Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

Repaso d el c ap itu lo 17 9

l-os d iag ram as d e fu e r/a co rtan te y d e m o m en to p a ra lo s elem en to s estru ctu rales p u ed en d ib u jarse g raficand o las fu n cio ­
n es d e fu erza c o rta n te y d e m om ento. T am bién p u ed en d ib u jarse u sando las d o s relacio n es gráficas.

f x “ W {I) Jd L - v
dx v
te n d ie n te d e l d ia g ra m a 1 _ / In ten sid ad d e la
de fuerza c o rtan te / \ carga distribuida ten d ien te del diag ram a/
= {F uer/acortante

de m om ento/

T enga en c u e n ta q u e u n p u n to d e fu erz a c o rta n te c e ro localiza al p u n to d e m o m en to m áx im o p u e sto q u e V = d M / d x = 0.

4

AV = J w {x ) dx AM = J V (x ) dx

C am bio e n la 1 _ Á rea bajo el C am bio e n 1 _ í Á rea bajo el diagram a
fuerza c o rta n te / diagram a de el m o m e n to / \d e fuerza cortante
carga distribuida

U na fuerza q u e actú a hacia ab ajo so b re la viga liará q u e el d iag ram a d e fuerza co rta n te salte hacia abajo, y u n m o m en to de
p ar en sentido co n trario al d e las m anecillas d el reloj h ará q u e e l diagram a de m o m en to salte hacia abajo.

Ml . P

I I Ml M ñ

V- 1 1) ! - = = ■

V u
M,
IP \r
J M,

V'*

E m p leand o e l m éto do de superp o sició n , los diagram as de m o m en to p a ra u n elem en to p u ed en rep re sen tarse m ed ian te u n a
serie d e fo rm as m á s sim ples. I jis fo rm as rep re se n ta n e l d ia g ram a d e m o m en to p a ra c a d a u n a d e las c arg as p o r sep arad o .
E ntonces, e l d iag ram a de m o m en to resu ltan te e s la su m a algebraica de lo s d iag ram as separados.

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Este p u e n te d e a rc o p a rab ó lico so stie n e la cu b ie rta q u e co m u n ica am b o s ex trem o s.

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Cables y arcos

A m e n u d o , lo s cab les y arcos co n stitu ye n el e le m e n to p rin cip a l para
so p o rta r cargas en m u ch o s tip o s d e estructu ras, y en e ste c a p ítu lo se
analizarán a lg u n o s d e lo s a sp e c to s m ás im p o rta n te s re la c io n a d o s con
su análisis e s tru c tu ra l. El c a p ítu lo co m ie n za c o n un e s tu d io g e n e ra l de
los cables, s e g u id o d e u n análisis d e los c a b le s s o m e tid o s a una carga
concentrada y a una carga u n ifo rm e m e n te d is trib u id a . C o m o la m a­
yoría d e los arcos son e stá tica m e n te in d e te rm in a d o s , só lo se c o n sid e ­
rará e l caso especial d e u n arco c o n tre s articulaciones. El análisis d e
esta estructu ra a yu d a a una m e jo r co m p re n sió n d e l c o m p o rta m ie n to
fu n d a m e n ta l d e to d a s las e s tru c tu ra s a rq ue ada s.

5 .1 C ables

En las o b ras de ingeniería c o n frecuencia se usan los cables p a ra so p o r­
tar y transm itir cargas de un elem ento a o tro . C uando se utilizan para
sostener tech o s colgantes, puentes colgantes y las ru ed as d e un carretó n ,
los cables re p re se n ta n el ele m e n to principal p a ra so p o rta r las carg as
sobre la estructura. E n el análisis d e fuerzas d e estos sistem as.se puede
pasar p o r alto el peso d e l cable e n sí; sin em bargo, cu an d o los cables se
usan com o tensores p a ra an ten as d e radio, líneas d e transm isión eléctrica
o to rres d e perforación, el peso del cable puede llegar a ser im p o rtan te y
d e b e incluirse e n el análisis estructural. E n las siguientes secciones se
tendrán en cuenta dos casos: un cable som etido a cargas concentradas y
un cable su jeto a u n a carga distribuida. S iem pre q u e estas cargas sean co-
planares co n el cable, los requisitos p a ra e l equilibrio se fo rm u lan d e m a­
nera idéntica.

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182 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

O ta n d o se o b te n g a n las relacio n es n ecesarias e n tre la fu e rz a e n el
cable y su pendiente, se su p o n d rá q u e e l cab le es perfectam ente flexib le e
inextensible. D e b id o a su flexibilidad, e l cable n o o frece re siste n c ia a la
fuerza co rtan te o a la flexión y, p o r lo tan to , la fuerza q u e actú a e n el
cable siem pre e s tangente a éste e n lo s puntos ubicados e n to d a su longi­
tu d . Si es inextensible, el cable tien e una longitud constante, tan to antes
c o m o d esp u é s de ap licar la carg a. E n co n secu en cia, u n a vez q u e se aplica
la c a rg a , la g e o m e tría d e l cable p e rm a n e c e fija y el cable, o u n seg m en to
de éste, p u ed e tratarse co m o u n cu erp o rígido.

5 .2 C able so m e tid o a cargas
concentradas

La cu b ierta d e u n p u en te atiran tad o se so s­ C uando un cable cuyo p eso se p u ed e p asar p o r alto so p o rta varias cargas
tien e m ediante una serie d e cables conecta­ concentradas, tien e la form a de varios segm entos d e línea recta, cada uno
d o s e n varios p u n to s a lo largo d e la cubierta de los cu ales e stá so m e tid o a u n a fu erza d e ten sió n co n stan te. C onsidere,
y los pilones. p o r ejem p lo , el c a b le q u e se m u estra e n la fig u ra 5-1. A q u í 0 especifica el
án g u lo d e la cuerda d el ca b le A B y L e s el c la ro d e l cable. S i las d is ta n ­
cias L \, L i y L3 y las cargas P ( y P 2 son conocidas, entonces el p roblem a
consiste e n d eterm in ar las nueve incógnitas de q u e consta b tensión en
cada u n o d e lo s tres seg m en to s, las cuatro co m p o n en tes d e la reacció n
e n A y B , y las flechas y e y y o e n los d o s p u n to s C y D . P ara la so lu ció n se
pueden escribir dos ecuaciones d e equilibrio de fuerzas en cad a uno de
los p u n to s A , B , C y D. E sto se trad u ce en u n total d e ocho ecuaciones.
Para co m p letar la so lu ció n .será necesario conocer algo acerca d e la g eo ­
m etría d el cable a fin de o b te n e r la n o v en a ecuación necesaria. P o r ejem plo,
si s e esp e c ifica la lo n g itu d to tal d e l c a b le ££,e n to n c e s s e u sa e l te o re m a
de P itág o ras p a ra relacio n ar con cad a una de las tres lon g itu d es d e los
segm entos, e sc rito e n térm in o s d e 0, y ^ y n * ^ 2 y ¿3- P o r desgracia,
e s te tipo d e p ro b le m a s n o p u e d e resolverse co n facilidad m anualm ente. Sin
em bargo, o tra posibilidad consiste en especificar una d e las flechas,y c o
y D, en vez d e la longitud d el cable. D e e sta m anera, las ecuacio n es de
equilibrio son suficientes p a ra la obtención d e las fuerzas desconocidas y
la flech a re s ta n te . U n a vez q u e se o b tie n e la flecha e n ca d a p u n to , f £
puede determ inarse p o r trigonom etría.

A l re a liz a r u n an álisis d e e q u ilib rio p a ra un p ro b le m a d e e s te tip o , las
fuerzas e n e l cable tam bién pueden obtenerse escribiendo las ecuaciones
de equilibrio p ara todo el cable o cu alq u ier p o rció n d e l m ism o. E l si­
guiente ejem plo ilustra esto s conceptos e n form a num érica.

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5.2 C a b le s o m e tid o a ca rg a s c o n c e n tra d a s 18 3

D eterm ine la tensión e n cada seg m en to del cable q u e se m uestra en la
fig u ra 5-2<j. A d e m á s , ¿ c u á l e s e l v a lo r d e la d im e n s ió n h 'í

SO L U C IÓ N
R>r in sp ecció n , h ay c u a tro re a c c io n e s e x te rn a s d e sc o n o c id a s (A x, A y,
Dx y Dy) y tres tensiones desconocidas, una en cada segm ento del
cable. E stas siete incógnitas, ju n to con la flecha h pueden d e te rm i­
narse a p artir d e las ocho ecuaciones d e equilibrio disponibles (I.F , =
0 , 'ZFy = 0 ) a p lic a d a s a los p u n to s d e s d e A h a sta D.

Un m étodo m ás d irecto p ara en co n trar la solución es reco n o cer q u e
la p e n d ie n te d e l c a b le C D está e sp e c ific a d a ; p o r e n d e , e n la fig u ra
5-2b se m uestra u n diagram a d e cu erp o libre d e to d o el cable. La ten ­
sión en el segm ento C D puede o b ten erse d e la siguiente m anera:

i + Z M Á = O.
T cd Í3 /5 ) (2 m ) + 7 c#)(4 /5 )(5 .5 m ) - 3 k N ( 2 m ) - 8 k N ( 4 m ) = 0

T cd = 6.79 kN Resp.

A hora es posible an alizar d e m anera se c u e n d a l e l equilibrio de los
p untos C y D . P u n to C (fig u ra 5-2c);

X l F x = 0; 6.79 kN (3 /5 ) - TBCe o s 0BC = 0 Resp. <b)
y
+ 1 = 0 ; 6 .7 9 k N ( 4 / 5 ) - 8 k N + 7 * - s e n 0 BC = 0
Bfíc = 32.3° T bc = 4.82 k N (c)
y
P u n to B (figura 5-2d):
(d)
X l F , 0; - T ñÁ e o s 0 BA + 4 .8 2 k N e o s 3 2 .3 ° = 0 Resp.
fig u ra 5 -2
+ TZFy 0 ; T b a s e n 0 RA - 4.82 k N s e n 3 2 3 ° - 3 k N

0 BA = 5 3 .8 ° T b a = 6 .9 0 k N

ft> r lo ta n to , c o n b a s e e n la f ig u ra 5-2<i, Resp.
h = (2 m ) ta n 53.8° = 2.74 m

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184 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

5 .3 C able so m e tid o a una carga
un ifo rm em e nte d istribuid a

L os cables proporcionan un m edio muy eficaz para so p o rtar e l peso
m u erto d e las tra b e s o losas d e p u e n te s co n cla ro s m uy am plios. U n
p u en te colgante es u n ejem plo tfp ico .en el q u e la cubierta está su sp en ­
did a del cable p o r m edio d e u n a serie d e sujetadores cerrados espaciados
de m anera uniform e.

Para an alizar este problem a, p rim ero se d eterm inará la form a d e un
cable so m etid o a u n a carga v ertical iv0 u n ifo rm em en te d istrib u id a de
m a n e ra h o rizo n ta l, figura 5-3a. A q u í, los e je s x y y tien en s u o rig e n e n el
p u n to m ás b ajo d el cable, d e m o d o q u e e n e s te p u n to la p e n d ie n te es
cero. E n la fig u ra 5-3b se m u estra e l d iag ram a d e c u e rp o lib re d e un seg ­
m ento p eq u eñ o del cable con u n a longitud A s.C om o la fuerza d e tensión
en el cable cam bia continuam ente, tan to en m agnitud com o en dirección
a to d o lo larg o del cab le, este cam b io se indica e n e l d iag ram a d e cu erp o
libre co n AT. La carg a distribuida se rep resen ta p o r m edio d e su fuerza
r e s u lta n t e u '0A z ,l a c u a l a c t ú a e n A x /2 d e s d e e l p u n t o O .
A l ap licar las ecuaciones d e eq u ilib rio se o b tien e

X Z F , = 0; - T eos 9 + (7 + A r)c o s(0 + A0) = 0
- T sen 9 - w0( A x) + {T + A 'F )sen (0 + A 0) = 0
+ T'Z F y = 0 ; »v0( A x ) ( A x / 2 ) - T e o s 9 A y + 7 s e n 0 A * = 0

{,+ZA /o = 0;

Si s e d iv id e cad a u n a d e estas ecuaciones e n tre A x y se tom a e l lím ite
cuando A x - * 0 y. p o r en d e, cu an d o A y - * 0 , A 0 - * 0 y A T — 0. resu lta

<b) d ( T eo s 9) (5-1)
dx (5-2)
fig u ra 5 -3
d ( T se n 9)
dx wo

(5-3)
dx

A l in te g ra r la ecu ació n 5 -1 .d o n d e T = F „ en x = 0, se tien e:

T eos 9 = F„ (5-4)

k> q u e in d ic a q u e l a c o m p o n e n t e h o r iz o n ta l d e la f u e r z a e n c u a lq u ie r
p u n to a lo larg o del cab le se m an tien e constante.

Si se in te g ra la ecu ació n 5-2, te n ie n d o e n c u e n ta q u e T sen 0 = 0 en
x = 0, resu lta

T s e n 9 = wqX (5-5)

A l dividir la ecuación 5-5 en tre la ecuación 5-4 se elim ina T. Luego,
u san d o la ecu ació n 5-3, e s p o sib le o b te n e r la p e n d ie n te e n cu a lq u ie r
p u n to .

tan 9 "o* (5 -6 )
dx Fu

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5.3 C a b le s o m e t id o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e distribuida 185

Si se integra p o r seg u n d a vez co n y = O en x = O se obtiene

JVo_ (5-7)
2F„

É sta es la ecuación de u n a parábola. La co n stan te puede obtenerse
m ediante e l uso de la cond ició n de fro n te ra y = h e n .t = ¿ .P o r lo tan to .

w 0L~ (5-8)
H 2h

F inalm ente, al su stitu ir e n la ecuación 5-7 resu lta El p u e n te V c rra /a n o -N a rro w s e n la en trad a
h2 al p u erto d e N ueva Y ork cuenta con un
claro principal d e 4260 pies (1.30 km ).
y-7 ^
(5-9)

D e la ecuación 5-4, la ten sió n m áxim a e n el cable o cu rre cu an d o 0 cs m á­
xim a; es d e d r, e n x = L . P o r lo tan to , a p artir d e las ecuaciones 5-4 y 5-5,

T . * = V F 2h + ( w 0L ) 2 (5-10)

O b ie n , c o n b ase e n la e c u a c ió n 5.8 e s p o sib le e x p re s a r Tmíx e n té r m i­
nos d e wo.es decir.

m i x »V0/ V i + ( L / 2 J iY (5-U )

O bserve que se h a ignorado el peso d el cable, e l cual es uniform e en (c)
toda la longitud del cab le y n o a lo larg o d e su proyección horizontal. En figura 5-4
realidad, un cable som etido a su p ro p io peso y libre d e cualesquier o tras
cargas to m ará la fo rm a de una cu rv a catenaria. Sin em bargo, si la rela­
ción d e flecha sobre claro e s peq u eñ a, com o e n el caso d e la m ayoría de
las ap licacio n es e stru c tu ra le s, e s ta cu rv a se ap ro x im a a u n a fo rm a p a ­
rabólica. com o se d eterm in ó aquí.

C on b ase e n los re su ltad o s d e e ste an álisis, se d e d u c e q u e u n cable
m antendrá una fo rm a parabólica siem pre q u e la carga m uerta d e la cu ­
bierta p ara u n p u en te colgante o una trab e d e suspensión se distribuya
u niform em ente en to d a la lo n g itu d p ro y ectad a h o rizo n tal del cable. Por
lo ta n to , si la tra b e de la figura 5-4a se so stien e m ed ian te u n a serie de
ganchos, q u e están cerrados y uniform em ente espaciados, la carga en
c a d a g a n c h o d e b e s e r la m ism a p a ra q u e p u e d a aseg u ra rse q u e e l cable
tiene u n a form a parabólica.

Si se usa e ste supuesto, es posible realizar e l análisis estructural d e la
trabe o d e cualquier o tra estru ctu ra q u e esté suspendida librem ente d el
cable. E n p articu la r, si la tra b e está sim p le m e n te ap o y a d a , a sí co m o so s­
tenida p o r e l cable, e l análisis será estáticam en te indeterm inado de p ri­
m er g rad o , figura 5-46.S in em bargo, si la tra b e tien e un p asad o r interno
e n algún p u n to interm edio d e to d a su longitud, figura 5-4c,ésta sería una
cond ició n d e m o m en to c e ro y. p o r lo ta n to .s e ría posible re a liz a r u n a n á ­
lisis e stru c tu ra l d e te rm in a d o d e la trabe.

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186 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

EJEMPLO 5.2

E l cable d e la figura 5-5a sostiene u n a trab e q u e pesa 850 Ib/pie. D e­
term in e la ten sió n e n e l cable e n los p u n to s A . B y C.

A 20

T\
r

100 pies x
(a) (b)

Figura 5-5

S O L U C IÓ N
E l orig en de los ejes coordenados se establece e n e l p u n to i*.el pu n to
m ás bajo del cable, d o n d e la p en d ien te es cero , figura 5-5d. A p artir de
la e c u a c ió n 5-7, la ecu ació n p a ra b ó lic a d e l ca b le es:

= _Wq_ , _ 8 5 0 I b / p ie , = 425

^ 2i rF „ ^ i2 rF „ Fr „ (!)

Suponiendo que e l punto C se en cu en tra a .t' de B ,se tiene

20- f , * (2 )
Fu

F „ = 212 5 x '2

A dem ás,para e l p u n to A,

•40 - ^ [ - ( t ° 0 - x ') ! 2
425

x a + 200x ’ - 10000 = 0
a:' = 41.42 p ie s

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5.3 C a b le s o m e t id o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d istr ibu id a 187

I\>r lo ta n to , co n b ase en las ecu acio n es 2 y 1 ( o la e c u a c ió n 5-6 ) se
tiene

F u = 21.25(41,42)2 = 36 459.21b (3)
d y 850
x = 0.0233 lx
d x 36 459.2

En el punto A ,

x = - ( 1 0 0 - 41.42) = -5 8 .5 8 pies

ta n 9 ^ dy 0.02331 (- 5 8 .5 8 ) = -1 .3 6 6
r x j — 5838

9Á = -5 3.79 c

U sando la ecuación 5-4,

3 6 4 5 9 .2 ?fc
c o s(-53.79°)
c o sfl^

E n e l p u n to B ,x = 0,

d vy eB = o°

= 0,

*-o

eos 6b . 36.5 k
eos 0

En el punto C,

x = 41.42 p ies

dy 0.02331(41.42) = 0.9657
ta n 0C = —

d x *=41.42

flc = 4 4 .0 :

T e m . r ! L . m * % l m S 0 .l k R esp.
eos 6C eos 44.0°

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188 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

EJEMPLO 5.3

E l p u e n te colgante d e la figura 5-6a x co n stru y ó u san d o dos a rm a d u ­
ras d e rigidez q u e están conectadas e n sus extrem os m ediante un p a ­
sad o r en C, y se sostienen m ediante un pasador e n A y un oscilador e n B.
D ete rm in e la te n sió n m áxim a e n e l ca b le IH. E l ca b le tie n e u n a fo rm a
parabólica y e l p u en te e stá so m etid o a una sola carga d e 50 kN.

/H

(a)

figura 5-6

S O L U C IÓ N
E n la figura 5-6b se m u estra e l diagram a d e cuerpo lib re d el sistem a
c a b le -a rm a d u ra . D e a c u e rd o co n la e c u a c ió n 5 -4 (7* eos 9 = F „), la
com ponente horizontal d e la tensión d el cable e n / y H d eb e se r cons­
tan te, Fu. Si se tom an los m om entos co n respecto a B ,s e tiene

1 + 2 M b = 0; —/ y(2 4 m ) - A y{2 4 m ) + 5 0 k N ( 9 m ) = 0
l y + A y = 18.75

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5 .3 C a b l e s o m e t id o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a 189

(c)

Si s e c o n s id e r a s ó lo la m ita d d e la e s t r u c tu r a s u s p e n d id a , fig u ra 5 -6 c ,
en to n ces al su m ar los m o m en to s con re sp e c to al p a sa d o r e n C .se o b ­
tiene

i + 2 M c = 0 . F h { 14 m ) - F „ { 6 m ) - / y( 1 2 m ) - ¿ , ( 1 2 m ) = 0
l y + A y = 0.667 Fh

A p a rtir d e estas dos ecuaciones.

18.75 = 0.667 F„
Fh = 28.125 k N

P ara o b te n e r la tensión m áxim a en el cable se utilizará la ecuación 5-11.
pero prim ero es necesario determ inar, co n base en la ecuación 5-8, el
v a lo r d e u n a c a r g a vv,, q u e s e s u p o n e u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a :

2 F „ h = 2(28.125 k N )(8 m)

IV0 = — r r = sT 1 = 3.125 k N /m
L2 ~ (12 m)^

R>r lo ta n to , u san d o la ecu ació n 5-11. se tie n e

T mix = w , L \ / 1 + (L /2 H ) 2

= 3.125(12 m ) \ / l + (12 m /2 (8 m ))2

= 46.9 kN Resp.

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190 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

PROBLEMAS

5 - 1 . D e te r m in e la te n s ió n e n c a d a s e g m e n to d e l c a b le y la 5 -3 . D e te rm in e la te n s ió n e n ca d a se g m e n to d e c a b le y la
longitud to ta l d e éste. distancia y D.

Prob. 5 -1 Prob. 5-3

5 -2 . E l cable A B C D so p o rta la carg a m ostrada. D e te r­ * 5 -4 . E l c a b le s o p o rta la c a rg a m o stra d a . D e te rm in e la
m ine la tensión m áxim a e n e l cab le y la flecha d el p u n to R. d i s t a n c ia x B. m e d i d a d e s d e A , a la a i a l a c t ú a la f u e r z a e n e l
p u n to B . C o n sid ere q u e P = 40 Ib.

5 -5 . EJ c a b le s o p o rta la c a rg a m o stra d a . D e te rm in e la
m agnitud d e la fu erza horizontal P de m an era q u e x B = 6
pies.

P rob. 5 -2 Probs. 5-4Z5-5

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5.3 C a b le s o m e t id o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e distribuida 191

5-6. D eterm ine las fuerzas /*, y P , necesarias p ara m ante­ •5 -8 . H cab le soporta la carg a uniform e de w’0 “ 600 Ib/pie.
n e r a l cable e n la posición in d ic a d a .e sd e c ir.d e m o d o q u e el D eterm ine la tensión en el cable en cada soporte (apoyo)
segm ento CD se m antenga horizontal. También encuentre AyB.
la carga m áxim a e n el cable.

5-7. El c a b le está so m etid o a la carga uniform e. Si la p en - 5-9. Determine la tensión máxima y mínim a en el cable,
diente del cable en el punto O es igual a cero, determ ine
la ecuación de la curva y la fuerza en el cable en los puntos
O y B.

10 lO i

8 pies n

o 16 kN /m

Prob. 5-9 J— ,

TTTTTT n

I 500 Ib/pie '1

15 pies t 15 p ie s www.FreeLibros.me

Prob. 5-7

192 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

5-10. D eterm ine la carga uniform e w máxima, m edida en 5-13. I-as arm aduras están articuladas y cuelgan del cable
Ib/pie, que puede soportar el cable si es capaz de sostener parabólico. D eterm in e la fuerza m áxim a e n e l c a b le cu an d o
una tensión máxima d e 3000 Ib antes d e rom perse. la e stru c tu ra se s o m e te a la carga q u e se m uestra.

5 -1 1 . E l cable e stá so m e tid o a u n a carga u n ifo rm e h1 = Proh. 5-13
250 Ib/pic. D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ín im a e n el
cable.

5-14. D eterm ine la tensión máxima y mínima en el cable
parab ó lico y la fu erza e n c ad a uno d e los ganchos. La tra b e
está som etida a una carga uniform e y se conecta m ediante
un p asad o r e n B.

5-15. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de mo­
mento para las trabes articuladas A B y BC. El cable tiene
una form a parabólica.

*5-12. E l cable q u e se m uestra en la figura está sometido
a la carg a u niform e »v0. D eterm in e la relació n en tre la e le ­
vación h y el claro /. que se traducirá en el uso d e la canti­
dad m ínim a d e m aterial p ara el cable.

Proh. 5 -1 2 P ro b s . 5 — 14/5— 15

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5.3 C a b le s o m e t id o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e distribuida 193

*5-16. 1*1c a b le se ro m p e rá cu an d o la ten sió n m áxim a al* 5-19. Las vigas A B y B C so sostienen m ediante el cable
que tiene una form a parabólica. D eterm ine la tensión e n el
canee = 5000 kN. D eterm ine la carga uniform em ente cable en los puntos D, F y E, así com o la fuerza en cada uno
de los sujetadores igualm ente espaciados.
distribuida tv máxim a n ecesaria p a ra d e sarro lla r esta te n ­

sión máxima.

5-17. El cable está som etido a una carga uniform e de w =
60 kN /m . D eterm ine la tensión máxima y mínima en el
cable.

Probs. 5-16/5-17 Prob. 5-19

5-18. El cable A B está som etido a una carga uniform e de *5-20. Dibuje los diagram as de cortante y d e m om ento
200 N /m . Si se pasa p o r alto el peso del cable y los ángulos pura las vigas A B y BC. E l cable tiene una form a parabólica,
d e la pendiente e n los puntos A y B son 30 y 60“. respectiva­
m ente, d eterm in e la cu rv a q u e d e fin e la fo rm a d e l cab le y la
tensión máxima desarrollada en e l cable.

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194 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

trasdós 5 .4 Arcos

(o) A l igual q u e los cables, los arcos p u ed en usarse p ara reducir los m o m en ­
tos de flexión e n las estru ctu ras con claros am plios. E n esencia, un arco
H cura 5 -7 funciona com o un cable invertido, p o r lo q u e g en eralm en te recibe carga
en com presión; aunque, debido a su rigidez. tam bién d eb e resistir alg u ­
nas fuerzas d e flexión y d e co rtan te depen d ien d o de cóm o esté carg ad o y
cuál sea su fo rm a. E n p articu lar, si e l arco tien e u n a fo rm a parabólica
y se som ete a una carga vertical uniform em ente distribuida d e m anera
horizontal, entonces a p artir del análisis d e los cables se deduce q u e el
a rc o sólo resistirá fu e rza s d e com presión. E n estas condiciones, la form a

^ arco se clcnom ina arco fu n icu la r, p o rq u e d e n tro d e él n o se producen
fuerzas d e flexión ni fuerzas cortantes.

E n la fig u ra 5-7 se m u e stra u n a rc o típ ico , q u e esp ecifica a lg u n a d e la
nom enclatura que se usa p ara definir su geom etría. D ep en d ien d o de
la aplicación, p u ed en seleccionarse varios tipos d e arcos p a ra so p o rta r
una carga. U n arco fijo ,figura 5-8a,suele hacerse d e concreto reforzado.
A u n q u e su co n stru cció n p u e d e re q u e rir m en o s m a te ria l q u e la d e o tro s
tipos d e arcos, d e b e ten er pilas d e cim entación sólidas, p u esto q u e es in­
d eterm in ad o d e te rc e r g ra d o y, e n co n secu en cia, p u e d e n introducirse
tensiones adicionales al arco, d eb id o al asentam iento relativo d e sus so ­
portes. U n arco d e dos articulaciones, figura 5 -S b ,se hace com únm ente
de m etal o d e m adera. E s indeterm inado d e p rim e r g rad o y. au n q u e no es
ta n ríg id o co m o u n arco fijo, e s alg o insensible a l a sen tam ien to . E sta e s­
tru c tu ra p o d ría h a c e rse e stá tic a m e n te d e te rm in a d a al su s titu ir u n a de las
articulaciones p o r un rodillo. S in em bargo, a l h acerte de esta m an era se
elim ina la capacidad d e la e stru c tu ra p ara resistir la flexión a lo largo de
su claro y, p o r ende, serviría com o u n a viga cu rv a y no com o un arco. U n
arco d e tres articulaciones, figura 5 -8 c,q u e tam bién se hace d e m etal o de
m a d e ra , e s e stá ticam en te d eterm in ad o . A d iferen cia d e los arco s e stá ti­
cam ente indeterm inados, no le afectan los cam bios en e l asen tam ien to o
la te m p e ra tu ra . Iter ú ltim o , si se v an a c o n stru ir arc o s d e dos y tre s a rtic u ­
laciones sin requerir grandes pilas d e cim entación y si el espaciam iento
n o e s un p ro b le m a , e n to n ce s los so p o rtes p u e d e n co n ectarse m ed ian te
u n tira n te , fig u ra 5-8d . U n arco atirantado p erm ite q u e la e stru c tu ra se
com porte com o una unidad rígida, p u esto q u e e l tiran te so p o rta la com ­
p o n e n te h o riz o n ta l d el e m p u je e n los s o p o rte s A d em ás, ta m p o c o le
afecta e l asentam iento relativo d e lo s soportes.

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5 . 5 A m o DE TRES ARTICULACIONES 195

5 .5 A rco de tre s articulaciones

C bn el fin de o b te n e r una idea d e la fo rm a e n q u e los arcos transm iten (a)
las cargas, a c o n tin u ació n se c o n sid e ra rá e l an álisis d e u n a rc o d e tre s a r ­ (b)
ticulaciones, co m o el q u e se m u estra en la figura 5-9a . E n este caso, la terce­
ra articulación se en c u e n tra e n la co ro n a y lo s so p o rtes (o apo y o s) están
a diferentes alturas. Si se d esea d eterm in ar las reacciones e n los soportes,
el arco d eb e desm ontarse p a ra después hacer el diagram a de cuerpo
libre d e cada elem en to , co m o se m u estra e n la figura 5-9b. A q u í hay seis
incógnitas p a ra las c u a le s h ay d isp o n ib les seis ecu acio n es d e eq u ilib rio .
U n m éto d o p ara la solución d e este p roblem a consiste e n ap licar las
ecuaciones d e equilibrio d e m om entos respecto a los p u n to s A y B . La
solución sim ultánea pro d u cirá las reacciones C , y Cy L uego, las reaccio ­
nes en los so p o rte s s e d e te rm in a n a p a rtir d e las ecu acio n es d e eq u ilib rio
de fuerzas. U n a vez obten id as estas reacciones, es posible d eterm in ar las
fuerzas norm al y co rtan te internas, así com o las cargas d e m om ento en
cualquier p u n to d el arco siguiendo e l m éto d o d e las secciones. A quí, p o r
supuesto, la sección se d ebe to m a r perp en d icu lar al eje del arco e n el
punto considerado. Por ejem plo, en la figura 5-9c se m uestra el diagram a
de cu erp o libre para el segm ento A D .

l-os arc o s de tres articu lacio n es ta m b ié n p u e d e n to m a r la fo rm a d e d o s
arm aduras articu lad as,cad a una d e las cuales reem plazaría a las costillas
del arco A C y C R en la figura 5-9a. El análisis d e e sta form a sigue el
m ism o pro ced im ien to d escrito an terio rm en te. Los siguientes ejem plos
ilustran estos conceptos e n form a num érica.

El arco de armaduras de Ircs articulaciones
x utiliza para soportar una parte de la carga
del lecho de este edificio (a). El acerca­
miento muestra que el arco está articulado
en su parte superior (b).

(a) Nn
*i Md

i V„

A, r (O
<b)
B.

F ig u ra 5 -9

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196 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

E l p u en te d e arco con enjuta ab ierta y tres articulaciones, com o el que
se m u e stra e n la fo to g rafía tien e u n a fo rm a p a ra b ó lic a . Si e s te a rc o
d ebe so p o rta r una carga uniform e y tien e las dim ensiones indicadas
e n la figura 5-10 a ,d e m u e stre q u e el arco e s tá so m etid o sólo a com pre­
sión a x ia l e n un p u n to in te rm e d io c o m o el p u n to D . S uponga q u e la
carga se tran sm ite unifo rm em en te a las costillas d e l arco.

(a)
n g n ra 5-10

S O L U C IÓ N
A q u í los apoyos (so p o rtes) están a la m ism a altura. Los diagram as de
c u e rp o lib re d e to d o el a rc o y d e la p a rte R C se m u e stra n e n las figu­
ras 5-106 y 5-10c. A l a p lic a r las ecu acio n es d e eq u ilib rio , se tien e:

A rco com pleto:

t+ S A fx = 0; C ,(100pies) - 5 0 k (5 0 p ies) = 0
C , = 25 k

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5 . 5 A lK O DE TRES ARTICULACIONES 197

S e g m e n to B C cfcl arco:

t+ Z A ffl = 0; - 2 5 k(25 p ies) + 25 k(5ü p ie s) - C ,(2 5 p ies) = 0
Cx = 25 k

X 2 F t = 0; Bx = 2 5 k

+ T 2 F y = 0; By - 25 k + 25 k = 0
By = 0
(c)

U na sección d el arco tom ada a través del p u n to D ,.x = 25 p ies, y = 5
- 2 5 ( 2 5 ) 2/ ( 5 0 ) 2 = - 6 . 2 5 p i e s . s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 -1 0 d . L a p e n ­
diente d el segm ento en D es

dy -50

= -0 .5

x = 25 pira

e = - 2 6 .6 °

Al ap licar las ecuaciones d e equilibrio,figura 5 -lü d ,se tien e

X 2 F , = 0; 25 k - N „ eos 26.6o - V ^ se n 26.6° = 0

+ ] 2 F y = 0 ; -1 2 .5 k + N D sen 26.6° - V¡¡ eos 26.6° = 0

t+ S M o = 0; M d + 12.5 k(12.5 p ie s) - 25 k{6.25 p ie s) = 0

N d = 28.0 k Resp.
Vn = 0 Resp.
Md =0 Resp.

Nota: Si el arco tuviera una forma diferente o á la carga no fuera uniforme, entonces la
fu e ra cortante y el momento internos « ría n nulos. Además, si « usara una viga sim­

plemente apoyada para soportar la carga distribuida, tendría que resistir un momento
flcxionante máximo de M = 625 k • pie. Por comparación, es más eficiente resistir es-
tmcturalmente la carga en compresión directa (aunque debe considerar» la posibili­
dad de pandeo) que resistir la carga debida a un momento flexionante.

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198 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

EJEMPLO 5.5

E l arco atiran tad o de tres articulaciones está som etido a la carga q u e
se m u estra e n la figura 5-1 la. D eterm in e la fuerza e n los e le m e n to s
C H y C B . El elem en to G F , trazad o co n líneas discontinuas e n la a r­
m adura, está d estin ad o a n o so p o rtar fuerza alguna.

(a) <b)
Figura 5-11

S O L U C IÓ N
I-as reacciones en los soportes p u ed en o b ten erse d e un diagram a de
c u e rp o libre d e to d o e l arco , figura 5-11b:

Í + 2 M a = 0 ; E y{12 m ) - 1 5 k N (3 m ) - 2 0 k N (6 m ) - 1 5 k N (9 m ) = 0

^ Z F x = 0; Ey = 25 kN
+ T 2 F y = 0; >4, = 0
A y - 15 k N - 20 k N - 15 k N + 25 k N = 0
Ay = 25 kN

Las com ponentes d e fuerza q u e actúan en la ju n ta C p u ed en d e te r­
m inarse considerando e l diagram a de cuerpo libre d e la parte iz­
quierda del arco, figura 5-1 le. P rim ero .d eterm in e la fuerza:

25 k N t+ Z M c = 0; F a e ( 5 m ) - 2 5 k N ( 6 m ) + 15 k N ( 3 m ) = 0
Fjip = 21.0 kN
(c)

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5 . 5 A lC O DE TRES ARTICULACIONES 199

E n to n c e s. - c , + 21.0 k N = 0, C , = 21.0 kN 20 kN

X Z F X = 0; 2 5 k N - 15 k N - 2 0 k N + C , = 0 . C y = 10 k N

+ T 2 F V= 0;

P ara o b te n e r las fu e rz a s e n C U y C B , p u e d e u sa rse e l m é to d o de las G
juntas d e la siguiente m anera: Fot

Ju n ta G ; figura 5-1 Id , (d )

+ T 2 F ,- 0 ; Fq c - 2 0 k N = 0 20 kN
Fc c = 2 0 k N (C )

'" a í - 21.0 kN

Ju n ta C ;fig u ra 5-1 le . ta r F f

10 kN

(c)

- i X F , = 0; Fcb( ^ ) - 21.0 kN - F c « ( ^ ) = 0

+ 1 S F y = 0; + r c H ( ^ u ) - 20 k N + 10 kN = 0

ft>r lo tan to .

Fc b = 26.9 k N (C ) Resp.
F c n = 4.74 kN (T ) Resp.

N ora: E n o casio n es, los arco s a tira n ta d o s se
em plean e n puentes. A q u í la cu b ierta está
« sie n id a p o r barras de suspensión que
transm iten su carga a l arco. L a cu b ierta está
en tensión, d e m odo que so p o rta e l em puje
real o la fuerza horizontal e n los extrem os
del arco.

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200 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

EJEMPLO 5.6

E l arco d e arm adura d e tres articulaciones que se m uestra e n la figura
5-12a soporta la carga sim étrica. D eterm ine la a ltu ra h¡ requerida
para las ju n tas R y D . d e m odo q u e el arco ten g a una form a funicular.
E l elem en to H G está destinado a no so p o rta r fu e r/a alguna.

(b) S O L U C IÓ N
figura 5-12 Para una carga sim étrica, la form a funicular d el arco d eb e se r parabó­
lica com o lo indica la línea discontinua (figura 5-126). A q u í debem os
en contrar la ecuación q u e se ajusta a e sta form a. Si los e je s x y y tie­
n e n s u o r ig e n e n C . la e c u a c i ó n e s d e la f o r m a y « e x 2. P a r a o b t e n e r
la co n stan te c .se req u iere

-( 1 5 pies) = -c (2 0 p ie s )7
c = 0.0375/pie

P br lo tanto.

y D = -(Q 0 3 7 5 /p ie )(1 0 p ies)2 = -3 .7 5 pies

A sí q u e a p a rtir d e la fig u ra 5 - 12a,

h \ = 15 p ie s - 3.75 p ie s = 11.25 p ie s Resp.

A p ro v ech an d o e ste v alor, s i a h o ra s e ap lica el m éto d o d e los n u d o s a
la a rm a d u ra , lo s re s u lta d o s m u estran q u e la c u e rd a d e la p a rte su p e ­
rio r y to d o s los e le m e n to s d e la d iag o n al se rá n e le m e n to s d e fuerea
cero, y la carga sim étrica será so p o rtad a sólo p o r los elem entos A B ,
B C , C D y D E d e la cu e rd a in fe r io r d e la a rm a d u ra .

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5 . 5 A IC O DE TRES ARTICULACIONES 20 1

PROBLEMAS

5-21. El arco atirantado de tres articulaciones está som e­ 5-23. El arco de enjuta con tres articulaciones está som e­
tido a las cargas indicadas. D eterm ine las com ponentes de tido a las cargas indicadas. D eterm ine e l m om ento interno
la reacción e n A y C .a s í c o m o la ten sió n e n e l cable. en el arco en el punto D.

Proh. 5-21 Proh. 5-23

5-22. Determ ine las fuerzas resultantes en los pasadores •5-24. El arco atirantado de tres articulaciones está som e­
A , B y C d c la arm adura de techo arqueada y de tres articu­ tido a las cargas indicadas. D eterm ine las com ponentes de
laciones. la reacción e n A y C .así co m o la ten sió n e n la barra.

P roh. 5-22 Proh. 5 -2 4

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202 C a p it u l o 5 C ables y a r c o s

5-25. El puente está construido com o un arco atirantado •5-28. E l arco de enjuta de tres articulaciones está som e­
de tres articulaciones. D eterm ine las com ponentes horizon- tido a la carga uniforme de 20 kN /m . D eterm ine el mo­
tal y verticalde la reacción en las articulaciones (pasadores) mento interno en el arco en el punto D.
A , R y C. El elem ento D E trazado co n líneas discontinuas
está destinado a no soportar fuerza alguna.

5 -2 6 . D eterm in e las a ltu ra s de d iserto h x, h j y h j d e la
cuerda inferior de la arm adura, de modo que el arco de tres
articulaciones responda como un arco funicular.

20 kN/m

Probs. 5-25/5-26 Proh. 5-28

5-27. D eterm ine las com ponentes horizontal y vertical de 5-29. La estructura arqueada está som etida a la carga que
la reacción en los puntos A , B y C del arco de tres articula­ se m uestra en la figura. D eterm ine las com ponentes hori­
ciones. Suponga q u e A . R y C están conectados m ediante un zontal y vertical d e la reacción en A y D, así com o la tensión
pasador. en la barra AD.

Proh. 5-27 Proh. 5-29

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Repaso d el c ap itu lo 203

REPASO DEL CAPÍTULO 5

Los cables soportan sus cargas en tensión si se les considera
perfectam ente flexibles.
Si e l cable e stá so m e tid o a c arg as concentradas, e n to n c e s la
tuerza que actúa en cada segm ento de cable se determ ina
m ediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio al
diagram a d e cuerpo libre d e los grupos de segm entos del
cable o a las juntas donde se aplican las fuerzas.

Si e l cable soporta una carga uniform e a lo largo d e una d is­
tancia h o rizontal proyectada, e n to n c e s e l c a b le to m a la
forma de una parábola.

Los arcos están diseñados primordialm ente para soportar
una fuerza de compresión. Para soportar una carga unifor­
m em ente distribuida sobre su proyección horizontal se re­
quiere una form a parabólica.

I-os arcos de tres articulaciones son estáticam ente determ i­
nados y pueden analizarse separando los d o s elem entos
para después aplicar las ecuaciones de equilibrio a cada ele­
m ento.

arco d e tre s articulaciones

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AJ d iseña r lo s e le m e n to s de e s te p u e n te d e b e n tenerse e n cuenta las cargas
m óviles causadas p o r los trenes. Las lineas de influencia para los elem entos
form an parte im portante d e l análisis estructural.

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Líneas de influencia
para estructuras
estáticam en te
d eterm in ad as

Las líneas d e in fluen cia tie n e n u n a a p lica ción im p o rta n te e n e l d is e ñ o
d e las e stru c tu ra s q u e resiste n g ra n d e s cargas vivas. E n e ste c a p ítu lo
se e s tu d ia rá c ó m o d ib u ja r la línea d e in flu e n c ia p a ra una e s tru c tu ra
estáticam ente d e te rm in a d a . La te o ría se ap lica a estructu ras q u e están
som e tida s a u n a carg a d is trib u id a o a u n a serie d e fue rza s co n ce n tra ­
das; asim ism o, se pre sen ta n a p lica cio n e s esp ecífica s p a ra vig as de
p is o y v ig a s d e p u e n te . A l fin a l d e l c a p ítu lo se an alizan la d e te rm in a ­
c ió n d e la fu e rz a c o rta n te viva y e l m o m e n to m á x im o s a b s o lu to s e n un
elem ento.

6 .1 Líneas d e influe ncia

En lo s capítulos anteriores se han desarrollado técnicas p a ra el análisis
de fuerzas e n los e lem en to s estru ctu rales d e b id a s a cargas m u erta s o
fijas. Se h a dem ostrado q u e los éa g ra m a s d e fu erza corlante y de m o ­
m ento rep resen tan los m étodos m ás descriptivos p a ra m o strar la varia­
ción d e estas cargas e n un elem ento. Sin em bargo, si u n a estru ctu ra e stá
som etida a u n a carga viva o m óvil,[a variación d e la fuerza co rtan te y del
m om ento d e flexión en e l elem en to s e describe m ejor u san d o la línea de
in flu en cia . U n a línea de influencia rep resen ta la v ariació n ya sea d e la
reacción, d e la fu erza c o rta n te , d e l m o m e n to o d e la d eflex ió n e n un
punto especifico de un elem ento, a m edida que una fuerza concentrada
se m ueve a k) larg o d e l e le m e n ta D esp ués de co n stru ir esta lín e a ,e s p o ­
sible d ecir de un vistazo d ó n d e d ebe colocarse la carg a m óvil so b re la es­
tru ctu ra d e m odo q u e cree la m ayor influencia e n e l p u n to específico.
A dem ás, e n to n c e s p u e d e calc u larse la m ag n itu d d e la re a c c ió n , la fu erza
cortante, e l m om ento o la deflexión asociados en e l p u n to a p artir d e las
o rd en ad as d e l d iag ram a de la línea d e influencia. P o r e sto las líneas de
influencia juegan un p ap el im p o rtan te e n el diserto d e puentes, carriles
d e g rú as industriales, tran sp o rtad o res y o tras estru ctu ras d o nde las c ar­
gas se m ueven a lo largo d e u n claro.

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206 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m i n a d a s

A unque el procedim iento para construir una línea d e influencia es bas­
tante básico, d eb e ten erse clara la d feren cia en tre construir u n a línea de
influencia y un diag ram a d e fuerza d e co ite o d e m om ento. L as líneas
de influencia rep resen tan el efecto d e u n a carga m ó vil sólo en u n pum o
específico de u n elem en to , m ientras q u e los diagram as de f u e r a co rtan te
y d e m om ento rep resentan el efecto d e las cargas fija s en lodos lo s p u n ­
tos a lo largo d el e je del elem ento.

Procedim iento de análisis

Si se d e se a co n stru ir la línea d e influencia e n u n p u n to P específico d e un ele m e n to p ara
cu alq u ier función (reacció n , fu erza c o rta n te o m o m e n to ) p u ed e u sarse cu alq u iera d e los
dos p ro c e d im ie n to s sig u ien tes. E n a m b o s casos se eleg irá la fu erza m óvil q u e te n g a una
m agnitud sin dim ensiones de u nidad *

T abulación d e va lo re s

• C oloque u n a carga unitaria en varias ubicaciones, x, a lo largo d el elem en to y e n cada
ubicación use la estática p a ra d eterm in ar el valor d e la función (reacción, fuerza c o r­
tante o m om ento) en e l pu n to específico.

• Si s e d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n a f u e r z a d e r e a c c ió n v e rtic a l e n u n
p u nto so b re una viga, co n sid ere q u e la reacción se rá p o sitiva en e l p u n to d o n d e actú e
hacia arriba.

• Si s e v a a d i b u j a r u n a lín e a d e in f lu e n c ia d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o m e n to e n u n
punto, tom e la fu erza co rtan te o el m om ento e n e l p u n to com o positivos d e acuerdo
co n la m ism a co n v en ció n d e signos q u e se em p le a en la e la b o ra c ió n d e los d iag ram as
de fuerza co rtan te y de m om ento. (V ea la figura 4-1).

• Iodas las vigas estáticam en te d eterm in ad as te n d rá n líneas de influencia q u e consisten
en segm entos de línea recta. D espués d e algo d e práctica se adquiere la capacidad de
m inim izar los cálculos y u b icar la c arg a u n ita ria só lo e n los p u n to s q u e re p re se n ta n los
puntos extrem os de cada segm ento d e línea.

• P a ra e v ita r e rr o re s , s e re c o m ie n d a p rim e ro c o n s tru ir u n a ta b la q u e c o n te n g a las “c a r ­
gas u n ita ria s e n x " c o n tra e l v alo r c o rre sp o n d ie n te d e la función c a lc u la d o e n e l p u n to
e sp ecífico ; e s d e c ir, “la r e a c c ió n R ' \ “la fu e rz a c o r ta n te V " o “e l m o m e n to Af.” U n a vez
q u e se h a co lo cad o la c arg a e n varios p u n to s a lo larg o d e l claro del e le m e n to .e s p o si­
ble g raficar los v alo res tab u lad o s y co n stru ir los seg m en to s d e la lín e a d e influencia.

E cu a c io n e s d e las lín e a s d e in flu e n c ia

• La línea d e influencia tam bién se puede construir al colocar la carga unitaria e n una
posición variable x so b re el ele m e n to p a ra d esp u és calcular el v a lo r d e R . V o M en el
punto e n función d e x. D e esta m anera se pueden determ inar y rep resen tar gráfica­
m en te las ecu acio n es d e los d ife re n te s seg m e n to s q u e c o m p o n en la lín ea de influencia.

•L a r a t ó n d e e s ta e le c c ió n s e e x p lic a e n l a sec c ió n 6 -2 .

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6 .1 LINEAS O E INFLUENCIA 207

E J E M P L O 6.1 •j?

C o n stru y a la lín ea de influencia p ara la reacció n vertical e n el p u n to A I— 10 p i e s —
de la viga q u e se m u estra en la fig u ra 6 -la. (a)

SO L U C IÓ N Figura 6-1

Tabulación d e v a lo re s . Se co lo ca u n a c a rg a u n itaria so b re la viga
en cad a p u n to x seleccionado, y el valor d e A y se calcula sum ando los
m om entos re sp e c to a R . P o r ejem p lo , c u a n d o x = 2.5 p ie s y x = 5 pies,
r e a las fig u ras 6-1 b y 6 - le , re sp e c tiv a m e n te . I-os resu lta d o s d e A y se
introducen e n la tab la.fig u ra 6 -ld . A l grafícar esto s valores se obtiene
bi lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n e n A ,f i g u r a 6 - le .

x - 2 5 p ies

í -lO pies- \*> -t"'-10p ie s -

C + I M a - 0 ; - .4 , ( 1 0 ) + I (7 .5 ) - 0 C + = 0 ; - A . (10) + 1 (5)
0 .7 5 A ,~ 0 S

(b ) (c)

I -4,

01
2 5 0 .75
5 0.5
1 5 0.25
10 0

(d)

(e)

Ecuación d e la línea d e influencia. C u a n d o la c a rg a u n ita ria se co-
b e a a u n a distancia v ariab le x desd e A ,fig u ra 6 -1 /,la reacción A v en
función d e x puede d eterm inarse a p a rtir de

= O, -y ty(10) + (10 - x ) ( l) = 0 Jzüzü

¿y " 1 “ ii * r = lOpies-
(0
E sta lín ea se traza e n la fig u ra 6-le.

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208 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.2

C o n stru y a la lín ea de influencia p a ra la reacció n v ertical e n el p u n to B
d e la viga q u e se m u estra en la figura 6-2a.

S O L U C IÓ N

Tabulación de va lo re s . C on b ase e n la e stá tic a ,c o m p ru e b e q u e los
valores p ara la reacción By que aparecen en la tab la, figura 6-26,están
calculados correctam ente p a ra cada posición x de la carga unitaria. Al
graficar los valores se o b tien e la línea d e influencia q u e se m uestra en
la fig u ra 6-2c.

X (c)

00
2 S 0.5

51
1 5 1.5
10 2

(b)

E cuación de la lín e a d e in flu e n cia . Si se ap lic a la ecu ació n d e m o ­
m entos resp ecto a A ,e n la figura 6-2d ,

i+ S A /^ -O ; « ,( 5 ) - l(x ) = 0

By = \x
Lo an terio r se gráfica e n la fig u ra 6-2c.

j~ f .

^ 5m 5 m-

<d)

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6 .1 LINEAS 0 E INFLUENCIA 209

EJEMPLO tt ■ í-
R
C o n stru y a la lín e a d e in flu e n cia p a ra la fu e rz a c o rta n te e n e l p u n to C C
d e la viga q u e se m u e stra en la fig u ra 6-3a. 25

SO L U C IÓ N pics-1

T a b u la c ió n d a v a lo r a s . E n c a d a p o s ic ió n x s e le c c io n a d a p a r a la 10 pies -
carga u n itaria, s e aplica e l m éto d o d e las secciones p ara calcular el
valor d e Vc . O bserve e n especial q u e la carg a unitaria d e b e colocarse (a)
ju sto a la izq u ierd a (x - 1 5 " ) y a la d e re c h a (* - 2 .5 * ) d el p u n to C
p u e sto q u e la fu e rz a c o r ta n te e s d is c o n tin u a e n C . fig u ra s 6-3¿* y 6 -3 c. Figura 6 -3
A l g raficar los v alo res d e la fig u ra 6-3d se o b tie n e la lín ea d e in flu en -
d a p a ra la fu e rz a c o rta n te e n C . figura 6-3e.

25' , 2.5* , X V'c

n 1 11 P'CS 1 00
2 5 ' -0.25
n [O • 2 5 * 0.75
5 0.5
0.75 C 10 pies 7 5 0.25
10 0
0.25 0.75 1
025 <d)

Mc + T X F r -(* V 'c --< X 2 5 j vtc + t X f , - 0 ; V c - 0 . 7 5 |
0.25 0.25

(b) (c)

Ecuaciones d e la línea d e in flu e n c ia . A q u í d e b e n d e te rm in a rse Knca d e influencia para V c
dos ecuaciones p u e sto q u e hay d o s seg m en to s e n la lín ea d e influen-
d a . d e b id o a la disco n tin u id ad d e la fu erza co rta n te e n C. fig u ra 6-3f (e)
E stas ecuaciones se grafican en la fig u ra 6-3e.

i, M~*i)M‘( í*d : J 2 5 p i c s < x s 10pies
Vc
2 5 pies
(0
{ £ - \ V 0SI<

í4*= I

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210 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO C onstruya la línea d e influencia p a ra la fuerza co rtan te e n e l p u n to C
d e la viga q u e se m u estra en la figura 6-4a.
8
4 l -— 4 m — . - 44 mm— S O L U C IÓ N

(a) Tabulación d e v a lo re s. C on b ase e n la estática y e l m é to d o d e las
Figura 6-4 secciones, c o m p ru e b e q u e los valores d e la fu erea c o rta n te V c en el
pu n to C de la figura 6-46 corresponden a cad a posición x de la carga
un itaria so b re la viga. A l g raficar los valores d e la figura 6-46 se o b ­
tiene la línea d e influencia e n la figura 6-4c.

X 0.5 . r vc - \ - ± x

00 12
4” -05
4* 05 -0.5 -0 .5
80
12 - 0 5 linca de influencia para Vc
<c)
(b)

E cuaciones d e la línea d e in flu e n c ia . A p a rtir d e la fig u ra 6-4d,
com pruebe que

V c = ~ \x üsi<4m
Vc = 1 ~ kx 4 m < r sl2m

E stas ecuaciones se grafican en la figura 6-4c.

X~ \ Mc- l t
Eh
) (d)
U F* — M ,- 1 -i-x

A ,- 1 - i ,

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6 .1 LINEAS 0 £ INFLUENCIA 211

C o n stru y a la línea d e in flu e n cia p a ra e l m o m e n to e n e l p u n to C 'd e la
viga q u e se m u e stra e n la fig u ra 6-5a.

S O L U C IÓ N

T abulación d e v a lo re s . F,n c a d a po sició n se le c c io n a d a p a ra la
carga unitaria, e l v alo r d e M c se calcula m ediante e l m éto d o d e las
secciones. P or e je m p lo , vea la fig u ra 6 -5 b p a ra x = 2.5 pies. A l g raficar
b s v a lo re s d e la fig u ra 6 -5 c se o b tie n e la línea d e influencia p a ra el
m om ento e n C, figura 6-5d.

i2.5

p ies
f
X Mc Mc M c - \ x 5 -lx
00 ^
2 .5 1.25
0 .7 5 025
&7 .5
Mc J t* Z M C - 0; - M c + 0 2 5 (5 ) - 0 5 10
W c - 1.25 10 0 In c a d e in flu en cia p a ra M (-
(ft 5 pies
(c) (d)

025

fl>)

Ecuaciones d e la linea d e in flu e n c ia . L os d o s seg m en to s q u e fo r­
m an la lín ea d e in flu en cia p u e d e n d e te rm in a rse e m p le a n d o 2 M c = 0
ju n to c o n e l m é to d o d e las seccio n es q u e se m u estra e n la figura 6-5e.
Al graficar estas ecuacio n es se o b tien e la lín ea d e influencia q u e se
m u e stra e n la fig u ra 6 -5 d.

{,+ 2M c = 0; M c + 1(5 - x ) - ( l - ^ * > 5 = 0 j,+ 2 A fc = 0 ; M c - ( l - i ¡ x ) 5 = 0

Mc = \x 0 s r < 5 pies M c = 5 - \x 5 p ie s < x £ 10 pies

■

i Mc X ¿ Mr V

I) F= i t
- I5 p i e s Vc
[— 5 p i e s — Ve

(e)

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212 C a p itu lo 6 L In e a s d e in f lu e n c ia p a ra e s t r u c tu r a s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s

EJEMPLO

C onstruya la línea d e influencia p a ra e l m om ento e n e l p u n to C de la
viga q u e se m u estra e n la figura 6-6a.

S O L U C IÓ N

Tabulación d e va lo re s. U se la e stática y e l m éto d o d e las secciones
para verificar q u e lo s valo res d e l m o m en to M c e n el p u n to C d e la fi­
gu ra 6-6b co rresp o n d en a cad a p o sició n .t de la carga u n itaria. A l g ra-
fic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6-6¿> s e o b tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia d e la
fig u ra 6-6c.

Mc

0
2

- 20

<b)

E cuaciones d e la lín e a d e in flu e n c ia . C o n b a s e e n la fig u ra 6-6d
com pruebe que

M c = \x 0sj<4m
M C " 4 - \x 4 m < r s I2m

E stas ecu acio n es se g rafican e n la fig u ra 6-6c.

I

h ~ l , "c h '- '1 Mc ) | 4m < i s 1 2 m
□
\ ------ - ' 1 I )' f ----------- (í
0 £* <4m
I— 1” — |V t \-* — \

Ar- l - ± x A,= 1 --J x

(d)

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6.2 Lí n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a v i g a s 213

6 . 2 Líneas d e ¡n flu e n d a pa ra vigas -1 1 -*

D ad o q u e la s vigas (o trab es) co n stitu y en los e lem en to s p rin cip ales p ara línea d e in flu en d a para la fu n d ó n
so p o rtar cargas e n u n sistem a d e piso o en la cubierta d e un p uente, p o r F igura 6 -8
ello es im portante te n e r la capacidad d e co n stru ir las líneas d e influencia
para las reacciones, la fuerza cortante o e l m om ento e n cualquier p u n to
específico d e una viga.

C a r g a s . U na vez q u e se ha co n stru id o la línea d e influencia para una
fu n d ó n (re a c d ó n , fu eiza co rtan te o m om ento), se p o d rán colocar las
cargas vivas so b re la viga p a ra p ro d u cir el v alor m áxim o d e la función.
A continuación se co n sid erarán dos tipos d e cargas.

F u e rz a c o n c e n tr a d a . D ado q u e los valores num éricos d e una fun­
ción p ara u n a línea d e influencia se d eterm in an m ediante u n a carga u n i­
taria sin dim ensiones, entonces p a ra cu alq u ier fu e r/a co n cen trad a F que
actúa so b re la viga e n cu a lq u ie r p o sició n x , e l valor d e la fu n c ió n p u e d e
encontrarse a l m ultiplicar la ordenada de la línea de influencia e n la p o si­
ción x p o r b m agnitud de F. Pbr ejem plo, con sid ere la línea d e influencia
para la reacción e n e l p u n to A de la viga A B que se m u estra e n la figura
6-7. Si la carga unitaria está e n x = $ L .la reacció n e n A e s A y = j com o lo
indica la línea d e in flu en d a. Por lo tanto, si la fu erza F h se en cu en tra e n
este m ism o p u n to , la reacció n e s A y = (J )(F ) Ib. P o r su p u e s to , e s te m ism o
valor tam bién puede determ inaree p o r la estática. O bviam ente, la in ­
fluencia m á x im a causada p o r F se p ro d u ce a l colocarla so b re la viga e n la
m ism a ubicad ó n que el p ico de la línea de influenda;e n este caso en x = 0,
d o n d e la r e a c c ió n s e r í a A y = ( 1 ) ( /- ) Ib.

C a rg a u n if o r m e . C onsidere u n a p a rte d e una viga so m etid a a u n a
carga u n ifo rm e w0, figura 6-8. C o m o se m u estra e n la G gura, cad a seg ­
m ento dx de esta carga crea una fuerza concentrada d e d F = w0dx sobre
la viga. Si d V se e n c u e n tra e n x , d o n d e la o rd e n a d a d e la lín ea d e in flu en ­
cia d e la viga p a ra alg u n a fu n ció n (re a c c ió n , fu e rz a c o rta n te o m o m e n to )
e s y , e n to n c e s el v a lo r d e la función e s (d F )(y ) = (w0 d x ) y . E l e fe c to d e
todas las fu erzas c o n c e n tra d a s d F se d e te rm in a a l in te g ra rse p o r to d a la
lo n g itu d d e la v ig a , e s d e c i r . f w 0y d x = w0f y d x . A d e m á s , c o m o f y d x
equivalen al á re a bajo la línea de influencia;entonces, en g en eral, ti valor
de u n a fu n ció n causada p o r una carga uniform em ente distribuida es sólo
el área bajo la línea de influencia p ara la fu n ció n m ultiplicada p o r la in­
tensidad de b carga un ifo rm e. P o r ejem plo, en e l caso de la viga cargada
u n ifo rm e m e n te q u e se m u e s tra e n la fig u ra 6 -9 . la re a c c ió n A,, p u ed e d e ­
te r m in a r s e a p a r t i r d e la lín e a d e in f lu e n c ia c o m o A y = ( á r e a ) ( w 0) = Q
(l)(L )J w 0 = \ wqL .? ov s u p u e s to ,e s te v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m in a rs e
con b ase en la estática.

"o

linea de influencia p a ra A ,

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214 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

D e te rm in e la fu e rz a c o rta n te p o sitiva m áxim a q u e s e p u e d e d e sa rro ­
llar e n el p u n to C de la viga q u e se m uestra e n la figura 6 -1 0 a d eb id o
a u n a c a rg a m óvil c o n c e n tra d a d e 4000 Ib y u n a c a rg a m óvil u n ifo rm e
de 2000 lb/pie.

(a) Inca de influencia para Vc
figura 6-10 <b)

S O L U C IÓ N
E n el ejem plo 6-3 s e estableció la línea d e influencia p ara la fuerza
cortante e n C , la cual se m uestra e n la figura 6-106.

F u e rza c o n c e n tra d a . La fu erza c o rta n te positiva m áxim a e n C se
p ro d u ce c u an d o la fu erza de 4000 Ib se u bica e n ,t = 2.5* pies, p u e sto
q u e es e l pico positivo de la línea d e influencia. L a o rd en ad a de este
pico e s + 0.75;d e m o d o q u e

V c = 0.75(4000 Ib) = 3000 Ib

C arga u n ifo rm e . La carga m óvil uniform e c re a la influencia positiva
m áxim a p a ra Vc c u a n d o la carg a actúa so b re la viga e n tre x = 2.5* pies
y x = 10 pies, p u esto q u e d e n tro d e esta reg ió n la lín ea d e influencia
tie n e un á r e a p o sitiv a . 1.a m a g n itu d d e Vc d e b id a a e s ta c a rg a es

V c = [ K 10 P ie s ~ 2 .5 p i e s ) ( 0 .7 5 ) ¡2 0 0 0 I b / p ie s = 5 6 2 5 Ib

F u e rz a c o rta n te m á x im a to t a l e n C.

(V’c)m íx = 3 0 0 0 Ib + 5 6 2 5 Ib = 8 6 2 5 Ib Resp.

Tenga en cu en ta q u e una vez q u e se h an establecido las posiciones
de las cargas em p lean d o la línea d e influencia, figura 6 -10c,este valor
( V c)máx ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e u s a n d o l a e s t á tic a y e l m é to d o
de las secciones. D e m u e stre q u e a s í es.

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6.2 LINEAS DE IN FLU EN C IA PARA V.GAS 2 15

EJEMPLO 6.8

L a e stru c tu ra d e l m arco q u e se m u e stra e n la fig u ra 6 - l i a se utiliza
para sostener una grúa q u e transfiere cargas destinadas a alm acena­
m iento en puntos que se en cu en tran p o r deb ajo d e ella. Se prevé que
ta c a rg a e n la p la ta f o r m a r o d a n te s e a d e 3 k N y q u e la v ig a C B te n g a
una m asa d e 24 kg/m . S u p o n g a q u e el tam añ o d e la p latafo rm a ro ­
d an te p u e d e p asarse p o r alto y q u e p u e d e v iajar a to d o lo larg o de la
viga. A d e m á s, su p o n g a q u e A e stá a rtic u la d o y q u e R es u n ro d illo .
D eterm ine las reacciones verticales m áxim as e n los so p o rtes (apoyos)
e n A y B y e l m o m en to m áxim o e n la viga e n D.

SO L U C IÓ N Hnca d e influencia p a ra A y

Reacción m á xim a e n A . E n p rim e r lugar se tr a z a la lín ea d e in ­ (b)
flu en cia p a ra A y, fig u ra 6 -1 1 6 . E n e sp e cífic o , c u a n d o u n a c a rg a u n ita ­
ria e stá e n A la reacción e n A es 1 com o se m uestra e n la figura. La linea d e influencia para B ,
o rd e n a d a e n C es 1.33. A q u í e l v alo r m áx im o d e A v o c u rre c u a n d o
la p la ta fo rm a ro d a n te s e e n c u e n tra e n C .C o m o la c a rg a m u e rta (p e so (c)
de la viga) d e b e colocarse e n to d a la lo n g itu d de la viga, s e tiene.
linca d e in flu en cia p a ra M p
( A y U , = 3000(1.33) + 2 4 (9 .8 1 )[J(4 )(1 J3 )] Resp.
= 4.63 kN <d)

Reacción m á xim a en B. L a lín ea d e influ en cia ( o v iga) to m a la Figura 6-11
form a q u e se m u estra e n la fig u ra 6-1 le . I x s valo res e n C y R se d e te r­
m inan con base en la estática. A quí, la plataform a rodante debe estar
en R. Por lo tanto.

( f l , u = 3000(1) + 24(9.81 )[1 (3 )(1 )] + 24(9.81 )[}(!)(■ -0.333)]

= 3.31 k N Resp.

M o m e n to m áxim o en D. La lín ea de influencia tien e la form a q u e
se m u e stra e n la fig u ra 6-1 Id . L o s v alo res e n C y D se d e te rm in a n a
p artir d e la estática. E n e ste caso.

( M » U = 3000(0.75) + 2 4 (9 .8 1 )[!(l)(-0 .5 )] + 24(9.81)[j(3)(0.75)]

= 2.46 kN • m Resp.

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216 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6 .3 Líneas d e influ e ncia c u a lita tiv a

E n 1886, H einrich M üller-B reslau desarrolló u n a técnica p ara construir
con rapidez la form a d e u n a línea d e influencia. E ste m éto d o conocido
c o m o e l p rin c ip io d e M U ller-fíresIau, establece q u e la lín ea d e in flu e n c ia
(«> p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o m o m e n t o ) e s tá a la m is m a
escala q u e la fo rm a alterada de la viga cu a n d o sobre ésta actúa la fu n ció n .
P ara d ib u ja r a p ro p ia d a m e n te la fo rm a a lte ra d a , d e b e rem o verse la c a p a ­
cid ad de la viga p ara resistir la función de m odo q u e la viga p u e d a d e fo r­
m arse al aplicar la función. Por ejem plo, con sid ere la viga d e la figura
6- 12a. Si d e b e d eterm in arse la fo rm a d e la lín ea d e influencia p a ra la
reacción vertical e n A .p rim e ro se sustituye el p asad o r p o r u n a guía de ro ­
d illo s co m o se m u e stra e n la fig u ra 6-126. S e re q u ie re u n a g u ía d e ro d i­
llos p u esto q u e la viga todavía d e b e rá resistir una fuerza horizo n tal e n A ,
p e ro ninguna fu e r z a vertical. C u an d o la fu e rz a p o sitiv a (h a c ia a rrib a ) A
se ap lica e n A , la viga s e d efo rm a h a sta la posición m arcad a con líneas
discontinuas,* lo q u e rep resen ta la form a general d e la línea d e influen­
c ia p a r a A y, fig u ra 6 -1 2 c. (L o s v a lo re s n u m é ric o s p a ra e s te c a so e s p e c í­
fico ya se c a lc u laro n e n el e je m p lo 6-1.) Si d e b e d e te rm in a rse la fo rm a de
la lín ea d e influencia p a ra la f i e n a cortante en C , fig u ra 6-13a, la c o n e ­
xión e n C p u e d e sim bolizarse m ed ian te u n a guía de ro d illo s co m o se
m uestra en la figura 6-136. E ste dispositivo resistirá u n m om ento y una
fuerza axial, p e ro ninguna fu e rza cortante. ' Al ap licar u n a fuerza c o r­
tan te positiv a V c a la viga e n C y al p erm itir q u e la viga s e d efo rm e hasta
la p o sició n in d icad a co n lín eas d isco n tin u as, se e n c u e n tra la fo rm a d e la
lín ea d e in flu en cia, c o m o s e m u e stra e n la fig u ra 6 - 13c. P or ú ltim o , si
d ebe determ inarse la form a de la línea de influencia para e l m om ento en C,
figura 6 -14a, se coloca u n a bisagra o pasador in tern o e n C. p u esto q u e
e sta conexión resistirá fuerzas axiales y co rtan tes, p e ro no p u ed e resistir
un m o m e n to , fig u ra 6-146. A l a p lic a r los m o m en to s p o sitiv o s M c a la
viga, ésta s e deform a h asta la posición indicada co n líneas discontinuas,
q u e es la form a d e la lín ea de influencia, figura 6-14c.

1.a c o m p r o b a c ió n d e l p r in c ip io d e M ü lle r- B r e s la u p u e d e e s ta b le c e r s e
m ediante e l principio d e l trab ajo virtual. R ecu erd e q u e e l trabajo es el

833d is e c o d e la ira b e d e e s te p u e n te se basa •A lo la rg o d e l an álisis to d a s las posiciones a lte ra d a s se d ib u ja n a una escala ex ag e ra d a
las lin cas d e in flu en c ia q u e d e b ie ro n para ilustrar e l co n cep ta

nstruirsc p ara la carga del tren. tA q u i lo s ro d illo s sim b o liza n los a p o y o s q u e so p o rta n cargas, ta n to e n ten sió n com o en
c o m p re s ió n , v e a la t a b l a 2- 1 , s o p o r te (2 ).

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6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 217

<■> C

<b> (a)
Vc
form a alterada

(b)
A1C

línea d e influencia para V c linca de influencia para M c
(c)
(c)
Hgura 6-13 Figura 6-14

p ro d u cto d e u n d esp la za m ien to lineal p o r u n a fu e r za en la dirección del I
desplazam iento o b ien d e un desplazam iento d e rotación p o r el m o m en to
en la dirección d e l d esplazam iento. Si u n cu erp o rígido (viga) e stá en c
equilibrio, la sum a d e to d as las fuerzas y todos los m om entos d eb e ser
igual a cero. E n co nsecuencia, si al cu erp o se le d a un desplazam iento (a)
im aginario o virtual, el trab ajo realizado p o r todas estas fuerzas y m o­
m en to s d e p a r ta m b ié n d e b e s e r igual a ce ro . I\>r ejem p lo , c o n sid e re la (b)
viga sim p lem en te ap o y ad a q u e se m u estra e n la figura 6 - 15a. la cual está Figura 6-15
som etida a una carga unitaria colocada en u n punto arbitrario d e to d a su
longitud. Si a la viga se le d a un d esplazam iento virtual (o im aginario) Sy
e n e l s o p o r t e A , f ig u r a 6 - 15¿>,e n to n c e s s ó lo la r e a c c ió n d e l s o p o r te A v y
la c a rg a u n ita ria rea liz a n tra b a jo v irtu al. E n esp ecífico , A v realiza e l tr a ­
bajo positivo A y S y y la carga u n itaria realiza e l trabajo negativo - I 5 y '.
(E l s o p o r te e n B n o s e m u e v e y, p o r lo ta n to , la f u e r z a e n t í n o h ac e
ningún trab ajo .) D a d o q u e la viga e stá e n equilibrio y p o r en d e n o se
m ueve, el trabajo virtual sum a ce ro .e s decir,

A y 8y - 1 8 / = ü

Si se estab lece q u e 8 y es igual a 1,e n to n c e s

Ay = Sy'

E n otras palabras,e l v alo r d c A y representa la ord en ad a d e la línea d e in­
fluencia en la posición d e la carga unitaria. C om o este v alo r es equiva­
lente al desplazam iento 8 y ' en la posición de la carga unitaria, m uestra
q u e se ha estab lecid o la fo r m a d e la lín ea de influencia p a ra la reacció n
en A . Lo an te rio r com prueba e l principio d e M üllcr-B reslau p ara las
reacciones.

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218 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

H gura 6-15

D e la m ism a m an era, si la viga se seccio n a e n C y ex p erim en ta un d e s­
p laza m ien to v irtu a l Sy en este p u n to , fig u ra 6 - 1 5 c,en to n c es sólo la fuerza
c o rtan te e n C y la c arg a u n ita ria realizan trab ajo . I\>r lo ta n to , la e c u a ­
ción d e l trab ajo v irtu al es

Vc Sy - 1 6 / = 0
D e nuevo, si S y = I, entonces

vc= « y '

y se e sta b le c e la f o r m a de la lín e a d e in flu en cia p a ra la fu e rz a c o rta n te
en C.

<d)

l\>r ú ltim o , su p o n g a la in tro d u c c ió n d e u n a b isag ra o p a s a d o r e n el
p u n to C d e la v ig a , f ig u r a 6 -1 5 d . S i s e p r e s e n ta u n a r o t a c ió n v ir tu a l S<f>e n
e l pasador, sólo e l m om ento in tern o y la carga unitaria realizarán trabajo
virtual. A sí q u e

Mc &<t>- i «y' = o

Si s e e s t a b le c e S<t> = l . s e o b s e r v a q u e
M C = Sy'

lo c u a l indica q u e la viga d e fo rm a d a tie n e la m ism a fo r m a que la línea de
influencia p ara e l m om ento in tern o en e l p u n to C (vea la figura 6-14).

í\>r su p u e sto , e l p rin c ip io d e M tlller-B reslau p ro p o rc io n a u n m é to d o
r á p i d o p a r a e s t a b le c e r la f o r m a efe la lín e a d e in f lu e n c ia . U n a v ez q u e se
sabe esto , las o rd en ad as en los picos p u ed en d eterm inarse aplicando el
m é to d o básico an alizad o e n la secció n 6-1. A d em ás, co n só lo co n o c e r la
fo r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e s p o s i b le u b ic a r la c a r g a v iv a
sobre la viga y luego d eterm in ar el v alo r m áxim o d e la función p o r e l uso
d e la estática. E n el ejem p lo 6-12 s e ilustra e sta técnica.

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6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 219

EJEMPLO

P ara c a d a viga d e las q u e a p a re c e n e n las figuras 6 - 16a a 6 - 16c, tra c e la
línea d e influencia p ara la reacción vertical e n A .

SO L U C IÓ N
El so p o rte e n A se sustituye p o r u n a guía d e rodillos, p u esto q u e resis­
tirá A , , p e r o n o A v. D e s p u é s s e a p lic a la f u e r z a A r

form a alterada In c a de influencia p a ra A ,

(a)
Figura 6-16

D e n u ev o , se co lo ca u n a g u ía d e ro d illo s e n A y s e ap lica la fu e rz a A...

JEnir

form a alterada

<b)

En este caso d e b e usarse una guía de doble rodillo, p u esto q u e este

tipo d e so p o rte resistirá tan to un m om ento en el so p o rte fijo

c o m o u n a c a r g a a x ia l A r p e r o n o r e s is t ir á A v.

b= línea d e influencia p a ra A y

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220 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.10

P ara cada viga d e las q u e ap are c e n en las figuras 6 -17a a 6 -1 7 c,irace la
línea d e influencia p a ra la fuerza co rtan te e n B.

S O L U C IÓ N
L a guía de rodillos s e introduce en B y se aplica la f u e r a co rtan te po­
sitiv a \ R. O b serv e q u e e l se g m e n to d ere c h o de la v ig a n o se deform ará
p orque e l rodillo e n realid ad lim ita e l m ovim iento v ertical d e la viga,
ya sea h a d a a rrib a o h a d a abajo. [V ea e l so p o rte (2) d e la tabla 2-1].

B lin ea d e in flu en cia p a ra V„

form a alterada

(a)
Figura 6 -1 7

A l co lo car la guía d e rodillos e n fí y ap licar la fuerza c o rta n te positiva
e n B se o b tie n e la fo rm a a lte ra d a y la lín ea d e influencia c o rre sp o n ­
diente.

v » P*

form a alterada v „ Bnca d e influencia p a ra VB

(b)

U n a vez m ás, la guía d e rodillos se coloca e n B,s e aplica la fu erza c o r­
tan te positiva, y se m uestran la form a a lte ra d a y la línea d e influencia
co rrespondiente. O bserve q u e e l seg m en to izq u ierd o d e la viga no se
d efo rm a d eb id o al so p o rte fijo.

form a alterada linea de influencia para VB

Va

(c)

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6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA

EJEMPLO 6.11

P ara c a d a viga d e las q u e a p a re c e n e n las figuras 6 - 18a a 6 - 18c, tra c e la
línea d e influencia p a ra el m om ento e n B.
SO L U C IÓ N
Se in tr o d u c e u n a b is a g r a e n B y s e a p lic a n lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl
a la viga. E n la fig u ra se m u e stra n la fo rm a a lte ra d a y la lín ea d e in ­
fluencia co rrespondiente.

form a alterada
(a)

Figura 6-18

A l c o lo c a r u n a b isa g ra e n B y a l a p lic a r los m o m e n to s p o sitiv o s M fl a
la v ig a s e o b ti e n e la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in flu e n c ia .

C on la bisagra y e l m om ento positivo en B , se m uestran la fo rm a alte­
rada y la línea d e influencia. El m ovim iento d el segm ento izquierdo
de la viga e stá restringido d eb id o a la p ared fija e n A .

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222 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

D eterm in e e l m om ento positivo m áxim o q u e puede d esarrollarse en
el p u n to D de la viga q u e se m u e stra en la fig u ra 6 -1 9 a ,d e b id o a u n a
carg a m ó v il c o n c e n tra d a d e 4000 Ib. u n a carg a m ó v il u n ifo rm e d e 300
Ib/pie. y e l p e so d e la viga q u e es d e 200 Ib/pie.

(»)
Figura 6-19

S O LU C IÓ N
Se coloca u n a bisagra e n D y se aplican a la viga lo s m om entos p o siti­
v o s M D. L a fo rm a a lte ra d a y la lín e a d e in flu e n c ia c o rre s p o n d ie n te se
m u e stra n e n la fig u ra 6-196. D e in m e d ia to se re c o n o c e q u e la carg a
m óvil concentrada d e 4000 lib ras crea un m om ento p o sitivo m áxim o
e n D cuando se coloca ahí. e s decir, el pico d e la línea d e influencia.
A dem ás, la carg a m óvil uniform e d e 300 Ib/pie d e b e ex ten d erse desde
C hasta E para cu b rir la región d o n d e el área d e la línea d e influencia
es positiva. P o r últim o , e l p eso u n ifo rm e d e 2 0 0 lb 'p ie actú a a to d o lo
largo d e la viga. E n la fig u ra 6- 19c se m u e stra n las carg as so b re la viga.
C uando se conoce la posición de las cargas, es posible d eterm in ar el
m o m e n to m áxim o e n D em p lean d o la e stá tic a . E n la fig u ra 6-19d se
calculan las reacciones e n B E . A l seccionar la viga e n D y u sar e l seg­
m ento D E , figura 6-19e.se tiene

t+ 2 A /0 = 0; - M „ - 5000(5) + 4750(10) = 0
M n = 2 2 5 0 0 I b - p ie = 22.5 k -p ie
Resp.

form a alterada

Md x
5 10
linea d e influencia para MD
(b)

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6 .3 LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA 223

40001b

500 Ib/pie

200 lb/pie

p ie s 5 p i e s -------f— 5 p ie s- 10 p ie s -

(c)

40001b 75001b

1000 Ib 10001b •5 p ie s ------ -7.5 p ie s -

<4,= 0 _ t p ie ! B .-O ,_ _ _ _ r |- 2 A Jr
■■■■♦ . : • I pies !

!, T

•5 p ie s B , - 500 Ib C ,~ 82501b
A , - '5001b » ,* - 5 0 0 1 b (d)

40001b 50001b

Md

V o ^ - 5 p ie s — |— 5 p ie s — |
E , -47501b

(e)

E ste p ro b lem a tam b ién pu ed e solucio n arse usando valores num éri­
cos para la línea d e influencia co m o e n la sección 6-1. E n realid ad , al
inspeccionarla figura 6-196,sólo d e b e determ inarse e l v alor pico h e n D.
E sto requiere colocar una carga unitaria so b re la viga e n e l p u n to D de
b figura 6- 19a y lu eg o d eterm in ar el m om ento in tern o e n la viga e n D .
D em u estre q u e e l v alo r o b te n id o e s h = 3.33. P or trián g u lo s se m e ja n ­

tes, 67(10—5) = 3 .3 3 /( 1 5 - 1 0 ) o b ie n h' = 3.33. P o r lo ta n t o , c o n la s

cargas so b re la viga com o se m u estran e n la figura 6 -19c y em p lean d o

las á re a s y v alo res p ico d e la lín ea d e influencia, fig u ra 6 -1 9 6 ,se tien e

M d = 500[!(25 - 10)(3.33)] + 4000(3.33) - 200[J(10)(333)]

= 22 500 Ib •p ie = 22.5 k • p ie Resp.

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224 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F 6 -1 . U tilice el principio d e M üller-B reslau y trace las li­ F 6 -5 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza neas d e influencia para la reacción vertical en A , la fuerza
cortante e n C y e l m om ento e n C. co rtan te e n C y e l m o m en to e n C.

FÓ-1 FÓ-5

FÓ -2. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ F 5 -6 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
neas d e influencia para la reacción vertical en A , la fuerza neas d e influencia para la reacción vertical en A , la fuerza
cortante e n D y el m om ento en B. co rtan te ju s to a la izq u ierd a d el so p o rte de rodillo e n F. y el
m om ento en A.

F 6 -2 PS-6

F 6 -3 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ Hü-7. La viga so p o rta una c a rg a viva distribuida d e 1.5
n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza kN/m y una sola carga concentrada d e 8 kN. La carga m uerta
cortante en D y el m om ento en D. es de 2 kN/m. D eterm ine (a) el momento positivo máximo
e n C, y (b ) la fuerza co rta n te positiva m áx im a e n C.

F6-3 F6-7

F 6-4. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­ ffc-8. l a viga soporta una carga viva distribuida de 2 kN/m,
n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza y una sola carga concentrada d e 6 kN. La carga muerta es de
cortante e n B y el m om ento en B. 4 kN/m. D eterm ine (a) la reacción vertical positiva m áxima
en C.y (b) el m om ento negativo máximo en A.

F& -4 K-8

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6 . 3 LINEAS DE IN R U E N C IA CUAUTATVA 225

PROBLEMAS

6-1. Dibuje las líneas d e influencia p ara (a) el m om ento 6 -7 . D ibuje la línea d e influencia para (a) el m om ento en
en C ;(b) la reacción en f t y (c) la fuerza cortante en C. Su­ B\ (b) la fuerza cortante en C, y (c) la reacción verticale n R.
ponga que A está articulado y que R es un rodillo. Resuelva Resuelva este problem a usando el m étodo básico de la sec­
este problem a usando e l m étodo básico de la sección 6-1. ción 6-1.Sugerencia: El soporte en A sólo resiste una fuerza
horizontal y un m om ento flexionante.
6 -2 . R esuelva e l p ro b le m a 6 1 u sando e l prin cip io d e MU-
llcr-Breslau. •6 -8 . Resuelva el problem a 6-7 em pleando el principio de
M üller-B reslau.

n
A * ^ 3 Di

------ 10 pies------- ------ 10 pies— ■ ------- 10 pies— -

Probs. 6-1/6-2

6 -3 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción 6-9. Dibuje la línea de influencia para (a) la reacción ver­
vertical e n -4; (b ) e l m o m en to e n A , y (c) la fu erza c o rta n te tical e n i4 ;(b ) la fuerza cortante e n B ,y (c) e l m om ento e n B.
e n R . S uponga q u e el so p o rte e n A e s fijo. R esu elv a este Suponga q u e A e stá fijo. R esuelva e ste p ro b lem a u sa n d o el
problem a usando el m étodo básico d e la sección 6-1. m étodo básico d e la sección 6-1.

•6-4. Resuelva el problem a 6-3 empleando el principio de 6-10. Resuelva el problem a 6-9 em pleando el principio de
M üller-B reslau. M üller-B reslau.

s = ----------- 7=--------------- a

B
--------------5p ies----------------- •------------- 5 p ie s---------------1

P robs. 6-346-4

6-5. Dibuje las líneas d e influencia p ara (a) la reacción 6 -1 1 . D ib u je las lín eas d e influencia p a ra (a) la reacción
verticale n B\ (b) la fuerza cortante justo a la derecha del os­ vertical e n A \ (b) la fuerza cortante en C , y (c) el m om ento
cilador en A , y (c) el m om ento en C. Resuelva este pro­ en C. Resuelva este problem a usando el m étodo básico de
blema usando el m étodo básico de la sección 6-1. la sección 6-1.

6-6. Resuelva el problem a 6-5 em pleando el principio de •6-12. Resuelva el problem a 6 1 1 em pleando el principio
M üller-B reslau. de M üller-Breslau.

6 p ie s 6 pies 6 p ie s 6 p ie s *1* 6 p ie s - r 3 p ie s 3 p ie s —

P ro h s.6 -5 /6 -6 Probs. 6 -1 1 /6 -1 2

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226 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6-13. D ibuje las líneas d e influencia para (a) la reacción 6 -1 7 . E n la b a rra se co lo ca rán una carga viva u n ifo rm e de
vertical en A ;(b) la reacción vertical en B ;(c) la fuerza cor­ 300 Ib/pie y una so la fu erza viva co n c e n tra d a de 1500 Ib. La
tante justo a la derecha del soporte e n A , y (d) el m om ento viga tiene un peso d e 150 Ib/pie. D eterm ine (a) la reacción
en C. Suponga que el soporte en A está articulado y que B vertical máxim a e n e l so p o rte B, y (b ) e l m om ento negativo
es un rodillo. Resuelva este problem a usando el m étodo b á­ máximo en el punto /L S u p o n g aq u eelso p o rteen -4 está ar­
sico de la sección 6-1. ticulado y q u e B es un rodillo.

6-14. Resuelva el problem a 6-13 em pleando el principio
de M üller-Breslau.

H mv . M

\------ 2m — L -
Probs. 6-13/6-14

6-15. L a viga está som etida a u n a carga m uerta uniforme 6-18. La viga so p o rta una carga m uerta uniform e d e 0.4
de 1.2 IcN/m y u n a so la carga viva d e 4 0 kN . D eterm in e (a) k/pie; u n a c arg a viva d e 1.5 k/pic. y una so la fu e m i viva c o n ­
el m om ento m áxim o cread o p o r e sta s cargas e n C, y (b ) la centrada de 8 k. D eterm ine (a) el m om ento positivo m á­
tuerza cortante positiva máxima en C. Suponga q u e A está ximo e n C, y (b) la reacción vertical positiva m áxim a e n B.
6 articulado y q u e B es un rodillo. Suponga q u e A es un rodillo y que B está articulado.

|- 6 m -|- 6 m -|

1 | J I’

40 kN

Prob. 6-15

*6-16. La viga soporta una carga m uerta uniforme d e 500 6-19. l a viga se utiliza para soportar una carga m uerta de
N/m y una sola fuerza viva concentrada d e 3000 N. D eter­ 0.6 k/pie, una carga viva de 2 k/pie y una carga viva concen­
m ine (a ) e l m om ento p ositivo m áxim o e n C, y (b ) la fu erza tra d a de 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a
cortante positiva máxima en C. Suponga que el soporte en (hacia a rrib a ) e n A \ (b ) e l m om ento positivo m áxim o e n C,
A es un rodillo y q u e B está articulado. y (c) la fuerza cortante positiva máxima a la derecha d el so­
porte en A . Suponga que el soporte en A está articulado y
que B es un rodillo.

P r o h . 6-16 P r o b . 6-19

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6 . 3 LINEAS DE IN R U E N C IA CUAUTATVA 227

•6-20. l a viga com puesta está som etida a una carga 6 -2 3 . 1.a viga se em p lea p ara so p o rta r una c arg a m u erta
m uerta u niform e d e 1.5 kN /m y a una so la carg a viva d e 10 d e 800 N/m, una carga viva d e 4 kN /m y una carga viva c o n ­
kN D eterm ine (a) el m om ento negativo máximo creado centrada de 20 kN. D eterm ine (a) la reacción positiva m á­
por estas cargas en A, y (b) la fuerza cortante positiva má­ xima (hacia arriba) e n B \(b ) e l m om ento positivo máximo
xima en B . Suponga q u e A es u n soporte fijo. B está articu­ e n C, y (c) la fuerza c o rtan te negativa m áxim a e n C. S u ­
lado y C es u n rodillo. ponga que B y D están articulados.

Proh. 6-23

6 -2 1 . ¿D ónde d e b e colocarse una so la carg a viva d e 500 Ib •6 -2 4 . La viga se usa para soportar una carga m uerta de
sobre la viga que se m u estra.d e m odo que cause el m ayor 400 Ib/pie, una carga viva d e 2 k/pic y una carga viva con­
m om ento en D ? ¿Quó valor tiene ese m om ento? Suponga c e n trad a d e 8 k. D ete rm in e (a ) la reacción v ertical positiva
que el soporte e n A es fijo, q u e B está articulado y q u e C es máxima e n <4;(b) la fuerza co rtan te positiva m áxima ju sto a
un rodillo. la d erech a d e l so p o rte e n A , y (c ) e l m om ento neg ativ o m á­
ximo e n C. Suponga que A es un rodillo, C está fijo y B está
articulado. ¿

p1 -N 1 C
S~ =1
o p
1
— — oo pies— — 8 pies— 20 pies

Proh. 6-21

Proh. 6-24

6-22. ¿D ónde debe cargarse la viga A B C con una carga 6-25. La viga se usa para soportar una carga m uerta de
viva uniform em ente distribuida d e 300 Ib/pie d e m odo que 500 Ib/pie, una carga viva d e 2 k/pic y una carga viva co n ­
ocasione (a ) e l m ayor m o m en to e n e l p u n to A y (b ) la centrada de 8 k. D eterm ine (a) la reacción positiva máxima
mayor fuerza cortante e n D ? Calcule los valores del mo­ (hacia arriba) en -4;(b) el m om ento positivo máximo en £,
m ento y la fu e rz a cortante. S uponga q u e el so p o rte e n A es y (c) la fuerza cortante positiva máxima a la derecha del so­
fijo,q u e B está articulado y que C es u n rodillo. porte en C. Suponga que A y C son rodillos y que D está ar­
ticulado.

L t1 C
n D

U — 8 p ie s -— 8 p i e s —- ------------ 20 pies--------------- Proh. 6 -2 5
I¿ J

Proh. 6-22

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228 C a p it u l o 6 LIn e a s d e i n f l u e n c i a p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6 6 .4 Líneas d e in flu e n cia pa ra vigas
d e piso

O casionalm ente, los sistem as d e piso se construyen com o se m uestra en
la fig u ra 6 -20a , d o n d e p u e d e o b serv arse q u e las carg as d e l p iso se tra n s ­
m ite n d e la s lo s a s a la s vig a s d e p i s o , lu e g o a la s ira b e s la te ra le s y, f in a l­
m e n te , a la s c o lu m n a s d e s o p o r te . E n la v is ta d e p l a n t a d e la f ig u r a 6-20¿>
se m u e stra u n m o d elo id ealizad o d e e s te sistem a. A q u í se su p o n e q u e la
losa es d e u n a sola vía y s e divide e n claros sim plem ente ap oyados q u e
descansan so b re las vigas de piso. A dem ás, la tra b e e stá sim plem ente
apoyada e n las colum nas. D ado q u e las trabes so n los principales e le ­
m entos d e carga en este sistem a, a veces es necesario co n stru ir sus líneas
de influencia de fu erea co rtan te y de m om ento. E sto es especialm ente
cierto p a ra lo s edificios industriales q u e se so m eten a fu ertes cargas co n ­
centradas. E n este sentido, tenga en cu en ta q u e una carga unitaria sobre
la losa d e l p iso se tra n sfie re a la tra b e sólo e n lo s p u n to s d o n d e h ay c o n ­
tacto co n las vigas de piso, es decir, e n lo s p u n to s A ,B ,C y D . E stos p u n ­
tos s e denom inan puntos d e p a n el y la región q u e existe e n tre estos
p u n to s s e lla m a p a n e l,c o m o B C e n la fig u ra 6-20¿>.

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11

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Figura 6-20 t V "'
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