6 29. FÖY: FONKSİYON-2 FONKSİYON-2 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Bir f fonksiyonunun grafiği y = f(x) denkleminin grafiğidir. Fonksiyonun grafiğinin üzerindeki bir (a, b) noktası f(a) = b ile ifade edilir ve a’nın görüntüsü b dir denir. Grafiğin varsa x eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin çözüm kümesidir. Bir f fonksiyonunun sıfırları fonksiyonu sıfır yapan x değerleridir. x = 0 için f(0) değeri fonksiyonun y eksenini kestiği noktadır. Tanım Örnek 27 : –5 –3 –2 4 x y 3 7 f 6 5 8 –4 Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki eşitlikleri bulunuz. f(7) = .......... f (4) = .......... f(0) = .......... f(–2) = .......... f (–3) = .......... f(–4) = .......... f –1(8) = .......... f –1(6) = .......... f –1(5) = .......... f –1(3) = .......... f –1(0) = .......... f –1(–5) = .......... f (x) fonksiyonunun sıfırı = .......... Örnek 28 : Aşağıda y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x + 1) 2 3 4 5 6 7 –4 –2 x y Buna göre aşağıdaki eşitlikleri bulunuz. f(6) = .......... f(4) = .......... f(3) = .......... f(1) = .......... f(–3) = .......... f –1(–2) = .......... f –1(0) = .......... f –1(4) = .......... f –1(6) = .......... f –1(7) = .......... Örnek 29 : Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. x y 3 2 4 4 7 5 –4 –4 Buna göre, (fof)(m – 1) = 7 eşitliğini sağlayan m sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. x y 4 5 3 8 5 f –6 –4 –3 g(x) = f(2x) olduğuna göre, (gog)(4) + (gof–1)(3) toplamı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 31 : Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. 4 5 4 3 –1 6 7 –3 –5 2 y x f –6 a. f(x) = 0 denkleminin köklerini bulunuz. b. f (x) = 4 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 32 : Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. x y 2 4 3 7 9 6 8 3 f –3 –5 –3 g Buna göre, (fog)(8) + (gof –1)(2) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 33 : Dik koordinat sisteminde y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. y 2 3 7 11 15 19 9 22 f g x O Buna göre, 0 < x < 22 aralığında I. f(x) > g(x) koşulunu sağlayan 8 tane x tam sayısı vardır. II. f(a) < g(a) eşitsizliğini sağlayan en küçük a tam sayısı 1 dir. III. f(x).g(x) < 0 koşulunu sağlayan 6 tane x tam sayısı vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 34 : Dik koordinat sisteminde f ve f + g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. y f x x1 x2 x3 x4 f + g Buna göre, I. g(x1) > 0 II. g(x2) < 0 III. g(x3) + g(x4) < 0 ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm:
8 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2. f birim fonksiyon ve (fog)(x) = x3 – 2x2 + 1 olduğuna göre, (gof)(2) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 8 D) 12 E) 17 3. f(x) = x + 1 (fofofo ... of)(a) = 330 25 tane olduğuna göre, a sayısı kaçtır? A) 33 B) 66 C) 132 D) 245 E) 305 4. f: R+ → R+ g: R+ → R olmak üzere, (fog)(x) = f(x).g(x) f(x) = 2x + 5 olduğuna göre, g(1) kaçtır? A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) 3 1. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları f(x) = 2x2 + 1 g(x) = 3 – x olduğuna göre, (gof)(–1) kaçtır? A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 5. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = g2(x) + 2g(x) – 5 olduğuna göre, f(x + 1) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x + 1 B) x2 + 4x + 5 C) x2 + 4x – 4 D) x2 + 4x – 2 E) x2 – 4x – 2 6. Reel sayılarda tanımlı f(x) = 3x – 7 g(x) = 2x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (fog)(x) ≤ (f + g)(x) eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayı değeri kaçtır? A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2
9 www.netlerikatla.com 1-B 2-A 3-E 4-A 5-D 6-B 7-B 8-C 9-B 10-B 11-C 12-A 7. Gerçel sayılarda tanımlı f fonksiyonu için f(x – 1) = 2x + 3 f –1(13) = a + 1 olduğuna göre, a sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8. Uygun koşullarda tanımlı f(x) = 2 3 – x olduğuna göre, (f –1of –1)(2) kaçtır? A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) 3 9. Aşağıdaki dik koordinat sisteminde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) f(x) = |x| + 2 B) f(x) = |x + 2| C) f(x) = |x – 2| D) f(x) = |x| – 2 E) f(x) = 2 – |x| –2 O 2 y x f 10. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için f –1(x + 3) = g(x – 1) olduğuna göre, (fog)(5) kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 11. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = 3x + 1 g(x) = x – 5 6 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 3 2 B) 3x – 9 2 C) 18x + 16 D) 18x + 15 E) 18x + 1 12. f birebir ve örten bir fonksiyon olmak üzere, x = 3f(x) + 2 f(x) – 3 olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x + 2 x – 3 B) 3x x – 3 C) x + 2 x – 3 D) 3x + 2 x E) 3x + 2 x + 3
10 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2 2. f: R – #m- → R – #–2- birebir ve örten bir fonksiyon f(x) = nx + 1 3x – 6 olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? A) –16 B) –12 C) –6 D) 6 E) 12 3. Aşağıdaki dik koordinat sisteminde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) f(x) = 2x + 6, –3, 1 – x, x ≤ –2 –2 < x < 1 x ≥ 1 B) f(x) = 2x + 6, –3, 1 – x x < –2 –2 ≤ x ≤ 1 x > 1 C) f(x) = x + 3, –3, 3 – 3x, x < –2 –2 ≤ x < 1 x ≥ 1 D) f(x) = 3 + x, –3, 3 + 3x x ≤ –2 –2 < x < 1 x ≥ 1 E) f(x) = 2x + 6, –2, x – 1 x ≤ –2 –2 < x < 1 x ≥ 1 O y x 2 –2 –3 1 –3 4. Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (f + g)(x) = 2x – 1 (2f – g)(x) = 4x + 4 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (gof–1)(5) kaçtır? A) –2 B) 2 C) 5 D) 7 E) 9 1. Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x + 2) = 3x + 1 g(4) = 5 olduğuna göre, f–1(7) kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 5. f(5x – 1) = 2x + 7 3x – 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun tanımlanabileceği en geniş tanım ve değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R – {3} → R – {2} B) R – {3} → R – ( 1 2 2 C) R – {4}→ R – ( 2 3 2 D) R – {3} → R – ( 4 3 2 E) R – {3} → R 6. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, (fof)(5) + f–1(0) toplamı kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 x y 3 2 4 4 7 5 –4 –4
11 www.netlerikatla.com 1-C 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-D 9-A 10-A 7. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x – 1) = 0 koşulunu sağlayan x sayılarının toplamı kaçtır? A) –6 B) –4 C) –1 D) 4 E) 6 x y –3 7 –3 –7 –5 4 5 –6 8. Dik koordinat sistemde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, (fof)(–4) + (gof)(–4) toplamı kaçtır? A) 10 B) 23 2 C) 12 D) 25 2 E) 27 2 –4 6 6 5 x f(x) y g(x) 9. Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, (fog)(–15) + (fog)(–14) + (fog)(–13) + ... + (fog)(14) + (fog)(15) işleminin sonucu kaçtır? A) 34 B) 30 C) 0 D) –30 E) –34 y x 2 g –1 y x 4 –2 f 1 10. Aşağıdaki dik koordinat sisteminde y = f(x – 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. –5 4 3 3 x f(x – 1) y Buna göre, f –1(4) + f(–6) f –1(3) işleminin sonucu kaçtır? A) –2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5
12 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 2. Şekildeki ABCDEF düzgün altıgeninde f fonksiyonu; f(AsB) = [AB] doğru parçasına çizilen dik doğruların geçtiği köşe sayısı biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, f(A s D) + f(A s B) toplamı kaçtır? A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 6 A D F B E C 3. [f(x)] 5 ο [f(x)] 3 bileşke fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 15x + 33 B) 15x + 30 C) 15x + 28 D) 15x + 25 E) 15x + 23 1. f : A → B, g : B → C, h : C → D olmak üzere, f, g ve h fonksiyonları veriliyor. Yukarıdaki şemalarda verilen, p, q ve r fonksiyonları için; I. p = hogof II. q = hog III. rog = f –1 IV. por = h ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) II ve III D) I, III ve IV E) I, II, III ve IV f f g g q r h h p p A A D D C C B B 4. g(x) = [f(x)] 7 olmak üzere [f(x)] 3 = (gok)(x) olduğuna göre, k(6) kaçtır? A) –18 7 B) – 15 7 C) 0 D) 15 7 E) 18 7 5. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu her m için, m + 31, 0 ≤ m < 8 f(m – 8), m ≥ 8 f(m) = biçiminde tanımlanıyor. Örnek: f(23) = f(15) = f(7) = 7 + 31 = 38 dir. Buna göre, f(AB) = BA eşitliğini sağlayan AB ve BA iki basamaklı sayılar için, A – B farkı kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 3. ve 4. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplayınız. x ve k birer pozitif tam sayı olmak üzere, [f(x)] k = x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + k – 1) olarak veriliyor. Örnek: [f(x)] 2 = x + (x + 1) = 2x + 1 dir.
13 www.netlerikatla.com 6. Aşağıda y = f(x) ve y = (f – g)(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, I. g(m) < 0 II. g(n) < 0 III. g(k) > 0 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III y m n k y = (f – g)(x) y = f(x) x 7. x bir doğal sayı olmak üzere, xb = x in rakamlarının en büyüğü olarak veriliyor. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu ise f(x) = x – xb biçiminde tanımlanıyor. Bu f fonksiyonu için, `fofj(a) = 59 olduğuna göre, a doğal sayısının rakamlarının toplamı kaçtır? A) 14 B) 11 C) 10 D) 9 E) 7 8. Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) ve y = h(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, 0 < m < 6 koşullarını sağlayan bir m gerçel sayısı için, I. f(m) – g(m) > 0 olduğunda g(m) > h(m) olur. II. h(m) – f(m) > 0 olduğunda f(m) < g(m) olur. III. g(m) – h(m) < 0 olduğunda h(m) < f(m) olur. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III y x 5 h g f 6 9. Z tam sayılar kümesi ve A = [–3, 8] olmak üzere, Aşağıda g: A → R fonksiyonunun grafiği ve f: A ∩ Z → R fonksiyonu verilmiştir. f(x) = x, g(x) ≥ 0 –x, g(x) < 0 Buna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? A) –12 B) –6 C) 6 D) 12 E) 25 y 1 –1 4 6 g x
14 www.netlerikatla.com 1-E 2-B 3-D 4-C 5-D 6-A 7-D 8-D 9-E 10-A 11-E 12-B 13-A 11. Aşağıda y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, 0 ≤ x ≤ 18 için I. f(a) = f(0) eşitliğini sağlayan 1 tane a ∈ R+ vardır. II. f(x) – g(x) ≥ 0 koşulunu sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı 86 dır. III. f(x) = 11 eşitliğini sağlayan 3 tane x ∈ R vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III y g f x 12 11 10 2 8 16 18 12. a bir pozitif tam sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinden tanımlı olan f fonksiyonu için af(x) gösterimi fonksiyonlarda bileşke işlemi kullanılarak af(x) = (fofofo ... of)(x) a tane şeklinde tanımlanıyor. f(1) = 7 ve f(7) = 1 eşitliklerini sağlayan bir f fonksiyonu için 1f(1) + 2f(1) + 3f(1) + ... + 30f(1) toplamı kaçtır? A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 10. f(x) fonksiyonu için, I. f(x) – f(–x) = 0 olursa, f(x) çift fonksiyon II. f(x) + f(–x) = 0 olursa, f(x) tek fonksiyon III. I. ve II. şartlar sağlanmıyorsa, f(x) ne tek ne de çift fonksiyondur. Örnek: f(x) = x2 için f(–x) = (–x)2 = x2 f(x) – f(–x) = x2 – x2 = 0 olduğu için f(x) çift fonksiyondur. x > 0 için g(ñx) = 3x2 + x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) g(x) çift fonksiyondur. B) g(x) tek fonksiyondur. C) g(ñx) çift fonksiyondur. D) g(ñx) tek fonksiyondur. E) g(3 ñx) ne tek ne çift fonksiyondur. 13. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = x2 + 3x + 1 (gof)(x) = x2 – x + 1 eşitlikleri sağlanıyor. f(2) = 1 olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 2020 - TYT
15 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 3. Dik koordinat düzleminde [0, 7] kapalı aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafiklerinin bir kısmı şekilde verilmiştir. [0, 7] kapalı aralığında; ` 4 farklı a tam sayısı için ® f(a) < g(a) ` 3 farklı b tam sayısı için ® f(b) > g(b) olduğu biliniyor. Buna göre, f ve g fonksiyonlarının grafiklerinin eksik kısımları aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) C) B) D) E) 2020 - TYT 2. Dik koordinat düzleminde, [0, 2] aralığında tanımlı bir f fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre, I. (fof)(x) = 2 II. (fof)(x) = 1 III. (fof)(x) = 0 eşitliklerinden hangileri yalnızca iki farklı x değeri için sağlanır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 2019 - AYT 1. Dik koordinat düzleminde [0, 3] aralığında tanımlı f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri şekilde verilmiştir. Bir a Î (0, 1) sayısı için b = (fog)(a) c = (gof)(a) olarak belirleniyor. Buna göre; a, b ve c sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) b < c < a E) c < a < b 2019 - TYT
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-A 2-A 3-B 4-D 5-C 6-D 7-C 6. Dik koordinat düzleminde ve f + g ve f – g fonksiyonlarının grafikleri şekilde verilmiştir. (f.g)(a) = 8 olduğuna göre, b kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2021 - TYT 7. Dik koordinat düzleminde [0, 5] kapalı aralığında tanımlı f(x) fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. (fofof)(x) fonksiyonu en büyük değerini x = a noktasında aldığına göre, a sayısı aşağıdaki açık aralıklardan hangisindedir? A) (0, 1) B) (1, 2) C) (2, 3) D) (3, 4) E) (4, 5) 2021 - AYT 4. a ve b sıfırdan farklı birer tam sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu f(x) = ax + b biçiminde tanımlanıyor. (fof)(x) = f(x + 2) + f(x) olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 2020 - AYT 5. Dik koordinat düzleminde [–5, 5] kapalı aralığında tanımlı bir f fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. Bu fonksiyonun tanım kümesinde yer alan birbirinden farklı a, b, c ve d sayıları için f(a) = f(b) = 1 f(c) = f(d) = 3 eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre a, b, c ve d sayılarının sıralamasıyla ilgili, I. a < b < c < d II. c < a < b < d III. c < d < a < b eşitsizliklerinden hangileri doğru olabilir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 2020 - AYT
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 1 www.netlerikatla.com ✔ Polinomlarda Temel Kavramlar ✔ Polinomlarda Dört İşlem ✔ Polinom - Fonksiyon İlişkisi ✔ Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim ✔ Kalan Bulma POLİNOMLAR 30. FÖY POLİNOMLARDA TEMEL KAVRAMLAR n Î N ve a0, a1, a2, ..., an Î R olmak üzere, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ..... + anxn ifadesine reel katsayılı polinom denir. a0, a1x, a2x2, ... , anxn → polinomun terimleri a0, a1, a2, ... , an → polinomun katsayıları a0 → polinomun sabit terimi anx n → terim derecesi derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir. der[P(x)] ile gösterilir. derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı denir. Polinom Olma şartı: x (değişken)'in kuvveti doğal sayı olmalıdır. Katsayıları reel sayı olmalıdır. Tanım Örnek 1 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri polinomdur? l. P(x) = 2x3 + 4x2 – x + 1 ll. Q(x) = 3x5 – ñ2 x2 + 4x – 1 3 lll. R(x) = 2ñx + 5 lV. T(x) = x3 – 2x2 + 3 x – 1 Çözüm: Örnek 2 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri polinomdur? l. P(x) = x2 – 3x + ñ5 ll. Q(x) = 2x2 – 3ñx + 1 lll. R(x) = x + 1 x2 + 1 Çözüm: Örnek 3 : P(x) = 2xa–5 + 7x11–a + 4x – 1 ifadesi bir polinom olduğuna göre, a kaç farklı tam sayı değeri alabilir? Çözüm: Örnek 4 : P(x) = 2xa+2 – 4x2 + (a – 3) ñx + 1 ifadesi bir polinom olduğuna göre, der[P(x)] kaçtır? Çözüm:
2 30. FÖY: POLİNOMLAR POLİNOMLAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 5 : P(x) = 2x3 – ñ3 x5 – 4x2 + 1 polinomu veriliyor. Buna göre, l. der[P(x)] = 5'tir. ll. Baş katsayısı 3'tür. lll. Sabit terimi 1'dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 6 : P(x) = 2x2a+1 + 3x3 + 4x + a + 1 polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, derecesi kaçtır? Çözüm: İki Polinomun Eşitliği İki polinom eşitse, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları da eşittir. Tanım Örnek 7 : P(x) = (a – 2) x2 + 5x – 3 ve Q(x) = 7x2 + (b + 3)x + c – 1 polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 8 : P(x) = (m + 1)x2 + (n – 5)x + 7 Q(x) = 5x2 + k + 1 polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) olduğuna göre, m + n + k toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 9 : 1 x2 – x – 2 = A x – 2 + B x + 1 olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Polinomlarda Dört İşlem 1. Toplama-Çıkarma: Toplama-çıkarma işlemi, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları arasında yapılır. Tanım Örnek 10 : P(x) = x3 – 2x2 + 3x – 5 Q(x) = 2x2 + x + 1 polinomları veriliyor. Buna göre, 2.P(x) + Q(x) 3.P(x) – 2.Q(x) polinomlarını bulunuz. Çözüm: 2. Çarpma: İki polinom çarpılırken dağılma özelliği kullanılır. Tanım Örnek 11 : P(x) = 2x4 –3x3 + 4x2 + x – 1 ve Q(x) = 3x3 – 5x2 + 2x – 3 polinomları veriliyor. Buna göre, P(x).Q(x) polinomunun x5 li teriminin katsayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 12 : P(x) = mx3 + nx2 + (k + 1) x + p Q(x) = x2 + 3x – 1 R(x) = x – 2 polinomları veriliyor. P(x) = Q(x).R(x) olduğuna göre, m + n + k + p toplamı kaçtır? Çözüm: 3. Bölme: P(x) K(x) Q(x) B(x) P(x): Bölünen polinom Q(x): Bölen polinom B(x): Bölüm polinomu K(x): Kalan polinomu P(x) = Q(x).B(x) + K(x) der[K(x)] < der[Q(x)] der[P(x)] ≥ der[Q(x)] K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür. Tanım Örnek 13 : Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. x2 – 3x + 2 x – 2 x3 + 2x – 3 x + 1 Örnek 14 : P(x) = x3 + 4x2 – x + 2 polinomunu x – 1 ile bölünüz. Çözüm:
4 30. FÖY: POLİNOMLAR POLİNOMLAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Sabit Polinom c Î R olmak üzere, P(x) = c şeklindeki polinomlara sabit polinom denir. Sıfır polinomu P(x) = 0 şartını sağlayan polinoma sıfır polinomu denir. Tanım Örnek 15 : P(x) = (a – 3)x2 + (b + 2)x + a.b + 1 polinomu sabit polinom ise P(100) kaçtır? Çözüm: Örnek 16 : P(x) = (4 – m)x3 + (m + n)x2 + m – n – 1 polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(10!) kaçtır? Çözüm: Örnek 17 : P(x) = (a + 5)x2 + (a – b + 2)x + a + b – c + 1 polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, 2a – b + c işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Polinomlarda Derece Kavramı der[P(x)] = m der[Q(x)] = n ve m > n olsun. k Î R için der[k .P(x)] = m Tanım der[P(2x)] = m der[P3(x)] = 3m der[P(x4)] = 4m der[P3(x2 + 1)] = 6m der[P(Q(x)] = m.n der[P(x).Q(x)] = m + n der< P(x) Q(x)F = m – n der[P(x) + Q(x)] = m Örnek 18 : der[x .P(x2 + 1)] = 17 olduğuna göre, der[P(x)] kaçtır? Çözüm: Örnek 19 : der[P(x)] = 5 ve der[Q(x)] = 3 olduğuna göre, der[3.P(x2 + 1).Q4(x – 1)] kaçtır? Çözüm: Örnek 20 : der[P(x)] = 3 der[Q(x)] = 4 olduğuna göre, der[x.P2(x + 1) + Q3(x – 2)] kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 21 : der[P(x + 1).Q(1 – x)] = 10 der P2(3x) –1 Q(1 – x) = 11 olduğuna göre, der[P(x) + Q(x)] kaçtır? Çözüm: Polinom - Fonksiyon İlişkisi Fonksiyonlarda gördüğümüz soru tipleri, polinom konusunda da bire bir karşımıza çıkacak ve o kısımdaki çözümlerle aynı çözümleri yapacağız. Tanım Örnek 22 : P(x) = x3 – 2x + 1 olduğuna göre, P(2) kaçtır? Çözüm: Örnek 23 : P(x + 3) = x2 – 5x – 1 olduğuna göre, P(5) kaçtır? Çözüm: Örnek 24 : P(x – 1) = 2x2 – mx + 6 polinomu veriliyor. P(3) = 12 olduğuna göre, P(–3) kaçtır? Çözüm: Örnek 25 : (x – 3).P(x) = x3 – 2x2 + ax + 3 olduğuna göre, P(2) kaçtır? Çözüm: Örnek 26 : P(x) = 3x – 2 polinomu veriliyor. Buna göre, P(2x – 3) polinomunun, P(x) polinomu cinsinden eşiti nedir? Çözüm:
6 30. FÖY: POLİNOMLAR POLİNOMLAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 27 : P(x + 1) = P(x) + x – 1 eşitliği veriliyor. P(1) = 3 olduğuna göre, P(12) kaçtır? Çözüm: Örnek 28 : P(x) + P(x + 1) = 4x – 8 olduğuna göre, P(2) kaçtır? Çözüm: Örnek 29 : P(x) bir polinom ve x.P(x) + P(x+1) = x2 + 3x +3 olduğuna göre, P(1) kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : P(x) bir polinom olmak üzere, P(x2) = (m – 2)x3 + 2x2 + (n + 5) x + 7 olduğuna göre, P(1) + m + n toplamı kaçtır? Çözüm: Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim P(x) polinomunun katsayılar toplamı bulunurken x = 1, sabit terimi bulunurken x = 0 yazılır. Katsayılar toplamı Sabit terimi P(x) P(1) P(0) P(x + 3) P(1 + 3) = P(4) P(0 + 3) = P(3) P(2x – 3) P(2.1 –3) = P(–1) P(2.0 – 3) = P(–3) P(5 – x) P(5 –1) = P(4) P(5 – 0) = P(5) P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları, toplamı: P(1) + P(–1) 2 P(x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: P(1) – P(–1) 2 Tanım Örnek 31 : P(x) = (x3 + 2x2 – x – 1)5 polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 32 : P(x) = 2x3 – x2 – 4x – 1 polinomu veriliyor. Buna göre, P(2x + 1) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 33 : P(x – 1) = x3 – 3x2 + x – 2 polinomu veriliyor. Buna göre, P(x + 2) polinomunun sabit terimi kaçtır? Çözüm: Örnek 34 : P(2x + 1) = Q(x –1) x2 + x + 1 eşitliği veriliyor. P(x + 5) polinomunun sabit terimi 4 olduğuna göre, Q(2 – x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 35 : P(3x + 1) polinomunun katsayılar toplam 3 olduğuna göre, P2(x + 4) – P(x + 4) polinomunun sabit terimi kaçtır? Çözüm: Örnek 36 : P(x) = x2 – 3x + a – 1 polinomu veriliyor. P(x + 2) polinomunun sabit terimi 7 olduğuna göre, P(5 – x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 37 : P(x) = (x2 – 3x – 1)3 polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm:
8 30. FÖY: POLİNOMLAR POLİNOMLAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com KALAN BULMA P(x) Polinomunun x – a ile Bölümünden Kalan P(x) = (x – a) . Q(x) + k olmak üzere, P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a)'dır. Polinom Bölen Kalan P(x) x – 3 P(3) P(2x + 1) x – 2 P(5) P(1 – x) x + 5 P(6) P(x) polinomu (x – a) ile tam bölünüyorsa (veya çarpanlarından biri (x – a) ise) kalan 0 demektir. Yani P(a) = 0 olur. P(x) polinomunun sıfırlarından biri a ise P(x) polinomu x –a ile tam bölünür. Tanım Örnek 38 : P(x) = 3x2 – 5x + 4 – a polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 39 : P(x – 1) = x3 – x2 + x – m + 1 polinomu veriliyor. P(x + 1) polinomu x + 2 ile tam bölünüyorsa m sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 40 : P(x – 2) = 2x2 + x + a + 1 polinomu veriliyor. P(2x + 1) polinomunun x + 1 ile bölümden kalan –5 olduğuna göre, P(x + 2)'nin x ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: Örnek 41 : P(3x + 1) = (x2 – x + 1).Q(x – 2) + x – 1 eşitliği veriliyor. Q(x – 3) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, P(x – 5) polinomunun sabit terimi kaçtır? Çözüm: Örnek 42 : P(x – 2) polinomunun çarpanlarından biri x + 1'dir. Q(x) = (x + 1).R(x).P(x + 2) + 1 – 2x olduğuna göre, Q(–5) kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com P(x) Polinomunun (x – a)(x – b) İle Bölümünden Kalan P(x) polinomunun (x – a)(x – b) ile bölümünden kalan mx + n formundadır. P(a) ve P(b) bulunup yerine yazılarak kalan bulunur. Tanım Örnek 43 : P(x) polinomunun (x2 – 4) ile bölümünden kalan 3x + 1 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: Örnek 44 : P(x) polinomunun x2 – x – 6 ile bölümünden kalan 2x – 3'tür. Buna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: Örnek 45 : P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 7, (x – 3) ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x – 1).(x –3) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: Örnek 46 : P(x) = (x + 1)(x2 – 2x – 1).Q(x) + x2 + x + 5 polinomu veriliyor. Buna göre, P(x) polinomunun, x2 – 2x – 1 polinomuna bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Çözüm: Örnek 47 : P(x) polinomu için, ` P(2) = P(–3) = 0 dır. ` Tüm terimlerinin dereceleri çifttir. ` Dördüncü dereceden bir polinomdur. ` Baş katsayısı 1'dir. bilgileri veriliyor. Buna göre, P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 48 : Azra, gerçek sayılar kümesi üzerinde bir P(x) polinomunu, k tam sayı ve x Î (k, k + 1] olmak üzere, P(x) = 2x – k şeklinde tanımlayarak P(3) – Pd 3 2 n işlemini yapıyor. Buna göre, Azra işlemin sonucunu kaç bulmuştur? Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 8. P(x) bir polinom olmak üzere, der[x2.P3(x + 1)] = 23 olduğuna göre, der[2P(1 – x)] kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) 14 4. P(x) bir polinom olmak üzere, P(x + 1).P(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre, P(x) kaçtır? A) x + 3 B) x + 2 C) x – 1 D) x – 2 E) x – 3 7. P(x + 2) polinomunun sabit terimi 7, Q(x – 2) polinomunun katsayılar toplamı 3'tür. Buna göre, R(x) = P(x + 1) + 2.Q(3x – 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 19 B) 13 C) 11 D) 9 E) 6 6. P(x) bir polinom olmak üzere, (x + 1).P(x) = x3 – 2x2 + mx + 2 olduğuna göre, P(–1) kaçtır? A) 6 B) 3 C) 1 D) –3 E) –6 5. P(x) bir polinom ve P(x3) = (m – 2) x4 + mx3 + (n + 3)x2 + m + n olduğuna göre, P(1) kaçtır? A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 3. Bir P(x) polinomu için ` P(x – 3) = mx2 + mx + 1 ` P(–2) = 4 olduğuna göre, P(1) kaçtır? A) 8 B) 16 C) 24 D) 30 E) 31 2. Aşağıdakilerden hangisi polinom değildir? A) P(x) = ñ3 x2 – x + 1 B) P(x) = x3 – x2 – 2x + 1 C) P(x) = 4x2 + 3x + 2 D) P(x) = 7x3 – 2ñx + 1 E) P(x) = ñ5 + 1 1. P(x) = 3x 12 n + 5x7–n + 2x – 1 ifadesi bir polinom olduğuna göre, n sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 14 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28
11 www.netlerikatla.com 1-B 2-D 3-E 4-D 5-C 6-A 7-B 8-B 9-E 10-A 11-D 12-D 13-D 14-E 15-D 14. P(x) = x4 – x3 + mx + n polinomunun çarpanlarından biri x2 – x – 2 olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? A) –8 B) –4 C) 2 D) 4 E) 8 15. P(x) polinomunda P(a) = 0 şartını sağlayan a sayısına P(x) polinomunun bir kökü denir. P(x) = x2 + 3x – 4 polinomu veriliyor. Buna göre, I. 2 II. –2 III. –1 IV. 3 sayılarından hangileri P(x – 2) polinomunun bir köküdür? A) I ve III B) I ve IV C) III ve IV D) II ve IV E) II ve III 12. P(x) = x3 + x2 – 2x + 1 olduğuna göre, P(x + 2) + P(5 – x) polinomunun (x – 1) polinomu ile bölümünden kalan kaçtır? A) 88 B) 94 C) 97 D) 104 E) 110 13. Aşağıda P(x), P(x + 1) ve P(2 – x) polinomlarının katsayılar toplamı, sabit terimi, (x – 2) ve (x – 1) ile bölümlerinden kalanlar tablo ile gösterilmiştir. Katsayılar toplamı Sabit terim x – 2 ile bölümünden kalan x – 1 ile bölümünden kalan P(x) a b c d P(x + 1) e f g h P(2 – x) m n k p Buna göre, I. f + n = d + e II. c + n = 2.h III. e + f = g ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 11. P(x) ve Q(x) polinomları için, der[P(x).Q2(x + 1)] = 11 der P3(x + 2) Q(x – 2) = 12 olduğuna göre, der[P(x) + Q(x)] kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 3 10. P(x) = x3 – 2x2 + mx + n polinomunun x – 1 ve x + 1 ile bölümünden kalanlar sırasıyla –5 ve 3'tür. Buna göre, m.n çarpımı kaçtır? A) –5 B) –4 C) –1 D) 4 E) 5 9. Q(x) bir polinom olmak üzere, x3 – 4x2 + 3 x – 1 Q(x) k olduğuna göre, Q(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 1 B) x2 – 3x C) x2 D) x2 + 3x E) x2– 3x – 3
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2 6. P(x) polinomu x2 – 1 ile bölündüğünde bölüm 2x + 1, kalan x – 3'tür. Buna göre, P(x) polinomu x + 2 ile bölündüğünde bölüm polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 5x + 2 B) 2x2 – x – 5 C) 2x2 + 2x – 3 D) 2x2 – 3x + 5 E) 2x2 + x – 3 5. P(x) polinomunun (x3– 5).(x + 2) ile bölümünden kalan x3– x2 + 5'tir. Buna göre, P(x – 5) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 2 C) –1 D) –4 E) –7 4. P(x) grafiği y eksenine göre simetrik dördüncü dereceden bir polinom olmak üzere, ` P(3) = P(–2) = 0 ` P(x) polinomunun başkatsayısı 1 olduğuna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 64 B) 72 C) 84 D) 96 E) 108 3. P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden bölüm Q(x) ve kalan 5, Q(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 7'dir. Buna göre, P(x + 1) polinomunun sabit terim kaçtır? A) –4 B) –2 C) 2 D) 3 E) 5 2. P(x) polinomunun x2 – x – 12 ile bölümünden kalan 5x + 1 olduğuna göre, P(x + 3) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –6 B) –3 C) 6 D) 12 E) 21 1. P(2x – 1) polinomunun katsayılar toplamı 3, Q(x + 2) polinomunun sabit terim 5’tir. Buna göre, R(x) = (x + 3).P(x – 2) + (x + 5).Q(x – 1) polinomunun (x – 3) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 51 B) 53 C) 56 D) 58 E) 60
13 www.netlerikatla.com 1-D 2-E 3-B 4-C 5-E 6-D 7-D 8-B 9-D 10-E 11-C 12-C 13-E 12. m, n Î R ve P(x) bir polinom olmak üzere, x2.P(x) – 2x –3 = 3x3 – 2x2 + mx + n olduğuna göre, P(x – m) polinomunun x – n ile bölümünden kalan kaçtır? A) –9 B) –7 C) –5 D) –3 E) –1 13. P(x) bir polinom olmak üzere: P[P(x)] = 4x – 3 olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3 11. P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 3, x + 3 ile bölümünden kalan –7'dir. Buna göre, P(x) polinomunun x2 + x – 6 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) x +1 B) x – 2 C) 2x – 1 D) 2x +3 E) 3x – 1 10. P(x) baş katsayısı –1 olan üçüncü dereceden bir polinom ve P(1) = P(–1) = P(2) = 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 5 B) 7 C) 12 D) 15 E) 17 9. P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden bölüm Q(x), kalan 5, Q(x) polinomunun x + 3 ile bölümünde bölüm R(x), kalan 1'dir. R(x) polinomunun katsayılar toplamı –3 olduğuna göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –3 B) –7 C) –17 D) –28 E) –33 8. P(x) polinomunun x2 – 3 ile bölümünde bölüm x – 2, kalan 2x + k olarak veriliyor. P(1) = 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi P(x) polinomunun bir çarpanıdır? A) x – 3 B) x – 2 C) x + 2 D) x + 3 E) x + 4 7. ` İkinci dereceden bir P(x) polinomunun sabit terimi, baş katsayısının 2 katıdır. ` P(3x – 2) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7'dir. ` P(x – 2) polinomunun sabit terimi 10'dur. Buna göre, P(x) polinomunun ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2– x + 2 B) x2 + 2x + 2 C) 2x2 – x + 4 D) 2x2 + x + 4 E) 2x2 – 2x + 4
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 4. A(x) = 9x2 + 8x – 1 ve B(x) = 17x2 – 16x – 1 polinomları veriliyor. I. A(x) hibrit bir polinomdur ve x – 1 ile bölümünden kalan 16 dır. II. B(x) hibrit bir polinom değildir. III. B(x) – A(x) hibrit bir polinomdur ve katsayılar toplamı 16 dır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 3. I. P(x) = 6x2 + x – 1 II. Q(x) = 6x2 + 5x – 1 III. R(x) = 8x2 – 23x – 3 polinomlarından hangileri hibrit polinomdur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Sinan Öğretmen; a, b, c ve d tam sayı olmak üzere, P(x) = (ax + b) (cx + d) şeklinde yazılabilen bir polinomda çarpanlardan en az birinin baş katsayısı 1 olursa, bu polinoma "hibrit polinom" denir. şeklinde bir tanımlama yapmak istiyor. Örnek: P(x) = x2 + 5x + 6 polinomu Sinan Öğretmen'in tanımına göre hibrit bir polinomdur. Çünkü; x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) şeklinde yazıldığında iki çarpanının da başkatsayısı 1 olur. 2. P(x) = x2 – bx + a – 2 polinomu veriliyor. ` P(x – 2) polinomunun çarpanlarından biri (x – 2) dir. ` P(x + P(x – 1)) polinomunun katsayılar toplamı 5 tir. Buna göre, I. –1 II. 3 III. –5 sayılarından hangileri P(x + 1) polinomunun bir köküdür? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 1. A(x), B(x), C(x), D(x) ve E(x) polinomları için, A(x) B(x) C(x) D(x) E(x) Yukarıdaki şekilde, ` C(x) = A(x) + B(x) ` C(x) polinomu D(x) ve E(x) polinomları ile tam bölünür. biçiminde veriliyor. 1. dereceden bir P(x) polinomu, P(x) x2+3x+1 Q(x) x – 1 x + 1 olarak verildiğine göre, P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) –3 E) –5 3. ve 4. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplayınız.
15 www.netlerikatla.com 1-E 2-D 3-D 4-A 5-E 6-B 7-A 8-B 8. Bilgi: Tek değişkenli bir çok terimlinin polinom olabilmesi için, değişkenin kuvvetlerinin doğal sayı olması gerekir. Örnek: P(x) = 4x3 + ñ7x– 5 ifadesi bir polinomdur. P(x) = 3x2 + 8ñx ifadesi bir polinom değildir. A(x) = x12 – m + x m – 6 + 11 polinomundan A(ñx) ve A(3 ñx) polinomları elde edilebildiğine göre, m kaç farklı değer alabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. P(x) bir polinom olmak üzere, P(k) = 0 eşitliğini sağlayan k sayısına bu polinomun bir kökü denir. P(x) ve Q(x) polinomları için P(x) = x2 – 64 Q(x) = PaP(x) + 63k eşitlikleri veriliyor. Buna göre, I. –3 II. –2 III. –1 sayılarından hangileri Q(x) polinomunun bir köküdür? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 6. –ax D A C B x + 1 H E G F – a 2 7 2 Alan(ABCD) = P(x) Çevre(EFGH) = Q(x) Yukarıda verilen ABCD ve EFGH dikdörtgenleri için R(x) = P(x) + Q(x) olarak veriliyor. R(x) polinomunun x2 + x – 1 ile bölümünden elde edilen kalan 15 olduğuna göre, a kaçtır? A) –6 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1 5. P(x) polinomunun derecesi n olan terimi n.xn şeklinde tanımlanıyor ve m. dereceden P(x) polinomu Pm(x) şeklinde gösteriliyor. Örnek: P3(x) = x + 2x2 + 3x3 P2(x) = x + 2x2 Buna göre, I. Pn(x) polinomunun katsayılar toplamı n.(n + 1) 2 dir. II. P20(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 10 dur. III. An Î N için Pn+1(x) – Pn(x) = (n + 1).xn+1 dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-A 2-C 3-E 4-A 5-B 5. Gerçel katsayılı ve dördüncü dereceden olan bir P(x) polinomu, her x gerçel sayısı için P(x) ³ x eşitsizliğini sağlıyor. P(1) = 1 P(2) = 4 P(3) = 3 olduğuna göre, P(4) kaçtır? A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 2021 - AYT 4. Her birinin en yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan üçüncü dereceden gerçel katsayılı P(x) ve R(x) polinomları için 2 ve 6 ortak köklerdir. P(x) – R(x) polinomu x – 1 ile bölündüğünde kalan 10 olmaktadır. Buna göre, P(0) – R(0) değeri kaçtır? A) 24 B) 27 C) 30 D) 33 E) 36 2020 - AYT 3. P(x)ve Q(x) sabit olmayan birer polinom, R(x) ise birinci dereceden bir polinom olmak üzere, P(x) = Q(x).R(x) eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, I. P(x) ve R(x) polinomlarının sabit terimleri aynıdır. II. P(x)’in grafiği bir parabol ise Q(x)’in grafiği bir doğrudur. III. Q(x) polinomunun her kökü P(x) polinomunun da bir köküdür. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III 2020 - AYT 2. En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan ikinci dereceden gerçel katsayılı bir P(x) polinomunun iki farklı kökü P(0) ve P(–1) değerleridir. Buna göre, P(2) değeri kaçtır? A) 1 2 B) 3 2 C) 5 2 D) 1 E) 2 2019 - AYT 1. En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan dördüncü dereceden bir polinomun köklerinin birer tam sayı olduğu bilinmektedir. Bu polinomun grafiğinin, dik koordinat düzleminde eksenleri kestiği noktalara ait bazı parçaları aşağıda verilmiştir. Buna göre, bu polinomun katsayıları toplamı kaçtır? A) 72 B) 80 C) 84 D) 92 E) 96 2019 - AYT
1 IKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI DENKLEMLER 31. FÖY ✔ Çözüm Kümesinin Bulunması ✔ Karmaşık Sayılar ✔ Kök-Katsayı İlişkisi ✔ Köklü Denklemler ✔ Mutlak Değerli Denklemler TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a, b, c Î R ve a ≠ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 ifadesine "ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem" denir. Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökleri, köklerin bulunduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Tanım Örnek 1 : (m – 4).x3 + n.xn–2 – 5x + m – n + 1 = 0 ifadesi ikinci dereceden denklem olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? Çözüm: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI 1. Çarpanlara ayırma yöntemi İkinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılabiliyorsa her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Tanım Örnek 2 : Aşağıda verilen ikinci dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. I. x2 – 3x + 2 = 0 ........................................................... II. x2 + 5x = 0 ........................................................... III. x2 – 16 = 0 ........................................................... IV. 2x2 – x – 1 = 0 ........................................................... V. 3x2 – 5x – 2 = 0 ........................................................... Örnek 3 : (m – 2) x3 + (m – 1) x2 + x – 6 = 0 İkinci dereceden denkleminin çözüm kümesini yazınız. Çözüm: 2. Diskriminant yöntemi ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı: ∆ = b2 – 4.a.c Kökleri: x1= , x2= Tanım Örnek 4 : Aşağıda verilen ikinci dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. I. x2 – 4x + 2 = 0 ........................................................... II. x2 + 6x + 1 = 0 ........................................................... III. 2x2 + 2x – 1 = 0 ........................................................... IV. 4x2 + 2x + 1 = 0 ...........................................................
2 31. FÖY: İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER IKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI DENKLEMLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Diskriminant ve Kökler Arasındaki İlişki ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0 Denklemin reel kökü yoktur. • Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır. (tek kök) • Denklemin çift katlı kökü vardır. • Denklemin çakı- şık kökü vardır. • ax2 + bx + c tam karedir. Denklemin iki farklı reel kökü vardır. ∆ Tanım Örnek 5 : x2 – 4x + m – 3 = 0 denkleminin farklı iki reel kökü varsa, m hangi aralıktadır? Çözüm: Örnek 6 : 4x2 – 12x + a – 1 = 0 denkleminin çift katlı kökü varsa, a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 7 : (a + 1) x2 + 4x + 1 = 0 denkleminin iki farklı reel kökü varsa, a sayısının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: Örnek 8 : x2 – 8x + a + 1 = 0 denklemin reel kökü yoksa, a sayısının alabileceği en küçük iki tam sayı değerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Simetrik Kök: ax2 + bx + c = 0 denkleminde b = 0 ve a. c < 0 ise denklemin simetrik iki kökü vardır. Tanım Örnek 9 : ax2 + (a2 – 4) x + 1 = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa, a sayısı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR a, b Î R ve i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi sayısına karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. Re İm b a z = a + bi z = a + bi Reel (Gerçel) kısım Sanal (imajiner) kısım Tanım Örnek 10 : Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve sanal kısımlarını bulunuz. I. z = 3 + 5i Re(z) = ......... İm(z) = ......... II. z = 2 – i 5 Re(z) = ......... İm(z) = ......... III. z = 3i – 7 2 Re(z) = ......... İm(z) = ......... IV. z = ñ5 3 Re(z) = ......... İm(z) = ......... V. z = – 2i 5 Re(z) = ......... İm(z) = ......... Örnek 11 : i = ò–1 olmak üzere, z1 = 3 – 5i z2 = –4 + 3i olduğuna göre, Re(z2) + İm(z1) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 12 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. z = 3 – 7i ise Re(z) = 3 II. z = 3i 5 ise Re(z) = 0 III. z = 1 – ñ5i 4 ise İm(z) = – ñ3 4 Çözüm: Örnek 13 : i 2 = –1 olmak üzere, ó–16 + ó–36 – 3 ó –8 İşleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 14 : x2 – 4x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 15 : z2 z3 z1 2 1 –1 –3 5 x y Yandaki karmaşık düzlemde verilen z1 , z2 ve z3 sayı larını yazınız. Çözüm:
4 31. FÖY: İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER IKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI DENKLEMLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Bir Karmaşık Sayının Eşleniği z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği z – = a – bi sayısıdır. ( z ) = z Tanım Örnek 16 : Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniklerini yazınız. I. z = 3 + 5i z – = ......... II. z = 2 – i 5 z – = ......... III. z = 3i – 7 2 z – = ......... IV. z = ñ5 3 z – = ......... V. z = – 2i 5 z – = ......... Örnek 17 : i = ò–1 olmak üzere, z1 = –3 + 4i 5 ve z2 = 3i – 2 4 olduğuna göre, Re(z1) + İm(z2) işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : Karmaşık sayılar kümesinde aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. Re(z + i) = Re( z – i) II. İm(z + 1) = İm(z + 5) III. Re(z) = İm(z) Çözüm: İki Karmaşık Sayının Eşitliği a + bi = c + di ise a = c ve b = d'dir. Tanım Örnek 19 : i = ò–1 olmak üzere, z1 = (2 – m) + (n + 3)i z2 = 7 + (m + 2n)i z1 = õz2 olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? Çözüm: i sayısının Kuvvetleri i 1 = i n tam sayısının 4 ile bölümünden kalan k ise in = ik dır. i 2 = –1 i 3 = –i i 4 = 1 NOT Örnek 20 : Aşağıdakilerden hangileri doğrudur? I. i 7 = i II. i 10 = –1 III. i 21 = i Çözüm: Örnek 21 : Karmaşık sayılar kümesinde z = 2i90 + i100 olduğuna göre, Re(z) + İm(z) toplamını bulunuz. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 22 : i 2 = –1 olmak üzere f(x) = 2x7 + 3x5 + x4 – 3x3 + x – 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(i) değerini bulunuz. Çözüm: Örnek 23 : k Î Z olmak üzere, i 8k+3 + i911 işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm: Örnek 24 : (1 + i)40 + (1 – i)40 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: z1 = a + bi z1 = c + di olsun. z1 + z2 = a + c + (b + d)i z1 – z2 = a – c + (b – d)i z1 . z2 = (a + bi).(c + di) = ac – bd + (ad + bc)i z1 z2 = a + bi c + di = (a + bi).(c – di) c2 + d2 (c – di) NOT Örnek 25 : z1 = 3 – 2i z2 = 4 + 3i olduğuna göre, 2z1 – õz2 ifadesini bulunuz. Çözüm: Örnek 26 : z karmaşık sayısının eşleniği õz olmak üzere z + 2i = 12 + 4i õz eşitliğini sağlayan z sayısını bulunuz. Çözüm: KÖKLER VE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. x1 + x2 = – b a x1 .x2 = c a |x1 – x2| = ñ∆ |a| Tanım Örnek 27 : x2 – 6x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, x1 + x2 + x1 .x2 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm:
6 31. FÖY: İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER IKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI DENKLEMLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 28 : x2 – (m + 1) x + 2m – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. x1 + x2 = 6 olduğuna göre, x1 .x2 çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 29 : x2 + 8x + m + 1 = 0 denkleminin kökleri a ve b'dir. a + b = 2.a.b olduğuna göre, m sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : x2 – 5x + 1 = 0 denklemin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, x1 2.x2 + x1 .x2 2 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 31 : x2 + 3x – 7 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 'dir. Buna göre, 1 x1 + 1 x2 toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 32 : x2 + 3x – 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, (x1 + 2) . (x2 + 2) çarpımının sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 33 : x2 + 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 'dir. Buna göre, x2 1 + x2 2 toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 34 : x2 – 8x + m – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. 2x1 + x2 = 17 olduğuna göre, m sayısı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 35 : x2 – 12x + m – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 'dir. x1 = 2x2 olduğuna göre, m sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 36 : x2 – (x1 + 3)x + 12 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 'dir. Buna göre, x1 + x2 toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 37 : x2 – (a – 2) x + 8 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 = x2 2 olduğuna göre, a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 38 : x2 – 6x + 4x1 = 0 denkleminin kökleri sıfırdan farklı x1 ve x2 'dir. Buna göre, x1.x2 çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 39 : x2 – mx – 3x – m + 7 = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması 3 olduğuna göre, geometrik ortalaması kaçtır? Çözüm: Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin Yazılması Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklemler: x2 – (x1 + x2).x + x1 .x2 = 0 Tanım Örnek 40 : Kökleri 2 ve –5 olan ikinci dereceden denklemi yazınız. Çözüm:
8 31. FÖY: İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER IKINCI DERECEDEN BIR BILINMEYENLI DENKLEMLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 41 : x2 – 5x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Kökleri 2x1 ve 2x2 olan ikinci dereceden denklemi bulunuz. Çözüm: Örnek 42 : Çözüm kümesi { 3 2 , 2 3 } olan ikinci dereceden denklemi yazınız. Çözüm: Örnek 43 : Kökleri 5 – ñ3 2 ve 5 + ñ3 2 olan ikinci dereceden denklemi yazınız. Çözüm: Örnek 44 : x2 – 4x – 3 = 0 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklemi yazınız. Çözüm: Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri a + ñb ise diğeri a – ñb dir. Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri a + bi ise diğeri a – bi dir. NOT Örnek 45 : Köklerinden biri 3 – ñ5 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. Çözüm: Örnek 46 : Köklerinden biri 3 – i olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. Çözüm: ax2 + bx + c = 0 dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin birer kökü ortak ise x2li terim yok edilerek ortak kök bulunur. NOT
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 47 : x2 + ax + 3 = 0 x2 – 4x – a – 1 = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre, a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 48 : 2x1 – 3x2 = –1 x1 + 2x2 = 10 eşitlikleri veriliyor. Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 7x – 12 = 0 B) x2 + 6x = 0 C) x2 – 7x + 12 = 0 D) x2 + 12x = 12 E) x2 – 6x + 12 = 0 Çözüm: Örnek 49 : (x + 1 x ) 2 –6(x + 1 x ) + 9 = 0 denkleminin köklerinden biri x1'dir. Buna göre, x2 1 + 1 x2 1 toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 50 : x2+ 3x – 6 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, x2 1 + 3x1 + 2 4 + 12 x2 2 + 3x2 – 3 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Köklü denklemlerde kök eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak kare alınır. Kökü ortadan kaldırdıktan sonra denklem çözülür. NOT Örnek 51 : ôx – 1 + x = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Mutlak değerli denklemlerde mutlak değerli ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve mutlak değer eşitliğin diğer tarafındaki ifadenin kendisine ve negatif işaretlisine eşitlenir. NOT Örnek 52 : |x2 – 2| – x = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 7. Karmaşık sayılar kümesinde, I. z = 2i – ñ3 2 ise Re(z) = –ñ3 2 II. z = 3 + i 4 ise İm(õz) = – 1 4 III. z = ñ5 + 3 2 ise İm(z) = 3 2 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 6. x2 – 3x – 5 = 0 denkleminin bir kökü x1 dir. Buna göre, x2 1 – 3x1 + 2 kaçtır? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 5. (x – 4).(x2 – 10) = (4 – x) denkleminin çözüm kümesindeki elemanlar toplamı kaçtır? A) –4 B) –1 C) 0 D) 1 E) 4 4. x2 + (m – 3) x + m – 7 = 0 denkleminin simetrik iki kökünün çarpımı kaçtır? A) –4 B) –2 C) –1 D) 2 E) 4 3. a < 0 < b < c olmak üzere, bx2 + cx + a = 0 denklemi için, I. İki farklı reel kökü vardır. II. ∆ < 0 III. Simetrik iki kökü vardır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 2. a2 – 3a + m – 2 = 0 denklemini sağlayan birbirinden farklı iki tane a reel sayısı olduğuna göre, m sayısı hangi aralıktadır? A) d 17 2 , ∞n B) < 17 4 , ∞n C) dñ7, – ñ7n D) d–∞, 17 4 n E) d–∞, – 17 2 n 1. x2 – 2x – 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) %1 + ñ7, 1 – ñ7/ B) ) 1 – ñ7 2 , 1 + ñ7 2 3 C) %ñ7, – ñ7/ D) ) 1 – ñ7 4 , 1 + ñ7 4 3 E) %2 –2ñ7, 2 + 2ñ7 /
11 1-A 2-D 3-A 4-A 5-E 6-D 7-C 8-E 9-D 10-E 11-A 12-D 13-E www.netlerikatla.com 13. x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, x3 1 + x3 2 toplamı kaçtır? A) 40 B) 43 C) 47 D) 48 E) 52 12. x2 – (m + 2)x – 4m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 'dir. x2 1 + x2 2 = 7 olduğuna göre, m sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) –3 D) –12 E) –15 11. x2 – (a + 1) x + 2a – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. x1 + x2 – x1 .x2 = 7 olduğuna göre, a sayısı kaçtır? A) –4 B) –1 C) 4 D) 5 E) 7 10. I. (x – 13)2 = 11 II. (x – 14)2 = 10 III. (x – 15)2 = 9 Yukarıda verilen I, II ve III numaralı ikinci dereceden denklemlerinin diskriminantları sırasıyla ∆1, ∆2 ve ∆3 dir. Buna göre, ∆1, ∆2 ve ∆3 için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) ∆1 < ∆2 < ∆3 B) ∆1 < ∆3 < ∆2 C) ∆2 < ∆3 < ∆1 D) ∆3 < ∆1 < ∆2 E) ∆3 < ∆2 < ∆1 9. 1 x – 3 x – 1 = 8 denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanların toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) – 2 5 B) – 1 2 C) 1 4 D) 3 4 E) 5 3 8. x2 – 5x – 7 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre, x2 1 – 5x1 + 1 x2 2 – 5x2 – 3 oranı kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 2 www.netlerikatla.com 6. 2a – b + ôa +õ b = 1 + 2i olduğuna göre, b aşağıdakilerden hangisidir? A) –4 B) –3 C) –1 D) 1 E) 3 5. x2 – 21x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, 1 òx1 + 1 òx2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 3 B) 5 2 C) 5 D) 12 E) 25 2 3. 5x2 – 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, 1 x1 – 2 + 1 x2 – 2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) – 16 13 B) – 7 4 C) – 3 2 D) – 1 2 E) 1 2 2. x2 – 5x + 1 = 0 denkleminin kökleri a ve b'dir. Buna göre, ña + ñb toplamı kaçtır? A) –ñ7 B) ñ5 C) ñ2 + ñ3 D) ñ5 E) ñ7 1. x2 – (m – 1) x + 6 = 0 denklemin kökleri x1 ve x2'dir. x1 x2 = x1 + 3 3 olduğuna göre, m sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) –2ñ7 B) ñ7 C) 2ñ7 + 1 D) 7 E) 2 4. x2 – 2x + 5 = 0 denkleminin kökleri a ve b dir. Buna göre, a2 + b2 + a + b – 1 işleminin sonucu kaçtır? A) –8 B) –7 C) –6 D) –5 E) –4
13 1-C 2-E 3-A 4-D 5-B 6-B 7-B 8-D 9-B 10-A 11-D 12-A www.netlerikatla.com 12. x2 – 3x + m + 5 = 0 x2 – 5x + m – 3 = 0 denklemlerinin birer kökleri eşit olduğuna göre, m sayısı kaçtır? A) –33 B) –29 C) 28 D) 33 E) 35 11. Köklerinden biri ñ7 – 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 4x + 3 = 0 B) x2 – 4x + 7 = 0 C) x2 + 7x – 2 = 0 D) x2 + 4x – 3 = 0 E) x2 – 4x – 3 = 0 10. x2 – 2mx – 9n = 0 denkleminin kökleri x2 + mx + m – 2n = 0 denklemin köklerinden 1'er eksik olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? A) – 2 63 B) – 1 21 C) – 2 3 D) 2 3 E) 2 13 9. x1 + x2 + x1.x2 = –3 2x1 + 2x2 + x1. x2 = 15 olduğuna göre, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 3x – 15 = 0 B) x2 – 18x – 21 = 0 C) x2 + 28x – 18 = 0 D) x2 + 28x + 18 = 0 E) x2 + 18x – 28 = 0 8. Kökleri x2 – 6x – 1 = 0 denkleminin köklerinden birer eksik olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 4x – 1 = 0 B) x2 – 4x – 1 = 0 C) x2 + 4x – 6 = 0 D) x2 – 4x – 6 = 0 E) x2 – 6x – 4 = 0 7. x2 – ax + 6 = 0 2x2 – 8x + b = 0 denklemlerinin ikişer kökleri eşit ise, a.b çarpımı kaçtır? A) 42 B) 48 C) 52 D) 56 E) 60
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 4. Aşağıda bir toplama tablosu verilmiştir. + x1 x2 x3 x1 • 10 • x2 • • 5 x3 9 • • Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem x2 + bx + c = 0 Kökleri x1 ve x3 olan ikinci dereceden denklem x2 + nx + k = 0 olduğuna göre, kökleri x2 ve x3 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) x2 – (k + b + 2)x + (c + n – 1) = 0 B) x2 – (k + b + 1)x + (c + 2n + 3) = 0 C) x2 – (n + b)x + (c + n) = 0 D) x2 + (k + b + 1)x + (c + b – 1) = 0 E) x2 + (c – k + 2)x + (k – n + 2) = 0 2. Aşağıda dikdörtgen şeklindeki bir kartondan iki dikdörtgen kesikli çizgilerden kesilerek çıkarılmıştır. A G K D F B y – 1 C y E H L 3 x Şekilde verilen |BD| = x = ò26 br olduğuna göre, kesilen kısımlar çıkarıldıktan sonra geriye kalan şeklin çevresi kaç br olur? A) 16 B) 14 C) 12 D) 11 E) 10 1. a < b < 0 < c olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre, I. ∆ > 0 II. x1 + x2 < 0 III. x1 .x2 > 0 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 3. ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. ` x1 + x2 = – b a ` x1.x2 = c a formülleri veriliyor. Buna göre, b ve c nin hangi değerleri için 1 x1 + 1 x2 = 2 şartı sağlanır? b c A) 6 3 B) 4 1 C) 2 4 D) –2 4 E) –4 2
15 1-C 2-C 3-E 4-B 5-B 6-D 7-D 8-B www.netlerikatla.com 8. 2x2 3x 2 = 0 Yukarıdaki boşluklara toplama (+) çıkarma (–) ve çarpma (.) işlemlerini yazarak ikinci dereceden denklemler elde ediliyor. Buna göre, elde edilen denklemlerin kaç tanesinin çözüm kümesi reel sayılardan oluşur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 18 7. ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bu durum şematik olarak x1 x2 ax2 + bx + c = 0 x2 x1 ax2 + bx + c = 0 veya şeklinde gösterilir. x2 – x – 6 = 0 ax2 + bx + c = 0 mx2 + nx + k = 0 x2 + x – 2 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 IV V I II III şemasına göre, I. III. ve IV. denklemlerinin çözüm kümeleri aynıdır. II. a + b + c = 0 dır. III. m + n + k = – 4 tür. ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 6. Alanı A br2, çevresi B br ve bir kenarı diğerinden 4 br uzun olan dikdörtgen şeklindeki kağıtlar kullanılarak, ` Kağıtlar kesilmeden ` Kağıtlar üst üste gelmeden dikdörtgen şeklindeki panolara boş yer kalmayacak şekilde konulmak isteniyor. A + B = 73 olduğuna göre, I. 75 x 18 II. 36 x 15 III. 40 x 24 ölçülerindeki panolardan hangileri bu iş için uygundur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 5. 10 dan başlayarak n ye kadar olan iki basamaklı sayılar kartlara yazılmıştır. . . . 1 nolu torba 2 nolu torba 10 11 12 13 n x2 – 8x + A = 0 denkleminde A yerine yukarıdaki kartlarda yazan sayılar sırasıyla yazılıyor. Elde edilen ikinci dereceden denklemin reel kökü var ise kart 1 no'lu torbaya, reel kökü yok ise kart 2 no'lu torbaya atılıyor. Buna göre, 1 no'lu torbadaki kart sayısı 2 no'lu torbadaki kart sayısından fazla olduğuna göre, n en fazla kaçtır? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
16 ÇIKMIŞ SORULAR 1-B 2-A 3-D 4-C 5-D www.netlerikatla.com 4. a ve b pozitif gerçel sayılar olmak üzere, 2ax2 – 5bx + 8b = 0 denkleminin kökleri a ve b’dir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 15 2020 - AYT 5. x2 – 2x + c = 0 denkleminin diskriminantı aynı zamanda bu denklemin bir kökü olduğuna göre, c gerçel sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 1 2 E) 1 4 2021 - AYT 3. z karmaşık sayısının eşleniği õz olmak üzere, 6 + 2i z = õz + i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının toplamı kaçtır? A) 1 + 3i B) 2 + i C) 3 + 2i D) 4 + i E) 4 + 4i 2020 - AYT 1. Karmaşık sayılar kümesinde i.(2 – i).(2 – 4i) (1 – i).(1 + i) işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 5 C) 10 D) 2i E) 5i 2020 - AYT 2. Karmaşık sayılar kümesinde (4 – 2i).(6 + 3i) (1 – i).(1 + i) işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 6 2019 - AYT
1 ✔ Mantık ✔ Kümeler ✔ Fonksiyonlar ✔ Polinomlar ✔ İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 32. FÖY GENEL TEKRAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 1. Saz veya keman çalanlardan oluşan 36 kişilik bir sınıfta yalnız keman çalabilenlerin sayısının 3 katı, yalnız saz çalabilenlerin sayısının 2 katı ve her iki enstrümanı çalabilenlerin sayısının 6 katı birbirine eşittir. Buna göre, sınıfta keman çalabilen kaç kişi vardır? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 2. A ∩ B = {2, 3, 4, 5} C = {0, 1, 2} olduğuna göre, s((A x C) ∩ (B x C)) kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 3. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, (fofofo ... of) (–3) kaçtır? 100 tane A) 5 B) 10 C) 598 D) 599 E) 5100 1 5 –3 2 y x f 4. ` f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik, ` g(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ve g artan bir fonksiyondur. (fog)(x) = 2x2 + 1 ve f(2) = 3 tür. Buna göre; I. g(–1) = –2 II. f(4) = 9 III. f(x) + g(x) = x2 2 + 2x + 1 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 5. Q(x + 3) polinomunun çarpanlarından biri x – 3'tür. Buna göre, P(x – 2) = (4x – 1).Q(x – 1) –x – 3 polinomunun x – 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –27 B) –16 C) –13 D) –10 E) –6 6. ax2 + (a + 1) x + a + 2 = 0 denkleminin simetrik iki kökü a ve b'dir. Buna göre, 2a – b farkı kaçtır? A) –3 B) –2 C) –1 D) 2 E) 3
2 www.netlerikatla.com 9. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {0, 3, 4, 5} olduğuna göre, (A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15 10. Aşağıda y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(4) + f(–1) + f–1(8) toplamı kaçtır? A) –1 B) 6 C) 7 D) 10 E) 17 x y y = f(x + 1) 3 4 6 7 8 –4 –2 5 11. P(x) = x3 – x2 + x + 2 polinomu veriliyor. Buna göre, P(3x – 5) + P(3 – x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –2 B) –1 C) 2 D) 6 E) 8 12. P(x) polinomunun derecesi 3 ve baş katsayısı 2, Q(x) polinomunun derecesi 2 ve baş katsayısı 3'tür. Buna göre, P2(x) . Q(x3) polinomunun derecesi ve baş katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? Derecesi Baş Katsayısı A) 6 27 B) 12 12 C) 8 72 D) 12 72 E) 12 108 7. İki tanesi birbirine denk olan 5 önermenin kaç farklı durumu vardır? A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 8. 42 kişilik bir sınıfta, ` Futbol oynayanların sayısı, hem futbol hem voleybol oynayanların sayısının 4 katıdır. ` Voleybol oynayanların sayısı yalnız futbol oynayanların sayısından 1 eksiktir. ` Hiçbir sporu yapmayan 1 kişidir. Buna göre, futbol oynayan kaç kişi vardır? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 E) 28
3 www.netlerikatla.com 20. 2x2 + kx + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. 1 x1 + 1 x2 = –8 olduğuna göre, k sayısı kaçtır? A) 3 B) 8 C) 12 D) 32 E) 4 16. A = {–2, –1, 3} B = {1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A x B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin çapı kaç br'dir? A) 5 B) 3ñ3 C) ò29 D) ò31 E) 6 15. Basketbol veya futbol oynayan öğrencilerin bulunduğu bir sınıfta basketbol oynayan öğrencilerin sayısı futbol oynayan öğrencilerin sayısının iki katıdır. Sınıfta her iki sporu yapan öğrenci sayısı 3 ve sınıf mevcudu 30 olduğuna göre, sınıfta yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? A) 19 B) 22 C) 26 D) 28 E) 29 17. Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f–1(–3) + f–1(4) toplamı kaçtır? A) –3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3 x y 2 6 4 3 5 –6 –4 –3 f 14. p ⇒ (q ∨ rı ) ≡ 0 olduğuna göre, I. pı ∨ (q ⇒ r) ≡ 1 II. p ∧ (q ∨ r ı ) ≡ 0 III. pı ⇒ (qı ∨ r) ≡ 1 denkliklerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 18. P(x) = xn – 4 + 8x6–n – 2x 18 n – 1 polinomu veriliyor. Buna göre, P(–2) kaçtır? A) 12 B) 14 C) 18 D) 21 E) 27 19. P(x) = ax2 + bx + 3 polinomu veriliyor. P(2x – 3) polinomunun, x – 1 ile bölümünden kalan 4, x – 2 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 21 13. (p ∨ qı ) ⇒ r önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) r ⇒ (pı ∨ qı ) B) rı ⇒ (pı ∧ q) C) (p ∨ qı ) ⇒ r ı D) (pı ∧ qı ) ⇒ r E) (pı ∧ q) ⇒ r ı
4 www.netlerikatla.com 21. İngilizce bilenlerin tamamının Fransızca bilip Almanca bilmediği, en az bir dilin konuşulduğu bir sınıfta, İngilizce bilmeyen 11, Fransızca bilen 6 kişidir. Buna göre, sınıfta yalnız Almanca bilenler, İngilizce bilenlerden kaç fazladır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 22. A = { x | 23 < x < 73, x = 5k , k Î Z } B = { x | –7 < x < 3 , x Î Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, s(A x B) kaçtır? A) 83 B) 85 C) 90 D) 92 E) 95 24. P(x) = x3 – 2x2 – 3x – 1 polinomunun Q(x) = x2 – 2 polinomuna bölümünden elde edilen bölüm ve kalan aşağıdakilerden hangisidir? Bölüm Kalan A) x – 2 – x – 5 B) x – 2 x + 3 C) x – 2 – x + 3 D) x – 1 x – 3 E) x – 1 x + 5 25. P(x) polinomu x –2 ile tam bölünüyor. P(x – 2).Q(2x – 1) + (x2 – 1).Q(x – 3) – x – 3 polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan 3, x – 1 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(–1) kaçtır? A) 7 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 23. Dik koordinat düzleminde f + g ve f – g fonksiyonlarının grafikleri şekilde verilmiştir. (f.g)(a) = 8 olduğuna göre, b kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 y x O a 2 b f + g f – g 26. a, b Î Z olmak üzere, Köklerinden biri 5 – ñ2 olan ikinci dereceden denklem x2 + ax + b = 0 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
5 www.netlerikatla.com 27. A, B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. Aı ∩ B = Bı ∩ C = ∅ olduğuna göre, I. C ⊂ B ⊂ A II. Cı ∩ A = B III. A ∩ C = C ∩ B ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 28. M x L = { (a, a), (a, b) , (a, c), (d, a), (d, b), (d, c) } olduğuna göre, s((M ∪ L) x (M ∩ L)) kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 29. f: R – {–2} → R – {1} olmak üzere, f(x) = ax + 20 8x – b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) 0 30. der[P(x)] = 2 ve P(–1) = P(2) olmak üzere; P(1) – P(3) = 18 olduğuna göre, P(x) polinomunun baş katsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) –6 B) –3 C) –1 D) 2 E) 4 32. x2 – kx + 6 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. 1 x1 + 1 x2 = 1 9 olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 3 B) 2 3 C) 1 6 D) 5 6 E) 2 31. P(x) polinomunun x3 + x ile bölümünde bölüm x2 – x –3, kalan 3x –1'dir. Buna göre, P(x – 2) polinomunun x – 4 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –8 B) –6 C) –5 D) –3 E) –1 33. p ⇒ (qı ∨ r) ≡ 0 önermesinde p, q, r nin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir? p q r A) 1 1 1 B) 1 0 0 C) 1 1 0 D) 0 1 1 E) 0 1 0 34. 20 kişilik bir öğrenci grubunda 12 erkek vardır. 9 gözlüklü öğrenciden 6 tanesi erkek olduğuna göre, gözlüksüz kız öğrenci sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 10
6 www.netlerikatla.com 39. P(x) ve Q(x) polinomları için, P(2x – 1) = (2x + 3).Q (3x + 11) – x –1 eşitliği veriliyor. Q(4x + 1) polinomunun katsayılar toplamı 4 olduğuna göre, P(3x – 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır? A) –7 B) –3 C) –1 D) 3 E) 5 40. xm–1 –2x + 1 = mx – m denklemi, ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduna göre, bu denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {2,3} B) {–2, 4} C) {1, 4} D) {–1, 5} E) {1, 5} 38. A(x) Kalan ax + b B(x) Yukarıda verilen bölme işleminde A(x) polinomu; A(x) = (ax + b) . B(x) + Kalan şeklinde yazılabilir. A(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için verilen eşitlikte; x = – b a yazılırsa A(– b a ) = Kalan olur. Buna göre, P(x + 1) = mx + n polinomu için, P(x + 2) polinomunun P(x) polinomuna bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 2n B) 2m C) 0 D) –2m E) –2n 37. f(x) = 2x – 2 olduğuna göre, f(–10) + f(–9) +….+ f(9) + f(10) kaçtır? A) 36 B) 18 C) –20 D) –22 E) –42 36. Yukarıdaki tabloda sırası ile sütun ve satırdaki fonksiyonların bileşkesinin kuralları verilmiştir. Örnek: fog(x) = x + 5 tir. Buna göre, h( 1 2 ) – f( 1 2 ) farkı kaçtır? A) –5 B) –3 C) –1 D) 3 E) 5 o f(x) g(x) g(x) x + 5 h(x) 3x – 1 35. Aşağıda A x B çarpımının grafiği verilmiştir. B A 4 3 2 –3 –2 –1 –1 1 2 3 Buna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 1, 2, 3} B) {–1, 0, 1, 2, 3} C) {–1, 2, 3} D) {–1, 0, 2, 3} E) {0, 2, 3}
7 www.netlerikatla.com 46. P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, P(x) = mx2 – nx – 3x –1 Q(x) = ax2– 3x + 2x2 – bx – m – 1 olarak veriliyor. P(x – 1) polinomunun sabit terimi 4 ve P(x) = Q(x) olduğuna göre, a b oranı kaçtır? A) –1 2 B) –1 C) 1 2 D) 1 E) 2 45. k ∈ R olmak üzere, uygun koşullarda tanımlı f fonksiyonu için f(x – 2) = 5x olduğuna göre, f(k + 1).f(k – 1) f(2k) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 5 B) 5 C) 25 D) 125 E) 625 44. Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için f(x) = 3x + 5 g(x) = 2x – 5 ve (fog)(2m) = g(m – 1) Buna göre, m sayısı kaçtır? A) 1 2 B) 1 7 C) 3 10 D) 4 9 E) 2 5 42. Her öğrencinin yalnız bir yabancı dil konuşabildiği, 3 yabancı dilin konuşulduğu bir sınıfta İngilizce konuşamayan 13, Fransızca konuşamayan 12 ve Almanca konuşamayan 11 kişi olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) 16 41. (pı ∧ q) ⇒ r ≡ 0 olduğuna göre, I. p Q rı II. r Û q III. r v q ifadelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 43. A ve B birer küme olmak üzere, A x B = { (2, 3), (4, 6), (6, 9), (8, 12), ... , (2n, 2n + 50) } kartezyen çarpımı veriliyor. Buna göre, s(A ∩ B) kaçtır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 23 E) 25 47. (∀ x ∈ R, x – 4 < 0) ifadesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisine denktir? A) (∀ x ∉ R, x – 4 < 0) B) (∀ x ∉ R, x – 4 > 0) C) (∃ x ∈ R, x – 4 > 0) D) (∃ x ∈ R, x – 4 ≥ 0) E) (∃ x ∈ R, x – 4 ≤ 0)