Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

9 .8 E n e r g ía d e d e e o r m a c ió n v ir t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x ia l , r j e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a 379

F lex ió n . La energia d e deform ación virtual d e b id a a la flexión se
d eterm in ó e n e l ejem p lo 9-10. S e dem o stró q u e

, ' m M d x 13 6 6 6 .7 k 3 - p i e 3 1 3 6 6 6 .7 k J - p i e 3 (12-’ p u lg 3/ l p ie 3)

Ub E l El [2 9 (1 0 * ) k / p u l g ?[( 6 0 0 p u lg 4) 1.357 p u lg - k

C a rg a a x ia l. A p artir d e los d a to s d e las figuras 9-25b y 9-25c.se
tiene

1.25 k (2 5 k ){ 120 p u lg ) + 1 k (0 )(9 6 p u lg )
8 0 P u lg 2p 9 ( 1 0 3) k /p u lg 7] 8 0 p u lg ?[2 9 ( 10*) k /p u l g 2]

= 0.001616 p u lg • k

F u e r z a c o r t a n t e . A l a p lic a r l a e c u a c i ó n 9 -2 5 c o n K = 1.2 p a r a s e c ­
ciones transversales rectangulares y a l utilizar las funciones d e fuerza
cortante que se m uestran en la figura 9-256 y 9-25c.resulta

f lo1 .2 (l)(4 0 - A x \) d x \ r 8 1 .2 (- 1 .2 5 ) ( - 2 5 ) c/x2

“ J'oo GA J0 " GA

540 k? -p ie (1 2 p u lg /p ie )
= 0.00675 p u lg -k

[ 1 2 ( 1 0 3) k /p u l g 2]( 8 0 p u lg 2)

Si se ap lica la e c u a c ió n d el tra b a jo v irtu a l.se tien e

1 k • = 1.357 p u lg • k + 0.001616 p u lg • k + 0.00675 p u lg • k

ACt = 1.37 p u lg Resp.

L a in clu sió n d e los efecto s de la fu erza c o rta n te y la c a rg a ax ial c o n tri­
b u y ó s ó l o c o n u n a u m e n to d e l 0 .6 % s o b r e la r e s p u e s ta q u e s e d e t e r ­
m inó usando únicam ente la flexión.

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380 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO 9.13

L a viga q u e se m u e stra e n la fig u ra 9 -2 6 a se utiliza e n u n edificio so ­
m e tid o a d o s a m b ie n te s té r m ic o s d if e r e n te s . S i la t e m p e r a t u r a e n la
su p erficie su p e rio r d e la viga e s d e 80°F y e n la in fe rio r e s de 160°F,
determ in e la deflexión vertical d e la viga en su p u n to m ed io ,d eb id o al
g rad ien te d e te m p e ra tu ra . C onsidere q u e a = 6.5(10 -6)/°F .

80° F

)EEE

(b)

Figura 9-26

S O L U C IÓ N
D ado q u e la deflexión en el centro d e la viga debe determ inarse, se
coloca una carga virtual unitaria allí y se calcula e l m om ento virtual
interno e n la viga, figura 9-266.

La te m p e ra tu ra m ed ia en e l c e n tro d e la viga e s (160° + 8 0 ° )/2 =
120°F, p o r lo q u e p a ra la ap licació n d e la e c u a c ió n 9 -2 7 , A Tm = 120°F
- 80°F = 40°F. A dem ás, c = 1 0 p u lg /2 = 5 pulg. A l aplicar e l princi­
pio del trab ajo v irtu al.se tiene

.... f Lm a M m dx
1 Ib * A r = / -------------------
C* Jo c

P -* ( í * ) 6 . 5 ( l < r 6) / oF (4 0 ° F ) Resp.
--------------5c-p--u--l-g--------------- d x

Ac, = 0.0936 p u lg

F.I re s u lta d o in d ic a u n a d e fle x ió n m u y in sig n ifican te.

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9 . 9 T e o r e m a d e C a s t o l ian o p a r a v c a s y m a r c o s

9 .9 Teorem a d e C astigliano para vigas
y m arcos

La en erg ía d e deform ación p o r flexión in tern a p a ra u n a viga o u n m arco
resulta d e la ecu ació n 9-11 (U , = J M 2d x /2 E l). A l su stitu ir e sta ecuación
e n la ecu ació n 9-20 (A, = dU ,/dP¡) y o m itir e l su b ín d ice /.s e tie n e

d [ ‘ M 2dx
A = J p ja I e T

En lugar d e elevar al cu ad rad o la expresión del m om ento in tern o M . in­
tegrar y luego o b ten er la derivada parcial, generalm ente resulta m ás fácil
d iferenciar an tes d e la integración. D ado qu e E e I son constantes, se
tiene

(9-28)

donde

A = d esp lazam ien to e x te m o d el p u n to c a u sa d o p o r las carg as reales
qu e a c tú a n so b re la viga o m arco.

P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la v ig a o m a r c o e n la d ir e c c ió n d e A.
A i ■ m om ento in tern o e n la viga o m arco, ex p resad o co m o u n a función

de x y causado ta n to p o r la fu erza P com o p o r las cargas reales
so b re la viga.
E = m ó d u lo de elasticid ad d e l m aterial d e la viga.
/ = m om ento d e inercia del área d e la sección transversal calculado
respecto al eje neutro.

Si d eb e determ in arse la p en d ien te 0 c n un p u n to .es necesario en co n ­
trar la derivada parcial d el m om ento in tern o M con respecto a u n m o ­
m ento d e p a r externo M ' que actú a e n el punto, es decir.

6 = í ‘\ A dM \ d x (9-29)

l U ) El

Las ecuaciones an terio res so n sim ilares a las usadas p ara e l m éto d o d el
trabajo virtual, ecuaciones 9-22 y 9-23, excepto q u e HM/dP y dM /BM '
rem plazan a m y m»,respectiva m ente. C om o en el caso d e las arm aduras,
g eneralm ente se req u iere un poco m ás d e cálculo para d eterm in ar las
derivadas parciales y aplicar e l teo rem a d e C astigliano en vez de e m ­
plear el m éto d o d el trab ajo virtual. T am bién, recuerde q u e e ste teorem a
sólo se aplica a m ateriales q u e ten g an u n a resp u esta elástica lineal. Si se
d esea u n a d e te rm in a c ió n m ás co m p le ta d e la e n e rg ía d e d efo rm a c ió n en
la e stru c tu ra , d e b e incluirse la e n e rg ía d e d efo rm ació n d e b id a a la s fu e r­
zas co rtan tes, axiales y d e torsión. Las deducciones p ara la fu erza c o r­
ta n te y la to rs ió n sig u en el m ism o d e sa rro llo q u e la s e c u a c io n e s 9-25 y
9-26. Las en erg ías d e defo rm ació n y sus derivadas son. respectivam ente.

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C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

V 2dx dP dx
2AG
•-r

dx 9U,
dP

Sin em b arg o , e sto s efectos n o se in clu y ero n e n el análisis d e los p ro b le ­
m as p a ra e s te texto, deb id o a q u e las deflexiones e n vigas y m arcos se
producen principalm ente debido a la energía de deform ación p o r fle­
xión. Los m arcos m ás grandes, o aquellos q u e tien en u n a geo m etría in u ­
sual. pueden analizarse p o r com putadora, d o nde estos efectos pueden
incorp o rarse fácilm ente a l análisis.

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

El siguiente procedim iento proporciona un m étodo q u e pu ed e em plearse para d eterm i­
nar la d eflex ió n y /o la p e n d ie n te en un p u n to d e u n a viga o u n m arco usando e l teo rem a
d e C astigliano.

Fuerza externa P o m om e nto d e p a r M

• C o lo q u e u n a fu e rz a P so b re la viga o e l m arco e n e l p u n to y e n la d irecció n d e l d e sp la ­
zam iento deseado.

• Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n to d e p a r M ' e n e l p u n to .
• Se su p o n e q u e ta n to P c o m o M ' tienen u n a m agnitud variable p ara o b te n e r los cam ­

bios d M /dP o dM /dM '.

M om e ntos in te rn o s M

• E stab lezca las c o o rd e n a d a s x a p ro p ia d a s q u e so n válidas d e n tro d e las re g io n es d e la
viga o el m arco d o n d e n o hay d isco n tin u id ad e n la fu erza, la carga d istrib u id a o e l m o ­
m ento.

• C alcule e l m o m en to in tern o M en función d e P y M ' y c a d a co o rd en ad a x. A dem ás,
calcule la derivada parcial dM /dP o d M /dM ' para cad a co o rd en ad a x.

• D esp u és d e d e te rm in a r M y d M / d P o d M / d M ' , asig n e a P o M ' su v a lo r n u m é ric o si
han sustituido a una fuerza o m om ento reales. D e lo co n trario .estab lezca P o M ' g u a ­
les a cero .

Teorem a d e C astigliano

• A plique la ecuación 9-28 o 9-29 p ara d eterm in ar e l d esp lazam iento A o la p en d ien te 6
deseados. E s im p o rtan te conservar lo s signos algebraicos d e los valores co rresp o n ­
dientes d e M y dM /dP o dM/dM'.

• Si la s u m a r e s u lta n t e d e to d a s la s in te g r a le s d e f in id a s e s p o s itiv a , A o A tie n e n la m ism a
dirección q u e P o M '.

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9 . 9 TEOREM A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 383

D eterm in e e l d esplazam iento d e l p u n to B de la viga q u e s e m uestra
e n la fig u ra 9 2 1 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a e / = 5 0 0 (1 0 6) m m 4.

1 2 k N ,ta 12 k N /m

11 11 11 111 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 I I

1IWA I_II I I— - —
-------- 1
(a) 10 m

(b)

SO L U C IÓ N

Fuerza e x te rn a P. Se coloca u n a fuerza vertical P so b re la viga en
B com o se m uestra en la figura 9-276.

M om entos in te rn o s M . Se req u ie re u n a so la co o rd en ad a x para
o b ten er la solución, p u esto q u e no hay discontinuidades de carga
e n tre A y B. Si se usa e l m é to d o d e las secciones, fig u ra 9 -2 7 c .se tien e

~M - Px = 0 (c)
M = ~6x! - Px
dM fig u ra 9 -2 7
-x

dP

Al establecer P = 0, su valor real, resulta

M = -6 x: dJ ± - x
dP

Teorem a d e C a stig lia n o . Si se aplica la ecuación 9-28. se tiene

A - rl J dM \ d x - 15(10*) kN -m *
El
"i U PJEl i El

o bien

15(103) kN •m3

A/í 200( 106) k N /m ?(500( 106) m m ^ l O '12 m '/m m 1;

= 0.150 m = 150 mm Resp.

D ebe observarse la sem ejanza en tre esta solución y la ob ten id a m e­
d ian te e l m éto d o del tra b a jo virtual, ejem plo 9-7.

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384 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

D ete rm in e la p e n d ie n te e n el p u n to f í de la viga q u e se m u e stra e n la
fig u ra 9 -2 8 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 6 0 (1 0 6) m m 4.

ta) S O L U C IÓ N

3 ItN M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e la
p endiente e n el p u n to fí.s e coloca un p a r e x te rn o M ' a>bre la viga en
ese punto, figura 9-286.

M o m e n to s in te rn o s M . P ara d e te rm in a r los m o m en to s in tern o en

la viga deb en u sarse dos co o rd en ad as. x\ y a p u e s t o q u e hay una d is­

c o n tin u id a d . M ',e n fl.C o m o se m u e stra e n la fig u ra 9.286.a:, va d e A

a fí y x2v a d e fí a C . U tilizan d o el m éto d o d e las seccio n es, figura

9-28c. los m om entos internos y las derivadas parciales s e calculan de
la sig u ien te m an era:

P ara* ,:

— Ti­

(b) L+ S W = 0; M i + 3a:i =
P ara a2:
M \ = - 3 a:,

dM x

=0

dM'

t + = 0; - M ’ + 3 ( 5 + a:2 ) = 0
M 2 = M ' - 3(5 + a ,)
3kN 3 kN dM 2

f= 3 i r L M M, =I
. ( ----
l dM '

r.— Iv, l 5m e— |Va

(c) Teorem a d e C a stig lia n o . Si se e sta b le c e M' O .su valor re a l, y se

Figura 9-28 ap lica la ecu ació n 9-29. re su lta

B i KdM'/EI

5( “ 3ai)(0 ) d xx lf - - 3 ( 5 + a:2) ( 1 ) d x 2 112.5kN -m 2
El F .I
■f.

o bien

-112.5 k N - m 2

n 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2[60{ 106) m m 4]( 1 0 "12 m 4/ m m 4;

= -0.00938 rad Resp.

E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e 0fí e s o p u e s t o a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to
d e p a r M '. O b serv e la sim ilitud en tre esta solución y la d e l ejem p lo 9-8.

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9 . 9 TEOREM A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 385

D eterm in e el d esp lazam ien to vertical d e l p u n to C d e la viga que 8 kN /m 20 kN
se m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 9 a . C o n s id e r e q u e E = 21X3 G P a , 1 =
150 (1 06) m m 4.

SO LU C IÓ N

(a)

Fuerza e x te rn a P. Se aplica una fu erza vertical P e n el p u n to C,
figura 9-29b . D espués, e sta fu erza se rá igual a u n v alo r fijo de
20 kN.

M om entos in te rn o s M . En este caso se req u ieren dos coordenadas
x p a ra la in te g ra c ió n , fig u ra 9-29¿>, p u e sto q u e la c a rg a es d isc o n tin u a
en C. E m pleando el m étodo d e las secciones, figura 9-29c,se tiene

Para jj: 8 kN /m
i,+ 2 W = 0 ; - ( 2 4 + 0 .5 P )x , + 8 * , ( y ) + M , = 0
aran

M \ = (24 + 0 .5 P )* , - Ax\ 2 4 + 0.5P 8 + 05P

1 F = “ *» (b )

P ara x 2:

= 0; - M 2 + (8 + 0 .5 P )x 2 = 0

M 2 = (8 + 0 .5P )x2

bm 2 0 .5 x2 2 4 + 0.5P 8 + 0.5P
dp
(c)
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e P = 2 0 k N , s u v a lo r r e a l, y Figura 9-29
se ap lic a la ecu ació n 9-28, re su lta

- ■ ■ jx m

/ - ( 3 4 » , - 4 x j ) ( 0 . 5 x , ) d x , | ,í 4 ( I 8 * 2)(0 .5 x 1) d x ,

Jo E l Jo E l

234.7 kN •m 3 + 192 k N • m 3 426.7 k N - m 3
El El El

o bien

= _________________ 4 2 6 .7 k N • m 3__________________
kC’ ” 2 0 0 ( 106) k N /m 7[1 5 0 (1 0 6) m m 4j ( 1 0 - '2 m 4/ m m 4)

= 0.0142 m = 14.2 m m Resp.

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386 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

2 k /p ie D eterm ine la p en d ien te en e l p u n to C d el m arco d e dos elem entos
q u e se m uestra en la fig u ra 9-30a. E l so p o rte e n A es fijo. C onsidere que
nTTTTT E = 2 9 (1 0 * ) k s i , / = 600 p u lg 4.

12 pies £J

(a) S O L U C IÓ N

M o m e n to d e p a r e x te rn o M '. Se aplica un m om ento variable M '
so b re e l m arco e n e l p u n to C , p u e sto q u e d e b e d e te rm in a rse la p e n ­
diente en este p u n to , figura 9-306. D espués, este m om ento se igualará
a cero.

M o m e n to s in te rn o s M . D ebido a la discontinuidad d e la carga in­
te r n a e n B , s e e lig e n d o s c o o r d e n a d a s .r, y * 2.c o m o s e m u e s tr a e n l a fi­
gura 9-306. U sando e l m éto d o d e las secciones, figura 9-30c, se tiene

P a ra x x\

= O. -M , -2 * , ( § ) - " ' - o

vi dM i
= -1
P a r a x 2:
t + Z A # = 0; dM 7

- M 2 - 24{^2 eos 60° + 6) - M ' = 0
M 2 = -2 4 { a:2 cos 6 0 o + 6 ) - Af'

dM 2
= -1

dM '

24 k Teorem a d e C a stig lia n o . A l esta b le c e r M ' = O y ap licar la e c u a ­
ción 9-29 se o b tien e
t;
/I
" ‘ ■/ “( S i
M; > Vj

N ( C) “i s a- •« (-* }){-!) dx, c-2 4 (x 2cos 60° + 6 ) ( - l ) d x 7
El
X j e o s 60* + 6 pies = í El

F ig u ra 9 - 3 0

5 7 6 k -p ie 2 2040 k -p ie 2 _ 2616 k -p ie 2
El + El “ El

2 6 1 6 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 2) Resp.
° C ~ 2 9 (1 0 * ) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4)
00216 rad

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9 . 9 TEOREM A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 387

PROBLEMAS FUNDAM ENTALES

19-13. Determ ine la pendiente y el desplazamiento en el 19-19. D eterm ine la pendiente en A y el desplazam iento
punto A . E l es constante. U se el principio del trabajo virtual. en el punto C. E l es constante. Use el principio del trabajo
19-14. Resuelva el problem a F9-13 usando el teorem a de virtual.
Castigliano.
19-20. Resuelva el problem a F9-19 usando el teorem a de
30 kN Castigliano.

i kN /m

innum .

3m 4m —4 m

19-13/9-14 19-19/9-20

19-15. D eterm ine la pendiente y e l desplazam iento e n el 19-21. D eterm ine la pendiente y e l desplazam iento e n el
punto A . E l es constante. U se el principio del trabajo virtual. punto C. E l es constante. U se el principio del trabajo virtual.
19-16. Resuelva el problem a F9-15 usando el teorem a de 19-22. Resuelva el problem a F9-21 usando el teorem a de
Castigliano. Castigliano.

4 kN-m 12 kN

( 2m -2 m
19-219-22
19-15/9-16

19-17. D eterm ine la p en diente y e l desplazam iento e n el 19-23. D eterm ine el desplazam iento en el punto C. E l es
punto tí. E l es constante. U se el principo d el trabajo virtual. constante. U se el principio del trabajo virtual.

19-18. Resuelva el problem a F9-17 usando el teorem a de 19-24. Resuelva el problem a F9-23 usando el teorem a de
Castigliano. Castigliano.

18kN /r

TTTirnrm^

3 m ---------

19-17/9-18

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388 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

PR O BLEM AS

9-21. Determ ine el desplazam iento del punto C y la p en ­ 9 -2 9 . D eterm ine la pendiente y el desplazam iento en el
diente e n e l p u n to B . F.I es co n stan te. U se el principio del p u n to C .U s e el m éto d o d e l trab ajo virtual. F. = 29(10*) ksi.
trabajo virtual. / - m p u lg 4.

9-22. Resuelva e l p roblem a 9-21 usando e l teorem a de 9 -3 0 . Resuelva el problem a 9-29 usando el teorem a de
Castigliano. Castigliano.

P robs. 9-21/9-22 Probs. 9-29/9-30

9 -2 3 . Determ ine el desplazam iento en el punto C. E l es 9-31. Determ ine el desplazam iento y la pendiente en el
constante. Use e l m étodo del trabajo virtual. punto C de la viga en voladizo. El m om ento d e inercia de
* 9 -2 4 . Resuelva e l problem a 9-23 usando el teorem a de cada seg m en to se indica e n la figura. C o n sid ere q u e E =
Castigliano. 29(10*) ksi. U se e l principio del trabajo virtual.

*9-32. R esuelva e l p ro b lem a 9-31 u sando e l te o re m a de
Castigliano.

P robs. 9-23/9-24

9 -2 5 . D eterm ine la pendiente en el punto C. E l es cons­ P ro h s. 9 -3 1 )9 -3 2
tante. U se el m étodo del trabajo virtual.
9-33. D eterm ine la pendiente y el desplazam iento en el
9 -2 6 . Resuelva el problem a 9-25 usando el teorem a de p u n to B . E l es constante. U se el m éto d o d e l trab ajo virtual.
Castigliano. 9 -3 4 . Resuelva el problem a 9-33 usando el teorem a de
Castigliano.
9 -2 7 . D eterm ine la pendiente en el punto A . E l es cons­
tante. U se e l m étodo del trabajo virtual.

*9-28. Resuelva e l problem a 9-27 usando e l teorem a de
Castigliano.

P ro h *. 9 -2 5 /9 -2 6 /9 -2 7 /9 -2 8 P ro b s. 9 -3 3 /9 -3 4

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9 . 9 TEOREM A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 389

9-35. D eterm ine la p endiente y e l d csplazam iento e n el *9-40. D eterm ine la pendiente y el desplazam iento en el
punto B.Suponga que el soporte en A es un pasador y e n C punto A . Suponga q u e C está articulado. U se el principio
e s u n rodillo. C onsidere E - 29( 103) k si e / - 300 pulg4. U se del trabajo virtual. E l es constante.
el m étodo del trabajo virtual.
9-41. Resuelva el problem a 9-40 usando el teorem a de
•9-36. Resuelva e l problem a 9-35 usando e l teorem a de Castigliano.
Castigliano.

-10 pies - 5 pies

P ro b s. 9-35)9-36

9-37. D eterm ine la p endiente y e l desplazam iento e n el 9-42. D eterm ine e l desplazam iento e n e l punto D. U se el
punto B .Suponga que el soporte en A es un pasador y e n C principio d el trabajo virtual. E l es constante.
es u n rodillo. Tom e en cuenta la energía d e deform ación
adicional debida a la fuerza cortante. Considere que E =
29(IO }) ksi. / «■ 300 p u lg 4. G - 12(10*) ksi y su p o n g a q u e
A B tiene un área en su sección transversal d e A = 7.50
pulg2.U se el m étodo d e l tra b a jo virtual.

4 k /p ie 8k

9 -38. D eterm ine el desplazam iento d el p u nto C. U se el 9-43. D eterm ine e l desplazam iento e n e l p u n to D. U se el
método del trabajo virtual. E l es constante. teorem a d e Castigliano. E l es constante.

9-39. Resuelva el problem a 9-38 usando el teorem a de
Castigliano.

*0
8k

rrffm

i> _ ¡1

4 pies- 4 pies •4 p i« -

P ro b .9 -4 3

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390 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

* 9 -4 4 . U s e e l m é to d o d e l tra b a jo v irtu al p a ra d e te rm in a r la 9 -4 9 . D eterm in e e l d esp lazam ien to h o rizo n tal d e l p u n to C.
F.¡ e s c o n s ta n te . U s e e l m é to d o d e l tr a b a jo v irtu a l.
d eflex ió n vertical e n el so p o rte d e o scilad o r D . E le s co n stan te.
9 -5 0 . R esu elv a e l p ro b le m a 9-49 usando e l te o re m a d e
9 -4 5 . R esu elv a e l p ro b le m a 9-44 usando e l te o re m a d e C astigliano.
C astigliano.

>ies

P ro b s. 9 -4 4 /9 -4 5

9-46. E l m arco e n form a d e L se com pone d e d o s segm en­ P ro b s. 9 -4 9 /9 -5 0
tos, c a d a u n o d e lo n g itu d I. y rig idez a la flex ió n E l. S i se s o ­
m ete a la carg a u n ifo rm em en te d istrib u id a, d ete rm in e el 9 -5 1 . D e te rm in e la d e fle x ió n v e rtic a l e n C . E l á re a d e la
d esp lazam ien to h o rizo n tal d e l e x tre m o C . U se el m éto d o secció n tra n sv ersa l y e l m o m e n to d e in ercia d e c a d a seg ­
del tra b a jo virtual. m en to se m u e stra n e n la fig u ra C o n sid ere q u e E = 200

9-47. E l m arco e n form a d e L se com pone d e d o s segm en­ G P a . S u p o n g a q u e A e s u n s o p o r te fijo. U se e l m é to d o d e l
tos, c a d a u n o d e lo n g itu d L y rig id e z a la fle x ió n E /.S i s e s o ­
m ete a la carga u n ifo rm em en te d istrib u id a, d ete rm in e el tra b a jo virtual.
d esp lazam ien to vertical d e l p u n to B . U se el m éto d o d e l tra ­
b ajo virtual. *9-52. R e su e lv a e l p ro b le m a 9 -5 1 . in c lu y e n d o e l e fe c to d e

*9-48. R e su e lv a e l p ro b le m a 9-47 u s a n d o e l te o re m a d e la e n e r g ía d e d e fo rm a c ió n c o rta n te y ax ial.

C astigliano. 9-53. R e su e lv a e l p ro b le m a 9-51 u san d o e l te o re m a d e

C astigliano.

A h c “ 6.5(10*) m m ? c

h e = 100(10“) mm* 5 0 kN

A a b - 1 8 (1 0 ’) m m 1
. 9 t> Ia h 40CH106) m m *

P ro b a 9 - 4 6 ^ - 4 7 /9 — 48 P ro b s. 9 -5 1 /9 -5 2 /9 -5 3

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9 . 9 TEOREM A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s 391

9 -5 4 . D eterm ine la pendiente en A . Considere que E = 9 -5 8 . Use el m étodo d el trabajo virtual y determ ine la d e­
29(103) ksi. E l m o m en to de inercia d e c a d a seg m en to del flexión horizontal e n C. E l es constante H ay un pasador e n A.
marco se indica en la figura. Suponga q u e D es un soporte S uponga q u e C e s un rod illo y q u e B e s una ju n ta fija.
articulado. U se e l m étodo d e l trabajo virtual. 9 -5 9 . Resuelva el problem a 9-58 usando el teorem a de
Castigliano.
9 -5 5 . Resuelva el problem a 9-54 usando el teorem a de
Castigliano. 400 Ib/pie

12 k

*9-56. Use el m étodo del trabajo virtual y determ ine la d e ­ •9-60. El m arco está som etido a la carga de 5 k. D eter­
flexión horizontal e n C. E l área d e la sección transversal de mine el desplazam iento vertical en C. Suponga que los
cada elem ento se indica en la figura. Suponga q u e los ele­ elem entos están articulados en z i.C y E,y que están conec­
m entos e stán articulados e n su s ex trem o s. E = 29(105) ksi. tados fijam ente en las juntas acodadas B y D. E l es cons­
tante. U se e l m étodo del trabajo virtual.
9 -5 7 . Resuelva el problem a 9-56 usando el teorem a de
Castigliano. 9 -6 1 . Resuelva el problem a 9-60 usando el teorem a de
Castigliano.
2k

Sk

Probs. 9-569-57

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392 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

r e p a s o d e l c a p ít u l o

Todos los m étodos d e energía se basan e n e l principio d e la conservación de la energía, e l cual establece q u e e l trabajo rea­
lizado p o r to d a s las fuerzas ex tern as q u e actú a n so b re la e stru c tu ra . l/,.s c tran sfo rm an e n trab ajo in te rn o o en erg ía de d e ­
form ación. U¡,desarro llad a e n lo s e lem en to s c u a n d o la e stru ctu ra se d efo rm a.

Ur = U,

U na fuerza (m om ento) realiza trabajo U cuando experim enta un desplazam iento (rotación) en la dirección de la fuerza
(m om ento).

U = Md

El principio d el trabajo virtual se basa en el trabajo realizado p o r una fuerza unitaria “virtual" o imaginaria. Si debe o b te­
nerse la deflexión (rotación) en un punto de la estructura.se aplica una fuerza (m om ento de par) unitaria virtual a la es­
tructura e n esc punto. E sto ocasiona cargas virtuales internas e n la estructura. E l trabajo virtual se desarrolla cuando las
cargas reales se colocan sobre la estructura provocando su deformación.

lo s desplazam ientos en las arm aduras se encuentran utilizando

nN L
1-A = 2

AE

Si el desplazam iento e s cau sad o p o r la tem p eratu ra o e rro re s de fabricación, en to n ce s

1 -A = I n a t f L 1-A = ZnAL

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R e p a s o d e l c a p it u l o 39 3

Para las vigas y los marcos, e l desplazam iento (rotación) se define a p artir de

E l segundo teorem a d e Castigliano, tam bién llam ado el m étodo del trabajo mínim o, puede usarse p a ra determ inar las d e ­
flexiones en las estructuras que respondan clásticamente. Se afirma que el desplazam iento (rotación) en u n punto de una
estructura e s igual a la prim era derivada parcial d e la energía d e deform ación en la estructura con respecto a una fuerza /’
(m om ento de p ar M ') que actúa en el punto y en la dirección del desplazam iento (rotación). Para una arm adura

=

Para vigas y marcos

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Las ju n ta s d e este m a rco d e c o n c re to con ectad as fija m e nte ha cen q u e la e s ­
tructura sea estáticam ente indeterm inada.

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Análisis de estructuras
estáticam en te
indeterm inadas por el
m étodo de la fuerza

En e s te c a p ítu lo se a p lic a rá e l m é to d o d e la fu e rza o d e la fle x ib ilid a d
para analizar arm a du ras, vig as y m arco s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a ­
dos. A l fin a l d e l c a p ítu lo se p re s e n ta rá u n m é to d o p a ra d ib u ja r la lín e a
de in fluen cia para u n a vig a o u n m arco está tica m en te in d e te rm in a d o .

10 .1 Estructuras estáticam ente
indeterm inadas

En la sección 2-4 se estableció q u e u n a estructura d e cualquier tipo se
clasifica com o estáticam ente indeterm inada cuando la can tid ad de reac­
ciones o fuerzas in tern as desconocidas excede a la d e las ecuaciones de
equilibrio disponibles p ara su análisis. E n e sta sección se analizarán los
beneficios d e utilizar las estructuras indeterm inadas y d o s form as fu n d a­
m entales e n las q u e p u ed en analizarse. Tenga e n cu en ta q u e la m ayoría
de las estru ctu ras disertadas en la actualidad so n estáticam ente indeter­
m inadas. E sta in determ inación pu ed e su rg ir com o resultado d e la artadi-
du ra d e soportes o elem entos, o d eb id o a la form a g en eral d e la estru c­
tura. Por ejem plo, las construcciones d e concreto refo read o son casi
sie m p re e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o rq u e la s c o lu m n a s y las vigas
se vacían co m o elem en to s co n tin u o s a trav és d e las ju n ta s y so b re los
so p o rte s .

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396 C a p it u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

Ventajas y desventajas. A unque el análisis d e u n a e stru c tu ra

estáticam ente indeterm inada es m ás com plicado que e l de una estática­

m e n te d e te rm in a d a , p o r lo g e n e ra l hay v arias razo n es m u y im p o rtan tes

para la elecció n d e este tip o d e e stru ctu ra d u ra n te el diserto. P ero aún

m ás im portante es que, para una carga dada, el esfuerzo m áxim o y la d e ­

flexión d e una estructura indeterm inada son g en eralm en te m ás p e ­

q u e ñ o s q u e los de su c o n tra p a rte e stá tic a m e n te d e te rm in a d a . ft>r e je m ­

plo. la viga fijam en te a p o y a d a y e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e la

fig u ra 1 0 - l a e s t a r á s o m e ti d a a u n m o m e n to m á x im o d e M mix m P I . / 8 ,

m ientras q u e la m ism a viga, cu an d o e stá sim plem ente apoyada, figura

10-16.se so m eterá a dos veces e l m o m en to .es decir, = P L /4. En

consecuencia, la viga fijam ente apoyada tien e u n c u a rto d e la deflexión y

la m itad d e l e sfu erzo e n el c e n tro q u e la viga sim p lem en te ap o y ad a.

O tra razón im portante p a ra seleccionar una estructura estáticam ente

indeterm inada es que tiene una tendencia a redistribuir su carga en sus

so p o rtes red u n d an tes e n las situaciones d o n d e o cu rre un diserto d efec­

tuoso o se presenta una sobrecarga. E n estos casos, la estructura m an­

tiene su estabilidad y se ev ita el colapso. Lo an te rio r es p articu larm en te

im portante cuando s e im ponen so b re la estructura cargas laterales re­

p e n tin a s,c o m o las p ro v o cad as p o r el viento o lo s sismos. P ara ilu strar

esto, co n sid e re d e n u ev o la viga c o n u n e x tre m o fijo d e la fig u ra 10-la.

A m edida q u e P au m en ta, e l m aterial d e la viga em pieza a ceder e n sus

paredes y e n su cen tro form ando “articulaciones p lásticas" localizadas,

las cuales h acen q u e la viga se d e fo rm e , c o m o si e stu v iera c o n e c ta d a m e­

d ia n te b isagras o p a sa d o re s en e sto s p u n to s. A u n q u e la d eflex ió n se haga

grande, las p ared es desarro llarán fuerzas horizontales y reacciones de

m om ento q u e p o d rán sostener la viga y así ev itar q u e se colapse p o r

com pleto. E n e l caso d e la viga sim plem ente ap o y ad a de la figura 10-16,

u n a carg a P excesiva h ará q u e la “articulación plástica" s e form e só lo en

e l c e n tro d e la viga y, d e b id o a la g ran d efo rm a c ió n v ertical, los so p o rte s

no d esarrollarán ninguna fuerza horizontal ni reacciones d e m om ento

q u e pudieran ser necesarias p a ra evitar un colapso total.

A unque las estructuras estáticam ente indeterm inadas pueden so p o r­

ta r una carga con elem entos m ás delgados y tienen m ayor estabilidad en

com paración con sus contrapartes estáticam ente determ inadas, hay

casos en lo s que, por e l contrario, estas ventajas pueden convertirse en

desventajas. El ah o rro de costos en m aterial d eb e com pararse c o n el

costo adicional necesario p ara fab ricar la estructura, puesto q u e en

m uchas o casio n es la c o n stru cció n d e los so p o rtes y las ju n ta s d e u n a e s­

tru c tu ra in d e te rm in a d a es m á s c o sto sa q u e la d e u n a d e te rm in a d a . Sin

em bargo, m ás im portante aú n es q u e las estructuras estáticam ente in d e­

term in ad as tie n e n reaccio n es re d u n d a n te s e n los so p o rtes, e s n ecesario

ten er m ucho cuidado p a ra e v itar el desplazam iento diferencial d e los so ­

portes. y a q u e este efecto introduce esfuerzos in tern o s en la estructura.

I \) r ejem p lo , se a ju s ta ra si la p a re d u b icad a en u n e x tre m o d e la viga fija

q u e se m u estra en la figura 1 0 -la ,s e d esarro llaría un esfuerzo e n la viga

d eb id o a e sta defo rm ació n “o bligada". Por o tra p a rte , si la viga estuviera

sim plem ente apoyada o estáticam ente determ inada, figura 10-16,e n to n ­

ces cu a lq u ie r a ju ste de su e x tre m o n o o c a sio n a ría u n a d efo rm ació n d e la

viga y, p o r lo ta n to , n o se d e sa rro lla rá e sfu e rz o e n la viga. E n to n ces, en

general, cualquier deform ación com o la causada p o r e l desplazam iento

relativ o d e u n so p o rte o los cam b io s e n la longitud d e los e lem en to s p o r

erro res d e fabricación o cam bios de tem peratura, introduce esfuerzos

adicionales e n la e stru c tu ra , los cu ale s d e b e n se r c o n sid erad o s e n e l d i­

serto d e estru ctu ras indeterm inadas.

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1 0 .1 Es tr u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s 397

Pp

(a) (b)

Figura 10-1

M é to d os d e análisis. A l a n a liz a r c u a lq u ie r e stru c tu ra in d e te rm i­

nada es necesario satisfacer los requisitos d e equilibrio,com patibilidad y
fuerza-desplazam iento p ara la estru ctu ra. E l equilibrio se satisface cuando
las fu e rz a s d e reacción m a n tie n e n la e stru c tu ra e n re p o so y la com patibi­
lid a d se cum ple cu an d o los d iferen tes segm entos d e la estru ctu ra se ajus­
tan sin interrupciones o traslapes intencionales. Los requisitos d e fuerza-
d esp la za m ien to d e p e n d e rá n d e la fo rm a e n q u e re sp o n d a el m aterial; en
este tex to se ha su p u esto una resp u esta elástica lineal. En general, hay
dos m aneras d iferentes d e satisfacer estos requisitos cuando se analiza
una e stru c tu ra e stá tic a m e n te in d eterm in ad a: e l m éto d o de la fu e r z a o de
la flexib ilid a d y el m étodo d e l d esp la za m ien to o de la rigidez.

M é to d o de la fuerza. O rig in a lm e n te , Ja m e s C le rk M axw ell d e s a ­

rrolló en 1864 el m étodo d e la fuerza y posterio rm en te fue refinado p o r
O tto M o h r y H einrich M üller-B reslau. E ste m éto d o fue uno d e los p ri­
m eros q u e existió p ara e l análisis d e estructuras estáticam ente in d eter­
m inadas. C o m o la co m p atib ilid ad fo rm a la b ase de e s te m éto d o , en o c a ­
sio n es se le ha llam ad o e l m éto d o d e la co m p a tib ilid a d o e l m éto d o de los
desplazam ientos consistentes. E ste m éto d o consiste e n escribir las ecu a­
ciones q u e satisfacen los requisitos d e com patib ilid a d y de fuerza-despla­
zam iento para la estructura co n e l fin d e d eterm in ar las fu erza s red u n ­
dantes. U na vez q u e se han d eterm in ad o estas fuerzas.se calcula e l resto
d e las fuerzas de reacción sobre la estructura m ediante el cum plim iento de
los req u isito s de eq u ilib rio . L o s principios fu n d a m e n ta le s invo lu crad o s
e n la aplicación d e e ste m é to d o so n fáciles d e e n te n d e r y d esarro llar, y se
estudiarán en este capítulo.

M étodo del desplazam iento. E ste m éto d o s e basa e n escribir

p rim ero las relacio n es d e fu erza-d esp lazam ien to p a ra los elem en to s,
p a ra lu e g o s a tis f a c e r lo s re q u isito s d e e q u ilib r io efe la e s t r u c tu r a . E n e s te
caso las incógnitas en la s ecuaciones so n desplazam ientos. U n a vez q u e
se h an o b ten id o los desplazam ientos, las fuerzas se d eterm in an a p artir
de las ecuaciones de com patibilidad y de fuerza-desplazam iento. E n los
c a p ítu lo s 11 y 12 s e e s tu d ia rá n a lg u n a s d e la s té c n ic a s c lá s ic a s q u e se u ti­
lizan p a ra aplicar e l m éto d o d el desplazam iento. D ebido a q u e e n la ac­
tualidad casi to d o e l softw are p ara el análisis estru ctu ral se desarrolla
iB a n d o e ste m éto d o , e n los cap ítu lo s 14,15 y 16 se p re se n ta rá una fo rm u ­
lación d e la m atriz d el m éto d o d e l desplazam iento.

C ada uno d e esto s d o s m étodos d e análisis,q u e se delinean e n la figura
10-2 , ti e n e s u s v e n ta j a s y d e s v e n ta ja s p a r tic u la r e s , d e p e n d ie n d o d e la
geom etría d e la estructura y d e su grado d e indeterm inación. A l term inar
la p re se n ta c ió n d e los m étodos, se d a rá u n a ex p licació n so b re la utilidad
de c a d a u n o d e ellos.

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398 C a p it u l o 1 0 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

Incógnitas Ecuaciones usadas Coeficientes de
p a ra la solución las incógnitas
Coeficientes de
M étodo d e la fuerza Fuerzas Com patibilidad y flexibilidad
fuer/a-dcspla/ítm íenlo
M étodo del C o eficien te d e rigidez
dcspLuam iento desplaza míen los E quilibrio y
fuerza-desplazam iento

Hgura i0-2

1 0 .2 M é to d o d e análisis de la fu e rza :
P rocedim iento general

Tal vez la m ejo r m anera d e ilu strar los principios involucrados en e l m é­

to d o d e an álisis d e la fu e rz a s e a c o n sid erar la viga q u e se m u e stra e n la

figura 10-3a. Si se d ibujara su d iag ram a de cu erp o libre, h ab ría cu atro

reaccio n es d esco n o cid as e n los so p o rte s; y co m o s e p u e d e d isp o n e r de

tres ecuaciones d e equilibrio p ara o b te n e r u n a solución, la viga es in d e ­

term in ad a d e prim er grado. ft>r lo tan to .se req u iere una ecuación adicional

para la solución. C on e l fin d e o b te n e r esta ecuación se usará e l principio

de superposición y s e co n sid erará la com patibilidad d el desplazam iento

e n u n o de los so p o rte s E sto se h ace al eleg ir una d e la s reacciones e n los

soportes com o “red u n d an te" y al elim inar tem poralm ente su efecto

sobre la viga d e m an era q u e ésta s e vuelva estáticam ente d eterm in ad a y

estable. E sta viga se co n o ce co m o la estructura prim aria. A quí se elim i­

nará la acción d e restricción del oscilador e n B . C om o resultado, la carga

viga re a l F h ará q u e B q u e se d esp lace hacia a b ajo e n u n a c a n tid a d A ,,, c o m o se
(a) m u e s tr a e n la fig u ra 10-3¿>. S in e m b a r g o , p o r s u p e r p o s ic ió n , la r e a c c ió n
d e s c o n o c id a e n B . e s d e c i r , Br h a c e q u e la v ig a e n B se d e s p la c e & ' BR

hacia arrib a, figura 10-3c. A quí, la p rim era literal d e esta notación de

d oble subíndice se refiere al p u n to (B ) d o n d e s e especifica la deflexión, y

la segunda literal se refiere al p u n to (B ) d o n d e actú a la reacción desco ­

nocida. Si se su p o n e q u e los desplazam ientos positivos actú an hacia

a r r ib a , e n to n c e s , a p a r t i r d e las f ig u r a s 10-3<r a 1 0 -3 c .e s p o s ib le e s c r ib ir la

ecuación d e com patibilidad necesaria en el oscilador com o

estructura prim aria (+ t) o = -Afl + ágg
<b)

A hora se indicará el desplazam iento en B causado por u n a carga u n i­

taria q u e actú a en la direcció n d e co m o e l coeficiente d e flexib ilid a d li­

n e a l f RR. fig u ra 10-3d. S i se em p le a e l m ism o e sq u e m a a n te r io r p a ra esta
10

n o ta c ió n d e d o b le s u b ín d ic e , f RR e s la d e f le x ió n e n B c a u s a d a p o r u n a

a a ~ B yf BB | carg a u n itaria e n B. C o m o e l m aterial se co m p o rta d e u n a m an era lineal-

elástica, u n a fu e rz a B^ q u e a c tú a e n B .e n vez d e la c a rg a u n ita ria , c a u ­

red u n d an te B , aplicada s a r á u n i n c r e m e n t o p r o p o r c io n a l e n f RR. P o r lo ta n to , e s p o s ib le e s c r ib ir

(c) A*

(d) r u. C uando se escribe en este form ato,pu ed e verse que el coeficiente d e fle­
Hguni 10-3 B x ib ilid a d lin e a l f RR e s u n a m e d id a d e la d e fle x ió n p o r u n id a d d e fu e r z a , p o r
lo q u e su s u n id a d e s s o n m /N . p i e / b . e tc é te ra . Ptor lo ta n to , la e c u a c ió n
t de com patibilidad an te rio r p u ed e escribirse e n térm inos d e la incógnita
By como

0 = - A f l + fly/ i

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1 0 2 M f r o o o DE ANÁLISIS DE LA FUERZA: P R O C E D IM IE N T O G ENERAL 399

Si s e e m p l e a n lo s m é to d o s d e lo s c a p ít u lo s 8 o 9 , o la ta b l a d e d e fle x io n e s
que se en cu en tra d etrás d e la p o rtad a d el libro, es posible o b te n e r las re ­
lacio n es a d e c u a d a s d e c a rg a -d e s p la z a m ie n to p a ra la d e fle x ió n Afl, fig u ra
10-3¿>,y e l c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d / b b . fig u ra 10-3*/; asim ism o p u e d e
d e te rm in a rse la so lu ció n p a r a # y,e s d e c ir, By = Ab/ Í bb- U na vez h e c h o
e s to .s e p u e d e n e n c o n tra r las tre s reaccio n es e n la p a re d A a p a rtir de las
ecuaciones de equilibrio.

C o m o se indicó an terio rm en te, la elección d e la red u n d an te es arbitra­
ria. Por ejem p lo , el m o m en to e n A , figura l0 -4 a ,p u e d e d e te rm in a rse di­
rectam ente al elim inar la cap acid ad d e la viga p ara so p o rta r u n m om ento
e n A ,e s decir, a l su stitu ir el so p o rte fijo p o r un pasador. C om o s e m ues­
tr a e n la fig u ra 10-4¿>, la r o ta c ió n e n A o c a s io n a d a p o r l a c a rg a P e s 6A, y la
ro ta c ió n e n A c a u sa d a p o r la re d u n d a n te M,* e n A e s Q 'a a , fig u ra IO-4c.
Si se d e n o ta u n coeficiente d e flexibilidad angular a ^ com o e l d esp laza­
m iento angular e n A causado por u n m om ento de par unitario aplicado
sobre A ,figura 10-4J,entonces,

9'a a = M Aa AA

R>r lo tan to , el coeficiente d e flexibilidad an g u lar m ide el desplaza­
m iento angular p o r unidad d e m om ento par. y p o r lo tanto tiene unida­
d es d e rad /N . m o d e ra d /lb • pie, e tc é te ra . Por lo tan to , la ecu ació n de
com patibilidad p a ra la rotación e n A requiere que,

(r+ ) 0 = 9 A + M Aa AA

E n e ste caso. M A - 0 /J a M .u n valor negativo; que sim plem ente significa
q u e M 4 actúa en una dirección opuesta a la del m om ento d e par unitario.

10

' ------- - - " I M ^ , MaQaa

°A estructura prim aria redundante aplicada
(c)
(b)

----- - j a i

a AA

<d)

figura 10-4

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400 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

P. Pj

a .1 X 1i. x -
viga real
(a)

P . P? c.

^— C -■ JM U
A'c c ^ / cc
As V redundante C , aplicada
(d)
estructura primaria redundante B , aplicada
(c)
<b>
Figura 10-5

AJ E =5= E n la fig u ra 10-5a se d a u n te rc e r e je m p lo q u e ilu stra la ap licació n d el
m é to d o d e la fu erza. A q u í la viga e s in d eterm in ad a d e seg u n d o g ra d o , y
“T - fCB p o r lo tanto se req u ieren dos ecuaciones d e com patibilidad p a ra o b ten er
la solución. S e e le g irá n la s fu e re a s v erticales e n los so p o rte s d e ro d illo B
(C) y C com o red undantes. L a viga estáticam en te d eterm in ad a resu ltan te se
defo rm a co m o s e m u estra e n la figura 10-56 cu an d o s e re tira n las fu e r­
zas redundantes. C ad a u n a d e estas fuerzas, q u e se su p o n e actúan hacia
abajo, d efo rm a la viga c o m o se m u e stra en las fig u ras 10-5c y 10-5d, re s­
p e c tiv a m e n te . A q u í, lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d f BB y f CB se e n c u e n ­

tran a p artir d e una carga unitaria que actúa en /¡.figura 1 0 -5 e ;y /c c y /sc
se hallan a p artir d e u n a carga unitaria q u e actú a en C ,figura 10-5/ Por
superposición, las ecuaciones d e com patibilidad p a ra la deflexión en R y
C son. respectivam ente

1 (+1) 0 = A„ + B J m + C , f BC (10-1)
0=A C + V e a + C/cc
B _ £ i --------- .

--* Y " " (+ 1)

Íbc f ÍC U n a vez estab lecid as la s relacio n es carg a-d esp lazam ien to u tilizan d o los
m étodos d e los capítulos 8 o 9.se p u ed en resolver sim ultáneam ente estas
' f) e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r las d o s fu e r z a s d e s c o n o c id a s . B y y C v.

D esp u és d e h a b e r ilu strad o la ap licació n d e l m éto d o d e análisis d e la
fuerza m ediante un ejem plo, ah o ra s e analizará su aplicación en térm i­
nos generales y luego se em p leará com o base p ara la solución d e p ro b le­
m as relacionados con arm aduras, vigas y m arcos. Sin em bargo, p ara
todos esto s casos tenga en cu en ta q u e com o e l m étodo depende de la su ­
perposición d e d esplazam ientos, es necesario q u e e l m aterial perm anezca
elástico lineal cu a n d o se som ete a una carga. A d em ás, co n sid ere q u e cual­
q u ie r carg a d e re acció n e x te rn a o in te rn a e n u n p u n to de la e stru c tu ra
p u e d e d e te rm in a rse d ire c ta m e n te a l lib e ra r e n p rim e r lu g a r la cap acid ad
de la estructura p ara so p o rtar la carga, y después escribir una ecuación de
co m p atib ilid ad e n el p u n to . V ea el e je m p lo 10-4.

*1BBes la deflexión en B causada p o r una carga unitaria en B;flH es la deflexión en C cau­
sada por una carga unitaria en R.

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1 0 .2 M ÉTODO D E ANÁLISIS D E LA FUERZA: P fO C E D IM lE N T O GENERAL 401

Procedim iento de análisis

El siguiente pro ced im ien to ofrece u n m éto d o g eneral p a ra d eterm in ar las reacciones o
cargas internas d e estructuras estáticam ente indeterm inadas utilizando e l m éto d o de
análisis d e la fu erza o la flexibilidad.

P rin cipio d e su p e rp o sició n

D eterm ine e l núm ero d e grados n en q u e la estructura es indeterm inada. Después» e sp e ­
cifique las n fuerzas o lo s n m om entos red u n d an tes desconocidos q u e d e b e n retira rse de
la e stru ctu ra p ara q u e se a estáticam en te determ in ad a y estable. U tilizando el principio
de superposición, dibuje la estru ctu ra estáticam ente indeterm inada y m uestre q u e es
igual a u n a serie d e estru ctu ras está tic a m e n te determ inadas corresp o n d ien tes. La e stru c ­
tura prim aria so p o rta las m ism as cargas ex tern as q u e la estructura estáticam ente in d e­
term in ad a, y cada u n a d e las estructuras q u e se añ ad en a la estru ctu ra p rim aria m uestra
la e stru c tu ra c a rg a d a c o n u n a fu erza o m o m e n to re d u n d a n te se p arad o . T am b ién , tra c e la
curva elástica en cad a estru ctu ra e indique sim bólicam ente e l desplazam iento o la ro ta ­
ción e n e l p u n to d e cada fu erza o m o m en to red u n d an te.

E cuaciones de c o m p a tib ilid a d

Escriba u n a ecuación d e com patibilidad p a ra e l desplazam iento o la rotación en cada
pu n to d o n d e haya una fuerza o m om ento red u n d an te. Estas ecuaciones d e b e n e x p re ­
sarse e n té rm in o s d e las re d u n d a n te s d esco n o cid as y su s c o rre sp o n d ie n te s co eficien tes
de flexibilidad obtenidos de las cargas o m om entos d e p ar unitarios q u e so n colineales
co n las fu erzas o m o m en to s re d u n d an tes.

D ete rm in e to d a s las d eflex io n es y to d o s los co eficien tes d e flex ib ilid ad e m p le a n d o la
ta b la q u e a p a re c e d e trás d e la p o rta d a , o lo s m éto d o s d e los c ap ítu lo s 8 o 9.* S u stitu y a
estas relacio n es d e carg a-d esp lazam ien to e n las ecu acio n es d e co m p atib ilid ad y resu elv a
las red u n d an tes d esco n o cid as E n p articu lar, si el v alor num érico d e u n a red u n d an te es
negativo, indica q u e la red u n d an te actúa op u esta a su fu eiza un itaria o m om ento unitario
c o rre sp o n d ie n te .

E cuaciones d e e q u ilib rio

D ibuje un diagram a d e cu erp o libre de la estru ctu ra. C om o las fuerzas y /o m om entos re ­
du n dantes ya h an sido calculados, las reacciones desconocidas restantes p u ed en d e te rm i­
narse a p artir d e las ecuaciones de equilibrio.

Es n ecesario te n e r e n c u e n ta q u e u n a vez q u e se hay an o b te n id o to d a s las reaccio n es
en los so p o rte s, e s posible d ib u jar los d iag ram as d e fu erza c o rta n te y d e m o m en to , así
co m o d e te rm in a r la d efo rm ació n e n cu a lq u ie r p u n to d e la e stru c tu ra m e d ia n te los
m ism os m étodos descritos an terio rm en te p ara estructuras estáticam ente determ inadas.

•S e sugiere q u e si el d iag ram a d e M IE I p a ra u n a viga co n siste e n seg m en to s sim ples, se u sen los te o re m a s d e l m o-
ire n to de á re a o e l m éto d o d e la viga co n ju g ad a. I ji « g a s c o n d iag ram as M IE I com plicados, e s d ecir, a q u ellas q u e
presentan m uchos seg m en to s cu rv o s (parabólicos, cúbicos, etc éte ra ) p u ed en analizarse fácilm ente utilizando e l m é­
todo d e l tra b a jo v irtual, o e l segundo teorem a d e C astigliano.

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402 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

1 0 .3 Teorem a de M axw ell d e los
desplazam ientos recíprocos;
Ley de B etti

C uando M axw ell desarrolló e l m étodo d e análisis d e la fuerza, tam bién
publicó e l te o re m a q u e relaciona los co eficien tes d e flexibilidad de c u a l­
quiera d e los d o s p u n to s en una estru ctu ra elástica,ya sea una arm adura,
u n a viga o u n m arco. E ste te o re m a se conoce co m o e l teo rem a d e los
desplazam ientos recíprocos y puede enunciarse com o sigue: El desplaza­
m ien to d e un p u n to fl e n u n a estructura debido a u n a carga unitaria que
a ctú a e n e l p u n to A es ig u a l a l d e s p la z a m ie n to d e l p u n to A c u a n d o la
carga u n ita ria a ctúa en e l p u n to B, es decir, /&* = f AR.

La com probación d e este teorem a pu ed e realizarse fácilm ente m e­
d ia n te e l p rin cip io d el tra b a jo v irtu al. P or ejem p lo , co n sid ere la viga d e la
figura 10-6. C u a n d o una carga u n ita ria real actú a e n A ,su p o n g a q u e los
m o m en to s in te rn o s e n la viga e stá n re p re se n ta d o s p o r m A. P ara d e te rm i­
n a r e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d e n f l . e s d e c ir . f fíA, s e c o lo c a u n a c a rg a
v ir tu a l u n it a r i a e n f l.f ig u r a 10-7, y se c a lc u la n lo s m o m e n to s in t e r n o s m fí.
E ntonces, a l aplicar la ecuación 9-18 se obtiene

/ m Rm A
ÍBÁ - ) ~ ¿ F d x

D e l m is m o m o d o , si d e b e d e te r m in a r s e e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d f AR
cuando u n a carga u n ita ria re a l actú a e n fl. figura 10-7. e n to n c e s m R re­
p resen ta los m o m entos in tern o s e n la viga d eb id o a u n a carg a unitaria
real. P or o tra p a rte , m A representa lo s m om entos internos debidos a una
c a rg a u n ita ria v irtu al e n A ,fig u ra 10-6. P b r lo ta n to .

( m Am R

- J ~eT íx

1

1

1 0 - ü - - ' - ' , ; _________

ÍBA

H g u r a 10-6

1

H gura 10-7

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1 0 - 4 M É T O D O DE AN ÁLISS DE LA PUERZA: V lG A S 403

Por supuesto, am bas integrales d an el m ism o resultado, lo q u e dem uestra
el teo rem a, e l cu al tam bién se aplica e n las rotacio n es recíprocas, y puede
enunciarse co m o sigue: La rotación en el p u n to B d e una estructura d e ­
b id a a l m o m en to de p a r unitario que actúa en el p u n to A es igual a la ro ­
tación en el p u n to A , cuando el m o m en to d e p a r unitario actúa en el p u n to B.
ft>r o tr a p a rte , si s e usa u n a fueiz.a u n ita ria y u n m o m e n to c o n c e n tra d o
unitario, aplicados en puntos separados de la estru ctu ra, tam bién se
puede estab lecer q u e: h rotación en radianes e n el p u n to B de una estruc­
tura deb id a a u n a carga unitaria q u e actúa en la ju n ta A e s igual a l despla­
zam iento en el p u n to A , cu a n d o un m o m en to concentrado unitario actúa
en el punto B.

C om o consecuencia de este teo rem a, es posible ah o rrarse algunos tra ­
bajos al ap licar e l m éto d o d e la fu erza a los p ro b le m a s q u e s o n e stática­
m ente indeterm inados d e segundo grado o de un grado superior. Por
e je m p lo , e n las ecu acio n es 10-1 só lo d e b e calc u larse u n o d e lo s d o s c o efi­
c ie n te s d e fle x ib ilid a d f BC o f CB, p u e s t o q u e f BC = f CB. P o r o t r a p a r t e , e l
teorem a d e los desplazam ientos recíprocos tiene aplicaciones en e l aná­
lisis de m o d elo s e stru c tu ra le s y e n la co n stru cció n d e líneas d e in flu en cia
con e l principio d e M üller-B reslau (v e a la sección 10-10).

C uando e l teorem a d e los desplazam ientos recíprocos se form aliza en
un se n tid o m ás g e n e ra l, se conoce c o m o la ley de B etti. D ich o b re v e ­
m ente: E l tra b a jo v irtu al 8 U AB realizad o p o r un siste m a d e fu erzas S P „
q u e ex p erim entan un desplazam iento causado por un sistem a de fuerzas
2P,< es ig u al al tra b a jo v irtu al bU n* c au sad o p o r las fuerzas Z P A cuando
la e s tru c tu ra s e d e fo rm a d e b id o a l s iste m a d e fu e rz a s d e S P fl. E n o tr a s
p alab ras, 8 UAB = 8U ¡h . L a c o m p ro b a c ió n d e e ste e n u n c ia d o e s sim ilar a
la d a d a an te rio rm e n te p a ra e l te o re m a d e los d esp lazam ien to s recíprocos.

1 0 . 4 M é to d o d e análisis d e la fuerza: Vigas

E l m éto d o d e la fu e rz a a p licad o a las vigas se d e sc rib ió d e m a n e ra g e n e ­
ral e n la sección 10-2. U tiliz a n d o el “p ro c e d im ie n to d e an álisis" q u e ta m ­
bién se vio e n esa m ism a sección,se presentan ahora varios ejem plos q u e
ilu stran la ap licació n d e e s ta técnica.

Estas trabes de puente son estáticamente indeterminadas
puesto que son continuas sobre sus pilares.

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404 C a pit u lo 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

EJEMPLO 10.1 D e te rm in e la reacció n e n e l so p o rte d e ro d illo B de la viga q u e se
m uestra e n la figura 10-8a. E l es constante.
Figura 10-8
50 kN

Oc +7
estructura primaría
redundante B, aplicada
(b)

S O L U C IÓ N

P rin cip io d e s u p e rp o sició n . Pbr inspección, la viga e s estática­
m ente indeterm inada d e prim er grado. La redundante se tom ará
co m o B v d e m odo q u e esta fu erza p u ed a d eterm in arse directam ente.
E n la fig u ra 10-86 se m u e stra la ap licació n d e l p rin cip io d e su p e rp o si­
ción. O bserve q u e la rem oción d e la red u n d an te req u iere q u e se retire
e l so p o rte de rodillo o la acción restrictiv a de la viga e n la dirección de
B v. A q u í s e h a s u p u e s to q u e B,. a c tú a h a c ia a r r ib a s o b r e l a viga.

E cuación d e c o m p a tib ilid a d . Si se to m a el d e sp la z a m ie n to posi-
tiv o co m o dirigido h a d a arrib a, figura 10-86, se tien e

:+t> 0 = - A f l + B yf BR ( 1)

L o s t é r m i n o s An y f fíR s e o b ti e n e n f á c ilm e n te u s a n d o la ta b la d e la
p o r ta d a in te r io r . E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e A fl ■ Ac + 9 ({ 6 m ) P o r lo
ta n to ,

P (L /2)3 P {L f2 ?

(!)A » = +
3E l 2E I

(50kN )(6m )3 . (50kN )(6m )J „ . 9000 k N -m 1
+ -------------- (6m, i
50 kN 3E7 2E l
34.4 kN _ í_ El
112 kN-m( t | 6 m 1.
.i f “ ~ 3E l 1(12 m )3 576 m3
3E l El t
6m -|
15.6 kN

A l sustituir estos resultados en la ecuación (1 ) resu lta

(c) T) 0 = + ^ ' ( e / ) By = 15,6kN Resp'

M (kN m ) 93.8 Si esta reacción se coloca so b re e l diagram a d e cu erp o lib re de la viga,
327 las re a e d o n e s e n A pueden o b te n e rse a p a rtir d e las tre s ecuaciones
d e eq u ilib rio , fig u ra 10-8c.
-112 (d)
D espués d e h ab er d e te rm in a d o to d as las reacciones, puede cons­
tru irse e l diag ram a d e m om ento co m o se m uestra e n la figura 10-8d.

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1 0 - 4 M É T O D O DE AN ÁLISS DE LA PUERZA: V lG A S

H ld fllJM IM U

D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o m en to p ara la viga
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 10-9a. E l so p o rte e n B se a s ie n ta 1.5 p u lg .
C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, / = 7 5 0 p u lg 4.

=A 20 k

ÍR - - “ Ev ' - ' -
A'a* - V *
A»

c s lru d u ra p rim arla redundante; B , ap licad a

(a) (b )

Figura 10-9

S O L U C IÓ N

P rin cip io d e su p e rp o sició n . Pbr inspección. la viga e s in d e te rm i­
nada d e prim er grado. Se elegirá el soporte central B com o re d u n ­
d a n te , d e m a n e r a q u e s e e lim in a e l ro d illo e n B , fig u ra 10-9/>.A q u í se
su p o n e q u e B. ac tú a hacia a b a jo so b re la viga.

E cuación d e c o m p a tib ilid a d . C o n re fe re n c ia a l p u n to B d e la fi­
gura 10-96,usando unidades en pulgadas, se requiere

+ 1) 1.5 p u lg = A fl + B y f bb ( 1)

Se utilizará la ta b la d e la p o rta d a in terio r. O b serv e q u e p a ra A „ la ecua-
d ó n d e la cu rv a d e deflexión req u ie re q u e 0 < x < a. C o m o x = 24
pies, e n to n c e s a - 36 pies. P b r lo tan to .

Pbx 20(12)(24)
A fl ( L 2 - b 2 - / '
6L E r ' [( 4 8 ) 2 - ( 1 2 ) 2 - (2 4 )2]
6(48)£7

31,680 k - p ie 3

El

PL? 1(48)3 2304 k - pie3
f BB 4S E 1 AS E l El

Al sustituir estos valores e n la ecuación (l),s e o b tien e

1.5 p u lg (2 9 (1 0 3) k/pulg^JCTSO p u lg 4)
= 3 1 .6 8 0 k • p ie 3( 12 p u lg /p ie ) 3 + f l ,( 2 3 0 4 k - p ie 3) (1 2 p u lg / p ie ) 3

By = -5 .5 6 k

E l sig n o negativo indica q u e B vactú a h a d a arriba so b re la viga.

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406 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

E J E M P L O 10.2 (C o n tin u a ció n )

E cu acio n es d e e q u ilib rio . A p artir d e l diagram a d e c u erp o libre
q u e se m u estra en la figura 10-9c * tien e

i+ 2 M a = 0; - 2 0 ( 1 2 ) + 5 .5 6 (2 4 ) + C y(4 8 ) = 0
+ f 2 F y - 0; C y = Z22 k

A y - 20 + 5.56 + 2.22 = 0
A y = 12.22 k

C on base en estos resultados, verifique los diagram as de fuerza co r­
ta n te y d e m o m e n to q u e se m u e stra n e n la fig u ra I0-9d.

20 k

A C
A , = 1222 k
24piC 5 í

5.56 k C, = 222 k

(c)

V k)
1222

•7.78 * (pies)
-2 2 2
A f(kpic)
146.7 x (p ie s )

53J

12 24

(d)

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1 0 - 4 M É T O D O DE AN ÁLISS DE LA PUERZA: V lG A S 407

D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o m en to p ara la viga
q u e se m uestra en la figura lü -lü a . E l es constante. Ignore los efectos
d e la carg a axial.

SO L U C IÓ N

P rin cip io de su p e rp o sició n . C o m o la carga axial es insignificante,
la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g ra d o . L o s d o s m o m e n to s e n lo s
extrem os A y B se co n sid erarán com o los redundantes. La capacidad
de la viga p a ra resistir estos m o m entos se elim in a al colocar un p a sa ­
d o r e n A y un oscilador en B . El principio de superposición aplicado a
la v ig a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10- 10/».

Ecuaciones d a c o m p a tib ilid a d . La referen cia a los p u n to s A y B .
figura 10-106,req u ie re q u e

(r+) 0 = B A + M a0 a a + M „ a AB O)

tt+) 0 = eB + MAaBA + Mbobb (2 )

viga real

II

estructura prim aria

+

Oa a - M a« a a 0 ha ~ M a " ha

m om ento redundante M *aplicado

4 ¡B C ------ 0’BH - M b°HB
o’AH “ -WH»A«

m om ento red u n d an te M 0 aplicado

(b)

figura 10-10

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408 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tr u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r...

Las pendientes y los coeficientes d e flexibilidad angular necesarios
p u e d e n d e te r m i n a r s e u s a n d o la ta b la q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la
portada. Se tiene

3 w L? 3(2X 20)* 375
A 128E l ~ 128É7 El

lw Q 7 (2 )(2 0 )J 291.7

B ~ 384E l ~ 384£7 " E l

M L = 1(20) = ^ 6 7

0,4,4 3 E l 3 E l El

M L 1(20) = 6 ^ 7

a/fB 3 E I 3 E l El

, M L a = 252

° AB ° 6 E l " 6 E I " E l

O b se rv e q u e Qra = a An,e s c o n se c u e n c ia d e l te o re m a d e M axw ell d e
los desplazam ientos recíprocos.

Si se su stituyen los d ato s en las ecuaciones (1 ) y (2 ) resulta

A l cancelar E ! y resolver estas ecuaciones sim ultáneam ente, se o b ­
tiene

M A = -4 5 .8 k • pie M B = -2 0 .8 k • pie

C on esto s re su ltad o s p u e d e n calcu larse las fu erzas c o rta n te s e n los e x ­
trem o s, fig u ra 10-10 c , y g raficarse lo s d ia g ra m a s d e c o rta n te y d e m o ­
m ento.

/

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1 0 - 4 M É T O D O DE AN ÁLISS DE LA PUERZA: V lG A S 409

EJEMPLO 10.4

D eterm in e las reacciones e n lo s so p o rtes d e la viga q u e se m u estra en
la fig u ra 10-1 la . E l e s c o n s ta n te .

SO L U C IÓ N

P rin cip io d e su p e rp o sició n . Por inspección, la viga es in d eterm i­
nada d e p rim er grado. A quí, con fines ilustrativos, se elegirá e l m o­
m ento interno e n el soporte B com o la redundante. E n consecuencia,
b viga se corta y se colocan p asadores extrem os o u n a bisagra e n B a
fin d e lib e ra r sólo la ca p a c id a d de la viga p a ra resistir m o m en to s en
e ste p u n to , fig u ra 10-1 Ib . E l m o m e n to in te rn o e n B se ap lic a a la v ig a
e n la fig u ra 1 0 -11c.

Ecuaciones d e c o m p a tib ilid a d . A p a rtir d e la fig u ra 10-1 la se r e ­
q u iere q u e la ro ta c ió n relativ a de u n e x tre m o d e una viga con res­
p e c to al e x tre m o d e la o tra viga sea ig u al a c e ro .e s d e c ir.

<r+) e B + M B °B B = 0

donde eB = e'B + o"B

° B B = ° B B + ° BB

120 Ib/pie 5001b

12 p ie s- | - 5 p ie s | 5 p ie s —|

viga real

(a)
II

120 Ib /p ie . 8'b s » lb

estructura primaria

(b)

+

M a Ma Figura 10-11

m om ento red u n d an te MBaplicado

(c)

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410 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

EJEMPLO 10.4 (Continuación)

Las pen d ien tes y los coeficientes d e flexibilidad angulares pueden
d e te rm in a rse a p a rtir d e la ta b la q u e se p re se n ta d e trá s d e la p o rta d a ,
es decir.

120( 12)3 8640 Ib - pie3

24E l 24EI El

PL2 500(10)2 3125 Ib -p ie2
16E l 16E l El

ML 1(12) 4 pies
<*BB = 3 E I 3El El
1( 10)
ML 3E l 3.33 p ie s
3E l El

A sí

8640 Ib -p ie2 , 3125 Ib - pie2 / 4 pies 333 p ies\
El )
V• + ------------ 77Z----------- + M ,

El El ° \ El

M B = -1 6 0 4 Ib - pie

El signo negativo indica q u e M B actúa e n la dirección o p u esta a la
q u e se m uestra e n la figura 10-11c. U tilizando este resu ltad o .se calcu­
lan las reaccio n es e n los s o p o rte s c o m o se m u estra e n la fig u ra 10- l i d .
A dem ás, lo s diagram as d e fuerza cortante y d e m om ento son com o se
m u e stra e n la fig u ra 10-1 le.

5001b

1604 Ib-pie 1604 Ib-pie

8541b c|T P :M =¡

8<5544 Ib 1 4 1 0 1 b 4101b 1
12641b 89.6 Ib
5 8 6 Ib
D C

(d)

M (Ib-pie)

-x (pies)

<e>

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1 0 . 5 M É T O D O D E ANÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S

1 0 .5 M é to d o d e análisis de la fuerza:
M arcos

El m étodo d e la fu erza es muy útil p a ra resolver pro b lem as relacionados
con m arcos estáticam ente indeterm inados que tienen un solo nivel y una
geom etría inusual, co m o los b astidores de d o s aguas. Los pro b lem as q u e
involucran m arcos co n varios niveles, o aquellos q u e p resen tan u n alto
grado de indeterm inación, se resuelven de m ejor m an era m ediante los
m éto d o s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n ,d e la d istrib u c ió n d el m o m e n to .o d e la
rigidez q u e se analizarán e n capítulos posteriores.

I-os sig u ien tes e je m p lo s ilu stran las ap licacio n es d e l m é to d o d e la
fuerza u sa n d o e l p ro c e d im ie n to d e an álisis d e sc rito e n la secció n 10-2.

EJEMPLO 10.5

El m arco, o caballete, q u e se m uestra e n la fotografía se usa p ara so ­
p o rtar la cubierta del puente. Si se supone q u e E l es constante, se
pu ed e p re s e n ta r un d ib u jo d e l m a rc o ju n to c o n su s d im en sio n es y la
carga aplicada, figura 10-12a. D eterm in e las reacciones e n los soportes.

40 kN /m

(a)
Figura 10-12

SO L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n . ft>r in spección, e l m arco e s e stática­
m ente indeterm inado de p rim er grado. Se elegirá la reacción horizon­
tal e n A com o red u n d an te. E n co n secu en cia,el p a sa d o r A se rem plaza
p o r un oscilador, puesto que u n so p o rte de este tipo no restringirá A
en la dirección horizontal. El principio d e superposición aplicado al
m odelo id ealizad o d e la e stru c tu ra se m u estra e n la figura 10-12b. O b ­
serve cóm o se deform a el m arco e n cada caso.

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412 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

EJEMPLO 10.5 (Continuación)

40 kN/m

estructura prim aria

<b>

E cuación da c o m p a tib ilid a d . L a re fe re n c ia a l p u n to A de la fig u ra
10- I 2¿ req u ie re q u e

( * ) 0 = A¿ + A J aa (1)

Los té rm in o s A ¿ y f AA se d e te rm in a rá n u san d o el m é to d o d e l tr a ­
b a jo v irtu al. D e b id o a la sim etría d e la g e o m e tría y la c a rg a só lo se ne­
cesitan tre s co o rd en ad as x. E stas y los m om entos in tern o s s e m uestran
e n las figuras 10-12c y 10-12d. E s im p o rta n te q u e cad a c o o rd e n a d a x
se a la m ism a tanto p ara las carg as reales com o p ara las virtuales.
A dem ás, las direcciones positivas d e M y m d eb en s e r las m ism as.

P ara A^ se req u iere la ap licació n d e las carg as reales, fig u ra 10-12c.
y u n a carg a u n itaria virtual e n A , figura 10-12d. A sí,

(0 )(lx ,)d x , (2 0 0 x2) ( - 5 ) < / x2

El lo E l + 2 jjof El

5 (1000 + 2 0 0 x 3 - 2 0 x ^ )(-5 )d x 3
El

25000 66 666.7 9 1 6 6 6 .7
=0- El El

El

40 kN /m

f_X2- J = - S ¡ m , = - 5

P 5m

= 2 0 0 (5 + Jr3) - 4 Q r 3( S ) 1 kN 1 kN
3 0 0 k N L - 1000 + ZOO», - 2 0 * ,2
200 kN
(c)
(d>

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1 0 . 5 M É T O D O D E ANÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 413

Para f AA se requiere la aplicación d e una carga unitaria real y una
carga un itaria virtual q u e actúe e n A , figura 10-12d.Por lo tan to ,

= l f r * " 2 j [ ^ r 1 * 2l {5?dX2+2[ {5fdx>

_ 583.33
El

Sustituyendo los resultados en la ecuación (1 ) y resolviendo se o b ­
tiene

A x = 157 k N Resp.

E cua cio nes d e e q u ilib rio . C on e ste re su Ita d o .c n la fig u ra 10-12e se
m uestran las reacciones so b re e l m o d elo idealizado de la estru ctu ra.

40 kN /m

(c)

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414 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

EJEMPLO 10.6

D eterm in e e l m om ento e n e l soporte fijo A p ara e l m arco q u e se
m uestra en la figura I0-13o. E l es constante.

S O LU C IÓ N

Principio de superposición. E l m a rc o e s in d e te rm in a d o d e p r im e r

grado. Se puede o b te n e r u n a solución d irecta d e al elegirlo com o

red u n d an te. A sí. la capacidad d el m arco p ara so p o rtar u n m om ento

e n A se elim ina y p o r lo tan to se usa un pasador en e l so p o rte. E l prin­

cipio d e superposición aplicado a la estru ctu ra se m uestra e n la figura

10-136.

Ecuación de compatibilidad. 1.a re f e re n c ia a l p u n to A e n la fig u ra

10-136 requiere que

tt+ ) 0 = B Á + M a <*a a (1)

C óm o e n el ejem plo an terio r. 0A y aAA se calcula utilizando e l m é­

to d o d e l tra b a jo v irtu a l. L as c o o rd e n a d a s x cfcl m a rc o y lo s m o m e n to s

in tern o s s e m u estran e n las figuras 10-13c y 10-13J.

m arco real estructura prim aria m om ento redundante
aplicado
(b)

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1 0 . 5 M É T O D O D E ANÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 415

P ara 6 a se re q u ie re la ap licació n d e las cargas reales, fig u ra 10-13c,y 5001b 222.5 Ib
un m o m en to d e p a r u n itario v irtu al, figura 10-13d.P or lo ta n to . 1 570.8 Ib

[ ‘ M m0dx

*Á * J , El

)(1 - 0.0833*,) d x\ ", -

= £ {79l7X' r 29.17 Ib

El 3001b

í (296.7x? - 5 0 ^)(0 .0 6 6 7 x ?) d x . (c)
Ti
0.05 Ib
518.5 + 303.2 821.8
£ / El El x\ f % / //0 .0 8 3 3 1 b

P ara aAA se req u iere la aplicación d e un m om ento d e p ar unitario V 0.0667 Ib
real y u n m o m en to de p ar u n itario virtual que actú e e n A ,fig u ra 10-13d. « j = 006671,
R>r tanto,

Sjf:<*AA m </n 6 m , - 1 <X 0833t,
dx
I
El
0.0833 Ib— ►. —
*(1 - 0 .0 8 3 3 x ,)2 </x1 l (ü.0667x2) d x j | llb -pic
El
- 1 El (d)

3.85 0185 = 404
El El El

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (1 ) y resolviendo se o b ­ 10
tiene

° = ^ T T + M a\ Í T ) M a = _ 2 0 4 ,b 'P ic ResP‘

El signo neg ativ o indica M ,, actú a e n la dirección opuesta a la q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-13¿>.

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416 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

PROBLEMAS FUNDAM ENTALES

1 10-1. D eterm ine las reacciones e n e l so p o rte fijo e n A y F10-4. D eterm ine las reacciones en la articulación A y en
en el rodillo en B. E l es constante. los rodillos en B y C.

4 0 kN

| A —^ B
-----------------2 m ------------------ --------------- 2 m ----------------*

F10-1

flO -2. D eterm ine las reacciones en el soporte fijo e n A y R 0 -5 . D eterm ine las reacciones en la articulación A y en
en el rodillo en B. E l es constante. los rodillos en B y C sobre la viga. E l es constante.

H-o

50 kN

r1— 2¿mm '7Am111 •p- *1Unil

F10-5

10 F10-3. D eterm ine las reacciones en el soporte fijo e n A y FIO-6. D eterm ine las reacciones en la articulación A y en
en el rodillo en B. El soporte B se asienta 5 mm. Considere los ro d illo s e n B y C so b re la viga. E l s o p o rte B x a sie n ta 5
q u e E - 2M) G P a e / - 300 (10*) m m 4. mm. C o n sidere q u e £ = 200 G P a . / = 300(10*) m m 4.

10 kN/m "T--- --- - i . ■ ■ 10kN/m
u J ü - 1 1 . L i l .f 1 ---1--- ■ 1 1
lililílili lili,11111

6m - 6m ■ -6 m

1 1 0 -3 F 1 0 -6

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1 0 . 5 M É T O D O D E ANÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 41 7

PR O BLEM AS

10-1. D eterm ine las reacciones en los soportes A y B .E I * 1 0 - 4 . D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A , B y C;
es constante. después dibuje el diagram a de fuerza cortante y de m o­
mento. £ / es constante.

P ro b . 10-1

1 0 -2 . D eterm ine las reacciones e n los so p o rtes A . B y C. 10-5. D eterm ine las reacciones en los soportes, después
después dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e mo­ dibuje el diagram a de fuerza cortante y de m om ento. E l es
mento. E l es constante. constante.

P rob. 10-2 P ro b . 10-5

10-3. D eterm ine las reacciones e n los so p o rtes A y B .E I 10-6. D eterm ine las reacciones en los soportes, después
es constante. dibuje el diagrama de mom entos. Suponga que B y C son
rodillos y que A está articulado. E l soporte en B se asienta
hacia a b a jo 0.25 pies. C o n sid ere q u e F. = í^ lO ^ Ic s i c / =
500 p u lg 4.

Proh. 10-3 Proh. 10-6

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418 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tr u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r...

10-7. D eterm ine la deflexión en el extrem o B de la tira 10-10. D eterm ine las reacciones e n los soportes, después
asegurada de acero A-36. El resorte tiene una rigidez k = 2 dibuje el diagram a d e m om entos. Suponga que el soporte
N /m m . La tira tiene 5 m m de an ch o y 10 m m d e alto. en tí es un rodillo. E l es constante.
Además, dibuje los diagram as de fuerza cortante y de mo­
m ento p a ra la tira.

*10-8. D eterm ine las reacciones en los soportes. E n la fi­ 10-11. D ete rm in e las rea c cio n e s e n los so p o rtes, d e sp u és
gura se m uestra el m om ento de inercia para cada segmento. dibuje el diagram a de momentos. Suponga q u e A está articu­
lado y que fí y C son rodillos. E l es constante.
Suponga que el soporte en B es u n rodillo.Considere q u e E
= 29(103) ksi.

600 Ib/pic
10 k

¡ A H - 600 pulg4 = 3 0 0 pulg4 ! C
— 18 p i e s ---------- 12 p ie s J

Prob. 10-8

10-9. La siga simplemente apoyada se som ete a la carga *10-12. D eterm ine las reacciones e n los soportes, después
1 0 que se m uestra. D eterm ine la deflexión en su centro C . E l dibuje el diagram a d e m om entos. Suponga que el soporte
en A está articulado y que B y C son rodillos. E l es cons­
es constante. tante.

6kip /p ie

Skip-pie “ ÍT r m ^ _

íp ie s -8 pies- f

Prob. 10-9 Prob. 10-12

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1 0 . 5 M É T O D O D E ANÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 419

10-13. D eterm ine las reacciones e n los soportes. Suponga 10-15. D eterm ine las reacciones e n los soportes, después
que A y C están articulados y que la junta en B está conec­ dibuje el diagram a d e m om entos para cada elem ento. E l es
tada fijamente. E l es constante. constante.

10 k

Proh. 10-13

Proh. 10-15

10-14. D eterm ine las reacciones en los soportes. E l es •10-16. D eterm ine las reacciones en los soportes. S u­
constante. ponga que A está conectado fijam ente. E es constante.

3k

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420 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tr u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r...

10-17. D eterm ine las reacciones e n los soportes. E l es 10-19. E l marco d e acero so p o rta las cargas indicadas. D e­
constante. term ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical d e la re a c ­
ción en los soportes A y D. D ibuje e l diagram a d e m om en­
tos para los elem entos del marco. E es constante.

8 kN/m

3 k/pic

U.L.U.LÜ..I-I.I.

h - 2/,

12 pies

Prob. 10-17 15 pies-
Proh. 10-19
10-18. Determ ine las reacciones en los soportes A y D . El
m om ento de inercia de cada segm ento del marco se m ues­
tra en la figura. C onsidere q u e E = 29( 103) ksi.

*10-20. Determine las reacciones en los soportes Su­
ponga q u e A y B están articulados y que las ju n ta s e n C y D
son conexiones fijas. E l es constante.

3 k/pie

2k

1 0 p ie s -----------

Prob. 10-18

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1 0 . 5 M É T O D O D E ANÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S 421

10-21. D eterm ine las reacciones e n los soportes. Suponga 1 0 -2 3 . D eterm ine las reacciones e n los soportes. Suponga
que A y D están articulados. E l es constante. q u e A y B están articulados. E l es constante.

r8k 20 pies-

15 íes Z Z EST7

10 pies

1

P ro h . 10-21

P roh. 10-23

1 0-22. D eterm ine las reacciones e n los soportes. Suponga
que A y B están articulados. E l es constante.

•1 0 -2 4 . Dos tablas, cada una con el mismo E l y la misma
longitud L se cruzan entre si de m anera perpendicular,
com o se m uestra e n la figura. D eterm ine las reacciones ver­
ticales e n los soportes. Suponga que las tablas apenas se
tocan entre sí antes d e aplicar la carga P.

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422 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

1 0 .6 M é to d o d e análisis de la fu e rza :
Arm aduras

E l g ra d o de in d eterm in ació n d e una a rm a d u ra ,p o r lo g en eral p u e d e d e ­
term in a rse p o r inspección; sin em b arg o , si e s to se hace difícil, u se la
ecuación 3-1, 6 + r > 2j. A q u í las incógnitas están rep resen tad as p o r el
n ú m e r o d e fu e r z a s e n la s b a r r a s ( fr), m á s la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
(r),y el núm ero d e ecuaciones de equilibrio disponibles es d e 2 j puesto
q u e pueden escribirse d o s ecuaciones p a ra cada una d e las ju n ta s (/).

El m étodo d e la fuerza es m uy adecuado p a ra analizar arm ad u ras q u e
son estáticam ente indeterm inadas d e p rim ero o segundo grado. Los si­
guientes ejem plos ilustran la aplicación d e este m étodo usan d o e l proce­
d im ie n to d e an álisis d e s c rito e n la secció n 10-2.

EJEMPLO 10.7

D eterm ine la fuerza e n el elem en to A C d e la arm ad u ra q u e se m ues­
tra en la figura 10-14a. A E es igual p ara todos los elem entos.

S O LU C IÓ N

P rin cip io de s u p e rp o sició n . l\» r in sp ecció n , la a rm a d u ra e s in d e­
term inada d e p rim er grado.* C om o debe d eterm inarse la fuerza e n el
elem en to C A .éste se elegirá com o redundante. P ara ello es necesario
“c o r ta r " e l e le m e n to p a r a q u e n o p u e d a s o s te n e r u n a fu e iz a , c o n lo
q u e la viga se vuelve estáticam ente d eterm in ad a y estab le. El p rinci­
pio d e superposición aplicado a la arm ad u ra s e m uestra e n la figura
10 -1 4 fr.

E cuación d e c o m p a tib ilid a d . C o n re fe re n c ia al e le m e n to A C e n la
figura 10-14fr.se req u iere que el desplazam iento relativo A ^c.el cual
o cu rre en lo s extrem os del elem en to co rta d o A C debido a la carga de
4 0 0 Ib. m á s e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o F Mf ACAC c a u s a d o p o r la fu e rz a
red u n d an te q u e actú a sola, se a igual a cero , es decir,

0 = * ac + Fa c / a c a c (1 )

4 0 0 Ib 4001b

(b)
•A l ap licar la ecuación 3 -1 ,6 + r > 2 jo 6 + 3 > 2 ( 4 ) .9 > 8 ,9 - 8 = lc r grado.

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1 0 .6 M é t o d o d e análisis d e l a fu e r za : A r m a d u r a s 423

A quí el coeficiente d e flexibilidad ¿c rep resen ta el desplazam iento
relativo d e los extrem os co rtad o s d el elem en to A C causado p o r u n a
carga u n ita ria “ re a l" q u e a c tú a en los e x tre m o s c o rta d o s d e l e le ­
m e n to A C . E ste térm in o , f AcAC y ^ ac x c a lc u larán e m p le a n d o e l m é­
todo de análisis del trab ajo virtual. E l análisis d e la fuerza, utilizando
el m étodo d e los n u d o s.se resu m e e n las figuras 10-14c y 10-14d.

P ara A ^ - se re q u ie re la ap licació n d e la carg a real d e 400 Ib, figura
10-14c, y u n a fu erza u n ita ria v irtu al q u e a c tú a e n lo s e x tre m o s c o rta ­
dos d e l e le m e n to A C .fig u ra 10-14d. P o r lo tanto.

s?nN L

* AC ~ ^ ~ A E

( ” 0.8)(400)(8) -0 .6 )(0 )(6 ) . (-0 .6 )(3 0 0 )(6 )
AE AE AE

t (1 )(-500)(10) + (1)(0)(10)
AE AE

11 2 0 0
AE

Para f # : requiere la aplicación d e las fuerzas unitarias reales y

las fu e rz a s u n ita ria s v irtu ales q u e a ctú a n e n los ex tre m o s c o rtad o s d e l

elem ento A C .figura 10-14d. A sí,

Í ac ac AE

■ (-0 .8 )2(8) ’ ( - 0.6 )2( 6 ) (i£ io
=2 +2
+2
AE AE AE

34.56
AE

Al su stitu ir los datos en la ecuación (1) y resolver, se obtiene

FÁC = 3 2 4 Ib ( T ) Resp.

D ado que el resultado num érico e s positivo. A C está som etido a
te n sió n ta l c o m o s e s u p u s o , fig u ra 10-14/». U s a n d o e s te re s u lta d o , las
fuerzas e n los o tro s e lem en to s p u e d e n e n c o n trarse m ed ian te el e q u ili­
brio. u san d o e l m é to d o d e los nudos.

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424 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tr u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r...

EJEMPLO 10.8

D eterm ine la fuerza en cada elem en to d e la arm ad u ra q u e se m uestra
en la fig u ra 10-15 a si e l to rn iq u e te s o b re el e le m e n to A C se utiliza
para a c o rtar e l elem en to e n 0.5 pulgadas. C ada b arra tien e un área en
su s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e 0 .2 p u lg 2, y E = 2 9 (JO 6) psi.

c stru c lu ra p rim aria U b ic a c ió n d e F AC re d u n d a n te

Figura 10-15 (b)

S O L U C IÓ N

P rin cip io d e su p e rp o sic ió n . E sta arm ad u ra tiene la m ism a g eo ­
m e tría q u e la d e l ejem p lo 10-7. C o m o A C se h a aco rta d o , s e e le g irá
c o m o red u n d an te, figura 10-156.

E cuación d e co m p atib ilid ad . D ebido a que n o hay cargas externas
q u e actúen sobre la estructura p rim aria (arm ad u ra), n o habrá d esp la­
zam iento relativo en tre los extrem os d el elem en to seccionado c a u ­
sado p o r la carga; es d e c ir A a c = 0. El coeficiente de flexibilidad / a c a c
se d e te rm in ó en e l e jem p lo 10-7, p o r lo q u e

Si se supone q u e la can tid ad e n la q u e se acorta la b arra es positiva,
entonces la ecuación de com patibilidad p ara la b a rra es

34 56
0.5 p u lg = 0 + - ^ t F ac

AI reconocer q u e el / acac es una m edida del desplazam iento por uni­
dad de fuerza.se tiene

34.56 p ie s( 12 p u lg /p ie ) Resp.
° P “ * " ° + ( 0 .2 p u lg 2) |2 9 ( l ü 6) I b /p tilg 2] ^ AC
R>r lo tanto,

Fac = «#93 Ib = 6 .9 9 k ( T )

D ado q u e so b re la arm ad u ra no actúa ninguna fu eiza ex tern a, las
re a c c io n e s e x te r n a s s o n ig u ales a c e ro . P b r lo ta n to , si s e u s a FAC y s e
analiza la vig a m ed ian te e l m éto d o d e los nudos se o b tie n e n los re su l­
ta d o s q u e se m u e stra s e n la fig u ra 10- 15c.

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1 0 . 7 E s t r u c t u r a s c o m pu e s t a s

1 0 .7 Estructuras com puestas

L as estructuras co m p u esta s e stá n fo rm ad as p o r algunos elem en to s so m e­
tidos sólo a fu e r/a axial, m ientras q u e o tro s elem entos están sujetos a fle­
xión. Si la e stru c tu ra e s e státicam en te in d e te rm in a d a , el m é to d o d e la
fuerza p u ed e s e r co n venientem ente em p lead o p ara su análisis. E l si­
guiente ejem plo ilustra el procedim iento.

l a viga d e pén d o la arm ad a q u e se m u estra e n la fo to ­ estructura real
grafía e stá sim plem ente apoyada y d e b e disertarse p ara (a)
so p o rtar una carga uniform e de 2 k N /m . la s d im ensio­
nes d e la e stru c tu ra se m u estran e n la fig u ra 10-16a. D e ­ F igura 10-16
term ine la fuerza desarro llad a en e l elem en to C E . N o
tom e e n c u e n ta el e sp e s o r d e la viga y su p o n g a q u e los
elem entos d e la arm adura están conectados m ediante
pasadores a la viga. A dem ás, ig n o re e l efecto d e la c o m ­
p resió n ax ial y la fu erza c o rta n te e n la viga. E l á re a de
ti sección transversal de cada p u n tal es d e 400 m m ', y
p a r a la v ig a I 2 0 (1 0 6) m m 1. C o n s id e r e q u e E = 200
G Pa.

2 kN/

m illlllllllíTTTl

S O L U C IÓ N 10

P rincipio de s u p e rp o sició n . Si se co n o ce la fu erza e n u n o de
los elem en to s d e la arm adura, en to n ces es posible d eterm in ar
la fuerza e n to d o s lo s dem ás elem entos, así com o en la viga, m e­
diante la estática. P or lo tanto, la estructura es indeterm inada
de p rim er grado. Para o b te n e r la solución, se elige la fuerza en
el e le m e n to C E com o la re d u n d a n te . E nto n ces, e s te ele m e n to
se secciona p a ra elim inar su capacidad d e so sten er una fu er/a.
E l principio d e superposición aplicado a la estru ctu ra se m ues­
tra en la figura 10- 166.

E cuación d e c o m p a tib ilid a d . C ó n referen cia a l d e sp la z a ­ redundante d e Fc e aplicada
m iento relativ o d e los ex trem o s c o rtad o s d e l e le m e n to C E , fi­ (b)
gura 10-166.se requiere

0 = Ace + FceÍ cece (1)

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426 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

EJEMPLO 10.9 (Continuación)

Se usará el m étod o d el trab ajo virtual para en co n trar A ce y Í c e c e - El
a n á lisis d e f u e r z a s n e c e s a r io se m u e s tr a e n las fig u ra s 1 0 - 16c y 1 0 - 16</.

nirrr2 kNr/mm Tnjj

rvsL JL -W
6kN 6 kN

i s6 kN

- 0 5 kN - 0 5 kN

+ 1.118 kN .118 kN

1 kN

m, = -0 5 i(

1.118 kN

2 n -|
~ 1 « , - - 0 5 * , + 0 5 (* ,- 2 )
Io 5 k N

1.118 kN

(d)

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1 0 .7 Estructuras c o m p u es tas 427

P ara A c £ se re q u ie re la ap licació n d e las carg as re a le s,fig u ra IO-16c,
y u n a carga unitaria virtual aplicada a los extrem os co rtados d el e le ­
m ento C E , figura 10-16d. A q u í se u sa rá la sim etría lanío de la carga
com o d e la g eo m etría, y sólo se te n d rá en cu en ta la energía d e d efo r­
m ación e n la viga y. p o r sup uesto , la en erg ía d e d efo rm ació n axial en
b s e le m e n to s d e la arm a d u ra . P o r lo ta n to ,

[ l Mm , , ^ n N L _ f 1(6x, - j¡)(-0 J* ,)d x ,

A“ = J ~ÍT + ¿‘ ~ÁE = J0 eT

+ Zj \ 6 x i - Á ) { ~ 1**2 + ^ (l.llg)(0)(V5)^

= - i - ^ +„ + o+o

-2 9 .3 3 (1 0 ') -7 .3 3 3 (1 0 "') m
2 00 ( 109) ( 2 0 )(1 0 - 6 \

P a ra / c e c b se re q u ie re la ap licació n d e u n a c a rg a u n ita ria re a l y u n a
carga u n itaria virtual en los e x tre m o s co rtad o s del ele m e n to C E , fi­
gura 10-16rf. P ór lo tanto.

Ln td x L . [ H - O S x t f d x , . r ' ( - i ) 2d x ,
El

1.3333 2_ 5 3 9 0 0 5 2
El
El AE AE AE 10

3 3 3 3 (1 0 ') 8 .0 9 0 Í1 0 3)
2 0 0 ( 109) (2 0 ) ( lü ~ 6) 4 0 0 ( 10“6) (200( 109))

= 0 .9 3 4 5 (1 0 '') m /kN

Sustituyendo los d ato s en la ecuación (1 ) se tiene

0 = - 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m + F Cf ( 0 . 9 3 4 5 ( 1 0 '') m / k N )

F c e = 7.85 k N Resp.

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428 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

10 1 0 .8 C o m en ta rio s adicionales so b re el
m é to d o de análisis d e la fuerza

A h o ra q u e y a se h a n d e sa rro lla d o las id eas b ásicas so b re el m éto d o d e la
fuerza, se p ro ced erá a generalizar su aplicación y analizar su utilidad.

C u an d o se calcu lan los co eficien tes d e fle x ib ilid a d ,/^ o a„), p a ra la e s­
tru c tu ra , p u e d e o b se rv a rse q u e só lo d e p e n d e n d e lo s m ateriales y d e las
p ro p ie d a d e s g eo m étricas de los e le m e n to s y n o d e la carg a d e la e stru c ­
tura prim aria. Por lo tan to , una vez determ inados, estos valores pueden
usarse p a ra calcular las reacciones p a ra cualquier carga.

Para una estructura qu e tien e n reacciones redundantes, R „.se pueden
escribir n ecuaciones d e com patibilidad, a saber:

A | + /11^1 + /l2 ^ 2 + ••• + fin ^ n = 0

A2 + f 2\R\ + f 22^2 +••• + fh ,R ñ= o

A „ + f„ \R \ + fn iR i + ••• + f m Rn = o

A q u í lo s d esplazam ientos. A i,..., A„. so n cau sad as lanío p o r las cargas
reales so b re la estru ctu ra p rim aria co m o p o r e l asentam iento de lo s so ­
portes o los cam bios dim ensionales debidos a las diferencias d e tem p era­
tura o a los e rro res d e fabricación e n los elem entos. P ara sim plificar el
cálcu lo d e e stru c tu ra s q u e tie n e n u n a lto g ra d o d e in d ete rm in a c ió n , las
ecuaciones anteriores p u ed en replantearse en fo rm a m atricial,

7 u /«2 - f u "A i“
a2
/21 Í 22 f u R2 (10-2)
_A„_
U fn2 fnn.

osim plem ente

fR = - A

En particular, observe q u e f¡ = = / 21, e t c é t e r a ) , u n a c o n s e c u e n c ia

del teo rem a d e M axw ell d e los desplazam ientos recíprocos (o ley de

B etti). P o r lo tan to , la m atriz de flexib ilid a d será sim étrica, y e sta carac­

terística es beneficiosa e n la solución d e grandes conjuntos de ecuaciones

lineales, com o e n el caso d e u n a e stru ctu ra altam en te indeterm inada.

A lo larg o d e e ste c ap ítu lo se h a n d e te rm in a d o los co eficien tes d e fle­

x ib ilid a d u s a n d o e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l q u e s e a p lic a a to d a la

estructura. S in em bargo, e s posible o b te n e r estos coeficientes p a ra cada

elem ento d e la estru ctu ra, p ara después, usando las ecuaciones d e tran s­

fo rm ació n , o b te n e r s u s v a lo re s de to d a la e stru c tu ra . E ste e n fo q u e se

analiza en los libros dedicados a l análisis m atricial d e estru ctu ras y no

s e incluye e n e ste texto.*

•V ea . p o r ejem p lo , H .C M a rtin , b u ro d u ctio n lo M atrix M e lh o d s o fS ir u c lu r a lA n a ly á s . Mc-
G raw -H ill. N ueva York.

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