ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

458 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

EJERCICIOS 12.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21.

En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor (1) sujeta 7. Un alambre delgado que coincide con el eje x en el inter-
a las condiciones dadas. Suponga una varilla de longitud L. valo [ϪL, L] se dobla en forma de un círculo tal que los
extremos x ϭ ϪL y x ϭ L se juntan. Bajo ciertas condi-
1. u(0, t) 0, u(L, t) 0 ciones, la temperatura u(x, t) en el alambre satisface el
problema con valores en la frontera
u(x, 0) 1, 0 x L>2
0, L>2 x L

2. u(0, t) 0, u(L, t) 0 2u u
u(x, 0) x(L x) k x2 , Lx L, t 0,
t 0

3. Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud u( L, t) u(L, t), t
L si la temperatura inicial es f (x) en toda la varilla y si los
extremos x ϭ 0 y x ϭ L están aislados. u u
xx L ,t 0

xx L

4. Resuelva el problema 3 si L ϭ 2 y u(x, 0) f(x), L x L.

x, 0 x 1 Encuentre la temperatura u(x, t)
f (x)
8. Encuentre la temperatura u(x, t) del problema con valores
0, 1 x 2. en la frontera dado en (1) a (3) cuando f(x) ϭ 10 sen(5ʌ[͞L).
5. 6XSRQJD TXH VH SLHUGH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH
Problemas para analizar
una varilla delgada de longitud L dentro del medio circun-
dante a temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de transfe- 9. /D ¿JXUD E SUHVHQWD OD JUi¿FD GH u(x, t) para
rencia de calor, entonces la ecuación de calor toma la forma 0 Յ t Յ 6 para x ϭ 0, x ϭ ʌ͞12, x ϭ ʌ͞6, x ϭ ʌ͞4 y
x ϭ ʌ͞ 'HVFULED R GLEXMH ODV JUi¿FDV GH u(x, t) en el
2u u PLVPR LQWHUYDOR GH WLHPSR SHUR SDUD ORV YDORUHV ¿MRV
k x2 hu , x ϭ 3ʌ͞4, x ϭ 5ʌ͞6, x ϭ 11ʌ͞12 y x ϭ ʌ.
t

0 Ͻ x Ͻ L, t Ͼ 0, h una constante. Encuentre la tempe-

ratura u(x, t) si la temperatura inicial es f (x) en toda la Tarea para el laboratorio de computación
10. a) Resuelva la ecuación de calor (1) sujeta a
varilla y los extremos x ϭ 0 y x ϭ L están aislados. Vea
u(0, t) 0, u(100, t) 0, t 0
OD ¿JXUD

6. Resuelva el problema 5 si los extremos x ϭ 0 y x ϭ L se 0.8x, 0 x 50
mantienen a temperatura cero.

Aislado 0Њ Aislado u(x, 0) 0.8(100 x), 50 x 100.

0 0Њ L x b) Utilice la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar

Transferencia de calor OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(x, t) que consiste en
de la superficie los primeros cinco términos distintos de cero de la

lateral de la varilla solución del inciso a) para 0 Յ x Յ 100, 0 Յ t Յ 200.
Suponga que k ϭ 1.6352. Experimente con diferentes
FIGURA 12.3.3 Pérdida de calor de la varilla del SHUVSHFWLYDV WULGLPHQVLRQDOHV GH OD VXSHU¿FLH XVH OD
problema 5.
opción ViewPoint en Mathematica).

12.4 ECUACIÓN DE ONDA

REPASO DE MATERIAL
l Lea nuevamente las páginas 452 a 454 de la sección 12.2.

INTRODUCCIÓN Ahora podemos resolver el problema con valores en la frontera (11) que se
analizó en la sección 12.2. El desplazamiento vertical u(x, t) de la cuerda vibratoria de longitud L que
VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D VH GHWHUPLQD D SDUWLU GH

a2 2u 2u 0 x L, t 0 (1)
x2 t2,

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 (2)

u(x, 0) f (x), u g(x), 0 x L. (3)

t t0

12.4 ECUACIÓN DE ONDA l 459

SOLUCIÓN DEL PVF Con la suposición usual de que u(x, t) ϭ X(x)T(t), la separa-
ción de variables en (1) conduce a:

XT
X a2T

por lo que X X0 (4)

T a2 T 0. (5)

Como en la sección anterior, las condiciones de frontera (2) se traducen en X(0) ϭ 0
y X(L) ϭ 0. La ecuación (4) junto con estas condiciones de frontera es el problema
regular de Sturm-Liouville

X X 0, X(0) 0, X(L) 0. (6)

De las tres posibilidades usuales para el parámetro, Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0 y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0,
sólo la última elección conduce a soluciones no triviales. Correspondiendo a Ȝ ϭ Į2, Į
Ͼ 0, la solución general de (4) es

X c1 cos ax c2 sen ax.

X(0) ϭ 0 y X(L) ϭ 0 indican que c1 ϭ 0 y c2 sen Į/ ϭ 0. Nuevamente la última
ecuación implica que Į/ ϭ Qʌ o Į ϭ Qʌ͞L. Los eigenvalores y las correspondien-

tes eigenfunciones de (6) son ln n2p 2 L2 y X(x) n 1, 2, 3, . . .
c2 sen L x, n

La solución general de la ecuación de segundo orden (5) es entonces

na na
T(t) c3 cos L t c4 sen L t.

Reescribiendo c2c3 como An y c2c4 como Bn, las soluciones que satisfacen tanto la ecua-
ción de onda (1) como las condiciones de frontera (2) son

un na na n
An cos L t Bn sen t sen x (7)
L L

na na n
y u(x, t) An cos t Bn sen t sen x. (8)
L L L
n1

Haciendo t ϭ 0 en (8) y utilizando la condición inicial u(x, 0) ϭ f (x) se obtiene

u(x, 0) f (x) An sen n x.

n 1 L

Puesto que la última serie es un desarrollo en un semiintervalo de f en una serie de

senos, podemos escribir An ϭ bn;

2L n
An f (x) sen x dx. (9)
L0 L

Para determinar Bn, derivamos la ecuación (8) respecto a t y después hacemos t ϭ 0:

u na na na na n
n 1 An L sen L t Bn cos t sen x
t L L L

u na n
g(x) Bn sen x.
tt0 L L
n1

Para esta última serie que es el desarrollo en un semiintervalo de senos de la velocidad

inicial g HQ HO LQWHUYDOR HO FRH¿FLHQWH total BnQʌD͞L debe estar dado por la forma bn en
la ecuación (5) de la sección 11.3, es decir,

na 2 L n
Bn L g(x) sen x dx
L0 L

460 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

de lo que se obtiene

2L n
Bn g(x) sen x dx. (10)
na0 L

La solución del problema con valores en la frontera (1) a (3) consiste en la serie
FRQ FRH¿FLHQWHV An y Bn GH¿QLGRV SRU \ UHVSHFWLYDPHQWH

Observamos que cuando la cuerda se libera a partir del reposo, entonces g(x) ϭ 0
para toda x en el intervalo [0, L], y por tanto, Bn ϭ 0.

CUERDA PULSADA Un caso especial del problema con valores en la frontera en

(1) a (3) es el modelo de la cuerda pulsada. Podemos ver el movimiento de la cuerda
DO WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ R GHVSOD]DPLHQWR u(x, t) para valores crecientes del
tiempo t \ XWLOL]DU OD DSOLFDFLyQ GH DQLPDFLyQ GH XQ 6$& (Q OD ¿JXUD VH SUH-
VHQWDQ DOJXQRV PDUFRV GH XQ ³YLGHR´ JHQHUDGR GH HVWD PDQHUD HQ OD ¿JXUD D VH
presenta la forma inicial de la cuerda. Se le pide que intente reproducir los resultados
TXH VH SUHVHQWDQ HQ OD ¿JXUD WUD]DQGR XQD VHFXHQFLD GH ODV VXPDV SDUFLDOHV GH
Véanse los problemas 7 y 22 en los ejercicios 12.4.

uu 123 u x
b) t = 0.2 1 123
11 x0 c) t = 0.7
0 x0 -1
-1 -1 x
u 123
123 1 f) t = 1.9
a) t = 0 forma inicial x0
-1
uu

11
0 x0

-1 -1

123 123

d) t = 1.0 e) t = 1.6

FIGURA 12.4.1 Marcos de un “video” de un SAC.

ONDAS ESTACIONARIAS Recuerde de la deducción de la ecuación de onda uni-
dimensional en la sección 12.2, que la constante a que se encuentra en la solución del
problema con valores en la frontera en las ecuaciones (1), (2) y (3) está dada por 1T> ,
donde ȡ es la masa por unidad de longitud y T es la magnitud de la tensión en la cuerda.
Cuando T HV VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH OD FXHUGD YLEUDQGR SURGXFH XQ VRQLGR PXVLFDO (VWH
sonido es el resultado de ondas estacionarias. La solución (8) es una superposición de las

soluciones producto llamada ondas estacionarias o modos normales:

u(x, t) u1(x, t) u2(x, t) u3(x, t) .

En vista de las ecuaciones (6) y (7) de la sección 5.1 las soluciones producto (7) se

puede escribir como

na n
un(x, t) Cn sen t sen x, (11)
L n L

donde Cn 1An2 B2n y ‫׋‬n VH GH¿QH SRU VHQ ‫׋‬n ϭ An͞Cn y cos ‫׋‬n ϭ Bn͞Cn. Para
n ϭ ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV VRQ HVHQFLDOPHQWH ODV JUi¿FDV GH VHQ Qʌ[͞L),
con una amplitud que varía con el tiempo dada por

na
Cn sen t n.
L

$OWHUQDWLYDPHQWH YHPRV GH TXH D XQ YDORU ¿MR GH x cada función producto
un(x, t) representa un movimiento armónico simple con amplitud Cn͉sen(Qʌ[͞L)͉ y fre-
cuencia fn ϭ na͞2L. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con
una amplitud diferente pero con la misma frecuencia. Cuando n ϭ 1,

a
u1(x, t) C1 sen t sen x
L 1 L

12.4 ECUACIÓN DE ONDA l 461

0 Lx se llama primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental
de vibración (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUDQ ODV SULPHUDV WUHV RQGDV HVWDFLRQDULDV R
a) Primera onda estacionaría PRGRV QRUPDOHV /DV JUi¿FDV SXQWHDGDV UHSUHVHQWDQ ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV HQ GLIH-
rentes valores del tiempo. Los puntos en el intervalo (0, L), para el cual sen(Qʌ͞L)x ϭ 0,
Nodo corresponden a puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Estos
puntos se llaman nodos &RPR HMHPSOR HQ ODV ¿JXUDV E \ F YHPRV
0 L Lx que la segunda onda estacionaria tiene un nodo en L͞2 y la tercer onda estacionaria
2 tiene dos nodos en L͞3 y 2L͞3. En general, el n-ésimo modo normal de vibración tiene
n Ϫ 1 nodos.
b) Segunda onda estacionaría
La frecuencia
Nodos
a 1T
0 L 2L L x f1 2L 2L B
33
del primer modo normal se llama frecuencia fundamental o primer armónico y
c) Tercera onda estacionaría está directamente relacionado con la altura del sonido que produce un instrumento de
cuerda. Es evidente que entre mayor sea la tensión en la cuerda, más alto será el sonido
FIGURA 12.4.2 Primeras tres ondas que produce. Las frecuencias fn de los modos normales, que son múltiplos enteros de
estacionarias. la frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armónico es el primer
sobretono y así sucesivamente.

EJERCICIOS 12.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21.

En los problemas 1 a 8 resuelva la ecuación de onda (1) sujeta 7. u(0, t) 0, u(L, t) 0

a las condiciones dadas. 2hx L

1. u(0, t) 0, u(L, t) 0 L , 0x 2u
,
1u 0 u(x, 0) 0
u(x, 0) x(L x),
4 tt0 xL tt0
2h 1 , xL
L2
2. u(0, t) 0, u(L, t) 0

u(x, 0) 0, u x(L x) uu 0
8. 0,
tt0 xx 0 xxL

3. u(0, t) ϭ 0, u(L, t) ϭ 0 u(x, 0) x, u 0
u(x GDGR HQ OD ¿JXUD
u tt0
0
Este problema podría describir el desplazamiento longi-
tt0 tudinal u(x, t) de una varilla elástica vibratoria. Las condi-
ciones de frontera en x ϭ 0 y x ϭ L se llaman condiciones
f (x) de extremo libre 9HD OD ¿JXUD

1

L/3 2L/3 L x u(x, t)

FIGURA 12.4.3 Desplazamiento inicial en el problema 3. x

4. u(0, t) 0, u( , t) 0 0L
u(x, 0)
1 x ( 2 x2), u 0 FIGURA 12.4.4 Varilla elástica vibratoria del problema 8.
6 tt0 0

5. u(0, t) 0, u( , t) 0 9. Una cuerda se estira y se ancla al eje x en x ϭ 0 y en x ϭ
u(x, 0) u sen x ʌ para t Ͼ 0. Si las vibraciones transversales se presentan

0, en un medio con resistencia al movimiento proporcional
tt0 a la velocidad instantánea, entonces la ecuación de onda
toma la forma
6. u(0, t) ϭ 0, u(1, t) ϭ 0
u 2u 2u 2 u 0
, 1, t 0.
u(x, 0) ϭ 0.01 sen 3ʌ[, x2 t2 t
tt0

462 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Encuentre el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del positivas de la ecuación
reposo desde un desplazamiento inicial f (x).
cosh x cos x ϭ 1.
10. Muestre que una solución del problema con valores en la b) ' HPXHVWUH HQ IRUPD JUi¿FD TXH OD HFXDFLyQ GHO LQ-
frontera
FLVR D WLHQH XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH UDtFHV

2u 2u c) Utilice una calculadora o un SAC para encontrar
x2 t2 u, 0 x , t 0 aproximaciones a los primeros cuatro eigenvalores.
Utilice cuatro decimales.

u(0, t) 0, u( , t) 0, t 0 13. Considere el problema con valores en la frontera dado en
u(x, 0) >2 las ecuaciones (1), (2) y (3) de esta sección. Si g(x) ϭ 0
x, 0 x para 0 Ͻ x Ͻ L, demuestre que la solución del problema
x, >2 x se puede escribir como

u 1
0, 0 x u(x, t) [ f (x at) f (x at)].

tt0 2
es [Sugerencia: Utilice la identidad

4 ( 1)k 1 2 sen u1 cos u 2 sen(u1 u2) sen(u1 u 2).]
k 1 (2k 1)2 sen(2k 1) x cos 1(2k
u(x, t) 1)2 1 t. 14. El desplazamiento vertical u(x, t GH XQD FXHUGD LQ¿QLWD-

mente larga está determinado por el problema con valores

11. El desplazamiento transversal u(x, t) de una viga vibrato- iniciales

ria de longitud L está determinado por una ecuación dife- a2 2u 2u
x2 t2 ,
rencial parcial de cuarto orden x ,t 0
(12)
4u 2u
a2 x4 t2 0, 0 x L, t 0. u(x, 0) f (x), u g (x).

Si la viga está simplemente apoyada, como se muestra en tt0
OD ¿JXUD ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD LQLFLDO VRQ
Este problema se puede resolver sin separar las variables.

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 a) Demuestre que la ecuación de onda se puede expresar
en la forma 2u h j 0 haciendo las sustituciones
2u 2u
x2 x 0 0, x2 x L 0, t 0 ȟ ϭ x ϩ at y Ș ϭ x Ϫ at.

u(x, 0) f (x), u g(x), 0 x L. b) Integre la ecuación diferencial parcial del inciso a),
primero respecto a Ș y después respecto a ȟ, para de-
tt0 mostrar que u(x, t) ϭ F(x ϩ at) ϩ G(x Ϫ at) donde
F y G son funciones arbitrarias derivables dos veces,
Resuelva para u(x, t). [Sugerencia: Por conveniencia es una solución de la ecuación de onda. Utilice esta
utilice Ȝ ϭ Į4 al separar las variables.] solución y las condiciones iniciales dadas para de-
mostrar que

1 1x g(s)ds c
F(x) f (x)
u 2 2a x0

1 1x
y G(x) f (x) g(s)ds c,
x 2 2a x0
0L
donde x0 es arbitraria y c es una constante de integra-
FIGURA 12.4.5 Viga simplemente apoyada del problema 11. ción.

c) Utilice los resultados del inciso b) para demostrar que

12. Si los extremos de la viga del problema 11 están incrus- 1 1 x at g(s) ds. (13)
tados en x ϭ 0 y x ϭ L, las condiciones de frontera se u(x, t) [ f (x at) f (x at)]
convierten, para t Ͼ 0, en: 2 2a x at

u(0, t) 0, u(L, t) 0 Observe que cuando la velocidad inicial g(x) ϭ 0, ob-
tenemos

uu 1 x.
0, 0. u(x, t) [ f (x at) f (x at)],
xx 0 xx L
2

Esta última solución se puede interpretar como una

a) Demuestre que los eigenvalores del problema son superposición de dos ondas viajeras, una movién-
n xn2> L2, donde xn, n ϭ 1, 2, 3, . . . , son las raíces
dose hacia la derecha (esto es, 1 f (x at)) y la otra
2

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE l 463

moviéndose hacia la izquierda ( 1 f (x at)). Ambas a) 7UDFH OD JUi¿FD GH OD SRVLFLyQ LQLFLDO GH OD FXHUGD HQ
2 el intervalo [Ϫ6, 6].

ondas viajan con rapidez a y tienen la misma forma b) 8 WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
d’Alembert (13) en [Ϫ6, 6] para t ϭ 0.2k, k ϭ 0, 1, 2,
básica que la del desplazamiento inicial f (x). La for- . . . , 25. Suponga que a ϭ 1.

ma de u(x, t) dado en (13) se llama solución de dЈA- c) Utilice la aplicación de su sistema algebraico compu-
tarizado para hacer un video de la solución. Describa
lembert. el movimiento de la cuerda al transcurrir el tiempo.

En los problemas 15 a 18 utilice la solución de d’Alembert 21. 8QD FXHUGD GH ORQJLWXG LQ¿QLWD TXH FRLQFLGH FRQ HO HMH x
se golpea en el origen con un martillo cuya cabeza tiene
(13) para resolver el problema con valores iniciales del pro- 0.2 pulgadas de diámetro. Un modelo para el movimiento
de la cuerda está dado por (12) con
blema 14 sujeto a las condiciones iniciales dadas.
1, x 0.1
15. f (x) ϭ sen x, g(x) ϭ 1 f (x) 0 y g(x)
16. f (x) ϭ sen x, g(x) ϭ cos x
17. f (x) ϭ 0, g(x) ϭ sen 2x 0, x 0.1.
18. f (x) e x2, g(x) 0
a) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
Tarea para el laboratorio de computación d’Alembert (13) en [Ϫ6, 6] para t ϭ 0.2k, k ϭ 0, 1, 2,
. . . , 25. Suponga que a ϭ 1.
19. a) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH
dЈAlembert del problema 18 en el intervalo [Ϫ5, 5] en b) Utilice la aplicación de animación de su sistema al-
los tiempos t ϭ 0, t ϭ 1, t ϭ 2, t ϭ 3 y t ϭ 4. Coloque gebraico computarizado para hacer un video de la so-
WRGDV ODV JUi¿FDV HQ XQ VLVWHPD FRRUGHQDGR 6XSRQJD lución. Describa el movimiento de la cuerda al trans-
que a ϭ 1. currir el tiempo.

b) Utilice la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar la 22. El modelo de la cuerda vibratoria en el problema 7 se
JUi¿FD GH OD VROXFLyQ GH GЈAlembert u(x, t) en el pro- llama de cuerda pulsada /D FXHUGD VH ¿MD DO HMH x en
blema 18 para Ϫ 5 Յ x Յ 5, 0 Յ t Յ 4. Experimente x ϭ 0 y en x ϭ L y se sujeta en x ϭ L͞2 a h unidades
con distintas perspectivas tridimensionales de esta arriba del eje x 9HD OD ¿JXUD ,QLFLDQGR HQ t ϭ 0 la
VXSHU¿FLH (OLMD OD SHUVSHFWLYD GH OD VXSHU¿FLH HQ OD cuerda se libera a partir del reposo.
TXH XVWHG FRQVLGHUH TXH ODV JUi¿FDV GHO LQFLVR D VRQ
más evidentes. a) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VXPD SDU-
cial S6(x, t), esto es, los primeros seis términos distin-
20. 8Q PRGHOR SDUD XQD FXHUGD LQ¿QLWDPHQWH ODUJD VH VXMHWD tos de cero de su solución, para t ϭ 0.lk, k ϭ 0, 1, 2,
de los tres puntos (Ϫ1, 0), (1, 0) y (0, 1) y después se . . . , 20. Suponga que a ϭ 1, h ϭ 1 y L ϭ ʌ.
libera simultáneamente de esos tres puntos al tiempo que
t ϭ 0 está dado por (12) con b) Utilice la aplicación de animación de su sistema alge-
braico computarizado para hacer un video de la solu-
1 x, x 1 ción del problema 7.
f (x) y g(x) 0.

0, x 1

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE

REPASO DE MATERIAL
l Lea nuevamente la sección 12.2 y el ejemplo 1 de la sección 11.4.

INTRODUCCIÓN Suponga que deseamos encontrar la temperatura de estado estable u(x, y) en
una placa rectangular cuyas aristas verticales x ϭ 0 y x ϭ a están aislados, como se muestra en la
¿JXUD &XDQGR QR VH HVFDSD FDORU GH ODV FDUDV ODWHUDOHV GH OD SODFD UHVROYHPRV HO VLJXLHQWH
problema con valores en la frontera:

2u 2u (1)
x2 y2 0, 0 x a, 0 y b

uu (2)
0, 0, 0 y b
xx 0 xx a

u(x, 0) 0, u(x, b) f (x), 0 x a (3)

464 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

y SOLUCIÓN DEL PVF Haciendo u(x, y) ϭ X(x)Y(y), la separación de variables en la
ecuación (1) conduce a
u = f (x)
(a, b)

Aislado Aislado XY
x XY
u=0 (4)
X X0 (5)
FIGURA 12.5.1 Temperaturas de Y Y 0.
estado estable en una placa rectangular.
Las tres condiciones homogéneas en (2) y (3) se traducen en XЈ(0) ϭ 0, XЈ(a) ϭ 0
y Y(0) ϭ 0. El problema de Sturm-Liouville asociado con la ecuación en (4) es
entonces

X X 0, X (0) 0, X (a) 0. (6)

Examinando los casos correspondientes a Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0 y Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, donde Į Ͼ
0, ya se han realizado en el ejemplo 1 de la sección 11.4.* Aquí presentamos un breve
resumen del análisis.

Para Ȝ ϭ 0, la ecuación (6) se convierte en

X 0, X (0) 0, X (a) 0.

La solución de la ED es X ϭ c1 ϩ c2x. Las condiciones de frontera implican que X ϭ
c1. Haciendo c1 0, este problema tiene una solución no trivial. Para Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0, (6)
sólo tiene la solución trivial. Para Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, (6) se convierte en

X a2 X 0, X (0) 0, X (a) 0.

La solución de la ED en este problema es X ϭ c1 cos Į[ ϩ c2 sen Į[. La condición de
XЈ(0) ϭ ϭ ϭ Į[.
frontera 0 implica que c 0, por tanto X c cos Derivando esta última ex-
2 1
presión y después haciendo x ϭ a se obtiene Ϫ c1 sen Į[ ϭ 0. Como hemos supuesto que
Į Ͼ 0, esta última condición se satisface cuando ĮD ϭ Qʌ o Į ϭ Qʌ͞a, n ϭ 1, 2, . . .

Los eigenvalores de la ecuación (6) son entonces Ȝ0 ϭ 0 y n 2n n2 2/a2,
n ϭ 1, 2, . . . Si se corresponde Ȝ0 ϭ 0 con n ϭ 0, las eigenfunciones de (6) son

n
X c1, n 0, y X c1 cos a x, n 1, 2, . . .

Ahora resolvemos la ecuación (5) sujeta a la única condición de frontera homo-

génea Y(0) ϭ 0. Hay dos casos. Para Ȝ0 ϭ 0, la ecuación (5) es simplemente YЉ ϭ 0; por
tanto su solución es Y ϭ c3 ϩ c4y. Pero Y(0) ϭ 0 que implica que c3 ϭ 0, por tanto Y ϭ c4y.
n2 2
Para Ȝn ϭ n2ʌ2͞a2, la ecuación (5) es Y a2 Y 0. Debido a que 0 Ͻ y Ͻ b GH¿QH

XQ LQWHUYDOR ¿QLWR XVDPRV GH DFXHUGR FRQ OD UHJOD LQIRUPDO LQGLFDGD HQ OD SiJLQD

429) la forma hiperbólica de la solución general:

Y c3 cosh (n y> a) c4 senh (n y> a).

Y(0) ϭ 0 nuevamente implica que c3 ϭ 0, por lo que queda Y ϭ c4 senh (Qʌ\͞a).
Las soluciones producto un ϭ X(x)Y(y) que satisfacen la ecuación de Laplace (1)

y las tres condiciones de frontera homogéneas en (2) y (3) son

A0 y, n 0, y nn n 1, 2, . . . ,
An senh a y cos a x,

donde hemos reescrito c1c4 como A0 para n ϭ 0 y como An para n ϭ 1, 2, . . .

*En ese ejemplo los símbolos y y L juegan el papel de X y a en este análisis.

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE l 465

Con el principio de superposición se obtiene otra solución:

A0 y An senh nn x. (7)
u(x, y) y cos
1 a a
n

Ahora podemos aplicar la última condición de frontera en (3). Sustituyendo x ϭ b en
la ecuación (7) se obtiene

u(x, b) f (x) A0b An senh nn
b cos x,
n1 a a

que es un desarrollo en un semiintervalo de f en una serie de cosenos. Al hacer las

LGHQWL¿FDFLRQHV A0b ϭ a0͞2 y An ϭ senh(QʌE͞a) ϭ an, n ϭ 1, 2, 3, . . . se tiene de
las ecuaciones (2) y (3) de la sección 11.3 que

2A0b 2a
f (x) dx
a0

A0 1a
f (x) dx (8)
ab 0

n 2a n
y An senh a b f (x) cos x dx
a0 a

2a n
An f (x) cos x dx. (9)
n a
a senh b 0

a

La solución del problema con valores en la frontera (1) a (3) consiste en la serie
FRQ FRH¿FLHQWHV A0 y An GH¿QLGDV HQ \ UHVSHFWLYDPHQWH

PROBLEMA DE DIRICHLET Un problema con valores en la frontera en el que
se busca una solución de una ecuación diferencial parcial de tipo elíptico tal como
la ecuación de Laplace, 2u 0, dentro de una región R acotada (en el plano o en

el espacio tridimensional) tal que u tome los valores prescritos en toda la frontera de
la región se llama SUREOHPD GH 'LULFKOHW. En el problema 1 de los ejercicios 12.5 se
pide demostrar que la solución del problema de Dirichlet, para una región rectangular

2u 2u
x2 y2 0, 0 x a, 0 y b

u(0, y) 0, u(a, y) 0, 0 y b

u(x, 0) 0, u(x, b) f (x), 0 x a

es

nn 2a n
u(x, y) An senh y sen x, donde An f (x) sen x dx. (10)
a a n a
n 1 a senh b0

a

En el caso especial cuando f (x) ϭ 100, a ϭ 1 y b ϭ ORV FRH¿FLHQWHV An en (10) están da-
1 ( 1)n
dos por An 200 . &RQ D\XGD GH XQ 6$& VH WUD]D OD JUi¿FD GH OD VXSHU¿FLH
n senh n

GH¿QLGD SRU u(x, y) en la región R: 0 Յ x Յ 1, 0 Յ y Յ HQ OD ¿JXUD D VH YH

que se satisfacen las condiciones en la frontera; en especial, observe que a lo largo de

y ϭ 1, u ϭ 100 para 0 Յ x Յ 1. Las isotermas o curvas en la región rectangular a lo

largo de las cuales la temperatura u(x, y) es constante se pueden obtener con la apli-

FDFLyQ SDUD WUD]R GH JUi¿FDV GH FXUYDV GH QLYHO GH XQ 6$& FRPR VH PXHVWUDQ HQ OD

¿JXUD E (VWDV LVRWHUPDV WDPELpQ VH SXHGHQ FRQVLGHUDU FRPR ODV FXUYDV GH LQ-

tersección (proyectadas en el plano xy) de los planos horizontales u ϭ 80, u ϭ 60 y así

466 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

100 VXFHVLYDPHQWH FRQ OD VXSHU¿FLH GH OD ¿JXUD D 2EVHUYH TXH HQ WRGD OD UHJLyQ
la temperatura máxima es u ϭ 100 y está en la parte de la frontera que corresponde a
u(x, y) 50 y ϭ 1. Esto no es coincidencia. Hay un principio del máximo que establece que una
solución u de la ecuación de Laplace dentro de una región R acotada con frontera B
0 0.5 1
1 0.5 x (como un rectángulo, círculo, esfera, etc.) tiene sus valores máximo y mínimo en B.
y 0
Además, se puede demostrar que u no puede tener extremos (máximos o mínimos)
a) Superficie relativos en el interior de R (VWH ~OWLPR HQXQFLDGR VH YH FRQ FODULGDG HQ OD VXSHU¿FLH
GH OD ¿JXUD D

1y PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El problema de Dirichlet para un rectángulo se
0.8 80 SXHGH UHVROYHU FRQ IDFLOLGDG VHSDUDQGR ODV YDULDEOHV FXDQGR VH HVSHFL¿FDQ FRQGLFLR-
nes homogéneas para dos fronteras paralelas. Sin embargo, el método de separación
60
0.6 40 de variables no se aplica a un problema de Dirichlet cuando las condiciones en la fron-
WHUD HQ ORV FXDWUR ODGRV GHO UHFWiQJXOR VRQ QR KRPRJpQHDV 3DUD VDOYDU HVWD GL¿FXOWDG
0.4 20 separamos el problema

0.2 10 2u 2u (11)
x2 y2 0, 0 x a, 0 y b
x u(0, y) F(y), u(a, y) G(y), 0 y b
0.2 0.4 0.6 0.8 1
u(x, 0) f (x), u(x, b) g(x), 0 x a
b) Isotermas
en dos problemas, cada uno con condiciones homogéneas en la frontera, en lados pa-
FIGURA 12.5.2 /D VXSHU¿FLH HV OD ralelos, como se muestra a continuación:
JUi¿FD GH ODV VXPDV SDUFLDOHV FXDQGR f (x)
ϭ 100 y a ϭ b ϭ 1 en (10).

Problema 1 Problema 2

∂––2–u–1 ϩ ∂––2–u–1 ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ a, 0ϽyϽb ∂––2–u–2 ϩ ∂––2–u–2 ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ a, 0ϽyϽb
∂x2 ∂y2 ∂x2 ∂y2

u1(0, y) ϭ 0, u1(a, y) ϭ 0, 0 Ͻ y Ͻ b u2(0, y) ϭ F(y), u2(a, y) ϭ G(y), 0 Ͻ y Ͻ b

u1(x, 0) ϭ f (x), u1(x, b) ϭ g(x), 0 Ͻ x Ͻ a u2(x, 0) ϭ 0, u2(x, b) ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ a

Suponga que u1 y u2 son las soluciones de los problemas 1 y 2, respectivamente. Si
GH¿QLPRV u(x, y) ϭ u1(x, y) ϩ u2(x, y), veremos que u satisface todas las condiciones
en la frontera del problema original (11); por ejemplo,

u(0, y) u1(0, y) u2(0, y) 0 F( y) F( y),

u(x, b) u1(x, b) u2(x, b) g(x) 0 g(x),

y así sucesivamente. Además, u es una solución de la ecuación de Laplace por el teo-
rema 12.1.1. En otras palabras, al resolver los problemas 1 y 2 y sumar las soluciones,
ya hemos resuelto el problema original. Esta propiedad aditiva de las soluciones se
llama principio de superposición 9HD OD ¿JXUD

Dejaremos como ejercicio (véanse los problemas 13 y 14 de los ejercicios 12.5)
demostrar que una solución del problema 1 es

n nn
u1(x, y) n 1 An cosh a y Bn senh a y sen a x,

donde An 2 a np
f (x) sen x dx
a0 a

1 2a n n
Bn g(x) sen x dx An cosh a b ,
n a0 a
senh b
a

y que una solución del problema 2 es

12.5 ECUACIÓN DE LAPLACE l 467

n nn
u2(x, y) n 1 An cosh b x Bn senh b x sen b y,

2b n
donde An F(y) sen y dy
b0 b
y g(x)
Bn 1 2b n n
G(y) sen y dy An cosh b a .
n b0 b
senh a
b

(a, b) y g(x) (a, b) y0 (a, b)

ΔΔ Δ
F( y) 2u = 0 G( y) = 0 2u1 = 0 0 + F( y) 2u2 = 0 G( y)

f (x) x f (x) x 0 x

FIGURA 12.5.3 Solución u ϭ solución u1 del problema 1 ϩ solución u2 del problema 2.

EJERCICIOS 12.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-21.

En los problemas 1 a 10, resuelva la ecuación de Laplace (1) para u 1
una placa rectangular sujeta a las condiciones de frontera dadas 10. u(0, y) 10y,

1. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0 xx 1
u(x, 0) ϭ 0, u(x, b) ϭ f (x)
u(x, 0) ϭ 0, u(x, 1) ϭ 0

2. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0 En los problemas11 y 12 resuelva la ecuación de Laplace (1) para
u OD SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH HQFXHQWUD HQ OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD GHO
0, u(x, b) f (x) eje y. En cada caso suponga que u(x, y) está acotada cuando y → ϱ.
yy 0
11. y

3. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0 u=0 u=0
u(x, 0) ϭ f (x), u(x, b) ϭ 0

uu
4. 0, 0
xx 0 xx a

u(x, 0) ϭ x, u(x, b) ϭ 0 0 πx
u = f (x)
5. u(0, y) ϭ 0, u(1, y) ϭ 1 Ϫ y
FIGURA 12.5.4 Placa del problema 11.
uu
0, 0 12. y
yy 0 yy 1

6. u(0, y) g(y), u 0 Aislada Aislada
0, xx 1 0
u u
yy 0 yy

u 0 πx
7. u(0, y), u( , y) 1 u = f (x)

xx 0 FIGURA 12.5.5 Placa del problema 12.

u(x, 0) ϭ 0, u(x, ʌ) ϭ 0 En los problemas 13 y 14 resuelva la ecuación de Laplace (1) para
una placa rectangular sujeta a las condiciones de frontera dadas.
8. u(0, y) ϭ 0, u(1, y) ϭ 0 13. u(0, y) ϭ 0, u(a, y) ϭ 0

u u(x, 0) ϭ f (x), u(x, b) ϭ g(x)
u(x, 0), u(x, 1) f (x)
14. u(0, y) ϭ F(y), u(a, y) ϭ G(y)
yy 0 u(x, 0) ϭ 0, u(x, b) ϭ 0

9. u(0, y) ϭ 0, u(1, y) ϭ 0
u(x, 0) ϭ 100, u(x, 1) ϭ 200

468 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

En los problemas 15 y 16 aplique el principio de superpo- Explique por qué una condición necesaria para una solu-
sición y resuelva la ecuación de Laplace (1) para una placa ción u es que g satisfaga
cuadrada sujeta a las condiciones en la frontera dadas.
b
15. u(0, y) ϭ 1, u(ʌ, y) ϭ 1
u(x, 0) ϭ 0, u(x, ʌ) ϭ 1 g(y)dy 0.

16. u(0, y) ϭ 0, u(2, y) ϭ y(2 Ϫ y) 0

u(x, 0) 0, u(x, 2) x, 0 x 1 Esta condición se denomina la condición de compatibili-
2 x, 1 x 2 dad. Haga un poco de investigación por su parte y expli-
que la condición de compatibilidad en la tierra física.
Problemas para analizar
20. Considere el problema con valores en la frontera
17. a) En el problema 1 suponga que a ϭ b ϭ ʌ y f (x) ϭ
100x(ʌ Ϫ x). Sin utilizar la solución u(x, y) dibuje, a 2u 2u
PDQR FyPR VH YHUtD OD VXSHU¿FLH VREUH XQD UHJLyQ x2 y2 0, 0 x 1, 0 y ʌ
UHFWDQJXODU GH¿QLGD SRU Յ x Յ ʌ, 0 Յ y Յ ʌ.
u(0, y) u0 cos y, u(1, y) u0(1 cos 2y)
b) ¿Cuál es el máximo valor de la temperatura u para 0
Յ x Յ ʌ, 0 Յ y Յ ʌ? u 0, u 0.
yy 0 yy ʌ
c) Utilice la información del inciso a) para calcular los
FRH¿FLHQWHV GH VX UHVSXHVWD GHO SUREOHPD 'HVSXpV Discuta cómo se ha obtenido la respuesta siguiente:
use la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar la
JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(x, y) que consiste en los u0 x u0 senh(1 x) u0 senh 2x cos 2y.
primeros cinco términos distintos de cero de la solu- u(x, y) cos y senh 2
ción del inciso a) para 0 Յ x Յ ʌ, 0 Յ y Յ ʌ. Utilice senh 1
perspectivas diferentes y después compárelas con su
Desarrolle sus ideas.
dibujo del inciso a).
Tarea para el laboratorio de computación

18. En el problema 16 ¿cuál es el valor máximo de la tempe- 21. a) Use la aplicación de trazo de curvas de nivel de su
ratura u para 0 Յ x Յ 2, 0 Յ y Յ 2? 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH ODV LVRWHUPDV u ϭ 170,
140, 110, 80, 60, 30 para la solución del problema 9.
19. Resuelva el problema de Neumann para un rectángulo Use la suma parcial S5(x, y) que consiste en los prime-
ros cinco términos distintos de cero de la solución.
2u 2u
x2 y2 0, 0 x 0, 0 y b b) 8WLOLFH OD DSOLFDFLyQ GH JUi¿FD WULGLPHQVLRQDO GH VX
SAC para trazar la suma parcial S5(x, y).
u u 0, 0xa
0, 22. Use la aplicación 3D-plot de su SAC para trazar las
yy 0 yy b isotermas u ϭ 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0, Ϫ0.05 de la
solución del problema 10. Utilice la suma parcial S5(x,
u u g(y), 0 y b. y) formada por los cinco primeros términos distintos de
0, cero de la solución.
xx 0 xx a

12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA

REPASO DE MATERIAL
l Secciones 12.3 a 12.5.

INTRODUCCIÓN Se dice que un problema con valores en la frontera es no homogéneo si la ecua-
ción diferencial parcial o las condiciones de frontera son no homogéneas. El método de separación
de variables que se ha empleado en las tres secciones anteriores no puede aplicarse directamente a un
problema con valores en la frontera. Sin embargo, en las dos primeras técnicas que analizamos en esta
sección empleamos un cambio de variable que transforma un problema con valores en la frontera en
dos problemas; un PVF relativamente simple para una EDO y los otros PVF homogéneos para una
EDP. El último problema se puede resolver con separación de variables. La segunda técnica es bási-
camente un procedimiento directo del PVF utilizando desarrollos en series ortogonales.

PVF NO HOMOGÉNEOS Cuando se genera calor a una razón constante r en una
YDULOOD GH ORQJLWXG ¿QLWD OD IRUPD GH OD HFXDFLyQ GH FDORU HV

2u u
k x2 r , 0 x L, t 0. (1)
t

12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA l 469

La ecuación (1) es no homogénea y se observa con facilidad que no es separable. Por

otro lado, supongamos que se desea resolver la ecuación de calor homogénea kuxx ϭ ut
cuando las condiciones de frontera en x ϭ 0 y x ϭ L son no homogéneas, por ejem-
plo, que las fronteras se mantengan a temperaturas distintas de cero: u(0, t) ϭ u0 y
u(L, t) ϭ u1. Aun cuando la sustitución u(x, t) ϭ X(x)T(t) separa a kuxx ϭ ut, encontra-
mos rápidamente un obstáculo en la determinación de los eigenvalores y las eigenfun-

ciones porque lo que no podemos concluir nada acerca de de X(0) y de X(L) de u(0, t)

ϭ X(0)T(t) ϭ u0 y de u(L, t) ϭ X(L)T(t) ϭ u1.
A continuación mostraremos dos métodos de solución distintos para los diferentes

tipos de PVF no homogéneos.

MÉTODO 1 Considere un PVF que implica una ecuación no homogénea con con-
diciones de frontera independientes del tiempo tales como

2u u 0 x L, t 0
k x2 F(x) ,
t

u(0, t) u0, u(L, t) u1, t 0 (2)
u(x, 0) f (x), 0 x L,

donde u0 y u1 son constantes. Cambiando la variable dependiente u a una nueva varia-
ble dependiente v sustituyendo u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x), el problema en (2) se puede
reducir a dos problemas:

Problema A: {k F(x) 0, (0) u0, (L) u1

Problema B: 2v v 0
k x2 ,
v(0, t) t
0, v(L, t)

v(x, 0) f (x) (x)

Observe que el problema A implica una EDO que se puede resolver por integración,
mientras que el problema B es un PVF homogéneo que se puede resolver por la sepa-
ración de variables común. Una solución del problema original (2) es la suma de las
soluciones de los problemas A y B.

El siguiente ejemplo ilustra este primer método.

EJEMPLO 1 Uso del método 1

Suponga que r es una constante positiva. Resuelva la ecuación (1) sujeta a

u(0, t) 0, u(1, t) u0, t 0
u(x, 0) f (x), 0 x 1.

SOLUCIÓN Ambas ecuaciones diferenciales parciales en la condición de frontera en
x ϭ 1 son no homogéneas. Si hacemos u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ ȥ(x), entonces

2u 2v uv
x2 x2 y.

tt

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (1) se obtiene

2v v (3)
k x2 k r.

t

La ecuación (3) se reduce a una ecuación homogénea si pedimos que ȥ satisfaga

k r0 o r
Integrando la última ecuación dos veces se obtiene que .
k

(x) r x2 c1x c2. (4)
2k

470 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Además, u(0, t) v(0, t) (0) 0

u(1, t) v(1, t) (1) u0.

Se tiene que v(0, t) ϭ 0 y v(1, t) ϭ 0, suponiendo que

(0) 0 y (1) u0.

Aplicando estas dos últimas condiciones a la ecuación (4) se obtiene, respectivamente,

c2 ϭ 0 y c1 ϭ r͞2k ϩ u0. Por tanto,

(x) r x2 r
2k 2k u0 x.

Por último, la condición inicial u(x, 0) ϭ v(x, 0) ϩ ȥ(x) implica que v(x, 0) ϭ u(x, 0)

Ϫ ȥ(x) ϭ f (x) Ϫ ȥ(x). Entonces, para determinar v(x, t), resolvemos el nuevo pro-

blema con valores en la frontera

2v v
k x2 , 0 x 1, t 0
t

v(0, t) 0, v(1, t) 0, t 0

v(x, 0) f (x) r x2 r 0x1
2k 2k u0 x,

por separación de variables. De la manera usual encontramos que

v(x, t) An e kn2 2t sen n x,

donde n1

An 1 r x2 r (5)
2k 2k u0 x sen n x dx.
2 f (x)

0

Sumando ȥ(x) y v(x, t) obtenemos una solución del problema original:

u(x, t) r x2 r u0 x An e kn2 2t sen n x, (6)
2k 2k
n1

GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV An HVWiQ GH¿QLGRV HQ OD HFXDFLyQ

Observe en la ecuación (6) que u(x, t) → ȥ(x) cuando t → ϱ. En el contexto de las
formas de solución de la ecuación de calor, ȥ se llama solución de estado estable. Ya
que v(x, t) → 0 cuando t → ϱ, ésta se llama solución transitoria.

MÉTODO 2 Otro tipo de problemas implica una ecuación homogénea dependiente
del tiempo y condiciones frontera homogéneas. A diferencia del método 1, en el que
u(x, t) se encontró al resolver dos problemas separados, es posible encontrar la solu-
ción completa de un problema tal como

2u u
k x2 F(x, t) , 0 x L, t 0
t

u(0, t) 0, u(L, t) 0, t 0 (7)

u(x, 0) f (x), 0 x L,

KDFLHQGR OD VXSRVLFLyQ GH TXH ORV FRH¿FLHQWHV GHSHQGLHQWHV GHO WLHPSR un(t) y Fn(t) se
pueden encontrar tanto u(x, t) como F(x, t) en la ecuación (7) se puede desarrollar en

las series

un(t) sen nn
u(x, t) x y F(x, t) Fn(t) sen x, (8)
1 L L
n n 1

12.6 PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS CON VALORES EN LA FRONTERA l 471

donde sen(Qʌ[͞L), n ϭ 1, 2, 3 . . ., son las eigenfunciones de XЉ ϩ Ȝ; ϭ 0, X(0) ϭ 0, X(L)

ϭ 0 correspondientes a los eigenvalores n 2 n2 2> L2. El último problema se ob-
n

tendría aplicando separación de variables a la EPD homogénea asociada en (7). En (8) note

que la forma supuesta para u(x, t) ya satisface las condiciones de frontera en (7). La idea

básica aquí es sustituir la primera serie de la ecuación (8) en la EDP no homogénea en la

ecuación (7), agrupando términos e igualando la serie resultante con el desarrollo en serie

encontrado para F(x, t).

El siguiente ejemplo ilustra este método.

EJEMPLO 2 Uso del método 2

Resuelva 2u u 1, t 0
x2 (1 x) sen t , 0x
u(0, t) 0, u(1, t) t
u(x, 0) 0, 0 x 0, t 0,
1.

SOLUCIÓN Con k ϭ 1, L ϭ 1, los eigenvalores y las eigenfunciones de XЉ ϩ Ȝ; ϭ 0,
X(0) ϭ 0, X(1) ϭ 0 se encuentra que son n an2 n2 2 y sen Qʌ[, n ϭ 1, 2, 3, . . .
Si suponemos que

u(x, t) un(t) sen n x, (9)

n1

entonces las derivadas parciales formales de u son

2u un(t)( n2 2) sen n x y u un (t) sen n x. (10)
x2
n1 t n1

Ahora suponiendo que podemos escribir F(x, t) ϭ (1 – x) sen t como

(1 x)sen t Fn(t) sen n x

n1

implica que

21 1 2
Fn (t) (1 sen t.
10 x) sen t sen n x dx 2 sen t (1 x) sen n x dx
n
0 (11)

Por tanto, (1 x)sen t 2 sen t sen n x.

n 1n

Sustituyendo las series de las ecuaciones (10) y (11) en ut Ϫ uxx ϭ (1Ϫ x) sen t, obte-
nemos

un (t) n2 2un(t) sen n x 2 sen t
sen n x.
n1
n1n

Para determinar un(t LJXDODPRV ORV FRH¿FLHQWHV GH VHQ Qʌ[ en cada miembro de la
igualdad anterior:

un (t) n2 2un(t) 2 sen t
.

n

Esta última ecuación es una EDO lineal de primer orden cuya solución es

un(t) n 2 n2 2 sen t cos t Cn e n2 2t,

n4 4 1

472 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

donde Cn denota la constante arbitraria. Por tanto, la forma supuesta de u(x, t) en la
ecuación (9) se puede escribir como la suma de dos series:

u(x, t) 2 n2 2sen t cos t sen n x Cne n2 2t sen n x. (12)

n 1n n4 4 1 n1

Por último, aplicamos la condición inicial u(x, 0) ϭ 0 en la ecuación (12). Reescribiendo
la expresión resultante como una serie,

2
0 n 1 n (n4 4 1) Cn sen n x,

FRQFOXLPRV GH HVWD LGHQWLGDG TXH HO FRH¿FLHQWH WRWDO GH VHQ Qʌ[ debe ser cero, por lo que

Cn 2 .
1)
n (n4 4

Por tanto, de la ecuación (12) vemos que una solución del problema dado es

2 n2 2sen t cos t 21 e n2 2t sen n x.
u(x, t) sen n x n 1 n(n4 4 1)
n(n4 4 1)
n1

EJERCICIOS 12.6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22.

En los problemas 1 a 12 utilice el método 1 de esta sección 6. Resuelva el problema con valores en la frontera
para resolver el problema con valores en la frontera dado.
2u u 0x ,t
En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor kuxx ϭ ut, k x2 hu , 0 0
0 Ͻ x Ͻ1, t Ͼ 0, sujeto a las condiciones dadas. t

u(0, t) 0, u( , t) u0, t

1. u(0, t) ϭ 100, u(1, t) ϭ 100 u(x, 0) 0, 0 x .
u(x, 0) ϭ 0
La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecua-
2. u(0, t) ϭ u0, u(1, t) ϭ 0 ción de calor cuando hay pérdida de calor por radiación
u(x, 0) ϭ f (x) GH OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GH XQD YDULOOD GHOJDGD HQ XQ PHGLR
a temperatura cero.
En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación diferencial parcial
(1) sujeta a las condiciones dadas. 7. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) del pro-
blema con valores en la frontera

3. u(0, t) ϭ u0, u(1, t) ϭ u0 2u u
u(x, 0) ϭ 0 k x2 h(u u0) , 0 x 1, t 0
t

4. u(0, t) ϭ u0, u(1, t) ϭ u1 u(0, t) u0, u(1, t) 0, t 0
u(x, 0) ϭ f (x) u(x, 0) f (x), 0 x 1.

5. Resuelva el problema con valores en la frontera

2u Ae x u 0, 0 x 1, t 0 8. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) si la varilla
k x2 , GHO SUREOHPD HV VHPLLQ¿QLWD \ VH HQFXHQWUD VREUH OD GL-
t rección positiva de las x H LUUDGLD GH VX VXSHU¿FLH ODWHUDO
hacia un medio a temperatura cero y
u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0

u(x, 0) f (x), 0 x 1. u(0, t) u0, lím u(x, t) 0, t 0
u(x, 0)
La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecua- x:
ción de calor cuando el calor se genera dentro de una va-
rilla delgada a partir de un decaimiento radioactivo del f (x), x 0.
material.
9. Cuando una cuerda vibratoria se somete a una fuerza ver-
tical externa que varía con la distancia horizontal desde el

12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES l 473

extremo izquierdo, la ecuación de onda tiene la forma u(0, y) 0, u( , y) 1, y 0

a2 2u Ax 2u u(x, 0) 0, 0 x .
x2 t2 ,
En los problemas 13 a 16 utilice el método 2 de esta sección
donde A es una constante. Resuelva esta ecuación dife- para resolver el problema con valores en la frontera dado.

rencial parcial sujeta a

u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0 2u xe 3t u 0x ,t 0
13. x2 ,
u t

u(x, 0) 0, tt0 0, 0 x 1. u(0, t) ϭ 0, u(ʌ, t) ϭ 0, t Ͼ 0

10. Una cuerda inicialmente en reposo sobre el eje x está an- u(x, 0) ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ ʌ
clada en x ϭ 0 y en x ϭ 1. Si la cuerda se deja caer bajo su
propio peso para t Ͼ 0, el desplazamiento u(x, t) satisface 2u xe 3t u 0x ,t 0
14. x2 , 0
t

a2 2u 2u uu 0, t
x2 g t2 , 0 x 1, t 0, 0,
xx 0 xx

donde g es la aceleración de la gravedad. Determine u(x, t). u(x, 0) ϭ 0, 0 Ͻ x Ͻ ʌ

11. Encuentre la temperatura de estado estable u(x, y) en 2u u 0 x 1, t 0
OD SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 15. x2 1 x x cos t ,
Suponga que la temperatura está acotada conforme t
x → ϱ. [Sugerencia: Pruebe u(x, y) ϭ v(x, y) ϩ ȥ(y).]
u(0, t) ϭ 0, u(1, t) ϭ 0, t Ͼ 0
y u(x, 0) ϭ x(1 Ϫ x), 0 Ͻ x Ͻ 1

1 u = u0 2u 2u
16. x2 cos t sen x t2 , 0 x , t 0

u=0 u(0, t) ϭ 0, u(ʌ, t) ϭ 0, t Ͼ 0,

0 u = u1 x u(x, 0) 0, u 0, 0 x p

FIGURA 12.6.1 Placa del problema 11. tt0

12. La ecuación diferencial parcial 17. Aplique la sustitución u(x, t) ϭ v(x, t) ϩ (1 Ϫ x)sen t
para resolver el problema con valores en la frontera:

2u 2u h, 2u u
x2 y2 , 0 x 1, t 0
x2 t

donde h Ͼ 0 es una constante, se conoce como ecuación u(0, t) sin t, u(1, t) 0, t 0
de Poisson y se presenta en diversos problemas que im-
plican potencial eléctrico. Resuelva la ecuación sujeta a u(x, 0) 0, 0 x 1
las condiciones

12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES

REPASO DE MATERIAL
l Los resultados de las ecuaciones (7) a (11) de la sección 11.1 constituyen la base del análisis

siguiente. Se recomienda una revisión de este tema.

INTRODUCCIÓN Para ciertos tipos de condiciones en la frontera el método de separación de
variables y el principio de superposición conducen al desarrollo de una función en forma de serie tri-
gonométrica que no es una serie de Fourier. Para resolver los problemas de esta sección utilizaremos
el concepto de desarrollos en series ortogonales o serie generalizada de Fourier.

474 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

EJEMPLO 1 Uso de desarrollo de series ortogonales

La temperatura en una varilla de longitud unitaria en la que existe transferencia de
calor desde su extremo derecho hacia un ambiente a temperatura constante cero, se
determina a partir de

2u u 0 x 1, t 0
k x2 ,
t

u(0, t) u hu(1, t), h 0, t 0
u(x, 0) 0, 1.

xx 1
1, 0 x

Determine u(x, t).

SOLUCIÓN Procediendo como en la sección 12.3 con u(x, t) ϭ X(x)T(t) y utilizando
ϪȜ como la constante de separación, encontramos que las ecuaciones separadas y las
condiciones de frontera son, respectivamente,

X X0 (1)

T kT 0 (2)

X(0) 0 y X (1) hX(1). (3)

La ecuación (1) y las condiciones de frontera homogéneas (3) forman un problema
regular de Sturm-Liouville:

X X 0, X(0) 0, X (1) hX(1) 0. (4)

Analizando los tres casos usuales en los que Ȝ es 0, negativa o positiva, encontramos
que sólo en el último caso se obtienen las soluciones no triviales. Por tanto, con Ȝ ϭ Į2
Ͼ 0, Į Ͼ 0, la solución general de la ED en (4) es

X(x) c1 cos ax c2 sen ax. (5)

La primera condición en (4) da inmediatamente que c1 ϭ 0. Aplicando la segunda
condición en (4) a X(x) ϭ c2 sen Į[ se obtiene

cos h sen 0 o tan . (6)
h

Del análisis del ejemplo 2 de la sección 11.4, sabemos que la última de las ecuaciones

WLHQH XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH UDtFHV 6L ODV UDtFHV SRVLWLYDV FRQVHFXWLYDV VH GHQRWDQ
por Įn, n ϭ 1, 2, 3, . . . , entonces los eigenvalores del problema son n a2n, y las
eigenfunciones correspondientes son X(x) ϭ c2 sen Įn x, n ϭ 1, 2, 3, . . . La solución de
la ED de primer orden (2) es T(t) c3e ka2n t , por tanto

un XT An e k 2 t sen nx y u(x, t) An e k 2 t sen n x.
n n

n1

Ahora en t ϭ 0, u(x, 0) ϭ 1, 0 Ͻ x Ͻ 1, por tanto

1 An sen n x. (7)

n1

La serie (7) no es una serie de senos de Fourier; más bien, es un desarrollo de
u(x, 0) ϭ 1 en términos de las funciones ortogonales que surgen del problema regular
de Sturm-Liouville (4). Por tanto, el conjunto de eigenfunciones propias {sen Įnx},
n ϭ 1, 2, 3, . . . , donde las Į VH GH¿QHQ FRQ WDQ Į ϭ ϪĮ͞h, es ortogonal respecto a la
función de peso p(x) ϭ 1 en el intervalo [0, 1]. Acoplando (7) con (7) de la sección
11.1, se tiene de la ecuación (8) de esa sección, con f (x) ϭ 1 y ‫׋‬n(x) ϭ sen Įnx, que los
FRH¿FLHQWHV An están dados por

12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES l 475

An 1 sen nx dx. (8)
0 nx dx

1 sen 2
0

Para evaluar la norma cuadrada de cada una de las eigenfunciones, utilizamos una
identidad trigonométrica:

1 11 cos 2 x) dx 1 1 sen 2 n. (9)
(1 1
sen2 n x dx 2 n
20 2
0

Utilizando la fórmula del ángulo doble sen 2Įn ϭ 2 sen Įn cos Įn y la primer ecuación
en (6) en la forma Įn cos Įn ϭ Ϫh sen Įn VLPSOL¿FDPRV FRPR

( )1 1
h
sen2 n x dx
2h
0
cos2 n .

También 1 11 1
cos n x (1 cos n).
sen n x dx
n0 n
0

Por tanto, la ecuación (8) se convierte en

An 2 h (1 cos n )
n (h cos2 .
n)

Por último, una solución del problema con valores en la frontera es

u(x, t) 1 cos n e kan2 t sen n x.
2h cos2
n)
n 1 n (h

EJEMPLO 2 Uso del desarrollo en series ortogonales

El ángulo de torsión ș(x, t) de un eje de longitud unitaria que vibra torsionalmente se
determina a partir de

22

a2 x2 t2, 0 x 1, t 0

θ (0, t) 0, xx 1 0, t 0
01
(x, 0) x, tt0 0, 0 x 1.
FIGURA 12.7.1 Torsión de un eje.
9HD OD ¿JXUD /D FRQGLFLyQ GH IURQWHUD HQ x ϭ 1 se llama condición de extremo
libre. Determine ș(x, t).

SOLUCIÓN Procediendo como en la sección 12.4 con ș(x, t) ϭ X(x)T(t) y utilizando
ϪȜ una vez más como la constante de separación, las ecuaciones separadas y las con-
diciones de frontera son:

X X0 (10)
T a2 T 0 (11)

X(0) 0 y X (1) 0. (12)

Un problema regular de Sturm-Liouville en este caso consiste en la ecuación (10) y en
las condiciones de frontera homogéneas en (12):

X X 0, X(0) 0, X (1) 0. (13)

476 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Como en el ejemplo 1, la ecuación (13) tiene soluciones no triviales para Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, Į
Ͼ 0. Las condiciones de frontera X(0) ϭ 0 y XЈ(1) ϭ 0 aplicadas a la solución general

X(x) c1 cos ax c2 sen ax (14)

dan, respectivamente, c1 ϭ 0 y c2 cos Į ϭ 0. Puesto que la función coseno es cero
en múltiplos impares de ʌ͞2, Į ϭ (2n Ϫ1)ʌ͞2, y los eigenvalores de (13) son

n an2 (2n 1)2 2> 4, n 1, 2, 3, . . . La solución de la ED de segundo orden

(11) es T(t) ϭ c3 cos DĮnt ϩ c4 sen DĮnt. La condición inicial TЈ(0) ϭ 0 da c4 ϭ 0, por
lo que

2n 1 2n 1
n XT An cos a 2 t sen x.
2

Para satisfacer la ecuación inicial restante, formamos

(x, t) An cos a 2n 1 2n 1 (15)
t sen x.
n1 2 2

Cuando t ϭ 0, debemos tener, para 0 Ͻ x Ͻ1,

(x, 0) x An sen 2n 1 x. (16)

n1 2

2n 1 x , n ϭ 1, 2,
Como en el ejemplo 1, el conjunto de eigenfunciones sen
2

3, . . . , es ortogonal respecto a la función de peso p(x) ϭ 1 en el intervalo [0, 1].

Aunque la serie en la ecuación (16) parece una serie de Fourier de senos, no lo es

porque el argumento de la función seno no es múltiplo entero de ʌ[͞L (aquí L ϭ 1).

Nuevamente la serie es un desarrollo en serie ortogonal o una serie de Fourier genera-

OL]DGD 3RU WDQWR GH GH OD VHFFLyQ ORV FRH¿FLHQWHV HQ VRQ

1 2n 1
x sen x dx
02
An .
1 2n 1 x dx

sen 2
02

Realizando las dos integraciones, obtenemos que

An 8( 1)n 1
El ángulo de torsión es entonces (2n 1)2 2.

8 ( 1)n 1 2n 1 2n 1 x. (17)
(x, t) 2 n 1(2n 1)2 cos a t sen
2 2

1 3RGHPRV XWLOL]DU XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH ș(x, t GH¿QLGD HQ \D VHD FRPR
-10 1 ␪(x,t) XQD VXSHU¿FLH WULGLPHQVLRQDO R FRPR FXUYDV ELGLPHQVLRQDOHV FRQVHUYDQGR XQD GH
ODV YDULDEOHV FRQVWDQWH (Q OD ¿JXUD KHPRV WUD]DGR OD JUi¿FD GH ș sobre la
0.8 región rectangular 0 Յ x Յ 1, 0 Յ t Յ 10. Las secciones transversales de esta super-
¿FLH VRQ LQWHUHVDQWHV (Q OD ¿JXUD KHPRV WUD]DGR D ș como una función del
10 0.6 tiempo t HQ HO LQWHUYDOR > @ XVDQGR FXDWUR YDORUHV HVSHFt¿FRV GH x y una suma
8 0.4 x parcial de la ecuación (17) (con a ϭ 1). Como se puede ver en las cuatro partes de
6 OD ¿JXUD HO iQJXOR GH WRUVLyQ GH FDGD VHFFLyQ WUDQVYHUVDO GH OD YDULOOD RVFLOD
t4 0.2 hacia adelante y hacia atrás (valores positivos y negativos de ș) conforme el tiempo
2 00 DXPHQWD /D ¿JXUD G PXHVWUD OR TXH VH HVSHUDUtD LQWXLWLYDPHQWH FXDQGR QR KD\
amortiguamiento, el extremo de la varilla en x ϭ 1 inicialmente se desplaza 1 radian
FIGURA 12.7.2 /D VXSHU¿FLH HV OD (ș(1, 0) ϭ FXDQGR HVWi HQ PRYLPLHQWR HVWH H[WUHPR RVFLOD LQGH¿QLGDPHQWH HQWUH
JUi¿FD GH XQD VXPD SDUFLDO GH su desplazamiento máximo de 1 radián y su desplazamiento mínimo de Ϫ1 radián. Las
JUi¿FDV GH ODV ¿JXUDV D F SUHVHQWDQ OR TXH SDUHFH VHU XQ FRPSRUWDPLHQWR GH
“pausa” de ș en su desplazamiento máximo (mínimo) de cada una de las secciones

12.7 DESARROLLOS EN SERIES ORTOGONALES l 477

WUDQVYHUVDOHV HVSHFL¿FDGDV DQWHV GH FDPELDU GH GLUHFFLyQ \ KDFLD GHODQWH GH VX PtQLPR
(máximo). Este comportamiento disminuye conforme x → 1.

␪(0.2, t) ␪(0.5, t)

1 1
0.5
0.5
0
-0.5 t0 t

-1 -0.5 2 4 6 8 10
0 b) x = 0.5
-1

2 4 6 8 10 0
a) x = 0.2

␪(0.8, t) ␪(1, t)

1 1 t
0.5 0.5
t0
0 -0.5
-0.5

-1 2 4 6 8 10 -1
0 c) x = 0.8
0 2 4 6 8 10
d) x = 1

FIGURA 12.7.3 Desplazamiento angular ș como una función del tiempo en diferentes
secciones transversales de la varilla.

EJERCICIOS 12.7 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22.

1. En el ejemplo 1, encuentre la temperatura u(x, t) cuando 5. Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longi-
el extremo izquierdo de la varilla está aislado. tud L si la temperatura inicial en toda la varilla es f (x),
el extremo x ϭ 0 se mantiene a la temperatura cero y el
2. Resuelva el problema con valores en la frontera extremo x ϭ L está aislado.

2u u 0 x 1, t 0 6. Resuelva el problema con valores en la frontera
k x2 ,
t 2u 2u
x2 t2 ,
u a2 0 x L, t 0
0,
u(0, t) h(u(1, t) u0), h 0, t 0
u(x, 0) xx 1
u
u(0, t) 0, E F0, t 0
f (x), 0 x 1. xx L

3. Encuentre la temperatura de estado estable en una placa u(x, 0) 0, u 0, 0 x L.
rectangular cuyas condiciones en la frontera son
tt 0

u La solución u(x, t) representa el desplazamiento longitudinal
0,
u(0, y) hu(a, y), 0 y b de una varilla elástica vibratoria anclada en su extremo iz-
u(x, 0) xx a f (x), 0 x a.
0, u(x, b) quierdo y sujeta a una fuerza constante de magnitud F en
0
VX H[WUHPR GHUHFKR 9HD OD ¿JXUD GH ORV HMHUFLFLRV

4. Resuelva el problema con valores en la frontera 12.4. E es una constante que se llama módulo de elasticidad.

2u 2u 7. Resuelva el problema con valores en la frontera
x2 y2 0, 0 y 1, x 0 2u 2u
x2 y2 0, 0 x 1, 0 y 1

u(0, y) u0, lím u(x, y) 0, 0 y 1 u
x x 0 0, u(1, y) u0, 0 y 1
x:

uu hu(x, 1), h 0, x u
0, 0. u(x, 0) 0, 0, 0 x 1.
yy 0 yy 1 yy 1

478 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

8. La temperatura inicial en una varilla de longitud unitaria valores en la frontera 0 x 1, t 0
es f (x) en toda la varilla. Hay transferencia de calor en sus 4u 2u
dos extremos, x ϭ 0 y x ϭ 1, hacia el ambiente mantenido x4 t2 0,
a una temperatura constante de cero. Demuestre que

u(x, t) Ane (k 2 t n cos nx h sen nx), u(0, t) 0, u
donde n 0, t 0

n1 xx 0

2u 0, 3u 0, t 0
x2 x 1 x3 x 1
21
An f (x)( n cos nx h sen nx) dx.
( 2 2h h2) u
n 0 u(x, 0) f (x), g(x), 0 x 1.

tt0

Los eigenvalores son n a2n, n 1, 2, 3, . . . , donde Utilice un SAC para encontrar aproximaciones de los
los Įn son las raíces positivas consecutivas de tan Į ϭ dos primeros eigenvalores del problema. [Sugerencia:
2ĮK͞(Į2 Ϫ h2). Véanse los problemas 11 y 12 en los ejercicios 12.4.]

9. Utilice el método 2 de la sección 12.6 para resolver el u
problema con valores en la frontera

2u x e 2t u 0 x 1, t 0
k x2 ,
t 1x

u u(1, t), t 0 FIGURA 12.7.4 Viga en voladizo vibrando del problema 10.
u(0, t) 0,

xx 1

u(x, 0) 0, 0 x 1.

Tarea para el laboratorio de computación 11. a) (QFXHQWUH XQD HFXDFLyQ TXH GH¿QD ORV HLJHQYDORUHV
b) cuando los extremos de la viga del problema 10 están
10. Una viga vibratoria en voladizo está incrustada en su ex- incrustados en x ϭ 0 y en x ϭ 1.
tremo izquierdo (x ϭ 0) y libre en su extremo derecho
(x ϭ 9HD OD ¿JXUD (O GHVSOD]DPLHQWR WUDQV- Utilice un SAC para determinar las aproximaciones
versal u(x, t) de la viga se determina del problema con de los primeros dos eigenvalores positivos.

12.8 PROBLEMAS DIMENSIONALES DE ORDEN SUPERIOR

REPASO DE MATERIAL
l Secciones 12.3 y 12.4.

INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos resuelto problemas con valores en la frontera que implican
las ecuaciones unidimensionales de calor y de onda. En esta sección mostraremos cómo extender el
método de separación de variables a problemas que implican las versiones bidimensionales de esas
ecuaciones diferenciales parciales.

ECUACIONES DE CALOR Y DE ONDA EN DOS DIMENSIONES Suponga que
OD UHJLyQ UHFWDQJXODU GH OD ¿JXUD D HV XQD SODFD GHOJDGD HQ OD TXH OD WHPSH-
ratura u es una función de tiempo t y de posición (x, y). Entonces, bajo condiciones
adecuadas, u(x, y, t) se puede demostrar que satisface la ecuación de calor en dos

dimensiones

2u 2u u (1)
k x2 y2 .
t

3RU RWUR ODGR VXSRQJD TXH OD ¿JXUD E UHSUHVHQWD XQ PDUFR UHFWDQJXODU VREUH
HO TXH VH KD H[WHQGLGR XQD PHPEUDQD ÀH[LEOH GHOJDGD XQ WDPERU UHFWDQJXODU 6L
se pone en movimiento a la membrana rectangular, entonces su desplazamiento u,

12.8 PROBLEMAS DIMENSIONALES DE ORDEN SUPERIOR l 479

y medido desde el plano xy (vibraciones transversales), es también una función de t y
c (b, c) de posición (x, y). Cuando las vibraciones son pequeñas, libres y no amortiguadas,

u(x, y, t) satisface la ecuación de onda en dos dimensiones

a2 2u 2u 2u (2)
x2 y2 t2 .
bx
a) Para separar las variables en (1) y (2), suponemos una solución producto de la
forma u(x, y, t) ϭ X(x)Y(y)T(t). Observe que

u 2u 2u y u
x2 X Y T, y2 XY T XYT .

t

Como veremos en el siguiente ejemplo, con condiciones de frontera adecuadas, los

c problemas con valores en la frontera que implican (1) y (2) conducen a los conceptos

b de series de Fourier en dos variables.

y

x EJEMPLO 1 Temperaturas en una placa

b) Encuentre la temperatura u(x, y, t GH OD SODFD TXH PXHVWUD OD ¿JXUD D VL OD WHP-
peratura inicial es f (x, y) en toda la varilla y si los bordes se mantienen a la temperatura
FIGURA 12.8.1 a) Placa rectangular y cero para el tiempo t Ͼ 0.
b) membrana rectangular.
SOLUCIÓN Debemos resolver

2u 2u u
k x2 y2 , 0 x b, 0 y c, t 0
t

sujeta a u(0, y, t) 0, u(b, y, t) 0, 0 y c, t 0

u(x, 0, t) 0, u(x, c, t) 0, 0 x b, t 0

u(x, y, 0) f (x, y), 0 x b, 0 y c.

Sustituyendo u(x, y, t) ϭ X(x)Y(y)T(t), obtenemos

X YT (3)
k(X YT XY T) XY T o .

X Y kT

Puesto que el miembro izquierdo de la última ecuación en (3) depende sólo de x y en el
miembro derecho depende sólo de y y de t, igualamos ambos lados a una constante ϪȜ:

X YT
X Y kT

por tanto, X X0 (4)

YT . (5)
Y kT

Usando el mismo razonamiento, si introducimos otra constante de separación Ϫȝ en

la ecuación (5), entonces

YT
y

Y kT

entonces Y Y 0 y T k( )T 0. (6)

Ahora las condiciones de frontera homogéneas

u(0, y, t) 0, u(b, y, t) 0 implican que X(0) 0, X(b) 0
u(x, 0, t) 0, u(x, c, t) 0 Y(0) 0, Y(c) 0.

Por tanto, tenemos dos problemas de Sturm-Liouville: 0 (7)
X X 0, X(0) 0, X(b) 0. (8)

y Y Y 0, Y(0) 0, Y(c)

480 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Los casos usuales a considerar son (Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 Ͻ 0, ȝ ϭ 0, etc.) que
conducen a los conjuntos independientes de eigenvalores,

m2 2 y n2 2
m b2 n c2 .

Las eigenfunciones correspondientes son

m y n
X(x) c2 sen b x, m 1, 2, 3 . . . , Y(y) c4 sen c y, n 1, 2, 3, . . . (9)

Después de sustituir los valores conocidos de Ȝn y ȝn en la ED de primer orden en (6),
se encuentra que su solución general es T(t) c5 e k[(m /b)2 (n /c)2]t. Una solución
producto de la ecuación de calor en dos dimensiones que satisface las cuatro ecuacio-

nes homogéneas es entonces

umn(x, y, t) Amn e k [(m /b)2 (n /c)2 ]t sen m n y,
b x sen

c

donde Amn es una constante arbitraria. Puesto que tenemos dos conjuntos de eigenva-
lores, esto nos motiva a intentar el principio de superposición en la forma de una doble

suma

u(x, y, t) Amn e k [(m / b) 2 (n / c)2 ]t sen m n y. (10)
b x sen
m 1n 1
c

En t ϭ 0 tenemos que

Amn sen mn (11)
u(x, y, 0) f (x, y) x sen y.
m 1n 1 b c

3RGHPRV HQFRQWUDU ORV FRH¿FLHQWHV Amn multiplicando la doble suma (11) por el pro-
ducto sen(Pʌ[͞b) sen(Pʌ\͞c H LQWHJUDQGR VREUH HO UHFWiQJXOR GH¿QLGR SRU ODV GHV-
igualdades 0 Յ x Յ b, 0 Յ y Յ c. Se tiene que

4 cb mn
Amn f (x, y) sen x sen y dxdy. (12)
bc 0 0 bc

Por lo que la solución del PVF consiste en (10) con los Amn GH¿QLGRV HQ

/D VHULH FRQ FRH¿FLHQWHV VH OODPD serie de senos con dos variables o doble
serie de senos. Resumimos la siguiente serie de cosenos con dos variables.

La doble serie de cosenos de una función f (x, y GH¿QLGD VREUH XQD UHJLyQ UHFWDQ-
JXODU GH¿QLGD SRU Յ x Յ b, 0 Յ y Յ c está dada por

f (x, y) A00 mn
Am0 cos x A0n cos y
b c
m 1 n 1

Amn cos mn y,
x cos c
1n 1 b
m

A00 1 cb
donde f (x, y) dx dy
bc 0 0

Am 0 2 cb m
f (x, y) cos x dx dy
bc 0 0 b

2 cb n
A0n f (x, y) cos y dx dy
bc 0 0 c

4 cb mn
Amn f (x, y) cos x cos y dx dy.
bc 0 0 bc

Para un problema que conduce a una doble serie de cosenos vea el problema 2 de los
ejercicios 12.8.

REPASO DEL CAPÍTULO 12 l 481

EJERCICIOS 12.8 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-22.

En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de calor (1) sujeta La temperatura de estado estable u(x, y, z) del paralelepípedo
a las condiciones dadas. UHFWDQJXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VDWLVIDFH OD

1. u(0, y, t) ϭ 0, u(ʌ, y, t) ϭ 0 ecuación de Laplace en tres dimensiones:

u(x, 0, t) ϭ 0, u(x, ʌ, t) ϭ 0 2u 2u 2u (13)
x2 y2 z2 0.
u(x, y, 0) ϭ u0

uu 0
2. 0, z
xx 0 xx 1

u u 0
0,
yy 0 yy 1
(a, b, c)
u(x, y, 0) ϭ xy
y
En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación de calor (2) sujeta
a las condiciones dadas. x

3. u(0, y, t) ϭ 0, u(ʌ, y, t) ϭ 0 FIGURA 12.8.2 Paralelepípedo rectangular de los
u(x, 0, t) ϭ 0, u(x, ʌ, t) ϭ 0 problemas 5 y 6.
u(x, y, 0) ϭ xy(x Ϫ ʌ)(y Ϫ ʌ)
u 5. Resuelva la ecuación de Laplace (13). La cara superior
0 (z ϭ c) del paralelepípedo se conserva a la temperatura
tt0 f (x, y) y las caras restantes a temperatura cero.

4. u(0, y, t) ϭ 0, u(b, y, t) ϭ 0 6. Resuelva la ecuación de Laplace (13). La cara inferior
u(x, 0, t) ϭ 0, u(x, c, t) ϭ 0 (z ϭ 0) del paralelepípedo se conserva a temperatura
u(x, y, 0) ϭ f (x, y) f (x, y) y las caras restantes a temperatura cero.

u
g(x, y)

tt 0

REPASO DEL CAPÍTULO 12 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-22.

1. Utilice separación de variables para encontrar las solu- 5. En t ϭ 0 una cuerda de longitud unitaria se encuentra
ciones producto de tensa sobre el eje x positivo. Los extremos de la cuerda
están anclados en el eje x, en x ϭ 0 y en x ϭ 1 para t Ͼ 0.
2u Determine el desplazamiento u(x, t) si la velocidad inicial
u. g(x HV OD TXH VH SUHVHQWD HQ OD ¿JXUD 5

xy g (x)

2. Use separación de variables para determinar las solucio- h
nes producto de

2u 2u u u 0.
2 2
x2 y2 x y 1 1 3 1x

¿Es posible elegir una constante de separación tal que 4 24
tanto X como Y sean funciones oscilatorias?
FIGURA 12.R.1 Velocidad inicial g(x) del problema 5.

3. Encuentre una solución de estado estable ȥ(x) del pro- 6. La ecuación diferencial parcial

blema con valores en la frontera 2u x2 2u
x2 t2
2u u , t 0,
k x2 , 0x
t
es una forma de la ecuación de onda cuando se aplica
u una fuerza vertical externa proporcional al cuadrado de la
u(0, t) u0, x x u( , t) u1, t 0 distancia horizontal en el extremo izquierdo de la cuerda.
La cuerda está anclada en x ϭ 0, una unidad arriba del
u(x, 0) 0, 0 x . eje x y en el eje x en x ϭ 1 para t Ͼ 0. Encuentre el des-
plazamiento u(x, t) si la cuerda parte del reposo desde un
4. Dé una interpretación física de las condiciones de fron- desplazamiento f (x).
tera del problema 3.

482 l CAPÍTULO 12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES

7. Encuentre la temperatura u(x, y) de estado estable en la 11. Resuelva el problema con valores en la frontera
SODFD FXDGUDGD GH OD ¿JXUD 5
2u u
, 0x , t0
y x2 t
u = 0 (π, π)
u(0, t) 0, u( , t) 0, t 0

u=0 u = 50 u(x, 0) sen x, 0 x .

u=0 x 12. Resuelva el problema con valores en la frontera

FIGURA 12.R.2 Placa cuadrada del problema 7. 2u u

x2 sen x , 0x ,t 0
t
8. Determine la temperatura de estado estable u(x, y) en la
SODFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 u(0, t) 400, u( , t) 200, t 0

y u(x, 0) 400 sen x, 0 x .
Aislada
13. Encuentre la solución formal en serie para el problema
π
u = 50 2u u 2u u
2 2 u, 0x ,t 0
0x x2 x t2 t
Aislada
u(0, t) 0, u( , t) 0, t 0
FIGURA 12.R.3 Placa cuadrada del problema 8.
u .
0, 0 x

tt0

9. Resuelva el problema 8 cuando las fronteras y ϭ 0 y y ϭ ʌ 14. La concentración c(x, t) de una sustancia que se difunde en
se conservan a temperatura cero durante todo el tiempo. un medio y que es arrastrada por las corrientes de convec-
ción del medio satisface la ecuación diferencial parcial
10. Encuentre la temperatura u(x, t HQ OD SODFD LQ¿QLWD GH
ancho 2L TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 VL OD WHP- 2c c c k y h constantes.
peratura inicial en toda la placa es u0 en toda la placa. k x2 h ,
[Sugerencia: u(x, 0) ϭ u0, ϪL Ͻ x Ͻ L es una función par x t
de x.]
Resuelva la EDP sujeta a

y c(0, t) 0, c(1, t) 0, t 0

c(x, 0) c0, 0 x 1,

u=0 u=0 donde c0 es una constante.
−L Lx 15. Resuelva el problema con valores en la fronteral

2u u
, 0 x 1, t 0
x2 t

u(0, t) u u(1, t) u1, t 0
u(x, 0) u0, x x 1 1,
FIGURA 12.R.4 3ODFD LQ¿QLWD GHO SUREOHPD u0, 0 x

donde u0 y u1 son constantes.

13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA
FRONTERA EN OTROS SISTEMAS
COORDENADOS

13.1 Coordenadas polares
13.2 Coordenadas polares y cilíndricas
13.3 Coordenadas esféricas
REPASO DEL CAPÍTULO 13

Todos los problemas con valores en la frontera que hemos considerado hasta el
momento sólo se han expresado en términos de un sistema coordenado rectangular.
Pero si se desea encontrar, por ejemplo, temperaturas en una placa circular, en un
cilindro circular o en una esfera, naturalmente trataríamos de describir el problema
en términos de coordenadas polares, coordenadas cilíndricas o coordenadas
esféricas, respectivamente. En este capítulo veremos que al tratar de resolver
PVF en estos tres últimos sistemas coordenados por el método de separación de
variables, se aplica en forma práctica la teoría de la serie de Fourier-Bessel y de la
serie de Fourier-Legendre.

483

484 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

13.1 COORDENADAS POLARES

REPASO DE MATERIAL
l ED de Cauchy-Euler en la sección 4.7
l 5HSDVR GH ODV (' HQ OD VHFFLyQ

INTRODUCCIÓN Debido a que en esta sección sólo se consideran problemas de temperatura
de estado estable en coordenadas polares, lo primero que debemos hacer es convertir la ecuación de
Laplace conocida de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

LAPLACIANO EN COORDENADAS POLARES La relación entre las coordena-
das polares en el plano y las coordenadas rectangulares está dada por:

y (x, y) o x r cos , y r sen y r2 x2 y2, tan y
(r, θ ) .
x
ry
9HD OD ¿JXUD (O SULPHU SDU GH HFXDFLRQHV WUDQVIRUPD ODV FRRUGHQDGDV SRODUHV
θ (r, ș) en coordenadas rectangulares (x, y); el segundo par de ecuaciones nos permite
x transformar coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Esas ecuaciones también
permiten convertir el Laplaciano bidimensional ٌ2u ϭ Ѩ2u͞Ѩx2 ϩ Ѩ2u͞Ѩy2 a coordenadas
x polares. Se le recomienda aplicar con cuidado la regla de la cadena para demostrar que

FIGURA 13.1.1 Las coordenadas u ur u u sen u
polares de un punto (x, y) son (r, ș).

x rx x cos rr

u ur u sen u cos u

y ry y rr

2u cos2 2u 2 sen cos 2u sen2 2u sen2 u 2 sen cos u
x2 r2 r r
r2 2 rr r2

2u sen2 2u 2 sen cos 2u cos2 2u cos2 u 2 sen cos u
y2 r2 r r r2 . (2)
r2 2 rr

6XPDQGR ODV HFXDFLRQHV \ \ VLPSOL¿FDQGR VH REWLHQH HO /DSODFLDQR GH u en
coordenadas polares:

u = f (θ) y 2u 2u 1 u 1 2u
c r2 r r r2 2.

x En esta sección sólo consideraremos problemas que impliquen la ecuación de
Laplace ٌ2u ϭ 0 en coordenadas polares:

2u 1 u 1 2u
r2 r r r2 2 0

FIGURA 13.1.2 Problema de Nuestro primer ejemplo es el problema de Dirichlet para un disco circular. Queremos
Dirichlet para un círculo. UHVROYHU OD HFXDFLyQ GH /DSODFH SDUD OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș) en un disco
circular o plato de radio c cuando la temperatura de la circunferencia es u(c, ș) ϭ f(ș), 0 Ͻ
ș Ͻ 2ʌ 9HD OD ¿JXUD 6H VXSRQH TXH ODV GRV FDUDV GH OD SODFD HVWiQ DLVODGDV (VWH
problema aparentemente simple no es como los que encontramos en el capítulo anterior.

EJEMPLO 1 Temperaturas estables en un disco circular

5HVXHOYD OD HFXDFLyQ GH /DSODFH VXMHWD D u(c, ș) ϭ f (ș), 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ.

13.1 COORDENADAS POLARES l 485

SOLUCIÓN Antes de intentar la separación de variables, observamos que la única

condición de frontera es no homogénea. En otras palabras, no hay condiciones explíci-
WDV HQ HO HQXQFLDGR GHO SUREOHPD TXH QRV SHUPLWDQ GHWHUPLQDU \D VHD ORV FRH¿FLHQWHV
en las soluciones de las EDO separadas o los eigenvalores necesarios. Sin embargo,

hay algunas condiciones implícitas.

En primer lugar, nuestra intuición física nos lleva a esperar que la temperatura
u(r, ș) debe ser continua y, por tanto, acotada dentro del círculo r ϭ c. Además, la
temperatura u(r, ș GHEH VHU XQLYDOXDGD HVWR VLJQL¿FD TXH HO YDORU GH u debe ser el
mismo en cualquier punto del círculo, independientemente de la descripción polar de
ese punto. Debido a que (r, ș ϩ 2ʌ) es una descripción equivalente del punto (r, ș),
debemos tener u(r, ș) ϭ u(r, ș ϩ 2ʌ). Es decir, u(r, ș) debe ser periódica en ș con pe-
riodo 2ʌ. Si buscamos una solución producto u ϭ R(r)⌰(ș), entonces ⌰(ș) tiene que
ser necesariamente periódica con periodo 2ʌ.

Tomando todo esto en cuenta decidimos escribir la constante de separación en la
separación de variables como Ȝ:

r2R rR .
R

Las ecuaciones separadas son entonces

r2R rR R 0 (4)

0. (5)

Estamos buscando una solución del problema

0, ( ) ( 2 ). (6)

La ecuación (6) no es un problema regular de Sturm-Liouville; sin embargo, el problema
genera eigenvalores y eigenfunciones. Estos últimos forman un conjunto ortogonal en
el intervalo [0, 2ʌ].

De las tres posibles soluciones generales de (5),

( ) c1 c2 , 0 (7)

( ) c1 cosh c2 senh , 20 (8)

( ) c1 cos c2 sen , 20 (9)

podemos descartar a (8) como intrínsecamente no periódica a menos que c ϭ c ϭ 0.
2
'H LJXDO PDQHUD OD VROXFLyQ HV QR SHULyGLFD D PHQRV TXH GH¿QDPRV c2 ϭ 0. A la
solución que resta ⌰(ș) ϭ c c 0, se le puede asignar algún periodo y, por tanto,
Por ejemplo, observe que cos n(ș Ȝ ϭ 0 es un eigenvalor. Por último, la solución (9) tendrá periodo 2ʌ si tomamos
ϩ 2ʌ) ϭ cos(Qș ϩ Qʌ) ϭ cos Qș.
Į ϭ n, donde n ϭ /RV HLJHQYDORUHV GH VRQ HQWRQFHV Ȝ0 ϭ 0 y Ȝn ϭ n2, n
ϭ 6L FRUUHVSRQGH Ȝ0 ϭ 0 con n ϭ 0, las eigenfunciones de (6) son

( ) c1, n 0, y ( ) c1 cos n c2 sen n , n 1, 2, . . .

Cuando Ȝn ϭ n2, n ϭ ODV VROXFLRQHV GH OD (' GH &DXFK\ (XOHU VRQ

R(r) c3 c4 ln r, n 0,

R(r) c3rn c4r n, n 1, 2, . . .

$KRUD REVHUYH HQ TXH rϪn ϭ l͞r n (Q FXDOTXLHUD GH ODV VROXFLRQHV X GH-

EHPRV GH¿QLU c4 ϭ 0 para garantizar que la solución u está acotada en el centro de la
placa (que es r ϭ 0). Por tanto, las soluciones producto un ϭ R(r)⌰(ș) para la ecuación
de Laplace en coordenadas polares son

u0 A0, n 0, y un rn(An cos n Bn sen n ), n 1, 2, . . . ,

donde se han reemplazado c c por A0 para n ϭ 0 y por An para n ϭ OD FRP-
binación c c2 se ha sustituido por Bn. Entonces el principio de superposición da

486 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

u(r, ) A0 rn(An cos n Bn sen n ).

n1

Aplicando la condición frontera en r ϭ c D UHFRQRFHPRV

f ( ) A0 cn(An cos n Bn sen n )

n1

como un desarrollo de f HQ VHULH GH )RXULHU FRPSOHWD 3RU WDQWR KDFHPRV ODV LGHQWL¿-

caciones

A0 a0, cnAn an y cnBn bn.
2

Esto es 12
A0 2p 0 f ( ) d

12
An f ( ) cos n d
cn
0

12
Bn f ( ) sen n d .
cn
0

/D VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQVLVWH HQ OD VHULH GDGD HQ GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV A0,
An y Bn HVWiQ GH¿QLGRV SRU ODV HFXDFLRQHV \

2EVHUYH HQ HO HMHPSOR TXH SDUD FDGD HLJHQYDORU SRVLWLYR Ȝn ϭ n2, n ϭ KD\
dos diferentes eigenfunciones, en particular, cos Qș y sen Qș. En este caso los eigen-
valores son algunas veces llamados eigenvalores dobles.

EJEMPLO 2 Temperaturas de estado estable en una placa semicircular

Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la placa semicircular que se
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera es

2u 1 u 1 2u 0 ,0 r c
r2 r r r2 2 0,

y u = u0 u(c, ) u0, 0 ,

c u(r, 0) 0, u(r, ) 0, 0 r c.

θ =π 'H¿QLHQGR u ϭ R(r)⌰(ș) y separando variables se obtiene

x r2R rR
R
u = 0 en u = 0 en
θ =π θ=0

FIGURA 13.1.3 Placa semicircular \ r2R rR R 0
del ejemplo 2.
0.

Las condiciones homogéneas establecidas en las fronteras ș ϭ 0 y ș ϭ ʌ se traducen
en ⌰(0) ϭ 0 y ⌰(ʌ) ϭ (VWDV FRQGLFLRQHV MXQWR FRQ OD HFXDFLyQ FRQVWLWX\HQ XQ
problema regular de Sturm-Liouville:

Este es el ejemplo 2 de la sección 0, (0) 0, ( ) 0.
5.2 con L ϭ ʌ.

Este problema conocido tiene eigenvalores Ȝn ϭ n2 y eigenfunciones ⌰(ș) ϭ c2 sen Qș,
nϭ 7DPELpQ DO VXVWLWXLU Ȝ por n2 OD VROXFLyQ GH HV R(r) ϭ c r n ϩ c4rϪn. El
UD]RQDPLHQWR TXH VH XVy HQ HO HMHPSOR HQ SDUWLFXODU QRV KDFH HVSHUDU XQD VROXFLyQ
u del problema que está acotada en r ϭ OR TXH QRV FRQGXFH D GH¿QLU TXH c4 ϭ 0.
Por tanto, un ϭ R(r)⌰(ș) ϭ Anr n sen Qș y

13.1 COORDENADAS POLARES l 487

u(r, ) Anrn sen n .

n1

La condición de frontera que resta en r ϭ c da la serie de senos

u0 Ancn sen n .

n1

Por tanto, Ancn 2 u0 sen n d ,

0

y así An 2u0 1 ( 1)n
cn .

n

Por tanto, la solución del problema está dada por

u(r, ) 2u0 1 ( 1)n r n
sen n .
n1 n c

EJERCICIOS 13.1Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23.

(Q ORV SUREOHPDV D GHWHUPLQH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR u u
estable u(r, ș) en una placa circular de radio r ϭ VL OD WHP- 0, 0.
peratura en la circunferencia es la que se indica.
0 /2

1. u(1, ) u0, 0 Encuentre la temperatura de estado estable si
0,
2 1, 0 >4
0, >4 >2.
,0 u(c, )
,
2. u(1, ) 2

3. u(1, ) 2 2, 0 2 8. Encuentre la temperatura de estado estable en la placa in-
¿QLWD HQ IRUPD GH FXxD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
4. u(1, ) , 0 2 [Sugerencia: Suponga que la temperatura está acotada
cuando r → 0 y cuando r → ϱ.]
5. Resuelva el problema exterior de Dirichlet para un disco
circular de radio c, si u(c, ș) ϭ I ș), 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ. En y
otras palabras, determine la temperatura de estado estable
u(r, ș) en una placa que coincide con todo el plano xy en y=x
el que se ha hecho un agujero circular de radio c, alrede- u = 30

dor del origen y la temperatura de la circunferencia del u=0 x
agujero es I ș). [Sugerencia: Suponga que la temperatura
está acotada cuando r → ϱ.]

6. Determine la temperatura de estado estable en la placa de FIGURA 13.1.5 3ODFD HQ IRUPD GH FXxD GHO SUREOHPD
XQ FXDUWR GH FtUFXOR TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

7. Si las condiciones ș ϭ 0 y ș ϭ ʌ͞ GH OD ¿JXUD 9. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en el
están aisladas, entonces se tiene, respectivamente, que DQLOOR FLUFXODU GH OD ¿JXUD >Sugerencia: Proceda
FRPR HQ HO HMHPSOR @
y
u = f (θ ) y

u =0 u = f (θ)

c ab
x

u =0 x

FIGURA 13.1.4 Placa de un cuarto de círculo del u= 0
problema 6.
FIGURA 13.1.6 Placa en forma de anillo del problema 9.

488 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

10. Si las condiciones frontera para el anillo circular de la Problemas para analizar

¿JXUD VRQ u(a, ș) ϭ u0, u(b, ș) ϭ u , 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ, 17. &RQVLGHUH HO DQLOOR FLUFXODU GH OD ¿JXUD $QDOLFH
donde u0 y u son constantes, demuestre que la tempera- cómo se puede calcular la temperatura de estado estable
tura de estado estable está dada por u(r, ș) cuando las condiciones en la frontera son u(a, ș) ϭ
f (ș), u(b, ș) ϭ g(ș), 0 Յ ș Յ 2ʌ.
u(r, ) u0 ln(r>b) u1ln(r>a) .
ln(a>b) 18. 'HVDUUROOH VXV LGHDV DFHUFD GHO SUREOHPD SDUD
encontrar la temperatura de estado estable u(r,
[Sugerencia: Intente una solución de la forma u(r, ș) ϭ ș HQ HO DQLOOR FLUFXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿-
v(r, ș) ϩ ȥ(r).] JXUD FXDQGR ODV FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD VRQ
u(12, ) ϩ 0.5 cos ș), u ș) ϭ 200, 0 Յ ș Յ 2ʌ.
11. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en el
DQLOOR FLUFXODU GH OD ¿JXUD VL a ϭ b ϭ 2 y 19. Considere la temperatura de estado estable u(r, ș) en la
SODFD VHPLFLUFXODU PRVWUDGD HQ OD ¿JXUD FRQ a ϭ
u ϭ 75senș, u(2, ș) ϭ 60cosș, 0 Ͻ ș Ͻ 2ʌ bϭ2y
u ș) ϭ 0, u(2, ș) ϭ 0, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ
12. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la
SODFD VHPLFLUFXODU PRVWUDGD HQ OD ¿JXUD VL u(r, 0) ϭ 0, u(r, ʌ) ϭ r Ͻ r Ͻ 2

u(a, ) ( ), u(b, ) 0, 0 Demuestre que en este caso la elección de ϪȜ como la
constante de separación junto con Ȝ ϭ Į2 en (4) y (5) con-
u(r, 0) 0, u(r, ) 0, a r b. duce a eigenvalores y a eigenfunciones. Indique cómo
determinar u(r, ș). Implemente sus ideas.
13. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la
SODFD VHPLFLUFXODU PRVWUDGD HQ OD ¿JXUD VL a ϭ Tarea para el laboratorio de computación
bϭ2y
u ș) ϭ 0, u(2, ș) ϭ u0, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ 20. a) Encuentre la solución en serie de u(r, ș) del ejemplo
u(r, 0) ϭ 0, u(r, ʌ) ϭ Ͻ r Ͻ 2 FXDQGR

donde u0 es una constante. 100, 0
0,
u(1, ) 2.

y

FIGURA 13.1.7 ab b) 8VH XQ 6$& R XQD DSOLFDFLyQ JUD¿FDGRUD SDUD WUD]DU
x OD JUi¿FD GH OD VXPD SDUFLDO S5(r, ș) formada por los
cinco primeros términos distintos de cero de la solu-
3ODFD VHPLFLUFXODU GHO SUREOHPD ción del inciso a) para r ϭ 0.9, r ϭ 0.7, r ϭ 0.5, r ϭ
\ r ϭ 6REUHSRQJD ODV JUi¿FDV HQ ORV PLVPRV
14. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en una ejes coordenados.
placa semicircular de radio r ϭ VL
c) Calcule las temperaturas aproximadas u
u(1, ) u0, 0 u(0.7, 2), u u u 'HVSXpV
calcule aproximadamente u(0.9, 2ʌ Ϫ u(0.7, 2ʌ
u(r, 0) 0, u(r, ) u0, 0 r 1, Ϫ 2), u(0.5, 2ʌ Ϫ u ʌ Ϫ 4) y u ʌ Ϫ
5.5).
u0 es constante.
15. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en una d) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la placa circular?
Describa por qué es adecuado llamar a este valor tem-
placa semicircular de radio r ϭ 2, si peratura promedio en la placa. [Sugerencia: Analice las
JUi¿FDV GHO LQFLVR E \ ORV Q~PHURV GHO LQFLVR F @

u0, 0 >2 y y=x
0, >2 ,
u(2, )

u0 es una constante y los bordes ș ϭ 0 y ș ϭ ʌ están ais- u=0 u = 100
lados.
u=0

16. /D SODFD HQ HO SULPHU FXDGUDQWH TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿- ab x
JXUD HV XQ RFWDYR GHO DQLOOR FLUFXODU GH OD ¿JXUD u=0
(QFXHQWUH OD WHPSHUDWXUD GH HVWDGR HVWDEOH u(r, ș).
FIGURA 13.1.8 3ODFD GHO SUREOHPD

13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS l 489

13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS

REPASO DE MATERIAL
l Ecuación diferencial paramétrica de Bessel en la sección 6.4
l )RUPDV GH OD VHULH GH )RXULHU %HVVHO HQ OD GH¿QLFLyQ

INTRODUCCIÓN En esta sección consideraremos problemas con valores en la frontera que
implican formas de la ecuación de calor y de onda en coordenadas polares y una forma de la ecua-
ción de Laplace en coordenadas cilíndricas. Hay concordancia en los ejemplos y ejercicios: cada
problema con valores en la frontera de esta sección tiene simetría radial.

SIMETRÍA RADIAL Las ecuaciones bidimensionales de calor y de onda

2u 2u u a2 2u 2u 2u
k x2 y2 y x2 y2 t2

t

expresadas en coordenadas polares son, respectivamente,

2u 1 u 1 2u u a2 2u 1u 1 2u 2u
k r2 r r r2 2 y r2 rr r2 2 t2,

t

donde u ϭ u(r, ș, t). Para resolver por separación de variables un problema con va-
ORUHV HQ OD IURQWHUD GRQGH LQWHUYHQJD DOJXQD GH HVWDV HFXDFLRQHV GH¿QLUHPRV u ϭ R(r)
⌰(ș)T(t &RPR HQ OD VHFFLyQ HVWD VXSRVLFLyQ FRQGXFH D YDULDV VHULHV LQ¿QLWDV
P~OWLSOHV 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV (Q HO DQiOLVLV TXH VH SUHVHQWD
a continuación, consideraremos una clase más sencilla, pero también importante, de

problemas que tienen simetría radial, es decir, problemas en los que la función des-
conocida u es independiente de la coordenada angular ș. En este caso las ecuaciones
FDORU \ GH RQGD HQ WRPDQ UHVSHFWLYDPHQWH ODV IRUPDV

2u 1 u u a2 2u 1u 2u (2)
k r2 r r y r2 rr t2,

t

donde u ϭ u(r, t). Las vibraciones descritas por la segunda de las ecuaciones en (2) se
llaman vibraciones radiales.

El primer ejemplo tiene que ver con las vibraciones radiales libres de una mem-
EUDQD FLUFXODU GHOJDGD 6H VXSRQH TXH ORV GHVSOD]DPLHQWRV VRQ SHTXHxRV \ TXH HO PR-
vimiento es tal que cada punto de la membrana se mueve en dirección perpendicular al
plano xy (vibraciones transversales), es decir, el eje u es perpendicular al plano xy. Un
modelo físico que se puede recordar cuando se trabaja con este ejemplo es la vibración
de la membrana de un tambor.

EJEMPLO 1 Vibraciones radiales de una membrana circular

u u = f(r) en t = 0 Encuentre el desplazamiento u(r, t) de una membrana circular de radio c sujeta a lo
largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f (r) y su velocidad inicial es
y g(r 9HD OD ¿JXUD
u = 0 en r = c
x SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera que hay que resolver es

FIGURA 13.2.1 Desplazamiento a2 2u 1u 2u
inicial de una membrana circular del r2 rr t2, 0 r c, t 0
HMHPSOR
u(c, t) 0, t 0

u(r, 0) f (r), u g(r), 0 r c.

tt0

490 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

Sustituyendo u ϭ R(r)T(t) en la ecuación diferencial parcial y separando las variables

obtenemos

1 T .
RR a2T

r
R

2EVHUYH TXH HQ OD HFXDFLyQ KHPRV UHJUHVDGR D QXHVWUD FRQVWDQWH GH VHSDUDFLyQ
usual ϪȜ /DV GRV HFXDFLRQHV REWHQLGDV GH OD HFXDFLyQ VRQ

rR R rR 0 (4)

y T a2 T 0. (5)

Debido a la naturaleza vibracional del problema, la ecuación (5) sugiere que sólo se
use Ȝ ϭ Į2 Ͼ 0, Į Ͼ 0, ya que esta elección conduce a funciones periódicas. También
observe que la ecuación (4) no es una ecuación de Cauchy-Euler sino que es la ecua-
ción diferencial paramétrica de Bessel de orden ␯ ϭ 0, es decir, rRЉ ϩ RЈ ϩ Į2rR ϭ 0.
'HO SUREOHPD GH OD VHFFLyQ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ HV

R c1J0( r) c2Y0( r). (6)
La solución general de la ecuación conocida (5) es

T c3 cos a t c4 sen a t.

9HD OD ¿JXUD . Ahora, recordemos que Y0(ĮU) → Ϫϱ cuando r → 0ϩ, por lo que la suposición implí-
cita de que el desplazamiento u(r, t) debe estar acotado en r ϭ QRV FRQGXFH D GH¿QLU

c2 ϭ 0 en la ecuación (6). Así R ϭ c J0(ĮU).
Puesto que la condición de frontera u(c, t) ϭ 0 es equivalente a R(c) ϭ 0, se debe

cumplir que c J0(Į c) ϭ 0. Se excluye c ϭ 0 (porque conduciría a una solución trivial
de la EDP) por lo que

J0( c) 0. (7)

Si xn ϭ Įnc son las raíces positivas de la ecuación (7), entonces Įn ϭ xn͞c, así los eigen-
valores del problema son Ȝn ϭ Į2n ϭ x2n͞c2,y las eigenfunciones son c J0(ĮU). Las soluciones
producto que satisfacen la ecuación diferencial parcial y la condición a la frontera son

un R(r)T(t) (An cos a nt Bn sen a nt) J0( nr), (8)

donde hemos etiquetado las constantes en la forma usual. Con el principio de super-

posición se obtiene

u(r, t) (An cos a nt Bn sen a nt) J0( nr). (9)

n1

/DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GDGDV GHWHUPLQDQ ORV FRH¿FLHQWHV An y Bn.
Haciendo t ϭ 0 en la ecuación (9) y usando u(r, 0) ϭ f (r) se obtiene

f (r) An J0( n r).

n1

Este último resultado se reconoce como el desarrollo de Fourier-Bessel de la función

f en el intervalo (0, c 3RU WDQWR FRPSDUDQGR GLUHFWDPHQWH ODV HFXDFLRQHV \

FRQ OD \ OD GH OD VHFFLyQ VH SXHGHQ LGHQWL¿FDU ORV FRH¿FLHQWHV An como
ORV GDGRV HQ OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ

An 2 c nr) f (r) dr.
c2J12( nc)
rJ0(

0

A continuación, derivamos la ecuación (9) respecto a t, haciendo t ϭ 0 y usando

ut(r, 0) ϭ g(r):

g(r) a n Bn J0( nr).

n1

Esto es ahora un desarrollo de Fourier-Bessel de la función g ,GHQWL¿FDQGR HO FRH¿-

ciente total DĮnBn FRQ HO GH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SRGHPRV HVFULELU

13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS l 491

Bn a 2 nc) c nr)g(r) dr.
nc2J12(
rJ0(

0

Por último, la solución del problema con valores en la frontera original es la serie (9)
FRQ FRH¿FLHQWHV An y Bn GH¿QLGRV HQ ODV HFXDFLRQHV \

ONDAS ESTACIONARIAS 'H PDQHUD DQiORJD D OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
ODV VROXFLRQHV UHVXOWDQWHV VH OODPDQ ondas estacionarias. Para n ϭ
ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV VRQ EiVLFDPHQWH OD JUi¿FD GH J0(Įnr) con amplitud variable en
el tiempo

Ancos a nt Bn sen a nt.

(Q OD ¿JXUD VH UHSUHVHQWDQ FRQ OtQHDV SXQWHDGDV ODV RQGDV HVWDFLRQDULDV FRQ

distintos valores de tiempo. Las raíces de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c)

son las raíces de J0(Įnr) ϭ 0 y corresponden al conjunto de los puntos en una onda
estacionaria donde no hay movimiento. Este conjunto de puntos se llama línea nodal.

6L FRPR HQ HO HMHPSOR ODV UDtFHV SRVLWLYDV GH J0(Įnc) ϭ 0 se representan por xn,
entonces xn ϭ Įnc lo que implica que Įn ϭ xn͞c y, por tanto, las raíces de las ondas
estacionarias se determinan con

n =1 J0( nr) J0 xn r 0.
a) c

n=2 $KRUD GH OD WDEOD ODV WUHV SULPHUDV UDtFHV SRVLWLYDV GH J0 son (aproximadamente) x
b) ϭ 2.4, x2 ϭ 5.5 y x ϭ 8.7. Así, para n ϭ OD SULPHUD UDt] SRVLWLYD GH

n=3 J0 x1 r 0 2.4 o r c.
c) c es r 2.4

FIGURA 13.2.2 Ondas estacionarias. c

Como lo que se busca son las raíces de las ondas estacionarias en el intervalo abierto
(0, c), el último resultado indica que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal.
Para n ϭ 2 las dos primeras raíces positivas de

J0 x2 r 0 se determinan de 5.5 y 5.5
c r 2.4 r 5.5.

c c

$Vt OD VHJXQGD RQGD HVWDFLRQDULD WLHQH XQD OtQHD QRGDO GH¿QLGD SRU r ϭ x c͞x2 ϭ
2.4c͞5.5. Observe que r Ϸ 0.44c Ͻ c. Para n ϭ FRQ XQ DQiOLVLV SDUHFLGR VH GHPXHV-
WUD TXH KD\ GRV OtQHDV QRGDOHV GH¿QLGDV SRU r ϭ x c͞x ϭ 2.4c͞8.7 y r ϭ x2c͞x ϭ
5.5c͞8.7. En general, la n-ésima onda estacionaria tiene n Ϫ OtQHDV QRGDOHV r ϭ x c͞xn,
r ϭ x2c͞xn, . . . , r ϭ xn Ϫ c͞xn. Puesto que r ϭ constante es la ecuación de una circun-
IHUHQFLD HQ FRRUGHQDGDV SRODUHV YHPRV HQ OD ¿JXUD TXH ODV OtQHDV QRGDOHV GH
una onda estacionaria son circunferencias concéntricas.

USO DE COMPUTADORAS Es posible ver el efecto de un simple toque de tambor
SDUD HO PRGHOR UHVXHOWR HQ HO HMHPSOR PHGLDQWH OD DSOLFDFLyQ GH DQLPDFLyQ GH XQ
VLVWHPD DOJHEUDLFR FRPSXWDUL]DGR (Q HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV VH OH SLGH
encontrar la solución dada en la ecuación (9) cuando

c 1, f (r) 0 y g(r) v0, 0 r b
0, b r 1.

(Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ DOJXQRV FXDGURV GH XQ ³YLGHR´ GHO WRTXH GH WDPERU

FIGURA 13.2.3 &XDGURV GH XQ ³YLGHR´ GH XQ 6$&

492 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

LAPLACIANO EN COORDENADAS CILÍNDRICAS (Q OD ¿JXUD VH SXHGH
ver que la relación entre las coordenadas cilíndricas de un punto en el espacio y sus
coordenadas rectangulares está dada por

x r cos , y r sen , z z.

'H OD GHGXFFLyQ GHO /DSODFLDQR HQ FRRUGHQDGDV SRODUHV YHD OD VHFFLyQ VH WLHQH
de inmediato que el Laplaciano de una función u en coordenadas cilíndricas es

2u 2u 1 u 1 2u 2u
r2 r r r2 2 z2.

(x, y, z) o EJEMPLO 2 Temperaturas de estado estable en un cilindro circular
z (r, θ, z)

Determine la temperatura de estado estable u en el cilindro circular que se muestra en
OD ¿JXUD

z SOLUCIÓN Las condiciones en la frontera indican que la temperatura u tiene sime-
tría radial. Por tanto, u(r, z) se determina de
r y
θ
2u 1 u 2u
x r2 r r z2 0, 0 r 2, 0 z 4

FIGURA 13.2.4 Las coordenadas u(2, z) 0, 0 z 4
cilíndricas de un punto (x, y, z) son
(r, ș, z). u(r, 0) 0, u(r, 4) u0, 0 r 2.

Utilizando u ϭ R(r)Z(z) y separando variables se obtiene

z u = u0 en z = 4 1
RR
r Z
R Z

u=0 \ rR R lrR 0
en r = 2
Z Z 0.
y
Al considerar los casos Ȝ ϭ 0, Ȝ ϭ ϪĮ2 y Ȝ ϭ Į2 se determina que la elección Ȝ ϭ Į2
x u = 0 en z = 0 FRQGXFH D HLJHQYDORUHV \ HLJHQIXQFLRQHV (QWRQFHV OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ HV

FIGURA 13.2.5 Cilindro circular del R(r) c1J0( r) c2Y0( r),
ejemplo 2.
3XHVWR TXH OD VROXFLyQ GH VH GH¿QH HQ HO LQWHUYDOR ¿QLWR > @ OD VROXFLyQ JHQHUDO
se escribe como

Z(z) c3 cosh az c4 senh az.

&RPR HQ HO HMHPSOR OD VXSRVLFLyQ GH TXH OD WHPSHUDWXUD u está acotada en r ϭ

0 impone que c ϭ 0. La condición u(2, z) ϭ 0 implica que R(2) ϭ 0. Esta ecuación,
2

J0(2a) 0,

GH¿QH D ORV HLJHQYDORUHV SRVLWLYRV Ȝn ϭ Į2n del problema. Por último, Z(0) ϭ 0 implica
que c ϭ 0. Por lo que tenemos que R(r) ϭ c J0(Įnr), Z(z) ϭ c4 senh Įnz, y

un R(r)Z(z) An senh n zJ0( nr)

u(r, z) An senh nzJ0( nr).

n1

La condición de frontera que resta en z ϭ 4 determina entonces la serie de Fourier-

Bessels

u0 An senh 4 n J0( nr),

n1

13.2 COORDENADAS POLARES Y CILÍNDRICAS l 493

SRU OR TXH GH DFXHUGR FRQ OD HFXDFLyQ GH GH¿QLFLyQ ORV FRH¿FLHQWHV VH GH¿QHQ SRU
OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ

An senh 4an 2u0 2
22J12(2an)
rJ0(an r) dr.

0

Para evaluar la última integral, primero se usa la sustitución t ϭ Įnr y después
d
dt [tJ1(t)] tJ0(t) . A partir de

An senh 4an u0 2an d u0
2an2 J 21(2an) 0 dt [tJ1(t)] dt an J1(2an)

obtenemos An u0 .
n senh 4 nJ1(2 n)

Por lo que la temperatura en el cilindro es

1
u(r, z) u0 1 an senh 4anJ1(2an)senh anz J0(anr).

n

(Q ORV SUREOHPDV FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD TXH LQYROXFUDQ XQ FLOLQGUR FLUFXODU ¿QLWR
FRPR HQ HO HMHPSOR QR HV SRFR FRP~Q HQFRQWUDU IXQFLRQHV %HVVHO PRGL¿FDGDV 9HD
ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

EJERCICIOS 13.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23.

1. Determine el desplazamiento u(r, t HQ HO HMHPSOR VL 7. Encuentre las temperaturas de estado estable u(r, z) en el
f (r) ϭ 0 y a la membrana circular se le transmite una ve- FLOLQGUR FLUFXODU GH¿QLGR SRU Յ r Յ Յ z Յ VL ODV
locidad inicial unitaria dirigida hacia arriba. condiciones de frontera son

2. Se sujeta por su circunferencia a una membrana circular u z) ϭ Ϫ z, 0 Ͻ z Ͻ
GH UDGLR 'HWHUPLQH HO GHVSOD]DPLHQWR u(r, t) si la mem-
brana parte del reposo desde el desplazamiento inicial u(r, 0) ϭ 0, u(r ϭ 0, 0 Ͻ r Ͻ
f (r) ϭ Ϫ r2, 0 Ͻ r Ͻ >Sugerencia: Vea el problema
HQ ORV HMHUFLFLRV @ Con Ȝ FRPR OD FRQVWDQWH GH VHSDUDFLyQ HQ GHPXHVWUH
que el caso Ȝ ϭ Į2 HQ \ FRQGXFH D HLJHQYDORUHV
3. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z) del ci- y eigenfunciones. [Sugerencia: Repase el análisis de la
lindro del ejemplo 2, si las condiciones en la frontera son IXQFLyQ %HVVHO PRGL¿FDGD GH OD VHFFLyQ \ OD ¿JXUD
u(2, z) ϭ 0, 0 Ͻ z Ͻ 4, u(r, 0) ϭ u0, u(r, 4) ϭ 0, 0 Ͻ r Ͻ 2. 6.4.4.]

4. 6L OD VXSHU¿FLH ODWHUDO GHO FLOLQGUR GHO HMHPSOR HVWi DLV- 8. Determine las temperaturas de estado estable u(r, z) en el
lada, entonces FLOLQGUR FLUFXODU GH¿QLGR SRU Յ r Յ Յ z Յ VL ODV
condiciones de frontera son

u 0 z 4. u(1, z) z, 0 z 1
0,
u 0, u 0, 0 r 1.
rr2

a) Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z) zz0 zz1
cuando u(r, 4) ϭ f (r), 0 Ͻ r Ͻ 2.

b) Demuestre que la temperatura de estado estable del 9. La temperatura u(r, t) en una placa circular de radio c se
inciso a) se reduce a u(r, z) ϭ u0z͞4 cuando f (r) ϭ u0. determina con el problema con valores en la frontera
[Sugerencia: 8WLOLFH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
@ 2u 1 u u
k r2 r r , 0 r c, t 0
t

5. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z) en el u(c, t) 0, t 0
FLOLQGUR GH OD ¿JXUD VL OD VXSHU¿FLH ODWHUDO VH PDQ-
tiene a temperatura 0, la parte superior z ϭ 4 se mantiene u(r, 0) f (r), 0 r c.
a temperatura 50 y la base z ϭ 0 está aislada.
Determine u(r, t).
6. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en el
FLOLQGUR GH OD ¿JXUD VL OD VXSHU¿FLH ODWHUDO VH PDQ- 10. Resuelva el problema 9 si la orilla r ϭ c de la placa está
tiene a temperatura 50 y la parte superior z ϭ 4 y la base aislada.
z ϭ 0 están aisladas.

494 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

11. &XDQGR KD\ WUDQVIHUHQFLD GH FDORU GHVGH OD VXSHU¿FLH OD- 14. Resuelva el problema con valores en la frontera
WHUDO GH XQ FLOLQGUR FLUFXODU GH ORQJLWXG LQ¿QLWD \ UDGLR
XQR YHD OD ¿JXUD KDFLD HO PHGLR FLUFXQGDQWH D 2u 1 u u
temperatura cero, la temperatura dentro del cilindro se r2 r r , 0 r 1, t 0
t
determina a partir de
u(1, t) 0, t 0

2u 1 u u u(r, 0) 0, 0 r 1.
k r2 r r , 0 r 1, t 0
t Suponga que ȕ es una constante.

u hu(1, t), h 0, t 0 15. El desplazamiento horizontal u(x, t) de una pesada cadena
rr1 de longitud L que oscila en un plano vertical satisface la
ecuación diferencial parcial

u(r, 0) f (r), 0 r 1. u 2u 0 x L, t 0.
gx t2 ,

xx

Determine para u(r, t). 9HD OD ¿JXUD

z a) Utilice ϪȜ como constante de separación para de-
mostrar que la ecuación diferencial ordinaria en la
variable espacial x es xXЉϩ XЈ ϩ Ȝ; ϭ 0. Resuelva
esta ecuación con la sustitución x ϭ IJ2͞4.

1y b) Utilice el resultado del inciso a) para resolver la ecua-
ción diferencial parcial dada, sujeta a

u(L, t) 0, t 0

x u(x, 0) f (x), u 0, 0 x L.

tt0

FIGURA 13.2.6 &LOLQGUR LQ¿QLWR GHO SUREOHPD [Sugerencia: Suponga que las oscilaciones en el ex-
tremo libre x ϭ VRQ ¿QLWDV @
12. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) de un
FLOLQGUR VHPLLQ¿QLWR GH UDGLR XQR z Ն 0) si hay transfe- x
UHQFLD GH FDORU SRU VX VXSHU¿FLH ODWHUDO KDFLD HO PHGLR
circundante a temperatura cero y si la temperatura de la L
base z ϭ 0 se mantiene a la temperatura constante u0.
u0
13. Una placa circular está compuesta por dos materiales dis-
WLQWRV HQ IRUPD GH FtUFXORV FRQFpQWULFRV 9HD OD ¿JXUD FIGURA 13.2.8 &DGHQD RVFLODWRULD GHO SUREOHPD
/D WHPSHUDWXUD HQ OD SODFD VH GHWHUPLQD FRPR XQ
problema con valores en la frontera

2u 1 u u 0 r 2, t 0 16. En este problema considere el caso general, es decir, con
, dependencia de ș, de la membrana circular vibratoria de
r2 r r t radio c:

u (2, t) 100, t 0 1 a2 2u 1u 1 2u 2u 0 r c, t 0
u(r, 0) 2. r2 rr r2 2 t2 , 0
200, 0 r 2
100, 1 r 2.

Determine u(r, t). [Sugerencia: Sea u(r, t) ϭ v(r, t) ϩ ȥ(r).] u(c, , t) 0, 0 2, t

u(r, , 0) f (r, ), 0 r c, 0

y u
u = 100 g(r, ), 0 r c, 0

tt0

2 a) Suponga que u ϭ R(r)⌰(ș)T(t) y que las constantes
1 de separación son ϪȜ y Ϫ␯. Demuestre que las ecua-
ciones diferenciales separadas son
x

FIGURA 13.2.7 3ODFD FRPSXHVWD FLUFXODU GHO SUREOHPD T a2 T 0, 0
r2R rR ( r2 )R 0.

13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS l 495

b) Haciendo Ȝ ϭ Į2 y ␯ ϭ ȕ2 resuelva las ecuaciones se- 5.9, 6.0 en el intervalo Ϫ Յ r Յ 8WLOLFH OD DSOLFD-
paradas. ción de animación de su SAC para obtener un video
de esas vibraciones.
c) Determine los eigenvalores y eigenfunciones del pro-
blema. d) &RPR XQ GHVDItR PD\RU XWLOLFH OD DSOLFDFLyQ ' SORW
de su SAC para hacer un video del movimiento de la
d) Utilizando el principio de superposición determine parte superior de su tambor circular que se presenta
una solución en series múltiples. No intente evaluar en sección transversal en el inciso c). [Sugerencia:
ORV FRH¿FLHQWHV Hay varias formas de hacerlo. Para un tiempo
¿MR WUDFH OD JUi¿FD u en función de x y y usando
Tarea para el laboratorio de computación r 1x2 y2 o bien utilice el equivalente a la ins-
trucción CylindricalPlot3D de Mathematica.]
17. Considere un tambor ideal formado por una membrana
delgada tensada sobre un marco circular de radio uno. 18. a) &RQVLGHUH HO HMHPSOR FRQ a ϭ c ϭ g(r) ϭ 0 y
Cuando se golpea ese tambor en su centro, se oye un so- f(r) ϭ Ϫ r͞ Ͻ r Ͻ 8WLOLFH XQ 6$& FRPR
nido que con frecuencia se considera un retumbo más ayuda para calcular los valores numéricos de los tres
que un tono melódico. Se puede modelar un solo golpe primeros eigenvalores Ȝ , Ȝ2, Ȝ del problema con valo-
mediante el problema con valores en la frontera que se UHV HQ OD IURQWHUD \ ORV WUHV SULPHURV FRH¿FLHQWHV A , A2,
UHVROYLy HQ HO HMHPSOR A de la solución u(r, t) dada en la ecuación (9). Escriba
la tercera suma parcial S (r, t) de la solución en serie.
a) Determine la solución u(r, t) dada en la ecuación (9)
cuando c ϭ l, f (r) ϭ 0 y b) 8WLOLFH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH S (r, t) para
t ϭ
g(r) v0, 0 r b
0, b r 1. 19. Resuelva el problema 7 con las condiciones de frontera
u(c, t) ϭ 200, u(r, 0) ϭ 0. Con las condiciones de fronte-
b) Demuestre que la frecuencia de la onda estacionaria ra dadas, se podría esperar en forma intuitiva que en cual-
quier punto interior de la placa, u(r, t) → 200 cuando
un(r, t) es fn ϭ DĮn͞2ʌ, donde Įn es la n-ésima raíz t → ϱ. Suponga que c ϭ \ TXH OD SODFD HV GH KLHUUR FR-
positiva de J0(x). A diferencia de la solución de la lado de tal modo que k ϭ DSUR[LPDGDPHQWH 8VH XQ
ecuación de onda en una dimensión, en la sección SAC para ayudarse a calcular los valores numéricos de los
primeros cinco eigenvalores Ȝ , Ȝ2, Ȝ , Ȝ4, Ȝ5 del problema con
ODV IUHFXHQFLDV QR VRQ P~OWLSORV HQWHURV GH YDORUHV HQ OD IURQWHUD \ ORV FLQFR SULPHURV FRH¿FLHQWHV A ,
A2, A , A4, A5 en la solución u(r, t). Denote la solución aproxi-
la frecuencia fundamental f . Demuestre que f Ϸ mada correspondiente por S5(r, t 7UDFH OD JUi¿FD GH S5(5, t)
y de S5(0, t HQ XQ LQWHUYDOR GH WLHPSR VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH
2 0 Յ t Յ T 8WLOLFH ODV JUi¿FDV GH S5(5, t) y S5(0, t) para es-
2.295f y que f Ϸ f . Se dice que las vibracio- timar los tiempos (en segundos) para los que u(5, t) Ϸ
y u(0, t) Ϸ 5HSLWD SDUD u(5, t) Ϸ 200 y u(0, t) Ϸ 200.
nes del tambor producen sobretonos anarmónicos.

Como resultado, la función de desplazamiento u(r, t)

no es periódica, por lo que el tambor ideal no puede

sostener un tono.

c) Sean a b 41, y v0 ϭ HQ VX VROXFLyQ GHO LQFLVR
D 8WLOLFH XQ 6$& SDUD JUD¿FDU OD TXLQWD VXPD SDU-

cial S5(r, t), en los tiempos t ϭ

13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS

REPASO DE MATERIAL
l Ecuación diferencial de Legendre en la sección 6.4
l )RUPDV GH OD VHULH GH )RXULHU /HJHQGUH HQ OD GH¿QLFLyQ

INTRODUCCIÓN Concluiremos nuestro análisis de problemas con valores en la frontera en dife-
rentes sistemas coordenados considerando problemas que impliquen las ecuaciones de calor, de onda
y de Laplace en coordenadas esféricas.

LAPLACIANO EN COORDENADAS ESFÉRICAS &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
XQ SXQWR HQ HO HVSDFLR WULGLPHQVLRQDO HVWi GHVFULWR HQ FRRUGHQDGDV UHFWDQJXODUHV
y en coordenadas esféricas. Las coordenadas rectangulares x, y y z del punto están rela-
cionadas con sus coordenadas esféricas r, ș y ‫ ׋‬por medio de las ecuaciones:

x r sen cos , y r sen sen , z r cos .

496 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

z (x, y, z) o 8WLOL]DQGR ODV HFXDFLRQHV VH SXHGH GHPRVWUDU TXH HO /DSODFLDQR ٌ2u en el sistema
(r, φ , θ ) coordenado esférico es
θ
r y 2u 2u 2 u 1 2u 1 2u cot u
r2 r r r2sen2 2 r2 2 r2 . (2)
φ
Como ya podrá imaginarse, los problemas que involucran la ecuación (2) pueden ser
x muy complicados. Por tanto, sólo consideraremos algunos de los problemas más sen-
cillos independientes del ángulo azimutal ‫׋‬.
FIGURA 13.3.1 Las coordenadas
esféricas de un punto (x, y, z) son (r, ‫ ׋‬ș). El siguiente ejemplo es un problema de Dirichlet para una esfera.

EJEMPLO 1 Temperaturas de estado estable en una esfera

Determine la temperatura de estado estable u(r, ș HQ OD HVIHUD TXH PXHVWUD OD ¿JXUD


z SOLUCIÓN La temperatura se determina a partir de

c 2u 2 u 1 2u cot u 0, 0 r c, 0

y r2 r r r2 2 r2

x u = f (θ ) u(c, ) f ( ), 0 .
en r = c
Si u ϭ R(r)⌰(ș), la ecuación diferencial parcial se separa como
FIGURA 13.3.2 Problema de
Dirichlet para una esfera. r2R 2rR cot
R ,

\ SRU WDQWR r2R 2rR R 0

sen cos sen 0. (4)

Después de sustituir x ϭ cos ș, 0 Յ ș Յ ʌ, la ecuación (4) se convierte en

(1 x2) d2 d 0, 1 x 1. (5)
dx2 2x

dx

Esta última ecuación es una forma de la ecuación de Legendre (vea el problema 46 en

los ejercicios 6.4). Ahora las únicas soluciones de la ecuación (5) que son continuas

y tienen derivadas continuas en el intervalo cerrado [Ϫ @ VRQ ORV SROLQRPLRV GH

Legendre Pn(x) que corresponden a Ȝ ϭ n(n ϩ n ϭ 3RU WDQWR VXSRQGUH-
mos que las soluciones de (4) son

Pn(cos ).
Además, cuando Ȝ ϭ n(n ϩ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\-(XOHU HV

R c1rn c2r (n 1).

Puesto que nuevamente es de esperarse que u(r, ș) esté acotada en r ϭ GH¿QLPRV
c2 ϭ 0. Por tanto, un ϭ Anr nPn (cos ș) y

u(r, ) AnrnPn(cos ).

n0

En r ϭ c, f ( ) AncnPn(cos ).

n0

Por tanto Ancn VRQ ORV FRH¿FLHQWHV GH OD VHULH GH )RXULHU /HJHQGUH GH OD VHFFLyQ

An 2n 1 f ( )Pn(cos ) sen d .

2cn 0

Por lo que la solución es

2n 1 rn
u(r, ) f ( ) Pn(cos ) sen d c Pn(cos ).
n0 2
0

13.3 COORDENADAS ESFÉRICAS l 497

EJERCICIOS 13.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-23.

1. 5HVXHOYD HO 39) HQ HO HMHPSOR VL 9. La temperatura en el interior de una esfera de radio uno,

50, 0 >2 en función del tiempo, se determina a partir de
f ( ) 0, >2 .
2u 2 u u 0 r 1, t 0
,
Escriba los primeros cuatro términos distintos de cero de r2 r r t
la solución en serie. [Sugerencia: 9HD HQ HO HMHPSOR
HQ OD VHFFLyQ @ u(1, t) 100, t 0

2. La solución u(r, ș GHO HMHPSOR WDPELpQ VH SXHGH LQ- u(r, 0) 0, 0 r 1.
terpretar como el potencial en el interior de la esfera de-
bido a una distribución de cargas f (ș HQ VX VXSHU¿FLH Determine u(r, t). [Sugerencia: Compruebe que el miem-
Determine el potencial fuera de la esfera.
bro izquierdo de la ecuación diferencial parcial se puede
3. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD HQ HO HMHPSOR VL 12

f (ș) ϭ cos ș, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ. [Sugerencia: P (cos ș) ϭ cos ș. escribir como r r2 (ru). Sea ru(r, t) ϭ v(r, t) ϩ ȥ(r). Sólo
Utilice la ortogonalidad.] utilice funciones que estén acotadas cuando r → 0.]

4. 'HWHUPLQH OD VROXFLyQ GHO SUREOHPD HQ HO HMHPSOR VL 10. 8QD HVIHUD PDFL]D XQLIRUPH GH UDGLR D XQD WHPSHUDWXUD
f (ș) ϭ Ϫ cos 2ș, 0 Ͻ ș Ͻ ʌ. [Sugerencia: Vea el pro-
EOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV @ inicial constante u0 en toda la esfera se deja caer en un gran
recipiente de líquido que se conserva a una temperatura
5. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en
el interior de una esfera hueca a Ͻ r Ͻ b VL VX VXSHU¿FLH constante u (u Ͼ u0 GXUDQWH WRGR HO WLHPSR 9HD OD ¿-
interna r ϭ a se conserva a la temperatura f (ș) y su su- JXUD 3XHVWR TXH KD\ WUDQVIHUHQFLD GH FDORU D WUDYpV
SHU¿FLH H[WHUQD r ϭ b se conserva a la temperatura cero. de la frontera r ϭ OD WHPSHUDWXUD u(r, t) en la esfera
(Q OD ¿JXUD VH YH HO SULPHU RFWDQWH GH HVD HVIHUD
se determina con el problema con valores en la frontera

2u 2 u u
, 0 r 1, t 0
r2 r r t

u = f(θ) u h(u(1, t) u1), 0 h 1
en r = a z rr1

u(r, 0) u0, 0 r 1.
Determine u(r, t). [Sugerencia: Proceda como en el pro-
blema 9.]

y

1

u =0
x en r = b

FIGURA 13.3.3 Esfera hueca del problema 5.

6. La temperatura de estado estable de un hemisferio de u1
radio r ϭ c se determina a partir de

2u 2 u 1 2u cot u 0,

r2 r r r2 2 r2

0 r c, 0 FIGURA 13.3.4 5HFLSLHQWH GH XQ ÀXLGR GHO SUREOHPD

2

u r, 0, 0 r c 11. Resuelva el problema con valores en la frontera que im-
2 plica vibraciones esféricas:

u(r, ) f ( ), 0 . a2 2u 2u 2u
2 r2 rr t2 , 0 r c, t 0

Determine u(r, ș). [Sugerencia: Pn(0) ϭ 0 sólo si n es u(c, t) 0, t 0
LPSDU 9HD WDPELpQ HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV @

7. Resuelva el problema 6 cuando la base del hemisferio u(r, 0) f (r), u g(r), 0 r c.
está aislada; es decir,
tt0
u
0, 0 r c. [Sugerencia: Compruebe que el miembro izquierdo de la

/2 ecuación diferencial parcial es a2 1 2
r
8. Resuelva el problema 6 para r Ͼ c. ru(r, t).] r2 (ru). Sea v(r, t) ϭ

498 l CAPÍTULO 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS

12. Una esfera conductora de radio r ϭ c se conecta a tierra 13. En coordenadas esféricas, la forma tridimensional
y se coloca dentro de un campo eléctrico uniforme cuya
intensidad en la dirección z es E. El potencial u(r, ș) fuera de la ecuación diferencial parcial de Helmholtz es
de la esfera se determina a partir del problema con valo- ٌ2u ϩ k2u ϭ 0 donde el Laplaciano está dado en (2).
res en la frontera 3URFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SHUR XVH u(r, ș, ‫ )׋‬ϭ
R(r) ⌰(ș)⌽(‫ )׋‬y la constante de separación n(n ϩ SDUD
2u 2 u 1 2u cot u 0, r c, 0 demostrar que la dependencia radial de la solución u está
GH¿QLGD SRU OD HFXDFLyQ@
r2 r r r2 2 r2

u(c, ) 0, 0 r2 d 2R dR [k2r2 n(n 1)]R 0.
dr 2 2r
dr
lím u(r, ) Ez Er cos .

r:

Demuestre que Resuelva esta ecuación diferencial. [Sugerencia: Vea el
problema 54 de los ejercicios 6.4.]
c3
u(r, ) Er cos E r2 cos .

[Sugerencia: Explique por qué

0 cos Pn(cos ) sen d 0

para todos los enteros no negativos, excepto n ϭ 9HD
OD HFXDFLyQ HQ OD VHFFLyQ @

REPASO DEL CAPÍTULO 13 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-24.
1. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una
placa circular de radio c, si la temperatura en la circunfe- 6. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la
rencia está dada por SODFD LQ¿QLWD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5

u(c, ) u0, 0 2. y
u0, u = f(θ )

2. Determine la temperatura de estado estable en la placa

FLUFXODU GHO SUREOHPD VL 1
x
1, 0 >2 u=0
u=0
u(c, ) 0, >2 3 >2
FIGURA 13.R.2 3ODFD LQ¿QLWD GHO SUREOHPD
1, 3 >2 2.

3. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una 7. Suponga que se pierde calor de las caras de un disco circular
SODFD VHPLFLUFXODU GH UDGLR VL

u(1, ) u0( 2), 0 muy delgado de radio uno hacia el medio que lo circunda

u(r, 0) 0, u(r, ) 0, 0 r 1. que está a temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de

transferencia de calor, la ecuación de calor toma la forma:

4. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la 2u 1 u u
SODFD VHPLFLUFXODU GHO SUREOHPD VL u ș) ϭ sen ș, 0 Ͻ ș r2 r r hu , h 0, 0 r 1, t 0.
Ͻ ʌ. t

5. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en la 9HD OD ¿JXUD 5 'HWHUPLQH OD WHPSHUDWXUD u(r, t) si
SODFD GH OD ¿JXUD 5 la orilla r ϭ VH FRQVHUYD D WHPSHUDWXUD FHUR \ VL DO SULQ-

cipio la temperatura en toda la placa es igual a uno.

y 0Њ
1
y=x u=0

u=0

u = u0 1 aislada

1 u=0 x 0Њ

2 FIGURA 13.R.3 Placa circular del problema 7.

FIGURA 13.R.1 3ODFD HQ IRUPD GH FXxD GHO SUREOHPD

REPASO DEL CAPÍTULO 13 l 499

8. Suponga que xk es una raíz positiva de J0. Demuestre que b m n.
una solución del problema con valores en la frontera
xum(x)un(x) dx 0,

a

a2 2u 1u 2u [Sugerencia: 6LJD HO SURFHGLPLHQWR GHO 7HRUHPD @
r2 rr t2 , 0 r 1, t 0
14. 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD SDUD UHVROYHU HO VL-
u(1, t) 0, t 0 guiente problema con valores en la frontera, para la tem-
peratura u(r, t) en un anillo circular:
u
u(r, 0) u0J0(xkr), t t 0 0, 0 r 1 2u 1 u u a r b, t 0
,
es u(r, t) ϭ u0J0(xkr) cos axkt. r2 r r t
9. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en el
u(a, t) 0, u(b, t) 0, t 0
FLOLQGUR GH OD ¿JXUD VL OD VXSHU¿FLH ODWHUDO VH PDQ-
tiene a temperatura 50, la tapa superior z ϭ 4 se mantiene a u(r, 0) f (r), a r b.
temperatura 0 y la base z ϭ 0 está aislada.
15. Analice cómo resolver
10. Resuelva el problema con valores en la frontera
2u 1 u 2u
2u 1 u 2u 0 r 1, 0 z 1 r2 r r z2 0, 0 r c, 0 z L
r2 r r z2 0,

u FRQ ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD GDGDV HQ OD ¿JXUD 5
0, 0 z 1 Lleve a cabo sus ideas y determine u(r, z). [Sugerencia:
5HSDVH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ @
rr1

u(r, 0) f (r), u(r, 1) g(r), 0 r 1. u = f (r )
en z = L
11. Determine la temperatura de estado estable u(r, ș) en una
esfera de radio uno, si la temperatura se conserva a

u(1, ) 100, 0 >2 u = h(z )
100, >2 . en r = c
∇2 u = 0
[Sugerencia: 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV @

12. Resuelva el problema con valores en la frontera u = g(r )
2u 2 u 2u en z = 0
r2 r r t2, 0 r 1, t 0
FIGURA 13.R.4 &LOLQGUR GHO SUREOHPD
u
0, t 0

rr1

u(r, 0) f (r), u g(r), 0 r 1. 16. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, ș) en la
SODFD VHPLDQXODU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VL
tt0 a ϭ b ϭ 2 y las condiciones de frontera son

[Sugerencia: 3URFHGD FRPR HQ ORV SUREOHPDV \ GH u(1, ) 0, u(2, ) 0, 0

ORV HMHUFLFLRV SHUR KDJD v (r, t) ϭ ru(r, t). Vea la u(r, 0) f(r), u(r, ) 0, 1 r 2.

VHFFLyQ @ [Sugerencia: Use –Ȝ como la constante de separación en
\ GH OD VHFFLyQ @
13. La función u(x) ϭ Y0(ĮD)J0(Į[) Ϫ J0(ĮD)Y0(Į[), a Ͼ 0 es
una solución de la ecuación paramétrica de Bessel

x2 d 2u du 2x2u 0
d x2 x

dx

en el intervalo [a, b]. Si los eigenvalores Ȝn ϭ Į2n VH GH¿- 17. Determine la temperatura de estado estable u(r, z) en un
nen como las raíces positivas de la ecuación FLOLQGUR ¿QLWR GH¿QLGR SRU Յ r Յ Յ z Յ VL ODV
condiciones de frontera son

Y0( a)J0( b) J0( a)Y0( b) 0, u(1, z) u0, 0 z 1
demuestre que las funciones

um(x) Y0( ma)J0( m x) J0( ma)Y0( m x) u 0, 0 r 1.
u(r, 0) 0,
un(x) Y0( na)J0( n x) J0( na)Y0( n x) zz1
son ortogonales respecto a la función de peso p(x) ϭ x en
el intervalo [a, b]; esto es, [Sugerencia: Utilice Ȝ como la constante de separación en
GH OD VHFFLyQ @

14 TRANSFORMADA INTEGRAL

14.1 Función error
14.2 Transformada de Laplace
14.3 Integral de Fourier
14.4 Transformadas de Fourier
REPASO DEL CAPÍTULO 14

El método de separación de variables para resolver problemas con valores en
la frontera es muy poderoso pero no tiene aplicación universal. Si la ecuación
diferencial parcial es no homogénea, si las condiciones de frontera dependen del
WLHPSR R VL HO GRPLQLR GH OD YDULDEOH HVSDFLDO HV XQ LQWHUYDOR LQ¿QLWR Ϫϱ,ϱ)
R VHPLLQ¿QLWR a, ϱ), puede ser posible resolver problemas que impliquen a las
ecuaciones de calor y de onda mediante la conocida transformada de Laplace. En la
sección 14.4 se introducen tres nuevas transformadas integrales, las transformadas
de Fourier.

500

14.1 FUNCIÓN ERROR l 501

14.1 FUNCIÓN ERROR

REPASO DE MATERIAL
l 9HD OD HFXDFLyQ \ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ

INTRODUCCIÓN (Q PDWHPiWLFDV KD\ QXPHURVDV IXQFLRQHV TXH VH GH¿QHQ FRQ XQD LQWHJUDO

3RU HMHPSOR HQ PXFKRV WH[WRV WUDGLFLRQDOHV GH FiOFXOR VH GH¿QH DO ORJDULWPR QDWXUDO FRPR

ln x x dt>t, x 0 (Q ORV FDStWXORV DQWHULRUHV H[SOLFDPRV DXQTXH HQ IRUPD EUHYH OD IXQFLyQ
1

HUURU HUI x OD IXQFLyQ HUURU FRPSOHPHQWDULD HUIF x OD IXQFLyQ LQWHJUDO GHO VHQR 6L x), la integral

seno de Fresnel S x) y la función gamma, ⌫ Į WRGDV HVDV IXQFLRQHV VH GH¿QHQ HQ WpUPLQRV GH XQD

integral. Antes de aplicar la transformada de Laplace a problemas con valores en la frontera, necesi-

tamos conocer un poco más acerca de la función de error y la función de error complementaria. En

HVWD VHFFLyQ H[DPLQDUHPRV ODV JUi¿FDV \ DOJXQDV SURSLHGDGHV REYLDV GH HUI x \ HUIF x).

PROPIEDADES Y GRÁFICAS /DV GH¿QLFLRQHV GH función error HUI x) y la fun-
ción error complementaria HUIF x) son, respectivamente,

erf(x) 2 x y 2 e u2 du.
erfc(x)
10 e u2 du x
1

Con la ayuda de coordenadas polares se puede demostrar que

e u2 du 1 o 2 e u2 du 1.
02 10

$Vt GH OD SURSLHGDG DGLWLYD GH LQWHUYDORV GH ODV LQWHJUDOHV GH¿QLGDV 0 x x , el
0

último resultado se puede escribir como

y 2 x e u2 du 1.
1
0.8 10 e u2 du
0.6
0.4 x
0.2
erf (x) (VWR GHPXHVWUD TXH HUI x \ HUIF x) se relacionan mediante la identidad
erfc (x)
1 1.5 erf(x) erfc(x) 1.

0.5 x (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH HUI x \ HUIF x) para x Ն 2EVHUYH TXH
2 HUI ϭ HUIF ϭ \ TXH HUI x) → HUIF x) → FXDQGR x → ϱ. Se pueden obtener
RWURV YDORUHV QXPpULFRV GH HUI x \ HUIF x) de un SAC o de tablas. En las tablas, a la fun-
FIGURA 14.1.1 *Ui¿FDV GH HUI x) y ción error con frecuencia se le llama integral de probabilidad (O GRPLQLR GH HUI x) y de
HUIF x) para x Ն HUIF x HV Ϫϱ, ϱ (Q HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV VH OH SHGLUi REWHQHU OD JUi¿FD
de cada función en este intervalo y deducir algunas propiedades adicionales.

/D WDEOD GH ODV WUDQVIRUPDGDV GH /DSODFH QRV VHUYLUi HQ ORV HMHUFLFLRV GH OD
siguiente sección. Las demostraciones de estos resultados son complicadas y no las

presentaremos.

TABLA 14.1 Transformadas de Laplace.

f t), a Ͼ { f (t)} F(s) f t), a Ͼ { f (t)} F(s)

1. 1 e a2/4t e a1s 4. t e a2/4t a e a1s
1t 1s 2 a erfc s 1s

2. a e a2/4t e a1s B 2 1t e a1s
2 1 t3 1s 1s b
a e a1s 5. eabeb2t erfc b 1t a
s be a1s
3. erfc 2 1t s 1s b
2 1t
6. eabeb2t erfc b 1t a a
erfc
2 1t
2 1t

502 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL

EJERCICIOS 14.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-24.

1. a) Demuestre que erf(1t ) 1 t e d . 7. Sean C, G, R y x constantes. Use la tabla 14.1 para de-
b) mostrar que
1 01
Use el teorema de convolución y los resultados del 1 C e x1RCs RG) e Gt/C erf x RC
SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV SDUD GHPRVWUDU TXH (1 .
Cs G 2B t

{erf( 1t)} 1 8. Sea a una constante. Demuestre que
.
s 1s 1
1 senh a 1s 2n 1 a 2n 1 a
2. Utilice el resultado del problema 1 para demostrar que s senh 1s erf erf .
n 0 2 1t
21t

{erfc( 1t)} 1 1 [Sugerencia: 8WLOLFH OD GH¿QLFLyQ H[SRQHQFLDO GHO VHQR KL-
1 . perbólico. Desarrolle 1 (1 e 21s) en una serie geomé-
s 1s 1
trica].
3. Utilice el resultado del problema 1 para demostrar que

{et erf( 1t)} 1 9. Use la transformada de Laplace y la tabla 14.1 para resol-
. ver la ecuación integral
1s (s 1)

4. 8VH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH y(t) 1 t y( )
d.

0 1t

{et erfc( 1t )} 1 10. Utilice el tercero y el quinto elemento de la tabla 14.1
. SDUD GHGXFLU HO VH[WR HOHPHQWR
1s (1s 1)

5. Use el resultado del problema 4 para demostrar que b 1 erf(a)].
[erf(b)
11. Demuestre que e u2 du
2
a

1 et erfc (Ίt ) 1 a
Ίʌ t Ίs 1
12. Demuestre que e u2 du 1 erf(a).

a

6. Encuentre la transformada inversa Tarea para el laboratorio de computación

11 13. /DV IXQFLRQHV HUI x \ HUIF x HVWiQ GH¿QLGDV SDUD x Ͻ
1 Ίs 1 8VH XQ 6$& SDUD VREUHSRQHU ODV JUi¿FDV GH HUI x) y er-
IF x HQ ORV PLVPRV HMHV SDUD Ϫ Յ x Յ ¢7LHQHQ
[Sugerencia: Racionalice un denominador y después DOJXQD VLPHWUtD HVDV JUi¿FDV" ¢$ TXp VRQ LJXDOHV OtPx→Ϫϱ
efectúe una racionalización de un numerador.] HUI x) y límx→Ϫϱ HUIF x "

14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE

REPASO DE MATERIAL
l 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV OLQHDOHV GH VHJXQGR RUGHQ VHFFLRQHV \
l 3URSLHGDGHV RSHUDFLRQDOHV GH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH VHFFLRQHV D

INTRODUCCIÓN La transformada de Laplace de una función f t), t Ն VH GH¿QH FRPR
{ f (t)} 0 e st f (t) dt VLHPSUH TXH OD LQWHJUDO LPSURSLD FRQYHUMD /D LQWHJUDO WUDQVIRUPD OD IXQ-

ción f t) en una función F del parámetro transformado s, es decir, { f (t)} F(s). De la misma
IRUPD TXH HQ HO FDStWXOR GRQGH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH VH XVy SULQFLSDOPHQWH SDUD UHVROYHU
ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, en esta sección utilizamos la transformada de Laplace
SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV 3HUR D GLIHUHQFLD GHO FDStWXOR GRQGH OD WUDQVIRU-
PDGD GH /DSODFH UHGXFH D XQD ('2 OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV D XQD HFXDFLyQ DOJHEUDLFD HQ
HVWD VHFFLyQ YHPRV TXH XQD ('3 FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV VH FRQYLHUWH HQ XQD ('2

14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE l 503

TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Los problemas
con valores en la frontera que consideramos en esta sección implicarán ya sea ecua-

ciones de onda unidimensional o de calor o ligeras variantes de estas ecuaciones. Las
EDP implican una función desconocida de dos variables independientes u x, t) donde
la variable t representa al tiempo t Ն /D WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH GH OD IXQFLyQ
u x, t) respecto a t HVWi GH¿QLGD SRU

{u(x, t)} e st u(x, t) dt,

0

donde x se trata como un parámetro. Continuamos con la convención de usar letras

mayúsculas para indicar la transformada de Laplace de una función escribiendo

{u(x, t)} U(x, s).

TRANSFORMADA DE DERIVADAS PARCIALES Las transformadas de las deriva-
das parciales Ѩu͞Ѩt y Ѩ u͞Ѩt VRQ VLPLODUHV D ODV HFXDFLRQHV \ GH OD VHFFLyQ

u sU(x, s) u(x, 0),
t

2u s2U(x, s) su(x, 0) ut (x, 0).
t2

Debido a que estamos transformando respecto a t, además suponemos que es válido
intercambiar la integración y la derivación en la transformada de Ѩ u͞Ѩx

2u e st 2u 2 d2 e st u(x, t) dt d2
x2 x2 dt dx2 dx2 {u(x, t)};
0 0 x2 [e st u(x, t)] dt 0

es decir, 2u d 2U
x2 dx2 .

'H ODV HFXDFLRQHV \ YHPRV TXH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH HV DGHFXDGD
para problemas con condiciones iniciales, en particular, con problemas asociados con
la ecuación de calor o con la ecuación de onda.

EJEMPLO 1 Transformada de Laplace de una EDP

Determine la transformada de Laplace de la ecuación de onda a2 2u 2u
x2 t2 , t 0.

SOLUCIÓN 'H OD HFXDFLyQ \

a2 2u 2u
x2 t2

se convierte en a2 d2 {u(x, t)} s2 {u(x, t)} su(x, 0) ut(x, 0)
dx2

o a2 d 2U s2U su(x, 0) ut(x, 0).
dx2

La transformada de Laplace respecto a t de la ecuación de onda o de la ecuación de
calor elimina esa variable y para ecuaciones unidimensionales las ecuaciones transfor-
madas son entonces ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable espacial x. Al
resolver una ecuación transformada, consideraremos a s un parámetro.

504 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL

EJEMPLO 2 Uso de la transformada de Laplace para resolver un PVF

Resuelva 2u 2u
VXMHWD D x2 t2 , 0 x 1, t 0

u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0

u(x, 0) 0, u sen x, 0 x 1.

tt 0

SOLUCIÓN Se reconoce a la ecuación diferencial parcial como la ecuación de onda
con a ϭ $ SDUWLU GH OD HFXDFLyQ \ GH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GDGD OD HFXDFLyQ
transformada es

d 2U s2U sen x,
dx2

donde U(x, s) {u(x, t)}. Como las condiciones en la frontera son funciones de t,
WDPELpQ KDEUi TXH GHWHUPLQDU VXV WUDQVIRUPDGDV GH /DSODFH

{u(0, t)} U(0, s) 0 y {u(1, t)} U(1, s) 0.

/RV UHVXOWDGRV HQ OD HFXDFLyQ VRQ FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD SDUD OD HFXDFLyQ GLIH-
UHQFLDO RUGLQDULD 3XHVWR TXH OD HFXDFLyQ HVWi GH¿QLGD HQ XQ LQWHUYDOR ¿QLWR VX
función complementaria es

Uc(x, s) c1 cosh sx c2 senh sx.

&RQ HO PpWRGR GH ORV FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH REWLHQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU

Up(x, s) s2 1 2 sen x.

Por lo que U(x, s) c1 cosh sx c2 senh sx s2 1 2 sen x.

Pero las condiciones U s) ϭ \ U s) ϭ KDFHQ TXH D VX YH] c1 ϭ \ c ϭ
Se concluye que,

U(x, s) 1
u(x, t) s2 2 sen x
Por tanto
11 2 sen x 1 1 2.
s2 sen x
s2

1
u(x, t) sen x sen t.

EJEMPLO 3 Uso de la transformada de Laplace para resolver un PVF

8QD FXHUGD PX\ ODUJD HVWi LQLFLDOPHQWH HQ UHSRVR VREUH OD SDUWH QR QHJDWLYD GHO HMH
x. La cuerda está anclada en x ϭ \ VX GLVWDQWH H[WUHPR GHUHFKR VH GHVOL]D KDFLD
DEDMR SRU XQ VRSRUWH YHUWLFDO VLQ IULFFLyQ /D FXHUGD VH SRQH HQ PRYLPLHQWR GHMiQGROD
caer por su propio peso. Determine el desplazamiento u x, t).

SOLUCIÓN Puesto que se considera la fuerza de gravedad se puede demostrar que la
ecuación de onda tiene la forma

a2 2u g 2u x 0, t 0.
x2 t2 ,

14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE l 505

Aquí g representa la aceleración constante debida a la gravedad. Las condiciones fron-

tera e iniciales son, respectivamente,

u(0, t) 0, lím u 0, t 0

x: x

u(x, 0) 0, u 0, x 0.

tt 0

La segunda condición en la frontera, límx : u͞ x 0, indica que la cuerda está hori-

]RQWDOPHQWH D XQD JUDQ GLVWDQFLD GH VX H[WUHPR L]TXLHUGR $KRUD GH ODV HFXDFLRQHV \

a2 2u {g} 2u
x2 t2

se convierten en a2 d 2U g s2U su(x, 0) ut(x, 0)
dx2 s

o, en vista de las condiciones iniciales,

d 2U s2 g
dx2 a2 U a2s.

Las transformadas de las condiciones en la frontera son

{u(0, t)} U(0, s) 0 y u dU
lím lím 0.
x: x x: dx

&RQ D\XGD GHO PpWRGR GH ORV FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VH YH TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO

de la ecuación transformada es

U(x, s) c1e (x/a)s c2e(x/a)s g
s3.

La condición en la frontera límx : dU͞dx 0 implica que c ϭ \ TXH U s) ϭ
lo que da como resultado que c1 ϭ g͞s . Por tanto

U(x, s) g (x /a) s g
s3 e s3.

Ahora, de acuerdo con el segundo teorema de traslación, tenemos que

u(x, t) 1 g (x /a) s g 1 x2 x 1 gt2
s3 e s3 gt t 2
2a a
u
Soporte 1 gt2, x
vertical 0t
2a
at “en ∞” o u(x, t)
g x
x 2a2 (2axt x2), t .
a

( a t , − 1 gt 2) Para interpretar la solución, supongamos que t Ͼ HVWi ¿MR 3DUD Յ x Յ at, la
2 1
FXHUGD WLHQH OD IRUPD GH XQD SDUiEROD TXH SDVD SRU \ SRU (at, 2 gt2). Para x Ͼ at,

FIGURA 14.2.1 Cuerda la cuerda se describe con la recta horizontal u 1 gt2 9HD OD ¿JXUD
³LQ¿QLWDPHQWH ODUJD´ FD\HQGR EDMR VX 2
propio peso.
2EVHUYH TXH HO SUREOHPD GHO VLJXLHQWH HMHPSOR VH SRGUtD UHVROYHU FRQ HO SURFHGLPLHQWR GH
OD VHFFLyQ /D WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH SURSRUFLRQD XQ PpWRGR DOWHUQDWLYR

EJEMPLO 4 Una solución en términos de erf(x)

Resuelva la ecuación de calor u 0 x 1, t 0
,
2u t
x2

506 l CAPÍTULO 14 TRANSFORMADA INTEGRAL

VXMHWD D u(0, t) 0, u(1 , t) u0, t 0
u(x, 0) 0, 0 x 1.

SOLUCIÓN 'H ODV HFXDFLRQHV \ \ GH OD FRQGLFLyQ LQLFLDO GDGD

2u u
x2 t

se convierte en d 2U
dx2 sU 0.

La transformada de las condiciones en la frontera es

U(0, s) 0 y U(1, s) u0.
s

3XHVWR TXH QRV RFXSD XQ LQWHUYDOR ¿QLWR HQ HO HMH x, optamos por escribir la solución
JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ HQ OD IRUPD

U(x, s) c1 cosh ( 1sx) c2 senh (1sx).

$SOLFDQGR ODV GRV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD GH OD HFXDFLyQ VH REWLHQH UHVSHFWL
vamente, c1 0 y c2 u0 (s senh 1s),. Así

U(x, s) u0 senh (1sx)
.
s senh 1s

Ahora, la transformada inversa de esta última función no aparece en la mayor
parte de las tablas. Sin embargo, si escribimos

senh (1sx) e1 sx e 1sx e(x 1)1s e (x 1)1s

s senh 1s s(e1s e 1s) s(1 e 21s)

y usando la serie geométrica

1 e 2n1s

1 e 21s n0

encontramos senh (1sx) e (2n 1 x)1s e (2n 1 x)1s
s senh 1s n0 s .

s

Si suponemos que se puede hacer la transformada inversa de Laplace término a tér-
PLQR HQWRQFHV GH DFXHUGR FRQ OD HQWUDGD GH OD WDEOD WHQHPRV TXH

u(x, t) u0 1 senh (1sx)
s senh 1s

u0 1 e (2n 1 x)1s 1 e (2n 1 x)1s
s s
n0

u0 erfc 2n 1 x 2n 1 x .
erfc
n0 21t 21t

/D VROXFLyQ VH SXHGH H[SUHVDU HQ WpUPLQRV GH OD IXQFLyQ HUIF x) ϭ 1 Ϫ HUI x

u(x, t) u0 erf 2n 1 x 2n 1 x .
erf
n0 21t 21t

/D ¿JXUD D TXH VH REWXYR FRQ OD D\XGD GH OD DSOLFDFLyQ ' SORW GH XQ 6$&
PXHVWUD OD VXSHU¿FLH VREUH OD UHJLyQ UHFWDQJXODU Յ x Յ Յ t Յ GH¿QLGD SRU OD
suma parcial S x, t GH OD VROXFLyQ FRQ u ϭ 6H YH GH OD VXSHU¿FLH \ GH ODV
JUi¿FDV ELGLPHQVLRQDOHV DGMXQWDV TXH SDUD XQ YDORU ¿MR GH x OD FXUYD GH LQWHUVHFFLyQ
GH XQ SODQR TXH FRUWD OD VXSHU¿FLH SHUSHQGLFXODUPHQWH DO HMH x HQ HO LQWHUYDOR > @ OD
temperatura u x, t) aumenta con rapidez hasta un valor constante conforme se incrementa

14.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE l 507

HO WLHPSR 9pDQVH ODV ¿JXUDV E \ O F 3DUD XQ WLHPSR ¿MR OD FXUYD GH LQWHU-
VHFFLyQ GH XQ SODQR TXH FRUWD OD VXSHU¿FLH SHUSHQGLFXODUPHQWH DO HMH t) la temperatura
u x, t DXPHQWD HQ IRUPD QDWXUDO GH D 9pDQVH ODV ¿JXUDV O G \ H

100 6 u(0.2,t) 6t u(0.7,t) 6t
7550 4 100 100
u (x, t) 250 2t 80
80 60
60 40
40 20
20
12345
12345
c) x ϭ 0.7
b) x ϭ 0.2

0 0.2

0.4 0.6 0.8 10 u(x,0.1) u(x,4)
x 120 120
100 100
a) 80 80
60 60
40 40
20 20

x x
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

d) t ϭ 0.1 e) t ϭ 4

FIGURA 14.2.2 *Ui¿FD GH OD VROXFLyQ GDGD HQ OD HFXDFLyQ (Q ODV ¿JXUDV E \ F x se
FRQVHUYD FRQVWDQWH (Q ODV ¿JXUDV G \ H t se conserva constante.

EJERCICIOS 14.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-24.

1. 6H HVWLUD XQD FXHUGD D OR ODUJR GHO HMH x HQWUH \ L 5. (Q HO HMHPSOR HQFXHQWUH HO GHVSOD]DPLHQWR u x, t) cuando
Determine el desplazamiento u x, t) si la cuerda parte del DO H[WUHPR L]TXLHUGR GH OD FXHUGD HQ x ϭ VH OH FRPXQLFD XQ
reposo en la posición inicial A VHQ ʌ[͞L). movimiento oscilatorio que se describe con f t) ϭ A sen ȦW.

2. Resuelva el problema con valores en la frontera 6. El desplazamiento u x, t) de una cuerda impulsada por
XQD IXHU]D H[WHUQD VH GHWHUPLQD GH
2u 2u
x2 t2 , 0 x 1, t 0 2u 2u
x2 sen x sen t t2 , 0 x 1, t 0
u(0, t) 0, u(1, t) 0 u(0, t) 0, u(1, t) 0, t 0

u(x, 0) 0, u 2 sen x 4 sen 3 x. u

tt0 u(x, 0) 0, tt0 0, 0 x 1.

3. (O GHVSOD]DPLHQWR GH XQD FXHUGD HOiVWLFD VHPLLQ¿QLWD VH Determine u x, t).
determina a partir de
7. 8QD EDUUD XQLIRUPH HVWi VXMHWD HQ x ϭ \ HVWi LQLFLDOPHQWH
a2 2u 2u en reposo. Si se aplica una fuerza constante F DO H[WUHPR
x2 t2 , x 0, t 0 libre en x ϭ L, el desplazamiento longitudinal u x, t) de una
f (t), lím u(x, t) 0, t 0 sección transversal de la barra se determina de
u(0, t)
x: 2u 2u
a2 x2 t2 , 0 x L, t 0
u
u(x, 0) 0, 0, x 0.

tt 0 u

u(0, t) 0, E F0, E constante, t 0
xx L
Determine u x, t).
4. 5HVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD FXDQGR u(x, 0) u
0, 0, 0 x L.

tt0

sen t, 0 t 1 Determine u x, t). [Sugerencia: Desarrolle 1͞ ϩ eϪ sL/a)
f (t) en una serie geométrica.]

0, t 1.

'LEXMH HO GHVSOD]DPLHQWR u x, t) para t Ͼ 1. 8. 8QD YLJD HOiVWLFD VHPLLQ¿QLWD TXH VH PXHYH D OR ODUJR GHO
HMH x con una velocidad constante –v se detiene al golpear