4 26. FÖY: MANTIK MANTIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 4. İse bağlacı : ´ (Koşullu önerme) p 1 1 0 0 q 0 1 1 0 p ´ q 0 1 1 1 Özellikler: 1. p ´ p ≡ 1 2. p ´ 1 ≡ 1 3. p ´ 0 ≡ pı 4. 1 ´ p ≡ p 5. 0 ´ p ≡ 1 6. p ´ pı ≡ pı Tanım Örnek 16 : Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurunuz. p q r pı qı r ı pı ´ q (p ´qı ) ´r Örnek 17 : Aşağıdaki denklikleri yazınız. I. (1 ´ 1)ı ´ 0 º ............ II. (0 ´ 1)ı ´ (1 Ú 0ı ) º ............ III. (pı ´ 1) ´ (0 ´ 0)ı º ............ IV. (0 ´ p) ´ (p ´ 1) º ............ Örnek 18 : p ≡ 0 , q ≡ 1 , r ≡ 0 olduğuna göre, I. (p ∨ qı ) ´ r ≡ 1 II. pı ´ (q ∨ r) ≡ 0 III. (p ∨ q) ∨ qı ≡ 1 denkliklerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 19 : (p ∨ qı ) ´ p ≡ 0 olduğuna göre, I. pı ´ (qı ∨ p) ≡ 1 II. p ´ qı ≡ 1 III. (pı ∧ q) ∨ p ≡ 1 denkliklerinden hangileri doğrudur? Çözüm: ◆ p ´ q ≡ pı ∨ q ◆ p ´ q ifadesinde; ◆ p : hipotez, q : hükümdür. ◆ p ´ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. NOT Örnek 20 : Aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? I. (p ´ qı ) ı ≡ p ∧ q II. (pı ´ q) ∨ qı ≡ p III. p ´ p bir gerektirmedir. Çözüm: Örnek 21 : pı ´ (p ´ qı ) önermesinin en sade halini bulunuz. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 22 : pı ∧ (p ´ qı ) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p ∨ qı B) qı C) pı D) pı ∨ qı E) p ´ q Çözüm: Örnek 23 : [(pı ∧ q) ´ p] ´ pı önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 1 B) p C) pı D) p ∨ q E) q Çözüm: Örnek 24 : (pı ∨ q) ´ (p ∧ qı ) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) q B) p C) p ∧ qı D) p ∨ qı E) p ´ qı Çözüm: p ´ q önermesinin, karşıtı : q ´p tersi : pı ´ qı karşıt tersi : qı ´ pı Bir önerme karşıt tersine denktir. p ´ q ≡ qı ´ pı Tanım Örnek 25 : Aşağıdaki denklikleri yazınız. I. pı ´ q önermesinin karşıtı q ´pı II. p ´ qı önermesinin tersi pı ´ q III. (p Ú q) ´ (q Ù pı ) önermesinin karşıt tersi (qı Ú p) ´ (pı Ù qı ) Örnek 26 : I. pı ´ (q ∧ r) önermesinin karşıtı (q ∧ r) ´ p dir. II. (p ∨ q) ´ r ı önermesinin tersi r ´ (p ∨ q)ı dir. III. (p ∨ qı ) ´ (p ∧ r) ≡ (pı ∨ rı ) ´ (pı ∧ q) ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 27 : p ve q önermeleri için, p ´ (pı ∧ r) bileşik önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) (pı ∧ r) ´ p B) pı ´ (p ∨ rı ) C) (pı ∨ r) ´ p D) p ´ (p ∨ rı ) E) (p ∨ rı ) ´ pı Çözüm:
6 26. FÖY: MANTIK MANTIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 28 : (p ∧ q)ı ´ (p ∨ q) önermesi aşağıdakilerden hangisine daima denktir? A) p ∧ q B) p ∨ qı C) pı ∨ q D) pı ∧ q E) p ∨ q Çözüm: 5. Ancak ve ancak bağlacı: Û (İki Yönlü Koşullu önerme) p 1 1 0 0 q 0 1 1 0 p Û q 0 1 0 1 Özellikler: 1. p Û p ≡ 1 2. p Û pı ≡ 0 3. p Û q ≡ q Û p 4. p Û q ≡ (p ´ q) ∧ (q ´ p) 5. p Û 1 ≡ p 6. p Û 0 ≡ pı 7. (p Û q)ı ≡ pı Û q ≡ p Û qı 8. p Û q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye çift gerektirme denir. Tanım Örnek 29 : Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurunuz. p q r pı qı r ı p Û qı qı Û r Örnek 30 : Aşağıdaki denklikleri yazınız. I. (1 Û 0)ı ´ (0ı Û 1)ı º ............ II. (0 Û (1 ´ 0ı )) Û 1 º ............ III. (1 ´ (0ı Û 1)) Ú (0 Û 1) º ............ Örnek 31 : (p Û q) ∧ p ≡ 1 olduğuna göre, I. pı Û q ≡ 0 II. (p Û q) ´ p ≡ 1 III. p ´ (p ∨ qı ) ≡ 0 denkliklerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 32 : (p ∨ q)ı ≡ 1 , qı Û r ≡ 0 olduğuna göre, I. p Û qı ≡ 1 II. q Û (p ´ r) ≡ 0 III. r ´ (q ∧ pı ) ≡ 1 denkliklerinden hangileri doğrudur? Çözüm: Örnek 33 : Aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? I. (p ´ p)ı Û p ≡ p II. (p Û pı ) ∨ (p ´ pı ) ≡ pı III. p ´ (p Û p) ≡ 1 Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 34 : (pı ∧ q) ´ rı ≡ 0 olduğuna göre, I. (p ∨ q) ∧ r II. (pı ∨ q) ∧ rı III. (p Û q) ∨ r IV. (p ∧ q) Û rı önermelerinin hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? Çözüm: Örnek 35 : p ve q önermeleri için, p Û (pı ∨ q)ı önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) pı ∨ q B) pı ∨ qı C) p ∨ qı D) p ∨ q E) p ∧ qı Çözüm: Örnek 36 : p ∧ (qı ∨ r)ı ≡ 1 olmak üzere, I. (pı ∨ q) ∨ (qı ∧ r) II. (p ∨ qı ) ∨ (p ∨ r) III. p Û q önermelerinin hangilerinin doğruluk değeri 1 dir? Çözüm: Örnek 37 : p Û q önermesinin olumsuzu I. pı Û q II. p Û qı III. pı Û qı önermelerinin hangisine denktir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Çözüm: Örnek 38 : I. pı ∨ pı II. (p ∨ qı ) Û (pı ∧ q) III. (p ´ pı ) ∨ (q ´ q) Yukarıdaki önermelerin hangilerinin doğruluk değeri daima 1'dir? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III Çözüm: Örnek 39 : [(p ´ pı ) ´ p] ´ p önermesi aşağıdakilerden hangisine daima denktir? A) 1 B) 0 C) p ´ pı D) pı E) p Çözüm:
8 26. FÖY: MANTIK MANTIK TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 40 : (p ∧ q) ∨ [p ∧ (p ´ q)]ı önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p ∨ q B) pı ∧ q C) p D) 0 E) 1 Çözüm: Örnek 41 : p Û (p ∨ qı ) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p ∨ q B) p ∨ qı C) p ∧ q D) p ∧ qı E) pı ∧ qı Çözüm: Örnek 42 : (p ´ q) ∧ (p ´ qı ) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) pı B) p C) p ∨ q D) pı ∧ q E) pı ∨ qı Çözüm: Örnek 43 : (p Û q) ∨ (p Û qı ) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) p ´ q D) p Û q E) pı ∨ q Çözüm: Örnek 44 : I. (p ∧ q) ∨ (p ∧ qı ) II. (p ´ p) ´ p III. (p ∨ q) ∧ (p ∨ qı ) önermelerinin hangileri p önermesine denktir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III Çözüm: Niceleyiciler: ∀ : Her , ∃ : Bazı (en az bir) Sembol Değili < ≥ ∀ ∃ = ≠ ≡ ≡ Sembol Değili ≤ > > ≤ Ú Ù Ù Ú Tanım
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Örnek 45 : x Î R için "∀ x, x2 > 0 ´ ∃ x, x = 2" önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) "∃ x, x ≠ 2 ´ ∀ x, x2 ≤ 0" B) "∃ x, x2 ≤ 0 ´ ∀ x, x ≠ 2" C) "∃ x, x = 2 ´ ∀ x, x2 ≤ 0" D) "∀ x, x ≠ 2 ´ ∃ x, x2 ≤ 0" E) "∃ x, x ≠ 2 ´ ∀ x, x2 > 0" Çözüm: Açık önerme: Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelerdir. p(x) ile gösterilir. p(x) : "x ∈ Z+ , x + 2 < 5" önermesi x = 1, x = 2 için doğrudur. Yani p(1) ≡ 1 , p(2) ≡ 1 , p(3) ≡ 0 , p(4) ≡ 0 , ... Açık önermeyi doğru yapan bütün değerlerin kümesine "doğruluk kümesi" denir. Tanım Örnek 46 : "p(x) : "∃ x ∈ Z , x + 2 ≥ 5" önermesinin değilini yazınız. Çözüm: Örnek 47 : p(x, y) : "(x, y) | 2x + ay = 8" açık önermesi veriliyor. p(1, 2) ≡ 1 olduğuna göre, a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 48 : p(x) : "x | 2x + 3a = 1, a ∈ R" açık önermesi veriliyor. p(5) ≡ 1 olduğuna göre, a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 49 : p(x, y) : {(x, y) : y2 – x2 = 24 , x ∈ Z, y ∈ Z} önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 B) 1 C) 4 D) 8 E) 16 Çözüm: Tanım Matematikte tanımlanan terimlerin tarifidir. Tanımsız terimler adından da anlaşılacağı gibi tanımlanamaz. Aksiyom Doğruluğu ispat edilemeyen ancak doğru olduğu kabul edilen önermedir. Teorem: Doğruluğu ispat edilebilen önermelerdir. p ´ q önermesinde, p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Tanım
10 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) x ∈ N , x2 + 1 > 0 B) 3 + 9 = –17 C) x2 = 4 ise x = 2 D) Aralık ayı 31 gündür. E) İyi günler! 3. (p ∨ q) ∧ (pı ∨ q) bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) pı C) q D) pı ∨ q E) p ∧ qı 4. I. "3 + 4 = 7 ya da 9 . 3 = 27 dir. II. " 3 sayısının karesi bir tam sayı ise 3 bir rasyonel sayıdır." III. " a2 = a veya a2 = –a dır." önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) 0, 0, 1 B) 0, 1, 1 C) 1, 1, 0 D) 1, 0, 1 E) 1, 1, 1 1. I. p Û pı II. p ∨ pı III. p ∨ pı IV. p ∧ pı ifadelerinin hangilerinin doğruluk değeri daima 1 dir? A) I ve II B) II ve III C) III ve IV D) I ve IV E) I, III ve IV 5. (pı ∨ q) ´ p bileşik önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) (pı ∧ qı ) ´ pı B) pı ´ (pı ∨ q) C) p ´ (pı ∨ q) D) pı ´ (p ∧ qı ) E) (pı ∨ q) ´ pı 6. (pı ∧ q) ∧ (p ∨ rı ) ≡ 1 olduğuna göre, p ∨ (q ∧ r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) q D) pı E) pı ∨ q
11 www.netlerikatla.com 1-B 2-E 3-C 4-A 5-C 6-A 7-A 8-C 9-D 10-B 11-E 12-A 7. (pı ´ q) ´ q önermesinin doğruluk tablosu p 1 1 0 0 q p p ı ´ q ı (pı ´ q) ´ q 0 0 a 1 0 b 1 1 c 0 1 d şeklinde veriliyor. Buna göre, (a, b, c, d) sıralı dörtlüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, 1, 1, 1) B) (1, 1, 0, 1) C) (1, 0, 1, 0) D) (1, 0, 0, 1) E) (1, 1, 0, 0) 8. p(x, y) : {(x, y) : 4x + 3y = 138 , x ∈ N , y ∈ N} açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 9. (∃ x, x2 – x > 0) ´ (∀ x, x ≤ 4) önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) (∃ x, x < 4) ´ (∃ x, x2 – x > 0) B) (∃ x, x > 4) ´ (∀ x, x2 – x ≤ 0) C) (∀ x, x2 – x ≤ 0) ´ (∃ x, x > 4) D) (∃ x, x2 – x > 0) ∧ (∃ x, x > 4) E) (∃ x, x2 – x > 0) ∨ (∃ x, x > 4) 10. (p ∨ qı ) ∨ (q ∧ pı ) bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) pı D) qı E) p ∧ qı 11. (p ∨ q)ı ∧ r ≡ 1 olduğuna göre, I. p ∧ qı II. r Û p III. r ∨ pı ifadelerinin hangilerinin doğruluk değeri 0 dır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 12. p ∧ qı ∨ (pı ∨ q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) p ∨ qı D) pı ∨ q E) p
12 ÖDEV TESTİ TEST TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2 2. p 1 1 0 0 q qı pı ? 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Yukarıda ''?'' işareti yerine aşağıdaki önermelerin hangisi gelmelidir? A) pı ∨ qı B) p ∨ qı C) p ∨ qı D) pı ∧ qı E) pı ´ q 3. pı ∨ (p ∧ q) ≡ 0 olduğuna göre, I. p ∨ (q ∨ pı ) II. p Û q III. p ´ qı önermelerinin hangilerinin doğruluk değeri 0 dır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 4. p ∧ q ≡ 1 ve p ∨ r ≡ 0 önermeleri için (p, q, r) doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir? A) (1, 1, 0) B) (1, 1, 1) C) (0, 1, 1) D) (1, 0, 1) E) (0, 0, 1) 1. (∃ x, x2 = 4) ´ (∀ x, x = 2) önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) (∀ x, x2 ≠ 4) ´ (∃ x, x ≠ 2) B) (∀ x, x ≠ 2) ´ (∃ x, x2 ≠ 4) C) (∀ x, x = 2) ´ (∃ x, x2 = 4) D) (∃ x, x ≠ 2) ´ (∀ x, x2 ≠ 4) E) (∃ x, x = 2) ´ (∀ x, x2 ≠ 4) 6. (∃ x, x2 ≥ x) ´ (∀ x, x + 2 < 0) önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) (∀ x, x + 2 < 0) ´ (∃ x, x2 ≥ 0) B) (∃ x, x + 2 ≥ 0) ´ (∀ x, x2 < 0) C) (∀ x, x2 < 0) ´ (∃ x, x + 2 ≥ 0) D) (∃ x, x2 ≥ x) ´ (∀ x, x + 2 < 0) E) (∃ x, x2 ≥ x) ∧ (∃ x, x + 2 ≥ 0) 5. p: “Ax Î R, Ay Î R için ôx + y = ñx + ñy dir.” q: “(–3)2 + (–2)3 = 17’dir.” Buna göre, I. p ´ (pı Ú q) º 1 II. pı Ù (q Ú p) º 0 III. qı Û (p Ú qı ) º 1 denkliklerinden hangisi doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III
13 www.netlerikatla.com 1-D 2-B 3-B 4-B 5-E 6-E 7-B 8-D 9-A 10-B 11-A 12-A 7. (p ∧ qı ) Û (pı ∨ q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) p ∧ q D) pı ∨ q E) p ∧ qı 8. p(x, y) : "2x + y = 19 , x , y ∈ N" açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 9. p 1 1 0 0 q qı pı pı v q p v qı 0 0 a 1 0 0 b 1 0 0 c Yukarıda tabloya göre (a, b, c) sıralı üçlüsü aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 1, 1) B) (1, 1, 0) C) (1, 0, 1) D) (1, 0, 0) E) (0, 0, 1) 10. (pı ∧ q) ´ pı önermesi aşağıdakilerden hangisine daima denktir? A) 0 B) 1 C) p ´ q D) pı ∧ q E) pı ∨ qı 11. p(x) : {x | |x2 – 4| = 3|x – 2| ve x ∈ Z} önermesinin doğruluk kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 5 12. p ∨ qı ≡ 1 p ∨ r ≡ 0 olduğuna göre, p, q, r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 0, 0) B) (1, 0, 0) C) (0, 1, 0) D) (0, 1, 1) E) (1, 0, 1)
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 2. x, y, z ∈ R – {0} olmak üzere p : x + y = 0 q : x + z < 0 r : z < 0 önermeleri veriliyor. (p ∧ q) ´ r önermesi yanlış olduğuna göre; x, y ve z sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) –, +, + B) –, +, – C) –, –, + D) +, –, + E) +, –, – 3. • p ´ q • p Q q' • (p ∨ r') ∧ q' önermeleri aşağıda verilen doğruluk değerlerinden hangileri için birbirine denktir? p q r A) 0 1 0 B) 0 1 1 C) 1 1 0 D) 0 0 0 E) 1 0 0 1. x bir reel sayıdır. p : "∃ x, x ≥ 4" q : "∀ x, x2 > x" önermeleri için I. p önermesinin doğruluk değeri 1 dir. II. q önermesinin doğruluk değeri 0 dır. III. pı : "∀ x, x < 4" IV. qı : "∃ x, x2 < x ifadelerinin hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) III ve IV D) I, II ve III E) II, III ve IV 4. p: “Deyimde geçen en çok tekrar eden harf “K” harfidir.” q: “Deyimde geçen en çok tekrar eden ikinci harf “I” harfi değildir.” p Ú qı önermesi doğru ise Aşağıdaki deyimlerden hangisi bu şartları sağlar? A) Baltayı taşa vurmak B) Hem suçlu hem suçlu C) Kılı kırk yarmak D) Ağzını bıçak açmıyor. E) Kaşla göz arasında
15 www.netlerikatla.com 1-D 2-A 3-D 4-C 5-A 6-D 7-C 8-D 5. Kırmızı, mavi, sarı, yeşil renklere sahip 4 farklı kalem kutusu ve bu renklere sahip 4 farklı kalem vardır. p: “Sarı renkli kalem kutusunda kırmızı kalem vardır.” q: “Mavi renkli kalem kutusunda mavi kalem vardır.” r: “Kırmızı renkli kalem kutusunda kırmızı veya yeşil kalem yoktur.” Her kalem kutusunda bir tane kalem olduğuna ve p ´ (qı Ú r) önermesi yanlış olduğuna göre, hangi renkli kalem kutusunda hangi renk kalem vardır? Kırmızı Mavi Sarı Yeşil A) Y M K S B) M K S Y C) K S M Y D) Y S K M E) Y S M K 6. Bir kasabanın nüfusu ile ilgili üç önerme veriliyor. p: “Kasabanın nüfusu 3500 den azdır.” q: “Kasabanın nüfusu 2700’den fazladır.” r: “Kasabanın nüfusu çift sayıdır.” (pı Ù qı ) Ú r º 0 (q Ù r) Ú p º 1 önermeleri veriliyor. Buna göre, kasabanın nüfusu aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 3601 B) 2400 C) 2666 D) 2673 E) 2842 7. Dikdörtgen biçimindeki bir bayrağın üç köşesine logo konulmuştur. ★: Yıldız sembolü : Güneş sembolü : Ay sembolü Üst Sol Üst Sağ Alt Alt (p Ú qı ) Ù (r Ù pı ) önermesinin doğru olduğu biliniyor ve p: “Güneş sembolü sağ alt köşededir.” q: “Ay sembolü sol alt köşededir.” r: “Yıldız sembolü sol üst köşededir.” Buna göre aşağıdakilerden hangisi bayrağın logo dizilimi olabilir? ★ A) ★ C) ★ B) ★ D) ★ E) 8. p, q ve r önermeleri için (p Ù q) ´ r önermesinin yanlış olduğu biliniyor. Buna göre, I. p Ú q II. q Ù r III. r ı Û p önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 0 dır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-B 2-E 3-A 1. Bir masada; biri kırmızı, biri mavi ve biri sarı renkli olmak üzere toplam üç bilye bulunmaktadır. Bu bilyeler A, B ve C torbalarına her bir torbada bir bilye olacak şekilde konuluyor ve p : “A torbasında kırmızı bilye yoktur.” q : “B torbasında mavi bilye vardır.” r : “C torbasında sarı bilye yoktur.” önermeleri veriliyor. p Ù (q Ú r)ı önermesi doğru olduğuna göre; A, B ve C torbalarında bulunan bilyelerin renkleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) Kırmızı - Mavi - Sarı B) Mavi - Kırmızı - Sarı C) Mavi - Sarı - Kırmızı D) Sarı - Kırmızı - Mavi E) Sarı - Mavi - Kırmızı 2019 - AYT 3. Bir ressam, yaptığı her bir tablonun sağ alt köşesine o tabloyu tamamladığı yılı yazmaktadır. 2021 yılında yaptığı üç tabloyu sergilemek isteyen bu ressamın, tablolarının sergi alanındaki duvarlara asılması ile ilgili p : Duvardaki her tablo ters asılmıştır. q : Her tabloda en az bir kişi vardır. r : Her tablonun şekli dikdörtgendir. önermeleri veriliyor. (p Ú q)ı Ù r önermesinin doğru olduğu bilindiğine göre, ressamın sergi alanında bulunan bu üç tablosunun duvara asılmış haldeki görünümleri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) 2021 - TYT 2. İki basamaklı bir AB doğal sayısı ile ilgili p: AB sayısı çifttir. q: AB sayısı asaldır. r : A + B = 11 önermeleri veriliyor. (p ´ q) Ù (qı Ù r) önermesi doğru olduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır? A) 18 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30 2021 - AYT
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 1 www.netlerikatla.com ✔ Kümelerde Temel Kavramlar ✔ Kümelerde İşlemler ✔ Küme Problemleri ✔ Kartezyen Çarpım KÜMELER 27. FÖY KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler büyük harfle gösterilir. Kümede her eleman bir kez yazılır. Kümede elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. ∅ veya { } ile gösterilir. x, bir A kümesinin elemanı ise x Î A ile gösterilir. x, bir A kümesinin elemanı değil ise x Ï A ile gösterilir. Kümelerin Gösterilişi 1. Liste yöntemi ile: A = {1, 2, 3, 4} 2. Venn Şeması ile: A • 1 • 2 • 3 • 4 3. Ortak özellik yöntemi ile: A = {x | 0 < x < 5 , x Î N } Tanım Örnek 1 : Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir? I. { x | x2 < 0 , x Î N } II. { ∅ } III. { } Çözüm: Örnek 2 : A = { 2, {2, 3}, {2, 3, 4} } kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 3 : A = { x | x2 < 60 , x Î Z } olduğuna göre, s(A) kaçtır? Çözüm: Örnek 4 : A = { x | 2 < x < 7 , x Î N } B = { x | |x – 1| < 5 , x Î Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, s(A) + s(B) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 5 : A = { x | 17 < x < 96 , x = 3k , k Î Z } olduğuna göre, s(A) kaçtır? Çözüm:
2 27. FÖY: KÜMELER KÜMELER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Eşit Kümeler Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. A ve B eşit kümeler ise A = B ile gösterilir. Tanım Örnek 6 : A = { x | x > 3 , x rakam } B = { x | 4 ≤ x < 10 , x Î Z } C = {5, 6, 7, 8, 9} kümeleri veriliyor. Buna göre, eşit olan kümeleri bulunuz. Çözüm: Alt Küme A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir ve A Í B ile gösterilir. Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine öz alt kümeleri denir. ∅ Í A ve A Í A A Í B ve B Í C ise A Í C dir. A kümesinin; alt küme sayısı: 2s(A) öz alt küme sayısı: 2s(A) – 1 dir. x Î A ise {x} Í A dir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı n r ile bulunur. Tanım Örnek 7 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümesidir? I. {a, b, c} II. {b} III. {d, e} Çözüm: Örnek 8 : Alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 127 olan kümenin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 9 : Bir kümenin eleman sayısı 1 artırıldığında, alt küme sayısı 16 artırıyorsa eleman sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 10 : Bir kümenin eleman sayısı 2 artarsa, alt küme sayısı kaç kat artar? Çözüm: Örnek 11 : { x, {y} } Í A olduğuna göre, aşağıdakilerin hangisi ya da hangileri doğrudur? I. x Î A II. y Î A III. {x} Í A Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 12 : A = {a, b, c, {d}, {e, f} } kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. s(A) = 6 II. {c} Í A III. {e, f} Î A IV. {c, d} Í A Çözüm: Örnek 13 : A = {1, 2, {1}, {1, 2}, 3 } kümesinin hem elemanı hem alt kümesi olan elemanların oluşturduğu kümenin alt küme sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 14 : A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin; a) kaç tanesinde c bulunur, f bulunmaz? b) kaç tanesinde d veya e bulunur? Çözüm: Örnek 15 : A = {a, b} B = {a, b, c, d, e, f} kümeleri veriliyor. A Í K Í B koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi yazılabilir? Çözüm: Örnek 16 : A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c bulunur, f bulunmaz? Çözüm: Örnek 17 : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin en çok 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır? Çözüm:
4 27. FÖY: KÜMELER KÜMELER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 18 : A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin içinde, eleman sayısını bir elemanı olarak bulunduran kümeye "gizemli küme" denir. Buna göre, A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesi gizemli alt kümedir? Çözüm: Örnek 19 : A = {x, y} B = {x, y, z, t, k} kümeleri veriliyor. A ≠ K ve B ≠ K olmak üzere, A Í K Í B koşulunu sağlayan kaç farklı K kümesi yazılabilir? Çözüm: Örnek 20 : ξ(A), A kümesinin alt küme sayısını göstermek üzere, ξ(X) tane elemanlı olan bir küme Y olsun. ξ(Y) = 256 koşulunu sağlayan X kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm: KÜMELERDE İŞLEMLER 1. Kesişim İşlemi A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A kesişim B kümesi denir ve A Ç B ile gösterilir. A Ç B = { x | x Î A ve x Î B } A∩B A⊆B ise A∩B = A A∩B = ∅ A B A A B B Tanım A Ç B = ∅ ise A ve B ayrık kümelerdir. A Ç A = A A Ç ∅ = ∅ A Ç B = B Ç A A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C = A Ç B Ç C NOT Örnek 21 : A = {a, b, c, d, k, m, 1, 3} B = {b, p, 3, d, 2, m} kümeleri veriliyor. Buna göre, A Ç B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 22 : A B C 1 7 4 9 5 3 4 Yukarıda A, B, C kümeleri ve bölgelerdeki eleman sayıları verilmiştir. Buna göre, s(A Ç B) + s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C) toplamı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 23 : A Í N ve B Í N olmak üzere, A Ç B = { 1, 2, 3, 4, 6 } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } olduğuna göre, A ⊄ B koşulunu sağlayan A kümesinin elemanlarının toplamı en az kaçtır? Çözüm: Örnek 24 : A = { x | –18 < x < 23 , x = 2k , k Î Z } B = { x | –21 < x < 19 , x = 3k , k Î Z } olduğuna göre, A Ç B kümesini yazınız. Çözüm: Örnek 25 : A = [–2, 7) B = [1, 9] olduğuna göre, A Ç B kümesinde kaç tane tam sayı vardır? Çözüm: 2. Birleşim İşlemi A kümesinin veya B kümesinin elemanlarından oluşan kümeye A birleşim B kümesi denir ve A È B ile gösterilir. A È B = { x | x Î A veya x Î B } A∪B A⊆B ise A∪B = B A∪B A B A A B B A È A = A A È ∅ = A A È B = B È A (A È B) È C = A È (B È C) = A È B È C A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B) Tanım Örnek 26 : A = { 1, {1}, {1, 2}, 2, 3 } B = { 1, 2, {3}, {1, 2} } olduğuna göre, A È B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 27 : A B C 2 3 6 9 7 5 1 Yukarıda A, B, C kümeleri ve bölgelerdeki eleman sayıları verilmiştir. Buna göre, s(A È C) + s( (A È B) Ç (A È C) ) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 28 : s(A) = 14 s(A Ç B) = 5 s(A È B) = 16 olduğuna göre, s(B) kaçtır? Çözüm:
6 27. FÖY: KÜMELER KÜMELER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 29 : s(A) = 2.s(B) s(A Ç B) = 1 s(A È B) = 23 olduğuna göre, s(B) kaçtır? Çözüm: 3. Fark İşlemi: A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir ve A \ B ile veya A – B ile gösterilebilir. A⊆B ise A \ B = ∅ A \ B = A B \ A = B A \ B B \ A A B A A B B A \ A = ∅ A \ ∅ = A A \ B ≠ B \ A (A \ B) È (A Ç B) = A s(A È B) = s(A \ B) + s(B \ A) + s(A Ç B) s(A È B) = s(A \ B) + s(B) = s(B \ A) + s(A) s(A) = s(A \ B) + s(A Ç B) Tanım Örnek 30 : A = {1, {2}, {3, 4}, 5, 6 } B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olduğuna göre, s(B – A) + s(A – B) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 31 : A B C 4 6 7 9 3 2 5 Yukarıda A, B, C kümeleri ve bölgelerdeki eleman sayıları verilmiştir. Buna göre, sa(B Ç C) – Ak + s(A – C) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 32 : s(A – B) = 5 s(A Ç B) = 3 olduğuna göre, s(A) kaçtır? Çözüm: Örnek 33 : A – B kümesinin alt küme sayısı 8, B – A kümesinin alt küme sayısı 16, A Ç B kümesinin öz alt küme sayısı 3 olduğuna göre, A È B kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com Örnek 34 : s(A) = 2x + 1 s(B) = x + 3 s(A Ç B) = 2 eşitlikleri veriliyor. s(A – B) = 7 olduğuna göre, s(B – A) kaçtır? Çözüm: Örnek 35 : s(A – B) = s(A Ç B) = s(B – A) s(A È B) = 24 olduğuna göre, s(A) kaçtır? Çözüm: Örnek 36 : 2.s(A) = 3.s(B) s(A Ç B) = 1 s(A È B) = 34 olduğuna göre, s(B \ A) kaçtır? Çözüm: Bir kümenin tümleyeni A kümesinin dışında kalan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Aı ile gösterilir. Aı = { x | x ∉ A } E: üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E A Aı A Ç Aı = ∅ A È Aı = E E \ A = Aı (Aı ) ı = A s(A) + s(Aı ) = s(E) (A È B)ı = Aı Ç Bı A \ B = A Ç Bı (A Ç B)ı = Aı È Bı A Í B ´ Bı Í Aı Æı = E Eı = Æ Tanım Örnek 37 : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {1, 3, 4, 5, 7} olduğuna göre, Aı kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 38 : B Ç (A È B)ı ifadesinin en sade halini bulunuz. Çözüm:
8 27. FÖY: KÜMELER KÜMELER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 39 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. A – B = A Ç Bı II. A – Bı = A Ç B III. Aı – B = (A È B)ı Çözüm: Örnek 40 : E 3 4 5 6 A B Yukarıda evrensel kümenin alt kümeleri olan A, B kümeleri ve bölgelerdeki eleman sayıları verilmiştir. Buna göre, s[(A Ç B) ı ] + s(Bı – A) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 41 : A Í B ve B Í E olmak üzere, s(A) + s(B) = 13 s(Bı ) + s(Aı ) = 7 olduğuna göre, s(E) kaçtır? Çözüm: Örnek 42 : s(Aı \ B) = 4 s(A È B) = 13 s(Aı ) = 5 olduğuna göre, s(A) kaçtır? Çözüm: Örnek 43 : 2.s(A Ç Bı ) = s(B Ç Aı ) s(A) + s(B) = 27 s(A Ç B) = 6 olduğuna göre, s(B) – s(A) kaçtır? Çözüm: Örnek 44 : s(Aı \ Bı ) = 2.s(Bı \ Aı ) s(A Ç B) = 3 s(A È B) = 18 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com KÜME PROBLEMLERİ E k g e a b c F d f A İ A: Almanca bilenlerin kümesi İ: İngilizce bilenlerin kümesi F: Fransızca bilenlerin kümesi Almanca bilenler: a + b + d + e Yalnızca Almanca bilenler: a Almanca ve İngilizce bilenler: b + e Almanca veya İngilizce bilenler: a + b + c + d + e + f Almanca ya da İngilizce bilenler: a + d + c + f Yalnız Almanca ve İngilizce bilenler: b En az bir dil bilenler: a + c + g + b + d + f + e En çok bir dil bilenler: a + c + g + k Yalnız iki dil bilenler: b + d + f En az iki dil bilenler: b + d + f + e Üç dil bilenler: e Almanca bilmeyenler: c + f + g + k Hiç dil bilmeyenler: k Tanım Örnek 45 : 32 kişilik bir sınıfta İngilizce bilen 17, Almanca bilen 11 kişi ve hiç dil bilmeyen 7 kişi vardır. Buna göre, sınıfta her iki dili de bilen kaç kişi vardır? Çözüm: Örnek 46 : En az bir dilin konuşulduğu 19 kişilik bir sınıfta İngilizce konuşabilen öğrenci sayısı her iki dili de konuşabilen öğrenci sayısının 3 katıdır. Sınıfta yalnız Fransızca konuşabilen 4 öğrenci olduğuna göre, yalnız İngilizce konuşabilen öğrenci sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 47 : Futbol oynayan herkesin basketbol oynadığı 23 kişilik bir sınıfta, iki sporu da yapmayan 2 kişi vardır. Sınıfta yalnız basketbol oynayan öğrenci sayısı, iki sporu da yapan öğrenci sayısının iki katı olduğuna göre, sınıfta yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? Çözüm: Örnek 48 : Bir sınıftaki öğrencilerin % 40'ı piyano, % 58'i gitar çalmaktadır. Sınıfta piyano veya gitar çalmayan sınıfın % 10'u ve sınıfta her iki enstrümanı da çalan 4 kişi vardır. Buna göre, sınıfta yalnız piyano çalan kaç öğrenci vardır? Çözüm: Örnek 49 : 37 kişilik bir sınıfta öğrencilerin 13 tanesi erkek ve 15 gözlüklü öğrenciden 5 tanesi kızdır. Buna göre, sınıftaki gözlüksüz kız öğrenci sayısı kaçtır? Çözüm:
10 27. FÖY: KÜMELER KÜMELER TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 50 : En az bir dilin konuşulduğu bir sınıfta, • İngilizce bilenlerin yarısı Almanca bilenlerin 1 3 'üne eşittir. • Yalnız İngilizce bilenlerin sayısı ile iki dil bilenlerin sayısı eşittir. • Sınıfta yalnız bir dil bilen 18 kişi vardır. Yukarıda verilen bilgilere göre, sınıf mevcudu kaçtır? Çözüm: Örnek 51 : Bir sınıfta matematik dersinden geçenlerin sayısı yalnız fizikten kalanların sayısından 5 fazladır. Sınıfta Matematik ve Fizik derslerinin yalnız birinden geçen 10 iki dersten de kalan 2 kişi olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? Çözüm: Örnek 52 : İngilizce, Rusça ve Çince eğitim veren bir kurs, kursu alanlara eğitim sonunda her dil için bir sertifika vermektedir. Kurs tarafından bugüne kadar 7 İngilizce, 6 Rusça, 11 Çince sertifikası verilmiştir. 4 kişi 3 dilden, 5 kişi de 2 dilden sertifika aldığına göre, şimdiye kadar kaç kişi bu kurstan yararlanmıştır? Çözüm: KARTEZYEN ÇARPIM Sıralı ikili: x, y Î R olmak üzere, (x, y) ifadesine sıralı ikili denir. (x, y) = (a, b) ise x = a ve y = b dir. Tanım Örnek 53 : (x – y + 1, 2x–1) = (17, 32) olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? Çözüm: Kartezyen Çarpım: Birinci elemanlar A kümesinden, ikinci elemanlar B kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesine A x B kümesi denir. A x B = { (x, y) | x Î A ve y Î B } Özellikler: 1. A x B ≠ B x A (Değişme özelliği yoktur.) 2. A x A = A2 3. s(A x B) = s(B x A) = s(A) . s(B) 4. (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C 5. A x (B È C) = (A x B) È (A x C) 6. A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C) 7. A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C) Tanım Örnek 54 : A = { x | 2 < x ≤ 10 , x Î N } B = { x | –5 < x < 10 , x Î Z } olduğuna göre, s(A x B) kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 11 www.netlerikatla.com Örnek 55 : s((A x B) È (A x C)) = 18 s(A) = 3 olduğuna göre, s(B È C) kaçtır? Çözüm: KARTEZYEN ÇARPIM GRAFİĞİ A x B grafiği çizilirken A kümesinin elemanları yatay eksene, B kümesinin elemanları düşey eksene yerleştirilir. NOT Örnek 56 : A = {3, 4, 6} B = {2, 7} kümeleri veriliyor. Buna göre, A x B grafiğini çiziniz. Çözüm: Örnek 57 : Aşağıda (A x A) Ç (A x B) nin grafiği verilmiştir. 3 2 2 3 4 5 6 Buna göre, A \ B kümesini yazınız. Çözüm: Örnek 58 : Aşağıda A x B nin grafiği verilmiştir. 6 5 4 3 1 2 3 4 5 6 Buna göre, s(A Ç B) – s(A \ B) farkı kaçtır? Çözüm: Örnek 59 : A = {3, 4, 5, 6} B = { x | 1 < x ≤ 6 , x Î N } olduğuna göre, A x B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin çapı kaçtır? Çözüm: Örnek 60 : A = { –1, 1, 3, 5 } B = { x | –3 < x < 5, x Î Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, (A Ç B) x A nin grafiğindeki en uzak iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir? Çözüm:
12 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2. A = {a, b, c, d} B = {a, b, e, f} kümeleri veriliyor. Buna göre, A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde B kümesinin yalnız bir elemanı bulunur? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 3 3. s(A \ B) = 2.s(B \ A) = 3.s(A Ç B) s(A È B) = 44 olduğuna göre, s(A) + s(B) toplamı kaçtır? A) 49 B) 50 C) 52 D) 53 E) 56 4. s(A \ B) = 8 s(B \ A) = 6 s(Aı Ç Bı ) = 4 olduğuna göre, s(Aı È Bı ) kaçtır? A) 20 B) 19 C) 18 D) 17 E) 16 1. A = { 3, 1, {4, 5, 6}, {3} } kümesi veriliyor. Buna göre, I. 3 Î A II. 4 Î A III. {1} Í A ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinde elemanlarının çarpımını eleman olarak bulunduran kümeye "mistik küme" denir. Buna göre, A kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin kaç tanesi "mistik küme" dir? A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 13 6. A Í {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, A Ç {1, 2} kümesinin eleman sayısı 1 olacak şekilde kaç farklı A alt kümesi vardır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
13 www.netlerikatla.com 1-D 2-B 3-C 4-C 5-A 6-C 7-D 8-E 9-A 10-A 11-D 12-A 7. Bir sınıftaki öğrencilere kalem, kalemtraş ve silgi dağıtılmıştır. Öğrencilerden 12'si kalem ve silgi, 13'ü kalemtraş ve silgi, 11'i kalem ve kalemtraş almıştır. 15 kişi sadece bir çeşit almış ve üç çeşit alan olmamıştır. Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır? A) 45 B) 48 C) 50 D) 51 E) 52 8. En çok iki yabancı dilin konuşulduğu 30 kişilik bir sınıfta, • İki yabancı dil konuşabilenlerin sayısı, yabancı dil bilmeyenlerin sayısından 1 fazla, yalnız İngilizce bilenlerin sayısından 1 eksiktir. • Almanca bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısından 1 fazladır. Buna göre, sınıfta yalnız bir dil bilen kaç kişi vardır? A) 7 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17 9. A, B ve C kümeleriyle ilgili {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} Í A x B {(1, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4)} Í A x C olduğu biliniyor. Buna göre, I. A Ç B kümesi en az 3 elemanlıdır. II. A Ç C kümesi en az 3 elemanlıdır. III. B Ç C kümesi en az 3 elemanlıdır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 2020 - AYT 10. (3x+y , y – 2) = ( 1 27 , 4) olduğuna göre, x kaçtır? A) –9 B) –6 C) –3 D) 6 E) 9 11. A = {a, b} B = {a, b, c, d} A x B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde (a, c) bulunur, (b,d) bulunmaz? A) 28 B) 32 C) 56 D) 64 E) 128 12. A = {2, 3, 4} B = {3, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre, B x A kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 3 2 A B 3 6 B) 6 3 A B 2 3 4 6 3 A B 2 4 C) 4 2 A B 3 6 D) E) 4 2 A B 3 4 5 6
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 2. Harflerden oluşan ve eleman sayıları 9 olan A ve B kümelerinin elemanları kullanılarak • asker, • ressam, • akademisyen kelimelerinden ikisi A Ç B kümesinin elemanlarıyla, diğeri ise A È B kümesinin elemanlarıyla yazılabilmektedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesindeki harflerle kesinlikle yazılamaz? A) şair B) hekim C) memur D) sanatçı E) sekreter 2021 - TYT 3. 1, 4, 9, ... gibi bir tam sayının karesi olan sayılara "Karesel sayılar" denir. İçinde bir tane karesel sayı bulunan ve eleman sayısı karesel sayıya eşit olan kümeye "Karesel küme" denir. Örnek: M = {1} N = {2, 3, 4, 5} kümeleri birer karesel kümedir. Buna göre, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi karesel kümedir? A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 13 1. A, B ve C kümeleri, A = {(x, y) : y Î R} B = {(x, 2 + x) : x Î R} C = {(x, 6 – x) : x Î R} şeklinde tanımlanıyor. (m, n) Î A Ç B Ç C olduğuna göre, m – n m + n ifadesinin değeri kaçtır? A) – 1 4 B) – 1 3 C) – 1 2 D) 1 2 E) 1 4. a. b. c. d. g. e. f. h. A C B D Yukarıda verilen; A = {Matematikçiler}, B = {Fizikçiler} C = {Kimyacılar}, D = {Türkler} kümeleri için; a, b, c, d, e, f, g, h isimli kişilerden oluşan şekildeki Venn şemasına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a yabancı bir matematikçidir. B) Grupta fizikçi Türkler vardır. C) Üç bilimle ilgilenen 2 kişi vardır. D) İki bilimle ilgilenen 2 Türk vardır. E) Sadece kimyacı olan Türk yoktur.
15 www.netlerikatla.com 1-B 2-D 3-A 4-C 5-B 6-D 7-D 8-D 5. Aşağıdaki Venn şemasında; A C B ▪ A harfi ile biten iller kümesi A, ▪ M harfi ile başlayan iller kümesi B, ▪ 5 harfli iller kümesi C ile gösterilmiştir. Buna göre, D = {MUĞLA, MALATYA, MANİSA, ANTALYA, BURSA, MARAŞ, SAKARYA] kümesinin elemanlarından kaç tanesi şekildeki boyalı bölgeler ile gösterilen kümenin elemanıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. O F B V H O kümesi ile gösterilen bir okulda oynanan tüm oyunlar yukarıdaki Venn şemasında; Futbol oynayanlar: F Basketbol oynayanlar: B Voleybol oynayanlar: V ve Hentbol oynayanlar: H kümeleriyle gösterilmiştir. Buna göre, taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) Voleybol ve hentbol oynayanlar B) 4 oyunu da oynayanlar C) Voleybol veya hentbolun yanında bir oyun daha oynayanlar D) 3 oyun oynayanlar E) Basketbolun yanında, hentbol veya voleybol oynayanlar 7. n doğal sayı olmak üzere, Kn = {1, 3, 5, ..., 2n – 1} kümesinin elemanlarının toplamı T(Kn) = 1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir. Örnekler T(K2) = 1 + 3 = 22 = 4 T(K3) = 1 + 3 + 5 = 32 = 9 Buna göre, T(Km) – T(Kr ) = 53 eşitliğini sağlayan m ve r sayıları için, m + r toplamı kaçtır? A) 26 B) 27 C) 39 D) 53 E) 79 8. k pozitif tam sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinin Ak = (x Î R : (–1)k k < x < 3 k 2 alt kümeleri tanımlanıyor. Buna göre, (A1 Ç A2) – A3 kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) – 1 3 , 3 2 n B) d– 1 3 , 3 2 C) d 1, 3 2 n D) 1, 3 2 n E) d 1, 3 2
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-D 2-E 3-B 4-E 5-A 2. Her elemanı bir pozitif tam sayı olan bir kümenin eleman sayısı, bu kümenin en küçük elemanının değerinden bir fazla ise bu kümeye geniş küme denir. A, B ve C geniş kümeler olmak üzere, ` A È B È C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ` A Ç B = {3} ` 1 Î A ` 6 Î B olduğu biliniyor. Buna göre, C kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {1, 2} B) {3, 4, 8, 9} C) {3, 5, 7, 8} D) {4, 5, 6, 7, 8} E) {4, 5, 7, 8, 9} 2020 - AYT 5. a ve b birer rakam olmak üzere, A = {5, 6, 7, 8, 9} B = {1, 4, 5, 7} C = {a, b} kümeleri veriliyor. (A È C) x (B È C) kartezyen çarpımının eleman sayısı 28 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 2021 - AYT 3. Ayla ve Berk’in her birinin 11 tane rakamdan oluşan telefon numaralarındaki bazı rakamlar aşağıdaki gibi verilmiştir. Ayla ® 0 5 * * * * * 7 2 3 5 Berk ® 0 5 * * * * * 9 4 1 5 Elemanları, Ayla’nın telefon numarasındaki rakamlardan oluşan küme A; Berk’in telefon numarasındaki rakamlardan oluşan küme B olmak üzere, s(A) = 9 s(B) = 6 olduğu biliniyor. A Ç B = {0, 1, 4, 5, 6} olduğuna göre, A \ B kümesindeki elemanların değerleri toplamı kaçtır? A) 18 B) 20 C) 21 D) 26 E) 27 2020 - TYT 4. A ve B rakamlardan oluşan boştan farklı birer küme olmak üzere, A Ç B = A Ç {0, 2, 4, 6, 8} eşitliği sağlanıyorsa A kümesine B kümesinin ortakesişim kümesi denir. A kümesi, B = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin ortakesişim kümesi olduğuna göre, kaç farklı A kümesi vardır? A) 3 B) 7 C) 15 D) 31 E) 63 2019 - AYT 1. Aşağıdaki Venn şemasında ` 2 ile kalansız bölünebilen tam sayılar kümesi A, ` 3 ile kalansız bölünebilen tam sayılar kümesi B, ` 12 ile kalansız bölünebilen tam sayılar kümesi C ile gösterilmektedir. Buna göre, I. 18 II. 24 III. 42 sayılarından hangileri boyalı bölge ile gösterilen kümenin bir elemanıdır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III 2019 - TYT
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 1 www.netlerikatla.com ✔ Fonksiyon Tanımı ✔ Fonksiyon Türleri ✔ Tek ve Çift Fonksiyon ✔ Fonksiyonlarda Dört İşlem FONKSİYON-1 28. FÖY FONKSİYON VE TANIMI A kümesinin her elemanını B kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye ................. denir. f: A → B şeklinde gösterilir. Bu gösterilişteki A kümesine ........................ B kümesine ........................ denir. Tanım f: A → A olduğunda f, A kümesinde tanımlı fonksiyondur denir. NOT Örnek 1 : A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. Buna göre, I. {(1, b), (2, c), (3, c)} II. {(1, d), (2, a)} III. {(1, a), (2, d), (3, b), (2, b)} ilişkilerinden hangileri A’dan B’ye tanımlı bir fonksiyondur? Çözüm: Örnek 2 : A = {1, 2, 3} f: A → B bir fonksiyon ve f = {(1, 3), (m, 2), (n, 7)} olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? Çözüm: Örnek 3 : I. a b c • • • d • 1 2 3 • • • A B f II. a b c • • • • d 1 2 3 • • • A B f III. a b c • • • 1 2 3 • • • • 4 A B f Yukarıda verilenlerden hangileri fonksiyondur? Çözüm:
2 28. FÖY: FONKSİYON-1 FONKSİYON-1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Görüntü Kümesi A kümesinin f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir. f(A) ile gösterilir. a b c • • • 1 2 3 • • • 4 5 • • f(A) A B A = {a, b, c} →Tanım kümesi B = {1, 2, 3, 4, 5} → Değer kümesi f(A) = {1, 2, 3} → Görüntü kümesi f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} → Fonksiyon f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3 şeklinde yazılır. Tanım Örnek 4 : 4 6 8 • • • 1 7 8 9 10 • • • • • A f B Yukarıda f fonksiyonu verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? I. f fonksiyonunun tanım kümesindeki elemanlarının toplamı 18’dir. II. f fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanlarının toplamı 16’dır. III. f(6) = 7dir. Çözüm: Örnek 5 : A = {1, 2, 7, 3} kümesi veriliyor. f: A ® A olmak üzere, f: {(1, 7), (2, 1), (3, 2), (7, 3)} şeklinde tanımlanan f fonksiyonunda f(2) + f(7) toplamı kaçtır? Çözüm: A kümesinden B kümesine tanımlı fonksiyon sayısı = ................... NOT Örnek 6 : 3 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye tanımlı kaç tane fonksiyon yazılabilir? Çözüm: Örnek 7 : A = {a, b, c, d} B = {1, 2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. f(a) = 1 eşitliğini sağlayan A kümesinden B kümesine kaç farklı fonksiyon yazılabilir? Çözüm: Fonksiyonun kuralı verilmişse tanım kümesinin elemanları bu kuralda değişkenlerin yerine yazılarak fonksiyonun görüntü kümesinin elemanları elde edilir. NOT Örnek 8 : f: A → B bir fonksiyon A= {1, 5, 7} ve f(x) = 2x + 1 olduğuna göre, f(A) kümesini yazınız. Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 9 : f: A → R olmak üzere, f(A) = {–7, 5, 9} ve f(x) = 2x – 3 olduğuna göre, A kümesini yazınız. Çözüm: Örnek 10 : f(x) = x2 – 3x + 1 olduğuna göre, f(x + 2) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örnek 11 : f(x) = x2 – 7x + 1 olduğuna göre, f(2) + f(–2) toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 12 : f(x) = x2 + 3x ve f(a – 1) = f(2) olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 13 : f(x + 3) = x2 + x – 5 olduğuna göre, f(7) kaçtır? Çözüm: Örnek 14 : f(3 – x) = x2 + 2x – 5 olduğuna göre, f(4) kaçtır? Çözüm: Örnek 15 : fc x – 1 x + 1 m = x3 + 2x – 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır? Çözüm:
4 28. FÖY: FONKSİYON-1 FONKSİYON-1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 16 : f(2x + 1) = 4x – 3.2x + 3 olduğuna göre, f(6) kaçtır? Çözüm: Örnek 17 : fc x – 3 x2 + 1 m = x2 + 1 x – 3 + 2 olduğuna göre, fc 1 5 m kaçtır? Çözüm: Örnek 18 : f(x3 – 2x2 + 2) = 2x3 – 4x2 – 5 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu yazınız. Çözüm: Örnek 19 : f(x) = 3x + 1 olduğuna göre, f(2x – 1) in f(x) cinsinden eşiti nedir? Çözüm: Örnek 20 : f(x)= 2x+1 olduğuna göre, f(2x – 1)'in f(x) cinsinden eşiti nedir? Çözüm: Örnek 21 : Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri fonksiyondur? I. f: N → N, f(x) = x + 3 II. f: N → N, f(x) = x – 3 IlI. f: Z → Z, f(x) = x + 2 3 IV. f: R → R, f(x) = 3x + 1 2 Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com Örnek 22 : I. f: N → Z, f(x) = 3x + 1 II. f: R → R, f(x) = x + 1 x – 2 III. f: R – {1} → R, f(x) = x + 3 x – 1 Yukarıda verilen ifadelerden hangisi ya da hangileri fonksiyondur? Çözüm: Örnek 23 : A = {2, 3, 4, 5} olmak üzere, f: A → R f(x) = |x – 1| + |x| olduğuna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? Çözüm: Örnek 24 : f(x + 1) – f(x) = x eşitliği veriliyor. f(1) = 5 olduğuna göre, f(10) kaçtır? Çözüm: FONKSİYON TÜRLERİ 1. Birebir Fonksiyon f: A → B tanımlı fonksiyonu A kümesinin her elemanını B kümesinin farklı bir elemanı ile eşliyorsa f fonksiyonu birebir fonksiyondur. f fonksiyonun birebir olması için s(B) ≥ s(A) olmalıdır. Tanım Örnek 25 : A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye tanımlı I. {(1, a), (2, c), (3, a)} II. {(1, a), (2, b), (3, c)} III. {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} fonksiyonlarından hangileri birebirdir? Çözüm: Örnek 26 : Reel sayılar kümesinde tanımlı I. f(x) = 3x + 1 II. g(x) = x2 + 3 III. h(x) = x3 fonksiyonlarından hangileri birebirdir? Çözüm: s(A) = m s(B) = n ise A'dan B'ye tanımlı birebir fonksiyon sayısı P(n, m) = ................. NOT
6 28. FÖY: FONKSİYON-1 FONKSİYON-1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 27 : s(A) = 4 s(B) = 5 olduğuna göre, A'dan B'ye kaç tane 1–1 fonksiyon yazılabilir? Çözüm: 2. Örten ve İçine Fonksiyon: f: A → B tanımlı fonksiyonda B kümesindeki tüm elemanlar eşlenmiş ise f fonksiyonu örten fonksiyondur. Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. f fonksiyonunun örten olması için s(A) ≥ s(B) olmalıdır. Bu durumda f(A) = B olur. Tanım Örnek 28 : A = {a, b, c} B = {1, 2} kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye tanımlı I. {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} II. {(a, 2), (b, 2), (c, 1)} III. {(1, a), (2, b)} fonksiyonlarından hangileri örtendir? Çözüm: Örnek 29 : Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi örtendir? I. f: N → N , f(x) = x + 1 II. f: R → R , f(x) = 2x + 1 III. f: N → Z , f(x) = x – 10 IV. f: R → R , f(x) = x2 Çözüm: Örnek 30 : 1 2 3 • • • a b c • • • B f I. A II. III. 1 2 3 • • • a b c • • • • d B f A 1 2 3 • • • a b • • B f A Yukarıda verilen fonksiyonlardan hangileri hem birebir hem örtendir? Çözüm: Örnek 31 : Aşağıdaki fonksiyonlar için yapılan birebir ve örten incelemelerinden hangisi yanlıştır? Birebir Örten A) f: Z → R , f(x) = x + 3 2x – 5 + – B) f: Z+ → Z , f(x) = x + 1 + – C) f: Z → Z+ , f(x) = x2 + 1 - + D) f: R+ → R , f(x) = x2 + 3 x + – E) f: N → N , f(x) = x + + Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 7 www.netlerikatla.com s(A) = s(B) = n olmak üzere A dan B ye n! tane birebir ve örten fonksiyon yazılabilir. NOT Örnek 32 : 4 elemanlı bir kümede tanımlı kaç tane birebir ve örten fonksiyon tanımlanabilir? Çözüm: Örnek 33 : A = {1, 2, 6, 4} kümesi veriliyor. Buna göre, A kümesinde tanımlı f(2) = 6 eşitliğini sağlayan kaç tane bire bir ve örten fonksiyon yazılabilir? Çözüm: Örnek 34 : A = {a, b, c, d} kümesi veriliyor. Buna göre, A kümesinde tanımlı f(a) = c f(b) ¹ d koşullarını sağlayan kaç tane birebir ve örten fonksiyon tanımlanabilir? Çözüm: 3. Birim Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı, o elemanın kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. I(x) ile gösterilir. f birim fonksiyon ise f(x) = x olur. Tanım Örnek 35 : f birim fonksiyon ve f(x) = (a – 2)x2 + (b – 3)x + c + 7 olduğuna göre, f(a + b + c) kaçtır? Çözüm: 4. Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit sayıya eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. f(x) = c Bu eşitlikte c = 0 olursa (f(x) = 0) bu fonksiyona sıfır fonksiyonu denir. Tanım f: A ® B sabit fonksiyon sayısı s(B) dir. NOT Örnek 36 : f sabit fonksiyon ve f(x) = (a – 3)x2 + (b + 2)x + a.b + 1 olduğuna göre, f(1000) kaçtır? Çözüm:
8 28. FÖY: FONKSİYON-1 FONKSİYON-1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 37 : f sıfır fonksiyonu ve f(x) = (a – 2)x2 + (b + 3)x + c – 4 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? Çözüm: f(x) = ax + b cx + d sabit fonksiyon ise, f(x) = a c = b d olur. NOT Örnek 38 : f sabit fonksiyon ve f(x) = 6x + m 3x – 2 olduğuna göre, m kaçtır? Çözüm: Örnek 39 : f sabit fonksiyon ve f(x) = mx – 10 5x + 2 olduğuna göre, f(6) + m toplamı kaçtır? Çözüm: 5. Doğrusal Fonksiyon: f(x) = ax + b formundaki fonksiyonlardır. Tanım Örnek 40 : f doğrusal fonksiyon olmak üzere, f(1) = 5, f(2) = 8 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örnek 41 : f doğrusal fonksiyon olmak üzere, f(–1) = 4 ve f(3) = 12 olduğuna göre, f(1) kaçtır? Çözüm: Örnek 42 : f doğrusal fonksiyon olmak üzere, f(x + 1) + f(x – 2) = 4x – 8 eşitliği veriliyor. Buna göre, f(5) kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 9 www.netlerikatla.com Parçalı Fonksiyon Tanım kümesinin farklı değerleri için farklı şekilde tanımlanan fonksiyondur. Tanım Örnek 43 : f(x) = & x2 + 5, x < 2 ise 3x + 1, x ≥ 2 olduğuna göre, f(5) – f(1) farkı kaçtır? Çözüm: Örnek 44 : f(x) = & 2x2 + 1, x tek ise x3 – 1, x çift ise fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(7) – f(4) farkı kaçtır? Çözüm: Örnek 45 : k Î z olmak üzere, f(x) = ) x2 + 1 x = 3k 2x – 1 x = 3k + 1 x3 – 5 x = 3k + 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(6) – f(2) + f(10) işleminin sonucu kaçtır? Çözüm: Tek ve Çift Fonksiyon ∀x ∈ R için, f(–x) = f(x) ise f çift fonksiyon f(–x) = – f(x) ise f tek fonksiyondur. Polinom fonksiyonlarda x'in bütün kuvvetleri tek ise f tek fonksiyon, çift ise çift fonksiyondur. cosx ve secx → çift fonksiyon sinx, tanx, cotx, cosecx → tek fonksiyon Bir fonksiyon tek ya da çift olmak zorunda değildir. f(x) = x2 + x fonksiyonu ne tek ne de çifttir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre, çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. Verilen fonksiyon kapalı bir aralıkta tanımlı ise f in tek veya çift fonksiyon olabilmesi için bu aralığın uç noktaları mutlak değerce eşit olmalıdır. İki tek fonksiyonun toplamı tek, çarpımı çift fonksiyondur. İki çift fonksiyonun toplamı ve çarpımı çift fonksiyondur. Tanım Örnek 46 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri çifttir? I. f(x) = x2 + 3x – 1 II. f(x) = x4 + x2 – 3 III. f(x) = 2x3 + x Çözüm: Örnek 47 : f çift fonksiyon ve f(x) = (a – 3)x3 + 2x2 + (b + 1)x + a + b olduğuna göre, f(1) kaçtır? Çözüm:
10 28. FÖY: FONKSİYON-1 FONKSİYON-1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 48 : f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik ve f(x) = (a – 5)x2 + (a + 1)x + b – 2 olduğuna göre, f(b) kaçtır? Çözüm: Örnek 49 : f tek fonksiyon ve f(x) = x3 – 2x + f(–x) olduğuna göre, f(2) kaçtır? Çözüm: Örnek 50 : f tek, g çift fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri tek fonksiyondur? I. f(x) + g(x) Il. f(x).g(x) Ill. f cg(x)m Çözüm: Fonksiyonlarda Dört İşlem f: A → R g: B → R birer fonksiyon olmak üzere, (f +– g): A ∩ B → R (f.g) : A ∩ B → R f g c m : A ∩ B → R (f +– g)(x) = f(x) + – g(x) (f.g) = f(x).g(x) f g c m = f(x) g(x) Tanım Örnek 51 : f(x) = x2 + x g(x) = 3x – 1 olduğuna göre, (2f + g)(3) kaçtır? Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 11 www.netlerikatla.com Örnek 52 : f(x) = x2 – 1 g(x) = x3 + 1 olduğuna göre, (f – g)(2) kaçtır? Çözüm: Örnek 53 : f(x) = 2x + 1 g(x) = 3x – 1 h(x) = x2 + 1 olduğuna göre, 2f – h g (1) kaçtır? Çözüm: Örnek 54 : f(x) = 2x + 2x g(x) = 1 – 2x olduğuna göre, (f.g + 3)(1) kaçtır? Çözüm: Örnek 55 : f = '(1, 3), (2, 5), (3, –1)1 g = '(1, 4), (4, 6), (3, –2)1 olduğuna göre, (f + 2g) fonksiyonunu yazınız. Çözüm: Örnek 56 : f: [–5, 3] → R g: [–2, 7] → R f(x) = 3x + 2 g(x) = 4x – 5 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, f + g fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [–38, 18] B) [–17, 18] C) [–17, 46] D) [–17, 17] E) [–38, 46] Çözüm: Örnek 57 : (2f + g)(x) = 3x + 2 (3f – g)(x) = 7x – 5 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (f.g)(1) çarpımı kaçtır? Çözüm:
12 ÖDEV TESTİ TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com 2. f(x) = 3x2 + 1 g(x) = x2 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, f_g(2) – 1)i sonucu kaçtır? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 3. f(x) = 2x – g(x + 1) ve g(2x – 1) = x2 + x olduğuna göre, f(4) kaçtır? A) –4 B) –2 C) –1 D) 2 E) 4 4. f(x – x3) = 2x3 – 2x – 3 olduğuna göre, f(x + 1) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) –2x + 5 B) –2x C) –2x – 4 D) –2x – 5 E) –x – 3 1. Aşağıda verilen ifadelerden hangisi ya da hangileri fonksiyondur? I. f: Z → Z f(x) = 2x – 1 3 II. f: Z → Z f(x) = 3x + 1 III. f: R → R f(x) = 3x – 1 x – 4 A) Yalnız l B) Yalnız ll C) l ve ll D) ll ve lll E) l, ll ve lll 5. f(x – 3) = 4x + 5 g(2x + 1) = 3x – m + 1 fonksiyonları veriliyor. g(7) = f(1) olduğuna göre, m sayısı kaçtır? A) –11 B) –10 C) –9 D) –8 E) –7 6. f(x) = 2x+2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(3x – 1) fonksiyonunun f(x) fonksiyonu cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) f3(x) B) f 3(x) 4 C) f 3(x) 32 D) f 3(x) 36 E) f 3(x) 64
13 www.netlerikatla.com 1-B 2-C 3-A 4-D 5-A 6-C 7-B 8-A 9-B 10-D 11-B 12-C 7. Bir f fonksiyonu, f(x, y) = max(3x + y, 2y + x + 1) şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, f(2, 5) kaçtır? A) 11 B) 13 C) 18 D) 20 E) 24 8. f(7x – 2) + f(x + 4) = f(5x) + 3 eşitliği veriliyor. Buna göre, f(5) kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 9. Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı I. f(x) = ñx II. f(x) = 5x III. f(x) = x3 fonksiyonlardan hangileri f(a + b) = f(a) . f(b) eşitliğini sağlar? A) Yalnız l B) Yalnız ll C) l ve lll D) ll ve lll E) l, ll ve lll 10. x ≠ 0 olmak üzere, f(x + 1) = f(x).x eşitliği veriliyor. f(1) = 1 olduğuna göre, f(10) kaçtır? A) 9 B) 10 C) 9! 2 D) 9! E) 10! 11. y = f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, f(3) = 7 ve f(1) = –1 olduğuna göre, f(a + 1) = 11 koşulunu sağlayan a sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ve f(x) + f(–2x) = (a – 3)x3 + (a + 2)x2 + 6 olduğuna göre, f(1) kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14 TEST 1 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ YENİ NESİL SORULAR www.netlerikatla.com 2. f tek ve g çift fonksiyon olduğuna göre, I. x2 + g(x) II. x.f(x) + g(x) III. f(x2) fonksiyonlarından hangileri çifttir? A) Yalnız l B) Yalnız lll C) l ve ll D) l ve lll E) l, ll ve lll 3. f sabit fonksiyon ve f(x) = (m – 2)x2 + nx + 3x + m.n + 1 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 4. f(x) = mx + 3 2x + n fonksiyonu sabit fonksiyon ve f(100) = 2 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 5 B) 11 2 C) 6 D) 13 2 E) 7 1. A = {1, 2, 3, 4, 5} f: A → A fonksiyonu birebirdir. Buna göre, f(1) + f(2) + f(3) toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır? A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 12 5. f birim ve g sabit fonksiyon olmak üzere, fcg(300)n = 7 olduğuna göre, (2f + g)(5) kaçtır? A) 12 B) 14 C) 15 D) 17 E) 20 6. f = {(–3, 5), (1, 5), (4, 6)} ve g = {(–2, 4), (4, –3), (1, 2)} fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (f + 2g) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) {(1, 9), (4, 0)} B) {(1, 9), (–5, 13)} C) {(–5, 13), (1, 9), (4, 0)} D) {(–5, 13), (2, 9), (8,0)} E) {(1, 1), (4, 0)}
15 www.netlerikatla.com 1-B 2-E 3-A 4-B 5-D 6-A 7-D 8-B 9-B 10-D 11-C 12-B 7. Aşağıda A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} kümeleri verilmiştir. A’dan B’ye f(a) = 4 olacak biçimde kaç tane birebir f fonksiyonu tanımlanabilir? A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16 a b c • • • 1 2 3 4 5 • • • • • A B 8. f ve g fonksiyonları reel sayılarda tanımlı iki fonksiyon olmak üzere, f(x) = 5x g(x) = {f(x) fonksiyonunun 9 ile bölümünden kalan sayı} şeklinde tanımlanıyor. Tüm iki basamaklı tam sayıların kümesi A olmak üzere, g(A) ≠ 0 ve g(A) < 5 ifadelerini sağlayan kaç farklı A değeri vardır? A) 35 B) 40 C) 44 D) 48 E) 52 9. A ⊂ R+ olmak üzere, f: A → N ve f(x) = 5x – 7 x + 1 şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun f(A) görüntü kümesi en çok kaç elemanlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 E) 12 10. Her x ∈ R için, f(x + 1) = 1 + f(x) 1 – f(x) şeklinde tanımlanıyor. f(1) = 2 olduğuna göre, f(25) kaçtır? A) –3 B) – 1 2 C) 1 3 D) 2 E) 3 11. x, metre cinsinden jeneratörün deposunda kalan mazot yüksekliğini göstermek üzere, harcanan mazotun kaç litre olduğunu modelleyen f(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir? (1 L = 1 dm3, 1 m3 = 1000 dm3) A) f(x) = 8 – 6x B) f(x) = 6(8 – x) C) f(x) = 4000(2 – x) D) f(x) = 4000(8 – x) E) f(x) = 4(8 – x) 11. ve 12. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplayınız. Elektrik kesintilerinde devreye giren bir jeneratör sistemine sahip bir sitede 60 adet villa bulunmaktadır. Bu sistemde; • jeneratörün deposu küp şeklinde ve bir ayrıtı 2 metredir. • jeneratörün çalışması için mazot kullanılmakta ve mazotun litresi 6 liradır. • jeneratör çalıştığı zaman harcanan mazot bedeli tüm villalar arasında eşit olarak paylaştırılmaktadır. Buna göre, elektrik kesintisi olduğu bir zaman diliminde; 12. x, harcanan mazotun litre cinsinden değerini göstermek üzere villa başına mazot giderini modelleyen g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir? (1 litre = 1 dm3) A) g(x) = 10.x B) g(x) = x 10 C) g(x) = x + 10 D) g(x) = 6x E) g(x) = x 60
16 ÇIKMIŞ SORULAR www.netlerikatla.com 1-A 2-E 2. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu her x ve y gerçel sayısı için f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlamaktadır. f(2) – f(1) = 10 olduğuna göre, f(3) . f(4) f(5) işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24 2019 - AYT 1. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde f ve g fonksiyonları f(x) = ax – b g(x) = bx – 2 biçiminde tanımlanıyor. (f + g)(1) = f(1) (f + g)(2) = g(2) olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 2019 - TYT
1 ✔ Bileşke Fonksiyon ✔ Ters Fonksiyon ✔ Fonksiyon Grafiği FONKSİYON-2 29. FÖY TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Bileşke Fonksiyon f: A → B g: B → C birer fonksiyon olsun. • f(x) • x B • g_f(x)i A C f g gof gof: A → C (gof)(x) = g`f(x)j foI = Iof = f (I birim fonksiyon) (fog)(x) = f`g(x)j (fog)oh = fo(goh) = fogoh Tanım Örnek 1 : Reel sayılarda tanımlı f(x) = x2 + 3x – 5 g(x) = 2x + 6 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, aşağıdaki işlemleri yapınız. (fog)(x) = ............................................... (gof)(x) = ............................................... (fog)(2) = ............................................. (gof)(–1) = ........................................... Örnek 2 : Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları f(x) = x3 + x + 1 g(x) = 2x + 3 olduğuna göre, (gof)(2) kaçtır? Çözüm: Örnek 3 : Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için f(x) = 2x + 3 g(x) = x + 4 (f + g)(m) = (fog)(m) eşitliğini sağlayan m sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 4 : Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için f(x) = 2x + 5 g(x) = 1 – x (fog)(a) = (gof)(–a) eşitliğini sağlayan a sayısı kaçtır? Çözüm: Örnek 5 : Reel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = 5.g(x) + 1 (gof)(x) = 2.f(x) – 3 olduğuna göre, (g – 2f)(1) kaçtır? Çözüm:
2 29. FÖY: FONKSİYON-2 FONKSİYON-2 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Ters Fonksiyon f: A → B birebir ve örten bir fonksiyon olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun tersi f –1: B → A ile gösterilir. A B f f –1 • x • y f(x) = y ƒ f –1(y) = x olur. Tanım f(x) fonksiyonunun grafiği ile f–1(x) fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir. NOT Örnek 6 : Aşağıdaki fonksiyonların hangisinin ya da hangilerinin tersi de fonksiyondur? I. f: N → N , f(x) = x + 5 II. f: Z → Z , f(x) = x + 7 III. f: R → R , f(x) = 3x – 1 5 Çözüm: Örnek 7 : Aşağıdaki birebir ve örten fonksiyonlar için hangisi ya da hangileri daima doğrudur? I. f(3) = 5 ise f –1(5) = 3’tür. II. f –1(2) = 11 ise f(11) = 2’dir. III. f(3) = 6 ise f –1 (3) = 1 6 ‘dır. Çözüm: Örnek 8 : f(x) = 2x + 1 olduğuna göre, f –1(13) kaçtır? Çözüm: Örnek 9 : Uygun şartlarda tanımlı f fonksiyonu için, f –1 c x – 1 x + 3 m = 2x – 1 x + 1 olduğuna göre, f(3) kaçtır? Çözüm: Örnek 10 : f doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, f(1) = 7 f –1(10) = 2 olduğuna göre, f(4) kaçtır? Çözüm: Bir fonksiyonun tersinin bulunması: y = f(x) fonksiyonunun tersini bulurken; x yalnız bırakılır. x yerine y, y yerine x yazılır. Elde edilen y fonksiyonun tersidir. Tanım
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 3 www.netlerikatla.com Örnek 11 : f(x) = 3 ôx + 1 – 2 olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örnek 12 : f: [3,∞) → [1, ∞) olmak üzere, f(x) = ôx – 3 + 1 olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örnek 13 : f: [2, ∞) → [4, ∞) olmak üzere, f(x) = (x – 2)2 + 4 olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: f(x) = ax + b f –1(x) = x – b a NOT f(x) = ax + b cx + d f –1(x) = –dx + b cx –a NOT Örnek 14 : Uygun şartlarda tanımlı aşağıdaki fonksiyonların karşılarına terslerini yazınız. f(x) = 3x + 1 f –1(x) = ........................ f(x) = 4x –3 2 f –1(x) = ........................ f(x) = 2 – x 5 f –1(x) = ........................ f(x) = 3x + 1 x – 2 f –1(x) = ........................ f(x) = 3 2x + 4 f –1(x) = ........................ Örnek 15 : f: R – ) 5 3 3 ® R – ) m 3 3 f(x) = mx + 1 3x – 5 fonksiyonu veriliyor. f(x) = f –1(x) koşulunun sağlanabilmesi için m kaç olmalıdır? Çözüm: Bileşke ve Ters Fonksiyon İlişkisi Özellikleri (f –1) –1(x) = f(x) (f–1of )(x) = x (gof)–1(x) = (f–1og –1)(x) (fogoh)–1(x) = (h–1og–1of –1)(x) fog = h ´ f = hog–1 ve g = f–1oh Tanım Örnek 16 : f(3x + 1) = 6x + 2 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
4 29. FÖY: FONKSİYON-2 FONKSİYON-2 TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ www.netlerikatla.com Örnek 17 : Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x) = 3x – 5 g(x) = x + 3 2 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Örnek 18 : Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog–1)(x) = 4x – 3 g–1(x) = x – 5 olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu yazınız. Çözüm: Örnek 19 : Uygun koşullarda tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog–1) –1(x) = 3x + 1 g(x) = x – 3 4 olduğuna göre, f(2) değerini bulunuz. Çözüm: Örnek 20 : f(3) = g(5) olduğuna göre, (f –1og)(5) kaçtır? Çözüm: Örnek 21 : f: R – {2} → R – {3} birebir ve örten bir fonksiyon olmak üzere, f(x) = mx + 1 2x + n olduğuna göre, m ve n değerlerini bulunuz. Çözüm: Örnek 22 : Uygun koşullarda tanımlı f(x) = 2x – 3 4x – 2 fonksiyonu için, (fofofof......of)(1) kaçtır? 27 tane Çözüm:
TYT MATEMATİK DERS İŞLEME FÖYÜ 5 www.netlerikatla.com FONKSİYON GRAFİĞİ Grafiği verilen fonksiyonunun x ekseni boyunca bulunduğu aralık fonksiyonun tanım kümesi, y ekseni boyunca bulunduğu aralık fonksiyonun görüntü kümesidir. c d f a b x f fonksiyonunun Tanım Kümesi: [a, b) Görüntü Kümesi: [c, d) y Tanım Örnek 23 : 5 –4 –3 y 7 x f 4 Yanda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini yazınız. Çözüm: Dikey Doğru Testi Grafiği verilen bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamamız için fonksiyonun tanım kümesine dikey doğrular çizilir. Çizilen her doğru grafiği kesiyorsa ve yalnız tek noktada kesiyorsa verilen grafik fonksiyondur. Tanım Örnek 24 : Aşağıda verilen grafiklerden hangileri bir fonksiyona aittir? I. x y III. x y II. x y IV. x y 0 f: R ® R f: R ® R f: R ® R f: R ® R 1 5 0 0 Çözüm: Yatay doğru testi Grafiği verilen fonksiyonun türünü (birebir-örten-içine) anlamak için fonksiyonun değer kümesine yatay doğrular çizilir. Çizilen her doğru grafiği kesiyorsa örten, tek noktada kesiyorsa birebirdir. Tanım Örnek 25 : Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların birebir veya örten olup olmadıklarını yazınız. I. x y III. x y II. x y IV. x y 0 f: R ® R 0 0 ................... f: R ® R ................... f: R ® R ................... f: R ® R ................... Örnek 26 : x y 8 6 3 4 –4 –3 2 6 8 Yanda reel sayılarda tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, I. görüntü kümesi (–∞, 8] dir. II. birebirdir. III. içine fonksiyondur. ifadelerinden hangileri doğrudur? Çözüm: