ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

398 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

EJEMPLO 8 Método del plano fase

8VH HO PpWRGR GHO SODQR IDVH SDUD FODVL¿FDU HO ~QLFR SXQWR FUtWLFR GHO VLVWHPD
autónomo plano

x y2

y x2.

SOLUCIÓN El determinante de la matriz Jacobiana

g (X) 0 2y
2x 0

y es 0 en (0, 0), por lo que la naturaleza del punto crítico (0, 0) queda en duda. Al aplicar
2 el método del plano fase se obtiene la ecuación diferencial de primer orden

−2 dy dy>dt x2
dx dx>dt y2,

que se puede resolver con facilidad por separación de variables:

2x y2 dy x2 dx o y3 x3 c.

−2 Si X(0) ϭ (0, y0), se tiene que y3 x3 y30 o y 13 x3 y30 /D ¿JXUD PXHV-
tra un conjunto de curvas solución que corresponden a diversas elecciones de y0. La
FIGURA 10.3.8 Plano fase del naturaleza del punto crítico queda claro con este plano fase independientemente de lo
sistema no lineal del ejemplo 8.
cerca de (0, 0) que inicie la solución, X(t) se aleja del origen conforme t aumenta. Por

tanto el punto crítico en (0, 0) es inestable.

EJEMPLO 9 Análisis del plano fase de un resorte suave

Utilice el método del plano fase para determinar la naturaleza de las soluciones de xЉ
ϩ x Ϫ x3 ϭ 0 en una vecindad de (0, 0).

SOLUCIÓN Si hacemos que dx͞dt ϭ y, entonces dy͞dt ϭ x3 Ϫ x. A partir de esto se
obtiene la ecuación diferencial de primer orden

dy dy>dt x3 x
,
y dx dx>dt y

que se puede resolver por separación de variables. Integrando

2 y2 x4 x2
x) dx se obtiene
y dy (x3 242 c.

Después de completar el cuadrado, podemos escribir la solución como y2 ϭ 21(
21(x02 1)2, y así
x (x2 Ϫ 1)2 ϩ c0. Si X(0) ϭ (x0, 0), donde 0 Ͻ x0 Ͻ 1, entonces c0
−
(x2 1)2 (x02 1)2 (2 x2 x20)(x20 x2)
y2 .
22 2

−2 Observe que y ϭ 0 cuando x ϭ Ϫx0. Además, el lado derecho es positivo cuando Ϫ x0
Ͻ x Ͻ x0, por lo que cada x tiene dos valores correspondientes de y. La solución X ϭ
FIGURA 10.3.9 Plano fase del X(t) que satisface X(0) ϭ (x0, 0) es, por tanto, periódica, así que (0, 0) es un centro.
sistema no lineal del ejemplo 9.
/D ¿JXUD PXHVWUD XQD IDPLOLD GH FXUYDV VROXFLyQ R SODQR IDVH GHO VLVWHPD
original. Usamos el sistema autónomo plano original para determinar las direcciones
indicadas en cada trayectoria.

10.3 LINEALIZACIÓN Y ESTABILIDAD LOCAL l 399

EJERCICIOS 10.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-17.

1. Demuestre que (0, 0) es un punto crítico asintóticamente 17. xЈ ϭ Ϫ2xy 18. xЈ ϭ x(1 Ϫ x2 Ϫ 3y2)
estable del sistema autónomo no lineal
x x y y2 yЈ ϭ y Ϫ x ϩ xy Ϫ y3 yЈ ϭ y(3 Ϫ x2 Ϫ 3y2)

y x y xy ( )19. x 1 y 20. xЈ ϭ Ϫ2x ϩ y ϩ 10
x 10 x 2 yЈ ϭ 2x Ϫ y Ϫ 15 y
cuando Į Ͻ 0 y un punto crítico inestable cuando Į Ͼ 0. y5
[Sugerencia: Cambie a coordenadas polares]. yЈ ϭ y(16 Ϫ y Ϫ x)

2. &XDQGR VH H[SUHVD HQ FRRUGHQDGDV SRODUHV XQ VLVWHPD (Q ORV SUREOHPDV D FODVL¿TXH VL HV SRVLEOH FDGD SXQWR
autónomo plano tiene la forma crítico de la ecuación diferencial de segundo orden dada como
un nodo estable, un punto espiral estable, un punto espiral
dr inestable, un nodo inestable o un punto silla.
r(5 r)
21. șЉ ϭ (cos ș Ϫ 0.5) sen ș, ͉ș͉ Ͻ ʌ
dt
d ( )22. x 1
x 2 3(x )2 x x2
1.
dt 23. xЉ ϩ xЈ(1 Ϫ x3) Ϫ x2 ϭ 0

Demuestre que (0, 0) es un punto crítico asintóticamente x
estable si y sólo si Į Ͻ 0.

24. x 4 x2 2x 0
1
(Q ORV SUREOHPDV D VLQ UHVROYHUORV H[SOtFLWDPHQWH FODVL-
¿TXH ORV SXQWRV FUtWLFRV GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV DXWy- 25. xЉ ϩ x ϭ ⑀x3 para ⑀ Ͼ 0
nomas de primer orden en asintóticamente estables o inesta-
26. xЉ ϩ x Ϫ ⑀x͉x͉ ϭ 0 para ⑀ Ͼ 0
bles. Se supone que todas las constantes son positivas.
d
dx kx (n 1 x) dx x Sugerencia: x x 2 x .
3. dt 4. kx ln , x 0
dx
dt K 27. Demuestre que la ecuación diferencial no lineal de se-

dT 6. m dv mg kv gundo orden
5. dt k(T T0)
dt (1 ϩ Į2x2)xЉ ϩ (ȕ ϩ Į2(xЈ)2)x ϭ 0

dx tiene un punto silla en (0, 0) cuando ȕ Ͻ 0.
7. k( x)( x),
28. Demuestre que el sistema dinámico
dt
xЈ ϭ ϪĮ[ ϩ xy
dx yЈ ϭ 1 Ϫ ȕ\ Ϫ x2
8. k( x)( x)( x), tiene un punto crítico único cuando Įȕ Ͼ 1 y que este
punto crítico es estable cuando ȕ Ͼ 0.
dt

dP P(a bP)(1 cP 1), P 0, a bc
9.
dt

dA k 1A (K 1A), A 0 29. a) Demuestre que el sistema autónomo plano
10.
dt

xЈ ϭ Ϫx ϩ y Ϫ x3

(Q ORV SUREOHPDV D FODVL¿TXH VL HV SRVLEOH FDGD SXQWR yЈ ϭ Ϫx Ϫ y ϩ y2
crítico del sistema autónomo plano dado, como un nodo es-
table, un punto espiral estable, un punto espiral inestable, un W LHQH GRV SXQWRV FUtWLFRV WUD]DQGR ODV JUi¿FDV GH Ϫx
nodo inestable o un punto silla. ϩ y Ϫ x3 ϭ 0 y Ϫx Ϫ y ϩ y2 ϭ &ODVL¿TXH HO SXQWR
crítico en (0, 0).

11. xЈ ϭ 1 Ϫ 2xy 12. xЈ ϭ x2 Ϫ y2 Ϫ 1 b) Demuestre que el segundo punto crítico X1 ϭ
yЈ ϭ 2xy Ϫ y yЈ ϭ 2y (0.88054, 1.56327) es un punto silla.

13. xЈ ϭ y Ϫ x2 ϩ 2 14. xЈ ϭ 2x Ϫ y2 30. a) Demuestre que (0, 0) es el único punto crítico de la
yЈ ϭ x2 Ϫ xy yЈ ϭ Ϫy ϩ xy ecuación diferencial de Raleigh

15. xЈ ϭ Ϫ3x ϩ y2 ϩ 2 16. xЈ ϭ xy Ϫ 3y Ϫ 4 ( )x 1 (x )3 x x 0.
yЈ ϭ x2 Ϫ y2 yЈ ϭ y2 Ϫ x2 3

400 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

b) Demuestre que (0, 0) es inestable cuando ⑀ Ͼ 0. (QFXHQWUH \ FODVL¿TXH WRGRV ORV SXQWRV FUtWLFRV GH HVWD
¿Cuándo es (0, 0) un punto espiral inestable? ecuación diferencial no lineal. [Sugerencia: Divida en
dos casos: cuando ȕ Ͼ 0 y cuando ȕ Ͻ 0.]
c) Demuestre que (0, 0) es estable cuando ⑀ Ͻ 0.
¿Cuándo es (0, 0) un punto espiral estable? 38. La ecuación no lineal mxЉ ϩ kx ϩ k1x3 ϭ 0 para k Ͼ 0
representa un modelo general de las oscilaciones libres
d) Demuestre que (0, 0) es un centro cuando ⑀ ϭ 0.
no amortiguadas, de una masa m ¿MD D XQ UHVRUWH 6L k1 Ͼ
31. Use el método del plano fase para mostrar que (0, 0) es 0, el resorte se llama duro (vea el ejemplo 1 de la sección
un centro de la ecuación diferencial no lineal de segundo
orden xЉ ϩ 2x3 ϭ 0. 5.3). Determine la naturaleza de las soluciones de xЉ ϩ x

32. Utilice el método del plano fase para demostrar que la ϩ x3 ϭ 0 en una vecindad de (0, 0).
solución de la ecuación diferencial no lineal de segundo
orden xЉ ϩ 2x Ϫ x2 ϭ 0, que satisface x(0) ϭ 1 y xЈ(0), 39. La ecuación no lineal șЉ ϩ sen ș ϭ 1 se puede interpretar
ϭ 0 es periódica. 2

33. a) Determine los puntos críticos del sistema autónomo como modelo para cierto péndulo bajo la acción de una
plano
función de fuerza aplicada constante.
xЈ ϭ 2xy
a) Demuestre que (ʌ͞6, 0) y (5ʌ͞6, 0) son puntos críti-
yЈ ϭ 1 Ϫ x2 ϩ y2, cos del sistema autónomo plano correspondiente.

y demuestre que la linealización no aporta informa- b) & ODVL¿TXH HO SXQWR FUtWLFR ʌ͞6, 0) usando linealiza-
ción acerca de la naturaleza de estos puntos críticos. ción.
b) Use el método del plano fase para demostrar que
ambos puntos críticos en a) son centros. c) 8 VH HO PpWRGR GHO SODQR IDVH SDUD FODVL¿FDU HO SXQWR
[Sugerencia: Sea u ϭ y2͞x y demuestre que crítico (ʌ͞6, 0).
(x Ϫ c)2 ϩ y2 ϭ c2 Ϫ 1.]
Problemas para analizar

40. a) Demuestre que (0, 0) es un punto crítico aislado del
sistema autónomo plano

34. El origen es el único punto crítico de la ecuación diferen- xЈ ϭ x4 Ϫ 2xy3
cial no lineal de segundo orden xЉ ϩ (xЈ)2 ϩ x ϭ 0. yЈ ϭ 2x3y Ϫ y4

a) Demuestre que el método del plano fase conduce a la

ecuación diferencial de Bernoulli dy͞dx ϭ Ϫy – xyϪl.

b) Demuestre que la solución que satisface x(0) 1 y
2
xЈ(0) ϭ 0 no es periódica. pero que con la linealización no se obtiene informa-
ción útil acerca de la naturaleza de este punto crítico.
35. Una solución de la ecuación diferencial no lineal de se-
gundo orden xЉ ϩ x Ϫ x3 ϭ 0 satisface x(0) ϭ 0 y xЈ(0) b) Utilice el método del plano fase para demostrar que
ϭ v0. Aplique el método del plano fase para determinar x3 ϩ y3 ϭ 3cxy. A esta curva clásica se le llama hoja
cuándo la solución resultante es periódica. [Sugerencia: o folium de Descartes. Las ecuaciones paramétricas
de una de estas hojas son
Vea el ejemplo 9.]

36. La ecuación diferencial no lineal xЉ ϩ x ϭ 1 ϩ ⑀x2 surge 3ct 3ct2
en el análisis del movimiento planetario usando teoría de x 1 t3, y 1 t3.
OD UHODWLYLGDG &ODVL¿TXH VL HV SRVLEOH ORV SXQWRV FUtWLFRV
del sistema plano autónomo correspondiente.

37. Cuando en un circuito RCL hay un capacitor no lineal, [Sugerencia: La ecuación diferencial en x y y es ho-
OD FDtGD GH YROWDMH \D QR VH H[SUHVD FRQ q͞C sino que se mogénea.]

GHVFULEH FRQ PiV H[DFWLWXG FRQ ĮT ϩ ȕT3, donde Į y ȕ son c) & RQ XQ SURJUDPD SDUD JUD¿FDU R XQ SURJUDPD GH VR-
lución numérica, trace las curvas solución. Con base
constantes y Į Ͼ 0. Entonces, la ecuación diferencial (34) HQ VXV JUi¿FDV ¢FODVL¿FDUtD HO SXQWR FUtWLFR FRPR
HVWDEOH R FRPR LQHVWDEOH" ¢&ODVL¿FDUtD HO SXQWR FUt-
de la sección 5.1 del circuito libre se reemplaza por tico como nodo, punto silla, centro o punto espiral?
([SOLTXH SRU TXp
d2q dq q3 0.
L dt2 R q
dt

10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 401

10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS

REPASO DE MATERIAL

l Secciones 1.3, 3.3 y 10.3.

INTRODUCCIÓN En muchas aplicaciones de la física surgen ecuaciones diferenciales autóno-
mas no lineales de segundo orden, es decir ED de la forma xЉ ϭ g(x, xЈ). Por ejemplo, en el análisis
del movimiento libre amortiguado, en la sección 5.1, supusimos que la fuerza de amortiguamiento
era proporcional a la velocidad xЈ y el modelo resultante fue mxЉ ϭ Ϫȕ[Ј Ϫ kx que es una ecuación
diferencial lineal. Pero si la magnitud de la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado
de la velocidad, la nueva ecuación diferencial mxЉ ϭ Ϫȕ[Ј͉ xЈ͉ Ϫ kx es no lineal. El sistema autónomo
plano correspondiente es no lineal:

xy

k
y y y x.

mm
En esta sección también analizaremos el péndulo no lineal, el movimiento de una cuenta sobre
una curva, los modelos depredador-presa de Lotka-Volterra y el modelo de competencia de Lotka-
Volterra. En los ejercicios se presentan otros modelos.

PÉNDULO NO LINEAL En la ecuación (6) de la sección 5.3 demostramos que el
ángulo ș de desplazamiento de un péndulo simple satisface la ecuación diferencial no
lineal de segundo orden

d2 g 0.
sen
dt2 l

Cuando hacemos x ϭ ș y y ϭ șЈ, esta ecuación diferencial de segundo orden se puede
H[SUHVDU FRPR HO VLVWHPD GLQiPLFR

xy
g

y sen x.
l

Los puntos críticos son (ϮNʌ, 0) y se demuestra con facilidad que la matriz Jacobiana es

a) ␪ ϭ 0, ␪Ј ϭ 0 b) ␪ ϭ ␲, ␪Ј ϭ 0 g (( k , 0)) 0 1
FIGURA 10.4.1 (0, 0) es estable y (ʌ, ( 1)k 1 g .
0) es inestable.
l 0
y
Si k ϭ 2n ϩ 1, entonces ⌬ Ͻ 0, por lo que todos los puntos críticos (Ϯ(2n ϩ 1)ʌ, 0) son pun-
−3π −π π 3π x tos silla. En particular, el punto crítico en (ʌ, 0) es inestable, como era de esperarse. Vea la
¿JXUD &XDQGR k ϭ 2n, los eigenvalores son imaginarios puros y así la naturaleza de
FIGURA 10.4.2 Plano fase de un esos puntos críticos queda en duda. Dado que hemos supuesto que no hay fuerzas de amor-
péndulo; las curvas onduladas indican tiguamiento que actúen sobre el péndulo, esperamos que todos los puntos críticos (Ϯ2Qʌ, 0)
que el péndulo está girando respecto a su sean centros. Esto se puede comprobar utilizando el método del plano fase. De
pivote.
dy dy>dt g sen x
dx dx>dt ly

se tiene que y2 ϭ (2g͞l) cos x ϩ c. Si X(0) ϭ (x0, 0), entonces y2 ϭ (2g͞l)(cos x Ϫ cos
x0). Observe que y ϭ 0 cuando x ϭ Ϫx0 y que (2g͞l)(cos x Ϫ cos x0) Ͼ 0 para ͉ x ͉ Ͻ
͉x0͉ Ͻ ʌ. Así, cada x tiene dos valores correspondientes de y, por lo que la solución X
ϭ X(t) que satisface X(0) ϭ (x0, 0) es periódica. Podemos concluir que (0, 0) es un
centro. Observe que x ϭ ș aumenta para soluciones que corresponden a velocidades
LQLFLDOHV JUDQGHV FRPR OD GLEXMDGD HQ URMR HQ OD ¿JXUD (Q HVWH FDVR HO SpQGXOR
da vuelta o gira en circunferencias completas alrededor de su pivote.

402 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

EJEMPLO 1 Soluciones periódicas de la ED del péndulo

A un péndulo en una posición de equilibrio con ș ϭ 0 se le proporciona una velocidad

angular inicial de Ȧ0 rad͞s. Determine bajo qué condiciones es periódico el movi-
miento resultante.

SOLUCIÓN 6H QRV SLGH H[DPLQDU OD VROXFLyQ GHO VLVWHPD DXWyQRPR SODQR TXH VDWLV-

face X(0) ϭ (0, Ȧ0). A partir de y2 ϭ (2g͞l) cos x ϩ c se tiene que

y2 2g 1 l 2 .
cos x 2g 0

l

Para establecer si la solución X(t) es periódica, basta demostrar que hay dos intersec-

ciones con el eje x, x ϭ Ϯ x0 entre Ϫʌ y ʌ y que el miembro de la derecha es positivo
para ͉ x ͉ Ͻ ͉ [0͉. Cada
Si y ϭ 0, cos x x tiene dos valores correspondientes de y.
1 esta ecuación tiene dos
(l͞2g) 02, y soluciones x ϭ Ϯ x0

entre Ϫʌ y ʌ, suponiendo que 1 (l͞2g) 2 1. Observe que (2g͞l)(cos x Ϫ cos
0

x0) es entonces positivo para ͉ x ͉ Ͻ ͉ x0͉. Esta restricción de la velocidad angular se
puede escribir como 0 2 2g>l.

z OSCILACIONES NO LINEALES: LA CUENTA DESLIZANTE Supongamos que,
FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD XQD FXHQWD GH PDVD m se desliza a lo largo de un
mg senθ z = f (x) alambre delgado, cuya forma se describe por la función z ϭ f (x). Cambiando la forma
del alambre y haciendo diferentes hipótesis acerca de las fuerzas que actúan sobre la
θ W = mg
cuenta se puede obtener gran variedad de oscilaciones no lineales.
θ La fuerza tangencial F debida al peso W ϭ mg tiene la magnitud mg sen ș y por

FIGURA 10.4.3 Algunas de las tanto la componente de F en el eje x es Fx ϭ Ϫmg sen ș cos ș. Puesto que tan ș ϭ f Ј(x),
fuerzas que actúan sobre la cuenta se pueden usar las identidades 1 ϩ tan2ș ϭ sec2ș y sen2ș ϭ 1 Ϫ cos2ș para concluir que
deslizante.
x Fx mg sen cos mg f (x)
1 [ f (x)]2.

Suponemos (como en la sección 5.1) que una fuerza de amortiguamiento D, que actúa

en dirección opuesta al movimiento, es un múltiplo constante de la velocidad de la

cuenta. La componente x de D es, por tanto, Dx ϭ Ϫȕ[Ј. Si se desprecia la fuerza de
IULFFLyQ HQWUH HO DODPEUH \ OD FXHQWD \ VH VXSRQH TXH QR KD\ RWUDV IXHU]DV H[WHUQDV TXH

actúen sobre el sistema, entonces de la segunda ley de Newton se tiene que

mx mg f (x) x,
1
[ f (x)]2

y el correspondiente sistema autónomo plano es

xy

y g f (x) y.
1 m
[ f (x)]2

Si X1 ϭ (x1, y1) es un punto crítico del sistema, y1 ϭ 0 y, por tanto, f Ј(x1) ϭ 0. En
consecuencia la cuenta debe estar en reposo en un punto del alambre donde la recta

tangente es horizontal. Cuando f es dos veces derivable, la matriz Jacobiana de X1 es

g (X1) 0 1
g f (x1) >m ,

por lo que IJ ϭ Ϫȕ͞m, ⌬ ϭ gf Љ(x1) y IJ2 Ϫ 4⌬ ϭ ȕ2͞m2 Ϫ 4gf Љ(x1). Utilizando los resul-
tados de la sección 10.3, podemos hacer las siguientes conclusiones:

i) f Љ(x1) Ͻ 0:
3RU WDQWR VH SUHVHQWD XQ Pi[LPR UHODWLYR HQ x ϭ x1 y puesto que ⌬ Ͻ 0, hay
ϭ
un punto silla inestable en X1 (x , 0).
1

10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 403

ii) f Љ(x1) Ͼ 0 y ȕ Ͼ 0:
Por tanto, hay un mínimo relativo en x ϭ x1 y puesto que IJ Ͻ 0 y
⌬ Ͼ 0, X1 ϭ (x1, 0) es un punto crítico estable. Si ȕ2 Ͼ 4gm2f Љ(x1), el
sistema está sobreamortiguado y el punto crítico es un nodo estable. Si

ȕ2 Ͻ 4gm2f Љ(x1) el sistema está subamortiguado y el punto crítico es un
punto espiral estable. Si ȕ2 ϭ 4gm2f Љ(x1) queda aún en duda la naturaleza
H[DFWD GHO SXQWR FUtWLFR HVWDEOH

iii) f Љ(x1) Ͼ 0 y el sistema es no amortiguado (ȕ ϭ 0):
En este caso, los eigenvalores son imaginarios puros, pero se puede usar

el método del plano fase para demostrar que el punto crítico es un centro.

Por tanto, las soluciones con X(0) ϭ (x(0), xЈ(0)) cerca de X1 ϭ (x , 0) son
1

periódicas.

z EJEMPLO 2 Cuenta deslizante a lo largo de una onda senoidal

−π/ 2 z = sen x 8QD FXHQWD GH JUDPRV UHVEDOD SRU OD JUi¿FD GH z ϭ sen x. De acuerdo con la conclusión
−π 3π/ 2 ii), los mínimos relativos en x1 ϭ Ϫʌ͞2 y 3ʌ͞2 dan lugar a puntos críticos estables (vea
πx OD ¿JXUD 3XHVWR TXH f Љ(Ϫʌ͞2) ϭ f Љ(3ʌ͞2) ϭ 1, el sistema estará subamortiguado
cuando ȕ2 Ͻ 4gm2. Si se usan unidades del SI, m ϭ 0.0l kg y g ϭ 9.8 m͞s2, entonces la
FIGURA 10.4.4 Ϫ ʌ͞2 y 3ʌ͞2 son condición para un sistema subamortiguado se convierte en ȕ2 Ͻ 3.92 ϫ 10Ϫ3.
estables.
Si ȕ ϭ 0.01 es la constante de amortiguamiento, entonces ambos puntos críticos
x′ son puntos espiral estables. Las dos soluciones que corresponden a las condiciones
iniciales X(0) ϭ (x(0), xЈ(0)) ϭ (Ϫ2ʌ, 10) y X(0) ϭ (Ϫ2ʌ, 15), respectivamente, se
15 -( 2π, 15) REWXYLHURQ XVDQGR XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD \ VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD
10 -( 2π, 10) Cuando xЈ(0) ϭ OD FXHQWD WLHQH VX¿FLHQWH FDQWLGDG GH PRYLPLHQWR FRPR SDUD UHED-
sar la colina en x ϭ Ϫ3ʌ͞2, pero no la que está en x ϭ ʌ͞2. Entonces, la cuenta tiende
5 al mínimo relativo que está en x ϭ Ϫʌ͞2. Si xЈ(0) ϭ 15, la cuenta tiene la cantidad de
movimiento para pasar sobre las dos colinas, pero después se pone a oscilar en el valle
x que está en x ϭ 3ʌ͞2 y tiende al punto (3ʌ͞2, Ϫ GHO DODPEUH 3XHGH H[SHULPHQWDU FRQ
otras condiciones iniciales usando su propio programa de solución numérica.
-5 π
-π /D ¿JXUD PXHVWUD XQ FRQMXQWR GH FXUYDV VROXFLyQ REWHQLGDV FRQ XQ SURJUDPD
de solución numérica para el caso no amortiguado. Puesto que ȕ ϭ 0, los puntos críticos
FIGURA 10.4.5 ȕ ϭ 0.01. que corresponden a x1 ϭ Ϫʌ͞2 y 3ʌ͞2 son ahora centros. Cuando X(0) ϭ (Ϫ2ʌ, 10), la
FXHQWD WLHQH OD FDQWLGDG VX¿FLHQWH GH PRYLPLHQWR SDUD SDVDU VREUH todas las colinas. En
x′ OD ¿JXUD WDPELpQ VH LQGLFD TXH FXDQGR VH VXHOWD OD FXHQWD \ SDUWH GHO UHSRVR HQ XQD SRVL-
ción del alambre entre x ϭ Ϫ3ʌ͞2 y x ϭ ʌ͞2, el movimiento resultante es periódico.
-( 2π, 10)
10 MODELO DEPREDADOR-PRESA DE LOTKA-VOLTERRA Una interacción depre-
5 dador-presa entre dos especies ocurre cuando una de ellas (el depredador) se alimenta de
OD VHJXQGD OD SUHVD 3RU HMHPSOR HO E~KR GH ODV QLHYHV TXH VH DOLPHQWD FDVL H[FOXVLYD-
x mente de un roedor común en el Ártico, llamado lemming, mientras que el lemming usa
las plantas de la tundra del Ártico como su alimento. El interés en utilizar las matemáti-
-π π FDV SDUD D\XGDU D H[SOLFDU OD LQWHUDFFLyQ GHSUHGDGRU SUHVD HV PRWLYDGR SRU OD REVHUYD-
ción de ciclos de población en muchos mamíferos del Ártico. Por ejemplo, en el distrito
FIGURA 10.4.6 ȕ ϭ 0. del Río MacKenzie, en Canadá, la presa principal del lince es la liebre de las nieves y
DPEDV SREODFLRQHV WLHQHQ FLFORV FRQ XQ SHULRGR DSUR[LPDGR GH DxRV

Hay muchos modelos depredador-presa que conducen a sistemas autónomos
planos, con al menos una solución periódica. El primero de ellos fue elaborado en
forma independiente por los biomatemáticos precursores Arthur Lotka (1925) y Vito
Volterra (1926). Si x denota la cantidad de depredadores y y la cantidad de presas, el
modelo de Lotka-Volterra toma la forma

x ax bxy x( a by)

y cxy dy y( cx d),

donde a, b, c y d son constantes positivas.

404 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

y Observe que en ausencia de depredadores (x ϭ 0), yЈ ϭ dy, por lo que la cantidad
GH SUHVDV FUHFH HQ IRUPD H[SRQHQFLDO (Q DXVHQFLD GH SUHVDV xЈ ϭ Ϫax y por tanto
Presa OD SREODFLyQ GH GHSUHGDGRUHV VH H[WLQJXH (O WpUPLQR Ϫcxy representa la razón de
mortandad debida a la depredación. Entonces el modelo supone que esta razón
de mortandad es directamente proporcional a la cantidad posible de encuentros xy
entre depredador y presa a un tiempo t dado y el término bxy representa la contribución
positiva resultante de la población de depredadores.

Los puntos críticos de este sistema autónomo plano son (0, 0) y (d͞c, a͞b) y las
matrices Jacobianas correspondientes son

A1 g ((0, 0)) a0 y A2 g ((d>c, a> b)) 0 bd>c
0d .
Depredadores x ac>b 0

FIGURA 10.4.7 Soluciones cerca de (O SXQWR FUtWLFR HV XQ SXQWR VLOOD \ OD ¿JXUD PXHVWUD XQ SHU¿O WtSLFR
(0, 0).
de soluciones que están en el primer cuadrante y cerca de (0, 0).

Debido a que la matriz A2 tiene eigenvalores imaginarios puros 1ad i , el

punto crítico (d͞c, a͞b) podría ser un centro. Esta posibilidad se puede investigar con

F el método del plano fase. Puesto que

dy y( cx d),,
dx x( a by)
separando las variables obtenemos
Gráfica de F(x)

a by cx d
dy dx

y x

a ln y by cx d ln x c1 o (xde cx)( yae by) c0.

x1 d/c x2 x El siguiente argumento establece que todas las curvas solución que se originan en el

a) Máximo de F en x = d/c primer cuadrante son periódicas.

G (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV FDUDFWHUtVWLFDV GH ODV IXQFLRQHV QR
negativas F(x) ϭ x d eϪcx y G(y) ϭ y a eϪby. No es difícil demostrar que F(x) tiene un
Gráfica de G( y ) Pi[LPR DEVROXWR HQ x ϭ d͞c, mientras que G(y WLHQH XQ Pi[LPR DEVROXWR HQ y ϭ a͞b.
2EVHUYH TXH D H[FHSFLyQ GH \ GHO Pi[LPR DEVROXWR F y G toman todos los valores
GH VX LPDJHQ H[DFWDPHQWH GRV YHFHV

&RQ HVWDV JUi¿FDV VH SXHGHQ HVWDEOHFHU ODV VLJXLHQWHV SURSLHGDGHV GH XQD FXUYD
solución que se origine en un punto no crítico (x0, y0) en el primer cuadrante.

y1 a/b y2 y i) Si y ϭ a͞b, la ecuación F(x)G(y) ϭ c0 WLHQH H[DFWDPHQWH GRV VROXFLRQHV
xm y xM, que satisfacen que xm Ͻ d͞c Ͻ xM.
b) Máximo de G en y = a/b
ii) Si xm Ͻ x1 Ͻ xM y x ϭ x1, entonces F(x)G(y) ϭ c0 WLHQH H[DFWDPHQWH GRV
FIGURA 10.4.8 /DV JUi¿FDV GH F y G soluciones, y1 y y2, que satisfacen que y1 Ͻ a͞b Ͻ y2.
ayudan a establecer las propiedades (1)-(3).
iii) Si x está fuera del intervalo [xm, xM], entonces F(x)G(y) ϭ c0 no tiene
soluciones.

Ahora presentaremos la demostración de i) y en los ejercicios esbozaremos los

y incisos ii) y iii). Puesto que (x0, y0) (d c, a b), F(x0)G(y0) F(d c)G(a b). Si y
X0 ϭ a͞b, entonces

a/b 0 c0 F(x0)G( y0) F(d>c)G(a>b) F(d>c).
G(a>b) G(a>b) G(a>b)

Por tanto, F(x) ϭ c0͞G(a͞b WLHQH H[DFWDPHQWH GRV VROXFLRQHV xm y xM que satisfacen que
xm Ͻ d͞c Ͻ xM (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH XQD VROXFLyQ SHULyGLFD WtSLFD

xm d/c x1 xM x EJEMPLO 3 Ciclos de población depredador-presa

FIGURA 10.4.9 Solución periódica Si hacemos a ϭ 0.1, b ϭ 0.002, c ϭ 0.0025 y d ϭ 0.2 en el modelo depredador-presa
del modelo de Lotka-Volterra. de Lotka-Volterra, el punto crítico en el primer cuadrante es (d͞c, a͞b) ϭ (80, 50) y
VDEHPRV TXH HVWH SXQWR FUtWLFR HV XQ FHQWUR 9HD OD ¿JXUD HQ OD TXH KHPRV
usado un programa de solución numérica para generar estos ciclos. Mientras más cerca

10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 405

y está la condición inicial X0 a (80, 50), las soluciones periódicas se parecen más a las
soluciones elípticas del sistema lineal correspondiente. Los eigenvalores de gЈ((80,

50)) son 1ad i 12 10 i , así las soluciones cerca del punto crítico tie-

nen periodo p 10 12 R DSUR[LPDGDPHQWH

100 MODELO DE COMPETENCIA DE LOTKA-VOLTERRA Se presenta una interac-

Presa ción de competencia cuando dos o más especies compiten por los recursos alimenti-

cios, agua, luz y espacio de un ecosistema. Por tanto el uso de uno de esos recursos por

50 parte de una población inhibe la capacidad de otra población para sobrevivir y crecer.

x ¢%DMR TXp FRQGLFLRQHV SXHGHQ H[LVWLU GRV HVSHFLHV HQ FRPSHWHQFLD" 6H KDQ FRQVWUXLGR
40 80 120 160
YDULRV PRGHORV PDWHPiWLFRV TXH HYDO~DQ ODV FRQGLFLRQHV TXH SHUPLWHQ OD FRH[LVWHQ-
Depredador
cia. Si x denota la cantidad de la especie I y y la cantidad de la especie II, entonces el
FIGURA 10.4.10 Plano fase del
modelo de Lotka-Volterra cerca del punto modelo de Lotka-Volterra toma la forma
crítico (80, 50).
x r1 x(K1 x 12 y)
K1 21x).
(1)
r2
y K2 y (K2 y

y Observe que en ausencia de la especie II (y ϭ 0), xЈ ϭ (r1͞K1)x(K1 Ϫ x) y así la
K1/α12 primera población crece en forma logística y tiende a la población K1 de estado estable
(vea la sección 3.3 y el ejemplo 4 de la sección 10.3). Un enunciado similar es válido
K2
para la especie II creciendo en ausencia de la especie I. El término ϪĮ2l xy en la se-
gunda ecuación se debe al efecto de competencia de la especie I sobre la especie II. Por

lo que el modelo supone que esta razón de inhibición es directamente proporciona1 a

la cantidad de pares competitivos posibles xy en un tiempo t dado.

(x, y) Este sistema autónomo plano tiene puntos críticos en (0, 0), (K1, 0) y (0, K2).
Cuando Įl2Į21 0, lpausnrteoctcarsítKic1oϪXˆx Ϫ Į12y ϭ 0 y Ϫ Į21x ϭ 0 se intersecan para
producir un cuarto (xˆ, yˆ) /D y K2 – PXHVWUD ODV GRV FRQGL-
¿JXUD

ciones bajo las que (xˆ, yˆ) está en el primer cuadrante. La traza y el determinante de la

K1 K2/α21 x matriz Jacobiana en (xˆ, yˆ) son, respectivamente,
a) α 12α 21 Ͻ 1
xˆ r1 yˆ r2 y (1 a12a21)xˆ yˆ r1r2 .
y K1 K2 K1K2
K2
(Q HO FDVR D GH OD ¿JXUD K1͞Į12 Ͼ K2 y K2͞Į21 Ͼ K1. Se tiene que Įl2Į21 Ͻ 1,
IJ Ͻ 0 y ⌬ Ͼ <D TXH

24 xˆ r1 yˆ r2 2 4(a12a21 1)xˆ yˆ r1r2
K1 K2 K1K2
K1/α12
yˆ r2 2
(x, y) xˆ r1 K2 4a12 a21xˆ yˆ r1r2 ,
K1 K1K2

K2/α21 K1 x IJ2 Ϫ 4⌬ Ͼ 0, por lo que (xˆ, yˆ) es( uny)nodo estable. Entonces, si X(0) ϭ X0 HVWi VX¿FLHQ-
temente cerca de Xˆ (xˆ, yˆ), lím t : X(t) Xˆ , se puede concluir que es posible la co-

H[LVWHQFLD /D GHPRVWUDFLyQ GHO LQFLVR E FRQGXFH D XQ SXQWR VLOOD \ OD LQYHVWLJDFLyQ GH

b) α 12α 21 Ͼ 1 la naturaleza de los puntos críticos en (0, 0), (K1, 0) y (0, K2) se dejan para los ejercicios.
Cuando las interacciones de competencia entre dos especies son débiles, ambos
FIGURA 10.4.11 Dos condiciones
cuando el punto crítico (xˆ, yˆ) está en el FRH¿FLHQWHV Į12 y Į21 son pequeños y entonces se pueden satisfacer las condiciones
primer cuadrante. K1͞Į12 Ͼ K2 y K2͞Į21 Ͼ K1. Esto puede suceder cuando hay un pequeño traslape en
los rangos de dos especies depredadoras que cazan una presa común.

EJEMPLO 4 Un modelo de competencia de Lotka-Volterra

Una interacción de competencia se describe con el modelo de competencia de Lotka–
Volterra

x 0.004x(50 x 0.75y)
y 0.001y(100 y 3.0x)
&ODVL¿TXH WRGRV ORV SXQWRV FUtWLFRV GHO VLVWHPD

406 l CAPÍTULO 10 SISTEMAS AUTÓNOMOS PLANOS

SOLUCIÓN Debe comprobar que los puntos críticos están en (0, 0), (50, 0), (0, 100)

y en (20, 40). Puesto que Į12Į21 ϭ 2.25 Ͼ VH WLHQH HO LQFLVR E GH OD ¿JXUD
por lo que el punto crítico en (20, 40) es un punto silla. La matriz Jacobiana es

g (X) 0.2 0.008x 0.003y 0.003x ,
y obtenemos
0.003y 0.1 0.002y 0.003x

g ((0, 0)) 0.2 0 g ((50, 0)) 0.2 0.15 0.1 0
, , g ((0, 100)) .

0 0.1 0 0.05 0.3 0.1

Por tanto (0, 0) es un nodo inestable, mientras que tanto (50, 0) como (0, 100) son
nodos estables. (¡Compruébelo!)

(Q HO PRGHOR GH FRPSHWHQFLD GH /RWND 9RWHUUD WDPELpQ SXHGH KDEHU FRH[LVWHQFLD VL KD\
cuando menos una solución periódica que esté enteramente en el primer cuadrante. Sin
embargo, se puede demostrar que este modelo no tiene soluciones periódicas.

EJERCICIOS 10.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-18.

Péndulo no lineal b) 'HPXHVWUH TXH OD DOWXUD Pi[LPD zPi[ a la que sube la
cuenta está dada por zmáx 21[ev02/g (1 x20) 1].
1. Un péndulo se suelta en ș ϭ ʌ͞3 y se le da una velocidad
6. Repita el problema 5 con z ϭ cosh x.
angular inicial de Ȧ0 rad͞s. Determine bajo qué condicio-
nes el movimiento resultante es periódico.

2. a) Si se suelta un péndulo desde el reposo en ș ϭ ș0, Modelos depredador-presa
b) demuestre que la velocidad angular es nuevamente 0
7. &RQVXOWH OD ¿JXUD 6L xm Ͻ x Ͻ xM y x ϭ x1, de-
cuando ș ϭ Ϫș0, 1
El periodo T del péndulo es el tiempo necesario para muestre que F(x)G(y) ϭ c0 WLHQH H[DFWDPHQWH GRV VROXFLR-
nes, y1 y y2, que satisfacen que y1 Ͻ a͞b Ͻ y2. [Sugerencia:
que ș cambie de ș0 a Ϫș0 y regrese a ș0. Demuestre Demuestre primero que G(y) ϭ c0͞F(x1) Ͻ G(a͞b).]
que
8. De las propiedades i) y ii) del modelo depredador-presa
2L 0 1 GH /RWND 9ROWHUUD FRQFOX\D TXH OD FDQWLGDG Pi[LPD GH
T d. depredadores se presenta cuando y ϭ a͞b.
B g 0 1cos cos 0

Cuenta deslizante 9. En muchos modelos de la ciencia pesquera se supone que
la rapidez con la que se pesca una especie es directamente
3. Una cuenta de masa m se desliza a lo largo de un alambre proporcional a su abundancia. Si depredadores y presas
se pescan de esta forma, las ecuaciones diferenciales de
delgado, cuya forma está descrita por la función z ϭ f (x). Lotka-Volterra toman la forma
Si X1 ϭ (x1, y1) es un punto crítico del sistema autónomo
plano asociado con la cuenta deslizante, compruebe que x ax bxy 1x
y cxy dy 2 y,
la matriz Jacobiana en X1 es

g (X1) 0 1 donde ⑀1 y ⑀2 son constantes positivas.
g f (x1) >m . a) Cuando ⑀2 Ͻ d, demuestre que hay un nuevo punto

4. Una cuenta de masa m se desliza a lo largo de un alambre crítico en el primer cuadrante que es un centro.
delgado, cuya forma se describe con la función z ϭ f(x).
Cuando fЈ(x1) ϭ 0, f Љ(x1) Ͼ 0 y el sistema es no amortigua- b) El principio de Volterra establece que con una can-
do, el punto crítico X1 ϭ (x1, 0) es un centro. Estime el pe-
riodo de la cuenta cuando x(0) está cerca de x1 y xЈ(0) ϭ 0. tidad moderada de pesca aumenta la cantidad prome-

dio de presas y disminuye la cantidad promedio de

depredadores. ¿Está de acuerdo este modelo de pesca

con el principio de Volterra?

5. Se suelta una cuenta en la posición x(0) ϭ x0, sobre la 10. Una interacción depredador-presa se describe con el mo-
curva z ϭ x2͞2, con velocidad inicial xЈ(0) ϭ v0 cm͞s. delo de Lotka-Volterra
a) Utilice el método del plano fase para demostrar que x 0.1x 0.02xy

la solución resultante es periódica cuando el sistema y 0.2y 0.025xy.

es no amortiguado.

10.4 SISTEMAS AUTÓNOMOS COMO MODELOS MATEMÁTICOS l 407

a) Determine el punto crítico en el primer cuadrante y es un punto espiral estable. Por consideraciones fí-
utilice un programa de solución numérica para bos- sicas se supone que (0, 0) debe ser un punto crítico
quejar algunos ciclos de población. asintóticamente estable. Demuestre que el sistema

b) Estime el ciclo de las soluciones periódicas que se es necesariamente subamortiguado. Sugerencia:
acercan al punto crítico del inciso a).
d
yy 2y.

Modelos de competencia dy

11. Una interacción de competencia se describe con el si- Problemas para analizar
guiente modelo de Lotka-Volterra

x 0.08x(20 0.4x 0.3y) 18. Una cuenta con masa m se desliza por un alambre delgado
cuya forma se puede describir con la función z ϭ f(x).
y 0.06y(10 0.1y 0.3x). Tramos pequeños de alambre se pueden considerar como
planos inclinados y en mecánica se supone que la magnitud
(QFXHQWUH \ FODVL¿TXH WRGRV ORV SXQWRV FUtWLFRV GHO VLVWHPD
de la fuerza de fricción entre la cuenta y el alambre es direc-
12. En las ecuaciones (1), demuestre que (0, 0) siempre es un tamente proporcional a mg cos ș YHD OD ¿JXUD
nodo inestable.
a) ([SOLTXH SRU TXp OD QXHYD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD OD
13. En las ecuaciones (1) demuestre que (K1, 0) es un nodo coordenada x de la cuenta es
estable cuando K1 Ͼ K2͞Į21 y un punto silla cuando K1 Ͻ
K2͞Į21. x g f (x) x
1 m
[ f (x)]2

14. Use los problemas 12 y 13 pcuaraandeostaXˆblece(xrˆ,qyˆu)ee(s0,u0n),n(oKd1o, para una constante positiva ȝ.
0) y (0, K2) son inestables
b) Investigue los puntos críticos del sistema autónomo
estable. plano correspondiente. ¿Bajo qué condiciones un punto
crítico es un punto silla? ¿Un punto espiral estable?
15. En las ecuaciones (1) demuestre que Xˆ (xˆ, yˆ) es un

punto silla cuando K1͞Į12 Ͻ K2 y K2͞Į21 Ͻ K1.

19. Una oscilación no amortiguada satisface una ecuación dife-

Modelos matemáticos diversos rencial no lineal de segundo orden de la forma xЉ ϩ f(x) ϭ 0,

16. Péndulo amortiguado Si suponemos que actúa una donde f(0) ϭ 0 y xf(x) Ͼ 0 para x 0 y Ϫd Ͻ x Ͻ d. Utilice
fuerza de amortiguamiento en dirección opuesta a la del
movimiento de un péndulo, con una magnitud directa- el método del plano fase para investigar si es posible que el
mente proporcional a la velocidad angular Gș͞dt, el án-
gulo de desplazamiento ș del péndulo satisface la ecua- punto crítico (0, 0) sea un punto espiral estable. [Sugerencia:
ción diferencial no lineal de segundo orden
sea F(x) x f (u) du y demuestre que y2 ϩ 2F(x) ϭ c.]
0

d2 mg sen d 20. El modelo de depredador-presa de Lotka-Volterra supone
ml dt2 . que en ausencia de depredadores, la cantidad de presas
FUHFH H[SRQHQFLDOPHQWH 6L VH SODQWHD OD KLSyWHVLV DOWHU-
dt nativa de que la población de presas crece en forma logís-
tica, el nuevo sistema es
a) Escriba la ecuación diferencial de segundo orden en
forma de un sistema autónomo plano y determine x ax bxy
todos los puntos críticos.
r
b) Determine una condición sobre m, l y ȕ que haga que y cxy y(K y),
(0, 0) sea un punto espiral estable.
K
17. Amortiguamiento no lineal En el análisis del movi-
miento libre amortiguado de la sección 5.1 supusimos donde a, b, c, r y K son positivas y K Ͼ a͞b.
que la fuerza de amortiguamiento era proporcional a la
velocidad xЈ. Con frecuencia, la magnitud de esta fuerza a) Demuestre que el sistema tiene puntos críti-
de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la ve- cos en (0, 0), (0, K) y (xˆ, yˆ), donde yˆ a>b y
locidad y la nueva ecuación diferencial se convierte en r
cxˆ (K yˆ).
k K
x x x x.
b) Demuestre que los puntos críticos en (0, 0) y (0, K)
mm son puntos silla, mientras que el punto crítico en (xˆ, yˆ)
puede ser un nodo estable o un punto espiral estable.
a) Escriba esta ecuación diferencial de segundo orden
como un sistema autónomo y encuentre todos los c) Demuestre que (xˆ, yˆ) es un punto espiral si
puntos críticos. yˆ 4bK2 . ([SOLTXH SRU TXp VH GD HVWH FDVR
r 4bK
b) El sistema se llama sobreamortiguado cuando (0, 0) es cuando la capacidad de mantenimiento K de la presa
un nodo estable y subamortiguado cuando (0, 0) es grande.