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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-07 10:53:55

ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

Para cumplir nuestros propósitos en este capítulo, es importante reconocer que el conjun-
to de funciones generadas por este problema de valores en la frontera, esto es, {sen(n␲x/
L)} , n ϭ 1, 2, 3, . . . , es el conjunto de funciones ortogonales en el intervalo [0, L] utili-
zado como base de la serie seno de Fourier.

Ejemplo 1 Valores propios y funciones propias

Se deja como ejercicio para el lector demostrar que, considerando los tres casos posibles
del parámetro ␭ (cero, negativo o positivo; esto es, ␭ ϭ 0, ␭ ϭ Ϫ␣2 < 0, ␣ > 0 y ␭ ϭ
␣2 > 0, ␣ > 0), los valores propios y las funciones propias del problema de valores en la
frontera

yЉ ϩ ␭y ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0 (2)

son, respectivamente, ␭n ϭ an2 ϭ n2␲ 2/L2, n ϭ 0, 1, 2, . . . , y y ϭ c1 cos (n␲x/L), c1 0.
En contraste con (1), ␭0 ϭ 0 es un valor propio para este problema de valor en la fronte-
ra, y y ϭ 1 es la función propia correspondiente. Esta última resulta de resolver yЉ ϭ 0

sujeta a las mismas condiciones de frontera yЈ(0) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0. Observe también que

y ϭ 1 puede incorporarse a la familia y ϭ cos (n␲x/L) al establecer n ϭ 0. El conjunto

{cos (n␲x/L)}, n ϭ 0, 1, 2, 3, . . . , es ortogonal en el intervalo [0, L]. Consulte el proble-

ma 3 de los ejercicios 10.5. ❏

■ Problema regular de Sturm-Liouville Los problemas (1) y (2) son casos especia-

les de un importante problema general de valores en la frontera de dos puntos. Sean p, q,
r y rЈ funciones continuas con valores reales en un intervalo [a, b], y sean r(x) > 0 y p(x)
> 0 para toda x presente en el intervalo. Entonces

Resolver: d (3)
[r(x)yЈ] ϩ (q(x) ϩ ␭p(x))y ϭ 0

dx

Sujeta a: A1y(a) ϩ B1yЈ(a) ϭ 0 (4)

A2y(b) ϩ B2yЈ(b) ϭ 0 (5)

se dice que es un problema regular de Sturm-Liouville. Se supone que los coeficientes
de las condiciones de frontera (4) y (5) son reales e independientes de ␭. Además, A1 y B1
no son cero y A2 y B2 tampoco lo son. Los problemas (1) y (2) de valores en la frontera
son problemas regulares de Sturm-Liouville. A partir de (1), podemos identificar r(x)
ϭ 1, q(x) ϭ 0 y p(x) ϭ 1 en la ecuación diferencial (3); en la condición de frontera (4)
identificamos a ϭ 0, A1 ϭ 1, B1 ϭ 0, y en (5) b ϭ L, A2 ϭ 1, B2 ϭ 0. A partir de (2), las
identificaciones podrán ser a ϭ 0, A1 ϭ 0, B1 ϭ 1 en (4), b ϭ L, A2 ϭ 0, B2 ϭ 1 en (5).

La ecuación diferencial (3) es lineal y homogénea. Las condiciones de frontera en (4)
y (5) son una combinación lineal de y y yЈ igual a cero en un punto, también se llaman
homogéneas. Una condición de frontera como A2y(b) ϩ B2yЈ(b) ϭ C2, donde C2 es una
constante diferente de cero, es no homogénea. Naturalmente, se dice que un problema

de valores en la frontera constituido por una ecuación diferencial lineal homogénea y

condiciones de frontera homogéneas es homogéneo; de otra forma, es no homogéneo.

Debido a que un problema regular de Sturm-Liouville es un problema homogéneo de
valores en la frontera, siempre posee la solución trivial y ϭ 0. Sin embargo, no nos in-
teresa esta solución. De igual manera que en el ejemplo 1, para resolver dicho problema
buscamos números ␭ (valores propios) y soluciones y no triviales y que dependan de ␭
(funciones propias).

■ Propiedades El teorema 10.3 es una lista de algunas de las tantas propiedades im-

portantes del problema regular de Sturm-Liouville. Demostraremos solamente la última
propiedad.

10.5 Problema de Sturm-Liouville 513

TEOREMA 10.3 Propiedades del problema regular
de Sturm-Liouville

a) Existe un número infinito de valores propios reales que pueden disponerse en

orden ascendente ␭1 < ␭2 < ␭3 < . . . < ␭n < . . . de tal manera que ␭n → ϱ a me-
dida que n → ϱ.

b) Para cada valor propio existe solamente una función propia (excepto para múlti-
plos constantes diferentes de cero).

c) Las funciones propias correspondientes a los diferentes valores propios son li-
nealmente independientes.

d) El conjunto de funciones propias correspondientes al conjunto de valores propios
es ortogonal respecto a la función peso p(x) en el intervalo [a, b].

Demostración de d) Sean ym y yn funciones propias correspondientes a los valores
propios ␭m y ␭n, respectivamente. Entonces

d (6)
dx [r(x)yЈm] ϩ (q(x) ϩ ␭mp(x))ym ϭ 0

d (7)
dx [r(x)yЈn] ϩ (q(x) ϩ ␭np(x))yn ϭ 0.

Multiplicamos (6) por yn y (7) por ym y al restar las dos ecuaciones obtenemos
dd

1lm Ϫ ln2p1x2ymyn ϭ ym dx 3 r1x2 yn¿ 4 Ϫ yn dx 3 r1x2ym¿ 4 .
Integramos por partes este último resultado desde x ϭ a hasta x ϭ b y resulta

b

Ύ(␭m Ϫ ␭n) p(x)ymyn dx ϭ r(b) [ ym(b) yЈn(b) Ϫ yn(b)yЈm(b)] Ϫ r(a) [ ym(a)yЈn(a) Ϫ yn(a)yЈm(a)]. (8)
a

Las funciones propias ym y yn deben satisfacer las condiciones de frontera (4) y (5). En
particular, a partir de (4) obtenemos

A1ym(a) ϩ B1yЈm(a) ϭ 0
A1yn(a) ϩ B1yЈn(a) ϭ 0.

Para que A1 y B1 satisfagan este sistema, sin que ambos sean iguales a cero, el determi-
nante de los coeficientes debe ser cero:

ym(a)yЈn(a) Ϫ yn(a)yЈm(a) ϭ 0.

Al aplicar un argumento similar a (5) nos da

ym(b)yЈn(b) Ϫ yn(b)yЈm(b) ϭ 0.

Utilizamos estos dos resultados en (8) para demostrar que ambos miembros del lado de-
recho son iguales a cero. Por lo tanto, establecimos la relación ortogonal

b (9) ❏

Ύ p(x)ym(x)yn(x) dx ϭ 0, ␭m ␭n.
a

Asimismo, se puede demostrar que el conjunto de funciones propias ortogonales

{y1(x), y2(x), y3(x), . . . } de un problema regular de Sturm-Liouville es completo en [a, b].
Consulte la página 494.

514 CAPÍTULO 10 Funciones ortogonales y series de Fourier

Ejemplo 2 Un problema regular de Sturm-Liouville

Resolver el problema de valor en la frontera

yЉ ϩ ␭y ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(1) ϩ yЈ(1) ϭ 0. (10)

Solución Debe demostrarse que para ␭ ϭ 0 y ␭ ϭ Ϫ␣2 < 0, donde ␣ > 0, el problema
(10) de valor en la frontera tiene solamente la solución trivial y ϭ 0. Para ␭ ϭ ␣2 > 0,
␣ > 0, la solución general de la ecuación diferencial yЉ ϩ ␣2y ϭ 0 es y ϭ c1 cos ␣ x ϩ c2
sen ␣ x. Ahora la condición y(0) ϭ 0 implica c1 ϭ 0 en esta solución, por ello solamente
nos queda y ϭ c2 sen ␣ x. La segunda condición de frontera y(1) ϩ yЈ(1) ϭ 0 se satisface
cuando

c2 sen a ϩ c2a cos a ϭ 0.

Establecemos c2 0, y podemos observar que la última ecuación es equivalente a

tan a ϭ Ϫa. (11)

Si x ϭ ␣ en (11), entonces la figura 10.20 muestra la plausibilidad de que exista un

número infinito de raíces de la ecuación tan x ϭ Ϫx, es decir, las coordenadas x de los

puntos donde la gráfica de y ϭ Ϫx interseca las ramas de la gráfica de y ϭ tan x. Los
valores propios del problema (10) son, entonces, ␭n ϭ ␣ n2, donde ␣n, n ϭ 1, 2, 3, …, son
las raíces positivas consecutivas ␣1, ␣2, ␣3, … de (11). Con ayuda de un sistema asistido
por computadora se demuestra fácilmente que, redondeando a cuatro cifras decimales,

␣1 ϭ 2.0288, ␣2 ϭ 4.9132, ␣3 ϭ 7.9787 y ␣4 ϭ 11.0855, y las soluciones correspondien-
tes son y1 ϭ sen 2.0288x, y2 ϭ sen 4.9132x, y3 ϭ sen 7.9787x y y4 ϭ sen 11.0855x. En
general, las funciones propias del problema son {sen ␣nx}, n ϭ 1, 2, 3, . . . .

y y = tan x

x1 x2 x3 x4 x

y = –x

Figura 10.20 Raíces positivas de tan x ϭ –x

Con las identificaciones r(x) ϭ 1, q(x) ϭ 0, p(x) ϭ 1, A1 ϭ 1, B1 ϭ 0, A2 ϭ 1 y B2 ϭ 1

podemos observar que (10) es un problema regular de Sturm-Liouville. Por lo tanto,

{sen ␣nx}, n ϭ 1, 2, 3, … es un conjunto ortogonal respecto a la función peso p(x) ϭ 1

en el intervalo [0, 1]. ❏

En algunas circunstancias, es posible demostrar la ortogonalidad de las soluciones de
(3) sin necesidad de especificar una condición de frontera en x ϭ a y en x ϭ b.

10.5 Problema de Sturm-Liouville 515

■ Problema singular de Sturm-Liouville Existen otras condiciones importantes en

las cuales buscamos soluciones no triviales de la ecuación diferencial (3):

• r(a) ϭ 0 y una condición de frontera del tipo dado en (5) especificada en x ϭ b; (12)

• r(b) ϭ 0 y una condición de frontera del tipo dado en (4) especificada en x ϭ a; (13)

• r(a) ϭ r(b) ϭ 0 y que no se especifique una condición de frontera en x ϭ a o en x ϭ b; (14)

• r(a) ϭ r(b) y las condiciones de frontera y(a) ϭ y(b), yЈ(a) ϭ yЈ(b). (15)

Se dice que la ecuación diferencial (3) junto con una de las condiciones (12) o (13) es un
problema singular de valor en la frontera. Se afirma también que la ecuación (3) con las
condiciones especificadas en (5) es un problema periódico de valor en la frontera (y otra
afirmación es que las condiciones de frontera son periódicas). Observe que si, digamos,
r(a) ϭ 0 entonces x ϭ a puede ser un punto singular de la ecuación diferencial y, en con-
secuencia, una solución de (3) puede hacerse infinita a medida que x → a. Sin embargo,
a partir de (8) vemos que si r(a) ϭ 0, entonces no se requiere de una condición de fron-
tera en x ϭ a para demostrar la ortogonalidad de las funciones propias siempre y cuando
estas soluciones estén acotadas en ese punto. Este último requisito garantiza la existencia
de las integrales involucradas. Suponiendo que las soluciones de (3) están acotadas en el
intervalo cerrado [a, b], por simple inspección de la ecuación (8) advertimos que:

• si r(a) ϭ 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) es válida sin ninguna (16)
condición de frontera en x ϭ a;

• si r(b) ϭ 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) es válida sin ninguna (17)
condición de frontera en x ϭ b;*

• si r(a) ϭ r(b) ϭ 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) es válida sin ninguna

condición de frontera ya sea en x ϭ a o x ϭ b; (18)

• si r(a) ϭ r(b), entonces la relación de ortogonalidad (9) se mantiene con (19)
las condiciones de frontera periódicas y(a) ϭ y(b), yЈ(a) ϭ yЈ(b).

■ Formulación autoadjunta Si efectuamos la diferenciación d 3 r1x2y¿ 4 , la ecua-

dx
ción diferencial (3) es lo mismo que

r1x2y– ϩ r¿ 1x2y¿ ϩ 1q1x2 ϩ lp1x22y ϭ 0. (20)

Por ejemplo, la ecuación diferencial de Legendre 11 Ϫ x22y– Ϫ 2xy¿ ϩ n1n ϩ 12y ϭ 0
es exactamente de la forma dada en (20) con r 1x2 ϭ 1 Ϫ x2 y rЈ(x) ϭ Ϫ2x. En otras

palabras, otra forma de escribir la ecuación diferencial de Legendre es

d 3 11 x22y¿ 4 n1n 12y 0. (21)
dx

Sin embargo, si usted comparara otras ecuaciones diferenciales de segundo orden (diga-
mos, la ecuación de Bessel, las ecuaciones de Cauchy-Euler y ecuaciones diferenciales
con coeficientes constantes) podría pensar, puesto que el coeficiente de yЈ es la derivada
del coeficiente de yЉ, que algunas otras ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen
la forma dada en (3). Por el contrario, si los coeficientes son continuos y a(x) 0 para
toda x en algún intervalo, entonces cualquier ecuación diferencial de segundo orden

a(x)yЉ ϩ b(x)yЈ ϩ (c(x) ϩ ␭d(x))y ϭ 0 (22)

puede escribirse nuevamente de la manera llamada formulación autoadjunta (3). Para
apreciar esto, procedemos igual que en la sección 2.3, donde volvimos a escribir una
ecuación

*Las condiciones (16) y (17) equivalen a seleccionar A1 ϭ 0, B1 ϭ 0 en (4), y A2 ϭ 0, B2 ϭ 0 en (5), res-
pectivamente.

516 CAPÍTULO 10 Funciones ortogonales y series de Fourier


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