4.MechanicsofMaterials

Mechanics of Materials 7-17

ตัวอยา งท่ี 7-3
กาํ หนดใหคานไมป ระกอบขนึ้ จากแผน ไม 3 แผน โดยถกู ยดึ ตดิ โดยตะปู มีลกั ษณะดังท่ีแสดงในรปู ที่ Ex 7-3 ซงึ่ มี

L = 3 m , a = 1 m , และ b = 2 m , คานนี้มีขนาดของหนาตัดคือ btop = 0.25 m , bbottom = 0.15 m ,
ttop = 0.0375 m , tbottom = 0.0375 m , tweb = 0.025 m , d = 0.30 m , I = 467.36(10-6 ) m4 นอกจาก
นนั้ allowable shear stress ของไม τ allow = 0.5 MPa , allowable flexural stress ของไม σ allow = 2.0 MPa , และ
ตะปแู ตละตัวรบั แรงเฉอื นได = 1.8 kN จงหา

a.) คาสงู สุดของแรง P ที่ไมท าํ ใหค านวบิ ตั ิโดยแรงเฉอื น
b.) คาโมเมนตด ดั สูงสุดเนอ่ื งจากแรง Pmax
c.) ระยะระหวา งตะปทู ี่แผนไมด า นบนและดานลางของคาน

รูปที่ Ex 7-3

โดยใชห ลกั การเขยี นแผนภาพ free-body diagram และสมการความสมดลุ เราจะไดว า

แรงเฉอื นสูงสุดจะเกิดขนึ้ ในชวง AC ของคานและจะหาไดจากสมการ

Vmax = 2P
3

โมเมนตดดั สูงสุดจะเกิดขนึ้ ทจี่ ุด C ของคานและจะหาไดจากสมการ

M max = 2P
3

คา สูงสดุ ของแรง P ทไ่ี มทําใหค านวบิ ัติโดยแรงเฉอื น

ระยะของแกนสะเทนิ (neutral axis) จากผวิ ดานบนของหนา ตดั ของคาน

∑∑y = yi Ai = 0.25( 0.0375 )2 / 2 + 0.30( 0.025 )0.1875 + 0.15( 0.0375 )0.35625
Ai 0.25( 0.0375 ) + 0.30( 0.025 ) + 0.15( 0.0375 )

= 0.1594 m

Mechanics of Materials 7-18

หนว ยแรงเฉอื นสงู สุด τ max จะเกิดขนึ้ ท่แี กนสะเทนิ ของหนาตัดของคาน ดงั น้นั

Qmax = 0.025(0.0375)(0.14065) + 0.025(0.1219)2 / 2

= 1.504(10−3 ) m3

เนือ่ งจากหนวยแรงเฉือนสูงสุดท่เี กดิ ขน้ึ จะมคี า ไดไมเกิน allowable shear stress ของไม จากสมการ shear

formula

τ allow = Vmax Qmax
It

Pmax = 3 τ allow It = 3 0.5(106 )467.36(10−6 )0.025 = 5.826 kN
2 Qmax 2 1.504(10−3 )

ดงั น้นั แรง P ทกี่ ระทาํ ตอคานจะตอ งมคี าไดไ มเ กิน 5.826 kN Ans.

คาโมเมนตดัดสูงสุดเน่อื งจากแรง Pmax
โมเมนตด ัดสูงสดุ จะมคี าเทากับ

M max = 2(5.826) = 3.884 kN - m
3

จาก flexural formula

σ max = M max ymax = 3.884(103 )(0.375 − 0.1594) = 1.792 MPa < σ allow
I 467.36(10−6 )

เนอ่ื งจาก M max = 3884 kN - m ทําใหเ กิด σ max < σ allow ดงั นน้ั M max ทีไ่ ดจ งึ ถกู ตอง Ans.

ระยะหา งระหวางตะปูทแ่ี ผน ไมด า นบนและดา นลางของคาน

แรงเฉอื นสูงสุดเนอื่ งจากแรง Pmax มคี าเทากับ

Vmax = 2(5.826) = 3.884 kN
3

เนอ่ื งจากปก (flange) ดา นบนและดา นลางของคานมีความกวางไมเ ทา กัน ดงั นน้ั ระยะหางระหวา งตะปูของแผน

ไมดานบนและดานลา งของคานจะมคี าไมเทา กนั

จากสมการของ shear flow คา shear flow ทเ่ี กดิ ขึ้นทีจ่ ดุ ตอระหวา งปก ดานบนและเอว (web) จะมีคาเทากับ

qtop = VQtop = 3884[(0.25)0.0375(0.14065)] = 10.96 kN/m
I
487.36(10−6 )

ดงั นน้ั ระยะหา งระหวา งตะปทู แี่ ผนไมด า นบนจะมคี า เทา กบั

stop = Vallow = 1.8 (1000) = 164.3 mm Ans.
qtop 10.96

คา shear flow ท่ีเกิดขน้ึ ทจ่ี ดุ ตอระหวา งปกดา นลา งและเอว (web) จะมคี า เทากับ

qbottom = VQbottom = 3884[(0.15)0.0375(0.19685)] = 9.20 kN/m
I
467.36(10−6 )

ดังนัน้ ระยะหา งระหวา งตะปูทีแ่ ผนไมดา นบนจะมคี าเทา กบั

sbottom = Vallow = 1.8 (1000) = 195.7 mm Ans.
qbottom 9.20

Mechanics of Materials 7-19

ตัวอยางที่ 7-4
คานไม ดังท่แี สดงในรปู ท่ี Ex 7-4a มหี นา ตัดทีไ่ ดจ ากการนาํ แผนไมขนาดหนาตดั a × a / 2 จาํ นวน 5 แผนมา

ยึดติดกันโดยใชสลักเกลียว ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 7-4b กําหนดให P = 20 kN หนวยแรงดัดที่ยอมใหข องไม =
15 MPa หนว ยแรงเฉือนที่ยอมใหของไม = 2.0 MPa และสลกั เกลยี วมีกาํ ลังรับแรงเฉอื นท่ยี อมให = 10 kN จงหา

a.) ความกวาง a ของแผน ไม
b.) ระยะหางของสลกั เกลยี ว s ทีส่ น้ั ทสี่ ดุ ที่จะตอ งใช

รูปที่ Ex 7-4

หาความกวาง a ของแผนไม
ความกวา ง a ของแผนไมจ ะตองมีคา พอเพยี งที่จะตานทานตอโมเมนตด ัดสูงสดุ และแรงเฉอื นสูงสุดทเี่ กดิ ขนึ้ ใน

คาน จากการเขยี นแผนภาพ shear diagram และ bending moment diagram เราจะไดว า

แรงเฉือนสูงสดุ จะเกิดข้นึ ทีจ่ ดุ รองรับ A ของคานและมีคาเทา กบั 15 kN

โมเมนตด ัดสงู สุดจะเกดิ ขน้ึ ที่จุด C ของคานและมีคาเทา กบั 15 kN - m

moment of inertia ของพน้ื ทหี่ นาตัดของคานประกอบ

I = a(2.5a)3 = 1.3021a 4
12

จากสมการ flexural formula σ = Mc / I และหนวยแรงดดั สงู สุดจะเกิดท่ผี ิวดานบนและผิวดา นลางของหนา

ตัดคาน ซึง่ จะมคี าไดไ มเกนิ คา หนวยแรงดัดท่ยี อมใหของไม ดงั น้ัน

15(106 ) = 15000(2.5a / 2)
1.3021a 4

a = 0.099 m Ans.

ดังนนั้ เราควรใชค วามกวางของหนาตดั ของคาน a = 0.10 m

หนวยแรงเฉือนสูงสุดจะเกิดท่ีกึ่งกลางความลึกของหนาตัดของคาน ซ่ึงจะมคี า ไดไ มเ กนิ คา หนว ยแรงเฉือนทย่ี อม

ใหของไม และเนอ่ื งจากคานมีหนาตดั รปู ส่เี หลย่ี มผืนผา จากสมการ shear formula τ = 1.5V / A ดังนัน้

τ max = 1.5 15000 = 0.90 MPa < τ allow = 2 MPa O.K.
0.10(2.5)(0.10)

หาระยะหา งของสลักเกลยี ว s ที่สนั้ ท่สี ดุ
ระยะหางของสลกั เกลียว s ที่สนั้ ทส่ี ดุ ในคานประกอบจะตอ งคํานวณจากคา แรงเฉือนสูงสุดที่เกิดข้นึ ในคานและ

ท่ตี ําแหนง ของรอยเชื่อมตอ ระหวางแผน ไมท่ี 2 และแผนไมท ี่ 3 ท่นี บั จากผวิ ดา นบนหรือผิวดานลา งของหนาตัดของคาน

Mechanics of Materials 7-20

จากสมการของ shear flow Ans.

q = VQ
I

โดยท่ี

Q = A′y′

= [a(a / 2 + a / 2)][(a / 2 + a / 4)]

= [0.10(0.10)][0.050 + 0.025)] = 750(10−6 ) m4

I = 0.10[2.5(0.10)]3 = 130.21(10−6 ) m4

12

ดงั นัน้

q 15000(750)10 −6 = 86.4 kN/m
= 130.21(10−6 )

ระยะหางของสลักเกลยี วทีส่ ัน้ ทสี่ ุดในคานประกอบจะมีคาเทา กับ

smin = 10 = 0.116 m
86.4

ดงั นัน้ ระยะหางของสลกั เกลียวควรมคี านอ ยกวา หรอื เทา กบั 0.116 m

Mechanics of Materials 7-21

แบบฝกหัดทายบทท่ี 7
7-1 จงหาเขียนแผนภาพการกระจายของ transverse shear ทเ่ี กิดข้ึนบนหนา ตดั ทถ่ี ูกกระทาํ โดยแรงเฉอื นสงู สุดของคานใน
Prob. 6-7
7-2 จงหาเขียนแผนภาพการกระจายของ transverse shear ทเ่ี กิดขึน้ บนหนา ตดั ที่ถูกกระทําโดยแรงเฉือนสูงสุดของคานใน
Prob. 6-8 จากน้นั จงหาแรงเฉอื นท่ีถกู ตา นทานเอวของคาน
7-3 กาํ หนดใหค านไมถ กู บากทีป่ ลายคานและถกู กระทาํ โดยแรงตางๆ ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี Prob. 7-3 จงหาคาความลึก d ที่
นอ ยที่สดุ ท่ียอมให เมอ่ื หนว ยแรงเฉือนท่ียอมให (allowable shear stress) ของไม τ allow = 0.310 MPa และคานมี
ความกวา ง 200 mm

รูปท่ี Prob. 7-3

7-4 กําหนดใหคานไม ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี Prob. 7-4 ถกู ประกอบข้ึนโดยนาํ แผนไม 3 แผน มาตดิ กาวเขา ดว ยกันทจี่ ุด A และ
จุด B จงหาคาของหนวยแรงเฉอื นสูงสุดทเี่ กดิ ข้นึ ในกาว

รูปที่ Prob. 7-4

7-5 กาํ หนดใหห นา ตดั ของคานทไ่ี ดจากการนาํ แผนเหล็ก 3 แผนมาเชือ่ มเขาดว ยกนั มีลักษณะดังที่แสดงในรูปที่ Prob. 7-5
ถา รอยเชอ่ื มมี τ allow = 90 MPa จงหาคา แรงเฉอื น V สูงสุดทยี่ อมใหก ระทําตอหนาตดั คาน

รูปที่ Prob. 7-5

7-6 กาํ หนดใหค านมีหนาตัดท่ีไดจ ากการนําไม 3 แผน มายึดกันโดยใชตะปู ถกู กระทาํ โดยแรง P = 20 kN ดังท่ีแสดงใน
รูปที่ Prob. 7-6 จงหาระยะหา งระหวา งตะปู s ในชวง AC และ CD ของคาน เมอ่ื ตะปูแตล ะตวั สามารถรองรับแรง
เฉือนได 2 kN

Mechanics of Materials 7-22

รปู ท่ี Prob. 7-6

7-7 จงหาคา แรง P สงู สดุ ทคี่ าน ดังที่แสดงในรปู ที่ Prob. 7-6 สามารถรองรับได เมอื่ หนวยแรงเฉือนท่ียอมให (allowable
shear stress) ของไม τ allow = 2.75 MPa และจงหาระยะหางระหวางตะปู s ทีต่ องใชในการยดึ ปก (flange) บนและ
ปก ลางของคาน เมอ่ื ตะปูแตละตัวสามารถรองรับแรงเฉอื นได 2 kN

Mechanics of Materials 8-1

บทท่ี 8

นาํ้ หนักบรรทุกกระทาํ รวม (Combined Loadings)

เรียบเรียงโดย ดร. สิทธิชยั แสงอาทติ ย

8.1 ทอรับความดนั ผวิ บาง Thin-Walled Pressure Vessels

Pressure vessel เปนโครงสรางทใ่ี ชในการบรรจุของเหลว (fluid) หรือของไหล (gas) ภายใตค วามดัน เชน ถังใส

กา ซธรรมชาติและทอสง นํา้ เปน ตน โดยทว่ั ไปแลว ความดนั ภายใน pressure vessel p จะมคี า มากกวา แรงดนั ของ

บรรยากาศภายนอกมาก

ภายใตค วามดันดังกลาว วสั ดุท่ใี ชท ํา pressure vessel จะถูกกระทําโดยแรงจากทุกทศิ ทาง ถา pressure vessel

มีผนงั ที่บางหรอื เม่ืออตั ราสวนของรศั มขี องผนงั ตอ ความหนาของผนงั มีคามากกวา 10 ( r / t ≥ 10 ) แลว การกระจายของ

หนวยแรงตามความหนาของผนงั จะมคี า ทเ่ี ปล่ยี นแปลงนอยมาก ดังน้ัน เราจะสมมุติใหห นวยแรงดังกลาวมคี า คงทตี่ ลอด

ความหนาของผนงั

Cylindrical Vessels

พิจารณา pressure vessel รูปทรงกระบอก ท่ีมีผนงั หนา t และมีรศั มภี ายใน r ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 8-1a

Pressure vessel นี้ถกู กระทําโดยความดนั ภายใน p จากของเหลวหรอื ของไหลทสี่ มมุติใหมนี า้ํ หนักทีน่ อ ยมากเม่อื เทียบ

กับขนาดของแรงดนั ทีเ่ กิดจากความดนั ภายใน

รปู ท่ี 8-1

เน่อื งจากจากความดนั มีการกระจายท่สี มํา่ เสมอ ดังน้ัน การกระจายของหนวยแรงบน differential element ทอ่ี ยู
หางจากปลายของ pressure vessel รปู ทรงกระบอกเปน ระยะทางพอสมควรจะมีลักษณะดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี 8-1a โดยท่ีคา

Mechanics of Materials 8-2

ของหนวยแรงต้งั ฉาก σ1 จะมีทิศทางสัมผัส (tangent) กับเสนรอบวงของ pressure vessel ซ่งึ จะถกู เรยี กวา หนว ยแรงใน
แนวเสนวงรอบ (circumferential stress หรือ hoop stress) และหนว ยแรงตั้งฉาก σ 2 ในแนวแกนของ pressure vessel
จะถกู เรยี กวา หนวยแรงในแนวแกน (longitudinal stress) เราควรทีจ่ ะทราบดวยวา ภายใตแรงดันภายใน หนวยแรงตัง้ ฉาก
ท้ังสองน้ีจะเปน หนวยแรงดึงเสมอ

Hoop stress
พจิ ารณา pressure vessel ท่ถี กู ตัดโดยระนาบ a , b , และ c ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ 8-1b เราจะเขยี นแผนภาพ
free-body diagram ของช้นิ สว นของ pressure vessel ได ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี 8-1c จากรูป เราแสดงเพยี งแคแรงทีอ่ ยูใน
แนวแกน x เทา นัน้ โดยท่ี σ1 เปน hoop stress ท่กี ระทําอยบู นผนังของ pressure vessel และมีคาคงท่ตี ลอดความหนา
ของผนัง และ p เปน ความดนั ภายในท่กี ระทาํ อยูบนของเหลวหรอื ของไหลทอ่ี ยใู น pressure vessel
จากสมการความสมดลุ ของแรงในแนวแกน x เราจะไดวา

2 [σ1 (t dy)] − p (2 r dy) = 0 (8-1)
pr

σ1 = t

Longitudinal stress

พจิ ารณาแผนภาพ free-body diagram ของชน้ิ สว นของ pressure vessel ซง่ึ ไดม าจากการตดั ของระนาบ b

บน cylindrical pressure vessel ดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 8-1d จากรูป เราแสดงเพียงแคแ รงทอ่ี ยใู นแนวแกน y เทานนั้ โดยที่

σ 2 เปน longitudinal stress ท่ีกระทาํ อยบู นผนงั ของ pressure vessel และมีคาคงทต่ี ลอดความหนาของผนัง และ p
เปน ความดนั ภายในทีก่ ระทําอยบู นของเหลวหรอื ของไหลท่ีอยูใน pressure vessel

จากสมการความสมดลุ ของแรงในแนวแกน y เราจะไดวา

σ 2 (2 π r t) − p (π r 2 ) = 0 (8-2)
pr

σ 2 = 2t

Spherical Vessels

พิจารณา pressure vessel รูปทรงกลม ซง่ึ บรรจขุ องเหลวหรอื ของไหลภายใตค วามดนั ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี 8-2a

ในลกั ษณะทีค่ ลา ยกบั ในกรณขี อง pressure vessel รปู ทรงกระบอก เราจะตัด spherical pressure vessel น้ีโดยใช

ระนาบ a ซงึ่ จะแบง pressure vessel ดงั กลา วออกเปนสองสวนท่ีเทากัน และเราจะเขยี นแผนภาพ free-body diagram

ของชนิ้ สว นของ pressure vessel ได ดงั ท่แี สดงในรูปท่ี 8-2b โดยที่ σ 2 เปน หนว ยแรงที่กระทําอยูบนผนังของ pressure
vessel และมีคา คงทีต่ ลอดความหนาของผนงั และ p เปนความดันภายในท่กี ระทาํ อยบู นของเหลวหรอื ของไหลทีอ่ ยใู น

pressure vessel

จากสมการความสมดุลของแรงในแนวแกน y เราจะไดวา

σ 2 (2 π r t) − p (π r 2 ) = 0

pr (8-3)
σ 2 = 2t

โดยการตดั pressure vessel ในทิศทางอืน่ ๆ ในลักษณะเชน เดียวกบั ท่กี ลาวมาแลว เราจะไดวา หนวยแรง σ 2

นีจ้ ะมคี าเทากันในทุกทศิ ทางของการตัด ดงั นน้ั element เล็กๆ ท่ีอยบู น pressure vessel รปู ทรงกลมจะถกู กระทําโดย

สภาวะของหนว ยแรง ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ 8-2a

Mechanics of Materials 8-3

รปู ท่ี 8-2
จากการวเิ คราะหท่ีกลาวมาแลว เราควรที่จะทราบดวยวา

1. สภาวะของหนวยแรงใน pressure vessel ทรงกระบอกและทรงกลมจะอยูในรปู ของ biaxial stress ซึง่ มี
หนว ยแรงตงั้ ฉากกระทาํ อยูในสองทิศทางทตี่ ้งั ฉากกันบน differentail element ของ pressure vessel แตใ น
ความเปน จริงแลว วัสดุทใ่ี ชทาํ pressure vessel จะถกู กระทําโดยหนว ยแรงในแนวรัศมี (radial stress) σ 3
ดวย ซง่ึ หนวยแรงนีจ้ ะมคี าเทากบั ความดนั ภายใน p ที่กระทาํ อยทู ผี่ นงั ดา นในของ pressure vessel และ
จะมคี า เทา กบั ศูนยท ่ผี วิ ของผนงั ดานนอก แตเ น่ืองจากวา pressure vessel ที่เราพิจารณาอยมู ผี นงั ทบี่ าง
เราจะไมจําเปน ที่จะตอ งพิจารณา σ 3 เชน เมอ่ื r / t = 10 แลว σ 3 จะมีคานอ ยกวา σ 2 ถงึ 5 เทาและ
จะมีคานอ ยกวา σ1 ถงึ 10 เทา (จากสมการที่ 8-1 และ 8-2)

2. สมการตางๆ ที่หามาไดจะใชไดก ับ pressure vessel ทีม่ อี ัตราสว นของรศั มขี องผนงั ตอ ความหนาของผนัง มี
คา มากกวา หรือเทา กับ 10 ( r / t ≥ 10 )

3. สมการตางๆ ที่ไดมานีจ้ ะไมส ามารถนาํ ไปใชไ ดก บั pressure vessel ท่ีถูกกระทําโดยความดนั ภายนอก
เพราะในกรณนี ี้ ความดนั จะทําใหผ นังของ pressure vessel ขาดเสถียรภาพได

4. สมการตางๆ ทหี่ ามาไดจ ะไมส ามารถใชไ ดใ นบรเิ วณทมี่ ี stress concentration เกิดขน้ึ เชน ทจี่ ุดรองรบั และ
ทช่ี องเปด ตางๆ ของ pressure vessel รูปทรงกระบอก ดงั ที่แสดงในรปู ที่ 8-3 เปน ตน

รปู ที่ 8-3

Mechanics of Materials 8-4

8.2 สภาวะหนว ยแรงทีเ่ กดิ จากนํ้าหนกั บรรทกุ กระทํารวม (State of Stress Caused by Combined Loadings)
โดยท่วั ไปแลว เมอื่ โครงสรางหรอื ชิ้นสว นของโครงสรางถกู กระทําโดยแรงกระทําภายนอกแลว โครงสรา งหรอื ชิ้น

สว นของโครงสรา งดังกลาวจะมแี รงภายใน เชน แรงในแนวแกน (axial force) แรงเฉือน (shear force) โมเมนตดัด
(bending moment) และแรงบิด (torque) เปน ตน เกิดข้ึนเพือ่ ตา นทานตอ แรงกระทําภายนอก ยกตวั อยา งเชน เม่ือคาน ดัง
ท่ีแสดงในรปู ท่ี 8-4a ถูกรองรับโดยหมุดและเคเบิล (cable) และถูกกระทําโดยแรงภายนอกแลว คานดังกลาวจะมีแรงใน
แนวแกน แรงเฉอื น และโมเมนตด ัดเกิดข้ึนภายในคาน เมอื่ pressure vessel ดงั ทแี่ สดงในรปู ที่ 8-4b ถูกกระทําโดยแรง
ภายในและภายนอกแลว pressure vessel ดงั กลา วจะมีแรงในแนวแกน แรงในแนวเสนวงรอบ แรงเฉือน และโมเมนตดดั
เกดิ ขน้ึ ภายใน pressure vessel และเมือ่ เพลา ดงั ท่ีแสดงในรูปท่ี 8-4c ถกู กระทําโดยแรงภายนอกแลว เพลาดังกลา วจะมี
แรงบิด แรงเฉอื น และโมเมนตด ัดเกิดขึน้ ภายในเพลา เปนตน

รปู ท่ี 8-4

แรงภายในเหลานี้จะทําใหเกิดสภาวะของหนวยแรงที่ซับซอนบนหนาตัดของช้ินสวนของโครงสราง ในกรณีท่ี
ความสมั พนั ธระหวา งแรง หนวยแรง และการเปล่ยี นแปลงรปู รางของชนิ้ สวนของโครงสรางแปรผนั โดยตรงตอกัน และเม่อื
ชน้ิ สว นของโครงสรางดังกลาวมกี ารเปล่ยี นแปลงรปู รา งที่นอยมากแลว เราจะใชหลกั การ principle of superposition ชว ย
ในการวิเคราะหแ ละออกแบบชิ้นสวนของโครงสรางดงั กลา วได
ขัน้ ตอนในการวเิ คราะห
1. Internal loadings

• ตัดโครงสรางหรือช้ินสวนของโครงสรางที่ตําแหนงที่ตองการหาคาหนวยแรงใหต้ังฉากกับแนวแกนของโครง
สรางหรอื ช้นิ สวนของโครงสรา ง

• ใชแ ผนภาพ free-body diagram และสมการความสมดุลในการหาแรงลัพธภ ายใน เชน แรงในแนวแกน แรง
เฉือน โมเมนตดัด และแรงบิด เปนตน โดยใหแรงเหลานี้กระทาํ ผานจดุ centroid ของหนา ตดั และใหโ มเมนต
ดัดกระทาํ รอบแกนตงั้ ฉากท่ีผา นจุด centroid ของหนา ตัด

Mechanics of Materials 8-5

2. Stress components

• คํานวณหาคา ของหนวยแรงตางๆ ทีเ่ กดิ ข้นึ จากแรงและโมเมนตล ัพธ โดยท่ี

- แรงในแนวแกน

P
σ=A

- แรงเฉอื น

VQ
τ = It

- โมเมนตดดั

σ = − My
I

- แรงบดิ

τ = Tρ
J

- Thin-walled pressure vessels

pressure vessel รูปทรงกระบอก

pr
σ1 = t

σ2 = pr
2t

pressure vessels รปู ทรงกลม

pr
σ 1 = σ 2 = 2t

• เขียนแผนภาพแสดงการกระจายของของหนว ยแรงบนหนา ตดั ของโครงสรางหรือช้นิ สว นของโครงสรา ง

3. Superposition

• ใชห ลักการ principle of superposition ในการหาหนวยแรงต้ังฉากและหนว ยแรงเฉอื นลพั ธท ่ีจุดใดๆ บนหนา

ตดั ของโครงสรางหรอื ชิน้ สว นของโครงสรา ง

Mechanics of Materials 8-6

ตวั อยา งท่ี 8-1
ทอ ทรงกระบอกผนังบาง (thin-walled cylinder) ดังที่แสดงในรูปท่ี EX 8-1a มีรัศมีภายใน ri = 50 mm และมี

ความหนา t = 3.6 mm ถกู กระทาํ โดยแรงดนั ภายใน p = 10 MPa รวมกับแรงในแนวแกน P = 50 kN

จงหาสภาวะของหนวยแรงท่เี กดิ ข้ึนในทอทรงกระบอกผนังบางท่ีจุด A

รูปท่ี EX 8-1

หนวยแรงในแนวแกนของ thin-walled cylinder จะมคี า เทากับหนว ยแรงในแนวแกนเน่ืองจากความดันภายใน

และหนวยแรงในแนวแกนเน่ืองจากแรงกดอัด

σx = pr − P = pr − P
2t A 2t 2πrt

= 10(106 )(0.050) − 50(103 ) = 25.2 MPa
2(0.0036) 2π (0.050)0.0036

หนวยแรงในแนวเสนรอบวง (hoop stress) จะมีคา เทากบั

σy = pr = 10(106 )0.050 = 138.9 MPa
t 0.0036

ดงั นนั้ เราจะเขยี นสภาวะของหนว ยแรงทีเ่ กิดข้ึนในทอ ทรงกระบอกผนังบางท่ีจุด A ได ดังท่แี สดงในรปู ท่ี EX 8-1b Ans.

Mechanics of Materials 8-7

ตวั อยา งท่ี 8-2
Rotor shaft ของเฮลคิ อปเตอร ดงั ทแ่ี สดงในรูปที่ EX 8-2a จะถกู กระทาํ โดยแรงดงึ ในแนวแกน P = 125 kN

และแรงบดิ T = 2.4 kN - m ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ EX 8-2b กาํ หนดใหเพลาดังกลา วมรี ัศมี c = 25 mm จงหาหนวยแรง
ดงึ และหนว ยแรงเฉอื นท่เี กิดขึน้ ในเพลา

รูปท่ี EX 8-2

หนวยแรงดึงในแนวแกนของเพลาเนือ่ งจากแรง P

σo = P = 125(103 ) = 63.66 MPa
A π (0.025)2

หนวยแรงบิด ซึ่งจะมที ิศทางไปทางเดยี วกับแรงบดิ T จะหาไดจาก torsional formula

τo = Tc = 2400(0.025) = 97.78 MPa
J π (0.025)4 / 2

ดงั น้นั เราจะเขียนสภาวะของหนว ยแรงที่เกิดข้ึนในเพลาได ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี EX 8-2c Ans.

Mechanics of Materials 8-8

ตวั อยางที่ 8-3
แทง เหล็กกลมตนั ถูกกระทําโดยแรงตางๆ ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี Ex 8-3a มรี ัศมี 25 mm จงหาสภาวะของหนว ยแรง

ท่เี กิดข้ึนทีจ่ ุด A

รปู ท่ี Ex 8-3

แรงภายในแทงเหล็กกลมตันทห่ี นา ตดั ที่ผานจดุ A จะหาไดโดยการตัดท่ีหนาตดั ดังกลา ว จากน้นั ใชส มการ

ความสมดุลของแรงและ moment ในแนวแกน x , y , และ z ซ่ึงจะไดแรงภายในแทง เหล็กกลมตนั ท่หี นาตัดดงั กลาว ดงั

ท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 8-3b

จากกฎขอ ท่ี 3 ของ Newtow เราจะเขยี นแรงภายในท่เี กดิ ขึ้นบนหนาตดั ที่ผา นจุด A ของอกี สวนหนง่ึ ของแทง

เหล็กกลมตนั ได ดังท่ีแสดงในรปู ท่ี Ex 8-3c

แรงในแนวแกน 2 kN จะทําใหมีการกระจายของหนวยแรงตง้ั ฉาก ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี Ex 8-3d และหนวยแรงต้ัง

ฉากท่ีจุด A จะมคี าเทากับ

σA = P = 2000 = 1.02 MPa
A π (0.025)2

Mechanics of Materials 8-9

แรงเฉือน 4 kN จะทาํ ใหมกี ารกระจายของหนวยแรงเฉอื น ดงั ท่แี สดงในรูปที่ Ex 8-3e และหนวยแรงเฉือนที่จุด

A จะมีคาเทากับ

τ A = VQA
It

โดยท่ี QA = y′A′ =  4(0.025)   1 π (0.025) 2  = 10.417(10−6 ) m3
 3π   2 

I = π (0.025)4 = 0.307(10−6 ) m4
4

ดังน้ัน τA = 4000(10.417)10 −6 = 2.71 MPa
0.307(10−6 )2(0.025)

โมเมนตด ัด 1kN - m จะทาํ ใหเ กิดการกระจายของหนวยแรงดัด ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี Ex 8-3f และหนว ยแรงดัดท่ี

จุด A จะมคี า เทา กบั ศนู ย

โมเมนตดัด 0.7 kN - m จะทําใหเ กดิ การกระจายของหนวยแรงดดั ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี Ex 8-3g และหนว ยแรง

ดัดท่ีจดุ A จะมีคา เทากบั

σ A = Mc = 700(0.025) = 57.0 MPa
I 0.307(10−6 )

Mechanics of Materials 8-10

แรงบิด 1.4 kN - m จะทาํ ใหมีการกระจายของหนว ยแรงเฉอื น ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Ex 8-3h และหนว ยแรงเฉือนที่

จดุ A จะมคี าเทา กบั

Tc
τA = J

โดยท่ี J = π (0.025) 4 = 0.614(10−6 ) m4
2

τA = Tc = 1400(0.025) = 57.0 MPa
J 0.614(10−6 )

ดังนน้ั จาก principle of superposition เราจะเขียนสภาวะของหนว ยแรงทเ่ี กดิ ขึน้ ท่จี ุด A ในแทงเหล็กกลมตันได ดังท่ี

แสดงในรูปที่ EX 8-3i Ans.

Mechanics of Materials 8-11

แบบฝก หัดทายบทท่ี 8
8-1 ถังเกบ็ กาซทรงกลมมเี สน ผาศูนยก ลางภายใน r = 1.5 m ถกู กระทําโดยความดันภายใน p = 300 kPa จงหาความ
หนาของถงั ถากาํ หนดใหหนวยแรงตั้งฉากสูงสดุ มีคาไมเกิน 12 MPa
8-2 ทอ สง กา ซเหลก็ ดังท่ีแสดงในรูปท่ี Prob. 8-2 ถกู รองรบั ทุกๆ 6 m โดยตอมอคอนกรตี อยางยึดแนน ถา กาซในทอ มี
ความดัน 4 MPa และอุณหภมู ขิ องทอ มีคา เพ่ิมข้นึ 30oC จงหาหนวยแรงในแนวแกนและ hoop stress ท่ีเกดิ ขึ้นในทอ
กาํ หนดใหท อมีเสน ผาศูนยก ลางภายใน 0.50 m และหนา 6.3 mm

รปู ท่ี Prob. 8-2

8-3 pressure vessel ถกู ปด ปลายดว ยแผนเหล็ก ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี Prob. 8-3 ถา ความดันภายในทอ p = 450 kPa จง
หาคา ของหนวยแรงเฉอื นทเ่ี กดิ ขึน้ ทจ่ี ุดเชอ่ื มตอของแผน เหล็กและทอ ทปี่ ลายทอ และจงเขยี นสภาวะของหนว ยแรงที่เกิดขึน้
ท่ีผนังของ pressure vessel

รูปท่ี Prob. 8-3

8-4 กาํ หนดใหจุดเช่ือมตอ ดังท่แี สดงในรปู ท่ี Prob. 8-4 ถกู กระทาํ โดยแรง P = 1.0 kN และแรง F = 0.75 kN จง
เขยี นสภาวะของหนวยแรงท่จี ุด A และจดุ B ถาชน้ิ สว นของโครงสรา งมหี นา ตัดรปู ส่เี หลย่ี มผนื ผา กวา ง 19 mm และ
หนา 12 mm

รูปที่ Prob. 8-4

8-5 กาํ หนดใหโ ครงสรา งถกู กระทําโดยแรงกระทํา ดังทแ่ี สดงในรปู ท่ี Prob. 8-5 จงเขียนสภาวะของหนว ยแรงที่จดุ D และ
จดุ E

Mechanics of Materials 8-12

รปู ท่ี Prob. 8-5

8-6 ปายสญั ญาณจราจร ซง่ึ ถูกรองรบั โดยเสาทมี่ ขี นาดเสน ผา ศนู ยก ลางภายนอก 100 mm และหนา 6.3 mm ถกู
กระทาํ โดยแรงลม ดังทีแ่ สดงในรูปที่ Prob. 8-6 จงเขยี นสภาวะของหนว ยแรงที่จุด A จุด B จุด C และจุด D ทีห่ นา ตดั
ของเสาดังที่แสดงในรูป

รปู ที่ Prob. 8-6
8-7 แทง เหลก็ ถูกยดึ แนนท่จี ุด C และถูกกระทําโดยแรงตางๆ ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ Prob. 8-7 จงเขยี นสภาวะของหนวยแรงท่ี
จุด A และจดุ B

รูปที่ Prob. 8-7

Mechanics of Materials 9-1

บทท่ี 9

การแปลงหนวยแรง (Stress Transformation)

เรยี บเรียงโดย ดร. สิทธชิ ยั แสงอาทิตย

9.1 การแปลงหนวยแรงในระนาบ (Plane-Stress Transformation)

โดยทว่ั ไปแลว สภาวะของหนว ยแรงทจี่ ุดๆ หน่ึงบนวัตถุ (ซ่ึงจะแสดงไดโดยใช cubic volume element ที่ตดั ออก

มาจากวตั ถนุ ้นั ดังที่กลาวไปแลวในบทท่ี 1 จะประกอบดว ยหนว ยแรงตงั้ ฉากและหนวยแรงเฉอื นที่เปน อสิ ระตอกันทัง้ หมด 6

หนวยแรง โดยหนว ยแรงดงั กลาวจะกระทาํ อยบู นดา นตางๆ ท้งั 6 ดา นของ cubic volume element ดงั เชนทแ่ี สดงในรูปที่

9-1a แตโดยสว นใหญแลว ชนิ้ สว นของโครงสรางหรอื เครอื่ งจกั รกลจะถกู กระทําโดยหนว ยแรงท่ีอยูในระนาบเดยี วกนั และ

เปน อสิ ระตอกนั เพียงแค 3 หนว ยแรงเทาน้ัน ดงั ทไี่ ดศกึ ษาไปแลว ในบทที่ 8 ซ่งึ ในกรณีน้ี สภาวะของหนวยแรงดังกลาวที่

เรียกวา plane stress ดังท่แี สดงในรูปที่ 9-1b

โดยท่วั ไปแลว สภาวะของหนว ยแรงแบบ plane stress ในระนาบ x − y จะประกอบดว ยหนวยแรงตัง้ ฉาก 2

หนว ยแรงคอื σ x และ σ y และหนวยแรงเฉอื น 1 หนว ยแรงคอื τ xy ซง่ึ กระทาํ อยูบนดานท้งั ส่ขี อง element ดังท่แี สดงใน
รปู ท่ี 9-1c

รูปท่ี 9-1

ถาเราทราบคาของหนว ยแรงทง้ั สามบน element ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 9-2a แลว เราจะหาสภาวะของหนว ยแรงบน
element ดงั กลา วในระบบแกนอ่ืนๆ เชน ระบบแกน x′ − y′ เปนตน ทท่ี าํ มุม θ กับระนาบ x − y ได ดงั ท่แี สดงในรปู ที่

Mechanics of Materials 9-2

9-2b โดยทคี่ า ของหนว ยแรงบน element ในระบบแกน x′ − y′ หรอื σ x′ , σ y′ , และ τ x′y′ จะมคี า ตา งกับคาของหนวย
แรงบน element ในระบบแกน x − y แตค า ของหนวยแรงบน element ในระบบแกนท้ังสองจะแสดงถงึ สภาวะของหนว ย
แรงทีจ่ ดุ เดยี วกนั

รูปท่ี 9-2

การหาคา ของหนว ยแรง σ x′ และ τ x′y′ บนระนาบทีต่ ั้งฉากกับแกน x′ น้ันจะทาํ ไดด ังนี้
1. ทาํ การตัด element ในระบบแกน x − y ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี 9-2b โดยใหหนาตดั ดังกลาวต้งั ฉากกับแกน

x′ ดังท่แี สดงในรูปที่ 9-2c
2. หาคาแรงทเี่ กิดจากหนวยแรง σ x และ τ xy โดยการคณู คาหนว ยแรงดว ยพ้นื ทีท่ หี่ นวยแรงนนั้ กระทาํ
3. เขียนแผนภาพ free-body diagram ของแรงตา งๆ
4. ใชสมการความสมดุลของแรงหาคาขององคประกอบของแรงที่อยูในระบบแกน x′ − y′ และหารคาแรงท่ี

ไดดวยพนื้ ทท่ี หี่ นว ยแรงนนั้ กระทาํ อยู
ในลกั ษณะที่คลา ยกนั เราจะหาคาของหนวยแรง σ y′ และ τ x′y′ ไดโดยการตัด element ในระบบแกน x − y
ดังท่ีแสดงในรูปท่ี 9-2b โดยใหห นาตัดดงั กลา วต้งั ฉากกบั แกน y′ ดงั ที่แสดงในรูปท่ี 9-2d แลว ทาํ การหาคาของ σ y′ ใน
ลักษณะเชนเดียวกับการหาคา σ x′ โดยที่เราไมจําเปน ทีจ่ ะตองหาคาของ τ x′y′ เพราะมคี า เทากบั คา τ x′y′ ที่หามาไดใ น
ขน้ั ตอนท่ี 4

Mechanics of Materials 9-3

ตัวอยา งที่ 9-1
กาํ หนดใหส ภาวะของหนว ยแรงท่กี ระทาํ อยูบ น stress element ท่ีจุด A บนองคอาคารของโครงสรางมลี ักษณะ

ดงั ท่แี สดงในรปู ที่ Ex 9-1a จงหาสภาวะของหนว ยแรงท่ีกระทาํ อยูบ น stress element ที่หมุนตามเขม็ นาฬิกาเปนมมุ 30o
ดงั ที่แสดงในรปู ที่ Ex 9-1b

รปู ที่ Ex 9-1

พจิ ารณาแผนภาพ free-body diagram ของ stress element ท่ีถกู ตดั โดยแกน x′ ดงั ทแ่ี สดงในรูปที่ Ex 9-1c
กําหนดใหพ้นื ท่ีหนาตัดของรอยตัดมีคา เทากับ ∆A ดงั นน้ั พื้นทหี่ นาตัดแนวแนวนอนของ element จะมีคา เทา กับ

∆Acos 30o

และน้นั พื้นทหี่ นาตดั แนวแนวด่งิ ของ element จะมีคา เทา กับ

∆Asin 30o

จากสมการความสมดุลของแรงในแนวแกน x′ และแกน y′ เราจะได

∑ Fx′ = 0;

− ∆Fx′ + (50∆Acos 30o ) sin 30o + (25∆Acos 30o ) cos 30o
+ (80∆Asin 30o ) cos 30o − (25∆Asin 30o ) sin 30o = 0
∆Fx′ = 68.8∆A

Mechanics of Materials 9-4

∑ Fy′ = 0;

+ ∆Fy′ − (50∆Acos 30o ) cos 30o + (25∆Acos 30o ) sin 30o

+ (80∆Asin 30o ) sin 30o + (25∆Asin 30o ) cos 30o = 0

∆Fy′ = −4.15∆A

เนื่องจาก ∆Fy′ มีคา เปนลบ ดังนัน้ ∆Fy′ จะกระทาํ ในทิศตรงกันขา มกบั ทีไ่ ดส มมุตใิ นรูปที่ Ex 9-1c และหนวย
แรงตงั้ ฉากและหนว ยแรงเฉือนทเ่ี กดิ ขึ้นบนหนาตดั นจี้ ะมีคาเทา กบั

σ y′ = ∆Fy′ = 4.15 MPa
∆A

τ x′y′ = ∆Fx′ = 68.8 MPa
∆A

พจิ ารณาแผนภาพ free-body diagram ของ stress element ทถี่ ูกตัดโดยแกน y′ ดังทแี่ สดงในรปู ที่ Ex 9-1d
กําหนดใหพ นื้ ทีห่ นา ตัดของรอยตดั มีคาเทากับ ∆A ดังนัน้ พน้ื ที่หนาตัดแนวแนวนอนของ element จะมคี าเทา กบั

∆Asin 30o

และพ้นื ท่ีหนา ตดั แนวแนวดิง่ ของ element จะมีคาเทา กับ

∆Acos 30o

จากสมการความสมดลุ ของแรงในแนวแกน x′ และแกน y′ เราจะได

∑ Fx′ = 0;

∆Fx′ − (25∆Acos 30o ) sin 30o + (80∆Acos 30o ) cos 30o
− (25∆Asin 30o ) cos 30o − (50∆Asin 30o ) sin 30o = 0

∆Fx′ = −25.8∆A

Mechanics of Materials 9-5

∑ Fy′ = 0;

− ∆Fy′ + (25∆Acos 30o ) cos 30o + (80∆Acos 30o ) sin 30o

− (25∆Asin 30o ) sin 30o + (50∆Asin 30o ) cos 30o = 0

∆Fy′ = 68.8∆A

เนอื่ งจาก ∆Fx′ มีคาเปนลบ ดงั นน้ั ∆Fx′ จะกระทําในทิศตรงกันขามกับท่ไี ดส มมุตใิ นรูปที่ Ex 9-1d และหนวย
แรงต้งั ฉากและหนว ยแรงเฉือนทีเ่ กดิ ขน้ึ บนหนา ตดั นจ้ี ะมคี า เทา กบั

σ x′ = ∆Fx′ = 25.8 MPa
∆A

τ x′y′ = ∆Fy′ = 68.8 MPa
∆A

รปู ที่ Ex 9-1e แสดงสภาวะของหนวยแรงทก่ี ระทาํ อยูบน stress element ทหี่ มุนตามเข็มนาฬกิ าเปนมุม 30o ขอ

ใหส ังเกตทิศทางของหนว ยต้งั ฉากและหนวยแรงเฉือนที่เกดิ ขนึ้ บน stress element และเราจะเห็นไดวา หนวยแรงเฉอื นท่ไี ด

จากการพจิ ารณาท้ังสองกรณมี คี าเทา กนั Ans.

Mechanics of Materials 9-6

9.2 สมการการแปลงหนว ยแรงในระนาบ (General Equations of Plane-Stress Transformation)
สมการ plane-stress transformation ทใ่ี ชในการเปล่ยี นสภาวะของหนว ยแรงจากระบบแกน x − y ไปสูระบบ

แกน x′ − y′ ท่ที ํามมุ กนั θ กับระบบแกน x − y จะหาไดดังตอไปนี้
Sign Convention

รูปท่ี 9-3 แสดง sign convention ของหนว ยแรงและมมุ θ ทีม่ คี า เปนบวก โดยท่ี
1. หนว ยแรงต้ังฉากจะมีคาเปนบวกเมอื่ เปนหนวยแรงดงึ ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 9-3a
2. หนวยแรงเฉอื นจะมคี า เปนบวก เมอื่ หนวยแรงมีทศิ พุงไปในแนวแกนทเ่ี ปน บวกและกระทําอยบู นหนาตัดของ

element ทตี่ ดั กับแกนที่เปน บวก หรือเมื่อหนว ยแรงมที ิศพงุ ไปในแนวแกนทเี่ ปน ลบและกระทาํ อยูบนหนา ตัด
ของ element ทีต่ ัดกบั แกนที่เปนลบ ดังทีแ่ สดงในรปู ท่ี 9-3a

3. มุม θ จะมีคา เปน บวก เมอื่ มที ิศทางหมนุ ตามกฎมือขวาจากแกน x ไปยังแกน x′ หรอื หมนุ ทวนเข็ม
นาฬิกา ดังท่แี สดงในรปู ที่ 9-3b

รูปที่ 9-3

Normal and Shear Stress Components

กาํ หนดให element ถูกกระทาํ โดยสภาวะของหนวยแรงแบบ plane stress ที่มคี าเปน บวกในระบบแกน x − y

ดังทีแ่ สดงในรูปท่ี 9-4a หนว ยแรงทเี่ กดิ ขน้ึ บน element ในระบบแกน x′ − y′ ที่ทํามมุ กนั θ กับระบบแกน x − y จะหา

ไดโ ดยการตดั element ดงั กลาวใหมีหนา ตดั ทต่ี ั้งฉากกบั แกน + x′ และชน้ิ สว นที่ถกู ตดั ออกมาจะมลี กั ษณะดงั ท่แี สดงใน

รปู ท่ี 9-4b

กาํ หนดใหพ ืน้ ที่หนาตดั ของระนาบทถ่ี กู ตดั มีคาเทา กับ ∆A ดงั นัน้ พื้นท่ีของระนาบดังกลาวในแนวแกน x และ

แนวแกน y จะมคี า เทา กับ ∆Asinθ และ ∆Acosθ ตามลําดบั ดังน้ัน เราจะเขียนแผนภาพ free-body diagram ของ

ชนิ้ สว นของ element ดงั กลาวได ดังที่แสดงในรูปที่ 9-4c

โดยใชส มการสมดุลของแรงในแนวแกน x′ และ y′ เราจะหาองคประกอบของหนว ยแรงต้งั ฉาก σ x′ และหนว ย

แรงเฉือน τ x′y′ ไดโดยที่

∑ Fx′ = 0; σ x′ ∆A − (τ xy ∆A sinθ ) cosθ − (σ y ∆A sinθ ) sinθ
− (τ xy ∆A cosθ ) sinθ − (σ x ∆A cosθ ) cosθ = 0

Mechanics of Materials 9-7

σ x′ = σ x cos2 θ + σ y sin 2 θ + τ xy (2sinθ cosθ )

รูปท่ี 9-4

∑ Fy′ = 0; τ x′y′ ∆A − (τ xy ∆A sinθ )sinθ − (σ y ∆A sinθ ) cosθ
− (τ xy ∆A cosθ ) cosθ − (σ x ∆A cosθ )sinθ = 0

τ x′y′ = (σ y − σ x ) sinθ cosθ + τ xy (cos2 θ − sin 2 θ )

เน่ืองจาก sin 2θ = 2sinθ cosθ

sin 2 θ = (1− cos 2θ )
2

และ cos2 θ = (1 + cos 2θ )
ดังนนั้ เราจะไดวา 2

σ x′ = σx +σ y +σx −σ y cos 2θ + τ xy sin 2θ (9-1)
2 2

τ x′y′ = −σx −σ y sin 2θ + τ xy cos 2θ (9-2)
2

สมการที่ 9-1 และ 9-2 น้มี ักจะถูกเรียกวา สมการของ plane-stress transformation เนื่องจากสมการทั้งสองน้ี

เปล่ยี นสภาวะของหนว ยแรงจากระบบแกนหน่ึงไปสูอีกระบบแกนหน่งึ

Mechanics of Materials 9-8

สมการของหนวยแรงต้งั ฉาก σ y′ จะหามาไดจากการแทนมุม θ ในสมการท่ี 9-1 ดวยมุม θ + 90o ซ่ึงเราจะได
วา

σ = σx +σ y −σx −σ y cos 2θ − τ xy sin 2θ (9-3)
2 2
y′

จากสมการท่ี 9-1 ถงึ 9-3 เราจะเห็นไดว า ถา เราทราบคาของหนว ยแรง σ x , σ y , และτ xy แลว เราจะหาหนวย

แรง σ x′ , σ y′ , และ τ x′y′ ไดและเม่ือ θ = 0o แลว เราจะไดว า

σ x′ = σ x , σ y′ = σ y , และ τ x′y′ = τ xy

เม่อื ทําการรวมสมการท่ี 9-1 และ 9-3 เขา ดว ยกนั แลว เราจะไดวา

σ x′ + σ y′ = σ x + σ y

ซึง่ แสดงวา ผลรวมของหนว ยแรงตงั้ ฉากทก่ี ระทําอยบู นดานทีต่ ้ังฉากกนั ของ element ท่ีถกู กระทําโดย plane stress ท่ีจดุ ๆ
หนึง่ จะมีคา คงที่และเปน อิสระตอมุม θ

รปู ที่ 9-5 เปน ตวั อยางกราฟทีแ่ สดงถงึ การเปลี่ยนแปลงของหนวยแรง σ x′ และ τ x′y′ เทียบกับมมุ θ เมอ่ื กาํ หนด
ให σ y = 0.2σ x และ τ xy = 0.8σ x จากรปู เราจะเหน็ ไดวา คา ของหนว ยแรง σ x′ และ τ x′y′ จะมกี ารเปล่ียนแปลง
อยางตอเน่อื ง เม่อื element ถูกหมุนไปเปน มุม θ และเมื่อมุม θ มีคา บางคาแลว คาของหนว ยแรงดังกลา วจะมีคาสงู สุด
ตํ่าสดุ และเทา กับศนู ย

รูปที่ 9-5

Mechanics of Materials 9-9

ตัวอยางท่ี 9-2
กาํ หนดใหภ าวะของหนวยแรงท่ีจดุ ใดจดุ หน่ึงบนองคอาคารของโครงสรางและกระทาํ อยบู น stress element มี

ลกั ษณะดังทแี่ สดงในรูปท่ี Ex 9-2a จงหาสภาวะของหนว ยแรงท่กี ระทาํ อยูบน stress element ท่ีหมุนตามเขม็ นาฬกิ าเปน

มุม 30o ดังทแ่ี สดงในรูปท่ี Ex 9-2b

รูปที่ Ex 9-2

จาก sign convention ที่เรากาํ หนด เราจะไดว า

σ x = −80 MPa σ y = +50 MPa τ xy = −25 MPa

ในการหาหนวยแรงต้ังฉากและหนว ยแรงเฉอื นทเ่ี กิดข้นึ บนระนาบ CD ซึง่ ตัง้ ฉากกับแกน x′ ดงั ที่แสดงในรปู ที่

Ex 9-2b เราจะตอ งทาํ การหมนุ stress element ไปในทศิ ทางตามเขม็ นาฬิกาเปน มมุ 30o ซึ่งเราจะไดวา θ = −30o ดัง
นั้น จากสมการที่ 9-1 และ 9-2 เราจะได

σ x′ = σx +σ y +σx −σ y cos 2θ + τ xy sin 2θ
2 2

σ = − 80 + 50 + − 80 − 50 cos 2(−30o ) + (−25) sin 2(−30o )
2 2
x′

= −25.8 MPa

τ x′y′ = −σx −σ y sin 2θ + τ xy cos 2θ
2

τ x′y′ = − − 80 − 50 sin 2(−30o ) + (−25) cos 2(−30o )
2

= −68.8 MPa

Mechanics of Materials 9-10

เครือ่ งหมายลบของหนวยแรงตั้งฉากและหนวยแรงเฉือนทีไ่ ดแ สดงวา หนวยแรงต้งั ฉากและหนวยแรงเฉอื นทเ่ี กดิ ขึ้นจรงิ มที ศิ

ทางตรงกนั ขามกับ sign convention ที่เราใช
ในทํานองเดียวกนั หนวยแรงตง้ั ฉากทีเ่ กิดขึ้นบนระนาบ BC ซ่งึ ตง้ั ฉากกบั แกน y′ ดังท่แี สดงในรปู ที่ Ex 9-2c

จะหาไดจากสมการที่ 9-3

σ y′ = σx +σ y −σx −σ y cos 2θ − τ xy sin 2θ
2 2

σ = − 80 + 50 − − 80 − 50 cos 2(−30 o ) − (−25) sin 2(−30o )
2 2
y′

= −4.15 MPa
เครื่องหมายลบท่ไี ดแสดงวา หนวยแรงตั้งฉากท่เี กดิ ขึ้นจรงิ มที ศิ ทางตรงกนั ขา มกบั sign convention ที่เราใช รปู ท่ี Ex 9-1c

แสดงหาสภาวะของหนว ยแรงทกี่ ระทาํ อยูบน stress element ที่หมนุ ตามเขม็ นาฬกิ าเปน มมุ 30o Ans.

Mechanics of Materials 9-11

9.3 หนว ยแรงหลกั และหนว ยแรงเฉอื นในระนาบสูงสุด (Principal Stresses and Maximum In-Plane Shear
Stresses)
In-Plane Principal Stresses

หนวยแรงหลกั (principle stresses) เปนหนว ยแรงตัง้ ฉากที่มีคา สูงสุดและตํ่าสดุ ทีเ่ กิดขึ้นบน stress element ท่ีมี

สภาวะของหนว ยแรงสภาวะหน่งึ สมการ principal stresses จะหาไดด ังตอ ไปน้ี

1. ทาํ การ differentiate สมการที่ 9-1 เทยี บกับมมุ θ และใหผลลพั ธทไี่ ดมีคา เทา กับศูนย ซ่ึงเราจะหามุมที่
stress element ถูกกระทําโดย principal stresses ไดในรูป

dσ x′ = −σx −σ y (2 sin 2θ ) + 2τ xy cos 2θ =0
dθ 2

tan 2θ p = (σ τ xy y)/2 (9-4)
−σ
x

สมการท่ี 9-4 นจี้ ะใหค ําตอบเปนมมุ สองมุมคือ 2θ p1 และ 2θ p2 ซง่ึ จะมีคาตา งกัน 180o (ดงั น้ัน มมุ θ p1

และ θ p2 จะตางกนั 90o ) และมมุ θ p1 และ θ p2 น้ีมักจะถกู เรยี กวา มมุ หลกั (principal angles) ซง่ึ จะบงบอกถึงทิศ

ทางของระนาบหลัก (principal planes) ท่ี principal stresses กระทาํ อยู ดังทแี่ สดงในรปู ท่ี 9-6

รูปที่ 9-6
เมอ่ื τ xy และ (σ x −σ y ) มีคา เปนบวกพรอมกันหรือเปนลบพรอ มกันแลว สมการที่ 9-4 จะถกู เขียนใหอยใู นรปู
กราฟฟกได ดังที่แสดงในรปู ที่ 9-7 (ซงึ่ ในความเปนจรงิ แลว τ xy และ (σ x −σ y ) อาจจะมคี า เปน บวกหรือลบไมพ รอม
กันกไ็ ด)

รูปที่ 9-7

Mechanics of Materials 9-12

จากรปู ความยาวของดานท่ตี รงกันขามกบั มมุ ฉากของสามเหล่ียมมมุ ฉากจะหาไดจ ากสมการ

 σ x −σ y  2 + τ 2
2 xy

จากน้นั เราจะหาคา sin และ cosine ของมมุ 2θ p1 หรือ 2θ p2 ได

2. แทนคา sin และ cosine ของมมุ 2θ p1 และ 2θ p2 ลงในสมการท่ี 9-1 เราจะไดวา

σ1 = σx +σ y ±  σ x −σ y  2 +τ 2 (9-5)
2 2 2 xy

โดยท่ี σ1 เปนหนว ยแรงตั้งฉากทม่ี คี าสงู สดุ และ σ 2 เปนหนวยแรงตัง้ ฉากท่มี คี าตํา่ สุด

เมื่อเราแทนคา sin และ cosine ของมุม 2θ p1 หรือ 2θ p2 ลงในสมการท่ี 9-2 เราจะไดว า τ x′y′ = 0 ซ่ึง

หมายความวาหนว ยแรงเฉือนมคี า เทากบั ศูนยบ นระนาบหลกั (principal planes)

เมอ่ื เรานาํ สมการของหนว ยแรงหลัก (principal stress) σ1 และ σ 2 มารวมกัน เราจะไดวา

σ1 +σ2 =σ x +σ y

ซ่งึ แสดงวา ผลรวมของหนว ยแรงตงั้ ฉากทกี่ ระทาํ อยูบ นดานทีต่ ั้งฉากกันของ element ท่ถี ูกกระทาํ โดย plane stress ทจ่ี ุดๆ

หนง่ึ จะมีคาคงท่ี

Maximum In-plane Shear Stress

มุมที่ stress element ถูกกระทาํ โดยแรงเฉอื นสงู สุดจะหาไดจากการทาํ differentiation สมการที่ 9-2 เทยี บกับมมุ

θ และใหผ ลลัพธท ไี่ ดมีคาเทา กบั ศนู ย ซ่ึงเราจะไดวา

dτ x′y′ = −σx −σ y (2 cos 2θ ) − (2τ xy sin 2θ ) = 0
dθ 2

tan 2θ s = − (σ x − σ y ) / 2 (9-6)
τ xy

สมการที่ 9-6 นี้จะใหค าํ ตอบเปน มมุ สองคา คอื 2θ s1 และ 2θs2 ดงั ที่แสดงในรปู ที่ 9-8

รูปท่ี 9-8

โดยการเปรียบเทียบรปู ที่ 9-7 กบั รปู ท่ี 9-8 เราจะเห็นไดว า มุม 2θ s จะตา งกับมุม 2θ p เทากบั 90o ดงั นัน้ คา
มมุ θ s จะตา งกบั คามมุ θ p เทากับ 45o ดังท่ีแสดงในรูปที่ 9-9

โดยการแทนคา sin และ cosine ของมุม 2θ s1 หรือ 2θs2 จากรูปที่ 9-8 ลงในสมการท่ี 9-2 เราจะไดว า สม
การของหนว ยแรงเฉือนสูงสุดบน element อยูในรปู

Mechanics of Materials 9-13

τ max =  σ x −σ y  2 +τ 2 (9-7)
in-plane 2 xy

รปู ที่ 9-9

เม่ือแทนคา sin และ cosine ของมุม 2θ s1 หรือ 2θ s2 ลงในสมการท่ี 9-1 เราจะไดวา หนว ยแรงตัง้ ฉากท่ีเกิด
ข้นึ บนระนาบท่เี กิดหนว ยแรงเฉือนสงู สุดจะหาไดจากสมการ

σ avg = σx +σ y (9-8)
2

นอกจากนัน้ แลว จากสมการท่ี 9-5 ถาเอาสมการ σ1 ตงั้ แลว ลบดว ยสมการ σ 2 จากน้ัน ทาํ การเปรียบเทียบผล

ลัพธทไ่ี ดกับสมการท่ี 9-7 เราจะไดวา

τ max = σ1 −σ2
in -plane 2

Mechanics of Materials 9-14

ตัวอยา งท่ี 9-3
จงหาสภาวะของหนว ยแรงในรปู ของ principal stresses และ maximum in-plane shear stress ที่เกดิ ขึ้นบน

stress element ท่ีจุดใดจดุ หน่งึ บนองคอ าคารของโครงสราง ดงั ทแี่ สดงในรปู ที่ Ex 9-3a

รูปท่ี EX 9-3

จาก sign convention ท่เี รากําหนด เราจะไดว า

σ x = −80 MPa σ y = +50 MPa τ xy = −25 MPa

หาสภาวะของหนว ยแรงในรปู ของ principal stresses

มมุ ที่ stress element หมุนไปแลว ทําใหสภาวะของหนวยแรงบน stress element ดงั กลา วเปล่ียนไปเปนสภาวะ

ของหนวยแรงในรูปของ principal stresses หรือมุมของ principal planes จะหาไดจ ากสมการที่ 9-4

tan 2θ p = (σ x τ xy y)/2 = − 25
−σ (−80 − 50) / 2

2θ p1 = 21.04o

θ p1 = 10.52o

เครอ่ื งหมายบวกแสดงวา มที ศิ ทางหมุนทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ไปยงั แกน x′

เนือ่ งจากมุม θ p1 ตางจากมุม θ p2 เปนมมุ 90o ดงั นนั้

θ p2 = −79.48o

เครอ่ื งหมายลบแสดงวามที ิศทางหมนุ ตามเขม็ นาฬิกาจากแกน x ไปยงั แกน x′

คาของ principal stresses ทเ่ี กดิ ขน้ึ บน stress element จะหาไดจ ากสมการ

σ1 = σx +σ y ±  σ x −σ y  2 + τ 2
2 2 2 xy

= − 80 + 50 ±  − 80 − 50  2 + (−25) 2
2  2 

= −15 ± 69.64 MPa

σ 1 = −84.4 MPa

σ 2 = 54.4 MPa

Mechanics of Materials 9-15

มุมที่ถกู ตอ งระหวางแกน x กับแกนตง้ั ฉากกับระนาบของ principal planes ท่ี principal stress σ1 กระทาํ อาจ

จะหามาไดโดยการแทน θ p1 = 10.52o ลงในสมการที่ 9-1

σ x′ = σx +σ y +σx −σ y cos 2θ + τ xy sin 2θ
2 2

σ = − 80 + 50 + − 80 − 50 cos 21.04o + (−25) sin 21.04o
2 2
x′

= −84.4 MPa

และ principal stress σ 2 จะกระทาํ อยูบ นระนาบของ principal planes ที่มแี กนตง้ั ฉากทํามุม θ p2 = −78.69o กับ

แกน x

สภาวะของหนวยแรงในรูปของ principal stresses จะมีลักษณะดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี Ex 9-3b Ans.

หาสภาวะของหนว ยแรงในรูปของ maximum in-plane shear stress
ระนาบของ maximum in-plane shear stress จะหาไดจ ากการหมุน stress element ท่ีมสี ภาวะของหนวยแรง

แบบ principal stresses ทวนเขม็ นาฬกิ าไปเปน มมุ 45o ดงั นัน้

θ s1 = 45o + 10.52o = 55.52o

เคร่อื งหมายบวกแสดงวา มที ศิ ทางหมนุ ทวนเขม็ นาฬิกาจากแกน x ไปยังแกน x′

θ s2 = 45o − 79.48o = −34.48o

เคร่ืองหมายลบแสดงวา มีทิศทางหมุนตามเข็มนาฬกิ าจากแกน x ไปยังแกน x′ ดงั ทีแ่ สดงในรูปที่ Ex 9-3d

หรอื จะคาํ นวณหาไดโดยใชส มการท่ี 9-6

tan 2θ s = − (−80 − 50) / 2
− 25

2θ s2 = −68.96o

θ s2 = −34.48o

เนือ่ งจากมุม θ s1 ตา งจากมุม θ s2 เปน มมุ 90o ดงั นัน้

θ s1 = 90o − 34.48o = 55.52o

หนว ยแรงเฉอื นสงู สุด (maximum in-plane shear stress) บน element จะหาไดโ ดยใชส มการที่ 9-2 หรือสมการ

ท่ี 9-7 ก็ได

Mechanics of Materials 9-16

จากสมการที่ 9-2 สาํ หรบั มุม 2θ s2 = −68.96o เราจะไดวา

τ x′y′ = − − 80 − 50 sin (−68.96o ) + (−25) cos (−68.96o )
2

= −69.64 MPa

ซ่ึงแสดงวา หนว ยแรงเฉอื นสูงสุดทีเ่ กิดขนึ้ ทีม่ ุม 2θ s2 = −68.96o มีทิศทางเปน ลบ และสําหรบั มุม 2θ s1 = 111.04o

เราจะไดวา

τ x′y′ = − − 80 − 50 sin 111.04o + (−25) cos111.04o
2

= +69.64 MPa

ซึ่งแสดงวาหนวยแรงเฉือนสงู สดุ ท่ีเกิดขึ้นทม่ี มุ 2θ s1 = 111.04o มที ศิ ทางเปนบวก

จากสมการท่ี 9-7 เราจะไดว า

τ max =  σ x −σ y  2 + τ 2
in-plane 2 xy

 − 80 − 50  2
 2 
τ max = + (−25)2 = 69.64 MPa
in - plane

ซ่ึงบอกแตขนาดของหนวยแรงเฉือนสงู สุด แตไมไ ดบอกวาหนว ยแรงดงั กลาวมีทิศทางไปทางใด

หนว ยแรงตงั้ ฉากทเ่ี กิดขนึ้ บนระนาบทเ่ี กดิ หนว ยแรงเฉอื นสงู สดุ จะหาไดจ ากสมการที่ 9-8

σ avg = σx +σ y
2

σ avg = − 80 + 50 = −15.0 MPa
2

ดงั น้ัน เราจะเขยี นสภาวะของหนว ยแรงในรูปของ maximum in-plane shear stress ไดดังที่แสดงในรปู ที่ Ex 9-3d Ans.

Mechanics of Materials 9-17

9.4 วงกลมมอร - หนวยแรงในระนาบ (Mohr’s Circle-Plane Stress)
เม่ือเราทราบคาของสภาวะของหนวยแรงบน element ในระบบแกนอางอิงแลว เราอาจจะใชวงกลมของมอร

(Mohr’s circle) ในการหาสภาวะของหนวยแรงบน stress element ทีอ่ ยูในแกนๆ หนึ่งทีท่ ํามมุ θ เทียบกับแกนอา งองิ ได
Mohr’s circle นีเ้ ปน วิธกี ารทช่ี วยใหเ ราเหน็ การเปลีย่ นแปลงของหนวยแรงตงั้ ฉากและหนว ยแรงเฉือนทมี่ ุม θ ใดๆ ที่
element น้นั หมุนไปจากแกนอา งอิงไดง า ยขึ้น

ในการพฒั นา Mohr’s circle เราจะเร่มิ จากการเขียนสมการที่ 9-1 และ 9-2 ใหอ ยใู นรปู

σ −  σ x +σ y  =  σ x −σ y  cos 2θ +τ sin 2θ (9-9)
2 2
x′ xy

τ x′y′ = − σ x −σ y  sin 2θ + τ xy cos 2θ (9-10)
2

จากสมการที่ 9-9 และ 9-10 เราจะกาํ จดั ตวั แปร θ ไดโดยการยกกําลงั สองสมการท้งั สองและนาํ มาบวกกนั ซง่ึ

เราจะไดวา

 −  σ x +σ y  2 + τ 2 =  σ x −σ y  2 + τ 2
σ 2 x′y′ 2 xy
 x′

ในกรณีที่เราทราบคา ของ σ x , σ y , และτ xy แลว เราจะเขยี นสมการขา งบนไดใหมใ นรูป

[ ]σ x′ 2 + τ 2 = R2 (9-11)
− σ avg x′y′

เมือ่

σ avg = σx +σ y
2

R=  σ x −σ y  2 + τ 2 (9-12)
2 xy

ซึ่งสมการที่ 9-11 น้จี ะเปนสมการที่อยูในรูปของสมการของวงกลม

เม่ือเราต้งั แกนอา งองิ โดยให σ เปน แกนนอนทมี่ ีคา เปนบวกเม่อื มีทิศชี้ไปทางขวามือและให τ เปนแกนดิ่งทีม่ ี

คาเปน บวกเมอื่ มที ิศชีด้ ง่ิ ลงแลว เราจะไดว า สมการที่ 9-11 เปนสมการของวงกลม ซึ่งมีรัศมี R (สมการที่ 9-12) และมีจุด

ศนู ยก ลางอยูบ นแกน σ ทจี่ ุด C (σ avg ,0) ดงั ทแ่ี สดงในรูปที่ 9-10a วงกลมท่ีไดน้จี ะถกู เรยี กวา วงกลมของมอร
(Mohr’s circle) ซึ่งถกู พฒั นาขน้ึ มาโดยวิศวกรชาวเยอรมันช่อื Otto Mohr และเราจะหาคาของ σ x′ และ τ x′y′ ท่ีเกิดข้ึนบน
ระนาบใดๆ บนแกนที่ทํามมุ θ กบั แกนอา งอิงได ดงั ที่แสดงในรปู ท่ี 9-10b

พจิ ารณาในกรณีที่มุม θ = 0o หรอื ในกรณที ่ี แกน x ทบั กับแกน x′ ดงั ทแ่ี สดงในรปู ที่ 9-10c ในกรณนี ้ี สม

การที่ 9-1 และ 9-2 จะใหคําตอบคอื σ x′ = σ x และ τ x′y′ = τ xy จาก Mohr’s circle เราจะไดว า จดุ นจ้ี ะเปนจุดอา งองิ
A (σ x ,τ xy ) ดงั ที่แสดงในรูปที่ 9-10a ดังนนั้ รศั มขี องวงกลมคอื CA โดยท่ีคา ของ CA จะหาไดจากสมการท่ี 9-12

ในกรณที มี่ ุม θ = 90o หรอื ในกรณที ี่ แกน x′ ทับกบั แกน y ดังท่แี สดงในรปู ท่ี 9-10d เราจะไดวา สมการท่ี 9-1

และ 9-2 จะใหคําตอบคอื σ x′ = σ y และ τ x′y′ = −τ xy จาก Mohr’s circle เราจะไดวา จดุ น้จี ะเปน จดุ อางองิ G
(σ y ,−τ xy ) ดังทแ่ี สดงในรปู ที่ 9-10a โดยการตรวจสอบ เราจะเห็นวา เสน รัศมี CG จะทาํ มุมกับเสน รัศมี CA เทา กบั
2θ หรือ 180o

Mechanics of Materials 9-18

รปู ท่ี 9-10
Stress Components on an Arbitrary Plane

คา หนว ยแรงต้ังฉากและหนว ยแรงเฉือน σ x′ และ τ x′y′ ที่กระทาํ อยบู นระนาบใดๆ ท่ตี ้งั ฉากกบั แกน x′ ซงึ่ แกน
x′ นท้ี ํามมุ θ กับแกน x ดงั ท่แี สดงในรูปที่ 9-11a จะหาไดจ ากการใชต รโี กณมติ ใิ นการหาพิกัดของจดุ P ท่ีทํามมุ 2θ

ซ่งึ วัดจากเสน รัศมีอางองิ CA (θ = 0o ) ถงึ เสน รศั มี CP ดงั ทีแ่ สดงในรปู ท่ี 9-11b ในทิศทางเดยี วกบั มุม θ
เราควรที่จะทราบไวดว ยวา ในกรณที แี่ กน τ มีทศิ ทางที่เปนบวกตรงกนั ขา มกับทเี่ รากําลงั ใชอยูนี้หรือมที ศิ ทาง

เปนบวกเม่อื แกน τ มที ศิ ช้ีขึ้นแลว มมุ 2θ ใน Mohr’s circle จะตอ งมที ิศตรงกันขา มกับมุม θ บน element
Principal Stresses

พจิ ารณารปู ที่ 9-12a เราจะเหน็ ไดวา จุด B และจุด D ซึง่ เปน จุดที่ Mohr’s circle ตัดกบั แกน σ และเปนจุดท่ี
แสดงคาของหนว ยแรงตงั้ ฉากทมี่ ีคาสงู สุดและต่าํ สดุ บน stress element ท่ีถูกกระทาํ โดยสภาวะของหนวยแรง ดงั ที่แสดง
ในรปู ที่ 9-12b นอกจากนัน้ แลว เราจะเห็นวา ทจ่ี ดุ B และจดุ D คาของหนวยแรงเฉือนจะมีคา เทากับศนู ย ดังน้ัน จดุ ทง้ั
สองน้จี ะเปน จุดทีแ่ สดงถึงคา หนว ยแรงหลกั (principal stresses) ของสภาวะของหนวยแรงบน element ดังกลาว

จากรูปท่ี 9-12a เราจะไดวา สมการ principal stresses σ1 = σ avg + R และ σ 2 = σ avg − R ซง่ึ เปนสม
การเดยี วกนั กบั สมการท่ี 9-5

Mechanics of Materials 9-19

รปู ท่ี 9-11

รูปที่ 9-12

Mechanics of Materials 9-20

จากรูปท่ี 9-12a มุมท่วี ัดจากเสนรศั มีอางองิ CA (θ = 0o ) ถงึ เสน รศั มี CB ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิกามคี า เทา

กับ 2θ p1 จากสามเหลี่ยมท่ีระบายสที ึบ มุมน้จี ะหาไดจากสมการ

tan 2θ p1 = (σ τ xy y)/ 2
−σ
x

ซง่ึ เปน สมการเดยี วกันกบั สมการที่ 9-4

เม่อื เราไดม มุ θ p1 แลว เราจะหาระนาบหลกั (principal plane) ของ element ดังกลา วได โดยการหมนุ แกนอาง
องิ x ทวนเขม็ นาฬิกาไปทีแ่ กน x′ ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 9-12b

จากรูปที่ 9-12a เราจะเห็นวา เสนรัศมี CB จะทาํ มมุ กับเสนรศั มี CD เทา กับ 2θ หรอื 180o ดงั น้นั ระนาบ

ของหนว ยแรง σ1 และของหนวยแรง σ 2 จะทาํ มมุ กนั 180o / 2 = 90o ดงั ที่แสดงในรูปที่ 9-12b
Maximum In-Plane Shear Stress

จาก Mohr’s circle ดังท่ีแสดงในรปู ที่ 9-13a จุด E(σavg , R) หรอื จดุ F(σavg , − R) จะเปน จดุ ทแี่ สดงคา
หนว ยแรงเฉือนสงู สดุ ซึ่งมสี มการเชน เดยี วกบั ในสมการท่ี 9-7 และ 9-8

รปู ที่ 9-13

Mechanics of Materials 9-21

เน่อื งจากเสน รศั มี CE ทาํ มมุ กบั เสน รศั มี CB เทากบั 90o ดงั นน้ั ระนาบบน element ทีม่ ีคาหนวยแรงเฉือน

สูงสดุ จะทาํ มมุ 90o / 2 = 45o กบั principal plane
มุม 2θ s1 ทเี่ สน รัศมี CA กระทําตอเสนรศั มี CE ในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าจะคาํ นวณไดโ ดยใชต รีโกณมติ ิ
เม่ือเราไดค ามุม θ s1 แลว เราจะหาระนาบบน element ดังกลาวได โดยการหมนุ แกนอา งอิง x ตามเขม็ นาฬิกา

ไปทีแ่ กน x′ ดงั ที่แสดงในรูปที่ 9-13b และคาของหนวยแรงบนระนาบนี้จะเปนพกิ ดั ของจุด E คอื σ avg และ R

Mechanics of Materials 9-22

ตัวอยางที่ 9-4
กาํ หนดใหสภาวะของหนว ยแรงท่ีจุดวงกลมสดี ําบนถงั ความดันมีลกั ษณะดงั ที่แสดงในรูปท่ี EX 9-4a จงหาสภาวะ

ของหนว ยแรงในรูปของ principal stresses และ maximum in-plane shear stress ท่เี กดิ ข้ึนบน stress element

รปู ที่ Ex 9-4

จาก sign convention ที่เรากาํ หนด เราจะไดวา

σ x = −20 MPa σ y = +90 MPa τ xy = 60 MPa

จดุ ศนู ยกลางของ Mohr’s circle อยูท พี่ กิ ัด (σ avg ,0)

σ avg = σx +σ y = − 20 + 90 = 35 MPa
2 2

รศั มขี อง Mohr’s circle

 σ x −σ y  2  − 20 − 90  2
2  2 
R= + τ 2 = + 602 = 81.4 MPa
xy

กําหนดให Mohr’s circle มีแกนของหนวยแรงตั้งฉาก σ เปน แกนนอนและแกนของหนว ยแรงเฉือน τ เปน แกน

ต้ัง โดยใหแกนบวกมที ศิ พงุ ลง ดังน้ัน เราจะเขยี น Mohr’s circle ไดด ังท่ีแสดงในรูปที่ EX 9-4b

Mechanics of Materials 9-23

สภาวะของหนวยแรงบนหนา ตดั ทตี่ ั้งฉากกับแกน x ของ stress element จะเขียนใหอ ยูในรูปพกิ ัดของ Mohr’s
circle (σ ,τ ) ไดเปน (−20,+60) ซง่ึ คือจดุ A ทอี่ ยบู น Mohr’s circle
หาสภาวะของหนว ยแรงในรปู ของ principal stresses

จาก Mohr’s circle ดังท่ีแสดงในรปู ที่ EX 9-4b เราจะไดวา สภาวะของหนว ยแรง principal stresses จะหาได
โดยใชพิกัดของจดุ B และจดุ D บน Mohr’s circle โดยท่ี

σ1 = 35 + 81.4 = 116.4 MPa

σ 2 = 35 − 81.4 = −46.4 MPa

และหนวยแรงเฉอื นท่ีสภาวะของหนว ยแรง principal stresses จะมคี า เปน ศูนย

ทศิ ทางการหมนุ ของ stress element ที่ถูกกระทําโดยสภาวะของหนว ยแรง principal stresses จะหาไดโดย

การหมนุ เสน รศั มี AC ทวนเข็มนาฬิกาเปน มมุ 2θ p1 จนทับกับเสน รศั มี BC ของ Mohr’s circle โดยท่ี

2θ p1 = 180o −φ = 180o − tan −1 60 = 132.5o
55

ดังนั้น แกน x ของ stress element จะตอ งถูกหมุนทวนเข็มนาฬกิ าไปในแนวของแกน x′ เปน มมุ

θ p1 132.5o = 66.3o
=2

รูปที่ EX 9-4c แสดงสภาวะของหนวยแรงของ principal stresses Ans.

หาสภาวะของหนวยแรงในรปู ของ maximum in-plane shear stress
จาก Mohr’s circle ดังท่แี สดงในรูปที่ EX 9-4d เราจะไดวา สภาวะของหนว ยแรง maximum in-plane shear

stress จะหาไดโ ดยใชพ ิกัดของจดุ E และจดุ F บน Mohr’s circle โดยท่ี maximum in-plane shear stress จะมีคา เทา
กับ

τ max = 81.4 MPa
in− plane

และคาหนวยแรงตัง้ ฉากที่เกดิ ขึ้น stress จะมีคา เทา กบั

σ avg = 35 MPa

ทิศทางการหมุนของ stress element ที่ถูกกระทาํ โดยสภาวะของหนว ยแรง maximum in-plane shear stress
จะหาไดโ ดยการหมนุ เสน รัศมี AC ทวนเขม็ นาฬกิ าเปนมมุ 2θ s11 จนทับกับเสนรศั มี EC ของ Mohr’s circle โดยท่ี

Mechanics of Materials 9-24

2θ s1 = 90o − φ = 90o − 47.5o = 42.5o Ans.

ดงั นน้ั แกน x ของ stress element จะตองถูกหมุนทวนเข็มนาฬกิ าไปในแนวของแกน x′ เปน มุม

θ p1 = 42.5o = 21.3o
2

รปู ท่ี EX 9-4e แสดงสภาวะของหนว ยแรงของ principal stresses

Mechanics of Materials 9-25

9.5 หนวยแรงเฉือนในระนาบสงู สดุ สมั บูรณ (Absolute Maximum Shear Stresses)
ในกรณีท่ี element ถกู กระทําโดยสภาวะของหนวยแรงท่ีอยูใ นสามมิตสิ ภาวะหน่งึ ดังทีแ่ สดงในรปู ที่ 9-14a แลว

เราสามารถใช stress transformation หาสภาวะของหนวยแรงบนระนาบใดๆ ของ element ดงั กลาวได ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่
9-14b และหาสภาวะ principal stresses ทีเ่ กดิ ขึ้นบน element ดงั กลา วได ดังทแ่ี สดงในรูปที่ 9-14c โดยที่ principal
stresses จะมคี า เปน σ max ≥ σ int ≥ σ min อยา งไรก็ตาม การทาํ stress transformation ในกรณนี ี้จะคอ นขางยงุ ยาก
มาก ซ่งึ เราจะไดศ กึ ษาตอไปในวิชาขัน้ สูงท่ีกลาวถึง theory of elasticity

รปู ท่ี 9-14

ใน section น้ี เราจะสมมตุ วิ า เราทราบคา principal stresses และ principal planes ของ element ทถี่ กู กระทาํ
โดยสภาวะของหนวยแรงในสามมติ ิ ดงั ท่ีแสดงในรปู ที่ 9-14c ซึง่ สภาวะของ principal stresses นม้ี กั จะถกู เรยี กวา สภาวะ
triaxial stress ถา เราพิจารณา element ดงั กลาวในระนาบ y′ − z′ , x′ − z′ , และ x′ − y′ ดงั ท่แี สดงในรปู ท่ี 9-15a ถึง
9-15c แลว เราจะสามารถเขียน Mohr’s circle ของ element ดังกลาวไดด งั ทแ่ี สดงในรูปท่ี 9-15d และเราจะหาคา
maximum in-plane shear stress และหนว ยแรงตงั้ ฉากเฉลี่ยของแตละกรณีได เชน คา maximum in-plane shear stress
และหนวยแรงตง้ั ฉากเฉลี่ยของ element ในระนาบ y′ − z′ จะมคี าเทากบั (τ y′z′ )max = (σ int − σ min ) / 2 และ
(σ y′z′ )avg = (σ int + σ min ) / 2 ตามลําดบั ดังทีแ่ สดงในรปู ที่ 9-15e โดยที่ element ท่ถี กู กระทาํ โดยสภาวะของหนวย
แรงที่หามาไดจะทาํ มมุ 45o กับตาํ แหนงของ element ดังทแี่ สดงในรูปที่ 9-15a ในลักษณะท่ีคลา ยกัน เราจะหาสภาวะ
maximum in-plane shear stress และหนวยแรงตั้งฉากเฉลี่ยบน element ในระนาบ x′ − z′ และ x′ − y′ ดงั ทแี่ สดงใน
รูปที่ 9-15f และ 9-15g ตามลําดบั

Mechanics of Materials 9-26

เม่อื เราเปรียบเทียบ Mohr’s circle ท้ังสามวงในรูปท่ี 9-15d เราจะเห็นวา absolute maximum shear stress

หรือ τ abs จะหามาไดจ าก Mohr’s circle ที่มีรศั มีทีม่ ากที่สดุ ท่เี กดิ ขึน้ บน element ดงั ทแ่ี สดงในรูปที่ 9-15b ดงั นน้ั
max

τ abs = σ max − σ min (9-13)
max 2

และหนว ยแรงตั้งฉากเฉล่ยี จะหาไดจากสมการ

σ avg = σ max + σ min (9-14)
2

รปู ที่ 9-15

Mechanics of Materials 9-27

Plane Stress

ในกรณที ี่ stress element ถกู กระทาํ โดย principal stress σ max อยูในแนวแกน x′ principal stress σ int อยู
ในแนวแกน y′ และ principal stress σ min = 0 อยูในแนวแกน z′ ทตี่ ้งั ฉากกับระนาบ x′ − y′ ดงั ทแ่ี สดงในรปู ท่ี 9-
16a แลว เราอาจจะพจิ ารณาสภาวะของหนวยแรงดงั กลา วเปนสภาวะของหนว ยแรงแบบ plane stress ได

ถา σ max และ σ int เปนหนว ยแรงดึงแลว เราจะเขียน Mohr’s circle ของสภาวะของหนว ยแรง principal
stresses ไดดงั ทแี่ สดงในรูปที่ 9-16b และคา maximum in-plane shear stress (τ x′y′ )max = (σ max − σ int ) / 2 จะไม
เปนคา absolute maximum shear stress แตค า absolute maximum shear stress จะเกดิ ข้ึนในระนาบ x′ − z′ ซึ่งอยู

นอกระนาบ x′ − y′ ท่ี principal stresses กระทําและมีคา เทา กับ

τ abs = (τ x′z′ ) max = σ max − 0 = σ max (9-15)
max
2 2

รูปที่ 9-16

ในกรณีท่ี stress element ถูกกระทาํ โดย principal stress σ max อยูใ นแนวแกน x′ ซง่ึ เปนหนวยแรงดงึ
principal stress σ int = 0 อยูในแนวแกน z′ ทีต่ ้ังฉากกบั ระนาบ x′ − y′ และ principal stress σ min อยใู นแนวแกน
y′ ซ่ึงเปนหนว ยแรงกดอัด ดงั ทแ่ี สดงในรูปท่ี 9-17a แลว เราจะเขียน Mohr’s circle ของสภาวะหนวยแรง principal
stresses ไดด งั ทแี่ สดงในรปู ท่ี 9-17b ซงึ่ เราจะเหน็ วา คา absolute maximum shear stress จะเกดิ ขึน้ ในระนาบ x′ − y′
ซึ่งเปนระนาบที่ principal stresses กระทาํ และมคี า เทา กบั

τ abs = (τ x′y′ )max = σ max − σ min (9-15)
max 2

การพิจารณาคา absolute maximum in-plane shear stress ท่กี ลาวถึงมานี้ มีความสําคญั มากในการออกแบบ

ชิ้นสว นของโครงสรางหรือเครื่องจักกลเชน เพลา เปน ตน ที่ทาํ ดวยวสั ดุแบบ ductile material เนอื่ งจากกาํ ลังของวัสดดุ งั

กลา วจะขนึ้ อยกู บั ความสามารถของวสั ดใุ นการรบั แรงเฉอื น

Mechanics of Materials 9-28

รูปท่ี 9-17

Mechanics of Materials 9-29

ตัวอยา งที่ 9-5

กําหนดใหส ภาวะของหนว ยแรงบน stress element หนงึ่ มีคาเปน σ x = 100 MPa , σ y = −60 MPa , และ
τ xy = 80 MPa จงหาคา principle stresses และคา absolute maximum shear stress ของสภาวะของหนว ยแรงดัง
กลา ว

Principal normal stresses

จุดศนู ยกลางของ Mohr’s circle อยทู ี่พิกดั (σ avg ,0)

σ avg = σx +σ y = 100 − 60 = 20 MPa
2 2

รัศมีของ Mohr’s circle

 σ x −σ y  2  100 − (−60)  2
2  2 
R= + τ 2 = + 802 = 113.1 MPa
xy

กาํ หนดให Mohr’s circle มแี กนของหนวยแรงตง้ั ฉาก σ เปนแกนนอนและแกนของหนว ยแรงเฉอื น τ เปนแกน

ตง้ั โดยใหแ กนบวกมีทิศพุง ลง ดงั นัน้ เราจะเขียน Mohr’s circle ไดดังท่ีแสดงในรปู ที่ EX 9-5 และเราจะไดว า สภาวะของ

หนวยแรง principal stresses จะหาไดโ ดยใชพิกดั ของจดุ B และจดุ D บน Mohr’s circle โดยที่

σ1 = 20 + 113.1 = 133.1 MPa

σ 2 = 20 −113.1 = −93.137 MPa

และทิศทางการหมุนของ stress element ทีถ่ ูกกระทาํ โดยสภาวะของหนวยแรง principal stresses จะหาไดโดยการหมนุ

เสนรศั มี OA ทวนเข็มนาฬิกาเปนมุม 2θ p1 จนทบั กบั เสนรศั มี BC ของ Mohr’s circle โดยที่

2θ p1 = tan −1 80 = 45.0o
(100 − (−80)) / 2

ดงั นนั้ แกน x ของ stress element จะตองถูกหมนุ ทวนเข็มนาฬิกาไปในแนวของแกน x′ เปน มุม

θ p1 = 45.0o = 22.5o
2

เนือ่ งจาก principal stresses ในทศิ ทาง z มีคา เทากับศูนย ดงั นั้น

σ max = 133.1 MPa σ int = 0 MPa σ min = −93.137 MPa Ans.

รูปที่ EX 9-5

Mechanics of Materials 9-30

Absolute maximum shear stress
จากสมการที่ 9-13 และ 9-14 เราจะไดว า

τ abs = σ max − σ min = 133.137 − (−93.137) = 113.14 MPa
max 2 2

σ avg = σ max + σ min = 133.1 + (−93.1) = 20 MPa
2 2

ซ่ึงคาดงั กลาวสามารถหาไดโ ดยการเขยี น Mohr’s circle ในระนาบ y′ − z′ , x′ − z′ , และ x′ − y′ ดังที่แสดงในรปู ท่ี

EX 9-5 และคา absolute maximum shear stress จะเปน คา เดียวกนั กบั maximum in-plane shear stress ในระนาบ

x′ − y′ ท่หี าไดจากการหมนุ stress element เริ่มตน ในทิศทางตามเขม็ นาฬิกาไปเปนมุม 22.5o Ans.

Mechanics of Materials 9-31

แบบฝกหัดทา ยบทที่ 9
9-1 สภาวะของหนว ยแรงทีจ่ ุดๆ หน่งึ บนชนิ้ สว นของโครงสรา งมีลกั ษณะดังทแี่ สดงในรปู ที่ Prob. 9-1

a.) จงหาหนว ยแรงตางๆ ทีก่ ระทําอยูบนระนาบ AB
b.) จงหาสภาวะของหนว ยแรงเมอ่ื สภาวะของหนว ยแรงถกู หมุนเปน มุมตามเข็มนาฬกิ าโดยใชส มการ stress-

transformation
c.) จงหาสภาวะของหนว ยแรงเมื่อสภาวะของหนว ยแรงถกู หมนุ เปน มุมตามเข็มฯาฬิกาโดยใช Mohr’s Circle
d.) จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทเี่ กดิ ขนึ้ บน stress

element และทิศทางของ element โดยใชสมการ stress-transformation
e.) จงหาสภาวะของหนวยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทีเ่ กิดขนึ้ บน stress

element และทศิ ทางของ element โดยใช Mohr’s Circle

รปู ท่ี Prob. 9-1

9-2 สภาวะของหนว ยแรงทีจ่ ดุ ๆ หนึง่ บนชิ้นสว นของโครงสรา งมลี กั ษณะดังท่แี สดงในรูปท่ี Prob. 9-2
a.) จงหาสภาวะของหนว ยแรงเม่ือสภาวะของหนว ยแรงถกู หมุนเปนมุมตามเข็มนาฬิกาโดยใชส มการ stress-
transformation
b.) จงหาสภาวะของหนว ยแรงเมือ่ สภาวะของหนวยแรงถูกหมนุ เปนมุมตามเข็มฯาฬิกาโดยใช Mohr’s Circle
c.) จงหาสภาวะของหนวยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ท่เี กิดขึ้นบน stress
element และทิศทางของ element โดยใชสมการ stress-transformation
d.) จงหาสภาวะของหนวยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ท่ีเกดิ ขึน้ บน stress
element และทิศทางของ element โดยใช Mohr’s Circle

รปู ที่ Prob. 9-2
9-3 คานไมถกู กระทําโดยแรง 12 kN ดังทแี่ สดงในรูปที่ Prob. 9-3 ถา ไมเ สี้ยนไมท จ่ี ดุ A ทํามมุ 25o กบั แนวนอน

Mechanics of Materials 9-32

a.) จงหาหนว ยแรงต้งั ฉาก (normal stress) ในแนวตั้งฉากกับเส้ยี นไมแ ละหนว ยแรงเฉือน (shear stress) ใน
แนวขนานกบั เสย้ี นไม

b.) จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทีเ่ กิดขึน้ บน stress
element และทศิ ทางของ element

รปู ที่ Prob. 9-3

9-4 จงหาสภาวะของหนวยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทเ่ี กดิ ขึ้นบน stress element
ทจ่ี ดุ B ของโครงสรา ง ดงั ทีแ่ สดงในรูปท่ี Prob. 9-4

รูปท่ี Prob. 9-4

9-5 จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ที่เกดิ ขึ้นบน stress element
ทจ่ี ุด B ของโครงสราง ดงั ทแี่ สดงในรูปท่ี Prob. 9-5

รูปที่ Prob. 9-5

9-6 จงหาสภาวะของหนว ยแรง principal stresses และ maximum in-plane shear stress ทเี่ กิดขนึ้ บน stress element
ทจ่ี ุด A ของชิน้ สวนทรี่ องรับลอของเคร่อื งบนิ เม่อื กาํ หนดใหแ รงกระทาํ มีคา P = 12 kN ดงั ท่ีแสดงในรปู ท่ี Prob. 9-6