แผนการจัดการเรียนรู้ ม.5 (ค32101)

แผนการจัดการเรียนร/ูที่ 14

หน4วยการเรียนร/ูท่ี 2 ฟังกช์ นั เรอื่ ง โดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชนั
กลม4ุ สาระการเรยี นรู/ คณติ ศาสตรA
รหัสวชิ า ค32101 รายวชิ าวชิ า คณิตศาสตรAพ้ืนฐาน 3
เวลาเรยี น 50 นาที
ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศกึ ษา 2563 โรงเรยี นมธั ยมวัดเบญจมบพิตร
ผ/ูสอน : นางสาวสุกัญญา สุนทรา

1. มาตรฐานการเรยี นรู/ / ตวั ช้ีวดั / ผลการเรียนร/ู
ค 1.2 ม.5/1 ใชNฟงZ กAชนั และกราฟของฟงZ กชA นั อธบิ ายสถานการณAที่กำหนด

2. จดุ ประสงคกN ารเรียนร/ู
2.1 ด/านพทุ ธิพิสัย (K)

1. นกั เรยี นสามารถบอกความหมายของโดเมนและเรนจไ์ ด้อยา่ งถกู ตอ้ ง
2.2 ด/านทกั ษะพสิ ยั (P)

1. นกั เรยี นสามารถหาโดเมนและเรนจ์จากคู่อันดบั ทกี่ ำหนดให้ไดอ้ ย่างถูกต้อง
2. นกั เรยี นสามารถนำความรเู้ รอื่ งความสัมพนั ธ์มาเชอื่ มโยงกบั การหาโดเมนและเรนจ์ไดอ้ ยา่ ง

ถูกต้อง
2.3 ดา/ นจิตพสิ ัย (A)

1. มีวินัย
2. มงุI ม่ันในการทำงาน
3. ใฝเL รียนรNู

3. สาระสำคญั
ฟงi กชN นั
โดเมนและเรนจขA องฟZงกชA นั

4. สาระการเรยี นร/ู
โดเมนและเรนจขN องฟiงกNชัน

ความสมั พันธ์ r ไดแ้ ก่ (a, d), (b, e), (c, f) จะเห็นวา่ สมาชิกตัวหนา้ ของคู่อนั ดับทัง้ หมดใน r

คอื {a, b, c} เรยี ก สมาชิกตวั หน้าของค่อู นั ดับท้ังหมดในความสมั พนั ธ์ r ว่า โดเมน (Domain) ของ r

สมาชกิ ตวั หลงั ของคู่อันดบั ทัง้ หมดใน r คอื {d, e, f} เรียก สมาชกิ ตัวหลังของคู่อนั ดบั ท้ังหมดใน
ความสัมพนั ธ์ r วา่ เรนจ์ (Range) ของ r

บทนยิ าม กำหนด r เปน็ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B

โดเมนของ r คือ เซตของสมาชกิ ตวั หนา้ ของคอู่ นั ดับใน r เขียนแทนดว้ ย Dr
คือ เซตของสมาชิกตวั หลังของคูอ่ นั ดับใน r เขียนแทนด้วย Rr
เรนจ์ของ r
สามารถเขยี น

เขียน Dr และ Rr ในรูปเซตแบบบอกเง่อื นไขได้ ดังน้ี
• Dr = { x ∈ A ∣ มี y ∈ B ซง่ึ (x, y) ∈ r } กลา่ วไดว้ ่า จะตอ้ งหาค่าของ x ท่ีทำใหม้ ีคา่ ของ y
ดงั นนั้ จึงต้องจัดความสัมพันธใ์ ห้ y อยู่ในรปู ของ x
• Rr = { y ∈ B ∣ มี x ∈ A ซ่ึง (x, y) ∈ r } กลา่ วไดว้ ่า จะต้องหาค่าของ y ทท่ี ำให้มีคา่ ของ x
ดังนนั้ จงึ ตอ้ งจัดความสมั พันธ์ให้ x อยู่ในรปู ของ y

5. สมรรถนะสำคัญของผเู/ รียน R ความสามารถในการคดิ
R ความสามารถในการส่อื สาร £ ความสามารถในการใชทN กั ษะชีวิต
R ความสามารถในการแกNปZญหา

£ ความสามารถในการใชเN ทคโนโลยี

6. คุณลกั ษณะอันพึงประสงคN £ ซ่ือสัตยสA จุ รติ R มีวินัย R ใฝLเรียนรNู
£ รกั ชาติ ศาสนA กษตั ริยA R มIุงม่ันในการทำงาน £ รกั ความเปน/ ไทย
£ อยIูอยIางพอเพียง
£ มีจติ สาธารณะ

7. ด/านคณุ ลกั ษณะของผเู/ รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

R เปน/ เลศิ วชิ าการ £ สื่อสารสองภาษา £ ล้ำหนาN ทางความคิด
£ ผลติ งานอยาI งสรNางสรรคA £ รวI มกันรบั ผดิ ชอบตIอสังคมโลก

8. บรู ณาการตามหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง (อยา4 งน/อย 1 หน4วยการเรยี นร/ู)
1. หลกั ความพอประมาณ : …………………………………………………………………………………………...........….

2. หลักความมเี หตผุ ล : นักเรยี นสามารถนำความรู้เร่ืองความสมั พันธ์มาเชื่อมโยงกบั การหาโดเมน.

และเรนจ์ได้
3. หลักภมู ิคมุN กนั : …………………………………………………………………………………………...........….

4. เง่อื นไขความรูN : นักเรยี นบอกความหมายของโดเมนและเรนจไ์ ด้

5. เงื่อนไขคณุ ธรรม : …………………………………………………………………………………………...............

9. กจิ กรรมการเรยี นการสอน
กระบวนการการจัดการเรยี นรู/
9.1 ขนั้ ที่ 1 ขัน้ นำเข/าสบ4ู ทเรยี น
1. ผสู้ อนกำหนดเรอ่ื งทจ่ี ะสอน ไดแ้ ก่ โดเมนและเรนจขA องฟงZ กAชนั

2. ผู้สอนถามคำถามนักเรียนเพื่อทบทวนความรู้ เรื่อง ความสัมพันธ์และการเขียนกราฟ
ของความสมั พนั ธ์ ดงั นี้
• ความสัมพนั ธ์มีความหมายว่าอยา่ งไร
แนวทางการตอบ ความสมั พันธ์ หมายถึง การจบั ค่รู ะหวา่ งส่ิงสอง
สงิ่ ท่มี ีความสัมพนั ธก์ นั และเขียนอย่ใู นรปู ของคู่
อนั ดบั (a, b)
• กราฟของความสมั พันธ์ r มคี วามหมายวา่ อยา่ งไร
แนวทางการตอบ กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจดุ บน
ระนาบท่แี สดงคอู่ นั ดับท่ีสมาชกิ ของ
ความสมั พันธ์ r

9.2 ขั้นท่ี 2 ขัน้ สอน
3. ผูส้ อนยกตัวอยา่ งความสัมพันธ์ให้นกั เรยี นศึกษา“โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์”
พร้อมท้งั เขียนแผนภาพความสมั พนั ธ์บนกระดานแลว้ ต้งั คำถาม ดังนี้
กำหนด A = { 2, 4, 5 } และ B = { 6, 8, 10 } เปน็ ความสัมพันธ์ “ตวั ประกอบ” จาก
A ไป B กล่าวคือ สมาชิกในเซต A เปน็ ตวั ประกอบของเซต B เชน่
2 เปน็ ตวั ประกอบของ 6, 2 เป็นตวั ประกอบของ 8 และ 2 เปน็ ตวั ประกอบ
ของ 10
4 เป็นตัวประกอบของ 8
5 เปน็ ตัวประกอบของ 10
เขยี นความสมั พนั ธ์ “ตัวประกอบ” ของเซต A และ B โดยใช้แผนภาพแสดง
ความสัมพันธ์ ดงั นี้

26
48
5 10

• จากแผนภาพสามารถเขยี นเปน็ ความสมั พนั ธ์ r เป็นคู่อนั ดับใดได้บา้ ง
แนวทางการตอบ (2, 6) ,(2, 8) ,(2, 10) ,(4, 8) ,(5, 10)

• เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดบั ทั้งหมดใน r มีอะไรบ้าง
แนวทางการตอบ { 2, 4, 5 }

• เซตของสมาชกิ ตัวหลงั ของค่อู ันดบั ทั้งหมดใน r มอี ะไรบา้ ง
แนวทางการตอบ { 6, 8, 10 }

4. ผู้สอนอธบิ ายเกี่ยวกับ โดเมนและเรนจ์ จากตัวอยา่ งข้างต้น
“ เซตของสมาชิกตวั หน้าของคู่อันดับท้งั หมดใน r คอื { 2, 4, 5 } เรียกเซต

ของสมาชิกตวั หนา้ ของคอู่ นั ดับทั้งหมดในความสมั พนั ธ์ r ว่า โดเมน(domain) ของ r

เซตของสมาชิกตัวหลงั ของคอู่ นั ดับทั้งหมดใน r คือ { 6, 8, 10 } เรยี กเซต

ของสมาชกิ ตัวหลงั ของคูอ่ นั ดับทงั้ หมดในความสมั พนั ธ์ r วา่ เรนจ์(range) ของ r ”
5. ผูส้ อนและนักเรยี นรว่ มกนั สรปุ บทนิยาม และเขยี นโดเมนและเรนจ์ในรูปเซตแบบ

บอกเงอื่ นไข

บทนยิ าม กำหนด r เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B

โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตวั หน้าของคูอ่ ันดบั ใน r

เขยี นแทนด้วย Dr
เรนจข์ อง r คือ เซตของสมาชกิ ตัวหลังของคู่อนั ดับใน r

เขยี นแทนด้วย Rr
สามารถเขียน
สามารถเขียน Dr และ Rr ในรูปเซตแบบบอกเงอ่ื นไขได้ ดังน้ี
• Dr = { x ∈ A ∣ มี y ∈ B ซง่ึ (x, y) ∈ r } กล่าวไดว้ ่า จะต้องหาคา่ ของ x ทท่ี ำ
ใหม้ ีคา่ ของ y ดังน้นั จงึ ต้องจัดความสมั พนั ธใ์ ห้ y อย่ใู นรปู ของ x
• Rr = { y ∈ B ∣ มี x ∈ A ซึง่ (x, y) ∈ r } กล่าวได้วา่ จะต้องหาคา่ ของ y ทีท่ ำ
ใหม้ คี า่ ของ x ดงั นน้ั จงึ ต้องจัดความสัมพนั ธ์ให้ x อยใู่ นรูปของ y

6. ผู้สอนให้นกั เรียนศกึ ษาตวั อย่างท่ี 1 ถึง 3 จากจากเอกสารประกอยการเรียน เรือ่ ง

โดเมนของความสมั พันธ์

1. ให้หาความสัมพันธแ์ ละเรนจ์ของความสมั พันธ์ r = { (1, -1),(2, -2),

(3, -3),(4, -4) }

วิธที ำ จากบทนิยาม โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตวั หน้าของคอู่ ันดบั

ใน r เขียนแทนดว้ ย Dr และ เรนจข์ อง r คอื เซตของสมาชิกตัวหลัง
ของคอู่ นั ดบั ใน r เขยี นแทนด้วย เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชกิ ตัว

หลงั ของคู่อันดับใน r เขยี นแทนดว้ ย Rr

ดงั นั้น Dr = { 1, 2, 3, 4 } และ Rr = { -1, -2, -3, -4 }
2. กำหนด r = { (x, y) ∈ I x I ∣ 2x + 3y = 6 } ให้หาโดเมนและเรนจข์ อง r

วธิ ีทำ หาโดเมนของความสัมพันธ์

จาก 2x + 3y = 6 จัดตวั แปร y ให้อยใู่ นรูปของ x
6 - 2x
จะได้ y = 3

เเนปอ่ื็นงตจวั าปกรyะ23=กx อต2บ้อ-งโ2เด3ปxยน็ คจ่าำขนอวงนxเตเป็มน็ แแสบดบงรวูป่าขxองเปจำ็นนจวำนนทวน่เี พเตื่อ็มขทึน้ มี่คีร3้ัง

ละ 3 คือ … , -6 , -3 , 0 , 3 , 6 , …
ดงั นั้น Dr = { x ∣ x ∈ I และมี 3 เปน็ ตวั ประกอบ

หรือ Dr = { … , -6 , -3 , 0 , 3 , 6 , … }
หาเรนจ์ของความสมั พนั ธ์

จาก 2x + 3y = 6 จดั ตวั แปร x ให้อยู่ในรูปของ y
เเจปนะ่อื็นไดงตจ้วั าปกรxxะ32==กy อต63บ ้อ-2 -3งโy3เด2ปyยน็ คจา่ ำขนอวงนyเตเปม็ น็ แแสบดบงรวปู่าขyองเปจำน็ นจวำนนทวนี่เพเตือ่ ม็ขทนึ้ ่ีมคีร3ง้ั

ละ 2 คอื … , -4 , -2 , 0 , 2 , 4 , …
ดังน้ัน Rr = { y ∣ y ∈ I และมี 2 เป็นตัวประกอบ

หรอื Rr = { … , -4 , -2 , 0 , 2 , 4 , … }
3. กำหนด r = { (x, y) ∈ R x R ∣ 2x + 3y = 6 } ให้หาโดเมนและเรนจ์

ของ r

วิธีทำ หาโดเมนของความสัมพันธ์

จาก 2x + 3y = 6 จดั ตวั แปร y ใหอ้ ยูใ่ นรูปของ x
6 - 2x
จะได้ y =
y = 2 3 2x 2x
3 3
เนอ่ื งจาก -

y = 2 - จะพบว่า x เปน็ จำนวนใด ๆ

ดังนน้ั Dr = R
หาเรนจ์ของความสมั พนั ธ์

จาก 2x + 3y = 6 จัดตวั แปร x ใหอ้ ยู่ในรูปของ y
6 - 3y
จะได้ x =
x = 3 2 3y 3y
2 2
เนอ่ื งจาก -

x = 3 - จะพบวา่ y เป็นจำนวนใด ๆ

ดงั นน้ั Rr = R

2. ผูส้ อนตัง้ ขอ้ สังเกตวา่ ในตวั อย่างที่ 2 และ 3 การหาโดเมนของความสัมพนั ธ์ r จะตอ้ ง

หาค่าของ x ท่ีทำใหม้ ีคา่ ของ y ดงั น้ัน จงึ ต้องจดั ความสัมพันธ์ให้ y อย่ใู นรปู ของ x

และการหาเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r จะต้องหาคา่ ของ y ท่ีทำใหม้ ีคา่ ของ x ดงั นัน้ จึง

ตอ้ งจดั ความสัมพนั ธใ์ ห้ x อย่ใู นรูปของ y

3. ผู้สอนใหน้ กั เรียนศกึ ษาตัวอย่างที่ 4 จากจากเอกสารประกอยการเรียน เรือ่ ง โดเมน

ของความสมั พันธ์rห=าโ{ด(เxม,นyข) อ∣งyค=วา29มxx ส +- ัม 11พ}นั ใหธ์ห้ าโดเมนและเรนจ์ของ

4. กำหนด r
วธิ ที ำ
เจศาษกสy่วน=จ2ะ9xxไ ม+- น่11ิยเปมเ็นมเ่อืศตษวัสส่ว่วนนทเมี่ปีต็นวัศสนู ว่ ยน์ เปนน็ั่นพคหือนุ า9มxกำ–ลงั 1หนตึ่งอ้ แงลไมะ่

เท่ากับศนู ย์

จะได้ 9x – 1 ≠ 0
หดังานเรั้นนจ์ขDอr ง=คว{xาx≠ม∣ส91xัมพ≠นั 19ธ์
} หรือ Dr = R - { 1 }
9

จาก y =y29(x9x +x- 11–จ1ัด)ต=วั แ2ปxร+x1ในรปู ของ y
จะได้

9xy – y = 2x + 1

9xy – 2x = y + 1

(9y – 2)x = y + 1
เน่ืองจาก x = 9yy + x- 12=เ9ปyy น็+ - เ12ศษส่วนทม่ี ีตวั สว่ นเปน็ พหุนามกำลังหนึ่ง
และเศษส่วนจะไม่นิยามเมือ่ ตวั สว่ นเป็นศนู ย์ น่ันคอื 9y – 2 ต้องไม่

เทา่ กบั ศูนย์

จะได้ 9y – 2 ≠ 0
2
4. y≠ r คา่
ดงั นั้น Rr = { y ∣ ก9yาร≠หา92โ}ดเหมรนือแRลrะเ=รนRจ-ข์ {อง92ค}วามสัมพนั ธ์
ผสู้ อนตง้ั ข้อสงั เกตวา่ ในตวั อย่างที่ 4

ของ x และ y อย่ใู นรูป เศษสว่ นท่ีมตี ัวสว่ นเปน็ พหุนามกำลงั หนึง่ และจะไม่นยิ ามเม่ือ

ตัวส่วนเป็นศนู ย์ ดงั น้นั ตัวส่วนตอ้ งไม่เท่ากับศนู ย์

5. ผ้สู อนใหน้ กั เรียนศึกษาตัวอยา่ งที่ 5 จากจากเอกสารประกอยการเรียน เรอื่ ง โดเมน
ของความสัมพันธ์
5. กำหนด r = { (x, y) ∣ y = |x| } ให้หาโดเมนและเรนจข์ อง r
วิธที ำ หาโดเมนของความสมั พันธ์
เนือ่ งจาก |x| เปน็ การกำหนดค่าสมั บูรณ์ ซึ่งจำนวนในคา่ สมั บูรณ์
เปน็ จำนวนจริงใด ๆ
ดงั นน้ั Dr = { x ∣ x ∈ R } หรือ Dr = R
หาเรนจ์ของความสัมพนั ธ์
เน่ืองจาก y = |x| และ |x| มีค่ามากกวา่ หรอื เทา่ กับศูนย์ทกุ
จำนวนจริง x ใด ๆ
ดงั นน้ั Rr = { y ∣ y ≥ 0 } หรอื Rr = [0, ∞)

6. ผสู้ อนตัง้ ขอ้ สงั เกตในตัวอย่างที่ 5 จำนวนในค่าสมั บูรณเ์ ป็นจำนวนจริงใด ๆ และค่า
สมั บูรณจ์ ะมีค่ามากกวา่ หรอื เท่ากบั ศูนยเ์ สมอ

7. ผู้สอนใหน้ กั เรียนศกึ ษาตวั อย่างท่ี 6 จากจากเอกสารประกอยการเรียน เรื่อง โดเมน
ของความสมั พนั ธ์

6. กำหนด r = { (x, y) ∣ y = √4 - x2 } ใหห้ าโดเมนและเรนจข์ อง r
วิธที ำ หาโดเมนของความสมั พันธ์

เนอื่ งจาก √4 - x2 เปน็ การกำหนดคา่ รากที่สอง ซง่ึ จำนวนในราก
ท่สี อง ตอ้ งไมเ่ ปน็ จำนวนลบ
ดังนัน้ 4 - x2 ≥ 0
จะได้ x2 - 4 ≤ 0

(x – 2)(x + 2) ≤ 0
เซตคำตอบของอสมการ คือ { x ∣ -2 ≤ x ≤ 0 } หรอื [-2, 2]
ดงั นัน้ Dr = { x ∣ -2 ≤ x ≤ 0 } หรอื Dr = [-2, 2]
หาเรนจข์ องความสัมพันธ์
จดั ตวั แปร x ในรูปของ y ซ่งึ ต้องยกกำลังทั้งสองข้างของสมการ

จาก y = √4 - x2 และ y ≥ 0
จะได้ y2 = 4 - x2

x2 = 4 - y2
x = ±√4- y2
ดงั น้นั 4 - y2 ≥ 0 และ y ≥ 0

จะได้ y2 - 4 ≤ 0

(y – 2)(y + 2) ≤ 0 และ y ≥ 0
เซตคำตอบของอสมการ คือ { y ∣ 0 ≤ y ≤ 2 } หรือ [0, 2]
ดงั นนั้ Rr = { y ∣ 0 ≤ x ≤ 2 } หรอื Rr = [0, 2]
8. ผูส้ อนต้งั ข้อสงั เกตในตัวอย่างที่ 6 การหาโดเมนของความสมั พนั ธ์ r คา่ ของ x อยใู่ น
รปู ค่ารากท่สี องซง่ึ จำนวนในรากทีส่ องต้องไมเ่ ปน็ จำนวนลบดังน้นั จำนวนในรากจึง
ตอ้ งมากกว่าหรอื เท่ากบั ศูนย์และการหาเรนจ์ของความสมั พันธ์ r จะตอ้ งหาค่าของ y
ดงั นั้นจงึ ต้องจัดความสมั พนั ธใ์ ห้ x อยูใ่ นรูปของ y เน่ืองจากคา่ ของ y อยู่ในรปู คา่ ราก
ทส่ี อง ซง่ึ ตอ้ งยกกำลังสองทงั้ สองขา้ งของสมการ

9.3 ข้ันที่ 3 ขั้นสรปุ
9. ผู้สอนถามคำถามนกั เรยี น เพ่อื สรุปความรู้ เร่อื ง โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ดังนี้
กำหนด r เปน็ ความสมพั นั ธจ์ าก A ไป B
• โดเมนของ r มีความหมายว่าอยา่ งไร

แนวทางการตอบ โดเมนของ r คือ สมาชกิ ตวั หน้าของคู่อนั ดบั
ทั้งหมดในความสัมพนั ธ์ r

• เรนจข์ อง r มคี วามหมายว่าอยา่ งไร

แนวทางการตอบ เรนจ์ของ r คอื สมาชิกตัวหลงั ของคูอ่ ันดบั

ท้งั หมดในความสมั พนั ธ์ r
10. ผู้สอนมอบหมาย “ลองทำด”ู ในเอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง โดเมนและเรจน์

ของความสมั พนั ธ์ ใหNนักเรยี นทำเปน/ การบNาน

11. ผู้สอนมอบหมายแบบฝกึ ทักษะท่ี 2.3 ข้อท่ี 1 ให้นกั เรียนทำเป็นการบา้ น

10. ชิ้นงาน/ภาระงาน
10.1 แบบฝกh ทกั ษะที่ 2.3 เรอื่ ง โดเมนและเรจน์ของความสัมพันธ์
10.2 เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง โดเมนและเรจน์ของความสัมพันธ์

11. ส่อื การสอน/แหล4งเรยี นร/ู
1. สอ่ื การสอน
1. แบบฝกh ทกั ษะท่ี 2.3 เร่ือง โดเมนและเรจน์ของความสมั พันธ์

2. แหลง4 เรียนรู/
1. หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตรA ชั้นมัธยมศึกษาปทj ่ี 5
2. เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง โดเมนและเรจน์ของความสมั พนั ธ์

12. การวัดและประเมนิ ผล

เป้าหมายการเรยี นรู้ วิธกี ารวดั เครอื่ งมอื วัด เกณฑก์ ารประเมนิ
1. ข้อคำถาม
ด้านความรู้ (K) 1. สงั เกตพฤตกิ รรมใน 1. บอกความหมายของ
1. นักเรียนสามารถบอกความหมาย การตอบคำถามของ โดเมนและเรนจ์ได้
นกั เรยี น อย่างถกู ตอ้ ง
ของโดเมนและเรนจไ์ ด้อย่าง
ถูกต้อง

2. การตรวจแบบฝกึ 2. แบบฝกึ ทักษะที่

ทกั ษะที่ 2.3 2.3

ด้านทักษะ (P) 1. การตรวจแบบฝกึ 1. แบบฝกึ ทักษะที่ 1. ได้คะแนนมากกวา่
1. นักเรียนสามารถหาโดเมน ทักษะที่ 2.3 2.3 รอ้ ยละ 60 ขนึ้ ไป

และเรนจจ์ ากคอู่ ันดบั ท่ี 1. สังเกตพฤตกิ รรมใน 1. การมสี ่วนรว่ มใน 1. นักเรียนมคี วามมงุ่ มัน่
กำหนดให้ไดอ้ ย่างถกู ต้อง การตอบคำถามและ การตอบคำถาม ในการทำงาน ใฝ่
2. นักเรียนสามารถนำความรเู้ รอื่ ง การปฏบิ ตั ิกิจกรรม และกิจกรรมในชัน้ เรียนรู้
ความสัมพันธม์ าเชื่อมโยงกับการ ของนกั เรยี น เรียน
หาโดเมนและเรนจ์ไดอ้ ยา่ ง
ถูกตอ้ ง

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
1. นักเรยี นมคี วามมุ่งมนั่ ในการ

ทำงาน ใฝ่เรียนรู้ และมคี วาม
รบั ผดิ ชอบต่องานทีไ่ ดร้ ับ
มอบหมาย

2. การตรวจแบบฝกึ 2. แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2. นักเรียนส่งงานที่ได้รับ
ทักษะท่ี 2.3 2.3
มอบหมายตรงตาม
ระยะเวลาทกี่ ำหนด

บันทึกหลังการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

รหัสวิชา ค32101 รายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน 3 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5
วนั ที่ วันท่ี 21 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนหอ้ ง 233 เวลา 08.30 – 09.20
วันท่ี วันท่ี 21 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใช้สอนห้อง 332 เวลา 09.20 – 10.10
วนั ท่ี วนั ที่ 21 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนหอ้ ง 534 เวลา 11.00 – 11.50
วันท่ี วันท่ี 21 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนหอ้ ง 321 เวลา 14.20 – 15.10

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถบอกความหมายของโดเมนและเรนจ์ได้ พรอ้ มทงั้ สามารถหาโดเมนและเรนจ์จากคู่

อนั ดบั ทีก่ ำหนดให้ได้ มกี ารประยุกต์ความรเู้ รอื่ งความสมั พนั ธ์มาเชอ่ื มโยงกับการหาโดเมนและเรนจ์ได้อย่าง
ถกู ต้อง
2. ปัญหา อปุ สรรค

นักเรยี นบางคนยังคงสับสนระหว่างโดเมนและเรนจ์ว่าเปน็ สมาชิกตัวหน้าหรอื สมาชกิ ตวั หลงั ของคู่
อนั ดบั ทั้งหลายในความสัมพันธ์ และไม่สามารถหาโดเมนและเรนจจ์ ากคูอ่ ันดับท่ีกำหนดให้ได้
3. ขอ้ เสนอแนะ / แนวทางแกไ้ ข

ผสู้ อนเน้นย้ำถึงโดเมนและเรนจ์วา่ เซตของสมาชกิ ตัวหน้าของทกุ คู่อันดับวา่ โดเมน และเซตของ
สมาชกิ ตัวหลงั ของทกุ คอู่ นั ดับวา่ เรนจ์ และให้นกั เรยี นจบั คูท่ ำกจิ กรรมเสรมิ

ลงช่ือ...................................................................ผสู้ อน
(นางสาวสุกัญญา สุนทรา)
................/................./.................

ความเหน็ ของอาจารย์พเ่ี ล้ียง
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชื่อ............................................................
( นายคเณศ สมตระกลู )

ครูประจำกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร

ความเห็นของอาจารย์นเิ ทศ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงช่ือ............................................................
( นางชนิสรา เมธภทั รหริ ญั )

อาจารยป์ ระจำหลกั สตู รคณติ ศาสตร์ มหาวิทยาลัยสวนดสุ ิต
ความเห็นของรองผู้อำนวยการกลุ่มบรหิ ารวชิ าการ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ............................................................
( นายชนม์นธิ ศิ เท่ยี งภิญญานันท์ )

ครปู ฏิบัติหนา้ ท่ี รองผู้อำนวยการโรงเรียนกลุ่มบริหารวชิ าการ
ความเหน็ ของผอู้ ำนวยการสถานศกึ ษา
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ............................................................
( นางปณั ฑารยี ์ บุญแรง )

ผอู้ ำนวยการโรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพิตร

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

คำช้แี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด üลงในชอ่ งท่ี
ตรงกบั ระดับคะแนน

ลำดบั ท่ี รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

1 การแสดงความคดิ เหน็ ££££

2 การยอมรบั ฟงั ความคดิ เหน็ ของผอู้ ื่น ££££

3 การทำงานตามหน้าท่ีทีไ่ ด้รับมอบหมาย £ £ £ £

4 ความมนี ำ้ ใจ ££££

5 การตรงต่อเวลา ££££

รวม

ลงชื่อ.......................................................................ผู้ประเมิน
............../.................../................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสมำ่ เสมอ ให้ 4 คะแนน

ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบอ่ ยครัง้ ให้ 3 คะแนน

ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบางครัง้ ให้ 2 คะแนน
1 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมนอ้ ยครงั้ ให้

เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ ระดับคุณภาพ
ชว่ งคะแนน ดมี าก
18 - 20 ดี
14 - 17 พอใช้
10 - 13 ปรบั ปรงุ
ต่ำกวา่ 10

สรปุ ผลการประเมิน

£ ดมี าก ¨ ดี ¨ พอใช้ ¨ ปรบั ปรุง

แผนการจัดการเรียนรทู/ ่ี 15

หน4วยการเรียนร/ูท่ี 2 ฟังกช์ นั เรื่อง โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ัน
กลุม4 สาระการเรยี นรู/ คณติ ศาสตรA
รหัสวชิ า ค32101 รายวิชาวิชา คณิตศาสตรAพนื้ ฐาน 3
เวลาเรียน 50 นาที
ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศึกษา 2563 โรงเรยี นมธั ยมวัดเบญจมบพิตร
ผ/ูสอน : นางสาวสุกัญญา สุนทรา

1. มาตรฐานการเรยี นรู/ / ตวั ช้ีวดั / ผลการเรียนร/ู
ค 1.2 ม.5/1 ใชNฟงZ กAชนั และกราฟของฟZงกAชนั อธบิ ายสถานการณทA ่ีกำหนด

2. จดุ ประสงคกN ารเรียนร/ู
2.1 ด/านพทุ ธิพิสัย (K)

1. นกั เรยี นสามารถบอกความหมายของโดเมนและเรนจ์ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง
2.2 ด/านทกั ษะพสิ ยั (P)

1. นกั เรยี นสามารถหาโดเมนและเรนจจ์ ากค่อู ันดับท่ีกำหนดให้ไดอ้ ย่างถกู ต้อง
2. นกั เรยี นสามารถนำความรูเ้ รือ่ งความสมั พนั ธม์ าเชื่อมโยงกับการหาโดเมนและเรนจ์ได้อย่าง

ถูกต้อง
2.3 ดา/ นจิตพสิ ัย (A)

1. มีวินัย
2. มงุI ม่ันในการทำงาน
3. ใฝเL รียนรNู

3. สาระสำคญั
ฟงi กชN นั
โดเมนและเรนจขA องฟZงกชA นั

4. สาระการเรยี นร/ู
โดเมนและเรนจขN องฟiงกNชัน

ความสมั พันธ์ r ไดแ้ ก่ (a, d), (b, e), (c, f) จะเหน็ วา่ สมาชิกตวั หน้าของคู่อนั ดับทัง้ หมดใน r

คอื {a, b, c} เรยี ก สมาชิกตวั หน้าของคอู่ นั ดบั ท้งั หมดในความสัมพันธ์ r วา่ โดเมน (Domain) ของ r

สมาชกิ ตวั หลงั ของคูอ่ นั ดับทั้งหมดใน r คอื {d, e, f} เรียก สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมดใน
ความสัมพนั ธ์ r วา่ เรนจ์ (Range) ของ r

บทนยิ าม กำหนด r เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B

โดเมนของ r คอื เซตของสมาชิกตัวหน้าของคอู่ นั ดบั ใน r เขยี นแทนด้วย Dr
คือ เซตของสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ ันดบั ใน r เขียนแทนด้วย Rr
เรนจ์ของ r
สามารถเขยี น

เขียน Dr และ Rr ในรปู เซตแบบบอกเง่ือนไขได้ ดังน้ี
• Dr = { x ∈ A ∣ มี y ∈ B ซึง่ (x, y) ∈ r } กลา่ วได้วา่ จะตอ้ งหาคา่ ของ x ที่ทำให้มีค่าของ y
ดังนน้ั จึงตอ้ งจัดความสมั พันธ์ให้ y อยูใ่ นรูปของ x
• Rr = { y ∈ B ∣ มี x ∈ A ซง่ึ (x, y) ∈ r } กลา่ วไดว้ ่า จะตอ้ งหาค่าของ y ทท่ี ำใหม้ คี า่ ของ x
ดงั นั้น จึงตอ้ งจดั ความสมั พันธใ์ ห้ x อยู่ในรูปของ y

5. สมรรถนะสำคญั ของผู/เรียน

R ความสามารถในการส่อื สาร R ความสามารถในการคิด
R ความสามารถในการแกNปZญหา £ ความสามารถในการใชทN ักษะชวี ิต

£ ความสามารถในการใชเN ทคโนโลยี

6. คุณลักษณะอนั พึงประสงคN £ ซอ่ื สตั ยสA จุ ริต R มวี นิ ยั R ใฝเL รียนรNู
£ รกั ชาติ ศาสนA กษตั ริยA R มงIุ มั่นในการทำงาน £ รกั ความเปน/ ไทย
£ อยIูอยาI งพอเพียง
£ มจี ติ สาธารณะ

7. ด/านคณุ ลกั ษณะของผู/เรียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล

R เปน/ เลศิ วชิ าการ £ ส่อื สารสองภาษา £ ล้ำหนNาทางความคดิ
£ ผลิตงานอยIางสรNางสรรคA £ รIวมกันรับผิดชอบตIอสังคมโลก

8. บูรณาการตามหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (อย4างนอ/ ย 1 หน4วยการเรยี นร)ู/
1. หลักความพอประมาณ : …………………………………………………………………………………………...........….

2. หลกั ความมเี หตุผล : นักเรยี นสามารถนำความรูเ้ รอ่ื งความสัมพันธ์มาเช่อื มโยงกบั การหาโดเมน.

3. หลักภูมิคมุN กนั และเรนจ์ได้
: …………………………………………………………………………………………...........….

4. เง่ือนไขความรูN : นักเรยี นบอกความหมายของโดเมนและเรนจ์ได้

5. เงอื่ นไขคุณธรรม : …………………………………………………………………………………………...............

9. กิจกรรมการเรียนการสอน
กระบวนการการจัดการเรียนร/ู
9.1 ขน้ั ที่ 1 ขน้ั นำเขา/ ส4บู ทเรียน

1. ผู้สอนกำหนดเรื่องที่จะสอน ได้แก่ การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ท่ี
กำหนดด้วยกราฟ

2. ผูส้ อนถามคำถามนักเรียนเพ่ือทบทวนความรู้ เรอื่ ง โดเมนและเรนจAของฟZงกAชนั ดงั น้ี
กำหนด r เปน็ ความสมัพันธจ์ าก A ไป B
• โดเมนของ r มคี วามหมายว่าอยา่ งไร

แนวทางการตอบ โดเมนของ r คอื สมาชกิ ตัวหนา้ ของคู่อนั ดับ
ท้งั หมดในความสัมพันธ์ r

• เรนจข์ อง r มคี วามหมายวา่ อย่างไร

แนวทางการตอบ เรนจ์ของ r คอื สมาชกิ ตวั หลงั ของคู่อนั ดบั
ท้ังหมดในความสัมพนั ธ์ r

9.2 ขั้นที่ 2 ขน้ั สอน

3. ผู้สอนให้นักเรยี นศึกษาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ท่ีกำหนดด้วยกราฟใน

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั พร้อมท้ังรว่ มกันสรุป

เก่ียวกับการหาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธ์ทกี่ ำหนดด้วยกราฟ ดังน้ี

• การหาโดเมน จะพิจารณาตามแนวแกน X จากทางด้านซา้ ยไปทางด้านขวา

ว่า เส้นกราฟเริม่ ตน้ จากจำนวนใดไปยังจำนวนใด

• การหาเรนจ์ จะพจิ ารณาตามแนวแกน Y จากดา้ นลา่ งข้นึ ด้านบนว่า

เส้นกราฟเริม่ ตน้ จากจำนวนใดไปจำนวนใด

จุดบนกราฟมี 2 ลักษณะ ดงั น้ี

• ถา้ บนเส้นกราฟมจี ุดโปรง่ แสดงว่า ไมม่ ีจุดอยู่บนกราฟ

• ถา้ บนเส้นกราฟมจี ดุ ทึบ แสดงว่า มีจดุ อยู่บนกราฟ

4. ผสู้ อนใหน้ ักเรยี นศกึ ษาตัวอย่างท่ี 7 จากเอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง โดเมน

และเรนจ์ของฟงั ก์ชนั

พจิ ารณาความสมั พันธ์ของกราฟต่อไปน้ี

Dr = [ -3, 3 ] Dr = [ -3, 3 ] Dr = R – { 0 } Dr = R
Rr = [ -2, 2 ] Rr = [ -3, 3 ] Rr = R – { 0 } Rr = [ 0, ∞)

Dr = [ 0, ∞) Dr = R Dr = R – { 0 } Dr = (-∞, -2] ∪ [ 2, ∞ )
Rr = [ 0, ∞) Rr = [ -2, 2 ] Rr = { -2, 1 } Rr = [ 0, ∞)

Dr = ( -3, 2 ) Dr = [ 0, ∞ ) Dr = R Dr = [ -1, 3 )
Rr = [ -2, 2 ) Rr = R Rr = R Rr = ( 1, 3 ]

Dr = R Dr = R Dr = R – { 0 } Dr = [ -1, 3 )
Rr = R Rr = ( 0, ∞ ) Rr = R – { 2 } Rr = ( 1, 3 ]

5. ผู้สอนให้นักเรียนจับคู่กันปฏิบัตกิ จิ กรรมเสรมิ โดยใช้โปรแกรม GeoGebar ในการ

เขยี นกราฟความสัมพนั ธ์และหาความสมั พนั ธ์ทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี

1. ใหน้ ักเรียนจับคู่ แล้วใช้โปรแกรม GeoGebar หรอื โปรแกรมอื่น ๆ ในการ

เขียนกราฟของความสมั พันธ์ที่กำหนดให้ต่อไปน้ี

• x2 + y2 = 4
• x2 - y2 = 9
• y2 = 4x - 5
y = 10
• x

• y= √x - 4
• y= |x - 5| + 1
2. ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธ์จากข้อท่ี 1

9.3 ขน้ั ท่ี 3 ขน้ั สรุป
12. ผ้สู อนถามคำถามนักเรียน เพ่อื สรุปความรู้ เรอ่ื ง การหาโดเมนและเรนจ์ของ
ความสัมพันธท์ ่กี ำหนดด้วยกราฟ ดังน้ี

กำหนด r เปน็ ความสมพั ันธ์จาก A ไป B
• โดเมนของ r มคี วามหมายวา่ อย่างไร

แนวทางการตอบ โดเมนของ r คอื สมาชิกตัวหนา้ ของคอู่ นั ดับ
ท้ังหมดในความสมั พนั ธ์ r

• เรนจ์ของ r มีความหมายวา่ อย่างไร

แนวทางการตอบ เรนจข์ อง r คือ สมาชกิ ตัวหลังของคู่อนั ดบั
ทง้ั หมดในความสัมพนั ธ์ r

• นักเรยี นสามารถหาโดเมนของความสัมพันธท์ ่ีกำหนดด้วยกราฟได้อย่างไร

แนวทางการตอบ การหาโดเมน จะพิจารณาตามแนวแกน x จาก
ทางดา้ นซา้ ยไปทางด้านขวาว่า เส้นกราฟเร่มิ ต้น

จากจำนวนใดไปยงั จำนวนใด

• นกั เรียนสามารถหาเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ทีก่ ำหนดดว้ ยกราฟได้อยา่ งไร

แนวทางการตอบ การหาเรนจ์ จะพิจารณาตามแนวแกน Y จาก
ทางด้านล่างข้ึนดา้ นบนวา่ เส้นกราฟเร่ิมตน้ จาก
จำนวนใดไปยงั จำนวนใด

13. ผ้สู อนมอบหมายแบบฝึกทกั ษะท่ี 2.3 ขอ้ ที่ 2 ให้นักเรียนทำเป็นการบ้าน

10. ชิ้นงาน/ภาระงาน
10.1 แบบฝhกทักษะท่ี 2.3 เรอื่ ง โดเมนและเรจนข์ องความสมั พนั ธ์
10.2 เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง โดเมนและเรจนข์ องความสัมพันธ์

11. สือ่ การสอน/แหลง4 เรียนร/ู
1. ส่ือการสอน
1. แบบฝhกทกั ษะท่ี 2.3 เรอ่ื ง โดเมนและเรจน์ของความสมั พนั ธ์
2. โปรแกรม GeoGebar

2. แหล4งเรยี นร/ู
1. หนงั สือเรียนรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตรA ชั้นมธั ยมศกึ ษาปjท่ี 5
2. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง โดเมนและเรจน์ของความสัมพนั ธ์

12. การวัดและประเมินผล

เป้าหมายการเรียนรู้ วิธกี ารวัด เคร่ืองมือวัด เกณฑ์การประเมิน
1. ขอ้ คำถาม
ดา้ นความรู้ (K) 1. สังเกตพฤติกรรมใน 1. บอกความหมายของ
1. นักเรียนสามารถบอกความหมาย การตอบคำถามของ โดเมนและเรนจ์ได้
นักเรียน อยา่ งถกู ต้อง
ของโดเมนและเรนจไ์ ด้อย่าง
ถูกต้อง

2. การตรวจแบบฝึก 2. แบบฝกึ ทักษะท่ี

ทกั ษะท่ี 2.3 2.3

ด้านทกั ษะ (P) 1. การตรวจแบบฝกึ 1. แบบฝกึ ทักษะที่ 1. ได้คะแนนมากกว่า
1. นักเรยี นสามารถหาโดเมน ทกั ษะท่ี 2.3 2.3 รอ้ ยละ 60 ขึ้นไป

และเรนจ์จากคู่อันดับท่ี 1. สงั เกตพฤตกิ รรมใน 1. การมสี ว่ นร่วมใน 1. นักเรียนมคี วามม่งุ มัน่
กำหนดให้ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง การตอบคำถามและ การตอบคำถาม ในการทำงาน ใฝ่
2. นกั เรียนสามารถนำความรเู้ รอ่ื ง การปฏบิ ตั ิกจิ กรรม และกิจกรรมในช้ัน เรยี นรู้
ความสัมพนั ธม์ าเชือ่ มโยงกับการ ของนกั เรยี น เรยี น
หาโดเมนและเรนจ์ไดอ้ ย่าง
ถูกต้อง

ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
1. นกั เรยี นมีความมงุ่ มน่ั ในการ

ทำงาน ใฝเ่ รยี นรู้ และมคี วาม
รบั ผดิ ชอบตอ่ งานที่ได้รับ
มอบหมาย

2. การตรวจแบบฝึก 2. แบบฝึกทักษะที่ 2. นักเรียนส่งงานที่ได้รบั
ทักษะที่ 2.3 2.3
มอบหมายตรงตาม
ระยะเวลาทกี่ ำหนด

บันทึกหลังการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้

รหัสวิชา ค32101 รายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 3 ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5
วนั ที่ วนั ท่ี 24 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใช้สอนห้อง 233 เวลา 08.30 – 09.20
วันที่ วันท่ี 24 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนห้อง 332 เวลา 09.20 – 10.10
วนั ท่ี วนั ที่ 25 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนห้อง 534 เวลา 11.00 – 11.50
วันท่ี วันท่ี 28 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนหอ้ ง 321 เวลา 14.20 – 15.10

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
นกั เรยี นสามารถบอกความหมายของโดเมนและเรนจ์ได้ พรอ้ มทง้ั สามารถหาโดเมนและเรนจ์จากคู่

อนั ดบั ทีก่ ำหนดให้ได้ มกี ารประยุกต์ความรู้เรื่องความสัมพันธม์ าเชื่อมโยงกับการหาโดเมนและเรนจ์ได้อย่าง
ถกู ต้อง
2. ปัญหา อุปสรรค

นักเรยี นบางคนยังคงสับสนระหว่างโดเมนและเรนจ์ว่าเป็นสมาชกิ ตัวหนา้ หรอื สมาชกิ ตวั หลงั ของคู่
อนั ดบั ทั้งหลายในความสัมพันธ์ และไม่สามารถหาโดเมนและเรนจจ์ ากคอู่ นั ดบั ที่กำหนดใหไ้ ด้
3. ขอ้ เสนอแนะ / แนวทางแกไ้ ข

ผสู้ อนเน้นย้ำถึงโดเมนและเรนจ์วา่ เซตของสมาชกิ ตัวหนา้ ของทุกคอู่ ันดับว่า โดเมน และเซตของ
สมาชกิ ตัวหลงั ของทกุ คู่อนั ดับวา่ เรนจ์ และใหน้ ักเรียนจบั คทู่ ำกจิ กรรมเสรมิ

ลงช่ือ...................................................................ผสู้ อน
(นางสาวสกุ ัญญา สนุ ทรา)
................/................./.................

ความเหน็ ของอาจารย์พเ่ี ล้ียง
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ............................................................
( นายคเณศ สมตระกลู )

ครูประจำกลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร

ความเหน็ ของอาจารยน์ ิเทศ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงช่ือ............................................................
( นางชนิสรา เมธภทั รหริ ญั )

อาจารย์ประจำหลักสตู รคณติ ศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั สวนดุสติ
ความเหน็ ของรองผูอ้ ำนวยการกลุ่มบรหิ ารวิชาการ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ............................................................
( นายชนมน์ ิธศิ เที่ยงภญิ ญานนั ท์ )

ครูปฏิบัติหน้าท่ี รองผูอ้ ำนวยการโรงเรยี นกลมุ่ บริหารวชิ าการ
ความเหน็ ของผอู้ ำนวยการสถานศึกษา
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงช่อื ............................................................
( นางปัณฑารยี ์ บุญแรง )

ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพติ ร

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

คำช้แี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด üลงในชอ่ งท่ี
ตรงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ท่ี รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321

1 การแสดงความคดิ เหน็ ££££

2 การยอมรบั ฟงั ความคดิ เหน็ ของผอู้ ื่น ££££

3 การทำงานตามหนา้ ท่ีทีไ่ ด้รับมอบหมาย £ £ £ £

4 ความมนี ำ้ ใจ ££££

5 การตรงต่อเวลา ££££

รวม

ลงชื่อ.......................................................................ผู้ประเมิน
............../.................../................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมำ่ เสมอ ให้ 4 คะแนน

ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบ่อยครัง้ ให้ 3 คะแนน

ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบางครัง้ ให้ 2 คะแนน
1 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมนอ้ ยครงั้ ให้

เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ ระดับคุณภาพ
ชว่ งคะแนน ดมี าก
18 - 20 ดี
14 - 17 พอใช้
10 - 13 ปรบั ปรงุ
ต่ำกวา่ 10

สรปุ ผลการประเมิน

£ ดมี าก ¨ ดี ¨ พอใช้ ¨ ปรบั ปรุง

แผนการจดั การเรยี นรท/ู ่ี 16

หน4วยการเรียนรท/ู ่ี 2 ฟงั กช์ นั เรอ่ื ง ฟงั ก์ชัน
กล4มุ สาระการเรยี นรู/ คณิตศาสตรA
รหสั วชิ า ค32101 รายวชิ าวชิ า คณติ ศาสตรAพนื้ ฐาน 3
เวลาเรียน 50 นาที
ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2563 โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร
ผู/สอน : นางสาวสกุ ัญญา สุนทรา

1. มาตรฐานการเรียนร/ู / ตัวช้ีวดั / ผลการเรยี นร/ู
ค 1.2 ม.5/1 ใชNฟZงกAชนั และกราฟของฟงZ กชA ันอธบิ ายสถานการณAทก่ี ำหนด

2. จดุ ประสงคNการเรยี นรู/
2.1 ด/านพทุ ธพิ ิสัย (K)

1. นักเรียนสามารถบอกความหมายสัญลักษณข์ องฟงั ก์ชนั ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง
2.2 ด/านทกั ษะพสิ ยั (P)

1. นักเรียนสามารถตรวจสอบได้วา่ ความสัมพันธ์ท่ีกำหนดใหเ้ ป็นฟงั กช์ นั หรอื ไม่เป็นฟังก์ชนั ได้
อยา่ งถูกต้อง

2.3 ด/านจติ พสิ ัย (A)
1. มวี ินัย
2. มุงI มน่ั ในการทำงาน
3. ใฝเL รยี นรูN

3. สาระสำคญั
ฟงi กNชนั
ฟงZ กชA นั

4. สาระการเรียนร/ู ฟงั ก์ชนั คือ ความสัมพนั ธท์ ่สี มาชกิ ในโดเมนแตล่ ะตวั จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ
ฟงi กชN ัน ความสัมพนั ธเ์ พียงตวั เดยี วเท่าน้ัน

บทนิยาม

การตรวจสอบว่า ความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันหรือไม่เราพิจารณาจากบทนิยามที่ว่า
“ สำหรับ x , y และ z ใด ๆ ถ้า (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แล้ว y = z ” และสามารถพิจารณา

จากกราฟฟังก์ชันได้ โดยท่ีถ้าลากเส้นตรงที่เชื่อมจุด (x, y) และ (x, z) จะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน
Y ดงั นนั้ ในการพิจารณาจำนวนจดุ ตัดท่เี ส้นตรงน้ีตัดกบั กราฟถ้ามจี ำนวนจุดตดั เพยี ง 1 จุด

5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ/ รียน R ความสามารถในการคดิ
R ความสามารถในการส่อื สาร £ ความสามารถในการใชNทักษะชวี ิต
R ความสามารถในการแกNปZญหา
£ ความสามารถในการใชNเทคโนโลยี

6. คุณลักษณะอันพึงประสงคN £ ซื่อสัตยAสจุ ริต R มีวนิ ยั R ใฝLเรยี นรูN
£ รักชาติ ศาสนA กษัตรยิ A
£ อยอIู ยาI งพอเพียง R มงIุ มัน่ ในการทำงาน £ รกั ความเปน/ ไทย
£ มีจติ สาธารณะ

7. ด/านคณุ ลกั ษณะของผู/เรียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล

R เปน/ เลิศวชิ าการ £ สอ่ื สารสองภาษา £ ล้ำหนาN ทางความคิด
£ ผลิตงานอยาI งสรNางสรรคA £ รวI มกนั รับผิดชอบตอI สงั คมโลก

8. บรู ณาการตามหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง (อยา4 งน/อย 1 หน4วยการเรยี นรู/)
1. หลักความพอประมาณ : …………………………………………………………………………………………...........….

2. หลักความมีเหตผุ ล : นกั เรยี นสามารถตรวจสอบไดNวาI ความสมั พันธAทก่ี ำหนดใหNเปน/ ฟZงกชA ัน

3. หลักภมู ิคมุN กัน หรือไมเI ปน/ ฟงZ กAชันไดN
: …………………………………………………………………………………………...........….

4. เง่ือนไขความรูN : นักเรียนบอกความหมายสัญลักษณข์ องฟังก์ชนั ได้

5. เง่ือนไขคณุ ธรรม : …………………………………………………………………………………………...............

9. กจิ กรรมการเรยี นการสอน
กระบวนการการจัดการเรยี นรู/
9.1 ข้นั ที่ 1 ขั้นนำเขา/ ส4ูบทเรยี น

1. ผู้สอนกำหนดเรอ่ื งที่จะสอน ได้แก่ ฟังกช์ ัน
2. ผู้สอนให้นักเรียนศึกษาแผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต A และ เซต B จาก

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง ฟงั กช์ นั แล้วถามคำถามนกั เรียน ดังนี้

A BA B A B

1 a a 10 1 a
2 b b 20 b
3 c
cd 30 2 c
40 3
50

r1 r2 r3

• จงบอกเซตของโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ r1
แนวทางการตอบ โดเมนของความสัมพันธ์ r2 คือ { 1, 2, 3 } และ
เรนจ์ความสัมพันธ์ r2 คือ { 10, 20, 30, 40, 50 }

• จงบอกเซตของโดเมนและเรนจข์ องความสมั พันธ์ r2
แนวทางการตอบ โดเมนของความสัมพันธ์ r2 คือ { a, b, c, d }
และ เรนจ์ความสัมพันธ์ r1 คอื { a, b, c }

• จงบอกเซตของโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r3
แนวทางการตอบ โดเมนของความสัมพันธ์ r3 คือ { 1, 2, 3 } และ
เรนจค์ วามสัมพันธ์ r3 คือ { a, b, c }

9.2 ข้ันที่ 2 ขั้นสอน

3. ผู้สอนใหน้ กั เรยี นตง้ั ข้อสังเกตจากแผนภาพความสัมพนั ธ์ r1, r2 และ r3
จากแผนภาพความสัมพันธ์ r1 และ r2 จะเห็นว่า สมาชิกแต่ละตัวในโดเมน

จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น เรียกความสัมพันธ์ r1 และ r2 ว่า
ฟังก์ชัน และจากความสัมพันธ์ r3 จะเห็นว่า มีสมาชิกในโดเมนที่จับคู่กับสมาชิกใน
เรนจ์มากกวา่ 1 ตวั เรียกความสัมพนั ธ์ r3 วา่ ไมฟ่ ังก์ชนั
4. ผู้สอนให้นกั เรยี นร่วมกนั สรุปบทนิยามของฟังก์ชนั

บทนิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสมั พันธ์ทส่ี มาชกิ ในโดเมนแตล่ ะตัวจบั คกู่ บั สมาชิกใน
เรนจ์ของความสัมพนั ธเ์ พียงตวั เดยี วเท่าน้ัน

จากบทนยิ าม จะนยิ มเขยี นฟงั ก์ชันแทนดว้ ย f และฟงั กช์ นั เป็นสบั เซตของ
ความสัมพันธ์ โดยที่สำหรับ x, y และ z ใด ๆ ถ้า (x , y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว้
y=z

5. ผู้สอนอธบิ ายเพ่ิมเตมิ เกย่ี วกบั เปน็ ฟงั ก์ชัน และไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน ดงั น้ี

“ความสัมพันธ์ที่โดเมนจับคู่กับเรนจ์มากกว่า 1 ตัว เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่

เป็นฟังก์ชัน เช่น ความสัมพันธ์ของ r3 จะเห็นว่า 1 ที่เป็นโดเมน จับคู่กับ a และ b
ทีเ่ ป็นเรนจ์ ดงั น้นั โดเมนจับคู่กับเรนจ์มากกว่า 1 ตัว จึงไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั ”

6. ผสู้ อนอธิบายเพิม่ เติมเกยี่ วกับ ความสมั พนั ธท์ ่ีเขียนอยใู่ นรูปของคอู่ นั ดับ ดังน้ี

“ความสัมพันธ์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของคู่อันดับได้ โดย (a, b)

หมายความว่า a เป็นโดเมนจับคู่กับ b ที่เป็นเรนจ์ของความสัมพันธ์ เช่น

ความสัมพันธ์ r1 = { (1, 2),(2, 3),(3, 4) } จะเห็นว่า ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน
เพราะว่า โดเมนแต่ละตัวจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวเท่านั้นนั่นคือ 1 จับคู่กับ 2, 2

จบั ค่กู ับ 3 และ 3 จบั คู่กบั 4”

7. ผสู้ อนให้นกั เรียนศกึ ษาตวั อย่างที่ 1 จากเอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง ฟังกช์ ัน

r1 = { (1, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 8) } → ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน

r2 = { (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 7) } → เป็นฟังกช์ นั

r3 = { (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2) } → เปน็ ฟังก์ชัน

r4 = { (0, -1), (0, 0), (0, 1) } → ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั

8. ผูส้ อนมอบหมาย “ลองทำดู” ในเอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง ฟังก์ชัน ใหนN ักเรยี น

รIวมกันวิเคราะหA

ความสมั พนั ธใ์ นข้อใดเป็นฟังก์ชนั

1. { (1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5) }

2. { (2, 3),(3, 2),(2, 5),(5, 2) }

3. { (3, 4),(4, 5),(3, 5),(4, 6) }

4. { (4, 2),(6, 3),(7, 4),(8, 5) }

5. { (0, 2),(0, 3),(1, 5),(1, 6) }

แนวทางการตอบ เนือ่ งจากค่อู บั ดบั ใน { (4, 2),(6, 3),(7, 4),(8, 5) } ไม่มี

สมาชิกตัวหน้าของคอู่ นั ดบั ตวั ใดจบั คกู่ ับสมาชกิ ตัวหลงั ของคูอ่ นั ดบั มากกว่า 1 ตัว

น่นั คอื { (4, 2),(6, 3),(7, 4),(8, 5) } เป็นฟงั กช์ นั

ดังนน้ั คำตอบ คอื ข้อท่ี 4

9.3 ขั้นที่ 3 ข้ันสรุป
9. ผู้สอนถามคำถามนกั เรยี น เพื่อสรุปความรู้ เร่อื ง ฟังก์ชนั ดงั นี้
• ฟังกช์ ัน มคี วามหมายว่าอยา่ งไร

แนวทางการตอบ ฟังก์ชนั คือ ความสมั พนั ธ์ทสี่ มาชกิ ในโดเมนแต
ละตัวจับคกู่ บั สมาชกิ ในเรนจ์ของความสัมพันธ์
เพียงตัวเดียวเทา่ นัน้

• ความสัมพนั ธใ์ ดทไี่ ม่เปน็ ฟังก์ชนั
แนวทางการตอบ ความสมั พนั ธ์ที่โดเมนจบั คกู่ บั เรนจ์ มากกว่า 1
ตวั

• ความสมั พันธ์ r1 = { (0, 2),(1, 3),(2, 5),(4, 7),(6, 8) } เปน็ ฟงั ก์ชนั หรือไม่
แนวทางการตอบ เป็นฟังกช์ ัน เพราะ สมาชิกตวั หนา้ จับคเู่ รนจ์
เพยี งค่เู ดียว

• ความสัมพนั ธ์ r2 = { (0, 2),(1, 3),(2, 5),(2, 0) } เปน็ ฟงั ก์ชนั หรอื ไม่
แนวทางการตอบ ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชัน เพราะ 2 เปน็ โดเมนท่จี ับคูเ่ รนจ์
มากกว่า 2 ตวั

10. ชน้ิ งาน/ภาระงาน
10.1 เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟังก์ชัน

11. สอ่ื การสอน/แหลง4 เรยี นร/ู
1. ส่อื การสอน
1. โปรแกรม GeoGebar

2. แหล4งเรียนรู/
1. หนังสอื เรยี นรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตรA ชัน้ มธั ยมศึกษาปjที่ 5
2. เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง ฟงั กช์ ัน

12. การวดั และประเมนิ ผล

เปา้ หมายการเรยี นรู้ วธิ กี ารวดั เครอ่ื งมอื วัด เกณฑ์การประเมิน
1. ข้อคำถาม
ด้านความรู้ (K) 1. บอกความหมาย
สญั ลกั ษณ์ของ
1. นักเรียนสามารถบอกความหมาย 1. สังเกตพฤติกรรมใน ฟังก์ชนั ได้อยา่ ง
ถูกตอ้ ง
สัญลกั ษณข์ องฟงั กช์ นั ไดอ้ ย่าง การตอบคำถามของ

ถกู ตอ้ ง นกั เรยี น

เปา้ หมายการเรียนรู้ วธิ กี ารวัด เครอื่ งมือวัด เกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านทกั ษะ (P) 1. การตรวจเอกสาร 1. เอกสาร 1. สามารถตรวจสอบ
1. นกั เรยี นสามารถตรวจสอบไดว้ ่า ประกอบการเรยี น ประกอบการเรยี น ความสมั พนั ธ์ของ
ฟงั ก์ชนั ได้อย่าง
ความสัมพนั ธ์กำหนดใหเ้ ป็น ถกู ตอ้ ง
ฟังกช์ ันหรอื ไม่เป็นฟังกช์ ันได้
อย่างถูกต้อง

ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) 1. สงั เกตพฤติกรรมใน 1. การมสี ว่ นร่วมใน 1. นักเรยี นมีความมุง่ ม่นั
1. นักเรียนมคี วามมุ่งมัน่ ในการ
การตอบคำถามและ การตอบคำถาม ในการทำงาน ใฝ่
ทำงาน ใฝ่เรียนรู้ และมีความ
รบั ผิดชอบต่องานทีไ่ ด้รับ การปฏบิ ตั ิกิจกรรม และกจิ กรรมในชั้น เรียนรู้
มอบหมาย
ของนักเรยี น เรียน

บันทึกหลังการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

รหัสวิชา ค32101 รายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 3 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5
วันท่ี วันที่ 28 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใช้สอนห้อง 233 เวลา 08.30 – 09.20
วันท่ี วันที่ 28 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนหอ้ ง 332 เวลา 09.20 – 10.10
วนั ท่ี วันที่ 28 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใช้สอนหอ้ ง 534 เวลา 11.00 – 11.50
วันท่ี วันท่ี 28 สิงหาคม พ.ศ.2563 ใช้สอนห้อง 321 เวลา 14.20 – 15.10

1. ผลการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
นักเรียนส่วนใหญส่ ามารถบอกความหมายสัญลกั ษณ์ของฟงั กช์ นั ได้ และสามารถตรวจสอบได้ว่า

ความสมั พันธท์ ี่กำหนดใหเ้ ป็นฟังก์ชนั หรอื ไมเ่ ป็นฟังกช์ ันได้ มคี วามตัง้ ใจ และให้ความร่วมมอื ในการทำ
กิจกรรมภายในชนั้ เรียน
2. ปัญหา อปุ สรรค

นักเรียนบางคนไม่สามารถทจ่ี ะตรวจสอบได้ว่าความสมั พันธ์ทีก่ ำหนดให้น้ันเปน็ ฟงั กช์ ันหรือไม่เปน็
ฟังกช์ ันได้
3. ขอ้ เสนอแนะ / แนวทางแก้ไข

ผู้สอนทำการยกตวั อยา่ งใหน้ กั เรียนพิจารณาเพม่ิ เติม พร้อมท้ังใชค้ ำถามกระตน้ ผเู้ รยี นให้เกดิ การ
เรยี นรู้ และให้ผู้เรยี นจับคู่เพ่ือแลกเปลีย่ นความรซู้ ง่ึ กันและกัน

ลงช่อื ...................................................................ผูส้ อน
(นางสาวสุกญั ญา สนุ ทรา)
................/................./.................

ความเห็นของอาจารย์พี่เล้ียง
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงช่อื ............................................................
( นายคเณศ สมตระกูล )

ครูประจำกลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร

ความเหน็ ของอาจารยน์ ิเทศ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงช่ือ............................................................
( นางชนิสรา เมธภทั รหริ ญั )

อาจารย์ประจำหลักสตู รคณติ ศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั สวนดุสติ
ความเหน็ ของรองผูอ้ ำนวยการกลุ่มบรหิ ารวิชาการ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ............................................................
( นายชนมน์ ิธศิ เที่ยงภญิ ญานนั ท์ )

ครูปฏิบัติหน้าท่ี รองผูอ้ ำนวยการโรงเรยี นกลมุ่ บริหารวชิ าการ
ความเหน็ ของผอู้ ำนวยการสถานศึกษา
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงช่อื ............................................................
( นางปัณฑารยี ์ บุญแรง )

ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพติ ร

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

คำช้แี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด üลงในชอ่ งท่ี
ตรงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ท่ี รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321

1 การแสดงความคดิ เหน็ ££££

2 การยอมรบั ฟงั ความคดิ เหน็ ของผอู้ ื่น ££££

3 การทำงานตามหนา้ ท่ีทีไ่ ด้รับมอบหมาย £ £ £ £

4 ความมนี ำ้ ใจ ££££

5 การตรงต่อเวลา ££££

รวม

ลงชื่อ.......................................................................ผู้ประเมิน
............../.................../................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมำ่ เสมอ ให้ 4 คะแนน
3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบ่อยครัง้ ให้
2 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบางครัง้ ให้
1 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมนอ้ ยครงั้ ให้

เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ ระดับคุณภาพ
ชว่ งคะแนน ดมี าก
18 - 20 ดี
14 - 17 พอใช้
10 - 13 ปรบั ปรงุ
ต่ำกวา่ 10

สรปุ ผลการประเมิน

£ ดมี าก ¨ ดี ¨ พอใช้ ¨ ปรบั ปรุง

แผนการจดั การเรยี นรท/ู ่ี 17

หน4วยการเรียนรท/ู ่ี 2 ฟงั กช์ นั เรอ่ื ง ฟงั ก์ชัน
กล4มุ สาระการเรยี นรู/ คณิตศาสตรA
รหสั วชิ า ค32101 รายวชิ าวชิ า คณติ ศาสตรAพนื้ ฐาน 3
เวลาเรียน 50 นาที
ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2563 โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร
ผู/สอน : นางสาวสกุ ัญญา สุนทรา

1. มาตรฐานการเรียนร/ู / ตัวช้ีวดั / ผลการเรยี นร/ู
ค 1.2 ม.5/1 ใชNฟZงกAชนั และกราฟของฟงZ กชA ันอธบิ ายสถานการณAทก่ี ำหนด

2. จดุ ประสงคNการเรยี นรู/
2.1 ด/านพทุ ธพิ ิสัย (K)

1. นักเรียนสามารถบอกความหมายสัญลักษณข์ องฟงั ก์ชนั ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง
2.2 ด/านทกั ษะพสิ ยั (P)

1. นักเรียนสามารถตรวจสอบได้วา่ ความสัมพันธ์ท่ีกำหนดใหเ้ ป็นฟงั กช์ นั หรอื ไม่เป็นฟังก์ชนั ได้
อยา่ งถูกต้อง

2.3 ด/านจติ พสิ ัย (A)
1. มวี ินัย
2. มุงI มน่ั ในการทำงาน
3. ใฝเL รยี นรูN

3. สาระสำคญั
ฟงi กNชนั
ฟงZ กชA นั

4. สาระการเรียนร/ู ฟงั ก์ชนั คือ ความสัมพนั ธท์ ่สี มาชกิ ในโดเมนแตล่ ะตวั จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ
ฟงi กชN ัน ความสัมพนั ธเ์ พียงตวั เดยี วเท่าน้ัน

บทนิยาม

การตรวจสอบว่า ความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันหรือไม่เราพิจารณาจากบทนิยามที่ว่า
“ สำหรับ x , y และ z ใด ๆ ถ้า (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แล้ว y = z ” และสามารถพิจารณา

จากกราฟฟังก์ชันได้ โดยท่ีถ้าลากเส้นตรงที่เชื่อมจุด (x, y) และ (x, z) จะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน
Y ดงั น้ันในการพจิ ารณาจำนวนจดุ ตดั ทเ่ี ส้นตรงนีต้ ัดกบั กราฟถา้ มีจำนวนจุดตดั เพยี ง 1 จุด

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู/ รียน R ความสามารถในการคิด
R ความสามารถในการสื่อสาร £ ความสามารถในการใชทN ักษะชีวิต
R ความสามารถในการแกNปญZ หา
£ ความสามารถในการใชNเทคโนโลยี

6. คุณลกั ษณะอนั พึงประสงคN £ ซ่อื สตั ยสA ุจรติ R มีวนิ ยั R ใฝLเรยี นรูN
£ รกั ชาติ ศาสนA กษตั รยิ A
£ อยูอI ยาI งพอเพยี ง R มงุI มนั่ ในการทำงาน £ รักความเป/นไทย
£ มีจิตสาธารณะ

7. ด/านคณุ ลกั ษณะของผ/ูเรียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

R เปน/ เลศิ วิชาการ £ สื่อสารสองภาษา £ ลำ้ หนาN ทางความคิด
£ ผลิตงานอยาI งสรNางสรรคA £ รวI มกนั รับผิดชอบตIอสังคมโลก

8. บูรณาการตามหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง (อยา4 งนอ/ ย 1 หน4วยการเรียนรู)/
1. หลักความพอประมาณ : …………………………………………………………………………………………...........….

2. หลักความมเี หตุผล : นักเรียนสามารถตรวจสอบไดNวาI ความสมั พันธAทกี่ ำหนดใหเN ป/นฟZงกชA นั

3. หลกั ภมู ิคNมุ กนั หรือไมIเปน/ ฟงZ กชA นั ไดN
: …………………………………………………………………………………………...........….

4. เง่อื นไขความรNู : นกั เรียนบอกความหมายสญั ลักษณ์ของฟงั ก์ชันได้

5. เงอ่ื นไขคณุ ธรรม : …………………………………………………………………………………………...............

9. กิจกรรมการเรียนการสอน
กระบวนการการจดั การเรยี นร/ู
9.1 ขัน้ ที่ 1 ขนั้ นำเขา/ สบ4ู ทเรยี น
1. ผูส้ อนกำหนดเรอื่ งทจ่ี ะสอน ได้แก่ ฟงั กช์ นั
2. ผสู้ อนทบทวนเกย่ี วกับ บทนิยามของฟังก์ชัน ดังน้ี

บทนิยาม ฟังก์ชนั คือ ความสมั พนั ธ์ท่สี มาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคูก่ บั สมาชกิ ใน
เรนจข์ องความสัมพนั ธ์เพียงตวั เดยี วเทา่ นนั้

จากบทนิยาม จะนิยมเขียนฟังกช์ ันแทนดว้ ย f และฟงั ก์ชนั เปน็ สบั เซตของ
ความสมั พันธ์ โดยที่สำหรับ x, y และ z ใด ๆ ถา้ (x , y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว้
y=z

9.2 ขั้นที่ 2 ขน้ั สอน
3. ผสู้ อนเพมิ่ เติมเกยี่ วกับ การเขยี นความสัมพันธ์นอกจากการเขยี นในรูปแบบของการ
บอกเง่ือนไข
การเขยี นความสัมพนั ธ์นอกจากจะเขยี นในรปู แบบของคู่อนั ดบั แล้วยัง
สามารถเขียนอยใู่ นรปู ของการบอกเงอ่ื นไขได้อกี ดว้ ย ซง่ึ การหาว่าความสัมพนั ธ์
ดังกลา่ ว เป็นฟังก์ชันหรือไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน จะต้องใช้บทนิยามแลว้ ใชส้ มบตั กิ ารเท่ากัน
พิจารณาคา่ ของ y และ z ดงั น้ี
“สำหรับ x, y และ z ใด ๆ ถ้า (x , y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว้ y = z”
4. ผู้สอนใหน้ ักเรยี นศึกษาตวั อย่างท่ี 2 จากเอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง ฟงั กช์ นั
ให้พิจารณาความสมั พันธ์ทก่ี ำหนดต่อไปนี้เปน็ ฟงั ก์ชนั หรือไม่
1) r1 = { (x, y) ∣ y = x – 1 }
2) r2 = { (x, y) ∣ y = x2 + 4 }
3) r3 = { (x, y) ∣ y2 = x }
วิธีทำ 1) จาก y = x – 1 จะได้ x = y + 1
ให้ (x, y) และ (x, z) เปน็ คู่อันดับใน r1
จะได้ x = y + 1 และ x = z + 1
ดงั นัน้ y + 1 = z + 1
y=z
น่ันคือ r1 = { (x, y) ∣ y = x – 1 } เป็นฟังก์ชนั
2) จาก y = x2+ 4 จะได้ x2 = y - 4
ให้ (x, y) และ (x, z) เป็นคอู่ นั ดับใน r2
จะได้ x2 = y - 4 และ x2 = z - 4
ดังน้ัน y - 4 = z - 4
y=z
นั่นคือ r2 = { (x, y) ∣ y = x2 + 4 } เปน็ ฟังกช์ นั
3) จาก y2 = x จะได้ x = y2
ให้ (x, y) และ (x, z) เปน็ คูอ่ นั ดับใน r3

จะได้ x = y2 และ x = z2
ดงั น้นั y2= z2

y = z หรอื y = -z
นั่นคอื r3 = { (x, y) ∣ y = x2 + 4 } ไม่เปน็ ฟังกช์ นั
5. ผู้สอนให้นักเรยี นสังเกตความสัมพันธ์ y2 = x พร้อมทั้งรว่ มกนั สรุปเก่ียวกบั

ความสมั พันธท์ ี่ y ยกกำลงั คู่ หรอื อยใู่ นเครอ่ื งหมายคา่ สมบูรณ์
สมการความสมั พันธ์ ถา้ y ถกู ยกกำลงั คู่ หรืออยู่ในเครอ่ื งหมายคา่ สมั บรู ณ์

มกั จะไมใ่ ช่ฟงั กช์ ัน เพราะค่า y เปน็ บวก กบั y เปน็ ลบจะคำนวณออกมาไดค้ ่าเทา่ กนั

ทำให้มี x หนึง่ คา่ ทค่ี ่กู ับ y ไดส้ องตวั

6. ผสู้ อนใหน้ กั เรียนศกึ ษาตัวอย่างที่ 3 จากเอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟังกช์ ัน

x = (y + 1)2 ไมเ่ ป็นฟังก์ชัน เพราะมี (1, 0) กับ (1, -2) ใน r
y = x2 + 2x + 5 เพราะมี (0, 2) กบั (0, -2) ใน r
x2 + y2 = 4 เป็นฟงั ก์ชนั เพราะมี (1, 3) กับ (1, -5) ใน r
4x = |y + 1|
xy = 1 ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน เพราะมี (0, 1) กบั (0, -1) ใน r
y = x3 เพราะจัดรูปได้เปน็ x2 - y2= 1
x = 2y + 5 ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั มี (2, √3) กับ (2, -√3) ใน r
|x|+|y| = 1 เป็นฟังก์ชัน

(x – y)(x + y) = 1 เป็นฟงั กช์ นั
เปน็ ฟงั กช์ นั

ไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน

ไมเ่ ป็นฟังก์ชัน

7. ผสู้ อนอธบิ ายการพจิ ารณาความสัมพันธ์ทกี่ ำหนดดว้ ยกราฟวา่ เป็นฟงั กช์ นั หรอื ไม่

เปน็ ฟงั ก์ชัน ดงั นี้
“ ถ้าลากเส้นตรงที่เชื่อมจุด (x, y) และ (x, z) จะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับ

แกน Y แล้วพิจารณาจำนวนจุดตัดที่เส้นตรงนี้ตัดกับกราฟ ถ้ามีจำนวนจุดตัดเพียง 1

จุด ความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันและถ้ามีจำนวนจุดตัดมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์

นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะเส้นดิ่งที่ตัดกราฟหลายจุด แปลว่า มี x หนึ่งตัว ที่คู่กับ y
หลายตวั ”

8. ผู้สอนใหน้ ักเรียนศึกษาตัวอยา่ งท่ี 3 จากเอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง ฟังก์ชัน

ไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน เป็นฟังกช์ ัน เปน็ ฟังกช์ ัน ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั

เปน/ ฟงZ กชA ัน ไมIเป/นฟZงกชA นั ไมเI ป/นฟงZ กชA นั

9. ผู้สอนให้นกั เรียนจับคู่ปฏิบัติกจิ กรรมเสริม โดยพิจารณาความสัมพันธ์ว่าเป็นฟังกช์ ัน
หรือไม่ โดยใชต้ รวจสอบความสมั พันธ์โดยใชโ้ ปรแกรม GeoGebra
1. ใหน้ ักเรียนจับคู่ แลว้ พจิ ารณาความสมั พันธ์ที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้
1. y = x2
2. y = |x2| – 1
3. 3y + 2x = 4
4. x2 + y2 = 9
5. |x| - |y| = 16
6. y = √y + 5
7. y = x3
8. y = 2x – 3
2. ตรวจสอบความสมั พนั ธ์ ขอ้ ท่ี 1 วา่ เปน็ ฟงั กช์ ันหรอื ไม่ โดยใช้
โปรแกรม GeoGebra

9.3 ขัน้ ท่ี 3 ขั้นสรปุ
10. ผูส้ อนถามคำถามนกั เรียน เพ่ือสรปุ ความรู้ เรอื่ ง ฟังกช์ นั ดังนี้
• ฟงั กช์ นั มคี วามหมายว่าอย่างไร

แนวทางการตอบ ฟังก์ชนั คอื ความสัมพนั ธ์ทส่ี มาชิกในโดเมนแต่
ละตวั จับคกู่ บั สมาชิกในเรนจข์ องความสมั พันธ์เพียงตวั เดยี วเทา่ น้นั
• ความสมั พนั ธ์ใดท่ีไม่เป็นฟังกช์ นั
แนวทางการตอบ ความสัมพนั ธท์ ่โี ดเมนจบั คู่กับเรนจ์ มากกว่า 1
ตัว

• เม่ือพิจารณาความสัมพนั ธท์ ก่ี ำหนดดว้ ยกราฟ นกั เรยี นจะทราบได้อยา่ งไร
วา่ เปน็ ฟังกช์ นั

แนวทางการตอบ เมอ่ื ลากเสน้ ตรงท่ขี นานกบั แกน Y จะตัดกราฟ
ของความสัมพันธ์เพียง 1 จุด เทา่ น้นั
• เมอ่ื พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ทก่ี ำหนดด้วยกราฟ นักเรียนจะทราบไดอ้ ยา่ งไร
วา่ ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั

แนวทางการตอบ เม่อื ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y จะตัดกราฟ
ของความสมั พันธม์ ากกวา่ 1 จุด
• ใหน้ ักเรยี นยกตัวอย่างกราฟท่เี ป็นฟงั กช์ นั และไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน
แนวทางการตอบ นักเรียนสามารถตอบไดห้ ลากหลายขึ้นอยกู่ บั พืน้
ฐานความรู้ เชน่

เป็นฟงั กช์ ัน ไม่เป็นฟังกช์ นั

11. ผู้สอนมอบหมายแบบฝึกทกั ษะที่ 2.4 ขอ้ ท่ี 1 - 2 ให้นกั เรยี นทำเป็นการบา้ น

10. ชิ้นงาน/ภาระงาน
10.1 แบบฝhกทกั ษะที่ 2.4 เรอ่ื ง ฟงั กช์ ัน
10.2 เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง ฟังกช์ ัน

11. สื่อการสอน/แหลง4 เรียนรู/
1. ส่ือการสอน
1. แบบฝกh ทกั ษะที่ 2.4 เร่อื ง ฟงั กช์ นั
2. โปรแกรม GeoGebar

2. แหล4งเรยี นรู/
1. หนังสือเรียนรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตรA ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปทj ี่ 5
2. เอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง ฟังกช์ นั

12. การวัดและประเมนิ ผล

เป้าหมายการเรยี นรู้ วธิ ีการวัด เครื่องมือวัด เกณฑ์การประเมนิ
1. ข้อคำถาม
ด้านความรู้ (K) 1. สงั เกตพฤติกรรมใน 1. บอกความหมาย
1. นักเรียนสามารถบอกความหมาย การตอบคำถามของ สญั ลกั ษณข์ อง
นักเรยี น ฟังก์ชันไดอ้ ย่าง
สัญลกั ษณข์ องฟังก์ชนั ไดอ้ ย่าง ถกู ตอ้ ง
ถกู ตอ้ ง

2. การตรวจแบบฝกึ 2. แบบฝึกทักษะท่ี

ทักษะท่ี 2.4 2.4

ดา้ นทักษะ (P) 1. การตรวจแบบฝกึ 1. แบบฝกึ ทักษะที่ 1. ไดค้ ะแนนมากกว่า
1. นกั เรยี นสามารถตรวจสอบไดว้ า่ ทักษะที่ 2.4 2.4 รอ้ ยละ 60 ข้นึ ไป

ความสมั พนั ธ์กำหนดใหเ้ ปน็
ฟังกช์ ันหรือไมเ่ ป็นฟงั ก์ชันได้
อยา่ งถูกต้อง

ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) 1. สงั เกตพฤติกรรมใน 1. การมีสว่ นรว่ มใน 1. นกั เรียนมีความมุ่งมัน่
1. นักเรียนมีความมงุ่ มนั่ ในการ การตอบคำถามและ การตอบคำถาม ในการทำงาน ใฝ่

ทำงาน ใฝ่เรยี นรู้ และมีความ การปฏิบตั กิ ิจกรรม และกิจกรรมในชน้ั เรยี นรู้
รบั ผดิ ชอบตอ่ งานท่ไี ด้รบั
มอบหมาย ของนักเรียน เรียน

2. การตรวจแบบฝกึ 2. แบบฝกึ ทักษะที่ 2. นกั เรยี นสง่ งานทไี่ ด้รับ
ทกั ษะท่ี 2.4 2.4 มอบหมายตรงตาม
ระยะเวลาที่กำหนด

บันทกึ หลงั การจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้

รหสั วิชา ค32101 รายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน 3 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5
วันที่ วันที่ 31 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนห้อง 332 เวลา 12.40 – 13.30
วันท่ี วันที่ 31 สงิ หาคม พ.ศ.2563 ใชส้ อนห้อง 321 เวลา 14.20 – 15.10
วันที่ วนั ท่ี 1 กนั ยายน พ.ศ.2563 ใชส้ อนหอ้ ง 233 เวลา 10.10 – 10.00
วันที่ วนั ที่ 3 กนั ยายน พ.ศ.2563 ใช้สอนห้อง 534 เวลา 11.00 – 11.50

1. ผลการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้
นักเรียนส่วนใหญ่สามารถบอกความหมายสัญลกั ษณข์ องฟังกช์ นั ได้ และสามารถตรวจสอบได้วา่

ความสมั พนั ธท์ ่ีกำหนดใหเ้ ปน็ ฟงั กช์ ันหรือไม่เปน็ ฟังกช์ ันได้ มีความต้ังใจ และใหค้ วามร่วมมอื ในการทำ
กิจกรรมภายในชัน้ เรียน
2. ปัญหา อปุ สรรค

นกั เรียนบางคนไมส่ ามารถทจี่ ะตรวจสอบไดว้ า่ ความสมั พนั ธ์ท่กี ำหนดให้น้นั เปน็ ฟังก์ชนั หรอื ไมเ่ ป็น
ฟังกช์ ันได้
3. ข้อเสนอแนะ / แนวทางแกไ้ ข

ผสู้ อนทำการยกตวั อย่างให้นกั เรียนพจิ ารณาเพิ่มเตมิ พร้อมท้งั ใช้คำถามกระตน้ ผ้เู รียนให้เกดิ การ
เรยี นรู้ และให้ผู้เรยี นจบั คู่เพอื่ แลกเปลีย่ นความรซู้ ึ่งกันและกนั

ลงชือ่ ...................................................................ผูส้ อน
(นางสาวสุกัญญา สนุ ทรา)
................/................./.................

ความเห็นของอาจารย์พเ่ี ลย้ี ง
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชื่อ............................................................
( นายคเณศ สมตระกลู )

ครูประจำกลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร

ความเหน็ ของอาจารยน์ ิเทศ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชื่อ............................................................
( นางชนิสรา เมธภัทรหริ ญั )

อาจารยป์ ระจำหลักสูตรคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยสวนดสุ ติ
ความเหน็ ของรองผู้อำนวยการกลุ่มบรหิ ารวชิ าการ
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ............................................................
( นายชนมน์ ิธิศ เท่ียงภญิ ญานนั ท์ )

ครูปฏิบตั หิ นา้ ท่ี รองผูอ้ ำนวยการโรงเรยี นกลมุ่ บริหารวิชาการ
ความเหน็ ของผอู้ ำนวยการสถานศึกษา
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชื่อ............................................................
( นางปัณฑารีย์ บญุ แรง )

ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพิตร

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

คำช้แี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด üลงในชอ่ งท่ี
ตรงกบั ระดบั คะแนน

ลำดบั ท่ี รายการประเมนิ ระดับคะแนน
4321

1 การแสดงความคดิ เหน็ ££££

2 การยอมรบั ฟงั ความคดิ เหน็ ของผอู้ ื่น ££££

3 การทำงานตามหนา้ ท่ีทีไ่ ด้รับมอบหมาย £ £ £ £

4 ความมนี ำ้ ใจ ££££

5 การตรงต่อเวลา ££££

รวม

ลงชื่อ.......................................................................ผู้ประเมิน
............../.................../................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมำ่ เสมอ ให้ 4 คะแนน

ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบ่อยครัง้ ให้ 3 คะแนน

ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบางครัง้ ให้ 2 คะแนน
1 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมนอ้ ยครงั้ ให้

เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ ระดับคุณภาพ
ชว่ งคะแนน ดมี าก
18 - 20 ดี
14 - 17 พอใช้
10 - 13 ปรบั ปรงุ
ต่ำกวา่ 10

สรปุ ผลการประเมิน

£ ดมี าก ¨ ดี ¨ พอใช้ ¨ ปรบั ปรุง

แผนการจดั การเรยี นรู/ท่ี 18

หน4วยการเรยี นรูท/ ี่ 2 ฟงั ก์ชัน เรอ่ื ง การแทนค่าฟงั ก์ชัน
กล4ุมสาระการเรยี นรู/ คณิตศาสตรA
รหสั วชิ า ค32101 รายวิชาวชิ า คณติ ศาสตรพA นื้ ฐาน 3
เวลาเรยี น 50 นาที
ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2563 โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร
ผส/ู อน : นางสาวสกุ ัญญา สุนทรา

1. มาตรฐานการเรยี นรู/ / ตัวช้ีวดั / ผลการเรยี นร/ู
ค 1.2 ม.5/1 ใชฟN ZงกAชนั และกราฟของฟงZ กAชันอธิบายสถานการณAที่กำหนด

2. จุดประสงคกN ารเรียนรู/
2.1 ด/านพุทธพิ สิ ัย (K)

1. นกั เรียนสามารถบอกความหมายสญั ลักษณ์ของฟังก์ชันได้อยา่ งถกู ตอ้ ง
2. นักเรยี นสามารถเข้าใจเก่ยี วกบั การใชส้ ัญลักษณ์ไดอ้ ยา่ งถูดต้อง
2.2 ด/านทกั ษะพสิ ยั (P)
1. นกั เรยี นสามารถตรวจสอบได้ว่าความสมั พันธท์ ี่กำหนดใหเ้ ปน็ ฟงั ก์ชันหรอื ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั ได้

อยา่ งถูกต้อง
2. นกั เรยี นสามารถนำความร้เู รือ่ งความสมั พนั ธม์ าเชอื่ มโยงกบั ความร้เู รื่องฟังก์ชนั ไดอ้ ยา่ ง

ถกู ต้อง
2.3 ด/านจิตพิสยั (A)

1. มวี ินัย
2. มIงุ ม่ันในการทำงาน
3. ใฝLเรยี นรNู

3. สาระสำคญั
ฟiงกชN ัน
ฟZงกAชัน

4. สาระการเรียนร/ู ฟงั ก์ชนั คอื ความสมั พันธ์ท่สี มาชิกในโดเมนแต่ละตวั จับคู่กบั สมาชกิ ในเรนจข์ อง
ฟiงกชN ัน ความสัมพนั ธเ์ พียงตวั เดยี วเท่านัน้
บทนิยาม

การตรวจสอบว่า ความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันหรือไม่เราพิจารณาจากบทนิยามที่ว่า
“ สำหรับ x , y และ z ใด ๆ ถ้า (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แล้ว y = z ” และสามารถพิจารณา
จากกราฟฟังก์ชันได้ โดยที่ถ้าลากเส้นตรงที่เชื่อมจุด (x, y) และ (x, z) จะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน

Y ดังนั้นในการพิจารณาจำนวนจุดตัดท่ีเส้นตรงนีต้ ดั กับกราฟถ้ามีจำนวนจดุ ตดั เพียง 1 จดุ

5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ/ รียน R ความสามารถในการคดิ
R ความสามารถในการส่ือสาร £ ความสามารถในการใชNทักษะชีวติ
R ความสามารถในการแกNปZญหา
£ ความสามารถในการใชNเทคโนโลยี

6. คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงคN £ ซ่อื สัตยสA จุ รติ R มีวินยั R ใฝเL รียนรNู
£ รกั ชาติ ศาสนA กษัตรยิ A R มงIุ มัน่ ในการทำงาน £ รักความเปน/ ไทย
£ อยูอI ยIางพอเพียง
£ มีจติ สาธารณะ

7. ด/านคณุ ลักษณะของผเ/ู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

R เป/นเลศิ วชิ าการ £ ส่ือสารสองภาษา £ ลำ้ หนาN ทางความคิด
£ ผลติ งานอยาI งสราN งสรรคA £ รวI มกนั รบั ผดิ ชอบตIอสงั คมโลก

8. บรู ณาการตามหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง (อย4างนอ/ ย 1 หนว4 ยการเรียนรู/)
1. หลกั ความพอประมาณ : …………………………………………………………………………………………...........….

2. หลกั ความมีเหตผุ ล : นักเรียนสามารถตรวจสอบไดNวาI ความสมั พันธAทก่ี ำหนดใหNเปน/ ฟงZ กAชัน

หรอื ไมเI ปน/ ฟงZ กAชนั ไดN
3. หลกั ภมู ิคมNุ กนั : …………………………………………………………………………………………...........….

4. เงอ่ื นไขความรูN : นักเรียนบอกความหมายสญั ลกั ษณ์และเขา้ ใจการใช้สัญลกั ษณข์ อง

ฟงั กช์ ันได้
5. เงื่อนไขคุณธรรม : …………………………………………………………………………………………...............

9. กจิ กรรมการเรียนการสอน
กระบวนการการจดั การเรียนรู/
9.1 ขน้ั ท่ี 1 ขนั้ นำเข/าสู4บทเรียน

1. ผูส้ อนกำหนดเรอ่ื งทจ่ี ะสอน ได้แก่ ฟงั ก์ชัน

2. ผู้สอนทบทวนเกี่ยวกับ การพิจารณาความสัมพันธ์ด้วยกราฟ โดยการถามคำถาม
นกั เรียน ดังนี้

• เม่อื พิจารณาความสัมพนั ธ์ท่กี ำหนดดว้ ยกราฟ นกั เรยี นจะทราบไดอ้ ยา่ งไร

ว่าเป็นฟังก์ชัน

แนวทางการตอบ เมื่อลากเส้นตรงทข่ี นานกบั แกน Y จะตัดกราฟ
ของความสมั พนั ธเ์ พียง 1 จุด เทา่ น้ัน

• เมื่อพจิ ารณาความสมั พนั ธท์ ก่ี ำหนดดว้ ยกราฟ นกั เรยี นจะทราบได้อย่างไร
ว่าไม่เป็นฟงั กช์ ัน

แนวทางการตอบ เม่ือลากเสน้ ตรงทีข่ นานกับแกน Y จะตดั กราฟ
ของความสมั พันธม์ ากกว่า 1 จุด

9.2 ขัน้ ท่ี 2 ขัน้ สอน
3. ผู้สอนให้นักเรยี นศึกษาสญั ลกั ษณ์ของฟังกช์ นั จากเอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง
ฟังก์ชนั จากน้ันผู้สอนถามคำถามนักเรียน ดังนี้
• ถา้ f เป็นฟงั ก์ชัน และ (x , y) ∈ f แลว้ จะกลา่ ววา่ เป็นคา่ ของฟังกช์ ัน f ท่ี x
สามารถเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณใ์ ด
แนวทางการตอบ y = f(x)
• ฟังกช์ ัน f จาก X ไป Y สามารถเขียนแทนด้วยสญั ลักษณใ์ ด

แนวทางการตอบ f : X → Y

• กำหนดให้ y = 2x - 5 สามารถเขียนฟงั กช์ นั โดยใชต้ ารางได้อยา่ งไร
แนวทางการตอบ f = { (x, y) ∈ R x R ∣ y = 2x – 5 }

• กำหนดให้ y = 2x – 5 สามารถเขียนฟังก์ชันโดยใช้ตารางไดอ้ ยา่ งไร

แนวทางการตอบ x123 4
3
y = f(x) -3 -1 1

4. ผูส้ อนให้นักเรยี นศึกษาตัวอยา่ งท่ี 5 จากเอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง ฟังกช์ นั

พรอ้ มท้งั แสดงวธิ ที ำ

กำหนด f(x) = 3x + 2 โดยที่ x เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

และ g(x) = 5x – 4 โดยท่ี x เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

ให้หาค่าของ 1) f(2) 2) f(-5)

3) f$13% 4) g(3)

5) 2g(7) 6) หg$าค- า่53%x ทท่ี ำให้ f(x) = g(x)
7) หาคา่ x ท่ที ำให้ f(x0 = 17 8)

วธิ ีทำ จาก f(x) = 3x + 2 และ g(x) = 5x – 4 จะได้

1) f(2) = 3(2) + 2 2) f(-5) = 3(-5) + 2

= 8 = -13

3) f$13% = 3$31% + 2 4) g(3) = 5(3) - 4
=3 = 11

5) 2g(7) = 2[5(7) – 4] 6) g$- 3% = 5$- 3% - 4
= 2(31)
5 5
= -3 - 4

= 62 = -7

7) จาก f(x) = 17 8) จาก f(x) = g(x)

จะได้ 3x + 2 = 17 จะได้ 3x + 2 = 5x - 4

3x = 15 2x = 6

ดังน้นั x = 5 ดังน้ัน x = 3

5. ผู้สอนยกตวั อย่างเพิ่มเติม แลว้ ถามคำถามเพือ่ ตรวจสอบความเขา้ ใจของนกั เรยี น

ดงั น้ี

กำหนด f(x) = 2x + 3 โดยท่ี x เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ

• f(3) มคี า่ เทา่ ใด

แนวทางการตอบ f(3) = 2(3) + 3 = 9

• f(-6) มีค่าเทา่ ใด

แนวทางการตอบ f(-6) = 2(-6) + 3 = 9

• f$26% มคี ่าเท่าใด fจ$า62ก%เอก=ส2าร$ป26ร%ะก+อบ3ก=ารเ13ร1ียน

6. แนวทางการตอบ 6 เรอ่ื ง ฟงั ก์ชนั
ผสู้ อนให้นักเรียนศึกษาตัวอยา่ งท่ี
กำหนด f(x) = 3x2 – 4 โดยท่ี x เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ

ใหห้ าค่าของ 1) f(a) 2) f(a + 2)
3) f(a2)
4) f(2a)

วธิ ีทำ 1) f(a) = 3(a2) - 4 2) f(a + 2) = 3(a + 2)2- 4
= 3(a2+ 4a + 4) - 4
= 3a2+ 12a + 12 - 4
= 3a2+ 12a + 8
3) (a2) = 3(a2)2 - 4 4) f(2a) = 3(2a)2 - 4
= 3a4- 4 = 3(4a)2 - 4
= 12a2 - 4

7. ผูส้ อนกลา่ วว่า “การหาคา่ ของฟังกช์ ันไม่จำเปน็ ตอ้ งได้คำตอบเป็นคา่ คงตวั เสมอไป”

จากนน้ั ยกตวั อยา่ งเพิ่มเตมิ แลว้ ถามคำถามเพ่ือตรวจสอบความเขา้ ใจของนกั เรยี น

ดังนี้
กำหนด f(x) = 2x2 - 5 โดยที่ x เป็นจำนวนจริงใด ๆ

• f(-3a) มีคา่ เทา่ ใด
แนวทางการตอบ f(-3a) = 2(-3a) 2 - 5 = 2(9a2) - 5 = 18a2- 5

• f(a - 3) มคี ่าเทา่ ใด
แนวทางการตอบ f(a - 3) = 2(a - 3)2 – 5
= 2(a2 - 6a + 9) - 5
= 2a2 - 12a + 18 – 5
= 2a2 – 12a + 13

8. ผสNู อนอธบิ ายเพ่มิ เติม เก่ียวกบั การแปลงกลบั เพ่อื หาคา่ f(x) ดังนี้

ถา้ โจทย์ให้ f(x) ทแ่ี ทนคา่ x แบบแปลก ๆ ไปเรียบร้อยแล้ว เราสามารถทจี่ ะ

“แปลงกลับ” ใหเ้ ปน็ f(x) แบบปกตกิ ่อนแทนได้ เพอื่ ป้องกันการสบั สนระหว่าง x

กอ่ นแทนกับ x หลังแทน เรามกั ใชต้ วั แปร k เข้ามาคนั่ แลว้ ถงึ แปลงกบั เป็น x ในตอบ

สดุ ทา้ ย

9. ผสNู อนใหNนกั เรยี นศึกษาตัวอยาI งที่ 7 จากเอกสารประกอบการเรียน เรอื่ ง ฟZงกชA ัน
กำหนดให้ f(1 – x) = x2 - 2x + 2 จงหา f(x)

วิธที ำ เปลี่ยน f(1 – x) ใหก้ ลายเปน็ f(x) โดยจะเปลีย่ น f(1 – x) เป็น f(k) ก่อน

ให้ 1 – x = k

–x=k–1

x=-k+1
ดงั นน้ั f(1 – x) = x2 - 2x + 2
f(k) = (-k+1)2- 2(-k+1) + 2

= k2 - 2k + 1 + 2k - 2 + 2
= k2 + 1
เปลี่ยนตวั แปร k เปน็ x จะได้ f(k) = k2 + 1
เพราะฉะน้นั f(x) = x2 + 1
10. ผNูสอนใหนN กั เรียนศึกษาตัวอยาI งท่ี 8 จากเอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง ฟงZ กชA ัน

กำหนดให้ f $x - 1% = x2 – 1 จงหา f(x)
2
fx $ x–x2-2-111 %== $x - 1%
วธิ ที ำ เปลีย่ น ใหก้ ลายเป็น f(x) โดยจะเปล่ยี น f 2 เป็น f(k) ก่อน
ให้
k
2k

x = 2k + 1

ดงั นน้ั f $x - 1% = x2 – 1
= (2k + 1)2 – 1
2 = 4k2 + 4k + 1 – 1

f(k)

= 4k2 + 4k
เปล่ียนตวั แปร k เปน็ x จะได้ f(k) = 4k2 + 4k
เพราะฉะนน้ั f(x) = 4x2 + 4x

11. ผูNสอนใหNนักเรียนศึกษาตัวอยIางที่ 9 จากเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟZงกAชัน

พร้อมทั้งอธิบายเพ่มิ เติมวา่ การเขียนกราฟของฟงั กช์ นั ทก่ี ำหนดให้ นอกจากจะเขียน

เป็นกราฟคู่อันดับแล้ว สามารถเขียนแทนบนเส้นจำนวนได้อีกด้วย และเส้นจำนวน
2 เส้นที่ขนานกันแสดงเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ โดยลูกศรแสดง

ความสัมพนั ธ์ของแตล่ ะคู่

ให้เขียนแผนภาพแสดงความสมั พันธข์ องฟงั กช์ นั f(x) = 2x + 1 โดยท่ี x เปน็ จำนวน

เตม็ ใด ๆ

วิธที ำ

12. ผNสู อนอธบิ ายเพิ่มเตมิ ว่า “ ในการบอกคา่ โดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั สามารถบอกได้

เป็นรูปแบบตา่ งๆ 2 รปู แบบ ” ได้แก่

• การบอกเปน็ เซตโดยพิจารณาจากฟังก์ชันทกี่ ำหนดให้

เชน่ f(x) = { (1, 2),(3, 4),(5, 6) } โดเมน คือ { 1, 3, 5 } และเรนจ์ คอื

{ 2, 4, 6 }
• การบอกเป็นชว่ ง เชน่ f(x) = { (x, y) ∈ R x R ∣ y = 2x } โดเมน คอื {-∞,∞}

และเรนจ์ คอื {-∞,∞}

13. ผ้สู อนยกตวั อยา่ งที่ 10 จากเอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟงั กช์ นั
yเจขา=ยี กน21xyกรเ=มาฟ่อื12xข-อ4ง≤yx=≤12x8
กำหนด ให้หาเรนจข์ องฟังก์ชนั
วธิ ที ำ ได้ ดงั น้ี

จากกราฟ จะได้เรนจ์ของกราฟอยใู่ นชว่ ง -2 ≤ y ≤ 4
ดังนน้ั Rf = {y∣ y ∈ R และ-2 ≤ y ≤ 4 หรือ [-2, 4]
14. ผู้สอนครูอธิบายเพ่ิมเตมิ ว่า “ในการหาเรนจข์ องฟงั ก์ชนั ท่ีกำหนดให้ โดยทโี่ จทย์

กำหนดชว่ งของโดเมนมาแล้ว นกั เรยี นสามารถกำหนดคา่ x ค่าที่น้อยทีส่ ุดและมาก

ท่ีสดุ ของช่วงทก่ี ำหนดให้ มาใช้เพ่อื หาช่วงของคา่ เรนจห์ รอื ค่า y ได้” เชน่
กำหนด g(x) = 3x โดยที่ -2 < x < 2 หาเรนจข์ องฟงั กช์ ันได้ ดังน้ี

วิธีทำ จาก g(x) = 3x

พิจารณา x = -2 จะได้ g(x) = 3(-2) = -6

พจิ ารณา x = 2 จะได้ g(x) = 3(2) = 6

แต่เนือ่ งจากชว่ งของโดเมนหรือค่า x เป็น -2 และ 3 ไมไ่ ด้ เพราะเป็นช่วง

เปิด

ดงั นัน้ คา่ ของเรนจ์จะเปน็ ช่วงเปดิ ดว้ ย

น่ันคอื เรนจ์อยูใ่ นช่วง (-6, 6)

15. ผสู้ อนยกตัวอยา่ งที่ 11 จากเอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง ฟงั กช์ นั
กำหนด f(x) = 2x – 1 โดยที่ -1 ≤ x ≤ 3 ใหห้ าเรนจข์ องฟังก์ชนั
วิธีทำ จาก f(x) = 2x -1
พิจารณาท่ี x = 1 จะได้ f(-1) = 2(-1) – 1 = -3
พจิ ารณาท่ี x = 3 จะได้ f(3) = 2(3) – 1 = 5
เขยี นกราฟของฟังก์ชนั ได้ ดงั นี้

จากกราฟ จะได้ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง -3 ≤ y ≤ 5
ดงั นัน้ Rf = {y∣ y ∈ R และ -3 ≤ y ≤ 5 หรือ [-3, 5]

9.3 ขนั้ ที่ 3 ขนั้ สรปุ
16. ผสู้ อนถามคำถามนักเรียน เพอื่ สรุปความรู้ เร่ือง การแทนคา่ ฟังกช์ นั ดงั นี้
• สญั ลักษณ์ y = f(x) มีความหมายวา่ อยา่ งไร
แนวทางการตอบ ถ้า f เป็นฟงั กช์ ัน และ (x , y) ∈ f แล้วจะกล่าว
วา่ y เป็นค่าของฟงั ก์ชัน f ที่ x
• กำหนดให้ y = 3x – 1 สามารถเขยี นในรูปแบบบอกเง่ือนไขของสมาชกิ ได้
อยา่ งไร
แนวทางการตอบ f(x) = { (x, y) ∈ R x R ∣ y = 3x – 1 }
• กำหนดให้ y = 5x + 2 โดยท่ี -2 ≤ x ≤ 4 เรนจข์ องฟงั ก์ชันอยใู่ นชว่ งใด
แนวทางการตอบ เรนจ์ของกราฟจะอยูใ่ นชว่ ง -8 ≤ y ≤ 2
17. ผ้สู อนมอบหมายแบบฝึกทักษะที่ 2.4 ขอ้ ที่ 3 - 6 ให้นักเรยี นทำเป็นการบ้าน

10. ชนิ้ งาน/ภาระงาน
10.1 แบบฝhกทกั ษะท่ี 2.4 เรอื่ ง ฟงั ก์ชนั
10.2 เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง ฟงั ก์ชนั

11. สอ่ื การสอน/แหล4งเรียนรู/
1. สื่อการสอน
1. แบบฝกh ทักษะที่ 2.4 เร่อื ง ฟงั ก์ชนั
2. โปรแกรม GeoGebar

2. แหล4งเรยี นรู/
1. หนงั สอื เรยี นรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตรA ช้ันมธั ยมศกึ ษาปjที่ 5
2. เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง ฟังกช์ ัน

12. การวดั และประเมินผล

เป้าหมายการเรียนรู้ วิธีการวดั เคร่ืองมือวัด เกณฑ์การประเมิน
1. ข้อคำถาม
ด้านความรู้ (K) 1. บอกความหมาย
สัญลักษณ์ของ
1. นักเรียนสามารถบอกความหมาย 1. สังเกตพฤติกรรมใน ฟังกช์ ันไดอ้ ยา่ ง
ถกู ตอ้ ง
สัญลักษณข์ องฟังก์ชนั ได้อย่าง การตอบคำถามของ

ถกู ตอ้ ง นักเรียน

2. นักกเรยี นสามารถเขา้ ใจเก่ยี วกับ 2. การตรวจแบบฝกึ 2. แบบฝึกทกั ษะที่

การใช้สัญลักษณ์ได้อยา่ งถดู ต้อง ทกั ษะที่ 2.4 2.4

ดา้ นทักษะ (P) 1. การตรวจแบบฝึก 1. แบบฝึกทกั ษะท่ี 1. ไดค้ ะแนนมากกว่า
1. นักเรยี นสามารถตรวจสอบไดว้ า่ ทกั ษะที่ 2.4 2.4 รอ้ ยละ 60 ข้ึนไป

ความสมั พนั ธ์กำหนดใหเ้ ป็น
ฟงั กช์ ันหรือไม่เปน็ ฟงั ก์ชันได้
อย่างถูกต้อง
2. นกั เรียนสามารถนำความรเู้ รอ่ื ง
ความสัมพันธม์ าเชื่อมโยงกับ
ความรูเ้ รอ่ื งฟังกช์ นั ได้อยา่ ง
ถูกต้อง

เปา้ หมายการเรยี นรู้ วธิ กี ารวดั เคร่อื งมือวดั เกณฑก์ ารประเมนิ

ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) 1. สงั เกตพฤติกรรมใน 1. การมสี ว่ นรว่ มใน 1. นักเรยี นมคี วามมุ่งมัน่
1. นกั เรยี นมีความมงุ่ มั่นในการ การตอบคำถามและ การตอบคำถาม ในการทำงาน ใฝ่
การปฏิบตั กิ ิจกรรม และกจิ กรรมในชั้น เรียนรู้
ทำงาน ใฝเ่ รียนรู้ และมีความ ของนกั เรยี น เรยี น
รับผดิ ชอบต่องานท่ีไดร้ ับ
มอบหมาย

2. การตรวจแบบฝกึ 2. แบบฝึกทกั ษะที่ 2. นกั เรยี นส่งงานท่ีไดร้ ับ
ทักษะท่ี 2.4 2.4
มอบหมายตรงตาม
ระยะเวลาทีก่ ำหนด