Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

1 3 .2 D istribució n d e m o m e n t o s para estructuras c o n ele m e n t o s n o prism ático s 529

V iga y c arg a sim étricas. En este caso es necesario determ inar el 13

m om ento K 'A necesario p a ra girar e l extrem o A . 0A = + 1 rad. m ientras
q u e 0B = - 1 ra d . figura 13-5a. A q u í p rim ero se supone q u e e l e x tre m o B
e s t á f i jo y s e a p li c a e l m o m e n t o K A e n A , f i g u r a 13-5¿>. D e s p u é s s e a p l i ­
ca un m om ento K B negativo so b re el extrem o B su p oniendo q u e e l e x ­
tre m o A está fijo. L o an terio r resu lta en un m o m en to C ^ K g e n el extre-
m o A com o se m u e stra e n la fig u ra 13-5c. A l su p e rp o n e r estas d o s
aplicaciones d e m om ento e n A se o b tie n e n los resu ltad o s d e la figura
13-5a. S e req u iere

K'a = K a - C b a K b

C b n b a se e n la e c u a c ió n 13-1 ( C ^ K g = CABK A\ ta m b ié n e s p o sib le
e s c rib ir

K'a = K a {1 - C AB) 0 3 -4 )

E n e l c a s o d e u n a v ig a p r i s m á t ic a . K A = 4 E I I L y C A B ~ 3, d e m o d o q u e
K 'a = 2 E I/L , lo c u a l es igual a la e c u a c ió n 12-5.

oA rad) * CabKa + (c)

i— Figura 13-5

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530 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

6 . (1 r a d ) M I rad)

13 M I rad)

M » rad )
b

K,

<b)

Figura 13-6

Viga sim étrica con carga antisim étrica. E n e l caso d e una

viga sim étrica c o n c arg a an tisim étrica, es n e cesario d e te rm in a r K 'A de
m odo q u e o c u rra u n a ro tació n igual e n los ex trem o s de la viga, figura
13-6a. P ara h acer esto, prim ero se fija el ex trem o B y se aplica e l m o­
m en to K a en A , figura 13-66. D el m ism o m odo, e n la figura 13-6c se
m u estra la ap licació n d e K B en e l e x tre m o ti e n ta n to q u e el e x tre m o A
se m a n tie n e fijo. A l s u p e rp o n e r los d o s c a so s s e o b tie n e n lo s re su lta d o s
d e la figura l3-6a. Por lo tanto.

K'a = K a + C b a K b

o . si se usa la e c u a c ió n 13-1 ( C ^ ^ b ™ c a h k a) , re su lta q u e p a ra la rig i­
dez absoluta

K a = K a ( I + CAB) (13-5)

A l su stitu ir los d ato s p a ra u n elem en to prism ático. KA = A E U L y C AB =
se o b tie n e K 'A = 6 E //L ,lo cual e s igual a la e c u a c ió n 12-6.

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1 3 .2 D is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s p a r a e s t r u c t u r a s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s 531

yA

"E

CbaKb j <d)
Figura 13-7

T ra sla c ió n re la tiv a d e u n a j u n ta e n u n a v ig a . lx»s m o m e n ­

tos d e e x tre m o fijo se d e sa rro lla n e n u n e le m e n to n o p rism ático si éste
tiene una traslació n relativ a de u n a ju n ta A en tre sus ex trem o s A y B , fi­
gura 13-7a. P a ra d eterm in ar estos m o m en to s se p ro ced e d e la m anera
siguiente. E n p rim er lugar, co n sid ere que lo s ex trem o s A y B están a r­
ticulados y q u e e l ex tre m o B de la viga se desplaza u n a d istan cia A de
ta l m an era q u e las ro tacio n es d e los ex trem o s so n dA = 0 B = A /L ,fig u ra
13-76. E n seg u n d o lugar, su p o n g a q u e B está fijo y ap liq u e un m om ento
d e M ' a = - K A ( h / L ) s o b r e e l e x tr e m o A cfc m a n e r a q u e e l e x tr e m o g ire
0A = -A /L ,fig u ra 13-7c. E n te rc e r lugar, su p o n g a q u e A e stá fijo y apli­

q u e u n m o m e n to M B = - K ñ(A /£ ) al e x tr e m o B d e m o d o q u e é s t e g ire
Ob = - A / / . , fig u ra 3-7 d . C o m o la s u m a to t a l d e e s t a s tr e s o p e r a c io n e s

genera la condición q u e s e m uestra en la figura 13-7a.se tien e q u e e n A

(F E M )JS = - K a j - - C S ÍK , , |

A l a p lic a r la e c u a c ió n 13-1 ( C ñAK n = C AfíK A) s e o b tie n e

{F E M )a b = - K a — (1 + CAB) (13-6)

fó ra el ex trem o B puede escribirse u n a expresión sim ilar. R ecuerde q u e
p ara q u e u n e le m e n to p rism á tic o K A = 4 E / / L y C AR = J. P or lo ta n to

( F E M ) ^ = - 6 £ 7 D / £ \ l o c u a l es igual a la ecu ació n 11-5.
Si e l ex tre m o B está articu lad o e n vez de fijo, figura 13-8, e l m o m en to

de ex trem o fijo en A puede d eterm inarse de una m anera sim ilar a la des­

crita anteriorm ente. El resultado es

(FEM)^b rA
1

(F E M )U b = ~ K a ^ (1 - C ABC BA) (13-7) |_

Figura 13-8

A quí puede verse q u e. p ara u n elem en to prism ático, esta ecuación da
( F E M ) '^ fl ■» - 3 £ / A / / . ?. la c u a l e s ig u a l a la q u e a p a r e c e e n e l in te r io r
de la contraportada.

E l siguiente ejem plo ilustra la aplicación del m éto d o d e distribución
de m om entos en estru ctu ras q u e tien en elem entos no prism áticos. U na
vez q u e s e h an d eterm in ad o los m om entos d e extrem o fijo y los factores
de rigidez y d e traspaso, y q u e se ha m odificado e l facto r de rigidez de
acuerdo con las ecuaciones dadas anteriorm ente, el procedim iento d e aná­
lisis es igual al d esc rito e n e l c a p ítu lo 12.

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532 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

E J E M P L O 13.1

D e te rm in e los m o m en to s in te rn o s e n los so p o rte s d e la viga q u e se
m u estra e n la figura 13-9u. La viga tie n e u n e sp e s o r de l pie y E e s
c o n sta n te .

J i m 11Ti i i i i i i u-T

4pcs *• + *" •* .
Ta
-15 pies -L fS a
25 pies
c

i5 pies 5 pies - •5 p ies —
10 pies

(a)
H gura 13-9

S O L U C IÓ N
C om o los cn rirto n a d o s so n p arab ó lico s, se u tilizará la tabla 13-2 p a ra
o b te n e r las p ro p ied ad es d e la d istribución d e m om entos d e la viga.

C laro AB

5 4 -2
a A = a B = 25 = 0.2 r A = r R = - y = 1.0

C o n fo rm an d o esta s relacio n es e n la tabla 13-2,s e e n c u e n tra q u e

C a b = C BA = 0.619
k AR = k BA = 6.41

A p a rtir de las ecu acio n es 13-2,

k E lc 6 .4 1 E (J,)(1 )(2 )3
25
K a r = K HA 0.171E

C om o el ex trem o lejano d el claro HA está articu lad o ,se m odificará el
fa c to r d e rig id ez d e B A m e d ia n te la e c u a c ió n 13-3. Se tie n e

K 'ra = K ,M (1 - C abC b a ) - 0 .1 7 1£[1 -0 .6 1 9 (0 .6 1 9 )] = 0.105£

C on b a se e n la ta b la 13-2, p a ra la carga u n iform e

(F E M Jxb = -(0 .0 9 5 6 )(2 )(2 5 )2 = -1 1 9 .5 0 k -p ie
( F E M = 11930 k-pie

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1 3 .2 D is t r ib u c ió n d e m o m e n t o s p a r a e s t r u c t u r a s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s 533

O aro BC

5 4 -2

= «c = Tó = 0,5 ' B = ~ Y ~ = 10

E n la la b ia 13-2 se e n c u e n tra q u e

C BC = 0.781 C CB = 0 .6 6 4

k BC = 13.12 k CB = 15.47

ft>r lo la n ío , a p a r iir d e las e c u a c io n e s 13-2,

Lé lu
k E lc I5 .4 7 £ (¿)(1 )(2 )J

* “ ■ ~ ¡r ¡ó ----------- - 1031£

Para la carga concentrada,

3

(F E M )a c = -0.1891 (3 0 )( 10) = -5 6 .7 3 k -p ie

( F E M ) Cfl = 0 .0 7 5 9 (3 0 ) (1 0 ) - 2 2 .7 7 k - p i e

Si s e e m p l e a n lo s v a lo r e s a n t e r i o r e s p a r a lo s f a c to r e s d e r ig id e z , se
calcu lan los fac to re s de d istrib u c ió n y se in tro d u cen e n la ta b la , figura
13-96. La d istrib u ció n d e m o m en to s sigue e l m ism o p ro ced im ien to
d escrito en el cap ítu lo 12. L os resu ltad o s e n k . pie se m u estran e n la
últim a fila de la tabla.

Junta A B C

Elem ento A fí BA B C CB

K 0 1 7 1 E 0.105E 0 8 7 5 E 1.031 F.

DF 1 0.107 0.893 0
FTR 0.619 0.619 0.781 0.664

FEM -119.50 119.50 -56.73 22.77
Dist. 119.50 N -6 .7 2 -56.05
iL . ■—1
re * 73.97 -6 6 .0 6 -4 3 .7 8
-7.91
D ist. V
-51.59
re

0 178.84 -1 7 8 .8 4 -7 2 .6 0
(b)

Figura 13-9

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534 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

13 1 3 .3 Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n
para ele m en to s no prism áticos

Las ecuaciones de pendiente-deflexión para elem entos prism áticos se
d e sa rro lla ro n e n e l ca p ítu lo 11. E n e s ta se c ció n s e g e n e ra liz a rá la fo rm a de
e sta s ecuaciones p a ra que tam b ién se ap liq u en a los e lem en to s n o p rism á­
ticos. P ara ello se utilizarán los resultados d e la sección a n te rio r y se p ro ­
c e d erá a fo rm u la r las ecu acio n es de la m ism a m an era q u e se h izo e n el
cap ítu lo 11; e s d ecir, co n sid eran d o los efecto s cau sad o s p o r las cargas.
el desplazam iento relativo d e las ju n tas y la rotación d e cad a ju n ta p o r
separado, p ara después su p erp o n er los resultados.

C argas. Las carg as s e especifican p o r lo s m o m entos d e ex trem o fijo

(FEM )*/» y (FEM )/»* q u e actú an en los ex trem o s A y B del claro . Los
m om entos positivos actúan en sentido horario.

Traslación relativa d e las ju n tas. C u an d o o c u rre u n desplazam iento

relativo en tre las juntas. los m om entos inducidos se determ inan a p artir de
la ecu ació n 13-6. E n el e x tre m o A este m o m en to e s - [/¡T*A/L)(1 + C AB)
y e n e l e x tr e m o B e s - [K B\ / L ) { 1 + C&4).

R o tació n e n A. Si e l e x tr e m o A g ir a 0 * ,e l m o m e n to r e q u e r id o e n el

p u n to / 1 d e l c la ro e s K A0A . A d e m á s , e s to in d u c e a u n m o m e n to d e c AfíK Ae A
= C BAK B6 A en e l e x tr e m o B .

R o tació n e n B. Si e l e x tr e m o B g ir a d B, u n m o m e n to d e K B0B d e b e

actuar e n el extrem o B , y el m om ento inducido e n e l ex trem o A es

k „0b = c ABKAofí

L os m o m en to s e x tre m o s to tales c a u sa d o s p o r e sto s efectos p ro d u c e n las
ecu acio n es d e p en d ien te-d eflex ió n g en eralizad as q u e. p o r lo ta n to , p u e ­
d en escribirse com o

C om o estas dos ecuaciones son sim ilares, p u ed en expresarse com o una
sola ecuación. Si s e d en o m in a a uno de los ex trem o s del claro co m o el
e x tre m o c e rc a n o (N ), y a l o tr o c o m o e l e x tre m o le ja n o ( F ). y a d e m á s se
r e p r e s e n ta la r o ta c ió n d e l e le m e n to c o m o 1¡i = A / L , s e ti e n e

M n = K N ( 6 S + C N0 F - * ( 1 + CN)) + (F E M ).v (1 3 - 8 )

A quí
M n = m om ento interno en e l extrem o cercano del claro;este m om ento
es positivo cuando actúa sobre el claro en sentido horario.
K .v = rigidez a b so lu ta del ex tre m o cercan o , d e te rm in a d a a p a rtir de
las tablas o por m edio d e cálculos.

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1 3 .3 E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e -o e c ie x ió n p a r a e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

#iv. = p e n d ie n te s d e l e x tre m o c e rc a n o y d e l e x tre m o le ja n o d e l
claro en los so p o rte s; los ángulos se m id en e n radianes y
son positivos en sentido horario,

ili = r o t a c ió n d e la c u e r d a d e l c la r o d e b id a a u n

d e s p la z a m ie n to lin e a l, i¡i = A //.;e s t e á n g u lo s e m id e e n

radianes y e s positivo en sentido horario.

(F E M )* = m om ento d e ex trem o fijo e n el so p o rte del ex trem o c e r­
cano; e l m om ento e s positivo cuando actúa en sentido h o ­
rario sobre e l claro y se o b tien e a p artir de las tablas o
p o r m edio d e cálculos.

La aplicación d e la ecuación sigue e l m ism o procedim iento q u e se
d e s c r ib ió e n e l c a p itu lo 11 y, p o r lo ta n to , n o s e a n a liz a r á a q u í. E n p a r ­
tic u la r . t e n g a e n c u e n ta q u e la e c u a c ió n 13-8 s e r e d u c e a la e c u a c ió n 11 -8
cuando se aplica a elem entos q u e so n prism áticos.

A m en u d o las constru ccio n es m etálicas lig eras se d i­
sertan utilizando m arcos con elem en to s q u e tie n e n m o­
m en to s d e inercia variables.

F uente carre te ro co ntin uo d e co n creto reforzado.

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536 C a p it u l o 13 V ig a s y m a r c o s c o n e l e m e n t o s n o p r is m á t ic o s

PROBLEMAS

13-1. D eterm ine los m om entos en A , B y C p or e l m étodo 13-5. Use el m étodo de la distribución de m om entos para
de la distribución de m om entos. Suponga que los soportes determ inar el m om ento e n cada junta del m arco simétrico
1 3 en A y C son fijos y que e l soporte d e rodillos e n R está en para puente. Los soportes e n F y E son fijos y R y C están
una b ase rígida. La viga tien e u n esp e so r d e 4 pies. U se la c o n ectad o s fijam ente. U se la tabla 13-2. S u p o n g a q u e E es
tabla 13-1. E es constante. Los e n rito n a d o sso n rectos. constante y que cada elem ento tiene 1 pie d e espesor.

1 3 - 1 R esuelva el p ro b lem a 13-1 u sa n d o la sc cu a cio n c s de 13-6. R esu elv a el p ro b lem a 13-5 u sa n d o las e cu acio n es de
pendiente-deflexión. pendiente-deflexión.

2 pies 4 pies 4 k/pie
4 pies

Probs. 13-1/13-2 Probs. 13-5/13-6

13-3. Aplique el m étodo d e distribución d e m om entos 13-7. Aplique el m étodo de la distribución d e m om entos
para determ inar el m om ento en cada junta del marco pa- para determ inar el m om ento en cada junta d el m arco simé-
rabólico enriñonado. I x k soportes A y R son fijos. U se la trico parabólico enriftonado. Los so p o rte s A y D son fijos,
tabla 13-2. C ada uno de los elem entos tiene 1 pie d e esp e- L/sc la tab la 13-Z C a d a elem en to tiene 1 pie d e espesor. E es
sor. E es constante. constante.

*13-4. R esuelva e l p ro b lem a 13-3 u sa n d o las ecu acio n es *13-8. R esuelva el p ro b lem a 13-7 u sa n d o las ecuaciones

de pendiente-deflexión. d e pendiente-deflexión.

2 p.es 15 p ie s

rTT#TfPíTTTl
5 pies
B
•12 pies-

4 0 pies

• , • 3 pies

Probs. 13-3/13-4 Probs. 13-7/13-8

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Repaso d el c ap itu lo 537

13-9. U se el m éto d o d e la distrib u ció n de m o m en to s p a ra 13-11. Use el m étodo de la distribución de m om entos
determ inar el m om ento en cada junta del marco. Los sopor­ para determ inar el m om ento en cada junta del m arco sim é­
tes en A y C están articulados en las juntas,y B y D están co­ trico p ara puente. Los soportes F y E son fijos y B y C están
nectados fijam ente. S uponga q u e E es c o n stan te y q u e los conectados fijamente. I.os enriñonados son rectos, p o r lo
elem entos tienen un espesor d e I pie. Los enriñonados son q u e p u ed e em p le a r la tabla 13-2. S uponga q u e E e s cons­
rectos, p o r lo q u e p u ed e u sa r la tab la 13-1. tante y que los elem entos tienen 1 pie d e espesor.

13-10. R esuelva el p ro b lem a 13-9 u sa n d o las ecu acio n es •1 3 -1 2 . R esuelva el p ro b lem a 13-11 u sando las ecu acio­
de pendiente-deflexión. nes de pendiente-deflexión.

500 Ib/pie

Probs. 13-11/13-12

REPASO DEL CAPITULO

Los elem entos no prism áticos que tienen m om entos d e inercia variables se usan con frecuencia en puentes y marcos de
construcción con claros amplios a fin de ahorrar material.

Hl análisis estructural q u e incluye elem entos n o prismáticos puede realizarse em pleando las ecuaciones d e pendiente-
deflexión o la distribución de m om entos. A l hacer esto .se vuelve necesario o b te n e r los m om entos d e extrem o fijo, los fac­
tores de rigidez y los factores de traslado para el elem ento. Una form a de obtener estos valores consiste en usar el método
de la viga conjugada, aunque e l trabajo es algo tedioso. Tam bién es posible o b ten er estos valores a partir de d ato s tabula­
dos, com o los publicados p or la Portland C em cnt Associatkm.

Si se usa e l m éto d o d e la distrib u ció n d e m om entos, e n to n c e s e l p ro ceso p u ed e sim plificarse al m odificar la rigidez d e al­
gunos d e los elem entos.

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El análisis d e la arm adura espacial en estas to rre s de transm isión eléctrica
puede realizarse utilizan do e l m é to d o d e la rigidez.

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Análisis de armaduras
utilizando el método
de la rigidez

En este c a p ítu lo se explicarán los fu n d a m e n to s básicos d e l uso del m é ­
t o d o d e la rig id e z pa ra e l análisis d e e structu ras. Se m o s tra rá q u e la
a p lica ció n d e e s te m é to d o , a u n q u e te d io s a para ha cerlo m anualm ente,
resulta m uy ad ecu ad a para su u s o en c o m p u ta d o ra . S e p ro p o rcio n a rá n
eje m p lo s d e aplicaciones específicas en arm aduras planas. El m é to d o
se a m p lia rá p a ra in c lu ir e l análisis d e arm a d u ra s espaciales. Las vig a s y
estructuras arm adas s e estudiarán e n los p ró xim o s capítulos.

1 4 .1 Fundam entos del m éto d o
d e la rig id e z

En esencia, hay d o s form as d e analizar las estru ctu ras utilizando m éto ­
dos m atriciales. El m éto d o d e la rigidez, q u e se u sará e n é ste y los si­
guientes capítulos, es un m éto d o d e análisis del desplazam iento. Para
analizar las estru ctu ras tam bién p u ed e em plearse un m éto d o de fuerza,
llam ad o e l m éto d o d é la flexibilidad, co m o se indica e n la sección 9-1; sin
em bargo, ta l m étodo no se presenta e n este texto. E xisten varias razones
para ello, la m ás im portante es q u e e l m étodo d e la rigidez puede usarse
tanto para analizar estructuras estáticam ente determ inadas com o inde­
term in ad as. m ie n tra s q u e e l m éto d o d e la flex ib ilid ad re q u ie re un p ro c e ­
dim iento d iferen te p ara cad a uno d e esto s d o s casos. Inclusive, del m é­
todo d e la rigidez se o b tie n e n los desplazam ientos y las fuerzas d e form a
d ire c ta , m ie n tra s q u e c o n e l m é to d o d e la flex ib ilid ad , los d esp lazam ien ­
tos n o se o b tie n e n d e esa m a n e ra . A d e m á s,p o r lo g en eral e s m u ch o m ás
fácil fo rm u lar las m atrices necesarias p a ra realizar las operacio n es en
com putadora m ediante e l m étodo d e la rigidez;y una vez hecho esto , los
cálculos en co m p u tad o ra p u ed en realizarse d e m odo eficiente.

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540 C a p itu lo 14 A n á lis is de a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o de la rig id e z

La aplicación d el m éto d o de la rigidez req u iere subdividir la estru ctu ra
en una serie d e elem entos fin ito s discretos e identificar sus p u n to s e x tre ­
m os co m o nodos. P ara el análisis d e la arm ad u ra, los elem entos finitos se
re p re se n ta n m e d ia n te c a d a u n o d e los e le m e n to s q u e la c o m p o n e n y los
n o d o s re p re se n ta n las ju n tas. S e d ete rm in a n las p ro p ie d a d e s d e la
fuerza-desplazam iento e n cada elem en to y después se relacionan en tre sí
u san d o las ecu acio n es d e eq u ilib rio de fuerzas escritas en los nodos.
lA iego e sta s relacio n es, p a ra to d a la e s tru c tu ra , s e ag ru p an e n lo q u e se
denom ina m atriz d e rigidez d e la estructura K. U n a vez establecido esto,
se p u ed en d eterm in ar los desplazam ientos desconocidos de los nodos
para cu alq u ier carga d ad a sobre la estru ctu ra. Al conocer estos desplaza­
m ientos p u ed en calcularse las fuerzas externas e internas en la estru c­
tura utilizando las relaciones d e fuerza-desplazam iento p ara cad a e le ­
m ento.

A ntes de desarrollar u n procedim iento form al p a ra aplicar e l m étodo
de la rigidez, es necesario estab lecer p rim ero algunas definiciones y c o n ­
ceptos prelim inares.

Id en tificació n d e l e le m e n to y el n o d o . Uno de los prim eros

pasos p ara ap licar el m éto d o de la rigidez consiste e n identificar los e le ­
m entos o m iem bros d e la estructura y sus nodos. C ada elem en to se e sp e ­
cificará p o r u n n ú m e ro e n c e rra d o e n u n cu ad rad o , y p a ra id en tificar los
nodos se usará un n ú m ero d e n tro d e un círculo. T am bién se identificarán
los ex trem o s “ cercano" y "lejan o " d e cad a elem ento m ediante una flecha
indicada a lo larg o d e l e lem en to , c o n la p u n ta de la flecha dirigida hacia
el ex trem o lejano. E n la figura 14-la se m uestran algunos ejem plos con
la id en tificació n d el e le m e n to , el n o d o y la “d ire c c ió n " p a ra u n a a rm a ­
dura. E stas asignaciones se hicieron d e m anera arbitraria.*

C o o rd e n a d a s glo b al y d el e le m e n to . D ado q ue las cargas y

los desplazam ientos son cantidades vectoriales, es necesario estab lecer
un sistem a de coordenadas a fin d e p recisar e l sentido correcto d e la d i­
rección. A q u í se usarán dos tipos diferentes d e sistem as coordenados. Se
usará u n sistem a de coordenadas de la estructura o global x , y , c 1cu al es
único, y sirve p a ra esp ecificar e l se n tid o d e cad a u n o de los co m p o n en tes
de la fu e rz a e x te rn a y el d e sp lazam ien to e n los nodos, figura 14-la . Se
em p leará un sistem a de coordenadas locales o del elem ento p ara especifi­
car el se n tid o d e dirección d e su s d esp lazam ien to s y las carg as internas
e n e l elem ento. E ste sistem a se identificará con ejes x ',y ' con e l origen en
el n o d o “c e rc a n o " y el e je x ' e x ten d ién d o se h a c ia el n o d o “ le ja n o ". E n la
figura 14-16 se m uestra un ejem plo p ara e l elem en to 4 d e la arm adura.

Para vigas grandes, las m anipulaciones m alricialcs u san d o K resu ltan ser m ás c fid c n lc s si
se em plea u n a num eración selectiva de lo s elem entos en un p a tró n de o n d a, es decir, co­
m enzando d esd e la p arte superior h asta la p a rte in terio r y después d e ab ajo h acia arriba,

etcétera.

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1 4 . 1 F lA D A M IM T O S OCL M É T O D O D E L A RIGIDEZ 541

I n d e t e r m i n a c i ó n c i n e m á t i c a . C o m o s e e x p lic ó e n la s e c c ió n 11-1.
los grados d e lib e rta d n o restrin g id o s p a ra una a rm ad u ra re p re se n ta n las
incógnitas prim arias d e cu alq u ier m éto d o d e desplazam iento, y p o r lo
ta n to é sto s d e b e n identificarse. C o m o reg la g e n e ra l h a y d o s g ra d o s d e li­
b ertad , o d o s p osibles d esp lazam ien to s, p a ra c a d a ju n ta (n o d o ). P a ra su
aplicación, cad a g rad o de libertad se esp ed ficará sobre la arm ad u ra m e­
d iante un código num érico, m ostrado e n la ju n ta o nodo,y se referirá a su
dirección co o rd en ad a global positiva con una flecha asociada. Por ejem ­
p lo , la a rm a d u ra d e la fig u ra 14-1 a tien e o c h o g ra d o s d e lib e rta d , lo s c u a ­
les s e h a n id en tificad o m e d ia n te los “có d ig o s” d el 1 al 8 , co m o s e m u e s­
tra. I-a a rm a d u ra e s cin em áticam en te in d eterm in ad a d e q u in to g ra d o
debido a esto s ocho posibles desplazam ientos: del 1 al 5 rep resen tan gra­
d o s d e libertad desconocidos o sin restricciones, y del 6 al 8 rep resen tan
grados de libertad restringidos. D ebido a las restricciones, a q u í lo s d e s­
plazam ientos son iguales a cero. Para futuras aplicaciones, los núm eros
de código m ás bajo se usarán siem pre para identificar los desplazam ien­
tos desconocidos (grados d e libertad n o restringidos), y lo s núm eros de
código m ás alto se utilizarán p ara identificar lo s desplazam ientos conoci­
d o s (grados d e libertad restringidos). La razó n p a ra eleg ir e ste m étodo de
identificación tien e q u e v e r co n la co m o d id ad po sterio r al dividir la m a­
triz d e rigidez d e la e stru c tu ra , d e m o d o q u e los d esp la z a m ie n to s d e sc o ­
nocidos se p u ed an en co n trar d e form a m ás directa.

U na vez e tiq u e ta d a la a rm a d u ra y especificados lo s n ú m ero s d e c ó ­
d ig o , s e p u e d e d e te rm in a r la m atriz d e rigidez d e la e stru c tu ra K . P ara
hacer esto p rim ero d e b e establecerse u n a m atriz d e rigidez d e l elem ento
k ' para cad a elem en to d e la arm adura. E sta m atriz se usa p ara ex presar
las relacio n es de carg a-d esp lazam ien to d el e le m e n to e n té rm in o s d e las
coordenadas locales. P u e sto que no to d o s los elem en to s de la arm ad u ra
están en la m ism a d irecció n .se debe desarro llar u n a m anera d e tran sfo r­
m ar estas cantidades desde e l sistem a local d e co o rd en ad as x ',y ' de cada
elem en to a l sistem a d e co o rd en ad as x , y , d e la estru ctu ra global. Esto
puede h acerse e m p lean d o m atrices d e trans form ación de la fu e rza y el
d esplazam iento. U n a vez estab lecid o s, los e lem en to s d e la m atriz d e rigi­
dez d e l elem en to se transform an d e las coordenadas locales a las g lo b a­
les,y lu e g o se ju n ta n p a ra c re a r la m atriz d e rig id ez d e la e s tru c tu ra . S i se
usa K .com o se estableció an terio rm en te.es posible d eterm in ar p rim ero
los desplazam ientos del n o d o p a ra después en co n trar las reacciones en los
so p o rtes y las fu e rz a s de los e lem en to s. A h o ra se tra b a ja rá e n e l d e sa rro ­
llo d e e s te m étodo.

Figu ra 14-1

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542 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

1 4 .2 M atriz de rigide z del ele m en to

E n e sta sección se estab lecerá la m atriz d e rigidez p a ra u n so lo elem ento
de una arm adura con co o rd en ad as locales x \ y ', orien tad as com o se
m u estra en la figura 14-2. Los térm in o s d e e sta m atriz re p resen tan las re ­
laciones d e carga-desplazam iento para e l elem ento.

U n elem ento d e una arm adura sólo pu ed e desplazarse a lo largo d e su
e je (e je x ') p u e sto q u e las carg as s e aplican a lo larg o d e ese eje. P o r lo
tanto, pueden o cu rrir dos desplazam ientos independientes. C uando se
im pone u n desplazam iento positivo dN sobre el extrem o cercano d el e le ­
m en to , m ien tras el e x tre m o lejano se m an tien e articu lad o , figura 14-2a,
las fu erzas d e sa rro lla d a s en los ex trem o s d e los e le m e n to s so n

(a) AE
<¡F ^ - A
(b) ~L

(c) O b se rv e q u e q ’F es n eg ativ a p o rq u e p a ra lo g ra r e l e q u ilib rio a c tú a e n la
dirección negativa x '. D el m ism o m odo, un desplazam iento positivo dF
Figura 14-2 en el extrem o lejano, q u e m an tien e al extrem o cercan o articu lad o , figura
14-2/»,re su lta e n las sig u ie n te s fu erzas d e e le m e n to

AE - AE A
qN =

Por superposición, figura 14-2c, las fuerzas resultantes causadas p o r
am bos desplazam ientos son

AE A AE A (14-1)
<¡N ~ ~ £dF (14-2)

AE AE
qF = - — ds + — dF

E stas ecuaciones d e carga-desplazam iento p u ed en escribirse en form a
m atricial* com o

W a e r i -1 d N
<1F L l - l 1 [ d F \

o bien

q = k 'd (14-3)

donde

AE (14-4)
k' =

L I-

E sta m a triz , k '. s e d e n o m in a m atriz d e rigidez d e l elem en to , y tie n e la
m ism a fo rm a p a ra ca d a e le m e n to d e la a rm a d u ra . L os c u a tro e le m e n to s
q u e la c o m p o n e n se llam an coeficientes d e influencia d e la rigidez d e l ele­
m en to , k'ij. F ísicam ente, k '# rep resen ta la fu erza e n la ju n ta i c u a n d o se

'E n e l A péndice A .s e hace u n repaso d e álgebra m atricial.

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1 4 . 3 M a t r i c e s d e t r a n s f o r m a c i ó n d e rjer?a y c e s p i a z a m i e n t o

im p o n e u n d e s p la z a m ie n to u n ita r io e n la j u n t a j . P o r e je m p lo ,s i i = j = 1,

e n to n ce s k ’n es la fu erza e n la ju n ta cercan a c u a n d o la ju n ta lejan a se

m a n tie n e fija, y l a ju n ta c e rc a n a e x p e rim e n ta u n d e sp la z a m ie n to dedN= l,

es decir,

,, AE

9. - - -J -

D el m ism o m odo, la fuerza e n la junta lejan a se determ in a a p a rtir d e / ■ 2,
j = 1, p o r lo q u e

qF = ~

E stos d o s térm inos rep resen tan la p rim era colum na d e la m atrb. de rigi­
d ez d e l e le m e n to . D e la m ism a m an era, la seg u n d a co lu m n a d e e s ta m a­
triz rep resen ta las fuerzas e n el elem en to sólo cu an d o el ex trem o lejano
del elem en to experim en ta u n desplazam iento unitario.

1 4 .3 M atrices de transform ación
de fuerza y desplazam iento

Cóm o una arm adura está com puesta d e m uchos elem entos (m iem bros), Figura 14-3
ahora se d esarro llará u n m éto d o p a ra tran sfo rm ar las fuerzas q del e le ­ Figura 14-4

m en to y los d esp la z a m ie n to s d ifefinidos e n c o o rd e n a d a s locales a c o o r­

d enadas globales. A fin de estab lecer una co n v en ció n ,se co n siderará q u e
las co o rd e n a d a s g lo b ales x p ositivas e s tá n a la d e re c h a y la s c o o rd e n a d a s
y positivas h acia arrib a. Los án g u lo s m en o res e n tre los ejes g lo b a le s x ,y ,
p o sitiv o s, y e l e je lo c a l x 'p o s itiv o se d e fin irá n c o m o 0, y 0y, ta l c o m o se
m u e s tra e n la fig u ra 14-3. Ix»s c o s e n o s d e e s to s á n g u lo s s e u sa rá n e n e l
a n á lisis m a tric ia l q u e sig u e . É s to s s e id e n tif ic a r á n c o m o \ x = e o s 0 „ Ar =
e o s 0 y. Ix»s v a lo r e s n u m é ric o s p a r a A , y Ay p u e d e n g e n e r a r s e fá c ilm e n te
por com p u tad o ra u n a vez q u e se han especificado las coordenadas x .y
del extrem o cercano N y d el extrem o lejano F del elem ento. P o r ejem plo,
c o n sid e re e l e le m e n to N F d e la a rm a d u ra q u e s e m u e stra e n la fig u ra 14-4.
A q u í, la s c o o r d e n a d a s d e N y F s o n ( x N, y N) y (x ^ .y /r), r e s p e c ti v a m e n te *
R>r lo tanto.

A, = eos e t xF ~ xN xF - XN (14-5)
= a>s 0y yF - y s V { x F - x N)2 + ( y ,r - y w) : (14-6)

yp ~ y»

V ( x p - x s )2 + (y p - y s ) :

Los signos algebraicos de estas ecuaciones “generalizadas" con tarán de
form a autom ática p a ra los elem entos orientados en o tro s cuadrantes d el
piano x-y.

‘H o rig en p u ed e ubicarse e n cualquier p u n to conveniente. Sin em bargo, usualm ente se lo­
caliza d e m o d o q u e las co o rd en ad as x .y d e to d o s los n o d o s sean positivas,com o se m ues­
tra e n la figura t4-4.

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544 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

M a triz de tran sform ació n del desplazam iento. En las

coordenadas globales, cad a extrem o del elem en to p u ed e te n e r d o s g ra ­
dos d e libertad o desplazam ientos independientes; a saber, la ju n ta N
ti e n e D s , y D Ny, fig u ra s 1 4 -5 a y 14-5¿»,y la j u n t a F tie n e D Fx y D Fy, f ig u ­
ras 14-5c y 14-5d. A h o ra se co n sid erarán cada uno de esto s desp laza­
m ientos p o r sep arad o , a fin de d eterm in ar su desplazam iento de com po­
n en te a lo larg o del e lem en to . C u a n d o el ex tre m o le jan o se m an tien e
articu lad o y al e x tre m o c e rcan o se le d a u n d e sp la z a m ie n to g lo b al D s ,,
fig u ra 14-5a, e l d e s p la z a m ie n to c o rr e s p o n d ie n te (d e f o rm a c ió n ) a lo
largo d el elem en to es D s , eos 8 , * Del m ism o m odo, un desplazam iento
D Ny o c a s io n a rá q u e e l e l e m e n t o se d e s p l a c e D Ny e o s 0y a lo la r g o d e l e je
x \fig u ra 14-56.E1 efecto d e a m b o s desplazam ientos globales hace q u e el
elem ento se desplace

d N = D N xc o s 8x + D N y eos 0y

D e m a n e r a s im ila r, lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s D Ft y D Fy, a p lic a d o s
en form a sucesiva e n e l extrem o lejano F, m ientras e l ex trem o cercano se
m antiene articulado, figuras !4-5c y I4-5d, hará q u e e l elem ento se d es­
place

tlF = D Fx e o s 8 , + D Fy e o s 8 y

Si se c o n s id e ra q u e Ax = e o s 0 t y Ar = eo s 8y re p re s e n ta n lo s co sen o s d irec­
tores p ara el elem en to .se tien e

d s = 1>SXA , + D Ny \y
d F = D FtA x + D Fy\ y

q u e puede escribirse en form a m atricial com o

d s ] = Ax A, 00 O s, (14-7)
dF\ .0 0 Ax Ay D sy
o F,

o bien TD (14-8)
donde (14-9)
Ax A, O O
LO O Ax At

fig u ra 14-5 D e la d ed u cció n a n te rio r, T tran sfo rm a los c u a tro d esp la z a m ie n to s D
globales x , y, en los d o s desplazam ientos d locales x '. P br lo tan to , T se
conoce co m o la m atriz de transform ación d e I desplazam iento.

•E l cam bio e n O, o 0 , no se to m ará en cu en ta p o rq u e es m uy pequeflo.

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1 4 .3 M a t r ic e s d e t r a n s f o r m a c ió n d e t u e r z a y c e s p l a z a m ie n t o 545

M a triz de tra n sfo rm a ció n d e fuerza. C onsidere a h o ra la

aplicación d e la fu erza q s sobre el extrem o cercan o del elem ento, e l e x ­
trem o lejano se m an tien e articu lad o , fig u ra 14-6a. A q u í las co m p o n en tes
de la fuerza global d e q s c n N son

Q nx = qn e o s e x Q Ny = qN eo s 6y

D el m ism o m o d o .si se ap lica q F a la b a rra .fig u ra 14-66,las com p o n en tes
de la fuerza global en F son

Q fx = q F C O sex Q Fy = q F c o s d ,

C o n b a s e e n lo s c o s e n o s d ir e c to r e s I , - e o s 0 „ X y = e o s 9y, e s ta s e c u a ­
ciones se co nvierten en

Q nx - Qn ^ x Q N y ~ QN*y
Q fx = q F * x Q Fy = «7rAy
qu e p u ed en escribirse en form a m atricial com o

~Qsx~ "A, o ' (14-10)
Q \y
Q f, A, 0 qN | (b)
Q Fy. Figura 14-6
0 A , .qF J

.0

o bien

Q = Trq (14-11)

donde

A, 0 (14-12)
Ay 0
0 A,
0V

E n e s t e c a s o . T ' tr a n s f o r m a la s d o s fu e r z a s q lo c a le s ( x ’) q u e a c tú a n e n
los ex trem o s del ele m e n to e n las c u a tro co m p o n en tes d e la fu e rz a Q glo­
bal (x .y ). R>r com paración, puede establecerse q u e e sta m atriz d e trans­
form ación de la fu erza es la transpuesta d e la m atriz d e transform ación
d el d esp la z a m ie n to , ecu ació n 14-9.

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546 C a p itu lo 14 A n á lis is de a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o de la rig id e z

1 4 .4 M a triz de rig id e z global
del elem ento

A h o ra se c o m b in a rá n los resu ltad o s d e las secciones a n te rio re s y se
d eterm in ará la m atriz d e rigidez d e un elem en to q u e relaciona los co m ­
p o n e n te s d e la fu e rz a g lo b a l Q del e le m e n to co n su s d esp lazam ien to s
globales D . Si se sustituye la ecu ació n 1 4 -8 ( d = T D ) en la ecuación 1 4 -3
( q = k 'd ) , es posible d eterm in ar las fuerzas q d e los elem entos e n fu n ­
d ó n de los d esp lazam ien to s g lo b a le s I) e n sus p u n to s ex trem o s, a sa b e r,

q = k TD (1 4 -1 3 )

A l su s titu ir e s ta ecu ació n en la ecu ació n 1 4 -1 1 . Q = T rq ,s e o b tie n e e l r e ­
sultado final.

Q = T 7 k ’T D

o bien

Q = k l) (1 4 -1 4 )

donde

k = T r k 'T (1 4 -1 5 )

L a m atriz k es la m atriz d e rigidez deI elem ento en co o rd en ad as globales.
D ado q u e T r . T y k ' ya se conocen.entonces

A, o “

A, 0 AE 1 “ I 1 [A , \y 0 0

0 A, L -1 i J L o 0 A , A ,.

0 A>_

Si se realizan las o p e ra d o n e s m atriciales se o b tien e

•2*Nx Ny Fx Fy í
i "A $ Nx >
A«A> A ,A , - A , Ay
- A 2, A2 Al -A 2 Ny i
_ -A ,A y A ,A , F ,
-A .A , A (1 4 -1 6 )
^ . Fy
-A 2

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1 4 .5 M a t r iz d e r ig id e z d e l a a r m a d u r a 547

L a ubicación de cad a elem en to e n e sta m atriz sim étrica d e 4 X 4 e stá
referenciada co n cada grado d e libertad global asociado con el extrem o
c e r c a n o jV, s e g u i d o p o r e l e x tr e m o le ja n o F. E s to s e in d ic a m e d ia n te la
notación del núm ero de código a lo largo d e las filas y co lu m n as,es decir,
N „ N y , Ft , Fr A q u í k r e p r e s e n ta la s re la c io n e s d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to
para e l elem en to cu an d o las co m p o n en tes d e la fuerza y e l desplaza­
m iento en los extrem os del elem en to están e n las direcciones globales x .y .
ft>r lo tan to , c a d a u n o d e los térm in o s d e la m atriz e s u n coeficiente de
influencia d e la rigidez k,,.lo q u e d e n o ta la co m p o n en te d e fu erza x o y ­
e n /.n ecesaria p a ra o rig in ar u n a co m p o n en te unitaria de d esp lazam ien to
asociada l o y c n j. C om o resultado,cada colum na identificada d e la m a­
triz re p re se n ta las cu atro co m p o n en tes d e fuerza desarro llad as e n los
extrem os d el elem en to cu an d o el ex trem o identificado se so m ete a un
d esp lazam ien to u n ita rio re lacio n ad o co n su co lu m n a d e la m atriz. P or
ejem plo, un d esplazam iento u n ita rio D Nx = 1 c re a rá las c u a tro co m p o ­
nentes d e fuerza sobre el elem en to q u e se m uestran en la p rim era co ­
lum na d e la m atriz.

1 4 .5 M a triz de rig id e z d e la a rm a d u ra

U n a vez q u e s e fo rm an to d as las m atrices de rigidez d e los e lem en to s en
coordenadas globales, es necesario ensam b larlas en el o rd en correcto
p ara q u e se p u e d a d e te rm in a r la m atriz d e rigidez K de to d a la a rm a ­
dura. E ste p ro ceso d e com b in ació n d e m atrices d e los e le m e n to s d e ­
pende d e una cu id ad o sa identificación d e los m iem b ro s de cad a m atriz
d el e le m e n to . C o m o se an a liz ó e n la secció n a n te rio r, e s to se h a c e p o r la
designación d e filas y colum nas d e la m atriz m ediante lo s c u a tro núm e­
ros d e c ó d ig o N t , N y, F t , Fy q u e s e u tiliz a n p a ra id e n tific a r los d o s g ra d o s
de libertad globales q u e p u ed en o cu rrir en cada extrem o del elem en to
(vea la ecuación 14-16). La m atriz d e rigidez de la e stru ctu ra te n d rá e n ­
tonces un o rd e n q u e se rá igual a l n ú m ero de código m ayor asignado a la
arm adura, y a q u e representa la cantidad to tal d e g rad o s d e libertad p ara
la e stru c tu ra . C u a n d o s e e n sa m b le n las m atrices k .c a d a e le m e n to e n k se
pondrá entonces e n su m ism a designación de fila y colum na e n la m atriz
d e rigidez d e la e stru c tu ra K. E n p a rtic u la r,c u a n d o d o s o m á s e le m e n to s
están conectados a la m ism a ju n ta o nodo, en to n ces algunos d e los e le ­
m entos d e cada m atriz, k d el elem en to se asig n arán a la m ism a posición
e n la m atriz K. C u an d o e s to o c u rre , los e le m e n to s asig n ad o s a la u b ica­
ción com ún deb en sum arse algebraicam ente. L a razón d e e sto se hace
evidente si se tiene e n cuenta q u e cada elem en to d e la m atriz k rep re­
sen ta la resistencia d el elem en to a una fuerza aplicada en su ex trem o . De
esta m anera, la sum a d e estas resistencias en la dirección x o y al form ar
la m atriz K d e te rm in a la resistencia to ta l de ca d a ju n ta a u n d esp la z a ­
m iento u nitario en la dirección x o y.

E ste m étodo de ensam ble d e las m atrices d e los elem en to s p a ra fo r­
m ar la m atriz d e rigidez d e la e stru ctu ra se m ostrará ah o ra m ediante d o s
ejem plos num éricos. A u n q u e este p ro ceso es algo tedioso si se hace m a­
nualm ente, resu lta m ás fácil si se program a e n u n a com putadora.

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548 C a p itu lo 14 A n á lis is de a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o de la rig id e z

EJEMPLO 14.1

D ete rm in e la m atriz d e rigidez d e la e stru c tu ra p a ra la a rm a d u ra de
dos elem entos q u e s e m u estra en la figura !4-7a. A E es constante.

___5

4 pies

fig u ra 14-7

S O L U C IÓ N
P o r in s p e c c ió n , <2) te n d r á d o s c o m p o n e n te s d e d e s p la z a m ie n to d e s c o ­
n o c id a s , e n t a n t o q u e la s j u n t a s <Dy @ e s t a r á n lim ita d a s p o r e l d e s p l a ­
zam iento. E n consecuencia, las com ponentes del desplazam iento en la
ju n ta ® se codifican n um éricam ente e n prim er lugar, seguidas p o r las
d e la s a r tic u la c io n e s ® y <D, fig u ra 14 -7 6 . E l o r ig e n d e l s i s te m a d e
coordenadas globales p u e d e ubicarse e n cualquier p u n ta P ara m ayor
co m o d id ad .se elegirá la ju n ta @ ,com o s e m uestra. Los elem en to s se
identifican d e fo rm a arb itra ria y se trazan flechas a lo larg o d e los d o s
e lem en to s p a ra id en tificar los ex trem o s c e rc a n o y lejano d e c a d a e le ­
m ento. A h o ra p u e d e n d e te rm in a rse los co sen o s d irecto res y la m atriz
de rigidez p ara cad a elem ento.

E le m e n to 1 . C o m o ® es e l e x tr e m o c e r c a n o y (D es e l e x tr e m o le ­
jan o , e n to n ce s a p a rtir d e las ecu acio n es 14-5 y 14-6, se tie n e

3 -0 . . 0 -0 0
1
A, = 33

C on b ase e n la ecu ació n 14-16, si se divide c a d a té rm in o e n tr e L = 3
pies, se tie n e

12 34

0333 0 -0 3 3 3 o" 1

AE 0 00 02

-0.333 0 0.333 0 3

0 0 0 04

Ix»s c á lc u lo s p u e d e n v e rific a rse e n p a r te a l o b s e r v a r q u e k ( e s sim é­
trica. T enga e n c u e n ta q u e las filas y co lu m n as e n lq se id en tifican p o r
los grados de libertad x, y en e l extrem o cercano, seguidos p o r e l ex ­
tre m o lejan o .es d ecir, 1 ,2 .3 .4 . resp ectiv am en te, p a ra e l elem en to 1, fi­
gura 14 7 6 . E sto se h ace c o n e l fin d e id en tificar los térm in o s p a ra el
en sam b le p o ste rio r e n la m a triz K.

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1 4 .5 M a t r iz d e r ig id e z d e l a a r m a d u r a 549

E le m e n to 2 . C o m o <2>e s e l e x tr e m o c e r c a n o y ® e s e l e x tr e m o le ­
jano, se tiene

3 -0 0.6 4 -0 0.8
75
A ,= 5

Así, la ecu ació n 14-16 con L = 5 p ies se co n v ierte en

k2 = A E 1 2 5 6
0.072 0.096 -0 .0 7 2 -0 .0 9 6 " 1
0 .0 % 0.128 -0 .0 9 6 -0.128 2
0.072 -0 .0 %
0.096 -0 .1 2 8 0.072 0.096 5
0 .0 % 0.128 6

A quí las filas y co lu m n as se id entifican co m o 1, 2 , 5. 6 , p u esto q u e
esto s n ú m ero s re p re se n ta n , resp ectiv am en te, los g rad o s d e lib e rta d x ,
y e n los extrem os cercano y lejano d el elem en to 2.

M a triz d « rig id e z d e la e s tru c tu ra . E sta m a triz tien e u n a o rd e n
de 6 X 6 p o rq u e hay seis grados d e lib ertad designados p a ra la arm a ­
d ura. figura 14-76. Los elem entos correspondientes d e las dos m atrices
anteriores se sum an algebraicam ente p ara form ar la m atriz de rigidez
de la estru ctu ra. Q u izá e l p ro ceso d e ensam ble es m ás fácil d e o b se r­
var si las colum nas y filas num éricas faltan tes e n k , y k2 se ex p an d en
con cero s p ara fo rm a r d o s m atrices d e 6 X 6. E ntonces,

K = k, + k; 3 456 1 2 34 5 6
-0 .3 3 3 0.096 0 0 -0 .0 7 2 -0.096" 1
12 0 o o" 1 0.072 0.128 0 0 -0 .0 9 6 -0.128 2
0.333 0 0 0 00
00 0.333 0002 0.096 0 00 0 03
A E -0.333 0 0 -0096 0 0 0 04
00 0 0003 0 -0128 0 0 0.072 0.096 5
00 0 0 .0 % 0.128. 6
00 0 0 0 4 + AE 0

0005 -0 .0 7 2

0 0 0_ 6 _ -0 .0 9 6

K = AE 0.405 0.096 - -0333 0 -0 .0 7 2 - 0.096'
0.096 0.128 0 0 -0 .0 9 6 - 0.128
-0 .3 3 3 0 0.333 0
0 0 0 0 0 0
-0 .0 7 2 -0 .096 0 0 0 0
-0 .0 9 6 -0 .1 2 8 0 0 0.072 0.096
0 .0 % 0.128

Si s e u s a u n a c o m p u t a d o r a p a r a e s t a o p e r a c ió n , p o r lo g e n e r a l s e e m ­
pieza co n u n a K donde todos los térm inos so n cero ;d esp u és,co n fo rm e
se g en e ra n las m atrices d e rigidez glo b ales d el e le m en tó , é s ta s se co lo ­
can directam en te en sus respectivas posiciones elem entales en la m a­
triz K .e n vez d e d e sa rro lla r la s m atrices d e rigidez de ca d a e le m e n to y
alm acenarlas, p a ra después ensam blarlas.

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550 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 14.2

D ete rm in e la m atriz d e rigidez d e la e stru c tu ra p a ra la a rm a d u ra q u e
se m u e stra en la figura 14-8a. A E es co n stan te.

S O LU C IÓ N
A unque la arm ad u ra es estáticam ente indeterm inada d e p rim er
grado, esto no rep resen ta ninguna dificultad p a ra la obtención de la
m atriz d e rigidez d e la estru ctu ra. C ad a ju n ta y cad a elem en to se id en ­
tifican n um éricam ente e n form a arb itraria, y los extrem os cercan o y
lejano se indican m ediante flechas a lo largo d e lo s elem entos. C om o
se m u e stra e n la fig u ra 14-86, lo s d esplazam ientos n o restringidos se
codifican num éricam ente en prim er lugar. H ay ocho grados d e libertad
p a ra la a r m a d u r a y, p o r lo ta n t o , K s e r á u n a m a triz d e 8 X 8 . C o n e l fin
de m a n te n e r to d a s las c o o rd e n a d a s d e las ju n ta s positivas, e l o rig en de
fes c o o rd e n a d a s g lo b a le s s e e lig e e n ® . A h o ra se a p lic a rá n las e c u a c io ­
nes 14-5,14-6 y 14-16 a cad a elem en to .

E le m e n to 1 . A q u í I. ■ 10 p ie s .d e m o d o q u e

1 0 -0 % 0- 0
A, = 1 y 10

10

12 65

0.1 0 -0 .1 0

AE 0 0 00
-0.1 0 0.1 0

00 00

10 pies E le m e n to 2 . A q u í L = 10 p ies, p o r lo q u e

10-0 10-0 0.707
A, = 0.707 10V 2

10 V 2

1 2 7 8
0.035 -0 .035 -0 .0 3 5
0.035 0.035 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5
-0 .0 3 5
A E 0.035 -0 .0 3 5 0.035 0.035
-0 .0 3 5 0.035 0.035

-0 .0 3 5

í L = 10 p ie s , e n to n c e s

0 -0 — 11 10-0 = |
A, 0
10
10 N>

34

"0 0 0 0 n 1

= AE 0 0.1 0 -0 .1 2
0 0 0 03

0 -0 .1 0 0.1^ 4

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1 4 .5 M a t r iz d e r ig id e z d e l a a r m a d u r a 551

E le m e n to 4 . A q u í I - = 10 p ie s , d e m o d o q u e

1 Ay 10 10 =0

10

34 78

0.1 0 - 0 .1 0 ' 3

0 0 0 04

0.1 0 0.1 0 7

0 0 0 08

E lem ento 5. A q u í L = 10X^2 p ies. p o r lo que

10-0 0-10
A , = ------------ = 0 .7 0 7 Ay= --------- y r = - 0 .7 0 7

10V 2 10V 2

3 4 65

0.035 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 0.035" 3

0.035 0.035 0.035 -0 .0 3 5 4

0.035 0.035 0.035 -0 .0 3 5 6

0.035 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 0.035 _ 5

E le m e n to 6 . A q u í L = 10 p ie s , e n to n c e s

- 0 Ay ~ 10
8
6 57 0
000 -0 .1
0 0.1 0 0
0 00 0.1
0 -0.1 0

M a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra . A h o ra , las s e is m atrices a n te ­
riores p u ed en ensam blante e n la m atriz K de 8 X 8 al sum ar algebrai­

cam ente sus elem entos correspondientes. P or ejem plo, puesto que

( * 11)1 = > 4 £ (0 .1 ), ( * 11)2 = A £ '( 0 .0 3 5 ), ( k n ) 3 = ( * 11)4 = ( ¿ 11)5 = ( ¿ 11)6

= 0 , e n to n c e s , K u = A £(0.1 + 0 .0 3 5 ) = A £ '(0 .1 3 5 ), y a s í s u c e s iv a ­

m ente. P o r lo tan to , el resu ltad o final es

1 2 3 4 5 6 7 8
0.135 0.035 0 0 0 -0 .1 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 ' 1
0.035 0.135 0 -0 .1 0 -0 .0 3 5 -0 .035 2
0.135 -0 .0 3 5 0.035 0
0 0 -0 .0 3 5 0.135 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 -0 .1 03
0 -0 .1 0.035 -0 .0 3 5 0.135 0 04
0 -0 .0 3 5 0.035 -0 .0 3 5 0.035 0 -0 .1 5
-0 .1 0 -0 .1 0 0 -0 .0 3 5 0 06
-0 .0 3 5 0 0 0 -0 .1 0.035 7
-0 .0 3 5 -0 .0 3 5 0.135 0.135 0.135 8
-0 .0 3 5 0 0.035
0

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552 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

1 4 .6 A p lica ció n de l m é to d o de la rig id e z
para el análisis d e arm aduras

U n a vez q u e s e fo rm a la m atriz d e rigidez d e la e stru c tu ra , las c o m p o ­
nen tes d e fuerza global Q q u e actúan sobre la arm ad u ra p u ed en relacio­
n ar con sus desplazam ientos globales D utilizando

Q = KD (14-17)

E sta ecuación se co n o ce c o m o la ecuación d e rigidez d e la estructura.
C om o siem pre se h an asignado los núm eros m ás bajos d e código p ara
id entificar los g rad o s d e lib e rta d n o restringidos, e s to p e rm itirá a h o ra
h a c e r u n a p artició n d e la e c u a c ió n en la fo rm a siguiente:*

Q* 11 K .2 (14-18)
LQU. 1*21 *72. n *

A quí cargas externas y desplazam ientos conocidos; aquí las cargas
Q*D* ex isten e n la a rm a d u ra c o m o p a rte d e l p ro b le m a , y los d e s ­
plazam ientos suelen especificarse co m o iguales a cero d eb id o
a las lim itaciones d e so p o rtes com o p asad o res o rodillos.

Q U,D U = c a rg a s y d e s p la z a m ie n to s d e sc o n o c id o s- a q u í las c a r g a s
re p resen tan la s reaccio n es d esco n o cid as e n los so p o rte s
y los d esp la z a m ie n to s se p re s e n ta n e n las ju n ta s d o n d e el
m ovim iento n o está restringido e n u n a dirección particular.

K = m atriz d e rigidez d e la estructura,q u e se p arte p a ra s e r co m ­
patible con las particiones d e Q y D.

A I e x p an d ir la ecu ació n 14-18 se o b tie n e (14-19)
Q * = K „ D U + K 12D *

Q u = K 21D ü + K n D k (14-20)

M uy a m en u d o D t - 0,p u esto q u e los so p o rtes no se desplazan. C uando
se d a e ste caso, la ecuación 14-19 se co n v ierte e n

Q* = K „D U

C om o los e le m e n to s d e la m atriz p a rtid a K u re p re se n ta n la resistencia
to ta l e n u n a ju n ta d e a rm a d u ra a u n d e sp la z a m ie n to u n ita rio , y a s e a e n la
dirección x o y ,e n to n c e s la ecuación an te rio r sim boliza la colección de
todas la s ecuaciones d e equilibrio d e fu e r z a s ap licad as a las ju n ta s d o n d e
las carg as ex tern as so n c e ro o tien en u n valor c o n o cid o (Q*). Si se d e s ­
p eja !>„. re su lta

D „ = [K (i]~ 'Q * (1 4 -2 1 )

D e e sta ecu ació n p u e d e o b te n e rse u n a so lu ció n d ire c ta p a ra to d o s los
desplazam ientos d e ju n ta desconocidos; entonces, a p a rtir de la ecuación
14-20,co n D t = 0 ,se o b tien e

Qu = * 2il>u (14-22)

con b a se en la cual p u e d e n o b te n e rse las reaccio n es d esconocidas e n los
soportes. Las fuerzas del elem ento pueden determ inarse m ediante la ecua­
ción 14-13,a saber:

q = k TD

•E ste esq u em a de partición será ev id en te en los ejem plos num éricos q u e siguen.

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1 4 . 6 A P L IC A C IÓ N DEL M É T O D O D E LA RIGIDEZ PARA EL ANÁLISIS D E AR M ADU RAS 553

Al expandir esta ecuación se obtiene

D Nx

<7.v" _ A E [ 1 - 1 A , Ay 0 0 o N,

Mr L L -i 1. . 0 0 Ax Ay d f ,

-D f,.

C om o q s = - q F p ara el equilibrio, só lo d e b e en co n trarse u n a de las
fu e rz a s. A q u í s e d e te r m i n a r á q F, la c u a l e je r c e te n s ió n e n e l e le m e n to , fi­
g u ra 14-2c.

(14-23)

En particular, si e l resu ltad o q u e se calcula m ediante esta ecuación e s n e­
gativo, en to n ces e l elem en to e stá e n co m presión.

Procedimiento de análisis

E l siguiente m étodo p roporciona u n m edio p ara d eterm in ar los desplazam ientos y las
reacciones en los apoyos desconocidos p a ra u n a arm ad u ra utilizando e l m étodo d e la r i­
gidez.

N otación

• E stablezca e l sistem a d e co o rd en ad as globales x ,y . P o r lo g en e ra l,e l o rig en se localiza
e n u n a ju n ta p a ra la c u a l las co o rd e n a d a s d e to d a s las d em ás ju n ta s son positivas.

• Identifique cada ju n ta y elem ento en form a num érica, y especifique arbitrariam ente
los ex tre m o s c e rcan o y le ja n o d e ca d a e le m e n to d e m a n e ra sim b ó lica al d irig ir u n a
flecha a lo largo d el elem en to co n la p unta dirigida hacia e l extrem o lejano.

• E specifique los d o s n ú m ero s d e có d ig o e n cad a ju n ta , co n sid ere los n ú m ero s m ás
bajos p ara identificar los grados d e libertad n o restringidos, seguidos p o r los núm eros
m ayores p a ra id en tificar los grados d e libertad restringidos.

• C on base en e l problem a,establezca D* y Q t .

M atriz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra
• P a ra c a d a e le m e n to , d e te r m i n e A , y A,, y la m a triz d e rig id e z d e l e l e m e n t o u s a n d o la

ecuación 14-16.
• E nsam ble estas m atrices p ara fo rm ar la m atriz de rigidez d e to d a la arm ad u ra, com o

se e x p licó e n la secció n 14-5. P a ra v erific ar p a rc ia lm e n te lo s cálculos, re v ise q u e las
m atrices d e rigidez d e l elem en to y la e stru ctu ra se a n simétricas.

D esplazam ientos y cargas

• P a rta la m atriz d e rigidez de la e stru c tu ra ,c o m o lo indica la ecu ació n 14-18.
• D eterm ine los desplazam ientos desconocidos D ü de la ju n ta m ed ian te la ecuación

14-21, las reaccio n es e n los so p o rte s Q u con b a se e n la ecu ació n 14-22, y c a d a fu erza
de ele m e n to u san d o la ecu ació n 14-23.

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554 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 14.3 D eterm in e la fu e rz a en c a d a u n o d e los d o s e lem en to s q u e co m p o n en
la a rm a d u ra q u e s e m u e stra e n la fig u ra 14-9a .A E es c o n stan te.
—r
S O L U C IÓ N
4 p ie s
N o ta c ió n . En la figura 14-96 se m uestran el origen d e x , y y la n u ­
m eració n d e las ju n ta s y los elem en to s. A dem ás, los e x tre m o s cercan o
y lejano d e to d o s los elem entos se identifican m ediante flechas y se
usan núm eros d e código e n cad a junta. P o r inspección, p u ed e verse
q u e los desplazam ientos ex ternos conocidos son D3 = D4 = l) 5 = D 6
= 0. Inclusive, las carg as e x te rn a s conocidas son Q \ = 0. 0 2 = _ 2 k.
F\>r lo ta n to .

»* = o

(*) Q* - 2
figura 14-9

M a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra . Si se e m p le a la m ism a n o ta ­
ción q u e s e usó aq u í, esta m atriz y a se d esarro lló en e l e jem p lo 14-1.

D esplazam ientos y cargas. Al escrib ir la ecu ació n 14-17. Q * K D .
para esta arm adura se tiene

o" 0.405 0.096 i -0 .3 3 3 0 -0 .072 -0 .0 9 6 "
-.0,096 -.0,128
-2 ..0.096.... 0.1 2 8 ; ...0......... . 0
0 00
Gs = A E - 0 3 3 3 " o ....... r 0.333 0 0 00 0)
0.072 0.096 0
Qa 0000 0.096
0.128_ _ 0 _
Qs -0.072 -0 .0 9 6 | 0 0

_C?6_ _-0.096 -0.128 í 0 0

A p a r t i r d e e s t a e c u a c ió n s e p u e d e id e n tif ic a r K (1 y a s í d e t e r m i n a r D u.
Se ve q u e la m ultiplicación d e m atrices, co m o la ecuación 14-19. re ­
sulta en

0.405 0.096 \D i 0
AE +
.0.096 0.128. [ lh . 0.

A q u í resu lta fácil resolver m ed ian te u n a expansión directa.

0 = A £ (0 .4 0 5 D , + 0.096/>2)

- 2 = A £ ( 0 .0 9 6 D , + 0 .1 2 8 D 2)

Físicam ente estas ecuaciones rep resen tan ££*- = O y 2 £ v= 0 aplicadas
a la j u n t a <2). D e s p e ja n d o , s e o b ti e n e

4.505 -1 9 .0 0 3
D, D2

AE AE

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1 4 . 6 A P L IC A C IÓ N DEL M É T O O O D E LA RIGIDEZ PARA EL AN ÁLISIS D E AR M ADU RAS 555

ft>r inspección d e la fig u ra 1 4 -9 6 .d e h e c h o se e sp e ra ría la o cu rren cia
de u n desplazam iento hacia la derecha y hacia ab ajo en la ju n ta ®
s g ú n lo indican los signos positivos y negativos d e estas respuestas.

C on esto s resultados, ahora se obtienen las reacciones e n los so p o r­
tes a p a rtir de la ecu ació n (1 ). escrita e n la fo rm a de la ecuación 14-20
(o la ecuación 14-22) co m o

Qy "-0 .3 3 3 0 "o"
01
<?4 = A E 0 -0 .096 A E 4 .5 0 5 ' + 0
-0 .1 2 8 .
0 5 -0 .0 7 2 -1 9 .0 0 3 . 0

_<?6 _ .-0 .0 9 6 _0_

Al ex p an d er y d esp ejar las reacciones.

Q i = -0.333(4.505) = -1 .5 k
(?4 = 0
Q 5 = -0 .0 7 2 (4 .5 0 5 ) - 0 .0 9 6 ( - 19.003) = 1.5 k
Q 6 = -0 .0 9 6 (4 .5 0 5 ) - 0 .1 2 8 (-19.003) = 2.0 k

L a fuerza en cada elem en to se encuentra con base en la ecuación
14-23. E m p le a n d o lo s d a t o s p a r a Ax. y Av e n e l e je m p lo 1 4 -1 . s e tie n e

E l e m e n t o 1 : Ax = l . A y = 0 . / . = 3 p ie s .

12 34 4.505 1
AE 19.003 2
t¡\ 0 3
0 4

- 1-4.505) = -1 .5 k Resp.

E l e m e n t o 2 : Ax = 0 .6 ,A . = 0 .8 , L = 5 p ie s .

AhEit r 1 2 5 6 i ,1 4.505
92 = - H - 0 . 6 - 0 .8 0 .6 0.8] — -1 9 .0 0 3

0
0

- (-0 .6 (4 .5 0 5 ) - 0 . 8 ( - 19.003)1 = 2.5 k Resp.

ft>r su p u e sto , e s ta s re sp u e sta s p u e d e n v e rific a rse m e d ia n te e l e q u ili­
b rio . a p lic a d o e n la j u n t a <2>.

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556 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 14.4

D ete rm in e la s reaccio n es e n los so p o rte s y la fu erza e n el e le m e n to 2
d e la arm ad u ra q u e se m u estra en la figura 14 10a. A E es constante.

10pies S O L U C IÓ N
(a)
N o ta c ió n . Se n u m e ra n las ju n ta s y los e le m e n to s n u m e ra d o s y se
e s ta b le c e e l o r i g e n d e lo s e j e s x . y e n <D, f ig u r a 1 4 -1 0 6 . A d e m á s , la s
flechas se u san p a ra h acer referen cia a los ex trem o s cercan o y le jan o
de c a d a e lem en to . Si se e m p le a n los n ú m ero s d e có d ig o d o n d e los n ú ­
m eros m ás bajos indican los grados d e libertad n o restringidos, figura
14-106.se tien e

01

o" 6 02

D¡ 0 7 Q* = 2 3

0_ 8 -4 4

05

E s tru c tu ra d e la m a triz d e rig id e z . E s ta m a triz se d e te rm in ó e n el
e je m p lo 14-2 co n la m ism a n o ta c ió n q u e e n la fig u ra 14-106.

D esplazam ientos y cargas. P ara e ste p ro b le m a Q = K I) es

0 0.135 0.035 0 0 0 -0 .1 -0 .035 -0 .035 0. ( 1)
0 0.035 0.135 0 -0 .1 0 0 -0 .035 -0 .0 3 5
2 0 0 0.135 -0 .0 3 5 0.035 -0 .1 lh
-4 0 -0 .1 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 -0 .035 0 04
0 0 0.035 0.135 0.135 0.035 0 0 05
= AE -0 .1 0 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 0 -0 .1 0
0 -0 .035 -0 .0 3 5 -0 .1 0 -0 .035 0 0 0
<?6 -0 .035 -0 .035 0 0.035 -0 .1 0.135 0.135 0.035 0
<27 0 0 0.035 0.135
<?* 0 0

Si se m ultiplica d e m o d o q u e p u ed a fo rm u larse la ecu ació n 14-18 del
desplazam iento desco n o d d o .se ob tien e

0 ' "0.135 0.035 0 0 0 'Dt' "o
0 0.035 0.135 0 -0 .1
0 0.135 -0 .0 3 5 0 d2 0
2 = AE 0 -0 .1 -0 .0 3 5
0 0.035 0.135 0.035 0 3 + 0
-4 0 -0 .0 3 5
0_ _0 -0.035 04 0

0.135 _ _05_ _0

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1 4 .6 A p lic a c ió n del m é t o d o d e l a r ig id e z par a el análisis d e a r m a d u r a s 557

Al expandir estas ecuaciones y d esp ejar los desplazam ientos resu lta

da 1 7 .9 4 '

. d 5_ -6 9.20
1

-2 .0 6
AE

-8 7.14

-2 2.06

Si s e d e s a r r o lla la e c u a c i ó n 14-20 a p a r tir d e l a e c u a c ió n ( 1 ) , e m ­
pleando lo s resultados calculados, se tiene

'C ? 6 _ —0.1 0 -0 .0 3 5 0.035 -0 .0 3 5 ' 11 17.94 ‘o
Qi = AE -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 -0 .1 0 0 AE -6 9 .2 0 +0
. -0.035 -0 .0 3 5 0
Q8 0 -0 .1 -2 .0 6 .0
-8 7 .1 4
-2 2 .0 6

A l ex pandir y calcular las reacciones en los so p o rtes se o b tien e

Q6 = -4 .0 k Resp.
@7 = 2 .0 k Resp.
Q h = 4.0 k Resp.

E l signo negativo p a ra Q h indica q u e la reacción e n e l so p o rte d e osci­
lador actúa e n la dirección x negativa. L a fuerza e n e l elem en to 2 se
e n cu en tra a p a rtir d e la ecu ació n 14-23, d o n d e d e sd e e l e je m p lo 14-2,
A , * 0 .7 0 7 , A}, = 0 .7 0 7 , L = 10 V 5 p ie s . E n to n c e s .

q2 = —— [ - 0 . 7 0 7 -0 .7 0 7 0.707 0.707) 17.94
10V 2 AE -6 9 .2 0

0
0

= 2.56 k Resp.

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558 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 14.5 D eterm ine la fuerza en el elem en to 2 del ensam ble q u e se m uestra en
la f ig u r a 14-1 l a s i e l s o p o r te e n la j u n t a <D s e a s i e n ta 2 5 m m h a c ia
(a) a b a jo .C o n sid ere q u e A E = 8(10*) kN.

<b) S O L U C IÓ N
Figura 14-11
N o ta c ió n . ft>r c o m o d id a d , e l o rig e n d e las c o o rd e n a d a s g lo b a le s e n
la figura 14-1 I b se e sta b le c e la ju n ta ® y. co m o sie m p re , lo s n ú m e ro s
m ás bajos d e l código se u sa n p a ra h a c e r re fe re n c ia a lo s g rad o s de li­
bertad no restringidos. R>r lo tanto,

n»- o

-0.025

0
0
0
0

M a triz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra . C ó n b a se e n la ecu ació n 14-16,
se tiene

E le m e n to 1 : A, = 0 ,A V= l, L = 3 m .d e m o d o q u e

k, - AE 4 2
.0
0 0

0333 -0 3 3 3

0 0

-0 3 3 3 0.333

E lem ento 2 : A, = -0 .8 , \ y = -0 .6 , /. - 5 m , entonces

125 6

0128 0.0% -0.128 -0 .0 %

A E 0 .0 % 0.072 - 0 .0 % -0X172

-0 .1 2 8 -0 .0 % 0 .1 2 8 0X1%

-0 .(1 % -0X172 0 .0 % 0X172

E lem ento 3: A , = l , Al - 0 . L = 4 m ,e n to n c e s

7 8 12
025
0 0 -025 0
-0 2 5
k, - A E 0 00 0

0 025 0

00 0

A l en sam b lar estas m atrices, la m atriz de rigidez d e la e stru ctu ra se
convierte en

K = AE 1 2 3 4 5 6 7 8
0378 0.0% 0 0 -0 .1 2 8 -0 .0 % -0 2 5 o" 1
0 .0 % 0.405 0 -0 .3 3 3 -0 .0 % -0 .0 7 2 02
0 0 0 0 0 03
-0 3 3 3 0 0.333 0 0 0 04
0 -0 .0 % 0 0 0 05
-0 .1 2 8 -0 .0 7 2 0 0 0.128 0 0 06
-0 .0 % 0 0 0 0 .0 % 0 .0 % 0 07
-0 2 5 0 0 0 0 0.072 0 o_ 8
0 0 025
0 0 0

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1 4 . 6 A P L IC A C IÓ N DEL M É T O O O D E LA RIGIDEZ PARA EL AN ÁLISIS D E AR M ADU RAS 559

D esp lazam ien to s y c a rg a s . A quí Q = K D resulta en

o' (1378 0.0% i 0 0 -0 .1 2 8 -0 0 % -0 2 5 0 D,
<1096 -0 .0 7 2 0
0 0 0405! 0 -0333 : oi>% Ó Ó0
0 0 Ó 0 0
Qi -0 .1 2 8 ó ........T o 0 0 0
04 - AF. -0 0 % 0.128 0
05 -0 2 5 -03331 0 0333 0 .0 % 0 -0025
-0 .0 % ] 0 00 1 ) % 0.072 0
06 0 0 0 025 00
07 0
-0 .0 7 2 j 0 00 0 0 0 00
Lg._ 0
0 00 j 0 0
i
00

A l d e sa rro lla r la solución p ara los d esp lazam ien to s.ecu ació n 14-19.se
tiene

0.378 0 1 ) % ' « . I Tu /4IXCT 0 0 -0 .1 2 8 -<10% -0 2 5 0
AE -0 .0 % -0.072 0 -0.025
00
0 .0 % 0.405 ] J h \ .0 -0 .3 3 3 00

0
0

D e donde se obtiene
0 = A £ j( 0 .3 7 8 D | -* 0 .0 9 6 D ? ) + 0 |
0 = /1EK0.Ü96Z), + 0.405D 2) + 0.00833]

Al resolver estas ecuaciones sim ultáneam ente da

D , = 0.00556 m

D 2 = -0.021875 m

A p esar d e q u e n o e s necesario calcular las reacciones e n los soportes,
si así se d e se a p u e d e n e n c o n trarse a p a rtir d e la ex p aasió n d efin id a
p o r la ecu ació n 14-20. S i se usa la ecu ació n 14-23 p a ra d e te rm in a r la
fuerza en el elem ento 2 resulta

E l e m e n t o 2 : A , = - 0 .8 . Ar = - 0 .6 . L = 5 m . A E = 8 ( 103) k N . d e
modo que

0.00556

q2 = 8Í103) (0 .8 0 .6 - 0 .8 - 0 .6 ) -0 .0 2 1 8 7 5

0

0

8 ( 10>) Resp. 11.1kN (2)
(0.00444 - Q 0131) = -1 3 .9 kN
y \13.9kN 834 kN
U san d o el m ism o p ro ced im ien to , se m u e stra q u e la fu e rz a en e l e le ­
m e n to 1 e s í/ | = 8.34 k N y e n e l e l e m e n t o 3 ,</3 = 11.1 kN . Ix>s r e s u lta ­ (c)
d o s se m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a <25. fig u ra
14-1 l e . l a c u a l p u e d e c o m p r o b a r s e q u e e s tá e n e q u ilib r io .

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560 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

1 4 .7 C oordenadas nodales

E n ocasiones, u n a arm ad u ra puede estar soportada m ediante un rodillo
situado en u n plano in d in a d o ,y cu an d o esto o cu rre la restricción d e cero
deflexión en el so p o rte (n o d o ) no p u ed e definirse directam ente em ­
pleando u n solo sistem a global d e coordenadas horizontales y verticales.
P b r ejem p lo , c o n sid e re la a rm a d u ra e n la fig u ra 14-12a. L a co n d ició n de
d e s p la z a m ie n to c e r o e n e l n o d o <D e s tá d e f in id a s ó lo a lo la r g o d e l e j e y ",
y d eb id o a q u e el rodillo p u ed e d esp lazarse a lo largo del e je xT, este
nodo ten d rá com ponentes d e d esp lazam iento a lo largo d e a m bos ejes de
coordenadas globales, x , y . Por e sta razón no es posible incluir la co n d i­
c ió n d e desplazam iento cero en e ste nodo al escribir la ecuación de rigidez
global d e la arm ad u ra u san d o lo s ejes x .y .sin h acer algunas m odificacio­
nes e n e l procedim iento del an álisis m atricial.

Para resolver este problem a, d e m odo que pu ed a incorporarse fácil­
m ente en un análisis d e co m p u tad o ra, se em p leará un co n ju n to d e coor­
d en a d a s n o d a le s x ", yr q u e se lo caliza e n e l s o p o r te in c lin a d o . E sto s ejes
están o rien tad o s d e m o d o q u e las reacciones y los desplazam ientos se
e n c u e n tra n e n los so p o rtes a lo largo de c a d a u n o d e los e je s d e c o o rd e ­
nadas. fig u ra 14-12a. C o n el fin d e d eterm in ar la ecuación d e rigidez global
de la arm adura, se vuelve necesario desarro llar las m atrices d e tran sfo r­
m ación d e la fueiv.a y e l d esp lazam ien to p a ra cad a u n o d e los e lem e n to s
conectados en este so p o rte, p ara q u e los resultados p u ed an sum arse en
el m ism o sistem a d e coordenadas global, x ,y . P ara m ostrar cóm o se hace
esto, con sid ere e l elem en to 1 d e la arm ad u ra q u e se m uestra e n la figura
14-126, c o n u n sistem a de co o rd en ad as globales x , y en el n o d o cercan o
® . y u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s n o d a le s x “, y " e n e l n o d o l e j a n o © .
C uando se producen desplazam ientos D de m anera que tengan com po­
n en tes a lo largo d e cada uno d e estos ejes, co m o se m uestra e n la figura
14-12c,los d esp lazam ien to s d e n la d irecció n x ' a lo larg o d e los ex trem o s
del elem ento se convierten en

d N = V n i C O S», + DsyCO SO y

d p = D p x’ C O sO ,’ + D p y -c o s O y -

y

Fig u ra 14-12

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1 4.7 C oo rdenadas nooales 561

E stas ecuaciones p u ed en escribirse e n fo rm a m atricial com o

dN' A x A, 0 ~d n;
dF.
.0 0 V 0 DNy
V ¿Vx*

L*V J

D el m ism o m odo, las fuerzas q en lo s ex trem o s cercan o y lejano d el ele <b>

m entó, figura 14-\2 d ,tien en c o m p o n e n te s Q a lo larg o d e los ejes glo b a
les d e

Q s x = < 7 v e o s 0, Q Ny = qN eo s 0y
Q Ff = <7fe o s Bt . Q Fy. = q F e o s 0y.

las cu ale s p u e d e n ex p re sa rse c o m o

Las m atrices d e tran sfo rm a c ió n d e l d esp lazam ien to y la fu erza e n las
ecuaciones an terio res se usan p ara d esarro llar la m atriz d e rigidez del
elem en to p ara e sta situación. A l ap licar la ecuación 14-15, se tien e

k = T7k T

Si se realizan las operacion es m atridales, resu lta

AE A x2 A .A , -A .A ,. A XA V* (14-24)
k= \,\y Aj -A ,A ,. -A y A y .
- A , A ,- A ,*A y *
L - A , A X. A 2, -
-A y A ,, A ,-A y . A>*
L -w

E sta m atriz de rigidez se usa d esp u és p a ra cada elem en to q u e esté c o ­
nectado a u n soporte d e rodillos inclinado, y e l proceso p ara ensam blar
las m atrices y fo rm ar la m atriz de rigidez de la estru ctu ra sigue el p ro ce­
dim iento acostum brado. El siguiente p roblem a d e ejem plo ilustra su
aplicación.

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562 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 14.6 D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rte s p a ra la a rm a d u ra q u e se
m u e stra e n la fig u ra 14-13a.
® 30kN
S O L U C IÓ N
3m
N o ta ció n . C óm o el soporte de rodillos e n @ se en cu en tra so b re un
3< > - plano inclinado, en e ste nodo d eb en usarse co o rd en ad as nodales. Se
4m n u m e ra n las ju n ta s y lo s e le m e n to s y se e stab lecen los ejes g lo b a le s x ,
(a) y , e n el n o d o ® , figura 14-136. O bserve q u e los núm ero s de código 3 y 4
e stá n a lo largo d e los e je s xT, / , a fin d e p o d e r u s a r la cond ició n de
q u e D x = 0.

M a tric e s d e rig id e z d e los e le m e n to s . Las m atrices d e rigidez de
los elem en to s 1 y 2 d e b e n d esarro llarse m ediante la ecuación 14-24,
puesto q u e esto s elem entos tienen nú m ero s d e código en la dirección
de los e je s globales y n odales. L a m atriz de rig id ez p a ra e l e le m e n to 3
se determ in a de la form a habitual.

E le m e n to 1 . F ig u r a 1 4 -1 3 c, A , = 1, A , = 0 ,A ,- = 0 . 7 0 7 , = - 0 .7 0 7

k, = A E 5 6 3 4
0.25 0 -0 .1 7 6 7 5 0.17675
0 0 0
-0 .1 7 6 7 5 0 0 -0 .1 2 5
0.17675 0 0.125 0.125
-0 .1 2 5

(c)
E le m e n to 2. F ig u r a 1 4 -1 3 d , A , - 0 . Ay - - 1 . A*- - - 0 . 7 0 7 , Ay-

-0 .7 0 7

12 3 4
0 0
00 -0.23 57 -0 .2 3 5 7 1
0.1667 0.1667 2
AE 0 03333 0.1667 0.1667 3
4
0 -0.2357

0 -0.2357

(d) E le m e n to 3 . A , = 0 .8 .A., = 0 .6
F igón 14-13

k, = AE 5 6 1 2
0.128 0.096 -0 .128 -0 .0 9 6 “ 5
0.0% 0.072 -0 .096 -0 .072 6
-0 .1 2 8 -0 .0 %
-0 .0 9 6 -0 .0 7 2 0.128 0.096 1
0 .0 % 0.072 2

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1 4 .7 CO O RDENADAS N O O A lE S 563

M atriz d e rig id e z d e la e s tru c tu ra . Al ensam blar estas m atrices
para d e te rm in a r la m atriz d e rigidez d e la e s tru c tu ra .s e tie n e

'3 0 ' 0.128 0.096 00 -0 .1 2 8 -0.096" '0 .
0.096 0.4053 -0 .0 9 6 -0.072 02
0 0 -0 .2 3 5 7 -0 .2 3 5 7 | -0.2357 -0 .1 7 6 7 5
0 0 -0 .2 3 5 7 0 .03
-0 .1 2 8 -0 .0 9 6 0.2917 0.0417 0.17675 00
= AE _ -0 .0 9 6 -0 .0 7 2 0.378 0.096 0
Q* 0.0417 | 0.2917 0.096
Qs 0.072_ _ 0
.<?*_ -0 .1 7 6 7 5 | 0.17675

00

Si se realiza la m ultiplicación m atricial d e las particiones su p erio res se
p ueden d eterm in an lo s tres desplazam ientos d esconocidos D al resol-
ver sim u ltáneam ente las ecuaciones resultantes, e s decir.

I> ,= ^
1 AE

-1 5 7 .5
*>2 A E

-1 2 7 .3
AE

Las reacciones desconocidas Q se o b tien en al m ultiplicar las m atrices
partidas inferiores en la ecuación (1). S i se usan los desplazam ientos
calculados.se tiene.

0 4 = 0 (3 5 2 .5 ) - Q 2 3 5 7 ( - 157.5) + 0 .0 4 1 7 ( - 127.3) R esp
= 31.8 k N

0 5 = -0 .1 2 8 (3 5 2 .5 ) - 0 .0 9 6 (-157.5) - 0.17675 (-1 2 7 .3 )

= -7 .5 kN Resp

0 6 = -0 .0 9 6 (3 5 2 .5 ) - 0 .0 7 2 ( - 157.5) + 0 ( - 1 2 7 3 ) Resp.
= -2 2 .5 kN

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564 C a p itu lo 14 A n á lis is de a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o de la rig id e z

1 4 .8 A rm aduras con cam bios térm ico s
y erro re s d e fabricación

Si alg u n o s de los e le m e n to s d e la arm ad u ra se so m e te n a u n a u m e n to o
dism inución d e su longitud debido a cam bios térm icos o e rro res d e fabri­
cació n , e s n ecesario u sar el m é to d o de su p erp o sició n p ara o b te n e r la so lu ­
ción. L o a n te rio r re q u ie re tre s pasos. E n p rim e rlu g a r.s e calcu lan las fu e r­
zas de ex trem o fijo necesarias para evitar e l m ovim iento d e nodos com o
e l cau sad o por la tem peratura o los errores de fabricación. E n segundo
lugar, se colocan fuerzas iguales p ero opuestas so b re los nodos de la a r­
m ad u ra y se calculan los desplazam ientos d e los nodos m ediante un a n á ­
lisis m atricial. P or últim o, se d e te rm in a n las fu erzas reales de los e le m e n ­
tos y las reaccio n es e n la a rm a d u ra m ed ian te la su p erp o sició n de estos
dos resultados. Por supuesto.este procedim iento sólo es necesario si la a r­
m ad u ra es estáticam ente indeterm inada. Si la viga es estáticam ente d e te r­
m in ad a, los d esp lazam ien to s e n los nodos p u e d e n e n c o n trarse m ediante
este m étodo; sin em bargo, los cam bios de tem peratura y los errores de fa­
bricación no afectarán las reacciones y las fuerzas d e elem en to puesto
q u e la arm ad u ra es lib re de ajustarse a los cam bios de longitud.

E fe c to s té rm ic o s . Si un elem en to d e u n a arm adura co n longitud L

está sujeto a un aum ento d e tem peratura A T ,e l elem ento experim entará
un a u m e n to e n su longitud d e A L = a A T L ,d o n d e a es e l coeficiente de
expansión térm ica. U na fuerza d e com presión qu aplicada al elem ento
cau sará u n a d ism in u ció n e n la lon g itu d d e l e le m e n to d e A L ' = q ^L IA E .
Si se igualan esto s d o s desplazam ientos, e n to n ce s q0 - A E a A T . E sta
fu erza m a n te n d rá fijos los n o d o s del e lem en to , co m o se m u estra e n la fi­
gura 14-14, y e n to n ce s se tie n e

(< ?jv)o = A E a & T

(*7/0o = “ A E a A T

O bserve q u e si o cu rre u n a dism inución de la tem p eratu ra, entonces AT
se vuelve negativo y estas fuerzas invierten la dirección a fin d e m an te­
n er el elem en to en equilibrio.

Estas dos fuerzas p u ed en transform arse en coordenadas globales
usando la ecuación 14-10,d e d o n d e se o b tien e

(Qnx)o 1 Ax “
o
A,
M “ A,

(Q \y)0 = A, 0 (14-25)
AEa&T I = AEabT
(C?f*)o 0
A, L - iJ

.0 A,_ L - aJ

E rro re s d e fa b ric a c ió n . Si u n elem en to d e arm ad u ra se hace d e ­

m asiado largo en u n a can tid ad AL antes d e aju starse e n la a rm ad u ra.en -

to n c e s la f u e r z a </o n e c e s a r ia p a r a m a n te n e r a l e le m e n to e n s u lo n g itu d
de d iseñ o L es q0 = A E \ U L ,p o r lo q u e p ara el ele m e n to d e la figura

14-14.se tiene

, . AE&L
Í9,v)o !

L

A E \L
(Qf )o = "

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1 4 .8 A r m a d u r a s c o n c a m b io s t é r m ic o s y e r r o r es d e f a b r ic a c ió n

Si originalm ente e l elem en to es d em asiad o corto, entonces A L se vuelve
negativo y estas fuerzas se invierten.

E n co o rd en ad as globales, estas fuerzas son

~(QN t )0" A E \L a/ (14-26)
(£?*>)<) Ky
( Q f*)0
L -A ,
A Q f>)o_
_-A ,J

A nálisis m atricial. En el caso general,si una arm adura se som ete a

la ap licació n de fuerzas, a cam b io s d e te m p e ra tu ra y a e rro re s d e fab rica­
c ió n , la relació n inicial d e fu erza-d esp lazam ien to p a ra la a rm a d u ra se
convierte en

Q = KD + Qo (14-27)

A q u í Q „ es u n a m atriz colum na p a ra to d a la arm ad u ra, de las fuerzas de
e x tre m o fijo iniciales, cau sad as p o r los cam b io s d e te m p e ra tu ra y los
e rro re s d e fab ricació n d e lo s e le m e n to s d efin id o s e n las e c u a c io n e s 14-25
y 14-26. E sta ecu ació n p u e d e p a rtirse en la form a siguiente

[9* K , | I K 12 A l . r ( Q * ) o l

LQu K ?r f *22. o ' k i L íq J o J

Si se lleva a c a b o la m ultiplicación, resulta

Q* = + (Q*)o (14-28)
(14-29)
Qu = *2|1>U + K22D* + (Qu)o

D e acuerdo con el procedim iento de superposición descrito an terio r­

m ente, los desplazam ientos desconocidos D u se d eterm in an a p artir d e la

p r im e r a e c u a c ió n a l r e s t a r K )2D ¿ y (Q*)o e n a m b o s la d o s , p a r a d e s p u é s

d e s p e j a r D u. D e e s t o s e o b ti e n e

D u = K í í ( Q * - K 12D * - ( Q í) o )

U na vez obtenidos esto s desplazam ientos nodales, las fuerzas d e los e le ­
m entos se d eterm in an p o r superposición, es decir,

q = k 'T D + <*)

Si e s t a e c u a c ió n se e x p a n d e p a r a d e t e r m i n a r la f u e r z a e n e l e x tr e m o le ­
jano del elem ento, resulta

~ D Nx

qF - ~y ~ [-A , -Ay Kx Ky ] 'N y + (Q f ) o (1 4 - 3 0 )

-D py}

E ste resu ltad o es sim ilar a la ecuación 14-23, ex cep to q u e a q u í se tien e
e l t é r m i n o a d ic i o n a l (</f)<>, lo q u e r e p r e s e n t a la f u e r z a d e e x tr e m o fijo
inicial d e b id a a los cam bios d e te m p e ra tu ra y /o e rro re s d e fab rica­
ción com o se definió anteriorm ente. T enga en cuenta que si e l resultado
calculado a p artir d e esta ecuación es negativo, el elem ento estará en
com presión.

I x s d o s ejem plos siguientes ilustran la aplicación d e e ste p ro ced i­
m iento.

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566 C a p it u l o 14 A n á l is is d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e la r ig id e z

EJEMPLO 14.7

D eterm ine la fuerza en lo s elem entos I y 2 d el ensam ble articulado
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 14-15, si e l e le m e n to 2 s e h izo 0,01 m m ás
coito de lo esp erad o an tes de ajustarlo en su lugar. C onsidere q u e A E
■ 8 (1 0 3) k N .

S O L U C IÓ N
C om o e l ele m e n to es c o rto , e n to n c e s AL = -0 .0 1 m y, p o r lo ta n to , al
a p lic a r l a e c u a c ió n 14-26 e n e l e le m e n to 2 , c o n A , = —0 .8 , A , = - 0 . 6 ,
se tiene.

(0 .)o "-0 .8 “ 00016"

mo A £ (-0 .0 1 ) -0 .6 = AE 00012
(0s)o
5 0.8 -0 0 0 1 6

0.6 _ _ -Ü 0012 _

La m atriz d e rigidez d e la estru ctu ra p ara e ste ensam ble y a se e s ta ­
bleció e n e l e jem p lo 14-5. A l a p licar la ecuación 14-27.se o b tien e

’0 ' 0.378 0.096 | 0 0 -0.128 -0.096 -0 .2 5 0 />» 0.0016
0.096 0.405 j 0 0 0 O2 0.0012
0 0 0 0 -0.333 -0 .0 96 -0 .0 7 2 0 Ó
'& 0 -0.333 | 0 Ó Ó 0 0
Q a = AE -0 .1 2 8 -0.096 | 0 0 ....o ......... 0 0.0016
-0 .0 9 6 -0.072 | 0 0 0 + AE 0.0012
Os -0 .2 5 0 0 0.333 0 0 0 0 0 0
06 0 0 0 0 0 o 0
07 0 0.128 0.096 0.25 0 o ( 1)
0 0 o
_ 0 *. 0 0.096 0.072

000

000

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14.8 A r m a d u r as c o n c a m b io s tér m ico s y errores d e fabr ic ac ió n 567

Si s e p a r t e n la s m a tric e s d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a y s e lle v a a c a b o
la m u ltip licació n p a ra o b te n e r las ecu acio n es d e los d esp lazam ien to s
desconocidos, resulta

0* 0.378 0.0961 f ^ 11 + A E f° 0 -0 .128 -0 .096 -0 .2 5 ‘O 0.0016
= AE -0 .3 3 3 -0 .096 -0 .0 7 2 0 0 0.0012
0.405 J ID 2\ .0 01
0 .0.096
o]

0

b que da

0 = A E [Q 3 1 % D X + 0.096Z )2] + A E [ 0 ] + /4 £ (0 .0 0 1 6 ]
0 = y4£ [ 0 . 0 9 6 0 , + 0 .4 0 5 O J + A £ [ 0 ] + A E J0 .0 0 1 2 ]

Al resolver estas ecuaciones sim ultáneam ente.

O , = -0.003704 m
0 2 = -0.002084 m

A unque no sea necesario, las reacciones Q pueden d eterm in arse al e x ­
p a n d ir la ecu ació n (l).s ig u ie n d o e l fo rm a to de la ecu ació n 14-29.

A fin d e d eterm in ar la fuerza en los elem entos 1 y 2 .d eb e aplicarse
b ecu ació n 14-30.p o r lo ta n to se tie n e

E l e m e n t o 1 . A , = 0.A » = 1 . L = 3 m , A E = 8 (1 0 3) k N . d e m o d o q u e

0

<!\ 8{103) 0 + [0 ]
[0 - 1 0 1]
-0 .0 0 3 7 0 4

-0 .0 0 2 0 8 4

<7i = - 5 . 5 6 k N Resp.

E l e m e n t o 2 . Ax = - 0 . 8 , A V = - 0 . 6 . L = 5 m , A E = 8 ( 103) k N .p o r lo
que

8 ( 103) -0 .0 0 3 7 0 4 8(103) (-0 .0 1 )
-0 .0 0 2 0 8 4 Resp.
q2 = [0.8 0.6 - 0.8 - 0 .6 |

0
0

q2 = 9.26 k N

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568 C a p itu lo 14 A n á lis is de a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o de la rig id e z

EJEMPLO 14.8

E l e le m e n to 2 d e la a rm a d u ra q u e se m u e stra e n la fig u ra 14-16 se so ­
m ete a u n a u m e n to e n la te m p e ra tu ra de 150°F. D e te rm in e la fu erza
d e s a r r o lla d a e n e l e le m e n to 2 . C o n s id e r e q u e a = 6 .5 (1 0 _6V °F, E =
2 9 (1 0 6) Ib /p u lg 2. C a d a e l e m e n t o tie n e u n á r e a tr a n s v e r s a l d e A = 0 .7 5
p u lg 2.

Figura 14-16

S O L U C IÓ N
C o m o h ay u n a u m e n to de te m p e ra tu ra , A T = + 150°F. A I a p lic a r la
e c u a c ió n 1 4 -2 5 e n e l e le m e n to 2 , d o n d e A , - 0 . 7 0 7 1 , A,. = 0 .7 0 7 1 , se
tiene

(G O o 0 .7 0 7 1 “ <1000689325 *
(6 2 )0 <1000689325
(C M o = ¿ £ ( 6 .5 ) 0 0 - * ) (150) 0.7071 = AE -0 0 0 0 6 8 9 3 2 5
JM o . -0 .7 0 7 1 -U 000689325

-0 .7 0 7 1

L a m atriz d e rigidez p ara e sta arm ad u ra ya se d esarro lló e n el ejem plo
14-2.

0 ' 0.135 0 .0 3 5 0 0 0 : - 0.1 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 ' "D i' 0.000689325' 1
0 .1 3 5 0 -0 1 0 j0 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 d2
0 0.035 0 0 .1 3 5 -0 0 3 5 0.035 ! -0 .0 3 5 -0 1 0.000689325 2
- 0.1 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 í 0.035 0 o,
00 0 0.035 0.135 0.135 ! -0 .0 3 5 0 0 03
0 -Q 035 -0 .0 3 5 -0 .0 3 5 i 0.135 0 - 0.1 D,
0 0 -0 .0 3 5 -O I 0 i0 0 0 + AE 04
= AE 0 -0 0 3 5 0 0.035 -0 1 ! 0 0.135 0.035
- 0.1 0 0.035 0.135_ 9>. 0 0)
0 0 0 5
Q„ 0
06
_0 _
Ot -0 .0 3 5 -0.000689325 7
.<?«_ _-0 .0 3 5
-0.000689325 8

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14.8 A r m a d u r as c o n c a m b io s tér m ico s y errores d e fabr ic ac ió n 569

Si se e x p a n d e p a r a d e te r m i n a r las e c u a c io n e s d e lo s d e s p la z a m ie n to s
desconocidos, y estas ecuaciones s e resuelven sim ultáneam ente, re ­
sulta

D \ = -0.002027 p ies
D-¡ = - 0 0 1 1 8 7 p ie s
D , = -0.002027 p ies
D 4 = -0.009848 p ies
D s = -0.002027 p ies

C o n base e n la ecu ació n 14-30 es posible d eterm in ar la fuerza en el
d e m e n to 2, se tiene

_ 0 7 5 |2 9 (1 0 ^ )| -0 .0 0 2 0 2 7 0 .7 5 [2 9 ( 1 0 6) JJ6.5 (1 0 "^ ) J(1 5 0 )
10V 2
7o? -0.01187
- 0 .7 0 7 0.707 0.7071
0

0

-6 0 9 3 Ib = -6 .0 9 k Resp.

O bserve que e l aum ento de tem peratura en e l elem ento 2 no cau­
sa rá n in g u n a re acció n e n la a rm a d u ra p u e sto q u e en lo e x te rn o la a r ­
m adura es estáticam ente determ inada. P ara d em o strar esto,considere
la e x p a n sió n d e la m a triz d e la e c u a c ió n (1) p a ra d e te rm in a r las reac-
riones. C on base en los resultados d e los desplazam icntos.se tiene

0 6 = j4 £ [ - 0 . 1 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) + 0 - 0 .0 3 5 ( - Q 0 0 2 0 2 7 )
+ 0 .0 3 5 (-0 .0 0 9 8 4 8 ) - 0 .0 3 5 (-0 .0 0 2 0 2 7 )1 -f / l £ [ 0 l = 0

0 , = A E [ - 0 .0 3 5 (-0 .0 0202 7) - 0.035{-0 .011 87)
- 0 .1 ( - 0 .0 0 2 0 2 7 ) + 0 + O) + -4 £ [-0 .0 0 0 6 8 9 3 2 5 1 = 0

0 8 = > 4 £ (-0 .0 3 5 (-0.002027) - 0.035(-0 .01187) + 0
+ 0 - 0 .1 (-0 .0 0 2 0 2 7 )1 + /1£[~ 0.0006893251 = 0

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570 C a p itu lo 14 A n á lis is de a rm a d u ra s u tiliz a n d o e l m é to d o de la rig id e z

1 4 .9 A nálisis de a rm a du ras espaciales

E l análisis d e las a rm a d u ra s esp aciales e stá tic a m e n te d e te rm in a d a s e in ­
determ inadas p u ed e realizarse em p lean d o e l m ism o procedim iento
d escrito a n te rio rm e n te . Sin e m b a rg o , p a ra te n e r en c u e n ta los aspectos
tridim ensionales del problem a es necesario incluir elem entos adiciona­
les e n la m atriz d e transform ación T . A e ste respecto, considere el e le ­
m e n to d e u n a a rm a d u ra q u e se m u e stra e n la fig u ra 14-17. 1.a m atriz d e
rigidez p a ra el elem en to definida e n térm inos d e la co o rdenada local x '
está d a d a p o r la e c u a c ió n 14-4. A ú n m ás, p o r la insp ecció n de la figura
14-17, lo s cosenos d irecto res e n tre las co o rd en ad as globales y locales
pueden encontrarse em pleando ecuaciones análogas a las ecuaciones
14-5 y 14-6, es d ecir.

A, = eos eg ~ *N
L

(14-31)

V ( x F - x N )2 + (y F ~ y N ) 2 + ( Z F ~ Zn ) 2

yF ~ y»

Ay = e o s e y

yF ~ y s (14-32)

\ / ( x F ~ x N f + ( y F ~ y N )2 + (z F - z * )2

A. = eo s B. z F ~ z N

Zf - z,s (14-33)
V ( x F - x N )2 + (y F ~ y Nf + {zf - ZN)7

C om o resu ltad o d e la tercera dim ensión, la m atriz de transform ación,
ecuación 14-9, se co n v ierte en

[Ax \ y Ar 0 0 0 1
[ o 0 0 A , A , AZJ

Si se s u s titu y e e s t a e c u a c ió n y la 14-4 e n la e c u a c ió n 1 4 -1 5 , k = T 7k ’T . r e ­
s u lta

A, o ' -1][A X Ar 0 0 O l

A, 0 1 JL 0 0 0 Ax Ay a J

Ar 0 A E r 1
0 A* L [ “ I
0 Ay
0 ArJ

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R epaso d e l c a p itu lo 5 71

Si s e lle v a a c a b o la m u ltip lic a c ió n m a tric ia l s e o b tie n e la m a triz sim é tric a

N, "r N, F, P, Pz (14-34)
A? A,Ar A,AZ -Aí “ A«Ay -A,A, N,
A,A, AyAj “ AyAj -A,A, N , 14
A{A, a; -A*A, - a;
L A*Ar Ai "AjAy -A 2 »z
-A 2, —A*A* Ai A«AX F,
-A .A , ~AyAj AjA, A«Ay AjA< F ,
~AyA| - a; “ A? A¿A, a; Al Fz

_ ” A jA , -A .-A , A .-A ,

E sta ecu ació n rep resen ta la m atriz de rigidez del elem ento expresada en El mateo estructural de este hangar para ae­
coordenadas globales. Los núm eros de código a lo larg o d e las filas y las ronaves está completam ente construido con
colum nas hacen referencia a las direcciones x ,y , z e n e l ex trem o cercano,
N x, N p N z,s e g u id o s p o r lo s q u e e s t á n e n e l e x tr e m o le ja n o , F ,, Fy , Fr armaduras, a fin de reducir de manera signi­
ficativa el peso de la estructura. (Cortesía de
Si se v a a program ar en com putadora, p o r lo g eneral resulta m ás efi­ Bethlehem Steel Corporation).
cien te u sar la ecuación 14-34 q u e llevar a cab o la m ultiplicación m atricial
T r k 'T para cada elem ento. U na fo rm a d e ah o rrar esp a d o de alm acena­
m ie n to e n la c o m p u ta d o ra es in ic ia liz a r la m a triz d e rig id ez d e la “e s tru c ­
tu ra " K con to d o s los e lem en to s en c e ro ; d esp u és, a m edida q u e se g en e­
ran los térm in o s d e cad a matriz, de rigidez de los elem en to s, é sto s se
colocan directam en te e n su s respectivas posiciones en K. Luego de
h a b e r d e sa rro lla d o la m atriz de rigidez d e la e stru c tu ra p u e d e seg u irse el
m ism o p ro c e d im ie n to d e sc rito e n la secció n 14-6 p a ra d e te rm in a r lo s
desplazam ientos e n las ju n tas, las reacciones e n los so p o rtes y las fuerzas
internas e n los elem entos.

REPASO DEL CAPÍTULO

EJ m étodo d e la rigidez e s el preferido para analizar estructuras usando una com putadora. E n prim er lugar, es necesario
identificar la cantidad de elem entos estructurales y sus nodos. D espués se establecen las coordenadas globales para toda
la estructura y se ubica cada uno d e los sistem as co o rd en ad o s locales d e los elem entos, d e m o d o qu e su origen e sté e n el
extrem o cercano seleccionado, y d e tal m anera q u e el eje x ’ positivo se extienda hacia e l extrem o lejano.

La form ulación d e l m étodo requiere que prim ero se construya cada elem ento d e la m atriz d e rigidez k '. Ésta relaciona las

cargas e n lo s extrem os d e l elem en to , q. con su s desplazam ientos, d .d o n d e q = k 'd . D espués, con b ase e n la m atriz de

transform ación T . los desplazam ientos locales d se relacionan con los desplazam ientos globales D, donde d = TD,
Además, las fuerzas locales q se transform an en las fuerzas globales Q em pleando la matriz d e transform ación T .es decir,
Q = T 'q . C uando estas m atrices se combinan, se obtiene la m atriz de rigidez del elem ento K en coordenadas globales, k
—T rk 'T . Si se e n sam b lan to d a s las m atrices d e rigidez d e los elem en to s, se o b tie n e la m atriz d e rigidez K p a ra to d a la e s­
tructura.
Los desplazam ientos y las cargas sobre la estructura se obtienen a l partir Q ■ K D .de m odo que los desplazam ientos d es­
conocidos se d e term in a n con b ase e n D„ = [K ,,] ’Q *. siem pre q u e lo s so p o rte s n o se d esplacen. P o r últim o, las reaccio ­
nes en los soportes se obtienen d e Q„ = K ^ .D ^ .y cada fuerza de elem ento se encuentra a partir d e q = k'T D .

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572 C a pit u lo 14 A n á lisis d e a r m a d u r a s u t il iz a n d o el m é t o d o d e la r ig id e z

PROBLEMAS

1 4 -1 . D eterm ine la m atriz de rigidez K p a ra el ensam ble. 14-7. Determine la matriz de rigidez K para la arm adura.
C ónsidere q u e A = 0.5 pulg7 y qu e £ - 29(10’) ksi para Considere q u e A = 0.0015 m7 y q u e E = 200 G P a p ara cada
cada elemento. elem ento.

14-2. Determ ine los desplazam ientos horizontales y ver­ •14-8. Determ ine el desplazam iento vertical en la ju n ta®
ticales e n la ju n ta <$ del ensam ble d e l p ro b lem a 14-1. y la fuerza e n e l elem ento [5 ] . C onsidere q u e A = 0.0015
m7yquc £ = 200 GPa.
14-3. Determ ine la fuerza en cada elem ento del ensam ­
ble d e l problem a 14-1.

Probs. 14-1/14-2/14-3 Probs. 14-7/14-8

*14-4. [^term in e la m atriz de rigidez K para la arm a­ 14-9. Determine la matriz de rigidez K para la arm adura.
dura. C onsidere que A = 0 7 5 pulg7 y que E = 29(10*) ksi. C onsidere q u e A = 0.0015 m7 y q u e £ = 200 G P a p ara cada
elem ento.
14-5. Determine el desplazam iento horizontal de la junta
<Dy la fuerza e n e l e lem en to [ 2 1. C o n sid ere q u e A - 0.75 1 4 -1 0 . D eterm in e la fuerza e n e l e le m e n to | 5 ]. C o n si­
pulg7 y q u e £ = 29(10*) ksi. dere que A = 00015 m 7 y que £ = 200 GPa para cada ele­
mento.
14-6. D eterm ine la fuerza en el elem ento [ T ] si su tem ­
p e ratu ra se in crem en ta e n lOO”!'. C o n sid ere q u e A *■ 0.75 14-1L D eterm m e el desplazam iento vertical del nodo ®.
pulg7. £ = 29( 103) ksi. a - 6.5( 10_6)/°F . si e l elem ento [ T ] e ra 10 m m m ás largo d e lo esperado
antes d e ajustarlo en la arm adura. Para o b ten er la solución
retire la carga de 20 k. C onsidere que A - 00015 m7 y q u e £
= 200 G Pa p ara cada elem ento.

2

Probs. 14-4/14-5/14-6 Probs. 14-9/14-10/14-11

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PfOBtEMAS 573

*14-12. D eterm ine la m atriz d e rigidez K para la arm a­ 14-17. Use u n program a de com putadora p ara determ i­
dura. C onsidere q u e A = 2 pulg2 y q u e E = 29(10’) ksi. nar las reacciones sobre la arm adura y la fuerza e n cada ele­
mento. A E es constante.
14-13. D eterm ine e l desplazam iento h o rizo n tal d e la
ju n ta ® y la fuerza e n e l elem en to [ T ] . C o n sid ere q u e A -
2 pulg2 y q u e E = 29(10’) ksi. N o tom e en cuenta el eslabón
co rto e n <2>.

14-14. Determ ine la fuerza en el elem ento [T ] si el ele­
m ento e ra 0.025 pulgadas m ás corto d e lo esperado antes de
ajustarse en la arm adura. Considere q u e A =2 pulg2y que E
- 29( 103) ksi. N o to m e e n cu e n ta el eslab ó n c o rto e n <Z>.

----------------8 p i e s -------------------- Prob. 14-17

Probs. 14-12/14-13/14-14

1 4 -1 5 . D eterm in e la m atriz d e rigidez K p ara la a rm a ­ 14-18. Use u n programa de com putadora p ara determ i­
dura. A E es constante. nar las reacciones sobre la arm adura y la fuerza e n cada ele­
mento. A E es constante.
* 1 4 -1 6 . D eterm in e e l d esp lazam ien to v ertical d e la ju n ta
® y las reacciones en los soportes. A E e s constante.

« 7 \,
Probs. 14-15/14-16

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Las tra b e s de este p u e n te son co n tin u a s so b re los p ilo te s, y las cargas e s tá ti­
cam ente indeterm inadas en ellas pueden determ inarse utilizando e l m étodo
d e la rigidez.

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Análisis de vigas
utilizando el método
de la rigidez

En e s te c a p ítu lo se e x te n d e rá n los c o n c e p to s p re se n ta d o s e n el ca p í­
tu lo a n te rio r y se a p lica rán al análisis d e vigas. S e p o d rá ve r q u e una
vez d e s a rro lla d a s la m a triz d e rig id e z y la m a triz d e tra n s fo rm a c ió n d e l
e le m e n to , e l p ro c e d im ie n to p a ra su ap licación e s e xa cta m e n te el
m ism o q u e para las arm aduras. Se pre sta rá a te nció n especial a los
casos d e a se ntam ientos y te m p e ra tu ra s d ife ren ciale s.

1 5 .1 C om entarios prelim inares

A n tes d e m o stra r có m o se ap lica el m é to d o d e la rigidez a las vigas, p ri­
m ero se analizarán algunos conceptos y definiciones prelim inares rela­
cionados co n esto s elem entos.

Identificación del elem ento y el no d o . C on e l fin de aplicar

el m étodo d e la rigidez a las vigas, p rim e ro d e b e d eterm in arse có m o sub-
dividir la viga en los elem en to s fin ito s q u e la co m p o n en . E n g en eral,
cada elem en to d eb e estar libre d e carga y tener una sección prism ática,
ftjr esta razón los nodos d e cada elem en to se localizan en un so p o rte o
en lo s puntos donde lo s elem entos se conectan en tre sí. o se aplica una
fuerza externa; d o n d e e l á re a d e la sección transversal cam bia sú b ita­
m ente, o d o n d e d e b e d eterm in arse el d esp lazam iento vertical o d e ro ta­
ción e n un p u n to . Por ejem plo, considere la viga d e la figura 15-la. Si se
usa el m ism o esquem a q u e p a ra las arm aduras, los cu atro nodos se esp e­
cifican e n fo rm a num érica d e n tro de un círculo y los tres elem en to s se
identifican num éricam ente d e n tro d e un cu adrado. O bserve tam bién q u e
los ex trem o s "c e rc a n o ” y "le ja n o " d e c a d a e le m e n to se id en tifican m e­
diante flechas e scrita s a lo larg o d e cad a elem en to .

Figura 15-1

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576 C a p it u l o 15 A n á l is is d e v ig a s u t il iz a n d o el m é t o d o d e l a r ig id e z

15 fig u ra 15-1 C o o rd e n a d a s g lo b a le s y d el e le m e n to . El sistem a de co o r­

I* |4 1 denadas globales se identificará utilizando los ejes x, y. z .q u e por lo g e­
neral tienen su origen en un nodo y se posicionan d e m odo q u e los nodos
L 5 I2 e n o tro s p u n to s d e la viga te n g a n c o o rd e n a d a s positivas, fig u ra 1 5 -la . Las
coordenadas locales o d el elem en to x ' , y \ z ' tienen su origen en el ex ­
3— trem o "cercan o ” d e cad a elem ento, y el eje positivo x ' x dirige hacia el
ex trem o "lejan o ” . E n la fig u ra 15-16 se m u estran estas co o rd en ad as p ara
(a) el elem ento 2. E n am bos casos se ha em pleado u n sistem a d e co o rd en a­
das diestro , d e m odo q u e si los d ed o s d e la m ano d erech a se cierran del
p e je x (* ') hacia e l e je y (y '), el p u lg ar ap u n ta en la direcció n positiva
d e l eje z (z '). q u e s e d irig e hacia afuera d e la página. Tenga en cuenta
i12 q u e p a ra cada co m p o n en te de la viga los e je s x y x ' serán colineales y q u e
las c o o rd e n a d a s g lo b ales y d e l ele m e n to serán to d as paralelas. P o r lo
tía tanto, a diferencia d el caso d e las arm aduras, aquí no será necesario d e sa ­
w rrollar m atrices d e transform ación en tre estos sistem as d e coordenadas.

(a) In d e te rm in a c ió n cin em ática. U na vez q u e se han identificado

/> 4 7 los elem en to s y lo s nodos, y q u e se h a establecido e l sistem a d e co o rd e­

Di II 6 n ad as g lo b ales, p u e d e n d e te rm in a rse los g rad o s d e lib ertad p a ra la v ig a y
(b)
su d eterm in ació n cinem ática. Si s e to m an en c u e n ta los efectos d e la fle­
Hgura 15-3 xión y la fu erza co rtan te, entonces cada n o d o e n u n a viga p u ed e te n e r
dos grados d e libertad; es d e d r. u n desplazam iento vertical y u n a rota-
d ó n . C om o e n e l caso d e las arm ad u ras, esto s desplazam ientos lineales
y d e ro ta d ó n se identifican p o r códigos num éricos. I x k núm eros m ás bajos
de código se usarán para identificar los desplazam ientos desconocidos
(grados d e lib ertad n o restringidos), y las d fra s m ás altas se utilizarán
para identificar los desplazam ientos conocidos (grados d e libertad res­
trin g id o s). R e c u e rd e q u e la razó n p a ra e le g ir este m é to d o d e identifica-
d ó n s e re la d o n a c o n la co n sig u ien te c o m o d id ad al re a liz a r la p artició n
de la m atriz d e rigidez d e la estructura, d e m o d o q u e lo s desplazam ientos
desconoddos puedan d eterm inarse d e la m anera m ás directa.

Para m ostrar u n ejem plo de etiquetado con códigos num éricos, consi­
d ere d e n u ev o la viga c o n tin u a q u e se m u e s tra e n la fig u ra 1 5 -la . A q u í, la
viga e s d n e m á tic a m e n te in d eterm in ad a d e cu a rto grado. H ay o c h o g ra ­
dos d e libertad, p o r lo cual los núm eros d e código d el 1 a l 4 representan
los desplazam ientos desconocidos y los núm ero s del 5 al 8 re p resen tan los
desplazam ientos conocidos, q u e en este caso son todos iguales a cero.
C o m o o tr o ejem p lo , la viga de la fig u ra 15-2a pu ed e su b d iv id irse e n tres
elem entos y cuatro nodos. E n particular, observe que la articulación in­
tern a en e l no d o 3 se deform a e n la m ism a cantidad p ara lo s elem en to s 2
y 3; sin em b arg o , la ro tació n e n e l e x tre m o d e c a d a e le m e n to e s d iferen te.
ft>r eso s e usan tres núm eros d e código p ara m ostrar estas deflexiones.
A q u í hay nueve grados d e libertad, cinco d e los cuales son desconocidos,
co m o se m u estra e n la figura 15-26. y c u a tro co n o cid o s; d e n u ev o , to d o s
so n iguales a cero. I\>r últim o , ten g a en c u e n ta e l m ecanism o d eslizan te
u sad o e n la viga d e la fig u ra 15-3a. A q u í la d eflex ió n d e la viga se m u e s­
tra e n la figura 15-36 y. p o r lo tan to , hay cinco com ponentes d esco n o ci­
dos d e deflexión etiq u etad o s co n los núm eros d e código m ás bajos. La
viga e s c in e m áticam en te in d e te rm in a d a d e q u in to grado.

El d esarro llo del m éto d o de la rigidez p a ra las vigas sigue un p ro c e d i­
m iento sim ilar a l utilizado p ara las arm aduras. E n p rim er lugar d eb e es­
tablecerse la m atriz d e rigidez d e cada elem en to , desp u és estas m atrices
se com binan p a ra fo rm ar la m atriz d e rigidez de la viga o d e la estru c­
tu ra . Si se u sa la ecu ació n m atricial d e la e stru c tu ra ,e n to n c e s p u e d e p ro -

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1 5 .2 M atriz d e r ig idez d e l a v ig a -e l e m e n t o 577

cederse a d eterm in ar los desplazam ientos desconocidos en los nodos y
de e s ta fo rm a d e te rm in a r la s reaccio n es so b re la viga y la fu erza c o rta n te
y e l m om ento internos e n los nodos.

1 5 . 2 M a triz d e rig id e z d e la vig a -e le m e n to

En e s ta sección se desarro llará la m atriz d e rigidez p ara un co m p onente
de viga o u n elem en to q u e tenga u n a sección transversal constante y esté
referen ciad o a l sistem a d e c o o rd e n a d a s lo cales x '. y ', z ', figura 15-4. E l
o rig en d e las c o o rd e n a d a s se lo caliza e n e l e x tre m o “c e rc a n o ” N ,y e l eje
x ' positivo se ex tiende hacia el e x tre m o “ lejan o " F. H ay d o s reacciones
en cad a extrem o del elem ento, que consisten en las fuerzas co rtan tes q ^
y qpy' y e n m om entos flecto res q *-• y qF¡- E stas carg as actú an e n las
d ir e c c io n e s c o o r d e n a d a s p o s itiv a s . E n p a r t ic u l a r , lo s m o m e n to s q N.• y
qFi' so n p o sitiv o s en sen tid o a n tih o ra rio , p u e sto q u e p o r la reg la d e la
m ano d erech a los vectores d e m om ento están dirigidos a lo largo del eje
z ' positivo, el cual se dirige hacia afu era d e la página.

Los desplazam ientos lineales y angulares asociados con estas cargas
tam bién siguen esta m ism a convención d e signos positivos. A h o ra s e im ­
pondrán cada uno d e estos desplazam ientos p o r separado y después se
d eterm in arán las cargas q u e actúan sobre el elem ento, causadas por cada
desplazam iento.

y*

</AYd fy qFyd? 1 r ,d fí
-------------------------*
ÍÑW ¿Ni l— .—
(

convención d e signos positivos

Figura 15-4

D e sp laz a m ie n to s e n y O tá n d o se im pone u n desplazam iento

p o sitiv o d s y' m ie n tra s s e e v ita n o tro s p o sib le s d e sp la z a m ie n to s, s e c re a n
fuerzas cortantes y m om entos d e flexión resultantes com o los q u e se
m uestran en la figura l5-5a. E n particular, e l m om ento se h a d esarro ­
lla d o e n la s e c c ió n 11.2 c o m o la e c u a c ió n 11.5. D e l m ism o m o d o ,c u a n d o
se im pone d ¡y ,\a s fuerzas co rtan tes y m om entos flexionantes necesarios
son c o m o se m u e stra e n la fig u ra 15-56.

desplazam ientos en / (b)
(a)

Figura 15-5

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578 C a p it u l o 1 5 A n á l is is d e v ig a s u t il iz a n d o e l m é t o d o d e l a r ig id e z

Figura 15-6

Rotaciones e n z '. Si se im pone una rotación positiva dN¿ m ientras

se evitan to d o s los o tro s desplazam ientos posibles, las fuerzas co rtan tes y
los m o m en to s re q u e rid o s p a ra la d efo rm a c ió n se m u e stra n e n la figura
15 15-6a. E n particular, el m om ento resu ltan te se desarrolló en la sección
11-2 co m o las e c u a c io n e s 11-1 y 11-2. D el m ism o m o d o , c u a n d o se im ­
p o n e d f¡ \\a s carg as re su lta n te s so n c o m o se m u e stra e n la fig u ra 15-6b.

I\>r su p e rp o sic ió n , s i se su m an los re su lta d o s a n te rio re s d e las figuras
15-5 y 15-6, las c u a tro rela c io n e s d e ca rg a -d e sp la z a m ie n to re su lta n te s
para e l elem ento pueden expresarse en fo rm a m atricial com o

(15-1)

Estas ecuaciones tam bién pueden escribirse d e m anera abreviada com o

q = kd (15-2)

L a m a triz sim é tric a k e n la e c u a c ió n 15-1 s e c o n o c e c o m o la m a tr iz d e ri­
g id e z d el elem ento. L o s 16 co eficien tes d e in flu en cia k v q u e la c o m p o n en
re p re se n ta n los d esp lazam ien to s d el ele m e n to p o r la fu erza c o rta n te y
por e l m om ento flexionante. Físicam ente, esto s coeficientes representan
la carga so b re e l elem en to cuando éste experim enta un desplazam iento
unitario específico. P o r ejem plo, si d s y = 1, figura 15-5a, m ientras que
todos los o tro s d esplazam ientos son iguales a c e ro ,e l e le m e n to e s ta rá so ­
m etid o únicam ente a las cu a tro cargas indicadas e n la p rim era colum na
de la m atriz k. D e m an era sim ilar, la s o tra s c o lu m n a s d e la m atriz k son
las cargas d e elem en to p a ra los desplazam ientos u nitarios identificados
m ed ian te los núm ero s de có d ig o d e los g rad o s d e lib e rta d q u e ap a re c e n
«arriba d e las c o lu m n a s. C o n b a s e e n e l d e s a rro llo se h a n s a tisfe c h o ta n to
el equilibrio com o la com patibilidad d e los desplazam ientos. A dem ás,
debe h acerse n o ta r q u e esta m atriz es la m ism a en coordenadas locales y
en c o o rd e n a d a s globales p u e sto q u e lo s e je s x '. y ', z ' son p a ra le lo s a los
ejes x .y ,z ;p o r lo tanto, no se requieren m atrices d e transform ación en tre
las coordenadas.

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