ecuaciones diferenciales Dennis-Zill

208 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

VH SRQHQ UHVWULFFLRQHV D OD FROXPQD HQ x ϭ L͞ \ HQ x ϭ L͞ HQWRQFHV OD FROXPQD
QR VH SDQGHD KDVWD TXH VH DSOLFD OD FDUJD FUtWLFD P ϭ ʌ EI ͞L \ OD FXUYD GH GHÀH[LyQ
VHUi FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD F 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV

CUERDA ROTANDO /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ

y y 0

ω a) VH SUHVHQWD XQD \ RWUD YH] FRPR XQ PRGHOR PDWHPiWLFR (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH
x=0 OD HFXDFLyQ HQ ODV IRUPDV d x͞dt ϩ (k͞m x ϭ \ d q͞dt ϩ ͞LC q ϭ 0 son mo-
y (x) GHORV SDUD HO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH GH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD \ OD UHVSXHVWD
x=L DUPyQLFD VLPSOH GH XQ FLUFXLWR HQ VHULH UHVSHFWLYDPHQWH (V HYLGHQWH FXDQGR HO PRGHOR
SDUD OD GHÀH[LyQ GH XQD FROXPQD GHOJDGD HQ VH HVFULEH FRPR d y͞dx ϩ (P͞EI
b) y ϭ TXH HV OR PLVPR TXH 6H HQFXHQWUD OD HFXDFLyQ EiVLFD XQD YH] PiV HQ HVWD
VHFFLyQ FRPR XQ PRGHOR TXH GH¿QH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ R OD IRUPD y(x TXH DGRSWD XQD
T2 FXHUGD URWDWRULD /D VLWXDFLyQ ItVLFD HV VLPLODU D FXDQGR GRV SHUVRQDV VRVWLHQHQ XQD FXHUGD
θ1 θ2 SDUD VDOWDU \ OD KDFHQ JLUDU GH XQD PDQHUD VLQFURQL]DGD 9HD OD ¿JXUD D \ E

T1 6XSRQJD TXH XQD FXHUGD GH ORQJLWXG L con densidad lineal constante ȡ PDVD SRU
x XQLGDG GH ORQJLWXG VH HVWLUD D OR ODUJR GHO HMH x \ VH ¿MD HQ x ϭ \ x ϭ L 6XSRQJD TXH
OD FXHUGD VH KDFH JLUDU UHVSHFWR DO HMH D XQD YHORFLGDG DQJXODU FRQVWDQWH Ȧ &RQVLGHUH
XQD SRUFLyQ GH OD FXHUGD HQ HO LQWHUYDOR >x x ϩ ⌬x@ GRQGH ⌬x HV SHTXHxD 6L OD PDJ-
QLWXG T GH OD WHQVLyQ T TXH DFW~D WDQJHQFLDO D OD FXHUGD HV FRQVWDQWH D OR ODUJR GH
pVWD HQWRQFHV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHVHDGD VH REWLHQH DO LJXDODU GRV IRUPXODFLRQHV
GLVWLQWDV GH OD IXHU]D QHWD TXH DFW~D HQ OD FXHUGD HQ HO LQWHUYDOR >x x ϩ ⌬x@ 3ULPHUR
YHPRV HQ OD ¿JXUD F VH YH TXH OD IXHU]D YHUWLFDO QHWD HV

x + Δx x

F T sen 2 T sen 1

c) &XDQGR ORV iQJXORVș \ ș PHGLGRV HQ UDGLDQHV VRQ SHTXHxRV VH WLHQH VHQ ș Ϸ tan
ș \ VHQ ș Ϸ tan ș $GHPiV SXHVWR TXH WDQ ș \ WDQ ș VRQ D VX YH] SHQGLHQWHV GH
FIGURA 5.2.7 &XHUGD URWDWRULD \ ODV UHFWDV TXH FRQWLHQHQ ORV YHFWRUHV T \ T WDPELpQ VH SXHGH HVFULELU
IXHU]DV TXH DFW~DQ VREUH HOOD

tan 2 y (x x) \ tan 1 y (x).

3RU WDQWR OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

F T [ y (x x) y (x)]

6HJXQGR VH SXHGH REWHQHU XQD IRUPD GLIHUHQWH GH HVWD PLVPD IXHU]D QHWD XVDQGR
OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ F ϭ ma $TXt OD PDVD GHO UHVRUWH HQ HO LQWHUYDOR HV
m ϭ ȡ ⌬x OD DFHOHUDFLyQ FHQWUtSHWD GH XQ FXHUSR TXH JLUD FRQ YHORFLGDG DQJXODU Ȧ en
XQ FtUFXOR GH UDGLR r es a ϭ UȦ &RQ ⌬x SHTXHxD VH WRPD r ϭ y $Vt OD IXHU]D YHUWLFDO
QHWD HV WDPELpQ DSUR[LPDGDPHQWH LJXDO D

F ( x)y 2

GRQGH HO VLJQR PHQRV YLHQH GHO KHFKR GH TXH OD DFHOHUDFLyQ DSXQWD HQ OD GLUHFFLyQ
RSXHVWD D OD GLUHFFLyQ y SRVLWLYD $KRUD DO LJXDODU \ VH WLHQH

cociente de diferencias

T[yЈ(x ϩ ⌬x) Ϫ yЈ(x)] ϭ Ϫ(r⌬x)yv2 o T –y–Ј(–x––ϩ––⌬–⌬–xx–)–Ϫ––y–Ј–(–x–) ϩ rv2y ϭ 0.

Para ⌬x FHUFDQD D FHUR HO FRFLHQWH GH GLIHUHQFLDV HQ HV DSUR[LPDGDPHQWH OD VH-
JXQGD GHULYDGD d y͞dx 3RU ~OWLPR VH OOHJD DO PRGHOR

d2y 2y 0
T dx2

3XHVWR TXH OD FXHUGD HVWi DQFODGD HQ VXV H[WUHPRV HQ x ϭ \ x ϭ L HVSHUDPRV TXH
OD VROXFLyQ y(x GH OD HFXDFLyQ VDWLVIDJD WDPELpQ ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD y ϭ
\ y(L ϭ

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 209

COMENTARIOS

i /RV HLJHQYDORUHV QR VLHPSUH VRQ IiFLOHV GH HQFRQWUDU FRPR VXFHGLy HQ HO
HMHPSOR HV SRVLEOH TXH VH WHQJDQ TXH DSUR[LPDU ODV UDtFHV GH HFXDFLRQHV
como tan x ϭ Ϫx o cos x cosh x ϭ 9pDQVH ORV SUREOHPDV D HQ ORV
HMHUFLFLRV

ii /DV FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD DSOLFDGDV D XQD VROXFLyQ JHQHUDO GH XQD HFXD-
FLyQ GLIHUHQFLDO GDQ OXJDU D XQ VLVWHPD DOJHEUDLFR KRPRJpQHR GH HFXDFLRQHV
OLQHDOHV HQ ODV TXH ODV LQFyJQLWDV VRQ ORV FRH¿FLHQWHV ci GH OD VROXFLyQ JHQHUDO
8Q VLVWHPD DOJHEUDLFR KRPRJpQHR GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV HV VLHPSUH FRQVLV-
WHQWH SRUTXH SRU OR PHQRV WLHQH XQD VROXFLyQ WULYLDO 3HUR XQ VLVWHPD KRPRJp-
neo de n HFXDFLRQHV OLQHDOHV FRQ n LQFyJQLWDV WLHQH XQD VROXFLyQ QR WULYLDO VL \
VyOR VL HO GHWHUPLQDQWH GH ORV FRH¿FLHQWHV HV LJXDO D FHUR 3RGUtD VHU QHFHVDULR
XVDU HVWH ~OWLPR KHFKR HQ ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

EJERCICIOS 5.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8.

Deflexión de una viga SXQWR HQ OD JUi¿FD GHO LQFLVR E HQ HO TXH RFXUUH OD
Pi[LPD GHÀH[LyQ ¢&XiO HV OD Pi[LPD GHÀH[LyQ"
(Q ORV SUREOHPDV D UHVXHOYD OD HFXDFLyQ VXMHWD D ODV
FRQGLFLRQHV GH IURQWHUD DGHFXDGDV /D YLJD HV GH ORQJLWXG L \ 6. a) &DOFXOH OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD HQ YRODGL]R
w0 HV XQD FRQVWDQWH GHO SUREOHPD

1. a) /D YLJD HVWi HPSRWUDGD HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR \ b) ¢&yPR VH FRPSDUD FRQ HO YDORU GHO LQFLVR D FRQ OD
OLEUH HQ VX H[WUHPR GHUHFKR \ w(x ϭ w0 Ͻ x Ͻ L GHÀH[LyQ Pi[LPD GH XQD YLJD TXH WLHQH OD PLWDG GH
ODUJR"
b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD
GH GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ EI \ L ϭ c) (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD DSR\DGD
GHO SUREOHPD
2. a) /D YLJD HVWi DSR\DGD VLPSOHPHQWH HQ DPERV H[WUH-
PRV \ w(x ϭ w0 Ͻ x Ͻ L d) ¢&yPR VH FRPSDUD OD GHÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD
FRQ DSR\RV VLPSOHV GHO LQFLVR F FRQ HO YDORU GH OD GH-
b) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD ÀH[LyQ Pi[LPD GH OD YLJD HPSRWUDGD GHO HMHPSOR "
GH GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ EI \ L ϭ
7. 8QD YLJD HQ YRODGL]R GH ORQJLWXG L HVWi HPSRWUDGD HQ VX
3. a) /D YLJD HVWi HPSRWUDGD HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR \ H[WUHPR GHUHFKR \ VH DSOLFD XQD IXHU]D GH P OLEUDV HQ VX H[
DSR\DGD VLPSOHPHQWH HQ VX H[WUHPR GHUHFKR \ w(x WUHPR L]TXLHUGR OLEUH &XDQGR HO RULJHQ VH WRPD FRPR
ϭ w0 Ͻ x Ͻ L VX H[WUHPR OLEUH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD VH
SXHGH GHPRVWUDU TXH OD GHÀH[LyQ y(x GH OD YLJD VDWLVIDFH
b) 8 VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD FXUYD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
GH GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ EI \ L ϭ
x
4. a) /D YLJD HVWi HPSRWUDGD HQ VX H[WUHPR L]TXLHUGR \ EIy Py w(x) .
DSR\DGD VLPSOHPHQWH HQ VX H[WUHPR GHUHFKR \ w(x
ϭ w0 sen(ʌ[͞L Ͻ x Ͻ L 2

b) 8 WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD (QFXHQWUH OD GHÀH[LyQ GH OD YLJD HQ YRODGL]R VL w(x ϭ
FXUYD GH GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ ʌ EI \ L ϭ w0x Ͻ x Ͻ L \ y ϭ yЈ(L ϭ

c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU y
UDtFHV R GH XQD FDOFXODGRUD JUi¿FD DSUR[LPH HO L
SXQWR HQ OD JUi¿FD GHO LQFLVR E HQ HO TXH RFXUUH OD
Pi[LPD GHÀH[LyQ ¢&XiO HV OD Pi[LPD GHÀH[LyQ"

5. a) / D YLJD HVWi VLPSOHPHQWH VRSRUWDGD HQ DPERV H[WUH-

PRV \ w(x ϭ w x Ͻ x Ͻ L
0

b) 8 WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD P w0 x
O x
FXUYD GH GHÀH[LyQ FXDQGR w0 ϭ EI \ L ϭ x

c) 8VDQGR XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD HQFRQWUDU FIGURA 5.2.8 'HÀH[LyQ GH OD YLJD HQ YRODGL]R GHO SUREOHPD

UDtFHV R GH XQD FDOFXODGRUD JUi¿FD DSUR[LPH HO

210 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

8. &XDQGR VH DSOLFD XQD IXHU]D FRPSUHVLYD HQ OXJDU GH XQD x P
IXHU]D GH WHQVLyQ HQ HO H[WUHPR OLEUH GH OD YLJD GHO SUR- x=L
EOHPD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH OD GHÀH[LyQ HV
δ
x
EIy Py w(x) .

2

5HVXHOYD HVWD HFXDFLyQ VL w(x ϭ w0x Ͻ x Ͻ L \ y
ϭ yЈ(L ϭ

Eigenvalores y funciones propias x=0

(Q ORV SUREOHPDV D GHWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQ- y
FLRQHV SURSLDV GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD GDGR
FIGURA 5.2.9 'HÀH[LyQ GH OD FROXPQD YHUWLFDO GHO
9. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ y ϭ y(ʌ ϭ 0 SUREOHPD

10. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ y ϭ y(ʌ͞ ϭ 0 a) ¢&XiO HV OD GHÀH[LyQ SUHGLFKD FXDQGR į ϭ "

11. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ yЈ ϭ y(L ϭ 0 b) &XDQGR į GHPXHVWUH TXH OD FDUJD GH (XOHU SDUD
HVWD FROXPQD HV XQ FXDUWR GH OD FDUJD GH (XOHU SDUD OD
12. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ y ϭ yЈ(ʌ͞ ϭ 0 FROXPQD TXH HVWi DELVDJUDGD GHO HMHPSOR

13. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ yЈ ϭ yЈ(ʌ ϭ 0 23. &RPR VH PHQFLRQy HQ HO SUREOHPD OD HFXDFLyQ GLIH-
UHQFLDO TXH JRELHUQD OD GHÀH[LyQ y(x GH XQD FROXPQD
14. yЉ ϩ Ȝ\ ϭ y(Ϫʌ ϭ y(ʌ ϭ 0 HOiVWLFD GHOJDGD VXMHWD D XQD IXHU]D D[LDO FRPSUHVLYD FRQV-
tante P HV YiOLGD VyOR FXDQGR ORV H[WUHPRV GH OD FROXPQD
15. yЉ ϩ yЈ ϩ (Ȝ ϩ y ϭ y ϭ y ϭ 0 HVWiQ DELVDJUDGRV (Q JHQHUDO OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH
JRELHUQD OD GHÀH[LyQ GH OD FROXPQD HVWi GDGD SRU
16. yЉ ϩ (Ȝ ϩ y ϭ yЈ ϭ yЈ ϭ 0
d2 d2y d2y
17. x yЉ ϩ xyЈ ϩ Ȝ\ ϭ y ϭ y(eʌ ϭ 0 dx2 EI dx2 P dx2 0.

18. x yЉ ϩ xyЈ ϩ Ȝ\ ϭ yЈ(eϪ ϭ y ϭ 0 6XSRQJD TXH OD FROXPQD HV XQLIRUPH EI HV XQD FRQVWDQWH
\ TXH ORV H[WUHPRV GH OD FROXPQD HVWiQ DELVDJUDGRV 0XHV
(Q ORV SUREOHPDV \ GHWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV WUH TXH OD VROXFLyQ GH HVWD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH FXDUWR
IXQFLRQHV SURSLDV GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD RUGHQ VXMHWD D ODV FRQGLFLRQHV OtPLWH y ϭ yЉ ϭ
GDGR &RQVLGHUH VyOR HO FDVR Ȝ ϭ Į4 Į Ͼ y(L ϭ yЉ(L ϭ HV HTXLYDOHQWH DO DQiOLVLV GHO HMHPSOR

19. y Ϫ Ȝ\ ϭ y ϭ yЉ ϭ y ϭ 24. 6XSRQJD TXH XQD FROXPQD HOiVWLFD GHOJDGD \ XQLIRUPH
yЉ ϭ 0 HVWi DELVDJUDGD HQ HO H[WUHPR x ϭ \ HPSRWUDGD HQ HO
H[WUHPR x ϭ L
20. y Ϫ Ȝ\ ϭ yЈ ϭ yٞ ϭ y(ʌ ϭ
yЉ(ʌ ϭ 0 a) 8VH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH FXDUWR RUGHQ GHO SUR-
EOHPD SDUD HQFRQWUDU ORV YDORUHV SURSLRV Ȝn ODV
Pandeo de una columna delgada FDUJDV FUtWLFDV Pn OD FDUJD GH (XOHU P \ ODV GHÀH[LR-
nes yn(x
21. &RQVLGHUH OD ¿JXUD ¢'yQGH VH GHEHQ FRORFDU HQ OD
FROXPQD ODV UHVWULFFLRQHV ItVLFDV VL VH TXLHUH TXH OD FDUJD b 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUi¿FD
FUtWLFD VHD P4" 'LEXMH OD FXUYD GH GHÀH[LyQ FRUUHVSRQ- GHO SULPHU PRGR GH SDQGHR
GLHQWH D HVWD FDUJD
Cuerda rotando
22. /DV FDUJDV FUtWLFDV GH FROXPQDV GHOJDGDV GHSHQGHQ GH ODV
FRQGLFLRQHV GH H[WUHPR GH OD FROXPQD (O YDORU GH OD FDUJD 25. &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD SUHVHQ-
GH (XOHU P HQ HO HMHPSOR VH REWXYR EDMR OD VXSRVLFLyQ GH WDGR HQ OD FRQVWUXFFLyQ GHO PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD
TXH OD FROXPQD HVWDED DELVDJUDGD SRU DPERV H[WUHPRV 6X IRUPD GH XQD FXHUGD URWDWRULD
SRQJD TXH XQD FROXPQD YHUWLFDO KRPRJpQHD GHOJDGD HVWi HP
SRWUDGD HQ VX EDVH x ϭ \ OLEUH HQ VX SDUWH VXSHULRU x ϭ L d2y 2y 0, y(0) 0, y(L) 0.
\ TXH VH DSOLFD XQD FDUJD D[LDO FRQVWDQWH P HQ VX H[WUHPR T dx2
OLEUH (VWD FDUJD FDXVD XQD GHÀH[LyQ SHTXHxD į como se
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD R QR FDXVD WDO GHÀH[LyQ (Q FXDO- Para T \ ȡ FRQVWDQWHV GH¿QD ODV YHORFLGDGHV FUtWLFDV GH OD
TXLHU FDVR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD OD GHÀH[LyQ y(x HV URWDFLyQ DQJXODU Ȧn como los valores de Ȧ SDUD ORV FXDOHV
HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD WLHQH VROXFLRQHV
d2y QR WULYLDOHV 'HWHUPLQH ODV UDSLGHFHV FUtWLFDV Ȧn \ ODV GH-
EI dx2 Py P . ÀH[LRQHV FRUUHVSRQGLHQWHV yn(x

5.2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA l 211

26. &XDQGR OD PDJQLWXG GH OD WHQVLyQ T QR HV FRQVWDQWH HQ- donde u0 \ u VRQ FRQVWDQWHV 'HPXHVWUH TXH
WRQFHV XQ PRGHOR SDUD OD FXUYD GH GHÀH[LyQ R IRUPD y(x
TXH WRPD XQD FXHUGD URWDWRULD HVWi GDGR SRU u(r) u0 ln(r> b) u1 ln(r>a)
ln(a> b) .

d dy 2y 0. Problemas para analizar
T(x)
29. Movimiento armónico simple (O PRGHOR mxЉ ϩ kx ϭ 0
dx dx SDUD HO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH TXH VH DQDOL]y HQ
OD VHFFLyQ VH SXHGH UHODFLRQDU FRQ HO HMHPSOR GH
6XSRQJD TXH Ͻ x Ͻ e \ TXH T(x ϭ x HVWD VHFFLyQ
&RQVLGHUH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD OLEUH QR DPRUWL-
a) Si y O ϭ y(e ϭ \ ȡȦ Ͼ GHPXHVWUH TXH JXDGR SDUD HO FXDO OD FRQVWDQWH GH UHVRUWH HV GLJDPRV k
ϭ OE SLH 'HWHUPLQH ODV PDVDV mn TXH VH SXHGHQ XQLU DO
ODV YHORFLGDGHV FUtWLFDV GH URWDFLyQ DQJXODU VRQ UHVRUWH SDUD TXH FXDQGR VH OLEHUH FDGD PDVD HQ OD SRVLFLyQ
GH HTXLOLEULR HQ t ϭ FRQ XQD YHORFLGDG v0 GLIHUHQWH GH
n 1 2(4n2 2 1)> \ ODV GHÀH[LRQHV FRUUHV- FHUR SDVH SRU OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQ t ϭ VHJXQGR
2 ¢&XiQWDV YHFHV SDVD FDGD PDVD mn SRU OD SRVLFLyQ GH
HTXLOLEULR HQ HO LQWHUYDOR GH WLHPSR Ͻ t Ͻ "
SRQGLHQWHV VRQ
30. Movimiento amortiguado 6XSRQJD TXH HO PRGHOR SDUD
yn(x ϭ c xϪ ͞ sen(Qʌ ln x n ϭ HO VLVWHPD UHVRUWH PDVD GHO SUREOHPD VH UHHPSOD]D SRU
mxЉ ϩ xЈϩ kx ϭ (Q RWUDV SDODEUDV HO VLVWHPD HV OLEUH
b) 8 WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU ODV SHUR HVWi VXMHWR D DPRUWLJXDPLHQWR QXPpULFDPHQWH LJXDO D
FXUYDV GH GHÀH[LyQ HQ HO LQWHUYDOR > e@ SDUD n ϭ GRV YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD &RQ ODV PLVPDV FRQGL-
(OLMD c ϭ FLRQHV LQLFLDOHV \ OD FRQVWDQWH GH UHVRUWH GHO SUREOHPD
LQYHVWLJXH VL HV SRVLEOH HQFRQWUDU XQD PDVD m TXH SDVH SRU
Diferentes problemas con valores en la frontera OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HQ t ϭ VHJXQGR

27. Temperatura en una esfera &RQVLGHUH GRV HVIHUDV
FRQFpQWULFDV GH UDGLR r ϭ a \ r ϭ b a Ͻ b 9HD OD ¿JXUD
/D WHPSHUDWXUD u(r HQ OD UHJLyQ HQWUH ODV HVIHUDV
VH GHWHUPLQD GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD

d2u du
r dr2 2 0, u(a) u0, u(b) u1,
dr
(Q ORV SUREOHPDV \ GHWHUPLQH VL HV SRVLEOH HQFRQWUDU
donde u0 \ u VRQ FRQVWDQWHV 5HVXHOYD SDUD u(r valores y0 \ y SUREOHPD \ YDORUHV GH L Ͼ SUREOHPD
WDO TXH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV WHQJD a) H[DFWDPHQWH
u = u1 XQD VROXFLyQ QR WULYLDO b) PiV GH XQD VROXFLyQ c) QLQJXQD
u = u0 VROXFLyQ d) OD VROXFLyQ WULYLDO

FIGURA 5.2.10 (VIHUDV FRQFpQWULFDV GHO SUREOHPD 31. yЉ ϩ y ϭ y ϭ y0 y(ʌ͞ ϭ y
28. Temperatura en un anillo /D WHPSHUDWXUD u(r HQ HO 32. yЉ ϩ y ϭ y ϭ y(L ϭ
33. &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD
DQLOOR FLUFXODU PRVWUDGR HQ OD ¿JXUD VH GHWHUPLQD D
SDUWLU GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD y y 0, y( ) y( ), y ( ) y ( ).

d2u du a) $ O WLSR GH FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD HVSHFL¿FDGDV VH
r dr2 dr 0, u(a) u0, u(b) u1, le llaman condiciones frontera periódicas 'p XQD
LQWHUSUHWDFLyQ JHRPpWULFD GH HVWDV FRQGLFLRQHV
ab
b) ' HWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQFLRQHV SURSLDV
u = u0 GHO SUREOHPD
u = u1
c) 8VH XQ SURJUDPD GH JUD¿FDFLyQ SDUD WUD]DU DOJXQDV
FIGURA 5.2.11 $QLOOR FLUFXODU GHO SUREOHPD GH ODV IXQFLRQHV SURSLDV &RPSUXHEH VX LQWHUSUHWD-
FLyQ JHRPpWULFD GH ODV FRQGLFLRQHV IURQWHUD GDGDV HQ
HO LQFLVR D

34. 0XHVWUH TXH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQFLRQHV SURSLDV GHO
SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD

y y 0, y(0) 0, y(1) y (1) 0

son n 2 \ yn ϭ sen Įnx UHVSHFWLYDPHQWH GRQGH Įn
n

n ϭ VRQ ODV UDtFHV SRVLWLYDV FRQVHFXWLYDV GH OD

HFXDFLyQ WDQ Į ϭ Ϫ Į

212 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Tarea para el laboratorio de computación (Q ORV SUREOHPDV \ GHWHUPLQH ORV HLJHQYDORUHV \ ODV
IXQFLRQHV SURSLDV GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 8VH
35. 8VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV TXH OR FRQYHQ]DQ XQ 6$& SDUD DSUR[LPDU ORV SULPHURV FXDWUR YDORUHV SURSLRV
GH TXH OD HFXDFLyQ WDQ Į ϭ ϪĮ GHO SUREOHPD WLHQH Ȝ Ȝ Ȝ \ Ȝ4
XQ Q~PHUR LQ¿QLWR GH UDtFHV ([SOLTXH SRU TXp VH SXHGHQ
GHVSUHFLDU ODV UDtFHV QHJDWLYDV GH OD HFXDFLyQ ([SOLTXH 37. y y 0, y(0) 0, y(1) 1 y (1) 0
SRU TXp Ȝ ϭ QR HV XQ HLJHQYDORU DXQ FXDQGR Į ϭ 0 es 2
XQD VROXFLyQ REYLD GH OD HFXDFLyQ WDQ Į ϭ ϪĮ
38. y Ϫ Ȝ\ ϭ y ϭ yЈ ϭ y ϭ yЈ ϭ 0
36. 8VDQGR XQ SURJUDPD SDUD GHWHUPLQDU UDtFHV GH XQ 6$& [Sugerencia: FRQVLGHUH VyOR Ȝ ϭ Į4 Į Ͼ @
DSUR[LPH ORV SULPHURV FXDWUR YDORUHV SURSLRV Ȝ Ȝ Ȝ \
Ȝ4 SDUD HO 39) GHO SUREOHPD

5.3 MODELOS NO LINEALES

REPASO DE MATERIAL
l 6HFFLyQ

INTRODUCCIÓN (Q HVWD VHFFLyQ VH H[DPLQDQ DOJXQRV PRGHORV PDWHPiWLFRV QR OLQHDOHV GH
RUGHQ VXSHULRU $OJXQRV GH HVWRV PRGHORV VH SXHGHQ UHVROYHU XVDQGR HO PpWRGR GH VXVWLWXFLyQ OR
TXH FRQGXFH D OD UHGXFFLyQ GH RUGHQ GH OD (' SUHVHQWDGR HQ OD VHFFLyQ (Q DOJXQRV FDVRV GRQGH
QR VH SXHGH UHVROYHU HO PRGHOR VH PXHVWUD FyPR VH UHHPSOD]D OD (' QR OLQHDO SRU XQD (' OLQHDO
PHGLDQWH XQ SURFHVR FRQRFLGR FRPR OLQHDOL]DFLyQ

RESORTES NO LINEALES (O PRGHOR PDWHPiWLFR HQ GH OD VHFFLyQ WLHQH OD
IRUPD

d2x F(x) 0
m dt2

donde F(x ϭ kx 'HELGR D TXH x GHQRWD HO GHVSOD]DPLHQWR GH OD PDVD GHVGH VX SRVLFLyQ
GH HTXLOLEULR F(x ϭ kx HV OD OH\ GH +RRNH HV GHFLU OD IXHU]D HMHUFLGD SRU HO UHVRUWH
TXH WLHQGH D UHVWDXUDU OD PDVD D OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR 8Q UHVRUWH TXH DFW~D EDMR XQD
IXHU]D UHVWDXUDGRUD OLQHDO F(x ϭ kx se llama resorte lineal 3HUR ORV UHVRUWHV SRFDV
YHFHV VRQ OLQHDOHV 'HSHQGLHQGR GH FyPR HVWp FRQVWUXLGR \ GHO PDWHULDO XWLOL]DGR XQ
UHVRUWH SXHGH YDULDU GHVGH ³ÀH[LEOH´ R VXDYH KDVWD ³UtJLGR´ R GXUR SRU OR TXH VX IXHU]D
UHVWDXUDGRUD SXHGH YDULDU UHVSHFWR D OD OH\ OLQHDO (Q HO FDVR GH PRYLPLHQWR OLEUH VL VH
VXSRQH TXH XQ UHVRUWH HQ EXHQ HVWDGR WLHQH DOJXQDV FDUDFWHUtVWLFDV QR OLQHDOHV HQWRQFHV
SRGUtD VHU UD]RQDEOH VXSRQHU TXH OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD GH XQ UHVRUWH HV GHFLU F(x HQ
OD HFXDFLyQ HV SURSRUFLRQDO DO FXER GHO GHVSOD]DPLHQWR x GH OD PDVD PiV DOOi GH VX
SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR R TXH F(x HV XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH SRWHQFLDV GHO GHVSOD]D-
PLHQWR FRPR HO TXH VH GHWHUPLQD PHGLDQWH OD IXQFLyQ QR OLQHDO F(x ϭ kx ϩ k x 8Q
UHVRUWH FX\R PRGHOR PDWHPiWLFR LQFRUSRUD XQD IXHU]D UHVWDXUDGRUD QR OLQHDO FRPR

d 2x kx3 0 o d 2x kx k1x3 0
m dt2 m dt2

se llama resorte no lineal $GHPiV VH H[DPLQDQ PRGHORV PDWHPiWLFRV HQ ORV TXH HO
DPRUWLJXDPLHQWR LPSDUWLGR DO PRYLPLHQWR HUD SURSRUFLRQDO D OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD
dx͞dt \ OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD GH XQ UHVRUWH HVWi GDGD SRU OD IXQFLyQ OLQHDO F(x ϭ kx
3HUR HVWDV IXHURQ VXSRVLFLRQHV PX\ VLPSOHV HQ VLWXDFLRQHV PiV UHDOHV HO DPRUWLJXD-
PLHQWR SRGUtD VHU SURSRUFLRQDO D DOJXQD SRWHQFLD GH OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD dx͞dt /D
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR OLQHDO

d2x dx dx kx 0
m dt2 dt dt

5.3 MODELOS NO LINEALES l 213

HV XQ PRGHOR GH XQ VLVWHPD OLEUH UHVRUWH PDVD HQ HO TXH OD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQ
WR HV SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR GH OD YHORFLGDG $Vt TXH HV SRVLEOH LPDJLQDU RWUDV FODVHV
GH PRGHORV DPRUWLJXDPLHQWR OLQHDO \ IXHU]D UHVWDXUDGRUD QR OLQHDO DPRUWLJXDPLHQWR
QR OLQHDO \ IXHU]D UHVWDXUDGRUD QR OLQHDO HWFpWHUD (O SXQWR HV TXH ODV FDUDFWHUtVWLFDV QR
OLQHDOHV GH XQ VLVWHPD ItVLFR GDQ OXJDU D XQ PRGHOR PDWHPiWLFR TXH HV QR OLQHDO

2EVHUYH HQ TXH WDQWR F(x ϭ kx como F(x ϭ kx ϩ k x VRQ IXQFLRQHV LPSDUHV
de x 3DUD YHU SRU TXp XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO TXH FRQWLHQH VyOR SRWHQFLDV LPSDUHV GH
x SURSRUFLRQD XQ PRGHOR UD]RQDEOH SDUD OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD VH H[SUHVD D F como
XQD VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGD HQ OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR x ϭ 0:

F (x) c0 c1x c2 x2 c3 x3 .

F resorte resorte lineal &XDQGR ORV GHVSOD]DPLHQWRV x VRQ SHTXHxRV ORV YDORUHV GH x n VRQ LQVLJQL¿FDQWHV SDUD
duro resorte suave n VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH 6L VH WUXQFD OD VHULH GH SRWHQFLDV SRU HMHPSOR HQ HO FXDUWR
WpUPLQR HQWRQFHV F(x ϭ c0 ϩ c x ϩ c x ϩ c x 3DUD OD IXHU]D HQ x Ͼ
x
F (x) c0 c1x c2 x2 c3 x3,
FIGURA 5.3.1 5HVRUWHV GXURV \ VXDYHV
\ SDUD TXH OD IXHU]D HQ Ϫx Ͻ
x
x(0)=2, F( x) c0 c1x c2x2 c3x3
x'(0)=_3
WHQJD OD PLVPD PDJQLWXG SHUR DFW~H HQ GLUHFFLyQ FRQWUDULD VH GHEH WHQHU F(Ϫx ϭ
ϪF(x 'HELGR D TXH HVWR VLJQL¿FD TXH F HV XQD IXQFLyQ LPSDU VH GHEH WHQHU c0 ϭ \ c
ϭ \ SRU WDQWR F(x ϭ c x ϩ c x3 6L VH KXELHUDQ XVDGR VyOR ORV SULPHURV GRV WpUPLQRV
GH OD VHULH HO PLVPR DUJXPHQWR SURGXFH OD IXQFLyQ OLQHDO F(x ϭ c x 6H GLFH TXH XQD
IXHU]D UHVWDXUDGRUD FRQ SRWHQFLDV PL[WDV FRPR F(x ϭ c x ϩ c x \ ODV YLEUDFLRQHV
FRUUHVSRQGLHQWHV VRQ DVLPpWULFDV (Q HO DQiOLVLV VLJXLHQWH VH HVFULEH c ϭ k \ c ϭ k

RESORTES DUROS Y SUAVES $QDOLFHPRV FRQ PiV GHWDOOH OD HFXDFLyQ SDUD
HO FDVR HQ TXH OD IXHU]D UHVWDXUDGRUD HVWi GDGD SRU F(x ϭ kx ϩ klx k Ͼ 6H GLFH
TXH HO UHVRUWH HV duro si kl Ͼ \ suave si kl Ͻ /DV JUi¿FDV GH WUHV WLSRV GH IXHU-
]DV UHVWDXUDGRUDV VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD (Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH LOXVWUDQ
HVWRV GRV FDVRV HVSHFLDOHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO md x͞dt ϩ kx ϩ k x ϭ
m Ͼ k Ͼ

t

EJEMPLO 1 Comparación de resortes duros y suaves

x(0)=2, /DV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV
x'(0)=0

a) resorte duro d2x x x3 0
dt2
x
x(0)=2, \ d2x x x3 0
x' (0)=0 dt2

t VRQ FDVRV HVSHFLDOHV GH OD VHJXQGD HFXDFLyQ HQ \ VRQ PRGHORV GH XQ UHVRUWH GXUR \
XQR VXDYH UHVSHFWLYDPHQWH (Q OD ¿JXUD D VH PXHVWUDQ GRV VROXFLRQHV GH \ HQ
x(0)=2, OD ¿JXUD E GRV VROXFLRQHV GH REWHQLGDV GH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD
x'(0)=_3 /DV FXUYDV PRVWUDGDV HQ URMR VRQ VROXFLRQHV TXH VDWLVIDFHQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV
x ϭ xЈ ϭ Ϫ ODV GRV FXUYDV HQ URMR VRQ VROXFLRQHV TXH VDWLVIDFHQ x ϭ
b) resorte suave xЈ ϭ 'HVGH OXHJR HVWDV FXUYDV VROXFLyQ LQGLFDQ TXH HO PRYLPLHQWR GH XQD PDVD
HQ HO UHVRUWH GXUR HV RVFLODWRULR PLHQWUDV TXH HO PRYLPLHQWR GH XQD PDVD HQ HO UHVRUWH
FIGURA 5.3.2 &XUYDV GH VROXFLyQ ÀH[LEOH DO SDUHFHU HV QR RVFLODWRULR 3HUR VH GHEH WHQHU FXLGDGR UHVSHFWR D VDFDU FRQFOX-
QXPpULFD VLRQHV FRQ EDVH HQ XQ SDU GH FXUYDV GH VROXFLyQ QXPpULFD 8Q FXDGUR PiV FRPSOHMR GH
OD QDWXUDOH]D GH ODV VROXFLRQHV GH DPEDV HFXDFLRQHV VH REWLHQH GHO DQiOLVLV FXDOLWDWLYR
GHVFULWR HQ HO FDStWXOR

214 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

O PÉNDULO NO LINEAL &XDOTXLHU REMHWR TXH RVFLOD GH XQ ODGR D RWUR VH OODPD
θ péndulo físico (O péndulo simple HV XQ FDVR HVSHFLDO GHO SpQGXOR ItVLFR \ FRQVLVWH
HQ XQD YDULOOD GH ORQJLWXG l D OD TXH VH ¿MD XQD PDVD m HQ XQ H[WUHPR $O GHVFULELU
l HO PRYLPLHQWR GH XQ SpQGXOR VLPSOH HQ XQ SODQR YHUWLFDO VH KDFHQ ODV VXSRVLFLRQHV
GH VLPSOL¿FDFLyQ GH TXH OD PDVD GH OD YDULOOD HV GHVSUHFLDEOH \ TXH QLQJXQD IXHU]D
mg sen θ H[WHUQD GH DPRUWLJXDPLHQWR R PRWUL] DFW~D VREUH HO VLVWHPD (O iQJXOR GH GHVSOD]D-
miento ș GHO SpQGXOR PHGLGR GHVGH OD YHUWLFDO FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD VH
θ W = mg FRQVLGHUD SRVLWLYR FXDQGR VH PLGH D OD GHUHFKD GH OP \ QHJDWLYR D OD L]TXLHUGD GH OP
P mg cos θ $KRUD UHFXHUGH TXH HO DUFR s GH XQ FtUFXOR GH UDGLR l VH UHODFLRQD FRQ HO iQJXOR FHQWUDO
ș SRU OD IyUPXOD s ϭ Oș 3RU WDQWR OD DFHOHUDFLyQ DQJXODU HV
FIGURA 5.3.3 3pQGXOR VLPSOH
d 2s d 2
a dt2 l dt2.
'H OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ WHQHPRV TXH

d2
F ma ml dt2 .

'H OD ¿JXUD VH YH TXH OD PDJQLWXG GH OD FRPSRQHQWH WDQJHQFLDO GH OD IXHU]D
GHELGD DO SHVR W es mg sen ș (Q FXDQWR D GLUHFFLyQ HVWD IXHU]D HV Ϫmg sen ș SRUTXH
DSXQWD D OD L]TXLHUGD SDUD ș Ͼ \ D OD GHUHFKD SDUD ș Ͻ 6H LJXDODQ ODV GRV YHUVLRQHV
GLVWLQWDV GH OD IXHU]D WDQJHQFLDO SDUD REWHQHU ml d ș͞dt ϭ Ϫmg sen ș R

␪ d2 g 0
sen
dt2 l

␪ (0)= 1 , ␪Ј(0)=2 LINEALIZACIÓN &RPR UHVXOWDGR GH OD SUHVHQFLD GH VHQ ș HO PRGHOR HQ HV QR
2 OLQHDO (Q XQ LQWHQWR SRU HQWHQGHU HO FRPSRUWDPLHQWR GH ODV VROXFLRQHV GH HFXDFLRQHV
GLIHUHQFLDOHV QR OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU HQ RFDVLRQHV VH WUDWD GH VLPSOL¿FDU HO SUR-
EOHPD VXVWLWX\HQGR WpUPLQRV QR OLQHDOHV SRU FLHUWDV DSUR[LPDFLRQHV 3RU HMHPSOR OD
VHULH GH 0DFODXULQ SDUD VHQ ș HVWi GDGD SRU

␪ (0) = 1 , ␪Ј(0)=21 35
2
sen . . .
t 3! 5!

␲ 2␲ DVt TXH VL VH XVD OD DSUR[LPDFLyQ VHQ ș Ϸș Ϫ ș ͞ OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ
a) d ș͞dt ϩ (g͞l ș Ϫ (g͞ l ș ϭ 2EVHUYH TXH HVWD ~OWLPD HFXDFLyQ HV OD PLVPD TXH
OD VHJXQGD HFXDFLyQ OLQHDO HQ FRQ m ϭ k ϭ g͞l \ k ϭ Ϫg͞ l 6LQ HPEDUJR VL VH
VXSRQH TXH ORV GHVSOD]DPLHQWRV ș VRQ VX¿FLHQWHPHQWH SHTXHxRV SDUD MXVWL¿FDU HO XVR
GH OD VXVWLWXFLyQ VHQ ș ഠ ș HQWRQFHV OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

d2 g 0
dt2 l

b) ␪ (0) ϭ 1 , 9HD HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV 6L VH KDFH Ȧ ϭ g͞l VH UHFRQRFH D FRPR OD
2 HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH OD VHFFLyQ TXH HV XQ PRGHOR SDUD ODV YLEUDFLRQHV OLEUHV
1 QR DPRUWLJXDGDV GH XQ VLVWHPD OLQHDO UHVRUWH PDVD (Q RWUDV SDODEUDV HV GH QXHYR
␪Ј(0) ϭ 2 OD HFXDFLyQ OLQHDO EiVLFD yЉ ϩ Ȝ\ ϭ DQDOL]DGD HQ OD VHFFLyQ &RPR FRQVHFXHQFLD
VH GLFH TXH OD HFXDFLyQ HV XQD linealización GH OD HFXDFLyQ 'HELGR D TXH OD
VROXFLyQ JHQHUDO GH HV ș(t ϭ c cos ȦW ϩ c sen ȦW HVWD OLQHDOL]DFLyQ LQGLFD TXH
SDUD FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV FRUUHVSRQGLHQWHV D RVFLODFLRQHV SHTXHxDV HO PRYLPLHQWR
GHO SpQGXOR GHVFULWR SRU HV SHULyGLFR

EJEMPLO 2 Dos problemas con valores iniciales

c) ␪ (0) ϭ 1 , /DV JUi¿FDV GH OD ¿JXUD D VH REWXYLHURQ FRQ D\XGD GH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ
2

␪Ј(0) ϭ 2 QXPpULFD \ UHSUHVHQWDQ FXUYDV VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ FXDQGR Ȧ ϭ /D FXUYD D]XO

FIGURA 5.3.4 3pQGXOR RVFLODQWH HQ LOXVWUD OD VROXFLyQ GH TXH VDWLVIDFH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV (0) 12, (0) 1
E SpQGXOR JLUDWRULR HQ F 2

PLHQWUDV TXH OD FXUYD URMD HV OD VROXFLyQ GH TXH VDWLVIDFH (0) 12, u (0) 2 /D

5.3 MODELOS NO LINEALES l 215

FXUYD D]XO UHSUHVHQWD XQD VROXFLyQ SHULyGLFD HO SpQGXOR TXH RVFLOD HQ YDLYpQ FRPR VH
PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E FRQ XQD DPSOLWXG DSDUHQWH A Յ /D FXUYD URMD PXHVWUD
TXH ș FUHFH VLQ OtPLWH FXDQGR DXPHQWD HO WLHPSR HO SpQGXOR FRPHQ]DQGR GHVGH HO
PLVPR GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO UHFLEH XQD YHORFLGDG LQLFLDO GH PDJQLWXG VX¿FLHQWH-
PHQWH JUDQGH SDUD HQYLDUOR KDVWD DUULED ²HQ RWUDV SDODEUDV HO SpQGXOR JLUD UHVSHFWR D
VX SLYRWH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD F (Q DXVHQFLD GH DPRUWLJXDPLHQWR HO
PRYLPLHQWR HQ FDGD FDVR FRQWLQ~D GH IRUPD LQGH¿QLGD

CABLES TELEFÓNICOS /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ dy͞dx ϭ
W͞T HV OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ (VWD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HVWDEOH-
FLGD FRQ OD D\XGD GH OD ¿JXUD VLUYH FRPR PRGHOR PDWHPiWLFR SDUD OD IRUPD
GH XQ FDEOH ÀH[LEOH VXVSHQGLGR HQWUH GRV VRSRUWHV YHUWLFDOHV FXDQGR HO FDEOH OOHYD
XQD FDUJD YHUWLFDO (Q OD VHFFLyQ VH UHVXHOYH HVWD (' VLPSOH EDMR OD VXSRVLFLyQ
GH TXH OD FDUJD YHUWLFDO TXH VRSRUWDQ ORV FDEOHV GH XQ SXHQWH VXVSHQGLGR HUD HO SHVR GH
OD FDUSHWD DVIiOWLFD GLVWULEXLGD GH PRGR XQLIRUPH D OR ODUJR GHO HMH x &RQ W ϭ ȡ[ ȡ
HO SHVR SRU XQLGDG GH ORQJLWXG GH OD FDUSHWD DVIiOWLFD OD IRUPD GH FDGD FDEOH HQWUH ORV
DSR\RV YHUWLFDOHV UHVXOWy VHU SDUDEyOLFD $KRUD VH HVWi HQ FRQGLFLRQHV GH GHWHUPLQDU
OD IRUPD GH XQ FDEOH ÀH[LEOH XQLIRUPH TXH FXHOJD VyOR EDMR VX SURSLR SHVR FRPR XQ
FDEOH VXVSHQGLGR HQWUH GRV SRVWHV WHOHIyQLFRV $KRUD OD FDUJD YHUWLFDO HV HO FDEOH \ SRU
WDQWR VL ȡ HV OD GHQVLGDG OLQHDO GHO DODPEUH PHGLGR SRU HMHPSOR HQ OLEUDV SRU SLH \ s
HV OD ORQJLWXG GHO VHJPHQWR P P HQ OD ¿JXUD HQWRQFHV W ϭ ȡV 3RU WDQWR

dy s


dx 1
3XHVWR TXH OD ORQJLWXG GH DUFR HQWUH ORV SXQWRV P \ P HVWi GDGD SRU

s x dy 2

0 B1 dx d x

GHO WHRUHPD IXQGDPHQWDO GHO FiOFXOR VH WLHQH TXH OD GHULYDGD GH HV

ds dy 2
dx B1

dx

'HULYDQGR OD HFXDFLyQ UHVSHFWR D x \ XVDQGR OD HFXDFLyQ VH REWLHQH OD HFXDFLyQ
GH VHJXQGR RUGHQ

d2y ds o d2y T1 B1 dy 2
dx2 T1 dx d x2
dx

(Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH UHVXHOYH OD HFXDFLyQ \ VH PXHVWUD TXH OD FXUYD GHO
FDEOH VXVSHQGLGR HV XQD catenaria $QWHV GH SURFHGHU REVHUYH TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQ-
FLDO QR OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ HV XQD GH ODV HFXDFLRQHV TXH WLHQHQ OD IRUPD F(x
yЈ yЉ ϭ DQDOL]DGDV HQ OD VHFFLyQ 5HFXHUGH TXH KD\ SRVLELOLGDGHV GH UHVROYHU
XQD HFXDFLyQ GH HVWH WLSR DO UHGXFLU HO RUGHQ GH OD HFXDFLyQ XVDQGR OD VXVWLWXFLyQ u ϭ yЈ

EJEMPLO 3 Una solución de (11)

'H OD SRVLFLyQ GHO HMH y HQ OD ¿JXUD HV HYLGHQWH TXH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV
UHODFLRQDGDV FRQ OD VHJXQGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ VRQ y ϭ a \ yЈ ϭ

6L VH VXVWLWX\H u ϭ yЈ HQWRQFHV OD HFXDFLyQ HQ VH FRQYLHUWH HQ du 11 u2
dx
1
6HSDUDQGR ODV YDULDEOHV VH HQFXHQWUD TXH

du T1 dx se obtiene senh 1u x c1.
11 u2 T1

216 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

$KRUD yЈ ϭ HV HTXLYDOHQWH D u ϭ 3XHVWR TXH VHQKϪ 0 ϭ c ϭ \ SRU
WDQWR u ϭ senh (ȡ[͞T 3RU ~OWLPR LQWHJUDQGR DPERV ODGRV GH

dy senh x, obtenemos y T1 cosh x c2.
dx T1 T1

Con y ϭ a FRVK ϭ VH GHGXFH GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ TXH c ϭ a Ϫ T ͞ȡ 3RU
WDQWR YHPRV TXH OD IRUPD GHO FDEOH TXH FXHOJD HVWi GDGD SRU y (T1> ) cosh( x> T1)
a T1> .
6L HQ HO HMHPSOR KHPRV VDELGR HVFRJHU GHVGH HO SULQFLSLR a ϭ T ͞ȡ HQWRQFHV OD VROXFLyQ
GHO SUREOHPD KDEUtD VLGR VLPSOHPHQWH HO FRVHQR KLSHUEyOLFR y ϭ (T ͞ȡ FRVK ȡ[͞T

y MOVIMIENTO DE UN COHETE (Q HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ VH YLR TXH OD
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH XQ FXHUSR GH PDVD m HQ FDtGD OLEUH FHUFD GH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD
v0 HVWi GDGD SRU
R
d2s mg, R VLPSOHPHQWH d2s g,
centro de m dt2 dt2
la Tierra
donde s UHSUHVHQWD OD GLVWDQFLD GHVGH OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD KDVWD HO REMHWR \ VH
FIGURA 5.3.5 /D GLVWDQFLD DO FRKHWH
HV JUDQGH FRPSDUDGD FRQ R FRQVLGHUD TXH OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DUULED 'LFKR GH RWUD IRUPD OD VXSRVLFLyQ

EiVLFD HQ HVWH FDVR HV TXH OD GLVWDQFLD s DO REMHWR HV SHTXHxD FXDQGR VH FRPSDUD FRQ

el radio R GH OD 7LHUUD HQ RWUDV SDODEUDV OD GLVWDQFLD y GHVGH HO FHQWUR GH OD 7LHUUD DO

REMHWR HV DSUR[LPDGDPHQWH OD PLVPD TXH R 6L SRU RWUR ODGR OD GLVWDQFLD y DO REMHWR

SRU HMHPSOR XQ FRKHWH R XQD VRQGD HVSDFLDO HV JUDQGH FRPSDUDGD FRQ R HQWRQFHV VH

FRPELQD OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GHO PRYLPLHQWR \ VX OH\ GH JUDYLWDFLyQ XQLYHUVDO

SDUD REWHQHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ OD YDULDEOH y

6XSRQJD TXH VH ODQ]D YHUWLFDOPHQWH KDFLD DUULED XQ FRKHWH GHVGH HO VXHOR FRPR VH

LOXVWUD HQ OD ¿JXUD 6L OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DUULED \ VH GHVSUHFLD OD UHVLV-

WHQFLD GHO DLUH HQWRQFHV OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH PRYLPLHQWR GHVSXpV GH FRQVXPLU

HO FRPEXVWLEOH HV

d2y Mm d2y M
m dt2 k y2 o dt2 k y2

donde k HV XQD FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG y es la distancia desde el centro de la
7LHUUD DO FRKHWH M HV OD PDVD GH OD 7LHUUD \ m HV OD PDVD GHO FRKHWH 3DUD GHWHUPLQDU
la constante k VH XVD HO KHFKR GH TXH FXDQGR y ϭ R kMm͞R ϭ mg o k ϭ gR ͞M $Vt
TXH OD ~OWLPD HFXDFLyQ HQ VH FRQYLHUWH HQ

d2y g R2
dt2 y2

9HD HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV

MASA VARIABLE 2EVHUYH HQ OD H[SOLFDFLyQ DQWHULRU TXH VH GHVFULEH HO PRYLPLHQWR
GHO FRKHWH GHVSXpV GH TXH KD TXHPDGR WRGR VX FRPEXVWLEOH FXDQGR VXSXHVWDPHQWH VX
masa m HV FRQVWDQWH 3RU VXSXHVWR GXUDQWH VX DVFHQVR OD PDVD WRWDO GHO FRKHWH SURSXO-
VDGR YDUtD D PHGLGD TXH VH FRQVXPH HO FRPEXVWLEOH /D VHJXQGD OH\ GHO PRYLPLHQWR
FRPR OD DGHODQWy 1HZWRQ HQ XQ SULQFLSLR HVWDEOHFH TXH FXDQGR XQ FXHUSR GH PDVD m
VH PXHYH SRU XQ FDPSR GH IXHU]D FRQ YHORFLGDG v OD UDSLGH] GH FDPELR UHVSHFWR DO
WLHPSR GH OD FDQWLGDG GH PRYLPLHQWR mv GHO FXHUSR HV LJXDO D OD IXHU]D DSOLFDGD R QHWD
F TXH DFW~D VREUH HO FXHUSR

F d (mv)
dt

Si m HV FRQVWDQWH HQWRQFHV OD HFXDFLyQ SURGXFH OD IRUPD PiV IDPLOLDU F ϭ m dv͞dt
ϭ ma GRQGH a HV OD DFHOHUDFLyQ (Q HO VLJXLHQWH HMHPSOR VH XVD OD IRUPD GH OD VHJXQGD
OH\ GH 1HZWRQ GDGD HQ OD HFXDFLyQ HQ OD TXH OD PDVD m GHO FXHUSR HV YDULDEOH

5.3 MODELOS NO LINEALES l 217

5 lb EJEMPLO 4 Cadena jalada hacia arriba por una fuerza constante
fuerza
hacia 8QD FDGHQD XQLIRUPH GH SLHV GH ODUJR VH HQUROOD VLQ WHQVLyQ VREUH HO SLVR 8Q H[-
arriba WUHPR GH OD FDGHQD VH MDOD YHUWLFDOPHQWH KDFLD DUULED XVDQGR XQD IXHU]D FRQVWDQWH GH
x(t) OLEUDV /D FDGHQD SHVD OLEUD SRU SLH 'HWHUPLQH OD DOWXUD GHO H[WUHPR VREUH HO QLYHO
GH VXHOR DO WLHPSR t 9HD OD ¿JXUD
FIGURA 5.3.6 &DGHQD MDODGD KDFLD
DUULED SRU XQD IXHU]D FRQVWDQWH SOLUCIÓN 6XSRQJDPRV TXH x ϭ x(t GHQRWD OD DOWXUD GHO H[WUHPR GH OD FDGHQD HQ HO
DLUH DO WLHPSR t v ϭ dx͞dt \ TXH OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DUULED 3DUD OD SRUFLyQ GH
OD FDGHQD TXH HVWi HQ HO DLUH HQ HO WLHPSR t VH WLHQHQ ODV VLJXLHQWHV FDQWLGDGHV YDULDEOHV

peso: W (x pie) (1 lb/pie) x,

masa: m W>g x>32,

fuerza neta: F 5 W 5 x.

$Vt GH OD HFXDFLyQ VH WLHQH

regla del producto

( )–d–––3–x2–v ϭ5Ϫx o x –d–v– ϩ v –d–x– ϭ 160 Ϫ 32x.
dt dt
dt

'HELGR D TXH v ϭ dx͞dt OD ~OWLPD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

d2x dx 2
x dt2 dt 32x 160

/D VHJXQGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ WLHQH OD IRUPD F(x xЈ
xЉ ϭ TXH HV OD VHJXQGD GH ODV GRV IRUPDV FRQVLGHUDGDV HQ OD VHFFLyQ TXH SRVL-
EOHPHQWH VH SXHGHQ UHVROYHU SRU UHGXFFLyQ GH RUGHQ 3DUD UHVROYHU OD HFXDFLyQ VH

YXHOYH D \ VH XVD v ϭ xЈ MXQWR FRQ OD UHJOD GH OD FDGHQD 'H dv dv dx dv
v
dt dx dt dx
OD VHJXQGD HFXDFLyQ HQ VH SXHGH HVFULELU FRPR

dv v2 160 32x
xv
dx

$O LQVSHFFLRQDU OD HFXDFLyQ SRGUtD SDUHFHU GH GLItFLO VROXFLyQ SXHVWR TXH QR VH
SXHGH FDUDFWHUL]DU FRPR DOJXQD GH ODV HFXDFLRQHV GH SULPHU RUGHQ UHVXHOWDV HQ HO FD-
StWXOR 6LQ HPEDUJR VL VH UHHVFULEH OD HFXDFLyQ HQ OD IRUPD GLIHUHQFLDO M(x v
dx ϩ N(x v dv ϭ VH REVHUYD TXH DXQTXH OD HFXDFLyQ

(v2 32x 160)dx xv dv 0

QR HV H[DFWD VH SXHGH WUDQVIRUPDU HQ XQD HFXDFLyQ H[DFWD DO PXOWLSOLFDUOD SRU XQ
IDFWRU LQWHJUDQWH 'H Mv Ϫ Nx ͞N ϭ l͞x VH YH GH GH OD VHFFLyQ TXH XQ IDFWRU

LQWHJUDQWH HV e dx/x eln x x. &XDQGR OD HFXDFLyQ VH PXOWLSOLFD SRU ȝ(x ϭ x OD
HFXDFLyQ UHVXOWDQWH HV H[DFWD FRPSUXHEH ,GHQWL¿FDQGR Ѩf ͞Ѩx ϭ xv ϩ x Ϫ x
Ѩf ͞Ѩv ϭ x v \ SURFHGLHQGR GHVSXpV FRPR HQ OD VHFFLyQ VH REWLHQH

1 x2v2 32 x3 80 x2 c1
2 3

3XHVWR TXH VH VXSXVR TXH DO SULQFLSLR WRGD OD FDGHQD HVWi VREUH HO SLVR VH WLHQH x

ϭ (VWD ~OWLPD FRQGLFLyQ DSOLFDGD D OD HFXDFLyQ SURGXFH c ϭ 5HVROYLHQGR

OD HFXDFLyQ DOJHEUDLFD 1 x2v2 32 x3 80x2 0 SDUD v ϭ dx͞dt Ͼ VH REWLHQH RWUD
2 3
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ

dx B160 64 x.
dt 3

218 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

x /D ~OWLPD HFXDFLyQ VH SXHGH UHVROYHU SRU VHSDUDFLyQ GH YDULDEOHV 6H GHEH FRPSUREDU TXH
8
3 64 1/2 t c2
7 160 x
6
32 3
5
4 (VWD YH] OD FRQGLFLyQ LQLFLDO x ϭ LQGLFD TXH c2 3 110 8 3RU ~OWLPR HOHYDQGR
DO FXDGUDGR DPERV ODGRV GH \ GHVSHMDQGR x OOHJDPRV DO UHVXOWDGR GHVHDGR
3
x(t) 15 15 4110 2
2 1 t
22 15 .
1
t /D JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ TXH VH SUHVHQWD HQ OD ¿JXUD QR VH GHEH FRQ EDVHV
ItVLFDV DFHSWDU WDO FXDO 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV
0 0.5 1 1.5 2 2.5

FIGURA 5.3.7 *Ui¿FD GH SDUD
x(t Ն

EJERCICIOS 5.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-8.

Al profesor $GHPiV GH ORV SUREOHPDV \ WRGRV R 8. &RQVLGHUH HO PRGHOR GH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD QR OLQHDO
SDUWH GH ORV SUREOHPDV D D \ SRGUtDQ VHUYLU VLQ DPRUWLJXDPLHQWR GDGR SRU xЉ ϩ x Ϫ x ϩ x ϭ
FRPR WDUHDV GHO ODERUDWRULR GH FRPSXWDFLyQ 8VH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD DQDOL]DU OD
QDWXUDOH]D GH ODV RVFLODFLRQHV GHO VLVWHPD TXH FRUUHVSRQ-
Resortes no lineales
den a las condiciones iniciales:
(Q ORV SUREOHPDV DO OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD HV PR-
GHOR GH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD QR DPRUWLJXDGR HQ HO TXH OD x(0) 1, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 12;
IXHU]D UHVWDXUDGRUD F(x HQ HV QR OLQHDO 3DUD FDGD HFXD- x(0) 12, x (0) 1; x(0) 2, x (0) 21;
FLyQ XWLOLFH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD WUD]DU ODV x(0) 2, x (0) 0; x(0) 12, x (0) 1.
FXUYDV VROXFLyQ TXH VDWLVIDFHQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GHO
SUREOHPD 6L DO SDUHFHU ODV VROXFLRQHV VRQ SHULyGLFDV XVH OD (Q ORV SUREOHPDV \ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD HV XQ PR-
FXUYD VROXFLyQ SDUD HVWLPDU HO SHULRGR T GH ODV RVFLODFLRQHV GHOR GH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD QR OLQHDO DPRUWLJXDGR 3UHG LJD
HO FRPSRUWDPLHQWR GH FDGD VLVWHPD FXDQGR t → ϱ 3DUD FDGD
d2x x3 0, HFXDFLyQ XVH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD RE WHQHU
1. dt2 ODV FXUYDV VROXFLyQ TXH VDWLVIDFHQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GHO
SUREOHPD GDGDV
x(0) 1, x (0) 1; x(0) 21, x (0) 1

d2x 4x 16x3 0, d2x dx x x3 0,
2. dt2 1, x (0) 1; x(0) 9. dt2 dt
2, x (0) 2
x(0) x(0) 3, x (0) 4; x(0) 0, x (0) 8

d2x 2x x2 0, d2x dx x x3 0,
3. dt2 1, x (0) 1; x(0) 10. dt2 dt
32, x (0) 1
x(0)

d2x x(0) 0, x (0) 23; x(0) 1, x (0) 1
4. dt2
xe0.01x 0, 3, x (0) 1 11. (O PRGHOR mxЉ ϩ kx ϩ k x ϭ F0 cos ȦW GH XQ VLVWHPD QR
x(0) 1, x (0) 1; x(0) DPRUWLJXDGR UHVRUWH PDVD IRU]DGR HQ IRUPD SHULyGLFD VH
llama HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH 'XI¿QJ &RQVLGHUH HO SUR-
5. (Q HO SUREOHPD VXSRQJD TXH OD PDVD VH OLEHUD GHVGH OD blema con valores iniciales xЉ ϩ x ϩ k x ϭ FRV t x ϭ
SRVLFLyQ LQLFLDO x ϭ FRQ XQD YHORFLGDG LQLFLDO xЈ xЈ ϭ 8VH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD
ϭ x 8VH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD HVWLPDU LQYHVWLJDU HO FRPSRUWDPLHQWR GHO VLVWHPD SDUD YDORUHV GH k Ͼ
HO YDORU PiV SHTXHxR GH ͉x ͉ HQ HO TXH HO PRYLPLHQWR GH OD TXH YDQ GH k ϭ D k ϭ ([SUHVH VXV FRQFOXVLRQHV
PDVD HV QR SHULyGLFR
12. a) ( QFXHQWUH ORV YDORUHV GH k Ͻ SDUD ORV FXDOHV HO
6. (Q HO SUREOHPD VXSRQJD TXH OD PDVD VH OLEHUD GHVGH XQD VLVWHPD GHO SUREOHPD HV RVFLODWRULR
SRVLFLyQ LQLFLDO x ϭ x0 con velocidad inicial xЈ ϭ
8VDQGR XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD HVWLPH XQ LQWHU- b) &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV
valo a Յ x0 Յ b SDUD HO FXDO HO PRYLPLHQWR VHD RVFLODWRULR
xЉ ϩ x ϩ k x ϭ cos 3 t, x ϭ xЈ ϭ
7. 'HWHUPLQH XQD OLQHDOL]DFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO 2
GHO SUREOHPD
( QFXHQWUH YDORUHV SDUD k Ͻ SDUD ORV FXDOHV HO VLV-
WHPD HV RVFLODWRULR

5.3 MODELOS NO LINEALES l 219

Péndulo no lineal a) 5HVXHOYD v HQ WpUPLQRV GH x 'HWHUPLQH x HQ WpUPL-
nos de t ([SUHVH v HQ WpUPLQRV GH t
13. &RQVLGHUH HO PRGHOR GHO SpQGXOR QR OLQHDO DPRUWLJXDGR
OLEUH GDGR SRU b) ' HWHUPLQH FXiQWR WDUGD HQ FDHU WRGD OD FDGHQD DO VXHOR
c) ¢ 4Xp YHORFLGDG SUHGLFH HO PRGHOR GHO LQFLVR D SDUD HO
d2 d 2sen 0.
2 H[WUHPR VXSHULRU GH OD FDGHQD FXDQGR WRFD HO VXHOR"
dt2 dt
Diferentes modelos matemáticos
8VH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD LQYHVWLJDU VL HO 17. Curva de persecución (Q XQ HMHUFLFLR QDYDO XQ EDUFR S
movimiento en los dos casos Ȝ Ϫ Ȧ Ͼ \ Ȝ Ϫ Ȧ Ͻ 0 co-
UUHVSRQGH UHVSHFWLYDPHQWH D ORV FDVRV VREUHDPRUWLJXDGR \ HV SHUVHJXLGR SRU XQ VXEPDULQR S FRPR VH PXHVWUD HQ OD
VXEDPRUWLJXDGR DQDOL]DGRV HQ OD VHFFLyQ SDUD VLVWHPDV ¿JXUD (O EDUFR S SDUWH GHO SXQWR HQ t ϭ \ VH
UHVRUWH PDVD 3DUD Ȝ Ϫ Ȧ Ͼ XVH Ȝ ϭ Ȧ ϭ ș ϭ \ PXHYH D OR ODUJR GH XQ FXUVR HQ OtQHD UHFWD HO HMH y D XQD
șЈ ϭ 3DUD Ȝ Ϫ Ȧ Ͻ XVH Ȝ ϭ Ȧ ϭ ș ϭ Ϫ UDSLGH] FRQVWDQWH v (O VXEPDULQR S mantiene al barco S
\ șЈ ϭ HQ FRQWDFWR YLVXDO LQGLFDGR SRU OD OtQHD SXQWHDGD L en la
¿JXUD PLHQWUDV TXH YLDMD FRQ XQD UDSLGH] FRQVWDQWH v a lo
Movimiento de un cohete ODUJR GH OD FXUYD C 6XSRQJD TXH HO EDUFR S FRPLHQ]D HQ HO
SXQWR a a Ͼ HQ t ϭ \ TXH L HV WDQJHQWH D C
14. a) 8VH OD VXVWLWXFLyQ v ϭ dy͞dt SDUD GHVSHMDU GH OD HFXD- a) 'HWHUPLQH XQ PRGHOR PDWHPiWLFR TXH GHVFULED OD

FLyQ D v HQ WpUPLQRV GH y 6XSRQLHQGR TXH OD FXUYD C
b) (QFXHQWUH XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIH-
YHORFLGDG GHO FRKHWH FXDQGR VH DJRWD HO FRPEXVWLEOH
UHQFLDO 3RU FRQYHQLHQFLD GH¿QD r ϭ v ͞v
es v ϭ v0 \ y ഠ R HQ HVH LQVWDQWH GHPXHVWUH TXH HO c) ' HWHUPLQH VL ODV WUD\HFWRULDV GH S \ S DOJXQD YH] VH LQ-
YDORU DSUR[LPDGR GH OD FRQVWDQWH c GH LQWHJUDFLyQ HV
WHUFHSWDUtDQ DO FRQVLGHUDU ORV FDVRV r Ͼ r Ͻ \ r ϭ
c gR 1 v02 [Sugerencia: dt dt ds Gonde s HV OD ORQJLWXG GH
2
dx ds dx
b) 8 VH OD VROXFLyQ SDUD v GHO LQFLVR D FRQ HO ¿Q GH GH- DUFR PHGLGD D OR ODUJR GH C @

PRVWUDU TXH OD YHORFLGDG GH HVFDSH GH XQ FRKHWH HVWi y

GDGD SRU v0 12gR >Sugerencia: 7RPH y → ϱ \ C
VXSRQJD TXH v Ͼ SDUD WRGR WLHPSR t @
S1
c) (O UHVXOWDGR GHO LQFLVR E VH FXPSOH SDUD FXDOTXLHU FXHUSR
GHO VLVWHPD VRODU 8VH ORV YDORUHV g ϭ SLHV s \ R ϭ L
PLOODV SDUD GHPRVWUDU TXH OD YHORFLGDG GH HVFDSH GH
OD 7LHUUD HV DSUR[LPDGDPHQWH v0 ϭ PL K S2

d) 'HWHUPLQH OD YHORFLGDG GH HVFDSH HQ OD /XQD VL OD DFHOHUD- x
FLyQ GHELGD D OD JUDYHGDG HV g \ R ϭ PLOODV
FIGURA 5.3.8 &XUYD GH SHUVHFXFLyQ GHO SUREOHPD
Masa variable
18. Curva de persecución (Q RWUR HMHUFLFLR QDYDO XQ GHV-
15. a) (Q HO HMHPSOR ¢TXp ORQJLWXG GH OD FDGHQD VH HV- WUXFWRU S SHUVLJXH D XQ VXEPDULQR S 6XSRQJD TXH S en
SHUDUtD SRU LQWXLFLyQ TXH SXGLHUD OHYDQWDU OD IXHU]D HQ HO HMH x detecta a S HQ \ TXH DO PLVPR WLHPSR
FRQVWDQWH GH OLEUDV" S detecta a S (O FDSLWiQ GHO GHVWUXFWRU S VXSRQH TXH HO
VXEPDULQR HPSUHQGHUi XQD DFFLyQ HYDVLYD LQPHGLDWD \ HV-
b) ¢&XiO HV OD YHORFLGDG LQLFLDO GH OD FDGHQD" SHFXOD TXH VX QXHYR FXUVR SUREDEOH HV OD UHFWD LQGLFDGD HQ
OD ¿JXUD &XDQGR S HVWi HQ FDPELD GH VX FXUVR
c) ¢ 3RU TXp HO LQWHUYDOR GH WLHPSR TXH FRUUHVSRQGH D HQ OtQHD UHFWD KDFLD HO RULJHQ D XQD FXUYD GH SHUVHFXFLyQ
x(t Ն LOXVWUDGR HQ OD ¿JXUD QR HV HO LQWHU- C 6XSRQJD TXH OD YHORFLGDG GHO GHVWUXFWRU HV HQ WRGR PR-
valo I GH GH¿QLFLyQ GH OD VROXFLyQ " 'HWHUPLQH PHQWR XQD FRQVWDQWH GH PLOODV͞K \ TXH OD UDSLGH] GHO
el intervalo I ¢4Xp ORQJLWXG GH OD FDGHQD VH OHYDQWD VXEPDULQR HV FRQVWDQWH GH PLOODV͞K
HQ UHDOLGDG" ([SOLTXH FXDOTXLHU GLIHUHQFLD HQWUH HVWD a) ([SOLTXH SRU TXp HO FDSLWiQ HVSHUD KDVWD TXH S OOHJXH
UHVSXHVWD \ OD SUHGLFFLyQ GHO LQFLVR D D DQWHV GH RUGHQDU XQ FDPELR GH FXUVR D C
b) 8 VDQGR FRRUGHQDGDV SRODUHV HQFXHQWUH XQD HFXDFLyQ
d) ¢3RU TXp HVSHUDUtD TXH x(t IXHVH XQD VROXFLyQ SHULyGLFD" r ϭ f (ș SDUD OD FXUYD C
c) 6 HD TXH T GHQRWH HO WLHPSR PHGLGR GHVGH OD GHWHF-
16. 8QD FDGHQD XQLIRUPH GH ORQJLWXG L PHGLGD HQ SLHV VH PDQ- FLyQ LQLFLDO HQ TXH HO GHVWUXFWRU LQWHUFHSWD DO VXEPD-
WLHQH YHUWLFDOPHQWH SRU OR TXH HO H[WUHPR LQIHULRU DSHQDV ULQR 'HWHUPLQH XQ OtPLWH VXSHULRU SDUD T
WRFD HO SLVR /D FDGHQD SHVD OE͞SLH (O H[WUHPR VXSHULRU
TXH HVWi VXMHWR VH OLEHUD GHVGH HO UHSRVR HQ t ϭ \ OD FDGHQD
FDH UHFWD 6L x(t GHQRWD OD ORQJLWXG GH OD FDGHQD HQ HO SLVR DO
WLHPSR t VH GHVSUHFLD OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH \ VH GHWHUPLQD
TXH OD GLUHFFLyQ SRVLWLYD HV KDFLD DEDMR HQWRQFHV

d2x dx 2
(L x) dt2 Lg.

dt

220 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

y

l ␪máx

C mh
b ϩm
S2 S1 h
L θ w

(3, 0) mb vb mw V

FIGURA 5.3.10 3pQGXOR EDOtVWLFR GHO SUREOHPD

(9, 0)x b) 8VH HO UHVXOWDGR GHO LQFLVR D SDUD GHPRVWUDU TXH

FIGURA 5.3.9 &XUYD GH SHUVHFXFLyQ GHO SUREOHPD vb mw mb 2lg umáx.
mb

19. El péndulo balístico +LVWyULFDPHQWH SDUD PDQWHQHU c) 8VH OD ¿JXUD SDUD H[SUHVDU FRV șPi[ HQ WpU
HO FRQWURO GH FDOLGDG VREUH ODV PXQLFLRQHV EDODV SUR- minos de l \ de h 'HVSXpV XWLOLFH ORV SULPHURV GRV
GXFLGDV SRU XQD OtQHD GH PRQWDMH HO IDEULFDQWH XVD- WpUPLQ RV GH OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD FRV ș SDUD H[-
UtD XQ péndulo balístico SDUD GHWHUPLQDU OD YHORFLGDG SUHVDU șPi[ HQ WpUPLQRV GH l \ de h 3RU ~OWLPR GH-
GH OD ERFD GH XQ DUPD HV GHFLU OD YHORFLGDG GH XQD PXHVWUH TXH vb HVWi GDGR DSUR[LPDGDPHQWH SRU
EDOD FXDQGR GHMD HO EDUULO (O SpQGXOR EDOtVWLFR LQYHQWDGR
HQ HV VLPSOHPHQWH XQ SpQGXOR SODQR TXH FRQVLVWH HQ vb mw mb 22gh.
XQD YDULOOD GH PDVD GHVSUHFLDEOH TXH HVWi XQLGD D XQ EORTXH mb
de madera de masa mw (O VLVWHPD VH SRQH HQ PRYLPLHQWR
SRU HO LPSDFWR GH XQD EDOD TXH VH HVWi PRYLHQGR KRUL]RQ- d) 8 VH HO UHVXOWDGR GHO LQFLVR F SDUD HQFRQWUDU vb FXDQGR
WDOPHQWH FRQ XQD YHORFLGDG GHVFRQRFLGD vb DO PRPHQWR mb ϭ J mw ϭ NJ \ h ϭ FP
GHO LPSDFWR TXH VH WRPD FRPR t ϭ OD PDVD FRPELQDGD
es mw ϩ mb GRQGH mb HV OD PDVD GH OD EDOD LQFUXVWDGD HQ OD 20. Suministros de ayuda &RPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD
PDGHUD (Q YLPRV TXH HQ HO FDVR GH SHTXHxDV RVFLODFLR- XQ DYLyQ TXH YXHOD KRUL]RQWDOPHQWH FRQ XQD YHORFL-
QHV HO GHVSOD]DPLHQWR DQJXODU ș(t GHO SpQGXOR SODQR TXH dad constante v0 VXHOWD XQ SDTXHWH GH VXPLQLVWURV GH D\XGD
VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD HVWi GDGR SRU OD (' OLQHDO șЉ ϩ D XQD SHUVRQD HQ WLHUUD 6XSRQJD TXH HO RULJHQ HV HO SXQWR
(g͞l ș ϭ GRQGH ș Ͼ FRUUHVSRQGH DO PRYLPLHQWR D OD GH- GRQGH VH OLEHUD HO SDTXHWH \ TXH HO HMH x SRVLWLYR DSXQWD
UHFKD GH OD YHUWLFDO /D YHORFLGDG vb VH SXHGH HQFRQWUDU PL KDFLD DGHODQWH \ TXH HO HMH y SRVLWLYR DSXQWD KDFLD DEDMR
GLHQGR OD DOWXUD h de la masa mw ϩ mb HQ HO iQJXOR GH %DMR OD VXSRVLFLyQ GH TXH ODV FRPSRQHQWHV KRUL]RQWDO \ YHU-
GHVSOD]DPLHQWR Pi[LPR șPi[ TXH VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD WLFDO GH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH VRQ SURSRUFLRQDOHV D dx͞dt
\ dy͞dt UHVSHFWLYDPHQWH \ VL OD SRVLFLyQ GHO SDTXHWH GH

,QWXLWLYDPHQWH OD YHORFLGDG KRUL]RQWDO V de la masa VXPLQLVWUR HVWi GDGD SRU r(t ϭ (t i ϩ y(t j HQWRQFHV VX YH-
FRPELQDGD PDGHUD PiV EDOD GHVSXpV GHO LPSDFWR HV
VyOR XQD IUDFFLyQ GH OD YHORFLGDG vb GH OD EDOD HV GHFLU locidad es v(t ϭ (dx͞dt i ϩ (dy͞dt j ,JXDODQGR FRPSRQHQ-
WHV HQ OD IRUPD YHFWRULDO GH OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ

dv dx 2 dy 2
m mg k i j
dt dt
mb dt
V mw mb vb. da 0, x (0)
0, y (0)
d 2x dx 2
m dt 2 mg k , x(0) v0
$KRUD UHFXHUGH TXH XQD GLVWDQFLD s TXH YLDMD SRU XQD SDUWt- dt 0
FXOD TXH VH PXHYH D OR ODUJR GH XQD WUD\HFWRULD FLUFXODU HVWi
relacionada con el radio l \ HO iQJXOR FHQWUDO ș SRU OD IyUPXOD d 2y dy 2
s ϭ lș 'HULYDQGR OD ~OWLPD IyUPXOD UHVSHFWR DO WLHPSR t VH m dt 2 mg k , y(0)
WLHQH TXH OD YHORFLGDG DQJXODU Ȧ GH OD PDVD \ VX YHORFLGDG dt
lineal v HVWi UHODFLRQDGD SRU v ϭ OȦ 3RU WDQWR OD YHORFL
GDG DQJXODU Ȧ0 HQ HO WLHPSR t SDUD HO TXH OD EDOD LPSDFWD HO
EORTXH GH PDGHUD HVWi UHODFLRQDGD FRQ V SRU V ϭ OȦ0 o

v0 mb vb. paquete
mw mb l
blanco
a) 5HVXHOYD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV
FIGURA 5.3.11 $YLyQ \ VXPLQLVWURV GHO SUREOHPD
d 2u g 0, u(0) 0, u (0) v0.
u
dt2 l

5.3 MODELOS NO LINEALES l 221

a) 5HVXHOYD ORV GRV SUREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV PH- d2 0, (0) , (0) 1
GLDQWH ODV VXVWLWXFLRQHV u ϭ dx͞dt w ϭ dy͞dt \ VHSD- dt2 sen 12 3
UDFLyQ GH YDULDEOHV >Sugerencia: 9HD ORV Comentarios
DO ¿QDO GH OD VHFFLyQ @ SDUD XQ SpQGXOR QR OLQHDO 3XHVWR TXH QR VH SXHGH UHVRO-
YHU OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR HV SRVLEOH HQFRQWUDU XQD
c) 6 XSRQJD TXH HO DYLyQ YXHOD D XQD DOWLWXG GH SLHV VROXFLyQ H[SOtFLWD GH HVWH SUREOHPD 3HUR VXSRQJD TXH VH
\ TXH VX UDSLGH] FRQVWDQWH HV PL K 6XSRQJD TXH OD GHVHD GHWHUPLQDU OD SULPHU tl Ͼ SDUD OD FXDO HO SpQGXOR GH
FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG GH OD UHVLVWHQFLD GHO DLUH OD ¿JXUD FRPHQ]DQGR GHVGH VX SRVLFLyQ LQLFLDO D OD
es k \ TXH HO SDTXHWH GH VXPLQLVWUR SHVD GHUHFKD DOFDQ]D OD SRVLFLyQ OP HV GHFLU OD SULPHUD UDt]
OE 8VH XQ SURJUDPD SDUD HQFRQWUDU UDtFHV GH XQ 6$& SRVLWLYD GH ș(t ϭ (Q HVWH SUREOHPD \ HO VLJXLHQWH VH
R XQD FDOFXODGRUD JUD¿FDGRUD SDUD GHWHUPLQDU OD GLV- H[DPLQDQ YDULDV IRUPDV GH FyPR SURFHGHU
WDQFLD KRUL]RQWDO TXH YLDMD HO SDTXHWH PHGLGR GHVGH
VX SXQWR GH OLEHUDFLyQ DO SXQWR GRQGH SHJD HQ HO VXHOR a) $ SUR[LPH t UHVROYLHQGR HO SUREOHPD OLQHDO

Problemas para analizar d ș͞dt ϩ ș ϭ ș ϭ ʌ͞ (0) 31.

21. $QDOLFH SRU TXp HO WpUPLQR GH DPRUWLJXDPLHQWR GH OD b) 8 VH HO PpWRGR LOXVWUDGR HQ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ
HFXDFLyQ VH HVFULEH FRPR
SDUD HQFRQWUDU ORV SULPHURV FXDWUR WpUPLQRV QR

dx dx dx 2 QXORV GH XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH 7D\ORU ș(t FHQWUDGD

dt dt HQ OXJDU GH . HQ SDUD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV QR OLQHDO
dt
'p ORV YDORUHV H[DFWRV GH ORV FRH¿FLHQWHV

22. a) ([SHULPHQWH FRQ XQD FDOFXODGRUD SDUD HQFRQWUDU XQ LQ- c) 8 VH ORV GRV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VHULH GH 7D\ORU
tervalo 0 Յ ș Յ ș GRQGH ș VH PLGH HQ UDGLDQHV SDUD GHO LQFLVR E SDUD DSUR[LPDU t
HO FXDO VH FRQVLGHUD TXH VHQ ș ഠ ș HV XQD HVWLPDFLyQ
EDVWDQWH EXHQD /XHJR XVH XQ SURJUDPD GH JUD¿FD d) ( PSOHH ORV WUHV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VHULH GH
FLyQ SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH y ϭ x \ y ϭ sen x en el 7D\ORU GHO LQFLVR E SDUD DSUR[LPDU t
PLVPR HMH GH FRRUGHQDGDV SDUD Յ [ Յ ʌ͞ ¢/DV JUi-
¿FDV FRQ¿UPDQ VXV REVHUYDFLRQHV FRQ OD FDOFXODGRUD" e) 8WLOLFH XQD DSOLFDFLyQ GH XQ 6$& R XQD FDOFXODGRUD JUi-
¿FD SDUD HQFRQWUDU UDtFHV \ ORV SULPHURV FXDWUR WpUPLQRV
b) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD WUD]DU GH OD VHULH GH 7D\ORU GHO LQFLVR E SDUD DSUR[LPDU t
ODV FXUYDV VROXFLyQ GH ORV SUREOHPDV GH YDORU LQLFLDO
f) (Q HVWD SDUWH GHO SUREOHPD VH SURSRUFLRQDQ ODV LQV-
d2 WUXFFLRQHV GH Mathematica TXH SHUPLWHQ DSUR[LPDU
dt2 sen 0, (0) 0, (0) 0 OD UDt] t (O SURFHGLPLHQWR VH PRGL¿FD FRQ IDFLOLGDG
SRU OR TXH VH SXHGH DSUR[LPDU FXDOTXLHU UDt] GH ș(t ϭ
d2 0, (0) 0, (0) 0 Si no tiene Mathematica, adapte el procedimiento
\ dt2 mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que
tenga 5HSURGX]FD FRQ SUHFLVLyQ \ OXHJR D VX YH] HMH-
S DUD YDULRV YDORUHV GH ș0 en el intervalo 0 Յ ș Յ ș de- FXWH FDGD OtQHD GH OD VHFXHQFLD GDGD GH LQVWUXFFLRQHV
WHUPLQDGR HQ HO LQFLVR D /XHJR WUDFH OD JUi¿FD FXU-
YDV GH VROXFLyQ GH ORV SUREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV sol ϭ NDSolve[{yЉ[t] ϩ Sin[y[t]] ϭϭ 0,
SDUD YDULRV YDORUHV GH ș0 SDUD ORV FXDOHV ș0 Ͼ ș y[0] ϭϭ Pi͞12, yЈ[0] ϭϭ Ϫ1͞3},
y, {t, 0, 5}] ͞͞Flatten
23. Movimiento del péndulo en la Luna ¢8Q SpQGXOR GH
ORQJLWXG l RVFLOD PiV UiSLGR HQ OD 7LHUUD R HQ OD /XQD" solution ϭ y[t] ͞.sol
Clear[y]
a) 7RPH l \ g SDUD OD DFHOHUDFLyQ GH OD JUDYHGDG y[t_]: ϭ Evaluate[solution]
HQ OD 7LHUUD 8VH XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD y[t]
SDUD JHQHUDU XQD FXUYD GH VROXFLyQ QXPpULFD SDUD HO gr1 ϭ Plot[y[t], {t, 0, 5}]
PRGHOR QR OLQHDO VXMHWR D ODV FRQGLFLRQHV LQLFLD- root ϭ FindRoot[y[t] ϭϭ 0, {t, 1}]
les ș ϭ ș ϭ 5HSLWD XVDQGR ORV PLVPRV
YDORUHV SHUR XWLOLFH J SDUD OD DFHOHUDFLyQ GH OD g) 0RGL¿TXH GH PDQHUD DSURSLDGD OD VLQWD[LV GHO LQFLVR I \
JUDYHGDG HQ OD /XQD GHWHUPLQH ODV VLJXLHQWHV GRV UDtFHV SRVLWLYDV GH ș(t ϭ

b) ' H ODV JUi¿FDV GHO LQFLVR D GHWHUPLQH TXp SpQGXOR 23. &RQVLGHUH XQ SpQGXOR TXH VH OLEHUD GHVGH HO UHSRVR FRQ XQ
RVFLOD PiV UiSLGR ¢4Xp SpQGXOR WLHQH OD PD\RU DP- GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO GH ș0 UDGLDQHV 5HVROYLHQGR HO PRGHOR
SOLWXG GH PRYLPLHQWR" OLQHDO VXMHWR D ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV ș ϭ ș0 șЈ ϭ
0 se obtiene (t) 0 cos 1g/l t (O SHULRGR GH RVFLODFLR-
24. Continuación del movimiento del péndulo en la Luna QHV TXH VH SUHGLFH FRQ HVWH PRGHOR VH GHWHUPLQD PHGLDQWH
5HSLWD ORV GRV LQFLVRV GHO SUREOHPD HVWD YH] XWLOL]DQGR OD FRQRFLGD IyUPXOD T 2 1g/l 2 1l/g /R LQWHUH-
HO PRGHOR OLQHDO VDQWH GH HVWD IyUPXOD SDUD T HV TXH QR GHSHQGH GH OD PDJQL-
WXG GHO GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO ș0 (Q RWUDV SDODEUDV
Tarea para el laboratorio de computación
25. &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV iniciales

222 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

HO PRGHOR OLQHDO SUHGLFH TXH HO WLHPSR TXH WDUGDUtD HO SpQ- d2 0, (0) , (0) 0
GXOR HQ RVFLODU GHVGH XQ GHVSOD]DPLHQWR LQLFLDO GH GLJDPRV dt2 sen 4
ș0 ϭ ʌ͞ ϭ ƒ D Ϫʌ͞ \ GH UHJUHVR RWUD YH] VHUtD H[DFWD-
PHQWH HO PLVPR TXH WDUGDUtD HQ FRPSOHWDU HO FLFOR GH GLJD- en el intervalo a 0 Յ t Յ &RPR HQ HO SUREOHPD VL t
PRV ș0 ϭ ʌ͞ ϭ ƒ D Ϫʌ͞ (VWR HV LOyJLFR GHVGH HO GHQRWD OD SULPHUD YH] TXH HO SpQGXOR DOFDQ]D OD SRVLFLyQ
SXQWR GH YLVWD LQWXLWLYR \D TXH HO SHULRGR UHDO GHEH GHSHQGHU
de ș0 OP HQ OD ¿JXUD HQWRQFHV HO SHULRGR GHO SpQGXOR QR

6L VH VXSRQH TXH g ϭ SLHV V \ l ϭ SLHV HQWRQ- lineal es 4t $TXt HVWi RWUD IRUPD GH UHVROYHU OD HFXDFLyQ
FHV HO SHULRGR GH RVFLODFLyQ GHO PRGHOR OLQHDO HV T ϭ ʌV ș(t ϭ ([SHULPHQWH FRQ WDPDxRV GH SDVR \ KDJD DYDQ-
&RPSDUH HVWH ~OWLPR Q~PHUR FRQ HO SHULRGR SUHGLFKR PH-
GLDQWH HO PRGHOR QR OLQHDO FXDQGR ș0 ϭ ʌ͞ 8VDQGR XQ ]DU HO WLHPSR FRPHQ]DQGR HQ t ϭ \ WHUPLQDQGR HQ t ϭ
SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD TXH VHD FDSD] GH JHQHUDU
GDWRV FRQFUHWRV \ UHDOHV DSUR[LPH OD VROXFLyQ GH 'H VXV GDWRV FRQFUHWRV REVHUYH HO WLHPSR t FXDQGR
ș(t FDPELD SRU SULPHUD YH] GH SRVLWLYD D QHJDWLYD 8VH

el valor t SDUD GHWHUPLQDU HO YDORU YHUGDGHUR GHO SHULRGR
GHO SpQGXOR QR OLQHDO &DOFXOH HO HUURU UHODWLYR SRUFHQWXDO

HQ HO SHULRGR HVWLPDGR SRU T ϭ ʌ

REPASO DEL CAPÍTULO 5 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar
comienzan en la página RES-8.

&RQWHVWH ORV SUREOHPDV DO VLQ FRQVXOWDU HO WH[WR &RPSOHWH 10. 8QD VROXFLyQ GHO 39) FXDQGR Ȝ ϭ HV y ϭ
HO HVSDFLR HQ EODQFR R FRQWHVWH YHUGDGHUR R IDOVR
SRUTXH

1. 6L XQD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SLHV XQ UHVRUWH 11. 8Q VLVWHPD UHVRUWH PDVD OLEUH QR DPRUWLJXDGR RVFLOD FRQ
XQ SHULRGR GH VHJXQGRV &XDQGR VH HOLPLQDQ OLEUDV
XQD PDVD TXH SHVD OLEUDV OR DODUJD SLHV GHO UHVRUWH HO VLVWHPD WLHQH XQ SHULRGR GH VHJXQGRV
¢&XiO HUD HO SHVR GH OD PDVD RULJLQDO HQ HO UHVRUWH"
2. (O SHULRGR GHO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH GH XQD PDVD

TXH SHVD OLEUDV XQLGD D XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV 12. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SLHV XQ UHVRUWH $O LQL-
FLR OD PDVD VH OLEHUD GHVGH XQ SXQWR SLH DEDMR GH OD SRVL-
OE͞SLH HV GH VHJXQGRV FLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFLGDG DVFHQGHQWH GH SLHV V

3. /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH XQ VLVWHPD UHVRUWH PDVD HV xЉ a) 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR

ϩ x ϭ 6L OD PDVD VH OLEHUD LQLFLDOPHQWH GHVGH XQ

SXQWR TXH HVWi PHWUR DUULED GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR b) ¢&XiOHV VRQ OD DPSOLWXG SHULRGR \ IUHFXHQFLD GHO
PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH"
FRQ XQD YHORFLGDG KDFLD DEDMR GH P V OD DPSOLWXG GH ODV

vibraciones es de PHWURV

4. /D UHVRQDQFLD SXUD QR WLHQH OXJDU HQ SUHVHQFLD GH XQD c) ¢(Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD YXHOYH DO SXQWR VLWXDGR D
IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR SLH DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR"

5. (Q SUHVHQFLD GH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR ORV GHV- d) ¢ (Q TXp LQVWDQWHV OD PDVD SDVD SRU OD SRVLFLyQ GH
SOD]DPLHQWRV GH XQD PDVD HQ XQ UHVRUWH VLHPSUH WLHQGHQ HTXLOLEULR HQ GLUHFFLyQ KDFLD DUULED" ¢(Q GLUHFFLyQ
D FHUR FXDQGR t → ϱ KDFLD DEDMR"

6. 8QD PDVD HQ XQ UHVRUWH FX\R PRYLPLHQWR HVWi FUtWLFD- e) ¢&XiO HV OD YHORFLGDG GH OD PDVD HQ t ϭ ʌ͞ V"
PHQWH DPRUWLJXDGR WLHQH SRVLELOLGDGHV GH SDVDU SRU OD
SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR GRV YHFHV f) ¢(Q TXp LQVWDQWHV OD YHORFLGDG HV FHUR"

7. (Q DPRUWLJXDPLHQWR FUtWLFR FXDOTXLHU DXPHQWR GH DPRUWL- 13. 8QD IXHU]D GH OLEUDV HVWLUD SLH XQ UHVRUWH &RQ XQ H[WUHPR
¿MR VH XQH DO RWUR H[WUHPR XQD PDVD TXH SHVD OLEUDV (O VLV-
JXDPLHQWR GDUi FRPR UHVXOWDGR XQ VLVWHPD WHPD \DFH VREUH XQD PHVD TXH LPSDUWH XQD IXHU]D GH IULFFLyQ
QXPpULFDPHQWH LJXDO D 32 YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD $O
8. 6L HO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH VH GHVFULEH PHGLDQWH LQLFLR OD PDVD VH GHVSOD]D SXOJDGDV DUULED GH OD SRVLFLyQ
GH HTXLOLEULR \ VH OLEHUD GHVGH HO UHSRVR (QFXHQWUH OD HFXD-
x (22 2)sen(2t f) HO iQJXOR IDVH ‫ ׋‬es __________ FLyQ GH PRYLPLHQWR VL HO PRYLPLHQWR WLHQH OXJDU D OR ODUJR
GH OD UHFWD KRUL]RQWDO TXH VH WRPD FRPR HO HMH x
FXDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV VRQ x ϭ Ϫ 1 \ xЈ ϭ
2

(Q ORV SUREOHPDV \ ORV HLJHQYDORUHV \ ODV IXQFLRQHV SUR- 14. UnD PDVD TXH SHVD OLEUDV DODUJD SXOJDGDV XQ UHVRUWH /D
SLDV GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD yЉ ϩ Ȝ\ ϭ PDVD VH PXHYH HQ XQ PHGLR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRU-
yЈ ϭ yЈ(ʌ ϭ 0 son Ȝn ϭ n n ϭ \ y ϭ cos nx WLJXDPLHQWR TXH HV QXPpULFDPHQWH LJXDO D ȕ veces la velo-
UHVSHFWLYDPHQWH /OHQH ORV HVSDFLRV HQ EODQFR FLGDG LQVWDQWiQHD 'HWHUPLQH ORV YDORUHV GH ȕ Ͼ SDUD ORV
TXH HO VLVWHPD UHVRUWH PDVD H[KLEH PRYLPLHQWR RVFLODWRULR
9. 8QD VROXFLyQ GHO 39) FXDQGR Ȝ ϭ HV y ϭ

S RUTXH

REPASO DEL CAPÍTULO 5 l 223

15. Un resorte con constante k ϭ VH VXVSHQGH HQ XQ OtTXLGR b) 6H SXHGHQ HVSHFL¿FDU GRV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV i H
iЈ SDUD OD (' GHO LQFLVR D 6L i ϭ i0 \ q ϭ q0
TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR QXPpULFD- ¢FXiO HV iЈ "

PHQWH LJXDO D YHFHV OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD 6L XQD 23. &RQVLGHUH HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD

masa m VH VXVSHQGH GHO UHVRUWH GHWHUPLQH ORV YDORUHV GH y y 0, y(0) y(2 ), y (0) y (2 ).

m SDUD TXH HO PRYLPLHQWR OLEUH SRVWHULRU VHD QR RVFLODWR- 'HPXHVWUH TXH H[FHSWR SDUD HO FDVR Ȝ ϭ KD\ GRV IXQ-
FLRQHV SURSLDV LQGHSHQGLHQWHV TXH FRUUHVSRQGHQ D FDGD
ULR YDORU SURSLR

16. (O PRYLPLHQWR YHUWLFDO GH XQD PDVD VXMHWD D XQ UHVRUWH VH 24. 8QD FXHQWD HVWi UHVWULQJLGD D GHVOL]DUVH D OR ODUJR GH
XQD YDULOOD VLQ IULFFLyQ GH ORQJLWXG L /D YDULOOD JLUD
GHVFULEH PHGLDQWH HO 39, 1 x x x 0, x ϭ HQ XQ SODQR YHUWLFDO FRQ YHORFLGDG DQJXODU FRQVWDQWH Ȧ
4 UHVSHFWR D XQ SLYRWH P ¿MR HQ HO SXQWR PHGLR GH OD YD-
ULOOD SHUR HO GLVHxR GHO SLYRWH SHUPLWH TXH OD FXHQWD VH
xЈ ϭ 'HWHUPLQH HO GHVSOD]DPLHQWR YHUWLFDO Pi[LPR PXHYD D OR ODUJR GH WRGD OD YDULOOD 6HD r(t OD SRVLFLyQ
GH OD FXHQWD UHVSHFWR D HVWH VLVWHPD GH FRRUGHQDGDV JL-
GH OD PDVD UDWRULR VHJ~Q VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD 5 &RQ HO ¿Q GH
DSOLFDU OD VHJXQGD OH\ GH 1HZWRQ GHO PRYLPLHQWR D HVWH
17. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV HVWLUD SXOJDGDV XQ UH- PDUFR GH UHIHUHQFLD URWDWRULR HV QHFHVDULR XVDU HO KHFKR
VRUWH 6H DSOLFD DO VLVWHPD XQD IXHU]D SHULyGLFD LJXDO D GH TXH OD IXHU]D QHWD TXH DFW~D HQ OD FXHQWD HV OD VXPD
f(t ϭ cos ȖW ϩ sen ȖW FRPHQ]DQGR HQ t ϭ (Q DXVHQFLD GH ODV IXHU]DV UHDOHV HQ HVWH FDVR OD IXHU]D GHELGD D
GH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR ¢SDUD TXp YDORU GH Ȗ el OD JUDYHGDG \ ODV IXHU]DV LQHUFLDOHV FRULROLV WUDQVYHU-
VLVWHPD HVWi HQ XQ HVWDGR GH UHVRQDQFLD SXUD" VDO \ FHQWUtIXJD /DV PDWHPiWLFDV GHO FDVR VRQ XQ SRFR
FRPSOLFDGDV DVt TXH VyOR VH GD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO
18. (QFXHQWUH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU SDUD xЉ ϩ Ȝ[Ј ϩ Ȧ x UHVXOWDQWH SDUD r:
ϭ A GRQGH A HV XQD IXHU]D FRQVWDQWH

19. 8QD PDVD TXH SHVD OLEUDV VH VXVSHQGH GH XQ UHVRUWH FX\D
FRQVWDQWH HV OE SLH 7RGR HO VLVWHPD VH VXPHUJH HQ XQ
OtTXLGR TXH RIUHFH XQD IXHU]D GH DPRUWLJXDPLHQWR QXPp-
ULFDPHQWH LJXDO D OD YHORFLGDG LQVWDQWiQHD &RPHQ]DQGR
en t ϭ VH DSOLFD DO VLVWHPD XQD IXHU]D H[WHUQD LJXDO f(t
ϭ eϪt 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYLPLHQWR VL OD PDVD
VH OLEHUD DO LQLFLR GHVGH HO UHSRVR HQ XQ SXQWR TXH HVWi
SLHV DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR

20. a) ' RV UHVRUWHV VH XQHQ HQ VHULH FRPR VH PXHVWUD HQ OD d2r m 2r mg sen t.
m dt2
¿JXUD 5 6L VH GHVSUHFLD OD PDVD GH FDGD UHVRUWH

PXHVWUH TXH OD FRQVWDQWH GH UHVRUWH HIHFWLYD k del sis- a) 5HVXHOYD OD (' DQWHULRU VXMHWD D ODV FRQGLFLRQHV LQL-
ciales r ϭ r0 rЈ ϭ v0
WHPD VH GH¿QH PHGLDQWH ͞k ϭ ͞k ϩ ͞k

b) 8 QD PDVD TXH SHVD W OLEUDV SURGXFH XQ DODUJDPLHQWR

de 1 SLH HQ XQ UHVRUWH \ XQR GH 1 SLH HQ RWUR UHVRUWH 6H
2 4
XQHQ ORV GRV UHVRUWHV \ GHVSXpV VH ¿MD OD PDVD DO UHVRU

WH GREOH FRPR VH LOXVWUD HQ OD ¿JXUD 5 6XSRQJD TXH

HO PRYLPLHQWR HV OLEUH \ TXH QR KD\ IXHU]D GH DPRU k1
k2
WLJXDPLHQWR SUHVHQWH 'HWHUPLQH OD HFXDFLyQ GH PRYL-
FIGURA 5.R.1 5HVRUWHV XQLGRV GHO SUREOHPD
PLHQWR VL OD PDVD VH OLEHUD DO LQLFLR HQ XQ SXQWR VLWXDGR
cuenta
SLH DEDMR GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR FRQ XQD YHORFL-
ωt
dad de descenso de 2 SLH V P
3

c) 'HPXHVWUH TXH OD YHORFLGDG Pi[LPD GH OD PDVD HV

2 23g 1.
3

21. 8Q FLUFXLWR HQ VHULH FRQWLHQH XQD LQGXFWDQFLD GH L ϭ

K XQD FDSDFLWDQFLD GH C ϭ Ϫ4 I \ XQD IXHU]D HOHFWUR-

PRWUL] GH E(t ϭ VHQ t 9 $O LQLFLR OD FDUJD q \ OD

corriente i VRQ FHUR

a) 'HWHUPLQH OD FDUJD q(t r (t)
b) 'HWHUPLQH OD FRUULHQWH i(t

c) &DOFXOH ORV WLHPSRV SDUD ORV TXH OD FDUJD HQ HO FDSD-
FLWRU HV FHUR

22. a) ' HPXHVWUH TXH OD FRUULHQWH i(t HQ XQ FLUFXLWR HQ VHULH

d 2i di 1
LRC VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ L dt2 R i E (t)
dt C
FIGURA 5.R.2 9DULOOD URWDQGR GHO SUREOHPD
donde EЈ(t GHQRWD OD GHULYDGD GH E(t

224 l CAPÍTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

b) ' HWHUPLQH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV SDUD ODV FXDOHV OD constante fk ϭ ȝPJ GRQGH mg HV HO SHVR GH OD PDVD \
FXHQWD H[KLEH PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH ¢&XiO HV DFW~D HQ GLUHFFLyQ RSXHVWD GHO PRYLPLHQWR HQWRQFHV VH
OD ORQJLWXG PtQLPD L GH OD YDULOOD SDUD OD FXDO SXHGH pVWD conoce como fricción de Coulomb 0HGLDQWH OD fun-
DFRPRGDU HO PRYLPLHQWR DUPyQLFR VLPSOH GH OD FXHQWD"
ción signo
c) Para las condiciones iniciales distintas de las obtenidas en
HO LQFLVR E OD FXHQWD HQ DOJ~Q PRPHQWR GHEH VDOLU GH OD sgn(x ) 1, x 0 (movimiento a la izquierda)
YDULOOD ([SOLTXH XVDQGR OD VROXFLyQ r(t GHO LQFLVR D 1, x 0 (movimiento a la derecha)

d) 6 XSRQJD TXH Ȧ ϭ UDG͞V 8VH XQD DSOLFDFLyQ JUD¿- GHWHUPLQH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH¿QLGD HQ SDUWHV SDUD
FDGRUD SDUD WUD]DU OD VROXFLyQ r(t SDUD ODV FRQGLFLR- HO GHVSOD]DPLHQWR R x(t GH OD PDVD GHVOL]DQWH DPRUWL-
nes iniciales r ϭ rЈ ϭ v0 GRQGH v0 HV JXDGD
\
28. 3RU VLPSOL¿FDU VXSRQJD TXH HQ HO SUREOHPD m ϭ
e) 6 XSRQJD TXH OD ORQJLWXG GH OD YDULOOD HV L ϭ SLHV k ϭ \ fk ϭ
3DUD FDGD SDU GH FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV GHO LQFLVR G a) ( QFXHQWUH HO GHVSOD]DPLHQWR x(t GH OD PDVD VL pVWD VH
XVH XQD DSOLFDFLyQ SDUD HQFRQWUDU UDtFHV SDUD FDOFXODU OLEHUD D SDUWLU GHO UHSRVR GHVGH XQ SXQWR XQLGDGHV D
HO WLHPSR WRWDO TXH OD FXHQWD SHUPDQHFH HQ OD YDULOOD OD GHUHFKD GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HV GHFLU FXDQGR
las condiciones iniciales son x ϭ x´ ϭ
25. 6XSRQJD TXH XQD PDVD m TXH SHUPDQHFH VREUH XQD VXSHU- &XDQGR VH OLEHUD LQWXLWLYDPHQWH HO PRYLPLHQWR GH OD
¿FLH SODQD VHFD \ VLQ IULFFLyQ HVWi XQLGD DO H[WUHPR OLEUH GH PDVD VHUi KDFLD OD L]TXLHUGD 'p XQ LQWHUYDOR GH WLHPSR
XQ UHVRUWH FX\D FRQVWDQWH HV k (Q OD ¿JXUD 5 D OD PDVD > t @ VREUH HO FXDO HVWD VROXFLyQ HVWi GH¿QLGD ¢'yQGH
VH PXHVWUD HQ OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR x ϭ HV GHFLU HO HVWi OD PDVD DO WLHPSR t "
UHVRUWH QR HVWi QL HVWLUDGR QL FRPSULPLGR &RPR VH LOXVWUD
HQ OD ¿JXUD 5 E HO GHVSOD]DPLHQWR x(t GH OD PDVD D b) Para t Ͼ t VXSRQJD TXH HO PRYLPLHQWR HV DKRUD KDFLD
OD GHUHFKD GH OD SRVLFLyQ GH HTXLOLEULR HV SRVLWLYR \ QHJD- OD GHUHFKD 8VDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HQ t HQ-
WLYR D OD L]TXLHUGD 2EWHQJD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SDUD FXHQWUH x(t \ Gp XQ LQWHUYDOR GH WLHPSR >t t ] sobre el
HO PRYLPLHQWR GHVOL]DQWH KRUL]RQWDO OLEUH GH OD PDVD FXDO HVWD VROXFLyQ HVWi GH¿QLGD ¢'yQGH HVWi OD PDVD
'HVFULED OD GLIHUHQFLD HQWUH OD REWHQFLyQ GH HVWD (' \ HO DO WLHPSR t "
DQiOLVLV TXH GD OXJDU D OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ
c) Para t Ͼ t VXSRQJD TXH HO PRYLPLHQWR HV DKRUD KDFLD
26. 6XSRQJD TXH OD PDVD P VREUH OD VXSHU¿FLH SODQD VHFD OD L]TXLHUGD 8VDQGR ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HQ
\ VLQ IULFFLyQ GHO SUREOHPD HVWi XQLGD D GRV UHVRUWHV t HQFXHQWUH x(t \ Gp XQ LQWHUYDOR GH WLHPSR >t t ]
FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD 5 6L ODV FRQVWDQWHV GH VREUH HO FXDO HVWD VROXFLyQ HVWi GH¿QLGD ¢'yQGH HVWi
resorte son k \ k GHWHUPLQH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OD PDVD DO WLHPSR t "
SDUD HO GHVSOD]DPLHQWR x(t GH ODV PDVDV TXH VH GHVOL]DQ
OLEUHPHQWH d) Usando las condiciones iniciales en t GHPXHVWUH TXH
HO PRGHOR SUHGLFH TXH QR KD\ PiV PRYLPLHQWR SDUD
27. 6XSRQJD TXH OD PDVD P HQ HO VLVWHPD PDVD UHVRUWH HQ HO t Ͼ t
SUREOHPD VH GHVOL]D VREUH XQD VXSHU¿FLH VHFD FX\R
FRH¿FLHQWH GH IULFFLyQ FLQpWLFR HV ȝ Ͼ 6L OD IXHU]D e) 7 UDFH OD JUi¿FD GHO GHVSOD]DPLHQWR x(t HQ HO LQWHU-
UHWDUGDGRUD TXH OD IULFFLyQ FLQpWLFD WLHQH XQD PDJQLWXG YDOR > t @

apoyo
rígido

m

superficie sin fricción: apoyo apoyo
rígido
x=0 rígido
a) equilibrio k1 k2

m

m FIGURA 5.R.4 6LVWHPD GH UHVRUWHV GREOHV GHO SUREOHPD

x(t) < 0 x(t) > 0
b) movimiento

FIGURA 5.R.3 6LVWHPD GHVOL]DQWH UHVRUWH PDVD GHO
SUREOHPD

6 6.1 SOLUCIÓNS ABOUT ORDINARY POINTS l 225

SOLUCIONES EN SERIES
DE ECUACIONES LINEALES

6.1 Repaso de series de potencias
6.2 Soluciones respecto a puntos ordinarios
6.3 Soluciones en torno a puntos singulares
6.4 Funciones especiales
REPASO DEL CAPÍTULO 6

Hasta ahora se han resuelto principalmente ecuaciones diferenciales de orden dos
R VXSHULRU FXDQGR OD HFXDFLyQ WLHQH FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV /D ~QLFD H[FHSFLyQ
IXH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\ (XOHU TXH VH HVWXGLy HQ OD VHFFLyQ (Q DSOLFDFLRQHV
ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV VRQ WDQ
LPSRUWDQWHV R TXL]i PiV TXH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRQ FRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHV &RPR VH LQGLFy HQ OD VHFFLyQ DXQ XQD HFXDFLyQ VLPSOH OLQHDO
GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV WDOHV FRPR yЉ ϩ xy ϭ 0 no tiene
VROXFLRQHV TXH VHDQ IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV 3HUR SRGHPRV HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV
linealmente independientes de yЉ ϩ xy ϭ YHUHPRV HQ ODV VHFFLRQHV \ TXH
ODV VROXFLRQHV GH HVWD HFXDFLyQ HVWiQ GH¿QLGDV SRU VHULHV LQ¿QLWDV

(Q HVWH FDStWXOR HVWXGLDUHPRV GRV PpWRGRV GH VHULHV LQ¿QLWDV SDUD HQFRQWUDU
soluciones de ED lineales homogéneas de segundo orden a (x)yЉ ϩ a1(x)yЈ ϩ
a0(x)y ϭ GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV a (x a1(x) y a0(x VRQ OD PD\RUtD GH ODV
YHFHV VLPSOHV SROLQRPLRV

225

226 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS

REPASO DE MATERIAL

l 6HULH LQ¿QLWD GH FRQVWDQWHV VHULH p VHULH DUPyQLFD VHULH DUPyQLFD DOWHUQD VHULH JHRPpWULFD
SUXHEDV GH FRQYHUJHQFLD HVSHFLDOPHQWH SUXHED GHO FRFLHQWH

l 6HULH GH SRWHQFLDV VHULH GH 7D\ORU VHULH GH 0DFODXULQ YHD FXDOTXLHU OLEUR GH FiOFXOR

INTRODUCCIÓN (Q OD VHFFLyQ YLPRV TXH UHVROYHU XQD (' OLQHDO KRPRJpQHD FRQ FRH¿FLHQWHV
FRQVWDQWHV HUD HQ HVHQFLD XQ SUREOHPD GH iOJHEUD (QFRQWUDQGR ODV UDtFHV GH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU HV SR-
VLEOH HVFULELU XQD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' FRPR XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV e␣x
xke␣x xke␣x cos ȕ[ y xke␣x sen ȕ[ 3HUR FRPR VH LQGLFy HQ OD LQWURGXFFLyQ GH OD VHFFLyQ OD PD\RUtD GH
ODV (' OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV QR VH UHVXHOYHQ HQ WpUPLQRV GH IXQFLRQHV HOH-
PHQWDOHV 8QD HVWUDWHJLD XVXDO SDUD HFXDFLRQHV GH HVWD FODVH HV VXSRQHU XQD VROXFLyQ HQ OD IRUPD GH VHULHV
LQ¿QLWDV \ SURFHGHU GH PDQHUD VLPLODU DO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV VHFFLyQ (Q OD VHF-
FLyQ VH FRQVLGHUDQ (' OLQHDOHV GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV TXH WLHQHQ VROXFLRQHV GH
OD IRUPD GH VHULHV GH SRWHQFLDV \ SRU HVR HV DGHFXDGR FRPHQ]DU HVWH FDStWXOR FRQ XQ UHSDVR GH HVH WHPD

SERIE DE POTENCIAS 5HFXHUGH GH VX FXUVR GH FiOFXOR TXH XQD serie de poten-
cias en x Ϫ a HV XQD VHULH LQ¿QLWD GH OD IRUPD

El índice de la sumatoria no cn(x a)n c0 c1(x a) c2(x a)2 .
QHFHVLWD FRPHQ]DU HQ n = 0
n0

Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a 3RU HMHPSOR OD VHULH

de potencias n 0 (x 1)n HVWi FHQWUDGD HQ a ϭ Ϫ (Q HVWD VHFFLyQ WUDWDPRV SULQFL-
palmente con las series de potencias en x HQ RWUDV SDODEUDV VHULHV GH SRWHQFLDV FRPR

n 1 2n 1xn x 2x2 4x3 TXH HVWiQ FHQWUDGDV HQ a ϭ

HECHOS IMPORTANTES /D VLJXLHQWH OLVWD UHVXPH DOJXQRV KHFKRV LPSRUWDQWHV
acerca de las series de potencias n 0 cn(x a)n

• Convergencia 8QD VHULH GH SRWHQFLDV HV convergente HQ XQ YDORU

HVSHFL¿FDGR GH x si su sucesión de sumas parciales {SN(x ` FRQYHUJH HV
GHFLU VL HO lím a)n H[LVWH 6L HO OtPLWH QR H[LVWH
N: SN (x) lím N 0 cn ( x
n
N:
en x HQWRQFHV VH GLFH TXH OD VHULH HV divergente

• Intervalo de convergencia 7RGD VHULH GH SRWHQFLDV WLHQH XQ intervalo

de convergencia (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV HO FRQMXQWR GH todos los

Q~PHURV UHDOHV x SDUD ORV TXH FRQYHUJH OD VHULH (O FHQWUR GH LQWHUYDOR GH

FRQYHUJHQFLD HV HO FHQWUR a GH OD VHULH

• Radio de convergencia 7RGD VHULH GH SRWHQFLDV WLHQH XQ radio de convergencia

R 6L R Ͼ HQWRQFHV OD VHULH GH SRWHQFLDV n 0 cn(x a)n FRQYHUJH SDUD ͉x
– a͉ Ͻ R \ GLYHUJH SDUD ͉x – a͉ Ͼ R 6L OD VHULH FRQYHUJH VyOR HQ VX FHQWUR

a HQWRQFHV R ϭ 6L OD VHULH FRQYHUJH SDUD WRGD x HQWRQFHV VH HVFULEH R ϭ

ϱ 5HFXHUGH TXH OD GHVLJXDOGDG GH YDORU DEVROXWR ͉x – a͉ Ͻ R HV HTXLYDOHQWH D

OD GHVLJXDOGDG VLPXOWiQHD a Ϫ R Ͻ x Ͻ a ϩ R 8QD VHULH GH SRWHQFLDV SRGUtD

FRQYHUJHU R QR HQ ORV SXQWRV H[WUHPRV a Ϫ R y a ϩ R GH HVWH LQWHUYDOR

• Convergencia absoluta 'HQWUR GH VX LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD XQD VHULH

de potencias converge absolutamente (Q RWUDV SDODEUDV VL x HV XQ Q~PHUR

convergencia HQ HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD \ QR HV XQ H[WUHPR GHO LQWHUYDOR HQWRQFHV OD
divergencia absoluta divergencia
VHULH GH YDORUHV DEVROXWRV n 0 cn(x a)n FRQYHUJH 9pDVH OD ¿JXUD
x • Prueba de la razón /D FRQYHUJHQFLD GH XQD VHULH GH SRWHQFLDV VXHOH GHWHUPL

a−R a a+R narse mediante la prueba de la razón 6XSRQJD TXH cn 0 para toda n en
n 0 cn(x a)n y que
la serie podría
converger o divergir lím cn 1(x a)n 1 x a lím cn 1 L.
en los puntos extremos n: cn(x a)n n: cn

FIGURA 6.1.1 &RQYHUJHQFLD DEVROXWD Si L Ͻ OD VHULH FRQYHUJH DEVROXWDPHQWH VL L Ͼ OD VHULH GLYHUJH \ VL
GHQWUR GHO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD \
GLYHUJHQFLD IXHUD GH HVWH LQWHUYDOR L ϭ HO FULWHULR QR HV FRQFOX\HQWH /D SUXHED GHO FRFLHQWH QXQFD HV

FRQFOX\HQWH HQ XQ SXQWR H[WUHPR a Ϯ R

6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS l 227

EJEMPLO 1 Suma de dos series de potencias

'HWHUPLQH HO LQWHUYDOR \ UDGLR GH FRQYHUJHQFLD SDUD n 1(x 3)n> 2nn

SOLUCIÓN /D SUXHED GH OD UD]yQ DUURMD

(x 3)n 1 x 3 lím n11 x 3.
lím 2n 1(n 1)
no (x 3)n no 2n 2

2nn

OD VHULH FRQYHUJH DEVROXWDPHQWH SDUD 1 x 3 1o x 3 2 o 1 x 5 (VWD
2

~OWLPD GHVLJXDOGDG GH¿QH HO LQWHUYDOR abierto GH FRQYHUJHQFLD /D VHULH GLYHUJH SDUD

x 3 2 HV GHFLU SDUD x Ͼ 5 o x Ͻ (Q HO H[WUHPR L]TXLHUGR x ϭ GHO LQWHUYDOR

DELHUWR GH FRQYHUJHQFLD OD VHULH GH FRQVWDQWHV n 1 (( 1)n͞n) HV FRQYHUJHQWH SRU OD

SUXHED GH VHULHV DOWHUQDQWHV (Q HO H[WUHPR GHUHFKR x ϭ OD VHULH n 1 (1> n) es la serie

DUPyQLFD GLYHUJHQWH (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH HV > y el radio de

FRQYHUJHQFLD HV R ϭ

• 8QD VHULH GH SRWHQFLDV GH¿QH XQD IXQFLyQ 8QD VHULH GH SRWHQFLDV GH¿QH XQD

función f (x) n 0 cn(x a)n FX\R GRPLQLR HV HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH
OD VHULH 6L HO UDGLR GH FRQYHUJHQFLD HV R Ͼ 0 o R ϭ ’ HQWRQFHV f HV FRQWLQXD GHULYDEOH

H LQWHJUDEOH HQ HO LQWHUYDOR a Ϫ R a ϩ R) o (Ϫ’ ’ $GHPiV fЈ(x) y f (x)dx

VH HQFXHQWUDQ GHULYDQGR H LQWHJUDQGR WpUPLQR D WpUPLQR /D FRQYHUJHQFLD HQ XQ

H[WUHPR VH SRGUtD SHUGHU SRU GHULYDFLyQ R JDQDU SRU LQWHJUDFLyQ 6L y n 0 cnxn

ϭ c0 ϩ c1x ϩ c x ϩ c x ϩ Â Â Â HV XQD VHULH GH SRWHQFLDV HQ x HQWRQFHV ODV SULPHUDV
GRV GHULYDGDV VRQ y n 0 nxn 1 y y n 0 n(n 1)xn 2. 2EVHUYH TXH HO

SULPHU WpUPLQR HQ OD SULPHUD GHULYDGD \ ORV GRV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VHJXQGD

GHULYDGD VRQ FHUR 6H RPLWHQ HVWRV WpUPLQRV FHUR \ VH HVFULEH

y cn n xn 1 ϭ c1 ϩ c x ϩ c x ϩ 4c4x ϩ Â Â Â

n 1

y cn n ( n 1)xn 2 ϭ c ϩ c x ϩ c4x ϩ Â Â Â (1)

n2

$VHJ~UHVH GH HQWHQGHU ORV GRV UHVXOWDGRV GDGRV HQ HVSHFLDOPHQWH REVHUYH
GyQGH FRPLHQ]D HO tQGLFH GH OD VXPDWRULD HQ FDGD VHULH (VWRV UHVXOWDGRV VRQ
LPSRUWDQWHV \ VH XVDUiQ HQ WRGRV ORV HMHPSORV GH OD VLJXLHQWH VHFFLyQ

• Propiedad de identidad Si n 0 cn(x a)n 0, R 0 SDUD ORV Q~PHURV
x HQ HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HQWRQFHV cn ϭ 0 para toda n

• Analítica en un punto 8QD IXQFLyQ f es analítica en un punto a si se puede
representar mediante una serie de potencias en x Ϫ a FRQ XQ UDGLR SRVLWLYR R
LQ¿QLWR GH FRQYHUJHQFLD (Q FiOFXOR VH YH TXH ODV IXQFLRQHV FRPR ex FRV x
sen x ex ln(1 Ϫ x HWFpWHUD VH SXHGHQ UHSUHVHQWDU PHGLDQWH VHULHV GH 7D\ORU

f (n)(a) a)n f (a) f (a) a) f (a) a)2 ...
(x (x (x
n 0 n! 1! 1!

R XQD VHULH GH 0DFODXULQ

f (n)(0)xn f(0) f (0) f (0)x2 . . ..
n 0 n! x
1! 1!

3RGUtD UHFRUGDU DOJXQDV GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV HQ VHULH GH 0DFODXULQ FX\RV
UHVXOWDGRV VH SXHGHQ XWLOL]DU SDUD REWHQHU UHSUHVHQWDFLRQHV GH VHULHV GH
potencias de otras funciones:

228 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

Series de Maclaurin Intervalo
de Convergencia

ex 1 x x2 x3 . . . 1 xn ( ,)
1! 2! 3! n 0 n! ( ,)
( ,)
cos x 1 x2 x4 x6 . . . ( 1)nx2n [ 1, 1] (2)
2! 4! 6! n 0 (2n)! ( ,)
( ,)
sen x x x3 x5 x7 . . . ( 1)n x2n 1 ( 1, 1]
3! 5! 7! n 0 (2n 1)! ( 1, 1)

tan 1 x x x3 x5 x7 . . . ( 1)n x2n 1
357 n 0 2n 1

cosh x 1 x2 x4 x6 . . . 1 x2n
2! 4! 6! n 0 (2n)!

senh x x x3 x5 x7 . . . 1 x2n 1
3! 5! 7! n 0 (2n 1)!

ln(1 x) x x2 x3 x4 . . . ( 1)n 1

234 n1 n xn

1 1 x x2 x3 . . . xn
1x
n0

3RU HMHPSOR VL GHVHDPRV HQFRQWUDU OD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH 0DFODXULQ
GH GLJDPRV ex2 QHFHVLWDPRV VXVWLWXLU x HQ OD VHULH GH 0DFODXULQ GH ex:

ex2 1 x2 x4 x6 . . . 1 x2n.
1! 2! 3! n 0 n!

'H PDQHUD VLPLODU SDUD REWHQHU XQD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH 7D\ORU GH OQ x
centrada en a ϭ VXVWLWX\D x por x Ϫ HQ OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD OQ ϩ x)

ln x ln(1 (x 1)) (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 . . . ( 1)n 1 1)n.
(x
2 34 n1 n

3XHGH WDPELpQ FRPSUREDU TXH HO (O LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD SDUD OD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV GH ex2
LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD HV @ es el mismo que para ex HV GHFLU Ϫ’ ’ 3HUR HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD
XVDQGR OD SUXHED GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH GH 7D\ORU GH OQ x HV DKRUD @ HVWH LQWHUYDOR HV Ϫ @ GHVSOD]DGR
XQD XQLGDG D OD GHUHFKD

• Aritmética de series de potencias /DV VHULHV GH SRWHQFLDV VH FRPELQDQ
PHGLDQWH RSHUDFLRQHV GH VXPD PXOWLSOLFDFLyQ \ GLYLVLyQ /RV SURFHGLPLHQWRV
SDUD ODV VHULHV GH SRWHQFLDV VRQ VLPLODUHV D ORV TXH VH XVDQ SDUD VXPDU PXOWLSOLFDU
\ GLYLGLU GRV SROLQRPLRV HV GHFLU VH VXPDQ ORV FRH¿FLHQWHV GH SRWHQFLDV LJXDOHV
de x VH XVD OD OH\ GLVWULEXWLYD \ VH UH~QHQ WpUPLQRV VHPHMDQWHV \ VH UHDOL]D OD
GLYLVLyQ ODUJD

EJEMPLO 2 Multiplicación de series de potencias

Determine una representación en serie de potencias de ex sen x
SOLUCIÓN 8WLOL]DPRV XQD VHULH GH SRWHQFLDV SDUD ex y sen x

6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS l 229

ex sen x x2 x3 x4 x x3 x5 x7
1x 6 24
6 120 5040
2 1 1 x3
(1)x (1)x2 62 1 1 x4 11 1 x5
x x2 x3 x5 66 120 12 24

3 .
30

3XHVWR TXH ODV VHULHV GH SRWHQFLDV SDUD ex y sen x FRQYHUJHQ SDUD (Ϫ’ ’ OD VHULH GH
SURGXFWRV FRQYHUJH HQ HO PLVPR LQWHUYDOR /RV SUREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ PXOWLSOL-
FDFLyQ R GLYLVLyQ GH VHULHV GH SRWHQFLDV VH UHVXHOYHQ PHMRU XVDQGR XQ VLVWHPD DOJH-
EUDLFR FRPSXWDFLRQDO

CORRIMIENTO DEL ÍNDICE DE LA SUMA 3DUD HO UHVWR GH HVWD VHFFLyQ DVt
FRPR HVWH FDStWXOR HV LPSRUWDQWH TXH VH DFRVWXPEUH D VLPSOL¿FDU OD VXPD GH GRV R
PiV VHULHV GH SRWHQFLDV FDGD XQD H[SUHVDGD HQ QRWDFLyQ GH VXPD VLJPD HQ XQD H[-
presión con una sola . &RPR VH PXHVWUD HQ HO VLJXLHQWH HMHPSOR OD FRPELQDFLyQ GH
GRV R PiV VXPDV HQ XQD VROD VXHOH UHTXHULU TXH VH YXHOYD D LQGL]DU OD VHULH HV GHFLU
TXH VH UHDOLFH XQ FDPELR HQ HO tQGLFH GH OD VXPD

EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencias

(VFULED n 2 n(n 1)cnxn 2 n 0 cnxn 1 FRPR XQD VROD VHULH GH SRWHQFLDV

SOLUCIÓN 3DUD VXPDU ODV GRV VHULHV HV QHFHVDULR TXH DPERV tQGLFHV GH ODV VXPDV
FRPLHQFHQ FRQ HO PLVPR Q~PHUR \ ODV SRWHQFLDV GH x en cada caso estén “en fase”; es
GHFLU VL XQD VHULH FRPLHQ]D FRQ XQ P~OWLSOR GH SRU HMHPSOR x D OD SULPHUD SRWHQFLD
HQWRQFHV VH TXLHUH TXH OD RWUD VHULH FRPLHQFH FRQ OD PLVPD SRWHQFLD 2EVHUYH TXH HQ
HO SUREOHPD OD SULPHUD VHULH HPSLH]D FRQ x0 PLHQWUDV TXH OD VHJXQGD FRPLHQ]D FRQ x1
6L VH HVFULEH HO SULPHU WpUPLQR GH OD SULPHUD VHULH IXHUD GH OD QRWDFLyQ GH VXPD

serie comienza serie comienza

con x con x

para n ϭ 3 para n ϭ 0

ϱ ϱ
͚ ͚ ͚ ͚ϱ ϱ
n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 ϩ cnxnϩ1 ϭ 2 и 1c2x0 ϩ n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 ϩ cnxnϩ1,
nϭ2 nϭ0 nϭ3 nϭ0

YHPRV TXH DPEDV VHULHV GHO ODGR GHUHFKR HPSLH]DQ FRQ OD PLVPD SRWHQFLD GH x HQ
particular x1 $KRUD SDUD REWHQHU HO PLVPR tQGLFH GH OD VXPD VH WRPDQ FRPR JXtD
ORV H[SRQHQWHV GH x VH HVWDEOHFH k ϭ n Ϫ HQ OD SULPHUD VHULH \ DO PLVPR WLHPSR
k ϭ n ϩ HQ OD VHJXQGD VHULH 3DUD n ϭ HQ k ϭ n Ϫ REWHQHPRV k ϭ \ SDUD n ϭ 0
en k ϭ n ϩ 1 REWHQHPRV k ϭ \ DVt HO ODGR GHUHFKR GH OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

igual

ϱϱ (4)

͚ ͚2c2 ϩ (k ϩ 2)(k ϩ 1)ckϩ2xk ϩ ckϪ1xk.
kϭ1 kϭ1
igual

5HFXHUGH TXH HO tQGLFH GH OD VXPD HV XQD YDULDEOH ³PXGD´ HO KHFKR GH TXH k ϭ n Ϫ
en un caso y k ϭ n ϩ HQ HO RWUR QR GHEH FDXVDU FRQIXVLyQ VL VH FRQVLGHUD TXH OR
importante es el valor GHO tQGLFH GH VXPD (Q DPERV FDVRV k WRPD ORV PLVPRV YDORUHV
VXFHVLYRV k ϭ FXDQGR n WRPD ORV YDORUHV n ϭ SDUD k ϭ n Ϫ 1 y n
ϭ SDUD k ϭ n ϩ $KRUD HV SRVLEOH VXPDU ODV VHULHV GH WpUPLQR D WpUPLQR

n(n 1)cnxn 2 cnxn 1 2c2 [(k 2)(k 1)ck 2 ck 1]xk. (5)

n2 n0 k1

6L QR HVWi FRQYHQFLGR GHO UHVXOWDGR HQ HQWRQFHV HVFULED DOJXQRV WpUPLQRV GH
DPERV ODGRV GH OD LJXDOGDG

230 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

EJEMPLO 4 Una solución en serie de potencias

Determine una solución en serie de potencias de y cnxn de la ecuación diferen-

cial y´ ϩ y ϭ n0

SOLUCIÓN 'HVFRPSRQHPRV OD VROXFLyQ HQ XQD VHFXHQFLD GH SDVRV
i 3ULPHUR FDOFXODPRV OD GHULYDGD GH OD VROXFLyQ VXSXHVWD

y cnnxn 1 vea la primera línea de (1)

n1

ii) Después sustituya y y y´ en la ED dada:

yy cnnxn 1 cnxn.

n1 n0

iii $KRUD FRUUD ORV tQGLFHV GH OD VXPDWRULD &XDQGR ORV tQGLFHV GH OD VXPDWRULD WLHQHQ

el mismo punto de inicio y las potencias de x FRQFXHUGDQ VH FRPELQDQ ODV VXPDWRULDV

yy cnnxn 1 cnxn

n 1
n 0


k n1 kn

ck 1(k 1)xk ckxk

k0 k0

[ck 1(k 1) ck]xk.

k0

iv 3XHVWR TXH TXHUHPRV TXH VH VDWLVIDJD y´ϩ y ϭ 0 para toda x HQ DOJ~Q LQWHUYDOR

[ck 1(k 1) ck]xk 0

k0

HV XQD LGHQWLGDG \ DVt VH GHEH GH WHQHU TXH ckϩ1(k ϩ 1) ϩ ck ϭ R
1

ck 1 k 1 ck, k 0, 1, 2, . . . .

v) haciendo que k WRPH YDORUHV VXFHVLYRV HQWHURV FRPHQ]DQGR FRQ k ϭ HQFRQWUDPRV

1
c1 1c0 c0

11 1
c2 2c1 ( c0) 2c0
2

1 11 1
c3 3c2 3 2c0 3 2c0

1 11 1
c4 4c2 4 3 2c0 4 3 2c0

\ DVt VXFHVLYDPHQWH GRQGH c0 HV DUELWUDULR
vi 8VDQGR OD VROXFLyQ RULJLQDO VXSXHVWD \ ORV UHVXOWDGRV GHO LQFLVR v REWHQHPRV XQD
solución formal en serie de potencias

y c0 c1x c2 x2 c3x3 c4x4 . . .

c0 c0 x 1 x2 c03 1 2x3 c0 4 1 x4 ...
2c0 3 2

c0 1 x 1x2 1 x3 1 x4 ...
2 32 432

'HEHUtD VHU EDVWDQWH REYLR TXH HO SDWUyQ GH ORV FRH¿FLHQWHV HQ HO LQFLVR v) es ck ϭ
(Ϫ1)k͞k k ϭ « SRU OR TXH HQ QRWDFLyQ GH VXPDWRULD SRGHPRV HVFULELU
c
0 1)kxk
k!
6L VH GHVHD SRGUtDPRV UHJUHVDU D n y c0 (
como el índice de la sumatoria
k 0

6.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS l 231

'H OD SULPHUD UHSUHVHQWDFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV OD VROXFLyQ HQ VH UHFRQRFH
como y ϭ c0eϪx. 6L KXELHUD XVDGR HO PpWRGR GH OD VHFFLyQ KDEUtD HQFRQWUDGR TXH y
ϭ ceϪx es una solución de y´ ϩ y ϭ HQ HO LQWHUYDOR Ϫ’ ’ (VWH LQWHUYDOR WDPELpQ
HV HO LQWHUYDOR GH FRQYHUJHQFLD GH OD VHULH GH SRWHQFLDV HQ

EJERCICIOS 6.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9.

(Q ORV SUREOHPDV D HQFXHQWUH XQ LQWHUYDOR \ XQ UDGLR GH (Q ORV SUREOHPDV GHO DO SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR
FRQYHUJHQFLD SDUD OD VHULH GH SRWHQFLDV GDGD SDUD UHVFULELU OD H[SUHVLyQ GDGD XVDQGR XQD VROD VHULH GH SR-
tencias cuyo término general implica a xk
1. ( 1)nxn 1
n1 n 2. 1n2 xn 25. ncn xn 1 cn xn

n

3. 2n xn 4. 5nxn n1 n0
n 1n n 0 n!
26. ncnxn 1 3 cn xn 2

( 1)k n1 n0
5. k 1 10k (x
5)k 6. k!(x 1)k 27. 2ncn xn 1 6cn xn 1

k0

1 n1 n0

7. k 1 k2 (3x 1)k 8. 3 k(4x 5)k
k
k0 28. n(n 1)cn xn 2 cn xn 2

25k x k ( 1)n n2 n0
9. k 1 52k 3 9n x
10. 0 2n 1

n 29. n(n 1)cn xn 2 2 ncn xn cn xn

(Q ORV SUREOHPDV GHO D XVH XQD VHULH DGHFXDGD HQ n2 n1 n0
SDUD HQFRQWUDU OD VHULH GH 0DFODXULQ GH OD IXQFLyQ GDGD (VFUL-
ED VX UHVSXHVWD HQ QRWDFLyQ GH VXPDWRULD 30. n(n 1)cn xn 2 n(n 1)cn xn 2 3 ncn xn

n2 n2 n1

11. e x͞2 12. xe3x (Q ORV SUREOHPDV GHO DO FRPSUXHEH SRU VXVWLWXFLyQ
1 directa que la serie de potencias dada es una solución de la
14. x ecuación diferencial indicada [Sugerencia: 3DUD XQD SRWHQFLD
13. 1 x n+1 haga k ϭ n ϩ @
2x x2

15. ln(1 Ϫ x) 16. sen x ( 1)n
x
(Q ORV SUREOHPDV \ XWLOLFH XQD VHULH DGHFXDGD HQ SDUD 31. y n 0 n! 2n, y 2xy 0
HQFRQWUDU OD VHULH GH 7D\ORU GH OD IXQFLyQ GDGD FHQWUDGD HQ HO YDORU
indicado de a (VFULED VX UHVSXHVWD HQ QRWDFLyQ GH VXPDWRULD 32. y ( 1)nx2n, (1 x2)y 2xy 0
33. y y0
17. sen x a ϭ ʌ [Sugerencia: 8VH SHULRGLFLGDG@ n0

18. ln x; a ϭ >Sugerencia: x ϭ > ϩ (x Ϫ ͞ @@ ( 1)n 1 (x 1)y

n1 n xn,

(Q ORV SUREOHPDV \ OD IXQFLyQ GDGD HV DQDOtWLFD HQ a 34. y ( 1)n x2n, xy y xy 0
8WLOLFH OD VHULH DGHFXDGD HQ \ OD PXOWLSOLFDFLyQ SDUD HQFRQ- 22n(n!)2
trar los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie n 0
GH 0DFODXULQ GH OD IXQFLyQ GDGD
(Q ORV SUREOHPDV GHO D SURFHGD FRPR HQ HO HMHPSOR \

19. sen x cos x 20. eϪxcos x encuentre una solución en serie de potencias y cnxn de

n0
OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU RUGHQ GDGD
(Q ORV SUREOHPDV \ OD IXQFLyQ GDGD HV DQDOtWLFD HQ
a ϭ 8WLOLFH OD VHULH DGHFXDGD HQ \ OD GLYLVLyQ ODUJD SDUD 35. y 5y 0 36. 4y y 0
encontrar los primeros cuatro términos distintos de cero de la 37. y xy 38. (1 x)y y 0
VHULH GH 0DFODXULQ GH OD IXQFLyQ GDGD

21. sec x 22. tan x Problemas para analizar

(Q ORV SUREOHPDV \ XWLOLFH XQD VXVWLWXFLyQ SDUD FRUUHU HO 39. (Q HO SUREOHPD HQFXHQWUH XQD IRUPD PiV IiFLO TXH
índice de la sumatoria para que el término general de la serie PXOWLSOLFDU GRV VHULHV GH SRWHQFLDV SDUD REWHQHU OD UHSUH-
de potencias dada implique a xk VHQWDFLyQ HQ VHULHV GH 0DFODXULQ GH VHQ x cos x

23. ncn xn 2 24. (2n 1)cn xn 3 40. (Q HO SUREOHPD ¢FXiO FUHH XVWHG TXH HV HO LQWHUYDOR GH
FRQYHUJHQFLD SDUD OD VHULH GH 0DFODXULQ GH VHF x?
n1 n3

232 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS

REPASO DE MATERIAL

l 6HULH GH SRWHQFLDV DQDOtWLFD HQ XQ SXQWR FRUULPLHQWR GHO tQGLFH GH OD VXPDWRULD HQ OD VHFFLyQ

INTRODUCCIÓN $O ¿QDO GH OD ~OWLPD VHFFLyQ PRVWUDUHPRV FyPR REWHQHU XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH
SRWHQFLDV GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU RUGHQ (Q HVWD VHFFLyQ UHJUHVDUHPRV DO SUREOHPD
PiV LPSRUWDQWH GH HQFRQWUDU VROXFLRQHV GH ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH VHJXQGR RUGHQ HQ OD IRUPD GH
VHULHV GH SRWHQFLDV FX\R FHQWUR HV XQ Q~PHUR x0 que es un punto ordinario GH OD (' &RPHQ]DPRV
FRQ OD GH¿QLFLyQ GH XQ SXQWR RUGLQDULR

UNA DEFINICIÓN Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden

a2 ( x ) y a1 ( x ) y a0(x)y 0 (1)
VH HVFULEH HQ IRUPD HVWiQGDU

y P(x)y Q(x)y 0

GLYLGLHQGR HQWUH HO FRH¿FLHQWH SULQFLSDO a (x 6H WLHQH OD GH¿QLFLyQ VLJXLHQWH

DEFINICIÓN 6.2.1 Puntos ordinarios y singulares

Se dice que un punto x ϭ x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (1)
si tanto P(x) como Q(x HQ OD IRUPD HVWiQGDU VRQ DQDOtWLFDV HQ x0 6H GLFH TXH
un punto que no es punto ordinario es un punto singular GH OD HFXDFLyQ

EJEMPLO 1 Puntos ordinarios

a) 8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV FRPR
yЉ ϩ y ϭ 0 y yЉ ϩ yЈ ϩ y ϭ 0

QR SXHGH WHQHU SXQWRV VLQJXODUHV (Q RWUDV SDODEUDV FDGD YDORU ¿QLWR
GH x es un punto
RUGLQDULR GH HVWDV HFXDFLRQHV

b) &DGD YDORU ¿QLWR GH x es un punto ordinario de la ecuación diferencial
yЉ ϩ (ex)yЈ ϩ (sen x)y ϭ

(Q SDUWLFXODU x ϭ HV XQ SXQWR RUGLQDULR SRUTXH FRPR \D VH YLR HQ GH OD VHFFLyQ
WDQWR ex como sen x VRQ DQDOtWLFDV HQ HVWH SXQWR

/D QHJDFLyQ HQ HO VHJXQGR HQXQFLDGR GH OD GH¿QLFLyQ HVWDEOHFH TXH VL SRU OR
menos una de las funciones P(x) y Q(x HQ QR HV DQDOtWLFD HQ x0 HQWRQFHV x0 es un
SXQWR VLQJXODU

EJEMPLO 2 Puntos singulares

a) /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

yЉ ϩ xyЈ ϩ (ln x)y ϭ 0

\D HVWi HQ OD IRUPD HVWiQGDU /DV IXQFLRQHV FRH¿FLHQWHV VRQ

P(x) ϭ x y Q(x) ϭ ln x

$KRUD P(x) ϭ x HV DQDOtWLFD HQ WRGR Q~PHUR UHDO \ Q(x) ϭ ln x es analítica para todo
Q~PHUR UHDO positivo 6LQ HPEDUJR \D TXH Q(x) ϭ ln x es discontinua en x ϭ 0 no se
puede representar por una serie de potencias en x HV GHFLU XQD VHULH GH SRWHQFLDV FHQ-
WUDGD HQ &RQFOXLPRV TXH x ϭ HV XQ SXQWR VLQJXODU GH OD ('

b) $O WHQHU xyЉ ϩ yЈ ϩ xy ϭ HQ OD IRUPD HVWiQGDU


3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV ORV SXQWRV RUGLQDULRV \ SXQWRV VLQJXODUHV VLHPSUH VHUiQ SXQWRV ¿QLWRV (V
SRVLEOH TXH XQD ('2 WHQJD XQ SXQWR VLQJXODU HQ HO LQ¿QLWR

6.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS l 233

yЉ ϩ (1͞x)yЈ ϩ y ϭ 0
YHPRV TXH P(x) ϭ1͞x no es analítica en x ϭ 0 3RU OR TXH x ϭ 0 es un punto singular de
OD HFXDFLyQ

COEFICIENTES POLINOMIALES 6H SRQH DWHQFLyQ VREUH WRGR DO FDVR HQ HO FXDO
ORV FRH¿FLHQWHV a (x a1(x) y a0(x) en la ecuación (1) son funciones polinomiales sin
IDFWRUHV FRPXQHV 8Q SROLQRPLR HV DQDOtWLFR HQ FXDOTXLHU YDORU x y una función ra-
FLRQDO HV DQDOtWLFD H[FHSWR HQ ORV SXQWRV GRQGH VX GHQRPLQDGRU HV FHUR $Vt HQ
DPERV FRH¿FLHQWHV P(x) ϭ a1(x)͞a (x) y Q(x) ϭ a0(x)͞a (x VRQ DQDOtWLFDV H[FHSWR
donde a (x) ϭ (QWRQFHV VH WLHQH TXH

Un número x ϭ x0 es un punto ordinario de (1) si a (x0) 0 mientras que x ϭ x0
es un punto singular de (1) si a (x0) ϭ

EJEMPLO 3 Puntos ordinarios y singulares

a) /RV ~QLFRV SXQWRV VLQJXODUHV GH OD HFXDFLyQ
(x Ϫ l)yЉ ϩ xyЈ ϩ y ϭ 0

son soluciones de x Ϫ 1 ϭ 0 o x ϭ Ϯ O 7RGRV ORV RWURV YDORUHV GH x son puntos or-
GLQDULRV

b) /D LQVSHFFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\ (XOHU
↓ a (x)ϭ x ϭ 0 en x ϭ 0
x yЉ ϩ y ϭ 0

muestra que tiene un punto singular en x ϭ 7RGRV ORV RWURV YDORUHV GH x son puntos
RUGLQDULRV
c) /RV SXQWRV VLQJXODUHV QR QHFHVLWDQ VHU Q~PHURV UHDOHV /D HFXDFLyQ

(x ϩ l)yЉ ϩ xyЈ Ϫ y ϭ 0
tiene puntos singulares en las soluciones x ϩ 1 ϭ HQ SDUWLFXODU x ϭ Ϯ i /RV RWURV
YDORUHV GH x UHDOHV R FRPSOHMRV VRQ SXQWRV RUGLQDULRV
(VWDEOHFHPRV HO VLJXLHQWH WHRUHPD DFHUFD GH OD H[LVWHQFLD GH VROXFLRQHV HQ VHULHV GH
SRWHQFLDV VLQ GHPRVWUDFLyQ

TEOREMA 6.2.1 Existencia de soluciones en series de potencias

Si x ϭ x0 HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VLHPSUH HV SR-
VLEOH HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV HQ OD IRUPD GH XQD
serie de potencias centrada en x0 HV GHFLU y n 0 cn(x x0)n 8QD VROX-
FLyQ HQ VHULH FRQYHUJH SRU OR PHQRV HQ XQ LQWHUYDOR GH¿QLGR SRU ͉ x Ϫ x0͉ Ͻ R
donde R es la distancia desde x0 DO SXQWR VLQJXODU PiV FHUFDQR

Se dice que una solución de la forma y n 0 cn(x x0)n es una solución res-
pecto a un punto ordinario x /D GLVWDQFLD R HQ HO WHRUHPD HV HO valor mínimo

0

o límite inferior GHO UDGLR GH FRQYHUJHQFLD

EJEMPLO 4 /tPLWH LQIHULRU SDUD HO UDGLR GH FRQYHUJHQFLD

(QFXHQWUH HO UDGLR PtQLPR GH FRQYHUJHQFLD GH XQD VHULH GH SRWHQFLDV GH OD HFXDFLyQ
diferencial de segundo orden

(x Ϫ x ϩ 5)yЉ ϩ xyЈ Ϫ y ϭ 0
a) en torno al punto ordinario en x ϭ b) en torno al punto ordinario x Ϫ 1

234 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

SOLUCIÓN 0HGLDQWH OD IyUPXOD FXDGUiWLFD YHPRV HQ x Ϫ x ϩ 5 ϭ 0 que los puntos
VLQJXODUHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD VRQ ORV Q~PHURV FRPSOHMRV Ϯ i

y 1 + 2i a) Ya que x ϭ HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH OD HFXDFLyQ HO WHRUHPD JDUDQWL]D TXH
i ͙5
HV SRVLEOH HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ HV GHFLU
1x soluciones que se parecen a y n 0 cnxn. \ DGHPiV VDEHPRV VLQ UHDOPHQWH HQFRQ-
͙5 WUDU HVWDV VROXFLRQHV TXH FDGD VHULH GHEH FRQYHUJHU al menos para x 15 donde
1 − 2i R 15 HV OD GLVWDQFLD HQ HO SODQR FRPSOHMR GHVGH HO SXQWR D FXDOTXLHUD

FIGURA 6.2.1 Distancias desde los GH ORV Q~PHURV ϩ i HO SXQWR R Ϫ i HO SXQWR Ϫ DO SXQWR RUGLQDULR
puntos singulares al punto ordinario 0 en
HO HMHPSOR HO SXQWR 9HD OD ¿JXUD

$QWHV GH TXH WUDEDMH FRQ HVWH b) Ya que x ϭ Ϫ HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH OD (' HO WHRUHPD JDUDQWL]D TXH SRGH-
HMHPSOR OH UHFRPHQGDPRV TXH
OHD GH QXHYR HO HMHPSOR GH OD mos encontrar dos soluciones en series de potencias parecidas a y n 0 cn(x 1)n
VHFFLyQ &DGD VHULH GHEH FRQYHUJHU DO PHQRV SDUD _ x ϩ _ 212 ya que la distancia de cada
punto singular a Ϫ1 (el punto (Ϫ HV R 18 212.

(Q HO LQFLVR D GHO HMHPSOR XQD GH ODV VROXFLRQHV HQ VHULHV GH SRWHQFLDV HQ GH OD
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV YiOLGD HQ XQ LQWHUYDOR PXFKR PD\RU TXH 15 ;15) en reali-
GDG HVWD VROXFLyQ HV YiOLGD HQ HO LQWHUYDOR Ϫϱ ϱ) ya que se puede demostrar que una

GH ODV GRV VROXFLRQHV HQ WRUQR D VH UHGXFH D XQ SROLQRPLR

NOTA (Q ORV HMHPSORV TXH VLJXHQ DVt FRPR HQ ORV HMHUFLFLRV SRU VLPSOL-

¿FDU HQFRQWUDUHPRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV VyOR UHVSHFWR DO SXQWR RUGLQD-

rio x ϭ 6L HV QHFHVDULR HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV GH XQD ('

lineal respecto a un punto ordinario x VLPSOHPHQWH VH KDFH HO FDPELR GH YDULDEOH
0
t ϭ x Ϫ x0 en la ecuación (esto traduce x ϭ x0 en t ϭ SDUD HQFRQWUDU ODV VROXFLRQHV
GH OD QXHYD HFXDFLyQ GH OD IRUPD y n 0 cnt n \ GHVSXpV YROYHU D VXVWLWXLU t ϭ x Ϫ x0

DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS /D GHWHUPL-

nación real de una solución en serie de potencias de una ED lineal homogénea de segundo

RUGHQ HV EDVWDQWH VLPLODU D OR TXH VH KL]R HQ OD VHFFLyQ SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV SDU-

WLFXODUHV GH (' QR KRPRJpQHDV FRQ HO PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV 'H KHFKR

HO PpWRGR GH VHULH GH SRWHQFLDV SDUD UHVROYHU XQD (' OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV YDULDEOHV

FRQ IUHFXHQFLD VH GHVFULEH FRPR ³PpWRGR GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV GH series´ (Q

UHVXPHQ OD LGHD HV OD VLJXLHQWH VXVWLWXLPRV y n 0 cnxn HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VH
FRPELQD OD VHULH FRPR VH KL]R HQ HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ \ OXHJR VH LJXDODQ ORV FRH¿-

FLHQWHV GHO PLHPEUR GHUHFKR GH OD HFXDFLyQ SDUD GHWHUPLQDU ORV FRH¿FLHQWHV cn 3HUR FRPR
HO PLHPEUR GHUHFKR HV FHUR HO ~OWLPR SDVR UHTXLHUH SRU OD propiedad de identidad en la

OLVWD GH SURSLHGDGHV DQWHULRU TXH WRGRV ORV FRH¿FLHQWHV GH x VH GHEDQ LJXDODU D FHUR (VWR

no VLJQL¿FD TXH ORV FRH¿FLHQWHV son FHUR SXHV HOOR QR WHQGUtD VHQWLGR GHVSXpV GH WRGR HO

WHRUHPD JDUDQWL]D TXH VH SXHGHQ HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV (Q HO HMHPSOR VH LOXVWUD

cómo la sola suposición de y n 0 cnxn c0 c1x c2x2 conduce a dos

FRQMXQWRV GH FRH¿FLHQWHV SRU OR TXH VH WLHQHQ GRV VHULHV GH SRWHQFLDV GLVWLQWDV y1(x) y y (x
DPEDV GHVDUUROODGDV UHVSHFWR DO SXQWR RUGLQDULR x ϭ /D VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ

diferencial es y ϭ C1y1(x) ϩ C y (x GH KHFKR VH SXHGH GHPRVWUDU TXH C1 ϭ c0 y C ϭ c1

EJEMPLO 5 Soluciones en series de potencias

5HVXHOYD yЉ ϩ xy ϭ

SOLUCIÓN 3XHVWR TXH QR KD\ SXQWRV VLQJXODUHV ¿QLWRV HO WHRUHPD JDUDQWL]D

GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ FRQYHUJHQWHV SDUD ͉ x ͉ Ͻ ϱ

Sustituyendo y n 0 cnxn \ OD VHJXQGD GHULYDGD y n 2 n(n 1)cnxn 2 YHD

GH OD VHFFLyQ HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VH REWLHQH

y xy cnn(n 1)xn 2 x cnxn cnn(n 1)xn 2 cnxn 1.

n2 n0 n2 n0

(Q HO HMHPSOR \D VH VXPDURQ ODV GRV ~OWLPDV VHULHV HQ HO PLHPEUR GHUHFKR GH OD LJXDO-

GDG HQ FRUULHQGR HO tQGLFH GH OD VXPD 'HO UHVXOWDGR GDGR HQ GH OD VHFFLyQ

6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS l 235

y xy 2c2 [(k 1)(k 2)ck 2 ck 1]xk 0. (4)

k1

(Q HVWH SXQWR VH LQYRFD OD SURSLHGDG GH LGHQWLGDG 3XHVWR TXH HV LGpQWLFDPHQWH FHUR
HV QHFHVDULR TXH HO FRH¿FLHQWH GH FDGD SRWHQFLD GH x VH LJXDOH D FHUR HV GHFLU c ϭ 0
HV HO FRH¿FLHQWH GH x0) y

(k 1)(k 2)ck 2 ck 1 0, k 1, 2, 3, . . . (5)

$KRUD c ϭ REYLDPHQWH GLFH TXH c ϭ 3HUR OD H[SUHVLyQ HQ OODPDGD relación
de recurrencia GHWHUPLQD OD ck GH WDO PDQHUD TXH VH SXHGH HOHJLU TXH FLHUWR VXEFRQ-
MXQWR GHO FRQMXQWR GH FRH¿FLHQWHV VHD diferente de cero 3XHVWR TXH k ϩ 1)(k ϩ

SDUD ORV YDORUHV GH k VH SXHGH UHVROYHU SDUD ck ϩ en términos de c Ϫ 1:
k

ck 2 ck 1 , k 1, 2, 3, . . .
(k 1)(k 2)

(VWD UHODFLyQ JHQHUD FRH¿FLHQWHV FRQVHFXWLYRV GH OD VROXFLyQ VXSXHVWD XQD YH] TXH k
WRPD ORV HQWHURV VXFHVLYRV LQGLFDGRV HQ

k 1, c3 c0 0 m c2 es cero
k 2, c4 23
k 3, c5 1
k 4, c6 c1 2 3 5 6 c0
k 5, c7 34
k 6, c8 1
k 7, c9 c2 3 4 6 7 c1
45
0 m c5 es cero
c3 1
56
2 3 5 6 8 9 c0
c4
67

c5
78

c6
89

k 8, c10 c7 1
9 10 3 4 6 7 9 10 c1

k 9, c11 c8 0 m c8 es cero
10 11

HWFpWHUD $KRUD VXVWLWX\HQGR ORV FRH¿FLHQWHV REWHQLGRV HQ OD VXSRVLFLyQ RULJLQDO

y c0 c1x c2x2 c3x3 c4x4 c5x5 c6x6 c7x7 c8x8 c9x9 c10x10 c11x11 ,
.
REWHQHPRV

y c0 c1 x 0 c0 x3 c1 x4 0 c0 x6
23 34 2356

c1 x7 0 c0 x9 c1 x10 0
3467 2 3 5 6 8 9 3 4 6 7 9 10

Después de agrupar los términos que contienen c0 y los que contienen c1 VH REWLHQH
y ϭ c0yl(x) ϩ c1y (x GRQGH

236 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

y1 (x) 1 1 x3 1 x6 1 x9 1 ( 1)k x3k
23 2356 235689 k 12 3
(3k 1)(3k)

y2(x) x 1 x4 1 x7 1 x10 x ( 1)k x3k 1.
34 3467 3 4 6 7 9 10
k 1 3 4 (3k)(3k 1)

'HELGR D TXH HO XVR UHFXUVLYR GH GHMD D c0 y a c1 FRPSOHWDPHQWH LQGHWHUPLQDGDV VH
SXHGHQ HOHJLU HQ IRUPD DUELWUDULD &RPR \D VH PHQFLRQy DQWHV GH HVWH HMHPSOR OD
FRPELQDFLyQ OLQHDO y ϭ c0 yl(x) ϩ c1y (x) representa en realidad la solución general de
OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO $XQTXH VH VDEH GHO WHRUHPD TXH FDGD VROXFLyQ HQ VHULH
FRQYHUJH SDUD ͉ x ͉ Ͻ ϱ HV GHFLU HQ HO LQWHUYDOR Ϫϱ ϱ (VWH KHFKR WDPELpQ VH SXHGH
FRPSUREDU FRQ OD SUXHED GH OD UD]yQ

/D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO HMHPSOR VH OODPD ecuación de Airy OODPDGD DVt SRU
HO PDWHPiWLFR \ DVWUyQRPR LQJOpV *HRUJH %LGGHO $LU\ \ VH HQFXHQWUD
HQ HO HVWXGLR GH OD GLIUDFFLyQ GH OD OX] OD GLIUDFFLyQ GH RQGDV GH UDGLR DOUHGHGRU GH
OD VXSHU¿FLH GH OD 7LHUUD OD DHURGLQiPLFD \ OD GHÀH[LyQ GH XQD FROXPQD YHUWLFDO GHO-
JDGD XQLIRUPH TXH VH FXUYD EDMR VX SURSLR SHVR 2WUDV IRUPDV FRPXQHV GH OD HFXDFLyQ
GH $LU\ VRQ yЉ Ϫ xy ϭ 0 y yЉ ϩ ␣ xy ϭ 9pDVH HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV
SDUD XQD DSOLFDFLyQ GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ

EJEMPLO 6 Solución con series de potencias

5HVXHOYD x ϩ 1)yЉ ϩ xyЈ Ϫ y ϭ

SOLUCIÓN &RPR VH YLR HQ OD SiJLQD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD WLHQH SXQWRV
singulares en x ϭ Ϯ i \ SRU WDQWR XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV FHQWUDGD HQ TXH
FRQYHUJH DO PHQRV SDUD ͉ x ͉ Ͻ GRQGH HV OD GLVWDQFLD HQ HO SODQR FRPSOHMR GHVGH D i
o Ϫi /D VXSRVLFLyQ y n 0 cnxn \ VXV SULPHUDV GRV GHULYDGDV YpDVH FRQGXFHQ D

ϱ ϱϱ

͚ ͚ ͚(x2 ϩ 1) n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 ϩ x ncnxnϪ1 Ϫ cnxn
nϭ2 nϭ1 nϭ0

ϱϱ ϱϱ
͚ ͚ ͚ ͚ϭ n(n Ϫ 1)cnxn ϩ n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 ϩ ncnxn Ϫ cnxn
nϭ2 nϭ2 nϭ1 nϭ0

ϱ

͚ϭ 2c2x0 Ϫ c0x0 ϩ 6c3x ϩ c1x Ϫ c1x ϩ n(n Ϫ 1)cnxn
nϭ2

kϭn

ϱ ϱϱ

͚ ͚ ͚ϩ n(n Ϫ 1)cnxnϪ2 ϩ ncnxn Ϫ cnxn
nϭ4 nϭ2 nϭ2

kϭnϪ2 kϭn kϭn

ϱ

͚ϭ 2c2 Ϫ c0 ϩ 6c3x ϩ [k(k Ϫ 1)ck ϩ (k ϩ 2)(k ϩ 1)ckϩ2 ϩ kck Ϫ ck]xk
kϭ2

ϱ

͚ϭ 2c2 Ϫ c0 ϩ 6c3x ϩ [(k ϩ 1)(k Ϫ 1)ck ϩ (k ϩ 2)(k ϩ 1)ckϩ2]xk ϭ 0.
kϭ2

'H HVWD LGHQWLGDG VH FRQFOX\H TXH c – c0 ϭ c ϭ \
(k 1)(k 1)ck (k 2)(k 1)ck 2 0.

6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS l 237

3RU WDQWR 1
c2 2 c0

c3 0

1k k 2, 3, 4, . . .
ck 2 k 2 ck,

Sustituyendo k ϭ HQ OD ~OWLPD IyUPXOD VH REWLHQH

11 1
c4 4 c2 2 4 c0 222! c0

2 ; c3 es cero
c5 5 c3 0

3 3 13
c6 6 c4 2 4 6 c0 233! c0

4 ; c5 es cero
c7 7 c5 0

5 35 135
c8 8 c6 2 4 6 8 c0 244! c0

6 ; c7 es cero
c9 9 c7 0,

7 357 1357
c10 10 c8 2 4 6 8 10 c0 255! c0,

HWFpWHUD 3RU WDQWR

y c0 c1x c2x2 c3x3 c4x4 c5x5 c6x6 c7x7 c8x8 c9x9 c10 x10

c0 1 1 x2 1 x4 13 x6 1 3 5 x8 1 35 7 x10 c1 x
2 22 2! 23 3! 24 4! 25 5!

c0y1(x) c1y2(x).
/DV VROXFLRQHV VRQ HO SROLQRPLR y (x) ϭ x y la serie de potencias

y1(x) 1 1 x2 ( 1)n 11 3 5 2n 3 x2n, x 1.
2 2n n!
n2

EJEMPLO 7 Relación de recurrencia de tres términos

6L VH EXVFD XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV y n 0 cnxn para la ecuación diferencial

y (1 x)y 0,

VH REWLHQH c2 1 c0 y la relación de recurrencia de tres términos
2

ck 2 ck ck 1 , k 1, 2, 3, . . .
(k 1)(k 2)

6H GHGXFH D SDUWLU GH HVWRV GRV UHVXOWDGRV TXH ORV FRH¿FLHQWHV cn SDUD n Ն VH H[-
presan en términos de c0 y c1 3DUD VLPSOL¿FDU VH SXHGH HOHJLU SULPHUR c0 c1 ϭ 0;
HVWR FRQGXFH D FRH¿FLHQWHV SDUD XQD VROXFLyQ H[SUHVDGD SRU FRPSOHWR HQ WpUPLQRV GH

c0 $ FRQWLQXDFLyQ VL HOHJLPRV c0 ϭ c1 HQWRQFHV ORV FRH¿FLHQWHV SDUD OD RWUD
VROXFLyQ VH H[SUHVDQ HQ WpUPLQRV GH c1 8VDQGR c2 1 HQ DPERV FDVRV OD UHODFLyQ
2 c0

de recurrencia para k ϭ VH REWLHQH

238 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

c0 0, c1 0 c0 0, c1 0
1 1

c2 2 c0 c2 2 c0 0

c3 c1 c0 c0 c0 c3 c1 c0 c1 c1
23 23 6 23 23 6

c4 c2 c1 c0 c0 c4 c2 c1 c1 c1
34 234 24 34 34 12

c5 c3 c2 c0 1 1 c0 c5 c3 c2 c1 c1
45 4 56 2 30 45 456 120

HWFpWHUD 3RU ~OWLPR YHPRV TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ HV y ϭ c0yl(x) ϩ
c1y (x GRQGH

y1(x) 1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5
2 6 24 30

y y2(x) x 1 x3 1 x4 1 x5 .
6 12 120

&DGD VHULH FRQYHUJH SDUD WRGRV ORV YDORUHV ¿QLWRV GH x

COEFICIENTES NO POLINOMIALES (Q HO VLJXLHQWH HMHPSOR VH PXHVWUD FyPR
encontrar una solución en serie de potencias respecto a un punto ordinario x0 ϭ 0 de
XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FXDQGR VXV FRH¿FLHQWHV QR VRQ SROLQRPLRV (Q HVWH HMHPSOR
YHPRV XQD DSOLFDFLyQ GH OD PXOWLSOLFDFLyQ GH GRV VHULHV GH SRWHQFLDV

EJEMPLO 8 (' FRQ FRH¿FLHQWHV QR SROLQRPLDOHV

5HVXHOYD yЉ ϩ (cos x)y ϭ

SOLUCIÓN 9HPRV TXH x ϭ HV XQ SXQWR RUGLQDULR GH OD HFXDFLyQ SRUTXH FRPR \D

KHPRV YLVWR FRV x HV DQDOtWLFD HQ HVH SXQWR 8VDQGR OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD FRV x dada
HQ MXQWR FRQ OD VXSRVLFLyQ XVXDO y n 0 cnxn \ ORV UHVXOWDGRV GH VH HQFXHQWUD

y (cos x)y n(n 1)cnxn 2 x2 x4 x6 cn xn
1
n2 n0
2! 4! 6!

2c2 6c3x 12c4x2 20c5x3 x2 x4 (c0 c1x c2x2 c3x3 )
1

2! 4!

2c2 c0 (6c3 c1)x 12 c4 c2 1 x2 20 c5 c3 1 x3 0.
2 c0 2 c1

Se tiene que

2c2 c0 0, 6c3 c1 0, 1 1
12c4 c2 2 c0 0, 20c5 c3 2 c1 0,

HWFpWHUD (VWR GD c2 1 c0, c3 1 c1, c4 1 c0, c5 1 c1, . . . y agrupando
2 6 12 30

términos se llega a la solución general y ϭ c0yl(x) ϩ c1y (x GRQGH

y1(x) 1 1 x2 1 x4 y y2(x) x 1 x3 1 x5 .
2 12 6 30

'HELGR D TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR WLHQH SXQWRV VLQJXODUHV ¿QLWRV DPEDV VHULHV GH
SRWHQFLDV FRQYHUJHQ SDUD ͉ x ͉ Ͻ ϱ

6.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS ORDINARIOS l 239

CURVAS SOLUCIÓN /D JUi¿FD DSUR[LPDGD GH XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH SRWHQFLDV

y(x) n 0 cnxn VH SXHGH REWHQHU GH YDULDV PDQHUDV 6LHPSUH VH SXHGH UHFXUULU D
WUD]DU OD JUi¿FD GH ORV WpUPLQRV HQ OD VXFHVLyQ GH VXPDV SDUFLDOHV GH OD VHULH HQ RWUDV

SDODEUDV ODV JUi¿FDV GH ORV SROLQRPLRV SN (x) N 0 cnxn. 3DUD YDORUHV JUDQGHV GH N
n

y1 SN(x GHEH GDUQRV XQD LQGLFDFLyQ GHO FRPSRUWDPLHQWR GH y(x) cerca del punto ordinario
3 x ϭ 7DPELpQ VH SXHGH REWHQHU XQD FXUYD VROXFLyQ DSUR[LPDGD R QXPpULFD XVDQGR

2 XQ SURJUDPD FRPR VH KL]R HQ OD VHFFLyQ 3RU HMHPSOR VL VH H[DPLQDQ FXLGDGR-

1 VDPHQWH ODV VROXFLRQHV HQ VHULH GH OD HFXDFLyQ GH $LU\ GHO HMHPSOR VH GHEH YHU TXH

y1(x) y y (x VRQ D VX YH] ODV VROXFLRQHV GH ORV SUREOHPDV GH YDORUHV LQLFLDOHV

x y xy 0, y(0) 1, y (0) 0,
y xy 0, y(0) 0, y (0) 1.
_2 2 4 6 8 10

a) Gráfica de y1(x) contra x /DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV HVSHFL¿FDGDV ³VHOHFFLRQDQ´ ODV VROXFLRQHV yl(x) y y (x) de
y ϭ c0yl(x) ϩ c1y (x SXHVWR TXH GHEH VHU HYLGHQWH GH OD VXSRVLFLyQ EiVLFD GH VHULHV
y2 y n 0 cnxn que y(0) ϭ c0 y yЈ(0) ϭ c1 $KRUD VL HO SURJUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD
1 UHTXLHUH XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV OD VXVWLWXFLyQ yЈ ϭ u en yЉ ϩ xy ϭ 0 produce yЉ ϭ
uЈ ϭ Ϫ xy \ SRU FRQVLJXLHQWH XQ VLVWHPD GH GRV HFXDFLRQHV GH SULPHU RUGHQ HTXLYD-
x OHQWH D OD HFXDFLyQ GH $LU\ HV

_1

_2 yu
u xy.
_3
_2 2 4 6 8 10 /DV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV SDUD HO VLVWHPD HQ VRQ ORV GRV FRQMXQWRV GH FRQGLFLRQHV
LQLFLDOHV HQ UHHVFULWDV FRPR y(0) ϭ u(0) ϭ 0 y y(0) ϭ u(0) ϭ /DV JUi¿FDV
b) Gráfica de y2(x) contra x de yl(x) y y (x TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD VH REWXYLHURQ FRQ OD D\XGD GH XQ SUR-
JUDPD GH VROXFLyQ QXPpULFD (O KHFKR GH TXH ODV FXUYDV VROXFLyQ QXPpULFDV SDUH]FDQ
FIGURA 6.2.2 &XUYDV GH VROXFLyQ RVFLODWRULDV HV FRQVLVWHQWH FRQ HO KHFKR GH TXH OD HFXDFLyQ GH $LU\ VH SUHVHQWy HQ OD
QXPpULFD SDUD OD (' GH $LU\ VHFFLyQ HQ OD IRUPD mxЉ ϩ ktx ϭ 0 como el modelo de un resorte cuya “constante
de resorte” K(t) ϭ kt VH LQFUHPHQWD FRQ HO WLHPSR

COMENTARIOS

i (Q ORV SUREOHPDV TXH VLJXHQ QR HVSHUH SRGHU HVFULELU XQD VROXFLyQ HQ WpUPLQRV
GH OD QRWDFLyQ GH VXPD HQ FDGD FDVR $XQ FXDQGR VH SXHGDQ JHQHUDU WDQWRV WpUPL-
nos como se desee en una solución en serie y n 0 cn xn ya sea usando una rela-
FLyQ GH UHFXUUHQFLD R FRPR HQ HO HMHPSOR SRU PXOWLSOLFDFLyQ SRGUtD QR VHU SRVLEOH
GHGXFLU QLQJ~Q WpUPLQR JHQHUDO SDUD ORV FRH¿FLHQWHV cn 3RGUtDPRV WHQHU TXH FRQIRU
PDUQRV FRPR VH KL]R HQ ORV HMHPSORV \ FRQ ORV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VHULH

ii 8Q SXQWR x0 es un punto ordinario de una ED lineal no homogénea de se-
gundo orden yЉ ϩ P(x)yЈ ϩ Q(x)y ϭ f(x) si P(x Q(x) y f [ VRQ DQDOtWLFDV HQ
x0 $GHPiV HO WHRUHPD VH DPSOtD D HVWD FODVH GH (' HQ RWUDV SDODEUDV
podemos encontrar soluciones en serie de potencias y n 0 cn (x x0)n de
(' OLQHDOHV QR KRPRJpQHDV GH OD PLVPD PDQHUD TXH HQ ORV HMHPSORV DO 9HD
HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV

240 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

EJERCICIOS 6.2 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9.

(Q ORV SUREOHPDV \ VLQ UHDOPHQWH UHVROYHU OD HFXDFLyQ GLIH- Problemas para analizar
UHQFLDO GDGD HQFXHQWUH XQ OtPLWH LQIHULRU SDUD HO UDGLR GH FRQ-
YHUJHQFLD GH ODV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQFLDV UHVSHFWR DO 25. 6LQ UHVROYHU HQ VX WRWDOLGDG OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRV
punto ordinario x ϭ &RQ UHVSHFWR DO SXQWR RUGLQDULR x ϭ x)yЉ ϩ yЈ ϩ 5y ϭ HQFXHQWUH XQ OtPLWH LQIHULRU SDUD HO
UDGLR GH FRQYHUJHQFLD GH ODV VROXFLRQHV HQ VHULH GH SRWHQ-
1. (x Ϫ yЉ ϩ xyЈ ϩ y ϭ 0 cias respecto a x ϭ 5HVSHFWR D x ϭ

2. (x Ϫ x ϩ 10)yЉ ϩ xyЈ Ϫ 4y ϭ 0 26. ¢&yPR VH SXHGH XVDU HO PpWRGR GHVFULWR HQ HVWD VHFFLyQ
para encontrar una solución en serie de potencias de la
(Q ORV SUREOHPDV DO GHWHUPLQH GRV VROXFLRQHV HQ VHULHV GH ecuación no homogénea yЉ Ϫ xy ϭ 1 respecto al punto
potencias de la ecuación diferencial dada en torno al punto or- ordinario x ϭ " ¢'H yЉ Ϫ 4xyЈ Ϫ 4y ϭ ex" /OHYH D FDER
dinario x ϭ &RPSDUH ODV VROXFLRQHV HQ VHULHV FRQ ODV VROXFLR- VXV LGHDV DO UHVROYHU DPEDV ('
QHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO REWHQLGD XVDQGR HO PpWRGR GH OD
VHFFLyQ 7UDWH GH H[SOLFDU FXDOTXLHU GLIHUHQFLD HQWUH ODV GRV 27. ¢(V x ϭ 0 un punto ordinario o singular de la ecuación di-
IRUPDV GH VROXFLRQHV ferencial xyЉ ϩ (sen x)y ϭ " 'H¿HQGD VX UHVSXHVWD FRQ
PDWHPiWLFDV FRQYLQFHQWHV >Sugerencia: 8WLOLFH OD VHULH
3. yЉ ϩ y ϭ 0 4. yЉ Ϫ y ϭ 0 GH 0DFODXULQ GH VHQ x \ GHVSXpV H[DPLQH VHQ x)͞x@

5. yЉ Ϫ yЈ ϭ 0 6. yЉ ϩ yЈ ϭ 0 28. ¢(V x = 0 un punto ordinario de la ecuación diferencial
yЉ ϩ 5xyЈ ϩ Ίxy ϭ 0?

(Q ORV SUREOHPDV D HQFXHQWUH GRV VHULHV GH SRWHQFLDV GH Tarea para el laboratorio de computación
la ecuación diferencial dada respecto al punto ordinario x ϭ

7. yЉ Ϫ xy ϭ 0 8. yЉ ϩ x y ϭ 0 29. a) Determine dos soluciones en serie de potencias para

9. yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ 0 10. yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ 0 yЉ ϩ xyЈ ϩ y ϭ \ H[SUHVH ODV VROXFLRQHV y (x) y
1
y (x HQ WpUPLQRV GH OD QRWDFLyQ GH VXPD

11. yЉ ϩ x yЈ ϩ xy ϭ 0 12. yЉ ϩ xyЈ ϩ y ϭ 0 b) 8 VH XQ 6$& SDUD JUD¿FDU ODV VXPDV SDUFLDOHV SN(x)
para y1(x 8VH N ϭ 5HSLWD FRQ ODV
13. (x Ϫ 1)yЉ ϩ yЈ ϭ 0 14. (x ϩ yЉ ϩ xyЈ Ϫ y ϭ 0 sumas parciales SN(x) para y (x

15. yЉ Ϫ (x ϩ 1)yЈ Ϫ y ϭ 0 c) & RPSDUH ODV JUi¿FDV REWHQLGDV HQ HO LQFLVR E FRQ
OD FXUYD REWHQLGD SRU PHGLR GH XQ SURJUDPD GH
16. (x ϩ 1)yЉ Ϫ y ϭ 0 VROXFLyQ QXPpULFD 8VH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV
y1(0) ϭ y1Ј(0) ϭ 0 y y (0) ϭ y Ј(0) ϭ
17. (x ϩ yЉ ϩ xyЈ Ϫ y ϭ 0

18. (x Ϫ 1)yЉ ϩ xyЈ Ϫ y ϭ 0 d) 5HH[DPLQH OD VROXFLyQ y1(x GHO LQFLVR D ([SUHVH
HVWD VHULH FRPR XQD IXQFLyQ HOHPHQWDO 'HVSXpV
(Q ORV SUREOHPDV D XVH HO PpWRGR GH VHULHV GH SRWHQFLDV XVH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ SDUD HQFRQWUDU
SDUD UHVROYHU HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV XQD VHJXQGD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ &RPSUXHEH
que esta segunda solución es la misma que la solu-
19. (x Ϫ 1)yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ y(0) ϭ Ϫ yЈ(0) ϭ ción en serie de potencias y (x

20. (x ϩ 1)yЉ Ϫ Ϫ x)yЈ ϩ y ϭ y(0) ϭ yЈ(0) ϭ Ϫ1 30. a) Encuentre un término diferente de cero para cada una
de las soluciones y1(x) y y (x GHO HMHPSOR
21. yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ y(0) ϭ yЈ(0) ϭ 0
b) Determine una solución en serie y(x GHO SUREOHPD GH
YDORU LQLFLDO yЉ ϩ (cos x)y ϭ y(0) ϭ yЈ(0) ϭ

22. (x ϩ 1)yЉ ϩ xyЈ ϭ y(0) ϭ yЈ(0) ϭ 1 c) 8 VH XQ 6$& SDUD WUD]DU ODV JUi¿FDV GH ODV VXPDV SDU-
ciales SN(x) para la solución y(x GHO LQFLVR E 8VH
(Q ORV SUREOHPDV \ XVH HO SURFHGLPLHQWR GHO HMHPSOR N ϭ
para encontrar dos soluciones en serie de potencias de la ecua-
ción diferencial respecto al punto ordinario x ϭ d) &RPSDUH ODV JUi¿FDV REWHQLGDV HQ HO LQFLVR F FRQ
OD FXUYD REWHQLGD XVDQGR XQ SURJUDPD GH VROXFLyQ
23. yЉ ϩ (sen x)y ϭ 0 24. yЉ ϩ e xyЈ Ϫ y ϭ 0 QXPpULFD SDUD HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GHO
LQFLVR E

6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 241

6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES

REPASO DE MATERIAL

l 6HFFLyQ HVSHFLDOPHQWH GH HVD VHFFLyQ

l /D GH¿QLFLyQ GH XQ SXQWR VLQJXODU HQ OD 'H¿QLFLyQ

INTRODUCCIÓN /DV GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV

yЉ ϩ xy ϭ 0 y xyЉ ϩ y ϭ 0

VRQ VLPLODUHV VyOR HQ TXH VRQ HMHPSORV GH (' OLQHDOHV VLPSOHV GH VHJXQGR RUGHQ FRQ FRH¿FLHQWHV
YDULDEOHV (VR HV WRGR OR TXH WLHQHQ HQ FRP~Q 'HELGR D TXH x ϭ 0 es un punto ordinario de yЉ ϩ
xy ϭ YLPRV HQ OD VHFFLyQ DQWHULRU TXH QR KXER SUREOHPD HQ HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV HQ VHULH GH
SRWHQFLDV GLVWLQWDV FHQWUDGDV HQ HVH SXQWR (Q FRQWUDVWH GHELGR D TXH x ϭ 0 es un punto singular
de xyЉ ϩ y ϭ HQFRQWUDU GRV VROXFLRQHV HQ VHULHV LQ¿QLWDV ²REVHUYH TXH QR VH GLMR series de po-
tencias— GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO UHVSHFWR D HVH SXQWR VH YXHOYH XQD WDUHD PiV GLItFLO

(O PpWRGR GH VROXFLyQ DQDOL]DGR HQ HVWD VHFFLyQ QR VLHPSUH SURGXFH GRV VROXFLRQHV HQ VHULHV
LQ¿QLWDV &XDQGR VyOR VH HQFXHQWUD XQD VROXFLyQ VH SXHGH XVDU OD IyUPXOD GDGD HQ GH OD VHFFLyQ
SDUD HQFRQWUDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ

UNA DEFINICIÓN 8Q SXQWR VLQJXODU x0 de una ecuación diferencial lineal

a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0 (1)

VH FODVL¿FD PiV ELHQ FRPR UHJXODU R LUUHJXODU /D FODVL¿FDFLyQ GH QXHYR GHSHQGH GH

las funciones P y Q HQ OD IRUPD HVWiQGDU

y P(x)y Q(x)y 0.

DEFINICIÓN 6.3.1 Puntos singulares regulares e irregulares

Se dice que un punto singular x ϭ x0 es un punto singular regular de la ecua-
ción diferencial (l) si las funciones p(x) ϭ (x – x0) P(x) y q(x) ϭ (x Ϫ x0) Q(x)
son analíticas en x0 8Q SXQWR VLQJXODU TXH QR HV UHJXODU HV XQ punto singular
irregular GH OD HFXDFLyQ

(O VHJXQGR HQXQFLDGR HQ OD GH¿QLFLyQ LQGLFD TXH VL XQD R DPEDV IXQFLRQHV p(x)
ϭ (x Ϫ x0) P (x) y q(x) ϭ (x Ϫ x0) Q(x) no son analíticas en x0 HQWRQFHV x0 es un punto
VLQJXODU LUUHJXODU

COEFICIENTES POLINOMIALES &RPR HQ OD VHFFLyQ HVWDPRV SULQFLSDOPHQWH
LQWHUHVDGRV HQ HFXDFLRQHV OLQHDOHV GRQGH ORV FRH¿FLHQWHV a (x al(x) y a0(x) son
SROLQRPLRV VLQ IDFWRUHV FRPXQHV <D VH KD YLVWR TXH VL a (x0) ϭ HQWRQFHV x ϭ x0 es
XQ SXQWR VLQJXODU GH \D TXH DO PHQRV XQD GH ODV IXQFLRQHV UDFLRQDOHV P(x) ϭ al(x)
͞a (x) y Q(x) ϭ a0(x)͞a (x HQ OD IRUPD HVWiQGDU QR HV DQDOtWLFD HQ HVH SXQWR 3HUR
como a (x) es un polinomio y x0 HV XQD GH VXV UDtFHV VH GHGXFH GHO WHRUHPD GHO IDFWRU
GHO iOJHEUD TXH x Ϫ x0 es un factor de a (x (VWR VLJQL¿FD TXH GHVSXpV GH TXH al(x)͞a (x)
y a0(x)͞a (x VH UHGXFHQ D WpUPLQRV PtQLPRV HO IDFWRU x Ϫ x0 GHEH SHUPDQHFHU SDUD
DOJXQD SRWHQFLD HQWHUD SRVLWLYD HQ XQR R HQ DPERV GHQRPLQDGRUHV $KRUD VXSRQJD TXH
x ϭ x0 HV XQ SXQWR VLQJXODU GH SHUR DPEDV IXQFLRQHV GH¿QLGDV SRU ORV SURGXFWRV
p(x) ϭ (x Ϫ x0) P(x) y q(x) ϭ (x Ϫ x0) Q(x) son analíticas en x0 /OHJDPRV D OD FRQFOX-
sión de que multiplicar P(x) por x Ϫ x0 y Q(x) por (x Ϫ x0) tiene el efecto (por elimina-
ción) de que x Ϫ x0 \D QR DSDUH]FD HQ QLQJXQR GH ORV GHQRPLQDGRUHV $KRUD VH SXHGH
determinar si x0 HV UHJXODU FRQ XQD FRPSUREDFLyQ YLVXDO UiSLGD GH ORV GHQRPLQDGRUHV

Si x Ϫ x0 aparece D OR PiV a la primera potencia en el denominador de P(x) y a
OR PiV a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x ϭ x0 es un
punto singular regular.

242 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

$GHPiV REVHUYH TXH VL x ϭ x es un punto singular regular y se multiplica la ecuación
0
SRU x Ϫ x0) HQWRQFHV OD (' RULJLQDO VH SXHGH HVFULELU HQ OD IRUPD

(x x0)2y (x x0)p(x)y q(x)y 0,

donde p y q son analíticas en x ϭ x0

EJEMPLO 1 &ODVL¿FDFLyQ GH SXQWRV VLQJXODUHV

6H GHEH DFODUDU TXH x ϭ \ x ϭ Ϫ VRQ SXQWRV VLQJXODUHV GH
(x2 4)2y 3(x 2)y 5y 0.

'HVSXpV GH GLYLGLU OD HFXDFLyQ HQWUH x Ϫ 4) ϭ (x Ϫ (x ϩ y de reducir los co-
H¿FLHQWHV D ORV WpUPLQRV PtQLPRV VH HQFXHQWUD TXH

P(x) (x 3 2)2 y Q(x) (x 5 2)2.
2)(x 2)2(x

$KRUD VH SUXHED P(x) y Q(x HQ FDGD SXQWR VLQJXODU
3DUD TXH x ϭ VHD XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU HO IDFWRU x Ϫ SXHGH DSDUHFHU HOHYDGR

a la primera potencia en el denominador de P(x \ D OR PiV D OD VHJXQGD SRWHQFLD HQ HO GH-
nominador de Q(x 8QD FRPSUREDFLyQ GH ORV GHQRPLQDGRUHV GH P(x) y Q(x) muestra que
DPEDV FRQGLFLRQHV VH VDWLVIDFHQ SRU OR TXH x ϭ HV XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU (Q IRUPD
DOWHUQDWLYD OOHJDPRV D OD PLVPD FRQFOXVLyQ DO QRWDU TXH DPEDV IXQFLRQHV UDFLRQDOHV

p(x) (x 2)P(x) 3 y q(x) (x 2)2 Q (x) 5
(x 2)2 (x 2)2

son analíticas en x ϭ
$KRUD SXHVWR TXH HO IDFWRU x Ϫ (Ϫ ϭ x ϩ DSDUHFH D OD VHJXQGD SRWHQFLD HQ

el denominador de P(x VH FRQFOX\H GH LQPHGLDWR TXH x ϭ Ϫ HV XQ SXQWR VLQJXODU
LUUHJXODU GH OD HFXDFLyQ (VWR WDPELpQ VH GHGXFH GHO KHFKR GH TXH

3
p(x) (x 2)P(x)

(x 2)(x 2)
es no analítica en x ϭ Ϫ

(Q HO HMHPSOR REVHUYH TXH FRPR x ϭ HV XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU OD HFXDFLyQ

RULJLQDO VH SXHGH HVFULELU FRPR

p(x) analítica q(x) analítica

en x ϭ 2 en x ϭ 2

(x Ϫ 2)2yЉ ϩ (x Ϫ 2) –(x––ϩ–3––2–)–2 yЈ ϩ –(x––ϩ–5––2–)–2 y ϭ 0.

&RPR RWUR HMHPSOR VH SXHGH YHU TXH x ϭ 0 es punto singular irregular de x yЉ
Ϫ xyЈ ϩ y ϭ 0 por inspección de los denominadores de P(x) ϭ Ϫ ͞x y Q(x) ϭ
͞x 3RU RWUR ODGR x ϭ 0 es un punto singular regular de xyЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ SXHVWR
que x Ϫ 0 y (x Ϫ 0) LQFOXVR QR DSDUHFHQ HQ ORV GHQRPLQDGRUHV UHVSHFWLYRV GH P(x) ϭ
Ϫ \ Q(x) ϭ ͞x 3DUD XQ SXQWR VLQJXODU x ϭ x0 FXDOTXLHU SRWHQFLD QR QHJDWLYD GH
x Ϫ x0 PHQRU TXH XQR HQ SDUWLFXODU FHUR \ FXDOTXLHU SRWHQFLD QR QHJDWLYD PHQRU TXH
GRV HQ SDUWLFXODU FHUR \ XQR HQ ORV GHQRPLQDGRUHV GH P(x) y Q(x UHVSHFWLYDPHQWH
indican que x0 HV XQ SXQWR VLQJXODU LUUHJXODU 8Q SXQWR VLQJXODU SXHGH VHU XQ Q~PHUR
FRPSOHMR 6H GHEH FRPSUREDU TXH x ϭ i y que x ϭ Ϫ i son dos puntos singulares
regulares de (x ϩ yЉ ± xyЈ ϩ (l Ϫ x)y ϭ

NOTA Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden ax yЉ ϩ bxyЈ ϩ cy
ϭ GRQGH a b y c VRQ FRQVWDQWHV UHDOHV WLHQH XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU HQ x ϭ
6H GHEH FRPSUREDU TXH GRV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GH &DXFK\ (XOHU x yЉ Ϫ xyЈ
ϩ 4y ϭ HQ HO LQWHUYDOR ϱ) son y1 ϭ x y y ϭ x ln x 6L VH LQWHQWD HQFRQWUDU XQD

6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 243

solución en serie de potencias respecto al punto singular regular x ϭ HQ SDUWLFXODU
y n 0 cn xn VH WHQGUtD p[LWR HQ REWHQHU VyOR OD VROXFLyQ SROLQRPLDO y1 ϭ x (O
KHFKR GH TXH QR VH REWXYLHUD OD VHJXQGD VROXFLyQ QR HV VRUSUHQGHQWH SRUTXH OQ x (y en
consecuencia y ϭ x ln x) no es analítica en x ϭ HV GHFLU y no tiene un desarrollo
HQ VHULH GH 7D\ORU FHQWUDGR HQ x ϭ

MÉTODO DE FROBENIUS 3DUD UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO UHVSHFWR D
XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU VH HPSOHD HO VLJXLHQWH WHRUHPD GHELGR DO HPLQHQWH PDWHPi-
WLFR DOHPiQ )HUGLQDQG *HRUJ )UREHQLXV

TEOREMA 6.3.1 Teorema de Frobenius

Si x ϭ x0 HV XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQWRQFHV
H[LVWH DO PHQRV XQD VROXFLyQ GH OD IRUPD

y (x x0)r cn(x x0)n cn(x x0)n r, (4)

n0 n0

GRQGH HO Q~PHUR r HV XQD FRQVWDQWH SRU GHWHUPLQDU /D VHULH FRQYHUJH SRU OR
PHQRV HQ DOJ~Q LQWHUYDOR Ͻ x – x0 Ͻ R

2EVHUYH ODV SDODEUDV al menos HQ HO SULPHU HQXQFLDGR GHO WHRUHPD (VWR VLJQL¿FD
TXH HQ FRQWUDVWH FRQ HO WHRUHPD HO WHRUHPD QR JDUDQWL]D TXH VHD SRVLEOH HQ-
contrar dos VROXFLRQHV HQ VHULH GHO WLSR LQGLFDGR HQ (O método de Frobenius SDUD
encontrar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x0 HV VLPLODU DO PpWRGR
GH FRH¿FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV GH VHULHV GH OD VHFFLyQ DQWHULRU HQ OD TXH VH VXVWLWX\H
y n 0 cn(x x0)n r HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD \ VH GHWHUPLQDQ ORV FRH¿FLHQWHV
desconocidos cn FRQ XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD 6LQ HPEDUJR VH WLHQH XQD WDUHD PiV HQ
HVWH SURFHGLPLHQWR DQWHV GH GHWHUPLQDU ORV FRH¿FLHQWHV VH GHEH HQFRQWUDU HO H[SRQHQWH
desconocido r 6L VH HQFXHQWUD TXH r HV XQ Q~PHUR TXH QR HV XQ HQWHUR QHJDWLYR HQWRQ-
ces la solución correspondiente y n 0 cn(x x0)n r QR HV XQD VHULH GH SRWHQFLDV

&RPR VH KL]R HQ HO DQiOLVLV GH VROXFLRQHV UHVSHFWR D SXQWRV RUGLQDULRV VLHPSUH
VXSRQGUHPRV SRU UD]RQHV GH VLPSOLFLGDG DO UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH HO
punto singular regular es x ϭ

EJEMPLO 2 Dos soluciones en series

'HELGR D TXH x ϭ 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (5)
3xy y y 0,

tratamos de encontrar una solución de la forma y n 0 cn xn r. $KRUD

y (n r)cn xn r 1 y y (n r)(n r 1)cn xn r 2,

n0 n0

por lo que

3xy y y 3 (n r)(n r 1)cn xn r 1 (n r) cn xn r 1 cn x n r

n0 n0 n0

(n r)(3n 3r 2)cnxn r 1 cn x n r

n0 n0

x r r (3r 2) c0 x 1 (n r)(3n 3r 2) cn xn 1 cn xn

1n 41 44442444443 n1023

k n1 kn

x r r (3r 2)c0 x 1 [(k r 1)(3k 3r 1) ck 1 ck] x k 0,

k0

244 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

lo que implica que r r Ϫ c ϭ 0
0

y (k r 1)(3k 3r 1)ck 1 ck 0, k 0, 1, 2, . . .

Ya que no se ha ganado nada al hacer c0 ϭ HQWRQFHV GHEHPRV WHQHU
r(3r 2) 0

y ck 1 (k r ck 3r , k 0, 1, 2, . . .
1)(3k 1)

&XDQGR VH VXVWLWX\H HQ ORV GRV YDORUHV GH r TXH VDWLVIDFHQ OD HFXDFLyQ FXDGUiWLFD

r1 2 y r ϭ VH REWLHQHQ GRV UHODFLRQHV GH UHFXUUHQFLD GLIHUHQWHV
3

r1 23, ck 1 (3k ck , k 0, 1, 2, . . .
5) (k 1)

r2 0, ck 1 (k ck , k 0, 1, 2, . . . .
1)(3k 1)

'H HQFRQWUDPRV 'H HQFRQWUDPRV

c1 c0 c1 c0
51 11

c2 c1 c0 c2 c1 c0
82 2!5 8 24 2!1 4

c3 c2 c0 11 c3 c2 c0
11 3 3!5 8 37 3!1 4 7

c4 c3 c0 c4 c3 c0
14 4 4!5 8 11 14 4 10 4!1 4 7 10

cn c0 . cn c0 .
n!5 8 11 (3n 2) n!1 4 7 (3n 2)

$TXt VH HQFXHQWUD DOJR TXH QR RFXUULy FXDQGR VH REWXYLHURQ VROXFLRQHV UHVSHFWR D XQ

SXQWR RUGLQDULR VH WLHQH OR TXH SDUHFHQ VHU GRV FRQMXQWRV GH FRH¿FLHQWHV GLIHUHQWHV

SHUR FDGD FRQMXQWR FRQWLHQH HO mismo P~OWLSOR c0 6L VH RPLWH HVWH WpUPLQR ODV VROX-
ciones en serie son

y1(x) x2/ 3 1 1 xn (10)
2)
n 1 n!5 8 11 (3n

y2(x) x0 1 1 xn . (11)
2)
n 1 n!1 4 7 (3n

&RQ HO FULWHULR GH OD UD]yQ VH SXHGH GHPRVWUDU TXH \ FRQYHUJHQ SDUD WRGRV ORV

YDORUHV GH x HV GHFLU ͉ x ͉ Ͻ ϱ 7DPELpQ GHEH VHU HYLGHQWH GH OD IRUPD GH HVWDV VROX-

FLRQHV TXH QLQJXQD VHULH HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH OD RWUD \ SRU WDQWR y1(x) y y (x)
VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV HQ WRGR HO HMH x $Vt SRU HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ

y ϭ C y (x) ϩ C y (x HV RWUD VROXFLyQ GH (Q FXDOTXLHU LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD
1 1
DO RULJHQ WDO FRPR ϱ HVWD FRPELQDFLyQ OLQHDO UHSUHVHQWD OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD

HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

ECUACIÓN INDICIAL /D HFXDFLyQ VH OODPD ecuación indicial GHO SUREOHPD \

ORV YDORUHV r1 2 y r ϭ 0 se llaman raíces indiciales R exponentes GH OD VLQJXODULGDG
3
x ϭ (Q JHQHUDO GHVSXpV GH VXVWLWXLU y n 0 cn xn r en la ecuación diferencial dada

\ VLPSOL¿FDQGR OD HFXDFLyQ LQGLFLDO HV XQD HFXDFLyQ FXDGUiWLFD HQ r que resulta de igua-

ODU D FHUR HO FRH¿FLHQWH WRWDO GH OD SRWHQFLD PtQLPD GH [ 6H HQFXHQWUDQ ORV GRV YDORUHV

de r \ VH VXVWLWX\HQ HQ XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD FRPR (O WHRUHPD JDUDQWL]D

TXH DO PHQRV VH SXHGH HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ GH OD VXSXHVWD IRUPD HQ VHULH

6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 245

(V SRVLEOH REWHQHU OD HFXDFLyQ LQGLFLDO DQWHV GH VXVWLWXLU y n 0 cn xn r en la
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO 6L x ϭ HV XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU GH HQWRQFHV SRU OD GH¿QL-
FLyQ DPEDV IXQFLRQHV p(x) ϭ xP(x) y q(x) ϭ x Q(x GRQGH P y Q VH GH¿QHQ SRU OD

IRUPD HVWiQGDU VRQ DQDOtWLFDV HQ x ϭ HV GHFLU ORV GHVDUUROORV HQ VHULH GH SRWHQFLDV

p(x) xP(x) a0 a1x a2x2 y q(x) x2Q(x) b0 b1x b2x2

VRQ YiOLGDV HQ LQWHUYDORV TXH WLHQHQ XQ UDGLR GH FRQYHUJHQFLD SRVLWLYR 0XOWLSOLFDQGR
SRU x VH REWLHQH OD IRUPD GDGD HQ

x2y x[xP(x)]y [x2Q(x)]y 0.

Después de sustituir y n 0 cn xn r \ ODV GRV VHULHV HQ ODV HFXDFLRQHV \ \
UHDOL]DQGR OD PXOWLSOLFDFLyQ GH OD VHULH VH HQFXHQWUD TXH OD HFXDFLyQ LQGLFLDO JHQHUDO HV

r (r 1) a0r b0 0, (14)

donde a0 y b0 VRQ FRPR VH GH¿QH HQ 9pDQVH ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

EJEMPLO 3 Dos soluciones en series

5HVXHOYD xyЉ ϩ (1 ϩ x)yЈ ϩ y ϭ

SOLUCIÓN Sustituyendo y n 0 cn xn r VH REWLHQH

ϱϱ

͚ ͚2xy Љ ϩ (1 ϩ x)yЈ ϩ y ϭ 2 (n ϩ r)(n ϩ r Ϫ 1)cnx nϩrϪ1 ϩ (n ϩ r )cnx nϩrϪ1
nϭ0 nϭ0

ϱϱ

͚ ͚ϩ (n ϩ r)cnx nϩr ϩ cnx nϩr
nϭ0 nϭ0

ϱϱ

͚ ͚ϭ (n ϩ r)(2n ϩ 2r Ϫ 1)cnx nϩrϪ1 ϩ (n ϩ r ϩ 1)cnx nϩr
nϭ0 nϭ0
[ ͚ ͚ ]ϱ ϱ

ϭ xr r(2r Ϫ 1)c0xϪ1 ϩ (n ϩ r)(2n ϩ 2r Ϫ 1)cnx nϪ1 ϩ (n ϩ r ϩ 1)cnx n

nϭ1 nϭ0

kϭnϪ1 kϭn

[ ͚ ]ϱ

ϭ xr r(2r Ϫ 1)c0xϪ1 ϩ [(k ϩ r ϩ 1)(2k ϩ 2r ϩ 1)ckϩ1 ϩ (k ϩ r ϩ 1)ck]xk ,

kϭ0

lo que implica que r(2r 1) 0 (15)

y (k r 1)(2k 2r 1)ck 1 (k r 1)ck 0,

k ϭ 'H YHPRV TXH ODV UDtFHV LQGLFLDOHV VRQ r1 1 y r ϭ
2

3DUD r1 1 VH SXHGH GLYLGLU HQWUH k 3 HQ SDUD REWHQHU
2 2

ck 1 ck , k 0, 1, 2, . . . ,
2(k 1)

mientras que para r ϭ VH FRQYLHUWH HQ

ck 1 ck , k 0, 1, 2, . . . .
2k 1

246 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

'H HQFRQWUDPRV 'H HQFRQWUDPRV

c1 c0 c1 c0
21 1

c2 c1 c0 c2 c1 c0
22 22 2! 3 13

c3 c2 c0 c3 c2 c0
23 23 3! 5 135

c4 c3 c0 c4 c3 c0
24 24 4! 7 1357

cn ( 1) n c0 . cn ( 1)nc0 .
2n n! 1 3 5 7 (2n 1)

3RU OR TXH SDUD OD UDt] LQGLFLDO r1 1 VH REWLHQH OD VROXFLyQ
2

y1(x) x1/2 1 ( 1)n x n ( 1)n x n 1/2 ,
2n n! 2n n!
n 1 n 0

GRQGH GH QXHYR VH RPLWLy c0 (VWD VHULH FRQYHUJH SDUD x Ն FRPR VH KD GDGR OD VHULH
QR HVWi GH¿QLGD SDUD YDORUHV QHJDWLYRV GH x GHELGR D OD SUHVHQFLD GH x1͞ 3DUD r ϭ
una segunda solución es

y2 (x) ( 1)n xn, x .
1 1)

n 1 1 3 5 7 (2n

(Q HO LQWHUYDOR ϱ) la solución general es y ϭ C1y1(x) ϩ C y (x

EJEMPLO 4 Sólo una solución en serie

5HVXHOYD xyЉ ϩ y ϭ

SOLUCIÓN De xP(x) ϭ x Q(x) ϭ x y el hecho de que 0 y x son sus propias series
GH SRWHQFLDV FHQWUDGDV HQ VH FRQFOX\H TXH a0 ϭ 0 y b0 ϭ SRU WDQWR GH OD HFXDFLyQ
(14) la ecuación indicial es r (r Ϫ 1) ϭ 6H GHEH FRPSUREDU TXH ODV GRV UHODFLRQHV GH
recurrencia correspondientes a las raíces indiciales r1 ϭ 1 y r ϭ SURGXFHQ H[DFWD-
PHQWH HO PLVPR FRQMXQWR GH FRH¿FLHQWHV (Q RWUDV SDODEUDV HQ HVWH FDVR HO PpWRGR GH
)UREHQLXV SURGXFH VyOR XQD VROXFLyQ HQ VHULH

y1(x) ( 1)n xn 1 x 1 x2 1 x3 1 x4 .
n 0 n!(n 1)! 2 12 144

TRES CASOS 3RU UD]RQHV GH DQiOLVLV GH QXHYR VH VXSRQH TXH x ϭ 0 es un punto sin-
gular regular de la ecuación (1) y que las raíces indiciales r1 y r de la singularidad son
UHDOHV &XDQGR XVDPRV HO PpWRGR GH )UREHQLXV VH GLVWLQJXHQ WUHV FDVRV TXH FRUUHVSRQ-
GHQ D OD QDWXUDOH]D GH ODV UDtFHV LQGLFLDOHV r1 y r (Q ORV GRV SULPHURV FDVRV HO VtPEROR r1
GHQRWD OD PiV JUDQGH GH GRV UDtFHV GLVWLQWDV HV GHFLU r1 Ͼ r (Q HO ~OWLPR FDVR r1 ϭ r

CASO I: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – r QR HV XQ HQWHUR SRVLWLYR HQWRQ-
FHV H[LVWHQ GRV VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD HFXDFLyQ GH OD IRUPD

y1(x) cn xn r1, c0 0, y2(x) bn xn r2, b0 0.

n0 n0

(VWH HV HO FDVR TXH VH LOXVWUD HQ ORV HMHPSORV \

$ FRQWLQXDFLyQ VXSRQHPRV TXH OD GLIHUHQFLD GH ODV UDtFHV HV N GRQGH N es un
HQWHUR SRVLWLYR (Q HVWH FDVR OD VHJXQGD VROXFLyQ podría FRQWHQHU XQ ORJDULWPR

6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 247

CASO II: Si r1 y r son distintas y la diferencia r1 – r HV XQ HQWHUR SRVLWLYR HQWRQFHV
H[LVWHQ GRV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD IRUPD

y1(x) cn xn r1, c0 0,

n0

y2(x) Cy1(x) ln x bn xn r2, b0 0,

n0

donde C HV XQD FRQVWDQWH TXH SRGUtD VHU FHUR

)LQDOPHQWH HQ HO ~OWLPR FDVR HO FDVR FXDQGR r1 ϭ r XQD VHJXQGD VROXFLyQ
siempre WLHQH XQ ORJDULWPR /D VLWXDFLyQ HV VLPLODU D OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GH

&DXFK\ (XOHU FXDQGR ODV UDtFHV GH OD HFXDFLyQ DX[LOLDU VRQ LJXDOHV

CASO III: Si r1 y r VRQ LJXDOHV HQWRQFHV H[LVWHQ GRV VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGH-
pendientes de la ecuación (1) de la forma

y1(x) cn xn r1, c0 0,

n0

y2(x) y1(x) ln x bn xn r1.

n1

DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN Cuando la diferencia r1 – r
HV XQ HQWHUR SRVLWLYR FDVR ,, VH podría o no encontrar dos soluciones de la forma

y n 0 cn xn r (VWR HV DOJR TXH QR VH VDEH FRQ DQWLFLSDFLyQ SHUR VH GHWHUPLQD GHV-
SXpV GH KDEHU HQFRQWUDGR ODV UDtFHV LQGLFLDOHV \ KDEHU H[DPLQDGR FRQ FXLGDGR OD UHODFLyQ

GH UHFXUUHQFLD TXH GH¿QHQ ORV FRH¿FLHQWHV cn 6H SRGUtD WHQHU OD IRUWXQD GH HQFRQWUDU GRV
soluciones que impliquen sólo potencias de x HV GHFLU y1(x) n 0 cn xn r1 (ecuación
O \ y2(x) n 0 bn xn r2 HFXDFLyQ FRQ C ϭ 9pDVH HO SUREOHPD GH ORV
HMHUFLFLRV 3RU RWUR ODGR HQ HO HMHPSOR VH YH TXH OD GLIHUHQFLD GH ODV UDtFHV LQGLFLDOHV

HV XQ HQWHUR SRVLWLYR r1 – r ϭ \ HO PpWRGR GH )UREHQLXV IDOOD HQ REWHQHU XQD VHJXQGD
VROXFLyQ HQ VHULH (Q HVWD VLWXDFLyQ OD HFXDFLyQ FRQ C LQGLFD TXH OD VHJXQ

GD VROXFLyQ VH SDUHFH 3RU ~OWLPR FXDQGR OD GLIHUHQFLD r1 – r HV XQ FHUR FDVR ,,, HO Pp-
WRGR GH )UREHQLXV QR GD XQD VROXFLyQ HQ VHULH OD VHJXQGD VROXFLyQ VLHPSUH FRQWLHQH

XQ ORJDULWPR \ VH SXHGH GHPRVWUDU TXH HV HTXLYDOHQWH D FRQ C ϭ 8QD IRUPD GH

REWHQHU OD VHJXQGD VROXFLyQ FRQ HO WpUPLQR ORJDUtWPLFR HV XVDU HO KHFKR GH TXH

y2(x) y1(x) e P( x) d x dx

y12(x)

WDPELpQ HV XQD VROXFLyQ GH yЉ ϩ P(x)yЈ ϩ Q(x)y ϭ VLHPSUH \ FXDQGR y1(x) sea una
VROXFLyQ FRQRFLGD (Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH LOXVWUD FyPR XVDU OD HFXDFLyQ

EJEMPLO 5 Vuelta al ejemplo 4 usando un SAC

Encuentre la solución general de xyЉ ϩ y ϭ

SOLUCIÓN 'H OD FRQRFLGD VROXFLyQ GDGD GHO HMHPSOR

y1(x) x 1 x2 1 x3 1 x4 ,
2 12 144

se puede construir una segunda solución y (x XVDQGR OD IyUPXOD 4XLHQHV WHQJDQ
WLHPSR HQHUJtD \ SDFLHQFLD SXHGHQ UHDOL]DU HO DEXUULGR WUDEDMR GH HOHYDU DO FXDGUDGR XQD
VHULH OD GLYLVLyQ ODUJD \ OD LQWHJUDFLyQ GHO FRFLHQWH D PDQR 3HUR WRGDV HVWDV RSHUDFLR
QHV VH UHDOL]DQ FRQ UHODWLYD IDFLOLGDG FRQ OD D\XGD XQ 6$& 6H REWLHQHQ ORV UHVXOWDGRV

y2(x) e ∫0dx y1(x) dx
y1(x) [ y1(x)]2 dx
x 1 x2 1 x3 1 x4 2

2 12 144

248 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

y1(x) dx
x2 x3 5 x4 7 x5
GHVSXpV GH HOHYDU DO FXDGUDGR
12 72

y1(x) 1 1 7 19 dx GHVSXpV GH OD GLYLVLyQ ODUJD
x
x2 x 12 72

y1(x) 1 7 19 x2 después de integrar
ln x x
x 12 144

y1(x) ln x y1(x) 1 7 19 x2 ,
x
x 12 144

o y2(x) y1(x) ln x 1 1 1 x2 . d;espués de multiplicar
x
22

(Q HO LQWHUYDOR ϱ) la solución general es y ϭ C y (x) ϩ C y (x
1 1

2EVHUYH TXH OD IRUPD ¿QDO GH y HQ HO HMHPSOR FRUUHVSRQGH D FRQ C ϭ 1; la serie
HQWUH SDUpQWHVLV FRUUHVSRQGH D OD VXPD HQ FRQ r ϭ

COMENTARIOS

i /DV WUHV IRUPDV GLVWLQWDV GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ
HQ \ VH XVDURQ SDUD DQDOL]DU YDULRV FRQFHSWRV WHyULFRV 3HUR D QLYHO
SUiFWLFR FXDQGR VH WLHQH TXH UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQ HO PpWRGR
GH )UREHQLXV VH UHFRPLHQGD WUDEDMDU FRQ OD IRUPD GH OD (' GDGD HQ

ii) Cuando la diferencia de las raíces indiciales r1 – r HV XQ HQWHUR SRVLWLYR
(r1 Ͼ r D YHFHV GD UHVXOWDGR LWHUDU OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD XVDQGR SULPHUR
OD UDt] r PiV SHTXHxD 9pDQVH ORV SUREOHPDV \ HQ ORV HMHUFLFLRV
iii 'HELGR D TXH XQD UDt] LQGLFLDO r HV XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ FXDGUiWLFD
pVWD SRGUtD VHU FRPSOHMD 6LQ HPEDUJR HVWH FDVR QR VH DQDOL]D

iv) Si x ϭ HV SXQWR VLQJXODU LUUHJXODU HQWRQFHV HV SRVLEOH TXH QR VH HQFXHQWUH
ninguna solución de la ED de la forma y n 0 cn xn r.

EJERCICIOS 6.3 Las respuestas a los problemas seleccionados con número impar comienzan en la página RES-9.

(Q ORV SUREOHPDV D GHWHUPLQH ORV SXQWRV VLQJXODUHV GH OD (Q ORV SUREOHPDV \ HVFULED OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD
HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD &ODVL¿TXH FDGD SXQWR VLQJXODU FRPR HQ OD IRUPD SDUD FDGD SXQWR VLQJXODU UHJXODU GH OD HFXDFLyQ
UHJXODU R LUUHJXODU ,GHQWL¿TXH ODV IXQFLRQHV p(x) y q(x

1. x yЉ ϩ 4x yЈ ϩ y ϭ 0 11. (x Ϫ 1)yЉ ϩ 5(x ϩ 1)yЈ ϩ (x Ϫ x)y ϭ 0

2. x(x ϩ yЉ Ϫ y ϭ 0 12. xyЉ ϩ (x ϩ yЈ ϩ x y ϭ 0

3. (x Ϫ yЉ ϩ (x ϩ yЈ ϩ y ϭ 0 (Q ORV SUREOHPDV \ x ϭ 0 es un punto singular regular de

4. y 11 OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 8VH OD IRUPD JHQHUDO GH OD HFXD-
y (x 1)3 y 0
x ción indicial en (14) para encontrar las raíces indiciales de la

5. (x ϩ 4x)yЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ 0 VLQJXODULGDG 6LQ UHVROYHU LQGLTXH HO Q~PHUR GH VROXFLRQHV HQ

6. x (x Ϫ 5) yЉ ϩ 4xyЈ ϩ (x Ϫ y ϭ 0 VHULH TXH VH HVSHUDUtD HQFRQWUDU XVDQGR HO PpWRGR GH )UREHQLXV

( )13. x2y 5 x x2 y 1 y 0
3 3
7. (x ϩ x Ϫ yЉ ϩ (x ϩ yЈ ϩ (x Ϫ y ϭ 0
14. xyЉ ϩ yЈ ϩ 10y ϭ 0

8. x(x ϩ 1) yЉ ϩ y ϭ 0 (Q ORV SUREOHPDV D x ϭ 0 es un punto singular regular de
OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO 0XHVWUH TXH ODV UDtFHV LQGLFLDOHV GH OD
9. x (x Ϫ x Ϫ yЉ ϩ x(x Ϫ yЈ ϩ x ϩ 5)y ϭ 0 VLQJXODULGDG QR GL¿HUHQ SRU XQ HQWHUR 8VH HO PpWRGR GH )UREH

10. (x Ϫ x ϩ x) yЉ ϩ x(x Ϫ yЈ Ϫ (x ϩ 1) y ϭ 0

6.3 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES l 249

QLXV SDUD REWHQHU GRV VROXFLRQHV HQ VHULH OLQHDOPHQWH LQGHSHQ d2y Py 0, y(0) 0, y(L) 0.
dientes respecto a x ϭ )RUPH OD VROXFLyQ JHQHUDO HQ ϱ EI dx2

15. xyЉ Ϫ yЈ ϩ y ϭ 0 /D VXSRVLFLyQ DTXt HV TXH OD FROXPQD HVWi DELVDJUDGD HQ

16. xyЉ ϩ 5yЈ ϩ xy ϭ 0 DPERV H[WUHPRV /D FROXPQD VH SDQGHD VyOR FXDQGR OD

17. 4xy 1 y y0 IXHU]D FRPSUHVLYD HV XQD FDUJD FUtWLFD Pn
2
a) ( Q HVWH SUREOHPD VH VXSRQH TXH OD FROXPQD HV GH
18. x yЉ Ϫ xyЈ ϩ (x ϩ 1)y ϭ 0
longitud L HVWi DELVDJUDGD HQ DPERV H[WUHPRV WLHQH
19. xyЉ ϩ Ϫ x)yЈ Ϫ y ϭ 0
VHFFLRQHV WUDQVYHUVDOHV FLUFXODUHV \ HV FyQLFD FRPR VH
( )20. x2y
x 2 y 0 PXHVWUD HQ OD ¿JXUD D 6L OD FROXPQD XQ FRQR
9

21. xyЉ Ϫ ϩ x)yЈ ϩ y ϭ 0 WUXQFDGR WLHQH XQ D¿ODPLHQWR OLQHDO y ϭ cx FRPR VH

( )22. x2y xy x2 4 y 0 PXHVWUD HQ OD VHFFLyQ WUDQVYHUVDO GH OD ¿JXUD E
9
HO PRPHQWR GH LQHUFLD GH XQD VHFFLyQ WUDQVYHUVDO UHV-

23. x yЉ ϩ x yЈ ϩ y ϭ 0 SHFWR D XQ HMH SHUSHQGLFXODU DO SODQR xy es I 1 r4
4
donde r ϭ y y y ϭ cx 3RU WDQWR HVFULELPRV I(x) ϭ
24. x yЉ ϩ xyЈ ϩ x Ϫ 1)y ϭ 0
I0(x͞b)4 GRQGH I0 I(b) 1 (c b)4 Sustituyendo
(Q ORV SUREOHPDV D x ϭ 0 es un punto singular regular 4
GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 'HPXHVWUH TXH ODV UDtFHV LQGL-
FLDOHV GH OD VLQJXODULGDG GL¿HUHQ SRU XQ HQWHUR 8VH HO PpWRGR I(x HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ YHPRV TXH OD
GH )UREHQLXV SDUD REWHQHU DO PHQRV XQD VROXFLyQ HQ VHULH UHV-
pecto a x ϭ 8VH OD HFXDFLyQ GRQGH VHD QHFHVDULR \ XQ GHÀH[LyQ HQ HVWH FDVR VH GHWHUPLQD GHO 39)
6$& FRPR VH LQGLFD SDUD HQFRQWUDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ
)RUPH OD VROXFLyQ JHQHUDO HQ ϱ x 4 d 2y y 0, y(a) 0, y(b) 0,
d x2

25. xyЉ ϩ yЈ Ϫ xy ϭ 0 donde ␭ ϭ Pb4͞EI0 8VH ORV UHVXOWDGRV GHO SUREOHPD
SDUD HQFRQWUDU ODV FDUJDV FUtWLFDV Pn para la columna
( )26. x2y xy x2 1 y 0 FyQLFD 8VH XQD LGHQWLGDG DSURSLDGD SDUD H[SUHVDU ORV
4 modos de pandeo yn(x FRPR XQD VROD IXQFLyQ
3
28. y y 2y 0 y

27. xyЉ Ϫ xyЈ ϩ y ϭ 0 x P
30. xyЉ ϩ yЈ ϩ y ϭ 0 x=a
29. xyЉ ϩ (1 Ϫ x)yЈ Ϫ y ϭ 0

(Q ORV SUREOHPDV \ x ϭ 0 es un punto singular regular de b−a=L
OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD 'HPXHVWUH TXH ODV UDtFHV LQGLFLD- L y = cx
OHV GH OD VLQJXODULGDG GL¿HUHQ SRU XQ HQWHUR 8VH OD UHODFLyQ GH
UHFXUUHQFLD HQFRQWUDGD SRU HO PpWRGR GH )UREHQLXV SULPHUR FRQ x=b
OD UDt] PiV JUDQGH r1 ¢&XiQWDV VROXFLRQHV HQFRQWUy" $ FRQWL-
QXDFLyQ XVH OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD FRQ OD UDt] PiV SHTXHxD x
r ¢&XiQWDV VROXFLRQHV HQFRQWUy"
a) b)
31. xyЉ ϩ (x Ϫ yЈ Ϫ y ϭ 0 32. x(x Ϫ 1)yЉ ϩ yЈ Ϫ y ϭ 0
FIGURA 6.3.1 &ROXPQD FyQLFD GHO SUREOHPD
33. a) / D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO x 4yЉ ϩ ␭y ϭ 0 tiene un punto
b) 8 VH XQ 6$& SDUD WUD]DU OD JUi¿FD GHO SULPHU PRGR GH
singular irregular en x ϭ 'HPXHVWUH TXH OD VXVWLWX- pandeo y (x) correspondiente a la carga de Euler P

ción t ϭ l͞x produce la ED 11

d2y 2 dy y 0, cuando b ϭ 11 y a ϭ
dt2 t dt
Problemas para analizar
que ahora tiene un punto singular regular en t ϭ 35. $QDOLFH FyPR GH¿QLUtD XQ SXQWR VLQJXODU UHJXODU SDUD OD

b) 8VH HO PpWRGR GH HVWD VHFFLyQ SDUD HQFRQWUDU GRV VR- ecuación diferencial lineal de primer orden
luciones en serie de la segunda ecuación del inciso a)
respecto a un punto singular regular t ϭ a3(x)y a2(x)y a1(x)y a0(x)y 0.
36. Cada una de las ecuaciones diferenciales
c) ( [SUHVH FDGD VROXFLyQ HQ VHULH GH OD HFXDFLyQ RULJLQDO
HQ WpUPLQRV GH IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV x3y y 0 y x2y (3x 1)y y 0
tiene un punto singular irregular en x ϭ 'HWHUPLQH VL
Modelo matemático HO PpWRGR GH )UREHQLXV SURGXFH XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH
cada ecuación diferencial respecto a x ϭ $QDOLFH \ H[-
34. Pandeo de una columna cónica (Q HO HMHPSOR GH OD SOLTXH VXV KDOOD]JRV
VHFFLyQ YLPRV TXH FXDQGR XQD IXHU]D FRPSUHVLYD YHU- 37. 6H KD YLVWR TXH x ϭ 0 es un punto singular regular de cual-
tical constante o carga P se aplica a una columna delgada quier ecuación de Cauchy-Euler ax yЉ ϩ bxyЈ ϩ cy ϭ
GH VHFFLyQ WUDQVYHUVDO XQLIRUPH OD GHÀH[LyQ y(x) fue una ¢(VWiQ UHODFLRQDGDV OD HFXDFLyQ LQGLFLDO SDUD XQD
VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD HFXDFLyQ GH &DXFK\ (XOHU \ VX HFXDFLyQ DX[LOLDU" $QDOLFH

250 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

6.4 FUNCIONES ESPECIALES

REPASO DE MATERIAL
l SHFFLRQHV \

INTRODUCCIÓN En los Comentarios DO ¿QDO GH OD VHFFLyQ PHQFLRQDPRV OD UDPD GH ODV PDWH-
PiWLFDV FRQRFLGD FRPR IXQFLRQHV HVSHFLDOHV 4XL]iV XQ PHMRU WtWXOR SDUD HVWH FDPSR GH ODV PDWHPiWL-
FDV DSOLFDGDV SRGUtD VHU IXQFLRQHV FRQ QRPEUH SRUTXH PXFKDV GH ODV IXQFLRQHV HVWXGLDGDV WLHQHQ QRP-
EUHV SURSLRV IXQFLRQHV GH %HVVHO IXQFLRQHV GH /HJHQGUH IXQFLRQHV GH $LU\ SROLQRPLRV GH &KHE\VKHY
SROLQRPLRV GH +HUPLWH SROLQRPLRV GH /DJXHUUH IXQFLyQ KLSHUJHRPpWULFD GH *DXVV IXQFLRQHV GH
0DWKLHX HWFpWHUD +LVWyULFDPHQWH ODV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV IXHURQ FRQ IUHFXHQFLD VXESURGXFWRV GH OD
QHFHVLGDG DOJXLHQ QHFHVLWDED XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO PX\ HVSHFLDOL]DGD \ SRGtD GLV-
FHUQLU PXFKDV SURSLHGDGHV GH OD IXQFLyQ D SDUWLU GH OD IRUPD GH OD VHULH GH OD VROXFLyQ

(Q HVWD VHFFLyQ XWLOL]DUHPRV ORV PpWRGRV GH ODV VHFFLRQHV \ SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV GH

las dos ecuaciones diferenciales

x2y xy (x2 2)y 0 (1)

(1 x2)y 2xy n(n 1)y 0

VH SUHVHQWDQ HQ HVWXGLRV DYDQ]DGRV GH PDWHPiWLFDV DSOLFDGDV ItVLFD H LQJHQLHUtD 6H OODPDQ ecuación
de Bessel de orden v OODPDGD DVt HQ KRQRU GHO PDWHPiWLFR \ DVWUyQRPR DOHPiQ )ULHGULFK :LOKHOP
%HVVHO \ OD ecuación de Legendre de orden n OODPDGD DVt SRU HO PDWHPiWLFR IUDQFpV
$GULHQ 0DULH /HJHQGUH &XDQGR UHVROYHPRV OD HFXDFLyQ VH VXSRQH TXH ␯ Ն PLHQ-
WUDV TXH HQ VyOR FRQVLGHUDUHPRV HO FDVR FXDQGR n HV XQ HQWHUR QR QHJDWLYR

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL 'HELGR D TXH x ϭ 0 es un punto sin-
JXODU UHJXODU GH OD HFXDFLyQ GH %HVVHO VH VDEH TXH H[LVWH DO PHQRV XQD VROXFLyQ GH OD
forma y n 0 cn xn r. 6XVWLWX\HQGR OD ~OWLPD H[SUHVLyQ HQ VH REWLHQH

x2y xy (x2 2)y cn(n r)(n r 1)xn r cn(n r)xn r cn xn r 2 2 cn xn r

n0 n0 n0 n0

c0(r2 r r 2)xr xr cn[(n r)(n r 1) (n r) 2]xn xr cnxn 2

n1 n0

c0(r2 2)xr xr cn[(n r)2 2]xn xr cn xn 2.

n1 n0

'H VH YH TXH OD HFXDFLyQ LQGLFLDO HV r Ϫ ␯ ϭ GH PRGR TXH ODV UDtFHV LQGLFLDOHV
son r1 ϭ ␯ y r ϭ Ϫ␯ &XDQGR r1 ϭ ␯ OD HFXDFLyQ VH FRQYLHUWH HQ

xn cnn(n 2n)xn xn cnx n 2

n1 n0

[xn (1 2n)c1x cnn(n 2n)x n ]cnxn 2

n2 n0

kn2 kn

[xn (1 2n)c1x [(k 2)(k 2 2n)ck 2 ]ck]xk 2 0.

k0

3RU WDQWR SRU HO DUJXPHQWR XVXDO SRGHPRV HVFULELU ϩ ␯)c1 ϭ 0 y

(k 2)(k 2 2 )ck 2 ck 0

o ck 2 (k ck , k 0, 1, 2, . . . (4)
2)(k 2 2)

6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 251

/D HOHFFLyQ c1 ϭ 0 en (4) implica que c3 c5 c7 0, por lo que para

k ϭ VH HQFXHQWUD GHVSXpV GH HVWDEOHFHU k ϩ ϭ n n ϭ TXH

c2n c2n 2 . (5)
22n(n )

3RU OR TXH c2 c0 )
c4 22 1 (1
c6
c2 c0 )
22 2(2 ) 24 1 2(1 )(2

c4 ) c0
22 3(3 26 1 2 3(1 )(2 )(3 )

c2n 22nn!(1 ( 1)nc0 (n , n 1, 2, 3, . . . .
)(2 ) )

(Q OD SUiFWLFD VH DFRVWXPEUD HOHJLU D c0 como ,
1 )

c0 2 (1

donde ⌫(1 ϩ ␯ HV OD IXQFLyQ JDPPD 9pDVH HO DSpQGLFH , 3XHVWR TXH HVWD ~OWLPD IXQ-
FLyQ SRVHH OD SURSLHGDG FRQYHQLHQWH ⌫(1 ϩ ␣) ϭ ␣⌫(␣) VH SXHGH UHGXFLU HO SURGXFWR
LQGLFDGR HQ HO GHQRPLQDGRU GH D XQ WpUPLQR 3RU HMHPSOR

(1 1) (1 ) (1 )

(1 2) (2 ) (2 ) (2 )(1 ) (1 ).

3RU WDQWR VH SXHGH HVFULELU FRPR

( 1)n ( 1)n
c2n 22n n!(1 )(2 )
(n ) (1 ) 22n n! (1 n)

para n ϭ

FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE 6L VH XVDQ ORV FRH¿FLHQWHV c n ape-
QDV REWHQLGRV \ r ϭ ␯ XQD VROXFLyQ HQ VHULH GH OD HFXDFLyQ HV y n 0 c2n x2n .
Esta solución usualmente se denota por J␯(x):

( 1)n x 2n
J (x)
n 0 n! (1 n) 2

Si ␯ Ն OD VHULH FRQYHUJH DO PHQRV HQ HO LQWHUYDOR > ϱ 7DPELpQ SDUD HO VHJXQGR
H[SRQHQWH r ϭ Ϫ␯ VH REWLHQH H[DFWDPHQWH GH OD PLVPD PDQHUD

( 1)n x 2n
J (x)
n 0 n! (1 n) 2

/DV IXQFLRQHV J␯(x) y JϪ␯(x) se llaman IXQFLRQHV GH %HVVHO GH SULPHUD FODVH de orden
␯ y Ϫ␯ UHVSHFWLYDPHQWH 'HSHQGLHQGR GHO YDORU GH ␯ SXHGH FRQWHQHU SRWHQFLDV
QHJDWLYDV GH x \ SRU WDQWR FRQYHUJHU HQ ϱ


$KRUD VH GHEH WHQHU FXLGDGR DO HVFULELU OD VROXFLyQ JHQHUDO GH &XDQGR ␯ ϭ
HV HYLGHQWH TXH \ VRQ ODV PLVPDV 6L ␯ Ͼ 0 y r1 Ϫ r ϭ ␯ Ϫ (Ϫ␯) ϭ ␯ no es un
HQWHUR SRVLWLYR VH WLHQH GHO FDVR , GH OD VHFFLyQ TXH J␯(x) y JϪ␯(x) son soluciones
OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH HQ ϱ \ SRU WDQWR OD VROXFLyQ JHQHUDO GHO LQWHU-
YDOR HV y ϭ c1J␯(x) ϩ c JϪ␯(x 3HUR VH VDEH TXH GHO FDVR ,, GH OD VHFFLyQ TXH FXDQGR


&XDQGR UHHPSOD]DPRV x por ͉ x ͉ ODV VHULHV GDGDV HQ \ HQ FRQYHUJHQ SDUD Ͻ ͉ x ͉ Ͻ ϱ

252 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

y r Ϫ r ϭ ␯ HV XQ HQWHUR SRVLWLYR podría H[LVWLU XQD VHJXQGD VROXFLyQ HQ VHULH GH
1 1
0.8 (Q HVWH VHJXQGR FDVR VH GLVWLQJXHQ GRV SRVLELOLGDGHV &XDQGR ␯ ϭ m ϭ entero
0.6 J0
0.4 J1 SRVLWLYR JϪm(x GH¿QLGD SRU \ Jm(x QR VRQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV
0.2 Se puede demostrar que JϪm HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH Jm YpDVH OD SURSLHGDG i) en la
SiJLQD $GHPiV r1 Ϫ r ϭ ␯ SXHGH VHU XQ HQWHUR SRVLWLYR FXDQGR ␯ es la mitad de
_0.2 x XQ HQWHUR SRVLWLYR LPSDU (Q HVWH ~OWLPR FDVR VH SXHGH GHPRVWUDU TXH J␯(x) y JϪ␯(x) son
_0.4 68 OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV (Q RWUDV SDODEUDV OD VROXFLyQ JHQHUDO GH HQ ϱ) es

2 4 y c1J (x) c2J (x), entero.

FIGURA 6.4.1 )XQFLRQHV GH %HVVHO (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH y ϭ J0(x) y y ϭ J1(x
de primera clase para n ϭ
EJEMPLO 1 1
Ecuaciones de Bessel de orden 2

$O LGHQWL¿FDU 2 1 y 12, VH SXHGH YHU GH OD HFXDFLyQ TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO
4
( )de la ecuación x2y xy
x2 1 y 0 HQ ϱ) es y ϭ c1J1͞ (x) ϩ c JϪ1͞ (x)
4

FUNCIONES DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE Si ␯ HQWHUR OD IXQFLyQ GH¿-
QLGD SRU OD FRPELQDFLyQ OLQHDO

y Y1 cos J (x) J (x) (10)
1 Y (x)
0.5 Y0
sen

x y la función J␯(x VRQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH SRU OR TXH RWUD IRUPD
de la solución general de (1) es y ϭ c1J␯(x) ϩ c Y␯(x) siempre que ␯ HQWHUR &RQIRUPH
_0.5 ␯ → m con m entero (10) tiene la forma indeterminada 0͞ 6LQ HPEDUJR VH SXHGH GH-

_1

_1.5 PRVWUDU SRU OD UHJOD GH /
+{SLWDO TXH HO lím :m Y (x) H[LVWH $GHPiV OD IXQFLyQ

_2

_2.5 Ym (x) lím Y (x)

_3 :m
2468
y Jm(x) son soluciones linealmente independientes de x yЉ ϩ xyЈ ϩ (x Ϫ m )y ϭ 3RU
FIGURA 6.4.2 )XQFLRQHV GH %HVVHO WDQWR SDUD cualquier YDORU GH ␯ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH HQ ϱ VH SXHGH HVFULELU FRPR
de segunda clase para n ϭ
y c1J (x) c2Y (x). (11)

Y␯(x) se llama IXQFLyQ GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH de orden ␯ /D ¿JXUD PXHVWUD
ODV JUi¿FDV GH Y0(x) y Y1(x

EJEMPLO 2 Ecuación de Bessel de orden 3

,GHQWL¿FDQGR ␯ ϭ \ ␯ ϭ YHPRV GH OD HFXDFLyQ TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD
ecuación x yЉ ϩ xyЈ ϩ (x Ϫ y ϭ HQ ϱ) es y ϭ c1J (x) ϩ c Y (x)

ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS DE FUNCIONES DE BESSEL $OJXQDV YHFHV
HV SRVLEOH FRQYHUWLU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ OD HFXDFLyQ SRU PHGLR GH XQ FDP-
ELR GH YDULDEOH 3RGHPRV HQWRQFHV H[SUHVDU OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ RULJLQDO HQ
WpUPLQRV GH IXQFLRQHV GH %HVVHO 3RU HMHPSOR VL VH HVWDEOHFH TXH t ϭ ␣x ␣ Ͼ HQ

x2y xy (a2x2 2)y 0,

HQWRQFHV SRU OD UHJOD GH OD FDGHQD

dy dy dt dy d2y d dy dt 2 d2y .
dx dt dx dt y dx2 dt dx dx dt2

3RU OR TXH VH FRQYLHUWH HQ

t 2 2 d2y t dy (t2 2)y 0 o t2 d2y dy (t2 2)y 0.
dt2 dt dt2 t

dt

/D ~OWLPD HFXDFLyQ HV OD HFXDFLyQ GH %HVVHO GH RUGHQ ␯ cuya solución es y ϭ c1J␯(t) ϩ
c Y␯(t 9ROYLHQGR D VXVWLWXLU t ϭ ␣x HQ OD ~OWLPD H[SUHVLyQ VH HQFXHQWUD TXH OD VROX-
FLyQ JHQHUDO GH HV

y c1J ( x) c2Y ( x).

6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 253

/D HFXDFLyQ TXH VH OODPD ecuación paramétrica de Bessel de orden ␯ \ VX VR-
OXFLyQ JHQHUDO VRQ PX\ LPSRUWDQWHV HQ HO HVWXGLR GH FLHUWRV SUREOHPDV FRQ YDORUHV
HQ OD IURQWHUD UHODFLRQDGRV FRQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV TXH VH H[SUHVDQ HQ
FRRUGHQDGDV FLOtQGULFDV

FUNCIONES DE BESSEL MODIFICADAS 2WUD HFXDFLyQ VHPHMDQWH D HV OD
HFXDFLyQ PRGL¿FDGD GH %HVVHO de orden ␯,

x2y xy (x2 2)y 0. (14)

(VWD (' VH SXHGH UHVROYHU HQ OD IRUPD TXH VH DFDED GH LOXVWUDU SDUD (VWD YH] VL
hacemos que t ϭ ix GRQGH i ϭ Ϫ HQWRQFHV VH FRQYLHUWH HQ

t2 d2y dy (t2 2)y 0.
dt2 t

dt

'HELGR D TXH ODV VROXFLRQHV GH OD XOWLPD (' VRQ J␯(t) y Y␯(t ODV VROXFLRQHV GH valores com-
plejos de la ecuación (14) son J␯(ix) y Y␯(ix 8QD VROXFLyQ GH YDORUHV UHDOHV TXH VH OODPD IXQ-
FLyQ PRGL¿FDGD GH %HVVHO GH SULPHUD FODVH de orden ␯ HVWi GH¿QLGD HQ WpUPLQRV GH J␯(ix):

I (x) i J (ix). (15)

9HD HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV $QiORJDPHQWH D OD IXQFLyQ PRGL¿FDGD
de Bessel de segunda clase de orden ␯ HQWHUR VH GH¿QH FRPR

K (x) I (x) I (x)
,
2 sen

y para ␯ ϭ n HQWHUR

Kn (x) lím K (x).
:n

'HELGR D TXH I␯ y K␯ VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV HQ HO LQWHUYDOR ϱ) para
FXDOTXLHU YDORU GH ␯ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH HV

y c1I (x) c2K (x).

y (Q OD ¿JXUD VH SUHVHQWDQ ODV JUi¿FDV GH y ϭ I0(x y ϭ I1(x \ y ϭ I (x) y en
OD ¿JXUD ODV JUi¿FDV GH y ϭ K0(x y ϭ K1(x \ y ϭ K (x $ GLIHUHQFLD GH ODV IXQ-
3 FLRQHV GH %HVVHO GH SULPHUD \ VHJXQGD FODVH ODV IXQFLRQHV PRGL¿FDGDV GH %HVVHO GH
SULPHUD \ VHJXQGD FODVH QR VRQ RVFLODWRULDV /DV ¿JXUDV \ WDPELpQ PXHVWUDQ
2.5 HO KHFKR GH TXH ODV IXQFLRQHV PRGL¿FDGDV GH %HVVHO In(x) y Kn(x n ϭ « QR
WLHQHQ UDtFHV UHDOHV HQ HO LQWHUYDOR ϱ 2EVHUYH WDPELpQ TXH ODV IXQFLRQHV PRGL¿FD-
2 GDV GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH Kn(x FRPR ODV IXQFLRQHV GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH
Yn(x) son no acotadas cuando x → 0ϩ
1.5 I0
8Q FDPELR GH YDULDEOH HQ QR GD OD IRUPD SDUDPpWULFD GH OD HFXDFLyQ PRGL¿-
1 I1 I2 FDGD GH %HVVHO GH RUGHQ ␯:
0.5

x

123 x yЉ ϩ xyЈ Ϫ (Į x ϩ ␯ )y ϭ 0

FIGURA 6.4.3 )XQFLRQHV PRGL¿FDGDV /D VROXFLyQ JHQHUDO GH OD ~OWLPD HFXDFLyQ HQ HO LQWHUYDOR ϱ) es
GH %HVVHO GH SULPHUD FODVH SDUD n ϭ
y ϭ c1I␯(Į[) ϩ c K␯(Į[)
y 3HUR RWUD HFXDFLyQ LPSRUWDQWH GHELGR D TXH PXFKDV (' VH DMXVWDQ D VX IRUPD
PHGLDQWH HOHFFLRQHV DSURSLDGDV GH ORV SDUiPHWURV HV

3 1 2a b2c2x2c 2 a2 p2c2 0, p 0.
2.5 K1 K2 yy x2 y

2 x

$XQTXH QR VH GDQ ORV GHWDOOHV OD VROXFLyQ JHQHUDO GH

1.5

1 K0 y xa c1Jp(bxc) c2Yp(bxc) ,
0.5

x VH SXHGH HQFRQWUDU KDFLHQGR XQ FDPELR GH ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH \ GHSHQ

123 z a/c
b
FIGURA 6.4.4 )XQFLRQHV PRGL¿FDGDV diente: z bxc, y(x) w(z). Si p QR HV XQ HQWHUR HQWRQFHV Yp HQ VH SXH
GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH SDUD n ϭ GH UHHPSOD]DU SRU JϪp

254 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

EJEMPLO 3 Usando (18)

Encuentre la solución general xyЉ ϩ yЈ ϩ y ϭ HQ ϱ

SOLUCIÓN (VFULELHQGR OD (' FRPR

39
y y y 0,

xx
SRGHPRV KDFHU ODV VLJXLHQWHV LGHQWL¿FDFLRQHV FRQ

1 2a 3, b2c2 9, 2c 2 1 y a2 p2c2 0.
/DV HFXDFLRQHV SULPHUD \ WHUFHUD LPSOLFDQ TXH a ϭ Ϫ1 y c 21 &RQ HVWRV YDORUHV ODV
ecuaciones segunda y cuarta se satisfacen haciendo b ϭ \ p ϭ 'H VH HQFXHQWUD
TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD (' HQ HO LQWHUYDOR ϱ) es

y x 1[c1J2(6x1/2) c2Y2(6x1/2)].

EJEMPLO 4 Vuelta al problema del resorte envejecido

5HFXHUGH TXH HQ OD VHFFLyQ YLPRV TXH mxЉ ϩ keϪ␣tx ϭ ␣ Ͼ 0 es un mo-
GHOR PDWHPiWLFR SDUD HO PRYLPLHQWR DPRUWLJXDGR OLEUH GH XQD PDVD HQ XQ UH-
VRUWH HQYHMHFLGR $KRUD VH HVWi HQ SRVLFLyQ GH HQFRQWUDU OD VROXFLyQ JHQHUDO
GH OD HFXDFLyQ 6H GHMD FRPR SUREOHPD GHPRVWUDU TXH HO FDPELR GH YDULDEOHV

s 2 k t/2 WUDQVIRUPD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO UHVRUWH HQYHMHFLGR HQ
e
Bm

s2 d2x dx s2x 0.
ds2 s

ds

/D ~OWLPD HFXDFLyQ VH UHFRQRFH FRPR FRQ ␯ ϭ \ GRQGH ORV VtPERORV x y s MXHJDQ
los papeles de y y x UHVSHFWLYDPHQWH /D VROXFLyQ JHQHUDO GH OD QXHYD HFXDFLyQ HV
x ϭ c1J0(s) ϩ c Y0(s 6L VH VXVWLWX\H QXHYDPHQWH s HQWRQFHV VH YH TXH OD VROXFLyQ
general de mxЉ ϩ keϪ␣tx ϭ 0 es

2k t/2 c2Y0 2k t/2 .
x (t) c1J0 e e
Bm Bm

9pDQVH ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

(O RWUR PRGHOR DQDOL]DGR HQ OD VHFFLyQ GH XQ UHVRUWH FX\DV FDUDFWHUtVWLFDV FDP-

ELDQ FRQ HO WLHPSR IXH mxЉ ϩ ktx ϭ 6L VH GLYLGH HQWUH m YHPRV TXH OD HFXDFLyQ

x k 0 HV OD HFXDFLyQ GH $LU\ yЉ ϩ ␣ xy ϭ 9HD HO HMHPSOR HQ OD VHFFLyQ
tx
m

/D VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH $LU\ WDPELpQ VH SXHGH HVFULELU HQ

WpUPLQRV GH IXQFLRQHV GH %HVVHO 9pDQVH ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV

PROPIEDADES 6H OLVWDQ D FRQWLQXDFLyQ DOJXQDV GH ODV SURSLHGDGHV PiV ~WLOHV GH
ODV IXQFLRQHV GH %HVVHO GH RUGHQ m m ϭ

i) J m(x) ( 1)mJm(x), ii) Jm( x) ( 1)mJm(x),

iii) Jm(0) 0, m 0 iv) lím Ym (x) .
1, m 0, x:0

2EVHUYH TXH OD SURSLHGDG ii) indica que Jm(x) es una función par si m es un entero par
y una función impar si m HV XQ HQWHUR LPSDU /DV JUi¿FDV GH Y0(x) y Y1(x HQ OD ¿JXUD
PXHVWUDQ OD SURSLHGDG iv HQ SDUWLFXODU Ym(x QR HVWi DFRWDGD HQ HO RULJHQ (VWH
~OWLPR KHFKR QR HV REYLR D SDUWLU GH OD HFXDFLyQ /DV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ
GH %HVVHO GH RUGHQ VH REWLHQHQ SRU PHGLR GH ODV VROXFLRQHV y1(x HQ \ y (x) en
GH OD VHFFLyQ 6H SXHGH GHPRVWUDU TXH OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ HV
y1(x) ϭ J0(x PLHQWUDV TXH OD HFXDFLyQ GH HVD VHFFLyQ HV

6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 255

( 1)k 1 1 x 2k
y2(x) J0(x)ln x k 1 (k!)2 1 2 .

k2

(QWRQFHV OD IXQFLyQ GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH GH RUGHQ Y0(x VH GH¿QH FRPR OD

FRPELQDFLyQ OLQHDO Y0(x) 2 ln 2)y1(x) 2 y2(x) para x Ͼ (V GHFLU
(

2 x 2 ( 1)k 1 1 x 2k
Y0(x) J0(x) ln k 1 (k!)2 1 2
2 k2

donde Ȗ ϭ HV OD constante de Euler 'HELGR D OD SUHVHQFLD GHO WpUPLQR
ORJDUtWPLFR HV HYLGHQWH TXH Y0(x) es discontinua en x ϭ

VALORES NUMÉRICOS (Q OD WDEOD VH SUHVHQWDQ ODV SULPHUDV FLQFR UDtFHV QR
QHJDWLYDV GH J0(x J1(x Y0(x) y Y1(x (Q OD WDEOD VH SUHVHQWDQ DOJXQRV RWURV YDOR-
UHV GH OD IXQFLyQ GH HVWDV FXDWUR IXQFLRQHV

TABLA 6.1 5DtFHV QR QHJDWLYDV GH J0 J1 Y0 \ Y1 TABLA 6.2 9DORUHV QXPpULFRV GH J0 J1 Y0 \ Y1

J0(x) J1(x) Y0(x) Y1(x) x J0(x) J1(x) Y0(x) Y1(x)

² ²
Ϫ
Ϫ
Ϫ
4 Ϫ Ϫ Ϫ
5 Ϫ Ϫ Ϫ
Ϫ Ϫ Ϫ
Ϫ Ϫ Ϫ
Ϫ
Ϫ
10 Ϫ
11 Ϫ Ϫ Ϫ
Ϫ Ϫ Ϫ
Ϫ Ϫ Ϫ
Ϫ
15 Ϫ

RELACIÓN DE RECURRENCIA DIFERENCIAL /DV IyUPXODV GH UHFXUUHQFLD TXH UHOD-
FLRQDQ ODV IXQFLRQHV GH %HVVHO GH GLIHUHQWHV yUGHQHV VRQ LPSRUWDQWHV HQ OD WHRUtD \ HQ ODV
DSOLFDFLRQHV (Q HO HMHPSOR VLJXLHQWH VH GHGXFH XQD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD GLIHUHQFLDO

EJEMPLO 5 'HGXFFLyQ XVDQGR OD GH¿QLFLyQ GH VHULH

'HGX]FD OD IyUPXOD x J (x) J (x) x J 1(x).

SOLUCIÓN 'H OD HFXDFLyQ VH WLHQH TXH

ϱ n–(–!ϪL––1(–1)–n–(ϩ2––nv––ϩϩ––␯–n)–) –x 2nϩv
͚ ( )xJvЈ(x) 2
ϭ

nϭ0

ϱ n––!L––(–1(–Ϫ–ϩ–1–)␯–n–ϩ–––n–) –x ϱ n–!–L––(–(1Ϫ––ϩ1––)␯n–n–ϩ–––n–) –x 2nϩv
͚ ( ) ͚ ( )ϭ 2 2nϩv ϩ 2
␯ 2

nϭ0 nϭ0

ϱ (–n––Ϫ––1––)!–(–LϪ–(–11–)–ϩn––␯––ϩ–––n–) –x 2nϩ␯Ϫ1
͚ ( )ϭ 2
␯J␯(x) ϩ x

nϭ1

kϭnϪ1

ϱ k––!L––(–2(–Ϫ–ϩ–1–␯)–k–ϩ–––k–) –x
͚ ( )ϭ kϭ0 2 2kϩ␯ϩ1
␯J␯(x) Ϫ x
ϭ ␯J␯(x) Ϫ xJ␯ϩ1(x).

256 l CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES

(O UHVXOWDGR GHO HMHPSOR VH SXHGH HVFULELU HQ XQD IRUPD DOWHUQDWLYD 'LYLGLHQGR
x J (x) J (x) x J 1(x) entre x VH REWLHQH

J (x) J (x) J 1(x).
x

(VWD ~OWLPD H[SUHVLyQ VH UHFRQRFH FRPR XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU
orden en J␯(x 0XOWLSOLFDQGR DPERV ODGRV GH OD LJXDOGDG SRU HO IDFWRU LQWHJUDQWH xϪ␯
VH REWLHQH

d x J 1(x).
[x J (x)]

dx

Se puede demostrar de manera similar que

d
[x J (x)] x J 1(x).
dx

9pDVH HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV /DV UHODFLRQHV GH UHFXUUHQFLD GLIHUHQFLD-
OHV \ WDPELpQ VRQ YiOLGDV SDUD OD IXQFLyQ GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH Y␯(x
2EVHUYH TXH FXDQGR ␯ ϭ VH GHGXFH GH TXH

J0(x) J1(x) y Y 0(x) Y1(x).

(Q HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV VH SUHVHQWD XQD DSOLFDFLyQ GH HVWRV UHVXOWDGRV

FUNCIONES DE BESSEL DE MEDIO ORDEN INTEGRAL Cuando el orden es

OD PLWDG GH XQ HQWHUR LPSDU HV GHFLU 21, 23, 52, . . . , ODV IXQFLRQHV GH %HVVHO GH
SULPHUD \ VHJXQGD FODVH VH SXHGHQ H[SUHVDU HQ WpUPLQRV GH ODV IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV
sen x FRV x y potencias de x &RQVLGHUDUHPRV HO FDVR FXDQGR 21. 'H

J1/2(x) ( 1)n x 2n 1/2

( )n 0 n! 1 1 n2
2

( )(Q YLVWD GH OD SURSLHGDG ⌫(1 ϩ ␣) ϭ ␣⌫(␣) y del hecho de que 1 1 los
2
( )YDORUHV GH 11
2 n para n ϭ n ϭ n ϭ \ n ϭ VRQ UHVSHFWLYDPHQWH

( ) ( ) ( )3
2
1 1 11 1 1
2 22 2

( ) ( ) ( )5 3
2 22
1 3 33 1
2 22

( ) ( ) ( )7 5 53 54321 5!
2 2 23 1 252! 1
1 55 234 2 1
22

( ) ( ) ( )9 7 51 7 6 5! 1 7!
2 26 2! 26 6 2! 273!
1 7 77 1 .
2 22

(Q JHQHUDO 1 (2n 1)!
1n 22n 1n! 1 .

2

3RU OR TXH J1/ 2 (x) ( 1)n x 2n 1/2 2 ( 1)n x2n 1.
2 B x n 0 (2n 1)!
n 0 (2 n 1)!
n! 22n 1n! 1

'H OD HFXDFLyQ GH OD VHFFLyQ GHEH UHFRQRFHU TXH OD VHULH LQ¿QLWD HQ HO ~OWLPR
UHQJOyQ HV OD VHULH GH 0DFODXULQ SDUD VHQ x \ DVt VH KD GHPRVWUDGR TXH

J1 / 2 (x) 2 senx.
6H GHMD FRPR HMHUFLFLR GHPRVWUDU TXH Bx

J 1/2(x) 2 cos x.
Bx

6.4 FUNCIONES ESPECIALES l 257

y 9HD OD ¿JXUD \ ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV
1 J-1/2
0.5 J1/2 Si n HV XQ HQWHUR HQWRQFHV ␯ ϭ n ϩ 1͞ HV XQ PHGLR GH XQ HQWHUR LPSDU 3XHVWR

0 que cos(n ϩ 1͞ ʌ ϭ 0 y sen(n + 1͞ ʌ ϭ cos Qʌ ϭ (Ϫ1)n YHPRV GH OD HFXDFLyQ TXH

Yn ϩ 1͞ (x) ϭ (Ϫ1)n ϩ J1 ϩ 1͞ (x 3DUD n ϭ 0 y n ϭ Ϫ WHQHPRV D VX YH] TXH Y1͞ (x) ϭ
Ϫ(n

x ϪJϪ1͞ (x) y YϪ1͞ (x) ϭ J1͞ (x (Q YLVWD GH \ HVWRV UHVXOWDGRV VRQ ORV PLVPRV TXH

−0.5 Y1͞2(x) Ί2 (25)
S x cosx
2 4 6 8 10 12 14
y Y 1͞2(x) Ί2 S x sen x (26)
FIGURA 6.4.5 Funciones de
%HVVHO GH RUGHQ 1͞ D]XO \ RUGHQ FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL /DV IXQFLRQHV GH RUGHQ VHPLHQWHUR VH XWLOL]DQ
Ϫ1͞ URMR SDUD GH¿QLU GRV IXQFLRQHV LPSRUWDQWHV PiV

Ί ΊS S (27)

jn(x) 2x Jn 1͞2(x) y yn(x) 2xYn 1͞2(x).

/D IXQFLyQ jn(x) se conoce como la IXQFLyQ HVIpULFD GH %HVVHO GH SULPHUD FODVH y
yn(x) es la IXQFLyQ HVIpULFD GH %HVVHO GH VHJXQGD FODVH 3RU HMHPSOR SDUD n ϭ 0 las
H[SUHVLRQHV HQ VHUiQ

S2
Ί Ί ΊS sen x
j0(x) 2x J1͞2(x) 2x S x sin x
x

S2
y0(x) Ί Ί ΊS cosx
2xY1͞2(x) 2x S x cosx
y x

(V HYLGHQWH HQ \ HQ OD ¿JXUD SDUD n Ն TXH OD IXQFLyQ HVIpULFD GH %HVVHO GH
segunda clase yn(x VHUi QR DFRWDGD FXDQGR x → 0ϩ

/DV IXQFLRQHV HVIpULFDV GH %HVVHO VXUJHQ HQ OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GL-
IHUHQFLDO SDUFLDO H[SUHVDGD HQ FRRUGHQDGDV HVIpULFDV 9HD HO SUREOHPD GH ORV
HMHUFLFLRV

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 3XHVWR TXH x ϭ 0 es un punto or-

GLQDULR GH OD HFXDFLyQ GH /HJHQGUH VXVWLWX\HQGR OD VHULH y k 0 ck xk FRUULHQGR
ORV tQGLFHV GH OD VXPD \ FRPELQDQGR OD VHULH VH REWLHQH

(1 x2)y 2xy n(n 1)y [n(n 1)c0 2c2] [(n 1)(n 2)c1 6c3]x

[( j 2)( j 1)cj 2 (n j)(n j 1)cj]x j 0

j2

lo que implica que n(n 1)c0 2c2 0
(n 1)(n 2)c1 6c3 0
( j 2)( j 1)cj 2 (n j)(n j 1)cj 0

n(n 1)
o c2 2! c0

(n 1)(n 2)
c3 3! c1

cj 2 (n j)(n j 1) j 2, 3, 4, . . .
( j 2)( j 1) cj ,

6L VH GHMD TXH j WRPH ORV YDORUHV OD UHODFLyQ GH UHFXUUHQFLD SURGXFH