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Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-23 13:11:12

Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

PfOBl EMAS D E PROVECTO 129

3-37. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­ 3-38. D eterm ine la fuerza en los elem entos B E . B E y BC
dura espacial. Indique si los elem entos están en tensión o en d e la arm adura espacial c indique si los elem entos están en
com p resión. tensión o e n com presión.

3-39. D eterm ine la fuerza en los elem entos CD, FD y CF
d e la arm adura espacial e indique si los elem entos están en
tensión o e n compresión.

Prob. 3-37 Probs. 3-38/3-39
Problem a de proyecto 3 -1 P
PROBLEMAS DE PROYECTO

3-1P. Las arm aduras Pratt d e techo están espaciadas
uniform em ente a cada 15 pies. l a cubierta, e l m aterial del
techo y los larg u ero s tie n e n un peso p ro m e d io d e 5.6
Ib/pie7. E l edificio está situ ad o e n N ueva Y ork, d o n d e la
carga d e nieve prevista es d e 20 lb/pic2 y la carga d e hielo
pronosticada e s d e 8 Ib/pie7. E stas carg as se p ro d u cen e n el
área horizontal proyectada d el techo. D eterm ine la fuerza
en cada elem ento debida a la carga m uerta y a las cargas de
la n iev e y el hielo. D esp recie e l p e so d e lo s e le m e n to s d e la
arm adura y suponga q u e A es una articulación y q u e F es un
rodillo.

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130 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

r e p a s o d e l c a p ít u l o

Las arm aduras se com ponen de elem entos delgados unidos en sus extrem as para form ar una serie d e triángulos.

Para el análisis se supone que los elem entos están conec­
tados m ediante pasadores y que las cargas se aplican en
las juntas. P o r lo tanto, los elem entos estarán en tensión o
en compresión.

Las arm aduras pueden clasificarse en tres formas:
la s armaduras simples se form an comenzando con un elem ento triangular inicial.después se conecta a dos elem entos más
y una junta para así form ar un segundo triángulo, etcétera.
Las armaduras compuestas se form an al conectar entre sí dos o más arm aduras sim ples usando u n a junta com ún y/o un ele­
m ento adicional.
Las armaduras com plejas son aquellas que no pueden clasificarse com o simples o com puestas

arm ad u ras

a rm a d u ra sim p le arm adura com puesta

arm adura com pleja

Si e l núm ero d e b a rra s o e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra es
b ,se tienen r reacciones y hayj juntas,entonces si

b + r = 2/. la arm adura e s estáticam ente determ inada

b + r > 2/ la a rm a d u ra e s está tic a m en te in d eterm in ad a

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Repaso d el c ap itu lo 1 31

La arm adura será inestable externam ente si las reacciones so n concurrentes o paralelas.
I a estabilidad in tern a p u ed e verificarse al c o n ta r e l n ú m ero de b a rra s b . las reaccio n es r y las ju n ta s j.

Si b + r < 2j, la arm adura es inestable.
Si b + r a 2/ b arm adura aún puede ser inestable, p o r lo que es necesario inspeccionarla y buscar arreglos de barras que
formen un mecanismo paralelo, sin form ar un elem ento triangular.

incsiable-reacciones paralelas

inestable internam ente

la s arm aduras planas pueden analizarse p o r el método
d t los nudos. Esto se hace seleccionando cada ju n ta en se-
cucncia.de modo q u e tenga como m áxim o una fuerza co­
nocida y a l m enos d o s incógnitas. Se construye el
diagram a d e cuerpo libre de cada ju n ta y se escriben y re­
suelven dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas, E F, = 0
y E F , = 0, a fin d e determ inar las fuerzas d e elem ento
desconocidas.

E n el m étodo de las secciones es necesario pasar una
sección a través d e la arm adura y después dibujar u n d ia­
grama de cuerpo libre de una de sus partes seccionadas.
D espués se determ inan las fuerzas d e elem ento cortadas
por la sección a partir de las tres ecuaciones de equilibrio.
Normalmente puede encontrarse una sola incógnita si se
sum an los m om entos respecto a un punto q u e elim ine las
otras dos fuerzas.

la s arm aduras compuestas y complejas tam bién puc-
cfcn analizarse p o r e l m é to d o de lo s n o d o s y el m éto d o de
las secciones. P ara o b te n e r u n a solución d ire c ta d e la
fuerza en un elem ento particular de una arm adura com ­
pleja puede em plearse e l "m étodo d e los elem entos susti­
tutos”.

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Las vigas y tra b e s sim p lem en te a p o y a d a s q u e form an la estructura d e e s te
edificio fueron diseñadas para resistir la fuerza cortante y el m om ento internos
que actúan e n toda su longitud

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Cargas internas
desarrolladas en
elementos estructurales

A n te s d e d e te rm in a r las p ro p o rc io n e s d e u n e le m e n to e stru ctu ra l, es
n e c e s a rio c o n o c e r la fu e rz a y e l m o m e n to q u e a c tú a n e n su in te rio r. En
este c a p ítu lo se desarrollarán lo s m é to d o s pa ra h a lla r estas cargas en
p u n to s e sp e cífico s a lo la rgo d e l e je d e un e le m e n to , y pa ra m ostrar
grá fica m e n te la va ria ció n u tiliz a n d o los diagra m as d e fuerza c o rta n te y
de m o m e n to . Se presentarán aplicaciones ta n to para vig as c o m o para
m arcos.

4 .1 Cargas internas en un pu nto
e s p e c ífic o

C óm o se estu d ió en la sección 2-3, la carga interna en un p u n to especí­
fico d e un elem en to p u e d e d e te rm in a rse aplicando e l m étodo de las sec­
ciones. E n gen eral, e sta carg a p a ra u n a estru ctu ra co p la n a r consistirá en
una fuerza no rm al N . u n a fuerza co rtan te V y un m om ento flexionante
M * Sin em b arg o , d e b e te n e rse e n cuenta q u e estas cargas rep resentan
e n r e a l id a d la s re s u lta n te s efe la d is tr ib u c ió n d e e s fu e r z o s q u e a c tú a s o b r e
e l área transversal del elem en to e n la sección co rtad a. U na vez q u e se co ­
nocen las cargas internas resultantes, la m agnitud d el esfuerzo puede d e ­
term inarse siem pre que se suponga una distribución de esfuerzos sobre
el á re a d e la sección transversal específica.

•L o s m arcos tridim ensionales tam b ién p u e d e e sta r som etidos a u n m om ento d e to n ió n ,
que tie n d e a d o b la r e l ele m en to resp ecto d e s u eje.

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134 4C a p i t u l o C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

C o nvención d e sig n o s. A ntes d e p resen tar u n m étodo p ara e n ­

co n trar la fuerza in tern a n o rm al, la fu erza c o rta n te y e l m o m en to flexio-
nante. e s necesario establecer una convención d e signos p a ra definir sus
v a lo re s “p o s itiv o " y “ n e g a tiv o ” .* Si b ie n la e le c c ió n e s a rb itra ria , la c o n ­
vención d e signos q u e se ad o p tará aq u í h a sido am pliam ente aceptada
e n la práctica d e la ingeniería estructural y se ilustra en la figura 4 -la . En
la cara izq u ierd a d e l e le m e n to c o rtad o , la fu erza n o rm a l N actúa h a c ia la
d e re c h a , la fu erza c o rta n te in te rn a V actúa hacia a b a jo y el m o m e n to M
actúa e n sentido inverso al de las m anecillas d el reloj (an tih o rario ). De
acu erd o con la tercera ley d e N ew ton. una fu erza norm al, u n a fu erza c o r­
tan te y u n m o m en to flex io n an te iguales p e ro o p u esto s, d e b e n a c tu a r en
la cara d erech a d el elem en to e n la sección. Q uizás u n a m anera fácil de
recordar esta convención de signos sea aislar un pequeño segm ento d el
elem ento y re c o rd a r q u e u n a fu e rza n o rm a l positiva tiende a alargar el
seg m en to , fig u ra 4-l¿>; q u e u n a fu e r za co rta n te p o sitiv a tien d e a h a c e r
girar e l segm ento en el sentido d e las m anecillas del reloj (horario), figura
4 -le , y q u e u n m om ento flexionante positivo tiende a d o b la r e l segm ento
en fo r m a có n ca va hacia arriba,a m anera d e un “recip ien te p a ra ag u a," fi­
gu ra 4-1 d.

M M

I( )

<c> (d )

fig u ra 4 -1

•Esto será de utilidad posteriormente en las secciones 4-2 y 4-3,donde V y M x expresarán
en función de x y después se representarán gráficamente. El hecho de tener una conven­
ción de signos es semejante a asignar direcciones coordenadas positivas hacia la derecha
para x, y positivas hacia arriba para y al momento de trazar una función y = f[x).

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4.1 C a r g a s i n t e r n a s e n u n p u n t o e s p e c Ie i c o

Procedim iento de análisis

El siguiente procedim iento ofrece un m edio d e aplicar e l m étodo d e las secciones para
d eterm in ar la fuerza norm al interna, la fuerza co rtan te y el m om ento flexionante en una
ubicación específica d e un elem en to estructural.

R eacciones e n los s o p o rte s

• A ntes de “c o rta r" o seccionar el elem ento, p u ed e ser necesario d eterm in ar las reaccio ­
nes e n sus so p o rtes d e m odo q u e las ecuaciones d e eq u ilib rio só lo se utilicen p a ra re ­
solver las cargas internas cu an d o se seccione e l elem ento.

• Si e l elem en to e s p arte d e u n a estru ctu ra articulada, las reacciones e n las articulacio­
nes p u e d e n d e te rm in a rse m e d ia n te los m éto d o s d e la secció n 2.5.

D iagram a d e c u e rp o libre

• M antenga todas las carg as distribuidas. los m om entos de p a r, y las fuerzas q u e actúan
so b re e l e le m e n to e n s u ub ica ció n exacta', d e sp u é s p a s e u n a se c c ió n im a g in a ria a
través d el elem ento, que sea perpendicular a su eje en e l p u n to donde se desea d e te r­
m inar la carga interna.

• D espués d e h acer la sección,dibuje un diag ram a d e cuerpo libre d el segm ento so b re el
que actúe e l m en o r n ú m ero d e cargas. E n la sección, in d iq u e las incógnitas resultantes
Ñ, V y M d e m odo que actúen en su sen tid o positivo (figura 4-la).

E cuaciones d e equilibrio

• L os m om entos d eb en sum arse en la sección respecto a lo s ejes q u e pasan a través del
centroide de la sección transversal d el elem ento, con e l fin d e elim in ar las incógnitas N
y V .p ara así o b te n e r u n a solución d irecta d e M.

• Si la solución d e las ecuaciones d e eq u ilib rio e s u n a can tid ad co n m agnitud negativa,
el sen tid o direccional supuesto d e la cantidad es opuesto al q u e se m uestra en e l d ia­
gram a d e cu erp o libre.

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136 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO 4.1

E l techo d el edificio q u e se m u estra e n la fotografía tiene un peso de
1.8 k N /m 2 y s e s o s tie n e s o b r e vigas s im p le m e n te a p o y a d a s d e 8 m
de la rg o .e n tre las cu ale s h ay u n a se p a ra c ió n d e 1 m .C a d a viga, q u e se
m u estra e n la fig u ra 4-2b , tra n sm ite su carg a a d o s trab es, ubicadas en
la p a rte d e la n te ra y tra se ra d el edificio. D ete rm in e la fu e r/a c o rta n te
y el m o m en to in tern o s d e la viga fro n tal e n el p u n to C .fig u ra 4-2a. N o
tom e en cuenta el p eso d e los elem entos.

3.6 kN 1 2 kN ^ 1 2 k N - ^ ^ = ■12 kN 3 .6 kN

S O L U C IÓ N

R eacciones e n los s o p o rte s . L a carg a d e l te c h o se tra n sm ite a
c a d a v ig a c o m o u n a lo s a d e u n s o l o s e n tid o ( L 2/ L x = K m /1 m = 8 > 2 ).
I\> r lo ta n t o , la c a r g a tr i b u t a r i a e n c a d a v ig a in t e r i o r e s (1 .8 k N / m 2)
(1 m ) - 1.8 k N /m . (L a s d o s v ig as d e l b o rd e s o p o r ta n 0 .9 k N /m .) D e
la fig u ra 4-2¿>. la re a c c ió n d e c a d a v ig a in te r io r s o b re la tr a b e e s (1 .8
k N /m )(8 m )/2 = 7.2 kN.

1.8 k N /m

I I I I I I 1I I I

v ig a -

0.5 m 7m 0.5 m

3.6 kN 1 2 kN ^ 1 2 ) M trabe

(c) tT
Figura 4 -2 7.2 kN 7.2 kN

(b)

D iagram a d e c u e rp o lib re . E n la figura 4-2 a se m uestra el d ia ­
gram a d e cu erp o lib re de la viga. T enga e n c u e n ta q u e la reacción de
cada colum na es

[{2(3.6 k N ) + 11(7.2 k N )[/2 = 4 3 .2 kN

E l d ia g ra m a d e c u e ip o lib re d e l se g m e n to iz q u ie rd o de la tra b e se
m uestra e n la figura 4-2c. A q u í se su p o n e q u e las cargas internas
actúan e n su sentido positivo.

Ecuaciones de e q u ilib rio

+ Í2F, 0; 43.2 - 3.6 - 2(7.2) - V c = 0 V c = 25.2 kN Resp.

M c + 7.2(0.4) + 7.2(1.4) + 3.6(2.4) - 43.2(1.2) = 0 M c = 30.2 k N • m Resp.

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4.1 C a r g a s in ter n a s e n u n p u n t o específico 137

D eterm ine la fuerza co rtan te y e l m om ento internos q u e actúan en
u n a sección q u e pasa p o r e l p u n to C de la viga q u e se m u e stra e n la fi­
gura 4-3a.

i L 27 k
4

Figura 4-3

SO L U C IÓ N

R eacciones e n lo s s o p o rte s . A l su s titu ir la c a rg a d istrib u id a p o r
su fuerza resultante y calcular las reacciones, se o b tien en lo s resu lta­
dos que se m uestran e n la figura 4-36.

D iagram a d e c u e rp o lib re. Se considerará e l segm ento A C puesto
q u e p ro d u c e la so lu ció n m ás sen cifla, fig u ra 4-3c. L a in te n sid a d d e la
carga distribuida en C se calcula p o r p roporción, es decir.

w c = (6 p i e s / 18 p ie s ) ( 3 k / p i e ) = 1 k /p i e

E cuaciones d e eq u ilib rio .

+ f2F y = 0 . 9 - 3 - Vc = 0 Vc - 6 k Resp.
5,+S M c = 0. Resp.
-9 ( 6 ) + 3(2) + M c = 0 M c = 48 k -pie 3 |k

L ste problem a ilustra la im portancia d e m antener la carga distri-
buida so b re la viga h asta después d e seccionaría. Si la viga d e la figura
4-36 se seccionara en C .el efecto d e la carga distribuida sobre e l seg­
m ento A C no se reco n o cería.y e l resu ltad o V c = 9 k y M c = 54 k • pie
serta erróneo.

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138 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO 4.3

E l p an el de p iso D E so p o rta la fuerza d e 9 k q u e se m u estra e n la fi­
gura 4-4u,el cual a su vez está sim plem ente apoyado en sus extrem os
p o r vigas d e piso. E stas vigas tran sm iten sus cargas a la tra b e sim p le­
m ente apoyada A B . D eterm ine la fuerza co rtan te y el m om ento in ter­
nos q u e actúan en el p u n to C de la trabe.

Figura 4-4
9k

6 k 3k 6k

-i- J_c,

| 12 P * ' ",

| 12 pies - •pies— j 3 Ve
3.75 k 24 pies- 'p ies -

5.25 k 3.75 k

(b) (c)

S O L U C IÓ N

R e a c c io n e s e n lo s s o p o rte s , fin la fig u ra 4-4¿> se m u e s tr a n e l e q u i-
Sbrio del p a n e l d e piso, las vigas d e p iso y la trab e. S e recom ienda v e ­
rificar esto s resultados.

D iagram a d e c u e rp o lib re . Se utiliza el d iag ram a d e cu erp o lib re d el
segm ento -4C p o rq u e conduce a la solución m ás sencilla, figura 4-4c.
T enga e n c u e n ta q u e A C n o soporta cargas so b re las vigas d e piso.

Ecuaciones d e e q u ilib rio .

+ f 2 F y = 0; 3.75- 6 - V c = 0 V c = -2 .2 5 k Resp.

S,+ £ M C = 0 ; - 3 . 7 5 ( 1 5 ) + 6 ( 3 ) + M c = 0 M c = 3 8 .2 5 k - p ie Resp.

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4 .2 Fu n c io n e s d e fuerza c o r tan te y d e m o m e n t o 139

4 . 2 Funciones de fu e rza co rta n te
y de m om ento

E l d iseñ o de u n a viga req u iere un co n o cim ien to d etallad o d e las varia­ E l re fu e rz o a d ic io n al q u e p ro p o rc io n a n las
ciones d e la fuerza co rtan te V y e l m om ento M internos q u e actúan en p lacas verticales llam ad as costillas s e utiliza
cad a p u n to a lo largo d e l e je d e la viga. P o r lo gen eral, la fuerza norm al en lo s so p o rtes articulad»» y d e oscilador en
in tern a n o se con sid era p o r d o s razones: (1) e n la m ayoría d e los casos las estas trab es d e puente. A qu í, las reacciones
cargas ap licad as a una viga a c tú a n e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a su e je y,p o r c a u sa rá n g ra n d e s fu e rz a s c o rta n te s e n las
lo ta n to ,só lo p ro d u cen una fu e rz a in te rn a c o rta n te y u n m o m en to flexio- trab es y los re fu e rz o s ev itarán p an d eo s loca­
n an te;(2 ) y p a ra fin es d e d iseñ o , la resisten cia a la fu erza c o rta n te d e la lizad os e n las alas o e l a lm a d e la tra b e .
viga y, e n p articu lar, a la flex ió n , e s m ás im p o rtan te q u e su cap acid ad A dem ás, ten g a e n c u e n ta la inclinación d el
p ara resistir la fu e rz a no rm al. Sin em b arg o , hay una ex cep ció n im p o r­ so p o rte d e o scilad o r cau sad a p o r la e x p a n ­
tan te a esto cuando las vigas están som etidas a fuerzas axiales d e co m ­ sión té rm ic a d e la c u b ie rta d e l puente.
presión, p u esto q u e d eb en investigarse e l p an d eo o la inestabilidad q u e
pudieran ocurrir.

Las variaciones d e V y M en función d e la posición x d e u n pu n to arb i­
trario a lo largo del e je d e la viga p u ed en o b ten erse m ediante e l m éto d o
de las secciones analizad o e n la sección 4-1. Sin em bargo, aq u í es necesa­
rio localizar la sección im aginaria o co rtar a u n a distancia arb itra ria x
d esd e u n e x tre m o d e la viga e n vez de e n u n p u n to específico.

En gen eral, las funciones d e la fuerza c o rta n te y del m om ento internos
serán discontinuas, o su pendiente será discontinua, en los puntos donde
d tip o o la m agnitud d e la c a rg a d istrib u id a c a m b ia ,o b ien d o n d e se ap li­
qu en las fuerzas concen trad as o los m o m en to s d e par. D ebido a esto, las
funciones d e la fu erza c o rta n te y d e l m o m en to d e b e n d e te rm in a rse p ara
cada región d e la viga localizada entre cualquiera d e las dos d iscontinui­
dades d e carga. Pbr ejem plo, las co o rd en ad as .ti, *2 y xy deberán usarse
p ara d e sc rib ir la variación d e V y M e n to d a la lo n g itu d d e la viga e n la fi­
gu ra 4-5a. E stas co o rd en ad as se rá n válidas só lo d e n tro d e las reg io n es
d e s d e A h a s ta B p a r a x , . d e B a C p a r a x 2. y d e C a D p a r a x 3. A u n q u e
cada u n a d e estas co o rd en ad as tien e e l m ism o origen, co m o se ha señ a­
lado aquí, éste no tiene p o r q u é se r e l caso. D e hecho,p u ed e ser m ás fácil
d e sa rro lla r las fu n cio n es de fu erza c o rta n te y de m o m en to , e m p le a n d o
las c o o rd e n a d a s X |,x2,x 3 q u e tie n e n o ríg en es e n A , B y D co m o se m u e s­
tra e n la fig u ra 4-5/>.A q u í x i y x 2 so n p o sitiv a s h a d a la d e re c h a y x ¡ e s p o ­
sitiva h a d a la izquierda.

i nw D
D
C

i %»__ — x,

(a) (b)

F ig u ra 4 -5

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140 4C a p i t u l o C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e st r u c t u r a l e s

Procedim iento de análisis

E l sig u ie n te p ro c e d im ie n to o fre c e u n m é to d o p a ra d e te rm in a r la variación d e la fu erza
co rtan te y e l m o m en to e n u n a viga e n función de la posición x.

R eacciones en los so p o rte s

• D eterm ine las reacciones en los so p o rte s d e la viga y d escom ponga to d as las fuerzas
externas en sus com ponentes que actúan en form a perpendicular y paralela a l eje de
la viga.

F unciones d e fu erza c o rta n te y d e m o m en to

• E specifique p o r sep arad o las co o rd en ad as x y sus orígenes asociados,ex ten d ién d o se a
las regiones d e la vig a e n tre las fuerzas c o n c e n tra d a s y /o m o m en to s d e p a r. o d o n d e
haya u n a discontinuidad de la carga distribuida.

• Seccione la viga e n fo rm a p erp en d icu lar a su e je a cada d istan cia x ,y co n base e n el
d iag ram a d e c u e rp o lib re d e u n o d e los seg m e n to s d e te rm in e las in có g n itas V y M en
la s e c c ió n c o r t a d a e n fu n c ió n d e x . E n e l d ia g r a m a d e c u e r p o li b r e , V y M d e b e n m o s ­
trarse actu an d o e n sus direcciones p o sitivas, d e acu erd o co n la convención d e signos
d ad a e n la fig u ra 4-1.

• V se o b ti e n e d e l.F y = 0 y M se o b ti e n e a l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p u n t o 5
ubicado e n la sección c o rta d a , 'LM s = 0.

• Los resultados pueden com probarse observando q u e dM /dx - V y q u e dV Idx = w,
d o n d e w es p o sitiv a c u a n d o a c tú a hacia arrib a, alejándose d e la viga. E stas relacio n es
se d esarro llan e n la sección 4-3.

I^as vigu etas, vigas y tra b e s q u e s e u san p a ra s o s te n e r e s te p iso
p u e d e n d iseñ a rse u n a v e z q u e s e c o n o cen la fu e rz a c o rta n te y e l
m om ento e n to d a su longitud.

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4 .2 F u n c io n e s d e fuerza c o r ta n te y d e m o m e n t o 141

EJEM PLO

Para la viga q u e se m uestra e n la fig u ra 4 -6 a.d eterm in e la fuerza c o r­
tante y e l m o m en to com o u n a fun ció n d e *.

2 k/p*c

^ ttttttTí TTT[] l

Figura 4-6

SO L U C IÓ N
R eacciones e n los s o p o rte s . C o n e l fin d e calc u lar las reaccio n es
en los soportes. la carga distribuida se sustituye p o r su fuerza resul­
ta n te d e 3 0 k . fig u ra 4-6¿>. S in e m b a r g o , e s im p o r ta n te r e c o r d a r q u e
esta re s u lta n te n o e s la c a rg a re a l en la viga.

30 k

30 k 20 pies
(b)
íte:

600 k •pie

Funciones d e fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to . E n la figura 4-6c
se m u estra un diag ram a d e cu erp o libre del seg m en to d e viga co n lo n ­
g itu d x . T enga e n c u e n ta q u e la in te n sid a d d e la c a rg a tria n g u la r e n la
sección se encuentra p o r proporción; es decir, w /x = 2 /3 0 o w = * /1 5 .
C on la intensidad d e carga conocida, la resu ltan te d e la carga d istri­
buida se en cu en tra d e la m anera usual co m o se m uestra e n la figura.
R>r lo tanto.

+ TSFV= 0; 30 -K s> - 0 h ?5> ‘

V = 30 — 0.0333*2 Resp. 30k HH f

{,+ l M s = 0 ; K é > ]600 - 3 0 * + - — o t (c)

M - 6 0 0 + 3 0 * - 0.01 I I * 3 600
k -p ie

Resp.

O bserve que d M /d x = V y q u e d V /d x = - */15 w , lo cu al sirve
com o u n a verificación d e los resultados.

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142 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e st r u c t u r a l e s

EJEMPLO

P ara la viga q u e se m uestra e n la fig u ra 4-7a, d eterm in e la fuerza c o r­
tante y e l m om ento en función d e x.

l. l, l1 i4kl /pl iei 1l .i ,l ! 60 k 4| t|

1 108 k ' M

— *3-11 M H ti■Jf1588 k pá« i

— — -T 1— -« .— I

(a) (c)

60 k 48 k

108 k r 14 pies Figura 4 -7 ¡“

t— tb)

1588 k -p ie |— 6 p ie s ■

S O L U C IÓ N

R eacciones e n los s o p o rte s . l a s reaccio n es e n el so p o rte fijo so n
V = 108 K y M - 1588 k . p e . figura 4-7b.

Funciones de fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to . D ad o q u e h ay u n a
discontinuidad d e la carg a d istribuida e n x ■ 12 pies, d e b e n con side­
rarse d o s regiones d e x con e l fin d e describir las funciones d e cortante
y d e m o m en to p a ra to d a la viga. A q u í x \ es a p ro p ia d o p a ra los 12 p ies
de la izquierda y x2 puede usarse p a ra e l segm ento restante.

0 s x 12 pies. O b serv e q u e V y M se m u e stra n en la d irecció n p o si­
tiva. figura 4-7c.

+ 1 2 F y - 0; 108 - 4x, - V = 0. V = 108 - 4 x , Resp.

5,+2 A/* = 0 ; 1588 - 108*, + 4 x , ( y ) + M = 0

M = -1 5 8 8 + 108*, - 2 x\ Resp.
12 p ie s s x2 s 20 p ies, fig u ra 4-7d .

+ t Y.Fy = 0; 108 - 48 - V = 0, V = 60 Resp.
í+ Z M s = 0; 1588 - 108*2 + 4 8 (* 2 - 6 ) + M = 0 Resp.

M = 6Q*2 - 1300

E stos resultados p u ed en verificarse en form a parcial si se tiene en
cu en ta q u e c u an d o x2 = 20 pies, e n to n ce s l ' = 6 0 k y A Í = - 10 0 k . pie.
A dem ás.observe q u e d M /d x = V y d V /d x = w.

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4 .2 Fu n c io n e s d e fuerza c o r tan te y d e m o m e n t o 143

Para la viga q u e se m u estra e n la fig u ra 4-8a, d eterm in e la fuerza c o r­
tante y e l m om ento en función d e *.

30 kN /m

90 kN 9 0 IN

Figura 4-8

ft>)

SO L U C IÓ N 10* |( 2 0 K - J ) r

R eacciones e n los s o p o rte s . P a ra d e te rm in a r las reaccio n es e n lo s N/«
soportes, la carga distrib u id a se divide en u n a carga triangular y una
rectangular, a las cuales luego reem plazan sus fuerzas resultantes. ~ \ { r 10 kN /m
Estas reacciones y a se h an calculado y s e m uestran e n el diagram a de
cu erp o libre d e la viga, figura 4-86. J ir

Funciones d e fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to . E n la fig u ra 4-8c
se m u estra u n diagram a d e cu erp o libre de la sección co rtad a. C om o
en el caso anterior, la carga trapezoidal se sustituye p o r una distribu­
ción rectan g u lar y una triangular. O bserve q u e la intensidad de la carga
triangular e n e l co rte se en cu en tra p o r proporción; adem ás, la fuerza
resultante d e cada carga distribuida y su ubicación están indicadas. Al
aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tie n e

X i > ]1 = 0 ; 75 — 10* — - V =o 75 kN i

(c)

V = 75 - 10* - 1.11*2 Resp.

5 ,+ 2 M 5 = 0 ; -7 5 * + 5 (2 0 )l? |* - + M = 0

M = 7 5 * - 5* 2 - 0.370*3 Resp.

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144 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e st r u c t u r a l e s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F 4 - L D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el 1 4 -4 . D eterm in e la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante internos que actúan en el punto C de m om ento flexionante internos que actúan en el punto C de
la viga. la viga.

10 kN

20kNm 300 Ib/pie

( TTTTTm Tm T^

2m [—1.5 pies—|—1.5 pies- 3 pies
F4-4
F4-1

1 4 -2 . Determ ine la fuerza normal, la fuerza cortante y el F 4 -5 . D eterm in e la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante internos que actúan en el punto C de m om ento flexionante internos que actúan en el punto C de
la viga. la viga.

8 kN/m

F4-3. D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y e l F 4-6. D eterm in e la fu erza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante internos que actúan en el punto C de m om ento flexionante internos que actúan en el punto C de
la viga. la viga.

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4 .2 Fu n c io n e s d e fuerza c o r tan te y d e m o m e n t o 145

F4-7. Para la viga m ostrada, determ ine la fuerza co rtan te 14-10. D eterm ine la fuerza cortante y el m om ento inter-
y el m om ento internos e n función de x. nos e n función d e x a lo largo de la viga.

20 kN

F4-10

F4-8. Para la viga m ostrada, determ ine la fuerza co rtan te F 4 -1 1. D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m om ento inter-
y el m om ento internos e n función de x . nos e n función de x a lo largo de la viga.

12 k N /m 15 k N

^ rrrn T n T 5 kN /m

* £ .- 1 F4-11
------------f i m ----------------------------
F4-8

F4-9. Determ ine la fuerza cortante y el m om ento inter- 14-12. D eterm ine la fuerza cortante y el m om ento inter­
nos en función d e x a lo largo de la viga. nos e n función d e x a lo largo d e la viga.

F4-9 14-12

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146 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

PROBLEMAS

4 -1 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el 4-3. El aguilón Í)F y la colum na D E de la grúa tienen un
m om ento flexionante internos en los p untos C y D de la peso uniform e de 50 lb/pie. Si el gancho y la carga pesan
viga. Suponga que el soporte e n A es una articulación y en 300 libras, determ ine la fuerza norm al, la fuerza co rtan te y
B es un rodillo. el m om ento flexionante internos en los puntos A , B y C de
la grúa.

6kN

AC 20kN m

- I m - -1 m 2m hT T J

2m

P ro b .4 -1 P ro b .4 -3

4-2. Determ ine la fuerza norm al, la fuerza cortante y el *4-4. E x te rm in e la fu erza n orm al, la fu erza co rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la m om ento flexionante internos en el punto O . Considere
viga. Suponga que e l soporte e n B es un rodillo. El p u n to D q u e h = 150 N /m .
está u b icad o ju s to a la d erech a d e la c arg a d e 10 k.
4-5. La viga A B fallará si e l m om ento interno m áxim o en
D alcanza 800 N • m o si la fuerza norm al en el elem ento B C
llega a 1500 N . D eterm in e la c arg a h- m ás g ra n d e q u e p u ed e
soportar.

25 k-pie 10 k

25 k-pie

(A

n

10 p i e s — — ■10 p ie s —- -* — 10 p i e s — -j

P ro h .4 -2

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4 .2 Fu n c io n e s d e fuerza c o r tan te y d e m o m e n t o 147

4 -6 . D eterm in e la fu erza n o rm al, la fu erz a co rta n te y el 4 -9 . D eterm ine la fuerza n orm al, la fuerza co rtan te y el
m o m e n to fle x io n a n te in te rn o s e n lo s p u n to s C y D d e la m o m e n to f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C <fc la v ig a . F.l
viga. S u p o n g a q u e e l s o p o rte e n A es u n ro d illo y q u e t í es sop o rte e n A es u n rodillo y B es u n a articulación.
una articulación.

5kN

4 -7 . D eterm ine la fu erza n o rm al, la fu erza c o rta n te y el 4 -1 0 . D eterm in e la fu e rz a n o rm al, la fu erza co rtan te y el
m om ento flexionante internos e n e l p u n to C. Suponga q u e m om ento flexionante internos e n e l p u n to C. Suponga q u e
las reacciones e n lo s s o p o rte s A y t í son verticales. las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y t í s o n v erticales.

1 .5 k N A n

P ro b .4 -7

•4 -8 . D eterm ine la fu erza n orm al, la fuerza co rtan te y el 4 -1 1 . D eterm in e la fu erza norm al, la fuerza co rtan te y el
m om ento flexionante internos e n e l p u n to C . Suponga q u e m om ento flexion an te in terno s en los p u n to s C y D . S uponga
las reaccio n es e n los s o p o rte s A y t í son verticales. q u e las reaccion es en los so p o rte s A y t í so n verticales.

1.5 k N /m

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148 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

*4-12. D eterm ine la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo 4 - 1 5 . I ^ te r m in e la f u e r a c o rta n te y e l m om ento a lo
largo d e la viga e n función d e x. largo d e la viga en función d e x.

P
12 kN *m

---------------------------------- L ------- Prob. 4-15
4 Prob. 4-12

4 -1 3 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to e n la * 4 -1 6 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y e l m o m en to a lo
viga d e piso e n función d e ¿.S uponga que e l soporte e n A es largo d e la viga en función d e x.
una articulación y q u e B es u n rodillo.

6kN

i íin 11iH

Prob. 4-16

4 - 1 4 . D ete rm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo 4 - 1 7 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m om ento a lo
largo d e la viga en función d e x. largo d e la viga en función d e x.

8 kN 8 kN

b—

Mo 1

P rob. 4 -14

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4 .2 Fu n c io n e s d e fuerza c o r tan te y d e m o m e n t o 149

4-18. Determ ine la fuerza cortante y el m om ento a lo 4 -2 1 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m o m en to e n la
largo d e la viga e n función d e x. viga e n función d e x.

10 k 8 k 12001b 200 Ib / pie

1 I 1r40 k pie 8001b Proh. 4-21

— 6 pies •]--------- 4 p i e s ----------- -

Proh. 4-18

4-19. D eterm ine la fuerza co rta n te y e l m om ento a lo
largo d e la viga e n función d e x.

2501b 1501b/ pie 2501b 4-22. D eterm ine la fuerza co rta n te y e l m om ento a lo
largo d e la viga ahusada e n función d e x.
:______________ 1. I. t1f e ------------------

i-

-— 4 pie: i ------ ----------- 6 p ie s ----------- — 4 p . e s —

Proh. 4-19

*4-20. D eterm ine la fu erza c o rta n te y e l m o m en to e n la
viga e n función d e x

Proh. 4 -2 0 Proh. 4 -2 2

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150 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

4 .3 D iagram as de fue rza co rta n te
y d e m o m e n to para una viga

L as varias cargas co n cen trad as q u e actúan A l re p re se n ta r g rá ficam en te las v ariacio n es d e V y M en función d e x
q u e se o b tu v iero n e n la sección 4.2, las gráficas resu ltan tes se d en o m in an
4 s o b re e s ta viga d e c o n c re to re fo rz a d o c rean diagram a d e fu e rza corlante y diagram a d e m o m en to , respectivam ente.
E n los casos d o n d e u n a viga está so m etid a a varias fuerzas concentradas,
u n a v ariació n d e la c a rg a in te rn a e n la viga. pares y cargas distribuidas, la graficación d e V y M en com paración co n x
rt>r e s ta ra z ó n , e s n e c e s a rio e la b o r a r d ia g ra ­ puede ser bastante ted io sa p u esto q u e deben representarse varias funcio­
m as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to flc- nes. E n esta sección se analiza un m étodo m ás sim ple p ara la construcción
x io n an tc c o n e l fin d e d iseñ a r correctam ente de esto s d iag ram as; u n m é to d o b a sa d o e n las relacio n es diferen ciales
la viga. q u e e x isten e n tre la carg a, la fu erza c o rta n te y e l m om ento.

Para o b te n e r estas relacio n es,co n sid ere la viga A D de la figura 4 -9 a,la
cual está som etida a una carga arbitraria distribuida w = w(x) y a una
serie d e fuerzas co n c e n tra d a s y p ares. E n el siguiente análisis, la carga
distribuida se considerará positiva cuando actúe hacia arriba com o se
m u e stra e n la figura. Se c o n sid e ra rá e l d iag ram a d e c u e rp o libre p a ra un
p e q u e ñ o s e g m e n to d e la v ig a c o n lo n g itu d A * , fig u ra 4-9¿>. C o m o e s te
seg m en to se eligió en un p u n to x a lo largo d e la viga q u e no está so m e ­
tido a una fuerza co n cen trad a o a un p a r, los resultados obtenidos no son
aplicables e n los p u n to s co n c a rg a c o n c e n tra d a . S e su p o n e q u e la fu erza
cortante y el m om ento flexionante internos que se m uestran e n el d ia­
g ram a d e c u e rp o lib re a ctú a n e n la dirección p o sitiv a (te a c u e rd o c o n la
convención d e signos establecida, figura 4-1. Tenga en cu en ta q u e tan to
la fu erza c o rta n te co m o el m o m en to q u e a ctú a n so b re la c a ra d e re c h a
d eb en a u m e n ta r e n una c a n tid a d p e q u e ñ a y fin ita c o n e l fin de m a n te n e r
al segm ento en equilibrio. La carga distribuida se reem plazó p o r una
f u e r z a c o n c e n t r a d a w-(.r)Ax; q u e a c t ú a a u n a d is ta n c i a fr a c c io n a ! e (A r)
d e sd e el ex trem o d e re c h o ,d o n d e 0 < c < 1. (P o r ejem p lo , si \v(x) es u n i­
form e o constante, entonces w (x)A r actuará en jA t.a s í q u e e = j.) Al
aplicar las ecuaciones d e equilibrio, se tien e

+1 = 0; V + w(x) Ax - {V + AV) = 0

AV = w (x)A r

5,+ Z M o = 0 ; - V C x x - M - w { x ) A * « ( A * ) + ( M + A M ) = 0

AAf = V ts x + w { x ) e(A x f

»'(x)A x

Figu ra 4 -9 — «(ÓX)

www.FreeLibros.me M AM

t U M+

LJV + AV

(b )

4 .3 D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y de m o m e n t o par a u n a vig a 151

Si s e d iv id e e n tr e A* y s e to m a e l lím ite c u a n d o At - * 0 , e s t a s e c u a c io n e s
se convierten en

dV
— = w(x)

(4-1)

Pendiente del diagram a 1 í In te a sid a d d e la
de fuerza cortante / \ carga distribuida

dM (4-2)
dx
Pendiente d el d iag ram a]
>= {Fuerza cortante
d e m om ento J

C óm o se h a se ñ a la d o , la e c u a c ió n 4-1 e sta b le c e q u e la p e n d ie n te d e l d ia ­
gram a de fu e rza cortante en un p u n to (dV /dx) es igual a la intensidad de
la carga d istrib u id a w (x ) en ese p u n to . D e l m ism o m odo, la e c u ació n . 2.4
e s ta b le c e q u e ¡a p e n d ie n te d e ! d ia g r a m a d e m o m e n t o ( d M /d x ) es ig u a l a
la intensidad d e la fu e rza cortante en ese p u n to .

Las ecu acio n es 4-1 y 4-2 p u e d e n "in te g ra rse " d e sd e u n p u n to h a sta el
o tro en tre fuerzas concentradas o p ares (p o r ejem plo, d e B a C en la fi­
gura 4-9a). en cuyo caso

AV = I w{x)dx

C am bio e n la l [ Á rea b a jo el (4-3)
fuerza c o rta n te /
Í diagram a de

carga distribuida

y

AM = / V(x)dx (4-4)

C am bio en 1 _ f Á rea bajo el diagram a
el m o m e n to / \d e fuerza cortante

C óm o se ha señ alad o , la ecu ació n 4-3 e sta b le c e q u e el ca m bio en la
fu erza cortante entre d o s p u n to s cualesquiera de una viga es igual al área
bajo e l diagram a de carga distribuida entre esos p u n to s. Del m ism o m odo,
la e c u a c ió n 4-4 esta b le c e q u e el c a m b io en e l m o m e n to en tre d o s p u n to s
de una viga es ig u a l a l área bajo e l diagram a d e fu e rza cortante entre esos
puntos. Si las áreas b ajo lo s diagram as d e carg a y d e fuerza c o rta n te so n
fáciles d e calcular, las ecu acio n es 4-3 y 4-4 p ro p o rcio n an u n m éto d o para
d e te rm in a r n u m éricam en te los valores d e la fu e rz a c o rta n te y e l m o ­
m en to e n varios p u n to s a lo la rg o d e u n a viga.

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152 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

i

O.

V | ^ i V + AV V ^ ^ V + AV

(a) (b)

Figura 4-10

C on base en la derivación an terio r debe observarse q u e las ecuaciones
4-1 y 4-3 no p u e d e n u sarse e n los p u n to s d o n d e actú a una fu erza co n cen ­
trada.p u esto q u e estas ecuaciones no tom an en cuenta e l cam bio rep en ­
tino d e la fuerza co rtan te en esto s puntos. D el m ism o m odo, d eb id o a
u n a discontinuidad del m om ento, las ecuaciones 4-2 y 4-4 no p u ed en em ­
p learse e n los p u n to s d o n d e se ap lica u n m o m en to d e p a r. A fin de co n si­
d e ra r esto s d o s casos, es necesario to m ar los diagram as de cu erp o libre
d e lo s elem en to s d iferen ciales d e la viga q u e se m u estran en la figura
4 -9 a.lo s cuales están en p u n to s con fuerza concentrada y m om entos de
par. E n las fig u ras 4 - 10a y 4-106, resp ectiv am en te, se m u estran ejem p lo s
de estos elem entos. A p artir de la figura 4-10a. s e observa q u e e l eq u ili­
brio d e fuerzas requiere q u e e l cam bio en la fuerza co rtan te sea

+ ]'2Fy = 0; AV = - F (4-5)

A sí. c u a n d o F a c tú a hacia a b ajo » b r e la v ig a .A V es negativa p o r lo q u e
e l d iag ram a d e co rte m uestra un “sa lto " hacia abajo. D e l m ism o m o d o , si
F a c tú a h a c ia a r r ib a , e l s a l t o (A V') e s h a c ia a rr ib a . C o n b a s e e n la fig u ra
4 - 1 0 6 ,c u a n d o A r —* 0 ,e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e q u i e r e q u e e l c a m b io
en e l m om ento sea

S,+ 2 A / o = 0 ; AM = M ' (4-6)

E n este caso,si se aplica un m om ento d e p a r externo M ' en sentido h o ra­
rio. A M es positivo, p o r lo q u e el diagram a d e m o m en to s a lta hacia
arriba, y cu an d o M actúa e n se n tid o contrario al d e las m anecillas del
reloj, el sa lto (A M ) d e b e s e r hacia abajo.

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4 .3 D ia g r a m a s d e fu e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n a v ig a

Procedim iento de análisis

El siguiente procedim iento ap o rta u n m étodo p a ra co n stru ir los diagram as d e fuerza co r­
ta n te y d e m o m e n to p a ra u n a viga e m p le a n d o las e c u a c io n e s 4-1 a 4-6.

Reacciones en los s o p o rte s

• D eterm in e las reacciones e n los soportes y descom ponga las fuerzas q u e actú an sobre
la viga en su s co m p o n en tes p erp en d icu lares y paralelas a l eje d e la viga.

D iagram a d e fuerza c o rtan te

• E stab lezca lo s ejes V y x y g rafiq u e los v alo res d e la fu erza c o rta n te e n los d o s extre­
m o s d e la viga.

• D ado q u e d V /d x = w , la pen d ien te del diagram a de fu erza corlante en cu alq u ier p u n to
es igual a la intensidad de la carga distribuida e n e se p u n to . ( le n g a en c u en ta q u e w es
positiva cu an d o actúa hacia arrib a).

• Si d e b e d e te rm in a rse u n v a lo r n u m érico d e la fu erza c o rta n te e n e l p u n to , este v a lo r se
puede en co n trar em pleando e l m étodo d e las secciones com o se vio en la sección 4-1.
o b ie n p u e d e u sarse la ecu ació n 4-3, la c u a l estab lece q u e el ca m bio en la fu e r za co r­
tante es igual al área b a jo e l diagram a d e carga distribuida.

• C om o w (x) se integra p ara o b te n e r V .cuando w (x) sea u n a curva d e grad o n , V (x) será
u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i rv (x ) e s u n if o r m e , V'(x) s e r á lin e a l.

D iagram a d e m o m e n to

• E stab lezca los e je s M y x y g rafiq u e lo s v a lo re s d e l m o m en to e n los e x tre m o s d e la
viga.

• D ado q u e d M / d x = V , la pendiente del diagram a de m o m en to en cualquier p u n to es
igual a la in ten sid ad d e la fu e r z a co rta n te en ese p u n to .

• En e l pu n to d o n d e la fuerza co rtan te e s c e r o .d M /d x = « .p o r lo q u e éste p u e d e ser un
p u n to d o n d e e l m om ento p u e d e se r m áxim o o m ínim o.

• Si d e b e d eterm in arse e l valor num érico d el m om ento e n u n punto, e ste valor se p u ed e
en co n trar em p lean d o el m é to d o d e las secciones co m o se vio e n la sección 4-1 o m e­
diante la ecu ació n 4-4, la cual e sta b le c e q u e d ca m bio en el m o m e n to es ig u al a l área
bajo el diagram a de fu e r za cortante.

• C om o V (x) se integra para o b te n e r M , cuando V(x) sea una curva d e g rad o n, M (x)
s e r á u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i V 'íx ) e s li n e a l, M ( x ) s e r á p a r a b ó lic a .

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154 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO 4.7

L os dos elem en to s horizontales d e la estructura q u e sostiene líneas de
alta tensión están som etidos a las cargas d e cable que se m uestran en
la figura 4 - U n . D ib u je los d iag ram as de h ie rc a c o rta n te y d e m o m en to
para cad a elem ento

S O L U C IÓ N

R eacciones e n los s o p o rte s . C a d a p o ste e je rc e u n a fu erza d e 6 kN
so b re cada elem en to .co m o se m u estra e n el diag ram a d e cu erp o libre.

D iagram a d e fu e rz a c o rta n te . P rim ero s e g rafican los p u n to s e x ­
trem os .t - 0. V = - 4 kN y x = 6 m . V = 4 kN, figura 4-116. C om o se
ha indicado, la fu erza co rtan te e n tre cada fuerza co n cen trad a es cons­
tante p u esto q u e w = d V /d x - 0. La fuerza co rta n te ju sto a la d erech a
del p u n to B (o C y D ) p u ed e d eterm inarse p o r e l m étodo de las sec­
ciones, fig u ra 4-1 Id . E l d iag ram a d e fuerza co rta n te ta m b ié n p u ed e
e sta b le c e rse “sig u ien d o la c a rg a " e n el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re. C o ­
m en zan d o e n /1,1a carg a d e 4 kN actú a h acia a b a jo d e m odo q u e VA =
- 4 kN. N inguna carga actúa e n tre A y B .p o r lo q u e la fueiza cortante
e s c o n sta n te . E n B , la fu erza d e 6 k N ac tú a hacia a rrib a , p o r lo q u e la
fuerza co rtan te salta hacia arrib a 6 kN , desd e - 4 kN h asta + 2 kN,
e tc é te ra .

D iagram a d e m o m e n to . E n p rim e r lu g a r se gráfica el m o m en to en
lo s p u n to s e x tre m o s x = 0 , W = 0 y r = 6 m , M = 0, fig u ra 4 -1 1c. La
p e n d ie n te d e l d ia g ra m a d e m o m e n to d e n tr o d e cad a re g ió n d e 1.5 m
d e lo n g itu d es c o n sta n te p u e sto q u e V ta m b ié n e s c o n sta n te . Ix>s v a lo ­
res específicos d e l m om ento, com o e n C, p u ed en determ in arse p o r el
m éto d o d e las secciones, fig u ra 4-1 Id o b u scan d o e l cam b io e n e l m o ­
m ento m ediante e l área bajo e l diagram a de fuerza cortante. Por
ejem plo,com o M A = O en A ,entonces e n C , M c = M A + AM ¿c = 0 +
( - 4 )( 1 .5 ) + (2 )( 1.5) = —3 k N • m.

F ig u ra 4 -1 1

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4 .3 D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y de m o m e n t o par a u n a vig a

D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o m en to p ara la viga
q u e se m u estra en la figura 4 - 12a.

p r.- ^ T m T T T T H 1
— 9 m --------- tí.

(a)

Figura 4-12

w negativa crecienie
p endiente V negativa creciente

*<m)

SO L U C IÓ N 1-520 m

Reacciones e n los s o p o rte s . Las re a c c io n e s y a se h a n ca lc u la d o y (c)
se m uestran e n el diagram a d e cu erp o libre de la viga, figura 4-12b. V positiva decreciente
p en d ien te A i positiva

D iagram a d e fu e rz a c o rta n te . P rim ero s e graftean los p u n to s e x ­ V negativa creciente
trem os x = 0, V = + 30 kN y x = 9 m . V = -6 0 kN. O bserve que el pendiente A i negativa creciente
d ia g r a m a d e fu e rz a c o r ta n te e m p ie z a c o n u n a p e n d ie n te c e r o p u e s to M(lcN-m)
q u e H' = 0 e n x = ü ,y t e r m i n a c o n u n a p e n d ie n t e d e tv = - 2 0 k N /m . *|m)
<d)
El p u n to d e fuerza co rtan te cero p u ed e encontrarse m ediante el
m éto d o de las seccio n es a p licad o a u n seg m en to d e viga d e lo n g itu d x,
figura 4-12e.Se req u iere q u e V = O .por lo q u e

(!)}U F = 0; 5.20 m
30 - - 1 2 0 1 -

D iagram a d e m o m e n to . P ara 0 < x < 5.20 m e l v a lo r d e la fuerza 30 kN j|2 0 (f)|*
co rtan te es p ositiv a p e ro d ecrecien te y. p o r lo tanto, la p en d ien te d e l
diagram a de m om ento tam bién es positiva y decreciente (d M / d x = V). ir» ( f )
E n x = 5.20 m . d M / d x = 0. L o m ism o sucede p a ra 5.20 m < x < 9 m.
b fuerza co rtan te y p o r en d e la pendiente d el diagram a d e m om ento (e)
son negativas y crecientes, tal co m o se indica en la figura.

E l v alo r m áxim o d e l m om ento e stá e n x = 5.20 m p u e sto q u e en
este p u n to d M / d x = V = 0, figura 4-12d. A p a rtir d e l diagram a de
cu erp o libre d e la figura 4-12e se tien e

t+ 2 M s = 0; -3 0 (5 .2 0 ) + | [ 20( 5| e ) ] ( 5 ^ 0 ) ( 5| 2 ) + « “ 0
M = 104 k N • m

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156 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO

600 Ib D ibuje los diagram as de fuerza co rtan te y d e m o m en to p ara la viga
q u e se m uestra en la figura 4 -13a.
| 4000 Ib-pie
S O L U C IÓ N
u* r - |c n „ t í * Rn seaabcbciiuo nn ea s» «enn ilou s» s> uo pp uo ir te s . L a s rhe a c c io n e s y a s e c a l c u la r o n y s e
indican e n el diag ram a d e cuerpo libre
10pies- X 5 - L . 5
'p i e s < 'pies •

(a)

D iagram a d e fu e rza c o rta n te . Se grafican lo s valores d e la fuerza

6001b co rta n te e n los p u n to s e x tre m o s A (V A = + 100 Ib) y B ( V B - * 500
4 0 0 0 Ib •pie Ib). E n C la fu erza c o rta n te e s d isco n tin u a p u esto q u e a h í h ay u n a
fu e r z a co n cen tra d a d e 600 Ib. E l v a lo r d e la fu erza c o rta n te ju s to a la

d erecha d e C pu ed e en co n trarse a l seccionar la viga e n e ste p u n to .

100 Ib .„ E sto p roduce el diagram a de cu erp o libre q u e s e m u estra e n eq u ili­
(b) brio e n la fig u ra 4-13e. E ste p u n to ( V = - 5 0 0 Ib) se g ráfica so b re el
diagram a d e fuerza co rtan te. O bserve q u e e n D no se p resen ta ningún
»=0 sa lto o d isco n tin u id ad d e la fu e rz a c o rta n te .e n este p u n to e s d o n d e se
aplica un m om ento d e p a r de 4000 Ib • pie, figura 4-136.
V(lb) P ^ ic n tc V

lool L-

D iagram a d e m o m e n to . E l m o m en to e n ca d a e x tre m o de la viga

(c) e s c e r o , fig u ra 4 -1 3 d . E l v a lo r d e l m o m e n to e n C p u e d e d e te r m in a r s e

V constante negativa m ediante e l m éto d o de las secciones, figura 4 -1 3 e,o b ien en co n tran d o

M Ib-pie) pendiente M constante negativa el á r e a b a jo e l d ia g ra m a d e fu e rz a c o rta n te e n tr e A y C. C o m o M A * 0 ,

2500 M a + A M ÁC 0 + (100 Ib )(1 0 p ie s )

1000

M , 1000 Ib •pie

\ A dem ás, d a d o q u e M e = 1000 Ib • pie, e l m om ento e n D es
1500 M , M r + A M CD - 1000 I b - p i e + ( - 5 0 0 l b ) ( 5 p i e s )
(d)

M D = ~ 1500 Ib •pie

En e l punto D x produce un salto debido al m om ento de p ar de
4000 Ib • pie. El m éto d o de las secciones, figura 4 -1 3 /,d a u n v alo r d e +
2500 Ib • pie ju sto a la d erech a d e D.

6001b 6001b
|
1000 Ib pie 1)2“ ° lb
|— 10pies 5 pies
i) 1001b -5001b

10 pies- -5 0 0 1 b

100 Ib

(e) (0

fig u ra 4-13

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4 .3 D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y de m o m e n t o par a u n a vig a 157

D ibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m om ento p a ra cada u n a
d e las vigas q u e se m u e stra n en la fig u ra 4-14.

8 kN /r

pcndicntcM negativa
M (líN-m)

"4

*(m )

(a)

15 k

(b) 20 k pie
F igura 4-14
H' n e g a tiv a c o n s ta n te
V '(k) p o d ie n te V neg ativ a c o n stan te

i(p ics)

SO L U C IÓ N -15 V positiva decreciente
E n todos los casos se h a n calculado las reaccio n es e n los so p o rte s y se pendiente M positiva decreciente
indican e n la p a rte su p erio r d e las figuras. Siguiendo las técnicas d e s­ A í(k-pie)
critas en los ejem plos anteriores, lo s diagram as d e fuerza co rtan te y de x (pies)
m o m en to s e m u e stra n d e b a jo d e ca d a viga. O b serv e co n cu id a d o la -20
form a e n q u e se estab leciero n , co n b ase e n la p e n d ie n te y e l m o ­ (c)
m ento,d o n d e d V /d x = w y d M / d x = V. Los valores calculados se h a ­
la n em p lean d o e l m éto d o d e las secciones o bien enco n tran d o las
áreas d eb ajo d e los diagram as de carga o de fuerza cortante.

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158 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO 4.11

L a viga q u e se m u estra e n la fotografía se u sa p a ra so ste n e r una parte
d e la sa lie n te d e la p u e rta d e e n tra d a a u n ed ificio . E n la fig u ra 4 - 15a
s e m uestra e l m odelo idealizado d e la viga y d e la carg a q u e actúa
sobre ella. Suponga q u e H es un rodillo y q u e C es u n a articulación.
D ib u je los d iag ram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o m e n to p a ra la viga.

S O L U C IÓ N

R eacciones e n los s o p o rte s , l a s reaccio n es se c a lc u la n d e la
fo rm a h a b itu a l. L o s re s u lta d o s s e m u e s tra n e n la fig u ra 4-15/>.

gn m uIOkN/m D iagram a d e fu e rza c o rta n te . P rim ero se gráfica la fu erza c o r­
i tan te e n los ex trem o s d e la viga; es d e c ir, V A - 0 y V c - -2 .1 9 kN , fi­
gura 4 -15c. P ara en co n trar la fu erza c o rta n te a la izquierda d e B use el
0.75 •1 m - m éto d o d e las secciones p a ra el seg m en to A B , o bien, calcule e l á re a
b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a d is trib u id a , e s d e c ir , AV' = V B —0 =
- 1 0 ( 0 . 7 5 ) , V'fl. = - 7 . 5 0 k N . L a r e a c c ió n e n e l s o p o r te h a c e q u e la

fu e rz a c o r ta n te s a lte - 7 . 5 0 + 15.31 = 7.81 k N . E l p u n to d e fu e rv a c o r ­
tante cero puede determ in arse a p artir d e la p en d ien te - 1 0 k N / m , o

p o r triá n g u lo s se m e ja n te s, 7 .8 \ / x ■ 2 .1 9 /( 1 - * ) , x - 0.781 m . O b se rv e

có m o e l d ia g ra m a V a g ü e la p e n d ie n te n e g a tiv a , q u e se d e fin e p o r la
carga distribuida negativa y constante.

(a)

m m u i mIOkN/m D iagram a d e m o m e n to . P rim ero se gráfica e l m om ento e n los
puntos extrem os, M A = M c = 0, figura 4-15d. Los valores d e -2 .8 1 y
0.239 e n e l d iag ram a d e m o m en to p u e d e n calcu larse p o r el m éto d o

rIA .. de las secciones o bien b u scando las áreas b ajo el diagram a d e fuerza
c o r t a n te . P o r e je m p lo . AAf » M B - 0 =* K ~ 7 .5 0 )(0 .7 5 ) = - 2 . 8 1 . M B =
------ 0.75 m—
I5 J 1 kN * -2.81 kN «m. A sim ism o,dem uestre que el m om ento positivo m áxim o
2 .1 9 kN es d e 0.239 kN *m . O b serv e có m o se form a el diagram a d e M, si­
(b)
g u ie n d o la p e n d ie n t e d e f in id a p o r e l d ia g r a m a d e V.

P(kN ) M flcN-m)

7.81 -*(m)

0.781 m -2 .1 9

- 7 JO (d)
(c)

fig u ra 4 -1 5

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4 .3 D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y de m o m e n t o par a u n a vig a 159

D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o m en to p ara la viga
com puesta q u e se m u estra e n la fig u ra 4 -16o. S u p o n g a q u e lo s so p o r­
tes e n A y C san rodillos y q u e f í y E son conexiones articuladas.

2¿ Kk //ppite 5 k 3k/P'c

(ü k • pie ^ g d id líífch i

10 ^ \D 1

4 j _ 6 p ies_ |_ 6 p ie s -

20k 5k ^ k /p ie

(») ■; 16 k J— r
16 k
— - r— (b) T 6k

k) 45 k

24 4k

\

. 2 10 16 20

i32 - « ( p i e s )

(c) M

Hgura 4-16 60 10 16 20 x (pies)
2 -9 6 32

-1 8 0

(d)

SO LU C IÓ N

Reacciones e n los s o p o rte s . U n a v ez q u e lo s seg m en to s d e viga se
desconectan del p asad o r e n B , las reacciones e n los so p o rtes pueden
calcularse com o se m uestra e n la figura 4-166.

D iagram a d e fu e rza c o rta n te . C óm o siem pre, se co m ien za p o r
gyaficar la fu e rz a c o rta n te e n los ex tre m o s A y E , fig u ra 4 - 16c. E l p e r ­
fil d e l d ia g r a m a d e V se fo r m a s ig u ie n d o s u p e n d ie n te , d e fin id a p o r la
carga. Trate d e e sta b le c e r los valores d e la fu e rz a c o rta n te u sa n d o las
áreas apropiadas bajo el diagram a d e carga (curva w ) a fin d e encontrar
d cam bio en la fuerza co rtan te. El valor cero p ara la fuerza cortante
e n x = 2 pies, p u e d e en co n trarse em p lean d o triángulos sem ejan tes o
u fan d o la e stá tic a ,c o m o se h izo e n la fig u ra 4-12e d el E jem p lo 4-8.

D iagram a d e m o m e n to . P rim ero se grafican los m om entos e n los

ex trem os M A = 60 k • pie y M e = 0, figura 4-16d. E stu d ie el diagram a

y o b serv e có m o se e stab lecen las d ife re n te s cu rv as m e d ia n te d M /d x
= V . V erifique los v alo res n u m érico s d e los picos u sa n d o la e stá tic a o
calculando las áreas ap ro p iad as b ajo el diagram a d e fuerza co rtan te a
fin d e e n c o n tra r e l cam bio e n e l m om ento.

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160 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F 4-13. Dibuje los diagram as d e fuerza corlante y d e m o­ F4-17. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
los puntos donde se produzca un cam bio en la carga. tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga.

8 kN 3 kN 2 kN/m 2 k N /m

I

-2 m F4-13 K4-17

F4-14. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­ F4-18. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v alo res e n los s o p o rte s y en
tos puntos donde se produzca un cam bio e n la carga. tos puntos donde se produzca un cam bio en la carga.

.^rrrrrrn4 kNT/m n T ^ ^

| 1.5 m -2m - 15 m -

F4-14 F 4 -1 8

F4-15. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­ F4-19. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
m ento p a ra la viga. In diqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en m ento p a ra la viga. In d iq u e lo s v alo res en los s o p o rte s y en
tos puntos donde se produzca un cam bio e n la carga. tos puntos donde se produzca un cam bio en la carga.

m uiu 6 k N /m

IIJIUI

F4-I5 _ 2 m ------- 1-------2 » - ----- 1------ 2 m
F4-19

F 4-16. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­ F4-20. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
m ento p ara la viga. Indique los valores en los so p o rtes y en m ento p a ra la viga. Indique los valores e n los so p o rtes y en
tos puntos donde se produzca un cam bio e n la carga. tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga.

18 k

6k/pie

£ 6 p ie s 6 p ie s
.- I
— 12 p i e s 12 p ie s - F4-16 F4-20

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4 .3 D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y de m o m e n t o par a u n a vig a 161

PROBLEMAS

4 -2 3 . Dibuje los diagram as de fuerza corlante y de mo­ 4-26. Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de m o­
mento p ara la viga. m ento p ara la viga.

10 k 8 k

!_ C • c c
nn zl

*

A

- 6 p ie s -I* 12 p ie s • 12 p ie s [ - 6 pies—

P ro h. 4 -2 3 Proh. 4-26

•4 -2 4 . Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de m o­ 4-27. Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de m o­
mento p ara la viga. mento para la viga.

1. . . n40 0 Ib/pie

2k 2 k 2 k 2k -------------------------------15p i e s -----------------------------------

. j f ! 1 jx Proh. 4-27
|— 4 p ie s —| - 4 p ie s *1— 4 p ie s —|— 4 p ie s - | —4 p ie s —|
Proh. 4-24 •4 -2 8 . Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de m o­
m ento p a ra la viga (a) en térm inos d e los parám etros m os­
trados; (b ) co n sid ere q u e M 0 = 500 N . m . I. = 8 m.

M, M0

4-25. Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de m o­ L /3 L/3 L/3 - I
mento p ara la viga.
P ro h . 4 -2 8
6kN
4 -2 9 . Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y de mo­
m e n to p a ra la viga.

□unIS kN/m

P ro h. 4 -2 5 2m
3m

Proh. 4-29

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162 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

4 -3 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­ 4-3 4 . Dibuje los diagram as de fuerza cortante y d e m o­
m ento flexionante p a ra la viga. m ento p ara la viga.

2 00 Ib-pie 200 Ib/pic

Proh. 4-30

4 4 -3 1 . Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­ 4 -3 5 . Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de mo­
m ento p ara la viga. m ento p ara la viga.

n 200 Ib/pic

/

P rob.4-31 P ro h .4 -3 5

*4 -3 2 . Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­ *4-36. Dibuje los diagram as d e fuerza co rtan te y de m o­
m ento p ara la viga. m ento p a ra la viga. S u p o n g a q u e e l so p o rte e n B e s una a r ­
ticulación y q u e A es un rodillo.

P ro b . 4 -3 6

4 -3 3 . Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de mo­ 4-37. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de m o­
m ento p ara la viga. mento para la viga. Suponga que e l soporte e n tí es una articu­
lación.
40kN /ta 20kN
8 kN /m
8m l
P rob. 4 -37
150 kN-m

Prob. 4 -3 3

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4 .4 D iag ram as d e fuerza cor tan te y d e m o m e n t o para u n m a r c o 163

4 .4 D iagram as de fue rza co rta n te
y de m om ento para un m arco

R ecuerde q u e u n m arco se com pone d e varios elem entos que están co ­
nectados fijam ente o articulados en sus extrem os. C on frecuencia, el di­
seño d e estas estructuras req u iere elab o rar diagram as de fuerza cortante
y d e m om ento p ara cad a uno de sus elem entos. P ara analizar cualquier
p ro b lem a, se p u e d e u tilizar el p ro c e d im ie n to de an álisis d esc rito e n la
sección 4-3. Para ello es necesario prim ero d eterm in ar la reacción e n los
soportes d el m arco. D espués, aplicando el m éto d o d e las secciones,se e n ­
cuentran la fuerza axial, la fuerza co rtan te y e l m om ento q u e actúan en
los ex trem o s d e cad a elem en to . L o s d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de
m om ento p ara cada elem en to p u ed en dibujarse d e la m anera descrita
anteriorm ente, siem pre y cuando todas las cargas se descom pongan en
com ponentes que actúan en form a paralela y perpendicular al eje d el
elem ento.

En la práctica,a l dibujar el diagram a d e m om ento se usa una d e las dos
convenciones de signos existentes. E n particular, si el m arco e s d e con­
creto reforzado, lo s diseñadores suelen d ib u jar el diag ram a d e m om ento
positivo e n e l lado d o n d e e l m arco e stá som etido a tensión. E n o tra s p a ­
labras,si el m om ento produce tensión en la superficie e x tern a del m arco,
el d iag ram a d e m om ento se d ib u ja positivo e n este lado. C o m o e l c o n ­
creto tiene u n a baja resistencia a la tensión, entonces se po d rá d ecir de
un vistazo e n q u é lad o d e l m arco d eb e co lo carse e l a cero de refu erzo . Sin
em b arg o , e n e s te te x to se u sa rá la co n v en ció n d e sig n o s c o n tra ria e n la
q u e siem pre se dibuja el diagram a de m o m en to positivo en e l lado d o nde
los elem entos están som etidos a com presión. É sta e s la m ism a convención
q u e se u só p a ra las vigas y se an alizó en la sección 4-1.

Los siguientes ejem plos ilustran este procedim iento en fo rm a num é­
rica.

P ara el d iseñ o d e e sta tra b e sim plem ente ap o y ad a, q u e form a parte
d e un m arco d e co n creto p ara construcción, p rim ero s e trazaro n sus
d iag ram as d e fu erza c o rta n te y d e m om ento.

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164 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO 4.13

D ibuje e l diagram a d e m om ento para e l m arco ahusado d e la figura
4-17a. Suponga que el so p o rte e n A es un rodillo y q u e B es una a r­
tic u la c ió n .

elemento CR H gera 4-17

elemento AC S O L U C IÓ N
<d)
Reacciones en los soportes. L as re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s se

m u estran en el diagram a d e cu erp o lib re d e to d o el m arco, figura 4-1 Ib .
C on esto s resultados, e l m arco s e secciona en dos elem entos, y se d e­
term in an las reacciones internas e n las ju n tas extrem as de los elem en ­
tos. figura 4 -17c. O bserve q u e la carg a ex tern a de 5 k só lo se m uestra
e n e l diagram a d e cuerpo libre d e la ju n ta e n C.

Diagrama de momento. D e a c u e r d o c o n n u e s tr a c o n v e n c ió n d e

signos positivos, y e l uso d e las técnicas d escritas en la sección 4-3, los
diagram as d e m om ento p ara los elem entos del m arco so n com o se
m u e stra e n la fig u ra 4-17d.

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4 .4 D iag ram as d e fuerza cor tan te y d e m o m e n t o para u n m a r c o 165

EJEMPLO 4.14 4

D ibuje los diagram as de fuerza co rtan te y d e m om ento p a ra e l m arco
q u e se m u e stra e n la fig u ra 4 - 18a. S uponga q u e A es u n a articu lació n ,
C e s u n rodillo y f í e s una ju n ta fija. Ig n o re e l esp eso r d e los elem entos.

SO L U C IÓ N
Tenga e n cu en ta q u e la carg a distribuida actúa so b re u n a longitud de
10 p ie s V 2 = 14.14 p ies. L a s re a c c io n e s e n to d o e l m a rc o s e calc u lan
y s e m u estran en su diagram a d e cuerpo libre, figura 4-186.A p artir de
este diagram a s e dibujan los diagram as d e cuerpo libre d e cad a e le ­
m ento, figura 4-18c. La carga distribuida e n B C tiene co m p o n en tes a
b larg o d e B C y p erp en d icu lares a su e je d e (0.1414 k /p ie ) eos 45° =
(0.1414 k /p ie ) s e n 45° = 0.1 k /p ie, c o m o se m u estra. C on b ase en
estos resultados, los diagram as d e fuerza co rtan te y d e m om ento ta m ­
bién se p re se n ta n e n la fig u ra 4 - 18c.

U fa ra 4-18

(0 .1 4 1 4 k /p ie )(1 4 .1 4 p ie s ) = 2 k

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166 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

EJEMPLO 4.15

D ibuje lo s diagram as de fuerza co rtan te y d e m om ento p a ra el m arco
q u e s e m uestra en la figura 4 -19a. S uponga q u e A es una articulación,
C e s u n ro d illo y R e s u n a ju n ta fija.

80 kN

(a)
80kN

figura 4-19

S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . H1 d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o
el m arco s e m u e stra e n la figura 4-196. A q u í la carg a d istrib u id a, q u e
representa la carga d e l viento, ha sido reem plazada p o r su resultante
p ara d e sp u é s calc u la r las re a c c io n e s L u eg o se secciona e l m arco e n R
y se d e te rm in a n la s carg as in te rn a s e n ese p u n to , fig u ra 4 - 19c. C o m o
u n a com probación, el equilibrio s e satisface en la ju n ta R, lo cual tam ­
bién se m u estra en la figura.

D ia g ra m a s d e c o r ta n te y d e m o m e n to . I-as c o m p o n e n te s d e la
c a rg a d is trib u id a (7 2 k N ) /( 5 m ) * 14.4 k N /m y (9 6 k N ) /( 5 m ) - 19.2
k N /m , se m u estran e n el elem en to A R , figura 4-19d . Los diagram as
asociados de fue iza co rtan te y d e m om ento se dibujan para cada ele­
m en to , co m o se m u estra e n las figuras 4-19d y 4-19e.

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4.4 D ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a u n m a r c o 167

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168 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

4 .5 Diagramas de m om ento construidos
por el m étodo de superposición

D a d o q u e las vigas s e u tilizan p rin c ip a lm e n te p a ra resistir esfu erzo s fle-
xionantes.es im p o rtan te q u e el diagram a d e m om ento acom pañe a la so ­
lución p a ra su d iseñ o . E n la sección 4-3 e l d ia g ra m a d e m o m e n to se
construyó d ib u jan d o prim ero el diagram a d e fu erza co rtan te. Sin e m ­
b arg o , s i se ap lica el p rin cip io d e su p e rp o sic ió n .c a d a u n a d e las c a rg a s en
la viga p u e d e tratarse p o r sep arad o y en to n ces e l diagram a d e m o m en to
puede construirse en u n a serie d e partes en vez d e hacerlo en una sola
form a q u e e n ocasiones resulta com plicada. Más ad elan te en e l texto se
verá q u e esto puede ser especialm ente ventajoso cuando se aplican m é­
todos d e deflexión geom étrica p ara d eterm in ar tan to la deflexión d e una
viga c o m o las reaccio n es e n vigas e stá ticam en te indeterm inadas.

E n el análisis estru ctu ral, la m ayoría d e las cargas aplicadas so b re vigas
es u n a c o m b in ació n de las carg as d e la fig u ra 4-20. L a co n stru cció n d e los
diagram as de m om ento asociados se analizó en e l E jem p lo 4.8. A fin de

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4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O CONSTRUIDOS PO R E l M É T O D O DE SUPERPOSICIÓN 169

4 k/pie

ÍTTTTn

10 p ies — —— 10 pies

I 1IS5 k 2L5Slc*

4 k/pie M (k p ie )

TTTlTn 250

« p ies)

V k>»pp i“e s — - — 10 pi*es 4 -5 0
25 k diagram a d e m om ento resultante

40 Yünfm M (k-pie) « p ies)
« p ies)
200 k -p ie " 10 pies — | -200 « p ies)
+
A l{k-pie)
300 k
- 3001
;!300 k •pie -10 p ie s -
M k-pie)
500 k p ie
500
I
2 0 pies
25 k

25 k

su p erp o sk ió n d e las vigas e n v d a d iz o superposición d e los diagram as d e m om ento asociados
(b)
(a)

H gura 4-21

en ten d e r cóm o se usa el m étodo d e superposición p ara construir e l d ia­
g ram a de m o m en to , co n sid ere la viga sim p le m e n te a p o y a d a q u e se
m uestra e n la p a rte su p erio r de la figura 4-21a. A q u í las reacciones ya se han
calculado, p o r lo q u e e l sistem a de fuerzas so b re la viga p ro d u ce una
fuerza cero y un m om ento resultante. El diagram a de m om ento p a ra este
caso se m u estra en la p a rte su p e rio r d e la figura 4-216. O b serv e q u e
e ste m ism o d iag ram a de m o m en to se p ro d u ce p a ra la viga en voladizo
cuando está som etida a l m ism o sistem a d e cargas estáticam ente equiva­
len tes q u e la viga sim p le m e n te a p o y a d a . E n v ez d e c o n s id e ra r todas las
cargas sobre esta viga d e m an era sim ultánea al trazar e l diagram a d e m o­
m ento, se p u e d e n su p erp o n er los re su ltad o s d e las cargas q u e actú a n p o r
se p a ra d o e n las tre s vigas e n voladizo de la figura 4 .2 1 a .I\)rlo ta n to .s i se
dibuja e l d iag ram a d e m o m en to p ara c a d a viga e n voladizo, figura 4-216,
al su p e rp o n er estos diagram as se obtiene el diagram a de m om ento resul­
ta n te d e la viga sim p le m e n te ap o y a d a . l\» r ejem p lo , co n b ase e n ca d a u n o
d e los d iag ram as d e m o m en to se p arad o s, e l m o m en to e n e l e x tre m o A es
M a - - 2 0 0 - 300 4- 5 0 0 ■ O .c o m o se c o m p r u e b a e n e l d ia g r a m a d e m o ­
m en to su p e rio r d e la fig u ra 4-216. E n alg u n o s c a so s e s m ás fá c il co n stru ir
y utilizar o tra serie de diagram as de m om ento estáticam ente equivalen­
tes p a ra una viga, en lugar d e co n stru ir el d iag ram a d e m o m en to “re s u l­
tan te" d e la viga q u e suele s e r m ás com plicado.

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170 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

D e m anera sim ilar, tam b ién p u ed e sim plificarse la construcción del
diag ram a d e m o m en to “resu lta n te " p a ra u n a viga c o n una superposición
d e v ig as “s im p le m e n te a p o y a d a s ” . P o r e je m p lo , la c a rg a s o b r e la v ig a q u e
se m u e stra e n la p a rte su p e rio r de la fig u ra 4-22a es eq u iv alen te a las c a r­
gas d e la viga q u e se m u estra e n la p a rte in ferio r. E n c o n secu en cia, se
pueden usar lo s diagram as d e m om ento sep arad o s para cada u n a de
estas tres vigas a i vez d e dibujar e l diagram a de m om ento resultante que
s e m u e s tr a e n la fig u ra 4-22¿>.

M (kN m )

2 0 k N ■m 5 kN /m

l i l i l i l i 11 T ) 4 0 k N m x(m )

-12 m - * (m )

M II *(m )

5 kN /i

-12 m -

+ M (kN -m )
-20
20kN *

12m

40 kN -m M (kN m )

-1 2 : x(m>

su p erp o sició n d e vigas sim p lem en te ap oy ad as -4 0
superposición d e lo s diagram as de m om ento asociados
(a)
(b)

Figura 4 -2 2

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4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O CONSTRUIDOS PO R E l M É T O D O DE SUPERPOSICIÓN 171

EJEMPLO 4.16

D ibuje lo s d iag ram as d e m o m en to p a ra la v ig a q u e se m u e stra e n la
p arte superior d e la figura 4-23a usando el m étodo d e superposición.
C b n sid ere q u e la viga está e n v o la d iz o d e sd e e l so p o rte e n ñ .

SO L U C IÓ N
Si la viga e stu v ie ra a p o y a d a e n v o lad izo d e sd e fí, e sta ría so m etid a a
las c a rg a s e s tá tic a m e n te e q u iv a le n te s q u e se m u e s tra n e n la fig u ra
4-23a. A continuación se m uestran las tres vigas e n voladizo su p er­
p u e sta s ju n to c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a so c ia d o s, fig u ra 4-23¿>.
(C om o u n a ay u d a p ara su construcción, revise la figura 4-20.) A unque
no es necesario a q u í, la sum a d e estos diagram as producirá el d ia­
gram a d e m om ento resultante p a ra la viga. C om o una práctica, in­
tente dib u jar este diagram a y com pruebe los resultados.

5 k /p ie

5 k/p ic

150 k w rrlT n T I _

15 p ie s

15 k

150 k •pie

x (pies)

15 pie

225 k

5 k/pie

■x (p ie s ) ^ m - íT Í
'-1 8 7 5
superposición de los diagram as de m om ento asociados I------------------ 15p i e s -----------
(b)
superposición d e las sigas e n voladizo
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(a)

Figura 4-23

172 C a p itu lo 4 C a rg a s in te r n a s d e s a r r o lla d a s en e le m e n to s e s tr u c tu r a le s

EJEMPLO 4.17

D ibuje lo s diagram as d e m om enio p ara la viga q u e se m u estra e n la
p arte su p erio r d e la figura 4-24u, u san d o el m étodo d e superposición.
C o n sid ere q u e la viga e s tá en v o lad izo d e sd e e l p a sa d o r e n A .

S O L U C IÓ N
Las vigas e n voladizo su p erp u estas se m u estran e n la fig u ra 4-24a,
junto con su s diagram as d e m om ento asociados, figura 4-24b. T enga
e n c u e n ta q u e la reacció n e n e l p a sa d o r (22.5 k ) n o se co n sid era ya
q u e no p ro d u ce ningún diagram a de m om ento. C om o u n ejercicio,
com pruebe que e l diagram a d e m om ento resultante es e l que se p re ­
s e n ta e n la p a rte su p e rio r d e la fig u ra 4-246.

M (kpie)

5k/pic

* ( pies)

150 k •pie A f(kpie) í(pies)
-150 x ( pies)

5k/pie



M (kpie)

225 k-pie

15 pies (b)

15 k
superposición de las vigasen vdadizo desde A

(a)

Hgura 4-24

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4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O CONSTRUIDOS PO R E l M É T O D O DE SUPERPOSICIÓN 173

PROBLEMAS

4 -3 8 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo­ *4-40. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
mento para cad a uno d e los tres elem entos del marco. S u­ mento para cada uno de los elem entos d el marco. Suponga
que A es un oscilador y q u e D está articulado.
ponga que el marco está articulado en A . C y D , y que hay
una junta fija en B.

50 kN 40 kN

15 kN/m

,V "
P ro b . 4 -4 0

P ro b . 4 -3 8

4-3 9 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo­ 4 -4 1 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de m o­
mento p ara cada uno de los elem entos d el marco. Suponga mento p a ra cada u n o d e los elem entos d e l marco. Suponga
que el soporte en A es una articulación y en D es un rodillo. que e l m arco está articulado e n B , C y D ,y q u e A está fijo.

0.8 k/pie

6k 6k
3k
t3 k
pies pies
a s k/pie

15 p ie s

Prob. 4-41

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174 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

4 -4 2 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rla n te y d e m o ­ * 4 -4 4 Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
mento para cada uno de los elem entos del marco. Suponga m ento para cada elem ento del marco. Suponga que el
que A está fija, q u e la ju n ta en B e s una articulación, y que marco tiene un soporte de rodillo en A y un soporte articu­
C es un soporte d e rodillo. lado en C.

20 k 1.5 k/pie

Oik/pie R

2k

Prob. 4-42

4 -4 3 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­ 4-4 5 . Dibuje los diagram as de fuerza cortante y de m o­
mento para cada elem ento del marco. Suponga que el mento para cada elem ento del marco. Ixk elem entos están
marco está articulado en A y q u e C e s un rodillo. articulados e n A , B y C.

P rob. 4 4 5

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4 . 5 D A G R A M A S D E M O M E N T O CONSTRUIDOS PO R E l M É T O D O DE SUPERPOSICIÓN 175

4-4 6 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo *4-48. Dibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
mentó para cada elem ento del marco. mento para cada elem ento del marco. I.as juntas en A , fí y
C están articuladas.

Proh. 4-46 Proh. 4-48

4-4 7 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de m o­ 4 -4 9 . D ibuje los d iag ram as de fuerza co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra cada e lem e n to del m arco. S uponga q u e la ju n ta m ento para cada uno de los tres elem entos del marco. Su­
en A está articulada y que el soporte e n C es un rodillo. La ponga que está articulado en tí, C y D y que se encuentra
articulación e n U está fija. L a carga d el v ien to se transfiere a fijo en A.
los elem entos en las correas y largueros desde los segm en­
tos sim plem ente apoyados d e la pared y e l techo.

300 lb/pic

500 Ib/pie

P roh. 4 -47 Proh. 4 -4 9

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176 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

4 -5 0 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga 4-54. Dibuje los diagramas de m om ento para la viga usando
usando e l m étodo de superposición. La viga está en vola­ el m étodo de superposición. C onsidere que la viga está en
dizo d esd e A. voladizo desde el soporte articulado en A.

6 0 0 Ib 6 0 0 Ib 600 Ib 4 -5 5 . Dibuje los diagram as d e m om ento para la viga
usando el m étodo de superposición.Considere que la viga está
en voladizo desde el oscilador en B.

ITTi ~fm4kN/m 30 kN

80 k N •m |

— -I 4 m

8m

4 -5 1 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga Probs. 4-54/4-55
usando el m étodo de superposición.

* 4 -5 6 . D ibuje lo s d iag ram as de m om ento p a ra la vi;
usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga es
en voladizo desd e el ex trem o C.

4 kN/ 30 kN

Prob. 4-51

P ro b . 4 -5 6

*4-52. D ibuje los diagram as d e m om ento p ara la viga 4 -5 7 . Dibuje los diagram as d e m om ento p ara la viga
usando el m étodo de superposicióa Considere que la viga está usando el m étodo d e superposición. C onsidere qu e la viga está
en voladizo desde el extrem o A.
4 -5 3 . Dibuje los diagram as d e m om ento para la viga sim plem ente apoyada e n A y B, com o se m uestra e n la fi­
usando el m étodo de superposicióa C onsidere qu e la viga está gura.
sim plem ente apoyada e n A y e n fl.com o se m u estra e n la fi­
gura. 200 lb/pie 7— i 100

250 lb/pie ar111I1111111111*
20 pies
Probs. 4-52/4-53
Prob. 4 -5 7

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Pr o b lem as d e p r o y e c to 177

PROBLEMAS DE PROYECTO P //

4 -1 P . En la fotografía se m uestra un balcón ubicado e n el 6ft
tercer piso de un m otel. Está construido con u n a losa de
concreto d e 4 pulgadas d e espesor (piedra lisa) la cual se “ J C 4 X 4 !£ 4 4
apoya sobre las cuatro vigas de piso sim plem ente apoyadas, « e s^ 1 pies~*~pies pies pies"
dos trabes laterales en voladizo A B y H G ,y las trabes fron­
tal y posterior. E n la figura adyacente se m uestra e l plano P rob.4-lP
idealizado d e la estru c tu ra con d im en sio n es p ro m ed io . D e
acuerdo con los códigos locales, la carga viva del balcón es
d e 45 psf. D ibuje los diagram as d e fuerza cortante y d e m o­
mento p ara la trabe frontal B G y u n a trabe lateral A B . Su­
ponga que la trabe frontal es u n canal con un peso de 25
Ib/pie y q u e las trabes laterales tienen secciones d e ala
ancha con un peso d e 45 Ib/pie. Ignore el peso de las vigas
d e piso y de la baranda frontal. Para esta solución considere
cada una de las cinco losas com o losas d e d o s vías.

4 -2 P . El pabellón que se m uestra en la fotografía propor­
ciona resguardo a la entrada de un edificio. C onsidere que
todos los elem entos están sim plem ente apoyados. Las barras
d e a p o y o e n C, I). F., F tienen un p e so d e 135 Ib y u n a longi­
tud d e 20 pies cada una. El techo tiene 4 pulgadas d e es­
pesor y debe ser de concreto ligero con una densidad de
102 lb/picJ. Se supone q u e la carga viva causada p o r la acumu­
lación d e nieve es trapezoidal, con 60 psf a la derecha (co n ­
tra la pared) y 20 psf a la izquierda (en la saliente). Suponga
que la losa de concreto está sim plem ente apoyada en tre las
vigas. D ibuje lo s diagram as de fuerza c o rta n te y efe m o ­
mento para la viga lateral A B . No tom e en cuenta su peso.

Prob. 4 -2 P

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178 C a p it u l o 4 C a r g a s in t e r n a s d e s a r r o l l a d a s en e l e m e n t o s e s t r u c t u r a le s

4 -3 P . En la figura se m uestra el plano estructural ideali­ H H
zado d e un sistema d e piso localizado en el vestíbulo d e un
edificio d e oficinas. Hl piso es d e concreto reforzado con 8 pies
piedra de 4 pulgadas de espesor. Si las paredes del hueco
d el elev a d o r e stán hech as con m an ip o stería d e c o n c re to li­ pies H
gero sólido de 4 pulgadas de espesor, y tienen una altura de
10 pies, d eterm in e e l m o m en to m áx im o e n la viga A R . Ig­ Hueco
nore el peso de los elem entos. del

e le v a d o r

8 pies /
D M

L _ « Pi „ _ L 6 pies—I—6 pies—

Proh. 4 -3 P

REPASO DEL CAPITULO convención de signosposáivos

Los elem entos estructurales som etidos a cargas planas — x,—
soportan una fuerza normal interna N. una fuerza cor­ -x2-
lante V y un m om ento flexionante M. Para encontrar
estos valores en un punto específico de un elemento, ■Xy
debe usarse el m étodo d e las secciones. Para ello e s ne­
cesario dibujar un diagram a d e cuerpo libre de un seg­
mento del elemento, y después aplicar las tres ecuaciones
de equilibrio. Siempre muestre las tres cargas internas
sobre la sección e n sus direcciones positivas.

La fuerza cortante y de m om ento puede expresarse en
función d e x a lo largo d el elem ento a l establecer el
origen en un punto fijo (norm alm ente en el extrem o
izquierdo del elem ento, p ara después usar el m étodo
de las secciones, donde se realiza la sección a una dis­
tancia x desde e l origen). Para los elem entos som eti­
dos a cargas diversas deben extenderse diferentes
coordenadas * entre las cargas.

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