这才是数学（教师篇）

忙。在本书中，我给大家介绍了让学生将问题可视化的多种方法，大

家可以参考第八章。




运用直觉，解放思维



我在第五章曾提到，高级的数学应用者经常使用数学直觉来解决问


题，比如使用数学直觉建造机器人的塞巴斯蒂安·特龙。莱昂内·伯顿在


研究数学家工作的特点时采访了70位数学家，其中有58位强调了直觉


在他们的研究工作中起到了重要作用。



但到底什么是直觉呢？为什么数学家都普遍使用直觉，而学生却几乎


从不使用直觉呢？其实教师在教授学生一个新方法之前，只要简单的


问一句他们觉得使用什么方法可以解决问题就可以为学生提供使用直

觉的机会。在数学教学的任何阶段，我们都可以为学生提供使用直觉


思维的机会。小学教师在教授方法之前可以鼓励学生思考自己的问题


解决方法。比如，在给出面积公式前可以让学生自己思考如何求一个


小毯子的面积。在初中和高中，我们可以在教授方法之前让学生思考

如何求出一个很高的、但又不能直接进行测量的物体的高度 。在第五


章提到的初级微积分课堂上，在教授积分知识前，学生们需要用直觉


思考如何求得一个柠檬的体积。只要教师在教学过程中做一点改变，

他们就可以为学生提供使用直觉的机会。

当学生被要求使用直觉去思考一个数学概念时，他们就需要进行开放

性和自由的思考。当我询问一群学习“Number Talks”的三年级学生他


们对“Number Talks”的想法时，迪伦告诉我的第一句话就是“我的思


维自由了，我可以随心所欲，可以自由地处理数字……”。



当我们把数学作为开放性的一门学科教授给学生后，我总能不断地被


孩子们对数学的评价所惊艳并得到启发。当他们说到“我们的思维自由


了”“我比以前更开放，觉得自己的获得了自由与重生”以及“我们一起


工作，相互帮忙，创造一个更美丽的世界”时，探究式教学模式的价值

得到了完美的体现。学生们之所以这样描述自己的学习经验是因为他


们在精神与智力上获得了自由，而且这种自由的力量是非常强大的。



德博拉·鲍尔曾写过一篇文章，在文章中她引用了传奇式心理学家杰尔


姆·布鲁纳（Jerome Bruner）的话：




“我们以一个假设开始，这个假设就是：对于一个科目，任何发展阶段


的孩子都可以被教授学习适合他们智力水平的内容。这是一个大胆的

假设。考虑到一个学科的本质，这个假设也是很关键的。没有任何证


据证明这个假设是错误的，反而是越来越多的证据开始支持这个假


设。”



当我第一次把这个观点介绍给我斯坦福大学的学生时，他们表示很难


接受。但他们都乐意去思考如何把微积分的概念与小孩进行讨论。德

博拉·鲍尔对这个观点深信不疑，她说道：“孩子们的想法与创造都是具

有深度而且经得起推敲的。” 如果我们能把教师与学生从数学内容的层


次体系中解放出来，并允许学生自由探索像第四维度、负空间、微积


分以及分形这样的高级概念，那么任何年龄的学生都会有机会体验真

正的数学给他们带来的兴奋。我并不是建议一定要把高等数学教授给


小孩子，但我喜欢布鲁纳与鲍尔讨论的这个可能性。这是一个重要而


且令人兴奋的观点。




注重深度而非速度



在数学课堂上，我们急需改变的一个观点是：速度比深度重要。目


前，没有哪个学科像数学一样注重思考与解题速度，学习数学的人也

因此备受折磨。但世界上享有盛誉的数学家们，比如玛丽亚姆·莫兹坎


尼、史蒂文·斯特罗伽茨（Steven Strogatz）、基思·德夫林和洛朗·


施瓦茨，都注重深入的思考与工作。就像洛朗·施瓦茨所说：“重要的是


能够深入理解事物以及它们之间的相互关系。”施瓦茨因为是一个慢速

的思考者在学校被人嘲笑“愚笨”，所以他迫切希望大家认识到，数学


的本质在于深度思考，而不是在于肤浅的事实性知识和快速的思考与


工作。



在数学教学中，我们应该一直强调深度思考与内容之间联系的重要


性。在中国的一次访问中，我得以观摩众多学校初中数学与高中数学


的教学。在国际学生评估项目测试以及其他测试中，中国学生的数学

成绩要比其他国家学生的成绩高很多 。大家可能会误以为中国的数学

课程注重解题方法与速度。但在我观摩的一堂课中，教师与学生在一


个小时的课程时间内会共同讨论三个甚至更多的问题。教师会通过探


究式教学教授数学概念，甚至包括那些定义性与公式性比较强的概

念，比如余角和补角的概念。




在课堂上，教师通过让学生思考、举例和讨论的方式来探索余角和补


角的性质（详情请登录：http://www.youcubed.org/high-quality-


teaching-examples/）。在我所见过的所有教授余角和补角的课堂

上，其讨论深度没有一个课堂能超越中国的课堂。教师会大胆地采用


学生的观点，并提出错误的论断来挑战学生，而且教师和学生在这堂


课上讨论了所有与定义相关的各种角之间的关系。



下面这段对话出自一个典型的美国课堂，课堂的教学内容是关于余角


和补角的 ：




教师：现在我们这里有对顶角和补角。∠A的对顶角是多少度？



学生一致回答：70°。




教师：所以∠A一定是？



学生一致回答：70°。




教师：现在我们看补角。∠A的补角是哪个角？

学生一致回答：∠B。



教师：是的，还有哪个角也是∠A的补角？




学生：∠C。



教师：互补的角加起来等于多少度？




学生：180°。




下面这段对话是出自我观摩的中国课堂：



学生：就像他所说的，如果两个角相等，并且和是180°，那么这两个


角肯定都是直角。因为锐角总是小于90°，所以两个锐角的和不可能比

180°大。




教师：所以，如果两个角互补，那么他们一定都是钝角，对吗？




学生：这种说法是不对的。



教师：不对吗？为什么？我认为，如果两个角互补，那么这两个角一


定都是钝角。



学生：我觉得，如果两个角互补，这两个角可以一个是锐角，一个是


钝角。

教师：你的意思是说，虽然两个互补的角不能都是锐角，但它们可以

是一个锐角一个钝角。




学生：比如，就像这道题中的∠1与∠5。它们一个是锐角，一个是钝


角。



教师：也就是说，如果两个角互补，那么它们一定一个是锐角，一个


是钝角。




学生：这样说还是不准确。您应该说，如果两个角互补，那么至少有

一个角是锐角。




其他学生：不对，应该说至少有一个角大于90°。



学生：有一种情况不符合，那就是当两个角都是直角的时候。




从上面两段话可以看出，美国课堂与中国课堂的不同是非常显著的。


在美国课堂上，教师总是提问程式化的问题，然后学生只能提供唯一

的答案。这些问题往往都直接来自课本，而且都是定义的直接体现，


学生可以很容易做出回答。




在中国的课堂上，教师不会提出补充句子式的问题，她会听取学生的

观点，并根据学生的观点提出一些极端性的论断，通过这种方式来加


强学生对概念的理解。她的论断引发了学生的推理与论证，并深入思


考不同角之间的关系。

在下半节课，课堂的重点放在了学生们绘制的各种示意图上，学生通

过这些图形来说明角与角之间的关系。在这段时间内，学生会绘制各


种不同的图形，延长或者旋转射线以及三角形的边。他们会和其他学


生以及教师讨论各种想法与观点，并对这些想法与观点提出问题。在

看到这堂课之前，我从未想象一堂课的广度与深度可以达到这么高的


水平。一位学生说道：“这样的课堂简直太棒了！”一般情况下，美国


学生是不会这样评价他们的数学课堂的。




研究人员对美国与其他国家的教学进行了对比，得到的结论是：美国

的课程是广度有余，深度不足 ，而其他国家的课程，尤其是日本，更


注重学科的概念性与深度，而且学生之间相互讨论的机会也更多。通


过对比美国与日本的数学课程，分析人员把日本在数学方面的成就归

功于学生之间深度的讨论与工作 。




因为家长缺乏对数学深度重要性的认识，再加上一些错误信息的误


导，比如他们孩子学习数学的速度越快越好，所以他们在孩子跳级和

学习高等数学方面展开了攀比与竞争。但数学学习不是竞赛，而且提


高数学学习的深度才能激发学生的数学思维，才能让他们在数学学习


这条路上继续走下去。我们知道，那些被逼迫进行快速学习的学生一

旦有机会便会放弃对数学的学习 。




我们希望所有的学生都能够有效地学习数学，他们会发现有效的学习


不会太容易，但也不会让他们简单地重复学过的内容。鼓励学生成为

成功者最有效、最好的方法就是为学生提供深入思考数学内容的机

会。只要我们为学生提供这样的机会，迟早有一天他们都会形成深入


思考的习惯。我让学生深入思考的一个方法是让完成问题的学生对问


题进行扩展。



上个周，我给我斯坦福大学的学生布置了一个名为“被涂色的立方


体”的问题，我还为他们准备了很多方糖，以便他们对这个问题进行建


模（如示例9.7和图9.8）。



示例9.7 被涂色的立方体




一个5×5×5的立方体是由125个1×1×1的小立方体组成，如果我们


把这个立方体的表面涂成蓝色，考虑如下几个问题：





























三面是蓝色的小立方体有几个？




两面是蓝色的小立方体有几个？

一面是蓝色的小立方体有几个？



没有被涂成蓝色的小立方体有几个？































图9.8 一个被涂色的立方体




有些学生因为方糖不够用便建立了一个3×3×3的立方体，用笔将这个

立方体的表面涂上颜色，然后观察这个立方体的特点。




我告诉他们，如果解决了示例9.7中的问题，他们可以对这些问题随心


所欲地进行扩展。有些小组开始考虑，如果把方糖排成金字塔状后，

问题的答案会有何变化（如图9.9）；有的小组则考虑如果用四棱锥排


成金字塔状会如何；还有小组思考把立方体放入四维空间甚至n维空间


结果又会如何。对问题进行扩展为学习提供了更多的学习机会，而这


也是这堂课的精彩之处。

图9.9 涂色立方体问题的扩展




通过数学建模连接数学与这个世界



在学校上学的孩子看不到数学与世界之间联系的主要原因是数学本身


的抽象性和他们所接收到的错误信息，也就是说他们接收的信息告诉

他们数学与这个世界是无关的。但数学在我们身边随处可见，这也是


学校数学教育的一个悲哀。实际上，数学对我们的工作和生活太重要


了，它已经被称为是一种新的“公民权利” 。




我曾经采访了一群24岁的年轻人，他们在学校接受的都是传统数学教

育。当我问及数学在他们工作和生活中所扮演的角色时，他们对曾接


受到的学校数学教育表示失望和沮丧。这些年轻人说，现在他们随处


都能看到数学的影子，而且在每天的工作中也会运用到数学，但他们

在学校接受的数学教育没有为他们呈现数学真正的模样，也没有让他


们认识到数学对他们工作、生活的重要性。

把数学与现实世界联系起来固然是好事，但这个需求却经常导致教科

书出版人员用一些伪现实的问题来代表世界。学生接触到的这种问题


往往与事实相差甚远，比如两辆火车在同一条轨道上相向行驶。因为


这种问题都是不真实的，所以他们给学生造成的影响往往是负面的。

为了解出这些伪现实的问题，学生还要抛弃他们所知的常识，假装这


些问题是真实的。比如下面几个典型的伪现实问题：




乔完成一项工作需要6小时，查理完成这项工作需要5小时，如果他们


一起工作2小时，那么他们可以完成这项工作的多少呢？



在一家餐馆，1/8个乳蛋饼的售价是2.5美元，那么一张乳蛋饼的售价


是多少？



在一个聚会上，一张披萨被平均分成5份。三个人吃掉了属于自己的那


份，但却又来了4个人，那么剩下的这两块披萨该如何均分呢？




这些问题都来自于我们的教科书，但这些问题都是没有实际意义的。

大家都知道两个人一起工作和一个人单独工作的效率是不同的；饭馆


对食品的售价也会因顾客购买的数量发生变化；而当聚会上有新人加


入时，我们会再订一些披萨，而不是让新加入的人平分剩下的披萨。

学生经常与这种伪现实问题打交道的后果就是他们认为数学与他们的


生活无关。事实上，很多学生在迈进数学课的那一刻就认为他们进入

了一个奇怪而又神秘的地方，在这个地方，他们需要抛弃所有的生活

常识。




如果不使用这些伪现实的问题，我们怎样才能让学生看到数学在现实


世界中的广泛应用呢？其实，这个世界上到处都有可用数学解释说明

的实际情境。比如我在视频课程上为大家介绍的雪花中蕴含的数学知


识，蜘蛛网中蕴含的数学知识，杂技和舞蹈以及海豚叫声中蕴藏的数


学知识等。这些问题就包含小学初级的数学内容，也包含高级的高中


数学内容。但也不是所有的数学问题都和实际生活相关，数学史上很

多伟大的问题都与实际生活无关，但却可以用来锻炼我们的数学逻辑


思维。我们至少要保证学生可以看到数学的广泛应用，并能够接触解


决一些具有实际意义的问题。



康拉德·沃尔夫拉姆在TED演讲中呼吁大家把数学看成一个以提出问题


和建立模型为中心的学科 。沃尔夫拉姆认为建模是数学与世界相连接


的核心，而且建模也是标准数学课程的核心要求。



第四大数学技能：数学建模




数学技能高超的学生可以灵活运用数学知识来解决生活、工作与社会

中的各种问题。在小学，这样的技能可以简单地体现在用一个加法表


达式来描述实际情境；在中学，一个数学技能高超的学生可以运用比


例思想来策划一个学校活动或者分析社区中的一道难题；在高中，一

个数学技能高超的学生可以应用几何学解决一个设计问题，或者运用

函数来描述两个量之间的变化关系。




这些学生在解决问题的过程中可以很自然地通过假设与近似来简化复


杂问题，同时也对建立的模型进行修正与改进。在实际情境中，他们

可以识别出重要的变量，并且可以用示意图、双向表、图形、流程图


以及公式来表达变量之间的关系。他们可以对问题做出数学分析并得


到结果。他们会把得到的数学结果与实际情境相结合，思考这些结果


是否具有实际意义，而且在模型不理想的情况下对模型做进一步地改

善。我认为国家核心课程标准CCSS（Common Core State


Standards）的最大贡献就是将数学活动所必须的各项技能囊括在


内。这些技能非常重要，它们是学生学习真正数学所必须的。“数学建

模”就是CCSS所要求的八大技能之一（如下文本框中的描述）。




CCSS的第四大数学技能：数学建模




数学技能高超的学生可以灵活运用数学知识来解决生活、工作与社会

中的各种问题。在小学，这样的技能可以简单地体现在用一个加法表


达式来描述实际情境；在中学，一个数学技能高超的学生可以运用比


例思想来策划一个活动或者分析社区中的一道难题；在高中，一个数

学技能高超的学生可以应用几何学解决一个设计问题，或者运用函数


来描述两个量之间的变化关系。

这些学生在解决问题的过程中可以很自然地通过假设与近似来简化复

杂问题，同时也对建立的模型进行修正与改进。在实际情境中，他们


可以识别出重要的变量，并且可以用示意图、双向表、图形、流程图


以及公式来表达变量之间的关系。他们可以对问题做出数学分析并得

到结果。他们会把得到的数学结果与实际情境相结合，思考这些结果


是否具有实际意义，而且在模型不理想的情况下对模型做进一步地改


善。




来源：CCSS，2015。



数学建模的过程就是把实际问题转化为数学题，而这道数学题可以帮


助我们解决这个实际问题。建模在数学中随处可见，只不过我们的学

生对建模的过程没有意识罢了。




罗恩·费季卡（Ron Fedkiw）是斯坦福大学应用数学方面的专家，他


专门研究电脑合成特效。他的特效合成模型曾在著名电影《加勒比海


盗2：聚魂棺》（Pirates of the Caribbean：Dead Man's Chest）

和《星球大战前传3：西斯的复仇》（StarWars：Episode III—


Revenge of the Sith）中得到应用。费季卡在23岁前一直学习基础


数学，后来他转行到应用数学领域。他的部分研究工作就是设计能够

模拟物体旋转、碰撞以及将下落水珠结合在一起的算法。

数学建模也可以用于侦破刑事案件，而且已经帮助我们解决了不少备

受瞩目的谋杀案件。《数字追凶》（Numbers）就是一部非常成功的


电视剧，这部电视剧塑造了一位联邦调查局探员，他在侦破案件的过


程中经常获得身为数学家的弟弟的帮助。《数字追凶》第一集的剧情

就基于一个残忍连环杀手的真实故事。在剧情中，探员们把这个连环


杀手作案的地点都标在了一张地图上，但却看不出任何规律。这个探


员在为案件发愁时想起了他的数学家弟弟总是说数学是研究规律的一


门学问，所以他请他的弟弟来帮忙。这位数学家把关于连环杀手的重

要信息放在一个数学模型中，比如这个杀手往往会在受害者家的附近


发动袭击，但袭击地点离受害者的家也不是太近，他会留出一个不发


动袭击的缓冲区。他用连环杀手的作案地点与受害者家之间的距离建

立了一个数学模型。通过这个数学模型，他们发现了一个区域热点，


这个热点区域可能就是连环杀手居住的地方。联邦调查局的探员们对


这个区域某个年龄段的人员进行了调查，最终发现了连环杀手。这一


集故事中提出的数学模型源自于一位真实数学家金·罗斯莫（Kim

Rossmo）的工作，他通过数学模型开发了一个犯罪地理定位系统，


而且这个系统已经被全世界的警局部门使用。




当我们让学生通过数学来解决一个基于真实数据和约束条件的实际问

题时，我们实际上是在让他们对这个问题进行建模。就像沃尔夫拉姆


所说的，学生就应该尝试一个实际问题，对这个问题进行建模，进行


计算（这一步可以借助计算器或者计算机完成），然后看他们得到的

答案是否能够解决这个问题，或者建立的模型是否需要修正。他指

出，现在学生把80%的时间都花在了计算上，而他们应该把这个时间


花在建立模型、修正模型和利用模型解决实际问题上。




在代数课堂上，学生也经常被要求进行计算。比如：



一个男人正在节食，他去商店买了3片等重且形状也相同的火鸡肉片，


这三片肉片的总重量为1/3磅，但他的节食计划只允许他吃1/4磅的火


鸡肉。他应该吃掉这3片肉的多少才能满足他的节食要求？



这道题对很多人来说或许很难，但他们面对的困难不是不会计算，而


是不知道如何建立模型来解决这道题。我曾在其他地方写到小孩子为


我们提供的一些优雅简洁的可视化解决方案 ，下面这个解决方案就来

自一名四年级的学生：




如果3片肉的重量是1/3磅，那么9片肉的重量就是1磅，如图9.10所


示。



如果他只能吃掉1/4磅的肉，那么他可以吃掉图9.11中一个象限中的


肉……



……也就是两整片肉和第三片肉的1/4。

图9.10 9片肉

图9.11 9片肉被平分到四个象限



当成年人在解决这道题时，他们要么错误的将1/3与1/4进行相乘，要


么尝试用代数方法解决，但却又想不起如何用代数法解决。如果采用


代数方法，他们需要建立如下模型：



3片肉=1/3磅




x片肉=1/4磅




然后两个等式交叉相乘得到：1/3x=3/4，x=9/4



成年人在对这个问题建立模型和表达式的过程中都会遇到困难。虽然


学习了多年的代数，但他们基本上没有说明问题和建立模型的经验。

他们知道如何在表达式中变换变量的位置，也知道如何去解表达式，


但却不会创建一个模型。这却是沃尔夫拉姆提到的一个很重要的过


程，也就是建立模型的过程。



任何年龄的学生都可以进行数学建模。比如，幼儿园的教师可以让学


生制作一个座位分布图，让所有的孩子都可以在地毯上坐下。他们可


以用一个形状或者物体来代表小朋友，然后寻找可以让所有小朋友坐

在地毯上的方案。这就是一个建模的例子，在这个例子中，孩子们可


以认识到，他们可以用形状或者物体来代表更复杂的东西（详情请登


录：http://www.youcubed.org/task/moving-colors/）。

数学模型往往要比实际情况简单。在幼儿园的例子中，形状和物体可

以代表小朋友，但却不能代表他们的个头大小与行动。在火鸡肉片的


例子中，我们假设这些肉片的重量和形状都是相同的。




一个初中和高中学生都可尝试的建模问题就是著名的拴羊问题（示例

9.8）。




这个问题虽然不是真实的问题，但却可以让学生去考虑这个问题的真


实场景，然后把这个场景应用在他们的思考中。学生可能会想这只山

羊的活动空间有多大。教师或者学生可以考虑在山羊活动的周围围上


栅栏，而这个问题的一个扩展就是让学生找到60个1英尺长的栅栏围


成的最大面积。当学生考虑种树时，他们或许会想到如果山羊把树吃

掉怎么办？种什么品种的树最好？把树种在哪里才能保证山羊吃不


到，而且还能为山羊提供树荫？




这个数学场景为学生提供了提出问题和进行调查的很大空间。他们需


要建立数学模型并创建合适的表达方式——这两点都是非常重要的数

学技能（如图9.12）。




示例9.8 拴羊问题



想象一下，一只山羊被绳子拴在棚子的一角。这个棚子的长和宽分别


为6英尺与4英尺。绳子的长度是6英尺。

你对这个场景有什么疑问？



为这个场景画一幅图。




你能提出哪些问题？





























太阳在棚子的东边升起，西边落下。如果我们能够为山羊提供一些树


荫就更好了。你应该把树种在哪里呢？你想种什么品种的树呢？

图9.12 拴羊问题的数学模型




让学生同真实数据打交道的一个好方法就是让他们使用杂志、报纸和

网络上的真实数据。比如，我很喜欢的一个活动就是关于社会公平的


讨论，我会让学生分成小组来代表世界上位于不同大洲上的人们。当


然，其他教师和学生也都很喜欢这个活动。如果用饼干数量代表每个

大陆的财富，每个小组需要根据自己所在大洲财富占全世界财富的比


例计算出他们应该得到的饼干数（如示例9.9）。学生在解决这个问题


的过程中需要进行建模、推理、应用实际数据，而且还能了解到世界


财富分配的真实信息。如果把财富分配转化为实际数量的饼干，他们

会有更深切的体会。因为代表某些大洲的学生得到的饼干数非常少，

所以最好多准备一些备用饼干，在问题结束后让大家都能吃到等量的

饼干！




示例9.9 世界财富分布的模拟







































1. 找到各大洲人口占世界总人口的比例。



2. 按各大洲人口比例对我们班级的学生进行分组。




3. 计算各大洲财富占世界总财富的比例。



4. 按各大洲财富的比例计算各个小组得到的饼干数。




表1世界财富数据

表2课堂数据

课堂上的总人数____饼干总数____








































来源：人口数据来源于美国人口资料局。财富数据来自于国际货币基


金组织。




奥运和其他运动数据也为学生提出问题和思考问题提供了丰富的机

会。但在引用这些数据时一定要注意性别的平等。示例9.10显示的也


是我喜欢的一个问题，这个问题同样需要学生建立数学模型。



示例9.10 足球守门员问题




如果你是一名足球守门员，对方球队的一个队员摆脱了你队球员的阻


挠，正向你跑过来。作为一名守门员，你站在什么位置对防守最有

利？请根据对方球员可能的射门位置画出你防守的最佳位置。


































































当我们把实际问题引入到数学课堂上时，我的建议是使用真实的数据


与情境，并给出对学生有帮助的信息。一定要保证这个问题不会限制

学生对这个问题进行感知与意义构建，而且也不能让这个问题变成一

个伪现实的问题。




经济合作与发展组织的国际学生评估项目小组曾根据美国学生在数学


评价测试中的表现对他们的优势与劣势进行了分析。他们发现，美国

学生的劣势与他们经常接触伪现实的数学题有关。我们都知道，这些


问题不但不会教会学生使用现实世界中的变量，而且还让他们忽略这


些变量。下面是国际学生评估项目小组提出的建议：



美国的学生看起来在对认知要求比较低的数学技能和能力方面比较有


优势，比如从图表中抽取单个的数字，或者处理结构比较完整的公式


等。但他们在要求比较高的数学技能和能力方面比较弱，比如严谨地

思考现实问题，把现实问题转化为数学题，以及对实际问题中涉及的


数学内容进行说明解释等。




如果使用众所周知的肤浅策略，也就是不关注问题的实际背景，只是


把问题中的数字抽取出来进行一些毫无根据的运算，那么问题是不可

能被解出来的。这个策略在世界上非常受欢迎，它从某种程度上可以


帮助学生在数学课上生存下来，也能帮助他们通过考试。但是，要处


理典型的PISA所出的数学题，学生需要运用各方面的数学知识与能

力。美国学生很显然不善于处理这样的问题。

……针对发现的这些问题，国际学生评估项目小组给出的一个明确建

议是：把教学重点放在比较高级的数学技能与能力上，比如数学建模


能力，同时也不能让学生忽视建模所需要的其他基本技能。




国际学生评估项目小组通过对美国学生评价测试的分析发现了他们的

弱点。评估小组注意到，美国学生做错题的主要原因就是忽略问题的


实际背景，而只是使用问题中出现的数字。学生在课堂上解决的问题


应该是需要他们考虑实际问题情境、使用真实世界中的变量以及数据


的问题。他们需要学习的是根据实际情况建立数学模型、解决实际问

题，这个过程对他们的未来起着至关重要的作用。




鼓励学生提出问题、进行推理辩论、以及保持怀疑的态度



数学家所做的第一件事是提出一个有趣的问题。这个活动很少在数学


课堂上看到，但这个活动却是数学活动的核心。尼克·富特（Nick


Foote）是一位优秀的三年级数学教师，他也是我的朋友和我两个女儿


的数学教师，因此，我们经常一起讨论数学教学的问题。在尼克的课

堂上，他有时会为学生提供一些实际情境，然后让学生根据这个情境


提出自己的问题。一天，我在访问尼克的课堂时正赶上他为学生提供


了如下情境（如图9.13）。

图9.13 手链的销售问题




你想买一些手工做的手链。你去了商店以后发现了下面这些可选类


型：



双色手链——一条0.5美元，三条1美元




多色手链——一条1美元，三条2.5美元。



自己编织手链的材料费用：




橡皮筋600只装的一包——3美元

橡皮筋600只装的4包——10美元



夜光橡皮筋600只装一包——5美元




手链编织机器——5美元



尼克让学生分组讨论这个情境，并提出问题。示例9.11是尼克经常使


用的一个问卷。




示例9.11 我们好奇的问题



小组成员：




日期：



我们好奇的问题是：




__________




__________



请使用图片、数字以及语言来展示你是如何回答你提出的问题的。




我们想要调查的问题是：



__________




__________

__________



请使用图片、数字以及语言来展示你是如何回答你提出的问题的。




学生们很快便开始兴奋地思考讨论问题，比如：为什么一个手链的售

价那么高？尼克帮助他们计算出制作一个手链需要的成本，然后他们


自己思考在商店出售手链需要的费用。这些问题都是学生自己提出


的，这种方式让他们的学习动力和课堂参与度变得更高、更大。




当我们的学生进入工作领域后，尤其是在一些高科技领域，他们面临

的一项重要工作就是根据实际情境和数据提出有意义的问题。现在，


越来越多的公司开始着手处理他们积累的大量数据，所以能够提出好


问题的人会在工作中得到重用。在我自己的教学经历中，当我让学生

根据实际情境提出问题时，他们都会非常兴奋地提出自己的想法与观


点。让学生提出自己的问题在数学课堂上实施起来非常容易，而且这


个活动也不需要经常进行。每个学生都应该在学校参与解决实际问题


的活动，这样他们才能为未来的生活与工作做好准备。



作为一名老板，康拉德·沃尔夫拉姆说到，他不需要雇佣计算速度很快


的人，因为计算的工作可以由计算机来完成。他想雇佣的是那些能够

进行数学推理和描述数学路径的人。在一个工作团队中，能够对数学


路径进行明确地描述是非常重要的，这样不但可以让其他工作人员将


这些数学路径应用到自己的工作与调查中，还可以让所有人看到这个

数学路径在思维与逻辑上是否有错误。这个过程就是推理，它是数学

工作的核心。




我和很多家长讨论过基本数学内容，也有不少家长，尤其是成绩比较


好的孩子的家长会问我：“我的孩子可以很快地解出问题的答案，为什

么还要让他把自己的解决方案在小组中进行说明解释呢？”我对家长解


释说，解释说明自己的解题方案是一种数学活动，这种数学活动的名


称就叫作推理，推理是数学这个科目的核心技能。当学生为自己的数


学观点和想法进行辩护与推理时，他们实际上在进行数学活动。科学

家通过寻找案例来证明他们提出的理论是否正确，数学家则通过逻辑


推理来证明他们提出的理论是否正确。



在教学过程中使用炫酷的科技和工具




当我们邀请学生进入一个开放的、可视化的和创造性的数学世界时，


很多不同形式的科技手段和工具都可以为我们提供帮助。古氏积木、


多接口立方体、六形六色积木在数学各个阶段的学习中对学生都能起

到很大的帮助；我在斯坦福大学的本科教学中也会使用这些工具。我


在第四章给大家介绍了可以启发学生进行概念性思考的可视化游戏和


应用。虽然这些游戏的重点是数字学习，但也有很多优秀的游戏与应

用程序可以让学生在模拟的二维和三维空间中对几何概念进行探索。


这些游戏可以让学生自由地移动线和角，从而可以方便地探索他们之


间的相互关系，而这一点单靠纸和笔是难以实现的。

Geometry Pad的iPad版本和GeoGebra是两款应用程序，教师和学

生都可以在这两款软件上制作自己的动态演示文件。比如，它们可以


让教师与学生对几何和代数概念，比如线性函数和三角比例进行动态


可视的探索与调查，Geometry Pad由Bytes Arithmetic LLC开发，

基础版本是免费的。




其他应用程序，比如Tap Tap Blocks可以帮助学生在模拟的三维空间


中对几何与代数规律进行探索（如图9.14）。学生可以在这个模拟的


三维空间中对物体进行摆放和旋转。这款免费的游戏由保罗·汉加斯

（Paul Hangas）开发，目前可以在苹果系统上运行。




Tap Tap Blocks有一个很好的活动是让学生根据一个立体形状从不同

角度观察的截面图将这个立体形状构建出来，然后可以让学生创造自


己的问题（如图9.15）。例如：




你可以通过1个橘黄色方块、1个黄色方块、1个深蓝色方块、2个绿色


方块、2个浅蓝色方块、2个红色方块和3个紫色方块构建一个立体形

状吗？下面是这个立体形状从不同角度观察得到的图片。




这些应用程序都为加强学生的概念性与可视化思维提供了有效的途

径，但这些应用程序也不止局限于我所提到的应用、游戏以及网站。


目前有成千上万的数学应用和游戏都声称能帮助学生，但只有很少一


部分是建立在学习研究成果的基础上，也就是说只有很少一部分应用

与游戏内容体现数学的概念性与可视性的特点。我为各位教师和家长

的建议是：在选择科技工具促进学生的数学学习时一定要有辨识能


力，我们应该选择那些可以促进学生深入思考与建立联系的工具，而


不是注重标准流程和计算速度的工具。


























图9.14 数学游戏“Tap Tap Blocks”

图9.15 一个“Tap Tap Blocks”的立体形状从六个角度观察得到的图

片




数学是一门广阔的、多维度的学科。如果教师能够接纳数学的多面


性，并把这个特点体现在他们的教学和学生评估中，那么会有更多的

学生获得学习真正的数学的机会，也会有更多的学生为数学学习感到


兴奋。当我们将数学的开放性特点在教学中体现出来，也会有更多的


学生在数学学习中得到提高。这些做法与策略都不是表面的，也不会


降低数学的难度，相反，它会拉近学校数学与真正数学之间的距离。




结论





数学教师、家长以及各位领导者都有机会让学生进入一条可以给他们

带来成功、幸福、自我价值感和成长式思维的数学学习道路。我们需


要把我们的年轻人从下面这些不健康的刻板观念中解放出来。这些刻


板观念包括：他们不能失败；他们不能犯错；只有某些学生可以学习


数学以及成功总是轻而易举等。我们应该为学生提供开放的、创造性

的数学课堂，在这样的课堂上，他们可以提出前人都未曾提出的问


题，思考那些超乎传统与想象的数学题。我衷心希望这本书能够为你


在开始或者重新构建创造性与成长式的数学与思维过程中提供一些帮

助和启发。其实在推进开放性的数学教学中，我们作为教师与家长，

自己的思维和智力会得到解放，从而激发其他人解放自己的思维与智

力。




谢谢大家能够和我一起踏上这个旅程。现在，你也可以邀请其他人加


入你的行列，鼓励他们做真实的自己，把他们从那些肤浅的刻板观念

中解放出来，并告诉他们，每个人的数学潜力是无限的。我们所有人


都可以把数学从传统教学中解放出来，为学生提供提出问题、激发他


们好奇心、发挥他们创造性的机会。如果我们能为学生提供一个丰富


的、创造性的和成长式的数学学习经验，那么我们将彻底改变他们以

及他们与这个世界的交流方式。