ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

APE-18 l APÉNDICE II MATRICES

En la ecuación k ϩ k ϩ k ϭ 0 seleccionamos libremente dos de las variables.
1 2 3
Eligiendo, por un lado, que k2 ϭ 1, k3 ϭ 0 y, por otro, k2 ϭ 0, k3 ϭ 1, obtendremos dos

eigenvectores linealmente independientes:

11
K2 1 y K3 0 .

01

EJERCICIOS DEL APÉNDICE II Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-17.
II.1 DEFINICIONES BÁSICAS Y TEORÍA
12 23
8. Si A 2 4 yB 5 7 , determine

1. Si A 4 5 26 a) A ϩ BT b) 2AT Ϫ BT c) AT(A Ϫ B)
6 yB , determine

a) A ϩ B 9 8 10 9. Si A 3 4 5 10
b) B Ϫ A c) 2A ϩ 3B 8 yB , determine

1 25
b) BTAT
2 0 31 a) (AB)T
1 yB 0 2 , determine
2. Si A 4 3 42 5 9 3 11
b) B Ϫ A 4 6 yB 7 , determine
7 c) 2(A ϩ B) 10. Si A
2
a) A Ϫ B
a) AT ϩ BT b) (A ϩ B)T

3. Si A 23 16 En los problemas 11 a 14 escriba la suma en forma de una sola
a) AB 5 4 yB 3 2 , determine matriz columna:

b) BA c) A2 ϭ AA d) B2 ϭ BB

11. 4 12 2
14 23
5 10 y B 463 28 3
4. Si A 8 12 , determine
a) AB 2 1 3t
b) BA 132 t (t 1) t 24
1
12. 3t 3 5t

12 63 02 2 32 16 7
5. Si A , B , y C , de- 13. 23 2
termine 24 21 34
a) BC 1 45

b) A(BC) c) C(BA) d) A(B ϩ C) 134 t t 2
14. 2 5 1 2t 1 1 8
3 4 6
4 ,y 042 t
1
6. Si A (5 6 7), B En los problemas 15 a 22 determine si la matriz dada es sin-
gular o no singular. Si es no singular, determine AϪ1 usando
12 4 HO WHRUHPD ,,
C 0 1 1 , determine
15. A 36 16. A 25
32 1 17. A 24 18. A 14
19. A 20. A
a) AB b) BA c) (BA)C d) (AB)C 48 7 10
35 22
7. Si A 4 1
a) ATA 8 y B (2 4 5), determine 210 32 0
10 121 41 1
b) BTB c) A ϩ BT 121 25

APÉNDICE II MATRICES l APE-19

211 411 35. 2x ϩ y ϩ z ϭ 4 36. x ϩ 2z ϭ 8
21. A 1 2 3 623 10x Ϫ 2y ϩ 2z ϭ Ϫ1
22. A 212 x ϩ 2y Ϫ 2z ϭ 4
324 x Ϫ 2y ϩ 4z ϭ 8
2x ϩ 5y Ϫ z ϭ

En los problemas 23 y 24 demuestre que la matriz dada es 37. x ϩ x Ϫ x Ϫ x 4 ϭ Ϫ1 38. 2x1 ϩ x ϩ x3 ϭ 0
no singular para todo valor real de t. Encuentre AϪl(t) con el 1 2 3 2
WHRUHPD ,, x1 ϩ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϭ 3 x1 ϩ 3x2 ϩ x3 ϭ 0
x1 Ϫ x2 ϩ x3 Ϫ x4 ϭ 3 7x1 ϩ x2 ϩ 3x3 ϭ 0
4x1 ϩ x2 Ϫ 2x3 ϩ x4 ϭ 0
2 e t e4t
23. A(t) 4 e t 3e4t

24. A(t) 2 et sent 2 et cos t En los problemas 39 y 40 utilice la eliminación de Gauss-
et cos t et sent Jordan para demostrar que el sistema dado de ecuaciones no
tiene solución.

En los problemas 25 a 28 determine dXͲdt. 39. x ϩ 2y ϩ 4z ϭ 2 40. x ϩ x Ϫ x ϩ 3x 4 ϭ 1
2x ϩ 4y ϩ 3z ϭ 1 1 2 3
x ϩ 2y Ϫ z ϭ 7 x2 Ϫ x3 Ϫ 4x4 ϭ 0
5e t 1 x1 ϩ 2x2 Ϫ 2x3 Ϫ x4 ϭ
25. X 2e t 26. X 2 sen 2t 4 cos 2t
27. X 7e t 4 2 e 3t 5 cos 2t
3 sen 2t 4x1 ϩ 7x2 Ϫ 7x3 ϭ9
2 1 e2t 1 5t e 2 t
1 28. X t sen 3t (Q ORV SUREOHPDV D DSOLTXH HO WHRUHPD ,, SDUD GHWHU-
minar AϪ1 para la matriz dada o demuestre que no existe la

inversa.

29. Sea A(t) e4t cos t . Determine
1
2t 3t2 4 23 24 2
2 10 42 2
a) dA 2 t 41. A 1 20 42. A 8 10 6
dt 43. A 44. A
b) A(t) dt c) A(s) ds 45. A 46. A

0 0

30. Sea A(t) 1 3t 6t 2 1 30 123
Determine t2 1 y B(t) . 1 21 014
1> t 4t 0 12 008
t2 t

dA dB 12 31 1000
a) dt b) dt 10 21 0010
21 30 0001
1 2 11 21 0100

c) A(t) dt d) B(t) dt

0 1

e) A(t)B(t) d II.3 EL PROBLEMA DE LOS EIGENVALORES
f) A(t)B(t)
t dt En los problemas 47 a 54 encuentre los eigenvalores y los
eigenvectores de la matriz dada.
g) A(s)B(s) ds

1

II.2 ELIMINACIÓN DE GAUSS Y DE 12 21
GAUSS-JORDAN 47. 48.

78 21

En los problemas 31 a 38 resuelva el correspondiente sistema 8 1 11
de ecuaciones, por eliminación de Gauss o por eliminación de 49. 0 50. 1
Gauss-Jordan. 1
16 4

31. x ϩ y Ϫ 2z ϭ 14 32. 5x Ϫ 2y ϩ 4z ϭ 10 5 10 300
2x Ϫ y ϩ z ϭ 0 xϩ yϩ zϭ9 51. 0 59 52. 0 2 0
4x Ϫ 3y ϩ 3z ϭ 1 10
x ϩ 3y ϩ 4z ϭ 1 5 401
34. 3x ϩ y ϩ z ϭ 4
33. y ϩ z ϭ Ϫ5 4x ϩ 2y Ϫ z ϭ 7 040 160
5x ϩ 4y Ϫ z ϭ Ϫ10 x ϩ y Ϫ 3z ϭ 53. 1 4 0 54. 0 2 1
x Ϫ y Ϫ 5z ϭ 7
002 012

APE-20 l APÉNDICE II MATRICES

(Q ORV SUREOHPDV \ GHPXHVWUH TXH FDGD PDWUL] WLHQH 59. Si A es no singular y AB ϭ AC, demuestre que B ϭ C.
eigenvalores complejos. Encuentre los eigenvectores respec-
tivos de la matriz: 60. Si A y B son no singulares, demuestre que (AB)Ϫ1 ϭ
BϪ1AϪ1.
55. 1 2 2 10
51 56. 5 24 61. Sean A y B matrices n ϫ n. En general, ¿es
12
0 (A B)2 A2 2AB B2?

Problemas diversos 62. Se dice que una matriz cuadrada es una matriz diagonal
57. Si A(t) es una matriz de 2 ϫ 2 de funciones derivables y si todos sus elementos fuera de la diagonal principal son
cero, esto es, aij ϭ 0, i j. Los elementos aii en la dia-
X(t) es una matriz columna de 2 ϫ 1 de funciones deriva- gonal principal pueden ser cero o no. La matriz identidad
bles, demuestre la regla de la derivada de un producto multiplicativa I es un ejemplo de matriz diagonal.
a) Determine la inversa de la matriz diagonal de 2 ϫ 2
d
[A(t)X(t)] A(t)X (t) A (t)X(t). A a11 0
0 a22
dt
cuando a11 0, a22 0.
58. Demuestre la fórmula (3). [Sugerencia: Encuentre una b) Encuentre la inversa de una matriz diagonal A 3 ϫ 3
matriz
B b11 b12 cuyos elementos aii en la diagonal principal son todos
b 21 b 22 distintos de cero.
c) En general, ¿cuál es la inversa de una matriz diagonal
para la que AB ϭ I. Despeje b11, b12, b21 y b22. Después A n ϫ n cuyos elementos de la diagonal principal aii
demuestre que BA ϭ I]. son distintos de cero?

APÉNDICE III

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f (t) { f (t)} F(s)
1. 1
2. t 1
3. tn s
4. t 1/2
5. t1/2 1
6. ta s2
7. senkt
8. cos kt n!
9. sen2 kt sn 1 , n un entero positivo
10. cos2 kt
11. eat Bs
12. senh kt
13. cosh kt 1
14. senh2kt 2 s3/2
15. cosh2kt
16. teat ( 1) 1
17. tn eat s1 ,a

k
s2 k2

s
s2 k2

2k2
s(s2 4k2)

s2 2k2
s(s2 4 k2)

1
sa

k
s2 k2

s
s2 k2

2 k2
s(s2 4k2)

s2 2k2
s(s2 4k2)

1
(s a)2

n!
(s a)n 1 , n un entero positivo

APE-21

APE-22 l APÉNDICE III TRANSFORMADAS DE LAPLACE { f (t)} F(s)

f (t) k
18. eat senkt (s a)2 k2
19. eat cos kt
20. eat senhkt sa
21. eat cosh kt (s a)2 k2
22. t senkt
23. t cos kt k
24. senkt kt cos kt (s a)2 k2
25. senkt kt cos kt
26. t senhkt sa
27. t cosh kt (s a)2 k2

eat ebt 2ks
28. (s2 k2)2

ab s2 k2
aeat bebt (s2 k2)2
29.
2 ks2
ab (s2 k2)2
30. 1 cos kt
31. kt senkt 2 k3
(s2 k2)2
a senbt b senat
32. ab (a2 b2) 2ks
(s2 k2)2
cos bt cos at
33. a2 b2 s2 k2
34. senkt senhkt (s2 k2)2
35. senkt cosh kt
36. cos kt senhkt 1
37. cos kt cosh kt (s a)(s b)

s
(s a)(s b)

k2
s(s2 k2)

k3
s2(s2 k2)

1
(s2 a2)(s2 b2)

s
(s2 a2)(s2 b2)

2 k2s
s4 4k4

k(s2 2 k2)
s4 4k4

k(s2 2k2)
s4 4k4

s3
s4 4k4

APÉNDICE III TRANSFORMADAS DE LAPLACE l APE-23

f (t) { f (t)} F(s)

38. J0(kt) 1
ebt eat 1s2 k2

39. sa
t ln

sb

2(1 cos kt) s2 k2
40. ln s2

t

2(1 cosh kt) s2 k2
41. ln s2

t

sen a t a
42. arctan

t s

senat cos bt 1 ab1 ab
43. arctan arctan
2 s2 s
t

44. 1 e a2/4t e a 1s
1t 1s

45. a e a2/4t e a1s
2 1 t3

a e a1s
46. erfc s

2 1t e a1s
s 1s
47. 2 t e a2/4t a erfc a
B 21t e a1s
1s(1s b)
48. eabeb2t erfc b 1t a
b e a1s
2 1t s( 1s b)

49. eab eb2t erfc b 1t a
a 2 1t

erfc F(s a)
2 1t

50. eat f (t)

51. (t a) e as a)}
s
52. f (t a) (t a)
53. g(t) (t a) e asF(s)
54. f (n)(t)
e as { g(t

snF(s) s(n 1) f (0) f (n 1)(0)

55. tn f (t) ( 1)n dn F(s)
dsn

t )d F(s)G(s)

56. f ( )g(t 1
e st0
0

57. d(t)

58. d(t t0)



RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS
SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

EJERCICIOS 1.1 (PÁGINA 10) di dv mg k v2
15. L Ri E(t) 17. m
dt
1. lineal, segundo orden 3. lineal, cuarto orden dt

5. no lineal, segundo orden 7. lineal, tercer orden d2x kx RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 2
19. m dt2
9. lineal en x pero no lineal en y
15. el dominio de la función es [Ϫ2, ϱ); el intervalo más dv dm kv mg R
21. m v
JUDQGH GH GH¿QLFLyQ SDUD OD VROXFLyQ HV Ϫ2, ϱ) dt dt dA
17. el dominio de la función es el conjunto de números 25.
d 2r gR2 k(M A), k 0
reales excepto en x ϭ 2 y x ϭ Ϫ2; los intervalos de 23. dt2 r 2 0 dt
GH¿QLFLyQ PiV JUDQGHV SDUD OD VROXFLyQ VRQ Ϫϱ, Ϫ2), dy x 1x2 y2
Ϫ R ϱ) dx 29. y
27. kx r, k 0 dx

dt

19. X et 1 GH¿QLGD HQ Ϫϱ OQ R HQ OQ ϱ) REPASO DEL CAPÍTULO 1 (PÁGINA 32)
et 2

27. m ϭ Ϫ2 29. m ϭ 2, m ϭ 3 31. m ϭ 0, m ϭ Ϫ1 dy
1. dx 10y
33. y ϭ 2 35. ninguna solución es constante 3. yЉ ϩ k2y ϭ 0

EJERCICIOS 1.2 (PÁGINA 17) 5. yЉ Ϫ 2yЈ ϩ y ϭ 0 7. a), d)

1. y ϭ 1͞ Ϫ 4eϪx) 3. y ϭ 1͞ x2 Ϫ ϱ) 9. b) 11. b)

5. y ϭ 1͞ x2 ϩ Ϫϱ, ϱ) 7. x ϭ Ϫcos t ϩ 8 sen t 13. y ϭ c1 y y ϭ c2e x, c1 y c2 constantes
15. yЈ ϭ x 2 ϩ y2

9. x 13 cos t 1 sen t 11. y 3 ex 1 e x 17. a) El dominio es el conjunto de todos los números reales.
4 4 2 2
. b) \D VHD Ϫϱ R ϱ)

13. y ϭ 5eϪxϪ1 15. y ϭ 0, y ϭ x3 19. Para x0 ϭ Ϫ HO LQWHUYDOR HV Ϫϱ, 0) y para x0 ϭ 2 el
LQWHUYDOR HV ϱ).
17. VHPLSODQRV GH¿QLGRV SRU y Ͼ 0 o y Ͻ 0

19. VHPLSODQRV GH¿QLGRV SRU x Ͼ 0 o x Ͻ 0 x2, x 0

21. ODV UHJLRQHV GH¿QLGDV SRU y Ͼ 2, y Ͻ Ϫ2, o 21. c) y x2, 23. ( , )
x0
Ϫ2 Ͻ y Ͻ 2

23. FXDOTXLHU UHJLyQ TXH QR FRQWHQJD 25. ϱ) 31. y 1 e3x 1 e x 2x
2 2
25. sí 27. no
33. y 3 e3x 3 9 e x 1 2x.
2 2
29. a) y ϭ cx

b) cualquier región rectangular que no toque el eje y 35. y0 ϭ Ϫ3, y1 ϭ 0
dP
c) No, la función no es derivable en x ϭ 0. 10 t )
37. dt k(P 200
31. b) y ϭ 1͞ Ϫ x HQ Ϫϱ, 1);

y ϭ Ϫ1͞ x ϩ HQ Ϫ1, ϱ); EJERCICIOS 2.1 (PÁGINA 41)

c) y ϭ HQ Ϫϱ, ϱ) 21. HV DVLQWyWLFDPHQWH HVWDEOH DWUDFWRU HV LQHVWDEOH
UHSXOVRU
39. y ϭ 3sen 2x
23. 2 es semiestable.
41. y ϭ 0
25. Ϫ HV LQHVWDEOH UHSXOVRU HV VHPLHVWDEOH HV
43. sin solución DVLQWyWLFDPHQWH HVWDEOH DWUDFWRU

EJERCICIOS 1.3 (PÁGINA 27) 27. Ϫ HV DVLQWyWLFDPHQWH HVWDEOH DWUDFWRU HV LQHVWDEOH
UHSXOVRU
dP kP r; dP kP r
1. 39. 0 Ͻ P0 Ͻ h͞k
dt 41. 1mg>k
dt
dP k1P k2P2
3.
dt kx (1000 x) EJERCICIOS 2.2 (PÁGINA 50)
dx
7. 1 1. y 1 cos 5 x c 3. y 1 e 3x c
dt A 0; A(0) 5 3
dA
9. 100 50 5. y ϭ cx4 7. Ϫ3eϪ2y ϭ 2e3x ϩ c
dt 7 13 13. dh
dA A6 9. 1 x3 ln x 1 x3 1 y2 2y ln y c
11. dt 3 9 2
dt 600 t c 1h
450 11. 4 cos y ϭ 2x ϩ sen 2x ϩ c

13. ex ϩ 1)Ϫ2 ϩ e y ϩ 1)Ϫ1 ϭ c

RES-1

RES-2 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

15. S ϭ cekr 17. P cet 53. E t) ϭ E eϪ tϪ4)/RC
21. y 0
25. y
29. y 1 cet EJERCICIOS 2.4 (PÁGINA 67)

19. y ϩ 3)5 ex ϭ c x ϩ 4)5 e y (sen 1 x2 c) 3 5
2 2 2
1. x2 x y2 7y c x2 4 x y 2 y4 c
e (1 1/x) 3.
x
( )23. x 3
tan 4t 4 5. x2y2 Ϫ 3x ϩ 4y ϭ c 7. no exacta

1 13 ex e-t2dt 9. x y3 y2 cos x 1 x2 c
2 2 4 2
27. y x 11 x2
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 2 11. no exacta

31. y Ίx2 x 1; , 1 Ί5 13. x y Ϫ 2 xex ϩ 2ex Ϫ 2 x 3 ϭ c
33. y ln(2 ex); ( 2
15. x3y3 Ϫ tanϪ1 3x ϭ c

, ln2) 17. ln cos x cos x sen y c

2, y 3 e4 x 1 19. t 4y Ϫ 5t 3 Ϫ t y ϩ y3 ϭ c
35. a) y 2, y 2
3 e4 x 1 21. 1 x3 x2y x y2 y 4
3 3

37. y ϭ Ϫ1 y y ϭ 1 son soluciones singulares del problema 23. 4t y ϩ t2 Ϫ 5t ϩ 3y2 Ϫ y ϭ 8

21; y ϭ 0 del problema 22 ( )41. y 1 1 25. y 2 sen x Ϫ x3y Ϫ x2 ϩ y ln y Ϫ y ϭ 0
10 10
39. y ϭ 1 1 tan x 27. k ϭ 10 29. x2y2 cos x ϭ c

45. y tan x sec x c 31. x2y2 ϩ x3 ϭ c 33. 3x2y3 ϩ y4 ϭ c

47. y [ 1 c(1 Ίx)]2 35. 2 ye3x 10 e3 x x c
3

49. y 2 Ί Ίx eΊx eΊx 4 57. y x) ϭ h͞L2)x2 ϩ a 37. ey2 (x2 4) 20

EJERCICIOS 2.3 (PÁGINA 59) 39. c) y1(x) x2 1x4 x3 4
y2(x) x2 1x4 x3 4
1. y ϭ ce5x Ϫϱ, ϱ)

3. y 1 e3x ce x, ( , ); ce x es transitoria x9
4 45. a) v(x) 8 b) 12.7 pies/s
B3
5. y 1 ce x3, ( , ); ce x3 es transitoria x2
3

7. y ϭ xϪ1 ln x ϩ cxϪ1 ϱ); la solución es transitoria EJERCICIOS 2.5 (PÁGINA 72)

9. y ϭ cx Ϫ x cos x, ϱ)

11. y 1 x3 1 x cx 4, (0, ); cx 4 es transitoria 1. y x ln x cx
7 5

13. y 1 x 2 ex cx 2 e x, (0, ); cx 2e x es transitoria 3. (x y)ln x y y c(x y)
2

15. x ϭ 2y6 ϩ cy4 ϱ) 5. x y ln x cy

17. y ϭ sen x ϩ c cos x Ϫʌ͞2, ʌ͞2) 7. OQ x2 ϩ y2) ϩ 2 tanϪ1 y͞x) ϭ c

19. x ϩ 1)exy ϭ x 2 ϩ c Ϫ1, ϱ); la solución es transitoria 9. 4x ϭ y OQ͉ y ͉ Ϫ c)2 11. y3 ϩ 3x3 ln͉ x ͉ ϭ 8x3

21. VHF ș ϩ tan ș)r ϭ ș Ϫ cos ș ϩ c Ϫʌ͞2, ʌ͞2) 13. ln͉ x ͉ ϭ e y/x Ϫ 1 15. y3 ϭ 1 ϩ cxϪ3
19. et/y ϭ ct
23. y ϭ eϪ3x ϩ cxϪ1eϪ3x ϱ); la solución es transitoria 17. y 3 x 1 ce3x
3
1 1 76 e5x;
25. y 5 x 25 25 ( ,) 21. y 3 9 x 1 49 x 6
5 5
27. y ϭ xϪ1ex ϩ Ϫ e)xϪ1, ϱ)

E i0 E e Rt/L , ( ,) 23. y ϭ Ϫx Ϫ 1 ϩ WDQ x ϩ c)
29. i R 25. 2y Ϫ 2x ϩ VHQ x ϩ y) ϭ c
27. y Ϫ 2 x ϩ 3) ϭ x ϩ c)2
R 29. cot(x y) csc(x y) x 12 1

31. y ϭ 2x ϩ 1 ϩ 5͞x; ϱ) ( )2 1
33. x ϩ 1)y ϭ x ln x Ϫ x ϩ ϱ) 4
35. y ϭ Ϫ 2 ϩ 3eϪcos x; Ϫϱ, ϱ) 35. b) y
x
x cx 3 1

37. y 1 (1 e 2x), 0x3
2

1 (e6 1)e 2x, x 3 EJERCICIOS 2.6 (PÁGINA 77)
2

1 3 e x 2, 0x1 1. y2 ϭ 2.9800, y4 ϭ 3.1151
2 2 3. y10 ϭ 2.5937, y20 ϭ 2.6533; y ϭ ex
39. y
( )1e 3 e x 2, x 1
2 2 5. y ϭ 0.4198, y ϭ 0.4124
5 10
7. y5 ϭ 0.5639, y10 ϭ 0.5565
2x 1 4 e 2x, 0x1 9. y5 ϭ 1.2194, y10 ϭ 1.2696
41. y
4x2 ln x (1 4 e 2)x2, x 1
13. Euler: y10 ϭ 3.8191, y20 ϭ 5.9363
RK4: y10 ϭ 42.9931, y20 ϭ 84.0132
43. y ex2 1 1 1 ex2 (erf(x) erf (1))
2

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-3

REPASO DEL CAPÍTULO 2 (PÁGINA 78) 41. a) P(t) P0 e(k1 k2)t
43. a) Como t : , x(t) : r>k.
1. ϪA͞k, un repulsor para k Ͼ 0, un repulsor para k Ͻ 0
b) x t) ϭ r͞k Ϫ r͞k)eϪkt OQ ͞k
3. verdadero 47. c) 1.988 pies

d3y 7. verdadero x EJERCICIOS 3.2 (PÁGINA 98)
5. dx3 x sen y dy
9. y c1eex
11. (sen x)y
dx 1. a) N ϭ 2000

dy (y 1)2 ( y 3)3 2000 et RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 3
13. b) N(t) 1999 et; N(10) 1834
dx

15. semiestable para n par e inestable para n impar; 3. 1 000 000; 5.29 meses

semiestable para n par y asintóticamente estable para n 4(P0 1) (P0 4)e 3t
(P0 1) (P0 4)e 3t
impar. 5. b) P(t)

19. 2 x ϩ sen 2 x ϭ OQ y2 ϩ 1) ϩ c c) Para 0 Ͻ P0 Ͻ 1, el tiempo en que desaparecerá es

21. x ϩ 1)y3 ϭ Ϫ3x3 ϩ c 1 ln 4(P0 1)
.
23. Q ct 1 1 t4 ( 1 5 ln t) t 3 P0 4
25

25. y 1 c(x2 4) 4 5 13 13 tan 1 2P0 5
4 7. P(t) tan t ;

27. y ϭ csc x ʌ, 2ʌ) 22 2 13

29. b) y 1 (x 2 1y0 x0)2, (x0 2 1y0, ) el tiempo en que desaparecerá es
4
t 2 tan 1 5 tan 1 2P0 5
EJERCICIOS 3.1 (PÁGINA 88) 13 13 13

1. 7.9 años; 10 años 9. 29.3 g; X : 60 como t : ; 0 g de A y 30 g de B

3. 760; aproximadamente 11 personas/año

5. 11 h 7. 136.5 h 11. a) h(t) 1H 4Ah t 2 t 1HAw 4Ah

9. I ϭ 0.00098I0 o aproximadamente 0.1% de I0 Aw ; I es 0
11. 15 600 años
b) 576 110 s o 30.36 min
13. T ϭ 36.67° F; aproximadamente 3.06 min
13. a) aproximadamente 858.65 s o 14.31 min
15. aproximadamente 82.1 s; aproximadamente 145.7 s
b) 243 s o 4.05 min
17. 390°

19. aproximadamente 1.6 horas antes de descubierto el mg kg
15. a) v(t) tanh t c1
cuerpo B k Bm

21. A t) ϭ 200 Ϫ 170eϪt/50 k
Bmg v0
23. A (t)) ϭ 1000 Ϫ 1000eϪt/100 donde c1 tanh 1
1
25. A(t) 1000 10 t 10 (100 t)2; 100 min

27. 64.38 lb mg
b)
29. i(t) 3 3 e 500t; i : 3 como t :
5 5 5 Bk

31. q(t) 1 1 e 50t; i(t) 1 e 50 t
100 100 2
m kg
c) s(t) ln cosh t c1 c2,
60 60e t/10, 0 t 20 k Bm
33. i(t)
60(e2 1)e t/10, t 20 donde c2 ϭ Ϫ m͞k)ln cosh c1

mg v0 mg e kt /m 17. a) dv mg k v2 V,
35. a) v(t) k m
dt
k
donde ȡ es la densidad del agua
mg
b) v : como t : mg V 1kmg k V c1
b) v(t) B k tanh t
k m

c) s(t) mg m mg e kt/m mg V
t k v0 k c) B k
19. a) W ϭ 0 y W ϭ 2
k b) W x) ϭ 2 sech2 x Ϫ c1)
c) W x) ϭ 2 sech2x
m mg
k v0 k 1
21. (a) P(t) ( 0.001350t 10 0.01)100
39. a) v(t) gk t r0 3
(b) aproximadamente 724 meses
gr0 r0
(b) aproximadamente 12 839 y 28 630 966
4k 4k k r0
t

c) 33 1 segundos
3

RES-4 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

EJERCICIOS 3.3 (PÁGINA 108) EJERCICIOS 4.1 (PÁGINA 124)
1. x(t) x0 e 1t
1. y 1 ex 1 e x
y(t) x0 1 (e 1t e 2t ) 2 2

21 3. y ϭ 3x Ϫ 4x ln x

9. Ϫϱ, 2)

z(t) x0 1 2 e 1t 1 e 2t 11. a) y e (ex e x) senh x
e2 1 b) y
21 21
senh 1

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 4 3. 5, 20, 147 días. El tiempo cuando y t) y z t) son iguales 13. a) y ϭ ex cos x Ϫ ex sen x

tiene sentido porque se ha ido la mayor parte de A y b) ninguna solución

la mitad de B han desparecido así que se debe haber c) y ϭ ex cos x ϩ eϪʌ/2ex sen x

formado la mitad de C. d) y ϭ c ex sen x, donde c es arbitraria
2 2

15. dependiente 17. dependiente

5. dx1 6 2 x1 1 x2 19. dependiente 21. independiente
dt 25 50
23. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente

d x2 2 x1 2 x2 independientes en el intervalo ya que W eϪ3x,
dt 25 25
e4x) ϭ 7e x 0; y ϭ c1eϪ3x ϩ c2e4x.
7. a) dx1 3 x2 2 x1 25. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente

dt 100 t 100 t independientes en el intervalo ya que W ex cos 2x, ex sen

dx2 2 x1 3 x2 2x) ϭ 2e2x 0; y ϭ c1ex cos 2x ϩ c2ex sen 2x.
27. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente

dt 100 t 100 t independientes en el intervalo ya que W x3, x4)

b) x1 t) ϩ x2 t) ϭ 150; x2 Ϸ 47.4 lb ϭ x6 0; y ϭ c1x3 ϩ c2x4.
29. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente
di2
13. L1 dt (R1 R2)i2 R1i3 E(t) independientes en el intervalo ya que W x, xϪ2, xϪ2 ln x)

di3 ϭ 9xϪ6 0; y ϭ c1x ϩ c2xϪ2 ϩ c3 xϪ2 ln x. 1
dt b) yp ϭ x2 ϩ 3x ϩ 3e2x; yp 2 x2 3
L2 R1i2 (R1 R3) i3 E(t) 35. 6x e2x

15. i ϭ i0, s ϭ n Ϫ i0, r ϭ 0 EJERCICIOS 4.2 (PÁGINA 128)

1. y2 ϭ xe2x 3. y2 ϭ sen 4x
5. y2 ϭ senh x 7. y2 ϭ xe2x/3
REPASO DEL CAPÍTULO 3 (PÁGINA 111) 9. y2 ϭ x 4 ln͉ x ͉ 11. y2 ϭ 1

1. dP͞dt ϭ 0.15P 13. y ϭ x FRV OQ x) 15. y ϭ x2 ϩ x ϩ 2
17. 2 e2x, yp 19. 2 e2x, yp
3. P ϭ 8.99 miles de millones 1 5 e3x
y2 2 y2 2

10 1100 y2 1100 y2 EJERCICIOS 4.3 (PÁGINA 133)
5. x 10 ln
1. y ϭ c ϩ c2eϪx/4 3. y ϭ c1e3x ϩ c2eϪ2x
y 1

7. a) BT1 T2, BT1 T2 5. y ϭ c1eϪ4x ϩ c2xeϪ4x 7. y ϭ c1e2x/3 ϩ c2eϪx/4
1 B1 B 9. y ϭ c1cos 3x ϩ c2sen 3x

b) T(t) BT1 T2 T1 T2 ek(1 B)t ( )11. yy ϭ e2x (c1cos x ϩ c2sen x) )x /3 1 1
1B 1 B 13. y e c1 cos 3 12 x c2 sen 3 12 x

9. i(t) 4t 1 t2, 0 t 10 15. y ϭ c1 ϩ c2eϪx ϩ c3e5x
5
17. y ϭ c1eϪx ϩ c2e3x ϩ c3x e3x
20, t 10
u ϭ ce t ϩ eϪt c2cos t ϩ c sen t)
19. 1 3

11. x(t) ac1eak1t , y(t) c2 (1 c1 eak1t )k2 /k1 (21. y ϭ c1eϪx ϩ c2x eϪx ϩ c3x2eϪx x/2 1 )c4 1
1 c1eak1t 23. y c1 c2 x e c3 cos 2 13 x sen 2 13 x

13. x ϭ Ϫy ϩ 1 ϩ c2eϪy 25. y c1 cos 1 13 x c2 sen 1 13 x
2 2

c3 x cos 1 13 x c4 x sen 1 13 x
2 2
15. (a) K(t) K0e (O1 O2)t,
C(t) 27. u ϭ c er ϩ cr e r 21ϩsecn3e4Ϫxr ϩ c reϪr ϩ c eϪ5r
O 29. y 1 2 4 5
A(t) [O 1 ]e (O1 O2)t , 2 cos 4 x
(b) 1.3 K0 1 ]e (O1 O2)t
O
1 2 31. y 1 e (t 1) 1 e5(t 1)
O2 3 3
[O 1
O K0 1 33. y ϭ 0

2 35. y 5 5 e 6x 1 x e 6x
36 36 6
109 años
37. y ϭ e5x Ϫ xe5x 39. y ϭ 0
(c) 89%, 11%

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-5

1 5 e 13x 1 5 39. y c1e 2x c2x e 2x 1 x 1
1 13 1 13 41. y 2
41. y e13x; 43. y
2 2 c1 c2 x c3e x 2 x4 8 x3 8x2
y 3 3

49. y 5 c1e 3x c2 e4x 1 x e4 x
53. y cosh 13x 13 senh 13x 7
57. y
45. y ϭ c1eϪx ϩ c2e3x Ϫ ex ϩ 3

6y 5y 0 51. y 2y 0 47. y c1 cos 5x c2 sen 5x 1 sen x
2y 2y 0 4

9y 0 55. y 49. y c1 e 3x c2x e 3x 1 x e4x 2 e4 x
49 343

8y 0 51. y c1e x c2 ex 1 x3ex 1 x2ex 1 x ex 5 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 4
6 4 4

EJERCICIOS 4.4 (PÁGINA 143) 53. y ex (c1 cos 2 x c2 sen 2x) 1 ex sen x
3

1. y ϭ c1eϪx ϩ c2eϪ2x ϩ 3 55. y ϭ c1cos 5x ϩ c2sen 5x Ϫ 2x cos 5x

3. y c1 e5 x c 2 x e5 x 6 x 3 57. y e x/2 13 13
5 5 c1 cos 2 x c2 sen 2 x

5. y c1 e 2x c2xe 2x x2 4x 7 ϩ sen x ϩ 2 cos x Ϫ x cos x
2
( )7. y c1 cos 13x c2 sen 13x
4 x2 4x 4 e3x 59. y c1 c2 x c3e 8x 11 x2 7 x3 1 x4
3 61. y 256 32 16
63. y
9. y ϭ c1 ϩ c2ex ϩ 3x 1 65. y c1 ex c2 x ex c3 x2ex 1 x3 ex x 13
c1 ex/2 c 2 x ex / 2 2 x2 ex /2 67. y 6
11. y 12 69. y
71. y c1 c2 x c3 ex c4x ex 1 x2 ex 1 x2
3 2 2
13. y c1 cos 2x c2 sen 2 x 4 x cos 2 x
5 e 8x 5 e8x 1
8 8 4
15. y c1 cos x c2 sen x 1 x2 cos x 1 x sen x
2 2 41 41 e5x 1 x2 9 x
125 125 10 25
17. y c1ex cos 2x c2ex sen 2x 1 x ex sen 2x
4 cos x 11 sen x 8 cos 2x 2x cos x
3 3
19. y c1e x c2x e x 1 cos x
2 2e2x cos 2x 3 e2x sen 2x 1 x3 3 x2 3 x
64 8 16 32
12 sen 2x 9 cos 2x
25 25
EJERCICIOS 4.6 (PÁGINA 156)
21. y c1 c2 x c3 e6x 1 x2 6 cos x 1 sen x
4 37 37

23. y c1ex c2x ex c3 x2ex x 3 2 x3 ex 1. y c1 cos x c2 sen x x sen x cos x ln cos x
3 3. y
5. y 1
25. y ϭ c1 cos x ϩ c2 sen x ϩ c3x cos x ϩ c4x sen x 7. y c1 cos x c2 sen x 2 x cos x
ϩ x2 Ϫ 2x Ϫ 3
9. y c1 cos x c2 sen x 1 1 cos 2x
2 6

27. y 12 sen 2 x 1 c1 ex c2e x 1 x senh x
2 2

29. y ϭ Ϫ200 ϩ 200eϪx/5 Ϫ 3x2 ϩ 30x c1 e2x c2e 2x 1 e2x ln x e 2x x e4t
x0 0 4 dt ,
31. y ϭ Ϫ10eϪ2x cos x ϩ 9eϪ2x sen x ϩ 7eϪ4x x0 t

33. x F0 sen t F0 t cos t
22 2

35. y 11 11ex 9x ex 2x 12 x2ex 1 e5 x 11. y ϭ c1eϪx ϩ c eϪ2x ϩ eϪx ϩ eϪ2x OQ ϩ ex)
2
c eϪ2x 2
ϭ 1 ϩ c eϪx Ϫ eϪ2x
37. y ϭ 6 cos x Ϫ FRW VHQ x ϩ x2 Ϫ 1 13. y 2 sen ex

15. y c1e t c2te t 1 t2 e t ln t 3 t2 e t
2 4
4 sen 13x
39. y sen 13 13 cos 13 2x 17. y c1ex sen x c2ex cos x 1 x ex sen x
3

cos 2x 5 sen 2x 1 sen x, 0 x >2 1 ex cos x ln cos x
6 3 x >2 3

41. y 2 cos 2 x 5 sen 2x, 19. y 1 e x/2 3 ex / 2 1 x2 ex / 2 1 x ex / 2
3 6 4 4 8 4

21. y 4 e 4x 25 e2 x 1 e 2x 1 e x
9 36 4 9
EJERCICIOS 4.5 (PÁGINA 150)

1. D Ϫ D ϩ 2)y ϭ sen x 23. y ϭ c1xϪ1/2 cos x ϩ c2xϪ1/2 sen x ϩ xϪ1/2
25. y c1 c2 cos x c3 sen x ln cos x
3. D Ϫ D ϩ 2)y ϭ x Ϫ 6

5. D D ϩ 5) 2y ϭ ex sen x ln sec x tan x

7. D Ϫ D Ϫ D ϩ 5)y ϭ xeϪx 27. y c1 ex c2e x c3 e2x 1 e4x
30
9. D D ϩ D2 Ϫ 2D ϩ 4)y ϭ 4

15. D4 17. D D Ϫ 2) EJERCICIOS 4.7 (PÁGINA 162)

19. D2 ϩ 4 21. D3 D2 ϩ 16) 1. y ϭ c1xϪ1 ϩ c2x2
3. y ϭ c1 ϩ c2 ln x
23. D ϩ D Ϫ 1)3 25. D D2 Ϫ 2D ϩ 5) 5. y ϭ c1 FRV OQ x) ϩ c2 VHQ OQ x)
7. y c1 x(2 16) c2 x(2 16)
27. 1, x, x 2, x 3, x 4 29. e6x, eϪ3x/2

31. cos 15x, sen 15x 33. 1, e5x, xe5x

35. y ϭ c eϪ3x ϩ c2e3x Ϫ 6

1
ϭ ϩ c eϪx ϩ
37. y c 2 3x ( ) ( )9. y 1 1 ln
1 c1 cos 5 ln x c2 sen 5 x

RES-6 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

11. y ϭ c1xϪ2 ϩ c2xϪ2 ln x 0, x 0

[ ( ) ( )]13. y1/2 1 1
x c1 cos 6 13 ln x c2 sen 6 13 ln x donde yp(x) 10 10 cos x, 0 x 3

( ) ( )15. y c1x3 c2 cos 12 ln x c3 sen 12 ln x 20cos x, x3

17. y ϭ c1 ϩ c2x ϩ c3x2 ϩ c4xϪ3 35. yp(x) x1 1)f (t)dt
37. yp(x)
c2 x 5 1 x5 39. yp(x) (x 1) tf (t)dt x (t
5 41. yp(x)
0x

19. y c1 ln x 1 x2 1 x
2 2
21. y ϭ c1x ϩ c2x ln x ϩ x OQ x)2
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 4 23. y ϭ c1xϪ1 ϩ c2x Ϫ ln x sen(x 1) sen x
1
25. y ϭ 2 Ϫ 2xϪ2 27. y ϭ FRV OQ x) ϩ VHQ OQ x)
sen1 sen1
ex cos x ex sen x ex

29. y 3 ln x 1 x2 31. y ϭ c11xxϪ1100ϩ cc2x2 x2 2 43. yp(x) 1 (ln x)2 1 ln x
4 4 2 2

33. y c1x 1 c2x 8 1 x2 EJERCICIOS 4.9 (PÁGINA 177)
30

35. y x2 [c1 cos(3 ln x) c2 sen(3 ln x)] 4 3 x 1. x ϭ c1et ϩ c2tet
13 10

37. y ϭ Ϫx)1/2 Ϫ Ϫx)1/2 OQ Ϫx), x Ͻ 0 y ϭ c1 Ϫ c2)et ϩ c2tet

39. y c1(x 3)2 c2(x 3)7 3. x ϭ c1 cos t ϩ c2 sen t ϩ t ϩ 1
y ϭ c1 sen t Ϫ c2 cos t ϩ t Ϫ 1
41. y c1 cos[ln(x 2)] c2 sen[ln(x 2)]
5. x 1 c1 sen t 1 c2 cos t 2c3 sen 16t 2c4 cos 16t
2 2

EJERCICIOS 4.8 (PÁGINA 173) y c1 sen t c2 cos t c3 sen 16t c4 cos 16t

x 7. x c1 e2t c2 e 2t c3 sen 2t c4 cos 2t 1 et
y 5

1. yp(x) 1 senh 4(x t)f(t)dt 9. x c1 e2t c2 e 2t c3 sen 2t c4 cos 2t 1 et
4 y 5
x0
11. x
x y c1 c2 cos t c3 sen t 17 e3 t
15
3. yp(x) (x t)e (x t)f(t)dt
c1 c2 sen t c3 cos t 4 e3t
x0 15

x c1 et t/2 1 13 t t/2 1 13 t
2 2
5. yp(x) 1 sen3(x t)f(t)dt c2 e cos c3 e sen
3
x0
( )3 1 t/2 1
2 2 2
x c2 13 c3 e cos 13t

7. y c1e 4x c2e4x 1 senh4(x t)te 2tdt ( )1 3 t/2 1 13t
4 2 2 2
x0 13 c2 c3 e sen

x 13. x c1 e4t 4 et
y 3
9. y c1e x c2 xe x (x t)e (x t)e tdt
t)(t
x0 3 c1 e4 t c2 5et
4
x

11. y c1cos3x c2 sen3x 1 sen3(x sent)dt 15. x c1 c2t c3 et c4e t 1 t2
3 y (c1 c2 2
x0

13. yp(x) 1 x e 2x 1 e2x 1 e 2x 2) (c2 1)t c4e t 1 t2
4 16 16 2

15. yp(x) 1 x 2e 5x 17. x c1 et c2e t/2 sen 1 13t c3 e t/2 cos 1 13t
17. yp(x) 2 2 2

cosx S cosx ln senx ( )y c1et 1 1 t/2 1 13 t
sen x x sen x 2 c2 2 13 c3 e sen 2

2

19. y 25 e 2x 9 e2x 1 xe2x ( )1 1 t/2 1
16 16 4 2 2 2
13 c2 c3 e cos 13 t

21. y e5x 6xe5x 1 x2 e5x ( )z c1et 1 1 t/2 1
2 2 c2 2 13 c3 e sen 2 13 t

23. y xsen x cosxln sen x ( )1 1 t/2 1
2 2 2
25. y (cos1 2)e x (1 sen1 cos1)e 2x e 2x sen ex 13 c2 c3 e cos 13 t

27. y 4x 2x2 x ln x 19. x ϭ Ϫ6c1eϪt Ϫ 3c2eϪ2t ϩ 2c3e3t
ϭ c eϪt ϩ c eϪ2t ϩ
y 1 2 c e3t
3
z ϭ 5c1eϪt ϩ c2eϪ2t ϩ c3e3t
29. y 46 x3 1 x 2 1 1 ln x
45 20 36 6
21. x ϭ eϪ3tϩ3 Ϫ teϪ3tϩ3

31. y(x) 5ex 3e x yp(x), y ϭ ϪeϪ3tϩ3 ϩ 2teϪ3tϩ3

1 cosh x, x 0 23. mxЉ ϭ 0
1 cosh x, x 0
donde yp (x) myЉ ϭ Ϫmg;

33. y cos x sin x yp(x), x ϭ c11t ϩ c22
1
y 2 g t2 c3 t c4

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-7

EJERCICIOS 4.10 (PÁGINA 182) EJERCICIOS 5.1 (PÁGINA 199)

3. y ln cos (c1 x) c2 12
5. y 1.
1 1 c2
c21 ln c1x 1 x 8

c1 3. x(t) 1 cos 4 16 t
4

7. 1 y3 c1 y x c2 5. a) x 1 1 1
3 12 ;x ;x ;

9. y 2 (x 1)3͞2 4 48 26 4
3 3
19 12
(11. y 1 )1 1 3 x ;x RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 5
tan 4 x , 2 x 2 4 2 32 4
2

1 11 c12 x2 b) 4 pies/s; hacia abajo
c1
13. y c2 (2n 1)
c) t , n 0, 1, 2, . . .
15. y 1 x 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5
2 2 6 10 16

7. a) la masa de 20 kg

17. y 1 x 1 x2 2 x3 1 x4 7 x5 b) la masa de 20 kg; la masa de 50 kg
2 3 4 60

19. y 11 x2 c) t ϭ Qʌ, n ϭ 0, 1, 2, . . . ; en la posición de equilibrio; la
masa de 50 kg se está moviendo hacia arriba mientras
REPASO DEL CAPÍTULO 4 (PÁGINA 183) que la masa de 20 kg se está moviendo hacia arriba
cuando n es par y hacia abajo cuando n es impar.
1. y ϭ 0 3. falso

5. y c1cos 5x c2 sen 5x 7. x2y 3xy 4y 0 9. a) x(t) 1 cos 2t 3 sen 2t
2 4

9. yp x2 x 2 11. ( , 0); (0, ) b) x(t) Ί13 sin(2t 0.588)
4

13. y ϭ c1e3x ϩ c2eϪ5x ϩ c3xeϪ5x ϩ c4ex ϩ c5xex ϩ c6x2ex; c) x(t) Ί13 cos(2t 0.983)
y ϭ c1x3 ϩ c2xϪ5 ϩ c3xϪ5 ln x ϩ c4x ϩ c5x ln x ϩ c6x OQ x)2 4

15. y c1 e(1 13) x c2 e(1 13) x 11. a) x(t) 2 cos 10 t 1 sen 10t
3 2

17. y ϭ c1 ϩ c2eϪ5x ϩ c3x eϪ5x 5 sen (10 t 0.927)
6

( )19. y 1 1 5
c1 e x / 3 e 3x/2 c2 cos 2 17x c3 sen 2 17x b) pies;
65

( )21. y 1 1 4 36
e3x / 2 c2 cos 2 111x c3 sen 2 111 x 5 x3 25 x2 c) 15 ciclos

46 x 222 d) 0.721 s
125 625
(2n 1) 0.0927, n 0, 1, 2, . . .
23. y c1 c2 e2x c3 e3x 1 sen x 1 cos x 4 x e) 20
5 5 3
f) x ϭ Ϫ0.597 pies g) xЈ ϭ Ϫ5.814 pies/s
25. y ex (c1 cos x c2 sen x) ex cos x ln sec x tan x
h) xЉ ϭ 59.702 pies/s2 i) 8 1 pies/s
3
n n
27. y ϭ c1xϪ1/3 ϩ c2x1/2 j) 0.1451 ; 0.3545 ,n 0, 1, 2, . . .
29. y ϭ c1x2 ϩ c2x3 ϩ x4 Ϫ x2 ln x 55
n
k) 0.3545 , n 0, 1, 2, . . .
31. a) y c1cos x c2sen x A cos x 5

B sen x, ; 13. 120 lb/pies; x(t) 13 sen 813 t
12
y c1cos x c2sen x Ax cos x 17. a) arriba b) apuntando hacia arriba

Bx sen x, 19. a) abajo b) apuntando hacia arriba

b) y c1e x c2e x Ae x , ; 1( )21.s;1 s, x 1 e 2; esto es, la pesa está
y c1e x c2e x Ax e x , 4 2 2

aproximadamente 0.14 pies debajo de la posición de

33. a) y ϭ c1cosh x ϩ c2senh x ϩ cx cosh x equilibrio.
3
ϩ c4x senh x 4 1
23. a) x(t) 3 e 2t 3 e 8t
b) x(t)
b) yp ϭ Ax2 cosh x ϩ Bx2 senh x 2 e 2t 5 e 8t
3 3
35. y ϭ exϪʌ cos x
( )25. a) x(t) 1
37. y 13 ex 5 e x x 1 sen x e 2t cos 4t 2 sen 4t
4 4 2

39. y ϭ x2 ϩ 4 15 4.249)
e
(b) x(t) c) 0
43. x c1 et 3 c2 e2 t 5 2 2t sen 4t
2 2
c) t ϭ 1.294 s
y ϭ c1et ϩ c2e2t Ϫ 3
45. x ϭ c1et ϩ c2e5t ϩ tet 5 5 5
27. a) 2 b) 2 2

y ϭ Ϫc1et ϩ 3c2e5t Ϫ te t ϩ 2et

RES-8 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

29. x(t) e t/2 4 147 64 147 9. Ȝn ϭ n2, n ϭ 1, 2, 3, . . . ; y ϭ sen nx
cos t sen t
3 2 3147 2 (2n 1)2 2

10 11. n 4L2 , n 1, 2, 3, . . . ;
(cos 3t sen 3t)
(2n 1) x
3 y cos

31. x(t) 1 e 4t te 4t 1 cos 4t 2L
33. x(t) 4 4

1 cos 4 t 9 sen 4t 1 e 2t cos 4t 13. Ȝn ϭ n2, n ϭ 0, 1, 2, . . . ; y ϭ cos nx
2 4 2

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 5 2e 2t sen 4t 15. n n2 2 1, 2, 3, . . . ; y e x sen n x
,n 5
d 2x dx
35. a) m dt2 o 25

k(x h) dt 17. Ȝn ϭ n2, n ϭ 1, 2, 3, . . . ; y ϭ VHQ n ln x)
19. Ȝn ϭ n4ʌ4, n ϭ 1, 2, 3, . . . ; y ϭ sen Qʌ[
d 2x dx 2x 2h (t), 21. x ϭ L ͞4, x ϭ L͞2, x ϭ 3 L͞4
2
dt2 dt

donde 2Ȝ ϭ ȕ͞m y Ȧ2 ϭ k͞m n 1T nx

( )b) x(t) 56 72 56 25. n L1 ,n 1, 2, 3, . . . ; y sen
e 2t 13 cos 2 t 13 sen 2t 13 cos t L

32 sen t u0 u1 ab u1b u0a
13
27. u(r)
37. x(t) cos 2t 1 sen 2t 3 t sen 2t 5 t cos 2 t bar ba
8 4 4

39. b) F0 t sen t EJERCICIOS 5.3 (PÁGINA 218)
2

45. 4.568 C; 0.0509 s d 2x
7. dt2 x 0
47. q t) ϭ 10 Ϫ 10 eϪ3t FRV t ϩ sen 3t)

i t) ϭ 60eϪ3t sen 3t; 10.432 C 15. a) 5 pies b) 4 110 pies/s c) 0 t 3 110; 7.5 pies
8
49. qp 100 sen t 150 cos t
13 13 17. a) xy r 11 ( y )2.

ip 100 cos t 150 sen t Cuando t ϭ 0, x ϭ a, y ϭ 0, dy͞dx ϭ 0.
13 13

53. q(t) 1 e 10t (cos 10t sen 10t) 3 ; 3 C b) Cuando r 1,
2 2 2 a 1 x1r

57. q(t) q0 1 E0C t y(x) 1 x1r
2LC cos 1LC 21 ra 1 ra

t E0 C cos t ar
1LCi0 sen 1LC 2 LC
1 1 r2
Cuando r ϭ 1,
t 1 E0C t
i(t) i0 cos 1LC 1LC q0 1 2LC sen 1LC 1 1 (x2 1a
ln
y(x) 2 2a a2) ax

1 E0C sen t c) Las trayectorias se intersecan cuando r Ͻ 1.
2LC
l g
sen t

g l
EJERCICIOS 5.2 (PÁGINA 209) Ί Ί19. a) ș(t) Ȧ0

1. a) y(x) w0 (6L2x2 4Lx3 x4) b) utilice, en șmax, senΊg͞l t 1
24 EI
c) utilice cos șmax 1 1 ș 2
3. a) y(x) w0 (3L2x2 5Lx3 2x4) 2 max
48EI
d) vb 21,797 cm/s

5. a) y(x) w0 (7L4x 10L2x3 3x5) REPASO DEL CAPÍTULO 5 (PÁGINA 222)
360 EI

c) x Ϸ 0.51933, y Ϸ 0.234799 1. 8 pies
máx 3. 5 m

7. y(x) w0EI cosh P 4
P2 x
5. Falso; podría existir una fuerza aplicada que impulsa al
BEI
P sistema.
senh x
w0 EI P w0L 1EI BEI 7. sobreamortiguado
P2 senh BEI L 9. y ϭ 0 puesto que Ȝ ϭ 8 no es un eigenvalor
P 1P cosh P L
BEI 11. 14.4 lb 13. x(t) 2 e 2t 1 e 4t
3 3

w0 x2 w0 EI 15. 0 Ͻ m Յ 2 17. 8 13
2P P2 3

( )19. x(t) 4t 26 28 8 t
e 17 cos 2 12 t 17 12 sen 212 t 17 e

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-9

21. a) q(t) 1 sen 100 t 1 sen 50 t 9. y1(x) c0 1 1 x2 3 x4 21 x6
150 75 2! 4! 6!

b) i(t) 2 cos 100t 2 cos 50t
3 3
1 x3 5 x5 45 x7
c) t n y2(x) c1 x 3! 5! 7!
, n 0, 1, 2, . . . 11. y1(x)
d2x c0 1 1 x3 42 x6 72 42 x9
25. m dt2 50 y2(x) 3! 6! 9!
27. mx kx 0
fk sgn(x ) kx 0 13. y1(x) c1 x 22 x4 52 22 x7 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 6
15. y1(x) 4! 7!
EJERCICIOS 6.1 (PÁGINA 231)
y2(x)
1. ( 1,1], R 1 3. [ 12, 12), R 1 82 52 22 x10
5. ( 5, 15), R 10 2 10!

7. [0, 2 ], R 1 1 xn
3 3 1n

9. ( 7325, 75 ), R 75 11. ( 1)n x n c0; y2 (x) c1
32 32 0n !2n
n

n [c0 1 1 x2 1 x3 1 x4 ]
2 6 6 ]
( 1)1nxn 15. 1xn
13. 0 2n n 1n [c1 x 1 x2 1 x3 1 x4
2 2 4
n

17. ( 1)n 2S )2n 1 17. y1(x) c0 1 1 x2 7 x4 23 7 x6
(x 4 4 4! 8 6!
n 0 (2n 1)!

19. x 2 x3 2 x 5 4 x7 ... 1 x3 14 x5 34 14 x7
3 15 315 6 2 5! 4 7!
y2(x) c1 x
21. 1 1 x2 5 x 4 61 x6 . . ., ( S ͞2, S ͞2)
2 24 720

23. (k 2)ck 2xk 25. [(k 1)ck 1 ck]x k 19. y(x) 2 1 1 x2 1 x3 1 x4 6x
2! 3! 4!
k3 k0
ϭ 8x Ϫ 2ex ]
]
27. 2c1 [2(k 1)ck 1 6ck 1]xk 21. y x) ϭ 3 Ϫ 12 x2 ϩ 4 x4

k1

[23. y1(x) 1 x3 1 x5
29. c0 2c2 [(k 2)(k 1)ck 2 (2k 1)ck]x k c0 1 6 120
35. y
k1 [y2(x) 1 x4 1 x6
c1 x 12 180

c0 1 (5x)k 37. y c0 1 x2 k
0 k!
k k 0 k! 2 EJERCICIOS 6.3 (PÁGINA 248)

EJERCICIOS 6.2 (PÁGINA 240) 1. x ϭ 0, punto singular irregular

1. 5; 4 1 x2 1 x4 1 x6 3. x ϭ Ϫ3, punto singular regular;
3. y1(x) 2! 4! 6! x ϭ 3, punto singular irregular
1 x3 1 x5 1 x7
y2(x) c0 1 3! 5! 7! ... 5. x ϭ 0, 2i, Ϫ2i, puntos singulares regulares
5. y1(x) ...
c1 x 7. x ϭ Ϫ3, 2, puntos singulares regulares
c0
9. x ϭ 0, punto singular irregular;
x ϭ Ϫ5, 5, 2, puntos singulares regulares

y2(x) c1 x 1 x2 1 x3 1 x4 ... 11. para x 1: p(x) 5, q(x) x (x 1)2
2! 3! 4! x1

1 x3 1 x6 para x 1: p(x) 5(x 1) x2 x
32 6532 , q(x)
7. y1(x) c0 1 13. r1 31, r2
y2(x) x1

1

1 x9 15. r1 32, r2 0
986532
C1x3/2 1 2 22 x2
1 x4 1 x7 y(x) x 752
43 7643
c1 x 5

1 x10 23 x3
10 9 7 6 4 3 9 7 5 3!

C2 1 2x 2 x2 23 x3
3 3!

RES-10 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

17. r1 78, r2 0 33. b) y1(t) ( )( 1)n 1 t 2n sen(1 t)
y2(t)
y (x) c1x7/8 1 2 22 x2 n 0 (2n 1)! 1t
x 23 15 2
( )t 1 ( 1)n 1 t 2n cos (1 t)
15 n 0 (2n)!
t
23 x3
31 23 15 3! 1 1
c) y C1x sen x C2 x cos x
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 6 c2 1 2x 22 x2
92
EJERCICIOS 6.4 (PÁGINA 260)
23 x3
17 9 3! 1. y ϭ c1J1/3 x) ϩ c2JϪ1/3 x)
3. y ϭ c1J5/2 x) ϩ c2JϪ5/2 x)
19. r1 1 , r2 0 ϭ c1J0 x) ϩ 0 x)
3 5. y c Y

2
7. y ϭ c1J2 x) ϩ c2Y2 x)
1 1 9. y ϭ c1J2/3 x) ϩ c2JϪ2/3 x)
y(x) C1x1/3 1 x 32 x2
2
3 11. y ϭ c1xϪ1/2J1/2 Į[) ϩ c2xϪ1/2JϪ1/2 Į[)

33 1 3! x3 13. y ϭ xϪ1/2 [c1J1 x1/2) ϩ c2Y1 x1/2)]
15. y ϭ x [c1J1 x) ϩ c2Y1 x)]
ϭ J3/2 x) ϩ c 2 Y 3/2 x)
1 1 x2 1 x3 17. y x1/2 [c
x 52 852 1
[ ( ) ( )]19. y
C2 1 2 x 1 c1J1/2 1 x2 c2 J 1/ 2 1 x2
2 2

21. r1 25, r2 0 23. y ϭ x1/2 [c1J1/2 x) ϩ c2JϪ1/2 x)]
y(x) C1 x5/2 1 ϭ C1 sen x ϩ C2 cos x

22 22 3 x2 [ ( ) ( )]25. y 1/ 2 1 x2 1 x2
x 97 x c1J1/2 8 c2 J 1/ 2 8

7 ( ) ( )C1x 1 x2 1
3/2 sen 8 C2 x 3/2 cos 8 x2

23 4 x3 ( ) ( )35. y 2 2
11 9 7 c1 x1/2 J1/3 3 a x3/ 2 c2 x1/2 J 1/ 3 3 a x3/ 2

1 1 x2 1 x3 45. P2 x), P3 x), P4 x) yyP5 x) están dados en el texto,
x 6 6
C2 1 P6(x) 1 (231 x6 315x4 105x2 5),
3 16

23. r1 23, r2 1 P7(x) 1 (429 x7 693x5 315x3 35x)
3 16

[y (x) 1 5 1 x3 ] 47. Ȝ1 ϭ 2, Ȝ2 ϭ 12, Ȝ3 ϭ 30
C1x2/3 1 2 x 28 x2 21
53. y x 4x3 16 x 5
5
[C2 x1/3 1 1 1 7 ]
2 x 5 x2 120 x3

25. r1 ϭ 0, r2 ϭ Ϫ1 REPASO DEL CAPÍTULO 6 (PÁGINA 263)

1 1 x2n 1. Falso
0 (2 n 0 (2 n)!
y (x) C1 x2n C2 x 1 3. [ 21, 21]
1)! n
n
7. x2 x Ϫ 1)yyЉ ϩ yyЈ ϩ yyϭ 0
1 1 x2n
C1 x 1 0 (2 n x2n 1 C2 x 1 0 (2 n)! 9. r1 21, r2 0
n 1)! n
[y1(x) 1 1 x2 1 x3 ]
1 C1x1/2 1 3 x 30 630
x [C1 senh x C2 cosh x]
[y2(x) 1 2 1 x3 ]
C2 1 x 6 x 90

27. r1 ϭ 1, r2 ϭ 0 [11. y1(x) 3 x2 1 x3 5 x4 ]
[y (x) c0 1 2 2 8
C1x C2 x ln x 1 1 x2
2 [y2(x) 1 x3 1 4 ]
c1 x 2 4 x
1 x3 1 x4 ]
12 72 [13. r1 ϭ 3, r2 ϭ 0

29. r1 ϭ r2 ϭ 0 y1(x) C1 x3 1 1 x 1 x2 1 x3 ]
4 20 120 ]

1 x2 [ ]y2(x) 1 x2
y (x) C1 y (x) C2 y1(x) ln x y1(x) x 4 C2 1 x 2

15. y(x) [3 1 x2 1 x4 1 x6 ]
3 15
1 x3 1 x4
3 3! 4 4! [2 x 1 x3 1 x5 1 x7
ex 2 8 48

1 xn 17. 1
n 0 n! 6

donde y1(x) 19. x ϭ 0 es un punto ordinario

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-11

1 x3 32 1 2! x6 33 1 3! x9 37. y 10 cos t 2 sent 12 sen 12 t
3 39. y
21. y(x) c0 1 41. y 8 e t /2 1 e 2t 5 et 1 e t
9 9 18 2

1 e t 1 e 3t cos 2t 1 e 3tsen 2t
4 4 4
1 x4 1 x7
c1 x 4 47 EJERCICIOS 7.3 (PÁGINA 289)
1
1 x10 5 x2 1 x3 33.. 6
4 7 10 2 3 1. (s
(s 10)2 2)4

32 1 2! x6 33 1 3! x9 5. 1 21 77.. 3 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 7
EJERCICIOS 7.1 (PÁGINA 272) (s (s
2)2 (s 3)2 (s 4)2 1)2 9

s s1 3 s4
9. (s
2 1 1 1 (s 1)2 25 4)2 25
e s 3. s2 s2 e s2 25

1. s s s

11. 1 t2 e 2t 13. e3t sen t
2 17. eϪt Ϫ teϪt
1 es
5. s2 1 7. 1 s 1 s 15. eϪ2t cos t Ϫ 2eϪ2t sen t
e s2 e
s 19. 5 t 5e t 4 t e t 3 t 2 e t
21. y ϭ teϪ4t ϩ 2eϪ4t 2

1 1 1 s e7 23. y ϭ eϪt ϩ 2teϪt
9. s s2 s2 e 11.
25. y 1 t 2 2 e3t 10 t e3t 27. y 3 e3t sen 2t
s1 9 27 27 9 2

1 1 29. y 1 1 et cos t 1 et sen t
13. (s 4)2 15. 2 2 2

s2 2s 2 31. y ϭ e ϩ 1)teϪt ϩ e Ϫ 1)eϪt

s2 1 48 33. x(t) 3 7t/2cos 115 t 7115 7t/2 sen 115 t
17. (s2 1)2 19. s5 e e 2
2 2 10
2
4 10 23. s3 63 es e 2s e 2s
21. s2 s 27. 1 s2 s 37. s2 39. 2

6 6 31 s 1 s2 s
25. s4 s3 s2 s 8 s4
31. 41. s2 s e s 43. 1 (t 2)2 (t 2)
s3 15 4 2
s2 9
12 1
29. s s 2 s 4
45. sen t (t ) 47. (t 1) e (t 1) (t 1)
49. c) 51. f)
ekt e kt 53. a)
33. Utilice senh kt para mostrar que
2 4
2 55. f (t) 2 4 (t 3); { f (t)} e 3s
k
ss
{senh kt} s2 k2.
es es es
11 2 57. f (t) t2 (t 1); { f (t)} 2 s3 2 s2 s
35. 2(s 2) 2s 37. s2 16
1 e 2s e 2s
4 cos 5 (sen 5)s 59. f (t) t t (t 2); { f (t)} s2 2
39. s2 16 43. Ίʌ 45. 3Ίʌ s2 s
s1͞2 4s5͞2
e as e bs
61. f (t) (t a) (t b); { f (t)}

EJERCICIOS 7.2 (PÁGINA 280) ss

1. 1 t2 3. t Ϫ 2t 4 63. y [5 5e (t 1)] (t 1)
2 65. y
1 1 t 1 e 2t 1 (t 1)
3 1 67. y 4 2 4 4
5. 1 3t 2 t2 6 t3 7. t Ϫ 1 ϩ e2t
69. y 1 1 2(t 1)
1 5 2 (t 1) (t 1) 4 e (t 1)
9. 4 e t /4 11. 7 sen 7t

t 15. 2 cos 3t Ϫ 2 sen 3t cos 2t 1 sen 2(t 2 ) (t 2)
13. cos 6

2 1 sen (t 2) (t 2)
3
3 1
17. 1 1 e 3t 19. 4 e 3t 4 et sen t [1 cos(t )] (t )
3 3

21. 0.3e0.1t ϩ 0.6eϪ0.2t 23. 1 e 2t e3t 1 e6 t [1 cos(t 2 )] (t 2 )
2 2

25. 1 1 cos 15t 27. Ϫ4 ϩ 3eϪt ϩ cos t ϩ 3 sen t 71. x(t) 5 t 5 sen 4 t 5 (t 5) (t 5)
5 5 4 16 4

29. 1 sen t 1 sen 2t 31. y ϭ Ϫ1 ϩ et 5 sen 4(t 5) (t 5) 25 (t 5)
3 6 16 4

33. y 1 e4 t 19 e 6t 35. y 4 e t 1 e 4t 25 cos 4(t 5) (t 5)
10 10 3 3 4

RES-12 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

73. q(t) 2 (t 3) 2 e 5(t 3) (t 3) 45. y(t) sen t 1 t sen t
5 5 47. i(t) 2

75. a) i(t) 1 e 10t 1 10 1 100[e 10(t 1) e 20(t 1)] (t 1)
101 cos t sen t 49. s(1
100[e 10(t 2) e 20(t 2)] (t 2)
101 101

10 e 10(t 3 /2) t 3 e as
101 2
e as)

10 3 3 a1 1
cos t t 51. s bs ebs 1
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 7
101 2 2

13 3 coth ( s> 2)
sen t t 53. s2 1

101 2 2

b) imáx Ϸ 0.1 en t Ϸ 1.7, imín Ϸ Ϫ0.1 en t Ϸ 4.7 ( )1
1
77. y(x) w0L2 x2 w0L x3 55. i(t) R e Rt/L

w0 x4 2 ( 1)n (1
16EI 12EI 24EI Rn 1
e R(t n)/L) (t n)

w0 x L 4 x L e t cos 3t 1 t sen 3t)
24 EI 2 2 57. x(t) 2(1 3 e

79. y(x) w0L2 x2 w0L x3 [4 ( 1)n 1 e (t n ) cos 3(t n )
48EI 24EI
n1
w0 5L x4 x5
60EIL 2 ]1 (t

3
e n ) sen 3(t n ) (t n)

L5 L EJERCICIOS 7.5 (PÁGINA 307)
xx

22

81. a) dT ϭ k T Ϫ 70 Ϫ 57.5t Ϫ Ϫ 57.5t)ᐁ t Ϫ 4)) 1. y e3(t 2) (t 2)
dt
3. y sen t sen t (t 2 )
EJERCICIOS 7.4 (PÁGINA 301) 5. y
7. y cos t (t 2) cos t (t )3
s2 4 9. y
3. (s2 4)2 11. y 2

1. 1 12s 24 [ ]1 1 e 2t 1 1 e 2(t 1) (t 1)
(s 7. [(s 2)2 36]2 2 2 2
10)2 2

e 2(t 2 ) sen t (t 2 )

6s2 2 e 2t cos 3t 2 e 2t sen 3t
5. (s2 1)3 3

1 e 2(t ) sen 3(t ) (t )
3 3)

9. y 1 e t 1 cos t 1 t cos t 1 t sen t 1 e 2(t 3 ) sen 3(t 3 ) (t
11. y 2 2 2 2 3
13. y
2 cos 3t 5 sen 3t 1 t sen 3t Pw00 L x2 1 x3 , 0 x L
17. y 3 6

1 sen 4 t 1 t sen 4t 13. y(x) EI 4 6 2
4 8
wP0L2 1 LL
1 (t ) sen 4(t ) (t ) x , xL
8 4EI 2 12 2

2 t3 c1t2 6 EJERCICIOS 7.6 (PÁGINA 311)
3 1199.. s5

s1 1 1. x 1 e 2t 1 et 3. x cos 3t 5 sen 3t
2233.. y 3 3 y 3
21.
(s 1)[(s 1)2 1] s(s 1) 5. x 1 e 2t 2 et 7. x 2 cos 3t 7 sen 3t
y 3 3 y 3

25. s1 1 2 e3t 5 e2t 1 1 t 3 12 sen 12t
s[(s 2277.. s2(s 1) 2 2 2 4
1)2
1] 8 e3t 5 e2 t 1 1 t 3 12 sen 12t
3 2 6 2 4

3s2 1 3311.. et Ϫ 1 9. x 8 2 t3 1 t 4
29. s2(s2 1)2 3! 4!

33. et 1 t2 t 1 3377.. f t) ϭ sen t y 2 t3 1 t4
2 3! 4!

39. f (t) 1 e t 1 et 3 t et 1 t2et 4411.. f t) ϭ eϪt
8 8 4 4
11. x 1 t2 t 1 et
3 1 1 1 2
43. f (t) 8 e2t 8 e 2t 2 cos 2t 4 sen 2 t
1 1 t 1 t
y 3 3 e 3 t e

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-13

13. x1 1 216 sen 16 t 2 2 cos 16 t 39. y 1 t 1 t2
sen t 15 cos t 5 2

5 5 41. x 1 9 e 2t 1 e2 t
y 4 8 8
2 16 41
x2 sen t sen 16 t cos t cos 16 t t 9 e 2t 1 e2t
5 15 5 5 4 4

15. b) i2 100 100 e 900 t 43. i t) ϭ Ϫ9 ϩ 2t ϩ 9eϪt/5
9 9
c)
17. i2 i3 80 80 e 900 t w0 1 x5 L x4 L2 x3 L3 x2
9 9
i3 45. y(x)
i1 ϭ 20 Ϫ 20eϪ900t 12EIL 52 2 4
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 8
20 e 2t 375 e 15 t 145 cos t 85 sen t 1 L5 L
13 1469 113 113 xx
52 2
30 e 2t 250 e 15 t 280 cos t 810 sen t
13 1469 113 113
0 0 cos t 0 0 cos 1 2
6 6 9 12 47. a) 1(t) 2 2 2Kt
5 e e
19. i1 5 100t cosh 50 12 t 10 100t senh 50 12 t

6 6 100t cosh 50 12 t 6 12 100t senh 50 12 t 2(t) 0 0 cos t 0 0 cos 1 2 2K t
5 e e 2 2
i2
5 5 1
49. a) x(t) (v0 cos ) t, y(t) 2 gt2 (v0 sen )t

REPASO DEL CAPÍTULO 7 (PÁGINA 312) b) y(x) g x2 sen 0
2v02 cos2 x; resuelva y(x)
1 2 s 3. falso
1. s2 s2 e cos
1
7. s 7 y utilice la fórmula de ángulo doble para sen 2

5. verdadero d) aprox. 2729 pies; aprox. 11.54 segundos

2 4s EJERCICIOS 8.1 (PÁGINA 324)
9. s2 4 11. (s2 4)2
35 x
1 t5 1 t2 e5t 1. X X, donde X y
13. 6 15. 2 4 8

17. e5t cos 2t 5 e5 t sen 2 t
2
349 x
19. cos (t 1) (t 1) sen (t 1) (t 1)
21. Ϫ5 23. eϪk sϪa)F s Ϫ a)
3. X 6 1 0 X, donde X y

25. f (t) (t t0) 27. f (t t0) (t t0) 10 4 3 z

29. f (t) t (t 1) (t 1) (t 4); 111 0 t 1
2 1 1X 3t2 0 0,
{f (t)} 1 1 s 1 4s; 5. X 111 t2 t 2
s2 s2 e e
s

{et f (t)} 1 1 (s 1) x
(s 1)2 1)2 e y
(s donde X z

1 e 4(s 1) dx
s1 7.

31. f (t) 2 (t 2) (t 2); dt 4x 2y et
dy x 3y et
{f (t)} 2 1 2s; dt
s s2 e

{et f (t)} 2 1 2(s 1) dx
s1 1)2 e 9.
(s dt x y 2z et 3t

33. y 5tet 1 t2 et dy 3x 4y z 2e t t
2 dt

35. y 6 1 t 3 e t 13 e 5t 4 (t 2)
25 5 2 50 25 (t 2)
dz 2x 5y 6z 2e t t
1 (t 2) (t 2) 1 e (t 2) dt
5 4

9 e 5 (t 2) (t 2)
100
17. Si; W X1, X2) ϭ Ϫ2eϪ8t 0 implica que X1 y X2 son
37. y(t) [e 2t 1 1 (t ]1) 1 e 2(t 1) (t 1) OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV HQ Ϫϱ, ϱ).
4 2 4 2)
[2 ]1 3) 19. No; W X1, X2, X3) ϭ 0 para toda t. Los vectores solución
1 1 (t 2) e 2(t 2) (t VRQ OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWHV HQ Ϫϱ, ϱ) Observe que
4 2 4 X3 ϭ 2X1 ϩX2.

[1 1 (t 3) ]1 e 2 (t 3) (t
4 2
4

RES-14 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

EJERCICIOS 8.2 (PÁGINA 338) 33. X c1 cos t e4t c2 sen t e4t
35. X 2 cos t sen t 2 sen t cos t
1. X c1 1 e5t c2 1 et 37. X
2 1
cos t e4t sen t e4t
c1 c2
2 2 cos t sen t sen t cos t
1 3t 5 et
3. X c1 e c2
5 cos 3t 5 sen3t
5 1 c1 4 cos 3t 3 sen 3t c2 4 sen 3t 3 cos 3t
2 4
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 8 5. X c1 e8t c2 e 10t
7. X
1 2 1 39. X 1 cos t sen t
9. X c1 0 et c2 3 e2t c3 0 e t c1 0 c2 cos t c3 sen t

11. X 0 1 2 0 sen t cos t
13. X
19. X 11 1 0 sen t cos t
21. X
c1 0 e t c2 4 e3t c3 1 e 2t 41. X c1 2 et c2 cos t et c3 sen t et

13 3 1 cos t sen t

4 12 4 28 4 cos 3t 3 sen 3t
2 e 3t/2 c1 5 e2t
c1 0 e t c2 6 e t/2 c3 1 43. X c2 5 cos 3t e 2t
1 5 25
0

3 1 et/2 2 0 e t/2 3 cos 3t 4 sen 3t
1 1
c3 5 sen 3t e 2t

1 c2 1 1 0
c1 3 t
3 4 25 cos 5t 5 sen 5t
1 7 et cos 5t
6 cos 5t
4

c1 1 e2t c2 1 te2t 1 45. X
1 1
3 e2t
0

23. X 1 1 1 5 cos 5t sen 5t
c1 1 et c2 1 e2t c3 0 e2t 6 sen 5t

1 0 1 sen 5t
EJERCICIOS 8.3 (PÁGINA 346)
4 2
c1 5
25. X c2 0 e5t 1 et 3 et 1
2 1 1 1 3
1. X c1 c2
c3
2 1
0 te5t
1 2 1 e 2t 1 1
1 1
1 e5t 3. X c1 c2 e4t 4 t2
2 3

1 4

1 2

0 0 0 4 t 3
c1 1 et c2 1 tet 1 et 1
0
27. X 1 1 44

1 e3t 1 55
3 9
1 5. X c1 c2 e7t 36 et
2 19
0 0
1 t2 et 1 tet 0 et 4
0
c3 2 0 1 1 1 3
c1 0 et c2 1 e2t c3 2 e5t
1 2
0 0 2
7. X 7 e4 t
2

29. X 7 2 e4t 2t 1 e4t 2
13
1 t1
9. X 13 1 et 2 4 e2t 9
31. Correspondiendo al eigenvalor Ȝ1 ϭ 2 de multiplicidad 16 6
5, los eigenvectores son

10 0 11. X 1 c2 3 et 11 15
13. X c1 1 2 t 10
00 0
11

K1 0 , K2 1 , K3 0 . 2 10 13 15
00 1 1 3
c1 et / 2 c2 e3t / 2 2 tet /2 2 et / 2
13 9

00 0 4 4

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-15

15. X c1 2 et c2 1 e2t 3 et 4 tet t1 t t
17. X 1 1 3 2 c3 t
19. X 7. X c1 t c2 t 1
21. X 4 2 e 3t 12 4 9. X 2t 2t 2t 1
1 1 t 11. X 3
c1 e3t c2 3 1 et 0 e2t
0 4 0 1 1
c3 c4 2
1 3
1
c1 1 et c2 t et 2 et 1
1 2
1 t cosh t senh t
2 c1 senh t c2 cosh t

cos t sen t cos t t1 t t RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 8
c1 sen t c2 cos t t t 4t 1 6t
2t
sen t 2t 2t 1

sen t 13. X
ln cos t

cos t

3 e2t 1 e 2t 3 e2 t 3 e 2t
2 2 4 4 2t
cos t sen t et cos t tet 15. eAt ;
23. X c1 sen t et c2 cos t sen t X e2t e 2t 1 e2 t 3 e
X 2 2

3 e2 t 1 e 2t 3 e2 t 3 e 2t
2 2 4 4
cos t sen t cos t c1 c2 o
25. X c1 sen t c2 cos t t e2t e 2t 1 e2 t 3 e 2t
2 2
sen t

sen t sen t c3 3 e2t c4 1 e 2t
sen t tan t ln cos t 2 2

cos t

17. eAt e2t 3te2t 9t e2 t
2 sen t 2 cos t 3 sen t te2t e2t 3te2t ;
27. X c1 cos t et c2 sen t et t et
29. X 3 cos t
31. X 2
1 3t 9t e2t
cos t 2 cos t et ln cos t X c1 t e2t c2 1 3t
et ln sen t sen t
1 sen t
2
3 1 1 1
2 e3 t 2 e5t 2 e3t 2 e5t

1 1 0 23. X c1 3 e3 t 3 e5t c2 1 e3t 3 e5t o
c1 1 c2 1 e2t c3 0 e3t 2 2 2 2

0 0 1 X c3 1 e3t c4 1 e5t
1 3
1 e2t 1 t e2t
4 2 REPASO DEL CAPÍTULO 8 (PÁGINA 352)

et 1 e2 t 1 t e2 t
4 2
1
1 t2e3 t 1. k 3
2

2 te2t 1 e2t 2 te4t 2 e4t 5. X c1 1 et c2 1 tet 0 et
2 1 2 0 1 1 1

33. i1 2 1 e 2t 6 3 e 12t 4 19 7. X c1 cos 2t et c2 sen 2t et
i2 3 29 1 cos t sen 2 t cos 2t
4 83
sen t 29 42
29 69
20 7

9. X c1 3 e2t c2 1 e4t c3 12 e 3t

EJERCICIOS 8.4 (PÁGINA 350) 11 16

1. eAt et 0 e At et 0 11. X c1 1 e2t c2 4 e4t 16 11
0 e2t ; 0 e 2t 0 1 t 1

4

3. eAt t1 t t cos t sen t 1
t t1 t 13. X c1 cos t sen t c2 sen t cos t 1
2t 2t 2t 1
sen t
1 0 ln csc t cot t
0 1
sen t cos t

5. X c1 et c2 e2t 1 1 1
c1 1 c2 0 c3 1 e3t
15. b) X
0 1 1

RES-16 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

EJERCICIOS 9.1 (PÁGINA 358) b) y(5)(c) h5 40 e 2c h5 40 e2(0) (0.1)5

1. para h ϭ 0.1, y5 ϭ 2.0801; para h ϭ 0.05, y10 ϭ 2.0592 5! 5! 5!

3. para h ϭ 0.1, y5 ϭ 0.5470; para h ϭ 0.05, y10 ϭ 0.5465 3.333 10 6
5. para h ϭ 0.1, y5 ϭ 0.4053; para h ϭ 0.05, y10 ϭ 0.4054
7. para h ϭ 0.1, y5 ϭ 0.5503; para h ϭ 0.05, y10 ϭ 0.5495 c) El valor real es y ϭ 0.8234134413. El error es
9. para h ϭ 0.1, y5 ϭ 1.3260; para h ϭ 0.05, y10 ϭ 1.3315 3.225 ϫ 10Ϫ6 Յ 3.333 ϫ 10Ϫ6.
ϭ ϭ ϭ ϭ
11. para h 0.1, y 3.8254; para h 0.05, y 3.8840; d) Si h ϭ 0.05, y2 ϭ 0.82341363.
5 10 e) El error con h ϭ 0.1 es 3.225 ϫ 10Ϫ6. El error con
en x ϭ 0.5 el valor real es y ϭ 3.9082
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 9 h ϭ 0.05 es 1.854 ϫ 10Ϫ7.

13. a) y1 ϭ 1.2 4 e2c (0.1)2 0.02 e2c 0.02 e0.2 19. a) y(5) (c) h5 24 h5
h2 2 5! (c 1)5 5!

b) y (c) 24 h5 (0.1)5 2.0000 10 6
2 b) (c 1)5 5! 24

0.0244 5!
c) El valor real es y ϭ 1.2214. El error es 0.0214.
d) Si h ϭ 0.05, y2 ϭ 1.21. c) Del cálculo con h ϭ 0.1, y5 ϭ 0.40546517.
e) El error con h ϭ 0.1 es 0.0214. El error con h ϭ 0.05 Del cálculo con h ϭ 0.05, y10 ϭ 0.40546511.

es 0.0114. EJERCICIOS 9.3 (PÁGINA 366)

15. a) y1 ϭ 0.8 5e 2c (0.1)2 0.025e 2c 0.025 1. y x) ϭ Ϫx ϩ ex; los valores reales son
h2 2 y ϭ 1.0214, y ϭ 1.0918, y ϭ 1.2221,
y ϭ 1.4255; las aproximaciones están dadas en el
b) y (c) ejemplo 1.
2
3. y4 ϭ 0.7232
para 0 Յ c Յ 0.1. 5. para h ϭ 0.2, y5 ϭ 1.5569; para h ϭ 0.1, y10 ϭ 1.5576
c) El valor real es y ϭ 0.8234. El error es 0.0234. 7. para h ϭ 0.2, y5 ϭ 0.2385; para h ϭ 0.1, y10 ϭ 0.2384
d) Si h ϭ 0.05, y2 ϭ 0.8125.
e) El error con h ϭ 0.1 es 0.0234. El error con h ϭ 0.05 EJERCICIOS 9.4 (PÁGINA 370)

es 0.0109. 1. y x) ϭ Ϫ2e2x ϩ 5xe2x; y ϭ Ϫ1.4918,

17. a) El error con 19h2eϪ cϪ1). y ϭ Ϫ1.6800
2
h2 3. y1 ϭ Ϫ1.4928, y2 ϭ Ϫ1.4919
b) y (c) 19(0.1)2(1) 0.19
2 5. y1 ϭ 1.4640, y2 ϭ 1.4640

c) Si h ϭ 0.1, y5 ϭ 1.8207. 7. x1 ϭ 8.3055, y1 ϭ 3.4199;
Si h ϭ 0.05, y10 ϭ 1.9424. x2 ϭ 8.3055, y2 ϭ 3.4199
9. x1 ϭ Ϫ3.9123, y1 ϭ 4.2857;
d) El error con h ϭ 0.1 es 0.2325. El error con h ϭ 0.05 ϭ Ϫ3.9123, ϭ
es 0.1109. x y 4.2857
2 2
11. x1 ϭ 0.4179, y1 ϭ Ϫ2.1824;
1 h2 x2 ϭ 0.4173, y2 ϭ Ϫ2.1821
19. a) El error es (c 1)2 2 .

h2 (0.1)2 EJERCICIOS 9.5 (PÁGINA 375)
b) y (c) (1) 0.005
1. y1 ϭ Ϫ5.6774, y2 ϭ Ϫ2.5807, y3 ϭ 6.3226
2 2

c) Si h ϭ 0.1, y5 ϭ 0.4198. Si h ϭ 0.05, y10 ϭ 0.4124. 3. y1 ϭ Ϫ0.2259, y2 ϭ Ϫ0.3356, y3 ϭ Ϫ0.3308,
d) El error con h ϭ 0.1 es 0.0143. El error con h ϭ 0.05 ϭ Ϫ0.2167
y
es 0.0069. 4
5. y1 ϭ 3.3751, y2 ϭ 3.6306, y3 ϭ 3.6448, y4 ϭ 3.2355,
y5 ϭ 2.1411
EJERCICIOS 9.2 (PÁGINA 362) 7. y1 ϭ 3.8842, y2 ϭ 2.9640, y3 ϭ 2.2064, y4 ϭ 1.5826,

1. y5 ϭ 3.9078; el valor real es y ϭ 3.9082 y5 ϭ 1.0681, y6 ϭ 0.6430, y7 ϭ 0.2913
9. y1 ϭ 0.2660, y2 ϭ 0.5097, y3 ϭ 0.7357, y4 ϭ 0.9471,
3. y5 ϭ 2.0533 5. y5 ϭ 0.5463 ϭ ϭ ϭ ϭ
7. y5 ϭ 0.4055 9. y5 ϭ 0.5493 y 1.1465, y 1.3353, y 1.5149, y 1.6855,
5 6 7 8
y9 ϭ 1.8474
11. y5 ϭ 1.3333 11. y1 ϭ 0.3492, y2 ϭ 0.7202, y3 ϭ 1.1363, y4 ϭ 1.6233,

13. a) 35.7130

mg kg y5 ϭ 2.2118, y6 ϭ 2.9386, y7 ϭ 3.8490
13. c) y0 ϭ Ϫ2.2755, y1 ϭ Ϫ2.0755, y2 ϭ Ϫ1.8589,
c) v(t) tanh t; v(5) 35.7678 y3 ϭ Ϫ1.6126, y4 ϭ Ϫ1.3275
B k Bm

15. a) para h ϭ 0.1, y ϭ 903.0282; REPASO DEL CAPÍTULO 9 (PÁGINA 375)
4
para h ϭ 0.05, y8 ϭ 1.1 ϫ 1015
17. a) y1 ϭ 0.82341667 1. Comparación de los métodos numéricos con h ϭ 0.1:

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-17

Euler 19. a) x ϭ c1 FRV t Ϫ 3 sen 3t) ϩ c2 VHQ t ϩ 3 cos 3t)
y ϭ c1 FRV t) ϩ c2 VHQ t)
x Euler mejorado RK4
n b) x ϭ 4 cos 3t Ϫ 3 sen 3t

1.10 2.1386 2.1549 2.1556 y ϭ 5 cos 3t
1.20 2.3097 2.3439 2.3454
1.30 2.5136 2.5672 2.5695 21. a) x ϭ c1 VHQ t Ϫ cos t)e4t ϩ c2 Ϫsen t Ϫ cos t)e4t
1.40 2.7504 2.8246 2.8278 y ϭ 2c1 FRV t)e4t ϩ 2c2 VHQ t)e4t
1.50 3.0201 3.1157 3.1197
b) x ϭ VHQ t Ϫ cos t)e4t

y ϭ FRV t)e4t RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 10

Comparación de los métodos numéricos con h ϭ 0.05: 1 t 1
Euler 23. r , c2; r 4 14 1024t , t;
14 4t c1 1
xn Euler mejorado RK4
la solución se acerca en espiral al origen cuando t

1.10 2.1469 2.1554 2.1556 aumenta.
1.20 2.3272 2.3450 2.3454
1.30 2.5409 2.5689 2.5695 1
1.40 2.7883 2.8269 2.8278 25. r 11 c1e 2t , uș ϭ t ϩ c2; r ϭ 1, ș ϭ t R x ϭ cos t
1.50 3.0690 3.1187 3.1197
y y ϭ sen t) es la solución que satisface X ϭ

1
r , ș ϭ t es la solución que satisface
11 3e 2t
3. Comparación de los métodos numéricos con h ϭ 0.1:
Euler 4

xn Euler mejorado RK4 X ϭ (VWD VROXFLyQ VH DFHUFD HQ HVSLUDO KDFLD

el círculo r ϭ 1 cuando aumenta t.

0.60 0.6000 0.6048 0.6049 27. No hay puntos críticos y en consecuencia no hay
0.70 0.7095 0.7191 0.7194
0.80 0.8283 0.8427 0.8431 soluciones periódicas.
0.90 0.9559 0.9752 0.9757
1.00 1.0921 1.1163 1.1169 29. Parece haber una solución periódica que encierra el

SXQWR FUtWLFR

EJERCICIOS 10.2 (PÁGINA 390)

Comparación de los métodos numéricos con h ϭ 0.05: 1. a) Si X ϭ X0 está en la recta y ϭ 2x, entonces X t)
Euler WLHQGH D D OR ODUJR GH HVD UHFWD 3DUD ODV GHPiV

xn Euler mejorado RK4 condiciones iniciales, X t WLHQGH D GHVGH OD

0.60 0.6024 0.6049 0.6049 dirección determinada por la recta y ϭ Ϫx͞2.
0.70 0.7144 0.7193 0.7194
0.80 0.8356 0.8430 0.8431 3. a) Todas las soluciones son espirales inestables que
0.90 0.9657 0.9755 0.9757
1.00 1.1044 1.1168 1.1169 se vuelven no acotadas conforme t aumenta.

5. a) 7RGDV ODV VROXFLRQHV WLHQGHQ D GHVGH OD

GLUHFFLyQ HVSHFL¿FDGD SRU OD UHFWD y ϭ x.

5. h ϭ 0.2: y Ϸ 3.2; h ϭ 0.1: y Ϸ 3.23 7. a) Si X ϭ X0 está en la recta y ϭ 3x, entonces
7. x Ϸ 1.62, y Ϸ 1.84 X t WLHQGH D D OR ODUJR GH HVWD UHFWD 3DUD

las demás condiciones iniciales, X t) se vuelve no

acotada y y ϭ x sirve como la asíntota.

EJERCICIOS 10.1 (PÁGINA 382) 9. punto de silla

1. xЈ ϭ y 11. punto de silla

yЈ ϭ Ϫ9 sen x SXQWRV FUtWLFRV HQ ϮQʌ, 0) 13. nodo estable degenerado 15. espiral estable

3. xЈ ϭ y 17. ԽȝԽ Ͻ 1

yЈ ϭ x2 ϩ y x3 Ϫ SXQWR FUtWLFR HQ 19. ȝ Ͻ Ϫ1 para un punto de silIa; Ϫ1 Ͻ ȝ Ͻ 3 para un

5. xЈ ϭ y punto inestable de espiral

yЈ ϭ ⑀ x3 Ϫ x; 23. a) Ϫ3, 4)

1 1 b) nodo o punto de silla inestable
,0 , ,0
SXQWR FUtWLFR HQ 1 c) HV XQ SXQWR GH VLOOD
1
( )25. a)1, 2
7. \ Ϫ1, Ϫ1) 2

( )9. \ 4, 4 b) punto inestable de espiral
3 3
c) HV XQ FHQWUR LQHVWDEOH GH HVSLUDO
11. \

13. y), y arbitraria EJERCICIOS 10.3 (PÁGINA 399)

15. Ϫ Ϫ1, 0) 1. r ϭ r0e␣t
3. x ϭ 0 es inestable; x ϭ n ϩ 1 es asintóticamente estable.
17. a) x ϭ c e5t Ϫ c eϪt b) x ϭ Ϫ2eϪt 5. T ϭ T0 es inestable.
1 2 y ϭ 2eϪt
y ϭ 2c1e5t ϩ c2eϪt

RES-18 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

7. x ϭ Į es inestable; x ϭ ȕ es asintóticamente estable. EJERCICIOS 11.1 (PÁGINA 415)
9. P ϭ c es asintóticamente estable; P ϭ a͞b es inestable.
7. 1 1
( )11.1 2
2 , 1 es un punto estable de espiral.
9. 1 /2

(13. 12, 0 y 1 )7 11. '1' 1p; 'cos (n x>p)' 1p>2
12, 0 son puntos de silla; 2 , es un
4

punto estable de espiral. 21. a) T ϭ 1 b) T ϭ ʌ/ ͞2
c) T ϭ 2ʌ d) T ϭ ʌ
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 11 15. HV XQ QRGR HVWDEOH Ϫ1) es un punto de silla; e) T ϭ 2ʌ f) T ϭ 2p
HV XQ SXQWR GH VLOOD Ϫ2) es un punto inestable
EJERCICIOS 11.2 (PÁGINA 421)
de espiral.
1. f (x) 1 1 1 ( 1)n 1
17. Ϫ HV XQ SXQWR GH VLOOD QR VH SXHGH FODVL¿FDU sen nx; en x 0
HV HVWDEOH SHUR QR VH SXHGH FODVL¿FDU PiV 2 n1 n 2

19. HV XQ QRGR LQHVWDEOH HV XQ SXQWR GH VLOOD 3. f (x) 3 ( 1)n 1 1
HV XQ SXQWR GH VLOOD HV XQ QRGR HVWDEOH 4 n 1 n2 2 cos n x sen n x ;

21. ș ϭ HV XQ SXQWR GH VLOOD QR HV SRVLEOH FODVL¿FDU QL n
ș ϭ ʌ͞3 o ș ϭ Ϫʌ͞3.
1
23. 1R VH SXHGH FODVL¿FDU x ϭ 0. en x 0

25. 1R VH SXHGH FODVL¿FDU x ϭ 0, pero x 1 1 y 2
x 1 1 son cada uno puntos de silla.
2 2( 1)n
29. a) HV XQ SXQWR HVWDEOH GH HVSLUDO 5. f (x) 6 n 1 n2 cos nx
33. a) Ϫ1, 0)
( 1)n 1
35. v 0 1 12 n 2 1) n 1] sen nx
2 n3 [(

37. Si ȕ Ͼ HV HO ~QLFR SXQWR FUtWLFR \ HV HVWDEOH ( 1)n 1
2 sen nx
Si ȕ Ͻ 0), (xˆ, 0), y( xˆ, 0), donde xˆ2 > ,son 7. f (x) n1 n

SXQWRV FUtWLFRV HV HVWDEOH PLHQWUDV TXH (xˆ, 0), y

( xˆ, 0) son puntos de silla. 9. f (x) 11 1 ( 1)n 1
sen x n 2 1 n2 cos nx
39. b) ʌ͞6, 0) es un punto de silla. 2
c) ʌ͞6, 0) es un centro.
11 1n n
11. f (x) sen cos x
4 n1 n 2 2
EJERCICIOS 10.4 (PÁGINA 406)
3 nn
1. 0 13g>L 1 cos sen x

x2 n 22
x20 .
5. a) Primero demuestre que y2 v02 1 1 en x 11
g ln 1, en x 0, en x 1

1 22

9. a) El nuevo punto crítico es (d> c 2> c, a> b 1> b).

b) sí 9 ( 1)n 1 n

11. HV XQ QRGR LQHVWDEOH HV XQ QRGR HVWDEOH 13. f (x) 4 5 n2 2 cos x
5
HV XQ QRGR HVWDEOH \ HV XQ SXQWR GH VLOOD n1

17. a) HV HO ~QLFR SXQWR FUtWLFR ( 1)n 1 n
sen x

n5

REPASO DEL CAPÍTULO 10 (PÁGINA 408) 2 senh 1 ( 1)n

1. verdadero 3. un centro o un punto de silla 15. f (x) 2 n 1 1 n2 (cos nx n sen nx)

5. falso 7. falso 17. y

9. Į ϭ Ϫ1 t. La curva solución describe una 1
11. r 1 13 3t 1,

espiral hacia el origen. −3π −2π −π π 2π 3π x

13. a) centro 21. Haga x ϭ ʌ͞2.

b) nodo estable degenerado

15. HV XQ SXQWR HVWDEOH FUtWLFR SDUD Į Յ 0. EJERCICIOS 11.3 (PÁGINA 427)

17. x ϭ 1 es inestable; x ϭ Ϫ1 es asintóticamente estable. 1. impar 3. ni par ni impar

19. El sistema está sobreamortiguado cuando ȕ2 Ͼ 12 kms 2 y 5. par 7. impar

subamortiguado cuando ȕ2 Ͻ 12 kms 2. 9. ni par ni impar

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-19

11. f (x) 2 1 ( 1)n 35. f (x) 42 1
13. f (x) sen nx 37. f (x) 4 n2 cos nx sen nx
15. f (x) 39. xp(t) 3 1 n
17. f (x) n1 n 41. xp(t) n
19. f (x) 43. x (t)
2 ( 1)n 1 cos nx 31 1
21. f (x) sen 2 n x
23. f (x) 2 n 1 n2
2 n 1n
25. f (x)
f (x) 1 4 ( 1)n cos n x 10 1 ( 1)n
n 1 n(10 n2) sen nt
27. f (x) 3 2 n2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 11
f (x) n1

29. f (x) 2 2 ( 1)n 1 21
f (x) 4 cos nx 16 cos nt
3 n2 18 1 n2(n2 48 )
31. f (x) n1 n
f (x)
2 1 ( 1)n(1 ) 10 1 ( 1)n 1 1 sen 110t
33. f (x) n1 n sen nx sen nt
f (x) n 1 10 n2 n 110

n
cos 1
34 2 n 2w0L4 ( 1)n 1 n
45. b) yp(x) sen x
4 2 n2 cos x EI 5 n5 L
n1 2 n1

2 2 1 ( 1)n 47. yp(x) w0 2 w0 sen(n / 2)
n 2 1 n2 cos nx 2k n 1 n(EIn4 cos nx

k)

sen n EJERCICIOS 11.4 (PÁGINA 435)

12 2 cos n x 1. y ϭ cos Įnx; Į GH¿QLGR SRU FRW Į ϭ Į;

2 n1 n Ȝ1 ϭ 0.7402, Ȝ2 ϭ 11.7349,

1 n Ȝ3 ϭ 41.4388, Ȝ4 ϭ 90.8082
2 cos y1 ϭ cos 0.8603 x, y2 ϭ cos 3.4256 x,
y3 ϭ cos 6.4373 x, y4 ϭ cos 9.5293 x
n1 2
sen n x 1 sen2 n]
2
n

5. [1

2 4 ( 1)n n2 n
n 11 4n2 cos 2 nx 7. a) n ln 5 , yn sen ln x , n 1, 2, 3, . . .
ln 5 0, m n
8n
sen 2 nx d
n 1 4 n2 1 b) [xy ] y 0
dx x

n ( 1)n 1 51 m n
2 cos n2 cos nx c) sen ln x sen ln x dx
22 1 x ln 5 ln 5
4 n1
n 9. d [xe x y ] ne x y 0;
sen dx
42
n 1 n2 sen nx

n e x Lm(x) Ln(x) dx 0, m n
cos 1
34 2 n 0
cos x
4 2 n2 2 11. a) Ȝn ϭ 16 n2, yn ϭ VHQ n tanϪ1 x), n ϭ 1, 2, 3, . . .
n1

4n 2 1) n n b) 1 1 1 x) sen (4 n tan 1 x) dx 0, m n
n 1 n2 2 sen 2 ( sen x2 sen (4m tan
n2 x 01

5 2 3( 1)n 1 x EJERCICIOS 11.5 (PÁGINA 442)
cos n sen n 1. Į1 ϭ 1.277, Į2 ϭ 2.339, Į3 ϭ 3.391, Į4 ϭ 4.441
6 2 n2
n1 1)n 1 1
n3 3 3. f (x) i 1 i J1(2 i ) J0( i x)
( 1)n 1 ( x
4

n1 n

5. f (x) 4 i J1(2 i ) i ) J0( i x)

i 1 (4 2 1)J20 (2
i

RES-20 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

7. f (x) 20 i J2(4 i ) i ) J1( i x) u (c1 cosh x c2 senh x)(c3 cosh 11 2y
ii) Para Į2 Ͼ 1, c4 senh 11 2y)
9. f (x) i 1 (2 2 1)J21 (4
i
15. f (x)
21. f (x) 9 4 J2(3 i ) J0( i x)
2
f (x) i 1 2 J20 (3 i ) u (c1 cosh x c2 senh x)(c3 cos 1 2 1y
i c4 sen 1 2 1y)

1 P0 (x) 1 P1 (x) 5 P2 (x) 3 P4 (x)
4 2 16 32

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 12 1 P0 (x) 5 P2 (x) 3 P4 (x) , iii) Para Į2 ϭ,1,
2 8 16 u (c1 cosh x c2 senh x)(c3y c4)

x en ( 1, 1)

REPASO DEL CAPÍTULO 11 (PÁGINA 443) Los resultados para el caso Ȝ ϭ ϪĮ2 son similares. Para
Ȝ ϭ 0, u (c1x c2)(c3 cosh y c4 senh y)

1. verdadero 3. coseno 17. elíptica 19. parabólica
5. falso 7. 5.5, 1, 0 21. hiperbólica 23. parabólica
25. hiperbólica
1 1 x 1,
9. ,
EJERCICIOS 12.2 (PÁGINA 455)
11 x2

11 2u u 0
1 11 x2 Tm (x)Tn (x) dx 0, m n 1. k x2 , 0 x L, t 0
t
1 21
13. f (x) 2 n 1 n2 [( 1)n 1] cos n x u(0, t) 0, u 0, t

2 xx L
(
n 1)n sen n x u x, 0) ϭ f x), 0 Ͻ x Ͻ L

15. a) f (x) 1 e1 1 ( 1)n e 1 2u u
b) f (x) 2 n2 2 cos n x 3. k x2 , 0 x L, t 0
n1 1 t

2n [1 ( 1)n e 1] u hu(L, t), t 0
u(0, t) 100,
sen n x
xx L

n 1 1 n2 2 u x, 0) ϭ f x), 0 Ͻ x Ͻ L

(2n 1)2 2 5. k 2u hu u
19. n , n 1, 2, 3, . . . , x2 , 0 x L, t 0, h es constante
36 t

2n 1 u(0, t) sen(S t L), u(L, t) 0, t 0
yn cos 2 ln x u(x, 0) f (x), 0 x L

21. f (x) 1 J1(2 i ) J0( i x) 2u 2u
4i i J12 (4 x2 t2 , 0 x L, t 0
1 i ) 7. a2

EJERCICIOS 12.1 (PÁGINA 449) u t) ϭ 0, u L, t) ϭ 0, t Ͼ 0

1. Los casos posibles se pueden resumir en una forma u(x, 0) x(L x), u 0, 0 x L

u c1ec2(x y), donde c1 y c2 son constantes. tt 0
3. u c1 ey c2 (x y)
2u u 2u
5. u c1(xy)c2 9. a2 x2 2 t t2 , 0 x L, t 0

7. no separable u t) ϭ 0, u L, t) ϭ sen ʌW, t Ͼ 0

9. u e t(A1ek 2t cosh x B1ek 2t senh x) u

u e t(A2e k 2t cos x B2e k 2t sen x) u(x, 0) f (x), tt 0 0, 0 x L

u e t(A3x B3)

11. u ϭ c1 cosh Į[ ϩ c2 senh Į[ c3 cosh ĮDW ϩ c4 senh ĮDW) 2u 2u
u ϭ c5 cos Į[ ϩ c6 sen Į[ c7 cos ĮDW ϩ c8 sen ĮDW) 11. x2 y2 0, 0 x 4, 0 y 2

u ϭ c9 x ϩ c10 c11t ϩ c12) u
ϭ c1 Į[ ϩ Į[ c3 Į\ ϩ Į\) xx 0
13. u cosh c senh cos c sen u 0, u(4, y) f (y), 0 y 2
2 4 yy 0 0, u(x, 2) 0, 0 x 4
u ϭ c5 cos Į[ ϩ c6 sen Į[ c7 cosh Į\ ϩ c8 senh Į\)
u ϭ c9 x ϩ c10 c11 y ϩ c12)
15. Para Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0 hay tres posibilidades:

i) Para 0 Ͻ Į2 Ͻ 1,

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-21

EJERCICIOS 12.3 (PÁGINA 458) n2 2 n2 2 n
n 1 An cos L2 at
n 1 11. u(x, t) Bn sen L2 at x sen x,
cos e k(n2 2 /L2) t sen n x L
2 L
1. u(x, t) 2 2L n
n1 n
donde An f (x) sen x dx
L0 L
1L
3. u(x, t) f (x) dx
L0 2L L n
Bn g(x) sen x dx
n2 2a 0L RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 12

2 Ln x d x e k(n2 2 /L2 ) t cos n x
f (x) cos
Ln 1 0 L L 15. u(x, t) sen x cos 2at t

e ht 1 L 17. u(x, t) 1
sen 2 x sen 2 at
5. u(x, t) f (x) dx 2a
L0

2 Ln x d x e k(n2 2 /L2 ) t cos n EJERCICIOS 12.5 (PÁGINA 467)
f (x) cos
Ln 1 0 L L x

2 1a n
1. u(x, y) f (x) sen x dx
n n an n a
7. u(x, t) A0 e k(n /L)2t Ancos L x Bn sen x , 1 senh b0
L
k 1 a

donde A0 1L nn
An f (x) dx, senh y sen x
Bn
2L L aa

1 L nS x 2 1a n
f (x)cos dx, 3. u(x, y) f (x) sen x dx
LL L an n a
5. u(x, y) 1 senh b0
7. u(x, y)
1 L nS x a
f (x)sen dx
LL L nn
senh (b y) sen x

aa

EJERCICIOS 12.4 (PÁGINA 461) 1 2 1 ( 1)n

x 2 1 n2 senh n senh n x cos n y
2 n
L2 1 ( 1)n n a n
1. u(x, t) cos t sen x
3. u(x, t) 3 n3 LL 2 [1 ( 1)n]
n1

6 13 a n1 n
cos t sen x n cosh nx
2 LL n cosh n senh nx
sen ny
1 5a 5
senh n

52 cos L t sen x 9. u(x, y) (An cosh n y Bn senh n y) sen n x,
L

1 7a 7 n1

72 cos L t sen x donde An 200 [1 ( 1)n]
L
n

1 Bn 200 [1 ( 1)n] [2 cosh n ]
5. u(x, t) sen at sen x
n senh n
a

sen n 2 f (x) sen nx dx e ny sen nx
11. u(x, y)
8h 2 n a n
7. u(x, t) cos t sen x n1 0
LL
2 n2 n nn
n1

13. u(x, y) n 1 An cosh a y Bn senh a y sen x,
a

9. u(x, t) e t An cos qnt qn sen qnt sen nx, 2a n

n1 donde An f (x) sen x dx
a0 a

donde An 2 f (x) sen nx dx y qn 1n2 2 1 2a n n
An cosh a b
0 Bn a0 g(x) sen x dx
n a
senh b
a

RES-22 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

15. u ϭ u ϩ u, donde las Įn son las raíces positivas consecutivas de cot
1 2 Į ϭ Į͞h
2 1 ( 1)n
u1(x, y) senh ny sen nx

n 1 n senh n 3. u(x, y) An senh n y sen n x, donde
2 [1 ( 1)n]
u2(x, y) n1

n1 n 2h a
An senh n b(a h f (x) sen nx dx
senh nx senh n( x) cos2 n a) 0
senh n sen ny
y las Įn son las raíces positivas consecutivas de
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 12 EJERCICIOS 12.6 (PÁGINA 472) tan ĮD ϭ ϪĮ͞h

5. u(x, t) An e k(2n 1) 2 2 t / 4L2 sen 2n 1 x,
donde 2L
200 ( 1)n 1 kn2 2t sen n x n 1
1. u(x, t) 100 e
n1 n

r 2 u0 r 2 L 2n 1
3. u(x, t) u0 x (x 1) n1 n kn3 3 An f (x) sen x dx
L0 2L
2k

[( 1)n 1]e kn2 2t sen n x 7. u(x, y) 4u0 1
n 1 (2n 2n 1

(x) An e kn2 2t sen n x, 1) cosh
2

5. u(x, t) n1 2n 1 2n 1
donde cosh x sen y
y A 22
(x) k 2[ e x (e 1)x 1]
4 sen n
9. u(x, t)
2 (k 2 2)(1 cos2 n)
1 n1 n n

An 2 [ f (x) (x)] sen n x dx e 2t e k 2 t sen nx
n
0

senh1h/k x EJERCICIOS 12.8 (PÁGINA 481)
7. (x) u0 1 senh1h/k
1. u(x, y, t) Amn e k(m2 n2)t sen mx sen ny,
A
9. u(x, t) 6a2 (x x3) m 1n 1
11. u(x, y)
13. u(x, t) 2A ( 1)n donde Amn 4u0 2 [1 ( 1)m][1 ( 1)n]
mn
cos n at sen n x
a2 3 n3
n1 3. u(x, y, t) Amn sen mx sen ny cos a 1m2 n2 t,

(u0 u1)y u1 m 1n 1

2 u0( 1)n u1 e n x sen n y donde Amn 16 2 [( 1)m 1][( 1)n 1]
n1 n m3 n3

2 ( 1)n 1 3t sen nx mn
1 n(n2 5. u(x, y, z) Amn senh mn z sen a x sen y,
n e b
3) m 1n 1

2 ( 1)n e n2t sen nx donde mn 1(m > a)2 (n > b)2
3)
n 1 n(n2

2 1 1)n n2 2 cos t sen t Amn 4 ba
n 1n n2 2 n4 4 sen n x f (x, y)
15. u(x, t) ( ab senh (c mn) 0 0
1

4 2( 1)n mn
sen x sen y dx dy
n 1 n3 3
ab

( 1) n 2n e n2 2t sen n x REPASO DEL CAPÍTULO 12 (PÁGINA 481)
1
n4 4 1. u c1 e(c2 x y / c2)

17. u(x, t) (1 x)sen t 3. (x) u0 (u1 u0) x
1
2 n2S 2e n2S 2t n2S 2 cost sen t sen nS x.

Sn 1 n(n4S 4 1) n 3n
cos cos
2h 4 4
5. u(x, t) 2a n 1 n2 sen n at sen n x
EJERCICIOS 12.7 (PÁGINA 477)

1. u(x, t) 2h sen n e k 2 t cos n x, donde 7. u(x, y) 100 1 ( 1)n
n(h sen2 n senh nx sen ny
n1 n 1 n senh n
n)

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-23

100 1 ( 1)n nx sen ny EJERCICIOS 13.2 (PÁGINA 493)
9. u(x, y) e
n 2 sen at
n1 1. u(r, t) ac n n n c) J0 ( n r)

11. u x, t) ϭ eϪt sen x 1 2 J1 (
n

13. u(x, t) [e (x t) An 1n2 1 cos 1n2 1t 3. u(r, z) u0 senh n (4 z) J0 ( n r)
n senh n J1 (2
n1 n1 4 n )

]sen 1n2 1 t sen nx 5. u(r, z) 50 cosh ( n z) n) J0 ( n r)
n cosh (4 n) J1(2
15. u(x, t) u0 12(u1 u0)x 2(u1 u0) n1 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 13

cos n e 2 t sen n x. 7. u(r, z) 2 I0(nS r) sen nS z
n(1 cos2 n) n Sn I0(nS )
1

n1

EJERCICIOS 13.1 (PÁGINA 487) 9. u(r, t) An J0( n r) e ,k a2n t

n1

1. u(r, ) u0 u0 1 ( 1)n rn sen n 2c
2 n donde An r J0 ( n r) f (r) dr
n1 c2J21 ( n c)
0

2 2 rn 11. u(r, t) An J0 ( n r) e ,k a2n t
3. u(r, ) 4 1 n2 cos n
3
n n1

A0 r n(An cos n donde An 2 2 1 n r) f (r) dr
n
5. u(r, ) n1 Bn sen n ), rJ0 (
donde ( 2 h2) J20 ( n)
n 0
7. u(r, )
9. u(r, ) A0 12 13. u(r, t) 100 50 J1( n) J0 ( n r) e 2 t
f( )d 1 n J12 (2 n) n
donde n
bn 2 0
a
bn cn 2 15. b) u(x, t) An cos ( n 1g t) J0(2 n 1x),
a An f ( ) cos n d
n1
0

cn 2 An 2 1L nv) f (v2) dv
Bn f ( ) sen n d L J12(2 n 1L) v J 0 (2

0 0

n
sen
1 2 2 r 2n cos 2n EJERCICIOS 13.3 (PÁGINA 497)

2 n1 n c

r bn rn 1. u(r, ) 1 3r
A0 ln b n1 r b 50 2 P0(cos ) 4 c P1(cos )

7 r3 11 r 5
[An cos n Bn sen n ], 16 c P3(cos ) 32 c P5(cos )

a 12 r
A0 ln b f( )d 3. u(r, ) cos

20 c

an 1 2
b An f ( ) cos n d
5. u(r, ) An b2n 1 r2n 1 Pn(cos ), donde
0
n0
an 1 2 b2n 1 rn 1

b Bn f ( ) sen n d b2n 1 a2n 1 2n 1 f ( ) Pn(cos ) sen d
b2n 1 an 1 An
0 0

1 4 2
40 r cos 25 r sen
11. u(r, ) 7. u(r, ) A2n r2n P2n (cos ), donde
13. u(r, ) r r

15. u(r, ) 2u0 1 ( 1)n r n rn n0
n 1 n 2n 2 n sen n
4n 1 /2
A2n f ( ) P2n(cos ) sen d
c2n
n 0

u0 2u0 sen rn cos n 200 ( 1) n
2 e

2 n1 n 2 9. u(r, t) 100 n2 2t sen n r

rn 1 n

RES-24 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

1 na na n 7. u(x, t) a F0 ( 1)n t 2nL L x
11. u(r, t) r n 1 An cos c t Bn sen t sen r,
donde c c 9. u(x, t) En 0 a
11. u(x, t)
2c n 13. u(x, t) 2nL L x
An r f (r) sen r dr, t
c0 c 15. u(x, t)
17. u(x, t) a
19. u(x, t)
Bn 2c n 2nL L x
rg(r) sen r dr t
n a0 c
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 14 a

REPASO DEL CAPÍTULO 13 (PÁGINA 498) 2nL L x
t
1. u(r, ) 2u0 1 ( 1)n r n
sen n a
n1 n c
2(t x) senh (t x) (t x)
3. u(r, ) 4u0 1 ( 1)n rn sen n xe x cosh t e x t senh t
n3
n1 x
u1 (u0 u1) erfc 2 1t

5. u(r, ) 2u0 r4n r 4n 1 ( 1)n u0 1 x
n 1 24n 2 4n sen 4n erfc

n 21t

2e ht 1 2 t ex t erfc 1t x
n J1( n) J0( n r) e n
7. u(r, t) n1 21t

9. u(r, z) 50 50 cosh ( n z) n) J0( n r) x t f (t ) x2/4 d
n cosh (4 n) J1(2 21 e
n1 3/2
0

3 7 3 60 40 erfc x (t 2)
100 2 r P1(cos ) 8
11. u(r, ) r P3(cos ) 21t 2

11 r5 P5(cos ) 100 e1 x t erfc 1t 1 x
16 21t

17. u(x, z) 4u0 I0(2 n 1S r) sen 2n 1 Sz 1x
Sn 2 2 erfc

1 (2n 1)I0 ( 2n 1S ) 21t
2

EJERCICIOS 14.1 (PÁGINA 502) 21. u(x, t) u0 u0 e ( 2 /L2)t sen x
L
1. a) Sea IJ ϭ u2 en la integral erf( 1t).
9. y(t) e t erfc( 1 t ) 23. u(x, t) u0 u0 ( 1)n 2n 1 x
erfc
n0
2 1kt

bab0 2n 1 x
erfc
11. Utilice la propiedad
2 1kt
000a

EJERCICIOS 14.2 (PÁGINA 507) 25. u(x, t) u0 e Gt /C erf x RC
2B t

at x 27. u(r, t) 100 r 1
1. u(x, t) A cos sen erfc

LL

x x r 2Ίt
3. u(x, t) f t t

a a

5. u(x, t) 1 x2 x EJERCICIOS 14.3 (PÁGINA 515)
g t A sen t
2a a 1 sen cos x 3(1
1. f (x) cos ) sen x
x 1 gt2 d
t 2 0

a

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-25

3. f (x) 1 [A( ) cos x B( ) sen x] d , 13. u(x, y) 100 sen e y cos x d
15. u(x, y)
0 17. u(x, y) 0
19. u(x, t)
donde A( ) 3 sen 3 cos 3 1 21. u(x, y) 2 senh (2 y)
F( ) sen x d
2
0 senh 2

sen 3 3 cos 3 2 2 [e x sen y e y sen x]d
B( ) 01
2

1 cos x sen x 1 e x 2 /(1 4 k t) RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 15
5. f (x) 0 1 2d 11 4kt

10 (1 cos ) sen x 1 e 2/4 cosh y i xd
e
7. f (x) d 2 1 cosh

0 1 e 2/4 cosh y
cos x d
2 ( sen cos 1) cos x
9. f (x) 2d 2 1 cosh

0 2 I0( r) sen cos z dz.
25. u(r, z)
4 sen x 0 I0( )
11. f (x) 4d
04
REPASO DEL CAPÍTULO 14 (PÁGINA 522)

13. f (x) 2k cos x 2d 2 senh y

0 k2 1. u(x, y) 0 (1 2) cosh cos x d
3. u(x, t)
f (x) 2 sen x 5. u(x, t) ht erf x
2d 7. u(x, t) u0 e 21t
0 k2 9. u(x, y)

15. f (x) 2 (4 2) cos x tx
2)2 d erfc d
0 (4 0 21

8 sen x u0 sen ( x) sen x k 2t d
2 e
f (x) 2)2 d
0 (4
100 1 cos
21
17. f (x) 1 x2, x 0 0

[e x sen y 2e y sen x] d

19. Sea x ϭ HQ OD HFXDFLyQ 8VH XQD LGHQWLGDG 11. u(x, y) 2 B cosh y A
trigonométrica y reemplace Į por x. En el inciso 13. u(x, y) 0 (1 2) senh sen x dGĮ
b) haga el cambio de variable 2x ϭ kt. 15. u(x, t)
1 cos x sen x
EJERCICIOS 14.4 (PÁGINA 520) 2 1 e k 2t GdĮ
2

1 e k 2t 2 e k 2t
1 cos x d
1. u(x, t) 2e i xd 2 1
3. u(x, t)
0

1 cos x k 2t d x
1 2e u0 erfc 2Ίt , 0 t 1
17. u(x, t)
x x
1 e k 2t u0 erfc 2Ίt u0 erfc 2Ίt ,t 1
2 u0 sen x d 1

19. u(x, t) Ί200 t e x 2͞4t 100 x erfc x ,o
u(x, t)
5. u(x, t) 2 1 cos e k 2t sen x d 100 et x 2͞4(t W) 2Ίt
Ί 0 Ίt W dW
0

7. u(x, t) 2 sen e k 2t cos x d EJERCICIOS 15.1 (PÁGINA 530)

0

1 F( ) cos at 1. u11 11 , u21 14
9. a) u(x, t) 2 15 15

sen at 3. u11 u21 13>16, u22 u12 3 13>16
G( )
a e i xd 5. u ϭ u ϭ 12.50, u ϭ u ϭ 18.75, u ϭ u ϭ 37.50,
21 12 31 13 32 23

2 senh ( x) u11 ϭ 6.25, u22 ϭ 25.00, u33 ϭ 56.25
7. b) u14 ϭ u41 ϭ 0.5427, u24 ϭ u42 ϭ 0.6707,
11. u(x, y) 0 (1 2) senh cos y d u34 ϭ u43 ϭ 0.6402, u33 ϭ 0.4451, u44 ϭ 0.9451

RES-26 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

EJERCICIOS 15.2 (PÁGINA 534)
Las tablas de esta sección son una selección del número total de aproximaciones.
1.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 15 Tiempo x ϭ 0.25 x ϭ 0.50 x ϭ 0.75 x ϭ 1.00 x ϭ 1.25 x ϭ 1.50 x ϭ 1.75

0.000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.100 0.3728 0.6288 0.6800 0.5904 0.3840 0.2176 0.0768
0.200 0.2248 0.3942 0.4708 0.4562 0.3699 0.2517 0.1239
0.300 0.1530 0.2752 0.3448 0.3545 0.3101 0.2262 0.1183
0.400 0.1115 0.2034 0.2607 0.2757 0.2488 0.1865 0.0996
0.500 0.0841 0.1545 0.2002 0.2144 0.1961 0.1487 0.0800
0.600 0.0645 0.1189 0.1548 0.1668 0.1534 0.1169 0.0631
0.700 0.0499 0.0921 0.1201 0.1297 0.1196 0.0914 0.0494
0.800 0.0387 0.0715 0.0933 0.1009 0.0931 0.0712 0.0385
0.900 0.0301 0.0555 0.0725 0.0785 0.0725 0.0554 0.0300
1.000 0.0234 0.0432 0.0564 0.0610 0.0564 0.0431 0.0233

3.

Tiempo x ϭ 0.25 x ϭ 0.50 x ϭ 0.75 x ϭ 1.00 x ϭ 1.25 x ϭ 1.50 x ϭ 1.75

0.000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.100 0.4015 0.6577 0.7084 0.5837 0.3753 0.1871 0.0684
0.200 0.2430 0.4198 0.4921 0.4617 0.3622 0.2362 0.1132
0.300 0.1643 0.2924 0.3604 0.3626 0.3097 0.2208 0.1136
0.400 0.1187 0.2150 0.2725 0.2843 0.2528 0.1871 0.0989
0.500 0.0891 0.1630 0.2097 0.2228 0.2020 0.1521 0.0814
0.600 0.0683 0.1256 0.1628 0.1746 0.1598 0.1214 0.0653
0.700 0.0530 0.0976 0.1270 0.1369 0.1259 0.0959 0.0518
0.800 0.0413 0.0762 0.0993 0.1073 0.0989 0.0755 0.0408
0.900 0.0323 0.0596 0.0778 0.0841 0.0776 0.0593 0.0321
1.000 0.0253 0.0466 0.0609 0.0659 0.0608 0.0465 0.0252

Los errores absolutos son aproximadamente 2.2 ϫ 10Ϫ2, 3.7 ϫ 10Ϫ2, 1.3 ϫ 10Ϫ2.

5.

Tiempo x ϭ 0.25 x ϭ 0.50 x ϭ 0.75 x ϭ 1.00 x ϭ 1.25 x ϭ 1.50 x ϭ 1.75

0.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.10 0.3972 0.6551 0.7043 0.5883 0.3723 0.1955 0.0653
0.20 0.2409 0.4171 0.4901 0.4620 0.3636 0.2385 0.1145
0.30 0.1631 0.2908 0.3592 0.3624 0.3105 0.2220 0.1145
0.40 0.1181 0.2141 0.2718 0.2840 0.2530 0.1876 0.0993
0.50 0.0888 0.1625 0.2092 0.2226 0.2020 0.1523 0.0816
0.60 0.0681 0.1253 0.1625 0.1744 0.1597 0.1214 0.0654
0.70 0.0528 0.0974 0.1268 0.1366 0.1257 0.0959 0.0518
0.80 0.0412 0.0760 0.0991 0.1071 0.0987 0.0754 0.0408
0.90 0.0322 0.0594 0.0776 0.0839 0.0774 0.0592 0.0320
1.00 0.0252 0.0465 0.0608 0.0657 0.0607 0.0464 0.0251

Los errores absolutos son aproximadamente 1.8 ϫ 10Ϫ2, 3.7 ϫ 10Ϫ2, 1.3 ϫ 10Ϫ2.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-27

7. a)

Tiempo x ϭ 2.00 x ϭ 4.00 x ϭ 6.00 x ϭ 8.00 x ϭ 10.00 x ϭ 12.00 x ϭ 14.00 x ϭ 16.00 x ϭ 18.00

0.00 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 15
2.00 27.6450 29.9037 29.9970 29.9999 30.0000 29.9999 29.9970 29.9037 27.6450
4.00 25.6452 29.6517 29.9805 29.9991 29.9999 29.9991 29.9805 29.6517 25.6452
6.00 23.9347 29.2922 29.9421 29.9963 29.9996 29.9963 29.9421 29.2922 23.9347
8.00 22.4612 28.8606 29.8782 29.9898 29.9986 29.9898 29.8782 28.8606 22.4612
10.00 21.1829 28.3831 29.7878 29.9782 29.9964 29.9782 29.7878 28.3831 21.1829

b)

Tiempo x ϭ 5.00 x ϭ 10.00 x ϭ 15.00 x ϭ 20.00 x ϭ 25.00 x ϭ 30.00 x ϭ 35.00 x ϭ 40.00 x ϭ 45.00

0.00 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000
2.00 29.5964 29.9973 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 29.9973 29.5964
4.00 29.2036 29.9893 29.9999 30.0000 30.0000 30.0000 29.9999 29.9893 29.2036
6.00 28.8212 29.9762 29.9997 30.0000 30.0000 30.0000 29.9997 29.9762 28.8213
8.00 28.4490 29.9585 29.9992 30.0000 30.0000 30.0000 29.9993 29.9585 28.4490
10.00 28.0864 29.9363 29.9986 30.0000 30.0000 30.0000 29.9986 29.9363 28.0864

c)

Tiempo x ϭ 2.00 x ϭ 4.00 x ϭ 6.00 x ϭ 8.00 x ϭ 10.00 x ϭ 12.00 x ϭ 14.00 x ϭ 16.00 x ϭ 18.00

0.00 18.0000 32.0000 42.0000 48.0000 50.0000 48.0000 42.0000 32.0000 18.0000
2.00 15.3312 28.5348 38.3465 44.3067 46.3001 44.3067 38.3465 28.5348 15.3312
4.00 13.6371 25.6867 34.9416 40.6988 42.6453 40.6988 34.9416 25.6867 13.6371
6.00 12.3012 23.2863 31.8624 37.2794 39.1273 37.2794 31.8624 23.2863 12.3012
8.00 11.1659 21.1877 29.0757 34.0984 35.8202 34.0984 29.0757 21.1877 11.1659
10.00 10.1665 19.3143 26.5439 31.1662 32.7549 31.1662 26.5439 19.3143 10.1665

d)

Tiempo x ϭ 10.00 x ϭ 20.00 x ϭ 30.00 x ϭ 40.00 x ϭ 50.00 x ϭ 60.00 x ϭ 70.00 x ϭ 80.00 x ϭ 90.00

0.00 8.0000 16.0000 24.0000 32.0000 40.0000 32.0000 24.0000 16.0000 8.0000
2.00 8.0000 16.0000 23.9999 31.9918 39.4932 31.9918 23.9999 16.0000 8.0000
4.00 8.0000 16.0000 23.9993 31.9686 39.0175 31.9686 23.9993 16.0000 8.0000
6.00 8.0000 15.9999 23.9978 31.9323 38.5701 31.9323 23.9978 15.9999 8.0000
8.00 8.0000 15.9998 23.9950 31.8844 38.1483 31.8844 23.9950 15.9998 8.0000
10.00 8.0000 15.9996 23.9908 31.8265 37.7498 31.8265 23.9908 15.9996 8.0000

9. a)

Tiempo x ϭ 2.00 x ϭ 4.00 x ϭ 6.00 x ϭ 8.00 x ϭ 10.00 x ϭ 12.00 x ϭ 14.00 x ϭ 16.00 x ϭ 18.00

0.00 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000
2.00 27.6450 29.9037 29.9970 29.9999 30.0000 30.0000 29.9990 29.9679 29.2150
4.00 25.6452 29.6517 29.9805 29.9991 30.0000 29.9997 29.9935 29.8839 28.5484
6.00 23.9347 29.2922 29.9421 29.9963 29.9997 29.9988 29.9807 29.7641 27.9782
8.00 22.4612 28.8606 29.8782 29.9899 29.9991 29.9966 29.9594 29.6202 27.4870
10.00 21.1829 28.3831 29.7878 29.9783 29.9976 29.9927 29.9293 29.4610 27.0610

RES-28 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR

b)

Tiempo x ϭ 5.00 x ϭ 10.00 x ϭ 15.00 x ϭ 20.00 x ϭ 25.00 x ϭ 30.00 x ϭ 35.00 x ϭ 40.00 x ϭ 45.00

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 15 0.00 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000
2.00 29.5964 29.9973 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 29.9991 29.8655
4.00 29.2036 29.9893 29.9999 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 29.9964 29.7345
6.00 28.8212 29.9762 29.9997 30.0000 30.0000 30.0000 29.9999 29.9921 29.6071
8.00 28.4490 29.9585 29.9992 30.0000 30.0000 30.0000 29.9997 29.9862 29.4830
10.00 28.0864 29.9363 29.9986 30.0000 30.0000 30.0000 29.9995 29.9788 29.3621

c)

Tiempo x ϭ 2.00 x ϭ 4.00 x ϭ 6.00 x ϭ 8.00 x ϭ 10.00 x ϭ 12.00 x ϭ 14.00 x ϭ 16.00 x ϭ 18.00

0.00 18.0000 32.0000 42.0000 48.0000 50.0000 48.0000 42.0000 32.0000 18.0000
2.00 15.3312 28.5350 38.3477 44.3130 46.3327 44.4671 39.0872 31.5755 24.6930
4.00 13.6381 25.6913 34.9606 40.7728 42.9127 41.5716 37.4340 31.7086 25.6986
6.00 12.3088 23.3146 31.9546 37.5566 39.8880 39.1565 35.9745 31.2134 25.7128
8.00 11.1946 21.2785 29.3217 34.7092 37.2109 36.9834 34.5032 30.4279 25.4167
10.00 10.2377 19.5150 27.0178 32.1929 34.8117 34.9710 33.0338 29.5224 25.0019

d)

Tiempo x ϭ 10.00 x ϭ 20.00 x ϭ 30.00 x ϭ 40.00 x ϭ 50.00 x ϭ 60.00 x ϭ 70.00 x ϭ 80.00 x ϭ 90.00

0.00 8.0000 16.0000 24.0000 32.0000 40.0000 32.0000 24.0000 16.0000 8.0000
2.00 8.0000 16.0000 23.9999 31.9918 39.4932 31.9918 24.0000 16.0102 8.6333
4.00 8.0000 16.0000 23.9993 31.9686 39.0175 31.9687 24.0002 16.0391 9.2272
6.00 8.0000 15.9999 23.9978 31.9323 38.5701 31.9324 24.0005 16.0845 9.7846
8.00 8.0000 15.9998 23.9950 31.8844 38.1483 31.8846 24.0012 16.1441 10.3084
10.00 8.0000 15.9996 23.9908 31.8265 37.7499 31.8269 24.0023 16.2160 10.8012

11. a) (x) 1 x 20
2

b)

Tiempo x ϭ 4.00 x ϭ 8.00 x ϭ 12.00 x ϭ 16.00

0.00 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000
10.00 32.7433 44.2679 45.4228 38.2971
30.00 26.9487 32.1409 34.0874 32.9644
50.00 24.1178 27.4348 29.4296 30.1207
70.00 22.8995 25.4560 27.4554 28.8998
90.00 22.3817 24.6176 26.6175 28.3817
110.00 22.1619 24.2620 26.2620 28.1619
130.00 22.0687 24.1112 26.1112 28.0687
150.00 22.0291 24.0472 26.0472 28.0291
170.00 22.0124 24.0200 26.0200 28.0124
190.00 22.0052 24.0085 26.0085 28.0052
210.00 22.0022 24.0036 26.0036 28.0022
230.00 22.0009 24.0015 26.0015 28.0009
250.00 22.0004 24.0007 26.0007 28.0004
270.00 22.0002 24.0003 26.0003 28.0002
290.00 22.0001 24.0001 26.0001 28.0001
310.00 22.0000 24.0001 26.0001 28.0000
330.00 22.0000 24.0000 26.0000 28.0000
350.00 22.0000 24.0000 26.0000 28.0000

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-29

EJERCICIOS 15.3 (PÁGINA 538)

Las tablas de esta sección son una selección del número total de aproximaciones.

1. a) b)

Tiempo x ϭ 0.25 x ϭ 0.50 x ϭ 0.75 Tiempo x ϭ 0.4 x ϭ 0.8 x ϭ 1.2 x ϭ 1.6 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • CAPÍTULO 15

0.00 0.1875 0.2500 0.1875 0.00 0.0032 0.5273 0.5273 0.0032
0.20 0.1491 0.2100 0.1491 0.20 0.0652 0.4638 0.4638 0.0652
0.40 0.0556 0.0938 0.0556 0.40 0.2065 0.3035 0.3035 0.2065
0.60 Ϫ0.0501 Ϫ0.0682 Ϫ0.0501 0.60 0.3208 0.1190 0.1190 0.3208
0.80 Ϫ0.1361 Ϫ0.2072 Ϫ0.1361 0.80 0.3094 Ϫ0.0180 Ϫ0.0180 0.3094
1.00 Ϫ0.1802 Ϫ0.2591 Ϫ0.1802 1.00 0.1450 Ϫ0.0768 Ϫ0.0768 0.1450

c)

Tiempo x ϭ 0.1 x ϭ 0.2 x ϭ 0.3 x ϭ 0.4 x ϭ 0.5 x ϭ 0.6 x ϭ 0.7 x ϭ 0.8 x ϭ 0.9

0.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
0.12 0.0000 0.0000 0.0082 0.1126 0.3411 0.1589 0.3792 0.3710 0.0462
0.24 0.0071 0.0657 0.2447 0.3159 0.1735 0.2463 Ϫ0.1266 Ϫ0.3056 Ϫ0.0625
0.36 0.1623 0.3197 0.2458 0.1657 0.0877 Ϫ0.2853 Ϫ0.2843 Ϫ0.2104 Ϫ0.2887
0.48 0.1965 0.1410 0.1149 Ϫ0.1216 Ϫ0.3593 Ϫ0.2381 Ϫ0.1977 Ϫ0.1715 0.0800
0.60 Ϫ0.2194 Ϫ0.2069 Ϫ0.3875 Ϫ0.3411 Ϫ0.1901 Ϫ0.1662 Ϫ0.0666 0.1140 Ϫ0.0446
0.72 Ϫ0.3003 Ϫ0.6865 Ϫ0.5097 Ϫ0.3230 Ϫ0.1585 0.0156 0.0893 Ϫ0.0874 0.0384
0.84 Ϫ0.2647 Ϫ0.1633 Ϫ0.3546 Ϫ0.3214 Ϫ0.1763 Ϫ0.0954 Ϫ0.1249 0.0665 Ϫ0.0386
0.96 0.3012 0.1081 0.1380 Ϫ0.0487 Ϫ0.2974 Ϫ0.3407 Ϫ0.1250 Ϫ0.1548 0.0092

3. a) b)

Tiempo x ϭ 0.2 x ϭ 0.4 x ϭ 0.6 x ϭ 0.8 Tiempo x ϭ 0.2 x ϭ 0.4 x ϭ 0.6 x ϭ 0.8

0.00 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.00 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878
0.10 0.5599 0.9059 0.9059 0.5599 0.05 0.5808 0.9397 0.9397 0.5808
0.20 0.4788 0.7748 0.7748 0.4788 0.10 0.5599 0.9060 0.9060 0.5599
0.30 0.3524 0.5701 0.5701 0.3524 0.15 0.5257 0.8507 0.8507 0.5257
0.40 0.1924 0.3113 0.3113 0.1924 0.20 0.4790 0.7750 0.7750 0.4790
0.50 0.0142 0.0230 0.0230 0.0142 0.25 0.4209 0.6810 0.6810 0.4209
0.30 0.3527 0.5706 0.5706 0.3527
0.35 0.2761 0.4467 0.4467 0.2761
0.40 0.1929 0.3122 0.3122 0.1929
0.45 0.1052 0.1701 0.1701 0.1052
0.50 0.0149 0.0241 0.0241 0.0149

RES-30 l RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR
5.

Tiempo x ϭ 10 x ϭ 20 x ϭ 30 x ϭ 40 x ϭ 50

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • APÉNDICE II 0.00000 0.1000 0.2000 0.3000 0.2000 0.1000
0.60134 0.0984 0.1688 0.1406 0.1688 0.0984
1.20268 0.0226 Ϫ0.0121 0.0085 Ϫ0.0121 0.0226
1.80401 Ϫ0.1271 Ϫ0.1347 Ϫ0.1566 Ϫ0.1347 Ϫ0.1271
2.40535 Ϫ0.0920 Ϫ0.2292 Ϫ0.2571 Ϫ0.2292 Ϫ0.0920
3.00669 Ϫ0.0932 Ϫ0.1445 Ϫ0.2018 Ϫ0.1445 Ϫ0.0932
3.60803 Ϫ0.0284 Ϫ0.0205 0.0336 Ϫ0.0205 Ϫ0.0284
4.20936 0.1064 0.1555 0.1265 0.1555 0.1064
4.81070 0.1273 0.2060 0.2612 0.2060 0.1273
5.41204 0.0625 0.1689 0.2038 0.1689 0.0625
6.01338 0.0436 0.0086 Ϫ0.0080 0.0086 0.0436
6.61472 Ϫ0.0931 Ϫ0.1364 Ϫ0.1578 Ϫ0.1364 Ϫ0.0931
7.21605 Ϫ0.1436 Ϫ0.2173 Ϫ0.2240 Ϫ0.2173 Ϫ0.1436
7.81739 Ϫ0.0625 Ϫ0.1644 Ϫ0.2247 Ϫ0.1644 Ϫ0.0625
8.41873 Ϫ0.0287 Ϫ0.0192 Ϫ0.0085 Ϫ0.0192 Ϫ0.0287
9.02007 0.0654 0.1332 0.1755 0.1332 0.0654
9.62140 0.1540 0.2189 0.2089 0.2189 0.1540

Nota: El tiempo se expresa en milisegundos.

REPASO DEL CAPÍTULO 15 (PÁGINA 539) EJERCICIOS PARA EL APÉNDICE I (PÁGINA APE-2)

1. u ϭ 0.8929, u ϭ 3.5714, u ϭ 13.3929 1. a) 24 b) 720 c) 41 d) 81
11 21 31 3. 0.297 3 15

3. a)

x ϭ 0.20 x ϭ 0.40 x ϭ 0.60 x ϭ 0.80 EJERCICIOS PARA EL APÉNDICE II (PÁGINA APE-18)

0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1. a) 2 11 b) 6 1
0.2000 0.4000 0.6000 0.5500 c) 21
0.2000 0.4000 0.5375 0.4250 14 19
0.2000 0.3844 0.4750 0.3469 2 28
0.1961 0.3609 0.4203 0.2922 12 12
0.1883 0.3346 0.3734 0.2512

b) 3. a) 11 6 32 27
c) 17 22 b)

19 18 41
30 31 19 6
d)
x ϭ 0.20 x ϭ 0.40 x ϭ 0.60 x ϭ 0.80 5. a) 9 24 3 22
c) 38
0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 38
0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 00 b)
0.2000 0.4000 0.6000 0.5500 00
0.2000 0.4000 0.5375 0.4250 6 16
0.2000 0.3844 0.4750 0.3469 7. a) 180 45
0.1961 0.3609 0.4203 0.2922 d)
8 10

4 8 10
b) 8 16 20

10 20 25

c) Sí; la tabla en el inciso b) es la tabla del inciso 6
a) corrida hacia abajo. c) 12

5

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR l RES-31

9. a) 7 38 b) 7 38 35. x 12, y 23, z 7
10 75 10 75 2

37. x1 1, x2 0, x3 2, x4 0

11. 14 0 21
1
0 33

41. A 1 1 12
3
13. 38 33
2
2 0
15. singular 3

17. no singular; A 1 1 5 8 43. A 1 56 3 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NÚMERO IMPAR • APÉNDICE II
43 4 45. A 1 22
11 1

011 12 1
19. no singular; A 1 1 2 2 2
23 17
2 66
435 1 1 14
3 33
11
0 1 33
3 11
22
221 1 1
1 2 2
7 , K2
21. no singular;; A 1 13 5 7 47. 1 6, 2 1, K1 1
9 1

815

23. A 1(t) 1 3e4t e4t 49. 1 2 4, K1 1
2e3t 4e t 2e t 4

5e t 51. 1 0, 2 4, 3 4,
2e t
dX 7e t 911
25. dt K1 45 , K2 1 , K3 9

dX 1 e2t 12 2 e 3t 25 1 1
27. 4
dt 1 1 53. 1 2 3 2,

29. (a) 4e4t sen t (b) 41e8 1 0 2 0
2 6t 4 6 1 , K2 0
0 1
4 K1
55. 1
(c) 14e4t 1 (1/ ) sen t
4 K1

t2 t3 t 3i, 2 3i,

31. x ϭ 3, y ϭ 1, z ϭ Ϫ5 1 3i 1 3i
5 , K2 5
33. x ϭ 2 ϩ 4t, y ϭ Ϫ5 Ϫ t, z ϭ t



ÍNDICE

A diferencial de primer orden, 35 Condicion de Dirichlet, 453 ÍNDICE
método de las isoclinas, 37, 42 Condición de Neumann, 453
Absoluto, error, 75, 354 para una ecuación diferencial de Condición de Robin, 453
Aceleración debida a la gravedad, P-11, Condiciones de extremo libre, 205
primer orden autónoma, 41 Condiciones frontera, 115, 205
23-24, 199 Campo vectorial, 378
Adams-Bashforth, corrección de, 364 Cantidades proporcionales, 20 homogéneas, 431
Adams-Bashforth, predicción de, 364 Capacidad de sustento del ambiente, 93 no homogéneas, 431
Adams-Bashforth-Moulton, método Capacitancia, 24 periódicas, 211
Capacitor no lineal, 400 Condiciones frontera separadas, 431
de, 364 Carga de Euler, 207 Condiciones iniciales, 13, 114, 452
Adición Cargas críticas, 207 para una ecuación diferencial inicial,
Catenaria, 215
de matrices APE-4 Centro, 388 13, 114, 182
de serie de potencias, 227 Centro de una serie de potencias, 226 para un sistema de ecuaciones
Agnew, Ralph Palmer, 32, 132 Ceroclinas, 43
Alambre que cuelga bajo su propio peso, Ciclo, 379 diferenciales lineales de primer
25, 215 Cicloide, 112 orden, 319
Alambres de teléfonos, forma de, 215 Circuito en serie críticamente amortiguado,
Álgebra de matrices, APE-3 Condiciones periódicas de valores
Amortiguamiento no lineal, 213, 407 197 iniciales, 211
Amortiguamiento viscoso, 25 Circuito en serie, ecuaciones diferenciales
Amperes (A), 24 Conjunto completo ortogonal, 415
Amplitud de, 24, 87-88, 197 Conjunto fundamental de soluciones:
amortiguada, 195 Circuito en serie LR, ecuación diferencial
libre de vibraciones, 189 de una ecuación diferencial lineal,
Análisis cualitativo de, 29, 87 119
de sistemas de ecuaciones Circuito en serie LRC, ecuación diferencial
de un sistema lineal, 322
diferenciales, 377 de, 24, 197 existencia de, 119, 322
de una ecuación diferencial de Circuito en serie no amortiguado, 197 Conjunto ortogonal de funciones, 412
Circuito en serie sobreamortiguado, 197 Conjunto ortogonal normalizado, 413
primer orden, 35-41 Circuitos, ecuaciones diferenciales de, 24, Coordenadas polares, 484
de una ecuación diferencial de Constante de amortiguamiento, 191
28, 192 Constante de crecimiento, 83
segundo orden, 377-378, 401 Circuitos en serie eléctricos, 24, 28, 86, Constante de decaimiento, 83
Analítica en un punto, 227 Constante de Euler, 255
Ángulo de fase, 189, 193 197 Constante de resorte efectiva, 200, 223
Aproximación al Laplaciano con cinco analogía con sistemas resorte/masa, Constante de resorte variable, 190-191
Constante de resorte, 187
puntos, 512 197 Convergencia absoluta de una serie de
Aproximación de diferencia central, 372 Circuitos RC, ecuación diferencial de, 29, potencias, 226
$SUR[LPDFLRQHV GH GLIHUHQFLD ¿QLWD Convergencia, condiciones de
Arco, 379 86-87 LQWHJUDOHV GH )RXULHU
Aritmética, serie de potencias, 228 &ODVL¿FDFLyQ GH SXQWRV FUtWLFRV VHULHV GH )RXULHU
Arquímedes, principio de, 29 VHULHV GH )RXULHU %HVVHO
Atractor, 40, 332, 390 396 VHULHV GH )RXULHU /HJHQGUH
&ODVL¿FDFLyQ GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV Convolución de dos funciones, 294
C Corriente de índices de la suma, 227
ordinarias Corriente en estado estable, 87, 198
Cables suspendidos, 25 por linealidad, 4 Coulombs (C), 24
Cadena cayendo, 68, 71 por orden, 3 Crecimiento exponencial y decaimiento,
Cadena jalada por una fuerza constante, por tipo, 2 82-83
Clepsidra, 102-103 Criterio de estabilidad
217 &RH¿FLHQWHV GH )RXULHU para un sistema autónomo plano, 390
Caída de un cuerpo, 24, 28, 44, 90-91, &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV para una ecuación diferencial de
para ecuaciones diferenciales lineales,
100-101 primer orden autónoma, 395
Caídas de voltaje, 24, 297 136, 146 Cuasi frecuencia, 194
Caja deslizante, 92-93 para sistemas lineales, 340 Cuasi periodo, 194
Cálculo de orden hn, 355 Cofactor, APE-8 Cuenta deslizante, 415, 416
Campo de pendientes, 35 Colector solar, 30-31, 100
Campo direccional de una ecuación Columna doblada bajo su propio peso, 261 I-1
Columna de una matriz, APE-3
Concentración de un nutriente en una célula, 110

I-2 l ÍNDICE

ÍNDICE Cuerda jalada, 453, 460, 463 E 232, 241
Cuerpo en caída libre, 24, 28, 90-91 forma normal de, 4
Curvatura, 188, 204 Ecuación auxiliar homogénea, 53, 116, 129
&XUYD GH GHÀH[LyQ para ecuaciones lineales con lineal, 4, 53, 114-116
Curva de Descartes, 11, 400 FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV no autónoma, 37
Curva de Lissajous, 326 para las ecuaciones de Cauchy-Euler, no homogénea, 53, 121, 135, 144,
Curva de persecución, 219-226 157
Curva de resonancia, 203 raíces de, 132 151
Curva de respuesta de la frecuencia, 203 no lineal, 4
Curva elástica, 204 Ecuación característica de una matriz, 326, notación para, 3
Curva logística, 94 APE-15 orden de, 3
Curva solución, 5 ordinaria, 2
Curvas de nivel, 48, 52 (FXDFLyQ GH %HVVHO PRGL¿FDGD GH RUGHQ parcial, 3, 446
Curvas solución numéricas, 76 Ȟ, 253 primer orden, 113
de primera clase, 253 Ricatti, 72
D de segunda clase, 253 separable, 45
sistemas de, 8
Datado con carbono, 82 Ecuación de calor bidimensional en solución de, 5
Decaimiento radiactivo, 21, 22, 82-84, 102 coordenadas polares, 489 tipo, 2
'H¿QLFLyQ GH OD IXQFLyQ GHOWD GH 'LUDF Ecuación diferencial asociada homogénea,
Ecuación de calor 116
304-319 en coordenadas polares, 489 Ecuación diferencial autónoma
'H¿QLFLyQ LQWHUYDOR GH en dos dimensiones, 478 primer orden, 37
'HÀH[LyQ GH XQD YLJD sustitución de ecuación en diferencias segundo orden, 182
Dependencia lineal de, 531 Ecuación diferencial de Airy, 191, 246,
unidimensional, 450, 456 239, 254
de funciones, 118 curvas solución, 239
de vectores solución, 321-322 (FXDFLyQ GH GLIHUHQFLD ¿QLWD solución en términos de funciones de
Derivada de una serie de potencias, 227 Ecuación de diferencias
Derivada, notación de, 3 Bessel, 260
Derivadas de una trasformada de Laplace, sustitución para una ecuación solución en términos de series de
305 diferencial ordinaria, 372
Desarrollo de serie ortogonal, 414-415 potencias, 233-246
Desplazamiento extremo, 188 sustitución para una ecuación Ecuación diferencial de Bernoulli, 70
Determinante de una matriz cuadrada, diferencial parcial, 525, 531, Ecuación diferencial de Cauchy-Euler,
APE-6 535-536
desarrollo por cofactores, APE-6 157-167
Diferencia central, 372 Ecuación de difusión, 455 ecuación auxiliar para, 157
Diferencia de cocientes, 372 transformada de Laplace de, 319 método de solución para, 157
Diferencia hacia adelante, 372 UHGXFFLyQ SDUD FRH¿FLHQWHV
Diferencia hacia atrás, 372 Ecuación de índices, 244
Diferencial de una función de dos Ecuación de Laplace bidimensional, 450, constantes, 161
variables, 62 Ecuación diferencial de Chebyshev, 443
Diferencial exacta, 62 456 (FXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH 'XI¿QJ
criterio para, 62 Ecuación de Laplace Ecuación diferencial de Gompertz, 96
'LIHUHQFLDV ¿QLWDV Ecuación diferencial de Hermite, 262, 436
Difusividad térmica, 452 en coordenadas cilíndricas, 492 Ecuación diferencial de Laguerre, 303,
Distribución de temperaturas en estado en coordenadas esféricas, 495-496
estable, 452 en coordenadas polares, 484 436
Distribución, teoría de, 306 en dos dimensiones, 452, 463 Ecuación diferencial de Legendre
División sintética, 132 en tres dimensiones, 452, 481
Doblado de una columna cónica, 249 Ecuación de movimiento, 188 de orden n, 250
Doblado de una columna vertical delgada, Ecuación de onda bidimensional en en forma autoadjunta, 435
207 coordenadas polares, 489 solución de, 257-258
Doblamiento de una columna delgada, Ecuación de onda unidimensional, 450 Ecuación diferencial de orden superior,
261 deducción de la, 452 113, 186
Dominio Ecuación de onda Ecuación diferencial de Raleigh, 399
de una función, 6 bidimensional, 478, 489 Ecuación diferencial de Ricatti, 72
de una solución, 5-6 en coordenadas polares, 489 Ecuación diferencial exacta, 62
Drenado de un tanque, 28, 99, 102 sustitución por ecuación en método de solución para, 63
'URVy¿OD Ecuación diferencial homogénea
diferencia, 535 FRQ FRH¿FLHQWHV KRPRJpQHRV
unidimensional, 450, 458 lineal, 53, 116
Ecuación diferencial Ecuación diferencial lineal parcial
autónoma, 36, 75 hiperbólica, 448, 525
Bernoulli, 70 Ecuación diferencial lineal parcial elíptica,
Cauchy-Euler, 157-167 435, 525
FRH¿FLHQWHV KRPRJpQHRV
GH¿QLFLyQ GH
exacta, 62
familias de soluciones para, 7
forma estándar de, 53, 127, 151,

ÍNDICE l I-3

Ecuación diferencial lineal parcial 129-130, 151-135 Extremos de una viga soportados por ÍNDICE
parabólica, 448, 525 solución particular de, 53-54, 121, pasadores, 205

Ecuación diferencial logística, 73, 94 135, 144, 151, 241 F
Ecuación diferencial ordinaria de segundo Eigenfunciones de un problema con
)DFWRU GH DPRUWLJXDPLHQWR
orden como un sistema, 181, 366, 377 valores en la frontera 186, 207, )DFWRUHV LQWHJUDQWHV
Ecuación diferencial ordinaria no lineal, 4 429-430, 457
Ecuación diferencial ordinaria, 2 para una ecuación diferencial no
Ecuación diferencial parcial de Poisson, Eigenvalores de una matriz, 326, exacta de primer orden, 65-66
APE-14
473, 530 para una ecuación diferencial lineal
Ecuación diferencial parcial lineal, 446 complejos, 334 de primer orden, 54
Ecuación diferencial parcial reales distintos, 326
FODVL¿FDFLyQ OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ repetidos, 329 )DOWD GH PHPRULD
Eigenvalores de multiplicidad m, 330 )DPLOLD GH VROXFLRQHV
448 Eigenvalores dobles, 486 )DPLOLD GH VROXFLRQHV GH XQ SDUiPHWUR
GH¿QLFLyQ GH Eje de simetría, 204 )DUDGV I
Eje torcido, 475 )HQyPHQR GH *LEEV
lineal de segundo orden, 446 Elemento lineal, 35 )OXLGR URWDQGR IRUPD GH
lineal no homogénea de segundo Eliminación de Gauss-Jordan, 329, )OXMR GH FDORU
APE-10 )RFR
orden, 446 Eliminación gaussiana, APE-10 )RUPD DOWHUQDWLYD GHO WHRUHPD GH VHJXQGD
no homogénea lineal de segundo Eliminación sistemática, 174
Enfriamiento/calentamiento, Ley de traslación, 287
orden, 446 Newton de, 21, 84-85 )RUPD DXWRDGMXQWD
principio de superposición para Entrada, 59, 123, 187 )RUPD FRPSOHMD GH XQD LQWHJUDO GH )RXULHU
Error
homogénea lineal, 448 absoluto, 76 514
separable, 446 discretización, 363 )RUPD FRPSOHMD GH XQD VHULH GH )RXULHU
solución de, 446 fórmula, 363
Ecuación diferencial unidimensional de porcentual relativo, 76 422
redondeo, 354-355 )RUPD GLIHUHQFLDO GH XQD HFXDFLyQ GH
calor, 450 relativo, 76
deducción de la, 451-452 truncamiento global, 356 primer orden, 3
Ecuación integral, 297 truncamiento local, 355-356, 357, )RUPD HVWiQGDU GH XQD HFXDFLyQ
Ecuación integral de Volterra, 297
Ecuación integrodiferencial, 297 361 diferencial lineal, 53, 117, 151, 155
Ecuación paramétrica de Bessel Error de truncamiento )RUPD JHQHUDO GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
de orden n, 434
de orden Ȟ, 253 para el método de Euler mejorado, 3
en forma autoadjunta, 434 357-358 )RUPD PDWULFLDO GH XQ VLVWHPD OLQHDO
(FXDFLyQ WHOHJUi¿FD
Ecuaciones algebraicas, métodos de para el método de Euler, 355-356 319
solución, APE-10 para el método RK4, 361-362 )RUPD QRUPDO
ED, 2 Error por discretización, 355
EDO, 2 Estabilidad de un método numérico, 365, de un sistema de ecuaciones de
EDP, 2, 446 532, 538 primer orden, 318
Ecuaciones diferenciales como modelos Estado de un sistema, 20, 27, 123, 378
matemáticos, 1, 19, 81, 186 Esquema de fase bidimensional, 328 de un sistema lineal, 318
Ecuaciones diferenciales de primer orden Esquema unidimensional de fase, 38 de una ecuación diferencial ordinaria,
aplicaciones de, 82-103 Esquemas de fase(s)
métodos de solución, 44, 53, 61, 68 para ecuaciones de primer orden, 38 4
Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias para sistemas de dos ecuaciones )RUPD UHGXFLGD GH UHQJOyQ HVFDOyQ GH XQD
aplicaciones de, 82, 187, 204
de orden superior, 113 diferenciales de primer orden, matriz, APE-11
GH¿QLFLyQ GH 327-328, 332, 335, 337, )RUPD UHQJOyQ HVFDOyQ $3(
ecuación auxiliar para, 129, 157 384, 397 )yUPXOD GH HUURU
formas estándares para las, 53, 127, )yUPXOD GH (XOHU
Evaporación, 100
151, 155 Existencia y unicidad de una solución, 15, deducción de, 129
función complementaria para, 121 )yUPXOD GH 5RGULJXHV
homogéneas, 53, 116, 129 114, 320 )UDFFLRQHV SDUFLDOHV
no homogéneas, 53, 116, 135, 144, Existencia, intervalo de, 5, 16 )UHFXHQFLD FLUFXODU
Expansiones de medio rango, 424 )UHFXHQFLD IXQGDPHQWDO
151 Exponentes de una singularidad, 244 )UHFXHQFLD QDWXUDO GH XQ VLVWHPD
primer orden, 4, 53 Extensión periódica de una función, 419 )UHFXHQFLD
principios de superposición para, Extremo empotrado de una viga, 205,
circular, 188
117, 122 462 de movimiento, 188
problema con valores iniciales, 114 Extremos colgados de una viga, 205 natural, 188
solución general de, 55, 119, 121, )ULFFLyQ FLQpWLFD
)URQWHUD DLVODGD
)XHU]D ER\DQWH
)XQFLyQ FRPSOHPHQWDULD
para una ecuación diferencial lineal,

121

ÍNDICE I-4 l ÍNDICE G Isotermas, 465-466

para un sistema de ecuaciones g, 187 K
diferenciales lineales, 323 Galileo, 25
Gota de lluvia, velocidad de evaporación, Kernel (núcleo) de una transformada
)XQFLyQ FRPSOHPHQWDULD GH HUURU integral, 266, 516
)XQFLyQ FRQWLQXD SRU WUDPRV 31, 91
)XQFLyQ GH HUURU L
)XQFLyQ GH H[FLWDFLyQ H
)XQFLyQ GH IRU]DPLHQWR Laplaciano, 452
)XQFLyQ GH IXHU]D Henrys (h), 24 aproximación de cinco puntos para el,
)XQFLyQ GH +HDYVLGH Hipótesis de densidad dependiente, 93 525
)XQFLyQ GH LQWHUSRODFLyQ +XHFR D WUDYpV GH OD 7LHUUD en coordenadas cilíndricas, 492
)XQFLyQ GH /HJHQGUH en coordenadas esféricas, 496
)XQFLyQ GH SDVR XQLWDULR I en coordenadas polares, 484
en dos dimensiones, 452
transformada de Laplace de, 285 Identidad multiplicativa, APE-6 en tres dimensiones, 452
)XQFLyQ GH SHVR Igualdad de matrices, APE-3
Impedancia, 198 Ley de acción de masas, 96
de un sistema lineal, 306 Impulso unitario, 304 Ley de enfriamiento/calentamiento de
ortogonalidad respecto a, 446 Independencia lineal
)XQFLyQ GH UD]yQ Newton
)XQFLyQ GH WUDQVIHUHQFLD de eigenvectores, APE-16 con temperatura ambiente constante,
)XQFLyQ GLHQWH GH VLHUUD de funciones, 118
)XQFLyQ HVFDOHUD de soluciones, 119 21, 84
)XQFLyQ IDFWRULDO $3( de vectores solución, 321-322 con temperatura ambiente variable,
)XQFLyQ IDFWRULDO JHQHUDOL]DGD $3( y el Wronskiano, 119
)XQFLyQ JDPPD $3( Índice de la suma, corrimiento de, 229 89, 110
)XQFLyQ KLSHUJHRPpWULFD GH *DXVV Índice de mortalidad debido a la /H\ GH )LFN
)XQFLyQ KRPRJpQHD GH JUDGR Į, 69 depredación, 404 Ley de Hooke, 30, 146
)XQFLyQ LPSDU Inductancia, 24 Ley de la gravitación universal de Newton,
propiedades de, 422-423 ,QÀH[LyQ SXQWRV GH
)XQFLyQ ORJtVWLFD Integración de una serie de potencias, 227 30
)XQFLyQ VHUSHQWHDQWH Integral curvilínea, 7 Ley de Ohm, 87
)XQFLyQ SDU Integral de contorno, 516 Ley de Stefan de radiación, 111
propiedades de, 422-423 ,QWHJUDO GH )RXULHU /H\ GH 7RUULFHOOL
)XQFLyQ SHQGLHQWH condiciones para la convergencia de, Libby, Willard, 82
)XQFLyQ SHULyGLFD 7UDQVIRUPDGD GH Libre de vibraciones eléctricas, 197
Laplace de, 299 511 Liebman método de, 529
)XQFLyQ SHULyGLFD GH¿QLFLyQ GH Línea de fase, 38
periodo fundamental de, 415, 419 Linealización
)XQFLyQ VHQR LQWHJUDO forma compleja de, 514
)XQFLRQHV GH %HVVHO forma en cosenos de, 512 de un sistema no lineal, 394
de orden Ȟ, 251-252 forma senoidal de, 512 de una ecuación diferencial, 214, 391,
de orden ½, 256 Integral de probabilidad, 501
de primera clase, 251 Integral de una ecuación diferencial, 7 394
JUi¿FDV GH ,QWHJUDO GHO VHQR GH )UHVQHO de una función en un punto, 391
PRGL¿FDGD GH SULPHUD FODVH Integral divergente impropia, 266 de una solución en un punto, 74
PRGL¿FDGD GH VHJXQGD FODVH Integral impropia convergente, 266 Líneas de corriente, 68
paramétrica de orden Ȟ, 253 Integral no elemental, 50 Lotka, A., 403
relaciones recurrentes diferenciales Integral parcial, 514 Lotka-Volterra, ecuaciones de
Integral, transformada de Laplace de, 296 modelo de competencia, 106, 405-406
para, 255-256 Iteración de Gauss-Seidel, 528 modelo depredador-presa, 106,
resorte viejo y, 254 Interacción depredador-presa, 402
solución de, 250-251 Interacciones, número de, 105-106 403-405
valores numéricos de, 255 Interés compuesto continuamente, 88
)XQFLRQHV GH *UHHQ Interés compuesto continuo, 88 M
)XQFLRQHV GH 0DWKLHX Intervalo
)XQFLRQHV GH¿QLGDV SRU LQWHJUDOHV de convergencia, 226 0DOWKXV 7KRPDV
)XQFLRQHV HOHPHQWDOHV GH GH¿QLFLyQ Marcapasos de corazón, modelo de, 61,
)XQFLRQHV HVIpULFDV GH %HVVHO de existencia, 5
)XQFLRQHV HVSHFLDOHV de existencia y unicidad, 15-16, 114, 92
)XQFLRQHV JHQHUDOL]DGDV Masa matriz, 337
)XQFLRQHV QRPEUDGDV 320 Masa variable, 216
)XQFLRQHV RUWRJRQDOHV GH¿QLFLyQ GH de validez, 5 Matrices
Inverso multiplicativo, APE-7
Isóclinas, 37, 42 aumentada, APE-10
cero, APE-6
columna, APE-3
cuadrada, APE-3
GH¿QLFLyQ GH $3(
derivada de, APE-9

determinante de, APE-6 GH¿QLFLyQ GH $3( ÍNDICE l I-5 ÍNDICE
diagonal, APE-20 de operaciones elementales entre
diferencia de, APE-4 renglones, APE-13 Métodos de solución de sistemas de
ecuación característica de, 326, fórmula para, APE-8 ecuaciones diferenciales lineales
por eliminación sistemática, 174
APE-15 Matriz Jacobiana, 394-395 por matrices, 325
eigenvalor de, 326, APE-14 Matriz nilpotente, 351 por transformadas de Laplace, 307
eigenvector de, 326, APE-14 Matriz no singular, APE-7
elemento de, APE-3 Matriz simétrica, 331 Métodos iniciales, 364
en banda, 528 Matriz singular, APE-7 Métodos numéricos
escasa, 528 Matriz tridiagonal, 533
exponencial, 348 Matriz. Vea Matrices aplicados a ecuaciones de orden
forma de renglón escalón de, Menor, APE-8 superior, 366
0pWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV
APE-10 aplicados a sistemas, 366-368
forma reducida renglón escalón, 136, 146 Crank-Nicholson, 533-534
Método de Crank-Nicholson, 533-534 GLIHUHQFLD ¿QLWD H[SOtFLWD
APE-11 Método de cubierta, 279-280 GLIHUHQFLD ¿QLWD LPSOtFLWD
fundamental, 343 0pWRGR GH GLIHUHQFLD ¿QLWD H[SOtFLWD errores de truncamiento en, 355-356,
identidad multiplicativa, APE-6 0pWRGR GH GLIHUHQFLD ¿QLWD LPSOtFLWD
igualdad de, APE-3 357, 361
integral de, APE-9 533 errores en, 76, 354-356
inversa de, APE-8, APE-13 Método de Euler mejorado, 356 estabilidad de, 365, 532, 538
inversa multiplicativa, APE-7 Método de Euler, 74 método de Adams-Bashforth-
Jacobiano, 395
ley asociativa de, APE-6 método mejorado, 356 Moulton, 364
ley distributiva para la, APE-6 para ecuaciones diferenciales de PpWRGR GH GLIHUHQFLD ¿QLWD
multiplicación de, APE-4
múltiplos de, APE-3 segundo orden, 366 método de tanteos, 374
nilpotente, 351 para sistemas, 366, 370 método de Euler, 74, 359
no singular, APE-7 Método de fase plano, 397 método de predicción-corrección,
operaciones elementales entre 0HWRGR GH )UREHQLXV
tres casos para, 246-247 357, 365
renglones en, APE-10 Método de predicción-corrección, 357 método mejorado de Euler, 356
producto de, APE-5 Método de Runge-Kutta de cuarto orden, método RK4, 76, 360
simétrica, 331 76, 360 PpWRGR 5.)
singular, APE-7 errores de truncamiento para, 361 métodos adaptables, 362
suma de, APE-4 para ecuaciones diferenciales de multipaso, 364
tamaño, APE-3 un solo paso, 364
transpuesta de, APE-7 segundo orden, 366-368 Métodos para estudiar ecuaciones
tridiagonal, 533 para sistemas de ecuaciones de diferenciales
vector, APE-3 analítica, 26, 44, 73
Matriz aumentada primer orden, 369-370 cualitativa, 26, 35, 37, 73
GH¿QLFLyQ GH $3( Metodo de Runge-Kutta de primer orden, numérica, 26, 73
en forma de escalón de renglones, Mezclas, 22-23, 85-86, 104-105
359 Modelo de inmigración, 101
APE-10 0pWRGR GH 5XQJH .XWWD )HKOEHUJ Modelo de población
en forma reducida de escalón de Método de tanteos, 374 de Malthus, 20-21
Método del operador anulador al método ÀXFWXDQWH
renglones, APE-11 inmigración, 96, 101
operaciones elementales entre GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV logística, 94-95, 98
Método de las isóclinas, 37, 42 nacimiento y muerte, 91
renglones en, APE-10 Método multipaso, 364 reabastecimiento, 96
Matriz cero, APE-6 recolección, 96, 98
Matriz cuadrada, APE-3 ventajas de, 365 Modelo depredador-presa, 105-106, 402
0DWUL] GH FRH¿FLHQWHV desventajas de, 366 Modelo matemático de memorización
Matriz diagonal, APE-20 Método numérico adaptable, 362 para, 30, 92
Matriz en banda, 51 Método numérico inestable, 365, 532 Modelo SIR, 110
Matriz escasa, 528 Métodos de continuación, 364 Modelos de competencia, 106, 405-406
Matriz exponencial, 348 Métodos de eliminación Modelos matemáticos, 19-20
Matriz exponencial para sistemas de ecuaciones cables de la suspensión de un

cálculo de, 349 algebraicas, APE-10 puente, 25-26, 215
GH¿QLFLyQ GH para sistemas de ecuaciones cables suspendidos, 25, 52, 215
circuitos en serie, 24, 28, 86, 197-198
derivada de, 348 diferenciales ordinarias, 174 colector solar, 100
Matriz fundamental, 343 Métodos de Runge-Kutta concentración de un nutriente en
Matriz identidad, APE-6
Matriz inversa cuarto orden, 76, 359-362 una célula, 110
errores de truncamiento para, 361 crecimiento de capital, 21
para sistemas, 369-370 cuerpo cayendo (con resistencia del
primer orden, 359
segundo orden, 359

I-6 l ÍNDICE

ÍNDICE aire), 25, 30, 49, 98-100, 108 tractriz, 30, 111 117
cuerpo cayendo (sin resistencia del tsunami, forma del, 100 Operador diferencial, 117, 144
vaciado de un tanque, 28-29 Operador lineal, 117
aire), 24-25, 99 varilla girando que tiene una cuenta Operador lineal diferencial, 117
curvas de persecución, 219-226 Operador polinomial, 117
decaimiento radiactivo, 21 deslizándose, 224 Orden de un método de Runge-Kutta, 359
GHÀH[LyQ GH YLJDV velocidad terminal, 44 Orden de una ecuación diferencial, 3
depredador-presa, 465, 403-405 Modo de primer doblamiento, 207 Orden exponencial, 269
doblado de una columna delgada, 210 Modo fundamental de vibración, 461 Oscilaciones no lineales de una cuenta
doble péndulo, 310 Modos de doblamiento, 207
doble resorte, 199-200 Modos normales, 460 deslizante, 415-416
elevación de una cadena, 217-218 Módulo de Young, 204
enfriamiento/calentamiento, 21, 28, Movimiento amortiguado, 191, 194 P
Movimiento armónico simple de un
84-85 sistema resorte/masa, 188 Paracaidismo, 28, 91, 101
evaporación, 100 Movimiento de cohete, 216 Parámetro n familia de soluciones, 7
evaporación de las gotas de lluvia, 31 Movimiento de proyectiles, 178 Pares de transformadas, 516
fechado con carbono, 83-84 Movimiento forzado de un sistema masa/ 3DUHV GH OD WUDQVIRUPDGD GH )RXULHU
ÀXLGR JLUDQGR resorte, 194-195
hora de muerte, 89 Movimiento forzado, 194 516-517
KXHFR D WUDYpV GH OD 7LHUUD Movimiento libre de un sistema resorte/ Película, 326, 460, 491-492
inmigración, 96, 101 masa Péndulo balístico, 221
interés compuesto continuamente, 88 amortiguado, 191 Péndulo doble, 310
marcapasos de corazón, 61, 92 no amortiguado, 187-188 Péndulo físico, 214
masa deslizando hacia abajo de un Muerte de caracoles de mar, 84 Péndulo no lineal amortiguado, 219, 407
Multiplicación Péndulo no lineal, 213, 401-415
plano inclinado, 92-93 de matrices, APE-4 Péndulo rotando, 409
masa variable, 216 de serie de potencias, 227 Péndulo
memorización, 30, 92 Multiplicidad de eigenvalores, 329
mezclas, 22-23, 85, 104-105 acoplado con un resorte, 316
movimiento de un cohete, 216 N balístico, 221
movimiento del péndulo, 214, 310 de longitud variable, 261
movimiento oscilatorio de un barril Niveles de solución de un modelo doble, 310
ÀRWDQGR matemático, 20 físico, 214
nadando en un río, 103 lineal, 214
paracaidismo, 28, 91, 101 Nodos degenerados, 387 no amortiguado, 219
péndulos acoplados, 310, 316 Nodos, 385-386, 461 no lineal, 214
pesca constante, 91 Norma cuadrada de una función, 412 periodo de, 220-221
población de Estados Unidos, 98 Norma de una función, 412 simple, 214
población dinámica, 20, 27, 93 Péndulos acoplados, 316
SREODFLyQ ÀXFWXDQWH cuadrada, 412 Pérdida de una solución, 47
problema del quitanieves, 32 Notación de Leibniz, 3 Periodo de un movimiento armónico
propagación de una enfermedad, Notación de punto para la derivada de simple, 188
Periodo fundamental, 415, 419
22, 110 Newton, 3 Peso, 187
reabastecimiento de una pesquería, 96 Notación de subíndices, 3 Pinturas de la cueva de Lascaux, fechado
reacciones químicas, 22, 96-97 Notación para derivadas, 3 de las, 88
recolección de pesca, 96 Notación prima, 3 Plano de fase, 319, 327-328, 384
redes, 309 Notación punto, 3 3ROLQRPLR GH 7D\ORU
reloj de agua, 102-103 Polinomios de Hermite, 436
resonancia, 196, 202-203 O Polinomios de Laguerre, 303, 436
resorte girando, 208 Polinomios de Legendre, 258
resorte viejo, 190-196, 254, 260 Ohms, (⍀), 24 fórmula de Rodrigues, para 259
resortes acoplados, 223, 307-308, 311 Onda cuadrada, 299, 303 JUi¿FDV GH
series de decaimiento radiactivo, 2QGD VHQRLGDO UHFWL¿FDGD propiedades de, 258
Onda triangular, 303 relación de recurrencia para, 258
62, 104 Ondas estacionarias, 460, 491 Posición de equilibrio, 187, 188
sistemas resorte/masa, 29-30, 187, Ondas viajeras, 462 Primer armónico, 461
Operaciones de renglón, elementales, Primer modo normal, 461
191, 194, 224, 307-308, 311, 316 Primera ley de Kirchhoff, 106
suministro de un medicamento, 30 APE-10 Primera ley de Newton, 24
VXSHU¿FLH UHÀHMDQWH Operaciones elementales entre renglones, Primera onda estacionaria, 461
temperatura en un anillo circular, Principio de superposición,
APE-10 para ecuaciones diferenciales lineales
211, 487 notación para, APE-11
WHPSHUDWXUD HQ XQD FXxD LQ¿QLWD Operador diferencial anulador, 144
Operador diferencial de n-ésimo orden,
temperatura en una esfera, 211

ÍNDICE l I-7

no homogéneas, 122 Punto crítico aislado, 43 Reacciones químicas ÍNDICE
para el problema de Dirichlet, Punto crítico de una ecuación diferencial de primer orden, 22, 82
de segundo orden, 22, 96-97
466-467 de primer orden
para una ecuación diferencial aislado, 43 Reactancia, 198
asintóticamente estable, 40-41 Recolección de pesca, modelo de, 96, 98-99
homogénea, 117 criterio de estabilidad para, 394 Recta de mínimos cuadrados, 100
para una ecuación diferencial parcial GH¿QLFLyQ GH Recta de nodos, 491
inestable, 41 Recta de regresión, 101
homogénea, 320 semiestable, 41 Rectas tangentes, método de, 73-74
Principio de Volterra, 406 Punto crítico de un sistema autónomo 5HFWL¿FDFLyQ GH PHGLD RQGD GH OD IXQFLyQ
Principio del máximo, 466 plano, 379
Problema de Dirichlet, 465, 526 asintóticamente estable, 392 seno, 303
estable, 392 5HFWL¿FDFLyQ GH RQGD FRPSOHWD GH OD
para un círculo, 484 inestable, 383, 392
para un rectángulo, 465-466 localmente estable, 383, 392 función seno, 303
para una esfera, 496 Punto crítico estable asociado, 40-41, 392 Redes eléctricas, 197
Problema de segundo orden con valores Punto crítico estable, 392
iniciales, 11, 114, 366 Punto crítico inestable, 41, 392 forzadas, 198
Problema de Sturm-Lioville, Punto crítico localmente estable, 392 Redes, 107-108, 309
429 Punto crítico semiestable, 41 Reducción de orden, 126, 179
periódico, 433 Punto de equilibrio, 37, 390 Regla de Cramer, 153, 156
propiedades de, 431 Punto de vórtice, 390 Regresión lineal, 101
regular, 431-432 Punto en reposo, 390 Relación de recurrencia de tres términos,
singular, 433 Punto estacionario, 37, 379, 390
Problema con valores en la frontera no Punto frontera, 526 237
homogéneo, 431, 468 Punto interior, 526 Relación de recurrencia diferencial, 255-266
solución general de, 55, 121 Punto ordinario de una ecuación Relación de recurrencia, 225, 258, 260
solución particular de, 53, 121 Resistencia del aire
superposición para, 122 diferencial de segundo orden, 232,
Problema con valores iniciales de n-ésimo 239 proporcional al cuadrado de la
orden, 13, 114 velocidad, 29
Problema con valores iniciales periódicos, solución respecto a, 226, 232
433 Punto rama, 106 proporcional a la velocidad, 25
Problema con valores iniciales de primer Punto silla, 386 Reloj de agua, 103-104
orden, 13 Punto singular irregular, 241 Repulsor, 41, 328, 335, 390
Problema del quitanieves, 32 Punto singular regular, 241 Resistencia
Problema regular de Sturm-Lioville, Punto singular
431-432 aire, 25, 29, 44, 86-87, 90-91, 424
Problema singular de Sturm-Lioville, 433 de una ecuación diferencial parcial de eléctrica, 24, 197-198
Problemas con valores en la frontera primer orden, 57 Resonancia pura, 196
homogéneos, 431, 468 Resorte duro, 213, 400
método de tanteos para, 374 de una ecuación diferencial lineal de Resorte lineal, 212
métodos numéricos para EDO, 371 segundo orden, 232 Resorte no lineal, 212
métodos numéricos para EDP, 524 duro, 213
no homogéneos, 431, 468 regular, 241 suave, 213
para una ecuación diferencial en ϱ, 232 Resorte rotando, 208
ordinaria, 119, 204 irregular, 241 Resorte suave, 213, 318, 398
para una ecuación diferencial parcial, 3XQWRV GH LQÀH[LyQ Resorte viejo, 190, 254
Puntos de la red, 526 Resortes acoplados, 223, 307-308, 311
454 Puntos espirales, 187 Respuesta
periódica, 433 Puntos interiores de la malla, 372 al impulso, 306
singular, 433 PVI, 13 de un sistema, 27, 391
Producto interno de funciones, 411 entrada de cero, 280
propiedades de, 411 R estado de cero, 280
Propagación de una enfermedad Resultado, 59, 123, 187
contagiosa, 22, 110 Radio de convergencia, 226 5LJLGH] ÀH[LRQDO
Propiedad de linealidad, 266 Raíces de índices, 244
Promedio pesado, 359 Raíces de las funciones de Bessel, 255 S
Propiedad de tamizado, 306 Raíces racionales de una ecuación
Prueba de proporción, 226 Segunda ley de Kirchhoff, 24, 106
Puente suspendido, 25-26, 52 polinómica, 132 Segunda ley de Newton del movimiento,
Pulga de agua, 94 Rapideces críticas, 210-211
Pulso rectangular, 291 5D]yQ GH FUHFLPLHQWR HVSHFt¿FR 24, 187
Pulsos, 202 Razón de crecimiento relativo, 93 como razón de cambio de la cantidad
Reabastecimiento de una pesquería,
de movimiento, 216-217
modelo de, 96 Segundo teorema de traslación, 286

forma alternativa de, 287
forma inversa de, 287

I-8 l ÍNDICE

ÍNDICE Separación de variables, método de Sistema lineal homogéneo de segundo Solución de equilibrio, 37, 379
para ecuaciones diferenciales orden, 337 Solución de D’Alembert, 462-463
ordinarias de primer orden, 45 Solución de estado estable, 87, 195, 198,
para ecuaciones diferenciales Sistema lineal, 103, 123, 318
parciales de segundo orden, 500 Sistema no homogéneo de ecuaciones 470
Solución de forma cerrada, 9
Serie diferenciales lineales de primer Solución de una ecuación diferencial
de potencias, 226 orden, 318, 319
ordinaria
)RXULHU solución general de, 323 constante, 11
)RXULHU %HVVHO solución particular de, 323, 340 GH¿QLFLyQ GH
)RXULHU /HJHQGUH Sistema resorte/masa críticamente GH¿QLGD HQ SDUWHV
amortiguado, 192 equilibrio, 37
soluciones de ecuaciones Sistema resorte/masa no amortiguado, explícita, 6
diferenciales ordinarias, 232, 186-187, 192 general, 9, 119, 121
241, 243 Sistema resorte/masa sobreamortiguado, JUi¿FD GH
191 implícita, 6
Serie coseno doble, 480 Sistema resorte/masa integral, 7
6HULH GH )RXULHU %HVVHO amortiguador, amortiguamiento LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ SDUD
n paramétrica familia de, 7
condiciones para la convergencia, 439 para, 191 número de, 7
GH¿QLFLyQ GH ley de Hooke y, 28, 187, 307-308 particular, 7, 53-54, 121, 135, 144,
modelos lineales para, 187-197, 224,
formas de, 438-439 151, 241
6HULH GH )RXULHU GHO FRVHQR 307-308 respecto a un punto ordinario, 233
6HULH GH )RXULHU GHO VHQR modelos no lineales para, 212-213 respecto a un punto singular, 241
6HULH GH )RXULHU JHQHUDOL]DGD singular, 7
6HULH GH )RXULHU /HJHQGUH Sistemas, autónomos, 376 trivial, 5
Sistemas de doble resorte, 200, 307-308, Solución de un sistema de ecuaciones
condiciones para la convergencia de, diferenciales
441 311 GH¿QLGD
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordi- equilibrio, 379
GH¿QLFLyQ GH general, 322, 323
formas alternativas de, 442, 443 narias, 103, 174, 307, 317, 369, particular, 323
376 periódico, 379
6HULH GH )RXULHU Solución explícita, 6
condiciones para la convergencia lineal, 103, 318 Solución general
de, 418 no lineal, 103 de la ecuación diferencial de Bessel,
solución de, 8-9, 174, 319
GH¿QLFLyQ GH Sistemas de ecuaciones lineales de primer 251-252
forma compleja de, 422 orden, 8, 318-319 de un sistema homogéneo de
generalizada, 415 conjunto fundamental de soluciones
periodo fundamental de, 419 ecuaciones diferenciales lineales,
secuencia de sumas parciales de, para, 322 322, 326
419-420 existencia y unicidad de la solución
de un sistema de ecuaciones
Serie de potencias convergente, 226 para, 320 diferenciales lineales no
forma inversa de, 296 forma matricial de, 318-319 homogéneas, 323
forma normal de, 318
Serie de potencias divergente, 226 homogéneos, 318, 325 de una ecuación diferencial de
Serie de potencias, repaso de, 226 no homogéneos, 318, 323, 340 Cauchy-Euler, 157-167
6HULH GH 7D\ORU XVR GH principio de superposición para, 320
Serie del coseno, 423 problema con valores iniciales para, de una ecuación diferencial, 9, 55
de una ecuación diferencial lineal
en dos variables, 480 320
Serie seno doble, 480 solución de, 319 homogénea, 119, 129-130
Serie seno, 422-423 solución general de, 322, 323 de una ecuación diferencial lineal no
Wronskiano para, 321-322
en dos variables, Sistemas homogéneos homogénea, 121
Serie trigonométrica, 416 de ecuaciones algebraicas, APE-15 de una ecuación diferencial lineal
Series de Bessel, 437 de ecuaciones lineales de primer
Series de decaimiento radiactivo, 61, de primer orden, 55
orden, 318 Solución implícita, 6
104 Sistemas lineales de ecuaciones Solución particular, 7
Simetría radial, 489
Singular, solución, 7 algebraicas, APE-10 de un sistema de ecuaciones
Sistema autónomo plano, 378 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales lineales, 323, 340
Sistema autónomo, 377
diferenciales, 103, 318 de una ecuación diferencial lineal,
como modelos matemáticos, 401 forma matricial de, 318-319 53-54, 121, 135, 144, 151, 241
Sistema de ecuaciones diferenciales de método de solución, 174, 307, 325,
Solución periódica de un sistema
primer orden, 318 340, 348 autónomo plano, 379
Sistema de ecuaciones diferenciales no Sistemas reducidos de primer orden 368-
Solución transitoria, 195, 470
lineales, 103 369
Sistema dinámico, 27, 378 Sobretonos no armónicos, 495
Sistema homogéneo asociado, 323 Sobretonos, 461

ÍNDICE l I-9

Solución trivial, 5 inversa de, 516 Vectores ÍNDICE
Solucionador numérico, 76 propiedades operacionales de, 517 GH¿QLFLyQ GH $3(
Soluciones con serie de potencias teorema de convolución para, 520
7UDQVIRUPDGD GH OD LQWHJUDO soluciones de sistemas de ecuaciones
curvas solución de, 239 inversa de, 516 diferenciales lineales, 319
existencia de, 232 núcleo (kernel) de, 266, 516
método de determinación, 232-239 par, 516 ecuaciones diferenciales, 319
Schwartz, Laurent, 306 7UDQVIRUPDGD GH /DSODFH Vector solución, 319
6XGDULR GH 7XUtQ IHFKDGR GH comportamiento, cuando s → ϱ, 270 Vectores característicos, APE-14
Sumidero, 390 de la función delta de Dirac, 319 Velocidad de escape, 219
Sustituciones en una ecuación diferencial, de la función escalón unitario, 286 Velocidad terminal de un cuerpo cayendo,
68 de sistemas de ecuaciones dife-
renciales lineales, 307 44, 89, 100
T de una derivada, 276 9HUKXOVW 3 )
de una función de dos variables, Vibraciones antisimétricas, 213
7DEOD GH WUDQVIRUPDGDV GH /DSODFH $3( Vibraciones eléctricas armónicas simples,
21 502-503
de una función periódica, 299 197
7DPDxR GH OD PDOOD de una integral, 295, 296 Vibraciones eléctricas forzadas, 198
7DPDxR GH SDVR GH¿QLFLyQ GH Vibraciones radiales, 489
7DQTXHV FRQ IXJD del problema con valores iniciales, Vibraciones, sistemas resorte/masa,
7HPSHUDWXUD DPELHQWH
7HPSHUDWXUD HQ XQ DQLOOR 276-277 187-196
7HPSHUDWXUD HQ XQD HVIHUD H[LVWHQFLD FRQGLFLRQHV VX¿FLHQWHV Vibraciones transversales, 452, 489
7HRUHPD GH FRQYROXFLyQ WUDQVIRUPDGD GH Vida media, 82
para, 269
)RXULHU inversa de, 273, 516 del carbono, 14, 82
7HRUHPD GH FRQYROXFLyQ WUDQVIRUPDGD GH linealidad de, 266 del plutonio, 82
sustitución de una ecuación en del radio-226, 82
Laplace, 307 del uranio-238, 82
7HRUHPD GH )UREHQLXV diferencias de, 525 Viga en vibración,
7HRUHPD GH OD SULPHUD WUDVODFLyQ tablas de, 296, APE-21 478
teorema de convolución para, 295 Viga en voladizo,
forma inversa de, 282 teoremas de traslación para, 282, 205
7HRUHPDV GH FRUULPLHQWR SDUD Vigas sujetas en los extremos con
286 abrazaderas, 205
transformadas de Lapalace, 282, 7UDQVIRUPDGD OLQHDO Vigas
86-87, 197 7UDQVIRUPDGD LQYHUVD GH )RXULHU GHO FXUYD GH GHÀH[LyQ GH
GHÀH[LyQ HVWiWLFD GH
7HRUHPDV GH WUDVODFLyQ SDUD OD coseno, 517
transformada de Laplace, 282, 286, 7UDQVIRUPDGD LQYHUVD GH )RXULHU GHO VHQR 204
287 integrada, 205
formas inversas de, 282, 287 517 libre, 205
7UDQVIRUPDGD LQYHUVD GH )RXULHU simplemente soportadas,
7HRUHPDV GH XQLFLGDG 7UDQVIRUPDGD LQYHUVD GH OD LQWHJUDO
7HRUtD GH GLVWULEXFLRQHV 7UDQVIRUPDGD LQYHUVD GH /DSODFH 205
7pUPLQR GH FRPSHWHQFLD soportada por un fondo elástico,
7pUPLQR GH HVWDGR HVWDEOH linealidad de, 274 316
7pUPLQR GH LQKLELFLyQ 7UDQVSXHVWD GH XQD PDWUL] $3( voladizo, 205
7LHPSR GH PXHUWH 7UD\HFWRULD Virga, 31
7UDFWUL] 7UD\HFWRULDV
7UDQVIRUPDGD GH )RXULHU GHO FRVHQR W
ecuaciones paramétricas de, 319, 327
de derivadas, 518 ortogonales, 112 Wronskiano
GH¿QLFLyQ GH 7UD]D GH XQD PDWUL] para un conjunto de funciones, 119
7VXQDPL para un conjunto de soluciones
existencia de, 517 de una ecuación diferencial lineal
inversa de, 517 V homogénea, 119
propiedades operacionales de, para un conjunto de vectores solución
Valores característicos, APE-14 de un sistema lineal homogéneo,
517-518 Variables de estado, 27, 123 322
7UDQVIRUPDGD GH )RXULHU GHO VHQR Variables, separables, 45-46
Variación de parámetros
de derivadas, 518
GH¿QLFLyQ GH para ecuaciones diferenciales de
primer orden, 54
existencia de, 517
inversa de, 517 para ecuaciones diferenciales lineales
propiedades operacionales de, de orden superior, 153, 155-156

517-518 para sistemas de ecuaciones
7UDQVIRUPDGD GH )RXULHU diferenciales lineales de primer
orden, 340, 343-344
de derivadas, 517
GH¿QLFLyQ GH

existencia de, 517



LISTA DE DERIVADAS

Reglas

1. Constante: d c = 0 2. Múltiplo constante: d cf (x) = c f (x)
dx dx

3. Suma: d [ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) 4. Producto: d f (x) g(x) = f (x) g (x) + g(x) f (x)
dx dx

5. Cociente: d f (x) = g(x)f (x) f (x) g (x) 6. Cadena: d f ( g(x)) = f ( g(x)) g (x)
dx g(x) [ g(x)]2 dx

7. Potencia: d xn = nxn 1 8. Potencia: d [ g(x)]n = n[ g(x)]n 1 g (x)
dx dx

Funciones

Trigonométricas:

9. d senx = cos x 10. d cos x = senx 11. d tan x = sec2 x
dx dx dx

12. d cot x = csc2 x 13. d sec x = sec x tan x 14. d csc x = csc x cot x
dx dx dx

Trigonométricas inversas:

15. d sen 1 x = 1 16. d cos 1 x = 1 17. d tan 1 x = 1
dx 1 x2 dx 1 x2 dx 1 + x2

18. d cot 1 x = 1 19. d sec 1 x = 1 20. d csc 1 x = 1
dx 1 + x2
dx x x2 1 dx x x2 1

Hiperbólicas:

21. d senhx = cosh x 22. d cosh x = senhx 23. d tanh x = sech2 x
dx dx dx

24. d coth x = csch2 x 25. d sech x = sech x tanh x 26. d csch x = csch x coth x
dx dx dx

Hiperbólicas inversas:

27. d senh 1 x = 1 28. d cosh 1 x = 1 29. d tanh 1 x = 1
dx x2 + 1 dx x2 1 dx 1 x2

30. d coth 1x= 1 31. d sech 1 x = 1 32. d csch 1 x = 1
dx 1 x2 dx x 1 x2
dx x x2 + 1

Exponencial: 34. d bx = bx (ln b)
33. d ex = ex dx

dx 36. d log b x = 1
Logarítmica: dx x(ln b)
35. d ln x = 1

dx x