ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

orden encontradas en la sección 2.1, son del tipo que no tiene una dependencia explícita y
en la variable independiente. Las EDO de segundo orden de la forma
x
d2y 10
F (y, yЈ, yЉ) ϭ 0 o dx2 ϭ f ( y, yЈ),
Figura 3.17 Curva de la solución
ecuaciones sin la variable independiente x, se denominan autónomas. La ecuación dife- numérica del PVI (1) del ejemplo 3
rencial del ejemplo 2 es autónoma y, debido a la presencia del término x en su lado de-
recho, la ecuación del ejemplo 3 es no autónoma. Para un estudio minucioso del tema de
la estabilidad de las ecuaciones diferenciales autónomas de segundo orden y de sistemas
autónomos de ecuaciones diferenciales, se recomienda al lector remitirse al capítulo 11.

EJERCICIOS 3.7 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-6.

En los problemas 1 y 2, verifique si y1 y y2 son soluciones de 17. En cálculo, la curvatura de una curva definida por una
la ecuación diferencial dada pero que y ϭ c1y1 + c2y2 no es, en función y ϭ f (x) se expresa como

general, una solución. y–
k ϭ 3 1 ϩ 1y¿ 22 4 3>2.
1. (yЉ)2 ϭ y2; y1 ϭ ex, y2 ϭ cos x
Encuentre y ϭ f (x) para la cual ␬ ϭ 1. [Sugerencia: Por
2. yyЉ ϭ 1 ( yЈ)2; y1 ϭ 1, y2 ϭ x2 simplicidad, ignore las constantes de integración.]
2
Problemas de análisis
En los problemas 3 a 8, resuelva la ecuación diferencial dada
usando la sustitución u ϭ yЈ. 18. En el problema 1 vimos que cos x y ex eran soluciones
de la ecuación no lineal ( yЉ)2 – y2 ϭ 0. Compruebe que
3. yЉ + ( yЈ)2 + 1 ϭ 0 4. yЉ ϭ 1 + ( yЈ)2 sen x y e–x son también soluciones. Sin intentar resolver
5. x2yЉ + ( yЈ)2 ϭ 0 6. ( y + 1)yЉ ϭ ( yЈ)2 la ecuación diferencial, analice cómo se pueden encon-
7. yЉ + 2y( yЈ)3 ϭ 0 8. y2yЉ ϭ yЈ trar estas soluciones explícitas con base en el conoci-
miento de las ecuaciones lineales. Sin intentar verificar
9. Considere el problema de valor inicial analice por qué las combinaciones lineales y ϭ c1ex +
c2e–x + c3 cos x + c4 sen x y y ϭ c2e–x + c4 sen x no son, en
yЉ + yyЈ ϭ 0, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ –1. general, soluciones, pero las dos combinaciones lineales
especiales y ϭ c1ex + c2e–x y y ϭ c3 cos x + c4 sen x deben
a) Use la ED y un programa de solución numérica satisfacer la ecuación diferencial.
para graficar la curva solución.
19. Analice la forma en que el método de reducción de orden
b) Encuentre una solución explícita del PVI. Use una considerado en esta sección puede aplicarse a la ecuación
diferencial de tercer orden yٞ ϭ 21 ϩ 1y– 22. Desarrolle
herramienta graficadora para trazar esta solución. sus ideas y resuelva la ecuación.

c) Encuentre un intervalo de definición para la solu- 20. Analice cómo encontrar una familia biparamétrica de
soluciones que sea alternativa para la ecuación diferen-
ción determinada en la parte b). cial no lineal yЉ ϭ 2x( yЈ)2 del ejemplo 1. [Sugerencia:
Suponga que Ϫc12 se usa como la constante de integra-
10. Encuentre dos soluciones del problema de valor inicial ción en lugar de +c12.]

( yЉ)2 + ( yЈ)2 ϭ 1, yapb ϭ 1 y¿apb ϭ 23 Modelos matemáticos
, .
22 2 2 21. Movimiento en un campo de fuerza Un modelo ma-
temático para la posición x(t) de un cuerpo que se des-
Use un programa de solución numérica para graficar las plaza de manera rectilínea sobre el eje x dentro de un
campo de fuerza de cuadrado inverso está dado por
curvas solución.
d2x k2
En los problemas 11 y 12, muestre que la sustitución u ϭ yЈ dt2 ϭ x2.
lleva a una ecuación de Bernoulli. Resuelva esta ecuación (vea
la sección 2.5). Suponga que en t ϭ 0 el cuerpo parte desde el reposo de
la posición x ϭ x0, x0 > 0. Muestre que la velocidad del
11. xyЉ ϭ yЈ + ( yЈ)3 12. xyЉ ϭ yЈ + x( yЈ)2 cuerpo en el tiempo t está dada por v2 ϭ 2k2(1/x – 1/x0).

En los problemas 13 a 16, proceda como en el ejemplo 3 y
obtenga los primeros seis términos diferentes de cero de una
solución de la serie de Taylor, centrada en 0, para el problema
de valor inicial dado. Use un programa de solución numérica
y una herramienta graficadora para comparar la curva solución
con la gráfica del polinomio de Taylor.

13. yЉ ϭ x + y2, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 1
14. yЉ + y2 ϭ 1, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 3
15. yЉ ϭ x2 + y2 – 2yЈ, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 1
16. yЉ ϭ ey, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ –1

3.7 Ecuaciones no lineales 149