ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

308 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

A k1 De igual manera, la fuerza neta ejercida en la masa m2 se debe sólo a la elongación
x1 = 0 m1 neta de B ; es decir, Ϫ k2(x2 Ϫ x1). Por tanto, se tiene

B k2 k1x1 m2 d 2x2 k2(x2 x1).
m1 dt2

x1 En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema
m1 de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden

k2(x2 − x1) m1x 1 k1x1 k2(x2 x1)

x2 = 0 m2 (1)

x2 k2(x2 − x1) m2 x 2 k2(x2 x1).

En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que k1 ϭ 6, k2 ϭ 4,
m1 ϭ 1, m2 ϭ 1 y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con
m2 m2 velocidades unitarias opuestas.

a) equilibrio b) movimiento c) fuerzas

FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa EJEMPLO 1 Resortes acoplados
acoplado.

Resuelva x1 10x1 4x2 0 (2)
sujeta a x1(0) 0
4x1 x 2 4x2 1.

0, x1(0) 1, x2(0) 0, x2(0)

SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es 0
s2X1(s) sx1(0) x1(0) 10X1(s) 4X2(s) 0,
4X1(s) s2X2(s) sx2(0) x2(0) 4X2(s)

donde X1(s) {x1(t)} y X2(s) {x2(t)}. El sistema anterior es igual a

(s2 10) X1(s) 4X2(s) 1 (3)

x1 4 X1(s) (s2 4) X2(s) 1.
0.4
0.2 Resolviendo (3) para X1(s) y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene

t s2 1>5 6>5 ,
X1(s) (s2 2)(s2 12) 12
_0.2 s2 2 s2

_0.4 y por tanto

2.5 5 7.5 10 12.5 15

a) gráfica de x1(t) vs. t x1(t) 1 1 12 6 1 112
512 s2 2 5112 s2 12

x2 12 sen 12t 13 sen 213t.
0.4 10 5
0.2

t Sustituyendo la expresión para X1(s) en la primera ecuación de (3), se obtiene

_0.2 X2(s) s2 6 2> 5 3> 5
(s2 2)(s2 12) s2 2 s2 12
_0.4

2.5 5 7.5 10 12.5 15 y x2(t) 2 1 12 3 1 112
512 s2 2 5112 s2 12
b) gráfica de x2(t) vs. t
12 sen 12t 13 sen 213t.
FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las 5 10
dos masas del ejemplo 1.

7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES l 309

Por último, la solución del sistema (2) es

x1(t) 12 sen 12t 13 sen 213t
10 5
(4)

12 13 sen 213t.
x2(t) sen 12t
5 10

/DV JUi¿FDV GH x1 y x2 GH OD ¿JXUD UHYHODQ HO FRPSOLFDGR PRYLPLHQWR RVFLODWRULR
de cada masa.

i1 L i3 REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes i (t) e i (t) de la red que se
E i2 l2
R
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD FRQ XQ LQGXFWRU XQ UHVLVWRU \ XQ FDSDFLWRU HVWDEDQ JREHUQD-
das por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

C L di1 Ri2 E(t)
dt 0.
(5)
RC di2
dt i2 i1

FIGURA 7.6.3 Red eléctrica.

Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2 8QD UHG HOpFWULFD

Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones E(t) ϭ 60 V, L ϭ 1 h, R ϭ 50 ⍀, C ϭ
10Ϫ4 f y al inicio las corrientes i1 e i2 son cero.

SOLUCIÓN Debemos resolver

di1 50i2 60
dt 0

50(10 4) di2 i2 i1
dt

sujeta a i (0) ϭ 0, i (0) ϭ 0.

1 2
$SOLFDQGR OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH D FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD \ VLPSOL¿-

cando, se obtiene

sI1(s) 60
50I2(s) s

200I1(s) (s 200)I2(s) 0,

donde I1(s) {i1(t)} e I2(s) {i2(t)}. Resolviendo el sistema para I e I y des-
1 2

componiendo los resultados en fracciones parciales, se obtiene

60s 12 000 6>5 6>5 60
I1(s) s(s 100)2
s s 100 (s 100)2

12 000 6>5 6>5 120
I2(s) s(s 100)2 s s 100 (s 100)2.

Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son

i1(t) 6 6 100t 60te 100t
5 e
5

i2(t) 6 6 100t 120te 100t.
5 e
5

310 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Observe que tanto i1(t) como i2(t) del ejemplo 2 tienden hacia el valor E>R 6
5
conforme t → ϱ. Además, puesto que la corriente a través del capacitor es i3(t) ϭ i1(t)
Ϫ ϭ 60teϪ100t, → → ϱ.
i (t) se observa que i (t) 0 conforme t

2 3

θ1 l1 PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un pén-
GXOR XQLGR D RWUR FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 6H VXSRQH TXH HO VLVWHPD RVFLOD
m1 HQ XQ SODQR YHUWLFDO EDMR OD LQÀXHQFLD GH OD JUDYHGDG TXH OD PDVD GH FDGD YDULOOD HV
l2
despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la
θ2 ¿JXUD WDPELpQ VH PXHVWUD TXH HO iQJXOR GH GHVSOD]DPLHQWR ș1 se mide (en radia-
nes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema
m2 y que ș2 se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa m1.
La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como
FIGURA 7.6.4 Péndulo doble.
se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de

ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal:

(m1 m2)l12 1 m2l1l2 2 cos ( 1 2) m2l1l2( 2)2 sen ( 1 2) (m1 m2)l1g sen 1 0

m2l22 2 m2l1l2 1 cos ( 1 2) m2l1l2( 1)2 sen ( 1 2) m2l2 g sen 2 0. (6)

Pero si se supone que los desplazamientos ș1(t) y ș2(t) son pequeños, entonces las
aproximaciones cos(ș1 Ϫ ș2) ഠ 1, sen(ș1 Ϫ ș2) ഠ 0, sen ș1 ഠ ș1, sen ș2 ഠ ș2 nos permi-
ten reemplazar el sistema (6) por la linealización

(m1 m2)l12 1 m2l1l2 2 (m1 m2)l1g 1 0 (7)
m2l22 2 m2l1l2 1 m2l2g 2 0.

EJEMPLO 3 'REOH SpQGXOR

Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para
resolver el sistema (7) cuando m1 3, m2 1, l1 l2 16, u1(0) 1, u2(0)

1, 1(0) 0 y 2(0) 0 . Debe encontrar que

12 3
1(t) cos t cos 2t
4 13 4

12 3 (8)

2(t) cos t cos 2t.
2 13 2

(Q OD ¿JXUD VH PXHVWUDQ FRQ OD D\XGD GH XQ 6$& ODV SRVLFLRQHV GH ODV GRV PDVDV
en t ϭ 0 y en tiempos posteriores. Vea el problema 21 en los ejercicios 7.6.

a) t ϭ 0 b) t ϭ 1.4 c) t ϭ 2.5 d ) t ϭ 8.5

FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos del ejemplo 3.

7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES l 311

EJERCICIOS 7.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12.

En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para Resuelva el sistema (1) cuando k1 ϭ 3, k2 ϭ 2, m1 ϭ 1,
resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales. m2 ϭ 1 y x1(0) ϭ 0, x1(0) 1, x2(0) 1, x2(0) 0.

dx xy dx 2y et Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que
dt dt describe el movimiento vertical en línea recta de los
UHVRUWHV DFRSODGRV TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD
dy dy Use la transformada de Laplace para resolver el sistema
2x 8x t cuando k1 ϭ 1, k2 ϭ 1, k3 ϭ 1, m1 ϭ 1, m2 ϭ 1 y x1(0) ϭ 0,
x1(0) 1, x2(0) 0, x2(0) 1.
dt dt

x(0) ϭ 0, y(0) ϭ 1 x(0) ϭ 1, y(0) ϭ 1

dx dx 3x dy 1
dt x 2y dt dt
k1
dy dx dy
5x y xy et
dt dt
dt
x(0) ϭ Ϫ1, y(0) ϭ 2 x(0) 0, y(0) 0 x1 = 0 m1
k2
dx dy 2x 1
2
dt dt

dx dy 2 x2 = 0 m2
3x 3y k3

dt dt
x(0) ϭ 0, y(0) ϭ 0

dx x dy y 0
dt dt

dx dy FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14.
2y 0
a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales
dt dt para las corrientes i (t) e i (t) en la red eléctrica que se
x(0) ϭ 0, y(0) ϭ 1
23
d 2x x y0 d 2x dx dy
dt2 dt2 dt 0 PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HV

dt di2
dt
d2y d2y dy dx L1 Ri2 Ri3 E(t)
dt2 y x0 4 0
x(0) ϭ 0, xЈ(0) ϭ Ϫ2, dt2 dt dt

x(0) ϭ 1, xЈ(0) ϭ 0, L2 di3 Ri2 Ri3 E(t).
dt
y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 1 y(0) ϭ Ϫ1, yЈ(0) ϭ 5

d 2x d2y t2 dx 4x d3y b) Resuelva el sistema del inciso a) si R ϭ 5 ⍀, L1 ϭ 0.01
dt2 dt2 dt dt3 6 sen t h, L2 ϭ 0.0125 h, E ϭ 100 V, i2(0) ϭ 0 e i3(0) ϭ 0.

d2x d2y dx d3y c) Determine la corriente i1(t).
dt2 dt2 4t 2x 2 dt3 0
x(0) ϭ 8, xЈ(0) ϭ 0, y(0) ϭ 0, i1 R i2 i3
dt
y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 x(0) ϭ 0, yЉ(0) ϭ 0 E L1 L2
yЈ(0) ϭ 0,

d 2x dy 3y 0
dt2 3

dt

d 2x 3y te t FIGURA 7.6.7 Red del problema 15.
dt2
a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demos-
x(0) ϭ 0, xЈ(0) ϭ 2, y(0) ϭ 0 trar que las corrientes i2(t) e i3(t) de la red eléctrica que
VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VDWLVIDFH
dx 4x 2y 2 (t 1)
dt 1) L di2 L di3 R1i2 E(t)
dt dt
dy y (t
3x
di2 di3 1
dt dt dt C i3

x(0) 0, y(0) 1 R1 R2 0.
2

312 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Resuelva el sistema si R ϭ 10 ⍀, R ϭ 5 ⍀, L ϭ 1 h, R1 i3
1 2 i1 i2
C ϭ 0.2 f. E
C
120, 0 t 2 L
E(t) R2

0, t 2,

i2(0) ϭ 0, e i3(0) ϭ 0. FIGURA 7.6.9 Red del problema 20.
b) Determine la corriente i1(t).

i1 L i3 R2 Tarea para el laboratorio de computación
E i2
a) Use la transformada de Laplace y la información
R1 C dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del
sistema que se presenta en (7).
FIGURA 7.6.8 Red del problema 16.
b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ș1(t) y
Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando ș2(t) en el plano Wș. ¿Cuál masa tiene desplazamien-
R1 ϭ 6 ⍀, R2 ϭ 5 ⍀, L1 ϭ 1 h, L2 ϭ 1 h, E(t) ϭ 50 sen t WRV H[WUHPRV GH PD\RU PDJQLWXG" 8VH ODV JUi¿FDV
V, i2(0) ϭ 0 e i3(0) ϭ 0. para estimar la primera vez que cada masa pasa por
su posición de equilibrio. Analice si el movimiento
Resuelva (5) cuando E ϭ 60 V, L 1 h , R ϭ 50 ⍀, C ϭ del péndulo es periódico.
2
10Ϫ4 f, i1(0) ϭ 0 e i2(0) ϭ 0. c) 7 UDFH OD JUi¿FD GH ș1(t) y ș2(t) en el plano ș1ș2 como
HFXDFLRQHV SDUDPpWULFDV /D FXUYD TXH GH¿QHQ HVWDV
Resuelva (5) cuando E ϭ 60 V, L ϭ 2 h, R ϭ 50 ⍀, C ϭ ecuaciones paramétricas se llama FXUYD GH /LVVDMRXV.
10Ϫ4 f, i1(0) ϭ 0 e i2(0) ϭ 0.
d) ( Q OD ¿JXUD D VH SUHVHQWDQ ODV SRVLFLRQHV GH ODV
a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales masas en t ϭ 0. Observe que se ha usado 1 radián
ഠ 57.3°. Use una calculadora o una tabla de aplicación
para la carga en el capacitor q(t) y la corriente i3(t) en de un SAC para construir una tabla de valores de los
OD UHG HOpFWULFD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HV ángulos ș1 y ș2 para t ϭ 1, 2, . . . , 10 s. Después dibuje
las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
dq 1 E(t)
R1 dt q R1i3 e) Use un SAC para encontrar la primera vez que ș1(t) ϭ
C ș2(t) y calcule el correspondiente valor angular. Dibuje
las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
L di3 R2i3 1 0.
dt q f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para
simular las varillas de los péndulos, como se muestra
C HQ OD ¿JXUD 8VH OD XWLOLGDG GH DQLPDFLyQ GH
su SAC para hacer un “video” del movimiento del
b) Determine la carga en el capacitor cuando L ϭ 1 h, R1 péndulo doble desde t ϭ 0 hasta t ϭ 10 usando un
ϭ 1 ⍀, R2 ϭ 1 ⍀, C ϭ 1 f. incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coorde-
nadas (x1(t), y1(t)) y (x2(t), y2(t)) de las masas m1 y m2
0, 0 t 1 respectivamente, en términos de ș1(t) y ș2(t).]
E(t) 50e t,
t 1,

i3(0) ϭ 0 y q(0) ϭ 0.

REPASO DEL CAPÍTULO 7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-13

(Q ORV SUREOHPDV \ XWLOLFH OD GH¿QLFLyQ GH OD WUDQVIRUPDGD En los problemas 3 a 24 complete los espacios en blanco o
de Laplace para encontrar { f (t)}. conteste verdadero o falso.

f (t) t, 0 t 1 Si f no es continua por tramos en [0, ϱ), entonces { f (t)}
f (t) no existirá. _______
2 t, t1
La función f (t) (et )10 no es de orden exponencial. ____
0, 0 t 2
1, 2 t 4 F(s) ϭ s2͞(s2 ϩ 4) no es la transformada de Laplace de
0, t 4 una función que es continua por tramos y de orden expo-
nencial. _______

REPASO DEL CAPÍTULO 7 l 313

Si { f (t)} F(s) y {g(t)} G(s), entonces y
1{F(s)G(s)} f (t)g(t). _______

{e 7t} _______ {te 7t} _______

{sen 2t} _______ {e 3tsen 2t} _______ t0 t
{t sen 2t} _______
FIGURA 7.R.3 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
{sen 2t (t )} _______
y
1 20 _______
s6

1 1 _______
3s 1
t0 t
11 _______
(s 5)3 FIGURA 7.R.4 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
y
11 _______
s2 5

1s _______ t
s2 10s 29
t0 t1

1 e 5s _______ FIGURA 7.R.5 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
s2

1s 2e s _______ En los problemas 29 a 32 exprese f en términos de funciones
s2 escalón unitario. Encuentre { f (t)} y {et f (t)}.

11 _______ f (t)
L2s2 n2 2
1

{e 5t} existe para s Ͼ _______. t

Si { f (t)} F(s), entonces {te8t f (t)} _______. 1234

Si { f(t)} F(s) y k Ͼ 0, entonces FIGURA 7.R.6 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

{eat f (t k) (t k)} _______.

{ t ea f( )d } _______ mientras que f (t)
0
y = sen t, π ≤ t ≤ 3π
{eat t f( )d } _______. 1
0
−1 π 2π 3π t
En los problemas 25 a 28, use la función escalón unitario para
FIGURA 7.R.7 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
GHWHUPLQDU XQD HFXDFLyQ SDUD FDGD JUi¿FD HQ WpUPLQRV GH OD
función y ϭ f (t FX\D JUi¿FD VH SUHVHQWD HQ OD ¿JXUD 5

y f (t)
y = f(t)
(3, 3)
t0 t 2

FIGURA 7.R.1 *Ui¿FD SDUD ORV SUREOHPDV D 1

123 t

FIGURA 7.R.8 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

y f (t)

1

t0 t 12 t

FIGURA 7.R.2 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD FIGURA 7.R.9 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

314 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En los problemas 33 a 40, use la transformada de Laplace para Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base
resolver la ecuación dada. HOiVWLFD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD VX GHÀH[LyQ y(x) es

yЉ Ϫ 2yЈ ϩ y ϭ et, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 5 d4y
yЉ Ϫ 8yЈ ϩ 20y ϭ tet, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 EI dx4 ky w(x),
yЉ ϩ 6yЈ ϩ 5y ϭ t Ϫ t ᐁ(t Ϫ 2), y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0 donde k es el módulo de la base y Ϫ ky es la fuerza res-
yЈ Ϫ 5y ϭ f (t), donde
tauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la de
t2, 0 t 1
f (t) , y(0) 1 la carga w(x 9HD OD ¿JXUD 5 3RU FRQYHQLHQFLD DOJH-

0, t 1 braica suponga que la ecuación diferencial se escribe como

yЈ ϩ 2y ϭ f (t), y(0) ϭ 1, donde f (t HVWi GDGR SRU OD ¿- d4y 4a4y w(x)
gura 7.R.10 d x4 ,

f (t) EI

1 donde a ϭ (k͞4EI)1/4. Suponga que L ϭ ʌ y a ϭ 1.
(QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ y(x) de una viga que está apoyada
en una base elástica cuando

a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos

1 2 3t y una carga constante w0 se distribuye uniformemente
a lo largo de su longitud,
FIGURA 7.R.10 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
yЉ ϩ 5yЈ ϩ 4y ϭ f (t), y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 3, donde b) la viga está empotrada en ambos extremos y w(x) es
una carga concentrada w0 aplicada en x ϭ ʌ͞2.
f (t) 12 ( 1)k (t k)
[Sugerencia: En ambas partes de este problema, use los
k0 elementos 35 y 36 de la tabla de transformadas de Laplace

del apéndice III].

y (t) cos t t ) d , y(0) 1 a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados
por medio de un resorte con k FRQVWDQWH 9HD OD ¿JXUD
y( ) cos(t 7.R.12. Bajo las mismas suposiciones hechas en el aná-

0 lisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede

t demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento
␪1(t) y ␪2(t) son pequeños, el sistema de ecuaciones di-
f ( ) f (t ) d 6t3 ferenciales lineales que describen el movimiento es

0

En los problemas 41 y 42, use la transformada de Laplace para
resolver cada sistema.

xЈ ϩ y ϭ t xЉ ϩ yЉ ϭ e2t g k
4x ϩ yЈ ϭ 0 2xЈ ϩ yЉ ϭ Ϫe2t 1 l1 ( 2)
x(0) ϭ 1, y(0) ϭ 2 x(0) ϭ 0, y(0) ϭ 0, m 1
xЈ(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0
gk
( 2).
2 l2 m 1

La corriente i(t) en un circuito RC en serie se puede deter- Utilice la transformada de Laplace para resolver el
minar de la ecuación integral
sistema cuando ș1(0) ϭ ș0, ș1Ј(0) ϭ 0, ș2(0) ϭ ȥ0,
1t E(t), ș2Ј(0) ϭ 0, donde ș0 y ȥ0 son constantes. Por conve-
Ri i( ) d niencia, sea Ȧ2 ϭ g͞l, K ϭ k ͞m.

C0

donde E(t) es el voltaje aplicado. Determine i(t) cuando R w(x)

ϭ 10 ⍀, C ϭ 0.5 f y E(t) ϭ 2(t2 ϩ t). L
0x
Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un
base elástica
capacitor para el cual L 1 h, R ϭ 10 ⍀ y C ϭ 0.01 f, y
2
respectivamente. El voltaje FIGURA 7.R.11 Viga sobre la base elástica del problema 46.

10, 0 t 5
E(t)

0, t 5

se aplica al circuito. Determine la carga instantánea q(t)
en el capacitor para t Ͼ 0 si q(0) ϭ 0 y qЈ(0) ϭ 0.

Una viga en voladizo uniforme de longitud L está em- l θ2 l
potrada en su extremo izquierdo (x ϭ 0) y libre en su θ1
H[WUHPR GHUHFKR (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ y(x) si la carga
por unidad de longitud se determina por m
m
w(x) 2w0 L x L L
L2 x x. FIGURA 7.R.12 Péndulos acoplados del problema 47.

2 2

REPASO DEL CAPÍTULO 7 l 315

b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento e) Demuestre que en el caso m ϭ 1. k ϭ 1, fk ϭ 1 y
de los péndulos acoplados en el caso especial cuando x0 ϭ 5.5 que en el intervalo [0, 2ʌ) su solución de
las condiciones iniciales son ș1(0) ϭ ș0, ș1Ј(0) ϭ 0, acuerdo con los incisos a) y b) del problema 28 en el
ș2(0) ϭ ș0, ș2Ј(0) ϭ 0. Cuando las condiciones iniciales repaso del capítulo 5.
son ș1(0) ϭ ș0, ș1Ј(0) ϭ 0, ș2(0) ϭ Ϫș0, ș2Ј(0) ϭ 0.
f) Demuestre que cada oscilación sucesiva es 2F͞Ȧ2
5HYLVLyQ GH OD IULFFLyQ GH &RXORPE En el problema más corta que la anterior.
27 del repaso del capítulo 5 examinamos un sistema masa
UHVRUWH HQ HO FXDO XQD PDVD VH GHVOL]D VREUH XQD VXSHU¿- g) Prediga el comportamiento a largo plazo del sistema.
FLH KRUL]RQWDO VHFD FX\R FRH¿FLHQWH GH IULFFLyQ FLQpWLFR HV
una constante ȝ. La fuerza constante retardante fk ϭ μmg $OFDQFH GH XQ SUR\HFWLO 6LQ UHVLVWHQFLD GHO DLUH
GH OD VXSHU¿FLH VHFD DFW~D RSRQLpQGRVH D OD GLUHFFLyQ GHO
movimiento o se llama fricción de Coulomb en honor al fí- a) Un proyectil, tal como la bala de cañón se muestra
sico francés Charles Augustin de Coulomb (1736-1806). Se HQ OD ¿JXUD 5 WLHQH XQ SHVR w ϭ mg y velo-
OH SLGLy HQWRQFHV GHPRVWUDU TXH OD HFXDFLyQ GH¿QLGD HQ SDU- cidad inicial Y0 que es tangente a su trayectoria de
tes para el desplazamiento x(t) de la masa está dado por movimiento. Si se ignoran la resistencia del aire y

d2x fk, x 0 (movimiento a la izquierda) todas las demás fuerzas, excepto su peso, vimos en
mdt2 kx fk, x 0 (movimiento a la derecha)
el problema 23 de los ejercicios 4.9 que el movi-

miento de proyectiles describe el sistema de ecua-

ciones diferenciales lineales

a) Suponga que la masa se libera a partir del reposo del d 2x
m dt 2 0
punto x(0) ϭ x0 Ͼ 0 y que no hay otras fuerzas exter-
nas. Entonces las ecuaciones diferenciales que descri- d 2y mg
m dt 2
ben el movimiento de la masa m son

x Ȧ2x F, 0 t T͞2 Use la transformada de Laplace para resolver el
x Ȧ2x F, T͞2 t T sistema sujeto a las condiciones iniciales x(0) ϭ 0,
x Ȧ2x F, T t 3T͞2, xЈ(0) ϭ Y0 cos ș, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ Y0 sen ș, donde
Y0 ϭ Ηv0Η es constante y ș es el ángulo constante de
y así sucesivamente, donde Ȧ2 ϭ k͞m, F ϭ fk͞m ϭ HOHYDFLyQ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 /DV
μg, g ϭ 32, y T ϭ 2ʌ͞Ȧ. Demuestre que los tiempos 0, soluciones de x(t) y y(t) son ecuaciones paramétri-
T͞2, T, 3T͞2, . . . corresponden a xЈ(t) ϭ 0. cas de la trayectoria del proyectil.

b) Explique por qué, en general, el desplazamiento ini- b) Utilice x(t) en el inciso a) para eliminar el parámetro t
cial debe satisfacer Ȧ2 Η x0 Η Ͼ F. en y(t). Use la ecuación resultante para y para demostrar
que el rango horizontal R del proyectil está dado por
c) Explique por qué el intervalo ϪF͞Ȧ2 Յ x Յ F͞Ȧ2
apropiadamente se llama la “zona muerta” del sistema. R v02 sen 2ș
g
d) Utilice la transformada de Laplace y el concepto de
la función de serpenteante para resolver el desplaza- c) De la fórmula en el inciso b), vemos que R está
miento x(t) para t Ն 0. al máximo cuando sen 2ș ϭ 1 o cuando ș ϭ ʌ͞4.

y
v0

θ

x

Rango horizontal
R

FIGURA 7.R.13 Proyectil del problema 49.

316 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE d 2x ȕ dx
m dt 2 dt
Demuestre que el mismo rango, que sea menor que el
máximo se puede lograr al disparar el arma en alguno d 2y mg ȕ dy
de los dos ángulos complementarios ș y ʌ͞2 Ϫș. La m dt 2 dt
única diferencia es que el ángulo más pequeño tiene
una trayectoria baja mientras que el ángulo más donde ȕ Ͼ 0. Utilice transformada de Laplace para
grande tiene una trayectoria alta.
resolver este sistema sujeto a la condiciones inicia-
d) Suponga g ϭ 32 pies/s2, ș ϭ 38º, y Y0 ϭ 300 pies/s.
Utilice el inciso b) para encontrar el rango horizontal les x(0) ϭ 0, xЈ(0) ϭ Y0 cos ș, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ Y0
del proyectil. Encuentre el tiempo cuando el proyectil
golpea el suelo. sen ș, donde Y0 ϭ Ηv0Η y ș son constantes.
b) Supongamos que m ϭ 1͞4slug, g ϭ 32 pies/s2, ȕ ϭ
e) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) en el in-
ciso a) junto con los datos numéricos en el inciso d) 0.02, ș ϭ 38 º y Y0 = 300 pies/s. Use un SAC para en-
para trazar la curva balística del proyectil. Repita con contrar el tiempo en que el proyectil golpea el suelo y
ș ϭ 52 º y Y0 ϭ 300 pies/s. Sobreponga ambas curvas
en el mismo sistema de coordenadas. luego calcule su correspondiente rango horizontal.

5DQJR GH XQ SUR\HFWLO &RQ UHVLVWHQFLD GHO DLUH c) Repita el inciso c) utilizando el ángulo complementa-
rio ș ϭ 52º y compare el rango con el que encuentra en
a) Ahora supongamos que la resistencia del aire es los inciso b). ¿La propiedad del inciso c) del problema
una fuerza retardadora tangente a la trayectoria que 49 se conserva?
actúa en dirección opuesta al movimiento. Si toma-
mos la resistencia del aire proporcional a la veloci- d) Utilice las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) del in-
dad del proyectil, entonces vimos en problema 24 ciso a) junto con los datos numéricos del inciso b)
de los ejercicios 4.9 que el movimiento del proyectil para trazar la curva balística del proyectil. Repita este
está descrito por el sistema de ecuaciones diferen- procedimiento con los mismos datos numéricos del
ciales inciso b) pero tome ș ϭ 52°. Superponga ambas cur-
vas en el mismo sistema de coordenadas. Compare
estas curvas con las que se obtuvieron en el inciso e)
del problema 49.

8 SISTEMAS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES LINEALES

DE PRIMER ORDEN

8.1 Teoría preliminar: Sistemas lineales
8.2 Sistemas lineales homogéneos

8.2.1 Eigenvalores reales distintos
8.2.2 Eigenvalores repetidos
8.2.3 Eigenvalores complejos
8.3 Sistemas lineales no homogéneos
8.3.1 &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV
8.3.2 Variación de parámetros
8.4 Matriz exponencial
REPASO DEL CAPÍTULO 8

En las secciones 3.3, 4.9 y 7.6 tratamos con sistemas de ecuaciones diferenciales
y pudimos resolver algunos de estos sistemas mediante eliminación sistemática
o con la transformada de Laplace. En este capítulo nos vamos a dedicar sólo a
sistemas de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden. Aunque la mayor
parte de los sistemas que se consideran se podrían resolver usando eliminación o
la transformada de Laplace, vamos a desarrollar una teoría general para estos tipos
GH VLVWHPDV \ HQ HO FDVR GH VLVWHPDV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV XQ PpWRGR GH
solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices. Veremos
que esta teoría general y el procedimiento de solución son similares a los de las
ecuaciones de cálculo diferencial de orden superior lineales consideradas en el
capítulo 4. Este material es fundamental para analizar ecuaciones no lineales de
primer orden.

317

318 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES

REPASO DE MATERIAL

l En este capítulo se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con mucha frecuencia
a lo largo del mismo. Es indispensable que repase el apéndice II o un texto de álgebra lineal si no
está familiarizado con estos conceptos

INTRODUCCIÓN Recuerde que en la sección 4.9 se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuacio-
nes diferenciales lineales con n incógnitas de la forma

P11(D)x1 ϩ P12(D)x2 ϩ . . . ϩ P1n(D)xn ϭ b1(t) (1)
P21(D)x1 ϩ P.22(D)x2 ϩ . . . ϩ P2n(D)xn ϭ b. 2(t)

..
..
Pn1(D)x1 ϩ Pn2(D)x2 ϩ . . . ϩ Pnn(D)xn ϭ bn(t),

donde las Pij eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este capítulo se dedica al
estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal

d––x–1 ϭ g1(t, x1, x2, . . . , xn)
dt

d––x–2 ϭ g2(t, x1, x2, . . . , xn) (2)
d...t ...

d––x–n ϭ gn(t, x1, x2, . . . , xn).
dt

Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden.

SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones g1, g2, . . . , gn en (2) es
lineal en las variables dependientes x1, x2, . . . , xn, se obtiene la forma normal de un
sistema de ecuaciones lineales de primer orden.

d––x–1 ϭ a11(t)x1 ϩ a12(t)x2 ϩ . . . ϩ a1n(t)xn ϩ f1(t)
dt

d––x–2 ϭ a21(t)x1 ϩ a22(t)x2 ϩ . . . ϩ a2n(t)xn ϩ f2(t) (3)
d...t ...
d––x–n
dt ϭ an1(t)x1 ϩ an2(t)x2 ϩ . . . ϩ ann(t)xn ϩ fn(t).

Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema

lineal 6H VXSRQH TXH ORV FRH¿FLHQWHV aij así como las funciones f son continuas en un

i
intervalo común I. Cuando fi(t) ϭ 0, i ϭ 1, 2, . . . , n, se dice que el sistema lineal (3)

es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si X, A(t), y F(t) denotan ma-

trices respectivas

( )x1(t) ( )a11(t) a12(t) . . . a1n(t) ( )F(t)ϭ f1(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
x2(t) f2(t)
X ϭ ... , A(t) ϭ ... ... , ... ,

xn(t) an1(t) an2(t) . . . ann(t) fn(t)

8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES l 319

entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se puede

escribir como

( ) ( ) ( ) ( )x1 a11(t) a12(t) . . . a1n(t)a22(t) . . .x1 f1(t)
–d– x2 a21(t) a2n(t)
dt ... ϭ ... ... x2 f2(t)
... ϩ ...

xn an1(t) an2(t) . . . ann(t) xn fn(t)

o simplemente X AX F. (4)
(5)
Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces

X AX.

EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial

a) Si X x
, entonces la forma matricial del sistema homogéneo

y

dx 34
3x 4y X.

dt 57
es X

dy
5x 7y

dt

b) Si X x
y , entonces la forma matricial del sistema homogéneo
z

dx yz t
6x
61 1 t
dt

dy 8 7 1 X 10t .
8x 7y z 10t es X
29 1 6t
dt

dz
2x 9y z 6t

dt

DEFINICIÓN 8.1.1 Vector solución

Un vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna

( )x1(t)

x2(t)
X ϭ ...

xn(t)

cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) en el
intervalo.

Un vector solución de (4) es, por supuesto, equivalente a n ecuaciones escalares x1 ϭ
‫׋‬1(t), x2 ϭ ‫׋‬2(t), . . . , xn ϭ ‫׋‬n(t) y se puede interpretar desde el punto de vista geométrico
como un conjunto de ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio. En el caso

importante n ϭ 2, las ecuaciones x1 ϭ ‫׋‬1(t), x2 ϭ ‫׋‬2(t) representan una curva en el plano
x1x2. Es práctica común llamar trayectoria a una curva en el plano y llamar plano fase al
plano x1x2. Regresaremos a estos conceptos y se ilustrarán en la siguiente sección.

320 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

EJEMPLO 2 Comprobación de soluciones

Compruebe que en el intervalo (Ϫϱ, ϱ)

X1 1 e 2t e 2t X2 3 e6t 3e6t
1 e 2t y 5 5e6t

son soluciones de 13 (6)
X X.

53

SOLUCIÓN De X1 2e 2t y X2 18e6t
2e 2t 30e6t vemos que

AX1 13 e 2t e 2t 3e 2t 2e 2t X1,
53 e 2t 5e 2t 3e 2t 2e 2t

y AX2 1 3 3e6t 3e6t 15e6t 18e6t X2 .
5 3 5e6t 15e6t 15e6t 30e6t

Gran parte de la teoría de sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden
es similar a la de las ecuaciones diferenciales de nϪésimo orden.

PROBLEMA CON VALORES INICIALES Sea t0 que denota un punto en un inter-
valo I y

( )x1(t0) y ( )␥1
␥2
x2(t0) X0 ϭ .. , ␥n
X(t0) ϭ ..
.
.
xn(t0)

donde las Ȗi, i ϭ 1, 2, . . . , n son las constantes dadas. Entonces el problema (7)
Resolver: X A(t)X F(t)

Sujeto a: X(t0) X0

es un problema con valores iniciales en el intervalo.

TEOREMA 8.1.1 Existencia de una solución única

Sean los elementos de las matrices A(t) y F(t) funciones continuas en un inter-

valo común I que contiene al punto t0. Entonces existe una solución única del
problema con valores iniciales (7) en el intervalo.

SISTEMAS HOMOGÉNEOS (Q ODV VLJXLHQWHV GH¿QLFLRQHV \ WHRUHPDV VH FRQVLGH-
UDQ VyOR VLVWHPDV KRPRJpQHRV 6LQ D¿UPDUOR VLHPSUH VH VXSRQGUi TXH ODV aij y las fi
son funciones continuas de t en algún intervalo común I.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El siguiente resultado es un principio de super-
posición para soluciones de sistemas lineales.

TEOREMA 8.1.2 Principio de superposición

Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo
(5) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal

X c1X1 c2X2 ck Xk ,

donde las ci, i ϭ 1, 2, . . . , k son constantes arbitrarias, es también una solución
en el intervalo.

8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES l 321

Se deduce del teorema 8.1.2 que un múltiplo constante de cualquier vector solu-
ción de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es
también una solución.

EJEMPLO 3 Usando el principio de superposición

Debería practicar comprobando que los dos vectores

cos t 0
et
X1 1 cos t 1 sen t y X2 0
son soluciones del sistema 2 2

cos t sen t

10 1 (8)
X 1 1 0 X.

20 1

Por el principio de superposición la combinación lineal

cos t 0
c2 et
X c1X1 c2X2 c1 1 cos t 1 sen t
2 2 0

cos t sent

es otra solución del sistema.

DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Estamos interesados
principalmente en soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo (5).

DEFINICIÓN 8.1.2 Dependencia/independencia lineal

Sea X1, X2, . . . , Xk un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo
(5) en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el

intervalo si existen constantes c1, c2, . . . , ck, no todas cero, tales que

c1X1 c2X2 ckXk 0

para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente depen-
diente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

El caso cuando k ϭ 2 debe ser claro; dos vectores solución X1 y X2 son linealmente
dependientes si uno es un múltiplo constante del otro y a la inversa. Para k Ͼ 2 un
conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si se puede expresar por lo
menos un vector solución como una combinación lineal de los otros vectores.

WRONSKIANO En la consideración anterior de la teoría de una sola ecuación dife-
rencial ordinaria se puede introducir el concepto del determinante Wronskiano como
prueba para la independencia lineal. Se expresa el siguiente teorema sin prueba.

TEOREMA 8.1.3 Criterio para las soluciones linealmente independientes

X1 ϭ( ) ( ) ( )Seanx11 x12 ..., x1n

x21 x22 x2n
... , X2ϭ ... , Xnϭ ...

xn1 xn2 xnn

322 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

n vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces el

conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si

el Wronskiano

ͿW(X1,X2, . . . ,Xn) ϭ x11 Ϳx12 . . . x1n 0 (9)
x...21
xn1 x22 . . . x...2n
xn2 . . . xnn

para toda t en el intervalo.

Se puede demostrar que si X1, X2, . . . , Xn son vectores solución de (5), entonces
para toda t en I ya sea W(X1, X2, . . . , Xn) 0 o W(X1, X2, . . . , Xn) ϭ 0. Por tanto, si
se puede demostrar que W 0 para alguna t0 en I, entonces W 0 para toda t y, por
tanto, las soluciones son linealmente independientes en el intervalo.

2EVHUYH TXH D GLIHUHQFLD GH OD GH¿QLFLyQ GH :URQVNLDQR HQ OD VHFFLyQ DTXt

OD GH¿QLFLyQ GHO GHWHUPLQDQWH QR LPSOLFD GHULYDFLyQ

EJEMPLO 4 Soluciones linealmente independientes

En el ejemplo 2 vimos que X1 1 e 2t y X2 3 e6t son soluciones del
1 5

sistema (6). Es evidente que X1 y X2 son linealmente independientes en el intervalo
(Ϫϱ, ϱ) puesto que ningún vector es un múltiplo constante del otro. Además, se tiene

W(X1, X2) e 2t 3e6t 8e4t 0
e 2t 5e6t

para todos los valores reales de t.

DEFINICIÓN 8.1.3 Conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto X1, X2, . . . , Xn de n vectores solución linealmente inde-
pendientes del sistema homogéneo (5) en un intervalo I se dice que es un con-
junto fundamental de soluciones en el intervalo.

TEOREMA 8.1.4 Existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5)
en un intervalo I.

Los dos teoremas siguientes son equivalentes a los teoremas 4.1.5 y 4.1.6 para
sistemas lineales.

TEOREMA 8.1.5 Solución general, sistemas homogéneos

Sea X1, X2, . . . , Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistema ho-
mogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el

intervalo es

X c1X1 c2X2 cn X n ,

donde las ci, i ϭ 1, 2, . . . , n son constantes arbitrarias.

8.1 TEORÍA PRELIMINAR: SISTEMAS LINEALES l 323

EJEMPLO 5 Solución general del sistema (6)

Del ejemplo 2 sabemos que X1 1 e 2t y X2 3 e6t son soluciones lineal-
1 5

mente independientes de (6) en (Ϫϱ, ϱ). Por tanto X1 y X2 son un conjunto fundamental
de soluciones en el intervalo. La solución general del sistema en el intervalo entonces es

X c1X1 c2 X2 c1 1 e 2t c2 3 e6t. (10)
1 5

EJEMPLO 6 Solución general del sistema (8)

Los vectores

cos t 0 sen t

X1 1 cos t 1 sen t , X2 1 et, X3 1 sen t 1 cos t
2 2 2 2

cos t sent 0 sent cos t

son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (vea el problema 16 en los ejercicios
8.1). Ahora,

cos t 0 sen t

W(X1, X2, X3) p 1 cos t 1 sen t et 1 sen t 1 cos t p et 0
2 2 2 2

cos t sent 0 sent cos t

para todos los valores reales de t. Se concluye que X1, X2 y X3 forman un conjunto
fundamental de soluciones en (Ϫϱ, ϱ). Por lo que la solución general del sistema en el
intervalo es la combinación lineal X ϭ c1X1 ϩ c2X2 ϩ c3X3; es decir,

cos t 0 sent

X c1 1 cos t 1 sen t c2 1 et c3 1 sen t 1 cos t .
2 2 2 2

cos t sent 0 sent cos t

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Para sistemas no homogéneos una solución par-

ticular Xp en el intervalo I es cualquier vector libre de parámetros arbitrarios, cuyos
elementos son funciones que satisfacen el sistema (4).

TEOREMA 8.1.6 Solución general: sistemas no homogéneos

Sea Xp una solución dada del sistema no homogéneo (4) en un intervalo I y sea

Xc c1X1 c2X2 cn X n

que denota la solución general en el mismo intervalo del sistema homogéneo
asociado (5). Entonces la solución general del sistema no homogéneo en el
intervalo es

X Xc Xp.

La solución general Xc del sistema homogéneo relacionado (5) se llama
función complementaria del sistema no homogéneo (4).

324 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

EJEMPLO 7 Solución general: sistema no homogéneo

El vector Xp 3t 4
es una solución particular del sistema no homogéneo

5t 6

13 12t 11
XX (11)
53 3

en el intervalo (Ϫϱ, ϱ). (Compruebe esto.) La función complementaria de (11) en el

mismo intervalo o la solución general de X 1 3 X , como vimos en (10) del
53

ejemplo 5 que Xc c1 1 e 2t c2 3 e6t . Por tanto, por el teorema 8.1.6
1 5

X Xc Xp c1 1 e 2t c2 3 e6t 3t 4
1 5 5t 6

es la solución general de (11) en (Ϫϱ, ϱ).

EJERCICIOS 8.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-13.

En los problemas l a 6 escriba el sistema lineal en forma ma- 759 0 8
tricial.
8. X 4 1 1 X 2 e5t 0 e 2t

dx ddxx 023 1 3
1. dt 3x 5y 22.. ddtt 4x 7y
x 1 12x 1 3
dy ddyy d 3 41y 2 et 1t
4x 8y 5x 9. dt y 2 56z 2 1

dt ddtt z

dx 3x 4y 9z ddxx xy dx 3 7x 4 t 4 e4t
3. dt 6x y 44.. ddtt x 2z 10. dt y 1 1y sen t 2t 1
10x 4y 3z
dy ddyy xz 8

dt ddtt En los problemas 11 a 16, compruebe que el vector X es una
dz ddzz solución del sistema dado.

dt ddtt

dx xyzt1 2 dx 1 e 5t
5. dt 2x y z 3t2 11. 3x 4y 2
x y z t2 t
dy dt
dy
dt
dz 4x 7y; X
dt
dt

dx 3x 4y e t sen 2t dx 2x 5y
6. dt 5x 9z 4e t cos 2t 12.
y 6z e t 2x 4y; X 5 cos t et
dy dt
dy 3 cos t sent
dt dt
dz 1 1 1 e 3t/2
13. X 2
dt 4 X; X

En los problemas 7 a 10, reescriba el sistema dado sin el uso 11

de matrices.

7. X 42 1 et 14. X 21 1 et 4 tet
X 1 X; X 3 4

13 10

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 325

121 1 22. X 21 5 Xp 1
6 1 0 X; X 6 23. X X ; 3
15. X 121 13 24. X 2
16. X 11

10 1 sen t 21 1 et; Xp 1 et 1 tet
11 0 X; X X 7 1 1
20 1 1 1
2 2 34

sen t cos t

sent cos t 123 1 sen 3t
4 2 0X 4 sen 3t; Xp 0
En los problemas 17 a 20, los vectores dados son soluciones 610 3
de un sistema XЈ ϭ AX. Determine si los vectores forman un cos 3t
conjunto fundamental en (Ϫϱ, ϱ).
25. Demuestre que la solución general de
17. X1 1 e 2t, X2 1 e 6t
18. X1 1 1 060
19. X1 X 1 0 1X
1 et, X2 2 et 8 tet
X3 1 6 8 110

11 1 en el intervalo (Ϫϱ, ϱ) es
2 t 2 , X2 2,
42 4 6 32
X c1 1 e t c2 1 e 2t c3 1 e3t.
32
6 t4 5 11
12 4

26. Demuestre que la solución general de

20. X1 1 1 X3 2 1 1 1 t2 4 1
6 , X2 2 e 4t, 3 e3t X t
13 1 2 X 11 1 65

En los problemas 21 a 24 compruebe que el vector Xp es una en el intervalo (Ϫϱ, ϱ) es
solución particular del sistema dado.

21. dx x 4y 2t 7 X c1 1 e12t c2 1 e 12t
dt 3x 2y 4t 18; Xp 1 12 1 12
dy
dt 25 1 t2 21
t t.
0 40
11

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS

REPASO DE MATERIAL
l Sección II.3 del apéndice II

INTRODUCCIÓN Vimos en el ejemplo 5 de la sección 8.1 que la solución general del sistema

homogéneo X 13
5 3 X es

X c1X1 c2X2 c1 1 e 2t c2 3 e6t.
1 5

Ya que los vectores solución X1 y X2 tienen la forma

Xi k1 e it, i ϭ 1, 2,
k2

326 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

donde k1, k2, Ȝ1 y Ȝ2 son constantes, nos inquieta preguntar si siempre es posible hallar una solución
de la forma

( )Xϭ k1 (1)
k2
.. e lt ϭ Kelt
.

kn

para la solución del sistema lineal homogéneo general de primer orden (2)
X AX,

donde A es una matriz n ϫ n de constantes.

EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Si (1) es un vector solución del sistema

homogéneo lineal (2), entonces XЈ ϭ KȜHȜW, por lo que el sistema se convierte en

KȜHȜW ϭ AKeȜW. Después de dividir entre eȜW y reacomodando, obtenemos AK ϭ ȜK o

AK Ϫ ȜK ϭ 0. Ya que K ϭ IK, la última ecuación es igual a

(A lI)K 0. (3)

La ecuación matricial (3) es equivalente a las ecuaciones algebraicas simultáneas

(a11 Ϫ l)k1 ϩ a12k2 ϩ . . . ϩ a1nkn ϭ 0

a21k1 ϩ (a22 Ϫ l)k2 ϩ . . . ϩ a2nkn ϭ 0
... .
.
.

an1k1 ϩ an2k2 ϩ . . . ϩ (ann Ϫ l)kn ϭ 0.

Por lo que para encontrar soluciones X de (2), necesitamos primero encontrar una

solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, debemos encontrar un vector

no trivial K que satisfaga a (3). Pero para que (3) tenga soluciones que no sean la so-

lución obvia k ϭ k ϭ и и и ϭ k ϭ 0, se debe tener
1 2 n

det(A I) 0.

Esta ecuación polinomial en Ȝ se llama ecuación característica de la matriz A. Sus
soluciones son los eigenvalores de A. Una solución K 0 de (3) correspondiente a
un eigenvalor Ȝ se llama eigenvector de A. Entonces una solución del sistema homo-
géneo (2) es X ϭ KeȜW.

En el siguiente análisis se examinan tres casos: eigenvalores reales y distintos (es
decir, los eigenvalores no son iguales), eigenvalores repetidos y, por último, eigenva-
lores complejos.

8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS

Cuando la matriz A n ϫ n tiene n eigenvalores reales y distintos Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn enton-
ces siempre se puede encontrar un conjunto de n eigenvectores linealmente indepen-

dientes K1, K2, . . . , Kn y

X1 K1e 1t, X2 K2e 2t, ..., Xn Kne nt

es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en el intervalo (Ϫϱ, ϱ).

TEOREMA 8.2.1 Solución general: Sistemas homogéneos

Sean Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn n HLJHQYDORUHV UHDOHV \ GLVWLQWRV GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A
del sistema homogéneo (2) y sean K1, K2, . . . , Kn los eigenvectores correspon-
dientes. Entonces la solución general de (2) en el intervalo (Ϫϱ, ϱ) está dada por

X c1K1e 1t c2K2e 2t cnKne nt.

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 327

EJEMPLO 1 Eigenvalores distintos

Resuelva dx
2x 3y

dt

dy (4)
2x
y.
dt

SOLUCIÓN Primero determine los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de
FRH¿FLHQWHV

De la ecuación característica

det(A 2 3 2 3 4 ( 1)( 4) 0
I) 1

2

x vemos que los eigenvalores son Ȝ1 ϭ Ϫ1 y Ȝ2 ϭ 4.
Ahora para Ȝ1 ϭ Ϫ1, (3) es equivalente a
6 3k1 3k2 0
5
4 2k1 2k2 0.
3
2 Por lo que k1 ϭ Ϫ k2. Cuando k2 ϭ Ϫ1, el eigenvector correspondiente es
1
1
_3 _2 _1 K1 .
1

Para Ȝ2 ϭ 4 tenemos 2k1 3k2 0

t 2k1 3k2 0
123

a) gráfica de x ϭ eϪt ϩ 3e4t por lo que k1 3 k2; por tanto con k ϭ 2 el eigenvector correspondiente es
2 2

y 3
6 K2 .
2

4 3XHVWR TXH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A es una matriz 2 ϫ 2 y como hemos encontrado
2 dos soluciones linealmente independientes de (4),

t

_2 X1 1et y X2 3 e4t,
1 2
_4
_6 123 Se concluye que la solución general del sistema es

_3 _2 _1

b) gráfica de y ϭ ϪeϪt ϩ 2e4t X c1X1 c2 X2 c1 1et c2 3 e4t. (5)
1 2

y x DIAGRAMA DE FASE Debe considerar que escribir una solución de un sistema de
4 7.5 10 12.5 15 ecuaciones en términos de matrices es simplemente una alternativa al método que se
2 empleó en la sección 4.9, es decir, enumerar cada una de las funciones y la relación
entre las constantes. Si sumamos los vectores en el lado derecho de (5) y después igua-
_2 lamos las entradas con las entradas correspondientes en el vector en el lado izquierdo,
_4 se obtiene la expresión familiar
_6
_8
_10

2.5 5 x c1e t 3c2e4t, y c1e t 2c2e4t.

c) trayectoria definida por Como se indicó en la sección 8.1, se pueden interpretar estas ecuaciones como ecuacio-
x ϭ eϪt ϩ 3e4t, y ϭ ϪeϪt ϩ 2e4t nes paramétricas de curvas en el plano xy o plano fase. Cada curva, que corresponde
D HOHFFLRQHV HVSHFt¿FDV GH c1 y c2, se llama trayectoria. Para la elección de constantes
en el plano fase c1 ϭ c2 ϭ HQ OD VROXFLyQ YHPRV HQ OD ¿JXUD OD JUi¿FD GH x(t) en el plano
tx OD JUi¿FD GH y(t) en el plano ty y la trayectoria que consiste en los puntos (x(t), y(t))
FIGURA 8.2.1 Una solución particular
de (5) produce tres curvas diferentes en
tres planos diferentes.

328 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

y en el plano fase. Al conjunto de trayectorias representativas en el plano fase, como se

PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VH OH OODPD diagrama fase para un sistema lineal dado. Lo

que parecen dos UHFWDV URMDV HQ OD ¿JXUD VRQ HQ UHDOLGDG cuatro semirrectas GH¿-

nidas paramétricamente en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes con las so-

x luciones X2, ϪX1, ϪX2 y X1, respectivamente. Por ejemplo, las ecuaciones cartesianas
x 0 y y ϭ Ϫx, x Ͼ 0, de las semirrectas en el primer y cuarto cuadrantes se
y 2 x,
3
obtuvieron eliminando el parámetro t en las soluciones x ϭ 3e4t, y ϭ 2e4t y x ϭ eϪt, y ϭ

X2 ϪeϪt, respectivamente. Además, cada eigenvector se puede visualizar como un vector

FIGURA 8.2.2 X1 bidimensional que se encuentra a lo largo de una de estas semirrectas. El eigenvector
del sistema (4). Un diagrama de fase
K2 3 2 x en el primer cuadrante y K1 1
se encuentra junto con y 3 1

2

se encuentra junto con y ϭ Ϫx en el cuarto cuadrante. Cada vector comienza en el

origen; K2 termina en el punto (2, 3) y K1 termina en (1, Ϫ1).
El origen no es sólo una solución constante x ϭ 0, y ϭ 0 de todo sistema li-

neal homogéneo 2 ϫ 2, XЈ ϭ AX, sino también es un punto importante en el es-

tudio cualitativo de dichos sistemas. Si pensamos en términos físicos, las pun-

WDV GH ÀHFKD GH FDGD WUD\HFWRULD HQ OD ¿JXUD LQGLFDQ OD GLUHFFLyQ FRQ TXH XQD

partícula en el tiempo t se mueve conforme aumenta el tiempo. Si imaginamos

que el tiempo va de Ϫϱ a ϱ, entonces examinando la solución x ϭ c1eϪt ϩ 3c2e4t,
y ϭ Ϫc1eϪt ϩ 2c2e4t, c1 0, c2 0 muestra que una trayectoria o partícula en movi-
PLHQWR ³FRPLHQ]D´ DVLQWyWLFD D XQD GH ODV VHPLUUHFWDV GH¿QLGDV SRU X1 o ϪX1 (ya que e4t
es despreciable para t → Ϫϱ \ ³WHUPLQD´ DVLQWyWLFD D XQD GH ODV VHPLUUHFWDV GH¿QLGDV

por X2 y Ϫ X2 (ya que eϪt es despreciable para t → ϱ).
2EVHUYH TXH OD ¿JXUD UHSUHVHQWD XQ GLDJUDPD GH IDVH TXH HV FDUDFWHUtVWLFR

de todos los sistemas lineales homogéneos 2 ϫ 2 XЈ ϭ AX con eigenvalores reales de

signos opuestos. Vea el problema 17 de los ejercicios 8.2. Además, los diagramas de

fase en los dos casos cuando los eigenvalores reales y distintos tienen el mismo signo

son característicos de esos sistemas 2 ϫ 2; la única diferencia es que las puntas de

ÀHFKD LQGLFDQ TXH XQD SDUWtFXOD VH DOHMD GHO RULJHQ HQ FXDOTXLHU WUD\HFWRULD FXDQGR Ȝ1
y Ȝ2 son positivas y se mueve hacia el origen en cualquier trayectoria mientras t → ϱ
cuando Ȝ1 y Ȝ2 son negativas. Por lo que al origen se le llama repulsor en el caso
Ȝ1 Ͼ 0, Ȝ2 Ͼ 0 y atractor en el caso Ȝ1 Ͻ 0, Ȝ2 Ͻ 0. Vea el problema 18 en los ejercicios
(O RULJHQ HQ OD ¿JXUD QR HV UHSXOVRU QL DWUDFWRU /D LQYHVWLJDFLyQ GHO FDVR

restante cuando Ȝ ϭ 0 es un eigenvalor de un sistema lineal homogéneo de 2 ϫ 2 se

deja como ejercicio. Vea el problema 49 de los ejercicios 8.2.

EJEMPLO 2 Eigenvalores distintos

Resuelva

dx (6)
4x y z 5) 0,

dt
dy

x 5y z
dt
dz

y 3z.
dt

SOLUCIÓN Usando los cofactores del tercer renglón, se encuentra

det (A 4 1 1 ( 3)( 4)(
5
I) p 1 1p
1
0 3

y así los eigenvalores son Ȝ1 ϭ Ϫ3, Ȝ2 ϭ Ϫ4 y Ȝ3 ϭ 5.

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 329

Para Ȝ1 ϭ Ϫ3, con la eliminación de Gauss-Jordan, se obtiene

( Ϳ ) ( Ϳ )Ϫ1 1 1 0 operaciones 1 0 Ϫ1 0

(A ϩ 3IͿ0) ϭ 1 8 Ϫ1 0 entre renglones 0 1 0 0
0 1 00 0 0 00

Por tanto k1 ϭ k3 y k2 ϭ 0. La elección k3 ϭ 1 da un eigenvector y el vector solución
correspondiente

11 (7)
K1 0 , X1 0 e 3t.

11

De igual manera, para Ȝ2 ϭ Ϫ4

( Ϳ ) ( Ϳ )0 1 1 0 operaciones 1 0 Ϫ10 0
(A ϩ 4IͿ0) ϭ 1 9 Ϫ1 0 entre renglones 0 1 10

0 1 10 0 0 00

implica que k1 ϭ 10k3 y k2 ϭ Ϫk3. Al elegir k3 ϭ 1, se obtiene un segundo eigenvector
y el vector solución

10 10 (8)
K2 1 , X2 1 e 4t.

11

Por último, cuando Ȝ3 ϭ 5, las matrices aumentadas

( Ϳ ) ( Ϳ )Ϫ9 1 1 0 operaciones 1 0 Ϫ1 0

(A ϩ 5IͿ0) ϭ 1 0 Ϫ1 0 entre renglones 0 1 Ϫ8 0
0 1 Ϫ8 0 0 0 00

producen 11 (9)
K3 8 , X3 8 e5t.

11

La solución general de (6) es una combinación lineal de los vectores solución en
(7), (8) y (9):

1 10 1
X c1 0 e 3t c2 1 e 4t c3 8 e5t.

1 11

USO DE COMPUTADORAS Los paquetes de software como MATLAB,
Mathematica, Maple y DERIVE, ahorran tiempo en la determinación de eigenvalores
y eigenvectores de una matriz A.

8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS

Por supuesto, no todos los n eigenvalores Ȝ1, Ȝ2, . . . , Ȝn de una matriz A de n ϫ n deben
ser distintos, es decir, algunos de los eigenvalores podrían ser repetidos. Por ejemplo,

OD HFXDFLyQ FDUDFWHUtVWLFD GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV HQ HO VLVWHPD

3 18 (10)
XX

29

330 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

se demuestra fácilmente que es (Ȝ ϩ 3)2 ϭ 0, y por tanto, Ȝ1 ϭ Ȝ2 ϭ Ϫ3 es una raíz de
multiplicidad dos. Para este valor se encuentra el único eigenvector

K1 3 3 e 3t
, por lo que X1 1 (11)
1

es una solución de (10). Pero como es obvio que tenemos interés en formar la solución

general del sistema, se necesita continuar con la pregunta de encontrar una segunda

solución.
En general, si m es un entero positivo y (Ȝ Ϫ Ȝ1)m es un factor de la ecuación

característica, mientras que (Ȝ Ϫ Ȝ1)mϩ1 no es un factor, entonces se dice que Ȝ1 es un
eigenvalor de multiplicidad m. En los tres ejemplos que se dan a continuación se

ilustran los casos siguientes:

i) Para algunas matrices A de n ϫ n sería posible encontrar m eigenvectores

linealmente independientes K1, K2, . . . , Km, correspondientes a un
eigenvalor Ȝ1, de multiplicidad m Յ n. En este caso la solución general del
sistema contiene la combinación lineal

c1K1e 1t c2K2e 1t cmKme 1t.

ii) Si sólo hay un eigenvector propio que corresponde al eingenvalor Ȝ1 de
multiplicidad m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones

linealmente independientes de la forma

X1 ϭ K11e l1t

X2 ϭ. K21te l1t ϩ K22e l1t.

Xm . Km1 –––t m–Ϫ––1–– e l1t ϩ Km2 –––t m–Ϫ––2–– e l1t ϩ . . . ϩ Kmme l1t,
ϭ (m Ϫ 1)! (m Ϫ 2)!

donde las Kij son vectores columna.

EIGENVALORES DE MULTIPLICIDAD DOS Se comienza por considerar eigenva-
lores de multiplicidad dos. En el primer ejemplo se ilustra una matriz para la que podemos
encontrar dos eigenvectores distintos que corresponden a un doble eigenvalor.

EJEMPLO 3 Eigenvalores repetidos

Resuelva X 122
2 1 2 X.
221

SOLUCIÓN Desarrollando el determinante en la ecuación característica

1 22

det(A I) p 2 1 2p 0

2 21

se obtiene Ϫ(Ȝ ϩ l)2(Ȝ Ϫ 5) ϭ 0. Se ve que Ȝ1 ϭ Ȝ2 ϭ Ϫ1 y Ȝ3 ϭ 5.
Para Ȝ1 ϭ Ϫ1, con la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene de inmediato

( Ϳ ) ( Ϳ )2 Ϫ2 2 0 operaciones 1 Ϫ1 0 0

(A ϩ IͿ0) ϭ Ϫ2 2 Ϫ2 0 entre renglones 0 01 01 0 .
2 Ϫ2 2 0 0 0 00

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 331

El primer renglón de la última matriz indica que k – k ϩ k ϭ 0 o k ϭ k – k. Las
1 2 3 1 2 3
elecciones k2 ϭ 1, k3 ϭ 0 y k2 ϭ 1, k3 ϭ 1 producen, a su vez, k1 ϭ 1 y k1 ϭ 0. Por lo
que dos eigenvectores correspondientes a Ȝ1 ϭ Ϫ1 son

10

K1 1 y K2 1 .
01

Puesto que ningún eigenvector es un múltiplo constante del otro, se han encontrado
dos soluciones linealmente independientes,

10
X1 1 e t y X2 1 e t,

01

que corresponden al mismo eigenvalor. Por último, para Ȝ3 ϭ5 la reducción

( Ϳ ) ( Ϳ )Ϫ4 Ϫ2 2 0 operaciones 1 0 Ϫ1 0

(A ϩ 5IͿ0) ϭ Ϫ2 Ϫ4 Ϫ2 0 entre renglones 0 1 1 0
2 Ϫ2 Ϫ4 0 0 0 00

implica que k1 ϭ k3 y k2 ϭ Ϫ k3. Al seleccionar k3 ϭ 1, se obtiene k1 ϭ 1, k2 ϭ Ϫ1; por
lo que el tercer eigenvector es

1
K3 1 .

1

Concluimos que la solución general del sistema es

10 1

X c1 1 e t c2 1 e t c3 1 e5t.

01 1

/D PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A del ejemplo 3 es un tipo especial de matriz conocida
como matriz simétrica. Se dice que una matriz A de n ϫ n es simétrica si su trans-
puesta AT (donde se intercambian renglones y columnas) es igual que A, es decir, si AT
ϭ A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema XЈ ϭ AX es simétrica y tiene
elementos reales, entonces siempre es posible encontrar n eigenvectores linealmente

independientes K1, K2, . . . , Kn, y la solución general de ese sistema es como se mues-
tra en el teorema 8.2.1. Como se muestra en el ejemplo 3, este resultado se cumple aun

cuando estén repetidos algunos de los eigenvalores.

SEGUNDA SOLUCIÓN Suponga que Ȝ1 es un valor propio de multiplicidad dos y
que sólo hay un eigenvector asociado con este valor. Se puede encontrar una segunda

solución de la forma

X2 Kte 1t Pe 1,t (12)

( ) ( )donde k1 p1
k2 p2
K ϭ ... y P ϭ ... .

kn pn

332 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Para ver esto sustituya (12) en el sistema XЈ ϭ AX \ VLPSOL¿TXH
(AK 1K)te 1t (AP 1P K)e 1t 0.

Puesto que la última ecuación es válida para todos los valores de t, debemos tener

(A 1I)K 0 (13)

y (A 1I)P K. (14)

La ecuación (13) simplemente establece que K debe ser un vector característico de A

asociado con Ȝ1. Al resolver (13), se encuentra una solución X1 Ke 1t . Para encon-
trar la segunda solución X2, sólo se necesita resolver el sistema adicional (14) para
obtener el vector P.

EJEMPLO 4 Eigenvalores repetidos

Encuentre la solución general del sistema dado en (10).

SOLUCIÓN De (11) se sabe que Ȝ1 ϭ Ϫ3 y que una solución es X1 3 3t.
,GHQWL¿FDQGR K 3 yP p1 , encontramos e re-

1

1 p2 de (14) que ahora debemos

solver

(A 3I)P K o 6p1 18p2 3
2p1 6p2 1.

Puesto que resulta obvio que este sistema es equivalente a una ecuación, se tiene un

Qp~2PHU61R. LSQi¿nQLeWmR bGaHr HgOoH,FFpLoRrQsHiVm GpHl ipc1idyapd2.ePleogriemjeoms ppl1o, al elegir p1 ϭ 1 se encuentra que
1 ϭ
2 por lo que p 0. Entonces
2

1 3 te 3t 1
1
P 2 . Así de (12) se encuentra que X2 2 e 3t . La solución gene-
0
0

ral de (10) es X ϭ c1X1 ϩ c2X2, o

X c1 3 e 3t c2 3 te 3t 1
1 1
2 e 3t .
0

Al asignar diversos valores a c1 y c2 en la solución del ejemplo 4, se pueden
WUD]DU ODV WUD\HFWRULDV GHO VLVWHPD HQ (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWD XQ GLDJUDPD

y fase de (10). Las soluciones X1 y ϪX1 determinan dos semirrectas y 1 x, x 0
3
x 1
X1 yy 3 x, x 0 UHVSHFWLYDPHQWH PRVWUDGDV HQ URMR HQ OD ¿JXUD 'HELGR D TXH HO

FIGURA 8.2.3 Diagrama de fase del único eigenvalor es negativo y eϪ3t → 0 conforme t → ϱ en cada trayectoria, se
sistema (l0).
tiene (x(t), y(t)) → (0, 0) conforme t → ϱ. Esta es la razón por la que las puntas

GH ODV ÀHFKDV GH OD ¿JXUD LQGLFDQ TXH XQD SDUWtFXOD HQ FXDOTXLHU WUD\HFWRULD

se mueve hacia el origen conforme aumenta el tiempo y la razón de que en este

caso el origen sea un atractor. Además, una partícula en movimiento o trayectoria

x 3c1e 3t c2(3te 3t 21e 3t), y c1e 3t c2te 3t, c2 0 tiende a (0, 0) tangen-
cialmente a una de las semirrectas conforme t → ϱ. En contraste, cuando el eigenvalor

repetido es positivo, la situación se invierte y el origen es un repulsor. Vea el problema

GH ORV HMHUFLFLRV 6LPLODU D OD ¿JXUD OD ¿JXUD HV FDUDFWHUtVWLFD GH

todos los sistemas lineales homogéneos XЈ ϭ AX, 2 ϫ 2 que tienen dos eigenvalores

negativos repetidos. Vea el problema 32 en los ejercicios 8.2.

EIGENVALOR DE MULTIPLICIDAD TRES &XDQGR OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A
tiene sólo un eigenvector asociado con un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad tres, podemos

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 333

encontrar una segunda solución de la forma (12) y una tercera solución de la forma

X3 K t2 1t Pte 1t Qe 1t, (15)
e
2
( ) ( ) ( )donde
k1 p1 q1
k2 p2 q2
K ϭ .. , P ϭ .. , y Q ϭ .. .
. . .

kn pn qn

Al sustituir (15) en el sistema XЈ ϭ AX, se encuentra que los vectores columna K, P
y Q deben satisfacer

(A 1I)K 0 (16)

(A 1I)P K (17)

y (A 1I)Q P. (18)

Por supuesto, las soluciones (16) y (17) se pueden usar para formar las soluciones X1 y X2.

EJEMPLO 5 Eigenvalores repetidos

Resuelva X 216
0 2 5 X.
002

SOLUCIÓN La ecuación característica (Ȝ Ϫ 2)3 ϭ 0 demuestra que Ȝ1 ϭ 2 es un eigen-
valor de multiplicidad tres. Al resolver (A Ϫ 2I)K ϭ 0, se encuentra el único eigenvector

1
K 0.

0

A continuación se resuelven primero el sistema (A Ϫ 2I)P ϭ K y después el sistema
(A Ϫ 2I)Q ϭ P y se encuentra que

0 0
P 1 yQ
6 .
0 5

1

5

Usando (12) y (15), vemos que la solución general del sistema es

11 0 1 t2 e2t 0 0
X c1 0 e2t c2 0 te2t 1 e2t 0 1 te2t
0 c3 2 0 6 e2t .
00 5

0 1

5

COMENTARIOS

Cuando un eigenvalor Ȝ1 tiene multiplicidad m, se pueden determinar m eigen-
vectores linealmente independientes o el número de eigenvectores correspon-
dientes es menor que m. Por tanto, los dos casos listados en la página 330 no
son todas las posibilidades bajo las que puede ocurrir un eigenvalor repetido.
Puede suceder, por ejemplo, que una matriz de 5 ϫ 5 tenga un eigenvalor de
multiplicidad cinco y existan tres eigenvectores correspondientes linealmente
independientes. Véanse los problemas 31 y 50 de los ejercicios 8.2.

334 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

8.2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS

Si Ȝ1 ϭ Į ϩ ȕL y Ȝ2 ϭ Į Ϫ ȕL, ȕ Ͼ 0, i2 ϭ Ϫ1 son eigenvalores complejos de la matriz
GH FRH¿FLHQWHV A, entonces se puede esperar de hecho que sus eigenvectores corres-
pondientes también tengan entradas complejas.*

Por ejemplo, la ecuación característica del sistema

dx (19)
6x y

dt
dy

5x 4y
dt

es 6 54 1 2 10 29 0.
det(A I)

De la fórmula cuadrática se encuentra Ȝ1 ϭ 5 ϩ 2i, Ȝ2 ϭ 5 Ϫ 2i.
Ahora para Ȝ1 ϭ 5 ϩ 2i se debe resolver

(1 2i)k1 k2 0

5k1 (1 2i)k2 0.

Puesto que k2 ϭ (1 Ϫ 2i)k1,† la elección k1 ϭ 1 da el siguiente eigenvector y el vector
solución correspondiente:

K1 1 X1 1 e(5 2i)t.
, 1 2i

1 2i

De manera similar, para Ȝ2 ϭ 5 Ϫ 2i encontramos

K2 1 X2 1 e(5 2i)t.
, 1 2i

1 2i

3RGHPRV FRPSUREDU SRU PHGLR GHO :URQVNLDQR TXH HVWRV YHFWRUHV VROXFLyQ VRQ OL-
nealmente independientes y por tanto la solución general de (19) es

X c1 1 e(5 2i )t c2 1 e(5 2i )t. (20)
2i 2i
1 1

Observe que las entradas en K2 correspondientes a Ȝ2 son los conjugados de las
entradas en K1 correspondientes a Ȝ1. El conjugado de Ȝ1 es, por supuesto, Ȝ2. Esto se
escribe como 2 1 y K2 K1. Hemos ilustrado el siguiente resultado general.

TEOREMA 8.2.2 Soluciones correspondientes a un eigenvalor complejo

Sea A XQD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV TXH WLHQH HQWUDGDV UHDOHV GHO VLVWHPD KRPRJp-
neo (2) y sea K1 un eigenvector correspondiente al eigenvalor complejo Ȝ1 ϭ Į
ϩ ȕL, Į y ȕ reales. Entonces

K1e 1t y K1e 1t
son soluciones de (2).

* &XDQGR OD HFXDFLyQ FDUDFWHUtVWLFD WLHQH FRH¿FLHQWHV UHDOHV ORV HLJHQYDORUHV FRPSOHMRV VLHPSUH DSDUHFHQ
en pares conjugados.
†Note que la segunda ecuación es simplemente (1 ϩ 2i) veces la primera.

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 335

Es deseable y relativamente fácil reescribir una solución tal como (20) en térmi-
QRV GH IXQFLRQHV UHDOHV &RQ HVWH ¿Q SULPHUR XVDPRV OD IyUPXOD GH (XOHU SDUD HVFULELU

e(5 2i )t e5te2ti e5t(cos 2t i sen 2t)

e(5 2i )t e5te 2ti e5t(cos 2t i sen 2t).

Entonces, multiplicando los números complejos, agrupando términos y reemplazando

c ϩ c por C y (c1 Ϫ c2)i por C2, (20) se convierte en
1 2 1

X C1X1 C2X2 , (21)

1 0 sen 2t e5t
donde X1 cos 2t 2
1

y X2 0 1 sen 2t e5t.
cos 2t 1

2

y Ahora es importante entender que los vectores X1 y X2 en (21) constituyen un conjunto
linealmente independiente de soluciones reales del sistema original. Estamos justi-
x ¿FDGRV SDUD GHVSUHFLDU OD UHODFLyQ HQWUH C1, C2 y c1, c2, y podemos considerar C1 y C2
como totalmente arbitrarias y reales. En otras palabras, la combinación lineal (21) es
FIGURA 8.2.4 Un diagrama de fase una solución general alternativa de (19). Además, con la forma real dada en (21) pode-
del sistema (19). mos obtener un diagrama de fase del sistema dado en (19). A partir de (21) podemos
encontrar que x(t) y y(t) son

x C1e5t cos 2t C2e5tsen 2t

y (C1 2C2)e5t cos 2t (2C1 C2)e5tsen 2t.

$O JUD¿FDU ODV WUD\HFWRULDV x(t), y(t)) para diferentes valores de C y C, se obtiene el
1 2
GLDJUDPD GH IDVH GH TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD <D TXH OD SDUWH UHDO GH Ȝ1
es 5 Ͼ 0, e5t → ϱ conforme t → ϱ (V SRU HVWR TXH ODV SXQWDV GH ÀHFKD GH OD ¿JXUD

8.2.4 apuntan alejándose del origen; una partícula en cualquier trayectoria se mueve en

espiral alejándose del origen conforme t → ϱ. El origen es un repulsor.

El proceso con el que se obtuvieron las soluciones reales en (21) se puede ge-

neralizar. Sea K1 XQ HLJHQYHFWRU FDUDFWHUtVWLFR GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A (con
elementos reales) que corresponden al eigenvalor complejo Ȝ1 ϭ Į ϩ Lȕ. Entonces los
vectores solución del teorema 8.2.2 se pueden escribir como

K1e 1t K1e tei t K1e t(cos t i sen t)
K1e 1t K1e te i t K1e t(cos t i sen t).

Por el principio de superposición, teorema 8.1.2, los siguientes vectores también son
soluciones:

1 1t K1e 1t ) 1 K1)e t cos t i K1)e t sen t
X1 2 (K1e 2 (K1 ( K1
2

i K1e 1t K1e 1t ) i K1 K1)e t cos t 1 K1)e t sen t.
X2 ( ( 2 (K1
2 2

Tanto 1 (z z ) a como 1 i ( z z ) b son números reales para cualquier número
2 ϭ a ib. Por 2 elementos de los vectores columna 12(K1 K1) y

complejo z ϩ tanto, los

1 i( K1 K1) VRQ Q~PHURV UHDOHV 'H¿QLU
2

B1 1i K1
2 (K1 K1) y B2 ( K1), (22)
2

conduce al siguiente teorema.

336 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

TEOREMA 8.2.3 Soluciones reales que corresponden a un eigenvalor
complejo

Sea Ȝ1 ϭ Į ϩ Lȕ XQ HLJHQYDORU FRPSOHMR GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A en el
sistema homogéneo (2) y sean B1 y B2 ORV YHFWRUHV FROXPQD GH¿QLGRV HQ
Entonces

X1 [B1 cos t B2 sen t]e t (23)
X2 [B2 cos t B1 sen t]e t

son soluciones linealmente independientes de (2) en (Ϫϱ, ϱ).

Las matrices B1 y B2 en (22) con frecuencia se denotan por

B1 Re(K1) y B2 Im(K1) (24)

ya que estos vectores son, respectivamente, las partes real e imaginaria del eigenvec-

tor K1. Por ejemplo, (21) se deduce de (23) con

1 10
K1 1 2i i,

12

1 0
B1 Re(K1) 1 y B2 Im(K1) .

2

EJEMPLO 6 Eigenvalores complejos

Resuelva el problema con valores iniciales 2 (25)
28 .

X X, X(0) 1
12

SOLUCIÓN Primero se obtienen los eigenvalores a partir de

det(A 2 8 2 4 0.
I) 2

1

los eigenvalores son Ȝl ϭ 2i y 2 1 2i. Para Ȝl el sistema

(2 2i) k1 8k2 0

k1 ( 2 2i )k2 0

da k1 ϭ Ϫ(2 ϩ 2i)k2. Eligiendo k2 ϭ Ϫ1, se obtiene

2 2i 22
K1 1 i.

10

Ahora de (24) formamos 2 y B2 Im(K1) 2
B1 Re(K1) 1 .

0

Puesto que Į ϭ 0, se tiene a partir de (23) que la solución general del sistema es

X c1 2 2 c2 2 2
cos 2t sen 2t cos 2t sen 2t
0
1 0 1

2 cos 2t 2 sen 2t c2 2 cos 2t 2 sen 2t . (26)
c1 cos 2t
sen 2t

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 337

y $OJXQDV JUi¿FDV GH ODV FXUYDV R WUD\HFWRULDV GH¿QLGDV SRU OD VROXFLyQ GHO VLV-
WHPD VH LOXVWUDQ HQ HO GLDJUDPD GH IDVH GH OD ¿JXUD $KRUD OD FRQGLFLyQ LQLFLDO
x
(2, _1) X(0) 2 , de forma equivalente x(0) ϭ 2 y y(0) ϭ Ϫ1 produce el sistema
1
FIGURA 8.2.5 Un diagrama de fase
del sistema (25) del ejemplo 6. algebraico 2c1 ϩ 2c2 ϭ 2, Ϫ c1 ϭ Ϫ1, cuya solución es c1 ϭ 1, c2 ϭ 0. Así la solución

para el problema es X 2 cos 2t 2 sen 2t /D WUD\HFWRULD HVSHFt¿FD GH¿QLGD
cos 2t

paramétricamente por la solución particular x ϭ 2 cos 2t Ϫ 2 sen 2t, y ϭ Ϫcos 2t es la
FXUYD HQ URMR GH OD ¿JXUD 2EVHUYH TXH HVWD FXUYD SDVD SRU Ϫ1).

COMENTARIOS

En esta sección hemos examinado solamente sistemas homogéneos de ecuacio-
nes lineales de primer orden en forma normal XЈ ϭ AX. Pero con frecuencia el
modelo matemático de un sistema dinámico físico es un sistema homogéneo de
segundo orden cuya forma normal es XЉ ϭ AX. Por ejemplo, el modelo para los
resortes acoplados en (1) de la sección 7.6.

m1x 1 k1x1 k2(x2 x1) (27)
m2x 2 k2(x2 x1),

se puede escribir como MX KX,
donde

M m1 0 K k1 k2 k2 , y X x1(t) .
, k2 k2 x2(t)
0 m2

Puesto que M es no singular, se puede resolver XЉ como XЉ ϭ AX, donde A ϭ
MϪ1K. Por lo que (27) es equivalente a

k1 k2 k2

X m1 m1 m1 X. (28)
k2 k2

m2 m2

Los métodos de esta sección se pueden usar para resolver este sistema en dos

formas:

• Primero, el sistema original (27) se puede transformar en un sistema de

primer orden por medio de sustituciones. Si se hace x1 x3 y x2 x4 ,
entonces x3 x1 y x4 x 2 por tanto (27) es equivalente a un sistema de
cuatro ED lineales de primer orden.

x1 x3 0 0 10
0 0 01
x2 x4 k1 k2 k2 0 0 X. (29)
m1 m1 m1
x3 k1 k2 x1 k2 x2 o X k2 k2 0 0
m1 m1 m1 m2 m2

x4 k2 x1 k2 x2
m2 m2

$O HQFRQWUDU ORV HLJHQYDORUHV \ ORV HLJHQYHFWRUHV GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV
A en (29), vemos que la solución de este sistema de primer orden proporciona

el estado completo del sistema físico, las posiciones de las masas respecto a

las posiciones de equilibrio (x y x ) así como también las velocidades de las
12

masas (x3 y x4) en el tiempo t. Vea el problema 48(a) en los ejercicios 8.2.

338 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

• Segundo, debido a que (27) describe el movimiento libre no amortiguado,
se puede argumentar que las soluciones de valores reales del sistema de se-
gundo orden (28) tendrán la forma

X V cos t y X V sen t, (30)

donde V es una matriz columna de constantes. Sustituyendo cualquiera de

las funciones de (30) en XЉ ϭ AX se obtiene (A ϩ Ȧ2I)V ϭ 0. (Comprobar.)

,GHQWL¿FDQGR FRQ GH HVWD VHFFLyQ VH FRQFOX\H TXH Ȝ ϭ Ϫ Ȧ2 representa

un eigenvalor y V un eigenvector correspondiente de A. Se puede demostrar

que los eigenvalores i 2 , i 1, 2 de A son negativos y por tanto
i

i 1 i es un número real y representa una frecuencia de vibración

(circular) (vea (4) de la sección 7.6). Con superposición de soluciones, la

solución general de (28) es entonces

X c1V1 cos 1t c2V1 sen 1t c3V2 cos 2t c4V2 sen 2t
(31)

(c1 cos 1t c2 sen 1t)V1 (c3 cos 2t c4 sen 2t)V2,

donde V1 y V2 son, a su vez, eigenvectores reales de A correspondientes a
Ȝ1 y Ȝ2.
12, 2 , . . . , 2
El resultado dado en (31) se generaliza. Si 2 n son

eigenvalores negativos y distintos y V1, V2, . . . , Vn son los eigenvectores
correspondientes reales de la matriz n ϫ n GH FRH¿FLHQWHV A, entonces el

sistema homogéneo de segundo orden XЉ ϭ AX tiene la solución general

n (32)

X (ai cos it bi sen it)Vi,

i1

donde ai y bi representan constantes arbitrarias. Vea el problema 48(b) en
los ejercicios 8.2.

EJERCICIOS 8.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-14.

8.2.1 EIGENVALORES REALES DISTINTOS 11 0
12 1X
En los problemas l a 12 determine la solución general del sis- 9. X 03 1
tema dado.

dx x 2y dx 2x 2y 10. X 101
1. dt 4x 3y 2. dt x 3y 0 1 0X
101
dy dy
1 10
dt dt

dx 4x 2y dx 5 11. X 3 3 3X
3. dt 5 4. dt x 2y 12. X 4 2

dy x 2y dy 2 1 11
2 3
dt dt 8 42
x 2y
4 142

4 1 2X

5. X 10 5 6. X 62 006
X X
En los problemas 13 y 14, resuelva el problema con valores
8 12 31

dx dx iniciales.
7. dt 8. dt 2x 7y
xy z 1 0 3
dy 2y dy 2 1 X, X(0) 5
yz 5x 10y 4z 13. X
dt 1 2
dz dt
dz 114 1
dt
5y 2z 14. X 0 2 0 X, X(0) 3
dt
111 0

8.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS l 339

Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 29 y 30, resuelva el problema de valores ini-
ciales
En los problemas 15 y 16, use un SAC o software de álgebra
lineal como ayuda para determinar la solución general del sis- 29. X 24 1
tema dado. X, X(0) 6

16

15. X 0.9 2.1 3.2 30. X 001 1
0.7 6.5 4.2 X 0 1 0 X, X(0) 2
1.1 1.7 3.4 100 5

10 2 1.8 0 31. Demuestre que la matriz de 5 ϫ 5

0 5.1 0 13

16. X 1 2 3 0 0X 21000
02000
01 3.1 4 0 A 00200
00021
2.8 0 0 1.5 1 00002

17. a) Utilice software para obtener el diagrama de fase tiene un eigenvalor Ȝ1 de multiplicidad 5. Demuestre que
del sistema en el problema 5. Si es posible, incluya se pueden determinar tres eigenvectores linealmente in-
SXQWDV GH ÀHFKD FRPR HQ OD ¿JXUD 7DPELpQ LQ- dependientes correspondientes a Ȝ1.
cluya cuatro semirrectas en el diagrama de fase.
Tarea para el laboratorio de computación
b) Obtenga las ecuaciones cartesianas de cada una de las
cuatro semirrectas del inciso a). 32. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los
problemas 20 y 21. Para cada sistema determine cual-
c) Dibuje los eigenvectores en el diagrama de fase del quier trayectoria de semirrecta e incluya estas líneas en el
sistema. diagrama de fase.

18. Encuentre los diagramas de fase para los sistemas de los
problemas 2 y 4. Para cada sistema determine las trayecto-
rias de semirrecta e incluya estas rectas en el diagrama de
fase.

8.2.3 EIGENVALORES COMPLEJOS

8.2.2 EIGENVALORES REPETIDOS En los problemas 33 a 44, determine la solución general del
sistema dado.
En los problemas 19 a 28 encuentre la solución general del sistema.

dx dx 6x 5y dx dx xy
19. dt 3x y 20. dt 5x 4y 33. dt 6x y 34. dt 2x y

dy dy dy dy
9x 3y 5x 2y
dt dt
dt dt

21. X 13 22. X 12 9 dx 5x y dx 4x 5y
X X 35. dt 2x 3y 36. dt 2x 6y

35 40 dy dy

dx 3x y z dx dt dt
23. dt xyz 24. dt 3x 2y 4z
xyz 37. X 45 38. X 18
dy dy X X
2x 2z
dt 54 13
dz dt
dz dx z dx 2x y 2z
dt 39. dt z 40. dt 3x 6z
4x 2y 3z
dt dy y dy 4x 3z

25. X 5 40 26. X 1 00 dt dt
1 0 2X 0 3 1X dz dz
0 25 0 11
dt dt

27. X 10 0 28. X 410 41. X 1 12 401
22 1X 0 4 1X 1 1 0 X 42. X 0 6 0X
01 0 004 1 01 404

340 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

43. X 2 51 244 lineales de segundo orden. Suponga soluciones de la
5 6 4 X 44. X 1 2 0X forma X ϭ V sen ȦW y X ϭ V cos ȦW. Encuentre los
0 02 102 eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 ϫ 2.
Como en el inciso a), obtenga (4) de la sección 7.6.

En los problemas 45 y 46, resuelva el problema con valores Problemas para analizar
iniciales.

49. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas.

45. X 1 12 14 4 a) X 11 b) X 11
46. X 1 2 3 X, X(0) 6 X X
112 7
11 11

61 2 Encuentre un diagrama de fase de cada sistema. ¿Cuál es
X, X(0) 8 la importancia geométrica de la recta y ϭ Ϫx en cada dia-
grama?
54
50. Considere la matriz de 5 ϫ 5 dada en el problema 31.
Tarea para el laboratorio de computación Resuelva el sistema XЈ ϭ AX sin la ayuda de métodos
matriciales, pero escriba la solución general usando nota-
47. Determine los diagramas de fase para los sistemas de los ción matricial. Use la solución general como base para un
problemas 36, 37 y 38. análisis de cómo se puede resolver el sistema usando mé-
todos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas.
48. a) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el primer método
descrito en los Comentarios (página 337), es decir, ex- 51. 2EWHQJD XQD HFXDFLyQ FDUWHVLDQD GH OD FXUYD GH¿QLGD SD-
prese (2) de la sección 7.6 como un sistema de cuatro ramétricamente por la solución del sistema lineal en el
ecuaciones lineales de primer orden. Use un SAC o sof- HMHPSOR ,GHQWL¿TXH OD FXUYD TXH SDVD SRU Ϫ1) en la
tware de álgebra lineal como ayuda para determinar los ¿JXUD >Sugerencia: Calcule x2, y2 y xy.]
eigenvalores y los eigenvectores de una matriz de 4 ϫ
4. Luego aplique las condiciones iniciales a su solución 52. Examine sus diagramas de fase del problema 47. ¿En
general para obtener (4) de la sección 7.6. qué condiciones el diagrama de fase de un sistema lineal
homogéneo de 2 ϫ 2 con eigenvalores complejos está
b) Resuelva (2) de la sección 7.6 usando el segundo mé- compuesto de una familia de curvas cerradas? ¿De una
todo descrito en los Comentarios, es decir, exprese (2) familia de espirales? ¿En qué condiciones el origen (0, 0)
de la sección 7.6 como un sistema de dos ecuaciones es un repulsor? ¿Un atractor?

8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS

REPASO DE MATERIAL
l 6HFFLyQ &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV
l Sección 4.6 (Variación de parámetros)

INTRODUCCIÓN En la sección 8.1 vimos que la solución general de un sistema lineal no homo-
géneo XЈ ϭ AX ϩ F(t) en un intervalo I es X ϭ Xc ϩ Xp, donde Xc ϭ c1X1 ϩ c2X2 ϩ и и и ϩ cnXn es la
función complementaria o solución general del sistema lineal homogéneo asociado XЈ ϭ AX y Xp
es cualquier solución particular del sistema no homogéneo. En la sección 8.2 vimos cómo obtener
Xc FXDQGR OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A era una matriz de constantes n ϫ n. En esta sección considera-
remos dos métodos para obtener Xp.

Los métodos de FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV y variación de parámetros empleados en el ca-
pítulo 4 para determinar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas, se pueden adaptar
a la solución de sistemas lineales no homogéneos XЈ ϭ AX ϩ F(t). De los dos métodos, variación
GH SDUiPHWURV HV OD WpFQLFD PiV SRGHURVD 6LQ HPEDUJR KD\ FDVRV HQ TXH HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV
indeterminados provee un medio rápido para encontrar una solución particular.

8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS

LAS SUPOSICIONES &RPR HQ OD VHFFLyQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPL-
nados consiste en hacer una suposición bien informada acerca de la forma de un vector

8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 341

solución particular Xp; la suposición es originada por los tipos de funciones que consti-
tuyen los elementos de la matriz columna F(t). No es de sorprender que la versión ma-
WULFLDO GH ORV FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VHD DSOLFDEOH D XЈ ϭ AX ϩ F(t) sólo cuando
los elementos de A son constantes y los elementos de F(t) son constantes, polinomios,
IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV VHQRV \ FRVHQRV R VXPDV \ SURGXFWRV ¿QLWRV GH HVWDV IXQFLRQHV

EJEMPLO 1 &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV

Resuelva el sistema X 12 8 en (Ϫϱ, ϱ).
X 3

11

SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado

12
X X.

11

/D HFXDFLyQ FDUDFWHUtVWLFD GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV A.

det (A I) 12 2 1 0,
11

produce los eigenvalores complejos Ȝ1 ϭ i y 2 1 i. Con los procedimientos
de la sección 8.2, se encuentra que

cos t sent cos t sent
Xc c1 c2 .
cos t sen t

Ahora, puesto que F(t) es un vector constante, se supone un vector solución particular

constante Xp a1 . Sustituyendo esta última suposición en el sistema original e
b1

igualando las entradas se tiene que

0 a1 2b1 8

0 a1 b1 3.

Al resolver este sistema algebraico se obtiene a1 ϭ 14 y b1 ϭ 11 y así, una solución

particular Xp 14
. La solución general del sistema original de ED en el intervalo

11

(Ϫϱ, ϱ) es entonces X ϭ Xc ϩ Xp o

X c1 cos t sent cos t sent 14
c2 sent .
cos t
11

EJEMPLO 2 &RH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV

Resuelva el sistema X 61 6t
X 10t 4 en (Ϫϱ, ϱ).

43

SOLUCIÓN Se determina que los eigenvalores y los eigenvectores del sistema

homogéneo asociado X 61 1 , y K2 1
4 3 X son Ȝ1 ϭ 2, Ȝ2 ϭ 7, K1 4 1.

Por tanto la función complementaria es

Xc c1 1 e2t c2 1 e7t.
4 1

342 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Ahora bien, debido a que F(t) se puede escribir como F(t) 60
t , se

10 4

tratará de encontrar una solución particular del sistema que tenga la misma forma:

Xp a2 t a1 .
b2 b1

Sustituyendo esta última suposición en el sistema dado se obtiene

a2 6 1 a2 t a1 60
t
b2 4 3 b2 b1
10 4

o 0 (6a2 b2 6)t 6a1 b1 a2 .

0 (4a2 3b2 10)t 4a1 3b1 b2 4

De la última identidad se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas

6a2 b2 6 0 y 6a1 b1 a2 0

4a2 3b2 10 0 4a1 3b1 b2 4 0.

Resolviendo de forma simultánea las primeras dos ecuaciones se obtiene a2 ϭ Ϫ2 y
b2 ϭ
para 6. Después, se sustituyen estos valores en las dos últimas ecuaciones y se despeja
a1 y b1. Los resultados son a1 47, b1 un vector
10 . Por tanto, se tiene que
7

solución particular es

4
27
Xp t.
6 10
7

la solución general del sistema en (Ϫϱ, ϱ) es X ϭ Xc ϩ Xp o

4

1 e2t c2 1 e7t 27
X c1 4 1 t 10 .
6
7

EJEMPLO 3 Forma de Xp

Determine la forma de un vector solución particular Xp para el sistema
dx 5x 3y 2e t 1
dt
dy x y e t 5t 7.
dt

SOLUCIÓN Ya que F(t) se puede escribir en términos matriciales como

F(t) 2 et 01
t
1 57

una suposición natural para una solución particular sería

Xp a3 e t a2 t a1 .
b3 b2 b1

8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 343

COMENTARIOS

(O PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV SDUD VLVWHPDV OLQHDOHV QR HV WDQ

directo como parecerían indicar los últimos tres ejemplos. En la sección

4.4 la forma de una solución particular yp se predijo con base en el cono-
cimiento previo de la función complementaria yc. Lo mismo se cumple para
la formación de Xp 3HUR KD\ RWUDV GL¿FXOWDGHV ODV UHJODV TXH JRELHUQDQ
la forma de yp en la sección 4.4 no conducen a la formación de Xp. Por ejem-
plo, si F(t) es un vector constante como en el ejemplo 1 y Ȝ ϭ 0 es un eigen-

valor de multiplicidad uno, entonces Xc contiene un vector constante. Bajo la regla
de multiplicación del ejemplo 7 de la sección 4.4 se trataría comúnmente de una

solución particular de la forma Xp a1 t . Esta no es la suposición apropiada
b1

para sistemas lineales, la cual debe ser Xp a2 t a1 . De igual manera, en
b2 b1

el ejemplo 3, si se reemplaza eϪt en F(t) por e2t (Ȝ ϭ 2 es un eigenvalor), entonces

la forma correcta del vector solución particular es

Xp a4 te2t a3 e2t a2 t a1 .
b4 b3 b2 b1

(Q YH] GH DKRQGDU HQ HVWDV GL¿FXOWDGHV VH YXHOYH DO PpWRGR GH YDULDFLyQ GH

parámetros.

8.3.2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS

UNA MATRIZ FUNDAMENTAL Si X1, X2 . . . , Xn es un conjunto fundamental de
soluciones del sistema homogéneo XЈ ϭ AX en el intervalo I, entonces su solución
general en el intervalo es la combinación lineal X ϭ c1X1 ϩ c2X2 ϩ и и и ϩ cnXn o

x1n c1x11 ϩ c2x12 ϩ . . . ϩ cnx1n
( ) ( ) ( ) ( )x11 x12
x21 x22 x2n c1x21 ϩ c2x22 ϩ . . . ϩ cnx2n

X ϭ c1 .. ϩ c2 .. ϩ . . . ϩ cn .. ϭ ... . (1)

.. .

xn1 xn2 xnn c1xn1 ϩ c2xn2 ϩ . . . ϩ cnxnn

La última matriz en (1) se reconoce como el producto de una matriz n ϫ n con una matriz
n ϫ 1. En otras palabras, la solución general (1) se puede escribir como el producto

X (t)C, (2)

donde C es un vector columna de n ϫ 1 constantes arbitrarias c1, c2, . . . , cn y la matriz
n ϫ n, cuyas columnas consisten en los elementos de los vectores solución del sistema
XЈ ϭ AX,

( )x11 x12 . . . x1n
x21 x22 . . . x2n

⌽(t) ϭ ... ... ,

xn1 xn2 . . . xnn

se llama matriz fundamental del sistema en el intervalo.

344 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

En el análisis siguiente se requiere usar dos propiedades de una matriz fundamental:

• Una matriz fundamental ⌽(t) es no singular.
• Si ⌽(t) es una matriz fundamental del sistema XЈ ϭ AX, entonces

(t) A (t). (3)

Un nuevo examen de (9) del teorema 8.1.3 muestra que det ⌽(t) es igual al Wrons-
NLDQR W(X1, X2, . . ., Xn). Por tanto, la independencia lineal de las columnas de ⌽(t)
en el intervalo I garantiza que det ⌽(t) 0 para toda t en el intervalo. Puesto que
⌽(t) es no singular, el inverso multiplicativo ⌽Ϫ1(t) existe para todo t en el intervalo.
El resultado dado en (3) se deduce de inmediato del hecho de que cada columna de
⌽(t) es un vector solución de XЈ ϭ AX.

VARIACIÓN DE PARÁMETROS Análogamente al procedimiento de la sección
4.6, nos preguntamos si es posible reemplazar la matriz de constantes C en (2) por una
matriz columna de funciones

( )u1(t) (4)

u2(t)
U(t) ϭ ... por lo que Xp ϭ ⌽(t)U(t)
un(t)

es una solución particular del sistema no homogéneo

X AX F(t). (5)

Por la regla del producto la derivada de la última expresión en (4) es

Xp (t)U (t) (t)U(t). (6)

Observe que el orden de los productos en (6) es muy importante. Puesto que U(t) es una
matriz columna, los productos UЈ(t)⌽(t) y U(t)⌽Ј(t QR HVWiQ GH¿QLGRV 6XVWLWX\HQGR
(4) y (6) en (5), se obtiene

(t)U (t) (t)U(t) A (t)U(t) F(t). (7)

Ahora si usa (3) para reemplazar ⌽Ј(t), (7) se convierte en

(t)U (t) A (t)U(t) A (t)U(t) F(t) (8)
o (t)U (t) F(t).
Multiplicando ambos lados de la ecuación (8) por ⌽Ϫ1(t), se obtiene

U (t) 1(t)F(t) por tanto U(t) 1(t)F(t) dt.

Puesto que Xp ϭ ⌽(t)U(t), se concluye que una solución particular de (5) es

Xp (t) 1(t)F(t) dt. (9)

3DUD FDOFXODU OD LQWHJUDO LQGH¿QLGD GH OD PDWUL] FROXPQD ⌽Ϫ1(t)F(t) en (9), se integra
cada entrada. Así, la solución general del sistema (5) es X ϭ Xc ϩ Xp o

X (t)C (t) 1(t)F(t) dt. (10)

Observe que no es necesario usar una constante de integración en la evaluación de
1(t)F(t) dt por las mismas razones expresadas en la explicación de variación
de parámetros en la sección 4.6.

8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 345

EJEMPLO 4 Variación de parámetros

Resuelva el sistema

31 3t (11)
X X
2 4 et

en (Ϫϱ, ϱ).

SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado

31 (12)
X X.

24
OD HFXDFLyQ FDUDFWHUtVWLFD GH OD PDWUL] GH FRH¿FLHQWHV HV

det(A I) 31 ( 2)( 5) 0,

24

por lo que los eigenvalores son Ȝ1 ϭ Ϫ2 y Ȝ2 ϭ Ϫ5. Con el método usual se encuentra

que los eigenvectores correspondientes a Ȝ1 y Ȝ2 son, respectivamente, K1 1
1y

1
K2 2 . Entonces, los vectores solución del sistema (12) son

X1 1 e 2t e 2t y X2 1 e 5t e 5t
1 e 2t 2 2e 5t .

Las entradas en X1 a partir de la primera columna de ⌽(t) y las entradas en X2 a partir
de la segunda columna de ⌽(t). Por tanto

e 2t e 5t 1(t) 2 e2t 1 e2t
(t) e 2t 2e 5t 3 3
A partir de (9) obtenemos y .
1 e5t 1 e5t
3 3

Xp (t) 1(t)F(t) dt e 2t e 5t 2 e2t 1 e2t 3t
e 2t 2e 5t 3 3 e t dt

1 e5t 1 e5t
3 3

e 2t e 5t 2te2t 1 et dt
e 2t 2e 5t te5t 3

1 e4t
3

e 2t e 5t te2t 1 e2t 13et
e 2t 2e 5t 2

1 te5t 1 e5t 1 e4t
5 25 12

6 t 27 1 e t
5 50 4
.
3 t 21 1 e t
5 50 2

Por tanto a partir de (10) la solución de (11) en el intervalo es

e 2t e 5t c1 6 t 27 1 e t
e 2t 2e 5t c2 5 50 4
X
3 t 21 1 e t
5 50 2

1 1 e 5t 6 27 1
1 2 50
c1 e 2t c2 5 t 4 e t.
3 21 1

5 50 2

346 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

PROBLEMA CON VALORES INICIALES La solución general de (5) en el inter-
valo se puede escribir en una forma alternativa

t

X (t)C (t) 1(s)F(s) ds, (13)

t0

donde t y t0 son puntos en el intervalo. Esta última forma es útil para resolver (5) sujeta
a una condición inicial X(t0) ϭ X0, porque los límites de integración se eligen de tal
forma que la solución particular sea cero en t ϭ t0. Sustituyendo t ϭ t0 en (13) se obtiene
1(t0)X0. Sustituyendo este último
X0 (t0)C a partir de la que se obtiene C

resultado en (13) se obtiene la siguiente solución del problema con valores iniciales:

t

X (t) 1(t0)X0 (t) 1(s)F(s) ds. (14)

t0

EJERCICIOS 8.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-14.

8.3.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS 10. a) El sistema de ecuaciones diferenciales para las co-
rrientes i2(t) e i3(t) en la red eléctrica que se muestra
(Q ORV SUREOHPDV D XWLOLFH HO PpWRGR GH ORV FRH¿FLHQWHV HQ OD ¿JXUD HV
indeterminados para resolver el sistema dado.

1. dx 2x 3y 7 d i2 R1>L1 R1>L1 i2 E>L1 .
dt x 2y 5 dt i3 R1>L2 E>L2
dy (R1 R2)>L2 i3
dt
8VH HO PpWRGR GH ORV FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV SDUD
2. dx 5x 9y 2 resolver el sistema si R1 ϭ 2 ⍀, R2 ϭ 3 ⍀, L1 ϭ 1 h,
dt x 11y 6 L2 ϭ 1 h, E ϭ 60 V, i2(0) ϭ 0, e i3(0) ϭ 0.
dy
dt b) Determine la corriente i1(t).

3. X 13 2t2 R1 i2i3 R2 L2
X t5 i1 L1

31 E

4. X 14 4t 9e6t
5. X X t e6t

41 3 et
10
4 1 FIGURA 8.3.1 Red del problema 10.
8.3.2 VARIACIÓN DE PARÁMETROS
3X
96

6. X 15 sen t En los problemas 11 a 30 utilice variación de parámetros para
X 2 cos t resolver el sistema dado.

11

7. X 111 1 11. dx 3x 3y 4
0 2 3X 1 e4t dt
005 2 dy
2x 2y 1
005 5 dt
0 5 0X 10
8. X 500 40 12. dx 2x y
dt
9. Resuelva X 1 2 3 sujeta a dy
X 3x 2y 4t
34 3 dt

4 13. X 35 1 et/2
X(0) . X 1
3 1
5 4

8.3 SISTEMAS LINEALES NO HOMOGÉNEOS l 347

14. X 21 sen 2t e2t 33. El sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes
X 2 cos 2t
42 i1(t) e i2(t HQ OD UHG HOpFWULFD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
8.3.2 es

15. X 02 1 et d i1 (R1 R2)>L2 R2>L2 i1 E>L2 .
X 1 dt i2 R2>L1 R2>L1 i2 0

13

16. X 02 2 Utilice variación de parámetros para resolver el sis-
X e 3t tema si R1 ϭ 8 ⍀, R2 ϭ 3 ⍀, L1 ϭ 1 h, L2 ϭ 1 h,
E(t) ϭ 100 sen t V, i1(0) ϭ 0, e i2(0) ϭ 0.
13

17. X 18 12
Xt
11 12

18. X 18 et i1 R1 i2 i3
19. X X
11 tet

32 2e t E L1 R2
X
21 et

20. X 32 1 L2
X 1
FIGURA 8.3.2 Red del problema 33.
21

21. X 01 X sec t

10 0

22. X 1 1 3 et
X
11 3 Problemas para analizar

23. X 1 1 cos t et 34. Si y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de las
X ED homogéneas asociadas para yЉ ϩ P(x)yЈ ϩ Q(x)y ϭ
11 sen t f(x), demuestre en el caso de una ED lineal no homogénea
de segundo orden que (9) se reduce a la forma de varia-
24. X 22 X 1 e 2t ción de parámetros analizada en la sección 4.6.

86 3t

25. X 01 0 Tarea para el laboratorio de computación
X sec t tan t

10

26. X 01 1 35. Resolver un sistema lineal no homogéneo XЈ ϭ AX ϩ
X cot t F(t) usando variación de parámetros cuando A es una ma-
triz 3 ϫ 3 (o más grande) es casi una tarea imposible de
10 hacer a mano. Considere el sistema

12 csc t et
27. X X sec t
28. X 1 1 2 22 1 tet
2 tan t
1
12 1 30 3 et
X X X e2t .
0 04 2
11

110 et 0 02 1 1
1 1 0X e2t
29. X 003 te3t a) Use un SAC o software de álgebra lineal para encon-
trar los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz
311 0 GH FRH¿FLHQWHV

30. X 1 1 1 X t b) Forme una matriz fundamental ⌽(t) y utilice la
computadora para encontrar ⌽Ϫ1(t).
111 2et
c) Use la computadora para realizar los cálculos de:
En los problemas 31 y 32, use (14) para resolver el problema
con valores iniciales. 1(t)F(t), 1(t)F(t) dt, (t) 1(t)F(t) dt,

31 4e2t 1 (t)C y (t)C 1(t)F(t) dt, donde C es una

31. X 1 X 4e4t , X(0) 1 matriz columna de constantes c , c , c y c .
3 123 4

d) Reescriba el resultado de la computadora para la so-

11 1>t 2 lución general del sistema en la forma X ϭ Xc ϩ Xp,
32. X X 1>t , X(1) 1 donde Xc ϭ c1X1 ϩ c2X2 ϩ c3X3 ϩ c4X4.
1 1

348 l CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

8.4 MATRIZ EXPONENCIAL

REPASO DE MATERIAL

l $SpQGLFH ,, GH¿QLFLRQHV ,, \ ,,

INTRODUCCIÓN Las matrices se pueden usar de una manera completamente distinta para re-
solver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recuerde que la ecuación
diferencial lineal simple de primer orden xЈ ϭ ax, donde a es constante, tiene la solución general x
ϭ ceat, donde c HV FRQVWDQWH 3DUHFH QDWXUDO SUHJXQWDU VL VH SXHGH GH¿QLU XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO
matricial eAt, donde A es una matriz de constantes por lo que una solución del sistema XЈ ϭ AX es eAt.

SISTEMAS HOMOGÉNEOS $KRUD YHUHPRV TXH HV SRVLEOH GH¿QLU XQD PDWUL] H[-

ponencial eAt tal que

X eAtC (1)

es una solución del sistema homogéneo XЈ ϭ AX. Aquí A es una matriz n ϫ n de constantes

y C es una matriz columna n ϫ 1 de constantes arbitrarias. Observe en (1) que la matriz C

se multiplica por la derecha a eAt porque queremos que eAt sea una matriz n ϫ n. Mientras

TXH HO GHVDUUROOR FRPSOHWR GHO VLJQL¿FDGR \ WHRUtD GH OD PDWUL] H[SRQHQFLDO UHTXHULUtD XQ

FRQRFLPLHQWR FRPSOHWR GH iOJHEUD GH PDWULFHV XQD IRUPD GH GH¿QLU eAt se basa en la repre-

sentación en serie de potencias de la función exponencial escalar eat:

eat 1 at (at)2 (at)k

2! k! k tk tk
1 at a2 t2 .
k (2)

2! k! k 0 k!

La serie en (2) converge para toda t. Si se usa esta serie, con la matriz identidad I en

vez de 1 y la constante a se reemplaza por una matriz A n ϫ n de constantes, se obtiene

XQD GH¿QLFLyQ SDUD OD PDWUL] n ϫ n, eAt.

DEFINICIÓN 8.4.1 Matriz exponencial

Para cualquier matriz A n ϫ n, Ak tk Ak tk (3)
eAt I At A2 t2 k! .
2! k 0 k!

Se puede demostrar que la serie dada en (3) converge a una matriz n ϫ n para todo
valor de t. También, A2 ϭ AA, A3 ϭ A(A)2, etcétera.

EJEMPLO 1 Matriz exponencial usando (3)

Calcule eAt para la matriz 20
A

03

SOLUCIÓN De las diferentes potencias

A2 22 0 , A3 23 0 , A4 24 0 , . . . , An 2n 0
0 32 0 33 0 34 0 3n , . . . ,

vemos de (3) que eAt I At A2 t2 . . .
2!
10
01 20 22 0 t2 ... 2n 0 t n ...
t 0 32 2! 0 3n n!

03

1 2t 22 t2 . . . 0
2!
.
0 1 3t 32 t2 ...

2!

8.4 MATRIZ EXPONENCIAL l 349

8VDQGR \ ODV LGHQWL¿FDFLRQHV a ϭ 2 y a ϭ 3, las series de potencias en el primer y en el

segundo renglón de la última matriz, representan, respectivamente e2t y e3t y así tenemos que

eAt e2t 0
0 e3t .

La matriz en el ejemplo 1 es un ejemplo de una matriz diagonal 2 ϫ 2. En general, una
matriz n ϫ n A es una matriz diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal

principal son cero, es decir,

a11 0 . . . 0

A 0 a22 . . . 0
.
ӇӇ Ӈ

0 0 . . . ann

Por lo tanto si A es cualquier matriz diagonal n ϫ n se sigue del ejemplo 1 que

ea11t 0 . . . 0

eAt 0 ea22t . . . 0
.
ӇӇ Ӈ

0 0 e. . . annt

DERIVADA DE eAt La derivada de la matriz exponencial es similar a la propiedad

de derivación de la exponencial escalar d eat aeat 3DUD MXVWL¿FDU
dt

d eAt AeAt, (4)
dt
derivamos (3) término por término:

d eAt d At A2 t2 Ak tk A A2t 1 A3t2
I 2! k! 2!
dt dt

A I At A2 t2 AeAt.
2!

Debido a (4), ahora se puede probar que (1) es una solución de XЈ ϭ AX para todo
vector n ϫ 1 C de constantes:

X d eAtC AeAtC A(eAtC) AX.
dt

eAt ES UNA MATRIZ FUNDAMENTAL Si se denota la matriz exponencial eAt con
el símbolo ⌿(t), entonces (4) es equivalente a la ecuación diferencial matricial ⌿Ј(t) ϭ
A ⌿(t YHD GH OD VHFFLyQ $GHPiV VH GHGXFH GH LQPHGLDWR GH OD GH¿QLFLyQ
8.4.1 que ⌿(0) ϭ eA0 ϭ I, y por tanto det ⌿(0) 0. Se tiene que estas propiedades
VRQ VX¿FLHQWHV SDUD FRQFOXLU TXH ⌿(t) es una matriz fundamental del sistema XЈ ϭ AX.

SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS Se vio en (4) de la sección 2.3 que la solución
general de la ecuación diferencial lineal única de primer orden xЈ ϭ ax ϩ f(t), donde a
es una constante, se puede expresar como

t

x xceat eat e asf (s) ds.

t0

Para un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden,
se puede demostrar que la solución general de XЈ ϭ AX ϩ F(t), donde A es una matriz
n ϫ n de constantes, es

t (5)

X eAtC eAt e AsF(s) ds.

t0

Puesto que la matriz exponencial eAt es una matriz fundamental, siempre es no singular

y eϪAs ϭ (eAs)Ϫ1. En la práctica, eϪAs se puede obtener de eAt al reemplazar t por –s.