แผน ค32102

3) 4 + 12 + 36 + 108 + ... ถงึ 10 พจน์

วิธที ำ จากโจทย์จะได้ a1 = 5, r = 3 และ n = 10

จากสตู ร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

แทนคา่ S10 = 4(310 - 1)
3- 1
4(59, 049 - 1)
S10 = 2

S10 = 2(59,048)

S10 =118,096

4) 5 - 5 + 5 - 5 + ... ถงึ 10 พจน์
2 4 8
1
วิธที ำ จากโจทย์จะได้ a1 = 5, r= - 2 และ n = 10

จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

( )แทนคา่ 1 10 
S10 = 5 1 - - 2 
1-
( )2-1

5 1 - 1, 1 
3 024 
S10 =

2

S10 = 5 1023   2
1, 024  3

S10 = 10,230
3,072

S10 = 1, 705
512

4. ชนิ้ งาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมท่ี 17 ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ

5. กิจกรรมการเรยี นรู้

5.1 ข้นั นำเข้าส่บู ทเรียน (10 นาที)

5.1.1 ครูยกตัวอย่างที่ 1 ใหน้ กั เรียนสงั เกตอนุกรมจำกัด พร้อมถามนกั เรียนว่าอนุกรมจำกัดใน

แตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีนอกจากมาจากลำดับจำกัดแล้วมาจากลำดับอะไร

ตวั อย่างท่ี 1

1) 100 + 50 + 25 + 5 มาจากลำดับ 100, 50, 25, 5

2) 1 + 2 + 4 + 8 + … + 64 มาจากลำดบั 1, 2, 3, 4, …, 64

3) (-2) + 2 + (-2) + 2 มาจากลำดับ -2, 2, -2, 2

5.1.2 ครถู ามนักเรยี นว่าจากลำดับในตัวอย่างที่ 1 เปน็ ลำดบั อะไร

(แนวคำตอบ ลำดับเรขาคณิต)

5.2 ขั้นกิจกรรมการเรยี นรู้ (35 นาที)

5.2.1 ครอู ธิบายความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับ

เรขาคณติ จะเป็นอัตราส่วนรว่ มของอนุกรมเรขาคณติ ดว้ ย

5.2.2 ครถู ามนกั เรยี นวา่ อนุกรมในตวั อย่างที่ 1 เปน็ อนุกรมอะไร

(แนวคำตอบ อนกุ รมเรขาคณิต)

5.2.3 ครูอธิบายการหาผลบวกของทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิต และโยงเข้าสู่สูตรอนุกรม

เรขาคณติ สามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ ได้ดังนี้

ให้ a1, a2, a3, …, an เป็นลำดบั เรขาคณิต

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

(1) × r ; Sn = a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn-2 + a1rn-1 ……………(1)
(1) – (2) ; rSn = a1r + a1r2 + ... + a1rn-2 + a1rn-1 + a1rn …….….(2)
Sn - rSn = a1 - a1rn
Sn (1 - r) = a1 (1 - rn )

a1 (1 - r n )
1-r
Sn = , r  1 ……………………………………….(3)

จาก (3) ; Sn = a1 (1 - rn )
1-r

Sn = a1 (-1)(-1 + rn )
(-1)(-1+ r)

Sn = a1 (rn - 1) , r  1
r- 1

จาก (3) ; Sn = a1 (1 - rn )
1-r

Sn = a1 - a1rn
1 -r

Sn = a1 - a1rn-1  r
1-r
a1 - anr
Sn = 1-r , r  1

จะไดว้ ่าผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ

คือ Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ
an คอื พจน์ท่ี n
a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรือพจน์แรก

n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดบั ท่ขี องพจน์

r คือ อตั ราส่วนร่วม

5.2.6 ครูยกตวั อย่างที่ 2

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปน้ี

1) 5 + 10 + 20 + ... ถึง 6 พจน์

วธิ ีทำ จากโจทยจ์ ะได้ a1 = 5, r = 2 และ n = 6

จากสตู ร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

แทนค่า S6 = 5(26 - 1)
2- 1
S6 = 5(64 - 1)

S6 = 315

2) - 2 - 10 - 50 - ... ถึง 6 พจน์

วิธที ำ จากโจทยจ์ ะได้ a1 = -2, r = 5 และ n = 6

จากสตู ร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

แทนค่า S6 = (-2)(56 - 1)
5-1

S6 = (-2)(15, 625 - 1)
4
15, 624
S6 = -2

S6 = -7,812

3) 4 + 12 + 36 + 108 + ... ถึง 10 พจน์

วธิ ที ำ จากโจทย์จะได้ a1 = 5, r = 3 และ n = 10

จากสตู ร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

แทนค่า S10 = 4(310 - 1)
3- 1
4(59, 049 - 1)
S10 = 2

S10 = 2(59,048)

S10 =118,096

4) 5 - 5 + 5 - 5 + ... ถงึ 10 พจน์
2 4 8
1
วิธที ำ จากโจทย์จะได้ a1 = 5, r = - 2 และ n = 10

จากสตู ร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

(( ))แทนค่า S10 = 5 1 - - 1 10 
1- 2 

- 1
2

S10 = 5 1 - 1, 1  × 2
024  3

S10 = 5  1023  × 2
 1, 024  3

S10 = 10,230
3,072

S10 = 1, 705
512

5.2.7 ครูให้นกั เรียนทำใบกิจกรรมท่ี 17 ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ โดยครูเดนิ สงั เกตและ

ให้คำปรึกษานักเรียนเปน็ รายบคุ คล

5.2.8 เมื่อเหลือเวลากอ่ นหมดคาบ 5 นาที ครใู ห้นกั เรยี นรวบรวมใบกิจกรรมมาส่งที่โตะ๊ ครู

5.3 ขนั้ สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั สรปุ ความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับ

เรขาคณติ จะเปน็ อัตราสว่ นรว่ มของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

5.3.2 ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั สรุปสูตรอนกุ รมเรขาคณติ

ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ คอื

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรือ Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr , r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ
an คือ พจนท์ ี่ n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรือพจน์แรก
n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดับท่ีของพจน์

r คือ อตั ราสว่ นร่วม

6. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้

6.1 สอ่ื การเรียนรู้
- สือ่ การสอน PowerPoint ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ
- ใบกจิ กรรมท่ี 17 ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ

6.2 แหล่งการเรยี นรู้
-

7. การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

สิ่งท่ีวัด วิธกี ารวัด เครอื่ งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

จุดประสงค์การเรียนรู้ พิจารณาความ ใบกิจกรรมที่ 17 เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
ดา้ นความรทู้ างคณิตศาสตร์ ถกู ต้องจากการตอบ ความหมายของ ใบกจิ กรรมที่ 17
(K) ใบกิจกรรมที่ 17 อนกุ รมเรขาคณิต ความหมายของอนกุ รม
ความหมายของ เรขาคณิต
1. นกั เรยี นเขา้ ใจ อนุกรมเรขาคณติ ขอ้ 1) - 6)
ความหมายของอนกุ รม
เรขาคณิต ขอ้ ละ 2 คะแนน โดย
ถา้ นกั เรยี นแสดงวธิ ีทำ
2. นกั เรยี นเขา้ ใจวธิ ีการหา ได้ถูกต้องครบถ้วน
ผลบวก n พจน์แรกของ จะได้ 1 คะแนน
อนกุ รมเรขาคณติ ถา้ นกั เรียนแสดงวิธีทำ
ไดถ้ กู ต้องบางส่วน

ส่ิงทีว่ ดั วิธีการวัด เคร่ืองมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ ใบกิจกรรมท่ี 17 จะได้ 0.5 คะแนน
ทางคณิตศาสตร์ (P) ถูกต้องจากการตอบ ความหมายของ ถ้านักเรยี นหาคำตอบได้
ใบกจิ กรรมที่ 17 อนกุ รมเรขาคณิต ถูกตอ้ ง
1. นกั เรียนสามารถหา จะได้ 1 คะแนน
ความหมายของ เกณฑ์การประเมนิ ผล :
ผลบวก n พจน์แรกของ อนุกรมเรขาคณิต ใบกจิ กรรมท่ี 17
อนกุ รมเรขาคณิตได้ ความหมายของอนุกรม
เรขาคณิต ข้อ 1) - 6)
ดา้ นคุณลกั ษณะอันพึง พจิ ารณาจาก แบบประเมนิ ถ้า นักเรยี น (คนใด) ได้
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรอื ความ จดุ ประสงค์ คะแนน 6 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 12 คะแนน
1. มวี นิ ัย เหมาะสมในการ การเรยี นรู้ ถือว่าผ่าน
2. ใฝ่เรยี นรู้ แสดงออกของ
นกั เรยี นขณะ เกณฑก์ ารให้คะแนน :
กำหนดเกณฑ์การให้
ลงมือปฏบิ ัติและ คะแนนแบบวเิ คราะห์
อภิปรายเหตผุ ลใน เกณฑ์การประเมินผล :
นกั เรยี นสามารถหาผลบวก
การหาคำตอบเป็น n พจน์แรกของอนุกรม
รายบคุ คล โดยครู เรขาคณิตได้
เปน็ ผสู้ งั เกต
เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านักเรยี นมีความต้ังใจ
และรบั ผดิ ชอบในการ
ปฏบิ ตั ิกจิ กรรมท่ไี ดร้ บั
มอบหมายจนสำเร็จและ
ถกู ต้องสมบูรณภ์ ายใน
ระยะเวลาทีก่ ำหนด
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นักเรียนมีความตง้ั ใจ
และรบั ผดิ ชอบในการ
ปฏิบตั กิ จิ กรรมท่ไี ดร้ ับ
มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี
ข้อบกพรอ่ งบางสว่ น
ภายในระยะเวลาทก่ี ำหนด

ส่งิ ท่วี ัด วิธกี ารวดั เครือ่ งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมิน

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมิน จะได้ 1 คะแนน
ผูเ้ รียน (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์ ถ้านักเรยี นเอาใจใส่ต่อการ
นักเรียน การเรียนรู้ ปฏิบตั กิ ิจกรรมที่ไดร้ บั
1. นักเรียนมีความสามารถ มอบหมายแตไ่ มส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาที่กำหนด
ในการแกป้ ัญหา จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรียนไมเ่ อาใจใส่ต่อ
การปฏบิ ัตกิ ิจกรรมทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน

ระยะเวลาทก่ี ำหนด
เกณฑก์ ารประเมินผล :
นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื ว่าผ่าน

เกณฑ์การให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นักเรยี นสามารถ
แกป้ ญั หาทก่ี ำหนดไว้โดย
คำนึงถึงหลักของเหตุและ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อย่างครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นักเรยี นสามารถ
แก้ปญั หาทกี่ ำหนดไว้โดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตุและ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างขอ้
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นักเรยี นมคี วามพยายาม
ในการแก้ปัญหา โดย
คำนึงถึงหลักของเหตแุ ละ
ผล แต่ไม่สำเรจ็

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นักเรียนไมม่ ีร่องรอย

ของการทำใบกิจกรรม

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือวา่ ผ่าน

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 24 ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 5
กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ชัว่ โมง
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอื่ งลำดบั และอนกุ รม เวลา 1 ชั่วโมง
เรือ่ ง ความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต
ครูผสู้ อน นางสาววิลาวัลย์ ปล้องนิราศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตัวชว้ี ัด
สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชี้วดั
ค 1.2 ม.5/2 เข้าใจและนำความร้เู ก่ยี วกับลำดับและอนุกรมไปใช้

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
ดา้ นความรู้ทางคณติ ศาสตร์ (K)
1. นักเรยี นเข้าใจวธิ ีการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ
ด้านทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)
1. นกั เรยี นสามารถหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
ด้านคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)
1. มวี นิ ยั
2. ใฝ่เรียนรู้
สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น (C)
1. นกั เรียนมีความสามารถในการแก้ปัญหา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)

ความหมายของอนุกรมเรขาคณิต

อนกุ รมทไ่ี ด้จากลำดับเรขาคณติ เรียกวา่ อนกุ รมเรขาคณิต และอตั ราสว่ นรว่ มของลำดับเรขาคณิต

จะเปน็ อตั ราสว่ นรว่ มของอนกุ รมเรขาคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) ,r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

an คอื พจน์ท่ี n

a1 คือ พจน์ที่ 1 หรอื พจน์แรก

n คอื จำนวนพจนห์ รอื ลำดับทีข่ องพจน์

r คอื อัตราสว่ นรว่ ม

3. สาระการเรยี นรู้

ทบทวน

ความหมายของอนกุ รมเรขาคณติ

อนุกรมที่ไดจ้ ากลำดับเรขาคณิต เรียกวา่ อนกุ รมเรขาคณิต และอัตราสว่ นรว่ มของลำดบั เรขาคณิต

จะเปน็ อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรือ Sn = a1 (rn - 1) ,r  1 หรอื Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

an คอื พจนท์ ี่ n

a1 คือ พจน์ที่ 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจน์หรือลำดับทีข่ องพจน์

r คือ อัตราสว่ นร่วม

4. ช้นิ งาน (รวบยอด)
-

5. กิจกรรมการเรียนรู้

5.1 ขน้ั นำเข้าสู่บทเรยี น (5 นาที)

5.1.1 ครทู บทวนความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต และสตู รอนกุ รมเรขาคณิต

อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับ

เรขาคณติ จะเปน็ อัตราส่วนรว่ มของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (r n - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r 1 1-r
-

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

an คือ พจน์ท่ี n

a1 คือ พจน์ท่ี 1 หรอื พจน์แรก

n คอื จำนวนพจน์หรอื ลำดับทข่ี องพจน์

r คอื อตั ราส่วนรว่ ม

5.2 ขนั้ กจิ กรรมการเรียนรู้ (40 นาที)
5.2.1 ครูใหน้ กั เรียนทำกิจกรรม “หัวต่อหางอนุกรม” โดยมีโจทย์ ดงั น้ี
1) Sn ของอนุกรมเรขาคณติ ทีม่ ี n = 4, a1 = 3 และ r = 2

(เฉลย 45)

2) Sn ของอนกุ รมเรขาคณิต ทม่ี ี n = 7, a1 = 5 และ r = 4

(เฉลย 27,305)

3) Sn ของอนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี n = 6, a1 = -3 และ r = 5

(เฉลย -11,718)

4) Sn ของอนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี n = 5, a1 = -7 และ r = 3

(เฉลย -847)

5) Sn ของอนกุ รมเรขาคณิต ทีม่ ี n = 8, a1 = -5 และ r = -2

(เฉลย 425)

6) 2 + 6 +18 + 54 + … ถงึ 9 พจน์

(เฉลย 19,682)

7) 1 - 1 + 1 - 1 + ... ถึง 7 พจน์
3 9 27 81
(เฉลย 547 )
2187
2 4 8
8) 1+ 3 + 9 + 27 + … ถึง 5 พจน์

(เฉลย 211 )
81

9) 1 - 2 + 4 - 8 + … ถึง 10 พจน์

(เฉลย -341)

10) 4 + 20 +100 + …ถงึ 6 พจน์

(เฉลย 15,624)

11) 9 + 27 + 81+ … + 729

(เฉลย 1,089)

12) 4 + 2 +1+ … + 1
512

(เฉลย 1,095 )
137

13) 1+ (-2) + 4 + … + 256

(เฉลย 171)

14) 7 +14 + 28 + … + 7168

(เฉลย 14,329)

15) 2 + (-4) + 8 +… + 8192

(เฉลย 5,462)

5.2.2 ครอู ธบิ ายวธิ ีการเลน่ กจิ กรรม “หัวต่อหางอนกุ รม” ดังน้ี

1) ครใู ห้นักเรยี นแบง่ กลมุ่ ออกเปน็ 8 กลุ่ม และนั่งดว้ ยกันเพอื่ ร่วมกันทำกจิ กรรม

2) ครูแจกสอ่ื กิจกรรม “หวั ต่อหางอนกุ รม” โดยส่อื จะเป็นบตั รคำส่ือทำมอื มี 2 สว่ น คอื

ส่วนหวั จะเป็นโจทยอ์ นกุ รมเรขาคณิตและสว่ นหางจะเปน็ คำตอบของส่วนหวั

3) ครูให้นกั เรยี นในแต่ละกลุ่มชว่ ยกนั ต่อบตั รคำ

4) เมือ่ นกั เรยี นทำเสร็จแล้วให้นักเรียนเรียกครูไปตรวจสอบ หากนกั เรยี นต่อถูก 1 ขอ้ จะได้

1 คะแนน หากนักเรยี นต่อผดิ ครูจะให้โอกาสนกั เรียนแก้จนกว่าจะตอบถกู

5) หากนักเรยี นกลมุ่ ใดทำเสร็จถูกต้องเปน็ กลุ่มท่ี 1 2 และ 3 จะไดโ้ บนสั 3 คะแนน 2

คะแนน และ 1 คะแนนตามลำดับ

6) หากกลมุ่ ใด คะแนนเยอะท่ีสดุ กลุ่มนนั้ เปน็ ฝ่ายชนะ

5.3 ข้นั สรปุ (5 นาที)

5.3.1 ครูและนักเรียนร่วมกนั สรุปสตู รอนกุ รมเรขาคณิตท่ีนำมาใชใ้ นการทำกจิ กรรม

ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต คือ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรอื Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ
an คือ พจน์ท่ี n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรอื พจนแ์ รก
n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดับทข่ี องพจน์

r คอื อัตราส่วนร่วม

5.3.2 ครถู ามนักเรยี นว่าหากโจทย์กำหนด a1 และ d ควรเลือกใช้สูตรใด

(แนวคำตอบ Sn = a1 (1 - rn ) ,r 1 หรือ Sn = a1 (rn - 1) ,r  1)
(1 - r) r -1

5.3.3 ครถู ามนกั เรียนว่าหากโจทยก์ ำหนด a1 และ an ควรเลอื กใช้สูตรใด
a1 - anr
(แนวคำตอบ Sn = 1-r ,r  1)

6. สือ่ /แหลง่ การเรยี นรู้

6.1 สื่อการเรียนรู้
- สื่อกจิ กรรม “หัวตอ่ หางอนกุ รม”

6.2 แหลง่ การเรียนรู้
-

7. การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

สงิ่ ทีว่ ดั วิธกี ารวัด เครอ่ื งมือวัด เกณฑก์ ารประเมนิ

จุดประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ กิจกรรม “หัวต่อหาง เกณฑก์ ารให้คะแนน :
ดา้ นความรู้ทางคณติ ศาสตร์ ถูกต้องจากการต่อ อนกุ รม” กิจกรรม “หวั ตอ่ หาง
(K) บัตรคำในกิจกรรม อนกุ รม” ต่อบัตรคำกลมุ่
“หวั ต่อหางอนุกรม” ละ 15 ขอ้
1. นักเรียนเขา้ ใจ ข้อละ 1 คะแนน โดย
ความหมายของอนุกรม
เรขาคณิต ถา้ นกั เรยี นกล่มุ ใดต่อ
บตั รคำได้ถกู ต้อง
2. นกั เรยี นเข้าใจวิธกี ารหา
ผลบวก n พจน์แรกของ จะได้ 1 คะแนน
อนุกรมเรขาคณติ ถา้ นกั เรียนตอ่ บตั รคำได้
ไม่ถูกต้อง
ด้านทักษะและกระบวนการ พิจารณาความ กิจกรรม “หวั ตอ่ หาง จะได้ 0 คะแนน
ทางคณติ ศาสตร์ (P) ถกู ตอ้ งจากการต่อ อนุกรม” เกณฑ์การประเมินผล :
บัตรคำในกิจกรรม กิจกรรม “หัวต่อหาง
1. นกั เรียนสามารถหา อนุกรม” ตอ่ บตั รคำกลุม่
“หัวต่อหางอนุกรม” ละ 20 ขอ้
ผลบวก n พจนแ์ รกของ ถา้ นกั เรียน (กลุม่ ใด) ได้
อนกุ รมเรขาคณิตได้ คะแนน 13 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 15 คะแนน
ด้านคณุ ลักษณะอันพึง พจิ ารณาจาก แบบประเมนิ ถอื ว่าผา่ น
ประสงค์ (A) พฤติกรรมหรอื ความ จดุ ประสงค์
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
1. มวี นิ ัย เหมาะสมในการ การเรยี นรู้ กำหนดเกณฑก์ ารให้
2. ใฝเ่ รยี นรู้ แสดงออกของ คะแนนแบบวเิ คราะห์
เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :
นกั เรยี นขณะ นกั เรียนสามารถหาผลบวก
ลงมือปฏบิ ัติและ n พจนแ์ รกของอนุกรม
อภิปรายเหตผุ ลใน เรขาคณิตได้

การหาคำตอบเป็น เกณฑก์ ารให้คะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นมคี วามต้ังใจ
และรับผดิ ชอบในการ
ปฏบิ ัตกิ จิ กรรมทไี่ ดร้ บั
มอบหมายจนสำเรจ็ และ
ถกู ต้องสมบูรณภ์ ายใน
ระยะเวลาทกี่ ำหนด

สิ่งท่วี ดั วิธีการวัด เครอ่ื งมือวดั เกณฑ์การประเมนิ

รายบคุ คล โดยครู จะได้ 2 คะแนน
ถ้านักเรียนมคี วามตั้งใจ
เป็นผ้สู ังเกต และรบั ผดิ ชอบในการ
ปฏบิ ัติกจิ กรรมทไี่ ด้รับ
ด้านสมรรถนะสำคญั ของ พจิ ารณาจากการ แบบประเมนิ มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี
ผเู้ รียน (C) ขอ้ บกพร่องบางส่วน
ตอบคำถามของ จุดประสงค์ ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด
1. นักเรียนมีความสามารถ นักเรียน การเรียนรู้ จะได้ 1 คะแนน
ในการแก้ปัญหา ถ้านักเรียนเอาใจใสต่ อ่ การ

ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมท่ีได้รบั
มอบหมายแต่ไมส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาทก่ี ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นักเรยี นไมเ่ อาใจใส่ตอ่
การปฏิบัตกิ จิ กรรมทไ่ี ดร้ บั
มอบหมายไม่สำเรจ็ ภายใน
ระยะเวลาทกี่ ำหนด
เกณฑ์การประเมินผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือวา่ ผา่ น

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาที่กำหนดไว้โดย
คำนึงถึงหลักของเหตแุ ละ

ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อย่างครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถ้านักเรียนสามารถ
แก้ปญั หาที่กำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล พร้อมตรวจสอบความ

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑ์การประเมนิ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ไดบ้ างข้อ

จะได้ 1 คะแนน

ถ้านักเรียนมคี วามพยายาม

ในการแก้ปัญหา โดย

คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ

ผล แตไ่ ม่สำเร็จ

จะได้ 0 คะแนน

ถา้ นักเรยี นไมม่ รี อ่ งรอย

ของการทำใบกจิ กรรม

เกณฑก์ ารประเมินผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้

คะแนน 2 คะแนน จาก

คะแนนเตม็ 3 คะแนน

ถือวา่ ผ่าน

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 25 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์4 (ค 32102) เวลา 30 ชว่ั โมง
หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 เร่อื งลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ช่ัวโมง
เรอื่ ง โจทยป์ ญั หาของอนุกรมเรขาคณติ
ครูผ้สู อน นางสาววลิ าวลั ย์ ปลอ้ งนริ าศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นร/ู้ ตวั ช้วี ัด
สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ชว้ี ดั
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กีย่ วกบั ลำดบั และอนุกรมไปใช้

จุดประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นักเรยี นสามารถวิเคราะหโ์ จทยป์ ญั หาเพอ่ื แกส้ มการและหาสิง่ ที่โจทย์ตอ้ งการได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P)
1. นักเรียนสามารถใชค้ วามรู้เกี่ยวกบั อนุกรมเรขาคณิตในการแก้ปญั หาได้
ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. มีวนิ ัย
2. ใฝ่เรียนรู้
สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน (C)
1. นกั เรยี นมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)

ความหมายของอนุกรมเรขาคณติ

อนุกรมทีไ่ ด้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณติ และอัตราสว่ นร่วมของลำดับเรขาคณิต

จะเป็นอัตราส่วนรว่ มของอนกุ รมเรขาคณติ ด้วย

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรอื พจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทข่ี องพจน์

r คือ อตั ราส่วนรว่ ม

3. สาระการเรียนรู้

ทบทวน

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) ,r  1 หรอื Sn = a1 - anr
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

an คอื พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรือพจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรือลำดบั ทข่ี องพจน์

r คอื อตั ราสว่ นร่วม

ตวั อย่างที่ 4 กำหนด a1 = 8, r = -3 จงหา a5 และ S5

วิธที ำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 8, r = -3

หา a5 จากสูตร an = a1rn-1

a5 = (8)(-3)5-1

a5 = (8)(-3)4

a5 = (8)(81)

a5 = 648

หา S5 จากสูตร Sn = a1 - anr ,r  1
1-r
8 - 648(-3)
S5 = 1 - (-3)

S5 = 1, 952
4
S5 = 488

ดงั น้นั a5 = 648 และ S5 = 488

ตวั อย่างท่ี 5 กำหนด a5 = 225 และ r = 5 จงหา a1 และ S5

วธิ ีทำ โจทยก์ ำหนดให้ a5 = 225 และ r = 5

หา a1 จากสูตร an = a1rn-1

แทนค่า a5 = a1r5-1

a5 = a1r4

225 = a1 (5)4
225 = a1 (625)

a1 = 225
625
9
a1 = 25

หา S5 จากสตู ร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

 9  (55 - 1)
25
S5 =
5-1
9
25 (3,125 - 1)
4
S5 =

S5 = 9 (3,124) × 1
25 4
28,116
S5 = 100

S5 = 7, 029
25
9 7, 029
ดังน้นั a1 = 25 และ S5 = 25

ตวั อยา่ งที่ 6 กำหนด a4 = 3 , r= 1 จงหา S8
2 2
3 1
วธิ ที ำ โจทยก์ ำหนดให้ a4 = 2 และ r = 2

หา a1 จากสูตร an = a1rn-1
a4 = a1r4-1

3 = a1  1 3
2 2

3 = a1  1 
2 8

a1 = 3 × 8
2
a1 = 12

หา S8 จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

( )S8 12 1 - 1 8
1- 
= 2
1

2

12 1 - 1 
256
S8 = 1

2

S8 = 12  255  × 2
256

S8 = 6,120
256
765
S8 = 32

ดงั นั้น S8 = 765
32

ตวั อย่างท่ี 7 กำหนด Sn = -33, r = -2 และ n = 5 จงหา a5

วิธที ำ โจทยก์ ำหนดให้ Sn = -33, r = -2 และ n = 5

หา a1 จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

-33 = a1 (1 - (-2)5 )
1 - (-2)
-33 = a1 (1 + 32)
3

-99 = a1 (33)
a1 = -3

หา a5 จากสตู ร an = a1rn-1

a5 = (-3)(-2)5-1
a5 = (-3)(-2)4

a5 = (-3)(16)
a5 = -48

ดังนน้ั a5 = -48

4. ชิน้ งาน (รวบยอด)
- ใบกิจกรรมที่ 18 โจทยป์ ญั หาของอนุกรมเรขาคณิต

5. กิจกรรมการเรียนรู้

5.1 ขัน้ นำเข้าส่บู ทเรยี น (5 นาที)

5.1.1 ครูให้นักเรียนทำกิจกรรมผจญภัยล่าสมบัติแดนอนุกรมเรขาคณิต เพื่อทบทวน

สูตรผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (r n - 1) , r  1 หรอื Sn = a1 - anr
(1 - r) r 1 1-r
-

โดย Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ี่ 1 หรอื พจน์แรก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ท่ขี องพจน์

r คอื อัตราสว่ นร่วม

5.2 ข้ันกจิ กรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูตวั อย่างที่ 4 กำหนด a1 = 8, r = -3 จงหา a5 และ S5

- ครูถามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งที่ 4 โจทยต์ ้องการใหห้ าอะไร
(แนวคำตอบ a5 และ S5)
- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 4 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
(แนวคำตอบ a1 = 8 และ r = -3)
- ครูถามนักเรยี นว่าจากตัวอยา่ งที่ 4 สามารถหา a5 ด้วยวธิ ใี ดได้บา้ ง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจน์ท่ัวไปของลำดบั เรขาคณิต an = a1rn-1 )

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อย่างที่ 4 สามารถหา S5 ดว้ ยวธิ ีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต Sn = a1 - anr )
1-r

- ครอู ธิบายและให้นักเรียนทำตัวอย่างไปพรอ้ มกับครู

ตัวอยา่ งท่ี 4 กำหนด a1 = 8, r = -3 จงหา a5 และ S5

วธิ ีทำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 8, r = -3

หา a5 จากสูตร an = a1rn-1
a5 = (8)(-3)5-1

a5 = (8)(-3)4

a5 = (8)(81)

a5 = 648

หา S5 จากสตู ร Sn = a1 - anr ,r  1
1-r
8 - 648(-3)
S5 = 1 - (-3)

S5 = 1, 952
4
S5 = 488

ดงั น้ัน a5 = 648 และ S5 = 488

5.2.2 ครยู กตัวอยา่ งที่ 5 กำหนด a5 = 225 และ r = 5 จงหา a1 และ S5

- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตวั อย่างท่ี 5 โจทยต์ อ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ a1 และ S5)
- ครูถามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งท่ี 5 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ a5 = 225 และ r = 5)
- ครูถามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างที่ 5 สามารถหา a1 ดว้ ยวธิ ใี ดได้บ้าง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจนท์ ัว่ ไปของลำดับเรขาคณติ an = a1rn-1 )

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 5 สามารถหา S5 ดว้ ยวิธีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนุกรมเรขาคณิต Sn = a1 (rn - 1) )
r -1
- ครอู ธบิ ายและใหน้ ักเรียนทำตวั อย่างไปพร้อมกบั ครู

ตวั อยา่ งท่ี 5 กำหนด a5 = 225 และ r = 5 จงหา a1 และ S5

วิธีทำ โจทยก์ ำหนดให้ a5 = 225 และ r = 5

หา a1 จากสตู ร an = a1rn-1

แทนค่า a5 = a1r5-1

a5 = a1r4

225 = a1 (5)4
225 = a1 (625)

a1 = 225
625
9
a1 = 25

หา S5 จากสูตร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

 9  (55 - 1)
25
S5 =
5-1
9
S5 = 25 (3,125 - 1)
4
9 1
S5 = 25 (3,124) × 4

S5 = 28,116
100
7, 029
S5 = 25

ดังนน้ั a1 = 9 และ S5 = 7, 029
25 25
= 3, 1
5.2.3 ครยู กตัวอย่างที่ 6 กำหนด a4 2 r= 2 จงหา S8

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 6 โจทยต์ ้องการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ S8)
- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตวั อย่างท่ี 6 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
3 1
(แนวคำตอบ a4 = 2 และ r = 2 )

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 6 สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ใี ดได้บ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนกุ รมเรขาคณิต Sn = a1 (rn - 1) )
r -1
- ครูถามนกั เรยี นวา่ หากจะใชว้ ิธีดังกลา่ ว ควรหาคา่ ใดเพ่มิ เตมิ จากสง่ิ ท่โี จทยก์ ำหนดบ้าง
(แนวคำตอบ พจนท์ ี่ 1 หรือ a1 )

- ครูถามนักเรียนวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 5 สามารถหา a1 ดว้ ยวธิ ใี ดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใชส้ ตู รพจน์ทั่วไปของลำดบั เรขาคณิต an = a1rn-1 )

- ครอู ธบิ ายและให้นกั เรียนทำตวั อย่างไปพร้อมกบั ครู

ตัวอยา่ งท่ี 6 กำหนด a4 = 3, r= 1 จงหา S8
2 2
3 1
วธิ ที ำ โจทยก์ ำหนดให้ a4 = 2 และ r= 2

หา a1 จากสูตร an = a1rn-1

a4 = a1r4-1

3 = a1  1 3
2 2

3 = a1  1 
2 8

a1 = 3 × 8
2
a1 = 12

หา S8 จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

( )S8 12 1 - 1 8
1- 
= 2
1

2

12  1 - 1 
1 256
S8 =

2

S8 = 12  255  × 2
256

S8 = 6,120
256
765
S8 = 32

ดังนัน้ S8 = 765
32

5.2.4 ครูยกตวั อยา่ งที่ 7 กำหนด Sn = -33, r = -2 และ n = 5 จงหา a5

- ครถู ามนกั เรียนวา่ จากตัวอยา่ งที่ 7 โจทยต์ อ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ a5)

- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตัวอย่างที่ 7 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ Sn = -33, r = -2 และ n = 5)

- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตัวอยา่ งท่ี 7 สามารถหาคำตอบดว้ ยวธิ ีใดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจนท์ ั่วไปของลำดับเรขาคณติ an = a1rn-1 )

- ครถู ามนักเรยี นว่าหากจะใชว้ ิธดี ังกลา่ ว ควรหาค่าใดเพมิ่ เติมจากสงิ่ ท่ีโจทยก์ ำหนดบ้าง
(แนวคำตอบ พจนท์ ี่ 1 หรอื a1 )
- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 7 สามารถหา a1 ดว้ ยวิธใี ดได้บ้าง

(แนวคำตอบ ใช้สตู รพจนท์ ัว่ ไปของลำดบั เรขาคณติ Sn = a1 (1 - rn ) )
1-r
- ครอู ธบิ ายและใหน้ กั เรียนทำตัวอยา่ งไปพรอ้ มกับครู

ตวั อย่างท่ี 7 กำหนด Sn = -33, r = -2 และ n = 5 จงหา a5

วิธที ำ โจทย์กำหนดให้ Sn = -33, r = -2 และ n = 5

หา a1 จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

-33 = a1 (1 - (-2)5 )
1 - (-2)
-33 = a1 (1 + 32)
3

-99 = a1 (33)
a1 = -3

หา a5 จากสูตร an = a1rn-1

a5 = (-3)(-2)5-1

a5 = (-3)(-2)4

a5 = (-3)(16)

a5 = -48

ดังนน้ั a5 = -48

5.2.5 ครูให้นักเรียนทำใบกิจกรรมที่ 18 โจทย์ปัญหาของอนุกรมเรขาคณิตโดยครูเดินสังเกต

และใหค้ ำปรกึ ษานกั เรียนเป็นรายบคุ คล

5.2.6 เม่อื เหลือเวลาก่อนหมดคาบ 5 นาที ครใู หน้ กั เรยี นรวบรวมใบกจิ กรรมมาสง่ ที่โตะ๊ ครู

5.3 ข้ันสรุป (5 นาที)

5.3.1 ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรปุ สิง่ ทีน่ ำมาใช้ในการแกโ้ จทย์เรื่องลำดับเรขาคณิต ไดแ้ กส่ ูตร

อนุกรมเรขาคณิต Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) ,r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรือลำดบั ทข่ี องพจน์

r คอื อตั ราส่วนรว่ ม

5.3.2 ครูถามนักเรยี นว่าหากโจทย์กำหนด r > 1 ควรเลือกใช้สูตรใด

(แนวคำตอบ Sn = a1 (rn - 1) ,r  1)
r -1
5.3.3 ครถู ามนกั เรียนว่าหากโจทยก์ ำหนด r < 1 ควรเลือกใชส้ ูตรใด

(แนวคำตอบ Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1)
(1 - r)

6. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้

6.1 สื่อการเรยี นรู้
- สอื่ การสอน PowerPoint โจทยป์ ัญหาของอนุกรมเรขาคณิต

- ใบกจิ กรรมท่ี 18 โจทยป์ ญั หาของอนกุ รมเรขาคณติ
6.2 แหลง่ การเรยี นรู้

-

7. การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

สง่ิ ท่ีวัด วธิ กี ารวดั เครื่องมือวดั เกณฑก์ ารประเมนิ

จุดประสงค์การเรยี นรู้ พจิ ารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 18 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
ดา้ นความรทู้ างคณติ ศาสตร์ ถูกตอ้ งจากการตอบ โจทยป์ ญั หาของ ใบกจิ กรรมท่ี 18 โจทย์
(K) ใบกจิ กรรมที่ 18 อนุกรมเรขาคณิต ปัญหาของอนกุ รม
โจทยป์ ัญหาของ
1. นกั เรยี นสามารถ อนกุ รมเรขาคณิต เรขาคณิต ขอ้ 1 – 2
วเิ คราะห์โจทย์ปญั หาเพื่อแก้ ขอ้ ละ 4 คะแนน โดย
สมการและหาสิ่งทโ่ี จทย์
ตอ้ งการได้ ถา้ นกั เรียนสามารถแปล
ความหมายของโจทยไ์ ด้
ถกู ต้องครบถ้วน

จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรยี นสามารถแปล

ความหมายของโจทยไ์ ด้
ถูกตอ้ งบางสว่ น

จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นักเรยี นแสดงวธิ ีทำ
ไดถ้ ูกต้องครบถว้ น

จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรียนแสดงวธิ ที ำ
ไดถ้ กู ต้องมากกวา่ 75%

จะได้ 1.5 คะแนน
ถา้ นักเรยี นแสดงวธิ ีทำ

ได้ถกู ตอ้ งมากกวา่ 50%
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนแสดงวธิ ที ำ

ไดถ้ กู ตอ้ งมากกวา่ 25%
จะได้ 0.5 คะแนน

ถา้ นักเรยี นหาคำตอบได้
ถูกตอ้ ง

จะได้ 1 คะแนน

เกณฑ์การประเมินผล :
ใบกจิ กรรมท่ี 18 โจทย์

ปัญหาของอนุกรม
เรขาคณิต ข้อ 1 – 2

ถ้านกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 4 คะแนน จาก

สิ่งทว่ี ัด วิธีการวัด เครือ่ งมือวัด เกณฑก์ ารประเมิน

ด้านทกั ษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ ใบกจิ กรรมท่ี 18 คะแนนเตม็ 8 คะแนน ถอื
ว่าผา่ น
ทางคณิตศาสตร์ (P) ถกู ตอ้ งจากการตอบ โจทย์ปญั หาของ
1. นักเรยี นสามารถใช้ ใบกจิ กรรมที่ 18 อนกุ รมเรขาคณิต เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
โจทย์ปัญหาของ กำหนดเกณฑก์ ารให้
ความรเู้ ก่ียวกับอนกุ รม อนกุ รมเรขาคณิต คะแนนแบบวเิ คราะห์
เรขาคณิตในการแกป้ ญั หาได้ เกณฑ์การประเมนิ ผล :
นกั เรยี นสามารถใช้ความรู้
ด้านคุณลักษณะอันพึง พิจารณาจาก แบบประเมนิ เกีย่ วกบั อนุกรมเรขาคณิต
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรือความ จดุ ประสงค์ ในการแก้ปญั หาได้
การเรียนรู้
1. มีวนิ ัย เหมาะสมในการ เกณฑก์ ารให้คะแนน :
2. ใฝ่เรยี นรู้ แสดงออกของ พิจารณารายบุคคล
นักเรยี นขณะ จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นมคี วามตง้ั ใจ
ลงมือปฏิบัติและ และรบั ผิดชอบในการ
อภิปรายเหตผุ ลใน ปฏิบตั กิ จิ กรรมที่ได้รบั
มอบหมายจนสำเร็จและ
การหาคำตอบเป็น ถกู ต้องสมบูรณภ์ ายใน
รายบุคคล โดยครู ระยะเวลาที่กำหนด
เปน็ ผสู้ งั เกต จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรียนมีความตั้งใจ
และรบั ผดิ ชอบในการ
ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมทไี่ ดร้ ับ
มอบหมายสำเร็จ แตม่ ี
ข้อบกพรอ่ งบางส่วน
ภายในระยะเวลาที่กำหนด
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นเอาใจใส่ตอ่ การ
ปฏบิ ัติกจิ กรรมที่ไดร้ ับ
มอบหมายแต่ไมส่ ำเร็จ
ภายในระยะเวลาทกี่ ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไม่เอาใจใส่ต่อ
การปฏบิ ัตกิ ิจกรรมทไ่ี ด้รับ
มอบหมายไมส่ ำเร็จภายใน
ระยะเวลาทก่ี ำหนด
เกณฑ์การประเมินผล :

สิ่งท่ีวดั วธิ กี ารวัด เครอ่ื งมอื วัด เกณฑ์การประเมิน

ดา้ นสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมิน นกั เรียน (คนใด) ได้
ตอบคำถามของ จดุ ประสงค์ คะแนน 2 คะแนน จาก
ผเู้ รียน (C) นกั เรียน การเรยี นรู้ คะแนนเต็ม 3 คะแนน
1. นกั เรียนมคี วามสามารถ ถือวา่ ผา่ น

ในการแกป้ ญั หา เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถ้านกั เรยี นสามารถ
แกป้ ัญหาทกี่ ำหนดไวโ้ ดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นสามารถ

แกป้ ญั หาทีก่ ำหนดไวโ้ ดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล พร้อมตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ไดบ้ างข้อ
จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนมีความพยายาม
ในการแก้ปัญหา โดย
คำนึงถงึ หลักของเหตแุ ละ
ผล แตไ่ มส่ ำเรจ็
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรยี นไม่มรี อ่ งรอย
ของการทำใบกจิ กรรม

เกณฑก์ ารประเมินผล :
นกั เรียน (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื วา่ ผา่ น

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 26 ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5
กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชัว่ โมง
หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เร่อื งลำดบั และอนุกรม เวลา 1 ชว่ั โมง
เรอื่ ง โจทยป์ ญั หาของอนกุ รมเรขาคณติ
ครูผ้สู อน นางสาววิลาวัลย์ ปลอ้ งนริ าศ

***************************************************************************

1. เปา้ หมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ช้ีวัด
สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณติ
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตวั ชว้ี ดั
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กีย่ วกบั ลำดบั และอนกุ รมไปใช้

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นกั เรยี นสามารถวิเคราะหโ์ จทยป์ ญั หาเพอ่ื แก้สมการและหาส่งิ ทโ่ี จทย์ต้องการได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรยี นสามารถใชค้ วามรู้เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณติ ในการแก้ปญั หาได้
ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. มวี นิ ัย
2. ใฝเ่ รยี นรู้
สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน (C)
1. นักเรยี นมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)

ความหมายของอนุกรมเรขาคณติ

อนุกรมทีไ่ ด้จากลำดับเรขาคณติ เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอตั ราสว่ นร่วมของลำดบั เรขาคณิต

จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนกุ รมเรขาคณติ ด้วย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (r n - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r 1 1-r
-

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

an คือ พจนท์ ่ี n

a1 คอื พจน์ท่ี 1 หรอื พจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทข่ี องพจน์

r คือ อัตราส่วนร่วม

3. สาระการเรยี นรู้

ทบทวน

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรือ Sn = a1 (r n - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r 1 1-r
-

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ

an คอื พจน์ท่ี n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจนห์ รือลำดับท่ขี องพจน์

r คอื อัตราส่วนรว่ ม 5 100
9 9
ตวั อยา่ งท่ี 8 กำหนด a1 = , r = -3, Sn = - จงหา n และ an

วิธที ำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 5 , r = -3 และ Sn = - 100
9 9
a1 - anr
หา an จากสูตร Sn = 1-r

100 5 - an (-3)
9
- =
9 1 - (-3)
5
- 100 9 + 3an

=
94
100 5
- 9 × 4 = 9 + 3an

- 400 - 5 = 3an
9 9
405
- 9 = 3an

-45 = 3an
an = -15

หา n จากสูตร an = a1rn-1

-15 = 5 (-3)n-1
9

-15 × 9 = (-3)n-1
5

-27 = (-3)n-1

(-3)3 = (-3)n-1

3=n-1
n=4

ดังนน้ั an = -15 และ n = 4

ตัวอย่างท่ี 9 กำหนด a1 = 5, r = -2, an = 80 จงหา n และ Sn

วธิ ที ำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 5, r = -2 และ an = 80

หา n จากสูตร an = a1rn-1

80 = 5(-2)n-1

16 = (-2)n-1

(-2)4 = (-2)n-1

4=n-1

n=5
a1 - anr
หา Sn จากสูตร Sn = 1-r

Sn = 5- 80(-2)
1 - (-2)

Sn = 5 - (-160)
3
165
Sn = 3

Sn = 33

ดงั นั้น n = 5 และ Sn = 33

ตวั อย่างท่ี 10 กำหนด a1 = 3, an = 48 และ Sn = 33 จงหา r และ n

วธิ ีทำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 3, an = 48 และ Sn = 33

หา r จากสตู ร Sn = a1 - anr
1-r

33 = 3- 48r
1 -r

33(1- r) = 3 - 48r

33 - 33r = 3 - 48r

48r - 33r = 3 - 33

15r = -30

หา n จากสูตร r = -2

an = a1rn-1

48 = 3(-2)n-1
16 = (-2)n-1
(-2)4 = (-2)n-1

4=n-1

n=5

ดงั น้ัน r = -2 และ n = 5

ตัวอยา่ งท่ี 11 กำหนด a1 = -56, an = 7 และ n = 6 จงหา r และ Sn
4
7
วิธีทำ โจทยก์ ำหนดให้ a1 = -56, an = 4 และ n = 6

หา r จากสูตร an = a1rn-1

7 = (-56)r6-1
4
7 = r5
-224
1 = r5
-32

r5 =  - 1 5
2
1
r = - 2

a1 (1 - r n )
1-r
หา Sn จากสตู ร Sn =

( )S6= (-56) 1 - - 1 6
1- - 1 2 

( )2

(-56)  1 - 1 
3 64
S6 =

2

S6 = (-56)  63  2 
64 3

S6 = - 147
4
1 147
ดังน้ัน r = - 2 และ S6 = - 4

4. ชิ้นงาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมที่ 19 โจทยป์ ัญหาของอนุกรมเรขาคณิต

5. กิจกรรมการเรยี นรู้

5.1 ขน้ั นำเข้าสบู่ ทเรยี น (5 นาที)

5.1.1 ครูให้นักเรียนทำกิจกรรมถอดรหัสทบทวน เพื่อทบทวนสูตรผลบวก n พจน์แรกของ

อนุกรมเรขาคณิต

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรือ Sn = a1 (r n - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr
(1 - r) r 1 1-r
-

โดย Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ

an คือ พจน์ที่ n

a1 คอื พจน์ที่ 1 หรอื พจนแ์ รก

n คือ จำนวนพจน์หรอื ลำดบั ทข่ี องพจน์

r คอื อัตราสว่ นร่วม

aพ จ น์ แ ร ก อั ต ร า
1 ส่ ว น ร่ ว ม

S = a1 - an
n 1-

5.2 ขั้นกิจกรรมการเรียนรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูตัวอยา่ งท่ี 8 กำหนด a1 = 5 , r = -3, Sn = - 100 จงหา n และ an
9 9

- ครถู ามนกั เรียนวา่ จากตวั อยา่ งที่ 8 โจทยต์ ้องการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ n และ an)

- ครถู ามนกั เรียนวา่ จากตวั อยา่ งท่ี 8 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง
5 100
(แนวคำตอบ a1 = 9 , r = -3 และ Sn = - 9 )

- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งท่ี 8 สามารถหา Sn ดว้ ยวธิ ีใดไดบ้ ้าง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรอนกุ รมเรขาคณติ Sn = a1 - anr )
1-r

- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 8 สามารถหา n ดว้ ยวธิ ีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรพจนท์ ั่วไปของลำดบั เรขาคณติ an = a1rn-1 )

- ครูอธิบายและใหน้ กั เรยี นทำตัวอยา่ งไปพรอ้ มกับครู

ตัวอยา่ งที่ 8 กำหนด a1 = 5 , r = -3, Sn = - 100 จงหา n และ an
9 9
5 = - 100
วิธีทำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 9 , r = -3 และ Sn 9

หา an จากสตู ร Sn = a1 - anr
1-r
5
100 9 - an (-3)

- =
9 1 - (-3)
5
- 100 9 + 3an

=
94
100 5
- 9 × 4 = 9 + 3an

- 400 - 5 = 3an
9 9
405
- 9 = 3an

-45 = 3an
an = -15

หา n จากสูตร an = a1rn-1

-15 = 5 (-3)n-1
9
-15 × 9 = (-3)n-1
5

-27 = (-3)n-1

(-3)3 = (-3)n-1

3=n-1

ดังนัน้ an = -15 และ n = 4 n=4

5.2.2 ครูยกตวั อยา่ งท่ี 9 กำหนด a1 = 5, r = -2, an = 80 จงหา n และ Sn

- ครูถามนกั เรียนวา่ จากตัวอย่างที่ 9 โจทย์ตอ้ งการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ n และ Sn)
- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตวั อย่างที่ 9 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ a1 = 5, r = -2 และ an = 80)

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อยา่ งที่ 9 สามารถหา n ด้วยวธิ ีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรพจนท์ วั่ ไปของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 )

- ครถู ามนักเรยี นว่าจากตัวอย่างท่ี 5 สามารถหา Sn ดว้ ยวิธีใดไดบ้ า้ ง
a1 - anr
(แนวคำตอบ ใชส้ ตู รอนกุ รมเรขาคณิต Sn = 1-r )

- ครูอธิบายและใหน้ กั เรยี นทำตัวอยา่ งไปพร้อมกับครู

ตวั อย่างที่ 9 กำหนด a1 = 5, r = -2, an = 80 จงหา n และ Sn

วธิ ที ำ โจทยก์ ำหนดให้ a1 = 5, r = -2 และ an = 80

หา n จากสตู ร an = a1rn-1

80 = 5(-2)n-1

16 = (-2)n-1

(-2)4 = (-2)n-1

4=n-1

n=5
a1 - anr
หา Sn จากสูตร Sn = 1-r

Sn = 5- 80(-2)
1 - (-2)

Sn = 165
3
Sn = 33

ดังน้นั n = 5 และ Sn = 33

5.2.3 ครยู กตวั อย่างท่ี 10 กำหนด a1 = 3, an = 48 และ Sn = 33 จงหา r และ n
- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 10 โจทย์ตอ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ r และ n)

- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตวั อยา่ งที่ 10 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ a1 = 3, an = 48 และ Sn = 33)
- ครูถามนักเรียนวา่ จากตวั อย่างที่ 10 สามารถหา n ดว้ ยวธิ ีใดไดบ้ ้าง
(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรพจน์ทวั่ ไปของลำดับเรขาคณติ an = a1rn-1 )

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 10 สามารถหา r ด้วยวิธใี ดไดบ้ า้ ง
a1 - anr
(แนวคำตอบ ใช้สตู รอนกุ รมเรขาคณติ Sn = 1-r )

- ครูอธบิ ายและให้นักเรียนทำตัวอย่างไปพร้อมกับครู

ตวั อย่างที่ 10 กำหนด a1 = 3, an = 48 และ Sn = 33 จงหา r และ n

วธิ ที ำ โจทยก์ ำหนดให้ a1 = 3, an = 48 และ Sn = 33

หา r จากสูตร Sn = a1 - anr
1-r
3- 48r
33 = 1 -r

33(1- r) = 3 - 48r

33 - 33r = 3 - 48r

48r - 33r = 3 - 33

15r = -30

หา n จากสูตร r = -2
an = a1rn-1
48 = 3(-2)n-1

16 = (-2)n-1

(-2)4 = (-2)n-1

4=n-1

n=5

ดังนัน้ r = -2 และ n = 5

5.2.4 ครูยกตวั อยา่ งท่ี 11 กำหนด a1 = -56, an = 7 และ n = 6 จงหา r และ Sn
4

- ครูถามนกั เรียนว่าจากตวั อย่างท่ี 11 โจทยต์ อ้ งการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ r และ Sn)

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตวั อยา่ งท่ี 11 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง
7
(แนวคำตอบ a1 = -56, an = 4 และ n = 6)

- ครูถามนักเรียนวา่ จากตัวอย่างที่ 10 สามารถหา r ด้วยวิธีใดได้บา้ ง
(แนวคำตอบ ใชส้ ตู รพจนท์ ัว่ ไปของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 )

- ครถู ามนกั เรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 10 สามารถหา Sn ดว้ ยวธิ ใี ดได้บา้ ง
a1 - anr
(แนวคำตอบ ใช้สูตรอนกุ รมเรขาคณติ Sn = 1-r )

- ครอู ธบิ ายและใหน้ ักเรียนทำตวั อยา่ งไปพรอ้ มกบั ครู

ตัวอย่างที่ 11 กำหนด a1 = -56, an = 7 และ n = 6 จงหา r และ Sn
4
7
วิธีทำ โจทยก์ ำหนดให้ a1 = -56, an = 4 และ n = 6

หา r จากสูตร an = a1rn-1
7 = (-56)r6-1
4
7 =r5
-224
1 = r5
-32

r5 =  - 1 5
2
r=-1
2

หา Sn จากสตู ร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

( )S6= (-56) 1 - - 1 6
1- - 1 2 

( )2

(-56)  1 - 1 
3 64
S6 =

2

S6 = (-56)  63  2 
64 3

S6 = - 147
4
1 147
ดังน้ัน r = - 2 และ S6 = - 4

5.2.5 ครูให้นักเรียนทำใบกิจกรรมที่ 19 โจทย์ปัญหาของอนุกรมเรขาคณิตโดยครูเดินสังเกต

และให้คำปรกึ ษานกั เรยี นเป็นรายบคุ คล

5.2.6 เมอื่ เหลือเวลากอ่ นหมดคาบ 5 นาที ครใู หน้ ักเรยี นรวบรวมใบกจิ กรรมมาส่งทโ่ี ต๊ะครู

5.3 ขน้ั สรุป (5 นาที)

5.3.1 ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่นำมาใช้ในการแก้โจทย์เรื่องลำดับเรขาคณิต ได้แก่สูตร

อนกุ รมเรขาคณติ Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรือ Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ
an คือ พจน์ที่ n
a1 คือ พจน์ที่ 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจนห์ รือลำดบั ท่ีของพจน์
r คือ อตั ราส่วนร่วม

6. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้
6.1 สอ่ื การเรยี นรู้

- สอื่ การสอน PowerPoint โจทย์ปัญหาของอนุกรมเรขาคณิต
- ใบกิจกรรมท่ี 19 โจทยป์ ัญหาของอนกุ รมเรขาคณติ

6.2 แหล่งการเรยี นรู้
-

7. การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

สงิ่ ทีว่ ัด วธิ กี ารวดั เครอ่ื งมอื วัด เกณฑ์การประเมนิ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ พิจารณาความ ใบกจิ กรรมที่ 19 เกณฑก์ ารให้คะแนน :
ดา้ นความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถูกต้องจากการตอบ โจทย์ปัญหาของ ใบกิจกรรมท่ี 19 โจทย์
(K) ใบกจิ กรรมที่ 19 อนกุ รมเรขาคณติ ปญั หาของอนกุ รม
โจทยป์ ญั หาของ เรขาคณิต
1. นักเรยี นสามารถ อนุกรมเรขาคณติ
วิเคราะห์โจทย์ปัญหาเพือ่ แก้ ข้อ 1 - 2
สมการและหาสิ่งทโี่ จทย์ ขอ้ ละ 4 คะแนน โดย
ต้องการได้ ถา้ นักเรยี นสามารถแปล
ความหมายของโจทยไ์ ด้
ถูกต้องครบถ้วน
จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนสามารถแปล
ความหมายของโจทย์ได้
ถกู ต้องบางส่วน
จะได้ 0.5 คะแนน

ส่ิงที่วัด วธิ ีการวดั เคร่ืองมือวดั เกณฑ์การประเมนิ

ดา้ นทักษะและกระบวนการ พจิ ารณาความ ใบกจิ กรรมที่ 19 ถา้ นกั เรียนแสดงวิธที ำ
ทางคณิตศาสตร์ (P) ถกู ต้องจากการตอบ โจทยป์ ัญหาของ ได้ถูกตอ้ งครบถว้ น

1. นกั เรยี นสามารถใช้ ใบกจิ กรรมท่ี 19 อนุกรมเรขาคณิต จะได้ 2 คะแนน
ความรเู้ ก่ยี วกบั อนกุ รม โจทย์ปญั หาของ ถ้านกั เรียนแสดงวิธีทำ
เรขาคณิตในการแก้ปัญหาได้ อนุกรมเรขาคณิต ได้ถกู ต้องมากกวา่ 75%
จะได้ 1.5 คะแนน
ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ พิจารณาจาก แบบประเมนิ ถา้ นักเรยี นแสดงวธิ ที ำ
จดุ ประสงค์ ได้ถกู ต้องมากกว่า 50%
ประสงค์ (A) พฤตกิ รรมหรือความ การเรยี นรู้ จะได้ 1 คะแนน
1. มีวินัย เหมาะสมในการ ถา้ นักเรยี นแสดงวธิ ที ำ
2. ใฝ่เรยี นรู้ แสดงออกของ ได้ถกู ตอ้ งมากกวา่ 25%
จะได้ 0.5 คะแนน
นักเรยี นขณะ ถ้านกั เรียนหาคำตอบได้
ลงมือปฏบิ ัติและ ถกู ตอ้ ง
จะได้ 1 คะแนน
เกณฑก์ ารประเมินผล :
ใบกจิ กรรมท่ี 18 โจทย์
ปัญหาของอนกุ รม
เรขาคณิต ข้อ 1 - 2
ถ้านักเรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 4 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 8 คะแนน ถือ
วา่ ผ่าน

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน :
กำหนดเกณฑก์ ารให้
คะแนนแบบวิเคราะห์
เกณฑ์การประเมินผล :
นักเรียนสามารถใชค้ วามรู้
เก่ยี วกับอนกุ รมเรขาคณติ
ในการแกป้ ญั หาได้

เกณฑ์การใหค้ ะแนน :
พจิ ารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นมคี วามตั้งใจ
และรับผดิ ชอบในการ
ปฏิบตั กิ ิจกรรมท่ไี ด้รบั

ส่ิงทว่ี ัด วธิ กี ารวัด เครอ่ื งมอื วดั เกณฑก์ ารประเมนิ

อภปิ รายเหตผุ ลใน มอบหมายจนสำเรจ็ และ
ถกู ตอ้ งสมบูรณ์ภายใน
การหาคำตอบเปน็ ระยะเวลาที่กำหนด
จะได้ 2 คะแนน
รายบุคคล โดยครู ถา้ นกั เรยี นมคี วามตงั้ ใจ
และรับผิดชอบในการ
เป็นผู้สงั เกต ปฏิบัติกิจกรรมทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมายสำเรจ็ แตม่ ี
ด้านสมรรถนะสำคัญของ พิจารณาจากการ แบบประเมนิ ขอ้ บกพร่องบางสว่ น
ผเู้ รยี น (C) ตอบคำถามของ จุดประสงค์
นกั เรยี น การเรียนรู้ ภายในระยะเวลาท่ีกำหนด
1. นกั เรียนมีความสามารถ จะได้ 1 คะแนน
ถา้ นกั เรียนเอาใจใส่ตอ่ การ
ในการแกป้ ญั หา ปฏิบัติกจิ กรรมทไ่ี ด้รับ
มอบหมายแต่ไม่สำเร็จ
ภายในระยะเวลาทีก่ ำหนด
จะได้ 0 คะแนน
ถา้ นกั เรยี นไมเ่ อาใจใส่ตอ่
การปฏบิ ตั ิกจิ กรรมทีไ่ ด้รบั
มอบหมายไม่สำเรจ็ ภายใน
ระยะเวลาท่ีกำหนด
เกณฑ์การประเมินผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเตม็ 3 คะแนน
ถอื ว่าผา่ น

เกณฑ์การให้คะแนน :
พิจารณารายบุคคล
จะได้ 3 คะแนน

ถา้ นกั เรยี นสามารถ
แก้ปญั หาที่กำหนดไว้โดย
คำนึงถงึ หลกั ของเหตแุ ละ
ผล พรอ้ มตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลของคำตอบ
ได้อยา่ งครบถว้ น
จะได้ 2 คะแนน

ส่งิ ท่วี ัด วธิ กี ารวดั เครื่องมอื วดั เกณฑก์ ารประเมนิ

ถา้ นักเรยี นสามารถ

แก้ปัญหาทีก่ ำหนดไว้โดย

คำนงึ ถึงหลกั ของเหตแุ ละ

ผล พร้อมตรวจสอบความ

สมเหตุสมผลของคำตอบ

ได้บางขอ้

จะได้ 1 คะแนน
ถ้านักเรียนมีความพยายาม

ในการแก้ปัญหา โดย
คำนงึ ถงึ หลกั ของเหตแุ ละ

ผล แตไ่ มส่ ำเรจ็
จะได้ 0 คะแนน
ถ้านกั เรียนไมม่ ีร่องรอย

ของการทำใบกิจกรรม
เกณฑก์ ารประเมนิ ผล :

นกั เรยี น (คนใด) ได้
คะแนน 2 คะแนน จาก
คะแนนเต็ม 3 คะแนน

ถอื วา่ ผ่าน

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 27 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 5
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร4์ (ค 32102) เวลา 30 ชวั่ โมง
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 เร่อื งลำดบั และอนกุ รม เวลา 1 ช่ัวโมง
เร่อื ง โจทย์ปัญหาของอนกุ รมเรขาคณิต (3)
ครผู ู้สอน นางสาววลิ าวลั ย์ ปล้องนริ าศ

***************************************************************************

1. เป้าหมายการเรียนรู้
มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตวั ชี้วดั
สาระท่ี 1 จำนวนและพชี คณติ
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม

และนำไปใช้
ตัวชวี้ ดั
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและนำความรเู้ กยี่ วกบั ลำดับและอนกุ รมไปใช้

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (K)
1. นกั เรียนสามารถวเิ คราะห์โจทยป์ ัญหาเพ่อื แก้สมการและหาสิง่ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการได้
ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
1. นกั เรียนสามารถใช้ความร้เู กย่ี วกบั อนกุ รมเรขาคณิตในการแก้ปญั หาได้
ด้านคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)
1. มีวนิ ัย
2. ใฝเ่ รียนรู้
สมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียน (C)
1. นกั เรียนมีความสามารถในการแกป้ ญั หา

2. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)

ความหมายของอนกุ รมเรขาคณิต

อนกุ รมท่ไี ด้จากลำดับเรขาคณติ เรยี กว่า อนกุ รมเรขาคณิต และอัตราสว่ นรว่ มของลำดับเรขาคณิต

จะเปน็ อตั ราสว่ นร่วมของอนุกรมเรขาคณติ ดว้ ย

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1 หรือ Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

an คอื พจน์ที่ n

a1 คือ พจนท์ ่ี 1 หรอื พจนแ์ รก

n คอื จำนวนพจนห์ รือลำดบั ที่ของพจน์

r คอื อตั ราสว่ นรว่ ม

3. สาระการเรยี นรู้

ทบทวน

ผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) ,r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรอื Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต
an คือ พจน์ที่ n

a1 คอื พจนท์ ่ี 1 หรอื พจน์แรก
n คอื จำนวนพจนห์ รือลำดับที่ของพจน์

r คือ อตั ราสว่ นรว่ ม =-7
2
ตัวอย่างท่ี 12 กำหนด a1 = -2, n = 3 และ Sn จงหา r และ an

วธิ ีทำ โจทย์กำหนดให้ a1 = -2, n = 3 และ Sn = - 7
2

หา r จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

- 7 = (-2)(1 - r3 )
2 1-r

- 7 = (-2)(1 - r)(1+ r + r2 )
2 1-r
- 7 = (-2)(1+ r + r2 )
2

7 = (4)(1+ r + r2 )

7 = 4 + 4r + 4r2
4r2 + 8r - 3 = 0

(2r -1)(2r + 3) = 0 1
3 2
r = - 2 ,

หา an จากสูตร an = a1rn-1

แทนค่า r = - 3 จะได้ a3 = (-2)  − 3 3-1
2 2

a3 = (-2)  − 3 2
2

a3 = (-2)  9 
4
9
a3 = - 2

แทนค่า r= 1 จะได้ a3 = (-2)  1 3-1
2 2

a3 = (-2)  1 2
2

a3 = (-2)  1 
4

a3 = - 1
2
3 1 1 9
ดงั น้นั r = - 2 , 2 และ a3 = - 2 , - 2

ตวั อย่างท่ี 13 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม Sn =1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1
2 4 8 2n-1
1 1 1 1
วิธที ำ จากอนกุ รม Sn =1+ 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1

จะได้ a1 = 1 และ r = 1
2

a1 (1 - r n )
1-r
หา Sn จากสูตร Sn =

( )Sn 1 1 - 1 n
1 
= 2
1
-
2

( )1- 1 n
2
Sn = 1

2

Sn = 2 1 -  1 n 
2 

Sn = 2 - 21-n

ดงั นั้น Sn = 2 - 21-n

ตวั อยา่ งที่ 14 นกั เรียนคนหน่งึ เขยี นจดหมายถึงเพื่อน 2 คน คนละ 1 ฉบบั เม่ือเพ่ือนแต่ละคน

ได้รบั จดหมายแล้ว จะตอ้ งเขยี นจดหมาย 2 ฉบับ สง่ ให้เพื่อนอกี 2 คน คนละ 1 ฉบบั ทำเชน่ นเ้ี รื่อยไป

(1) จงเขยี นแผนภาพตน้ ไม้

(2) จงเขียนอนุกรมของจำนวนจดหมายตัง้ แตเ่ รม่ิ ต้น

2 + 4 + 8 + ...

(3) จงหาจำนวนจดหมายทส่ี ่งถึงครง้ั ที่ n

วิธที ำ โจทย์กำหนดให้ a1 = 2, r = 2

หา Sn จาหสูตร Sn = a1 (rn - 1)
r -1

Sn = 2(2n - 1)
2- 1

Sn = 2n+1 - 2

4. ชน้ิ งาน (รวบยอด)
- ใบกจิ กรรมที่ 20 โจทย์ปัญหาของอนกุ รมเรขาคณติ

5. กจิ กรรมการเรยี นรู้

5.1 ขัน้ นำเข้าสบู่ ทเรียน (5 นาที)

5.1.1 ครูให้นักเรียนทำกิจกรรม “Keywords Dice” เพื่อทบทวนเกี่ยวกับการแปลความโจทย์

ปญั หา โดยใหน้ ักเรียนแบ่งออกเปน็ กล่มุ 5 กลุม่ และครมู ีลกู เตา๋ 2 ลกู โดยลูกท่ี 1 ในแต่ละด้านจะมี Sn an

a1 n d และ Free และลกู ที่ 2 แต่ละดา้ นจะเป็นตัวเลข 1 - 6 โดยมีวธิ กี ารเล่น ดังน้ี

1) ครูให้นักเรียนกลุ่มที่ 1 ส่งตัวแทนออกมา 1 คน และโยนลูกเต๋าลูกที่ 1 จะสุ่มได้ด้านหน่ึง

ออกมา หากเป็น Sn an a1 n และ d ให้นกั เรียนตอบตามท่ีสุม่ ได้ หากได้ Free นกั เรียนสามารถเลือกตัวใด

จาก Sn an a1 n d กไ็ ด้

2) ใหน้ ักเรยี นในกล่มุ ที่ 1 ชว่ ยกันตอบคำในโจทยป์ ัญหาตามทีส่ ่มุ ได้จากลกู เต๋า เช่น หากได้ด้าน

a1 คำตอบ คือ เดอื นแรก วันท่ี 1 เริม่ ตน้ เปน็ ต้น

3) เมอ่ื นักเรยี นกลุม่ ที่ 1 ทายถกู ใหท้ อยลกู เต๋าลกู ที่ 2 เพอื่ ส่มุ คะแนนที่ได้

4) ให้นักเรียนทำกจิ กรรมวนซำ้ ทกุ กล่มุ จนครบเวลา 8 นาที หากกลมุ่ ใดไดค้ ะแนนมากสดุ กลุ่ม

น้ันเปน็ กลุม่ ท่ชี นะ จากน้ันเร่มิ ทบทวนสูตรอนกุ รมเรขาคณิตก่อนเขา้ สู่บทเรียน

5.1.2 ครูทบทวนสตู รอนุกรมเรขาคณติ

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ

Sn = a1 (1 - rn ) , r  1 หรอื Sn = a1 (rn - 1) , r  1 หรือ Sn = a1 - anr ,r  1
(1 - r) r- 1 1-r

โดย Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

an คือ พจน์ที่ n

a1 คือ พจน์ท่ี 1 หรือพจน์แรก

n คือ จำนวนพจน์หรือลำดบั ทข่ี องพจน์

r คอื อัตราส่วนรว่ ม

5.2 ขน้ั กิจกรรมการเรยี นรู้ (40 นาที)

5.2.1 ครูตัวอยา่ งที่ 12 กำหนด a1 = -2, n = 3 และ Sn = - 7 จงหา r และ an
2

- ครถู ามนักเรยี นว่าจากตัวอยา่ งที่ 12 โจทย์ตอ้ งการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ r และ an)

- ครูถามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างที่ 12 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง
7
(แนวคำตอบ a1 = -2, n = 3 และ Sn = - 2 )

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างท่ี 12 สามารถหา r ดว้ ยวธิ ใี ดได้บา้ ง

(แนวคำตอบ ใชส้ ูตรอนกุ รมเรขาคณิต Sn = a1 (1 - rn ) )
1-r

- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งท่ี 12 สามารถหา an ด้วยวธิ ีใดไดบ้ า้ ง
(แนวคำตอบ ใช้สูตรพจน์ทัว่ ไปของลำดับเรขาคณิต an = a1rn-1 )

- ครอู ธบิ ายและใหน้ กั เรยี นทำตัวอย่างไปพรอ้ มกบั ครู
7
ตวั อย่างที่ 12 กำหนด a1 = -2, n = 3 และ Sn = - 2 จงหา r และ an

วิธที ำ โจทยก์ ำหนดให้ a1 = -2, n = 3 และ Sn = - 7
2

a1 (1 - r n )
1-r
หา r จากสูตร Sn =

- 7 = (-2)(1 - r3 )
2 1-r

- 7 = (-2)(1 - r)(1+ r + r2 )
2 1-r
- 7 = (-2)(1+ r + r2 )
2

7 = (4)(1+ r + r2 )

7 = 4 + 4r + 4r2
4r2 + 8r - 3 = 0

(2r -1)(2r + 3) = 0
3 1
r = - 2 , 2

หา an จากสตู ร an = a1rn-1

แทนคา่ r = - 3 จะได้ a3 = (-2)  − 3 3-1
2 2

a3 = (-2)  − 3 2
2

a3 = (-2)  9 
4

a3 = - 9
2

แทนค่า r = 1 จะได้ a3 = (-2)  1 3-1
2 2

a3 = (-2)  1 2
2

a3 = (-2)  1 
4
1
a3 = - 2

ดงั น้ัน r = - 3 , 1 และ a3 = - 1 , - 9
2 2 2 2
1 1 1 1
5.2.2 ครูยกตัวอย่างท่ี 13 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม Sn = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1

- ครถู ามนักเรียนวา่ จากตัวอย่างท่ี 13 โจทยต์ ้องการให้หาอะไร

(แนวคำตอบ ผลบวก n พจนแ์ รก หรอื Sn)

- ครถู ามนกั เรียนว่าจากตัวอย่างที่ 13 โจทยก์ ำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง 1
1 1 1 1 2
(แนวคำตอบ อนกุ รม Sn = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1 ซ่ึงจะได้ a1 = 1 และ r = )

- ครถู ามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งที่ 13 สามารถหาคำตอบด้วยวธิ ใี ดได้บา้ ง

(แนวคำตอบ ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต Sn = a1 (1 - rn ) )
1-r
- ครอู ธบิ ายและให้นกั เรียนทำตวั อยา่ งไปพรอ้ มกบั ครู
1 1 1 1
ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม Sn =1+ 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1

วธิ ีทำ จากอนุกรม Sn =1+ 1 + 1 + 1 + ... + 1
2 4 8 2n-1
1
จะได้ a1 = 1 และ r = 2

หา Sn จากสูตร Sn = a1 (1 - rn )
1-r

( )Sn 1 1 - 1 n
1 
= 2
1
-
2

( )1- 1 n
2
Sn = 1

2

Sn = 2 1 -  1 n 
2 

Sn = 2 - 21-n

ดังนัน้ Sn = 2 - 21-n

5.2.3 ครูยกตัวอย่างที่ 14 นกั เรียนคนหนึ่งเขยี นจดหมายถึงเพ่อื น 2 คน คนละ 1 ฉบับ เมือ่

เพ่ือนแตล่ ะคนได้รบั จดหมายแล้ว จะต้องเขียนจดหมาย 2 ฉบับ ส่งให้เพือ่ นอีก 2 คน คนละ 1 ฉบับ ทำ

เช่นนเี้ รือ่ ยไป

- ครถู ามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 14 นกั เรยี นสามารถแปลความจากโจทยไ์ ด้อยา่ งไร

(แนวคำตอบ เริ่มตน้ ส่งจดหมาย 2 ฉบับถงึ เพื่อน 2 คน จากนน้ั เพอ่ื นแตล่ ะคนสง่ ต่อคนละ 2

ฉบบั ทำวนซำ้ เรือ่ ย ๆ)

- ครูถามนักเรียนว่าจากตัวอยา่ งที่ 14 นักเรยี นสามารถเขียนอนุกรมไดอ้ ย่างไร
(แนวคำตอบ 2 + 4 + 8 + ...)
- ครูถามนกั เรยี นวา่ จากตัวอยา่ งท่ี 14 (3) โจทย์ต้องการใหห้ าอะไร

(แนวคำตอบ Sn)

- ครถู ามนกั เรยี นว่าจากตวั อยา่ งที่ 14 โจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง

(แนวคำตอบ a1 = 2 และ r = 2)

- ครูถามนักเรยี นวา่ จากตัวอยา่ งที่ 14 (3) สามารถหาคำตอบด้วยวิธีใดไดบ้ า้ ง

(แนวคำตอบ ใช้สตู รอนกุ รมเรขาคณติ Sn = a1 (rn - 1) )
r -1
- ครอู ธบิ ายและใหน้ ักเรียนทำตวั อย่างไปพรอ้ มกบั ครู