ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

258 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

c4 (n 2)(n 3) (n 2)n(n 1)(n 3)
c2 4! c0
43

(n 3)(n 4) (n 3)(n 1)(n 2)(n 4)
c5 c3 5! c1
54

(n 4)(n 5) (n 4)(n 2)n(n 1)(n 3)(n 5)
c6 c4 6! c0
65

(n 5)(n 6) c5 (n 5)(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)(n 6)
c7 7! c1
76

HWFpWHUD (QWRQFHV SDUD DO PHQRV ͉ x ͉ Ͻ VH REWLHQHQ GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQ-
cias linealmente independientes:

y1 (x) c0 1 n(n 1) x2 (n 2)n(n 1)(n 3) x4
2! 4!

(n 4)(n 2)n(n 1)(n 3)(n 5) x6
6!

y2(x) c1 x (n 1)(n 2) x3 (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) x5
3! 5!

(n 5)(n 3)(n 1)(n 2)(n 4)(n 6) x7 .
7!

2EVHUYH TXH VL n HV XQ HQWHUR SDU OD SULPHUD VHULH WHUPLQD PLHQWUDV TXH y (x) es
XQD VHULH LQ¿QLWD 3RU HMHPSOR VL n ϭ HQWRQFHV

y1(x) c0 1 4 5 x2 2 4 5 7 x4 c0 1 10 x2 35 x4 .
2! 4! 3

'H PDQHUD VLPLODU FXDQGR n HV XQ HQWHUR LPSDU OD VHULH SDUD y (x) termina con xn; es
GHFLU cuando n es un entero no negativo, obtenemos una solución polinomial de grado

n GH OD HFXDFLyQ GH /HJHQGUH

'HELGR D TXH VH VDEH TXH XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH

/HJHQGUH WDPELpQ HV XQD VROXFLyQ VH DFRVWXPEUD HOHJLU YDORUHV HVSHFt¿FRV SDUD c0 y
c1 GHSHQGLHQGR GH VL n HV XQ HQWHUR SRVLWLYR SDU R LPSDU UHVSHFWLYDPHQWH 3DUD n ϭ 0
elegimos c0 ϭ \ SDUD n ϭ

c0 ( 1)n /2 1 3 (n 1)
,
24 n

mientras que para n ϭ 1 se elige c ϭ 1 y para n ϭ
1

c1 ( 1)(n 1)/2 1 3 n
.
2 4 (n 1)

3RU HMHPSOR FXDQGR n ϭ VH WLHQH

y1(x) ( 1)4/2 1 3 10 x 2 35 x4 1 (35x4 30x2 3).
1 3 8
24

POLINOMIOS DE LEGENDRE (VWDV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV HVSHFt¿FDV GH

n-ésimo grado se llaman polinomios de Legendre y se denotan mediante Pn(x 'H
las series para y1(x) y y (x) y de las opciones anteriores de c0 y c1 se encuentra que los
SULPHURV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH VRQ

P0(x) 1, 1), P1(x) x, 3x),
P2(x) 1 (3x2 30 x2 P3(x) 1 (5x3 70x3 15x).
2 3), 2
P4(x) 1 (35x4 P5 (x) 1 (63x5
8 8

6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 259

Recuerde que P0(x P1(x P (x P (x VRQ D VX YH] VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH ODV
ecuaciones diferenciales

n 0: (1 x2)y 2xy 0,
n 1: (1 x2)y 2xy 2y 0,
n 2: (1 x2)y 2xy 6y 0,
n 3: (1 x2)y 2xy 12y 0,

(Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV HQ HO LQWHUYDOR >Ϫ @ GH ORV VHLV
SROLQRPLRV GH /HJHQGUH HQ

PROPIEDADES 6H UHFRPLHQGD TXH FRPSUXHEH ODV VLJXLHQWHV SURSLHGDGHV XVDQGR
ORV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH HQ

i) Pn( x) ( 1)nPn(x)

ii) Pn(1) 1 iii) Pn( 1) ( 1)n

y iv) Pn(0) 0, n LPSDU v) Pn(0) 0, n par
1 P0 /D SURSLHGDG i LQGLFD FRPR HV HYLGHQWH HQ OD ¿JXUD TXH Pn(x) es una función
0.5 P1 par o impar concordantemente con la condición de si n HV SDU R LPSDU

P2 RELACIÓN DE RECURRENCIA /DV UHODFLRQHV GH UHFXUUHQFLD TXH YLQFXODQ SROL-

x QRPLRV GH /HJHQGUH GH GLIHUHQWHV JUDGRV WDPELpQ VRQ LPSRUWDQWHV HQ DOJXQRV DVSHFWRV

GH VXV DSOLFDFLRQHV 6H HVWDEOHFH VLQ FRPSUREDFLyQ OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD GH WUHV

-0.5 términos

(k 1)Pk 1(x) (2k 1)xPk(x) kPk 1(x) 0,

-1 0.5 1 TXH HV YiOLGD SDUD k ϭ (Q VH OLVWDQ ORV SULPHURV VHLV SROLQRPLRV GH
-1 -0.5 /HJHQGUH 6L GHFLPRV TXH VH GHVHD HQFRQWUDU P (x VH SXHGH XVDU OD HFXDFLyQ FRQ
k ϭ (VWD UHODFLyQ H[SUHVD P (x) en términos de los conocidos P4(x) y P5(x 9pDVH HO
FIGURA 6.4.6 3ROLQRPLRV GH SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV
/HJHQGUH SDUD n ϭ
2WUD IyUPXOD TXH DXQTXH QR HV XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD SXHGH JHQHUDU
ORV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH SRU GHULYDFLyQ HV OD IyUPXOD GH 5RGULJXHV TXH SDUD

estos polinomios es 1 dn (x2 1)n, n 0, 1, 2, . . . .
Pn(x) 2n n! dxn

9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV

COMENTARIOS

$XQTXH VH KD VXSXHVWR TXH HO SDUiPHWUR n HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH /HJHQGUH
(1 Ϫ x )yЉ Ϫ xyЈ ϩ n(n ϩ 1)y ϭ UHSUHVHQWD XQ HQWHUR QR QHJDWLYR HQ XQD
IRUPD PiV JHQHUDO n SXHGH UHSUHVHQWDU FXDOTXLHU Q~PHUR UHDO &XDOTXLHU VROX-
FLyQ GH OD HFXDFLyQ GH /HJHQGUH VH OODPD IXQFLyQ GH /HJHQGUH 6L n no es un
HQWHUR QR QHJDWLYR HQWRQFHV DPEDV IXQFLRQHV GH /HJHQGUH y1(x) y y (x) dadas
HQ OD HFXDFLyQ VRQ VHULHV LQ¿QLWDV FRQYHUJHQWHV HQ HO LQWHUYDOR DELHUWR Ϫ
\ GLYHUJHQWHV VLQ OtPLWH HQ x ϭ Ϯ O 6L n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYR HQWRQFHV FRPR
VH KD YLVWR XQD GH ODV IXQFLRQHV GH /HJHQGUH HQ HV XQ SROLQRPLR \ OD RWUD
HV XQD VHULH LQ¿QLWD FRQYHUJHQWH SDUD Ϫ1 Ͻ x Ͻ 6H GHEH WHQHU SUHVHQWH TXH OD
HFXDFLyQ GH /HJHQGUH WLHQH VROXFLRQHV TXH HVWiQ DFRWDGDV HQ HO LQWHUYDOR cerrado
[Ϫ @ VyOR HQ HO FDVR FXDQGR n ϭ 0iV FRQFUHWDPHQWH ODV ~QLFDV
IXQFLRQHV GH /HJHQGUH TXH HVWiQ DFRWDGDV HQ HO LQWHUYDOR FHUUDGR >Ϫ @ VRQ ORV
SROLQRPLRV GH /HJHQGUH Pn(x R P~OWLSORV FRQVWDQWHV GH HVWRV SROLQRPLRV 9pDVH
HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV \ HO SUREOHPD HQ HO 5HSDVR GHO FDStWXOR

260 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

EJERCICIOS 6.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-10.

Ecuación de Bessel a) yЉ Ϫ x y ϭ 0 b) x yЉ ϩ yЈ Ϫ x y ϭ 0

(Q ORV SUREOHPDV D XVH OD HFXDFLyQ SDUD HQFRQWUDU OD VR- (Q ORV SUREOHPDV D XVH SULPHUR OD HFXDFLyQ SDUD H[-
OXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ HO LQWHUYDOR ϱ presar la solución general de la ecuación diferencial en términos
GH IXQFLRQHV GH %HVVHO /XHJR XVH \ SDUD H[SUHVDU OD
1. x2y xy x2 1 y 0 VROXFLyQ JHQHUDO HQ WpUPLQRV GH IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV
9

2. x yЉ ϩ xyЈ ϩ (x Ϫ 1)y ϭ 0

3. 4x yЉ ϩ 4xyЈ ϩ (4x Ϫ y ϭ 0 23. yЉ ϩ y ϭ 0
24. x yЉ ϩ 4x yЈ ϩ (x ϩ y ϭ 0
4. x yЉ ϩ xyЈ ϩ x Ϫ 1)y ϭ 0 25. x yЉ ϩ x yЈ ϩ (x4 Ϫ y ϭ 0
26. 4x yЉ Ϫ 4x yЈ ϩ x ϩ y ϭ 0
5. xyЉ ϩ yЈ ϩ xy ϭ 0 27. a) 3 URFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR SDUD GHPRVWUDU TXH

d 4 xJЈ␯(x) ϭ Ϫ␯J␯(x) ϩ xJ␯Ϫ1(x
6. [xy ] x y0 [Sugerencia: (VFULED n ϩ ␯ ϭ n ϩ ␯) Ϫ ␯ @
dx b) 8WLOLFH HO UHVXOWDGR GHO LQFLVR D SDUD GHGXFLU
x 28. 8WLOLFH OD IyUPXOD GHO HMHPSOR MXQWR FRQ HO LQFLVR D GHO
SUREOHPD SDUD GHGXFLU OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD
(Q ORV SUREOHPDV D XVH OD HFXDFLyQ SDUD HQFRQWUDU
OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD HQ ϱ ␯J␯(x) ϭ xJ␯ϩ1(x) ϩ x J␯Ϫ1(x
(Q ORV SUREOHPDV \ XVH OD HFXDFLyQ R SDUD
7. x yЉ ϩ x yЈ ϩ x Ϫ 4)y ϭ 0 REWHQHU HO UHVXOWDGR GDGR

8. x2y xy 36x2 1 y 0
4

9. x2y xy 25x2 4 y 0
9

10. x yЉ ϩ x yЈ ϩ x Ϫ y ϭ 0

(Q ORV SUREOHPDV \ XVH HO FDPELR GH YDULDEOH LQGLFDGR x 30. JЈ0(x) ϭ JϪ1(x) ϭ ϪJ1(x)
para determinar la solución general de la ecuación diferencial
HQ ϱ 29. rJ0(r) dr xJ1(x)

11. x yЉ ϩ xyЈ ϩ ␣ x y ϭ 0; y ϭ x Ϫ1͞ v(x) 0

( )12. x2y 2x2 2 1 y 0; y 1x v(x) 31. 3URFHGD FRPR HQ OD HFXDFLyQ SDUD GHGXFLU OD IRUPD
4 elemental de JϪ1͞ (x

(Q ORV SUREOHPDV D XVH OD HFXDFLyQ SDUD HQFRQWUDU 32. 8VH OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD GHO SUREOHPD MXQWR FRQ
OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ ϱ \ SDUD H[SUHVDU J ͞ (x JϪ ͞ (x) y J5͞ (x) en tér-
minos de sen x FRV x y potencias de x
13. xyЉ ϩ yЈ ϩ 4y ϭ 0 14. xyЉ ϩ yЈ ϩ xy ϭ 0
33. 8VH HO FDPELR GH YDULDEOHV s 2 k t /2 para de-
15. xyЉ Ϫ yЈ ϩ xy ϭ 0 16. xyЉ Ϫ 5yЈ ϩ xy ϭ 0 e
Bm
17. x yЉ ϩ (x Ϫ y ϭ 0
PRVWUDU TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO UHVRUWH HQYHMHFLGR
18. 4x yЉ ϩ x ϩ 1)y ϭ 0
mxЉ ϩ keϪ␣tx ϭ ␣ Ͼ VH FRQYLHUWH HQ
19. xyЉ ϩ yЈ ϩ x y ϭ 0
s2 d2x dx s2x 0.
20. x yЉ ϩ xyЈ ϩ (x Ϫ y ϭ 0 ds2 s

21. 8VH OD VHULH HQ SDUD FRPSUREDU TXH I␯(x) ϭ iϪ␯J␯(ix) es ds
XQD IXQFLyQ UHDO
( )34. Demuestre que y 2
22. Suponga que b HQ OD HFXDFLyQ SXHGH VHU XQ Q~PHUR x1 / 2 w 3 x3/2 es una solución de la
LPDJLQDULR SXUR HV GHFLU b ϭ ȕL ȕ Ͼ i ϭ Ϫ 8VH
HVWD VXSRVLFLyQ SDUD H[SUHVDU OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD H FXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH $LU\ yЉ ϩ ␣ xy ϭ x Ͼ VLHP-
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ WpUPLQRV GH ODV IXQFLRQHV PRGL¿-
FDGDV GH %HVVHO In y Kn pre que w VHD XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH %HVVHO GH
( )orden 13 HV GHFLU t2w tw
t2 1 w 0, t Ͼ
9

[Sugerencia 'HVSXpV GH GHULYDU VXVWLWXLU \ VLPSOL¿FDU
]entonces se hace t 2
3 x3 / 2.

6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 261

35. a) 8 VH HO UHVXOWDGR GHO SUREOHPD SDUD H[SUHVDU OD donde E HV HO PyGXOR GH <RXQJ I es el momento de iner-
VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH $LU\ FLD GH VHFFLyQ WUDQVYHUVDO ␦ es la densidad lineal cons-
para x Ͼ HQ WpUPLQRV GH IXQFLRQHV GH %HVVHO tante y x es la distancia a lo largo de la columna medida

b) & RPSUXHEH ORV UHVXOWDGRV GHO LQFLVR D XVDQGR OD GHVGH VX EDVH 9pDVH OD ¿JXUD /D FROXPQD VH GREOD
HFXDFLyQ VyOR SDUD DTXHOORV YDORUHV GH L SDUD ORV TXH HO SUREOHPD
FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD WLHQH XQD VROXFLyQ QR WULYLDO
36. 8VH OD WDEOD SDUD HQFRQWUDU ORV SULPHURV WUHV YDORUHV
SURSLRV SRVLWLYRV \ ODV IXQFLRQHV SURSLDV FRUUHVSRQGLHQ- a) ( VWDEOH]FD GH QXHYR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD
WHV GHO SUREOHPD GH YDORUHV HQ OD IURQWHUD IURQWHUD KDFLHQGR HO FDPELR GH YDULDEOHV t ϭ L Ϫ x
/XHJR XWLOLFH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD DQWHULRU HQ
xy y xy 0, HVWH FRQMXQWR GH HMHUFLFLRV SDUD H[SUHVDU OD VROXFLyQ
y(x yЈ(x) acotada conforme x → 0ϩ y ϭ general de la ecuación diferencial en términos de
IXQFLRQHV GH %HVVHO
[Sugerencia: ,GHQWL¿FDQGR ␭ ϭ ␣ OD (' HV OD HFXDFLyQ
GH %HVVHO SDUDPpWULFD GH RUGHQ FHUR @ b) 8VH OD VROXFLyQ JHQHUDO HQFRQWUDGD HQ HO LQFLVR D SDUD
HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ GHO 39) \ XQD HFXDFLyQ TXH GH-
37. a) 8VH OD HFXDFLyQ SDUD GHPRVWUDU TXH OD VROXFLyQ ¿QD OD ORQJLWXG FUtWLFD L HV GHFLU HO YDORU PiV SHTXHxR
general de la ecuación diferencial xyЉ ϩ ␭y ϭ 0 en el de L SDUD OD TXH VH FRPLHQFH D GREODU OD FROXPQD
LQWHUYDOR ϱ) es
c) & RQ D\XGD GH XQ 6$& HQFXHQWUH OD ORQJLWXG L de
( ) ( )y c11xJ1 21 x c21xY1 2 1 x .
XQD YDULOOD GH DFHUR VyOLGD GH UDGLR r ϭ SXOJ ␦g
b) & RPSUXHEH SRU VXVWLWXFLyQ GLUHFWD TXH y 1xJ1
(21x) es una solución particular de la ED en el caso ϭ A OE͞SXOJ E ϭ ϫ 10 OE͞pulg A ϭ ␲r
␭ ϭ
eI 1 r4.
4

θ

Tarea para el laboratorio de computación P(x)

38. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH J ͞ (x JϪ ͞ (x x
J5͞ (x) y JϪ5͞ (x suelo

39. a) 8 VH OD VROXFLyQ JHQHUDO GDGD HQ HO HMHPSOR SDUD x=0
UHVROYHU HO 39,

4x e 0.1tx 0, x(0) 1, x (0) 21.

7DPELpQ XVH J0(x) J1(x) y Y0(x) Y1(x) MXQWR FIGURA 6.4.7 9LJD GHO SUREOHPD
FRQ OD WDEOD R XQ 6$& SDUD HYDOXDU ORV FRH¿FLHQWHV
42. Pandeo de una columna vertical delgada (Q HO HMHP-
b) 8 VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ RE- SOR GH OD VHFFLyQ YLPRV TXH FXDQGR VH DSOLFD XQD
WHQLGD HQ HO LQFLVR D HQ HO LQWHUYDOR Յ t Յ ϱ IXHU]D FRPSUHVLYD YHUWLFDO FRQVWDQWH R FDUJD P a una co-
OXPQD GHOJDGD GH VHFFLyQ WUDQVYHUVDO XQLIRUPH \ DELVD-
40. a) 8VH OD VROXFLyQ JHQHUDO REWHQLGD HQ HO SUREOHPD JUDGD HQ DPERV H[WUHPRV OD GHÀH[LyQ y(x) es una solu-
SDUD UHVROYHU HO 39, FLyQ GHO 39)
d2y
4x tx 0, x(0.1) 1, x (0.1) 21. EI dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0.

8VH XQ 6$& SDUD HYDOXDU ORV FRH¿FLHQWHV a) 6L HO IDFWRU GH ULJLGH] D OD ÀH[LyQ EI es proporcional a x
entonces EI(x) ϭ kx GRQGH k es una constante de pro-
b) 8 VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ RE- SRUFLRQDOLGDG 6L EI(L) ϭ kL ϭ M HV HO IDFWRU GH ULJLGH]
WHQLGD HQ HO LQFLVR D HQ HO LQWHUYDOR Յ t Յ Pi[LPD HQWRQFHV k ϭ M͞L \ SRU WDQWR EI(x) ϭ Mx͞L
8VH OD LQIRUPDFLyQ GHO SUREOHPD SDUD HQFRQWUDU XQD
41. Columna doblada bajo su propio peso 8QD FROXPQD solución de
delgada uniforme de longitud L FRORFDGD YHUWLFDOPHQWH
FRQ XQ H[WUHPR LQVHUWDGR HQ HO VXHOR VH FXUYD GHVGH OD x d2y
YHUWLFDO EDMR OD LQÀXHQFLD GH VX SURSLR SHVR FXDQGR VX M L dx2 Py 0, y(0) 0, y(L) 0
ORQJLWXG R DOWXUD H[FHGH XQ FLHUWR YDORU FUtWLFR 6H SXHGH
GHPRVWUDU TXH OD GHÀH[LyQ DQJXODU ␪ (x) de la columna VL VH VDEH TXH 1x Y1(2 1 x) no es cero en x ϭ
GHVGH OD YHUWLFDO HQ XQ SXQWR P(x) es una solución del
SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD b) 8VH OD WDEOD SDUD HQFRQWUDU OD FDUJD GH (XOHU P1
SDUD OD FROXPQD
d2 g(L x) 0, (0) 0, (L) 0,
EI dx2

262 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

c) 8 VH XQ 6$& SDUD JUD¿FDU HO SULPHU PRGR GH SDQGHR piada de c0 y c1 para encontrar los polinomios de
y1(x) correspondiente a la carga de Euler P1 3RU VLP- /HJHQGUH P (x) y P (x
plicidad suponga que c1 ϭ 1 y L ϭ b) (VFULED ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUD ODV FXDOHV
P (x) y P (x VRQ VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV
43. Péndulo de longitud variable 3DUD HO SpQGXOR VLP-
SOH GHVFULWR HQ OD VHFFLyQ VXSRQJD TXH OD YDULOOD 45. 8VH OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD \ P0(x) ϭ P1(x) ϭ x
que sostiene la masa m HQ XQ H[WUHPR VH VXVWLWX\H SRU SDUD JHQHUDU ORV VLJXLHQWHV VHLV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH
XQ DODPEUH ÀH[LEOH R FXHUGD \ TXH HO DODPEUH SDVD SRU
una polea en el punto de apoyo O HQ OD ¿JXUD 'H 46. Demuestre que la ecuación diferencial
HVWD PDQHUD PLHQWUDV HVWi HQ PRYLPLHQWR HQ HO SODQR
YHUWLFDO OD PDVD m SXHGH VXELU R EDMDU (Q RWUDV SDODEUDV d2y dy
la longitud l(t GHO SpQGXOR YDUtD FRQ HO WLHPSR %DMR ODV sen d 2 cos n(n 1)(sen )y 0
PLVPDV VXSRVLFLRQHV TXH FRQGXFHQ D OD HFXDFLyQ HQ OD d
VHFFLyQ VH SXHGH GHPRVWUDU
que la ecuación diferen-
FLDO SDUD HO iQJXOR GH GHVSOD]DPLHQWR ␪ ahora es SXHGH FRQYHUWLUVH HQ OD HFXDFLyQ GH /HJHQGUH SRU PHGLR
de la sustitución x ϭ cos ␪

l 2l g sen 0. 47. (QFXHQWUH ORV SULPHURV WUHV YDORUHV SRVLWLYRV GH ␭ para
ORV FXDOHV HO SUREOHPD

a) Si l DXPHQWD D XQD UD]yQ FRQVWDQWH v y si l(0) ϭ l0 (1 x2)y 2xy y 0,
GHPXHVWUH TXH XQD OLQHDOL]DFLyQ GH OD (' DQWHULRU HV
y(0) ϭ y(x yЈ(x HVWi DFRWDGD HQ >Ϫ @
(l0 vt) 2v g 0. WLHQH VROXFLRQHV QR WULYLDOHV

b) 5HDOLFH HO FDPELR GH YDULDEOHV x ϭ (l ϩ vt)͞v y de- Tarea para el laboratorio de computación
0
PXHVWUH TXH OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

d2 2 d g 0. 48. (Q OD UHDOL]DFLyQ GH HVWH SUREOHPD LJQRUH OD OLVWD GH SROL-
dx 2 x dx vx QRPLRV GH /HJHQGUH TXH VH SUHVHQWDQ HQ ODV JUi¿FDV GH OD
¿JXUD 8VH OD IyUPXOD GH 5RGULJXHV SDUD JHQHUDU
c) 8 VH HO LQFLVR E \ OD HFXDFLyQ SDUD H[SUHVDU OD ORV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH P1(x P (x P (x 8VH XQ
VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ HQ WpUPLQRV GH 6$& SDUD UHDOL]DU ODV GHULYDGDV \ ODV VLPSOL¿FDFLRQHV
IXQFLRQHV GH %HVVHO
49. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH P1(x P (x
d) 8VH OD VROXFLyQ JHQHUDO GHO LQFLVR F SDUD UHVROYHU P (x HQ HO LQWHUYDOR >Ϫ @
HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV TXH FRQVLVWH HQ
OD HFXDFLyQ \ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV ␪(0) 50. 8VH XQ SURJUDPD GH FiOFXOR GH UDtFHV SDUD GHWHUPLQDU ODV
ϭ ␪0 ␪Ј(0) ϭ >Sugerencias: SDUD VLPSOL¿FDU raíces de P1(x P (x P (x 6L ORV SROLQRPLRV GH
ORV FiOFXORV XVH XQ FDPELR GH YDULDEOH DGLFLRQDO /HJHQGUH VRQ IXQFLRQHV LQFRUSRUDGDV HQ VX 6$& HQFXHQ-
WUH ORV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH GH JUDGR VXSHULRU +DJD
2 vt) 2 g x1/ 2. XQD VXSRVLFLyQ DFHUFD GH OD ORFDOL]DFLyQ GH ODV UDtFHV GH
u v 1g(l0 Bv DOJ~Q SROLQRPLR GH /HJHQGUH Pn(x \ OXHJR LQYHVWLJXH VL
HV YHUGDG
$GHPiV UHFXHUGH TXH OD HFXDFLyQ YDOH SDUD

J1(u) y Y1(u 3RU ~OWLPR OD LGHQWLGDG

J1(u)Y2(u) J2(u)Y1(u) 2 Miscelánea de ecuaciones diferenciales
u VHUi PX\ ~WLO@
51. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
e) 8 VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ
yЉ Ϫ xyЈ ϩ Į\ ϭ 0
␪(t GHO 39, GHO 610LQpFLiVeR͞ VG ( [FXSDHQULGPRH Ql0WHϭ F R Q SODL HJ Ui␪¿0 FϭD
se conoce como la ecuación de Hermite de orden Į en
1 UDGLiQ \ v KRQRU GHO PDWHPiWLFR IUDQFpV &KDUOHV +HUPLWH
10 'HPXHVWUH TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ
XVDQGR GLIHUHQWHV LQWHUYDORV GH WLHPSR FRPR > @ es y(x) ϭ c0y1(x) ϩ c1y (x GRQGH

> @ HWFpWHUD

I ¢ 4Xp LQGLFDQ ODV JUi¿FDV DFHUFD GHO iQJXOR GH GHV- y1(x) 1 ( 1)k 2kD(D 2) . . . (D 2k 2) x 2k
SOD]DPLHQWR ␪(t) cuando la longitud l GHO DODPEUH VH (2k)!
k1
incrementa con el tiempo?

Ecuación de Legendre y2(x) x ( 1)k 2k(D 1)(D 3) . . . (D 2k 1)x2k 1
k 1 (2k 1)!
44. a) 8VH ODV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV y1(x) y y (x) de la ecua-
FLyQ GH /HJHQGUH GDGD HQ \ OD HOHFFLyQ DSUR- son soluciones en series de potencias en el punto ordi-
QDULR


௘9HD 0DU\ %RDV Mathematical Methods in the Physical Sciences -RKQ 52. a) Cuando Į ϭ n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYR OD HFXDFLyQ
:LOH\ 6RQV 7DPELpQ YHD HO DUWtFXOR GH %RUHOOL &ROHPDQ \ +REVRQ GLIHUHQFLDO GH +HUPLWH WDPELpQ WLHQH XQD VROXFLyQ SROL-
en Mathematicas Magazine YRO Q~P PDU]R GH

REPASO DEL CAPÍTULO 6 l 263

nomial de grado n 8WLOLFH OD y1(x GDGD HQ HO SUREOHPD 53. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
SDUD HQFRQWUDU ODV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV SDUD n ϭ
n ϭ \ n ϭ 'HVSXpV XVH y (x) para encontrar las (1 Ϫ x )yЉ Ϫ xyЈ ϩ Į y ϭ 0
soluciones polinomiales para n ϭ n ϭ \ n ϭ
donde Į HV XQ SDUiPHWUR VH FRQRFH FRPR OD ecuación
b) 8Q polinomio de Hermite Hn(x VH GH¿QH FRPR XQ de Chebyshev HQ KRQRU DO PDWHPiWLFR UXVR 3DIQXW\
polinomio de grado n-ésimo que es solución de la &KHE\VKHY &XDQGR Į ϭ n es un entero no
QHJDWLYR /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH &KHE\VKHY VLHPSUH
ecuación de Hermite multiplicada por una constante tiene una solución polinomial de grado n (QFXHQWUH XQD
DGHFXDGD GH WDO IRUPD TXH HO FRH¿FLHQWH GH xn en solución polinomial de quinto grado de esta ecuación di-
Hn(x HV n 8WLOLFH ODV VROXFLRQHV SROLQRPLDOHV GHO IHUHQFLDO
inciso a) para demostrar que los primeros seis poli-

nomios de Hermite son

H0(x) 1 54. Si n HV XQ HQWHUR XVH OD VXVWLWXFLyQ R(x) ϭ (Į[)Ϫ1͞ Z(x)
H1(x) 2x para demostrar que la solución general de la ecuación di-
H2(x) 4x2 2 ferencial
H3(x) 8x3 12x
H4(x) 16x4 48x2 12 x RЉ ϩ xRЈ ϩ [Į x Ϫ n(n ϩ @Rϭ 0
H5(x) 32x5 160x3 120x
HQ HO LQWHUYDOR ’ HV R(x) ϭ c jn(Į[) ϩ c yn(Į[
1
donde jn(Į[) y yn(Į[) son las funciones esféricas de
%HVVHO GH SULPHUD \ VHJXQGD FODVH GH¿QLGDV HQ

REPASO DEL CAPÍTULO 6 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-10.

(Q ORV SUREOHPDV \ FRQWHVWH IDOVR R YHUGDGHUR VLQ FRQVXO- 7HQLHQGR HQ PHQWH TXH c0 y c1 VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV
WDU GH QXHYR HO WH[WR HVFULED ORV SULPHURV FLQFR WpUPLQRV GH GRV VHULHV GH SR-
WHQFLDV TXH VRQ VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

1. /D VROXFLyQ JHQHUDO GH x yЉ ϩ x yЈ ϩ (x Ϫ 1)y ϭ 0 es 5. 6XSRQJD TXH VH VDEH TXH OD VHULH GH SRWHQFLDV
k 0 ck( x 4)k FRQYHUJH HQ Ϫ \ GLYHUJH HQ $QDOLFH
y ϭ c J (x) ϩ c JϪ1(x
11 VL OD VHULH FRQYHUJH HQ Ϫ \ /DV UHVSXHVWDV

2. 'HELGR D TXH x ϭ 0 es un punto singular irregular de SRVLEOHV VRQ si no podría
x yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ OD (' QR WLHQH VROXFLyQ TXH VHD DQD-
lítica en x ϭ 6. 8VH OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD VHQ x y cos x MXQWR FRQ

3. ¢(Q cuál GH ORV VLJXLHQWHV LQWHUYDORV VH JDUDQWL]D TXH OD GLYLVLyQ ODUJD SDUD HQFRQWUDU ORV SULPHURV WUHV WpUPL-
FRQYHUJHQ SDUD WRGD x DPEDV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SR-
tencias de yЉ ϩ ln(x ϩ 1)yЈ ϩ y ϭ 0 centradas en el punto nos diferentes de cero de una serie de potencias en x para la
ordinario x ϭ 0?
función f (x) sen x .

cos x

a) (Ϫϱ ϱ) b) (Ϫ ϱ) (Q ORV SUREOHPDV \ FRQVWUX\D XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ TXH WHQJD ODV SURSLHGDGHV GDGDV
c) [ 21, 12] d) [Ϫ @

4. x ϭ 0 es un punto ordinario de cierta ecuación diferen- 7. 8Q SXQWR VLQJXODU UHJXODU HQ x ϭ 1 y un punto singular
irregular en x ϭ
FLDO OLQHDO 'HVSXpV TXH VH VXVWLWX\H OD VROXFLyQ VXSXHVWD
y n 0 cn xn HQ OD (' VH REWLHQH HO VLJXLHQWH VLVWHPD 8. 3XQWRV VLQJXODUHV UHJXODUHV HQ x ϭ 1 y en x ϭ Ϫ
DOJHEUDLFR FXDQGR ORV FRH¿FLHQWHV GH x0 x1 x y x se
(Q ORV SUREOHPDV D XVH XQ PpWRGR GH VHULHV LQ¿QLWDV
igualan a cero: apropiado respecto a x ϭ 0 para encontrar dos soluciones de
OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD
2c2 2c1 c0 0

6c3 4c2 c1 0 9. xyЉ ϩ yЈ ϩ y ϭ 0 10. yЉ Ϫ xyЈ Ϫ y ϭ 0

12c4 6c3 c2 1 c1 0 11. (x Ϫ 1)yЉ ϩ y ϭ 0 12. yЉ Ϫ x yЈ ϩ xy ϭ 0
3

20c5 8c4 c3 2 c2 0. 13. xyЉ Ϫ (x ϩ yЈ ϩ y ϭ 0 14. (cos x)yЉ ϩ y ϭ 0
3

264 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

(Q ORV SUREOHPDV \ UHVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV ( ( ) ) (( ))yxJ3 /4 1 x2 cJ 3 /4 1 x2 .
LQLFLDOHV GDGR 2 J 1 /4 2

15. yЉ ϩ xyЈ ϩ y ϭ y(0) ϭ yЈ(0) ϭ Ϫ c J1/4 1 x2 1 x2
2 2

16. (x ϩ yЉ ϩ y ϭ y(0) ϭ yЈ(0) ϭ 1 23. a) 8 VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ \ HO SUREOHPD
GH OD VHFFLyQ SDUD GHPRVWUDU TXH
17. 6LQ UHDOPHQWH UHVROYHU OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO Ϫ VHQ
x)yЉ ϩ xy ϭ HQFXHQWUH XQ OtPLWH LQIHULRU SDUD HO UDGLR Y3 / 2 (x) Ί 2 cos x
GH FRQYHUJHQFLD GH ODV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV sen x
respecto al punto ordinario x ϭ xx

18. $XQTXH x ϭ 0 es un punto ordinario de la ecuación dife- b) 8 VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SDUD GHPRVWUDU
UHQFLDO H[SOLTXH SRU TXp QR HV XQD EXHQD LGHD WUDWDU GH que
HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ GHO 39,
22
y xy y 0, y(1) 6, y (1) 3 I1 / 2 (x) senhx y I 1/2(x) cosh x.
Bx Bx

de la forma y n 0 cn xn. 3RU PHGLR GH VHULHV GH SRWHQ- c) 8VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ \ HO LQFLVR E
FLDV GHWHUPLQH XQD PHMRU IRUPD GH UHVROYHU HO SUREOHPD para demostrar que

(Q ORV SUREOHPDV \ LQYHVWLJXH VL x ϭ 0 es un punto ordina- K1 / 2 (x) e x.
ULR VLQJXODU R VLQJXODU LUUHJXODU GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD B2x
[Sugerencia: 5HFXHUGH OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD FRV x y ex @
24. a) 'H ODV HFXDFLRQHV \ GH OD VHFFLyQ VH VDEH
19. x yЉ ϩ (1 Ϫ cos x)yЈ ϩ x y ϭ 0 que cuando n ϭ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH /HJHQGUH
20. (ex Ϫ 1 Ϫ x)yЉ ϩ x y ϭ 0 (1 Ϫ x )yЉ Ϫ xyЈ ϭ 0 tiene la solución polinomial
y ϭ P0(x) ϭ 8VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
21. 2EVHUYH TXH x ϭ 0 es un punto ordinario de la ecuación SDUD GHPRVWUDU TXH XQD VHJXQGD IXQFLyQ GH /HJHQGUH
TXH VDWLVIDFH OD (' HQ HO LQWHUYDOR Ϫ 1 Ͻ x Ͻ 1 es
diferencial yЉ ϩ x yЈ ϩ x y ϭ 5 Ϫ x ϩ 10x 8VH OD
suposición y n 0 cn xn para encontrar la solución ge- 1 1x
neral y ϭ yc ϩ yp que consiste en tres series de potencias y ln .
centradas en x ϭ 2 1x

22. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ dy͞dx ϭ x ϩ y b) 7 DPELpQ VDEHPRV GH ODV HFXDFLRQHV \ GH OD

QR VH SXHGH UHVROYHU HQ WpUPLQRV GH IXQFLRQHV HOHPHQWD- VHFFLyQ TXH FXDQGR n ϭ 1 la ecuación diferencial

OHV 6LQ HPEDUJR XQD VROXFLyQ VH SXHGH H[SUHVDU HQ WpU- GH /HJHQGUH Ϫ x )yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ 0 tiene la

PLQRV GH IXQFLRQHV GH %HVVHO solución polinomial y ϭ P1(x) ϭ x 8VH OD HFXDFLyQ
GH OD VHFFLyQ SDUD GHPRVWUDU TXH XQD VHJXQGD
1 du conduce
a) Demuestre que la sustitución y u dx IXQFLyQ GH /HJHQGUH TXH VDWLVIDFH OD (' HQ HO LQWHU-
a la ecuación uЉ ϩ x u ϭ
YDOR Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1 es

b) 8VH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SDUD HQFRQWUDU x 1x 1.
la solución general de uЉ ϩ x u ϭ y ln

2 1x

c) 8 VH ODV HFXDFLRQHV \ GH OD VHFFLyQ HQ ODV c) 8 VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ODV IXQFLRQHV
formas GH /HJHQGUH ORJDUtWPLFDV GDGDV HQ ORV LQFLVRV D \ E

J (x) J (x) J 1(x) 25. a) 8VH VHULHV ELQRPLDOHV SDUD PRVWUDU IRUPDOPHQWH TXH
x

(1 2xt t2) 1/2 Pn(x)tn.

y J (x) J (x) J 1(x) n0
x
b) 8VH HO UHVXOWDGR REWHQLGR HQ HO LQFLVR D SDUD GHPRV-

como ayuda para demostrar que una familia unipara- trar que Pn(1) ϭ 1 y Pn(Ϫ1) ϭ (Ϫ1)n 9pDQVH ODV
métrica de soluciones de dy͞dx ϭ x ϩ y HVWi GDGD SRU propiedades ii) y iii GH ORV SROLQRPLRV GH /HJHQGUH

7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

7.1 'H¿QLFLyQ GH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH
7.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas

7.2.1 Transformadas inversas
7.2.2 Transformadas de derivadas
7.3 Propiedades operacionales I
7.3.1 Traslación en el eje s
7.3.2 Traslación en el eje t
7.4 Propiedades operacionales II
7.4.1 Derivadas de una transformada
7.4.2 Transformadas de integrales
7.4.3 Transformada de una función periódica
7.5 La función delta de Dirac
7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
REPASO DEL CAPÍTULO 7

En los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos tales como un sistema
resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho o entrada,
de las ecuaciones diferenciales

d 2x dx d 2q dq 1
m dt2 b kx f (t) o L dt2 R q E(t)
dt dt C

es una función de conducción y representa ya sea una fuerza externa f (t) o un voltaje
aplicado E(t). En la sección 5.1 consideramos problemas en los que las funciones
f y E eran continuas. Sin embargo, las funciones de conducción discontinuas son
comunes. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser continuo en tramos
y periódico tal como la función “diente de sierra” que se muestra arriba. En este
caso, resolver la ecuación diferencial del circuito es difícil usando las técnicas del
capítulo 4. La transformada de Laplace que se estudia en este capítulo es una valiosa
KHUUDPLHQWD TXH VLPSOL¿FD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV FRPR pVWH

265
265

266 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

REPASO DE MATERIAL

l ,QWHJUDOHV LPSURSLDV FRQ OtPLWHV GH LQWHJUDFLyQ LQ¿QLWRV
l Integración por partes y descomposición en fracciones parciales.

INTRODUCCIÓN En cálculo elemental aprendió que la derivación y la integración son trans-
formadas; HVWR VLJQL¿FD D JUDQGHV UDVJRV TXH HVWDV RSHUDFLRQHV WUDQVIRUPDQ XQD IXQFLyQ HQ RWUD
Por ejemplo, la función f(x) ϭ x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de

funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración:

d x2 2x y x2 dx 1 x3 c.
dx 3

Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una
combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Į y ȕ constantes

d
[ f (x) g(x)] f (x) g (x)

dx

y [ f (x) g(x)] dx f (x) dx g(x) dx

siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de trans-
formada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad,
la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para
resolver problemas lineales con valores iniciales.

TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) es una función de dos variables, entonces

XQD LQWHJUDO GH¿QLGD GH f respecto a una de las variables conduce a una función de la otra

variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que 2 2x y2 d x 3y2. De igual
1

PRGR XQD LQWHJUDO GH¿QLGD FRPR b K(s, t) f (t) dt transforma una función f de la variable
a

t en una función F de la variable s. Tenemos en particular interés en una transformada

integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0, ϱ). Si f(t VH GH¿QH

para t Ն 0, entonces la integral impropia 0 K(s, t) f (t) dt VH GH¿QH FRPR XQ OtPLWH

b (1)

K(s, t) f (t) dt lím K(s, t) f (t) dt.

0 b: 0

Supondremos que s es una Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si no
variable real existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1) existirá
sólo para ciertos valores de la variable s.

UNA DEFINICIÓN La función K(s, t) en (1) se llama kernel o núcleo de la transfor-
mada. La elección de K(s, t) ϭ eϪst como el núcleo nos proporciona una transformada
integral especialmente importante. La transformada de Laplace se llama así en honor
del matemático y astrónomo francés Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827).

DEFINICIÓN 7.1.1 Transformada de Laplace

Sea f XQD IXQFLyQ GH¿QLGD SDUD t Ն 0. Entonces se dice que la integral

{ f (t)} e st f (t) dt (2)

0

es la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja.

&XDQGR OD LQWHJUDO GH OD GH¿QLFLyQ FRQYHUJH HO UHVXOWDGR HV XQD IXQFLyQ GH s. En
el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y
la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo,

{f (t)} F(s), {g(t)} G(s), {y(t)} Y(s).

7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE l 267

Como muestran los siguientes cuatro ejemplos, el dominio de la función F(s)
depende de la función f (t).

EJEMPLO 1 $SOLFDQGR OD GH¿QLFLyQ

Evalúe {1}.

SOLUCIÓN De (2),

b

{1} e st(1) dt lím e st dt
0 b: 0

e st b e sb 1 1
lím lím s
b: s 0 b: s

siempre que s Ͼ 0. En otras palabras, cuando s Ͼ 0, el exponente Ϫsb es negativo y
eϪsb → 0 conforme b → ϱ. La integral diverge para s Ͻ 0.

El uso del signo de límite se vuelve un poco tedioso, por lo que se adopta la notación
0 como abreviatura para escribir límb: ( ) b0. Por ejemplo,

{1} e st (1) dt e st 1 s 0.
s0 ,
0 s

(Q HO OtPLWH VXSHULRU VH VREUHHQWLHQGH OR TXH VLJQL¿FD eϪst → 0 conforme t → ϱ para s Ͼ 0.

EJEMPLO 2 $SOLFDQGR OD GH¿QLFLyQ

Evalúe {t}.

SOLUCIÓN 'H OD GH¿QLFLyQ VH WLHQH {t} 0 e st t dt . Al integrar por partes
y usando lím te st 0, s 0, junto con el resultado del ejemplo 1, se obtiene

t:

{t} te st 1 e st dt 1 11 1
s0 s0 {1} ss s2.

s

EJEMPLO 3 $SOLFDQGR OD GH¿QLFLyQ

Evalúe a) {e 3t}. b) {e5t}

SOLUCIÓN 'H OD GH¿QLFLyQ VH WLHQH

{e 3t} e st e 3t dt e (s 3)t dt

a) 0 0

e (s 3)t

s 30

1 3.
,s

s3

El resultado se deduce del hecho de que límt→ϱ eϪ(sϩ3)t ϭ 0 para s ϩ 3 Ͼ 0 o
s Ͼ Ϫ3.

{e5t} e5t e st dt e (s 5)t dt

b) 0 0
e (s 5)t

s 50

1

s5

A diferencia del inciso a), este resultado es válido para s Ͼ 5 ya que límt→ϱ eϪ(sϩ5)t ϭ 0
requiere que s – 5 > 0 o s > 5.

268 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

EJEMPLO 4 $SOLFDQGR OD GH¿QLFLyQ

Evalúe {sen 2t}.

SOLUCIÓN 'H OD GH¿QLFLyQ H LQWHJUDQGR SRU SDUWHV VH WLHQH TXH

{sen 2t} e st sen 2t dt ––e–––s–t –s–e–n––2–t 2–s e st cos 2t dt
s0
0 0

2–s e st cos 2t dt, s0

0

lím e st cos 2t 0, s 0 Transformada de Laplace de sen 2t

t:

[2–s –––e––s–t –c–o–s––2–t ]2–s
s 0 e st sen 2t dt

0

–s2–2 –s4–2 {sen 2t}.

En este punto se tiene una ecuación con {sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Si
se despeja esa cantidad el resultado es

{sen 2t} 2 , s 0.
4
s2

ᏸ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de fun-
ciones podemos escribir

e st [ f (t) g(t)] dt e st f (t) dt e st g(t) dt

0 0 0

siempre que ambas integrales converjan para s Ͼ c. Por lo que se tiene que

{ f (t) g(t)} { f (t)} {g(t)} F(s) G(s) . (3)

Como resultado de la propiedad dada en (3), se dice que ᏸ es una WUDQVIRUPDFLyQ OLQ HDO.

EJEMPLO 5 Linealidad de la transformada de Laplace

En este ejemplo usamos los resultados de los ejemplos anteriores para ilustrar la lineali-
dad de la transformada de Laplace.

a) De los ejemplos 1 y 2 tenemos para s Ͼ 0

{1 5t} {1} 5 {t} 1 5,
s s2

b) De los ejemplos 3 y 4 tenemos para s Ͼ 5. 4 20 .
s5 4
{4e5t 10 sen 2t} 4 {e5t} 10 {sen2t} s2

c) De los ejemplos 1, 2 y 3 tenemos para s Ͼ 0,

{20e 3t 7t 9} 20 {e 3t} 7 {t} 9 {1}

20 7 9
s 3 s2 s

Se establece la generalización de algunos ejemplos anteriores por medio del siguiente
teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier restricción en s ; se
sobreentiende que s HVWi OR VX¿FLHQWHPHQWH UHVWULQJLGD SDUD JDUDQWL]DU OD FRQYHUJHQFLD
de la adecuada transformada de Laplace.

7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE l 269

TEOREMA 7.1.1 Transformada de algunas funciones básicas
1

a) {1}
s

b) {tn} n! 1, 2, 3, . . . c) {eat} 1
sn 1, n
sa

k e) {cos kt} s
d) {sen kt} s2 k2 s2 k2

k s
f ) {senh kt} s2 k2 g) {cosh kt} s2 k2

(VWH UHVXOWDGR HQ E GHO WHRUHPD VH SXHGH MXVWL¿FDU IRUPDOPHQWH SDUD n un entero
positivo usando integración por partes para demostrar primero que

{t n} n {t n 1}
s

f(t) Entonces para n = 0, 1 y 3, tenemos, respectivamente,

a t1 t2 t3 b t 1 11 1
{t} {1} s s s2
FIGURA 7.1.1 Función continua por
tramos. s 2 1 21
{t2} 2 {t} s s2
s3
s
{t3} 3 {t2} 321 321
s s3 s4
s

6L VLJXH FRQ OD VHFXHQFLD DO ¿QDO GHEHUi HVWDU FRQYHQFLGR GH TXH

{t n} n...3 2 1 n!
sn 1 sn 1

f(t) Mect (c > 0) CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE ᏸ{f (t)} La integral
f(t) TXH GH¿QH OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH QR WLHQH TXH FRQYHUJHU 3RU HMHPSOR QR H[LVWH

{1> t} ni {et2} /DV FRQGLFLRQHV VX¿FLHQWHV TXH JDUDQWL]DQ OD H[LVWHQFLD GH { f (t)}
son que f sea continua por tramos en [0, ϱ) y que f sea de orden exponencial para t Ͼ
T. Recuerde que la función es continua por tramos en [0, ϱ) si, en cualquier intervalo
0 Յ a Յ t Յ b KD\ XQ Q~PHUR ¿QLWR GH SXQWRV tk, k ϭ 1, 2, . . . , n (tkϪl Ͻ tk) en los que
f WLHQH GLVFRQWLQXLGDGHV ¿QLWDV \ HV FRQWLQXD HQ FDGD LQWHUYDOR DELHUWR tkϪl, tk). Vea la
¿JXUD (O FRQFHSWR GH orden exponencial VH GH¿QH GH OD VLJXLHQWH PDQHUD

DEFINICIÓN 7.1.2 Orden exponencial

Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M Ͼ 0 y T Ͼ
0 tales que ͉ f (t) ͉ Յ Mect para toda t Ͼ T.

Tt Si f es una función creciente, entonces la condición ͉ f (t)͉ Յ Mect, t Ͼ T, sim-
SOHPHQWH HVWDEOHFH TXH OD JUi¿FD GH f en el intervalo (T, ϱ) no crece más rápido que
FIGURA 7.1.2 f es de orden OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO Mect, donde c es una constante positiva. Vea la
exponencial c. ¿JXUD /DV IXQFLRQHV f (t) ϭ t, f (t) ϭ eϪt y f (t) ϭ 2 cos t son de orden exponencial
porque para c ϭ 1, M ϭ 1, T ϭ 1 se tiene, respectivamente, para t Ͼ 0

t et, e t et, y 2 cos t 2et.

270 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE f (t) f (t)
et 2et
f (t)
et e−t 2 cos t
t t
t
t

a) b) c)

FIGURA 7.1.3 Tres funciones de orden exponencial

8QD FRPSDUDFLyQ GH ODV JUi¿FDV HQ HO LQWHUYDOR ϱ VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

Un exponente entero positivo de t siempre es de orden exponencial puesto que,

para c Ͼ 0,

tn Mect tn
o ect M para t T

f(t) et2 ect es equivalente a demostrar que el límt : tn> ect HV ¿QLWR SDUD n ϭ 1, 2, 3, . . . El
resultado se deduce con n aplicaciones de la regla de L'Hôpital. Una función como
ct f (t) et2 QR HV GH RUGHQ H[SRQHQFLDO SXHVWR TXH FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

FIGURA 7.1.4 et2 no es de orden VX JUi¿FD FUHFH PiV UiSLGR TXH FXDOTXLHU SRWHQFLD OLQHDO SRVLWLYD GH e para t Ͼ c Ͼ 0.
exponencial.
Esto también se puede ver, mientras t → ϱ, en la forma

et2 et2 ct et(t c) o
ect

TEOREMA 7.1.2 &RQGLFLRQHV VX¿FLHQWHV SDUD OD H[LVWHQFLD

Si f es una función continua por tramos en [0, ϱ) y de orden exponencial,
entonces { f (t)} existe para s Ͼ c.

DEMOSTRACIÓN 3RU OD SURSLHGDG DGLWLYD GHO LQWHUYDOR GH LQWHJUDOHV GH¿QLGDV SR-
demos escribir

{ f(t)} T e st f (t) dt I1 I2.

e st f (t) dt T

0

La integral I existe ya que se puede escribir como la suma de integrales en los interva-
1
los en los que eϪstf(t) es continua. Ahora puesto que f es de orden exponencial, existen

constantes c, M Ͼ 0, T Ͼ 0 tales que ͉ f (t)͉ Յ Mect para t Ͼ T. Entonces podemos escribir

I2 e st f (t) dt M e stect dt M e (s c)t dt e (s c)T
M
T T T
sc

para s Ͼ c. Puesto que T Me (s c)t dt converge, la integral T e st f (t) dt converge
SRU OD SUXHED GH FRPSDUDFLyQ SDUD LQWHJUDOHV LPSURSLDV (VWR D VX YH] VLJQL¿FD TXH I2
existe para s Ͼ c. La existencia de I1 e I2 implica que existe { f (t)} 0 e st f (t) dt
para s Ͼ c.

EJEMPLO 6 7UDQVIRUPDGD GH XQD IXQFLyQ FRQWLQXD SRU WUDPRV

Evalúe ᏸ{f (t)} donde f (t) 0, 0 t 3
2, t 3.

7.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE l 271

SOLUCIÓN /D IXQFLyQ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HV FRQWLQXD SRU WUDPRV \ GH
orden exponencial para t Ͼ 0. Puesto que f VH GH¿QH HQ GRV WUDPRV ᏸ{ f (t)} se expresa
como la suma de dos integrales:

{f (t)} e st f (t) dt 3 e st (2) dt

0 e st (0) dt 3

y 0 0.
2
2e st
3t 0

FIGURA 7.1.5 Función continua por s3
tramos.
2e 3s s
,

s

Concluye esta sección con un poco más de teoría relacionada con los tipos de fun-
ciones de s con las que en general se estará trabajando. El siguiente teorema indica que
no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua
por tramos de orden exponencial.

TEOREMA 7.1.3 Comportamiento de F(s) conforme s → ϱ

Si f es continua por partes en (0, ϱ) y de orden exponencial y F(s) ϭ ᏸ{ f (t)},

entonces el lím F(s) ϭ 0.

s →ϱ

DEMOSTRACIÓN Puesto que f es de orden exponencial, existen constantes Ȗ, M Ͼ
1
0 y T Ͼ 0 tales que ͉ f (t)͉ Յ M1eȖt para t Ͼ T. También, puesto que f es continua por
tramos en el intervalo 0 Յ t Յ T, está necesariamente acotada en el intervalo; es decir,

͉ f (t)͉ Յ M2 ϭ M2e0t Si M denota el máximo del conjunto {M1, M2} y c denota el máx-
imo de {0, Ȗ}, entonces

F(s) e st f (t) dt M e stect dt M e (s c)t dt M

0 0 0 sc

para s Ͼ c. Conforme s → ϱ, se tiene ͉F(s)͉ → 0 y por tanto F(s) ϭ ᏸ{ f (t)} → 0.

COMENTARIOS

i) En este capítulo nos dedicaremos principalmente a funciones que son continuas
por tramos y de orden exponencial. Sin embargo, se observa que estas dos condi-
FLRQHV VRQ VX¿FLHQWHV SHUR QR QHFHVDULDV SDUD OD H[LVWHQFLD GH OD WUDQVIRUPDGD GH
Laplace. La función f(t) ϭ tϪ1/2 no es continua por tramos en el intervalo [0, ϱ), pero
existe su transformada de Laplace. La función f(t) ϭ 2tet2 cos et2 no es de orden ex-
ponencial pero se puede demostrar que su transformada de Laplace existe. Vea los
problemas 43 y 54 en los ejercicios 7.1.

ii) Como consecuencia del teorema 7.1.3 se puede decir que las funciones de
s como F1(s) ϭ 1 y F2(s) ϭ s ͞ (s ϩ 1) no son las transformadas de Laplace
de funciones continuas por tramos de orden exponencial, puesto que F1(s) :/ 0
y F2(s) :/ 0 conforme s → ϱ. Pero no se debe concluir de esto que F1(s) y F2(s)
no son transformadas de Laplace. Hay otras clases de funciones.

272 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

EJERCICIOS 7.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11.

(Q ORV SUREOHPDV O D XVH OD GH¿QLFLyQ SDUD HQFRQWUDU f (t) ϭ 2t4 f (t) ϭ t5
f (t) ϭ 4t Ϫ 10 f (t) ϭ 7t ϩ 3
ᏸ{ f (t)}. f (t) ϭ t2 ϩ 6t Ϫ 3 f (t) ϭ Ϫ4t2 ϩ 16t ϩ 9
f (t) ϭ (t ϩ 1)3 f (t) ϭ (2t Ϫ 1)3
f (t) 1, 0 t 1 f (t) ϭ 1 ϩ e4t f (t) ϭ t2 Ϫ eϪ9t ϩ 5
1, t 1 f (t) ϭ (1 ϩ e2t)2 f (t) ϭ (et Ϫ eϪt)2
f (t) ϭ 4t2 Ϫ 5 sen 3t f (t) ϭ cos 5t ϩ sen 2t
f (t) 4, 0 t 2 f (t) ϭ senh kt f (t) ϭ cosh kt
0, t 2 f (t) ϭ et senh t f (t) ϭ eϪt cosh t

f (t) t, 0 t 1
1, t 1

f (t) 2t 1, 0 t 1
f (t) 0, t 1
sen t, 0 t
0, t En los problemas 37 a 40 encuentre ᏸ{f (t)} usando primero
una identidad trigonométrica.
0, 0 t >2
f (t) 2
cos t, t f (t) ϭ sen 2t cos 2t f (t) ϭ cos2t

f(t) (2, 2) f (t) ϭ sen(4t ϩ 5) f (t) 10 cos t
6

1 Hemos encontrado a la IXQFLyQ JDPPD ⌫(Į) en nuestro
estudio de las funciones de Bessel en la sección 6.4. Una
1t GH¿QLFLyQ GH HVWD IXQFLyQ HVWi GDGD SRU OD LQWHJUDO LPSURSLD

FIGURA 7.1.6 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD ( ) 0 t 1e t dt, 0.
f(t) (2, 2)
8VH HVWD GH¿QLFLyQ SDUD GHPRVWUDU TXH ⌫(Į ϩ 1) ϭ Į⌫(Į).
1
Utilice el problema 41 y un cambio de variable para obte-
ner la generalización

FIGURA 7.1.7 1t ( 1) 1
*Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD {t } s 1 ,
f (t) del resultado en el teorema 7.1.1(b)

1 En los problemas 43 a 46 utilice los problemas 41 y 42 y el

( )hecho que 1 1 para encontrar la transformada de
2

1t Laplace de la función dada

FIGURA 7.1.8 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD 4 f (t) ϭ tϪ1/2 f (t) ϭ t1/2
f(t)
f (t) ϭ t3/2. f (t) ϭ 2tϪ1/2 ϩ 8 t5/2
c
Problemas para analizar

ab t Construya una función F(t) que sea de orden exponen-
cial pero donde f(t) ϭ FЈ(t) no sea de orden exponencial.
FIGURA 7.1.9 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD Construya una función f que no sea de orden exponen-

cial, pero cuya transformada de Laplace exista.

f (t) ϭ etϩ7 f (t) ϭ eϪ2tϪ5 Suponga que { f1(t)} F1(s) para s c1 y que
{ f2(t)} F2(s) para s Ͼ c2. ¿Cuándo
f (t) ϭ te4t f (t) ϭ t e2 Ϫ2t
{f1(t) f2(t)} F1(s) F2(s)?
f (t) ϭ eϪt sen t f (t) ϭ et cos t
/D ¿JXUD LQGLFD SHUR QR GHPXHVWUD TXH OD IXQFLyQ
f (t) ϭ t cos t f (t) ϭ t sen t f (t) et2 no es de orden exponencial. ¿Cómo demuestra
la observación de que t2 Ͼ ln M ϩ ct, para M Ͼ 0 y t VX¿-
En los problemas 19 a 36 use el teorema 7.1.1 para encontrar cientemente grande, que et2 Mect para cualquier c?
ᏸ{ f (t)}.

7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 273

Utilice el inciso c) del teorema 7.1.1 para demostrar que Demuestre que la transformada de Laplace
{2tet2 coset2} existe. [Sugerencia: Comience inte-
ᏸ{e }(aϩib)t ϭ s a ib
(s a)2 b2 , donde a y b son reales grando por partes.]

e i2 ϭ Ϫ1. Demuestre cómo se puede usar la fórmula de Si ᏸ{f(t)} ϭ F(s) y a Ͼ 0 es una constante, demuestre que

Euler para deducir los resultados 1s
{f(at)} F
{eat cos bt} sa
(s a)2 b2 aa

{eat sen bt} (s b b2. Este resultado se conoce como el teorema de cambio
a)2 de escala.

¿Bajo qué condiciones es una función lineal f(x) ϭ mx ϩ Utilice la transformada de Laplace dada y el resultado
b, m 0, una transformada lineal? del problema 55 para encontrar la transformada de
Laplace indicada. Suponga que a y k son constantes po-
Explique por qué la función sitivas.

t, 0 t 2

f(t) 4, 2t5

1͞(t 5), t 5 a) {et} 1 {eat}
;
No es una función en partes continua en [0, ϱ). s1

Demuestre que la función f(t) ϭ 1͞t2 no tiene una trans- b) {sen t} 1 ; {sen kt}
1
formada de Laplace [Sugerencia: escriba ᏸ{1͞t2)} s2

como dos integrales impropias, como la ecuación si- c) {1 cos t} 1 ; {1 cos kt}
1)
guiente; demuestre que I diverge.] s(s2
1

{1͞t 2} 1 e st e st d) {sent senht} 2s ; {sen kt senh kt}
0 t 2 dt 1 t 2 dt I1 I2 4
s4

7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS

DE DERIVADAS

REPASO DE MATERIAL
l Descomposición en fracciones parciales

INTRODUCCIÓN En esta sección se dan algunos pasos hacia un estudio de cómo se puede usar
la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida.
Se empieza el análisis con el concepto de transformada de Laplace inversa o, más exactamente, la
inversa de una transformada de Laplace F(s). Después de algunos antecedentes preliminares im-
portantes sobre la transformada de Laplace de derivadas f Ј(t), f ЈЈ(t), . . . , se ilustra cómo entran en
juego la transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa para resolver ciertas ecua-
ciones diferenciales ordinarias sencillas.

Transformada Transformada inversa 7.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS
1 1 11

{1} s
s

EL PROBLEMA INVERSO Si F(s) representa la transfor-

1 t 11 mada de Laplace de una función f (t), es decir, {f (t)} F(s)
{t} s2 s2
se dice entonces que f (t) es la transformada de Laplace in-

1 e 3t 1 1 versa de F(s) y se escribe f(t) 1{F(s)}. En el caso de
s3
{e 3t} los ejemplos 1, 2 y 3 de la sección 7.1 tenemos las tablas a la

s3 izquierda, respectivamente.

274 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Pronto veremos que en la aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones

no se puede determinar de manera directa una función desconocida f (t); más bien,

se puede despejar la transformada de Laplace F(s) o f (t); pero a partir de ese co-

nocimiento, se determina f calculando f (t) 1{F(s)}. La idea es simplemente

esta: suponga que F(s) 2s 6
es una transformada de Laplace; encuentre una
s2 4

función f (t) tal que {f (t)} F(s). En el ejemplo 2 se muestra cómo resolver este
último problema.

Para futuras referencias el análogo del teorema 7.1.1 para la transformada inversa
se presenta como nuestro siguiente teorema.

TEOREMA 7.2.1 Algunas transformadas inversas

a) 1 1 1
s

b) tn 1 n! , n 1, 2, 3, . . . c) eat 11
sn 1 sa

d) sen kt 1k e) cos kt 1s
s2 k2 s2 k2

f) senh kt 1k g) cosh kt 1s
s2 k2 s2 k2

Al evaluar las transformadas inversas, suele suceder que una función de s que
estamos considerando no concuerda exactamente con la forma de una transformada
de Laplace F(s) que se presenta en la tabla. Es posible que sea necesario “arreglar” la
función de s multiplicando y dividiendo entre una constante apropiada.

EJEMPLO 1 $SOLFDQGR HO WHRUHPD

Evalúe a) 11 b) 1 1 .
s5 s2
7

SOLUCIÓN a) Para hacer coincidir la forma dada en el inciso b) del teorema 7.2.1,
VH LGHQWL¿FD n ϩ 1 ϭ 5 o n ϭ 4 y luego se multiplica y divide entre 4!:

11 1 1 4! 1 t4.
s5 4! s5 24

b) 3DUD TXH FRLQFLGD FRQ OD IRUPD GDGD HQ HO LQFLVR G GHO WHRUHPD LGHQWL¿FDPRV k2
ϭ 7 y, por tanto, k 17 . Se arregla la expresión multiplicando y dividiendo entre 17 :

11 1 1 17 1 sen17t.
s2 7 17 s2 7 17

ᏸ ؊1 ES UNA TRANSFORMADA LINEAL La transformada de Laplace inversa es
también una transformada lineal para las constantes Į y ȕ

1{ F(s) G(s)} 1{F(s)} 1{G(s)}, (1)

donde F y G son las transformadas de algunas funciones f y g. Como en la ecuación
GH OD VHFFLyQ OD HFXDFLyQ VH H[WLHQGH D FXDOTXLHU FRPELQDFLyQ OLQHDO ¿QLWD GH
transformadas de Laplace.

7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 275

EJEMPLO 2 'LYLVLyQ WpUPLQR D WpUPLQR \ OLQHDOLGDG

Evalúe 1 2s 6
s2 4.

SOLUCIÓN Primero se reescribe la función dada de s como dos expresiones divi-

diendo cada uno de los términos del numerador entre el denominador y después se usa

la ecuación (1):

división de cada uno de los términos linealidad y arreglo de
entre el denominador las constantes

{ } { } { } { }ᏸϪ1 Ϫ––s–22–sϩ––ϩ–4–6–
ϭ ᏸϪ1 –s–2Ϫ–ϩ–2–s–4– ϩ –s–2–ϩ6–––4– ϭ Ϫ2 ᏸϪ1 –s–2–ϩ–s––4– ϩ 6– ᏸϪ1 –s–2–ϩ2–––4– (2)
2

ϭ Ϫ2 cos 2t ϩ 3 sen 2t. incisos e) y d) del
teorema 7.2.1 con k ϭ 2

FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales juegan un papel importante en la
determinación de transformadas de Laplace inversas. La descomposición de una expresión
racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente usando una sola ins-
trucción en la mayoría de los sistemas algebraicos de computadora. De hecho, algunos SAC
tienen paquetes implementados de transformada de Laplace y transformada de Laplace
inversa. Pero para quienes no cuentan con este tipo de software, en esta sección y en las
subsecuentes revisaremos un poco de álgebra básica en los casos importantes donde el de-
nominador de una transformada de Laplace F(s) contiene factores lineales distintos, factores
lineales repetidos y polinomios cuadráticos sin factores reales. Aunque examinaremos cada
uno de estos casos conforme se desarrolla este capítulo, podría ser buena idea que consulta-
ra un libro de cálculo o uno de precálculo para una revisión más completa de esta teoría.

En el siguiente ejemplo se muestra la descomposición en fracciones parciales en el
caso en que el denominador de F(s) se puede descomponer en diferentes factores lineales.

EJEMPLO 3 Fracciones parciales: diferentes factores lineales

Evalúe 1 s2 6s 9 .

(s 1)(s 2)(s 4)

SOLUCIÓN Existen constantes reales A, B y C, por lo que

s2 6s 9 ABC

(s 1)(s 2)(s 4) s 1 s 2 s 4

A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2)
(s 1)(s 2)(s 4) .

Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos:

s2 6s 9 A(s 2)(s 4) B(s 1)(s 4) C(s 1)(s 2). (3)

&RPSDUDQGR ORV FRH¿FLHQWHV GH ODV SRWHQFLDV GH s en ambos lados de la igualdad, sabe-
mos que (3) es equivalente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A, B y C.
Sin embargo, hay un atajo para determinar estas incógnitas. Si se hace s ϭ 1, s ϭ 2 y s
ϭ Ϫ4 en (3) se obtiene, respectivamente,

16 A( 1)(5), 25 B(1)(6) y 1 C( 5)( 6),

y así, A 156, B 265, y C 1 . Por lo que la descomposición en fracciones par-
ciales es 30

s2 6s 9 16>5 25> 6 1>30 , (4)
(s 1)(s 2)(s 4) s1s2s4

276 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

y, por tanto, de la linealidad de ᏸ Ϫ1 y del inciso c) del teorema 7.2.1,

1 s2 6s 9 16 1 1 25 1 1 1 11
(s 1)(s 2)(s 4) 5 s1 6 s2 30 s4

16 et 25 e2t 1 e 4t . (5)
5 6 30

7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como se indicó en la introducción de este

capítulo, el objetivo inmediato es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones
GLIHUHQFLDOHV 3DUD WDO ¿Q HV QHFHVDULR HYDOXDU FDQWLGDGHV FRPR {dy>dt} y {d2y> dt2}.
Por ejemplo, si fЈ es continua para t Ն 0, entonces integrando por partes se obtiene

{ f (t)} e st f (t) dt e st f (t) s e st f (t) dt
0 00

f (0) s { f (t)}

o { f (t)} sF(s) f (0). (6)

Aquí hemos supuesto que eϪstf (t) → 0 conforme t → ϱ. De manera similar, con la
ayuda de la ecuación (6),

{ f (t)} e st f (t) dt e st f (t) s e st f (t) dt
0 00

f (0) s { f (t)}

s[sF(s) f (0)] f (0) ; de (6)

o { f (t)} s2F(s) sf (0) f (0). (7)

De igual manera se puede demostrar que

{ f (t)} s3F(s) s2f (0) sf (0) f (0). (8)

La naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las derivadas de una función
f es evidente de los resultados en (6), (7) y (8). El siguiente teorema da la transformada
de Laplace de la n-ésima derivada de f. Se omite la demostración.

TEOREMA 7.2.2 Transformada de una derivada

Si f, f Ј, . . . , f (nϪ1) son continuas en [0, ϱ) y son de orden exponencial y si f (n)

(t) es continua por tramos en [0, ϱ), entonces

{ f (n)(t)} snF(s) sn 1f (0) sn 2f (0) f (n 1)(0),

donde F(s) { f(t)}.

SOLUCIÓN DE EDO LINEALES Es evidente del resultado general dado en el teo-
rema 7.2.2 que {dny> dtn} depende de Y(s) {y(t)} y las n Ϫ 1 derivadas de y(t)
evaluadas en t ϭ 0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea adecuada

para resolver problemas lineales con valores iniciales en los que la ecuación diferen-
cial tiene FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV. Este tipo de ecuación diferencial es simplemente una
combinación lineal de términos y, yЈ, yЉ, . . . , y(n):

dny d n 1y a0 y g(t),
an dtn an 1 dtn 1

y(0) y0, y (0) y1, . . . , y(n 1)(0) yn 1,

7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 277

donde las ai, i ϭ 0, 1, . . . , n y y, y, . . . , ynϪ1 son constantes. Por la propiedad de li-
0 1

nealidad la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación

lineal de transformadas de Laplace:

dny an 1 d n 1y a0 {y} {g(t)}. (9)
an dtn dtn 1

Del teorema 7.2.2, la ecuación (9) se convierte en

an [snY(s) sn 1y(0) y(n 1)(0)]

an 1[sn 1Y(s) sn 2y(0) y(n 2)(0)] a0Y(s) G(s), (10)

donde {y(t)} Y(s) y {g(t)} ϭ G(s). En otras palabras, la transformada de
/DSODFH GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV VH FRQYLHUWH HQ
una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general (10)
para el símbolo Y(s), primero se obtiene P(s)Y(s) ϭ Q(s) ϩ G(s) y después se escribe

Q(s) G(s) (11)
Y(s) ,

P(s) P(s)

donde P(s) ϭ ansn ϩ anϪ1snϪ1 ϩ . . . ϩ a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o
igual a n Ϫ TXH FRQVLVWH HQ YDULRV SURGXFWRV GH ORV FRH¿FLHQWHV ai, i ϭ 1, . . . , n y las
condiciones iniciales prescritas y0, y1, . . . , ynϪ1 y G(s) es la transformada de Laplace de
g(t).* Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación (11) sobre el mínimo

común denominador y después se descompone la expresión en dos o más fracciones

parciales. Por último, la solución y(t) del problema con valores iniciales original es y(t)
ϭ ᏸ Ϫ1{Y(s)}, donde la transformada inversa se hace término a término.

El procedimiento se resume en el siguiente diagrama.

Encuentre la y(t) Aplique la transformada La ED transformada
desconocida que de Laplace se convierte en una
satisface la ED y las ecuación algebraica
condiciones iniciales
en Y(s)

Solución y(t) Aplique la transformada Resuelva la ecuación
del PVI original inversa de Laplace −1 transformada para
Y(s)

En el ejemplo siguiente se ilustra el método anterior para resolver ED, así como
la descomposición en fracciones parciales para el caso en que el denominador de Y(s)
contenga un polinomio cuadrático sin factores reales.

EJEMPLO 4 6ROXFLyQ GH XQ 39, GH SULPHU RUGHQ

Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales

dy
3y 13 sen 2t, y(0) 6.

dt

SOLUCIÓN Primero se toma la transformada de cada miembro de la ecuación dife-
rencial.
dy
3 {y} 13 {sen 2t}. (12)

dt

*El polinomio P(s) es igual al polinomio auxiliar de n-ésimo grado en la ecuación (12) de la sección 4.3
donde el símbolo m usual se sustituye por s.

278 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

De (6), {dy>y>dt} sY(s) y(0) sY(s) 6, y del inciso d) del teorema 7.1.1,
{sen 2t} 2>(s2 4), por lo que la ecuación (12) es igual que

26 26
sY(s) 6 3Y(s) o (s 3)Y(s) 6 .
s2 4 s2 4

Resolviendo la última ecuación para Y(s), obtenemos

Y(s) 6 (s 26 4) 6s2 50 . (13)
s3 3)(s2 (s 3)(s2 4)

Puesto que el polinomio cuadrático s2 ϩ 4 no se factoriza usando números reales, se supone

que el numerador en la descomposición de fracciones parciales es un polinomio lineal en s:

6s2 50 A Bs C
.
(s 3)(s2 4) s 3 s2 4

Poniendo el lado derecho de la igualdad sobre un común denominador e igualando los
numeradores, se obtiene 6s2 ϩ 50 ϭ A(s2 ϩ 4) ϩ (Bs ϩ C)(s ϩ 3). Haciendo s ϭ Ϫ3
se obtiene inmediatamente que A ϭ 8. Puesto que el denominador no tiene más raíces
UHDOHV VH LJXDODQ ORV FRH¿FLHQWHV GH s2 y s : 6 ϭ A ϩ B y 0 ϭ 3B ϩ C. Si en la primera
ecuación se usa el valor de A se encuentra que B ϭ Ϫ2, y con este valor aplicado a la
segunda ecuación, se obtiene C ϭ 6. Por lo que,

6s2 50 8 2s 6
Y(s) (s 3)(s2 4) s 3 .
s2 4

Aún no se termina porque la última expresión racional se tiene que escribir como dos
fracciones. Esto se hizo con la división término a término entre el denominador del
ejemplo 2. De (2) de ese ejemplo,

y(t) 8 1 1 2 1s 3 1 2 .
s3 s2 4 s2
4

Se deduce de los incisos c), d) y e) del teorema 7.2.1, que la solución del problema con
valores iniciales es y(t) ϭ 8eϪ3t Ϫ 2 cos 2t ϩ 3 sen 2t.

EJEMPLO 5 6ROXFLyQ GH XQ 39, GH VHJXQGR RUGHQ

Resuelva yЉ Ϫ 3yЈ ϩ 2y ϭ eϪ4t, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 5.

SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, se transforma la ED. Se toma la
suma de las transformadas de cada término, se usan las ecuaciones (6) y (7), las condi-
ciones iniciales dadas, el inciso c) del teorema 7.1.1 y entonces se resuelve para Y(s):

d2y dy 2 {y} {e 4t}
3
dt2 dt

s2Y(s) sy (0) y (0) 3[sY(s) y (0)] 2Y(s) 1
s4

(s2 3s 2)Y(s) 1
s2

s4

s2 1 s2 6s 9
Y(s) s2 3s 2 (s2 3s 2)(s 4) . (14)
(s 1)(s 2)(s 4)

Los detalles de la descomposición en fracciones parciales de Y(s) ya se presentaron en
el ejemplo 3. En vista de los resultados en (4) y (5), se tiene la solución del problema
con valores iniciales

y(t) 1{Y(s)} 16 et 25 e2t 1 e 4t.
5 6 30

7.2 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS l 279

En los ejemplos 4 y 5, se ilustra el procedimiento básico de cómo usar la transformada

de Laplace para resolver un problema lineal con valores iniciales, pero podría pare-

cer que estos ejemplos demuestran un método que no es mucho mejor que el aplicado

a los problemas descritos en las secciones 2.3 y 4.3 a 4.6. No saque conclusiones ne-

gativas de sólo dos ejemplos. Sí, hay una gran cantidad de álgebra inherente al uso

de la transformada de Laplace, pero observe que no se tiene que usar la variación de

SDUiPHWURV R SUHRFXSDUVH DFHUFD GH ORV FDVRV \ HO iOJHEUD HQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQ

tes indeterminados. Además, puesto que el método incorpora las condiciones ini-

ciales prescritas directamente en la solución, no se requiere la operación separada

de aplicar las condiciones iniciales a la solución general y ϭ cy ϩ cy ϩ и и и ϩ
11 22

cn yn ϩ yp GH OD (' SDUD GHWHUPLQDU FRQVWDQWHV HVSHFt¿FDV HQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU

del PVI.

La transformada de Laplace tiene muchas propiedades operacionales. En las

secciones que siguen se examinan algunas de estas propiedades y se ve cómo per-

miten resolver problemas de mayor complejidad.

COMENTARIOS

i) La transformada de Laplace inversa de una función F(s) podría no ser única;
en otras palabras, es posible que { f1(t)} { f2(t)} y sin embargo f1 f2.
Para nuestros propósitos, esto no es algo que nos deba preocupar. Si f1 y f2 son
continuas por tramos en [0, ϱ) y de orden exponencial, entonces f1 y f2 son esen-
cialmente iguales. Vea el problema 44 en los ejercicios 7.2. Sin embargo, si f1 y
f2 son continuas en [0, ϱ) y { f1(t)} { f2(t)}, entonces f1 ϭ f2 en el intervalo.

ii) Este comentario es para quienes tengan la necesidad de hacer a mano des-
FRPSRVLFLRQHV HQ IUDFFLRQHV SDUFLDOHV +D\ RWUD IRUPD GH GHWHUPLQDU ORV FRH¿-
cientes en una descomposición de fracciones parciales en el caso especial cuando

{ f(t)} F(s) es una función racional de s y el denominador de F es un pro-

ducto de distintos factores lineales. Esto se ilustra al analizar de nuevo el ejemplo

3. Suponga que se multiplican ambos lados de la supuesta descomposición

s2 6s 9 ABC (15)

(s 1)(s 2)(s 4) s 1 s 2 s 4

digamos, por s Ϫ VH VLPSOL¿FD \ HQWRQFHV VH KDFH s ϭ 3XHVWR TXH ORV FRH¿-
cientes de B y C en el lado derecho de la igualdad son cero, se obtiene

s2 6s 9 16
AoA .

(s 2)(s 4) s 1 5

Escrita de otra forma,

s2 6s 9 16
(s 1) (s 2)(s 4) s 1 A,

5

donde se ha sombreado o cubierto, el factor que se elimina cuando el lado iz-
quierdo se multiplica por s Ϫ 1. Ahora, para obtener B y C, simplemente se
evalúa el lado izquierdo de (15) mientras se cubre, a su vez, s Ϫ 2 y s ϩ 4:

͉––––––s–2–ϩ–––6–s––ϩ––9–––––– ϭ 2––5– ϭ B

(s Ϫ 1)(s Ϫ 2)(s ϩ 4) sϭ2 6

͉y
––––––s–2–ϩ–––6–s––ϩ––9–––––– ϭ –1–– ϭ C.
(s Ϫ 1)(s Ϫ 2)(s ϩ 4) 30
sϭϪ4

280 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La descomposición deseada (15) se da en (4). Esta técnica especial para determi-
QDU FRH¿FLHQWHV VH FRQRFH GHVGH OXHJR FRPR PpWRGR GH FXEULPLHQWR.

iii) En este comentario continuamos con la introducción a la terminología de sis-
temas dinámicos. Como resultado de las ecuaciones (9) y (10) la transformada de
Laplace se adapta bien a sistemas dinámicos lineales. El polinomio P(s) ϭ ansn ϩ
anϪ1snϪ1 ϩ и и и ϩ a0 HQ HV HO FRH¿FLHQWH WRWDO GH Y(s) en (10) y es simplemente el
lado izquierdo de la ED en donde las derivadas dky͞dtk se sustituyen por potencias sk,
k ϭ 0, 1, . . . , n. Es común llamar al recíproco de P(s), en particular W(s) ϭ 1͞P(s),
IXQFLyQ GH WUDQVIHUHQFLD del sistema y escribir la ecuación (11) como

Y(s) W(s)Q(s) W(s)G(s) . (16)

De esta manera se han separado, en un sentido aditivo, los efectos de la respuesta
debidos a las condiciones iniciales (es decir, W(s)Q(s)) de los causados por la
función de entrada g (es decir, W(s)G(s)). Vea (13) y (14). Por tanto la respuesta
y(t) del sistema es una superposición de dos respuestas:

y (t) 1{W(s)Q(s)} 1{W(s)G(s)} y0(t) y1(t).

Si la entrada es g(t) ϭ 0, entonces la solución del problema es y0(t) 1{W(s)

Q(s)}. Esta solución se llama respuesta de entrada cero del sistema. Por otro

lado, la función y1(t) 1{W(s)G(s)} es la salida debida a la entrada g(t).

Entonces, si la condición inicial del sistema es el estado cero (todas las condiciones

iniciales son cero), entonces Q(s) ϭ 0 y, por tanto, la única solución del problema con

valores iniciales es y1(t). La última solución se llama respuesta de estado cero del
sistema. Tanto y0(t) como y1(t) son soluciones particulares: y0(t) es una solución
del PVI que consiste en la ecuación homogénea relacionada con las condiciones

iniciales dadas y y1(t) es una solución del PVI que consiste en la ecuación no ho-
mogénea con condiciones iniciales cero. En el ejemplo 5 se ve de (14) que la

función de transferencia es W(s) ϭ 1͞(s2 Ϫ 3s ϩ 2), la respuesta de entrada cero es

y0(t) 1 s2 2) 3et 4 e2t,
1)(s
(s

y la respuesta de estado cero es

y1(t) 11 1 et 1 e2t 1 e 4t.
(s 1)(s 2)(s 4) 56 30

Compruebe que la suma de y0(t) y y1(t) es la solución de y(t) en el ejemplo 5 y
que y0(0) 1, y0(0) 5, mientras que y1(0) 0, y1(0) 0.

EJERCICIOS 7.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11.

7.2.1 TRANSFORMADAS INVERSAS 11 1 1 14 6 1

En los problemas 1 a 30 use el álgebra apropiada y el teorema s2 s s 2 s s5 s 8

7.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada. 1 1 1 1
4s 1 5s 2

1 1 1 1 15 1 10s
s3 s4 s2 49 s2 16

1 1 48 1 2 1 2 1 4s 11
s2 s5 s s3 4s2 1 4s2 1

1 (s 1)3 1 (s 2)2 1 2s 6 1s 1
s4 s3 s2 9 s2 2

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I l 281

11 1 8 . 1s 1 2y ٞ ϩ 3yЉ Ϫ 3yЈ Ϫ 2y ϭ eϪt, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0,
s2 3s s2 4s yЉ(0) ϭ 1

1s 2 0 . 11 y ٞ ϩ 2yЉ Ϫ yЈ Ϫ 2y ϭ sen 3t, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0,
s2 2s 3 s2 s 20 yЉ(0) ϭ 1

1 0.9s Las formas inversas de los resultados del problema 50 en los
(s 0.1)(s 0.2) ejercicios 7.1 son

s3 1 sa eat cos bt
(s a)2 b2
1
s 13 s 13
1b eat sen bt.
1s (s a)2 b2
(s 2)(s 3)(s 6)
En los problemas 41 y 42 use la transformada de Laplace y estas
1 s2 1 inversas para resolver el problema con valores iniciales dado.
s(s 1)(s 1)(s 2)
yЈ ϩ y ϭ eϪ3t cos 2t, y(0) ϭ 0
yЉ Ϫ 2yЈ ϩ 5y ϭ 0, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 3
11 2 6 . 1s
s3 5s (s 2)(s2 4)
Problemas para analizar

1 2s 4 2 8 . 11 a) Con un ligero cambio de notación la transformada en
(s2 s)(s2 1) s4 9 (6) es igual a

11 3300.. 1 6s 3 { f (t)} s { f (t)} f (0).
(s2 1)(s2 4) s4 5s2 4
Con f (t) ϭ teat, analice cómo se puede usar este re-
7.2.2 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
sultado junto con c) del teorema 7.1.1 para evaluar
{tea t} .

En los problemas 31 a 40, use la transformada de Laplace para b) Proceda como en el inciso a), pero esta vez examine
resolver el problema con valores iniciales. cómo usar (7) con f (t) ϭ t sen kt junto con d) y e) del
teorema 7.1.1 para evaluar {t sen kt}.

dy y 1, y(0) 0 Construya dos funciones f y f que tengan la misma trans-
dt 12

formada de Laplace. No considere ideas profundas.

dy y 0, y(0) 3 Lea de nuevo el inciso iii) de los Comentarios GHO ¿QDO GH
2 esta sección. Encuentre la respuesta de entrada cero y la
dt respuesta de estado cero para el PVI del problema 36.

yЈ ϩ 6y ϭ e4t, y(0) ϭ 2 Suponga que f (t) es una función para la que f Ј(t) es conti-
nua por tramos y de orden exponencial c. Use los resulta-
yЈ Ϫ y ϭ 2 cos 5t, y(0) ϭ 0 GRV GH HVWD VHFFLyQ \ OD VHFFLyQ SDUD MXVWL¿FDU

yЉ ϩ 5yЈ ϩ 4y ϭ 0, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0

yЉ Ϫ 4yЈ ϭ 6e3t Ϫ 3eϪt, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ Ϫ1 f (0) lím sF(s),
s:
y y 22 sen 22t, y(0) 10, y (0) 0
donde F(s) ϭ ᏸ { f (t)}. Compruebe este resultado con
yЉ ϩ 9y ϭ et, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 f (t) ϭ cos kt.

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I

REPASO DE MATERIAL
l Continúe practicando la descomposición en fracciones parciales.
l Completar el cuadrado.

INTRODUCCIÓN 1R HV FRQYHQLHQWH XVDU OD GH¿QLFLyQ FDGD YH] TXH VH GHVHD HQFRQWUDU OD
transformada de Laplace de una función f (t). Por ejemplo, la integración por partes requerida para
evaluar ᏸ {ett2 sen 3t} es, por decirlo de algún modo, formidable. En esta sección y la que sigue se
presentan varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace que ahorran trabajo y per-
miten construir una lista más extensa de transformadas (vea la tabla del apéndice III) sin tener que
UHFXUULU D OD GH¿QLFLyQ EiVLFD \ D OD LQWHJUDFLyQ

282 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s

UNA TRASLACIÓN Evaluar transformadas tales como {e5tt 3} y {e 2t cos 4t}
es directo siempre que se conozca (y así es) {t3} y {cos 4t} . En general, si se co-
noce la transformada de Laplace de una función f, { f (t)} F(s), es posible calcular
la transformada de Laplace de un múltiplo exponencial de f, es decir, {eat f (t)}, sin
ningún esfuerzo adicional que no sea trasladar o desplazar, la transformada F(s) a
F(s Ϫ a). Este resultado se conoce como SULPHU WHRUHPD GH WUDVODFLyQ o primer
teorema de desplazamiento.

TEOREMA 7.3.1 3ULPHU WHRUHPD GH WUDVODFLyQ

Si {f(t)} F(s) y a es cualquier número real, entonces

{eat f (t)} F(s a).

PRUEBA /D GHPRVWUDFLyQ HV LQPHGLDWD \D TXH SRU OD GH¿QLFLyQ

F {eat f (t)} e steat f (t) dt e (s a)t f (t) dt F(s a).
F(s)
0 0

F(s − a) Si se considera s XQD YDULDEOH UHDO HQWRQFHV OD JUi¿FD GH F(s Ϫ a HV OD JUi¿FD GH
F(s) desplazada en el eje s por la cantidad ͉ a ͉. Si a Ͼ OD JUi¿FD GH F(s) se desplaza
s = a, a > 0 s a unidades a la derecha, mientras que si a Ͻ OD JUi¿FD VH GHVSOD]D ͉ a ͉ unidades a la
L]TXLHUGD 9HD OD ¿JXUD

Para enfatizar, a veces es útil usar el simbolismo

FIGURA 7.3.1 Desplazamiento en el {eat f (t)} { f (t)} s:s a ,
eje s.
donde s → s Ϫ a VLJQL¿FD TXH HQ OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH F(s) de f (t) siempre que

aparezca el símbolo s se reemplaza por s Ϫ a.

EJEMPLO 1 8VDQGR HO SULPHU WHRUHPD GH WUDVODFLyQ

Evalúe a) {e5tt 3} b) {e 2t cos 4t}.
SOLUCIÓN Los siguientes resultados se deducen de los teoremas 7.1.1 y 7.3.1.

a) {e5tt3} {t3} s: s 5 3! 6
s4 s:s 5 (s 5)4

b) {e 2t cos 4t} {cos 4t} s:s ( 2) s s2
s2 16 s:s 2 (s 2)2 16

FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.1 Para calcular la inversa de F(s Ϫ a),
se debe reconocer F(s), para encontrar f (t) obteniendo la transformada de Laplace
inversa de F(s) y después multiplicar f (t) por la función exponencial eat. Este procedi-
miento se resume con símbolos de la siguiente manera:

1{F(s a)} 1{F(s) s:s a} eat f (t) , (1)

donde f(t) 1{F(s)}.

En la primera parte del ejemplo siguiente se ilustra la descomposición en fracciones

parciales en el caso cuando el denominador de Y(s) contiene factores lineales repetidos.

EJEMPLO 2 Fracciones parciales: factores lineales repetidos

Evalúe a) 1 2s 5 b) 1 s>2 5>3 .
(s 3)2 s2 4s 6

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I l 283

SOLUCIÓN a) Un factor lineal repetido es un término (s Ϫ a)n, donde a es un nú-
mero real y n es un entero positivo Ն 2. Recuerde que si (s Ϫ a)n aparece en el denomi-
nador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n
fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes s Ϫ a, (s Ϫ a)2, . . . ,
(s Ϫ a)n. Por tanto, con a ϭ 3 y n ϭ 2 se escribe

2s 5 A B
(s 3)2 s 3 (s 3)2.

Colocando los dos términos del lado derecho con un denominador común, se obtiene

el numerador 2s ϩ 5 ϭ A(s Ϫ 3) ϩ B y esta identidad produce A ϭ 2 y B ϭ 11. Por

tanto,

2s 5 2 11 (2)

(s 3)2 s 3 (s 3)2

y 1 2s 5 211 11 1 1 . (3)
(s 3)2 s3 3)2
(s

Ahora 1͞(s Ϫ 3)2 es F(s) ϭ 1͞s2 desplazada tres unidades a la derecha. Ya que
1{1>s2} t , se tiene de (1) que

11 11 e3tt.
(s 3)2 s2 s:s 3

Por último, (3) es 1 2s 5 2e3t 11e3tt . (4)
(s 3)2

b) Para empezar, observe que el polinomio cuadrático s2 ϩ 4s ϩ 6 no tiene raíces reales
y por tanto no tiene factores lineales reales. En esta situación completamos el cuadrado:

s>2 5>3 s>2 5>3 (5)
s2 4s 6 (s 2)2 2 .

El objetivo aquí es reconocer la expresión del lado derecho como alguna transformada

de Laplace F(s) en la cual se ha reemplazado s por s ϩ 2. Lo que se trata de hacer es simi-

lar a trabajar hacia atrás del inciso b) del ejemplo 1. El denominador en (5) ya está en la

forma correcta, es decir, s2 ϩ 2 con s ϩ 2 en lugar de s. Sin embargo, se debe arreglar el

numerador manipulando las constantes: 12s 5 1 (s 2) 5 2 1 (s 2) 32.
3 2 3 2 2

Ahora mediante la división entre el denominador de cada término, la linealidad de

ᏸϪ1, los incisos e) y d) del teorema 7.2.1 y por último (1),

s> 2 5> 3 1 (s 2) 2 1 s2 21
(s 2)2 2 2 3

1 s> 2 5> 3 (s 2)2 2 2 (s 2)2 2 3 (s 2)2 2
s2 4s 6
1 1 s2 21 1
2 (s 2)2 2
3 (s 2)2 2

11s 2 1 12 (6)
2 s2 2 s:s 2 312 s2 2 s:s 2 (7)

1 2t cos 12 t 12 2t sen 12t.
e e
23

EJEMPLO 3 Un problema con valores iniciales

Resuelva yЉ Ϫ 6yЈ ϩ 9y ϭ t2e3t, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 17.

SOLUCIÓN Antes de transformar la ED, observe que su lado derecho es similar a la
función del inciso a) del ejemplo 1. Después de usar la linealidad, el teorema 7.3.1 y
ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV VH VLPSOL¿FD \ OXHJR VH UHVXHOYH SDUD Y(s) { f (t)}:

284 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

{y } 6 {y } 9 {y} {t2e3t}

s2Y(s) sy(0) y (0) 6[sY(s) y (0)] 9Y(s) 2
(s 3)3

(s2 6s 9)Y(s) 2s 5 2
(s 3)3

(s 3)2Y(s) 2s 5 2
(s 3)3

2s 5 2
Y(s) (s 3)2 (s 3)5.

El primer término del lado derecho ya se ha descompuesto en fracciones parciales en
la ecuación (2), en el inciso a) del ejemplo 2.

2 11 2
Y(s) s 3 (s 3)2 (s 3)5.

Por lo que y(t) 2 1 1 11 11 2 1 4! . (8)
s3 (s 3)2 4! (s 3)5

De la forma inversa (1) del teorema 7.3.1, los dos últimos términos de (8) son

11 te3t y 1 4! t 4e3t.
s2 s:s 3 s5 s:s 3

Por lo que (8) es y(t) 2e3t 11te3t 1 t 4e3t .
12

EJEMPLO 4 Un problema con valores iniciales

Resuelva yЉ ϩ 4yЈ ϩ 6y ϭ 1 ϩ eϪt, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0.

SOLUCIÓN {y } 4 {y } 6 {y} {1} {e t}

s2Y(s) sy(0) y (0) 4[sY(s) y (0)] 6Y(s) 1 1

ss1

(s2 4s 6)Y(s) 2s 1
s(s 1)

2s 1
Y(s) s(s 1)(s2 4s 6)

Puesto que el término cuadrático en el denominador no se factoriza en factores lineales
reales, se encuentra que la descomposición en fracciones parciales para Y(s) es

Y(s) 1>6 1> 3 s> 2 5> 3 .
6
s s 1 s2 4s

Además, en la preparación para tomar la transformada inversa, ya se manejó el último
término en la forma necesaria del inciso b) del ejemplo 2. Por lo que en vista de los
resultados en (6) y (7), se tiene la solución

y(t) 1 1 1 1 11 1 1 s2 2 1 12
6s 3 s1 2 (s 2)2 2
3 12 (s 2)2 2

1 1 t 1 2t cos 12t 12 2t sen 12t.
e e e
63 2 3

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I l 285

7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t

1 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería es común encontrar funciones que
at están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa en
un sistema mecánico, o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de
FIGURA 7.3.2 *Ui¿FD GH OD IXQFLyQ FLHUWR WLHPSR (V FRQYHQLHQWH HQWRQFHV GH¿QLU XQD IXQFLyQ HVSHFLDO TXH HV HO Q~PHUR
escalón unitario. (desactivada) hasta un cierto tiempo t ϭ a y entonces el número 1 (activada) después de
ese tiempo. La función se llama IXQFLyQ HVFDOyQ XQLWDULR o IXQFLyQ GH +HDYLVLGH, así
y llamada en honor del polímata inglés Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINICIÓN 7.3.1 )XQFLyQ HVFDOyQ XQLWDULR

La IXQFLyQ HVFDOyQ XQLWDULR (t a) VH GH¿QH FRPR

(t a) 0, 0 t a
1, t a.

1 2EVHUYH TXH VH GH¿QH (t a) sólo en el eje t no negativo, puesto que esto es
t
todo lo que interesa en el estudio de la transformada de Laplace. En un sentido más am-
FIGURA 7.3.3 La función es
f(t) (2t 3) (t 1). plio, (t a) ϭ 0 para t Ͻ a (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH (t a) .

f (t) Cuando una función f GH¿QLGD SDUD t Ն 0 se multiplica por (t a), la función
2
HVFDOyQ XQLWDULR ³GHVDFWLYD´ XQD SDUWH GH OD JUi¿FD GH HVD IXQFLyQ 3RU HMHPSOR FRQ-
t
−1 sidere la función f (t) ϭ 2t Ϫ 3DUD ³GHVDFWLYDU´ OD SDUWH GH OD JUi¿FD GH f para 0 Յ t

FIGURA 7.3.4 La función es Ͻ 1, simplemente formamos el producto (2 t 3) (t 1) 9HD OD ¿JXUD (Q
f (t) 2 3 (t 2) (t 3).
JHQHUDO OD JUi¿FD GH f (t) (t a) es 0 (desactivada) para 0 Յ t Ͻ a y es la parte de
f (t)
100 OD JUi¿FD GH f (activada) para t Ն a.

5t /D IXQFLyQ HVFDOyQ XQLWDULR WDPELpQ VH SXHGH XVDU SDUD HVFULELU IXQFLRQHV GH¿-

FIGURA 7.3.5 La función es nidas por tramos en una forma compacta. Por ejemplo, si consideramos 0 Յ t Ͻ 2 ,
f (t) 20t 20t (t 5) .
2 Յ t Ͻ 3, y t Ն 3 y los valores correspondientes de (t 2) y (t 3) , debe ser

HYLGHQWH TXH OD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU WUDPRV TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HV LJXDO

que f(t) 2 3 (t 2) (t 3) 7DPELpQ XQD IXQFLyQ JHQHUDO GH¿QLGD SRU

tramos del tipo

g(t), 0 t a (9)
f(t)

h(t), t a

es la misma que

f(t) g(t) g(t) (t a) h(t) (t a) . (10)

Análogamente, una función del tipo

0, 0 t a (11)
f(t) g(t), a t b

0, t b

puede ser escrita como

f (t) g(t)[ (t a) (t b)]. (12)

EJEMPLO 5 8QD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU WUDPRV

Exprese f (t) 20t, 0 t 5 en términos de funciones escalón unitario. Trace
OD JUi¿FD 0, t 5

SOLUCIÓN (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUD OD JUi¿FD GH f. Ahora, de (9) y (10) con a ϭ
5, g(t) ϭ 20t y h(t) ϭ 0, se obtiene f (t) 20t 20t (t 5).

286 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Considere una función general y ϭ f(t GH¿QLGD SDUD t Ն /D IXQFLyQ GH¿QLGD SRU WUDPRV

f(t a) (t a) 0, 0 t a (13)

f (t) f(t a), ta

a) f (t), t Ն 0 MXHJD XQ SDSHO LPSRUWDQWH HQ OD H[SOLFDFLyQ TXH VLJXH &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
f (t)
7.3.6, para a Ͼ OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ y f (t a) (t a) coincide con la grá-

¿FD GH y ϭ f (t Ϫ a) para t Ն a TXH HV OD JUi¿FD completa de y ϭ f (t), t Ն 0 desplazada

a unidades a la derecha en el eje t), pero es idénticamente cero para 0 Յ t Ͻ a.

t Vimos en el teorema 7.3.1 que un múltiplo exponencial de f (t) da como resul-
tado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del

siguiente teorema, se ve que siempre que F(s) se multiplica por una función expo-

nencial eϪas, a Ͼ 0, la transformada inversa del producto eϪas F(s) es la función f

desplazada a lo largo del eje t HQ OD PDQHUD TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E (VWH

resultado, presentado a continuación en su versión de transformada directa, se llama

VHJXQGR WHRUHPD GH WUDVODFLyQ o segundo teorema de desplazamiento.

TEOREMA 7.3.2 6HJXQGR WHRUHPD GH WUDVODFLyQ

at Si F(s) { f(t)} y a Ͼ 0, entonces
b) f (t Ϫ a) (t Ϫ a) { f (t a) (t a)} e asF(s).

FIGURA 7.3.6 Desplazamiento en el DEMOSTRACIÓN Por la propiedad de intervalo aditivo de integrales,
eje t.

e st f (t a) (t a) dt

0

se puede escribir como dos integrales:

a ϱϱ

͵ ͵ ͵ᏸ{f (t Ϫ a) ᐁ(t Ϫ a)} ϭ eϪstf (t Ϫ a) ᐁ(t Ϫ a) dt ϩ eϪstf (t Ϫ a) ᐁ(t Ϫ a) dt ϭ eϪstf (t Ϫ a) dt.
0aa

cero para uno para
0ՅtϽa tՆa

Ahora, si hacemos Y ϭ t Ϫ a, GY ϭ dt en la última integral, entonces

{ f (t a) (t a)} e s(v a) f (v) dv e as e sv f (v) dv e as { f (t)}.

00

Con frecuencia se desea encontrar la transformada de Laplace de sólo una función
HVFDOyQ XQLWDULR (VWR SXHGH VHU GH OD GH¿QLFLyQ R WHRUHPD 6L VH LGHQWL¿FD
f (t) ϭ 1 en el teorema 7.3.2, entonces f (t Ϫ a) ϭ 1, F(s) {1} 1>s y por tanto,

{ (t a)} e as (14)

s .

EJEMPLO 6 5HYLVLyQ GH OD ¿JXUD

Encuentre la transformada de Laplace de la función f GH OD ¿JXUD

SOLUCIÓN Usamos f expresada en términos de la función escalón unitario
f(t) 2 3 (t 2) (t 3)

y el resultado dado en (14):

{ f(t)} 2 {1} 3 { (t 2)} { (t 3)}

1 e 2s e 3s
23 .
s ss

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I l 287

FORMA INVERSA DEL TEOREMA 7.3.2 Si f (t) ϭ ᏸϪ1{F(s)}, la forma inversa
del teorema 7.3.2, a Ͼ 0, es

1{e asF(s)} f (t a) (t a). (15)

EJEMPLO 7 8VR GH OD IyUPXOD

Evalúe a) 1 1 e 2s b) 1 s e s/2 .
s4 s2 9

SOLUCIÓN a) De acuerdo con las identidades a ϭ 2, F(s) ϭ 1͞(s Ϫ 4) y
ᏸϪ1{F(s)} ϭ e4t, se tiene de (15)

1 1 e 2s e4(t 2) (t 2).
s4

b) Con a ϭ ʌ͞2, F(s) ϭ s͞(s2 ϩ 9) y 1{F(s)} cos 3t , de la ecuación (15) se obtiene

1 s e s/2 cos 3 t t.
s2 9 2 2

/D ~OWLPD H[SUHVLyQ VH SXHGH VLPSOL¿FDU XQ SRFR FRQ OD IyUPXOD DGLFLRQDO SDUD HO

coseno. Compruebe que el resultado es igual a sen 3t t 2 .

FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 7.3.2 Con frecuencia nos enfrentamos
con el problema de encontrar la transformada de Laplace de un producto de una función g
y una función escalón unitario (t a) donde la función g no tiene la forma precisa de
desplazamiento f(t Ϫ a) del teorema 7.3.2. Para encontrar la transformada de Laplace
de g(t) (t a), es posible arreglar g(t) en la forma requerida f(t Ϫ a) usando álgebra.
Por ejemplo, si se quiere usar el teorema 7.3.2 para determinar la transformada de Laplace
de t2 (t 2), se tendría que forzar g(t) ϭ t2 a la forma f(t Ϫ 2). Se debe trabajar alge-
braicamente y comprobar que t2 ϭ (t Ϫ 2)2 ϩ 4(t Ϫ 2) ϩ 4 es una identidad. Por tanto,

{t 2 (t 2)} {(t 2)2 (t 2) 4(t 2) (t 2) 4 (t 2)},

donde ahora cada término del lado derecho se puede evaluar con el teorema 7.3.2. Pero
como estas operaciones son tardadas y con frecuencia no obvias, es más simple diseñar
XQD IRUPD DOWHUQDWLYD GHO WHRUHPD 8VDQGR OD GH¿QLFLyQ OD GH¿QLFLyQ GH

(t a), y la sustitución u ϭ t Ϫ a, se obtiene

{g(t) (t a)} e st g(t) dt e s(u a) g(u a) du.

a 0

Es decir, {g(t) (t a)} e as {g(t a)}. (16)

EJEMPLO 8 6HJXQGR WHRUHPD GH WUDVODFLyQ IRUPD DOWHUQDWLYD

Evalúe {cos t (t )}.

SOLUCIÓN Con g(t) ϭ cos t y a ϭ ʌ, entonces g(t ϩ ʌ) ϭ cos (t ϩ ʌ) ϭ Ϫcos t por
la fórmula de adicción para la función coseno. Por tanto, por la ecuación (16),

{cos t (t )} e s {cos t} s e s.
1
s2

288 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

EJEMPLO 9 Un problema con valores iniciales

Resuelva yЈ ϩ y ϭ f (t), y(0) ϭ 5, donde f(t) 0, 0 t

3 cos t, t .

SOLUCIÓN La función f se puede escribir como f(t) ϭ 3 cos t ᐁ(t Ϫ ʌ), y entonces por
linealidad, por los resultados del ejemplo 7 y por las fracciones parciales usuales, se tiene

{y } {y} 3 {cos t (t )}
sY(s) y(0) Y(s)
3 s2 s e s
(s 1)Y(s) 1

5 3s e s
1
s2

53 1es 1 e s s e s.
Y(s) s1 1 1
s2 s2 (17)
s12

Ahora procediendo como se hizo en el ejemplo 6, se tiene de (15) con a ϭ ʌ que los
inversos de los términos dentro del paréntesis son

1 1es e (t ) (t ), 1 1 e s sen(t ) (t ),
s1 s2 1

y 1 s e s cos(t ) (t ).
s2 1

Por lo que el inverso de (17) es

y y(t) 5e t 3 (t ) (t 3 ) (t 3 ) (t )
5 e ) sen(t ) cos(t

4 22 2

3 5e t 3 (t ) sen t cos t] (t ) ; identidades trigonométricas
2 [e
1 2

t 5e t, 3 3 0 t (18)
_1 5e t e sen t 3 t
_2 (t ) .
2 cos t,
π 2π 3π 2 2

FIGURA 7.3.7 *Ui¿FD GH OD IXQFLyQ 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ KHPRV REWHQLGR OD JUi¿FD GH TXH VH PXHVWUD

en (18) del ejemplo 9. HQ OD ¿JXUD

VIGAS (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH OD GHÀH[LyQ HVWiWLFD y(x) de una viga uniforme

de longitud L con carga w(x) por unidad de longitud se determina a partir de la ecua-

ción diferencial lineal de cuarto orden

d4y (19)
EI dx4 w(x),

donde E es el módulo de Young de elasticidad e I es un momento de inercia de una sección

transversal de la viga. La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver la
ecuación (19) cuando w(x VH GH¿QH SRU WUDPRV 6LQ HPEDUJR SDUD XVDU OD WUDQVIRUPDGD
w(x) de Laplace se debe suponer de manera tácita que y(x) y w(x HVWiQ GH¿QLGDV HQ ϱ) y
no en (0, L). Observe, también, que el siguiente ejemplo es un problema con valores en la

frontera más que un problema con valores iniciales.

pared EJEMPLO 10 Un problema con valores en la frontera
y
x Una viga de longitud L VH HPSRWUD HQ DPERV H[WUHPRV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
'HWHUPLQH OD GHÀH[LyQ GH OD YLJD FXDQGR OD FDUJD HVWi GDGD SRU
L

FIGURA 7.3.8 Viga empotrada con w0 1 2 0 x L> 2
carga variable del ejemplo 10. x,
w(x) L

0, L> 2 x L.

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I l 289

SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga esta empotrada en ambos extremos,
las condiciones de frontera son y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0. Ahora usando
(10) se puede expresar w(x) en términos de la función escalón unitario:

w (x) 2 2 L
w0 1 x w0 1 x x
L L
2

2w0 L x L L
L2 x x.

2 2

Transformando la ecuación (19) respecto a la variable x, se obtiene

EI s4Y(s) s3y(0) s2y (0) sy (0) y (0) 2w0 L> 2 1 1 Ls/2
L s s2 s2 e

o s4Y(s) sy (0) y (0) 2w0 L> 2 1 1 Ls/2 .
EIL s s2 s2 e

Si hacemos c1 ϭ yЉ(0) y c2 ϭ yЉЈ (0), entonces

Y(s) c1 c2 2w0 L> 2 1 1 Ls/2 ,
s3 s4 EIL s5 s6 s6 e

y en consecuencia

y(x) c1 1 2! c2 1 3! 2w0 L> 2 1 4! 1 1 5! 1 1 5! Ls/ 2
2! s3 3! s4 EIL 4! s5 5! s6 5! s6 e

c1 x2 c2 x3 w0 5L x4 x5 L5 L
2 6 60 EIL 2 x x.

22

Aplicando las condiciones y(L) ϭ 0 y yЈ(L) ϭ 0 al último resultado, se obtiene un

sistema de ecuaciones para c1 y c2:

L2 L3 49w0L4 0
c1 2 c2 6 1920EI

c1 L L2 85w0L3 0.
c2 2 960EI

Resolviendo se encuentra que c1 ϭ 23w0L2͞(960El) y c2 ϭ Ϫ9w0L͞(40EI). Por lo que
OD GHÀH[LyQ HVWi GDGD SRU

y(x) 23w0L2 x2 3w0L x3 w0 5L x4 x5 L5 L
1920EI 80EI 60EIL 2 x x.

22

EJERCICIOS 7.3 ࣠ Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-11.

7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s 11 11
(s 2)3 (s 1)4


En los problemas 1 a 20 encuentre F(s) o f (t), como se indica.

{te10t} {te 6t} 1 1 11
{t10e 7t} s2 2s 5
{e2t(t 1)2} s2 6s 10
{e 2t cos 4t}
{t3e 2t} 1s 1 2s 5
s2 4s 5 s2 6s 34
{t(et e2t )2}

{etsen 3t} 1s 1 5s
(s 1)2 (s 2)2
{(1 et 3e 4t ) cos 5t}

e3t 9 4t t 1 2s 1 1 (s 1)2
10 sen s2(s 1)3 (s 2)4
2

290 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En los problemas 21 a 30, use la transformada de Laplace para E0 L R
resolver el problema con valores iniciales.

yЈ ϩ 4y ϭ eϪ4t, y(0) ϭ 2 C
yЈ Ϫ y ϭ 1 ϩ tet, y(0) ϭ 0
yЉ ϩ 2yЈ ϩ y ϭ 0, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 1 FIGURA 7.3.9 Circuito en serie del problema 35.
yЉ Ϫ 4yЈ ϩ 4y ϭ t3e2t, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0
yЉ Ϫ 6yЈ ϩ 9y ϭ t, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 1 Use la transformada de Laplace para encontrar la carga q(t)
yЉ Ϫ 4yЈ ϩ 4y ϭ t3, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0
yЉ Ϫ 6yЈ ϩ 13y ϭ 0, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ Ϫ3 en un circuito RC en serie cuando q(0) ϭ 0 y E(t) ϭ E eϪkt,
2yЉ ϩ 20yЈ ϩ 51y ϭ 0, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 0 0
yЉ Ϫ yЈ ϭ et cos t, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 k Ͼ 0. Considere dos casos: k 1͞RC y k ϭ 1͞RC.
yЉ Ϫ 2yЈ ϩ 5y ϭ 1 ϩ t, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 4
7.3.2 TRASLACIÓN EN EL EJE t

En los problemas 37 a 48 encuentre F(s) o f(t), como se indica.

{(t 1) (t 1)} {e2 t (t 2)}

En los problemas 31 y 32, use la transformada de Laplace y {t (t 2)} {(3t 1) (t 1)}
el procedimiento descrito en el ejemplo 10 para resolver el
problema con valores en la frontera dado. {cos 2t (t )} sen t t
2
yЉ ϩ 2yЈ ϩ y ϭ 0, yЈ(0) ϭ 2, y(1) ϭ 2 1 e 2s
s3 1 (1 e 2s)2
yЉ ϩ 8yЈ ϩ 20y ϭ 0, y(0) ϭ 0, yЈ(ʌ) ϭ 0 s2
1 e s
Un peso de 4 lb estira un resorte 2 pies. El peso se libera a s2 1 1 se s/2
partir del reposo 18 pulgadas arriba de la posición de equili- s2 4
brio y el movimiento resultante tiene lugar en un medio que 1 e s
ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual s(s 1) 1 e 2s
a 7 veces la velocidad instantánea. Use la transformada de s2(s 1)

8

Laplace para encontrar la ecuación de movimiento x(t).

Recuerde que la ecuación diferencial para la carga instan- (Q ORV SUREOHPDV D FRPSDUH OD JUi¿FD GDGD FRQ XQD GH
ODV IXQFLRQHV GH ORV LQFLVRV D D I /D JUi¿FD GH f (t) se pre-
tánea q(t) en el capacitor en un circuito RCL en serie está VHQWD HQ OD ¿JXUD

dada por

d 2q d q 1 E(t). a) f (t) f (t) (t a)
L dt2 R q b) f (t b) (t b)
dt C (20) c) f (t) (t a)
d) f (t) f (t) (t b)
Vea la sección 5.1. Use la transformada de Laplace para e) f (t) (t a) f (t) (t b) b)
encontrar q(t) cuando L ϭ 1 h, R ϭ 20 ⍀, C ϭ 0.005 f, f) f (t a) (t a) f (t a) (t
E(t) ϭ 150 V, t Ͼ 0, q(0) ϭ 0 e i(0) ϭ 0. ¿Cuál es la co-
rriente i(t)?

Considere una batería de voltaje constante E0 que carga el f (t)
FDSDFLWRU TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 'LYLGD OD HFXD-
ción (20) entre L \ GH¿QD Ȝ ϭ R͞L y Ȧ2 ϭ 1͞LC. Use la
transformada de Laplace para demostrar que la solución q(t)
de qЉ ϩ 2ȜTЈ ϩ Ȧ2q ϭ E0͞L sujeta a q(0) ϭ 0, i(0) ϭ 0 es

ab t

(E0C 1 e t cosh 1 2 2t FIGURA 7.3.10 *Ui¿FD SDUD ORV SUREOHPDV D

12 2 )senh 1 2 2t , , f(t)
,
q(t) E0C[1 e t (1 t)],
.
(E0C 1 e t cos 1 2 2t

)2t , ab t

12 sen 1 2 FIGURA 7.3.11 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

2

7.3 PROPIEDADES OPERACIONALES I l 291

f(t) f (t) 0, 0 t 3 >2
f (t)
f (t) sen t, t 3 >2

ab t t, 0 t 2
0, t 2

FIGURA 7.3.12 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD sen t, 0 t 2
0, t 2

f(t) f (t)
1

ab t abt

FIGURA 7.3.13 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD pulso rectangular

FIGURA 7.3.17 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

f(t) f(t)

t 3

2

1

ab

FIGURA 7.3.14 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD 1234t

f(t) función escalera

FIGURA 7.3.18 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

En los problemas 63 a 70, use la transformada de Laplace para
resolver el problema con valores iniciales.

ab t yЈ ϩ y ϭ f (t), 0, 0 t 1
y(0) ϭ 0, donde f (t) ϭ 5, t 1
FIGURA 7.3.15 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
yЈ ϩ y ϭ f (t), y(0) ϭ 0, donde

f(t) 1, 0 t 1
f (t)

1, t 1

ab t yЈ ϩ 2y ϭ f (t), y(0) ϭ 0, donde 1
t, 0 t 1

f (t)
0, t

FIGURA 7.3.16 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD y 4y f (t), y(0) 0, y (0) 1, donde

En los problemas 55 a 62, escriba cada función en términos 1, 0 t 1
de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de f(t)
Laplace de la función dada.
0, t 1

y 4y sen t (t 2 ), y(0) 1, y (0) 0

f (t) 2, 0 t 3 y 5y 6y (t 1), y(0) 0, y (0) 1
f (t) 2, t 3
f (t) y y f(t), y(0) 0, y (0) 1, donde
1, 0 t 4
0, 4 t 5 0, 0 t
1, t 5
f (t) 1, t2
0, 0 t 1
t2, t 1 0, t 2

yЉ ϩ 4yЈ ϩ 3y ϭ 1 Ϫ ᐁ(t Ϫ 2) Ϫ ᐁ(t Ϫ 4) ϩ ᐁ(t Ϫ 6),
y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0

292 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Suponga que un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies. a) Use 1a transformada de Laplace para determinar 1a
Si el peso se libera a partir del reposo en la posición de carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en serie
equilibrio, determine la ecuación de movimiento x(t) si cuando q(0) ϭ 0, R ϭ 50 ⍀, C ϭ 0.01 f y E(t) es
una fuerza f (t) ϭ 20t actúa en el sistema para 0 Յ t Ͻ 5 FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
y luego se retira (vea el ejemplo 5). Desprecie cualquier
IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FD- b) Suponga que E ϭ 100 V. Use un programa de compu-
ción para trazar x(t) en el intervalo [0, 10]. 0
WDGRUD SDUD JUD¿FDU \ GLEXMH q(t) para 0 Յ t Յ 6. Use la
Resuelva el problema 71 si la fuerza aplicada f (t) ϭ sen t
actúa en el sistema para 0 Յ t Ͻ 2ʌ y después se retira. JUi¿FD SDUD HVWLPDU qmáx el valor máximo de 1a carga.

En los problemas 73 y 74 use la transformada de Laplace para E (t)
encontrar la carga q(t) en el capacitor en un circuito RC en
serie sujeto a las condiciones indicadas. E0

q(0) ϭ 0, R ϭ 2.5 ⍀, C ϭ 0.08 f, E(t GDGD HQ OD ¿JXUD 1 3t
7.3.19.
FIGURA 7.3.22 E(t) en el problema 76.
E (t)
5 Una viga en voladizo está empotrada en su extremo iz-
quierdo y libre en su extremo derecho. Use la transfor-
3t PDGD GH /DSODFH SDUD GHWHUPLQDU OD GHÀH[LyQ y(x) cuando
la carga está dada por
FIGURA 7.3.19 E(t) en el problema 73.
w(x) w0, 0 x L> 2
q(0) ϭ q0, R ϭ 10 ⍀, C ϭ 0.1 f, E(t GDGD HQ OD ¿JXUD 0, L> 2 x L.
7.3.20.
Resuelva el problema 77 cuando la carga está dada por
E (t)
0, 0 x L>3
30et w(x) w0, L> 3 x 2L> 3

30 0, 2L>3 x L.
1.5 t
(QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ y (x) de una viga en voladizo empo-
FIGURA 7.3.20 E(t) en el problema 74. trada en su extremo izquierdo y libre en su extremo dere-
cho cuando la carga total es como se da en el ejemplo 10.

Una viga está empotrada en su extremo izquierdo y apo-
yada simplemente en el extremo derecho. Encuentre la
GHÀH[LyQ y (x) cuando la carga es como la que se da en el
problema 77.

a) Use la transformada de Laplace para encontrar la Modelo matemático
corriente i(t) en un circuito LR en serie de una sola
malla cuando i(0) ϭ 0, L ϭ 1 h, R ϭ 10 ⍀ y E(t) es 3DVWHO GHQWUR GH XQ KRUQR Lea de nuevo el ejemplo 4 en
FRPR VH LOXVWUD HQ D ¿JXUD la sección 3.1 acerca del enfriamiento de un pastel que se
saca de un horno.
b) 8VH XQ SURJUDPD GH FRPSXWDGRUD SDUD JUD¿FDU \ GL-
buje i(t) en el intervalo 0 Յ t Յ 8VH OD JUi¿FD SDUD a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de
estimar imáx e imín, los valores máximo y mínimo de la un pastel mientras está dentro del horno con base en
corriente. las siguientes suposiciones: en t ϭ 0 la mezcla de pas-
tel está a temperatura ambiente de 70°; el horno no se
E(t) precalienta por lo que en t ϭ 0, cuando la mezcla de
1 sen t, 0 ≤ t < 3π/2 pastel se coloca dentro del horno, la temperatura den-
tro del horno también es 70°; la temperatura del horno
π/2 π 3π/2 t aumenta linealmente hasta t ϭ 4 minutos, cuando se
−1 alcanza la temperatura deseada de 300°; la temperatura
del horno se mantiene constante en 300° para t Ն 4.
FIGURA 7.3.21 E(t) en el problema 75.
b) Use la transformada de Laplace para resolver el pro-
blema con valores iniciales del inciso a).

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 293

Problemas para analizar real e i2 ϭ Ϫ1. Demuestre que {tekti} se puede
usar para deducir
Analice cómo se podría arreglar cada una de las siguien-
tes funciones, de tal forma que el teorema 7.3.2 se pu- {t cos kt} s2 k2
diera usar directamente para encontrar la transformada de {t sen kt} (s2 k2)2
Laplace dada. Compruebe sus respuestas con la ecuación
(16) de esta sección. 2ks
(s2 k2)2.
a) {(2t 1) (t 1)} b) {et (t 5)}
b) Ahora use la transformada de Laplace para resolver
c) {cos t (t )} d) {(t2 3t) (t 2)} el problema con valores iniciales xЉ ϩ Ȧ2x ϭ cos ȦW,
x(0) ϭ 0, xЈ (0) ϭ 0.
a) Suponga que el teorema 7.3.1 se cumple cuando el
símbolo a se reemplaza por ki, donde k es un número

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II

REPASO DE MATERIAL

l 'H¿QLFLyQ
l Teoremas 7.3.1 y 7.3.2

INTRODUCCIÓN En esta sección se desarrollan varias propiedades operacionales más de la transfor-
mada de Laplace. En especial, veremos cómo encontrar la transformada de una función f(t) que se multi-
plica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función
periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han en-
contrado hasta este punto: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones
GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV HQ ODV TXH OD IXQFLyQ GH HQWUDGD HV XQD IXQFLyQ SHULyGLFD GH¿QLGD SRU WUDPRV

7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA

MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR t n La transformada de Laplace del
producto de una función f (t) con t se puede encontrar derivando la transformada de
Laplace de f (t). Para motivar este resultado, se supone que F(s) { f (t)} existe y
que es posible intercambiar el orden de la derivada y de la integral. Entonces

d d e st f (t) dt [e st f (t)] dt e st t f (t) dt {tf (t)};
F(s) 0s
ds ds 0 0

es decir, {t f (t)} d { f (t)}.
ds

Se puede usar el último resultado para encontrar la transformada de Laplace de t2f (t):

{t2 f (t)} {t t f (t)} d dd d2 { f (t)}.
{tf (t)} {f (t)} ds2

ds ds ds

Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para {tn f (t)} .

TEOREMA 7.4.1 Derivadas de transformadas

Si F(s) { f (t)} y n ϭ 1, 2, 3, . . . , entonces

{tn f (t)} ( 1)n dn F(s).
dsn

EJEMPLO 1 8VR GHO WHRUHPD

Evalúe {t sen kt}.

294 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

SOLUCIÓN Con f (t) ϭ sen kt, F(s) ϭ k͞(s2 ϩ k2) y n ϭ 1, el teorema 7.4.1 da

{t sen kt} d dk 2ks
{sen kt} ds s2 k2 (s2 k2)2.

ds

Si se quiere evaluar {t 2 sen kt} y {t 3 sen kt}, todo lo que se necesita hacer, a
su vez, es tomar el negativo de la derivada respecto a s del resultado del ejemplo 1 y
después tomar el negativo de la derivada respecto a s de {t 2 sen kt}.

NOTA Para encontrar transformadas de funciones t ne at, se puede usar el teorema
7.3.1 o el teorema 7.4.1. Por ejemplo,

Teorema 7.3.1: {te3t} {t}s :s 3 1 1
s2 s:s 3 (s 3)2 .

Teorema 7.4.1: {te3t} d {e3t} d1 (s 3) 2 1
ds ds s 3 (s 3)2 .

EJEMPLO 2 Un problema con valores iniciales

Resuelva xЉ ϩ 16x ϭ cos 4t, x(0) ϭ 0, xЈ(0) ϭ 1.

SOLUCIÓN El problema con valores iniciales podría describir el movimiento forzado,
no amortiguado y en resonancia de una masa en un resorte. La masa comienza con una
velocidad inicial de 1 pie/s en dirección hacia abajo desde la posición de equilibrio.

Transformando la ecuación diferencial, se obtiene

(s2 16) X(s) 1 s o X(s) 1 s
s2 16 s2 16 (s2 16)2.

Ahora bien, en el ejemplo 1 se vio que

1 2ks t sen kt (1)
(s2 k2)2

\ SRU WDQWR LGHQWL¿FDQGR k ϭ 4 en (1) y en el inciso d) del teorema 7.2.1, se obtiene

1 14 1 1 8s
x(t) s2 16 8 (s2 16)2

4

11
sen 4t t sen 4t

48

7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES

CONVOLUCIÓN Si las funciones f y g son continuas por tramos en [0, ϱ), enton-
ces un producto especial, denotado por f * g VH GH¿QH PHGLDQWH OD LQWHJUDO

t (2)

f g f ( ) g(t ) d

0

y se llama FRQYROXFLyQ de f y g. La convolución de f * g es una función de t. Por ejemplo,

et sen t t )d 1 cos t et ). (3)
( sen t
e sen (t
2
0

Se deja como ejercicio demostrar que

t )d t

f( ) g(t f(t ) g( ) d ;

0 0

es decir, f
g ϭ g
f (VWR VLJQL¿FD TXH OD FRQYROXFLyQ GH GRV IXQFLRQHV HV FRQPXWDWLYD

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 295

No es cierto que la integral de un producto de funciones sea el producto de las in-
tegrales. Sin embargo, es cierto que la transformada de Laplace del producto especial
(2), es el producto de la transformada de Laplace de f y g (VWR VLJQL¿FD TXH HV SRVLEOH
determinar la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones sin evaluar
en realidad la integral como se hizo en (3). El resultado que sigue se conoce como
WHRUHPD GH FRQYROXFLyQ.

TEOREMA 7.4.2 7HRUHPD GH FRQYROXFLyQ

Si f (t) y g (t) son funciones continuas por tramos en [0, ϱ) y de orden expo-
nencial, entonces

{ f g} { f (t)} {g(t)} F(s)G(s).

τ τ=t DEMOSTRACIÓN Sea F(s) { f (t)} e s f( ) d
t: τ a ∞
y G(s) {g(t)} 0
τ:0a t t Procediendo formalmente, tenemos
e s g( ) d .
FIGURA 7.4.1 Cambio del orden de
integración de primero t a primero IJ. 0

F(s)G(s) e s f( ) d e s g( ) d

0 0

e s( ) f ( )g( ) d d

00

f ( ) d e s( )g( ) d .

00

Conservando IJ ¿MD KDFHPRV t ϭ IJ ϩ ȕ, dt ϭ Gȕ, por lo que

F(s)G(s) f ( ) d e stg(t ) dt.

0

En el plano WIJ VH UHDOL]D OD LQWHJUDFLyQ HQ OD UHJLyQ VRPEUHDGD GH OD ¿JXUD 3XHVWR

que f y g son continuas por tramos en [0, ϱ) y de orden exponencial, es posible inter-

cambiar el orden de integración:

F(s) G(s) t )d t ) d dt { f g}.

e st dt f ( )g(t e st f ( ) g(t

00 00

EJEMPLO 3 7UDQVIRUPDGD GH XQD FRQYROXFLyQ

Evalúe t )d .

e sen(t

0

SOLUCIÓN Con f (t) ϭ et y g(t) ϭ sen t, el teorema de convolución establece que la
transformada de Laplace de la convolución de f y g es el producto de sus transformadas
de Laplace:

t )d {et} {sen t} 11 1 .
1)
e sen(t s 1 s2 1 (s 1)(s2

0

INVERSA DEL TEOREMA 7.4.2 El teorema de convolución en ocasiones es útil
para encontrar la transformada de Laplace inversa del producto de dos transformadas
de Laplace. Del teorema 7.4.2, se tiene

1{F(s)G(s)} f g. (4)

296 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Muchos de los resultados de la tabla de transformadas de Laplace en el apéndice III, se

pueden obtener usando la ecuación (4). En el ejemplo siguiente se obtiene el elemento

25 de la tabla:

{sen kt kt cos kt} 2k3 . (5)
k2 )2
(s2

EJEMPLO 4 7UDQVIRUPDGD LQYHUVD FRPR XQD FRQYROXFLyQ

Evalúe 11 .
(s2 k2)2

SOLUCIÓN Sea F(s) G(s) 1
s2 k2 por lo que

f(t) g(t) 1 1k 1
k s2 k2 sen kt.

k

En este caso la ecuación (4) da

11 1t )d . (6)
(s2 k2)2 sen k sen k(t
k2
0

Con la ayuda de la identidad trigonométrica

sen A sen B 1 B) cos(A B)]
[cos(A
2

y las sustituciones A ϭ NIJ y B ϭ k(t Ϫ IJ) se puede realizar la integración en (6):

11 1t t) cos kt] d
(s2 k2)2 [cos k(2
2k2
0

11 t) t
sen k(2
2k2 2k cos kt

0

sen kt kt cos kt
2k3 .

Multiplicando ambos lados por 2k3, se obtiene la forma inversa de (5).

TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Cuando g(t) ϭ 1 y {g(t)} G(s) 1
͞s, el teorema de convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de f es

t F(s) (7)
.
f( ) d
s
0

La forma inversa de (7),

t 1 F(s) , (8)
s
f( ) d

0

se puede usar en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denomina-

dor y f(t) 1{F(s)} es fácil de integrar. Por ejemplo, se sabe para f (t) ϭ sen t que

F(s) ϭ 1͞(s2 ϩ 1) y por tanto usando la ecuación (8)

11 1 1͞(s2 1) t 1 cos t
s(s2 1) s
sen d
11 1 1͞s(s2 1)
s2(s2 1) s 0

11 1 1͞s2(s2 1) t t sent
s3(s2 1) s
(1 cos ) d
etcétera.
0

t

( sen ) d 1 t2 1 cos t
2
0

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 297

ECUACIÓN INTEGRAL DE VOLTERRA El teorema de convolución y el resultado
en (7) son útiles para resolver otros tipos de ecuaciones en las que una función des-
conocida aparece bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente se resuelve una
HFXDFLyQ LQWHJUDO GH 9ROWHUUD para f (t),

f (t) g(t) t )d . (9)

f( ) h(t

0

Las funciones g(t) y h(t) son conocidas. Observe que la integral en (9) tiene la forma
de convolución (2) con el símbolo h jugando el papel de g.

EJEMPLO 5 8QD HFXDFLyQ LQWHJUDO

Resuelva f (t) 3t2 e t t

f ( ) et d p.ara f (t).

0

SOLUCIÓN (Q OD LQWHJUDO VH LGHQWL¿FD h(t Ϫ IJ) ϭ et ϪIJ por lo que h(t) ϭ et. Se toma la
transformada de Laplace de cada término; en particular, por el teorema 7.4.2 la trans-
formada de Laplace es el producto de { f (t)} F(s) y {et} 1> (s 1).

21 1
F(s) 3 s3 F(s) .
s 1 s 1

Después de resolver la última ecuación para F(s) y realizar la descomposición en frac-
ciones parciales, se encuentra

F(s) 6 61 2 .
1
s3 s4 s s

La transformada inversa entonces da

f (t) 3 1 2! 1 3! 11 2 1 1
s3 s4 s s1

3t2 t3 1 2e t.

CIRCUITOS EN SERIE En una sola malla o circuito en serie, la segunda ley de
Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en un inductor, resistor y ca-
pacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Ahora se sabe que las caídas de voltaje en un
inductor, resistor y capacitor son, respectivamente,

di Ri(t), y 1t i( ) d ,
L,
C0
dt

donde i(t) es la corriente y L, R y C son constantes. Se deduce que la corriente en un

FLUFXLWR FRPR HO TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HVWi JREHUQDGD SRU OD HFXDFLyQ

integrodiferencial

di 1 t E (t) . (10)
L Ri(t) i( ) d
dt C 0

EJEMPLO 6 8QD HFXDFLyQ LQWHJURGLIHUHQFLDO

EL R Determine la corriente i(t) en un circuito RCL de un sola malla cuando L ϭ 0.1 h, R ϭ
2 ⍀, C ϭ 0.1 f, i(0) ϭ 0 y el voltaje aplicado es
C
E(t) 120t 120t (t 1).
FIGURA 7.4.2 Circuito RCL en serie.
SOLUCIÓN Con los datos dados, la ecuación (10) se convierte en

di t 120t 120t (t 1).
0.1 2i 10 i( ) d

dt 0

298 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Ahora usando (7), { t i( )d } I(s) s, donde I(s) {i(t)}. Por lo que la trans-
0

formada de Laplace de la ecuación integrodiferencial es

0.1sI(s) 2I(s) I(s) 1 1 s 1 s . ← por (16) de la sección 7.3
10 120 s2 s2 e e
s
i s
20
10 Multiplicando esta ecuación por l0s, usando s2 ϩ 20s ϩ 100 ϭ (s ϩ 10)2 y después al
despejar I(s), se obtiene
_10
_20 t 1 1 1
_30 10)2 e 10)2 e
I(s) 1200 s s .
s(s
10)2 s(s (s

Usando fracciones parciales,

0.5 1 1.5 2 2.5 I(s) 1>100 1>100 1>10 1>100 s
1200 s 10 (s 10)2 e
FIGURA 7.4.3 *Ui¿FD GH FRUULHQWH s
i(t) del ejemplo 6. s

1>100 s 1>10 s 1 s .
e (s 10)2 e 10)2 e
s 10 (s

'H OD IRUPD LQYHUVD GHO VHJXQGR WHRUHPD GH WUDVODFLyQ GH OD VHFFLyQ ¿QDO-
mente se obtiene

i(t) 12[1 (t 1)] 12[e 10t e 10(t 1) (t 1)]

120te 10t 1080(t 1)e 10(t 1) (t 1).
(VFULWD FRPR XQD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU WUDPRV OD FRUULHQWH HV

12 12e 10t 120te 10t, 0t1
i(t) 12e 10t 12e 10(t 1) 120te 10t 1080(t 1)e 10(t 1),
t 1.

&RQ HVWD ~OWLPD H[SUHVLyQ \ XQ 6$& VH WUD]D OD JUi¿FD i(t) en cada uno de los dos interva-
ORV \ GHVSXpV VH FRPELQDQ ODV JUi¿FDV 2EVHUYH HQ OD ¿JXUD TXH DXQ FXDQGR OD IXQ-
ción de entrada E(t) es discontinua, la salida o respuesta i(t) es una función continua.

Material opcional si se cubrió ADENDA: VUELTA A LAS FUNCIONES DE GREEN Mediante la aplicación de la
la sección 4.8 transformada de Laplace al problema con valores iniciales

yЉ ϩ ayЈ ϩ by ϭ f(t), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0

donde a y b son constantes, encontramos que la transformada de y(t) es

F(s)
Y(s) s2 as b
donde F(s) ϭ ᏸ{f(t)}. Rescribiendo la última transformada como el producto

Y(s) 1 F(s)
b
s2 as

podemos usar la forma inversa del teorema de convolución (4) para escribir la solución

del PVI como t

y(t) g(t ) f ( )d (11)

0

donde 11 g(t) y 1{F(s)} f (t). De otra manera, sabemos de
s2 as b

(10) de la sección 4.8 que la solución del PVI está también dada por

t (12)

y(t) G(t, ) f ( ) d ,

0

donde G(t, IJ) es la función de Green para la ecuación diferencial.

Comparando (11) y (12) vemos que la función de Green para la ecuación diferencial

está relacionada con 11 g(t) por
s2 as b

G(t, ) g(t ) (13)

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 299

Por ejemplo, para el problema con valores iniciales yЉ ϩ 4y ϭ f(t), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0

encontramos 11
s2 4
1 sen 2t g(t).
2

En el ejemplo 4 de la sección 4.8, los Así de (13) vemos que la función de Green para la ED es yЉ ϩ 4y ϭ f(t), es G(t, IJ) ϭ
papeles que están jugando los símbolos g(t Ϫ IJ) ϭ 1͞2 sen 2(t Ϫ IJ). Vea el ejemplo 4 de la sección 4.8.
x y t son los de t y IJ en este análisis
7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN
E(t) PERIÓDICA
1
1 2 3 4t FUNCIÓN PERIÓDICA Si una función periódica tiene periodo T, T Ͼ 0, entonces
f (t ϩ T) ϭ f (t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una
FIGURA 7.4.4 Onda cuadrada. función periódica se obtiene integrando sobre un periodo.

TEOREMA 7.4.3 7UDQVIRUPDGD GH XQD IXQFLyQ SHULyGLFD

Si f (t) es continua por tramos en [0, ϱ), de orden exponencial y periódica con
periodo T, entonces

{ f (t)} 1 1 T
e sT
e st f (t) dt.

0

DEMOSTRACIÓN Escriba la transformada de Laplace de f como dos integrales:

{ f(t)} T e st f (t) dt.

e st f (t) dt T

0

Cuando se hace t ϭ u ϩ T, la última integral se convierte en

e st f (t) dt e s(u T ) f (u T ) du e sT e su f (u) du e sT { f (t)}.

T 0 0

Por tanto, { f(t)} T

e st f (t) dt e sT { f (t)}.

0

Resolviendo la ecuación de la última línea para { f(t)} se demuestra el teorema.

EJEMPLO 7 $SOLFDFLyQ GH XQ YROWDMH SHULyGLFR

Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la
¿JXUD

SOLUCIÓN La función E(t) se llama de onda cuadrada y tiene periodo T ϭ 2. En el
intervalo 0 Յ t Ͻ 2, E(t VH SXHGH GH¿QLU SRU

1, 0 t 1
E(t)

0, 1 t 2
y fuera del intervalo por E(t ϩ 2) ϭ E(t). Ahora del teorema 7.4.3

{E(t)} 1 1 2 1 1 2
e 2s 1 e 2s
e st E(t) dt e st 1 dt e st 0 dt

0 0 1

1 1 es ;1 e 2s (1 e s)(1 e s) (14)
1 e 2s s

1.
s (1 e s)

300 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

EJEMPLO 8 $SOLFDFLyQ GH XQ YROWDMH SHULyGLFR

La ecuación diferencial para la corriente i(t) en un circuito RL en serie de una sola

malla es

di (15)
L Ri E(t).

dt

Determine la corriente i(t) cuando i(0) ϭ 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que

VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD

SOLUCIÓN Si se usa el resultado de (14) del ejemplo anterior, la transformada de
Laplace de la ED es

LsI(s) RI(s) 1 o I(s) 1>L 1 (16)
s(1 e s) s(s R>L) 1 e s.

Para encontrar la transformada de Laplace inversa de la última función, primero se hace
XVR GH OD VHULH JHRPpWULFD &RQ OD LGHQWL¿FDFLyQ x ϭ eϪs, s Ͼ 0, la serie geométrica

1 1 x x2 x3 se convierte en 1 1 es e 2s e 3s .
1x 1
es

1 L>R L>R
De s(s R>L) s s R>L
se puede reescribir la ecuación (16) como

11 1 (1 e s e 2s e 3s )
I(s)
R s s R>L

1 1 e s e 2s e 3s 11 1 es e 2s e 3s .
Rs s s s
R s R>L s R>L s R>L s R>L

Aplicando la forma del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series,
se obtiene

1 (t 1) (t 2) (t 3) )
i(t) (1

R

1 Rt /L e R(t 1)/L (t 1) e R(t 2)/L (t 2) e R(t 3)/L (t 3) )
(e
R

o, de forma equivalente

i(t) 1 e Rt/L) 1 ( 1)n (1 e R(t n)/L) (t n).
(1
R Rn 1

3DUD LQWHUSUHWDU OD VROXFLyQ VH VXSRQH SRU UD]RQHV GH HMHPSOL¿FDFLyQ TXH R ϭ 1, L ϭ
1 y 0 Յ t Ͻ 4. En este caso

i(t) 1 e t (1 et 1) (t 1) (1 e (t 2)) (t 2) (1 e (t 3)) (t 3);

i t en otras palabras,
2
1.5 1 e t, 0t1
1
0.5 e t e (t 1), 1t2
i(t) 2t3

1 e t e (t 1) e (t 2),

1 23 4 e t e (t 1) e (t 2) e (t 3), 3 t 4.

FIGURA 7.4.5 *Ui¿FD GH OD FRUULHQWH /D JUi¿FD GH i(t) en el intervalo 0 Յ t Ͻ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD VH REWXYR
i(t) en ejemplo 8. con la ayuda de un SAC.

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 301

EJERCICIOS 7.4 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12.

7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA 7.4.2 TRANSFORMADAS DE INTEGRALES

En los problemas 1 a 8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada En los problemas 19 a 30, use el teorema 7.4.2 para evaluar
una de las transformadas de Laplace. cada una de las transformadas de Laplace. No evalúe la inte-
gral antes de transformar.

{te 10t} {t3et} {1 t3} {t2 tet}
{t cos 2t} {t senh 3t}
{t2 senh t} {t2 cos t} {e t et cos t} {e2t sen t}
{te2tsen 6 t} {te 3t cos 3t}
t t
En los problemas 9 a 14, use la transformada de Laplace para )d
resolver el problema con valores iniciales dado. Use la tabla de e d cos d
transformadas de Laplace del apéndice III cuando sea necesario.
0 0
yЈ ϩ y ϭ t sen t, y(0) ϭ 0
yЈ Ϫ y ϭ tet sen t, y(0) ϭ 0 t t
yЉ ϩ 9y ϭ cos 3t, y(0) ϭ 2, yЈ(0) ϭ 5
yЉ ϩ y ϭ sen t, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ Ϫ1 e cos d sen d
yЉ ϩ 16y ϭ f (t), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 1, donde
0 0

t t

et d sen cos (t

0 0

t t

t sen d t e d

0 0

En los problemas 31 a 34, use (8) para evaluar cada transfor-
mada inversa.

cos 4t, 0 t 1 1 11
f(t) s(s 1) s2(s 1)

0, t 11 11
yЉ ϩ y ϭ f (t), y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0, donde s3(s 1) s(s a)2

1, 0 t >2
f(t)
sen t, t >2 La tabla del apéndice III no contiene un elemento para

(Q ORV SUREOHPDV \ XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ 1 8k3s .
SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GH OD VROXFLyQ LQGLFDGD (s2 k2)3

y(t) del problema 13 en el intervalo 0 Յ t Ͻ 2ʌ a) Use (4) junto con los resultados de (5) para evaluar
y(t) del problema 14 en el intervalo 0 Յ t Ͻ 3ʌ esta transformada inversa. Utilice un SAC como
ayuda para evaluar la integral de convolución.

En algunos casos, la transformada de Laplace se puede usar b) Vuelva a analizar su respuesta del inciso a). ¿Podría
haber obtenido el resultado en una forma diferente?
SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿FLHQ-

tes monomiales variables. En los problemas 17 y 18, use el Emplee la transformada de Laplace y los resultados del pro-
blema 35 para resolver el problema con valores iniciales
teorema 7.4.1 para reducir la ecuación diferencial dada a
y y sen t t sen t, y(0) 0, y (0) 0.
una ED lineal de primer orden en la función transformada.
8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ
Resuelva la ED de primyer orden para Y(s) {y(t)} y des-

pués encuentre y(t) 1{Y(s)}.

t yЉ Ϫ yЈ ϭ 2t2, y(0) ϭ 0 En los problemas 37 a 46, use la transformada de Laplace para
2yЉ ϩ tyЈ Ϫ 2y ϭ 10, y(0) ϭ yЈ(0) ϭ 0 resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial.

302 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

t f(t)

f (t) (t ) f ( ) d t a

0 b 2b 3b 4b t
función diente de sierra
t )d
FIGURA 7.4.8 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
f (t) 2t 4 sen f (t

0

f (t) tet t )d

f (t

0

t f(t)

f (t) 2 f ( ) cos (t ) d 4e t sen t 1

0 1234t
función triangular
f (t) t 1
FIGURA 7.4.9 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
f( )d

0

f (t) cos t t )d

e f (t

0

f (t) 1 t 8t ( t)3 f ( ) d

30 f(t)

t 1

t 2 f (t) (e e ) f (t )d

0 π 2π 3π 4 π t
rectificación de onda completa de sen t
y (t) 1 sen t t
FIGURA 7.4.10 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
y( ) d , y(0) 0

0

dy t 1, y(0) 0 f(t)
6y(t) 9 y( ) d
1
dt 0

En los problemas 47 y 48, resuelva la ecuación (10) sujeta a i(0) ϭ

0 con L, R, C y E(t) como se dan para cada problema. Use un pro-

JUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ HQ HO LQWHUYDOR Յ t Ͻ 3. π 2π 3π 4 π t

L ϭ 0.1 h, R ϭ 3 ⍀, C ϭ 0.05 f, rectificación de media onda de sent

E(t) 100[ (t 1) (t 2)] FIGURA 7.4.11 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD

L ϭ 0.005 h, R ϭ 1 ⍀, C ϭ 0.02 f, En los problemas 55 y 56 resuelva la ecuación (15) sujeta a
E(t) 100[t (t 1) (t 1)] i(0) ϭ 0 con E(t) como se indica. Use un programa de gra-
¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ HQ HO LQWHUYDOR Յ t Ͻ 4 en el
7.4.3 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN caso cuando L ϭ I y R ϭ 1.
PERIÓDICA

En los problemas 49 a 54 use el teorema 7.4.3 para determinar la E(t) es la función serpenteante del problema 49 con am-
transformada de Laplace de cada una de las funciones periódicas. plitud 1 y a ϭ 1.
f(t)
E(t) es la función diente de sierra del problema 51 con
1 amplitud 1 y b ϭ l.

a 2a 3a 4a t En los problemas 57 y 58 resuelva el modelo para un sistema
1 forzado resorte/masa con amortiguamiento

función serpenteante d2x dx
m dt2 kx f (t), x(0) 0, x (0) 0,
FIGURA 7.4.6 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
f(t) dt

1 donde la función forzada f HV FRPR VH HVSHFL¿FD 8WLOLFH XQ SUR-

a 2a 3a 4a t JUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU x(t) en los valores indicados de t.

función de onda cuadrada m 12, b 1, k 5, f es la función serpenteante del
problema 49 con amplitud 10, y a ϭ ʌ, 0 Յ t Ͻ 2ʌ.
FIGURA 7.4.7 *Ui¿FD SDUD HO SUREOHPD
m ϭ 1, ȕ ϭ 2, k ϭ 1, f es la función de onda cuadrada del
problema 50 con amplitud 5, y a ϭ ʌ, 0 Յ t Ͻ 4ʌ.

7.4 PROPIEDADES OPERACIONALES II l 303

Problemas para analizar Use la transformada de Laplace como una ayuda en la
evaluación de la integral impropia 0 te 2t sen 4t dt .
Examine cómo se puede usar el teorema 7.4.1 para en-

contrar

1 s 3 Si suponemos que ᏸ{f(t)͞t} existe y ᏸ{f(t)} ϭ F(s),
ln . entonces
s1

En la sección 6.4 vimos que tyЉ ϩ yЈ ϩ ty ϭ 0 es la ecua- f(t)
F(u)du.
ción de Bessel de orden Y ϭ 0. En vista de (22) de esta
ts
sección y de la tabla 6.1, una solución del problema con
Utilice este resultado para encontrar la transformada de
valores iniciales tyЉ ϩ yЈ ϩ ty ϭ 0, y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0, es Laplace de la función dada. Los símbolos a y k son constan-
tes positivas.
y ϭ J0(t). Use este resultado y el procedimiento descrito
en las instrucciones de los problemas 17 y 18 para demos- sen at
t
trar que a) f (t)
b) f (t) 2(1 cos kt)
{J0(t)} 1. t
1s2 1

[Sugerencia: Podría ser necesario usar el problema 46 de Transformada de un logaritmo Ya que f(t) ϭ ln t tiene
los ejercicios 7.2]. XQD GLVFRQWLQXLGDG LQ¿QLWD HQ t ϭ 0 se podría suponer que
ᏸ{ln t} no existe; sin embargo, esto es incorrecto. En este
a) Se sabe que la HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH /DJXHUUH problema se le guía a través de los pasos formales que con-
tyЉ ϩ (1 Ϫ t)yЈ ϩ ny ϭ 0 ducen a la transformada de Laplace de f(t) ϭ ln t, t Ͼ 0.

tiene soluciones polinomiales cuando n es un entero a) Utilice integración por partes para demostrar que
no negativo. Estas soluciones naturalmente se lla-
man polinomios de Laguerre y se denotan por Ln(t). 1
Determine y ϭ Ln(t), para n ϭ 0, 1, 2, 3, 4 si se sabe {ln t} s {t ln t}
que Ln(0) ϭ 1.
s
b) Demuestre que
b) Si ᏸ{ln t} ϭ Y(s), utilice el teorema 7.4.1 con n ϭ 1
para demostrar que el inciso a) se convierte en

et dn t ne t Y(s), dY 1
n! dtn sY s

ds

donde Y(s) {y} y y ϭ Ln(t) es una solución poli- Encuentre una solución explicita Y(s) de la última ecua-
nomial de la ED del inciso a). Concluya que ción diferencial.

Ln(t) et dn tne t, n 0, 1, 2, . . . . c) 3RU ~OWLPR OD GH¿QLFLyQ LQWHJUDO GH OD constante de
n! dtn
Euler (algunas veces llamada la constante de Euler-

Esta última relación para generar los polinomios de 0DVFKHURQL) es 0 e t ln t dt , donde Ȗ ϭ

Laguerre es el análogo de la fórmula de Rodrigues 0.5772156649… Use Y(1) ϭ ϪȖ en la solución del

para los polinomios de Legendre. Vea (33) en la sec- inciso b) para demostrar que
ción 6.4.

La transformada de Laplace ᏸ{eϪt2} existe, pero sin en- {ln t} ln s
, s 0.
contrarla resuelva el problema con valores iniciales yЉ ϩ y
ϭ eϪt2, y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0. ss

Resuelva la ecuación integral Tarea para el laboratorio de computación

t En este problema se indican las instrucciones de Mathema-
tica que permiten obtener la transformada de Laplace sim-
f (t) et et e t f ( ) d bólica de una ecuación diferencial y la solución del pro-
blema de valores iniciales al encontrar la transformada
0 inversa. En Mathematica la transformada de Laplace de
una función y(t) se obtiene usando LaplaceTransform
a) Demuestre que la función onda cuadrada E(t) dada >\>W@ W V@. En el renglón dos de la sintaxis se reemplaza
HQ OD ¿JXUD VH SXHGH HVFULELU FRPR /DSODFH7UDQVIRUP >\>W@ W V@ por el símbolo Y. (Si no
tiene Mathematica, entonces adapte el procedimiento dado
E(t) ( 1)k (t k). encontrando la sintaxis correspondiente para el SAC que
tenga a la mano.)
k0

b) Obtenga la ecuación (14) de esta sección tomando la
transformada de Laplace de cada término de la serie
del inciso a).

304 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Considere el problema con valores iniciales 0RGL¿TXH GH IRUPD DSURSLDGD HO SURFHGLPLHQWR GHO SUR-
y 6y 9y t sen t, y(0) 2, y (0) blema 62 para encontrar una solución de

1.

Cargue el paquete de transformada de Laplace. Repro- y 3y 4y 0,
duzca con precisión y después, a su vez, ejecute cada ren- y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1.
glón de la siguiente secuencia de instrucciones. Copie los
resultados a mano o imprímalo. La carga q(t) en un capacitor en un circuito CL en serie
está dada por
diffequat ‫\ ؍‬؆>W@ ؉ \؅>W@ ؉ \>W@ ‫ ؍؍‬W 6LQ>W@
transformdeq ‫ ؍‬/DSODFH7UDQVIRUP >GLIIHTXDW W V@ d 2q ) 6 (t 3 ),
^\> @ ؊ Ͼ \؅> @ ؊ Ͼ ؊ dt2 q 1 4 (t
/DSODFH7UDQVIRUP >\>W@ W V@ ؊ Ͼ Y} q(0) 0, q (0) 0.
soln ‫ ؍‬6ROYH>WUDQVIRUPGHT <@ )ODWWHQ
Y ‫ < ؍‬VROQ 0RGL¿TXH GH IRUPD DSURSLDGD HO SURFHGLPLHQWR GHO SUR-
,QYHUVH/DSODFH7UDQVIRUP>< V W@ blema 62 para determinar q(t 7UDFH OD JUi¿FD GH VX VROX-
ción.

7.5 LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

INTRODUCCIÓN En el último párrafo de la página 271, se indicó que como una consecuencia
inmediata del teorema 7.1.3, F(s) ϭ 1 no puede ser la transformada de Laplace de una función f que
es continua por tramos en [0, ϱ) y de orden exponencial. En el análisis siguiente se introduce una
función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que

de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) ϭ 1.

IMPULSO UNITARIO Los sistemas mecánicos suelen ser afectados por una fuerza
externa (o fuerza electromotriz en un circuito eléctrico) de gran magnitud que actúa sólo
por un periodo muy corto. Por ejemplo, podría caer un rayo en el ala vibrante de un avión,
un martillo de bola podría golpear con precisión una masa en un resorte, una bola (de
beisbol, golf, tenis) podría ser enviada por el aire al ser golpeada de modo violento con un
EDWH SDOR GH JROI R UDTXHWD 9HD OD ¿JXUD /D JUi¿FD GH OD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU SDUWHV

0, 0 t t0 a

a(t t0) 1 a (1)
, t0 t t0 a
2a

0, t t0 a,

a Ͼ 0, t0 Ͼ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D SRGUtD VHUYLU FRPR PRGHOR SDUD WDO IXHU]D
įa(t Ϫ
Para un valor pequeño de a, t) es en esencia una función constante de gran mag-

0

nitud que está “activada” sólo durante un periodo muy corto, alrededor de t0. El compor-
tamiento de įa(t Ϫ t0) conforme a → VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD E /D IXQFLyQ įa(t Ϫ t0) se

llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integración 0 a(t t0 ) dt 1 .

FIGURA 7.5.1 Un palo de golf aplica LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo
una fuerza de gran magnitud en la bola de impulso unitario, una “función” que aproxima a įa(t Ϫ t0 \ VH GH¿QH SRU HO OtPLWH
durante un periodo muy corto.

(t t0) lím a(t t0 ). (2)
a: 0

7.5 LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC l 305

y 2a La última expresión, que no es una función en absoluto, se puede caracterizar por las
1͞2a dos propiedades

t0 − a t0 t0 + a t i ) (t t0) , t t0 y ii) (t t0) dt 1.
a) gráfica de ␦a(t Ϫ t0) 0, t t0
0

El impulso unitario į(t Ϫ t0) se llama IXQFLyQ GHOWD GH 'LUDF.
Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac por la

y suposición formal de que { (t t0)} líma : 0 { a(t t0)} .

TEOREMA 7.5.1 7UDQVIRUPDGD GH OD IXQFLyQ GHOWD GH 'LUDF

Para t0 Ͼ 0, { (t t0)} e st0. (3)

DEMOSTRACIÓN Para empezar se puede escribir įa(t Ϫ t0) en términos de la función
escalón unitario en virtud de (11) y (12) de la sección 7.3:

a(t t0) 1 (t0 a)) (t (t0 a))].
[ (t
2a

Por linealidad y (14) de la sección 7.3 la transformada de Laplace de esta última ex-
presión es

1 e s(t0 a) e s(t0 a) e st0 esa e sa (4)
t { a(t t0)} 2a s .
t0 s 2sa
b) comportamiento de ␦a
Puesto que (4) tiene la forma indeterminada 0͞0 conforme a → 0 se aplica la regla de
conforme a → 0
L'Hôpital:

FIGURA 7.5.2 Impulso unitario. { (t t0)} lím { a(t t0)} e st0 lím esa e sa e st0.
a : 0 2sa
a:0

Ahora cuando t0 ϭ 0, se puede concluir de (3) que
{ (t)} 1.

El último resultado enfatiza el hecho de que į(t) no es el tipo usual de función que
se ha estado considerando, puesto que se espera del teorema 7.1.3 que ᏸ{ f (t)} → 0
conforme s → ϱ.

EJEMPLO 1 Dos problemas con valores iniciales

Resuelva y Љ ϩ y ϭ 4į(t Ϫ 2ʌ) sujeta a

a) y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0 b) y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0.

Dos problemas con valores iniciales podrían servir como modelos para describir el
movimiento de una masa en un resorte que se mueve en un medio en el cual el amor-
tiguamiento es despreciable. En t ϭ 2ʌ la masa recibe un golpe preciso. En a) la masa
se libera a partir del reposo una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b) la
masa está en reposo en la posición de equilibrio.

SOLUCIÓN a) De (3) la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es

s2Y(s) 4e 2 s o Y(s) s 4e 2 s
s Y(s) s2 1 .
s2 1

Con la forma inversa del segundo teorema de traslación, se encuentra

y(t) cos t 4 sen(t 2 ) (t 2 ).

Puesto que sen(t Ϫ 2ʌ) ϭ sen t, la solución anterior se puede escribir como

y(t) cos t, 0t2 (5)

cos t 4 sen t, t 2.

306 l CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

y (Q OD ¿JXUD VH YH GH OD JUi¿FD GH TXH OD PDVD SUHVHQWD PRYLPLHQWR DUPyQLFR
simple hasta que es golpeada en t ϭ 2ʌ /D LQÀXHQFLD GHO LPSXOVR XQLWDULR HV LQFUH-
mentar la amplitud de vibración a 117 para t Ͼ 2ʌ.

1 b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente

−1 2π 4π t

Y(s) 4e 2 s
,
s2 1

y así y(t) 4 sen(t 2 ) (t 2 )

FIGURA 7.5.3 La masa es golpeada en 0, 0 t 2 (6)
t ϭ 2ʌ.
4 sen t, t 2.
y
/D JUi¿FD GH GH OD ¿JXUD PXHVWUD FRPR VH HVSHUDUtD GH ODV FRQGLFLRQHV LQL-
ciales, que la masa no exhibe movimiento hasta que es golpeada en t ϭ 2ʌ.

1 COMENTARIOS
−1 2π 4π t
i) Si į(t – t0) fuera una función en el sentido usual, entonces la propiedad i) de la fun-
FIGURA 7.5.4 Ningún movimiento ción delta de Dirac implicaría 0 (t t0) dt 0 en vez de 0 (t t0) dt 1
hasta que la masa es golpeada en t ϭ 2ʌ. Debido a que la función delta de Dirac no se “comporta” como una función ordi-

naria, aun cuando sus usuarios produjeron resultados correctos, al inicio los ma-

temáticos la recibieron con gran desprecio. Sin embargo, en 1940 la controversial

función de Dirac fue puesta en un fundamento riguroso por el matemático francés

Laurent Schwartz en su libro La Théorie de distribution y esto, a su vez, condujo a

una rama completamente nueva de la matemática conocida como la teoría de las
distribuciones o funciones generalizadas (Q HVWD WHRUtD QR HV XQD GH¿QLFLyQ
aceptada de į(t – t0), ni se habla de una función cuyos valores son ϱ o 0. Aunque se
deja en paz este tema, basta decir que la función delta de Dirac se caracteriza mejor

por su efecto en otras funciones. Si f es una función continua, entonces

f (t) (t t0) dt f (t0) (7)

0

se puede tomar como la GH¿QLFLyQ de į(t – t0). Este resultado se conoce como
į(t
propiedad de cribado, puesto que – t) tiene el efecto de separar el valor f (t )
0
0
del conjunto de valores de f en [0, ϱ). Note que la propiedad ii) (con f(t) ϭ 1) y

(3) (con f (t) ϭ eϪsf ) son consistentes con (7).

ii) Los Comentarios en la sección 7.2 indicaron que la función de transferencia

de una ecuación diferencial lineal general de n-pVLPR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQV-
tantes es W(s) ϭ 1͞(P(s), donde P(s) ϭ ansn ϩ anϪ1snϪ1 ϩ . . . ϩ a0. La función
de transferencia es la transformada de Laplace de la función w(t), conocida como

IXQFLyQ SHVR de un sistema lineal. Pero w(t) también se puede caracterizar en tér-

minos del análisis en cuestión. Por simplicidad se considera un sistema lineal de

segundo orden en el que la entrada es un impulso unitario en t ϭ 0:

a2 y a1y a0y (t), y(0) 0, y (0) 0.

Aplicando la transformada de Laplace y usando { (t)} 1 se muestra que la
transformada de la respuesta y en este caso es la función de transferencia

11 11 w(t).
Y(s) a2s2 a1s a0 P(s) W(s) y así y P(s)

De esto se puede ver, en general, que la función peso y ϭ w(t) de un sistema lineal
de n-ésimo orden es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario.
Por esta razón w(t) también se llama respuesta de impulso del sistema.

7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES l 307

EJERCICIOS 7.5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-12.

En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la
resolver el problema con valores iniciales.
WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH SDUD GHWHUPLQDU OD GHÀH[LyQ y(x)

de d4y
EI dx4
yЈ Ϫ 3y ϭ į(t Ϫ 2), y(0) ϭ 0 w0 x 1 L ,
2

yЈ ϩ y ϭ į(t Ϫ 1), y(0) ϭ 2

yЉ ϩ y ϭ į(t Ϫ 2ʌ), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 1 donde y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, yЉ(L) ϭ 0, y yٞ (L) ϭ 0.

yЉ ϩ 16y ϭ į(t Ϫ 2ʌ), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 w0

t( ) y y1 (t )3 ,
2
2

y(0) 0, y (0) 0 x

yЉ ϩ y ϭ į(t Ϫ 2ʌ) ϩ į(t Ϫ 4ʌ), y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0 L
y

yЉ ϩ 2yЈ ϭ į(t Ϫ 1), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 1 FIGURA 7.5.5 Viga en el problema 14.

yЉ Ϫ 2yЈ ϭ 1 ϩ į(t Ϫ 2), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 1 Resuelva la ecuación diferencial del problema 13 sujeta a
y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0, y(L) ϭ 0, yЈ(L) ϭ 0. En este caso la viga
yЉ ϩ 4yЈ ϩ 5y ϭ į(t Ϫ 2ʌ), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 HVWi HPSRWUDGD HQ DPERV H[WUHPRV 9HD OD ¿JXUD

yЉ ϩ 2yЈ ϩ y ϭ į(t Ϫ 1), y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0

yЉ ϩ 4yЈ ϩ 13y ϭ į(t Ϫ ʌ) ϩ į(t Ϫ 3ʌ), Problemas para analizar
y(0) ϭ 1, yЈ(0) ϭ 0
$OJXLHQ D¿UPD TXH ODV VROXFLRQHV GH GRV 39,

yЉ Ϫ 7yЈ ϩ 6y ϭ et ϩ į(t Ϫ 2) ϩ į(t Ϫ 4), y 2y 10y 0, y(0) 0, y (0) 1
y(0) ϭ 0, yЈ(0) ϭ 0 0
y 2y 10y (t), y(0) 0, y (0)

Una viga uniforme de longitud L soporta una carga con- son exactamente lo mismo. ¿Está de acuerdo o no?
1 -XVWL¿TXH VX UHVSXHVWD
centrada w0 en x 2 L . La viga está empotrada en su

7.6 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

REPASO DE MATERIAL
l Solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

INTRODUCCIÓN &XDQGR VH HVSHFL¿FDQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV OD WUDQVIRUPDGD GH /DSODFH
GH FDGD HFXDFLyQ HQ XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV
reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones trans-
formadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transfor-
madas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual.

RESORTES ACOPLADOS Dos masas m y m están conectadas a dos resortes A y
1 2

B de masa despreciable con constantes de resorte k1 y k2 respectivamente. A su vez,
ORV GRV UHVRUWHV HVWiQ XQLGRV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 6HDQ x1(t) y x2(t) los

desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando

el sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión;

por lo que su elongación neta es x2 – x1. Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que
los resortes A y B ejercen fuerzas Ϫk1x1 y k2(x2 Ϫ x1), respectivamente, en m1. Si nin-
guna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está

presente, entonces la fuerza neta en m1 es Ϫk1x1 ϩ k2(x2 Ϫ x1). Por la segunda ley de
Newton se puede escribir

m1 d 2x1 k1x1 k2(x2 x1).
dt2