4 9. FÖY: BASİT EŞİTSİZLİKLER BASİT EŞİTSİZLİKLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 17 : x Î R+ olmak üzere, 9 7 < x + 3 x + 1 ≤ 3 2 olduğuna göre, x sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : x ve y reel sayıdır. x = 1 – 1 1 + 1 y – 1 ve 2 < x < 3 olduğuna göre, y nin değer aralığını bulunuz. Çözüm: Örnek 19 : a, b, c pozitif reel sayılardır. 1 a • b > 1 a • c > 1 b • c olduğuna göre; a, b ve c’yi büyükten küçüğe doğru sıralayınız. Çözüm: 5. x < y + a < b x + a < y + b Tanım Örnek 20 : x, y Î R olmak üzere, –3 < x ≤ 5 6 < y < 11 olduğuna göre, 2x + y toplamı hangi aralıktadır? Çözüm: Örnek 21 : –4 < a < 7 2 < b < 5 olduğuna göre, 2a – b sayısının en büyük ve en küçük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: Örnek 22 : x, y Î Z olmak üzere, 2 < x ≤ 11 –7 < y < 8 olduğuna göre, 3x – 2y ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 23 : 1 5 < x < 1 3 1 7 ≤ y < 1 2 olduğuna göre, x + y x • y hangi aralıktadır? Çözüm: Bir eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif ise her iki tarafın aynı pozitif tam sayı kuvveti alınırsa eşitsizliğin yönü aynı kalır. 2 < x ≤ 7 ® 22 < x2 ≤ 72 4 < x2 ≤ 49 Bir eşitsizliğin her iki tarafı da negatif ise her iki tarafın aynı pozitif çift tam sayı kuvvetleri alınırsa eşitsizliğin yönü değişir. Aynı pozitif tek tam sayı kuvvetleri alınırsa eşitsizliğin yönü değişmez. –5 ≤ x < –3 ® (–3)2 < x2 ≤ (–5)2 9 < x2 ≤ 25 (–5)3 ≤ x3 < (–3)3 –125 ≤ x3 < –27 Bir eşitsizliğin bir tarafı negatif diğer tarafı pozitif ise kare (çift kuvvet) alındığında sola 0, sağa mutlak değerce büyük olanın karesi yazılır. –2 < x ≤ 5 ® 0 ≤ x2 ≤ 25 –7 ≤ x < 3 ® 0 ≤ x2 ≤ 49 Tanım Örnek 24 : –6 < y < 3 2 < x < 8 olduğuna göre, x2 ve y2 sayılarının en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 25 : a ve b reel sayılardır. 2 < a < 3 –3 < b < 2 olduğuna göre, (a – b) • (a + b) çarpımının bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: Örnek 26 : –2 < x ≤ 5 olduğuna göre, x3 + 2 sayısının alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? Çözüm:
6 9. FÖY: BASİT EŞİTSİZLİKLER BASİT EŞİTSİZLİKLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com a < x < b ve c < y < d eşitsizlikleri verilip x • y aralığı sorulursa a • c, a • d, b • c, b • d çarpanlarından en küçüğü ile en büyüğünün oluşturduğu aralık çözümüdür. Tanım Örnek 27 : –5 < x < 6 –7 < y < 4 olduğuna göre, x • y hangi aralıktadır? Çözüm: Örnek 28 : –7 < x ≤ 5 –2 < y < 4 olduğuna göre, x.(y + 1) çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 29 : –1 < x < 4 olmak üzere, x2 – 6x ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : 2 < x + 1 x < 5 olduğuna göre, x.(x + 2) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: a2 < a Û 0 < a < 1 a2 < |a| ´ a Î (–1, 1) – {0} Tanım Örnek 31 : m2 < m ve n < 1 olduğuna göre, I. mn < m II. mn – n < 0 III. m > 1 ifadelerinden hangileri daima doğrudur? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 32 : x, y, z Î R ` x < 0 ` x + z > x + y > 0 olduğuna göre, I. y – z < 0 II. x • y < 0 III. x < y < z ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 33 : a2 < a olmak üzere, 3a + 1 2 ifadesinin bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: Örnek 34 : 3 < x < 5 1 8 ≤ y < 1 3 olduğuna göre, x y sayısının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: Örnek 35 : a, b, c Î R için –2 < a < 4 –3 < b < 2 olduğuna göre, a.b + 2.a ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? Çözüm: Örnek 36 : 0 < A < 1 ve B > 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) AB > B B) A2 B > A B C) A • B > 1 D) A2B – AB < 0 E) A + B < 0 Çözüm: Örnek 37 : ` a2 ≤ |a| ` b2 < b eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, a + b toplamı hangi aralıktadır? Çözüm:
8 9. FÖY: BASİT EŞİTSİZLİKLER BASİT EŞİTSİZLİKLER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Eşitsizlikleri Analitik Düzlemde Gösterilmesi: ax + by + c < 0 eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü bu eşitsizliğin çözüm kümesidir. Bu görüntü çizilirken önce ax + by + c = 0 doğrusu çizilir. Daha sonra doğrunun alt ya da üst tarafından bir nokta alınarak eşitsizlikte yazılır. Bu nokta eşitsizliği sağlıyorsa noktanın alındığı bölge, sağlamıyorsa diğer bölge çözüm kümesidir. Diğer bir yöntem y li terim eşitsizliğin bir tarafında ve pozitif işaretli olarak yalnız bırakılır. y < ..........: doğrunun alt bölgesi y ≤ ..........: doğru ve alt bölgesi y > ..........: doğrunun üst bölgesi y ≥ ..........: doğru ve üst bölgesi çözüm kümesi olur. Doğru çözüme dahil ise düz çizgi, değilse kesikli çizgi ile çizilir. Tanım ax + by + c = 0 doğrusu çizilirken x = 0 yazılarak grafiğin y eksenini kestiği nokta, y = 0 yazılarak grafiğin x ekseni kestiği nokta bulunur. NOT Örnek 38 : 3x + 4y – 12 = 0 doğrusunu çiziniz. Çözüm: Örnek 39 : 2x – 3y + 6 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini dik koordinat düzleminde gösteriniz. Çözüm: Örnek 40 : y – 3x > 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini koordinat düzleminde gösteriniz. Çözüm: Değişkenleri aynı olan birden fazla eşitsizliğe eşitsizlik sistemi denir. Her eşitsizliği sağlayan (x, y) ortak noktaları sistemin çözüm kümesidir. NOT Örnek 41 : 2x + y ≥ 8 2y – x < 6 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini dik koordinat düzleminde gösteriniz. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 42 : Aşağıdaki dik koordinat düzleminde y = 4x ve 2y + x – 6 = 0 doğrularının grafikleri verilmiştir. O x y 2y + x – 6 = 0 y = 4x Buna göre, a. Çözüm kümesi sarı renkli bölge olan eşitsizlik sisteminiz yazınız. b. Çözüm kümesi kırmızı renkli olan bölge eşitsizlik sistemini yazınız. Çözüm: Örnek 43 : Aşağıdaki dik koordinat sisteminde 2x + y = 10 doğrusu grafiği verilmiştir. O x y 2x + y = 10 Buna göre, çözüm kümesi taralı bölge olan eşitsizlik sistemini yazınız. Çözüm: Örnek 44 : Aşağıdaki dik koordinat sisteminde ax + by + c = 0 doğrusunun grafiği verilmiştir. O x y Taralı bölge eşitsizliğin çözüm kümesi olduğuna göre; a, b ve c’nin işaretlerini bulunuz. Çözüm: Örnek 45 : m, n, k ve t birer gerçel sayı olmak üzere, x + my ≥ n x + ky ≤ t eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi sarıya boyanarak aşağıda gösterilmiştir. O x y Buna göre; m, n, k ve t’nin işaretlerini bulunuz. Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 6. x ve y birer doğal sayıdır. 3 < x < 10 2 < y < 9 olduğuna göre, x + 1 y y + 1 x ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. a ve b reel sayılardır. –2 < a < 3 3 < b < 4 olduğuna göre, 2a – 3b ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) –16 B) –15 C) –14 D) –13 E) –12 5. x, y Î Z olmak üzere, 2 < x ≤ 11 –7 ≤ y < 10 olduğuna göre, 2x –y ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 13 B) 17 C) 21 D) 28 E) 29 2. M + 1 < 5 ≤ M + 11 olduğuna göre, M sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) –15 B) –9 C) –8 D) –7 E) –6 4. 0 < A < B < C olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi en büyüktür? A) A B B) B C C) A C D) C B E) C A 1. M2 < M ve 2M + N = 1 olduğuna göre, N sayısının alabileceği tam sayı değeri kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
11 www.netlerikatla.com 1-C 2-A 3-B 4-E 5-E 6-C 7-D 8-C 9-B 10-B 11-A 12-A 9. x ve y reel sayıdır. 3 < x < 7 2 < y < 5 olduğuna göre, 44 xy + 2x – y kaç tane doğal sayı değeri alır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. 3x – 2y – 1 = 0 –5 < y ≤ 7 olduğuna göre, x sayısı hangi aralıktadır? A) (–3, 5] B) (–3, 5) C) [–3, 5) D) (–5, 3] E) (–5, 3) 11. a – 2 < x + 1 ≤ 7 – m eşitsizliğinin çözüm kümesi (–4, 9] olduğuna göre, m sayısı kaçtır? A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2 8. 1 4 < a < 4 1 3 < b < 2 olduğuna göre, a + b a • b ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 10. –7 ≤ M < 3 –4 < N ≤ –1 olduğuna göre, M2 + N2 toplamının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 66 B) 65 C) 64 D) 63 E) 62 7. –2 < x ≤ 8 x + 2y x – y = 2 olduğuna göre, y sayısı kaç farklı tam sayı değeri alabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
12 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 3. Yukarıdaki tabloda, Mert ve Kenan’ın uğurlu sayıları ile bu sayıların bulunduğu aralıklar gösterilmiştir. Buna göre, I. Uğurlu sayıların toplamının alabileceği en büyük değeri 18 dir. II. Uğurlu sayılarının karelerinin toplamı 1 ile 45 arasındadır. III. Uğurlu sayılar aynı ise bu sayı (1, 6] aralığındadır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Mert Kenan Aralık (1, 3] [–4, 6) Uğurlu sayı x y 2. Eda, bir eşitsizliği, x : (–1) < x < kenar sayısı Çokgenin kenar sayısı x y şeklinde tanımlıyor. Bu tanımlamaya göre, x : (–1) < x < kenar sayısı Çokgenin kenar sayısı x y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) (–2, –1) B) (–5, 2) C) (–1, 2) D) (–2, 1) E) (1, 2) 4. Bir belediye, alanı A metrekare olan bir arsa üzerine aşağıdaki koşullara göre bina yapılmasına izin vermektedir. ` Önce binanın oturacağı taban alanının (B) ne kadar olacağına, A 5 ≤ B ≤ A 3 eşitsizliğine göre, ` Daha sonra binadaki kat sayısına (C) ise, 2A B ≤ C ≤ 4A B eşitsizliğine göre karar verilir. Buna göre, bu belediye en fazla kaç katlı binanın yapılmasına izin verir? A) 2 B) 15 C) 16 D) 20 E) 24 1. Yukarıdaki dört kova içindeki su miktarlarına göre küçükten büyüğe sıralanmıştır. a + b = 20 olduğuna göre, b aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 15 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 3 litre a litre 13 litre b litre
13 www.netlerikatla.com 1-A 2-B 3-A 4-D 5-E 6-A 7-E 8-B 7. –3 –2 y x –1 0 1 2 Yukarıdaki sayı doğrusunda x ve y reel sayılarının değer aralıkları gösterilmiştir. Buna göre; x • y + 1 ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) [–2, 2] B) (–3, 6] C) [–4, 7] D) (–2, 5) E) (–5, 7] 8. Kardeşler pastanesinde satılan 1 kg peynirli börek 10x, 1 kg sade börek 10y’dir. Peynirli ve sade böreğin satış fiyatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. ` Sade böreğin 100 gr fiyatı 1’den az, peynirli böreğin 100 gr fiyatı 1’den fazladır. ` 100 gr peynirli börek, 100 gr sade börekten ¨a fazladır. ` 100.x gr peynirli börek, 100.x gr sade börekten ¨b fazladır. ` 100.y gr peynirli börek, 100.y gr sade börekten ¨c fazladır. Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) c < a < b C) b < c < a D) a < c < b E) a < b < c 6. Bir pastahanede çay ¨a, kahve ¨b ve su ¨c fiyatları ile satılmaktadır. Aşağıdaki tabloda, Adem, Burcu ve Cem’in pastahanede içtikleri içecek sayıları gösterilmiştir. İçecek Sayısı Çay Kahve Su Adem 1 1 2 Burcu 1 2 1 Cem 2 1 1 İçtikleri içecekler için en az parayı Cem, en çok parayı Burcu ödediğine göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < c < b B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a 5. A B A A A A Yukarıdaki şekil A ve B kareleri kullanılarak yapılmıştır. A karesinin alanı 1 br2 ve B karesinin alanı x br2 dir. Buna göre, 1 + ñx ñx ifadesinin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, 3) B) (2, 4) C) f 1 2 , 2p D) (1, 2) E) f 3 2 , 2p
14 TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 2 2. Şen manavda satılan 1 kg domates x, 1 kg patlıcan y’dir. Domates ve patlıcan satışları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. ` x kg domatesin fiyatı, 6 kg domatesten ucuzdur. ` y2 kg patlıcanın fiyatı, 49 kg patlıcandan pahalıdır. ` Domates veya patlıcandan en az 5 kg alan bir müşteriye Şen Manav 1 kg aynı üründen ücretsiz vermektedir. 7 kg domates almak için ödenecek en büyük tam sayı değeri A ve 7 kg patlıcan almak için ödenecek en küçük tam sayı değeri B olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? A) 91 B) 86 C) 81 D) 78 E) 73 4. İki farklı sayıdan, küçük olanı ile çarpıldığında bu iki sayının toplamına eşit olan sayıya “üçüncü sayı” denir. Örnek: 2 ve 6 sayıları için üçüncü sayı 4 tür. Çünkü, 2 • 4 = 2 + 6 dır. a ve b negatif gerçel sayıları için, üçüncü sayı c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) c < 1 B) 0 < c < 1 C) 1 < c < 2 D) c > 2 E) 2 < c < 3 3. x y A x y A • + B A C D Yukarıdaki tabloda çarpma (.) ve toplama (+) işlemleri satır ve sütundaki harfler kullanılarak yapılmaktadır. Tabloya göre, B + C > D olduğuna göre, I. x < 0, y < 0 II. x • y < 0 III. x > 0, y < 0 ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 1. –3 –2 x y z –1 0 1 2 Yukarıda sayı doğrusu üzerinde x, y ve z sayılarının yerleri gösterilmiştir. Buna göre, I. x • y • z > z II. y • z > x • z III. x • y > z ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III
15 www.netlerikatla.com 1-B 2-D 3-B 4-C 5-D 6-B 7-D 8-C 6. x, y, m ve n gerçel sayılar olmak üzere, mxn ifadesi, mxn = x • m + n olarak veriliyor. ` y x0 ifadesi x ten büyüktür. ` 1xy ifadesi x ten küçüktür. Buna göre, I. x > 0 II. x – y > 0 III. x y > 0 ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III 8. x bir gerçek sayı olmak üzere, –2 ≤ x < 5 koşulunu sağlayan x değerleri için x2 –4x + 1 ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığını bulmak isteyen bir öğrenci aşağıdaki adımları yazıyor. I. adım: x2 – 4x + 1 = (x – 2)2 – 3 II. adım: –4 ≤ x – 2 < 3 III. adım: 9 < (x – 2)2 ≤ 16 IV. adım: 6 < (x – 2)2 – 3 ≤ 13 V. adım: 6 < x2 – 4x + 1 ≤ 13 Buna göre, öğrenci kaçıncı adımda ilk hatayı yapmıştır? A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 7. a, b, c pozitif reel sayılardır. ` a < b < c ` 2a + 3b + 4c < 90 olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 5. a, b Î R olmak üzere, a2 – 16 < 0 (b – 3)2 < 4 eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, I. –3 < a + b < 9 II. –9 < a – b < 3 III. a . b > 0 eşitsizliklerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-D 2-D 3-B 4-E 5-D 6-A 6. a, b, c ve d birer gerçel sayı olmak üzere, x + ay ≤ b x + cy ≥ d eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi yeşile boyanarak aşağıdaki koordinat düzleminde gösterilmiştir. Buna göre a, b, c ve d sayıların işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) +, –, –, – B) +, +, +, – C) +, –, +, – D) –, –, +, – E) –, +, –, + 2021 - TYT 1. a, b ve c gerçel sayıları için a – b < 0 < c < c – b eşitsizliği veriliyor. Buna göre, I. a • b • c > 0 II. (a + c) • b > 0 III. b – a + c > 0 ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III 2020 - AYT 4. a bir gerçel sayı olmak üzere, x + 1 ≤ a eşitsizliği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. ` x = 0 bu eşitsizliği sağlar. ` x = 4 bu eşitsizliği sağlamaz. Buna göre, a sayısının alabileceği değerleri ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 4] B) [0, 4) C) [1, 4] D) (1, 5] E) [1, 5) 2019 - AYT 2. Bir para çekme makinesi, istenilen miktardaki parayı 5 TL, 10 TL, 20 TL, 50 TL ve 100 TL değerindeki kâğıt paralardan en az sayıda kullanarak vermektedir. Her kâğıt paradan yeterli sayıda bulunan bu para çekme makinesinden; Ahmet 495 TL, Buse 265 TL ve Cansu 550 TL para çekiyor. Para çekme makinesinin Ahmet, Buse ve Cansu’ya verdiği kâğıt para sayıları sırasıyla PA, PB ve PC olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) PA < PB < PC B) PA < PC < PB C) PB < PA < PC D) PB < PC < PA E) PC < PB < PA 2020 - TYT 5. Bilge, öğle yemeğinde birer porsiyon olarak verilen çorba, salata ve meyve seçeneklerinden iki tanesini alması gereken kalori miktarına göre seçecektir. Bilge, yapabileceği seçimlerle ilgili olarak alması gereken kalori miktarını ` çorba ve meyve seçtiğinde aştığını, ` meyve ve salata seçtiğinde aşmadığını, ` salata ve çorba seçtiğinde tam olarak aldığını hesaplamıştır. Birer porsiyon çorba, meyve ve salatanın kalorileri sırasıyla Ç, M ve S olduğuna göre, bu değerlerin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) Ç < M ≤ S B) Ç ≤ S < M C) S ≤ Ç < M D) S < M ≤ Ç E) M ≤ S < Ç 2021 - TYT 3. Aşağıdaki şekilde, birbirleriyle dik kesişen ve her bir kenarı doğrusal olan bir ana cadde ile bir ara sokak arasında kalan bahçede bulunan elma, armut ve ceviz ağaçlarının konumlarını belirten üç nokta gösterilmiştir. Bu bahçedeki ağaçlardan ana caddeye en yakın olanı elma, en uzak olanı ise armut ağacıdır. Buna göre, ara sokağa en yakın olan ağaçtan en uzak olan ağaca doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) Armut - Ceviz - Elma B) Armut - Elma - Ceviz C) Ceviz - Armut - Elma D) Elma - Armut - Ceviz E) Elma - Ceviz - Armut 2019 - TYT
1 ✔ Mutlak Değerin Özellikleri ✔ Mutlak Değerli Eşitsizlikler MUTLAK DEĞER 10. FÖY TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com MUTLAK DEĞER Sayı doğrusunda bir sayının 0 a uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. x'in mutlak değeri IxI ile gösterilir. IxI = x, x > 0 0, x = 0 –x, x < 0 Tanım Örnek 1 : |||–3|–7|–1| işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 2 : a < b < 0 < c olduğuna göre, |a – b| + |b – c| + |c – a| işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 3 : |x – 5| = 5 – x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x = 5 B) x ≤ 5 C) x < 0 D) x > 0 E) x < –5 Çözüm: Örnek 4 : |4 – 3ñ2| + |5ñ2 – 5| işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: Örnek 5 : –2 A B –1 0 1 Yukarıdaki sayı doğrusunda yerleri gösterilen A ve B reel sayıları için, I. |2A – 2B| = 2B – 2A II. |A + B| = A + B III. |A2 – B2| = B2 – A2 IV. |A – B| = –A + B V. |A.B| = –A.B ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 6 : x2 < –x olmak üzere, | x – 4 | + | x | = 5 eşitliğini sağlayan x değeri için, 4x2 + 1 kaçtır? Çözüm:
2 10. FÖY: MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Mutlak değerin en küçük değeri 0 dır. NOT Örnek 7 : | 2x – 8 | + | x – y – 4 | = 0 eşitliğini sağlayan x ve y değerleri için x + y toplamı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm: a pozitif tam sayı olmak üzere, x 2a 2a = |x| x 2a+1 2a+1 = x NOT Örnek 8 : a < b < 0 < c olmak üzere, (a – b)4 4 + (b – c)3 3 + b6 6 – a4 4 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ 1. |x + y| ≤ |x| + |y| Tanım Örnek 9 : | A + B | | A | + | B | ifadesinin en büyük değeri kaçtır? Çözüm: 2. |x.y| = |x|.|y| 3. x y = |x| |y| y ¹ 0 Örnek 10 : Aşağıdaki eşitlikleri bulunuz. |3x| = .................................... |–2a| = .................................. |–5b| = .................................. x 3 = ..................................... 4. |x| = |–x| Örnek 11 : x ¹ 1 olmak üzere |x – 1| + a|1 – x| = |2 – 2x| – 2a|1 – x| olduğuna göre, a değerini bulunuz. Çözüm: Örnek 12 : Aşağıdaki eşitlikleri bulunuz. |–3A| = |x – y| = |x – 3| = 5. a Î R+ için |x| = a ise x = a veya x = –a dır. Örnek 13 : Aşağıdaki eşitlikleri bulunuz. |a| = 3 ise a = ...... veya a = ...... |x| = 7 ise x = ...... veya x = ......
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 14 : | m – 3 | = 7 denklemini sağlayan m değerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 15 : 2x + 1 3 = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 16 : 3x + 1 7 = –7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm: Örnek 17 : |x| + |–2x| = 12 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : a2 < a olmak üzere, | a – 1 | + | a | = | b | olduğuna göre, b'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 19 : | x – 2 | + | 2 – x | = 10 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 20 : Ix – 3I + I6 – 2xI = 15 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm:
4 10. FÖY: MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 21 : |x –7| + |21 – 3x| = 123! eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 22 : ||x – 3| + 1| = 5 denkleminin çözüm kümesini yazınız. Çözüm: |f(x)| = g(x) ise f(x) = g(x) veya f(x) = –g(x) çözüm yapıldıktan sonra bulunan köklerin ilk denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. (g(x) ≥ 0 olacağı dikkate alınmalıdır.) NOT Örnek 23 : | 3x + 1 | = 3 – 2x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 24 : | x – 3 | = 2x + 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 25 : | 3x – 1 | = 3 – x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 26 : | x | = x olmak üzere, || x + 2 | + x | = 10 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com |f(x)| = |g(x)| f(x) = g(x) f(x) = –g(x) NOT Örnek 27 : | 2x + 5 | = | x – 7 | denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x ve y sayıları arasındaki uzaklık |x – y| ile gösterilir. NOT Örnek 28 : Sayı doğrusu üzerinde bulunan a1, a2, a3 noktalarından a1 in a2 ve a3 sayılarına uzaklıkları eşit olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) | a3 – a1 | = | a3 – a2 | B) | a3 – a1 | = | a2 – a1 | C) | a2 + a1 | = | a3 + a2 | D) | a3 | = | a2 – a1 | E) | a3 – a2 | = 2| a1 | Çözüm: Örnek 29 : a ve b sayıları arasındaki uzaklık |a – b| ile ifade edilir. • a < b < c • |a – c| = 7 • |b – c| = 3 olduğuna göre, |b – a| kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : |x – y| = 3 |y – z| = 5 |z – x| = 8 olduğuna göre, I. x < y ise z – y > 0 dır. II. y > z ise x > z dir. III. x + y > z dir. ifadelerinden hangileri daima doğrudur? Çözüm: Örnek 31 : Reel sayı doğrusunda, ` A sayısının, 3 sayısına uzaklığı B birim, ` B sayısının, A sayısına olan uzaklığı 7 birimdir. Buna göre, A . B çarpımı kaçtır? Çözüm:
6 10. FÖY: MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER 1. a Î R+ olmak üzere, | x | < a ® –a < x < a Tanım Örnek 32 : | 2x + 1 | ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan x değerleri hangi aralıktadır? Çözüm: Örnek 33 : | x + 1 | + | 3x + 3 | ≤ 28 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 34 : | 3x – 1 5 | ≤ –7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 35 : | a + 1 | ≤ 5 olduğuna göre, 2a – 1 3 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm: Örnek 36 : • | x | < 4 • –1 ≤ 2y – 1 < 9 koşullarını sağlayan x ve y reel sayıları için x + y toplamının en büyük ve en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 37 : | x | + | –2x | + | 3x | < 36 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin bulunduğu en geniş aralığı bulunuz. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 38 : a sayısına uzaklığı b birim veya b birimden küçük sayıların bulunduğu kümeyi çözüm kümesi olarak kabul eden denklem |x – a| ≤ b dir. Buna göre, 7 ye olan uzaklığı 3 birim veya daha küçük olan x sayılarının bulunduğu kümeyi yazınız. Çözüm: Örnek 39 : –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Çözüm kümesi yukarıda verilen eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? I. |x – 1| ≤ 4 II. |x – 2| ≤ 5 III. |x + 1| ≤ 3 Çözüm: 2. a ∈ R+ olmak üzere, | x | > a → x > a veya x < –a Örnek 40 : | x + 5 | > 11 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 41 : | 2x – 1 | > –7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 42 : a ve b reel sayı olmak üzere, ` a2 ≤ |a| ` |b – 2| ≥ 3 ` 3a – b + 5 = 0 olduğuna göre, b kaç farklı tam sayı değeri alır? Çözüm: Örnek 43 : | | x – 1 | – 5 | > 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 3. a, b ∈ R+ olmak üzere, a < | x | < b a < x < b a < –x < b ↓ ↓ Ç1 Ç2 Çözüm kümesi = Ç1 ∪ Ç2
8 10. FÖY: MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 44 : 3 < | x – 2 | ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 45 : 1 ≤ | x – 5 | < 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 46 : a < |x – 2| ≤ b eşitsizliğinin çözüm kümesi (3, 9] È [–5, 1) olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 47 : ||x – 2| – 9| < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 48 : || x – 1 | – 5 | < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Örnek 49 : | | x – 2 | – 3 | < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 50 : Benzinin litre fiyatının 6,5 TL olan bir ülkede uzmanlar önümüzdeki günlerde bu fiyatın ±1 tl değişebileceğini belirtmiştir. Buna göre, benzinin fiyatının bulunduğu aralığı veren eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? I. |x – 6, 5| ≤ 1 II. |x – 5, 5| ≤ 1 III. |x – 1| ≤ 6,5 Çözüm: Örnek 51 : x A Yukarıdaki sayı doğru üzerinde B(m) ve C(n) noktaları; • A ile B arasındaki uzaklık 1010 br • A ile C arasındaki uzaklık 1017 br olacak biçimde işaretleniyor. Bu şarta uygun olarak işaretlenebilecek x değerlerinin toplamı 20 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 52 : 10. sınıf öğrencisi Burak, öğretmeninin tahtaya yazmış olduğu, 2a – 1 = 5 32 – b = 30 eşitlikleri için aşağıdaki çıkarımlarda bulunuyor. I. –2 < b < –1 II. |a – b| = |a| + |b| III. 4 ≤ |a – b| ≤ 5 Buna göre, bu çıkarımlardan hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Çözüm: Örnek 53 : Bir sayı doğrusu üzerindeki A(a), B(b) ve K(k) noktaları için ` A noktasının B noktasına olan uzaklığı en çok x, ` B noktasının K noktasına olan uzaklığı en çok y dir. bilgileri veriliyor. Buna göre, A noktasının K noktasına olan uzaklığını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) |a – k| ≤ x – y B) |a| ≤ x – y C) |a + k| ≤ x + y D) |a – k| ≤ x + y E) |a – k| ≤ x.y Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2. m < n < 0 < k olduğuna göre, | k – m | – | n – m | ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) k + m B) k + n C) k – n D) k – m E) k + n – 2m 3. | A – 1 | + | 5 – 5A | = 42 olduğuna göre, A sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarıdaki sayı doğrusunda verilenlere göre, | B – A | ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x – y B) z – x C) z D) x E) y A birim B birim y x 0 z t 1. a, b ve c tam sayılar olmak üzere, |a + b| = 4 |b + c| = 2 |c + 2| = 0 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) –8 B) –6 C) –4 D) 0 E) 4 5. | M – 3 | = M – 3 olduğuna göre, 2M + 5 ifadesinin bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (–∞, –11) B) (–∞, 11) C) [–11, 11] D) [11, ∞) E) (11, ∞) 6. | A – 3 | = 30! eşitliğini sağlayan A sayılarının toplamı kaçtır? A) 0 B) 6 C) 30! D) 30! + 3 E) 2 . 30!
11 1-B 2-C 3-C 4-A 5-D 6-B 7-D 8-E 9-C 10-C 11-B 12-C www.netlerikatla.com 7. | x – 3 | + | y – 7 | ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x ve y değerleri için x.y çarpımı kaçtır? A) 14 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24 8. | A + 2 | > 9 olduğuna göre, A sayısının bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (–11, 7) B) (–∞, 7) C) (–∞, –7) ∪ (11, ∞) D) (–∞, 7) ∪ (11, ∞) E) (–∞, –11) ∪ (7, ∞) 9. | | x – 2 | – 2 | > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (–5, 9] B) (–∞, –9] ∪ [5, ∞) C) (–∞, –5) ∪ (9, ∞) D) (–∞, –9) ∪ (5, ∞) E) (–∞, 7] ∪ (9, ∞) 10. | 7 – | a | | < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, 13) B) (–13, –1) C) (–13, –1) ∪ (1, 13) D) (–13, 13) E) (–1, 1) 11. x < | x | ve y = | y | olduğuna göre, I. x + y > 0 II. x . y > x III. y – x y + 1 > 0 ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 12. Sayı doğrusu üzerinde; 3'e en az 4 br, en fazla 7 br uzaklıkta bulunan x reel sayılarından oluşan küme aşağıda verilen eşitsizliklerden hangisinin çözüm kümesidir? A) 4 ≤ | x | ≤ 7 B) 4 ≤ | x + 3 | ≤ 7 C) 4 ≤ | x – 3 | ≤ 7 D) –7 ≤ | x – 3 | ≤ –4 E) –7 ≤ | x + 3 | ≤ –4
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 2 www.netlerikatla.com 2. A = | x – 2 | + | 5 – x | + 3 olduğuna göre, A'nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. x – 1 2 + 1 – x 2 = 81 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. x ve y tam sayıdır. | x | + | y | ≤ 1 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. | |x – 2| – 4 | = a denkleminin birbirinden farklı 3 tane reel sayı çözümü olduğuna göre, a değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1. | x + 1 3 | = x + 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) )– 5 2 , – 7 4 3 B) )– 5 2 3 C) )– 7 4 3 D) ) 7 4 3 E) ) 5 2 , 7 4 3 6. | x – 2 | – 4 | x | + 1 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 7. x bir tam sayı ve –3 ≤ x < 9 olmak üzere, A = x2 – 5x + 4 B = –x2 + 7x – 1 dir. olduğuna göre, |A – B| kaç farklı tam sayı değeri alır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
13 1-C 2-B 3-B 4-C 5-C 6-B 7-C 8-A 9-B 10-D 11-C 12-B 13-A www.netlerikatla.com 9. 2 3 4 5 1 |A| Yukarıdaki gerçel sayı doğrusunda 1 |A| nın bulunduğu yer gösterilmiştir. Buna göre, A sayısının yeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? 0 A) 1 2 A 0 B) 1 2 A 2 C) 3 4 A –2 D) –1 0 A –3 E) –2 –1 A 10. |2x – 4| |x + 1| = 3 2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 10 B) 75 7 C) 11 D) 82 7 E) 2 11. | x2 – 4 | = | x – 2 | eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) –4 B) –3 C) –2 D) 0 E) 2 12. b 2 2a – ifadesinin en küçük değeri için; |a – b| + |a + b| = 16 eşitliğini sağlayan a değerleri çarpımı kaçtır? A) –9 B) –4 C) –1 D) 4 E) 9 13. c pozitif reel sayıdır. |x| + |–x| = c eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 8. a ve x doğal sayıdır. a – 2 3 = 2x – 3x olduğuna göre, a + x toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 2. Sayı doğrusu üzerinde işaretlenen iki nokta A(a) ve B(b) olmak üzere, |AB| = |a – b| ile bulunur. Örnek: A(13) ve B(8) ise, |AB| = |13 – 8| = 5 tir. Başlangıç noktası O olmak üzere, Sayı doğrusunda K(x) ve L(y) noktaları işaretleniyor. |KL| = |OK| – |OL| olduğuna göre, x ve y sayıları için, I. x > 0 ve y > 0 ise x > y dir. II. x < 0 ve y < 0 ise x < y dir. III. |x| < y dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 3. Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde bulunan K ve M noktaları için; ` K noktasının A ya uzaklığı B ye uzaklığının 2 katı, ` M noktasının A ya uzaklığı B ye uzaklığının 3 katı olduğuna göre, K ve M noktaları arasındaki uzaklık; I. Tam sayı olabilir. II. Tam sayı olmayabilir. III. 5 br olabilir. IV. 6 5 br olabilir. ifadelerinden hangisi ya da hangileri söylenemez? A) I ve II B) II ve III C) III ve IV D) Yalnız II E) Yalnız IV –3 7 A B 1. Aşağıda x, y ve z sayıları sayı doğrusunda gösterilmiştir. x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y z Buna göre, I. |x – y| ≤ |z – 1| II. |x – z| > |y – z| III. |y + 1| < |z – 1| ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 4. x ve y reel sayılar olmak üzere, " " işlemi x y a : x ile y arasındaki uzaklık a birimdir. şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 3 x 5 4 y x y z işlemlerini sağlayan x, y ve z sayıları için, I. x = –1 ise y = 6 dır. II. y nin alabileceği değerler toplamı 8 dir. III. z nin alabileceği değerler toplamı 12 dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III
15 1-D 2-D 3-E 4-E 5-E 6-E 7-A 8-D www.netlerikatla.com 5. Uzunlukları x cm ve y cm olan iki çubuk sayı doğrusunda şekildeki gibi konumlandırılıyor. Yeşil uçlar sabit kalacak şekilde; • x çubuğu sağa yatırılınca kırmızı ucu 5 noktasına, sola yatırılınca kırmızı ucu –3 noktasına, • y çubuğu sağa yatırılınca kırmızı ucu 8 noktasına, sola yatırılınca kırmızı ucu –2 noktasına denk gelmektedir. Buna göre, I. x + y = 9 dur. II. x ve y çubukları uç uca bağlanıp yeşil uç sayı doğrusunda 7 noktasına konularak sağa yatırıldığında kırmızı uç 16 noktasına denk gelir. III. a ve b sayı doğrusu üzerinde iki nokta ve |a – b| = 3 olmak üzere x ve y çubukları sırasıyla a ve b noktalarına konulup ikiside sağa yatırılırsa kırmızı noktalar arasındaki uzaklık 4 br olur. ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III –2 x y 5 Sol Sağ –3 8 6. x ve y reel sayıları için, |x .y| ≤ |y.z| olduğuna göre, I. |x| ≤ |z| dir. II. x > z olabilir. III. z > x olabilir. IV. x + z = 0 olabilir. V. y herhangi bir reel sayı olabilir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) I, II ve III C) II, III ve IV D) III, IV ve V E) I, II, III, IV ve V 7. 14. kat 9. kat Can'ın evi . . . . . . . . . 1. kat Can, Ali ve Demir'in evinin bulunduğu bir apartmanda Can'ın evinin konumu yanda gösterilmiştir. • Ali'nin evi ile Can'ın evinin arasında 7 kat, • Ali'nin evi ile Demir'in evi arasında 5 kat bulunmaktadır. Buna göre, I. Ali'nin evi 1. katın üstündedir. II. Demir'in evi 10. kattadır. III. Can'ın evi Demir'in evinin 2 kat üstündedir. ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III 8. Bir özel okul yaptığı bursluluk sınavında başarı sağlayanlara ve katılanlara tabloda gösterildiği gibi belirli oranlarda indirim yapacaktır. Her öğrenci indirimlerin sadece birinden yararlanabilecektir. Eğitim ücretini 22000 TL olarak belirleyen bu okulun sınava giren üç öğrenciden alabileceği toplam eğitim ücretini gösteren en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) |x – 11000| < 22000 B) |x – 13200| ≤ 46200 C) |x + 13200| ≤ 46200 D) |x – 46200| ≤ 13200 E) |x + 11000| < 54000 Başarı Sıralaması İndirim Oranı İlk 3 % 50 İlk 10 % 25 Sınava katılan herkese %10
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-B 2-B 3-D 4-B 5-C 6-A 6. Bir paraşütle atlama kursundaki eğitmen, kursiyerlerine aşağıdaki açıklamayı yapmıştır: “Yerden 800 metre yükseklikteki bir uçaktan atlarken yere güvenli bir şekilde inebilmeniz için uçaktan atladıktan 400 ila 500 metre sonra paraşütünüzü açmanız gerekmektedir.” Buna göre, yere güvenli bir şekilde inebilmek için paraşüt açıldığı anda yerden yüksekliğin alabileceği değerleri ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir? A) |x – 350| ≤ 50 B) |x –300| ≤ 100 C) |x – 250| ≤ 150 C) |x – 200| ≤ 200 E) |x – 150| ≤ 250 2021 - TYT 5. Düz bir arazide yer alan bir bina ile bir ağacın yükseklikleri arasındaki fark 8 metredir. Bir süre sonra, ağacın yüksekliği iki katına çıkmış ve bu fark 3 metre olmuştur. Buna göre, binanın yüksekliği I. 13 metre II. 16 metre III. 19 metre değerlerinden hangileri olabilir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 2021 - TYT 4. x ve y tam sayılar olmak üzere, |x – 3| + |2x + y| + |2x + y – 1| = 1 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, y’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –12 B) –11 C) –10 D) –9 E) –8 2020 - AYT 3. Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen K sayısının 1’e olan uzaklığı ile L sayısının 2’ye olan uzaklığı aynıdır. Buna göre, K.L çarpımının değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) A B) B C) C D) D E) E 2020 - TYT 2. Birbirinden farklı a, b ve c gerçel sayıları için a + b = |a| b + c = |b| eşitlikleri veriliyor. Buna göre; a, b ve c sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) b < c < a E) c < a < b 2019 - AYT 1. Sayı doğrusu üzerinde pozitif bir A sayısı şekildeki gibi gösterilmiştir. Sonra, bu sayı doğrusu üzerinde; 0’a olan uzaklığı, A sayısının 0’a olan uzaklığının yarısına eşit olan sayılar işaretleniyor. İşaretlenen sayılardan birinin A sayısına uzaklığı 6 birim olduğuna göre, A sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21 2019 - TYT
1 ✔ Üslü Sayıların Özellikleri ✔ Üslü Sayılarda İşlemler ✔ Üslü Denklemler ✔ Üslü Eşitsizlikler ÜSLÜ SAYILAR 11. FÖY TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com ÜSLÜ SAYILAR n ∈ Z+ ve a ¹ 0 olmak üzere, an = a.a.a . ... . a n tane n bir tam sayı olmak üzere, 1n = 1, (–1)2n = 1, (–1)2n + 1 = –1 Pozitif bir sayının tüm reel sayı kuvvetleri pozitiftir. Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. a0 = 1 (a ≠ 0) 0a = 0 (a ≠ 0) Tanım Örnek 1 : Aşağıdaki eşitlikleri yazınız. ` 2.2.2.....2 = 20 tane ....... ` x.x.x.....x = y tane ....... ` 7.7.7.....7 = m + 1 tane ....... ` (–1)21 = ....... ` (–2)4 = ....... ` –24 = ....... ` (–2)3 = ....... ` –23 = ....... Örnek 2 : 3x = 50 olduğuna göre, x hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? Çözüm: Örnek 3 : 23 + 32 + (–5)0 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Üssün üssü (an) m = (am) n = am.n İşaretlere dikkat edilmelidir. Her zaman üsler yer değiştirmeyebilir. Örneğin: (–25) 6 ¹ (–26) 5 Tanım Örnek 4 : (23) 5 = 2..... 84 = 2..... 76 = 49..... 54 = 25..... Örnek 5 : 2x = a olduğuna göre, 4x in a cinsinden eşiti nedir? Çözüm: Örnek 6 : x = 45 y = 83 z = 162 olduğuna göre, x , y ve z sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. Çözüm:
2 11. FÖY: ÜSLÜ SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Negatif üs a–n = ( 1 a ) n ( a b ) –n = ( b a ) n (a ¹ 0, b ¹ 0) Tanım Örnek 7 : Aşağıdaki eşitlikleri yazınız. 2–3 = ( 1 5 ) –2 = (–2)–2 = (–3)–3 = –2–2 = Örnek 8 : x = –3 y = 2 olduğuna göre, xy + y–x işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 9 : 3A = 5 olduğuna göre, 3–A kaçtır? Çözüm: Örnek 10 : (–2)–1 + (–3–1) 2 –( 1 3 ) –2 + (–1)5 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 11 : 1 1 + 5x + 1 1 + 5–x işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm: Örnek 12 : AB + 1 = C A–B – 1 = D olduğuna göre, D'nin C cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com ÜSLÜ SAYILARDA İŞLEMLER Toplama - Çıkarma: Taban ve üssü aynı olan üslü sayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. x.an + y.an – z.an = (x + y – z).an Tanım Örnek 13 : 2.511 + 3.511 – 511 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 14 : 2.7x + 6.7x– 3.7x 7x + 7x + 7x + 7x + 7x işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Çarpma İşlemi an .am = an+m Tanım Örnek 15 : 915 .2712 .( 1 9 ) işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 16 : 213 + 213 + ...... + 213 16 tane işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 17 : (–22) 3 .(–23) –1 .(–2–5) –2 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : 2x–1 = 5 olduğuna göre, 4x+1 kaçtır? Çözüm: Örnek 19 : 3x + 3x+1 3x – 3x–2 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm:
4 11. FÖY: ÜSLÜ SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com an .bn = (a.b)n Tanım Örnek 20 : Aşağıdaki eşitlikleri yazınız. 26 .56 = 10..... 37 .57 = 15..... 128 = 42x = Örnek 21 : 2x = a 5x = b olduğuna göre, 20x in a ve b cinsinden eşiti nedir? Çözüm: Örnek 22 : 3x+1 = 6x–1 olduğuna göre, 2x kaçtır? Çözüm: Örnek 23 : 10x = 15 olduğuna göre, 2x 51–x işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 24 : x > 1 olmak üzere, 10x –10.5x –3.2x + 30 = 0 olduğuna göre, 2x–1 değeri kaçtır? Çözüm: n doğal sayı ve a sıfırdan farklı bir reel sayı olma üzere, a.10n sayısının sondan n basamağı sıfırdır. Basamak sayısı = a nın basamak sayısı + n NOT Örnek 25 : 8x+1 .125x sayısı 16 basamaklı bir sayı ise x kaçtır? Çözüm: an am = an–m an bn = ( a b ) n Tanım Örnek 26 : 350 + 349 320 + 319 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 27 : 210 + 29 + 28 28 + 27 +26 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 28 : y Î Z olmak üzere, (–x)3–2y .(–x)4y+3 x2y+1 ifadesinin en sade halini yazınız. Çözüm: Örnek 29 : 2a = 3b olduğuna göre, 4 a b + 9 b a toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 30 : x = (–3)36 y = (–5)24 z = (–7)35 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz. Çözüm: A,B.10C ifadesinde virgül sola kaydırıldıkça C her basamakta 1 artar, sağa kaydırıldıkça her basamakta 1 azalır. A,B.10C = 0,AB.10C+1 = AB.10C–1 NOT Örnek 31 : ` 0,24.105 = ` 1,4.107 = ` 0,008.1015 = Örnek 32 : 0,4 . 10–8 + 0,006 .10–6 2,5 . 10–11 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 33 : 2x = 5 ve x.y = 3 olduğuna göre, 25y kaçtır? Çözüm: Örnek 34 : x, y Î Z olmak üzere, 82 .6x = 16y .9y olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? Çözüm:
6 11. FÖY: ÜSLÜ SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 35 : 3m = 2n olduğuna göre, 6 m m+n kaçtır? Çözüm: Örnek 36 : AB = 5 ve AC = 9 olmak üzere, 9. AB–C + AB+C 3 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 37 : 2x –1 = 5 6y+1 = 60 olduğuna göre, 2 x y değeri kaçtır? Çözüm: ÜSLÜ DENKLEMLER Tabanlar eşit ise an = am ´ n = m dir. (a ¹ –1, 0, 1) Tanım Örnek 38 : 4x–1 = 8 eşitliğini sağlayan x sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 39 : 8A+1 = 41–A eşitliğini sağlayan A sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 40 : 2.3x+1 – 3x = 45 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 41 : ( 1 2 ) –4x = 41–x olduğuna göre, 2–3x + ( 1 8 ) x işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 42 : 3x + 32x + 6x 3x + 2x + 1 = 27 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm: Örnek 43 : 93x .27x+1 = ( 1 81 ) –12 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm: Üsler Eşit İse an = bn eşitliğinde iki durum vardır. n tek ise a = b n çift ise a = b veya a = –b Tanım Örnek 44 : (2x + 1)10 = (x + 8)10 olduğuna göre, x sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 45 : (4x + 1)7 = (3y – 1)7 34x–1 = 2 olduğuna göre 27y kaçtır? Çözüm: an = 1 şeklindeki denklemler I. n = 0 ve a ¹ 0 II. a = 1 III. a = –1 ve n çift olmalı. Tanım
8 11. FÖY: ÜSLÜ SAYILAR ÜSLÜ SAYILAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 46 : (x – 2)x2–4 = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulunuz. Çözüm: Örnek 47 : (3x – 5)6x–7 = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz. Çözüm: Örnek 48 : 5a = 7 7b = 25 olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? Çözüm: a, b birer tam sayı ve x ile y aralarında asal sayılar olmak üzere, xa = yb ise a = b = 0 dır. NOT Örnek 49 : x ve y birer tam sayı olmak üzere; 22x+y = 5y–3 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm: Örnek 50 : 3a = 18 3b = 2 olduğuna göre, 2a–b+1 kaçtır? Çözüm: Örnek 51 : 3x+y = 25! + 26! 52x+z = 26! – 25! ve 5x–2 = 24! olduğuna göre, 3y–z kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 52 : xy+3 = 32 x4–y = 4 olduğuna göre, x . y çarpımının sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 53 : x.y = 1 olmak üzere, 1 1 + x + 1 1 + y = 1 dir. Buna göre, 1 1 + 2x–1 + 1 1 + 3x–2 = 1 denklemini sağlayan x değeri için, 6x–1 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 54 : Radyoaktif bir madde saniyede 8–16 gram ağırlık kaybetmektedir. Maddenin ağırlığı 418 saniye sonra kendi ağırlığının (16)–6 katı kadar azaldığına göre, maddenin başlangıçtaki ağırlığı kaç gramdır? Çözüm: Örnek 55 : A x C n B Şekildeki A ve B yıldızları ile AB doğrultusu üzerinde olan C gezegeni verilmiştir. C gezegeni A yıldızı etrafında tam daire şeklinde dönmektedir. |AC| = x, |AB| = 5.1026 km, C gezegeninin B yıldızına en yakın konumdayken uzaklığı n, en uzak konumdayken uzaklığı m dir. m.n = 554 . x4 – x2 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm: Üslü Eşitsizlikler an > am eşitsizliğinde a > 1 ise n > m dir. 0 < a < 1 ise n < m dir. Tanım Örnek 56 : ( 2 3 ) x–1 > ( 9 4 ) x+5 eşitsizliğinin çözüm kümesini yazınız. Çözüm: Örnek 57 : (0, õ4)x–1 ≥ (1, 5)–x–4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır? Çözüm:
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 5. 3x–1 = m olduğuna göre, 91–x in m cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 m B) 1 m2 C) 3 m2 D) 3m2 E) m2 6. 3x = 29 5y = 34 7z = 43 olduğuna göre, x, y ve z sayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) y > x > z B) z > x > y C) x > y > z D) z > y > x E) x > z > y 7. x ≠ 0 için, 2x – 1 = A 2–x + 1 = B olduğuna göre, B'nin A cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 – A 1 – A B) A + 2 1 – A C) A 1 + A D) 2A 1 + A E) 2 + A 1 + A 4. 40x = 35 olduğuna göre, 23x+2 . 5x–1 ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 12 C) 18 D) 27 E) 28 3. a = 239 b = 326 c = 513 sayıları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c B) b < a < c C) c < a < b D) c < b < a E) b < c < a 2. a = –2 olmak üzere, (–a2) –3 . (–a–3) –3 işleminin sonucu kaçtır? A) –8 B) –4 C) 2 D) 4 E) 8 1. x = 2 ve y = –2 olmak üzere, xy + yx işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 7 2 C) 15 2 D) 4 E) 17 4
11 www.netlerikatla.com 1-E 2-A 3-C 4-E 5-B 6-C 7-E 8-D 9-A 10-B 11-C 12-E 13-C 14-C 11. I. a negatif bir sayı ise –a2 de negatiftir. II. a pozitif bir sayı ise a–3 negatiftir. III. a3 pozitif bir sayı ise –a2 de pozitiftir. IV. –a–1 pozitif bir sayı ise a3 negatif bir sayıdır. Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) I ve IV D) I, II ve IV E) II, III ve IV 12. 10.100.1000 . ... . 100...0 19 tane sayısı kaç basamaklıdır? A) 19 B) 90 C) 91 D) 190 E) 191 14. 2 x+1 x = 6 olduğuna göre, 9x – 3x+1 + 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. A = 28 + 28 + ... + 28 64 tane B = 82 + 82 + ... + 82 64 tane olduğuna göre, A B oranı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 8. ab = 2 olduğuna göre, 8.a–b + a2b işleminin sonucu kaçtır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 9. a ve b ardışık iki doğal sayı olmak üzere, • a < x < b • 2x = 30 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 10. x ≠ 0 olmak üzere, 2x–1 = m 3x = n 5x = k olduğuna göre, (1,2)x ifadesinin m, n ve k cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) mn k B) 2mn k C) mnk D) km n E) 2mk n
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2 2. 2x .2y–1 = 8 5x+1 5y–1 = 625 olduğuna göre, xy kaçtır? A) 1 3 B) 1 C) 3 D) 6 E) 9 1. 9x–2 32x–3 işleminin sonucu kaçtır? A) – 1 9 B) – 1 3 C) 1 3 D) 3 E) 9 4. x ≠ 0 için, (2x)x–1 . 3x+1 6x . xx+1 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2 x B) 2 x2 C) 3 x D) 3 2x2 E) 6 2x 5. 2x + 2–2x 2–x + 2–4x = 1 16 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3 6. 2x = m 3x = n olduğuna göre, (0, õ4)x sayısının m ve n cinsinden eşiti nedir? A) mn m + n B) m n2 C) m2 n2 D) m n E) m2 n 7. ( 1 2 ) –20 + ( 1 8 ) –8 (–2–2 + 1 2 ) –10 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 8 B) 2 C) 5 D) 17 E) 101 3. 3x –1 = 4 olduğuna göre, 12 1 x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 12 E) 16
13 www.netlerikatla.com 1-C 2-C 3-B 4-D 5-A 6-C 7-D 8-D 9-A 10-B 11-C 12-C 13-C 14-C 14. x3 . x3 . x3 . ... . x3 = y3 y tane y2 + y2 + y2 + ... + y2 = x5 x tane olduğuna göre, y sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 2 B) 1 C) 2 D) 5 E) 10 13. x ≠ 0 olmak üzere, 4xy = 8(x2) olduğuna göre, 2x + 4y 4x + 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x B) y C) 2x D) 2y E) 1 12. x > 1 olmak üzere; x2a+b xa+b + xa+b x2b = 2 . xa olduğuna göre, b kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 10. 2x = 3y 6x = 9 olduğuna göre, 6y kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 9 E) 12 11. 1 2x = 4y 3y = 9x–1 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 2 B) 2 3 C) 4 5 D) 3 2 E) 4 3 9. 16x = 81 81y+1 = 16 olduğuna göre, 2xy–1 değeri kaçtır? A) 1 3 B) 2 3 C) 1 D) 4 3 E) 8 3 8. 3–x – (–6x ) –1 1 + 2x = 1 36 olduğuna göre, x kaçtır? A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 1. a, b, c, Î Z olmak üzere, a b c = (c – a)b olarak tanımlanıyor. 1 2 x = 49 olduğuna göre, x 2 3 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 49 B) 64 C) 81 D) 100 E) 121 2. Aşağıdaki tabloda pozitif a, b ve c sayılarıyla yapılan çarpma işlemlerinden bazılarının sonuçları verilmiştir. Buna göre, a sayısı kaçtır? A)2–2 B)2–1 C)23 D)24 E) 25 x a b c a 22 b 24 c 212 3. 0 < a < 1 olmak üzere x = a3 y = a4 z = a2 olduğuna göre, aşağıdaki gerçel sayı doğrularındaki gösterimlerden hangisi yanlıştır? –2 –1 0 1 x 2 –2 –1 0 1 y x 2 –2 –1 0 1 –x 2 –2 –1 0 1 x – z 2 –2 –1 0 1 y – x 2 A) B) C) D) E) 4. Aşağıda üç çeşit kalem ve uzunlukları hakkında bilgiler verilmiştir. ` A, B ve C kalemlerin uzunluklarını göstermektedir. ` C – B = B – A = 2a ` C = 8a – 2a ` A = 2a olduğuna göre, kalemlerin uzunlukları toplamı kaç birimdir? A) 32 B) 16 C) 13 D) 12 E) 8 C D A B C
15 www.netlerikatla.com 1-C 2-E 3-D 4-D 5-B 6-E 7-C 8-C 8. kurgusuna uygun olarak; işlem kurgusu yapılmıştır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x – y = z B) x . y = z C) x y = z D) y + z = x E) y + x = z a . b a b 210 x 23 y 2 2 z a . b a b 210 x 23 y 2 2 z 7. Bir televizyon kanalında yayınlanan kamu spotu aşağıda gösterilmiştir. Bu spotla başlayan yardım kampanyasında toplanacak mavi kapaklar ve karşılığında alınabilecek ödüller tabloda gösterilmiştir. Türkiye Omurilik Felçlileri derneğince düzenlenen kampanyada 243 adet elektrikli sandalye, 486 tekerlekli sandalye alındığına göre kaç adet mavi kapak toplanmıştır? A) 317 B) 318 C) 319 D) 320 E) 321 Toplanacak Mavi Kapak Ödül 317 adet 81 adet elektrikli tekerlekli sandalye 314 adet 3 adet tekerlekli sandalye 5. Şekilde A, B ve C kareleri verilmiştir. A karesinin alanı 4a ve C karesinin alanı 64a olduğuna göre, B karesinin alanı kaç birimkaredir? A) 49 B) 36 C) 25 D) 16 E) 9 C B A A A 6. İstanbul'da düzenlenen üç günlük Nevruz etkinliğine Türkiye'nin 81 ilinin her birinden eşit sayıda öğrenci katılmıştır. ` Bu öğrencilerin konaklaması için illerin her birinde 3x çadır hazırlanmıştır. ` Her çadırda 9 öğrenci kalmıştır. ` Her öğrenciye günlük 3 öğün yemek fişi verilmiştir. Ankara'dan gelen öğrencilere, 94 adet yemek fişi verildiğine göre, etkinlik için hazırlanan toplam çadır sayısı kaçtır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 38 E) 39
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-B 2-C 3-E 4-D 5-E 4. İki mercekle çalışan mikroskoplar; nesnelerin görüntüsünü, merceklerin büyütme oranlarının çarpımı kadar büyük gösterir. Örneğin merceklerinden birinin büyütme oranı 5 kat, diğerinin büyütme oranı ise 20 kat olan iki mercekle çalışan bir mikroskop, bakılan nesnenin görüntüsünü 100 kat büyük gösterir. Büyüklüğü 12,5 10–3 mm olan bir nesnenin görüntüsü, büyütme oranları 4 kat ve 40 kat olan iki mercekli bir mikroskopta kaç mm görünür? A) 0D,1 B) 0,2 C) 1 D) 2 E) 10 2021- TYT 5. Birbirinden farklı a, b ve c doğal sayıları için 6a .15b 9b .10c ifadesi bir tam sayıya eşittir. Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < a < c C) b < c < a D) c < a < b E) c < b < a 2021 - AYT 3. x ve y tam sayıları için 9x – 32x–2 = 2y .36 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2020- AYT 2. Bir proje için Türkiye’nin 81 ilinin her birinden 16 okul belirlenmiş ve her okulun müdürüne bir mesaj gönderilmiştir. Sonra, her okulun müdürü de bu mesajı okulundaki 35 öğretmene göndermiştir. Buna göre, bu mesajın gönderildiği müdür ve öğretmenlerin toplam sayısı kaçtır? A) 46 B) 56 C) 66 D) 76 E) 86 2020 - TYT 1. İnternet üzerinden yapılan 6 turluk bir yarışmanın ilk turuna 1.000.000 yarışmacı katılıyor. Her turun sonunda, o tura katılan yarışmacıların 5’te 1’i eleniyor ve sadece kalan yarışmacıların tamamı bir sonraki tura katılıyor. Buna göre, 6. turun sonunda kalan yarışmacı sayısı kaçtır? A) 216 B) 218 C) 220 D) 222 E) 224 2019 - TYT
1 KÖKLÜ SAYILAR 12. FÖY TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com ✔ Reel Sayı Olma Koşulu ✔ Köklü Sayılarda İşlemler ✔ İç İçe Kökler ✔ Köklü Sayılarda Sıralama KÖKLÜ SAYILAR n ≥ 2 ve n Î Z olmak üzere xn = a eşitliğini sağlayan x sayısına a’nın n. dereceden kökü denir ve n ña ile gösterilir. ñ7 ® karekök 7 3 ñ5 ® küpkök 5 4 ñ3 ® 4. dereceden kök 3 Reel Sayı Olma Koşulu n ña ifadesi; n tek ise reel sayıdır. n çift ise a ≥ 0 için reel sayıdır. Tanım Örnek 1 : Aşağıdakilerden hangileri reel sayıdır? I. 3 ò–2 II. 6 7 2 III. ò–3 Çözüm: Örnek 2 : ôx – 2 + 4 10 – x ifadesini reel sayı yapan kaç x Î Z vardır? Çözüm: Örnek 3 : ôx – 5 + 4 ô5 – x + x – 1 x –3 reel sayısı kaçtır? Çözüm: a n n ifadesi için a n n = a, n tek ise |a|, n çift ise NOT Örnek 4 : (–2)10 (–3)17 + – –1 10 17 13 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 5 : a < b < 0 < c olmak üzere, (a – b)2 (b – c)3 – 3 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm:
2 12. FÖY: KÖKLÜ SAYILAR KÖKLÜ SAYILAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Rasyonel Üs: a a m = n m n Tanım Örnek 6 : Aşağıda verilen köklü ifadeleri üslü, üslü ifadeleri köklü olarak yazınız. 53 2 = ñ7 = 24 3 = 5 1 4 = 2 4 3 = Örnek 7 : 3x – 1 = 93 olduğuna göre, x kaçtır? Çözüm: Köklü Sayılarla İşlemler Kök derecesinin genişletilmesi ve sadeleştirilmesi k Î Z+ olmak üzere an m = a k.n m.k an m = a m k n k Tanım Örnek 8 : Aşağıdaki ifadelerin eşitini yazınız. 3 ñ5 = ..... 6 ñ3 = ..... 6 ñ7 = ..... 4 2 15 10 = ..... 3 3 6 3 = ..... Örnek 9 : I. 4 ò25 = ñ5 II. 10ò32 = ñ2 III. 9 ò64 = 3 ñ4 ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Köklü sayılarda sıralama yapılırken kök derecesi eşitlenir. Kök dereceleri eşit olan köklü sayılardan kök içi büyük olan büyüktür. NOT Örnek 10 : x = ñ2 y = 3 ñ3 z = 6 ñ7 olduğuna göre x, y ve z sayılarını sıralayınız. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Bir Sayının Kök İçine Alınması ya da Kök Dışına Çıkarılması k Î Z+ olmak üzere an .b n = a.n ñb (kök derecesi çift ise a > 0) x . m ñy = xm.y m (Kök derecesi çift ise x > 0) Tanım Örnek 11 : Aşağıdaki sayıları kök dışına çıkarınız. 26 .3 = 23 .36 .5 3 = ò32 = 3 ò54 = 4 ò48 = 3 ó250 = Aşağıdaki sayıları kök içine çıkarınız. 2. 4 ñ5 = –2. 3 ñ5 = Örnek 12 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. ò96 = 4ñ6 II. 192 3 = 4 3 3 III. 25 3 = 5 2 3 Çözüm: 2. Toplama-Çıkarma: Kök dereceleri ve içleri aynı olan köklü sayıların katsayıları ile işlem yapılır. x . a n + y . a n – z . a n = (x + y – z) . a n Tanım Örnek 13 : Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz. ñ2 + ñ2 + ñ2= 3ñ5 + 4ñ5 = 7ñ3 – 5ñ3 = 2ñ7 – ñ7 + 3ñ7 = 23 ñ7 + 3 ñ7 + 3 ñ7 = Örnek 14 : ò32 + 3ñ8 – ñ2 toplamının sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 15 : 5 24 3 – 81 3 = A 3 3 olduğuna göre, A sayısı kaçtır? Çözüm:
4 12. FÖY: KÖKLÜ SAYILAR KÖKLÜ SAYILAR TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Çarpma Kök dereceleri aynı olan köklerin kök içleri çarpılır. a > 0 ve b > 0 olmak üzere; n ña. n ñb = n ôa.b Kök dereceleri eşit değil ise kök dereceleri eşitlenerek çarpma yapılır. Tanım Örnek 16 : Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini yazınız. 3 ñ5 • 3 ñ2 = ñ7 • ñ5 = 4 ñ6 • 4 ñ3 = 3 ò14 = 4 ò21 = (3ñ2 + ñ3)2 = ñ2 • 3 ñ4 = Örnek 17 : (2ñ3 + ñ2) • (ñ2 – ñ3) işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : ñ3 = A ñ2 = B olduğuna göre, ò72 sayısının A ve B cinsinden eşitini bulunuz. Çözüm: ña’nın eşleniği ña ña + ñb nin eşleniği ña – ñb ña – ñb nin eşleniği ña + ñb a + ñb nin eşleniği a – ñb Eşleniklerin çarpımı rasyonel sayı olduğundan işlemler içerisinde çok fazla kullanılır. ña • ña = a (ña + ñb) • (ña – ñb) = a – b Tanım Örnek 19 : Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini yazınız. ñ3 • ñ3 = ñ7 • ñ7 = (ñ5 – ñ3) • (ñ5 + ñ3) = (ñ7 – 2) • (ñ7 + 2) = (3ñ2 – 1) • (3ñ2 + 1) = (5ñ2 – 3ñ3) • (5ñ2 + 3ñ3) = ( 4 ñ5 – 4 ñ2).( 4 ñ5 + 4 ñ2) = Örnek 20 : A = ñ7 – 2 B = ñ7 + 2 olduğuna göre, A + B + A • B işleminin sonucu kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 21 : (ñ5 – ñ2)6 • (ñ5 + ñ2)5 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Örnek 22 : M = 2ñ2 – 3 olduğuna göre, 3 + 2ñ2 toplamının M cinsinden eşiti nedir? Çözüm: Örnek 23 : 3 – 2ñ2 • 3 + 2ñ2 çarpımının sonucu kaçtır? Çözüm: Bölme a b n = n ña n ñb Kök dereceleri eşit değilse kök dereceleri eşitlenerek bölme yapılır. Tanım Örnek 24 : Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini yazınız. 5 2 3 = 7 5 = 4 ñ6 4 ñ3 = 4 ñ3 ñ6 = Örnek 25 : ô1,44 + ô1,69 – ô0,09 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Paydaların rasyonel yapılması Paydası irrasyonel olan kesrin paydasını rasyonel yapmak için kesir paydasının eşleniği ile genişletilir. 1 ña = ña a 1 ña – ñb = ña + ñb a – b 1 3 ña = a2 3 a (ña) (ña + ñb) ( a2 3 ) Tanım Örnek 26 : ñ5 + 10 ñ5 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: