Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 579

1 5 . 3 M a triz d e rig id e z d e la
v ig a -e s tru c tu ra

U n a v e z q u e s e h a n e n c o n tra d o to d a s la s m a tric e s d e rig id e z d e lo s e le ­
m e n to s , e s n e c e s a rio e n s a m b la rla s e n la m a triz d e rig id e z d e la e s tm c tu ra K .
E s te p ro c e s o d e p e n d e d e c o n o c e r p r im e ro la u b ic a c ió n d e c a d a té rm in o
d e la m a tr iz d e rig id e z d e lo s e le m e n to s . A q u í la s fila s y c o lu m n a s d e
c a d a m a tr iz k (e c u a c ió n 1 5 -1 ) s e id e n tific a n p o r lo s d o s n ú m e ro s d e c ó ­
d i g o e n e l e x t r e m o c e r c a n o d e l e l e m e n t o ( N y- , N Z’) , s e g u i d o s p o r l o s d e l
o t r o e x tr e m o ( / y , F .<). P o r l o t a n t o , a l e n s a m b la r la s m a t r ic e s c a d a e le ­
m e n to d e b e c o lo c a rs e e n la m is m a u b ic a c ió n d e la m a tr iz K. D e e s ta
m a n e ra , K te n d rá u n o rd e n q u e s e rá ig u a l a l n ú m e ro d e c ó d ig o m a y o r
a s ig n a d o a la v ig a , p u e s to q u e é s te re p re s e n ta e l to ta l d e g ra d o s d e lib e r ­
ta d . T a m b ié n , c u a n d o h a y v a rio s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n n o d o , s u s
c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e la r ig id e z d e l e le m e n to te n d r á n la m is m a
p o s ic ió n e n la m a triz K y p o r lo ta n to d e b e n s u m a rs e a lg e b ra ic a m e n te
p a ra d e te rm in a r e l c o e fic ie n te d e in flu e n c ia d e la rig id e z n o d a l p a ra la
e s tru c tu ra . E s to e s n e c e s a rio p o rq u e c a d a c o e fic ie n te re p r e s e n ta la re s is ­
te n c ia d e la e s tr u c tu r a n o d a l e n u n a d ire c c ió n p a rtic u la r (y * o z ') c u a n d o se
p ro d u c e u n d e s p la z a m ie n to u n ita r io ( y ' o z ') , y a se a e n e l m is m o n o d o o

e n o t r o . P o r e j e m p l o , K 23 r e p r e s e n t a l a c a r g a e n l a d i r e c c i ó n y e n l a u b i ­
c a c i ó n d e l n ú m e r o d e c ó d i g o **2 ” c u a n d o o c u r r e u n d e s p l a z a m i e n t o u n i t a ­

rio e n la d ire c c ió n y e n la u b ic a c ió n d e l n ú m e ro d e c ó d ig o “ 3 " .

1 5 .4 A plicación d e l m é to d o d e la rig id e z
al análisis de vigas

D e s p u é s d e d e te rm in a r la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra , la s c a rg a s e n
lo s n o d o s d e la v ig a p u e d e n re la c io n a rs e c o n lo s d e s p la z a m ie n to s s i se
u tiliz a la e c u a c ió n d e rig id e z d e la e s tr u c tu r a

Q = KD

A q u í Q y D s o n m a tric e s c o lu m n a q u e r e p r e s e n ta n t a n t o la s c a rg a s c o ­
n o c id a s y d e s c o n o c id a s c o m o lo s d e s p la z a m ie n to s . A l h a c e r la p a r tic ió n
d e la m a tr b . d e r ig id e z e n lo s e le m e n to s c o n o c id o s y d e s c o n o c id o s d e la
c a rg a y e l d e s p la z a m ie n to , se tie n e

V. ss K,. | K„1 fft.1
.Qu K2. 1KJ o*

q u e a l e x p a n d ir la g e n e ra la s d o s e c u a c io n e s

Q * « K „ D „ + K 1?D * (1 5 -3 )
Q * = K 21D u + K ^ D * (1 5 -4 )

L o s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s D u se d e te r m in a n a p a r tir d e la p r i­
m e ra d e e s ta s e c u a c io n e s . S i s e u s a n e s to s v a lo re s , p u e d e n c a lc u la rs e la s
re a c c io n e s d e a p o y o Q u p a ra la s e g u n d a e c u a c ió n .

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580 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

carg as reales

(a)

wL wL

2 2 wL wL

L — BT
w ¡} w l.2 wl.2 w l.1
12 12 Í2
12
15 carg as so b re las ju n ta s
carg as y rea c c io n e s reales
d e u n ele m e n to
c o n e x tre m o s fijo s so b re u n ele m e n to
fijam en te a p o y a d o

(b ) (c)

figura 15-7

Cargas interm edias. P a ra s u a p lic a c ió n , e s im p o r t a n t e q u e lo s

e le m e n to s d e la v ig a e s té n lib re s d e c a rg a e n to d a s u lo n g itu d . E s to e s n e ­
c e s a rio p u e s to q u e la m a triz d e rig id e z d e c a d a e le m e n to s e d e s a r ro lló
s o la m e n te p a ra c a rg a s a p lic a d a s e n su s e x tre m o s . (V e a la fig u ra 1 5 -4 .)
S in e m b a rg o , e s fr e c u e n te q u e la s v ig a s s o p o r te n u n a c a rg a d is t r ib u id a y
e s ta c o n d ic ió n re q u ie r e m o d ific a c io n e s p a ra p o d e r re a liz a r e l a n á lis is
m a trid a l.

P a ra m a n e ja r e s te c a s o , s e u s a rá e l p r in c ip io d e s u p e rp o s ic ió n d e u n a
m a n e ra s im ila r a la e m p le a d a p a r a la s a r m a d u r a s q u e s e e s tu d ia ro n e n la
s e c c ió n 1 4 -8 . P a ra m o s tr a r s u a p lic a c ió n , c o n s id e re e l e le m e n to d e v ig a
c o n lo n g itu d L d e la fig u r a 1 5 -7 a .e l c u a l e s tá s o m e tid o a la c a rg a u n i­
fo r m e d is tr ib u id a w. P r im e r o s e a p lic a rá n lo s m o m e n to s d e e x tr e m o f ijo
y la s re a c c io n e s s o b re e l e le m e n to , lo s c u a le s s e u s a rá n e n e l m é to d o d e
la rig id e z , fig u ra 1 5 -7 6 . S e h a rá re fe re n c ia a e s ta s c a rg a s c o m o u n a m a triz
c o lu m n a -q „ . D e s p u é s s e a p lic a r á n la s c a rg a s d is tr ib u id a s y s u s r e a c c io ­
n e s. fig u ra 1 5 -7 c . I.a s c a rg a s re a le s e n la v ig a s e d e te rm in a n a l s u m a r
e s to s d o s re s u lta d o s . L a s re a c c io n e s d e e x tr e m o f ijo p a r a o tr o s c a s o s d e
c a rg a s e d a n e n e l in te r io r d e la c o n tra p o rta d a . A d e m á s d e re s o lv e r p r o ­
b le m a s q u e im p lic a n c a rg a s la te ra le s d e e s te tip o , e s te m é to d o ta m b ié n
p u e d e u s a rs e p a r a r e s o lv e r p r o b le m a s r e la c io n a d o s c o n lo s c a m b io s d e
te m p e r a tu ra o e r ro re s d e fa b ric a c ió n .

Fuerzas del elem ento. L a f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n t o e n lo s

e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to d e la v ig a p u e d e n d e te rm in a r s e a p a r t ir d e la
e c u a c ió n 1 5 -2 y a l a ñ a d ir c u a le s q u ie r re a c c io n e s d e e x tr e m o f ijo q „ .s i e l
e le m e n to e s tá s o m e tid o a u n a c a rg a in te rm e d ia . S e tie n e

q = k d + q (1 (1 5 -5 )

S i lo s re s u lta d o s s o n n e g a tiv o s , e s to in d ic a q u e la c a rg a a c tú a e n d ir e c ­
c ió n o p u e s ta a la m o s tra d a e n la fig u ra 1 5 -4 .

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 581

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is 15

E l s ig u ie n te m é to d o p r o p o r c io n a u n m e d io p a ra d e te r m in a r lo s d e s p la z a m ie n to s , la s
re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s y la s c a rg a s in te rn a s d e lo s m ie m b ro s o e le m e n to s fin ito s d e
u n a v ig a e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a o e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a .

N otación

D iv id a la v ig a e n e le m e n to s fin ito s e id e n tifiq u e a rb itr a r ia m e n te c a d a e le m e n to y su s
n o d o s . U s e u n n ú m e ro e s c rito d e n tr o d e u n c írc u lo p a ra u n n o d o y u n n ú m e ro e s c rito
d e n tro d e u n c u a d ro p a ra u n m ie m b ro . P o r lo g e n e ra l, u n e le m e n to s e e x tie n d e e n tr e
lo s p u n to s d e a p o y o , lo s p u n to s d e c a rg a s c o n c e n tra d a s y la s ju n ta s , o e n lo s p u n to s
d o n d e d e b e n d e te r m in a r s e la s c a rg a s in te r n a s o lo s d e s p la z a m ie n to s . A d e m á s , lo s v a ­
lo re s d e F e I p a ra lo s e le m e n to s q u e d e b e n s e r c o n s ta n te s .
E s p e c ifiq u e e n fo rm a s im b ó lic a lo s e x tre m o s c e rc a n o y le ja n o d e c a d a e le m e n to a l d i­
r ig ir u n a fle c h a a lo la rg o d e l e le m e n to , c o n la p u n ta d ir ig id a h a c ia e l e x tr e m o le ja n o .
E n c a d a p u n to n o d a l, e s p e c ifiq u e n u m é ric a m e n te lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o y y z. E n
to d o s lo s c a s o s , u s e lo s n ú m eros d e c ó d ig o m á s b a jo s p a ra id e n tific a r to d o s lo s g ra d o s
d e lib e r ta d n o re s trin g id o s , s e g u id o s p o r e l re s to d e lo s n ú m e ro s m á s a lto s p a ra id e n ti­
fic a r lo s g ra d o s d e lib e r ta d q u e e s tá n re s trin g id o s .
C o n b a s e e n e l p r o b le m a , e s ta b le z c a lo s d e s p la z a m ie n to s c o n o c id o s D * y la s c a rg a s e x ­
te rn a s c o n o c id a s Q * . I n c lu y a c u a le s q u ic r c a rg a s d e e x tr e m o f i j o in v e rtid a s ,s i u n e le ­
m e n to s o p o rta u n a c a rg a in te rm e d ia .

M a triz de rig id e z d e la e s tru c tu ra

• A p liq u e la e c u a c ió n 15 -1 p a ra d e te r m in a r la m a triz d e rig id e z p a ra c a d a e le m e n to e x ­
p re s a d a e n c o o rd e n a d a s g lo b a le s .

• D e s p u é s d e d e te r m in a r la m a triz d e rig id e z d e c a d a e le m e n to , y c u a n d o la s fila s y c o ­
lu m n a s e s té n id e n tific a d a s c o n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o a d e c u a d o s , e n s a m b le la s m a tr i­
ces p a ra d e te rm in a r la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra K . C o m o u n a c o m p ro b a c ió n
p a rc ia l, la s m a tric e s d e rig id e z d e to d o s lo s e le m e n to s y la m a tr iz d e rig id e z d e la e s ­
t r u c t u r a d e b e n s e r sim étrica s.

Desplazam ientos y cargas

• P a r ta la e c u a c ió n d e rig id e z d e la e s tr u c tu r a y re a lic e la m u ltip lic a c ió n m a tr ic ia l c o n e l
fin d e d e te r m in a r lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s D u y la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
te s d e s c o n o c id a s Q „.

• L a fu e rz a c o rta n te y e l m o m e n to in te rn o s q e n lo s e x tre m o s d e c a d a e le m e n to d e v ig a
p u e d e n d e te rm in a r s e a p a r t ir d e la e c u a c ió n 1 5 -5 , to m a n d o e n c u e n ta la s c a rg a s d e e x ­
tre m o f ij o a d ic io n a le s .

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582 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

EJEMPLO 15.1

D e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n
la fig u r a 1 5 -8 a . E l es c o n s ta n te .

5 kN

J

2m 2m
(a )

Figura 15-8

S O L U C IÓ N

N o ta c ió n . L a v ig a t ie n e d o s e le m e n to s y tr e s n o d o s , q u e s e id e n t if i­
c a n e n la fig u ra 1 5 -8 6 . L o s n ú m e ro s d e c ó d ig o d e l 1 a l 6 se in d ic a n d e
fo r m a q u e lo s n ú m e ro s m ás b a jo s 1 -4 id en tifica n lo s g ra d o s d e lib e rta d
n o restrin g id o s.

L a s m a tric e s d e la c a rg a y e l d e s p la z a m ie n to c o n o c id o s s o n

01

Q* -5 2

03 i

04

M a trice s d e rig id e z d e lo s e lem entos. C a d a u n a d e la s d o s m a t r i­

c e s d e rig id e z d e lo s e le m e n to s s e d e te rm in a a p a r t ir d e la e c u a c ió n
15 -1 . O b s e rv e c o n c u id a d o c ó m o s e e s ta b le c e n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o
p a ra c a d a c o lu m n a y fila .

64 53 5 3 2 1
1 .5 1 .5
1.5 1 .5 - 1 . 5 1 .5 " 6 1 .5 -1 .5 1 .5 " 5
-1 .5 2 -1 .5
E l 1.5 2 - 1 . 5 14 k2 = E l 1 .5 1 3
-1 .5 1 .5
-1 .5 -1 .5 1 .5 -1 .5 5 -1 .5 -1 .5 2
15 -1 .5 3 1 1
1 2 2

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 583

D esplazam ientos y cargas. A h o r a e s p o s ib le e n s a m b la r e s to s e le ­

m e n to s e n la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra . P o r e je m p lo .e l e le m e n to

K , , = 0 + 2 = 2 , K s s = 1 . 5 + 1. 5 = 3 . e t c é t e r a . f t > r l o t a n t o .

Q = KD

1 2 3 45 6
0" 2
-1 .5 1 0 ; 1.5 0 Dx
1 .5
- 5 -1 .5 -1 .5 0 | -1 .5 0 d2
-1 .5 4
0 = El 1 10 1.5 Dy
00 . . . o ....
-u 1 .......... 1 .5 ?4
<?5 1 .5 3 -1 .5
0 Ó -1 .5 j 0
06_ 0
1.5 1 .5 1 - 1 . 5 1 .5 . . 0 .

L a s m a tric e s s e p a rte n d e la m a n e ra q u e s e m u e s tra . S i s e re a liz a la
m u ltip lic a c ió n p a r a la s p r im e r a s c u a tr o fila s , s e tie n e

0 = 2O , - 1.5D 2 + D i + 0

- y , = “ , 5D i + , 5D 2 “ L 5D ' + 0

0 = D i - 1.5D , + 4 D y + D i
0 = 0 + 0 + D 3 + 2D 4

R e s o lv ie n d o ,

2 6 .6 7
D2 = -

El

6 .6 7
Dy = ~ E l

3 .3 3

El

C o n b a s e e n e s to s re s u lta d o s y a l m u ltip lic a r la s d o s ú ltim a s fila s ,re s u lta

0 s . ,.5 £ /( _ _ , , £ /( _ - ) + 0 _ , 5 £ /( ^ )
= 10 k N Resp.

Q6 = 0 + 0 + . . 5 £ / ( - ^ ) + 1 . 5 f c 7 ( ^ ) Resp.

= -5 kN

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584 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

EJEMPLO 15.2

D e te r m in e la fu e r /a c o rta n te y e l m o m e n to e n e l m ie m b ro 1 d e la v ig a
c o m p u e s ta q u e se m u e s tra e n la fig u ra 1 5 -9 a . E l es c o n s ta n te .

S O L U C IÓ N

N o ta c ió n . Q ia n d o la v ig a s e d e f o r m a , e l p a s a d o r in t e r n o p e r m it ir á

u n a s o la d e fle x ió n , s in e m b a rg o , la p e n d ie n te d e c a d a m ie m b r o c o n e c ­
ta d o s e rá d ife re n te . A d e m á s , se p re s e n ta rá u n a p e n d ie n te e n e l r o d i­
llo . E s to s c u a tro g ra d o s d e lib e r ta d d e s c o n o c id o s s e e tiq u e ta n c o n lo s
n ú m e ro s d e c ó d ig o 1 , 2 , 3 y 4 , fig u r a 1 5 -9 /> .

1
7 “ 0“ 5

j3 06
D‘ =

_0_ 7

4

F igura 1 5 -9

M a tric e s d e rig id e z d e los m ie m b ro s . S i s e a p lic a la e c u a c ió n 1 5 -1

a c a d a m ie m b r o , d e a c u e rd o c o n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o q u e s e m u e s ­
tr a n e n la fig u ra 1 5 -9 /» ,s e tie n e

67 3 1 3 25 4

12 6 12 6 " o 12 6 12 6 '
L? L 2 L 3 L 2
L 3 L2 L? L2

64 6 2 */7 6 4 62

L2 L L2 L k2= El L2 L L2 L

12 6 12 6 12 6 12 6
J
L 3 L2 L 3 L2
L 3 L2 L 3 L2

62 64 6 264
1
L2 L L2 L L2 L
L2 L

D esplazam ientos y ca rg a s. L a m a t r iz d e r ig id e z d e la e s tr u c t u r a s e

fo r m a a l e n s a m b la r lo s e le m e n to s d e la s m a tric e s d e r ig id e z d e lo s
m ie m b ro s . S i s e a p lic a la e c u a c ió n m a tr id a l d e la e s tru c tu ra , re s u lta q u e

Q = KD

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 585

12 3 4 5 67

46 62
0 00
10 L L2 £2 L

0 4 62 6 0
0
20 L Ú L L2

66 24 6i 12 12 6
1? L3
30 L2 L2 l) 6 l? L2
4 —A#o = £ 7 4 L2
5 Os 2 6 12 0 0
6 06 0 L2 ........f j £3
0 0
Z. 6 0 12 6
L2
0 ............6 ........ 12 L2 O
£2 £3
0
6 12
0
1}
L2

7 07 2 6 64
0 00

L L2 L2 L

A l m u ltip lic a r la s c u a tr o p r im e r a s fila s p a r a d e te r m in a r
m ie n to s e o b tie n e

o ■ I D ' - T>d >

0 ■ i Dj + h D i * i D‘

6 6 24 6

° _ - - D l + - D 2 t- 0 3 + _ 04

~ M ° = \ ^ 2 + t *D í +

D e m odo que

1 2E l

M 0L
D2= -

6El

3 3E l

n_ 2W oL

- " 317

C b n b a s e e n e s to s re s u lta d o s , la re a c c ió n £ s se o b tie n e d e la m u ltip li-
'c" a• 'c' •ió n d e l a q u i n t a f i l a .

6E l i M 0'LL \\ _ W1 2 E lI ((MM o0LL 22\\ _ 66 FE .Il (( 22MM 00L¡ \

’ L 2 V 6 E I/ y) L ?3 \ 3 E !l ) VlL 2 \ 33 FE JI ))

Os =

E s te re s u lta d o p u e d e c o m p ro b a r s e fá c ilm e n te s i s e a p lic a la e s tá tic a a l

m i e m b r o Í2l.

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586 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

EJEMPLO 15.3

L a v ig a d e la fig u r a 1 5 -lO u e s tá s o m e tid a a lo s d o s m o m e n to s d e p a r. S i
e l s o p o r te c e n tr a l @ se a s ie n ta 1 .5 m m ,d e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s
s o p o rte s . S u p o n g a q u e lo s s o p o rte s d e r o d illo e n (D y ® p u e d e n ja la r o
e m p u ja r la v ig a . C o n s id e re q u e E - 2 0 0 G P a y q u e / « 22 (1 0 ~ 6) m \

4 kN m 4 kN

n~ tu
2m

(a )
F ig u ra 15-10

S O L U C IÓ N

N o ta c ió n . L a v ig a t ie n e d o s e le m e n to s y tre s g r a d o s d e lib e r t a d d e s ­

c o n o c id o s . É s to s s e e tiq u e ta n c o n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o m á s b a jo , f i ­
g u ra 15 1 0 6 . A q u í la s m a tric e s d e c a rg a y d e s p la z a m ie n to c o n o c id o s s o n

Q* = 41 D* = 0
02
-0 .0 0 1 5
_-4 _ 3
0

6 54

¡ 3 4 kN -m I 2 4 kN -m 1

(b)

M a trice s d e rig id e z de lo s m iem bros. l a s m a tr ic e s d e r ig id e z d e

lo s m ie m b ro s se d e te rm in a n m e d ia n te la e c u a c ió n 1 5 -1 . d e a c u e rd o
c o n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o y la s d ire c c io n e s d e lo s m ie m b ro s q u e se
m u e s tra n e n la fig u ra 1 5 -1 0 6 . S e tie n e .

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 587

6 3 5 2
15 1.5 -1 .5 1.5" 6
1.5 2 -1 .5 13
-1 .5 -1.5 5
1.5 -1 .5 1.5 22
1 -1 .5

5 2 4 1
1.5 1.5 -1 .5 1.5“ 5
1.5 2 -1 .5 12
-1 .5 -1 .5 -1.5 4
1.5 1 1.5 21
-1 .5

D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s . Si se ensam bla la m atriz d e rigidez de
la e stru ctu ra y se escribe la ecuación d e rig id e z d e la e s tru c tu ra , re ­
sulta

1 2 3 4 56
2 0
4" 1 1 1 -1 .5 1.5 0 Di
0 0 4 2 D2
-4 = El -1 .5 1 0 -1 .5 0 1.5 D>
Qa 1.5 -1 .5 -1 .5
Qs 0 0 1.5 0 -1 .5 . . . 1. ..5. . 0
Qo 1.5 1.5 " ' - 1 5 '
0
-1.5 3 -1.5 i
i

0 -1.5 1.5

A l r e s o lv e r lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s .

-t4i ( = 2 D , + D ? + 0 D 3 - 1 . 5 ( 0 ) + 1 . 5 ( — 0 . 0 0 1 5 ) + 0

= 1D30 1 / ) , + 4 n 2 + - 1 .5 (0 ) + 0 + 0

^ = 0 D , + \D 2 + 2 D 3 + 0 - 1 .5 (-0 .0 0 1 5 ) + 0

£/

S i s e s u s titu y e E l = 2 0 0 ( 1 0 6)( 2 2 ) ( 1 0 6) y s e re s u e lv e .

D \ = 0 .0 0 1 5 8 0 ra d . Dz = 0. D 3 = -0 .0 0 1 5 8 0 ra d

ft> r lo ta n to , c o n b a s e e n e s to s re s u lta d o s , la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
tes s o n

0 4 = 2 0 0 (1 0 6)2 2 (1 0 -6 ) [ - 1 .5 (0 .0 0 1 5 8 0 ) - 1 .5 (0 ) + 0 + 1 .5 (0 ) - 1 .5 (-0 .0 0 1 5 ) + 0 ) = -0 .5 2 5 k N Resp.

0 5 = 2 0 0 (1 0 6)2 2 (1 0 “ 6 )[1 .5 (0 .0 0 1 5 8 0 ) + 0 - 1 .5 (-0 .0 0 1 5 8 0 ) - 1 .5 (0 ) + 3 ( - 0 .0 0 1 5 ) - 1 .5 (0 )1 = 1-05 k N Resp.

0 6 = 2 0 0 ( 1 0 6) 2 2 { 1 0 ~ 6 ) [ 0 + 1 . 5 ( 0 ) + 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 8 0 ) + 0 - 1 . 5 ( - 0 . 0 0 1 5 ) + 1 . 5 ( 0 ) ) = - 0 . 5 2 5 k N Resp.

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588 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

E J E M P L O 15.4

D e te rm in e e l m o m e n to d e s a rro lla d o e n e l s o p o rte A d e la v ig a q u e se
m u e s tra e n la fig u ra 1 5 -I I a . S u p o n g a q u e lo s s o p o rte s d e r o d illo p u e ­
d e n ja la r o e m p u ja r la v ig a . C o n s id e re q u e E = 2 9 (1 0 ’ ) k s i y q u e / =
5 1 0 p u lg 4.

S O L U C IÓ N

2 k /p ie N o ta c ió n . A q u í , l a v ig a t ie n e d o s g r a d o s d e lib e r t a d n o r e s tr in g id o s ,
id e n tific a d o s p o r lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o 1 y 2.

E l a n á lis is m a tr ic ia l re q u ie r e q u e la c a rg a e x te rn a se a p liq u e e n lo s

n o d o s y , p o r lo ta n to , la s c a rg a s d is t r ib u id a s y c o n c e n tr a d a s s e r e e m ­
p la z a n p o r s u s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo e q u iv a le n te s , lo s c u a le s se

d e te rm in a n a p a r tir d e la ta b la q u e a p a re c e e n e l in t e r io r d e la c o n tr a ­

p o rta d a . (V e a e l e je m p lo 1 1 .2 .) O b s e rv e q u e n o h a y c a rg a s e x te rn a s
c o l o c a d a s e n <X> y n o h a y f u e n r a s e x t e r n a s v e r t i c a l e s u b i c a d a s e n
p u e s to q u e la s re a c c io n e s e n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o 3 ,4 y 5 deben ser
d e sco n o cid o s e n la m a tr iz d e c a rg a . S i s e u s a s u p e r p o s ic ió n , lo s r e s u l­
12 k
ta d o s d e l a n á lis is m a t r ic ia l p a r a la s c a rg a s d e la fig u r a 1 5 -1 1 6 se m o d i­

fic a r á n p o s te r io r m e n te c o n la s c a rg a s d e la fig u r a 15 -1 le . A p a r t ir d e

la f ig u r a 1 5 -1 1 6 , la s m a tric e s d e l d e s p la z a m ie n to c o n o c id o y la c a rg a
c o n o c id a s o n

’o" 4

2 4 p ie s 1 144

o 4 O* = oo 5 Q *-
i
p ie s 6 1008

M a trice s d e rig id e z d e los m ie m b ro s . C a d a u n a d e la s d o s m a tr ic e s

d e rig id e z d e lo s m ie m b ro s s e d e te rm in a a p a r tir d e la e c u a c ió n 15 -1.

E le m e n t o 1:

12 E l _ 1 2 (2 9 )(1 0 3)(5 1 0 ) 7 .4 3 0

L 3 [2 4 (1 2 )]'

6E l 6 (2 9 )(1 0 -')(5 1 0 )
= 1 0 6 9 .9
L ‘2
[2 4 (1 2 )j2

9 6 k p i e - 1 2 k p i e - 1 0 0 8 k p u lg 1 2 k - p ie - 1 4 4 k -p u lg 4 E¿ 4 {2 9 )(1 0 3)(5 1 0 )
L 2 4 (1 2 )
205 417

v ig a q u e se a n a liz a rá p o r e l m é to d o d e la rig id e z 2EI 2 (2 9 )(1 0 3)(5 1 0 )
(b ) L 2 4 (1 2 )

/u o

43 52

7 .4 3 0 1 0 6 9 .9 -7 .4 3 0 1 0 6 9 .9 " 4

ki = 1 0 6 9 .9 205 417 -1 0 6 9 .9 102 708 3
-7 .4 3 0 -1 0 6 9 .9 7 .4 3 0
E le m e n to 2: -1 0 6 9 .9 5
1 0 6 9 .9 102 708 -1 0 6 9 .9
144 k - p u lg 205 417_ 2

9 6 k • p ie - 1152 k • p u lg 12£7 1 2 (2 9 )(103) (5 1 0 )

v ig a s u je ta a la c a rg a re a l y a la s L 3 [8( 12) | ¿UÜ-Í,U2
re a c c io n e s fija m c n tc a p o y a d a s
6El 6( 2 9 ) ( 103 ) ( 5 1 0 ) =
(C)
— =- = [8( 12) j
figura 15-11 L1

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 589

*1 = 5 2 6 1 5
2 0 0 .6 0 2 9 6 2 8 .9 1 9 6 2 8 .9 1
9 6 2 8 .9 1 616 250 -2 0 0 .6 0 2 3 0 8 125 2
-2 0 0 .6 0 2 -9 6 2 8 .9 1 -9 6 2 8 .9 1 -9 6 2 8 .9 1 6
9 6 2 8 .9 1 308 125 616 250 1
2 0 0 .6 0 2
-9 6 2 8 .9 1

D esplazam ientos y cargas. S e r e q u ie r e
Q = KD

i2 3 4 56
0
" 144' 616250 308 125 j 0 1069.9 9628.91 -9628.91'
1008 ¡069.9
308 125 821667 [ 102 708 7.430 8559.01 -9628.91 02
Qs -7.430 ó
Qa ó........ ÍÓ2 708 T 205 417 0 -1069.9 ......... 0
Qs 0
. G* . 0 1069.9 j 1069.9 -7.430 0 0

9628.91 8559.01 | -1069.9 208.03 -200.602 _0 _

_-9628.91 -9628.91 : 0 -200.602 200.602_

R e s o lv ie n d o d e la m a n e ra u s u a l,

144 = 616 250D , + 308 125 D 2
1008 = 308 1 2 5 D , + 821 6 6 7 D 2

D , = -0 .4 6 7 3 (1 0 -3 ) p u lg

D 2 = 1 .4 0 2 0 3 (1 0 -3 ) p u lg

R > r lo ta n to ,

0 3 = 0 + 1 0 2 7 0 8 ( 1 . 4 0 2 0 3 ) ( 1 0 " 3 ) = 1 4 4 k - p u l g = 12 k - p i e

E l m o m e n t o r e a l e n A d e b e in c lu ir la re a cció n fija m e n te a p o y a d a d e

+ 9 6 k • p ie q u e se m u e s tra e n la fig u ra 1 5 -1 le , ju n to c o n e l re s u lta d o
c a lc u l a d o p a r a Q y. P o r t a n t o ,

= 12 k • p i e 4 - 9 6 k • p i e = 1 0 8 k • p i e ^ Resp.

E s te r e s u lt a d o s e c o m p a r a c o n e l d e t e r m in a d o e n e l e je m p lo 11- 2 .

A u n q u e n o e s n e c e s a rio a q u í, p u e d e d e te rm in a rs e e l m o m e n to in ­
te rn o y la fu e r z a c o r te in te r n a e n R a l c o n s id e r a r , p o r e je m p lo , e l
m ie m b ro 1 y e l n o d o 2 , fig u ra 1 5 -1 1 6 . E l re s u lta d o re q u ie re e x p a n d ir

q, = M + (q0)i

<74 4 3 5 2 0 24"
<7? = 7.430 1069.9 -7.430 1069.9
<75 1069.9 205 417 -1069.9 102 708 0 (\10“3/) + 1152
-<72_ -7.430 -1069.9 -1069.9 0 24
1069.9 102 708 7.430 205 417
-1069.9 .1.40203 --1*52.

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590 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

EJEMPLO 15.5

D e t e r m in e la d e fle x ió n e n <D y la s r e a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e
m u e s tra e n la fig u r a 1 5 -1 2 a. E l e s c o n s ta n te .

Figura 15-12

S O L U C IÓ N
N o ta c ió n . l a v ig a se d iv id e e n d o s e le m e n to s y lo s n o d o s y lo s

m ie m b ro s s e id e n tific a n s ig u ie n d o la s d ire c c io n e s d e s d e e l e x tr e m o
c e rc a n o h a s ta e l e x tr e m o le ja n o , fig u r a 1 5 -1 2 6 . L a s d e fle x io n e s d e s c o ­
n o c id a s se m u e s tra n e n la fig u ra 1 5 -1 2 c. E n p a rtic u la r, te n g a e n c u e n ta

q u e n o o c u r r e u n d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n D 4d e b id o a la r e s tr ic ­

c ió n d e ro d illo s .

IL . 6

fe a ® a

(b )

M a tric e s d e rig id e z d e los m ie m b ro s . C o m o E l e s c o n s t a n t e y lo s

m ie m b r o s s o n d e ig u a l lo n g it u d , la s m a tric e s d e r ig id e z d e lo s m ie m ­
b ro s s o n id é n tic a s . U s a n d o n ú m e ro s d e c ó d ig o p a ra id e n tific a r c a d a
fila y c o lu m n a .d e a c u e r d o c o n la e c u a c ió n 1 5 -1 y la fig u r a 1 5 -1 2 6 , se
tie n e

3 4 1 2

1.5 1 .5 -1 .5 1 .5 " 3
-1 .5
1 .5 2 14
El 1 .5 -1 .5 1
-1 .5 -1 .5
-1 .5 22
1
1 .5

1 2 5 6
-1 .5
k? = E l 1 .5 1 .5 -1 .5 1 .5 " 1
1 .5 12
-1 .5 2 1 .5
1 .5 -1 .5 -1 .5 5
-1 .5
2 6
1

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 591

D esp la za m ie n to s y cargas. A l e n s a m b la r la s m a tr ic e s d e r ig id e z

d e lo s m ie m b ro s e n la m a tr iz d e rig id e z d e la e s tr u c tu r a , y a l a p lic a r la
e c u a c ió n m a tr ic ia l d e rig id e z d e la e s tru c tu ra , re s u lta

K I)

-P 1 2 34 5 6 Dy
0 Di
0 3 - 1 . 5 ; ■- 1 . 5 -1 3 1 .5 ' P:
0 4 -1 3
Qa 0 1 .5 i 1 1 0
1 .5 0 0 0
Qs -1 .5 1 .5 ! 1 3 0 0 0
El 1
Qo. 1.5 | " 2 1 .5 -1 .5
-1 .5 -1 .5 o0 -1 .5
o !0 2
-1 3 1

1.5

S i se d e s p e ja n lo s d e s p la z a m ie n to s s e o b tie n e

- J j = 3 D ' + 0 D 2 - 15Z>3

0 = «/>,+ 4 D 2 + l.Silj

0 - 1 . 5 D , + 1 .5 D 2 + 1.51*3

1 .6 6 7 P

Dx - - El

2 .661P Resp.
D} = -

El

O b s e rv e q u e lo s s ig n o s d e lo s re s u lta d o s c o in c id e n c o n la s d ir e c c io n e s
d e la s fle c h a s m o s tra d a s e n la fig u r a 1 5 -1 2 c . P o r lo ta n to , a p a r t ir d e
e s to s re s u lta d o s , la s re a c c io n e s s o n

2 .6 6 7 P \
El )

-0 .5 P Resp.
=P
2 .6 6 7 P \
= -1.5 P El )

Resp.

2 .661P \
El )

Resp.

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592 C a pit u lo 15 A n á lis is d e v ig a s u t il i z a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

PR O BLEM AS

1 5 - 1 . D e t e r m in e lo s m o m e n t o s e n <D y ® . S u p o n g a q u e ® 1 5 -5 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . S u p o n g a
e s u n r o d i ll o y q u e CD y ® e s tá n f ijo s . E l e s c o n s ta n te . q u e <Z> y ® s > n r o d i l l o s y q u e CD e s u n p a s a d o r . E l e s c o n s ­
ta n te .
1 5 - 2 . D e t e r m i n e l o s m o m e n t o s e n CD y ® s i e l s o p o r t e ® s e
m u e v e 5 m m h a c ia a r r ib a S u p o n g a q u e ® e s u n r o d illo y
q u e CD y ® e s t á n f ij o s . E l = 6 0 ( 1 C ^ ) N • m \

1 5 -3 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . S u p o n g a 1 5 -6 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . S u p o n g a
q u e lo s ro d illo s p u e d e n e m p u ja r o ja la r la v ig a . E l es c o n s - q u e CD e s t á f i j o y q u e ® y ® s o n r o d i l l o s . E l e s c o n s t a n t e ,
ta n te .

121
P ro h . 1 5 -3

* 1 5 - 4 . D e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s S u p o n g a - 1 5 -7 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s S u p o n g a
m o s q u e <D e s u n p a s a d o r y q u e ® y ® s o n r o d i ll o s q u e p u e - q u e <D y ® e s tá n f ijo s y q u e ® e s u n r o d illo . F .I e s c o n s ta n te ,
d e n e m p u ja r o ja la r la v ig a . E l es c o n s ta n te .

Prob. 1 5 - 7

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15.4 A plicación d el m é t o d o d e la rigidez al análisis d e vigas 593

• 1 5 - 8 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . F.I es 1 5 -1 1 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . H a y u n
co n sta n te . d e s liz a d o r lis o e n (D. F .I es c o n s ta n te .

1 5 - 9 . D e t e r m i n e lo s m o m e n t o s e n <2>y <3>. E l e s c o n s t a n t e . •1 5 -1 2 . U s e u n p ro g ra m a d e c o m p u ta d o ra p a ra d e te rm i­
n a r la s re a c c io n e s s o b re la v ig a . S u p o n g a q u e A e s tá fijo . E l
S u p o n g a q u e ® y ® s o n r o d i l l o s y q u e <3> e s t á a r t i c u l a d o . es co n sta n te .

12 k

Prob. 1 5 -1 2

1 5 -1 0 . D e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . S u p o n g a 1 5 -1 3 . U se u n p ro g ra m a d e c o m p u ta d o ra p a ra d e te rm in a r
q u e (2) e s t á a r t i c u l a d o y q u e CD y ® s o n r o d i l l o s . E l e s c o n s ­ la s re a c c io n e s s o b re la v ig a . S u p o n g a q u e A y D s o n p a s a d o ­
ta n te . re s y q u e n y C s o n ro d illo s . F.I es c o n s ta n te .

4 3 k ./p ic J
’ *’ \ '

Prob. 15-10

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E l m a rc o d e e s te e d ific io e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o . E l a n á lis is d e fu e r­
z a s p u e d e re a liz a rs e u tiliz a n d o e l m é to d o d e la rig id e z .

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Análisis de marcos
planos utilizando el
m étodo de la rigidez

L o s c o n c e p to s p re s e n ta d o s e n lo s c a p ítu lo s a n te rio re s s o b re a rm a d u ­
ra s y v ig a s s e e x te n d e r á n e n e s te c a p ítu lo y s e a p lic a rá n a l a n á lis is d e
m a rc o s . S e v e rá q u e e l p r o c e d im ie n to p a ra o b te n e r u n a s o lu c ió n e s
p a r e c id o a l d e la s v ig a s , p e r o s e r e q u ie r e e l u s o d e m a tr ic e s d e tr a n s ­
fo rm a c ió n p u e s to q u e lo s e le m e n to s d e lo s m a rc o s e s tá n o r ie n ta d o s
e n d ife re n te s d ire c c io n e s .

1 6 .1 M atriz de rigidez del m arco-elem ento

E n e s ta s e c c ió n s e d e s a rro lla rá la m a triz d e rig id e z p a ra u n e le m e n to d e
m a rc o p r is m á tic o c o n re fe re n c ia a l s is te m a d e c o o rd e n a d a s lo c a le s x '.y ',
z \ f i g u r a 1 6 - 1 . A q u í , e l e l e m e n t o e s t á s o m e t i d o a la s c a r g a s a x i a l e s q N x •,

a l a s c a r g a s c o r t a n t e s <7\ y - , q r y . y a l o s m o m e n t o s f l e x k m a n t e s q N z>,

q Fz' e n s u s e x tr e m o s c e rc a n o y le ja n o , re s p e c tiv a m e n te . E s ta s c a rg a s
a c tú a n e n la s d ire c c io n e s c o o rd e n a d a s p o s itiv a s , ju n t o c o n s u s d e s p la z a ­
m ie n t o s a s o c ia d o s . C o m o e n e l c a s o d e la s v ig a s , lo s m o m e n t o s q y .< y q Fz-
s o n p o s itiv o s e n s e n tid o a n tih o r a r io , y a q u e p o r la re g la d e la m a n o d e ­
re c h a lo s v e c to re s d e m o m e n to s e d irig e n a lo la rg o d e l e je z ’ p o s itiv o ,
q u e e s tá fu e ra d e la p á g in a .

E n lo s c a p ítu lo s a n te rio re s s e h a c o n s id e r a d o c a d a u n a d e la s re la c io ­
n e s c a rg a -d e s p la z a m ie n to c a u s a d a p o r e s ta s c a rg a s . L a c a rg a a x ia l se
a n a liz ó c o n re fe re n c ia a la fig u ra 1 4 -2 , la c a rg a c o rta n te e n re la c ió n c o n
la fig u r a 1 5 -5 , y e l m o m e n to fle x io n a n te c o n r e fe re n c ia a la fig u r a 1 5 -6 .
Ifo r s u p e r p o s ic ió n , a l s u m a r e s to s re s u lta d o s , la s s e is re la c io n e s re s u lta n -

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596 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n d o el m é t o d o d e la r ig id e z

E s te p u e n te p e a to n a l tie n e la fo rm a d e una c o n v e n c ió n d e sign os p o s itiv o s
"a rm a d u ra V e n d re e l". S i b ie n , e n s e n tid o es­ F ig u ra 16-1
tric to , n o es una a rm a d u ra p o rq u e n o hay
d ia g o n a le s , fo rm a u n m a rc o d e c a ja e s tá tic a ­
m e n te in d e te rm in a d o , q u e p u e d e a n a liz a rs e
e m p le a n d o e l m é to d o d e la rig id e z .

te s d e c a rg a -d e s p la z a m ie n to p a ra e l e le m e n to se p u e d e n e x p re s a r e n fo rm a
m a trid a l c o m o

N. AL N.

o e n fo r m a a b re v ia d a c o m o (16- 1)
(16- 2)
q = k 'd

L a m a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n to k ' se c o m p o n e d e tr e in ta y s e is c o e fi­
c ie n te s d e in flu e n c ia q u e re p re s e n ta n fís ic a m e n te la c a rg a s o b re e l e le ­
m e n to c u a n d o é s te se e n c u e n tra s o m e tid o a u n d e s p la z a m ie n to u n ita r io
e s p e c ific a d o . E n c o n c r e to , c a d a c o lu m n a d e la m a triz re p re s e n ta la s c a r­
g a s d e lo s e le m e n to s p a r a d e s p la z a m ie n to s u n ita r io s id e n tific a d o s p o r la
c o d ific a c ió n d e g ra d o s d e lib e r ta d q u e s e e n lis ta e n c im a d e la s c o lu m n a s .
C o n b a s e e n e l e n s a m b le .s e h a n s a tis fe c h o e l e q u ilib r io y la c o m p a tib ili­
d a d d e d e s p la z a m ie n to s .

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16.2 M atrices d e t r a n s f o r m a c ió n d el d esp la z a m ie n t o y d e las fuerzas 597

1 6 .2 M atrices de tran sfo rm ación del
desplazam iento y d e las fuerzas

C o m o e n e l c a s o d e la s a rm a d u r a s .s e d e b e te n e r la c a p a c id a d d e tra n s ­
fo r m a r la s c a rg a s in te rn a s d e l e le m e n to q y la s d e fo rm a c io n e s d , d e la s
c o o rd e n a d a s lo c a le s x ', y ', z ' a la s c o o rd e n a d a s g lo b a le s x , y , z . P o r e s ta
ra z ó n s e re q u ie re n m a tric e s d e tra n s fo rm a c ió n .

M atriz de transform ación del desplazam iento. C ó n s id e re

e l e le m e n to d e u n m a r c o q u e s e m u e s tra e n la fig u r a 1 6 -2 a . A q u í s e o b ­
s e rv a q u e u n d e s p la z a m ie n to e n c o o rd e n a d a s g lo b a le s D s t c re a d e s p la ­
z a m ie n to s e n c o o rd e n a d a s lo c a le s

d s * = D n x e o s 0, d N y = - D Nx c o s e ,

A s im is m o , u n d e s p la z a m ie n to e n c o o rd e n a d a s g lo b a le s fig u ra 1 6 -2 6 .

c re a lo s s ig u ie n te s d e s p la z a m ie n to s e n c o o rd e n a d a s lo c a le s

0¿ .V x - = D x y C O S y d Ny = D Ny e o s 0,

I\> r ú ltim o , c o m o lo s e je s z ' y z s o n c o in c id e n te s .e s d e c ir.e s tá n d irig id o s
h a c ia a fu e ra d e la p á g in a , u n a ro ta c ió n D n - re s p e c to a z g e n e ra u n a r o ta ­
c ió n c o rre s p o n d ie n te d s¡- a lre d e d o r d e z '.P o r lo ta n to .

d sz' = D NZ

D e m a n e ra s im ila r , s i s o b re e l e x tre m o le ja n o d e l e le m e n to s e im p o n e n
d e s p l a z a m ie n t o s g l o b a l e s D Ft e n l a d i r e c c i ó n x , D Fy e n l a d i r e c c i ó n y y
u n a r o ta c ió n D F:, la s e c u a c io n e s d e tr a n s fo r m a c ió n re s u lta n te s s o n . r e s ­

p e c tiv a m e n te ,

dFx- = D Ft e o s 6X dI pF<y/ =- DL>FFxr e o s '0■y,

d F* = D FycosO y d p y = D Fy eos 0 ,

d Fz■ = D Fz <b)
F ig u ra 1 6 -2
S i s e c o n s i d e r a q u e A , = c o s 0„ A r = e o s 0 y r e p r e s e n t a n l o s c o s e n o s d i r e c ­

to re s d e lo s e le m e n to s , p u e d e e s c rib irs e la s u p e rp o s ic ió n d e lo s d e s p la z a ­
m ie n to s e n fo rm a m a tric ia l c o m o

■

d N* Ax Ay 0 0 0 0 /> v .

dN / "A y Ax 0 0 0 0 O sy

2 0 0 1 0 0 0 l>Nz (1 6 -3 )
ü 0 0 A x Ay 0 o Fx
d F í>

d py 0 0 0 " A y A , 0 Dpy

-d F Í_ 0 0 0 0 0 1. I D f:_

o b ie n

d = TD (1 6 -4 )

P o r in s p e c c ió n ,T tr a n s fo r m a lo s s e is d e s p la z a m ie n to s D g lo b a le s x ,y , z
e n lo s s e is d e s p la z a m ie n to s d lo c a le s x \ y ', z '. P o r ta n to . T se c o n o c e
c o m o la m a triz d e tra n sfo rm a ció n d e l d esp la za m ien to .

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598 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n d o el m é t o d o d e la r ig id e z

M a triz d e tra n s fo rm a c ió n d e la fu e rz a . S i a h o r a s e a p lic a

ca d a c o m p o n e n te d e c a rg a s o b re e l e x tre m o c e rc a n o d e l e le m e n to , e s p o ­
s ib le d e te rm in a r la fo rm a d e tra n s fo rm a r lo s c o m p o n e n te s d e c a rg a d e
la s c o o r d e n a d a s l o c a le s a la s g l o b a l e s . A l a p l i c a r q Nx‘, f i g u r a 1 6 - 3 a , s e
puede ve r que

exQ n x = Q n ¿ e o s Q Ny = q Nx.e o s fly

<?A’, = < 7 vrC O S 0 , S i s e a p l i c a q Ny . f i g u r a 1 6 -3 ¿ > , e n t o n c e s s u s c o m p o n e n t e s s o n
Q n x = ~ Q s y e o s B y Q S y = q Ny e o s d ,
<b)
R g n ra 1 6 -3 P b r ú l t im o , c o m o q N l' e s c o lin e a l c o n Q s ¡ , s e t ie n e

Q s z = QNy

D e m a n e r a s i m i l a r , l a s c a r g a s e n l o s e x t r e m o s d e < / / * • , Qf / > Q f : ' g e n e r a r á n
lo s s ig u ie n te s c o m p o n e n te s re s p e c tiv o s :

Q fx = QFy e o s d , Q Fy = q F < e o s 0y
Q fx = ~ Q f / e o s 6y Q F y = q F y e o s Bx
Q fz = QFy

A l e n s a m b la r e s ta s e c u a c io n e s e n f o r m a m a t r ic ia l c o n A , = e o s 0 t, \ y =
e o s fly .s e o b tie n e

0 6 -5 )

o b ie n

Q = T Tq 0 6 -6 )

A q u í, c o m o s e d ijo a n te s , T 7 tra n s fo rm a la s s e is c a rg a s d e e le m e n to e x ­

p re s a d a s c o n c o o rd e n a d a s lo c a le s e n la s s e is c a rg a s e x p re s a d a s c o n c o o r ­
d e n a d a s g lo b a le s .

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1 6 .3 M atriz d e rig id ez g l o b a l d e i m a r c o -e l e m e n t o 599

1 6 .3 M atriz de rigidez global del
marco-elem ento

L o s re s u lta d o s d e la s e c c ió n a n te rio r s e c o m b in a rá n a h o ra c o n e l fin d e
d e te r m in a r la m a triz d e rig id e z d e u n e le m e n to q u e re la c io n e la s c a rg a s
g lo b a le s Q c o n lo s d e s p la z a m ie n to s g lo b a le s I ) . P a ra e llo .s e s u s titu y e la
e c u a c ió n 1 6 -4 ( d = T D ) e n la e c u a c ió n 1 6 -2 ( q = k 'd ) . S e tie n e

k 'T D (1 6 -7 )

A q u í la s fu e rz a s q d e lo s e le m e n to s e s tá n re la c io n a d a s c o n lo s d e s p la ­
z a m ie n to s g lo b a le s D . A l s u s titu ir e s te re s u lta d o e n la e c u a c ió n 1 6 -6 ( Q =
T r q ) se o b tie n e e l re s u lta d o fin a l.

T k 'T D (1 6 -8 )

o b ie n

Q = k l>

donde

k = T 'k ’T (1 6 -9 )

A q u í k re p re s e n ta la m a tr iz d e rig id e z g lo b a l d e l e le m e n to . S u v a lo r

p u e d e o b te n e rs e e n fo rm a g e n e ra l u tiliz a n d o la s e c u a c io n e s 1 6 -5 .1 6 -1 y

1 6 -3 y a l r e a liz a r la s o p e ra c io n e s m a tric ia le s . C o n e s to s e o b tie n e e l r e s u l­

ta d o fin a l.

N, Ny Nt F, PT F,

A E , 12E l ,\ 6E l I A E 12E J \ 6F.I
.7T*‘ T T * ') l* a’
WLJ Á ’ - ( $ . * * ■ ~[t — y* 6El ",
Ny
A E 12EI\ 6EI ( A E , 12£/

,t - (t * ^ ) U A*

6E¡ 6 El 4E l 6E l 6E l 2EI
" l * Ax L "i
-7 7 * ' A‘ L 7 7 V

k-

(¥ *^ ) / A E _ 12EA IA E «B \ ll o 6E1 rFx
\ L O )**> ll> L > Á’ ) 17*’
6EI Fy
6El /A E 12E I\
l? A‘ r
(t - 3 V -(£ *♦ 3 4 ( t - — )*-*- 6E l 4E l
2EI 6E l - 7 7 a*
6EI 6E l L ü x’ L

~7FA' U x‘

(16-10)

O b s e rv e q u e e s ta m a t r iz d e 6 X 6 e s sim é trica . A d e m á s , la u b ic a c ió n d e
c a d a e l e m e n t o s e a s o c ia c o n la c o d i f i c a c ió n e n e l e x t r e m o c e r c a n o . N x,
N y , N ¡, s e g u id a p o r la d e l e x t r e m o l e ja n o . F „ F y, F z . l a c u a l a p a r e c e e n la p a r ­
te s u p e r io r d e la s c o lu m n a s y a lo la rg o d e la s fila s . A l ig u a l q u e e n la m a ­
tr iz k ', c a d a c o lu m n a d e la m a tr iz k re p re s e n ta la s c a rg a s c o o rd in a d a s

s o b re lo s n o d o s d e l e le m e n to q u e s o n n e c e s a ria s p a ra re s is tir u n d e s p la z a ­
m ie n to u n ita r io e n la d ire c c ió n d e fin id a p o r e l c ó d ig o d e la c o lu m n a . P o r
e je m p lo , la p r im e r a c o lu m n a d e k re p re s e n ta la s c a rg a s e n c o o rd e n a d a s
g lo b a le s s o b r e lo s e x tr e m o s le ja n o y c e rc a n o c a u s a d a s p o r u n desp la za ­
m ien to u n ita rio e n e l e x tr e m o c e rc a n o e n la d ir e c c ió n * , e s d e c ir . D Sx.

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C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n o o el m é t o d o o e la r ig id e z

1 6 .4 A p lica ció n de l m é to d o de la rig id e z
para el análisis d e m arcos

U n a v e z q u e s e h a n e s ta b le c id o la s m a tric e s d e rig id e z d e lo s e le m e n to s ,
é s ta s p u e d e n e n s a m b la rs e e n la m a tr iz d e rig id e z d e la e s tr u c tu r a e n la
fo r m a h a b itu a l. S i se e s c rib e la e c u a c ió n m a tr ic ia l d e la e s tr u c tu r a .e s p o ­
s ib le d e te r m in a r lo s d e s p la z a m ie n to s e n lo s n o d o s re s trin g id o s .s e g u id o s
d e la s re a c c io n e s y la s c a rg a s in te r n a s e n lo s n o d o s . L a s c a rg a s la te ra le s
q u e a c tú a n s o b re u n e le m e n to , lo s e r r o r e s d e fa b r ic a c ió n , lo s c a m b io s d e
te m p e r a tu ra , lo s s o p o r te s in c lin a d o s y lo s s o p o rte s in te r n o s s e m a n e ja n
d e la m is m a m a n e ra q u e s e in d ic ó p a ra la s a r m a d u r a s y la s v ig a s .

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

E l s ig u ie n te m é to d o p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a e n c o n tr a r lo s d e s p la z a m ie n to s , la s re a c ­
c io n e s e n lo s s o p o rte s y la s c a rg a s in te rn a s d e lo s e le m e n to s q u e fo rm a n m a rc o s e s tá tic a ­
m e n te d e te rm in a d o s c in d e te rm in a d o s .

N o ta c ió n

• D iv id a la e s tru c tu ra e n e le m e n to s fin ito s e id e n tifiq u e a rb itra ria m e n te c a d a e le m e n to
y s u s n o d o s . P o r lo g e n e ra l, lo s e le m e n to s se e x tie n d e n e n tre p u n to s d e a p o y o , p u n to s
d o n d e s e a p lic a n c a rg a s c o n c e n tra d a s , e s q u in a s o ju n ta s o e n tr e lo s p u n to s d o n d e
d e b e n d e te rm in a r s e la s c a rg a s in te r n a s o lo s d e s p la z a m ie n to s .

• E s ta b le z c a e l s is te m a g lo b a l d e c o o rd e n a d a s x ,y , z . p o r lo g e n e ra l s itu a d o c o n v e n ie n ­
te m e n te c o n e l o r ig e n e n u n p u n to n o d a l s o b re u n o d e lo s e le m e n to s y lo s e je s u b ic a ­
d o s d e m o d o q u e to d o s lo s n o d o s te n g a n c o o rd e n a d a s p o s itiv a s .

• E n c a d a p u n to n o d a l d e l m a rc o , e s p e c ifiq u e n u m é ric a m e n te lo s tre s c o m p o n e n te s d e
c o d ific a c ió n x ,y , z . E n to d o s lo s c a s o s u s e lo s n ú m eros d e c ó d ig o m á s b a jo s p a ra id e n ­
t if ic a r to d o s lo s g ra d o s d e lib e rta d n o re strin g id o s,s e g u id o s p o r e l r e s to d e lo s n úm eros
d e c ó d ig o m ás a lto s p a r a id e n tif ic a r lo s g ra d o s d e lib e rta d restrin g id o s.

• C b n b a s e e n e l p r o b le m a , e s ta b le z c a lo s d e s p la z a m ie n to s c o n o c id o s D * y la s c a rg a s e x ­
te rn a s c o n o c id a s Q * . A I d e fin ir Q * . a s e g ú re s e d e in c lu ir c u a lq u ie r c a rg a d e e x tr e m o
f ijo in v e rtid a s i u n e le m e n to s o p o r ta u n a c a r g a in te r m e d ia .

M a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra

• A p liq u e la e c u a c ió n 1 6 -1 0 p a ra d e te r m in a r la m a triz d e rig id e z p a ra c a d a e le m e n to
e x p re s a d a e n c o o rd e n a d a s g lo b a le s . E n p a rtic u la r, lo s c o s e n o s d ire c to re s A , y X y se d e ­
te rm in a n a p a r tir d e la s c o o rd e n a d a s x .y d e lo s e x tre m o s d e l e le m e n to , e c u a c io n e s 1 4 -5
y 1 4 -6 .

• D e s p u é s d e e s c r ib ir c a d a m a tr iz d e r ig id e z d e lo s e le m e n to s , y lu e g o d e id e n tif ic a r la s
s e is fila s y c o lu m n a s c o n lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o c e rc a n o s y le ja n o s , la s m a tric e s se
u n e n p a r a f o r m a r la m a triz d e r ig id e z d e la e s tr u c tu r a K . C o m o u n a c o m p r o b a c ió n
p a rc ia l, to d a s la s m a tric e s d e r ig id e z d e lo s e le m e n to s y d e la e s tr u c tu r a d e b e n s e r
sim étricas.

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1 6 - 4 A P ltC A C IÓ N 0 5 1 M É TO D O 0 5 L A R1GI052 PARA 5L ANÁLISIS D 5 M ARCOS 601

D e s p la z a m ie n to s y c a rg a s

• H a g a u n a p a r tic ió n d e la m a triz d e rig id e z , c o m o lo in d ic a la e c u a ­
c ió n 1 4 -1 8 . U n a e x p a n s ió n p o s te r io r c o n d u c e a

Q * = K „ D . + K 1?D *

Qu = K2 |I>u + K?2l>*

L o s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s D „ se d e te r m in a n a p a r t ir d e la

p r im e ra d e e s ta s e c u a c io n e s . C o n b a s e e n e s to s v a lo re s , la s re a c c io ­
n e s e n lo s s o p o r te s Q u se c a lc u la n a p a r t ir d e la s e g u n d a e c u a c ió n .

R > r ú ltim o , la s c a rg a s in te rn a s q e n lo s e x tr e m o s d e lo s e le m e n to s

p u e d e n c a lc u la rs e a p a r t ir d e la e c u a c ió n 1 6 -7 , e s d e c ir,

q = k ’T D

S i lo s re s u lta d o s d e c u a le s q u ie r in c ó g n ita s s e c a lc u la n c o m o c a n ti­
d a d e s n e g a tiv a s , e s to in d ic a q u e a c tú a n e n la s d ir e c c io n e s c o o r d e ­
n a d a s n e g a tiv a s .

EJEMPLO

D e te r m in e la s c a rg a s e n la s ju n ta s d e la e s tr u c tu r a d e d o s e le m e n to s
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 6 -4 a . C o n s id e re q u e / = 5 0 0 p u lg 4. A = 1 0
p u l g 2 . y E = 2 9 ( 1 0 3) k s i p a r a a m b o s e l e m e n t o s .

S O L U C IÓ N 20p ie s

N o ta c ió n . ft> r in s p e c c ió n , e l m a r c o t ie n e d o s e le m e n to s y t r e s (a )

n o d o s ,q u e s e id e n tific a n c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 1 6 -4 6 . E l o rig e n llgura 16-4
d e l s is te m a g lo b a l d e c o o r d e n a d a s s e e n c u e n tr a e n (D. Ix js n ú m e r o s d e
c ó d ig o e n lo s n o d o s s e e s p e c ific a n n um era nd o en p rim e r lu g a r lo s gra­
d o s d e lib e rta d n o restrin g id o s. A p a r t ir d e la s r e s tr ic c io n e s e n (D y ® . y
d e la c a rg a a p lic a d a , s e tie n e

"o " 6 ”” 5 " l

07 un 2

D, - "' Q, - 00 3

08 Q‘ = nu 4

_0_ 9 _0_ 5

M a triz d e rig id e z de la e s tru c tu ra . L o s s ig u ie n te s t é r m in o s s o n

c o m u n e s a a m b a s m a tric e s d e rig id e z d e lo s e le m e n to s :

A E = 1 0 [2 9 ( 1 0 3) ]
= 1 2 0 8 .3 k /p u lg

L 2 0 (1 2 )

12£7 1 2 1 2 9 (1 0 ’ )(5 0 0 )]

= 12.6 k / p u l g
120(12)1*

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602 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n o o el m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 16.1 (C ontinuación)

6E l 6 (2 9 ( 103) (5 0 0 )1
L2 = 1 5 1 0 .4 k

4EI [2 0 {1 2 )j2
L
4 |2 9 (1 0 3) (5 0 0 )|

2 0 (1 2 ) = 2 4 1 .7 (1 0 3 ) k • p u lg

2E l 2 (2 9 (1 0 3) (5 0 0 )|
L
= 1 2 0 .8 3 (1 (? ) k 'p u lg

2 0 (1 2 )

E le m e n to 1:

20 - 0 , 4 0 -0
A’ = ^ -
Ax =°
- is - = 1

A l s u s titu ir lo s d a to s e n la e c u a c ió n 1 6 -1 0 , se tie n e

k, = 4 6 5 1 2 3 4
" 1 2 0 8 .3 0 0 -1 2 0 8 .3 0 0 6
1 2 .6 1 5 1 0 .4 -1 2 .6 1 5 1 0 .4 5
0 1 5 1 0 .4 2 4 1 .7 (1 0 3) 0 -1 5 1 0 .4 n o ^ i o 3) 1
0 0 0 0 0 0 2
-1 2 0 8 3 -1 2 .6 -1 5 1 0 .4 1 2 0 8 .3 1 2 .6 -1 5 1 0 .4 3
0 1 5 1 0 .4 1 2 0 .8 3 ( 103) 0 -1 5 1 0 .4 2 4 1 .7 (1 0 3)
0 0

L a s fila s y la s c o lu m n a s d e e s ta m a tr iz d e 6 X 6 s e id e n tific a n p o r lo s
tre s n ú m e ro s d e c ó d ig o x ,y , z, p rim e ro e n e l e x tre m o c e rc a n o y d e s ­
p u é s e n e l e x tre m o le ja n o , es d e c ir. 4 . 6 , 5 . 1 , 2 , 3 , re s p e c tiv a m e n te , f i­
g u ra 1 6 -4 6 . E s to s e h a c e p a ra e l e n s a m b le p o s te rio r d e lo s e le m e n to s .

E le m e n to 2:

20 - 20 -2 0 - 0
Ax 20 0
A ,« 20 -1
*

A l s u s titu ir lo s d a to s e n la e c u a c ió n 1 6 -1 0 re s u lta

1 2 3 7 8 9
12 .6 0 1 5 1 0 .4 -1 2 .6 0
1 2 0 8 .3 -1 2 0 8 3 1 5 1 0 .4 1
0 0 0 0 0 0 2
15 1 0 .4 0 2 4 1 .7 (1 0 ’ ) -1 5 1 0 .4 0
k2 = -1 2 .6 -1 2 0 8 .3 1 2 0 8 .3 1 2 0 .8 3 (1 0 -’ ) 3
0 -1 5 1 0 .4 1 2 .6 0
0 0 0 -1 5 1 0 .4 7
1 5 1 0 .4
1 2 0 .8 3 ( 103) -1 5 1 0 .4 08

2 4 1 .7 (1 0 3) _ 9

C o m o e s u s u a l, la id e n tific a c ió n d e c o lu m n a s y fila s se h a c e c o n r e fe ­
re n c ia a lo s tr e s n ú m e ro s d e c ó d ig o e n la s e c u e n c ia x ,y ,z p a ra lo s e x ­
tre m o s c e rc a n o y le ja n o , re s p e c tiv a m e n te ; e s d e c ir, 1 ,2 ,3 y d e s p u é s 7,
8 ,9 , fig u ra 1 6 -4 6 .

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1 6 - 4 A P L IC A C IÓ N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A RlGlOEZ PARA 5L ANÁLISIS D 5 M ARC O S 603

L a m a t r i z d e r i g i d e z d e l a e s t r u c t u r a s e d e t e r m i n a a l e n s a m b l a r k , y k 2.

E l re s u lta d o , q u e s e m u e s tra p a rtid o c o m o Q = K D , es

I23 45 67 9

5 “ 17209 0 15104 -12083 0 0 -126 15104 o,

0 0 17209 -15104 0 -151Q4 j -126 0 1708.J 0 Di

0 15104 -15104 4833(10) 0 12083(10) 15104 -15104 0 12QK3(i O ) O ,

0 -1708.3 0 0 12033 0 : o 0 O.

0 0 -15104 12083(10) ...® .... 241.7<1°*) 15104 0 D, (I)
0
a 0 -12* 15104 0 15104 126 0

Q> -12* 0 15104 00 0 126 ) - 1 5 1 0 4 o

a 0 -12003 0 0 0 :0 0 O 0 o

Q. 15104 0 12083(10) 0 0 : o -1510.4 ) 241.7(10*) o

D esplazam ientos y ca rg a s. S i s e e x p a n d e p a r a d e t e r m in a r lo s d e s ­

p la z a m ie n to s re s u lta

5' 1 2 2 0 .9 0 1 5 1 0 .4 - 1 2 0 8 .3 o" ~D ~ "o “
0 0 1 2 2 0 .9 -1 5 1 0 .4 0
0= -1 5 1 0 .4 4 8 3 .3 (1 0 ’ ) 0 -1 5 1 0 .4 ¡h 0
0 1 5 1 0 .4
0. -1 2 0 8 .3 0 0 1 2 0 8 .3 1 2 0 .8 3 (1 0 3) Dy + 0
1 2 0 .8 3 (1 0 3) 0
0 0 Da 0

1 2 4 1 .7 ( 1 0 3)_ .D s _ _0_
C/i
o
i*

A l re s o lv e r, se o b tie n e

’ D t~ 0 .6 9 6 p u lg
d2 - 1 .5 5 ( 1 0 ” * ) p u lg
Dy = -2 .4 8 8 (1 0 ” * ) ra d
Da
D s_ 0 .6 % p u lg
1 .2 3 4 (1 0 “ * ) ra d _

C o n b a s e e n e s to s re s u lta d o s , la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s se d e te r ­

m in a n a p a r t ir d e la e c u a c ió n ( 1) d e la s ig u ie n te m a n e r a :

Q f, 1 2 34 5 0 .6 9 6 o ' -1 .8 7 k
Qi = 0 1 5 1 0 .4 0 1 5 1 0 .4 —1 . 5 5 ( 1 0 “ 3 )
(2 8 - 12.6 - 12.6 -1 5 1 0 .4 0 -2 .4 8 8 (1 0 3) 0 -5 .0 0 k Resp.
(2 9. 0 0 0 1 .8 7 k
1 5 1 0 .4 0 00 0 0 .6 9 6
— 1 2 0 .8 3 ( 1 0 3) 0 0 1 .2 3 4 (1 0 -*) 0 . 7 5 0 k - p u lg
-1 2 0 8 .3

0

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604 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n d o el m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 16.1 (C ontinuación)

L a s c a rg a s in t e r n a s e n e l n o d o @ p u e d e n d e te r m in a r s e a l a p lic a r la

e c u a c ió n 1 6 -7 e n e l e le m e n to 1 . A q u í k í s e d e fin e m e d ia n te la e c u a ­

c ió n 1 6 -1 y T, p o r m e d io d e la e c u a c ió n 1 6 -3 . A s í.

4 6 5 1 2 3

1706.3 0 0 -1 208.3 0 0 1 0 0 0 0 o" 0.696 4
0 12.6 1510.4 0 -1 2 .6
0 1510.4 2 4 1 .7 (1 0 ’) 0 -1 5 1 0 .4 1510.4 0 10 0 0 0 06
0
q , - k,T ,D - 1708.3 -1 2 .6 0 1208.3 0 i í o s .x i o ' ) 0 0 1 0 0 0 5
0 1510.4 -1 510.4 0 12.6
0 0 -1 510.4 0 0 0 0 10 0 0.696 1
120.83(10*) -1 .5 5 (1 0 -* ) 2
-1 510.4 0 00 0 10

2 4 1 .7 (1 0 ’) . .0 0 0 0 0 1_ -2 .4 8 8 (1 0 -* )_ 3

T e n g a e n c u e n ta la d is p o s ic ió n a d e c u a d a d e lo s e le m e n to s e n la s m a ­
tric e s c o m o lo in d ic a n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o a lo la rg o d e la s c o lu m ­
n a s y la s fila s . A l r e s o lv e r s e o b tie n e

<74 0 Resp.
<76 -1 .8 7 k
<75 =
*7i 0
*72 0
_*73_ 1 .8 7 k
- 4 5 0 k - p u lg

L o s re s u lta d o s a n te rio re s s e m u e s tra n e n la fig u ra 1 6 -4 c . L a s d ire c c io ­
n e s d e e s to s v e c to re s e s tá n e n c o n c o rd a n c ia c o n la s d ire c c io n e s p o s itiv a s
d e fin id a s e n la fig u r a 1 6 -1 . A d e m á s .e l o r ig e n d e lo s e je s lo c a le s x ', y \ z '

s e e n c u e n tra e n e l e x tr e m o c e rc a n o d e l e le m e n to . D e m a n e ra s im ila r ,

e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib r e d e l e le m e n to 2 es c o m o se m u e s tra e n la

fig u ra 1 6 -4 d.

1.87 k

(c) <d)

Hj-ura 16-4

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1 6 - 4 A P ltC A C IÓ N 0 5 1 M É TO D O 0 5 L A R1GI052 PARA 5L ANÁLISIS D 5 M ARCOS

EJEMPLO 16.2

D e te r m in e la s c a rg a s e n lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to d e la e s tr u c ­ 3 k /p ie
tu ra q u e s e m u e s tr a e n la fig u r a 1 6 -5 a . C o n s id e r e q u e / = 6 0 0 p u lg 4,
A = 12 p u lg 2 y E = 2 9 (1 0 3) k s i p a ra c a d a e le m e n to . rmrm

S O L U C IÓ N 15 p ies

N o ta c ió n . P a r a lle v a r a c a b o u n a n á lis is m a t r ic ia l. la c a r g a d i s t r i ­

b u id a q u e a c tú a s o b re e l e le m e n to h o r iz o n ta l s e rá re e m p la z a d a p o r

m o m e n to s y fu e rz a s c o rta n te s e q u iv a le n te s e n lo s e x tre m o s c a lc u la ­

d o s c o n b a s e e n la e s tá tic a y e n la ta b la q u e s e e n c u e n tra e n e l in te r io r

d e la c o n tra p o rta d a . (T e n g a e n c u e n ta q u e n o h a y n in g u n a fu e rz a e x ­

le rn a d e 3 0 k o m o m e n to d e 1 2 0 0 k . p u lg u b ic a d o s e n ® p u e s to q u e
ta s re a c c io n e s e n lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o 8 y 9 d eben se r d esco n o cid o s

e n la m a triz d e c a rg a .) D e s p u é s , m e d ia n te s u p e rp o s ic ió n , lo s re s u lta ­

d o s o b te n id o s p a ra e l m a rc o d e la fig u ra 1 6 -5 b s e m o d ific a rá n p a ra

e s te e le m e n to c o n b a s e e n la s c a rg a s m o s tra d a s e n la fig u r a 1 6 -5 c .

C o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 1 6 -5 6 , lo s n o d o s y lo s e le m e n to s e s tá n

n u m e ra d o s y e l o r ig e n d e l s is te m a d e c o o rd e n a d a s g lo b a le s s e c o lo c a

e n e l n o d o <5. C o m o d e c o s t u m b r e , lo s n ú m e r o s d e c ó d ig o s e e s p e c if i­

c a n c o n n ú m e ro s a s ig n a d o s p r im e r o a lo s g ra d o s d e lib e r ta d n o re s ­

trin g id o s . P o r lo ta n to .

D* = 04 Q* = o
05 -3 0
06 0
07 -1200
08 (b )
09
+
M a triz d e rig id e z d e la estructura 3 k /i

E le m e n t o 1: J r ( 3 ) ( 2 0 ) * - 1 0 0 k • pie*'l) p,<* 1 0 0 k • p i e

A E 1 2 ( 2 9 ( 1 0 , )1 (1200 k p u lg ) <1200 k p u lg )
1 1 6 0 k /p u lg (c)

L 2 5 (1 2 )

12£7 1 2 (2 9 (1 0 3)|6 0 0 ■ 7 .7 3 k /p u lg
O [2 5 (1 2 )J 3

6EI 6 [2 9 (1 0 3 )J6 0 0 1160 k
Ü [2 5 ( 1 2 )]2 2 3 2 {1 0 3 ) k • p u lg

AE1 4 |2 9 (1 0 3)1 6 0 0
L 2 5 (1 2 )

2E l 2 |2 9 (1 0 3)J6 0 0 116{ 103 ) k • p u l g
L 2 5 (1 2 )
0 .6
2 0 -0
A' 25
A, 25 = 0 '8
=

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606 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n o o el m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 16.2 (C ontinuación)

A l a p lic a r la e c u a c ió n 1 6 -1 0 , s e tie n e

4 5 6 1 2 3
7 4 5 .1 8 5 5 3 .0 9 -6 9 6 -7 4 5 .1 8 -5 5 3 .0 9
5 5 3 .0 9 4 2 2 .5 5 -5 5 3 .0 9 -4 2 2 .5 5 -6 9 6 4
-m 928 928 -9 2 8
-7 4 5 .1 8 -5 5 3 .0 9 2 3 2 (1 0 3) 696 928 5
-5 5 3 .0 9 -4 2 2 .5 5 696 7 4 5 .1 8 5 5 3 .0 9
-6 9 6 928 -9 2 8 5 5 3 .0 9 4 2 2 .5 5 1 1 6 ( 10 3) 6
1 1 6 (1 0 3) 696 -9 2 8
696 1

-9 2 8 2

2 3 2 ( 1 0 ') . 3

E le m e n to 2:

AE 1 2 [ 2 9 ( 1 0 3 )J 1 4 5 0 lc /p u lg
L 2 0 (1 2 )

12 E l 1 2 [2 9 (1 0 ')]6 0 0
O
= 1 5 .1 0 k /p u lg
6E l (2 0 (1 2 )]3
Lz
6 [2 9 ( lü ') ]6 0 0 = 1 8 1 2 .5 0 k
4EI [2 0 (1 2 )]?
L
4 J 2 9 (1 0 3 )J6 0 0

2 0 (1 2 ) = 2 .9 0 ( 105 ) k • p u lg

1EI 2 [2 9 (1 0 3)]6 0 0
L
= L 4 5 Í1 0 3) k • p u lg

[2 0 (1 2 )]

4 0 -2 0 15 - 15
A, 0

20 7 20

f \ > r lo t a n t o , l a e c u a c ió n 16-10 s e c o n v ie r t e e n

1 2 3 7 8 9
1450 0 0 -1 4 5 0 0
1 5 .1 0 1 8 1 2 .5 0 -1 5 .1 0 0 1
0 1 8 1 2 .5 0 2 9 0 ( 1 0 ') 0 -1 8 1 2 .5 0 1 8 1 2 .5 0 2
0 0 0 0 0
-1 4 5 0 -1 5 .1 0 -1 8 1 2 .5 0 1450 1 5 .1 0 1 4 5 (1 0 3) 3
0 1 8 1 2 .5 0 1 4 5 (1 0 3) 0 -1 8 1 2 .5 0
0 0 07

-1 8 1 2 .5 0 8
2 9 0 ( 1 0 ') _ 9

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1 6 - 4 A P L IC A C IÓ N 0 5 1 M É T O D O 0 5 L A RlGlOEZ PARA 5L ANÁLISIS D 5 M ARC O S 607

L a m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra , in c lu id a e n Q = K D , se c o n ­

v ie rte e n

1 I 3 4 5 6 7 8 8

0~ 21*5.18 553.0» m -7 4 5 .1 8 -5 5 3 .0 » 696 -1 4 5 0 0 0 D.
-3 0 553.0» 437.65 884.5 -5 5 3 .0 » -4 2 1 5 5 -9 2 8 0 - 15.10 181250 Ih
-1 2 0 0 646 804.5 « 2 (1 0 ') 0 t>
-5 5 3 0 8 6»6 «6 928 nodo*» 0 1.8.1..2.5.0. 0 0
(?. -745.18 422.55 828 745.18 55X0» 696 0 0 0
Q, - 553.0» -8 2 8 1 1 6 (1 0 ') 553.09 42255 878 0 0 0 0
C. (M -0 8 6 828 232(1#*) 0 0 0
Oí -1 4 5 0 0 0 1450 0 -1 8 1 2 5 0 0
<?. 0 -15.10 -1 8 1 2 .5 0 0 0 0 0 15.10 290(10^ .
0 .- 0 1812.50 0 0 0 0 -1 8 1 2 5 0 -
145J101) 0 0 0

D esplazam ientos y ca rg a s. S i s e e x p a n d e p a r a d e t e r m in a r lo s d e s ­

p la z a m ie n to s , y s e re s u e lv e , re s u lta

o' "2 1 9 5 .1 8 5 5 3 .0 9 696 _0 > ' "o"
5 5 3 .0 9 4 3 7 .6 5
-3 0 = 696 8 8 4 .5 8 8 4 .5 02 + 0
.-1 2 0 0 .
5 2 2 (1 0 *) _ _ 0 3 . _o

'0 . ' 0 .0 2 4 7 p u lg "

0 2 = -0 .0 9 5 4 p u lg

_03_ _ -0 .0 0 2 1 7 ra d _

A p a r t ir d e e s to s re s u lta d o s , la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s s e d e te r ­
m in a n c o n b a s e e n la e c u a c ió n ( 1 ) d e la s ig u ie n te m a n e ra :

Q4 " - 7 4 5 . 1 8 -5 5 3 .0 9 -6 9 6 " "o" 3 5 .8 5 k
-4 2 2 .5 5 928
Qs -5 5 3 .0 9 U .U Z 4 / 0 2 4 .6 3 k
Qt> m 696 -9 2 8 1 1 6 Í1 0 3) -0 .0 9 5 4
Qi 0 0 -0 .0 0 2 1 7 0 = -1 4 5 .9 9 k -p u lg
Qs -1 4 5 0
0 -1 5 .1 0 -1 8 1 2 .5 0 +
1 8 1 2 .5 0 1 4 5 (1 0 3) _ 0 -3 5 .8 5 k
_Q>. 0 0 5 .3 7 k

_ o _ _ - 4 8 7 .6 0 k - p u lg

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608 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n d o el m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 16.2 (C ontinuación)

L a s c a rg a s in te rn a s p u e d e n d e te rm in a r s e d e s d e la e c u a c ió n 1 6 -7
a p lic a d a a lo s e le m e n to s 1 y 2 . E n e l c a s o d e l e le m e n to l , q =
d o n d e k í s e d e te r m in a a p a r t ir d e la e c u a c ió n 1 6 -1 y T i c o n b a s e e n la
e c u a c ió n 1 6 -3 . P o r lo ta n to .

45 6 12 3

<74 1160 0 0 -1 1 6 0 0 o ' ' 0.8 0 .6 0 0 0 o' 0 4
*75 0 7 .7 3 1160 0 -7 .7 3 1160 - 0 .6 0.8 0 0 00 0 5
«76
<7i 0 1160 232(10*) 0 -1 1 6 0 116(10*) 0 0 1 0 0 0 0 6
*7?
.«73. -1 1 6 0 0 0 1160 0 0 0 0 0 0.8 0.6 0 0.0247 1

0 -7 .7 3 -1 1 6 0 0 7.73 - 1 1 6 0 0 0 0 - 0 .6 0 .8 0 -0 .0 9 5 4 2

0 1160 116(10*) 0 -1 1 6 0 232(10*)_ 0 00 0 0 1 . _ -0 .0 0 2 1 7 _ 3

A q u í lo s n ú m e ro s d e c ó d ig o in d ic a n la s fila s y c o lu m n a s d e lo s e x tr e ­
m o s c e rc a n o y le ja n o d e lo s e le m e n to s , re s p e c tiv a m e n te ; e s d e c ir. 4 .5 .
6 , y d e s p u é s 1 ,2 ,3 , fig u ra 1 6 -5 6 . E n to n c e s ,

ta ik <1* 4 3 .5 k Resp.
<d> «75 -1 .8 1 k
- 14 6 k • p u lg
<76 a -4 3 .5 k
</\
<12 1.8 1 k
.< 7 3 _ - 3 9 8 k • p u lg

E s to s re s u lta d o s s e m u e s tra n e n la fig u r a 1 6 -5 d.
P a ra e l e le m e n to 2 s e re a liz a u n a n á lis is s im ila r . L o s re s u lta d o s se

m u e s tra n e n la p a rte iz q u ie rd a d e la fig u ra 1 6 -5 e . P a ra e s te e le m e n to
e s n e c e s a rio s u p e r p o n e r la s c a rg a s d e la f ig u r a 1 6 -5 c .d e m o d o q u e lo s

re s u lta d o s fin a le s d e l e le m e n to s 2 s e m u e s tra n a la d e re c h a .

8 0 2 3 k -p u lg 537 k 3 k /p ie 3 k /p ie
3 5 .8 5 k — M . 6 k | | | | | i | 13 5 .4 k
3 0 k rrrrrrn 3 0 k
537 k
—+ I |___________________ I I =— - 1 * 1 --------3 5 . 8 5 k
3 5 .8 5 k II 3 5 .8 5 k 1 68 8 k - p u lg

4 8 7 .6 k - p u lg 1 20 0 k - p u lg 1200 k - p u lg 3 98 k - p u lg

(e)
Figura 16-5

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1 6 - 4 A P LIC A C IÓ N 0 5 1 M É TO D O 0 5 L A R1GI052 PARA 5L ANÁLISIS D 5 M ARCOS 609

PROBLEMAS

1 6 -1 . D e te rm in e la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra K • 1 6 - 4 . D e t e r m i n e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s <D y <S).
p a ra e l m a rc o . S u p o n g a q u e (C y ® e s tá n fijo s . C o n s id e re
C o n s i d e r e < ju e E = 2 0 0 M P a . / - 3 0 0 ( 1 0 6) m m 4 y A -
q u e E = 2 0 0 G P a . / = 3 0 0 0 0 6) mm4 y A = 1 0 ( 1 0 * ) m m 2
21( 103) m m p a r a c a d a e l e m e n t o .
pa ra c a d a e le m e n to .

1 6 - 2 . D e t e r m i n e la s r e a c c io n e s e n l o s s o p o r t e s f i j o s <D y <3>.
C o n s id e re c ju c £ = 2 0 0 G P a . / = 3 0 0 (1 0 6) m m 4 y A =

10( 10^ ) m m ' p a r a c a d a e l e m e n t o .

P ro h . 1 6 -4

P ro b s. 1 6 -1 /1 6 -2

1 6 -3 . D e te rm in e la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra K 1 6 -5. D ite rm in e la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra K
p a r a e l m a r c o . S u p o n g a q u e @ e s tá a r t ic u la d o y q u e <D e s tá
fijo . C o n s id e re q u e E = 2 0 0 M P a . / = 3 0 0 (1 < ^) m m 4 y A = p a ra e l m a rc o . C o n s id e re q u e £ = 2 )0 G P a , / = 3 5 0 (1 0 *)
21 (1 0 5) m m 2 p a ra c a d a e le m e n to . m m 4 y A = 15(10*) m m 2 p a ra c a d a e le m e n to . L a s ju n ta s e n
W y <£ e s t á n a r t i c u la d a s .

Proh. 16-3 Proh. 16-5

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610 C a pit u lo 16 A n á l is is d e m a r c o s p l a n o s u t il i z a n d o el m é t o d o d e la r ig id e z

1 6 -6 . D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o n e s a r tic u la ­ * 1 6 -8 . D e te rm in e lo s c o m p o n e n te s d e lo s d e s p la z a m ie n ­
d o s ® y ® . C o n s id e re q u e E = 2 0 0 G P a ./ = 3 5 0 (1 0 *) m m 4 y to s e n <D. C o n s id e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 * ) k s i. / = 6 5 0 p u lg 4 y
A -= I S Í I O 5) m m 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .
A — 20 p u l g 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .

9 60 kN 2 2

P ro h . 1 6 -6

1 6 -7 . D e te rm in e la m a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra K
p a r a e l m a r c o . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 5) k s i . / = 6 5 0 p u l g 4 .
A = 20 p u lg 7 p a ra ca d a e le m e n to .

1 6 -9 . D e te rm in e la m a triz d e rig id e z K p a ra e l m a rc o .
C o n s i d e r e q u e E - 2 9 ( 1 0 3) k s i . 1 - 3 0 0 p u l g 4 y A - 1 0 p u l g 7
p a ra c a d a e le m e n to .
2 1 6 - 1 0 . l X ; t e r m i n e l a s r e a c c io n e s e n l o s s o p o r t e s d > y (3>.
C o n s id e re q u e E = 2 9 (1 0 *) k s i, / = 300 p u lg 4 y A - 10 p u lg 7
p a ra c a d a e le m e n to .

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1 6 - 4 A P LIC A C IÓ N 0 5 1 M É TO D O 0 5 L A R1GI052 PARA 5L ANÁLISIS D 5 M ARCOS 611

16-11. KD e t e r m i n e la m a t r i z d e r i g i d e z d e la e s t r u c t u r a 16-13. U s e u n p r o g r a m a d e c o m p u t a d o r a p a r a d e t e r m i­
n a r la s re a c c io n e s e n e l m a rc o . A E y E l s o n c o n s ta n te s .
para e l m arco. C on sid ere q u e E = 29(1 0 ’ ) k si. / = 700 pu lg4
y A =* 2 0 p u l g 7 p a r a c a d a e l e m e n t o .

7

Prob. 16-13

*16—12. D e t e r m i n e la s r e a c c io n e s e n l o s s o p o r t e s a r t i c u l a ­ 16-14. U s e u n p r o g r a m a d e c o m p u t a d o r a p a r a d e t e r m i­
n a r la s re a c c io n e s e n e l m a rc o . S u p o n g a q u e A , B . D y F
d o s ® y <8>. C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 ’ ) k s i , / = 7 0 0 p u l g 4 y A e s tá n a rtic u la d a s . A d e m á s A E y E l s o n c o n s ta n te s .

- 2) p u lg 2 p a ra c a d a e le m e n to .

7

Proh. 16-14

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APÉNDICE Algebra matricial para
el análisis estructural
A

A .1 D e fin icio ne s básicas y tip o s
d e m atrices

C o n la a c c e s ib ilid a d d e la s c o m p u ta d o ra s d e e s c rito r io .s e h a g e n e ra liz a d o
la a p lic a c ió n d e l á lg e b ra m a tr ic ia l p a ra e l a n á lis is d e la s e s tru c tu ra s . E l
á lg e b ra m a tric ia l p r o p o rc io n a u n a h e rra m ie n ta a d e c u a d a p a ra e s te tip o
d e a n á lis is , p u e s to q u e la s o lu c ió n e s re la tiv a m e n te f á d l d e fo r m u la r d e
u n a m a n e ra c o n c is a , p a ra d e s p u é s r e a liz a r la s m a n ip u la c io n e s n e c e s a ria s
e n la m a triz re a l m e d ia n te u n a c o m p u ta d o ra . P o r e s ta ra z ó n , e s im p o r ­
ta n te q u e e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a l e s té fa m ilia r iz a d o c o n la s o p e ra c io n e s
fu n d a m e n ta le s d e e s te tip o d e m a te m á tic a s .

M a triz. U n a m a triz e s u n a r r e g lo r e c t a n g u la r d e n ú m e r o s q u e tie n e n

m fila s y n c o lu m n a s . L o s n ú m e r o s , q u e s e d e n o m in a n elem entos, se
e n s a m b la n e n tr e c o rc h e te s P o r e je m p lo , la m a triz A se e s c rib e c o m o :

« ii «12 ” • «1»

«21 «22 «2*
A=

_«m l «m2 a mn .

S e d ic e q u e e s ta m a tr b tie n e u n ord en d e m x n (m p o r n ). O b s e rv e q u e
e l p r im e r s u b ín d ic e d e u n e le m e n to in d ic a la p o s ic ió n d e s u fila y e l
s e g u n d o s u b ín d ic e in d ic a la p o s ic ió n d e s u c o lu m n a . E n to n c e s , e n g e n e ­
r a l. a v es e l e le m e n to s itu a d o e n la i é s im a f ila y e n la j-é s im a c o lu m n a .

M a triz fila . S i la m a tr iz s e c o m p o n e s ó lo d e e le m e n to s e n u n a s o la

fila , s e d e n o m in a m a triz fila . P o r e je m p lo , u n a m a tr iz f ila d e 1 X n se
e s c rib e c o m o

A = [« i a2 • • • f l* j

A q u í s e u s a u n s o lo s u b ín d ic e p a ra d e n o ta r u n e le m e n to , p u e s to q u e se
e n tie n d e q u e e l s u b ín d ic e d e fila s ie m p re s e rá ig u a l a l.e s d e c ir .a , = a ,,,
a 2 = a |2 ,y a s í s u c e s iv a m e n te .

612

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A.1 D efiniciones básicas y tip o s d e matrices 61 3

Colum na matriz. U n a m a t r i z c o n e le m e n t o s a p ila d o s e n u n a s o la A

c o lu m n a s e lla m a m a triz c o lu m n a . L a m a tr iz c o lu m n a d e m x 1 e s

«i
a2

_am _

A q u í l a n o t a c i ó n d e l o s s u b í n d i c e s s i m b o l i z a a ¡ = a n , a 2 " <*2 i * y 3 5 1 s u c e ­
s iv a m e n te .

M atriz cuadrada. C u a n d o e n u n a m a t r iz e l n ú m e r o d e f ila s e s

ig u a l a l n ú m e r o d e c o lu m n a s , s e d ic e q u e e s u n a m a triz cu a d ra d a . U n a
m a triz c u a d ra d a d e n X n s e ría

a i i «12 • ” flln
A2*
A= fl? i A2? "•

_ fl/.i fl« 2 A "".

M atriz diagonal. Q i a n d o t o d o s lo s e le m e n t o s d e u n a m a t r iz c u a ­

d ra d a s o n ig u a le s a c e ro , e x c e p to a lo la rg o d e la d ia g o n a l p r in c ip a l, q u e
d e s c ie n d e d e iz q u ie r d a a d e r e c h a , la m a tr iz s e d e n o m in a m a triz d ia g o n a l.
ft> r e je m p lo .

fln 00
A= 0 fl22 0
0 fl33 .
_o

M atriz unitaria O identidad. L a m a triz u n it a ria o id e n tid a d e s

u n a m a triz d ia g o n a l,d o n d e to d o s lo s e le m e n to s d e la d ia g o n a l s o n ig u a ­
le s a la u n id a d . P o r e je m p lo .

10 0
I= 0 1 0

00 1

M atriz simétrica. U n a m a triz c u a d ra d a e s s im é t r ic a s ie m p r e q u e

a = a¡i' P ° r e je m p lo .

3 52
5 -1 4
2 48

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614 A pé n d ic e A Á l g e b r a m a t r ic ia l p a r a el a n á l is is e s t r u c t u r a l

A .2 Operaciones matridales

Ig u a ld a d d e m a tric e s . Se d ic e q u e la s m a tric e s A y B s o n ig u a le s

s i s o n d e l m is m o o r d e n y c a d a u n o d e s u s e le m e n to s c o rre s p o n d ie n te s
s o n ig u a le s , e s d e c ir .a ^ = f y . P o r e je m p lo , s i

26 nD — 2 6
4 -3
4 -3.

e n t o n c e s A ® B.

A d ic ió n y su stra cció n d e m a tric e s . D o s m a tric e s p u e d e n

s u m a rs e e n tr e s í o re s ta r u n a d e la o t r a s i s o n d e l m is m o o r d e n . E l r e s u l­
ta d o se o b tie n e a l s u m a r o re s ta r lo s e le m e n to s c o rre s p o n d ie n te s . P o r
e je m p lo , si

67 -5 8
A= B=

2 -1. 14

e n to n c e s

A + B = 1 15 1 11 - 1
.3 3 A - B=

. 1 -5.

M u ltip lic a c ió n p o r u n escalar. C u a n d o u n a m a tr iz s e m u ltip lic a

p o r u n e s c a la r, c a d a e le m e n to d e la m a triz s e m u ltip lic a p o r e l e s c a la r.
P b r e je m p lo , s i

e n to n c e s k = -6

-í]

-24 -6

k\

-3 6 12

M u ltip lic a c ió n d e m a tric e s . D o s m a tric e s A y B p u e d e n m u lti­

p lic a r s e e n tr e s í s ó lo s i s o n co n fo rm a b le s. E s ta c o n d ic ió n s e c u m p le s i e l

n ú m e r o d e c o lu m n a s d e A e s ig u a l a l n ú m e r o d e f ila s d e B. P o r e je m p lo ,

si

A= 0 \\ 0 12 B = b\\ b \2
a i\ <*22 t>72
J>.21

e n to n c e s e s p o s ib le d e te r m in a r AB, p u e s to q u e A tie n e d o s c o lu m n a s y
B tie n e d o s fila s . O b s e rv e , s in e m b a rg o , q u e BA n o p u e d e o b te n e rs e .

¿P or qué?

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A.2 O p e r a c i o n e s m a t r i c i a i . e s 615

S i la m a tr iz A q u e tie n e u n a o rd e n d e (m X « ) s e m u ltip lic a p o r la
m a triz B q u e tie n e u n o r d e n d e (n X q), s e o b te n d rá u n a m a triz C q u e

te n d rá u n o rd e n d e (m X q ),e s d e c ir.

AB = C

(m X /i) ( /i X q ) (m X q)

L o s e le m e n to s d e la m a tr iz C s e e n c u e n tr a n u s a n d o lo s e le m e n to s a „ e n

A y b e n B d e la s ig u ie n te m a n e ra :

CH = 5 ]aik b kl (A -2 )
k= I

L a m e to d o lo g ía d e e s ta fó rm u la p u e d e e x p lic a rs e m e d ia n te a lg u n o s
e je m p lo s s e n c illo s C o n s id e re q u e

A= 243

-1 6 1

f\> r in s p e c c ió n , e s p o s ib le o b te n e r e l p r o d u c to C = A B p u e s to q u e la s
m a tric e s s o n c o n fo rm a b le s . e s d e c ir , A tie n e tre s c o lu m n a s y B tie n e tre s

fila s . A p a r t ir d e la e c u a c ió n A - 2 , la m u ltip lic a c ió n g e n e r a r á u n a m a tr iz C
q u e te n d rá d o s fila s y u n a c o lu m n a . L o s re s u lta d o s s e o b tie n e n d e la
s ig u ie n te m a n e ra :

c „ : M u ltip liq u e lo s e le m e n to s d e la p r im e ra fila d e A p o r lo s e le m e n to s
c o rre s p o n d ie n te s e n la c o lu m n a d e B y s u m e lo s re s u lta d o s ; e s d e c ir.

c „ = c , = 2 (2 ) + 4 (6 ) + 3 (7 ) = 49

c 21: M u ltip liq u e lo s e le m e n to s d e la s e g u n d a f ila d e A p o r lo s e le m e n to s
c o rre s p o n d ie n te s e n la c o lu m n a d e B y s u m e lo s re s u lta d o s ;

c 2, = c 2 = - 1 ( 2 ) + 6 ( 6 ) + 1 (7 ) = 41

A sí
49
41

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616 A pé n d ic e A Á l g e b r a m a t r ic ia l p a r a el a n á l is is e s t r u c t u r a l

C o m o s e g u n d o e je m p lo , c o n s id e re

53 27
41 B
-2 8
-3 4

U n a v e z m á s . e s p o s i b l e e n c o n t r a r e l p r o d u c t o C =» A B p u e s t o q u e A
tie n e d o s c o lu m n a s y B tie n e d o s fila s . L a m a tr iz C re s u lta n te tie n e tre s
fila s y d o s c o lu m n a s L o s e le m e n to s s e o b tie n e n d e la s ig u ie n te m a n e ra :

c „ = 5 (2 ) + 3 (—3 ) = 1 (p rim e ra f ila d e A p o r la p rim e ra
c\2 = 5 (7 ) + 3 (4 ) = 47 c o lu m n a d e B )
c2, = 4 (2 ) + l( - 3 ) = 5 (p rim e ra f ila d e A p o r la s e g u n d a
c o lu m n a d e B )
C22 = 4 ( 7 ) + 1 ( 4 ) = 3 2
C31 = - 2 ( 2 ) + 8 ( - 3 ) = - 2 8 (s e g u n d a fila d e A p o r la p r im e ra
C32 = - 2 ( 7 ) + 8 ( 4 ) = 1 8 c o lu m n a d e B )
(s e g u n d a fila d e A p o r la s e g u n d a
c o lu m n a d e B )

(te rc e ra fila d e A p o r la p rim e ra
c o lu m n a d e B )

(te rc e ra fila d e A p o r la s e g u n d a c o lu m ­
na de B)

E l e s q u e m a p a r a la m u ltip lic a c ió n s ig u e la a p lic a c ió n d e la e c u a c ió n A - 2.

l\> r lo ta n to ,

1 47
5 32
-2 8 18

O b s e rv e a d e m á s q u e B A n o e x is te , p u e s to q u e e s c rita s d e e s ta m a n e ra
la s m a tric e s n o s o n c o n fo rm a b le s .

la s s ig u ie n te s re g la s s o n a p lic a b le s a la m u ltip lic a c ió n d e m a tric e s .

1. E n g e n e r a l, e l p r o d u c t o d e d o s m a tr ic e s n o e s c o n m u ta tiv o :

AB * BA (A -3 )

2. l a l e y d i s t r i b u t i v a e s v á l i d a :

A (B + C ) = A B + A C (A -4 )
(A -5 )
3. L a l e y a s o c i a t i v a e s v á l i d a :

A (B C ) = (A B )C

M a triz tra n sp u e sta .U n a m a triz p u e d e tra n s p o n e rs e a l in te rc a m b ia r

s u s fila s y c o lu m n a s . P o r e je m p lo , s i

«11 «12 o n B = [6 , b j 63J
<*21
«22 «2 3
_«31
«32 «33 _

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A .2 O p e r a c i o n e s m a t r i o a i .e s 617

E n to n c e s

Ar = « ii A21 «31 BT = V
«12 «22 «32 bi
«23 «33.
_ f l 13

Ie n g a e n c u e n ta q u e A B n o es c o n fo rm a b le p o r lo q u e e l p r o d u c to n o
e x is te . ( A tie n e tre s c o lu m n a s y B tie n e u n a f ila . ) D e m a n e ra a lte rn a tiv a , la
m u ltip lic a c ió n A B ' e s p o s ib le p o rq u e a q u í la s m a tric e s s o n c o n fo rm a b le s
( A tie n e tre s c o lu m n a s y B 7 tie n e tre s fila s ). L a s m a tric e s tra n s p u e s ta s
tie n e n la s s ig u ie n te s p r o p ie d a d e s :

(A + B )T = \ T + B r (A -6)
(*A )r = *A r (A -7)
(A B )T = B r A r (A -8)

E s ta ú ltim a id e n tid a d s e ilu s tra r á m e d ia n te u n e je m p lo . S i
í 2l í 3lA - 6
R- 4

M i - 3] [2 sj

Entonces, a p artir d e la ecuación A-8,

(E -* JDT-E a 6 1
2 -3

R -2D’ -[28 - 2
28 -1 2

28 2 8 - 2

3 - f. 2 8 - I 28 -1 2

P a rtic ió n d e m a tric e s . U n a m a tr iz p u e d e s u b d iv id irs e e n s u b m a -

tric e s a l e fe c tu a r u n a p a rtic ió n . P o r e je m p lo .

A= 1« . i « 1 2 « 1 3 « u n
« 2 1 i « 2 2 « 2 3 « 2 4 = A t1i1 A 1nL

A 2I A 22 .

-« 3 1 ! «32 «33 «34_

A q u í la s s u b m a tric e s s o n

A h = [« iij |f l| 2 a i3 « l4J

A 2| = «21* A 22 - «72 « 2i a 24
«31- .« 3 2
«33 «34

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618 A pé n d ic e A Á l g e b r a m a t r ic ia l p a r a el a n á l is is e s t r u c t u r a l

L a s re g la s d e l á lg e b ra m a tr ic ia l s o n a p lic a b le s a la s m a tric e s p a rtic io n a d a s
s ie m p r e q u e la p a r tic ió n s e a c o n fo rm a b le . P o r e je m p lo , la s s u b m a tric e s
c o rre s p o n d ie n te s d e A y B p u e d e n s u m a rs e o re s ta rs e s ie m p re y c u a n d o
te n g a n e l m is m o n ú m e r o d e fila s y c o lu m n a s . D e l m is m o m o d o , la m u lti­
p lic a c ió n d e m a tric e s e s p o s ib le s ie m p re q u e e l re s p e c tiv o n ú m e ro d e
c o lu m n a s y f ila s d e A y B y s u s s u b m a tric e s s e a n ig u a le s . ft> r e je m p lo , s i

4 1 j -1 2 -1
-2 0 1 -5
A= B= 0 8
6 3i 8
74

e n to n c e s e l p r o d u c to A B e x is te , p u e s to q u e e l n ú m e r o d e c o lu m n a s d e A
e s ig u a l a l n ú m e ro d e fila s d e B (tre s ). D e l m is m o m o d o , la s m a tric e s p a r ­
tic io n a d a s s o n c o n fo rm a b le s p a ra la m u ltip lic a c ió n d a d o q u e A s e s u b d i-
v id e e n d o s c o lu m n a s y B s s u b d iv id e e n d o s fila s .e s d e c ir.

A jí A !2 A UB ,| + A ijB j ,
AB = A ^ . B ,, A 2i B , , + A22B21.

A 2i

A l m u ltip lic a r la s s u b m a tric e s s e o b tie n e

: e i i - u 3'.-A iiB n -I

í

a I2 b 21 -1 41 = -7 -4
-3 5 -2 0
V

.-5

2 -1
A 2 I B „ = [ 6 3) .0 8 [12 18 1

A ^ B , , = [8 J [7 41 = [5 6 32J

f 8 18 4 -7 -4

1L --44 2 J - 3 5 -2 0 1 0"

AB = -3 9 -1 8

[12 18 1 + [5 6 3 2 1 68 5 0 _

A .3 D eterm inantes

E n la s ig u ie n te s e c c ió n s e a n a liz a rá c ó m o in v e r t ir u n a m a triz . C o m o e s ta
o p e ra c ió n r e q u ie r e u n a e v a lu a c ió n d e l d e te rm in a n te d e la m a tr iz , a h o ra
s e e x p o n d r á n a lg u n a s d e la s p r o p ie d a d e s b á s ic a s d e lo s d e te rm in a n te s .

U n d e te rm in a n te es u n a rre g lo c u a d ra d o d e n ú m e ro s e n c e rra d o e n tr e
b a rra s v e rtic a le s . P o r e je m p lo , u n d e te rm in a n te d e o r d e n /i- é s im o ,c o n n
fila s y n c o lu m n a s , e s

<*11 0 1 2 ” • 0 1 *

A \ = 021 022 ” • 02*

0*1 0«2 •” 0««

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A .3 D eterminantes 619

L a e v a lu a c ió n d e e s le d e te rm in a n te c o n d u c e a u n s o lo v a lo r n u m é ric o

q u e p u e d e d e te r m in a r s e m e d ia n te la exp a n sió n d e L a p la c e . E s te m é to d o

h a c e u s o d e lo s m e n o re s y c o fa c to re s d e l d e te rm in a n te . E n e s p e c ífic o ,
c a d a e le m e n to a ¡¡d e u n d e te rm in a n te d e o r d e n n tie n e u n m e n o r A / „ q u e es

u n d e te rm in a n te d e o r d e n n — 1. E s te d e te rm in a n te (m e n o r ) e s lo q u e

q u e d a c u a n d o s e c a n c e la n la i-é sim a f ila y la y '-ó s im a c o lu m n a q u e c o n t ie ­

n e n a l e le m e n to S i e l m e n o r se m u ltip lic a p o r se o b tie n e e l

c o f a c l o r d e a t/, e l c u a l s e d e n o t a c o m o

c u = ( - iy +'Af<, ( A - lü )

ft> r e je m p lo , c o n s id e re e l d e te rm in a n te d e te rc e r o r d e n

a u a i? fli3
<*2l « 2 ?
023

«31 «32 033

L o s c o fa c to re s p a ra lo s e le m e n to s d e la p r im e ra f ila s o n

( - 1+1 022 023 an 023
1)1C „
032 033 032 033

C ,2 1 *2 021 023 021 023
031 033 0.31
a 13

c „ " ( - 1)1' * 3 021 0 2 2 021 022
031 032 031 0 .3 2

L a e x p a n s ió n d e L a p la c e p a ra u n d e te rm in a n te d e o r d e n n , e c u a c ió n

A - 9 , e s ta b le c e q u e e l v a lo r n u m é ric o re p re s e n ta d o p o r e l d e te rm in a n te

e s ig u a l a la s u m a d e lo s p r o d u c to s d e lo s e le m e n to s d e c u a lq u ie r f ila o

c o lu m n a p o r s u s re s p e c tiv o s c o fa c to re s .e s d e c ir.

D = f l f l C / , + a a C a + • • • + aIHC lH................ ( i - 1 , 2 ..........o / i )

o ( A —1 1 )

D= + ° 2/C 2 / + ■ ” + a n¡C n¡ í = 1 ,2 ...... o n )

P a ra s u a p lic a c ió n , s e o b s e rv a q u e d e b id o a lo s c o fa c to re s e l n ú m e ro D
s e d e fin e e n té rm in o s d e n d e te rm in a n te s (c o fa c to re s ). c a d a u n o d e
o r d e n n - 1. E s to s d e te rm in a n te s p u e d e n re e v a lu a rs c d e m a n e ra in d e ­
p e n d ie n te e m p le a n d o la m is m a fó rm u la , p o r lo q u e e s n e c e s a rio e v a lu a r
(n - 1 ) d e te rm in a n te s d e o r d e n (n - 2 ) , y a s í s u c e s iv a m e n te . E l p ro c e s o
d e e v a lu a c ió n c o n tin ú a h a s ta q u e lo s d e te rm in a n te s re s ta n te s p a ra s e r
e v a lu a d o s s e re d u c e n a l s e g u n d o o r d e n , e n e l q u e lo s c o fa c to re s d e lo s
e le m e n to s s o n e le m e n to s in d iv id u a le s d e D . C o n s id e re , p o r e je m p lo , e l
s ig u ie n te d e te rm in a n te d e s e g u n d o o r d e n

35
D

-1 2
D p u e d e e v a lu a rs e a lo la rg o d e la f ila s u p e r io r d e lo s e le m e n to s .d e d o n d e

re s u lta
D = 3 ( - l ) , + , ( 2 ) + 5 ( - l ) l+ 2 ( - l ) = 11

O . p o r e je m p lo , s i s e u s a la s e g u n d a c o lu m n a d e lo s e le m e n to s .s e tie n e

D = 5 ( - l ) , + 2 ( - l ) + 2 ( - l ) 2* 2 ( 3 ) = 11

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620 A pé n d ic e A Á l g e b r a m a t r ic ia l p a r a el a n á l is is e s t r u c t u r a l

E n v e z d e u s a r la s e c u a c io n e s A - 1 1 , q u iz á s e a m á s fá c il d a rs e c u e n ta
q u e la e v a lu a c ió n d e u n d e te rm in a n te d e s e g u n d o o r d e n p u e d e lle v a rs e a
c a b o a l m u ltip lic a r lo s e le m e n to s d e la d ia g o n a l, d e s d e e l e le m e n to s u p e ­
r io r iz q u ie rd o h a c ia a b a jo a la d e re c h a , y re s ta r d e e s to e l p r o d u c to d e lo s
e le m e n to s d e s d e e l e le m e n to s u p e r io r d e re c h o h a c ia a b a jo a la iz q u ie r ­
d a , e s d e c ir , s ig a la fle c h a

»-l>í 3 (2 ) - 5 ( - l ) = 11

C o n s id e re a h o ra e l d e te rm in a n te d e te rc e r o rd e n

1 3 -1

\D \ 42 6

-10 2

C o n b a s e e n la e c u a c ió n A - l l , |D | p u e d e e v a lu a rs e e m p le a n d o lo s e le ­
m e n to s u b ic a d o s , y a s e a a lo la r g o d e la f ila s u p e r io r, o b ie n e n la p r im e ­
ra c o lu m n a , e s to es

D = (!) (- !) i*i 2 64 64

0 + (3)H ) 1*2 + (-1 ) ( - l) ,+3

2 -1 2 -1

1 ( 4 - 0 ) - 3 (8 + 6 ) - 1 (0 + 2 ) = -4 0

D = 1 ( - 1 ) 1*1 2 6 +4(-l) 2*1 3 - 1 + ( - ! ) ( — 1) 3-1

0 20 2

= 1 (4 - 0 ) - 4 (6 - 0 ) - 1 (1 8 + 2 ) = -4 0

C o m o u n e je rc ic io , tr a te d e e v a lu a r |D | u s a n d o lo s e le m e n to s a lo la rg o
d e la s e g u n d a fila .

A .4 Inversa de una m atriz

C o n s id e r e e l s ig u ie n te c o n ju n t o d e tre s e c u a c io n e s lin e a le s :

«11 *1 + « 1 2 * 2 + « 1 3 * 3 = c\
«21*1 + « 2 2 * 2 + « 2 3 * 3 = C2

«31*1 + «32*2+ «33*3 = *3

q u e p u e d e n e s c rib irs e e n fo rm a m a tric ia l c o m o

«11 «12 «13 * 1 C\ (A -1 2 )
«21 «22 «23 * 2 = C2
(A -13)
.« 3 1 «32 « 3 3 . _ * 3 _ - C3 .

Ax

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A .4 In v e r s a d e u n a m a t r i z 621

R x lr ía p e n s a rs e q u e e s p o s ib le d e te rm in a r u n a s o lu c ió n p a ra x a l d iv id ir
C e n tr e A ; s in e m b a rg o , la d iv is ió n n o e s p o s ib le e n e l á lg e b ra m a tric ia l.

E n s u lu g a r, s e m u ltip lic a p o r e l in v e rs o d e la m a triz . L a in v e rs a d e la

m a triz A e s o tra m a triz d e l m is m o o rd e n , la c u a l s e e s c rib e s im b ó lic a ­

m e n te c o m o A -1 y tie n e la s ig u ie n te p r o p ie d a d ,

A A -1 = A " 'A = I

d o n d e I es u n a m a triz id e n tid a d . A l m u ltip lic a r a m b o s la d o s d e la e c u a ­
c ió n A - 13 p o r A -1 ,s e o b tie n e

A “ 'A x = A ~ 'C
C o m o A _ , A x = I x = x ,s e tie n e

x = A " 'C (A -1 4 )

S ie m p re q u e s e p u e d a o b te n e r A " 1 s e rá p o s ib le e n c o n tr a r u n a s o lu c ió n
p a ra x.

P a ra e l c á lc u lo m a n u a l, e l m é to d o u s a d o p a ra fo rm u la r A -1 p u e d e
d e s a rro lla rs e e m p le a n d o la re g la d e C ra m e r. E l d e s a rro llo n o se p re s e n ­
ta rá a q u í, s ó lo s e p r o p o rc io n a n lo s re s u lta d o s .* e s te re s p e c to , lo s e le m e n to s
e n la s m a tric e s d e la e c u a c ió n A - 1 4 p u e d e n e s c rib irs e c o m o

x = A 'C

*1 A1 "c „ c 21 Qi C\ (A -1 5 )
*2 = JÁ \ C \2 C 22 C 32 C2
*3 _ C x3 C 23
C 3 3 . _ C3_

A q u í \A | es u n a e v a lu a c ió n d e l d e te rm in a n te d e la m a triz d e c o e fic ie n te s

A, q u e se d e te rm in a m e d ia n te la e x p a n s ió n d e L a p la c e a n a liz a d a e n la

s e c c i ó n A . 3 . L a m a t r i z c u a d r a d a q u e c o n t i e n e l o s c o f a c t o r e s C ¿. s e l l a m a

l a m a t r iz a d ju n t a . P o r c o m p a r a c i ó n , s e o b s e r v a q u e l a m a t r i z i n v e r s a A -1
s e o b tie n e a p a r t ir d e A a l re m p la z a r p r im e r o c a d a e le m e n to a l; p o r s u

c o fa c to r C ^, d e s p u é s se tra n s p o n e la m a triz re s u lta n te , re s u lta n d o la

m a triz a d ju n ta y ,fin a lm e n te , s e m u ltip lic a la m a triz a d ju n ta p o r
P a ra ilu s tr a r n u m é ric a m e n te c ó m o s e o b tie n e A - I ,s e c o n s id e ra rá la

s o lu c ió n d e l s ig u ie n te s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s :

*1 - * 2 + x i = " I (A -1 6 )

-x , + x2 + x 3 = -1
x, + 2x2 “ 2*3 = 5

A quí

1 -1 1

-1 1 1
1 2 -2

• V e a K r c y s r i g . E . , Advanced E n g in ee rin g Maihemalics, J o h n W i l c y & S o n s , I n c . , N u e v a

Y o rk.

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622 A pé n d ic e A Á l g e b r a m a t r ic ia l p a r a el a n á l is is e s t r u c t u r a l

L a m a triz d e c o fa c to re s d e A es

11 -1 1 -1 1
2 -2 1 -2 12
-1 1
11 1 -1
2 -2 1 -2 12
-1 1
11 1 -1
11 -1 1 -1 1

S i se e v a lú a n lo s d e te rm in a n te s y s e to m a la tra n s p u e s ta , la m a triz a d ju n ta es

P u e s to q u e

A 1 -1 1

A = -1 1 1 = -6

1 2 -2

ft» r lo ta n to , la in v e rs a d e A e s

A l r e s o lv e r la s e c u a c io n e s A - 16 s e o b tie n e

Xj " -4 0 -2 ~
.* 3 - 1 -3 -2
- 3 o_
-1
6v

_ -3

x, - - ¿ [ ( - 4 K - 1 ) + 0 ( - l) + (-2)(5)] - 1
= —¿ K - l ) ( - l ) + ( - 3 ) ( - l ) + ( - 2 ) ( 5 ) | = l

x , = —il( —3)( —1) + ( - 3 ) ( - l ) + (0)(5)1 = - I

l\> r s u p u e s to , lo s c á lc u lo s n u m é ric o s s e e x tie n d e n m u c h o m á s p a ra
g ra n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io n e s . P o r e s ta r a z ó n .e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l
s e u s a n c o m p u ta d o r a s p a r a d e te r m in a r la in v e r s a d e la s m a tric e s .

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A.5 M É T O O O D E G A U S S PARA RESOLVER E C U A C IO N ES SIM ULTÁNEAS 623

A. 5 M étodo de Gauss para resolver

ecuaciones simultáneas

C u a n d o h a y q u e r e s o lv e r m u c h a s e c u a c io n e s lin e a le s s im u ltá n e a s , p u e d e
u s a rs e e l m é to d o d e e lim in a c ió n d e G a u s s d e b id o a s u e fic ie n c ia n u m é ric a .
I-a a p lic a c ió n d e e s te m é to d o re q u ie r e re s o lv e r u n a e c u a c ió n d e u n c o n ­
ju n t o d e n e c u a c io n e s p a ra u n a in c ó g n ita , p o r e je m p lo ,x v e n té r m in o s d e
to d a s la s o tr a s in c ó g n ita s . X j, x 3, . . . . xn. A l s u s titu ir e s ta e c u a c ió n lla m a d a

e c u a ció n p iv o te e n la s e c u a c io n e s re s ta n te s d e ja u n c o n ju n to d e n - 1

e c u a c io n e s c o n n - 1 in c ó g n ita s . S i s e r e p ite e l p ro c e s o re s o lv ie n d o u n a d e

e s ta s e c u a c io n e s p a ra x 2 e n té rm in o s d e la s n - 2 in c ó g n ita s re s ta n te s , x 3,

x 4 , . . . , * „ , s e fo r m a la s e g u n d a e c u a c ió n p iv o te . D c s p u é s .e s ta e c u a c ió n se s u s ­
titu y e e n la s o tra s e c u a c io n e s , d e ja n d o u n c o n ju n to d e n - 3 e c u a c io n e s
c o n n — 3 in c ó g n ita s . E l p ro c e s o s e r e p ite h a s ta q u e q u e d a u n a e c u a c ió n
p iv o te c o n u n a in c ó g n ita , q u e d e s p u é s s e re s u e lv e . L a s d e m á s in c ó g n ita s se
d e te rm in a n a l s u s titu ir s u c e s iv a m e n te h a c ia a trá s e n la s e c u a c io n e s p iv o te
re s ta n te . P a ra m e jo r a r la p re c is ió n d e la s o lu c ió n , e n e l d e s a rro llo d e ca d a
e c u a c ió n p iv o te s e re c o m ie n d a s e le c c io n a r s ie m p r e la e c u a c ió n d e la s e rie
q u e te n g a e l m a y o r c o e fic ie n te n u m é r ic o p a ra u n a in c ó g n ita q u e s e e s tá
tra ta n d o d e e lim in a r. E l p ro c e s o s e ilu s tra r á c o n u n e je m p lo .

R e s u e lv a e l s ig u ie n te s is te m a d e e c u a c io n e s m e d ia n te la e lim in a c ió n
de G auss:

- 2 x \ + 8x 2 + 2*3 = 2 (A -1 7 )

2 * , - *2 + *3 = 2 (A -1 8 )

4 *, - 5*2 + 3*3 = 4 (A -1 9 )

S e in ic ia rá c o n la e lim in a c ió n d e * , . E l m a y o r c o e fic ie n te d e * , e s tá e n
la e c u a c ió n A - 1 9 ; p o r c o n s ig u ie n te , s e to m a r á c o m o la e c u a c ió n p iv o te . S i
s e re s u e lv e p a ra * , , s c tie n e

* , = 1 + 1 .2 5 *2 - 0 .7 5 *3 (A -2 0 )

A l s u s t it u ir e n la s e c u a c io n e s A - 1 7 y A - 1 8 . p a ra d e s p u é s s im p lific a r ,
re s u lta

2 .7 5 *2 + 1 .7 5 *3 = 2 (A -2 1 )

1 .5 *2 “ 0 .5 *3 = 0 (A -2 2 )

A c o n t i n u a c i ó n s e e l i m i n a x¿. S e e l i g e l a e c u a c i ó n A -21 c o m o e c u a c i ó n
p iv o te p o rq u e e l c o e fic ie n te d e x 2e s m a y o r a h í. S e tie n e

*2 = 0 .7 2 7 - 0 .6 3 6 *3 (A -2 3 )

S i s e s u s titu y e e s ta e c u a c ió n e n la e c u a c ió n A - 2 2 y s e s im p lific a , re s u lta la

e c u a c ió n p iv o t e f in a l, q u e p u e d e r e s o lv e r s e p a r a xi . D e e s to s e o b t ie n e *3
= 0 .7 5 . A l s u s titu ir e s te v a lo r e n la e c u a c ió n p iv o te A - 2 3 d a x 2 - 0 .2 5 .

F in a lm e n te , a p a r t ir d e la e c u a c ió n p iv o te A - 2 0 s e tie n e q u e * , = 0 .7 5 .

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624 A pé n d ic e A Á l g e b r a m a t r ic ia l p a r a el a n á l is is e s t r u c t u r a l

PR O BLEM AS

'3 6" ‘ - i 2] '6 5 - l ‘ "2 -1 - l "
Si A = 2 8 L d e te rm in e
A -1 . 7 yb = 5 •A -1 2 . Si A = 0 3 2 y B = 3 2 5
_4 J
—2_ —- 2 _2 1 4 _2 4 6 .

2 A - B y A + 3B. d e te rm in e A B .

3 5 -2 6 4 -3

A -2 . Si A = 4 3 1 y b - 3 2 -2 A - 1 3 . D e m u e s tre q u e la le y d is trib u tiv a e s v á lid a , es

_1 - 1 7. .5 1 6_

d e te rm in e 3 A - 2 B y A - 2 B . 4 2 -1
d e c ir. A ( B + C ) = A B + A C s i A = 5 6J’

4 -1 1 13
51 y B = 2 2 .d e te rm in e A B . 24

B = -1 c = 2

0 1.

*A -4 . S i A = d e te rm in e A B .

A - 1 4 . D e m u e s tre q u e la le y a s o c ia tiv a e s v á lid a , e s d e c ir.

A (B C ) = (A B )C s i A = 251
B

-5 6 0

C = [2 - 1 3J.

( A + B)r = A r + B 43 57 2
18 2
A - 1 5 . E v a lú e lo s d e te rm in a n te s -14 0
-I 6

A -7 . Si A = 23 6 2 5
59 2 . d e t e r m i n e A + \ T. •A -1 6 . Si A = - 1 .d e te r m in e A -1
-10 2
4

A -8 . 2 5 3 5 1~
Si A = .d e te rm in e A A r . Si A = 4 - 1 2 .d e te rm in e A i
A -1 7 .
8 -1 _0 3 1.

A - 9 . S i A = | ^ ^ I.d e te rm in e A A r .

56 01 2 A - 1 8 . R e s u e lv a la s e c u a c io n e s 4 x , + x2 + x 3 = - 1 , - 5 x ,
A -1 0 . Si A = 3jy B = + 4 x j + 3 x 3 **• 4 . x , — 2 X j + x , “ 2 u s a n d o l a e c u a c ió n
-----------1 m a tric ia l * = A ’C .
-1 2 o—
A - 1 9 . R e s u e lv a la s e c u a c io n e s d e l p r o b le m a A - 1 8 u s a n d o
i e l m é to d o d e e lim in a c ió n d e G auss.
i
• A - 2 0 . R e s u e lv a la s e c u a c io n e s x , + 2 x? - 2 * 3 = 5. x , -
d e te rm in e A B . x 2 + JCy = - 1 . x , — x 2 - x 3 = 1 u s a n d o l a e c u a c ió n m a t r i c i a l

A - ll. Si A = 2 5 -1 yB = 2 x = A 'C .

32 5 5 A - 2 1 . R e s u e lv a la s e c u a c io n e s d e l p r o b le m a A - 2 0 u s a n d o
-1 e l m é to d o d e e lim in a c ió n d e G auss.
d e te rm in e A B .

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Procedimiento general APÉNDICE
para usar el software
de análisis estructural B

E n la a c tu a lid a d e x is te n p ro g ra m a s p o p u la re s d e s o ftw a r e p a ra a n á lis is 625
e s tru c tu ra l c o m o S T A A D , R IS A , S A P , e tc é te ra ; to d o s e llo s b a s a d o s e n e l
m é to d o d e a n á lis is d e la m a tr iz d e rig id e z , q u e s e d e s c rib e e n lo s c a p ítu lo s
13 a 1 5 .* A u n q u e c a d a p ro g ra m a tie n e u n a in te rfa z u n p o c o d ife re n te ,
to d o s r e q u ie r e n q u e e l o p e r a d o r in tr o d u z c a d a to s r e la c io n a d o s c o n la
e s tru c tu ra .

A c o n tin u a c ió n se d e s c rib e u n p r o c e d im ie n to g e n e ra l p a ra u s a r c u a l­
q u ie ra d e e s to s p ro g ra m a s .

Pasos prelim inares. A n t e s d e e m p l e a r c u a l q u i e r p r o g r a m a , e s n e c e ­

s a rio p r im e ro id e n tific a r n u m é ric a m e n te lo s e le m e n to s y a rtic u la c io n e s ,
lla m a d a s n o d o s .d e la e s tr u c tu r a y e s ta b le c e r lo s s is te m a s d e c o o rd e n a d a s
g lo b a le s y lo c a le s c o n e l f in d e e s p e c ific a r la g e o m e tría d e la e s tr u c tu r a y
la c a rg a . P a ra e llo , q u iz á d e s e e h a c e r u n b o s q u e jo d e la e s tr u c tu r a y e s p e ­
c ific a r c a d a e le m e n to c o n u n n ú m e ro e n c e rra d o e n u n c u a d ra d o , y u s a r
u n n ú m e r o d e n tr o d e u n c ír c u lo p a r a id e n tific a r lo s n o d o s . E n a lg u n o s
p ro g ra m a s ta m b ié n d e b e n id e n tific a rs e lo s e x tre m o s “ c e rc a n o " y " le ja ­
n o " d e lo s e le m e n to s . E s to s e h a c e m e d ia n te u n a fle c h a tra z a d a a lo la rg o
d e l e le m e n to , c o n la p u n ta d e la fle c h a d ir ig id a h a c ia e l e x tr e m o le ja n o .
E n la s fig u r a s B - l, B - 2 y B - 3 se m u e s tr a la id e n tif ic a c ió n d e lo s e le m e n ­
to s , lo s n o d o s y la “ d ir e c c ió n " p a r a u n a a r m a d u r a p la n a , u n a v ig a , y u n
m a rc o p la n o . E n la fig u r a B 1 . e l n o d o © e s tá e n e l " e x tr e m o c e rc a n o " d e l
e le m e n to 0 ] y e l n o d o © e s tá e n s u “ e x tr e m o le ja n o ” . E s ta s a s ig n a c io n e s
p u e d e n h a c e rs e a rb itra ria m e n te . S in e m b a rg o , o b s e rv e q u e lo s n o d o s d e
la a r m a d u r a s ie m p r e e s tá n e n la s a r tic u la c io n e s , p u e s to q u e e s d o n d e se
a p lic a n la s c a rg a s y d o n d e d e b e n d e te rm in a r s e lo s d e s p la z a m ie n to s y la s
fu e rz a s e n lo s e le m e n to s . P a ra la s v ig a s y lo s m a rc o s , lo s n o d o s se
e n c u e n tr a n e n lo s s o p o rte s , e n u n a e s q u in a o ju n ta , e n u n p a s a d o r in t e r ­
n o , o e n u n p u n to d o n d e d e b e d e te rm in a rs e e l d e s p la z a m ie n to lin e a l o
d e r o ta c ió n , fig u ra s B -2 y B -3 .

C o m o la s c a rg a s y lo s d e s p la z a m ie n to s s o n c a n tid a d e s v e c to ria le s , e s
n e c e s a rio e s ta b le c e r u n s is te m a d e c o o rd e n a d a s a f in d e p re c is a r e l s e n ti­
d o c o r r e c to d e la d ire c c ió n . A q u í d e b e n u s a rs e d o s tip o s d e s is te m a s d e
c o o rd e n a d a s .

Coordenadas globales. U n s o lo sistem a d e co o rd e n a d a s g lo b a le s

o de la estructura,q u e u s a lo s e je s d e re c h o s x , y , z ,s e e m p le a p a r a e s p e c i­
fic a r la u b ic a c ió n d e c a d a n o d o c o n re s p e c to a l o rig e n y p a ra id e n tific a r e l
s e n tid o d e c a d a u n a d e la s c a rg a s e x te rn a s y d e lo s c o m p o n e n te s d e l d e s ­
p la z a m ie n to e n lo s n o d o s . R e s u lta c o n v e n ie n te u b ic a r e l o r ig e n e n u n
n o d o .d e m o d o q u e to d o s lo s d e m á s n o d o s te n g a n c o o rd e n a d a s p o s itiv a s .
V e a c a d a u n a d e la s fig u ra s .

L o s lib ro s re la c io n a d o s c o n e l a n á lis is m a tric ia l p r e s e n ta n u n a c o b e r tu r a m á s c o m p le ta
de e s te m éto d o , in clu id o s lo s e fe c to s d e la to isió n e n m arco s trid im en sio n ales.

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626 A pé n d ic e B P r o c e d im ie n t o g e n e r a l para u sa r el so f t w a r e de a n á lisis e st r u c t u r a l

300 n

b| ® a

I------------- m — ^ 121 i *

15|— 1 .5 m — |— m — |---------- 2 m 1

F ig u ra B -2

x

x' Coordenadas locales. U n sistem a d e co o rd e n a d a s lo ca le s o del

Figura B-3 elem en to s e u s a p a r a e s p e c ific a r la u b ic a c ió n y d ir e c c ió n d e la s c a rg a s
e x te rn a s q u e a c tú a n s o b re lo s e le m e n to s d e la v ig a y e l m a rc o o d e c u a l­
q u ie r o tr a e s tr u c tu r a , a f in d e p r o p o r c io n a r u n a fo r m a d e in te r p r e ta r lo s
re s u lta d o s c a lc u la d o s p a ra la s c a rg a s in te r n a s q u e a c tú a n e n lo s n o d o s d e
c a d a e le m e n to . E s te s is te m a p u e d e id e n tific a rs e u s a n d o lo s e je s d e re c h o s
x '. y '. z ’ c o n e l o rig e n e n e l n o d o " c e rc a n o " y e l e je x ' e x te n d ié n d o s e a lo
la rg o d e l e le m e n to h a c ia e l n o d o " le ja n o ” . E n la s fig u ra s B - l y B -3 , re s ­
p e c tiv a m e n te , se m u e s tra u n e je m p lo p a ra e l e le m e n to 4 d e u n a a r m a d u ­
ra y e l e le m e n to 3 d e u n m a rc o .

O peración del program a. Q ia n d o u n p r o g r a m a s e e je c u ta ,

d e b e a p a re c e r u n m e n ú q u e p e r m ita v a ria s s e le c c io n e s p a ra in tr o d u c ir
lo s d a to s y o b te n e r lo s re s u lta d o s . A c o n tin u a c ió n s e e x p lic a n lo s c o m p o ­
n e n te s u s a d o s p a ra lo s d a to s d e e n tra d a . P a ra c u a lq u ie r p r o b le m a , a s e g ú ­
re s e d e u s a r u n c o n ju n to c o n s is te n te d e u n id a d e s p a ra la s c a n tid a d e s
n u m é ric a s .

Información d e la estructura general. ft> r l o g e n e r a l, e s te

c o m p o n e n te d e b e s e le c c io n a rs e e n p r im e r lu g a r a f in d e a s ig n a rle u n
títu lo a l p ro b le m a e id e n tific a r e l tip o d e e s tru c tu ra a a n a liz a r a rm a d u ra ,
v ig a o m a rc o .

Datos del nodo. In t r o d u c ir u n o a u n o e l n ú m e r o d e c a d a n o d o y

la s c o o rd e n a d a s g lo b a le s d e s u s e x tr e m o s c e rc a n o y le ja n o .

Datos del elem ento. I n t r o d u c ir u n o a u n o e l n ú m e r o d e c a d a e le ­

m e n to , lo s n ú m e ro s d e lo s n o d o s c e rc a n o y le ja n o , y la s p ro p ie d a d e s d e l
e le m e n to . £ ( m ó d u lo d e e la s tic id a d ). A (á re a d e la s e c c ió n tra n s v e rs a !)
d o 1 (e l m o m e n to d e in e rc ia y /o e l m o m e n to p o la r d e in e rc ia u o tr o tip o
d e c o n s ta n te d e to r s ió n a d e c u a d a n e c e s a ria p a ra lo s m a rc o s tr id im e n s io ­
n a le s * ). S i e s ta s p ro p ie d a d e s d e l e le m e n to s o n d e s c o n o c id a s , e n to n c e s
s ie m p re q u e la e s tr u c tu r a s e a e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a , e s to s v a lo re s
p u e d e n e s ta b le c e rs e ig u a le s a u n o . S i la e s tr u c tu r a e s e s tá tic a m e n te in d e ­
te rm in a d a e n to n c e s la e s tr u c tu r a n o d e b e te n e r a s e n ta m ie n to e n lo s

•C o n m u c h a fre c u e n c ia p u e d e se le ccio n a rse fo rm a e s tru c tu ra l d a d a , p o r e je m p lo u n p e rfil
de a la ancha o W , si e l p ro g ra m a tie n e una base d e d a to s c o n sus p ro p ie d a d e s g e om étricas.

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A pé n d ic e B P r o c e d i m i e n t o g e n e r a l p a r a u s a r el s o f t w a r e d e a n á l is is e s t r u c t u r a l

s o p o rte s y lo s e le m e n to s d e b e n te n e r la m is m a á re a e n s u s e c c ió n tra n s ­
v e rs a l y e s ta r h e c h o s d e l m is m o m a te ria l. E n to n c e s , lo s re s u lta d o s c a lc u ­
la d o s p r o p o r c io n a r á n la s re a c c io n e s c o rr e c ta s y la s fu e rz a s in te rn a s , p e r o
n o e l d e s p la z a m ie n to c o rre c to .

S i u n a a r tic u la c ió n in te rn a o u n p a s a d o r c o n e c ta a d o s e le m e n to s d e
u n a v ig a o u n m a rc o , e n to n c e s d e b e e s p e c ific a rs e la lib e ra c ió n d e l
m o m e n to e n e se n o d o . P o r e je m p lo , e l e le m e n to 3 d e l m a rc o q u e se
m u e s tra e n la fig u ra B -3 tie n e u n p a s a d o r e n e l n o d o le ja n o , 4 . D e l
m is m o m o d o , e s te p a s a d o r ta m b ié n p u e d e id e n tific a rs e e n e l n o d o c e rc a ­
n o d e l e le m e n to 4.

DatOS del soporte. S e i n t r o d u c e n u n o a u n o l o s n o d o s u b i c a d o s e n

u n s o p o rte , in d ic a n d o la s d ire c c io n e s d e la s c o o rd e n a d a s g lo b a le s e n d o n d e
s e p ro d u c e n la s re s tric c io n e s . P o r e je m p lo , d a d o q u e e l n o d o 5 d e l m a rc o
d e la fig u r a B - 3 e s u n s o p o r te f ijo . s e in tr o d u c e u n c e r o e n la s d ir e c c io n e s
(d e r o ta c ió n ) x, y y z ; s in e m b a rg o , s i e s te s o p o r te s e a s ie n ta 0 .0 0 3 m h a d a
a b a jo , e n to n c e s e l v a lo r in tr o d u d d o p a ra y d e b e ría s e r - 0 .0 0 3 .

D atos d e la carga. L a s c a r g a s s e e s p e c if ic a n , y a s e a e n lo s n o d o s

o e n lo s e le m e n to s . I n t r o d u z c a lo s v a lo r e s a lg e b r a ic o s d e \as ca rg a s n o d a ­
les e n r e la c ió n c o n la s coord enad as g lob a les. P o r e je m p lo , p a ra la a r m a ­
d u r a d e la fig u r a B - l, la c a rg a e n e l n o d o 2 e s tá e n la d ir e c d ó n y y tie n e
u n v a lo r d e - 2 0 0 . P a r a lo s elem entos d e v ig a s y m a r c o s , la s c a rg a s y s u
u b ic a c ió n s e r e fc r e n c ia n u s a n d o la s coordenadas lo ca les. P o r e je m p lo , la

c a rg a d is trib u id a s o b re e l e le m e n to 2 d e la e s tru c tu ra m o s tra d a e n la fig u ­

ra B - 3 s e e s p e c ific a c o n u n a in te n s id a d d e - 4 0 0 N /m u b ic a d a a 0 .7 5 m
d e l n o d o 2 y - 4 0 0 N /m u b ic a d a a 3 m d e e s te n o d o .

Resultados. U n a v e z q u e s e i n t r o d u c e n t o d o s lo s d a to s , e n to n c e s e s

p o s ib le re s o lv e r e l p r o b le m a . S e o b tie n e n la s re a c c io n e s e x te rn a s s o b re
la e s tr u c tu r a y lo s d e s p la z a m ie n to s y c a rg a s in te r n a s e n c a d a n o d o .
C ó m o u n a c o m p ro b a c ió n p a r d a l d e lo s re s u lta d o s , c o n fre c u e n c ia se d a
u n a v e r ific a c ió n e s tá tic a e n c a d a u n o d e lo s n o d o s . E s m u y im p o r ta n te
q u e n o c o n fíe to ta lm e n te e n lo s re s u lta d o s o b te n id o s . E n v e z d e e llo ,
s e ría c o n v e n ie n te r e a lb a r u n a n á lis is e s tr u c tu r a l in tu itiv o p a ra c o n tr o la r
a ú n m á s la s re s p u e s ta s . D e s p u é s d e to d o , e l in g e n ie ro e s tru c tu ra l d e b e
a s u m ir to d a la re s p o n s a b ilid a d , ta n to d e l m o d e la d o c o m o d e l c á lc u lo d e
lo s re s u lta d o s fin a le s .

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Soluciones parciales y respuestas
a los problemas fundamentales

C a p ítu lo 2

F 2 - 1 . l + S W i4 = 0 : 60 - F * c (j)(4 ) = 0 FK = 2 5 .0 k N Resp.
6 0 - i4 ,(4 ) = 0 A y = 15.0 k N Resp.
1 + 2 M „ = 0; Resp.

X 2 F , = l>. A , - 25. 0( 3) = 0 A , = 2 0 . 0 k N

B , = C , = 2 5 .0 (1 ) = 2 0 .0 k N B y = C y = 2 5 .0 ($ ) = 15 .0 k N

F 2 -2 . \,+ 1 M a = 0\ F bc se n 4 5 °(4 ) - 1 0 (4 )(2 ) = 0 FBC = 20 kN
1 0 ( 4 ) ( 2 ) - A y(4 ) = 0
l+ 2 M « = 0; se n 45°

A , = 2 0 .0 k N Resp.

X l F , = 0. (e o s 4 5 ° ) = 0 A , = 2 0 .0 k N Resp.
\s c n 4 5 ° /

fl. = M ^ ) (cos* ’ ) = 200 kN Resp.
fl' = c' = ( í ñ v ) (sen45”) = 20-0kN Resp.

F2-3. l+ 2 M ^ = 0; F a c sen 6 0 °(4 ) - 1 0 (2 )(1 ) = 0 FK = sen 60° kN
1 + 2 A Í a = 0; 1 0 ( 2 ) { 3 ) - A y(4 ) = 0
A y = 15 .0 k N Resp.

X 2 F , = 0; (— 60 J( cos 6 0 ú) - A, = 0 A , = 2.8 9 k N Resp.
\s e n /

8- = c' = (¡¡s W )(a>s60") = 28,kN Resp.

fi’ = c ' = ( í í W ) (sen60", = 5'0ükN Resp.

F2-4. E le m e n to A C
t+ 2 W c = 0;
1 + 2 M m = 0; 1 0 (3 ) - N a(4 ) = 0 N a = 7 .5 0 k N tfe sp .
C r (4 ) - 1 0 (1 ) = 0 Cy = 2 5 0 k N

E le m e n to B C Bx = 0 Resp.
X l F , = 0, B r - 2 .5 0 - 8 ( 2 ) = 0 B , = 18 .5 k N Resp.
+ Í 2 F , = 0;
l+ 2 A f f l = 0; 2.50(2) + 8 (2 )(1 ) - M a = 0 = 2 1 . 0 k N - m Z íesp .

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