这才是数学（教师篇）

图2.9 学生们关于犯错与大脑关系的画作



当我们对学生的数学作业或者试卷进行评分（这对学生的数学学习没


有什么帮助，后面会讲到）时，他们会因为犯错而被减分，所以他们


会顺理成章地总结出犯错和数学学习的负面信息。如果我们想培养学

生的成长式思维，改变他们对数学学习的看法，应尽量减少测试和评


分（可参考第八章）。如果我们必须要对他们进行测试和评估，那么


我们应该为他们犯的错加分，并做出正面的评估。这样学生们才能认


识到，犯错是他们学习和大脑成长的最好时机。



在课堂上公开讨论犯错的价值很重要，但在和学生一对一地讨论错误


时，教师也应该给出正面积极的信息。我的女儿在刚刚上学时就接收

到了老师传达给她的负面信息，导致她小小年纪就形成了僵固式思维


模式。在我女儿四五岁时，她的听力有些问题（但当时我们都没有注


意到）。因为这个原因，老师觉得她的能力欠缺，所以就专门给她布


置很容易的作业。对此她非常清楚，虽然她当时只有四岁，但她却问

我为什么老师给其他小朋友布置的作业难度就大一些。我们都知道，


学生们总会想法设法弄明白他们在老师心中是什么样的人，所以我女


儿实际上看得出来老师认为她低人一等。因此，她也认为自己很笨。

后来她去了一所非常优秀的小学，老师们很快发现，阻碍她进步的其


实是僵固式思维模式，在那里学习了三年后，如今12岁的她已经完全


变了样，而且非常热爱数学。

当我女儿上四年级时（当时她的僵固式思维仍然存在），她和我一起

参观了她们学校三年级的课堂。当时老师在黑板上写了两道数学题，


我女儿做对了一道，做错了一道。当发现自己犯了错时，她立刻自卑


起来，说自己数学太差了，甚至还不如三年级的学生。我刚好利用这

个时机向我女儿传达了一个非常重要的信息。我说：“你知道刚才发生


了什么吗？当你做错题时，你的大脑得到了成长，而当你把题做对


时，你的大脑中什么也没有发生，当然也不会成长了。”她睁大眼睛吃


惊地看着我，我想此刻她已经理解了犯错的重要性。现在她已经上六

年级了，而且她现在的状态和四年级时完全不同：她拥抱她所犯的任


何一个错误，并对自己充满信心。她的转变不是因为我们教给她更多


的数学知识或者让她做更多的练习题，而是因为我们教她去培养自己

的成长式思维模式。




让·皮亚杰（Jean Piaget）来自瑞士，是世界上最著名的心理学家之


一。他在20世纪30年代提出，学习不是简单的记忆，真正的学习是理


解不同的想法和观点是如何有序的连接在一起的。他指出，每个学生

都有自己的心智模式，他们通过心智模式来对不同观点如何契合在一


起进行推演，如果他们的心智模式讲得通，那么他们就达到了认知平


衡 。当学生们碰到新观点时，他们会想法设法通过自己的心智模式进

行推演，如果推演不合理，或者他们需要对自己的心智模式进行改变


时，他们进入了皮亚杰所称的认知不平衡状态。处于这种不平衡状态


的人都知道，新的信息不能用他们目前的学习模型进行解释，但这些

信息又是合理的，所以他们会去修正自己的学习模型。对于学习者来

说，经历认知不平衡状态时并不好受，但正如皮亚杰所说，认知不平


衡状态是通往真理和智慧的必经之路。皮亚杰表示学习的过程就是从


认知平衡到不平衡最后再平衡的过程，而且这个过程对学习非常重要

。




在第四章，我将通过对各种数学题的讨论向大家展示数学教育的一个


问题：我们教给学生的那些简单重复性的知识和观点不能让学生进入


一种认知不平衡状态。我们知道，有些个体对认知上的模棱两可有很

强的容忍度，这种人从认知不平衡状态到平衡状态的转变非常容易，


这也是为什么我们要让学生多经历一些数学上的模棱两可的原因。在


后面的章节中我会给大家介绍如何让学生经历这些过程。



关于犯错与认知不平衡的研究对数学课堂的影响非常深远，它们不仅


改变了我们对犯错的看法，也促使我们对数学习题做出改变。如果我


们想让学生犯错，那我们就应该让他们去做具有挑战性的习题（当然

学生们会觉得很难），从而让他们进入认知不平衡状态。但在这个过


程中，我们应该把犯错的正面信息传递给学生，让他们在攻克困难时


不会因为害怕犯错而停滞不前。对于只给学生布置容易问题（一般情

况下学生都可以做对）的教师来讲，这将是个巨大的变化。




在研讨会上，我经常听到卡罗尔·德维克奉劝家长，不要要求孩子把所


有的问题做对，因为在这种情况下他们什么也学不到。卡罗尔建议

说，如果孩子们回家说，他们将今天所有的练习或者测试题都做对

了，父母应该说：“非常遗憾，这意味着你失去了今天所有可以学习的


机会。”这是一种全新的观点，但我们需要用这个观点来更正孩子们在


学校得到的错误认知——把所有问题做对是最重要的，把题做对是聪

明的标志。卡罗尔和我都非常努力地去纠正教师的认知，让他们重视


犯错的价值，而非想方设法地让学生把习题都做对。




桑迪·吉列姆（Sandie Gilliam）是一名了不起的教师，我观摩她的教


学有多年的时间了，她的学生不仅数学成绩很好，而且都非常热爱数

学。有一天，我在观摩她给高二的学生上数学课。在学生做习题时，


她发现有个学生犯了错，而且学生自己也意识到把题做错了。她走到


这个男孩身边，问他能不能把自己的错误在黑板上给大家分享一下。

这个男孩迟疑地看着她说：“可是我把题做错了。”桑迪回答说：“正是


因为你做错了，所以我才让你分享，这对你自己以及全班同学都是有


益的。”桑迪告诉他说，他犯了一个错误，其他同学也可能犯同样的错


误，如果大家可以讨论一下这个错误，那么大家都可以从这个错误中

学到经验。这个男孩最终同意把自己的错误和其他同学进行分享，并


把犯错的过程写在了前面的黑板上。后来，在课堂上分享错误成了桑


迪上课的常规。我经常把桑迪上课的视频给其他老师和制定教育政策

的人观看，让他们知道，如果我们为学生提供高质量的数学教学，他


们也可以做很多了不起的事情。

图2.10 学生们正在解决滑板问题




在另一个视频中，我们可以看到桑迪的学生正在黑板上解决一道非常


复杂的数学题。桑迪的学生在解决这道题的过程中遇到了不小的挑


战，在一些同学提供解决思路时，其他同学都在认真地听讲。虽然有

时他们的解题方向不对，或者犯了错，但在大家的共同努力下，他们


最终解决了这道题。这是一个学生用标准数学方法和流程（这些方法


和流程都是各州数学核心标准中的内容）解决实际问题的案例，他们

把自己学过的数学知识和自己的思考与观点结合起来，从而解决了一


个在现实世界中会遇到的实际问题。有经验的教师在观看视频时都会


发现，学生们在提出自己的观点或者解决方案时都非常放松，而且他


们完全不怕自己会犯错误。桑迪的学生之所以不怕犯错并且能够解决

高难度数学题的原因就是，桑迪改变了他们对犯错的看法，而且让学

生看到，在她眼中所有错误都是有价值的。




我最近和斯坦福大学的卡罗尔·德维克、格雷格·沃尔顿（Greg


Walton）、卡丽莎·罗梅罗（Carissa Romero）和戴夫·保内斯库

（Dave Paunesku）合作了一个研究项目。在这个研究项目中，他们


都提出了很多改进学生思维模式和提高学生对学校归属感的干预方法


（详情请登录：https://www.perts.net/）。在这个研究项目中，我


们会教授教师认识到犯错的价值以及我在这一章中分享的想法与观

点。我们很快发现，完成学习的教师具备了更明显的成长式思维，对


学生们犯错也报以更积极的态度，而且在课堂上也激励学生不要害怕


犯错误。数学教师在课堂上可做的改变还有很多，我将在后面的章节

中和大家一起探讨。现在，教师和家长最容易做到的一点就是改变学


生对犯错的看法，虽然只是一点改变，但对学生却有着重大的影响。


我会在下一章讨论改变我们对数学认知的重要性。真正的数学不是固


定不变的解题步骤，而是一门发展的、开放的、创造性的、关于数量

关系的学科，而且，让学生认识到这一点至关重要。




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第三章 数学之美








数学到底是什么？为什么那么多学生讨厌它、害怕它？



数学之所以和其他学科不同，不是因为人们所认为的数学只关乎对


错，而是因为其他学科都不采用数学教学的方式与方法。数学与其他


学科不同的一个方面是：它常常被认为是一个以“表现和成绩”说话的

学科。如果你问学生在数学课上都做些什么，他们会说，把题做对。


很少有学生认为，他们在数学课上应该欣赏数学之美，提出有意义的


问题，探索数学中的各种数量关系，或者学习数学的应用。大部分学


生认为他们在数学课上唯一的目标就是把题做对，也就是争取好的“表

现与成绩”。最近，我的一位同事蕾切尔·兰伯特（Rachel Lambert）


对我说，她六岁的儿子放学回家后就说他讨厌数学，问他原因，他


说：“数学课上学习的时间太短了，而做题的时间却很长。”其实学生

在很小的年纪就能觉察到数学与其他学科的不同：学习时间被做题或


者测试时间挤得所剩无几。




在美国，数学测试比其他任何的学科测试都要多，这个考试盛行的风

气也是数学教育的一大问题之一。在我生活的小区里，如果六年级的


孩子们第一天放学回家便说他们今天进行了一次考试，那么考试的学


科肯定是数学。大部分的学生和家长都能接受数学的这种考试之风，

就像一个女孩儿对我说的：“老师也只是想通过测试来看看我们掌握了

哪些知识。”但问题是，为什么考试的风气只在数学这门学科盛行呢？

为什么其他学科的老师不会在开学第一天通过考试来检验学生的知识


水平呢？为什么教育工作者没有发现，大量的数学测试也产生了很多


问题呢？比如，大量的考试会让学生认为，数学这个学科就是在有限

的时间内回答那些简短的问题。




数学与其他学科的不同还不止这些。当我们询问学生们什么是数学


时，他们给出的描述和数学领域专家们给出的描述大相径庭。学生们


通常会说数学是关于计算、过程和规则的一门学科。而当我们问数学

家们什么是数学时，他们会说，数学是研究规律的一门学科，是一门


充满艺术美感与创造性的学科 。为什么两者对数学的描述差距如此之


大？



玛丽亚姆·莫兹坎尼（Maryam Mirzakani，如图3.1）是斯坦福大学


的数学家，最近她获得了数学界最高奖——菲尔兹奖。玛丽亚姆是一


位了不起的女性，她在双曲面方向的理论研究被认为是这十年中最杰

出的理论。因为她的研究工作基本上都是可视的，所以在报道她的新


闻中我们经常可以看到她在厨房的桌子上将想法画在一张大纸上。最


近，我参加了一场博士生的论文答辩，这些博士生中就包含玛丽亚姆

的一名学生。所谓的博士生论文答辩就是博士生把自己多年的研究讲


述给参加答辩的教授们，在答辩的过程中教授们也会提出一些问题。


答辩室不大，而且答辩室里坐满了数学家、学生以及来参与答辩的教

授们。玛丽亚姆的学生是一位名为热尼亚·萨皮尔（Jenya Sapir）的

女性。答辩时，她的身影在屋内来回移动，在四面的墙上画满了直线


与曲线，在解释这些曲线与直线之间的关系时，她不时的用手指向它


们。她为我们描述的数学就是一个关于可视化图形、创新性、数量关

系以及充满不确定性的学科（如图3.2）。














































图3.1 玛丽亚姆·莫兹坎尼，2015年菲尔兹奖得主

图3.2 热尼亚·萨皮尔博士论文答辩中出现的一些数学图形




在答辩过程中，对于教授们问到的三四个问题，自信的热尼亚直截了


当地回答说：“我不知道。”一般情况下，教授们也会接着说他们也不

清楚。在博士论文答辩过程中，学生无法回答教授们提出的某些问题

是很正常的现象，教授们也不会因此而感到不悦。其实，真正的数学


就是一门充满不确定性的学科，数学的本质是探索、推理和解释，而


不是确定的答案。因为热尼亚的研究领域还未曾有人涉及，所以对于

某些问题她无法做出回答，教授们认为也是非常合理的。最后，热尼


亚顺利地通过了答辩。




但这并不意味着所有的数学题都没有答案。有很多数学知识是确定


的，而且是学生要学习的非常重要的内容。但现在学校中学习的数学

与真正的数学相差太远了，如果我让一些高中生或者初中生参加热尼


亚的论文答辩，他们肯定不会认为这是一场专业的数学答辩。学校数


学与真正数学之间的巨大鸿沟是数学教育中最棘手的问题。我坚信，

如果数学教学能够体现学科本来的面目，那么就不会有那么多的人讨


厌数学并成为一个数学低能儿了。




数学是一种文化现象，是人们在认识世界过程中产生的概念以及概念

之间关系的集合。当我们用数学这个显微镜观察世界时，我们便可以


发现规律。而且，只有通过数学将我们对规律的理解定理化以后，新


的、具有权威性的知识才会产生。基思·德夫林（Keith Devlin）是一

位顶级数学家，他通过一本书阐明了这个观点。在Mathematics：


the Science of Patterns一书中，他写道：

因为抽象的规律是思维、交流、计算、社会和生活的本质，所以，作

为研究抽象规律的科学——数学，我们或多或少都会受到它（数学）


的影响。




如果想真正理解数学的本质，最好从人类社会与自然界中的数学开

始。如果仔细观察雪花，我们也可以发现一个有趣的现象。虽然每个


雪花是不同的，但它们都是通过一种规律形成的。所有的雪花都是六


边形，所以每个雪花通常都有六个顶点（如图3.3和3.4）。雪花总是


六边形的原因是：雪花是由水分子构成的，当水结冰时，水分子会以

六边形的形式结合在一起。






























图3.3 雪花中蕴藏的数学




动物也会运用数学。当我给学生上数学视频课时，我给他们展示了动

物们是如何运用数学的例子，他们都觉得非常有趣。例如，海豚在水


中通过发射超声波来定位（如图3.5）。

图3.4 水分子

































图3.5 海豚之间的相互交流



海豚会发出一种像敲击声一样的声波，这些声波在遇到障碍物后会传


回给海豚。然后海豚利用声波来回所消耗的时间和回声的质量来找到


他们的同类。实际上海豚在回声定位的过程中进行了比率运算，这和

我们在代数课上做的比率练习题是一样的，只不过我们在代数课上不

停地做重复练习，而不知道知识应用的任何真实场景。




在为我的网络课程搜集材料的过程中，我的学生迈克拉（Michaela）


发现蜘蛛们是螺旋线专家。蜘蛛织网时，它首先会在两个比较稳固的

垂直支撑物（例如树杈）上编织一个星型的网，然后开始沿着螺旋线


织网。因为蜘蛛需要尽快通过螺旋线型的网来加固中间的星型网，所


以它的选择是沿着对数螺旋线织网。在对数螺旋线中，螺旋线旋臂之


间的距离越来越大，而且增大的速率是相同的（如图3.6）。这意味着

对数螺旋线在向外扩张时，随着圈数的增加，它扩张的速度也越来越


快。因为沿着对数螺旋线织网会在网上留下很多空间，所以蜘蛛还会


织第二张更为紧密的网。这张新网的轨迹就是等距螺旋线，也就是说

相邻旋臂之间的距离是相等的。因为第二条螺旋线比较长，所以蜘蛛


要花更长的时间去织沿着这条螺旋线的网。不过，因为等距螺旋网填


补了蜘蛛网的漏洞，所以蜘蛛可以捉到更多的昆虫。人类可以通过运


算来完成这项了不起的工程，但蜘蛛在织网过程中天生就会运用这些

数学知识。

图3.6 一张蜘蛛网




当我把这些动物运用数学的例子介绍给学生时，部分学生对这些案例

很抵触，他们认为自然界中的数学和动物们运用的数学都不是真正的


数学，认为真正的数学是关于数字与计算的。我给学生讲这些例子的


目的就是让他们看到更广阔的数学，让他们看到真正的数学，而我的

网上课程在这方面做得非常到位。在课程结束后，我在听课的学生中


做了一个调查，有70%的学生认为这个课程改变了他们对数学的看


法。更重要的是，有75%的学生对学好数学有了更强的信心。

在世界的任何角落，我们都可以发现数学的影子。但遗憾的是，大部

分学生却从来没有听说过黄金分割比例，而且他们也不认为数学是研


究规律的一门学科。如果我们不把数学全方位的信息分享给学生，那


么我们就剥夺了他们探索数学的机会。



大量研究表明，当我们为学生提供独立思考并提出问题（这正是真正


数学的本质）的机会时，他们会对数学产生更浓厚的兴趣，而且数学


能力也更容易达到更高的水平。但在教室里，我们几乎看不到这样的


场景。在票房大卖的电影《美丽心灵》（A Beautiful Mind）中，我

们可以看到约翰·福布斯·纳什（John Nash，由罗素·克劳扮演）一直


竭尽全力地去寻找一个有趣的问题来解答。这是数学工作的第一步，


也是关键的一步。在课堂上，学生没有机会去体验这至关重要的第一

步，他们把时间都花在了回答那些不是由他们提出的、他们毫不在意


的问题上。




在我的另一本书《这才是数学》中，我介绍了一种基于提出数学题的

教学模式 。教师尼克·菲奥里（Nick Fiori）为他的学生提供了一些松


果、扑克、彩珠、骰子等道具，然后让他们自己提出数学题。学生们


在刚开始时很难适应，但渐渐的，他们学会了提出自己的观点和想

法，并把它们转化为数学题，在解决这些数学题的过程中学习新知识


和新方法。

多年来，学生离真正的数学越来越远。他们把大把的时间都用在了学

习计算方法的步骤上，而这些步骤在他们的生活和工作中永远也不会


用到。康拉德·沃尔夫拉姆（Conrad Wolfram）是Wolfram-Alpha公


司的董事，Wolfram-Alpha则是世界上最重要的数学类公司之一。沃

尔夫拉姆也是一位传统数学教育的公开批判者，他强烈表示：数学不


是计算。2010年，超过百万的人观看了沃尔夫拉姆的TED演讲，他在


演讲中提出了数学工作的四个步骤：




1. 提出问题。



2. 根据问题建立数学模型。




3. 计算。



4. 从数学模型回到问题，看问题是否得到解决。




进行数学工作的第一步需要对某些数据或者某种情境提出一个好的问


题。目前美国最热的一种工作是数据分析师，他们的工作就是研究几

乎每家公司都具有的“大数据”，并提出与数据相关的、有意义的问


题。沃尔夫拉姆所说的第二步是根据问题建立一个数学模型，第三步


是根据模型进行计算，第四步是看问题是否可以通过建立的模型来解

决。沃尔夫拉姆指出，课堂上教授的数学有80%的时间都是在第三


步，而且还是用手进行计算。而在实际的工作中，老板们并不需要自


己的员工去手动计算，这些计算完全可以由计算器或者计算机来完

成。所以，沃尔夫拉姆提议，应该让学生把更多的时间花在第一、第

二和第四步上。




沃尔夫拉姆指出，公司老板们需要的是能够提出好问题、建立模型、


分析和解释数学结果的人。善于计算的人在过去的确很受老板们的青

睐，但现在这一情况发生了改变。现在老板们青睐的是善于思考与推


理的人。




美国的财富500强包含了美国最顶尖的500家公司。如果你在45年前

询问这些公司最看重雇员的哪些技能，大家可以参考如下技能名单：




表3.1 1970年，美国500强企业最看重的员工技能



大家可以看到，计算能力排在第二名。但到了1999年，技能列表变成

了如下：




表3.2 1999年，美国500强企业最看重的员工技能



从列表中可以看到，计算能力已经下降到了倒数第二名，老板们最看

重的两项技能变成了团队合作能力与解决问题的能力。




家长们往往看不到现在所需的能力也正是数学这门学科要培养的能


力。很多家长问我：我的孩子已经得到了正确的结果，为什么还要让

他去解释这个结果的来龙去脉呢？我的回答则是：对你所做的工作进


行解释的过程，在数学上我们称之为推理，而进行推理是数学这门学


科的核心要求。科学家们通过寻找案例来验证他们提出的理论是否正


确，而数学家们则通过推理来进行证明。数学家需要通过逻辑推理对

各个观点进行论证，从而说服别的数学家。数学是一门社交性很强的


学科，一个理论的证明往往就诞生在一些数学家通过逻辑推理说服另


外一些数学家的过程中。



在很多的数学课上，学生们都是安安静静地做数学题，小组讨论或者


整个班级范围的讨论对数学学习非常重要。讨论不仅能够在最大程度


上帮助学生们去理解要学的内容，让数学这个学科变得活灵活现，让

学生们对数学更感兴趣，而且它还能让学生们在讨论的过程中学会推


理，学会理解其他人的推理，这两点技能在现在的高科技工作环境中


非常关键。



目前，几乎所有和科技相关的工作岗位都会和大量的数据打交道，这


需要工作人员针对数据提出问题，并对解决问题的可能方案进行讨


论。康拉德·沃尔夫拉姆告诉我，不能进行数学推理的人在现在的工作

环境中都不会高效地工作。当工作人员对解决方案进行推理和讨论

时，其他工作人员可以在讨论过程中形成新的想法，并且能看到过程


中是否产生了错误。现在被老板们看重的团队合作能力就基于数学的


逻辑推理。只能给出计算答案的人在现在的工作场合中基本上不会起

到任何作用，他们只有学会对过程进行推理才能不会被现代社会所淘


汰。




我们希望学生在数学课上进行推理的另一个原因是，学生自己推理或


者观看别人推理的过程对他们来说非常有趣。当我们为学生或者成年

人提供一些开放性的数学题时，他们的兴趣和参与度都会更高。在第


五章我会给大家介绍一些需要推理的数学题以及如何设计这样的数学


题。



在数学教育中我们面临的另一个严重问题是，人们普遍认为数学等同


于计算，最好的数学家就是计算速度最快的人。更糟糕的是，有些人


认为在数学上反应快的人就是数学好的人。这种“计算快就意味着数学

学得好并且聪明”的观点在我们的社会中根深蒂固。数学家们无疑是数


学能力最强的人了，但他们在处理数学题时却是很慢的。我同很多数


学家一起工作，他们显然也不是反应很快的人。我这样说并不是对数

学家们不尊重，数学家们之所以慢是因为他们的思考相当细致而深


入。

洛朗·施瓦茨（Laurent Schwartz）是菲尔兹奖的获得者，也是他那

个时代最伟大的数学家之一。施瓦茨上学时，基本上是数学课上反应


最慢的人。在他的自传中，施瓦茨回想起他上学的时候就是一个善于


思考但反应很慢的人，因为学校推崇反应快的人，所以他经常觉得自

己很“笨”。




很多学生就像施瓦茨一样，在数学课上反应比较慢，而这些学生往往


被误解为不是学数学的料儿。在第四章和第七章，大家可以看到，“数


学等同于快速计算”的观点让很多学生对数学敬而远之，尤其是女孩

们。即使是现在，数学给我们的印象仍然是一个速度竞赛的学科，比


如各种限时考试、快速计算卡片以及各种限时的数学游戏等。怪不得


那么多学生对数学打起了退堂鼓。如果我们想让那些深入思考但反应

很慢的人（比如洛朗·施瓦茨）以及女孩们 不再认为自己没有学习数学


的能力，我们就必须摒弃“快既是数学”的观念。在下一章，我会给大


家介绍注重深度而非速度的数学教学方法，尤其是如何教授数字与计


算方面的内容，这样的教学会激发大脑形成更多连接，而且让更多的

学生感兴趣。




结论





在本章的开始，我讨论了数学这门学科与其他学科的不同。而这种不


同不是因为数学本身与其他学科不同，而是因为人们对数学的普遍误

解让数学看起来不同罢了。这些误解包括：数学就是一系列解题步骤

与规范的集合；反应快的人就是数学学得好的人；数学意味着确定


性；数学中只有正确答案与错误答案；数学都是关于数字的等等。




教师、学生和家长都对数学存在上述的误解，这也是当前这种传统的

无效数学教育继续盛行的原因之一。很多家长上学时就非常讨厌数


学，但他们认为数学遭受讨厌的原因是数学这个学科的本质所导致


的，所以他们仍然支持传统教学。很多小学数学教师在学习数学的过


程中也很痛苦，但他们觉得数学就是解题过程的集合，所以在他们教

授数学的过程中也痛苦不堪。在第五章大家可以看到，当我告诉这些


教师什么是真正的数学，并且他们没有必要让学生重蹈覆辙时，他们


都欣喜若狂。



目前课堂上教授的数学实际上是狭义的、范围极小的数学，但这不能


全怪教授数学的教师。数学教师要按规定教授成千上万个知识点，以


至于他们没有时间将每一个知识点讲解地特别透彻。当老师们去教授

这些知识点时，他们眼中的数学就像一个被拆解了的自行车（只看到


局部，看不到整体），而学生的任务就是把这些零散的部件日复一


日、年复一年地打磨光亮。这些零散的知识点并不包含这些知识之间

的联系，所以学生们在学习时也不会学到知识之间的联系。但我不想


让学生们每天都去打磨这些零件，我想让他们自己去组装一辆自行


车，然后骑着这辆自行车在数学的世界里自由翱翔，享受探索事物关

系和数学式思维给他们带来的喜悦。当我们打破目前数学的禁锢，把

一个可视化、充满创造性、全方位的数学教授给学生时，我们才真正


把数学作为一个学习型的学科来对待。如果只让学生回答非错即对的


题目，他们是很难形成成长式思维模式的。这种非错即对的数学题传

达给学生的信息只能是数学的僵固性。在接下来的五章中，我会详细


介绍实现这种可能的方法和途径，当然还有支持这些方法和途径的研


究。




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第四章 玩转数字——开创数学式思





维








小孩子们都喜欢数学。如果你给他们一些积木，他们会排出各种形


状，并且对这些形状感到非常好奇。当他们看到天空中的鸟儿排成V字

型飞行时，他们会非常开心。当你让他们按不同的顺序数一堆物品的


个数时，他们会因为每次得到的个数相同而感到兴奋。如果你让他们


用彩色的积木进行排列，他们总是排出相同的规律，这也是数学上最

基本的一个事实——研究不断重复出现的规律和模式。但是，当孩子

们开始上学，当他们开始学习那些只需要死记硬背的数学公式和方法

时，他们对数学的感受就从喜爱与着迷变成了恐惧与讨厌。




在芬兰，这个国际学生评估项目测试分数最高的国家，孩子们直到七


岁才开始学习正规的数学方法。而在美国、英国以及其他少数国家，

孩子们很早就开始学习正规的数学方法，当他们七岁时，他们已经学


习了如何做加减乘除运算，除此之外，还要记忆一些乘法结果。老师


只教授如何使用数学方法，这些学生的数学之旅就这么糊里糊涂地开


始了。孩子们早年对数学的好奇心慢慢地被消磨掉，取而代之的是他

们对数学的一种强烈观念：数学就是一系列指令与规定的集合。




我们能为孩子们提供的最好的、也是最重要的开始就是让他们自由地

探索数字与形状，培养他们建立自己的思考模式。成功的数学应用者


都有自己同数学打交道的方式和数学思考方式，这也是他们同不太成


功的数学应用者之间的差别。成功的数学应用者总带着一股想要理解


的渴望与能够理解的信心同数学打交道。他们寻找事物之间的规律与

模式，用数学式思维与数学打交道。他们知道数学是一门发展的学


科，而他们的工作就是学习思考。我们需要在学生们开始他们的数学


之旅时就把数学式思维植入他们的大脑。



大量研究已经证明了成长式思维模式的重要性。所谓的成长式思维模


式就是智力水平会成长，也就是大脑会越用越灵。我们要让学生用发


展的眼光看待自身与数学，让他们知道自己应该做些什么。孩子们需

要把数学看作一门概念性的、不断发展的学科，而他们要做的就是思

考，把数学中蕴含的道理弄明白。如果学生把数学看成一系列小问题


的集合，那么他们在学习过程中就看不到自身的成长。他们会认为数


学就是一系列解题方法的集合，唯一的区别就是会用这些方法或者不

会用这些方法。如果学生把数学看成一个可以自由探索、提问问题、


思考事物相互关系的充满未知谜题的世界，那么他们在学习过程中就


会意识到他们的角色是进行思考、寻根问底和自身成长。当学生们能


够认识到数学是概念与数量关系的集合，能够认识到他们的任务是思

考与成长时，他们就具有了数学式思维模式。




塞巴斯蒂安·特龙（Sebastian Thrun）就是一位具有数学式思维模式


的人，他是Udacity公司的首席执行官，也是斯坦福大学的教授。两年

前，我和塞巴斯蒂安开始合作。那时他已誉满天下：他是斯坦福大学


的计算机科学教授；他发明了自动驾驶汽车；他教授了第一节慕课；


他带领他的团队研发了谷歌眼镜和谷歌地图；塞巴斯蒂安又从非常成


功的网络课程开始创建了网上学习公司Udacity……



我和塞巴斯蒂安的合作源于他征求我关于网络课程的建议。塞巴斯蒂


安是一位数学应用能力水平极高的人。他也曾写过一些数学专业方面

的书，而且这些书的难度都非常大。但不为我们所知的是，塞巴斯蒂


安对数学的学习也有独特的见解。当我针对我的网上课程《如何学习


数学》对塞巴斯蒂安进行采访时，他也强调了数学直觉、解决实际问

题和把实际问题转化为数学题的能力等在数学学习中的重要性。他给

出了一个例子，这个例子就是在他为美国国立博物馆设计工作机器人


时发现的一个问题。




参观博物馆的儿童和其他人会产生一些噪音，而这些噪音会影响机器

人的工作。塞巴斯蒂安说，他和他的团队不得不重新开始设计新的数


学路径，最终通过使用数学直觉解决了这个问题。塞巴斯蒂安向我描


述了解决这个问题的过程：首先想一个他直觉上认可的解决方案，然


后再用数学知识和方法证明方案的可行性。他还说到，在学习某个数

学概念时，如果这个概念在你的直觉上说得通，那么你就真正掌握了


这个概念。在我的网络课程上，他给孩子们的建议是在使用某个公式


或者方法解题时，一定要让这个公式或者方法在直觉上说得通。



我们应如何培养孩子们的数学式思维，才能让他们愿意以意义建构


（可以理解为通过跟既存知识与先前经验的关联，对某一情境、背景


或概念进行理解）与直觉的方式学习数学呢？在他们上学之前，这个

任务非常简单：只要让他们在玩耍的过程中去接触数学谜题、形状和


数字，并引导他们思考它们之间的关系即可。但在上学的前几年，孩


子们往往被要求学习很多固定的数学解题方法，比如加减乘除的运算

法则等。也正是在这个时期，孩子们的数学式思维被转化为僵固式思


维。所以，此时正是教师和家长们把“数学作为一门需要思考与意义构


建的概念性学科”介绍给学生的关键时期。

数感





埃迪·格雷（Eddie Gray）和戴维·托尔（David Tall）是两位来自英


国的研究人员，他们的研究对象是一些7～13岁的学生，这些学生都

被他们的老师打上了成绩好的、成绩一般的与成绩差的标签 。格雷和


托尔会给这些学生一些关于数字的问题，例如计算两个数的和与差。


他们发现了成绩好的学生与成绩差的学生的一个重要区别。成绩好的


学生在解决数字问题时采用了我们众所周知的数感——也就是理解数

字的意义，并可以灵活使用数字。成绩差的学生在解题过程中没有用


到任何数感，他们觉得自己的任务就是回想以前学过的解题方法，然


后套用到要解决的问题上，即使他们发现套用之前的方法不能很好的

解决问题时也不会去思考别的方式。例如，计算“21-6”，成绩好的学


生会把这道题转化为“20-5”，而成绩差的学生则把6个1从21中依次减


掉，这样做不但麻烦，而且还容易出错。




通过对学生解题策略的大量研究，研究人员发现成绩好与成绩差的学

生的区别不是成绩差的学生掌握的数学知识少，而是因为他们同数学


打交道的方式不同。成绩差的学生从来都不考虑通过数感灵活运用数


字，他们似乎总是在寻找学过的标准解题方法，然后生搬硬套，即使

效果不好也不会采用其他方式。事实上，他们掌握的数学知识并不


少，只是不会灵活运用而已。出现这种状况的原因，可能是他们很小


的时候就被要求去记忆标准解题方法，而不是被鼓励使用数感来解决

问题 。研究人员还指出了另一个重要的问题：成绩差的学生所运用的


数学是一种费力不讨好的数学，计算“20-5”要比计算从21中减掉6个1

容易。但不幸的是，这些成绩差的学生经常被认为是数学学习困难


户，所以教师和家长便给他们灌输更多的标准解题方法，这就更加强

了他们对数学的错误观念：数学的成功需要记忆解题方法，而不是理


解概念与意义构建。这些成绩差的学生从此便把数学的希望寄托于标


准解题方法之上，最终导致他们一生都要非常艰难地与数学打交道。




拥有数学式思维的学生都是以积极向上的方式与态度面对数学知识，

在学习数学的过程中，他们认为自己的角色就是理解与意义构建。数


感是深度理解数学的一种表现，也是数学式思维的一种体现，数感是


大脑在思考数字与数量概念的过程中形成的。探讨学生数感形成的过

程非常有意义，数感不但是所有高阶数学的基础 ，而且因为数感与数


学式思维同进同退，弄清培养其中一个的方法便可以达到两者兼顾的


效果。



数学是一个概念性的领域。它不是很多人所想的一系列需要死记硬背


的常识与方法的集合。




在图4.1中，紫色的箭头代表方法，粉色的盒子代表概念。在图的左下

角，我们可以看到方法“数数”。当学生们学习数数时，他们不但会记


住数字的大小与名称，而且还会形成数字的概念——也就是数字的抽


象概念。在孩子们早期学习加法时，他们采用的一种称为“接着数”的

方法。比如说你要计算15加4，你先数到15，然后再接着向后数四个

数，16、17、18、19，19就是15加4的结果。其实这不是加法的计


算方法，而是一种概念。在下一步的数学学习中，学生们会学习如何


计算多个相同的数相加，比如三个4相加，在这个过程中，他们会形成

乘法的概念。所以，再一次声明，多个相同的数相加不是计算乘法的


方法，而是乘法的概念。数、和与积是数学中的概念，学生需要对这


些概念进行深入的思考。学生应该学习数学方法，比如加法与乘法的


计算方法，但学习方法不是最终目的，最终的目的是通过方法的学习

帮学生更深入地理解数、和、积的概念以及它们之间的相互关系。








































图4.1 数学方法与概念之间的关系

当我们学习数学时，我们的大脑会进行一项称之为“压缩”的过程。当

你学习一个新的数学知识时，在你思考这个新知识的工作原理以及它


和你已知知识的关系的过程中，大脑的很大一部分空间会被占据。但


你以前学过的数学以及其他内容，比如加法，只会占据你大脑的一小

部分空间，而且你可以不用仔细思考就可以熟练的运用这些知识。因


为我们的大脑是一个非常复杂忙碌的器官，所以对新知识的压缩才会


发生，而且我们的大脑每次只能对很少的粗糙概念进行压缩。那些完


成压缩的概念会被储存在大脑的一个很小的空间中。威廉·瑟斯顿

（William Thurston）是一位获得菲尔兹奖的顶级数学家，他是这样


描述大脑的压缩过程的：




数学在人的大脑中有极强的可压缩性：当你学习一个新的数学概念

时，你也许需要一点一点地弄懂它，也许需要从多个角度去理解它，


你的思维也许会挣扎一阵子。一旦你真的弄懂了它，并且可以在你的


头脑中形成一个完整的构建，那么压缩过程也就完成了。一旦压缩完


成，你就可以把它存储在大脑的一个小空间中，在你需要时你可以快

速完整地调用它。数学的这个属性也正是学习数学最愉悦的事情之


一。



很多学生不能体会数学学习快乐的原因之一就是他们没有经历大脑压


缩这个过程。这里需要大家注意，大脑只能够压缩概念，不能压缩计


算法则与方法。那些不进行概念思考、只死记硬背公式的学生无法经

历大脑压缩这一关键过程，所以他们的大脑无法将知识有效地组织存

储，结果导致他们只能依赖计算方法与公式。这就是为什么要让学生


在学习数学的过程中一定要理解概念。概念式的学习方式是数学式思


维的本质。




数学不是死记硬背





很多人认为并不是所有的数学知识都可以以概念的形式进行学习，还


有很多基本的数学常识（比如8×4=32）需要记忆。如果能记住一些


数学常识固然是好事，但学生们可以通过概念式的学习方式学习这些

常识并记住它们。因为数学的某些部分的确只是一些常识，例如数字


常识，所以很多教师和家长都认为不用理解这些常识，只要记住并快


速使用就好。正是教师与家长的这种态度对孩子早期的学习造成了严

重的误导，让他们认为数学学得好就是能够快速地回忆起常识，也将


他们推上了阻碍数学式思维发展的道路。




数字常识只是数学的一小部分，而且它们的学习最好通过各种不同的

数字应用场景来记忆。不幸的是，很多教师课堂上只是单独地介绍数


学常识，让学生误以为数学常识就是数学的本质，更糟糕的是，让学


生误以为能够快速回忆起这些常识就是数学能力强的表现。上述提到

的两点误解也是造成学生数学焦虑与不满的主要原因，所以我们必须


要摒弃这两个观点。

我成长在英国比较开明的时期，当时小学初中都注重学生的全面发

展，所以我不需要背那些加减乘除表。我从来没被要求去死记硬背那


些数学常识，但因为我的数感很好，而且我知道如何快速处理数字，


所以我可以很快地掌握所需的数学常识。即使我当了数学教授，数学

常识记忆问题也从未成为阻挡我前进的绊脚石。所以，让学生培养数


感、在理解与应用的过程中记忆数学常识、弄懂数字间的关系非常重


要。




据统计，大约有三分之一的学生，一旦进入限时考试环境，他们的数

学焦虑症就会发作 。沙恩·贝洛克（Sian Beilock）和她的同行们研究


了人脑的核磁共振成像，他们发现数学常识都存储在大脑的记忆区。


但当学生们处于压力之下时，比如当他们需要在一定的时间内完成一

定量的数学题时，大脑的记忆区就会被堵塞，学生就无法调用存储在


那里的数学常识 。当学生们意识到他们考试考不好时，焦虑就会产


生，而且他们对数学的信心也会被削弱。记忆区的堵塞以及由此产生


的焦虑在成绩好的学生和女生中出现的情况比较多。保守估计显示，

有三分之一的学生所患的数学焦虑症与限时考试有关，而且这些学生


在各种人群中的分布是均匀的。一旦我们让学生陷入容易产生焦虑的


情境中，这些学生就失去了对数学的兴趣。



据记载，出现数学焦虑症的最小年龄是五岁，而限时考试是导致这种


终生焦虑的主要原因。在斯坦福大学，我碰到了很多有数学创伤的学

生（虽然在很多人眼里，他们已经是佼佼者了）。当我问他们为什么

讨厌数学时，很多人说是由于二年级或者三年级时的限时考试，这些


限时考试就是转折点，在此之后，他们觉得自己不是学数学的料儿。




很多学生，尤其是女学生提到，她们在学习过程中需要深刻理解所学

的数学知识（一个很有价值的学习目标），而当限时考试作为评价标


准时，她们觉得深入思考并不被人们重视，所以就放弃了数学。学生


本可以在数学课上做一些更有意义的事情，比如意义构建或者深入思


考，但限时考试给他们的暗示却是快速回忆并应用数学常识才是数学

的本质。这种状况令人痛心疾首。我们可以看到这种侧重记忆与考试


的数学教学的后果：学生们都纷纷放弃数学。



我女儿在五岁便开始记忆乘法表、参加限时考试，她一回到家就哭诉


数学。这不是我们想让孩子对数学产生的感情。只要我们将学生们置


于死记硬背数学常识的压力之下，我们就不可能消除弥漫于英国和美


国的数学焦虑症以及孩子们对数学的厌恶情绪 。



如果不采取限时考试的方式，我们怎样帮助学生学习数学常识呢？学


习数学常识和培养数学式思维的最好方法就是为学生们提供概念式


（涉及概念的认知与理解）的数学活动。概念式的数学活动可以更好

地帮助学生学习和理解数字以及数字常识。大脑研究人员曾对两组采


用不同学习方式学习数学常识的学生进行了研究。比如，在计


算“17×8”时，一种策略是先计算“17×10（=170）”，然后减

掉“17×2（=34）”；另一种策略是直接计算“17×8=136”。他们发

现这两种方式会引发大脑中两条不同的路径，而且这两条路径是我们


终生都会使用的。更重要的是，他们还发现，使用第一种策略的人比


直接记忆计算结果的人实现的成就更大，解决新问题的能力也更强。

大脑研究人员得到的结论是：经常采用不同策略进行计算的人对数字


之间的关系有了更深刻的认识和理解，所以在计算时能够达到融会贯


通的效果 。




在另一项重要的研究中，研究人员发现，最有效的学习方式是能够启

用大脑多条不同路径的学习方式 。人的左脑主要处理事实与技术信


息，而右脑则主要处理视觉和空间信息。研究人员发现，在左右脑相


互交流的情况下，数学学习会达到最佳效果 。研究人员还发现，当学

生们进行数字运算时，比如做减法时，表现最好的学生就是左右脑交


流活动最强的人。这些研究结果告诉我们，当学生们在学习抽象的数


学知识时，同时运用左右脑会达到更好的效果，这些研究成果对数学


教学非常重要。



在一篇发表在我们网站Youcubed上的论文Fluency without Fear


中，有一个数学游戏特别受大家欢迎，而且已经被传播到了全世界。



这个数学游戏由两个人一起玩。每个人都有一张纸，纸上有100个网


格。第一个人先掷两个骰子，然后把掷骰子得到的两个数在纸上用网


格的个数表示出来。可以使用纸上任何位置的网格，但目标是尽量把

纸上的100个网格都用掉。在用网格表示掷骰子得到的两个数后，还

要写出数学表达式来描述纸上100个网格的现状。当两个游戏者都不


能将掷骰子得到的数用网格表示时，游戏结束。（如图4.2）










































图4.2 离100有多近？



在这个游戏中，学生可以学习数学常识，比如“2×12”。但他们同时也


完成了更重要的事：思考“2×12”这个数学常识的意义以及它在视觉和


空间上都代表什么。




另一个加强左右脑互动的游戏是点算牌。教师和家长们经常通过点算

牌来训练孩子们的计算速度。这个游戏的规则就是在不限时的情况

下，把表示方法不同但结果相同的数字找到。老师们需要把所有的点

算牌都放在桌子上，有数字表示的一面朝下，然后让学生依次翻开，


找到尽量多的结果数字相同的点算牌。例如，数字9和4可以通过图形


面积表示出来，也可以通过多米诺骨牌上的点数表示出来，还可以通

过一个表达式表示出来。当学生能把不同的卡片放在一起时，他们就


理解了为什么这些不同的卡片是等价的。这个游戏的目的也是让学生


们从不同的角度理解乘法，在加强左右脑联系的同时进一步学习数学


常识。你也可以通过一直让牌面朝下的方式来训练记忆力，同时也增

加了游戏的难度。（如图4.3）。








































图4.3 点算牌

这些数学活动和游戏可以帮助学生们建立数感，培养数学式思维模

式，并且加强两个大脑半球之间的联系。我们应该坚决抵制死记硬背


和只追求速度的学习，越让学生死记硬背，他们就越不愿意思考数字


的概念以及他们之间的关系，更不愿意去培养和应用数感 。



有些学生不善于记忆数学常识，我们应该为这样的学生感到庆幸，这


也是人类生命多样性的一种体现。大家可以想象一下，如果老师测试


学生对数学常识的掌握情况，而所有学生答题的方式和速度都一样，


就像机器人一样，岂不是很可怕。



在最近的一项研究中，科学家对正在记忆数学常识的学生的大脑进行


了研究。他们发现有些学生的记忆能力很强。可能大家都会认为记忆

力强的学生就是数学能力比较强、比较聪明的学生。但研究人员却发


现，这些记忆力好的学生并没有取得更好的成就，他们也不具备更多


的数学能力，而且IQ测试的成绩也不高 。这些研究人员发现记忆力好


与不好，学生的唯一的差别在于大脑的海马体，这是大脑专门负责记

忆的部分。海马体和大脑的其他部位一样不是固定不变的，它会成长


或者缩小，就像伦敦黑色出租车研究显示的一样 。学生们记忆能力各


异是一种普遍的现象，这种现象和一个人的数学潜力没有任何关系。



一位深受数学创伤的教师的故事

在学校里，被限时考试和死记硬背数学常识伤害的人相当多。在最近

一次和加利福尼亚州教师们的研讨会上，我告诉他们，我没有背诵过


乘法表，虽然我每天都和数学打交道，但没有记住乘法表这件事从来


都没有成为我前进的绊脚石。当我把这些分享给满屋的教师时，有四

名教师激动地哭了。在午饭期间，其中一名教师抽泣着告诉我，我说


的话改变了她的人生。她从小就背不下来乘法表，而且她的父亲也认


为她的数学能力有缺陷。她还告诉我，有一次她和校长坐在一起，她


非常害怕她的“数学缺陷”被校长发现。



如果想学好英文，想读懂英文小说、诗歌，学生们需要记忆大量的单


词。但没有哪个学习英文的学生说或者认为，学习英语就等同于快速


记忆和使用单词。这是因为我们通过在不同情景下使用单词来记忆他

们，比如听、说、读、写。英语老师也不会先给学生几百个单词去背


诵，然后再通过限时考试对他们进行测试。所有科目的学习都会涉及


到常识的记忆，为什么只有数学科目要用限时考试来测试学生呢？我


们的研究结果已经显示，通过丰富多彩的数学游戏和活动学习数学常

识更有效，现在正是利用这些证据把学生们从数学恐惧中解放出来的


好时机。




数学实践有多重要

当我告诉家长和教师，学生应该从多个角度学习数学时，一些家长问

道：“难道学生不需要做很多的练习来巩固所学的知识吗？”其实这些


家长提到的练习就是那些一页接着一页、重复性的数学习题。




关于学生们要不要做习题或者做多少习题一直是一个很有争议的问

题。我们知道，大脑在我们学习时会产生新的神经突触与连接，但如


果让这些突触与连接以及结构路径在大脑中永久性的存留，我们需要


深入的、重复性的学习。但深入重复性的学习是什么意思呢？这里的


重复性学习是指我们要时常温习所学的概念或者观点，一遍一遍地做

习题对学习并没有帮助。当你学习了一个新的数学概念时，经常回顾


思考这个概念对学习很有益，最好的回顾思考方法就是在不同的情境


中使用这个概念。如果我们把一个概念的最简单版本教授给学生，然

后又让他们做很多简单习题来复习这个概念，那么我们对学生造成的


伤害是极大的。让学生不停地做简单习题是没有必要的，而且这样会


让学生对数学产生厌恶情绪，甚至放弃数学。



在马尔科姆·格拉德威尔（Malcolm Gladwell）的畅销书《异类：不


一样的成功启示录》（Outliers）中，他提出了10000个小时法则，


也就是一个人在某个领域从事10000个小时后，他就可以成为这个领

域的专家 。格拉德威尔在书中为我们描述了一些著名的音乐家、棋手


和运动明星的成就，他向我们揭示了一些很重要的东西。很多人认为


像贝多芬这样的人都是天才，但格拉德威尔却告诉我们，这些人也是

通过长年累月的勤奋努力才获得了伟大的成就，当然这些人的成功也

归功于他们的成长式思维模式。




但很不幸的是，人们好像曲解了格拉德威尔的10000小时法则，他们


认为只要学生们做10000个小时的数学习题，就可以成为数学能力很

强的人。这显然是不正确的。只有以正确的方式学习并运用数学


10000小时，我们才能成为数学方面的专家。我们不能让学生就一个


简单的解题方法练习很多遍，这不是学习数学的正确方式，这种做法


也不会让学生学习到数学专家们所掌握的数学概念以及概念之间的相

互关系。如果你想在数学方面学习或者工作10000个小时，那么请你


在这个过程中将数学看成一个完整的科目，深入思考数学概念以及概


念之间的关系，培养逻辑推理和解决实际问题的能力。



美国大部分教科书的作者都是基于简单孤立的解题方法来写书。这样


的教科书会给我们带来很多问题。首先，只是单调重复地做习题会让


学生对数学产生厌恶情绪，当他们认识到自己在学数学时所做的是被

动接受解题方法，而且还要一遍一遍地练习时，他们就会放弃数学 。


其次，教课书中的方法孤立而简单，习题也是如此，学生们也不知道


以后会在何时何地使用这些方法。



这样的教科书在介绍数学概念时也会出现问题，它们介绍的概念版本


都是最简单且不全面的。在示例4.1中，我们可以看到学生给出的某些


数学题的答案，这些答案将教科书的问题展露无遗。

示例4.1



如果你问一个11岁的学生以下问题：直线a与直线c平行吗？






























三条平行线




大部分学生会回答：“不平行，因为中间夹着直线b。”出现这个结果的

原因：平行直线的定义总是由两条直线定义，如下图：

























两条平行线

如果你问学生下面的图形是什么形状：

























不规则六边形



大部分的学生不知该如何回答。这个形状是一个六边形（就是有六条


边的多边形），但六边形的定义总是通过下图来表示：





























正六边形




而这个图形根本不能说明六边形定义的本质。

超过一半以上的八岁儿童觉得下面的图形不是一个直角、不是一个三


角形、不是一个正方形、不是一组平行线……























不常见的图形概念




孩子们不认识这些图形的原因是，这些图形概念通常都以最简单的方

式表现出来。如下图：






















常见的图形概念




示例4.1为我们反馈了一个非常重要的信息：如果教科书在介绍一个概


念时只介绍最狭隘的那个版本，那么学生们就无法真正理解这个概

念。因为教科书上提供的都是一些“完美的”例子，所以导致他们无法

识别其他不完美的例子。当我们讲解一个定义时，我们应该为学生多

提供几个例子，不只是完美的例子，也要有几乎不符合定义或者完全


不符合定义的例子。




教师在给学生讲解数学概念时，也应该注意讲解的广度与深度，有时

候诠释某个概念的最好方法就是不给任何例子。即使在给出例子的情


况下，也要同时给出符合定义与不符合定义的例子，而不是一味地提


供完美的例子。打个比方，当我们学习什么是鸟类时，我们最好说明


蝙蝠为什么不是鸟类，而不是举出更多的像麻雀或者乌鸦这样的鸟

类。




只通过“完美”例子学习概念给学生带来的问题与只通过重复练习学习

数学给学生带来的问题是类似的。学生所做的练习题通常用非常简单


的计算流程就可以解决。他们的确学习了解题方法，但在遇到现实世


界中的数学题或者需要使用现实世界中的数学（非教科书上的数学）


时，他们无法使用这些方法解决问题 。解决现实的数学题通常都需要

方法的选择与调整，而学生在学习数学时从来没有学过甚至思考过这


些。在下一章，我会给大家介绍现实世界中的数学题。




在英国的一项研究中，我对两组处于不同教学模式下的学生跟踪调查

了三年 。一组学生采用传统教学模式，教师教授给他们的是简单的数


学，同时他们还要做很多重复性的简单习题。另一组学生采用新的教

学模式，教师教授给他们的是复杂的、全面的、概念性的数学，同时

他们在解决数学题时要自己挑选、调整和使用数学方法。




虽然这两种教学模式在不同的学校进行，但学生的家庭背景、知识背


景和数学水平基本上是相同的。我把这两种模式的教学效果做了比

较。在全国数学考试中，处于传统教学模式下学生的成绩要比处于新


教学模式下学生的成绩低很多。传统教学模式下的学生在全国考试中


面临的一个主要问题就是：对于一个问题，他们不知道用哪一个方法


去解决。虽然这些学生把每一个解题方法都练习了千百遍，但他们从

来没有被要求针对一个问题去选择一个方法。以下是两个处于传统教


育模式下的学生对他们考试时遇到的困难的反思：



你会觉得自己太愚蠢了。因为你在课堂上做了所有的练习，即使练习


题很难，你也只会做错一两道题，但大部分的题你都能做对啊。这时


你自然会认为：当我考试时，我也能做对大部分的题。但事实并不是


这样的。（艾伦，Amber Hill中学）



全国考试题是不同的，这些题表面上看起来和书上的题相似，但并不


同。考试题没有明确地告诉你问题是什么，这一点和教科书上的题不


同，而且和老师讲的题也不同。（盖里，Amber Hill中学）



美国和英国学生数学太差的两个主要原因就是，数学学得过于简单和


大量重复性的简单习题，这也是为什么学生不具备数学式思维的主要

原因。在学习数学时，学生们认识到，自己的角色不是思考与意义构

建，而是学习解题方法然后不停地做题练习。这就导致他们认为，在


数学课上没有思考的机会。




在美国的另一项研究中，我们询问学生，他们在数学课堂上主要做什

么 。居然有97%的学生说：“密切注意老师做什么。”这种“密切注意


老师做什么”（不是思考、推理和意义构建）不利于学生对数学知识的


理解，也不会促进学生数学式思维的培养。



数学教师经常会给学生布置家庭作业，这些家庭作业都是习题。目前


有很多研究显示，任何形式的家庭作业都是不必要、甚至是对学生有


害的，我会在第六章给大家讲这方面的详细内容。作为家长，我清楚

地知道，数学作业是孩子们哭闹的最主要原因，让孩子感到压力最大


的学科也是数学，尤其是当数学作业都是一长串孤立重复的习题时。




当孩子们回家要面对整页整页的练习题时，家里晚上的气氛基本上都


会变差。但现在我们有了新的希望：那些不再布置数学作业的学校发

现，学生的数学成绩并没有下滑，而且他们的家庭生活质量也有了显


著地提高 。



很多研究表明，是否布置家庭作业对学生的数学成绩基本上没有影响


，而且家庭作业还会导致不平等的出现 （详见第六章），家庭作业还


会对家长和孩子们的生活产生危害。研究还显示，家庭作业只有在能