Modul Matematika

MATERI MATEMATIKA SMA

Penulis : Hersuss dan Tim Sibejoo

Video Creator : Hersuss dan Tim Sibejoo

Video Editor : Gobres, Yuda dan Tim Sibejoo

Hak Cipta
Copyright 2013 pada Yayasan Peduli Berbagi (Sibejoo)
Hak Cipta dilindungi oleh undang-undang.

Dilarang keras mengutip, menjiplak, mengcopy sebagian atau seluruh isi file ini kepada
pihak lain tanpa seizin Penulis.

Dialarang memberikan password kepada pihak lain. Karya dilindungi oleh undang-undang.

Saran Pemakaian

File ini akan maksimal untuk dilaptop ataupun di smartphone bila dibuka menggunakan
software “Foxit Reader”. Software tersebut sudah disertakan pada SSF atau bisa di
download secara gratis di internet.

Cara Pemakaian

Untuk melihat video pembahasan silahkan klik pada Judul yang terdapat garis bawah
berwarna orange. Di klik kemudian akan memutar video yang sesuai.

Kritik dan Saran

Bila ada kritik, saran serta koreksi isi file ini silahkan bisa di kirimkan ke
[email protected]

Sumber :
Diambil dari berbagai sumber

DAFTAR ISI SSF MATEMATIKA SMA

1. EKSPONEN (Pangkat dan Akar) (10)
a. Pangkat Bulat Positif
b. Pangkat Negatif dan Nol
c. Pangkat Rasional
d. Bilangangan Rasional, Irrasional, Bentuk akar
e. Merasionalkan Bentuk Akar
f. Persamaan Eksponen (Peminatan)
g. Grafik Fungsi Eksponen (Peminantan)
h. Fungsi Pertumbuhan (Peminatan)
i. Fungsi Peluruhan (Peminatan)

2. LOGARITMA (21)
a. Definisi/Pengertian
b. Sifat-sifat Logaritma
c. Variasi Contoh
d. Persamaan Logaritma (Peminatan)
e. Grafik Fungs Logaritma (Peminatan)

3. PERSAMAAN KUADRAT (26)
a. Definisi / Pengertian
b. Penyelesaian Persaan Kuadrat
c. Jenis-jenis Akar
d. Variasi Contoh Jenis Akar
e. Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat
f. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadran
g. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

4. PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT (PEMINATAN) (36)
a. Persamaan Liner
b. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
c. Sistem Persamaan Liner dan Kuadrat
d. Sistem Persamaan Kuadrat

5. FUNGSI KUADRAT (44)
a. Definisi / Pengertian
b. Cara Menggambar Grafik
c. Sifat-sifat Fungsi Kuadrat
d. Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

6. PERTIDAKSAMAAN (51)
a. Sifat-sifat Pertidaksamaan
b. Cara Menggambar Pertidaksamaan Pada Garis Bilangan
c. Pertidaksamaan Linier
d. Pertidaksamaan Kuadarat (Peminatan)

e. Pertidaksamaan Panggkat Tinggi (Peminatan)
f. Pertidaksamaan Pecahan (Peminatan)
g. Pertidaksamaan Bentuk Akar (Peminatan)
h. Pertidaksamaan Bentuk Mutlak (Peminatan)
i. Pertidaksamaan Logaritma (Peminatan)
7. TRIGONOMETRI (60)
a. Perbandingan Trigometri
b. Tabel Sudut Istimewa
c. Pengertian Kuadran
d. Penggunaan Sudut Berlasi
e. Sudut Negatif
f. Satuan Ukuran Sudut
g. Koordinat Kutub (Polar) dan Kartesius
h. Persamaan Trigonometri (Peminatan)
i. Rumus Identitas Trigonometri (Peminatan)
j. Aturan Sinus
k. Aturan Cosinus
l. Luas Segitiga dengan Trigonometri
m. Grafik Fungsi Sinus
n. Grafik Fungsi Cosinus
o. Grafik Fungsi Tangen
p. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
q. Sudut Rangkap
r. Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus
s. Penjumlahan dan Penguranan Sinus Cosinus
8. LOGIKA MATEMATIKA (PEMINTAN) (89)
a. Pengertian Kalimat
b. Negasi, Ingkaran dan Lawan
c. Pernyataan Berkuantor
d. Pernyataan Majemuk
e. Operasi
f. Ekuivalensi
g. Ingkaran, Negasi Kalimat Majemuk
h. Konvers, Invers, Kontraposisi
i. Penarikan Kesimpulan
9. DIMENSI TIGA (BANGUN RUANG) (103)
a. Kubus
b. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang
c. Proyeksi
d. Jarak Titik, Garis, Bidang Dalam D3
e. Sudut-sudut dalam D3

f. Irisan Bangun Ruang
g. Latihan Soal (UN dan SBMPTN)
10. STATISTIKA (112)
a. Data Tunggal
b. Data Tunggal Berfrekuensi
c. Data Dalam Bentuk Interval (Rata-rata)
d. Modus Dalam Data Interval
e. Median Dalam Data Interval
f. Quratil Dalam Data Interval
g. Rata-rata Gabungan
11. PELUANG (123)
a. Pengisian Tempat
b. Permutasi
c. Kombinasi
d. Penggunaan Kombinasi dalam Binomium Newton(Peminatan)
e. Peluang Sebuah Kejadian
f. Komplemen Peluang
g. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
h. Kejadian Majemuk
12. LINGKARAN (134)
a. Definisi / Pengertian
b. Persamaan Lingkaran
c. Rumus-rumus Penting dalam Lingkaran
d. Kedudukan Titik Terhadap Garis
e. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
f. Persamaan Garis Singgung Dengan Titik Singgung
g. Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien
h. Persamaan Garis Singgung Titik Diluar
i. Latihan Soal (UN dan SBMPTN)
13. POLINOM/SUKU BANYAK (PEMINATAN) (144)
a. Pengertian Polinom/Suku Banyak
b. Mencari Nilai Polinom/Suku Banyak
c. Pembagian Metode Menurun
d. Pembagian Metode Horner
e. Pembagian Metode Horner Kino
f. Teorema Sisa
g. Variasi Soal Teorema Sisa
h. Teorema Faktor dan Akar
i. Operasi Akar

14. FUNGSI KOMPOSISI (153)
a. Pengertian Fungsi
b. Jenis-jenis Fungsi
c. Sifat-sifat Fungsi
d. Opersi Aljabar Fungsi
e. Mencari Gabungan Fungsi
f. Mencari Fungsi Sebelah Kanan
g. Mencari Fungsi Sebelah Kiri
h. Fungsi Invers
i. Opersi Invers

15. LIMIT (162)
a. Pengertian Limit
b. Teorema Limit
c. Limit Aljabar
d. Limit Bentuk Tak Hingga Pecahan
e. Limit Bentuk Tak Hingga Pengurangan
f. Teorema LHopital
g. Limit Trigonometri (Pemintan)
h. Kekontinuan Limit
i. Limit Fungsi Khusus (Bentuk e)

16. TURUNAN (171)
a. Pengertian Turunan
b. Rumus Dasar Turunan Aljabar
c. Turunan Berantai (Turunan Komposisi)
d. Perkalian dan Pembagian Turunan
e. Turunan Trigonometri (Peminatan)
f. Aplikasi Turunan (Gungsi Naik,Turun,Stasioner, Kecepatan) (Peminatan)

17. INTEGRAL (181)
a. Pengertian Integral
b. Inegral Bentuk Ln
c. Hubungan Integral dan Turunan
d. Integral Subtitusi
e. Integral Trigonometri Dasar
f. Integral Trigono Rumus Trigono
g. Integral Subtitusi Trigono 1
h. Integral Parsial Trigono
i. Integral Subtitusi Trigono 2
j. Integral Eksponen
k. Integral Parsial (Peminatan)
l. Integral Tentu (Peminatan)
m. Integral Luas 1 (Peminatan)

n. Integral Luas 2 (Peminatan)
o. Integral Luas 3 (Peminatan)
p. Integral Volume (Peminatan)

18. PROGRAM LINIER (196)
a. Pengertian Pertidaksamaan Linier
b. Dasar-dasar Yang Perlu Dikuasai
c. Menentukan Daerah Penyelesaian/Arsiran
d. Daerah Kuadaran
e. Sistem Pertidaksamaan Linier
f. Nilai Optimum dengan Titik Pojok
g. Nilai Optimum dengan Garis Selidik
h. Pemodelan Matematika

19. MATRIKS (203)
a. Notasi dan Istilah Matrik
b. Operasi Matrik 1
c. Operasi Matrik 2
d. Determinan Invers
e. Penyelesaian Persamaan Matrik
f. Penyelesaian Permaan Linier dengan Matrik (Peminatan)

20. BARISAN DAN DERET (214)
a. Notasi Sigma
b. Unsur-unsur Barisan Aritmatika
c. Suku Sisipan pada Barisan Aritmatika
d. Suku Tengah Barisan Aritmatika
e. Unsur-unusr Barisan/Deret Geometri
f. Suku Sisipan pada Barisan/Deret Geometri
g. Suku Tengah Barisan/Deret Aritmatika
h. Deret Gemotri Tak Hingga
i. Induksi Matematika

21. VEKTOR (PEMINATAN) (224)
a. Pengertian Vektor
b. Vektor dalam 2D dan 3D
c. Operasi Vektor
d. Titik-titik Koliner/Segaris
e. Titik/Vektor Pembagi
f. Perkaian Skalar Vektor
g. Proyeksi Vektor

22. TRANSFOMRASI (PEMINATAN) (233)
a. Pengertian Transformasi
b. Translasi

c. Dilatasi
d. Refleksi
e. Rotasi
f. Transformasi dengan Matriks
g. Komposisi Transformasi
h. Latihan Soal (UN dan SBMPTN)
23. IRISAN KERUCUT (PEMINATAN) (243)
a. Pengertian Irisan Kerucut
b. Parabola – Pengertian Parabola
c. Parabola – Puncak (0,0)
d. Parabola – Puncak (h,k)
e. Parabola – Tali Busur (Latus Rectum)
f. Parabola – Persaman Garis Singgung dengan Titik Singgung
g. Parabola – Persamaan Garis Singgung dengan Gradien
h. Elips – Pengertian Elips
i. Elips – Pusat (0,0)
j. Elips – Pusat (h,k)
k. Elips – Tali Busur (Latus Rectum)
l. Elips – Focal Redi
m. Elips – Sifat Direktris (Eksentrisitas)
n. Elips - Persaman Garis Singgung dengan Titik Singgung
o. Elips – Persamaan Garisn Singgung dengan Gradien
p. Hiperbola – Pengertian Hiperbola
q. Hiperbola – Pusat (0,0)
r. Hiperbola – Pusat (h,k)
s. Hiperbola – Asimtot
t. Hiperbola – Panjang Sumbu Minor/Mayor
u. Hiperbola – Sifat Direktri (Eksetrisitas)
v. Hiperbola – Persamaan Garis Singgung Dengan Titik Singgung
w. Hiperbola – Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien
24. IRISAN DUA LINGKARAN (PEMINATAN) (263)
a. Koordinat Kartesius dan Polar
b. Jarak Dengan Koordinat Polar
c. Jenis Irisan Kerucut
d. Panjang Tali Busur
25. GEOMETRI BIDANG DATAR (PEMINATAN) (266)
a. Titik, Garis, Sudut dan Bidang
b. Garis dan Bidang
c. Jenis Segitiga
d. Dalil Titik Tengah
e. Dalil Intercep

f. Dalil Menelaus
g. Dalil De Ceva
h. Dalil Garis Sumbu
i. Dalil Garis Tinggi
j. Dalil Stewart
k. Dalil Garis Berat
l. Dalil Garis Bagi
26. BUNGA MAJEMUK, ANGSURAN DAN ANUITAS (PEMINATAN) (270)
a. Bunga Tunggal dan Majemuk
b. Pengertian Bunga Majemuk
c. Pengertian Anuitas
d. Anuitas Angsuran Ke n
e. Mencari Besar Anuitas
27. SAMPLE DAN FUNGSI DISTRIBUSI (PEMINATAN) (273)
a. Sample dan Populasi
b. Variable Acak
c. Distribusi Variabel Acak Diskrit
d. Distribusi Varial Acak Kontinue
e. Distribusi Probabilitas Bersama Marginal
f. Distribusi Probabilitas Bersama Bersyarat
g. Rata-rata dan Ragam Variabel Acak
h. Distribusi Binomial
i. Rata-rata dan Ragam Binomial

Bentuk Pangkat dan Akar

Pangkat Bulat Positif

Definisi
Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka :

an  a  a  a  ...  a Dibaca “ a pangkat n ”
sebanyak n

a: bilangan pokok
n: bilangan pangkat (eksponen)

Contoh:

1. 73 = 7 x 7 x 7
2.  2 4  2  2  2  2

3 3 3 3 3

Sifat-Sifat Eksponen Contoh:

123  125 12  12 (351) 129

1. am  an  amn 37  375  32 9
2. a m  a mn 35

an  75 2  710

3. (am )n  amn

4.  a  m  am ,b  0  3 4  34  81
b bn  2  24 16

5. (a  b)m  am  bm 2  35  25  35 322437.776

Pangkat Bulat Negatif dan Nol

 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, maka:

am  1 atau 1  a m sehingga berlaku juga  a m   1 m   b m .
am a m  b     a 
 a 
b

 Jika a bilangan real dan a ≠ 0 maka a 0  1.

Contoh:

1. 23  1  1
23 8

2. 1  34  81
34

3.  2   4   5 4  54  625
5 2 24 16

4.  230 1

5.  2 0  1
3

Pangkat Rasional

Jika a bilangan real, m dan n bilangan asli dengan n  2 , maka:

1

1. a n  n a

m

2. a n  n a m

3. m 1

a n n am

Contoh:

1

1. 83  3 8  3 23  2

2

2. 5 5  5 52  5 25

1

3. 812  2 81  92  9

4. 1 1 1 1 1
1 16 42 4
16 2 

162

Bilangan Rasional, Irrasional, dan Bentuk Akar

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan a dengan a,b bilangan bulat
b

dan b ≠ 0.

Contoh:
1. 4  4

1
2. 0,13  13

100
3. 0, 2323232323232323  23

99
4. 9  3
5. 3 125  5

Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan a dengan a,b bilangan

b
bulat dan b ≠ 0.
Contoh:
1. 1, 7320508
2. 2, 17, 5
3. 3 7, 5 8

Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar suatu bilangan real positif yang hasilnya bukan bilangan rasional, melainkan
bilangan irrasional.

Contoh : 3, 5, 8

Bentuk akar dapat disederhanakan menggunakan sifat perkalian akar:

n ab  n a  n b

Berikut ini operasi aljabar pada bentuk akar:
Untuk p, q bilangan real dan a, b bilangan rasional non-negatif, berlaku:

1. a  b  a  b
2. p a  q b  pq ab

3. a  a ,b  0
bb

4. p a  q a  (p  q) a
5. p a  q a  (p  q) a

Contoh:

1. 5  3  5 3  15
2. 2 3  4 5  8 15
3. 3  3

55

4. 2 7  6 7  (2  6) 7  8 7
5. 2 7  8 7  (2  8) 7  6 7

Berikut operasi aljabar untuk bentuk akar khusus :
1. (a  b)  2 ab  a  b
2. (a  b)  2 ab  a  b , dengan a  b

Contoh:

1. 12  2 35  (7  5)  2 7  5  7  5
2. 7  2 12  (4  3)  2 4  3  4  3  2  3
3. 5  24  5  4  6  5  2 6  (3  2)  2 3 2  3  2
4. 8  4 3  8  2  2 3  8  2 4  3  8  2 12  (6  2)  2 6  2  6  2

Merasionalkan Bentuk Akar
Merasionalkan bentuk akar adalah menjadikan penyebut pada pecahan bentuk akar sehingga berubah
menjadi bilangan rasional. Caranya kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya. Untuk a, b bilangan
rasional non-negatif, maka:
1. a sekawannya adalah a .
2. a  b sekawannya adalah a  b .
3. a  b sekawannya adalah a  b .

Perkalian bentuk akar dengan sekawannya menghasilkan bilangan rasional. Perhatikan perkalian berikut.

1. a  a  b  a b
b bb b

2. c  c  a  b  c(a  b)
a  b a  b a  b a2 b

3. c  c  a  b  c(a  b)
a  b a  b a  b a2 b

4. c  c  a  b  c( a  b)
a b a b a b ab

5. c  c  a  b  c( a  b)
a b a b a b ab

Contoh:

1. 2  2  3  2 3
3 33 3

2. 5  5 2 3 5(2  3)  5(2  3)  10  5 3
2 3 2 3 2 3 

43

3. 3  3  4  5  3(4  5)  3(4  5)  12  4 5
4  5 4  5 4  5 16  5 11 11

4. 5  5  6  3  5( 6  3)  5( 6  3)
6 3 6 3 6 3 63 3

5. 4  4  5  2  4( 5  2)  4( 5  2)
5 2 5 2 5 2 52 3

Persamaan Eksponen

Untuk a bilangan real dan a  0 , berlaku:

1. a f (x)  a p maka f (x)  p

Syarat : a  0, a  1

2. a f (x)  a g(x) maka f (x)  g(x)

Syarat : a  0, a  1

3. a f (x)  b f (x) maka f (x)  0

Syarat : a  0, a  1, b  0, b  1, a  b

4. {h(x)} f (x)  {h(x)}g(x) , maka berlaku :

a. f (x)  g(x)
b. h(x)  1 karena 1f (x) 1g(x)
c. h(x)  0 , syarat f (x) 0, g(x)  0
d. h(x)  1, syarat f (x), g(x) keduanya genap atau f (x), g(x) keduanya ganjil

5. { f (x)}h(x)  {g(x)}h(x) , maka berlaku :

a. f (x)  g(x)
b. h(x)  0 , syarat f (x)  0, g(x)  0

Contoh:

1. Diketahui 42x1  8 , maka nilai x adalah ....

Pembahasan:

42x1  8 2x + 2 = 3
4x = 3 – 2
 22 2x1  23 4x = 1

24x2  23 x=¼

2. Nilai x yang memenuhi persamaan 55x3  125 x3 adalah ....

Pembahasan: 5x  3  3x  9
5x  3x  9  3
55x3  125 x3 2x  12
55x3  (53 ) x3 x6
55x3  53x9

3. 3 x2 5x6  5 x2 5x6

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut!

Pembahasan:

3 x2 5x6  5 x2 5x6
x2  5x  6  0
(x  2)(x  3)  0

x  2 dan x  3

4. Nilai-nilai x yang mungkin dari persamaan (x  2)2x  (x  2)4xx2 adalah ....

Pembahasan:

(x  2) 2x  (x  2) 4xx2
(x  2)  kita anggap sebagai h(x)
2x  kita anggap sebagai f(x)
4x – x2  kita anggap sebagai g(x)
Maka berlaku :
a. f (x)  g(x)

2x  4x  x2
2x  4x  x2  0
x2  2x  0
x(x  2)  0
x  0 atau x  2
b. h(x)  1
x2 1
x3
c. h(x)  0 , syarat f (x)  0, g(x)  0
x20
x2
Masukkan x  2 ke f (x) & g(x)
f (x)  2x
f (2)  2(2)  6 , f (x)  0 (memenuhi)
g(x)  4x  x2
g(3)  4(2)  22 8 4  4 , g(x)  0 (memenuhi)
Karena untuk x  2 memenuhi syarat f (x)  0, g(x)  0 maka x  2 termasuk penyelesaian.
d. h(x)  1, syarat f (x) & g(x) keduanya genap atau f (x) & g(x) keduanya ganjil.
h(x)  1
x  2  1
x 1

Masukkan x  1 ke f (x) & g(x)

f (x)  2x
f (2)  2(1)  2 (genap)

g(x)  4x  x2

g(2)  4(1) 12  4 1  3 (ganjil)
Ternyata, untuk x = 1 f(x) dan g(x) menghasilkan nilai genap dan ganjil, sehingga x = 1 bukan
termasuk penyelesaian.
Jadi, semua nilai x yang memenuhi persamaan atau himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {0, 2,
3}.
5. Diberikan persamaan (2x  4) x23x2  (x  1) x23x2 maka nilai-nilai x memenuhi syarat adalah....

Pembahasan:

(2x  4)  kita anggap sebagai f(x)
(x 1)  kita anggap sebagai g(x)
x 2  3x  2  kita anggap sebagai h(x)
Maka berlaku:
a. f (x)  g(x)

2x  4  x 1
2x  x  1 4

x  5

b. h(x)  0 , syarat f (x)  0, g(x)  0
x2  3x  2  0
(x  2)(x 1)  0

x  2 atau x  1
Masukkan x  2 dan x  1 ke f(x) dan g(x) harus memenuhi syarat f (x)  0, g(x)  0 .
Kita masukkan x  2 ke f(x) dan g(x):

f (x)  2x  4
f (2)  2(2)  4  8 , f (x)  0 (memenuhi syarat)
g(x)  x 1
g(2)  2 1  1, g(x)  0 (memenuhi syarat)

Karena untuk x  2 memenuhi syarat f (x)  0, g(x)  0 , x  2 adalah penyelesaian.
Kita masukkan x  1 ke f(x) dan g(x):

f (x)  2x  4
f (1)  2(1)  4  6 , f (x)  0 (memenuhi syarat)
g(x)  x 1

g(1)  1 1  1, g(x) = 0 (tidak memenuhi syarat)

Karena untuk x  1 tidak memenuhi syarat g(x)  0 , x  1 bukan penyelesaian.

Maka, nilai-nilai x sebagai himpunan penyelesaian adalah { –5, 2 }.

Grafik Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan nilai x ke axdengan bentuk umum :

f (x)  a x dengan syarat a  0, x  1dan x bilangan real.

Ada dua jenis bentuk grafik, yaitu untuk a  1 dan untuk 0  a  1.

Grafik eksponen untuk a > 1

Misalkan, kita punya persamaan f (x)  2x , kemudian kita tempatkan titik-titiknya dengan bantuan tabel

sebagai berikut :

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y  f (x) 1 1 1 1 1 2 4 8 16

2x 16 8 4 2

Y
16

Nilai x semakin kecil (semakin negatif) 8 Nilai x semakin besar (semakin positif)
maka nilai y setengah kali lipat maka nilai y dua kali lipat semakin
semakin kecil besar.

4 12 34 X
2
1
-4 -3 -2 -1

Grafik eksponen untuk 0< a < 1

Misalkan, kita punya persamaan f (x)   1  x , kemudian tempatkan titik-titiknya dengan bantuan tabel
2

sebagai berikut:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y  f (x)

  1  x 16 8 4 2 1 1 1 11
2 4 8 16
2

Y
16

Nilai x semakin kecil (semakin negatif)
maka nilai y dua kali lipat semakin
besar.

8 Nilai x semakin besar (semakin positif)

maka nilai y setengah kali lipat
semakin kecil

4

2 X
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Dari penggambaran dua grafik tersebut, kita dapat membuat grafik y = ax sebagai berikut:

Y

untuk 0 < a < 1 untuk a > 1

X

Fungsi Pertumbuhan

y  bax

y  jumlah akhir b  mula-mula
y  (1 r) r  pertumbuhan x  waktu

Fungsi Peluruhan

y  bax

y  jumlah akhir b  mula-mula
y  (1 r) r  peluruhan x  waktu

LOGARITMA

Definisi

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan atau eksponen. Berikut contohnya:

ditulis dalam logaritma

Syarat logaritma: Istilah logaritma:

a > 0, a ≠ 1, dan b > 0 a disebut bilangan pokok
b disebut numerus

Catatan : m adalah hasil logaritma

1. a log 1 = 0

Berapa pun bilangan pokoknya, jika numerus logaritmanya 1 maka hasilnya 0.

2. a log 1 = 0

Jika bilangan pokok dan numerus sama, maka hasil logaritmanya 1.

3. Dalam logaritma, jika bilangan pokoknya 10 biasanya tidak perlu dituliskan, misalnya 10log 5 cukup

ditulis dengan log 5.

Sifat-Sifat Logaritma

1. a log (b.c) = a log b + a log c
2. a log b = a log b  a log c

c
3. a log bm  m a log b

4. an log b  1 a log b
n

5. an log bm  m a log b
n

6. a log b  x log b
x log a

7. a log b  1 maka berlaku a logb  x sehi ngga b log a  1
b log a x

8. a log b  b log c  a log c

9. (a) a logb  b maka berlaku (a m ) an logb  m

bn

Contoh:

1. Nilai dari 2 log 48  5 log 75  2 log 3  5 log 3 adalah ....
Pembahasan :
2 log 48  5 log 75  2 log 3  5 log 3
 2 log 48  5 log 75  2 log 3  5 log 3
 2 log 48  5 log 75
33
 2 log16  5 log 25
 2 log 24  5 log 52

42
6

2 log 48  5 log 75  2 log 3  5 log 36

2. Jika diketahui 5 log7  t , maka nilai 125 log49 adalah ....

Pembahasan :
125 log 49

 53 log 72

 2 5log 7 Ingat, Bro! an log bm  m a log b
3 Sifat 5 n

 2t
3

 125 log 49  2 t
3

3. Diketahui 5 log2  p dan 2 log7  r , maka nilai 14 log20 dalam bentuk p dan r adalah ....

Pembahasan : Ingat ini, Bro (Sifat 6)! maka
14 log 20  2 log 20

2 log14
 2 log 5.4

2 log 7.2

 2 log 4  2 log 5
2 log 2  2 log 7

2 1 Pembilang dan penyebut dikalikan (dengan p) agar tidak
 pp
muncul 1 .
1r p p

 2p 1
p  rp

 14 log 20  2 p 1
p  rp

4. Jika p  1, q  1, dan r  1, maka q log p. r log q2. p log r adalah ....

Pembahasan:
q log p. r log q2. p log r

11

q log p 2 . r log q 2. p log r 2

 1 q log p. 2 r log q. 1 p log r Jangan lupain ini, Bro (Sifat 7)!
22
a logb. blogc  a logc
 1 . 2. 1 . q log p. p log r. r log q.
22

 1 q log q  1 .1 1
2 22

5. Bentuk sederhana dari (8)16 log5  ....

Pembahasan :

(8)16 log5  (23 ) 24 log5  5 3  4 53 (a m ) an logb  m a  2, b  5
4 m  3, n  4
bn

Persamaan Logaritma Catatan:

1. a log f (x)  a log p , maka f (x)  p . Untuk seluruh persamaan logaritma, berlaku
2. a log f (x)  a log g(x) , maka f (x)  g(x) . syarat bilangan pokok dan numerus.
3. a log f (x)  b log f (x) , maka f (x)  1.
4. h(x) log f (x)  h(x) log g(x) , maka f (x)  g(x) . Numerus harus > 0

Contoh: Bilangan pokok harus > 0 dan ≠ 1

1. Himpunan penyelesaian dari 2 log(x  2)  2 log x  3 adalah ....

Pembahasan: Catatan:
2 log (x  2)  2 log x  3
3 kita ubah menjadi 2 log 8
2 log (x  2)x  2 log8
karena 2 log 8  2 log 23  3
Jadi,

(x  2)x  8

x2  2x 8  0

(x  4)(x  2)  0 adalah HP sementara = {- 4, 2}
x  4 atau x  2

Untuk pengecekan syarat bilangan pokok dan numerus, kita masukkan – 4 dan 2 ke soal :

Untuk x  4 : 2 log (2)  2 log (4)  3, x = – 4 tidak memenuhi syarat numerus.

Untuk x  2 : 2 log (4)  2 log (2)  3 , x = 2 memenuhi syarat numerus.

Maka, HP = {2}.

2. Nilai x yang memenuhi 3 log (x2  x)  3 log (x  8) adalah ....

Pembahasan:
3 log (x2  x) = 3 log (x  8)

Jadi,
x2  x  x 8

x2  x  x 8  0

x2  2x 8  0

(x  4)(x  2)  0

x  4 atau x  2 HP sementara = {- 2, 4 }

Nilai 4 dan – 2 kita masukkan ke soal, harus memenuhi syarat bilangan pokok dan numerus.

3 log (x2  x)  3 log (x  8)

Untuk x  4 : 3 log (12)  3 log(12) memenuhi syarat, karena bilangan pokok dan numerusnya positif.
Untuk x  2 : 3 log (6)  3 log (6) memenuhi syarat, karena bilangan pokok dan numerusnya positif.
Maka, HP = {–2, 4}.

3. Himpunan penyelesaian dari 3 log (x2  2x 14)  7 log (x2  2x 14) adalah ....

Pembahasan:
3 log (x2  2x 14)  7 log (x2  2x 14)

Jadi,
x2  2x  14  1

x2  2x  15  0
(x  5)(x  3)  0

x  5 atau x  3

Khusus persamaan logaritma pada soal ini, tidak perlu dicek syarat numerusnya karena pasti akan
menghasilkan 1. Maka, HP = {–3, 5}.
4. Carilah himpunan penyelesaian dari x2 log (x2  4x  3) = x2 log (2x  5) .

Pembahasan:
x2 log (x2  4x  3) = x2 log (2x  5)

Jadi,
x2  4x  3  2x  5

x2  4x  3  2x  5  0

x2  6x  8  0

(x  2)(x  4)  0 HP sementara = {2, 4}
x  2 atau x  4

Nilai 2 dan 4 kita masukkan ke soal untuk pengecekan bilangan pokok dan numerus .

Untuk x  2 : 0 log (1)  0 log (1) tidak memenuhi syarat bilangan pokok dan numerus.

Untuk x  4 : 2 log (3)  2 log (3) memenuhi syarat bilangan pokok dan numerus.

Maka, HP= {4}.

Grafik Fungsi Logaritma

Grafik fungsi logaritma adalah kebalikan dari fungsi eksponen. Berikut ini ilustrasinya:

y

4 (2,4)

3 (4,2)
2 (1,2) 4

(0,1) 1 (2,1)

(1,0) 3 x
12

Secara umum grafik logaritma adalah sebagai berikut:
Grafik untuk bilangan pokok a > 1

y
, untuk

x
1

Grafik untuk bilangan pokok 0 < a < 1
y
, untuk

x
1

Persamaan Kuadrat

Definisi

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dengan bentuk umum berikut ini.

ax2 + bx + c = 0 dengan syarat a, b bilangan real dan a  0

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Yang disebut penyelesaian persamaan kuadrat adalah mencari nilai-nilai yang membuat persamaan kuadrat
itu menjadi nol sehingga dapat ditentukan akar-akarnya. Nilai-nilai pembuat nol inilah merupakan akar-akar
persamaan kuadrat tersebut.

Contoh :

2 dan 3 adalah akar-akar dari persamaan x2  5x  6  0 . Kenapa? Karena:
2 dimasukkan ke x2  5x  6 akan menghasilkan 0  22  5.2  6  4 10  6  0
3 dimasukkan ke x2  5x  6 akan menghasilkan 0  32  5.3  6  9 15  6  0

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dilambangkan dengan x1 dan x2 walau pun dapat juga dilambangkan
dengan yang lain, misalnya  dan  .

Penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 macam:
Memfaktorkan

ax2  bx  c  0 dapat diuraikan menjadi (x  x1)(x  x2 )  0 .

Contoh:

1. Himpunan penyelesaian dari x2  7x  6  0 adalah ....

Pembahasan:

x2  7x  6  0

(x 1)(x  6)  0

x1 1 atau x 2  6

Maka, HP-nya adalah {1,6}.

2. Akar-akar dari 2x2  7x 15  0 adalah ....

Pembahasan:

2x2  7x 15  0

(2x  3)(x  5)  0

x  3 atau x  5

2

Maka, HP-nya adalah  3 ,5 .
 2 


Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk  x  b 2   b  2  c .
 2a   2a  a

Contoh:

Penyelesaian persamaan x2  6x  8  0 adalah ....

Pembahasan:

Dari x2  6x  8  0 maka diketahui a = 1, b = – 6, dan c = 8 sehingga berlaku:

 x 6  2  6  2 8
2.(1) 2.(1) 1
  

x  32   32  8

x  32  9  8

(x  3)2  1 ditentukan nilai akarnya

(x  3)   1

x  3  1

x1 3 1 4 atau x2  3 1  2

Rumus ABC

Bentuk ax2  bx  c  0 diuraikan menjadi x1,2   b  b2  4ac

.

2a

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari 2x2  7x  5  0 adalah ....

Pembahasan:

2x2  7x  5  0 maka diketahui a  2,b  7, c  5 maka:

x1,2   (7)  (7)2  4(2)(5)

2(2)

x1,2  7  49  40
4

x1,2  7 9 73
4 4

x1  7  3  10  5 atau x2  7  3  4 1
4 4 2 4 4

 x1  5 atau x2  1
2

Maka, HP =  5 , 1 .
 2 


Jenis-Jenis Akar

Ternyata tidak semua persamaan kuadrat memiliki dua akar. Ada persamaan kuadrat yang hanya punya
satu akar atau bahkan akar-akarnya tidak nyata/tidak real/irrasional/imaginer.
Untuk menentukan jenis akar dari persamaan kuadarat ditentukan dengan nilai diskriminan (D).

D  b2  4ac

Jenis- jenis akar tersebut adalah:

a. D > 0 (memiliki dua akar real berlainan) Penggabungan sifat a dan b maka:
b. D = 0 (memiliki dua akar real sama/kembar) D ≥ 0 (mempunyai akar real)
c. D < 0 (akar-akarnya tidak real)

D > 0 (terdapat dua akar real berlainan)

Diberikan persamaan kuadrat x2  7x 10  0 ; a = 1, b = – 7, c = 10. Mari, kita cek nilai diskriminan (D)

persamaan kuadratnya.

D  b2  4ac

D  (7)2  4.1.10  49  40  9

D9

Ternyata nilai D = 9. Artinya, D > 0 sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar berlainan.
Sekarang, mari kita cari akar-akar tersebut.

x2  7x 10  0

(x  2)(x  5)  0

x1  2 atau x2  5

Benar, persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real berlainan, yaitu 2 dan 5.

D = 0 (terdapat dua akar real sama/kembar)

Diberikan suatu persamaan kuadrat x2  6x  9  0 ; a = 1, b = – 6, dan c = 9. Mari, kita cek nilai D-nya:
D  b2  4ac

D  (6)2  4. 1 . 9  36  36  0

 D0
Ternyata D = 0 sehingga persamaan tersebut memiliki akar sama/kembar. Mari, kita tentukan akar
tersebut:
x2  6x  9  0
(x  3)(x  3)  0

x1  3 atau x2  3

Benar, persamaan kuadratnya memiliki akar-akar yang sama, yaitu 3.

D < 0 (terdapat akar-akar tidak real)

Persamaan kuadrat x2  5x  7  0 ; a = 1, b = 5, dan c = 7. Mari, kita cek nilai D-nya:
D  b2  4ac

D  52  4. 1 .7  25  28   3

 D  3

Ternyata nilai D = – 3. Artinya, D < 0 sehingga akar-akar persamaan kuadrat tersebut tidak real/imaginer.
Apa sih yang disebut tidak real itu? Yuk, kita cari akar-akar persamaan kuadratnya. Kita gunakan rumus
ABC:

x2  5x  7  0; c

x1,2   b  b2  4ac
2a

x1,2  5  52  4.1.7
2.1

x1,2   5  25  28 Catatan :
2
 3 inilah yang menyebabkan akar-akar persamaan
x1,2  5 3
2 kuadrat tidak real karena syarat bilangan dalam tanda
akar haruslah positif.

x1  5 3 atau x1  5 3
2 2

Contoh:

1. Jika persamaan x2  mx  4  0 memiliki akar-akar real dan berlainan, maka nilai m yang

memenuhinya adalah ….
Pembahasan:

x2  mx  4  0 ; a = 1, b = – m, dan c = 4.

Syarat suatu persamaan kuadrat memiliki dua akar real berlainan adalah D > 0, maka:

D0

b2  4ac  0

(m)2  4.1.4  0

m2 16  0 +++ --- +++
-4 4
(m  4)(m  4)  0

m1  4 atau m2  4
4m4

2. Persamaan kuadrat 3x2  4x  2 p  0 punya akar kembar, maka nilai p adalah ....
Pembahasan:
3x2  4x  2 p  0 ; a = 3, b = 4, dan c = – 2p.
Syarat mempunyai akar kembar D = 0, maka :

D0
b2  4ac  0

42  4.3.  2 p  0
16  24 p  0
24 p  16
 p  16  2

24 3

Operasi Akar-Akar Kuadrat

Operasi Akar-Akar Kuadrat

Dengan menggunakan rumus ABC, persamaan kuadrat ax2  bx  c  0 memiliki akar-akar :

x1   b  b2  4ac dan x2   b  b2  4ac
2a 2a

sehingga penjumlahan keduanya diperoleh:

x1  x2   b  b2  4ac   b  b2  4ac
2a 2a

x1  x2   2b
2a

x1  x2   b
a

Dengan cara yang sama, didapat: Inget, Bro!

x1. x2  c
a

x1  x2   D
a

Rumus-rumus lainnya adalah:

1. x12  x22  (x1 x2 )2  2x1x2
2. x13  x23  (x1 x2 )3  3x1x2 (x1  x2 )
3. 1  1  x1  x2

x1 x2 x1x2
4. x12 x2  x1x22  x1x2 (x1  x2 )

Contoh:

1. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari x2  4x  3  0 maka nilai x13  x23 adalah ....

Pembahasan :

x2  4x  3  0 ; a = 1, b = 4, dan c = – 3.

x1  x2   b x1. x2  c
a a

x1  x2  4 x1. x2  3
1 1

x1  x2  4 x1. x2  3

x13  x23  (x1  x2 )3  3x1x2 (x1  x2 )
 (4)3  3.  3.  4   64 36  100

2. Akar-akar persamaan kuadrat x2  8x  m  0 , adalah  dan  . Jika   3 maka nilai m adalah ....

Pembahasan:

x2  8x  m  0 dengan   3

 b .  c
a a

3      8 6. 2  m
1 1

4  8    2  m 12
  3

  3(2)    6

Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

a. Memiliki dua akar positif, syaratnya:

1. D  0
2. x1  x2  0
3. x1. x2  0

b. Memiliki dua akar negatif, syaratnya:

1. D  0
2. x1  x2  0
3. x1. x2  0

c. Memiliki dua akar berlainan tanda, syaratnya:

1. D  0
2. x1. x2  0

d. Memiliki dua akar berlawanan, maka berlaku:

1. D  0
2. x1  x2  0
Contoh akar berlawanan: jika x1  3 , maka x2  3 .

e. Memiliki dua akar berkebalikan, maka berlaku:

1. D  0
2. x1. x2  1

Contoh akar berkebalikan: jika x1 5, maka x2  1.
5

Contoh:

1. Persamaan 2x2  4x  m  0 punya dua akar real berlainan dan positif. Maka, nilai a adalah ....

Pembahasan :

2x2  4x  m  0 ; nilai a  2, b  4, c  m

Syarat persamaan kuadrat tersebut punya dua akar positif adalah:

1. D  0 Ruas kiri dan kanan pertidaksamaan dibagi -8. Kedua ruas
b2  4ac  0 pertidaksamaan jika dibagi atau dikali dengan bilangan negatif

(4)2  4.2.m  0 tandanya berubah dari > atau  menjadi < atau  ; dan < atau
 berubah menjadi > atau  .

16  8m  0

 8m  16

m2 2
2. x1  x2  0

b 0 Tidak perlu digambar, karena tidak memiliki variabel dan sudah
a merupakan pernyataan yang benar.

4 0
2

20

3. x1. x2  0 Kedua ruas pertidaksamaan dikali 2.

c 0 0
a
m 0
2

m0

Gabungan syarat 1, 2, dan 3 adalah :

02

Maka, nilai m yang memenuhi adalah 0  m  2 .

2. Suatu persamaan kuadrat 3x2  (m  4)x  5  0 dengan akar-akarnya yang berlawanan, maka nilai m
yang memenuhi adalah ....
Pembahasan:

3x2  (m  4)x  5  0 ; a  3,b  m  4,c  5
Syarat persamaan kuadrat yang punya dua akar berlawanan:

x1  x2  0

b 0
a

 (m  4)  0
3

m40

m4
 m  4

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Dari persamaan kuadrat dengan akar-akarnya x1 dan x2 , dapat disusun persamaan kuadrat baru dengan
cara berikut ini:
 (x  x1)(x  x2 )  0

x2  (x1  x2 )x  x1x2  0 atau bisa ditulis: x 2 – (jumlah akar) x + (hasil kali akar) = 0
Contoh:
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan – 4 adalah ....

Pembahasan:
x1  3 dan x1  4 , maka:

Cara I : Cara II :
(x  x1)(x  x2 )  0 x2  (x1  x2 )x  x1x2  0
(x  3)(x  (4))  0 x2  (3  (4))x  3(4)  0
(x  3)(x  4)  0 x2  (1)x 12  0

x2  x 12  0 x2  x 12  0

2. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar x2  2x  5  0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

x1  3 dan x2  3 adalah ....

Pembahasan:

Cara Biasa (Cabi) :

x2  2x  5  0 maka a  1,b  2,c  5 Cara Cerdas (Cadas) :

x1  x2   b   2  2 Akar-akar barunya x1  3 dan x2  3 kita
a 1 misalkan y  x  3 sehingga x  y  3

x1. x2  c  5  5 PK lama : x2  2x  5  0
a 1
PK Baru : ( y  3)2  2( y  3)  5  0

Penjumlahan akar baru: y2 6y 92y 65  0
(x1  3)  (x2  3)  x1  x2  6 y2  8y 10  0 atau

26 x2 8x 10  0
8

Perkalian akar baru :
(x1  3).(x2  3)  x1x2  3x1  3x2  9
 x1x2  3(x1  x2 )  9
 5  3(2)  9

 5  6  9
 10

Maka, persamaan kuadrat baru:
x2  (jumlah akar)x  (hasil kali akar)  0

x2  8x  10  0

x2 8x 10  0

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

Persamaan Linier

 Persamaan linier satu variabel
Bentuk umumnya:

ax + b = c dengan syarat a  0 dan a, b, c  bilangan Real (R)

 Persamaan linier dua variabel
Bentuk umumnya:

ax + by = c dengan syarat a  0 , b  0 , dan a, b, c  bilangan Real (R)

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Dalam suatu SPLDV ada dua persamaan linier seperti berikut:

aa12xx  b1 y  c1
 b2 y  c2

dengan syarat a1, a2 , b2 , b1, c1, c2  bilangan Real (R).

Penyelesaian SPLDV diperoleh menggunakan beberapa metode berikut:

Metode grafik
Metode ini dilakukan dengan menggambar kedua garis pada SPLDV, kemudian tentukan titik potongnya.
Maka, titik potong itulah himpunan penyelesaiannya.
Langkah-langkahnya adalah:
1. Tentukan titik-titik potong kedua garis dengan sumbu-X (y = 0) dan sumbu-Y (x = 0).
2. Gambar kedua garis tersebut melalui kedua titik potong masing-masing dengan sumbu-X (y = 0) dan

sumbu-Y (x = 0).
3. Jika kedua garis berpotongan di satu titik, maka titik potong itulah himpunan penyelesaian SPLDV.
4. Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak punya himpunan penyelesaian.
5. Jika kedua garis berimpit, maka SPLDV memiliki himpunan penyelesaian yang tak berhingga

banyaknya.

Contoh:
1. Himpunan penyelesaian dari dua persamaan linier 2x  3y  24 dan x  y  3 adalah ....

Pembahasan:
Untuk menggambar kedua garisnya, kita cari titik potong garis dengan sumbu-X dan sumbu-Y, yaitu
memotong sumbu-X saat y = 0 dan memotong sumbu-Y saat x = 0.

x y (x, y)
0 8 (0, 8)
2x  3y  24
12 0 (12, 0)
0 3 (0, 3)
x  y  3
–3 0 (–3, 0)
Gambar kedua garisnya adalah:

y x–y=–3
Titik potong (3, 6)
8
x
2x+3y=24
12
6

3

-3 2 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 6}.
Metode subtitusi
Metode ini dilakukan dengan cara mengubah variabel x ke bentuk y atau sebaliknya dari sebuah
persamaan, kemudian disubstitusikan ke persamaan lainnya dalam SPLDV tersebut.
Contoh:
1. Carilah himpunan penyelesaian dari  2x  3y  7 dan 3x  y  17 .

Pembahasan :
 2x  3y  7 (1)

3x  y  17 (2)
Dari kedua persamaan tersebut, persaman (2) lebih sederhana sehingga kita ubah:
3x  y  17  y  3x 17
Kemudian, kita subtitusikan y   3x 17 ke persamaan (1):

 2x  3y  7
 2x  3(3x 17)  7

 2x  9x  51  7
11x  7  51
11x  44
x4

Kemudian, kita subtitusikan x  4 ke persamaan (2):
y  3x  17
y  3(4)  17
y  12  17
y5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 4, 5 }.

Metode eliminasi
Metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel x atau y. Untuk mencari nilai x kita hilangkan
variabel ydan sebaliknya, untuk lebih jelasnya kita lihat contoh berikut.

Contoh :

1. Diketahui dua persamaan 3x  2 y  1 dan 2x  5y  31 pada suatu SPLDV, maka himpunan

penyelesaiannya adalah ....
Pembahasan:
3x  2 y  1 x 2 6x  4 y  2
2x  5y  31 x 3 6x  15y  93 –

19 y  95
y5

3x  2 y  1 x 5 15x 10 y  5

2x  5y  31 x 2 4x  10 y  62 +
19x  57

x3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 5}.

Metode campuran (eliminasi-subtitusi)
Metode ini merupakan gabungan metode eliminasi dan subtitusi. Untuk mencari nilai variabel pertama, kita
gunakan eliminasi. Kemudian, untuk mencari nilai variabel kedua, kita gunakan subtitusi.

Contoh:

1. 3x  4 y  15 adalah x0 dan y0 , maka x0  y0  ....
Jika hasil dari 
 2x  3y  7

Pembahasan:
3x  4 y  15 x 2 6x  8y  30

2x  3y  7 x 3 6x  9 y  21 –
17 y  51

y3

2x  3y  7
2x  3(3)  7

2x  9  7
2x  7 9  2
x  1

Jadi, x0  1 dan y0  3 , maka x0  y0  1 3  2 .

Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)

Variabel SPLTV biasanya dalam bentuk x, y, dan z sehingga SPLTV dapat dituliskan dalam bentuk sebagai

berikut :

aa12xx  b1 y  c1z  d1 2
 b2 y  c2 z  d

a3x  b3 y  c3z  d3

dengan syarat a1, a2 , a3,b1,b2 ,b3,c1,c2 ,c3  R .
Penyelesaian SPLTV bisa diperoleh seperti pada penyelesaian SPLDV. Cara paling mudah adalah

penggabungan eliminasi dan subtitusi.

Contoh:

1. Diberikan persamaan sebagai berikut:

3x  5y  z  10
x  3y  4z  7
4x  2 y  5z  7

maka himpunan penyelesaiannya adalah ....

Pembahasan:

3x  5y  z  10 (1)
x  3y  4z  7 (2)
4x  2 y  5z  7 (3)

Lakukan eliminasi terhadap persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan x:

3x  5y  z  10 x 1 3x  5y  z  10

x 3y  4z 7 x 3 3x  9 y 12z  21

(4)
14 y 13z  11

Lakukan eliminasi terhadap persamaan (2) dan (3) menghilangkan x:

x  3y  4z  7 x 4 4x 12 y  16z  28
4x  2 y  5z  7 x 1 4x  2 y  5z  7 

14 y  21z  35 (5)

Lakukan eliminasi terhadap persamaan (4) dan (5) menghilangkan y :

14 y 13z  11 14 y 13z  11 (4) x  3y  4z  7 (2)
14 y 13(3)  11 x  3(2)  4(3)  7
14 y  21z  35 
8z  24 14y  39  11 x  6 12  7
14y  39 11 x  7  6 12
x 1
z  3 14y  28

y2

Maka, HP-nya adalah {1, 2, 3}.

Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat (SPLK)

Secara umum bentuk SPLK adalah sebagai berikut:

 y  ax  b

y  px2  qx  r

dengan syarat a, b, p, q, r  R .

Dari SPLK tersebut, kita dapat menyatakan bahwa persamaan pertama adalah persamaan linier satu
variabel sehingga kurvanya berupa garis, sedangkan persamaan kedua adalah persamaan kuadrat
sehingga kurvanya berupa parabola.

Langkah penyelesaian SPLK adalah:

1. Subtitusikan y  ax  b ke y  px 2  qx  r sehingga terbentuklah persamaan kuadrat baru.
2. Dari persamaan kuadrat baru tersebut, kita cari akar-akarnya, misalkan x1 dan x2 .
3. Kemudian, x1 dan x2 kita subtitusikan ke y  ax  b sehingga didapat y1 dan y2 dan himpunan

penyelesaiannya adalah {( x1, y1), (x2 , y2 )}.

Himpunan penyelesaian SPLK bergantung pada nilai D (diskriminan) setelah dua persamaan dalam SPLK
tersebut disubtitusikan (digabungkan). Ada tiga kemungkinan nilai D, yaitu:

1. D > 0 , artinya garis dan parabola tersebut berpotongan di dua titik. Maka, himpunan penyelesaian
memiliki dua anggota atau dua titik.

2. D = 0 , artinya garis dan parabola bersinggungan di satu titik. Maka, himpunan penyelesaian hanya
memiliki satu anggota atau satu titik.

3. D < 0 , artinya garis dan parabola tidak berpotongan/bersinggungan. Maka, himpunan penyelesaian
tidak memiliki anggota atau dikatakan SPLK tidak memiliki penyelesaian.

Contoh:

1. Dari sistem persamaan  y  2x 2 1
 y  x2  2x

himpunan penyelesaiaanya adalah ....

Pembahasan :

y  2x  2 (1)
y  x2  2x 1 (2)

Kita subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):

2x  2  x2  2x 1
2x  2  x2  2x 1 0

 x2  4x  3  0
x2  4x  3  0
(x 1)(x  3)  0
x1  1, x2  3

Kita subtitusikan x1  1 dan x2  3 ke persamaan (1), yaitu y  2x  2 :
x1  1  y1  2(1)  2  0
x2  3  y2  2(3)  2  4

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0),(3,4)}.

Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Sistem persamaan kuadrat (SPK) secara umum ditulis sebagai berikut.

y  ax2  bx 2  c

 y  px 2  qx  r

dengan syarat a,b, c, p, q, r  R .

Langkah penyelesaian SPK adalah:

1. Subtitusikan persamaan kuadrat satu ke persamaan kuadrat yang lain.
2. Cari akar-akar dari hasil penggabungan persamaan kuadrat tersebut, misalkan x1 dan x2 .
3. Kemudian, x1 dan x2 disubstitusikan ke salah satu persamaan kuadrat sehingga didapat y1 dan y2 ,

dan himpunan penyelesaiannya adalah {( x1, y2 ),(x2 , y2 )} .

Sifat-sifat penyelesaian SPK setelah dua persamaannya disubstitusikan atau digabungkan adalah:

1. D > 0, artinya kedua parabola berpotongan di dua titik. Maka, SPK tersebut memiliki dua anggota
himpunan penyelesaian.

2. D = 0, artinya kedua parabola bersinggungan di satu titik. Maka, SPK tersebut memiliki satu anggota
himpunan penyelesaian.

3. D < 0, artinya kedua parabola tidak berpotongan/bersinggungan. Maka, SPK tersebut tidak punya
anggota himpunan penyelesaian atau dikatakan tidak memiliki himpunan penyelesaian.

Contoh:

1. Diberikan persamaan y  2x2  2x  3

 y  x2  3x 1

maka himpunan penyelesaiannya adalah ....

Pembahasan:

y  2x2  2x  3 (1)
y  x2  3x 1 (2)

Kita gabungkan kedua persamaan kuadrat dengan cara substitusi persamaan (1) ke persamaan (2):

2x2  2x  3  x2  3x 1
2x2  2x  3  x2  3x 1  0

x2  x  2  0
(x 1)(x  2)  0
x1  1, x2  2

Kemudian, kita subtitusikan x1  1 dan x2  2 ke persamaan (2), yaitu y  x2  3x 1 :

x1  1  y1  (1)2  3(1) 1  1 3 1  3
x2  2  y2  (2)2  3(2) 1  4  6 1  9

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, -3), (2, 9)}.

Fungsi Kuadrat

Definisi

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat tertinggi Catatan:
variabelnya adalah dua. Bentuk umumnya:
Persamaan kuadrat membicarakan akar-
BeyntukfU(mx)umnayxa2:  bx  c dengan a, b, c  R dan a  0 akar.
Fungsi kuadrat membicarakan grafik.

Sketsa Grafik

y Titik puncak

Titik potong Sumbu simetri
sumbu-Y

x

Titik potong sumbu-X

Cara Menggambar Sketsa Grafik

Langkah menggambar sketsa grafik adalah:
1. Menentukan titik potong dengan sumbu-X
2. Menentukan titik potong dengan sumbu-Y
3. Menentukan sumbu simetri
4. Menentukan titik puncak
5. Menambahkan titik-titik lain
Contoh:

Buatlah sketsa grafik dari fungsi kuadrat y  x2  2x  3 .

Pembahasan:

1. Menentukan titik potong dengan sumbu-X

y  x2  2x  3 Grafik memotong sumbu-X saat y = 0

0  (x  1)(x  3)

x  1atau x  3

Titik potong dengan sumbu-X adalah (–1,0) dan (3,0).

2. Menentukan titik potong dengan sumbu-Y

y  x2  2x  3 Grafik memotong sumbu-Y saat x = 0

y  02  2(0)  3  3

Titik potong dengan sumbu-Y adalah (0, –3).
3. Menentukan sumbu simetri

Rumus sumbu simetri adalah:

xs   b
2a

y  x2  2x  3 sehingga a  1, b  2, c  3 .

xs   b
2a

xs   2 1
2.1

Sumbu simetrinya adalah x 1.

4. Menentukan titik puncak
Titik puncak (x p , y p ) ; dengan:

xp   b dan yp   D
2a 4a

y  x2  2x  3 maka a  1, b  2, c  3

xp   b yp  D   b2  4ac
2a 4a 4a

xp   2 yp   (2)2  4(1)(3)   4 12   16
2(1) 4(1) 4 4

xp  2 y p  4
2

xp 1

Maka, titik puncaknya adalah (1, –4).

5. Menambahkan titik-titik lain

Langkah ini sebenarnya hanya untuk memperhalus grafik. Misalkan, ambil empat titik sembarang lain:

Untuk fungsi y  x2  2x  3x kita masukkan nilai x: –2, 0 , 2, dan 4

x –2 0 2 4
y 5 –3 –3 5
Koordinat (–2, 5) (0, –3) (2, –3) (4,5)

Maka gambar grafiknya adalah : y

(-2,5) (4,5)

(-1,0) (1,0) (3,0) x

(0,-3) (2,-3)
(1,-4)

Sifat- Sifat Fungsi Kuadrat
Dari fungsi kuadrat y  ax2  bx  c , kita akan melihat sifat-sifat a,b,c dan D fungsi tersebut.

 Sifat-sifat nilai a

a. a  0 , kurva terbuka ke atas (senyum)
b. a  0 , kurva terbuka ke bawah (cemberut)

a>0

a<0

 Sifat-sifat nilai b Cadas (Cara Cerdas) :
a.b > 0 puncak di kiri sumbu-Y
a. Untuk a > 0 a.b < 0 puncak di kanan sumbu-Y
Puncak di kiri sumbu-Y maka b > 0. a.b = 0 puncak tepat di sumbu-Y
Puncak di kanan sumbu-Y maka b < 0.
Puncak tepat di sumbu-Y maka b = 0.

b. Untuk a < 0
Puncak di kanan sumbu -Y maka b > 0.
Puncak di kiri sumbu-Y maka b < 0.
Puncak tepat di sumbu-Y maka b = 0.

Untuk a > 0 Untuk a < 0
sumbu-Y
sumbu-Y

b>0 b>0

b=0 b=0

b<0 b<0

 Sifat-sifat nilai c

Untuk mengetahui nilai c, periksa titik potong grafik dengan sumbu-Y:

a. c > 0, jika titik potong kurva dengan sumbu-Y di atas sumbu-X (y positif).

b. c < 0, jika titik potong kurva dengan sumbu-Y di bawah sumbu-X (y negatif).

c. c = 0, jika titik potong kurva dengan sumbu-Y tepat di titik pusat (0,0).
y
yy

c>0

xx
x

c<0 c=0

 Sifat-sifat nilai D

a. D > 0, grafik memotong sumbu-X di dua titik.
b. D = 0, grafik menyinggung sumbu-X di satu titik.
c. D < 0, grafik tidak memotong ataupun menyinggung sumbu-X.

a>0 a>0 a>0 Bentuk a > 0 dan D < 0 membuat nilai y selalu
D>0 D=0 D<0 positif (definit positif).

sb-X

a<0 sb-X Bentuk a < 0 dan D < 0 membuat nilai y selalu
D>0 negatif (definit negatif).
a<0 a<0
D=0 D<0

Contoh:

1. Fungsi kuadrat y  ax2  bx  c dengan gambar sebagai berikut.

Y

X
Tentukanlah tanda-tanda nilai a, b, c dan D-nya!

Pembahasan:

Y

X

 Tanda a , karena kurva membuka ke bawah (cemberut) maka a < 0.
 Tanda b, puncak di kiri sumbu-X maka a.b > 0 (positif). Karena a< 0(negatif), agar perkalian

a.b menghasilkan nilai positif maka b < 0 (negatif).
 Tanda c, karena grafik memotong sumbu-Y di bagian atas (sumbu-Y positif) maka c > 0.
 Tanda D, karena grafik memotong sumbu-X di dua titik maka D > 0.

Jadi, hasilnya a < 0, b < 0 , c > 0, dan D > 0.

Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

 Diketahui dua titik potong dengan sumbu-X dan satu titik lain
y  a (x  x1)(x  x2 )

Contoh:

1. Diketahui suatu fungsi kuadrat memotong sumbu-X di (2, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (1, 2) maka
persamaan itu adalah ….

Pembahasan:

y  a (x  x1)(x  x2 ) melalui (2, 0) dan (3, 0) sehingga x1  2 dan x2  3 . Maka:

y  a (x  2)(x  3) dan fungsi tersebut melalui (1, 2). Kita subtitusikan x=1 dan y = 2, maka:

2  a (1 2)(2  3) y  a (x  2)(x  3)
2  a (1)(2) y  1(x2  5x  6)
2  2a  y  x2  5x  6
a 1

 Diketahui sebuah titik singgung dengan sumbu-X dan satu titik lain
y  a(x x1)2

Contoh:

Suatu fungsi kuadrat menyinggung sumbu-X di titik (3, 0) dan melalui titik lain (2, 2), maka persamaan
fungsi tersebut adalah ....

Pembahasan:

y  a(x  x1)2 menyinggung sumbu-X di (3, 0) sehingga x1  3. Maka:

y  a(x  3)2 , karena grafik melalui (2, 2) jadi x = 2 dan y = 2. Kita substitusikan:

2  a (2  3)2 y  a(x  3)2
2  a (1)2 y  2(x2  6x  9)
a2  y  2x2 12x 18

 Diketahui titik puncak dan satu titik lain
y  a(x  x p )2  y p

dengan puncak (x p , y p ) .

Contoh: y
1. Perhatikan grafik fungsi berikut! (1,4)

Persamaan grafiknya adalah .... 3
Pembahasan:

x

Puncak (1, 4): x p  1 dan y p  4

Fungsi melalui (0, 3) sehingga x = 0 dan y =3. Kita substitusikan:

y  a(x  xp )2  yp

3  a (0 1)2  4

3  a (0 1)2  4

3a4

a  1

y  1(x 1)2  4  1(x2  2x 1)  4

 y  x2  2x  3 ’

 Diketahui tiga titik sembarang
y  ax2  bx  c

Contoh:

Persamaan suatu fungsi kuadrat melalui titik A(2, 11) , B(1, 4), dan C(–2, 7) adalah ....

Pembahasan: Melalui A (2,11) 11  a (2)2  b (2)  c

11  4a  2b  c (1)

y  ax2  bx  c

4  a (1)2  b(1)  c (2)

Melalui B (1, 4)

4abc

Melalui C (–2, 7) 7  a (2)2  b (2)  c
7  4a  2b  c (3)

Eliminasi (1) dan (2): Eliminasi (1) dan (3):

4a  2b  c  11

abc  4 –
3a  b  7
–
(4)

Substitusikan b = 1 ke persamaan (4):

3a  1  7
3a  6
a2

Kemudian, substitusikan a = 2 dan b = 1 ke persamaan (1):

abc4 (1)
21c  4

c 1

Karena a = 2, b = 1, dan c = 1, persamaan kuadratnya adalah:

 y  2x2  x 1