ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

EJERCICIOS 7.4 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-15.

En los problemas del 1 al 4, suponga que 453 1 6 0
19. ° 1 2 3 ¢ 4

2 34 123 20. ° 1 8 0¢
A ϭ ° 1 Ϫ1 2 ¢ 3
Ϫ2 Ϫ1 4
Ϫ2 3 5 21. ° Ϫ3 6 1 ¢ 1 9 0
2
Ϫ3 4 8
Encuentre los siguientes menores o cofactores. 3 51
22. ° Ϫ1 2 5 ¢
1. M12 2. M32 3. C13 4. C22
7 Ϫ4 10

En los problemas del 5 al 8, suponga que 111
23. ° x y z ¢
02 4 0
234

A ϭ ±1 2 Ϫ2 3 ≤ . 111
5 1 0 Ϫ1 24. ° x y z ¢

11 1 2 2ϩx 3ϩy 4ϩz

Encuentre los siguientes menores o cofactores. 1 1 Ϫ3 0 2 1 Ϫ2 1
26. ± 0 5 0 4 ≤
5. M33 6. M41 7. C34 8. C23 ±1 5 3 2≤
1 Ϫ2 10 1 6 10
En los problemas del 9 al 14, evalúe el determinante de la ma- 25. 5 Ϫ1 1 1
triz dada.
4 8 00

9. (Ϫ7) 10. (2) 3 Ϫ2 Ϫ0 1 Ϫ1 2 Ϫ2 Ϫ0 0 Ϫ2
01423 11605
11. aϪ13 5b 1 1 27. •0 0 2 Ϫ1 1μ 28. •1 0 2 Ϫ1 Ϫ1μ
4 00043 2 0 1 Ϫ2 3
12. a 4 2 b 00002 01001
1
Ϫ43
3

13. a1 Ϫ l 2 3 lb 14. aϪ3ϪϪ2 l 5 ϪϪ4l b
2 Ϫ

En los problemas del 15 al 28, evalúe el determinante de la En los problemas 29 y 30, encuentre los valores de l que satis-
matriz dada mediante la expansión por cofactores. fagan la ecuación dada.

020 5 00 29. 2 Ϫ3 Ϫ l 5 10 l2 ϭ 0
15. ° 3 0 1 ¢ 16. ° 0 Ϫ3 0 ¢ 2 Ϫ

058 0 02 1 Ϫ l 0 Ϫ1
1 Ϫ1 Ϫ1 30. 3 1 2 Ϫ l Ϫ1 3 ϭ 0
302 18. ° 2 2 Ϫ2 ¢
17. ° 2 7 1 ¢ 119 3 3 Ϫl

264

7.5 Propiedades de los determinantes

■ Introducción En esta sección vamos a considerar algunas de las muchas propiedades

de los determinantes. El objetivo de nuestro estudio es emplear estas propiedades para de-
sarrollar medios de evaluación de un determinante como una alternativa para la expansión
por cofactores.

■ Propiedades La primera propiedad establece que el determinante de una matriz de

n ϫ n y su transpuesta son iguales.

7.5 Propiedades de los determinantes 331

T E O R E M A 7. 8 Determinante de una transpuesta

Si AT es la transpuesta de la matriz A de n ϫ n, entonces det AT ϭ det A.

5 7 se tiene AT ϭ a5 3
Por ejemplo, para la matriz A ϭ a b, b . Observe que
3 Ϫ4 7 Ϫ4

det A ϭ 2 5 7 2 ϭ Ϫ41 y det AT ϭ 2 5 3 2 ϭ Ϫ41.
3 Ϫ4 7 Ϫ4

Puesto que la transposición de una matriz tiene el efecto de intercambiar sus ren-
glones y columnas, el significado del teorema 7.8 es que los enunciados que tienen que
ver con determinantes y con los renglones de una matriz también son válidos cuando la
palabra “renglón” se reemplaza por la palabra “columna”.

T E O R E M A 7. 9 Dos renglones idénticos

Si cualesquiera dos renglones (columnas) de una matriz A de n × n son iguales,
entonces det A ϭ 0.

Ejemplo 1 Matriz con dos renglones idénticos

622

Puesto que la segunda y la tercera columnas de la matriz A ϭ ° 4 2 2 ¢ son iguales,

922

a partir del teorema 7.9 se puede deducir que

622 ❏
det A ϭ 3 4 2 2 3 ϭ 0.

922

Usted deberá verificar lo anterior expandiendo por cofactores el determinante.

T E O R E M A 7.10 Renglón o columna con ceros

Si todos los elementos presentes en un renglón (columna) de una matriz A de n ϫ n
son cero, entonces det A = 0.

Demostración Suponga que el i-ésimo renglón de A está constituido por ceros. De

aquí que, en la expansión por cofactores de det A a lo largo del i-ésimo renglón, todos

los productos sean cero y, en consecuencia, det A ϭ 0. ❏

Por ejemplo, del teorema 7.10 se puede deducir inmediatamente que

renglón cero → 0 0 2 ϭ 0 columna cero ↓
2 Ϫ6
7 4 60
y 3 1 5 0 3 ϭ 0.

8 Ϫ1 0

T E O R E M A 7.11 Intercambio de renglones

Si B es la matriz que se obtiene al intercambiar cualquier par de renglones (colum-
nas) de una matriz A de n ϫ n, entonces det B ϭ Ϫdet A.

332 CAPÍTULO 7 Matrices

Por ejemplo, si B es la matriz que se obtiene al intercambiar los renglones primero y
4 Ϫ1 9

tercero de A ϭ ° 6 0 7 ¢ , entonces, a partir del teorema 7.11 tenemos

2 13

2 13 4 Ϫ1 9

det B ϭ 3 6 0 7 3 ϭ Ϫ3 6 0 7 3 ϭ Ϫdet A.

4 Ϫ1 9 2 13

Usted puede comprobar lo anterior calculando ambos determinantes.

T E O R E M A 7.12 Constante múltiple de un renglón

Si B es la matriz que se obtiene a partir de una matriz A de n ϫ n multiplicando un
renglón (columna) por un número k real diferente de cero, entonces det B ϭ k det A.

Demostración Suponga que los elementos presentes en el i-ésimo renglón de A se
multiplican por el número k. Llamemos B a la matriz resultante. Al expandir por cofacto-
res la matriz B a lo largo del i-ésimo renglón nos da

det B ϭ kai1Ci1 ϩ kai2Ci2 ϩ . . . ϩ kainCin
ϭ k(ai1Ci1 ϩ ai2Ci2 ϩ . . . ϩ ainCin) ϭ k det A.

expansión por cofactores de det A a lo largo del i-ésimo renglón ❏

Ejemplo 2 Teoremas 7.12 y 7.9

de la primera de la segunda del segundo
columna columna renglón

↓↓ ↓

a) 2 5 8 18 11 11
20 2 ϭ 52 2 ϭ 5 ؒ 8 2 2 ϭ 5 ؒ 8 ؒ 2 2 2 ϭ 8011 Ϫ 22 ϭ Ϫ80
16 4 16 42 21

de la segunda columna del teorema 7.9

↓ ↓

4 2 Ϫ1 4 Ϫ1 Ϫ1

b) 3 5 Ϫ2 1 3 ϭ 1Ϫ223 5 1 1 3 ϭ 1Ϫ22 ؒ 0 ϭ 0 ❏

7 4 Ϫ2 7 Ϫ2 Ϫ2

T E O R E M A 7.13 Determinante de un producto
de matrices

Si tanto A como B son matrices de n ϫ n, entonces det AB ϭ det A и det B.

En otras palabras, el determinante de un producto de dos matrices de n ϫ n es igual al
producto de los determinantes de tales matrices.

Ejemplo 3 Determinante de un producto de matrices

2 63 Ϫ4b. Entonces AB ϭ aϪ12 22
Suponga que A ϭ a Ϫ1b y B ϭ aϪ3 56 Ϫ9b. Ahora

1

det AB ϭ Ϫ24, det A ϭ Ϫ8, det B ϭ 3, y así podemos observar que

det A и det B ϭ (Ϫ8)(3) ϭ Ϫ24 ϭ det AB. ❏

7.5 Propiedades de los determinantes 333

T E O R E M A 7.14 Determinante inalterado

Suponga que B es la matriz obtenida a partir de una matriz A de n ϫ n multiplican-
do los elementos de un renglón (columna) por un número real k diferente de cero,
y sumando luego el resultado a los elementos correspondientes de otro renglón (co-
lumna). Entonces det B ϭ det A.

Ejemplo 4 Un múltiplo de un renglón sumado a otro

5 12
Suponga que A ϭ ° 3 0 7 ¢ y que la matriz B está definida como la matriz que se

4 Ϫ1 4
obtiene a partir de A mediante la operación elemental de renglones,

5 12 Ϫ3R1ϩ R3 512

A ϭ ° 3 0 7 ¢ 1 ° 3 0 7 ¢ ϭ B.

4 Ϫ1 4 Ϫ11 Ϫ4 Ϫ2

Al expandir por cofactores a lo largo de, digamos, la segunda columna, encontramos que

det A ϭ 45 y det B ϭ 45. El estudiante deberá comprobar este resultado. ❏

T E O R E M A 7.15 Determinante de una matriz
triangular

Suponga que A es una matriz triangular de n ϫ n (superior o inferior). Entonces
det A ϭ a11a22 . . . ann,

donde a11, a22, …, ann son los elementos de la diagonal principal de A.

Comprobación Demostremos el resultado de una matriz triangular inferior de 3 ϫ 3

a11 0 0 ❏
A ϭ ° a21 a22 0 ¢ .

a31 a32 a33
Al expandir det A por cofactores a lo largo del primer renglón nos da

det A ϭ a112 a22 0 2 ϭ a11(a22a33 Ϫ 0 и a32) ϭ a11a22a33.
a32 a33

Ejemplo 5 Determinante de una matriz triangular

a) El determinante de la matriz triangular inferior

30 0 0

A ϭ ±2 6 0 0≤
5 9 Ϫ4 0

7 2 4 Ϫ2

30 0 0

es det A ϭ 4 2 6 0 0 4 ϭ 3 и 6 и (Ϫ4) и (Ϫ2) ϭ 144.
5 9 Ϫ4 0

7 2 4 Ϫ2

334 CAPÍTULO 7 Matrices

Ϫ3 0 0 ❏
b) El determinante de la matriz diagonal A ϭ ° 0 6 0 ¢ es

004

Ϫ3 0 0
det A ϭ 3 0 6 0 3 ϭ (Ϫ3) и 6 и 4 ϭ Ϫ72.

004

■ Reducción de renglones Evaluar el determinante de una matriz de n × n emplean-

do el método de expansión por cofactores requiere de un esfuerzo colosal cuando la ma-
triz es de orden superior. Para expandir el determinante de, digamos, una matriz de 5 × 5
con elementos diferentes de cero se requiere la evaluación de cinco cofactores que son
los determinantes de submatrices de 4 × 4; cada una de éstas, a su vez, requiere de cuatro
cofactores adicionales que son los determinantes de submatrices de 3 × 3, etc. Existe
un método más práctico (y programable) para evaluar el determinante de una matriz.
Este método se basa en la reducción de una matriz a una forma triangular, mediante ope-
raciones de renglón, y en el hecho de que los determinantes de las matrices triangulares
son fáciles de evaluar (consulte el teorema 7.15).

Ejemplo 6 Reducción de un determinante a su forma triangular

6 27
Evalúe el determinante de A ϭ ° Ϫ4 Ϫ3 2 ¢ .

2 48

Solución

6 27
det Aϭ 3 Ϫ4 Ϫ3 2 3

2 48

6 27 (2 es un factor común en el tercer renglón: teorema 7.12)
ϭ 2 3 Ϫ4 Ϫ3 2 3

1 24

1 24 (intercambio de los renglones primero y tercero: teorema
ϭ Ϫ2 3 Ϫ4 Ϫ3 2 3 7.11)

6 27

12 4 (4 veces el primer renglón sumado al segundo: teorema
ϭ Ϫ2 3 0 5 18 3 7.14)

62 7

124
ϭ Ϫ2 3 0 5 18 3 (Ϫ6 veces el primer renglón sumado al tercero: teorema

0 Ϫ10 Ϫ17 7.14)

12 4 (2 veces el segundo renglón sumado al tercero: teorema 7.14)
ϭ Ϫ2 3 0 5 18 3

0 0 19

ϭ (Ϫ2)(1)(5)(19) ϭ Ϫ190 (teorema 7.15) ❏

Nuestro teorema final tiene que ver con los cofactores. En la sección 7.4 estudiamos
que un determinante det A de una matriz A de n ϫ n podría ser evaluado mediante la ex-
pansión de cofactores a lo largo de cualquier renglón (columna). Esto significa que los n

7.5 Propiedades de los determinantes 335

elementos aij de un renglón (columna) se multiplican por los cofactores correspondientes
Cij y que los n productos se suman. Sin embargo, si los elementos aij de un renglón (aij de
una columna) de A se multiplican por los cofactores correspondientes Ckj de un renglón
diferente (Cik de una columna diferente), la suma de los n productos es igual a cero.

T E O R E M A 7.16 Una propiedad de los cofactores

Suponga que A es una matriz de n ϫ n. Si ai1, ai2, …, ain son los elementos presentes
en el renglón i-ésimo y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de los elementos ubica-
dos en el k-ésimo renglón, entonces

ai1Ck1 ϩ ai2Ck2 ϩ . . . ϩ ainCkn ϭ 0 para i k.

Si a1j, a2j,…, anj son los elementos de la columna j-ésima y C1k, C2k,…, Cnk son los
cofactores de los elementos de la k-ésima columna, entonces

a1jC1k ϩ a2jC2k ϩ . . . ϩ anjCnk ϭ 0 para j k.

Demostración Se demostrarán los resultados por renglones. Sea B la matriz que se

obtiene a partir de A permitiendo que los elementos del i-ésimo renglón de A sean los mis-
mos que hay en el k-ésimo renglón, es decir, ai1 ϭ ak1, ai2 ϭ ak2, . . . , ain ϭ akn. Puesto que
B tiene dos renglones iguales, a partir del teorema 7.9 se puede deducir que det B ϭ 0. La
expansión por cofactores a lo largo del k-ésimo renglón proporciona entonces el resultado

deseado:

0 ϭ det B ϭ ak1Ck1 ϩ ak2Ck2 ϩ . . . ϩ aknCkn ❏
ϭ ai1Ck1 ϩ ai2Ck2 ϩ . . . ϩ ainCkn.

Ejemplo 7 Cofactores del tercer renglón y elementos del primer renglón

6 27
Considere la matriz A ϭ ° Ϫ4 Ϫ3 2 ¢ . Ahora suponga que multiplicamos los ele-

2 48
mentos del primer renglón por los cofactores del tercero y sumamos los resultados; esto es,

27 67 6 2
a11C31 ϩ a12C32 ϩ a13C33 ϭ 6 2Ϫ3 2 ϩ 2 aϪ2 22 b ϩ 7 2Ϫ4 Ϫ3 2
2 Ϫ4ˇˇ

ϭ 6(25) ϩ 2(Ϫ40) ϩ 7(Ϫ10) ϭ 0. ❏

EJERCICIOS 7.5 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-15.

En los problemas del 1 al 10, establezca el o los teoremas apro- 1 2 3 4 2 18
piados de esta sección que justifiquen la igualdad dada. No 6. 3 4 2 18 3 ϭ 3 5 9 Ϫ12 3
expanda por cofactores los determinantes.
5 9 Ϫ12 1 2 3

1. 2 1 2 2 ϭ Ϫ2 3 4 2 2. 2 1 2 2 ϭ 2 1 2 2 050 6 321
34 12 34 46 8. 3 2 6 3 3 ϭ 0

2 Ϫ5 6 1 6 100 100 7. 42 1 0 8 4 ϭ 0 5 Ϫ8 Ϫ4
2 Ϫ8 Ϫ6 Ϫ8 0 2 0 Ϫ9
3. 2 ϭ 2 2 4. 3 0 0 2 3 ϭ Ϫ2 3 0 1 0 3
060 4
010 001

12 3 12 1 123 147
5. 3 4 2 18 3 ϭ 6 3 2 1 3 3 9. 3 4 5 6 3 ϭ 3 2 5 8 3

5 9 Ϫ12 5 9 Ϫ4 789 369

336 CAPÍTULO 7 Matrices

1000 0001 23. Considere la matriz
10. 4 0 2 0 0 4 ϭ 4 0 0 2 0 4
a aϩ1 aϩ2
0030 0300 A ϭ °b b ϩ 1 b ϩ 2¢ .
0004 4000
c cϩ1 cϩ2
En los problemas del 11 al 14, evalúe el determinante de la Sin utilizar expansión, evalúe det A.
matriz dada usando el resultado,
24. Considere la matriz

a1 a2 a3 111
3 b1 b2 b3 3 ϭ 5. Aϭ ° x y z¢.
c1 c2 c3
yϩz xϩz xϩy

a3 a2 a1 2a1 a2 a3 Sin utilizar expansión, demuestre que det A ϭ 0.
11. A ϭ ° b3 b2 b1 ¢ 12. B ϭ ° 6b1 3b2 3b3 ¢
En los problemas del 25 al 32, utilice el procedimiento que se
c3 c2 c1 2c1 c2 c3 ilustra en el ejemplo 6 para evaluar el determinante de la matriz
que se proporciona.

Ϫa1 Ϫa2 Ϫa3 1 15 24 5
13. C ϭ ° b1 b2 b3 ¢ 25. ° 4 3 6 ¢ 26. ° 4 2 0 ¢

c1 Ϫ a1 c2 Ϫ a2 c3 Ϫ a3 0 Ϫ1 1 8 7 Ϫ2

a1 b1 c1 Ϫ1 2 3 Ϫ2 2 Ϫ6
14. D ϭ ° a2 b2 c2 ¢ 27. ° 4 Ϫ5 Ϫ2 ¢ 28. ° 5 0 1 ¢

a3 b3 c3 9 Ϫ9 6 1 Ϫ2 2

En los problemas del 15 al 18, evalúe el determinante de la 1 Ϫ2 2 1 0145
matriz dada sin expandir por cofactores.
2 1 Ϫ2 3≤ 30. ± 2501 ≤
29. ± 4 Ϫ8 1
6 1 8 10 1220
3

15. A ϭ ± 0 2 7 2≤ 3 Ϫ11 12 2 3132
3 9

0 0 Ϫ4 123 4 2918

0 0 0 Ϫ5 31. ± 1 3 5 7 ≤ 32. ± 1 3 7 4 ≤
236 7 0165
0 0 a13
16. B ϭ ° 0 a22 a23 ¢ 1 5 8 20 3142

a31 a32 a33 33. Proceda como en el ejemplo 6, y demuestre que

Ϫ5 0 0 07 0 111
17. C ϭ ° 0 7 0 ¢ 18. D ϭ ° 4 0 0 ¢ 3 a b c 3 ϭ (b Ϫ a)(c Ϫ a)(c Ϫ b).
a2 b2 c2
003 0 0 Ϫ2

En los problemas 19 y 20, verifique si det A ϭ det AT para la 1111
matriz A que se proporciona. abcd
34. Evalúe 4 a2 b2 c2 d2 4. [Sugerencia: Consulte
12 1 23 4
19. A ϭ ° 4 1 Ϫ1 ¢ 20. A ϭ ° 1 0 5 ¢ el problema 33.]
a3 b3 c3 d3
1 2 Ϫ1 7 2 Ϫ1
En los problemas 35 y 36, verifique el teorema 7.16 mediante
21. Considere las matrices
la evaluación de a21C11 ϩ a22C12 ϩ a23C13 y a13C12 ϩ a23C22 ϩ
a33C32 en la matriz dada.

2 Ϫ1 1 2 15 1 12 30 5
A ϭ ° 3 1 Ϫ1 ¢ y Bϭ °4 3 8¢.
35. A ϭ ° Ϫ1 2 1 ¢ 36. A ϭ ° Ϫ2 3 Ϫ1 ¢
022 0 Ϫ1 0
4 Ϫ2 1 2 2 Ϫ3

Verifique si det AB ϭ det A det B. 37. Sea A ϭ 3 Ϫ4b y B ϭ 7 Ϫ45b. Verifique si
a 2 aϪ1
22. Suponga que A es una matriz de n ϫ n tal que A2 ϭ I, 1
donde A2 ϭ AA. Demuestre que det A ϭ Ϯ1.
det(A ϩ B) det A ϩ det B.

7.5 Propiedades de los determinantes 337

38. Suponga que A es una matriz de 5 ϫ 5 para la que det a) Compare el número de operaciones necesarias para
A ϭ Ϫ7. ¿Cuál es el valor de det(2A)? ambos métodos utilizando una matriz de 25 ϫ 25.

39. Se dice que una matriz A de n ϫ n es antisimétrica si b) Si una computadora puede realizar 50 000 opera-
AT ϭ ϪA. Si A es una matriz antisimétrica de 5 ϫ 5, ciones por segundo, compare los tiempos que le to-
demuestre que det A ϭ 0. maría a la computadora evaluar el determinante de
una matriz de 25 ϫ 25 utilizando la expansión por
40. Toma alrededor de n! multiplicaciones evaluar el deter- cofactores y la reducción de renglones.
minante de una matriz de n ϫ n utilizando la expansión
por cofactores, mientras que por el método de reducción
de renglones, ilustrado en el ejemplo 6, se requiere de
sólo n3/3 operaciones aritméticas.

7.6 Inversa de una matriz

■ Introducción El concepto del determinante de una matriz cuadrada de n ϫ n tendrá

un papel importante en esta sección y en la siguiente.

7.6.1 Cálculo de la inversa

En el sistema de los números reales, si a es un número diferente de cero, entonces existe
un número b tal que ab ϭ ba ϭ 1. El número b se llama inverso multiplicativo de a y se
denota mediante aϪ1. En una matriz cuadrada A también es importante saber si podemos
calcular otra matriz cuadrada B del mismo orden tal que AB ϭ BA ϭ I. Tenemos la
definición siguiente.

D E F I N I C I Ó N 7.11 Inversa de una matriz

Sea A una matriz de n ϫ n. Si existe una matriz B de n ϫ n tal que

AB ϭ BA ϭ I, (1)

donde I es la matriz identidad de n ϫ n, entonces se dice que la matriz A es no sin-
gular o invertible. Se afirma que la matriz B es la inversa de A.

Por ejemplo, la matriz A ϭ a2 1b es no singular o invertible ya que la matriz
11

B ϭ aϪ11 Ϫ1b es su inversa. Para comprobar esto, observe que
2

AB ϭ a2 1b aϪ11 Ϫ1b ϭ a1 0b ϭ I
1 1 20 1

y BA ϭ aϪ11 Ϫ1b a2 1b ϭ a1 0b ϭ I.
21 10 1

A diferencia del sistema de los números reales, donde cada número a diferente de
cero tiene un inverso multiplicativo, no toda matriz A de n ϫ n diferente de cero tiene
una inversa.

Por ejemplo, si A ϭ a1 1b y B ϭ ab11 b12b, entonces
00 b21 b22

AB ϭ a1 1b ab11 b12b ϭ ab11 ϩ b21 b12 ϩ b22b .
0 0 b21 b22 0 0

338 CAPÍTULO 7 Matrices

La inspección de este resultado muestra que es posible obtener la matriz identidad I de

2 ϫ 2, puesto que no hay forma de seleccionar b11, b12, b21 y b22 para obtener 1 como el
elemento presente en el segundo renglón y la segunda columna. Hemos demostrado que la

matriz A ϭ 1 1 no tiene inversa.
a b
0
0

Una matriz de n ϫ n que no tiene inversa se denomina matriz singular. Si A es no Importante.
singular, su inversa se expresa como B ϭ AϪ1. 339

Observe que en la notación AϪ1 el símbolo Ϫ1 no es un exponente; en otras palabras,
AϪ1 no es un recíproco. Asimismo, si A es no singular, su inversa es única.

■ Propiedades El teorema siguiente relaciona algunas propiedades de la inversa de

una matriz.

T E O R E M A 7.17 Propiedades de la inversa

Sean A y B matrices no singulares.

i) (AϪ1)Ϫ1 ϭ A
ii) (AB)Ϫ1 ϭ BϪ1AϪ1
iii) (AT)Ϫ1 ϭ (AϪ1) T

Demostración de (i) Esta parte del teorema establece que si A es no singular, enton-

ces su inversa AϪ1 también es no singular y su inversa es A. Para demostrar que AϪ1 es

no singular, debemos demostrar que puede encontrarse una matriz B tal que AϪ1B ϭ

BAϪ1 ϭ I. Sin embargo, como suponemos que A es no singular, a partir de (1) sabemos

que AAϪ1 ϭ AϪ1A ϭ I y, de manera equivalente, AϪ1A ϭ AAϪ1 ϭ I. La última ecua-

ción matricial indica que la matriz requerida, la inversa de AϪ1, es B ϭ A. Como conse-

cuencia, (AϪ1)Ϫ1 ϭ A. ❏

El teorema 7.17ii) se puede hacer extensivo a cualquier número finito de matrices no
singulares:

(A1A2 . . . Ak)Ϫ1 ϭ AkϪ1AϪk1Ϫ1 . . . A1Ϫ1,

esto es, la inversa de un producto de matrices no singulares es el producto de las inversas
en sentido contrario.

En el estudio que sigue vamos a considerar dos maneras diferentes de encontrar AϪ1
para una matriz no singular A. El primer método utiliza determinantes, mientras que el
segundo emplea las operaciones elementales de renglones estudiadas en la sección 7.2.

■ Método de la adjunta Recuerde que en la expresión (6) dada en la sección 7.4 mos-

tramos que el cofactor Cij del elemento aij de una matriz A de n ϫ n es Cij ϭ (Ϫ1)i ϩ jMij,
donde Mij es el menor de aij; esto es, el determinante de la submatriz (n – 1) ϫ (n – 1) que
se obtiene eliminando el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A.

D E F I N I C I Ó N 7.12 Matriz adjunta

Sea A una matriz de n × n. La matriz que representa a la transpuesta de la matriz de
cofactores correspondientes a los elementos de A:

C11 C12 p C1n T C11 C21 p Cn1

± C21 C22 p C2n ≤ ϭ ± C12 C22 p Cn2 ≤
o oo o
Cn1 Cn2 p Cnn C1n C2n p Cnn

se conoce como la adjunta de A y se representa como adj A.

7.6 Inversa de una matriz

El teorema siguiente proporciona una fórmula breve de la inversa de una matriz no
singular en términos de la adjunta de la matriz. Sin embargo, debido a los determinantes
involucrados, este método es poco manejable para n Ն 4.

T E O R E M A 7.18 Cálculo de la inversa

Sea A una matriz de n ϫ n. Si el det A 0, entonces (2)
AϪ1 ϭ a 1 b adj A.
det A

Demostración Para efectos de brevedad, demostramos el caso cuando n ϭ 3. Observe
que

a11 a12 a13 C11 C21 C31
A1adj A2 ϭ ° a21 a22 a23 ¢ ° C12 C22 C32 ¢
C33
a31 a32 a33 C13 C23

det A 0 0 (3)

ϭ ° 0 detA 0 ¢

0 0 det A

puesto que det A ϭ ai1Ci1 ϩ ai2Ci2 ϩ ai3Ci3, para i ϭ 1, 2, 3 son las expansiones por co-
factores de det A a lo largo de los renglones primero, segundo y tercero, y

a11C21 ϩ a12C22 ϩ a13C23 ϭ 0 a11C31 ϩ a12C32 ϩ a13C33 ϭ 0
a21C11 ϩ a22C12 ϩ a23C13 ϭ 0 a21C31 ϩ a22C32 ϩ a23C33 ϭ 0
a31C11 ϩ a32C12 ϩ a33C13 ϭ 0 a31C21 ϩ a32C22 ϩ a33C23 ϭ 0

en vista del teorema 7.16. Por lo tanto, (3) es lo mismo que

100
A(adj A) ϭ (det A) ° 0 1 0 ¢ ϭ (det A)I

001

o A(1/det A) adj A ϭ I. De manera similar, es posible demostrar exactamente de igual

manera que ((1/det A) adj A)A ϭ I. Así, por definición, AϪ1 ϭ (1/det A)adj A. ❏

Para alguna referencia futura, observemos en el caso de una matriz no singular de

2ϫ2
A ϭ aa11 a12b
a21 a22

que los cofactores son C11 ϭ a22, C12 ϭ Ϫa21, C21 ϭ Ϫa12 y C22 ϭ a11. En este caso,

adj Aϭ aC11 C12bT ϭ a a22 Ϫa21bT ϭ a a22 Ϫa12b.
C21 C22 Ϫa12 Ϫa11 Ϫa21 a11

A partir de (2) se puede deducir que Ϫa12b. (4)
AϪ1 ϭ 1 a a22 a11
det A Ϫa21

Para una matriz no singular de 3 ϫ 3,

a11 a12 a13
A ϭ ° a21 a22 a23 ¢

a31 a32 a33

C11 ϭ 2 a22 a23 2 C12 ϭ Ϫ2 a21 a23 2 C13 ϭ 2 a21 a22 2 ,
a32 a33 a31 a33 a31 a32

340 CAPÍTULO 7 Matrices

y así sucesivamente. Después de que se ha formado la adjunta de A, (2) da

AϪ1 ϭ 1 C11 C21 C31 (5)
det A ° C12 C22 C32 ¢ .

C13 C23 C33

Ejemplo 1 Inversa de una matriz

Encuentre la inversa de A ϭ a1 4 b.
2 10

Solución Puesto que det A ϭ 10 Ϫ 8 ϭ 2, se puede deducir a partir de (4) que

AϪ1 ϭ 1 aϪ102 Ϫ4b ϭ aϪ15 Ϫ21b .
2 1
2

AAϪ1 ϭ a1 4b aϪ51 Ϫ2 5 Ϫ 4 Ϫ2 ϩ 2b a1 0b
Comprobación 2 10 1b ϭ a Ϫ4 ϩ 5 ϭ 0 1
10 Ϫ 10
2

AϪ1A ϭ a 5 Ϫ2 1 4b ϭ aϪ15 Ϫ 4 2Ϫ04Ϫϩ250b a1 0
Ϫ1 b a 10 ϩ 1 ϭ 0 1 b . ❏
1 2
2

Ejemplo 2 Inversa de una matriz 0
1¢ .
22 1
Encuentre la inversa de A ϭ ° Ϫ2 1

30

Solución Puesto que det A ϭ 12, podemos calcular AϪ1 a partir de (5). Los cofactores
correspondientes a los elementos presentes en A son

11 Ϫ2 1 Ϫ2 1
C11 ϭ 2 2 ϭ 1 C12 ϭ Ϫ 2 3 2 ϭ 5 C13 ϭ 2 3 2 ϭ Ϫ3
0 1 1 0

C21 ϭ Ϫ 2 2 02 ϭ Ϫ2 C22 ϭ 22 02 ϭ 2 C23 ϭ Ϫ 2 2 22 ϭ 6
0 1 3 1 3 0

20 20 22
C31 ϭ 2 2 ϭ2 C32 ϭ Ϫ 2 Ϫ2 2 ϭ Ϫ2 C33 ϭ 2 Ϫ2 2 ϭ 6.
1 1 1 1

A partir de (5) obtenemos entonces,

1 Ϫ2 2 1 Ϫ61 1
AϪ1 ϭ 1 ° 5 2 12 6
6 1
12 Ϫ2 ¢ ϭ ° 5 6 Ϫ16 ¢ .
Ϫ3 12 1
2 1
6 Ϫ14 2

Se invita al lector a comprobar que AAϪ1 ϭ AϪ1A ϭ I. ❏

Ahora ya estamos en la posición de poder demostrar una condición necesaria y sufi-
ciente para que una matriz A de n ϫ n tenga una inversa.

T E O R E M A 7.19 Matrices no singulares y det A

Una matriz A de n ϫ n es no singular si, y sólo si, det A 0.

Demostración Demostraremos primero la suficiencia. Suponga que det A ≠ 0. Entonces 341
A es no singular, ya que AϪ1 puede encontrarse a partir del teorema 7.18.

7.6 Inversa de una matriz

Para demostrar la necesidad, debemos suponer que A es no singular y demostrar que det
A 0. Ahora, a partir del teorema 7.13, AAϪ1 ϭ AϪ1A ϭ I implica

(det A)(det AϪ1) ϭ (det AϪ1)(det A) ϭ det I.

Sin embargo, puesto que det I ϭ 1 (¿por qué?), el producto (det A)(det AϪ1) ϭ 1 0

demuestra que debemos tener det A 0. ❏

Ejemplo 3 Una matriz singular

La matriz de 2 ϫ 2 A ϭ a2 2 b no tiene inversa; esto es, A es singular, ya que det A ϭ
3 3

6 – 6 ϭ 0. ❏

Debido al número de determinantes que deben evaluarse, el anterior procedimiento
para calcular la inversa de una matriz resulta muy tedioso cuando el orden de la matriz es
grande. En el caso de matrices de 3 ϫ 3 o mayores, el siguiente método es una manera
particularmente eficiente de encontrar AϪ1.

■ Método de las operaciones en renglones A pesar de que estaría más allá del al-

cance de este libro demostrarlos, utilizaremos los resultados siguientes:

T E O R E M A 7. 2 0 Cálculo de la inversa

Si una matriz A de n ϫ n puede transformarse en una matriz identidad I de n ϫ n
mediante una secuencia de operaciones elementales en renglones, entonces A es

no singular. La misma secuencia de operaciones que transforma a la matriz A en la
matriz identidad I transformará I en AϪ1.

Es conveniente llevar a cabo estas operaciones en renglones en las matrices A e I de
manera simultánea mediante una matriz de n × 2n obtenida aumentando A con la identi-
dad I, tal como se ilustra enseguida:

a11 a12 p a1n 1 0 p 0
1A|I2 ϭ ± a21 a22 p a2n 4 1 0 p 0 ≤ .

o oo o
an1 an2 p ann 0 0 p 1

El procedimiento para calcular AϪ1 se muestra en el diagrama siguiente:

Realice las operaciones
en renglones de A hasta
obtener I. Esto significa
que A es no singular.

(A I( ( I A–1 (

Al aplicar de manera

simultánea las mismas

operaciones de renglones a I
podemos obtener A–1.

Ejemplo 4 Obtención de la inversa mediante operaciones elementales
de renglones

201
Encuentre la inversa de A ϭ ° Ϫ2 3 4 ¢ .

Ϫ5 5 6

342 CAPÍTULO 7 Matrices

Solución Utilizaremos la misma notación que en la sección 7.2, cuando redujimos la
matriz aumentada a la forma escalonada reducida:

2 0 11 0 0 121R1 1 0 11 0 0
° Ϫ2 3 4 3 0 1 0 ¢ 22

° Ϫ2 3 4 3 0 1 0 ¢

Ϫ5 5 6 0 0 1 Ϫ5 5 6 0 0 1

2R1 ϩ R2 10 11 0 0
5R1ϩ R3 22

1 °0 3 531 1 0¢

0 5 17 5 0 1
22

1 R2 10 11 0 0
3 22

51R3 °0 1 5 3 1 1 0¢
3 3 3
1

0 1 17 1 0 1
10 2 5

ϪR2ϩ R3 10 11 00
22
1
°0 1 5 3 1 1 0¢
3 3 3

0 0 11 Ϫ31 1
30 6 5

30R3 10 11 00
22
1
°0 1 5 3 1 1 0¢
3 3 3

0 0 1 5 Ϫ10 6

Ϫ21R3ϩ R1 1 0 0 Ϫ2 5 Ϫ3
Ϫ53R3ϩ R2 17 Ϫ10 ¢
1 ° 0 1 0 3 Ϫ8

0 0 1 5 Ϫ10 6

Puesto que I aparece a la izquierda de la línea vertical, podemos concluir que la matriz
ubicada a la derecha de la línea es

Ϫ2 5 Ϫ3 ❏
AϪ1 ϭ ° Ϫ8 17 Ϫ10 ¢ .

5 Ϫ10 6

Si la reducción de renglones de (A|I) nos lleva a la situación

operaciones

(A|I) 1 (B|C),

con renglones

donde la matriz B contiene un renglón de ceros, entonces A es necesariamente singular.
Ya que reducir más B siempre nos da otra matriz con un renglón de ceros, nunca podre-
mos transformar A en I.

Ejemplo 5 Una matriz singular

1 Ϫ1 Ϫ2
La matriz A ϭ ° 2 4 5 ¢ no tiene inversa, ya que

6 0 Ϫ3

1 Ϫ1 Ϫ2 1 0 0 Ϫ2R1ϩ R2 1 Ϫ1 Ϫ2 1 0 0
°2 4 530 1 0¢ ° 0 6 9 3 Ϫ2 1 0 ¢
1
6 0 Ϫ3 0 0 1 6 0 Ϫ3 0 0 1

Ϫ6R1ϩ R3 1 Ϫ1 Ϫ2 1 0 0
° 0 6 9 3 Ϫ2 1 0 ¢
1
0 6 9 Ϫ6 0 1

ϪR2ϩ R3 1 Ϫ1 Ϫ2 1 0 0
° 0 6 9 3 Ϫ2 1 0 ¢ .
1
0 0 0 Ϫ4 Ϫ1 1

7.6 Inversa de una matriz 343

Puesto que la matriz ubicada a la izquierda de la barra vertical tiene un renglón de ceros,

podemos detenernos en este punto y concluir que A es singular. ❏

7.6.2 Utilización de la inversa para resolver sistemas

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, x2, . . . , xn,

a11x1 ϩ a12x2 ϩ . . . ϩ a1nxnϭ b1 (6)
a21x1 ϩ a22x2 ϩ . . . ϩ a2nxnϭ b2

ӇӇ
am1x1 ϩ am2x2 ϩ . . . ϩ amnxnϭ bm

puede escribirse de manera breve como una ecuación matricial AX ϭ B, donde

a11 a12 p a1n x1 b1
A ϭ ± a21 a22 p a2n ≤ , X ϭ ± x2 ≤ , B ϭ ± b2 ≤ .

o o oo
am1 am2 p amn xn bm

■ Caso especial Suponga que m ϭ n en (6), de tal forma que la matriz de coeficientes

A es de n ϫ n. En particular, si A es no singular, entonces el sistema AX ϭ B puede
resolverse multiplicando ambas ecuaciones por AϪ1. A partir de AϪ1(AX) ϭ AϪ1B, obte-
nemos (AϪ1A)X ϭ AϪ1B. Debido a que AϪ1A ϭ I e IX ϭ X, tenemos

X ϭ AϪ1B. (7)

Ejemplo 6 Uso de la ecuación (7) para resolver un sistema

Utilice la inversa de la matriz de coeficientes para resolver el sistema

2x1 Ϫ 9x2 ϭ 15
3x1 ϩ 6x2 ϭ 16.

Solución El sistema dado puede escribirse como

a2 Ϫ9b ax1b ϭ a15b.
3 6 x2 16

Debido a que 2 3 Ϫ9 2 ϭ 39 0, la matriz de coeficientes es no singular. Como conse-
3 6

cuencia, a partir de (4) se obtiene

a2 Ϫ9bϪ1 ϭ 1 aϪ36 9b.
3 6 39 2

Al utilizar (7) podemos deducir que

ax1b 1 aϪ63 9 15 1 234 6
x2 ϭ 39 ba b ϭ aϪ13b ϭ aϪ31b ,
2 16 39

y, por lo tanto, x1 ϭ 6 y x2 ϭ Ϫ 1 . ❏
3

Ejemplo 7 Uso de la ecuación (7) para resolver un sistema

Utilice la inversa de la matriz de coeficientes para resolver el sistema

2x1 ϩ x3 ϭ 2

5x1 ϩ 5x2 ϩ 6x3 ϭ Ϫ1

Ϫ2x1 ϩ 3x2 ϩ 4x3 ϭ 4.

344 CAPÍTULO 7 Matrices

Solución Ya calculamos la inversa de la matriz de coeficientes

201
A ϭ ° Ϫ2 3 4 ¢

Ϫ5 5 6

en el ejemplo 4. Por lo tanto, (7) nos da

x1 2 0 1 Ϫ1 2 Ϫ2 5 Ϫ3 2 19

° x2 ¢ ϭ ° Ϫ2 3 4 ¢ ° 4 ¢ ϭ ° Ϫ8 17 Ϫ10 ¢ ° 4 ¢ ϭ ° 62 ¢ .

x3 Ϫ5 5 6 Ϫ1 5 Ϫ10 6 Ϫ1 Ϫ36

Como consecuencia, x1 ϭ 19, x2 ϭ 62 y x3 ϭ Ϫ36. ❏

■ Unicidad Cuando det A 0 la solución del sistema AX ϭ B es única. Suponga

que no es así, es decir, que det A 0 y que X1 y X2 son dos vectores solución diferentes.
Entonces, AX1 ϭ B y AX2 ϭ B implican que AX1 ϭ AX2. Puesto que A es no singular,
AϪ1 existe, por lo que AϪ1(AX1) ϭ AϪ1(AX2) y (AϪ1A)X1 ϭ (AϪ1A)X2. Esto nos genera
IX1 ϭ IX2 o X1 ϭ X2, lo cual contradice nuestro supuesto de que X1 y X2 eran vectores
solución diferentes.

■ Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones homogéneo puede escribirse

como AX ϭ 0. Recuerde que un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial
X ϭ 0 y posiblemente un número infinito de soluciones. En el teorema siguiente podre-
mos observar que los sistemas homogéneos de n ecuaciones con n incógnitas solamente

tienen la solución trivial cuando A es no singular.

T E O R E M A 7. 21 Solamente la solución trivial

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas AX ϭ 0 tiene
solamente la solución trivial si, y sólo si, A es no singular.

Demostración Comprobemos la parte de suficiencia del teorema. Suponga que A es
no singular. Entonces, mediante (7), obtenemos la solución única X ϭ AϪ10 ϭ 0. ❏

El teorema siguiente responderá la pregunta: ¿cuándo un sistema homogéneo de n
ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial? Recuerde que si un
sistema homogéneo tiene una solución no trivial, debe poseer un número infinito de
soluciones.

T E O R E M A 7. 2 2 Existencia de soluciones no triviales

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas AX ϭ 0 tiene una
solución no trivial si, y sólo si, A es singular.

En vista del teorema 7.22 podemos concluir que un sistema homogéneo de n ecuacio- 345
nes lineales con n incógnitas AX ϭ 0 tiene
• solamente la solución trivial si, y sólo si, det A 0, y
• una solución no trivial si, y sólo si, det A ϭ 0.
El último resultado se utilizará en la sección 7.8.

7.6 Inversa de una matriz

Comentarios

i) Como una forma práctica de resolver n ecuaciones lineales con n incógnitas, el

uso de una matriz inversa brinda algunas ventajas sobre el método presentado en la

sección 7.2. Sin embargo, en algunas aplicaciones, a menudo necesitamos resolver
un sistema AX ϭ B varias veces; esto es, necesitamos analizar las soluciones del
sistema correspondientes a la misma matriz de coeficientes A pero con vectores de
entrada B diferentes. En este caso, el simple cálculo de AϪ1 permite obtener estas
soluciones de manera rápida mediante la multiplicación de matrices AϪ1B.
ii) En la definición 7.11 estudiamos que si A es una matriz de n ϫ n y existe otra
matriz B de n ϫ n que se puede intercambiar con A, de tal forma que

AB ϭ I y BA ϭ I, (8)

entonces B es la inversa de A. Aunque la multiplicación de matrices, en general, no
es conmutativa, la condición dada en (8) de alguna forma es menos estricta en este
sentido: si calculamos una matriz B de n ϫ n para la que AB ϭ I, entonces puede
demostrarse que BA ϭ I también, y que B es la inversa de A. Como consecuencia
de este resultado, si en secciones subsecuentes de este capítulo deseáramos demos-
trar que cierta matriz B es la inversa de una matriz A dada, será suficiente probar
sólo que AB ϭ I. No necesitamos demostrar que B se puede intercambiar con A
para dar I.

EJERCICIOS 7.6 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-15.

7.6.1 Encontrar la inversa 0 Ϫ1 1 4 1211
13. ± 3 2 Ϫ2 1 ≤ 14. ± 0 0 3 0 ≤
En los problemas 1 y 2, compruebe que la matriz B es la inver-
sa de la matriz A. 0 4 01 3120
1 0 Ϫ1 1 1110
1. A ϭ a1 1 B ϭ aϪ34 Ϫ1b
2 2
2 b, En los problemas del 15 al 26, utilice el teorema 7.20 para
3 encontrar la inversa de la matriz dada o para demostrar que no
existe.
2

1 Ϫ1 0 2 Ϫ1 2

2. A ϭ ° 3 0 2 ¢ , B ϭ ° 1 Ϫ1 2 ¢

1 11 Ϫ3 2 Ϫ3 15. a6 Ϫ2b 80
04 16. a 1b
En los problemas del 3 al 14, aplique el teorema 7.19 para 0
determinar si la matriz dada es singular o no singular. Si es no 17. a1 3b 2
singular, utilice el teorema 7.18 para encontrar la inversa. 53
18. aϪ22 Ϫ3b
123 4
19. ° 4 5 6 ¢
3. a5 Ϫ1b 1 Ϫ1b 1 0 Ϫ1
41 789 20. ° 0 Ϫ2 1 ¢
4. a 3
43 2 Ϫ1 3

5. aϪ36 0b 6. aϪϪ2pp Ϫppb 4 23 2 4 Ϫ2
2 21. ° 2 1 0 ¢ 22. ° 4 2 Ϫ2 ¢

1 35 230 Ϫ1 Ϫ2 0 8 10 Ϫ6
7. ° 2 4 4 ¢ 8. ° 0 11 14 ¢
Ϫ1 3 0 123
1 Ϫ1 1 Ϫ1 4 7 23. ° 1 Ϫ2 1 ¢ 24. ° 0 1 4 ¢

1 23 2 Ϫ1 5 0 12 008
9. ° 0 Ϫ4 2 ¢ 10. ° 3 0 Ϫ2 ¢
12 31 1000
Ϫ1 5 1 140 26. ± 0 0 1 0 ≤

30 0 020 25. ± Ϫ1 0 2 1≤ 0001
11. ° 0 6 0 ¢ 12. ° 0 0 1 ¢ 2 1 Ϫ3 0 0100

0 0 Ϫ2 800 11 21

346 CAPÍTULO 7 Matrices

En los problemas 27 y 28, utilice las matrices dadas para en- 42. Considere la matriz diagonal de 3 ϫ 3
contrar (AB)Ϫ1.
a11 0 0
1 Ϫ25 2 4 A ϭ ° 0 a22 0 ¢ .

27. AϪ1 ϭ aϪ122 3 b, BϪ1 ϭ a 3 3 b 0 0 a33
5
Ϫ13 Determine las condiciones necesarias para que A sea no
2 2 singular. Si A es no singular, encuentre AϪ1. Generalice
sus resultados a una matriz diagonal de n ϫ n.
1 3 Ϫ15
28. AϪ1 ϭ ° 0 Ϫ1 5 ¢ ,

Ϫ1 Ϫ2 11 7.6.2 Utilización de la matriz inversa
en la resolución de sistemas
Ϫ1 1 0
BϪ1 ϭ ° 2 0 0 ¢ En los problemas del 43 al 50, utilice la matriz inversa para

1 1 Ϫ2 resolver el sistema de ecuaciones dado.

29. Si AϪ1 ϭ a4 3b, ¿cuál es el valor de A? 43. x1 ϩ x2 ϭ 4 44. x1 Ϫ x2 ϭ 2
32
2x1 Ϫ x2 ϭ 14 2x1 ϩ 4x2 ϭ Ϫ5
30. Si A es no singular, entonces (AT)Ϫ1 ϭ (AϪ1)T. Compruebe
45. 4x1 Ϫ 6x2 ϭ 6 46. x1 ϩ 2x2 ϭ 4
lo anterior para A ϭ a1 4b.
2 10 2x1 ϩ x2 ϭ 1 3x1 ϩ 4x2 ϭ Ϫ3

31. Encuentre un valor de x tal que la matriz A ϭ a4 ϪϪ43b 47. x1 ϩ x3 ϭ Ϫ4 48. x1 Ϫ x2 ϩ x3 ϭ 1
x
x1 ϩ x2 ϩ x3 ϭ 0 2x1 ϩ x2 ϩ 2x3 ϭ 2

sea su propia inversa. 5x1 Ϫ x2 ϭ6 3x1 ϩ 2x2 Ϫ x3 ϭ Ϫ3

49. x1 ϩ 2x2 ϩ 2x3 ϭ 1

32. Calcule la inversa de A ϭ aϪ senu csoesnuub . x1 Ϫ 2x2 ϩ 2x3 ϭ Ϫ3
cos u
3x1 Ϫ x2 ϩ 5x3 ϭ 7

33. Se dice que una matriz no singular A es ortogonal si 50. x1 Ϫ x3 ϭ 2
AϪ1 ϭ AT.
x2 ϩ x3 ϭ1

a) Demuestre que la matriz del problema 32 es ortogonal. Ϫx1 ϩ x2 ϩ 2x3 ϩ x4 ϭ Ϫ5

x3 Ϫ x4 ϭ 3

1> 23 0 Ϫ2> 26 En los problemas 51 y 52, escriba el sistema en la forma AX ϭ B.
Utilice X ϭ AϪ1B para resolver el sistema para cada matriz B.
b) Demuestre que A ϭ ° 1> 23 1> 22 1> 26 ¢

1> 23 Ϫ1> 22 1> 26 51. 7x1 Ϫ 2x2 ϭ b1,
3x1 Ϫ 2x2 ϭ b2,
es una matriz ortogonal.
B ϭ a5b, B ϭ a10b,
34. Demuestre que si A es una matriz ortogonal (consulte el 4 50 B ϭ aϪ200b
problema 33), entonces det A ϭ Ϯ1.
52. x1 ϩ 2x2 ϩ 5x3 ϭ b1 0
35. Si A y B son matrices no singulares de n ϫ n, utilice el 2x1 ϩ 3x2 ϩ 8x3 ϭ b2,
teorema 7.19 para demostrar que AB es no singular. Ϫx1 ϩ x2 ϩ 2x3 ϭ b3
Ϫ1 3
36. Suponga que A y B son matrices de n ϫ n. Demuestre
que si A o B son singulares, entonces AB es singular. B ϭ ° 4 ¢ , B ϭ ° 3 ¢ , B ϭ ° Ϫ5 ¢

37. Demuestre que si A es una matriz no singular, entonces 63 4
det AϪ1 ϭ 1/det A.
En los problemas del 53 al 56, determine, sin resolverlo, si el
38. Demuestre que si A2 ϭ A, entonces tanto A ϭ I como A sistema de ecuaciones homogéneo que se proporciona tiene
es singular. solamente la solución trivial o una solución no trivial.

39. Suponga que A y B son matrices de n ϫ n y que A es no 53. x1 ϩ 2x2 Ϫ x3 ϭ 0 54. x1 ϩ x2 ϩ x3 ϭ 0
singular. Demuestre que si AB ϭ 0, entonces B ϭ 0.
4x1 Ϫ x2 ϩ x3 ϭ 0 x1 Ϫ 2x2 ϩ x3 ϭ 0
40. Suponga que A y B son matrices de n ϫ n y que A es no
singular. Demuestre que si AB ϭ AC, entonces B ϭ C. 5x1 ϩ x2 Ϫ 2x3 ϭ 0 Ϫ2x1 ϩ x2 Ϫ 2x3 ϭ 0

41. Si A y B son matrices no singulares de n × n, ¿necesaria- 55. x1 ϩ x2 Ϫ x3 ϩ x4 ϭ 0
mente A ϩ B es no singular?
5x2 ϩ 2x4 ϭ 0

x1 ϩ x3 Ϫ x4 ϭ 0

3x1 ϩ 2x2 Ϫ x3 ϩ x4 ϭ 0

7.6 Inversa de una matriz 347

56. x1 ϩ x2 Ϫ x3 ϩ x4 ϭ 0 u2 ϭ 200 ϩ u3 ϩ u1 ϩ 100
x1 ϩ x2 ϩ x3 Ϫ x4 ϭ 0 4
2x2 ϩ x3 ϩ x4 ϭ 0
x2 Ϫ x3 Ϫ x4 ϭ 0 u3 ϭ 200 ϩ 100 ϩ u4 ϩ u2
4
57. El sistema de ecuaciones de las corrientes i1, i2 e i3 de la
red que se muestra en la figura 7.6 es u3 ϩ 100 ϩ 100 ϩ u1.
4
i1 ϩ i2 ϩ i3 ϭ 0 u4 ϭ

ϪR1i1 ϩ R2i2 ϭ E2 Ϫ E1 a) Demuestre que el sistema anterior puede escribirse
como la ecuación matricial
Ϫ R2i2 ϩ R3i3 ϭ E3 Ϫ E2

donde Rk y Ek, k ϭ 1, 2, 3, son constantes.

a) Exprese el sistema como una ecuación matricial AX Ϫ4 1 0 1 u1 Ϫ200
ϭ B.
± 1 Ϫ4 1 0 ≤ ± u2 ≤ ϭ ± Ϫ300 ≤ .
b) Demuestre que la matriz de coeficientes A es no sin- 0 1 Ϫ4 1 u3 Ϫ300
gular.
1 0 1 Ϫ4 u4 Ϫ200
c) Utilice X ϭ AϪ1B para encontrar las corrientes.

b) Resuelva el sistema de la parte a) encontrando la
inversa de la matriz de coeficientes.

E1 E2 E3 u = 200
i1 i2 i3
R2 R3 Figura 7.6 Red para el
R1 problema 57

58. Considere la placa cuadrada que se muestra en la figura P2 P3 u = 100
7.7, con las temperaturas que se indican en cada uno de
u = 100 P1 P4
los lados. Bajo ciertas circunstancias se puede demos-
trar que las temperaturas aproximadas u1, u2, u3 y u4 lo-
calizadas en los puntos P1, P2, P3 y P4, respectivamente,
están dadas por

u1 ϭ u2 ϩ u4 ϩ 100 ϩ 100 u = 100
4 Figura 7.7 Placa del problema 58

7.7 Regla de Cramer

■ Introducción Al final de la sección anterior pudimos observar que un sistema de

n ecuaciones lineales con n incógnitas AX ϭ B tiene precisamente una solución cuando
det A 0. Esta solución, como se verá ahora, puede expresarse en términos de determi-

nantes. Por ejemplo, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

a11x1 ϩ a12x2 ϭ b1 (1)
a21x1 ϩ a22x2 ϭ b2 (2)

tiene la solución

x1 ϭ b1a22 Ϫ a12b2 y x2 ϭ a11b2 Ϫ b1a21
a11a22 Ϫ a12a21 a11a22 Ϫ a12a21

siempre y cuando a11a22 Ϫ a12a21 0. Puede reconocerse que los numeradores y denomina-
dores mostrados en (2) son determinantes. Esto es, el sistema (1) tiene una única solución,

2 b1 a12 2 2 a11 b1 2 (3)
b2 a22 a21 b2
x1 ϭ 2 a11 x2 ϭ 2 a11 a12 2
a21 , a21 a22
a12 2
a22

348 CAPÍTULO 7 Matrices

siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficientes 2 a11 a12 2 0. En esta
a21 a22

sección generalizamos el resultado que se muestra en (2).

■ Utilización de determinantes para resolver sistemas En un sistema de n ecua-

ciones lineales con n incógnitas

a11x1 ϩ a12x2 ϩ . . . ϩ a1nxn ϭ b1 (4)
a21x1 ϩ a22x2 ϩ . . . ϩ a2nxn ϭ b2

ӇӇ
an1x1 ϩ an2x2 ϩ . . . ϩ annxn ϭ bn

es conveniente definir una matriz especial,

k-ésima columna

↓

a11 a12 p a1 kϪ1 b1 a1 kϩ1 p a1n

ϭ ± a21 a22 p a2 k Ϫ1 b2 a2 kϩ1 p a2n ≤ .
o o o
Ak (5)

an1 an2 p an kϪ1 bn an kϩ1 p ann

En otras palabras, Ak es la misma matriz A excepto que la columna k-ésima de A se ha
reemplazado por elementos de la matriz columna

b1
B ϭ ± b2 ≤ .

o
bn

La generalización de (3), conocida como regla de Cramer, está dada en el teorema
siguiente.

T E O R E M A 7. 2 3 Regla de Cramer

Sea A la matriz de coeficientes del sistema (1). Si det A 0, entonces la solución

de (1) está dada por

x1 ϭ det A1, x2 ϭ det A2, p, xn ϭ det An, (6)
det A det A det A

donde Ak, k ϭ 1, 2, . . . , n está definida en (5).

Demostración En primera instancia, escribimos el sistema (1) como AX ϭ B. Puesto
que det A 0, AϪ1 existe, por lo que

C11 C21 p Cn1 b1

X ϭ AϪ1B ϭ 1 ± C12 C22 p Cn2 ≤ ± b2 ≤
det A o oo
C1n C2n p Cnn
bn

b1C11 ϩ b2C21 ϩ p ϩ bnCn1

ϭ 1 ± b1C12 ϩ b2C22 ϩ p ϩ bnCn2 ≤ .
det A o

b1C1n ϩ b2C2n ϩ p ϩ bnCnn

Ahora el elemento del renglón k-ésimo de la última matriz es

b1C1k ϩ b2C2k ϩ p ϩ bnCnk.
det A
xk ϭ (7)

7.7 Regla de Cramer 349

Sin embargo, b1C1k ϩ b2C2k ϩ. . . ϩ bnCnk es la expansión por cofactores de det Ak,

donde Ak es la matriz dada en (5) junto con la k-ésima columna. De esta manera, tene-

mos que xk ϭ det Ak/det A para k ϭ 1, 2, . . . , n. ❏

Ejemplo 1 Utilización de la regla de Cramer para resolver un sistema

Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema
3x1 ϩ 2x2 ϩ x3 ϭ 7
x1 Ϫ x2 ϩ 3x3 ϭ 3
5x1 ϩ 4x2 Ϫ 2x3 ϭ 1.

Solución La solución requiere que se evalúen los cuatro determinantes:

321 721
det A ϭ 3 1 Ϫ1 33 ϭ 13, det A1 ϭ 3 3 Ϫ1 3 3 ϭ Ϫ39,

5 4 Ϫ2 1 4 Ϫ2

3 71 32 7
det A2 ϭ 3 1 3 33 ϭ 78, det A3 ϭ 3 1 Ϫ1 33 ϭ 52.
1 Ϫ2 1
5 54

Por lo tanto, (3) da

x1 ϭ det A1 ϭ Ϫ3, x2 ϭ det A2 ϭ 6, x3 ϭ det A3 ϭ 4. ❏
det A det A det A

Comentarios

Igual que en el método de la sección anterior, la regla de Cramer no es una forma
muy práctica de resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Para
n Ն 4, el trabajo que se requiere para evaluar los determinantes se vuelve enorme.
Sin embargo, la regla de Cramer se utiliza algunas veces y resulta importante desde
el punto de vista teórico.

Al aplicar la regla de Cramer se pueden tomar algunos atajos. En el ejemplo 1,
digamos, en realidad no tuvimos que calcular det A3 puesto que una vez encon-
trados los valores de x1 y x2 el valor de x3 puede encontrarse utilizando una de las
ecuaciones del sistema.

EJERCICIOS 7.7 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-15.

En los problemas del 1 al 10, resuelva el sistema de ecuaciones 9. u ϩ 2v ϩ w ϭ 8 10. 4x ϩ 3y ϩ 2z ϭ 8
dado mediante la regla de Cramer.
2u Ϫ 2v ϩ 2w ϭ 7 Ϫx ϩ 2z ϭ 12

1. Ϫ3x1 ϩ x2 ϭ 3 2. x1 ϩ x2 ϭ 4 u Ϫ 4v ϩ 3w ϭ 1 3x ϩ 2y ϩ z ϭ 3
2x1 Ϫ 4x2 ϭ Ϫ6 2x1 Ϫ x2 ϭ 2
11. Utilice la regla de Cramer para determinar la solución
3. 0.1x1 Ϫ 0.4x2 ϭ 0.13 4. 0.21x1 ϩ 0.57x2 ϭ 0.369 del sistema
x1 Ϫ x2 ϭ 0.4 0.1x1 ϩ 0.2 x2 ϭ 0.135
(2 Ϫ k)x1 ϩ kx2 ϭ 4
5. 2x ϩ y ϭ 1 6. 5r ϩ 4s ϭ Ϫ1
kx1 ϩ (3 Ϫ k)x2 ϭ 3.

3x ϩ 2y ϭ Ϫ2 10r Ϫ 6s ϭ 5 ¿Para qué valor(es) de k el sistema es inconsistente?

7. x1 Ϫ 2x2 Ϫ 3x3 ϭ 3 8. x1 Ϫ x2 ϩ 6x3 ϭ Ϫ2 12. Considere el sistema

x1 ϩ x2 Ϫ x3 ϭ 5 Ϫx1 ϩ 2x2 ϩ 4x3 ϭ 9 x1 ϩ x2 ϭ 1
x1 ϩ ␧x2 ϭ 2.
3x1 ϩ 2x2 ϭ Ϫ4 2x1 ϩ 3x2 Ϫ x3 ϭ 1
2

350 CAPÍTULO 7 Matrices

Cuando el valor de e es muy cercano a 1, las líneas que de la fuerza perpendicular ejercida por el plano sobre el
forman el sistema son casi paralelas. bloque. Utilice el hecho de que el sistema se encuentra
en equilibrio para establecer un sistema de ecuaciones y
a) Utilice la regla de Cramer para demostrar que una encontrar F y N. Aplique la regla de Cramer para calcu-
lar F y N.
solución del sistema es x1 ϭ 1 Ϫ e 1 , x2 ϭ e 1 .
Ϫ 1 Ϫ 1 400 lb

b) Se dice que el sistema está en condición anormal F 0.5 N N
puesto que pequeños cambios en los datos de entra-
da (por ejemplo, los coeficientes) provocan un cam-
bio grande o significativo en la salida o solución.
Compruebe lo anterior encontrando la solución del
sistema para e ϭ 1.01 y, después, para e ϭ 0.99.

13. Las magnitudes de T1 y T2 de la tensión presente en los 30° 60°
cables de soporte que se muestran en la figura 7.8 satis-
Figura 7.9 Plano inclinado del problema 14
facen las ecuaciones

(cos 25Њ)T1 Ϫ (cos 15Њ)T2 ϭ 0 15. Como se muestra en la figura 7.10, un circuito consta de
(sen 25Њ)T1 ϩ (sen 15Њ)T2 ϭ 300. dos baterías con resistencias internas r1 y r2 conectadas
Utilice la regla de Cramer para obtener T1 y T2. en paralelo con un resistor. Utilice la regla de Cramer
para demostrar que la corriente i que pasa por la resis-
T2 T1 tencia está dada por

15° 25° i ϭ r1E2 ϩ r2E1 .
r1R ϩ r2R ϩ r1r2
300 lb
E1 r1
Figura 7.8 Cables de soporte del problema 13
E2 r2
14. El bloque de 400 libras que se muestra en la figura 7.9
se mantiene sin resbalar a lo largo del plano inclinado R
gracias a la fricción y a una fuerza F de magnitud más Figura 7.10 Circuito para el problema 15
pequeña. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y
el plano inclinado es de 0.5, entonces la magnitud de la
fuerza de fricción es de 0.5N, donde N es la magnitud

7.8 El problema del valor propio

■ Introducción Si A es una matriz de n ϫ n y K una matriz de n ϫ 1 (vector co-

lumna), entonces el producto AK está definido y es otra matriz de n ϫ 1. En muchas
aplicaciones, es importante determinar si existen matrices K de n ϫ 1 diferentes de cero
tales que el vector producto AK sea un múltiplo de una constante ␭ con la propia K. A la
situación que plantea resolver AK ϭ ␭K para vectores K diferentes de cero se le llama el
problema del valor propio de la matriz A.

■ Una definición Los comentarios introductorios anteriores se resumen en la defini-

ción siguiente.

D E F I N I C I Ó N 7.13 Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz de n ϫ n. Se dice que un número ␭ es un valor propio de A si
existe un vector solución K diferente de cero del sistema lineal

AK = ␭K. (1)

Se dice que el vector solución K es un vector propio que corresponde al valor propio ␭.

7.8 El problema del valor propio 351

Las palabras “valor propio” se tomarón del alemán, pues a partir de la palabra alema-
na eigenwert que, traducida literalmente, significa “valor apropiado”. A los valores pro-
pios y vectores propios se les conoce también como valores característicos y vectores
característicos, respectivamente.

El método de eliminación de Gauss-Jordan que se presentó en la sección 7.2 puede
utilizarse para encontrar los vectores propios de una matriz cuadrada A.

Ejemplo 1 Verificación de un vector propio

1
Compruebe que K = ° Ϫ1 ¢ es un vector propio de la matriz

1

0 Ϫ1 Ϫ3
A ϭ ° 2 3 3¢.

Ϫ2 1 1

Solución Realizando la multiplicación AK podemos observar que

0 Ϫ1 Ϫ3 1 Ϫ2 1 valor propio
AK ϭ ° 2 3 3 ¢ ° Ϫ1 ¢ ϭ ° 2 ¢ ϭ 1Ϫ22 ° Ϫ1 ¢ ϭ 1Ϫ↓22K.

Ϫ2 1 1 1 Ϫ2 1

Podemos observar, a partir de la línea anterior y la definición 7.13, que ␭ = –2 es un valor

propio de A. ❏

Al utilizar las propiedades del álgebra matricial podemos escribir (1) en la forma
alterna

(A – ␭I)K = 0, (2)

donde I es la identidad multiplicativa. Si hacemos

k1
K ϭ ± k2 ≤ ,

o
kn

entonces (2) es lo mismo que

(a11 – ␭)k1 ϩ a12k2 ϩ . . . ϩ a1nkn = 0
a2nkn = 0
a21k1 ϩ (a22 – ␭)k2 ϩ . . . ϩ (3)

ӇӇ

an1k1 ϩ an2k2 ϩ . . . ϩ (ann – ␭)kn = 0.

A pesar de que la solución obvia de (3) es k1 = 0, k2 = 0, . . . , kn = 0, estamos buscando
solamente soluciones no triviales. Sabemos que un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si, y sólo si, el determinante de la
matriz de coeficientes es igual a cero. Por lo tanto, para encontrar una solución K dife-
rente de cero para (2), debemos tener que

det(A – ␭I) = 0. (4)

La inspección de (4) muestra que la expansión por cofactores de det(A – ␭I) da como re-
sultado un polinomio de grado n en ␭. La ecuación (4) se llama ecuación característica
de A. Por lo tanto, los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica.
Para encontrar el vector propio correspondiente a un valor propio ␭, simplemente re-
solvemos el sistema de ecuaciones (A – ␭I)K ϭ 0 aplicando el método de eliminación
Gauss-Jordan a la matriz aumentada (A – ␭I|0).

352 CAPÍTULO 7 Matrices

Ejemplo 2 Cálculo de valores y vectores propios

Encuentre los valores y vectores propios de

121
A ϭ ° 6 Ϫ1 0 ¢ .

Ϫ1 Ϫ2 Ϫ1

Solución Para expandir el determinante a su ecuación característica

1Ϫl 2 1

det(A – ␭I) = 3 6 Ϫ1 Ϫ l 0 3 = 0,

Ϫ1 Ϫ2 Ϫ1 Ϫ l

utilizamos los cofactores del segundo renglón. Se puede deducir que la ecuación carac-
terística es

–␭3 – ␭2 ϩ 12␭ = 0 o ␭(␭ ϩ 4)(␭ – 3) = 0.

De aquí que los valores propios sean ␭1 = 0, ␭2 = –4, ␭3 = 3. Para calcular los vectores
propios, debemos reducir (A – ␭I|0) tres veces correspondientes a los tres valores pro-

pios distintos.
Para ␭1 = 0 tenemos

12 1 0 Ϫ6R1 ϩR2 1 2 10
1A Ϫ 0IͿ 02 ϭ ° 6 Ϫ1 R1 ϩ R3
0 3 0 ¢ 1 ° 0 Ϫ13 Ϫ6 3 0 ¢

Ϫ1 Ϫ2 Ϫ 1 0 0 0 00

1Ϫ113R2 1 2 10 Ϫ2R2 ϩ R1 1 0 1 0
°0 °0 13
1
1 6 3 0¢ 1 6 3 0¢.
13 13

0 0 00 0 0 00

Por lo tanto, podemos observar que k1 = – 1 k3 y k2 = – 6 k3. Seleccionando k3 = –13 nos
13 13

da el vector propio*

1

Para ␭2 = –4, K1 ϭ ° 6 ¢ .
1A ϩ 4I|02 ϭ ° Ϫ13

5 2 10 R3 1 2 Ϫ3 0
°6 3 0 3 0¢
R13
6 3 0 3 0¢ 1 5 2 10

Ϫ1 Ϫ2 3 0 1 2 Ϫ3 0
° 0 1 Ϫ2 3 0 ¢
Ϫ6R1 ϩ R2 1 3 Ϫ3 0 Ϫ91R2
Ϫ5R1 ϩ R3 ° 0 Ϫ9 18 3 0 ¢ Ϫ81R3 0 1 Ϫ2 0

1 1

0 Ϫ8 16 0

Ϫ2R2 ϩ R1 1 0 10
Ϫ2R2 ϩ R3 ° 0 1 Ϫ2 3 0 ¢

1

0 0 00

implica que k1 = –k3 y k2 = 2k3. Seleccionamos k3 ϭ 1 y entonces resulta un segundo
vector propio

Ϫ1
K2 = ° 2 ¢ .

1

*Desde luego, k3 podría seleccionarse como cualquier valor diferente de cero. En otras palabras, una cons-
tante diferente de cero que sea múltiplo de un vector propio es también un vector propio.

7.8 El problema del valor propio 353

Por último, para ␭3 = 3, el método de eliminación de Gauss-Jordan nos da

Ϫ2 2 1 0 operaciones 1 0 10

1A Ϫ 3I|02 ϭ ° 6 Ϫ4 0 3 0¢ 1 °0 1 3 3 0¢,
2
con renglones
Ϫ1 Ϫ2 Ϫ4 0
0 0 00

y así k1 = –k3 y k2 = – 3 k3. La elección de que k3 = –2 da como resultado un tercer vector
2

propio,

2 ❏
K3 = ° 3 ¢ .

Ϫ2

Cuando una matriz A de n ϫ n tiene n distintos valores propios ␭1, ␭2, . . . , ␭n, se puede
demostrar que es posible calcular un conjunto de n vectores propios lineales independien-

tes K1, K2, . . . , Kn. Sin embargo, cuando la ecuación característica tenga raíces repetidas,
puede que no sea posible calcular n vectores propios lineales independientes para A.

Ejemplo 3 Cálculo de valores y vectores propios

Calcule los valores y vectores propios de A = aϪ13 4b.
7

Solución A partir de la ecuación característica

det(A – ␭I) = 2 3 Ϫl 4 2 = (␭ – 5)2 = 0,
Ϫ1 Ϫ
7 l

podemos observar que ␭1 = ␭2 = 5 es un valor propio de multiplicidad 2. En el caso de
una matriz de 2 ϫ 2, no es necesario utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan.

Para encontrar el o los vectores propios correspondientes a ␭1 ϭ 5, recurrimos al sistema
(A – 5I|0) en su forma equivalente

–2k1 ϩ 4k2 = 0
–k1 ϩ 2k2 = 0.

Es evidente, a partir de este sistema, que k1 = 2k2. Por lo tanto, si seleccionamos k2 ϭ 1,

2
encontraremos un solo vector propio K1 = a b. ❏
1

Ejemplo 4 Cálculo de valores y vectores propios

911
Calcule los valores y vectores propios de A = ° 1 9 1 ¢ .

119

Solución La ecuación característica

9Ϫl 1 1
det(A – ␭I) = 3 1 9Ϫl 1 3 = –(␭ – 11)(␭ – 8)2 = 0
9Ϫl
1 1

muestra que ␭1 = 11 y que ␭2 = ␭3 = 8 es un valor propio de multiplicidad 2.
Para ␭1 = 11, el método de eliminación de Gauss-Jordan nos da

Ϫ2 1 1 0 1 0 Ϫ1 0

(A – 11I|0) = ° 1 Ϫ2 1 3 0 ¢ 1 ° 0 1 Ϫ1 3 0 ¢ .

1 1 Ϫ2 0 0 0 00

354 CAPÍTULO 7 Matrices

De aquí que k1 = k3 y k2 = k3. Si k3 = 1, entonces

1
K1 = ° 1 ¢ .

1

Ahora, para ␭2 = 8 tenemos

1 1 10 1 1 10

(A – 8I|0) = ° 1 1 1 3 0 ¢ 1 ° 0 0 0 3 0 ¢ .

1 1 10 0 0 00

En la ecuación k1 ϩ k2 ϩ k3 = 0 podemos seleccionar libremente dos de las variables de
forma arbitraria. Por un lado, seleccionando k2 ϭ 1, k3 ϭ 0 y, por el otro, k2 ϭ 0, k3 ϭ 1,

obtenemos dos vectores propios lineales independientes:

Ϫ1 Ϫ1
K2 ϭ ° 1 ¢ y K3 ϭ ° 0 ¢

01

que corresponden a un solo valor propio. ❏

■ Valores propios complejos Una matriz A puede tener valores propios complejos.

T E O R E M A 7. 2 4 Valores y vectores propios complejos

Sea A una matriz cuadrada con elementos reales. Si ␭ = ␣ ϩ i␤, ␤ 0, es un valor
propio complejo de A, entonces su conjugado l = ␣ – i␤ también es un valor propio
de A. Si K es el vector propio correspondiente a ␭, entonces su conjugado K es un
vector propio correspondiente a l .

Demostración Puesto que A es una matriz de elementos reales, la ecuación caracte-
rística det(A – ␭I) = 0 es una ecuación polinomial con coeficientes reales. A partir del
álgebra sabemos que las raíces complejas de dichas ecuaciones se presentan en pares
conjugados. En otras palabras, si ␭ = ␣ ϩ i␤ es una raíz, entonces l = ␣ – i␤ lo es tam-
bién. Ahora dejemos que K sea un vector propio de A correspondiente a ␭. Por defini-
ción, AK ϭ ␭K. Calculando los conjugados complejos de la última ecuación tenemos

A K ϭ l K o AK ϭ l K,

puesto que A es una matriz real. La última ecuación muestra que K es un vector propio

correspondiente a l . ❏

Ejemplo 5 Valores propios y vectores propios complejos

Calcule los valores y vectores propios de A = a6 Ϫ1b .
54

Solución La ecuación característica es

det(A – ␭I) = 2 6 Ϫ l 4 Ϫ1 2 = ␭2 – 10␭ ϩ 29 = 0.
5 Ϫl

A partir de la fórmula cuadrática, encontramos que ␭1 = 5 ϩ 2i y ␭2 = l 1 = 5 – 2i.
Ahora, para ␭1 = 5 ϩ 2i, debemos resolver

(1 – 2i)k1 – k2 = 0

5k1 – (1 ϩ 2i)k2 = 0.

7.8 El problema del valor propio 355

Puesto que k2 = (1 – 2i)k1* se puede deducir que, después de seleccionar k1 ϭ 1, ese
vector propio es

K1 = a 1 b .
1 2i
Ϫ

Del teorema 7.24 podemos observar que un vector propio correspondiente a ␭2 = l1 = 5
– 2i es

K2 ϭ K1 ϭ a 1 b. ❏
1 2i
ϩ

Nuestro último teorema se deduce inmediatamente a partir del hecho de que el deter-
minante de una matriz triangular superior, triangular inferior o diagonal, es el producto
de los elementos de la diagonal.

T E O R E M A 7. 2 5 Matrices triangular y diagonal

Los eigenvalores de una matriz triangular superior, triangular inferior o diagonal
son los elementos de la diagonal principal.

*Observe que la segunda ecuación es simplemente 1 ϩ 2i veces la primera.

EJERCICIOS 7.8 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-15.

En los problemas del 1 al 6, determine cuáles de los vectores Ϫ1 1 0 Ϫ1
columna indicados son vectores propios de la matriz A dada.
Proporcione los valores propios correspondientes. 6. A ϭ ° 1 2 1 ¢ ; K1 ϭ ° 4 ¢ ,

0 3 Ϫ1 3

42 5 ϭ 2 13
1. A ϭ a b; K1 ϭ aϪ2b, K2 a b, K2 ϭ ° 4 ¢ , K3 ϭ ° 1 ¢
5
51 34

K3 ϭ aϪ2b
5
En los problemas del 7 al 22, calcule los valores y vectores
2 Ϫ1 a 1 propios de la matriz dada.
2. A ϭ a Ϫ2b; K1 ϭ 2 22b ,
2 Ϫ
7. aϪϪ17 2b 8. a2 1b
K2 ϭ a2 ϩ 22b, K3 ϭ aϪ2222b 8 21
2
9. aϪ8 Ϫ1b 1 1b
3. A ϭ a6 3b; K1 ϭ aϪ32b, 16 0 10. a 1 1
2 1 Ϫ1b
11. aϪϪ51 2b 4
1 Ϫ5 1 1
K2 ϭ a b, K3 ϭ a 10 b 12. a1
0 1

28 0 13. a4 8b 14. a7 0b
4. A ϭ a Ϫ2 b ; K1 ϭ a b, 0 Ϫ5 0 13
Ϫ1 0
5 Ϫ1 0 300
K2 ϭ a2 Ϫϩ12ib , K3 ϭ a2 ϩ 2ib 15. ° 0 Ϫ5 9 ¢ 16. ° 0 2 0 ¢
1
5 Ϫ1 0 401

1 Ϫ2 2 0 040 160
17. ° Ϫ1 Ϫ4 0 ¢ 18. ° 0 2 1 ¢
5. A ϭ ° Ϫ2 1 Ϫ2 ¢ ; K1 ϭ ° 1 ¢ ,
2 0 0 Ϫ2 012
21 1

4 Ϫ1 0 0 Ϫ1 2 Ϫ1 0
19. ° 1 0 0 ¢ 20. ° 5 2 4 ¢
K2 ϭ ° Ϫ4 ¢ , K3 ϭ ° 1 ¢
01 1 1 Ϫ1 0 12

356 CAPÍTULO 7 Matrices

12 3 000 un 1. Las matrices estocásticas son de gran importancia
21. ° 0 5 6 ¢ 22. ° 0 0 0 ¢ en la teoría de la probabilidad.

0 0 Ϫ7 001 a) Compruebe que

Los valores propios de A–1 son los recíprocos de los valo- A ϭ ap 1 Ϫ pb, 0 Յ p Յ 1, 0 Յ q Յ 1,
q 1 Ϫ q
res propios de una matriz A no singular. Además, los vec-

tores propios de A y A–1 son iguales. En los problemas 23 y 24, 1 1 1
4
compruebe estos hechos para la matriz dada. 2 4
1
23. A ϭ a5 1b 1 2 Ϫ1 y A= ° 1 3 1 ¢ .
3 3
1
24. A ϭ ° 1 0 1 ¢ 1 3 1

15 6 2

4 Ϫ4 5 son matrices estocásticas.

Una matriz A es singular si, y sólo si ␭ = 0 es un eigenvalor. En b) Utilice un programa de cómputo para álgebra lineal
los problemas 25 y 26, compruebe que una matriz A dada es o un sistema asistido por computadora para encon-
singular. Calcule la ecuación característica de A y demuestre trar los valores y vectores propios de la matriz A de
que ␭ ϭ 0 es un eigenvalor. 3 ϫ 3 del inciso a). Forme al menos seis matrices es-
tocásticas más de diferentes tamaños, 2 ϫ 2, 3 ϫ 3,
25. A ϭ a6 0b 1 01 4 ϫ 4 y 5 ϫ 5. Calcule los valores y vectores pro-
30 26. A ϭ ° 4 Ϫ4 5 ¢ pios de cada matriz. Si encuentra un patrón, formule
una conjetura y después trate de demostrarla.
7 Ϫ4 8

Tareas para el laboratorio de cómputo c) En la matriz A de 3 ϫ 3 del inciso a), utilice un
programa de cómputo para calcular A2, A3, A4, . . .
27. Se dice que una matriz cuadrada A es una matriz es-
tocástica si ninguno de sus elementos es negativo y la Repita el proceso en las matrices que usted formó
suma de los elementos de cada renglón (o la suma de los en b). Si encuentra un patrón, formule una conjetura
elementos de cada columna) da como resultado máximo
y después trate de demostrarla.

7.9 Potencias de las matrices

■ Introducción En algunas ocasiones es importante poder calcular de manera rápida

una potencia de Am, siendo m un entero positivo, de una matriz A de n ϫ n:

Am ϭ AAA . . . A.

m número de factores

Desde luego, el cálculo de Am podría hacerse con un programa de cómputo apropiado o
escribiendo un programa corto; sin embargo, aún así, usted debe estar consciente de que
no resulta eficiente utilizar la fuerza bruta para realizar multiplicaciones sucesivas: A2 ϭ
AA, A3 ϭ AA2, A4 ϭ AAAA ϭ A(A3) ϭ A2A2, y así por el estilo.

■ Cálculo de Am Vamos a esquematizar un método alterno para efectuar el cálculo de

Am mediante el teorema siguiente, el cual se conoce como teorema Cayley-Hamilton.

T E O R E M A 7. 2 6 Teorema Cayley-Hamilton

Una matriz A de n × n satisface su propia ecuación característica.

Si (Ϫ1)n␭n ϩ cn Ϫ 1␭n Ϫ 1 ϩ . . . ϩ c1␭ ϩ c0 ϭ 0 es la ecuación característica de A, enton-
ces el teorema 7.26 establece que,

(Ϫ1)nAn ϩ cn Ϫ 1An Ϫ 1 ϩ . . . ϩ c1A ϩ c0I ϭ 0. (1)

7.9 Potencias de las matrices 357