这才是数学（教师篇）

目录









封面


引言

序言


第一章 大脑与数学学习


第二章 不经历风雨，怎么见彩虹？


生活与工作也非一帆风顺


如何改变学生对犯错的看法？

第三章 数学之美


结论


第四章 玩转数字——开创数学式思维

数感


数学不是死记硬背


数学实践有多重要


高年级的学生怎么办呢？


数学游戏与应用程序

结论


第五章 这才是有价值的数学题


案例一：数字的灵活性与开放性

案例二：可视化的力量


案例三：讲解数学方法和知识的最佳时机

案例四：第一次发现数学知识之间的联系（帕斯卡三角形）


案例五：有趣的负空间


案例六：从数学常识到数学热情

从案例到设计


结论


第六章 人人都应享有平等的数学权利


数学精英化教育


数学天才的神话

当不平等的数学课程不再合法时


推动数学平等教育的策略


结论

第七章 从分层教育到分组教育


取消分层教学


培养成长式思维的分组形式——混合式分组


如何有效地为混合小组授课


复合教学法

结论


第八章 成长式思维的评价机制


徒劳的竞争

学习评价机制


培养学生的自我意识与责任

诊断性评价


对于评分的一些建议


结论

第九章 为成长式思维而教授数学


让所有的学生获得鼓励


相信所有的学生


正确对待挫折与失败


为成长鼓掌

解放数学


结论

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封面



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引言







很多人认为，天生不具备数学能力的孩子学不好数学，不具备合适的

知识背景、学习数学太晚的孩子也无法学好数学，那么能在数学上获


得成功的孩子就只剩下那些所谓的“聪明”孩子了，所以很多学生数学


考试不及格或者讨厌数学似乎也就成了理所当然的事。很多老师在安


慰学生时也总是说：“不是每个人都是学数学的料儿，所以不用为数学

学不好而感到困惑。”在持有这种观点的老师的误导下，很多孩子在真


正开始学习数学之前就早早地放弃了数学。怪不得很多的学生都用“我


天生不是学数学的料儿”来为自己没有学好数学开脱。



对于“只有少数人才是学数学的料儿”这个观点，老师、家长以及学生


都是从哪里听来的呢？一项新的研究发现，这种观点在数学领域可谓


根深蒂固。研究人员对美国大学不同学科的学者进行了调查。调查结

果显示，在四个学科，包括科学（science）、技术


（technology）、工程（engineering）和数学（math），取首字


母，简称“主干”（STEM）学科，数学领域的学者最为强调与生俱来的

能力 。其他研究人员也发现，很多数学老师在开始授课前就告诉学

生，他们中有些人具有学习数学的天赋，有些人则没有。有一位大学


数学老师，开学第一堂课就对某个学生说：“这个对你太难了，你没有


学习数学的天分。” 这样的观念一代一代传下来，有些学生就开始害怕

学习数学，甚至在数学学习上遇到一点儿困难便认为自己不擅长数


学。




通过本书，大家将知道，所有学生（几乎所有的学生）都具备学好数


学并享受数学学习的能力。那我们如何才能让所有的学生都乐于学习

数学？如何才能让教师和学生认识到数学能力是可以培养的？数学教


师应如何教授数学才能让以上结论变为现实？这就是本书的主要内


容。



在本书中，乔·博勒（Jo Boaler）将她多年的研究成果和智慧传授给各


位教师，告诉他们如何呈现数学内容、如何系统安排数学题、如何引


导学生，以及如何给予学生反馈以帮助他们形成并保持“成长式思维模

式”。博勒是目前最卓越的教育家之一，她不仅洞悉教书的奥秘，而且


还善于将这种奥秘传授给他人。成千上万的老师都向她取经学习，下


面是这些老师的话：



“在我整个学习生涯中……我总觉得自己是一个很笨的人，而且没有学


习数学的能力……当我最终知道我也可以学习数学时，我的心中犹如

一块大石头终于落地了，而且我还可以告诉我的学生，他们也有能力


学好数学。”



“你引导我去思考数学核心基础课的变革，还让我思考如何帮助学生培


养对数学的热爱与兴趣。”



“我正在寻找一种可以转变学生学习数学态度（从厌恶到喜欢）的方


法……”




想象一下，你的学生欢快地沉浸在某道数学题中，他们渴望能在班级

中讨论自己的错误，他们自豪地说：“我拥有学习数学的能力！”事实


上，这样美好的情景正在世界各地的数学课堂上发生，如果你愿意接


受本书中提供的建议，你也会在你的课堂上看到这美好的一幕。



卡罗尔·德维克（Carol Dweck）




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序言








我记得很清楚，那是一个秋天的下午，我和院长坐在她的办公室等待

一个非常重要的会议的召开。当时我刚刚从英国回到美国斯坦福大

学，天气也由每天的灰暗阴郁变得阳光灿烂，而我还在慢慢地适应这

种天气的变化。因为那天我要和著名的心理学家——卡罗尔·德维克


——见面，所以我走进院长办公室时心里充满期待。卡罗尔·德维克教


授在心理学方面的书籍彻底地改变了整个世界人们的生活，重塑了政

府、学校、家长甚至运动员们的生活方式与学习方式。




卡罗尔和她的研究小组多年收集的数据表明：每个人都有自己的思维


模式，也就是如何进行学习的核心思维方式 。具有成长式思维模式的


人认为努力工作可以提升智力水平，而具有僵固式思维模式的人则认

为你可以学习新的东西，但你的智力水平并不会因此而改变。一个人


的思维模式非常重要。研究显示，不同的思维模式会衍生出不同的学


习行为，而不同的学习行为则会带来不同的学习效果。当人们开始改

变他们的思维模式并开始相信他们可以进行更高层次的学习时，他们


就会改变自己的学习路径 并最终取得学习上的成功，这也是我将要在


这本书中分享的内容。



我知道，对学生的思维模式进行引导可以帮助他们，但数学教师却更


容易长时间深层次地影响学生的学习方式。所以，在与卡罗尔的交谈


过程中，我问她是否考虑过和数学教师以及学生一起合作。卡罗尔对

我的提议非常感兴趣，而且她也同意，数学是最能彻底改变思维模式


的学科。这次见面也成为了我们愉快合作的开始，现在我们仍然和数

学教师们一同合作研究，并把我们的研究成果和观点通过研讨会传递

给大家。




这几年数学方面的研究工作让我认识到培养正确思维模式的必要性。


数学对学生们的负面影响太大了，以至于他们在任何其他领域都可以

形成僵固式思维模式，认为一个人要么数学学得特别好，要么则是一


窍不通。为了改变学生们这一极具破坏性的思维，我们要培养他们


的“数学式思维”。这本书将会教你如何鼓励他们形成“数学式思维模


式”。



那些具有僵固式思维模式的人对数学的看法还夹杂着一些其他的负面


信息，这些信息造成的损害也非常大。这也是为什么我通过此书将关

于数学与学习的最新研究成果分享给大家的原因。最近，我把其中的


一些成果通过网络课程，也就是将来众所周知的慕课——MOOC，分


享给了家长与教师，但没有想到这个课程却在教师、家长和学生中引


起了巨大的、甚至是惊人的反响 。



有超过4，000人观看了我的课程，这其中包括各种学历水平的教师以


及家长。95%的人表示，他们学习了这些新的成果之后会改变他们教


育或者帮助孩子的方式。而且有65%的人都成了我课程的忠实学习

者，这与慕课中其他课程高达95%的学生流失率形成了鲜明的对比。


我的网上课程之所以受到这么多的关注、引起这么大的反响，是因为


我们关于大脑和数学学习的新知识非常重要而且又具有实用价值。

在网上授课期间，我阅读了所有课程学习者的留言，进一步认识到数

学给太多的人造成了严重的心灵创伤。我发现，这种数学创伤无处不


在，而且我收集的证据显示，人们关于数学与智力的偏见更是不断地


向这个伤口上撒盐。这些无处不在的偏见更是让数学创伤与焦虑在人

群中疯狂滋生，以至于它们传遍了美国、英国以及世界上的许多其他


国家。




我第一次意识到数学创伤的普遍性是在我的第一本专门针对家长和教


师的图书出版之后，这本书在美国出版时所用的名字为What's Math

Got to Do with It（《这才是数学》），在英国出版时所用的名称为


The Elephant in the Classroom。这本书详细地描述了家长和教师


应该采取什么样的措施才能让数学学习变得更有趣更容易。



在这本书出版后不久，我便得到大洋两岸各家电台邀请去讨论数学的


学习。这些谈话节目既包括早餐时间的简单聊天节目，也包括一档收


视率很高的英国电台频道“Women's Hour”。我还在美国公共电视网

与思维缜密的主持人进行了20分钟的深刻讨论。与电台主持人聊天非


常有趣。




我一般都是先从“数学对很多人都造成了很大的心灵创伤”这个话题开

始，然后再讨论我们能够做些什么来改变这个现实。关于“数学创


伤”的讲述似乎可以让很多主持人都放松下来，然后敞开心扉和我分享


他们自己的数学悲伤故事。当这些颇有成就的主持人开始分享他们的

故事（这些创伤一般都是由某个数学教师说过的一句话或者做过的某

件事造成的）时，他们对我的采访就转变成了数学创伤的治疗节目。




至今我仍记得威斯康星州的姬蒂·邓恩（Kitty Dunne）对我说，一提


到线性代数这个名词，她的脑袋里就像着了火一样。由此可见数学给

她带来的负面影响有多大。在英国广播公司任职的简·加维（Jane


Garvey）是一位非常了不起的女士，我非常崇拜她，但她却告诉我，


她太害怕数学了，以至于对我的采访也充满了恐惧，而且她还告诉她


的两个女儿，她在上学时数学就糟糕透了（这种信息你是永远也不能

传递给孩子的，我在后面会解释原因）。这种对数学极强的负面情绪


并不少见。没有哪一门学科能像数学一样重挫学生的精神，而且这样


的重挫留下的负面影响，即使在他们成年以后也很难摆脱。一个学生

一旦认为自己学不好数学，那么他在以后的学习和生活中都会和数学


保持这样的负面关系。




数学创伤不只存在于从事艺术和大众娱乐工作的人当中。因为图书的

出版，我结识了很多了不起的人，其中最有趣的一位是维文·佩里博士


（Dr. Vivien Perry）。维文是英国的首席科学家，最近她被授予了大


英帝国官佐勋章。这个勋章由英国女王颁发给做出过特殊贡献的人，

是英国最受尊敬的荣誉。维文的成就非凡，她是伦敦大学学院委员会


的副主席，英国医学研究委员会的成员，还是英国广播电台科学类电


视节目的主持人。虽然维文在科学领域取得了非凡的成绩，但她也说

起数学给她带来的恐惧。维文告诉我说，她是如此害怕数学，以至于

她在家处理税收文件时连百分比都算不出来。她跟我分享了小时候的


一段经历，她因为没有记住乘法表而被她的数学老师格拉斯女士罚


站。



维文坚定地认为自己有计算障碍，这个障碍正是她数学学不好的罪魁


祸首。现在我们知道，一次经历，甚至是一条信息都可以对学生造成


极大的影响 ，所以维文的计算障碍估计和她小时候形成的数学焦虑有


关。虽然维文的数学计算能力很差，但她却在和数量相关的领域取得

了成功。但大部分的人就没有这么幸运了，他们早期经历的数学创伤


将这些领域的大门永远关闭了。



数学学习是非常必要的。研究表明，学生上的数学课越多，十年后他


们的收入就越高；在高中毕业十年后，学习过高等数学学生的收入要


比没有学过高等数学学生的收入高19.5% 。研究还发现，通过高等数


学的学习，学生的思维和各方面能力都会得到提高，尤其是逻辑推理

能力，这些能力能让他们在工作中更加高效。和那些没有学习过高等


数学的人相比，学过高等数学的人知道如何处理现实生活中的数学问


题，所以他们一旦被任职就可以很快地被提拔到对能力要求更高的职

位，当然也是薪水更高的职位 。在对英国学校的调研中，我发现，在


高中阶段通过项目模式学习数学的学生在他们的工作岗位上都非常出

色，并且最终也被提拔到薪水更高的工作岗位。这些例子我会在后面

的章节中给大家介绍 。




被数学伤害的人随处可见，而且数学创伤也经常让人们感到无所适


从。目前市面上也有很多书试图帮助人们去克服数学焦虑症 。被糟糕

教学模式坑害的人不在少数，不过数学的负面信息也不只来自那些糟


糕的教学模式。这些负面信息更来自一种观念：数学是一种天赋，有


些人有，有些人没有。这个观念是很多人在数学上失败和建树寥寥的


根源，也是人们学不好数学的主要原因之一。



但这个“数学是一种天赋”的观念到底从哪里来的呢？我有两个女儿，


在我写书期间，她们在加利福尼亚州读书，一个读六年级，一个读三

年级。这意味着我“有幸”可以看到一些少儿电视节目。这些节目对我


的启发很大，但也令我非常担心，因为这些节目每天都在传播关于数


学的负面信息。在这些节目中，数学被认为是难度很大的科目，而且


无趣、遥不可及，只适合书呆子学习，不适合有趣的人学习，不适合

女孩学习。怪不得那么多的孩子不喜欢数学，而且还坚信自己学不


好。




关于“只有少数人才能学好数学”的观念在美国和英国社会根深蒂固。

人们都认为数学是一门特殊的学科，但却不认为其他学科是特殊的。


很多人说，数学之所以与众不同是因为数学只有正确答案和错误答


案，这种观念是不正确的。我们需要做的就是让大家看到数学的创新

性与可解释性。数学包罗万象，它是一门多维度的学科，它的学习需

要推理、需要创新、需要寻找事物之间的关联、需要阐明方法；数学


是一系列概念的集合，是帮助我们认识世界的工具；数学不是一成不


变的。数学题的设置也应该让学习数学的人看到数学的丰富多彩以及

问题解决方式的多样性。当这些改变真的发生时，学生们就会被数学


所吸引，并与数学产生更好的互动。




关于数学的另一个错误观念是：数学好的人都是最聪明的。这个观念


非常的流行，但却是一个错误的、极具破坏性的观点。这个观念让数

学学不好的学生备受打击，因为他们认为数学学不好就意味着自己不


够聪明。我们需要消除这种荒诞的说法。社会中流行的这些关于数学


的错误观念对很多孩子来说是灾难性的，他们认为数学成绩就是智力

的衡量标准，数学是一种天赋，如果没有这种天赋，他们不但学不好


数学，而且会在以后的生活中一事无成。




在我写这本书期间，人们开始慢慢地理解什么是思维模式，并开始意

识到思维模式的重要性。卡罗尔·德维克的书已经被翻译成了20种语言


，而且人们对思维模式的作用越来越感兴趣。但鲜为人知的是，思维


模式与数学之间是相关的，教师和家长可以通过培养学生在数学上

的“成长式思维模式”改变学生的观念、数学学习体验和他们未来的生


活机遇。对思维模式的一般性介入对转变学生的思维模式是有用的，

但如果学生们重返数学课堂，却仍然采用以前的方式学习数学，那么

他们的成长式思维模式就会慢慢地被消磨掉。




我在这本书中想和教师与家长们分享的观念包括：关注学生们做的数


学习题，关注老师和家长鼓励和评估孩子们的方式，关注学生们在数

学课堂上的分组方式，关注学生们对错误的处理方式，关注数学课堂


上的规范，关注我们传达给孩子们的信息，关注学生们学习数学的方


式和策略……总之，关注数学教学过程中的方方面面。我非常兴奋能


把新知识和观念分享给大家，我也非常自信，书中的内容一定会在数

学学习方面对所有人产生帮助。




在第一章中，我会给大家介绍一些非常有趣而且重要的事实，这些事

实都来自近几年的研究成果；在第二章和第三章，我会介绍学习数学


的正确方式与方法；然后在剩下的六章中，重点介绍在课堂和家中实


现这些方式与方法的策略。我强烈建议大家读完本书所有的章节，如


果没有充分理解前面章节中的理论和观点，直接实施后面章节中的策

略恐怕也不会起到太大的作用。




我在慕课上的教学视频对教师和家长开放后，我收到了大量的信件、


电子邮件以及其他形式的信息，很多家长和教师把他们在数学教学上

的改变以及这些改变对学生的影响分享给了我。因为我们在大脑、思


维模式和数学学习方面的研究成果是革命性的，所以家长和教师们在


教育方面的一点儿小调整也会改变学生的数学学习之路。这本书是关

于如何通过家长和教师两方面的教育，培养学生形成以成长和创新为

核心观念的数学式思维模式。感谢您能同我一起踏上可以永久改变您


与您的学生数学之路的征程。




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第一章 大脑与数学学习








在过去的十年中，科技的发展为人们研究大脑与思维的工作原理提供

了新的方法和途径。现在，科学家们可以在儿童和成年人进行数学活


动时观察他们的大脑活动情况。他们可以看到大脑的成长与退化，还


可以看到不同情绪对大脑活动的影响。最近几年，在大脑研究方面出

现了一个新的领域：大脑可塑性。这个领域的出现让科学家们也非常


震惊。过去人们一直认为，人的大脑在出生的那一刻就基本上定型


了，但现在这个观点被彻底推翻了。大量研究不断证明，大脑的容量


是惊人的，它可以在很短的时间内快速成长或者发生翻天覆地的变化

。




当我们学习新知识时，我们的大脑中会产生电流，电流通过神经元的

突触传递给另一个神经元。电流在神经元之间的传递把大脑的不同区

域联系在一起。（如图1.1）


















































图1.1 电流在两个神经元之间传递



当我们进行深度学习时，突触之间的电流运动会在大脑中形成一系列


的连接，这些连接会形成结构路径，但如果你不及时复习、不做深入


的思考，那么这个结构路径就会像沙地上的小路一样很快消失。突触

间的电流运动会在我们学习时产生，这里的学习不仅仅是课堂上的学


习或者读书，当我们和别人交谈、玩游戏、玩玩具或者做其他事情


时，这些行为都会诱发突触间的电流运动。

关于伦敦黑色出租车（Black Cab）司机大脑的研究改变了科学家们

对能力与学习的认识。伦敦市有几个出租车公司，但伦敦出租车行业


的老大是“黑色出租车（Black Taxi）”，也被称为“Black Cab”。


（如图1.2）













































图1.2 伦敦的黑色出租车




虽然我在伦敦乘坐黑色出租车多次，却一直没有发现这些黑色出租车

司机的惊人本领。后来我才知道，要想成为黑色出租车司机，需要学


习2～4年的时间。要熟记以查令十字街为中心的、半径为25英里范围


内的25，000条大街和20，000个地标性建筑。因为伦敦不是按照网

格结构规划建设的，成千上万的街道错综复杂地交织在一起，所以熟

悉伦敦的路况要比熟悉美国大多数城市的路况困难得多（如图1.3）。














































图1.3 伦敦地图



黑色出租车司机在学习的最后要参加一个被优雅地命名为“The


Knowledge”的测试。如果你乘坐黑色出租车时和司机聊“The


Knowledge”，他们一般都会非常开心地给你讲他们在学习期间的事

情，以及考试有多么困难等。这个名为“The Knowledge”的测试据说


是世界上要求最苛刻的测试之一，每个学员一般要经历12次考试才能


通过。

在本世纪初，科学家们决定对黑色出租车司机的大脑进行研究，他们

想看看在经过多年的复杂空间思维训练后大脑发生的变化，但这些科


学家没有想到研究结果竟如此激动人心：他们发现，在黑色出租车司


机学习的后期，他们大脑中的海马体出现了显著地生长 。海马体是大

脑中专门用来记忆和使用空间信息的部分。（如图1.4）








































图1.4 大脑中的海马体




在其他的研究中，研究人员将黑色出租车司机的海马体生长情况与伦

敦公交车司机的海马体生长情况做了对比。公交车司机在上岗前只需


要记住几条固定的行车路线，而且研究显示他们学习后的海马体生长


并不显著 。这个事实验证了科学家们的研究成果：黑色出租车司机的

海马体显著长大的原因是，他们学习所得到的训练异常复杂。在后续

的研究中，科学家发现，黑色出租车司机退休以后，他们的海马体又

缩小了 。




在关于黑色出租车司机大脑的很多研究中，令科学家们最吃惊的事实


是，人类大脑的灵活性与可塑性 。他们没有想到大脑的成长空间如此

之大，这些研究成果让科学界对大脑的变化和成长的认识产生了巨大


的变化。




关于黑色出租车司机的研究刚刚开始时，另一件事的发生彻底地撼动

了整个科学界。一个名为卡梅伦·莫特（Cameron Mott）的九岁女孩


患有癫痫，医生对她的癫痫也是束手无策。她的主治医生乔治·杰隆


（George Jello）提出了一个极端的治疗方案。他认为应该把卡梅伦

的整个左脑切除。这个手术是革命性的，而且手术最终取得了成功。




在手术后，卡梅伦曾经瘫痪。因为人的左脑主导人体的运动能力，所


以医生们普遍认为卡梅伦会丧失运动能力。但随着时间的流逝，卡梅


伦的行动能力都逐渐得到恢复。这个事实让医生们异常震惊，而这也

意味着另一个事实：卡梅伦的右脑正在生成新的连接，这些连接可以


行使左脑的功能。医生们把这种大脑的变化归功于大脑不可思议的可


塑性，他们对卡梅伦的大脑变化能够得到的唯一结论就是：大脑实际

上已经进行了再生。只不过大脑再生的速度已经远远超出了医生们的


想象。现在卡梅伦可以和其他人一样奔跑玩耍，切除左脑给她带来的


唯一后遗症就是轻度地跛行（详情请登录：

http://www.today.com/id/36032653/ns/today-

today_health/t/meet-girl-half-brain/#.UeGbixfvC）。




关于大脑可以再生长变化的发现震动了整个科学界，而且这个发现又


引发了人们对大脑与学习的新一轮的研究，科学家们在研究中用上了

迄今为止最先进的技术以及各种大脑扫描设备。我认为有一项研究非


常值得教育者的关注。




美国国家心理健康学会（the National Institute for Mental

Health）的研究人员让一些人每天都坚持10分钟的某种训练，并持续


做三个周。然后，他们对参与训练的人的大脑和没有参与训练的人的


大脑进行了对比。比较结果显示，那些每天都坚持做10分钟训练的人

的大脑中出现了结构路径的变化。经过15个工作日的训练，这些参与


者的大脑中像是出现了一条新的路径 。




这些研究成果足以促使教育者们尽快抛弃目前在学校中流行的、关于


大脑与学习的观点：孩子们有聪明与愚笨之分，学习有快慢之分。如

果大脑可以在三个周内发生显著变化，大家可以想象一下，如果我们


的学生在学习数学时使用高品质的学习资料，并且能够收到关于自己


潜力与能力的正面信息，那么他们的大脑将会发生怎样翻天覆地的变

化？在第五章，我会详细介绍具备什么特征的数学题可以促进学生大


脑成长。

关于大脑的最新研究告诉我们，如果我们能够为学生提供积极向上的

信息和正确的教育模式，那么任何一个学生都可以学好数学。对于一


些在数学教育方面有特殊需求的孩子来说，学习数学可能有一定的难


度，但对于大部分（大约95%）的孩子来说，学校里的数学都在他们

的能力范围之内。即使是那些有特殊需求的孩子，他们大脑的发展潜


力也是巨大的，家长和教师都需要知道这个重要信息。当我把这个消


息通过讲座或者研讨会传达给教师时，大部分的教师都觉得倍受鼓舞


与激励，但不是所有教师都认同这一事实。



最近我和一些高中教师谈起这个事实，其中一名教师很显然对此难以


置信。他说：“你不会是要说，现在我学校里所有六年级的学生在十二


年级的时候都有能力学习微积分吧？”当我说“这正是我要说的”时，虽

然他没有立刻表示反对，但显然是不认同的。一些教师对“任何人都可


以学习数学，甚至是高难度的数学”这一事实很难接受，尤其是对那些


在教学中一直挑选学生进行分层教育的教师们。但不能否认的是，这


些六年级的孩子们从出生到现在所得到的错误信息和观念，所接受的

低质量的数学教学，已经让一些孩子对数学望而却步了，而且有些孩


子的数学背景的确比其他人薄弱很多。但即使这样，也并不意味着他


们不可以快速学习成长并达到学习高水平数学的能力。如果他们能够

接受高质量的教学，并得到各方面的支持，他们一定可以做到。

经常有人问我，是不是所有人的大脑在出生时都是相同的？我认为每

个人的大脑在出生时是不同的。但我想说的是，与大脑在日后生活中


的成长变化相比，大脑在人出生时的那点不同根本就不算什么。人们


普遍认为，我们出生时大脑的潜力已为定数，他们经常用一些众所周

知的天才为例子支持自己的观点，例如爱因斯坦和贝多芬。但现在科


学家们已经得知，我们出生时大脑之间的差异与我们后天学习对大脑


产生的影响相比根本就不值得一提 。




我们的大脑每时每刻都在产生新的神经元连接，对于那些在“成长型思

维模式”的环境中长大的孩子，一切皆有可能。大脑的差异性会让某些


人赢在起跑线上，但因为大脑差异而一直领先的人却凤毛麟角。那些


所谓的天才，其实也是努力工作并且不断犯错的一群人。大家公认爱

因斯坦是个天才，但他九岁才开始认字读书，而且他一直告诉我们，


他的成功是因为他学习、做事都能做到持之以恒，而且善于从自己的


错误中学习。他工作非常努力，犯错误时也不气馁，而是更加努力。


他对待生活、工作的态度就是一个具有“成长式思维模式”的人所表现

出的态度。




很多科学研究显示，一个人成功与否并不取决于他出生时的大脑，而

是取决于他的生活方式、对自己潜力的认识以及他得到的学习机会。


太多在校的学生因为没有接收到关于他们潜力的正确信息而认为自己


不如别人，他们的学习能力也因此被限制。无论你是一名教师还是家

长，这本书提供了你应该传递给学生的、也是学生们需要并且应当具

有的观念：无论他们拥有怎样的过往，你都可以让他们踏上拥有“数学


式思维”的学习道路。在这条道路上，他们会改变对自己的认识，会改


变他们学习数学的模式。



虽然我赞同“每个人出生时的大脑是不同的”这个观点，但我不认同像


大家所说的“某人生来就有个数学脑子”，或者“数学是一种天赋”。没


有人一生下来就知道数学，也没有人天生就缺少学习数学的能力。但


不幸的是，“天资”这种观点在我们的社会中根深蒂固。研究人员最近

做了一项调查，他们想看看不同学科的教授们对“天资”有何看法，调


查结果值得大家思考 。



他们发现，在数学系中，认为天资在该学科学习与科研中占主导地位


的教授最多。他们还发现，在越重视天资的学科中，女性博士就越


少。在他们调研的三十多个学科中，一个学科对天资的重视程度可以


通过此学科的女性研究人员的数量表现出来。在第六章大家可以看

到，在重视天资的学科中，女性工作者数量极少的原因就是，这些错


误的刻板印象在社会中占据了压倒性的地位。当我们和学生们讨论数


学，或者从事与数学相关的工作时，我们应该把关于数学学习的各方

面信息传达给学生，而且这件事已是当务之急。




对于大脑研究的新成果，我们要做到言传身教，并告诉社会，不只是


那些所谓的具有“天赋”的人可以学好数学，任何人都可以学好数学。

这个信息极有可能是我们开启一个全新未来的钥匙：在这个未来中，

人们不会再有数学创伤，所有的学生都有享受高质量数学教育的机


会。




在卡罗尔·德维克以及她的同行的研究中，拥有僵固式思维模式的孩子

占到40%，这些孩子认为他们的智力在出生的时候就已成定局；拥有


成长式思维模式的孩子也占到40%；剩下20%的孩子，其思维模式则


介于上述两者之间 。具有僵固式思维模式的学生在遇到困难时很容易


放弃，而具备成长式思维模式的学生往往会坚持下来，展现出安杰拉·

达克沃思（Angela Duckworth）提出的“毅力”这种品质 。在一项研


究中，研究人员为七年级的学生进行了思维模式类型的测试，并在接


下来的两年中对这些学生的数学学习进行跟踪。研究结果让人吃惊，

那些具有僵固式思维模式的学生，其数学学习没有任何进步，而具备


成长式思维模式的学生，其数学成绩则越来来越好 。（如图1.5）

图1.5 在数学学习方面，成长式思维模式的学生完全击败了僵固式思

维模式的学生。




研究显示，学生或成年人的思维模式可以由僵固式转变为成长式，在


转变之后，他们的学习方式会变得更加积极和成功 。在第二章大家可

以看到，具备成长式思维模式的学生在犯错后，他们的大脑活动更加


积极，在他们的大脑中，有更多的区域活动起来，而且他们在改正错


误时的精力也更加集中 。



以上这些证据足以说明帮助学生培养成长式思维模式，尤其是通过数


学学习来培养这种思维模式的重要性。最近我又接到了经济合作与发


展组织国际学生评估（PISA）项目小组的邀请，和他们一起分析来自


世界各地1300万学生的数据。这个国际学生评估项目小组每四年会从

世界各地挑选学生进行各种测试，而且测试结果也会在世界各大媒体

上进行报道。这些测试报告足以对美国的教育敲响警钟。在最近的一

次数学测试中，美国在65个参加测试的国家中排名第三十六 ，这个结


果充分说明，美国的数学教学亟需改革。




国际学生评估项目小组不仅对学生进行数学测试，还通过调查收集学

生们对数学和自己思维方式的认知信息。国际学生评估项目小组的一


些人观看了我去年夏天录制的视频课程后便邀请我加入他们的研究。


巴勃罗·索伊多（Pablo Zoido）就是收看我课程的一员，他是一位说


话温和的西班牙人。巴勃罗对数学学习的思考非常深入，而且他还是

大数据方向的专家。巴勃罗是国际学生评估项目小组的数据分析师，


我们共同分析数据时有了一个惊人的发现：世界上测试成绩最好的学


生就是那些具备成长式思维模式的人，而且在数学方面，他们的数学

成绩要远远超出那些具有僵固式思维模式的学生。（如图1.6）

图1.6 思维模式与数学成绩



僵固式思维模式的危害很大，它往往令学生们陷入“要么聪明要么


笨”的境地，而且这种思维模式的最大受害者是成绩很好的女孩们 。研

究发现，即使你坚信自己很聪明（僵固式思维模式的一种表现），也


会对自己产生危害。因为那些自认为很聪明的孩子因为害怕失败、害


怕失去“聪明”的标签，而不愿意去做一些更有挑战性的工作。具备成


长式思维模式的学生更愿意承担高难度的工作，他们把错误看成一种

机遇和挑战，并把错误转化为前进的动力。女孩们不选择在自然科


学、科技、数学和工程领域进行深造的一个原因就是，具备僵固式思

维模式的女孩的比例很高。这不仅使女孩们失去了很多机会，而且还

对这些科目的发展造成了损害——这些科目的发展也需要女性的观点


与视角 。




美国很多学生拥有僵固式思维模式的原因之一是家长和教师对孩子们

的表扬。如果孩子们总是受到同样的表扬，例如，当他们出色地完成


了某一件事时，你总夸奖他很聪明，一开始他们感觉会很好，但当他


们没有做好时（每个人都会经历这样的情况）就会认为自己不聪明


了。



最近一项研究发现，通过孩子0～3岁前收到的表扬可以预测他们五年


后大脑的思维模式类型 。表扬对学生的影响如此强大以至于它可以立

刻对学生的行为产生影响。




在卡罗尔的另一项研究中，研究人员让400名五年级的学生进行了一


次简单的小测验。在这次测验中大部分学生都做得很好，但有一半被


表扬为“非常聪明”，另一半则被表扬为“非常努力”。然后研究人员又

让这400名学生进行第二次测验，不过他们可以选择简单的测试（基


本上不会犯错），也可以选择难度大一些的测试（犯错误的可能会大


很多）。在被表扬为“非常努力”的学生中，有90%的人选择了难度大

的测试，而那些被表扬为“非常聪明”的学生中，大部分都选择了简单


的测试 。

人人都喜欢被表扬，但如果人们是因为某种能力（例如“你好聪明

啊”）而受到表扬，而不是因为他做的事情（例如“你工作做的太棒


了”）而受到表扬，那么他就会认为他的能力是有限的。夸奖学生聪明


会给他们带来很多后续问题。学生在成长过程中经历挫折在所难免，

但他们会以此来评估自己，进而决定自己是否聪明或者有多聪明。其


实，表扬学生较好的方式是说“你能学到这些东西真是太好了”，或


者“你对这个问题的思考很深入”等。




在我们的教育体系中流传着这样一种传统观点：有些学生天生不具备

学习高等数学的能力。我最近遇到某个高中的一群高中老师，这些高


中老师给学校董事会写信，信上说有些学生永远不会考过代数2（数学


科目）。他们还特别提到了低收入家庭的孩子，并说，除非老师专门

教这些孩子特别简单的知识，否则他们不可能学会代数。像这种片面


又带有歧视性的想法必须从学校中驱除。这封信还被当地的报纸刊


登，而且还成了州议会建立特许学校的借口 。这封信让很多人都感到


吃惊，但不幸的是，居然有很多人认同信中的内容。



像上述提到的这种不正确的认知有很多，而且那些真心关注这些学生


的人真的会相信，在这些学生可以学习某些数学知识之前，他们的大

脑的确需要经历一个发展阶段。但这种观点已经被证明是错误的，从


学生本身的学习经历、他人的期望以及思维模式来看，他们具备学习


相应等级数学知识的能力。数学学习也没有预先规定的学习进度，也

就是说“学生只有到了一定的年龄或者足够成熟之后才能学习某些数学

知识”的观点是不正确的。学生之所以学不会某些数学知识，不是因为


他们年龄小或者不够成熟而导致大脑不能进行某些活动，而是因为他


们需要先学习一些必须的基本知识。



对很多人来说，只有重审自己的学习经历以及这些经历和数学的关


系，才能认识到数学式思维模式的重要性，才能开发出改变学生思维


模式的策略。



在一项重要的研究中，肖恩·贝洛克（Sean Beilock）和他的同行发


现，通过分析小学教师对数学负面情绪的强度，可以预测这些教师的


课堂上女孩们的数学成绩，但这些负面情绪与男孩的数学成绩没有显

著关系 。这种性别差异可能是因为女孩们认为自己的数学情况未来会


和女性教师现在的情况相同，这种现象在小学时期尤其普遍。女孩们


会很快注意到教师言语中关于数学的负面信息，而且这些负面信息往


往都是出于好心，例如，老师会说“我知道数学很难，但我们尝试着去

学习好吗”，或者说“我上学的时候数学也不好”，或者“我也不喜欢数


学”等。这个研究也从另一个侧面反应了老师所传递的信息与学生成绩


之间的关系。



不管你在你的思维模式道路上走到了哪里，无论你是思维模式方面的


新手还是专家，我都衷心地希望，我在本书中分享的数据和观点可以


帮助你和你的学生意识到，任何水平的数学都是非常有趣且可以学会

的。在下面的第二章到第八章，我会将我在多年研究和实践中总结出

来的策略分享给大家，无论是在课堂上，还是在家里，大家可以通过


这些策略来鼓励学生们培养强大的数学式思维模式和成长式思维模


式。




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第二章 不经历风雨，怎么见彩虹？







加利福尼亚州各个学校的校长们告诉我说，他们的教师们读了卡罗尔·


德维克的书之后都认同书中的观点，但却不知道如何利用这些观点来


改变数学教学，于是我便和我的研究生们（萨拉·凯特·塞林（Sarah

Kate Selling）、凯西·孙（Kathy Sun）和霍利·波普（Holly


Pope），他们都来自斯坦福大学）举办研讨会，教老师们如何通过数


学教学培养学生的成长式思维。



第一次研讨会的地点就在斯坦福大学的李嘉诚中心。对我来说，第一


次研讨会最精彩的时刻之一就是，卡罗尔·德维克和参加研讨会的教师


们见面，并说了一句震惊全场的话：“一个学生在学习数学时每犯一次

错误，他的大脑中就会激发出新的神经突触。”在教师们意识到这句话

的意义后，全场都爆发出感叹声。这句话之所以这么重要是因为它道

出了犯错产生的巨大能量和价值，虽然学生们都认为犯错就意味着数


学学不好或者他们不够聪明等。很多优秀的教师多年以来一直告诉学


生，犯错对他们是有益的，这说明他们的学习在进步，但大脑的研究

结果告诉我们的犯错的价值绝不止这些。




心理学家杰森·莫泽（Jason Moser）研究了人们犯错时大脑的工作机


制 。莫泽和他的研究小组发现了一个很有趣的现象。当我们犯错时，


我们的大脑会做出两种反馈。第一种反馈我们称之为错误相关负电位

反馈（ERN response），这种反馈会在大脑经历正确与错误的矛盾


时增加大脑的电流活动。更有趣的是，不管犯错的人是否能够意识到


自己犯了错，这种反馈都会产生。第二种反馈我们称之为Pe反馈，它

是在我们意识到自己犯了错并有意识关注这个错误时大脑产生的反


馈。




当我告诉教师们，错误会激发我们的大脑并让它成长时，他们说：“只

有当学生们改正了错误并最终把问题解决时大脑才会成长。”但事实并


不是这样。莫泽的研究成果告诉我们，大脑甚至可以在我们意识不到


自己犯错的情况下而受到触发。当教师们问到“这怎么可能”时，我对

他们说，到目前为止我们最好的解释是，当我们犯了错，我们的大脑


就会受到挑战而被激发，我们之所以意识不到自己犯了错是因为我们


的大脑正忙着和错误引发的挑战作斗争。

在莫泽和他的同行们的研究中，科学家们对不同思维模式下犯错的错

误相关负电位反馈和Pe反馈的强度进行了对比。莫泽的研究产生了两


项重要成果：第一，人们在犯错误时大脑中的错误相关负电位反馈和


Pe反馈的强度（也就是大脑中的电流活动）比得到正确答案时大脑中

两种反馈的强度大很多。第二，具备成长式思维模式的人在犯错时其


大脑电流活动强度要比具有僵固式思维模式的人在犯错时大脑电流活


动强度大很多。图2.1显示的就是两种不同思维模式大脑的活动情况，


大家可以看到，成长式思维模式的大脑在犯错时的活动范围和强度都

更大一些。












































图2.1 僵固式思维模式和成长式思维模式大脑的活动情况

当我们犯错时，我们的大脑活动强度就会增大。这个发现对我们来说

至关重要。




莫泽的研究还发现，具备成长式思维模式的人对错误的觉察更加敏


锐，所以他们回头改正错误的概率也就更大。这个发现也证实了，成

长式思维模式的学生具备更敏锐的大脑反应和对错误更高度的注意力


。所有的学生在犯错时大脑都会被激发，新的神经突触会形成，但成


长式思维模式的大脑再次被激发的可能性更大，也就是说，他们重复


犯某个错误的概率更小。



大脑与犯错之间关系的研究告诉我们，犯错其实是一个机遇，所以这


些研究成果对数学教师和家长极其重要。当我们犯错时，我们的大脑

就会受到激发而成长，即使我们意识不到自己犯错。犯错是我们学习


的最佳时机，也是大脑成长的关键时刻。因为无论是孩子还是成年


人，当他们在数学上犯错时，通常都感到很糟糕，所以，认识到犯错


的价值对他们来说非常关键。这些孩子和家长都是在一种绩效文化

（也就是只看最终结果与表现） 中长大，而在这种文化中，人们认识


不到犯错的价值，而且犯了错就要被惩罚，所以当他们在数学题上犯


错时就认为自己不具备学习数学的能力。我们希望学生可以犯一些错

误，但很多教师故意让学生去解决那些他们不可能犯错的数学题。在


后面的章节中我会给大家介绍一些有益于培养学生成长式思维的数学


题以及教师和家长应该做些什么。

最近我在上海观摩了一堂二年级的数学课。上海是中国同时也是世界

上数学成绩最优秀的地区之一。老师首先让学生做一道比较难的概念


性问题，然后让某些学生把答案分享给大家。当学生们兴高采烈地分


享自己的答案时，在一旁的解说员对我说，老师选的这些学生是答案

错误的学生。因为学生们明白犯错的价值，所以才敢高高兴兴地把自


己的错误告诉大家。在第九章，我会截取这堂有趣的课程的一段分享


给大家。




关于大脑与犯错的研究结果不但告诉我们犯错的价值，同时也告诉我

们在错误识别相关方面，具备成长式思维模式学生的大脑活动强度要


比僵固式思维模式学生的大脑活动强度大很多。这也是为什么对于学


生来说，无论是学习数学还是其他科目，具备成长式思维对他们如此

重要的原因之一。




从莫泽的研究中我们知道，在犯错时，成长式思维模式大脑的活动强


度要比僵固式思维模式大脑的活动强度大很多，这个事实其实为我们

传递了另外一条非常重要的信息。这条信息就是：我们对自己的看


法，尤其是我们是否相信自己，会改变我们大脑的工作机制。如果我


们相信自己有能力学习，相信犯错的价值，那么我们的大脑就会在犯

错时得到成长。这个结果的意义重大，它再次告诉我们，学生们对自


己充满信心是多么重要，同时也告诉我们，尤其是在充满挑战的时


刻，对自己充满信心是多么重要！

生活与工作也非一帆风顺





通过对非常成功的商人与不太成功的商人的研究发现：这两类商人的


不同之处在于，越成功的人犯错的次数越多。星巴克是世界上最成功

的公司之一，它的创始人霍华德·舒尔茨（Howard Schultz）也是这


个时代最成功的企业家之一。舒尔茨开始设计咖啡馆时，主要是模仿


意大利咖啡馆的设计。在他开始的设计中，咖啡馆的服务生要带领


结，而且还在咖啡馆中很大声地播放歌剧……而这些设计都不是美国

人喜欢的。舒尔茨的团队又重新规划设计，在不断的犯错之后，才最


终创建了星巴克这个品牌。




彼得·西姆斯（Peter Sims）是纽约时报的作家，他曾多次写文章强调

犯错对企业创新思维的重要性 。他指出：“不完美是任何创新过程和生


活中一部分，但却因为种种原因，我们生活在一个异常害怕失败的文


化中。这种文化过于注重完美，让我们畏首畏尾。如果你想变得更富


有创造力和创新精神，摆脱这种文化的束缚、彻底地解放大脑是你唯

一的出路。”西姆斯也总结了成功人士普遍具有的习惯：




• 在犯错时不会感到尴尬。



• 会尝试那些看起来很不靠谱的想法。




• 愿意接纳不同的经历与经验。

• 参与时不妄自评判。



• 愿意挑战传统的观点。




• 具有持之以恒的精神。



今年夏天，我在网上为学生们发布了新课程：如何学好数学。在我写


书的这段时间，学习这门课程的学生已经超过十万人。这门课程的目


标就是培养学生们的成长式思维，让他们看到数学的趣味性与魅力，


让他们学习我在本书中要分享的学习数学的重要策略。（详情请登

录：https://www.youcubed.org/category/mooc/.）




这门课程是我和我的斯坦福本科生一起教授的，他们对西姆斯总结的

成功人士的六个习惯通过表演的方式进行了演示。课程的制作人柯林


也通过一些道具和文字让演示更加生动有趣！这些参与演出的本科生


是卡里尼亚·盖尔（Carinne Gale）（如图2.2）、蒙特塞·科德罗


（Montse Cordero）（如图2.3、2.4和2.7）、德温·吉约里

（Devin Guillory）（如图2.5）和雨果·瓦尔迪维亚（Hugo


Valdivia）（如图2.6）。

图2.2 不会因犯错而感到尴尬

图2.3 尝试一切不靠谱的想法

图2.4 接纳不同的经历与经验







































图2.5 参与时不妄自评判

图2.6 愿意挑战传统的观点

图2.7 具有持之以恒的精神



这六个习惯不但在生活中很重要，在数学课上也同样重要。但遗憾的


是，当学生们上数学课或者在家里做数学作业时，这些习惯都不见


了。




我希望学生们可以无拘无束地学习数学、尝试各种不同的想法，而不

是害怕自己会犯错。希望他们可以用不同的方式去学习数学，乐意去


解决数学题，敢于去尝试一些“不靠谱的想法”（大家可以参考第五


章）。希望他们敢于挑战传统观点，摒弃“有些人可以学好数学，有些

人则不能”的观点。当然，我也希望他们在学习遇到困难时能够努力的


坚持下来。

如何改变学生对犯错的看法？





如果想改变学生对犯错的看法，最有效的就是改变他们对犯错以及数


学错误答案的看法。最近我收到一个非常感人的视频。录制这个视频

的是一位教师，她看了我的网络课程之后决定去教那些数学不好的孩


子，并让他们认识到犯错的价值。一年之后，这些学生完全变了一个


样儿，他们不再感觉自己是个失败者，而是以积极向上的态度学习数


学。在这个视频中，孩子们都做了反思，并告诉我们犯错如何让他们

的大脑成长，如何改变了他们的学习和生活。他们说道：“以前总是认


为自己是个失败者，正是这种想法阻碍了他们的进步。这位新教师为


他们传递的信息以及新的教学方法让他们完全甩掉了对数学的恐惧，

并让他们重拾信心开始学习数学。”如果孩子们认识到犯错的价值，那


么禁锢他们的最大枷锁将被打开。




在专门为教师和家长录制的网络课程中，我和他们分享了关于犯错的


最新信息，并向这些老师和家长们提出了一个挑战。我让他们设计一

个课堂活动或家庭活动，在这个活动中你可以让孩子们重新认识犯错


这件事。我最喜欢的一个案例来自一名教师，她首先让学生把一张纸


团成一个纸团，并让学生们假定自己做错了数学题，然后在犯错后将

这个纸团向着黑板的方向投过去，这样学生就可以把自己的负面情绪


（通常为受挫的情绪）释放出来。（如图2.8）随后，她让学生把自己


的纸团捡回来，打开展平，并用彩笔把纸上的折痕画出来，而这些折

痕就代表他们大脑的成长。她要求学生们把这张纸放在文件夹中保

存，从而时刻提醒他们犯错的重要性。




几年前，我开始和金·哈利韦尔（Kim Halliwell）一起合作，她来自加


利福尼亚州维斯塔学区，是一名极富灵感的教师。我去年访问了金的

课堂，发现教室的墙上贴满了学生的画作，这些画都是关于大脑的，


而且画上都是关于犯错与大脑成长的正面信息。金告诉我说，她让学


生们把自己最喜欢的关于大脑成长的信息画成一幅画。

图2.8 学生们正在学习关于大脑成长的知识

在课堂上，另一种正视犯错的策略是让学生们把自己犯的各种错误展

现出来，甚至可以把测试试卷（其实对学生而言，测试越少越好，我


将在第五章分享原因）展现出来。然后教师从这些试卷中找到“最喜


欢”的的错误。教师应该让学生们知道，我们所寻找的“最喜欢”的错误

是观念上的错误，而不是做数学题时犯的错误。然后，教师可以把这


些错误和学生们分享，并讨论这个错误观念是从哪里来的，以及这种


观念为什么是错的。学生们通过讨论进而认识到，当他们犯错时，他


们的认知会改变，他们的大脑会被激发成长，这正是加强他们对错误

正确认知的好时机。因为，当一个学生犯某种错误时，其他学生也可


能会犯同样的错误，所有通过对犯错的讨论可以引发更多的学生去思


考。