8 1-C 2-A 3-A 4-E 5-D 6-A 7-B 8-E 9-C 10-E 11-D 12-B 13-E 14-E 15-A 16-C 17-A 18-E 19-D 20-D 21-B 22-C 23-D 24-A 25-D 26-B 27-D 28-B 29-A 30-B 31-C 32-B 33-C 34-C 35-D 36-A 37-E 38-B 39-B 40-C 41-C 42-C 43-A 44-C 45-C 46-B 47-D 48-C 49-A 50-D 51-B 52-E www.netlerikatla.com 50. Aşağıda f ve g fonksiyonlarının ve y = x doğrusunun grafikleri verilmiştir. f fonksiyonunun grafiği ve g fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, g(–1) kaçtır? A) 5 2 B) 2 C) 1 D) – 5 2 E) –3 y x g y = x f 4 –2 48. Bir sınıftaki öğrencilerin % 30 u gözlüklü, % 40'ı kızdır. Kızların % 60'ı gözlüklü ve gözlüksüz erkek öğrenci sayısı 27 olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 51. Şekilde; aralarında 100 km mesafe bulunan iki araç A ve B noktalarından aynı anda ve aynı yönde saatte ortalama 80 km ve 60 km hızlarla hareket etmektedirler. Buna göre, bu iki aracın hareket ettikten x saat sonra aralarındaki mesafeyi gösteren fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) f(x) = * 100 + 20x , x ≤ 5 20x , x > 5 , B) f(x) = * 100 – 20x , x ≤ 5 20x – 100 , x > 5 , C) f(x) = * 100 – 2x , x ≤ 5 20x – 100 , x > 5 , D) f(x) = * 20x , x ≤ 5 100 – 20x , x > 5 , E) f(x) = * 100 – 20x , x ≤ 5 100x – 20 , x > 5 , 80 km/s 60 km/s A 100 km B 49. A \ B = { 2, 3 } B = { 1, 4, 5, 6, 7 } (A ∪ B) \ (A ∩ B) = { 1, 2, 3, 5, 7 } kümeleri veriliyor. Buna göre, s[(A x B) ∩ (B x B)] kaçtır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 52. "Bir polinomun en büyük dereceli teriminin derecesi ile en küçük dereceli teriminin derecesi arasındaki farka ‘polinomun derece farkı’ denir." tanımı yapılıyor ve P(x) polimonunun derece farkı def [P(x)] ile gösteriliyor. Buna göre, I. def [P(x)] = der [P(x)] ise P(0) ≠ 0 dır. II. def [x2.P(x)] = def [P(x)] tir. III. def [P(x).Q(x)] = def [P(x)] + def [Q(x)] ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 1 www.netlerikatla.com ✔ Saymanın Temel İlkeleri ✔ Permütasyon ✔ Tekrarlı Permütasyon PERMÜTASYON 33. FÖY PERMÜTASYON Saymanın Temel İlkeleri 1. Toplama Yoluyla Sayma İki işten birincisi a farklı yolla, ikincisi b farklı yolla yapılıyorsa birinci veya ikinci iş a + b farklı yolla yapılır. Tanım Örnek 1 : 3 gömlek ve 5 tişörtü olan bir kişi, 1 gömlek veya 1 tişörtü kaç farklı şekilde giyebilir? Çözüm: 2. Çarpma Yoluyla Sayma: İki işten birincisi a farklı yolla, ikincisi b farklı yolla yapılıyorsa birinci ve ikinci iş a.b farklı yolla yapılır. Tanım Örnek 2 : 3 gömlek ve 5 tişörtü olan bir kişi 1 gömlek ve 1 tişörtü kaç farklı şekilde giyebilir? Çözüm: Örnek 3 : 3 çeşit çorba, 4 çeşit yemek ve 2 çeşit tatlıdan birer tane seçmek isteyen bir kişi kaç farklı seçim yapabilir? Çözüm: Kutucuk Yöntemi Bu yöntem, bir önceki hamlede verilen çarpma yoluyla sayma kurallarının daha sistematik halidir. İş sayısı kadar kutu çizilir. Kutulara her işin yapılabilme sayıları yazılarak çarpma işlemi uygulanır. Tanım Örnek 4 : B A C Yukarıda verilen A, B ve C şehirleri arasında A dan B ye 2 farklı yol, A'dan C'ye 3 farklı yol bulunmaktadır. A şehrindeki bir kişi, B veya C şehirlerine kaç farklı şekilde gidebilir? Çözüm: Örnek 5 : A B C A şehrinden B şehrine 2 farklı, B şehrinden C şehrine 3 farklı yol bulunmaktadır. Buna göre, A şehrinden hareket eden bir kişi giderken kullandığı yolu dönüşte kullanmamak şartıyla A dan C ye kaç farklı şekilde gidip dönebilir? Çözüm:
2 33. FÖY: PERMÜTASYON PERMÜTASYON TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 6 : 4 mektup, 5 posta kutusuna her kutuda en fazla bir mektup olması koşulu ile kaç farklı şekilde atılabilir? Çözüm: Örnek 7 : Herbiri 5 seçenekten oluşan 10 soruluk bir sınavın, cevap anahtarı ardışık iki sorunun cevabı aynı olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Çözüm: Örnek 8 : 6 kişinin katıldığı bir yarış, başarı ve başarısızlık yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? Çözüm: Örnek 9 : Bir zar ve üç madeni para atılırsa kaç farklı durum elde edilir? Çözüm: Örnek 10 : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, a. kaç sayı yazılabilir? b. rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c. kaç çift sayı yazılabilir? d. rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? e. 300'den büyük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? Çözüm: Örnek 11 : A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı a. kaç sayı yazılabilir? b. rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c. kaç çift sayı yazılabilir? d. rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? e. 400 den büyük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 12 : A = {1, 3, 5, 7, 8} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı, rakamları farklı, 5 ile tam bölünebilen kaç sayı yazılabilir? Çözüm: Örnek 13 : 3 farklı çikolata, 5 çocuğa kaç farklı biçimde dağıtılabilir? Çözüm: Örnek 14 : “abcab” şeklindeki beş basamaklı sayılara "sevimli sayı" denir. Buna göre, A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarının en fazla iki defa kullanılması ile kaç farklı “sevimli sayı” yazılabilir? Çözüm: Permütasyon n tane elaman içerisinden r tane elemanın dizilişlerinin sayısı, P(n,r) = n! (n–r)! ile bulunur. P(n, 1) = n P(n, n) = n! P(n, n – 1) = n! Tanım Örnek 15 : Aşağıdaki eşitlikleri yazınız. I. P(5, 3) = .......... II. P(7, 2) = .......... III. P(9, 1) = .......... IV. P(8, 8) = .......... Örnek 16 : P(n, 2) = 132 olduğuna göre, n sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 17 : P(n, n – 1) + P(n, n – 2) = 36 olduğuna göre, n sayısı kaçtır? Çözüm:
4 33. FÖY: PERMÜTASYON PERMÜTASYON TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 18 : A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3’lü permütasyonlarının kaç tanesinde 2 bulunur, 3 bulunmaz? Çözüm: Örnek 19 : 7 öğrenci içerisinden seçilecek 4 öğrenci yan yana kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? Çözüm: Örnek 20 : İçlerinde Kadir’in de bulunduğu 8 kişi içerisinden 4 kişi yan yana fotoğraf çektireceklerdir. Kadir’in de fotoğrafta yer aldığı kaç durum vardır? Çözüm: n farklı nesne yan yana n! farklı şekilde sıralanır. NOT Birbirinden ayrılması istenmeyen kişiler (veya nesneler) bir kişi (veya nesne) olarak düşünülür. NOT Örnek 21 : Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile, a. Yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? b. Anne ve baba bir arada olmak koşuluyla yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? c. Anne ve baba bir arada olmamak koşuluyla yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? Çözüm: Örnek 22 : 3 farklı Matematik, 4 farklı Kimya ve 2 farklı Biyoloji kitabı Matematik kitapları bir arada olacak biçimde yan yana kaç farklı şekilde dizilir? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 23 : 2 Tarih, 3 Edebiyat ve 4 Coğrafya kitabı aynı branş kitapları bir arada olmak koşulu ile yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? Çözüm: Örnek 24 : Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba birer uçta olmak üzere yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? Çözüm: Örnek 25 : 4 doktor ve 4 hemşire herhangi, iki doktor ya da herhangi iki hemşire bir arada olmamak koşuluyla yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? Çözüm: Örnek 26 : 5 farklı Fizik, 4 farklı Biyoloji ve 3 farklı Kimya kitabı, Fizik kitapları bir arada ve 2 Biyoloji kitabının arasında yalnız bir kimya kitabı bulunmak üzere yan yana kaç farklı şekilde dizilir? Çözüm: Örnek 27 : “TAKİP” kelimesinin harflerinin yer değiştirmesiyle oluşan anlamlı ve anlamsız bütün kelimeler, alfabetik sıraya göre dizildiğinde baştan 53. kelime nedir? Çözüm: Örnek 28 : “ASUDE” kelimesinin harflerinin yer değiştirmesiyle oluşan beş harfli kelimelerin kaç tanesinde D harfi, A harfinin solundadır? Çözüm: Örnek 29 : “KURAL” kelimesinin harflerinin yer değiştirmesiyle oluşan beş harfli kelimelerin kaç tanesinde A harfi L harfinin solunda, K harfinin sağındadır? A) 18 B) 20 C) 24 D) 32 E) 36 Çözüm:
6 33. FÖY: PERMÜTASYON PERMÜTASYON TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 30 : 9. 10. ve 11. sınıfların her birinden 3’er kişinin katıldığı bir grup yan yana dizilecektir. 9. sınıflar yan yana, 10. sınıfların ise hiçbiri yan yana olmamak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? Çözüm: Örnek 31 : “123456” sayısının rakamlarının yerlerinin değiştirilmesiyle oluşturulan 6 basamaklı sayıların kaç tanesinde 63 sayısı vardır? Çözüm: Örnek 32 : A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin elemanları kullanılarak en az iki basamağındaki rakam aynı olan, üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? Çözüm: Örnek 33 : Aralarında Hüsrev ve Pertev’in de bulunduğu 6 kişi, Hüsrev ve Pertev arasında en az bir kişi bulunmak üzere yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? Çözüm: Örnek 34 : 5 kişilik bir araca binecek olan 5 arkadaştan 2 tanesinin ehliyeti vardır. Ehliyetli olanlardan biri sürücü koltuğuna oturmak üzere araca kaç farklı biçimde oturabilirler? (Sürücü yanı tek kişiliktir.) Çözüm: Örnek 35 : A = {0, 1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesi veriliyor. Buna göre, birler basamağı A kümesinden, onlar ve yüzler basamağı B kümesinden alınarak rakamları farklı, üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? Çözüm: Örnek 36 : mavi yeşil sarı kırmızı mor Yukarıda 5 farklı renkteki balona 3 el ateş eden bir atıcı, atışların hepsinde isabet ettirmiştir. Atıcının yeşil balonu vurduğu bilindiğine göre, kaç farklı durum oluşabilir? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Tekrarlı Permütasyon r 1 tanesi kendi içerisinde özdeş r 2 tanesi kendi içerisinde özdeş . . . r k tanesi kendi içerisinde özdeş toplam n tane nesne yan yana n! r 1!.r 2!.r 3!....r k! farklı şekilde sıralanır. Tanım Örnek 37 : 233111 sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Çözüm: Örnek 38 : 2100122 sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Çözüm: Örnek 39 : MEKREME kelimesinin harflerinin yer değiştirmesiyle elde edilen 7 harfli kelimelerin kaç tanesi K harfiyle başlar? Çözüm: Örnek 40 : Hilesiz bir madeni para 6 kez atıldığında 4 defa tura geldiği kaç durum vardır? Çözüm: Örnek 41 : Aşağıda 2 sarı ve 3 mavi renkte toplam 5 balon verilmiştir. Bir atıcı balonlara 5 atış yapıp her atışta bir balonu patlatıyor. Balonlar kaç farklı renk sıralaması ile patlatılmış olabilir? Çözüm:
8 33. FÖY: PERMÜTASYON PERMÜTASYON TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 42 : Aşağıda birbirine dik yollar verilmiştir. A B Buna göre, A noktasından B noktasına en kısa yol kullanılarak üzere kaç farklı şekilde gidilebilir? Çözüm: Örnek 43 : A B C Yukarıda birbirine dik yollar verilmiştir. Buna göre, A noktasından B noktasına, en kısa yol kullanılmak ve C noktasından geçmek şartıyla kaç farklı şekilde gidilebilir? Çözüm: Örnek 44 : A B Yukarıda birbirine dik yollar verilmiştir. A dan B ye kaç farklı şekilde gidilebilir? Çözüm: Örnek 45 : C İ H A N G İ R İ H A N G İ R Ö H A N G İ R Ö M A N G İ R Ö M E N G İ R Ö M E R Yukarıdaki şekilde kaç farklı biçimde CİHANGİR ÖMER ismi okunabilir? Çözüm: Örnek 46 : S I K I Ç I K I Ç A K I Ç A L I Ç A L I Ç A L I Ş Yukarıda verilen tabloda kaç farklı şekilde SIKIÇALIŞ yazısı okunabilir? Çözüm: Örnek 47 : İ M A G A M İ A G İ G A İ R İ O Yukarıda verilen şekilde kaç farklı biçimde ORİGAMİ yazısı okunabilir? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 48 : Aşağıda Şekil - 1’de verilen birimkarelerden oluşmuş tabloda her satır ve her sütunda yalnızca bir kare boyanarak şekil - 2’deki gibi desenler elde edilecektir. Şekil - 1 Şekil - 2 Buna göre Şekil - 2’deki gibi kaç farklı desen elde edilebilir? Çözüm: Örnek 49 : Baştan ve sondan okunuşları aynı olan kelimelere “polindrom sözcük” denir. Örneğin, KABAK Buna göre A = {A, B, E, C, D} kümesinin elemanlarıyla beş harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı polindrom sözcük yazılabilir? Çözüm: Örnek 50 : Bir kişi 5 kez 2 basamak ve 4 kez 1 basamak çıkmak şartıyla 14 basamaklı bir merdiveni kaç farklı şekilde çıkabilir? A) 14! 5!.4! B) 14! 5!.4!2! C) 324 D) 198 E) 126 Çözüm: Özdeş Nesnelerin Dağıtılması Örnek 51 : 6 özdeş çikolata 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? Çözüm: Örnek 52 : 7 özdeş oyuncak 4 çocuğa, her çocuğa en az bir oyuncak verilmesi koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? Çözüm: Örnek 53 : a, b, c, d ∈ N olmak üzere, a + b + c + d = 6 eşitliğini sağlayan kaç tane (a, b, c, d) dörtlüsü vardır? Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 6. Yukarıda verilen 36 özdeş kareden oluşan şekilde, her satır ve her sütunda yalnızca bir kare boyanması koşuluyla kaç farklı desen oluşturulabilir? A) 120 B) 480 C) 600 D) 720 E) 900 5. 4 kız ve 3 erkek, kızlar bir arada ve erkekler bir arada olmak üzere yan yana kaç farklı şekilde dizilebilirler? A) 144 B) 176 C) 288 D) 480 E) 720 4. İçlerinde iki kardeşin bulunduğu 6 kişilik arkadaş grubu, kardeşlerin sıranın birer ucunda bulunması koşuluyla yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 48 B) 72 C) 100 D) 120 E) 240 3. İçlerinde Şamil ve Şahin’in de bulunduğu 5 kişi Şamil ve Şahin’in yan yana gelmemesi koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanır? A) 72 B) 76 C) 84 D) 88 E) 96 2. İki takım arasında bir sezonda oynanan iki maç galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik yönünde kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak 300’den küçük, üç basamaklı, rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) 20 B) 40 C) 48 D) 60 E) 72
11 www.netlerikatla.com 1-B 2-D 3-A 4-A 5-C 6-D 7-D 8-B 9-D 10-B 11-C 12-A 12. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile, anne ve babanın arasında yalnızca en küçük çocuk bulunması koşuluyla yan yana kaç farklı şekilde otururlar? A) 48 B) 52 C) 64 D) 68 E) 72 11. Dört defa atılan bir zarın üst yüzeyine gelen sayılar (a, b, c, d) dörtlüleri olarak yazılırsa, kaç farklı (a, b, c, d) dörtlüsü elde edilir? A) 62 B) 63 C) 64 D) 65 E) 66 10. KALABALIK kelimesinin harflerinin yer değiştirmesiyle oluşan kelimelerin kaç tanesi B ile başlamaz? A) 12400 B) 13440 C) 15720 D) 16180 E) 18000 9. “HİKMET” kelimesinin harflerinin yerlerinin değiştirilmesi ile anlamlı ya da anlamsız T ile başlayan kaç kelime yazılabilir? A) 24 B) 48 C) 96 D) 120 E) 144 8. “NAZMİ” kelimesinin harflerinin yer değiştirmesi ile oluşacak 5 harfli kelimeler alfabetik sıraya göre dizilirse “NAZMİ” kelimesi baştan kaçıncı sırada olur? A) 72 B) 78 C) 84 D) 90 E) 96 7. P(n, 2) + P(n, 1) = 36 olduğuna göre, n sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2 6. 1’den 10’a kadar olan sayılar, herhangi iki tek sayı yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 4!.5! B) 5!.2 C) (5!)2 D) (5!)2.6 E) 6! 5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak 400’den büyük, rakamları farklı ve 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 45 B) 50 C) 60 D) 70 E) 90 4. 5 erkek ve 4 kız öğrenci, her iki erkek arasına bir kız öğrenci gelmek şartıyla kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 4! B) 5! C) 4!.4! D) 5!.5! E) 5!.4! 3. İçlerinde Ali, Mehmet ve Mert’in de bulunduğu 7 kişi; ` Ali’nin en solda bulunması, ` Ali’nin yanında Mehmet veya Mert olması koşullarıyla yan yana kaç farklı şekilde dizilirler? A) 120 B) 240 C) 360 D) 600 E) 720 2. İçinde Ayşe ve Beyza’nın olduğu 8 kişi, 8 kişilik bir banka Ayşe en sola, Beyza en sağa oturmak şartıyla kaç farklı şekilde yan yana oturabilirler? A) 6! B) 6!.2 C) 7! D) 7!.2 E) 8! 1. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? l. P(n, n–2) = 3n.P(n – 1, n – 4) ll. P(n, n – 1) = P(n, n) lll. P(n, 2) = P(n,3) n – 2 A) Yalnız l B) Yalnız lll C) l ve ll D) ll ve lll E) l, ll ve lll
13 www.netlerikatla.com 1-E 2-A 3-B 4-E 5-B 6-D 7-A 8-A 9-D 10-C 11-A 12-B 12. 3 öğrenci ve 2 öğretmen 2 kişi önde 3 kişi arkada yan yana fotoğraf çektireceklerdir. Buna göre, öğretmenlerin yanyana olduğu kaç farklı çekim yapılabilir? A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42 11. Eray ve Bilal’in de aralarında bulunduğu 5 kişi yan yana dizilecektir. Eray ve Bilal’in arasında yalnız 1 kişinin olduğu kaç farklı diziliş gerçekleşebilir? A) 36 B) 40 C) 48 D) 54 E) 60 10. Yukarıdaki şekilde kaç farklı biçimde “İBRAHİM” yazısı okunabilir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 İ R B R H A R A H M İ H A H İ M H A R A H R B R İ 9. Aşağıda birbirini dik kesen yerler verilmiştir. A C B Buna göre, A noktasındaki bir hareketli en kısa yolu kullanarak B noktasına uğramadan kaç farklı şekilde C noktasına gidebilir? A) 50 B) 52 C) 54 D) 66 E) 72 8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek 7 basamaklı sayıların kaçında 1, 2 ve 3 rakamları yan yanadır? A) 6! B) 5!.7 C) 5!.3 D) 4!.6 E) 4!.3 7. Anne, baba, nine ve 4 çocuktan oluşan 7 kişilik bir aile yan yana dizilerek fotoğraf çekilecektir. Anne, baba ve ninenin hiçbirinin yan yana gelmeyeceği kaç farklı fotoğraf çekimi yapılabilir? A) 6!.2 B) 4!.3 C) 5!.3 D) 6!.6 E) 7!.3
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 4. Her DNA zincirinde Adenin, Guanin, Sitozin ve Timin olmak üzere 4 farklı nükleotid vardır. Adenin-Timin ile Guanin-Sitozin ile eşleşir. Buna göre, yukarıdaki şekilde verilen 600 satırı olan bir DNA zincirinde kaç farklı durum ortaya çıkar? A) 2600 B) 2199 C) 4600 D) 4601 E) 4602 A G G T S S 3. Yukarıda A, B ve C şehirleri arasındaki yollar verilmiştir. Buna göre, A şehrinden hareket eden bir araç, dönüşte giderken kullandığı yolu kullanmamak şartı ile C şehrine kaç farklı şekilde gider ve döner? A) 144 B) 150 C) 172 D) 196 E) 216 A B C 2. Aşağıda 9 top atış için hedefe şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Hedefe atış yapan bir kişi her seferinde alttan başlayarak hedefleri vurduğuna göre, tüm hedefleri kaç farklı sıralama ile vurmuştur? A) 960 B) 1050 C) 1120 D) 1260 E) 1280 1. Aşağıda birbirini dik kesen yollar verilmiştir. A C D E F B Buna göre, A noktasındaki bir kişi CDEF yolunu kullanmak şartıyla en kısa yoldan B noktasına kaç farklı şekilde gidebilir? A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 54
15 www.netlerikatla.com 1-B 2-D 3-B 4-C 5-E 6-B 7-C 8-D 8. 2024 yılında 20 yaşına girecek olan Emir cep telefonunun 6 basamaklı şifresini oluştururken şifrenin 4 hanesini kendi doğum yılının rakamlarının yerlerini değiştirmeden ardışık olarak kullanmak istiyor. Buna göre, Emir kaç farklı şifre belirleyebilir? A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 7. 18 tane kutunun her sütununda ardışık olan 2 kutudaki nokta sayısının toplamı 7 olacak şekilde zar figürü uygulanacaktır. Örneğin; herhangi bir sütundaki görüntü şeklinde olabilir. Her sütundaki diziliş farklı olmak şartıyla 18 kutuyu dolduracak olursak, kaç farklı görüntü elde edebiliriz? A) 66 B) 56 C) 6! D) 7! E) 306 6. Şekil I Şekil II Yukarıdaki şekiller birim karelerden oluşturulmuştur. Şekil I’deki her satırda en az bir kare boyanmak şartıyla kaç farklı desen elde edilebilir? A) 340 B) 315 C) 275 D) 240 E) 217 5. Aşağıda bir galerinin deposundaki A, B ve C marka araçların renkleri ve adetleri verilmiştir. Aynı marka ve aynı renk araçlar birbirinin aynısıdır. Marka Renk Adet A Beyaz 6 Siyah 2 B Gri 2 Beyaz 4 C Lacivert 2 Siyah 1 Buna göre, I. B ve C markalı araçlar galerinin önüne yan yana 3780 farklı şekilde dizilebilir. II. Sadece B markalı araçların tamamı galerinin önüne 15 farklı şekilde dizilebilir. III. Beyaz araçlar galerinin önüne yan yana 210 farklı şekilde dizilebilir. ifadesinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-B 1. Bir davete katılan Ayça, Büşra, Ceyda, Deniz, Erdem ve Furkan isimli altı arkadaş için etrafında 6 sandalye bulunan şekilde gösterilen üzeri desenli bir masa ayrılmıştır. Araları bozuk olan Ayça ve Büşra, bu masadaki yan yana olan sandalyelere de karşı karşıya olan sandalyelere de oturmak istememektedirler. Buna göre, bu altı arkadaş masa etrafındaki bu sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 432 B) 384 C) 360 D) 288 E) 240 2019 - AYT
1 ✔ Kombinasyon ✔ Binom KOMBİNASYON BİNOM 34. FÖY TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com KOMBİNASYON n farklı eleman içerisinden, r tanesinin seçilişlerinin sayısı: C(n,r) = n! r!.(n – r)! C(n,r) = b n r l Tanım Örnek 1 : Aşağıdaki eşitlikleri bulunuz. b 7 3 l = ......................... b 5 2 l = ......................... b 9 3 l = ......................... b 8 5 l = ......................... Örnek 2 : b n 2 l + b n 1 l = 36 olduğuna göre, n sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 3 : P(n, 2) – C(n, 2) = 45 olduğuna göre, n sayısı kaçtır? Çözüm: KOMBİNASYON ÖZELLİKLERİ 1. b n 0 l = b n n l = 1 2. b n 1 l = b n n – 1l = n 3. b n r l = b n n – r l 4. b n r l + b n r + 1 l = b n + 1 r + 1 l 5. b n 0 l + b n 1 l + b n 2 l + ... + b n n l = 2n 6. b n 0 l + b n 2 l + b n 4 l + ... = 2n–1 b n 1 l + b n 3 l + b n 5 l + ... = 2n–1 Tanım Örnek 4 : Aşağıdaki eşitlikleri yazınız. • b 7 0 l + b 9 1 l = ......................... • b 8 1 l + b 6 5 l = ......................... • b 9 3 l = b 9 ... l • b 7 2 l = b 7 ... l • b 11 7 l + b 11 8 l = b 12 ... l • b 8 0 l + b 8 2 l + b 8 4 l +b 8 6 l + b 8 8 l = ......................... • b 9 1 l + b 9 3 l + b 9 5 l +b 9 7 l + b 9 9 l = ......................... Örnek 5 : 8 kişi içerisinden, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı şekilde seçilebilir? Çözüm:
2 34. FÖY: KOMBİNASYON BİNOM KOMBİNASYON BİNOM TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 6 : 4 kız ve 5 erkek içerisinden en az 3 tanesi kız olmak üzere, 5 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir? Çözüm: Örnek 7 : İçlerinde Mehmet ve Akif’in de bulunduğu 8 kişi içerisinden, 5 kişilik bir ekip seçilecektir. Mehmet’in bulunup Akif’in bulunmadığı kaç farklı ekip oluşturulabilir? Çözüm: Örnek 8 : İçlerinde Süleyman ve Harun’un bulunduğu 7 kişi içerisinden 4 kişi seçilecektir. Seçilecek kişiler arasında Süleyman ve Harun birlikte bulunmak istemediklerine göre kaç farklı seçim yapılabilir? Çözüm: Örnek 9 : A = {1, 3, 5, 6, 7, 8} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde çift sayı bulunmaz? Çözüm: Örnek 10 : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin a. üç elemanlı kaç alt kümesi vardır? b. en çok üç elemanlı kaç alt kümesi vardır? c. üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur, 5 bulunmaz? Çözüm: Örnek 11 : Bir sınıftaki 5 öğrenci Matematik ve Fizik derslerinden proje hazırlayacaklardır. Bir öğrenci, birden fazla proje hazırlayamamaktadır. Bu derslerin her birinden en az birer öğrenci proje hazırlayacağına göre, bu 5 öğrenci kaç farklı şekilde gruplandırma ile proje hazırlayabilir? Çözüm: Örnek 12 : 5 erkek, 4 kız öğrenci içerisinden 5 kişi seçilecektir. a. 2 tanesinin kız olduğu kaç durum vardır? b. 2 tanesinin erkek olduğu kaç durum vardır? c. En çok 2 tanesinin erkek olduğu kaç durum vardır? d. En az 2 tanesinin kız olduğu kaç durum vardır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 13 : 8 kişilik bir öğrenci grubundan 2 kişi Fatih’e, 3 kişi Sultanahmet’e, 3 kişi de Üsküdar’a kaç farklı şekilde gidebilir? Çözüm: Örnek 14 : İçlerinde Tevfik ve Fikret’in de bulunduğu 8 kişi, Tevfik ve Fikret’in arasında yalnızca iki kişi olacak şekilde yan yana kaç farklı şekilde dizilir? Çözüm: Örnek 15 : İçlerinde Murat ve Ali’nin de bulunduğu 7 kişi, 3 kişi önde 4 kişi arkada fotoğraf çektirecektir. Buna göre, Murat ile Ali’nin yan yana olduğu kaç çekim yapılabilir? Çözüm: Örnek 16 : 4 tanesi aynı saatte verilen 9 dersten 3 ders seçecek bir öğrenci kaç farklı seçim yapabilir? Çözüm: Örnek 17 : a < b < c olacak şekilde kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? Çözüm: Örnek 18 : 10 kişi içerisinden 8 kişilik bir takım ve bu 8 kişi içerisinden de bir kaptan kaç farklı şekilde seçilebilir? Çözüm: Örnek 19 : 10 sorunun bulunduğu bir sınavda, 8 soru cevaplayacak bir öğrenci ilk üç sorudan en az ikisini cevaplamak şartıyla kaç farklı seçim yapabilir? Çözüm:
4 34. FÖY: KOMBİNASYON BİNOM KOMBİNASYON BİNOM TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Kombinasyonun Geometrik Şekillerde Uygulanması İki noktadan bir doğru geçer İki doğrunun kesişmesi ile bir nokta oluşur. İki üçgenin kesişmesiyle en çok 6 nokta oluşur. İki dörtgenin kesişmesiyle en çok 8 nokta oluşur. Tanım Örnek 20 : Aşağıdaki soruları cevaplayınız. I. Herhangi 3’ü doğrusal olmayan 8 nokta kaç doğru belirtir? ........................................................................................ II. Herhangi 3’ü doğrusal olmayan 9 nokta, köşeleri bu noktalar olan kaç üçgen belirtir? ........................................................................................ III. 7 doğrunun kesişmesiyle en çok kaç nokta oluşur? ........................................................................................ IV. 4’ü birbirine paralel 9 doğrunun kesişmesi ile en çok kaç nokta oluşur? ........................................................................................ V. 3’ü birbirine paralel, 4’ü aynı noktadan geçen 10 doğrunun kesişmesi ile en çok kaç nokta oluşur? ........................................................................................ VI. 5 tane farklı üçgenin kesişmesiyle en çok kaç nokta oluşur? ........................................................................................ VII. 6 tane farklı dörtgenin kesişmesiyle en çok kaç nokta oluşur? ........................................................................................ VIII. 7 tane farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç nokta oluşur? ........................................................................................ Örnek 21 : d1 d2 Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç üçgen çizilebilir? Çözüm: Örnek 22 : Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç üçgen çizilebilir? Çözüm: Örnek 23 : k1 k2 k3 k4 k5 d1 d2 d3 d4 d1//d2//d3//d4 ve k1//k2//k3//k4//k5 olmak üzere, yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 24 : d1 d2 d1//d2 olmak üzere köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? Çözüm: Örnek 25 : d Yukarıda verilen 8 noktadan üç tanesi kullanılarak kaç farklı üçgen çizilebilir? Çözüm: Örnek 26 : d1 d2 Şekildeki noktalar en fazla kaç çember belirtir? Çözüm: Örnek 27 : Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır? Çözüm: Örnek 28 : A B C Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir. Köşeleri, bu 9 noktadan üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir? Çözüm: Örnek 29 : A B E C D Yukarıda verilen şekilde kaç tane üçgen vardır? Çözüm:
6 34. FÖY: KOMBİNASYON BİNOM KOMBİNASYON BİNOM TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 30 : Yukarıda birim karelerden oluşan şekilde kaç tane kare vardır? Çözüm: Örnek 31 : Yukarıda birim karelerden oluşan şekildeki dikdörtgenlerin sayısı karelerin sayısından kaç fazladır? Çözüm: Örnek 32 : Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır? Çözüm: Örnek 33 : k1 k2 k3 k4 k5 k6 d1 d2 d3 d4 d5 d1 // d2 // d3 // d4 // d5 k1 // k2 // k3 // k4 // k5 // k6 olmak üzere, şekildeki taralı bölgeyi içine alan kaç tane paralelkenar çizilebilir? Çözüm: Örnek 34 : A B K L C D E F Yukarıdaki şekilde taralı bölgeyi içine alan kaç tane üçgen vardır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 35 : A F C D B E ABCDEF düzgün altıgen Şekildeki 7 noktadan 3 tanesini köşe kabul eden kaç üçgen yazılabilir? Çözüm: BİNOM Katsayılar toplamı bulunurken değişkenler yerine 1, sabit terim bulunurken değişkenler yerine 0 yazılır. (x + y)n ifadesinin açılımında (n + 1) tane terim vardır. Tanım Örnek 36 : Aşağıdaki boşlukları doldurunuz. (2x – 1)21 ifadesinin katsayılar toplamı: .......................... (3x – 2)5 ifadesinin sabit terimi: .......................... (x – 2y + 1)19 ifadesinin katsayılar toplamı: .......................... (a + 3b – 2)9 ifadesinin sabit terimi: .......................... (x – 3y)13 ifadesi açıldığında elde edilecek terim sayısı: ................... BİNOM AÇILIMI (x + y)n = c n 0 m xn.y0 + c n 1 m xn–1.y1 +....+ c n r m xn–r.yr + ... + c n n mx0.yn 14243 (r + 1).terim Açılım x in azalan kuvvetlerine göre yapılırsa baştan (r + 1). terim c n r mxn–r.yr olur. Tanım Örnek 37 : (x – 2)13 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 11. terim ne olur? Çözüm: Örnek 38 : (2x – 1)9 ifadesinin açılımında x in azalan kuvvetlerine göre sondan 2. terimi bulunuz. Çözüm: Örnek 39 : (x2 – 1)11 = ... + A.x6 + ... olduğuna göre, A sayısı kaçtır? Çözüm:
8 34. FÖY: KOMBİNASYON BİNOM KOMBİNASYON BİNOM TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 40 : (x – 3)10 = ... + A.x8 + ... eşitliğindeki A sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 41 : 710 + 10.79 + c 10 2 m .78 + c 10 3 m .77 + ... + 1 sayısının eşiti kaçtır? Çözüm: Örnek 42 : cx3 – 1 x m 12 ifadesinin sabit terimi nedir? Çözüm: Örnek 43 : cx – 2 x2 m 12 ifadesinin açılımında sabit terimi kaçtır? Çözüm: Örnek 44 : cx – m x2 m 9 ifadesinin sabit terimi –84 olduğuna göre, m sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 45 : cx2– 1 x3 m 11 ifadesinin açılımında x2 li terimin katsayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 46 : cx2 – 1 x3 m 8 = ... + A.x+ ... olduğuna göre, A kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 47 : (x – 2y)n ifadesinin açılımında terimlerden bir tanesi A.x3y5 olduğuna göre, A sayısı kaçtır? A) –64c 8 5 m B) –32c 8 5 m C) –16c 8 5 m D) 32c 8 5 m E) 64c 8 5 m Çözüm: Örnek 48 : (x – 2)10 ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa ortanca teriminin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) –26c 10 6 m B) –25c 10 5 m C) 24c 10 4 m D) 25c 10 5 m E) 26c 10 4 m Çözüm: Örnek 49 : ex – 2 x2 o A ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 4. terim Bx2 olduğuna göre, B A + 4 oranı kaçtır? Çözüm: Örnek 50 : (x – 1)m ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında sondan 7. terim, baştan 4. terimdir. Buna göre, verilen ifade x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: Örnek 51 : (x + 2y)n açılımında terimlerinden biri K.x3 .y4 dir. Buna göre, K kaçtır? Çözüm: Örnek 52 : (x + 3y)7 açılımıyla, (x2+ y)5 açılımındaki tüm terimler toplandığında, x4 çarpanı bulunan terimin katsayısı kaçtır? Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 7. c 16 x m = c 16 2x–5 m olduğuna göre, x sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12 6. 5 erkek, 4 kız öğrenci içerisinden, en az iki tanesi kız olmak üzere, 3 kişi kaç farklı şekilde seçilir? A) 30 B) 32 C) 34 D) 37 E) 40 5. Yukarıda birim karelerden oluşan şekildeki dikdörtgenlerin sayısı A, karelerin sayısı B olduğuna göre, A – B farkı kaçtır? A) 110 B) 120 C) 135 D) 140 E) 155 3. Aynı düzlemde bulunan 3 farklı dörtgen en fazla kaç noktada kesişir? A) 6 B) 12 C) 24 D) 28 E) 36 4. Yalnızca 4 tanesi doğrusal, 9 nokta kaç doğru belirtir? A) 30 B) 31 C) 33 D) 35 E) 36 2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin, 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde c bulunmaz? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? l. C(n,3) = 3! P(n, 3) ll. C(n, n) = P(n,n) lll. C(n, 0) = P(n, 0) A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III
11 1-B 2-A 3-C 4-B 5-A 6-C 7-E 8-E 9-A 10-C 11-E 12-A 13-B www.netlerikatla.com 13. d1 d2 Şekildeki d1 ve d2 doğruları üzerindeki noktaları köşe kabul ederek kaç dörtgen çizilebilir? A) 20 B) 60 C) 90 D) 126 E) 192 12. Yukarıdaki şekilde kaç farklı üçgen vardır? A) 42 B) 48 C) 52 D) 55 E) 56 A B C 11. n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısını hesaplamak isteyen Asya aşağıdaki işlemleri yapıyor. l. Önce iki köşe seçelim c n 2 m lI. c n 2 m = c n! (n – 2)!2! m = c n.(n – 1) 2 m lII. Ardışık iki köşeden birbirine köşegen çizilemez. n tane ardışık iki köşe vardır. lV. c n.(n – 1) 2 m – n = c n2 – 3n 2 m Buna göre, Asya yukarıda verilen işlemlerden hangisinde yanlış yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) Yanlış yoktur 10. 6 elemanlı alt küme sayısı, 3 elemanlı alt küme sayısına eşit olan kümenin en çok 7 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 492 B) 498 C) 502 D) 506 E) 512 9. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerindeki bütün terimlerin toplamı kaçtır? A) 210 B) 212 C) 215 D) 220 E) 232 8. c 20 1 m + c 20 3 m + c 20 5 m + ... + c 20 19 m işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 210 B) 212 C) 215 D) 218 E) 219
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 2 www.netlerikatla.com 6. 6 kişi, 4 kişilik ve 2 kişilik iki banka kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 4! B) 6! C) 4!.2 D) 4!.4 E) 6!.15 5. Şekilde birbirine paralel 4 doğru ve bu doğruları kesen, birbirine paralel 5 doğru vardır. Buna göre, şekil üzerinde toplam kaç paralelkenar vardır? A) 12 B) 20 C) 45 D) 60 E) 90 4. 4 öğretmen ve 6 öğrenciden oluşan bir grup içinden 5 kişi bir törene katılacaktır. Katılanlardan en az ikisi öğretmen olmak şartıyla, bu 5 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 15 B) 60 C) 66 D) 120 E) 186 3. A sınıfında 6, B sınıfında 7, C sınıfında 8 öğrenci bulunmaktadır. Hepsi aynı sınıftan olmak şartıyla 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 20 B) 55 C) 91 D) 111 E) 198 2. Bir dershanedeki bir sınıfta 2, diğer sınıfta 4 kişilik boş kontenjan kalmıştır. Kayıt için müracaat eden 8 kişiden 6’sı bu sınıflara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir? A) 28 B) 168 C) 280 D) 420 E) 540 1. c n n – 5m + c n n – 4m = c n + 1 n – 2m olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 13 www.netlerikatla.com 12. Aşağıda birbirine dik kesen iki doğru ve bu doğrular üzerinde bulunan 9 nokta verilmiştir. Buna göre bu noktalar kullanılarak kaç farklı dik üçgen çizilebilir? A) 25 B) 20 C) 18 D) 16 E) 14 11. Şekildeki birbirini kesen iki doğrunun üzerinde bulunan 6 noktadan en çok kaç doğru geçer? A) 8 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 10. Şekilde kenar uzunlukları 1 br olan eş kareler verilmiştir. Buna göre, şekilde alanı 1 br2 den büyük olan kaç kare vardır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 14 9. Yukarıdaki şekilde toplam kaç üçgen vardır? A) 15 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 8. c 7 3 m + c 7 4 m + c 8 5 m + c 9 6 m +....+ c 20 17m işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) c 20 3 m B) c 21 4 m C) c 22 5 m D) c 20 4 m E) c 21 3 m 7. Yukarıdaki şekilde bir doğru ve bu doğrunun kestiği bir çember vardır. Bu doğru ve çember üzerindeki 11 noktayı köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir? A) 5 B) 80 C) 100 D) 145 E) 165
14 1-C 2-D 3-D 4-E 5-D 6-B 7-D 8-B 9-C 10-E 11-A 12-D 13-D 14-C 15-E 16-A 17-D 18-B www.netlerikatla.com 18. e x3 – 3 x2 o 12 ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır? A) – c 12 4 m.34 B) c 12 4 m.34 C) c 12 6 m.34 D) c 12 6 m.36 E) c 12 4 m.38 15. (2x – 1)12 = .... + A.x3 + ... eşitliği veriliyor. Buna göre, A sayısı kaçtır? A) 32 c 12 9 m B) –32 c 12 9 m C) 16 c 12 9 m D) –16 c 12 9 m E) –8 c 12 9 m 17. e2x – x2 2 o 7 ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir? A) 31 8 x11 B) 35 4 x11 C) 35 8 x12 D) – 21 8 x12 E) – 21 4 x12 14. (a – 2)11 ifadesi a nın azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 7. terimin katsayısı kaçtır? A) 128 c 11 5 m B) 32 c 11 6 m C) 64 c 11 6 m D) 64 c 11 7 m E) 128 c 11 7 m 16. ea – 1 a2 o 9 = ... + p.a3 + ... eşitliği veriliyor. Buna göre, p sayısı kaçtır? A) c 9 2 m B) – c 9 2 m C) c 9 3 m D) – c 9 3 m E) c 9 4 m 13. (2x – y + 1)7 ifadesinin katsayıları toplamı kaçtır? A) 64 B) 78 C) 96 D) 128 E) 164
15 1-D 2-D 3-C 4-D YENİ NESİL SORULAR TEST 1 www.netlerikatla.com 4. 1 2 3 4 4 5 1 3 1 4 5 3 3 kartın üzerinde dört basamaklı sayılar yazılıdır. Bu kartlar her parçaya bir rakam gelecek şekilde 4 parçaya kesiliyor ve bir kutuda toplanıyor. Buna göre, çekilen iki kart ile kaç farklı iki basamaklı sayı yazılabilir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30 3. Yolun bir tarafında 5 tane, diğer tarafında 6 tane afiş asmak için kullanılacak toplam 11 direk vardır. Afişin iki ucu farklı yollarda olacak şekilde bu yola iki farklı afiş asılacaktır. İki afiş birbiriyle çakışmamak şartıyla kaç farklı şekilde asılabilir? A) 150 B) 170 C) 300 D) 350 E) 410 2. Aşağıda iki satırlık bir pano verilmiştir. 1. satır 2. satır 1. satırda 4 yeşil, 2 turuncu 2. satırda 3 yeşil, 3 turuncu kullanılarak şeklinde desenler elde edilecektir. Buna göre, kaç farklı desen elde edilebilir? A) 480 B) 420 C) 360 D) 300 E) 340 1. Aşağıda birimkarelerden oluşan bir şekil verilmiştir. Buna göre, verilen şekilde kaç tane dikdörtgen vardır? A) 224 B) 236 C) 244 D) 258 E) 272
16 ÇIKMIŞ SORULAR 1-D 2-B 3-E 4-D 5-B 6-C www.netlerikatla.com 6. n bir doğal sayı olmak üzere, fx3 – 2 x2 p n ifadesinin açılımındaki tüm katsayıların aritmetik ortalaması 0,2 olduğuna göre, bu açılımdaki x2 li terimin katsayısı kaçtır? A) 12 B) 16 C) 24 D) 32 E) 40 2021 - AYT 3. m ve n tam sayılar olmak üzere, (x2 + 2y)7 ifadesinin açılımında terimlerden biri mxny2 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 56 B) 64 C) 72 D) 86 E) 94 2020 - AYT 2. Üç farklı okuldan ikişer öğrenci bir satranç turnuvasına katılacaklardır. Turnuvanın ilk turunda, her öğrenci maç yapmak için kendi okulundan olmayan bir öğrenciyle eşleştirilecektir. Buna göre, ilk turdaki eşleştirme kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 2020 - TYT 5. Bir matematik dersinde öğretmen; sınıftaki öğrencilerden 3 öğrencinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini Veli’den, 5 öğrencinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini Yasin’den, 11 öğrencinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini ise Zeynep’ten hesaplamasını istemiştir. Bu üç öğrenci de istenen sayıları doğru şekilde hesaplamıştır. Yasin ve Zeynep’in buldukları sayılar aynı pozitif tam sayı olduğuna göre, Veli’nin bulduğu sayı kaçtır? A) 364 B) 560 C) 688 D) 816 E) 960 2021 - TYT 4. 5 Ekim 2020 Pazartesi ile 18 Ekim 2020 Pazar günleri arasındaki günler ve bu iki gün de dahil olmak üzere, bu 14 gün içinden iki farklı günde birer toplantı yapılacaktır. Toplantılardan en az biri hafta içi olacak biçimde bir düzenleme yapılmak istendiğine göre, bu düzenleme kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 70 B) 75 C) 80 D) 85 E) 90 2020 - AYT 1. Bir hava yolu şirketine ait bir uçağın sabah ve akşam gerçekleştireceği birer uçuş için iş tecrübeleri birbirinden farklı toplam 8 kabin çalışanı bulunmaktadır. Bu çalışanlardan her biri yalnızca bir ekipte yer alacak ve bu çalışanlar arasından en tecrübeli üç çalışan aynı ekipte olmayacak şekilde dörder kişilik iki uçuş ekibi oluşturulacaktır. Buna göre, sabah ve akşam uçuş ekipleri kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 48 B) 54 C) 56 D) 60 E) 64 2019 - TYT
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 1 www.netlerikatla.com ✔ Olasılık ✔ Koşullu Olasılık OLASILIK 35. FÖY OLASILIK Olasılıkta Temel Kavramlar Örnek Uzay: Bir olayın olası tüm sonuçlarının bulunduğu kümeye örnek uzay denir. E harfi ile gösterilir. İstenen Olay: Genellikle soru kökünde istenen örnek uzayın alt kümesidir. Tanım Örnek 1 : Aşağıdaki soruları cevaplayınız. I. 2 madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayı yazınız. ........................................................................................ II. 5 madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayının eleman sayısını bulunuz. ........................................................................................ III. 1 zar atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. ........................................................................................ IV. 3 zar atılması deneyinin örnek uzayının eleman sayısını bulunuz. ........................................................................................ V. 2 madeni para ve bir zar atılması deneyinin örnek uzayının eleman sayısını bulunuz. ........................................................................................ VI. 4 kişinin yan yana oturması olayının örnek uzayının eleman sayısını bulunuz. ........................................................................................ VII. 8 kişi içerisinden 3 kişi seçilmesi olayının eleman sayısını bulunuz. ........................................................................................ Bir Olayın Meydana Gelme Olasılığı: A olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilir. P(A) = s(A) s(E) ile bulunur. Tanım Örnek 2 : İki madeni para atıldığında, ikisinin de farklı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 3 : İki zar atıldığında üst yüzeye gelen sayıların toplamının 5 ten küçük olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 4 : Hilesiz iki zar atıldığında üst yüzeye gelen sayıların toplamının 10 olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
2 35. FÖY: OLASILIK OLASILIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 5 : İçlerinde iki kardeşin de bulunduğu 5 kişinin yan yana dizilmesi olayında iki kardeşin bir arada olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 6 : 4 kız, 6 erkek içerisinden rastgele seçilen iki kişinin ikisinin de kız olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 7 : 3 yüzü mavi, 2 yüzü kırmızı ve 1 yüzü yeşil renge boyanmış bir zar atıldığında üst yüzeyde kırmızı rengin olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 8 : 3 öğretmen 2 öğrenci bir banka yan yana oturuyorlar. Buna göre, öğrencilerin yan yana oturmuş olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 9 : A = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor. Buna göre, seçilen alt kümenin en az üç elemanlı olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 10 : Bir küpün 6 köşesi yeşile, diğer 2 köşesi beyaza boyanıyor. Bu küpte, iki ucu da beyaza boyalı ayrıt bulunma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 11 : 4 erkek ve 3 kız yan yana rastgele oturduklarında, her iki erkeğin arasında bir kız olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 12 : A B Yukarıda gösterilen küp biçimindeki hilesiz zar atılıyor ve bir yüzünün zeminle temas ettiği biliniyor. Buna göre, A ve B noktalarından yalnızca birinin zeminle temas etme olasılığı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 13 : A = {–2, –1, 0, 1} B = {–1, 0, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A x B kümesinden rastgele seçilen bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 14 : (x2 – y)7 ifadesinin açılımındaki terimler arasından rastgele seçilen bir terimde x’in kuvvetinin 8’den büyük olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 15 : Farklı boylardaki dört öğrenci yan yana diziliyor. Buna göre, en kısa ve en uzun öğrencilerin uçlarda olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 16 : Sarı, mavi ve siyah 3 bilye, Fatih, Filiz ve Eda’ya birer tane olmak üzere rastgele dağıtılıyor. Buna göre, Eda’nın sarı bilyeyi almış olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 17 : İrem, bir karenin köşe noktalarının ikisini kırmızıya, diğer ikisini ise yeşile boyamış ve aynı renge boyadığı noktaları birleştiren doğru parçaları çizmiştir. Buna göre, çizdiği doğru parçalarının kesişme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : Sayı doğrusu üzerinde, |x – 2| < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları arasından rastgele seçilen bir tam sayının 1 sayısına 2 birim uzaklıkta olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
4 35. FÖY: OLASILIK OLASILIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 19 : A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi veriliyor. B ≠ ∅, C ≠ ∅, B ⊂ A ve C ⊂ A olmak üzere A kümesinin alt kümeleri içerisinden rastgele seçilen bir B kümesinin, • B∩C = ∅ • B∪C = A eşitliklerini sağlama olasılığı kaçtır? Çözüm: Olasılık Fonksiyonu 0 ≤ P(A) ≤ 1 Aı : A olayının meydana gelmeme olasılığı P(A) + P(Aı ) = 1 P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) A ve B ayrık olaylar ise, P(A∩B) = 0 Tanım Örnek 20 : Aşağıdakilerden hangisi bir olayın meydana gelme olasılığı olamaz? A) 1 3 B) 3 100 C) 13 10 D) 37 40 E) 23 24 Çözüm: Örnek 21 : A olayının meydana gelme olasılığı P(A) ile gösterilmek üzere, P(A) = 7 10 olduğuna göre, P(Aı ) kaçtır? Çözüm: Örnek 22 : P(A) + P(Bı ) = 4 5 olduğuna göre, P(Aı ) + P(B) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 23 : P(Aı ) = 3 5 P(B) = 1 3 P(A∩B) = 1 15 olduğuna göre, P(A∪B) kaçtır? Çözüm: Örnek 24 : P(B) = 2.P(A) P(A∩B) = 2 9 ve P(A∪B) = 13 15 olduğuna göre, P(A) kaçtır? Çözüm: Örnek 25 : A ve B ayrık olaylar olmak üzere, P(A) = 3 5 ve P(Bı ) = 3 4 olduğuna göre, P(A∪B) kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 26 : E = {A, B, C} olmak üzere, P(A) = 2P(B) = 3P(C) olduğuna göre, P(B) kaçtır? Çözüm: BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR İki olaydan birinin meydana gelmesi, diğerini etkilemiyorsa A ve B bağımsız olaylardır. A ve B bağımsız olaylar ise, P(A∩B) = P(A).P(B) İki olaydan birinin meydana gelmesi diğerini etkiliyorsa A ve B bağımlı olaylardır. Tanım Örnek 27 : Bir madeni para ve bir zar atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 28 : Bir madeni para ve bir zar atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 29 : İçerisinde 3 mavi, 2 yeşil bilye bulunan bir torbadan rastgele iki bilye alınıyor. Buna göre, alınan bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : İçerisinde 2 sarı, 5 lacivert bilye bulunan bir kutudan rastgele çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 31 : Birinci torbada 3 sarı, 5 beyaz, ikinci torbada 2 sarı, 6 beyaz bilye bulunmaktadır. Bir torba seçilip içerisinden bir bilye alınıyor. Alınan bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 32 : A sınıfında 7 kız, 9 erkek, B sınıfında 5 kız, 11 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bir sınıf seçilip içerisinden bir öğrenci çağrılıyor. Çağrılan öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
6 35. FÖY: OLASILIK OLASILIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 33 : 4 kız ve 3 erkek öğrencinin içerisinden rastgele seçilen iki öğrenciden en az birinin kız olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 34 : İçerisinde 5 kırmızı, 4 beyaz bilye bulunan bir kutudan çekilen bilye geri bırakılmak üzere ardarda iki bilye çekiliyor. a. Bilyelerden birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı kaçtır? b. Bilyelerden birinin kırmızı, diğerinin beyaz olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 35 : İçerisinde 5 kırmızı, 4 beyaz bilye bulunan bir kutudan çekilen bilye geri bırakılmamak üzere art arda iki bilye çekiliyor. a. Bilyelerden birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı kaçtır? b. Bilyelerden birinin kırmızı, diğerinin beyaz olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 36 : İçerisinde 4 mavi ve bir miktar yeşil bilye bulunan bir torbadan rengine bakılmadan arka arkaya iki bilye çekiliyor. Bilyelerden birinin mavi, birinin yeşil olma olasılığı 5 9 olduğuna göre, başlangıçta torbada kaç yeşil bilye vardır? Çözüm: Örnek 37 : Mavi ve kırmızı renkte iki zar ve içerisinde 3 siyah, 4 beyaz bilye bulunan bir torba bulunmaktadır. Zarlardan birisi seçilip atılıyor. Mavi zar atılırsa torbadan iki bilye, kırmızı zar atılırsa torbadan bir bilye seçiliyor. Seçilen bilyeler içerisinde beyaz bilye olmama olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 38 : K K K K K S S S S S S S S 3 kırmızı 2 sarı 2 kırmızı 3 sarı 1 kırmızı 4 sarı K S Şekildeki torbalardan biri seçilerek içinden bir bilye alınıyor. Buna göre, alınan bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 39 : Aşağıda kamerası istenilen noktaya çevrildiğinde cisimlerin boylarını ölçen bir cep telefonu uygulaması verilmiştir. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 CM Bu uygulama cisimlerin boylarını ` %30 olasılıkla 2 cm fazla ` %10 olasılıkla 2 cm az %60 olasılıkla doğru ölçmektedir. Gerçek uzunlukları 78 cm ve 76 cm olan iki cismin boyları cep telefonu uygulamasıyla ölçülecektir. Buna göre, ölçüm sonucunda cisimlerin boylarının eşit çıkma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 40 : Bir atıcının hedefi vurma olasılığı 1 4 ’tür. Bu atıcının hedefi en çok üç atışta vurma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 41 : Bir atıcının hedefini vurma olasılığı 2 3 ‘tür. Üç atış yapan bu atıcının hedefini yalnız ikinci atışta vurma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 42 : Lütfü’nün bir soruyu çözebilme olasılığı 2 5 , Zühtü’nün aynı soruyu çözebilme olasılığı 1 3 ’tür. Soruyu çözmek için ikisi de uğraşırsa soruyu çözebilme olasılığı kaç olur? Çözüm: Örnek 43 : Birinci torbada 3 kırmızı ve 2 mavi, ikinci torbada 4 kırmızı ve 3 mavi bilye bulunmaktadır. Birinci torbadan bir bilye alınıp ikinci torbaya atılıp ikinci torbadan bir bilye alınıyor. İkinci torbadan alınan bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 44 : Birinci torbada 3 sarı ve 5 mavi,ikinci torbada 2 sarı ve 4 mavi bilye bulunmaktadır. Birinci torbadan bir bilye alınıp rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor ve ikinci torbadan bir bilye alınıp tekrar birinci torbaya atılıyor. Buna göre, renk sayısı bakımından ilk durumun oluşma olasılığı kaçtır? Çözüm:
8 35. FÖY: OLASILIK OLASILIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 45 : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi içerisinden seçilen iki eleman (a, b) olsun. |a – b| = 2 eşitliğinin sağlanma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 46 : Dersler cinsiyet Erkek Kız Fransızca 13 7 İngilizce 3 17 Yukarıda bir kursun İngilizce ve Fransızca sınıflarında okuyan kız ve erkek öğrenci sayıları ve okudukları dersler verilmiştir. Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin ikisinin de erkek olduğu bilindiğine göre, birinin Fransızca dersinden, diğerinin İngilizce dersinden olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 47 : 256 sayfalık bir kitaptan rastgele seçilen bir sayfanın rakamların toplamının 25 olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 48 : 4 seçenekli sorulardan oluşan bir bilgi yarışmasında, yarışmaya katılan her yarışmacıya ilk seferde doğru cevap vermezse ikinci cevap hakkı veriliyor. Buna göre, yarışmacının soruyu bilme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 49 : Bir zar ve hileli bir para birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın tek sayı gelme olasılığı 7 10 ’dur. Buna göre, hileli para iki kez atıldığında farklı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 50 : A B D E C Yukarıda verilen 6 kırmızı, 2 mavi doğru parçası içerisinden rastgele seçilen 3 tanesinin bir üçgen oluşturabilme olasılığı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 51 : Aynı hedefe ateş eden Ayhan, Burak ve Kamil ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir. • Ayhan’ın hedefi vurma olasılığı 3 7 dir. • Burak’ın hedefi vurma olasılığı, Kamil’in hedefi vurma olasılığının 1 4 üdür. • Üçünün yaptığı atış sonunda hedefi sadece bir kişi vurmuştur. Hedefi vuranın Ayhan olma olasılığı 11 42 olduğuna göre, Burak’ın hedefi vurma olasılığı kaçtır? Çözüm: n tane para atıldığında r tanesinin yazı gelme olasılığı: n r 2n NOT Örnek 52 : 9 tane hilesiz madeni para atılıyor. a. 4 tanesinin tura gelme olasılığı kaçtır? b. En çok 3 tanesinin yazı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: KOŞULLU OLASILIK A olayının B koşulu altında meydana gelme olasılığı; P(A/B) = s(A∩B) s(B) = P(A∩B) P(B) ile bulunur. Tanım Örnek 53 : İki madeni para atılıyor. Paralardan en az birinin tura geldiği bilindiğine göre, bir tanesinin yazı, diğerinin tura gelme olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 54 : İki zar atılıyor. Üst yüzeye gelen sayılar toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, zarların ikisinin de çift olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 55 : 4 erkek ve 3 kız içerisinden rastgele seçilen 3 öğrenciden en az ikisinin erkek olduğu bilindiğine göre, üç kişinin de erkek olma olasılığı kaçtır? Çözüm: Örnek 56 : Bir gruptaki öğrencilerin %40’ında tablet, %70’inde cep telefonu vardır. %15’inde ise ikisi de yoktur. Rastgele seçilen bir öğrencinin tableti olduğu bilindiğine göre, cep telefonunun da olma olasılığı kaçtır? Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 6. İçerisinde 1’den 10’a kadar numaralandırılmış toplar bulunan bir torbadan arka arkaya iki top alınıyor. Alınan topların üzerindeki sayılardan birinin, diğerinin iki katı olma olasılığı kaçtır? A) 1 9 B) 2 9 C) 1 3 D) 17 45 E) 2 5 5. İçerisinde 1’den 10’a kadar numaralandırılmış toplar bulunan bir torbadan bir top çekiliyor ve hilesiz bir zar atılıyor. Buna göre, çekilen topun asal ve zarın tek sayı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 10 B) 1 5 C) 3 10 D) 2 5 E) 4 5 4. İçerisinde 4 mavi, 5 beyaz ve 2 sarı bilye bulunan bir torbadan çekilen bilye geri bırakılmak şartıyla art arda 2 bilye çekiliyor. Buna göre, çekilen bilyelerin aynı renkte olma olasılığı kaçtır? A) 2 5 B) 3 5 C) 17 110 D) 17 55 E) 45 121 3. Ezgi’nin bir hedefi vurma olasılığı 1 3 , aynı hedefi Işıl’ın vurma olasılığı 2 5 tir. Buna göre, aynı hedefe Ezgi ve Işıl birlikte atış yaparlarsa hedefin vurulma olasılığı kaç olur? A) 2 5 B) 3 5 C) 7 10 D) 4 5 E) 9 10 2. 30 kişilik bir sınıfta 13 kişi İngilizce, 16 kişi Almanca konuşabiliyor. Sınıfta Almanca veya İngilizce bilmeyen 6 kişi bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuştuğu bilindiğine göre, Almanca konuşabilme olasılığı kaçtır? A) 2 13 B) 3 13 C) 4 13 D) 5 13 E) 6 13 1. P(A) P(B) = 1 3 P(A∪B) = 1 3 P(A∩B) = 1 15 olduğuna göre, P(A) kaçtır? A) 1 10 B) 1 3 C) 1 2 D) 2 3 E) 3 4
11 www.netlerikatla.com 1-A 2-D 3-B 4-E 5-B 6-B 7-A 8-D 9-E 10-D 11-C 12-D 12. 10 8 4 Şekilde kenarları 8 ve 10 m olan dikdörtgen levha üzerinde, bir kenarı 4 m olan bir eşkenar üçgen bölge bulunuyor. Levhaya ateş eden birinin dikdörtgen levhayı vurduğu bilindiğine göre, eşkenar üçgen bölgeyi vurmuş olma olasılığı kaçtır? A) ñ3 2 B) ñ3 5 C) ñ3 10 D) ñ3 20 E) ñ2 5 11. A olayının gerçekleşme olasılığı, gerçekleşmeme olasılığının 3 katıdır. A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı 1 8 olduğuna göre, B olayının gerçekleşmeme olasılığı kaçtır? A) 3 4 B) 4 5 C) 5 6 D) 6 7 E) 7 8 10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarından iki tanesi seçiliyor. Seçilen iki elemandan büyüğü, küçüğüne bölündüğünde bölümün asal sayı olma olasılığı kaçtır? A) 5 7 B) 4 7 C) 3 7 D) 2 7 E) 1 8 9. İçerisinde 4 mavi ve bir miktar yeşil bilye bulunan bir kutudan çekilen bilye geri bırakılmak üzere arka arkaya iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı 40 81 olduğuna göre, başlangıçta kutuda kaç bilye vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. Yukarıda A ve B sınıfındaki kız ve erkek öğrenci sayıları verilmiştir. ` Önce A sınıfından B sınıfına ` Sonra B sınıfından A sınıfına rastgele bir öğrenci geçiriliyor. Buna göre, son durumda A ve B sınıfındaki kız ve erkek öğrenci sayılarının değişmeme olasılığı kaçtır? A) 2 7 B) 25 77 C) 3 7 D) 39 77 E) 40 77 Erkek Kızı A 7 4 B 5 8 7. İçlerinde Şehriyar ve Bahtiyar’ın da bulunduğu 5 kişi yan yana diziliyor. Buna göre, Bahtiyar ve Şehriyar arasında yalnız iki kişi olma olasılığı kaçtır? A) 1 5 B) 2 5 C) 1 4 D) 7 20 E) 1 2
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2 6. 1’den 10’a kadar olan sayılar arasından rastgele iki sayı seçildiğinde, bu sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2 B) 2 9 C) 5 9 D) 3 10 E) 5 18 5. Bir torbadan bir bilye çekildiğinde mavi olma olasılığı 2 3 , kırmızı olma olasılığı 1 4 tür. Çekilen bilye geri atılmak şartıyla art arda çekilen 2 bilyenin ikisinin de mavi veya ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır? A) 1 144 B) 5 12 C) 73 144 D) 115 144 E) 143 144 4. İçinde sadece mavi, sarı ve beyaz bilyeler olan bir torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde mavi olma olasılığı 2 15 , sarı olma olasılığı 1 5 tir. Buna göre, torbadaki beyaz bilye sayısı, mavi bilyelerin sayısının kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 10 3 E) 15 2 3. Bankaların ATM kartlarına tanımlanan şifrelerin kullanıcıların doğum yıllarından oluşmasının çok büyük bir güvenlik açığı olduğu bilinmektedir. 2001 yılında doğan birinin 6 haneli kart şifresinin 4 hanesi doğum yılının rakamlarından oluşmaktadır. Kart şifresinin 6 haneli olduğunu ve bu 6 hanenin 4 hanesinin bu kişinin doğum yılının rakamlarının yerlerinin değiştirilmeden kullanılmasıyla oluşturulduğunu bilen birinin şifreyi tek seferde bilme olasılığı kaçtır? A) 1 300 B) 1 150 C) 1 100 D) 1 750 E) 1 50 2. Beşiktaş, oynama olasılıkları eşit olan iki kaleciden, kalede Tolga ile oynadığında kazanma olasılığı 1 3 , Fabri ile oynadığında kazanma olasılığı 4 5 ‘tir. Beşiktaş bir maçı bu iki kaleciden biriyle oynayıp kazandığına göre, bu maçta kalede Tolga’nın oynamış olma olasılığı kaçtır? A) 1 12 B) 5 12 C) 7 15 D) 5 17 E) 4 19 1. 10 satır ve 10 sütundan oluşan bir tabloya 1’den 100’e kadar sayılar rastgele yazılacaktır. Buna göre, 1 ve 2’nin aynı satır ve sütunda olmama olasılığı kaçtır? A) 11 100 B) 1 9 C) 3 11 D) 73 99 E) 9 11
13 www.netlerikatla.com 1-E 2-D 3-A 4-C 5-C 6-C 7-D 8-C 9-A 10-E 11-A 12-E 12. Hilesiz bir madeni para 5 kez atılıyor, en az bir tanesinin tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 5 8 C) 7 8 D) 15 16 E) 31 32 11. Asya ve Nazmi’nin de aralarında olduğu 6 kişi yan yana diziliyor. Asya’nın Nazmi’nin solunda olduğu bilindiğine göre, Asya ve Nazmi’nin yan yana olma olasılığı kaçtır? A) 1 3 B) 4 9 C) 1 2 D) 5 9 E) 2 3 10. A = {2, 3, 4, 5, 6} kümesinin içinden rastgele seçilen iki sayının çarpımının tek sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayılardan birinin “3” olma olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 3 C) 1 2 D) 2 3 E) 1 9. İçerisinde 3’er mavi ve aynı miktarda yeşil bilye bulunan iki ayrı torba vardır. Torbalardan birinden bir bilye çekilip rengine bakılmadan diğer torbaya atılıyor ve diğer torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı 2 5 olduğuna göre, başlangıçta her bir torbada kaçar bilye vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 8. Bir E örnek uzayı A, B ve C olaylarından oluşmaktadır. B ve C ayrık olaylardır. P(A) = 4 5 P(B∪C) = 7 10 P(A∩B) = 1 20 olduğuna göre, P(A∩C) olasılığı kaçtır? A) 1 20 B) 1 4 C) 9 20 D) 1 2 E) 13 20 7. İçerisinde Ali ve Yeşim’in de bulunduğu 6 erkek, 3 kız öğrenci, kızlar bir arada olmak şartı ile yan yana oturduklarında, Ali ve Yeşim’in yan yana olma olasılığı kaçtır? A) 1 10 B) 2 11 C) 3 13 D) 2 21 E) 1 28
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 4. Yukarıda bir sinema salonundaki koltuklar gösterilmiştir. X ile işaretli koltuklar dolu olan koltuklardır. Buna göre, birbirlerinden habersiz bilet alan iki arkadaşın yan yana oturma olasılığı kaçtır? A) 8 77 B) 4 77 C) 1 11 D) 13 231 E) 25 231 PERDE KORİDOR 3. Ailesiyle kelime türetme oyunu oynayan Yiğit, sadece bir yüzünde harf bulunan Şekil I deki küpleri Şekil II deki yerlerine yerleştirerek ISLIK kelimesini yazmak istiyor. Şekil I Şekil II Yiğit ISLIK kelimesini yazarken; harfler, üste gelecek şekilde ve doğru sıra ile yazmış fakat harflerin nasıl duracaklarını bilmediği için rastgele yerleştirmiştir. Örnek: Buna göre, Yiğit’in bu küpleri kullanarak ıslık kelimesini doğru yazma olasılığı kaçtır? A) 1 8 B) 1 16 C) 1 32 D) 1 64 E) 1 128 2. “Bul karayı al parayı” oyunu aşağıda verilen şekildeki özdeş bardaklar ve siyah bir bilye ile oynanır. ` Bilye bardaklardan birinin altına konur ve bardaklar ters çevrilir. ` Bardakların hepsi iyice karıştırılır. ` Oyuncunun iki tercih hakkı vardır. ` Birinci tercihinde bilemezse oyunu kuran kişi altında bilye olmayan iki bardağı daha kaldırır. ` Oyuncu ikinci tahminini de yapar. Buna göre, bardaklar karıştırıldığında bilyenin hangi bardakta olduğuna dair herhangi bir fikri olmayan Zihni’nin bilyeyi bulma olasılığı kaçtır? A) 1 5 B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 7 25 1. Aşağıda bir kenarı 2 br olan düzgün altıgen şeklinde levhalar verilmiştir. Altıgenlerin bazı kenarlarının orta noktaları birleştirilerek üçgenler oluşturulmuştur. Levhaların yerleri değiştirilmeden kendi merkezleri etrafında döndürülerek üç altıgenin ortak bir köşesi olacak şekilde birleştiriliyorlar. Buna göre, elde edilen şeklin merkezinde kırmızı eşkenar üçgen oluşma olasılığı kaçtır? A) 1 42 B) 1 36 C) 1 18 D) 1 12 E) 1 9
15 www.netlerikatla.com 1-B 2-C 3-E 4-D 5-B 6-C 7-E 8-D 8. Şekildeki altıgen biçimindeki levhanın A, B, C, D, E ve F şeklinde harflendirilmiş köşelerine birer levha monte edilmiştir. Altıgen levha O noktasından duvara bağlı ve ok yönünde döndürülmektedir. Levha döndürüldüğünde hangi köşe, hangi sayıya denk gelirse köşedeki levhaya o sayı basılmaktadır. Sonraki her döndürmede köşeye gelen sayı, önceki sayının sağına basılmaktadır. Mesela; D köşesine 1. turda 5, 2. turda 3, 3. turda 2 gelirse D köşesinde 532 yazar. Buna göre, levha arka arkaya 3 kez döndürüldüğünde A köşesinde rakamları farklı üç basamaklı bir tek sayı yazma olasılığı kaçtır? A) 1 3 B) 2 3 C) 4 9 D) 5 18 E) 7 12 A B C D E O F 1 2 3 4 6 5 6. A B C D 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 A, B, C ve D kümeleri arasında bir eleman; f(x) = x – 1, x asal ise x + 1, x asal değil ise fonksiyonu aracılığıyla sonraki kümeye taşınmaktadır. A kümesinden rastgele bir sayı seçen birinin bu yolla D kümesinde “2” elemanına ulaşma olasılığı kaçtır? A) 0 B) 1 5 C) 2 5 D) 3 23 E) 1 625 7. A B C D E Şekildeki A - B - C - D - E lambaları sırasıyla 1’er saniye yanıp sönüyor. E’nin süresi dolunca sıra A’ya geri dönüyor. Bir çocuk bu lambaların fotoğrafını farklı saniyelerde rastgele bir zamanlamayla 3 defa çekiyor. Buna göre, çektiği 3 fotoğrafta da C lambasının yanıyor olma olasılığı kaçtır? A) 1 5 B) 3 5 C) 1 25 D) 3 25 E) 1 125 5. Başlangıç 1 4 6 7 9 10 12 5 8 11 3 2 Yukarıda başlangıç noktasından bırakılan bir bilye, ` İki kez üst üste aynı yöne gitmemektedir. Örneğin, 1. yoldan (sol) gittiyse, 4. yoldan (tekrar sol) gidemez. 3. yoldan (sağ) gittiyse, 12. yoldan (tekrar sağ) gidemez. ` Soldan sonra düz gitme olasılığı %20 ` Soldan sonra sağa gitme olasılığı %80 ` Sağdan sonra sola gitme olasılığı %40 ` Sağdan sonra düz gitme olasılığı %60 ` Düz gittikten sonra sola gitme olasılığı %30 ` Düz gittikten sonra sağa gitme olasılığı %70 Buna göre, başlangıç noktasından bırakılan bilyenin 5 veya 10 numaralı çıkışlardan çıkma olasılığı yüzde kaçtır? A) 32 B) 34 C) 38 D) 44 E) 46
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-C 2-A 3-B 4-D 5-E 6-D 6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesindeki rakamlardan birbirinden farklı rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen rakamların çarpımının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu rakamların toplamının da çift sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) 1 6 2021 - AYT 3. Kerem, dolabının şifresini oluşturmak için şekildeki tuşları kullanarak her biri farklı satırda ve farklı sütunda olacak biçimde 3 sayıyı rastgele seçiyor. Buna göre, Kerem’in seçtiği sayıların tamamının tek sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2 B) 1 3 C) 2 9 D) 5 9 E) 4 27 2020 - TYT 2. Ege’nin çantasında boyutları aynı olan kimlik kartı, öğrenci kartı, yemek kartı ve otobüs kartı olmak üzere dört kart bulunmaktadır. Ege, otobüs kartını bulmak için çantasından rastgele bir kart çıkartıyor. Yanlış kartı çıkartmışsa onu elinde tutarak çantasından rastgele bir kart daha çıkartıyor ve otobüs kartını bulana kadar bu şekilde devam ediyor. Ege’nin otobüs kartını üçüncü denemede bulma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 1 8 C) 3 8 D) 1 16 E) 3 16 2019 - AYT 5. Bir internet sitesine giriş yapabilmek için kullanıcıların aşağıdaki 9 birim kareye ayrılmış fotoğrafın içinden arabaya ait parçaların bulunduğu tüm birim kareleri seçerek onayla butonunu tıklaması gerekmektedir. Bu siteye girmek isteyen Eda, bu fotoğraftan rastgele dört farklı birim kareyi seçip onayla butonunu tıklamıştır. Buna göre, Eda’nın bu siteye giriş yapabilme olasılığı kaçtır? A) 1 15 B) 1 36 C) 1 56 D) 1 84 E) 1 126 2021 - TYT 4. Sözel ve sayısal bölümlerinde 4’er soru olmak üzere toplam 8 sorudan oluşan bir sınavın kitapçığında “Sınavı geçmek için sözel ve sayısal bölümlerin her birinden en az 2’şer soru olmak üzere toplam en az 5 soruyu doğru cevaplamalısınız.” ifadesi yer almaktadır.” Bu ifadeyi eksik okuyan Sevcan, sınavdaki 8 sorudan rastgele 5’ini seçmiş ve seçtiği her bir soruyu doğru cevaplamıştır. Buna göre, Sevcan’ın sınavı geçme olasılığı kaçtır? A) 3 4 B) 4 5 C) 5 6 D) 6 7 E) 7 8 2020 - AYT 1. Aşağıda; üzerlerinde 6, 8, 10 ve 12 sayıları yazan dört kart gösterilmiştir. Bu kartları gören Yiğit, “Kartlardan rastgele ikisini seçip üzerlerinde yazan sayıları toplayacak olsam, kendi yaşımı bulma olasılığım 1 3 olur.” iddiasında bulunuyor. Bu iddia doğru olduğuna göre, Yiğit’in yaşı kaçtır? A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 2019 - TYT
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 1 www.netlerikatla.com ✔ Merkezi Eğilim Ölçüleri ✔ Merkezi Yayılma Ölçüleri ✔ Histogram VERİ ANALİZİ 36. FÖY MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1. Aritmetik Ortalama: õx x1, x2, x3, ...xn gibi n tane terimin aritmetik ortalaması, – x = x1 + x2 + x3 + ... + xn n ‘dir. Tanım Örnek 1 : 3, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 19, 21, 31 veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır? Çözüm: 2. Medyan (Ortanca): Bir sayı dizisindeki terimler, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortadaki terime medyan (ortanca) denir. Terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması medyandır. Tanım Örnek 2 : 2, 2, 3, 1, 1, 1, 4, 6, 11 veri grubunun medyanı kaçtır? Çözüm: 3. Mod (Tepe değer): Bir sayı dizisinde en çok tekrar eden terim dizinin modu (tepe değeri)’dur. En çok tekrar eden iki sayı varsa ikisi de moddur. Bütün terimler eşit sayıda tekrar ediyorsa dizinin modu yoktur. Aritmetik ortalama ve medyan, verilen sayı dizisinin (veri grubunun) elemanı olmak zorunda değildir. Tanım Örnek 3 : 3, 3, 3, 4, 4, 1, 2, 7 veri grubunun modu (tepe değeri) kaçtır? Çözüm: Örnek 4 : 1, 2 ve 3. soruları aşağıdaki veri grubuna göre cevaplayınız. 1, 2, 2, 3, 5, 6, 6, 4, 3, 5, 9, 2 1. Yukarıda verilen veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır? Çözüm: 2. Yukarıda verilen veri grubunun medyanı kaçtır? Çözüm: 3. Yukarıda verilen veri grubunun modu kaçtır? Çözüm: