• 在开始前，确保小组成员都已仔细阅读此卡片。
“谁想阅读这个卡片？大家对自己承担的责任是否清楚？”
• 保持小组的整体性。确保整个小组可以聆听每一个人提出的观点。
“还有人提出不同的想法吗？我们准备好进行下一步了吗？”
• 保证每个人都可以对自己的观点与想法进行解释。
记录者或者报道者：
• 你需要整理你们小组的所有讨论结果。
你整理的内容要包含每个人的观点，而且内容要有条理；你可以使用
不同颜色、箭头以及其他数学工具表达你们组讨论的数学内容、推理
过程以及相互联系等。
“我们采用何种方式与形式分享这个观点呢？”
准备成为一名像教师一样的学生吧。
资源管理者：
• 为你的小组准备需要的各种资料。
• 确保每个问题都是小组问题。
• 当你的小组完成任务时，让老师查看你们所应用的数学内容是否合
理。领导者：
• 时刻提醒你的小组成员要对提出的每一个数学论断做出解释，并且
寻找不同论断之间的相互关系。
“你怎么确定这样是对的呢？这个与……有什么关系吗？”
• 确保你们的讨论只在小组之内进行。
示例7.7 英国的小组成员分工情况
组织者：
• 确保小组的整体性，确保所有小组成员的注意力都在要解决的问题
上。
• 确保本小组成员不与其他小组成员讲话。
资源管理者：
• 你是唯一一个可以离开小组为小组成员收集尺子、计算器、铅笔等
文具的人。
• 在你与教师交流前保证你的小组成员都已做好准备。
理解者：
• 确保你对每个人观点的解释都能让他们满意。
• 如果你不明白某一个观点，请提出这个观点的人给出解释；如果你
明白了，保证其他成员也要明白。
• 确保所有你要给大家解释的重要部分已经被写了下来。
包容者：
• 确保每个小组成员的想法与观点可以被认真聆听，邀请其他小组成
员给出建议。
所有教师都知道，当学生们开始在小组中展开工作并渐渐进入兴奋的
讨论中时，我们是很难把他们拉回来重新听我们讲课的。但教师的确
需要经常地为每个小组提供一些信息或者为某些小组指明方向。在复
合教学法中，教师们不需要让所有学生停下来，而是找到每个小组中
的记录者或者报道者。这些记录者或者报道者会从老师那里接受这些
信息，然后再把信息传递给小组中的每一个人。这样做不但可以让教
师更容易地将信息传达下去，还会让这些记录者或者报道者因为给小
组带来了强大的数学知识武器而倍感自豪。小组成员的角色分工促成
了Railside高中课堂上的互联系统，在这个系统中，每个成员都有自
己的角色与责任，而且学生也在这个系统中学会了相互依靠对方。
善于对弱势学生给予肯定与赞美
在复合教学法中，有一个有趣而且有点儿隐晦的做法：对弱势学生给
予及时的肯定与赞美。这种做法包括，通过表扬弱势学生的言行来提
高他们在小组中的地位，而且这种表扬一定是公开的。例如，老师可
以点名某个学生回答问题，并在全班人面前对他的回答做出表扬。
一开始我并不明白这种做法的意义，直到有一天我亲眼所见。我当时
正在Railside高中观摩学生们的小组学习情况。当老师走过来时，一
名平时比较安静的东欧男孩伊凡（Ivan）正很小声地对其他两位小组
成员说了些什么。这个小组的另外两位成员是两名活跃的拉丁裔女
孩，而且她们控制着解决问题的方向。
伊凡只是简短地说了一句：“这个问题和我们做的上一个问题很
像。”此时正在关注这个小组的老师立刻说道：“很好，伊凡。这是很
重要的一条提示。这个问题的确很像上一个问题，我想我们应该考虑
一下这两个问题之间的相似与不同之处。”当这个小组的女孩们对老师
的问题做出回应时，老师说道：“你们的想法与伊凡的想法是类似的，
你们是在伊凡的基础上做了新的工作。”老师强调了伊凡贡献的重要
性，正是因为老师的介入，伊凡的想法才得以在小组中保留并得到重
视。在老师对伊凡提出表扬后，他便挺直了腰板，积极地加入到小组
讨论中，不时地提醒另外两名女孩注意自己提出的观点。
复合教学法的设计者伊丽莎白建议，如果教师想通过某个学生的反馈
来解决他在小组中的地位问题，那么这个学生的反馈必须是知识性
的、具体的、与小组问题相关的，而且教师在提出这个学生的反馈时
必须是公开的：学生反馈知识性的特点可以保证反馈是某种数学能力
的体现；具体性的特点可以让其他同学知道教师对这个学生进行表扬
的内容与原因；而公开则可以让所有学生知道这个同学提出了有意义
的想法。
教会学生对他人的学习负责
教会学生对他人的学习负责是复合教学法最重要的一部分，也是
Railside高中能够最终实现平等数学教育的主要原因。很多学校也采
用了小组学习的方式，也希望学生们能够形成为彼此负责的态度，但
却因为种种原因并未实现。Railside高中的教师们运用了很多方法帮
助学生学习如何高效地进行小组学习，以及如何为他人的学习负责。
Railside高中的教师们做的最重要的一个决定是：在高中刚开始的10
个周内，通过代数的学习教授学生们如何在小组内一起工作学习。在
这10个周内，学生会进行正常的代数学习，但数学学习只是教师们的
第二个目标，他们的首要目标是教授学生们如何在小组形式下学习。
在这10周后，访问Railside高中的任何人都可以看到小组学习的成
效：学生们在讨论问题的过程中尊重彼此、聆听彼此，并为他们的工
作不停地添砖加瓦。
当我决定采用混合式小组模式时，我也会先花时间去制定关于相互尊
重与聆听的规范。在让各小组开始解决数学题之前，我会让学生先进
行一项我一直比较喜欢的活动：让他们一起讨论在小组工作中，他们
不喜欢的言行与喜欢的言行。我还专门制作了两张海报贴在墙上，一
张上面写着他们喜欢的言行，另一张上面写着他们不喜欢的言行（如
图7.11）。
图7.11 教师正在为学生喜欢的小组的工作言行创建海报
在学生们列出的不喜欢的言行中，我发现他们列举出的很多行为举止
和我不鼓励在小组学习中出现的行为举止是相同的，比如，某一个成
员找到了问题的答案，然后把答案告诉剩下的人，或者某些人故作姿
态地说“这很容易”，然后不允许其他人参与问题的讨论。我发现，如
果让学生思考这些正面与反面的行为，并在心中列出他们自己的海
报，那么他们在与其他人互动时会考虑得更周到。我们把墙上的海报
保留了下来，而且我也会时不时地提醒学生我们所达成的课堂规范。
在课堂开始之前，我也会向学生说明我所注重的品质是什么。我告诉
他们，我看重的不是解题速度，而是在解决问题过程中表现出的数学
思想，以及能够尊重与聆听他人想法的品质。在第九章，我会给大家
分享一个精彩的活动，通过这个活动，学生们可以学习如何在一个小
组内共同学习。
Railside高中的教师也会通过提问某个小组成员问题来提高这个小组
所有成员的责任心。老师所提问的问题基本上都是概念性的，而且只
能由指定的学生回答。回答问题的学生也是老师随机选择，而且其他
小组成员不能为他提供任何帮助。如果这个学生无法回答问题，那么
老师会告诉所有成员必须要保证小组中的每一个人都能理解他提出的
问题，然后过一会儿再回来让同一个学生回答他的问题。让小组中的
每一个人都能理解问题所涉及的数学知识是整个小组的责任。在接下
来的采访中，两名女孩吉塔（Gita, Railside高中二年级学生）与布里
安娜（Brianna, Railside高中二年级学生）很快将她们对数学的认识
与她们学到的小组责任联系在一起：
采访者：你认为数学学习是一种个体活动还是一种社会活动？
吉塔：我认为两者都是。如果你把某个数学内容弄懂了，你还要解释
给小组中的其他人听。
也许整个小组都会碰到一个难题，这时候我们要一起努力解决它。所
以我认为数学活动既是个体的、也是群体的。
布里安娜：我也认为两者都是。首先你要自己先学会，然后才能帮助
小组中的其他人。你必须自己先弄明白其中的道理，然后才能给其他
人讲解。因为你也不知道老师会让小组中的哪个学生回答问题，所以
只有保证每个人都理解，老师才能从我们小组获得正确答案。
上面采访中的两名学生都非常清楚回答问题与小组责任之间的关系。
她们在采访中也向我们透漏了一种价值观：自己能够理解是不够的，
能够帮助他人才是最好的。
Railside高中的教师采取的另一个增强小组成员责任心的方法是，不
时地对每个小组进行测试，但教师只会在每个小组随机抽取一名学
生，而被抽取学生的成绩就是小组所有人的成绩。这个方法对有些人
来说可能有些残酷，但的确能让小组中的每个成员为他人的学习负
责。这种测试也可以让所有小组成员清楚地明白，他们需要确保每一
位小组成员都能够理解所学的数学内容。
在进入Railside高中前，大部分学生已经有八年是自己独立学习数学
的，而且他们也认为数学学习是一种个体的、竞争激烈的活动。但在
Railside高中，他们学习数学的形式发生了改变，也有了新的学习目
标，而且很快就适应了在Railside高中的学习。学生们往往在进入
Railside高中不久便能开始认识到数学学习是一种相互合作支持的活
动。
在进入Railside高中的前几个月中，数学成绩比较好的学生抱怨他们
总是要给别人讲解，但几个月后，抱怨的行为就消失了。因为他们意
识到给别人讲解可以加深自己对数学的理解，所以他们反而开始为自
己能够在小组中进行讲解而感到庆幸。
伊梅尔达（Imelda, Railside高中四年级学生）是一个女孩，她在高
中的最后一年学习了微积分，她为我们描述了小组责任在她学习微积
分的过程中发挥的巨大的作用：
我觉得人们通常把帮助他人看成一种责任，但其实我们在帮助他人时
也是在帮自己。在刚上高中时，你可能会想：“我为什么要帮助其他人
呢？我只想把自己的事情做完，为什么还要进行小组测试呢？”但当你
学习了像微积分这样的高级数学课程后，你就会想：“在正式考试前，
我的确需要进行一下小组测试。”当你学习了越来越多的数学课程，你
会发现自己开始庆幸：“幸好我有一个学习小组。”
我们的分析发现，在复合教学法与混合小组模式学习中受益最大的居
然是那些数学成绩本来就很高的学生，虽然Railside高中教师的初衷
是帮助那些成绩比较低的学生。在Railside高中，这些学生学习能力
提高的速度比其他学生都要快，而且他们的成绩也比其他学校高级班
学生的成绩高很多。出现这种现象的部分原因是：这些学生在给他人
讲解的过程中，自己对数学的理解也进入了一个更高层次，而且他们
的多种数学能力都得到了锻炼与提升。这些学生刚进入Railside高中
时只是善于快速做题的人，但经过在Railside高中深度与广度的学习
之后，他们的成绩更上一层楼。
Railside高中的学生也对数学能力有了更广阔的认识，他们也开始意
识到每个小组成员都有自己与众不同的能力，都可以为小组贡献一份
力量。当他们所经历的学习变得越来越多样化，他们也开始从多个维
度去看待每一个人，也开始注重不同学生对数学题的看法与理解。在
采访中，有两个女孩，艾安娜（Ayana, Railside高中四年级学生）与
埃丝特尔（Estelle, Railside高中四年级学生），是这样说的：
采访者：你们觉得怎样才能在数学学习上获得成功？
艾安娜：要具备与人合作的能力。
埃丝特尔：要有一个开放的思维，能够聆听他人的想法。
艾安娜：因为你可能犯错，所以听取别人的建议是必须的。
埃丝特尔：你之所以犯错是因为一个问题的切入点与解决方式总是多
元的。
艾安娜：因为每个人的做事方式是不同的，所以对于解决同一个问
题，你总是可以从一个不同的角度出发，找到一些新发现。
埃丝特尔：某些人总能想出一些别出心裁的方法去解决问题，我们也
经常会说：“天哪，我不敢相信你居然想到了这么好的一个主意。”
在采访中，Railside高中的学生还告诉我们，因为学校采用的这种数
学教学模式，他们学会了尊重来自不同文化背景、不同社会阶层、不
同性别的学生（罗伯特（Robert）与乔恩（Jon），Railside高中四年
级学生）：
罗伯特：你知道吗，我热爱这所学校。离我们不远的几所高中与我们
这完全不同，在那些学校，各种族的学生都组成了小团体。而在我们
学校，每个人都被认为是一个平等独立的个体，而且也没有以貌取人
的现象。
采访者：这种平等教育的出现是因为数学教学模式的改变？还是受整
个学校政策的影响？
乔恩：数学学习小组让所有的学生聚在了一起。
罗伯特：是的，当我们不停地改变小组成员时，我们就有机会与更多
人相识，这比以前我们坐在固定的座位上只认识周围的几个人要好很
多。在数学课上，你需要与别人讨论问题，需要将自己对数学知识的
理解讲给别人，在你需要帮助时可以告诉大家。
Railside高中的教师非常看重数学教育的平等性，但他们并没有使用
一些特殊教学资料来解决教育中的性别问题、文化背景问题以及社会
阶层问题 。他们所做的是，教学生去欣赏每个人眼中不一样的数学，
而随着课堂变得越来越多样化，学生们也就学会了尊重与欣赏不同学
生的观点与想法。
很多在混合式小组中成绩较好的学生的家长，担心成绩不好的学生会
对成绩好的学生造成影响，但这种现象基本上没有发生过。因为从来
没有人让这些成绩好的学生去深入思考一个数学概念，说明解释他们
的答案，或者从不同的维度来认识数学，所以他们并不擅长上面提到
的这些数学能力。当这些学生能够与成绩不好的学生在同一个小组学
习时，他们因为帮助别人、尝试着给别人讲解数学内容，而最终加深
了他们对知识的理解。所以小组的数学水平不但不会被成绩差的同学
拉低，反而会被成绩好的同学拉高。如果我们让成绩相似的学生在同
一个小组，不管是成绩好的学生还是成绩差的学生，他们得到提升的
幅度都不会太大。
Railside高中的学生知道不同学生的能力是不同的，但他们已经开始
认识到学生能力多样化的价值，就像扎克（Zac）在采访中对我们说：
在这里的每个学生都处于不同的水平，但也正是这个原因，这里的数
学课堂才更精彩。在这里，每个人都是彼此的老师，每个人都相互帮
忙。
我认为辩证与推理在推动教育平等方面尤其重要，而且这两种做法也
是学生对他人学习负责的体现。在Railside高中，学生们要为他们的
答案进行辩护，对他们使用的方法进行推理。推行这两种做法的好处
有很多，辩证与推理是数学活动的核心 ，而且它们在推动数学教育平
等方面也起着重要作用。
下面是我们对胡安（Juan，高中二年级学生）的一段采访，胡安曾是
班级里数学成绩较差的学生。他向我们描述了辩证与推理是如何帮助
他学习数学的：
班里的大部分同学都知道自己要做些什么。我也会想我为什么要做作
业，如果我做了作业，我就会和别的学生进行比较，但他们的答案似
乎和我的答案相差很多，然后我就会去抄袭他们的作业，我会想他们
为什么要这样做？他们是怎么得到这样的结果的呢？有时，我的答案
与他们的答案会……然后我知道了，他们的答案是对的，而我的答案
是错的。这时我会想，为什么我的答案是错的，而他们的就是对的
呢？
胡安清楚地表达了辩证对他的学习的帮助，而且他也习惯了激励他的
伙伴通过严谨的推理解释解题过程。在Railside高中，教师们强调每
个学生都有两个责任：
• 当别人遇到困难时请不要吝啬你的帮助，而当你遇到困难时也要及
时求助。
• 这两个责任对推动教育的平等非常重要，而且辩证与推理也让更多
学生在学习过程中受益。
如果你来到Railside高中，不用多久你就会发现，学生们对彼此都非
常尊重，这在其他学校并不多见，而且在数学课堂上出现的像罗伯特
与乔恩所描述的种族小团体现象比在其他学校课堂上出现的这种现象
要少得多。Railside高中的学生在学习数学的过程中，老师便教他们
欣赏来自不同文化背景的各种学生对数学的不同观点与想法。在我看
来，Railside高中的学生通过数学学习也获得了将来进入社会后能够
与人顺畅沟通的技能。数学教育的平等带来了“关系的平等”（我命名
的），这种平等不是指学生之间的分数差异变小，而是指不同文化、
种族、宗教、性别的个体之间的相互尊重与平等。
人们普遍认为，学生可以通过对不同种族与文化进行讨论，或者阅读
不同形式的文学与社会学作品来学会尊重他人。我认为所有的学科都
能为平等的实现做出一定的贡献，但我认为做出贡献最大的、也是大
家认为最抽象的一门学科是数学。虽然数学这门学科同社会认知与文
化剥离开很久了，Railside高中的学生在数学学习中建立起的平等互
利的关系，只有通过注重不同观点、方法与视角的数学才能实现。
结论
实行成长式的教学模式要比实行传统教学模式困难得多。成长式的教
学模式需要教师教授一个广阔的、开放的、多维度的数学，要教会学
生对彼此的学习负责，而且还要把成长式思维模式的信息传递给学
生。但这也是一位数学教师能够采取的最具成就感的教学模式：当看
到对数学学习充满渴望并且成绩优秀的学生，老师们很容易便可获得
成就感与力量。我非常幸运能够与很多致力于教育平等、成长式思维
与小组学习模式的数学教师一起工作。在这一章，我把我与这些教师
经过多年研究得到的感悟分享给大家。但我把我最喜欢的、鼓励小组
学习的策略放在了本书的最后一章：第九章。在第九章，我会给大家
详细介绍创建一个成长式的数学课堂所需要的各种规范与方法。
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第八章 成长式思维的评价机制
我一直对孩子们理解数学的方式很感兴趣。不同学生提出问题的方
式、对某个概念的理解程度、概念的呈现方式、不同方法的连接方
式、辩证和推理的方式都不同。但最近这几年，美国的教育系统却只
用几个简单的数字和字母来评价学生理解数学内容过程的复杂性与多
元性。教师们也被鼓励着对学生进行测试与评价，而且测试的频率几
乎到了一种荒谬的程度。高频率的测试对学生的负面影响极大，学生
也开始用几个简单的数字与字母来评价自己以及数学这个科目。这种
简单粗暴的评价方式不仅不能对学生的理解力做出准确的判断，而且
在很多情况下会做出错误的判断。
在美国，学生参加考试，尤其是数学考试的次数特别多。多年来，我
们也一直用数学测试成绩来评价一个学生，而且这种测试的题目类型
都是选择题，测试的内容都是解题流程的应用。在这种测试上获得高
分的能力与学生在未来生活工作中需要的明辨性、分析性的思维能力
完全不同。正是这个原因，像谷歌这样的优秀企业已经不再以学生的
成绩作为录用标准——毕竟这样的成绩完全不能为工作能力提供参考
。
一个好的测试能够对重要的能力做出有效的评估。几十年来，美国数
学考试评估的是容易被测试的数学能力，而不是更有价值的、更重要
的数学能力。这也就意味着，数学老师会把教学重点放在那些狭隘的
标准方法的流程上，而不是更有创新性、成长性的数学内容上。现
在，美国的教育系统在制定新的数学评价准则时也开始尽量不再使用
选择题，而是采用能够对问题解决能力做出有效评价的标准，但这一
举措却遭到了家长的强烈反对。
标准化的数学考试给学生带来的危害很大。因为数学教师要保证学生
在标准考试中获得好成绩，所以即使知道标准考试的测试范围非常狭
窄，他们仍然认为课堂测试的内容与形式应该与那些质量低下的标准
考试相似。有些数学教师，尤其是高中的数学教师，他们每周，甚至
每几天就要对学生进行一次测试。很多数学教师认为数学只是一个绩
效学科，而且他们一般也不考虑考试在学生自我与数学认知形成过程
中产生的负面影响，所以，他们觉得数学比其他学科更需要大量的测
试。很多我认识的数学教师在开学的第一堂课上就对学生进行测试，
在第一天就给学生传递“数学只关注成绩”的信息，而不是传递数学学
科的特点和成长式思维的信息。
芬兰是在国际数学测试中成绩最高的国家，但芬兰的学生在学校不需
要参加任何考试。芬兰的数学教师通常将学生对数学知识的掌握程度
报告给家长，并对学生的工作做出评价。通过我在英国所做的一项纵
向研究发现，经过三年开放式问题训练的学生（13～16岁）在全国标
准测试中取得的成绩都普遍较高。这些学生不需要参加课堂考试，老
师也不会对他们的作业打分。这些学生第一次接触考试题（只测试对
标准解题方法与流程的使用）是在考试的几周前，老师把以前的考试
题提供给他们复习时。虽然这些学生对考试题不熟悉，对限时考试也
不习惯，但他们的成绩还是比那些平时就做与考试题相似的习题，并
且经常参加测试的学生的成绩高很多。这些学生之所以能在全国考试
中取得好成绩就是因为他们相信自己的能力，因为他们在平时的学习
中就锻炼了分析问题、解决问题的能力，因为他们认为自己是一个善
于解决问题的人。
因为工作的原因，我在英国可以接触到学生完成的全国测试试卷，这
些试卷一般都是被锁起来的。因为英国考试协会认为研究学生考试试
卷有利于推动教育发展，所以他们给了我这个权限。我在一间没有窗
户的小屋子里工作了一天，记录、分析学生的答题情况。通过学生试
卷的分析，我获得了更多的信息。我发现，进行开放性数学题训练的
学生尝试了更多的考试题，不管是否见过，他们都进行了分析与尝
试。虽然考试中出现的很多标准解题方法他们都没有见过，但他们尝
试成功的几率更大。
我把所有考题分成两类：固定模式问题与概念性问题。我发现来自两
个不同学校的学生在固定模式问题上取得的分数差不多，解决固定模
式问题只需要简单的应用某个标准方法。而进行开放式问题训练的学
校，学生在概念性问题上的得分比另一所学校的学生得分高很多，解
决概念性问题则需要更多的思考。这些在学校不参加考试的学生在全
国测试中却能取得更高的成绩，这看起来好像有些反常，但关于大脑
与学习的新研究证明这种现象是正常的。因为我们能为学生做的就是
让他们具有一个成长式的思维模式，对自己的能力有信心，所以这样
的学生即使没有任何考试经验，也可以在全国考试中获得好成绩。
在美国，持续了几十年的高强度测试对学生产生了巨大的的负面影
响，但带来负面影响的不只是考试本身，考试成绩传递给学生的信息
同样也会给学生带来巨大的负面影响。当我们为学生提供的是他们的
考试成绩或者名次，那么他们做的最多的就是和其他同学进行比较，
这样做的后果就是，有一半以上的学生认为自己不如其他学生，这种
行为在心理学上称之为“自我反馈”。已有研究证明，这样的自我反馈
对学习没有任何帮助。如果我们不停地给学生提供他们的考试成绩与
名次，那么他们渐渐地会把自身同这些成绩与名次等价起来。他们不
会认为成绩只是他对所学知识掌握程度的一个指标，而认为成绩就是
他们作为一个个体价值的体现。
在美国，学生们通常这样描述自己：我是一个“A”（最高等级）类学
生，或者我是一个“Ds”类学生。这样的描述也说明了美国学生通常以
成绩来定义自己。雷·麦克德莫特（Ray McDermott）曾写过一篇令
人信服的论文，在论文中，他描述了如何通过一种学习障碍来定义一
个孩子。如果给一个孩子打上固定的标签，那么这个孩子最终也会变
成标签所描述的样子 。类似，我们也可以通过分数定义一个学生。学
生之所以把自己定义为一个“A”类或者“D”类学生，是因为他们从小就
在一个绩效文化中成长，而在这种文化中，唯一被注重的就是考试成
绩，而不是耐力、勇气以及解决问题的技能。在美国，存在了几十年
的评价机制是在一个知识匮乏的时代制定的 ，而制定这个机制的目的
是希望测试成绩能够激励学生学习，并且希望测试成绩能够对学生的
能力水平提供有用的信息。
通过对学生评分以及评分方案的研究，很多研究人员得到了同样的结
论：对学生评分会降低他们的成绩。艾拉瓦（Elawar）与科尔诺
（Corno）曾对教师对家庭作业的不同反馈方式进行比较，在一个六
年级的班级中，教师对一半学生的家庭作业打了分，对另一半学生的
家庭作业进行了文字性评价 。他们发现，家庭作业得到文字性评价的
学生，其学习速度是作业得到评分的学生的两倍，而且在得到文字性
评价反馈的这一半学生中，男生与女生之间的成绩差异消失了，学生
的学习态度也有所改善。
鲁思·巴特勒（Ruth Butler）也对在课堂上获得分数反馈的学生与获
得文字性反馈的学生进行了对比 。与科尔诺和艾拉瓦得到的结论类
似，在课堂上得到文字性评价的学生数学成绩更高。
而巴特勒的研究最有趣的一个地方是，他又加入了第三个条件：对学
生的表现同时给予文字性评价与分数，大家可能会认为这样做的效果
最好。但事实是：同时获得文字性评价与分数的学生和只获得分数的
学生成绩差不多，只有唯一获得文字性评价的学生成绩最高。这也说
明，当我们为学生同时提供一个分数指标和诊断评价时，他们只关注
分数。巴特勒还发现，在获得分数的学生中，排名前25%和后25%的
学生都缺乏学习动力，而在获得文字性评价的学生中，缺乏学习动力
的现象基本不存在。
帕福瑞（Pulfrey）、布特拉（Butera）和布克斯（Buchs）对巴特勒
的研究进行了跟进，他们的研究结果与巴特勒的相同：只获得分数与
同时获得分数和诊断性评价的学生在学习动力与成绩方面都比只获得
诊断性评价的学生差。他们还发现，只要学生认为自己的作业将被打
上分数，他们的学习动力就会下降，成绩也会降低。
教师对学生的诊断评价中包含了教师对学生学习情况以及未来努力方
向的思考与感悟，所以诊断性评价将是教师送给学生最好的礼物。有
些老师可能会担心为所有学生提供诊断性评价会超出正常的工作时
间，但很多优秀教师的工作时间都已经远远超出了正常的工作时间。
我建议的解决方案是降低对学生的评价次数，如果教师能够把每周一
次的评分惯例改为偶尔一次的诊断性评价，那么我们就可以为学生提
供让他们变得更优秀的信息。在这一章的后面部分，我会给大家分享
一些教师的做法，他们改变了评价机制，但却没有投入额外的时间。
徒劳的竞争
《徒劳的竞争》（Race to Nowhere）是一部讲述美国学生高压生活
的纪录片（如图8.1）。这部纪录片在发行后的几年中获得了广泛的传
播与关注，《纽约时报》称它是一部每人必看的纪录片。这部记录片
描述了各种考试、评分以及家庭作业对学生造成的负面影响，以及超
负荷运转对学生身心健康造成的危害。这场声讨徒劳竞争的运动已经
获得了成千上万教师与家长的支持。
当我观看《徒劳的竞争》时，我发现数学是这些孩子感到压抑与焦虑
的主要原因。这部纪录片讲述的是一位名为德文·马尔温（Devon
Marvin）的高中女孩的故事。德文学习非常努力，她的数学成绩一直
很好，而且她也认为数学是她身份的一种象征。但有一天，因为数学
测试成绩不及格，她选择了自杀。对于德文以及其他很多学生而言，
数学成绩不是他们通过寻找自己的弱点而后继续努力的动力，而是对
他们自身价值的体现。现在的德文是一个最低等级“F”级的学生。这样
的成绩对德文来说是毁灭性的，她因此决定结束自己的生命。
图8.1 纪录片《徒劳的竞争》海报
当我们对学生做出评价时，我们创造了一个重要的机会。精心准备的
数学题以及清晰明了的反馈可以培养学生的成长式思维，成长式思维
则可以帮助他们达到更高的水平，关键是，可以让他们认识到如何才
能达到更高的水平。但不幸的是，在美国课堂上使用的评价机制不断
地向学生传递负面信息，让很多学生认为自己是一个失败者，永远也
学不会数学。
近几年和我合作的一些教师转变了他们对学生的评价方式，他们不再
采用标准测试的成绩对学生进行评价，而是为学生提供更好地学习的
信息以及成长式思维模式的信息。这些在他们的课堂上引起了翻天覆
地的变化，以前在学生中普遍存在的数学焦虑消失了，取而代之的是
学生满满的自信。自信的心态使学生的学习动力、课堂参与度以及成
绩水平得到了大幅度提高。
《徒劳的竞争》的导演薇姬·埃伯利斯（Vicky Abeles）已经发行了纪
录片《徒劳的竞争》的续集Beyond Measure。她在准备续集材料和
对学生以及家长的采访过程中发现，数学是最需要做出改变的学科。
学生们无法实现大学梦想，甚至无法高中毕业的最主要原因就是数学
成绩。基于这个事实，薇姬决心再拍一部新的纪录片，专门说明数学
教育的问题（详情请登录：http://www.youcubed.org/the-
american-math-crisis-forthcoming-documentary/）。
在这个片段中，她对我过去几年同某个学区教师们的合作情况进行了
介绍，而且这个学区的数学不及格率很高（详情请登录：
http://racetonowhere.com/american-math-crisis）。在圣地亚
哥的维斯塔学区以及美国很多的市中心学区，有一半以上的学生代数
成绩不及格，然后这些学生从此进入了一个永不及格的恶性循环。然
而数学不及格对学生造成的负面影响不只存在于数学这一个科目。
在维斯塔学区，只有24%的学生能考上大学。幸好维斯塔学区有一位
富有革新精神的负责人和数学主任，他们分别是德温·沃迪奇卡
（Devin Vodicka）与凯西·威廉姆斯。他们知道数学教育的改革是必
须的，而且他们也愿意投入时间与精力让这个改革变成现实。在接下
来的一年中，我和这个学区的所有中学数学教师一起工作，帮助他们
实施新的教学模式、混合式的小组学习模式以及成长式思维的评价机
制。
我之所以能够和维斯塔学区的所有初中数学教师合作，也是因为凯西·
威廉姆斯的决定，而且她还强制所有初中数学教师参与进来。也就是
说，当我第一次见到这些数学教师时，他们想做出改变的动力大小不
等。我现在仍然清楚地记得，弗兰克（Frank），一位快退休的老教
师，很不愿意改变他使用了一辈子的传统教育模式。在开始的几次研
讨会中，他都是毫无热情地坐在一旁。但弗兰克渐渐地被周围教师的
热情所感染，然后开始认识到我所分享的研究成果的重要性，而且还
意识到他可以为他的学生的数学提供一个更好的未来。
我还记得在那一年研讨会快结束时，有一天弗兰克兴奋地跑进研讨
室，告诉我们说，他和他的妻子用一个周末的时间在一张油纸上画了
一幅墙面大小的图形，当他让学生走过这张油纸画以便能理解图形之
间的拓扑关系时，他发现学生们都特别兴奋，而他的数学课堂从未这
样精彩过。当其他教师也采用了新的教学模式并看到学生课堂参与度
的极大提升时，我在他们的脸上也看到了弗兰克脸上出现的振奋表
情。
我是数学教师的忠实支持者，我也知道《一个也不能落下》（No
Child Left Behind）的颁布让很多教师失去了教学的主动权与热情，
而被强制使用那些对学生毫无帮助的教学方式。现在我工作的一个重
要部分就是帮助数学教师们重新得到教学的主动权。我在维斯塔学区
开展研讨会的一年中，很多数学教师开始重新将自己视为一名创造
者：自由地设置教学环境，并将自己关于创新性数学的想法融入其
中。
成为一名创造者是每一名数学教师都值得努力的方向，而且我也鼓励
所有数学教师努力成为一名创造者。在我们一起工作的一年中，我看
到数学教师们又活跃了起来，而且研讨室中的正能量也在一天天地增
加。研讨结束后，这些数学教师都纷纷将传统教学模式转变为探究式
的教学模式。他们取消了分层教学，让所有学生都有机会学习高阶数
学，而且还把固定的评估模式转变为成长式的评估模式。事实证明，
如果我们相信数学教师的专业性与判断力，再加上研究结果的帮助，
他们是可以为学生创造出一种积极向上的学习环境与评价机制的。
在薇姬·埃伯利斯的最新记录片中，她和她的团队对维斯塔学区的一些
学生进行了采访，在这些学生的口中，他们得知了在研讨会结束后学
校课堂的变化。一位名为迪莉娅（Delia）的女孩，因为数学作业得
了“F”，她放弃了数学，甚至放弃了所有科目的学习（如图8.2）。在
接受采访时，她痛苦地说道：“当我在作业上看到‘F’时，我觉得自己一
无是处。我的数学作业没有及格。然后我就想，我的其他科目也会不
及格。所以我就放弃了所有科目的学习与努力。”在纪录片的后面，她
说起了数学课堂的变化以及她在课堂上得到的鼓励，她决心让自己做
得更好。“我曾经讨厌数学，”她说，“我以前真的特别讨厌数学，但现
在我与数学有了一种联系，我比以前更开放，觉得自己获得了自由与
重生，而且我也比以前更积极向上。”
图8.2 迪莉娅，来自纪录片Beyond Measure
当迪莉娅用“开放”这个词来描述她对数学课的感觉时，我的心中也产
生了共鸣。因为只有当学生不再恐惧低分时，他们才会用“开放”这个
词来描述他们对数学的感觉，而这个词我已经从学生那里听到多次。
当我们教授给学生的数学是创新性的、探究式的数学时，他们会感到
自己强大的智力获得了解放。
我对在课堂上使用“number talk”的三年级学生进行了采访，我问他
们对“number talk”的感觉如何。迪伦（Dylan）在采访中说的第一
句话就是：“我感觉到了自由。”然后，他继续为我们描述了不同的数
学学习策略是如何赋予了他自由解决各种数学题的能力，以及自由探
索与学习数字的能力。学生们用“开放”“自由”这样的词汇描述数学，
是成长式数学教学模式的独有特点，这种教学模式对学生的影响已经
完全超越了提高成绩这样的层面，它对智力与能力的改变将影响学生
的一生 。
就像迪莉娅在记录片中所说，一名学生对自己潜力的认知将影响他的
学习、成绩以及他的学习动力与努力程度。当迪莉娅的数学作业得了
一个“F”时，她放弃的不仅仅是数学，而是所有科目。学生的这种反应
在评分模式下是很常见的。当一个学生得知他的分数比其他人低时，
他会认为自己的学习能力有问题，从而会放弃所有学科的努力，而且
也把自己定义为一名失败者。学习成绩好的学生也会受到评分机制的
危害，一旦一个学生开始认为自己是一个“A”类学生，那么他基本上就
形成了僵固式的思维模式，他会因为害怕失去“A类学生”的标签而不努
力学习或者挑战自己。这样的学生一旦得了“B”或者更低的成绩，他们
就会极度不安。
在最近的一次研讨会上，当我和教师们一起讨论评分模式给学生带来
的负面影响时，一位教学经验丰富的高中教师踊跃地说，他在高中教
授数学已经有20多年的时间了，也是一直通过分数来评价学生，直到
去年，他才放弃了这种评价模式。他说取消这种评价模式后的变化是
巨大的：整个课堂变成了一个开放的学习空间，学生们越来越努力，
成绩也越来越高。他通过让学生回答问题来对他们进行评价。当问题
越来越难，学生们觉得自己已经无法回答时，他便让学生在第一个不
能回答的问题上方画一条线，这条线下面的问题，他们可以借助书上
的内容继续回答。这位教师说，这种评价方式不但可以向学生传递成
长式思维模式的信息，还可以为自己提供关于学生学习难点以及课堂
讨论话题最准确的信息。
在另一项关于评价机制的研究中，迪弗斯（Deevers）发现，收到积
极向上的建设性反馈意见的学生比收到分数作为反馈的学生在未来工
作中更成功。迪弗斯还发现，随着学生年龄的增长，他们收到的建设
性反馈建议越来越少，收到的分数的反馈信息越来越多。他发现，教
师对学生的评价形式与学生的观念存在着明显的关系，随着教师给出
的分数反馈越来越多，学生对自己潜力的信心以及提高学习能力的信
心都逐渐下降 。在传统教学模式中，分数反馈模式已经在美国流行了
多年，所以我很高兴能够看到一位经验丰富的高中教师改变了持续多
年的教学模式，创建了一个开放的数学课堂，并亲眼目睹了学生学习
方式的改变与学习动力的提高。
我们要让学生对他们所学的东西感兴趣。当一个学生对他所学的东西
感兴趣时，这个学生的学习动力和成绩都会提高。目前大量的研究与
学生内外两种不同的学习动力有关：内部学习动力来自于你对所学科
目的兴趣，外部学习动力则来自对高分的追求。
这么多年来数学都是以绩效学科的形式呈现在学生面前的，所以那些
在数学课上充满学习动力的学生，其动力基本上都是外部动力。所
以，只有那些在数学上获得高分的学生才会有学习数学的动力。大部
分通过分数对学生进行评价的教师也相信分数可以提高学生的学习动
力。这样的评价机制的确能够激励一些学生学习（高分学生），但却
使大部分的学生失去学习的动力。从长远的角度讲，外部动力对高分
学生没有帮助。很多研究都相继证明，具备内部学习动力学生的成绩
要比只具备外部学习动力学生的成绩高很多 ，而且具有内部动力的学
生会在他们感兴趣的学科内不断达到新高度，而且也不会在前进途中
半途而废 。
我也曾在我女儿的经历中看到内部学习动力与外部学习动力对学生的
不同影响。我女儿读小学时是在我们本地的公立学校，这所学校基本
上不会让学生参加考试，也不用分数来评价一个学生，所以在上五年
级之前，我女儿收到的都是关于她学习情况的文字性反馈，而且她也
对所学科目产生了内部学习动力，一回到家，她就会兴奋地为我讲述
她所学的东西。但到了五年级，虽然教她的老师是一位经验丰富的教
师，而且课堂活动也很丰富、很有吸引力，但这位教师会对所有的学
生进行评分。这位教师告诉我，因为当地的中学会对所有学生进行评
分，他给学生评分的目的也是让学生做好这方面的准备。
阿尔菲·科恩（Alfie Kohn）把这种行为称之为“BGUTI”（Better Get
Used To It），意思是“最好先习惯它”。很多对学生有害的做法能够
在学校流行的原因就是：教师知道学生早晚要经历这些，他们想让学
生尽早习惯。在我女儿升入五年级的这一年，我在她身上看到了巨大
的变化：她突然就开始只关注甚至担心她的成绩。她不再把注意力放
在所学的内容上，而是不停的担心她会得多少分。阿尔菲·科恩引用了
一个叫克莱尔的学生的话：
我记得当我的写作第一次被别人评分时……我突然感觉自己写作的乐
趣被剥夺了。我觉得自己只是为了分数而写作，而不再为了探索而写
作。我想重新找回写作的乐趣，但我还能找回来吗？
就像克莱尔所说的，她的探索精神与乐趣都消失了。我的女儿还算幸
运，上六年级时她转到了一所不通过成绩对学生进行评价的学校，我
看到她的学习兴趣又重新回来了。但很多学生都没有这么幸运，当他
们进入中学，当他们开始接收到越来越多的分数反馈，他们的学习动
力就变得越来越弱。我在《这才是数学》这本书中详细介绍了考试以
及评分模式对所有学生造成的负面影响，以及指向这些负面影响的研
究证据 。下面我会给大家介绍有利于学生成长，能够为他们传递成长
式思维信息的评价机制。改变传统的评价机制是一名教师能够在课堂
上做的最有意义的事情。
学习评价机制
几年前，来自英国的两位教授保罗·布莱克（Paul Black）与迪伦·威廉
（Dylan Wiliam）对学生评价机制进行了一次综合分析。他们发现，
一种评价模式的力量是如此强大，当教师们在教学中采用这种评价模
式时，一个国家的成绩水平可以从中游一跃进入前五名。布莱克与威
廉发现，如果教师采用我们现在称之为的“学习评价机制”，这种机制
带来积极影响比其他举措，比如减小班级规模要大得多 。他们将这些
发现制成了一本小册子，在英国发行的第一个周就售出两万多本。学
习评价机制有着深厚的研究理论基础，而且也能为学生传递成长式思
维的信息。现在，采用“学习评价机制”已成为很多国家的一项重要举
措。
下面我们介绍一点“学习评价机制”的背景知识。学习评价方式有两
种：形成性评价与总结性评价。形成性评价是对学习过程做出评估，
同时它也是学习评价机制的精髓。形成性评价可以让学生知道自己的
学习进度，进而教师与学生可以知道下一步要做什么。总结性评价是
对学生的学习过程进行总结，告诉学生目前的学习结果如何，但学生
与教师不会通过这种总结知道下一步要做什么。
美国教育存在的一个问题是：教师把总结性评价当作形成性评价使
用。也就是说，在学生还处在学习的过程中时，教师通过一个分数给
他们的学习做出了最终评价。在数学教学中，教师每周都会让学生参
加总结性的测试，也不对测试结果进行分析便匆匆进入下一个话题的
学习。在学习评价机制中，学生们会知道他们已知的内容、未知的内
容以及减小从未知到已知差距的途径，而这些信息对学生成长式数学
思维模式的培养非常重要。
在学生学习一门课程的过程中，及时为他们提供形成性评价是非常重
要的。并且，学习评价机制，我们也可称之为“成长式思维的评价机
制”，会为我们提供一整套的策略与方法。
学习评价机制的一个重要作用是：它可以教会学生为自己的学习负
责。学习评价机制的核心是让学生成为可以自我管理的自发学习者，
让他们自己决定最需要学习的内容，以及谁可以帮助他们提升学习水
平。我们可以认为学习评价机制有三部分内容：第一，告诉学生他们
已经学习了哪些内容；第二，告诉学生他们在学习进程中所处的位置
以及他们要到达的位置；第三，为学生提供到达学习目标位置的信
息。（如图8.3）
图8.3 学习评价机制
我们称学习评价机制为“学习过程评价机制”，而非“学习结果评价机
制”。这样称呼的原因是，教师与学生获得的“过程”评价可以帮助教师
设计更有效的教学活动，从而帮助学生达到最高的学习水平。使用学
习评价机制的教师会花很少的时间告诉学生他们的成绩，但是会花更
多的时间告诉学生如何掌控他们自己的学习路径。一名使用学习评价
机制的英国教师说，学习评价机制让他对学生的关注越来越多 ，因为
他的学生可以掌控自己的学习道路，所以他作为一名教师也越来越自
信。
培养学生的自我意识与责任
最强大的学习者是那些能够进行深度思考、反省认知以及掌控自己学
习过程的人 。传统数学教育最大的失败之处在于，学生很少知道自己
学习的内容是什么，或者他们在一个学习蓝图中的什么位置。他们只
知道要记住某一个方法，但却不知道这个方法是属于数学的哪一部
分。我曾经在观摩数学课时问过很多学生他们正在做什么。大多数情
况下，学生只会简单地告诉我他们所做的题目。我们之间的互动如
下：
乔·博勒：你们正在做什么？
学生：练习题。
乔·博勒：你们做的内容是什么呢？是哪一部分的数学题呢？
学生：啊，不好意思，没有说具体，我们做的是第四题。
在传统教育模式下，学生们基本上不去思考他们目前所学的内容是属
于数学的哪一部分，也不知道学习数学的目的，而且总是希望教师能
够告诉他们是否已经掌握了所学内容。爱丽丝·怀特（Alice White）
是评估方面的专家，她把学生的这种被动学习行为比喻为每天都在船
上工作，但却不知道船驶向哪里的人。
芭芭拉·怀特（Barbara White）与约翰·弗雷德里克森（John
Frederiksen）所做的一项研究有力地证明了深度思考在学习过程中的
重要性。他们对七年级学生学习物理的过程进行了研究。参与研究的
有12个班级，他们把所有班级分成两个组：实验组与对照组。这两个
组被教授的内容相同：力与运动中的一节。对照组的学生每节课都会
花一些时间讨论他们所学的东西；而实验组的学生每节课则会花一些
时间进行自评与互评，讨论每节课的学习目标。
两个小组的结果差距很大。实验组完全打败了对照组。在自评与互评
的过程中，受益最大的是成绩不好的学生。他们开始思考学习目标以
及自身与目标的差距，当然，他们最后也能达到成绩好的学生的水
平。而且，当这些中学生去做高中物理的试卷时，他们的分数比高中
物理高级班学生的分数还要高。所以，怀特与弗雷德里克森的研究结
论是：学生成绩差的一大部分原因不是他们缺乏学习的能力，而是他
们不知道自己应该如何努力。
很多学生的确不知道自己要学些什么，所以让学生知道自己应该学什
么就变得非常关键。这样不但可以帮助学生知道什么是成功，还能帮
助他们得到最有价值的学习工具：自我反思。
下面我为大家分享我最推崇的9种策略，让孩子知道自己应该学什么。
1. 让学生进行自我评价
能够帮助学生知道自己应该学什么的两个主要策略就是：学生的自我
评价与学生之间的相互评价。在自评过程中，学生会得到关于学习任
务的清晰描述，从而让他们可以思考自己已经学习了什么以及还需要
学习什么。学习任务的描述既包括学习内容的描述，比如：“我已经明
白平均值与中位数之间的区别了，而且也知道何时使用平均值，何时
使用中位数。”也包括学习能力的描述，比如：“我学会了坚持不懈地
去解决一个问题，即使这个问题比较难。”
如果学生在每个学习阶段都有清晰的任务描述，那么他们就会把注意
力放在整个学习蓝图上：他们会知道学习什么才是重要的，他们怎样
做才能提高自己的学习水平。研究发现，当我们让学生对所学内容的
理解程度做出评价时，他们居然可以精确地给出评价，他们不会高估
自己也不会低估自己 。
让学生进行自我评价的方式也有多种。教师可以给学生介绍一节课的
数学内容，也可以介绍一个较长时间段内需要学习的数学内容，比
如，一个章节，甚至一个学期的数学内容。我在这里也为大家提供了
两个例子，一个是短期自评的例子，一个是长期自评的例子。除了为
学习提供自评标准，我们还要为学生提供对学习内容进行思考的时
间。学生的反思可以在一节课的中间、结尾、甚至家中进行。
第一个短期自评的例子是示例8.1，这个例子来自一位三年级教师——
洛丽·马利特（Lori Mallet）。在为学生提供的自评表中，她为学生提
供了三个选项。
一些教师，尤其是教年龄较小的学生的教师，除了使用文字描述自评
标准外，他们往往也会采用一些不同表情的图片（如图8.4）。
无论是用文字还是用图片，学生们都可以通过自评表来了解自己的学
习状况。
示例8.1 自评表：多边形
图8.4 反思表情
第二个例子是长期自评表，这个自评表的设计者是丽萨·亨利（Lisa
Henry）。丽萨是来自俄亥俄州布鲁克兰的一名专家教师，是一名教
学经验丰富的高中数学教师。丽萨知道简单的评分不能准确反映学生
对知识的掌握程度，所以，她于四年前放弃了这种评价机制。
丽萨设计了自评表，并让学生根据自评表的要求对自己的学习情况做
出评价。她还慷慨地将自己设计的整个代数课程自评表分享给别人
（示例8.2）。现在，学生们根据丽萨提供的自评表对自己进行评价，
而丽萨则可以通过学生的自评表（不是分数）确定学生已经学会和还
未学会的内容。她说，现在她对学生的知识掌握与理解程度有了更多
的了解。
示例8.2 代数学习自评表
第一节 ：线性方程与不等式
□ 我可以解一元一次方程。
□ 我可以解一元一次不等式。
□ 我可以对含有未知数的表达式进行运算。
□ 我可以解带有绝对值的一元一次方程。
□ 我可以解出并用图形表示一元一次复合不等式。
□ 我可以解带有绝对值的一元一次不等式。
第二节 ：用数学表达式表示关系
□ 我可以在运算时使用单位，并对单位做出说明。
□ 我可以对单位进行换算。
□ 我可以对不同的表达式进行识别。
□ 我可以用一元一次方程或者一元一次不等式解决实际问题。
□ 我可以用二元一次方程解决实际问题。
□ 我可以说明什么样的值可以带入方程。
□ 我可以对我的解决方案做出说明与解释。
□ 我可以将方程在坐标系中表示出来。
□ 我可以验证图形上任何一个点的坐标是否符合这个方程。
□ 我可以通过图形、数据表以及代数表达式来比较两个不同的函数。
第三节：理解函数
□ 我可以判断一个图形、数据表以及一个成对数据的集合是否表示一
个函数。
□ 我可以解析函数的不同形式，以及一个函数的输入与输出是通过什
么样的关系联系在一起的。
□ 给我一组数据，我可以让自然数作为输入，给定的这组数据作为输
出，从而创建一个函数。
□ 无论一个函数是以图形、数据表还是代数表达式的形式出现，我都
能说明它的主要性质，比如截距、单调性、最大值与最小值、最终变
化趋势等。
□ 我可以说明一个函数的定义域与值域在图形上是如何表示的。
第四节 ：线性函数
□ 我可以计算并说明一个函数的平均变化率。
□ 我可以将一个线性函数画出，并找到它的截距。
□ 我可以将一个一元一次不等式在坐标系中表示出来。
□ 我可以证明一个线性函数的变化率是一个常数。
□ 我可以判断出：每个区间上的变化率都相等的情形可以用线性函数
来建模。
□ 我可以通过等差数列、图形、数据表或者函数关系的描述来建立一
个线性函数。
□ 当我们用一个线性函数来描述现实世界中的一种关系时，我可以说
明这条直线的斜率、y轴截距以及直线上的点代表什么实际意义。
第五节：线性方程组与不等式组
□ 我可以通过画图的方式来解线性方程组。
□ 我可以通过代数法解线性方程组。
□ 我可以通过消元法解线性方程组。
□ 我可以通过画图的方式来解不等式组。
□ 我可以为线性规划问题设定约束条件，并可以在图上表示这些约束
条件，而且还可以找到这个线性规划问题的最大值或者最小值。
第六节 ：统计模型
□ 我可以通过平均值与中位数描述数据集的中心。
□ 我可以通过方差或者标准差描述数据集的离散程度。
□ 我可以通过点状图、条形图与箱形图来表示数据集的分布。
□ 我可以通过数据集的分布形状、中心以及离散程度对两个或者多个
数据集进行比较。
□ 我可以对一个与实际问题相关数据集的分布形状、中心以及离散程
度进行说明，并说明离群值对实际问题的影响。
□ 我可以对出现在二维频数表中的数据做出解释。
□ 我可以对实际问题中的频率做出解释。
□ 我可以创建一个散点图、画一条拟合直线，并算出这条直线的方
程。
□ 我可以用拟合直线做出预测。
□ 我可以通过分析残差图来说明线性拟合是否合适。
□ 我可以计算相关系数，并对相关系数做出解释。
□ 我明白线性相关不一定是因果关系，因果关系也不一定能用散点图
来表示。
第七节 ：多项式与多项式函数
□ 我可以加减多项式。
□ 我可以计算多项式乘法。
□ 我可以对多项式进行因式分解。
□ 我可以通过因式分解解一元二次方程。
□ 我可以通过二次函数与x轴的交点以及其他一些特殊点画一个粗糙的
二次函数图像。
第八节 ：一元二次函数
□ 我可以通过配方法写出二次函数的顶点式。
□ 我可以画出一元二次函数的图形，并找到它的关键性质，比如截
距、最大值或者最小值、对称性、最终变化趋势等。
□ 我可以不用画图工具就可以识别不同的图形变换对函数表达式的影
响。
□ 我可以创建散点图、用数学工具找到最佳的二次函数拟合表达式，
并用这个表达式进行预测。
第九节 ：一元二次方程
□ 我可以解释为什么两个数的和与积要么是有理数要么是无理数。
□ 我可以用配方法解一元二次方程。
□ 我可以通过找平方根的方法解一元二次方程。
□ 我可以通过求根公式解一元二次方程。
第十节 ：非线性关系
□ 我可以通过指数的性质来化简带有指数的代数表达式。
□ 我可以画出平方根函数与立方根函数的图形，并说明它们的主要性
质。比如，截距、最大值、最小值、最终变化趋势等。
□ 我可以画出分段函数——阶梯函数与绝对值函数等——的图形，并
说明它们的主要性质。比如截距、最大值、最小值、最终变化趋势
等。
第十一节 ：指数函数与指数方程
□ 我可以证明指数函数在等间距的任何两点的函数值之差是一个常数
与某一个数的乘积。
□ 我可以判断出：等距区间上的变化率相等的情形可以用指数函数来
建模。
□ 我可以通过图形或者数据表来对线性函数、二次函数以及指数函数
进行比较。
□ 我可以通过指数的性质对指数函数进行转化。
□ 我可以对实际问题中指数函数的参数进行解释。
□ 我可以画出指数函数的图形，并说明它的主要性质。比如，截距、
最大值、最小值、渐近线、最终变化趋势等。
□ 我可以创建散点图、用工具找到最佳的指数函数拟合表达式，并用
这个表达式进行预测。
2. 让学生进行相互评价
学生之间的互评与学生的自评类似，互评也要给出清晰的评价标准，
但互评是学生对他人的工作做出评价。当一个学生对他人的学习工作
进行评价时，这个学生可以再次对自己所学的以及要学的数学内容进
行考量。事实证明，学生互评的效果还是很不错的，其部分原因是，
学生都比较乐意听取不同的人对他们提出的批评与建议，而且同龄人
之间交流起来也比较容易。
我最喜欢的互评方法是被称为“两颗星星与一个愿望”的方法（示例
8.3）。这种方法需要学生们在观看了某一位学生的工作后，选出他们
认为做的最好的两个方面与一个有待提高的方面。
如果我们能持续地为学生提供他们学习状况的信息以供他们思考，那
么他们就会形成为自己学习负责的习惯。有些人认为，学生互评的方
法就像邀请学生进入了一个志趣相投的团体，这个团体可以为学生提
供只有老师才能提供的强大知识，而这种知识可以让他们更好的掌控
自己的学习，从而走向成功。
示例8.3 两颗星星与一个愿望
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