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Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-23 13:11:12

Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

1 1 .5 A nálisis d e m a r c o s : C o n l a d e o 479

Ecuaciones d e e q u lib rio . E l e q u ilib rio d e m o m en to s e n la s ju n ta s (c)
R , C , D y E , fig u r a 11-2 1 6 . r e q u i e r e q u e

M ba + M be + M bc = ü (13)
M Cb + M c d = ü (14)
M pc + M de = 0 (15)
(16)
M ef + M eb + M ed = 0

C om o en los ejem plos anteriores. la fuerza co rtan te en la base de
todas las colum nas d e cualquier nivel d ebe eq u ilib rar las cargas h ori­
zontales aplicadas, figura 11-2le. D e aq u í resulta

X 1 F , = 0; 4 0 - V K - V ED

4o + M K + M cb + M ed + M de = Q

X ZFX = 0; 40 + 8 0 - V AB - V FE = 0 (17)
+ M e f ± M FE = q
120 + ( 18)

La solución req u iere sustituir las ecuaciones ( l)-( 12) e n las ecuacio­
nes (13)-( 18), d e d o n d e resultan seis ecuaciones co n seis incógnitas.

Estas ecuaciones p u ed en resolverse d e m anera
sim u ltán ea. L os resu ltad o s se su stitu y en de n u ev o en las ecu acio n es
(1)-(12). d e d o n d e se o b tie n e n los m o m en to s e n las ju n tas.

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480 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

E J E M P L O 11.10

D eterm ine los m om entos en cada ju n ta del m arco q u e se m uestra en
la fig u ra 1 l-2 2 a. E l es c o n sta n te p a ra ca d a elem en to .

, ¿y «r

(c)

Figura 11-22

S O L U C IÓ N

E cuaciones d e p e n d ie n te * d e fle x ió n . La e c u a c ió n 11-8 se a p lic a a
cada u n o d e los tre s claros. Los F E M so n

wL¿ 2(12)' -2 4 k -pie
(F E M )*; = -
12
12

w 1 } 2 ( 12 )2
( F E M ) Cfl = - j z r = ~ “ = 2 4 k • p ie

12 12

E l e le m e n to in clin ad o A ñ ocasiona q u e el m arco se ladee h a c ia la
d erech a, se g ú n se m u estra e n la figura 11-22a. C o m o resu ltad o , las
ju n tas R y C experim entan desplazam ientos, tan to d e rotación com o
lineales. I-os d esp la z a m ie n to s lineales se m u e stra n e n la fig u ra 11-226,
d o n d e B se m u ev e A , hacia R ' y C s e m u e v e A3 hacia C '. E sto s d e sp la ­
z a m ie n to s h a c e n q u e la s c u e r d a s d e lo s e le m e n to s g ir e n i/»,, */»3 ( s e n ­
tid o h o r a r i o ) y - */»? ( s e n tid o a n t i h o r a r i o ) , c o m o s e m u e s tra e n la fi­
gura * Por lo tanto.

IÓ = ~ ñ 20

C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-2 2 c ,lo s tr e s d e s p la z a m ie n to s p u e d e n
re la c io n a rse . B ar e je m p lo . A2 = 0.5A , y A3 = 0 .8 6 6 A ,.P o r lo ta n to , a
p artir d e las ecuaciones anteriores se tiene

= -0 .4 1 7 * /» , * 3 = 0 .4 3 3 * /» i

C on base en esto s resultados, las ecuaciones d e pendiente-deflexión
de la estructura son

•R ecu erd e q u e las distorsiones debidas a las fu e r/a s axiales se p asan p o r a lio y q u e los
desplazam ientos arq u ead o s H ñ ’ y C C pueden considerarse com o líneas rectas,puesto
q u e t í i y ifr, a » n e n r e a lid a d m u y p e q u e ñ o s .

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1 1 .5 A n á lis is d e m a r c o s : C o n l a d e o 481

M Á„ = 2 e ( ^ ) [2 ( 0 ) + »„ - 3 *,| + 0 0)

M ba = 2£ ( 4 ) |2#s + ° “ 3lí'] + 0 (2 )

" bc = 2 e ( ^ ) |2 « 8 + ec - 3 1 - 0 .4 1 7 * ,) ] - 24 (3)

M cb = 2 £ ^ ) [ 2 » c + 0„ - 3 1 -0 .4 1 7 * ,)] + 24 (4)

Mcd = 2 fi(^ )|2 » c + 0 - 3(0.433*,)] + 0 (5)

M dc = 2 £ ( ¿ ) l 2 ( 0 ) + »c " 3(0.433*,)] + 0 (6)

E stas seis ecuaciones co n tien en nueve incógnitas.

Ecuaciones d e e q u ilib rio . D el e q u ilib rio d e m o m en to s e n las ju n ­
tas B y C se o b tien e

M Ba + M b c = 0 (7)
M Cd + M Cfí = 0 (8)

La tercera ecuación d e equilibrio necesaria puede obtenerse al sum ar
m o m en to s re s p e c to al p u n to O so b re to d o e l m arco , fig u ra 11-22J .
E sto e lim in a las fu erzas d esco n o cid as norm ales y N D y, p o r lo tan to

f + S A f o = O,

M m + M „ c - ( ^ e i+0 ^ ) ( 3 4 ) - ( M n c 2+0 M c o ) ( 4 0 . 7 8 ) - 2 4 ( 6 ) = 0

~ 2 . 4 M AB - 3 A M „ a - 2 .0 4 A fC/> - 1.04iU n e - 1 4 4 = 0 (9 )

Al sustituir las ecuaciones (2) y (3 ) e n la ecuación(7), las ecuaciones 20.78 pies
(4) y (5) e n la ecu ació n (8 ), y las ecu acio n es (1 ), (2 ), (5) y (6 ) e n la
ecuación (9) resulta

0.7330* + O.1670c - 0 .3 9 2 * , = ^

0.1670* + 0.5330c + 0.0 7 8 4 * , = -
c/

-1 .8 4 0 0 * - 0.5120c + 3.880*, 144
El

Al resolver estas ecuaciones sim ultáneam ente se ob tien e

E I0 „ = 87.67 E I0c = -8 2 .3 £ / * , = 67.83

Si s e s u s titu y e n e s t o s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 6 ) , s e tie n e

M ab = - 2 3 .2 k • p ie M BC = 5.63 k • p ie M c o = - 2 5 .3 k • p ie
R/ esp .

M b a = - 5 . 6 3 k - p ie M CB = 2 5 .3 k • p ie M n c = - 17.0 k - p i e
Resp.

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482 C a p i t u l o 11 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : E c u a c io n e s de p e n d ie n te -d e fle x ió n

PR O BLEM AS

11-13. Determ ine los m om entos en A , B y C .y después di­ 11-15. Determ ine el m om ento en B, y después dibuje el
buje el diagram a de m om ento para cada elem ento.Suponga diagrama de m om ento para cada elem ento del marco. Su­
que todas las juntas están conectadas fijamente. E l es cons­ ponga q u e el soporte en A está fijo y que C está articulado.
tante. £ / es constante.

2 kN /m

11-14. Determ ine los m om entos en los soportes, y des­ •11-16. D eterm ine los m om entos en B y D, y después di­
pués dibuje el diagram a de momento. Los elem entos están buje el diagram a d e momentos. Suponga que A y C están
conectados fijamente en los soportes y en la junta B. E l m o­ articulados y que B y D están conectados fijamente. E l es
m ento d e inercia d e cada elem ento se proporciona e n la fi­ constante.
gura. Considere q u e £ = 29(10*) ksi.

l K = 1200 pulg4

Proh. 11-16

Prob. 11-14

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1 1 . 5 A n Alisis d e m a r c o s : C o n l a d e o 483

11-17. Determ ine el m om ento que ejerce cada elem ento 11-19. Determ ine el m om ento en las juntas D y C, y des­
so b re la ju n ta e n B , y d e sp u és d ib u je e l d iag ram a de m o ­ pués dibuje el diagrama de m om ento p ara cada elem ento
mento para cada elentento d el marco. Suponga q u e el so­ del marco. Suponga que los soportes en A y fí están articu­
p orte e n A es fijo y e n C está articulado. F J es constante. lados. F.I e s constante.

P roh. 11-17

11-18. D eterm ine el m om ento que ejerce cada elem ento •1 1 -2 0 . D eterm ine el m om ento que ejerce cada elem ento
so b re la ju n ta e n f í ,y d e sp u és d ib u je e l d iag ram a d e m o­ sobre las juntas en fí y D . y después dibuje el diagram a de
mento para cada elem ento del marco. Suponga q u e los so­ m om ento p ara c ad a e lem e n to d e l m arco. S uponga q u e los
portes en A , C y D están articulados. E l es constante. soportes en A . C y E están articulados. E l es constante.

Proh. 11-18 Proh. 11-20

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484 C a p i t u l o 11 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : E c u a c io n e s de p e n d ie n te -d e fle x ió n

11-21. D eterm ine el m om ento en las ju n tas C y /). y des­ 11-23. D eterm ine los m om entos que actúan en los sopor­
pués dibuje el diagram a d e m om ento para cada elem ento te s A y D cfcl m arco d e co lu m nas inclinadas. C o n sid ere que
del marco. Suponga que los soportes en A y B están articu­ £ *= 29(103) lcs¡ e / - fiOOpulg4.
lados. £ / es constante.

8 kN/m

Prob. 11-21 Prob. 11-23

11—22. D eterm ine e l m om ento en las ju n ta s A , R , C y D , y *11-24. I a s cargas d e l v ien to se tran sm iten al m a rc o e n la
después dibuje el diagram a de m om ento para cada ele­ junta £ . Si A , B, E, D y £ están articuladas y C está conec­
mento del marco. Suponga que los soportes en A y B están tada fijam ente, determ ine los m om entos en la junta C y di­
fijos E l es constante. buje los diagram as d e m om ento flexionante para la trabe
B C E . E l es constante.

P r o b . 11-24

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Repaso d el c ap itu lo 485

PROBLEMA DE PROYECTO

11-1P. El techo se sostiene m ediante largueros q u e se a p o ­ tiene u n p e so d e 550 Ib. D e a c u erd o c o n el có d ig o , el tech o
yan en do s trabes. C ada larguero puede considerarse sim­ e sta rá so m etid o a u n a carga de nieve d e 2 5 Ib p o r p ie c u a ­
plem ente apoyado, y la trabe frontal puede considerarse drado. Ixts largueros tienen una longitud d e 25 pies. Dibuje
unida a las tres colum nas m ediante un pasador en A y rodi­ los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o m en to p a ra la
llos e n B y C. Suponga q u e e l techo se h a rá de concreto de trabe. Suponga que las colum nas d e soporte so n rígidas.
cem ento con 3 pulgadas de espesor y que cada larguero

m
P ro b lem a d e p ro y ecto 1 1 -1 P

r e p a s o d e l c a p ít u l o

A los desplazam ientos desconocidos de u n a estructura se les conoce com o los grados de libertad p ara la estructura. Consis­
ten en desplazam ientos o rotaciones d e juntas.

l a s ecuaciones d e pendiente-deflexión relacionan los m om entos desconocidos en cad a junta de un elem ento estructural con
las ro tacio n es desconocidas q u e se p ro d u c e n ahí. La sigu ien te ecu ació n se aplica d o s veces a c a d a elem en to o claro, co n si­
derando a cada lado com o el extrem o “cercan o " y a su contraparte com o e l ex trem o lejano.

A#v = 2 E k ( 2 B N + 0 F - t y ) + ( F E M ) *
Para el claro interno o el claro final c o n e l extrem o lejano fijo

Esta ecuación se aplica sólo una vez. d onde el extrem o “lejano" está en e l soporte d e pasador o d e rodillo.
M s = 3 E k(0N - * ) + (FEM )*

Sólo para el claro final con el extrem o lejano articulado o soportado por rodillos

U na vez que se escriben las ecuaciones d e pendiente-deflexión, se sustituyen en las ecuaciones d e equilibrio d e m om entos
en cada junta y después se resuelve p ara encontrar los desplazam ientos desconocidos. Si la estructura (m arco) tiene un des­
plazam iento lateral, entonces ocurrirá un desplazam iento horizontal desconocido en cada nivel de piso, y las fuerzas cor­
tantes de colum na desconocidas deben relacionarse co n los m om entos en las juntas, em pleando las ecuaciones de
equilibrio de fuer/as y d e momentos. U n a ve* obtenidos los desplazam ientos desconocidos, las reacciones desconocidas se
encuentran a partir de las relaciones de carga-desplazam iento.

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Todas las trab es e n este edificio de concreto están fijam ente conectadas, por
to q u e el análisis e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d o d e la estru c tu ra p u e d e h ace rse
utilizando el m éto d o d e la distribución d e m om entos.

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Método de análisis
del desplazamiento:
distribución de
momentos

0 m é to d o d e distribución d e m o m en to s e s u n m éto d o d e análisis d el
d e sp la z a m ie n to q u e e s fácil d e a p lic a r u n a v e z d e te rm in a d a s ciertas
co n stan tes elásticas. En e ste capítulo se estab lecerán en prim er lugar
las d e fin ic io n e s y c o n c e p to s m á s im p o rta n te s p a ra la d istrib u c ió n d e
m om entos, y d e s p u é s se aplicará el m é to d o p a ra resolver pro b lem as
d e vigas y m arcos e stá tic a m e n te in d e te rm in a d o s. En la últim a p a rte
d e l c a p ítu lo s e e s tu d ia la ap licació n d e l m é to d o e n m a rc o s c o n v ario s
niveles.

1 2 .1 P rincipios generales y definiciones

E l m é to d o p a ra an a liz a r vigas y m arco s m e d ia n te la d istrib u ció n d e m o ­
m entos fue desarrollado p o r H ardy C ross en 1930. C uando este m étodo
se publicó p o r p rim era vez atrajo la atención d e inm ediato, y h a sido re ­
conocido com o uno d e los avances m ás n o tab les e n e l análisis estru ctu ral
d u ran te el siglo xx.

C om o s e explicará en d etalle m ás adelante, la distribución d e m om en­
tos e s u n m é to d o de ap ro x im acio n es sucesivas q u e p u e d e n realizarse con
cualquier grado de precisión deseado. E n esencia, el m étodo com ienza al
s u p o n e r q u e ca d a ju n ta d e u n a e stru c tu ra e s tá fija. D esp u és, a l lib erar y
b loquear cada ju n ta d e m anera sucesiva, los m om entos internos e n las
juntas s e “distribuyen” y eq uilibran h asta q u e las ju n tas giran h a d a sus
posiciones finales o casi finales. Se e n co n tró q u e e ste proceso d e cálculo
e s a la vez re p e titiv o y fácil d e aplicar. Sin e m b a rg o , a n te s de e x p lic a r las
técnicas p ara la distribución d e m om entos, d eb en p resen tarse algunas
definiciones y conceptos.

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488 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

P 800 N
i?
u1 í "“ I
1,— w 18
mtri m j -

i. |------------ 5 m ------------- ------------ 5 m ----------- -
A B*

™BA

F igura 12-1

F ig u ra 12-2

C o n v e n c ió n d e sig n o s. Se establecerá la m ism a convención de

sig n o s q u e p a ra la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n : lx>s m o m e n to s
q u e actúan sobre e l elem en to con sentido horario se consideran positi­
v o s .y los m o m en to s con sentido antihorario serán negativos, fig u ra 12-1.

M o m e n t o s e n e x t r e m o s fijos (FEM). l o s m o m entos e n las

"p a re d e s" o e n las ju n ta s fijas d e un elem en to cargado se d en o m in an
m om entos en extrem os fijo s. E stos m om entos p u ed en d eterm inarse con
base e n la tabla q u e se encuentra e n e l in terio r de la co n trap o rtad a, d e ­
p en diendo del tipo d e carg a so b re el elem en to . Pór ejem plo, la viga c a r­
gada c o m o s e m u estra en la fig u ra 12-2 tiene m o m en to s e n lo s ex trem o s
fijos d e F E M = P L / 8 = 8 0 0 (1 0 )/8 = 1000 N • m. Si se to m a e n c u e n ta la
a c d ó n d e estos m o m en to s sobre ¡a viga y se aplica la convención de sig­
nos a d o p ta d a , se v e q u e M ab = - 1000 N • m = y M ba = + 1000 N • m.

F a c to r d e rig id e z d e l e le m e n to . C onsidere la viga d e la figura

12-3.q u e e stá articu lad a en u n ex tre m o y fija e n e l o tro . L a ap licación d e l
m o m en to M hace q u e el ex tre m o A gire a trav és d e u n án g u lo 0A. E n el
c a p ítu lo 11 s e r e la c io n ó M c o n dA u s a n d o e l m é to d o d e la v ig a c o n ju ­
g ad a. D e e s to re su ltó la ecuación 11-1. e s d e c ir. M = (4E I /L ) 0 A. E l té r­
m ino en tre paréntesis

(12- 1)

se conoce com o e l factor d e rigidez en A y puede definirse com o la canti­
d a d d e m o m e n to M n e c e s a r ia p a r a h a c e r g ir a r e l e x tr e m o A cfc la v ig a e n
dA = 1 rad.

H g u ra 12-3

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1 2 . 1 PsiNJCIPlOS G ENERALES Y D E FINICION ES 489

F a c to r d e rig id e z e n la ju n ta . Si varios elem entos están co n ecta­ Ka d - 1000 . Km - 4000

dos fijam ente a una ju n ta y cada uno de sus extrem os lejanos e stá fijo,e n ­ /> K . . - 50 0 0
tonces p o r el p rin cip io d e su p erp o sició n , e l fa c to r d e rigidez total en
la ju n ta e s la su m a de los facto res d e rig id ez d e los e lem en to s unidos a la C
junta, e s decir, K j = 2 K . Por ejem plo, considere la ju n ta A d e un m arco
q u e se m uestra e n la figura 12-4a. E l v alo r num érico del fa c to r d e rigidez (»)
d e c a d a e le m e n to s e d e te r m in a a p a r tir d e la e c u a c ió n 12-1 y se p r e s e n ta
e n la figura. C on esto s valores, e l facto r de rigidez to tal d e la ju n ta A e s K r M = 2000 N •m
- 2 K «= 4 0 0 0 + 5 0 0 0 + 1000 - 10 0 0 0 . E s te v a lo r r e p r e s e n ta la c a n tid a d
de m o m e n to necesario p a ra g ira r la ju n ta a trav és d e u n án g u lo d e 1 ra d . <b)

F a c t o r d e d i s t r i b u c i ó n (DF). Si s e a p lic a u n m o m e n to M a u n a r S i - 2000 N -m

junta conectada fijam ente, cad a elem en to conectado proporcionará 200 N m 800 N-
una parte d el m om ento d e resistencia necesario p a ra satisfacer el equili­
brio de m om entos en la ju n ta. E sa fracción d el m om ento d e resistencia 1000 N m
total sum inistrada por el elem en to se llam a factor d e distribución (D F ).
Para o b te n e r su valor, im agine q u e la ju n ta está fijam ente conectad a a n (c)
elem entos. S i un m om ento M aplicado hace q u e la ju n ta gire una canti­
d a d 0 .entonces cad a elem en to / gira esta m ism a cantidad. Si el factor de
rigidez d e l /-ésim o ele m e n to es /C „entonces e l m o m en to a p o rtad o p o r el
d e m e n to es = K fl. D ado que e l equilibrio requiere que M = M x + M n
= K x9 + K „ 0 = 0 £ /C „ e n to n c e s e l f a c to r d e d is tr ib u c ió n p a r a e l /-é sim o
elem ento es

d f, = ^ = _ M
' M 82K,

Al can celar el térm in o com ún 0 ,se ve q u e e l facto r d e distribución de un
elem en to e s igual al facto r de rigidez del elem en to dividido en tre e l fac­
to r d e rigidez total d e la ju n ta; es decir, en gen eral.

K fig u ra 12-4
DF
(12- 2)
2K

l\>r ejem p lo , los factores d e d istrib u ció n p a ra los e le m e n to s A R , A C y
A D en la ju n ta A d e la fig u ra 12-4a so n

D F^fl = 4 0 0 0 /1 0 0 0 0 = 0.4
DFac = 5000/10 0 0 0 = 0.5

D F x o = 1 0 0 0 /1 0 0 0 0 = 0.1

C om o re su lta d o , si M = 2000 N • m ac tú a e n la ju n ta A , fig u ra 12-4/>.Ios
m o m en to s d e e q u ilib rio e je rc id o s p o r los e le m e n to s so b re la ju n ta , figura
12-4c,son

M ab = 0.4(2000) = 800 N -m
M ac = 0.5(2000) = 1000 N • m
M ad = 0.1(2000) = 200 N -m

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490 C a p itu lo 12 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : d is trib u c ió n de m o m e n to s

12

Las cargas estáticam en te in d eterm in ad as e n las trab es del
p u en te, las cu ales so n co n tin u as so b re su s pilo tes, p u ed en de­
term in arse u san d o el m éto d o d e la distribución d e m om entos.

Factor de rigidez relativa del elem ento. G>n bastan te fre ­

cuencia u n a viga o u n m arco co n tin u o s se h a rá n d e l m ism o m aterial, p o r
k> q u e s u m ó d u lo d e e la s tic id a d E s e r á ig u a l p a ra to d o s lo s e le m e n to s . Si
es así, el fa c to r co m ú n 4 £ e n la e c u a c ió n 12-1 se cancelará d el n u m e ra d o r
y d e l d e n o m in a d o r de la ecuación 12-2, al d e te rm in a r e l fa c to r de d is tri­
bución p a ra una junta. Por lo tanto, resulta m ás fá c il sólo d eterm in ar el
factor de rigidez relativa del elem en to

(12-3)

y usar esto p a ra los cálculos d el DF.

Factor de traslado. C ónsidere d e n uevo la viga d e la figura 12-3.

E n e l c a p ít u lo 11 s e d e m o s tr ó q u e M AB = ( 4 £ / / Z . ) 0 ^ ( e c u a c ió n 1 1 -1 ) y
M ra = ( 2 E I/L )Q a (ecuación 11-2). Si s e resu elv e p a ra 0A y se igualan
estas ecuaciones resu lta M b a = M ABÍ2. En o tras palabras,el m om ento M
en e l p asad o r induce u n m om ento d e M ' = \ M en la pared. El facto r de
tra sla d o re p re se n ta la fracción d e M q u e es “ tra sla d a d a ” d e l p a sa d o r a la
p ared . P o r lo tan to , en e l caso de u n a vig a el extrem o leja n o fijo .e I facto r
de tra sla d o e s + E l sig n o m ás in d ica q u e a m b o s m o m en to s a ctú a n e n la
m ism a dirección.

1 2 .2 D istribución de m om e ntos para vigas

1.a d istrib u ció n d e m o m en to s se b asa en el p rin cip io d e l sucesivo b lo ­
q u e o y lib eració n d e las ju n ta s de una e stru c tu ra a fin de p erm itir q u e los
m om entos e n ju n tas se distribuyan y equilibren. L a m ejor m anera d e ex ­
plicar e l m étodo es p o r m edio d e ejem plos.

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1 2 .2 D is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s p a r a v ig a s 491

U l l l 11 i 111

|/ A8 - 300pulg4^ l ac - 600 pulg4 C l

|--------- 15 p i e s p 20 p ies 1

(a)
Figura 12-5

C onsidere u n a viga q u e tie n e u n m ódulo d e elasticidad E co n stan te y
las d im en sio n e s y la c a rg a q u e se m u e stra n e n la figura 12-5a. A n tes de
com enzar, lo p rim ero es d eterm in ar los factores d e distribución en los
dos ex trem o s d e cada claro. C o n base e n la ecuación 12-1. K = 4E I /L ,
los facto res d e rigidez a am b o s lados d e B son

4 £ (3 0 0 ) 4 4 £ (6 0 0 )

K m = — — = 4£(20) p u lg /p ie K ec = = 4 £ (3 0 ) p u lg '/p ie

l\)r lo ta n to ,si se usa la ecu ació n 12-2, D F = K IS K , p a ra los ex trem o s c o ­
nectados a la ju n ta B ,se tiene

4 E Í2 0 )
D l' BA ~ 4 £ ( 2 0 ) + 4 E ( 3 0 ) ' ° ’4

4£{30)
D FflC " 4 E ( 2 0 ) + 4 E ( 3 0 ) = ° ’6

En las paredes, ju n ta s A y C .el facto r d e distribución d ep en d e d el factor
de rigidez del elem en to y d el “facto r d e rigidez" d e la p ared . C om o en
teo ría se n ecesitaría u n m o m e n to de ta m a ñ o "in fin ito " p a ra h a c e r q u e la
pared g irara un radián, e l facto r de rigidez d e la p ared es in fin ita Por
tanto, p a ra las ju n ta s A y C se tie n e

4 E (2 0 )
D F áb ~ oo + 4 E (2 0 ) ~ °

4E (30)
DF™ = oo + 4E (30) = °

O bserve q u e los resultados anteriores tam b ién podrían haberse o b te ­
nido si e n los cálculos se h u b iera u sado el factor d e rigidez relativa K R =
1/1. (ecuación 12-3). A d em ás,siem p re q u e se use un c o n ju n to consistente
de unidades p ara e l facto r d e rigidez, el D F no tendrá unidades,y en una
ju n ta, ex cep to cu an d o s e en c u e n tre e n una p a re d fija, la su m a de los D F
s e r á s ie m p r e ig u a l a 1.

D espués de h ab er calculado los DF. ah o ra se d eterm in arán lo s FE M .
Sólo e l c la ro B C está carg a d o y. c o n b ase e n la tab la u b icad a e n la p a rte
interior de la co n trap o rtad a, p a ra u n a carga uniform e se tiene

WL 2 240(20)2

(FEM)bc “ “ -J2- “ ñ ~ = " ® 0 0 ,b 'Pie

w L z 240(20)2
( F E M ) c a = — = nK = 8 0 0 0 I b - p i e

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492 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

u i r m i n |240Ib/pic Se em p ieza p o r su p o n e r q u e la ju n ta B está fija o b lo q u ead a . E n to n ces el
11 m o m en to de e x tre m o fijo e n B contiene el c la ro B C en e sta p o sició n fija
'8000 Ib-pie o b lo q u e a d a , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 12-5Í». P o r s u p u e s to , e s to no
8000 Ib-pie representa la situación d e equilibrio re a l e n B ,p u esto q u e los m om entos
la junta B se mantiene fija en cada lado d e esta ju n ta d eb en ser ¡guales p ero o p u esto s P ara co rreg ir
<b) b a n te rio r se aplicará u n m o m en to igual p e ro o p u e sto d e 8000 Ib • pie a
la ju n ta y se perm itirá q u e la ju n ta gire librem ente, figura !2-5c. C om o
aumento de corrección aplicado a la junta B resultado, las porciones d e e ste m om ento se distribuyen e n los claro s B C
(c) y B A .d e acu erd o co n los D F (o la rigidez) d e esto s claros en la ju n ta . En
específico, el m o m en to e n B A es d e 0.4(8000) = 3200 Ib • p ie y el m om ento
Junta A B C e n B C es d e 0.6(8000) 4800 Ib • pie. P o r últim o, d eb id o a la ro tación libre
q u e o c u rre e n B , e sto s m o m e n to s d e b e n “tra s la d a rs e " p u e s to q u e los
Elem ento A B B A BC CB m o m en to s se d e sa rro lla n e n los ex trem o s d e l claro. Si se u sa u n fa c to r de
traslad o d e + J.lo s resu ltad o s so n com o se m u estra en la figura 12-5d.
D F 0 0.4 0.6 0
E ste ejem plo indica los pasos básicos necesarios e n la distribución de
FEM -84jo08n00n00 - - 8000 m om entos en una junta: D eterm in ar e l m om ento n o equilibrado q u e
D ist.TR 1600-—3200 2400 actúa inicialm ente en la ju n ta “ blo q u ead a", d esb lo q u ear la ju n ta y ap li­
car un m om ento desequilibrado igual pero opuesto p ara corregir e l e q u i­
1 M 1600 3200 --3200 10 400 librio, d istrib u ir e l m om ento e n tre los claros conectados, y traslad ar el
m o m en to e n cad a c la ro h asta su o tr o ex trem o . P o r lo g e n e ra l, los p aso s
(e) se p re s e n ta n e n fo rm a d e tab la, c o m o se indica en la fig u ra 1 2 -5 e.A q u í la
notación D ist.T R indica u n a fila d o nde los m om entos se distribuyen y
después se trasladan. E n este caso particular sólo es necesario un ciclo de
distribución d e m om entos, p u esto q u e los so p o rtes d e p ared e n A y C
“ab so rb e n ” los m o m en to s y n o d e b e eq u ilib rarse o d esb lo q u earse n in ­
guna ju n ta adicional p ara satisfacer e l equilibrio d e la ju n ta. U na vez d is­
tribuidos d e esta m an era, los m om entos e n cada ju n ta se sum an, o b te ­
n ie n d o los re su lta d o s fin ales q u e se m u e stra n e n la fila in fe rio r d e la
ta b la de la fig u ra 12-5e. O b serv e q u e a h o ra la ju n ta B se e n c u e n tra en
equilibrio. C om o M g c es negativo, e ste m om ento se aplica al cla ro B C
en un sentido antihorario, com o se m uestra en los diagram as de cuerpo
libre d e los claros d e la viga e n la figura 12-5/. A I co n o cer los m om entos
en los e x tre m o s.se calculan las fu erzas c o rta n te s e n los ex trem o s a p a rtir
de las ecu acio n es d e e q u ilib rio ap lic a d a s a ca d a u n o d e esto s claros.

C o n sid ere a h o ra la m ism a viga, e x c e p to q u e e l so p o rte e n C e s u n o sc i­
lador, fig u ra 12-6a. E n e s te caso , só lo un e le m e n to está e n la ju n ta C .p o r
b q u e e l facto r d e distribución p a ra los elem entos d e C B en la ju n ta C es

4 E (3 0 )
D F c b = 4£'(30) = 1

1600I1Ibb--p ie *VHf tl ”- 3•>2«0» I•!b» VV B's. =- 2¿O04H0I IIDb,- r, ?4, ° |lb|/p Í^ Vc - 2760 Ib
-20 p i e s
CIr 1 f

VA - 320 Ib!------ «5 pies 1 3200 I b -pie |— 1 10400 Ib-pie

(0
H g u ra12-5

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1 2 .2 D is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s p a r a v ig a s 493

Los o tro s factores d e distribución y los F E M so n iguales a lo s calculados
con an terio rid ad . S e en u n cia n en las filas 1 y 2 d e la ta b la e n la figura
12-66. E n un inicio se su p o n d rá q u e las ju n ta s B y C están b lo q u ead a s. Se
com ienza p o r lib erar la ju n ta C y colocar un m om ento equilibrante de
- 8000 Ib • pie e n la ju n ta . T odo e l m om ento s e distribuye e n e l elem en to
C B p u e sto q u e (1 )(-8 0 0 0 ) Ib • pie = - 8000 Ib • pie. La flecha e n la fila
3 indica q u e $ (-8 0 0 0 ) Ib • pie = - 4000 Ib • pie se traslada a la ju n ta B
p u esto q u e la ju n ta C ah o ra p u e d e g ira r lib rem en te. L a ju n ta C se b lo ­
quea d e nuevo. C om o e l m om ento to tal en C está equilibrado,se coloca
una fila d eb ajo d e l m o m en to d e - 8000 Ib • pie. A h o ra se c o n sid erará el
m om ento d eseq u ilib rad o d e - 12 000 Ib • pie e n la ju n ta B. A q u í, p a ra lo ­
g r a r e l e q u il ib r io .s e a p lic a u n m o m e n to d e + 12 0 0 0 Ib • p ie a B y e s ta
ju n ta se d esb lo q u ea d e m odo q u e las p artes d el m om ento se distribuyan
e n B A y B C .e s d ecir. (0.4)( 12 0 00 ) = 4800 Ib • p e y (0.6)(12 000) = 7200
Ib • p e , co m o se m u e stra e n la fila 4 .T am b ió n ten g a e n c u e n ta q u e + $ de
esto s m om entos d e b e trasladarse a la p a re d fija A y al rodillo C puesto
q u e la ju n ta B ha girado. La ju n ta B a h o ra s e bloquea d e n u evo . U n a vez
más. la ju n ta C x libera y e l m om ento d esequilibrado en e l rodillo se d is­
tribuye com o se hizo anteriorm ente. Los resultados se m uestran e n la fila 5.
Si la s ju n t a s B y C se b lo q u e a n y d e s b l o q u e a n d e m a n e r a s u c e s iv a , e n
esencia se dism inuye el tam añ o d el m om ento q u e debe equilibrarse
hasta q u e se vuelve insignificante en com paración co n los m om entos o ri­
g in ales, fila 14. C a d a u n o d e lo s p a so s e n la s fila s 3 y 14 d e b e n e n te n d e rs e
plenam ente. Si se sum an los m om entos, los resultados finales son los q u e
se m u e stra n e n la fila 15. d o n d e se ve q u e los m o m en to s fin ales y a satis­
facen e l equilibrio d e la ju n ta.

Junta A B C

Elemento A B BA BC CB

DF 0 0.4 0.6 1 1

FEM -8000 8000 2

-4 0 0 0 ------ 8000 3

2400 — 4800 7200 - 3600 4
360 — 720
54 — 108 -1800 ------ 3600 5
8.1 —
u4- 16.2 1080 - 540 6
Z4
0.4 -270 — -540 7

162 — 81 8

-40.5— -81 9

24.3 — 12.2 10

______ 740 lb/pie - 6 . 1 - -1 2 .2 11

«iHttlIlUJi. 3.6 4 * 1.8 12
- 0 .9 — - 1 .8 13
IAB= 300 p u lg 4 ¡bc ~600 pulg*
0.5 14

15 pies— 1------------- 20 pies----------- 1 1M 2823.3 5647.0 -5647.0 0 15

(«> (b)
Figura 12-6

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494 C a p itu lo 12 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : d is trib u c ió n de m o m e n to s

En lugar d e aplicar el p roceso d e distribución d e m om entos d e m anera
sucesiva a cada ju n ta ,c o m o se m u estra aq u í, tam bién es posible aplicarlo
e n todas las juntas al m ism o tiem po. E ste esquem a se m uestra en la tab la de
la fig u ra 12-6c. E n e s te caso, se co m ien za p o r fijar to d a s las ju n ta s p a ra
después eq u ilib rar y d istrib u ir los m om entos d el extrem o fijo e n las ju n ­
tas H y C .fila 3. Si se liberan las ju n ta s R y C a l m ism o tiem po (la ju n ta A
siem p re e stá fija), e n to n ce s los m o m en to s se tra sla d a n al e x tre m o de
cada claro , fila 4. U n a vez m ás, las ju n tas se b lo q u ean , y los m o m entos se
eq u ilib ran y distrib u y en , fila 5. A l lib e ra r las ju n ta s una vez m ás se p e r­
m ite q u e los m o m en to s se tra sla d e n , c o m o se m u estra e n la fila 6. C o n ti­
nuando d e esta m anera se obtiene el m ism o resu ltad o final q u e antes, el
cual a p a re c e e n la lín ea 24. E n co m p a ra c ió n , e s te m é to d o d a u n a c o n v e r­
gencia m ás lenta q u e la respuesta d el m étodo an terio r, sin em bargo, en
m uchos casos, la aplicación d e este m étodo es m ás eficiente y p o r ello se
u tilizará e n lo s e je m p lo s q u e siguen. ft>r últim o , c o n b ase e n lo s re s u lta ­
dos. y a s e a d e la fig u ra 12-6b o 12-6c, los d iag ram as d e c u e rp o lib re de
c a d a c la ro d e la v ig a so n c o m o se p re s e n ta n e n la fig u ra 12-6 d.

A p e sa r d e q u e e n este caso la o b ten ció n de los re su ltad o s fin ales im ­
plicó varios pasos, el trab ajo q u e se necesita es bastan te m etódico, puesto
q u e req u iere la aplicación d e u n a se rie de pasos aritm ético s.en vez d e re ­
solver u n co n ju n to d e ecuaciones com o en el m éto d o d e la pendiente-de-

Junta A B C

Hcmcnto AB BA BC CB

DF 0 0.4 0 6 11

FEM / , 3200 -8000 8000 2
D isi 1600 4800 1 -8000 3

TR , 1600 -4000 2400 4
D isi 2400 f -2400 5
TR
D isi 800 -1200 1200 6
TR
D isi . 480 720 -1200 7
TR
D isi 240 -600 • 360 8
TR
D isi , 240 360 -360 9

TR 120 j -1 8 0 9; 180 10
D isi
. 72 108 -180 II
TR 36 ' 12
D isi - 9 0 , ' 54 13
TR 36 -54 14
D isi
TR 18 " 54 /
D isi -2 7 27

TR ■■■j F.» 10.8 162 -2 7 15 28233 Ib pie fs ,-5 6 4 .7 1 b
D isi 8.1 16
5.4 -13.5 i¡ = t
XM
5.4 M J -8.1 17

2.7 ' -4.05 4.05 18 V . —564.7 Ib* 'I 15 'P, c s 1 5647.0 Ib •piM5

162 243, —405 19

0.81 -2.02 122 20 M i n m f i t n uV„t = 2682.4 Ib 240 Ib/pie

P.%i 0»6V^0<2 122 -1 2 2 21 Vc = 2117.6 Ib

0.40 * -0.61 0.61 22

024 037 -0 6 1 23

2823 5647 -5647 0 24 lj--------- 20 pies-------- 11

5647S) Ib pie

(c) <d)
líg u ra 12-6

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1 2 .2 D is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s r a r a v ig a s

flexión. Sin em bargo, cabe se ñ a la r q u e e l p ro ceso fundam en tal d e la d is­
tribución d e m om entos sigue el m ism o procedim iento q u e cualquier m é­
todo d e desplazam iento. A hí e l proceso consiste en establecer relaciones
de carga-desplazam iento e n cada ju n ta y satisfacer las necesidades de
equilibrio en las ju n ta s a fin d e d eterm in ar e l desplazam iento angular co ­
rrecto d e la ju n ta (c o m p atib ilid ad ). A q u í, sin e m b a rg o , el e q u ilib rio y la
co m p atib ilid ad d e la ro ta c ió n e n la ju n ta se satisfa c e n directam ente apli­
cando un “ balance d e m om entos”, proceso q u e incorpora las relaciones
de carga-deflexión (facto res d e rigidez). T am bién es posible sim plificar
aú n m ás el u so d e la d istrib u c ió n d e m o m en to s, y e s to s e e stu d ia rá e n la
próxim a sección.

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

E l siguiente procedim iento pro p o rcio n a un m étodo g en eral p ara d eterm in ar los m om en­
tos e n lo s ex tre m o s de claro s d e viga m e d ia n te la d istrib u c ió n d e m om en to s.

F a c to re s d e d istrib u c ió n y m o m e n to s d e e x tre m o fijo

Es n e cesario id en tificar las ju n ta s e n la vig a y calcular los facto res d e rigidez p a ra cad a
claro e n las ju n ta s. C on e sto s v a lo re s e s p o sib le d e te rm in a r los fac to re s d e d istrib u c ió n a
p artir d e D F - K /7 .K , R ecuerde q u e D F ■ 0 p a ra un ex trem o fijo, y D F » 1p a ra u n so ­
p o rte de p asad o r o rodillo e n e l extrem o.

L os m o m en to s de e x tre m o fijo p ara ca d a c la ro carg a d o s e d e te rm in a n u tiliz a n d o la
tabla q u e se en cu en tra en el in terio r d e la co n trap o rtad a. Los F E M positivos actú an en
sen tid o h o rario so b re e l c la ro y los F E M negativos a c tú a n e n se n tid o co n trario . P ara
m ay o r com odidad, esto s valores p u ed en registrarse en form a tabular, com o se m uestra
e n la fig u ra 12-6c.

P roceso d e distribución d e m o m en to s

S uponga q u e todas las ju n ta s e n las q u e d eb en d eterm in arse lo s m om entos sobre los cla­
ros co n ectados están inicialm ente bloqueadas. E ntonces:

1. D eterm ine el m om ento necesario p ara p o n er cada ju n ta en equilibrio.
2. L ibere o “d esb lo q u ee" las ju n tas y distribuya los m om entos de equilibrio e n e l claro

conectado a cada junta.
3 . ’l h t s l a d e e s t o s m o m e n to s e n c a d a c la r o h a c ia s u o t r o e x tr e m o m u ltip lic a n d o c a d a m o ­

m ento p o r el factor d e traslado +$.

A l re p e tir e s te ciclo d e b lo q u e o y d e sb lo q u e o d e las ju n ta s se e n c o n tra rá c o n q u e las
correcciones d e los m o m en to s dism inuirán p u esto q u e la viga tie n d e a alcan zar su fo rm a
final alterada. C u an d o s e o b tien e un valor suficientem ente p eq u eñ o p ara las correccio­
n e s, e l p ro c e s o c íc lic o d e b e d e te n e rs e s in “tr a s la d a r " los ú ltim o s m o m e n to s . D e sp u é s
d ebe su m arse cada colum na d e F E M , m om entos distribuidos y m om entos d e traslado. Si
esto se hace correctam ente, se lo g rará el equilibrio d e m om entos e n las juntas.

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496 C a p itu lo 12 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : d is trib u c ió n de m o m e n to s

EJEMPLO 12.1

D eterm in e los m o m en to s internos e n cada so p o rte de la viga q u e se
m uestra en la figura !2-7a. E l es constante.

70 kN /m 250 kN

4m 4m

H g u ra 12-7

S O L U C IÓ N
P rim ero d eb en calcularse los facto res d e distribución en cada ju n ta *
L os factores d e rigidez p ara lo s elem en to s so n

4£/ 4£7 4E l
^ A f í - ~ n12r * 8 c - T 1T2 en 8

Por lo tanto. 4E 7/12
4E 7/12 + 4 £ //1 2
D F AB = D F o c = 0 D F a x = D F Bc 0 .5

DF CB 4E 7/12 - 4 £ //8 0.6
4 £ //1 2 + 4£7/8 0.4 D F c o

" 4 £ //1 2 + 4 £ //8

Ix>s m o m e n to s d e e x tre m o fijo s o n

(F F .M )fl<> w l2 -20(12 f w L 2 2 0 ( 12)2
( F E M )CD = -2 4 0 kN •m (F E M )Cfl = 4 4 = - 4 4 - = 240 k N • m

P L = -250(8) 12 12
= -2 5 0 kN •m
P L 250(8)
8o
(FE M )** = — = — «= 2 5 0 k N • m

oo

E m p ezan d o con los F E M . fila 4 d e la figura 12-76. los m om entos en
las ju n ta s H y C se d istrib u y en en fo rm a sim ultánea, fila 5. D espués,
e sto s m o m en to s se tra sla d a n sim ultáneam ente a los resp ectiv o s e x tre ­
m os d e cad a claro , fila 6. D e n u ev o , los m o m en to s resu ltan tes se d istri­
buyen y se trasladan sim ultáneam ente, filas 7 y 8. El p roceso continúa
h asta q u e los m o m en to s re s u lta n te s d ism in u y an a la c a n tid a d a d e ­
cuada, fila 13. Los m o m entos resu ltan tes se d eterm in an m edian te u n a
s u m a to ria . fila 14.

Si se colocan lo s m o m entos so b re cada claro d e la viga y se aplican
las ecu acio n es de eq u ilib rio , se o b tie n e n las fu e rz a s c o rta n te s en los
ex trem o s q u e se m u estran e n la figura 12-7c y el d iag ram a d e m o ­
m e n to flex io n an te p a ra to d a la viga, fig u ra 12-7d.

'A q u í se útili/ó e l ta c to r d e rigidez 4 E t /L \ á n em bargo, tam b ién p u d o h a b erse em ­
pleado e l tactor d e rigidez relativa l/L .

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1 2 . 2 D lSTR iBUC lÓ N DE M O M E N TO S RARA VIGAS 497

Junta A B C 12

Elemento A B BA BC CB CD

DF 0 0.5 0.5 0.4 0 .6

FF.M -240 240 -250 250 4
Dist. 5
/ 120 4 6.
TR 120 X 3 6
Dist. 60 7
2 X 60 -36 N 8
TR -1 8 9
Dist. / -1 -2 4 10
TR -0 .5 “1 X 03 . 11
Dist. -1 2 X -0.5 12
TR 0.2 13
Dist. ------------------ j e . 6 6 X 0.2
ai x 3 14
3X

___/ -0 .0 5 -0 .0 5 1 -1.2 _ -M .J
0.01
-0 .0 2 -0 .6 -0 .0 2 -0 .9

0.3 0 3 0.01

62.5 125.2 -1 2 5 .2 281.5 -2 8 1 .5 234.3

20 kN /m 250 kN

15AkN t UliiiLLL107.0 kN 133.0 kN 130.9 kN 119.1 k N

" 7 ji 12 1 125.2 kN* 12: 1 ) 281.5 k N - m ( t\ rá ¿ á n it )

1 5 .6 k N 2 3 4 3 kN*

(c)

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498 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

EJEMPLO 12.2

D eterm in e el m om ento interno e n cada so p o rte d e la viga que se m ues­
tra e n la fig u ra 12-8a. Se indica el m o m en to de in ercia d e cad a claro.

4 0 0 Ib 6 0 Ib

S O L U C IÓ N
E n este problem a n o hay un m om ento que se distribuya en el claro sa­
lie n te z l£ ;p o r lo ta n to , el fa c to r d e d istrib u ció n ( D F )* , - 0. La rigi­
dez d el claro B C se basa en 4 E l/L puesto que el oscilador no está en
e l extrem o lejano d e la viga. Los factores d e rigidez, lo s factores de
distribución y los m om entos d e extrem o fijo s e calculan d e la si­
guiente m anera:

4 £ (7 5 0 ) 4 £ (6 0 0 )
'RC 2 0
150E Kcn “ a 160E
15

D Fflc = 1 - (D F )fl^ = 1 - 0 = 1

D FC» 150£
= 0.484

150£ + 160£

D FC D 160£
= 0.516

150£ + 160£

160£
=0

oo + 160£

D ebido a la saliente.

( F E M ) fl^ = 4(K) lb ( 10 p i e s ) = 4 0 0 0 I b - p ie

(F E M )flc = 12 6 0 (2 0 )2
= -2000 Ib-pie

12

w ¡ ¿ _ 6 0 (2 0 )2

(F E M )cí, 12 2000 Ib-pie
12 =

E stos valores se m uestran en la cu arta fila d e la tabla, figura 12-86.
E l claro saliente req u iere que e l m om ento interno a la izquierda d e B
se a + 4000 Ib • pie. E l eq u ilib rio e n la ju n ta B exige u n m o m en to in ­
te rn o d e - 4000 Ib • pie a la d erech a d e B . C o m o s e m uestra e n la
q u in ta fila d e la ta b la , se a g re g a n - 2000 Ib • p ie a B C con el fin d e sa ­
tisfacer esta condición. L as o p eraciones d e distribución y traslad o se
realizan d e la m an era usual, co m o s e in d ica e n la tab la.

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1 2 .2 D is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s p a r a v ig a s 499

D ado q u e se conocen los m om entos in tern o s.es posible construir el
d ia g ra m a d e m o m en to p a ra la viga (fig u ra 12-8c).

J u n ta B fD

Elem ento BC CB CD DC

DF 0 I 0.484 0316 0

FEM 4000 - 2000 2000
D ist.
TR -2000 w -968 -1032 v
D ist.
TR -4 8 4 X -1000 516 v -5 1 6
D ist. 258
TR 484 v 484 -1 2 4 ,9 v
D ist. -6 2 .4
TR 242 A 242 62.4v 312
D ist. -7 6
TR _________I - 2 0 v -1 1 7 .1 -1 5 .lv 3.8
D ist. _ \121 \ -0 .9
TR -5 8 .6 0.4
Dist. 7-6v -0 .1
TR __________l 3 & 6 v v 5 8.6 \
D ist.
TR 29.3 29J -1 .8 v
D ist. -2 9 .3 v -1 4 2 \
TR
D ist. -7 .1 X -1 4 .6 °*9\
7.1 -0 .2
XA/ 7,1 V
3.5 3.5 0.1
-3 .5 x - 1.7
-0 .8
0.8 x —1.8

0.9

0.4 0.4
- 02
-0 .4 x
-0.1 x - 02
0.1
0.1

«00 - 4000 587.1 -5 8 7 .1 7936

<b)

-4000

(c)

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500 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

M = 4 El 1 2 .3 M odificaciones al fa c to r de rigide z

ju n ta ju n ta E n los ejem plos anteriores d e la distribución de m om entos, al distrib u ir y
lib e ra d a b lo q u e a d a tra sla d a r los m o m en to s s e ha c o n sid e ra d o q u e c a d a c la ro de la viga está
restrin g id o p o r u n so p o rte fijo (ju n ta b lo q u ead a ) e n su ex trem o lejano.
Figura 12-9 ft>r e sta ra z ó n se han calcu lad o los facto res de rigidez, los facto res d e d is­
trib u ció n y lo s facto res d e tra sla d o a p a rtir d e l caso d e la fig u ra 12-9. P or
Ma a s u p u e s to , a q u í K =» 4 E I / L es e l f a c t o r d e rig id e z ( e c u a c ió n 1 2 -1 ) y e l fa c ­
to r d e traslado es +}.

E n algunos casos es posible m odificar e l facto r de rigidez d e u n claro
particular de la viga y p o r lo ta n to sim plificar e l proceso d e distribución
de m om entos. A co n tin u ació n se e stu d ia rá n tres casos p rácticos e n los
q u e esto o c u rre co n frecuencia.

ju n ta viga real extrem o E le m e n to a rtic u la d o s o p o rta d o e n su e x tre m o le ja n o . M uchas
lib e ra d a (a) articulado vigas ind eterm in ad as tie n e n e l ex trem o lejan o d e su claro so p o rta d o p o r
u n p a sa d o r ( o u n ro d illo ) c o m o e n e l c a so d e la ju n ta B d e la fig u ra 12-10a.
A q u í, e l m o m en to M ap licad o g ira el e x tre m o A en u n a c a n tid a d 0. P ara
d e te rm in a r fl.d cb e d e te rm in a rse la fu e rz a c o rta n te e n e l p u n to A ’ d e la
viga c o n ju g a d a , fig u ra 12-10¿>.Se tien e

M líD = 0; Va = 0 ML
Tr, £ / o bien
3E l
A viga co n ju g ad a

(b)
Figura 12-10

ft>r lo ta n to , el fa c to r de rigidez p a ra esta viga es

(12-4)

E xtrem o lejano articulado
o co n so p o rte de rodillo

A dem ás, observe q u e e l factor d e traslado es cero, p u esto q u e el p asad o r
en B no so p o rta u n m om ento. E ntonces, p o r com paración, si el extrem o
lejano estuviera fijam ente a p o y a á o ,e lfa c to r d e rigidez K = 4 E I /L tendría
que m odificarse en 3 a fin de m odelar e l caso d el extrem o lejano articu­
lado. Si se tom a e n cu en ta e sta m odificación, e l proceso d e distribución
d e m om entos se sim plifica p u esto q u e el extrem o articulado n o tiene q u e
bloqucaree y desbloquearse sucesivam ente p a ra distrib u ir los m om entos.
A dem ás, com o e l ex trem o del claro e stá fijo, los m om entos de ex trem o
fijo p a ra e l claro se calculan em p lean d o los valores e n la co lu m n a d e ­
recha d e la tabla q u e se en cu en tra en e l interior d e la co n trap o rtad a. En
el e je m p lo 12-4 se ilu stra la fo rm a d e a p licar estas sim plificaciones.

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12.3 M o d if ic a c io n e s a i f a c t o r d e rigidez 501

V' t ^ z r
M
\* F.l

viga real Tí

(a) viga conjugada

<b)

Figura 12-11

V ig a y c a r g a s i m é t r i c a s . Si una viga e s sim étrica co n resp ecto a
su carga y tam bién a su geom etría, el diagram a de m om ento flexionante
de la viga tam b ién será sim étrico. En consecuencia, p u e d e h acerse una
m odificación d el facto r de rigidez p a ra e l claro central, p o r lo q u e los
m om entos e n la viga só lo d e b e n distrib u irse a tra v é s d e las ju n ta s q u e
está n en a m b o s p u n to s m ed io s d e la viga. P ara d e sa rro lla r la m odifica­
c ió n a d e c u a d a d e l fa c to r d e rig id ez, c o n sid e re la v ig a d e la fig u ra 12-1 la .
D eb id o a la sim etría, los m o m en to s in tern o s e n B y C son iguales. S u p o ­
n ien d o q u e e s te v alo r s e a M , la viga co n ju g ad a p a ra e l c la ro R C e s co m o
s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 2 -1 1¿>. P o r lo ta n t o , la p e n d ie n t e Q e n c a d a e x ­
trem o es.

l+ S M c. = 0; - V r {L) + =0
o bien
ML
V p- = 6 = ------

H 2EI

2E l
M = = j-0

E n to n ces,el factor d e rigidez p ara el claro cen tral es

(12-5)

E n co n secu en cia, sólo se p u e d e n d istrib u ir los m o m en to s de la m itad
d e la viga d a d o q u e e l facto r d e rigidez p ara el claro cen tral s e calcula
em p lean d o la ecuación 12-5. En com paración, d fa c to r de rigidez del
claro central será la m itad d e l que generalm ente se determ ina em pleando
K = 4 E I/L

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502 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

viga real » M > < f>
(a)
viga conjugada
(b)

Figura 12-12

Viga simétrica con carga antisim étrica. Si u n a viga sim étrica

se som ete a una carga antisim étrica, e l diagram a d e m om ento resultante
será antisim étrico. A l igual q u e e n e l caso an terio r, el factor de rigidez
del claro central se puede m odificar d e m anera que sólo deba conside­
rarse la m itad d e la viga p a ra el análisis d e d istrib u ció n de m om en to s.
C o n sid e re la viga d e la fig u ra 12-12a. 1.a viga co n ju g ad a p a ra su claro
c e n tra l B C se m u e s tra e n la fig u ra 12-12/». D e b id o a la c a rg a a n tisim é ­
trica. e l m om ento in tern o e n B es igual p e ro o p u e sto al q u e o c u rre e n C.
Si se su p o n e q u e este v alo r e s M , la p e n d ie n te Q e n cada extrem o se d e ­
term ina d e la m anera siguiente:

o bien

ft»r lo tan to , el facto r de rigidez p a ra el claro cen tral es

6E l (12-6)
K=

L
V iga sim étrica con
carga antisim étrica

E n co n secu en cia, c u a n d o e l facto r d e rigidez p a ra e l c la ro c e n tra l d e la
v ig a s e c a lc u la m e d ia n te la e c u a c i ó n 12-6 ,s ó l o d e b e n d is tr ib u ir s e lo s m o ­
m entos en la m itad d e la viga. A quí, e l fa cto r de rigidez es una y m edia
veces m ás grande que el que se determ ina usando K = A E I /L

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12.3 M o d if ic a c io n e s a i f a c t o r d e rigidez 503

EJEMPLO 12.3

D eterm in e los m o m en to s in tern o s e n los so p o rte s d e la viga q u e se
m u estra e n la fig u ra 12-13a. E l e s c o n stan te.

4 k/pie

-t-tTTTT TUTTTt t .-

n

15 pie 20 pies 15 p ie s

(a)
Figura 12-13

SO L U C IÓ N
ft>r in sp ecció n , la viga y la c a rg a s o n sim étricas. P o r lo ta n to , s e a p li­
cará K - 2E l / L p ara calcular e l facto r d e rigidez d el claro c e n tra l B C
y, p o r lo ta n to , e n el a n álisis se e m p le a rá só lo la m ita d izq u ierd a de
la viga. E l análisis p u e d e red u c irse a ú n m ás u s a n d o K - 3 E l / L para
calcular el facto r d e rigidez del segm ento A B puesto q u e el ex trem o A
está fijo. A d em ás, la distribución de m o m entos e n A pu ed e om itirse
isan d o e l FE M para una carga triangular so b re un plano c o n un ex ­
trem o fijo y e l o tro articu lad o . P o r lo tan to ,

3E7 (u s a n d o la e c u a c ió n 1 2 -4 ) Junta AB
* a b = 15 Elem ento AB BA BC

2E l (u s a n d o la e c u a c ió n 1 2 -5 ) DF 1 0.667 0.333
BC 20 FEM 60 -1 3 3 .3
D ist. 48.9 24.4
3E 7/15
2A# 0 108.9 -1 0 8 .9
=1
3E //15 <b)

3E //15

D Fba = 3 E //1 5 + 2 E //2 0 = 0.667

2E //20 0.333
D F flC =

3 £ 7 /1 5 + 2E 7/20

(F E M )W wL1 4(15)2 60 k • pie
15 15

w l¿ 4 (2 0 )2 -1 3 3 3 k-pie
(F E M )sc = - 12

12

E s to s d a to s s e e n c u e n t r a n e n la ta b l a d e la fig u ra 12-13¿>. A I c a lc u la r los
factores d e rigidez com o se m o stró antes, se reduce considerablem ente
d análisis, puesto q u e só lo d ebe equilibrarse la ju n ta B, y los traslados
h a d a las articu lad o n es A y C no so n necesarios. P o r supuesto, la ju n ta C
está so m e tid a al m ism o m o m en to in tern o de 108.9 k . pie.

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504 1 2C a p i t u l o M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

EJEMPLO 12.4

D e te rm in e los m o m en to s in te rn o s e n los so p o rte s d e la viga q u e se
m u estra en la figura \2 -\A a . El m o m en to d e inercia d e los d o s claro s
se m uestra en la figura.

240 Ib/pie

S O L U C IÓ N
C om o la viga está so p o rta d a p o r rodillos e n su ex trem o lejan o C .la ri­
gidez del c la ro R C se calculará co n base e n K = 3 E I/L . S e tien e

K ab 4E l 4 £ (3 0 0 ) 80£
L 15 90 £

3EI 3 £(600)
K bc = L ””20

R jr lo tanto.

D F ab 80£
oo + 8 0 £

DFba = 80£ = 0.4706

80£ + 90£

D F flC 90£ 0.5294
80£ + 90£

90£ 1
D F Cfl =

90£

E n e ste p roblem a es posible o b te n e r u n a m ay o r sim plificación d el
m étodo de distribución,si se tom a en cuenta que puede usarse un m o­
m ento solo d e ex trem o fijo p ara e l claro final BC . S i se em p lea la co ­
lum na d erech a d e la tabla ubicada en el in terio r d e la co n trap o rtad a,
p ara un claro carg ad o u n ifo rm em en te q u e tie n e u n lad o fijo y e l o tro
articulado, se tiene

w /2 240(20)2

( F E M ) BC = - — = -1 2 000 Ib-pie

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12.3 M o d if ic a c io n e s a i f a c t o r d e rigidez 505

Los d ato s a n te rio re s se in tro d u c e n e n la ta b la d e la figura 12-14b y
se realiza la distribución de m om entos. E n com paración co n la figura
12-6¿>,este m éto d o sim plifica c o n sid e ra b le m e n te la d istrib u ció n .

C on b ase e n los re su ltad o s, las fu erzas c o rta n te s e n los ex tre m o s de
la v ig a y lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s o n c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra
12-14c.

Junta A B C

Elemento A B BA BC CB
1
DF 0 Q4706 0.5294
0
FEM / , 5647.2 -12000
Dist. © 5 2 .8
CO 2823.6

1M 2823.6 5647.2 -5647.2

(b)

240 Ib/pie

75 6 4 .7 1 b 564.71b 26821b f [ í [ V 1‘ I T " 1 211 8 Ib
S 6 4 7 ! b ‘p i e
M l b p i e , 5 Ple s I I 5647 Ib* p íe W U H J I H L

t 2 0 pieS
I 324 7 Ib

(c)

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506 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

PROBLEMAS

1 2-1. D eterm ine los m om entos e n tí y C . E l e s constante. *12-4. D eterm in e las reaccio n es e n lo s so p o rtes y d esp u és
S uponga que t í y C son rodillos y que A y D están articulados. d ib u je e l d ia g ra m a d e m o m e n to s. S u p o n g a q u e A e s tá fijo.
E l es constante.

n f r m800 lb/pie 5001b

3 ? i? i

20 p ie s 1------ 15 p ie s — -

Prob. 12-1 P rob. 12-4

12-2. D eterm in e los m o m en to s e n A , t í y C .S u p o n g a que 12-5. D eterm in e los m o m entos e n tí y C ,y d espués dibuje
el s o p o rte e n t í e s u n ro d illo y q u e A y C e s tá n fijos. E l es el d ia g ra m a d e m o m e n to s p a ra la viga. S u p o n g a q u e C e s un
c o n s ta n te . s o p o rte fijo. E l e s c o n sta n te .

12 kN

12-3. D eterm in e los m om entos e n A , t í y C ,y d esp u és di­ 12-6. E x te rm in e los m o m en to s e n tí y C .y d esp u és dibuje
buje el d iag ram a d e m om entos. S u p onga q u e e l so p o rte en el diagram a d e m o m entos p a ra la v ig a T odas las conexiones
t í e s un ro d illo y q u e A y C e s tá n fijos. E l e s c o n sta n te . e stá n articu lad as. S uponga q u e las reaccio n es h o rizo n tales
son iguales a cero. E l es constante.

9001b 9001b

12 k N /m

AC ? ---—---—----------------1*rS-----------------<--*Jrn—i n 4i
666
-p ie s- ) - 10 p ies— - 1 0 p i e s - 12 k N / m

Prob. 1 2 - 3 Prob. 12-6

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12.3 M o d if ic a c io n e s a i f a c t o r d e rigidez 507

12-7. D eterm ine las reacciones e n los soportes. S uponga 12-10. D eterm ine e l m o m ento e n B . y d esp ués dibuje el d ia­
q u e A e stá fijo y q u e B y C so n ro d illo s q u e p u e d e n e m p u ­ gram a de m om entos p ara la viga. Suponga que los soportes en
jar o ja la r la viga. E l e s constante. A y C so n rodillos y qu e B está articu lad o . E l es constante.

P rob. 12-10

*12-41. D e te rm in e io s m o m e n to s e n B y C , y d e s p u é s d i­ 12-11. D eterm ine los m o m entos e n B . C y D , y d espués
buje e l d iag ram a de m om entos p a ra la viga. S u p onga q u e d ib u je el diagram a d e m o m en to s p a ra la viga. E l es co n s­
los so p o rte s e n B y C son ro d illo s y q u e A y D e stá n a rtic u ­ ta n te .
lados. E l e s co n stan te.

P rob. 12-11

12-9. D eterm ine los m om entos en B y C ,y d espués dibuje *12—1 2 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o e n B y d e s p u é s d i b u j e el
el d iag ram a d e m o m e n to s p a r a la viga. S u p o n g a q u e los s o ­ diagram a d e m o m en to s p a ra la viga. S u p onga q u e e l so ­
p ortes e n B y C son rodillos y q u e A está articu lad o . E l es p o rte e n A está articu lad o , q u e B es u n rodillo y q u e C está
c o n s ta n te . fijo. E l es co n stan te.

3001b

2 0 0 Ib /p ie

4 k/pie

rn¿ ; 1
-?•’ vi*7? -
*

I 10 p ie s -j—1--------10 p ie s —8 pies — ------------ 15 p i e s --------------1-------- 1 1 p ie s — -|

Proh. 12-9 Proh. 12-12

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508 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

1 2 .4 Distribución de momentos
para marcos: Sin ladeo

L a aplicación del m é to d o d e d istrib u ció n d e m om entos p a ra m arcos sin
lad eo sigue el m ism o p ro ced im ien to q u e e l descrito p a ra las vigas. P ara
red u cir a l m ínim o la posibilidad de e rro res se sugiere q u e el análisis se
o rg a n ic e en fo rm a ta b u la r, co m o e n los e jem p lo s an terio res. A d e m á s, la
d istrib u ció n d e m o m en to s p u e d e sim plificarse si el facto r d e rigidez de
u n c la ro p u e d e m odificarse c o m o se in d icó e n la sección an terio r.

D ete rm in e los m o m en to s in te rn o s e n las ju n ta s d e l m arco q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 1 2 -15a. F. y D e s tá n a rtic u la d o s y e n e l p u n t o A
hay u n so p o rte fijo. E l e s constante.

Junta A R CR C D E
Elem ento A R RA RC CD CE DC EC
0.298 0.372 1 1
D F 0 0.545 0.455 0.330
-40.2 -50.2
FEM 73.6 -1 3 5 135 -9.1 -11.5
Dist. 61.4 -4 4 .6 -1.5 -1 .9
TR 36.8 ' -Ü.4 -0 .4
Dist. 12.2 -2 2 .3 X 30.7
TR 10.1 -1 0 .1 0.0 -0 .1
D ist. 6.1 X -51.2 -64.1
TR 2.8 - 5 . 1 5.1
D ist 2 3 -1.7
wr
TR , 0.4 - 0 . 8 1.2
D ist. 0.4 -0 .4
0.2
0.1 - 0 .2 0.2
0.1 -0.1

' m 44.5 89.1 -8 9 .1 115

(b)
Figura 12-15

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1 2 . 4 D S T R BUCIÓN DE M O M EN TO S PARA M AR C O S : S iN LADEO 509

SO L U C IÓ N
R>r inspección, e l p a sa d o r e n E im pedirá q u e el m arco s e ladee. Los
factores d e rigidez d e C D y C E p u ed en calcularse usan d o K = 3 E I/L
puesto q u e los e x tre m o s e stá n fijos. A dem ás, la c arg a d e 2 0 k n o c o n ­
tribuye co n un FE M porque está aplicada en la ju n ta R . P or lo tan to .

Kr a b -~ -4jEj I- KK B C- ~ A~ EYIf Kr C D- - 3- E¡ If r* C £ -" 3EI

d pab = 0

4 £7/15
D F /m “ 4 E / / 1 5 4- 4 E / / 1 8 " 0 5 4 5

D F „€ = 1 -0 .5 4 5 = 0.455

4 £ //1 8
|) F r i> = ---------------------------------------------- = 0 330

CB 4 E / / 1 8 + 3 E / / 1 5 + 3 E // 1 2

3 E //1 5

D Fco " 4 E //1 8 + 3 E //1 5 + 3 E //1 2 “ 0298

D F ce = 1 -0 .3 3 0 - 0.298 = 0.372

D F o c = 1 D F £C = 1

(FE M )ac = - w L 2 ~ 5 ( 18)2
= — —— = -1 3 5 k -pie

w L 2 5 (1 8 )2
( F E M )CB = - ¡ j - " “ 7 ^ “ = 135 k ’ P ie

L o s d a to s s e m u e s tra n en la ta b la d e la figura 12-15/». A q u í s e rea liz a
s u c e s iv a m e n te la d is trib u c ió n d e m o m e n to s e n la s ju n t a s B y C . I>os
m om entos finales se m u e stra n e n la ú ltim a fila.

FJ diagram a d e m om entos p a ra el m arco d e la figura 12-15c se cons­
truye utilizando esto s datos.

101 k- pie

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510 1 2C a p i t u l o M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

1 2 .5 D istribución d e m om entos
para m arcos: C on ladeo

E n la sección 11-5 se m o stró q u e los m arco s q u e n o son sim étrico s o q u e

están sujetos a cargas no sim étricas tienen una tendencia a ladearse. Un

ejem p lo de estos caso s se m u estra e n la figura 12- 16a.A q u í, la carg a a p li­

cada P g en erará m om entos desiguales e n las ju n tas f l y C d e m odo q u e el

m arco se d esv iará u n a can tid ad A hacia la d erech a. P ara d e te rm in a r esta

deflexión y los m om entos in tern o s en las ju n tas m ediante la distribución

de m om entos se usará el principio de supeiposición. E n este sen tid o se

co asid era p rim ero q u e e l m arco de la figura 12-166 no experim enta

la d e o al a p lic a r u n so p o rte artificial en la ju n ta C. Se ap lic a la d is trib u ­

ción d e m o m entos y después, p o r la estática, s e d eterm in a la fu erza res­

trictiva R. L uego se ap lica a la estru ctu ra una fu erza d e restricció n igual

pero o p u esta, figura 12- 16c, y se calculan los m om entos en e l m arco. U n

m étodo p ara realizar este últim o p aso requiere, en p rim er lugar, suponer

u n v a lo r n u m érico de u n o d e los m o m en to s internos, p o r e jem p lo M 'a ,.

Si se u sa la distribución d e m om entos y la estática, es posible d eterm in ar

la deflexión A ' y la fuerza e x tern a R ' correspondientes a l valor supuesto

p a r a M ’a * . D a d o q u e s e p r o d u c e n d e f o r m a c io n e s c lá s tic a s lin e a le s , la

fu erza R ’ d esarro lla m o m en to s e n e l m arco q u e s o n p ro porcionales a los

desarrollados p o r R. Por ejem plo, si se conocen y R '.e l m om ento

e n H desarrollado p o r R será M = M 'b a (R /R '). Al su m ar los m om en­

tos e n las ju n ta s p a ra a m b o s casos, figuras 12-166 y c .s e o b te n d rá n los

m o m en to s reales e n e l m arco, figura 12-16o. La aplicación de esta técnica

se ilu stra e n los ejem p lo s 12-6 a 12-8.

M arcos d e varios niveles. C o n m u ch a frecuencia, los m arcos de

varios niveles p u e d e n te n e r algunos d esp lazam ien to s independientes en
su s ju n ta s y. p o r co n sig u ien te, el análisis de la d istrib u ció n d e m o m en to s
em p lean d o las técn icas d e sc rita s a n te rio rm e n te im plicará u n m ay o r n ú ­
m ero de cálculos. Por ejem plo, co n sid ere e l m arco d e d o s niveles q u e se
m u estra e n la figura 12-17a. E sta e stru c tu ra p u ed e te n e r dos desplaza-

aplicación de una ju n la junta artificial retirada
artificial (sin lad eo ) (con ladeo)

(a) (b ) (c)

Figura 12-16

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1 2 .5 D S TSfIB U G Ó N DE M O M EN TO S PARA MARCOS: C O N LADEO

m ientos independíenles en sus juntas, puesto q u e el desplazam iento late­
ra l A , d e l p rim e r n iv e l e s in d e p e n d ie n te d e c u a lq u ie r d e s p la z a m ie n to A2
e n el se g u n d o nivel. P o r desgracia, e sto s d esp lazam ien to s n o se conocen
inicialm ente, p o r lo q u e el análisis d e b e p ro ced er con base e n la su p erp o ­
sición, d e la m ism a m an era q u e se analizó antes. En e ste caso se aplican
d o s fu e r z a s d e r e s tr ic c ió n : R i y R 2, fig u ra 12-17/», y s e d e te r m in a n y d is ­
trib u y en lo s m o m en to s d e e x tre m o fijo. I-os v a lo re s n u m érico s d e R | y
R 2 se d e te rm in a n co n base e n las ecu acio n es d e eq u ilib rio . D esp u és se
retira la restricción e n el p iso d el p rim er nivel y el piso experim enta un
d e sp lazam ien to A '. E ste d e sp lazam ien to p ro v o ca m o m en to s d e ex trem o
fijo (F E M ) e n e l m arco, a los q u e p u e d e n asignárseles v alo res num érico s
específicos. A l d istrib u ir esto s m om entos y al em plear las ecuaciones de
equilibrio,es posible d eterm in ar lo s valores num éricos asociados d e RJ y
R 2. D e m a n e r a s im ila r , e l p is o d e l s e g u n d o n iv e l e x p e r i m e n t a u n d e s p l a ­
z a m ie n to A*, fig u ra 12-I7¿/. Si se su p o n e n v a lo re s n u m érico s d e lo s m o ­
m entos d e ex tre m o fijo, la d istrib u ció n d e m o m en to s y e l análisis d e l
e q u ilib r io g e n e r a r á n v a lo r e s e s p e c ífic o s d e R ] y R 2. C o m o lo s ú ltim o s
dos p aso s asociados c o n las figuras 12-17c y d ctependen d e valores su ­
puestos p ara los F E M , es necesario aplicar factores d e corrección C y C
a los m o m e n to s distribuidos. C o n referen cia a las fuerzas d e restricción
d e las figuras 12-17c y 12-17d, s e req u iere la aplicación igual p e ro
opuesta d e R | y R 2sobre la estru ctu ra, de ta l m anera que

r 2 = -C R '2 + C"R\

K, = +C'R\ - C R \

Al resolver en fo rm a sim ultánea estas ecuaciones se ob tien e e l valor de
C y C . E stos factores d e corrección se m ultiplican p o r los m om entos in­
ternos en las ju n tas q u e s e en contraron con base e n la distribución de
m om entos, fig u ras 12-17cy I2 -I7 d . D esp u és, los m o m en to s resu ltan tes se
determ inan al su m ar esto s m om entos corregidos con los o b ten id o s e n el
m a rc o d e la fig u ra 12-1 Ib .

Hay o tro s tipos d e m arcos con desplazam ientos independientes en sus
ju n ta s q u e p u e d e n an alizarse m e d ia n te e l m ism o p ro ced im ien to ; sin
em bargo, debe reconocerse que el m étodo anterior requiere bastantes
cálculos num éricos. A unque se h an desarrollado algunas técnicas para
red u cir los cálculos, lo m ejo r e s reso lv er e ste tip o d e p ro b le m a s e n una
co m p u tad o ra, de preferencia q u e realice análisis m atriciales. Las té c n i­
cas p a r a lle v a r a c a b o e s to s e e s tu d ia rá n e n e l c a p ítu lo 16.

(a) <b> (c) (d)

Figura 12-17

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512 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

EJEMPLO 12.6

!6kN D eterm ine los m om entos en cada ju n ta del m arco q u e se m uestra en
la fig u ra 12-18a. E l es co n stan te.

1m| 4m

S O L U C IÓ N
E n prim er lugar se considerará que e l m arco n o sufre desplazam iento
la te ra l co m o se m u e stra e n la fig u ra 12-186. S e tie n e

1 6 (4 )2(1 )
( F E M ) f lc = --------- r - - = - 1 0 . 2 4 k N - m

(5 )2

(») (FE M )ca 1 6 (1 )2(4 ) 2.56 kN •m
II (5 )2

16 kN E l factor d e rigidez d e cada claro se calcula co n base en 4E I /L o em ­

pleando el factor d e rigidez relativ a ///.. L os D F y la distribución de
m o m en to s se m u estran e n la tabla de la fig u ra 12-18d. C o n b a se en

estos resultados se aplican las ecuaciones d e equilibrio a los d iag ra­

m a s d e c u e r p o lib re d e la s c o lu m n a s a fin d e d e te r m in a r A , y D,. fi­

gura 12-18e. A p a rtir del d iag ram a d e c u e rp o lib re d e to d o e l m arco

(no se m u estra), la restricción R de la ju n ta en la figura 12-186 tiene

una m agnitud de

1 F X = 0. R = 1.73 k N - 0.81 k N = 0.92 kN

A h o ra d eb e aplicarse u n v alo r igual p e ro o p u esto d e R = 0.92 kN
sobre el p u n to C del m arco y es necesario calcular los m om entos in­
ternos. figura 12-18c. P ara resolver e l p ro b lem a d e l cálculo d e estos
m om entos, se su p o n d rá q u e se aplica u n a fuerza R ’ sobre C . lo que
o casio n a q u e e l m arco s e d esv íe A '.c o m o se m u e stra e n la figura
12-18/ A q u í las ju n tas e n R y C s e en cu en tran tem poralm ente restrin­
gidas a la ro ta ció n , y c o m o re su lta d o se d e te rm in a n los m o m en to s de
extrem o fijo en los extrem os d e las colum nas co n base e n la fórm ula
d e la d eflex ió n q u e se e n cu en tra en e l in terio r d e la co n tra p o rta d a ,
es decir.

Junta A B C D
BA BC CB CD DC
Elem ento A B

DF 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0

FEM 5.12 -1 0 .2 4 2.56 -1 .2 8 —0 .6 4 5.78 k N -m r
D ist. 2.56 5.12 -1 .2 8 -1 .2 8 —0 .6 4 5m
TR -0 .0 8 -0 .0 4
D ist. y 0.32 - 0 .6 4 2.56 -0 .0 8 2.88 k N -m 1 3 2 kN -m
0.16 0.32 y -1 .2 8
TR 0
D ist. 0.32 - 0 .6 4 0.16
TR 0.16 0.32 x -0 .0 8 ,4r = I.7 3 k N D , = 0.81 kN
D ist.
0.02 - 0 .0 4 A 0.16
0.02 -0 .0 8

2.88 5.78 - 5 .7 8 2.72 -2 .7 2 -1 .3 2

<d) (e)

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1 2 .5 D S TSfIB U G Ó N DE M O M EN TO S PARA MARCOS: C O N LADEO 513

Junta A B C» n

Elem ento A B B A BC CB CD DC

DF 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0

FEM -100 - 100 -1 0 0 - 100
Dist.
TR / 50 5 0 x 50 50 \
Dist. 25 X 25 X 25 25

TR ¡T 12.5 -1 2 .5 v -1 2 .5 -1 2 .5 v
Dist.
-6 .2 5 -6,25 --6.25 -6 2 5
TR
Dist. ____ j L 3.125 3.125w 3.125 3.125
TR \
D ist. 1.56 1 .5 6 A 1.56 1.56

(0 _ -0.78 -0.78 -0.78 -0 .7 8

6E/A -0 .3 9 ^ -0.39 ^ 0 .3 9 -0.39

M= 0.195 0.195 0.195 0.195

SAZ -8 0 .0 0 - 60.00 60.00 60.00 -6 0 .0 0 - 80.00

(8)

E n v ista d e q u e la n ío B c o m o C x d e sp la z a n la m ism a c a n tid a d A ',
y A B y D C tienen los m ism os valores d e E , / y L .el F E M e n A B será
d m ism o q u e e n D C . C om o s e m uestra e n la figura 12-18/, s e su­
p ondrá arbitrariam ente q u e e ste m om ento d e extrem o fijo sea

( F E M ) x s = ( F E M ) flx = ( F E M ) c d = ( F E M ) » : = - 1 0 0 k N - m 0 —'

Se req u iere u n signo negativo p o rq u e el m om ento d e b e a ctu a r en sen­ 60 kN -m 60 kN-
tido antihorario sabré la colum na p a ra o b ten er u n a deflexión A ’ hacia
b d erecha. A h o ra p u ed e d eterm in arse el valor d e R ’ asociado co n
este m o m en to d e - 100 k N • m. La d istribución d e m o m en to s d e los
FEM se m uestra e n la figura 12-I8g. C o n base e n el equilibrio, se calcu­
lan las reaccio n es h o riz o n ta le s e n A y D ,fig u ra 12-18/j. A sí, p a ra to d o
el m arcóse requiere

2 F X = 0; R ' = 28 + 28 = 56.0 kN

5m

ft>r lo ta n to , R ' = 56.0 k N c re a lo s m o m e n to s ta b u la d o s e n la fig u ra 80 kN -m 80 kN -m
12-18g. L os m o m e n to s c o rre sp o n d ie n te s cau sad o s p o r R = 0.92 k N
p u e d e n d eterm in arse p o r p ro p o rció n . P or lo ta n to , el m o m en to re su l­ jf
tante e n e l m arco, figura 12-18a ,e s igual a la sum a de los calculados
p a ra e l m arco e n la fig u ra 12-186, m ás la c a n tid a d p ro p o rc io n a l d e los ¿ ,- 2 8 k N 4 D ,-2 8 k N
q u e se calc u laro n e n la fig u ra 1 2 -18c. S e tie n e

00

M a b = 1 8 8 + ® - 8 0 ) = 1.57 k N - m Resp.
M b a = 5.78 + j g ( - 6 0 ) = 4.79 k N - m Resp.
M bc = " 5 .7 8 + $ 8 (6 0 ) = -4 .7 9 k N - m Resp.
m cb = 1 7 2 + $ 8 ( 6 0 ) = 3.71 k N - m Resp.
m cd = -2 .7 2 + $ 8 (~ 6 0 ) = -3 .7 1 k N - m Resp.
M DC = - 1 . 3 2 + $ 8 ( - 8 0 ) = - 2 . 6 3 k N - m Resp.

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514 1 2C a p i t u l o M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

EJEMPLO 12.7

D eterm in e los m o m e n to s e n cad a ju n ta d e l m arco q u e se m u estra en
la fig u ra 12-19a. E l m o m e n to de in e rc ia d e c a d a e le m e n to se in d ica
e n la figura.

Figura 12-19

S O L U C IÓ N
E n p rim er lugar se evita un ladeo e n e l m arco, com o se m u estra en la
figura 12-19b. Los m om entos in tern o s e n las ju n ta s se calculan com o
s e indica e n la figura \2 -\9 d . A q u í,el factor d e rigidez del C D se calculó
em plean d o 3 E I /L , p u esto q u e hay un p asad o r e n D . El cálculo d e las
reacciones horizontales e n A y D se m u estra e n la fig u ra 12 19e. E n ­
tonces, p a ra to d o e l m arco,

1 F , = O, K = 2 .8 9 - 1 .0 0 = 1.89 k

Junta A B CD

Elem ento A B B A B C CB C D D C 1 19.34 k-■ppiiee 11155..0000k-rpie

DF 0 0.615 0.385 0.5 0.5 1

FEM -24 24 -12
Dist. . 14.76 9 .2 4 - 1 2 -2 .3 1
TR -0 .5 8
Dist. 7.38 ' - 6 4.62 -0 .1 1 10 pies

TR , 3.69 2.31 -2 .3 1 15 pies
Dist.
1.84 ' - 1 .1 6 1.16
TR
Dist. 0.713 0 4 4 7 -0 .5 8 95$ k •pie

0.357 - 0 .2 9 0.224 r2.89 k

0.18 0.11 -0 .1 1 D, = 1.00 k

9.58 19.34 - 1 9 .3 4 15.00 --15.00 0

(d) (e)

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1 2 .5 D S TSfIB U G Ó N DE M O M EN TO S PARA MARCOS: C O N LADEO 515

Junta A B C D
DC
Elem ento A B BA B C C B CD
1
D F 0 0.615 0.385 0.5 0.5
0
FEM -1 0 0 -100 -27.78
Dist.
TR 615 38.5 13.89 13.89
D ist.
30.75 6.94 19.25
TR
D ist. -4 .2 7 -2 .6 7 ^ -9 .6 2 5 - 9.625

TR —2 .1 4 -4 .8 1 -1 .3 4
D ist.
. 2.% 1.85 0.67 0.67

1.48 0.33 0.92
—0.20 - 0 .1 3 - 0 .4 6 - 0 .4 6

I M -6 9 .9 1 -4 0 .0 1 40.01 23.31 -2 3 .3 1

<g>

L a fuerza opuesta s e aplica ah o ra sobre e l m arco com o se m uestra en
la f ig u r a 1 2 -19c. A l ig u a l q u e e n e l e je m p lo a n te r io r , s e c o n s id e r a r á
u n a fu e rz a R ' q u e ac tú a e n la fo rm a m o stra d a en la fig u ra 12-19/.
C o m o re s u lta d o , la s ju n ta s B y C se d e sp la z a n la m ism a c a n tid a d A '.
Los m om entos d e extrem o fijo p a ra B A se calculan a p a rtir d e

6 E /A 6£(2000)A '

( F E M ) , , - ( F E M ) * . - - 2 ^ ----------------

Sin em bargo, c o n b ase en la tabla q u e se e n c u e n tra e n el in te rio r d e la
contraportada, p a ra C D tiene

3 £ /A 3 ¿*(2500) A'
( F E M )Cn = ~ (15)2

Si se supone que el FE M para A B es d e - 100 k • pie com o se m uestra en
la fig u ra 1 2 -1 9 /.e l F E M c o r r e s p o n d ie n te e n C . q u e c a u s a e l m i s m o A ',
se encuentra por co m p aració n .esto es.

100)( 10)2 (FE M )c o (15)2
A=- 3 £ (2 5 0 0 )

6E (2000)

40.01 k -p ie 23J l k-pic

(FE M )c o = -2 7.7 8 k -p i e

L a d istrib u ció n d e m o m en to s p a ra esto s F E M se ta b u la e n la fig u ra 10 pies
12-19g. Los cálculos d e la s reaccio n es h o rizo n tales e n A y D se m u es­
tra n e n la fig u ra 12 19/i. E n to n c e s , p a ra to d o e l m a rc o , 15 p ie s

69.91 k -p ie

2 E , = 0; R ' = 11.0 + 1.55 = 12.55 k A'f - l l i k

/X ,- 135 k

R>r lo tan to , los m o m en to s resu ltan tes e n e l m arco so n r

M AR = 9.58 + (& & )( -6 9 .9 1 ) = -0 .9 4 8 k - p i e Resp. <h>
M RA = 1 9 .3 4 + ( A R ) ( —4 0 . 0 1 ) = 13.3 k • p i e Resp.
M bc = -1 9.34 + (ffi)(4 0 .0 1 ) = -1 3 .3 k •p ie Resp.
M CR = 15.00 + ( i ® ) ( 2 3 .3 1 ) * 18.5 k - p i e Resp.
M cd = -1 5 .0 0 + ( i ® ) ( -2 3 .3 1 ) = -1 8 .5 k-pie Resp.

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516 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

EJEMPLO 12.8

D e te rm in e los m o m en to s en cad a ju n ta del m arco q u e se m uestra en
la fig u ra 12-20a. E l es co n stan te.

<«) (b ) (c)
Figura 12-20

S O L U C IÓ N
P rim ero se evita e l desplazam iento lateral m ed ian te la fuerza d e res­

tric c ió n R.fig u ra 12-206. Ix>s F E M p a ra e l e le m e n to B C so n

8( 10) 8( 10)

( F E M ) * ; ------ — = - 1 0 k - p i e ( F E M ) o , = — = 10 k - p i e

C om o los claro s A B y D C están articu lad o s e n su s ex trem o s, e l facto r

de rigidez s e calcula em plean d o 3E l/L . La distribución d e m om entos

se m u e stra en la figura 12-20d.

Las reacciones h o rizontales en A y D deb en d eterm in arse a p a rtir

de esto s resultados, lo cual se h ace m ediante u n análisis d el equilibrio

para cada elem ento, fig u ra 12-20e.A l su m a rlo s m o m entos respecto de

b s puntos B y C e n cada pierna, se tiene

J,+ 2 M b = 0; -5 .9 7 + -4,(8) - 4(6) = 0 A , = 3.75 k

[ , + l M c = O, 5.97 - D x{8 ) + 4 (6 ) = 0 D , = 3.75 k

Ib r lo tanto, para todo e l m arco.

K = 3.75 - 3.75 + 20 = 2 0 k

Junta A BC D 4 pies a* 4 pies
AB DC S p ie sjsp ie s 1 *97 k-pie
Elem entó BA BC CB CD
1 1
DF 0.429 0571 0571 0.429 5 .9 7 k -pie | 20k r
0 0
FEM 429 - 1 0 10 -4 2 9 I f 5.97k p ie v r \ S p ie
Dist. 123 5.71 . -5 .7 1 -123 8 pies / , l 5.97 k •pie 1
IR 035 -035
Dist. a to -2 86 ' 286 -a io Y -A ,
IR 1.03. , -1.63 4 k |, “
D ist.
IR -0 82 ‘ 082
D ist. . -047

tt4 7 >
-0 24 ' 024

0.13 -Q 1 3

5.97 -5 .9 7 5.97 -5 .9 7

(d) (c)

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1 2 .5 D S TSfIB U G Ó N DE M O M EN TO S PARA MARCOS: C O N LADEO 517

L a fu e rz a o p u e s ta R se ap lica a h o ra al m arco c o m o se m u e stra e n la
figura 12-2üc. C o n e l fin d e d eterm in ar los m om entos in tern o s desa-
iT olladospor R se considerará p rim ero q u e la fuerza R ' actúa com o se
m uestra e n la figura 12-20/. A q u í las líneas discontinuas no rep resen ­
tan la disto rsió n d e los elem en to s del m arco, sin o q u e se construyen
com o lín eas rectas e x te n d id a s h a sta las posiciones fin ales R ' y C
d esd e los p u n to s R y C , resp ectiv am en te. D e b id o a la sim etría d el
m arco, el d e sp la z a m ie n to R R ' - C C ' - A’. A dem ás, e sto s d e sp la z a ­
m ien to s h acen q u e R C gire. L a d ista n c ia v ertical e n tre R ' y C ' es 1.2A ',
com o s e m uestra en el diagram a d e d esp lazam ien to , figura 12-20g.
D ado q u e cad a claro experim enta desplazam ientos hasta u n pu n to
extrem o que ocasionan un g iro en éste, se inducen m om entos de ex ­
trem o fijo e n lo s d aro s. D ichos m o m en to s son:
( F E M ) / m = ( F E M ) c o = - 3 E / A '/ ( 1 0 ) 2. ( F E M ) SC = ( F E M ) Cfl =
6 £ 7 ( 1 .2 A ') / ( 1 0 ) 2.

O b se rv e q u e p a r a B A y C D los m o m e n to s so n n eg a tivo s p u e sto q u e
una rotación en sentido horario d el claro ocasiona u n FE M con sen­
tido antihorario.

Si se asigna a rb itra ria m e n te u n v alor d e ( F E M ) ^ = (F E M )C0 =
— 100 k • pie, e n to n c e s al ig u alar A ' e n las fó rm u las a n te rio re s se o b ­
tiene ( F E M ) flC - ( F E M ) ^ - 240 k • pie. E sto s m o m en to s se ap lican
al m a rc o y s e d is trib u y e n , fig u ra 12-206. C o n lo s re s u lta d o s a n te rio re s ,
d análisis d e eq u ilib rio es co m o se m uestra e n la figura 12-20/. Para
cada piern a se tiene

{,+ I M b = 0 ; - A ' x {8 ) + 2 9 .3 6 (6 ) + 1 4 6.80 = 0 A't = 4 0 .3 7 k

{,+ 2 M c = 0 ; - ü ; ( 8 ) + 2 9 .3 6 (6 ) + 146.80 = 0 D'x = 4 0 .3 7 k

Entonces, p ara to d o e l m arco.

2 F , = 0; R ' = 4 0.37 + 40.37 = 80.74 k

ft>r lo ta n to , los m o m e n to s re s u lta n te s e n e l m a rc o so n

M r a = 5.97 + ( A ) ( ~ >46-80) = - 3 0 .4 k - p i e Resp.

M rc = - 5 - 9 7 + ( * ) ( 146.80) = 30.4 k - pie Resp.

M c b = 5.97 + (g $ h )(1 4 6 .8 0 ) = 42.3 k - p i e Resp.

M cd = -5 .9 7 + (n $ a )(-146.80) = - 4 2 3 k-pie Resp.

Junta A B CD

Elemento AH B A BC CB CD DC

2936 k 2936 k DF 1 0429 0.571 0.571 0.429 1

10 pies - i V e lU 46- k'PÍC FEM -100 240 240 -100
Dio. -«1.06 -79.94 -79.94 -60.06
T "~1i4466i3t0t)kk- p i,e 7 i 1 4 6 3 0 k -p ie 8 pies
TR -3J.97 -39.97 17.15
2936 k 2936 k Dio. 17.15 2232 22.82
-439
TR 11.41 11.41
D ía -489 -652 -6.52

TR -3.26 -3.26
D ia 1.40 1.86 1.40

TR 093 0.93
Día. -0 4 0 -Q 53 -0.53 -0 4 0

2936 k 29.36 k 0 -146.60 14630 14680 -14680 0

(i) <h>

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518 C a p itu lo 12 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : d is trib u c ió n de m o m e n to s

PR O BLEM AS

1 2 - 1 3 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o e n B %y d e s p u é s d i b u j e e l 12-15. D eterm ine las reacciones e n A y D . S uponga que
diagram a d e m om entos p a ra cada elem ento d e l m arco. S u ­ los so p o rte s e n A y D están fijos y q u e B y C están c o n e c ta ­
ponga q u e los so p o rtes e n A y C están articulados. E l es d o s fijam ente. E l e s co n stan te.
c o n s ta n te .

mi mi un,

15 p ie s

Proh. 12-13 24 pies

Prob. 12-15

12-14. D eterm ine los m om entos e n los extrem os de cada *12-16. E x te rm in e los m o m e n to s e n D y C , y d e sp u é s d i­
elem en to d e l m arco. S uponga que la junta e n t í está fija, que buje e l d iag ram a d e m o m en to s p a ra c a d a e le m e n to del
C está a rticu lad a y q u e A e stá fijo. E l m o m en to d e inercia d e m arco. S uponga q u e lo s so p o rtes e n A y t í están articulados
cad a e le m e n to s e m u estra e n la figura. E - 29(10’) ksi. y q u e las ju n ta s D y C e stá n fijas. E l e s co n stan te.

2k/pie

TTTTTTT

ü l i e - 800 pulg4 C
12 p i e s -----------
8 p it

4 k- Iab = 550 pulg4

8 pies

Prob. 1 2 - 1 4 Prob. 1 2 - 1 6

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1 2 .5 D STRIBU CIÓ N DE M O M EN TO S PARA MARCOS: C O N LADEO 519

12-17. D eterm ine los m om entos e n e l so p o rte fijo A y en 12-19. El m arco e stá hecho de tubos qu e se co n ectan fija­
la ju n ta D . y d esp u és d ib u je el d iag ram a d e m o m en to s p ara m ente. Si so p o rta las cargas q u e se m u e stra n , d e te rm in e los
el marco. Suponga q u e B está articulado. m om entos desarrollados en cada una de las juntas. £ / es

constante.

18 kN 18 kN

12-18. D eterm ine los m om entos e n cada ju n ta d e l m arco, •12-20. D eterm ine los m om entos en B y C , y después d i­
y después dibuje el diagram a de momentos p ara el ele­ buje el diagram a d e m om entos para cada elem ento del
m ento ACE,Suponga q u e B ,C y E están fijam ente conecta­ marco. S uponga qu e los soportes e n A . E y D están fijos. F.l
d o s y q u e A y D están articulados. £ = 29Í105) ksi. es constante.

10 k

P roh. 12-18 P roh. 12-20

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520 C a p it u l o 12 M é t o d o d e a n á l is is d el d e s p l a z a m ie n t o : d is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s

12-21. Determ ine k s m om entos en D y C .y después di­ 12-23. D eterm ine los m om entos que actúan en los extre­
buje e l diagram a d e m om entos p ara cada elem en to del mos de cada elem ento del marco. E l es constante.
marco. Suponga q u e los soportes en A y II están articulados.
E l es constante.

Prob. 12-21 Proh. 12-23

12-22. Determ ine los m om entos que actúan en los extre­ •12-24. !>¿term ine los m om entos q u e a c tú a n en lo s e x tre ­
mos de cada elem ento. Suponga que los soportes en A y D mos d e cada elem ento. Suponga q u e las juntas están fija­
están fijos. El m om ento d e inercia d e cada elem ento se mente co n ectad as y q u e A y R son so p o rtes fijos. E l es cons­
m uestra e n la figura. E = 29(10*) ksi. tante.

6k/pie D~
ttttttttt;
— 12 pies
!bc= 1200 pulg4 C
!cn =600 pulg4 10pies 0.2 k/pie , 181>ies

15 p ie s ¡a b - 800 pulg4 —*

A *A
-^ 7

24 pies - ------------ 20 p ie s -------------------- -
Proh. 12-22
Prob. 12-24

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R epaso d el c ap itu lo 5 21

12-25. D eterm ine los m om entos en las juntas B y C .y des­ 12-26. D eterm ine los m om entos en las juntas C y D , y
pués dibuje el diagram a de m om entos para cada elem ento después dibuje el diagram a de m om entos para cada ele­
del marco. Los soportes en A y D están articulados. E l es mento d el m arco. Suponga q u e los soportes e n A y B están
constante.
articulados. E ! es constante.

Proh. 12-26

REPASO DEL CAPITULO

La distribución d e m om entos es un m étodo d e aproxim aciones sucesivas que puede realizarse con cualquier grado d e p re ­
cisión deseado. Inicialm ente se requiere bloquear todas las juntas d e la estructura. Luego se determ ina e l m om ento de
equilibrio p a ra cada jun ta; las ju n ta s se d esb lo q u ean y e ste m o m en to se distribuye a c a d a e le m e n to conectado, y d e sp u é s la
m itad de su valor se traslada al o tro lado del claro. E ste ciclo de bloquear y liberar las juntas se repite hasta q u e el traslado
de m om entos se vuelva aceptablem ente pequeflo. Entonces se detiene el proceso y el m om ento en cada junta es la sum a de
los m om entos en cada ciclo d e bloqueo y desbloqueo.
E l proceso de distribución de m om entos se realiza d e m anera cóm oda en la forma tabular. A ntes de com enzar debe calcu­
larse el m om ento d e extrem o fijo para cada claro em pleando la tabla que aparece en el interior d e la contraportada de este
libro. Los factores d e distribución se obtienen a l dividir la rigidez d e un elem ento entre la rigidez total d e la junta. Para los
elem entos que cuentan con un extrem o lejano fijo, use K = 4 F ///.;p a ra un elem ento con su extrem o lejano articulado o
soportado por rodillos, use K = 3 £ //L ;p a ra un claro y una carga simétricos, K = 2 E I/L ,y para una carga antisim étrica K
= 6F.I/L. R ecuerde que el factor d e distribución p ara un extrem o fijo e s D F = 0, y para un extrem o articulado o soportado
p o r rodillos, D F = 1.

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0 uso de trabes con m om entos d e inercia variables redujo e n forma conside­
rable e l p e so m uerto d e cad a uno d e e s to s claros.

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Vigas y marcos 13
con elementos no
prismáticos enrito nados ahusados
enríA onados parabólicos
En este c a p ítu lo se ap licarán los m é to d o s d e la p e n d ie n te -d e fle x ió n y
d e la d is trib u c ió n d e m o m e n to s p a ra analizar v ig a s y m arco s co m p u e s­ R g iira 13-1
tos p o r e le m e n to s n o prism áticos. P rim e ro se e stu d ia rá c ó m o o b te n e r
los tra sla d o s d e fa cto re s, los factore s d e rig id e z y lo s m o m e n to s d e ex­
tre m o fijo necesarios. A e s to le sig u e un an álisis re la cio n a d o c o n el uso
d e v a lo re s ta b u la re s q u e se p u b lic a n c o n fre cu e n cia e n la lite ra tu ra d e
diseño. P or ú ltim o se e stu d ia rá el análisis d e e structu ras e s tá tic a m e n te
in dete rm ina das u tiliza n d o lo s m é to d o s d e la p e n d ie n te -d e fle x ió n y de
la d is trib u c ió n d e m o m e n to s .

1 3 .1 P ropiedades de carga d e los
elem entos n o prism áticos

C bn frecuencia, las trabes q u e se usan e n los claros g ran d es d e p u en tes y
edificios s e d iseñ an co m o vigas no prism áticas, es decir, q u e d e b e n c o n ta r
con m om entos de inercia variables; lo an terio r, co n e l fin d e ah o rrar m a­
terial. L as fo rm as m ás co m u n es d e los e le m e n to s e stru c tu ra le s n o
prism áticos tienen en riñonados q u e so n escalonados, ahusados o p a ra b ó ­
licos, figura 13-1. S iem p re q u e s e a posible e x p re s a r e l m o m en to de in er­
cia d e l elem en to e n función de la c o o rd e n ad a .t de longitud, se pu ed e
usar e l principio d e l trab ajo virtual o teorem a d e C astigliano com o se ex ­
plicó en e l capítulo 9 p a ra e n c o n tra r su deflexión. Las ecuaciones son

Mm o bien / dM M J
dx J p E Í dX

El

Si l a g e o m e tr ía y la c a rg a d e l e le m e n to r e q u i e r e n l a e v a lu a c ió n d e u n a
integral q u e no p u ed e d eterm inarse en form a cerrada, entonces d eb erá
usarse la regla de Sim pson o alguna o tra técnica num érica p a ra llevar a
c a b o la in teg ració n .

523

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524 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

Si las ecuaciones de pendiente-deflexión o la distribución d e m o m en ­
tos se em p lean p ara d eterm in ar las reacciones sobre u n elem en to no
prism ático, entonces p rim ero d eb en calcularse las siguientes p ro p ied a­
des para e l elem ento.

13 M o m e n to s d e e x tre m o fijo (FEM). Son las reaccio n es d e m o­

m ento en los ex trem o s d e l elem en to q u e se su p o n e está fijam ente a p o ­
yado, fig u ra 13-2a.

F a c to r d e rig id e z (K). E s la m a g n itu d d el m o m e n to q u e d e b e

aplicarse al ex trem o d e l elem ento d e m odo q u e ese extrem o gire a través
d e un ángulo d e 0 = 1 rad. A quí se aplica el m om ento e n el so p o rte articu­
lado, m ien tras e l o tro ex tre m o se su p o n e fijo, figura 13-2b.

F a cto r d e tra s la d o (FTR). R e p re se n ta la fr a e d ó n n u m érica (C )

d el m o m e n to q u e se “ tra sla d a " d esd e el e x tre m o artic u la d o h a sta la
p a re d , fig u ra 13.2c.

U na vez obtenidos, es posible verificar lo s cálculos d e los factores de
rigidez y de traslad o ; en parte, observando una im portante relación q u e
ex iste e n tre ellos. A l resp ecto , co n sid ere la viga d e la fig u ra 13-3 so m e ­
tid a a la s c a rg a s y d e fle x io n e s q u e s e m u e stra n . 1.a a p lic a c ió n d e l te o ­
rem a recíproco de M axw ell-B etti req u iere q u e e l trab ajo realizado p o r
las cargas d e la figura 13-3a.que actúan a través d e los desplazam ientos
d e la fig u ra 13-3¿», s e a ig u a l a l tr a b a jo d e la s c a rg a s q u e s e m u e s tra n e n
la fig u ra 13-36. q u e a c tú a n a trav és d e los d esp lazam ien to s d e la ñ g u ra
13-3a,es decir,

U a r = U BA

K a ( 0) + C a b K a { 1 ) = C b a K b ( 1 ) + K b {0 )

o bien

E l pilón a h u sa d o d e c o n creto s e u sa p a ra so ­ C abK a = C baK b (13-1)
p o rta r las tra b e s del p u en te d e esta a u to ­
p is ta . l\> r lo tan to , una vez d eterm in ad o s, los facto res d e rigidez y tra sp a so
d e b e n satisfacer la e c u a c ió n 13-1.

0 ( 1 rad)

<FEM )a

(FE M ),

CK

H gura 13-2

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13.1 P ropiedad es d e c a r g a d e los elem en to s n o prism ático s 525

«»<>

CAB*A

figura 13-3

Estas propiedades pueden obtenerse usando, p o r ejem plo, el m étodo
d e la viga co n ju g ad a o u n m é to d o de en erg ía. Sin e m b a rg o , a m en u d o el
proceso im plica u n a considerable can tid ad d e trab ajo . E n consecuencia,
se han desarro llad o gráficas y tablas p a ra d eterm in ar esto s d ato s para las
form as com unes que se utilizan e n e l diseño estructural. U na d e esas
fuentes es e l H andbook o f Fram e C onstanls (M anual d e constantes en
m arcos), publicado p o r la P ortland C em en t A ssociation.* E n las tablas
13-1 y 13-2 se p re s e n ta u n a p a r te d e e s ta in fo rm a c ió n to m a d a d e la p u b li­
cación m encionada. U na form a tabular m ás com pleta de estos d ato s
puede en co n trarse e n e l m anual d e la P C A , ju n to con las co rresp o n d ien ­
tes deducciones d e las fórm ulas em pleadas.

La nom enclatura s e define d e la m anera siguiente:

a a , üb = relación de la lon g itu d d el e n riñ o n a d o e n los e x tre m o s A y
B co n la longitud del claro.

b = relación d e la distancia desde la carg a co n cen trad a hasta
d ex tre m o A ro n la longitud d el claro.

C a B‘c b a = facto res d e tra sla d o d e l e le m e n to A # en lo s e x tre m o s A y
B , respectivam ente.

h A. h fí = p ro fu n d id ad d el e le m e n to e n los e x tre m o s A y B , re sp ecti­
vam ente.

h e = p ro fu n d id ad del ele m e n to e n la secrió n m ínim a.
¡c = m om ento de in e rd a d e la se c d ó n a la p ro fu n d id ad m ínim a.
k BA = factor d e rigidez e n los ex trem o s A y B . respectivam ente.
I. = longitud d el elem ento.
M a B ’ M Ba = M o m e n to d e e x tr e m o fijo e n lo s e x tr e m o s A y B , r e s p e c ti­

v am en te; se e sp e d fic a e n las tab las p a ra u n a carg a u n i­
fo rm e iv o u n a fu e rz a c o n c e n tra d a P,
rA' rB = relaciones p ara las secciones transversales rectangulares,
d o n d e rA ■ ( h Á - h c ) l h c . r fí ■ ( h fí - h c ) / h c .

C óm o se in d icó a n terio rm en te, los m o m en to s d e ex tre m o fijo y los fa c to ­ C o n fre c u e n c ia , e n la c o n s tru c c ió n d e ig le ­
res d e traslad o p u ed en en co n trarse en las tablas. El factor d e rigidez a b ­ s ia s s e u s a n lo s m a rc o s d e m a d e ra c o n m o ­
soluta puede d eterm in arse em plean d o los factores d e rigidez tab u lad o s y m e n to s d e in e rc ia v a ria b le s .
a p artir d e las siguientes ecuaciones:

kABE IC „ k BAE I C (13-2)
Ka = — - — Kb = — -—

L a ap licació n d e l u so d e las ta b la s se ilu stra rá e n e l e je m p lo 13-1.

*Handbook o f Frame Constaras. P o r t l a n d C e m e n t A s s o c i a t io n , C h i c a g o , I l li n o i s .

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526 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

13

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1 3 .1 P r o p ie d a d e s d e c a r g a d e l c s e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s 527

13

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TABLA 13-2 E n riñ o n a d o s p a r a b ó lic o s ; ancho c o n s t a n t e 1 ! lili! ü l l i 1 ¡lili ü l l i
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528 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

1 3.2 Distribución de momentos
para estructuras con elem entos
no prism áticos

U na vez q u e se h a n d e te rm in a d o los m o m en to s d e e x tre m o fijo y los fac­
to re s d e rigidez y tra sla d o p a ra los e lem en to s n o prism áticos d e u n a e s­
tru ctu ra, la aplicación d el m étodo d e distribución de m om entos sigue el
m ism o procedim iento q u e se describió en el capítulo 12. A l respecto, re ­
cuerde q u e la distribución de m om entos puede acortarse al m odificar el
factor d e rigidez d e u n elem en to p a ra to m ar en cu en ta las condiciones de
los ex trem o s d el claro co n so p o rte articulado y la sim etría o antisim etría
de la e stru ctu ra. E n los e lem en to s no p rism ático s tam b ién p u e d e n h a ­
cerse m odificaciones sim ilares.

V ig a a rtic u la d a e n e l e x tre m o le ja n o . C ónsidere la viga d e la

figura 13-4a,la cual está articulada en su extrem o lejano B. El factor de
rig id e z a b s o l u t a K ’A e s e l m o m e n to a p lic a d o e n A d e m o d o q u e l a v ig a
e n A gire 0A = 1 rad y pu ed e d eterm in arse d e la siguiente m an era. E n
prim er lugar suponga q u e B está tem p o ralm en te fijo y q u e s e aplica un
m o m e n to K A e n A , f ig u r a 13-4¿>. E l m o m e n to in d u c id o e n f i e s CA g K A,
donde C ab es e l factor d e traslado d e A a fi. E n segundo lugar, com o B
no está fijo, la aplicación del m om ento o p u e sto CAg K A sobre la viga, fi­
g u ra 1 3 -4 c ,in d u c ir á u n m o m e n to C fíAC AfíK A e n e l e x tr e m o A . M e d ia n te
la su p e rp o sic ió n , el re s u lta d o d e estas d o s ap licacio n es d e m o m en to o c a ­
sio n a q u e la viga e sté carg ad a c o m o se m u estra e n la figura 13-4a. P o r lo
tan to , p u e d e verse q u e e l fa c to r d e rigidez ab so lu ta d e la vig a e n A es

(13-3)

A q u í Ka es e l factor d e rigidez ab so lu ta d e la viga, su p oniendo q u e está
fija e n e l e x tre m o B . Por ejem plo, e n e l caso d e u n a viga p rism ática, K A =
4 E 1 IL y CAb = C bjk = A l s u s titu ir e n la e c u a c ió n 13-3 s e o b tie n e K 'A =
3 £ 7 //.,q u e e s igual a la e c u a c ió n 12-4.

Oa O r a d )

(1 ra d ) M I ra d )

Ca i Ka , H Ca b Ka
IT ^BA^AS^A

«

Figura 15-4

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