แผน ค32102

สงิ่ ทว่ี ดั วธิ ีการวดั เครื่องมือวดั เกณฑก์ ารประเมิน
ใบกิจกรรมท่ี 2
ดา้ นทกั ษะและ พจิ ารณาความ พจน์ทวั่ ไป เรยี งไป เกณฑ์การให้คะแนน :
เป็นลำดับ กำหนดเกณฑก์ ารให้คะแนน
กระบวนการทาง ถูกต้องจากการตอบ แบบวเิ คราะห์
แบบประเมนิ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
คณิตศาสตร์ (P) ใบกิจกรรมท่ี 2 จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถเขยี นแสดง
การเรยี นรู้ ลำดบั โดยเขยี นแจกแจงพจน์
1. นกั เรียนสามารถเขยี น พจนท์ ว่ั ไป เรียงไป ของลำดบั และสามารถหาพจน์
ใด ๆ จากพจนท์ ่วั ไปของลำดับ
แสดงลำดับโดยเขยี นแจก เปน็ ลำดบั ได้

แจงพจน์ของลำดบั ได้ เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
2. นักเรียนสามารถหา จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรียนมคี วามต้งั ใจและ
พจน์ใด ๆ จากพจนท์ ว่ั ไป รับผดิ ชอบในการปฏิบัติ
กิจกรรมท่ีได้รับมอบหมายจน
ของลำดับได้
สำเรจ็ และถกู ต้องสมบรู ณ์
ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ พิจารณาจาก ภายในระยะเวลาท่ีกำหนด
จะได้ 2 คะแนน
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรือความ ถา้ นักเรียนมคี วามตง้ั ใจและ
รับผดิ ชอบในการปฏบิ ัติ
1. มีวินัย เหมาะสมในการ กิจกรรมทไี่ ดร้ ับมอบหมาย
สำเรจ็ แต่มีข้อบกพรอ่ ง
2. ใฝเ่ รียนรู้ แสดงออกของ บางส่วนภายในระยะเวลาท่ี
กำหนด
นักเรยี นขณะลงมอื จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นเอาใจใส่ตอ่ การ
ปฏบิ ตั ิและอภปิ ราย ปฏบิ ตั ิกิจกรรมทีไ่ ด้รบั
มอบหมายแต่ไม่สำเรจ็ ภายใน
เหตุผลในการหา
ระยะเวลาท่กี ำหนด
คำตอบเปน็ จะได้ 0 คะแนน
ถ้านักเรียนไม่เอาใจใสต่ อ่ การ
รายบุคคล โดยครู ปฏิบตั ิกจิ กรรมทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
เปน็ ผู้สังเกต ระยะเวลาทกี่ ำหนด
เกณฑก์ ารประเมินผล :

สิง่ ที่วดั วธิ กี ารวัด เครือ่ งมือวัด เกณฑก์ ารประเมิน

ด้านสมรรถนะสำคัญของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมนิ นักเรยี น (คนใด) ได้คะแนน 2
ผเู้ รยี น (C) ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ คะแนน จากคะแนนเต็ม 3
นักเรียน การเรยี นรู้ คะแนน
1. นกั เรียนมี ถอื วา่ ผา่ น
ความสามารถในการ
เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
แกป้ ัญหา พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านักเรียนสามารถแก้ปัญหาท่ี
กำหนดไวโ้ ดยคำนงึ ถึงหลักของ
เหตแุ ละผล พรอ้ มตรวจสอบ
ความ
สมเหตุสมผลของคำตอบได้
อย่างครบถ้วน
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรยี นสามารถแกป้ ัญหาที่

กำหนดไว้โดยคำนึงถึงหลกั ของ
เหตแุ ละผล พร้อมตรวจสอบ
ความสมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างขอ้
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านกั เรยี นมีความพยายามใน
การแกป้ ญั หา โดยคำนึงถึง
หลักของเหตแุ ละผล แตไ่ ม่
สำเรจ็
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรียนไมม่ ีร่องรอยของ
การทำใบกจิ กรรม
เกณฑ์การประเมนิ ผล :

นกั เรยี น (คนใด) ไดค้ ะแนน 2
คะแนน จากคะแนนเตม็ 3
คะแนน
ถือวา่ ผา่ น

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 3

กลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์4 (ค 32102) ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5

หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 เรอ่ื งลำดับและอนุกรม เวลา 30 ชวั่ โมง

เรื่อง การหาพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั (1) เวลา 1 ช่วั โมง

ครูผสู้ อน นางสาววิลาวัลย์ ปล้องนริ าศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรยี นรู้

มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตัวชว้ี ดั

สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณติ

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้

ตัวชี้วัด

ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กีย่ วกบั ลำดับและอนุกรมไปใช้

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)

1. นักเรียนเข้าใจการเขียนแสดงลำดับโดยเขียนพจน์ท่วั ไปของลำดบั

2. นกั เรยี นเขา้ ใจวิธีการหาพจน์ท่วั ไปของลำดับได้

ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)

1. นักเรียนสามารถเขยี นแสดงลำดบั โดยเขยี นพจน์ทวั่ ไปของลำดับได้

2. นักเรียนสามารถหาพจน์ทวั่ ไปของลำดับได้

ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)

1. มีวนิ ัย

2. ใฝเ่ รียนรู้

สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน (C)

1. นกั เรยี นมคี วามสามารถในการแก้ปญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
การเขียนแสดงลำดับโดยเขียนพจนท์ ่วั ไปของลำดบั สามารถทำไดโ้ ดยเขยี นลำดบั ในรูปของสูตร

พจนท์ ว่ั ไปของลำดับ
วิธีการหาพจน์ท่ัวไปของลำดบั สามารถทำได้โดย
ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์

มีความสัมพนั ธก์ ันอยา่ งไร
ขนั้ ท่ี 2 หาจดุ ร่วมที่มีความสมั พันธ์กบั ลำดับท่ีของพจน์ และจดั รูปแบบใหส้ อดคล้องกับลำดับ

ทขี่ องพจน์
ข้ันท่ี 3 นำมาเขียนในรูปของพจน์ทว่ั ไป

3. สาระการเรยี นรู้
ทบทวน
ตัวอยา่ งทบทวน จงหาสีพ่ จน์แรกของลำดับ an = 2n - 3
วิธีทำ แทน n ใน an = 2n - 3 ด้วย 1, 2, 3 และ 4 จะได้ 4 พจน์แรกของลำดับดังนี้
a1 = 2(1) - 3 = -1
a2 = 2(2) - 3 = 1
a3 = 2(3) - 3 = 3
a4 = 2(4) - 3 = 5
ดงั นน้ั ส่ีพจน์แรกของลำดบั คอื -1, 1, 3 และ 5
การเขียนแสดงลำดับโดยเขยี นพจน์ท่วั ไปของลำดบั
ในกรณีที่เราต้องการหาค่าของพจน์ของลำดับที่มีจำนวนมาก เราสามารถทำได้โดยการ

ใช้พจน์ทัว่ ไปมาช่วย ซึ่งเป็นการเขียนแสดงลำดับโดยเขียนพจน์ทั่วไปของลำดบั วิธีการนีจ้ ะเขียนลำดบั ใน
รปู สตู รของพจน์ท่ัวไปของลำดับ เชน่

หยอดเงินลงในกระปุกออมสินวันละ 5 บาท เป็นเวลา 7 วัน จำนวนเงินในกระปุก ในวันที่ n
สามารถเขียนเปน็ ลำดบั คือ an = 5n เม่อื n{1,2,3,4,5,6,7}

จำนวนเต็มตัง้ แต่ 1 ถึง 100 สามารถเขยี นเปน็ ลำดับ คอื an = n เมอื่ n{1,2,3,4,5,6,7}
จำนวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้นด้วยการแบ่งเซลล์จากหนึ่งเป็นสอง โดยเริ่มต้นมีแบคทีเรียหนึ่งเซลล์
และแบ่งเซลล์ทุกวินาที เขียนจำนวนแบคทีเรียในวินาทีที่ n สามารถเขียนเป็นลำดับ คือ an = 2n เมื่อ n
เปน็ จำนวนเตม็ บวก
ตวั อยา่ งที่ 1 ให้นักเรียนหาพจนท์ ่ัวไปของลำดบั 1, 2, 4, 8, …
จะได้ a1 = 1= 20

a2 = 2 = 21
a3 = 4 = 22
a4 = 8 = 23
an = 2n-1
ตัวอย่างท่ี 2 ใหน้ ักเรียนหาพจนท์ ่ัวไปของลำดับ 5, 10, 15, 20, …
จะได้ a1 = 5 = 5(1)
a2 = 10 = 5 + 5 = 5(2)
a3 =15 = 5 + 5 + 5 = 5(3)
a4 = 20 = 5 + 5 + 5 + 5 = 5(4)
an = 5n

4. ชิน้ งาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมที่ 3 การหาพจน์ทว่ั ไปของลำดบั (1)

5. กจิ กรรมการเรียนรู้
5.1 ข้ันนำเขา้ สู่บทเรยี น (10 นาที)

5.1.1 ครูทบทวนเกี่ยวกบั การหาพจน์ใด ๆ จากพจน์ทั่วไปของลำดบั โดยการยกตัวอย่าง
ตวั อยา่ งทบทวน จงหาส่พี จนแ์ รกของลำดบั an = 2n - 3
วธิ ีทำ แทน n ใน an = 2n - 3 ด้วย 1, 2, 3 และ 4 จะได้ 4 พจนแ์ รกของลำดับดังนี้

a1 = 2(1) - 3 = -1
a2 = 2(2) - 3 = 1
a3 = 2(3) - 3 = 3
a4 = 2(4) - 3 = 5
ดงั นั้น สี่พจน์แรกของลำดับ คอื -1, 1, 3 และ 5

5.1.2 ครูถามนักเรยี นวา่ การหาพจนใ์ ด ๆ จากพจนท์ ว่ั ไปของลำดับสามารถทำได้อยา่ งไร
(แนวคำตอบ สามารถทำได้โดยการแทนค่า n ลงในพจนท์ วั่ ไปของลำดับ)

5.1.3 ครูถามนกั เรยี นว่าสองพจน์ถัดไปของลำดับ 1, 2, 4, 7, … คืออะไร
(แนวคำตอบ 11 และ 16)
5.1.4 ครูถามนักเรียนวา่ พจน์ท่ี 100 ของลำดับ 1, 2, 4, 7, … คืออะไร นักเรียนสามารถหาได้

หรือไม่
(แนวคำตอบ สามารถหาได/้ ไม่สามารถหาได้)

5.1.5 ครูอธิบายนักเรียนว่าในกรณีที่เราต้องการหาค่าของพจน์ของลำดับที่มีจำนวนมาก เรา
สามารถทำได้โดยการใชพ้ จน์ทว่ั ไปมาช่วย ซึง่ เป็นการเขยี นแสดงลำดบั โดยเขยี นพจน์ทั่วไปของลำดับ

5.2 ข้ันกจิ กรรมการเรยี นรู้ (35 นาที)

5.2.1 ครูอธิบายนักเรยี นเกีย่ วกับการเขยี นแสดงลำดับโดยเขียนพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั
วธิ ีการน้จี ะเขียนลำดับในรูปสตู รของพจน์ทว่ั ไปของลำดับ เชน่

หยอดเงินลงในกระปุกออมสินวันละ 5 บาท เป็นเวลา 7 วัน จำนวนเงินในกระปุกใน
วันท่ี n สามารถเขียนเป็นลำดบั คือ an = 5n เม่อื n{1,2,3,4,5,6,7}

จำนวนเต็มตัง้ แต่ 1 ถึง 100 สามารถเขยี นเป็นลำดบั คอื an = n
เมื่อ n{1,2,3,4,5,6,7}

จำนวนแบคทีเรียที่เพิ่มขึ้นด้วยการแบ่งเซลล์จากหนึ่งเป็นสอง โดยเริ่มต้นมีแบคทีเรีย
หน่งึ เซลลแ์ ละแบง่ เซลลท์ กุ วนิ าที เขียนจำนวนแบคทีเรียในวนิ าทที ี่ n สามารถเขยี นเปน็ ลำดบั คือ an = 2n
เมื่อ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก

5.2.2 ครยู กตวั อยา่ งท่ี 1 ให้นกั เรยี นหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 1, 2, 4, 8, …
- ครูให้นักเรยี นสงั เกตจากพจน์ที่ 1 ไปพจนท์ ่ี 2, ไปพจนท์ ่ี 3, … และถามนกั เรียนว่าพจน์แต่ละ

พจนม์ คี วามสัมพนั ธก์ นั อยา่ งไร
(แนวคำตอบ พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเพิ่มขึ้น 2 เท่าของพจน์ที่อยู่ก่อนหน้า หรือเป็นเลข

ยกกำลงั ท่ีมฐี านเปน็ 2)

จะได้ a1 = 1= 20
a2 = 2 = 21
a3 = 4 = 22
a4 = 8 = 23

- ครูให้นักเรียนสังเกตเลขชี้กำลังของสองและลำดับที่ของพจน์ แล้วถามนักเรียนว่า
เลขชีก้ ำลังของสองและลำดับท่ีของพจนม์ คี วามสัมพนั ธก์ ันอย่างไร

(แนวคำตอบ เลขช้ีกำลังมีความสมั พันธ์กบั ลำดบั ทข่ี องพจน์โดยมคี า่ นอ้ ยกว่าอยู่ 1)
- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จะสามารถเขยี นพจน์ท่วั ไปหรือ an ได้ว่าอย่างไร
(แนวคำตอบ พจน์ทั่วไปจะอยู่ในรูปของเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 2 และมีเลขชี้กำลัง
น้อยกวา่ ลำดับทพ่ี จนอ์ ยู่ 1 หรือ an = 2n-1 )
5.2.3 ครยู กตวั อยา่ งที่ 2 ใหใ้ ห้นกั เรียนหาพจนท์ ั่วไปของลำดับ 5, 10, 15, 20, …
- ครูใหน้ กั เรียนสงั เกตจากพจนท์ ี่ 1 ไปพจนท์ ่ี 2, ไปพจนท์ ่ี 3, … โดยการจดั รูปของลำดับให้อยู่
ในรูปแบบเดียวกัน แล้วถามนักเรยี นวา่ พจน์แต่ละพจน์มคี วามสมั พันธ์กนั อยา่ งไร

(แนวคำตอบ พจนท์ ี่อยถู่ ัดไปจะเพ่ิมข้นึ ทลี ะ 5 ของพจน์ท่อี ยกู่ ่อนหนา้ หรือเพ่ิมข้ึนเป็นพหุคูณ
ของหา้ )

จะได้ a1 = 5 = 5(1)
a2 = 10 = 5 + 5 = 5(2)
a3 =15 = 5 + 5 + 5 = 5(3)
a4 = 20 = 5 + 5 + 5 + 5 = 5(4)

- ครูให้นักเรียนสังเกตจำนวนพหุคูณของห้าและลำดับที่ของพจน์ แล้วถามนักเรียนจำนวน

พหุคูณของห้าและลำดบั ทข่ี องพจน์มีความสัมพันธก์ นั อยา่ งไร
(แนวคำตอบ จำนวนพหคุ ูณของหา้ จะเปน็ จำนวนเดียวกบั ลำดบั ท่ขี องพจน์)
- ครูถามนักเรียนว่าจะสามารถเขยี นพจน์ทั่วไปหรือ an ไดว้ ่าอยา่ งไร
(แนวคำตอบ พจนท์ ัว่ ไปจะอยใู่ นรูปของกรณฑ์ของลำดบั ทีข่ องพจน์ an = 5n)
5.2.4 ครใู ห้นกั เรียนทำใบกิจกรรมที่ 3 การหาพจนท์ ่ัวไปของลำดบั (1) โดยครูเดินสงั เกตและให้

คำปรึกษานักเรยี นเป็นรายบุคคล
5.2.5 ครเู ฉลยใบกจิ กรรมที่ 3 การหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดับ (1)

5.3 ขัน้ สรปุ (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันสรปุ การเขียนแสดงลำดับโดยเขยี นพจนท์ ั่วไปของลำดับ สามารถ
ทำไดโ้ ดยเขยี นลำดับในรปู สูตรของพจนท์ ัว่ ไปของลำดับ

5.3.2 ครูและนักเรียนร่วมกันสรปุ วิธีการหาพจนท์ วั่ ไปของลำดับ สามารถทำไดโ้ ดย
ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์มี

ความสมั พันธก์ นั อยา่ งไร

ขน้ั ที่ 2 หาจดุ รว่ มทีม่ คี วามสมั พันธก์ บั ลำดับที่ของพจน์ และจัดรปู แบบใหส้ อดคล้องกับลำดับ
ท่ขี องพจน์

ขั้นท่ี 3 นำมาเขยี นในรปู ของพจน์ท่ัวไป

6. สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้
6.1 สอ่ื การเรียนรู้

- สื่อการสอน PowerPoint เร่ืองการหาพจนท์ ่วั ไปของลำดับ
- ใบกิจกรรมท่ี 3 การหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั (1)
6.2 แหลง่ การเรียนรู้

-

7. การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

ส่งิ ที่วัด วิธกี ารวดั เครอ่ื งมอื วัด เกณฑ์การประเมนิ

จุดประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 3 การหา เกณฑก์ ารให้คะแนน :

ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถูกต้องจากการตอบ พจน์ทั่วไปของลำดับ ใบกิจกรรมท่ี 3 การหา

(K) ใบกิจกรรมท่ี 3 การ (1) พจนท์ วั่ ไปของลำดบั (1)

1. นักเรียนเข้าใจการเขียน หาพจนท์ วั่ ไปของ ข้อ 1 – 5

แสดงลำดับโดยเขียนพจน์ ลำดับ (1) ขอ้ ละ 4 คะแนน โดย

ทวั่ ไปของลำดับ ถา้ นักเรยี นแสดงวธิ ีทำ

2. นักเรียนเข้าใจวิธีการหา ไดถ้ ูกตอ้ งครบถว้ น

พจนท์ ัว่ ไปของลำดับได้ จะได้ 2 คะแนน

ถ้านักเรยี นแสดงวิธีทำ

ไดถ้ กู ต้องบางสว่ น

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นักเรียนหาพจนท์ วั่ ไป

ไดถ้ ูกตอ้ ง

จะได้ 2 คะแนน

ถา้ นกั เรียนแสดงวิธีทำ

และหาพจนท์ ่ัวไปไม่

ถูกตอ้ ง

จะได้ 0 คะแนน

เกณฑก์ ารประเมินผล :
ใบกจิ กรรมท่ี 3 การหา

พจน์ทั่วไปของลำดับ (1)
ขอ้ 1 – 5

ถ้า นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 10 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 20 คะแนน

ถือว่าผา่ น

สิ่งทว่ี ดั วิธกี ารวัด เครอ่ื งมือวัด เกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านทักษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ ใบกิจกรรมที่ 3 การหา เกณฑ์การให้คะแนน :

ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถูกต้องจากการตอบ พจน์ทั่วไปของลำดับ กำหนดเกณฑก์ ารให้

1. นักเรียนสามารถเขียน ใบกิจกรรมท่ี 3 การ (1) คะแนนแบบวเิ คราะห์

แสดงลำดับโดยเขียนพจน์ หาพจน์ทวั่ ไปของ เกณฑ์การประเมนิ ผล :

ทวั่ ไปของลำดับได้ ลำดับ (1) นักเรยี นสามารถเขยี น

2. นักเรียนสามารถหาพจน์ แสดงลำดับโดยเขียนพจน์

ทัว่ ไปของลำดับได้ ทว่ั ไปของลำดับและหา

พจนท์ ว่ั ไปของลำดับได้

ด้านคณุ ลักษณะอนั พงึ พิจารณาจาก แบบประเมนิ เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรือความ
จุดประสงค์ พิจารณารายบุคคล
1. มวี ินัย เหมาะสมในการ
2. ใฝ่เรียนรู้ แสดงออกของ การเรียนรู้ จะได้ 3 คะแนน
นักเรยี นขณะ
ถ้านกั เรียนมคี วามตง้ั ใจ
ลงมอื ปฏบิ ตั ิและ
อภปิ รายเหตผุ ลใน และรบั ผิดชอบในการ

การหาคำตอบเป็น ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมทไ่ี ด้รับ
รายบุคคล โดยครู
เปน็ ผู้สังเกต มอบหมายจนสำเรจ็ และ

ถูกตอ้ งสมบูรณภ์ ายใน

ระยะเวลาท่กี ำหนด

จะได้ 2 คะแนน

ถา้ นักเรยี นมีความตัง้ ใจ

และรับผิดชอบในการ

ปฏบิ ัติกจิ กรรมทไี่ ด้รับ

มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี

ข้อบกพรอ่ งบางส่วน

ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด

จะได้ 1 คะแนน

ถ้านักเรยี นเอาใจใส่ตอ่ การ

ปฏิบัติกิจกรรมท่ีไดร้ ับ

มอบหมายแตไ่ มส่ ำเรจ็

ภายในระยะเวลาที่กำหนด

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นักเรยี นไมเ่ อาใจใส่ตอ่

การปฏิบตั ิกจิ กรรมทไี่ ดร้ ับ

มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน

ระยะเวลาทก่ี ำหนด

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

สิ่งท่ีวดั วธิ กี ารวัด เครอ่ื งมอื วัด เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมิน นกั เรียน (คนใด) ได้
ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ คะแนน 2 คะแนน จาก
ผเู้ รียน (C) นกั เรียน การเรยี นรู้ คะแนนเต็ม 3 คะแนน
1. นกั เรียนมคี วามสามารถ ถือวา่ ผา่ น

ในการแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านกั เรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาทกี่ ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ

แกป้ ญั หาท่กี ำหนดไว้โดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนมคี วามพยายาม
ในการแก้ปญั หา โดย
คำนึงถงึ หลักของเหตแุ ละ
ผล แตไ่ มส่ ำเรจ็
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไมม่ ีรอ่ งรอย
ของการทำใบกิจกรรม

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 4

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์4 (ค 32102) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 เร่ืองลำดับและอนกุ รม เวลา 30 ช่ัวโมง

เร่ือง การหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั (2) เวลา 1 ช่ัวโมง

ครผู ู้สอน นางสาววิลาวัลย์ ปลอ้ งนิราศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้

มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชวี้ ัด

สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้

ตัวชีว้ ดั

ค 1.2 ม.5/2 เข้าใจและนำความรู้เกีย่ วกับลำดับและอนกุ รมไปใช้

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)

1. นักเรียนเข้าใจการเขียนแสดงลำดับโดยเขียนพจนท์ ่วั ไปของลำดบั

2. นักเรียนเข้าใจวิธกี ารหาพจนท์ วั่ ไปของลำดบั ได้

ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)

1. นักเรยี นสามารถเขียนแสดงลำดับโดยเขยี นพจน์ท่ัวไปของลำดบั ได้

2. นกั เรียนสามารถหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั ได้

ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)

1. มวี นิ ยั

2. ใฝเ่ รยี นรู้

สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น (C)

1. นักเรยี นมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)
วธิ ีการหาพจนท์ ่วั ไปของลำดับ สามารถทำไดโ้ ดย

ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์มี
ความสัมพันธก์ ันอย่างไร

ขั้นท่ี 2 หาจดุ รว่ มทีม่ คี วามสัมพนั ธก์ ับลำดับท่ีของพจน์ และจดั รปู แบบใหส้ อดคล้องกับลำดับ

ที่ของพจน์
ขั้นท่ี 3 นำมาเขยี นในรูปของพจนท์ ว่ั ไป

3. สาระการเรียนรู้
ตวั อย่างท่ี 3 ให้นกั เรยี นหาพจนท์ วั่ ไปของลำดบั 1 , 2 , 3 , 4 ,...
2345
1 1
จะได้ a1 = 2 = 1+1

a2 = 2 = 2
3 2+1
3 3
a3 = 4 = 3 + 1

a4 = 4 = 4 4 1
5 +
n
an = n + 1

ตวั อยา่ งท่ี 4 ให้นักเรียนหาพจน์ท่วั ไปของลำดับ 1, 2, 3, 2, ...

จะได้ a1 =1= 1
a2 = 2
a3 = 3

a4 = 2 = 4
an = n
ตวั อย่างที่ 5 ให้นกั เรยี นหาพจนท์ ่ัวไปของลำดับ 1, 3, 5, 7, …

จะได้ a1 =1=1+ 0 =1+ 2(0)
a2 = 3 =1+ 2 =1+ 2(1)
a3 = 5 =1+ 2 + 2 =1+ 2(2)
a4 = 7 =1+ 2 + 2 + 2 =1+ 2(3)
an = 2n - 1

4. ช้นิ งาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมท่ี 4 การหาพจน์ทัว่ ไปของลำดบั (2)

5. กจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ข้นั นำเข้าสบู่ ทเรยี น (5 นาที)
5.1.1 ครูใช้เกมทดสอบสมาธิ มีชื่อเกมว่า สีลวงตา โดยให้นักเรียนอ่าน สีพื้นหลัง

สีในตัวอกั ษร และตัวอกั ษร

ดำ สม้ เขยี ว ชมพู

ม่วง ฟา้ เหลือง แดง

5.1.2 ครอู ธบิ ายวธิ ีการเลน่ ดงั นี้
วธิ ีการเล่น
ครูจะใหน้ ักเรยี นบอกสีจากบตั รคำ 3 รอบ โดย
- รอบที่ 1 จะให้อ่านสีพืน้ หลัง
- รอบท่ี 2 สใี นตวั อักษร
- รอบท่ี 3 ตัวอกั ษร
5.1.3 ครูถามนักเรยี นว่าจากทไี่ ดเ้ รียนในคาบที่แลว้ การหาพจน์ทั่วไปสามารถหาได้อย่างไร
(แนวคำตอบ การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ สามารถทำไดโ้ ดย
ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์
มคี วามสัมพนั ธ์กันอยา่ งไร
ขนั้ ท่ี 2 หาจุดร่วมทีม่ คี วามสัมพันธ์กบั ลำดบั ท่ขี องพจน์ และจัดรูปแบบใหส้ อดคลอ้ งกับลำดับท่ี
ของพจน์
ขนั้ ท่ี 3 นำมาเขียนในรูปของพจนท์ ว่ั ไป)
5.2 ขัน้ กจิ กรรมการเรียนรู้ (40 นาที)
5.2.1 ครูยกตวั อยา่ งท่ี 3 ให้นกั เรยี นหาพจน์ทว่ั ไปของลำดบั 1 , 2 , 3 , 4 ,...

2345
- ครูให้นักเรียนสังเกตจากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … โดยสังเกตเป็นลำดับ
ของเศษและลำดบั ของสว่ น แลว้ ถามนักเรียนวา่ พจนแ์ ตล่ ะพจนม์ ีความสมั พันธก์ ันอย่างไร
(แนวคำตอบ ลำดับของเศษจะเริ่มต้นที่ 1 โดยพจน์ที่อยู่ถัดไปจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 ของ
พจน์ที่อยู่ก่อนหน้า และลำดับของส่วนจะเริ่มต้นที่ 2 โดยพจน์ที่อยู่ถัดไปจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 ของ
พจนท์ อ่ี ยกู่ อ่ นหน้า)

จะได้ a1 = 1 = 1
2 1+1
2 2
a2 = 3 = 2 + 1

a3 = 3 = 3 3 1
4 +
4 4
a4 = 5 = 4 + 1

- ครูให้นักเรียนสังเกตตัวเศษ ตัวส่วน และลำดับที่ของพจน์ แล้วถามนักเรียนว่าตัวเศษ

ตวั ส่วน และลำดบั ทีข่ องพจน์มีความสัมพนั ธก์ ันอย่างไร

(แนวคำตอบ ตัวเศษจะเป็นจำนวนเดียวกับลำดับที่ของพจน์และตัวส่วนมีความสัมพันธ์กับ

ลำดับที่ของพจน์โดยมคี ่ามากกว่าอยู่ 1)

- ครถู ามนักเรียนวา่ จะสามารถเขียนพจนท์ ว่ั ไปหรอื an ไดว้ า่ อย่างไร
n)
(แนวคำตอบ พจน์ท่ัวไปจะอยู่ในรูปของ an = n+1

5.2.2 ครูยกตัวอย่างที่ 4 ใหน้ กั เรียนหาพจน์ทว่ั ไปของลำดับ 1, 2, 3, 2, ...

- ครูให้นักเรียนสังเกตจากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … และถามนักเรียนว่า

พจน์แตล่ ะพจน์มคี วามสมั พันธก์ ันอยา่ งไร

(แนวคำตอบ พจน์ท่ีอย่ถู ัดไปจำนวนในกรณฑ์จะเพิ่มขึ้นทีละ 1 ของพจนท์ ี่อย่กู ่อนหน้า)

จะได้ a1 =1= 1
a2 = 2

a3 = 3
a4 = 2 = 4
- ครูให้นักเรียนสังเกตจำนวนที่ในกรณฑ์และลำดับที่ของพจน์ แล้วถามนักเรียนว่าจำนวนใน

กรณฑ์และลำดบั ทข่ี องพจน์มคี วามสัมพนั ธ์กนั อยา่ งไร

(แนวคำตอบ ในกรณฑ์จะเป็นจำนวนเดยี วกับลำดบั ทข่ี องพจน์)

- ครูถามนักเรยี นวา่ จะสามารถเขยี นพจนท์ ว่ั ไปหรอื an ได้ว่าอย่างไร

(แนวคำตอบ พจน์ทวั่ ไปจะอย่ใู นรปู กรณฑ์ของลำดับทข่ี องพจน์หรอื an = n )
5.2.3 ครูยกตวั อยา่ งท่ี 5 ให้นักเรยี นหาพจนท์ วั่ ไปของลำดบั 1, 3, 5, 7, …

- ครูให้นักเรียนสังเกตจากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … แล้วถามนักเรียนว่า

พจน์แต่ละพจนม์ คี วามสมั พนั ธ์กนั อยา่ งไร

(แนวคำตอบ พจน์ทีอ่ ยู่ถัดไปจะเพ่มิ ขึน้ ทีละ 2 ของพจนท์ อ่ี ย่กู อ่ นหนา้ )

จะได้ a1 =1=1+ 0 =1+ 2(0)
a2 = 3 =1+ 2 =1+ 2(1)
a3 = 5 =1+ 2 + 2 =1+ 2(2)

a4 = 7 =1+ 2 + 2 + 2 =1+ 2(3)
- ครูให้นักเรียนสังเกตจำนวนทีค่ ูณกับสองและลำดบั ที่ของพจน์ แล้วถามนักเรยี นจำนวนทีค่ ูณ

กบั สองและลำดบั ทข่ี องพจน์มคี วามสัมพนั ธก์ นั อย่างไร
(แนวคำตอบ จำนวนทค่ี ณู กบั สองจะน้อยกว่าลำดับทขี่ องพจน์อยู่ 1)
- ครถู ามนักเรยี นวา่ จะสามารถเขยี นพจน์ทวั่ ไปหรอื an ไดว้ ่าอยา่ งไร
(แนวคำตอบ พจนท์ ่ัวไปจะอยู่ในรูปของ an = 1+ 2(n - 1) หรือ an = 2n - 1)
5.2.4 ครใู หน้ กั เรยี นทำใบกิจกรรมที่ 4 การหาพจน์ทัว่ ไปของลำดับ (2) โดยครเู ดนิ สงั เกตและให้

คำปรกึ ษานักเรียนเปน็ รายบุคคล
5.2.5 ครูเฉลยใบกจิ กรรมท่ี 4 การหาพจน์ท่ัวไปของลำดบั (2)

5.3 ขัน้ สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรุปวิธีการหาพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั สามารถทำไดโ้ ดย
ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์มี

ความสัมพันธก์ ันอย่างไร
ขนั้ ที่ 2 หาจุดร่วมท่มี คี วามสมั พันธ์กับลำดับที่ของพจน์ และจดั รปู แบบใหส้ อดคล้องกับลำดับ

ท่ขี องพจน์

ขนั้ ท่ี 3 นำมาเขยี นในรปู ของพจน์ท่ัวไป

6. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้

6.1 สื่อการเรยี นรู้
- สือ่ การสอน PowerPoint เรื่องการหาพจนท์ ่วั ไปของลำดบั
- ใบกจิ กรรมท่ี 4 การหาพจน์ทวั่ ไปของลำดับ (2)

- PowerPoint เกมสลี วงตา
- บตั รคำ

6.2 แหล่งการเรียนรู้
-

7. การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

สงิ่ ที่วดั วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

จุดประสงค์การเรียนรู้ พจิ ารณาความ ใบกิจกรรมท่ี 4 การหา เกณฑก์ ารให้คะแนน :

ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถกู ตอ้ งจากการตอบ พจน์ทั่วไปของลำดับ ใบกจิ กรรมที่ 4 การหา

(K) ใบกิจกรรมที่ 4 การ (2) พจน์ทว่ั ไปของลำดบั (2)

1. นักเรียนเข้าใจการเขียน หาพจน์ทว่ั ไปของ ขอ้ 1 – 5

แสดงลำดับโดยเขียนพจน์ ลำดับ (2) ขอ้ ละ 4 คะแนน โดย

ทว่ั ไปของลำดบั ถา้ นกั เรยี นแสดงวธิ ีทำ

2. นักเรียนเข้าใจวิธีการหา ได้ถกู ต้องครบถ้วน

พจนท์ ่ัวไปของลำดับได้ จะได้ 2 คะแนน

สง่ิ ท่ีวัด วธิ กี ารวัด เครื่องมือวดั เกณฑ์การประเมนิ

ถ้านักเรยี นแสดงวธิ ีทำ

ได้ถูกตอ้ งบางสว่ น

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นักเรียนหาพจน์ทัว่ ไป

ได้ถกู ต้อง

จะได้ 2 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นแสดงวิธที ำ

และหาพจน์ท่วั ไปไม่

ถูกต้อง

จะได้ 0 คะแนน

เกณฑ์การประเมนิ ผล :

ใบกจิ กรรมท่ี 4 การหา

พจนท์ ั่วไปของลำดบั (2)

ขอ้ 1 – 5

ถ้า นกั เรียน (คนใด) ได้

คะแนน 10 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 20 คะแนน

ถอื วา่ ผ่าน

ด้านทักษะและกระบวนการ พิจารณาความ ใบกิจกรรมที่ 4 การหา เกณฑ์การให้คะแนน :

ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถูกต้องจากการตอบ พจน์ทั่วไปของลำดับ กำหนดเกณฑก์ ารให้

1. นักเรียนสามารถเขียน ใบกจิ กรรมท่ี 4 การ (2) คะแนนแบบวเิ คราะห์

แสดงลำดับโดยเขียนพจน์ หาพจน์ทว่ั ไปของ เกณฑ์การประเมินผล :

ทวั่ ไปของลำดับได้ ลำดบั (2) นกั เรยี นสามารถเขียน

2. นักเรียนสามารถหาพจน์ แสดงลำดับโดยเขยี นพจน์

ทั่วไปของลำดับได้ ทั่วไปของลำดบั และหา

พจน์ทัว่ ไปของลำดับได้

ด้านคุณลกั ษณะอนั พึง พิจารณาจาก แบบประเมิน เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรอื ความ
เหมาะสมในการ จุดประสงค์ พจิ ารณารายบุคคล
1. มวี ินัย
แสดงออกของ การเรยี นรู้ จะได้ 3 คะแนน
2. ใฝ่เรยี นรู้ นักเรียนขณะ
ถา้ นกั เรียนมีความตงั้ ใจ
ลงมือปฏบิ ัติและ
อภปิ รายเหตุผลใน และรับผิดชอบในการ
การหาคำตอบเป็น
ปฏิบัตกิ ิจกรรมทีไ่ ดร้ บั
รายบุคคล โดยครู
เปน็ ผ้สู ังเกต มอบหมายจนสำเร็จและ

ถูกต้องสมบรู ณภ์ ายใน

ระยะเวลาทก่ี ำหนด

จะได้ 2 คะแนน

สิง่ ทีว่ ดั วธิ ีการวดั เครอื่ งมือวดั เกณฑ์การประเมนิ

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมนิ ถา้ นักเรียนมีความต้งั ใจ
ผู้เรียน (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์ และรบั ผิดชอบในการ
การเรยี นรู้ ปฏบิ ตั ิกิจกรรมทไ่ี ดร้ ับ
1. นักเรยี นมคี วามสามารถ นกั เรียน มอบหมายสำเร็จ แตม่ ี
ในการแกป้ ญั หา ข้อบกพร่องบางส่วน
ภายในระยะเวลาท่ีกำหนด
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านกั เรยี นเอาใจใสต่ อ่ การ
ปฏิบตั ิกจิ กรรมทีไ่ ดร้ ับ

มอบหมายแตไ่ มส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาท่กี ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรียนไมเ่ อาใจใส่ต่อ
การปฏบิ ัติกิจกรรมที่ได้รับ
มอบหมายไมส่ ำเรจ็ ภายใน
ระยะเวลาทกี่ ำหนด
เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 3 คะแนน
ถือวา่ ผา่ น

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรียนสามารถ
แกป้ ัญหาทก่ี ำหนดไว้โดย
คำนึงถึงหลกั ของเหตแุ ละ
ผล พร้อมตรวจสอบความ

สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อย่างครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านักเรียนสามารถ
แก้ปัญหาทก่ี ำหนดไว้โดย
คำนึงถึงหลกั ของเหตุและ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ไดบ้ างข้อ

จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนมคี วามพยายาม

ในการแก้ปัญหา โดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล แตไ่ ม่สำเร็จ

จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นักเรียนไมม่ ีรอ่ งรอย

ของการทำใบกจิ กรรม
เกณฑก์ ารประเมินผล :
นกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือวา่ ผ่าน

แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 5

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 เรือ่ งลำดับและอนุกรม เวลา 30 ชั่วโมง

เรอื่ ง ทดสอบย่อยเรื่องความหมายของลำดบั เวลา 1 ชั่วโมง

ครผู ู้สอน นางสาววิลาวลั ย์ ปล้องนิราศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้

มาตรฐานการเรียนรู/้ ตวั ชว้ี ัด

สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณิต

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้

ตัวชี้วดั

ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรู้เกย่ี วกบั ลำดับและอนกุ รมไปใช้

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)

1. นักเรียนมคี วามรูค้ วามเขา้ ใจเกย่ี วกบั ความหมายของลำดับ

ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)

1. นักเรียนสามารถนำความรเู้ ร่อื งความหมายของลำดบั มาใชใ้ นการแก้ปัญหาได้

ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)

1. มีวินยั

2. ซ่อื สัตย์สุจรติ

สมรรถนะสำคัญของผเู้ รยี น (C)

1. นักเรียนมคี วามสามารถในการแกป้ ัญหา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)
ความหมายของลำดบั
ลำดับ (sequence) คือ ฟงั ก์ชนั ท่มี โี ดเมนเปน็ เซต {1,2,3,...,n} หรือมีโดเมนเปน็ เซตของจำนวน

เต็มบวก

ลำดบั จำกัด คือ ลำดับทีม่ ีโดเมนเปน็ เซต {1,2,3,...,n}

ลำดบั อนันต์ คอื ลำดบั ที่มโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเตม็ บวก

การเขียนแสดงลำดับ
การเขยี นแสดงลำดับโดยเขียนแจกแจงพจนข์ องลำดบั สามารถแบง่ ได้ 3 กรณี คือ
กรณที ี่ 1 ถ้าเป็นลำดบั จำกดั และมีจำนวนพจนไ์ ม่มาก สามารถเขยี นแสดงลำดบั โดยการเขียนพจน์
ท้งั หมดของลำดับ

กรณีที่ 2 ถ้าเป็นลำดับจำกัดและมีจำนวนพจน์มาก สามารถเขียนแสดงลำดับโดยการเขียนพจน์
แรก ๆ และใช้เคร่อื งหมาย ... เพ่อื ละพจนก์ ลาง ๆ ไว้ แล้วเขยี นพจน์สดุ ทา้ ยกำกบั

กรณีที่ 3 ถ้าเป็นลำดับอนันต์ สามารถเขียนแสดงลำดับโดยการเขียนพจน์แรก ๆ และ
ใช้เครอื่ งหมาย ... เพอ่ื ละพจนต์ ่อ ๆ ไป

การหาพจน์ใด ๆ จากพจน์ทั่วไปของลำดับ สามารถทำได้โดยการแทนค่า n ลงในพจน์ทั่วไปของ
ลำดับ

การเขยี นแสดงลำดบั โดยเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับ สามารถทำได้โดยเขยี นลำดบั ในรูปของสูตร
พจน์ทั่วไปของลำดับ

วธิ ีการหาพจน์ทัว่ ไปของลำดับ สามารถทำไดโ้ ดย
ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์มี

ความสมั พนั ธ์กนั อย่างไร
ข้ันท่ี 2 หาจุดรว่ มท่ีมคี วามสมั พนั ธก์ บั ลำดับท่ีของพจน์ และจัดรปู แบบให้สอดคล้องกับลำดับ

ที่ของพจน์
ขั้นท่ี 3 นำมาเขียนในรปู ของพจนท์ ่ัวไป

3. สาระการเรยี นรู้
ความหมายของลำดบั
ลำดับ (sequence) คอื ฟงั ก์ชนั ท่มี โี ดเมนเป็นเซต {1,2,3,...,n} หรือมโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวน

เตม็ บวก
ลำดับจำกดั คือ ลำดบั ทมี่ โี ดเมนเปน็ เซต {1,2,3,...,n}
ลำดบั อนนั ต์ คอื ลำดับทมี่ ีโดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก

การเขยี นแสดงลำดับ
การเขียนแสดงลำดบั โดยเขียนแจกแจงพจน์ของลำดบั สามารถแบ่งได้ 3 กรณี คอื
กรณที ี่ 1 ถา้ เปน็ ลำดับจำกัดและมีจำนวนพจน์ไมม่ าก สามารถเขียนแสดงลำดบั โดยการเขียนพจน์
ทั้งหมดของลำดบั
กรณีที่ 2 ถ้าเป็นลำดับจำกัดและมีจำนวนพจน์มาก สามารถเขียนแสดงลำดับโดยการเขียนพจน์
แรก ๆ และใชเ้ คร่ืองหมาย ... เพ่ือละพจนก์ ลาง ๆ ไว้ แลว้ เขยี นพจน์สุดท้ายกำกับ
กรณีที่ 3 ถ้าเป็นลำดับอนันต์ สามารถเขียนแสดงลำดับโดยการเขียนพจน์แรก ๆ และ
ใชเ้ ครื่องหมาย ... เพ่อื ละพจนต์ อ่ ๆ ไป
การหาพจน์ใด ๆ จากพจน์ทั่วไปของลำดับ สามารถทำได้โดยการแทนค่า n ลงในพจน์ทั่วไปของ
ลำดบั
การเขยี นแสดงลำดับโดยเขียนพจน์ทว่ั ไปของลำดับ สามารถทำได้โดยเขียนลำดบั ในรูปของสูตร
พจน์ทว่ั ไปของลำดับ

วธิ ีการหาพจน์ท่ัวไปของลำดับ สามารถทำได้โดย
ขั้นที่ 1 สังเกตความสัมพันธ์จากพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2, ไปพจน์ที่ 3, … พจน์แต่ละพจน์มี

ความสมั พันธ์กนั อยา่ งไร
ขัน้ ท่ี 2 หาจดุ รว่ มท่ีมคี วามสัมพันธก์ ับลำดับท่ีของพจน์ และจัดรปู แบบใหส้ อดคล้องกับลำดับ

ท่ีของพจน์

ขั้นท่ี 3 นำมาเขยี นในรปู ของพจน์ทวั่ ไป

4. ชนิ้ งาน (รวบยอด)
- แบบทดสอบ เร่ืองความหมายของลำดับ

5. กจิ กรรมการเรียนรู้
5.1 ขั้นนำเข้าสูบ่ ทเรียน (2 นาที)

5.1.1 ครูกลา่ วทักทายนักเรยี น
5.2 ขนั้ กจิ กรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูใหน้ ักเรียนจดั ห้องสอบสำหรบั สอบเกบ็ คะแนน
5.2.2 ครแู จกแบบทดสอบ เร่ืองลำดับเลขคณิต (เวลา 45 นาท)ี
5.2.3 ครูแจง้ เวลาเมอ่ื เวลาสอบเหลอื 10 นาที 5 นาที และหมดเวลาสอบ

5.2.4 ครูเกบ็ แบบทดสอบ เรอื่ งลำดบั เลขคณติ
5.3 ขนั้ สรุป (3 นาที)

5.3.1 ครูแจง้ วนั ประกาศคะแนน และเกณฑ์การผ่านการทดสอบ

6. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้
6.1 สื่อการเรียนรู้

- แบบทดสอบ เร่อื งความหมายของลำดับ
6.2 แหล่งการเรยี นรู้

-

7. การวดั และประเมินผลการเรยี นรู้

สิ่งที่วัด วิธกี ารวัด เคร่อื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ แบบทดสอบ เร่ือง เกณฑ์การให้คะแนน :
ความหมายของลำดับ แบบทดสอบ เร่ือง
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถกู ต้องจากการตอบ ความหมายของลำดบั
ขอ้ 1 – 15
(K) แบบทดสอบ เร่ือง
ขอ้ ละ 1 คะแนน โดย
1. นักเรยี นมคี วามรู้ความ ความหมายของ ถา้ นักเรียนเลอื กคำตอบ
ได้ถกู ต้อง
เข้าใจเก่ยี วกับความหมายของ ลำดบั จะได้ 1 คะแนน

ลำดบั

ส่ิงท่ีวัด วธิ ีการวัด เครอื่ งมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

ด้านทักษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ แบบทดสอบ เรอ่ื ง ถา้ นักเรยี นเลอื กคำตอบ
ความหมายของลำดับ ได้ไม่ถกู ต้อง
ทางคณิตศาสตร์ (P) ถกู ตอ้ งจากการตอบ
จะได้ 0 คะแนน
1. นักเรียนสามารถนำ แบบทดสอบ เรือ่ ง เกณฑ์การประเมินผล :
แบบทดสอบ เรอื่ ง
ความรู้เรอ่ื งความหมายของ ความหมายของ ความหมายของลำดบั
ข้อ 1 – 15
ลำดบั มาใช้ในการแกป้ ัญหาได้ ลำดับ
ถ้านักเรยี น (คนใด) ได้
ดา้ นคุณลักษณะอนั พึง พิจารณาจาก แบบประเมิน คะแนน 8 คะแนน จาก
ประสงค์ (A) คะแนนเต็ม 15 คะแนน
พฤตกิ รรมหรือความ จดุ ประสงค์ ถือวา่ ผา่ น
1. มีวินัย
2. ใฝ่เรียนรู้ เหมาะสมในการ การเรยี นรู้ เกณฑก์ ารให้คะแนน :
กำหนดเกณฑก์ ารให้
แสดงออกของ คะแนนแบบวิเคราะห์
เกณฑ์การประเมนิ ผล :
นักเรียนขณะ นกั เรยี นสามารถนำความรู้
เร่ืองความหมายของลำดบั
กอ่ นเขา้ หอ้ งสอบและ มาใชใ้ นการแกป้ ัญหาได้

ทำแบบทดสอบโดย เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
ครเู ป็นผูส้ งั เกต จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรียนเข้าหอ้ งสอบ
ตรงเวลาและทำข้อสอบ
ด้วยความสจุ รติ
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านักเรียนเข้าหอ้ งสอบชา้
ไม่เกิน 15 นาที และทำ
ขอ้ สอบด้วยความสุจรติ
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านกั เรียนเข้าห้องสอบช้า
เกิน 15 นาทีและทำ
ขอ้ สอบดว้ ยความสจุ ริต
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นทุจรติ การทำ
ขอ้ สอบ
เกณฑ์การประเมินผล :

สิ่งท่ีวดั วธิ กี ารวัด เครอ่ื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมิน นกั เรียน (คนใด) ได้
ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ คะแนน 2 คะแนน จาก
ผเู้ รียน (C) นกั เรียน การเรยี นรู้ คะแนนเตม็ 3 คะแนน
1. นกั เรียนมคี วามสามารถ ถือวา่ ผา่ น

ในการแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านกั เรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาทก่ี ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถงึ หลักของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ

แกป้ ญั หาท่กี ำหนดไวโ้ ดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรยี นมคี วามพยายาม
ในการแก้ปัญหา โดย
คำนึงถงึ หลักของเหตุและ
ผล แตไ่ มส่ ำเรจ็
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไม่มีรอ่ งรอย
ของการทำแบบทดสอบ

เกณฑก์ ารประเมินผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 6 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5
กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ช่ัวโมง
หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 เร่อื งลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ช่ัวโมง
เร่ือง ความหมายและพจนท์ วั่ ไปของลำดับเลขคณติ
ครผู ู้สอน นางสาววิลาวัลย์ ปลอ้ งนริ าศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ชวี้ ัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณติ
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชวี้ ดั
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรู้เกย่ี วกับลำดบั และอนุกรมไปใช้

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
ดา้ นความรู้ทางคณติ ศาสตร์ (K)
1. นักเรยี นเขา้ ใจความหมายของลำดบั เลขคณิต
2. นักเรียนเข้าใจการหาพจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณิต
3. นักเรียนเข้าใจวิธีการหาพจนใ์ ด ๆ ของลำดับเลขคณิต
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นักเรียนสามารถบอกไดว้ า่ ลำดบั ใดเปน็ เลขคณติ
2. นักเรยี นสามารถหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้
3. นกั เรียนสามารถหาพจน์ใด ๆ ของลำดบั เลขคณิตได้
ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. มีวนิ ัย
2. ใฝเ่ รยี นรู้
สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียน (C)
1. นักเรยี นมีความสามารถในการแก้ปญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว

ท่ีเท่ากนั คา่ คงตัวนเี้ รียกวา่ ผลต่างร่วม
ถ้า a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เปน็ ลำดบั เลขคณิต และ d เป็นผลต่างรว่ ม

จากบทนยิ าม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d

ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของลำดับ
เลขคณติ ในรปู ของ a1 และ d ไดว้ า่ พจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณติ คือ an = a1 + (n - 1)d

3. สาระการเรียนรู้
ทบทวน
เรียก a1,a2 ,a3 ,...,an ,... ว่า พจน์ที่ 1, พจน์ที่ 2, พจน์ที่ 3, ..., พจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป

ของลำดับ เชน่ 1, 4, 9, 16, …, an = n2 , …
จะไดว้ ่า พจนท์ ี่ 1 คือ a1 = 1
พจนท์ ่ี 2 คือ a2 = 4
พจนท์ ่ี 3 คอื a3 = 9

พจน์ท่ี n คอื an = n2
ตัวอยา่ งท่ี 1 จงเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างให้ถูกต้อง

ท่ี ลำดับ a2 - a1 a3 - a2 a4 - a3 a5 - a4

1 2, 5, 8, 11, 14, … 3 3 3 3

2 6, 3, 0, -3, -6, … -3 -3 -3 -3

3 1, 1, 1, 1, 1, … 0 0 0 0

4 1, 2, 4, 7, 11, … 1 2 3 4

5 9, 8, 6, 3, -1, … -1 -2 -3 -4

จากตัวอย่างที่ 1 ข้อที่ 1 – 3 จะได้ว่า พจน์ถัดมาที่ติดกันจะได้มาจากการบวกจำนวน

ที่เท่ากัน (เป็นค่าบวก ค่าลบ หรือศูนย์กไ็ ด้) กับพจน์ข้างหน้า หรือกล่าวได้ว่าเมื่อนำพจน์หลังลบด้วยพจน์

หนา้ จะไดค้ า่ คงตวั ค่าหน่งึ เสมอ ซ่ึงจะเรยี กคา่ คงตัวน้วี ่า “ผลตา่ งรว่ ม” และเรียกลำดับท่ีมีลักษณะดังกล่าว

วา่ “ลำดบั เลขคณิต”

นิยามของลำดับเลขคณิต

ลำดบั เลขคณิต คอื ลำดบั ท่มี ีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบดว้ ยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน

ค่าคงตัวน้เี รียกวา่ ผลตา่ งร่วม

ถ้า a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เปน็ ลำดบั เลขคณิต และ d เปน็ ผลต่างร่วม

จากบทนยิ าม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d เมอ่ื nI+

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงบอกว่าลำดับตอ่ ไปน้เี ป็นลำดบั เลขคณิตหรือไม่ พร้อมทงั้ บอกผลต่างร่วม

1. 4, 8, 12, 16, 20, … เป็นลำดบั เลขคณิต ผลต่างร่วม คอื 4

2. 3, 9, 27, 81, 243, … ไม่เปน็ ลำดับเลขคณิต

3. 1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, … เป็นลำดบั เลขคณติ ผลต่างรว่ ม คือ 0.5

4. -1, -3, -5, -7, -9, … เป็นลำดับเลขคณติ ผลต่างร่วม คือ -2

5. 1, 3 , 2, 5 , 3, 7 , ... เปน็ ลำดบั เลขคณติ ผลต่างรว่ ม คือ 1
222 2
ตวั อย่างที่ 3 กำหนดให้ a1 = 2 และ d = 3 จงหาพจน์ถดั ไปอกี 4 พจน์
วิธที ำ a1 = 2 และ d = 3

a2 = a1 + d = 2 + 3 = 5
a3 = a2 + d = 5 + 3 = 8
a4 = a3 + d = 8 + 3 = 11
a5 = a4 + d =11+ 3 =14

ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของ
ลำดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ดงั นี้

จาก an+1 = an + d
จะได้ a1 = a1 + 0d

a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

ดังนน้ั an = a1 + (n - 1)d
โดย an คือ พจน์ท่ี n หรอื พจนท์ ั่วไป

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรือพจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจนห์ รอื ลำดับทข่ี องพจน์

d คอื ผลต่างร่วม

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาพจน์ทัว่ ไป และพจนท์ ี่ 30 ของลำดบั เลขคณิต 1, 8, 15, 22, …

วิธที ำ จากลำดับเลขคณิต จะได้วา่ a1 = 1 และ d = 7

จาก an = a1 + (n - 1)d

=1+ (n -1)7

=1+ 7n - 7
= 7n - 6
ดงั นั้น พจน์ท่ัวไป คือ an = 7n - 6
หา a30 จาก an = 7n - 6

จะได้ a30 = 7(30) - 6
a30 = 204

หรือจาก an = a1 + (n - 1)d
จะได้ a30 = 1 + (30 - 1)7

a30 = 1 + (29)7
a30 = 204

ดังนั้น พจน์ท่ี 30 คอื 204

4. ช้นิ งาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมที่ 5 ความหมายและพจนท์ วั่ ไปของลำดบั เลขคณติ

5. กิจกรรมการเรียนรู้
5.1 ข้นั นำเขา้ สูบ่ ทเรียน (10 นาที)
5.1.1 ครูให้นักเรียนเล่นเกม “พูดเท่าไร ให้บวกเพิ่ม” โดยวิธีการเล่น ครูจะพูดจำนวนหน่ึง

ออกมา ให้นกั เรยี นตอบกลบั เป็นจำนวนท่บี วกเพ่มิ ตามทีค่ รกู ำหนด เช่น
- พดู เท่าไรใหบ้ วกสาม เม่อื ครพู ดู จำนวนใด ๆ ไป นักเรียนต้องตอบจำนวนทบ่ี วกเพม่ิ อีก 3
- พูดเท่าไรให้ลบเจ็ด เม่ือครพู ูดจำนวนใด ๆ ไป นกั เรียนต้องตอบจำนวนท่ีลบออก 7
5.1.2 ครูทบทวน เกีย่ วกับการอ่านลำดบั ที่ของพจน์ใด ๆ
เรียก a1,a2 ,a3 ,...,an ,... ว่า พจน์ที่ 1, พจน์ที่ 2, พจน์ที่ 3, ..., พจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป

ของลำดับ เช่น 1, 5, 9, 13, …, an = 4n - 3 , …
จะได้ว่า พจน์ที่ 1 คอื a1 = 1
พจนท์ ่ี 2 คอื a2 = 5
พจน์ที่ 3 คือ a3 = 9

พจน์ท่ี n คอื an = 4n - 3

5.1.3 ครูยกตัวอย่างท่ี 1 เพื่อเช่ือมโยงสู่เนือ้ หาลำดับเลขคณิต

ตวั อย่างท่ี 1 จงเตมิ คำตอบลงในช่องว่างให้ถกู ต้อง

ท่ี ลำดบั a2 - a1 a3 - a2 a4 - a3 a5 - a4

1 2, 5, 8, 11, 14, … 3 3 3 3

2 6, 3, 0, -3, -6, … -3 -3 -3 -3

3 1, 1, 1, 1, 1, … 0 0 0 0

4 1, 2, 4, 7, 11, … 1 2 3 4

5 9, 8, 6, 3, -1, … -1 -2 -3 -4

5.1.4 ครูถามนักเรียนว่าจากค่าในตารางข้อ 1-3 นักเรียนสังเกตค่าของผลต่างของ

พจน์หลงั และพจน์หนา้ เปน็ อยา่ งไร

(แนวคำตอบ ผลตา่ งของพจนห์ ลงั และพจนห์ นา้ เป็นค่าคงตัวเสมอ)

5.1.5 ครูอธิบายเพิ่มเติมว่าจากตัวอย่างที่ 1 ข้อที่ 1 – 3 จะได้ว่า พจน์ถัดมาที่ติดกัน

จะได้มาจากการบวกจำนวนที่เท่ากัน (เป็นค่าบวก ค่าลบ หรือศูนย์กไ็ ด้) กับพจน์ข้างหน้า หรือกล่าวไดว้ ่า

เมื่อนำพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าจะได้ค่าคงตัวค่าหนึ่งเสมอ ซึ่งจะเรียกค่าคงตัวนี้ว่า “ผลต่างร่วม” และ

เรยี กลำดบั ท่ีมีลกั ษณะดังกล่าววา่ “ลำดบั เลขคณิต”

5.2 ขั้นกิจกรรมการเรยี นรู้ (35 นาที)

5.2.1 ครอู ธิบายบทนิยามของลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่

เท่ากัน ค่าคงตวั นีเ้ รียกวา่ ผลต่างรว่ ม

ถ้า a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เป็นลำดับเลขคณติ และ d เป็นผลตา่ งร่วม

จากบทนิยาม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d เมือ่ nI+

5.2.2 ครยู กตวั อยา่ งที่ 2

ตัวอยา่ งที่ 2 จงบอกว่าลำดบั ตอ่ ไปน้เี ป็นลำดบั เลขคณิตหรอื ไม่ พรอ้ มทั้งบอกผลต่างรว่ ม

1. 4, 8, 12, 16, 20, … เปน็ ลำดบั เลขคณิต ผลต่างร่วม คอื 4

2. 3, 9, 27, 81, 243, … ไมเ่ ปน็ ลำดับเลขคณิต

3. 1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, … เป็นลำดับเลขคณติ ผลต่างรว่ ม คือ 0.5

4. -1, -3, -5, -7, -9, … เปน็ ลำดับเลขคณิต ผลต่างรว่ ม คอื -2
5. 1, 3 , 2, 5 , 3, 7 , ... ผลต่างรว่ ม คือ 1
222 เป็นลำดบั เลขคณิต 2

5.2.3 ครูยกตวั อย่างที่ 3 เมอ่ื กำหนดพจน์แรกและผลต่างรว่ มของลำดบั เลขคณิต

จงหาพจนถ์ ัดไปอีก 4 พจน์

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a1 = 2 และ d = 3 จงหาพจนถ์ ดั ไปอีก 4 พจน์
วธิ ีทำ a1 = 2 และ d = 3

a2 = a1 + d = 2 + 3 = 5
a3 = a2 + d = 5 + 3 = 8
a4 = a3 + d = 8 + 3 = 11
a5 = a4 + d =11+ 3 =14

5.2.4 ครูอธิบายเพิ่มเติมว่าถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม

จะเขียนพจนอ์ น่ื ๆ ของลำดบั เลขคณิตในรปู ของ a1 และ d ดงั นี้
จาก an+1 = an + d

จะได้ a1 = a1 + 0d
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

ดังน้นั an = a1 + (n - 1)d

โดย an คอื พจนท์ ่ี n หรือพจน์ทว่ั ไป
a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรอื พจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจนห์ รอื ลำดับท่ีของพจน์

d คือ ผลตา่ งร่วม

5.2.5 ครยู กตัวอย่างท่ี 4
ตวั อย่างท่ี 4 จงหาพจนท์ ่ัวไป และพจนท์ ี่ 30 ของลำดบั เลขคณติ 1, 8, 15, 22, …
วิธที ำ จากลำดับเลขคณติ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ d = 7

จาก an = a1 + (n - 1)d

=1+ (n -1)7
=1+ 7n - 7
= 7n - 6
ดงั น้ัน พจน์ทัว่ ไป คอื an = 7n - 6
หา a30

จาก an = 7n - 6
จะได้ a30 = 7(30) - 6

a30 = 204

หรอื จาก an = a1 + (n - 1)d
จะได้ a30 = 1 + (30 - 1)7

a30 = 204

ดังนัน้ พจน์ท่ี 30 คือ 204
5.2.6 ครูให้นักเรียนทำใบกิจกรรมที่ 5 ความหมายและพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต
โดยครูเดนิ สงั เกตและให้คำปรึกษานักเรยี นเปน็ รายบุคคล
5.2.7 ครเู ฉลยใบกจิ กรรมท่ี 5 ความหมายและพจน์ท่วั ไปของลำดับเลขคณิต
5.3 ขนั้ สรปุ (5 นาที)
5.3.1 ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรปุ ความหมายของลำดบั เลขคณติ
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่
เทา่ กนั คา่ คงตวั น้เี รยี กวา่ ผลต่างรว่ ม
ถา้ a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เป็นลำดบั เลขคณิต และ d เปน็ ผลตา่ งรว่ ม
จากบทนยิ าม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d
5.3.2 ครแู ละนักเรียนร่วมกันสรปุ วธิ ีการหาพจนท์ ั่วไปของลำดบั เลขคณิต
ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของ
ลำดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ไดว้ า่ an = a1 + (n - 1)d

6. ส่อื /แหลง่ การเรียนรู้
6.1 ส่อื การเรยี นรู้
- สอ่ื การสอน PowerPoint เรื่องความหมายและพจนท์ วั่ ไปของลำดับเลขคณิต
- ใบกิจกรรมที่ 5 ความหมายและพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณติ
6.2 แหล่งการเรียนรู้
-

7. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

สิ่งท่วี ัด วธิ ีการวัด เครอ่ื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

จุดประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ ใบกิจกรรมที่ 5 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ด้านความร้ทู างคณติ ศาสตร์ ถกู ต้องจากการตอบ ความหมายและพจน์ ใบกจิ กรรมท่ี 5
(K) ใบกจิ กรรมที่ 5 ทว่ั ไปของลำดบั เลข ความหมายและพจนท์ วั่ ไป
ความหมายและพจน์ คณติ
1. นกั เรยี นเขา้ ใจความ ท่ัวไปของลำดบั เลข ของลำดบั เลขคณิต
หมายของลำดับเลขคณิต คณติ ข้อ 1 1) - 5)

2. นกั เรยี นเข้าใจการหา ข้อละ 1 คะแนน โดย
พจน์ทว่ั ไปของลำดบั เลขคณติ ถา้ นักเรยี นสามารถระบุ
ไดว้ ่าเปน็ /ไมเ่ ป็นลำดับเลข
3. นักเรยี นเข้าใจวิธกี ารหา
พจน์ใด ๆ ของลำดบั เลขคณิต จะได้ 0.5 คะแนน
ถ้านกั เรียนสามารถหา

ผลต่างรว่ มได้
จะได้ 0.5 คะแนน

ข้อ 2 1) - 4)

ขอ้ ละ 2 คะแนน โดย
ถ้านกั เรยี นแสดงวธิ ที ำ

ได้ถกู ตอ้ งครบถว้ น
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนแสดงวธิ ที ำ

ได้ถกู ต้องบางสว่ น
จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นักเรยี นหาคำตอบได้
ถกู ต้อง

จะได้ 1 คะแนน
ขอ้ 3 1) - 3)

ขอ้ ละ 4 คะแนน โดย

ถ้านักเรยี นแสดงวธิ ที ำ
หาพจนท์ ัว่ ไปได้ถูกตอ้ ง
ครบถว้ น

จะได้ 1 คะแนน
ถ้านกั เรียนแสดงวธิ ที ำ

หาพจนท์ ัว่ ไปได้ถูกต้อง
บางส่วน

จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นักเรียนหาพจน์ทัว่ ไป
ไดถ้ กู ตอ้ ง

ส่งิ ทีว่ ัด วิธกี ารวัด เครอ่ื งมือวดั เกณฑ์การประเมิน
จะได้ 1 คะแนน
ด้านทักษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ ใบกิจกรรมที่ 5 ถา้ นักเรียนแสดงวธิ ที ำ
ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถูกต้องจากการตอบ ความหมายและพจน์ หาพจน์ใด ๆ ได้ถกู ต้อง
ครบถว้ น
1. นักเรียนสามารถบอกได้ ใบกจิ กรรมท่ี 5 ทั่วไปของลำดับเลข จะได้ 1 คะแนน
ว่าลำดบั ใดเปน็ เลขคณิต ความหมายและพจน์ คณิต ถา้ นักเรยี นแสดงวธิ ีทำ
หาพจนใ์ ด ๆ ไดถ้ กู ต้อง
2. นักเรียนสามารถหาพจน์ ทั่วไปของลำดบั เลข บางสว่ น
ท่ัวไปของลำดับเลขคณติ ได้ คณิต จะได้ 0.5 คะแนน
ถ้านกั เรยี นหาพจน์ใด ๆ
3. นกั เรยี นสามารถหาพจน์ ไดถ้ กู ตอ้ ง
จะได้ 1 คะแนน
ใด ๆ ของลำดับเลขคณติ ได้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
ใบกิจกรรมที่ 5
ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึง พจิ ารณาจาก แบบประเมนิ ความหมายและพจน์ท่ัวไป
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรอื ความ จดุ ประสงค์ ของลำดับเลขคณติ
ข้อ 1 – 3
1. มวี นิ ัย เหมาะสมในการ การเรยี นรู้ ถ้า นกั เรียน (คนใด) ได้
2. ใฝเ่ รียนรู้ แสดงออกของ คะแนน 15 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 25 คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น
เกณฑก์ ารให้คะแนน :
กำหนดเกณฑ์การให้
คะแนนแบบวิเคราะห์

เกณฑ์การประเมนิ ผล :
นกั เรียนสามารถบอกได้วา่
ลำดับใดเปน็ เลขคณิต
สามารถหาพจน์ทัว่ ไปของ
ลำดับเลขคณิตได้ และ
สามารถหาพจน์ใด ๆ ของ
ลำดับเลขคณติ ได้
เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน

สิ่งทีว่ ดั วิธกี ารวัด เครื่องมือวดั เกณฑก์ ารประเมนิ

นักเรยี นขณะ ถา้ นกั เรยี นมีความตั้งใจ

ลงมือปฏิบัติและ และรบั ผดิ ชอบในการ

อภิปรายเหตผุ ลใน ปฏิบตั ิกิจกรรมทีไ่ ดร้ บั

การหาคำตอบเป็น มอบหมายจนสำเร็จและ

รายบุคคล โดยครู ถูกตอ้ งสมบูรณภ์ ายใน

เปน็ ผู้สังเกต ระยะเวลาท่ีกำหนด

จะได้ 2 คะแนน

ถา้ นักเรยี นมีความต้งั ใจ

และรับผดิ ชอบในการ

ปฏิบัตกิ ิจกรรมทไ่ี ด้รับ

มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี

ขอ้ บกพรอ่ งบางสว่ น

ภายในระยะเวลาท่กี ำหนด

จะได้ 1 คะแนน

ถ้านักเรยี นเอาใจใส่ตอ่ การ

ปฏบิ ตั ิกจิ กรรมท่ีไดร้ บั

มอบหมายแต่ไม่สำเรจ็

ภายในระยะเวลาทก่ี ำหนด

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นไมเ่ อาใจใส่ตอ่

การปฏบิ ตั กิ ิจกรรมที่ไดร้ ับ

มอบหมายไม่สำเร็จภายใน

ระยะเวลาทกี่ ำหนด

ด้านสมรรถนะสำคัญของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมนิ เกณฑก์ ารประเมินผล :
ผู้เรียน (C) ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ นกั เรยี น (คนใด) ได้
นกั เรยี น การเรียนรู้ คะแนน 2 คะแนน จาก
1. นกั เรียนมคี วามสามารถ คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น
ในการแก้ปญั หา
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นักเรียนสามารถ
แกป้ ญั หาทีก่ ำหนดไวโ้ ดย

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

คำนึงถึงหลกั ของเหตแุ ละ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ได้อยา่ งครบถว้ น

จะได้ 2 คะแนน

ถ้านกั เรียนสามารถ

แก้ปญั หาทก่ี ำหนดไวโ้ ดย

คำนงึ ถึงหลกั ของเหตุและ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ได้บางขอ้

จะได้ 1 คะแนน

ถ้านักเรยี นมีความพยายาม

ในการแก้ปญั หา โดย

คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ

ผล แตไ่ มส่ ำเร็จ

จะได้ 0 คะแนน

ถ้านกั เรียนไมม่ ีร่องรอย

ของการทำใบกจิ กรรม

เกณฑก์ ารประเมินผล :

นักเรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือวา่ ผ่าน

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 7 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5
กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ชั่วโมง
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรื่องลำดับและอนุกรม เวลา 1 ช่ัวโมง
เร่ือง การนำสตู รลำดบั เลขคณิตไปใช้
ครผู สู้ อน นางสาววิลาวลั ย์ ปล้องนริ าศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นร/ู้ ตวั ชีว้ ัด
สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชว้ี ัด
ค 1.2 ม.5/2 เข้าใจและนำความรู้เกี่ยวกบั ลำดับและอนกุ รมไปใช้

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นกั เรยี นเข้าใจวธิ ีการหาพจน์ใด ๆ ของลำดบั เลขคณติ
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นักเรียนสามารถหาพจน์ใด ๆ ของลำดบั เลขคณิตได้
ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1. มวี นิ ยั
2. ใฝเ่ รยี นรู้
สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รียน (C)
1. นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ัญหา

2. สาระสำคญั (ความคดิ รวบยอด)
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว

ทีเ่ ท่ากัน ค่าคงตัวนเ้ี รียกวา่ ผลต่างรว่ ม
ถ้า a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เปน็ ลำดบั เลขคณติ และ d เปน็ ผลตา่ งรว่ ม

จากบทนิยาม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d
ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของลำดับ
เลขคณติ ในรูปของ a1 และ d ไดว้ ่าพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั เลขคณติ คอื an = a1 + (n - 1)d

3. สาระการเรียนรู้
ทบทวน
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว

ท่เี ท่ากัน คา่ คงตัวนเี้ รียกว่า ผลตา่ งร่วม
ถา้ a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เป็นลำดับเลขคณิต และ d เป็นผลต่างรว่ ม

จากบทนิยาม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d

ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของลำดับ
เลขคณิตในรูปของ a1 และ d ได้ว่า

พจน์ทั่วไปของลำดบั เลขคณติ คือ an = a1 + (n - 1)d
โดย an คือ พจนท์ ่ี n หรือพจน์ท่วั ไป

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรอื พจน์แรก
n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดับท่ขี องพจน์
d คอื ผลตา่ งร่วม
ตวั อยา่ งที่ 5 ถา้ ลำดับเลขคณติ มี a1 = 20 และ a2 = 32 จงหาพจนท์ ี่ 55 ของลำดบั
วิธที ำ หา d จาก d = a2 - a1

d = 32 – 20
d = 12
หา a55 จาก an = a1 + (n - 1)d

a55 = 20 + (55 -1)12
a55 = 20 + (54)12
a55 = 668

ดังนัน้ พจน์ที่ 55 คือ 668
ตวั อย่างที่ 6 จงหา 3 พจน์กลางระหว่าง 8 และ 44
วิธที ำ ให้ลำดับ คอื 8, a2 , a3 , a4 , 44
จะได้ a1 = 8 และ a5 = 44

หา d จาก an = a1 + (n - 1)d
a5 = a1 + (5 - 1)d

44 = 8 + 4d
4d = 36
d=9
จะได้ a2 = a1 + d
= 8+9
= 17

a3 = a2 + d
= 17+9
= 26

a4 = a3 + d
= 26+9
= 35

ดังน้ัน ลำดบั เลขคณิต คือ 8, 17, 26, 35, 44
ตัวอย่างที่ 7 ถา้ 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เปน็ เก้าพจนเ์ รียงกนั ในลำดับเลขคณติ จงหา f
วิธที ำ หา d จาก an = a1 + (n - 1)d

a9 = a1 + (9 - 1)d

35 = 3 + 8d
8d = 35 - 3
8d = 32
d=4
จาก f คือพจน์ที่ 7
หา a7 จาก an = a1 + (n - 1)d
a7 = a1 + (7 - 1)d
a7 = 3 + 6(4)
a7 = 27
ดงั นั้น f คือ 27
ตวั อย่างที่ 8 จงหาลำดบั เลขคณติ ท่ีมี a5 =19 และ a20 = 64

วิธีท่ี 1 หา d จาก an = a1 + (n - 1)d
จะได้ a5 = a1 + (5 - 1)d

19 = a1 + 4d .....(1)
และ a20 = a1 + (20 -1)d

64 = a1 +19d ....(2)
(2) - (1) 45 = 15d

d=3

หา a1 โดยแทน d ลงใน (1)

จะได้ 19 = a1 + 4(3)
a1 = 7

วิธที ่ี 2 หา d จาก a20 = a5 + (20 - 5)d

จะได้ 64 =19 +15d
45 = 15d
d=3

หา a1 โดยแทน d ลงใน a5 = a1 + (5 - 1)d

จะได้ 19 = a1 + 4(3)
a1 = 7

ดงั นั้น ลำดับเลขคณิตคือ 7, 10, 13, 16, 19, …
4. ชน้ิ งาน (รวบยอด)

- ใบกิจกรรมท่ี 6 การนำสตู รลำดับเลขคณติ ไปใช้
5. กจิ กรรมการเรยี นรู้

5.1 ข้นั นำเข้าสบู่ ทเรียน (5 นาที)
5.1.1 ครูใช้เกมกระตุ้นความสนใจ มีชื่อเกมว่า ทายจังหวัด โดยครูนำเสนอภาพอิโมจิ

ท่ีสามารถแปลความเป็นชอ่ื จงั หวดั ได้ แล้วให้นักเรยี นทายชื่อจังหวดั จากอิโมจิ

5.1.2 ครทู บทวนความหมายของลำดบั เลขคณติ โดยทบทวนจากบทนยิ าม
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่
เท่ากนั ค่าคงตวั นเ้ี รยี กว่า ผลตา่ งรว่ ม
ถ้า a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เปน็ ลำดบั เลขคณิต และ d เปน็ ผลต่างร่วม
จากบทนยิ าม d = an+1 - an
หรือ an+1 = an + d
5.1.3 ครูทบทวนสูตรพจนท์ ั่วไปของลำดบั เลขคณติ
ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของ
ลำดบั เลขคณติ ในรูปของ a1 และ d ไดว้ ่าพจนท์ ่ัวไปของลำดบั เลขคณิต คอื an = a1 + (n - 1)d
โดย an คือ พจน์ท่ี n หรอื พจน์ท่ัวไป

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรอื พจน์แรก
n คอื จำนวนพจนห์ รอื ลำดบั ท่ขี องพจน์
d คือ ผลต่างรว่ ม

5.2 ขนั้ กิจกรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)
5.2.1 ครูยกตัวอย่างที่ 5 ถ้าลำดับเลขคณิตมี a1 = 20 และ a2 = 32 จงหาพจน์ที่ 55 ของ

ลำดบั
- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตวั อยา่ งท่ี 5 โจทย์ตอ้ งการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ a55 )

- ครูถามนักเรียนวา่ จากตวั อยา่ งที่ 5 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
(แนวคำตอบ a1 = 20 และ a2 = 32 )
- ครูถามนกั เรียนวา่ จากตวั อยา่ งที่ 5 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธใี ดได้บา้ ง
(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณติ an = a1 + (n - 1)d )
- ครูถามนกั เรียนว่าหากจะใชว้ ธิ ีดงั กลา่ ว ควรหาคา่ ใดเพ่ิมเตมิ จากส่งิ ท่ีโจทยก์ ำหนดบา้ ง

(แนวคำตอบ d หรือ ผลตา่ งร่วม)
- ครอู ธบิ ายและใหน้ กั เรียนทำตวั อย่างไปพรอ้ มกับครู

ตวั อยา่ งที่ 5 ถ้าลำดบั เลขคณติ มี a1 = 20 และ a2 = 32 จงหาพจน์ที่ 55 ของลำดับ
วธิ ที ำ หา d จาก d = a2 - a1

d = 32 – 20

d = 12
หา a55 จาก an = a1 + (n - 1)d

a55 = 20 + (55 -1)12
a55 = 668

ดังน้ัน พจนท์ ี่ 55 คอื 668

5.2.2 ครยู กตัวอยา่ งที่ 6 จงหา 3 พจนก์ ลางระหวา่ ง 8 และ 44
- ครูถามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างท่ี 6 สามารถเขียนเปน็ ลำดับไดอ้ ย่างไร

(แนวคำตอบ 8, a2 , a3 , a4 ,44 )
- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตวั อยา่ งท่ี 6 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ a2 , a3 , a4 )
- ครูถามนกั เรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 6 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
(แนวคำตอบ a1 = 8 และ a5 = 44 )

- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งที่ 6 สามารถหาคำตอบดว้ ยวธิ ีใดได้บา้ ง
(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เลขคณติ an = a1 + (n - 1)d )
- ครถู ามนักเรยี นวา่ หากจะใช้วิธดี ังกลา่ ว ควรหาคา่ ใดเพิ่มเติมจากสิ่งท่ีโจทย์กำหนดบา้ ง

(แนวคำตอบ d หรือ ผลตา่ งรว่ ม)
- ครูอธิบายและใหน้ กั เรียนทำตัวอยา่ งไปพร้อมกบั ครู

ตวั อย่างที่ 6 จงหา 3 พจน์กลางระหว่าง 8 และ 44
วธิ ที ำ ให้ลำดับ คอื 8, a2 , a3 , a4 , 44
จะได้ a1 = 8 และ a5 = 44

หา d จาก an = a1 + (n - 1)d
a5 = a1 + (n - 1)d

44 = 8 + (5 -1)d

44 = 8 + 4d
4d = 36
d=9
จะได้ a2 = a1 + d
= 8+9
= 17
a3 = a2 + d
= 17+9
= 26
a4 = a3 + d
= 26+9
= 35

ดังนั้น ลำดบั เลขคณิต คอื 8, 17, 26, 35, 44
5.2.3 ครูยกตัวอย่างที่ 7 ถ้า 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เป็นเก้าพจน์เรียงกันในลำดับ

เลขคณติ จงหา f
- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อย่างท่ี 7 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ f หรือ a7 )
- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตัวอย่างที่ 7 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ a1 = 3 และ a9 = 35 )

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 7 สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ีใดได้บ้าง
(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจน์ท่ัวไปของลำดบั เลขคณิต an = a1 + (n - 1)d )
- ครูถามนกั เรียนวา่ หากจะใช้วิธีดงั กลา่ ว ควรหาค่าใดเพ่มิ เติมจากสิง่ ที่โจทย์กำหนดบา้ ง

(แนวคำตอบ d หรือ ผลต่างร่วม)
- ครอู ธิบายและใหน้ ักเรยี นทำตัวอยา่ งไปพร้อมกบั ครู

ตวั อยา่ งที่ 7 ถา้ 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เปน็ เก้าพจน์เรยี งกันในลำดับเลขคณิต จงหา f
วธิ ีทำ หา d จาก an = a1 + (n - 1)d

a9 = a1 + (9 - 1)d

35 = 3 + 8d
8d = 35 - 3
8d = 32
d=4
จาก f คือพจน์ที่ 7
หา a7 จาก an = a1 + (n - 1)d

a7 = a1 + (7 - 1)d
a7 = 3 + 6(4)
a7 = 27

ดังนน้ั f คือ 27

5.2.4 ครูยกตัวอย่างท่ี 8 จงหาลำดับเลขคณติ ท่ีมี a5 =19 และ a20 = 64

- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 8 โจทย์ต้องการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ ลำดับเลขคณติ a1, a2 , a3 , a4 ,19, ..., a19 ,64, ..., an )

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อย่างท่ี 8 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ a5 =19 และ a20 = 64 )

- ครถู ามนักเรยี นว่าจากตัวอยา่ งท่ี 8 สามารถหาคำตอบดว้ ยวธิ ใี ดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรพจนท์ ่วั ไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d )
- ครถู ามนกั เรียนว่าหากจะใชว้ ธิ ดี ังกลา่ ว ควรหาคา่ ใดเพม่ิ เตมิ จากสงิ่ ที่โจทย์กำหนดบ้าง

(แนวคำตอบ d หรือ ผลตา่ งรว่ ม และพจน์ท่ี 1 หรือ a1 )
ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาลำดบั เลขคณิตท่ีมี a5 =19 และ a20 = 64

วิธีท่ี 1 หา d จาก an = a1 + (n - 1)d
จะได้ a5 = a1 + (5 - 1)d

19 = a1 + 4d .....(1)
และ a20 = a1 + (20 -1)d

64 = a1 +19d ....(2)

(2) - (1) 45 = 15d

d=3
หา a1 โดยแทน d ลงใน (1)

จะได้ 19 = a1 + 4(3)
a1 = 7

วธิ ีที่ 2 หา d จาก a20 = a5 + (20 - 5)d

จะได้ 64 =19 +15d

45 = 15d

d=3
หา a1 โดยแทน d ลงใน a5 = a1 + (5 - 1)d

จะได้ 19 = a1 + 4(3)
a1 = 7

ดังนน้ั ลำดับเลขคณิตคอื 7, 10, 13, 16, 19, …

5.2.5 ครใู ห้นกั เรียนทำใบกจิ กรรมที่ 6 การนำสตู รลำดับเลขคณิตไปใช้ โดยครเู ดินสังเกตและให้

คำปรกึ ษานกั เรยี นเปน็ รายบุคคล

5.2.6 ครเู ฉลยใบกิจกรรมท่ี 6 การนำสูตรลำดบั เลขคณติ ไปใช้

5.3 ข้ันสรุป (5 นาที)
5.3.1 ครแู ละนักเรียนรว่ มกันสรปุ ความหมายของลำดับเลขคณติ คือ ลำดบั ทีม่ ผี ลต่างซ่ึงได้จาก

พจนท์ ่ี n+1 ลบด้วยพจนท์ ่ี n เปน็ คา่ คงตัวทีเ่ ทา่ กนั คา่ คงตัวนเ้ี รยี กว่า ผลต่างรว่ ม
5.3.2 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่นำมาใช้ในการแก้โจทย์เรื่องลำดับเลขคณิต ได้แก่

สูตรพจนท์ ่วั ไปของลำดบั เลขคณติ คอื an = a1 + (n - 1)d
โดย an คอื พจน์ที่ n หรือพจน์ทวั่ ไป
a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรือพจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดับที่ของพจน์
d คอื ผลต่างร่วม

6. สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้
6.1 ส่ือการเรียนรู้
- ส่ือการสอน PowerPoint เร่ืองการนำสูตรลำดับเลขคณติ ไปใช้

- ใบกจิ กรรมที่ 6 การนำสตู รลำดบั เลขคณิตไปใช้
- PowerPoint เกมทายจงั หวัด
6.2 แหลง่ การเรยี นรู้

-

7. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

สิง่ ท่ีวดั วธิ ีการวดั เคร่อื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมนิ

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมที่ 6 การนำ เกณฑก์ ารให้คะแนน :

ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถกู ตอ้ งจากการตอบ สูตรลำดับเลขคณิตไป ใบกจิ กรรมที่ 6 การนำสูตร

(K) ใบกจิ กรรมท่ี 6 การ ใช้ ลำดับเลขคณติ ไปใช้

1. นักเรียนเข้าใจวิธีการหา นำสูตรลำดับเลข ขอ้ 1 – 6

พจนใ์ ด ๆ ของลำดับเลขคณิต คณติ ไปใช้ ขอ้ ละ 2 คะแนน โดย

ถา้ นกั เรียนแสดงวธิ ีทำ

ไดถ้ กู ตอ้ งครบถ้วน

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นักเรียนแสดงวธิ ที ำ

ไดถ้ ูกตอ้ งบางสว่ น

จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นักเรียนหาคำตอบได้

ถูกต้อง

จะได้ 1 คะแนน

เกณฑ์การประเมินผล :

สิง่ ที่วดั วธิ กี ารวดั เครือ่ งมอื วัด เกณฑ์การประเมนิ

ใบกิจกรรมที่ 6 การนำสูตร

ลำดับเลขคณิตไปใช้

ขอ้ 1 – 6

ถา้ นักเรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 6 คะแนน จาก

คะแนนเต็ม 12 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

ด้านทักษะและกระบวนการ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 6 การนำ เกณฑ์การให้คะแนน :

ทางคณิตศาสตร์ (P) ถูกต้องจากการตอบ สูตรลำดับเลขคณิตไป กำหนดเกณฑ์การให้

1. นักเรียนสามารถหาพจน์ ใบกจิ กรรมท่ี 6 การ ใช้ คะแนนแบบวเิ คราะห์

ใด ๆ ของลำดับเลขคณิตได้ นำสตู รลำดับเลข เกณฑ์การประเมินผล :

คณิตไปใช้ นกั เรยี นสามารถหาพจน์

ใด ๆ ของลำดบั เลขคณิต

ได้

ด้านคุณลกั ษณะอนั พึง พจิ ารณาจาก แบบประเมิน เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรือความ
จดุ ประสงค์ พิจารณารายบุคคล
1. มีวนิ ัย เหมาะสมในการ
2. ใฝ่เรียนรู้ แสดงออกของ การเรียนรู้ จะได้ 3 คะแนน
นกั เรยี นขณะ
ถา้ นกั เรียนมคี วามตั้งใจ
ลงมือปฏิบัติและ
อภิปรายเหตผุ ลใน และรบั ผิดชอบในการ

การหาคำตอบเปน็ ปฏิบัตกิ ิจกรรมทไ่ี ด้รบั
รายบคุ คล โดยครู
เป็นผู้สังเกต มอบหมายจนสำเรจ็ และ

ถกู ตอ้ งสมบรู ณ์ภายใน

ระยะเวลาทกี่ ำหนด

จะได้ 2 คะแนน

ถ้านกั เรียนมีความตงั้ ใจ

และรับผดิ ชอบในการ

ปฏบิ ตั กิ จิ กรรมทไี่ ด้รับ

มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี

ขอ้ บกพรอ่ งบางสว่ น

ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นเอาใจใสต่ ่อการ

ปฏิบัติกจิ กรรมท่ีได้รับ

มอบหมายแต่ไม่สำเร็จ

ภายในระยะเวลาทก่ี ำหนด

จะได้ 0 คะแนน

ส่งิ ทว่ี ัด วธิ ีการวดั เครื่องมือวดั เกณฑก์ ารประเมนิ

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมิน ถา้ นกั เรยี นไมเ่ อาใจใสต่ ่อ
ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ การปฏิบตั ิกจิ กรรมทไี่ ดร้ บั
ผ้เู รียน (C) นกั เรยี น การเรยี นรู้ มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
1. นกั เรยี นมีความสามารถ ระยะเวลาทก่ี ำหนด
เกณฑ์การประเมนิ ผล :
ในการแกป้ ญั หา นักเรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื วา่ ผ่าน

เกณฑ์การให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาท่กี ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถงึ หลักของเหตุและ

ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อย่างครบถ้วน
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาทกี่ ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถึงหลักของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้บางข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นักเรียนมีความพยายาม
ในการแก้ปญั หา โดย

คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตุและ
ผล แตไ่ ม่สำเร็จ
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไม่มีร่องรอย
ของการทำใบกิจกรรม
เกณฑ์การประเมินผล :

ส่งิ ที่วดั วิธกี ารวัด เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

นักเรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถอื ว่าผ่าน

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 8 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 5
กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ช่ัวโมง
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรือ่ งลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ช่วั โมง
เร่ือง โจทยป์ ญั หาของลำดบั เลขคณิต
ครูผ้สู อน นางสาววิลาวลั ย์ ปล้องนริ าศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตวั ชี้วดั
สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ชี้วัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กี่ยวกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรียนสามารถวเิ คราะห์โจทย์ปญั หาเพอ่ื แก้สมการและหาสง่ิ ทโี่ จทย์ต้องการได้
ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรยี นสามารถใช้ความรูเ้ กีย่ วกับลำดบั เลขคณิตในการแกป้ ัญหาได้
ด้านคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1. มวี นิ ัย
2. ใฝ่เรียนรู้
สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี น (C)
1. นกั เรียนมคี วามสามารถในการแก้ปัญหา

2. สาระสำคญั (ความคดิ รวบยอด)
ลำดบั เลขคณิต คอื ลำดบั ที่มีผลต่างซึง่ ได้จากพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน

ค่าคงตัวนี้เรยี กว่า ผลตา่ งรว่ ม
ถ้า a1, a2 , a3 , ..., an-1, an , an+1, ... เปน็ ลำดบั เลขคณติ และ d เปน็ ผลตา่ งรว่ ม

จากบทนิยาม d = an+1 - an

หรือ an+1 = an + d
ถ้า a1, a2 , a3 , a4 , ... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อืน่ ๆ ของลำดับ
เลขคณิตในรปู ของ a1 และ d ไดว้ า่ พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต คอื an = a1 + (n - 1)d

3. สาระการเรยี นรู้
ตวั อย่างที่ 9 จงหาจำนวนระหว่าง 1000 และ 2000 มีจำนวนทห่ี ารด้วย 7 ลงตวั ก่ีจำนวน
วธิ ที ำ จากโจทย์ จะได้ a1 =1001, an = 1995 และ d = 7
หา n จากสูตร an = a1 + (n - 1)d

1995=1001+ (n -1)7
994 = (n -1)7

142 = n -1
n =143

ดงั นน้ั จำนวนระหวา่ ง 1000 และ 2000 มจี ำนวนทหี่ ารดว้ ย 7 ลงตวั 143 จำนวน
ตวั อย่างที่ 10 ผลบวกของสามพจน์แรกของลำดบั เลขคณิตลำดับหนึ่งเท่ากบั 111 และผลต่างของ
กำลังสองของพจน์ที่สามลบด้วยกำลังสองของพจน์แรกเท่ากับ 1 ,776 จงหาพจน์ที่ 10
ของลำดบั น้ี
วิธที ำ ให้ 3 พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคอื a1, a2 , a3 แทนด้วย a – d, a, a + d

จะได้ (a – d) + a + (a + d) = 111
3a = 111
a = 37

และ (a + d)2 - (a - d)2 = 1,776
a2 + 2ad + d2 - a2 + 2ad - d2 = 1,776
4ad = 1,776
4(37)d = 1,776
d = 12

แทนคา่ a = 37 และ d = 12 ลงใน a – d, a, a + d
จะได้ 3 พจนแ์ รกของลำดบั คือ 25, 37, 49
หาพจน์ที่ 10 ของลำดับ จาก an = a1 + (n-1)d โดยมี a1 = 25 และ d = 12
จะไดว้ า่ a10 = 25 + (10-1)(12)

= 25 + 9(12)
= 25 + 108
= 133
ดังนน้ั พจน์ที่ 10 ของลำดับนี้ คอื 133
ตัวอย่างที่ 11 ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่ง มี 21 พจน์ ผลบวกของ 3 พจน์กลางเท่ากับ 129 และ
ผลบวกของสามพจน์สุดท้ายเทา่ กบั 237 จงหาลำดับนี้
วิธีทำ จากผลบวกของ 3 พจนก์ ลาง คือ a10 + a11 + a12 ซึ่งเทา่ กบั 129

แทน a10 ด้วย a10 = a1 + 9d

แทน a11 ดว้ ย a11 = a1 + 10d
แทน a12 ด้วย a12 = a1 + 11d
จะได้ (a1 + 9d) + (a1 + 10d) + (a1 + 11d) = 129

a1 + 9d + a1 + 10d + a1 + 11d = 129
3a1 + 30d = 129

3(a1 + 10d) = 129
a1 + 10d = 43………………(1)

จากผลบวกสามพจน์สุดทา้ ย คอื a19 + a20 + a21 ซึง่ เทา่ กับ 237

แทน a19 ด้วย a19 = a1 + 18d

แทน a20 ด้วย a20 = a1 + 19d

แทน a21 ด้วย a21 = a1 + 20d
จะได้ (a1 + 18d) + (a1 + 19d) + (a1 + 20d) = 237

a1 + 18d + a1 + 19d + a1 + 20d = 237

3a1 + 57d = 237

3(a1 + 19d) = 237

นำ (2) – (1) ; a1 + 19d = 79…………….(2)
9d = 36

d=4

แทนค่า d ใน (1) a1 + 10(4) = 43
a1 + 40 = 43

a1 = 3
ดงั นั้น ลำดับคอื 3, 7, 11, 14, 15, 18, …, 237

4. ช้ินงาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมท่ี 7 โจทยป์ ัญหาของลำดบั เลขคณิต (1)

5. กิจกรรมการเรยี นรู้
5.1 ข้ันนำเขา้ สูบ่ ทเรยี น (5 นาที)
5.1.1 ครใู ช้เกม Blooket เรื่องลำดบั เลขคณิตในการทบทวนบทเรียน โดยมีโจทย์ ดงั น้ี
1) 12, 8, 4, … พจนท์ ี่ 5 คือข้อใด
2) -20, -25, -30, … ผลต่างร่วมคอื ข้อใด
3) 2.2, 2.7, 3.2 , … ผลต่างร่วมคอื ขอ้ ใด
4) ถ้า a1 = 15 และ a2 = 21 แล้ว a3 คือข้อใด
5) ถ้า a1 = 5 และ d = 3 แล้ว a10 คือขอ้ ใด
6) ถ้า a4 = 28 และ d = 4 แล้ว a2 คอื ขอ้ ใด
7) ถ้า a6 =14 และ a7 = 20 แลว้ a5 คอื ขอ้ ใด
8) ถ้า a1 = 5 และ d = 5 แลว้ a101 คือขอ้ ใด

5.2 ขน้ั กจิ กรรมการเรียนรู้ (40 นาที)
5.2.1 ครูยกตัวอย่างที่ 9 จงหาจำนวนระหว่าง 1000 และ 2000 มีจำนวนที่หารด้วย 7

ลงตวั กจี่ ำนวน
- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 9 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ จำนวนพจน์ หรอื n)

- ครถู ามนกั เรียนวา่ จากตวั อย่างที่ 9 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
(แนวคำตอบ จำนวนระหว่าง 1000 และ 2000 มีจำนวนทีห่ ารดว้ ย 7 ลงตัว ซึ่งเราสามารถหา

a1 และ an ได้)
- ครูถามนักเรยี นว่าจากตวั อย่างที่ 9 มี a1 คอื อะไร
(แนวคำตอบ a1 =1001)
- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างที่ 9 มี an คืออะไร
(แนวคำตอบ an = 1995)
- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างท่ี 9 สามารถหาคำตอบด้วยวิธีใดไดบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจน์ท่วั ไปของลำดับเลขคณติ an = a1 + (n - 1)d )
ตวั อย่างท่ี 9 จงหาจำนวนระหวา่ ง 1000 และ 2000 มจี ำนวนท่หี ารด้วย 7 ลงตวั ก่จี ำนวน

วิธีทำ จากโจทย์ จะได้ a1 =1001, an = 1995 และ d = 7
หา n จากสูตร an = a1 + (n - 1)d

1995=1001+ (n -1)7
994 = (n -1)7

142 = n -1
n =143

ดังนัน้ จำนวนระหว่าง 1000 และ 2000 มจี ำนวนทห่ี ารดว้ ย 7 ลงตัว 143 จำนวน

5.2.2 ครูยกตัวอย่างท่ี 10 ผลบวกของสามพจนแ์ รกของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งเท่ากับ 111
และผลต่างของกำลังสองของพจน์ที่สามลบด้วยกำลังสองของพจน์แรกเท่ากับ 1,776 จงหา
พจน์ท่ี 10 ของลำดบั น้ี

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อย่างที่ 10 นักเรียนสามารถแปลความจากโจทย์ได้อยา่ งไร
(แนวคำตอบ a1 + a2 + a3 = 111 และ (a3 - a1 )2 = 1,776 )
- ครถู ามนกั เรียนวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 10 โจทยต์ อ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ พจนท์ ่ี 10 ของลำดับ)
- ครูถามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 10 นกั เรยี นสามารถเขยี นลำดับได้อยา่ งไร
(แนวคำตอบ a1, a2 , a3 , ... )
- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอย่างที่ 10 “ผลบวกของสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิต
ลำดับหน่งึ เทา่ กบั 111” นักเรียนสามารถเขยี นเปน็ สมการได้อย่างไร

(แนวคำตอบ a1 + a2 + a3 = 111 เม่ือจดั อยูใ่ นรูปของพจน์ท่วั ไปจะได้ 3a1 + 3d = 111)

- ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า เมื่อเรานำ a1 + a2 + a3 = 111 มาจัดอยู่ในรูปของพจน์ทั่วไปจะได้
3a1 + 3d = 111 ซึ่งทำให้เราติดค่าสองตัวแปร จึงนำมาจัดรูปใหม่ให้ a1, a2 , a3 , ...
อยู่ในรปู ของ a – d, a, a + d ซ่งึ จะสามารถทำให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายยิง่ ขน้ึ
- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอย่างที่ 10 เมื่อนำลำดับ a1, a2 , a3 , ... มาเขียนในรูป
a – d, a, a + d “ผลบวกของสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งเท่ากับ 111”

สามารถเขียนเป็นสมการไดอ้ ยา่ งไร
(แนวคำตอบ (a – d) + a + (a + d) = 111)

- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอย่างที่ 10 เมื่อนำลำดับ a1, a2 , a3 , ... มาเขียนในรูป
a – d, a, a + d ผลต่างของกำลังสองของพจน์ที่สามลบด้วยกำลังสองของพจน์แรก
เท่ากบั 1,776” สามารถเขียนเปน็ สมการไดอ้ ย่างไร
(แนวคำตอบ (a + d)2 - (a - d)2 = 1,776)
- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 10 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธใี ดได้บ้าง
(แนวคำตอบ หาพจนท์ ่ี 10 โดยใชส้ ตู รพจนท์ ัว่ ไปของลำดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d )
- ครถู ามนกั เรยี นว่าหากจะใช้วธิ ดี ังกลา่ ว ควรหาค่าใดเพิม่ เตมิ จากสิ่งทโี่ จทย์กำหนดบ้าง
(แนวคำตอบ d หรือ ผลตา่ งร่วม และพจน์ท่ี 1 หรือ a1 )
- ครอู ธบิ ายและให้นกั เรียนทำตัวอยา่ งไปพรอ้ มกับครู

ตัวอย่างที่ 10 ผลบวกของสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งเท่ากับ 111 และผลต่าง
ของกำลังสองของพจน์ที่สามลบด้วยกำลังสองของพจน์แรกเท่ากับ 1 ,776 จงหาพจน์ที่ 10

ของลำดบั นี้
วธิ ที ำ ให้ 3 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณติ คือ a1, a2 , a3 แทนดว้ ย a – d, a, a + d
จะได้ (a – d) + a + (a + d) = 111

3a = 111
a = 37
และ (a + d)2 - (a - d)2 = 1,776
a2 + 2ad + d2 - a2 + 2ad - d2 = 1,776
4ad = 1,776
4(37)d = 1,776
d = 12

แทนค่า a = 37 และ d = 12 ลงใน a – d, a, a + d
จะได้ 3 พจนแ์ รกของลำดบั คือ 25, 37, 49

หาพจน์ที่ 10 ของลำดบั จาก an = a1 + (n-1)d โดยมี a1 = 25 และ d = 12
จะไดว้ า่ a10 = 25 + (10-1)(12)

= 25 + 9(12)

= 25 + 108
= 133

ดงั นน้ั พจน์ที่ 10 ของลำดบั นี้ คือ 133

5.2.3 ครูยกตัวอย่างที่ 11 ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่ง มี 21 พจน์ ผลบวกของ 3 พจน์กลาง
เทา่ กับ 129 และผลบวกของสามพจนส์ ุดท้ายเท่ากับ 237 จงหาลำดบั นี้

- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 11 นกั เรยี นสามารถแปลความจากโจทยไ์ ดอ้ ย่างไร
(แนวคำตอบ สามพจน์กลาง ได้แก่ a10 a11 และ a12 ผลบวกสามพจน์กลางมีคา่ เท่ากับ 129 คือ

a10 + a11 + a12 =129 และ สามพจน์สุดท้าย ได้แก่ a19 a20 และ a21 ผลบวกของสามพจน์สุดท้ายเท่ากับ

237 คอื a19 + a20 + a21 = 237 )

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อยา่ งท่ี 11 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ ลำดับเลขคณิตจากโจทยข์ ้อนี้)
- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตัวอย่างท่ี 11 โจทยก์ ำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
(แนวคำตอบ a10 + a11 + a12 =129 และ a19 + a20 + a21 = 237 )

- ครูถามนักเรียนว่าสามารถเขียน a10 a11 และ a12 ในรูปของพจน์ทั่วไป และแทนลงในสมการ

a10 + a11 + a12 =129 ไดอ้ ยา่ งไร

(แนวคำตอบ แทน a10 ดว้ ย a10 = a1 + 9d

แทน a11 ดว้ ย a11 = a1 + 10d
แทน a12 ด้วย a12 = a1 + 11d
จะไดส้ มการคือ (a1 + 9d) + (a1 + 10d) + (a1 + 11d) = 129 )
- ครูถามนักเรียนว่าสามารถเขียน a19 a20 และ a21 ในรูปของพจน์ท่ัวไป และแทนลงในสมการ

a19 + a20 + a21 = 237 ได้อย่างไร

(แนวคำตอบ แทน a19 ดว้ ย a19 = a1 + 18d

แทน a20 ด้วย a20 = a1 + 19d

แทน a21 ดว้ ย a21 = a1 + 20d
จะได้สมการคอื (a1 + 18d) + (a1 + 19d) + (a1 + 20d) = 237 )
- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตวั อยา่ งที่ 11 สามารถหาคำตอบด้วยวิธีใดไดบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ ใช้ความร้เู รอื่ งสมการ สรา้ ง 2 สมการข้นึ มาเพอ่ื หาคา่ a1 และ d)
- ครอู ธบิ ายและให้นกั เรียนทำตวั อย่างไปพร้อมกับครู
ตัวอยา่ งท่ี 11 ลำดับเลขคณิตลำดับหน่งึ มี 21 พจน์ ผลบวกของ 3 พจน์กลางเท่ากบั 129 และ
ผลบวกของสามพจน์สดุ ทา้ ยเท่ากบั 237 จงหาลำดบั น้ี
วิธีทำ จากผลบวกของ 3 พจน์กลาง คอื a10 + a11 + a12 ซง่ึ เทา่ กบั 129

แทน a10 ด้วย a10 = a1 + 9d

แทน a11 ด้วย a11 = a1 + 10d
แทน a12 ด้วย a12 = a1 + 11d
จะได้ (a1 + 9d) + (a1 + 10d) + (a1 + 11d) = 129

a1 + 9d + a1 + 10d + a1 + 11d = 129
3a1 + 30d = 129

3(a1 + 10d) = 129

a1 + 10d = 43………………(1)

จากผลบวกสามพจนส์ ุดท้าย คือ a19 + a20 + a21 ซง่ึ เทา่ กบั 237

แทน a19 ด้วย a19 = a1 + 18d

แทน a20 ดว้ ย a20 = a1 + 19d

แทน a21 ด้วย a21 = a1 + 20d

จะได้ (a1 + 18d) + (a1 + 19d) + (a1 + 20d) = 237

a1 + 18d + a1 + 19d + a1 + 20d = 237

3a1 + 57d = 237

3(a1 + 19d) = 237

a1 + 19d = 79…………….(2)

นำ (2) – (1) ; 9d = 36

d=4

แทนคา่ d ใน (1) a1 + 10(4) = 43

a1 + 40 = 43

a1 = 3

ดังน้นั ลำดับคอื 3, 7, 11, 14, 15, 18, …, 237

5.2.4 ครูให้นักเรียนทำใบกิจกรรมที่ 7 โจทย์ปัญหาของลำดับเลขคณิต (1) โดยครูเดินสังเกต

และให้คำปรกึ ษานกั เรยี นเป็นรายบคุ คล

5.2.5 ครูเฉลยใบกจิ กรรมท่ี 7 โจทย์ปัญหาของลำดบั เลขคณติ (1)

5.3 ขั้นสรปุ (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนักเรยี นร่วมกันสรุปความหมายของลำดับเลขคณติ คอื ลำดับท่มี ผี ลต่างซ่ึงได้จาก

พจน์ที่ n+1 ลบดว้ ยพจน์ท่ี n เป็นคา่ คงตวั ทีเ่ ท่ากนั คา่ คงตวั นเ้ี รยี กวา่ ผลต่างร่วม

5.3.2 ครูและนกั เรียนร่วมกนั สรุปสง่ิ ทนี่ ำมาใช้ในการแก้โจทย์ปญั หาเรอ่ื งลำดับเลขคณิต ได้แก่

สตู รพจน์ทวั่ ไปของลำดบั เลขคณติ คอื an = a1 + (n - 1)d

โดย an คอื พจนท์ ่ี n หรอื พจนท์ วั่ ไป

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรือพจน์แรก

n คอื จำนวนพจน์หรือลำดบั ทขี่ องพจน์

d คอื ผลตา่ งรว่ ม

6. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้

6.1 สื่อการเรยี นรู้
- สื่อการสอน PowerPoint เร่ืองโจทยป์ ัญหาของลำดับเลขคณติ

- ใบกจิ กรรมท่ี 7 โจทยป์ ัญหาของลำดบั เลขคณติ (1)
- เกม Blooket เร่ืองลำดับเลขคณติ
6.2 แหลง่ การเรียนรู้