แผน ค32102

ส่ิงทวี่ ัด วิธกี ารวดั เคร่ืองมือวดั เกณฑ์การประเมิน

ด้านสมรรถนะสำคญั ของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมิน ข้อบกพรอ่ งบางส่วน
ผูเ้ รียน (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์ ภายในระยะเวลาทกี่ ำหนด
นักเรียน การเรยี นรู้ จะได้ 1 คะแนน
1. นักเรียนมีความสามารถ ถ้านกั เรยี นเอาใจใส่ตอ่ การ
ในการแกป้ ญั หา ปฏบิ ัตกิ จิ กรรมที่ไดร้ ับ
มอบหมายแต่ไมส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาทกี่ ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรียนไม่เอาใจใสต่ ่อ

การปฏบิ ัติกจิ กรรมท่ไี ดร้ ับ
มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
ระยะเวลาทกี่ ำหนด
เกณฑก์ ารประเมินผล :
นักเรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถือวา่ ผา่ น

เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรียนสามารถ
แก้ปญั หาที่กำหนดไวโ้ ดย
คำนึงถึงหลักของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ

แกป้ ัญหาท่กี ำหนดไว้โดย
คำนงึ ถงึ หลักของเหตแุ ละ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านกั เรียนมคี วามพยายาม
ในการแกป้ ัญหา โดย

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑก์ ารประเมิน

คำนึงถงึ หลักของเหตุและ

ผล แต่ไมส่ ำเรจ็

จะได้ 0 คะแนน

ถ้านักเรยี นไมม่ ีร่องรอย

ของการทำใบกิจกรรม

เกณฑ์การประเมนิ ผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเต็ม 3 คะแนน

ถอื ว่าผ่าน

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 14

รหสั วิชา ค32101 รายวชิ า คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน 3 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 ชือ่ หนว่ ย ลำดบั และอนุกรม เวลา 30 ชวั่ โมง

เร่ือง โจทย์ปัญหาของลำดับเรขาคณติ เวลา 50 นาที

ครูผู้สอน นางสาวจฑุ ารัตน์ เกา้ เพ็ชร์ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณติ ศาสตร์ โรงเรียนสรุ าษฎร์พิทยา

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรียนรู/้ ตัวช้วี ดั
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณติ
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ช้ีวดั
ค 1.2 ม.5/2 เข้าใจและนำความรู้เกย่ี วกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นกั เรยี นสามารถวเิ คราะหโ์ จทย์ปญั หาเพอื่ แก้สมการและหาสงิ่ ท่โี จทย์ตอ้ งการได้
ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)
2. นกั เรียนสามารถใช้ความรเู้ กี่ยวกับลำดบั เรขาคณิตในการแก้ปญั หาได้
ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. มีวนิ ยั
2. ใฝ่เรยี นรู้
สมรรถนะสำคัญของผเู้ รยี น (C)
1. นกั เรยี นมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)

ลำดับเรขาคณิต คอื ลำดับท่มี ีอตั ราส่วนซงึ่ ได้จากพจน์ท่ี n+1 หารดว้ ยพจน์ที่ n เปน็ คา่ คงตัว

ทเ่ี ทา่ กนั คา่ คงตัวน้ีเรยี กวา่ อัตราส่วนร่วม

ถ้า a1, a2, a3, …, an-1, an, an+1, … เปน็ ลำดบั เรขาคณติ และ r เป็นอัตราสว่ นร่วม

จากบทนิยาม r = an+1
an

หรือ an+1 = anr เม่อื nI+

ถ้า a1, a2, a3, a4, … เป็นลำดบั เรขาคณิต และมี r เปน็ อัตราสว่ นร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของ

ลำดับเรขาคณติ ในรปู ของ a1 และ r ได้ว่าพจน์ทว่ั ไปของลำดบั เรขาคณิต คือ an = a1rn-1

3. สาระการเรียนรู้

ทบทวน

ลำดับเรขาคณติ คอื ลำดบั ท่มี ีอัตราสว่ นซง่ึ ได้จากพจนท์ ี่ n+1 หารด้วยพจน์ท่ี n เป็นค่าคงตัว

ทเ่ี ท่ากนั คา่ คงตัวน้เี รยี กว่า อัตราสว่ นร่วม

ถา้ a1, a2, a3, …, an-1, an, an+1, … เปน็ ลำดบั เรขาคณติ และ r เป็นอัตราสว่ นร่วม

จากบทนยิ าม r = an+1
หรอื an

an+1 = anr เมอื่ nI+

ถา้ a1, a2, a3, a4, … เป็นลำดับเรขาคณิต และมี r เป็นอตั ราสว่ นร่วม จะเขยี นพจนอ์ นื่ ๆ ของ

ลำดบั เรขาคณติ ในรปู ของ a1 และ r ได้ว่าพจน์ทัว่ ไปของลำดับเรขาคณติ คือ an = a1rn-1

โดย an คือ พจนท์ ี่ n หรือพจน์ทว่ั ไป

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรือพจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดับที่ของพจน์

r คือ อตั ราส่วนรว่ ม

ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาพจนท์ ่ี 5 และพจน์ที่ 8 ของลำดับ 64, -32, 16, …
1
วธิ ที ำ จากโจทย์จะได้ a1 = 64 และ r = - 2

หา a5 จาก a5 = a1r5-1

a5 = (64)  - 1 5-1
2
4
a5 = (64)  - 1
2

a5 = (64)  1 
16
a5 = 4

หา a8 จาก a8 = a1r8-1

a8 = (64)  - 1 8-1
2
7
a8 = (64)  - 1
2

a8 = (64)  - 1 
128

a8 = - 1
2
ดังนัน้ พจน์ท่ี 5 คอื 4 และพจนท์ ี่ 8 คือ - 1
2
ตัวอย่างท่ี 11 จงหาพจนก์ ลาง 3 พจนข์ องลำดบั เรขาคณติ ระหวา่ ง - 3 และ -1,029
7
วิธที ำ ใหพ้ จน์กลาง 3 พจน์ของลำดับเรขาคณติ ระหวา่ ง - 3 และ -1,029 คือ x, y, z
7
จะไดล้ ำดับคือ - 3 , x, y, z, - 1029
7
3
จะได้วา่ a1 = - 7

และ a5 = -1029

a1r4 = -1029

 - 3 r4 = -1029
7
7
r 4 = -1029  - 3 

r4 = 7203
3
r4 =2401

แทน r = 7 r =±7

จะได้ x = a1r =  - 3  (7) = -3
7
3
y = a1r2 =  - 7  (7) 2 = -21

z = a1r3 =  - 3  (7) 3 = -147
7
แทน r = -7

จะได้ x = a1r =  - 3  (-7) =3
7

y = a1r2 =  - 3  ( -7)2 = -21
7
3
z = a1r3 =  - 7  (-7) 3 = 147

ดังน้นั พจน์กลาง 3 พจน์ คือ -3, -21, -147 หรือ 3, -21, 147
512 1 1 2
ตวั อยา่ งที่ 12 3 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับเรขาคณิต 24 ,- 6 , 3 , ...

วิธีทำ จากลำดบั 1 ,- 1, 2 , ...
24 6 3
1
จะได้ a1 = 24

และ r = - 1 × 24 = -4
61
an = a1rn-1
หาพจน์ท่ี n จาก 512 = 1 (-4)n-1
แทนคา่ 3 24

512 × 24 = (-4)n-1
3
4,096 = (-4)n-1

(-4)6 = (-4)n-1
6=n-1

512 n=7 1 1 2
3 24 6 3
ดงั น้ัน เป็นพจนท์ ี่ 7 ของลำดบั เรขาคณิต , - , , ...

4. ช้ินงาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมที่ 12 โจทยป์ ญั หาของลำดับเรขาคณิต

5. กจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ข้นั นำเข้าสู่บทเรยี น (5 นาที)

5.1.1 ครูใชเ้ กมกระตนุ้ ความสนใจ ชือ่ เกมว่าเกมทายเพลง โดยครูใหน้ ักเรยี นฟงั เสียงเพลง
จากทำนองท่ีสริ ิพดู และใหน้ กั เรียนทายวา่ คอื เพลงอะไร เพอ่ื เปน็ การเรียกสมาธินกั เรียน

5.1.2 ครทู บทวนความหมายของลำดับเรขาคณิต โดยทบทวนจากบทนิยาม
ลำดบั เรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนซงึ่ ได้จากพจนท์ ี่ n+1 หารด้วยพจนท์ ี่ n เป็นค่าคง
ตัวท่เี ท่ากนั คา่ คงตัวน้ีเรียกวา่ อตั ราสว่ นรว่ ม

ถา้ a1, a2, a3, …, an-1, an, an+1, … เปน็ ลำดบั เรขาคณติ และ r เป็นอัตราสว่ นรว่ ม

จากบทนิยาม r = an+1
an

หรอื an+1 = anr เมอ่ื nI+

ถ้า a1, a2, a3, a4, … เป็นลำดับเรขาคณิต และมี r เป็นอัตราส่วนร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ

ของลำดบั เรขาคณติ ในรปู ของ a1 และ r ไดว้ า่ พจน์ทัว่ ไปของลำดบั เรขาคณิต คอื an = a1rn-1

โดย an คือ พจน์ที่ n หรือพจนท์ ่วั ไป

a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทข่ี องพจน์

r คอื อัตราสว่ นร่วม

5.2 ขนั้ กิจกรรมการเรียนรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครยู กตวั อย่างท่ี 10 จงหาพจนท์ ่ี 5 และพจน์ที่ 8 ของลำดับ 64, -32, 16, …

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อยา่ งท่ี 10 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ พจนท์ ่ี 5 และ 8 หรอื a5 และ a8 )

- ครถู ามนักเรยี นว่าจากตวั อยา่ งที่ 10 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ลำดบั 64, -32, 16, …)

- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 10 จากลำดับสามารถหาค่าอะไรไดบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ พจน์แรก หรือ a1 และ r หรอื อัตราส่วนรว่ ม)
- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตัวอย่างที่ 10 จากลำดบั สามารถหาค่า a1 ไดเ้ ท่ากบั เท่าไร
(แนวคำตอบ a1 = 64 )

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อยา่ งที่ 10 จากลำดบั สามารถหาคา่ r ได้เท่ากบั เทา่ ไร
(แนวคำตอบ r = - 1 )
2
- ครูถามนกั เรียนวา่ จากตวั อย่างที่ 10 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธใี ดได้บ้าง
(แนวคำตอบ หา a5 และ a8 โดยใชส้ ูตรพจนท์ ัว่ ไปของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 )

- ครอู ธบิ ายและให้นักเรียนทำตัวอยา่ งไปพร้อมกับครู

ตัวอย่างท่ี 10 จงหาพจน์ท่ี 5 และพจนท์ ่ี 8 ของลำดับ 64, -32, 16, …
1
วิธีทำ จากโจทยจ์ ะได้ a1 = 64 และ r = - 2

หา a5 จาก a5 = a1r5-1

a5 = (64)  - 1 5-1
2
4
a5 = (64)  - 1
2

a5 = (64)  1 
16
a5 = 4

หา a8 จาก a8 = a1r8-1

a8 = (64)  - 1 8-1
2
7
a8 = (64)  - 1
2

a8 = (64)  - 1 
128
1
a8 = - 2

ดงั น้นั พจนท์ ่ี 5 คอื 4 และพจนท์ ี่ 8 คือ - 1
2

5.2.2 ครูยกตัวอย่างที่ 11 จงหาพจน์กลาง 3 พจน์ของลำดับเรขาคณิตระหว่าง
- 3 และ -1,029
7
- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอยา่ งที่ 11 นักเรียนสามารถนำมาเขยี นเป็นลำดับไดอ้ ย่างไร
3
(แนวคำตอบ - 7 , x, y, z, - 1029 )

- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 11 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ พจนท์ ี่ 2 3 และ 4)

- ครูถามนักเรยี นว่าจากตัวอยา่ งท่ี 11 โจทยก์ ำหนดอะไรมาให้บา้ ง
3
(แนวคำตอบ a1 = - 7 และ a5 = -1029 )

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 11 สามารถหาคำตอบดว้ ยวธิ ีใดไดบ้ ้าง
(แนวคำตอบ หา r จากสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 แล้วนำมาแทนค่า

เพื่อหาพจน์ที่ 2 3 และ 4)

- ครอู ธิบายและใหน้ ักเรียนทำตวั อย่างไปพร้อมกับครู

ตวั อย่างที่ 11 จงหาพจนก์ ลาง 3 พจนข์ องลำดบั เรขาคณติ ระหว่าง - 3 และ -1,029
7
-3
วิธที ำ ให้พจนก์ ลาง 3 พจนข์ องลำดบั เรขาคณติ ระหว่าง 7 และ -1,029 คือ x, y, z

จะไดล้ ำดับคือ - 3 , x, y, z, - 1029
7
3
จะไดว้ า่ a1 = - 7

และ a5 = -1029

a1r4 = -1029

 - 3 r4 = -1029
7
7
r4 = -1029 - 3 

r4 = 7203
3
r4 =2401

แทน r = 7 r =±7

จะได้ x = a1r =  - 3  (7) = -3
7
3
y = a1r2 =  - 7  (7) 2 = -21

z = a1r3 =  - 3  (7) 3 = -147
7
แทน r = -7

จะได้ x = a1r =  - 3  (-7) =3
7
3
y = a1r2 =  - 7  (-7) 2 = -21

z = a1r3 =  - 3  ( -7)3 = 147
7
ดงั นน้ั พจนก์ ลาง 3 พจน์ คอื -3, -21, -147 หรอื 3, -21, 147

5.2.3 ครูยกตัวอย่างที่ 12 512 เป็นพจนท์ ่ีเทา่ ไรของลำดบั เรขาคณติ 1 , - 1 , 2 , ...
3 24 6 3
- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อยา่ งที่ 12 โจทย์ตอ้ งการใหห้ าอะไร
(แนวคำตอบ 512 เปน็ พจน์ทีเ่ ทา่ ไรของลำดับเรขาคณิต หรือ n)
3
- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างที่ 12 โจทยก์ ำหนดอะไรมาให้บา้ ง
1 1 2 512
(แนวคำตอบ ลำดบั 24 , - 6 , 3 , ... และ an = 3 )

- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 12 จากลำดับสามารถหาค่าอะไรได้บา้ ง

(แนวคำตอบ พจน์แรก หรอื a1 และ r หรอื อัตราสว่ นรว่ ม)

- ครูถามนักเรยี นว่าจากตวั อยา่ งท่ี 12 จากลำดับสามารถหาค่า a1 ได้เท่ากับเทา่ ไร
1
(แนวคำตอบ a1 = 24 )

- ครถู ามนักเรยี นว่าจากตัวอยา่ งที่ 12 จากลำดบั สามารถหาค่า r ได้เทา่ กับเท่าไร

(แนวคำตอบ r = -4)

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างที่ 12 สามารถหาคำตอบดว้ ยวิธีใดได้บ้าง
(แนวคำตอบ หา n จากสตู รพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเรขาคณติ an = a1rn-1 )

- ครอู ธิบายและให้นักเรยี นทำตวั อย่างไปพรอ้ มกบั ครู 1
512 24 1 2
ตัวอยา่ งท่ี 12 3 เป็นพจน์ทเ่ี ท่าไรของลำดบั เรขาคณติ , - 6 , 3 , ...

วธิ ีทำ จากลำดบั 1 ,- 1, 2 , ...
24 6 3
1
จะได้ a1 = 24

และ r = - 1 × 24 = -4
61
an = a1rn-1
หาพจน์ท่ี n จาก 512 = 1 (-4)n-1
แทนคา่ 3 24

512 × 24 = (-4)n-1
3
4,096 = (-4)n-1

(-4)6 = (-4)n-1
6=n-1

512 n=7 1 ,- 1, 2 , ...
3 24 6 3
ดงั นั้น เป็นพจน์ท่ี 7 ของลำดับเรขาคณิต

5.2.4 ครูให้นักเรียนทำใบกิจกรรมที่ 12 โจทย์ปัญหาลำดับเรขาคณิต โดยครูเดินสังเกต

และใหค้ ำปรกึ ษานักเรียนเป็นรายบุคคล
5.2.5 ครูเฉลยใบกิจกรรมท่ี 12 โจทย์ปัญหาลำดบั เรขาคณิต

5.3 ข้ันสรปุ (5 นาที)
5.3.1 ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั สรปุ ความหมายของลำดบั เรขาคณติ
ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n เป็น

คา่ คงตัวที่เท่ากนั ค่าคงตวั นีเ้ รียกวา่ อตั ราส่วนรว่ ม
5.3.2 ครูและนักเรียนรว่ มกันสรุปส่ิงท่ีนำมาใช้ในการแก้โจทยเ์ รื่องลำดับเรขาคณติ ได้แก่

พจนท์ ว่ั ไปของลำดับเรขาคณติ คือ an = a1rn-1
โดย an คือ พจน์ที่ n หรอื พจนท์ ว่ั ไป
a1 คือ พจน์ท่ี 1 หรอื พจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดบั ที่ของพจน์
r คอื อัตราส่วนรว่ ม

6. สือ่ /แหล่งการเรยี นรู้
6.1 สื่อการเรยี นรู้
- สื่อการสอน PowerPoint เรอ่ื งลำดับเรขาคณิต

- ใบกิจกรรมท่ี 12 โจทย์ปัญหาของลำดบั เรขาคณติ
- สื่อ PowerPoint เกมทายเพลง

6.2 แหลง่ การเรยี นรู้
-

7. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

สิ่งทว่ี ดั วิธีการวัด เคร่ืองมอื วดั เกณฑก์ ารประเมิน

จุดประสงค์การเรียนรู้ พิจารณาความ ใบกิจกรรมท่ี 12 เกณฑก์ ารให้คะแนน :

ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถูกต้องจากการตอบ โจทย์ปัญหาของลำดับ ใบกิจกรรมท่ี 12 โจทย์

(K) ใบกจิ กรรมที่ 12 เรขาคณิต ปัญหาของลำดับเรขาคณติ

1. นกั เรยี นสามารถ โจทย์ปัญหาของ ข้อ 1 – 3

วเิ คราะห์โจทยป์ ญั หาเพอื่ แก้ ลำดบั เรขาคณติ ข้อละ 4 คะแนน โดย

สมการและหาสิ่งท่โี จทย์ ถา้ นักเรียนสามารถแปล

ตอ้ งการได้ ความหมายของโจทยไ์ ด้

ถูกต้องครบถ้วน

ส่ิงที่วัด วธิ กี ารวดั เครือ่ งมือวดั เกณฑก์ ารประเมิน

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นักเรยี นสามารถแปล

ความหมายของโจทยไ์ ด้

ถกู ตอ้ งบางสว่ น

จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นกั เรียนแสดงวิธีทำ

ได้ถูกตอ้ งครบถ้วน

จะได้ 2 คะแนน

ถา้ นกั เรียนแสดงวธิ ีทำ

ได้ถกู ต้องมากกว่า 75%

จะได้ 1.5 คะแนน

ถ้านกั เรยี นแสดงวิธีทำ

ไดถ้ ูกต้องมากกว่า 50%

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นักเรยี นแสดงวิธีทำ

ไดถ้ ูกตอ้ งมากกวา่ 25%

จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นักเรียนหาคำตอบได้

ถกู ต้อง

จะได้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

ใบกิจกรรมท่ี 12 โจทย์

ปญั หาของลำดับเรขาคณิต

ขอ้ 1 – 3

ถ้า นกั เรียน (คนใด) ได้

คะแนน 6 คะแนน จาก

คะแนนเต็ม 12 คะแนน

ถือว่าผา่ น

ด้านทักษะและกระบวนการ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 12 เกณฑ์การให้คะแนน :

ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถูกตอ้ งจากการตอบ โจทย์ปัญหาของลำดบั กำหนดเกณฑ์การให้

1. นักเรียนสามารถใช้ ใบกจิ กรรมที่ 12 เรขาคณิต คะแนนแบบวเิ คราะห์

ความรเู้ กย่ี วกับลำดับ โจทยป์ ญั หาของ เกณฑ์การประเมินผล :

เรขาคณิตในการแกป้ ัญหาได้ ลำดับเรขาคณิต นกั เรียนสามารถใช้ความรู้

เก่ยี วกับลำดบั เรขาคณติ ใน

การแก้ปัญหาได้

สง่ิ ทว่ี ัด วิธีการวัด เครื่องมือวัด เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึง พจิ ารณาจาก แบบประเมนิ เกณฑ์การให้คะแนน :
ประสงค์ (A) พฤติกรรมหรือความ จดุ ประสงค์
เหมาะสมในการ การเรยี นรู้ พจิ ารณารายบุคคล
1. มวี นิ ัย แสดงออกของ จะได้ 3 คะแนน
2. ใฝ่เรียนรู้ นักเรยี นขณะ
ลงมือปฏบิ ัติและ ถา้ นกั เรยี นมคี วามตง้ั ใจ
อภปิ รายเหตุผลใน และรบั ผิดชอบในการ
การหาคำตอบเป็น ปฏิบัตกิ ิจกรรมทไี่ ดร้ ับ
รายบุคคล โดยครู
เปน็ ผู้สังเกต มอบหมายจนสำเรจ็ และ
ถกู ตอ้ งสมบูรณ์ภายใน

ระยะเวลาท่ีกำหนด
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรียนมีความตัง้ ใจ
และรับผดิ ชอบในการ
ปฏบิ ตั ิกิจกรรมทีไ่ ด้รับ

มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี
ขอ้ บกพร่องบางส่วน
ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด

จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนเอาใจใส่ต่อการ

ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมท่ไี ดร้ บั
มอบหมายแต่ไมส่ ำเรจ็
ภายในระยะเวลาที่กำหนด

จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรียนไม่เอาใจใส่ต่อ

การปฏิบัตกิ ิจกรรมท่ไี ดร้ บั
มอบหมายไม่สำเรจ็ ภายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด

เกณฑก์ ารประเมินผล :
นกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื ว่าผ่าน

ส่งิ ที่วัด วธิ ีการวัด เครือ่ งมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมิน เกณฑก์ ารให้คะแนน :
ผู้เรียน (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์
นกั เรียน การเรียนรู้ พิจารณารายบุคคล
1. นกั เรยี นมีความสามารถ จะได้ 3 คะแนน
ในการแก้ปัญหา ถ้านักเรยี นสามารถ
แก้ปญั หาท่กี ำหนดไวโ้ ดย
คำนึงถึงหลกั ของเหตแุ ละ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ

ได้อย่างครบถ้วน
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นักเรยี นสามารถ
แก้ปัญหาท่กี ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตุและ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างขอ้
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นมีความพยายาม
ในการแกป้ ัญหา โดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล แต่ไม่สำเรจ็

จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรียนไมม่ ีร่องรอย

ของการทำใบกจิ กรรม
เกณฑก์ ารประเมินผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 3 คะแนน
ถอื ว่าผ่าน

8. ความคดิ เหน็ ของผู้บังคบั บัญชาหรือผู้ทไี่ ดร้ บั มอบหมาย

ความคดิ เห็นของครูพเ่ี ลีย้ ง

…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ...............................................

(นางสาวอนั นา วงศพ์ ฒั นกิจ)

ครูพ่เี ล้ียง

บนั ทึกผลการจดั การเรียนรู้
ใช้จัดกจิ กรรมการเรยี นรูร้ ะดบั ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5/1
1. บันทึกผลหลังการจดั การเรยี นรู้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหาอุปสรรค / แนวทางแกไ้ ข
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ.................................................
(นางสาวจุฑารตั น์ เกา้ เพ็ชร์)

นกั ศึกษาฝกึ ประสบการณ์วชิ าชีพครู
............./................../................

บันทกึ ผลการจัดการเรียนรู้
ใชจ้ ดั กิจกรรมการเรยี นรรู้ ะดบั ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5/5
1. บนั ทึกผลหลังการจดั การเรยี นรู้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหาอุปสรรค / แนวทางแกไ้ ข
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ.................................................
(นางสาวจฑุ ารตั น์ เกา้ เพช็ ร์)

นักศกึ ษาฝึกประสบการณว์ ชิ าชพี ครู
............./................../................

บนั ทกึ ผลการจัดการเรียนรู้
ใช้จัดกิจกรรมการเรยี นรรู้ ะดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5/6
1. บนั ทึกผลหลงั การจัดการเรยี นรู้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปญั หาอปุ สรรค / แนวทางแก้ไข
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอื่ .................................................
(นางสาวจฑุ ารัตน์ เกา้ เพ็ชร์)

นักศกึ ษาฝึกประสบการณ์วชิ าชพี ครู
............./................../................

บันทกึ ผลการจดั การเรียนรู้
ใช้จดั กิจกรรมการเรยี นรู้ระดบั ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5/7
1. บันทกึ ผลหลังการจัดการเรียนรู้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหาอปุ สรรค / แนวทางแก้ไข
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ขอ้ เสนอแนะ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่ือ.................................................
(นางสาวจุฑารตั น์ เก้าเพช็ ร์)

นกั ศกึ ษาฝกึ ประสบการณ์วชิ าชพี ครู
............./................../................

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 15 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ช่ัวโมง
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เรื่องลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ช่วั โมง
เรอ่ื ง ทดสอบยอ่ ยเร่อื งลำดบั เรขาคณิต
ครูผสู้ อน นางสาววิลาวัลย์ ปล้องนริ าศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวช้ีวัด
สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณติ
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชีว้ ัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรู้เก่ยี วกับลำดบั และอนุกรมไปใช้

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
ดา้ นความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรียนมีความรู้ความเข้าใจเก่ียวกับลำดบั เรขาคณติ
ด้านทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นักเรยี นสามารถนำความร้เู รื่องลำดบั เรขาคณติ มาใชใ้ นการแกป้ ัญหาได้
ด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
1. มีวินัย
2. ซือ่ สตั ย์สจุ ริต
สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน (C)
1. นกั เรยี นมีความสามารถในการแก้ปัญหา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว

ท่ีเท่ากนั คา่ คงตัวนเี้ รยี กว่า อตั ราสว่ นร่วม

ถา้ a1, a2, a3, …, an-1, an, an+1, … เป็นลำดบั เรขาคณิต และ r เป็นอตั ราส่วนรว่ ม

จากบทนยิ าม r = an+1
an

หรือ an+1 = anr เมอ่ื nI+

ถ้า a1, a2, a3, a4, … เป็นลำดับเรขาคณิต และมี r เป็นอัตราส่วนร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของ

ลำดับเรขาคณิตในรูปของ a1 และ r ไดว้ ่าพจน์ทว่ั ไปของลำดับเรขาคณิต คอื an = a1rn-1

3. สาระการเรยี นรู้

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนซึ่งได้จากพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว

ทเี่ ทา่ กนั ค่าคงตัวนเี้ รยี กว่า อัตราส่วนรว่ ม

ถ้า a1, a2, a3, …, an-1, an, an+1, … เปน็ ลำดบั เรขาคณิต และ r เปน็ อตั ราส่วนรว่ ม

จากบทนิยาม r = an+1
an

หรอื an+1 = anr เมื่อ nI+

ถ้า a1, a2, a3, a4, … เป็นลำดับเรขาคณิต และมี r เป็นอัตราส่วนร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ ของ

ลำดับเรขาคณติ ในรปู ของ a1 และ r ได้ว่าพจนท์ ว่ั ไปของลำดับเรขาคณิต คือ an = a1rn-1

4. ชิ้นงาน (รวบยอด)
- แบบทดสอบ เร่ืองลำดบั เรขาคณติ

5. กิจกรรมการเรยี นรู้
5.1 ขนั้ นำเขา้ ส่บู ทเรียน (2 นาที)

5.1.1 ครูกลา่ วทกั ทายนกั เรียน
5.2 ขัน้ กจิ กรรมการเรยี นรู้ (45 นาที)

5.2.1 ครูให้นกั เรียนจดั ห้องสอบสำหรบั สอบเก็บคะแนน
5.2.2 ครูแจกแบบทดสอบ เร่ืองลำดับเรขาคณติ (เวลา 45 นาท)ี
5.2.3 ครูแจ้งเวลาเม่อื เวลาสอบเหลอื 10 นาที 5 นาที และหมดเวลาสอบ

5.2.4 ครเู ก็บแบบทดสอบ เรื่องลำดับเรขาคณิต
5.3 ขัน้ สรปุ (3 นาที)

5.3.1 ครูแจ้งวันประกาศคะแนน และเกณฑก์ ารผ่านการทดสอบ

6. ส่ือ/แหล่งการเรยี นรู้
6.1 ส่อื การเรียนรู้
- แบบทดสอบ เรือ่ งลำดับเรขาคณติ
6.2 แหล่งการเรยี นรู้

-

7. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

สิง่ ทว่ี ดั วิธกี ารวัด เครือ่ งมอื วัด เกณฑ์การประเมนิ

จุดประสงค์การเรียนรู้ พิจารณาความ แบบทดสอบ เรอื่ ง เกณฑ์การให้คะแนน :

ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถูกตอ้ งจากการตอบ ลำดบั เรขาคณติ แบบทดสอบ เร่ืองลำดับ

(K) แบบทดสอบ เรือ่ ง เรขาคณิต

1. นักเรยี นมีความรู้ความ ลำดบั เรขาคณิต ข้อ 1 – 10

เข้าใจเกยี่ วกับลำดับเรขาคณิต ข้อละ 1 คะแนน โดย

ส่งิ ท่วี ดั วิธกี ารวดั เครอ่ื งมือวัด เกณฑ์การประเมิน

ถ้านกั เรยี นแสดงวิธีทำได้

ถกู ต้องครบถว้ น

จะได้ 0.5 คะแนน

ถ้านักเรยี นหาคำตอบได้

ถกู ตอ้ ง

จะได้ 0.5 คะแนน

เกณฑ์การประเมินผล :

แบบทดสอบ เรื่องลำดบั

เรขาคณิต ขอ้ 1 – 10

ถ้านกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 7 คะแนน จาก

คะแนนเต็ม 10 คะแนน ถือวา่

ผ่าน

ด้านทักษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ แบบทดสอบ เรือ่ ง เกณฑก์ ารให้คะแนน :

ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถกู ตอ้ งจากการตอบ ลำดบั เรขาคณติ กำหนดเกณฑก์ ารให้คะแนน

1. นักเรียนสามารถนำ แบบทดสอบ เรือ่ ง แบบวิเคราะห์

ความรูเ้ รอ่ื งลำเรขาคณิตมาใช้ ลำดบั เรขาคณติ เกณฑก์ ารประเมินผล :

ในการแก้ปญั หาได้ นักเรียนสามารถนำความรู้เรอื่ ง

ลำเรขาคณิตมาใช้ในการ

แกป้ ัญหาได้

ดา้ นคณุ ลักษณะอันพึง พิจารณาจาก แบบประเมิน เกณฑ์การใหค้ ะแนน :

ประสงค์ (A) พฤติกรรมหรือความ จดุ ประสงค์ พิจารณารายบุคคล

1. มวี ินัย เหมาะสมในการ การเรยี นรู้ จะได้ 3 คะแนน

2. ซอ่ื สตั ย์สุจรติ แสดงออกของ ถา้ นกั เรยี นเขา้ ห้องสอบตรง

นักเรยี นขณะ เวลาและทำข้อสอบด้วยความ

ก่อนเข้าห้องสอบและ สุจริต

ทำแบบทดสอบโดย จะได้ 2 คะแนน

ครเู ป็นผูส้ ังเกต ถ้านกั เรียนเข้าห้องสอบช้าไม่

เกนิ 15 นาที และทำข้อสอบ

ดว้ ยความสจุ ริต

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นักเรยี นเข้าห้องสอบชา้ เกนิ

15 นาทีและทำข้อสอบดว้ ย

ความสุจรติ

จะได้ 0 คะแนน

ส่งิ ทีว่ ดั วิธกี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

ดา้ นสมรรถนะสำคญั ของ พิจารณาจากการ แบบประเมนิ ถ้านกั เรยี นทจุ รติ การทำ
ผูเ้ รยี น (C) ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ ข้อสอบ
นักเรยี น การเรียนรู้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
1. นกั เรยี นมีความสามารถ นกั เรียน (คนใด) ได้คะแนน 2
ในการแกป้ ัญหา คะแนน จากคะแนนเตม็ 3
คะแนน
ถือว่าผ่าน

เกณฑ์การให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านักเรยี นสามารถแก้ปญั หาท่ี
กำหนดไว้โดยคำนงึ ถึงหลักของ
เหตุและผล พรอ้ มตรวจสอบ
ความ
สมเหตุสมผลของคำตอบได้

อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านักเรยี นสามารถแก้ปัญหาท่ี
กำหนดไวโ้ ดยคำนงึ ถึงหลักของ
เหตแุ ละผล พร้อมตรวจสอบ
ความสมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้บางขอ้
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านกั เรยี นมีความพยายามใน
การแกป้ ัญหา โดยคำนึงถึง
หลักของเหตแุ ละผล แตไ่ ม่
สำเร็จ
จะได้ 0 คะแนน

ถ้านักเรยี นไม่มีรอ่ งรอยของ
การทำแบบทดสอบ
เกณฑ์การประเมินผล :
นักเรียน (คนใด) ไดค้ ะแนน 2
คะแนน จากคะแนนเตม็ 3
คะแนน
ถอื ว่าผา่ น

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 16 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ชวั่ โมง
หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เรอื่ งลำดบั และอนกุ รม เวลา 1 ช่ัวโมง
เรอ่ื ง ความหมายของอนกุ รมเลขคณิต
ครูผสู้ อน นางสาววิลาวลั ย์ ปลอ้ งนิราศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตวั ช้ีวดั
สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ชว้ี ัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กี่ยวกบั ลำดบั และอนุกรมไปใช้

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรียนเขา้ ใจความหมายของอนกุ รมเลขคณิต
2. นักเรียนเขา้ ใจวธิ ีการหาผลบวก n พจน์แรกของลำดบั เลขคณิต
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรียนสามารถหาผลบวก n พจน์แรกของลำดบั เลขคณิตได้
ดา้ นคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. มวี นิ ัย
2. ใฝ่เรียนรู้
สมรรถนะสำคัญของผ้เู รียน (C)
1. นักเรียนมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)
ความหมายของอนกุ รมจำกดั
ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดบั จำกดั ทีม่ ี n พจน์ จะเรียกการเขยี นแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์

ของลำดับว่า อนกุ รมจำกดั

อนกุ รม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจนท์ ่ี 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม
ตามลำดบั

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนุกรม
S1 = a1

S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนกุ รมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลต่างรว่ มของอนุกรมเลขคณิตด้วย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

an คอื พจนท์ ี่ n

a1 คือ พจนท์ ี่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจนห์ รอื ลำดบั ทีข่ องพจน์

d คอื ผลตา่ งรว่ ม

3. สาระการเรยี นรู้
ตัวอย่างที่ 1
1) 12, 22, 32, 42, 52
2) 2, 4, 6, 8, …, 20
3) 3, 9, 27, …, 243
ความหมายของอนุกรมจำกัด
ถ้า a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดับจำกัดท่มี ี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทกุ พจน์

ของลำดบั ว่า อนุกรมจำกัด

ตวั อยา่ งอนกุ รมจำกดั
1) 12 + 22 + 32 + 42 + 52
2) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 +18 + 20
3) 3 + 9 + 27 + 81 + 243

อนุกรม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เปน็ พจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนกุ รม

ตามลำดบั

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจน์บวกของอนุกรม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ตัวอยา่ งท่ี 2

1) 1 + 2 + 3 + 4 มาจากลำดบั 1, 2, 3, 4

2) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 มาจากลำดบั 1, 3, 5, 7, 9, 11

3) 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 มาจากลำดบั 3, 8, 13, 18, 23, 28

4) (-1) + (-4) + (-7) + (-10) มาจากลำดบั -1, -4, -7, -10

ความหมายของอนุกรมเลขคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลต่างรว่ มของอนกุ รมเลขคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ

ผลบวกของทกุ พจนข์ องลำดบั เลขคณิต 1, 2, 3, …, 100

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 1

101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 มี 100 ตวั

เน่ืองจาก 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 = 100 × 101

ดังนนั้ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 = 100 × 101 = 5, 050
2
ในทำนองเดียวกันเราสามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตไดด้ งั น้ี

ให้ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an

= a1 + [a1 + d] + [a1 + 2d] + [a1 + (n-1)d]……………………..(1)
หรืออาจเขียน Sn ใหมไ่ ด้เปน็

Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1

= an + [an – d] + [an – 2d] + … + [an – (n – 1)d]…………..(2)

นำสมการ (1) + (2)

จะได้ 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an)

n พจน์

2Sn = n(a1 + an)
n
Sn = 2 (a1 +an )

นอกจากจะหา Sn จาก Sn = n (a1 +an ) เม่ือทราบค่า n, a1 และ an แล้วยังสามารถหา Sn
2

เม่อื ทราบเพียงคา่ n, a1 และ d ไดด้ งั นี้

เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
จะได้ n
= 2 (a1+an )

= n [a1 + a1 + (n-1)d]
2
n
= 2 [2a1 +(n-1)d]

จะได้วา่ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ Sn = n (a1 +an )
2
n
หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

an คือ พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรือพจน์แรก

n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดบั ที่ของพจน์

d คอื ผลต่างรว่ ม

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมต่อไปนี้

(1) 1 + 4 + 7 + … ถึง 20 พจน์

a1 = 1 d = 3

จากสตู ร Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S20 = 20 [2a1 + (20 - 1)d]
2

= 10[2(1) + 19(3)]

= 10(2 + 57)

= 10(59)

= 590

(2) 100 + 95 + 90 + … ถึง 15 พจน์

a1 = 100 d = -5

จากสูตร Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S15 = 15 [2a1 + (15 - 1)d]
2

= 15 [2(100) + (14)(-5)]
2

= 15 (200 - 70)
2

= 15 (130)
2

= 975

(3) 1 + 2 + 3 + … + 100

a1 = 1 an = 100 n = 100

จากสูตร Sn = n (a1 + an )
2

S100 = 100 (1 + 100)
2

= 50(101)

= 5,050

(4) 1 + 3 + 5 + … + 99

a1 = 1 an = 99 n = 50

จากสตู ร Sn = n (a1 + an )
2

S50 = 50 (1 + 99)
2

= 25(100)

= 2,500

4. ชิ้นงาน (รวบยอด)

- ใบกิจกรรมท่ี 13 ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

5. กจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ขน้ั นำเขา้ สู่บทเรยี น (10 นาที)
5.1.1 ครูยกตัวอย่างที่ 1 ให้นักเรียนสังเกตและถามนักเรียนว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัด

หรอื ลำดับอนันต์
(แนวคำตอบ ลำดบั จำกดั )

ตัวอย่างท่ี 1
1) 12, 22, 32, 42, 52
2) 2, 4, 6, 8, …, 20

3) 3, 9, 27, …, 243

5.1.2 ครอู ธิบายความหมายของอนุกรมจำกัด

ถ้า a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดบั จำกดั ท่มี ี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทกุ

พจน์ของลำดับวา่ อนกุ รมจำกัด

5.1.3 ครูนำลำดับจากตัวอย่างที่ 1 มาเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ เพื่อยกตัวอย่าง

อนุกรมจำกัด ดงั น้ี

ตวั อย่างอนุกรมจำกดั
1) 12 + 22 + 32 + 42 + 52

2) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 +18 + 20

3) 3 + 9 + 27 + 81 + 243

5.1.4 ครอู ธิบายเพ่ิมเติมเก่ียวกบั อนกุ รม

อนกุ รม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เปน็ พจนท์ ่ี 1, 2, 3, …, n ของอนกุ รม

ตามลำดบั

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนุกรม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

5.1.5 ครยู กตวั อยา่ งประกอบคำอธิบาย 2, 4, 6, 8, …, 20

S1 = a1

=2

S2 = a1 + a2

=2+4

=6

S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10

= 30

5.2 ข้นั กจิ กรรมการเรยี นรู้ (35 นาที)

5.2.1 ครูยกตวั อย่างท่ี 2 ใหน้ ักเรยี นสงั เกตอนุกรมจำกัด พร้อมถามนกั เรยี นว่าอนุกรมจำกัดใน

แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้นอกจากมาจากลำดบั จำกดั แล้วมาจากลำดับอะไรได้บา้ ง

ตวั อยา่ งที่ 2

1) 1 + 2 + 3 + 4 มาจากลำดบั 1, 2, 3, 4

2) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 มาจากลำดบั 1, 3, 5, 7, 9, 11

3) 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 มาจากลำดับ 3, 8, 13, 18, 23, 28

4) (-1) + (-4) + (-7) + (-10) มาจากลำดับ -1, -4, -7, -10

5.2.2 ครูถามนักเรยี นว่าจากลำดบั ในตวั อย่างที่ 2 เป็นลำดบั อะไร

(แนวคำตอบ ลำดับเลขคณติ )

5.2.3 ครูอธบิ ายความหมายของอนกุ รมเลขคณิต

อนุกรมทไี่ ด้จากลำดับเลขคณิต เรยี กว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลต่างรว่ มของอนกุ รมเลขคณิตดว้ ย

5.2.4 ครถู ามนกั เรยี นวา่ อนกุ รมในตวั อยา่ งท่ี 2 เป็นอนกุ รมอะไร

(แนวคำตอบ อนกุ รมเลขคณิต)

5.2.5 ครูให้นกั เรียนช่วยกนั หาผลบวกของทกุ พจนข์ องลำดับเลขคณิต 1, 2, 3, …, 10 และถาม

นักเรยี นว่านกั เรยี นมวี ิธคี ิดอยา่ งไร

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

5.2.6 ครใู ห้นักเรยี นช่วยกันหาผลบวกของทุกพจน์ของลำดบั เลขคณติ 1, 2, 3, …, 100

และโยงเขา้ สสู่ ตู รอนกุ รมเลขคณิต

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 1

101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 มี 100 ตัว

เน่อื งจาก 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 = 100 × 101

ดังนน้ั 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 = 100 × 101 = 5, 050
2
ในทำนองเดียวกนั เราสามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ ได้ดังน้ี

ให้ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an

= a1 + [a1 + d] + [a1 + 2d] + [a1 + (n-1)d]……………………..(1)
หรอื อาจเขยี น Sn ใหมไ่ ดเ้ ป็น

Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1

= an + [an – d] + [an – 2d] + … + [an – (n – 1)d]…………..(2)

นำสมการ (1) + (2)

จะได้ 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an)

n พจน์

2Sn = n(a1 + an)
n
Sn = 2 (a1 +an )

นอกจากจะหา Sn จาก Sn = n (a1 +an ) เมอื่ ทราบค่า n, a1 และ an แลว้ ยังสามารถหา Sn
2

เมือ่ ทราบเพียงค่า n, a1 และ d ได้ดังนี้

เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d
จะได้ n
= 2 (a1+an )

= n [a1 + a1 + (n-1)d]
2
n
= 2 [2a1 +(n-1)d]

จะได้วา่ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต Sn = n (a1 +an )
2
n
หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ
an คอื พจน์ท่ี n
a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก
n คอื จำนวนพจน์หรือลำดบั ท่ีของพจน์

d คือ ผลต่างร่วม

5.2.8 ครยู กตวั อยา่ งท่ี 3

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมตอ่ ไปนี้

1) 1 + 4 + 7 + … ถงึ 20 พจน์

a1 = 1 d = 3 และ n = 20

จากสูตร Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S20 = 20 [2a1 + (20 - 1)d]
2

= 10[2(1) + 19(3)]

= 10(2 + 57)

= 10(59)

= 590

2) 100 + 95 + 90 + … ถึง 15 พจน์

a1 = 100 d = -5 และ n = 15

จากสูตร Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S15 = 15 [2a1 + (15 - 1)d]
2

= 15 [2(100) + (14)(-5)]
2

= 15 (200 - 70)
2

= 15 (130)
2

= 975

3) 1 + 2 + 3 + … + 100

a1 = 1 an = 100 และ n = 100

จากสตู ร Sn = n (a1 + an )
2

S100 = 100 (1 + 100)
2

= 50(101)

= 5,050

4) 1 + 3 + 5 + … + 99

a1 = 1 an = 99 และ n = 50

จากสตู ร Sn = n (a1 + an )
2

S50 = 50 (1 + 99)
2

= 25(100)

= 2,500

5.2.9 ครูใหน้ ักเรยี นทำใบกจิ กรรมที่ 13 ความหมายของอนุกรมเลขคณิตโดยครูเดนิ สังเกตและ

ใหค้ ำปรกึ ษานักเรียนเป็นรายบคุ คล

5.2.10 ครเู ฉลยใบกิจกรรมท่ี 13 ความหมายของอนกุ รมเลขคณติ

5.3 ขนั้ สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครูและนักเรียนร่วมกันสรปุ ความหมายของอนกุ รมจำกัด

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุก
พจน์ของลำดบั วา่ อนกุ รมจำกัด

5.3.2 ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั สรปุ ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับ

เลขคณิตจะเปน็ ผลต่างรว่ มของอนุกรมเลขคณิตดว้ ย

5.3.3 ครูและนกั เรยี นร่วมกนั สรปุ สูตรอนุกรมเลขคณิต
n
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต Sn = 2 (a1 +an )

หรือ Sn = n [2a1 +(n-1)d]
2

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต
an คือ พจนท์ ี่ n
a1 คือ พจน์ท่ี 1 หรือพจนแ์ รก
n คอื จำนวนพจนห์ รอื ลำดบั ที่ของพจน์
d คอื ผลต่างรว่ ม

6. สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
6.1 สือ่ การเรยี นรู้

- สื่อการสอน PowerPoint ความหมายของอนุกรมเลขคณิต
- ใบกจิ กรรมที่ 13 ความหมายของอนุกรมเลขคณติ
6.2 แหลง่ การเรียนรู้

-

7. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

ส่งิ ทวี่ ดั วิธกี ารวัด เครอ่ื งมือวดั เกณฑก์ ารประเมิน

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 13 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ความหมายของ ใบกิจกรรมที่ 13
ดา้ นความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ถูกต้องจากการตอบ อนุกรมเลขคณิต ความหมายของอนกุ รมเลข
คณติ
(K) ใบกจิ กรรมท่ี 13 ข้อ 1) - 6)

1. นักเรียนเข้าใจ ความหมายของ ขอ้ ละ 2 คะแนน โดย
ถ้านกั เรยี นแสดงวิธีทำ
ความหมายของอนกุ รมเลข อนกุ รมเลขคณติ ได้ถกู ตอ้ งครบถว้ น
จะได้ 1 คะแนน
คณติ ถา้ นกั เรยี นแสดงวธิ ที ำ
ไดถ้ กู ตอ้ งบางส่วน
2. นกั เรยี นเข้าใจวธิ ีการหา จะได้ 0.5 คะแนน
ถา้ นักเรียนหาคำตอบได้
ผลบวก n พจนแ์ รกของลำดับ ถูกต้อง

เลขคณิต จะได้ 1 คะแนน
เกณฑก์ ารประเมินผล :

สง่ิ ทีว่ ัด วิธกี ารวดั เคร่อื งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

ด้านทกั ษะและกระบวนการ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 13 ใบกจิ กรรมที่ 13
ความหมายของ ความหมายของอนุกรมเลข
ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถกู ต้องจากการตอบ อนุกรมเลขคณิต คณิต ขอ้ 1) - 6)

1. นักเรยี นสามารถหา ใบกิจกรรมท่ี 13 ถ้า นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 6 คะแนน จาก
ผลบวก n พจน์แรกของลำดับ ความหมายของ คะแนนเตม็ 12 คะแนน
ถือว่าผ่าน
เลขคณิตได้ อนุกรมเลขคณติ
เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึง พจิ ารณาจาก แบบประเมนิ กำหนดเกณฑ์การให้
ประสงค์ (A) พฤติกรรมหรอื ความ จดุ ประสงค์ คะแนนแบบวิเคราะห์
การเรียนรู้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
1. มีวินัย เหมาะสมในการ นกั เรียนสามารถหาผลบวก
2. ใฝ่เรียนรู้ แสดงออกของ n พจนแ์ รกของลำดับเลข
นักเรยี นขณะ คณติ ได้

ลงมอื ปฏบิ ัติและ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
อภิปรายเหตผุ ลใน พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
การหาคำตอบเปน็ ถา้ นกั เรยี นมีความตง้ั ใจ
รายบุคคล โดยครู และรบั ผดิ ชอบในการ
เป็นผู้สังเกต ปฏิบตั กิ ิจกรรมทไ่ี ด้รับ
มอบหมายจนสำเรจ็ และ
ถูกต้องสมบรู ณภ์ ายใน
ระยะเวลาทก่ี ำหนด
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรียนมคี วามตัง้ ใจ
และรบั ผิดชอบในการ
ปฏิบัติกจิ กรรมที่ไดร้ ับ
มอบหมายสำเร็จ แตม่ ี
ข้อบกพรอ่ งบางส่วน
ภายในระยะเวลาท่ีกำหนด
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนเอาใจใสต่ ่อการ
ปฏบิ ัติกิจกรรมที่ได้รบั
มอบหมายแตไ่ มส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด

สิ่งที่วัด วธิ กี ารวัด เครอื่ งมือวัด เกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านสมรรถนะสำคญั ของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมิน จะได้ 0 คะแนน
ผู้เรียน (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์ ถ้านักเรียนไมเ่ อาใจใส่ตอ่
นักเรยี น การเรียนรู้ การปฏิบัตกิ ิจกรรมท่ไี ดร้ บั
1. นกั เรียนมคี วามสามารถ มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด
ในการแกป้ ญั หา เกณฑ์การประเมนิ ผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 3 คะแนน

ถอื วา่ ผา่ น

เกณฑ์การให้คะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรียนสามารถ
แก้ปัญหาทกี่ ำหนดไวโ้ ดย

คำนงึ ถงึ หลักของเหตแุ ละ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อย่างครบถ้วน
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แก้ปญั หาที่กำหนดไว้โดย
คำนงึ ถึงหลกั ของเหตุและ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้บางขอ้
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนมีความพยายาม

ในการแกป้ ัญหา โดย
คำนงึ ถึงหลักของเหตแุ ละ
ผล แต่ไม่สำเรจ็
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านักเรยี นไม่มรี อ่ งรอย
ของการทำใบกิจกรรม

ส่งิ ที่วดั วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมิน

เกณฑ์การประเมนิ ผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือว่าผา่ น

แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 17 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5
กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชวั่ โมง
หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 เรือ่ งลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ชว่ั โมง
เรอื่ ง การนำสูตรอนุกรมเลขคณิตไปใช้
ครผู สู้ อน นางสาววิลาวลั ย์ ปลอ้ งนริ าศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรียนรู้/ตวั ช้วี ัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชว้ี ดั
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กี่ยวกบั ลำดับและอนุกรมไปใช้

จุดประสงค์การเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณติ ศาสตร์ (K)
1. นกั เรยี นเข้าใจวิธีการหาผลบวก n พจน์แรกของลำดบั เลขคณิต
ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)
1. นักเรยี นสามารถหาผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณติ ได้
ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
1. มวี นิ ยั
2. ใฝเ่ รียนรู้
สมรรถนะสำคัญของผเู้ รยี น (C)
1. นักเรียนมีความสามารถในการแก้ปัญหา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
อนกุ รม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดับ
ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนุกรม
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลตา่ งรว่ มของอนกุ รมเลขคณิตดว้ ย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดับทีข่ องพจน์

d คือ ผลต่างรว่ ม

3. สาระการเรยี นรู้

ทบทวน

ความหมายของอนกุ รมจำกัด

ถา้ a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดบั จำกดั ท่มี ี n พจน์ จะเรียกการเขยี นแสดงผลบวกของพจนท์ กุ พจน์

ของลำดบั วา่ อนุกรมจำกดั

อนกุ รม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เปน็ พจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดบั

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนุกรม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนกุ รมเลขคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลตา่ งร่วมของอนุกรมเลขคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต
an คือ พจน์ที่ n

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรือพจนแ์ รก
n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทขี่ องพจน์

d คอื ผลตา่ งร่วม

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมตอ่ ไปนี้

(1) 7 + 15 + 23 + … ถงึ 20 พจน์

a1 = 7 d = 8 และ n = 20

จากสูตร Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S20 = 20 [2a1 + (20 - 1)d]
2

= 10[2(7) + (19)(8)]

= 10(14 +152)

= 10(166)

= 1,660

(2) 10 + 13 + 16 + … + 157

a1 = 10 an = 157 และ d = 3

หา n จาก an = a1 + (n-1)d

157 = 10 + (n-1)(3)

157 = 10 + 3n – 3

157 = 3n +7

3n = 150

n = 50

หา Sn จากสูตร Sn = n (a1 + an )
2

S50 = 50 (1 + 99)
2

= 25(100)

= 2,500

4. ชิน้ งาน (รวบยอด)
-

5. กจิ กรรมการเรยี นรู้
5.1 ข้ันนำเข้าส่บู ทเรียน (5 นาที)
5.1.1 ครูทบทวนความหมายของอนุกรมจำกดั อนกุ รมเลขคณิต และสตู รอนกุ รมเลขคณิต
ถ้า a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดับจำกดั ที่มี n พจน์ จะเรยี กการเขียนแสดงผลบวกของพจนท์ กุ

พจนข์ องลำดับวา่ อนุกรมจำกัด

อนุกรม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เปน็ พจนท์ ี่ 1, 2, 3, …, n ของอนกุ รม

ตามลำดับ

ให้ Sn แทน ผลบวก n พจนบ์ วกของอนุกรม

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

อนกุ รมที่ไดจ้ ากลำดบั เลขคณิต เรยี กวา่ อนุกรมเลขคณติ และผลต่างรว่ มของลำดับเลขคณิตจะ

เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณติ ด้วย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ หาไดจ้ าก
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรอื Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
an คือ พจน์ที่ n
a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรอื พจน์แรก

n คือ จำนวนพจน์หรือลำดบั ทขี่ องพจน์

d คอื ผลตา่ งรว่ ม

5.2 ขั้นกิจกรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูยกตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมต่อไปน้ี

1) 7 + 15 + 23 + … ถงึ 20 พจน์

- ครูถามนกั เรียนวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 4 ขอ้ 1) โจทย์ตอ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ S20 )

- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 4 ข้อ 1) โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ a1 = 7 d = 8 และ n = 20)
- ครูถามนักเรียนวา่ จากตวั อยา่ งท่ี 4 ข้อ 1) สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ีใดได้บ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนกุ รมเลขคณิต Sn = n [2a1 + (n - 1)d])
2
- ครูอธิบายและให้นักเรยี นทำตัวอย่างไปพร้อมกบั ครู

2) 10 + 13 + 16 + … + 157

- ครูถามนกั เรยี นว่าจากตวั อย่างท่ี 4 ข้อ 2) โจทย์ต้องการให้หาอะไร
(แนวคำตอบ Sn )
- ครูถามนกั เรียนวา่ จากตวั อยา่ งท่ี 4 ขอ้ 2) โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ a1 = 10 an = 157 และ d = 3)

- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 4 ขอ้ 2) สามารถหาคำตอบดว้ ยวธิ ีใดได้บ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ตู รอนุกรมเลขคณติ Sn = n (a1 + an ) )
2
- ครูถามนกั เรยี นวา่ หากจะใชว้ ธิ ีดงั กล่าว ควรหาคา่ ใดเพ่ิมเตมิ จากส่ิงท่ีโจทย์กำหนดบา้ ง

(แนวคำตอบ n หรอื จำนวนพจน์)

- ครูอธิบายและให้นักเรียนทำตัวอยา่ งไปพรอ้ มกบั ครู

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมตอ่ ไปน้ี

1) 7 + 15 + 23 + … ถงึ 20 พจน์

a1 = 7 d = 8 และ n = 20

จากสตู ร Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

S20 = 20 [2a1 + (20 - 1)d]
2

= 10[2(7) + (19)(8)]

= 10(14 +152)

= 10(166)

= 1,660

2) 10 + 13 + 16 + … + 157

a1 = 10 an = 157 และ d = 3

หา n จาก an = a1 + (n-1)d

157 = 10 + (n-1)(3)

157 = 10 + 3n – 3

157 = 3n +7

3n = 150

n = 50

หา Sn จากสูตร Sn = n (a1 + an )
2

S50 = 50 (1 + 99)
2

= 25(100)

= 2,500

5.2.2 ครูใหน้ ักเรียนทำกิจกรรม “เปิดแผน่ ปา้ ยตะลยุ อนุกรม” ผ่านสอ่ื PowerPoint

5.2.3 ครูอธิบายวิธกี ารเล่นกจิ กรรม “เปิดแผน่ ปา้ ยตะลุยอนกุ รม” ดงั นี้

1) ครใู หน้ ักเรยี นแบง่ กลมุ่ ออกเป็น 4 กลมุ่ และนง่ั ดว้ ยกนั เพ่อื ร่วมกนั ทำกิจกรรม

2) ครูให้นักเรียนกลุ่มที่ 1 เลือกเปิดแผ่นป้ายแผ่นใดก็ได้ 1 แผ่น ภายในแผ่นป้าย

จะมโี จทย์อนุกรมเลขคณิตให้นักเรียนคำนวณ

3) นกั เรยี นในกลุ่มท่ี 1 ชว่ ยกนั คำนวนโจทยท์ ี่ได้และตอบครู และจะมคี ะแนนในแต่ละขอ้ หลัง

แผ่นปา้ ย ซงึ่ คะแนนจะมีทัง้ บวกเพ่มิ และลดลง

4) หากนักเรยี นตอบถูกนักเรียนสามารถเลือกได้ว่าจะเก็บคะแนนไวห้ รือโยนให้กลุ่มอืน่ โดย

นกั เรยี นจะรู้คะแนนหลังเลอื กแล้ว แตห่ ากตอบผิดจะตอ้ งเก็บคะแนนขอ้ น้นั ไว้เอง

5) เล่นทลี ะกล่มุ วนซ้ำกลมุ่ ท่ี 1- 4 ไปเร่ือย ๆ จนเปิดแผ่นป้ายครบทกุ แผน่

6) หากกลุ่มใด ไดค้ ะแนนเยอะท่สี ดุ กลมุ่ น้นั เป็นฝา่ ยชนะ

5.3 ขัน้ สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรปุ ว่ากลุ่มใดชนะกิจกรรม “เปิดแผ่นป้ายตะลยุ อนุกรม”

5.3.2 ครูถามนักเรียนวา่ วันนไ้ี ด้เรยี นรอู้ ะไรบา้ ง

5.3.3 ครถู ามนกั เรยี นสิ่งท่ีเรานำมาหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิตคอื อะไร

(แนวคำตอบ สูตรอนกุ รมเลขคณิต)

5.3.4 ครูและนกั เรียนรว่ มกันสรุปสูตรอนุกรมเลขคณิต
n n
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต
an คือ พจน์ที่ n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรอื พจน์แรก
n คือ จำนวนพจน์หรือลำดบั ทข่ี องพจน์

d คือ ผลต่างร่วม

6. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้
6.1 สือ่ การเรียนรู้

- สอื่ การสอน PowerPoint การนำสตู รอนุกรมเลขคณิตไปใช้
- สื่อการสอน PowerPoint กิจกรรม “เปิดแผ่นปา้ ยตะลุยอนุกรม”
6.2 แหล่งการเรยี นรู้

-

7. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

ส่ิงทว่ี ัด วธิ กี ารวดั เคร่ืองมอื วัด เกณฑ์การประเมิน

จุดประสงค์การเรียนรู้ พิจารณาความ กิจกรรม “เปดิ แผ่น เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ปา้ ยตะลยุ อนกุ รม” กิจกรรม “เปิดแผ่นปา้ ย
ดา้ นความรูท้ างคณติ ศาสตร์ ถูกต้องจากการตอบ ตะลุยอนุกรม”
เปิดแผ่นป้ายกลุม่ ละ 5 ข้อ
(K) คำถามในกจิ กรรม ข้อละ 1 คะแนน โดย

1. นักเรียนเขา้ ใจวิธกี ารหา “เปิดแผน่ ป้ายตะลยุ ถา้ นักเรียนกลุ่มใดหา
คำตอบไดถ้ กู ตอ้ ง
ผลบวก n พจน์แรกของลำดบั อนุกรม”
จะได้ 1 คะแนน
เลขคณติ ถ้านกั เรยี นหาคำตอบได้
ไม่ถกู ต้อง
ด้านทกั ษะและกระบวนการ พิจารณาความ กิจกรรม “เปิดแผน่ จะได้ 0 คะแนน
ทางคณิตศาสตร์ (P) ถกู ต้องจากการตอบ ป้ายตะลุยอนกุ รม” เกณฑก์ ารประเมินผล :
คำถามในกิจกรรม กจิ กรรม “เปดิ แผน่ ป้าย
1. นักเรยี นสามารถหา ตะลยุ อนุกรม” เปิดแผ่น
“เปิดแผน่ ป้ายตะลุย ป้ายกลุม่ ละ 5 ข้อ
ผลบวก n พจนแ์ รกของลำดับ อนุกรม” ถา้ นกั เรียน (กลมุ่ ใด) ได้
เลขคณติ ได้ คะแนน 3 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ดา้ นคุณลกั ษณะอันพงึ พิจารณาจาก แบบประเมนิ ถือวา่ ผ่าน
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรอื ความ จุดประสงค์
เกณฑ์การให้คะแนน :
1. มวี นิ ัย เหมาะสมในการ การเรียนรู้ กำหนดเกณฑ์การให้
2. ใฝ่เรียนรู้ แสดงออกของ คะแนนแบบวเิ คราะห์
เกณฑ์การประเมินผล :
นกั เรียนขณะ นักเรยี นสามารถหาผลบวก
ลงมอื ปฏิบตั ิและ n พจน์แรกของลำดบั เลข
อภปิ รายเหตุผลใน คณติ ได้

การหาคำตอบเป็น เกณฑ์การให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นักเรียนมคี วามตัง้ ใจ
และรับผดิ ชอบในการ
ปฏิบตั กิ จิ กรรมทไ่ี ดร้ ับ
มอบหมายจนสำเร็จและ
ถกู ตอ้ งสมบรู ณภ์ ายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด

สิง่ ที่วดั วิธกี ารวดั เคร่อื งมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

รายบคุ คล โดยครู จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรียนมคี วามตงั้ ใจ
เปน็ ผูส้ ังเกต และรบั ผิดชอบในการ
ปฏิบัติกจิ กรรมทไ่ี ดร้ ับ
ด้านสมรรถนะสำคญั ของ พิจารณาจากการ แบบประเมิน มอบหมายสำเร็จ แตม่ ี
ผเู้ รียน (C) ขอ้ บกพรอ่ งบางส่วน
ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ ภายในระยะเวลาท่ีกำหนด
1. นักเรียนมีความสามารถ นักเรียน การเรียนรู้ จะได้ 1 คะแนน
ในการแกป้ ญั หา ถ้านกั เรยี นเอาใจใส่ต่อการ
ปฏิบตั ิกิจกรรมท่ไี ด้รบั
มอบหมายแต่ไมส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไม่เอาใจใส่ตอ่
การปฏิบัติกจิ กรรมทไ่ี ด้รับ
มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด
เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 3 คะแนน

ถอื ว่าผา่ น

เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นักเรยี นสามารถ
แก้ปญั หาท่กี ำหนดไว้โดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตุและ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น

จะได้ 2 คะแนน
ถ้านกั เรียนสามารถ
แก้ปัญหาทก่ี ำหนดไวโ้ ดย

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑก์ ารประเมิน

คำนงึ ถึงหลกั ของเหตุและ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ไดบ้ างข้อ

จะได้ 1 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นมีความพยายาม

ในการแก้ปัญหา โดย

คำนงึ ถงึ หลักของเหตแุ ละ

ผล แต่ไมส่ ำเรจ็

จะได้ 0 คะแนน

ถ้านกั เรียนไมม่ ีรอ่ งรอย

ของการทำใบกจิ กรรม

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นักเรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถอื ว่าผ่าน

แผนการจดั การเรียนร้ทู ี่ 18 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ชัว่ โมง
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เรือ่ งลำดับและอนุกรม เวลา 1 ช่ัวโมง
เรอื่ ง โจทยป์ ญั หาของอนกุ รมเลขคณติ
ครผู ู้สอน นางสาววิลาวัลย์ ปลอ้ งนริ าศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นรู/้ ตัวช้ีวัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชวี้ ัด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรู้เกีย่ วกับลำดับและอนุกรมไปใช้

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
ดา้ นความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นกั เรียนสามารถวิเคราะห์โจทย์ปญั หาเพื่อแก้สมการและหาสิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการได้
ด้านทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)
1. นกั เรยี นสามารถใช้ความรูเ้ ก่ยี วกบั อนกุ รมเลขคณติ ในการแก้ปญั หาได้
ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. มวี นิ ัย
2. ใฝ่เรยี นรู้
สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน (C)
1. นกั เรยี นมีความสามารถในการแก้ปญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
อนกุ รม : a1 + a2 + a3 + … + an มี a1, a2, a3, …, an เป็นพจน์ที่ 1, 2, 3, …, n ของอนุกรม

ตามลำดบั
ให้ Sn แทน ผลบวก n พจน์บวกของอนุกรม
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

⋮

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

ความหมายของอนกุ รมเลขคณติ

อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตจะ

เปน็ ผลต่างร่วมของอนกุ รมเลขคณติ ด้วย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต

an คอื พจนท์ ่ี n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรือพจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดับท่ขี องพจน์

d คอื ผลตา่ งรว่ ม

3. สาระการเรียนรู้

ทบทวน

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
n n
Sn = 2 (a1 +an ) หรือ Sn = 2 [2a1 +(n-1)d]

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
an คอื พจนท์ ี่ n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทข่ี องพจน์

d คือ ผลตา่ งรว่ ม

ตัวอย่างที่ 5 ศตวรรษเริ่มสะสมแสตมป์เดือนแรก 24 ดวง เดือนถัดไปสะสมเพิ่มขึ้นเดือนละ 6

ดวง นานเท่าไร ศตวรรษจึงจะมีแสตมป์ 2,400 ดวง

วิธีทำ เดอื นแรกสะสมแสตมป์ 24 ดวง

เดอื นที่สองสะสมแสตมป์ 24 + 6 = 30 ดวง

เดือนที่สามสะสมแสตมป์ 30 + 6 = 36 ดวง

จากโจทย์จะได้อนกุ รมคอื 24 + 30 + 36 + ... ซ่ึงเป็นอนุกรมเลขคณิต

จะได้ a1 = 24 d = 6 และ Sn = 2,400

หาจำนวนเดือน จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

2,400 = n [2(24) + (n - 1)(6)]
2

2,400 = n [48 + 6n - 6]
2

4,800 = n(6n + 42)

4,800 = 6n2 + 42n

800 = n2 + 7n

n2 + 7n - 800 = 0

(n + 32)(n - 25) = 0

n = -32, 25

เน่อื งจาก n เป็นจำนวนเต็มบวก จะไดว้ ่า n = 25

ดงั นน้ั ต้องใชเ้ วลา 25 เดอื น หรือ 2 ปี 1 เดือน ศตวรรษจงึ จะมีแสตมป์ 2,400 ดวง

ตัวอย่างท่ี 6 ถ้าอนุกรม 20 + 18 3 + 17 1 + ... มผี ลบวกเท่ากบั 162 1 อนุกรมน้มี กี พี่ จน์
4 2 2

วิธที ำ จากอนุกรม 20 + 18 3 + 17 1 + ...
42
จะได้ a1 = 20
d = 18 3 - 20 = 75 - 80 = - 5
และ 4 44 4

หาจำนวนพจน์ของอนุกรม จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

แทนค่า 162 1 = n 2(20) + (n - 1)  - 5 
2 2  4 

325 = n 40 - 5 n + 5 
2 2 4 4 

325 = n 165 - 5 n
 4 4

325(4) = n(165 - 5n)

1,300 = 165n - 5n2

5n2 - 165n + 1,300 = 0

n2 - 33n + 260 = 0
(n -13)(n - 20) = 0

n = 13, 20

ดังนนั้ อนุกรมนี้มี 13 หรอื 20 พจน์

ตัวอย่างที่ 7 ชายคนหนึง่ เดินทางวันแรกได้ระยะทาง 30 กิโลเมตร วันที่สองเดินได้ระยะทาง 27

กิโลเมตร วันที่สามเดินได้ระยะทาง 24 กิโลเมตร เดินเช่นนี้เรื่อย ๆ ไปจนได้ระยะทางทั้งหมด 162

กโิ ลเมตร เขาใช้เวลาเดินทางกว่ี นั

วธิ ที ำ จากโจทยจ์ ะได้อนุกรมคอื 30 + 27 + 24 + ... ซ่ึงเป็นอนุกรมเลขคณติ

จะได้ a1 = 30 d = -3 และ Sn = 162

หาจำนวนวันเดนิ ทาง จาก Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

162 = n [2(30) + (n - 1)(-3)]
2

162(2) = n(60 - 3n+ 3)

324 = n(63 - 3n)

324 = 63n - 3n2

3n2 - 63n + 324 = 0

n2 - 21n + 108 = 0

(n - 9)(n - 12) = 0

n = 9, 12

เน่อื งจากการเดินทางจะถงึ จุดหมายในวนั ใดวนั หนึง่ เท่านั้น

จึงควรตรวจสอบพจน์สดุ ทา้ ยของอนุกรม จาก an = a1 + (n - 1)d

a9 = 30 + (9 - 1)(-3)

a9 = 6

a12 = 30 + (12 - 1)(-3)
a12 = -3

เนอ่ื งจากระยะทางตอ้ งไม่นอ้ ยกวา่ 0
ดงั นน้ั เขาใช้เวลาเดินทาง 9 วนั

ตัวอย่างท่ี 8 อนุภาคสองช้นิ อยูห่ า่ งกัน 268 เซนตเิ มตร เคล่อื นในแนวตรงเขา้ หากัน
อนุภาคชน้ิ แรกเคลอ่ื นทีไ่ ดร้ ะยะทาง 20, 18, 16, … เซนติเมตร ในวินาทที ี่ 1, 2, 3, … ตามลำดับ
อนุภาคช้ินทส่ี องเคล่ือนทไ่ี ดร้ ะยะทาง 24, 23, 22 , … เซนติเมตร ในวินาทีที่ 1, 2, 3, … ตามลำดับ
ถา้ อนภุ าคทั้งสองเริ่มเคลอื่ นท่พี รอ้ มกันเข้าหากัน นานเทา่ ไรท่ีอนุภาคทง้ั สองจึงจะมาพบกนั และอนภุ าคแต่
ละช้นิ เคล่ือนท่ีไดร้ ะยะทางเทา่ ไร

วิธีทำ กำหนดให้อนภุ าคทง้ั สองพบกนั เมื่อเวลาผ่านไป n วินาที

จากสูตรผลบวก n พจนแ์ รก คอื Sn = n [2a1 + (n - 1)d]
2

อนภุ าคชน้ิ แรกเคลื่อนทไี่ ด้ระยะทาง 20 + 18 + 16 + … ถึง n พจน์

ให้ 20 + 18 + 16 + … = n [2(20) + (n - 1)(-2)]
2

อนภุ าคชนิ้ ทสี่ องเคล่อื นที่ไดร้ ะยะทาง 24 + 23 + 22 + … ถงึ n พจน์

ให้ 24 + 23 + 22 + … = n [2(24) + (n - 1)(-1)]
2

ระยะทางท่อี นุภาคท้ังสองเคล่อื นที่เข้าหากันเปน็ ระยะทาง 268 เซนติเมตร

ดังน้นั n [2(20) + (n - 1)(-2)] + n [2(24) + (n - 1)(-1)] = 268
2 2

n[40 - 2n + 2] + n[48 - n +1] = 268(2)

n(42 - 2n) + n(49 - n) = 536

42n - 2n2 + 49n - n2 = 536

91n - 3n2 = 536

3n2 - 91n + 536 = 0

(n - 8)(3n - 67) = 0

n = 8, 67
3

เนือ่ งจาก n ต้องเปน็ จำนวนเตม็ บวก

ดังน้นั อนุภาคท้งั สองพบกันในวนิ าทที ี่ 8

อนุภาคชิ้นแรกเคล่อื นที่ได้ 8 [2(20) + (8 - 1)(-2)] = 104 เซนติเมตร
2

อนุภาคชิ้นสองเคลื่อนท่ไี ด้ 8 [2(24) + (8 - 1)(-1)] = 164 เซนติเมตร
2

4. ชน้ิ งาน (รวบยอด)
- ใบกิจกรรมที่ 14 โจทย์ปัญหาของอนกุ รมเลขคณิต