ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

21. Utilice la transformada Ᏺ5eϪx2>4p26 del problema 19 para 23. Utilice el problema 20, el cambio de variables v ϭ (x Ϫ ␶)/2
encontrar la temperatura de estado estable u(x, y) en la 1kt, y el problema 9 de los ejercicios 13.1, para demos-
tira infinita que se muestra en la figura 13.13. trar que la solución del ejemplo 1 puede expresarse como

y u 1x, t2 ϭ u0 c erf ax ϩ 1b Ϫ erf ax Ϫ 1b d .
u = e–x2 2 2 2kt 2 2kt

1

x Tareas para el laboratorio de cómputo

aislado 24. Suponga que u0 ϭ 100 y k ϭ 1 en la solución del proble-
ma 23. Utilice un CAS para graficar u(x, t) en la región
Figura 13.13 Placa del problema 21 rectangular Ϫ4 Յ x Յ 4, 0 Յ t Յ 6. Use una gráfica 2D
y sobreponga las gráficas de u(x, t) para t ϭ 0.05, 0.125,
22. La solución del problema 14 puede integrarse. Utilice 0.5, 1, 2, 4, 6, y 15 en el intervalo Ϫ4 Յ x Յ 4. Emplee
los enunciados 42 y 43 de la tabla del apéndice III para las gráficas para formular un juicio acerca de los valores
demostrar que
de límt→ϱ u(x, t) y límx→ϱ u(x, t). Luego demuestre ana-
u 1x, y2 ϭ 100 c arctan x Ϫ 1 arctan x ϩ 1 Ϫ 1 arctan x Ϫ 1d. líticamente estos resultados utilizando las propiedades
p y 2 y 2 y
de erf(x).

13.5 Transformada rápida de Fourier

y y = f(x) f (nT ) ■ Introducción Considere una función f que esté definida y sea continua en el intervalo

f1 f2 . . . fn [0, 2p]. Si x0, x1, x2, . . . , xn, . . . son puntos uniformemente espaciados en el intervalo,
f0 entonces se dice que los valores funcionales correspondientes f0, f1, f2, . . . , fn, . . . mostra-
dos en la figura 13.14 representan un muestreo discreto de la función f. La noción de las
T
muestras discretas de una función es importante en el análisis de señales continuas.

En esta sección, la forma compleja o exponencial de la serie de Fourier juega un papel

muy importante. Se recomienda efectuar un repaso de la sección 10.4.

x ■ Transformada discreta de Fourier Considere una función f definida en el intervalo
2p
[0, 2p]. En la sección 10.4, a partir de la expresión (11), estudiamos que f puede escribir-
Figura 13.14 Muestreo de una se como una serie compleja de Fourier,
función continua
Ύq 2p

f 1x2 ϭ a cnein␻x f 1x2 eϪin␻x dx,
nϭϪq
donde 1 (1)
cn ϭ 2p
0

donde ␻ ϭ 2␲/2p ϭ ␲/p es la frecuencia angular fundamental y 2p es el periodo funda-
mental. Sin embargo, en el caso discreto, la entrada es f0, f1, f2, . . . , que son los valores
de la función f en puntos uniformemente espaciados x ϭ nT, n ϭ 0, 1, 2, . . . . El número
T se llama velocidad de muestreo o longitud del intervalo de muestreo.* Si f es continua
en T, entonces la muestra de f en T está definida como el producto f (x)␦(x Ϫ T ), donde
␦(x Ϫ T) es la función delta de Dirac (vea la sección 4.5). Podemos entonces representar
esta versión discreta de f, o señal discreta, como la suma de impulsos unitarios que ac-
túan sobre la función en x ϭ nT:

q (2)

a f 1x2 d 1x Ϫ nT2 .

nϭϪq

Si aplicamos la transformada de Fourier a la señal discreta (2), tenemos

Ύq q (3)
a f 1x2 d 1x Ϫ nT2 eiax dx.

Ϫq nϭϪq

*Observe que el símbolo T utilizado aquí no tiene el mismo significado que en la sección 10.4.

604 CAPÍTULO 13 Método de la transformada integral

Mediante la propiedad de análisis de la función delta de Dirac (vea los Comentarios in-
cluidos al final de la sección 4.5), (3) es lo mismo que

q (4)

F 1a2 ϭ a f 1nT2 eianT.
nϭϪq

La expresión F (␣) en (4) se llama transformada discreta de Fourier (DFT) de la fun-

ción f. En (4), a menudo escribimos los coeficientes f (nT) como f (n) o fn. También vale
la pena observar que debido a que ei␣x es periódica en ␣ y ei␣T ϭ ei(␣Tϩ2␲) ϭ ei(␣ϩ2␲/T)T,

solamente es necesario considerar la función para ␣ en [0, 2␲/T]. Sea N ϭ 2␲/T. Esto

coloca a x en el intervalo [0, 2␲]. Por lo tanto, debido a que muestreamos sobre un perio-

do, la suma en (4) es realmente finita.

Ahora considere los valores funcionales f (x) en puntos N uniformemente espaciados,

x ϭ nT, n ϭ 0, 1, 2, . . . , N Ϫ 1, en el intervalo [0, 2␲], esto es, f0, f1, f2, . . . , fNϪ1. Usando

estos N términos, la serie discreta (finita) de Fourier f (x) ϭ q Ϫqcneinx nos da

anϭ

f0 ϭ c0 ϩ c1ei1и0 ϩ c2ei2и0 ϩ . . . ϩ cNϪ1ei(NϪ1)и0
f1 ϭ c0 ϩ c1ei2␲/N ϩ c2ei4␲/N ϩ . . . ϩ cNϪ1ei2(NϪ1)␲/N
f2 ϭ c0 ϩ c1ei4␲/N ϩ c2ei8␲/N ϩ . . . ϩ cNϪ1ei4(NϪ1)␲/N

ӇӇ

fNϪ1 ϭ c0 ϩ c1ei2(NϪ1)␲/N ϩ c2ei4(NϪ1)␲/N ϩ . . . ϩ cNϪ1ei2(NϪ1)2␲/N.

Si establecemos ␻n ϭ ei2␲/n ϭ cos 2p ϩ i sen 2p y aplicamos las leyes de los exponen-
n n

tes, este sistema de ecuaciones es lo mismo que

f0 ϭ c0 ϩ c1 ϩ c2 ϩ p ϩ cNϪ1 (5)
f1 ϭ c0 ϩ c1vN ϩ c2v2N ϩ p ϩ cNϪ1vNNϪ1
f2 ϭ c0 ϩ c1v2N ϩ c2v4N ϩ p ϩ cN Ϫ1v2N1N Ϫ12

ӇӇ

fNϪ1 ϭ c0 ϩ c1vNNϪ1 ϩ c2vN21NϪ12 ϩ p ϩ cNϪ1vN1NϪ122.

Al utilizar la notación matricial (vea las secciones 7.1 y 7.2), entonces (5) es

f0 1 1 1 p 1 c0

f1 1 vN vN2 vNN Ϫ1 c1

• f2 µ ϭ •1 vN2 vN4 vN21NϪ12µ • c2 µ . (6)

oo oo

fN Ϫ 1 1 vNN Ϫ1 vN21N Ϫ12 p v1N Ϫ 122 cN Ϫ 1
N

Dejemos que la matriz de N ϫ N en (6) quede expresada mediante el símbolo FN. Dadas

las entradas f0, f1, f2, . . . , fNϪ1, ¿existe una forma sencilla de encontrar los coeficientes de
Fourier c0, c1, c2, . . . , cNϪ1? Si FN es la matriz constituida por los complejos conjugados
de los elementos de FN y si I expresa la matriz identidad de N ϫ N, entonces tenemos

FNFN ϭ FNFN ϭ NI por lo que FNϪ1 ϭ 1 FN.
N

A partir de (6) y de la última ecuación es posible deducir que

c0 f0

c1 1 f1

• c2 µ ϭ N FN • f2 µ .
oo

cN Ϫ 1 fN Ϫ 1

13.5 Transformada rápida de Fourier 605

■ Par de transformadas discretas De la sección 13.4, recuerde que en el par de

transformadas de Fourier utilizamos una función f (x) como entrada y calculamos los
coeficientes que proporcionan la amplitud para cada frecuencia k (ck en el caso de fun-
ciones periódicas con periodo 2␲), o calculamos los coeficientes que proporcionan la
amplitud para cada frecuencia ␣ (F (␣) en el caso de funciones no periódicas).

Asimismo, dadas estas frecuencias y estos coeficientes, podríamos reconstruir la fun-
ción original f (x). Para el caso discreto, usamos una muestra de N valores de la función
f (x) como entrada y calculamos los coeficientes que proporcionan la amplitud para cada

frecuencia de la muestra. Dadas estas frecuencias y estos coeficientes, es posible recons-
truir los n valores muestreados de f (x). El par transformado, el par de la transformada
discreta de Fourier, está dado por

c ϭ 1 FN f y f ϭ FN c. (7)
N

donde c0 f0
c1 f1
c ϭ • c2 µ y f ϭ • f2 µ .
oo

cN Ϫ 1 fN Ϫ 1

Ejemplo 1 Transformada discreta de Fourier

Establecemos N ϭ 4 en forma tal que la entrada sea f0, f1, f2, f3 en los cuatro puntos x ϭ 0,

␲/2, ␲, 3␲/2. Como ␻4 ϭ ei␲/2 ϭ cos apb ϩ i sen apb ϭ i, la matriz F4 es
2 2

1111

1 i Ϫ1 Ϫi
F4 ϭ ± 1 Ϫ1 ≤ .
1 Ϫ1

1 Ϫi Ϫ1 i

Por lo tanto, a partir de (7), los coeficientes de Fourier están dados por c ϭ 1 F4f :
4

c0 1 1 1 1 f0

± c1 ≤ ϭ 1 ± 1 Ϫi Ϫ1 i ≤ ± f1 ≤ .
c2 4 1 Ϫ1 1 Ϫ1 f2

c3 1 i Ϫ1 Ϫi f3

|F(α)| Si establecemos f0, f1, f2, f3 como 0, 2, 4, 6, respectivamente, podemos deducir, a partir de
3 la matriz producto anterior, que
2.5
2 c0 Ϫ3
1.5
1α cϭ ± c1 ≤ ϭ ± Ϫ1 ϩ i ≤ .
c2 Ϫ1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
c3 Ϫ1 Ϫ i
Figura 13.15 Gráfica de |F (␣)|
para el ejemplo 1 Observe que obtenemos el mismo resultado utilizando (4), esto es, F (␣) ϭ 3 f (nT)

606 anϭ0

ei␣nT, con T ϭ ␲/2, ␣ ϭ 0, 1, 2, 3. Las gráficas de |cn|, n ϭ 0, 1, 2, 3, o, de modo equiva-

lente, |F (␣)| para ␣ ϭ 0, 1, 2, 3, están dadas en la figura 13.15. ❏

El cálculo de los coeficientes involucra la multiplicación de las matrices Fn y Fn.
Debido a la naturaleza de estas matrices, estas multiplicaciones pueden realizarse de ma-
nera muy eficiente, desde el punto de vista computacional, mediante el uso de la transfor-
mada rápida de Fourier (TRF), la cual se estudia más adelante en esta sección.

CAPÍTULO 13 Método de la transformada integral

■ Ecuación de calor y serie discreta de Fourier Si la función f incluida en el pro-

blema de valor inicial

02u 0u (8)
k 0x2 ϭ 0t , Ϫq Ͻ x Ͻ q, t 7 0

u(x, 0) ϭ f (x)

es periódica con periodo 2␲, la solución puede escribirse en términos de la serie de
Fourier para f (x). También podemos aproximar esta solución con una suma finita

nϪ1

u 1x, t2 ϭ a ck 1t2 eikx.
kϭ0

Si analizamos ambos miembros de la ecuación unidimensional de calor dada en (8),
podemos observar que

0u ϭ nϪ1 dcj eijx
0t dt
a

jϭ0

y k 02u ϭ nϪ1 j 2 2eijx,
0x2
k a cj1t2 1i
jϭ0

puesto que d 2e ijx ϭ 1i j 2 2eijx .
dx 2

Se igualan estas dos expresiones para obtener la ecuación diferencial de primer
orden

dcj ϭ Ϫk j 2cj 1t2 con solución cj 1t2 ϭ cj 102 eϪkj2t.
dt

La tarea final consiste en encontrar los valores cj(0). Sin embargo, recordemos que
u(x, t) ϭ aknϭϪ01ck(t)eikx y u(x, 0) ϭ f (x), por lo que cj(0) son los coeficientes de la serie
discreta de Fourier de f (x). Compare esto con la sección 11.3.

■ Ecuación de calor y transformada discreta de Fourier El problema (8) de valor

inicial puede interpretarse como el modelo matemático para la temperatura u(x, t) pre-

sente en una barra de longitud infinita. En la sección 13.4 vimos que podemos resolver

(8) utilizando la transformada de Fourier, y que la solución u(x, t) depende de la trans-
formada de Fourier F (␣) de f (x) (consulte la página 601). Es posible aproximar F (␣)
enfocando la transformada discreta de Fourier desde otro punto de vista.

En primera instancia, aproximamos los valores de la transformada discretizando la
integral Ᏺ{f (x)} ϭ F (␣) ϭ ͐Ϫqq f 1x2 eiax dx. Considere el intervalo [a, b]. Hagamos que
f (x) esté dado por los n puntos uniformemente espaciados

bϪa
xj ϭ a ϩ n j, j ϭ 0, 1, 2, . . . , n Ϫ 1.

A continuación, aproximamos:

F1a2 Ϸ bϪa nϪ1 f 1xj 2 eiaxj
n
a

jϭ0

ϭ b Ϫ a nϪ1 f aa ϩ b Ϫ a j b eiaxj
n n
a

jϭ0

ϭ b Ϫ a nϪ1 f aa ϩ b Ϫ a bϪa
n n
a j b eiaa eia n j

jϭ0

ϭ b Ϫ a nϪ1 f aa ϩ b Ϫ a bϪa
n n
eiaa a j b eia n j.
jϭ0

13.5 Transformada rápida de Fourier 607