ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

lineal de primer orden a1(x)yЈ ϩ a0(x)y ϭ 0 en la forma d 3my4 0 dividiendo la ecua-
dx

ción entre a1(x) y, después, multiplicando por el factor integrante m e P1x2dx donde,

suponiendo que no existen factores comunes, P(x) ϭ a0(x)/a1(x). Así, primero dividi-

mos (22) entre a(x). Los primeros dos términos son entonces Y¿ b1x2 p donde,
a1x2Y

para enfatizar, escribimos Y ϭ yЈ. En segundo lugar, multiplicamos esta ecuación por el

factor integrador e 1b1x2>a1x22dx, donde se supone que a(x) y b(x) no tienen factores comunes

e͐1b1x2>a1x22dxY¿ ϩ b1x2 e͐1b1x2>a1x22dxY ϩ p ϭ d 3 e͐1b1x2>a1x22dxY 4 ϩ p ϭ d 3 e͐1b1x2>a1x22dxy¿ 4 ϩ p.
a1x2 dx dx

derivada de un producto

En resumen, dividiendo (22) entre a(x) y multiplicando entonces por e 1b1x2>a1x22dx obte-
nemos

e 1b>a2dxy– b1x2 1b>a2dxy¿ c1x2 1b>a2dx d1x2 1b>a2dxby 0. (23)
e ae le
a1x2 a1x2 a1x2

La ecuación (23) es la forma deseada proporcionada en (20) y es lo mismo que (3):

d Be 1b>a2dxy¿R c1x2 1b>a2dx d1x2 1b>a2dxby 0.
dx aa1x2e la1x2e

r (x) q(x) p(x)

Por ejemplo, para expresar 3yЉ ϭ 6yЈ ϩ ␭y ϭ 0 en la fyormulayción autoadjunta, escribimos

yЉ ϩ 2yЈ ϩ 1 y 0 y después multiplicamos por e 2dx e2x. La ecuación resultante es,
3

r(x) rЈ(x) p(x)

↓↓ ↓

e2xy– 2e2xy¿ l1e3xy 0 o d 3 e2xy¿ 4 l1e2xy 0.
2 dx 3

Desde luego, no es necesario expresar una segunda ecuación diferencial (22) en la

formulación autoadjunta (3) con el fin de resolver la ecuación diferencial. Para cumplir Nota.

nuestros propósitos utilizamos la fórmula dada en (3) para determinar la función peso p(x)

necesaria en la relación de ortogonalidad (9). Los dos ejemplos siguientes muestran las

relaciones de ortogonalidad para las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre.

Ejemplo 3 Ecuación paramétrica de Bessel

En la sección 5.3 vimos que la solución general de la ecuación diferencial paramétrica de

Bessel x 2yЉ ϩ xyЈ ϩ (␣2x 2 Ϫ n2)y ϭ 0, n ϭ 0, 1, 2, . . . es y ϭ c1Jn(␣x) ϩ c2Yn(␣x). Luego
de dividir la ecuación paramétrica de Bessel entre el coeficiente de mayor grado x2 y mul-
tiplicar la ecuación resultante por el factor de integración e 11>x2dx elnx x, x 7 0,

obtenemos la formulación autoadjunta

xy– y¿ aa2x n2 0 o d 3xy¿ 4 aa2x n2 0,
x by dx x by

donde identificamos r(x) ϭ x, q(x) ϭ Ϫn2/x, p(x) ϭ x y ␭ ϭ ␣2. Ahora r(0) ϭ 0, y de las

dos soluciones Jn(␣x) y Yn(␣ x) sólo Jn(␣ x) está acotada en x ϭ 0. Por lo tanto, en vista
de la ecuación (16), el conjunto {Jn(␣ix)}, i ϭ 1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la
función peso p(x) ϭ x en un intervalo [0, b]. La relación de ortogonalidad es

b (24)

x Jn( i x)Jn( j x) dx 0, i j,

0

10.5 Problema de Sturm-Liouville 517

dada ␣i, y por lo tanto los valores propios ␭i ϭ ␣2i , i ϭ 1, 2, 3, . . . , sean definidos me-
diante una condición de frontera en x ϭ b del tipo proporcionado en la ecuación (5):

A2Jn(␭b) ϩ B2␣JЈn(␣b) ϭ 0.* (25) ❏

Para cualquier valor de A2 y B2, no siendo ambos iguales a cero, se sabe que (25) tiene
un número infinito de raíces xi ϭ ␣ib. Los valores propios son entonces ␭i ϭ ␣2i ϭ (xi/b)2.

En el capítulo siguiente se comentará más acerca de los valores propios.

Ejemplo 4 Ecuación de Legendre

A partir del resultado proporcionado por (21) podemos identificar q(x) ϭ 0, p(x) ϭ 1
y ␭ ϭ n(n ϩ 1). De la sección 5.3, recuerde que cuando n ϭ 0, 1, 2, … la ecuación de
Legendre tiene soluciones polinomiales Pn(x). Ahora podemos hacer la observación de
que r(Ϫ1) ϭ r(1) ϭ 0 junto con el hecho de que los polinomios de Legendre Pn(x) son
las únicas soluciones de (21) que están acotadas en el intervalo cerrado [Ϫ1, 1], para
concluir de (18) que el conjunto {Pn(x)} , n ϭ 0, 1, 2, . . . , es ortogonal respecto a la
función peso p(x) ϭ 1 en [Ϫ1, 1]. La relación de ortogonalidad es

1 0, m n. ❏

Pm(x)Pn(x) dx

1

Comentarios

i) Un problema de Sturm-Liouville se considera singular cuando el intervalo en que se
trabaja es infinito. Consulte los problemas 11 y 12 de los ejercicios 10.5.
ii) Aun cuando las condiciones de los coeficientes p, q, r y rЈ sean las supuestas en el
problema regular de Sturm-Liouville, si las condiciones de frontera son periódicas,
entonces la propiedad b) del teorema 10.3 no es válida. Se le pide al lector demostrar,
en el problema 4 de los ejercicios 10.5 los correspondientes a cada valor propio del
problema de valores en la frontera

y– ϩ ly ϭ 0, y1ϪL2 ϭ y1L2, y¿1ϪL2 ϭ y¿ 1L2.

existen dos funciones propias linealmente independientes.

*El factor extra de ␣ en (25) proviene de la regla de la cadena:
dd
dx Jn1ax2 ϭ Jn¿ 1ax2 dx ax ϭ aJn¿ 1ax2.

EJERCICIOS 10.5 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-24.

En los problemas 1 y 2, determine las funciones propias y la 3. Considere la ecuación yЉ ϩ ␭y ϭ 0 sujeta a yЈ(0) ϭ 0,
ecuación que define los valores propios para el problema de va- yЈ(L) ϭ 0. Demuestre que las funciones propias son
lores en la frontera. Utilice un sistema asistido por computadora
para aproximar los cuatro primeros valores propios ␭1, ␭2, ␭3 y e 1, p 2p p f.
␭4. Proporcione las funciones propias correspondientes a estas cos x, cos x,
aproximaciones. LL

1. yЉ ϩ ␭y ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, y(1) ϩ yЈ(1) ϭ 0 Este conjunto, que es ortogonal en [0, L], es la base de la
serie coseno de Fourier.
2. yЉ ϩ ␭y ϭ 0, y(0) ϩ yЈ(0) ϭ 0, y(1) ϭ 0

518 CAPÍTULO 10 Funciones ortogonales y series de Fourier

4. Considere la ecuación yЉ ϩ ␭y ϭ 0 sujeta a las condi- 11. Considere el problema regular de Sturm-Liouville:
ciones de frontera periódicas y(ϪL) ϭ y(L), yЈ(ϪL) ϭ
yЈ(L). Demuestre que las funciones propias son d 3 11 ϩ x22y¿ 4 ϩ 1 l x2 y ϭ 0, y102 ϭ 0, y112 ϭ 0.
dx ϩ

e 1, cos p x, cos 2p x, p , sen p x, sen 2p x, sen 3p x, p f . a) Encuentre los valores propios y las funciones pro-
LL LL L pias del problema de valor en la frontera.

Este conjunto, que es ortogonal en [ϪL, L], es la base de [Sugerencia: Establezca x ϭ tan ␪ y después utilice
la regla de la cadena.]
las series de Fourier.
b) Proporcione una relación de ortogonalidad.
5. Encuentre la norma cuadrada para cada función propia
del problema 1. 12. a) Encuentre las funciones propias y la ecuación que
defina los valores propios para el problema de valor
6. Demuestre que para las funciones propias del ejemplo 2,
en la frontera

ʈ sen anxʈ2 ϭ 1 31 ϩ cos 2an 4 . x2y– ϩ xy¿ ϩ 1lx2 Ϫ 12y ϭ 0,
2 y está acotada en x ϭ 0, y(3) ϭ 0.

7. a) Encuentre los valores propios y las funciones pro- b) Utilice la tabla 5.1 de la sección 5.3 para calcular
pias del problema de valor en la frontera los valores aproximados de los primeros cuatro va-
x 2yЉ ϩ xyЈ ϩ ␭y ϭ 0, y(1) ϭ 0, y(5) ϭ 0. lores propios ␭1, ␭2, ␭3 y ␭4.

b) Exprese la ecuación diferencial como una formula- Problemas de análisis
ción autoadjunta.
13. Considere el caso especial del problema regular de
c) Proporcione una relación de ortogonalidad. Sturm-Liouville en el intervalo [a, b]:

8. a) Encuentre los valores propios y las funciones pro- d 3 r1x2y¿ 4 ϩ lp1x2y ϭ 0, y¿1a2 ϭ 0, y¿1b2 ϭ 0.
pias del problema de valor en la frontera dx

yЉ ϩ yЈ ϩ ␭y ϭ 0, y(0) ϭ 0, y(2) ϭ 0. ¿Es ␭ ϭ 0 un valor propio del problema? Proporcione
b) Exprese la ecuación diferencial como una formula- soporte a su respuesta.

ción autoadjunta. Tareas para el laboratorio de cómputo

c) Proporcione una relación de ortogonalidad. 14. a) Proporcione una relación de ortogonalidad para el
9. La ecuación diferencial de Laguerre problema de Sturm-Liouville del ejercicio 1.

xy– ϩ 11 Ϫ x2y¿ ϩ ny ϭ 0, n ϭ 0, 1, 2, p , b) Utilice como apoyo un sistema asistido por compu-
15. a) tadora para demostrar la relación de ortogonalidad de
tiene soluciones polinomiales Ln(x). Exprese la ecuación las funciones propias y1 y y2 que correspondan a los
como una formulación autoadjunta y proporcione una primeros dos valores propios ␭1 y ␭2, respectivamente.
relación de ortogonalidad.
10. La ecuación diferencial de Hermite Proporcione una relación de ortogonalidad para el
problema de Sturm-Liouville del ejercicio 2.
y– Ϫ 2xy¿ ϩ 2ny ϭ 0, n ϭ 0, 1, 2, p ,
b) Mediante un sistema asistido por computadora, de-
tiene soluciones polinomiales Hn(x). Exprese la ecua-
ción como una formulación autoadjunta y proporcione muestre la relación de ortogonalidad de las funcio-
una relación de ortogonalidad.
nes propias y1 y y2 que correspondan a los primeros
dos valores propios ␭1 y ␭2, respectivamente.

10.6 Series de Bessel y de Legendre 519

■ Introducción Las series de Fourier, las series coseno de Fourier, y las series seno

de Fourier son tres formas útiles para expandir una función en términos de un conjun-
to ortogonal de funciones. Sin embargo, dichas expansiones de ninguna manera están
limitadas a conjuntos ortogonales de funciones trigonométricas. En la sección 10.1
estudiamos que una función f definida en un intervalo (a, b) podía expandirse, al menos
formalmente, en términos de cualquier conjunto de funciones {␾n(x)} que sea ortogonal
respecto a una función peso en [a, b]. Muchas de estas expansiones de series ortogonales
o series de Fourier generalizadas provienen de problemas de Sturm-Liouville los cuales,
a su vez, surgen de intentos de resolver las ecuaciones diferenciales lineales parciales
que sirven como modelos para sistemas físicos. Las expansiones en series de Fourier y
ortogonales (las últimas incluyen las dos series consideradas en esta sección) aparecerán
en la consideración subsecuente de estas aplicaciones en los capítulos 11 y 12.

10.6 Series de Bessel y de Legendre

10.6.1 Serie de Fourier-Bessel

En el ejemplo 3 de la sección 10.5 estudiamos que para un valor constante de n el con-
junto de funciones de Bessel {Jn(␣ix)}, i ϭ 1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la fun-
ción peso p(x) ϭ x en un intervalo [0, b] cuando ␣i se define mediante una condición de
frontera de la forma

A2Jn1ab2 ϩ B2aJn¿ 1ab2 ϭ 0. (1)

Los valores propios del problema correspondiente de Sturm-Liouville son li ϭ ai2. A
partir de (7) y (8) de la sección 10.1, la expansión en series ortogonales o las series de
Fourier generalizadas de una función f definida en el intervalo (0, b) en términos de este

conjunto ortogonal es

q (2)
(3)
f 1x2 ϭ a ci Jn1ai x2,
iϭ1

donde ci ϭ ͐0bx Jn1ai x2 f 1x2 dx
ʈJn1ai x2ʈ2 .

La norma cuadrada de la función Jn(␣ix) está definida por la expresión (11) de la sección
10.1:

b (4)

Ύʈ Jn1ai x2ʈ2 ϭ x J2n 1ai x2 dx.
0

A la serie (2) con coeficientes (3) se le conoce como serie de Fourier-Bessel.

■ Relaciones de recurrencia diferenciales Las relaciones de recurrencia diferencia-

les que se proporcionaron en (20) y (21) de la sección 5.3 a menudo resultan de utilidad
en la evaluación de los coeficientes (3). Por conveniencia, a continuación reproducimos
dichas relaciones:

d 3 xnJn1x2 4 ϭ x nJn Ϫ 1 1 x 2 (5)
dx (6)

d 3 xϪnJn1x2 4 ϭ ϪxϪnJn ϩ 1 1 x 2 .
dx

■ Norma cuadrada El valor de la norma cuadrada (4) depende de cómo se definan los

valores propios ␭i ϭ a2i . Si y ϭ Jn(␣x), entonces sabemos, con base en el ejemplo 3 de la

sección 10.5, que

d 3 xy¿ 4 ϩ a a2x Ϫ n2 ϭ 0.
dx x by

Después de multiplicar por 2xyЈ, esta ecuación puede escribirse como

d 3 xy¿ 4 2 ϩ 1a2x2 Ϫ n22 d 3 y 4 2 ϭ 0.
dx dx

Integramos por partes el último resultado en [0, b] y obtenemos

Ύb b

2a2 xy2 dx ϭ ¢ 3 xy¿ 4 2 ϩ 1a2x2 Ϫ n22y2² 2 .

00

Puesto que y ϭ Jn(␣x), el límite inferior es cero para n > 0 ya que Jn(0) ϭ 0. Para n ϭ 0,
la cantidad [xyЈ]2 ϩ ␣2x 2y2 es cero en x ϭ 0. Por lo tanto,

b (7)

Ύ2a2 x Jn21ax2 dx ϭ a2b2 3 Jn¿1ab2 4 2 ϩ 1a2b2 Ϫ n22 3 Jn1ab2 4 2,
0

donde hemos utilizado la regla de la cadena para escribir yЈ ϭ ␣JЈn(␣x).

520 CAPÍTULO 10 Funciones ortogonales y series de Fourier

Ahora consideraremos tres casos de la condición de frontera (1).

Caso I: Si seleccionamos A2 ϭ 1 y B2 ϭ 0, entonces (1) es

Jn(␣b) ϭ 0. (8)

Existe un número infinito de raíces positivas xi ϭ ␣ib de (8) (consulte la figu-
ra 5.3), que definen la ␣i como ␣i ϭ xi/b. Los valores propios son positivos y,
por lo tanto, son ␭i ϭ ai2 ϭ xi2 /b2. Las raíces negativas de (8) no proporcio-
nan nuevos valores propios ya que Jn(Ϫx) ϭ (Ϫ1)nJn(x). (Consulte la página

264.) El número 0 no es un valor propio para cualquier valor de n puesto que

Jn(0) ϭ 0 para n ϭ 1, 2, 3, . . . y J0(0) ϭ 1. En otras palabras, si ␭ ϭ 0, obte-
nemos la función trivial (la cual nunca es una función propia) para n ϭ 1, 2,

3, . . . , y para n ϭ 0, ␭ϭ 0 (o, de manera equivalente, ␣ ϭ 0) no satisface la

ecuación (8). Cuando (6) se escribe en la forma x JЈn(x) ϭ n Jn(x) Ϫ x Jnϩ1(x),
a partir de (7) y (8) se deduce que la norma cuadrada de Jn(␣ix) es

ʈ Jn1ai x2ʈ2 ϭ b2 J2nϩ11ai b2. (9)
2

Caso II: Si seleccionamos A2 ϭ h Ն 0, B2 ϭ b, entonces (1) es

h Jn(␣ b) ϩ ␣ bJЈn(␣ b) ϭ 0. (10)

La ecuación (10) tiene un número infinito de raíces positivas xi ϭ ␣ib para
cada entero positivo n ϭ 1, 2, 3, . . . . Como antes, los valores propios se ob-
tienen a partir de ␭i ϭ a2i ϭ xi2 /b2. ␭ ϭ 0 no es un valor propio para n ϭ 1,
2, 3, . . . . Sustituyendo ␣ibJЈn(␣ib) ϭ ϪhJn(␣ib) en (7), se puede ver que la
norma cuadrada de Jn(␣ix) es ahora

ʈJn1ai x2ʈ2 ϭ ai2b2 Ϫ n2 ϩ h2 J2n1ai b2. (11)
2ai2

Caso III: Si h ϭ 0 y n ϭ 0 en (10), ␣i se define a partir de las raíces de

JЈ0(␣ b) ϭ 0. (12)

A pesar de que (12) es solamente un caso especial de (10), es la única situa-

ción para la cual ␭ ϭ 0 es un valor propio. Para entender esto, observe que

para n ϭ 0, el resultado en (6) implica que JЈ0(␣b) ϭ 0 es equivalente a J1(␣b)
ϭ 0. Como x1 ϭ ␣ib ϭ 0 es una raíz de la última ecuación, ␣1 ϭ 0, y debido
a que J0(0) ϭ 1 es no trivial, de ␭1 ϭ a12 ϭ x12>b2 concluimos que ␭1 ϭ 0 es
un valor propio. Sin embargo, evidentemente no podemos utilizar (11) cuando

␣1 ϭ 0, h ϭ 0, n ϭ 0 y n ϭ 0. No obstante, a partir de la norma cuadrada (4)
tenemos

Ύʈ1ʈ2 ϭ b b2
x dx ϭ .
2
0 (13)

Para ␣i > 0 podemos utilizar (11) con h ϭ 0 y n ϭ 0:

ʈJ01ai x2ʈ2 ϭ b2 J201ai b2. (14)
2

La definición siguiente resume las tres formas de la serie (2) correspondientes a las
normas cuadradas de los tres casos.

10.6 Series de Bessel y de Legendre 521

DEFINICIÓN 10.8 Serie de Fourier-Bessel

La serie de Fourier-Bessel de una formación f definida en el intervalo (0, b) está
dada por

q

i) f 1x2 ϭ a ci Jn1ai x2 (15)
iϭ1 (16)

Ύ2 b x Jn1ai x2f 1x2 dx, (17)
ci ϭ b2Jn2ϩ11ai b2 (18)
0
(19)
donde ␣i está definido por Jn(␣b) ϭ 0. (20)

q

ii) f 1x2 ϭ a ci Jn1ai x2
iϭ1

2a2i b
n2 ϩ h22 Jn21ai b2
ϭΎci x Jn1aix2 f 1x2 dx,
1a2i b2 Ϫ
0

donde ␣i está definido por hJn(␣b) ϩ ␣bJnЈ(␣b) ϭ 0.

q

iii) f 1x2 ϭ c1 ϩ a ci J01ai x2
iϭ2

2b
Ύ Ύ2 b
c1 ϭ b2 xf 1x2 dx, ci ϭ b2J021ai b2 x J01ai x2 f 1x2 dx,
0
0

donde ␣i está definido por JЈ0(␣b) ϭ 0.

■ Convergencia de una serie de Fourier-Bessel Las condiciones suficientes para la

convergencia de una serie de Fourier-Bessel no están particularmente restringidas.

TEOREMA 10.4 Condiciones para la convergencia

Si f y f Ј son continuas en un intervalo abierto (0, b), entonces una expansión Fourier-
Bessel de f converge hacia f (x) en cualquier punto donde f es continua, y converge
hacia el promedio [f (xϩ) ϩ f (xϪ)]/2 en un punto donde f es discontinua.

Ejemplo 1 Expansión en una serie de Fourier-Bessel

Expandir f (x) ϭ x, 0 < x < 3, en una serie de Fourier-Bessel, utilizando las funciones
Bessel de orden uno que satisfagan la condición de frontera J1(3␣) ϭ 0.

Solución Utilizamos (15) donde los coeficientes ci están dados por (16) con b ϭ 3:

Ύ2 3

ci ϭ 32J22 13ai2 x2J11ai x2 dx.

0

Para evaluar esta integral establecemos t ϭ ␣ix, dx ϭ dt/␣i, x 2 ϭ t 2/ a2i , y utilizamos (5)

en la forma d [t 2J2(t)] ϭ t 2J1(t):
dt

ϭΎci 2 3ai d 3 t2 J21t2 4 dt ϭ 2
dt .
9a3i J 2 13ai2
2 0 ai J213ai2

Por lo tanto, la expansión buscada es

f 1x2 ϭ 2 q 1 2 J11 ai x2 . ❏
aiJ213ai
a

iϭ1

522 CAPÍTULO 10 Funciones ortogonales y series de Fourier

En el problema 1 de los ejercicios 10.6, se solicita calcular los primeros cuatro valo-
res de ␣i para la serie de Bessel precedente.

Ejemplo 2 Expansión en una serie de Fourier-Bessel

Si en el ejemplo 1 ␣i se define mediante J1(3␣) ϩ ␣ JЈ1(3␣) ϭ 0, entonces lo único que
cambia en la expansión es el valor de la norma cuadrada. Multiplicando la condición

de frontera por 3 obtenemos 3 J1(3␣) ϩ 3␣ J Ј1(3␣) ϭ 0, la cual es igual a (10) cuando
h ϭ 3, b ϭ 3 y n ϭ 1. Por lo tanto, (18) y (17) nos dan, a su vez,

ci ϭ 18ai J213ai2
19a2i ϩ 82 J12 13ai2

y q ai J213ai2 J1 1ai x2. ❏
19ai2 ϩ 82J1213ai2
f 1x2 ϭ 18 a y
iϭ1

■ Uso de computadoras Puesto que las funciones de Bessel son funciones “inte- 2.5

gradas” en un sistema asistido por computadora, calcular los valores aproximados de 2

␣i y de los coeficientes ci de una serie de Fourier-Bessel es tarea sencilla. Por ejemplo, 1.5

en (9) podemos pensar que xi ϭ ␣ib es una raíz positiva de la ecuación h Jn(x) ϩ x JnЈ(x) 1

ϭ 0. Por lo tanto, en el ejemplo 2 hemos utilizado un sistema asistido por computadora 0.5

para encontrar las primeras cinco raíces positivas xi de 3J1(x) ϩ x J1Ј(x) ϭ 0 y a partir de 0 x
3
estas raíces obtenemos los primeros cinco valores propios de ␣i: ␣1 ϭ x1/3 ϭ 0.98320, 0 0.5 1 1.5 2 2.5
a) S5(x), 0 < x < 3
␣2 ϭ x2/3 ϭ 1.94704, ␣3 ϭ x3/3 ϭ 2.95758, ␣4 ϭ x4/3 ϭ 3.98538 y ␣5 ϭ x5/3 ϭ 5.02078.
Conociendo las raíces xi ϭ 3␣i y ␣i , y ␣i, utilizamos de nuevo un sistema computacional y
3

para calcular los valores numéricos de J2(3␣i), J 12(3␣i), y, por último, los coeficientes ci. 2
De esta forma encontramos que la quinta suma parcial S5(x) para la representación de la

serie de Fourier-Bessel de f (x) ϭ x, 0 < x < 3 en el ejemplo 2 es 1

S5(x) ϭ 4.01844 J1(0.98320x) Ϫ 1.86937 J1(1.94704x) 0x
ϩ 1.07106 J1(2.95758x) Ϫ 0.70306 J1(3.98538x) ϩ 0.50343 J1(5.02078x).
–1
La gráfica de S5(x) en el intervalo 0 < x < 3 se muestra en la figura 10.21a). En la figura 0 10 20 30 40 50
10.21b) hemos graficado S10(x) en el intervalo 0 < x < 50. Note que fuera del intervalo de b) S10(x), 0 < x < 50
definición 0 < x < 3, la serie no converge hacia una extensión periódica de f debido a que las
funciones de Bessel no son periódicas. Vea los problemas 11 y 12 de los ejercicios 10.6. Figura 10.21 Sumas parciales
de una serie de Fourier-Bessel
10.6.2 Serie de Fourier-Legendre

A partir del ejemplo 4 de la sección 10.5 sabemos que el conjunto de polinomios de

Legendre {Pn(x)}, n ϭ 0, 1, 2, ..., es ortogonal respecto a la función peso p(x) ϭ 1 en
el intervalo [Ϫ1, 1]. Además, se puede probar que la norma cuadrada de un polinomio

Pn(x) depende de n en la forma siguiente:

ΎʈPn1x2ʈ2 ϭ 1 2
ϩ
P 2 1x2 dx ϭ 2n .
n 1

Ϫ1

La expansión en series ortogonales de una función en términos de los polinomios de
Legendre se sintetiza en la definición siguiente:

DEFINICIÓN 10.9 Serie de Fourier-Legendre

La serie de Fourier-Legendre de una función f definida en el intervalo (Ϫ1, 1) está
dada por

q (21)
(22)
f 1x2 ϭ a cnPn1x2,
nϭ0

Ύ2n ϩ 1 1
donde cn ϭ 2 f 1x2Pn1x2 dx.

Ϫ1

10.6 Series de Bessel y de Legendre 523

■ Convergencia de una serie de Fourier-Legendre En el teorema siguiente se

proporcionan condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier-
Legendre.

TEOREMA 10.5 Condiciones para la convergencia

Si f y f Ј son continuas en (Ϫ1, 1), entonces la serie de Fourier-Legendre (21) con-
verge hacia f (x) en un punto de continuidad, y converge hacia el promedio [ f (xϩ)
ϩ f (xϪ)]/2 en un punto de discontinuidad.

Ejemplo 3 Expansión de una serie de Fourier-Legendre

Escribir nuevamente los primeros cuatro términos diferentes de cero en la expansión
Fourier-Legendre de

f 1x2 ϭ e 0, Ϫ1 Ͻ x Ͻ 0
1, Ϫ0 Յ x Ͻ 1.

Solución En la página 269 se muestra una relación con algunos de los primeros poli-

nomios de Legendre. A partir de éstos y de (22) tenemos

1 1 1 1 1
2 2
f 1x2P01x2 1

Ϫ1
Ύ Ύc0 ϭ dx ϭ ؒ 1 dx ϭ 2

0

c1 ϭ Ύ Ύ3 1 3 1 3 ϭ
2 f 1x2P11x2 dx 2 1 ؒ x dx ϭ
4
Ϫ1
0

5 1 5 1 1
2 2
f 1x2P21x2 1

Ϫ1
Ύ Ύc2 ϭ dx ϭ ؒ 13x2 Ϫ 12 dx ϭ 0
02

7 17 1 1 7
Ύ Ύc3 ϭ2 ϭ ؒ 15x3 Ϫ 3x2 ϭ Ϫ
f 1x2P31x2 dx 2 1 dx
2 16
Ϫ1 0

9 19 1 1
Ύ Ύc4 ϭ2 135x4 30x2
f 1x2P41x2 dx ϭ 2 1 ؒ Ϫ ϩ 32 dx ϭ 0
08
Ϫ1
1 11 11
Ύ Ύc5 ϭ11 1ؒ 163x5 70x3 15x2 ϭ 11
2 f 1x2P51x2 dx ϭ 2 Ϫ ϩ dx .
8 32
Ϫ1
0

De modo que, f 1x2 ϭ 1 P01x2 ϩ 3 P11x2 Ϫ 7 P31x2 ϩ 11 P51x2 ϩ p. ❏
2 4 16 32

y De manera similar a las funciones de Bessel, los polinomios de Legendre son funciones

1 incluidas en sistemas algebraicos de cómputo como Maple y Mathematica, por lo que cada
0.8
0.6 uno de los coeficientes relacionados líneas arriba puede encontrarse mediante la aplicación
0.4
0.2 de integración de dichos programas. De hecho, utilizando un sistema asistido por compu-
tadora, podemos encontrar que c6 ϭ 0 y c7 ϭ Ϫ26556. La quinta suma parcial de la representa-
0x ción de la serie de Fourier-Legendre para la función f definida en el ejemplo 3 es entonces
–1 –0.5 0 0.5 1
1 3 7 11 65
Figura 10.22 Suma parcial S5(x) de la S51x2 ϭ 2 P01x2 ϩ 4 P11x2 Ϫ 16 P31x2 ϩ 32 P51x2 Ϫ 256 P71x2.
serie de Fourier-Legendre
La gráfica de S5(x) en el intervalo Ϫ1 < x < 1 se proporciona en la figura 10.22.

■ Forma alterna de la serie En algunas aplicaciones, la serie de Fourier-Legendre

aparece de una forma alterna. Si establecemos x ϭ cos ␪, entonces x ϭ 1 implica que ␪ ϭ 0,
mientras x ϭ Ϫ1 implica que ␪ ϭ ␲. Como dx ϭ Ϫsen ␪ d␪, (21) y (22) se convierten,

respectivamente, en

q

F1u2 ϭ a cnPn1 cos u2 (23)
nϭ0 (24)
Ύ2n ϩ 1 p
cn ϭ 2 F1u2Pn1 cos u2 sen u du,

0

donde f (cos ␪) se ha reemplazado por F (␪).

524 CAPÍTULO 10 Funciones ortogonales y series de Fourier