แผน ค32102

5. กิจกรรมการเรยี นรู้

5.1 ขน้ั นำเขา้ สู่บทเรยี น (5 นาที)

5.1.1 ครูให้นักเรียนทำกิจกรรมจับคู่ทบทวนเพื่อทบทวนสูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม

เลขคณติ n n
2 2
Sn = (a1 +an ) หรอื Sn = [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรอื พจน์แรก

n คอื จำนวนพจน์หรือลำดบั ทขี่ องพจน์

d คือ ผลต่างร่วม

จับคู่ทบทวน

ผลบวก พจน์แรก
ของอนกุ รมเลขคณิต

จานวนพจน์
หรอื ลาดบั ที่ของพจน์

1 ผลต่างรว่ ม

พจน์ท่ี

พจนแ์ รก

5.2 ขน้ั กจิ กรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูยกตวั อยา่ งที่ 5 ศตวรรษเร่มิ สะสมแสตมปเ์ ดือนแรก 24 ดวง เดือนถัดไปสะสมเพ่ิมขึ้น

เดอื นละ 6 ดวง นานเทา่ ไร ศตวรรษจงึ จะมีแสตมป์ 2,400 ดวง

- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 5 นักเรียนสามารถแปลความจากโจทย์ไดอ้ ยา่ งไร

(แนวคำตอบ เดือนแรกสะสมแสตมป์ 24 ดวง เดือนที่สองสะสมแสตมป์ 24 + 6 = 30 ดวง

เดอื นทส่ี ามสะสมแสตมป์ 30 + 6 = 36 ดวง ต้องใชเ้ วลากี่เดือนจึงจะสะสมแสตมปไ์ ด้ 2,400)

- ครูถามนักเรยี นว่าจากตวั อยา่ งที่ 5 นักเรียนสามารถนำมาเขยี นเปน็ อนกุ รมได้อย่างไร

(แนวคำตอบ 24 + 30 + 36 + … )

- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 5 โจทย์ตอ้ งการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ เดือนที่เท่าไรศตวรรษจงึ จะมีแสตมป์ 2,400 ดวง (จำนวนเดอื น) หรือ n)

- ครูถามนักเรียนวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 5 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ สะสมแสตมป์เดือนแรก 24 ดวง หรือ a1 = 24 เดือนถัดไปสะสมเพิ่มขึ้นเดอื นละ
6 ดวง หรอื d = 6 ศตวรรษมแี สตมป์ 2,400 ดวง หรือ Sn = 2,400)

- ครูถามนักเรยี นว่าจากตัวอย่างที่ 5 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธีใดได้บ้าง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรอนกุ รมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครอู ธบิ ายและให้นักเรียนทำตัวอยา่ งไปพร้อมกบั ครู

ตัวอยา่ งที่ 5 ศตวรรษเรมิ่ สะสมแสตมป์เดอื นแรก 24 ดวง เดือนถดั ไปสะสมเพิม่ ขึน้ เดือนละ 6

ดวง นานเทา่ ไร ศตวรรษจงึ จะมแี สตมป์ 2,400 ดวง

วิธีทำ เดอื นแรกสะสมแสตมป์ 24 ดวง

เดอื นท่สี องสะสมแสตมป์ 24 + 6 = 30 ดวง

เดอื นท่ีสามสะสมแสตมป์ 30 + 6 = 36 ดวง

จากโจทย์จะได้อนุกรมคอื 24 + 30 + 36 + ... ซง่ึ เปน็ อนกุ รมเลขคณิต

จะได้ a1 = 24 d = 6 และ Sn = 2,400

หาจำนวนเดอื น จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

2,400 = n [2(24) + (n - 1)(6)]
2

2, 400 = n [48 + 6n - 6]
2

4,800 = n(6n + 42)

4,800 = 6n2 + 42n

800 = n2 + 7n

n2 + 7n - 800 = 0

(n + 32)(n - 25) = 0

n = -32, 25

เนอ่ื งจาก n เป็นจำนวนเตม็ บวก จะได้ว่า n = 25

ดงั น้ัน ตอ้ งใชเ้ วลา 25 เดอื น หรือ 2 ปี 1 เดอื น ศตวรรษจงึ จะมแี สตมป์ 2,400 ดวง

5.2.2 ครูยกตัวอยา่ งท่ี 6 ถา้ อนุกรม 20 + 18 3 + 17 1 + ... มผี ลบวกเทา่ กบั 162 1 อนกุ รมน้ี
42 2

มกี ี่พจน์

- ครูถามนกั เรยี นว่าจากตัวอยา่ งท่ี 6 โจทย์ตอ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ จำนวนพจน์ หรือ n)

- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างท่ี 6 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง 5
4
(แนวคำตอบ อนกุ รม 20 + 18 3 + 17 1 + ... ซ่งึ จะได้ a1 = 20 และ d = - )
4 2
- ครูถามนกั เรียนว่าจากตวั อยา่ งที่ 6 สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ีใดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ตู รอนกุ รมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครอู ธิบายและให้นกั เรยี นทำตวั อยา่ งไปพร้อมกับครู

ตัวอยา่ งท่ี 6 ถา้ อนกุ รม 20 + 18 3 + 17 1 + ... มีผลบวกเทา่ กับ 162 1 อนกุ รมนม้ี กี ่ีพจน์
42 2

วิธที ำ จากอนุกรม 20 + 18 3 + 17 1 + ...
42
3 75 80 5
จะได้ a1 = 20 และ d = 18 4 - 20 = 4 - 4 = - 4

หาจำนวนพจนข์ องอนุกรม จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

แทนค่า 162 1 = n 2(20) + (n - 1)  - 5 
2 2  4 

325 = n 40 - 5 n + 5 
2 2 4 4 

325 = n  165 - 5 n
 4 4

325(4) = n(165 - 5n)

1,300 = 165n - 5n2

5n2 - 165n + 1,300 = 0

n2 - 33n + 260 = 0
(n -13)(n - 20) = 0
n = 13, 20

ดงั น้นั อนกุ รมนี้มี 13 หรือ 20 พจน์

5.2.3 ครยู กตัวอยา่ งที่ 7 ชายคนหน่งึ เดนิ ทางวนั แรกไดร้ ะยะทาง 30 กิโลเมตร วันท่ีสองเดินได้

ระยะทาง 27 กิโลเมตร วันทีส่ ามเดนิ ได้ระยะทาง 24 กโิ ลเมตร เดินเช่นน้ีเรอ่ื ย ๆ ไปจนได้ระยะทางทั้งหมด

162 กิโลเมตร เขาใช้เวลาเดนิ ทางก่วี นั

- ครูถามนักเรยี นว่าจากตัวอย่างที่ 7 นกั เรียนสามารถนำมาเขียนเป็นอนุกรมไดอ้ ย่างไร

(แนวคำตอบ 30 + 27 + 24 + … )

- ครูถามนักเรียนว่าจากตวั อย่างที่ 7 โจทย์ต้องการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ เขาใช้เวลาเดินทางกวี่ ัน (จำนวนวนั ) หรอื n)

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 7 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ เดินทางวันแรกได้ระยะทาง 30 กม. หรือ a1 = 30 วันที่สองเดินได้ระยะทาง 27

กม. หรือ d = 27 – 30 = -3 เดินไดร้ ะยะทางทง้ั หมด 162 กม. หรอื Sn = 162)

- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 7 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธีใดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนกุ รมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครูอธบิ ายและให้นกั เรยี นทำตวั อยา่ งไปพรอ้ มกบั ครู

ตัวอย่างที่ 7 ชายคนหนึ่งเดินทางวันแรกได้ระยะทาง 30 กิโลเมตร วันที่สองเดินได้ระยะทาง

27 กิโลเมตร วันที่สามเดินได้ระยะทาง 24 กิโลเมตร เดินเช่นนี้เรื่อย ๆ ไปจนได้ระยะทางทั้งหมด 162

กิโลเมตร เขาใชเ้ วลาเดินทางก่วี ัน

วธิ ีทำ จากโจทย์จะไดอ้ นกุ รมคอื 30 + 27 + 24 + ... ซงึ่ เป็นอนกุ รมเลขคณติ

จะได้ a1 = 30 d = -3 และ Sn = 162

หาจำนวนวนั เดนิ ทาง จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

162 = n [2(30) + (n - 1)(-3)]
2

162(2) = n(60 - 3n+ 3)

324 = n(63 - 3n)

324 = 63n - 3n2

3n2 - 63n + 324 = 0

n2 - 21n + 108 = 0

(n - 9)(n - 12) = 0

n = 9, 12

เน่ืองจากการเดนิ ทางจะถงึ จดุ หมายในวันใดวนั หนึ่งเท่าน้ัน

จงึ ควรตรวจสอบพจน์สุดท้ายของอนุกรม จาก an = a1 + (n - 1)d

a9 = 30 + (9 - 1)(-3)

a9 = 6

a12 = 30 + (12 - 1)(-3)

a12 = -3

เนื่องจากระยะทางต้องไมน่ ้อยกว่า 0

ดงั น้นั เขาใช้เวลาเดนิ ทาง 9 วัน

5.2.4 ครูยกตัวอยา่ งท่ี 8 อนุภาคสองชิ้นอยู่ห่างกนั 268 เซนติเมตร เคลื่อนในแนวตรงเขา้ หากนั

อนุภาคชนิ้ แรกเคลือ่ นที่ไดร้ ะยะทาง 20, 18, 16, … เซนติเมตร ในวนิ าทีท่ี 1, 2, 3, … ตามลำดับ อนภุ าค

ชน้ิ ท่ีสองเคลอ่ื นทไ่ี ดร้ ะยะทาง 24, 23, 22 , … เซนติเมตร ในวินาทีที่ 1, 2, 3, … ตามลำดบั ถา้ อนุภาคทั้ง

สองเริม่ เคลื่อนท่พี รอ้ มกนั เขา้ หากัน นานเทา่ ไรท่ีอนภุ าคทง้ั สองจงึ จะมาพบกนั และอนภุ าคแตล่ ะช้ิน

เคลอ่ื นที่ไดร้ ะยะทางเทา่ ไร

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 8 โจทย์ตอ้ งการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ จำนวนวินาทีที่อนภุ าคทั้งสองจึงจะมาพบกนั หรือ n และ ระยะทางทีอ่ นุภาคแต่

ละชิน้ เคล่ือนที่ได้ หรอื Sn)

- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตัวอย่างท่ี 8 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ อนุภาคชิ้นแรกเคลื่อนท่ีได้ระยะทาง 20, 18, 16, … เซนติเมตร ในวินาทีที่ 1, 2,

3, …

จะได้ว่า a1 = 20 และ d = -2

อนภุ าคชน้ิ ที่สองเคลือ่ นทีไ่ ดร้ ะยะทาง 24, 23, 22 , … เซนตเิ มตร ในวินาทีท่ี 1, 2, 3, …

จะไดว้ ่า a1 = 24 และ d = -1)

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างที่ 8 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธใี ดได้บา้ ง

(แนวคำตอบ หาจำนวนวินาทีจากการเขียนระยะทางของทั้งสองอนุภาคในรูปของสูตรอนุกรม

เลขคณิต Sn = n [2a1 + (n - 1)d] แล้วนำมาบวกกันจะเท่ากับ 268
2
หาระยะทางที่อนุภาคแต่ละชิ้นเคลื่อนที่ได้จากการแทนค่าลงในสูตรอนุกรมเลขคณิต

Sn = n [2a1 + (n - 1)d] )
2
- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งที่ 8 สามารถเขียนระยะทางของทั้งสองอนุภาคในรปู ของสูตร

อนกุ รมเลขคณติ ได้อยา่ งไร

(แนวคำตอบ อนภุ าคชิน้ แรก n (42 - 2n) และอนภุ าคชน้ิ ท่ีสอง n (49 - n) )
22

- ครูอธบิ ายและให้นักเรียนทำตัวอย่างไปพรอ้ มกับครู

ตัวอยา่ งที่ 8 อนภุ าคสองชน้ิ อยู่หา่ งกัน 268 เซนตเิ มตร เคลอ่ื นในแนวตรงเขา้ หากัน

อนุภาคชิ้นแรกเคลื่อนทไ่ี ด้ระยะทาง 20, 18, 16, … เซนตเิ มตร ในวินาทที ี่ 1, 2, 3, … ตามลำดับ

อนุภาคชน้ิ ท่ีสองเคลอ่ื นท่ีไดร้ ะยะทาง 24, 23, 22 , … เซนตเิ มตร ในวนิ าทที ี่ 1, 2, 3, … ตามลำดบั

ถ้าอนภุ าคทัง้ สองเร่มิ เคลอ่ื นทพ่ี ร้อมกนั เข้าหากนั นานเท่าไรทอ่ี นภุ าคทงั้ สองจงึ จะมาพบกนั และอนภุ าคแต่

ละชิ้นเคลอ่ื นท่ไี ด้ระยะทางเท่าไร

วิธีทำ กำหนดใหอ้ นุภาคทง้ั สองพบกันเมอื่ เวลาผ่านไป n วินาที

จากสตู รผลบวก n พจนแ์ รก คือ Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

อนภุ าคช้นิ แรกเคลือ่ นทไ่ี ด้ระยะทาง 20 + 18 + 16 + … ถงึ n พจน์

ให้ 20 + 18 + 16 + … = n [2(20) + (n - 1)(-2)]
2

อนุภาคชิน้ ที่สองเคลื่อนทีไ่ ดร้ ะยะทาง 24 + 23 + 22 + … ถึง n พจน์

ให้ 24 + 23 + 22 + … = n [2(24) + (n - 1)(-1)]
2

ระยะทางที่อนภุ าคทง้ั สองเคล่อื นทีเ่ ข้าหากนั เปน็ ระยะทาง 268 เซนตเิ มตร

ดงั นั้น n [2(20) + (n - 1)(-2)] + n [2(24) + (n - 1)(-1)] = 268
22

n[40 - 2n + 2] + n[48 - n +1] = 268(2)

n(42 - 2n) + n(49 - n) = 536

42n - 2n2 + 49n - n2 = 536

91n - 3n2 = 536

3n2 - 91n + 536 = 0

(n - 8)(3n - 67) = 0

n = 8, 67
3

เนื่องจาก n ตอ้ งเป็นจำนวนเตม็ บวก

ดังนั้น อนุภาคทั้งสองพบกนั ในวนิ าทที ี่ 8

อนภุ าคชน้ิ แรกเคลือ่ นที่ได้ 8 [2(20) + (8 - 1)(-2)] = 104 เซนติเมตร
2

อนุภาคชิน้ สองเคลื่อนท่ีได้ 8 [2(24) + (8 - 1)(-1)] = 164 เซนตเิ มตร
2

5.2.5 ครใู ห้นกั เรยี นทำใบกิจกรรมที่ 14 โจทย์ปญั หาของอนุกรมเลขคณิตโดยครูเดินสังเกตและ

ให้คำปรกึ ษานักเรียนเป็นรายบคุ คล

5.2.6 ครเู ฉลยใบกิจกรรมที่ 14 โจทยป์ ญั หาของอนกุ รมเลขคณติ

5.3 ข้นั สรปุ (5 นาที)

5.3.1 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปคำสำคัญที่โจทย์ใช้ในการถาม คือนานเท่าไร จำนวนพจน์

และใชเ้ วลากี่วัน คำเหลา่ นี้ถามหาจำนวน ซง่ึ ถามหาคา่ ของ n

5.3.2 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปคำที่สามารถแปลความได้ว่าคือ a1 คือคำว่า เดือนแรก วัน
แรก และพจน์แรกจากลำดับทีโ่ จทยก์ ำหนดให้

5.3.3 ครูและนกั เรยี นรว่ มกันสรปุ คำท่สี ามารถแปลความไดว้ ่าผลต่างร่วม คอื คำว่าเพ่ิมข้ึนเดือน

ละ (การเพ่ิมขน้ึ เทา่ ๆ กันทกุ เดือน) และการหาผลต่างร่วมจาก an – an-1

5.3.4 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่นำมาใช้ในการแก้โจทย์เรื่องลำดับเลขคณิต ได้แก่สูตร
n n
อนุกรมเลขคณิต Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

an คอื พจน์ท่ี n

a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจนห์ รอื ลำดบั ท่ขี องพจน์

d คอื ผลตา่ งร่วม

6. ส่อื /แหล่งการเรียนรู้
6.1 สอ่ื การเรียนรู้

- สื่อการสอน PowerPoint โจทย์ปญั หาของอนุกรมเลขคณติ
- ใบกิจกรรมที่ 14 โจทยป์ ัญหาของอนุกรมเลขคณิต
6.2 แหลง่ การเรยี นรู้

-

7. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

สิง่ ทีว่ ดั วธิ กี ารวัด เครอ่ื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ พจิ ารณาความ ใบกิจกรรมท่ี 14 เกณฑ์การให้คะแนน :
โจทยป์ ญั หาของ
ด้านความรู้ทาง ถูกต้องจากการตอบ อนุกรมเลขคณติ ใบกจิ กรรมที่ 14 โจทยป์ ัญหา
ของอนกุ รมเลขคณิต
คณิตศาสตร์ (K) ใบกิจกรรมท่ี 14 ขอ้ 1 - 2

1. นักเรยี นสามารถ โจทยป์ ญั หาของ ข้อละ 4 คะแนน โดย
ถา้ นกั เรยี นสามารถแปล
วเิ คราะหโ์ จทย์ปัญหาเพ่ือ อนกุ รมเลขคณิต
ความหมายของโจทย์ได้
แก้สมการและหาสง่ิ ที่ ถกู ต้องครบถ้วน

โจทย์ต้องการได้ จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นักเรียนสามารถแปล
ความหมายของโจทย์ได้
ถกู ตอ้ งบางส่วน
จะได้ 0.5 คะแนน
ถา้ นกั เรียนแสดงวธิ ที ำได้
ถกู ต้องครบถ้วน
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรียนแสดงวธิ ที ำได้
ถูกต้องมากกวา่ 75%
จะได้ 1.5 คะแนน

ถ้านกั เรียนแสดงวิธีทำได้
ถกู ต้องมากกว่า 50%

จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนแสดงวธิ ที ำได้
ถกู ตอ้ งมากกว่า 25%
จะได้ 0.5 คะแนน
ถา้ นักเรียนหาคำตอบได้
ถูกต้อง
จะได้ 1 คะแนน

ส่ิงที่วัด วธิ กี ารวัด เครอื่ งมอื วัด เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นทกั ษะและ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 14 เกณฑก์ ารประเมินผล :
กระบวนการทาง ถกู ต้องจากการตอบ โจทยป์ ญั หาของ ใบกิจกรรมท่ี 14 โจทยป์ ญั หา
คณติ ศาสตร์ (P) ใบกิจกรรมท่ี 14 อนกุ รมเลขคณติ ของอนกุ รมเลขคณติ ข้อ 1 - 2
โจทยป์ ัญหาของ
1. นกั เรียนสามารถใช้ อนกุ รมเลขคณติ แบบประเมนิ ถา้ นักเรียน (คนใด) ได้
ความรู้เกี่ยวกับอนกุ รม จุดประสงค์ คะแนน 4 คะแนน จากคะแนน
เลขคณติ ในการแกป้ ญั หา พิจารณาจาก การเรียนรู้ เต็ม 8 คะแนน ถอื วา่ ผ่าน
ได้ พฤตกิ รรมหรือความ
เหมาะสมในการ เกณฑก์ ารให้คะแนน : กำหนด
ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ แสดงออกของ เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบ
ประสงค์ (A) นักเรยี นขณะ วเิ คราะห์
ลงมอื ปฏบิ ตั ิและ เกณฑ์การประเมินผล :
1. มวี ินัย อภิปรายเหตุผลใน นกั เรยี นสามารถใชค้ วามรู้
2. ใฝเ่ รียนรู้ การหาคำตอบเป็น เก่ียวกบั อนกุ รมเลขคณิตในการ
รายบุคคล โดยครู แก้ปัญหาได้
เปน็ ผสู้ งั เกต
เกณฑ์การใหค้ ะแนน :พจิ ารณา
รายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นักเรียนมคี วามต้ังใจและ
รบั ผิดชอบในการปฏิบัตกิ ิจกรรม
ทไ่ี ด้รับมอบหมายจนสำเร็จและ
ถกู ต้องสมบูรณภ์ ายในระยะเวลา
ที่กำหนด
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรียนมีความตั้งใจและ
รบั ผดิ ชอบในการปฏบิ ัติกจิ กรรม
ทไี่ ดร้ ับมอบหมายสำเร็จ แตม่ ี
ข้อบกพรอ่ งบางสว่ นภายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรยี นเอาใจใส่ตอ่ การ
ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมทไี่ ด้รบั
มอบหมายแตไ่ มส่ ำเร็จภายใน
ระยะเวลาท่กี ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไม่เอาใจใส่ตอ่ การ
ปฏบิ ตั กิ จิ กรรมทไ่ี ด้รับ

สิ่งทีว่ ดั วธิ กี ารวัด เคร่อื งมือวัด เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นสมรรถนะสำคญั พิจารณาจากการ แบบประเมนิ มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
ของผู้เรยี น (C) ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ ระยะเวลาทกี่ ำหนด
นกั เรียน การเรียนรู้ เกณฑ์การประเมนิ ผล :
1. นกั เรยี นมี นกั เรยี น (คนใด) ได้คะแนน 2
ความสามารถในการ คะแนน จากคะแนนเตม็ 3
แกป้ ัญหา คะแนน
ถอื ว่าผา่ น

เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านักเรียนสามารถแกป้ ัญหาท่ี
กำหนดไวโ้ ดยคำนึงถงึ หลกั ของ
เหตุและผล พรอ้ มตรวจสอบ
ความ
สมเหตุสมผลของคำตอบได้อยา่ ง

ครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรยี นสามารถแกป้ ญั หาที่
กำหนดไว้โดยคำนงึ ถึงหลกั ของ
เหตุและผล พร้อมตรวจสอบ
ความสมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้บางข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นักเรียนมคี วามพยายามใน
การแก้ปัญหา โดยคำนงึ ถึงหลกั
ของเหตุและผล แตไ่ ม่สำเร็จ
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านักเรียนไม่มรี อ่ งรอยของการ

ทำใบกิจกรรม
เกณฑ์การประเมนิ ผล :
นักเรียน (คนใด) ได้คะแนน 2
คะแนน จากคะแนนเตม็ 3
คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 19 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5
กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชั่วโมง
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 เรอ่ื งลำดับและอนกุ รม
เรื่อง โจทยป์ ัญหาของอนกุ รมเลขคณิต (2) เวลา 1 ช่ัวโมง
ครผู ูส้ อน นางสาววิลาวลั ย์ ปลอ้ งนิราศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตัวชวี้ ัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวช้ีวัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความร้เู กย่ี วกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรยี นสามารถวเิ คราะหโ์ จทย์ปญั หาเพ่อื แกส้ มการและหาสิง่ ที่โจทย์ตอ้ งการได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรียนสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณติ ในการแก้ปัญหาได้
ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1. มีวนิ ยั
2. ใฝ่เรยี นรู้
สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน (C)
1. นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
อนุกรม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดบั
ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนกุ รม
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนุกรมเลขคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลตา่ งรว่ มของอนุกรมเลขคณิตดว้ ย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต

an คอื พจนท์ ี่ n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรือพจน์แรก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดับทขี่ องพจน์

d คอื ผลต่างรว่ ม

3. สาระการเรยี นรู้

ทบทวน

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต
an คอื พจนท์ ี่ n

a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจน์หรือลำดบั ท่ขี องพจน์

d คือ ผลต่างร่วม

ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลบวกของอนุกรม 205 + 192 + 179 + ... + (-107)

วธิ ีทำ จากโจทย์กำหนดอนกุ รม 205 + 192 + 179 + ... + (-107) ซง่ึ เป็นอนุกรมเลขคณิต

จะได้ a1 = 205 d = 192 – 205 = -13 และ an = -107

หา n จาก an = a1 + (n - 1)d

-107 = 205 + (n -1)(-13)

-107 = 205 - 13n + 13

13n = 205 + 13 + 107

13n = 325

n = 25

อนกุ รมนมี้ ี 25 พจน์

หาผลบวกของอนกุ รมจากสูตร Sn = n (a1 + an )
2

S25 = 25 (205 - 107)
2

S25 = 25 (98)
2

S25 = 1, 225

ดังน้ัน ผลบวกของอนุกรม 205 + 192 + 179 + ... + (-107) = 1,225

ตวั อย่างที่ 10 อนกุ รมเลขคณิตอนุกรมหนึง่ ถ้า S3 = 24 และ S6 = 54 จงหา S9
วิธที ำ จากโจทย์กำหนดให้ S3 = 24 และ S6 = 54

หา d จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

จะได้ S3 = 3 [2a1 + (3 - 1)d]
2

24 = 3 (2a1 + 2d)
2

24 × 2 = 2a1 + 2d
3

16 = 2a1 + 2d ……………………………….(1)

และ S6 = 6 [2a1 + (6 - 1)d]
2

54 = 3(2a1 + 5d)

18 = 2a1 + 5d ……………………………....(2)

นำ (2) – (1) ; 2 = 3d

d= 2
3

หา a1 จากแทน d= 2 ใน (1)
3

16 = 2a1 + 2  2 
 3 

16 = 2a1 + 4
3

48 = 6a1 + 4

44 = 6a1

a1 = 44 = 22
6 3

หา S9 จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S9 = 9 2  22  + (9 - 1)  2 
2  3   3 

S9 = 9  44 + 16 
2  3 3 

S9 = 9  60 
2  3 

S9 = 90
ดังนน้ั ผลบวก 9 พจนแ์ รกของอนกุ รม คือ 90

ตวั อย่างที่ 11 อนกุ รมเลขคณิตอนกุ รมหนงึ่ มี S10 = 465 และ 9S3 = 4S6

จงหา (1) อนุกรมน้ี

(2) พจนท์ ี่ 10

(3) ผลบวก 15 พจนแ์ รก

วธิ ีทำ จากโจทย์กำหนดให้ S10 = 465 และ 9S3 = 4S6

หา d จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

จะได้ S10 = 10 [2a1 + (10 - 1)d]
2

465 = 5(2a1 + 9d)

93 = 2a1 + 9d…………………..(1)

และ 9S3 = 4S6

9  3 [2a1 + (3 - 1)d] = 4  6 [2a1 + (6 - 1)d]
2 2

27 (2a1 + 2d) = 12(2a1 + 5d)
2

27  2(a1 + d) = 12(2a1 + 5d)
2

27(a1 + d) = 12(2a1 + 5d)

27a1 + 27d = 24a1 + 60d)

27a1 - 24a1 = 60d - 27d

3a1 = 33d

a1 = 11d

แทนคา่ a1 = 11d ใน (1) ; 93 = 2(11d) + 9d

93 = 22d + 9d

93 = 31d

d=3

และได้ a1 = 11(3)

a1 = 33

(1) อนกุ รมคอื 33 + 36 + 39 + ...

(2) พจนท์ ี่ 10 จาก an = a1 + (n - 1)d

a10 = 33 + (10 - 1)(3)

a10 = 60

(3) ผลบวก 15 พจน์แรก จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S15 = 15 [2(33) + (15 - 1)(3)]
2

S15 = 15 [66 + (14)(3)]
2

S15 = 15 (66 + 42)
2

S15 = 810

ดงั นัน้ (1) อนกุ รมคอื 33 + 36 + 39 + ...

(2) พจนท์ ี่ 10 คือ 60

(3) ผลบวก 15 พจน์แรก คอื 810

4. ชน้ิ งาน (รวบยอด)
- ใบกิจกรรมท่ี 15 โจทยป์ ญั หาของอนุกรมเลขคณิต

5. กิจกรรมการเรยี นรู้
5.1 ขน้ั นำเขา้ สบู่ ทเรยี น (5 นาที)
5.1.1 ครูให้นักเรียนทำกจิ กรรมถอดรหัสทบทวนเพ่ือทบทวนสูตรผลบวกของ n พจน์แรกของ

อนกุ รมเลขคณิต

ถอดรหัสทบทวน

พ จ น์ แ ร ก

1

ถอดรหัสทบทวน

พ จ น์ ที่

1 +( -1)

Sn = n (a1 +an ) หรอื Sn = n [2a1 +(n-1)d]
2 2

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรือพจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรือลำดับทขี่ องพจน์

d คอื ผลต่างร่วม

5.2 ขั้นกจิ กรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครยู กตวั อยา่ งที่ 9 จงหาผลบวกของอนุกรม 205 + 192 + 179 + ... + (-107)

- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 9 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ ผลบวกของอนกุ รม หรือ Sn)

- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 9 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ อนุกรม 205 + 192 + 179 + ... + (-107) ซึ่งจะได้ a1 = 205 d = -7

และ an = -107)
- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตัวอย่างท่ี 9 สามารถหาคำตอบดว้ ยวธิ ีใดได้บา้ ง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนุกรมเลขคณิต Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2

- ครูถามนักเรยี นวา่ หากจะใช้วธิ ดี ังกล่าว ควรหาค่าใดเพม่ิ เติมจากสงิ่ ท่โี จทย์กำหนดบา้ ง

(แนวคำตอบ n หรือ จำนวนพจน์)

- ครอู ธิบายและให้นกั เรยี นทำตัวอยา่ งไปพร้อมกับครู

ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาผลบวกของอนุกรม 205 + 192 + 179 + ... + (-107)

วธิ ที ำ จากโจทยก์ ำหนดอนกุ รม 205 + 192 + 179 + ... + (-107) ซ่ึงเปน็ อนกุ รมเลขคณิต

จะได้ a1 = 205 d = 192 – 205 = -13 และ an = -107

หา n จาก an = a1 + (n - 1)d

-107 = 205 + (n -1)(-13)

-107 = 205 - 13n + 13

13n = 205 + 13 + 107

13n = 325

n = 25

อนกุ รมน้ีมี 25 พจน์

หาผลบวกของอนุกรมจากสูตร Sn = n (a1 + an )
2

Sn = 25 (205 - 107)
2

Sn = 25 (98)
2

Sn = 1,225

ดงั นั้น ผลบวกของอนุกรม 205 + 192 + 179 + ... + (-107) = 1,225

5.2.2 ครูยกตวั อยา่ งท่ี 10 อนุกรมเลขคณติ อนุกรมหน่งึ ถา้ S3 = 24 และ S6 = 54 จงหา S9

- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 10 โจทย์ต้องการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ ผลบวก 9 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ หรือ S9)
- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตวั อยา่ งที่ 10 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ S3 = 24 และ S6 = 54)
- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตวั อย่างที่ 10 สามารถเขียน S3 และ S6 ในรปู ของสตู รอนุกรมเลขคณิต
ได้อยา่ งไร

(แนวคำตอบ S3 = 3 (2a1 + 2d) และ S6 = 3(2a1 + 5d) )
2

- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งที่ 10 สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ีใดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใช้ความรู้เรื่องสมการ สร้าง 2 สมการขึ้นมาเพื่อหาคา่ a1 และ d จากนั้นใช้สูตร

อนุกรมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d] เพือ่ หา S9)
2
- ครอู ธิบายและใหน้ ักเรียนทำตวั อย่างไปพรอ้ มกบั ครู

ตัวอยา่ งท่ี 10 อนุกรมเลขคณิตอนกุ รมหน่ึง ถา้ S3 = 24 และ S6 = 54 จงหา S9
วิธีทำ จากโจทยก์ ำหนดให้ S3 = 24 และ S6 = 54

หา d จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

จะได้ S3 = 3 [2a1 + (3 - 1)d]
2

24 = 3 (2a1 + 2d)
2

24 × 2 = 2a1 + 2d
3

16 = 2a1 + 2d ……………………………….(1)

และ S6 = 6 [2a1 + (6 - 1)d]
2

54 = 3(2a1 + 5d)

18 = 2a1 + 5d ……………………………....(2)
นำ (2) – (1) ; 2 = 3d

d = 2
3

หา a1 จากแทน d = 2 ใน (1)
3

16 = 2a1 + 2  2 
 3 

16 = 2a1 + 4
3

48 = 6a1 + 4

44 = 6a1

a1 = 44 = 22
6 3

หา S9 จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S9 = 9 2  22  + (9 - 1)  2 
2  3   3 

S9 = 9  44 + 16 
2  3 3 

S9 = 9  60 
2  3 

S9 = 90
ดังน้ัน ผลบวก 9 พจนแ์ รกของอนุกรม คือ 90

5.2.3 ครยู กตัวอยา่ งท่ี 11 อนกุ รมเลขคณติ อนกุ รมหนึ่งมี S10 = 465 และ 9S3 = 4S6
จงหา (1) อนุกรมน้ี

(2) พจนท์ ี่ 10

(3) ผลบวก 15 พจน์แรก

1) อนุกรมน้ี

- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 11 ข้อ 1) โจทยต์ ้องการใหห้ าอะไร
(แนวคำตอบ อนกุ รม หรือ S1 + S2 + S3 + S4 + …)
- ครูถามนักเรียนวา่ จากตัวอย่างที่ 11 โจทยก์ ำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ S10 = 465 และ 9S3 = 4S6)
- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอย่างที่ 11 สามารถเขียน S6 S3 และ S10ในรูปของสูตรอนุกรมเลข
คณิตได้อย่างไร

(แนวคำตอบ S3 = 3 (2a1 + 2d) S6 = 3(2a1 + 5d) และ S10 = 5(2a1 + 9d) )
2

- ครูถามนักเรยี นว่าจากตวั อย่างที่ 11 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใช้ความรเู้ รอื่ งสมการ สร้าง 2 สมการขึ้นมาโดยแทน S6 S3 และ S10 ในรูปของสูตร

อนกุ รมเลขคณติ เพือ่ หาค่า a1 และ d แล้วจึงเขียนเปน็ อนุกรม)

- ครอู ธบิ ายและให้นักเรียนทำตัวอย่างไปพร้อมกบั ครู

2) พจนท์ ่ี 10

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตัวอย่างที่ 11 ข้อ 2) โจทยต์ อ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ พจนท์ ี่ 10 หรือ a10 )

- ครถู ามนกั เรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 11 1) เราทราบค่าอะไรบ้าง
(แนวคำตอบ a1 = 33 และ d = 3)
- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตวั อย่างท่ี 11 2) สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธใี ดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ สตู รลำดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d )
- ครูอธบิ ายและใหน้ ักเรียนทำตวั อยา่ งไปพรอ้ มกับครู
3) ผลบวก 15 พจน์แรก

- ครถู ามนักเรยี นว่าจากตัวอยา่ งที่ 11 ข้อ 3) โจทยต์ ้องการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ ผลบวก 15 พจนแ์ รก หรอื S15 )

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างท่ี 11 1) และ 2) เราทราบค่าอะไรบา้ ง

(แนวคำตอบ a1 = 33 d = 3 และ a10 = 60)
- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 11 3) สามารถหาคำตอบด้วยวิธีใดได้บา้ ง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนุกรมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครูอธิบายและใหน้ ักเรียนทำตัวอยา่ งไปพรอ้ มกบั ครู

ตวั อยา่ งท่ี 11 อนกุ รมเลขคณิตอนุกรมหนึง่ มี S10 = 465 และ 9S3 = 4S6

จงหา (1) อนุกรมนี้

(2) พจนท์ ่ี 10

(3) ผลบวก 15 พจนแ์ รก

วิธีทำ จากโจทยก์ ำหนดให้ S10 = 465 และ 9S3 = 4S6

หา d จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

จะได้ S10 = 10 [2a1 + (10 - 1)d]
2

465 = 5(2a1 + 9d)

93 = 2a1 + 9d…………………..(1)

และ 9S3 = 4S6

9  3 [2a1 + (3 - 1)d] = 4  6 [2a1 + (6 - 1)d]
2 2

27 (2a1 + 2d) = 12(2a1 + 5d)
2

27  2(a1 + d) = 12(2a1 + 5d)
2

27(a1 + d) = 12(2a1 + 5d)

27a1 + 27d = 24a1 + 60d)

27a1 - 24a1 = 60d - 27d

3a1 = 33d

a1 = 11d

แทนค่า a1 = 11d ใน (1) ; 93 = 2(11d) + 9d

93 = 22d + 9d

93 = 31d

d=3

และได้ a1 = 11(3)

a1 = 33

(1) อนุกรมคอื 33 + 36 + 39 + ...

(2) พจนท์ ี่ 10 จาก an = a1 + (n - 1)d

a10 = 33 + (10 - 1)(3)

a10 = 60

(3) ผลบวก 15 พจน์แรก จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S15 = 15 [2(33) + (15 - 1)(3)]
2

S15 = 15 [66 + (14)(3)]
2

S15 = 15 (66 + 42)
2

S15 = 810

ดังนนั้ (1) อนุกรมคือ 33 + 36 + 39 + ...

(2) พจนท์ ี่ 10 คือ 60

(3) ผลบวก 15 พจนแ์ รก คอื 810

5.2.4 ครูให้นักเรยี นทำใบกิจกรรมท่ี 15 โจทยป์ ัญหาของอนุกรมเลขคณิตโดยครูเดินสังเกตและ

ใหค้ ำปรกึ ษานักเรยี นเป็นรายบุคคล

5.2.5 ครเู ฉลยใบกิจกรรมที่ 15 โจทยป์ ัญหาของอนกุ รมเลขคณติ

5.3 ขน้ั สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปคำสำคัญที่โจทย์ใช้ในการถาม คือ จงหาผลบวกของอนุกรม

จงหา S9 จงหาผลบวก 15 พจน์แรก ซ่ึงถามหาค่าของ Sn
5.3.2 ครูถามนักเรียนวา่ เราตอ้ งรูค้ า่ ใดเสมอหากต้องการหา Sn
(แนวคำตอบ พจน์ที่ 1 และอกี คา่ หนง่ึ คอื ผลต่างร่วมหรือพจน์ท่ี n กไ็ ด้เช่นกนั )

5.3.3 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่นำมาใช้ในการแก้โจทย์เรื่องลำดับเลขคณิต ได้แก่สูตร
n n
อนุกรมเลขคณิต Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจนห์ รอื ลำดับทีข่ องพจน์

d คือ ผลตา่ งร่วม

6. สื่อ/แหลง่ การเรียนรู้
6.1 สอื่ การเรียนรู้

- สอื่ การสอน PowerPoint โจทย์ปญั หาของอนุกรมเลขคณิต
- ใบกจิ กรรมที่ 15 โจทย์ปญั หาของอนกุ รมเลขคณติ
6.2 แหลง่ การเรยี นรู้

-

7. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

สงิ่ ทวี่ ัด วิธกี ารวัด เครื่องมือวัด เกณฑ์การประเมิน

จุดประสงค์การเรียนรู้ พจิ ารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 15 โจทย์ เกณฑก์ ารให้คะแนน :
ปัญหาของอนกุ รมเลข ใบกิจกรรมที่ 15 โจทยป์ ัญหา
ด้านความรู้ทาง ถูกตอ้ งจากการ คณติ
ของอนุกรมเลขคณิต
คณิตศาสตร์ (K) ตอบ ขอ้ 1 - 2

1. นักเรยี นสามารถ ใบกจิ กรรมท่ี 15 ข้อละ 4 คะแนน โดย
ถ้านกั เรียนสามารถแปล
วเิ คราะหโ์ จทย์ปญั หา โจทยป์ ัญหาของ ความหมายของโจทย์ได้

เพ่อื แก้สมการและหาสิง่ อนุกรมเลขคณติ ถูกตอ้ งครบถว้ น
จะได้ 1 คะแนน
ทโ่ี จทย์ตอ้ งการได้ ถ้านักเรยี นสามารถแปล

ความหมายของโจทย์ได้
ถกู ต้องบางส่วน

จะได้ 0.5 คะแนน
ถ้านักเรียนแสดงวธิ ที ำได้
ถูกต้องครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรียนแสดงวธิ ที ำได้
ถูกต้องมากกวา่ 75%
จะได้ 1.5 คะแนน

ถา้ นักเรยี นแสดงวิธีทำได้
ถกู ตอ้ งมากกวา่ 50%

จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรยี นแสดงวธิ ที ำได้
ถกู ตอ้ งมากกวา่ 25%
จะได้ 0.5 คะแนน
ถ้านักเรียนหาคำตอบได้
ถูกต้อง
จะได้ 1 คะแนน

สิง่ ที่วดั วิธกี ารวัด เคร่อื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมนิ

ดา้ นทกั ษะและ พิจารณาความ เกณฑ์การประเมินผล :
กระบวนการทาง ถกู ต้องจากการ
คณิตศาสตร์ (P) ตอบ ใบกิจกรรมท่ี 15 โจทยป์ ัญหา
ใบกจิ กรรมท่ี 15
1. นักเรยี นสามารถ โจทย์ปญั หาของ ของอนกุ รมเลขคณิต ขอ้ 1 - 2
ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกบั อนุกรมเลขคณิต
อนกุ รมเลขคณติ ในการ ถา้ นักเรียน (คนใด) ได้
แก้ปญั หาได้ พิจารณาจาก
ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึง พฤตกิ รรมหรอื คะแนน 4 คะแนน จากคะแนน
ประสงค์ (A) ความเหมาะสมใน
การแสดงออกของ เตม็ 8 คะแนน ถือว่าผ่าน
1. มีวนิ ัย นักเรียนขณะ
2. ใฝเ่ รียนรู้ ลงมอื ปฏบิ ตั ิและ ใบกจิ กรรมที่ 15 โจทย์ เกณฑ์การใหค้ ะแนน : กำหนด
อภิปรายเหตผุ ลใน
การหาคำตอบเปน็ ปญั หาของอนุกรมเลข เกณฑ์การใหค้ ะแนนแบบ
รายบคุ คล โดยครู
เป็นผู้สังเกต คณิต วเิ คราะห์

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นกั เรยี นสามารถใชค้ วามรู้

เก่ยี วกบั อนกุ รมเลขคณิตในการ

แกป้ ญั หาได้

แบบประเมนิ จดุ ประสงค์ เกณฑ์การใหค้ ะแนน :พจิ ารณา

การเรียนรู้ รายบุคคล

จะได้ 3 คะแนน

ถ้านกั เรียนมคี วามตงั้ ใจและ

รบั ผดิ ชอบในการปฏิบัติกจิ กรรม

ท่ีได้รับมอบหมายจนสำเร็จและ

ถูกต้องสมบูรณ์ภายในระยะเวลา

ทกี่ ำหนด

จะได้ 2 คะแนน

ถ้านกั เรยี นมีความตงั้ ใจและ

รบั ผิดชอบในการปฏบิ ัติกจิ กรรม

ทีไ่ ด้รับมอบหมายสำเร็จ แตม่ ี

ขอ้ บกพรอ่ งบางส่วนภายใน

ระยะเวลาทกี่ ำหนด

จะได้ 1 คะแนน

ถ้านกั เรยี นเอาใจใส่ต่อการ

ปฏิบตั กิ ิจกรรมทีไ่ ดร้ ับ

มอบหมายแต่ไม่สำเรจ็ ภายใน

ระยะเวลาท่กี ำหนด

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นักเรียนไม่เอาใจใส่ตอ่ การ

ปฏิบัตกิ จิ กรรมที่ได้รบั

สิง่ ทวี่ ัด วิธกี ารวดั เคร่อื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

ด้านสมรรถนะสำคัญ พจิ ารณาจากการ มอบหมายไม่สำเรจ็ ภายใน
ของผเู้ รยี น (C) ตอบคำถามของ
นักเรียน ระยะเวลาท่กี ำหนด
1. นักเรยี นมี
ความสามารถในการ เกณฑ์การประเมนิ ผล :
แก้ปญั หา
นักเรียน (คนใด) ได้คะแนน 2

คะแนน จากคะแนนเต็ม 3

คะแนน ถือวา่ ผ่าน

แบบประเมนิ จดุ ประสงค์ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :

การเรียนรู้ พจิ ารณารายบุคคล

จะได้ 3 คะแนน

ถา้ นักเรยี นสามารถแกป้ ัญหาท่ี

กำหนดไว้โดยคำนึงถึงหลักของ

เหตแุ ละผล พร้อมตรวจสอบ

ความสมเหตุสมผลของคำตอบ

ได้อย่างครบถ้วน

จะได้ 2 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นสามารถแกป้ ัญหาท่ี

กำหนดไว้โดยคำนึงถงึ หลักของ

เหตุและผล พรอ้ มตรวจสอบ

ความสมเหตุสมผลของคำตอบ

ไดบ้ างข้อ

จะได้ 1 คะแนน

ถ้านกั เรยี นมีความพยายามใน

การแกป้ ญั หา โดยคำนึงถงึ หลัก

ของเหตุและผล แต่ไมส่ ำเร็จ

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นกั เรียนไมม่ รี อ่ งรอยของการ

ทำใบกิจกรรม

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นักเรียน (คนใด) ได้คะแนน 2

คะแนน จากคะแนนเตม็ 3

คะแนน ถือว่าผา่ น

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 20 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 5
กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชว่ั โมง
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 เรอ่ื งลำดับและอนกุ รม เวลา 1 ชั่วโมง
เรื่อง โจทยป์ ัญหาของอนกุ รมเลขคณิต (3)
ครผู ูส้ อน นางสาววิลาวลั ย์ ปลอ้ งนิราศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตัวชวี้ ัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวช้ีวัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความร้เู กย่ี วกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรยี นสามารถวเิ คราะหโ์ จทย์ปญั หาเพ่อื แกส้ มการและหาสิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรียนสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณติ ในการแกป้ ัญหาได้
ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1. มีวนิ ยั
2. ใฝ่เรยี นรู้
สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน (C)
1. นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
อนุกรม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดบั
ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนกุ รม
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เปน็ ผลตา่ งรว่ มของอนุกรมเลขคณิตดว้ ย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คือ พจนท์ ี่ 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ท่ีของพจน์

d คือ ผลตา่ งร่วม

3. สาระการเรียนรู้

ทบทวน

อนุกรม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เปน็ พจน์ท่ี 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดับ

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนกุ รม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนุกรมเลขคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เปน็ ผลตา่ งร่วมของอนกุ รมเลขคณิตดว้ ย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ
an คือ พจนท์ ่ี n
a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรือพจน์แรก

n คอื จำนวนพจน์หรือลำดับท่ขี องพจน์

d คือ ผลตา่ งร่วม

4. ชนิ้ งาน (รวบยอด)
-

5. กิจกรรมการเรียนรู้

5.1 ขั้นนำเข้าสบู่ ทเรยี น (5 นาที)

5.1.1 ครูทบทวนความหมายของอนกุ รม อนกุ รมเลขคณิต และสตู รอนกุ รมเลขคณิต

อนกุ รม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจนท์ ่ี 1, 2, 3, …, n ของอนกุ รม

ตามลำดับ

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนุกรม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

อนุกรมท่ีไดจ้ ากลำดับเลขคณิต เรยี กวา่ อนุกรมเลขคณิต และผลต่างรว่ มของลำดับเลขคณิตจะ

เปน็ ผลตา่ งรว่ มของอนุกรมเลขคณิตด้วย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต หาได้จาก
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คือ พจนท์ ี่ 1 หรือพจน์แรก
n คือ จำนวนพจนห์ รอื ลำดับท่ีของพจน์

d คอื ผลต่างรว่ ม

5.2 ขน้ั กจิ กรรมการเรียนรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูสรา้ งสถานการณ์ปญั หา ใหน้ กั เรียนเปน็ กูภ้ ัย และชว่ ยชาวบา้ นในเมืองแกไ้ ขปัญหาต่าง

ๆ โดยครูจัดเตรียมสถานการณเ์ ปน็ โจทยป์ ญั หาเรือ่ งอนกุ รม ดงั นี้

ภารกิจที่ 1 เร่ิมตน้
คำสง่ั : ชว่ ยสมหมายวางแผนการวง่ิ ในเดอื นตลุ าคม
สมหมายต้องการวางแผนการวิ่งในเดือนตุลาคมรวมได้ระยะทางทั้งหมด 248 กิโลเมตร และ
ตั้งเป้าหมายในการวงิ่ ตอ่ เนอื่ งทุกวัน โดยเพิม่ ระยะทางจากวนั กอ่ นหน้า 400 เมตร เท่ากันทกุ ๆ วัน อยาก
ทราบวา่ วนั ที่ 1 ตุลาคม สมหมายจะต้องวิ่งเร่มิ ตน้ ว่ิงในระยะทางกี่กิโลเมตร

ภารกจิ ที่ 2 แก้วนำ้ ในงานร่นื เรงิ
คำส่งั : ช่วยเปรมคดิ เพ่ือวางแกว้ นำ้
เปรมตอ้ งการวางแก้วนำ้ ซอ้ นกนั เป็นชัน้ ๆ โดยรียงแก้วจากชนั้ ลา่ งสดุ เปน็ แนวยาว ช้นั ถัดไปนำ
แก้ววางตรงกลางระหว่างแกว้ สองใบ เรียงซ้อนกนั เปน็ รปู สามเหล่ยี ม โดยเปรมตอ้ งการวางซอ้ นกนั 22 ชน้ั
จะต้องใช้แกว้ ท้งั หมดกี่ใบ

ภารกจิ ที่ 3 วนั ท่ีเท่าไร
คำสัง่ : ช่วยพอใจคำนวณวนั
พอใจเปน็ นกั เรียนกจิ กรรมเขาไดร้ ับรางวลั จากการแข่งขนั ในสปั ดาหว์ ิชาการเป็นเงนิ 1800 บาท
พอใจตั้งเป้าหมายในการออมเงินครั้งนี้นำมารวมกับรางวัลที่ได้ เพื่อลงคอร์สเรียนภาษาอังกฤษในราคา
3700 บาท ถ้าวันแรกพอใจต้ังเป้าหมายในการออมเงินไว้ 10 บาท และวันถัด ๆ ไป ออมเงินเพิม่ จากวัน
กอ่ นหนา้ วันละ 10 บาท ทุก ๆ วัน พอใจอยากทราบจำนวนวันท่นี ้อยท่ีสุดท่จี ะต้องออมเงินเพ่ือซื้อหนังสือ
ชุดน้ี

ภารกิจที่ 4 พรี มดิ ตัวเลข
คำส่ัง : ชว่ ยนกั เรียนคิดเพอื่ เตรียมอุปกรณ์
นักเรียนในชมรมคนรกั คณิตศาสตร์ไดร้ ับมอบหมายให้จัดป้ายนิเทศเกี่ยวกับพีระมิดตัวเลขเพอื่
แสดงในนิทรรศการของโรงเรียนและให้ผู้เข้าชมมีส่วนร่วม โดยป้ายนิเทศเกี่ยวกับพีระมิดดังกล่าวเรียง
ตัวเลข ดงั ภาพ

1

23

456

7 8 9 10

11 12 13 14 15

:

นกั เรียนอยากทราบวา่ จากพีระมิดตวั เลข ชน้ั ท่ี 50 ตวั เลขสุดท้ายของพรี ะมดิ น้ีคือจำนวนใด
เพ่อื จัดเตรยี มอปุ กรณ์ในการทำใหเ้ พยี งพอ

5.2.2 ครูให้นกั เรยี นทำกจิ กรรม “กู้ภัย ไขปัญหาอนุกรม” โดยมขี ั้นตอน ดังน้ี
1) ครูใหน้ กั เรียนแบ่งกลมุ่ ออกเปน็ 4 กลมุ่ และน่ังดว้ ยกัน เพื่อรว่ มกนั ทำกจิ กรรม
2) ครูนำเสนอ PowerPoint กจิ กรรม “กู้ภัย ไขปญั หาอนุกรม”
3) ครูให้นักเรียนแต่ละกลุ่มช่วยกันทำภารกิจ โดยมีภารกิจ 4 ภารกิจ ถ้านักเรียนสามารถ

ช่วยกันหาคำตอบได้ถูกต้องครบถ้วนจะได้ข้อละ 4 คะแนน และหากกลุ่มใดเสร็จเปน็ กลุม่ แรกจะได้โบนัส
อีก 2 คะแนน

4) เมื่อทำภารกิจครบทงั้ 4 ภารกจิ ครจู ะใหน้ ักเรยี นในแต่ละกล่มุ ออกมานำเสนอแนวคิดของ
กลุ่มตนเอง เรยี งลำดับการนำเสนอ ดังน้ี

- กลมุ่ ท่ี 1 นำเสนอภารกจิ ท่ี 1
- กลมุ่ ท่ี 2 นำเสนอภารกิจที่ 2

- กลุม่ ท่ี 3 นำเสนอภารกจิ ท่ี 3

- กลุม่ ที่ 4 นำเสนอภารกิจที่ 4

5) กลมุ่ ใดได้คะแนนมากท่สี ุด ถอื เปน็ กลุ่มที่ชนะ ในการทำภารกจิ

5.3 ขัน้ สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครูและนักเรียนรว่ มกันสรุปว่ากล่มุ ใดชนะกจิ กรรม “กู้ภัย ไขปัญหาอนกุ รม”

5.3.2 ครูถามนักเรียนวา่ วนั นไี้ ด้เรยี นรอู้ ะไรบ้าง

5.3.3 ครถู ามนักเรยี นสงิ่ ที่เรานำมาหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ คืออะไร

(แนวคำตอบ สตู รอนกุ รมเลขคณิต)

5.3.4 ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันสรปุ สตู รอนกุ รมเลขคณติ
n n
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

an คือ พจน์ท่ี n

a1 คือ พจน์ที่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดับทีข่ องพจน์

d คอื ผลต่างร่วม

6. ส่ือ/แหลง่ การเรียนรู้
6.1 ส่ือการเรียนรู้
- สอ่ื การสอน PowerPoint กจิ กรรม “ก้ภู ยั ไขปัญหาอนุกรม”
6.2 แหล่งการเรียนรู้
-

7. การวดั และประเมินผลการเรยี นรู้

สิง่ ที่วดั วิธกี ารวดั เครอื่ งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ กิจกรรม “กูภ้ ัย ไข เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ดา้ นความรทู้ างคณิตศาสตร์ ถกู ตอ้ งจากการตอบ ปัญหาอนุกรม” กิจกรรม “ก้ภู ยั ไขปัญหา
(K) คำถามในกิจกรรม อนกุ รม” ภารกจิ ที่ 1 - 4
“กูภ้ ยั ไขปัญหา
1. นกั เรยี นสามารถ อนุกรม” ภารกิจละ 4 คะแนน
วิเคราะห์โจทย์ปัญหาเพื่อแก้ โดย
สมการและหาสิง่ ท่โี จทย์
ต้องการได้ ถา้ นักเรยี นสามารถแปล
ความหมายของโจทยไ์ ด้
ถูกต้องครบถ้วน

จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นักเรยี นสามารถแปล

ความหมายของโจทย์ได้
ถกู ต้องบางสว่ น

สิ่งทีว่ ดั วิธีการวดั เครอื่ งมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ กจิ กรรม “กภู้ ยั ไข จะได้ 0.5 คะแนน
ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถกู ต้องจากการตอบ ปัญหาอนุกรม” ถ้านกั เรยี นแสดงวิธีทำ
ไดถ้ กู ต้องครบถว้ น
1. นกั เรียนสามารถใช้ คำถามในกิจกรรม จะได้ 2 คะแนน
ความรเู้ กยี่ วกบั อนุกรมเลข “กูภ้ ัย ไขปญั หา ถา้ นกั เรียนแสดงวิธีทำ
คณิตในการแก้ปญั หาได้ อนกุ รม” ได้ถูกต้องมากกว่า 75%
จะได้ 1.5 คะแนน
ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ พจิ ารณาจาก แบบประเมนิ ถ้านักเรียนแสดงวธิ ที ำ
จดุ ประสงค์ ไดถ้ ูกต้องมากกว่า 50%
ประสงค์ (A) พฤติกรรมหรือความ การเรียนรู้ จะได้ 1 คะแนน
1. มีวนิ ัย เหมาะสมในการ ถา้ นกั เรียนแสดงวธิ ที ำ
2. ใฝเ่ รียนรู้ แสดงออกของ ไดถ้ กู ตอ้ งมากกว่า 25%
จะได้ 0.5 คะแนน
นกั เรยี นขณะ ถา้ นกั เรียนหาคำตอบได้
ลงมือปฏบิ ัติและ ถูกตอ้ ง
จะได้ 1 คะแนน
เกณฑ์การประเมนิ ผล :
กจิ กรรม “กภู้ ยั ไขปญั หา
อนกุ รม” ภารกิจที่ 1 - 4
ถา้ นกั เรียน (กลุ่มใด) ได้
คะแนน 8 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 16 คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น

เกณฑ์การให้คะแนน :
กำหนดเกณฑ์การให้
คะแนนแบบวเิ คราะห์
เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
นักเรยี นสามารถใชค้ วามรู้
เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต
ในการแกป้ ัญหาได้

เกณฑ์การให้คะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านกั เรยี นมคี วามต้ังใจ
และรับผิดชอบในการ
ปฏิบัติกจิ กรรมท่ไี ดร้ ับ

ส่ิงทว่ี ัด วธิ กี ารวัด เครอ่ื งมอื วดั เกณฑก์ ารประเมนิ

อภปิ รายเหตผุ ลใน มอบหมายจนสำเรจ็ และ
ถกู ตอ้ งสมบูรณ์ภายใน
การหาคำตอบเปน็ ระยะเวลาที่กำหนด
จะได้ 2 คะแนน
รายบุคคล โดยครู ถา้ นกั เรยี นมคี วามตงั้ ใจ
และรับผิดชอบในการ
เป็นผู้สงั เกต ปฏิบัติกิจกรรมทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี
ด้านสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมนิ ขอ้ บกพร่องบางสว่ น
ผเู้ รยี น (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์
นกั เรยี น การเรียนรู้ ภายในระยะเวลาท่ีกำหนด
1. นกั เรียนมีความสามารถ จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนเอาใจใส่ตอ่ การ
ในการแกป้ ญั หา ปฏิบัติกจิ กรรมทไ่ี ด้รับ
มอบหมายแต่ไม่สำเร็จ
ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นไมเ่ อาใจใส่ตอ่
การปฏบิ ตั ิกจิ กรรมทีไ่ ด้รบั
มอบหมายไม่สำเรจ็ ภายใน
ระยะเวลาท่ีกำหนด
เกณฑ์การประเมินผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื ว่าผา่ น

เกณฑ์การให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แก้ปญั หาที่กำหนดไว้โดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑก์ ารประเมิน

ถ้านกั เรียนสามารถ

แก้ปญั หาทก่ี ำหนดไว้โดย

คำนึงถึงหลักของเหตแุ ละ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ไดบ้ างขอ้

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นกั เรียนมคี วามพยายาม

ในการแกป้ ัญหา โดย

คำนงึ ถึงหลกั ของเหตุและ

ผล แตไ่ ม่สำเรจ็

จะได้ 0 คะแนน

ถ้านักเรียนไม่ทำกจิ กรรม

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นกั เรียน (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเต็ม 3 คะแนน

ถือว่าผ่าน

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 21 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 5
กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชว่ั โมง
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 เรอ่ื งลำดับและอนกุ รม เวลา 1 ชั่วโมง
เรื่อง โจทยป์ ัญหาของอนกุ รมเลขคณิต (4)
ครผู ูส้ อน นางสาววิลาวลั ย์ ปลอ้ งนิราศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตัวชวี้ ัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวช้ีวัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความร้เู กย่ี วกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรยี นสามารถวเิ คราะหโ์ จทย์ปญั หาเพ่อื แกส้ มการและหาสิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรียนสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณติ ในการแกป้ ัญหาได้
ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1. มีวนิ ยั
2. ใฝ่เรยี นรู้
สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน (C)
1. นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
อนุกรม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดบั
ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนกุ รม
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนกุ รมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เปน็ ผลตา่ งรว่ มของอนุกรมเลขคณติ ด้วย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดับท่ขี องพจน์

d คือ ผลตา่ งรว่ ม

3. สาระการเรยี นรู้

ทบทวน ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรือพจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดับทีข่ องพจน์

d คอื ผลตา่ งร่วม

ตัวอย่างที่ 12 ถ้า Sn = n2 – 4n เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มี an

เป็นพจน์ท่ี n และ d เปน็ ผลต่างร่วม แลว้ d + a1a2 เทา่ กับเทา่ ใด [O-NET (ก.พ. 2560/23)]

1. 5 2. 9 3. -7 4. -9 5. -58

วิธีทำ หา a1 จาก Sn = a1 + a2+ a3 + … + an

โดยแทนค่า n = 1, 2, 3, … ลงใน Sn = n2 – 4n

จะได้ S1 = 12 – 4(1) = -3

S2 = 22 – 4(2) = -4

จาก S1 = a1 = -3 จะได้ว่า a1 = -3

และ S2 = a1 + a2 = -4 จะได้ว่า a1 + a2 = -4

-3 + a2 = -4

a2 = -1

หาค่า d จาก a2 - a1 จะได้ว่า a2 - a1 = -1 – (-3) = 2

หา d + a1a2 จะได้ d + a1a2 = 2 + (-3)(-1) = 5

ดงั นัน้ d + a1a2 = 5

ตวั อยา่ งที่ 13 กำหนดให้ p เปน็ จำนวนจรงิ โดยท่ี p, 1, p + 3, … เป็นลำดบั เลขคณติ ผลบวก 10

พจนแ์ รกของอนุกรมทไ่ี ดจ้ ากลำดับเลขคณิตนี้ เทา่ กับเทา่ ใด [O-NET (ก.พ. 2565/9)]

1. -31.5 2. -27.5 3. 27.5 4. 62.5 5. 63

วธิ ีทำ หาค่า p จาก d = a2 – a1 = a3 – a2

1 – p = (p + 3) – 1

1–p=p+2

2p = -1

p = - 0.5

แทนค่า p ในลำดบั p, 1, p + 3, … จะได้ - 0.5, 1, 2.5, …

จากลำดับจะได้ a1 = -0.5 และ d = 1 -(- 0.5) = 1.5

หาผลบวก 10 พจนแ์ รกจาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S10 = 10 [2(-0.5) + (10 - 1)(1.5)]
2

S10 = 5[-1 + (9)(1.5)]

S10 = 5(-1 + 13.5)

S10 = 62.5 S10 = 5(12.5)

ดังนั้น ผลบวก 10 พจนแ์ รก คอื 62.5

ตัวอย่างท่ี 14 บรษิ ทั รับเหมาสร้างอาคารแห่งหนงึ่ ทำสญั ญากับผ้วู ่าจ้าง

โดยระบุคา่ ปรับเป็นรายวนั ในกรณที ่ี บรษิ ัทสง่ มอบอาคารใหก้ บั ผูว้ ่าจา้ งลา่ ช้า ดังน้ี

ส่งมอบอาคารลา่ ช้าหนงึ่ วนั คิดคา่ ปรบั 40,000 บาท

ส่งมอบอาคารลา่ ชา้ สองวันคดิ ค่าปรับ 40,000 + 50,000 บาท

สง่ มอบอาคารลา่ ช้าสามวนั คดิ ค่าปรบั 40,000 + 50,000 + 60,000 บาท

เปน็ เชน่ นี้ไปเรอ่ื ย ๆ จนกวา่ จะส่งมอบอาคาร

ถ้าบรษิ ทั สง่ มอบอาคารภายในเวลาท่กี ำหนดจะได้กำไร 5,000,000 แตห่ ลงั จากสง่ มอบ

อาคารพบวา่ บริษัทได้กำไร 3,530,000 บาท แลว้ บริษัทส่งมอบอาคารลา่ ชา้ ไปกี่วัน

วธิ ที ำ หาค่าปรบั จากกำไรทลี่ ดลง 5,000,000 – 3,530,000 = 1,470,000 บาท

จากโจทย์จะได้ a1 = 40,000 d = 10,000 และ Sn = 1,470,000

หา n จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

1, 470, 000 = n [2(40, 000) + (n - 1)(10, 000)]
2

2,940,000 = n[80,000 + (n - 1)(10,000)]

2,940,000 = n(80,000 + 10,000n - 10,000)
2,940,000 = n(70,000 +10,000n)

2,940,000 = 70,000n + 10,000n2

294 = 7n + n2
n2 + 7n - 294 = 0
(n - 14)(n + 21) = 0

n = -21,14
เน่อื งจาก n ต้องเปน็ จำนวนเต็มบวก

n = 14
ดงั นั้น บริษทั สง่ มอบอาคารลา่ ช้าไป 14 วนั

4. ชิน้ งาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมที่ 16 โจทย์ปัญหาของอนกุ รมเลขคณิต

5. กิจกรรมการเรยี นรู้

5.1 ขนั้ นำเขา้ สบู่ ทเรยี น (10 นาที)

5.1.1 ครูให้นักเรียนทำกิจกรรม “Keywords Flash Gards” เพื่อทบทวนเกี่ยวกับการแปล

ความโจทยป์ ญั หา โดยใหน้ กั เรยี นแบง่ ออกเป็นกลุม่ 5 กลุ่ม และครูมีบตั รคำ คอื Sn an a1 n และ d โดยมี

วธิ ีการเล่น ดังน้ี

1) ครูให้นักเรียนกลุ่มที่ 1 ส่งตัวแทนออกมา 2 คน และครูสุม่ ใหบ้ ัตรคำ 1 ใบใหน้ ักเรียนตัวแทน

ถอื ไวห้ น้าห้อง

2) ให้นกั เรียนในกลมุ่ ท่ี 1 ทีเ่ หลอื ชว่ ยกันใบค้ ำโดยตอ้ งใบ้เป็นคำในโจทย์ปัญหา เช่น หากไดบ้ ัตร

คำ a1 คำใบค้ อื เดอื นแรก วนั ที่ 1 เร่มิ ต้น เป็นต้น

3) เมื่อนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 1 ทายถกู ให้ทำข้อ 1 และ 2 กับกลุ่มที่ 2 ทำซำ้ จนครบ 5 กลมุ่

4) ให้นักเรียนทำกิจกรรมวนซ้ำทุกกลุ่ม จนครบเวลา 8 นาทีและเริ่มทบทวนสูตรอนุกรมเลข

คณติ ก่อนเข้าสบู่ ทเรยี น

5.1.2 ครูทบทวนสตู รอนุกรมเลขคณติ

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต หาไดจ้ าก
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

an คอื พจน์ท่ี n

a1 คือ พจน์ที่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจนห์ รอื ลำดับทข่ี องพจน์

d คือ ผลตา่ งรว่ ม

5.2 ข้ันกจิ กรรมการเรียนรู้ (40 นาที)
5.2.1 ครูยกตัวอย่างที่ 12 ถ้า Sn = n2 – 4n เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มี

an เปน็ พจน์ท่ี n และ d เป็นผลต่างรว่ ม แล้ว d + a1a2 เทา่ กับเท่าใด [O-NET (ก.พ. 2560/23)]
- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งท่ี 12 โจทยต์ อ้ งการใหห้ าอะไร
(แนวคำตอบ d + a1a2 ซง่ึ ต้องหา d a1 และ a2)
- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 12 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ Sn = n2 – 4n)
- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากสิ่งทโ่ี จทย์กำหนดให้สามารถหาอะไรเพอ่ื หาคำตอบไดบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ หาคา่ a1 จากการแทนค่าหา S1 และ a1 + a2 จากแทนคา่ หา S2)
- ครูถามนกั เรียนวา่ จากการรคู้ ่า a1 และ a1 + a2 สามารถนำมาหาคา่ a2 ไดอ้ ยา่ งไร
(แนวคำตอบ แทนค่า a1 ลงใน S2 = a1 + a2 จะไดค้ ่า a2)
- ครูถามนกั เรยี นว่าจากการรคู้ ่า a1 และ a2 สามารถนำมาหาคา่ d ได้อย่างไร
(แนวคำตอบ d = a2 + a1)
- ครูอธบิ ายและให้นกั เรยี นทำตวั อย่างไปพร้อมกับครู
ตัวอย่างที่ 12 ถ้า Sn = n2 – 4n เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่มี an

เปน็ พจนท์ ี่ n และ d เป็นผลตา่ งร่วม แล้ว d + a1a2 เท่ากบั เทา่ ใด [O-NET (ก.พ. 2560/23)]
1. 5 2. 9 3. -7 4. -9 5. -58

วิธที ำ หา a1 จาก Sn = a1 + a2+ a3 + … + an
โดยแทนค่า n = 1, 2, 3, … ลงใน Sn = n2 – 4n
จะได้ S1 = 12 – 4(1) = -3
S2 = 22 – 4(2) = -4
จาก S1 = a1 = -3 จะไดว้ า่ a1 = -3
และ S2 = a1 + a2 = -4 จะไดว้ ่า a1 + a2 = -4
-3 + a2 = -4
a2 = -1
หาค่า d จาก a2 - a1 จะไดว้ า่ a2 - a1 = -1 – (-3)
=2
หา d + a1a2 จะได้ d + a1a2 = 2 + (-3)(-1)
=5

ดงั นัน้ d + a1a2 = 5

5.2.2 ครูยกตัวอย่างท่ี 13 กำหนดให้ p เป็นจำนวนจริง โดยที่ p, 1, p + 3, … เป็น
ลำดับเลขคณิตผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิตนี้ เท่ากับเท่าใด
[O-NET (ก.พ. 2565/9)]

- ครูถามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างที่ 13 โจทยต์ อ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ หรอื S10)

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างท่ี 13 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ กำหนดให้ p เปน็ จำนวนจรงิ โดยที่ p, 1, p + 3, … เป็นลำดบั เลขคณติ )

- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างท่ี 13 สามารถหาคำตอบด้วยวิธใี ดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใช้สตู รอนกุ รมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครูถามนกั เรียนวา่ หากจะใชว้ ธิ ีดังกล่าว ควรหาค่าใดเพ่มิ เติมจากสิ่งท่ีโจทย์กำหนดบ้าง

(แนวคำตอบ คา่ ของ p)

- ครูถามนักเรยี นว่าจาก p เปน็ จำนวนจรงิ โดยที่ p, 1, p + 3, … เป็นลำดบั เลขคณิต สามารถ

นำมาหาคา่ p ได้อย่างไร

(แนวคำตอบ จากความรู้เรื่องลำดับเลขคณิต d = a2 – a1 = a3 – a2)
- ครอู ธิบายและให้นักเรียนทำตวั อยา่ งไปพร้อมกบั ครู

ตวั อย่างท่ี 13 กำหนดให้ p เป็นจำนวนจริง โดยที่ p, 1, p + 3, … เป็นลำดับเลขคณิตผลบวก

10 พจน์แรกของอนกุ รมทไ่ี ด้จากลำดับเลขคณิตน้ี เทา่ กบั เท่าใด [O-NET (ก.พ. 2565/9)]

1. -31.5 2. -27.5 3. 27.5 4. 62.5 5. 63

วธิ ที ำ หาค่า p จาก d = a2 – a1 = a3 – a2

1 – p = (p + 3) – 1

1–p=p+2

2p = -1

p = - 0.5

แทนค่า p ในลำดับ p, 1, p + 3, … จะได้ - 0.5, 1, 2.5, …

จากลำดับจะได้ a1 = -0.5 และ d = 1 -(- 0.5) = 1.5

หาผลบวก 10 พจน์แรกจาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S10 = 10 [2(-0.5) + (10 - 1)(1.5)]
2

S10 = 5[-1 + (9)(1.5)]

S10 = 5(-1 + 13.5)

S10 = 62.5 S10 = 5(12.5)

ดงั น้ัน ผลบวก 10 พจน์แรก คอื 62.5

5.2.3 ครยู กตวั อยา่ งที่ 14 บริษัทรบั เหมาสร้างอาคารแหง่ หนึ่งทำสญั ญากบั ผ้วู า่ จา้ ง

โดยระบุคา่ ปรับเป็นรายวนั ในกรณที ่ี บรษิ ัทส่งมอบอาคารใหก้ ับผ้วู า่ จ้างล่าช้า ดงั น้ี

สง่ มอบอาคารลา่ ช้าหนึง่ วันคดิ ค่าปรับ 40,000 บาท

ส่งมอบอาคารล่าช้าสองวนั คดิ คา่ ปรบั 40,000 + 50,000 บาท

สง่ มอบอาคารลา่ ช้าสามวนั คดิ ค่าปรบั 40,000 + 50,000 + 60,000 บาท

เปน็ เชน่ น้ีไปเรอ่ื ย ๆ จนกวา่ จะส่งมอบอาคาร

ถ้าบรษิ ัทส่งมอบอาคารภายในเวลาท่กี ำหนดจะได้กำไร 5,000,000 แต่หลงั จากสง่ มอบ

อาคารพบวา่ บริษทั ไดก้ ำไร 3,530,000 บาท แล้วบริษทั สง่ มอบอาคารลา่ ชา้ ไปก่ีวนั

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อยา่ งที่ 14 โจทย์ต้องการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ บรษิ ทั สง่ มอบอาคารลา่ ชา้ ไปก่วี ัน (จำนวนวนั ) หรือ n)

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างที่ 14 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ส่งมอบอาคารลา่ ช้าหนึ่งวนั คิดคา่ ปรบั 40,000 บาท หรอื a1 = 40,000 ค่าปรบั จะ
เพิ่มขน้ึ วันละ 10,000 หรอื d = 10,000)

- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 14 สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรอนกุ รมเลขคณติ Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครูถามนกั เรียนวา่ หากจะใช้วธิ ีดงั กลา่ ว ควรหาคา่ ใดเพิ่มเตมิ จากสงิ่ ทีโ่ จทย์กำหนดบา้ ง

(แนวคำตอบ จำนวนคา่ ปรบั ทง้ั หมด หรือ Sn)
- ครถู ามนักเรียนวา่ จำนวนคา่ ปรบั ท้ังหมดไดอ้ ยา่ งไร

(แนวคำตอบ คดิ จากกำไรทล่ี ดลง ค่าปรบั = กำไรทสี่ ่งมอบตรงเวลา - กำไรทีส่ ่งล่าช้า)

- ครูอธิบายและให้นักเรยี นทำตวั อย่างไปพร้อมกบั ครู

ตัวอยา่ งที่ 14 บริษัทรับเหมาสรา้ งอาคารแห่งหนง่ึ ทำสัญญากับผูว้ ่าจา้ ง

โดยระบุค่าปรับเป็นรายวนั ในกรณีที่ บรษิ ัทส่งมอบอาคารใหก้ บั ผูว้ า่ จ้างล่าช้า ดงั นี้

ส่งมอบอาคารล่าช้าหน่งึ วนั คิดคา่ ปรบั 40,000 บาท

ส่งมอบอาคารล่าช้าสองวันคิดคา่ ปรับ 40,000 + 50,000 บาท

สง่ มอบอาคารลา่ ช้าสามวันคิดค่าปรบั 40,000 + 50,000 + 60,000 บาท

เป็นเชน่ นี้ไปเรอ่ื ย ๆ จนกวา่ จะสง่ มอบอาคาร

ถา้ บริษัทสง่ มอบอาคารภายในเวลาทก่ี ำหนดจะได้กำไร 5,000,000 แต่หลงั จากสง่ มอบ

อาคารพบวา่ บรษิ ัทไดก้ ำไร 3,530,000 บาท แล้วบริษทั ส่งมอบอาคารล่าช้าไปกว่ี ัน

วิธที ำ หาค่าปรบั จากกำไรทลี่ ดลง 5,000,000 – 3,530,000 = 1,470,000 บาท

จากโจทย์จะได้ a1 = 40,000 d = 10,000 และ Sn = 1,470,000

หา n จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

1, 470, 000 = n [2(40, 000) + (n - 1)(10, 000)]
2

2,940,000 = n[80,000 + (n - 1)(10,000)]

2,940,000 = n(80,000 + 10,000n - 10,000)

2,940,000 = n(70,000 +10,000n)

2,940,000 = 70,000n + 10,000n2

294 = 7n + n2

n2 + 7n - 294 = 0

(n - 14)(n + 21) = 0
n = -21,14

เนอ่ื งจาก n ต้องเป็นจำนวนเตม็ บวก

n = 14
ดงั น้ัน บรษิ ทั ส่งมอบอาคารล่าชา้ ไป 14 วนั

5.3 ข้ันสรุป (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนกั เรียนร่วมกันสรุปความหมายของอนุกรมจำกัด

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุก

พจน์ของลำดับวา่ อนุกรมจำกัด

5.3.2 ครูและนกั เรยี นร่วมกันสรุปความหมายของอนุกรมเลขคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับ

เลขคณติ จะเป็นผลต่างรว่ มของอนกุ รมเลขคณติ ด้วย

5.3.3 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่นำมาใช้ในการแก้โจทย์เรื่องลำดับเลขคณิต ได้แก่สูตร
n n
อนุกรมเลขคณิต Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรือพจน์แรก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทข่ี องพจน์

d คือ ผลตา่ งรว่ ม

6. สื่อ/แหลง่ การเรียนรู้

6.1 สือ่ การเรยี นรู้
- สื่อการสอน PowerPoint โจทย์ปญั หาของอนกุ รมเลขคณติ
- ใบกจิ กรรมที่ 16 โจทย์ปัญหาของอนุกรมเลขคณติ

6.2 แหลง่ การเรยี นรู้
-

7. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

ส่ิงทว่ี ดั วิธกี ารวดั เครือ่ งมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ ใบกิจกรรมท่ี 16 เกณฑ์การให้คะแนน :
ด้านความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ถูกตอ้ งจากการตอบ โจทย์ปญั หาของ ใบกจิ กรรมท่ี 16 โจทย์
(K) ใบกจิ กรรมที่ 16 อนกุ รมเลขคณิต ปัญหาของอนุกรมเลข
โจทยป์ ัญหาของ
1. นกั เรยี นสามารถ อนกุ รมเลขคณติ คณติ
วิเคราะห์โจทยป์ ญั หาเพอื่ แก้ ขอ้ 1 - 3
สมการและหาสิง่ ท่ีโจทย์
ต้องการได้ ข้อละ 4 คะแนน โดย
ถา้ นักเรยี นสามารถแปล
ความหมายของโจทยไ์ ด้

ถูกต้องครบถว้ น
จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นกั เรียนสามารถแปล
ความหมายของโจทย์ได้
ถูกตอ้ งบางส่วน

จะได้ 0.5 คะแนน
ถา้ นกั เรียนแสดงวิธีทำ

ได้ถกู ตอ้ งครบถ้วน
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรยี นแสดงวธิ ที ำ

ไดถ้ กู ต้องมากกว่า 75%
จะได้ 1.5 คะแนน

ถา้ นักเรียนแสดงวธิ ีทำ
ไดถ้ กู ตอ้ งมากกวา่ 50%

จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นักเรียนแสดงวิธที ำ
ไดถ้ ูกตอ้ งมากกว่า 25%

จะได้ 0.5 คะแนน
ถ้านักเรยี นหาคำตอบได้
ถูกต้อง

จะได้ 1 คะแนน
เกณฑ์การประเมนิ ผล :

ใบกิจกรรมท่ี 16 โจทย์
ปัญหาของอนุกรมเลข
คณิต ข้อ 1 - 3

ถา้ นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 6 คะแนน จาก

สงิ่ ท่ีวัด วิธกี ารวดั เคร่อื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

ด้านทกั ษะและกระบวนการ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมที่ 16 คะแนนเต็ม 12 คะแนน
ถือวา่ ผา่ น
ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถกู ตอ้ งจากการตอบ โจทยป์ ญั หาของ
1. นกั เรยี นสามารถใช้ ใบกจิ กรรมที่ 16 อนกุ รมเลขคณติ เกณฑ์การให้คะแนน :
โจทยป์ ัญหาของ กำหนดเกณฑ์การให้
ความรเู้ กย่ี วกบั อนุกรมเลข อนกุ รมเลขคณติ คะแนนแบบวิเคราะห์
คณิตในการแกป้ ญั หาได้ เกณฑ์การประเมินผล :
นักเรียนสามารถใชค้ วามรู้
ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ พิจารณาจาก แบบประเมนิ เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต
ประสงค์ (A) พฤติกรรมหรือความ จดุ ประสงค์ ในการแกป้ ัญหาได้
การเรยี นรู้
1. มีวินัย เหมาะสมในการ เกณฑก์ ารให้คะแนน :
2. ใฝ่เรยี นรู้ แสดงออกของ พจิ ารณารายบุคคล
นกั เรยี นขณะ จะได้ 3 คะแนน
ถ้านกั เรียนมคี วามตั้งใจ
ลงมือปฏิบัติและ และรับผดิ ชอบในการ
อภิปรายเหตผุ ลใน ปฏบิ ัติกิจกรรมทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมายจนสำเร็จและ
การหาคำตอบเปน็ ถกู ต้องสมบรู ณ์ภายใน
รายบุคคล โดยครู ระยะเวลาทกี่ ำหนด
เปน็ ผูส้ งั เกต จะได้ 2 คะแนน
ถ้านักเรยี นมคี วามต้งั ใจ
และรับผิดชอบในการ
ปฏบิ ัติกิจกรรมทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมายสำเร็จ แตม่ ี
ข้อบกพรอ่ งบางส่วน
ภายในระยะเวลาทก่ี ำหนด
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรยี นเอาใจใสต่ ่อการ
ปฏบิ ัตกิ จิ กรรมที่ได้รบั
มอบหมายแตไ่ ม่สำเร็จ
ภายในระยะเวลาที่กำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านักเรยี นไม่เอาใจใสต่ อ่
การปฏบิ ัตกิ จิ กรรมท่ีได้รบั
มอบหมายไมส่ ำเรจ็ ภายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด

ส่งิ ท่วี ดั วิธกี ารวัด เครอื่ งมอื วดั เกณฑก์ ารประเมนิ

ดา้ นสมรรถนะสำคญั ของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมนิ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
ผเู้ รยี น (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์ นกั เรยี น (คนใด) ได้
นักเรยี น การเรยี นรู้ คะแนน 2 คะแนน จาก
1. นักเรยี นมคี วามสามารถ คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถือว่าผา่ น
ในการแกป้ ญั หา
เกณฑ์การให้คะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นักเรยี นสามารถ
แก้ปญั หาทก่ี ำหนดไว้โดย
คำนงึ ถงึ หลักของเหตุและ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน

ถ้านักเรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาท่ีกำหนดไว้โดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตุและ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้บางข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนมีความพยายาม
ในการแก้ปญั หา โดย
คำนึงถึงหลกั ของเหตุและ
ผล แตไ่ ม่สำเร็จ
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นักเรยี นไมม่ ีร่องรอย

ของการทำใบกิจกรรม
เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 3 คะแนน
ถือว่าผา่ น

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 22 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชว่ั โมง
หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 1 เรอื่ งลำดบั และอนกุ รม เวลา 1 ชัว่ โมง
เรือ่ ง ทดสอบยอ่ ยเร่ืองอนกุ รมเลขคณิต
ครผู ู้สอน นางสาววิลาวัลย์ ปล้องนิราศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรียนรู้/ตวั ชวี้ ัด
สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ช้ีวัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรู้เกีย่ วกับลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นกั เรยี นมีความรคู้ วามเข้าใจเกย่ี วกบั อนุกรมเลขคณติ
ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นักเรียนสามารถนำความรู้เรื่องอนกุ รมเลขคณิตมาใชใ้ นการแก้ปัญหาได้
ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)
1. มวี นิ ยั
2. ซ่อื สัตย์สจุ ริต
สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน (C)
1. นักเรยี นมคี วามสามารถในการแก้ปัญหา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เปน็ ผลต่างรว่ มของอนุกรมเลขคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ

an คอื พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรือพจน์แรก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทขี่ องพจน์

d คือ ผลต่างรว่ ม

3. สาระการเรียนรู้

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลตา่ งร่วมของอนุกรมเลขคณิตดว้ ย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจนห์ รือลำดบั ทขี่ องพจน์

d คอื ผลต่างรว่ ม

4. ช้ินงาน (รวบยอด)
- แบบทดสอบ เรื่องอนุกรมเลขคณติ

5. กจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ขน้ั นำเขา้ สบู่ ทเรยี น (2 นาที)

5.1.1 ครูกลา่ วทักทายนักเรียน
5.2 ขัน้ กิจกรรมการเรียนรู้ (45 นาที)

5.2.1 ครใู ห้นักเรียนจัดหอ้ งสอบสำหรับสอบเก็บคะแนน

5.2.2 ครแู จกแบบทดสอบ เรอ่ื งอนุกรมเลขคณิต (เวลา 45 นาท)ี
5.2.3 ครแู จง้ เวลาเม่ือเวลาสอบเหลอื 10 นาที 5 นาที และหมดเวลาสอบ

5.2.4 ครเู ก็บแบบทดสอบ เรื่องอนุกรมเลขคณติ
5.3 ข้นั สรุป (3 นาที)

5.3.1 ครูแจ้งวนั ประกาศคะแนน และเกณฑ์การผา่ นการทดสอบ

6. สื่อ/แหล่งการเรยี นรู้
6.1 ส่อื การเรยี นรู้

- แบบทดสอบ เรอื่ งอนกุ รมเลขคณติ
6.2 แหลง่ การเรียนรู้

-

7. การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

สิง่ ท่ีวัด วธิ กี ารวัด เคร่อื งมอื วัด เกณฑ์การประเมนิ

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ พิจารณาความ แบบทดสอบ เรือ่ ง เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
อนกุ รมเลขคณิต แบบทดสอบ เรอื่ งอนกุ รม
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถกู ต้องจากการตอบ เลขคณิต ข้อ 1 – 5

(K) แบบทดสอบ เรือ่ ง ขอ้ ละ 2 คะแนน โดย
ถ้านกั เรยี นสามารถแปล
1. นักเรยี นมคี วามรูค้ วาม อนุกรมเลขคณิต ความหมายของโจทย์
สามารถบอกได้ว่าโจทย์
เข้าใจเกยี่ วกับอนกุ รมเลข ต้องการหาอะไร และโจทย์
กำหนดอะไรมาให้บา้ งได้
คณติ ถกู ต้อง
จะได้ 0.5 คะแนน
ด้านทักษะและกระบวนการ พิจารณาความ แบบทดสอบ เร่ือง ถ้านักเรยี นแสดงวธิ ีทำ
อนุกรมเลขคณติ ได้ถูกต้องครบถ้วน
ทางคณิตศาสตร์ (P) ถูกตอ้ งจากการตอบ จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนหาคำตอบได้
1. นกั เรียนสามารถนำ แบบทดสอบ เร่อื ง ถกู ตอ้ ง
จะได้ 0.5 คะแนน
ความรู้เรอ่ื งอนุกรมเลขคณติ อนกุ รมเลขคณิต เกณฑก์ ารประเมินผล :
แบบทดสอบ เรื่องลำดับ
มาใชใ้ นการแก้ปญั หาได้ เรขาคณิต ข้อ 1 – 5
ถ้านักเรยี น (คนใด) ได้
ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพึง พิจารณาจาก แบบประเมิน คะแนน 7 คะแนน จาก
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรอื ความ จดุ ประสงค์ คะแนนเตม็ 10 คะแนน
การเรยี นรู้ ถอื ว่าผ่าน
1. มวี ินัย เหมาะสมในการ
2. ซ่ือสัตย์สจุ รติ แสดงออกของ เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
กำหนดเกณฑ์การให้
คะแนนแบบวเิ คราะห์
เกณฑ์การประเมนิ ผล :
นักเรียนสามารถนำความรู้
เรอื่ งลำเรขาคณติ มาใช้ใน
การแกป้ ญั หาได้

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน

สงิ่ ท่วี ัด วิธกี ารวดั เครือ่ งมอื วัด เกณฑ์การประเมิน

นกั เรยี นขณะ ถ้านกั เรียนเข้าห้องสอบ
ตรงเวลาและทำข้อสอบ
ก่อนเข้าหอ้ งสอบและ ด้วยความสุจริต
จะได้ 2 คะแนน
ทำแบบทดสอบโดย ถา้ นกั เรียนเขา้ หอ้ งสอบชา้
ไม่เกิน 15 นาที และทำ
ครเู ปน็ ผสู้ งั เกต ข้อสอบดว้ ยความสจุ ริต
จะได้ 1 คะแนน
ด้านสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมนิ ถ้านักเรียนเขา้ หอ้ งสอบชา้
ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์
ผูเ้ รยี น (C) นักเรยี น การเรียนรู้ เกนิ 15 นาทีและทำ
1. นกั เรยี นมคี วามสามารถ ข้อสอบดว้ ยความสุจริต
จะได้ 0 คะแนน
ในการแก้ปญั หา ถ้านักเรยี นทจุ ริตการทำ
ข้อสอบ
เกณฑก์ ารประเมินผล :
นักเรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื ว่าผ่าน

เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านกั เรยี นสามารถ
แก้ปัญหาทีก่ ำหนดไวโ้ ดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อย่างครบถว้ น

จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แกป้ ญั หาทีก่ ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถึงหลกั ของเหตแุ ละ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างข้อ
จะได้ 1 คะแนน

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

ถ้านักเรียนมคี วามพยายาม

ในการแก้ปญั หา โดย

คำนึงถงึ หลักของเหตุและ

ผล แต่ไม่สำเร็จ

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นไม่มรี อ่ งรอย

ของการทำแบบทดสอบ

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นกั เรียน (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 23 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5
กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ช่ัวโมง
หนว่ ยการเรียนรูท้ ่ี 1 เร่อื งลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ชวั่ โมง
เร่อื ง ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ
ครผู ู้สอน นางสาววิลาวลั ย์ ปลอ้ งนิราศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตวั ชี้วดั
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ชว้ี ดั
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ ก่ียวกับลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรียนเขา้ ใจความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต
2. นกั เรียนเขา้ ใจวิธกี ารหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ
ด้านทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)
1. นักเรียนสามารถหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
1. มีวินัย
2. ใฝเ่ รียนรู้
สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน (C)
1. นกั เรยี นมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคิดรวบยอด)

ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดบั เรขาคณติ เรียกวา่ อนกุ รมเรขาคณิต และอตั ราส่วนร่วมของลำดบั เรขาคณิต

จะเป็นอัตราส่วนรว่ มของอนกุ รมเรขาคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
an คือ พจนท์ ี่ n

a1 คือ พจนท์ ี่ 1 หรือพจน์แรก
n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดับท่ีของพจน์
r คอื อัตราสว่ นร่วม

3. สาระการเรียนรู้

ตวั อยา่ งที่ 1

1) 100 + 50 + 25 + 5 มาจากลำดับ 100, 50, 25, 5

2) 1 + 2 + 4 + 8 + … + 64 มาจากลำดับ 1, 2, 3, 4, …, 64

3) (-2) + 2 + (-2) + 2 มาจากลำดบั -2, 2, -2, 2

ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับ

เรขาคณติ จะเป็นอัตราส่วนรว่ มของอนุกรมเรขาคณติ ดว้ ย

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต

ให้ a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดบั เรขาคณติ

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

(1) × r ; Sn = a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn-2 + a1rn-1 ……………(1)
(1) – (2) ; rSn = a1r + a1r2 + ... + a1rn-2 + a1rn-1 + a1rn …….….(2)
Sn - rSn = a1 - a1rn
Sn (1 - r) = a1 (1 - rn )

a1 (1 - r n )
1-r
Sn = , r  1 ……………………………………….(3)

จาก (3) ; Sn = a1 (1 - rn )
1-r

Sn = a1 (-1)(-1 + rn )
(-1)(-1+ r)

Sn = a1 (rn - 1) , r  1
r- 1

จาก (3) ; Sn = a1 (1 - rn )
1-r

Sn = a1 - a1rn
1 -r

Sn = a1 - a1rn-1  r
1-r
a1 - anr
Sn = 1-r , r  1

จะไดว้ ่าผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

คือ Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1 หรือ Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรอื Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ
an คือ พจน์ท่ี n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดับทีข่ องพจน์

r คอื อตั ราสว่ นรว่ ม

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลบวกของอนุกรมตอ่ ไปน้ี

1) 5 + 10 + 20 + ... ถงึ 6 พจน์

วิธที ำ จากโจทยจ์ ะได้ a1 = 5, r = 2 และ n = 6

จากสูตร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

แทนคา่ S6 = 5(26 - 1)
2- 1
S6 = 5(64 - 1)

S6 = 315

2) - 2 - 10 - 50 - ... ถงึ 6 พจน์

วธิ ที ำ จากโจทย์จะได้ a1 = -2, r = 5 และ n = 6

จากสตู ร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

แทนค่า S6 = (-2)(56 - 1)
5-1
(-2)(15, 625 - 1)
S6 = 4

S6 = 15, 624
-2
S6 = -7,812

S6 = 975