这才是数学（教师篇）

为学生提供一个完整的学习经历、并被学生看作难得的机会而非每天

的常规时才是有效的。我的女儿们就读的学校就知道这些研究成果，


所以经常只布置必要的数学作业，比如像聪明方格（一种算术游


戏）。但有时她们的老师也会布置很多重复性的加减法练习题。当我

的女儿们开始做这些重复性的习题时，我可以看到她们沮丧的表情。


这时，我会告诉她们，这些重复性的习题并不是真正的数学。在看到


她们可以顺利地算出四五道题后，我便会让她们停止。我还会给她们


的老师写一张小纸条说：我的女儿已经懂得了这些计算方法，所以我

不想让她们做剩下的习题了，以免她们对数学这门学科的本质产生误


解。




如果你在一个必须布置家庭作业的学校上班，你要知道很多数学题都

要比重复性习题好很多。在加利福尼亚州的维斯塔学区，我认识两名


非常有创意的教师叶卡捷琳娜·米尔维迪卡娅（Yekaterina


Milvidskaia）和蒂安娜·泰拜尔曼（Tiana Tebelman）。她们设计了


一系列反思性问题作为家庭作业，并每天让学生们通过这些反思性的

问题来回顾并深入思考一天所学的内容。一般情况下，她们每晚会给


学生留一道反思性的问题和1～5道练习题（数量取决于练习题的难


度）。大家可以通过示例4.2看到她们设计的反思性作业，她们每天都

会选择一个让学生完成。




示例4.2 数学作业——反思性问题

第一部分：请回答以下问题



注意：对问题的回答要尽量详细！请将你的答复以完整的句子呈现出


来，并做好第二天在课堂上分享的准备。



1. 我们今天学习的主要内容是什么，或者今天我们在课堂讨论了什


么？




2. 今天是否有问题还没有弄懂？如果没有，请出一道类似的题目并解


出来。



3. 请描述你或者你的同学今天所犯的一个错误或者对某个概念的错误


理解。你从这个错误中学到了什么？



4. 你或者你的小组是如何解决今天的问题的？你们的解决方案可行


吗？你从这个解决方案中学到了什么？




5. 请描述其他人或者其他小组解决今天问题的方案。他们的方案和你

们的方案的相同与不同在哪里？




6. 今天我们学习了哪些新单词或者术语？你认为这些新单词与术语的


意义是什么？请给出一个例子。



7. 今天课堂上发生的数学辩论是什么？你从这个辩论中学到了什么？

8. 如果今天课堂上学习了两种东西，这两种东西的相似与不同之处在

哪里？




9. 如果你改变____，将会发生什么？



10. 在这个小节的学习中，你的优势与弱势是什么？你提高弱势方面


的计划是什么？




叶卡捷琳娜和蒂安娜已经连续两年采用这种形式的家庭作业了，这些


家庭作业对学生产生了积极的影响，她们注意到，学生开始思考他们

学过的知识，总结自己的想法和观点，并且在课堂上提出了更多的问


题。



叶卡捷琳娜和蒂安娜每半年就会对学生们做一次问卷调查，收集学生


们对课堂活动以及家庭作业方式的反馈数据。问卷中的一项是：“请写


下你对今年家庭作业形式的建议。”她们得到的反馈如下：




我觉得现在我们家庭作业的形式对我们非常有益。当你能够花更多的

时间来反思你学了什么（并把反思写出来），而不是做更多的习题


时，你学到的东西就会更多。



我觉得这样的家庭作业可以帮助我更好地反思一天学到的东西。如果


有哪里想不起来了，我就可以翻开我的笔记本复习一下。

我非常喜欢今年家庭作业的形式。因为经过对所学内容的反思，我能

顺利地完成老师布置的习题。也是因为反思这个环节，我能够记起来


今天自己做了些什么。




这种形式的家庭作业对我的帮助很大。我可以看到我需要在哪方面努

力，也可以看到我擅长哪些方面。




学生们都说起反思性家庭作业对他们数学学习的帮助。重要的一点


是，这种作业对学生的压力很小，而且这些问题会引导学生对概念进

行深入思考，这一点是极其珍贵的。那些要求学生对错误和迷惑进行


思考的问题对他们进行自我反思很有帮助，而且这些问题可以帮助他


们更好的理解数学。这些问题也可以为教师提供更多有用的信息，从

而更好的引导他们的教学。我们也可以让学生在下课前回答一些类似


的反思性问题，把回答的内容写在一张纸上上交。在第八章，我会介


绍更多的反思性问题。




我在第一章曾提到，国际学生评估项目小组不但对学生进行数学测

试，他们还收集学生思维模式和数学学习策略方面的信息。通过研究


1300万学生的学习策略，他们发现数学测试分数最低的学生就是通过


死记硬背学习数学的学生。这些学生准备考试的策略就是记忆解题方

法。测试分数最高的学生则是深入思考数学概念以及概念之间关系的


学生。图4.4显示了使用两种不同策略学生的成绩差距。

图4.4 数学学习策略与成绩




我们能为学生们做的最有益的事情就是帮助他们培养数学式思维模

式，这样他们就会认识到数学不是关于解题方法的记忆，而是关于思


考、意义构架、整体观念、以及数量关系的一门学科。




有一种很好的方法可以让学生以概念性的、联系性的观点来学习数

字，这个方法被称之为“number talks”。这也是迄今为止我所知的、


教授孩子们数感与数学常识最好的方法。这个方法是由鲁思·帕克


（Ruth Parker）与凯西·理查森（Kathy Richardson）共同提出的。


教师可以用这个方法来开始课堂教学，家长也可以在家中使用这个方

法。这个方法需要先给学生提出一个抽象问题，然后让学生给出解题

思路并进行心算。教师可以先收集不同的解决方法，然后一起讨论某

个方法的可行性。例如，一位教师让学生们计算“15×12”，学生们则


给出了如下5种解题方案：




1. 15×10=150，15×2=30，150+30=180



2. 30×12=360，360÷2=180




3. 12×15=6×30，6×30=180




4. 12×5=60，12×10=120，120+60=180



5. 12×12=144，12×3=36，144+36=180



学生们都非常乐意分享自己的解决方案，并且也喜欢听取别人的解题


方案。在进行心算的同时，他们可以顺便记忆数学常识，也可以培养


对数字的抽象认识与理解，还可以练习使用运算法则……这些技能在


以后的代数学习以及其他方面都非常重要。




高年级的学生怎么办呢？





在这一章，我们讨论了如何让孩子们通过了解数字概念、认识数学本


质和以更活跃的方式来学习数学。如果孩子们一开始就以这种方式学

习数学固然是好的，但我们也知道，任何人随时都可以改变他们学习


数学的方式以及同数学的关系。

下一章我们将讨论如何改善初中生以及讨厌数学的成年人同数学之间

的关系。我们会看到，当他们以不同的方式（探索联系与规律）来学


习数学、以成长式思维看待自己的数学潜力时，他们与数学的关系将


彻底改变。当他们不再以传统方式看待数学，他们的数学学习之路就

开始发生变化。我曾在各个年级的学生身上看到这种变化，甚至包括


斯坦福大学的本科生。图4.5显示了七年级学生在春季学期进行思维模


式调整后的结果 。研究结果显示，当学生们进入初中后，他们的数学


成绩会有所下降，但进行了思维模式调整的学生，他们的成绩有了很

快的提升。






































图4.5 思维模式调整

思维模式对学生的数学学习非常重要，如果我们还能为他们提供各种

数学学习机会，那么不管他们的年龄如何，奇迹都会发生。





数学游戏与应用程序





让孩子们接触一些体现数学本质的游戏和应用程序也为他们提供了一

个学习真正数学的机会。目前市面上的大部分数学游戏与应用程序考


察的都是孩子们的记忆力，所以对孩子们的数学学习没有帮助。在这


一节，我会重点给大家介绍三款游戏（分别是Wuzzit Trouble、


Mathbreakers、Motion Math）与一款应用程序（Number

Rack），它们都为孩子们提供了学习概念性数学的机会。




拯救小怪兽（Wuzzit Trouble）



拯救小怪兽是由斯坦福大学数学家基思·德夫林（Keith Devlin）和他


的团队开发的游戏，这款游戏的目的是帮助学生理解真正的数学，并


培养他们的数感与解决问题的能力。这个游戏的规则是，转动齿轮使


圆盘转动起来，从而释放钥匙，然后使用钥匙将困住的小动物解救出

来（如图4.6）。在玩游戏的过程中，你会碰到非常难的数学谜题（如


图4.7）。此游戏不同数学专题与难度水平的版本都已上线。

图4.6 拯救小怪兽游戏中的人物

图4.7 拯救小怪兽游戏中的数学谜题




拯救小怪兽游戏是由BrainQuake公司开发的一款益智类游戏，目前这

个游戏有苹果系统版本与安卓系统版本。（详情请登录


http://wuzzittrouble.com/.）




Mathbreakers



Mathbreaker是一款3D数学探索游戏，它的目标群体是小学生，而游


戏中人物的武器就是数字（如图4.8）。这款游戏不但可以让学生在玩

耍中学习数学，还允许他们操纵数字。比如当你过桥时，你可以把大

数字分解为小数字。这款游戏可以让孩子们在轻松的环境下学习数字


的概念。




Mathbreaker由Imaginary Number公司出品，它可以在苹果系统、

Windows系统和Linux系统上运行。这款游戏的售价是25美元。从事


教育行业的人可以优惠（详情请登录


https://www.mathbreakers.com/）。


































图4.8 游戏界面




数学运动（Motion Math）



数学运动也是一款面向小学生的游戏，它提供的一系列游戏可以帮助


孩子们从视觉上理解数学，尤其是理解数字与分数（如图4.9）。例

如，在Hungry Fish这个游戏中，孩子们需要计算出匹配的数字，然

后用这个数字喂鱼。Hungry Fish就是让玩游戏的人找到多种创造数


字的方式。在Pizza这个游戏中，孩子们需要经营一家披萨店，设计和


售卖披萨。在这个过程中，孩子们可以学到比例的知识、心算甚至是

一些经济学知识。在Fraction这个游戏中，孩子们需要把承载着分数


的皮球移动到数轴正确的位置上。在Cupcake这个游戏中，孩子们也


需要经营自己的生意，做各种决策，把他们的纸杯蛋糕运送出去，并


且还要根据订单做一些数学调整。




























图4.9 两款Motion Math的游戏：Hungry Fish和Pizza



Motion Math由Motion Math公司出品，目前可以在苹果与安卓系统


上运行。单个游戏售价最低2.99美元（参考：


http://motionmathgames.com/）。



Number Rack

Number Rack是一款数学应用程序，它的目标群体也是小学生，这个

应用程序是由荷兰的弗罗伊登塔尔研究所开发的一个名为Rekenrek的


学习工具（详情请登录http://www.k-


5mathteachingresourses.com/Rekenrek.html）。



打开程序界面可以看到一根棒，棒上串有10颗珠子，如果你要表示的


数比10大，你可以添加相应数量的棒。老师和学生可以通过拨动棒上


的珠子来表示不同的数以及数字之间的关系。这个工具非常适用于十


进制的计数训练。学生可以通过移动棒上的珠子来理解数字的概念。



Number Rack由数学学习中心（the Math Learning Center）出


品，可在网页上免费使用（详情请登录


http://www.mathlearningcenter.org/web-app/number-

rack/）。

图4.10 应用程序界面




帮助学生培养数感的游戏与应用程序还有很多，在这里我只选择了四

个，通过这几款游戏和应用程序让大家看到一款好的游戏与应用程序


应该具备哪些特点。我选择的这几款游戏与应用程序都可以帮助学生


更好的理解数学概念，而且可以让学生领略到真正的数学。




结论

最新的大脑研究结果告诉我们，成功学生与失败学生的差别不在于他

们学习的内容，而在于他们的思维方式。具有成长式思维非常重要，


但如果我们想激励学生们去学习更高水平的数学，他们还需要具备数


学式思维。我们需要学生以成长式思维看待自己，也要以成长式思维

看待数学以及他们学习数学的潜力。如果我们能为学生提供概念性


的、探究式的数学教学，并不断鼓励他们，那么他们就可以免受传统


数学观点的伤害。这对学生是否能在数学上取得成功、是否能够享受


数学给他们带来的快乐这两方面非常重要。



即便你是一个成年人，只要能够及时转变，数学成绩与数学快乐可以


随时得到。这一章主要是通过数字学习来告诉孩子们数学教育应该是


什么样子，但这个观点可以延伸到任何等级的数学教学。即便是最枯

燥的数学常识，我们也可以通过理解与意义构建进行教学。因为我们


为学生提供的问题有着有趣的背景，并要求他们彻底弄明白这些问


题，所以学生看到的数学不再是封闭的、僵固的知识体系，而是一个


他们可以提出问题、探索和思考的自由世界。



在下一章，我将会给大家呈现能够创造这种自由世界的数学题。




本书由“ePUBw.COM”整理，ePUBw.COM



提供最新最全的优质电子书下载！！！

第五章 这才是有价值的数学题








在一个教学活动中，教师是最重要的资源：是教师创造了活跃的数学

教学环境，是教师启发鼓励孩子们学习，是教师把一个数学题变成了


开启学生好奇心与兴趣的钥匙。多项研究显示，在影响学生学习的众


多因素中，教师这个因素的影响是最大的 。在数学学习中，还有其他

关键因素，它们是教师最好的朋友和助手，它们就是教师的教学资料


和数学题。




所有教师都知道，高质量的数学题是非常好的教学资源。使用高质量


的数学题不但可以调动更多学生学习数学的积极性，提高他们对数学

的兴趣，还可以培养学生的数学式思维，为他们提供深入思考的机


会。在这一章，我们将探究数学活动（包括数学教学活动）的真谛，


并且思考如何设计出符合数学活动真谛的数学题。



我的教学经历非常丰富：曾在英美两国教授过初中、高中以及大学的


数学课程。我也曾在英美两国观摩研究了数百堂数学课，而且这些课


包含了从小学到大学各年级的数学课程。我还研究了英美两国学生的

数学学习情况。通过这些经历，我对数学活动和深度学习的认识有了


更深刻的领悟。我也曾目睹了学生在认识到数学的本质、真正理解了


数学概念和关系时的兴奋与快乐。更有趣的是，我发现，一个懵懂少

年和一个雄心壮志的大学生所表现出来的数学快乐与兴奋是一样的，

它包含了好奇心（curiosity）、联想（connection making）、挑战

（challenge）和创新（creativity），除此之外，也包含合作


（collaboration）。上述五点就是我提出的数学活动中的5C。




在这一章，我首先给大家分享数学活动的本质是什么，然后再考虑如

何设计体现数学活动本质的数学任务和问题。只要教师获得了这些信


息，他们就可以为自己的数学课堂创造出高质量的数学任务。




在这里，我想通过几个案例来诠释数学活动的本质以及数学带给我们

的兴奋与快乐。我认为每个数学活动的高峰是让参与者达到兴奋的状


态，享受数学给他们带来的快乐。下面我要分享的几个案例都是我亲


身经历或者亲眼所见，而且这些案例让我对数学教育的本质有了更深

刻的理解。第一个案例并不是来自学校课堂，而是来自硅谷一家创业


公司的一次活动。这个案例让我们看到，在数学上感受到兴奋给参与


者带来的力量。我愿意将此分享给所有的数学教师。




案例一：数字的灵活性与开放性





在2012年12月底，也是我飞去伦敦度假的前几天，我第一次同塞巴斯


蒂安·特龙以及他在Udacity公司的团队见面。Udacity公司是一家制


作网络课程的公司。我被邀请到Udacity公司参观，并对数学类课程的

设计提出一些建议。

当我走进帕洛阿尔托一个广阔的空间时便立刻意识到我已经走进了硅

谷的一家创业公司：自行车挂在墙上；在这里工作的年轻人主要都是


男性，他们穿着T恤衫和牛仔裤，要么注视着电脑，要么一起讨论着些


什么；这里的办公室没有围墙，只有隔出来的办公区域和明亮的灯

光。我穿过这些小隔断，来到玻璃墙后面的会议室。已经有15个人挤


满了这个不大的会议室，有的坐在椅子上，有的坐在地上。




塞巴斯蒂安走过来和我握手，做了简单的介绍后便邀请我坐下。然后


他便开始连续不断地问我问题：“什么样的数学课才是一堂好的数学

课？我们应该怎样教数学？为什么有那么多的学生数学不及格？”他还


说，他的好朋友比尔·盖茨告诉他，美国之所以有那么多人数学学不好


是因为代数这门课。而我却大胆地回复他说：“比尔·盖茨是数学教育方

面的专家吗？他的话可信吗？”塞巴斯蒂安团队的人都笑了，他自己似


乎也是吃了一惊。他接着问道：“那您怎么认为？”我对他说：“学生们


之所以学不好代数不是因为代数太难，而是因为他们没有数感，而数


感是学习代数的基础。”克里斯，一位在场的课程设计者，曾经是一名

数学教师，也点头表示同意我的观点。




塞巴斯蒂安仍然继续问我问题。当他问到我什么问题是一道好的数学

题时，我对所有会议室里的人说，我是否可以问他们所有人一道数学


题。他们都表示同意，然后我便开始了一个小型的“number talks”。


我让他们心算18×5，如果他们计算完毕就把大拇指竖起来让我看到。

当看到所有大拇指都竖起来时，我便开始了一个计算方法分享会。当

时，他们想出了至少6种计算方法，我把其中的6种计算方法通过图形


画在了会议室的手写板上（如图5.1）。
























图5.1 18×5的图示



然后我们开始讨论方法的相似与不同之处。当我把计算方法在手写板


上画出来时，他们都瞪大了眼睛。有些人甚至兴奋地从椅子上跳了起


来。有些人说他们从来都没有想过，一个抽象的数字计算问题居然可


以用这么多方式去诠释。还有些人说，数字计算居然可以用图形表示

出来，而且还把数学表现地如此清晰。




几天后，我到达了伦敦。当我打开邮箱时，我发现我收到了Udacity公


司的一名年轻且有创意的课程设计师安迪（Andy）的邮件。安迪已经

制作了一个关于如何计算18×5的小视频，而且他把上街采访收集计算


方法的过程也放在了视频里。Udacity公司课程小组的成员对18×5的


计算方法问题感到很兴奋，他们想立刻把这个视频发布出来，而且他

们还想制作18×5计算方法的T恤衫，然后发给每一位在Udacity工作

的人。




在接下来的几个月里，我又先后同卢克·巴尔特莱（Luc Barthelet）


与Wolfram Alpha公司的总监见面。Wolfram Alpha是世界上最重要

的数学公司之一。卢克在我2015年出版的书中发现了18×5的不同计


算方法，他对这道题特别感兴趣，以至于遇到一个人就要问他18×5如


何计算。为什么那些高级的数学应用者，还有小孩子们都对解决一个


看起来稀松平常的数学题18×5这么感兴趣呢？我认为原因就是人们在

解决这道题的过程中看到了数学的创新性和一个数学概念的多面性。


事实上，我所见过的大部分人，即使是一些应用数学能力很强的人，


都没有想到数字居然可以如此开放灵活，一道计算题居然可以用那么

多方法解决。在数学活动中，如果将这种认识与可视化结合在一起，


那么数学的魅力和对人的吸引力将会更大。




我曾经用一道与18×5相似的题目去问中学生、斯坦福大学的学生和一

些公司的首席执行官，他们都专心地投入到解决题目的行列中。通过


这件事，我发现人们容易被数学的开放性与灵活性所吸引。数学是一


个需要精确思考的科目，但当精确思考与创新性、灵活性和概念多面

性结合在一起时，人们就可以看到活灵活现的数学。对于一道数学


题，教师可以通过鼓励学生从多个视角剖析和寻找多种解决方案来制


造一个充满活力的数学课堂。在课堂上，教师一定要注意课堂规范，

让学生们听取并尊重彼此的想法与观点。在第七章，我将介绍这方面

的教学策略。当学生们学会了聆听和尊重他人，他们在分享不同解决


方案时的表现会让你眼前一亮哦。




案例二：可视化的力量





这个案例来自于一个中学的暑期班。这个中学位于旧金山湾区，暑期


班是专门为数学成绩不好的学生开办的，我和我的研究生负责教授四


个班中的一个班。我们决定把代数作为教学重点，但我们的代数教学


不是训练学生解方程，而是以问题解决工具的视角教授代数。这些学

生都刚刚结束六年级或者七年级的学习，而且大部分人都讨厌数学。


他们当中大约有一半的人，要么数学成绩特别差，要么不及格 。



在为暑期班设计课程时，我们集合了各种资源，参考了鲁斯·帕克关于


设计数学题的书，以及两个来自英国的课程体系——初中个性化数学


课程（Secondary Mathematics Individualized Llearning


Experience，简称SMILE）和新起点课程（Point of Departure）。

让整个课堂气氛兴奋活跃起来的一个问题来自鲁斯·帕克，这个问题是


让学生们找到示例5.1中方块排列的变化规律，然后计算出第100个示


例图中的方块数量是多少。



在实际教学中，我们邀请学生们组成小组来讨论示例5.1中的问题。学


习小组有时是教师指定，有时是学生们自由组合。一天，我注意到一

个有趣的小组，这个小组的成员是我们班上最调皮的三个男孩。在暑

期班开始前，这三个男孩并不认识，但在暑期班开始的第一个周，他


们不但自己不学习，还干扰其他同学学习。当其他学生在黑板上讲解


数学时，他们就大喊大叫，即使不大喊大叫也是坐在一起闲聊。小组

成员乔治（Jorge）的数学成绩不及格，卡洛斯（Carlos）的成绩很


差，不过，卢克（Luke）的成绩要好一些。但当我们把示例5.1中的


问题布置给大家后，这三个男孩的行为举止完全变了。他们连续70分


钟没有停下过思考，没有被分散注意力，也没有放弃解答。即使有些

女孩过来用铅笔戳他们，他们也只是换了一张桌子而已。他们对这个


问题的专注程度真是令人难以置信。




示例5.1 形状变化问题



你知道下面图形的形状是怎么变化的吗？


















本题源自鲁斯·帕克MEC课程中的一个任务



我们在暑期班教课的过程都被录了下来，当我们观察这三个男孩解决


问题时，我们听到了他们对数字变化规律、规律可视化以及结论一般


化的讨论。示例5.1中的问题能够如此吸引人的原因之一是我们对这个

问题进行了调整，而且这种调整可以运用到任何数学题上。当教师把

示例5.1中的问题布置给学生时，一般情况下，他们会引导学生找到第


100个图中方块的数量，然后最终算出第n个图中方块的数量。




但我们的方式不一样。在学生们进入小组讨论之前，我们会先让他们

独立思考每个示例图中方块变化的规律。我们鼓励他们从图形变化的


角度进行思考，而不是从数字变化的角度思考，然后让他们把变化规


律画出来。这三个男孩得到的图形变换规律是不一样的。卢克与乔治


认为后面的图形是在前面图形的底部加入一排方块形成的。这种想法

后来被全班同学称之为“保龄球方法”，因为新加入的这些方块就像保


龄球槽里新加入的一排保龄球一样。卡洛斯则认为后面的图形是在前


面图形的每列上面添加一个方块的结果。这种想法后来被全班同学称

之为“雨滴法”，因为这些新添加的方块就像从天上落下来的雨滴一样


（如图5.2）。

图5.2 学生们对图形变化规律的诠释



这三个男孩经过单独思考之后，他们把自己对图形变化规律的想法分


享给另外两个人。让我印象深刻的是，他们在数形结合的过程中，不


但验证了自己的想法，把自己的想法解释给别人听，还尝试着用别人

的方法来解决这道题。他们被这道题深深吸引，凭借着对图形变化的


认识，他们努力地想要找出第100个示例图形的样子。他们要么相互


讨论，要么背靠着桌子思考，要么用笔指向图纸说着什么。这就是解


决数学题的典型状态，他们迂回前进，虽然有时会犯些错误，但最终

离正确答案越来越近 。他们尝试不同的路径去寻找答案，在数学的疆


域里自由探索。



我曾经把这三个男孩一起解决问题的视频给很多教师看，这三个男孩


的专注、持之以恒和高水平的数学对话给所有教师留下了深刻印象。


教师都知道，上暑期学习班的学生能够表现出解决问题时的持之以恒


与讨论问题时的相互尊重是非常少见的，所以，他们很好奇我们是怎

么把学生的潜力调动出来的。他们知道很多学生，尤其是数学成绩不


好的学生，在遇到困难或者不能立刻解出问题答案时很容易就放弃


了，但这种轻易放弃的状况在我们的课堂上没有发生。当他们在解决

问题的过程中卡住时就看看图表，然后尝试不同的方法或者路径，虽


然有很多尝试都是错误的，但这些尝试最终促使他们找到了正确的解


决方法。

在教师们看完视频之后，我问他们，在男孩解题互动的过程中，哪些

细节可以帮助我们更好的调动学生的耐性与参与热情。下面是可用于


提高所有学生数学学习参与度的建议：




（1）问题难度适宜。这三个男孩都可以从某种程度上进行答题，但把

整个问题解决还是有一定的挑战性。示例5.1题目的难度对他们的思维


水平来说刚刚好。要找到适合所有学生的数学题几乎不可能，但如果


我们把题目调整为一个开放性的、延展性比较强的题目，也就是我们


所说的“由浅入深”类型的题目，那么所有学生都有机会参与到这道题

的解决中。我们说示例5.1中的题目“浅”，是因为所有学生都可以看出


图形的变化规律，但我们也说它“深”，是因为要表示出第n个示例图中


方块的数量（n+1）2需要使用二次函数。当我们邀请孩子们从图形的

视角考虑示例5.1中的题目时，我们就把这道题的门槛放得更低了。不


过，我会在第七章给大家解释，放低题目的门槛不只是为了让更多的


学生参与进来。



（2）这些男孩把示例5.1的题目看成一个智力游戏。他们对答案很好


奇，所以他们想找到这道题的答案。这个题目虽然不是他们实际生活


中遇到的问题，但却深深地吸引了他们。当解决一个抽象的数学题需

要开放性思维和联想时，数学的力量就展现了出来。




（3）从图形的视角思考，让这些男孩更容易理解方块的变化规律。因


为他们从图形的视角理解了方块变化的规律，所以他们可以理解这道

题最终以（n+1）2结束。他们之所以能够自信地寻求一个复杂的解决

方案也是因为这个原因。




（4）这些男孩自己发现了图形方块的变化规律，而且他们的解题方法


也是合理的，所有这些成就都让他们倍受鼓舞。所以他们渴望将自己

的想法分享给别人，也渴望在解题过程中尝试别人的方法。




（5）教师鼓励学生勇于提出自己的观点，不要害怕犯错误。所以，即


使这些男孩在解决问题的过程中卡住，他们也可以大胆地提出新的方

法，不管方法是对的还是错的，从而保证解题过程可以继续。




（6）我们叮嘱学生要尊重他人的想法与观点。这样做是因为我们重视


每个人的想法，而不是某些只能提供标准解题流程的学生的想法。更

是因为我们看重学生从不同视角诠释问题和进行联想的能力。




（7）学生们在解题过程中使用的是他们自己的方法，而不是照搬代数


书上的某个方法。也是因为这个原因，他们对这道题更感兴趣，也愿

意投入更多的精力。




（8）团队合作。因为这些男孩是一起合作的，所以他们的解决方案是


基于他们共同的讨论，而且这样可以让他们更好的分享数学给他们带

来的快乐。

（9）这些男孩所做的事情是不同的。在视频中可以看到，每个男孩都

会提出不一样的想法。数学能力强一些的男孩会不停地提出一些猜


想，这一点在解题过程停滞不前时非常有用。正是这些男孩们多样性


的思考最终让他们找到了题目的解决方案。



通常情况下，这种探索规律变化的题目都是以数字型的题目呈现给学


生，例如，我们可能先问“第100个示例图中有多少个方块”，然后再


问“第n个示例图中有多少方块”，但我们应该引导学生从图形的视角来


理解图中方块的变化规律。实际上，我们这样做就已经完全改变了学

生的学习方式。人们对图中方块变化规律的认识可以说是各式各样，


如图5.3～图5.10所示。如果我们不引导学生以图形的视角来思考问


题，那么他们将失去深刻理解这道题的绝佳机会。图5.3～图5.10是我

所认识的教师与学生提供的一些见解，在图中我们还可以看到他们为


自己的规律取的名字。



















图5.3 雨滴法——新添加的方块就像从天上落下来的雨滴一样

图5.4 保龄球法——新添加的方块就像新加入到球槽的保龄球一样



















图5.5 火山法——中间一列增加的方块让这一列越来越高，而其他列

增加的方块就像从火山口（中间一列）喷出的岩浆。



















图5.6 红海分离法——中间的一列就像红海，两边的列就像红海从两


侧分别流入地中海和亚丁湾一样

图5.7 相似三角形法——每个图形中的方块可以通过相似三角形的形


式表示出来


















图5.8 斜切法——把每个图形中的方块放在对角线上


















图5.9 “天堂阶梯被堵了”法——来自Wayne's World

图5.10 正方形法——这些方块每次都可以被重组为一个正方形




最近我把这个题目给了一组高中数学教师，他们没有从图形的角度去

理解方块规律的变化，而是直接给出了如下一组数：





























当我询问这些教师，为什么方块的数量以平方的形式增加时，他们的


回答是不知道。但因为这个数组，我们可以直接看到一个平方函数：


方块的数量就像一个边长为n+1的正方形的面积，其中n代表示例图序

数（如图5.11）。

图5.11 正方形法2



如果我们不通过图形的视角让学生理解方块数量的变化，那么他们就


无法用函数的视角去理解方块数量的变化。学生们在学习代数时通常


不知道“n”代表什么，而代数对他们而言就是一些抽象符号的集合。我


们暑期班上的学生知道“n”代表什么，因为他们曾亲手将它画出来。他

们知道为什么方块数量以平方的形式增加，也知道为什么第n个示例图


中方块的数量是（n+1）2。他们最终得到的代数表达式对他们来说也


是有实际意义的。另外，我们暑期班的学生认为他们在解决问题时不

是在寻找一个标准答案，而是探索使用不同的方法，并且运用自己的


想法与观点解决问题。在本章的最后，我会介绍如何运用示例5.1中问


题的特点来创造出更多可提高学生参与度和思考深度的数学题。




案例三：讲解数学方法和知识的最佳时机

当我把开放性的、探究式的数学题分享给数学教师时，比如第二个案

例中的方块变化问题，他们经常会问这样的问题：“我知道这些题目可


以提高学生的参与度，可以引发高质量的数学讨论，但是学生们如何


学习新的数学知识呢，比如三角函数？或者他们如何学习因式分解？

他们不可能自己去发现这些知识。”这是一个合理的问题，而且我们也


有相关的研究去解决这个问题。真正的数学讨论需要学生运用数学方


法和概念去解决问题，我们也的确需要时间让教师把新的数学方法和


概念传授给学生。在大部分的数学课堂上，教师都在按部就班地把数

学方法和概念传授给学生，然后通过课本上的习题进行练习。但在教


学质量更高的课堂上，学生们不只是做一些简单的练习题，而是用所


学的方法和概念解决实际问题。但在这个过程中教学顺序没有改变：

教师先讲，学生再用。




在一项重要的研究中，研究人员对三种教学方法进行了比较 。第一种


教学方法也是美国通用的教学方法：教师先教授方法，然后学生用这


个方法来解决问题。第二种教学方法是，学生通过解决问题来探索发

现这些方法。第三种教学方法则是将第一种教学方法的顺序颠倒过


来，先给学生问题让他们探索思考，然后再介绍必要的数学方法。



研究结果显示，第三种教学方法培养出来的学生数学能力最高，表现


也最优秀。研究人员发现，当我们给学生一个他们不知道如何解答的


问题时，他们便得以对问题进行各种探索，他们会产生极大的好奇

心，而且他们的大脑也更渴望学习新知识，所以如果这个时候教授学

生新的数学方法和概念，他们更愿意全身心地投入学习。研究人员把


他们的研究结果写成一篇名为A Time to Telling（《传授数学知识的


最佳时机》）的文章进行发表，而且他们表示，关键问题不是“要不要

传授数学方法”，而是“何时传授最好”，而他们的研究结果显示，最好


的传授时间就是在学生充分了解问题之后。




上面提到的第三种教学方法如何在课堂上实行？教师应该给学生布置


什么样的问题他们才不会感到沮丧？为了描述第三种教学方法如何实

践，我需要给大家介绍下面两个不同的教学案例。




第一个教学案例来自我在英国的一项研究。这项研究显示，通过基于

项目教学模式（以学生为中心）学习数学的学生，无论是在数学标准


化测试 ，还是在以后的生活中 ，他们的数学水平都要比通过传统模式


学习数学的学生高很多。在采用基于项目教学模式的学校中，我曾观


摩一群13岁的孩子解决一个实际问题，这个问题是：一个农民如何用

36根长1米的木棍围出最大的面积？学生们便开始探索各种方法来找


这个最大面积。他们尝试了各种形状，比如正方形、矩形和三角形，


并把相应的图形面积算出来。有两个学生意识到面积最大的形状应该

是由这36根木棍围成的三十六边形，然后他们便开始计算这个图形的


面积（如图5.12）。

图5.12 由36根木棍围成的三十六边形面积最大



他们把这个三十六边形分割成36个三角形，每个三角形的底边长度为


1米，顶角度数为10度（如图5.13）。















图5.13 底边长为1米，顶角为10度的一个三角形

但只知道三角形的底边长与顶角度数并不能求出三角形的面积。此

时，教师便把三角函数以及如何通过正切函数求出三角形高的方法教


授给了学生。因为教师讲解的三角函数可以帮助他们解决这个面积问


题，所以他们极其渴望学习这些内容。我看到一个男孩兴高采烈地教

他们组的成员如何使用正切函数，而且还告诉小组成员他从教师那里


学到了很酷的东西。




此时，我想起一周前我在一所采用传统教学模式的学校看到的一幕：


教师直接把三角函数教授给学生，然后让他们做很多的习题来练习。

在这种情况下，学生们认为三角函数很无趣，而且和他们的生活没有


半点儿关系。但在采用基于项目教学模式的学校，学生们则渴望学习


三角函数，而且认为三角函数很酷、很有用。这种强大的学习动力也

就意味着他们学习地更加深入，这也是学生能够在考试以及生活中获


得成功的主要原因之一。




第二个案例来自我在美国所做的一项研究。这项研究和我在英国所做

的研究类似，此项研究的结果也显示，如果我们从概念的角度教授数


学，并注重学生的联想能力与沟通能力，那么他们学习高等数学也会


易如反掌 。关于这两个案例的详细内容，大家可以参考我的另一本书

《这才是数学》。在美国的这项研究的地点是Railside中学。我曾在


这所高中观摩一堂微积分入门课，这堂课的教师劳拉·埃文斯（Laura


Evans）正准备教授学生们积分，并用定积分算出一个由曲线和坐标

轴围成的区域的面积。但她并没有直接教授他们计算定积分的方法，

而是布置给学生一个需要定积分知识的题目，让他们考虑如何解决这


道题，这道题要求计算出一个柠檬的体积。劳拉为每一个小组提供了


一个柠檬和一把水果刀，让他们尝试着去寻找可能的解决方法（如图

5.14）。














































图5.14 柠檬的体积是多少？



经过小组讨论后，各个小组的同学走上讲台，兴奋地分享他们的想


法。有一组学生决定将柠檬放进一个盛水的容器中，然后计算柠檬的


排水量；另一组则认为应该对柠檬进行仔细地测量；第三组学生认为

应该把柠檬切成薄片，然后把每片看成是一个二维的截面，这种方法

已经非常接近微积分中计算曲线围成面积的方法（如图5.15）。




















































图5.15 通过积分截面面积计算柠檬的体积




当教师把定积分算面积的方法介绍给学生时，他们都非常兴奋，并且

把这种方法看作是解决实际问题强有力的工具。




在这两个案例中，教学顺序都是传统教学顺序的颠倒。学生们都是在


对问题进行了思考和探索后产生了对新方法和新知识的需求，然后他

们才学习了三角函数和极限。教师只有在学生需要时才把方法教授给

学生，而不是一开始就教方法，然后用大量的习题训练。这种教学顺


序不但可以让学生对学习的内容更感兴趣，还能让他们加深对方法和


知识的理解。



在第四章我曾提到，塞巴斯蒂安·特龙说，数学直觉在他解决问题时起


到了至关重要的作用。他说，只有当他直觉上认为一个解决方案合理


时，他才考虑采用。数学家们也强调了直觉在他们日常工作中的重要


性。莱昂内·伯顿（Leone Burton）曾采访过70多位数学家，有58位

认为数学直觉在他们的研究工作中起到了关键作用 。赫什（Hersh）


在研究数学著作与论文时也得到了类似的结论：“数学活动中，直觉随


处可见” 。



但对数学活动如此重要的直觉为何在数学课堂上是缺失的？大部分孩


子认为，他们的数学活动中是不允许使用直觉的。事实上，当我们让


学生思考如何求出一个柠檬的体积时，我们是在引导他们对这个问题

进行直觉思考。很多数学题都可以为学生提供直觉思考的机会：我们


在告诉孩子们三角形面积公式之前，可以给他们提供一些矩形和三角


形，让他们先思考如何求出三角形的面积；在告诉学生如何计算一组

数据的均值、众数和极差之前，我们可以为学生提供两组数据，并让


他们思考如何找出这两组数据的不同；在告诉孩子们圆周率之前，我


们可以先让他们对圆进行探索。

在这种情形下，当学生学习新方法时，他们会学得更深入，更具体。

让学生进行直觉思考的益处有很多。第一，他们对一个方法以及数学


这个科目会有更广阔的认识。第二，他们会意识到在解决问题过程中


需自己动脑进行思考、意义构建和推理。所以他们会认为他们的任务

不是重复使用一个方法进行解题，而是思考与验证每种方法的可行


性。第三，就像施瓦茨和布兰斯福德的研究结果所显示的，学生在直


觉思考之后更渴望学习新方法和新知识 。




案例四：第一次发现数学知识之间的联系（帕斯



卡三角形）





第四个案例来自我所观摩的一个专业研讨会。这个研讨会的负责人是


鲁思·帕克，她是一位了不起的教育工作者，她开办的研讨会为数学教


师重新认识与理解数学提供了一个机会。我选择这个案例是因为我目


睹了太多类似于这个研讨会中的场景：一个小学数学教师，伊丽莎白

（Elizabeth），看到数学内容之间的联系如此强大，竟然喜极而泣。


伊丽莎白和很多数学教师一样，都认为数学就是孤立的解题方法和步


骤的集合，他们不知道数学是一个充满联系的学科。教师因为看到数

学知识之间的强大联系而被感动的场景并不少见。




鲁思的研讨会和我暑期班的教学相似，她也把重点放在了代数上，而


且她也为数学教师提供了很多寻找变化规律的问题。我观摩当天，鲁

思挑选的题目就是一个“由浅入深”的问题，虽然入门很容易，但最终

结论却很复杂。这道题也可以让在场的教师去探索指数增长与负指数


的概念。




伊丽莎白和其他教师的一个任务是，用古氏积木排出不同长度的排

列，并计算每种长度不同排列的个数。有些教师从第10号色棒（其长


度可看作10个单位长度，也是古氏积木中最长的一根棒）开始，但计


算长度为10单位长度的可能排列的个数（实际上有1024种不同的排


列）非常困难。鲁思知道，她作为一个教师的职责不是在她的学员遇

到困难时就去解救，而是先让他们自己深入思考尝试不同的方法。经


过一番尝试后，有些数学教师记起来他们在以前的研讨会上学习的策


略，从最简单的情况开始，然后寻找规律。于是，这些教师从排列长

度最短的古氏积木开始，然后逐次增加长度，最后他们从图形的视角


和数字视角发现了排列个数的规律。（如示例5.2）




示例5.2 古氏积木不同长度可能排列的个数问题



用古氏积木排列出长度为1个单位到10个单位的排列，求出每一种长


度可能的不同排列的个数。比如长度为3个单位的不同排列有4种，如


下图所示：

此时鲁思把帕斯卡三角形（示例5.3）介绍给了各位教师，并让他们寻


找古氏积木排列问题与帕斯卡三角形之间的关系（如图5.16）。



示例5.3 帕斯卡三角形




如下图所示：



图5.16 古氏积木排列形成的帕斯卡三角形




经过一番挣扎思考之后，教师们终于发现了两者之间的联系：每种长


度可能的排列数都包含在帕斯卡三角形内。也是在这一刻，伊丽莎白

因为找到了两者的联系而喜极而泣。对于那些一直认为数学就是一系


列孤立的解题流程的教师，能有机会得以从图形与数字的角度去探索

规律问题，最终发现并理解其中的联系，这样的经历对他们的影响是

极大的。




经过这次任务，伊丽莎白意识到自己也能够发现数学知识与方法之间


的联系，而且，从此之后，她与数学的关系彻底改变了，她永远也不

会再认为数学是孤立的解题方法和流程的科目了。一年后，在伊丽莎


白第二次参加鲁思的研讨会时我又见到了她，她向我讲述了她对数学


教学模式的改变以及她在学生眼中看到的对数学的兴奋。



对于伊丽莎白的经历，我曾在不同的孩子和成年人身上看到过多次。


他们对数学强烈的感情与他们探索和理解数学关系的经历有直接的关


系。




案例五：有趣的负空间





第五个案例来自我和斯坦福大学教师的研讨会，这个案例中的问题在


教师中引起了不小的骚动，所以我觉得有必要分享给大家。这个问题


也是关于规律变化的，这个问题包含了一个不寻常的小问题，这个小

问题就是我这个案例的重点。这个问题来自于和我合作的一位教师卡


洛斯·卡巴纳（Carlos Cabana）。示例5.4显示的是他留给学生的问


题。



示例5.4 负空间问题

1. 图100是什么样子？




2. 如果你把这个图形变化规律倒着推，那么图（-1）中有几个方块？


（注意，这里的-1是指图的序数）



3. 图（-1）是什么样子？




这个大问题中的一个小问题是图（-1）中有几个方块，也就是说，我

们需要逆向思考图1、图0和图（-1）是什么样子的。我把问题布置给


教师们后，我发现图（-1）中方块的数量对他们来说很容易回答，而


更有趣、更有挑战性的问题是，图（-1）应该是什么样子？在解决第


三个小问题的过程中，发生了很多有意义的事情。



问题的答案（我不会在这里告诉你）非常难，所以当教师们为解决这


个问题而冥思苦想时，他们的大脑中产生了新的神经突触。因为这个


问题要考虑负平方应该如何用图形表示，这是一个未知的新领域，所

以以图形或者数字形式表示图（-1）的方法和路径也不止一个。有些

教师发现，他们需要考虑使用负空间以及一个方块由正变成负在图形

上如何表示。后来，这些教师兴奋地讨论表示负空间的方法，有的教


师在纸上方块的位置上打洞，表示方块已经从正常空间进入了负空


间。其中一名教师认识到方块数量的变化可以用一个抛物线来表示

（如图5.17）。另外一名教师则问，当图形序号是（-1）时，这条抛


物线是位于x轴的上方还是下方？
































图5.17 抛物线的困境



这个问题让斯坦福大学的教师尤其兴奋，他们都想方设法要把问题解


决。在研讨会结束时，一名教师学员说道，他们体验了数学带给他们


的兴奋，现在他们知道要让学生在数学课堂上经历些什么了。



这种数学上的兴奋是怎么来的呢？最近我把负空间问题在一个研讨会


上布置给了加拿大的优秀教师，他们对这个问题如此着迷以至于我都

无法让他们停下来。他们还经常拿这个事情开玩笑，有人还在微博上


说：“乔·博勒把我们带上了一条探索知识的不归路。”



解决这个问题需要思考负空间，也就是解决问题的人进入了另一个空


间，这的确让人兴奋。这是数学赋予我们自由探索的权利，也是数学

为什么让人兴奋的原因。此外，学生们认为，在解决这个问题时，他


们正在探索未知领域，而不是解答一个教师知道答案的习题，这也极


大地增强了他们的兴奋度。当学生们开始讨论抛物线的走向问题时，


他们可以询问任何问题，他们也认识到，数学是一个开放性的学科，

当发现一个新观点或者新概念时，他们可以自由探索。我们在这里再


一次看到，将问题可视化可以极大地提高学生学习数学的热情。



在思考这些案例对数学题的设计有何指导意义之前，我再介绍一个来


自三年级课堂的案例。




案例六：从数学常识到数学热情






我们在第四章讨论了改变学生学习数学常识模式的重要性。他们不应

该通过死记硬背和限时考试来学习数学常识，这样的学习方式对他们


造成的创伤很大。他们应该通过参与度更高、并且能够激发大脑连接


的方式学习数学常识。为帮助数学教师改变传统的教学模式，我和

Youcubed的同事共同写了一篇名为“Fluency without Fear”的文章


放在我们的网站上，希望更多的教师可以看到。这篇文章造成的影响

完全出乎我们的意料，美国的各大报纸都先后对文章中的主要观点进

行了报道。教师门也在自己的圈子里传播文章中的观点，有些教师还


把学生们享受数学快乐的照片一起传到网上。




事实证明，最重要也是最受欢迎的一个数学活动就是前面章节中提到

的“How close to 100”（离100有多近？）。




一名数学教师在观看了我的视频课程后改变了她的教学模式，这位教


师就是罗丝·安·费尔南德斯（Rose Ann Fernandez）。她是一位三年

级的数学教师，而且在她工作的学校里，40%以上的孩子都来自低收


入家庭。罗丝把网站Youcubed上的七条积极向上的课堂规范（可参考


第九章）贴在黑板上，以便所有的学生都可以看见。罗丝给我分享了

她的学生在参与数学游戏时的热情与兴奋，以及在游戏过程中他们获


得的学习机会（如图5.18）。罗丝是一位思虑周全的教师，她不但为


学生们提供有趣的数学游戏，还会在游戏期间让学生们对游戏进行讨


论。除此之外，她还为完成速度较快的学生提供了额外的活动。



在游戏开始之前，她让学生们思考如何把骰子作为一种数学工具。她


让每一个学生都尝试着去投两枚骰子，并计算得到的两个数的乘积。


然后，她问了学生一个重要的问题：两个数的乘积与面积有什么关

系？学生们对这个问题进行了仔细地思考。最后，罗丝让学生们开始


玩“How close to 100?”这个游戏，并叮嘱他们思考在玩游戏的过程


中学到了什么。对于完成较快的同学，她则为他们提出新的挑战：分

解数字，尝试用不同的表达式表示一个数字。学生们在玩游戏的过程

中非常兴奋，当罗丝让他们用1～5分来给这个数学游戏带给他们的快


乐打分时，95%的学生都给出了最高分5分。