ียนกลบั ไปเปนคาของหนวย

แรงบนหนา ตัดเร่ิมตน โดยที่ σ = n′σ ′

Mechanics of Materials 6-43

ตัวอยางท่ี 6-12
กาํ หนดใหค านไม simple supports ถกู กระทําโดยน้ําหนกั บรรทุกเปนจดุ (concentrated load) P ดงั ท่แี สดงใน

รปู ท่ี Ex 6-12a ใหสวนของความปลอดภัย (factor of safety) F.S. = 2.0 , ultimate stress ของไม σ ult = 10 MPa ,
yeilding stress ของ steel σ y = 250 MPa , modulus of elasticity ของไม Ew = 10 GPa และ steel

Est = 200 GPa

ถา ใหคานมคี วามกวา ง b = 0.10 m ลกึ d = 0.20 m และแผนเหลก็ มีความกวาง 0.100 m และหนา
t = 5 mm จงหาน้ําหนักบรรทกุ เปนจดุ สงู สุด Pmax ที่คานไม และ คานไมเ สรมิ แผนเหล็กสามารถรบั ไดแ ละนํา้ หนกั
บรรทกุ จุด P เพ่ิมข้ึนกเ่ี ปอรเ ซน็ หลังจากที่เสรมิ ดว ยแผน เหล็ก

รูปท่ี Ex 6-12

โดยการเขยี นแผนภาพ free-body diagram และใชสมการความสมดลุ เราจะเขยี นแผนภาพ shear diagram

และแผนภาพ bending moment diagram ของคานได ดงั ที่แสดงในรูปที่ Ex 6-12b

จากแผนภาพ bending moment diagram เราจะไดว า bending moment สงู สดุ จะเกดิ ขึน้ ในชวง CD ของคาน
โดยที่

M max = P

หนว ยแรงที่ยอมใหข องไม

(σ w ) allow = σ ult = 10 = 5 MPa
F.S. 2.0

หนวยแรงที่ยอมใหของเหล็ก

(σ st ) allow = σy = 250 = 125 MPa
F.S. 2.0

Mechanics of Materials 6-44

เมื่อคานไมไ มม ีการเสริมแผน เหลก็ Ans.
moment of inertia ของหนาตดั ของคานไมจะมีคา เทากับ

I = bd 3 = 0.10(0.20)3 = 66.67(10−6 ) m 4
12 12

จาก flexural formula เราจะไดว า

M max = (σ w ) allow I = 5(106 )66.67(10−6 ) = 3,333 N - m
c (0.2 / 2)

ดงั นน้ั

Pmax = 3.333 kN

เม่อื คานไมถ ูกเสรมิ แผน เหล็ก
พนื้ ที่หนา ตดั ของแผนเหล็ก

Ast = 0.10(0.005) = 500(10−6 ) m4

transformation factor จากเหลก็ ไปเปนไม

n= Est = 200 = 20
Ew 10

ดังน้นั พ้นื ทห่ี นาตัดของเหล็กท่ถี ูกแปลงเปนไมจ ะมคี าเทากับ

Ast,transformed = 20(500)10−6 = 10(10−3 ) m 2

และพนื้ ท่ีดังกลา วจะมีความกวา งเทา กับ

bst ,transformed = Ast ,transformed = 10(10−3 ) = 2 m
t 0.005

หนา ตัดของคานจะมลี ักษณะดังทแ่ี สดงในรปู ที่ EX 6-12c

0.10 m

Neutral axis 0.105- y C 0.20 m
y 0.005 m
2.0 m

(c)

ตาํ แหนง ของแกนสะเทินจากผวิ ดา นลางสุดของคานจะหาไดจ ากสมการ

y = 0.1(0.2)(0.1 + 0.005) + 0.005(2)(0.005 / 2) = 0.0708 m
0.1(0.2) + 0.005(2)

moment of inertia ของพื้นทีห่ นาตัดรอบแกนสะเทนิ

I =  0.1(0.2) 3 + 0.1(0.2)(0.105 − 0.0708) 2  +  2(0.005)3 + 2(0.005)(0.0708 − 0.0025) 2 
   
 12   12 

= 136.73(10−6 ) m4

Mechanics of Materials 6-45

ทาํ การตรวจสอบดูวา ไมหรือเหล็กจะเกิดการวบิ ตั ิกอ นกนั Ans.
Ans.
1. ถา ไมเ กิดการวบิ ัติกอ นเหล็ก

(σ w ) allow = M (0.1 + 0.0342)
I

M = (σ w ) allow I = 5(106 )136.73(10−6 ) = 5.09 kN - m
0.1342 0.1342

2. ถา เหลก็ เกดิ การวบิ ตั ิกอนไม

(σ st ) allow = n M (0.0708)
I

M = (σ st ) allow I 125(106 )136.73(10−6 ) = 12.07 kN - m
n(0.0708) = 20(0.0708)

ดังนัน้ ไมจ ะเกดิ การวบิ ัตกิ อ นแผน เหลก็ และ

Pmax = 5.09 kN

คา หนว ยแรงสูงสุดที่เกดิ ขน้ึ บนแผน เหลก็ เม่อื คานไมเกดิ การวบิ ัติมคี า เทากบั

σ st = n M (0.0708) = 20 5090(0.0708) = 52.7 MPa
I 136.73(10−6 )

เปอรเซ็นท่นี ํา้ หนกั บรรทุกจดุ P เพมิ่ ข้ึนหลงั จากทเ่ี สริมดว ยแผนเหลก็ เทากับ

5.09 − 3.333 (100) = 52.7 %
3.333

Mechanics of Materials 6-46

6.7 คานคอนกรตี เสรมิ เหลก็ (Reinforced Concrete Beams)
เนอื่ งจากคอนกรีต (concrete) เปนวัสดุเปราะ (brittle material) ซึ่งมกี ําลงั รบั แรงดงึ ประมาณ 10% ของ กําลงั รับ

แรงกดอัด ดังน้ัน วิศวกรจึงไดคนหาวิธีการปรับปรุงเพื่อท่ีจะใชคานคอนกรีตใหมีประสิทธิภาพมากขึ้น โดยการเสริม
คอนกรตี ดวยเหลก็ เสน ซง่ึ เรามักจะเรียกวา คานคอนกรีตเสริมเหลก็ (reinforced concrete beam) ในการวิเคราะหคาน
คอนกรีตเสรมิ เหล็กนั้น เราจะสมมตุ ิใหเหล็กเสน ทําหนาท่ีในการรบั แรงดงึ ทีเ่ กิดข้ึนในคานทงั้ หมดและคอนกรตี จะไมม คี วาม
สามารถในการรบั แรงดึงเลย ซ่งึ ขอสมมตุ ฐิ านนี้ไดม าจากการสังเกตที่วา การแตกราวทเ่ี กิดขึ้นในคานคอนกรีตเสริมเหลก็ มัก
จะเกิดขึ้นในสวนของคานท่ีรับแรงดงึ ในขณะทีแ่ รงกระทํามคี า ท่ีตาํ่ มากๆ เม่ือเทียบกบั กําลงั ประลยั ของคาน และลกั ษณะ
ของการแตกรา วนี้มักจะมีรปู แบบทไี่ มแนน อน ดงั น้ัน เราจะสมมตุ ิใหก ารกระจายของหนวยแรงตั้งฉากบนหนาตดั ของคาน
คอนกรีตเสรมิ เหล็กมีลกั ษณะดังที่แสดงในรปู ท่ี 6-17b

รูปท่ี 6-17

ในลักษณะเชน เดยี วกับ composite beams เราสามารถทจ่ี ะแปลง (transform) พื้นที่ของเหลก็ เสน As ไปเปน
พื้นท่ีของคอนกรีตที่สมมลู กนั ไดเ ทากับ nAs เมื่อ n = Es / Ec นอกจากนั้นแลว เราสามารถทจี่ ะหาระยะ h′ ของแกน
สะเทนิ (neutral axis) ท่วี ดั จากผิวดานบนของคานไดจากเงอ่ื นไขท่ีวา โมเมนตข องพืน้ ทห่ี นาตดั นนั้ รอบแกน neutral axis มี

คาเทา กับศูนย ดงั นัน้

bh′( h′) − nAs (d − h′) = 0
2

bh′2 + nAs h′ − nAs d = 0
2

หลังจากท่ีเราไดคาระยะ h′ แลว คาของหนวยแรงท่ีเกิดข้ึนในคานก็จะหามาไดโดยวิธีการท่ีไดกลาวถึงใน

section ทแ่ี ลว

Mechanics of Materials 6-47

ตัวอยา งท่ี 6-13
กาํ หนดใหคานคอนกรีตเสริมเหลก็ ซง่ึ เปนคานย่ืน (cantilevered beam) ดังที่แสดงในรูปท่ี Ex 6-13a ถกู กระทํา

โดยน้ําหนกั บรรทุกแบบกระจายสมํ่าเสมอ (uniformly distributed load) w และมหี นา ตัดท่ีเสริมโดยเหล็กเสรมิ ขนาดเสน

ผาศูนยก ลาง 19 mm วางอยูทต่ี าํ แหนง บนหนาตัดของคาน ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี Ex 6-13b

จงหาคาน้ําหนักบรรทุกสูงสุด w ที่คานนี้สามารถรับไดเมื่อ หนวยแรงที่ยอมใหของเหล็ก (σ st )allow =
125 MPa หนวยแรงท่ยี อมใหของคอนกรตี (σ conc )allow = 21 MPa คา modulus of elasticity ของเหลก็ Est =
200 GPa และคา modulus of elasticity ของคอนกรตี Ec = 25 GPa

สมมตุ ใิ หค อนกรีตไมส ามารถรับแรงดึงได

รปู ท่ี Ex 6-13

จากรปู ที่ Ex 6-13a คา bending moment สงู สุดทเี่ กดิ ขน้ึ ในคานที่จุดยึดแนน A จะหาไดจ ากสมการ

M max wL2 = −4.5w
=− 2

ซงึ่ จะทาํ ใหผวิ ดานบนของคานคอนกรตี เสรมิ เหลก็ ถกู กระทําโดยแรงดึง

พ้ืนทห่ี นาตัดของเหล็กเสริมมคี าเทา กบั

Ast = 2(πr 2 ) = 2π (0.019 / 2)2 = 0.567(10−3 ) m2

Transformation factor เปล่ียนจากเหล็กเปนคอนกรีต

n= E st = 200 = 8.0
Ec 25

เนื่องจากคอนกรีตไมส ามารถรบั แรงดึงได หนา ตดั ของคานคอนกรีตเสริมเหลก็ จะเปลีย่ นเปนคานคอนกรตี ดังที่

แสดงในรูปที่ Ex 6-13c โดยพน้ื ท่ขี องคอนกรีต A′ จะหาไดจ ากสมการ

A′ = nAst = 8(0.567)10−3 = 4.54(10−3 ) m2

ตาํ แหนงของแกนสะเทิน h′

จากผลรวมของ moment ของพ้ืนทรี่ อบแกนสะเทิน (neutral axis) มีคาเทากบั ศูนย เราจะไดว า

Mechanics of Materials 6-48

0.25(h′) h′ − 4.536(10 −3 )(0.437 − h′) = 0 Ans.
2

h′ = 0.109 m

moment of inertia ของพน้ื ทห่ี นาตัดของคอนกรีตรอบแกนสะเทิน (neutral axis)

 0.25(0.109) 3 0.25(0.109) 0.109  2 
 2  
I =  12 +  + 4.54(10−3 )(0.437 − 0.109)2


= 597(10−6 ) m 4

ทาํ การตรวจสอบดูวา คอนกรตี หรือเหล็กเกิดการวบิ ตั ิกอนกัน

3. ถา คอนกรีตเกดิ การวบิ ตั กิ อ นเหลก็

(σ conc ) allow = Mh′
I

M = (σ conc ) allow I = 21(106 )597(10−6 ) = 115 kN - m
h′ 0.109

4. ถาเหล็กเกดิ การวบิ ตั กิ อ นคอนกรีต

(σ )st allow = n M (0.437 − h′)
I

M = (σ st ) allow I = 120(106 )597(10−6 ) = 27.3 kN - m
n(0.437 − h′) 8(0.437 − 0.109)

ดังนน้ั เหล็กเสรมิ จะเกดิ การวิบัตกิ อนคอนกรตี

คา นาํ้ หนกั บรรทุกสงู สดุ w ที่คานสามารถรับไดม ีคาเทากับ

wmax = M max = 27.3 = 6.07 kN/m
4.5 4.5

Mechanics of Materials 6-49

แบบฝกหัดทายบทท่ี 6
6-1 จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดังทแี่ สดงในรปู ที่ Prob. 6-1

รูปที่ Prob. 6-1
6-2 จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 6-2

รูปที่ Prob. 6-2
6-3 จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 6-3

รูปท่ี Prob. 6-3
6-4 จงเขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงั ที่แสดงในรูปที่ Prob. 6-4

รปู ที่ Prob. 6-4
6-5 จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ Prob. 6-5

รูปท่ี Prob. 6-5
6-6 จงเขยี นแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Prob. 6-6

Mechanics of Materials 6-50

รูปท่ี Prob. 6-6

6-7 กําหนดใหค านใน Prob. 6-1 มีหนาตัด ดงั ทแี่ สดงในรปู ที่ Prob. 6-7 จงหาหนวยแรงดึงสงู สดุ และหนว ยแรงกดอดั สงู สุด
ท่เี กิดข้นึ บนหนา ตัด

รูปท่ี Prob. 6-7

6-8 กําหนดใหค านใน Prob. 6-4 มีหนา ตดั ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี Prob. 6-8 เมอื่ w = 200 mm จงหาหนว ยแรงดดั สงู สุดท่ี
เกดิ ขน้ึ บนหนาตัดและจงหาเปอรเ ซน็ ตของโมเมนตท ีเ่ อว (web) ของหนา ตดั รองรับ

รูปที่ Prob. 6-8

6-9 ถาเราตอ งการนาํ ทอ นไม ซ่ึงมีเสน ผาศนู ยกลาง 0.50 m มาตัดเพือ่ ทาํ คานหนา ตดั ส่เี หลีย่ มผนื ผา ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี
Prob. 6-9 จงหาขนาดความกวา งและความลกึ ของหนาตดั ของคานดงั กลา วที่จะทาํ ใหค านสามารถรองรบั แรงกระทาํ P
ไดสูงสุด และแรงกระทํา P ดงั กลาวมีคา เทากบั เทาใด กําหนดใหไ มมี σ allow = 55 MPa

Mechanics of Materials 6-51

รปู ท่ี Prob. 6-9
6-10 กาํ หนดใหคานยื่น (cantilevered beam) ดังท่แี สดงในรูปที่ Prob. 6-10 ถูกกระทาํ โดยแรง P จงหาคาของแรง P ที่
ทําใหห นวยแรงดัดมีคา ไมเ กนิ σ allow = 180 MPa

รูปท่ี Prob. 6-10
6-11 ถาแรง P ทีก่ ระทาํ ตอ คานยน่ื ดงั ทแี่ สดงในรปู ที่ Prob. 6-10 มคี า 600 N จงหาคาหนว ยแรงดัดสูงสุดที่เกิดขึ้นท่ี
หนา ตัด A ของคาน
6-12 กาํ หนดใหค านไม ( Ew = 11GPa ) ถกู เสรมิ ดวยแผนเหล็ก ( Est = 200 GPa ) ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี Prob. 6-12 จง
หาคาหนวยแรงดัดสูงสุดท่ีเกิดขึ้นในไมและเหล็กถาคานถูกกระทําดดยโมเมนตดัด M = 5 kN - m และจงเขียนแผน
ภาพการกระจายของหนว ยแรงดัดบนหนา ตัดดงั กลา ว

รปู ที่ Prob. 6-12

Mechanics of Materials 6-52

6-13 กําหนดใหคานประกอบ (composite beam) ทําดวยพลาสติก 3 ชนิด และถกู กระทาํ โดยแรงกระทํา ดังที่แสดงในรูปที่
Prob. 6-13 จงหาคาหนวยแรงดดั สงู สดุ ท่ีเกิดขึน้ ใน PVC

รูปท่ี Prob. 6-13
6-14 คานคอนกรตี เสรมิ เหลก็ ถกู กระทําโดยแรงกระทํา ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี Prob. 6-14 จงหาคาหนวยแรงดึงสูงสุดทเ่ี กดิ ขึ้น
ในเหลก็ และหนว ยแรงกดอดั สูงสดุ ทีเ่ กดิ ขึน้ ในคอนกรีต

รปู ท่ี Prob. 6-14
6-15 กาํ หนดใหค านคอนกรตี เสรมิ เหล็กมีหนา ตดั ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ Prob. 6-15 ( Ew = 11GPa ) ไมถ กู เสริมดวยแผน
เหลก็ ( Est = 200 GPa ) จงหาคา โมเมนต M สงู สดุ ท่ยี อมใหก ระทําตอ หนาตดั คาน เม่ือหนวยแรงดึงท่ยี อมใหข อง
เหล็ก (σ st )allow = 275 MPa หนว ยแรงกดอัดทยี่ อมใหข องคอนกรีต (σ conc )allow = 20 MPa คา modulus of
elasticity ของเหลก็ และคอนกรีตมคี า เทา กับ Est = 200 GPa และ Econc = 26 GPa ตามลําดับ (6-127)

รูปที่ Prob. 6-15

Mechanics of Materials 7-1

บทที่ 7

การเฉือนตามขวาง (Transverse Shear)

เรียบเรียงโดย ดร. สทิ ธชิ ัย แสงอาทิตย

7.1 การเฉือนในชน้ิ สวนของโครงสราง (Shear in Straight Members)

เมื่อคานถูกกระทําโดยแรงกระทําในแนวขวาง (transverse loading) ซ่ึงทําใหเกิดโมเมนตดัด (bending

moment) ภายในทหี่ นา ตดั ของคานเทานัน้ ดงั เชน หนาตัดในชว ง CD ของคานดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 7-1 แลว หนวยแรงท่ีเกิด

ขึน้ บนหนาตัดของคานในชว งดงั กลาวจะมเี ฉพาะหนว ยแรงดัดตั้งฉากเทาน้ัน ซ่งึ จะหาไดโ ดยใชส มการ flexural formula

รูปที่ 7-1

แตโ ดยท่ัวไปแลว คานมักจะถูกกระทําโดยแรงกระทําในแนวขวาง ซ่ึงทําใหเกดิ ทงั้ โมเมนตดดั ภายใน M และแรง
เฉอื นภายใน V บนหนา ตัดของคาน ดังเชน หนา ตดั ในชว ง AC และ BD ของคานดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี 7-1

แรงเฉือนบนหนาตัดของคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี 7-2a จะเกิดจากการกระจายของหนวยแรงเฉือนทางขวาง
(transverse shear stress) ท่กี ระทําอยบู นหนาตดั ของคานน้นั ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 7-2b ซง่ึ เปน ความตา นทานของวัสดตุ อ
แรงกระทําภายนอกและจะทาํ ใหคานมคี วามสมดลุ ตอ การเลือ่ น (translational equilibrium) ในแนวดิ่ง

รปู ที่ 7-2

นอกจากน้นั แลว หนวยแรงเฉอื นทางขวางดงั กลา วยงั กอใหเ กดิ หนวยแรงเฉอื นในแนวแกน (longitudinal shear
stresses) ของคานดวย เพ่อื ทาํ ใหเ กิดความสมดุลของแรงและโมเมนตบน differential element ของหนาตัดของคาน ยก

Mechanics of Materials 7-2

ตวั อยา งเชน ท่ีจดุ A ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 7-2b เปนตน และเนื่องจากไมม แี รงภายนอกกระทําขนานไปกบั ผวิ ดานบนและ
ดา นลา งของคาน ดงั นนั้ หนวยแรงเฉือนทางขวางทีผ่ ิวทั้งสองน้ีจะตอ งมคี า เทา กับศูนย ยกตวั อยา งเชน ทจ่ี ดุ B หรือจดุ C
ท่แี สดงในรูปท่ี 7-2b เปนตน

เพือ่ ใหเกดิ ความเขาใจเกีย่ วกับหนว ยแรงเฉอื นในแนวแกนมากขึ้น พิจารณาคานท่ีทําดว ยแผนไม 3 แผน ซึง่ มีผิวที่
เรียบมากและถกู กระทําโดยแรงกระทําเปน จุด (concentrated load) P ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 7-3

ในกรณที แ่ี ผนไมทง้ั สามแผนไมมีการยดึ ติดกนั เลย เมอื่ คานถกู กระทาํ โดยแรง P แลว แผนไมท ัง้ สามแผนจะเกดิ
การเล่อื นสัมพทั ธข้นึ ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 7-3a ทงั้ นี้เน่ืองมาจากผวิ สมั ผสั ของแผนไมทั้งสามแผน ดงั กลา วไมมคี วามตานทาน
ตอการกระทาํ ของหนว ยแรงเฉอื นในแนวแกน แตถ าแผน ไมท ง้ั สามนัน้ มกี ารยดึ ติดกนั อยา งแนน หนาแลว ผิวสมั ผัสของแผน
ไมท้ังสามแผนจะมคี วามตา นทานตอหนว ยแรงเฉือนในแนวแกนและจะปองกันไมใ หเ กดิ การเลอ่ื นสัมพัทธของแผนไมขึ้น ดงั
ทแ่ี สดงในรปู ที่ 7-3b

รปู ท่ี 7-3

หนว ยแรงเฉอื นทางขวางทีเ่ กดิ ข้นึ ในคานจะทาํ ใหเ กิดความเครียดเฉอื น (shear strain) โดยจะคา เทา กับศนู ยท ี่ผิว
ดานบนและผวิ ดานลา งของคาน และมคี าสงู สดุ ท่ีจุดกึง่ กลางความลึกของหนาตดั คาน ความเครยี ดเฉือนน้ีจะทาํ ใหเกิดการ
บิดเบยี้ ว (distortion หรอื warping) ขนึ้ บนหนาตดั ของคาน ดังที่แสดงในรูปที่ 7-4 ซ่ึงเกิดขึน้ มาจากการที่ความเครียดเฉอื น
มีการกระจายท่ไี มคงที่และไมสม่าํ เสมอบนหนา ตดั ของคาน

การบิดเบยี้ วทเ่ี กดิ ขึ้นน้ีจะละเมดิ ขอสมมตุ ิฐานทใ่ี ชในการหาสมการ flexural formula ทวี่ า หนา ตัดของคานกอน
และหลังการเกดิ การเปล่ยี นแปลงรปู รางยังคงเปนระนาบและตั้งฉากกบั แนวแกนของคาน อยา งไรกต็ าม โดยใช theory of
elasticity เราสามารถพิสจู นไ ดว า การบดิ เบย้ี วเนือ่ งจากความเครยี ดเฉือนดงั กลา วมกั จะมีคาท่นี อ ยมาก เมอ่ื เปรยี บเทียบ
กับการเปล่ียนแปลงรูปรางในแนวแกนที่เกิดจากโมเมนตดัด โดยเฉพาะในกรณีท่ีคานยาวมากหรือมีอัตราสวนของความ
ยาวตอ ความลึกมากกวา 10 ดังนั้น โดยสว นใหญแ ลว เราจะสามารถใช flexural formula ในการวเิ คราะหห าหนวยแรงดดั ที่
เกิดขนึ้ ในคานได

Mechanics of Materials 7-3

รูปท่ี 7.4

7.2 สตู รการเฉอื น (Shear Formula)
พจิ ารณาคานซง่ึ ถูกกระทาํ โดยแรงและโมเมนตภายนอก ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 7-5a และพจิ ารณาสว นของคานทีม่ ี

ความยาว dx ซง่ึ ถูกตัดออกมาจากคานท่ีระยะ x จากจุดรองรับหมดุ (pinned support) ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ 7-5b ภายใต

การกระทําของแรงและโมเมนตภายนอก สวนดังกลาวของคานจะถูกกระทําโดยโมเมนตภายในและจะมีการกระจายของ

หนว ยแรงดัดต้ังฉาก ดงั ท่แี สดงในรูปที่ 7-5c

เพ่ือทําใหเ กิดความสมดลุ ของแรงในแนวแกนของคาน การกระจายของหนวยแรงดดั ต้งั ฉากจะทาํ ใหเกิดแรงลพั ธ

dF ′ และ dF ′′ ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี 7-5c ซึ่งแรงลพั ธ dF ′ และ dF ′′ นจี้ ะกอ ใหเ กดิ โมเมนตภายใน M และ

M + dM เพ่ือตานทานตอการกระทําของแรงและโมเมนตภายนอก (ในที่น้ี เราจะไมสนใจผลของแรงเฉือนและแรง

กระทาํ อน่ื ๆ ทไี่ มอ ยูใ นแนวนอน)

ทาํ การตดั สว นของคาน ดังท่ีแสดงในรูปที่ 7-5b อีกครัง้ หนึ่งทร่ี ะยะ y′ จากแกนสะเทนิ (neutral axis) ดงั ทแี่ สดง

ในรปู ที่ 7-5d (สว นท่ีระบายสีทึบ) กาํ หนดใหห นา ตัดดงั กลา วของสวนของคานมีความกวา งเทา กับ t ดงั น้ัน พื้นทหี่ นา ตดั

ขางลางของสว นทถี่ กู ตดั ออกมาจะมีคา เทากับ t dx และกําหนดใหพ นื้ ท่หี นาตดั ทางดา นขางของสว นของคานดังกลาวมี

คาเทา กับ A′

เนอ่ื งจากผลตา งของโมเมนตลพั ธภายในทเี่ กิดขน้ึ บนแตละดานของสวนของคานมคี าเทา กับ dM ดังน้นั สว น

ของคานดงั กลา วจะตองมีหนวยแรงเฉอื นในแนวแกน (longitudinal shear stress) τ เกดิ ขนึ้ เพ่ือทําใหเกิดความสมดลุ

ของแรงในแนวนอน

ถา สมมุตใิ ห τ มคี า คงท่ีตลอดความกวา ง t จากสมการความสมดุลของแรงในแนวนอน ∑ Fx = 0 และสม

การ σ = (M / I ) y เราจะไดวา

∑+ Fx = 0 ; ∫σ ′ dA − ∫σ dA − τ (t dx) = 0

←

A′ A′

(M + dM )y dA My dA (t dx) 0
I I
∫ ∫A′ − −τ =

A′

Mechanics of Materials 7-4

∫dM y dA = τ (t dx) (7-1)

I A′

=∫τ1 ( dM )y dA
It dx
A′

รูปที่ 7-5

จากสมการท่ี 7-1 เทอม ∫ y dA คอื first moment ของพน้ื ทหี่ นาตดั A′ ซ่งึ จะเขียนใหอ ยอู ีกรปู หนึ่งไดโดยการ
A′

พิจารณาสมการของตาํ แหนง centroid ของพื้นท่ีหนา ตดั A′ ซ่งึ อยใู นรปู

∫ y dA

y′ = A′ A′

เมอ่ื ทําการจดั รูปสมการดงั กลา วใหมแลว เราจะเขยี นสมการของ first moment ของพื้นทห่ี นาตัด A′ ไดใ นรปู

Mechanics of Materials 7-5

Q = ∫ y dA = y′A′ (7-2)

A′

นอกจากนนั้ แลว จากความสมั พนั ธของแรงเฉอื นและโมเมนตด ัด V = dM / dx เราจะไดว า สมการของหนวย

แรงเฉือนในสวนของคานท่จี ดุ ท่มี รี ะยะ y′ จากแกนสะเทิน (neutral axis) จะเขียนไดใหมในรูป

τ = VQ (7-3)
It

เมอื่ V = แรงเฉือนภายในทเี่ กิดขึน้ บนหนา ตดั ของคาน

I = moment of inertia ของพื้นที่หนา ตัดของคานรอบแกน neutral axis

t = ความกวางของหนาตัดของคานทีเ่ ราตองการหาคา หนว ยแรงเฉอื น

สมการที่ 7-3 นมี้ กั จะถูกเรียกวา shear formula ซง่ึ จะใชไดใ นกรณที ่ีวสั ดุมพี ฤติกรรมแบบยดื หยนุ เชิงเสน (linear

elastic) และมคี า โมดูลัสยืดหยุน (modulus of elasticity) ที่คงทีเ่ ทานัน้

7.3 หนวยแรงเฉือนในคาน (Shear Stress in Beams
Rectangular Cross Section

พิจารณาคานทีม่ หี นา ตัดรปู ส่เี หลย่ี มผนื ผา มีความกวาง b และความลกึ d ดังท่เี สดงในรปู ท่ี 7-6a ซ่งึ ถกู กระทํา

โดยแรงเฉอื นภายใน V เราจะหาการกระจายของหนว ยแรงเฉอื นบนหนาตดั ของคานนไี้ ดจ ากการคาํ นวณหาคา หนว ยแรง

เฉอื นที่เกดิ ขึ้นทต่ี าํ แหนง y ใดๆ จากแกน neutral axis ของคาน ดังทีเ่ สดงในรปู ท่ี 7-6b แลว ทาํ การเขยี นสมการที่หามาได

เทียบกับความลกึ ของหนาตดั ของคานน้ัน

จากรูปท่ี 7-6b สมการของ first moment ของพ้ืนท่ีทีร่ ะบายสที ึบ A′ จะอยูในรปู

Q = y′A′

=  y + 1 (h − y)( h − y)b
 2 2 2

= 1 (h2 − y 2 )b
24

แทนคา ของ Q ลงใน shear formula เราจะไดว า

τ = VQ = 6V (h2 − y2) (7-4)
It bh 3 4

จากสมการท่ี 7-4 นี้ เราจะเห็นวา การกระจายของหนวยแรงเฉอื นบนหนาตดั ของคานรูปสเี่ หลีย่ มผืนผาจะมีรูป

รางพาราโบลา (parabola) ตามความลกึ ของคาน ดังที่แสดงในรูปท่ี 7-6c ซึ่งจาก Hooke’s law เราจะหาความเครยี ดเฉอื น

ท่เี กดิ ขนึ้ ไดจ าก γ = τ / G ซึ่งจะมคี า เปลี่ยนแปลงแบบพาราโบลาตามความลึกของคานดว ย และความเครียดเฉอื นน้จี ะ

ทาํ ใหห นาตดั ของคาน ซ่งึ เริ่มตนมีลักษณะเปน ระนาบเกดิ การบดิ เบยี้ ว (warping) ขนึ้ ดงั ทไี่ ดกลาวไปแลว ในตอนตน

คา สงู สุดของหนวยแรงเฉอื นหรือ τ max บนคานที่มีหนา ตัดรปู สเี่ หล่ียมผนื ผา จะเกดิ ขน้ึ บนแกน neutral axis หรอื
ทต่ี ําแหนง y = 0 ดงั น้นั

τ max = 3 V = 1.5 V
2 bh A

ซึง่ มีคา เปน 1.5 เทา ของคา เฉลี่ยของหนวยแรงเฉือน τ avg

เนื่องจากหนว ยแรงเฉือนในแนวขวางที่จุดใดๆ มีคา เทากับหนวยแรงเฉอื นในแนวแกน ดังนนั้ หนว ยแรงเฉอื นใน

แนวแกนจะมีคาสูงสุดทต่ี ําแหนง y = 0 ดวย หนวยแรงเฉอื นน้ีมักจะทาํ ใหเกิดการวบิ ตั ขิ องคานไมในลกั ษณะทแ่ี สดงใน

รูปที่ 7-7 เน่ืองจากไมมีกาํ ลงั รบั หนวยแรงเฉือนในแนวแกนนอยกวา หนวยแรงเฉือนในแนวขวาง

Mechanics of Materials 7-6

รูปที่ 7.6

รูปท่ี 7-7
Circular Cross Section

เมื่อคานมีหนา ตัดเปน ทรงกลมแลว หนว ยแรงเฉอื นที่เกิดขึ้นท่ีจดุ ตางๆ บนหนา ตดั ของคานจะไมมที ศิ ทางในแนว
ความลึกของหนาตดั ของคาน แตจะมีทิศทางสัมผสั (tangent) กบั เสนรอบนอกของหนา ตดั ของคาน ยกตัวอยา งเชน ทจ่ี ุด
m ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 7-8 เปน ตน อยา งไรกต็ าม จากการวิเคราะหโดยใช theory of elasticity เราสามารถทจ่ี ะสมมตุ ิให
หนว ยแรงเฉือนท่ีแกนสะเทิน (neutral axis) ของคานดังกลา ว มีทศิ ทางในแนวความลกึ ของหนาตัดของคานและมคี าคงที่
ได ซึง่ ในกรณนี ้ี เราจะสามารถใช shear formula ในการหาหนว ยแรงเฉือนที่เกิดขึ้นท่ีแกนสะเทนิ ของคานทม่ี ีหนา ตดั เปน
ทรงกลมได โดยท่ี

Mechanics of Materials 7-7

I = πr 4 Q = Ay =  πr 2   4r  = 2r 3 b = 2r
4  2  3π 3

ดังนั้น เราจะไดวา

V (2r 3 / 3) 4V 4 V
τ max = (πr 4 / 4)(2r) = 3πr 2 = 3 A

รปู ที่ 7-8
I -Beam

พิจารณาคานหนา ตดั รปู ตวั I ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี 7-9a ซง่ึ ถูกกระทําโดยแรงเฉอื นภายใน V

รูปท่ี 7-9

Mechanics of Materials 7-8

โดยใช shear formula เราจะไดการกระจายของหนว ยแรงเฉอื นบนหนาตดั ของคานมลี ักษณะเปน รูปพาราโบลา
ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี 7-9b และ 7-9c ซ่งึ มีการเพิม่ ข้นึ ของหนวยแรงเฉอื นทจ่ี ดุ ตอของปก (flange) และเอว (web) โดยท่กี าร
เพ่มิ ขึ้นของหนวยแรงเฉอื นนเ้ี กดิ ขน้ึ เน่อื งจากการลดลงของความกวา งของปก b เปน ความกวา งของเอว tw

ถาเรากาํ หนดใหคานหนา ตดั รูปตวั I มีลกั ษณะดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี 7-10 เราจะหาสมการของหนว ยแรงเฉอื นสงู สุด
τ max และหนวยแรงเฉอื นตา่ํ สุด τ min ท่ีเกดิ ขึ้นบนเอว (web) ของหนาตัดของคานได โดยท่ี

รูปท่ี 7-10

τ min = V b h − h1  h1 + h / 2 − h1 / 2 
It w 2 2  2 2

= Vb (h2 − h12 )
8It w

τ max = V b h − h1  h1 + h / 2 − h1 / 2  + t  h1  h1 / 2 
It w 2 2  2 2   2  2
w

= V (bh 2 − bh12 + twh12 )
8It w

และเราจะหาสมการของแรงเฉือนภายในที่เกิดข้นึ ทเี่ อวของคานไดใ นรปู

Vweb =  h1τ min + 2 h1 (τ max − τ min ) t
 3 

= th1 (2τ max + τ min )
3

โดยทว่ั ไปแลว Vweb จะมีคา ประมาณ 90% ถงึ 98% ของแรงเฉอื นทง้ั หมดท่เี กดิ ขึ้นทหี่ นาตัดของคาน ดังน้ัน เรา

จะประมาณคา หนว ยแรงเฉอื นสูงสุด τ max ท่เี กิดข้ึนบนหนา ตดั ของคานหนาตัดรปู ตัว I ไดจากสมการ

V
τ avg = th1

ซ่งึ จะมีคา ตา งจากคา τ max ทเ่ี กดิ ขนึ้ จริงประมาณ ± 10%

Limitations on the Use of the Shear Formula

สมการ shear formula จะใหคาํ ตอบท่ีไมถ กู ตองเม่ือ

Mechanics of Materials 7-9

1. หนา ตัดของคานมอี ตั ราสวนของความกวางตอความสูงมากกวาหรือเทากับ 0.5 หรอื b / h ≥ 0.5 นัน่ คือ
หนาตดั ของคานมลี กั ษณะทเี่ หมือนแผนกระดาน ซ่ึงจะทําใหส มมุติฐานท่วี า หนว ยแรงเฉอื นมคี า คงทต่ี ลอด
ความกวา งของคานไมเปนจริง เชน เม่อื b / h = 0.5 แลว τ max จะมคี า ประมาณ 1.03τ avg ดงั ท่แี สดงใน
รูปท่ี 7-8a แตเ ม่ือ b / h = 2 แลว τ max จะมีคาประมาณ 1.40τ avg ดังท่แี สดงในรปู ท่ี 7-8b

รปู ท่ี 7-11

2. จดุ ทหี่ นา ตดั ของคานมีการเปลยี่ นแปลงแบบทันทที นั ใด เชน ที่จดุ ตอของปก (flange) และเอว (web) ของ
คานหนา ตดั รปู ตัว I เปนตน เนอื่ งจากจดุ นี้จะมี stress concentration เกิดขึน้

3. จุดบนหนาตดั ของคานที่มีเสน สมั ผัสทาํ มมุ กบั ขอบของคานไมเ ทา กบั 90o ดังที่แสดงในรูปที่ 7-12

รูปท่ี 7-12

Mechanics of Materials 7-10

จากรูปการกระจายของหนวยแรงเฉือนท่ีหาไดโดยใช shear formula บนเสน ตรง AB จะมีลกั ษณะดงั
ท่ีแสดงในรปู ที่ 7-12b แตเ น่ืองจากเสนสัมผสั ทจี่ ดุ A และจดุ B บนหนา ตดั ของคานตัดกบั ขอบของคาน
เปน มุมไมเ ทากับ 90o ดงั นนั้ หนว ยแรงเฉือนจะมกี ารกระจายในลักษณะดงั กลา วไมไ ด ท้งั นเี้ นอื่ งจากวา
การกระจายของหนว ยแรงเฉือนดังกลาวจะกอ ใหเ กดิ องคป ระกอบของหนว ยแรงเฉือน τ ′ ขนึ้ ซ่ึงจะกอให
เกดิ ความไมส มดลุ บน differential element ทจ่ี ดุ A และจดุ B ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 7-12c ดงั นน้ั การกระ
กระจายของหนวยแรงเฉอื นท่ีจุด A และจดุ B จาํ เปนทจี่ ะตอ งมลี ักษณะดังท่ีแสดงในรูปที่ 7-12d อยา งไร
ก็ตาม ขอใหสังเกตดวยวา เราจะหาหนวยแรงเฉือนท่ีเกิดข้ึนบนเสนตรงที่อยูท่ีตําแหนงอื่นๆ ของคานใน
ลักษณะทแี่ สดงในรูปท่ี 7-12e ไดโ ดยใชส มการ shear formula

Mechanics of Materials 7-11

ตวั อยางที่ 7-1
กาํ หนดใหหนาตดั ของคานเหล็ก A36 รูปตวั I มีลักษณะดังทแี่ สดงในรปู ที่ EX 7-1a ซงึ่ ถกู กระทําโดยแรงเฉอื น

100 kN จงเขยี นแผนภาพแสดงการกระจายของหนวยแรงเฉอื นทีเ่ กิดข้นึ บนหนา ตดั ของคานและจงหาคา ของแรงเฉือนท่ี
ถูกตานทานโดยเอว (web) ของหนาตดั

รปู ที่ EX 7-1

การกระจายของหนวยแรงเฉือนทเ่ี กดิ ขึน้ บนหนาตัดของคาน
เราทราบมาแลว วา หนวยแรงเฉือนจะมีการกระจายในรปู ของ parabolic บนหนาตัดของคาน ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี

EX 7-1b เน่อื งจากคานมีหนาตัดที่สมมาตร ดังน้ัน เราจะหาเฉพาะคา ของหนว ยแรงเฉือนทเี่ กดิ ข้ึนทจ่ี ุด B′ จดุ B และจุด

C

จากสมการ shear formula

τ = VQ
It

moment of inertia ของหนา ตัดของคานรอบแกน neutral axis

I = 1 (0.015)0.2 3  + 2112 (0.2)0.023 + 0.2(0.02)0.110 2 
12  

= 107.07(10-6 ) m4

ท่ีจุด B′

tB′ = 0.20 m

พิจารณาพน้ื ท่ี A′ ระบายสีทึบ คาน ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี EX 7-1b

QB′ = y′A′ = 0.110[(0.20)0.02] = 0.440(10−3 ) m3

τ B′ = 100(103 )0.440(10−3 ) = 2.06 MPa
107.07(10−6 )(0.20)

Mechanics of Materials 7-12

ทจ่ี ุด B

tB = 0.015 m

QB = QB′ = 0.440(10−3 ) m3

τB = 100(103 )0.440(10−3 ) = 27.40 MPa
107.07(10−6 )(0.015)

ทีจ่ ดุ C

tC = 0.015 m

พจิ ารณาพื้นที่ A′ ระบายสที ึบ คาน ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ EX 7-1c

QC = 0.110[(0.20)0.02]+ 0.05[(0.015)]0.10

= 0.515(10−3 ) m3

τC = τ max = 100(103 )0.515(10−3 ) = 32.07 MPa
107.07(10−6 )(0.015)

จากคา ของหนว ยแรงเฉือนท่ีจุดตางๆ ที่คํานวณได เราจะเขยี นแผนภาพของการกระจายของหนว ยแรงเฉอื นได ดัง

ท่ีแสดงในรปู ที่ Ex 7-1b Ans.

คา ของแรงเฉอื นทถี่ กู ตา นทานโดยเอว (web) ของหนา ตดั
คาของแรงเฉอื นทถี่ กู ตานทานโดยเอว (web) ของหนา ตัดจะเทากับคา ของแรงเฉือนที่กระทาํ ตอหนา ตดั ลบดว ยคา

ของแรงเฉือนทถ่ี ูกตา นทานโดยปก (flange) ของหนา ตัด
พจิ ารณาหนา ตัดของคาน ดงั ทีแ่ สดงในรปู ที่ Ex 7-1d เราจะหา first moment ของพ้ืนที่ A′ ทร่ี ะยะ y จากแกน

สะเทนิ ของหนาตัดไดจากสมการ

Q = y′A′ =  y + 1 (0.12 − y)[0.20(0.120 − y)]
 2

[ ]= 0.10 0.122 − y 2 m3

ดังนั้น หนวยแรงเฉอื นท่รี ะยะ y จากแกนสะเทินของหนา ตัดจะอยใู นรูป

τ = VQ = 100(103 )0.10(0.122 − y 2 )
It 107.07(10−6 )(0.20)

= 467(0.122 − y 2 ) MPa

หนวยแรงเฉอื นนก้ี ระทําอยบู นพ้ืนที่ dA = 0.20dy ดังท่ีแสดงในรปู ที่ Ex 7-1d ดงั น้ัน แรงเฉอื นทีถ่ ูกตา นทาน

โดยปกบนของหนา ตัดจะมคี า เทากบั

∫V flange = τdA
Af

0.12

∫= 467(106 )(0.122 − y 2 )0.20dy = 4.234 kN
0.10

ดังน้ัน

Vweb = V − 2V flange = 100 − 2(4.234) = 95.77 kN

ซึง่ เราจะเห็นไดวา ในกรณีน้ี แรงเฉือนทีถ่ ูกตานทานโดยเอว (web) ของหนา ตดั จะมีคา ถึง 95% ของแรงเฉือนที่กระทําตอ

หนา ตัด Ans.

Mechanics of Materials 7-13

ตัวอยา งท่ี 7-2
กาํ หนดใหหนา ตดั ของคานรูปตัว T มลี กั ษณะดังทแี่ สดงในรปู ท่ี Ex 7-2a ถูกกระทําโดยแรงเฉอื นในแนวด่งิ ลง

ขนาด 40 kN จงหาหนวยแรงเฉือน τ 1 ทเ่ี กิดข้ึนบนแนว n − n และหนว ยแรงเฉือนสูงสุด τ max

รปู ที่ Ex 7-2

ตาํ แหนงของแกนสะเทิน (neutral axis) ของหนา ตัดของคานจากแนว a − a

 h + h1 b(h − h1 ) +  h1 th1
 2   2
∑∑c2 = yi Ai =
Ai b(h − h1 ) + th1

= 8.516(10-4 ) = 0.124 m
6.875(10−3 )

c1 = h − c2 = 0.20 − 0.124 = 0.076 m

moment of inertia ของหนาตัดของคานรอบแกนสะเทิน (neutral axis)

∑( )I = Ii + Ai d 2 = 27.0(10−6 ) m 4
i

หนวยแรงเฉอื น τ 1 ท่เี กดิ ขนึ้ บนแนว n − n

tn−n = 0.025 m

โดยใชพ้นื ท่หี นาตัดของคานเหนอื แนว n − n คา first moment ของพืน้ ทข่ี องปก (flange) ของหนาตัดคานรอบ

แกน neutral axis จะมีคา เทากบั

Qn−n = b(h − h1 ) c1 − h − h1 
 2 

= 0.10(0.025) 0.076 − 0.025  = 159(10 −6 ) m3
 2 

นอกจากนั้นแลว เราอาจจะหา Qn−n ไดโ ดยใชพ ื้นท่ีหนา ตดั ของคานใตแนว n − n โดยท่ี

Qn−n = th1  c2 − h1  = 159(10−6 ) m3
 2 

Mechanics of Materials 7-14

จากสมการ shear formula

τ1 = VQn−n = 40(103 )159(10−6 ) = 9.42 MPa Ans.
It n − n 27.0(10−6 )0.025

หนว ยแรงเฉอื นสูงสุด τ max
หนวยแรงเฉือนสงู สุด τ max จะเกดิ ข้นึ ทแ่ี กนสะเทนิ ของหนา ตดั ของคาน ดงั นัน้

Qmax = tc 2  c2  = 0.025(0.124) 0.124  = 192(10−6 ) m3
 2   2 

τ max = VQmax = 40(103 )192(10−6 ) = 11.28 MPa Ans.
It 27.0(10−6 )0.025

ดงั น้ัน เราจะเขยี นการกระจายของหนว ยแรงเฉือนที่เกิดขน้ึ บน web ของหนา ตดั ของคานได ดงั ที่แสดงในรูปท่ี Ex 7-2b

Mechanics of Materials 7-15

7.4 Shear flowในองคอ าคารประกอบ (Shear Flow in Built-Up Member)
Built-up member เปน ชิ้นสวนของโครงสรา งหรอื เครอ่ื งจักรกลทไี่ ดจากการนาํ ชิ้นสวนประกอบตา งๆ มาประกอบ

เขาดวยกันโดยใชส ลกั เกลยี ว (bolting) การเชื่อม (welding) และตะปู (nailing) เพื่อใหไดมาซ่งึ ช้ินสวนของโครงสรางหรือ
เครือ่ งจกั รกลท่มี ีกาํ ลังสูงสุดในการตานทานตอแรงกระทํา ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี 7-13

รูปท่ี 7-13

ถา แรงกระทําภายนอกทําให built-up member เกิดการดัดขนึ้ แลว ตวั ยึด (fasteners) จะตอ งปอ งกันไมใหช้นิ
สวนประกอบของ built-up member เกิดการเลอ่ื นสัมพัทธข ึ้น ดังนัน้ ในการออกแบบ built-up member เราจะตอ งทราบ
คาของแรงเฉือนทีเ่ กดิ ขน้ึ บนตวั ยดึ กอน โดยท่แี รงเฉือนน้จี ะมหี นวยเปนแรงตอความยาวของ built-up member ซง่ึ มักจะถกู
เรียกวา shear flow หรอื q

รูปท่ี 7-14

รปู ท่ี 7-14a แสดงสวนของ built-up member ทมี่ คี วามยาว dx ซงึ่ ถูกกระทําโดยโมเมนตด ัด M พิจารณาแผน
ภาพ free-body diagram ของจดุ ทช่ี ้นิ สว นประกอบเชอื่ มตอ ตดิ กนั ท่ปี ก (flange) ของ built-up member ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี
7-14b จากรูป แรง F และแรง F + dF เปนแรงทเี่ กิดข้ึนจากหนว ยแรงต้งั ฉากท่เี กิดขึน้ จากโมเมนตด ัด M และ
M + dM ตามลําดับ เพ่ือท่จี ะทาํ ใหเกิดสมดลุ ของแรงในแนวแกนของ built-up member ดงั นนั้ จากสมการความสมดุล

ของแรงในแนวนอน ∑ Fx = 0 และสมการ σ = (M / I ) y เชนเดยี วกบั ในการหาสมการ shear formula (สมการที่ 7-

1) เราจะไดว า

Mechanics of Materials 7-16

∫dF = dM y dA
I
A′

ในกรณนี ี้ Q = ∫ y dA จะเปน first moment ของพ้ืนท่ี A′ รอบแกนสะเทนิ (neutral axis) ของหนา ตัดของ
A′

built-up member

จากนยิ ามของ shear flow หรือ q เราจะไดว า

=∫qdF = 1 ( dM ) y dA
dx I dx
A′

เนอื่ งจาก V = dM / dx ดงั นนั้

q = VQ (7-6)
I

การที่จะใชสมการท่ี 7-6 หาคา shear flow ไดอยา งถูกตองน้นั เราจะตองหาจดุ ที่จะใชใ นการหาคา Q ใหถ กู ตอ ง

กอน พิจารณาหนาตดั ของคานทไ่ี ดจ ากการนาํ แผน ไมม ายดึ ติดกันเปนคานประกอบ ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 7-15 สมมตุ ิใหแผน

ไมท ท่ี าสที บึ ถูกยดึ ติดกบั แผนไมอ น่ื ๆ โดยใชต ะปอู ยา งแนนหนา จากรูปเราจะไดวา ตะปใู นรูปท่ี 7-15a และ 7-15b จะรับ

shear flow เทากบั q ตะปใู นรปู ท่ี 7-15c จะรับ shear flow เทากบั q / 2 และตะปูในรูปท่ี 7-15d จะรับ shear flow

เทากับ q / 3

รูปท่ี 7-15