Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

Análisis de armaduras 3
estáticam en te
d eterm in ad as

En este c a p ítu lo se de sarro llará n lo s p ro c e d im ie n to s para analizar ar­
m aduras e stá tica m e n te d e te rm in a d a s s ig u ie n d o e l m é to d o d e los
n o d o s y el d e la s se ccione s. Sin e m b a rg o , p rim e ro se a n a liza rá n la d e ­
te rm in a c ió n y la e s ta b ilid a d d e u n a a rm a d u ra . D e s p u é s se c o n s id e ra rá
el análisis d e tre s tip o s d e arm a du ras plana s: sim ples, c o m p u e sta s y
com p lejas. P o r ú ltim o , al final d e l c a p ítu lo se realizará e l análisis de
u ia arm a d u ra espacial.

. !!!

3 .1 T ipos com unes d e arm aduras t- v X / i.

U na arm adura es una estructura com puesta d e elem entos delgados uni­ t flL
dos en sus extrem os. Los elem entos q u e se usan com únm ente en la cons­
trucción consisten en p u n tales d e m adera, b arras d e m etal, ángulos o l a placa d e em palm e s e usa p ara co n ectar
canales. I.as conexiones e n las ju n ta s su elen form arse a l e m p ern ar o so l­ o ch o elem entos d e la arm ad u ra q u e so p o rta
d a r los ex trem o s d e los e lem en to s a una placa co m ú n , llam ad a placa de la e s t r u c t u r a d e u n ta n q u e d e a g u a .
em palm e, com o se m uestra e n la figura 3-1, o sim plem ente p asan d o un
perno o u n pasador de gran tam año a través de cada uno de los elem en­
tos. I j is a rm a d u ra s p lan as s e u b ic a n e n u n so lo p lan o y a m e n u d o s e e m ­
plean com o so p o rte (apoyo) d e tech o s y puentes.

Figura 3-1 79

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80 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

cu erd a superior

cuerda inferior
3 esefímero

Rgura 3-2

A u n q u e so n m ás decorativas q u e estru ctu ra­ Armaduras de techo. Las arm aduras de techo se su elen utilizar
les, estas arm a d u ra s P ra tt sim p les se u san
p a ra la e n tra d a d e u n edificio. com o parte de u n m arco d e construcción industrial, com o e l que se
m u e stra e n la fig u ra 3-2. E n e s te caso , la c a rg a d el tech o se tra n sm ite a la
a r m a d u r a e n la s ju n t a s a tr a v é s d e u n a s e r i e d e la r g u e r o s . I>a a r m a d u r a
d e tech o , ju n to c o n su s co lu m n as d e so p o rte se d e n o m in a caballete. Por
lo g e n e ra l, las arm ad u ras d e tech o se so stien en ta n to p o r co lu m n as de
m adera, acero o concreto reforzado, o p o r m edio d e m uros d e m anipos­
tería. P ara m a n te n e r e l cab allete rígido y, p o r lo ta n to , capaz d e resistir
las fu e rz a s h o rizo n tales d e l vien to , e n o casio n es se usan e sq u in e ro s en las
colum nas d e so p o rte. E l espacio e n tre los cab alletes adyacentes s e c o ­
noce com o bahía. L as bahías están económ icam ente espaciadas a unos
15 p ie s (4 .6 m ) p a r a c la r o s a l r e d e d o r d e 6 0 p ie s (1 8 m ) , y c e r c a d e 2 0 p ie s
(6.1 m ) p a ra c la ro s d e 100 p ie s (3 0 m ). C o n fre c u e n c ia , las b a h ía s e stá n
u n id as e n tr e s í m ed ian te re fu e rz o s d iag o n ales a fin d e m a n te n e r la rig i­
dez d e la e stru c tu ra del edificio.

Las arm aduras em pleadas para so p o rtar techos se seleccionan con
base e n e l claro, la p en d ien te y el m aterial del techo. A lgunos d e lo s tipos
d e a rm a d u ra s utilizados c o n m ay o r frecuencia se m u estran en la figura 3-3.
E n p a r t ic u l a r , la a r m a d u r a d e t i je r a s , fig u ra 3-3<?, p u e d e u s a r s e p a r a c la ­
ros cortos q u e req u ieren un espacio superior. Las arm aduras H ow e y
P ratt, figuras 3b y 3-3c, se usan para techos de claro m oderado, ap ro x i­
m ad am en te en tre 60 p ies (1 8 m ) y 100 p ies (30 m ). Si se req u ieren claros
m ás g ran d es p ara so sten er el tech o p u ed en em plearse las arm ad u ras de
abanico o Fink, figuras 3-3d y 3-3e. E stas arm aduras p u ed en construirse
c o n una c u e rd a in ferio r c o n v e x a .c o m o la q u e se m u estra e n la fig u ra 3-3f.
Si se selecciona un tech o p lan o o casi plano, a m enudo se usa la arm a­
du ra W arren, fig u ra 3-3g. A dem ás, las arm ad u ras H o w e y P ra tt tam b ién
p u ed en m odificarse p a ra techos planos. Las arm ad u ras d e sierra, figura
3-3/i,suelen em plearse donde e l espacio en tre colum nas no e s objetable y
la ilum inación u n ifo rm e e s im p o rtan te. U na fáb rica textil se ría u n e je m ­
plo. Las arm ad u ras d e cu erd as, fig u ra 3-3i, se seleccionan e n ocasiones
p a ra talleres y han g ares de av io n es p eq u eñ o s; y la a rm a d u ra d e arco , fi­
gura 3-3/, aunque es relativam ente costosa, pu ed e usarse p a ra construc­
ciones con grandes altu ras y claros am plios com o en casas d e cam po,
gim nasios, etcétera.

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3.1 T p o s comunes de armaduras 81

lecho^ ¡ech o n a

^ Y*/ \/ / \ vcn,ana - í ^ / / \v e n ia n a
de sierra
<h)

arco de tres bisagras
0)

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82 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

refuerzo cuerda superior
a (n traladeo
refuerzo
lateral

s u p e rio r

refuerzo
de portal

largueros c u b ie rta

p o sle final
de portal

Para soportar este puente se usan Arm aduras de puente. En la figura 3-4 se m uestran los p rin cip a­
armaduras Parker.
les elem entos estructurales d e u n a arm ad u ra d e p u e n te típica. A quí
puede observarse q u e u n a carg a so b re la cubierta se transm ite e n p rim er
lu g ar a los largueros, d esp u és a las vigas d e p is o y.fin alm en te, a las ju n tas
d e las dos arm ad u ras laterales d e soporte. Las cuerdas su p erio r e in ferio r de
las vigas laterales se co n ectan m ediante los refuerzos laterales su p e rio r e
inferior, q u e sirven p ara resistir las fuerzas laterales causadas p o r el
viento y e l desplazam iento lateral causado p o r los vehículos e n m ovi­
m ien to so b re e l p u en te. Los soportes de p o rta l y contraladeo p ro p o rcio ­
nan estabilidad adicional. A l igual q u e e n e l caso d e m uchas arm ad u ras
de claro am plio, en un ex trem o d e la arm ad u ra de p u en te se encuentra
un rodillo p ara p erm itir la expansión térm ica.

E n la fig u ra 3-5 se m u estran alg u n as d e las form as típicas d e arm ad u -
ras d e p u e n te q u e s e usan actu a lm en te p a ra claro s individuales. E n p ar-
ticular, las arm ad u ras P ratt. H ow e y W arren se usan norm alm en te p ara
d a r o s d e h a s ta 2 0 0 p ie s (61 m ) d e lo n g itu d . 1.a fo rm a m ás c o m ú n e s la a r ­
m adura W arren con verticales, fig u ra 3-5c. P a ra claro s m ayores se usa
una a rm a d u ra c o n u n a c u e rd a su p e rio r p o lig o n al, co m o la a rm a d u ra P a r­
k er, fig u ra 3 -5 d ,a fin d e lo g r a r a h o rr o s e n m a te ria l. 1.a a rm a d u ra W a rre n
con verticales tam bién puede fabricarse d e esta m anera p a ra claros de
hasta 300 p ie s (91 m ). L a m ay o r e c o n o m ía e n m aterial se o b tie n e s i las
diagonales tienen una inclinación e n tre 45° y 60° resp ecto a la horizontal.
Si e s t a r e g l a s e m a n tie n e , e n to n c e s p a r a c la r o s d e m á s d e 3 0 0 p ie s (9 1 m ),
la p ro fu n d id ad d e la a rm ad u ra d eb e au m en tar y. e n consecuencia, el panel
se alarg ará. E sto se trad u ce e n un sistem a d e cu b ierta p esad a y, p ara
m a n te n e r el p e so d e la c u b ie rta d e n tro d e lo s lím ites to le ra b le s, s e h an
desarrollado arm aduras subdivididas. E ntre los ejem plos m ás com unes
están las a rm a d u ra s B altim o re y W arren subdivididas, fig u ras 3-5e y 3 -5 /
R k últim o, la a rm a d u ra K q u e s e m u e stra e n la fig u ra 3-5g tam b ién
puede utilizarse en lugar d e una arm ad u ra subdividida. d ad o q u e cum ple
el m ism o propósito.

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(a)

W urrcn (con verticales)
(c)

W arrcn subdivxlida

(0
annadura K

(g)
Figura 3-5

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84 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

Supuestos para el diseño. P ara d ise ñ a r ta n to los elem en to s

co m o las conexiones d e u n a a rm a d u ra , a n te s h a y q u e d e te rm in a r la
fu e r za desarrollada e n cada elem en to cu an d o la viga e stá som etida a una
c arg a d a d a . A e ste re sp e c to se h a rá n d o s su p u esto s im p o rtan tes c o n e l fin
de idealizar la arm adura.

1. L o s elem entos están unidos m ediante pasadores lisos. E n los casos
en que se usan conexiones atornilladas o soldadas, este supuesto
suele s e r satisfacto rio sie m p re q u e las lín eas c e n tra le s d e los e le ­
m en to s unidos se a n c o n c u rre n te s e n u n p u n to , co m o e n la fig u ra 3-1.
Sin em b arg o , d e b e te n e rse e n c u en ta q u e las co n ex io n e s reales le
d a n u n p o c o d e rigidez a la artic u la c ió n y e sto a su v e z in tro d u c e la
flexión de los e lem en to s co n e c ta d o s c u an d o la viga e stá so m e tid a a
una carg a. E l esfu erzo flex io n an te ( o d e flexión) d esa rro lla d o e n los
elem entos se d en o m in a esfuerzo secundario, m ientras q u e e l es­
fuerzo e n los elem en to s d e la a rm ad u ra idealizad a, q u e tien en ju n ­
tas articu lad as.se llam a esfuerzo prim ario. U n análisis d el esfuerzo
secundario d e una arm adura se puede efectuar utilizando una com pu­
tad o ra, com o se explica e n e l capítulo 16. P ara algunos tipos d e g e o ­
m etrías d e arm ad u ra estos esfuerzos p u ed en se r grandes.

2. Todas las cargas se aplican en las ju n ta s. E n la m ay o ría d e situ a c io ­
nes. com o en e l caso d e arm aduras p ara puentes y techos, este su ­
puesto es v erd ad ero . C on frecuencia e n e l análisis d e fueizas. el
peso d e los elem entos se desprecia, d ad o q u e la fuerza soportada
p o r los e lem en to s e s g ran d e e n co m p aració n c o n su peso . S i e l p eso
se v a a incluir e n e l análisis, p o r lo g en eral resu lta satisfactorio a p li­
carlo com o u n a fuerza vertical, d o n d e la m itad d e su m agnitud se
aplica e n c a d a ex trem o d e l elem ento.

D ebido a esto s d o s supuestos, cada elem ento d e una arm adura actúa
c o m o u n m ie m b r o d e f u e r z a a x ia l y, p o r k» ta n to , la s fu e r z a s q u e a c tú a n
e n los ex trem o s d e l ele m e n to d e b e n e sta r d irig id as a lo larg o d e su eje. Si
la fu erza tie n d e a alargar d e le m e n to , se tr a ta de u n a fu e rza d e tensión
(7^, figura 3-6a; m ientras q u e si la fu e r/a tiende a acortar d elem en to , es
u n a fu e r z a d e c o m p re s ió n ( Q , fig u ra 3-6¿>. E n e l d is e ñ o re a l d e u n a a r ­
m ad u ra e s im p o rta n te e sta b le c e r si la fu erza e s d e te n sió n o d e c o m p re ­
sió n . M uy a m enudo, los e le m e n to s su jeto s a co m p resió n d e b e n e sta r
fabricados m ás gruesos que los som etidos a tensión, debido al p an d eo o
la inestabilidad súbita q u e p u ed e ocurrir en los elem en to s sujetos a com ­
p re s ió n .

c C
<b)

Figura 3-6

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3 .2 C lA S lR C A C Ó N DE ARMADURAS COPLANARES 85

3 .2 Clasificación de arm aduras coplanares

A ntes de c o m e n /a re l análisis d e fuerzas d e una arm ad u ra.es im portante
clasificar la arm ad u ra co m o sim ple, com puesta o com pleja, p a ra en to n ­
ces te n e r la capacidad d e especificar su determ in ació n y su estabilidad.

A rm adura sim ple. P ara e v ita r el co lap so , el m arco de u n a a rm a ­

d u ra d e b e s e r rígido. O b v ia m e n te , el m arco d e c u a tro b a r r a s /lf lC D d e la
figura 3-7 s e co lapsará a m enos q u e se artada u n a d iag o n al d e so p o rte,
com o A C . El m arco m ás sim ple q u e e s rígido o estable tiene la form a de
un triángulo. E n consecuencia, una arm adura sim p le se construye a p a r­
tir de un elem en to básico triangular, com o e l A B C de la figura 3-8. c o ­
n e c ta n d o d o s e le m e n to s (A D y B D ) p a ra fo rm a r u n e le m e n to ad icio n al.
D e esta m anera, s e o b serva q u e al colocar cada elem en to adicional de
dos elem en to s en la arm adura, el núm ero d e articulaciones se incre­
m enta en uno.

En la figura 3-9 se m uestra un ejem plo d e u n a arm adura sim ple,d o nde
el elem ento triangular “estab le" básico e s A B C , a p artir d el cual se esta­
blece el resto d e las articulaciones D , E y F e n o rd en alfabético. Sin em ­
bargo. para este m étodo d e construcción es im portante tom ar en cuenta
que las arm aduras sim ples no tienen que coasistir enteram ente e n trián ­
gulos. E n la fig u ra 3-10 se m u estra u n e jem p lo d e esto , d o n d e a p a rtir de
un triángulo A B C se agregan las b arras C D y A D p ara form ar la ju n ta D .
P or últim o, s e ag reg an la s b a rra s B E y D E p a ra fo rm a r la ju n ta E.

arm ad u ra sim ple arm ad u ra sim ple
fig u ra 3 -9 fig u ra 3-10

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86 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

A r m a d u r a c o m p u e s t a . U n a arm adura com puesta se form a al co­
nectar dos o m ás arm aduras sim ples en tre sí. C on m ucha frecuencia este
tip o d e a rm a d u ra se usa p a ra so p o rta r las cargas q u e a ctú a n so b re u n claro
a m p lio , p u esto q u e es m ás b arato co n stru ir u n a arm ad u ra co m puesta un
p o co m ás ligera q u e utilizar só lo u n a arm adura sim ple m ás pesada.

H ay tres form as en q u e las arm aduras sim ples se unen p ara form ar una
arm ad u ra com puesta. Las arm aduras pueden estar conectadas m ediante
u n a ju n ta co m ú n y u n a b a rra . E n la figura 3-1 la se p ro p o rcio n a u n ejem ­
plo, d o n d e la a rm a d u ra so m b re a d a A B C está co n e c ta d a a la a rm a d u ra
som breada C D E de esta m anera. la s arm aduras pueden unirse m e­
diante tres barras, com o en el caso de la arm ad u ra so m b read a A B C co­
nectada a la a rm a d u ra D E F m ás g ran d e, fig u ra 3.116. Y. p o r últim o, las
arm aduras p u ed en unirse e n los puntos d o n d e las b arras d e u n a arm a­
dura sim ple d e g ran tam año, llam ada arm adura principal, s e han susti­
tu id o p o r a rm a d u ra s sim ples, llam ad as arm aduras secundarias. E n la
figura 3-1 le se m u estra u n ejem p lo , d o n d e los e lem en to s so m b re a d o s de
h arm adura principal A B C D E han sid o sustituidos por las arm ad u ras se­
cundarias som breadas. S i esta arm adura so p o rta carg as d e techo, el uso
de arm aduras secundarias po d ría resultar m ás económ ico, ya q u e los e le ­
m entos trazados con líneas discontinuas p u ed en estar som etidos a fle­
xión excesiva, m ien tras q u e las arm a d u ra s secu n d arias p u e d e n tra n sfe rir
m ejor la carga.

A rm a d u ra c o m p le ja . U na arm adura com pleja es aquella que no
p u e d e clasificarse co m o sim p le o co m p u esta. l a a rm ad u ra d e la figura 3-12
es u n ejem plo.

principal

(c)

D iferentes tip o s de arm aduras com puestas

F ig ó n 3-11

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3 .2 C lA S lR C A C Ó N DE ARMADURAS COPLANARES

D e te rm in a c ió n . Para cualquier problem a en e l análisis de arm aduras
d e b e ten erse e n cu enta q u e el n ú m ero to ta l d e incógnitas incluye las
fuerzas e n el núm ero b de barras d e la arm adura y e l núm ero to tal r de
reaccio n es e x te rn a s e n los so p o rtes. C o m o los e le m e n to s d e la a rm a d u ra
son to d o s m iem b ro s recto s de fu erza axial q u e se ubican e n el m ism o
piano, el sistem a d e fuerzas q u e a c tú a e n cada ju n ta es coplanar y co n cu ­
rrente. E n consecuencia, el eq u ilib rio ro tacio n al o d e m o m en to se satis­
face d e m anera autom ática e n la junta (o articulación), y sólo e s necesario
satisfacer 1 F , = 0 y 2F y = 0 p a ra asegurar e l equilibrio d e traslación o
de fuerzas P or lo tanto, sólo pueden escribirse dos ecuaciones d e eq u ili­
brio p a ra cad a ju n ta , y si hay un n ú m e ro ; de juntas,el total d e ecuaciones
disp o n ib les p a ra la so lu ció n e s 2;\ Si sim p le m e n te se c o m p a ra el to ta l d e
in c ó g n ita s (/> + r ) c o n e l d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s .e s p o s i­
ble especificar la d eterm in ació n de una a rm a d u ra sim ple, co m puesta o
com pleja. Se tiene

b + r = 2; estáticam ente d eterm inada (3 -1 )
b + r > 2) estáticam ente indeterm inada

E n p artic u la r, e l grado d e in d eterm in a ció n x especifica p o r la d iferen cia
e n lo s n ú m e r o s ( b + r ) - 2/'.

Estabilidad. Si b + r < 2jt u n a a rm a d u ra s e rá inestable, es decir, se

colapsará p o rq u e habrá u n a cantidad insuficiente d e barras o reacciones
para restringir todas las juntas. A dem ás, una estru ctu ra puede ser inesta­
ble si es estáticam en te d e te rm in a d a o estáticam en te in d eterm in ad a. En
este caso, la estabilidad te n d rá q u e d eterm in arse p o r inspección o m e­
diante un análisis d e fueizas.

E s ta b ilid a d e x te r n a . C om o se estableció e n la sección 2-4, una es­
tructura (o arm adura) es externam ente inestable s i todas su s reacciones
son concurrentes o paralelas. Por ejem plo, las d o s arm ad u ras d e la figura
3-13 so n e x te rn a m e n te in estab les p o rq u e las reaccio n es e n lo s so p o rte s
tienen líneas d e acción q u e son o co n cu rren tes o paralelas.

t\ t

reacciones concurrentes inestables reacciones p aralelas inestables

ligara 3-13

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88 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

F ig u ra 3 -1 4 E s ta b ilid a d in te r n a . C on frecuencia la estabilidad interna d e u n a a r­
m ad u ra p u e d e co m p ro b a rse m e d ia n te u n a inspección cu id a d o sa d e la
disposición d e su s elem entos. Si es posible d eterm in ar q u e cada ju n ta se
m antiene fija d e m o d o q u e no p u ed e m overse e n el sen tid o de un
"c u e rp o ríg id o " c o n re sp e c to a las o tra s ju n ta s , e n to n c e s la a rm a d u ra
será estable. O bserve q u e una arm adura sim ple siem pre será interna­
m ente estable, d ad o q u e p o r la natu raleza de su construcción req u iere
p artir d e un elem en to trian g u lar básico p ara después ag reg ar sucesivos
“e le m e n to s ríg id o s” , c a d a u n o c o n d o s e le m e n to s a d ic io n a le s y u n a
junta. La arm adura d e la figura 3-14 es u n ejem plo de e sta construcción,
donde, a p artir d el elem ento triangular som breado A B C ,se agregan su ­
cesiv am en te las ju n ta s D , E , F , G y H.

Si una arm ad u ra se construye d e m anera q u e sus ju n tas n o s e m an tie­
nen en una posición fija, será inestable o ten d rá u n a “form a crítica". Un
ejem p lo claro d e e s to se m u estra e n la fig u ra 3-15, d o n d e p u e d e o b s e r­
varse q u e n o h ay restricció n o fijeza e n tre las ju n ta s d e C y F o R y E .p o r
lo q u e la a r m a d u r a c o la p s a rá b a jo c a rg a .

H gura 3-15

Para determ inar la estabilidad interna d e una arm adura com puesta, es
necesario identificar la form a e n q u e las arm ad u ras sim ples e stá n conec­
tadas e n tre sí. Por ejem plo, la a rm ad u ra co m p u esta d e la figura 3-16 es
inestable p u esto q u e la arm ad u ra sim ple in terio r A B C está conectad a a
la a rm a d u ra sim p le e x te rio r D E F m e d ia n te tre s b a rra s, A D , B E y C F,
q u e s o n concurrentes en el p u n to O . ft>r lo ta n to , p u e d e ap licarse una
carg a ex tern a a la ju n ta A , B o C y ocasio n ar q u e la arm a d u ra A B C gire
ligeram ente.

H g ura 3 -16

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3 .2 C lA S in C A G Ó N DE ARMADURAS COPIANARES 89

Si u n a a rm ad u ra se id en tifica co m o com pleja, es posible q u e no se
pueda e sta b le c e r p o r inspección si e s estab le. ft>r ejem p lo , p u e d e d e m o s­
trarse, m e d ia n te el an álisis p re s e n ta d o e n la secció n 3.7, q u e la a rm a d u ra
co m p leja d e la figu ra 3-17 e s in estab le o tie n e u n a “fo rm a c rític a " sólo si
la d im en sió n d = d '. Si d * d ' la a rm a d u ra e s estab le.

La inestabilidad d e cu alq u ier form a de arm ad u ra, ya sea sim ple, com ­
puesta o com pleja, tam bién pu ed e determ inarse utilizando una com pu­
tad o ra q u e resu elv a las 2j ecu acio n es sim u ltá n e a s escrita s p a ra to d a s las
juntas d e la arm adura. Si se ob tien en resultados inconsistentes, la arm a­
d u ra será inestable o ten d rá una form a crítica.

Si n o se realiza u n análisis co n co m p u tad o ra, p ueden utilizarse lo s m é­
to d o s d escrito s a n te rio rm e n te p a ra c o m p ro b a r la e sta b ilid a d d e la a rm a ­
dura. A m odo de resum en, si la arm ad u ra tiene b barras, r reacciones
externas y j juntas, entonces si

b + r = 2j es inestable
b + r a 2j es in estab le si las reaccio n es e n los
soportes d e la arm adura son
c o n c u rre n te s o p a ra le la s o si (3 -2 )
algunos d e los com ponentes d e la
arm adura form an u n m ecanism o
colapsable.

Sin em b arg o , d e b e te n e rse en c u e n ta q u e s i una a rm a d u ra e s inestable, n o
im porta si es estáticam ente determ inada o indeterm inada. O bviam ente, el
uso d e u n a arm ad u ra inestable d eb e evitarse en la práctica.

Figura 3-17

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90 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

C lasifique c a d a u n a d e las a rm a d u ra s d e la fig u ra 3.18 c o m o e sta b le ,
inestable, estáticam ente d eterm in ad a o estáticam ente indeterm inada,
l^as a rm a d u ra s e s tá n so m e tid a s a c a rg a s e x te rn a s a rb itra ria s , las c u a ­
les se su p o n en conocidas y p u ed en actuar e n cualquier p u n to d e las
vigas.

S O L U C IÓ N

F ig u ra 3 - 1 8 a . Estable externam ente, p u esto q u e las reacciones no
so n co n cu rren tes n i paralelas. C o m o b ■ 19, r = 3 . / ° 11, e n to n c e s b
+ r ■ 2 j o 22 - 22. Por lo tanto, la a rm a d u ra e s estáticam ente determ i­
n a d a . P o r inspección, la a rm a d u ra es estable internam ente.

(a)
figura 3-18

F ig u ra 3 - 1 8 b . E stable extern a m en te. C o m o b = 15, r = 4 ,;' = 9,
e n to n c e s b + r > 2 j o 19 > 18. L a a rm a d u ra e s está tica m en te in d e te r­
m inada de p rim er grado. Por inspección, la arm ad u ra es estable interna­
m ente.

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3 .2 C lA S lR C A C Ó N DE ARMADURAS COPLANARES 91

Figura 3 -1 8c. Estable externam ente. C om o b = 9 ,r = 3 , / = 6 ,e n to n ­
ces b + r = 2 j o 12 = 12. La a rm ad u ra e s estáticam ente determ inada.
R>r inspección, la a rm a d u ra es estable internam ente.

(c)

Figura 3 -1 8 d . Estable externam ente. C om o b = 12, r « 3 ./ = 8, e n ­
to n c es b + r < 7 j o í 5 < 16. L a a rm a d u ra e s in esta b le in tern a m en te.

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92 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

PR O BLEM AS

3-1. G asifique cada una d e las arm aduras siguientes com o 3-2. G asifique cada una de las arm aduras siguientes como
estáticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada estable, inestable,estáticamente determ inada o estáticamente
o inestable. Si es indeterm inada,establezca su grado. indeterm inada. Si es indeterm inada.establezca su grado.

(a)

(b)

(c) P ro b .3 -2
Proh. 3-1

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3 .2 C l a s if ic a g ó n DE ARMADURAS COPLANARES 93

3-3. Clasifique cada una d e las siguientes arm aduras com o *3-4. Clasifique cada una de las siguientes arm aduras como
estáticam ente determ inada, indeterm inada o inestable.Si es estáticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada
indeterm inada, establezca su grado. o inestable. Si es indeterm inada, establezca su grado.

(a)
(a)

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94 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

3 . 3 El m é to d o d e lo s n o d o s

Si u n a arm adura está e n equilibrio, entonces cad a una d e sus ju n tas o

nodos tam bién d eb e estar en equilibrio. Por consiguiente, e l m étodo de

los nodos consiste en satisfacer las condiciones d e eq u ilib rio 2 F , = 0 y

I F y — 0 p a ra las fu e r/a s ejercid as sobre e l pa sa d o r e n cada ju n ta d e la a r­

m adura.

C uando se utiliza e l m étodo d e lo s nodos, e s necesario dibujar e l d ia­

gram a d e cu erp o libre d e cad a ju n ta antes d e ap licar las ecuaciones de

equilibrio. R ecuerde q u e la línea de acción de cada fuerza de un e le ­

m e n to q u e ac tú a so b re la ju n ta se especifica a p a rtir d e la g e o m e tría d e la

arm ad u ra, p u esto q u e la fuerza e n un ele m e n to p a sa a lo larg o d e su eje.
C o m o e je m p lo .c o n s id e re la ju n ta B de la a rm a d u ra q u e se m u e stra e n la
fig u ra 3-19a. C o n b ase e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re, fig u ra 3-19b , las

únicas in có g n itas s o n la s m a g n itu d es de las fu e rz a s e n los e le m e n to s B A
y B C . C o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a , FBA e s tá “j a l a n d o " e l p a s a d o r , k) q u e

indica q u e el elem en to B A está e n tensión, m ientras q u e está “em p u ­

ja n d o " e l p asad o r y. p o r consiguiente, e l elem en to B C está e n co m p re­
sió n . E sto s efecto s se d e m u e stra n c la ra m e n te al u sa r e l m éto d o d e las

seccio n es y a l a isla r la ju n ta c o n p e q u e ñ o s seg m e n to s de los e le m e n to s

co n ectad o s a l p asad o r, figura 3-19c. O b serv e q u e el h ech o d e e m p u ja r o
ja la r e sto s p e q u eñ o s seg m en to s indica e l efecto d e los e lem en to s y a sea

en com presión o e n tensión.

E n to d o s los caso s, el análisis d e las ju n ta s d eb e c o m e n z a r e n u n a ju n ta

co n tan d o con al m enos una fuerza conocida y un m áxim o de dos fuerzas

d e sc o n o c id a s, c o m o e n la fig u ra 3-19¿>. D e e s ta m a n e ra , la a p lic a c ió n d e

1 F , = 0 y 2F y = 0 g en era dos ecuaciones algebraicas que pueden reso l­

v erse p a ra d e te rm in a r las d o s incógnitas. A l a p lic a r e sta s ecu acio n es, el

sentido correcto d e una fuerza desconocida d e u n elem en to puede d eter­

m inarse m ediante alguno d e los d o s m étodos posibles.

500 N

K FB(-(c o m p resió n )

Fjm (tensión)
(b )

500N

FK (com presión)
Fjm (tensión)

(a ) (c)
Figura 3-19

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3 .3 E l M ÉTO DO D E LOS NO DO S

Siem pre su p o n g a q u e las fu e rza s desconocidas d e los elem entos q u e
actúan en e l diagram a d e cuerpo libre d e la ju n ta están e n tensión, es
decir, "ja la n d o " e l p a sa d o r. Si s e h a c e e s to , e n to n c e s la so lu ció n
num érica d e las ecuacio n es d e e q u ilib rio p ro d u cirá escalares p o si­
tivos para los elem entos en tensión y escalares negativos p ara los
elem entos e n com presión. U n a vez q u e s e en cu en tre la fu erza d e s­
conocida d e un elem en to , d eb e utilizarse su m agnitud y sentido
correctos (T o C )e n los diag ram as d e cu erp o libre d e las ju n tas su b ­
secuentes.
En m uchos casos, e l sentido correcto d e la dirección d e una fu e rza
desconocida d e u n elem en to p u e d e d eterm inarse "m e d ia n te in sp e c ­
c ió n ". P o r e je m p lo , F Bc e n la fig u ra 3-19¿> d e b e e m p u j a r e l p a s a d o r
(com presión) ya que su com ponente horizontal, F bc sen 45°, debe
e q u ilib ra r la fu erza d e 5 0 0 N ( 2 F Z = 0). D el m ism o m o d o , F ^ es
una fuerza d e tensión, d ad o q u e equilibra la co m p o n en te vertical,
E sc eos 45° ( 2 F y = 0). En caso s m ás com plicados, el sen tid o de una
fu e rz a d e e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e su p o n e r s e ’, e n to n c e s , d e s p u é s
d e a p li c a r Las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l s e n tid o s u p u e s to p u e d e
verificarse a p a rtir d e los resultados num éricos. U na resp u esta posi­
tiva indica q u e el sen tid o es correero,m ientras q u e una resp u esta ne­
gativa indica q u e el sen tid o m ostrado e n el diagram a de c u erp o
libre d e b e invertirse. É ste e s e l m éto d o q u e se u tilizará en los p ro ­
blem as d e ejem p lo q u e s e p resen tan a continuación.

Procedim iento de análisis

El siguiente procedim iento pro p o rcio n a un m edio p ara analizar u n a arm ad u ra usan d o el
m éto d o d e los nudos.

• D ibuje el diagram a d e c u erp o libre d e u n a ju n ta con al m enos una fuerza co n o cid a y
un m áx im o de d o s fu erzas desconocidas. (S i e sta ju n ta se e n c u e n tra e n u n o de los so ­
portes, puede s e r necesario calcular las reacciones e x tern as e n los so p o rtes dibujando
un diagram a de cu erp o libre d e to d a la arm adura).

• U tilice u n o d e los d o s m éto d o s d escrito s a n te s p a ra estab lecer el se n tid o d e u n a fu erza
desconocida.

• Los ejes x y y deben o rien tarse d e m odo q u e las fuerzas e n e l diagram a d e c u erp o libre
puedan descom ponerse fácilm ente en sus com ponentes x y y .A plique las d o s ecuacio­
nes d e equilibrio d e fuerzas, 2F X = 0 y 2 F t = 0, o b ten g a las d o s fuerzas d e elem en to
desconocidas y verifique su sentido d e dirección correcto.

• C o n tin u a r co n el an álisis d e ca d a u n a d e las o tra s ju n ta s ,d o n d e d e n u ev o e s n ecesario
elegir una ju n ta q u e ten g a c o m o m áxim o d o s incógnitas y p o r lo m en o s u n a fu e rz a c o ­
nocida.

• U na vez q u e se en cu en tra la fu erza e n un elem ento a p artir d el análisis d e una ju n ta en
uno d e su s ex trem os, e l resu ltad o p u ed e usarse p ara an alizar las fuerzas q u e actúan
so b re la ju n ta ubicada en s u o tro extrem o. R ecuerde q u e u n elem en to e n com presión
“e m p u ja " a la ju n ta y u n e le m e n to e n te n sió n “ja la " a la a itic u la rió n .

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96 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

D eterm ine la f u e r a en cada elem ento d e la arm adura q u e se m uestra en
la fotografía. L a s d im e n sio n e s y las carg as s e m u e stra n e n la fig u ra 3-2tto.
Indique si los e lem en to s e stá n e n ten sió n o e n com presión.

S O L U C IÓ N
S ólo e s n ecesario d e te rm in a r la s fu e rz a s e n la m itad d e los e lem en to s,
puesto q u e la arm ad u ra e s sim étrica tanto con respecto a la carga
co m o a la geom etría.

Junta A , fig u ra 3 - 2 0 b . El análisis puede iniciarse en la ju n ta A .
¿P or q u é? E l diagram a de cu erp o libre se m uestra en la figura 3-206.

+ í 2 /> = 0; 4 - Fa c sen 30° = 0 F AC = 8 k N (C ) Resp.
:+ S F , = 0 ; F AB - 8 e o s 3 0 ° = 0
F AB = 6.928 k N (T ) Resp.

Junta G, fig u ra 3 -2 0 c . E n este caso, o b serve cóm o la orientación
de los e je s x y y ev ita la so lu ció n sim u ltá n e a d e ecuaciones.

+ \"L F y = 0; F gb sen 60° - 3 eos 30° = 0

F cb = 3.00 kN (C ) Resp.
+ /" 2 F l = 0; 8 - 3 s e n 30° - 3 .0 0 co s6 0 “ - Fgf = 0 Resp.

F gf = 5.00 k N (C )

3 .0O0OkIcNN 4 J u n ta B, fig u ra 3 -2 0 d.

3(£ A y + 1 2 Fy = 0 ; F bf sen 60° - 3.00 s e n 30° = 0 Resp.
6.9 2 8 k N B ¥BC F bf = 1.73 k N ( T )

(d) ;+ 2 F t = 0 ; F ^ + 1.73 e o s 6 0 ° + 3 .0 0 e o s 3 0 ° - 6 .9 2 8 = 0

figura 3-20

F bc = 3.46 k N (T ) Resp.

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3 .3 E l MÉTODO DE IO S M ODOS 97

D ete rm in e la fu erza e n c a d a e le m e n to d e la a rm a d u ra d e tije ra s q u e 175 Ib
se m uestra e n la figura 3-2la . Indique si los elem entos están en ten ­
s ó n o e n co m p resió n . l.as reaccio n es en los so p o rte s se p ro p o rcio n an
en la figura.

SO L U C IÓ N
La arm ad u ra se analizará en la siguiente secuencia:

J u n ta E, fig u ra 3 -2 1 b. O b serv e q u e la so lu ció n sim u ltá n e a de e c u a ­
ciones no p u e d e rea liz a rse d e b id o a la o rie n ta c ió n d e los e je s x y y .

+ /- 2 F y = 0; 191.0 e o s 30° - F Fn se n 15° = 0 Resp.
+ \ 2 F t = 0; Fe d = 639.1 Ib (C ) Resp.

639.1 e o s 15° - F E f ~ 191.0 se n 3 0 ° = 0
Fe f = 521.8 Ib (T )

J u n ta D, fig u ra 3 -2 1 c.

+ S 1 F s =0; ~ F df sen 75o = 0 F nF = 0 Resp. VrM>
+ \ Z F , =0; - F o c + 639.1 = 0 F DC = 639.1 Ib ( C ) Resp.
x f 07f5yJ r \ \
Ju n ta C, figura 3-21 d. 3 0 ! i ____
/ Ü 9 .1 Ib
191.01b
(c)
(b)

- 4 2 F x - 0; F CBs e n 4 5 ° - 639.1 s e n 4 5 ° = 0 Resp.
F ea = 639.1 Ib (C ) Resp.

+ 1 2 F y - 0; - F c f ~ 175 + 2 (6 3 9 .1 ) e o s 4 5 ° = 0

F cf = 728.8 Ib (T )

Junta B, fig u ra 3 -2 1e. I* '-" * \ © 9.11b

+ \ Z F y - 0; F„f se n 75° 200 = 0 FñF = 207.1 Ib (C ) Resp.

+ S 2 F X =0; 639.1 + 207.1 e o s 75° - F ñÁ = 0 (e)
F b a = 692.7 Ib (C )
Resp.

Junta A, fig u ra 3 -2 1f.

± 2 F X = 0; F a f e o s 30° - 692.7 e o s 45° - 141.4 = 0
Fa f = 728.9 Ib (T )
Resp. 692.7 Ib

+ 1 'LFy = 0; 125.4 - 692.7 se n 4 5 ° + 728.9 se n 30° = 0 141.4 Ib
com probación
30“

O bserve q u e com o ya se h an calculado las reacciones, p u ed e reali­ 125.41b
zarse u n a co m p ro b ació n adicional de los cálculos an alizan d o la últim a
ju n ta F. I n t é n te l o y c o m p r u e b e lo s re s u lta d o s . (0

Figura 3-21

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98 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

* 2 P * “ O, Fc „ ** 0 3 .4 E lem entos d e fuerza cero

+¿2F ,-O .F co - 0 E l análisis d e arm aduras m ediante el m étodo d e los nodos se sim plifica
0» en g ra n m e d id a si p rim e ro se d e te rm in a n los e le m e n to s q u e n o so portan
carga. E sto s elem entos (le fu e r z a cero p u e d e n se r n ecesario s p a ra la e s ta ­
+ T % F,* 0; FAg sen 0 = 0 b ilid ad d e la a rm a d u ra d u ra n te su co n stru cció n y p a ra p re sta r a p o y o s i la
carg a ap licad a cam b ia. P br lo g e n e ra l, los elem en to s d e fu erza c e ro de
Fab " 0 (pues sen 0 * 0) u n a a rm a d u ra p u e d e n d e te rm in a rse m e d ia n te la insp ecció n d e las a rtic u ­
laciones y s e p resen tan e n d o s casos.
% 'ZF , - 0 ; - F a e + 0 - 0
C aso 1. C bnsidere la arm ad u ra d e la figura 3-22a . L os d o s elem entos
Fjut ~ 0 e n la j u n t a C <e c o n e c t a n e n t r e s í e n á n g u lo r e c t o y n o h a y c a rg a e x te r n a
sobre la ju n ta. El diagram a d e c u erp o libre d e la ju n ta C .fig u ra 3-22b , in­
(c) dica q u e la fuerza e n cada elem en to d e b e ser cero a fin d e m an ten er el
equilibrio. A dem ás,com o en e l caso d e la ju n ta A ,fig u ra 3-22c,esto debe
Figura 3 -2 2 s e r cierto sin im p o rtar el ángulo, digam os 0,en tre los elem entos.

C aso 2. Los elem entos de fuerza cero tam bién se presentan en las ju n ­
tas co n u n a geo m etría com o la de la ju n ta D en la figura 3-23a.A q u í nin­
g u n a c a rg a e x te rn a a ctú a s o b r e la j u n t a .d e m o d o q u e u n a s u m a to ria d e
fuerzas e n la dirección y,figura 3-236,q u e es perpendicular a los dos e le ­
m entos colincales, re q u ie re q u e Fqf = 0- Si se usa este re su lta d o . FC
tam bién es un elem en to d e fuerza cero, co m o lo indica e l análisis d e fu e r­
zas de la ju n ta F ,figura 3-23c.

E n resum en, si sólo dos elem entos no colincales form an una ju n ta de
u n a a rm a d u ra y n o se aplica n in g u n a carga ex tern a o reacción e n los so ­
p o rtes so b re la ju n ta , los e lem en to s d eb en s e r e lem en to s d e fu erza cero.
C aso I. A dem ás, si tres elem entos form an una ju n ta d e una arm adura
para la cual dos de los elem en to s son colineales.el tercer elem en to es un
elem ento d e fuerza cero, siem pre y cuando n o se aplique ninguna fuerza
e x te rn a o reacció n en los s o p o rte s so b re la ju n ta . C a so 2. S e d e b e p re s ta r
a ten c ió n especial a e sta s co n d icio n es g eo m étricas d e la ju n ta y la carga,
puesto q u e e l análisis d e u n a arm adura p u ed e sim plificarse co n sid erab le­
m ente si prim ero se d etectan los elem entos d e fuerza cero.

+ * 2 F ,= 0;Fd, = 0 Fn f - 0
F igura 3-23
F FFF
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(c)
f 1 F y - 0 ; F( ,-se n 0 + 0 - 0

P e r = 0 (pues sen 0 * 0)

3 .4 Ele m e n t o s d e fu e r za cer o

EJEMPLO

U tilizando el m éto d o d e los nodos, indique todos los elem entos d e la
arm adura q u e s e m u estra e n la figura 3-24ti y cuya fu erza e s cero.

<b)

(a) (c)
H ^ura 3-24

SO L U C IÓ N FH A
B uscando ju n ta s sem ejan tes a las an alizad as e n las figuras 3.22 y 3.23,
se tiene X 1~F«»
'IIP
Junta D, fig u ra 3 -2 4 b . <d)

+ 1 2 F y - 0; F K sen 0 = 0 F -0 Resp. e<IA
FDE = 0 Resp.
- i 2 F x = 0; F DE + 0 = 0 G,
G F c,i
Ju n ta E, fig u ra 3 -2 4 c. (e)

2 F x = 0; F ef = 0 Resp.

(O b s e rv e q u e FEC = P y u n a n á lis is d e la ju n t a C re s u lta r ía e n u n a
fuerza e n e l e le m e n to CF.)

Ju n ta H, fig u ra 3 -2 4 d . Resp.
+ S Z F y = 0; F „ fí = 0

Ju n ta G, fig u ra 3 -2 4 a . E l so p o rte d e o scilador e n G sólo p u ed e
e je rc e r u n c o m p o n e n te x de la fu erza so b re la ju n ta ; e s d e c ir, G ,. P or
b tanto,

+ 1 2 F , = O, Fca = 0 Resp.

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100 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F 3 -L Determ ine la fuerza e n cada elem ento de la arm a­ B - i D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura c indique si está en tensión o en compresión. dura c indique si está en tensión o en compresión.

F 3-2. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura c indique si está en tensión o en com presión.

F3-4
F3-5. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura e indique si está en tensión o en compresión.

F3-2
F3-3. Determ ine la fuerza e n cada elem ento de la arm a­
dura e indique si está en tensión o en compresión.

13-6. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura e indique si está en tensión o en compresión.

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3 .4 Ele m e n t o s d e fu e r za c e r o 101

PROBLEMAS

3-5. Un señalam iento está som etido a una carga del 3 -7 . D eterm ine la fu erza e n cada elem en to d e la a rm a ­
viento q u e ejerce fuerzas h o rizo n tales d e 300 Ib e n las ju n ­ dura. Indique si los elem entos están en tensión o en com ­
tas B y C d e una d e las arm aduras laterales d e soporte. D e­ presión. C o n sid e re P = 8 IcN.
term ine la fuerza e n cada e lem e n to de la a rm a d u ra e
indique si los elem entos están en tensión o en com presión. •3-8. Si la fuerza máxima que cualquier elem ento puede
soportar es de 8 kN en tensión y 6 kN en com presión,deter­
mine la fuerza P máxima que puede soportar la junta D.

P ro h . 3 -5 P ro b s. 3-7Z3-8

3-6. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­ ^-9. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura. Indique si los elem entos están en tensión o e n com ­ dura. Indique si los elem entos están en tensión o en com ­
presión. Suponga que todos los elem entos están conectados presión.
mediante articulaciones.

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102 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

3-10. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a- *3-12. D eterm in e la fu erza e n c a d a e lem e n to d e la arm a ­
dura. Indique si los elem entos están en tensión o en com- dura. Indique si los elem entos están en tensión o en com ­
presión. presión. Suponga que todos los elem entos están conectados
m ediante articulaciones. A G = G F = FF. = E D .

Prob. 3-10 Prob. 3-12

3-11. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­ 3-13. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura. Indique si los elem entos están en tensión o en com ­ dura. Indique si los elem entos están en tensión o en com ­
presión. Suponga que todos los elem entos están conectados presión.
m ediante articulaciones.

4 kN

Prob. 3-11 5 kN Prob. 3-13

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3 .4 Elementos de fuerza cero 10 3

3-14. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a- *3-16. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura d e techo. Indique si los elem entos están en tensión o dura. Indique si los elem entos están en tensión o e n com ­
en compresión. presión.

8kN

6 X 4 m = 24 m
Proh. 3-14

Proh. 3-16

3-15. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­ 3-17. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
dura d e techo. Indique si los elem entos están en tensión o dura d e techo. Indique si los elem entos están en tensión o
e n com presión. Suponga que todos los elem entos están co ­ en compresión. Suponga q u e B es un pasador y q u e C es un
soporte de rodillos.
nectadas m ediante articulaciones.

Proh. 3 -1 5 Proh.3 - 1 7

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104 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

3 . 5 El m é to d o d e las s e c c io n e s

Si se d e b en d eterm in ar las fu e r/a s só lo e n u nos cu an to s elem en to s de
u n a a rm a d u ra , p o r lo g e n e ra l el m éto d o de las seccio n es p ro p o rc io n a el
m edio más d irecto p ara o b ten er estas fuercas. El m étodo d e las secciones
consiste en hacer p asar u n a sección im aginaria a través de la arm adura,
d e m odo q u e la corta en dos partes. S iem pre q u e to d a la arm ad u ra esté
en eq u ilib rio .cad a una d e las d o s p a rte s tam bién d e b e estar en equilibrio
y. en consecuencia, las tres ecuaciones d e equilibrio p u ed en aplicarse a
cualquiera d e estas d o s p artes para d eterm in ar las fuerzas e n los e le m e n ­
tos d e la "sección cortada".

C uando se em plea el m éto d o d e las secciones p ara determ inar la fuerza
en un elem en to en particular, d eb e tom arse u n a decisión sobre la form a
d e “ c o rta r" o s e c c io n a r la a rm a d u ra . C o m o s ó lo p u e d e n a p lic a rs e tres
ecu acio n es in d ep en d ien tes de e q u ilib rio (2 F t = 0. 1 F y = 0, I M o = 0 ) a la
parte aislada d e la arm adura, tra te d e seleccionar u n a sección que, en g e­
n e ra l, n o p ase a tra v é s d e m ás d e tres elem en to s e n los q u e las fu erzas
se a n d esco n o cid as. P o r e je m p lo .c o n sid e re la a rm a d u ra d e la figura 3-2So.
Si s e va a d e te rm in a r la fu e rz a e n el e le m e n to G C , la secció n aa sería
ad ecu ad a. E n las figuras 3-25b y 3-25c se m u estran los d iag ram as de
c u e rp o lib re d e la s d o s p artes. E n p a rtic u la r, te n g a e n c u en ta q u e la lín ea
de acción d e cada fuerza en un elem en to seccionado se especifica a p a r­
tir de la geom etría d e la a rm ad u ra, p uesto q u e la fuerza e n un elem en to pasa
a lo largo d el e je del elem ento. A dem ás, las fuen-as d e u n elem en to q u e
a ctú a n so b re u n a p a rte d e la a rm a d u ra so n iguales p e ro o p u e sta s a las
q u e a c tú a n so b re la o tr a p a rte , lo q u e se d e b e a la te rc e ra ley de N ew ton.
C om o p u e d e o b serv arse, los e lem en to s q u e su p u e sta m e n te están e n ten ­
s ió n ( B C y C G ) e s tá n s o m e tid o s a u n “ja ló n " , m ie n tra s q u e e l e le m e n to
e n com presión (G F ) está som etido a un “em pujón".

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3 . 5 E l M É T O D O D E LAS SECCIONES

Las tres fuerzas d e elem en to desconocidas F ac, F qc y $ g f p u ed en o b ­
tenerse m ediante la aplicación d e las tres ecuaciones d e equilibrio a l d ia­
gram a d e c u erp o libre d e la figura 3-256. Sin em bargo, si se considera el
d iag ram a d e c u e rp o libre d e la figura 3 -2 5 c, d eb e rá n d e te rm in a rse en
p r im e r lu g a r la s tr e s r e a c c io n e s d e s o p o r t e !> ,, D 4, y E , . ¿ I\> r q u é ? ( P o r
su p u esto , e sto se hace d e la m a n e ra u su al, co n sid e ra n d o un d ia g ra m a de
c u e ip o lib r e d e to d a la a r m a d u r a ). A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u il i­
brio, c o n sid e re la m a n e ra d e e sc rib ir las ecu acio n es c o n e l fin d e o b te n e r
una solución directa p ara cada una d e las incógnitas, e n vez d e te n e r q u e
resolver ecuaciones sim ultáneas. P o r ejem plo, si se sum an m om entos res­
p ecto a C e n la figura 3-256 generaría una solución d irecta p ara Fg f
p u e s to q u e F BC y F í ; c c r e a n m o m e n to s c e r o a lr e d e d o r d e C . D e l m ism o
m odo. FflC p u e d e o b ten erse d ire c ta m e n te a p artir d e u n a su m a to ria d e m o­
m entos alrededor d e G . P or últim o, Fc c puede determ inarse d irecta­
m ente a p artir d e una sum atoria d e fueizas en la dirección vertical, dado
q u e FC f y F K no tienen com ponentes verticales.

C o m o e n e l m éto d o de los nudos, hay d o s fo rm as d e d e te rm in a r e l s e n ­
tido correcto d e u n a fuerza d e elem en to desconocida.

L Siem pre su p o n g a que las fu e rza s d e elem ento desconocidas en la sec­
c ió n c o rta d a e s tá n en te n s ió n , e s decir, "ja la n d o " e l e le m e n to . D e e s ta
m an era, la solución num érica d e las ecuaciones d e equilibrio g ene­
ra rá escalares p o sitivo s para lo s elem entos en tensión y escalares
negativos para los elem entos en com presión.

2. En m u ch o s casos, el sen tid o correcto de una fu e rza de elem ento d es­
c o n o c id a p u e d e d e te r m in a r s e “p o r i n s p e c c i ó n ”. P o r e je m p lo . FBC e s
una fuerza d e tensión com o se representa en la figura 3-256,puesto
q u e e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a G r e q u i e r e q u e F flC c r e e
u n m o m e n to o p u e s t o a l d e la f u e r z a d e 1000 N. A d e m á s . F GC es d e
tensión p o rq u e su co m p o n en te vertical d eb e eq u ilib rar la fuerza
de 1000 N. E n casos m ás com plicados, e l sentido d e una fuerza de
elem ento desconocida p u e d e suponerse.S i la solución resu lta ser un
escalar negativo, e sto in d ic a rá q u e el se n tid o d e la fu e rz a e s opuesto
al m ostrado en el diagram a d e cu erp o libre. É ste e s e l m éto d o q u e
se u tilizará e n los sig u ien tes p ro b le m a s de ejem plo.

E n el norte d e C alifo rn ia se cons­
truye una arm adura d e p u en te sobre
el lago S hasta.

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C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

E l sig u ien te p ro c e d im ie n to p ro p o rc io n a u n m ed io p a ra ap licar e l m é to d o d e las seccio ­
nes a fin d e d e te rm in a r las fuerzas e n los e le m e n to s d e una arm ad u ra.

D iagram a d e c u e rp o libre

• T om e una d ecisió n so b re la form a d e “c o rta r" o se ccio n ar la a rm a d u ra a trav és d e los
elem entos e n los q u e d eb en d eterm in arse las fuerzas.

• A n te s d e a isla r la sección a d e c u a d a , q u iz á se re q u ie ra d e te rm in a r las reac c io n e s exte r­
n a s d e la a rm a d u ra , d e m o d o q u e las tre s ecu acio n es d e e q u ilib rio só lo se u se n p a ra
encontrar las fuerzas d e elem en to en la sección cortada.

• D ib u je el d ia g ra m a de c u e rp o lib re d e la p a rte d e la a rm a d u ra seccio n ad a q u e te n g a el
m enor n ú m ero d e fuerzas e n ella.

• U tilice uno d e los d o s m étodos descritos an terio rm en te p ara estab lecer el sen tid o de
una fuerza desconocida.

E cuaciones d e equilibrio

• Los m om entos deben sum arse alred ed o r d e un pu n to q u e se en cu en tre e n la in tersec­
ción d e las líneas d e acción d e d o s fuerzas desconocidas; d e e sta m anera, la tercera
fuerza desconocida se determ in a directam en te a p artir d e la ecuación.

• Si d o s d e las fuerzas desconocidas so n paralelas,las fuerzas p u ed en su m arse e n form a
p erp en d icu la r a la d irecció n d e e sta s in có g n itas a fin d e d e te rm in a r directam ente la te r ­
cera fuerza desconocida.

E jem p lo d e u n a a rm a d u ra W arren (c o n verticales)

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3 . 5 E l M É T O D O D E LAS SECCIONES 107

D ete rm in e la fu e rz a e n los e le m e n to s G J y C O de la a rm a d u ra de
lecho q u e s e m u e s tra en la fo to g rafía. Las d im en sio n es y las c a rg a s se
m u estran e n la fig u ra 3 -2 6 a. In d iq u e si los e le m e n to s e stá n e n ten sió n
o en com presión. Las reacciones e n los soportes ya se han calculado.

5001b

3001b 300 Ib
3001b
300 Ib . \ 0 3001b
1501b 1501b

A,=0

1159.3 Ib |*3 p ie s ' 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 3 p ie s 1 1159.3 Ib

(a)
Hgiira 3-26

SO L U C IÓ N <b)

E lem ento CF. (c)

D ia g ra m a d e c u e rp o lib re . 1.a fu e rz a e n e l e le m e n to G J p u e d e o b ­
ten erse al c o n sid e ra r la secció n aa d e la fig u ra 3 - 2 6 a . E n la figura
3 .2 6 b se m u e stra e l d iag ram a d e c u e rp o lib re d e la p a rte d e re c h a de
esta sección.

Ecuaciones d e e q u ilib rio . A p lican d o £ A // ■ 0 se p u e d e o b te n e r
u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a *V ;/ ¿ P o r q u é ? P a r a s im p lific a r, d e s lic e F<;j
hacia el p u n to G (p rin cip io d e tran sm isib ilid ad ). figura 3 - 2 6 6 . P or lo
tanto.

t+ S M / = 0; - F Cj s e n 3 0 ° ( 6 ) + 3 0 0 (3 .4 6 4 ) = 0
f c , = 3461b(C )
Resp.

E lem ento G C
D iagram a d e c u e rp o lib re . La fu erza e n C O p u ed e o b ten erse
u san d o la sección bb d e la figura 3-26a. E n la figura 3-26c se m uestra
el diagram a d e cu erp o libre d e la p a rte izquierda d e la sección.

Ecuaciones d e e q u ilib rio . L os m o m e n to s se su m a rá n re s p e c to al
p u n t o A co n e l fin d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s F OP y F c 0 .

= 0; -3 0 0 (3.4 64 ) + Fc o {6) 0
Fc o = 173 Ib (T )
Resp.

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108 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

D eterm ine la fuerza e n lo s elem en to s G E y G D d e la arm ad u ra q u e se
m u estra en la figura 3-27a. In d iq u e si los e le m e n to s e s tá n en ten sió n o
e n co m p resió n . Las reacciones e n los so p o rte s ya se han calculado.

Figura 3-27

S O L U C IÓ N

D iagram a de cu e rp o lib re . Se co n sid erará la sección aa d e la fi­
gura 3-27a. ¿P o r q u é ? E n la figura 3-27b se m uestra el diagram a de
cuerpo libre a la d erecha d e esta sección. L a distancia E O puede d e­
term inarse m ediante triángulos sem ejantes o al observar que e l e le ­
m e n to G E cae v e rtic a lm e n te 4 .5 - 3 = 1.5 m e n 3 m , fig u ra 3-27a. P o r
consiguiente, p ara c a e r 4.5 m d esd e G .la d istan cia d e C a O (fcbe ser
d e 9 m . A d e m á s , lo s á n g u lo s q u e f o r m a n ¥ GD y ¥ GF c o n l a h o r iz o n ta l
so n ta n - ‘(4.5/3) = 56.3° y ta n " '(4 .5 /9 ) = 26.6°, resp ectiv am en te.

Ecuaciones de e q u ilib rio . La fu e rz a e n G F p u e d e d e te rm in a rse d i­
rectam en te aplicando 1 M D = 0. ¿I\>r q u é? P a ra el cálculo ap liq u e el
p rin cip io d e tran sm isib ilid ad y d e slic e ¥ GF hasta e l p u n to O . P o r lo
ta n to .

5,+ S A /„ = O. - Fgf se n 26.6°(6) + 7 (3 ) = 0
Fg f = 7.83 k N (C )
Resp.

l a fu e rz a e n G D se d e te rm in a d ir e c ta m e n te a l a p lic a r 2íV/0 = 0. P ara
sim plificar aplique el principio d e transm isibilidad y deslice ¥ Gn h a d a D.
A sí,

l+ I M o = 0; -7 (3 ) + 2(6) + Ec o sen 56.3°(6) = 0
E g d = 1.80 k N (C )
Resp.

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3 . 5 E l M É T O D O D E IA S SECCIONES 1 09

D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s B C y M C efe la a r m a d u r a K q u e
se m u e stra e n la fig u ra 3-28 a . Indique si los e le m e n to s e stá n e n ten sió n
o e n com presión. Las reacciones e n los soportes ya se h an calculado.

A , —2900 Ib 12001b 15001b 18001b
(a)

SO L U C IÓ N

D iagram a de c u e rp o lib re . A unque la secció n aa q u e s e m u estra Li
en la figura 3-28a reali/a u n co rte a través d e cu atro elem entos, es p o ­
sible desco m p o n er la fuerza e n e l ele m e n to B C usando esta sección. 20 pies |I**” F;.X
E n la fig u ra 3-28¿> se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e rp o lib re d e la p a rte Fvl
izquierda d e la arm adura. \a F.va

Ecuaciones d e e q u ilib rio . L a su m a d e lo s m o m e n to s re sp e c to al m"
p o n to L elim in a tres de las incógnitas, p o r lo que

= O, - 2 9 0 0 ( 1 5 ) + F b c { 2 0 ) = 0 29001b 12001b

Fbc = 2175 Ib (T ) Resp. (b)

D iagram as d e cu e rp o lib re . La fu erza e n M C p u ed e o b te n e rse de F UB
m anera indirecta al o b ten er p rim ero la fuerza en M B a p artir del
equilibrio d e fueivas verticales en la ju n ta B , figura 3-28c. es decir, « Fbc
FUfí = 1200 Ib (T ). E n to n c e s, c o n b a se e n e l d ia g ra m a d e c u e rp o libre
d e la fig u ra 3-28¿>. 12001b

+ T = 0; 2900 - 1200 + 1200 - F u l = 0 (c)

F = 2900 Ib (T )

E n la fig u ra 3-28d se m u estra el d iag ram a d e cu e rp o libre d e la ju n ta
A /.en e l cual se usan esto s resultados.

Ecuaciones d e e q u ilib rio .

(vn)F"c ( )X ? .F t = 0;
vb F'm k = 0
+ ÍZ F y = 0; 2900-1200-(w)F " c -
F „ k = L532 Ib (C ) F mc = 1532 Ib (T ) 0 29001b
Resp.
12001b
En ocasiones,com o en este ejem plo, la aplicación ta n to del m étodo de (d)
h s secciones c o m o d e l m éto d o d e los n u d o s c o n d u c e a una solución
más directa d el problem a. Figura 3-28

T am bién es posible o b ten er la fuerza e n M C usando el resu ltad o de
FflC. E n e s te c a s o .s e p a s a u n a se c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e I .K , M K . M C
y B C , figura 3-28a. Se aísla la sección izquierda y se aplica 1 M K = 0.

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110 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

3 .6 Arm aduras compuestas

E n la sección 3-2 se esta b le c ió q u e las a rm a d u ra s c o m p u estas se fo rm a n
al co n ectar en tre sí d o s o m ás arm aduras sim ples, ya sea m ediante las b a ­
rras o las ju n tas. D e m anera ocasional, e ste tip o d e arm ad u ra se analiza
d e u n a m ejo r m an era si se aplican lanío el m éto d o d e lo s n u d o s com o
el d e las secciones. C on frecuencia es conveniente reco n o cer antes el tipo
de c o n stru c c ió n ,se g ú n la lista p re se n ta d a e n la secció n 3-2, p ara d esp u é s
realizar e l análisis aplicando el siguiente procedim iento.

EJEMPLO 3.8

I n d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la
figura 3-29a. Las reacciones e n los apoyos y a se han calculado.

-4, = 0

4k N £ - 5 kN

na S O L U C IÓ N

4 sen 60° m L a arm ad u ra es co m p u esta puesto q u e las arm ad u ras sim p les A C H y
C E G están co n ectad as m ed ian te e l p asad o r e n C y la b a rra 1IG.

La sección aa d e la figura 3-29a corta la b a rra H G y o tro s dos e le ­
m e n to s q u e ti e n e n fu e rz a s d e s c o n o c id a s . E n la f ig u r a 3 -2 9 ¿> se m u e s tr a
u n d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e la p a rte izq u ierd a. L a fu e rz a e n H G se
determ ina d e la m anera siguiente:

5 kN 4 kN t + Z A / c - O , - 5 ( 4 ) + 4 (2 ) + F //C(4 s e n 6 0 ° ) 0
5 kN F HG = 3.46 k N (C )
<b)

3.46 kN

A h o ra se procede a d eterm in ar la fu erza e n cada elem en to d e las
arm ad u ras sim ples sig u ien d o e l m éto d o d e los nudos. POr ejem p lo , el
diagram a d e c u erp o libre d e A C H se m uestra e n la figura 3-29c. Las
ju n tas d e esta arm ad u ra pueden analizarse e n la siguiente secuencia:

4 kN 2 kN Junta A : D eterm ine la fuerza e n A B y A l.
Jum a H: D eterm ine la fueiva en H l y HJ.
(c) Junta I: D eterm in e la fuerza e n U e IB.
Junta B: D eterm ine la fuerza e n B C y BJ.
H g ura 3 -29 Junta J: D e te rm in e la fu e rz a e n JC .

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3.6 A rmaduras compuestas 111

Las arm ad u ras d e tech o com puestas se u san en un vivero, com o se
m u estra en la fo to g rafía.T ien en las dim ensiones y la carg a q u e se m ues­
tran en la figura 3-30a. Indique la fo rm a d e analizar esta arm adura.

(b)
figura 3-30

SO L U C IÓ N
La fuerza en E F p u ed e o b te n e rse u san d o la sección aa d e la figura
3-30a. E n la fig u ra 3-30b se m u estra e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e l
s g m e n to de la derecha.

i + I M 0 = 0; -1 (1 ) - 1(2) - 1(3) - 1(4) - 1(5) - 0 .5 (6 ) + 6(6) F ef{6 tan 30°) = 0

Fe f = 5.20 kN (T ) Resp.

I b r inspección, ohserve q u e R T , E O y H J so n elem en to s d e fuerza
cero puesto q u e + 1 2 Fy = 0 en las ju n tas R . E y H . respectivam ente.
Tam bién, p o r aplicación + \ Z F y = 0 (perpendicular a A O ) e n las

ju n ta s d e P . Q . S y T , p u e d e d e te rm in a rse d ire c ta m e n te la fu e rz a en
b s elem en to s P U ,Q U ,S C y TC , respectivam ente.

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112 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

Indique cóm o analizar la arm ad u ra com puesta q u e se m uestra en la
fig u ra 3-31<i. L a s re a c c io n e s e n los s o p o r te s ya s e h a n calc u lad o .

A D_ 12

•45° , ' -** 45° \ j
y» 45°

B

-6w Dl/ ,ÍVCSJ — J L— 6 d í c s —- o ic s E\
3k — 6 d íc s — 1-— 6 o
F, = 3k
3k

|— 6pies—|

12 pies 6 sen 45° pies S O L U C IÓ N

3k 3 k L a arm adura puede clasificare com o com puesta d el tipo 2, puesto
(c) q u e las arm ad u ras sim ples A B C D y F E H G están conectadas p o r tres
barras que n o so n paralelas ni concurrentes, a saber, C E , B U y D G .

Si se u s a la secció n a a de la fig u ra 3 -3 la , es p o sib le d e te rm in a r la
fuerza e n cada b arra d e conexión. E n la figura 3-31 b se m u estra e l d ia­
g ram a de c u e rp o lib re d e la p a rte iz q u ie rd a d e e s ta sección. P or lo
ta n to ,

= O, - 3 ( 6 ) - F p c i é s e n 4 5 ° ) + F C E e o s 4 5 ° (1 2 ) (1)
+ f ’C £ s e n 4 5 ° ( 6 ) = 0 (2)
(3)
+ T 2 F , = 0; 3 - 3 - F rh sen 45° + FC £sen 4 5 ° = 0
Z F , = 0; —F b u e o s 4 5 ° + F ^ - F C E c o s 4 5 ° = 0

A p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 2 ) , Ffín ■ FCú e n to n c e s , a l r e s o lv e r s im u ltá ­
neam ente las ecuaciones (1) y (3) se obtiene

F Bh = F cf. = 2 .6 8 k ( C ) F n c = 3.78 k (T )

A hora puede realizarse e l análisis d e cad a arm adura sim ple conec­
tad a sig u ien d o e l m étodo d e los n u d o s P o r ejem plo, con b a se e n la fi­
gura 3-3le, esto p u ed e h acerse en la siguiente secuencia.

Junta A : D eterm ine la fuerza e n A B y A D .
Junta D : D eterm in e la fuerza en D C y D B .
Junta C: D eterm ine la fuerza e n CB.

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3.6 A rmaduras compuestas 113

PROBLEMAS FUNDAM ENTALES

F 3 -7 . D eterm in e la fuerza e n lo s elem en to s H G , I tG y B C 13-10. D eterm ine la fuerza e n lo s elem en to s G F , C F y
c indique si están en tensión o e n com presión. C D c in d iq u e si están e n tensión o e n com p resió n .

4001b

1 3 -8 . D eterm in e la fuerza e n lo s elem en to s H G , H C y B C 13-11- D eterm ine la fuerza en lo s elem en to s F E , F C y B C
e indique si están en tensión o e n co m p resió n . e indique si están e n tensión o e n co m p resión .

4 kN

6001b 600 Ib 6001b 6001b 6001b 2 kN 2 kN
3m
3m -

B 13-11
— 4 pies— — 4 pies -
13-12. D eterm ine la fu erza e n lo s elem en to s G F , C F y
1-3-8 C D e indique si está e n ten sió n o e n com presión.

1 3 -9 . D eterm in e la fu erza e n los e le m e n to s E D . B D y B C
c indique si están en tensión o e n com presión.

D 6 kN

.3¡>U

yj ’l p 1V.> 1r p ita
— *A1 l > -----J 1.— > r , l p \ — J

13-12

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114 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

PROBLEMAS

3 -1 8 . D eterm ine la fuerza e n lo s elem en to s G F , F C y C D 3 -2 1 . L a a r m a d u ra H o w e e s tá s u je ta a la c a rg a q u e se
d e la arm ad u ra d e p u ente. In d iq u e si los elem en to s e s tá n en m uestra. D eterm in e las fuerzas e n los elem en to s G F , C D y
tensión o e n com presión. S u p onga q u e to d o s lo s elem en to s G C . In d iq u e si lo s elem en to s están e n tensión o e n co m p re­
están conectados m ediante pasadores. sión. S u p o n g a q u e to d o s los elem en to s e s tá n co n ectad o s
m ediante pasadores.

IS k 10 k
P roh.3-18

3 -1 9 . D eterm in e la fu erz a e n lo s ele m e n to s J K . J N y C D .
Indique si los elem en to s están en tensión o en com presión.
Identifique todos los elem en to s d e fuerza cero.

Proh. 3-21

Proh. 3-19 3 -2 2 . D e te rm in e la fu erz a e n los e le m e n to s R G , H G y R C
de la a rm a d u ra e indique si los elem en to s están e n tensión o
* 3 -2 0 . D e te rm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F C y C D e n com presión.
d e la a rm a d u ra e n v oladizo. In d iq u e si los e le m e n to s e stá n
en ten sió n o e n com p resió n. S uponga q u e to d o s los e lem en ­ G
tos están conectados m ediante pasadores.

6kN 7 kN 4kN

--------------- 12 m .4 X 3 m -----------

P roh. 3 -20 Proh. 3 -2 2

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3.6 A rmaduras compuestas 115

3-23. Determ ine la fuerza en los elem entos G F. C F y CD 3-25. D eterm ine la fuerza e n los elem entos // /. ID y CD
de la arm adura de techo e indique si los elem entos están en de la arm adura. Indique si los elem entos están en tensión o
tensión o en com presión. en com presión. Suponga que todos los elem entos están co ­
nectados m ediante pasadores.

3-26. D eterm ine la fuerza en los elem entos.//, IC y CD de
la arm ad u ra. Indique si los elem entos están e n tensión o en
com presión. Suponga que todos los elem entos están conec­
tados m ediante pasadores.

1 5 kN

Probs. 3-25/3-26

•3-24. Determine la fuerza en los elem entos GF, FB y BC 3-27. D eterm ine las fuerzas en los elem entos K J, C D y C l
de la arm adura Fink e indique si los elem entos están en ten­ de la arm adura. Indique si los elem entos están en tensión o
sión o en compresión. en compresión.

Proh. 3-24 Proh. 3 -2 7

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C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

3 .7 A rm ad ura s com plejas

L as fuerzas en los elem entos de una arm ad u ra com pleja p u ed en d e te r­
m inarse siguiendo el m étodo d e lo s nudos; sin em bargo, la solución re ­
q u erirá escribir las d o s ecuaciones d e equilibrio p ara cad a una de las j
ju n t a s d e la a r m a d u r a y d e s p u é s re s o lv e r e l c o n ju n to c o m p le to d e 2j
ecuaciones en fo rm a sim ultánea * E ste enfoque puede ser poco práctico
si los cálculos s e realizan m anualm ente, e n especial cuando las a rm a d u ­
ras son m uy grandes. Por ello,a continuación se p resen ta u n m éto d o más
directo p ara analizar u na arm ad u ra com pleja.conocido com o e l m étodo
d e los elem entos substitutos.

Procedim iento de análisis

C bn referen cia a la a rm a d u ra d e la fig u ra 3 -3 2 a .se re q u ieren los sig u ien tes p aso s p a ra
d e te rm in a r las fu erzas e n los e le m e n to s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s e le m e n to s su stitu to s.

Fuerzas5 / Fuerzas s,

<b> (c)

figura 3-32

•F sto puede realizarse fácilm ente em pleando una com putadora, com o se m uestra en el
c a p itu lo 14

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3 .7 A rmaduras complejas 117

R educción a una arm adura sim ple estab le

D ete rm in e las reac c io n e s e n los s o p o rte s y co m ien ce p o r im ag in ar có m o a n alizaría la
arm adura aplicando e l m étodo d e los nudos, es decir, pasando d e u n a ju n ta a o tra y
resolviendo p a ra en co n trar cad a fuerza d e elem ento. Si se llega a una ju n ta d o n d e hay
tres incógnitas, elim in e u n o d e los e le m e n to s en la articu lació n y reem p lácelo p o r un
elem en to im aginario e n cu alq u ier o tra p arte d e la arm ad u ra. D e e sta m an era, se
re co n stru y e la a rm a d u ra c o m o u n a a rm a d u ra sim p le estab le.

ft>r e je m p lo , e n la fig u ra 3 -3 2 a s e o b s e rv a q u e c a d a ju n ta te n d rá tre s fu erzas d e e le ­
m e n to desconocidas a c tu a n d o so b re ella. ft>r lo ta n to .s e e lim in ará el ele m e n to /I D y se
reem plazará con e l elem ento im aginario C E , figura 3-32b . E sta arm adura pu ed e an ali­
zarse ahora m ediante el m étodo d e los nudos p a ra los dos tipos d e carga q u e siguen.

C arga ex tern a so b re una arm adura sim ple

C a rg u e la a rm a d u ra sim p le c o n la carg a re a l P y d esp u é s d e te rm in e la fu e rz a 5 / en ca d a
elem en to i. C uando las reaccio n es ya han sid o d eterm in ad as,en la figura 3 -326 * p u e d e
co m en zar e n la ju n ta A p ara d e te rm in a r las fu erzas e n A R y A F , d esp u é s e n la ju n ta F
p a ra d e te rm in a r las fu e rz a s e n F E y FO, lu eg o e n la ju n ta D p a ra d e te rm in a r las fu e rz a s
e n D E y D C (las cu ale s s o n iguales a c e ro ); p o ste rio rm e n te , e n la ju n ta E p ara
e n c o n tra r E R y E C , y fin a lm e n te la ju n ta B para d e te rm in a r la fu e rz a e n B C,

R etiro d e la c a rg a e x te m a d e la a rm a d u ra sim p le

C onsidere la arm ad u ra sim ple sin la carga ex tern a P . C o lo q u e cargas unitarias g u a le s
p ero opuestas alineadas sobre la arm adura en las d o s juntas de las cuales se retiró el
elem ento. S i estas fuerzas d esarro llan u n a fu erza s, e n e l i-ésim o elem en to d e una
arm ad u ra, entonces p o r proporción una fuerza x desconocida en el elem ento retirad o
ejercería una fuerza d e x s,en el í-ésim oelem ento.

C bn base en la figura 3-32c,las carg as unitarias iguales p e ro o p u estas no crearán reac­
ciones e n A y C c u a n d o se ap lican las ecu acio n es d e e q u ilib rio a to d a la a rm a d u ra . L as
fuerzas s, pueden d eterm in arse m ediante u n análisis d e las ju n ta s e n la m ism a secuencia
anterior, e s decir, p rim ero la ju n ta A , luego las ju n tas F .D .E y p o r últim o la ju n ta B.

S uperposición
Si los efecto s de las d o s carg as a n te rio re s se c o m b in a n , la fu e rz a e n e l i-ésim o e le m e n to
de la arm ad u ra será

S, = s ; + *5, (1 )

E n p a rtic u la r, p a r a e l e le m e n to s u s titu id o E C e n la fig u ra 3 -3 2 b la fu e rz a S EC ■ S 'c c +
x s FC. C ó m o e l e l e m e n t o E C e n r e a lid a d n o e x is te e n la a r m a d u r a o r ig in a l, se e le g i r á x
con u n a m agnitud tal q u e produzca u n a fu erza cero en E C .P o r consiguiente,

S'EC + x s EC = O (2 )

o x = -S'E cfsE c- v e z q u e se h a d e te rm in a d o el v a lo r d e x , las fu e rz a s e n los o tro s

e le m e n to s i de la a rm a d u ra co m p le ja p u e d e n d e te rm in a rse a p a rtir d e la ecu ació n (1).

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118 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 3.11

D eterm ine la fueiza en cad a elem en to d e la arm ad u ra com pleja q u e
se m u e stra e n la fig u ra 3-33a. S u p o n g a q u e las ju n ta s B , F y D x e n ­
cuen tran e n la m ism a línea h o rizontal. In d iq u e si los elem en to s están
e n tensión o en com presión.

8 pies

(a)
Figura 3 -3 3

S O L U C IÓ N

Reducción a una armadura simple estable. ft>r in s p e c c ió n , c a d a

ju n ta tiene tres fuerzas de elem en to desconocidas. El análisis de las ju n ­
tas puede realizarse en form a m anual si. p o r ejem plo, se elim ina el ele­
m en to C E y s e sustituye p o r el elem en to D E .figura 3-33b. L a arm adura
resultante e s estable y no colapsará.

Carga externa sobre la armadura simple. C o m o s e m u e s tra e n la

fig u ra 3-33¿>,se h a n d e te rm in a d o las reaccio n es e n los so p o rte s d e la a r­
m ad u ra. A p lican d o el m é to d o de los nudos, p rim e ro p u ed e analizarse
la ju n ta C p a ra e n c o n tra r las fuerzas e n lo s elem en to s C B y C D \lu eg o la
junta F, donde se observa q u e FA y FE son elem entos d e fuerza cero;
después la ju n ta E p ara d e te rm in a r las fu erzas e n los ele m e n to s E B
y E D \ p o sterio rm en te, la ju n ta D p ara d e te rm in a r las fu erzas en D A y
D B ,y p o r últim o la ju n ta B p a ra d eterm in ar la fuerza e n B A . E stas fuer­
z a s 5¡ se r e g is tr a n e n la c o lu m n a 2 d e la t a b l a 1, d o n d e s e c o n s id e r a a la
tensión com o positiva y a la com presión com o negativa.

í

4375 k
(b)

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3 .7 A rmaduras complejas 119

(c)

R etiro d e la carga e x te m a d e la arm adura sim p le . E n la figura
3-33c se m uestra la carga unitaria q u e actúa so b re la arm adura. E stas
tuerzas iguales p e ro o p u e sta s n o c re a n reaccio n es e x te m a s so b re la
a rm ad u ra. E l análisis d e ju n ta s sigue la m ism a secu en cia in d icad a a n ­
teriorm ente; es d ecir, se analizan las ju n ta s C , F ,E ,D y B . L os resulta­
d o s d e l a n á lis is d e f u e r z a s s, s e r e g is tr a n e n la c o lu m n a 3 d e la t a b l a 1.
S uperposición. Se req u iere

S d b = S'd b + x s d b = 0

A l s u s titu ir lo s d a t o s e n S ' DB y sDB, d o n d e S ’DB e s n e g a tiv a p u e s to q u e
h fuerza es d e com presión,se tiene

-2 .5 0 + x (1 .1 6 7 ) = 0 x = 2.143

Los valores d e xs¡ se reg istran e n la co lu m n a 4 d e la ta b la 1. y las fu er­
zas de e le m e n to reales S ,= S¡ + xs¡ se en listan e n la co lu m n a 5.

TABLA 1 s¡ * ** j

Sem entó 3.54 -0.707 -1 .5 2 s.
-3.54 -0.707 -L 52
CB 2.02 (T)
CD 0 0.833 1.79 5.05 (C)
FA 0 0.833 1.79 1.79 (T)
FE 0 -0.712 -1 .5 3 1.79 (T)
EB -4.38 -0250 -0 5 3 6 1.53 (C)
F.D 534 -0.712 -1 .5 3 4.91 (C )
DA -2 .5 0 1.167 250 3.81 (T)
DB 2.50 -0.250 -0 5 3 6 0
BA 1.96 (T)
CB 2 1 4 (T)

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120 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

3 .8 A rm ad ura s espaciales

p U n a arm adura espacial consiste e n elem entos q u e están unidos en tre si p o r
sus extrem os p ara form ar u n a estructura tridim ensional estable. E n la sec­
E l lech o d e e sle pabellón s e so stien e m e­ ció n 3-2 se d em o stró q u e la form a m ás sim ple d e una arm ad u ra bidim en-
d ian te u n sistem a d e arm ad u ras espaciales. sional estable se com pone de elem entos dispuestos e n form a d e un
triángulo. D espués se construyó una arm ad u ra plana sim ple co n base en
este elem ento triangular, añadiendo dos elem entos a la vez p a ra form ar
nuevos m iem bros D e m anera sim ilar,el m iem bro m ás sim ple de una arm a­
d u ra espacial estable es un tetraedro, form ado p o r la conexión d e seis e le­
m en to s m e d ia n te c u a tro ju n ta s c o m o s e m u e s tra en la figura 3-34. T o d o s los
elem entos adicionales añadidos a e ste elem ento básico serían redundantes

p a r a s o p o r ta r la fu e rz a P. U n a a r m a d u r a e sp a c ia l s im p le p u e d e c o n stru irse

a p artir de este m iem bro tetraédrico básico, agregando tres nuevos elem en­
tos y o tra ju n ta para así form ar tetraedros m ulticonectados.

Determinación y estabilidad. A l observar q u e en tres dim en­

s io n e s h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a j u n t a ( 2 / r, = 0 , 2 F V=
0 . 2 F . = 0 ). entonces p a ra una arm adura espacial con u n n ú m ero j de
ju n ta s , h a y 3j e c u a c io n e s d is p o n ib le s . Si la a r m a d u r a ti e n e u n n ú m e r o b
de barras y un n úm ero r de reacciones,com o es e l caso d e una arm adura
plana (ecuaciones 3-1 y 3-2). es p o sib le escribir

b + r < 3j arm adura inestable (3-3)
b + r = 3j estáticam ente d eterm in ad a - com probar
e s ta b ilid a d
b + r> 3/ estáticam ente indeterm inada - com probar
e s ta b ilid a d

L a estabilidad externa d e la arm ad u ra espacial req u iere q u e las reacciones
e n los so p o rtes m an ten g an la a rm a d u ra e n eq u ilib rio de fuerzas y m o ­
m entos resp ecto de cualesquier ejes. E n ocasiones esto pu ed e com pro­
b arse p o r inspección, p e ro si la a rm a d u ra e s in estab le u n a so lu ció n de las
ecuaciones de equilibrio d ará resultados inconsistentes. L a estabilidad in ­
terna puede com probarse a veces m ediante una inspección cuidadosa de
h disposición de los elem entos. S iem pre que c a d a ju n ta s e m antenga fija
por sus soportes o elem entos conectados, d e m odo que n o pueda m overse
con resp ecto a las dem ás juntas, la estructura pu ed e clasificarse com o es­
table in tern am en te. A dem ás.si se hace un análisis de fuerzas d e la arm a­
dura y se obtienen resultados inconsistentes, entonces la configuración de
la a r m a d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ fo r m a c r ític a ” .

Supuestos para el diseño. L o s e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra e s p a ­

cial p u ed en tratarse com o elem entos d e fuerza axial, siem pre que la carga
e x te m a se aplique en las ju n tas y éstas se form en m ediante conexiones de
rótula. E ste supuesto se justifica suponiendo q u e los elem entos unidos por
u n a co nexión se crucen e n u n p u n to com ún y el p eso d e los elem entos
pueda ignorarse. E n los casos e n que el peso d e un elem ento se incluya en
e l análisis, p o r lo general resulta satisfactorio aplicarlo co m o una fuerza
vertical, con la m itad d e su m agnitud aplicada a cada extrem o del elem ento.

P ara e l análisis d e fuerzas, los so p o rtes d e una arm a d u ra espacial su e ­
len m odelarse com o un eslabón corto, u n a ju n ta d e rodillos plan a, una
ju n ta d e ro d illo s ra n u ra d a o u n a ju n ta d e ró tu la. E n la tabla 3-1 se m u es­
tra cad a u n o de esto s soportes y sus com ponentes d e fuerza reactiva.

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3 .8 A r m a d u r a s espaciales

TABLA 3 -1 S o p o rte s y su s c o m p o n e n te s d e fu e rz a reactiv a

(2)

rodillo F,
(3)
/
V-
r.
rodillo ran u n id o restringido
en u n cilindro —y

(4)

ró tu la

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122 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

C o m p o n e n te s d e fuerza X, y , z. C ó m o e l a n á lisis d e u n a a r m a ­

d u ra esp acial e s trid im en sio n al, a m e n u d o s e rá n ecesario d e sc o m p o n e r la

fu erza F de u n ele m e n to e n lo s co m p o n en tes q u e a c tú a n a lo larg o d e los

ejes x ,y , z. Por ejem plo, e n la figura 3-35 el elem en to A B tiene una longi­

tud / y proyecciones conocidas x, y , z a lo largo d e los ejes coordenados.
E sta s p ro y eccio n es p u e d e n re la c io n a rse co n la lo n g itu d d e l ele m e n to

v m e d ia n te la ecu ació n

i= V ? T 7 T ? (3-4)

C om o la fu erza F actúa a lo la rg o d e l e je d e l e lem en to , las c o m p o n e n ­
tes d e F pueden d eterm inarse p o r proporción d e la siguiente m anera:

Figura 3 -3 5

*-< f) - Íl) (3-5)

Tenga en cuenta que esto requiere

f = V fT T Fi + (3-6)

El uso d e estas ecu acio n es se ilu strará e n el ejem p lo 3-12.

E lem entos d e fuerza ce ro . E n alg u n o s casos, e l análisis d e las

ju n tas d e una arm ad u ra puede sim plificarse si es posible d etec tar los e le ­
m en to s d e fu erza c e ro a l reco n o c e r dos caso s c o m u n e s e n la g e o m e tría
de las ju n tas.

C a s o 1 . Si to d o s lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a a r m a d u r a m e n o s u n o
están en e l m ism o plano y siem pre que ninguna carga externa actúe
sobre la ju n ta, el elem en to q u e n o s e encuentra e n el plano d e los dem ás
elem en to s d e b e e sta r so m etid o a u n a fu erza cero . I-a p ru e b a d e esta afir­
m ació n se m u estra e n la fig u ra 3 -3 6 ,d o n d e los e le m e n to s A , f í y C están
en e l p lano x-y. C om o la co m p o n en te z de F „ debe ser cero p ara satisfa­
c er - 0, e l elem en to D d ebe s e r un elem en to d e fuerza cero. P o r el
m ism o razonam iento, e l elem en to D so p o rtará u n a carga q u e p u ed e d e ­
term in a rse a p a rtir d e 1 F . = O si u n a fu e rz a e x te rn a ac tú a so b re la ju n ta
y ti e n e u n a c o m p o n e n t e q u e a c t ú a a k» l a r g o d e l e je z.

D e b id o a s u eficien cia d e co sto s, las to rre s
d e e s te tip o s e u san p a ra s o s te n e r v arias li­
neas d e tran sm isió n eléctrica.

Hgura 3-36

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3 .8 A r m a d u r a s espaciales 123

C aso 2. Si se h a determ inado q u e todos m enos dos de varios elem entos
conectados a una ju n ta so p o rtan fuerza cero, los dos elem entos restantes
ta m b ié n d e b e n s o p o r ta r fu e r z a c e r o , s ie m p re q u e n o s e e n c u e n tra n a lo
largo d e la m ism a línea. E sta situación se ilustra en la fig u ra 3-37, d o n d e
se sabe q u e A y C son elem entos d e fuerza cero. C om o F D es colineal con
el eje y , entonces la aplicación d e I F , = 0 o 1 F . = 0 req u iere q u e las
c o m p o n e n te s x o z d e Ffl se a n c e ro . E n c o n s e c u e n c ia , F fí = 0. Si é s te e s el
c a s o , F „ = 0 p u e s t o q u e Z F y = 0.

Figura 3 -3 7

D ebe p restarse atención especial a los dos casos an terio res d e carga y
geom etría d e las ju n tas, puesto q u e e l análisis de una arm adura espacial
puede sim plificarse considerablem ente si se d etec tan p rim ero los e le ­
m entos d e fuerza cero.

Procedim iento de análisis

Para d eterm in ar las fuerzas desarrolladas en los elem en to s d e u n a arm ad u ra espacial
p u ed e u sarse e l m éto d o d e las secciones o e l m é to d o d e los nudos.

M é to d o d e las seccio n es
Si só lo d e b e n d e te rm in a rse algunas fu eizas d e e le m e n to , p u e d e u sarse e l m é to d o d e las
secciones C uando se pasa una sección im aginaria a través de una arm adura y é sta se
divide en dos p artes, e l sistem a d e fu e rz a q u e ac tú a e n ca d a u n a d e las p a rte s d e b e
satisfacer las seis ecuaciones escalares d e equilibrio: Z F , = 0, Z F r = 0 , Z f . = 0,
Z A f, = 0, Z A /y = 0 , Z A f. = 0 . M ed ian te la elecció n ad ecu ad a d e la secció n y los ejes
p ara sum ar fuerzas y m o m en to s.es posible calcular d irectam en te m uchas d e las fuerzas
de elem en to desconocidas en una arm adura espacial, em pleando u n a sola ecuación de
equilibrio. A este respecto, recu erd e q u e e l m om ento d e u n a fuerza respecto a un eje es
cero sie m p re q u e la fu e r z a sea paralela a l eje o su línea de acción p a se a tra vés d e u n
p u n to en e l eje.

M é to d o d e los n u d o s
E n g e n e ra l, si d e b e n d e te rm in a rse la s fu erzas e n lo d o s los e le m e n to s d e la a rm a d u ra ,
el m éto d o d e los nudos es el m ás ad ecuado p a ra realizar e l análisis. C uando se utiliza el
m é to d o d e los nudos, es n e c e sa rio reso lv er las tre s ecu acio n es d e e q u ilib rio e scalares
Z Fx = 0, Z Fy = 0, Z F. = 0 e n c a d a ju n ta . C o m o e s re la tiv a m e n te fácil d ib u ja r los
diagram as de c u erp o libre y aplicar las ecuaciones de equilibrio, e l m éto d o de los nudos
es m uy consistente en su aplicación.

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124 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 3.12

D eterm ine la fuerza en cad a elem en to d e la arm ad u ra espacial q u e se
m u e stra e n la fig u ra 3-38a. L a a rm a d u ra e s tá so p o rta d a p o r u n a ju n ta
d e ró tu la e n A , u n a ju n ta d e ro d illo ra n u r a d o e n B y u n c a b le e n C.

Figura 3-38

S O LU C IÓ N
L a arm adura es estáticam ente determ inada puesto que b + r = 3; o
b ien 9 + 6 = 3(5), figura 3-386.

R eacciones en los s o p o rte s . E s p o sib le o b te n e r la s reac c io n e s e n
los so p o rte s a p a rtir d e l d iag ram a d e c u e rp o lib re d e to d a la a rm a ­
d ura. figura 3-3 8 6 ,d e la siguiente m anera:

Z M y = 0; -6 0 0 (4 ) + B ,(S ) = 0 ñ , = 300 Ib
SAZ. = 0;
2 M , = 0; Cy = 0 B , = 600 Ib
l F t = 0; By{8) - 600(8) = 0 A , = 3 0 0 Ib
Z F y = 0; <4, = 600 Ib
Z F . = 0; 300 - A , = 0 <4. = 600 Ib
< 4 ,- 6 0 0 - 0
<4. - 600 = 0

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3 .8 A r m a d u r a s espaciales 12 5

6001b

Junta B. E l m étodo d e los n u d o s puede em pezar e n B , p u e sto q u e
hay tres fuerzas d e elem en to desconocidas e n esta ju n ta, figura 3-38c.
Las c o m p o n e n te s d e Ffl£ p u ed en d e te r m in a re p o r p ro p o rció n a la
b n g itu d del elem en to S E , com o se in dica e n las ecuaciones 3-5. Se
tiene q u e

l F y = O. - 6 0 0 + E fl£(& ) = 0 F be = 900 Ib (T ) Resp.
S E , = 0; Resp.
S E , = 0; 300 - F bc - 9 0 0 (£ ) = 0 F BC = 0 Resp.

F ba - 900(g) = 0 F RA = 600 Ib (C )

Junta A. U sando el resultado p ara F ^ ■ 600 Ib (C ).el diagram a de
cu erp o libre d e la ju n ta A se m uestra e n la figura 3-38d. Se tiene

S E , = 0; 600 - 600 + E ^ c s e n 45 0
S E V= 0; Fac = 0
S E , = 0; Resp. AK
- E r f í f o ) + 600 - 0 Resp.
Fa e = 670.8 Ib (C ) Resp. 0 0 Ft*

-3 0 0 + Fad + 6 7 0 .8 (^ ) = 0 (f)
Fad = 0

J u n ta D. Pbr in sp ecció n , los e le m e n to s e n la ju n ta D , fig u ra 3-38a,
soportan fu eiza cero, y a q u e la disposición d e lo s elem entos es sim ilar
a cualq u iera d e los dos casos analizados e n referen cia a las figuras 3-36
y 3-37. A dem ás, a p a rtir d e la fig u ra 3-38e.

0S E , ; F DE Resp.
F nc Resp.
S E , 0;

Junta C. l\>r o bservación d el diagram a d e c u erp o libre, figura 3-38f

F'c e = 0 Resp.

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126 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 3.13

D eterm ine los elem en to s d e fuerza cero d e la arm ad u ra q u e se m ues­
tra e n la figura 3-39a. Los soportes ejercen las co m p o n en tes d e reac­
ción e n la a rm a d u ra co m o se indica en la figura.

<«)

fig u ra 3 -3 9

S O L U C IÓ N
E l diag ram a d e cuerpo libre, figura 3-39a, indica q u e hay ocho reac­
ciones desconocidas p ara cuya solución sólo hay disponibles seis
ecuaciones d e equilibrio. A unque éste sea el caso, las reacciones p u e ­
den determ inarse, p u esto q u e 6 + r = 3 / o l 6 + 8 = 3(8).

P ara d e te c ta r los e lem en to s d e fu erza cero , e s n ecesario c o m p a ra r
las co n d icio n es d e la g e o m e tría de las ju n ta s y la carg a co n las inclui­
d as e n las figuras 3-36 y 3-37. C onsidere la ju n ta F, figura 3-39b . C om o
los e le m e n to s F C , F D y F E se e n c u e n tra n e n e l p lan o x ' y ' y FG no
está e n este plano, F G es u n elem ento d e fuerza c e ra (D eb e satisfa­
c e r s e "LF.• = 0 .) D e la m is m a m a n e r a , a p a r tir d e la j u n t a E , fig u ra
3-39c. E F es un elem ento de fu e rza cero,p u esto q u e no se en cu en tra e n
e l p la n o y '- z '. (D e b e satisfacerse E / y = 0.) V olviendo a la ju n ta F , fi­
gu ra 3-39b , p u ed e o bservarse q u e Ffd = F pc = 0 p u e sto q u e Fff =
F fc = 0,y no hay fuerzas externas q u e actúen sobre la junta. U se este
procedim iento p ara dem ostrar q u e A B es un elem ento d e fuerza cero.

El análisis num érico d e fuerzas e n las ju n tas puede p roceder ah o ra a
an alizar la ju n ta G (Fg f = 0 ) p a ra d e te rm in a r las fu erzas e n G H , G B ,
G C , D espués se analiza la ju n ta H p ara d eterm inar las fuerzas e n H E ,
H B y H A -,la ju n ta E p a ra d e te r m in a r la s fu e rz a s e n E A , E D \ la ju n ta zl
para d eterm inar las fuerzas e n A B .A D y / l r;la ju n ta B para determ i­
n ar la fu erza e n B C y B „ B ¡\ la ju n ta D p a ra d e te rm in a r la fu erza en
D C y D y, D z y. p o r ú ltim o , la ju n ta C p a ra d e te r m in a r C „ C y, C z.

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3 - 8 PROBLEMAS 127

PROBLEMAS

•3 -2 8 . D eterm ine las fu erzas e n to d o s los elem en to s d e la 3-30. D eterm in e la fu erza e n c a d a e le m e n to e indique si
arm adura com pleja Indique si los elem entos están en ten ­ los elem entos están e n tensión o e n com presión.
sión o en com presión. Sugerencia:Sustituya A l) por un ele­
m ento ubicado e n tre E y C.

Proh. 3-30

Proh. 3-28

>-29. D eterm ine las fuerzas e n to d o s lo s e le m e n to s d e la 3-31. D eterm ine la fuerza en todos los elem entos de la ar­
arm adura (compleja) en form a d e red. Indique si los ele­ madura com pleja Indique si los elem entos están en tensión
mentos están en tensión o en com presión. Sugerencia:Susti­ o en compresión.
tuya J E por u n e lem en to u b icad o e n tre K y F.

P roh. 3 -31

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128 C a p it u l o 3 A n á l is is d e a r m a d u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

*3-32. Determ ine la fuerza desarrollada en cada ele­ 3-34. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­
mento de la arm adura espacial e indique si los elem entos dura espacial e indique si los elem entos están en tensión o
están en tensión o en com presión. La caja tiene un peso de en compresión. La arm adura se sostiene m ediante articula­
150 Ib.
ciones de rótula e n C .D .E y G . Ñola: A pesar d e q u e esta
arm adura e s indeterm inada de prim er grado, es posible una
solución debido a la sim etría de la carga y la geom etría.

Prob.3-32

3-33. D eterm ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­ 3 -3 5 . D eterm in e la fu erza e n lo s e le m e n to s F E y F.D de la
dura espacial e indique si los elem entos están en tensión o arm adura espacial e indique si los elem entos están en te n ­
en compresión. Sugerencia: La reacción d el soporte en E sión o e n com presión. La arm adura se sostiene m ediante
actúa a lo largo del elem ento £ /?.¿F o r qué? una articulación de rótula en C y eslabones cortos c n A y B .

*3-36. Determ ine la fuerza en los elem entos G D , G E y
FD de la arm adura espacial e indique si los elem entos están
en tensión o en compresión.

5001b
2001b

Proh. 3-33 Probs. 3-35/3-36

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