图5.18 三年级的学生完成了“How close to 100”这个数学游戏
下面这些话是罗丝的一些学生对这个游戏的思考和评价：
“这个游戏让我的大脑开动了起来。”
“这个游戏是进行数学学习的一种非常有趣的方式。”
“这个游戏让我练习了乘法运算。”
“这个游戏是学习乘法常识的一种很有趣的方式。”
“这个游戏让我知道了乘法与面积之间的关系。”
“这个游戏让我看到了到底什么是除法、乘法和面积，以及他们之间的
关系。”
学生在玩游戏时所表现出来的兴奋度只与他们在游戏中学到的数学知
识有关。值得注意的是，当学生们越喜欢一种数学游戏，他们所讨论
的内容反而不是游戏，而是他们学到的数学知识。通过有趣的数学游
戏，学生们可以从图形与数字两方面去思考什么是乘法、除法、面积
以及这三者之间的关系。而且，在这个过程中，学生们更容易沉浸在
其中，并能感受到数学带给他们的快乐，这一点是简单的背诵乘法表
所不能及的。
在这六个可以给学生带来兴奋与热情的案例中，数学任务与问题起到
了关键的作用（当然也需要好的教学模式来支持）。在下一节中，我
们将重新回顾这六个案例中可以应用到所有数学任务与问题（包括所
有年级的数学任务与问题）上的特征。还有一点值得注意：学生们在
课堂上都是相互合作，虽然他们有时也会独立思考，但大部分时间都
是以小组的形式讨论和解决问题，而且教师也会把有利于培养成长式
思维的信息传递给他们。现在就让我们看看在设计数学任务与问题时
如何加入这些重要的因素。
从案例到设计
从数学教育的层面来看，我们都遇到过徒劳无益的教育阶段。自从国
家颁布了“不让一个孩子掉队”的法案后，教师不得不迫于压力使用“规
定”教程、统一进度进行授课。虽然他们知道这样不利于学生学习，但
他们也无能为力。数学教师都觉得这样的教学不够专业，而且他们在
教学上也失去了自主权。可喜的是，这样的时代即将结束。在新的时
代，我们可以对数学任务与问题进行扩展，给学生们传达成长式思维
与数学式思维的信息。问题的扩展为学生提供了学习的空间，而且在
培养数学式思维的过程中起着至关重要的作用。
数学教师可以从网上找到大量的、丰富多彩的开放性数学题，在本章
的最后我会将这些网站列出来。但很多教师没有时间寻找。好消息
是，教师不用在网站上寻找这些新的问题，他们可以对现在使用的数
学任务与问题进行调整和扩展，这同样可以为学生提供更好的学习机
会。要做到这一点，数学教师本人要具备成为一名问题设计者所需的
思维方式，也就是说，他们能够提出新颖的观点与想法，为学生创造
丰富深刻的学习经历。
在前面几个案例中，令学生兴奋着迷的数学题其实就是对一些我们熟
悉的习题做了调整。例如，在寻找图形变化规律的问题中，让学生将
变化规律可视化是最重要的一个环节，虽然这个环节很简单，但它却
让学生更容易的理解变化规律，这个优势是其他任何方法都无法比拟
的。当一位数学教师变成了数学题设计者，那么他就成了力量最强大
的数学教师。任何数学教师都可以做到，成为问题设计者不需要特殊
的培训与训练，你只要知道开放性数学题的属性与特点，并怀着一颗
持续改进问题的决心就可以。
在设计和调整数学题的过程中，你需要问自己六个问题，这样做可以
极大提高问题的质量。不同数学题的调整方向也不同，而且很多问题
都是相互联系的，但我敢肯定的是，即便在某道数学题的调整中只是
多添加了一个问题，那么调整后的这道数学题也要比原来丰富得多，
有效得多。以下是你在调整数学题的过程中要询问的六个问题：
1. 问题在调整之后，解题方法和说明解释是否多样化？
在我们对数学题进行调整时，最重要的一个目标就是让问题的解决方
法和问题的解释说明变得多样化。当我们把一个封闭、单一的问题转
化为一个开放性问题时，学生的学习潜力也会在解决问题的过程中被
充分调动起来。比如在寻找方块变化规律与负空间的例子中，让学生
从图形的角度去理解变化规律就是一个很好的策略。另一种非常有效
的方式是让学生解释为什么他们的解决方案是有意义的。
凯西·汉弗莱斯（Cathy Humphreys）是一位非常棒的教师。在我们
合作编著的一本书中，我们给大家展示了凯西对七年级学生进行授课
的视频以及教案。其中一个视频是凯西让学生计算“1÷2/3”。通常情
况下，这个问题就是一道封闭的、没有任何延展性并且只有一个确定
答案的数学题，但凯西对这个问题进行了调整，她又添加了两个小要
求：第一，解释算出的答案为什么正确；第二，用图形的方式来说明
解题过程（如图5.19）。在课堂开始之前，她就对学生说：“你们都知
道计算这个问题的法则，但今天我们不关注计算法则，我需要你们去
解释为什么你们的解决方案以及答案是有道理的。”
图5.19 学生们分享1÷2/3的各种解决方案
在视频中，我们看到有些学生认为“1÷2/3”的答案是6，毕竟通过1、
2、3这三个数可以组合出数字6，但这个答案却没有任何道理。其他
一些学生可以从图形的视角、用不同的方法解释为什么数字1包含一个
2/3和半个2/3。正是用图形展示思考过程和解释问题解决方案的两个
要求把一个封闭式的问题转化为一个开放性的问题，这堂数学课也变
成了一堂生动活泼的课。
2. 你是否把问题转化成了一个探究式的问题？
如果学生在学习过程中认为他们的角色不是重复使用一种解题方法，
而是自己想出解决方案，那么他们的学习体验与结果将彻底改变 。同
样的数学内容，我们可以通过传统的方式传授给他们（先讲方法知
识，然后让他们做大量习题练习），也可以先让学生对相应的问题进
行思考，然后在合适的时机传授给他们。
例如，与其让学生找到长和宽分别是12和2的矩形的面积，不如先让
他们思考有多少矩形的面积是24。这个微小的调整会改变学生的学习
动力与他们对问题的理解深度。在探究式的问题中，学生需要用公式
计算出一个矩形的面积，但他们也需要思考矩形的长与宽之间的关
系，考虑一个量的变化会对矩形面积有何影响（如图5.20）。因为学
生们可以独立思考、采用自己的观点与想法，所以数学会更复杂，但
也更有趣。
图5.20 面积是24的矩形
与其让学生记住不同性质四边形的名称，不如让他们自己去根据性质
来命名，如示例5.5。
示例5.5 说出不同类型四边形的名称
如图：
另一个非常好的开放性问题是4个4的问题（如示例5.6）。在这个问题
中，你可以让学生通过对4个4的不同运算表示1～20中的任何一个
数。比如：
这个活动用于数字运算的训练非常有效，但因为运算过程被很完美地
嵌入在探究活动中，所以这个活动看起来根本不像一个运算练习题。
当我们把这个问题放在Youcubed.org上和教师们分享之后，他们都觉
得这个问题非常棒。下面是两位教师在Youcubed.org上的留言：
“这个问题对我的学生启发太大了，他们甚至决定要去探索一下3个3的
情况，问题的探索是无极限的。”
“这个4个4的问题太了不起了！我把它用在了六年级的数学课堂上，学
生们在创建表达式的过程中还引出了对分配率、运算顺序以及变量的
讨论……这种感觉太棒了！”
（详情请登录：http://www.youcubed.org/wim-day-/）
示例5.6 4个4问题
你能用4个4的运算表示1～20中的任何一个数吗？
可扩展的问题
对于1～20中的任意一个数，你们可以用多种4个4的运算表示吗？
你能用4个4的运算表示大于20的数吗？
你能用4个4的运算表示负整数吗？
另一种设计探究式问题的方式是让学生根据学习内容写一篇文章，或
者一份简报，或者一本小书。这种方式可以应用于任何学习内容。在
Railside中学，学生们要对y=mx+b写一本书；在书中，他们写了
y=mx+b代表什么，它的图像是什么样子，它应该在什么情况下使
用，以及他们对这个方程意义的诠释。在我和我的研究生们——丹·迈
耶（Dan Meyer）、莎拉·凯特·塞林（Sarah Kate Selling）、凯西·
孙（Kathy Sun）——设计的一堂高中几何课上，我们要求学生们就
相似性写一篇简报，在简报中他们可以运用图片、问题、动画以及任
何媒体形式来展现相似性这个主题（详情请登录：
http://youcubed.org/pdfs/The%20Sunblocker.pdf）。
示例5.7是我们给学生提供的一个简报模板。
示例5.7 简报
写一份简报，将今天学习的数学内容分享给你的家人和朋友。
通过这个机会，你可以告诉大家你对今天所学内容的理解以及这些内
容为什么非常重要。你也可以把你参与的几个有趣的数学活动写出来
分享给大家。
在创建简报的过程中，你可以使用如下形式：
• 活动照片
• 草图
• 动画
• 采访以及调查
为了帮你更好的回忆今天所学的内容，下面是我们今天组织的几项数
学活动：
3. 在讲解方法之前，是否为学生提出问题让他们思考？
如果在教给学生某种方法之前给他们一个相关的问题，让他们进行思
考，那么我们就为他们提供了一个深度学习和使用直觉的机会。前面
提到的最大面积问题和柠檬体积问题就是很好的例子。这种方式可用
于任何数学内容的教学中，尤其是方法与公式的教学，例如，图形的
面积问题，圆周率问题，计算数据均值、众数、方差和标准差的问题
等。
与其直接教授方法，不如想让学生对一个相关问题进行思考。如示例
5.8。
在学生自己找到计算平均值的方法并在小组和班级内进行讨论后，我
们就可以教授他们计算均值、众数以及方差的正规方法了。
示例5.8 跳远问题
假设你想加入跳远队，但加入的前提是你跳远的平均成绩至少为5.2
米。跳远教练说，他会参考你一周内每天跳远的最好成绩，并把一周
内每天最好成绩的平均值算出来。下表中的数据是你记录的一周的跳
远成绩：
你因为周五身体不舒服，所以成绩比较低。
你认为应该怎样计算均值才能客观地显示你的跳远水平？请通过不同
方式计算平均值，并思考哪种算法是最客观的，然后解释为什么你认
为这种算法最客观。请详细解释你的方法，如果你能说服别人就最好
了。
4. 是否将问题可视化？
将问题可视化是理解问题的一种非常有效的方式，我们可以从前面提
到的规律变化问题中看到可视化的作用。问题可视化可以通过图表来
实现，也可以通过实实在在的物体来实现，比如小方块。因为我的母
亲是一位小学数学教师，所以我小时候有机会接触古氏积木，我的童
年基本上都在玩古氏积木，用它们排出不同的图形，寻找蕴含在其中
的数学规律。在一节网上课程中，我向学生传授了一些学习策略，并
教他们如何将数学题和想法画出来（详情请登录：
https://class.stanford.edu/courses/Education/EDUC115-
S/Spring2014/about）。
画图对于数学家和数学应用者来说是一个非常强大的工具，他们会把
大部分问题以图的形式表现出来。当学生在数学学习中遇到困难时，
我经常建议他们把遇到的问题画出来。
在参加我研究项目的学校中，Railside中学在数学教育方面是非常成
功的，它的一个策略是让学生用颜色把数学内容之间的联系表示出
来。例如，在教授代数时，大多数教师会让学生用多种方式把函数关
系表示出来，比如同时使用函数表达式、函数图像以及文字描述等，
但Railside学校采用的方式非常特别，他们要求学生用颜色来表示各
种关系。比如，用同一种颜色将表达式中、图片上以及图表上表示x的
部分标示出来。
在第七章，我会详细介绍Railside中学的一个案例。其实，在其他知
识的教学中也可以采用涂色策略，比如让学生区分对顶角、互补角的
过程中，可以让他们用不同的颜色来表示角之间的关系。如示例5.9和
图5.21中的例子。
更多与涂色相关的数学题将会在第九章中讨论。
示例5.9 两条平行线和一条截线
1. 用同一种颜色标示出大小相等的角。
2. 找到对顶角与互补角。
3. 写出各个角之间的关系。请在图示中使用颜色进行区别。
对等角：
互补角：
角与角之间的关系：
图5.21 用颜色标示不同种类的角
5. 问题在调整后是否具有“由浅入深”的特点？
前面所有案例中提到的问题都具有“由浅入深”的特点。一个问题的学
习空间比较大，就是说所有水平的学生都可以参与到解决问题的过程
中，但同时这个问题的难度也可以上升到很高的水平。
把问题“门槛放低”（也就是变容易）的一种方式就是询问学生们如何
看待这个问题。把问题“难度提高”的一种方法就是让完成问题的同学
创造一个类似的、但难度更大的问题。
我们在暑期班教授水平各异的学生时经常使用这种策略，而且这种策
略带来的教学效果非常好。比如，我们曾让学生去解决一个阶梯变化
规律问题（示例5.10），一位名为阿朗索（Alonzo）的男孩在完成这
个问题后提出了一个难度更大的问题。他问道：“如果这个阶梯在四个
方向上都增长，那么第n个示例图中方块的数量是多少呢？（如图
5.22）”
示例5.10 阶梯变化规律问题
你认为这些图形的变化规律是什么样的？
在第100个示例图中有多少个方块？
在第n个示例图中有多少个方块？
图5.22 阿朗索提出的问题
当我们鼓励学生去提出一个难度更大的问题时，他们通常都非常兴
奋，通过这个机会我们也可以看到他们的思想与创造力。这是一个教
师可以在任何课堂上都可以使用的策略，对于任何数学题，你都可以
让学生尝试下面这个任务：
“现在，由你来创造一个类似的问题，但难度一定要增加。”
我们也可以鼓励学生们之间相互提出更难的问题。因为难度大的问题
往往都需要深入地思考，所以这个策略尤其适用于那些速度较快的学
生或者抱怨问题太简单的学生。
6. 是否要求学生说服他人同意自己的解决方案？
推理是数学这个科目的核心。当一个学生能够进行推理并能明辨他人
的推理时，他就为学习数学基础课程以及将来在高科技公司工作做好
了准备。推理也可以加深学生对数学的理解。我曾在不同的学校中进
行了为期四年的研究，我们发现，推理可以减小数学能力优秀的学生
与数学能力较低的学生之间的差距。在每一次的数学对话中，学生们
都被要求去做推理，解释他们为什么选择某个方法，以及为什么这种
方法可行。推理为数学能力差的学生提供了两个机会，他们既可以询
问问题，也可以通过推理加深对问题的理解。我在鼓励学生们去大胆
推理时所用的教学策略可以带来很多益处。这个策略是我从凯西·汉弗
莱斯那里学来的。凯西让她的学生时刻保守怀疑的态度。凯西说，说
服过程有三个阶段 ：
1. 说服自己。
2. 说服你的朋友。
3. 说服一个怀疑你的人。
要说服自己和朋友是一件容易的事，但你需要用合理的推理来说服一
个对你持怀疑态度的人。凯西告诉她的学生要保持怀疑的态度，这样
才能促使其他同学给出更完整、更有说服力的理由。
一个可以充分挖掘学生推理能力的完美问题是由马克·德里斯科尔
（Mark Driscoll）研发的，这个问题的名称是“折纸问题”。我曾在多
个场合中使用这个问题，每个场合的学员参与度都很高。教师们告诉
我说，他们非常喜爱这个问题，它能让平时没有表现机会的学生脱颖
而出。在这个任务中，学生们需要两两一组，他们的工具就是一张方
形的纸，他们的任务则是用这张纸折出不同的形状。示例5.11显示的
是其中5个难度比较大的问题（如图5.23）。
示例5.11 折纸问题
这个游戏需要两个人一组，而且每个人都要轮流做质疑者与答疑者。
当你的角色是一个答疑者时，你的工作就是解答质疑者提出的疑问。
你要论证你提出的每一个观点。质疑者一定要保持怀疑态度！你要让
答疑者提供有力的证据来消除你的疑问。
对于下面的每一个问题，一个人负责折出形状并成为一名答疑者，另
一个人则成为质疑者。在完成一个问题后进行角色互换。
道具是一张正方形的纸，你们需要根据题目要求折出一定的形状。然
后解释你折出形状的面积为什么是某一个数。
1. 折出一个正方形，并且这个正方形的面积是原来正方形面积的1/4。
给你的同伴解释你折出的形状为什么是一个正方形以及面积为何是原
来的1/4。
2. 折出一个三角形，并且这个三角形的面积是原来正方形面积的1/4。
给你的同伴解释为什么这个三角形的面积是原来的1/4。
3. 再折出一个三角形，并且这个三角形的面积是原来正方形面积的
1/4，但这个三角形与第一个三角形不全等。给你的同伴解释为什么这
个三角形的面积是原来的1/4。
4. 折出一个正方形，并且这个正方形的面积是原来正方形面积的1/2。
给你的同伴解释你折出的形状为什么是一个正方形以及面积为何是原
来的1/2。
5. 再折出一个正方形，并且这个正方形的面积是原来正方形面积的
1/2，并且这个正方形与第4问中的正方形不同。给你的同伴解释这个
正方形面积为何是原来的1/2。
图5.23 教师解决折纸问题的成果
当我们把这个问题布置给数学教师时，他们在第5个问题上花费了很多
时间，有些人经过一天的专业培训，到了晚上仍然在思考这个问题，
而且他们也非常享受解决问题的过程。因为在这个“折纸问题”中有一
个可操作的道具（一张方形的纸），而且教师除了思考折纸的各种形
状变化外，还要去说服他人，所以这个任务充分激发了他们的参与热
情。当我把这个问题布置给教师或者学生时，我会要求他们每两个人
一组，其中一人负责折纸解答疑问，另外一个人则负责提出疑问；每
完成一个问题，他们进行角色互换。我对负责提出疑问的学生说：“对
方给出的解释要完全消除你的疑问才可以。”
学生们非常喜欢通过这种提出疑问、消除疑问的方式挑战对方，而且
在这个过程中他们能够学到数学的推理与证明。作为一名教师，你可
能需要给学生演示什么样的答案才是具有说服力的答案，你可以找一
名学生进行演示，你作为质疑者，学生作为答疑者，如果你觉得学生
的解释不够完整，你可以再问几个后续问题，直到你的疑问被全部消
除。
示例5.12是另一个适用于质疑答疑模式的例子。事实上，让学生进行
推理证明、质疑答疑的模式可以应用到任何的数学题和任务中。
示例5.12 圆锥体与圆柱体
图中圆锥体与圆柱体的半径与高相同。圆锥体的体积与圆柱体的体积
之间有什么关系？请做出推断，并尝试去说服其他同学。在论断过程
中，你可以画图、建立模型以及使用涂色策略等。
结论
当我们把一个数学题调整为一个开放性的问题，学生可以从多个角度
思考它、可以用多种方法与路径解决它、可以用多种方式解释说明它
时，那么我们的数学教育与学生的数学学习将会发生翻天覆地的变
化。
一个封闭的、僵固式的数学题可以被转化为一个开放性的、成长式的
数学题，而开放性、成长式的数学题具备由浅入深的特点，所以可以
让更多的学生参与到解题过程中。下面是我总结的对数学题进行调整
的6个建议：
1. 让调整后问题的解决方案与诠释方式多样化。
2. 调整后的问题能为学生提供探究机会。
3. 先思考问题，再传授解决问题所需的数学方法。
4. 将问题与图形结合，询问学生从图形的角度如何看待这道数学题。
5. 调整后的问题要具有由浅入深的特点。
6. 让学生进行推理、提出质疑、解答疑问。
我将会在第九章给大家呈现更多具备上述6种属性的数学题。
如果你能对一个数学题进行调整，让其具备上述提到的6种属性，那么
你将为你的学生提供更多、更深入的学习机会。作为一名教师（以及
家长），如果你拥有数学式思维和设计开放性问题的能力，那么你就
有能力为学生提供一个更优质的数学学习环境。
以下网站为大家提供了一些开放性的数学题，大家可以参考：
• Youcubed：www.youcubed.org
• NCTM（数学教师委员会）：www.nctm.org（某些资源可能需要
会员资格）
• NCTM Illuminations：http://illuminations.nctm.org
• Balanced Assessment：
http://balancedassessment.concord.org
• Math Forum：www.mathforum.org
• Shell Center：http://map.mathshell.org/materials/index/php
• Dan Meher's resources：http://blog.mrmeyer.com/
• Geogebra：http://geogebra.org/cms/
• Video Mosaic project：http://videomosaic.org/
• NRich：http://nrich.maths.org/
• Estimation 180：http://www.estimation180.com
• Visual Patterns；grades K-12：
http://www.visualpatterns.org
• Number Strings：http://numberstrings.com
• Mathalicious, grades 6-12；real-world lessons for middle
and high school：http://www.mathalicious.com
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第六章 人人都应享有平等的数学权
利
我一直对数学平等教育的推动充满热情。我的理想是这样的：每个人
都可以学习数学并享受数学带来的快乐。不管一个人的肤色、性别、
收入以及其他特点如何，这个人都可以在学习数学的过程中得到鼓
励。我希望当我走进数学课堂的那一刻，我所看到的是，每个学生都
渴望学习数学，每个学生都不会担心自己是否看起来“聪明”或者是否
具有学习数学的“天赋”。但美国的现状却是，在所有学科中，不同种
族、性别与经济收入家庭学生的数学成绩差距是最大的，也是最无道
理可言的 。
幸运的是，多年以来，我一直同致力于数学教育平等的教师们一起合
作研究，而且这些教师在推动数学平等教育上取得了一定的成果。通
过这些研究，以及其他教师的工作经验，我总结出一些创建数学平等
教育课堂的策略和方法，我将在这一章以及下一章为大家分享这些策
略和方法。首先我想给大家描述一种社会现象，虽然这种社会现象很
少被说起，但却是造成数学不平等教育的关键原因。
数学精英化教育
数学是一个具有魅力的学科，它蕴含的概念与联系可以启发和激励所
有的学生。但在大多情况下，数学被作为一门表现型学科进行教授，
而对于很多人来说，这样做的目的是将具有“数学天赋”和没有“数学天
赋”的学生区别开。更令人不安的是，美国已经完全把数学作为一门表
现型的学科纳入了精英教育。
我认为，如果想让数学教育平等化，我们需要认清数学在社会中所扮
演的精英角色。对于数学，我们可以把它看成一个认识世界的有力工
具，一门重要的学问，一个所有人应享有的权利，一个可以提升学生
未来所需的思考能力的途径，以及一个可以通过努力学习便可掌握的
学科。但数学却成为了一种人为的学生分类机制，导致一些学生被打
上“聪明”的标签，而另一些则被打上“不聪明”的标签。有些人的孩子
在目前的数学教育中是成功的，所以为了保持这种社会优势，这些人
会支持当前的数学教育方式。但有些人则希望目前的数学教育能够有
所改变，即使这些人的孩子在目前的数学教育中占有优势。在他们意
识到这样的优势对孩子的将来没有帮助时，他们更希望改变当前的数
学教育。
数学天才的神话
一些人（也包括一些数学教师）认为，某些人之所以能够学好数学是
因为这些人很特殊，这些人在基因上高人一等。大多数美国人都认同
这个观点，而且风靡整个美国的“天才运动”也是基于这个观点。目
前，我们有大量的证据显示，即使人们出生时大脑各不相同，但因为
后天的学习，再加上大脑的成长是不可限量的，所以大脑差异也会越
来越小 。
即使是我们普遍认为的天才，也是经过了超过常人的努力才获得成
功。爱因斯坦到九岁才能够阅读，他也没有通过大学入学考试，但他
工作时非常努力，而且具有一个积极的思维模式，他不怕犯错，坚持
力也很强。但在美国的教育系统中，勤奋学习与持之以恒并不能得到
认可，而这个系统认为的有“天赋”的学生不是具备像持之以恒这种品
质的学生，而是一些能够死记硬背数学常识的学生。对学生进行分类
伤害的不仅是那些被认为是“没有天赋”的学生，它对认为“有天赋”的
学生的伤害也是极大的。因为一旦学生被打上“有天赋”的标签，他们
的思维方式就被限制了，这让他们变得极其脆弱，并且畏首畏尾。在
学校中设立所谓的“天才项目”就等于告诉学生们，他们的基因有优有
劣。这种信息对学生们是有害的，而且信息本身不正确。通过对这
些“有天赋”的学生的持续研究发现，他们中的大部分人在后来的工作
和生活中都表现平庸（详情请登录：
http://ireport.cnn.com/docs/DOC-332952）。
马尔科姆·格拉德韦尔（Malcolm Gladwell）在他的畅销书《异类：
不一样的成功启示录》中为我们解密了专家的秘密。经过对安德斯·埃
里克森（Anders Ericsson）以及他的同行们的大量研究的解读，他
发现，所有的专家，包括数学领域的专家，都至少在其领域辛勤付出
了至少10，000个小时 。但是，很多数学专家都不以他们的辛勤工作
与付出为荣，却更愿意认为自己天生具有“数学天赋”。这种想法与观
点给我们带来很多问题，其中一个就是，很多通过努力学习而在数学
上获得成功的学生认为自己不是学数学的料儿，毕竟他们的成就并非
轻而易举获得的。正是因为这个原因，很多数学能力优秀的学生放弃
了数学的学习 。
我们的社会中也存在这样的观点：真正数学能力优秀的人从出生时便
高人一等，他们毫不费力就可以在数学上取得成就，他们才是真正属
于数学领域的人。如果能够认识到这种观点以及人们对数学的固有观
念，我们就可以理解美国数学教育问题的本质。很多人意识到，数学
教育的不平等源于这种固有观念，所以他们每天都在与这些观念进行
斗争。但有些人却有意识或无意识地继续支持这种不平等的数学教
育。
有些数学教师（幸好我所遇见的是少数）认为他们比其他学科的教师
更胜一筹，而且他们认为自己的工作就是找到少数像他们一样具有“数
学天赋”的学生。我所知道的一名高中数学教师每年都会让他班级里
70%的学生不及格。他从来不认为学生不及格有可能是因为他的教学
方式有问题，而是认为这些学生没有“数学天赋”。在与这位教师的交
谈中，我发现，他觉得这样做是对的，因为他认为他的使命就是让那
些有“数学天赋”的学生进行更高层次的学习，即使毁掉剩下70%学生
的未来也在所不惜。除此之外，有些大学的数学教授会因为学生提问
问题或者寻求帮助而给他们低分，他们认为学生勤奋就是没有天赋的
表现。
如果我们一直把数学作为一门精英化科目，那么人们就会认为：数学
比其他任何学科都难，而且只有少数有天赋的人才能够学习数学，所
以也就只有很少的人才能在数学上取得成就。这种数学精英化教育观
点与数学天赋观点结合在一起从而产生了数学教育的不平等。
通过美国接受高等数学教育学生的数据，我们就可以看到这两种观点
对数学教育的危害：2013年，73%的数学博士都是男性，而94%的
博士都是白种人或者亚洲人。从2004年到2013年，选择就读数学博
士的女性学生从34%降到27% 。这些数据足以引起政策制定者以及相
关人员的重视，他们应该严肃地考虑，我们在小学、初中和高中的数
学教育中到底做了什么，才导致这种数学教育的不平等越来越严重。
女性在数学以及大部分自然学科中的数量很少，但在一些人文学科
中，女性的数量更少。例如，在自然学科的分子生物学中，女性博士
生的比例达到54%，但在人文学科的哲学中，女性博士生的比例只有
31%。这一点引起了研究各学科女性工作者数量规律的人的注意。他
们发现，那些认为天赋是获得成功主要因素的学科正是女性工作者以
及非洲裔美国学生数量少的学科 。我在第一章就提到，数学领域的教
授们最认同数学是最需要天赋的一门学科。此外，研究人员还发现，
越是看重天赋的学科，其女性博士的数量就越少，而且这种相关性可
以在他们调查的30多个学科中找到。因为人们对什么样的人才真正属
于数学领域长期存在偏见，所以这种数学天赋观点让参与到数学的学
习中的女性越来越少 。
卡罗尔·德维克、凯瑟琳·古德（Catherine Good）和阿妮塔·拉坦
（Aneeta Rattan）做过一项调查，她们想通过调查研究一下有多少
学生认为他们自己真正属于数学领域 ，也就是说他们认为自己从多大
程度上是数学团体的一员，以及他们认为被团体接受的程度有多大。
通过调查她们发现，学生对自己的认同程度以及团体对他们的认同程
度可以预测到他们是否会在将来的学习中继续选择数学。
她们又对影响学生数学归属感的因素进行了研究，结果显示，有两种
因素会削弱学生对数学的归属感。第一个因素是，认为数学能力是一
种固定不变的特质。第二个因素是，女性学习数学的能力不如男性的
传统观点。这个观点让女性（非男性）对数学产生了极弱的归属感，
这种极弱的归属感导致她们远离数学并且数学成绩也比较低。而认为
数学能力可以后天习得的女性便可以免受这种成见的影响，她们一直
保持着对数学的较强归属感，而且也渴望在将来继续学习数学。
除了“数学天赋”观点外，数学教育中的另一个问题是人们对数学这门
学科的盲目崇拜。那些计算速度很快的人常常被认为是数学天才。但
造成这种现象的原因是什么呢？数学并不比其他学科难，不认同这个
观点的人可以想一想，作一首诗或者完成一幅艺术作品是不是也很难
呢？所有科目都可以达到高难度的水平，而人们普遍认为数学是最难
的学科就是因为他们没有机会继续接触到高级数学，而这种神秘性就
是他们觉得数学难的原因。如果想让更多的人能够接触到高等数学，
我们就需要改变他们对数学的认知。
当不平等的数学课程不再合法时
数学教育不平等的一个来源是高中数学课程的设置。在美国，一个学
生在九年级学习的课程在一定程度上会决定他以后的学习机会。大部
分的美国大学都要求学生至少有三年的高中数学学习经历，所以高中
数学课程对学生的将来非常关键。按理来说，所有高中都应该尽可能
的保证所有学生都有学习数学的机会，也就是说，所有高中教师以及
管理人员都应该尽其所能让所有学生都有学习数学的机会。但最近一
项对高中课程设计的调查却让我们非常担忧。
2012年，诺伊斯基金会（the Noyce Foundation）对位于旧金山湾
学区九所高中的学生安置情况进行了调查，他们发现，对于在初中结
束时就通过了代数测试，或者代数成绩已经达到甚至超过州立标准的
学生，有超过60%的人在进入高中后仍被要求重新学习已经学过的代
数 。这样做就相当于否定了这60%的学生学习数学的能力，他们在这
方面遭受的打击或许永远也不能恢复。
在大部分的美国高中，只有一开始就学习几何学的人才有机会学习像
统计和微积分这样的课程。既然对于一个高中生来说，一个高的起点
很重要，而且他已经通过了代数测试，为什么还要让他重修代数呢？
诺伊斯基金会研究了这方面的数据后发现，重修课程的学生大部分都
是拉美后裔和非洲后裔。数据显示，52%的亚裔学生会在八年级学习
代数1课程，52%的亚裔学生会在九年级学习几何。对于白人学生，有
59%的人在八年级学习代数1，33%的学生在九年级学习几何。而让
人担忧的是，对于非洲裔学生，有53%的人在八年级学习代数1，却只
有18%的人在九年级学习几何。而拉美裔学生，有50%的人在八年级
学习代数1，只有16%的人在九年级学习几何。
这种将大部分通过代数考试的非洲裔与拉美裔学生排除在外的行为实
际上就是种族歧视，而硅谷社区基金会（the Silicon Valley
Community Foundation）也迈出了大胆的一步：通过法律手段改善
这种状况。受聘的律师事务所发现，这九所学校的某些行为是违法
的。律师事务所给出的论断是：“学校这种对少数族裔学生的不公平安
置违反了州立法律和联邦法律。即使这种安置是依据客观公平的准
则，即使负责安置的责任人并非故意实行种族歧视行为，负责安置的
负责人也要承担相应的法律责任。”也就是说，即使数学教师不是故意
歧视某个种族，但是只要他们运用了其他会造成种族歧视的评判标
准，他们就触犯了法律。在美国，公民权利运动的最大成就就是对关
系民生的要求产生实质的影响。旧金山的律师们则通过上述事件说明
了导致数学教育不平等的课程设置也是一种犯罪行为。
我觉得上述案例中的数学教师不会因为学生的肤色才阻挡了他们学习
高级课程的道路。但现在，有一种更微妙的种族歧视正在发生：有些
教师要决定哪些学生能学习高级数学，哪些不能。一位加利福尼亚州
的中学校长邀请我去看他的学生数据。当我们一起研究数据时，我们
没有发现学生的代数成绩与课程设置的联系（按理来说，这种联系应
该存在），但却发现学生的种族和课程设置存在联系。学习高级课程
的学生基本上都是白人，而需要重修代数的学生基本上都是拉美后
裔。我很快就意识到，这和诺伊斯基金会揭发的种族歧视如出一辙。
我问这位中学校长为什么会出现这种状况。他给我的解释是，高中的
教师对初中的教师说：“如果一个学生有可能在以后的数学学习中出现
问题，那就不要推荐他学习高级课程了，像作业上交不及时或者在班
级中不突出的学生就不应该进入高级课堂。”有一名高中数学教师还煽
动政策制定者制定这样一条规则：学区中任何有纪律处分的学生在八
年级都不允许学习代数课程。这样的事件听起来也许令人难以置信，
但正是因为某些数学教师和管理者认为自己是数学的守护者，认为自
己的任务就是找到那些具有数学天赋的学生，才导致这样荒谬的事情
发生。
在诺伊斯基金会发现了数学教育上的种族歧视问题后，硅谷社区基金
会便主动承担起了鼓励学校做出改变的责任，旧金山湾学区的很多学
校在学生的安置方面做了调整，而且调整很快产生了正面的效果。旧
金山湾学区决定在学生的课程安排方面不再采用教师对学生的判断
（这一点虽然可悲却也十分必要），只参考初中数学课程的完成情况
以及测试成绩。旧金山湾学区的学校还承诺在暑假期间加快工作进
程，争取在新学年开始前可以根据最新的测试数据做出决策，他们还
专门制定了一个特别小组对操作流程进行监管，如果发现学生课程设
置不当可以及时做出调整。有了这些措施的保障，这种数学教育上的
种族歧视很快就被消除了。
当然，对于被安置在低层次数学课堂或者学习轨道上的学生还有另一
种解决方案，那就是，一开始就不要设置低层次的课堂。我们都知
道，当代数不及格的学生重修这门课程时，他们的成绩很难提高，甚
至还可能变得更差 。因为当一个学生去重修代数时，他所接收到的消
息就是他们不是学习数学的料儿，即使重修也不会取得进步。我推荐
的一种解决方案是，不管学生们以前的代数成绩如何，我们对所有的
学生都保持高期望，并在高中第一年让所有学生一起学习几何以及其
他一些数学课程，最起码给他们一个崭新的开始。很多人可能会说，
那些代数不及格的学生不具备继续学习几何的基础，但几何会给学生
学习数学提供新的思路与路径，而且学好几何也不需要初中代数基
础。在下一章，我会给大家介绍某些教师如何把不同水平的学生组织
在一起，并把高阶数学知识一起传授给他们，并给大家展示实行这种
教学的策略以及这种做法给学生带来的影响。
在英国，所有16岁的学生都要参加一个异常重要的数学测试，此次数
学测试是英国普通中等教育证书考试中的一项。证书考试的成绩不但
会影响他们将来要学的课程，还会影响到他们将来从事的工作。如果
你想成为一名教育工作者，你的英语与数学成绩都要比较高（成绩范
围是A～C）。
证书考试中的数学有两个等级的考试。如果你参加等级高的考试，你
的成绩有可能是A～D；如果你选择低等级的考试，你的成绩最高才是
C。对于一个学生来讲，选择哪个等级的考试的决定举足轻重。很多学
生在年龄很小时就决定了参加哪一种考试，这样他们一般会有五年甚
至更长的时间准备考试。在我研究的两个英国中学中 ，其中一个学校
把学生分成了高水平的班级与低水平的班级（就像美国对学生的分类
一样）。低水平班级的同学专门准备应付低水平的数学测试，三年以
来，低水平班级的学生只做一些简单的习题，而且做得很顺手，所以
他们觉得自己数学学得不错。但他们不知道的是，因为他们选择了准
备低等级的数学测试，他们的最高成绩只能是C。当学生意识到自己被
安置在只能准备低水平数学测试的班级中时，很多学生会觉得自己失
去了希望从而放弃了努力。
而在另一所学校中，教师们迈出了大胆的一步：不管学生们以前的数
学成绩如何，让所有人都准备高等级数学测试。最终的考试结果是激
动人心的，取得A～C成绩的比例从40%增加到90%以上。一名主要教
师负责人告诉我说，他们并没有对课程做任何变化，他们只是让所有
学生共同学习高阶数学而已。而学生却因为这项决定获得了正面的信
息与学习的机会，所以他们也做出积极的回应，努力学习的同时也为
自己创造了一个更好的未来。我们需要所有的教师都要相信每一位学
生，要摒弃一些学生有天赋而另一些没有的观点。不管一个学生以前
的成绩如何，肤色与性别如何，所有教师都应该让这个学生享有学习
高阶数学的机会。在这一章和下一章，我会给大家介绍如何实现一视
同仁的教学。
对数学教师而言，改变“数学天赋”的观点不只是改变课程设置那么简
单。在数学课堂上，教师对学生的判断会直接影响他们所走的数学道
路。作为一名数学教师，也许你很容易就能通过一道数学题来确定哪
些学生适合学习数学，哪些学生不适合，但如果要打破遍及美国的这
种数学失败的恶性循环，我们必须要抵制这种想法与做法。
每一年，我都会带我的本科生来到奥克兰市生命科学院参观，生命科
学院就是一所一直致力于消除不平等数学教育的公立学校。这所学校
中的学生来自各个种族，其中74%的学生是拉美裔和西班牙裔，11%
的学生是非洲裔，11%的学生是亚洲裔，2%的学生是菲律宾裔，1%
的学生是印第安人，1%的学生是白人，其中高达92%的学生来自低收
入家庭。这个学校坐落在黑帮活动比较猖獗，而且谋杀犯罪高发的区
域。生命科学院的教师们努力把学校变成一个比较安全的地方，并对
学生们说，他们都很优秀，都可以考上大学。
生命科学院的数学教师采用复杂的教学手段让每个学生都能学到取得
大学资格的数学内容。生命科学院是奥克兰市大学录取比例最高的高
中，而且达到大学录取水平学生的比例高达87%，比那些斯坦福大学
附近、经济条件较好的高中都要出色。有些教师认为某些学生不能学
习高阶数学是因为他们的家庭条件太贫困，或者因为他们之前的准备
工作不足。但在生命科学院的教师，每天都通过自己对学生的一言一
行证明这种观点的荒谬性。
最近，在我为学生准备视频课的过程中，我和我的斯坦福大学的学
生，对旧金山市大街上的行人做了采访。我们采访了大约30人，这些
人的年龄、种族、成就和经济背景不尽相同。在所有的采访中，我们
问的问题都是：“你的数学怎么样？”采访的结果很有趣，几乎所有的
人都说，他们在学校的数学成绩很好。如果我们询问他们的艺术、文
学或者科学怎么样，他们的回答就不是这样。但对于在注重表现与成
绩的文化中长大的人来说，数学已经成了他们评估自我价值的一个主
要标准。
我经常会遇到这样一些父母，他们对孩子在英语、科学以及其他学科
的学习非常放心，但唯独对数学学习非常焦虑。通常情况下，这种父
母都希望自己的孩子尽快尽早地学习高阶数学，好像如果他们不加快
速度就会被落下一样。然而，我们都知道，越是在小时候数学表现很
优秀的孩子，在长大后越容易放弃数学，而且数学成绩也会比较差。
比尔·雅各布（Bill Jacob）是一名数学教授，也是加利福尼亚州大学系
统学术评议委员会的副主席。当教师和家长们问他是否可以加快学生
学习高等数学的进程时，他是反对的，他说，过早学习微积分会导致
学生对后续内容的学习准备不足，而且学生们也容易过早地放弃学习
数学，这样的结果对他们是有害的 。
雅各布还强调说，大学之前学习的微积分不会让学生在数学能力上得
到成长，他们最好能在早期学习中打下良好的基础。虽然大学在录取
学生时也喜欢在高中学过微积分的学生，但学生们只要在高中三年级
时学习微积分即可，不需要只为了一张好看的成绩单而过早学习微积
分。微积分在大学学习中也不是关键，很多斯坦福大学的学生，即使
是数学与自然科学专业的学生，在高中时都没有学习过微积分。
传统的教学方式以及绩效文化已经渗入到了数学教学的每一个角落，
这种方式和文化不但对数学能力差的学生有危害，对数学能力强的学
生也有极大的危害。研究结果显示，有大量数学能力较强的学生最终
选择放弃数学，而且从概念上去理解数学的人越来越少 。
最近，英国国际数学奥林匹克竞赛主席杰夫·史密斯（Geoff Smith）
说道：“让学生过早学习高等数学是错误的，甚至是一个灾难。数学能
力强的学生应该加强数学学习的深度，而非一味地学习新内容。”精英
教育模式和绩效文化为数学成绩好的学生造成的伤害不止上述一个，
我们看到很多学生对他们未来的学习做出了错误的选择。英国的一项
研究显示，很多本科生选择数学作为专业的原因是他们的数学成绩比
较好。但当他们进入大学之后发现，他们擅长的科目有很多，不只是
数学 。此时他们便对自己的信心与身份认同产生了怀疑 。因为他们在
高中的学习过程中没有学着去热爱数学，去欣赏数学的美，而他们选
择数学作为专业是因为他们可以在数学上取得好成绩，而取得好成绩
让他们觉得自己很特殊，觉得自己是具有数学天赋的人。当他们看到
自己身边的人都很特殊时，他们便失去了继续学习数学的动力，而当
他们最终也意识到自己对数学没有什么兴趣时，便放弃了数学 。
凯西·威廉姆斯（Cathy Williams）是Youcubed的执行董事，在进入
斯坦福大学就职前是一名学区的数学主任。担任学区数学主任期间，
她经常遇到这样的父母，这些父母都认为自己的孩子很聪明，应该学
习大学中的数学内容。每次遇到这种情况，她都会让这些家长的孩子
与她见一面，然后给他们做一项数学学习的评估，并通过评估找到他
们最需要做的是什么。而凯西发现，这些学生有一个共同的特点：解
题的速度很快，但却不能解释为什么他们的解题方法是合理的，也不
能对答案进行说明解释。比如，他们能够算出1除以3/4的结果是4/3，
但却不能解释这个结果为什么正确以及这个结果代表的意义是什么。
凯西向这些父母解释说，数学是一门包罗万象的学科，它不只包含计
算和解题，它也包括对概念与观点的理解。她通过一个图向这些家长
展示了数学的三个方面（如图6.1）。
图6.1 平衡数学的不同方面
凯西告诉这些家长，孩子们只是在数学的一个方面很优秀，而且他们
才刚刚开始学习数学其他方面的能力。他们不需要通过学习更多的内
容来深入理解他们已经学过的数学知识，也不需要重复使用一些方法
进行计算，他们需要的是能将所学数学用于实践。就像我们在第三章
提到的，数学思考与实践才是公司老板们急需的技能。
数学精英化教育与绩效文化在美国盛行的责任不在于数学教师，因为
数学教师和他们的学生一样也受制于这种绩效文化。这个责任应归咎
于我们的文化，因为我们的文化让数学成为一种人员筛选机制。现在
我们急需将数学从一个精英化、注重成绩的学科转变为一个开放的、
注重学习过程的学科，这样那些成绩好的学生才不会一上大学便放弃
数学，那些成绩不好、但学习能力不差的学生也会重新获得学习数学
的机会。
很多人都认同这个观点：学生们需要有一种积极向上的思维模式，但
如果真的想把这种观点传递给学生，我们需要彻底地改变数学的教学
方式，还原数学本来的面目。我给Youcubed订阅用户的所有回信都是
以“革命万岁”结尾。因为我们需要对数学教育进行革命，需要彻底地
改变自己对数学的看法与认知，需要彻底改变学生的思维模式，需要
彻底消除数学教育中的精英教育，需要将数学从一个重视成绩的科目
转化为一个注重学习过程的科目，需要让大家认识到数学是一个多维
度的、对任何人都开放的魅力学科。
推动数学平等教育的策略
我们怎样做才能让数学教育更平等呢？在下一章，我将会给大家介绍
可以惠及全体学生的策略，但在这里，我只为大家提供几条可以让更
多学生享受到数学教育的策略。
1. 为所有学生提供高阶数学的学习内容。
在下一章，我会带领大家探究增加学习高阶数学学生数量的策略。数
据显示，在美国可以享受到高阶数学教育的学生比其他国家可享受到
高阶数学教育的学生少很多 。提高数学教育平等和数学成绩的一个最
简单的方法就是增加学习高阶数学的学生人数。
2. 改变学生的观念。
我在前面的章节中曾提到，德维克的研究显示，教师对学生的评价会
影响学生学习数学的方式，而且僵固式的思维模式与教学是数学与科
学教育不平等的主要原因，尤其是在女性和少数种族学生方面的不平
等。她的研究还显示，具备成长式思维模式的学生可以排除这些关于
数学刻板观念的影响，在未来的学习与生活中也能够继续取得成功。
这也再次说明，学生需要成长式思维，教师也应该以成长式思维看待
自己教授的科目，并把关于成长式思维的信息传递给学生。
而且，我们要尽早地把成长式思维的信息传递给学生。在我们追求平
等社会的路上，也许成长式思维的观念是实现最终平等的关键。
3. 鼓励学生加强数学学习的深度。
2014年，我被邀请去白宫做演讲。当天演讲的主题是鼓励更多的女性
学习数学与自然科学。我对在场的观众说，从事这些科目的女性人数
比较少的一个主要原因是数学。
我发现，不只是我的研究 ，其他研究 也证实了这样一个事实：女孩比
男孩更希望进行深入思考，但深入思考在当前的数学课堂上是不允许
的。这里的意思不是说女孩希望做一些事情，而男孩希望做另外一些
事情，而是说女孩想要深入理解的愿望更强一些，她们想知道一种方
法为什么可行，这些方法是如何从概念的层面联系在一起的 。这些问
题都是很有价值的，也是我们希望学生能够提出的问题。
但不幸的是，在只教授解题方法的数学课堂上，进行深入思考是没有
机会的，而当女孩们不能对问题进行深入思考时，她们便放弃了数
学，而且，这种教学方式通常会使她们患上焦虑症。研究发现，女孩
对数学的焦虑程度比男孩严重得多 ，而女孩们焦虑的主要原因就是她
们无法在数学课堂上进行深入思考 。
而讽刺的是，具备深入思考的渴望与透彻理解概念的能力（都是在数
学课堂上禁止的）的学生最适合从事数学、科学和工程学的高难度工
作，这些学生也是能够推动数学与自然科学进步和数学平等教育的主
力。当用传统的教学方式将数学教授给学生时，想要进行深度思考的
学生（大部分是女孩）就失去了学习数学与自然科学的机会。
经过对“面向女孩的123个非正式数学与自然科学项目”的综合分析，
研究人员对女孩们认为的、能够提高参与度和积极认知的学科特征进
行了总结。下面位于前四位的学科特征：
• 可亲身实践。
• 基于项目的课程设置。
• 具有现实生活中的应用案例。
• 具备一起学习工作的机会。
女孩们也提到了榜样的作用，但她们认为相互合作的机会与探究式的
问题比榜样的作用更重要 。上述研究强调了女孩在学习数学的过程中
更倾向于做一些连接性的思考，这样她们就可以探寻一个方法为什么
可行、用在何处可行以及这个方法的工作原理。不仅仅是女孩，从事
高级研究的人也偏爱这种思考方式。但女孩似乎比男孩更需要这种思
考方式，因为一旦她们在某个学科中无法进行这样的思考，她们便会
逃离这个学科。
学习不只是积累知识，因为学生在学习过程中会决定他们是谁，他们
要成为什么样的人，所以学习也是一个学生形成自我认知的过程 。很
多学生认为自己的身份是一个思考者和交流者，是一个可以改变世界
的人 ，但他们却觉得自己的身份与课堂格格不入。这一点与我们教授
的知识形式有关，不注重思考与联系的知识形式让学生失去了对知识
进行探究和思考的机会。
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