3. 为学生提供反思时间
能够让学生进一步理解所学内容的有效方式就是为他们在课堂上提供
一些反思时间。在每节课的最后，你可以让学生对示例8.4中提出的问
题进行思考。
示例8.4 反思问题
今天我们学习的主要内容是什么？
我今天学会了什么？
我今天想到了哪些好点子？
今天所学的知识在哪些情况下可以使用？
我对今天所学的内容还有什么问题？
通过这堂课的学习，我又有了什么新想法？
4. 开展“信号灯”活动
“信号灯”活动是一种课堂活动，他不但可以让学生对自己的学习进行
反思，还可以为教师的教学提供重要信息。课堂“信号灯”活动的方式
多种多样，但这些活动都会通过使用红色、黄色与绿色的“信号灯”来
表示学生没有理解、部分理解和完全理解了某个内容（如图8.5）。
有些教师会在课堂上为学生分发不同颜色的纸杯，然后让学生把纸杯
放在桌子上。需要教师停下复习一下前面所讲内容的学生要把红色纸
杯放在桌子上，需要教师放慢讲课速度的学生要把黄色纸杯放在桌子
上，掌握了教师所讲内容的学生要把绿色纸杯放在桌子上。
一开始，有些教师发现学生不想把自己需要的杯子放在桌子上，但当
他们发现这样做对他们有益时，他们便非常乐意这么做了。有些教师
会让桌子上摆放绿色纸杯的学生为所有同学讲解当前学习的内容。因
为“信号灯”活动可以及时地向教师反馈每个学生的学习状况，教师也
可及时对自己的教学活动作出调整，所以这个活动对教师的帮助也非
常大。
图8.5 交通“信号灯”
5. 对学生进行“拼图式”分组
在“拼图式”分组中，我们先把能力强项相同的学生放在一起，让他们
成为这一方面的专家。然后再把这些小组打乱形成新的小组，而且新
小组中的每一位成员都是不同方面的专家，这样小组中的每个人都可
以教授其他人一些新知识。一般情况下，每个小组中有4名成员就可以
了。比如说，一个32人的班级可分成8个小组（如图8.6）。
图8.6 “拼图式”分组
另一个“拼图式”分组的例子是关于代数学习的：通过“拼图式”分组鼓
励学生理解代数中图形、数据表、方程与规律之间的关系（示例8.5～
8.8）。这个活动要求每组的学生制作一张海报，在海报上通过图形、
数据与方程来表示他们发现的图形变化规律。在每个小组的成员都能
够清晰地解释他们的发现，也就是成为专家后，教师让各小组之间进
行成员互换，然后每个小组的新进成员把自己掌握的知识与其他成员
分享。最后，所有新形成的小组对两个小组工作成果的不同与相似之
处进行讨论。
当学生们都成为了专家，并且能够承担为其他学生讲解的责任时，那
么他们对新知识的理解将达到一个更高的水平。
示例8.5 “拼图式”分组——任务A
示例8.6 “拼图式”分组——任务B
示例8.7 “拼图式”分组——任务C
示例8.8 “拼图式”分组——任务D
6. 让学生填写“退场票”
这里的“退场票”是教师在一节课结束时发给学生的一张纸，不过学生
要在这张纸上写下这节课所学的内容（示例8.9）。在学生离开教室
前，他们需要回答“退场票”上的问题，并把“退场票”交给老师。这个
活动既为学生提供了再次反思的机会，也为教师准备下一次课提供了
有价值的信息。
示例8.9 退场票
7. 让学生填写网上问卷
我见过很多教师采用这样一种策略：让学生在课堂上完成网上的问
卷，学生填写完毕后，这些问卷就可以直接在教师的电脑上查看。教
师可以通过问卷上的问题让学生对课堂教学做出评价，或者提出自己
的想法。那些平时不爱在课堂上发言的学生更愿意通过这种途径分享
他们的想法。问卷上可设置的内容很多，比如让学生对自己的学习进
行反思，对某件事情进行投票，或者通过红黄绿信号（对其他学生不
可见）告诉教师对本堂课内容的掌握情况。
8. 让学生画出来
大脑科学研究告诉我们，当我们的学习能够调动大脑中的多条路径
时，我们的学习是最有效的，这个发现对我们的课堂教学意义重大。
对于数学学习，尤其是抽象的数学学习，我们可以通过使用图形、数
学直觉以及数感来加强学生的学习。将想法画出来就是一种很有效的
方式（如图8.7）。
图8.7 数学涂鸦
在帮助学生对学习内容进行反思时，除了让他们把自己的理解用文字
写下来，我们也可以让他们把自己的理解以草图、漫画或者涂鸦的形
式表现出来。如果你想自己或者让学生观看一些非常有趣的数学涂
鸦，我推荐一些阿特（Vy Hart）的涂鸦视频，详情请登录：
https://www.youtube.com/watch?
v=ahXIMUkSXX0&list=PLF7CBA45A EBAD18B8&index=8
这个视频是关于螺旋线与斐波那契数列的。
https://www.youtube.com/watch?
v=o6KlpIWhbcw&list=PLFCBA45AEB AD18b8&index=7
这个视频是关于三角形的。
9. 让学生出题
这个策略就是让学生自己设计数学题，或者为其他学生写评语。让学
生自己设计问题可以让他们把注意力放在重要的问题上，而且还能发
挥他们的创造力。当然，学生们也非常喜欢为其他同学做出评价。
诊断性评价
前面所分享的策略都可以完成学习评价机制的前两个部分，也就是让
学生知道自己当前的学习状况和下一步的学习目标。
毋庸置疑，学习评价机制的前两部分是非常重要的，但学习评价机制
的第三部分能为学生学习提供的帮助是其他任何方法都无法匹敌的。
学习评价机制的第三部分是告诉学生如何实现下一步的学习目标。在
这个问题上，最有效的方法莫过于教师为学生的学习情况做出诊断性
的评价。如果一位教师能够将自己的知识、想法以及学生在学习方面
的反馈以积极向上的方式传递给学生，那么这将是这位教师送给学生
的最好礼物。
埃伦·克鲁斯（Ellen Crews）是一名来自维斯塔学区的数学教师。在
我开办的教师专业技能研讨会上，我曾经推荐教师放弃使用评分机
制，采用诊断性评价机制，并把诊断性评价的优势介绍给埃伦以及其
他数学教师。埃伦是一位非常优秀勤奋的教师，但她工作的学校却被
加利福尼亚州的教育部门打上了“有待提高”的标签。这所学校的学生
来自各个种族，其中90%的学生是拉美裔学生，剩下的10%也是来自
各个不同种族的学生；43%的学生英语不过关，而且86%的学生都来
自贫困家庭。埃伦告诉我，她刚到这所学校工作时，这里的管理人员
非常重视考试与成绩。学校各种测试的题目与标准测试的题目相似，
而且也都是采用选择题的形式。这所学校的举措看起来的确是想要提
高，而且教师们也花费了大量的时间研究测试结果。学校里的每个学
生也被打上不同颜色的标签，教师们也被告知，蓝色标签的学生可以
通过州标准测试，但红色标签学生通过测试的可能性很小。教师们还
被告知，他们应该把教学重点放在绿色标签与黄色标签的学生上，因
为提高他们的成绩可以最大幅度地提高整个学校的成绩。
“学校致力于提高教学水平。”听起来不错，但这所学校采取的措施
（很多学校都这样做）不是关注每个学生的个体需求，而是只关注能
够提高学校总体成绩的学生。这所学校先通过分数对学生打颜色标
签，然后再根据颜色标签决定哪些学生可以被忽略，哪些学生可以得
到关注。像这样把孩子们当作统计数字来处理的学校在美国比比皆
是，而且这些学校还往往打着“提高教学水平”的口号。
在这个绩效文化弥漫的时代，埃伦决定对她的学生进行一次调查。经
过调查，她发现学生对考试的焦虑程度很高。埃伦想要改变这种现
状。她做的第一件事就是取消章节测试，通过一些小的文字性的评价
对学生的学习情况进行反馈。在平时的教学活动中，她也尽量不使
用“考试”或者“小测验”这样的词汇，她还让学生把她的评价活动看
成“展示你所学”的机会。她不再采用选择题，而是让学生写出解答问
题的过程。埃伦也不再让学生对学区的基准测试做专门的准备，为了
不让学生产生焦虑情绪，她也不会提前告诉学生要进行测试，而是对
学生说：“只要尽力就可以了，其他的什么也不用担心。”虽然埃伦没
有让学生对基准测试做任何准备，但学生的分数并没有下滑，而且他
们的焦虑程度也降低了。更重要的是，埃伦告诉我，学生们开始喜欢
上数学课了。
但埃伦并没有停滞不前。在她展开改革的第二年，她和她的八年级同
事安妮特·威尔逊（Annette Wilson）与安杰拉·汤森（Angela
Townsend）决定不再使用分数对学生进行评价，而是使用一张表
（示例8.10）对学生进行评价，而且她们统一将新的评价机制命名
为“秀出你所能”。当她们不再告知学生们分数，而是诊断性的评价
后，学生们也开始阅读和理解这些反馈，而且偶尔还会提出问题。如
果学生想知道自己的分数，埃伦也会告诉他。埃伦告诉我，因为她要
定期为110名学生做出诊断性评价，所以她一开始在这方面投入了大
量的时间。但她后来学会了只在对学生帮助最大的时刻给出诊断性评
价。这是解决时间问题的最完美方案。对学生给出诊断性评价的确比
给出分数消耗更多的时间，但这样对学生的帮助会更大。在最佳的时
机给出准确的诊断性评价是教师送给学生的无价之宝，但这样的评价
也没有必要每天为学生提供。
示例8.10 自我评价——秀出你所能
埃伦告诉我，在她所有的学生中，越来越多的人开始努力学习数学，
而这正是她想要的结果。埃伦还告诉我，她的教学水平能够提高也要
归功于她们设计的评价表，她通过分析评价表中的信息来准备相应的
教学活动。在接下来的几年中，因为埃伦在教学模式上的改变，学生
的数学成绩都有了明显的提高，而且代数的不及格率也降低了一半。
对于评分的一些建议
因为学区或者学校管理者的要求，很多教师必须要对学生进行评分，
但他们一般也只要求教师在课程结束时给出评分。因为学生在学习过
程中最需要知道如何更好地进行学习，所以教师可以在学习过程中为
他们提供形成性评价。如果你必须要对学生进行评分，下面这个列表
可以为你提供一些建议，这些建议不但可以让学生得到更公平的分
数，还能让教师在评分过程中为学生传递成长式思维的信息：
1. 允许学生刷新自己的分数。
这条建议可以为学生传递成长式思维信息，同时也告诉学生，你关注
的是他们的学习过程，而不仅仅是成绩。有些教师告诉我，这种做法
不公平，因为学生可能为了提高成绩而努力学习。但我们应该欣赏他
们的努力精神，而努力精神正是学习的核心。
2. 和学校的管理者，而不是学生分享他们的分数信息。
如果你的学校要求你必须在课程结束前给学生一个分数，但这并不意
味着你必须把分数告诉学生。你可以为学生提供口头的或者书面的诊
断性报告，让他们知道自己的努力方向。
3. 采用多元的评分方式。
很多教师了解数学这门学科的多元性，也在课堂上重视学生多种数学
能力的培养，但却通过狭隘的传统考试来评价学生。曾经和我一起工
作的优秀教师，虽然他们也需要对学生评分，但他们使用的不是考试
成绩，而是通过记录学生是否在课堂上提问问题、是否通过多种方式
表达数学题、是否对问题进行辩证与推理等为学生评分。也就是说，
这些教师采用的是多元的评分方式。如果我们能够以多元评分方法为
学生评分，那么在数学上获得成功的学生会越来越多。
4. 不要使用百分制。
在众多的评分形式中，最不公平、最糟糕的一种评分方式就是只通过
很少几次的作业来确定学生的分数。一般情况下，每次作业的分数满
分为100分，如果作业没有完成，或者丢失，或者做得不对，那么这
次作业就记0分。道格拉斯·里夫斯（Douglas Reeves）的研究表
明，这样的评分方式完全不符合逻辑。一般情况下，“A”“B”“C”“D”四
个等级间的分数差距都是10分，但“D”与“F”的分数差却是60分。这也
就意味着，如果某个学生一次作业没有完成，那么他的分数就有可能
从“A”变成“D”。里夫斯的建议是使用四分制（A=4，B=3，C=2，
D=1，F=0）来代替百分制（A=90+，B=81-90，C=71-80
D=61-70，F=0）。
5. 为学生打分时不要参考以前的分数。
很多教师在评分时经常用上次课的分数来评价学生当前的表现。
学生在一节课上获得的分数应该是学生在这堂课上学习过程以及成果
的体现，而不是其他课上学生的表现。评分项的内容也只能包括目前
课堂上的作业与任务。
6. 为学生打分时不要包含家庭作业的分数。
我在第六章提到，家庭作业是目前教育中最不平等的做法之一。对学
生的家庭作业评分不但会增加学生的压力，还会增大学生遭到不平等
待遇的概率。
结论
当教师对学生进行评价时，教师面对的是一个巨大的机遇：为学生提
供他们学习情况的信息（而非最终的成绩信息），这种信息不但可以
加快学生在学习上获得成功的速度，还能为学生提供关于数学与学习
成长式思维的信息。我们目前掌握了大量的研究证据，这些研究证据
都显示，用学习评价机制代替传统的评分模式，可以对学生的成绩、
自信心、学习动力以及将来的学习路径产生巨大的正面影响。在最后
一章，我们将一起回顾创建和维护成长式思维数学课堂的所有途径与
方法。
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第九章 为成长式思维而教授数学
我写这本书的目的是想为各位教师和家长提供一系列的教育观念，这
些教育观念不仅可以让学生看到数学是一门开放的、成长型与学习型
的科目，还能让他们认识到自己是一名强大的学习者。在这一章，我
将会给大家介绍一整套用于创建与维护成长式数学课堂的教学观念与
方法。其实，这一章是对前面所有章节提到的教学观念与方法的总
结，并为大家提供创建成长式数学课堂的具体做法。
让所有的学生获得鼓励
图9.1 鼓励所有的数学学习者
建立课堂规范
当学生来到你的课堂，他们并不知道你对他们的期望是什么。所以，
课程刚开始的前几天甚至上课前的前几个小时都是建立课堂规范的最
佳时机。我在上课前都会告诉我的学生：
• 我相信你们中的每一个人，我不认为某些人具备特殊的“数学大
脑”或者“数学基因”，我希望你们每一个人的学习都能达到最高水平。
• 我喜欢学生犯错。因为每一次犯错，你们的大脑都会成长。
• 出错并不意味着你没有学习数学的能力，而且它们是任何学习中不
可缺少的部分。
• 我不看重快速解题的能力，我看重的是可以深入思考、创建有趣的
解题方法和多种表现方式的能力。
• 我喜欢学生提出问题，而且我会把他们的问题写在海报上，然后挂
在墙上，让全班学生思考。
然而，我的这些规范都是一些文字，如果学生看不到教师将这些文字
转化为实际行动，那么这些规范也就毫无意义。
我们在Youcubed上分享了七条最重要的课堂规范，我也在本书中详细
的介绍了如何在课堂上建立这些规范。有些教师发现，在课程开始时
就把这些课堂规范贴在教室的墙上效果非常不错（示例9.1）。
示例9.1 数学课堂规范
1. 每个人的数学学习都可以达到最高水平。
相信自己。只要努力，每个人的数学学习都可以达到最高水平。
2. 错误是宝贵的。
犯错会让你的大脑成长。经历犯错与挣扎是你的财富。
3. 提问问题非常重要。
多提问问题，多回答问题。经常问自己为什么。
4. 数学关乎创新性与意义构建。
数学是一门具有创新性的学科。也就是说，它的核心内容是探索规
律、将规律可视化以及建立解决方案，并且这些内容都是可供大家讨
论与评论的。
5. 数学关乎联系与沟通。
数学是一门具有联系性的学科，而且它还是一种沟通方式。我们可以
用文字、图片、图形、方程等表示数学，而且还可以把它们联系在一
起。可以采用涂色的方法将它们联系在一起哦！
6. 深度比速度更重要。
顶级数学家洛朗·施瓦茨就思考地很慢、很深。
7. 数学课只关乎学习过程，而非最终成绩。
除了自己制定的课堂规范，当学生以小组形式进行学习时，让他们说
出自己想要的小组学习规范是很有必要的。在学生进入小组学习模式
之前，我会让他们以小组为单位说出他们欣赏的行为与讨厌的行为，
然后把这些行为做成海报贴在墙上。这个活动值得每一位教师尝试。
因为通过共同讨论的方式建立起来的规范会得到大家的认可，如果学
生出现不符合小组规范的行为，我们可以用这个规范去约束他。
我在第七章提到，Railside高中的教师在提高小组学习的效果方面做
了很多细致的工作。他们专门教学生如何聆听他人观点、尊重他人并
为小组的工作添砖加瓦。Railside的教师在开学前10个周的教学重点
不是数学，而是小组学习规范与沟通技巧。在这10个周的时间内，学
生们都是以小组的形式学习，教师担心的也不是学生没有掌握某些数
学内容，而是他们没有学会尊重小组的集体工作。通过Railside学生
四年的优秀数学成绩，我们可以看出他们在小组学习方面的成效 。
小组参与度检验
我最喜欢的一个有助于小组学习的策略是让学生参加一个小组参与度
检验，而且这个检验可以在低年级使用，也可以经常性使用。提出复
合教学法概念的科恩（Cohen）与洛唐（Lotan）建议对这个参与度
检验进行打分 。但对参与度检验进行打分不是指对每个小组成员打
分，而是对整个小组打分。当然，我们也不要求一定要对小组参与度
检验打分，但我们要让学生知道，他们之间的沟通交流很重要，而且
你一直在关注他们。我真的特别喜欢这个策略，我曾经把这个策略介
绍给其他教师，后来这些教师都告诉我，这个策略很快改变了他们学
生在小组学习中的行为方式。
如果你想对学生进行一次小组参与度检验，你要先选择一道数学题，
然后告诉他们你看重的小组工作形式与内容。比如来自Railside高中
教师的这个例子：示例9.2与示例9.3。在示例9.2中，我们可以看到
Railside高中教师看重的小组工作内容。示例9.3显示的是可以提高小
组工作质量的成员互动方式。
你可以将示例9.2与示例9.3中的内容做成海报贴在墙上。向学生展示
了你的要求与目标后，便可以让他们开始工作。当学生们在各自的小
组中工作时，你要在教室中来回走动观察每个小组的情况，并给出评
论。你可以准备一张纸，也可以在黑板上留一片区域，为每个小组进
行打分或者评价。比如对于一个32人的班级，你可以分成八组，每组
四人，你可以采用如下评价表格：
示例9.2 参与度检验——小组工作内容要求
如果你能做到如下要求，你的小组就会获得成功：
• 能够识别并描述问题中的变化规律。
• 能够对自己的想法进行证明并可以用多种形式进行表达。
• 能够找到不同解决方式与不同表达方式之间的联系。
• 能够用文字、箭头、数字和颜色等清晰地表达你们的想法。
• 能够清晰地将你们的想法解释给其他小组成员和教师。
• 能够通过提问问题理解其他小组的想法。
• 能够通过提问问题让自己的小组进行更深入的思考。
• 能够将你们小组的想法表示出来，并且让其他小组明白。
没有人能擅长上面所有的事情，但每个人都有自己擅长的方面。只有
所有小组成员共同努力，你们才能在今天的任务中获得成功。
示例9.3 参与度检验——小组工作目标
在这场参与度检验中，我注重的是：
• 参与小组工作
• 每个人都能自由发言
• 坚持不懈
• 相互倾听
• 相互提问很多问题
• 履行自己的责任
当你在教室内来回走动做记录时，你可以记下你认为有意义的学生的
原话。有些教师采用公开的方式，将评价写在教室前的黑板上。有些
教师则将评论写在纸上，然后将纸贴在白板上。在这堂课结束时，你
的记录应该体现在一张表上，并且要对所有的小组进行打分或者给出
其他形式的反馈。下面这个表是某位教师对每个小组的评价结果：
你的记录不用特别详细，但这些记录要能帮助学生了解到你注重的是
什么，而且还能让他们在和其他学生互动时更专注。我的斯坦福大学
的学生和很多教师都非常喜欢参与度检验这种方法，当我在研讨室内
来回走动时，他们还通过各种滑稽动作表示自己正在参与小组问题的
讨论！学生也可以在参与度检验中获得乐趣，而且也能更清晰地认识
到他们需要做什么才能让小组工作变得更好。
我对参与度检验在促进小组学习方面的效果也非常有信心。那些在采
用小组学习模式时遇到麻烦的教师在使用了参与度检验后都感受到了
学生的变化。几乎一夜之间，学生们就能够提出好的问题并且考虑小
组工作的平等性问题。当学生们可以在一个小组中顺利地工作、尊重
彼此并能提出好的问题时，我们的数学课堂就能变成学生与教师的学
习天堂。
相信所有的学生
作为一名教师，我一直明白教师对学生的信任有多重要。我作为一名
家长，也体会到了教师对学生的信任多重要。当我女儿五岁时，她发
现教师给她布置的作业比其他学生的作业容易，然后她回到家后问我
为什么。当她意识到她的教师认为她没有潜力时，她的潜力真的就无
法发挥出来了。当她的老师认为她的能力有限时，她的自信心完全被
击垮，而且在很长的一段时间内，她都对自己没有信心，形成了僵固
式思维模式。几年后，经过父母与一些优秀教师地努力调整，她已经
完全改变了，而且也热爱学习数学。虽然这位教师从未对我女儿说她
不信任我的女儿，但她的行为已经清楚地表达了这个信息。即使我的
女儿当时只有五岁，但她已经明白那是老师对她的不信任。
我女儿以前读书的小学在二年级时会根据能力水平对学生进行分层教
育，但在了解了一些研究成果与混合小组教学的效果后，他们决定停
止分层教学。在学校的教育改革完成后，校长写信告诉我，学校所有
的数学课堂都发生了巨大的变化，而且全校学生的数学成绩有了显著
提高。当学生分别进入不同的能力小组后，即使小组的名字是“蓝色
组”或者“红色组”这样没有任何额外信息的名字，他们也会认为自己的
能力已成为一个定数。
而我女儿的学校对学生进行分层后，那些成绩不好的学生回家便
说：“所有聪明的孩子都去另一个班学习了。”当学生把分层结果归咎
于自己的学习潜力，那么分层教育传递给他们的信息对他们的危害将
是极大的。作为一个国家，我们首先要做的就是摒弃那些传统的僵固
式的教学方法，并告诉所有学生：他们的学习都可以达到最高水平。
最近，研究人员对数百名学生的英文学习进行了调查 。学生们所写的
短文都会得到教师给出的诊断性反馈，但有一半的同学除了收到教师
的诊断性评价，还额外收到教师的一句话。虽然教师也不知道给哪些
学生留了这句话，而且两个组的学生除了评语中多了一句话外也没有
任何不同之处，但一年后，收到额外评语学生的成绩明显比没有收到
额外评语学生的成绩高。也许大家觉得难以置信，简单的一句话怎么
能改变一个学生的学习轨迹？大家知道这句额外的话是什么吗？它就
是：
“我所以给你这样的评价是因为我信任你。”
收到这句话的学生在一年后成绩明显提高，尤其是那些肤色较深的学
生，他们平时经常觉得因为自己肤色的原因而得不到教师的关注 。我
经常把这个研究分享给教师们，他们也完全明白教师对学生信任的重
要性。我在这里分享这项研究的目的不是让所有教师都把这句话写在
学生的作业上，这样会对学生产生误导，认为教师说的这句话并非出
自真心。我的目的是让教师意识到自己的语言对学生的重要性，并且
鼓励教师让自己的内心充满积极向上的信念。
教师可以通过鼓励性的语言把积极向上的期望传递给学生。对于那些
看起来学习动力充足、学习速度较快的学生，这些信息可以很容易地
传递给他们。但更重要的是，教师要把积极向上的期望与信念传递给
那些看起来反应有些慢、学习动力缺乏或者在学习上挣扎的学生。
还有很重要的一点要注意：表面上对概念掌握速度很快的学生不一定
有很强的数学潜力 。在让学生完成一个数学任务之前，教师不能对任
何学生有先入为主的评价。每个学生都可能在不同的时间显示出自己
强大的数学潜力。有些学生给我们留下的印象是：他们一直是数学学
习困难户，他们会问很多问题，而且不停地说他们遇到了问题。这些
学生的问题往往是数学潜力没有发挥出来，而且他们的思维模式可能
已经僵固化了。有些学生很小就经历了糟糕的数学学习经历，而且后
来也没有像其他学生一样有机会转变自己的思维与学习方式，所以他
们当前的数学能力比其他学生要差一些，但这并不意味着他们一直学
不好数学。如果教师能够采用适当的教学模式，给他们传递积极向上
的信息，并且给他们提出较高的期望（或许这一点是最重要的），我
相信他们的数学学习也能达到最高的水平。作为一名教师，你可以成
为解放他们学习能力、改变他们命运的那个人，而作为学生，他们会
永远记住这个人。
正确对待挫折与失败
没有哪个教师不关注自己的学生，而且都希望自己的学生能够做到最
好。教师们也都知道，让学生对数学产生好感很重要。可能也是这个
原因，在美国大部分课堂上，教师都想尽量保证学生能把所有的数学
习题做对。但最新的大脑研究告诉我们，做对所有的习题并不是学生
需要的。最高效的数学课堂是能够为学生提供解决复杂问题的机会，
能够鼓励学生进行探索，即使学生遇到挫折与失败也能享受数学学习
的过程。也就是说，如果学生想获得让大脑成长的机会，数学题的难
度就应该提高。但这里所说的“提高数学题的难度”不是指让学生摸不
着头脑，而是将普通的习题转化为由浅入深的问题。就像我们前面提
到的，一个由浅入深的问题意味着所有学生都可以参与进来，而且还
可以通过逐步思考与讨论完成难度大的部分，从而让学生的数学水平
更上一层楼。
除了为学生提供由浅入深的问题，教师也应该经常强调挫折与失败的
价值。很多斯坦福大学的学生成绩一直都很好，身边也总有人不停地
夸赞他们聪明，但这种做法也让这些学生们养成了僵固式的思维模
式。当他们遇到困难，或者有门课程的成绩没有得“A”时，他们就会受
到打击，然后开始质疑自己的能力。这些学生都是在绩效文化中长大
的孩子，挫折与失败对他们而言没有任何价值。在我课堂上的大一学
生告诉我，正是因为他们在我的课堂上知道了挫折与失败的价值，他
们才没有放弃对数学和工科课程的学习，才能在数学与自然科学这条
路上继续前进。
我们必须告诉学生，所有的成功者，即使是一个“天才”人物，都在非
常努力地工作，而且他们经历的挫折与失败也不在少数。我们也必须
要停止赞扬那些在数学上反应很快的学生，我们要赞扬的是坚持不懈
与勤于思考的品质。当一个学生正在经历失败或者挫折，并不意味着
这个学生没有数学潜力，而意味着他的大脑在成长，新的路径正在大
脑中形成，而这些将让他们在未来变得更强大。
为成长鼓掌
当卡罗尔·德维克对学龄前的儿童进行研究时，她发现，有些孩子在遇
到困难时会坚持不懈的尝试，但有些孩子很快就放弃了，而且还要求
让他们解决容易的问题。在一个孩子三四岁时，我们就可以看到他是
否具有锲而不舍的思维策略。
后来，研究人员让孩子们对他们身边的成年人进行角色扮演，然后对
他们的工作做出反馈。有耐力的孩子扮演的成年人说，如果他们能够
多付出一点儿时间与努力，并尝试不同的解决方法，那么他们就会成
功；而没有耐力的孩子扮演的成年人说，这个孩子没有完成工作，他
应该去自己的屋里呆着进行反省。这些没有耐力的孩子接收到的信息
是，他们本身存在局限，而且失败也是一件坏事 。这个研究以及其他
众多研究 都告诉我们，评价与表扬孩子的方式非常重要。
我们知道，诱导学生形成僵固式思维模式的一个主要原因就是我们固
定的表扬模式，比如，我们不停地告诉他们：他们很聪明。当学生听
到别人夸奖他们很聪明时，最开始他们的感觉很好，但当他们经历失
败和挫折时，他们就开始觉得自己不是那么聪明了。他们总是用是否
聪明这一标准来评价自己。即使他们一开始可以收到很多人的赞扬，
但这些赞扬最终会害了他们，就像刚才我提到的那些斯坦福学生一
样。
教师和家长应该停止夸赞孩子聪明，而应该把评价的重点放在他们的
行为上。比如，我们可以对学生说：“你能把这一部分学会真是太好
了。”“我非常欣赏你对这个问题的思考方式。”因为我们经常用“聪
明”这个词来夸赞别人，所以把这个词从我们平时使用的词汇中去掉也
非常不容易。我教授的本科生还专门学习了如何不用“聪明”这个词对
别人进行评价，现在他们学会了从多个角度称赞别人，比如对好的思
考方式、努力工作的态度与持之以恒的精神等进行称赞。
当学生犯错时，我们应该对他们的思考与逻辑进行点评，而不是直接
告诉他们“这样做是不对的。”比如，如果学生在计算1/3加1/4时得到
的结果是2/7，你可以这样说：“我知道你是怎么想的了，你分别把分
子与分母进行了相加，但这两个数是分数，当我们做分数加法时应该
把整个分数看成整体，而不是把分子与分母看成单独的两个整数。”
在学生的思考中总有某种逻辑存在，我们应该找到这个逻辑，不是为
了逃避失败，而是为了尊重学生的想法。即使学生将一个问题完全弄
错了，也不要给他们灌输因为问题太难他们才弄错的想法，这样会让
他们认为自己的能力是有限的。此时你应该把重点放在解题策略上，
比如，你可以说：“你还没有学习解决这个问题的方法，但你很快就会
学到了。”
在教学过程中，我们不能为学生提供过多的帮助，也不能将问题中的
认知需求去掉，这两点非常重要。法国的一名研究人员，盖伊·布鲁索
（Guy Brousseau）提出了“教学契约”的概念，而且这个概念已经得
到了全世界教师与研究人员的认可 。
布鲁索描述了数学课堂上的一个一般情景：教师为提出帮助需求的学
生进行帮助。在这个过程中，学生期望得到教师的帮助，而教师也知
道自己作为一名教师应该去帮助学生，所以教师会对问题进行讲解，
从而让问题变得简单。在教师为学生提供帮助的过程中，教师完成了
对问题的认知，而不是学生。布鲁索指出，在教师为学生提供帮助的
过程中，他们都做出了自己角色所期望的行为，履行“教学契约”，但
这个过程却让学生失去了学习的机会。
在“教学契约”之下，学生认为他们在学习过程中不应该吃力前行，他
们期望得到教师的帮助，而教师也知道自己的职责是帮助学生，所以
便毫不犹豫地去帮助他们，但却不知这样做剥夺了学生学习的机会。
当教科书的作者将一个问题分成若干个小问题让学生解答时，他们同
样也剥夺了学生学习的机会。当我的学生询问问题时，我会非常小
心，尽量让他们自己完成问题的思考。我经常让学生把问题画出来，
这种做法通常都能为他们打开新的思路。
二年级教师纳迪娅·博里亚（Nadia Boria）在学生提出问题时这样回
答：“让我们一起思考一下。你是想让我的大脑成长呢，还是想让你们
自己的大脑成长？”
博里亚的答复非常有趣而且有效。虽然教师需要通过自己的专业知识
与直觉来判断一个学生是否可以承受更多的困难并且不被打击，但要
记住，通常情况下，我们帮助学生的最好方法就是不为他们提供帮
助。在接下来的篇幅中，我会重点介绍教授学生开放型、成长型与创
新型数学的策略与方法。
解放数学
把数学作为一门开放型、成长型与学习型的科目进行教授
数学课堂上以及家庭作业中的大部分数学题都是狭窄的、需要学生进
行计算的题。如果学生大部分时间都在和这样的数学题打交道，那么
他们很难相信数学是一门成长型的学科。有些狭窄的数学题无可厚
非，但这样的数学题不能让学生形成一个健康的数学思维。一个数学
任务应该为学生的学习提供足够的空间，它应该为学生提供探索、创
造和成长的机会，而不是只要求他们给一个答案。
任何数学题都可以得到扩展，当它们扩展后，更多的学生可以参与到
解决问题的过程中来，也就有更多的学生得到了学习的机会。下面是
扩展数学题的四个例子：
1. 让学生回答（1/2）÷（1/4）时，不要直接问他们答案是什么，要
让他们猜想一下答案是什么，并让他们解释一下他们的答案有何意
义；也可以让他们用图形来表示答案。就像在第五章，凯西·汉弗莱让
她的学生解答1÷（2/3）时所说的：“你可能知道计算这个问题的方
法，但今天方法不重要，我希望你们能够对你们的答案做出解释，说
明为什么你们的答案是有意义的。”
2. 不要让学生直接化简1/3（2x+15）+8，你可以让学生找到所有与
1/3（2x+15）+8等价的表达式。（如图9.2）
3. 不要直接问学生第100个示例图中有多少个方块，你可以让他们思
考图形的变化规律，然后用规律得到第100个示例图中方块的个数。
（如图9.3）
图9.2 代数类的例子
图9.3 阶梯变化问题
就像我们在第五章所讨论的，任何一道数学题都可以进行扩展，从而
为学生提供更大的学习空间。例如，你可以让学生从如下几个方面进
行讨论：
• 理解数学的不同方式
• 表达观点的不同方式
• 解决问题的不同途径与策略
• 采用不同方法，并回答：“你为什么选择这种方法？这些方法的工作
原理是什么？”
当学生开始同开放性的数学任务打交道，他们不但可以看到数学是一
门开放性的学科，同时他们也扮演了一名探究者的角色。他们不再只
是寻找一个答案，而是探索不同的想法与观点，寻找联系，并开始重
视成长与学习的价值。在进行探究的同时，他们也学到了标准课程要
求的数学方法与公式。不同之处在于，只有在学生需要时才会学习这
些标准方法与公式，这就为他们的学习提供了兴趣与动力 。就像我所
强调的，最完美的数学题就是那些由浅入深的数学题（详情请登录：
http://www.youcubed.org/tasks/）。
鼓励学生像数学家一样思考
在数学家的眼中，数学是一门具有创造性的、艺术性的美丽学科。所
有的孩子都可以像数学家一样思考，鼓励他们扮演小数学家是非常有
意义的。德博拉·鲍尔（Deborah Ball）是我见过的最优秀的三年级教
师之一，她现在是密歇根大学教育学院的院长。德博拉鼓励她的三年
级学生把自己看成数学家，看成探究者，并对数学进行推理。当整个
班级对某个想法或者概念达成一致时，他们会说他们有了一个“工作性
质的定义”，当他们对这个想法或者概念做进一步探索时，他们会重新
回到这个工作性质的定义，并对这个定义进行修正与改进。在一次数
学课上，学生肖恩就6这个数字提出一个观点，他认为6既是偶数也是
奇数（详情请登录：
http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65013）。
肖恩得到这个结论的原因是，6是由奇数个2组成的，而其他像4或8这
样的偶数是由偶数个2构成。很多学生就这个问题与肖恩展开了争论，
而且不断地引用他们就偶数这个概念达成的“工作性质的定义”。大部
分教师可能会直接告诉肖恩他的观点是错误的，然后这件事情就到此
为止了，但德博拉觉得肖恩的想法很有趣。
全班学生就肖恩的想法展开讨论，这段讨论引起了包括教师、数学家
以及其他不同背景观摩者的注意。所有的孩子都全神贯注地思考肖恩
的观点与推理，而且在这个过程中，没有一个人让教师告诉他们肖恩
的观点到底是对是错。这些三年级的孩子们让肖恩提供他的论证，然
后他们给出反对证据，用偶数的多种定义向肖恩证明，6是一个偶数，
但不是奇数。
在班级讨论过程中，德博拉发现像肖恩提出的数字6以及其他一些偶
数，比如10，可以表示成一个奇数和2的乘积，而且具备这种特点的
数没有一个特定的名字，所以，整个班级决定把这种数称为“肖恩
数”。肖恩的发现不是错误的，他只是指出了某些数字具有一些不同的
特点罢了。
在这个班级后来的学习中，他们会在必要时很随意地引用“肖恩数”。
很多三年级的孩子会因为死板的表现方式而远离数学，而德博拉所带
领的孩子们却非常热爱分享自己的想法与观点，而且在建立“工作性质
的定义”时敢于做出推理与证明。同时，他们也学习了标准的解题方法
与步骤。这些孩子们都因为能够对数学题进行猜测、推理和证明而感
到兴奋，而且他们效仿数学家一样思考与工作 。
我们一直认为，只有在数学专业毕业多年的人才能像数学家一样工作
思考，现在我们应该改变这种观点。让学生把自己看成数学家吧，没
有哪个方法比这个能更好地向学生传递数学是一门广阔的、基于探究
的、所有人都值得努力的学科。
把数学作为一门关于规律与联系的科目进行教授
数学是一门研究规律的学问。很多人在解决图9.4中的规律扩展问题时
都非常庆幸他们要解决的问题是一个关于规律的问题。
图9.4 小条颜色变化的规律
其实，即使在学习算数，或者是一些更抽象的数学内容时，学生的工
作就是寻找规律。我曾尝试着鼓励自己的孩子去做一名规律发现者。
最近，我八岁的女儿正在学习除法。她刚刚学习了传统的除法计算方
法，但当她面对下面这几道题时：
她发现所学的计算方法并不适用于所有的题目。在做几道题后，她
说：“啊，我发现了一个规律，我所学习的方法只有在被除数的十位数
比除数大的时候适用。”因为传统的除法计算方法不能让学生把数字看
成一个整体，而且也不利于他们对数位的理解，所以我并不支持这种
方法。但看到我的女儿在思考和寻找规律，而不是盲目地使用计算方
法，我非常高兴。我不是说传统的除法计算方法没有任何用处，也许
在学生掌握了多种除法计算方法后，他们才能意识到这种方法的好
处。当学生学习除法时，他们应该使用可以促进他们对数字以及除法
概念理解的方法。
当教师教授一种数学方法时，他们其实在教授一种规律，他们向我们
展示了一直都在发生的东西，一种一般化的东西。当我们用10去乘以
一个大于1的整数时，其结果只要在这个整数的后面添个0就可以。当
我们用一个圆的直径去除它的周长时，我们总得到数字π。这些都是规
律，当学生把数学看成规律而不是方法与规定时，他们就会对数学学
习变得兴奋起来。
我们也可以鼓励学生去思考规律的本质，也就是一般情况下的规律是
什么样的。基思·德夫林（Keith Devlin）是一位顶级数学家，而且也
是美国国家广播电台数学领域的主持人，他写了一系列的优秀数学
书。我最喜欢的一本书是Mathematics：The Science of
Patterns，在这本书中，德夫林向我们展示，数学家的工作就是研究
和使用自然界和人类思维中出现的规律。德夫林引用了伟大的数学家
沃尔特·沃里克·索耶（Walter Warwick Sawyer）的话：“数学是一门
规律研究与分类的学问。”
德夫林也赞同这个观点，他说：“数学不是关于数字的，而是关于生活
的。它是关于我们所生活的这个世界。它是关于各种不同的想法与观
点。它充满创造性，而且绝不是我们所常见的乏味与贫乏的。”
在第三章，我向大家介绍了一位数学家，同时也是我在斯坦福大学的
同事，玛丽亚姆·莫兹坎尼。她因为是第一个获得菲尔兹奖的女性而成
为了家喻户晓的人物。当数学家们谈起玛丽亚姆的研究对数学进步的
贡献时，他们都会说到玛丽亚姆的工作联通了数学的多个领域，包括
微分几何、复分析以及动力系统等。玛丽亚姆也说：“我喜欢穿梭于各
个不同的领域之间，这样做可以为我提供一些耳目一新的想法与思
路……可使用的工具很多，但你不知道哪个会起作用，所以你一定要
乐观，并且要尝试着把不同的内容连接起来。”这就是我希望所有学生
能够具有的思维模式。
当学生能够看到并建立不同方法之间的联系时，他们就开始理解真正
的数学，并且也会更喜欢数学。这也是让更多女孩能够学习自然科学
与数学的必要条件，就像我们在第六章所讨论的。因为标准课程是一
系列孤立主题的集合，所以它不会展现主题之间的联系。但数学教师
能够也应该通过让学生思考与讨论主题之间的联系来弥补标准课程的
不足。我们在Youcubed提供的视频向大家展示了，在比例思想这个主
题下，分数、图形、三角形、比率、勾股定理、数据表、形状、斜率
以及乘法都是联系在一起的 。通过这个视频，我们向大家展示了学生
们想不到的、不同数学领域之间的联系，而且教师也发现这个视频可
以帮助学生思考不同数学领域之间的联系。通过这个视频，我们应该
鼓励学生去探索和发现各种不同形式的数学联系。
下面几个例子是在课堂上强调数学联系的一些方式。
• 鼓励学生在解决问题时采用不同的方法，然后让他们找到不同方法
之间的联系，比如，讨论这些方法的相似与不同之处，或者为什么一
个方法可以使用或者不能使用。比如：第五章图5.1（第086页）。
• 让学生在解决问题时找到不同数学概念之间的联系。比如：示例9.4
和图9.5。
示例9.4 狗饼干问题
把24块狗饼干分成两组，你有多少种分法？
把24块狗饼干平均分成若干组，你有多少种分法？
请把你的答案用图形的形式表示出来。
图9.5 狗饼干问题的解决方案
在狗饼干问题中，教师可以鼓励学生采用多种表现形式，并且把答案
中的数字与图表联系在一起，这样做可以调动学生大脑中不同的学习
路径。学生在解决问题时偏好的工具也不同，有些学生可能喜欢使用
方格纸，有些学生可能喜欢使用数轴，还有些学生可能喜欢使用立方
体或者其他物体。学生在考虑如何将狗饼干均匀分组时，教师也可以
让他们采用不同的解决方法，尤其是使用加法或者乘法两种方案时，
可以让他们思考这两种运算是如何联系在一起的。
在示例9.5中，学生们要专门去思考不同数学领域之间的联系。成功的
学生不是大部分学生所想的那些认为数学是一系列孤立主题集合的学
生，而是把数学看成一系列相互联系的主题的学生 。这也是教师们鼓
励学生应当具有的认知，尤其是在教科书不能为学生提供各主题联系
的情况下。联系的数学才对学生具有启发性和吸引性，而且所有的教
师都能够让学生看到数学这门学科的联系本质。
示例9.5 不同数学领域之间的联系
请用图形表示分数3/4、6/8和12/16。
请用相似三角形表示上述分数。
在使用数字、图形与三角形表示上述分数的过程中，这些表现形式的
相似和不同之处是什么？你能通过涂色把同一个分数在不同的表现形
式下标示出来吗？
教授可视化与创造性的数学
在我自己的数学教学中，我通过提出有挑战性的问题和注重学生的思
考的方法来培养他们的创造性。我告诉学生，我不在意他们解决问题
的快慢，我最想看到的是他们提出一种有趣的表现形式，或者有创意
性的解决方案。而学生往往都能用自己的创造性思维给我惊喜。
让学生将数学可视化是非常重要的，可视化不但有助于学生对数学的
理解，还能够开启他们大脑中不同的学习路径。阿曼达·库恩勒巴
（Amanda Koonlaba）是一位四年级的教师，她把艺术与各种课程
联系在了一起。她说到，当她询问学生最喜欢什么样的艺术形式与课
程结合时，一名学生很小声但却很热情地解释说，他喜欢可视化的艺
术形式与课程结合，因为这样可以帮助他“忘记课程本身的负面特
点”，而且他觉得这样的形式越多越好 。
艺术与可视化的表现形式不只是起到了治疗性与启发创造性的作用，
而且还在帮助学生理解数学内容方面起着关键作用。当我让学生把他
们的想法画出来时，我发现他们的课堂参与度更高，而且这种方法也
为学生提供了其他方法不能提供的理解数学概念的机会。有些学生发
现将想法可视化比其他方法都要难，但这种方法对他们的帮助却是最
大的。
除了让学生把问题、想法、方法以及解决方案可视化以外，教师也应
该让他们将这些不同的表达形式联系起来。我在第五章就提到，涂色
是建立联系的一种非常有效的方式。在下面的两个例子中，大家可以
看到涂色是如何加强了学生对集合、分数、除法以及相互关系之间的
理解的。
在前面的章节中，我也曾给大家介绍过代数问题和平行线问题中的涂
色例子。当学生学习三角形内角之间的关系时，我们可以让他们将三
角形的三个角涂上不同的颜色，然后把角分离，并把这三个角排在一
条直线上来观察他们之间的关系。这种可视化的表现方式可以帮助他
们记住三角形内角之间的关系。
如果让学生通过涂色来表示分数，那么他们对分数的理解也会加强
（如示例9.6和图9.6）。
我特别喜欢由蒂娜·勒普顿（Tina Lupton）、莎拉·普拉特（Sarah
Pratt）和克里·理查森（Kerri Richardson）创造的除法计算的涂色
方法。他们在给学生介绍除法时使用一种称为“Division Quilt”的可视
化形式，这样可以让学生看到被除数是如何被分成几个除数以及余数
的过程（如图9.7），从而让他们更好的理解除法 。
示例9.6 为布朗尼涂色
萨姆做了一块布朗尼蛋糕，他想把这块蛋糕平均分成24块，然后和他
的五个朋友一起分享。请平分这块蛋糕，并用不同的颜色标示出萨姆
和他的朋友们应该分得多少。
图9.6 为布朗尼蛋糕涂色
图9.7 方法图示
用不同的表现方式把一个数学概念表示出来是一种非常重要的数学技
能，数学家和高水平的问题解决者也经常使用这种技能。数学家工作
时经常用图形、数据表、文字、表达式甚至使用画画与涂鸦等多种不
同的方式来表达他们的想法。莫兹坎尼说她是这样思考一个难度很大
的数学题的：
“你肯定不想把这个问题的所有细节都写下来，但通过画画的方式把它
们呈现出来可以帮你看到它们之间的联系。”莫兹坎尼说，当她三岁的
女儿阿娜希塔看到她这样做时经常会兴奋地喊道：“妈妈又开始画画
了！”“或许我女儿会认为我是一名画家。”
当我要解决一道复杂的数学题时，我通常会把这个问题画出来，这是
我所知的最有效的解决问题和理解数学内容的方法。当学生遇到困难
时，我也会鼓励他们把问题可视化，通常我会问他们：“你有没有尝试
把问题画出来呢？”不习惯这种表现方式的学生开始会觉得将问题可视
化很困难，但他们可以学习这个技能，当然这个技能能为他们帮到大
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