ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

178 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

10. D2x Ϫ Dy ϭ t 24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire
(D ϩ 3)x ϩ (D ϩ 3)y ϭ 2 Determine un sistema de ecuaciones diferenciales que des-
criba la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la
11. (D2 Ϫ 1)x Ϫ y ϭ 0 resistencia del aire es una fuerza retardadora k (de magni-
(D Ϫ 1)x ϩ Dy ϭ 0 tud k) que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero
RSXHVWD D VX PRYLPLHQWR 9HD OD ¿JXUD 5HVXHOYD HO
12. (2D2 Ϫ D Ϫ 1)x Ϫ (2D ϩ 1)y ϭ 1 sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de velocidad, diga-
mos, ȕv.]
(D Ϫ 1)x ϩ Dy ϭ Ϫ1
v
dx 5x dy et
13. 2
dt dt

dx x dy 5et
dt dt

dx dy et kθ
14.
FIGURA 4.9.3 Fuerzas en el problema 24.
dt dt
Problemas para analizar
d2x dx 25. Examine y analice el siguiente sistema:
dt2 dt x y 0
Dx 2D y t2
15. (D Ϫ 1)x ϩ (D2 ϩ 1)y ϭ 1 (D 1)x 2(D 1)y 1.
(D2 Ϫ 1)x ϩ (D ϩ 1)y ϭ 2

16. D2x Ϫ 2(D2 ϩ D)y ϭ sen t
x ϩ Dy ϭ 0

17. Dx ϭ y 18. Dx ϩ z ϭ et
Dy ϭ z
Dz ϭ x (D Ϫ 1)x ϩ Dy ϩ Dz ϭ 0

x ϩ 2y ϩ Dz ϭ et

dx 6y dx xz Tarea para el laboratorio de computación
19. xz 20. yz
xy xy 26. ([DPLQH GH QXHYR OD ¿JXUD GHO HMHPSOR /XHJR
dt dt utilice una aplicación para determinar raíces para saber
dy dy cuando el tanque B contiene más sal que el tanque $.

dt dt 27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3.
dz dz En ese problema se pidió demostrar que el sistema de
ecuaciones diferenciales
dt dt

En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores
iniciales.

dx 5x y dx d x1 1
21. 22. dt y 1 dt 50 x1

dt dy
3x 2y
dy d x2 1 2
4x y dt dt 50 x1 75 x2
x(0) ϭ 0, y(0) ϭ 0
dt

x(1) ϭ 0, y(1) ϭ 1 d x3 2 1
dt 75 x2 25 x3
Modelos matemáticos

23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de es un modelo para las cantidades de sal en los tan-
una pistola tiene un peso w ϭ mg y una velocidad v tangente ques de mezclado conectados $, B y C que se mues-
a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia del WUDQ HQ OD ¿JXUD 5HVXHOYD HO VLVWHPD VXMHWR D
aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto su x1(0) ϭ 15, x2(t) ϭ 10, x3(t) ϭ 5.
peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales que b) 8VH XQ 6$& SDUD JUD¿FDU x1(t), x2(t) y x3(t) en el
GHVFULED VX WUD\HFWRULD GH PRYLPLHQWR 9HD OD ¿JXUD PLVPR SODQR FRRUGHQDGR FRPR HQ OD ¿JXUD
Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley de en el intervalo [0, 200].
Newton del movimiento en las direcciones x y y.]
c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque $,
y es 1ógico que en algún momento la sal salga de los
tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para
v encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la
mg cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual
que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal
x x1(t), x2(t) y x3(t) simultáneamente menores o iguales
que 0.5 libras?
FIGURA 4.9.2 Trayectoria del proyectil del problema 23.

4.10 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES l 179

4.10 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

REPASO DE MATERIAL
l Secciones 2.2 y 2.5.
l Sección 4.2.
l También se recomienda un repaso de series de Taylor.

INTRODUCCIÓN $ FRQWLQXDFLyQ VH H[DPLQDQ ODV GL¿FXOWDGHV HQ WRUQR D ODV (' no lineales de
orden superior y los pocos métodos que producen soluciones analíticas. Dos de los métodos de solución
que se consideran en esta sección emplean un cambio de variable para reducir una ED de segundo orden
a una de primer orden. En ese sentido los métodos son análogos al material de la sección 4.2.

ALGUNAS DIFERENCIAS Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay
varias diferencias importantes. En la sección 4.1 vimos que las ecuaciones lineales
homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal
de soluciones también es una solución (teorema 4.1.2). Las ecuaciones no lineales no
tienen esta propiedad de superposición. Vea los problemas 1 y 18 de los ejercicios 4.10.
Podemos encontrar soluciones generales de ED lineales de primer orden y ecuaciones
GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV $XQ FXDQGR VH SXHGD UHVROYHU XQD HFXD-
ción diferencial no lineal de primer orden en la forma de una familia uniparamétrica,
esta familia no representa, como regla, una solución general. Es decir, las ED no linea-
les de primer orden pueden tener soluciones singulares, en tanto que las ecuaciones
lineales no. Pero la principal diferencia entre las ecuaciones lineales y no lineales de
orden dos o superior radica en el área de la solubilidad. Dada una ecuación lineal, hay
una probabilidad de encontrar alguna forma de solución que se pueda analizar, una
VROXFLyQ H[SOtFLWD R TXL]i XQD VROXFLyQ HQ OD IRUPD GH XQD VHULH LQ¿QLWD YHD HO FDStWXOR
6). Por otro lado, las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior desafían vir-
tualmente la solución con métodos analíticos. Aunque esto podría sonar desalentador,
D~Q KD\ FRVDV TXH VH SXHGHQ KDFHU &RPR VH VHxDOy DO ¿QDO GH OD VHFFLyQ VLHPSUH
es posible analizar de modo cualitativo y numérico una ED no lineal.

Desde el principio se aclaró que las ecuaciones diferenciales no lineales de orden
superior son importantes, digamos ¿quizá más que las lineales?, porque a medida que
se ajusta un modelo matemático, por ejemplo, un sistema físico, se incrementa por
LJXDO OD SUREDELOLGDG GH TXH HVWH PRGHOR GH PD\RU GH¿QLFLyQ VHD QR OLQHDO

Empezamos por mostrar un método analítico que en ocasiones permite determi-
nar soluciones explícitas o implícitas de clases especiales de ecuaciones diferenciales
de segundo orden no lineales.

REDUCCIÓN DE ORDEN Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo
orden F(x, yЈ, yЉ) ϭ 0, donde falta la variable dependiente y, y F(y, yЈ, yЉ) ϭ 0, donde
falta la variable independiente x, a veces se resuelven usando métodos de primer orden.
Cada ecuación se reduce a una de primer orden por medio de la sustitución u ϭ yЈ.

FALTA LA VARIABLE DEPENDIENTE En el ejemplo siguiente se ilustra la técnica
de sustitución para una ecuación de la forma F(x, yЈ, yЉ) ϭ 0. Si u ϭ yЈ, entonces la ecua-
ción diferencial se convierte en F(x, u, uЈ) ϭ 0. Si podemos resolver esta última ecuación
para u, podemos encontrar a y por integración. Observe que como se está resolviendo
una ecuación de segundo orden, su solución contendrá dos constantes arbitrarias.

EJEMPLO 1 Falta la variable dependiente y

Resuelva yЉ ϭ 2x(yЈ)2.

180 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

SOLUCIÓN Si hacemos u ϭ yЈ, entonces du͞dx ϭ yЉ. Después de sustituir, la se-
gunda ecuación diferencial se reduce a una ecuación de primer orden con variables
separables; la variable independiente es x y la variable dependiente es u :

du 2xu2 o du
dx u2 2x dx

u 2 du 2x dx

u 1 x2 c21.

La constante de integración se escribe como c12 por conveniencia. La razón debe ser
obvia en los pocos pasos siguientes. Debido a que uϪ1 ϭ l͞yЈ, se tiene que

dy 1 ,
dx x2 c21

y así y dx 1 tan 1 x c2.
x2 c21 o y c1 c1

FALTA LA VARIABLE INDEPENDIENTE A continuación se muestra cómo resolver
una ecuación que tiene la forma F(y, yЈ, yЉ) ϭ 0. Una vez más se hace u ϭ yЈ, pero debido
a que falta la variable independiente x, esta sustitución se usa para convertir la ecuación
diferencial en una en la que la variable independiente es y y la variable dependiente es u.
Entonces utilizamos la regla de la cadena para calcular la segunda derivada de y:

du du dy du
y u.

dx dy dx dy

En este caso la ecuación de primer orden que debemos resolver es

du 0.
F y, u, u

dy

EJEMPLO 2 Falta la variable independiente x

Resuelva yyЉ ϭ ( yЈ)2.

SOLUCIÓN Con ayuda de u ϭ yЈ, la regla de la cadena que se acaba de mostrar y de
la separación de variables, la ecuación diferencial se convierte en

du u2 o du dy
yu .
uy
dy

Entonces, integrando la última ecuación se obtiene ln͉u͉ ϭ ln͉y͉ ϩ c , que, a su vez,
1
da u ϭ c2 y, donde la constante ec1 VH LGHQWL¿FD FRPR c2. Ahora se a sustituir
vuelve

u ϭ dy͞dx, se separan de nuevo las variables, se integra y se etiquetan las constantes

por segunda vez:

dy c2x c3 o y c4ec2x.
y c2 dx o ln y

USO DE SERIES DE TAYLOR En algunos casos una solución de un problema con

YDORUHV LQLFLDOHV QR OLQHDOHV HQ HO TXH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV VH HVSHFt¿FDQ HQ x0, se
puede aproximar mediante una serie de Taylor centrada en x0.

4.10 ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES l 181

EJEMPLO 3 Series de Taylor de un PVI

Supongamos que existe una solución del problema con valores iniciales

y x y y2, y(0) 1, y (0) 1 (1)

Si además se supone que la solución y(x) del problema es analítica en 0, entonces y(x)
tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0:

y(x) y(0) y (0) y (0) x2 y (0) x3 y(4)(0) x4 y(5)(0) x5 . (2)
x
1! 2! 3! 4! 5!

Observe que se conocen los valores del primero y segundo términos en la serie (2)
SXHVWR TXH HVRV YDORUHV VRQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HVSHFL¿FDGDV y(0) ϭ Ϫ 1, yЈ(0) ϭ
$GHPiV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SRU Vt PLVPD GH¿QH HO YDORU GH OD VHJXQGD GHULYDGD
en 0: yЉ(0) ϭ 0 ϩ y(0) Ϫ y(0)2 ϭ 0 ϩ (Ϫ1) Ϫ (Ϫ1)2 ϭ Ϫ2. Entonces se pueden encon-
trar expresiones para las derivadas superiores yٞ, y(4), . . . calculando las derivadas

sucesivas de la ecuación diferencial:

y (x) d y y2) 1 y 2yy (3)
y(4)(x) (x y 2yy ) y 2yy 2( y )2 (4)
y(5)(x) 2yy 2( y )2) y 2yy 6y y , (5)
dx
d

(1
dx
d

(y
dx

etcétera. Ahora usando y(0) ϭ Ϫ1 y yЈ(0) ϭ 1, se encuentra de (3) que yٞ(0) ϭ 4. De
los valores y(0) ϭ Ϫ1, yЈ(0) ϭ 1 y yЉ(0) ϭ Ϫ2 se encuentra y(4)(0) ϭ Ϫ8 de (4). Con
la información adicional de que yٞ(0) ϭ 4, entonces se ve de (5) que y(5)(0) ϭ 24.
Por tanto de (2) los primeros seis términos de una solución en serie del problema con

valores iniciales (1) son

y(x) 1 x x2 2 x3 1 x4 1 x5 .
335

USO DE UN PROGRAMA DE SOLUCIÓN NUMÉRICA Los métodos numéricos,
como el de Euler o el de Runge-Kutta, se desarrollaron sólo para ecuaciones diferen-
ciales de primer orden y luego se ampliaron a sistemas de ecuaciones de primer orden.
Para analizar en forma numérica un problema con valores iniciales de n-ésimo orden, se
expresa la EDO de n-ésimo orden como un sistema de n ecuaciones de primer orden. En
resumen, aquí se muestra cómo se hace esto para un problema con valores iniciales de
segundo orden: primero, se resuelve para yЉ , es decir, se escribe la ED en la forma nor-
mal yЉ ϭ f(x, y, yЈ) y después se hace que yЈ ϭ u. Por ejemplo, si sustituimos yЈ ϭ u en

d2y (6)
dx2 f (x, y, y ), y(x0 ) y0, y (x0 ) u0,

entonces yЉ ϭ uЈ y yЈ(x0) ϭ u(x0), por lo que el problema con valores iniciales (6) se
convierte en

Resuelva: yu
u f(x, y, u)

Sujeto a: y(x0) y0, u(x0) u0.

Sin embargo, se debe observar que un programa de solución numérica podría no re-
querir* que se proporcione el sistema.

*Algunos programas de solución numérica sólo requieren que una ecuación diferencial de segundo orden
sea expresada en la forma normal yЉ ϭ f (x, y, yЈ). La traducción de la única ecuación en un sistema de dos
ecuaciones se construye en el programa de computadora, ya que la primera ecuación del sistema siempre
es yЈ ϭ u y la segunda ecuación es uЈ ϭ f (x, y, u).

182 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

y EJEMPLO 4 $QiOLVLV JUi¿FR GHO HMHPSOR
polinomio
de Taylor Siguiendo el procedimiento anterior, se encuentra que el problema con valores inicia-
les de segundo orden del ejemplo 3 es equivalente a
x
curva solución generada dy
mediante un programa u
de solución numérica
dx
FIGURA 4.10.1 Comparación de dos
soluciones aproximadas. du x y y2
dx
y
con condiciones iniciales y(0) ϭ Ϫ1, u(0) ϭ 1. Con ayuda de un programa de solución
x
10 20 QXPpULFD VH REWLHQH OD FXUYD VROXFLyQ HQ D]XO HQ OD ¿JXUD 3RU FRPSDUDFLyQ OD JUi

FIGURA 4.10.2 Curva solución ¿FD GHO SROLQRPLR GH 7D\ORU GH TXLQWR JUDGR T5(x) 1 x x2 2 x3 1 x4 1 x5
numérica para el PVI en (1). 3 3 5

se muestra en rojo. Aunque no se conoce el intervalo de convergencia de la serie de Taylor

obtenida en el ejemplo 3, la proximidad de las dos curvas en una vecindad del origen indica

que la serie de potencias podría converger en el intervalo (Ϫ1, 1).

CUESTIONES CUALITATIVAS /D JUi¿FD HQ D]XO GH OD ¿JXUD RULJLQD DO-
gunas preguntas de naturaleza cualitativa: ¿la solución del problema con valores ini-
ciales original es oscilatoria conforme x → ϱ" /D JUi¿FD JHQHUDGD FRQ XQ SURJUDPD
GH VROXFLyQ QXPpULFD HQ HO LQWHUYDOR PiV JUDQGH TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
parecería sugerir que la respuesta es sí. Pero este simple ejemplo o incluso un grupo
de ejemplos, no responde la pregunta básica en cuanto a si todas las soluciones de la
ecuación diferencial yЉ ϭ x ϩ y Ϫ y2 son de naturaleza oscilatoria. También, ¿qué está
VXFHGLHQGR FRQ OD FXUYD VROXFLyQ GH OD ¿JXUD FRQIRUPH x está cerca de Ϫ1?
¿Cuál es el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial conforme
x → ϱ? ¿Están acotadas las soluciones conforme x → ϱ? Preguntas como éstas no
son fáciles de responder, en general, para ecuaciones diferenciales de segundo orden
no lineales. Pero ciertas clases de ecuaciones de segundo orden se prestan a un análi-
sis cualitativo sistemático y éstas, al igual que las ecuaciones de primer orden que se
obtuvieron en la sección 2.1, son de la clase que no tiene dependencia explícita en la
variable independiente. Las EDO de segundo orden de la forma

F(y, y , y ) 0 o d2y f ( y, y ),
d x2

ecuaciones libres de la variable independiente x, se llaman autónomas. La ecua-

ción diferencial del ejemplo 2 es autónoma y debido a la presencia del término

x en su miembro derecho, la ecuación del ejemplo 3 es autónoma. Para un trata-

miento profundo del tema de estabilidad de ecuaciones diferenciales autónomas

de segundo orden y sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales, consulte el

capítulo 10.

EJERCICIOS 4.10 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7.

En los problemas 1 y 2 compruebe que y1 y y2 son soluciones 7. yЉ ϩ 2y( yЈ)3 ϭ 0 8. y2yЉ ϭ yЈ
de la ecuación diferencial dada pero que y ϭ c1y1 ϩ c2 y2 en
general, no es una solución. En los problemas 9 y 10 resuelva el problema dado con valo-
res iniciales.

1. (yЉ)2 ϭ y2; y1 ϭ ex, y2 ϭ cos x 9. 2yЈyЉ ϭ 1, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 1

2. yy 1 ( y )2; y1 1, y2 x2 10. yЉ ϩ x( yЈ)2 ϭ 0, y(1) ϭ 4, yЈ(1) ϭ 2
2

En los problemas 3 a 8 resuelva la ecuación diferencial usando 11. Considere el problema con valores iniciales
la sustitución u ϭ yЈ. yЉ ϩ yyЈ ϭ 0, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ Ϫ1.

3. yЉ ϩ ( yЈ)2 ϩ 1 ϭ 0 4. yЉ ϭ 1 ϩ ( yЈ)2 a) Use la ED y un programa de solución numérica para
trazar la curva solución.
5. x2yЉ ϩ ( yЈ)2 ϭ 0 6. (y ϩ 1)yЉ ϭ ( yЈ)2

REPASO DEL CAPÍTULO 4 l 183

b) Encuentre una solución explícita del PVI. Use un pro- x ϩ c sen x y y ϭ c eϪx ϩ c sen x no son, en general, so-
JUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ 4 2 4

c) 'HWHUPLQH XQ LQWHUYDOR GH GH¿QLFLyQ SDUD OD VROXFLyQ luciones, pero las dos combinaciones lineales especiales
del inciso b).
y ϭ c1ex ϩ c2eϪx y y ϭ c3 cos x ϩ c4 sen x deben satisfa-
12. Encuentre dos soluciones del problema con valores iniciales cer la ecuación diferencial.

( y )2 ( y )2 1, y 1 13 21. Analice cómo se puede aplicar el método de reducción de
2 ,y . orden considerado en esta sección a la ecuación diferen-
22 cial de tercer orden y 11 (y )2 . Lleve a cabo sus
2 ideas y resuelva la ecuación.

Use un programa de solución numérica para trazar la grá- 22. Explique cómo encontrar una familia alternativa de so-
¿FD GH ODV FXUYDV VROXFLyQ
luciones de dos parámetros para la ecuación diferencial
En los problemas 13 y 14 demuestre que la sustitución u ϭ yЈ no lineal yЉ ϭ 2x( yЈ)2 en el ejemplo 1. [Sugerencia:
conduce a una ecuación de Bernoulli. Resuelva esta ecuación Suponga que c12 se usa como constante de integración
(vea la sección 2.5). en lugar de c12.]

13. xyЉ ϭ yЈ ϩ ( yЈ)3 14. xyЉ ϭ yЈ ϩ x( yЈ)2

En los problemas 15 a 18 proceda como en el ejemplo 3 y Modelos matemáticos
obtenga los primeros seis términos no cero de una solución en
serie de Taylor, centrada en 0, del problema con valores ini- 23. Movimiento de un campo de fuerza Un modelo mate-
ciales. Use un programa de solución numérica para comparar mático para la posición x(t) de un cuerpo con movimiento
OD FXUYD VROXFLyQ FRQ OD JUi¿FD GHO SROLQRPLR GH 7D\ORU rectilíneo en el eje x en un campo de fuerza inverso del
cuadrado de x es
15. yЉ ϭ x ϩ y2, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 1
d 2x k2
16. yЉ ϩ y2 ϭ 1, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 3 dt2 x2.

17. yЉ ϭ x2 ϩ y2 Ϫ 2yЈ, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 1 Suponga que en t ϭ 0 el cuerpo comienza a partir del reposo
en la posición x ϭ x0, x0 Ͼ 0XHVWUH TXH OD YHORFLGDG GHO
18. yЉ ϭ ey, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ Ϫ1 cuerpo en el tiempo t está dada por v2 ϭ 2k2(1͞x Ϫ 1͞x0).
Use la última expresión y un SAC para realizar la integración
19. (Q FiOFXOR OD FXUYDWXUD GH XQD OtQHD TXH VH GH¿QH SRU para expresar al tiempo t en términos de x.
medio de una función y ϭ f(x) es

k [1 y 24. Un modelo matemático para la posición x(t) de un objeto
( y )2]3/2. en movimiento es

Encuentre y ϭ f(x) para la cual ț ϭ 1. [Sugerencia: Para d2x
VLPSOL¿FDU GHVSUHFLH ODV FRQVWDQWHV GH LQWHJUDFLyQ @ dt2 senx 0.

Problemas para analizar Use un programa de solución numérica para investigar en
IRUPD JUi¿FD ODV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ VXMHWD D x(0) ϭ 0,
20. En el problema 1 vimos que cos x y ex eran soluciones de xЈ(0) ϭ x1, x1 Ն 0. Analice el movimiento del objeto para t Ն
la ecuación no lineal (yЉ)2 Ϫ y2 ϭ 0. Compruebe que sen 0 y para diferentes elecciones de x1. Investigue la ecuación
x y eϪx también son soluciones. Sin intentar resolver la
ecuación diferencial, analice cómo se pueden encontrar d2x dx
estas soluciones usando su conocimiento acerca de las dt2 dt senx 0
ecuaciones lineales. Sin intentar comprobar, analice por
qué las combinaciones lineales y ϭ c1ex ϩ c2eϪx ϩ c3 cos en la misma forma. Proponga una interpretación física
posible del término dx͞dt.

REPASO DEL CAPÍTULO 4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-7.
&RQWHVWH ORV SUREOHPDV DO VLQ FRQVXOWDU HO ¿QDO GHO OLEUR
Complete el espacio en blanco o conteste falso o verdadero. 3. Un múltiplo constante de una solución de una ecuación
diferencial lineal es también una solución. __________
1. La única solución del problema con valores iniciales
yЉ ϩ x2y ϭ 0, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 es __________. 4. Si el conjunto que consiste en dos funciones fl y f2 es li-
nealmente independiente en un intervalo I, entonces el
2. 3DUD HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV OD IRUPD Wronskiano W(fl, f2) 0 para toda x en I. __________
supuesta de la solución particular yp para yЉ Ϫ y ϭ 1 ϩ ex
es __________. 5. Si y ϭ sen5x es una solución de una ecuación diferencial
OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQ-
tonces la solución general de la ED es __________

184 l CAPÍTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

6. Si y ϭ 1 Ϫ x ϩ 6x2 ϩ 3ex es una solución de una ecua- e) g(x) ϭ sen2x ex
ción diferencial lineal homogénea de cuarto orden con f) g(x)
FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV HQWRQFHV ODV UDtFHV GH OD HFXD-
ción auxiliar son __________ sen x

7. Si y ϭ c1x2 ϩ c2x2ln x, x Ͼ 0 es la solución general de En los problemas del 15 a 30 use los procedimientos desarro-
una ecuación Cauchy-Euler de segundo orden homogé- llados en este capítulo para encontrar la solución general de
nea entonces la ED es __________ cada ecuación diferencial.

8. yp ϭ $[2 es la solución particular de yٞ ϩ yЉ ϭ 1 para 15. yЉ Ϫ 2yЈ Ϫ 2y ϭ 0
$ ϭ __________
16. 2yЉ ϩ 2yЈ ϩ 3y ϭ 0
9. Si yp1 ϭ x es la solución particular de yЉ ϩ y ϭ x y yp2 ϭ
x2 Ϫ 2 es una solución particular de yЉ ϩ y ϭ x2 entonces 17. yٞ ϩ 10yЉ ϩ 25yЈ ϭ 0
una solución particular de yЉ ϩ y ϭ x2 ϩ x es _________
18. 2yٞ ϩ 9yЉ ϩ 12yЈ ϩ 5y ϭ 0
10. Si y1 ϭ ex y y2 ϭ eϪx son soluciones de la ecuación dife-
rencial homogénea, entonces necesariamente y ϭ Ϫ5eϪx 19. 3yٞ ϩ 10yЉ ϩ 15yЈ ϩ 4y ϭ 0
ϩ 10ex también es una solución de la ED. ___________
20. 2y(4) ϩ 3yٞ ϩ 2yЉ ϩ 6yЈ Ϫ 4y ϭ 0
11. Dé un intervalo en el que el conjunto de dos funciones
fl(x) ϭ x2 y f2(x) ϭ x͉x͉ es linealmente independiente. 21. yЉ Ϫ 3yЈ ϩ 5y ϭ 4x3 Ϫ 2x
Después indique un intervalo en el que el conjunto for-
mado por fl y f2 es linealmente dependiente. 22. yЉ Ϫ 2yЈ ϩ y ϭ x2ex

12. Sin la ayuda del Wronskiano, determine si el conjunto de 23. yٞ Ϫ 5yЉ ϩ 6yЈ ϭ 8 ϩ 2 sen x
funciones es linealmente independiente o dependiente en
el intervalo indicado. 24. yٞ Ϫ yЉ ϭ 6
a) f1(x) ϭ ln x, f2(x) ϭ ln x2, (0, ϱ)
b) f1(x) ϭ xn, f2(x) ϭ xnϩ1, n ϭ 1, 2, . . . , (Ϫϱ, ϱ) 25. yЉ Ϫ 2yЈ ϩ 2y ϭ ex tan x
c) f1(x) ϭ x, f2(x) ϭ x ϩ 1, (Ϫϱ, ϱ)
26. y 2ex
y ex e x

27. 6x2yЉ ϩ 5xyЈ Ϫ y ϭ 0

28. 2x3yٞ ϩ 19x2yЉ ϩ 39xyЈ ϩ 9y ϭ 0

d) f1(x) cos x 2 , f2(x) senx, ( , ) 29. x2yЉ Ϫ 4xyЈ ϩ 6y ϭ 2x4 ϩ x2

e) f1(x) ϭ 0, f2(x) ϭ x, (Ϫ5, 5) 30. x2yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ x3

f) f (x) ϭ 2, f (x) ϭ 2x, (Ϫϱ, ϱ) 31. Escriba la forma de la solución general y ϭ yc ϩ yp de la
2 ecuación diferencial en los dos casos Ȧ Į y Ȧ ϭ Į. No
1 GHWHUPLQH ORV FRH¿FLHQWHV HQ yp.
a) yЉ ϩ Z2y ϭ sen Į[ b) yЉ Ϫ Z2y ϭ eĮ[
g) f1(x) ϭ x2, f2(x) ϭ 1 Ϫ x2, f3(x) ϭ 2 ϩ x2, (Ϫϱ, ϱ)

h) f1(x) ϭ xexϩ1, f2(x) ϭ (4x Ϫ 5)ex,
f3(x) ϭ xex, (Ϫϱ, ϱ)

13. Suponga que m1 ϭ 3, m2 ϭ Ϫ5 y m3 ϭ 1 son raíces de 32. a) Dado que y ϭ sen x es una solución de
multiplicidad uno, dos y tres, respectivamente, de una
ecuación auxiliar. Escriba la solución general de la ED y(4) ϩ 2yٞ ϩ 11yЉ ϩ 2yЈ ϩ 10y ϭ 0,
lineal homogénea correspondiente si es
encuentre la solución general de la ED sin la ayuda de
a) XQD HFXDFLyQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV una calculadora o computadora.

b) una ecuación de Cauchy-Euler. b) Encuentre una ecuación diferencial lineal de segundo

RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV SDUD OD FXDO y1 ϭ 1
y y2 ϭ eϪx son soluciones de la ecuación homogénea
14. Considere la ecuación diferencial ayЉ ϩ byЈ ϩ cy ϭ g(x), 1
donde a, b y c son constantes. Elija las funciones de en- asociada y yp 2 x 2 x es una solución particular
trada g(x SDUD ODV TXH HV DSOLFDEOH HO PpWRGR GH FRH¿-
cientes indeterminados y las funciones de entrada para las de la ecuación homogénea.
que es aplicable el método de variación de parámetros.
33. a) Escriba completamente la solución general de la ED
a) g(x) ϭ ex ln x b) g(x) ϭ x3 cos x de cuarto orden y(4) Ϫ 2yЉ ϩ y ϭ 0 en términos de
funciones hiperbólicas.
sen x d) g(x) ϭ 2xϪ2ex
c) g(x) ex b) Escriba la forma de una solución particular de
y(4) Ϫ 2yЉ ϩ y ϭ senh x.

REPASO DEL CAPÍTULO 4 l 185

34. Considere la ecuación diferencial b) Resuelva la ED del inciso a) sujeta a las condiciones
iniciales y(0) ϭ Ϫ1, yЈ(0) ϭ 2, yЉ(0) ϭ 5, yٞ(0) ϭ
x2yЉ Ϫ (x2 ϩ 2x)yЈ ϩ (x ϩ 2)y ϭ x3. 0. Use un SAC como ayuda para resolver el sistema
resultante de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
Compruebe que y1 ϭ x es una solución de la ecuación ho-
mogénea asociada. Después demuestre que el método de 42. Encuentre un miembro de la familia de soluciones de
xy y 1x 0 FX\D JUi¿FD HV WDQJHQWH DO HMH x en
reducción de orden analizado en la sección 4.2 conduce x ϭ 8VH XQD DSOLFDFLyQ SDUD JUD¿FDU \ REWHQJD OD FXUYD
solución.
a una segunda solución y de la ecuación homogénea así
2 En los problemas 43 a 46 use la eliminación sistemática para
resolver cada sistema.
como a una solución particular yp de la ecuación no ho-

mogénea. Forme la solución general de la ED en el inter-

valo (0, ϱ).

En los problemas 35 a 40 resuelva la ecuación diferencial su-
jeta a las condiciones indicadas.

35. y 2y 2y 0, y 2 0, y( ) 1 dx dy
43. 2x 2y 1

dt dt

36. yЉ ϩ 2yЈ ϩ y ϭ 0, y(Ϫ1) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 dx dy y3
2
37. yЉ Ϫ y ϭ x ϩ sen x, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 3
dt dt

38. y y sec3x, y(0) 1, y (0) 1 dx
39. yЈyЉ ϭ 4x, y(1) ϭ 5, yЈ(1) ϭ 2 2 44. 2x y t 2

dt
dy

3x 4y 4t
dt

40. 2yЉ ϭ 3y2, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 1 et
7et
41. a) Use un SAC como ayuda para encontrar las raíces de la 45. (D 2)x y
ecuación auxiliar para
12y(4) ϩ 64yٞ ϩ 59yЉ Ϫ 23yЈ Ϫ 12y ϭ 0. 3x (D 4) y
Dé la solución general de la ecuación.
46. (D 2)x (D 1)y sen 2t
5x (D 3)y cos 2t

5 MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales
5.1.1 6LVWHPDV UHVRUWH௘ PDVD 0RYLPLHQWR OLEUH QR DPRUWLJXDGR
5.1.2 6LVWHPDV UHVRUWH௘ PDVD 0RYLPLHQWR OLEUH DPRUWLJXDGR
5.1.3 6LVWHPDV UHVRUWH௘ PDVD 0RYLPLHQWR IRU]DGR
5.1.4 &LUFXLWR HQ VHULH DQiORJR

5.2 0RGHORV OLQHDOHV 3UREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD
5.3 Modelos no lineales
REPASO DEL CAPÍTULO 5

<D KHPRV YLVWR TXH XQD VROD HFXDFLyQ SXHGH VHUYLU FRPR PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD
YDULRV VLVWHPDV ItVLFRV 3RU HVWD UD]yQ VyOR H[DPLQDPRV XQD DSOLFDFLyQ HO
PRYLPLHQWR GH XQD PDVD VXMHWD D XQ UHVRUWH TXH VH WUDWD HQ OD VHFFLyQ ([FHSWR
SRU OD WHUPLQRORJtD \ ODV LQWHUSUHWDFLRQHV ItVLFDV GH ORV FXDWUR WpUPLQRV GH OD HFXD-
FLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO

d 2y dy
a dt2 b cy g(t),
dt

ODV PDWHPiWLFDV GH GLJDPRV XQ FLUFXLWR HOpFWULFR HQ VHULH VRQ LGpQWLFDV D ODV GH XQ
VLVWHPD YLEUDWRULR PDVD௘ UHVRUWH /DV IRUPDV GH HVWD (' GH VHJXQGR RUGHQ VH
SUHVHQWDQ HQ HO DQiOLVLV GH SUREOHPDV HQ GLYHUVDV iUHDV GH OD FLHQFLD H LQJHQLHUtD
(Q OD VHFFLyQ VH WUDWDQ H[FOXVLYDPHQWH SUREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV
PLHQWUDV TXH HQ OD VHFFLyQ H[DPLQDPRV DSOLFDFLRQHV GHVFULWDV SRU SUREOHPD
FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 7DPELpQ HQ OD VHFFLyQ YHPRV FyPR DOJXQRV
SUREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD FRQGXFHQ D ORV LPSRUWDQWHV FRQFHSWRV FRQ
eigenvalores \ funciones propias HLJHQIXQFLRQHV /D VHFFLyQ LQLFLD FRQ XQ
DQiOLVLV DFHUFD GH ODV GLIHUHQFLDV HQWUH ORV UHVRUWHV OLQHDOHV \ QR OLQHDOHV HQWRQFHV
VH PXHVWUD FyPR HO SpQGXOR VLPSOH \ XQ FDEOH VXVSHQGLGR FRQGXFHQ D PRGHORV
PDWHPiWLFRV QR OLQHDOHV

186

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 187

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

REPASO DE MATERIAL

l 6HFFLRQHV \
l 3UREOHPDV D GH ORV HMHUFLFLRV
l 3UREOHPDV D GH ORV HMHUFLFLRV

INTRODUCCIÓN (Q HVWD VHFFLyQ VH YDQ D FRQVLGHUDU YDULRV VLVWHPDV GLQiPLFRV OLQHDOHV HQ ORV
TXH FDGD PRGHOR PDWHPiWLFR HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQ-
WHV MXQWR FRQ FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HVSHFL¿FDGDV HQ XQ WLHPSR TXH WRPDUHPRV FRPR t = 0:

d2y dy
a dt2 b cy g(t), y(0) y0, y (0) y1.
dt

5HFXHUGH TXH OD IXQFLyQ g es la entrada función de conducción o función forzada GHO VLVWHPD
8QD VROXFLyQ y(t GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ XQ LQWHUYDOR I TXH FRQWLHQH D t TXH VDWLVIDFH ODV
condiciones iniciales se llama salida o respuesta GHO VLVWHPD

5.1.1 SISTEMAS RESORTEͲMASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

LEY DE HOOKE 6XSRQJD TXH XQ UHVRUWH VH VXVSHQGH YHUWLFDOPHQWH GH XQ VRSRUWH

UtJLGR \ OXHJR VH OH ¿MD XQD PDVD m D VX H[WUHPR OLEUH 3RU VXSXHVWR OD FDQWLGDG GH DODU

JDPLHQWR R HORQJDFLyQ GHO UHVRUWH GHSHQGH GH OD PDVD PDVDV FRQ SHVRV GLIHUHQWHV

DODUJDQ HO UHVRUWH HQ FDQWLGDGHV GLIHUHQWHV 3RU OD OH\ GH +RRNH HO UHVRUWH PLVPR HMHUFH

XQD IXHU]D UHVWDXUDGRUD F RSXHVWD D OD GLUHFFLyQ GH HORQJDFLyQ \ SURSRUFLRQDO D OD FDQWL-

GDG GH HORQJDFLyQ s \ HV H[SUHVDGD HQ IRUPD VLPSOH FRPR F ϭ ks GRQGH k HV XQD FRQVWDQ

WH GH SURSRUFLRQDOLGDG OODPDGD constante de resorte (O UHVRUWH VH FDUDFWHUL]D HQ HVHQ-

ll FLD SRU HO Q~PHUR k 3RU HMHPSOR VL XQD PDVD TXH SHVD OLEUDV KDFH TXH XQ UHVRUWH VH
l+s
DODUJXH 1 SLH HQWRQFHV 10 k 1 L PSOLFD TXH k ϭ OE SLH (QWRQFHV QHFHVDULDPHQWH
2 2
XQD PDVD TXH SHVD GLJDPRV OLEUDV DODUJD HO PLVPR UHVRUWH VyOR 2 SLH
5
no estirado s

m x SEGUNDA LEY DE NEWTON 'HVSXpV GH TXH VH XQH XQD PDVD m D XQ UHVRUWH pVWD
DODUJD HO UHVRUWH XQD FDQWLGDG s \ ORJUD XQD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQ OD FXDO VX SHVR W se
posición de m HTXLOLEUD PHGLDQWH OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD ks 5HFXHUGH TXH HO SHVR VH GH¿QH PHGLDQWH
equilibrio movimiento W ϭ mg GRQGH OD PDVD VH PLGH HQ VOXJV NLORJUDPRV R JUDPRV \ g ϭ SLHV V
mg − ks = 0 P V R ELHQ FP௘ V UHVSHFWLYDPHQWH &RPR VH LQGLFD HQ OD ¿JXUD E OD FRQGL-
FLyQ GH HTXLOLEULR HV mg ϭ ks o mg Ϫ ks ϭ 6L OD PDVD VH GHVSOD]D SRU XQD FDQWLGDG
a) b) c) x GH VX SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD GHO UHVRUWH HV HQWRQFHV k(x ϩ s
6XSRQLHQGR TXH QR KD\ IXHU]DV UHVWDXUDGRUDV TXH DFW~DQ VREUH HO VLVWHPD \ VXSRQLHQGR
FIGURA 5.1.1 Sistema masa͞UHVRUWH TXH OD PDVD YLEUD OLEUH GH RWUDV IXHU]DV H[WHUQDV ²movimiento libre² VH SXHGH LJXD-
ODU OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ FRQ OD IXHU]D QHWD R UHVXOWDQWH GH OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD
\ HO SHVR

m –d–2x– ϭ Ϫk(s ϩ x) ϩ mg ϭ Ϫ kx ϩ mg Ϫ ks ϭ Ϫkx.
dt2

cero

x=0 x<0 (O VLJQR QHJDWLYR HQ LQGLFD TXH OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD GHO UHVRUWH DFW~D RSXHVWD D
x>0 OD GLUHFFLyQ GH PRYLPLHQWR $GHPiV VH DGRSWD OD FRQYHQFLyQ GH TXH ORV GHVSOD]D-
PLHQWRV PHGLGRV DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR VRQ SRVLWLYRV 9HD OD ¿JXUD

m ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO 'LYLGLHQGR HQWUH OD
masa m VH REWLHQH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ d x͞dt ϩ (k͞m x ϭ R
FIGURA 5.1.2 /D GLUHFFLyQ KDFLD
DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HV d 2x 2x 0
SRVLWLYD dt2

188 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

donde Ȧ ϭ k͞m 6H GLFH TXH OD HFXDFLyQ GHVFULEH HO movimiento armónico simple
o movimiento libre no amortiguado 'RV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV REYLDV UHODFLRQDGDV
FRQ VRQ x ϭ x0 \ xЈ ϭ x HO GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO \ OD YHORFLGDG LQLFLDO GH OD
PDVD UHVSHFWLYDPHQWH 3RU HMHPSOR VL x0 Ͼ x Ͻ OD PDVD SDUWH GH XQ SXQWR abajo
GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG LPSDUWLGD KDFLD arriba &XDQGR xЈ ϭ
VH GLFH TXH OD PDVD VH OLEHUD D SDUWLU GHO UHSRVR 3RU HMHPSOR VL x0 Ͻ x ϭ OD PDVD
se libera desde el reposo GH XQ SXQWR ͉x0͉ XQLGDGHV arriba GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 3DUD UHVROYHU OD HFXDFLyQ VH REVHUYD TXH OD

VROXFLyQ GH VX HFXDFLyQ DX[LOLDU m ϩ Ȧ ϭ VRQ ORV Q~PHURV FRPSOHMRV ml ϭ Ȧi
m ϭ ϪȦi $Vt GH GH OD VHFFLyQ VH HQFXHQWUD OD VROXFLyQ JHQHUDO GH HV

x(t) c1 cos t c2 sen t

(O periodo GHO PRYLPLHQWR GHVFULWR SRU OD HFXDFLyQ HV T ϭ ʌ͞Ȧ (O Q~PHUR T

UHSUHVHQWD HO WLHPSR PHGLGR HQ VHJXQGRV TXH WDUGD OD PDVD HQ HMHFXWDU XQ FLFOR

GH PRYLPLHQWR 8Q FLFOR HV XQD RVFLODFLyQ FRPSOHWD GH OD PDVD HV GHFLU OD PDVD m

TXH VH PXHYH SRU HMHPSOR DO SXQWR PtQLPR DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR KDVWD

HO SXQWR PiV DOWR DUULED GH OD PLVPD \ OXHJR GH UHJUHVR DO SXQWR PtQLPR 'HVGH XQ

SXQWR GH YLVWD JUi¿FR T ϭ ʌ͞Ȧ VHJXQGRV HV OD ORQJLWXG GHO LQWHUYDOR GH WLHPSR HQWUH

GRV Pi[LPRV VXFHVLYRV R PtQLPRV GH x(t 5HFXHUGH TXH XQ Pi[LPR GH x(t HV HO GHV

SOD]DPLHQWR SRVLWLYR FRUUHVSRQGLHQWH D OD PDVD TXH DOFDQ]D VX GLVWDQFLD Pi[LPD GH-

EDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR PLHQWUDV TXH XQ PtQLPR GH x(t HV HO GHVSOD]DPLHQWR

QHJDWLYR FRUUHVSRQGLHQWH D OD PDVD TXH ORJUD VX DOWXUD Pi[LPD DUULED GH OD SRVLFLyQ GH

HTXLOLEULR 6H KDFH UHIHUHQFLD D FXDOTXLHU FDVR FRPR XQ desplazamiento extremo de la

PDVD /D frecuencia de movimiento es f ϭ ͞T ϭ Ȧ͞ ʌ \ HV HO Q~PHUR GH FLFORV FRP-

SOHWDGR FDGD VHJXQGR 3RU HMHPSOR VL x(t ϭ FRV ʌW Ϫ VHQ ʌW HQWRQFHV HO SHULRGR

es T ϭ ʌ͞ ʌ ϭ ͞ V \ OD IUHFXHQFLD HV f ϭ ͞ FLFORV͞V 'HVGH XQ SXQWR GH YLVWD

( )HVTXHPiWLFR OD JUi¿FD GH x(t VH UHSLWH FDGD 2 2
3 GH VHJXQGR HV GHFLU x t 3 x(t)

\ 3 FLFORV GH OD JUi¿FD VH FRPSOHWDQ FDGD VHJXQGR R HTXLYDOHQWHPHQWH WUHV FLFORV GH
2
OD JUi¿FD VH FRPSOHWDQ FDGD GRV VHJXQGRV (O Q~PHUR 1k>m (medido en radianes

SRU VHJXQGR VH OODPD frecuencia circular GHO VLVWHPD 'HSHQGLHQGR GH TXp OLEUR OHD

tanto f ϭ Ȧ͞ ʌ como Ȧ se conocen como frecuencia natural GHO VLVWHPD 3RU ~OWLPR

FXDQGR VH HPSOHDQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV SDUD GHWHUPLQDU ODV FRQVWDQWHV c \ c HQ
VH GLFH TXH OD VROXFLyQ SDUWLFXODU UHVXOWDQWH R UHVSXHVWD HV OD ecuación de movimiento

EJEMPLO 1 Movimiento libre no amortiguado

8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SXOJDGDV XQ UHVRUWH (Q t ϭ 0 se libera la masa

GHVGH XQ SXQWR TXH HVWi SXOJDGDV DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFL-

dad ascendente de 4 SLH͞V 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR
3

SOLUCIÓN 'HELGR D TXH VH HVWi XVDQGR HO VLVWHPD GH XQLGDGHV GH LQJHQLHUtD ODV

P HSGXLOFJL RϭQHV32 G SDLGHD V$ HGQH WPpUiPV L QVRHV G GHHE HSQX OFJRDQGYDVH UVWHLU GOHDEV HXQQ FLGRDQGYHHVU WLGUH H SQH SVLRH VG D G DSVX OHJQ ϭ OLE12U DSVL HD
XQLGDGHV GH PDVD 'H m ϭ W͞g WHQHPRV TXH m 2 1 VOXJ 7DPELpQ GH OD OH\ GH
32 16
+RRNH 2 1 LPSOLFD TXH OD FRQVWDQWH GH UHVRUWH HV k ϭ lb͞SLH 3RU OR TXH GH OD
k 2 4

HFXDFLyQ VH REWLHQH

1 d2x d2x
16 dt2 4 x o dt2 64 x 0.

(O GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO \ OD YHORFLGDG LQLFLDO VRQ x ϭ 2 xЈ ϭ 4 GRQGH HO
3 3
VLJQR QHJDWLYR HQ OD ~OWLPD FRQGLFLyQ HV XQD FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH D OD PDVD

VH OH GD XQD YHORFLGDG LQLFLDO HQ OD GLUHFFLyQ QHJDWLYD R KDFLD DUULED

$KRUD Ȧ ϭ R Ȧ ϭ SRU OR TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV

x(t) c1 cos 8t c2 sen 8t

$SOLFDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV D x(t \ xЈ(t VH REWLHQH c1 2 \ c2 1 3RU
WDQWR OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HV 3 6

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 189

x(t) 2 1 sen 8t
cos 8t
36

FORMA ALTERNATIVA DE X(t) &XDQGR c \ c OD amplitud A de las vi-
EUDFLRQHV OLEUHV QR HV HYLGHQWH D SDUWLU GH OD LQVSHFFLyQ GH OD HFXDFLyQ 3RU HMHPSOR

DXQTXH OD PDVD GHO HMHPSOR VH GHVSOD]D LQLFLDOPHQWH 2 SLH PiV DOOi GH OD SRVLFLyQ GH
3
HTXLOLEULR OD DPSOLWXG GH ODV YLEUDFLRQHV HV XQ Q~PHUR PD\RU TXH 2 3RU WDQWR VXHOH
3
VHU FRQYHQLHQWH FRQYHUWLU XQD VROXFLyQ GH OD IRUPD HQ XQD IRUPD PiV VLPSOH

x(t) A sen( t )

donde A 2c12 c22 \ ‫ ׋‬HV XQ ángulo de fase GH¿QLGR SRU

sen c1 c1
A
tan c2
cos c2
A

3DUD FRPSUREDU HVWR VH GHVDUUROOD OD HFXDFLyQ XVDQGR OD IyUPXOD GH VXPD SDUD OD
IXQFLyQ VHQR

A sen t cos cos t sen ( sen )cos t ( cos )sen t

6H GHGXFH GH OD ¿JXUD TXH VL ‫ ׋‬HVWi GH¿QLGD SRU

sen c1 c1, cos c2 c2,
1c12 c22 A 1c12 c22 A

c12 + c22 c1 HQWRQFHV OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

A c1 cos t A c2 sen t c1 cos t c2 sen t x(t).
A A
φ
c2 EJEMPLO 2 Forma alternativa de solución (5)

FIGURA 5.1.3 8QD UHODFLyQ HQWUH
c Ͼ c Ͼ \ HO iQJXOR GH IDVH ‫ ׋‬

(Q YLVWD GH OD GHVFULSFLyQ DQWHULRU VH SXHGH HVFULELU OD VROXFLyQ HQ OD IRUPD DOWHUQ DWLYD

( ) ( )xf(t ϭ A VHQ t ϩ ‫( ׋‬O FiOFXOR GH OD DPSOLWXG HV GLUHFWR A22 2 12
3 6
23167 0.69 pies SHUR VH GHEH WHQHU FXLGDGR DO FDOFXODU HO iQJXOR GH IDVH ‫ ׋‬GH¿QLGR

SRU &RQ c1 2 \ c2 1 VH HQFXHQWUD WDQ ‫׋‬ ϭ Ϫ \ FRQ XQD FDOFXODGRUD VH RE
3 6

tiene tanϪ (Ϫ ϭ Ϫ UDG (VWH no HV HO iQJXOR GH IDVH SXHVWR TXH WDQϪ (Ϫ VH

ORFDOL]D HQ HO cuarto cuadrante \ SRU WDQWR FRQWUDGLFH HO KHFKR GH TXH VHQ ‫ ׋‬Ͼ \

cos ‫ ׋‬Ͻ SRUTXH c Ͼ \ c Ͻ 3RU WDQWR VH GHEH FRQVLGHUDU TXH ‫ ׋‬HV XQ iQJXOR
del segundo cuadrante ‫ ׋‬ϭ ʌ ϩ (Ϫ ϭ UDG $Vt OD HFXDFLyQ HV LJXDO D

x(t) 117 1.816)
sen(8t
6

(O SHULRGR GH HVWD IXQFLyQ HV T ϭ ʌ͞ ϭ ʌ͞ V

'HEH WHQHU HQ FXHQWD TXH DOJXQRV SURIHVRUHV GH FLHQFLD H LQJHQLHUtD SUH¿HUHQ H[SUHVDU
D FRPR XQD IXQFLyQ FRVHQR FRUULGR

x(t ϭ A cos(Ȧt Ϫ ‫ ׋‬ Ј

donde A 2c21 c22 (Q HVWH FDVR HO iQJXOR ‫ ׋‬PHGLGR HQ UDGLDQHV VH GH¿QH HQ XQD
IRUPD OLJHUDPHQWH GLIHUHQWH TXH HQ

190 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

sen c2
A c2
tan c1 Ј

cos c1

A

x negativa x=− 17 3RU HMHPSOR HQ HO HMHPSOR FRQ c ϭ ͞ \
x=0 6 c ϭ Ϫ ͞ Ј LQGLFD TXH WDQ ‫ ׋‬ϭ Ϫ ͞
<D TXH VHQ ‫ ׋‬Ͻ \ FRV ‫ ׋‬Ͼ HO iQJXOR
x positiva x=0 x=0 ‫ ׋‬VH HQFXHQWUD HQ HO FXDUWR FXDGUDQWH \ DVt
UHGRQGHDQGR FRQ WUHV OXJDUHV GHFLPDO ‫ ׋‬ϭ
tanϪ (Ϫ ͞ Ϫ UDG 'H Ј VH RE-
WLHQH XQD VHJXQGD IRUPD DOWHUQDWLYD GH VROX-
FLyQ

x = 2 x= 17
3 6
Ί17
a) x(t) cos(8t ( 0.245))

6o

x Ί17
x(t) cos(8t 0.245).
(0, 2 )
3 6

x positiva amplitud INTERPRETACIÓN GRÁFICA (Q OD ¿-
x=0 JXUD D VH LOXVWUD OD PDVD GHO HMHPSOR
A= 17 t TXH UHFRUUH DSUR[LPDGDPHQWH GRV FLFORV
6

x negativa FRPSOHWRV GH PRYLPLHQWR /H\HQGR GH L]-
TXLHUGD D GHUHFKD ODV SULPHUDV FLQFR SRVL-

π FLRQHV PDUFDGDV FRQ SXQWRV QHJURV FRUUHV-
4
SRQGHQ D OD SRVLFLyQ LQLFLDO GH OD PDVD GHEDMR
periodo
( )TGXH HO DS DSVRDV LSFRLyU QOD G SHR HVTLFXLyLOQLE GULHR HTxXLOLE32ULR OSDR PU SDUVLD-
b)

FIGURA 5.1.4 0RYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH PHUD YH] HQ GLUHFFLyQ DVFHQGHQWH x ϭ OD
PDVD HQ VX GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR DUULED GH

OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (x 117 6) OD
PDVD HQ OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR SDUD OD VHJXQGD YH] TXH VH GLULJH KDFLD DUULED x ϭ \

OD PDVD HQ VX GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (x 117 6) /RV

SXQWRV QHJURV VREUH OD JUi¿FD GH TXH VH SUHVHQWD HQ OD ¿JXUD E WDPELpQ FRQFXHU-

GDQ FRQ ODV FLQFR SRVLFLRQHV DQWHV PHQFLRQDGDV 6LQ HPEDUJR REVHUYH TXH HQ OD ¿JXUD

E OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HQ HO SODQR tx HV OD GLUHFFLyQ DVFHQGHQWH XVXDO \ SRU

WDQWR HV RSXHVWD D OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD TXH VH LQGLFD HQ OD ¿JXUD D 3RU OR TXH

OD JUi¿FD VyOLGD D]XO TXH UHSUHVHQWD HO PRYLPLHQWR GH OD PDVD HQ OD ¿JXUD

E HV OD UHÀH[LyQ SRU HO HMH t GH OD FXUYD SXQWHDGD D]XO GH OD ¿JXUD D

/D IRUPD HV PX\ ~WLO SRUTXH HV IiFLO HQFRQWUDU YDORUHV GH WLHPSR SDUD

ORV FXDOHV OD JUi¿FD GH x(t FUX]D HO HMH t SRVLWLYR OD UHFWD x ϭ 6H REVHUYD TXH

sen(ȦW ϩ ‫ ׋‬ϭ FXDQGR ȦW ϩ ‫ ׋‬ϭ Qʌ GRQGH n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYR

SISTEMAS CON CONSTANTES DE RESORTE VARIABLES (Q HO PRGHOR DSHQDV
DQDOL]DGR VH VXSXVR XQD VLWXDFLyQ LGHDO XQD HQ OD TXH ODV FDUDFWHUtVWLFDV ItVLFDV GHO UHVRUWH
QR FDPELDQ FRQ HO WLHPSR 1R REVWDQWH HQ OD VLWXDFLyQ QR LGHDO SDUHFH UD]RQDEOH HVSHUDU
TXH FXDQGR XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD HVWi HQ PRYLPLHQWR GXUDQWH XQ ODUJR WLHPSR HO UH-
VRUWH VH GHELOLWD HQ RWUDV SDODEUDV YDUtD OD ³FRQVWDQWH GH UHVRUWH´ GH PDQHUD PiV HVSHFt-
¿FD GHFDH FRQ HO WLHPSR (Q XQ PRGHOR SDUD HO resorte cada vez más viejo la constante
de resorte k HQ VH UHHPSOD]D FRQ OD IXQFLyQ GHFUHFLHQWH K(t ϭ keϪĮW k Ͼ Į Ͼ
/D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO mxЉ ϩ keϪĮW x ϭ QR VH SXHGH UHVROYHU FRQ ORV PpWRGRV
FRQVLGHUDGRV HQ HO FDStWXOR 6LQ HPEDUJR HV SRVLEOH REWHQHU GRV VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH
LQGHSHQGLHQWHV FRQ ORV PpWRGRV GHO FDStWXOR 9HD HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV
HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ \ ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 191

&XDQGR XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD VH VRPHWH D XQ DPELHQWH HQ HO FXDO OD WHPSHUDWXUD
GLVPLQX\H FRQ UDSLGH] SRGUtD WHQHU VHQWLGR UHHPSOD]DU OD FRQVWDQWH k con K(t ϭ kt k Ͼ
XQD IXQFLyQ TXH VH LQFUHPHQWD FRQ HO WLHPSR (O PRGHOR UHVXOWDQWH mxЉ ϩ ktx ϭ HV XQD
IRUPD GH OD ecuación diferencial de Airy $O LJXDO TXH OD HFXDFLyQ SDUD XQ UHVRUWH YLHMR
OD HFXDFLyQ GH $LU\ VH UHVXHOYH FRQ ORV PpWRGRV GHO FDStWXOR 9HD HO SUREOHPD GH ORV
HMHU FLFLRV HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ \ ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

m (O FRQFHSWR GH PRYLPLHQWR DUPyQLFR OLEUH HV XQ SRFR LUUHDO SXHVWR TXH HO PRYLPLHQWR
a) TXH GHVFULEH OD HFXDFLyQ VXSRQH TXH QR KD\ IXHU]DV UHWDUGDGRUDV DFWXDQGR VREUH
OD PDVD HQ PRYLPLHQWR $ PHQRV TXH OD PDVD VH VXVSHQGD HQ XQ YDFtR SHUIHFWR KDEUi
m SRU OR PHQRV XQD IXHU]D GH UHVLVWHQFLD GHELGD DO PHGLR FLUFXQGDQWH &RPR VH PXHVWUD
HQ OD ¿JXUD OD PDVD SRGUtD HVWDU VXVSHQGLGD HQ XQ PHGLR YLVFRVR R XQLGD D XQ
b) GLVSRVLWLYR DPRUWLJXDGRU

FIGURA 5.1.5 'LVSRVLWLYRV GH ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO (Q HO HVWXGLR GH OD PHFi-
DPRUWLJXDPLHQWR QLFD ODV IXHU]DV GH DPRUWLJXDPLHQWR TXH DFW~DQ VREUH XQ FXHUSR VH FRQVLGHUDQ SURSRU-
FLRQDOHV D XQD SRWHQFLD GH OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD (Q SDUWLFXODU HQ HO DQiOLVLV SRV-
x WHULRU VH VXSRQH TXH HVWD IXHU]D HVWi GDGD SRU XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH dx͞dt &XDQGR
t QLQJXQD RWUD IXHU]D DFW~D HQ HO VLVWHPD VH WLHQH GH OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ TXH

FIGURA 5.1.6 0RYLPLHQWR GH XQ d2x kx dx
VLVWHPD VREUHDPRUWLJXDGR m dt2 dt

donde ȕ HV XQD constante de amortiguamiento SRVLWLYD \ HO VLJQR QHJDWLYR HV XQD
FRQVHFXHQFLD GHO KHFKR GH TXH OD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR DFW~D HQ XQD GLUHFFLyQ
RSXHVWD DO PRYLPLHQWR

'LYLGLHQGR OD HFXDFLyQ HQWUH OD PDVD m VH HQFXHQWUD TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQ-
cial del movimiento libre amortiguado es d x ͞dt ϩ (ȕ͞m dx ͞dt ϩ (k ͞m x ϭ 0 o

d 2x dx 2x 0
2
dt2 dt

donde 2, 2 k
m m

(O VtPEROR Ȝ VH XVD VyOR SRU FRQYHQLHQFLD DOJHEUDLFD SRUTXH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU HV
m ϩ ȜP ϩ Ȧ ϭ \ ODV UDtFHV FRUUHVSRQGLHQWHV VRQ HQWRQFHV

m1 2 2 2, m2 22 2.

$KRUD VH SXHGHQ GLVWLQJXLU WUHV FDVRV SRVLEOHV GHSHQGLHQGR GHO VLJQR DOJHEUDLFR GH
Ȝ Ϫ Ȧ 3XHVWR TXH FDGD VROXFLyQ FRQWLHQH HO factor de amortiguamiento eϪȜW Ȝ Ͼ ORV
GHVSOD]DPLHQWRV GH OD PDVD VH YXHOYHQ GHVSUHFLDEOHV FRQIRUPH HO WLHPSR t DXPHQWD

CASO I: Ȝ2 Ϫ Ȧ2 Ͼ 0 (Q HVWD VLWXDFLyQ HO VLVWHPD HVWi sobreamortiguado SRUTXH
HO FRH¿FLHQWH GH DPRUWLJXDPLHQWR ȕ HV JUDQGH FRPSDUDGR FRQ OD FRQVWDQWH GHO UHVRUWH
k /D VROXFLyQ FRUUHVSRQGLHQWH GH HV x (t) c1 em1t c2 em2t o

( )x (t) e t c1e1 2 2t c2e 1 2 2t

(VWD HFXDFLyQ UHSUHVHQWD XQ PRYLPLHQWR XQLIRUPH \ QR RVFLODWRULR (Q OD ¿JXUD
VH PXHVWUDQ GRV JUi¿FDV SRVLEOHV GH x(t

192 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

x CASO II: Ȝ2 Ϫ Ȧ2 ϭ 0 (VWH VLVWHPD HVWi críticamente amortiguado SRUTXH FXDO-
TXLHU OLJHUD GLVPLQXFLyQ HQ OD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR GDUtD FRPR UHVXOWDGR XQ
t PRYLPLHQWR RVFLODWRULR /D VROXFLyQ JHQHUDO GH HV x(t) c1em1t c2tem1t o

FIGURA 5.1.7 0RYLPLHQWR GH XQ x(t) e t(c1 c2t)
VLVWHPD FUtWLFDPHQWH DPRUWLJXDGR
(Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ DOJXQDV JUi¿FDV WtSLFDV GH PRYLPLHQWR 2EVHUYH TXH HO
x no amortiguado PRYLPLHQWR HV EDVWDQWH VLPLODU DO GH XQ VLVWHPD VREUHDPRUWLJXDGR 7DPELpQ HV HYL-
subamortiguado GHQWH GH TXH OD PDVD SXHGH SDVDU SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR D OR PiV XQD YH]

t CASO III: Ȝ2 Ϫ Ȧ2 Ͻ 0 (Q HVWH FDVR HO VLVWHPD HVWi subamortiguado SXHVWR TXH
HO FRH¿FLHQWH GH DPRUWLJXDPLHQWR HV SHTXHxR FRPSDUDGR FRQ OD FRQVWDQWH GHO UHVRUWH
FIGURA 5.1.8 0RYLPLHQWR GH XQ /DV UDtFHV m \ m DKRUD VRQ FRPSOHMDV
VLVWHPD VXEDPRUWLJXDGR
m1 1 2 2i, m2 1 2 2i.
$Vt TXH OD HFXDFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ HV

( )x(t) e t c1 cos 1 2 2t c2 sen 1 2 2t

&RPR VH LQGLFD HQ OD ¿JXUD HO PRYLPLHQWR GHVFULWR SRU OD HFXDFLyQ HV RVFL-
ODWRULR SHUR GHELGR DO FRH¿FLHQWH eϪȜW ODV DPSOLWXGHV GH YLEUDFLyQ → FXDQGR t → ϱ

EJEMPLO 3 Movimiento sobreamortiguado

6H FRPSUXHED IiFLOPHQWH TXH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV

d 2x dx 4x 0, x(0) 1
5 1, x (0)
dt2 dt

es x(t) 5 t 2 4t
e e
3
x 3

x = 5 e −t − 2 e −4t (O SUREOHPD VH SXHGH LQWHUSUHWDU FRPR UHSUHVHQWDWLYR GHO PRYLPLHQWR VREUHDPRUWL-
3 3

JXDGR GH XQD PDVD VREUH XQ UHVRUWH /D PDVD VH OLEHUD DO LQLFLR GH XQD SRVLFLyQ XQD

123t XQLGDG abajo GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ YHORFLGDG descendente GH SLH V

3DUD JUD¿FDU x(t VH HQFXHQWUD HO YDORU GH t SDUD HO FXDO OD IXQFLyQ WLHQH XQ H[-

a) WUHPR HV GHFLU HO YDORU GH WLHPSR SDUD HO FXDO OD SULPHUD GHULYDGD YHORFLGDG HV FHUR

'HULYDQGR OD HFXDFLyQ VH REWLHQH x (t) 5 e t 8 e 4t DVt xЈ(t ϭ LPSOLFD
3 3
8 1 8
TXH e3t 5 o t 3 ln 5 0.157 6H WLHQH GH OD SUXHED GH OD SULPHUD GHULYDGD DVt

t x(t) FRPR GH OD LQWXLFLyQ ItVLFD TXH x ϭ SLHV HV HQ UHDOLGDG XQ Pi[LPR (Q

1 0.601 RWUDV SDODEUDV OD PDVD ORJUD XQ GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR GH SLHV DEDMR GH OD
1.5 0.370
2 0.225 SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR
2.5 0.137
3 0.083 6H GHEH FRPSUREDU WDPELpQ VL OD JUi¿FD FUX]D HO HMH t HV GHFLU VL OD PDVD SDVD

b) SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (Q HVWH FDVR WDO FRVD QR SXHGH VXFHGHU SRUTXH OD HFXD-

FIGURA 5.1.9 Sistema FLyQ x(t ϭ R e3t 2 WLHQH XQD VROXFLyQ LUUHOHYDQWH GHVGH HO SXQWR GH YLVWD ItVLFR
VREUHDPRUWLJXDGR GHOH HMHPSOR 5
1 2 0.305
t 3 ln 5

(Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWD OD JUi¿FD GH x(t MXQWR FRQ DOJXQRV RWURV GDWRV

SHUWLQHQWHV

EJEMPLO 4 Movimiento críticamente amortiguado

8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SLHV XQ UHVRUWH 6XSRQLHQGR TXH XQD IXHU]D DPRU-
WLJXDGD TXH HV LJXDO D GRV YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD DFW~D VREUH HO VLVWHPD GH-
WHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD PDVD LQLFLDO VH OLEHUD GHVGH OD SRVLFLyQ GH
HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWH GH SLHV V

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 193

SOLUCIÓN 'H OD OH\ GH +RRNH VH YH TXH ϭ k GD k ϭ OE SLH \ TXH W ϭ mg da
8 1
m 32 4 VOXJ /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH PRYLPLHQWR HV HQWRQFHV

1 d2x 4x dx d2x dx
4 dt2 2 o 8 16x 0
dt dt2 dt

/D HFXDFLyQ DX[LOLDU SDUD HV m ϩ m ϩ ϭ (m ϩ ϭ DVt TXH m ϭ m ϭ
Ϫ 3RU WDQWR HO VLVWHPD HVWi FUtWLFDPHQWH DPRUWLJXDGR \

x(t) c1e 4t c2te 4t

x t= 1 $SOLFDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV x ϭ \ xЈ ϭ Ϫ VH HQFXHQWUD D VX YH] TXH
4 c ϭ \ c ϭ Ϫ 3RU WDQWR OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HV

t x(t) 3te 4t

− 0.276 altura

máxima arriba de la 3DUD JUD¿FDU x(t VH SURFHGH FRPR HQ HO HMHPSOR 'H xЈ(t ϭ Ϫ eϪ4t Ϫ 4t YHPRV

posición de equilibrio xЈ(t ϭ FXDQGR t 1 (O GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR FRUUHVSRQGLHQWH HV
( ) ( )TXH
1 1 1 4
x 4 3 4 e 0.276 SLHV &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HVWH YDORU
FIGURA 5.1.10 6LVWHPD FUtWLFDPHQWH
DPRUWLJXDGR GHO HHMPSOR VH LQWHUSUHWD SDUD LQGLFDU TXH OD PDVD DOFDQ]D XQD DOWXUD Pi[LPD GH SLHV DUULED

GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR

EJEMPLO 5 Movimiento subamortiguado

8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV VH XQH D XQ UHVRUWH GH SLHV GH ODUJR (Q HTXLOLEULR HO
UHVRUWH PLGH SLHV 6L DO LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGH HO UHSRVR HQ XQ SXQWR SLHV
DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQFXHQWUH ORV GHVSOD]DPLHQWRV x(t VL VH VDEH DGHPiV
TXH HO PHGLR FLUFXQGDQWH RIUHFH XQD UHVLVWHQFLD QXPpULFDPHQWH LJXDO D OD YHORFLGDG
LQVWDQWiQHD

SOLUCIÓN /D HORQJDFLyQ GHO UHVRUWH GHVSXpV TXH VH XQH OD PDVD HV Ϫ ϭ

SLHV DVt TXH VH GHGXFH GH OD OH\ GH +RRNH TXH ϭ k R k ϭ OE SLH $GHPiV

m 16 1 VOXJ SRU OR TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HVWi GDGD SRU
32 2

1 d2x 5x dx d2x dx
2 dt2 dt o dt2 2 10x 0
dt

3URFHGLHQGR HQFRQWUDPRV TXH ODV UDtFHV GH m ϩ m ϩ ϭ 0 son m ϭ Ϫ ϩ i \
m ϭ Ϫ Ϫ i OR TXH VLJQL¿FD TXH HO VLVWHPD HVWi VXEDPRUWLJXDGR \

x(t) e t(c1 cos 3t c2sen 3t)

3RU ~OWLPR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV x ϭ Ϫ \ xЈ ϭ SURGXFHQ c ϭ Ϫ \
2 SRU OR TXH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HV
c2 3

x(t) e t 2 cos 3t 2 sen 3t
3

FORMA ALTERNATIVA DE x(t) 'H XQD PDQHUD LGpQWLFD DO SURFHGLPLHQWR XVDGR
HQ OD SiJLQD VH SXHGH HVFULELU FXDOTXLHU VROXFLyQ

(x(t) e t c1 cos 1 2 2t c2 sen 1 2 2t)

HQ OD IRUPD DOWHUQDWLYD

( )x(t) Ae t sen 1 2 2t

donde A 1c12 c22 \ HO iQJXOR GH IDVH ‫ ׋‬VH GHWHUPLQD GH ODV HFXDFLRQHV
sen c1, cos c2, tan c1.
A A c2

194 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

(O FRH¿FLHQWH AeϪȜW en ocasiones se llama amplitud amortiguada GH YLEUDFLRQHV

'HELGR D TXH QR HV XQD IXQFLyQ SHULyGLFD HO Q~PHUR 2 1 2 2 se llama
cuasi periodo \ 1 2 2 2 es la cuasi frecuencia (O FXDVL SHULRGR HV HO LQ-
WHUYDOR GH WLHPSR HQWUH GRV Pi[LPRV VXFHVLYRV GH x(t 6H GHEH FRPSUREDU SDUD OD

HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR GHO HMHPSOR TXH A 2110 3 \ ‫ ׋‬ϭ 3RU WDQWR XQD
IRUPD HTXLYDOHQWH GH HV

x(t) 2 110 t sen(3t 4.391).
e
3

5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO
FORZADO

ED DE MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO 6XSRQJD
TXH DKRUD VH WRPD HQ FRQVLGHUDFLyQ XQD IXHU]D H[WHUQD f(t TXH DFW~D VREUH XQD PDVD
YLEUDQWH HQ XQ UHVRUWH 3RU HMHPSOR f(t SRGUtD UHSUHVHQWDU XQD IXHU]D PRWUL] TXH FDXVD
XQ PRYLPLHQWR YHUWLFDO RVFLODWRULR GHO VRSRUWH GHO UHVRUWH 9HD OD ¿JXUD /D
LQFOXVLyQ GH f(t HQ OD IRUPXODFLyQ GH OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GD OD HFXDFLyQ GLIH-

rencial de movimiento forzado o dirigido:

d 2x dx
m dt2 kx f(t)
dt

m 'LYLGLHQGR OD HFXDFLyQ HQWUH m VH REWLHQH

FIGURA 5.1.11 Movimiento vertical d 2x dx 2x F(t)
RVFLODWRULR GHO DSR\R 2
dt2 dt

donde F(t ϭ f(t ͞m \ FRPR HQ OD VHFFLyQ DQWHULRU Ȝ ϭ ȕ͞m Ȧ ϭ k͞m 3DUD UHVROYHU
OD ~OWLPD HFXDFLyQ KRPRJpQHD VH SXHGH XVDU \D VHD HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHU-
PLQDGRV R YDULDFLyQ GH SDUiPHWURV

EJEMPLO 6 Interpretación de un problema con valores iniciales

,QWHUSUHWH \ UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV

1 d 2x dx 1 0
1.2 2x 5 cos 4t, x(0) , x (0)
5 dt2 dt 2

SOLUCIÓN 6H SXHGH LQWHUSUHWDU HO SUREOHPD SDUD UHSUHVHQWDU XQ VLVWHPD YLEUDWRULR
T1X͞HP F R Q/VDLV WPH DHVQD XVQH DO LPEHDUVDD L QmLFLDOP51 H VQOWXHJ G RH VNGLHOR HJOU DUHPSRR V RX Q12LG XDQ DL GXDQG U HSVLRHU WRH P kHϭWUR DOEE͞DMSRL HG RH
OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (O PRYLPLHQWR HV DPRUWLJXDGR ȕ ϭ \ HVWi VLHQGR LPSXO-

VDGR SRU XQD IXHU]D SHULyGLFD H[WHUQD T ϭ ʌ͞ V FRPHQ]DQGR HQ t ϭ 'H PDQHUD

LQWXLWLYD VH SRGUtD HVSHUDU TXH LQFOXVR FRQ DPRUWLJXDPLHQWR HO VLVWHPD SHUPDQ HFLHUD HQ

PRYLPLHQWR KDVWD TXH VH ³GHVDFWLYH´ OD IXQFLyQ IRU]DGD HQ FX\R FDVR GLVPLQXLUtDQ ODV

DPSOLWXGHV 6LQ HPEDUJR FRPR VH SODQWHD HQ HO SUREOHPD f (t ϭ FRV t SHUPDQHFHUi

³DFWLYDGD´ SRU VLHPSUH

3ULPHUR VH PXOWLSOLFD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ SRU \ VH UHVXHOYH

dx2 dx
6 10x 0
dt2 dt

SRU ORV PpWRGRV XVXDOHV 'HELGR D TXH m ϭ Ϫ ϩ i m ϭ Ϫ Ϫ i VH GHGXFH TXH
xc(t ϭ eϪ t(c cos t ϩ c sen t &RQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH
VXSRQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD IRUPD xp(t ϭ A cos 4t ϩ B sen 4t. 'HULYDQGR xp(t
\ VXVWLWX\HQGR HQ OD (' VH REWLHQH

xp 6xp 10xp ( 6A 24B) cos 4t ( 24A 6B) sen 4t 25 cos 4t.

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 195

x (O VLVWHPD GH HFXDFLRQHV UHVXOWDQWH

estado estable 6A 24B 25, 24A 6B 0
1 xp (t)
VH FXPSOH HQ A 25 \ B 50 6H WLHQH TXH
102 51

x(t) e 3t(c1 cos t c2 sent) 25 50 sen 4 t
cos 4t 51
t
102

&XDQGR VH KDFH t ϭ HQ OD HFXDFLyQ DQWHULRU VH REWLHQH c1 3518 'HULYDQGR OD H[SUH
51
VLyQ \ KDFLHQGR t ϭ VH HQFXHQWUD WDPELpQ TXH c2 5861 3RU WDQWR OD HFXDFLyQ GH

transitorio movimiento es
_1

π/2 x(t) e 3t 38 86 25 50 sen 4t
cos t sen t cos 4t
51 51 102 51

a) TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE &XDQGR F HV XQD IXQFLyQ

x SHULyGLFD FRPR F(t ϭ F0 sen ȖW o F(t ϭ F0 cos ȖW OD VROXFLyQ JHQHUDO GH SDUD Ȝ
x(t)=transitorio Ͼ HV OD VXPD GH XQD IXQFLyQ QR SHULyGLFD xc(t \ XQD IXQFLyQ SHULyGLFD xp(t $GHPiV
xc(t VH GHVYDQHFH FRQIRUPH VH LQFUHPHQWD HO WLHPSR HV GHFLU límt: xc(t) 0 $Vt
1 + estado estable SDUD YDORUHV JUDQGHV GH WLHPSR ORV GHVSOD]DPLHQWRV GH OD PDVD VH DSUR[LPDQ PHGLDQWH

OD VROXFLyQ SDUWLFXODU xp(t 6H GLFH TXH OD IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULD xc(t HV XQ término
transitorio o solución transitoria \ OD IXQFLyQ xp(t OD SDUWH GH OD VROXFLyQ TXH SHU-
t PDQHFH GHVSXpV GH XQ LQWHUYDOR GH WLHPSR VH OODPD término de estado estable o solu-

ción de estado estable 3RU WDQWR REVHUYH TXH HO HIHFWR GH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HQ

XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD LPSXOVDGR SRU F HV WUDQVLWRULR (Q OD VROXFLyQ SDUWLFXODU

( )_1 e 3t 38 t 86 t HV XQ WpUPLQR WUDQVLWRULR \ xp(t) 25 cos 4t 50 sen 4 t
51 cos 51 sen 102 51 es

XQ WpUPLQR GH HVWDGR HVWDEOH /DV JUi¿FDV GH HVWRV GRV WpUPLQRV \ OD VROXFLyQ VH
π /2 SUHV HQWDQ HQ ODV ¿JXUDV D \ E UHVSHFWLYDPHQWH

b) EJEMPLO 7 Soluciones de estado transitorio y de estado estable

FIGURA 5.1.12 *Ui¿FD GH OD VROXFLyQ /D VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV
GDGD HQ GHO HMHPSOR

d2x dx 2 sent, x(0) 0, x (0) x1,
2 2x 4 cos t 2 sent.
x dt2 dt
x1 =7
x1 =3 donde x HV FRQVWDQWH HVWi GDGD SRU
x1 =0
x(t) (x1 2) e t sent

x1=_3 transitorio estado estable

t /DV FXUYDV VROXFLyQ SDUD YDORUHV VHOHFFLRQDGRV GH OD YHORFLGDG LQLFLDO x DSDUHFHQ HQ
OD ¿JXUD /DV JUi¿FDV PXHVWUDQ TXH OD LQÀXHQFLD GHO WpUPLQR WUDQVLWRULR HV GHV-
SUHFLDEOH SDUD XQ YDORU DSUR[LPDGR GH t Ͼ ʌ͞

π 2π ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO &XDQGR VH
HMHUFH XQD IXHU]D SHULyGLFD VLQ IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR QR KD\ WpUPLQR WUDQVLWRULR
FIGURA 5.1.13 *Ui¿FD GH OD VROXFLyQ HQ OD VROXFLyQ GH XQ SUREOHPD 7DPELpQ VH YH TXH XQD IXHU]D SHULyGLFD FRQ XQD IUH-
GHO HMHPSOR SDUD GLIHUHQWHV x FXHQFLD FHUFDQD R LJXDO TXH OD IUHFXHQFLD GH ODV YLEUDFLRQHV OLEUHV DPRUWLJXDGDV FDXVD
XQ SUREOHPD JUDYH HQ XQ VLVWHPD PHFiQLFR RVFLODWRULR

EJEMPLO 8 Movimiento no amortiguado forzado

5HVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORU LQLFLDO

d2x 2x F0 sen t, x(0) 0, x (0) 0
dt2 Ȧ

donde F0 HV XQD FRQVWDQWH \ Ȗ

196 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

SOLUCIÓN /D IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULD HV xc(t ϭ c cos ȦW ϩ c sen ȦW 3DUD REWHQHU
XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU VH VXSRQH xp(t ϭ A cos ȖW ϩ B sen ȖW SRU OR TXH

x p 2xp A( 2 2) cos t B( 2 2) sen t F0 sen t.

,JXDODQGR ORV FRH¿FLHQWHV VH REWLHQH GH LQPHGLDWR A ϭ \ B ϭ F0͞(Ȧ Ϫ Ȗ 3RU WDQWR

xp(t) F0 2 sen t.

2

$SOLFDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV D OD VROXFLyQ JHQHUDO

x(t) c1 cos t c2 sen t F0 2 sen t

2

se obtiene c ϭ \ c ϭ ϪȖ)0͞Ȧ(Ȧ Ϫ Ȗ 3RU WDQWR OD VROXFLyQ HV

x(t) F0 2) ( sen t sen t),
(2

RESONANCIA PURA $XQTXH OD HFXDFLyQ QR VH GH¿QH SDUD Ȗ ϭ Ȧ HV LQWH-
UHVDQWH REVHUYDU TXH VX YDORU OtPLWH FRQIRUPH Ȗ → Ȧ VH REWLHQH DO DSOLFDU OD UHJOD GH
/
+{SLWDO (VWH SURFHVR OtPLWH HV DQiORJR D ³VLQWRQL]DU´ OD IUHFXHQFLD GH OD IXHU]D
LPSXOVRUD Ȗ͞ ʌ FRQ OD IUHFXHQFLD GH YLEUDFLRQHV OLEUHV Ȧ͞ ʌ 'H XQD PDQHUD LQ
WXLWLYD VH HVSHUD TXH HQ XQ HVSDFLR GH WLHPSR VH GHEDQ SRGHU LQFUHPHQWDU HQ IRUPD
VXVWDQFLDO ODV DPSOLWXGHV GH YLEUDFLyQ 3DUD Ȗ ϭ Ȧ VH GH¿QH OD VROXFLyQ FRPR

d ( sen t sen t)
2)
x(t) lím F0 sen t sen t F0 lím d
: (2 2) :
d 3
(
d

F0 lím sen t t cos t
:
2

x sen t t cos t
t F0 2 2

FIGURA 5.1.14 5HVRQDQFLD SXUD F0 sen t F0 t cos t.
22 2

&RPR VH VRVSHFKDED FRQIRUPH t → ϱ ORV GHVSOD]DPLHQWRV VH YXHOYHQ ODUJRV GH
KHFKR ͉x(tn ͉ → ϱ FXDQGR tn ϭ Qʌ͞Ȧ n ϭ (O IHQyPHQR UHFLpQ GHVFULWR VH
conoce como resonancia pura /D JUi¿FD GH OD ¿JXUD PXHVWUD HO PRYLPLHQWR
FDUDFWHUtVWLFR HQ HVWH FDVR

(Q FRQFOXVLyQ VH GHEH REVHUYDU TXH QR KD\ QHFHVLGDG UHDO GH XVDU XQ SURFHVR
OtPLWH HQ SDUD REWHQHU OD VROXFLyQ SDUD Ȗ ϭ Ȧ $OWHUQDWLYDPHQWH OD HFXDFLyQ
VH GHGXFH UHVROYLHQGR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV

d 2x 2x F0 sen t, x(0) 0, x (0) 0
dt2

HQ IRUPD GLUHFWD SRU PpWRGRV FRQYHQFLRQDOHV

6L UHDOPHQWH XQD IXQFLyQ FRPR OD HFXDFLyQ GHVFULELHUD ORV GHVSOD]DPLHQWRV GH

XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD HO VLVWHPD QHFHVDULDPHQWH IDOODUtD /DV RVFLODFLRQHV JUDQGHV

GH OD PDVD IRU]DUiQ HQ DOJ~Q PRPHQWR HO UHVRUWH PiV DOOi GH VX OtPLWH HOiVWLFR 6H SRGUtD

DUJXPHQWDU WDPELpQ TXH HO PRGHOR UHVRQDQWH SUHVHQWDGR HQ OD ¿JXUD HV SRU FRP-

SOHWR LUUHDO SRUTXH QR VH WRPDQ HQ FXHQWD ORV HIHFWRV UHWDUGDGRUHV GH ODV IXHU]DV GH DPRU-

WLJXDPLHQWR TXH VLHPSUH HVWiQ SUHVHQWHV $XQTXH HV YHUGDG TXH OD UHVRQDQFLD SXUD QR

SXHGH RFXUULU FXDQGR VH WRPD HQ FRQVLGHUDFLyQ OD FDQWLGDG SHTXHxD GH DPRUWLJXDPLHQ

WR ODV DPSOLWXGHV GH YLEUDFLyQ JUDQGHV H LJXDOPHQWH GHVWUXFWLYDV SXHGHQ RFXUULU DXQTXH

DFRWDGDV FRQIRUPH t → ϱ 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 197

5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO

EL R CIRCUITOS LRC EN SERIE &RPR VH PHQFLRQy HQ OD LQWURGXFFLyQ GH HVWH FDStWXOR PX-
FKRV VLVWHPDV ItVLFRV GLIHUHQWHV VH GHVFULEHQ PHGLDQWH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR
RUGHQ VLPLODU D OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH PRYLPLHQWR IRU]DGR FRQ DPRUWLJXDPLHQWR

C d2x dx kx f(t)
m dt2 dt
FIGURA 5.1.15 &LUFXLWR LRC en
VHULH Si i(t GHQRWD OD FRUULHQWH HQ HO circuito eléctrico en serie LRC TXH VH PXHVWUD HQ OD
¿JXUD HQWRQFHV ODV FDtGDV GH YROWDMH HQ HO LQGXFWRU UHVLVWRU \ FDSDFLWRU VRQ
FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 3RU OD VHJXQGD OH\ GH .LUFKKRII OD VXPD GH HVWRV
YROWDMHV HV LJXDO DO YROWDMH E(t DSOLFDGR DO FLUFXLWR HV GHFLU

di Ri 1 E(t)
L q
dt C

3HUR OD FDUJD q(t HQ HO FDSDFLWRU VH UHODFLRQD FRQ OD FRUULHQWH i(t FRQ i ϭ dq͞dt DVt OD
HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ

d 2q dq 1 E(t)
L dt2 R q

dt C

/D QRPHQFODWXUD XVDGD HQ HO DQiOLVLV GH FLUFXLWRV HV VLPLODU D OD TXH VH HPSOHD
SDUD GHVFULELU VLVWHPDV UHVRUWH PDVD

Si E(t ϭ VH GLFH TXH ODV vibraciones eléctricas GHO FLUFXLWR HVWiQ libres 'HELGR D
TXH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU SDUD HV Lm ϩ Rm ϩ ͞C ϭ KDEUi WUHV IRUPDV GH VROXFLyQ
con R GHSHQGLHQGR GHO YDORU GHO GLVFULPLQDQWH R Ϫ 4L͞C 6H GLFH TXH HO FLUFXLWR HV

sobreamortiguado si R Ϫ 4L͞C Ͼ

críticamente amortiguado si R Ϫ 4L͞C ϭ

\ subamortiguado si R Ϫ 4L͞C Ͻ

(Q FDGD XQR GH HVWRV WUHV FDVRV OD VROXFLyQ JHQHUDO GH FRQWLHQH HO IDFWRU eϪRt͞ L
DVt q(t → FRQIRUPH t → ϱ (Q HO FDVR VXEDPRUWLJXDGR FXDQGR q ϭ q0 OD FDUJD
HQ HO FDSDFLWRU RVFLOD D PHGLGD TXH pVWD GLVPLQX\H HQ RWUDV SDODEUDV HO FDSDFLWRU VH
FDUJD \ VH GHVFDUJD FRQIRUPH t → ϱ &XDQGR E(t ϭ \ R ϭ VH GLFH TXH HO FLUFXLWR
QR HVWi DPRUWLJXDGR \ ODV YLEUDFLRQHV HOpFWULFDV QR WLHQGHQ D FHUR FRQIRUPH t crece sin
OtPLWH OD UHVSXHVWD GHO FLUFXLWR HV armónica simple

EJEMPLO 9 Circuito en serie subamortiguado

(QFXHQWUH OD FDUJD q(t HQ HO FDSDFLWRU HQ XQ FLUFXLWR LRC FXDQGR L ϭ KHQU\ K
R ϭ RKPV ⍀ C ϭ IDUDG I E(t ϭ q ϭ q0 FRXORPEV & H i ϭ

SOLUCIÓN 3XHVWR TXH ͞C ϭ OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

1 40q
q 10q 1000q 0 o q 4000q 0.
4

5HVROYLHQGR HVWD HFXDFLyQ KRPRJpQHD GH OD PDQHUD XVXDO VH HQFXHQWUD TXH HO FLUFXLWR

HV VXEDPRUWLJXDGR \ q(t ϭ eϪ t(c FRV t ϩ c VHQ t $SOLFDQGR ODV FRQGLFLRQHV

LQLFLDOHV VH HQFXHQWUD c ϭ q0 \ c2 1 q0 3RU WDQWR
3

q(t) q0e 20t cos 60t 1
sen 60t .

3

198 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

8VDQGR SRGHPRV HVFULELU OD VROXFLyQ DQWHULRU FRPR

q(t) q0 1 10 e 20tsen(60t 1.249).
3

&XDQGR VH DSOLFD XQ YROWDMH E(t DO FLUFXLWR VH GLFH TXH ODV YLEUDFLRQHV HOpFWULFDV
son forzadas (Q HO FDVR FXDQGR R OD IXQFLyQ FRPSOHPHQWDULD qc(t GH VH
llama solución transitoria 6L E(t HV SHULyGLFD R XQD FRQVWDQWH HQWRQFHV OD VROXFLyQ
SDUWLFXODU qp(t GH HV XQD solución de estado estable

EJEMPLO 10 Corriente de estado estable

(QFXHQWUH OD VROXFLyQ GH HVWDGR HVWDEOH qp(t \ OD corriente de estado estable HQ XQ
FLUFXLWR LRC HQ VHULH FXDQGR HO YROWDMH DSOLFDGR HV E(t ϭ E0 sen ȖW

SOLUCIÓN /D VROXFLyQ GH HVWDGR HVWDEOH qp(t HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXD-
FLyQ GLIHUHQFLDO

d 2q dq 1 E0 sen t.
L dt2 R q
dt C

&RQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH VXSRQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD
IRUPD qp(t ϭ A sen ȖW ϩ B cos ȖW 6XVWLWX\HQGR HVWD H[SUHVLyQ HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQ-
FLDO H LJXDODQGR FRH¿FLHQWHV VH REWLHQH

E0 L 1

A C ,B E0R .

L2 2 2L 1 R2 L2 2 2L 1 R2
C C2 2 C C2 2

(V FRQYHQLHQWH H[SUHVDU A \ B HQ WpUPLQRV GH DOJXQRV QXHYRV VtPERORV

Si XL 1, entonces X2 L2 2 2L 1 2
C C C2

Si Z 1X2 R2, entonces Z2 L2 2 2L 1 R2.
C C2 2

Por tanto A ϭ E0X͞(ϪȖ= \ B ϭ E0R͞(ϪȖ= DVt TXH OD FDUJD GH HVWDGR HVWDEOH HV

qp(t) E0 X sen t E0 R cos t.
Z2 Z2

$KRUD OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWDEOH HVWi GDGD SRU ip(t) qp(t):

ip(t) E0 R t X t
sen cos
ZZ Z

/DV FDQWLGDGHV X ϭ /Ȗ Ϫ ͞&Ȗ \ Z 1X2 R2 GH¿QLGDV HQ HO HMHPSOR VH
llaman reactancia e impedancia GHO FLUFXLWR UHVSHFWLYDPHQWH 7DQWR OD UHDFWDQFLD
FRPR OD LPSHGDQFLD VH PLGHQ HQ RKPV

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 199

EJERCICIOS 5.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-7.

5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA: FHQGHQWH GH SLHV V ¢&XiQWRV FLFORV HQWHURV KDEUi FRP-
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO SOHWDGR OD PDVD DO ¿QDO GH ʌ VHJXQGRV"

1. UnD PDVD TXH SHVD OLEUDV VH XQH D XQ UHVRUWH FX\D FRQV- 9. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV VH XQH D XQ UHVRUWH &XDQGR
WDQWH HV OE SLH ¢&XiO HV HO SHULRGR GHO PRYLPLHQWR VH SRQH HQ PRYLPLHQWR HO VLVWHPD UHVRUWH PDVD H[KLEH
DUPyQLFR VLPSOH" PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH

2. 8QD PDVD GH NLORJUDPRV VH XQH D XQ UHVRUWH 6L OD IUH- a) 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD FRQVWDQWH
FXHQFLD GHO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH HV ͞ʌ FLFORV V
¢FXiO HV OD FRQVWDQWH GH UHVRUWH k" ¢&XiO HV OD IUHFXHQFLD GH UHVRUWH HV OE SLH \ OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH
GHO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH VL OD PDVD RULJLQDO VH
UHHPSOD]D FRQ XQD PDVD GH NLORJUDPRV" GHVGH XQ SXQWR SXOJDGDV DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOL-

3. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV XQLGD DO H[WUHPR GH XQ UH- EULR FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH GH 3 SLH V
VRUWH OR DODUJD SXOJDGDV $O LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD 2
GHVGH HO UHSRVR HQ XQ SXQWR SXOJDGDV DUULED GH OD SRVL-
FLyQ GH HTXLOLEULR (QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR b) ([SUHVH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ OD IRUPD GDGD

4. 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD PDVD GHO SUR- HQ
EOHPD VH OLEHUD DO LQLFLR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR
FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH GH SLHV V c) ([ SUHVH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ OD IRUPD GDGD
HQ 
5. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SXOJDGDV XQ UHVRUWH
/D PDVD VH OLEHUD DO LQLFLR GHVGH HO UHSRVR HQ XQ SXQWR 10. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD XQ UHVRUWH 1 SLH (VWD
SXOJDGDV DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR 4
PDVD VH UHWLUD \ VH FRORFD XQD GH VOXJV TXH VH OLEHUD
a) (QFXHQWUH OD SRVLFLyQ GH OD PDVD HQ ORV WLHPSRV t ϭ
ʌ͞ ʌ͞ ʌ͞ ʌ͞ \ ʌ͞ V GHVGH XQ SXQWR VLWXDGR D 1 SLH DUULED GH OD SRVLFLyQ GH
3
b) ¢&XiO HV OD YHORFLGDG GH OD PDVD FXDQGR t ϭ ʌ͞ V" HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH GH 5 SLH V
¢(Q TXp GLUHFFLyQ VH GLULJH OD PDVD HQ HVWH LQVWDQWH" 4

c) ¢(Q TXp WLHPSRV OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXL- a) ([S UHVH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ OD IRUPD GDGD
OLEULR"
HQ
6. 8QD IXHU]D GH QHZWRQV DODUJD PHWURV XQ UHVRUWH
8QD PDVD GH NLORJUDPRV VH XQH DO H[WUHPR GHO UHVRUWH b) ([ SUHVH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ OD IRUPD GDGD
\ VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQ 
FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWH GH P V (QFXHQWUH OD
HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR c) 8WLOLFH ORV UHVXOWDGRV GH D \ E SDUD YHU HQ TXp WLHP-

7. 2WUR UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV 1 P VH VXVSHQGH GHO SRV OD PDVD ORJUD XQ GHVSOD]DPLHQWR GHEDMR GH OD SRVLFLyQ
PLVPR VRSRUWH SHUR SDUDOHOR DO VLVWHPD UHVRUWH PDVD
GHO SUREOHPD $O VHJXQGR UHVRUWH VH OH FRORFD XQD GH HTXLOLEULR QXPpULFDPHQWH LJXDO D 1 GH OD DPSOLWXG
PDVD GH NLORJUDPRV \ DPEDV PDVDV VH OLEHUDQ DO LQL- 2
FLR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG
DVFHQGHQWH GH P V 11. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SLHV XQ UHVRUWH
$O LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR TXH HVWi SXO-
a) ¢&XiO PDVD SUHVHQWD OD PD\RU DPSOLWXG GH PRYL- JDGDV DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFL-
PLHQWR" GDG GHVFHQGHQWH GH SLHV V

b) ¢ &XiO PDVD VH PXHYH PiV UiSLGR HQ t ϭ ʌ͞ V" ¢(Q a) (QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR
ʌ͞ V"
b) ¢&XiOHV VRQ OD DPSOLWXG \ HO SHULRGR GHO PRYLPLHQWR"
c) ¢(Q TXp LQVWDQWHV ODV GRV PDVDV HVWiQ HQ OD PLVPD
SRVLFLyQ" ¢'yQGH HVWiQ ODV PDVDV HQ HVWRV LQVWDQWHV" c) ¢ &XiQWRV FLFORV FRPSOHWRV KDEUi UHDOL]DGR OD PDVD DO
¢(Q TXp GLUHFFLRQHV VH HVWiQ PRYLHQGR ODV PDVDV" ¿QDO GH ʌ VHJXQGRV"

8. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SLHV XQ UHVRUWH d) ¢(Q TXp PRPHQWR OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH
'HWHUPLQH OD DPSOLWXG \ HO SHULRGR GH PRYLPLHQWR VL OD HTXLOLEULR FRQ GLUHFFLyQ KDFLD DEDMR SRU VHJXQGD YH]"
PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH XQ SXQWR VLWXDGR SLH
DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DV- e) ¢ (Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD DOFDQ]D VXV GHVSOD]DPLHQWRV
H[WUHPRV HQ FXDOTXLHU ODGR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR"

f) ¢&XiO HV OD SRVLFLyQ GH OD PDVD HQ t ϭ V"

g) ¢&XiO HV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD HQ t ϭ V"

h) ¢&XiO HV OD DFHOHUDFLyQ HQ t ϭ V"

i) ¢ &XiO HV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD HQ ORV PRPHQWRV HQ
TXH OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR"

j) ¢ (Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD HVWi SXOJDGDV DEDMR GH OD
SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR"

k) ¢(Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD HVWi SXOJDGDV DEDMR GH OD SR-
VLFLyQ GH HTXLOLEULR DSXQWDQGR HQ GLUHFFLyQ KDFLD DUULED"

12. 8QD PDVD GH VOXJ VH VXVSHQGH GH XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV
GH OE͞SLH ,QLFLDOPHQWH OD PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR TXH
HVWi SLH DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG
ascendente de 13 SLHV V 'HWHUPLQH ORV LQVWDQWHV HQ ORV TXH
OD PDVD VH GLULJH KDFLD DEDMR D XQD YHORFLGDG GH SLHV V

200 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

13. %DMR DOJXQDV FLUFXQVWDQFLDV FXDQGR GRV UHVRUWHV SDUD 17. x
OHORV FRQ FRQVWDQWHV k \ k VRSRUWDQ XQD VROD PDVD OD
constante de resorte efectiva GHO VLVWHPD VH H[SUHVD t
como k ϭ 4k k ͞(k ϩ k 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV
HVWLUD SXOJDGDV XQ UHVRUWH \ SXOJDGDV RWUR UHVRUWH /RV FIGURA 5.1.17 *Ui¿FD GHO SUREOHPD
UHVRUWHV VH XQHQ D XQ VRSRUWH UtJLGR FRP~Q \ OXHJR D XQD 18. x
SODFD PHWiOLFD &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD OD
PDVD VH XQH DO FHQWUR GH OD SODFD HQ OD FRQ¿JXUDFLyQ GH
UHVRUWH GREOH 'HWHUPLQH OD FRQVWDQWH GH UHVRUWH HIHFWLYD
GH HVWH VLVWHPD (QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL
OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOL-
EULR FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH GH SLHV V

k1 k2 t

20 lb FIGURA 5.1.18 *Ui¿FD GHO SUREOHPD
19. x
FIGURA 5.1.16 Sistema de resorte doble del
SUREOHPD

14. 8QD FLHUWD PDVD DODUJD XQ UHVRUWH 1 SLH \ RWUR UHVRUWH 1 t
3 2
FIGURA 5.1.19 *Ui¿FD GHO SUREOHPD
SLH /RV GRV UHVRUWHV VH XQHQ D XQ VRSRUWH UtJLGR FRP~Q 20. x

HQ OD PDQHUD GHVFULWD HQ HO SUREOHPD \ HQ OD ¿JXUD t

6H TXLWD OD SULPHUD PDVD \ VH FRORFD XQD TXH SHVD FIGURA 5.1.20 *Ui¿FD GHO SUREOHPD

OLEUDV HQ OD FRQ¿JXUDFLyQ GH UHVRUWH GREOH \ VH SRQH HQ

PRYLPLHQWR HO VLVWHPD 6L HO SHULRGR GH PRYLPLHQWR HV

ʌ͞ VHJXQGRV GHWHUPLQH FXiQWR SHVD OD SULPHUD PDVD

15. 8Q PRGHOR GH XQ VLVWHPD GH UHVRUWH PDVD HV xЉ ϩ eϪ tx
ϭ 3RU LQVSHFFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VRODPHQWH
GHVFULED HO FRPSRUWDPLHQWR GHO VLVWHPD GXUDQWH XQ SH-
ULRGR ODUJR

16. (O PRGHOR GH XQ VLVWHPD GH UHVRUWH PDVD HV xЉ ϩ tx ϭ
3RU LQVSHFFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VRODPHQWH GHV-
FULED HO FRPSRUWDPLHQWR GHO VLVWHPD GXUDQWH XQ SHULRGR
ODUJR

5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: 21. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV VH XQH D XQ UHVRUWH FX\D FRQV-
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO WDQWH HV OE SLH (O PHGLR RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRU-
WLJXDPLHQWR TXH HV QXPpULFDPHQWH LJXDO D OD YHORFLGDG
(Q ORV SUREOHPDV D OD ¿JXUD UHSUHVHQWD OD JUi¿FD GH XQD LQVWDQWiQHD /D PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR VLWXDGR
HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR SDUD XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD DPRUWL- SLH DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFL-
JXDGR 8VH OD JUi¿FD SDUD GHWHUPLQDU GDG GHVFHQGHQWH GH SLHV V 'HWHUPLQH HO WLHPSR HQ HO
TXH OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (QFXHQWUH
a) V L HO GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO HVWi DUULED R DEDMR GH OD SRVL- HO WLHPSR HQ HO TXH OD PDVD DOFDQ]D VX GHVSOD]DPLHQWR
FLyQ GH HTXLOLEULR \ H[WUHPR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR ¢&XiO HV OD SRVL-
FLyQ GH OD PDVD HQ HVWH LQVWDQWH"
b) VL OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH HO UHSRVR FRQ GL-
UHFFLyQ GHVFHQGHQWH R DVFHQGHQWH

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 201

22. UQ UHVRUWH GH SLHV PLGH SLHV GH ODUJR GHVSXpV GH FRO- lRV YDORUHV GH OD FRQVWDQWH GH DPRUWLJXDPLHQWR ȕ SRU OR
JDUOH XQD PDVD TXH SHVD OLEUDV (O PHGLR SRU HO TXH VH TXH HO PRYLPLHQWR SRVWHULRU VHD a) VREUHDPRUWLJXDGR
PXHYH OD PDVD RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO b) FUtWLFDPHQWH DPRUWLJXDGR \ c) VXEDPRUWLJXDGR
a 12 YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD (QFXHQWUH OD HFXD-
FLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH 28. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SLHV XQ UHVRUWH (O
OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH PRYLPLHQWR SRVWHULRU WRPD OXJDU HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH
GH SLHV V &DOFXOH HO WLHPSR HQ TXH OD PDVD DOFDQ]D VX XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO D ȕ (ȕ Ͼ YHFHV OD
GHVSOD]DPLHQWR H[WUHPR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR YHORFLGDG LQVWDQWiQHD 6L DO LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGH
¢&XiO HV OD SRVLFLyQ GH OD PDVD HQ HVH LQVWDQWH" OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWH
GH SLHV V PXHVWUH TXH FXDQGR 312 OD HFXDFLyQ GH
23. 8QD PDVD GH NLORJUDPR VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQV-
WDQWH HV 1 P \ OXHJR HO VLVWHPD FRPSOHWR VH VXPHUJH movimiento es
HQ XQ OtTXLGR TXH LPSDUWH XQD IXHU]D DPRUWLJXDGRUD LJXDO
D YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD 'HWHUPLQH ODV HFXD- x(t) 3 e 2 t/3 senh2 1 2 18t.
ciones de movimiento si: 1 2 18 3

a) DO LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR VLWXDGR 5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA:
PHWUR DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR \ OXHJR MOVIMIENTO FORZADO

b) OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH XQ SXQWR PH WUR 29. UQD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD 8 SLH XQ UHVRUWH /D
DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG 3
DVFHQGHQWH GH P V PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH HO UHSRVR GHVGH XQ

24. (Q ORV LQFLVRV D \ E GHO SUREOHPD GHWHUPLQH VL OD SXQWR SLHV DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR \ HO PR-
PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (Q FDGD FDVR
FDOFXOH HO WLHPSR HQ TXH OD PDVD DOFDQ]D VX GHVSOD]D- YLPLHQWR SRVWHULRU RFXUUH HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH XQD
PLHQWR H[WUHPR GHVGH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR ¢&XiO HV 1
OD SRVLFLyQ GH OD PDVD HQ HVWH LQVWDQWH" IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO D 2 de la velocidad

25. 8QD IXHU]D GH OLEUDV DODUJD SLH XQ UHVRUWH 8QD PDVD LQVWDQWiQHD (QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL VH
TXH SHVD OLEUDV VH XQH DO UHVRUWH \ OXHJR VH VXPHUJH HO
VLVWHPD HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXD- DSOLFD D OD PDVD XQD IXHU]D H[WHUQD LJXDO D f (t ϭ FRV
PLHQWR LJXDO D YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD
t.
a) ( QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL LQLFLDOPHQWH
VH OLEHUD OD PDVD GHVGH HO UHSRVR HQ XQ SXQWR VLWXDGR 30. 8QD PDVD GH VOXJ HVWi XQLGD D XQ UHVRUWH FX\D FRQV-
D SLH SRU HQFLPD GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR WDQWH HV OE SLH $O LQLFLR OD PDVD VH OLEHUD SLH DEDMR GH
OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG GHVFHQGHQWH
b) ( [SUHVH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ OD IRUPD GDGD GH SLHV V \ HO PRYLPLHQWR SRVWHULRU WRPD OXJDU HQ XQ
HQ PHGLR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO D
GRV YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD
c) (QFXHQWUH OD SULPHUD YH] HQ TXH OD PDVD SDVD D WUDYpV
GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQ GLUHFFLyQ KDFLD DUULED a) ( QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL XQD IXHU]D
H[WHUQD LJXDO D f (t ϭ FRV t ϩ VHQ t DFW~D
26. 'HVSXpV GH TXH XQD PDVD GH OLEUDV VH VXMHWD D XQ UH- VREUH OD PDVD
VRUWH GH SLHV pVWH OOHJD D PHGLU SLHV 6H UHWLUD OD PDVD
\ VH VXVWLWX\H FRQ XQD GH OLEUDV /XHJR VH FRORFD DO b) 7UDFH OD JUi¿FD GH ODV VROXFLRQHV WUDQVLWRULDV \ GH HV-
VLVWHPD HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXD- WDGR HVWDEOH HQ ORV PLVPRV HMHV GH FRRUGHQDGDV
PLHQWR LJXDO D OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD
a) ( QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD PDVD VH OL- c) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR
EHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH HO UHSRVR GH XQ SXQWR VLWXDGR
͞ SLH DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD 31. 8QD PDVD GH VOXJ FXDQGR VH XQH D XQ UHVRUWH FDXVD HQ
YHORFLGDG GHVFHQGHQWH GH GH SLH͞V pVWH XQ DODUJDPLHQWR GH SLHV \ OXHJR OOHJD DO SXQWR GH
b) ( [SUHVH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ OD IRUPD GDGD UHSRVR HQ OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR (PSH]DQGR HQ t ϭ
HQ XQD IXHU]D H[WHUQD LJXDO D f(t ϭ VHQ t VH DSOLFD DO VLV-
WHPD (QFXHQWUH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL HO PHGLR
c) &DOFXOH ORV WLHPSRV HQ ORV TXH OD PDVD SDVD SRU OD FLUFXQGDQWH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO D
SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ GLUHFFLyQ KDFLD DEDMR YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD

d) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR 32. (Q HO SUREOHPD GHWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR
VL OD IXHU]D H[WHUQD HV f(t ϭ eϪt sen 4t $QDOLFH HO GHVSOD-
27. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV SURGXFH XQ DODUJDPLHQWR GH ]DPLHQWR SDUD t → ϱ
SLHV HQ XQ UHVRUWH /D PDVD VH XQH D XQ GLVSRVLWLYR DPRU-
WLJXDGRU TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO 33. &XDQGR XQD PDVD GH NLORJUDPRV VH XQH D XQ UHVRUWH FX\D
a ȕ (ȕ Ͼ YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD 'HWHUPLQH FRQVWDQWH HV 1͞P pVWH OOHJD DO UHSRVR HQ OD SRVLFLyQ GH
HTXLOLEULR &RPHQ]DQGR HQ t ϭ XQD IXHU]D LJXDO D f(t ϭ
eϪ t cos 4t VH DSOLFD DO VLVWHPD 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH
PRYLPLHQWR HQ DXVHQFLD GH DPRUWLJXDPLHQWR

34. (Q HO SUREOHPD HVFULED OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR HQ
OD IRUPD x(t ϭ Asen(ȦW ϩ ‫ ׋‬ϩ BeϪ tsen(4t ϩ ș ¢&XiO
HV OD DPSOLWXG GH ODV YLEUDFLRQHV GHVSXpV GH XQ WLHPSR
PX\ ODUJR"

202 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

35. Una masa m HVWi XQLGD DO H[WUHPR GH XQ UHVRUWH FX\D b) (YDO~H lím F0 2 (cos t cos t)
constante es k 'HVSXpV GH TXH OD PDVD DOFDQ]D HO HTXLOL- :
EULR VX VRSRUWH HPSLH]D D RVFLODU YHUWLFDOPHQWH UHVSHFWR 2
D XQD UHFWD KRUL]RQWDO L GH DFXHUGR FRQ XQD IyUPXOD h(t
(O YDORU GH h UHSUHVHQWD OD GLVWDQFLD HQ SLHV PHGLGD GHVGH 40. &RPSDUH HO UHVXOWDGR REWHQLGR HQ HO LQFLVR E GHO SUR-
L 9HD OD ¿JXUD EOHPD FRQ OD VROXFLyQ REWHQLGD XVDQGR OD YDULDFLyQ GH
a) 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH PRYLPLHQWR VL SDUiPHWURV FXDQGR OD IXHU]D H[WHUQD HV F0 cos ȦW
HO VLVWHPD HQWHUR VH PXHYH HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH
XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR LJXDO D ȕ(dx͞dt 41. a) 0 XHVWUH TXH x(t GDGD HQ HO LQFLVR D GHO SUREOHPD
b) 5 HVXHOYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO LQFLVR D VL HO UH- VH SXHGH HVFULELU HQ OD IRUPD
VRUWH VH DODUJD SLHV FRQ XQD PDVD TXH SHVD OLEUDV
\ ȕ ϭ h(t ϭ FRV t x ϭ xЈ ϭ x(t) 2F0 1 ( 1 )t.
sen )t sen (
soporte 2 2
2 2
L
h(t) b) 6 L VH GH¿QH 1 ( ) PXHVWUH TXH FXDQGR İ es
2
SHTXHxD XQD VROXFLyQ DSUR[LPDGD HV

FIGURA 5.1.21 6RSRUWH RVFLODQWH GHO SUREOHPD x(t) F0 sen t sen t.
2
36. 8QD PDVD GH JUDPRV VH ¿MD D XQ UHVRUWH FX\D FRQV-
WDQWH HV GLQDV FP 'HVSXpV GH TXH OD PDVD DOFDQ]D HO &XDQGR İ HV SHTXHxD OD IUHFXHQFLD Ȗ͞ ʌ GH OD IXHU]D DSOL-
HTXLOLEULR VX DSR\R RVFLOD GH DFXHUGR FRQ OD IyUPXOD h(t FDGD HV FHUFDQD D OD IUHFXHQFLD Ȧ͞ ʌ GH YLEUDFLRQHV OLEUHV
ϭ VHQ t GRQGH h UHSUHVHQWD HO GHVSOD]DPLHQWR GHVGH VX &XDQGR HVWR RFXUUH HO PRYLPLHQWR HV FRPR VH LQGLFD HQ OD
SRVLFLyQ RULJLQDO 9pDQVH HO SUREOHPD \ OD ¿JXUD ¿JXUD /DV RVFLODFLRQHV GH HVWD FODVH VH OODPDQ pulsa-
ciones \ VH GHEHQ DO KHFKR GH TXH OD IUHFXHQFLD GH VHQ İW es
a) ( Q DXVHQFLD GH DPRUWLJXDPLHQWR GHWHUPLQH OD HFXD- EDVWDQWH SHTXHxD HQ FRPSDUDFLyQ FRQ OD IUHFXHQFLD GH VHQ
FLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD PDVD SDUWH GHO UHSRVR GHVGH ȖW /DV FXUYDV SXQWHDGDV R HQYROWXUD GH OD JUi¿FD GH x(t VH
OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR REWLHQHQ GH ODV JUi¿FDV GH Ϯ(F0 ͞ İȖ VHQ İW 8VH XQ SUR-
JUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU JUi¿FDV FRQ YDULRV YDORUHV
b) ¢(Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH de F0 İ \ Ȗ SDUD FRPSUREDU OD JUi¿FD GH OD ¿JXUD
HTXLOLEULR"
x
c) ¢ (Q TXp WLHPSRV OD PDVD DOFDQ]D VXV GHVSOD]DPLHQ-
WRV H[WUHPRV" t

d) ¢ &XiOHV VRQ ORV GHVSOD]DPLHQWRV Pi[LPR \ PtQLPR" FIGURA 5.1.22 )HQyPHQR GH SXOVDFLRQHV GHO SUREOHPD

e) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR

(Q ORV SUREOHPDV \ UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV Tarea para el laboratorio de computación
LQLFLDOHV
42. ¢3XHGH KDEHU SXOVDFLRQHV FXDQGR VH DJUHJD XQD IXHU]D
d2x GH DPRUWLJXDPLHQWR DO PRGHOR GHO LQFLVR D GHO SUREOHPD
37. 4x 5 sen 2t 3 cos 2t, " 'H¿HQGD VX SRVLFLyQ FRQ ODV JUi¿FDV REWHQLGDV \D
dt2 VHD GH OD VROXFLyQ H[SOtFLWD GHO SUREOHPD

x(0) 1, x (0) 1

d 2x d2x dx 2x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0
2
38. 9x 5 sen 3t, x(0) 2, x (0) 0 dt2 dt
dt2

39. a) 0 XHVWUH TXH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQL- R GH FXUYDV VROXFLyQ REWHQLGDV XVDQGR XQ SURJUDPD GH
VROXFLyQ QXPpULFD
ciales

d 2x 2x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0
dt2
43. a) 0XHVWUH TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH

es x(t) F0 2 (cos t cos t) d2x dx 2x F0 sen t
2
2 dt2 dt

5.1 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES l 203

es 5.1.4 CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
x(t) Ae ltsen 2v2 l2t f

1( 2 F0 sen( t ), 45. (QFXHQWUH OD FDUJD HQ HO FDSDFLWRU GH XQ FLUFXLWR HQ VHULH
2)2 4 2 2 LRC en t ϭ V FXDQGR L ϭ K R ϭ ⍀ C ϭ
I E(t ϭ 9 q ϭ & H i ϭ $ 'HWHUPLQH OD
donde A 1c12 c22 \ ORV iQJXORV GH IDVH ‫ \ ׋‬ș SULPHUD YH] HQ TXH OD FDUJD GHO FDSDFLWRU HV LJXDO D FHUR
HVWiQ UHVSHFWLYDPHQWH GH¿QLGRV SRU VHQ ‫ ׋‬ϭ c ͞A
cos ‫ ׋‬ϭ c ͞A \ 46. &DOFXOH OD FDUJD GHO FDSDFLWRU HQ XQ FLUFXLWR LRC en serie

FXDQGR L 1 h R ϭ ⍀ C 1 f, E(t ϭ 9 q
4 300
ϭ 4 C e i ϭ $ ¢$OJXQD YH] OD FDUJD HQ HO FDSDFLWRU
2
sen ,
1( 2 2)2 4 2 2 HV LJXDO D FHUR"

22 (Q ORV SUREOHPDV \ HQFXHQWUH OD FDUJD HQ HO FDSDFLWRU
\ OD FRUULHQWH HQ HO FLUFXLWR LRC 'HWHUPLQH OD FDUJD Pi[LPD
cos . HQ HO FDSDFLWRU
1( 2 2)2 4 2 2

b) /D VROXFLyQ GHO LQFLVR D WLHQH OD IRUPD x(t ϭ xc(t ϩ 47. L 5 h, R ϭ ⍀ C 1 f, E(t ϭ 9 q ϭ &
xp(t /D LQVSHFFLyQ PXHVWUD TXH xc(t HV WUDQVLWRULD \ 3 30
SRU WDQWR SDUD YDORUHV JUDQGHV GH WLHPSR OD VROXFLyQ
i ϭ $
VH DSUR[LPD PHGLDQWH xp(t ϭ g(Ȗ VHQ ȖW ϩ ș GRQGH

g( ) F0 . 48. L ϭ K R ϭ ⍀ C ϭ I E(t ϭ 9
1( 2 2)2 4 2 2 q ϭ & i ϭ $

$XQTXH OD DPSOLWXG g(Ȗ GH xp(t HVWi DFRWDGD FRQ- 49. (QFXHQWUH OD FDUJD \ OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWDEOH HQ XQ
IRUPH t → ϱ GHPXHVWUH TXH ODV RVFLODFLRQHV Pi[L- FLUFXLWR LRC HQ VHULH FXDQGR L ϭ K R ϭ ⍀ C ϭ
I \ E(t ϭ FRV t 9
PDV RFXUULUiQ HQ HO YDORU 1 1 2 2 2 ¢&XiO HV
HO YDORU Pi[LPR GH g" (O Q~PHUR 1 2 2 2/ 2 se 50. 'HPXHVWUH TXH OD DPSOLWXG GH OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWD-

GLFH TXH HV OD frecuencia de resonancia GHO VLVWHPD EOH HQ HO FLUFXLWR LRC HQ VHULH GHO HMHPSOR HVWi GDGD

c) & XDQGR F0 ϭ m ϭ \ k ϭ g se convierte en SRU E0͞= GRQGH = HV OD LPSHGDQFLD GHO FLUFXLWR
2
51. 8VH HO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH OD FRUULHQWH GH HV-
g( ) . 1
1(4 2 )2 2 2 WDGR HVWDEOH HQ XQ FLUFXLWR LRC HQ VHULH FXDQGR L 2 h

&RQVWUX\D XQD WDEOD GH YDORUHV GH Ȗ \ g(Ȗ TXH R ϭ ⍀ C ϭ I \ E(t ϭ VHQ t 9 HVWi GDGD
FRUUHVSRQGHQ D ORV FRH¿FLHQWHV GH DPRUWLJXDPLHQ
SRU ip(t ϭ VHQ t Ϫ

to ȕ ϭ ȕ ϭ 34, 1 \ 1 8VDQGR 52. (QFXHQWUH OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWDEOH HQ XQ FLUFXLWR
2 4
XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU REWHQJD ODV 1
LRC FXDQGR L 2 h R ϭ ⍀ C ϭ I \ E(t ϭ

JUi¿FDV GH g TXH FRUUHVSRQGHQ D HVWRV FRH¿FLHQWHV GH VHQ t ϩ FRV t 9

DPRUWLJXDPLHQWR 8VH ORV PLVPRV HMHV GH FRRUGHQDGDV 53. (QFXHQWUH OD FDUJD HQ HO FDSDFLWRU GH XQ FLUFXLWR

(VWD IDPLOLD GH JUi¿FDV VH OODPD curva de resonancia o LRC HQ VHULH FXDQGR L 1 h R ϭ ⍀ C ϭ I
2
curva de respuesta de frecuencia GHO VLVWHPD ¢$ TXp
E(t ϭ 9 q ϭ & H i ϭ $ ¢&XiO HV OD FDUJD
YDORU VH DSUR[LPD Ȗ FRQIRUPH ȕ → " ¢4Xp VXFHGH FRQ
OD FXUYD GH UHVRQDQFLD FRQIRUPH ȕ → " HQ HO FDSDFLWRU GHVSXpV GH XQ ODUJR WLHPSR"

44. &RQVLGHUH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD QR DPRUWLJXDGR GHV- 54. 'HPXHVWUH TXH VL L R C \ E0 VRQ FRQVWDQWHV HQWRQFHV OD
FULWR SRU HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV DPSOLWXG GH OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWDEOH GHO HMHPSOR
HV XQ Pi[LPR FXDQGR 1> 1LC ¢&XiO HV OD DPSOL-
d 2x 2x F0 senn t, x(0) 0, x (0) 0. WXG Pi[LPD"
dt2
55. 'HPXHVWUH TXH VL L R E0 \ Ȗ VRQ FRQVWDQWHV HQWRQFHV OD
a) Para n ϭ H[SOLTXH SRU TXp KD\ XQD VROD IUHFXHQFLD DPSOLWXG GH OD FRUULHQWH GH HVWDGR HVWDEOH HQ HO HMHPSOR
Ȗ ͞ ʌ HQ OD TXH HO VLVWHPD HVWi HQ UHVRQDQFLD SXUD HV XQ Pi[LPR FXDQGR OD FDSDFLWDQFLD HV C ϭ ͞/Ȗ

b) Para n ϭ DQDOLFH SRU TXp KD\ GRV IUHFXHQFLDV Ȗ ͞ ʌ 56. &DOFXOH OD FDUJD HQ HO FDSDFLWRU \ OD FRUULHQWH HQ XQ FLU-
\ Ȗ ͞ ʌ HQ ODV TXH HO VLVWHPD HVWi HQ UHVRQDQFLD SXUD FXLWR LC FXDQGR L ϭ K C ϭ I E(t ϭ VHQ ȖW
9 q ϭ 0 C e i ϭ $
c) 6XSRQJD TXH Ȧ ϭ \ F0 ϭ 8VH XQ SURJUDPD GH VR-
OXFLyQ QXPpULFD SDUD REWHQHU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ 57. &DOFXOH OD FDUJD GHO FDSDFLWRU \ OD FRUULHQWH HQ XQ FLUFXLWR
GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV SDUD n ϭ \ Ȗ ϭ Ȗ LC FXDQGR E(t ϭ E0 cos ȖW 9 q ϭ q0 C e i ϭ i0 $
HQ HO LQFLVR D 2EWHQJD OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GHO
SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV SDUD n ϭ TXH FRUUHV- 58. (Q HO SUREOHPD GHWHUPLQH OD FRUULHQWH FXDQGR HO FLU-
SRQGH D VX YH] D Ȗ ϭ Ȗ \ Ȗ ϭ Ȗ HQ HO LQFLVR E FXLWR HVWi HQ UHVRQDQFLD

204 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

REPASO DE MATERIAL

l 6HFFLyQ
l 3UREOHPDV D GH ORV HMHUFLFLRV
l 3UREOHPDV D GH ORV HMHUFLFLRV

INTRODUCCIÓN /D VHFFLyQ DQWHULRU VH GHGLFy D VLVWHPDV HQ ORV TXH XQ PRGHOR PDWHPiWLFR GH
VHJXQGR RUGHQ YD DFRPSDxDGR GH FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV (V GHFLU FRQGLFLRQHV VXSOHPHQWDULDV TXH VH
HVSHFL¿FDQ HQ OD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD \ VX SULPHUD GHULYDGD HV XQ VROR SXQWR 3HUR FRQ IUHFXHQFLD OD
GHVFULSFLyQ PDWHPiWLFD GH XQ VLVWHPD ItVLFR UHTXLHUH UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO KRPR-
JpQHD VXMHWD D FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD HV GHFLU FRQGLFLRQHV HVSHFt¿FDV GH OD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD
R HQ XQD GH VXV GHULYDGDV R LQFOXVR XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH OD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD \ XQD GH VXV
GHULYDGDV HQ GRV R PiV SXQWRV GLIHUHQWHV

eje de simetría DEFLEXIÓN DE UNA VIGA 0XFKDV HVWUXFWXUDV VH FRQVWUX\HQ XVDQGR WUDEHV R
a) YLJDV \ HVWDV YLJDV VH ÀH[LRQDQ R GHIRUPDQ EDMR VX SURSLR SHVR R SRU OD LQÀXHQFLD GH
DOJXQD IXHU]D H[WHUQD &RPR YHUHPRV D FRQWLQXDFLyQ HVWD GHÀH[LyQ y(x HVWi JREHU-
curva de deflexión QDGD SRU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH FXDUWR RUGHQ UHODWLYDPHQWH VLPSOH
b)
3DUD HPSH]DU VXSRQJDPRV TXH XQD YLJD GH ORQJLWXG L HV KRPRJpQHD \ WLHQH
FIGURA 5.2.1 'HÀH[LyQ GH XQD YLJD VHFFLRQHV WUDQVYHUVDOHV XQLIRUPHV D OR ODUJR GH VX ORQJLWXG (Q DXVHQFLD GH FDUJD HQ
KRPRJpQHD OD YLJD LQFOX\HQGR VX SHVR XQD FXUYD TXH XQH ORV FHQWURLGHV GH WRGDV VXV VHFFLRQHV
WUDQVYHUVDOHV HV XQD UHFWD FRQRFLGD FRPR eje de simetría 9HD OD ¿JXUD D 6L VH
DSOLFD XQD FDUJD D OD YLJD HQ XQ SODQR YHUWLFDO TXH FRQWLHQH DO HMH GH VLPHWUtD OD YLJD
FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E H[SHULPHQWD XQD GLVWRUVLyQ \ OD FXUYD TXH FR-
necta los centroides de las secciones transversales se llama FXUYD GH GHÀH[LyQ o curva
elástica /D FXUYD GH GHÀH[LyQ VH DSUR[LPD D OD IRUPD GH XQD YLJD $KRUD VXSRQJD TXH
HO HMH x FRLQFLGH FRQ HO HMH GH VLPHWUtD \ TXH OD GHÀH[LyQ y(x PHGLGD GHVGH HVWH HMH
HV SRVLWLYD VL HV KDFLD DEDMR (Q OD WHRUtD GH HODVWLFLGDG VH PXHVWUD TXH HO PRPHQWR GH
ÀH[LyQ M(x HQ XQ SXQWR x D OR ODUJR GH OD YLJD VH UHODFLRQD FRQ OD FDUJD SRU XQLGDG
GH ORQJLWXG w(x PHGLDQWH OD HFXDFLyQ

d 2M
dx2 w(x)

$GHPiV HO PRPHQWR GH ÀH[LyQ M(x HV SURSRUFLRQDO D OD FXUYDWXUD ț GH OD FXUYD HOiVWLFD

M(x) EI

donde E e I VRQ FRQVWDQWHV E HV HO PyGXOR GH <RXQJ GH HODVWLFLGDG GHO PDWHULDO GH OD
YLJD H I HV HO PRPHQWR GH LQHUFLD GH XQD VHFFLyQ WUDQVYHUVDO GH OD YLJD UHVSHFWR D XQ
HMH FRQRFLGR FRPR HO HMH QHXWUR (O SURGXFWR EI se llama rigidez f1exional GH OD YLJD

$KRUD GHO FiOFXOR OD FXUYDWXUD HVWi GDGD SRU ț ϭ yЉ ͞> ϩ ( yЈ ] ͞ &XDQGR OD
GHÀH[LyQ y(x HV SHTXHxD OD SHQGLHQWH yЈ Ϸ \ SRU WDQWR > ϩ ( yЈ ] ͞ Ϸ 6L VH
SHUPLWH TXH ț Ϸ yЉ OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ M ϭ EI yЉ /D VHJXQGD GHULYDGD
GH HVWD ~OWLPD H[SUHVLyQ HV

d 2M d2 EI d4y
dx2 EI dx2 y d x4

6L VH XWLOL]D HO UHVXOWDGR HQ SDUD UHHPSOD]DU d M͞dx HQ VH YH TXH OD GHÀH[LyQ
y(x VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH FXDUWR RUGHQ

d4y w(x)
EI dx4

/DV FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD DVRFLDGDV FRQ OD HFXDFLyQ GHSHQGHQ GH FyPR HVWpQ
DSR\DGRV ORV H[WUHPRV GH OD YLJD 8QD YLJD HQ YRODGL]R HVWi empotrada o ¿MD HQ XQ
H[WUHPR \ OLEUH HQ HO RWUR 8Q WUDPSROtQ XQ EUD]R H[WHQGLGR XQ DOD GH DYLyQ \ XQ EDOFyQ

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 205

x=0 x=L VRQ HMHPSORV FRPXQHV GH WDOHV YLJDV SHUR LQFOXVR iUEROHV DVWDV GH EDQGHUDV UDVFDFLHORV
\ PRQXPHQWRV DFW~DQ FRPR YLJDV HQ YRODGL]R GHELGR D TXH HVWiQ HPSRWUDGRV HQ XQ
a) empotrada en ambos extremos H[WUHPR \ VXMHWRV D OD IXHU]D GH ÀH[LyQ GHO YLHQWR 3DUD XQD YLJD HQ YRODGL]R OD GHÀH[LyQ
y(x GHEH VDWLVIDFHU ODV VLJXLHQWHV GRV FRQGLFLRQHV HQ HO H[WUHPR ¿MR x ϭ 0:
x=0 x=L
• y ϭ SRUTXH QR KD\ ÀH[LyQ \
b) viga en voladizo: empotrada en • yЈ ϭ SRUTXH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ HV WDQJHQWH DO HMH x HQ RWUDV SDODEUDV
el extremo izquierdo, libre en el
extremo derecho OD SHQGLHQWH GH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ HV FHUR HQ HVWH SXQWR

(Q x ϭ L ODV FRQGLFLRQHV GH H[WUHPR OLEUH VRQ

• yЉ(L ϭ SRUTXH HO PRPHQWR GH ÀH[LyQ HV FHUR \
• yЉЈ(L ϭ SRUTXH OD IXHU]D GH FRUWH HV FHUR

/D IXQFLyQ F(x ϭ dM͞dx ϭ EI d y͞dx VH OODPD IXHU]D GH FRUWH 6L XQ H[WUHPR GH OD YLJD
HVWi apoyado simplemente o abisagrado D OR TXH WDPELpQ VH FRQRFH FRPR apoyo con
perno o fulcro HQWRQFHV VH GHEH WHQHU y ϭ \ yЉ ϭ HQ HVH H[WUHPR (Q OD WDEOD
VH UHVXPHQ ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD TXH VH UHODFLRQDQ FRQ 9HD OD ¿JXUD

x=0 x=L EJEMPLO 1 Una viga empotrada

c) apoyada simplemente en ambos 8QD YLJD GH ORQJLWXG L HVWi HPSRWUDGD HQ DPERV H[WUHPRV (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ
extremos GH OD YLJD VL XQD FDUJD FRQVWDQWH w0 HVWi XQLIRUPHPHQWH GLVWULEXLGD D OR ODUJR GH VX
ORQJLWXG HV GHFLU w(x ϭ w0 Ͻ x Ͻ L
FIGURA 5.2.2 9LJDV FRQ YDULDV
FRQGLFLRQHV GH H[WUHPR SOLUCIÓN 'H YHPRV TXH OD GHÀH[LyQ y(x VDWLVIDFH

d4y
EI dx4 w0.

TABLA 5.1 'HELGR D TXH OD YLJD HVWi HPSRWUDGD WDQWR HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR x ϭ FRPR HQ VX
H[WUHPR GHUHFKR x ϭ L QR KD\ GHÀH[LyQ YHUWLFDO \ OD UHFWD GH GHÀH[LyQ HV KRUL]RQWDO
([WUHPRV GH OD YLJD &RQGLFLRQHV IURQWHUD HQ HVWRV SXQWRV $Vt ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD VRQ

HPSRWUDGRV y ϭ yЈ ϭ 0

libres yЉ ϭ yЉЈ ϭ 0 y(0) 0, y (0) 0, y(L) 0, y (L) 0.

DSR\DGRV VLPSOHPHQWH

R DELVDJUDGRV y ϭ yЉ ϭ 0 6H SXHGH UHVROYHU OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR KRPRJpQHD GH OD PDQHUD XVXDO GHWHUPL-

nar yc REVHUYDQGR TXH m ϭ HV UDt] GH PXOWLSOLFLGDG FXDWUR GH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU
m4 ϭ \ OXHJR HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU yp SRU FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV
R VLPSOHPHQWH VH LQWHJUD OD HFXDFLyQ d4y ͞dx4 ϭ ͞EI VXFHVLYDPHQWH FXDWUR YHFHV
w
0
'H FXDOTXLHU PRGR VH HQFXHQWUD OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ y ϭ yc ϩ yp TXH HV

y(x) c1 c2 x c3 x2 c4 x3 w0 x4.
24EI

$KRUD ODV FRQGLFLRQHV y ϭ \ yЈ ϭ GDQ D VX YH] c ϭ \ c ϭ PLHQWUDV TXH
w0 x4
las condiciones restantes y(L ϭ \ yЈ(L ϭ DSOLFDGDV D y(x) c3 x2 c4 x3 24EI
SURGXFHQ ODV HFXDFLRQHV VLPXOWiQHDV

c3 L2 c4 L3 w0 L4 0
2c3 L 3c4 L2 24EI 0.

w0 L3
6EI

Resolviendo este sistema se obtiene c ϭ w0L ͞ EI \ c4 ϭ Ϫw0L͞ EI. $Vt TXH OD
GHÀH[LyQ HV

y(x) w0 L2 x2 w0 L x3 w0 x4
24EI 12EI 24EI

206 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

0.5 o y(x) w0 x2(x L)2 (OLJLHQGR w0 ϭ EI \ L ϭ REWHQHPRV OD FXUYD GH
1x 24EI

y GHÀH[LyQ GH OD ¿JXUD

FIGURA 5.2.3 &XUYD GH GHÀH[LyQ EIGENVALORES Y FUNCIONES PROPIAS 0XFKRV SUREOHPDV GH DSOLFDFLyQ UH-
SDUD HO HMHPSOR TXLHUHQ TXH VH UHVXHOYD XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD HQ GRV SXQWRV 39)
HQ ORV TXH LQWHUYLHQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO TXH FRQWLHQH XQ SDUiPHWUR Ȝ 6H
2EVHUYH TXH DTXt VH HPSOHDQ IXQ- EXVFDQ ORV YDORUHV GH Ȝ SDUD ORV TXH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD WLHQH VROX-
FLRQHV KLSHUEyOLFDV 9XHOYD D OHHU ciones no triviales HV GHFLU no nulas
³'RV HFXDFLRQHV TXH YDOH OD SHQD
FRQRFHU´ GH OD VHFFLyQ EJEMPLO 2 Soluciones no triviales de un PVF

5HVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD
y y 0, y(0) 0, y(L) 0.

SOLUCIÓN Consideraremos tres casos: Ȝ ϭ Ȝ Ͻ \ Ȝ Ͼ

CASO I: Para Ȝ ϭ OD VROXFLyQ GH yЉ ϭ 0 es y ϭ c x ϩ c /DV FRQGLFLRQHV y ϭ \
y(L ϭ DSOLFDGDV D HVWD VROXFLyQ LPSOLFDQ D VX YH] c ϭ \ c ϭ 3RU WDQWR SDUD Ȝ
ϭ OD ~QLFD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD HV OD VROXFLyQ WULYLDO y ϭ 0

CASO II: Para Ȝ Ͻ 0 es conveniente escribir Ȝ ϭ ϪĮ GRQGH Į GHQRWD XQ Q~PHUR
SRVLWLYR &RQ HVWD QRWDFLyQ ODV UDtFHV GH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU m Ϫ Į ϭ 0 son ml ϭ Į \
m ϭ Ϫ Į 3XHVWR TXH HO LQWHUYDOR HQ HO TXH VH HVWi WUDEDMDQGR HV ¿QLWR VH HOLJH HVFULELU
OD VROXFLyQ JHQHUDO GH yЉ Ϫ Į y ϭ 0 como y ϭ c cosh Į[ ϩ c senh Į[ $KRUD y HV

y(0) c1 cosh 0 c2 senh 0 c1 1 c2 0 c1,

\ SRU WDQWR y ϭ VLJQL¿FD TXH c ϭ $Vt y ϭ c senh Į[ /D VHJXQGD FRQGLFLyQ
y(L ϭ UHTXLHUH TXH c senh Į/ ϭ 3DUD Į VHQK Į/ HQ FRQVHFXHQFLD VH
HVWi IRU]DGR D HOHJLU c ϭ 'H QXHYR OD VROXFLyQ GHO 39) HV OD VROXFLyQ WULYLDO y ϭ 0

CASO III: Para Ȝ Ͼ 0 se escribe Ȝ ϭ Į GRQGH Į HV XQ Q~PHUR SRVLWLYR 'HELGR D
TXH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU m ϩ Į ϭ WLHQH UDtFHV FRPSOHMDV ml ϭ LĮ \ m ϭ ϪLĮ OD
VROXFLyQ JHQHUDO GH yЉ ϩ Į y ϭ 0 es y ϭ c cos Į[ ϩ c sen Į[ &RPR DQWHV y ϭ 0
SURGXFH c ϭ \ SRU WDQWR y ϭ c sen Į[ $KRUD OD ~OWLPD FRQGLFLyQ y(L ϭ R

c2 sen L 0,
VH VDWLVIDFH DO HOHJLU c ϭ 3HUR HVWR VLJQL¿FD TXH y ϭ 6L VH UHTXLHUH c HQWRQ-
ces sen Į/ ϭ VH VDWLVIDFH VLHPSUH TXH Į/ VHD XQ P~OWLSOR HQWHUR GH ʌ

Ln o n n 2 n2
o n , n 1, 2, 3, . . . .

L L

3RU WDQWR SDUD FXDOTXLHU Q~PHUR UHDO c GLVWLQWR GH FHUR y ϭ c sen(Qʌ[͞L HV XQD VR-
OXFLyQ GHO SUREOHPD SDUD FDGD n 'HELGR D TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV KRPRJpQHD

FXDOTXLHU P~OWLSOR FRQVWDQWH GH XQD VROXFLyQ WDPELpQ HV XQD VROXFLyQ DVt TXH VL VH GHVHD

VH SRGUtD VLPSOHPHQWH WRPDU c ϭ (Q RWUDV SDODEUDV SDUD FDGD Q~PHUR GH OD VXFHVLyQ

2 42 92 ,
2 L2 , 3 L2 ,
1 L2,

OD IXQFLyQ correspondiente HQ OD VXFHVLyQ

y1 23
sen x, y2 sen x, y3 sen x, ,
L L L

HV XQD VROXFLyQ QR WULYLDO GHO SUREOHPD y y 0, y(0) 0, y(L) 0. SDUD
n ϭ UHVSHFWLYDPHQWH

/RV Q~PHURV Ȝn ϭ n ʌ ͞L n ϭ SDUD ORV FXDOHV HO SUREOHPD FRQ YDOR-
UHV HQ OD IURQWHUD GHO HMHPSOR WLHQH VROXFLRQHV QR WULYLDOHV TXH VH FRQRFHQ FRPR

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 207

y eigenvalores YDORUHV SURSLRV /DV VROXFLRQHV QR WULYLDOHV TXH GHSHQGHQ GH
1 n=2 n=1 n = 3 estos valores de Ȝn yn ϭ c sen (Qʌ[ ͞L R VLPSOHPHQWH yn ϭ sen(Qʌ[ ͞L VH OOD-

man eigenfunciones IXQFLRQHV SURSLDV /DV JUi¿FDV GH ODV HLJHQIXQFLRQHV SDUD
n ϭ VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 1RWD TXH FDGD OtQHD JUD¿FDGD SDVD
x SRU ORV GRV SXQWRV \ /

L

EJEMPLO 3 Vuelta al ejemplo 2

–1 n=4 n=5 6H HQWLHQGH GHO HMPSOR \ OD GLVFXVLyQ DQWHULRU TXH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD
IURQWHUD
FIGURA 5.2.4 *Ui¿FDV GH ODV
yЉ ϩ y ϭ y ϭ y(L ϭ 0
HLJHQIXQFLRQHV yn = sen(Qʌ [͞L SDUD
n SRVHH VRODPHQWH OD VROXFLyQ WULYLDO y ϭ 0 SRUTXH no HV XQ HLJHQYDORU

P PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA (Q HO VLJOR XVIII
/HRQKDUG (XOHU IXH XQR GH ORV SULPHURV PDWHPiWLFRV HQ HVWXGLDU XQ SUREOHPD FRQ
x=0 y HLJHQYDORUHV \ DQDOL]DU FyPR VH SDQGHD XQD FROXPQD HOiVWLFD GHOJDGD EDMR XQD IXHU]D
D[LDO FRPSUHVLYD

&RQVLGHUH XQD FROXPQD YHUWLFDO ODUJD \ GHOJDGD GH VHFFLyQ WUDQVYHUVDO XQLIRUPH \
ORQJLWXG L 6HD y(x OD GHÀH[LyQ GH OD FROXPQD FXDQGR VH DSOLFD HQ OD SDUWH VXSHULRU XQD
IXHU]D FRPSUHVLYD YHUWLFDO FRQVWDQWH XQD FDUJD P, FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD $O
FRPSDUDU ORV PRPHQWRV GH ÀH[LyQ HQ DOJ~Q SXQWR D OR ODUJR GH OD FROXPQD VH REWLHQH

x d2y d2y
L EI dx2 Py o EI dx2 Py 0

donde E HV HO PyGXOR GH <RXQJ SDUD OD HODVWLFLGDG H I HV HO PRPHQWR GH LQHUFLD GH XQD

VHFFLyQ WUDQVYHUVDO UHVSHFWR D XQD UHFWD YHUWLFDO SRU VX FHQWURLGH

x = L EJEMPLO 4 La carga de Euler

a) b) (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ GH XQD FROXPQD KRPRJpQHD YHUWLFDO \ GHOJDGD GH ORQJLWXG L VX-
MHWD D XQD FDUJD D[LDO FRQVWDQWH P VL OD FROXPQD VH ¿MD FRQ ELVDJUDV HQ DPERV H[WUHPRV
FIGURA 5.2.5 3DQGHR GH XQD
FROXPQD HOiVWLFD EDMR XQD IXHU]D SOLUCIÓN (O SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD SRU UHVROYHU HV
FRPSUHVLYD
d2y
yyy EI dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0.

3ULPHUR REVHUYH TXH y ϭ HV XQD VROXFLyQ PX\ EXHQD GH HVWH SUREOHPD (VWD VROXFLyQ
WLHQH XQD VLPSOH LQWHUSUHWDFLyQ LQWXLWLYD 6L OD FDUJD P QR HV VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH
QR KD\ GHÀH[LyQ (QWRQFHV OD SUHJXQWD HV HVWD ¢SDUD TXp YDORUHV GH P se dobla la co-
OXPQD" (Q WpUPLQRV PDWHPiWLFRV ¢SDUD TXp YDORUHV GH P HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ
OD IURQWHUD WLHQH VROXFLRQHV QR WULYLDOHV"

$O HVFULELU Ȝ ϭ P͞EI YHPRV TXH

LLL y y 0, y(0) 0, y(L) 0
xxx
HV LGpQWLFR DO SUREOHPD GHO HMHPSOR 'HO FDVR ,,, GH HVD GHVFULSFLyQ VH YH TXH ODV GH-
a) b) c) ÀH[LRQHV VRQ yn(x ϭ c sen(Qʌ[͞L TXH FRUUHVSRQGHQ D ORV HLJHQYDORUHV
Ȝn ϭ Pn͞EI ϭ n ʌ ͞L n ϭ 'HVGH HO SXQWR GH YLVWD ItVLFR HVWR VLJQL¿FD TXH
FIGURA 5.2.6 &XUYDV GH GHÀH[LyQ OD FROXPQD H[SHULPHQWD ÀH[LyQ VyOR FXDQGR OD IXHU]D FRPSUHVLYD HV XQR GH ORV YDORUHV
TXH FRUUHVSRQGHQ D ODV IXHU]DV Pn ϭ n ʌ EI͞L n ϭ (VWDV IXHU]DV GLIHUHQWHV VH OODPDQ cargas críticas /D
FRPSUHVLYDV P P P GHÀH[LyQ FRUUHVSRQGLHQWH D OD FDUJD FUtWLFD PiV SHTXHxD P ϭ ʌ EI͞L OODPDGD carga
de Euler HV y (x ϭ c sen(ʌ[͞L \ VH FRQRFH FRPR primer modo de pandeo

/DV FXUYDV GH GHÀH[LyQ GHO HMHPSOR TXH FRUUHVSRQGHQ D n ϭ n ϭ \ n ϭ
VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD 2EVHUYH TXH VL OD FROXPQD RULJLQDO WLHQH DOJXQD
FODVH GH UHVWULFFLyQ ItVLFD HQ x ϭ L͞ HQWRQFHV OD FDUJD FUtWLFD PiV SHTXHxD VHUi
P ϭ 4ʌ EI ͞L \ OD FXUYD GH GHÀH[LyQ VHUi FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E 6L