这才是数学（教师篇）

如果我们能够把数学作为一门联系的、探究式的学科进行教授，那么

数学教育的不平等就会消失，而且学生的数学能力与成绩也会有大幅


度的提高。在第四章，我给大家分享了如何以联系的、探究式的方式


教授数学。在第九章，我会给大家分享更多开放式的数学题，以及能

够让所有学生享受到平等数学教育的方法与策略。




4. 教授学生如何共同学习。




很多研究结果都已表明，学生以小组的形式学习有助于对数学内容的

理解 ，而且我认为小组合作也是产生高质量数学成果的关键（如图


6.2）。有一项研究还表明，小组形式的学习可能是消除在数学成绩与


课程设置方面种族差异的关键。

图6.2 学生们在一个小组内共同学习




尤里·特雷斯曼（Uri Treisman）是一位数学家，目前在德克萨斯大学


任教，在此之前，他曾经在加利福尼亚大学伯克利分校工作多年。特

雷斯曼在伯克利大学工作期间曾惊奇地发现，60%的非洲裔学生微积


分不及格，这对他们来说意味着无法顺利大学毕业。




特雷斯曼发现，华裔学生的微积分成绩普遍较好，所以他对非洲裔学

生的学习经历与华裔学生的学习经历进行了对比。他发现，很多教授


得到的结论是，非洲裔学生成绩低的原因是他们的数学基础比较差，


或者来自低收入家庭，但这样的结论并不符合事实。这两个学生群体

在学习时的一个显著区别是：华裔学生往往一起学习，他们在下课后

往往会聚在一起，然后一起完成教师布置的学习任务；当他们发现某


一部分数学内容比较难时，他们也会从其他人那里得到鼓励与支持，


然后会一起把问题解决。而非洲裔的学生往往都是形单影只，孤立地

学习。




特雷斯曼在成功锁定问题症结后便在伯克利发起了一项运动，号召所


有同学以小组研讨的形式进行学习。这项运动的效果是令人激动的。


经过两年的时间，非洲裔学生微积分不及格的比例降到了零，而且他

们最终超过了那些不来参加研讨的华裔学生 。




其实很多研究都表明，当学生以小组方式学习数学时，他们就获得了

理解数学概念和各种关系的机会，这样的机会最终会消除数学教育的


不平等 。




5. 给女孩和其他少数群体学生更多鼓励。



因为很多小学数学教师对数学这个学科以及他们自身的潜力具有刻板


印象，所以他们对数学的态度也很焦虑。当我在视频课程上说明了数


学是一个多维度的、每个人都可以学习的学科时，收看视频课程的教

师都表示这些信息改变了他们的人生，而且，从此之后他们对待数学


的方式也发生了改变。

在美国，85%的小学教师是女性。贝洛克（Beilock，）、冈德森

（Gunderson）、拉米雷斯（Ramirez）和莱文（Levine）通过研究


发现了一个很有趣但也很重要的现象：从女性小学教师的焦虑程度可


以预测她所教授班级中女孩的成绩，但不能预测男孩的成绩 。女孩们

通常会通过教授她们的女性教师来影射自己，一旦女性教师传递出“数


学对于女性来说很难”，或者“女生天生不是学数学的料儿”时，她们便


认同了这些刻板印象。很多教师都是抱着一颗同情与安抚的心，让女


孩们不用担心数学。事实上，这样做的不良后果很严重。研究人员发

现，当一位母亲告诉她的女儿“我在上学时数学就不好”时，这个女孩


的成绩会出现明显下降 。




所以，数学教师们应该把同情式的信息，比如“不用担心，你只是不适

合学习数学而已”改变为鼓励式信息，比如“你肯定可以学好数学，我


相信你，想要学好数学只要好好努力就可以了”。




除了为学生提供平等的教学模式，比如小组合作模式与探究式学习模

式，女孩们和少数种族的学生们尤其需要积极向上的信息，他们需要


从这些信息中得知，他们在数学学习中是有价值的一分子。因为关于


数学的刻板印象在美国社会中普遍存在，所以他们比任何学生都需要

这方面的信息。




由克劳德·斯蒂尔（Claude Steele）主导的关于“刻板印象危害”的研


究显示，当女孩们被告知数学测试的成绩男女有别时，她们的成绩往

往比男孩低，但在没收到这方面的信息之前，她们的成绩和男孩的成

绩是没有明显差异的。斯蒂尔和他的同行还发现，这种因为性别导致


差异的信息根本不用刻意提出。在后续的实验中，如果在测试前让所


有人填写自己的性别，女性的分数就会比男性低；但如果在测试前不

让她们填写性别，女性的分数与男性的分数就不相上下。




斯蒂尔的研究以及其他研究都说明，“刻板印象”随处可见，而且它会


使很多人失去成功的机会。在后来的实验中，斯蒂尔发现当美国白人


和美国黑人一起打高尔夫时，白人也会受到“刻板印象”的影响。因为

白人认为自己不像黑人一样具有运动天赋，所以他们的高尔夫球成绩


比黑人的高尔夫球成绩低。斯蒂尔和他同行的研究显示，任何人都可


能成为“刻板印象”的受害者，尤其是在大家普遍认为的某些人擅长的

工作领域 。




在美国的数学课堂上，关于只有白人学生和亚洲学生才擅长数学的“刻


板印象”普遍存在。所以，改变这种“刻板印象”非常关键，一种可实行

的改变措施就是宣传和强调女性和少数种族人群在数学与自然科学方


面的成就。在下面的方框中，我给出了一个可以用于课堂讨论的例


子。组织这种课堂讨论最理想的方式是让学生担任要讨论例子的专

家，通过“拼图式”分组进行讨论研究，然后将自己的发现分享给其他


同学。

榜样作用对女孩和少数种族的学生非常重要。除了强调榜样的作用，

我们还需要给那些需要特殊关注的学生更多的鼓励。在伦敦一所综合


学校任教的第二年，我便和学校里所有的女孩们一起庆祝国际妇女


节。在这一天，我会为所有的女孩开设特殊的数学研讨会，在研讨会

上解决各种有趣的数学题。




我也曾在伦敦市内的一所名为Haverstock的中学任教，这所中学的学


生来自世界各地，他们所说的语言就超过40种，我同样也会在国际妇


女节这天专门为女孩们开办活动。值得注意的一点是，在活动过程

中，那些平时沉默寡言的女孩们，尤其是印度裔的女孩，开始变得越


来越有自信，积极地参加数学活动，而且，她们把这种自信带到了以


后的数学课堂上。



鼓励女孩和少数种族学生的方式还有很多。我认为，作为一名数学教


师，在推动平等数学教育的过程中只是平等的对待每个学生是不够


的。有些学生需要面对额外的障碍和劣势，如果我们想建立一个真正

公平的社会，我们需要花费时间与经历专门去处理这些问题。




6. 取消家庭作业，至少改变家庭作业的内容。



国际学生评估项目小组具有一千三百万学生的数据。在研究了家庭作


业、数学成绩以及教育平等三方面的关系后，他们发现家庭作业会让

数学教育不平等的状况恶化 。他们还发现做家庭作业也不会提高学生

成绩，所以他们怀疑家庭作业是否存在任何学术价值。




不只是国际学生评估项目小组发现了这个问题，各种学术研究也发


现，家庭作业要么对成绩没有影响，要么就是负面影响。例如，贝克

（Baker）与勒滕德（Le Tendre）将各国数学成绩标准化后进行了对


比，他们也没有发现学生做作业的频率与成绩有任何正相关关系。米


基（Mikki）的研究发现，作业量比较大的国家的数学平均成绩比作业


量小的国家的平均成绩要低很多。凯特桑塔丝（Kitsantas）、奇玛

（Cheema）和韦尔（Ware）对5000名来自不同收入水平家庭和种


族的15岁与16岁的学生进行了调查，他们也发现，学生在作业上花费


的时间越多，数学成绩就越低。



其实我们很容易就能发现为什么家庭作业会让数学教育的不平等恶


化：来自贫困家庭的孩子很少有一个安静的地方写作业，他们要么在


晚上父母都去工作的时候写作业，要么在他们做兼职工作的地方写作

业。一般情况下，他们也不会有图书或者电子设备辅助。当我们给学


生们布置作业时，其实是在为需要我们帮助的学生制造障碍。就这一


点，我也认为应该取消家庭作业。



作为一位母亲，我也看到我的女儿们每天晚上都为作业忙碌到很晚，


没有时间玩耍，没有时间和家人在一起，对此我也公开地表示过对家


庭作业的不满。每个晚上，我们可以与孩子们相处的时间只有两个小

时。我八岁的女儿上周对我说：“我不想写作业了，我想和你一起玩一

会儿。”我能说什么呢？我只能对孩子说：“我给你的老师留个纸条，


说你今天晚上不能做作业了。”




我和孩子的爸爸平时都要上班，每天到下午五点半才能见到孩子，然

后给她们准备晚餐。当晚餐结束我们都坐下来时，距离睡觉时间就只


剩下一两个小时了。在这一两个小时的时间里，她们基本上没有时间


玩耍放松，因为还有大量的作业要做。一般情况下，她们都会认为题


目对她们来说太难了（或许不难）。在一天结束后，孩子们往往都很

疲劳，甚至是筋疲力尽，而这个时候让他们完成难度大的作业是不公


平也是不明智的，而且对他们来说也没有任何益处。



除了家庭作业造成的教育不平等、对孩子们造成的压力 、对孩子家庭


时间的占用以及对数学成绩带来的负面影响 外，更让我们气愤的是，


家庭作业的质量水平相当地低。在我大女儿上小学期间，我基本上看


不到能够帮助她理解数学的作业，而我看到的是让她感到巨大压力的

作业。她的数学教师似乎都喜欢把那些最常规无趣的习题作为家庭作


业。我的女儿需要背诵乘法表，还要做完40道习题，但这40道题都在


重复一个数学概念，而且她已经在课堂上学会了如何做这样的题，根

本不需要在家再重复做这样的题了。在美国，大部分的家庭作业基本


上没有任何价值，但对孩子们的伤害却极大。

当数学课堂以复习作业开始时，数学教育的不平等再一次被放大，导

致一些学生在新一天开始时就落在了别人后面。我刚搬到美国时，惊


讶地发现，每节数学课要花费20～30分钟的时间复习作业，这种现象


在英国从来都没有出现过。



在美国的初中和高中，每个科目每天都要给学生布置作业。而在英


国，不同科目的教师一周布置一次作业。我记得在我成长的过程中，


我每天只需要花费一个小时的时间就能完成当天的作业。而在美国，


至少在我所处的学区，高中学生基本上每天写作业写到凌晨两点。这

些学生的压力非常大，其中一个主要原因就是家庭作业。和美国相


比，教师对家庭作业的关注程度以及学生面临的压力在英国都比较小


的原因，估计就是家庭作业比较少。



如果你想保留家庭作业，那么我建议你改变家庭作业的内容：不要给


学生布置侧重表现的问题，要给他们布置一些反思性的问题，而这些


反思性的问题可以让他们思考学过的主要概念与联系。这样才能提高

他们的数学能力与成绩 。示例6.1为我们提供了一个例子。




示例6.1 我的作业&我的思考

你今天学习的主要内容是什么？



你对哪些内容有疑惑？




如何将今天所学的内容应用到你的生活中？



家庭作业也可以是探究式的学习项目。比如，让学生在家里或者户外


寻找斐波那契数列（黄金分割数列）的例子。家庭作业只有在能够为


学生提供思考与探索机会的情况下才值得布置给学生。如果我们以这

样的形式布置家庭作业，并把成篇的重复性习题去掉，那么我们就可


以让学生更有效地利用他们的自由时间，减小他们所承受的压力，而


且在推动平等教育方面也迈出了巨大的一步。

结论





我在本章第二部分介绍了消除数学教育不平等的策略，这些策略包


括：改变我们对数学的“刻板印象”，为学生提供更多探索机会，消

除、减少或者改变作业内容，以及鼓励学生以小组形式学习等。




当我在白宫做演讲时，提到了我们在讨论教育问题时经常忽略对教育


平等的关注。一些教育组织会考虑思维模式的重要性，但却很少考虑


榜样作用在教学和教学方法中的巨大作用。教师在那些面对障碍和不

平等的学生的学习和生活中能够起到很大的作用。教师可以通过更好


的数学教学模式以及提供更多的学习机会来鼓励那些脆弱的学生。



从大学的录取条件以及其他领域对数学的要求可以看出，数学对所有


学生的将来都很重要。这就意味着数学教师有更大的责任，同时也有


更多的机会让数学学习对所有学生开放。虽然我们的社会当前支持数


学精英化教育，但作为数学教师，我们可以拒绝这样的教学模式，并

为学生开辟一条新的学习道路。这条道路也必定能给所有学生带来成


功。




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第七章 从分层教育到分组教育








至今我仍然清楚地记得我所教授的第一堂数学课。那是在Haverstock

中学，这所中学位于伦敦市的卡姆登镇，我在第六章提到过这所中


学。我刚来时，这所学校的数学部采用的是一种称之为分层教育的方


法：学校会将进入初中三年级的学生分为四层。我所教授的班级是最

底层的一个班级，也就是被认为水平最低的学生组成的班级。当我踌


躇满志地走进课堂，准备用我所研究的有效教学模式讲授初三数学


时，他们对我说的第一句话就是：“我们学习还有什么意义呢？”




在随后一年的教学中，我竭尽全力将积极向上的信息传递给他们，用

先进的教学模式教授他们知识，但他们的学习道路已经被安排在了最


底层，所以我能做的改变也是有限的。第二年，我和数学部的所有老


师向学校提出取消数学分层教育的申请。从那以后，这所学校一直为

所有学生提供高阶数学的学习机会。




影响学生数学成绩的一个主要因素是“学习机会”。简单地说，如果学


生在课堂上可以学习高阶数学内容，那么他们的成绩也会高一些。但

出乎我们意料之外的是，即使我们都知道“学习机会”对学生学习的重


要性 ，还有成千上万的学生在很小的年纪就被安置在低层的班级中，


从而剥夺了他们学习高阶数学的机会，但这些高阶数学知识他们也是

能够掌握的。

我被英国的一项统计数字震惊了，居然有88%的学生在四岁时便被分

层进入不同的班级，而且他们以后的学习轨道也不会再发生变化 。在


孩子们四岁或者14岁时就草率地决定他们的未来是对教师和学校教育


水平的一种嘲讽，而且这样做也违背了孩子们成长与学习的规律。不

同孩子的发展速度是不同的，而且他们在不同的时期表现出的兴趣、


力量和性格也不同。我们不知道一个四岁或者14岁的孩子会有哪方面


的潜质，而我们能够为孩子们提供的就是，让每个孩子都有同等的学


习机会，每个孩子的兴趣都能够被激发和培养。关于大脑成长的研究

以及其他领域众多研究证据显示，我们急需废除这种过时的教学方


法，这样的教学方法之所以存在是因为以前我们对数学教育的认知不


够，如果这种教育形式继续存在，那么它将继续限制学生学习的能

力。




在最近几年，我曾为800多名数学教师带头人做报告，我问他们：“你


们认为目前学校的哪些行为会给学生传递僵固式思维的信息？”我让每


个人写出自己的答案，然后将这些答案收集了起来。他们写出了很多

我在本书中提到的学校行为，尤其是我将在第八章讲述的评分机制，


但提到次数最多的是根据学生能力进行分类。我对他们给出的答案表


示认同。我也认为没有什么举措比根据当前成绩对学生进行分类更能

给学生传递僵固式思维的信息了。不管学生被分到高级班还是低级


班，这种分类以及向他们传递出的信息都会给他们带来很大的危害 。


卡丽莎·罗梅罗（Carissa Romero）是卡罗尔·德维克的博士生，她后

来在斯坦福大学任职。卡丽莎发现，在根据成绩进行分层分班的过程

中，受到其负面影响最大的是那些进入高级班的学生 。





取消分层教学





在美国的很多学校，学生们会在七年级被分层进入不同级别的数学班

中。我在这里提到的分层是将学生安置在不同的班级中，有些班级教


授高阶数学内容，而有些班级则不会教授高阶数学内容。经过对世界


各国学生数学学习的调查，研究人员发现，在数学教育很成功的国


家，教师在对学生分组时更喜欢把成绩各不相同的学生放在一起。在

第三次国际数学与科学研究中，美国学生数学成绩的差异性最大，而


美国是分层教育最严重的国家。在众多国家中，美国也是数学成绩与


社会经济地位联系最强的国家，出现这种现象的原因也是分层教学 。

而像芬兰和中国这两个数学教育比较成功的国家，虽然这两个国家的


教育方式不尽相同，但他们都拒绝根据成绩将学生分层，并且给所有


学生提供学习高阶数学的机会。



旧金山联合学区是加利福尼亚州最大的学区之一，他们大胆地取消了


高中以及高中之前所有不同形式的分层以及高级班，所有学生都可以


不受限制地发展，所有学生都可以学习微积分课程，而且所有的高阶

课程对所有学生开放。旧金山联合学区的这项举措是极其珍贵而且令

人敬佩的，学区董事会在仔细参阅了各项研究证据后，一致同意取消

各种形式的分层教学模式。




但在大部分的学区，学生们仍然在小小年纪就被分到高级班或者低级


班。在靠近斯坦福大学的一个学区，大部分学生的学习成绩都很好，

但却有一半的学生在初中二年级时被安置在低级班中，从而失去了学


习微积分的机会。如果我们想让所有学生都可以受到高阶数学的启发


与激励，我们应该采用更科学合理的分组方法。这也是我在本章要给


大家分享的。



让一位数学教师为每一位学生提供适宜的数学题是很难的。但教师都


知道为学生布置数学题时应该把握的一个点，这个点就是：这道数学

题一定要具有挑战性，但也不是在学生能力之外，这样的题目就可以


创造一个积极活跃的课堂。




很多老师认为根据成绩将学生进行分组可以更好地创造一个积极活跃


的课堂，这种说法听起来有些道理。因为不同等级的学生背景不同，

需求也不同，那么把同类学生安排在一起可以让小组学习更和谐。但


事实是，即使是成绩好的学生也会有不同的背景、不同的需求。这样


安排的老师通常为学生提供一些空间很窄的数学题或者很短小的题

目，而这样的题目对于某些学生来说太简单，但对于另外一些学生来


说则很难。这就是为什么在课堂上采用由浅入深的问题对美国未来数


学教育如此重要的原因。

也有调查研究，在一个学校或者学区取消分层教学后会给学生带来什

么影响。其中一项研究显示了纽约市学区在取消分层教育后给学生带


来的益处。在这个学区，初中的学生曾被分层安置在高级班或者普通


班。后来，此学区决定取消所有高级班，并教授所有学生高阶数学。

研究人员对这个学区的学生进行了从初中到高中长达六年的跟踪调


查。他们发现，取消高级班后的学生学习了更多的高阶数学内容，更


喜欢学习数学，而且通过纽约州测试的时间比未取消高级班的学生早


一年。研究人员还发现，取消分层教育可以提高任何学生的数学成

绩，不只是处于低级班的学生的成绩 。很多研究都已经证实了取消分


层教育的好处 。虽然分层教育对学生的危害已经被证实，但分层教育


仍在美国的众多学校中被使用。在本章中，我会给大家解释，如何对

学生进行分组以及如何在课堂上给学生传递成长式思维信息。





培养成长式思维的分组形式——混合式分组





吉尔·巴沙（Jill Barshay）是赫金杰邮报的一名记者。她在专栏“数字


中的教育”上发表的文章每周都会刊登在《美国新闻和世界报道》（U.

S. News&World Report）上。吉尔告诉我说，在阅读了我的图书


《这才是数学》，学习了我专门为教师录制的视频课后，她也受到了


启发与鼓舞，并决定去教授数学。她最先在纽约布鲁克林街区的一所

特许学校中教授初中三年级数学。但她教的学生的状况却出乎她的意


料：一群自暴自弃、完全放弃数学的学生。而这些学生之所以自暴自

弃，是因为他们在初中二年级时没有被选入学习代数的班级。这些学

生告诉吉尔，他们不是聪明的孩子，而且他们初二一年都在到处惹是


生非。这就是分层教育给学生带来的恶果。




很多教师担心，取消分层教育后，不良学生会对成绩好的学生产生影

响，但这些不良学生之所以产生不良行为就是因为他们从老师那里得


到了莫须有的负面信息，这怎么能怪学生？在我的教学经历中，我发


现，当学生们开始相信自己能够学好数学，当他们感受到我对他们的


信任时，那些不良行为和缺乏学习动力的现象都会消失。



多年来，我一直和一所中学合作，这所中学一直坚持成长式思维的教


学模式，并且坚持在分组时，每一组都要包含成绩各异的学生。几年

前，一些家长开始给学校施加压力，让学校成立高级班，这样数学成


绩好的学生就可以学习高中几何。最终，学校没有顶住家长的压力，


设立了普通班与高级班。




但这个改变却是灾难性的，失去学习动力的学生越来越多。据学校报

道，对于成绩差不多，但却被分在不同班级的学生出现了很大的问


题，而且很多学生对自己的潜力也产生了怀疑，开始形成僵固式思


维，认为自己的潜力不会再有任何改变。学校还发现，越来越多高级

班的学生开始讨厌数学，而且很多人都选择退出高级班，这些学生们


在分层过程中也受到了巨大伤害。两年后，学校就抛弃了这种分层教


学模式，回归先前的教学模式。现在学校把几何设定为一门选修课

程，并对所有学生开放。这是一个巧妙的策略：既可以缓解家长给学

校施加的压力，又可以让想学习高级课程的学生去自由学习，而且不


会让学生对自己的学习潜力产生怀疑，也不会让他们形成僵固式的思


维模式。由此可见，将几何课程对学校所有学生开放是至关重要的。



作为一名数学教师，如果你想让所有学生都有学习高阶数学的机会，


你可以把高阶数学的内容传授给所有学生，不管他们是在高级班还是


低级班。和我合作的一名教师就采取了这样的做法，她知道分层教学


会限制学生的学习能力，她还知道对于低级班的学生，如果通过合适

的教学方式，并向他们传递积极向上的信息，他们同样可以学习高阶


数学内容。



还有一所学校，这所学校位于市区，他们也一直坚持成长式思维模式


的教育。这所学校的教师们也取消了分层教育模式，而且还专门开设


了旨在帮助成绩低的学生的课程。但是，这个课程是对所有学生开放


的，而且，想进一步深入学习数学的任何学生都可以加入。这门额外

的课程一般都是在数学常规课程结束后开始，而且课程的目的不是补


习或者辅导，而是为学生提供一个可以回顾和讨论数学内容的机会，


学生们可以利用这个机会对概念和方法进行更深入的思考与学习。很

多学生都选择了这门课程，这些学生既包括那些认为数学很难的学


生，也包括认为数学不难但却想进一步深入学习的学生。

在开设这种课程时一定要注意两点：第一，课程要对所有学生开放；

第二，设置课程名称时，不要暗示这门课程是为成绩低的学生设置


的。




那些致力于成长式模式教学、推动数学平等教育的教师们都非常让人

钦佩。但要在每个小组都包含各种学生的课堂上教授数学也需要深厚


的教学功底。其实取消分层教学是不够的。多年来，我有幸一直能够


同很多了不起的数学教师合作，他们致力于数学的平等教育，而且在


混合式小组（包含各成绩水平的学生）学习模式的教学中取得了很大

的成功。下面我将为大家分享有效教授混合小组数学的策略，而且这


些策略都有相应的研究成果支持。




如何有效地为混合小组授课





我们取消分层教学模式后，有两件事非常重要：第一，为学生提供学


习各水平数学内容的机会；第二，不要再为他们提供只适合部分学生


的封闭式数学任务。我们鼓励学生学习不同水平数学内容的方式也有

很多。




1. 为学生提供开放式的数学题



我在第五章提过，如果我们给混合式学习小组提供封闭式的数学题，


那么结果就是，有的学生觉得题目太难，有的学生则觉得题目太简

单，所以，要为他们提供开放式的、由浅入深的数学题（如图7.1）。

由浅入深的数学题可以让学生从低到高、循序渐进的学习各水平的数


学知识。而且由浅入深的数学题一般也是对学生最具吸引力、最有趣


的题。这种数学题的价值不只是适用于成绩处于各种水平的学生，它

们还蕴含了重要的数学知识，可以激励学生，还可以提高学生的创造


性。我在第五章为大家提供了许多这样的数学题以及相应的网络链


接，大家可以参考。



图7.1 Youcubed上的开放性数学题




英国Phoenix Park中学在基于项目的教学模式上取得了很大的成功，

这所学校的老师收集了大量由浅入深的数学题。对于某一道数学题，


有些学生可能会在今天达到这道题所要求的最高水平，而另一些学生


可能会在其他的某一天达到最高水平。事实上，我们无法预测某个学

生会在哪一天达到一个较高的数学水平。在第五章，我曾讲到“寻找木


棍围成的最大面积”的题，对于某些学生来说，他们通过这道题学到的


是关于三角形的知识，而对于另外一些学生，他们学到的则可能是关


于勾股定理或者形状与面积的知识。数学教师在课堂上的角色是引导

和延展学生的思考。




在传统的教学模式中，数学教科书的使用本应该遵循这样的标准，但

教科书本身不具备主观能动性，它不知道学生目前都掌握了哪些内


容，也不能告诉学生需要掌握哪些内容。在成长式数学课堂上，教师


会根据学生个人或者小组做出这些决定，通过这些决定去考验和支持


学生，并让每个学生的能力得到尽可能地发挥与延展。学生们能在基

于项目的教学模式中获得成功要归功于老师对学生互动、传授知识与


讨论问题机会的把握。这样的教学方式虽然对教师的体力和教学技能


提出了很高的要求，但老师们却感到很充实、很有意义，尤其是看到

那些缺乏自信、成绩不好的学生取得进步并保持高昂的数学学习状态


时。

几年前，我在英国时，同我合作的一些初中和高中教师在学习了“复合

教学法”后，决定不再使用分层教育模式。这些教师没有经过特殊的培


训，也没有像Phoenix Park中学的教师一样开发出一种特殊的教学模


式，他们所做的只是学习了复合教学法（后面我会给大家介绍复合教

学法），并收集了一些由浅入深的数学题。在实行复合教学法和混合


式分组一周后，一名老师惊奇地发现，在他给学生布置了一个由浅入


深的问题后，一名数学成绩总是很差的学生居然第一个给出了解决方


案。在后续的教学中，这些老师不断地被各个水平的学生提出的别出

心裁的方法所惊艳。看到学生们在取消分层教学后的优异表现，以及


他们对数学恐惧与焦虑程度地快速降低，这些教师都极为激动。




一开始这些教师还非常担心在取消分层教学后，学生们不能在一起顺

利地学习。但他们发现，当他们为学生提供开放性的数学题时，所有


的学生都非常感兴趣，而且所有的学生都可以接受挑战并得到支持。


经过一段时间后，那些他们认为数学能力差的学生已经达到了很高的


数学水平，而且学生们也不会再被打上“能够学习数学”与“不能够学习

数学”的标签，整个课堂变成了一个学生们相互学习相互帮助的天堂。




2. 在解数学题时，让学生有更多的选择



在成长式思维的教学模式下，学生们不只局限于解决一种题目，我们


可以为他们提供涉及不同数学内容和难度的题目。重要的是，学生可


以自己选择想要解决的题目，而不是教师为他们指定的题目。我曾在

Phoenix Park中学看到，学生们可以从两个数学题中选择一个进行攻

克，其中一道题目是调查面积是64的不同图形的形状，第二道题目是


调查体积是216的不同物体的形状。我也曾在一个四年级的课堂上看


到，一位老师让学生们用“fraction strips”（一种写着分数的纸条）

和古氏积木找到尽可能多的与1/4相等的分数，而且还设置了一道附加


题：寻找与2/3等价的分数。




有时，我们也需要给某些学生一些鼓励或者鞭策，这样他们才能达到


更高的数学水平。当我们在给学生布置任务时，一定不能让学生认为

自己只适合做低水平的题目，更不能让他们认为老师觉得他们没有能


力解决高水平的数学题。我曾多次观摩老师们采用这样的策略：他们


会告诉学生某些数学题所涉及的方面很广，或者某些问题的难度比较

大，但学生们都喜欢自己选择想要做的题目，而且也愿意接受难度更


大的挑战。




3. 个性化学习



当我在Haverstock中学任教时，我曾使用过专门为市区学校进行混合


式分组教学设计的一系列教学资料。这些资料都来自一个名


为“SMILE”（Secondary Mathematics Individualized Learning

Experience，这个项目也可以理解为“中学数学个性化学习方案”）的


方案。

伦敦是一个多样化的城市，而且每节课堂的学生变更率很高。在伦敦

市区教书的老师都知道，他们教授的学生每一天都可能是不一样的，


每一天都有不同的学生加入或者离开。很多在伦敦市中心教书的老师


都支持混合式小组模式的教学方法。可能大家都不知道，“SMILE”方

案其实就是很多数学“卡片”的集合。这些卡片都是由数学教师们设计


的，而且这些设计都带有不同的文化色彩，对学生非常有吸引力（如


图7.2）。




目前“SMILE”方案数学卡片的数量非常多，每一张卡片都针对不同的

数学内容。在伦敦市区的任何一名教师都可以设计数学卡片，到目前


为止，卡片的数量已经超过3000张，并且所有的卡片都是老师们手写


完成的。执行“SMILE”方案的老师每次都发给学生10张卡片，在学生

完成并让老师点评过后会得到另外10张或者更多卡片。一般情况下，


每个学生的卡片都有所不同，但老师们都鼓励学生找一个小伙伴一起


讨论完成自己的任务。

图7.2 中学数学个性化学习方案SIMLE中用到的卡片




因为每一位学生的数学学习卡片都是私人订制的，所以他们可以完全


按照自己的进度进行学习，而老师只需要在一旁进行指导就可以。在

使用“SMILE”方案教书的过程中我发现，学生们在取回自己的卡片时


都很兴奋。有时我们也不采用数学卡片进行学习，而是全班一起调查


或者讨论一道数学题。“SMILE”方案非常适合这种市区混合小组教学


模式，而且，因为每个学生的学习进度自己掌握，所以学生缺勤也不

会对课堂的教学产生不良影响。很多数学卡片都非常优秀（详情请登


录：


http://www.nationalstemcentre.org.uk/elibrary/collection/44/s

mile-cards）。因为这些数学卡片都是针对伦敦市区的学生，所以里

面涉及的例子也比较特殊，在应用到你的课堂之前估计需要你对这些


卡片的内容做一些调整。




科技的飞速发展意味着个性化的数学学习将越来越普遍。可汗学院

（Khan Academy）的创始人萨尔·可汗（Sal Khan）就是一位著名


的个性化学习支持者。他正确地指出了分层教学给学生带来的危害，


并向我们证明了，如果一个学生一开始就可以选择自己要学的内容和


学习方式，那么他们可以达到很高的数学水平 。



还有一些科技公司开发了一些可用于个性化学习的产品，但我目前还


没有发现一款既能实现个性化学习又能实现数学教育的优秀产品。但

个性化的学习思路，以及可为学生提供相互合作机会的小组学习方


式，为所有学生提供了挖掘自身数学潜力的途径。




复合教学法






在混合式小组课堂上采用的数学题固然重要，但为小组学习设定的课

堂规范准则同样重要。有经验的数学教师都知道，如果学生们不能平


等地在小组中学习，那么混合式小组的教学模式就不能在课堂上顺利


进行。如果我们让学生在小组学习中放任自流，也不鼓励他们培养高

效学习的规范与准则，那么在课堂上最有可能发生的现象就是：某些

学生要承担大部分的工作，而有些学生则坐享其成，还有些学生因为

和其他学生的地位不同而感觉被冷落。




伊丽莎白·科恩（Elizabeth Cohen）是斯坦福大学的一名社会学教


授，她对小组工作量不平等的问题进行了研究。伊丽莎白通过研究发

现，小组工作不均等的主要原因是小组成员被赋予的社会地位不同，


有些人被认为很重要，而有些人则被认为不重要 。我在斯坦福大学的


同事珍妮弗·兰格·奥苏纳（Jennifer Langer-Osuna）也对很多小组学


习的案例进行了研究，她发现，小组中的舆论往往被那些认为是很重

要的学生控制 。她还发现，小组成员地位的差异通常来自于人们对某


些种族、社会阶层或者性别的刻板印象 。利兹·科恩（Liz Cohen）与


雷切尔·洛丹（Rachel Lotan）共同设计了一种保证小组工作平等性的

教学方法：复合教学法，而且这种教学方法可以用在任何科目与任何


年级的教学中 。




在一次为期四年的美国国家科学基金会研究项目中，我对不同的数学

教学模式进行了对比。我的研究生与我共同对700多名来自不同高中


的学生进行了为期四年的跟踪调查 。这700多名高中生中，有大约一


半的学生来自采用分层教学模式的学校，而且这些学校教授的内容是

孤立的数学方法，考试形式采用的是限时考试。另外一半学生来自加


利福尼亚州的一个市区高中Railside。Railside高中取消了分层教学模


式，而且老师们采用的教学方法是复合教学法。在Railside高中就读

的学生也来自各个种族，英语语言不过关的学生也比较多，而且这个

学校文化多样性程度比其他学校也要高。




在Railside高中，大约有38%的学生是拉丁裔，23%的学生是非洲


裔，20%的学生是白人，16%的学生是亚洲裔或者太平洋岛国居民，

还有3%的学生是其他种族。而在实行传统教学的高中，75%的学生是


白人，剩下的25%的学生是拉丁裔。在研究刚开始时，学生们都刚刚


初中毕业，我们对这些学生的初中数学进行了评估。当时Railside高


中学生的成绩比其他高中学生的成绩明显低不少（如图7.3）。出现这

种成绩也很正常，毕竟在Railside高中读书的学生生活在喧嚣的市


区，他们要面对的各种生活问题也比较多。

图7.3 初中数学评估测试成绩



经过一年的高中学习，Railside高中学生的数学成绩已经和传统学校


学生的成绩不相上下了（如图7.4）。










































图7.4 高中学习一年后的评估测试成绩




两年之后，Railside高中学生的数学成绩已经远远超过了传统学校学

生的成绩（如图7.5）。

图7.5 高中学习两年后的评估测试成绩




除了较高的数学成绩，Railside高中的学生更喜欢学数学，而且学习

高阶数学的学生也更多。在Railside高中，有41%的学生学习了微积


分的入门知识，而在采用传统教学模式的高中，这个比例只有27%。


此外，在Railside高中，因种族不同造成的数学教育不平等以及数学

成绩的差异都不断降低并最终消失 （详情请登录


http://www.youcubed.org/category/making-group-work-


equal/）。




Railside高中的教师以及研究人员共同编写了一本书，书中对Railside

高中实行的各种平等教学措施进行了描述与思考 。

接下来我将为大家讲述，Railside高中是如何通过使用复合教学法创

造出引人注目的成绩的。复合教学法包含四个准则：成功准则多元


化，小组成员分工明确，教师要善于对弱势学生给予肯定与赞美，学


生要学会对他人的学习负责（如图7.6）。













































图7.6 复合教学法




成功准则多元化



美国的很多数学课堂都属于“一元课堂”，所谓的一元课堂是指，只有


一种能力被重视，而这种能力往往都是根据数学方法准确计算的能


力。这种狭窄的评价成功的准则让某些学生成为班级中的佼佼者，他

们获得了较高的分数，也获得了老师的赞赏，但这种准则也让更多的

学生成为失败者。这样的课堂就是一元课堂，在这种课堂上，成功的


准则只有一个。




在多元课堂上，教师会考量学生各方面的数学能力。数学是一个大范

围、多维度的学科。在使用复合教学法的课堂中，老师们会对学生在


数学各方面展现出的能力进行评价。




当我们询问学生：“你认为怎样做才能在数学上获得成功？”令我们震

惊的是，97%的来自传统教学模式的学生给出了一个相同的答案：认


真听讲。但当我们询问Railside高中的学生同样的问题时，他们的回


答是丰富多彩的，比如：



• 提出一个好的问题




• 用自己的话复述问题




• 解释原因



• 使用逻辑推理




• 解释方法可行性



• 对问题进行转换




• 将各种想法联系起来

• 帮助他人。



一个名为里科（Rico, Railside高中一年级学生）的学生在采访中


说：“在初中时，数学就是计算能力的训练。但在Railside高中，你需


要在学习时进行社交，而且，你还要学习帮助别人和接受别人的帮

助。通过数学学习你可以提高你的社交技能、数学能力以及逻辑思维


能力。”




里科为我们描述了他所经历的数学呈现出的广度，另一名学生贾思敏

（Jasmine, Railside高中一年级学生）补充道：“学习数学时你需要


与别人互动，和他们相互讨论，还要回答他们提出的问题。你不能


说‘这是书，你自己看书想想吧。’”当我们问道：“为什么你认为现在学

习的数学与以前不同呢？”她说：“现在的数学题，解决途径与方法都


不止一种，答案也不止一个，而且你需要对问题做更多的解释与说


明。然后你还会想‘为什么这种方法可行？’”贾思敏强调了数学活动需


要交流与解释说明的特点，通过与同学们共同思考数学概念、考虑不

同的问题解决方式，以及对自己想法的辩解和回答问题的过程中，他


们的收获已经完全超越了教科书中的知识性内容。




Railside高中的教师们也通过数学各方面的特点创造了一个多元的课

堂。多元课堂可以通过为学生布置一些具有“群组价值”的问题来实


现，所谓的有“群组价值”的问题就是需要小组成员群策群力方可解决


的问题。单个学生要解决这样的问题一般很困难。拉尼·霍恩（Lani

Horn）对具有“群组价值”问题的描述是：可以体现重要的数学概念，

允许使用多种表现形式，能够调动小组成员共同合作，以及存在多种


解决方案 。下面示例7.1和示例7.2就是有“群组价值”问题的两个例


子。



示例7.3来自Railside高中，这个示例是教师为学生布置的一个关于线


性函数的问题（Railside高中的师生也称之为方块变化规律问题），


学生们需要回答一系列的问题，给大家举个例子，其中一个问题就是


预测第十个示例图中有多少个方块。



对于这个问题，有些学生会用几何的方式回答，也有学生用数字的形


式回答，还有学生用代数的方式回答。在学生们分享完答案后，教师


通常会问：“还有其他的解决方式吗？”



示例7.1 数字排序




下面我们做个简单的拼图游戏吧。



完成这个拼图游戏需要每四人一组。（对于这个问题的延展可以参


考：http://nrich.maths.org/6947&part=note.）



1. 请看下图，你的老师将会为你打印如下两个拼图。




完成这两个拼图，并把数字按顺序填入方格中以便打印。

2. 把小拼图放在大拼图上。只要两个拼图中的方格能够对齐，你可以

把小拼图放在大拼图上的任何地方。（你最好把小拼图做成一个透明


的，这样容易与大拼图的方格对齐。）



3. 两个拼图的方格对齐后，把大小两个拼图上对齐的数字加起来，然


后看会出现什么现象。




4. 请以小组为单位，探索你们提出的各种想法。当你观察这36对数字


的和时，你可能会问：“如果我做……会发生什么情况呢？”然后做一

个小的改变，比较改变前后的变化，你可能又会问：“为什么……？

示例7.2 不断变大的矩形



现在有一个面积为20cm2的矩形。这个矩形的长与宽分别是多少？请


列出至少5组不同的长与宽。

如果把每一个矩形的长与宽都扩大两倍：






















列出每个矩形扩大后的长与宽，并计算面积。你发现了什么规律？



请尝试面积各异的矩形，如果长与宽都扩大两倍后，面积有什么变


化？




你能解释一下你发现的规律吗？



如果矩形的长与宽都同时扩大三倍、四倍或者五倍，其面积有何变


化？如果长与宽扩大的倍数是分数，其面积又有何变化？




如果矩形的长与宽都同时扩大n倍，其面积有何变化？



除了矩形，你得到的规律是否可以应用到下面的任何图形？

如果下面长方体的长、宽、高同时扩大相同的倍数，长方体的表面积

与体积会如何变化？请对你得到的结论做出详细解释。
























你所得到的结论适用于长方体之外的其他几何体吗？




示例7.3 线性函数问题

















这些形状的变化有什么规律？




你能预测第100个示例图是什么样吗？



那第n个示例图是什么样呢？




示例7.4 函数问题

• 在第一个示例图中有一个方块。

• 对于接下来的每一个示例图，其图形都是在前一个示例图图形的各

个方向上增加一个方块。




• 示例图中的图形会在上下左右四个方向上增长，每次增长的方块数


是四个。



Railside高中的数学教师在后续的教学中为学生提供了一些难度更大


的问题，学生们需要自己找到题目中缺失的图表、图形、方程以及规


律的几何表示形式，如图7.7所示。


































图7.7 提供的数学题



关于Railside高中使用的数学题，大家可以参考纳赛尔等人出版的资


料，而且很多数学题也可以在CPM（美国加利福尼亚州的一个非盈利


的数学教育项目）提供的教学资料中找到。Railside高中的老师也曾

用传统的教学方法教授通过分层模式组成的学习小组，但学生们成绩

的不及格率很高。虽然很多学生刚加入Railside高中时只具备小学二


年级的数学水平，但Railside高中的老师认为出现高不及格率的原因


不是因为学生的学习能力弱。这些老师申请了一份基金，花了一个暑

假的时间重新规划了数学课程以及教学模式。这些老师也曾学习过复


合教学法，所以他们取消了分层教学模式，而且为所有刚升入高中的


学生设计了一个代数入门课程。




虽然他们设计的代数课程是入门级别的，但比传统代数教科书更具有

深度，这样设计的原因也是为所有学生，即使是学过代数的学生提供


一个可以自我调整的机会。学生可以通过这样的数学课程从多方面认


识与学习数学。



传统、标准化的数学教科书一般都是围绕一种数学方法来写，比如“如


何为线性函数作图”，或者“如何对多项式进行因式分解”。Railside高


中的教师则是围绕某一个数学概念，比如“什么是线性函数”设计课

程。Railside高中的数学教师也不自己设计数学题，而是采用大学预


科数学项目或者互动数学项目中的深度较大的概念性问题，而且他们


不但用图形的方式认识代数，还设置了一个代数实验课程，通过实物

让学生理解代数（如图7.8） 。

图7.8 学生们正在讨论如何计算一个实物的周长。



Railside高中代数课程的主题，以及后来所有课程的主题都采用多样


化的表现形式，也就是说学生需要通过多种不同的方式，比如语言、

图形、图表、符号等，来表达他们的想法与观点。Railside高中的老


师也鼓励学生们使用颜色标示法，例如，用同一种颜色标示出代数表


达式、图表以及文字中代表的x（示例7.4）。




在Railside高中，有越来越多的学生在学习上获得成功，这要归功于

Railside高中课堂的多元性。在分析Railside高中学生普遍获得成功的

原因时，我们意识到，之所以有那么多的学生获得成功，是因为在

Railside高中获得成功的途径更多。




Railside高中的老师认为学生在解决问题中体现出的任何数学品质都


是有价值的，而且他们对学生的评分方式也是多元的（可参考第八

章）。虽然加利福尼亚州的标准测试不重视多元化的数学能力，但因


为Railside高中的学生喜欢数学，并且在数学课堂上也获得了成功，


所以他们的标准测试成绩也很高。虽然Railside高中位于低收入阶层


区域，但学生们的数学标准测试成绩比其他科目的标准测试成绩都要

高（这在美国绝对属于反常现象了），而且比学区中任何一个高中的


数学成绩都要高。



在我观摩的Railside高中的一堂代数课上，学生们需要解决一个基本


上没有提供任何提示、难度较大的题目。他们需要用适宜的数学工


具，比如数据表、图形等去创建一个线性函数y=mx+b，这个函数可


以通过他们买的不同码的鞋子鞋带的长度来创建（示例7.5）。



示例7.5 鞋带问题

对于大小不同的鞋子，它们的鞋带有多长？



请调查一下鞋带长度与鞋子大小的关系。




请创建一个函数y=mx+b，以帮助鞋子制造商确定不同大小的鞋子所


配套的鞋带的长度。



老师鼓励学生们在解决问题的过程中使用真实的鞋子（这些鞋子由某


一个小组成员提供），而且向学生们表明，成功解决这个问题需要小

组成员之间良好的沟通，每个学生都要认真听取其他人的想法，并认

真讨论每种想法的可行性。她还对学生们说，如果想获得更好的成


绩，他们需要提供多种解决方案，以及用多种形式解释他们的最终结


果。



对于学生来说，解决一道数学题最困难的就是不知道从哪里入手。在


这个鞋带问题中，学生们已经被告知他们需要建立一个方程来决定鞋


带的长度。这是一个比较宽泛的提示，学生们需要自己决定影响鞋带


长度的变量，比如鞋带孔的个数以及给鞋带打结需要的长度等。他们

也需要自己领悟到方程中的y实际代表鞋带的长度。




我在观摩的过程中发现很多学生不知道如何开始解决这道题。一个男

孩很快地对他的小组成员说道：“我不明白这道题是什么意思。”其中


的一个小组成员也表示他也不明白这个问题。此时，这个小组的一名


女孩建议他们大声地把问题读出来。在他们阅读问题的过程中，一个


男孩问道：“鞋子与方程之间有什么关系呢？”另一个男孩建议他们测

量一下自己鞋子鞋带的长度。在小组决定测量鞋带时，一个男孩说


到，他们需要考虑鞋带孔的个数（如图7.9）。在不停有人提出问题让


大家思考的过程中，这个小组已经进入了解决问题的状态。

图7.9 学生们正在建立一个可以为不同大小的鞋子计算鞋带长度的函

数




我看到过很多这样的例子：学生们通过相互鼓励、重述问题以及相互

提问的方法来开始解决一个问题。当问题无法进展时，我们鼓励学生


们大声地朗读问题，并相互提问如下问题：




• 这个问题需要我们做什么？



• 我们如何用自己的话重述这个问题？




• 这个问题的关键是什么？

Railside高中的老师使用的教学模式中还包含这样一部分：在一个小

组完成任务后，再询问他们一些后续问题，观测他们对已解决问题的


理解程度，比如，老师会让学生用自己的话重新描述这个问题。通过


参考老师提出的问题以及老师给予的鼓励，学生们很快就掌握了提问

有效问题的技巧。随着学生们纷纷开始测量鞋带的长度以及思考与鞋


带长度相关的因素，不久，课堂上的每个学生都积极地参与到问题的


解决之中。学生对问题的参与程度取决于如下几个因素：




• 数学教师的工作。教师应该将数学题介绍给学生，并在教室里边走

动边问学生们问题。




• 数学题本身。题目应具有开放性与挑战性，而且能够让所有学生贡

献自己的想法。




• 课堂多元化。所有与数学相关的工作都应该得到尊重与鼓励，比如


提出一个问题、画一个示意图以及进行逻辑推理等。



• 题目具有实用性。




• 小组成员之间的相互沟通能力。小组成员之间可以通过相互提问问


题来支持对方。



很多高中的数学部也采用了小组学习的方式，但他们并没有像


Railside高中一样取得成功。而Railside高中能够取得成功的一个重要

原因就是多元化的数学课堂以及鼓励学生们互帮互助。



分工明确




当我们把学生们分入一个小组时，我们要为他们每个人分配一个角

色，承担一定的工作，也就是要分工明确。示例7.6显示了小组成员的


角色以及要承担的工作。




当我把复合教学法介绍给英国的数学教师时，他们对一些角色的名称


和任务进行了调整，以便让这些角色看起来更具有英国特色，而且角

色的阶层差距也更小。如示例7.7所示。




角色分配是复合教学法非常重要的一部分，因为角色分配明确了每一

位小组成员的责任，所以也有助于培养学生的责任心。就像英国教师


所做的，对角色以及相应责任作出调整以适应自己的课堂。




在使用复合教学法的课堂中，我们可以发现，墙上都贴着一张关于分


组与不同角色以及责任的图表。学生们会被随机地分入某个小组并担

任某种角色（如图7.10）。

图7.10 小组与角色的随机分配




每隔几个周，学生所在的小组以及担任的角色都会改变。教师在每堂

课上都需要频繁地强调每个角色所担任的任务。例如，老师会在课程


开始前叮嘱组织者帮助他的小组成员去检查问题答案、解决方案以及


要问的问题等。



示例7.6 美国的小组成员分工情况




组织者：