ecuaciones-diferenciales-zill-vol-1

Solución La ecuación característica (␭ Ϫ 2)3 ϭ 0 muestra que ␭1 ϭ 2 es un valor propio
de multiplicidad tres. Al resolver (A Ϫ 2I)K ϭ 0 encontramos el vector propio único

1
K ϭ °0¢.

0

Después resolvemos en sucesión los sistemas (A Ϫ 2I)P ϭ K y (A Ϫ 2I)Q ϭ P y en-
contramos que

00

P ϭ ° 1 ¢ y Q ϭ ° Ϫ65 ¢ .

0 1
5

A partir de (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es

X 1 e2t ϩ c2 £ 1 te2t ϩ 0 1 t2 e2t ϩ 0 te2t ϩ 0 ❏
ϭ c1 ° 0 ¢ °0¢ ° 1 ¢ e2t § ϩ c3 £ ° 0 ¢ 2 °1¢
° Ϫ56 ¢ e2t § .
0 0 0 0 0
1
5

Comentarios

Cuando un valor propio ␭1 tiene multiplicidad m, entonces podemos encontrar m
vectores propios linealmente independientes o el número de vectores propios corres-
pondientes es menor que m. Por lo tanto, los dos casos previstos en la página 418 no
representan todas las posibilidades de que ocurra un valor propio repetido. Podría
suceder, digamos, que una matriz de 5 ϫ 5 tenga un valor propio de multiplicidad 5, y
que existan tres vectores propios linealmente independientes correspondientes. Vea los
problemas 31 y 49 en los ejercicios 8.2.

8.2.3 Valores propios complejos

Si ␭1 ϭ ␣ ϩ ␤i y ␭2 ϭ ␣ Ϫ ␤i, ␤ > 0, i2 ϭ Ϫ1, son valores propios complejos de la
matriz de coeficientes A, sin lugar a dudas podemos esperar que sus correspondientes
vectores propios también tengan elementos complejos.*

Por ejemplo, la ecuación característica del sistema

dx ϭ 6x Ϫ y (19)
dt
dy

ϭ 5x ϩ 4y
dt

es det 1A Ϫ lI2 ϭ 6 Ϫ l Ϫ1 ϭ l2 Ϫ 10l ϩ 29 ϭ 0.
2 4 Ϫ l2

5

A partir de la fórmula cuadrática encontramos que ␭1 ϭ 5 ϩ 2i, ␭2 ϭ 5 Ϫ 2i.
Ahora para ␭1 ϭ 5 ϩ 2i debemos resolver

(1 Ϫ 2i)k1 Ϫ k2 ϭ 0

5k1 Ϫ (1 ϩ 2i)k2 ϭ 0.

*Cuando la ecuación característica tiene coeficientes reales, los valores propios complejos siempre se pre-
sentan en pares conjugados.

422 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Como k2 ϭ (1 Ϫ 2i)k1,* la elección k1 ϭ 1 produce el siguiente vector propio y un vector
solución:

K1 ϭ a 1 b, X1 ϭ a 1 be15 ϩ2i2 t.
1 2i 1 Ϫ 2i
Ϫ

De manera similar, para ␭2 ϭ 5 Ϫ 2i tenemos

K2 ϭ a 1 b , X2 ϭ a 1 b e15 Ϫ2i2 t.
1 2i 1 ϩ 2i
ϩ

Mediante el wronskiano podemos comprobar que estos vectores solución son linealmen-
te independientes, y por lo tanto la solución general de (19) es

X ϭ c1 a1 1 b e15ϩ2i2 t ϩ c2 a1 1 b e15Ϫ2i2t. (20)
Ϫ 2i ϩ 2i

Observe que los elementos de K2 correspondientes a ␭2 son los conjugados de los ele-
mentos de K1 correspondientes a ␭1. El conjugado de ␭1 es, por supuesto, ␭2. Expresamos
esto como ␭2 ϭ l1 y K2 ϭ K1. Hemos ilustrado el siguiente resultado general.

TEOREMA 8.8 Soluciones correspondientes
a un valor propio complejo

Sea A la matriz de coeficientes que tiene elementos reales del sistema homogéneo

(2), y sea K1 un vector propio correspondiente al valor propio complejo ␭1 ϭ ␣ ϩ
i␤, ␣ y ␤ son reales. Entonces

K1el1t y K1el1t

son soluciones de (2).

Es conveniente y relativamente fácil escribir de nuevo una solución como (20) en
términos de funciones reales. Con este fin utilizamos primero la fórmula de Euler para
escribir

e(5ϩ2i)t ϭ e5te2ti ϭ e5t(cos 2t ϩ i sen 2t)
e(5Ϫ2i)t ϭ e5teϪ2ti ϭ e5t(cos 2t Ϫ i sen 2t).

Luego, después de multiplicar los números complejos, recabar términos y reemplazar
c1 ϩ c2 por C1, y (c1 Ϫ c2)i por C2, (20) se convierte en

X ϭ C1X1 ϩ C2X2, (21)

donde X1 ϭ c a1b cos 2t Ϫ aϪ20b sen 2t d e5t
1

y X2 ϭ c aϪ02b cos 2t ϩ a1b sen 2t d e5t.
1

Ahora es importante darnos cuenta de que los dos vectores X1 y X2 presentados en (21)
son en sí mismos soluciones reales linealmente independientes. En consecuencia, igno-

rar la relación entre C1, C2 y c1, c2 está justificado, y podemos considerar C1 y C2 como
completamente arbitrarios y reales. En otras palabras, la combinación lineal (21) es una

solución general alternativa de (19).

*Observe que la segunda ecuación es simplemente la primera multiplicada por (1 ϩ 2i ).

8.2 Sistemas lineales homogéneos 423

El proceso descrito se puede generalizar. Sea K1 un vector propio de la matriz de coefi-
cientes A (con elementos reales) correspondiente al valor propio complejo ␭1 ϭ ␣ ϩ i␤.
Entonces los dos vectores solución presentados en el teorema 8.8 se pueden expresar como

K1el1t ϭ K1eateibt ϭ K1eat1 cos bt ϩ i sen bt2

K1el1t ϭ K1eateϪibt ϭ K1eat1 cos bt Ϫ i sen bt2.

Con base en el principio de superposición, teorema 8.2, los siguientes vectores también

son soluciones:

X1 ϭ 1 1 K1el1t ϩ K1el1t 2 ϭ 1 1K1 ϩ K12 eatcos bt Ϫ i 1ϪK1 ϩ K12 eat sen bt
2 2 2

X2 ϭ i 1 ϪK1el1t ϩ K1el1t 2 ϭ i 1ϪK1 ϩ K12 eat cos bt ϩ 1 1K1 ϩ K12 eat sen bt.
2 2 2

Para todo número complejo z ϭ a ϩ ib, tanto 1 1z ϩ z2 ϭ a como i 1 Ϫ z ϩ z2 ϭ b son
22

números reales. Por lo tanto, los elementos incluidos en los vectores columna

1i
2 1K1 ϩ K12 y 2 1 Ϫ K1 ϩ K12 son números reales. Al definir
1 i
B1 ϭ 2 1K1 ϩ K12 y B2 ϭ 2 1 Ϫ K1 ϩ K12, (22)

se llega al teorema siguiente.

TEOREMA 8.9 Soluciones reales correspondientes
a un valor propio complejo

Sea ␭1 ϭ ␣ ϩ i␤ un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A en el
sistema homogéneo (2), y B1 y B2 denotan los vectores columna definidos en (22).
Entonces

X1 ϭ [B1 cos ␤t Ϫ B2 sen ␤t]e␣t (23)

X2 ϭ [B2 cos ␤t ϩ B1 sen ␤t]e␣t

son soluciones linealmente independientes de (2) en (Ϫϱ, ϱ).

Las matrices B1 y B2 dadas en (22) a menudo se representan mediante

B1 ϭ Re(K1) y B2 ϭ Im(K1) (24)

puesto que estos vectores son, respectivamente, las partes reales e imaginarias del vector
propio K1. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con

11 0
K1 ϭ a b ϭ ab ϩ i aϪ2b
1 Ϫ 2i 1

ϭ Re1K12 10
B1 ϭ ab y B2 ϭ Im1K12 ϭ aϪ2b .
1

Ejemplo 6 Valores propios complejos

Resolver el problema de valor inicial

X¿ ϭ a 2 Ϫ82b X, X102 ϭ aϪ21b . (25)
Ϫ1

Solución Primero obtenemos los valores propios de

det 1A Ϫ lI2 ϭ 2 Ϫ l 8 ϭ l2 ϩ 4 ϭ 0.
2 Ϫ1 Ϫ2 Ϫ l 2

424 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Los valores propios son ␭1 ϭ 2i y ␭2 ϭ l1 ϭ Ϫ2i. Para ␭1 el sistema

(2 Ϫ 2i) k1 ϩ 8k2 ϭ 0

Ϫk1 ϩ (Ϫ2 Ϫ 2i )k2 ϭ 0

da k1 ϭ Ϫ(2 ϩ 2i)k2. Si establecemos k2 ϭ Ϫ1 obtenemos

2 ϩ 2i 22
K1 ϭ a b ϭ aϪ1b ϩ i a b.
Ϫ1 0

Ahora, con base en la expresión (24), formamos

B1 ϭ Re1K12 ϭ aϪ12b y B2 ϭ Im1K12 ϭ a2b.
0

Puesto que ␣ ϭ 0, de (23) se deduce que la solución general del sistema es

X ϭ c1 c aϪ12b cos 2t Ϫ a2b sen 2t d ϩ c2 c a 2 b cos 2t ϩ aϪ21b sen 2t d
0 0

ϭ c1a 2 cos 2t Ϫ 2 sen 2t b ϩ c2a 2 cos 2t ϩ 2 sen 2t b. (26)

Ϫcos 2t Ϫ sen 2t

Algunas gráficas de las curvas o trayectorias definidas por la solución (26) del sistema y x

2 Figura 8.4 Retrato de fase del
se ilustran en el retrato de fase de la figura 8.4. Ahora la condición inicial X(0) ϭ aϪ1b, sistema presentado en (26)
o, de manera similar, x(0) ϭ 2 y y(0) ϭ Ϫ1 producen el sistema algebraico 2c1 ϩ 2c2 ϭ
2, Ϫc1 ϭ Ϫ1 cuya solución es c1 ϭ 1, c2 ϭ 0. Por lo tanto, la solución al problema es

X ϭ a2 cos 2t Ϫ 2 sen 2tb . La trayectoria específica definida en forma paramétrica
Ϫ cos 2t

mediante la solución particular x ϭ 2 cos 2t Ϫ 2 sen 2t, y ϭ Ϫ cos 2t es la curva negra

de la figura 8.4.

Observe que esta curva pasa por (2, Ϫ1). ❏

EJERCICIOS 8.2 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-19.

8.2.1 Valores propios reales distintos dx dx
7. ϭ x ϩ y Ϫ z 8. ϭ 2x Ϫ 7y
En los problemas del 1 al 12, encuentre la solución general del
sistema dado. dt dt
dy dy
dx dx
1. ϭ x ϩ 2y 2. ϭ 2x ϩ 2y ϭ 2y ϭ 5x ϩ 10y ϩ 4z
dt dt
dt dt
dy dy dz dz
ϭyϪz ϭ 5y ϩ 2z
ϭ 4x ϩ 3y ϭ x ϩ 3y
dt dt dt dt

dx dx Ϫ25 x Ϫ1 1 0 101
3. ϭ Ϫ4x ϩ 2y dt
4. ϭ ϩ 2y 9. XЈ ϭ ° 1 2 1 ¢ X 10. XЈ ϭ ° 0 1 0 ¢ X
dt

dy dy 0 3 Ϫ1 101
dt dt
ϭ Ϫ25 x ϩ 2y ϭ 3 x Ϫ 2y Ϫ1 Ϫ1 0
4

10 ϪϪ5112bX 6. XЈ ϭ aϪϪ63 2bX 11. XЈ ϭ ° 3 Ϫ32 3¢X
5. XЈ ϭ a 1 4

8 1 1 Ϫ21
8 4

8.2 Sistemas lineales homogéneos 425

Ϫ1 5 2 5 Ϫ4 0 1 00
25. XЈ ϭ ° 1 3 1¢X
12. XЈ ϭ ° 4 Ϫ1 Ϫ2 ¢ X 0 2 ¢ X 26. XЈ ϭ ° 0 Ϫ1 1
0
006 25 0 10
1 4 1¢ X
En los ejercicios 13 y 14, resuelva el PVI dado. 27. XЈ ϭ ° 2 00 4 04

1 0 X(0) ϭ a3b 0 2 Ϫ1 ¢ X 28. XЈ ϭ ° 0
Ϫ21b X, 5
13. XЈ ϭ a 2 1 10 0
1

114 En los ejercicios 29 y 30, resuelva el problema de valor inicial
dado.
14. XЈ ϭ ° 0 2 0 ¢ X, X(0) ϭ ° 3 ¢

111 0

24 Ϫ1
Tareas para el laboratorio de cómputo 29. XЈ ϭ aϪ1 b X, X(0) ϭ a b
6 6
En los problemas 15 y 16, utilice un CAS o un programa de
cómputo de álgebra lineal como apoyo para encontrar la solu- 001 1
ción general del sistema dado.
30. XЈ ϭ ° 0 1 0 ¢ X, X(0) ϭ ° 2 ¢

0.9 2.1 3.2 100 5

15. XЈ ϭ ° 0.7 6.5 4.2 ¢ X 31. Demuestre que la matriz de 5 ϫ 5

1.1 1.7 3.4 21000

10 2 Ϫ1.8 0 02000

0 5.1 0 Ϫ1 3 A ϭ ¥0 0 2 0 0µ

16. XЈ ϭ ¥ 1 2 Ϫ3 0 0µ X 00021

0 1 Ϫ3.1 40 00002

Ϫ2.8 0 0 1.5 1 tiene un valor propio ␭1 de multiplicidad 5. Demuestre
que se pueden encontrar tres vectores propios lineal-
17. a) Use un programa de cómputo para obtener el retrato mente independientes correspondientes a ␭1.
de fase del sistema dado en el problema 5. Si fuera
posible, incluya las puntas de flecha como en la fi- Tareas para el laboratorio de cómputo
gura 8.2. También incluya cuatro medias líneas en
su retrato de fase. 32. Encuentre los retratos de fase para los problemas 20 y
21. Para cada sistema, encuentre cualquier trayectoria de
b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de media línea e incluya estas líneas en su retrato de fase.
las cuatro medias líneas incluidas en el inciso a).

c) Trace los vectores propios en su retrato de fase del 8.2.3 Valores propios complejos
sistema.
En los problemas del 33 al 44, encuentre la solución general
18. Encuentre los retratos de fase para los sistemas dados en para el sistema dado.
los problemas 2 y 4. Para cada sistema, encuentre todas
las trayectorias de media línea e incluya estas líneas en dx dx
su retrato de fase. 33. ϭ 6x Ϫ y 34. ϭ x ϩ y

8.2.2 Valores propios repetidos dt dt

En los problemas del 19 al 28, encuentre la solución general dy dy
del sistema dado. ϭ 5x ϩ 2y ϭ Ϫ2x Ϫ y

dt dt

dx dx dx dx
19. ϭ 3x Ϫ y 20. ϭ Ϫ6x ϩ 5y 35. ϭ 5x ϩ y 36. ϭ 4x ϩ 5y

dt dt dt dt

dy dy dy dy
ϭ 9x Ϫ 3y ϭ Ϫ5x ϩ 4y ϭ Ϫ2x ϩ 3y ϭ Ϫ2x ϩ 6y

dt dt dt dt

4 Ϫ5 1 Ϫ8
XЈ ϭ aϪϪ31 3b X 22. XЈ ϭ a12 Ϫ9b X 37. XЈ ϭ a b X 38. XЈ ϭ a b X
21. 5 40 5 Ϫ 4 1 Ϫ 3

23. dx 24. dx dx dx
ϭ 3x Ϫ y Ϫ z ϭ 3x ϩ 2y ϩ 4z 39. ϭ z 40. ϭ 2x ϩ y ϩ 2z
dt dt
dt dt

dy dy dy dy
ϭxϩyϪz ϭ 2x ϩ 2z ϭ Ϫz ϭ 3x ϩ 6z

dt dt dt dt

dz ϭ x Ϫ y ϩ z dz ϭ 4x ϩ 2y ϩ 3z dz dz
dt dt ϭy ϭ Ϫ4x Ϫ 3z

dt dt

426 CAPÍTULO 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

1 Ϫ1 2 401 51. Examine sus retratos de fase del problema 47. ¿En qué
condiciones el retrato de fase de un sistema lineal ho-
41. XЈ ϭ ° Ϫ1 1 0 ¢ X 42. XЈ ϭ ° 0 6 0 ¢ X mogéneo de 2 ϫ 2 con valores propios complejos estará
compuesto por una familia de curvas cerradas?, ¿por
Ϫ1 0 1 Ϫ4 0 4 una familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen
(0, 0) es un repulsor?, ¿un atractor?
2 51 244

43. XЈ ϭ ° Ϫ5 Ϫ6 4 ¢ X 44. XЈ ϭ ° Ϫ1 Ϫ2 0 ¢ X

0 02 Ϫ1 0 Ϫ2 52. El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de se-
gundo orden
En los ejercicios 45 y 46, resuelva el problema de valor inicial

dado. m1x–1 ϭ Ϫk1x1 ϩ k21x2 Ϫ x12
m2x–2 ϭ Ϫk21x2 Ϫ x12
1 Ϫ12 Ϫ14 4 (27)

45. XЈ ϭ ° 1 2 Ϫ3 ¢ X, X(0) ϭ ° 6 ¢

1 1 Ϫ2 Ϫ7 describe el movimiento de dos sistemas acoplados re-
sorte-masa (vea la figura 3.59). Ya hemos resuelto un
6 Ϫ1 Ϫ2 caso especial de este sistema en las secciones 3.11 y
46. XЈ ϭ a b X, X(0) ϭ a b 4.6. En este problema describimos aun otro método para
54 8 resolver el sistema.

Tareas para el laboratorio de cómputo

47. Encuentre los retratos de fase para los sistemas dados en a) Demuestre que (27) se puede expresar como la
los problemas 36, 37 y 38. ecuación matricial XЉ ϭ AX, donde

48. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas lineales. k1 ϩ k2 Ϫ k2

a) XЈ ϭ a1 1b X X ϭ ax1b y A ϭ ± m1 m1 ≤ .
11 x2 k2 Ϫmk22
m2
b) XЈ ϭ aϪ11 Ϫ11b X.
b) Si se asume que una solución es de la forma X ϭ
Encuentre un retrato de fase de cada sistema. ¿Cuál es el Ke␻t, demuestre que XЉ ϭ AX produce
significado geométrico de la línea y ϭ Ϫx en cada retrato?

(A Ϫ ␭I)K ϭ 0 donde ␭ ϭ ␻2.

Problemas de análisis c) Demuestre que si m1 ϭ 1, m2 ϭ 1, k1 ϭ 3 y k2 ϭ 2,
una solución del sistema es
49. Considere la matriz de 5 ϫ 5 dada en el problema 31.
Resuelva el sistema XЈ ϭ AX sin ayuda de métodos ma- X ϭ c1 a 1 b eit ϩ c2 a 1 b eϪit ϩ c3 a Ϫ2 b e26it ϩ c4 aϪ2b eϪ26it.
triciales, pero exprese la solución general mediante no- 2 2 1 1
tación matricial. Utilice la solución general como base
para su análisis sobre cómo se puede resolver el sistema d ) Demuestre que la solución del inciso c) puede escri-
con los métodos matriciales explicados en esta sección. birse como
Desarrolle sus ideas.
X ϭ b1 a 1 b cos t ϩ b2 a1b sen t
50. Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida pa- 2 2
ramétricamente mediante la solución del sistema lineal
del ejemplo 6. Identifique la curva que atraviesa (2, Ϫ1) Ϫ2 Ϫ2
en la figura 8.4. [Sugerencia: Calcule x2, y2 y xy.] ϩ b3 a b cos 26t ϩ b4 a b sen 26t.
1 1

8.3 Solución mediante diagonalización

■ Introducción En esta sección consideraremos un método alternativo para resolver un

sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Este método es
aplicable a un sistema como XЈ ϭ AX siempre que la matriz de coeficientes A sea diago-
nalizable.

■ Sistemas acoplados Un sistema lineal homogéneo XЈ ϭ AX,

x1¿ a11 a12 p a1n x1

± x2¿ ≤ ϭ ± a21 a22 p a2n ≤ ± x2 ≤ , (1)
oo oo

xn¿ an1 an2 p ann xn

8.3 Solución mediante diagonalización 427