ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

5.1 Soluciones en torno a puntos ordinarios

■ Introducción En la sección 3.3 vimos que resolver una ecuación diferencial lineal

homogénea con coeficientes constantes era esencialmente un problema de álgebra. Cuando

encontramos las raíces de la ecuación auxiliar pudimos escribir una solución general de la
ecuación diferencial como una combinación lineal de las funciones elementales xk, xke␣x,
xkeaxcos ␤x y xke␣xsen ␤x, donde k es un entero no negativo. Pero como se señaló en la
introducción a la sección 3.6, no es posible resolver la mayoría de las ecuaciones dife-
renciales lineales de orden superior con coeficientes variables en términos de funciones

elementales. Un método común para resolver ecuaciones de esta naturaleza es asumir

una solución en la forma de series infinitas y proceder de manera similar al método de

coeficientes indeterminados (sección 3.4). En esta sección, consideramos ecuaciones dife-

renciales lineales de segundo orden con coeficientes variables que poseen soluciones en la
forma de series de potencias.

5.1.1 Repaso de las series de potencias

De sus conocimientos de cálculo, recuerde que una serie de potencias en x Ϫ a es una
serie infinita de la forma

q

a cn1x Ϫ a2n ϭ c0 ϩ c11x Ϫ a2 ϩ c21x Ϫ a22 ϩ p.

nϭ0

Se dice que tal serie es una serie de potencias centrada en a. Por ejemplo, la serie de
q
potencias g nϭ 0 1 x ϩ 12n está centrada en a = Ϫl. En esta sección, nos enfocaremos prin-

cipalmente en las series de potencias en x; en otras palabras, series de potencias como
q p
g nϭ 1 2n Ϫ 1xn ϭ x ϩ 2x2 ϩ 4x3 ϩ que estén centradas en a = 0. La siguiente lista

resume algunas cuestiones importantes sobre las series de potencias.

• Convergencia Una serie de potencias ⌺ϱn=0 cn(x Ϫ a)n es convergente en un valor espe-
cífico de x si su secuencia de sumas parciales {SN(x)} converge; es decir, si límN→ϱ SN(x) =
límN→ϱ ⌺Nn=0cn(x Ϫ a)n existe. Si el límite no existe en x, se dice que la serie es diver-
gente.

• Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia.
El intervalo de convergencia es el conjunto de todos los números reales x para los que la
serie converge.

• Radio de convergencia Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia R. Si
R > 0, entonces una serie de potencias ⌺ϱn=0 cn(x Ϫ a)n converge para |x Ϫ a| < R y diverge
para | x Ϫ a | > R. Si la serie converge sólo en su centro a, en ese caso, R = 0. Si la serie

converge para toda x, entonces escribimos R = ϱ. Recuerde que la desigualdad de valor

absoluto |x Ϫ a| < R es equivalente a la desigualdad simultánea a Ϫ R < x < a ϩ R. Una

serie de potencias puede o no converger en los extremos a Ϫ R y a ϩ R de su intervalo.

• Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias

converge de manera absoluta. En otras palabras, si x está en el intervalo de convergencia
y no es un extremo del intervalo, entonces la serie de valores absolutos ⌺ϱn=0 |cn(x Ϫ a)n|
converge.

• Prueba de relación La convergencia de las series de potencias a menudo se puede
determinar mediante la prueba de relación. Suponga que cn 0 para toda n, y que

lím 2 cn ϩ 1 1 x Ϫ a2nϩ1 2 ϭ Ϳx Ϫ aͿ lím 2 cn ϩ 1 2 ϭ L.
cn1x Ϫ a2n cn
nSq nSq

Si L < 1, la serie converge absolutamente; si L > 1, la serie diverge, y si L = 1, la prueba
no es concluyente. Por ejemplo, para la serie de potencias ⌺ϱn=1 (x Ϫ 3)n/2nn, la prueba de

relación da

1x Ϫ 32nϩ1>2nϩ11n ϩ 12 n1
lím 2 2 ϭ Ϳx Ϫ 3Ϳ lím ϭ Ϳx Ϫ 3Ϳ.
1x Ϫ 32n>2nn nSq 21n ϩ 12 2
nSq

240 CAPÍTULO 5 Soluciones en serie para ecuaciones diferenciales lineales

La serie converge absolutamente para 1 |x Ϫ 3| < 1 o |x Ϫ 3| < 2 o 1 < x < 5. Este último
2

intervalo se denomina intervalo abierto de convergencia. La serie diverge para | x Ϫ 3 | >

2, es decir, para x > 5 o x < 1. En el extremo izquierdo x = 1 del intervalo abierto de con-

vergencia, la serie de constantes ⌺ϱn=1 ((Ϫ1)n/n) es convergente de acuerdo con la prueba
de la serie alterna. En el extremo derecho x = 5, la serie ⌺ϱn=1 (1/n) es la serie armónica

divergente. El intervalo de convergencia de la serie es [1, 5) y el radio de convergencia es

R = 2.

• Una serie de potencias define una función Una serie de potencias define una función
f (x) ϭ ⌺ϱn=0 cn(x Ϫ a)n cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Si el
radio de convergencia es R > 0, entonces f es continua, diferenciable e integrable en el

intervalo (a Ϫ R, a ϩ R). Además, f Ј( x) y ͐ f ( x) dx se pueden determinar mediante

diferenciación e integración término a término. En un extremo, la convergencia puede
perderse por diferenciación o ganarse por integración. Si y = ⌺ϱn=0c nx n es una serie de
potencias en x, entonces las primeras dos derivadas son yЈ = ⌺ϱn=0 nx nϪ1 y yЉ = ⌺ϱn=0 n(n Ϫ
1)xnϪ2. Observe que el primer término en la primera derivada y los primeros dos términos

en la segunda derivada son cero. Omitimos estos términos y escribimos

qq

y¿ ϭ a cn nxnϪ1 y y– ϭ a cn n1n Ϫ 12 xnϪ2. (1)

nϭ1 nϭ2

Estos resultados son importantes y se utilizarán en breve.

• Propiedad de identidad Si ⌺ϱn=0cn(x Ϫ a)n = 0, R > 0, para todo número x en el inter-
valo de convergencia, entonces cn = 0 para toda n.

• Función analítica en un punto Se dice que una función f es analítica en un punto a si
puede representarse mediante una serie de potencias en x – a con un radio de convergen-
cia positivo. En cálculo se ha demostrado que es posible representar funciones tales como
ex, cos x, sen x, ln(x Ϫ 1), mediante las series de Taylor. Recuerde, por ejemplo, que

ex ϭ 1 ϩ x ϩ x2 ϩ p, sen x ϭ x Ϫ x3 ϩ x5 Ϫ p, cos x ϭ 1 Ϫ x2 ϩ x4 Ϫ x6 ϩ p, (2)
1! 2! 3! 5! 2! 4! 6!

para | x | < ϱ. Estas series de Taylor centradas en 0, llamadas series de Maclaurin,

muestran que ex, sen x y cos x son analíticas en x = 0.

• Aritmética de las series de potencias Las series de potencias pueden combinarse
mediante operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos son si-
milares a la forma en que se suman, multiplican o dividen dos polinomios, es decir, se
suman los coeficientes de potencias iguales de x, se aplica la ley distributiva, se agru-
pan términos semejantes, y se efectúa una larga división. Por ejemplo, usando series
de potencias en (2),

ex sen x ϭ a1 ϩ x ϩ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ pb ax Ϫ x3 ϩ x5 Ϫ x7 ϩ p b
2 6 24 6 120 5 040

ϭ 112 x ϩ 112 x2 ϩ aϪ1 ϩ 1 b x3 ϩ aϪ1 ϩ 1 b x4 ϩ a 1 Ϫ 1 ϩ 1 b x5 ϩ p
62 66 120 12 24

ϭ x ϩ x2 ϩ x3 Ϫ x5 Ϫ p.
3 30

Puesto que la serie de potencias para ex y sen x convergen para |x| < ϱ, la serie de pro-

ducto converge en el mismo intervalo. Los problemas que implican la multiplicación o la

división de una serie de potencias se pueden resolver de modo más sencillo mediante un

sistema computacional de álgebra.

■ Cambio del índice de suma Para el resto de esta sección, así como para el capítulo,

es importante que usted se adiestre en la simplificación de la suma de dos o más series
de potencias, expresada cada serie en notación de suma (sigma), para una expresión con
una sola ⌺. Tal como ilustra el siguiente ejemplo, combinar dos o más sumas en una sola
muchas veces requiere de volver a realizar la indexación, es decir, un desplazamiento del
índice de la suma.

5.1 Soluciones en torno a puntos ordinarios 241

Importante. Ejemplo 1 Suma de dos series de potencias

Escriba ⌺ϱn=2 n(n Ϫ 1)cnx nϪ2 + ⌺ϱn=0cnx n+1como una serie de potencias.

Solución Con el fin de sumar las dos series, es necesario que ambos índices de las sumas
comiencen con el mismo número y que en cada serie las potencias de x estén “en fase”,
es decir, si una serie inicia con un múltiplo de, digamos, x a la primera potencia, entonces
la otra serie deberá comenzar con la misma potencia. Observe que en el problema dado, la
primera serie comienza con x0, mientras que la segunda serie empieza con x1. Si escribimos
el primer término de la primera serie fuera de la notación de suma,

serie comienza con serie comienza con

x para n = 3 x para n = 0

↓↓

qq qq

a n1n Ϫ 12cnxnϪ2 ϩ a cnxnϩ1 ϭ 2 ؒ 1c2x0 ϩ a n1n Ϫ 12cnxnϪ2 ϩ a cnxnϩ1,
nϭ2 nϭ0 nϭ3 nϭ0

vemos que ambas series del lado derecho comienzan con la misma potencia de x, es
decir, con x1. Para obtener el mismo índice de suma nos basamos en los exponentes de x;
sea k = n Ϫ 2 en la primera serie y al mismo tiempo sea k = n + 1 en la segunda serie. El

lado derecho se convierte en

↓ mismo ↓

qq

2c2 ϩ a 1k ϩ 22 1k ϩ 12ckϩ2 xk ϩ a ckϪ1 xk. (3)

kϭ1 kϭ1

↑ mismo ↑

Recuerde que el índice de la suma es una variable “muda”; el hecho de que k = n Ϫ 1
en un caso y k = n + 1 en el otro, no debe causar confusión si se recuerda que lo impor-
tante es el valor del índice de la suma. En ambos casos, k adopta los mismos valores
sucesivos k = 1, 2, 3, . . . cuando n asume los valores n = 2, 3, 4, . . . para k = n Ϫ 1 y
n = 0, 1, 2, . . . para k = n + 1. Ahora ya estamos en condiciones de sumar las series ex-
presadas en (3) término a término:

q qq

a n1n Ϫ 12cn xnϪ2 ϩ a cn xnϩ1 ϭ 2c2 ϩ a 3 1k ϩ 22 1k ϩ 12ckϩ2 ϩ ckϪ1 4 xk. (4) ❏
nϭ2 nϭ0 kϭ1

Si no está convencido del resultado de (4), entonces escriba algunos términos en
ambos lados de la igualdad.

5.1.2 Soluciones en series de potencias

■ Una definición Supongamos que la ecuación diferencial lineal de segundo orden

a2(x)yЉ + a1(x)yЈ + a0(x)y = 0 (5)
se escribe en su forma estándar

yЉ + P(x)yЈ + Q(x)y = 0 (6)

si se divide entre el primer coeficiente a2(x). Formulamos la siguiente definición.

DEFINICIÓN 5.1 Puntos ordinarios y singulares

Se dice que un punto x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5) si
tanto P(x) como Q(x) de la forma estándar (6) son analíticos en x0. Y de un punto
que no es ordinario se afirma que es un punto singular de la ecuación.

242 CAPÍTULO 5 Soluciones en serie para ecuaciones diferenciales lineales

Todo valor finito de x es un punto ordinario de yЉ + (e x)yЈ + (sen x) y ϭ 0. En particular,
x ϭ 0 es un punto ordinario, pues como ya vimos en (2), tanto ex como sen x son analíticos
en este punto. La negación en el segundo enunciado de la definición 5.1 estipula que si al

menos una de las funciones P(x) y Q(x) de (6) no es analítica en x0, entonces x0 es un punto
singular. Observe que x ϭ 0 es un punto singular de la ecuación diferencial yЉ + (ex)yЈ +
(ln x)y ϭ 0, puesto que Q(x) ϭ ln x es discontinua en x ϭ 0 y, por lo tanto, no se puede
representar mediante una serie de potencias en x.

■ Coeficientes polinómicos Nos interesa principalmente el caso en que (5) tiene

coeficientes polinómicos. Un polinomio es analítico en cualquier valor x, y una función ra-

cional es analítica salvo en los puntos donde su denominador sea cero. Por lo tanto, si a2(x),
a1(x) y a0(x) son polinomios sin factores comunes, entonces ambas funciones racionales
P(x) ϭ a1(x)/a2(x) y Q(x) ϭ a0(x)/a2(x) son analíticas excepto donde a2(x0) ϭ 0. Por lo
tanto, se deduce que x ϭ x0 es un punto ordinario de (5) si a2(x0) 0, mientras que x ϭ x0
es un punto singular de (5) si a2(x0) ϭ 0. Por ejemplo, los únicos puntos singulares de la
ecuación (x2 Ϫ 1)yЉ + 2xyЈ + 6y ϭ 0 son soluciones de x2 Ϫ 1 ϭ 0 o x ϭ Ϯ1. Todos los
demás valores finitos* de x son puntos ordinarios. Un examen de la ecuación de Cauchy-
Euler ax2yЉ + bzyЈ + cy ϭ 0 muestra que tiene un punto singular en x ϭ 0. Los puntos sin-
gulares no necesitan ser números reales. La ecuación (x2 + 1)yЉ + xyЈ Ϫ y ϭ 0 tiene puntos
singulares en las soluciones de x2 + 1 ϭ 0, es decir, x ϭ Ϯi. Todos los demás valores de x,
reales o complejos, son puntos ordinarios.

Enunciamos, sin demostrarlo, el teorema siguiente sobre la existencia de soluciones

en forma de series de potencias.

TEOREMA 5.1 Existencia de soluciones en forma
de series de potencias

Si x ϭ x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5), siempre podemos en-

contrar dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias

centradas en x0, es decir, y ϭ q 0cn 1x Ϫ x0 2 n. Una solución en forma de serie
converge al menos en algún | x Ϫ x0 | < R, donde R es la dis-
anϭ
intervalo definido por

tancia entre x0 y el punto singular más cercano.

Se dice que una solución de la forma y ϭ ⌺ϱnϭ 0 cn(x Ϫ x0)n es una solución en torno Todas las soluciones
al punto ordinario x0. En el teorema 5.1, la distancia R es el valor mínimo o el límite en forma de series
inferior para el radio de convergencia. Por ejemplo, los números complejos 1 Ϯ 2i son de potencias estarán
los puntos singulares de (x2 Ϫ 2x + 5)yЉ + xyЈ Ϫ y ϭ 0, pero puesto que x ϭ 0 es un punto centradas en 0.

ordinario de la ecuación, el teorema 5.1 garantiza que podemos encontrar dos soluciones 243
en forma de series de potencias en 0. Es decir, las soluciones se parecen a y ϭ ⌺ϱnϭ0
cnx n y, además, sin encontrar realmente esas soluciones, sabemos que cada serie debe
converger al menos para | x | < 15, donde R ϭ 15 es la distancia entre 0 y cualquiera
de los números 1 + 2i o 1 Ϫ 2i presentes en el plano complejo. Sin embargo, la ecuación

diferencial tiene una solución que es válida para valores mucho más grandes de x; de

hecho, esta solución es válida en (Ϫϱ, ϱ) porque podemos demostrar que una de las

dos soluciones es un polinomio.

En los siguientes ejemplos, así como en los ejercicios 5.1, por simplicidad, sólo en-

contraremos soluciones en forma de series de potencias en torno a un punto ordinario

x ϭ 0. Si fuera necesario encontrar una solución en forma de series de potencias de una

EDO en torno a un punto ordinario x0 0, simplemente podemos cambiar la variable
t ϭ x Ϫ x0 en la ecuación (esto traduce x ϭ x0 en t ϭ 0), encontrar las soluciones para la
nueva ecuación de la forma y ϭ ⌺ϱnϭ0cntn, y después volver a sustituir t ϭ x Ϫ x0.

Encontrar una solución en forma de series de potencias de una EDO lineal homo-

génea de segundo orden se ha descrito con exactitud como “el método de coeficientes

*Para los fines de este libro, los puntos singulares y los ordinarios siempre serán puntos finitos. Es posible
que una EDO tenga, digamos, un punto singular en el infinito.

5.1 Soluciones en torno a puntos ordinarios