Modul Matematika

8

x2  2x  5 hasil bagi
x2  x  2 x4  3x3  5x2  x 10
Tidak bisa difaktorkan lagi karena
x4  x3  2x2  nilai D < 0.
2x3  7x2  x
2x3  2x2  4x 
5x2  5x 10
5x2  5x 10 
0

Jadi, x4  3x3  5x2  x 10  (x 1)(x  2)(x2  2x  5)

sehingga akar- akarnya 1 dan –2, sedangkan faktornya: (x  1) , (x  2) dan (x2  2x  5) .

Operasi Akar

1. Bentuk : ax 2  bx  c

x1  x2   b
a

x1  x2  c
a

2. Bentuk : ax 3  bx 2  cx  d

x1  x2  x3   b
a

x1  x2  x1  x3  x2  x3  c
a

x1  x2  x3   d
a

3. Bentuk : ax 4  bx 3  cx 2  dx  e

x1  x2  x3  x4   b
a

x1  x2  x1  x3  x1  x4  x2  x3  x2  x4  x3  x4  c
a

x1  x2  x3  x1  x2  x4  x1  x3  x4  x2  x3  x4   d
a

x1  x2  x3  x4  e
a

9

Contoh:

1. Diketahui 2x3  4x2  4x  k memiliki dua akar yang saling berlawanan, maka nilai k adalah ....

Pembahasan:

2x3  4x2  4x  k x1
berlawanan, maka: x1 =  x2
x1  x2  x3   b
a x2
x3

 x2  x2  x3   4
2

x3  2
Jadi, salah satu akarnya adalah x = –2, maka f(–2) = 0.

f (x)  2x3  4x2  4x  k

f(  2) = 0

f (2)  2(2)3  4(2)2  4(2)  k  0

16 16  8  k  0

8k 0

k  8

Jadi, nilai k adalah  8.

Fungsi Komposisi dan Invers

Fungsi

Fungsi atau pemetaan A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat ke satu
anggota B dengan notasi f : A  B .

A B A B AB
1
a a 1 a1
b b
c3
SALAH SALAHc
2 Catatan: b 2
Domain tidak boleh

‘selingkuh’ dan tidak 3

3 boleh ‘jomblo’.

d4 a ‘mendua’ b ‘jomblo’

5

A adalah daerah asal (domain) yang dinotasikan Df . Dari gambar, contohnya: Df = A = {a, b, c, d}.

B adalah daerah kawan (kodomain) dinotasikan Kf. Dari gambar, contohnya: Kf = B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Daerah hasil (range) dinotasikan Rf. Dari gambar, contohnya: Rf = {1, 2, 3, 4}.
Contoh:
1. Di antara himpunan pasangan berurutan berikut, manakah yang merupakan pemetaan ....

a. {(a,1),(b,3),(c,5),(b,4)}
b. {(b,3),(a,4),(c,1),(d,5)}
c. {(a,2),(a,3),(b,5),(d,3)}
d. {(a,4),(b,2),(c,1),(b,6)}
e. {(a,5),(b,4),(c,1),(b,5)}
Pembahasan:
Yang merupakan pemataan/fungsi adalah pilihan (b) karena tidak ada yang anggota yang ‘selingkuh’.

2. Di antara gambar berikut manakah yang termasuk fungsi pemetaan ....

a. a P d. a P
b qb q
c rc r

b. a P e. a P
b qb q
c rc r

c. a P
b q
c r

Pembahasan:
Yang merupakan pemetaan adalah pilihan (b) karena tidak ada anggota daerah asal yang ‘mendua’
atau ‘jomblo’.

Jenis-Jenis Fungsi Y f(x) = 2

 Fungsi konstan 2 X
Fungsi yang memetakan setiap bilangan real ke
suatu nilai konstan, misalnya f (x)  2 . Berapa pun
nilai x, hasilnya selalu 2.

 Fungsi identitas Y f(x) = x
Fungsi yang memetakan setiap nilai x
kepada dirinya sendiri, misalnya f (x)  x 2 X
. 1

12

 Fungsi mutlak

Fungsi yang selalu memberikan hasil positif berapa Y

pun nilai x yang dipetakan. f(x) = | x |

f (x)  x   x, jika x  0 X
 x, jika x  0

 Fungsi genap
Fungsi yang mempunyai sifat f (x)  f (x) . Grafiknya simetris dengan sumbu-Y.

Contoh : f(x) adalah fungsi genap karena Y
f (x)  x2  2 membuat f(-2) = f(2).
f (2)  (2)2  2  4  2  6 f(x) = x2 + 2
f (2)  (2)2  2  4  2  6
6

-2 2 X

 Fungsi ganjil

Fungsi yang mempunyai sifat f (x)   f (x) . Grafiknya simetris dengan O(0,0)

Contoh : f(x) adalah fungsi ganjil karena Y
f (x)  x3 membuat f(-3) = -f(3).
f(x) = x3

27

f (3)  33  27 33 X
f (3)  (3)3  27 -27

Sifat–Sifat Fungsi

 Fungsi injektif
Setiap anggota A (daerah asal) memilki tepat satu pasangan di B (daerah kawan).

AB

a1
b2

3

 Fungsi surjektif (fungsi on-to)

Setiap anggota B (daerah kawan) memilki pasangan di A (daerah asal).
AB

a1
b
c2

 Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Gabungan fungsi injektif dan fungsi surjektif. Jadi, setiap anggota A (daerah asal) dipasangkan dengan

tepat ke satu anggota B (daerah asal). Begitu pula sebaliknya, setiap anggota B tepat punya satu

pasangan dari anggota A.

AB

a1
b2
c3

Operasi Aljabar Fungsi

1. ( f  g)(x)  f (x)  g(x)

2. ( f  g)(x)  f (x)  g(x)

3. (k  f )(x)  k  f (x) ; k adalah konstanta.

4. ( f  g)(x)  f (x)  g(x)

5.  f (x)  f (x) , dengan g(x)  0
g g(x)

6. f m (x)   f (x)m

Fungsi Komposisi

 Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah penggabungan beberapa fungsi menjadi satu.

A B C AB C
f g 25
f(x) = x + 2 g (x) = x2
x
f(x) g(f(x)) 35

contoh

hg f h  g  f =(x + 2)2

h  g  f bisa ditulis juga dengan h(x)  (g  f )(x) atau h(x)  g( f (x))

 Penyelesaian fungsi Komposisi
1. Mencari gabungan fungsi
Contoh:
Berikut diberikan f (x)  x2  2x  4 , g(x)  x  2 , h(x)  3x maka nilai:
a. ( f  g)(x)
b. (g  f )(x)
c. (h  g  f )(x)
d. ( f  g  h)(1)

Pembahasan:
a. ( f  g)(x)  f (g(x))

 f (x  2) Catatan:
 (x  2)2  2(x  2)  4
( f  g)(x)  (g  f )(x)

 x2  4x  4  2x  4  4

 x2  6x  4 Catatan:
b. (g  f )(x)  g( f (x))
( f  g)(x)  (g  f )(x)
 g(x2  2x  4)

 (x2  2x  4)  2

 x2  2x  2

c. (h  g  f )(x)  h(g( f (x))

 h(x2  2x  2)

 3(x2  2x  2)

 3x2  6x  6 CADAS
d. ( f  g  h)(x)  f (g(h(x))
( f  g  h) (1)  31
 f (3x  2)
 (3x  2)2  2(3x  2)  4 3
 9x2  12x  4  6x  4  4 5
 9x2  18x  4 31
( f g h)(1)  9(1)2 18(1)  4  9 18  4 31

2. Mencari fungsi sebelah kanan
Misalnya diketahui ( f  g)(x) dan f (x) , yang ditanyakan fungsi sebelah kanan, yaitu g(x) .

Contoh:
Diketahui ( f  g)(x)  6x2  4x  5 , f (x)  2x 1 maka g(x) adalah ....

Pembahasan:
( f  g)(x)  6x2  4x  5

f (g(x))  6x2  4x  5

2g(x) 1  6x2  4x  5

2g(x)  6x2  4x  5 1

2g(x)  6x2  4x  6

g(x)  3x2  2x  3

3. Mencari fungsi sebelah kiri
Misalnya diketahui ( f  g)(x) dan f (x) , yang ditanyakan fungsi sebelah kiri, yaitu f (x) .

Contoh:
Diketahui ( f  g)(x)  x2  4x  5 dan g(x)  x 1, maka nilai f (x) adalah ....

Pembahasan:
( f  g)(x)  x2  4x  5

f (g(x))  x2  4x  5 ubah ruas kanan ke bentuk
f (x 1)  x2  4x  5 (x+1) = g (x)

f (x  1)  (x  1)2  2x  4

x2  2x  1

f (x 1)  (x 1)2  2(x 1)  2

2x  2

f (x 1)  (x 1)2  2(x 1)  2
f (g(x))  g(x)2  2g(x)  2
 f (x)  x2  2x  2

Fungsi Invers

Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers adalah fungsi kebalikan dari suatu fungsi.

A f(a) = b B contoh A f(x) = x + 4 B
a b 15
Catatan: 26
f -1 (b) = a f (a) = b 37
b f-1(b) = a
f -1 (x) = x – 4

Cara Mencari Invers
Jika y merupakan fungsi dari x, maka inversnya adalah x merupakan fungsi y.
Contoh:
1. Fungsi invers dari f (x)  3x  5 adalah ....

Pembahasan: y fungsi dari x CADAS: ()  ()
f (x)  3x  5 x fungsi dari y ()  ()
f (x)  3x  5
y  3x  5 f 1(x)  x  5
y  5  3x
y5  x 3

3
x  y5
3

f 1(x)  x  5
3

2. Jika f -1(x) adalah invers dari f(x). Dengan f (x)  3x  5 maka f -1(x) adalah ....
2x  6

Pembahasan: CADAS :
f (x)  3x  5
f (x)  ax  b  f 1(x)   dx  b
2x  6 cx  d cx  a
y  3x  5
f (x)  3x  5  f 1(x)  6x  5
2x  6 2x  6 2x  3
y(2x  6)  3x  5

2xy  6y  3x  5

2xy  3x  6y  5

x(2y  3)  6y  5

x  6y  5
2y 3

f 1(x)  6x  5
2x  3

3. Jika diketahui f (x)  3x1 , maka nilai dari f 1(27) adalah ....

Pembahasan:

f (x)  3x1 CADAS: Catatan:
f (a) = b
y  3x1 Buka lagi materi f (x)  3x1 f-1(b) = a
log y  log 3x1 logaritma ya, Bro! :)
log y  (x  1) log 3 f 1(27)  x , x =...?
log y  (x  1)
log 3 3x1  27
3 log y  x  1 3x1  33
x 13 x 2

3 log( y) 1  x  x3log( y) 1

f 1(x)  3 log (x) 1

f 1(27)  3 log(27) 1  3 1 2

Operasi Invers

 1. f 1(x) 1  f (x)

2. ( f  g)1(x)  (g 1  f 1)(x)

3. ( f  g  h)1(x)  (h1  g 1  f 1)(x)

Fungsi Identitas

Fungsi identitas biasa dilambangkan I(x) dan ditulis I (x)  x .
Sifat-sifat fungsi identitas adalah:
1. (I  f )(x)  f (x)
2. ( f  I )(x)  f (x)
3. ( f  f 1)(x)  I (x)
4. ( f 1  f )(x)  I (x)

Mencari Sebuah Fungsi dengan Invers

Diketahui sebuah fungsi komposisi ( f  g)(x)  h(x) . Bagaimana mencari f (x) atau pun g(x) ? Berikut

adalah prosesnya: CADAS:
( f  g)(x)  h(x) , g(x)  ....
( f  g)(x)  h(x) ( f  g)(x)  h(x) Fungsi yang dipindahkan ruasnya
( f 1  f  g)(x)  ( f 1  h)(x) g(x)  ( f 1  h)(x) merupakan inversnya. Posisi fungsi
(I  g)(x)  ( f 1  h)(x) tidak berubah di kanan/kiri-nya.
(g)(x)  ( f 1  h)(x) ( f  g)(x)  h(x)
f (x)  (h  g 1)(x)

Dengan begitu dapat disimpulkan:
( f  g)(x)  h(x) , g(x)  .... ?

 (g)(x)  ( f 1 h)(x)
( f  g)(x)  h(x) , h(x)  .... ?

 ( f )(x)  (h g 1)(x)

Contoh:

1. Suatu fungsi komposisi ( f  g)(x)  4x2  2x 1 dengan g(x)  2x  3 maka f (x) adalah ....

Pembahasan:

( f  g)(x)  4x2  2x 1 Catatan:
untuk mencari g-1(x) kita gunakan
h(x) CADAS.

( f  g)(x)  h(x) g(x)  2x  3 ()  ()
f (x)  (h  g 1)(x) g 1(x)  x  3 ()  ()
f (x)  h(g 1(x))  h x  3 
2 2

f (x)  4 x  3 2  2 x  3   1
2 2

f (x)  4 x2  6x  9   x  31
4 

f (x)  x2  6x  9  x  3 1

 f (x)  x2  7x 11

2. Diberikan fungsi komposisi ( f  g)(x)  2x  1 dengan f (x)  x  5 maka g(x) adalah ....
x3

Pembahasan :

( f  g)(x)  2x  1 h(x) Catatan:
x3 untuk mencari f -1(x) kita gunakan
CADAS.
( f  g)(x)  h(x)
f (x)  x  5 ()  ()
g(x)  ( f 1  h)(x) f 1(x)  x 5 ()  ()

g(x)  f 1(h(x))

g(x)  f 1 2x  1
 x3 

g (x)   2x 1   5
 x3 

g(x)   2x  1  5(x  3)
 x  3  (x  3)

g(x)  2x  1  5x 15
x3

 g(x)  3x 14
x3

Limit

Pengertian Limit

Pengertian Limit
Limit fungsi didefinisikan sebagai:

Lim f (x)  L

xa

yang berarti x mendekati a (tetapi x  a ), sehingga f(x) mendekati L.

Contoh:

1. Nilai Lim(2x  4) adalah ....
x3

Pembahasan :

Lim(2x  4)  2(3)  4 10

x3

Jadi, untuk x yang mendekati 3, maka hasilnya akan mendekati 10.

2. Nilai Lim x2  4 adalah ....
x2 x  2

Pembahasan:

Lim x2  4  22  4  0 : nilai 0 adalah bentuk tak tentu sehingga limit tersebut harus kita ‘ulik’ agar
x2 x  2 2  2 0 0

memiliki nilai. Catatan: f (0)  0 f (0)  Lim f (x)
Lim x2  4  Lim (x  2)(x  2) 0
x2 x  2 x2 (x  2) f (x)  x2  4 x0
x2 (tak tentu)
 Lim(x  2)
Lim f (x)  4
x2
x0
22 (terdefinisi)

4

Bentuk Tentu dan Tak Tentu Beberapa bentuk tak tentu:

Beberapa bentuk tentu: 0
 a k 0

b  00
 0 0 ~

k ~
 k ~  ~~

0

 k 0
~

 ~ ~
k

 ~~~
 (~)k  ~ dengan k>0

 k(~)  ~

Teorema Limit

 Lim k  k
xa

 Lim{ f (x)  g(x)}  Lim f (x)  Lim g(x)
xa xa xa

 Lim{ f (x)  g(x)}  Lim f (x)  Lim g(x)
xa xa xa

 Lim{ f (x)  g(x)}  Lim f (x)  Lim g(x)
xa xa xa

 Lim k  f (x)  k  Lim f (x)
xa xa

 f (x) Lim f (x)

Lim  xa

xa g(x) Lim g(x)
xa

 Lim{ f ( x)}n   Lim f ( x) n

xa xa

Lim n f (x)  n Lim f (x) ; dengan f (x)  0 untuk n genap.
xa xa

Limit Aljabar

 Limit fungsi xa
Penyelesaian bentuk limit bisa dilakukan dengan beberapa cara:
1. Substitusi langsung  jika fungsi langsung menghasilkan nilai tertentu (bukan nilai tak tentu)
2. Pemfaktoran  biasanya jika fungsi berbentuk kuadrat/pangkat/suku-banyak
3. Perkalian bentuk sekawan  biasanya untuk fungsi bentuk akar

Contoh:

1. Lim 3x2  4x  ....
x0 x  4

Pembahasan:

Lim 3x2  4x  3(0)2  4(0)  0  0  0  0
x0 x  4 04 44

2. Lim x2  x 12  ....
x2 9
x3

Pembahasan: Jika disubstitusikan langsung:
Lim x2  x  12  Lim (x  3)(x  4)
x3 x 2  9 x3 (x  3)(x  3) Lim x2 x  12  9  (3)  12  0
x3 x 2  9 99 0
 Lim (x  4)
x3 (x  3)

 34  7  7
33 6 6

3. Lim x2  4  ....
x2 x  7  3

Pembahasan: Jika disubstitusikan langsung:
Lim x2  4  Lim x2  4  x  7  3
x2 x  7  3 x2 x  7  3 x  7  3 Lim x2 4  22  4  0
x3 x  7  3 2  7  3 0
 Lim (x2  4)( x  7  3)
x2 (x  7)  9

 Lim (x  2)(x  2)( x  7  3)
x2 x  2

 Lim(x  2)( x  7  3)

x2

 Lim(2  2)( 2  7  3)  (4)(3  3)  24

x2

 Limit Fungsi x 
1. Bentuk Lim f (x)
x~ g(x)
Penyelesaian bentuk ini caranya membagi dengan pangkat tertinggi. Atau, bisa dilakukan dengan
menggunakan CADAS (cara cerdas).

CADAS:

Lim ax m  bx m1  cx m2  ..... m  n maka hasilnya ~
px n  qx n1  rxn2  ....
x~ m  n maka hasilnya 0
n  m maka hasilnya a

p

m dan n adalah pangkat tertinggi pembilang dan penyebut

Contoh:

1. Lim 2x3  4x2  6x 1  ....
x 2x2  4x  3

Pembahasan:

# Cabi (cara biasa): # Cadas:

2x3  4x2  6x 1 2x3  4x2  6x  1 Lim 2x3  4x2  6x 1  
x3 x3 x3 x3 x~ 2x2  4x  3
Lim  Lim
x 2x2  4x  3 x 2x2  4x  3 karena m > n.
m : pangkat tertinggi pembilang
x3 x3 x3 n : pangkat tertinggi penyebut

2 4  6  1
x x2 x3
 Lim
x 2  4  3
x x2 x3
Ingat, Bro!

()k , k 0 2  4  6 1 2000  2
  2 3
  
2 4  3 000 0

 2 3

2. Lim 5x3  x2  .....
2x4  4x2  3x
x

Pembahasan:

# Cabi: # Cadas:

Lim 5x3  x2 5x3  x2 Lim 5x3  x2 0
x4 x4 2x4  4x2  3x
 Lim x

x 2x4  4x2  3x x 2x4  4x2  3x karena m < n.

x4 x4 x4 m : pangkat tertinggi pembilang

n : pangkat tertinggi penyebut

5 1
 Lim x x2
x 4 3
2 x2  x3

 5 1  00  0 0
 2

2 4  3 200 2
2 3

3. Lim 3x3  2x2  5  ....
2x3  5x2
x

Pembahasan:

# Cabi

3x3  2x2  # Cadas
x3 x3
Lim 3x3  2x2  5  Lim 5 Lim 3x3  2x2 5  3
2x3  5x2 2x3  5x2 x3 2x3  5x2 2
x x x

x3 x3 karena m = n.

m : pangkat tertinggi pembilang

2 5 n : pangkat tertinggi penyebut
x x3
3  

 Lim
x 2  5
x

3  2  5  300 3
 3 20 2
 
2 5


2. Bentuk Lim( f (x)  g(x))
x

Penyelesaian bentuk ini langkahnya dikalikan dengan bentuk sekawannya. Setelah fungsi berubah

menjadi pecahan (ada pembilang dan penyebut), kemudian dibagi dengan pangkat tertinggi. Atau,

bisa juCgAaDdAiSs:elesaikan menggunakan CADAS.

Lxim ax 2  bx  c  px 2  qx  c  a  p maka hasilnya ∞
a  p maka hasilnya -∞
a  p maka hasilnya b  q

2a

Contoh:

1. Lim 3x2  4x 1  x2  6x  2  ....
x
Pembahasan:
# Cabi:

Lim 3x 2  4x  1  x 2  6x  2  Lim 3x 2  4x  1  x 2  6x  2  3x 2  4x  1  x 2  6x  2
x x 3x2  4x  1  x2  6x  2

 Lim (3x2  4x 1)  (x2  6x  2)
x 3x2  4x 1  x2  6x  2

 Lim 2x2  2x 3  x2

x 3x2  4x 1  x2  6x  2  x2

 Lim 2x2  2x  3
x x2 x2 x2

3x2  4x  1  x2  6x  2
x4 x4 x4 x4 x4 x4

 Lim 2 2 3
x x x2

341  162
x2 x3 x4 x2 x3 x4

2 2  3
  2
341  162
2 3 4 2 3 4

 200  2 
000 000 0

# Cadas:

Lim 3x2  4x 1  x2  6x  2   (karena a > p)

x

a = 3, b = 4, c = -1 dan p = 1, b = 6, c = 2

2. Lim x2  4x 1  x2  8x  5  ....
x
Pembahasan:
Untuk menggunakan ‘cabI’, langkah yang dilakukan seperti pada nomor sebelumnya.
# Cadas:
Lim x2  4x 1  x2  8x  5  b  q  4  8  4  2
x 2 a 2 1 2

3. Lim 4x2  7x  3  2x  3  ....
x
Pembahasan:

Lim 4x2  7x  3  (2x  3)  Lim 4x2  7x  3  (2x  3)2
x x

 Lim 4x2  7x  3  4x2 12x  9
x

 b  q   7  (12)  5
2a 24 4

Limit Trigonometri

Bentuk limit trigonometri adalah Lim f (x) dengan f(x) adalah fungsi trigonometri.

xa

Rumus dasar:
1. Lim sin x  Lim x  1

x0 x x0 sin x
2. Lim tan x  Lim x  1

x0 x x0 tan x

Rumus pengembangannya: CADAS:

1. Lim sin ax  Lim ax  a Jika limit hasil sinus atau tangen tersebut nol, maka sin atau tangen
x0 bx x0 sin bx b tersebut bisa di coret/diabaikan.

2. Lim tan ax  Lim tan ax  a 1. Lim sin 4x  Lim 4x  4
x0 bx x0 bx b
x0 5x x0 5x 5
3. Lim sin ax  Lim tan ax  a
x0 tan bx x0 sin bx b Lim tan( x2  4)  Lim (x2  4)  Lim (x  2)(x  2)  Lim (x  2)
x2 x0
2. x2 x0 x  2 x0 (x  2)

 02  2

Contoh:

1. Nilai dari Lim 5x sin 2 2x adalah ....
x0 tan2 4x.sin 3x.

Pembahasan :

# Cabi: # Cadas:

Lim 5x sin 2 2x  Lim 5xsin 2x.sin 2x Lim 5x sin 2 2x  Lim 5x sin 2x.sin 2x
tan2 4x.sin 3x. tan 4x.tan 4x.sin 3x. x0 tan2 4x.sin 3x. x0 tan 4x. tan 4x.sin 3x.
x0 x0
 5x.2x.2x  5
 Lim 5x sin 2x sin 2x x 4x.4x.3x 12
x0 tan 4x tan 4x 3x sin 3x

 Lim 5x  Lim sin 2x  Lim sin 2x  Lim x
x0 tan 4x x0 tan 4x x0 x x0 sin 3x

 5221  5
4 4 1 3 12

2. Nilai dari Lim cos 2x 1 adalah .... Ingat, Bro!
x0 4x2 cos 2x  1  2 sin2 x

Pembahasan : # Cadas:
Lim  2 sin 2 x  Lim  2 sin x.sin x
# Cabi: x0 4x 2 . x0 4x 2 .
  2.x.x   1
Lim cos 2x 1  Lim (1 2sin 2 x) 1 4x2 2
x0 4x2 x0 4x2

 Lim  2sin 2 x
x0 4x2

 Lim  2sin x sin x
x0 4x x

 Lim  2sin x Lim sin x
x0 4x x0 x

  2 .1   1
42

Teorema L’Hospital

Teori L’Hospital adalah penggunaan turunan/diferensial dalam penyelesaian perhitungan limit fungsi.

Jika Lim f (a)  0 Jika Lim f '(a)  0 selesai
xa g(a) 0 xa g'(a) 0
Lim f (x)  Lim f ''(a)
Jika Lim f '(a)  0 xa g(x) xa g''(a)
xa g'(a) 0

Contoh:

1. Lim x2  x 12  .... Catatan:
x3 2x  6 Untuk menggunakan teori L’Hospital,
Pembahasan: baca dulu bab Turunan, OK!

Lim x2  x 12 T Lim 2x 1 0 M 2(3) 1  7
x3 2x  6 x3 2  0 22
 

2. Lim 4x 1  3  ....
x2 3x  6
Pembahasan:

Lim 4x 1 3 T 2 4 0 M 42
4x 1 2 4(2) 1  (3)  2
 
x2 3x  6 30 3 39

T : Turunkan
M : Masukkan

MATERI BONUS (Tambahan/Peminatan)

Video Kekontinuan Limit
Video Limit Bentuk Khusus

Turunan (Diferensial)

Pengertian Turunan

Y Turunan f (x) adalah f ‘(x) (dibaca f aksen x)
y=f(x) didefinisikan sebagai:
f '(x)  Lim f (x  h)  f (x)
f(x+h) 
f(x) f h0 h
Laju perubahan f (x) atau turunan f (x) untuk x = a
 adalah:
f '(a)  Lim f (a  h)  f (a)
h
x x+h h0 h

X

Penulisan turunan bisa dituliskan dalam beberapa notasi:
f '(x) atau y' atau df (x) atau dy
dx dx

Contoh:

1. Jika diketahui f (x)  x2  3x maka nilai f’(x) dan f’(2) adalah ....

Pembahasan:
f '(x)  Lim f (x  h)  f (x)

h0 h

 Lim ((x  h)2  3(x  h))  (x2  3x)
h0 h

 Lim x2  2xh  h2  3x  3h  x2  3x
h0 h

 Lim 2xh  h2  3h  Lim 2x  h  3  2x  0  3 2x  3
h0 h h0

 f '(x)  2x  3

f '(2)  2(2)  3  7

2. Nyatakan Lim f (x  2 p)  f (x) dalam bentuk f’(x)!
p0 3 p

Pembahasan:

Lim f (x  2 p)  f (x)  Lim f (x  2 p)  f (x)
p0 3 p p0 ( 3 )(2 p)
2

 1 Lim f (x  2 p)  f (x)
( 3 ) p0 2 p
2

  2  Lim f (x  2 p)  f (x)
3 2 p0  2p

  2  Lim f (x  h)  f (x)   2 f '(x)
3 h0 h 3

Turunan Aljabar

Dalam praktiknya, untuk mencari turunan sebuah fungsi tidak selamanya harus menggunakan limit, kita
bisa menggunakan rumus-rumus yang sudah disediakan.

 Rumus Dasar Turunan Aljabar

1. f (x)  k maka f '(x)  0
2. f (x)  ax maka f '(x)  a
3. f (x)  axn maka f '(x)  anxn1

Contoh:

1. Nilai f (x)  4 maka f '(x)  0

2. Nilai f (x)  3x maka f '(x)  3

3. Nilai f (x)  2x4 maka f '(x)  8x3

4. Nilai f (x)  2x5  5x2  10 maka f '(x) 10x4 10x

5. Nilai f (x)  2x x  x  2 maka nilai f’(x) adalah ....
x

Pembahasan:

f (x)  2x x  x  2
x

11 2

 2xx 2  x 2  1

x2

 2x112  1  2 x  1
2
x2

1  1 x 1  x 112

f '(x)  3x 2 2

2

1 1  1

 3x 2  1 x112

2x 2

3 x  1  1
2x xx

 Turunan Berantai
Cara ini digunakan saat sebuah fungsi terdapat fungsi lagi (fungsi komposisi).

f (x)  g(h(x)) maka f '(x)  g'(h(x))  h'(x) ; atau

f (x)  u(x)n maka f '(x)  nu(x)n1  u'(x)

Contoh:
1. f (x)  (3x  2)4 maka nilai f’(x) adalah ....

Pembahasan:
f (x)  (3x  2)4
f '(x)  4(3x  2)3  (3)

12(3x  2)3

2. f (x)  6 x 2  4 maka f '(x)  ....

Pembahasan:

f (x)  6(x2  1

4) 2

f (x)  6 1 (x2  4) 1 (2x)  6x(x2  4) 1
2 2

2

 6x
x2  4

 Rumus Perkalian dan Pembagian Turunan

1. f (x)  u(x)  v(x) maka f '(x)  u'(x)  v(x)  u(x)v'(x)

2. f (x)  u(x) maka f '(x)  u'(x)v(x)  u(x)v'(x)
v(x) v2 ( x)

Contoh:
1. f (x)  (2x  3)(5x  2) maka nilai f’(x) = ....

Pembahasan:
f (x)  (2x  3)(5x  2)

uv

f '(x)  2(5x  2)  (2x  3)(5) 10x  4 10x 15  20x 11

u’ v u v’

2. f (x)  (2x2  3)3 (5x  2) maka nilai f’(x) = ....

Pembahasan:
f (x)  (2x2  3)3 (5x  2)

uv

f '(x)  3(2x2  3)2 (4x)(5x  2)  (2x2  3)35

u’ v u v’

 12x(5x  2)(2x2  3)2  5(2x2  3)3

3. f (x)  3x  4 , maka nilai f’(x) = ....
2x  5

Pembahasan:

f (x)  3x  4 u CADAS:
2x  5 v

f (x)  ax  b  f '(x)  ad  bc
cx  d (cx  d )2
u’ v u v’

f '(x)  3(2x  5)  (3x  4)2 f '(x)  3x  4  f '(x)   15  8   23
(2x  5)2 2x  5 (2x  5)2 (2x  5)2
v2

 6x  15  6x  8
(2x  5)2

  23
(2x  5)2

4. f (x)  2x2  4x ; maka nilai f’(x) = ....
3x  4

Pembahasan:

f (x)  2x2  4x u u v’
3x  4 v
u’ v

f (x)  (4x  4)(3x  4)  (2x 2  4x)3
(3x  4)2

v

2

 6x 2  16x  16
(3x  4)2

Turunan Trigonometri

 Rumus- rumus Turunan Trigonometri

1. f (x)  sin x  f '(x)  cos x
2. f (x)  cos x  f '(x)   sin x
3. f (x)  tan x  f '(x)  sec2 x
4. f (x)  cot x  f '(x)  csc2 x
5. f (x)  sec x  f '(x)  sec x  tan x
6. f (x)  csc x  f '(x)  csc x  cot x

Atau bisa ditulis dalam bentuk berikut:
1. f (x)  sin(ax  b)  f '(x)  acos(ax  b)
2. f (x)  cos(ax  b)  f '(x)  asin(ax  b)
3. f (x)  tan(ax  b)  f '(x)  a sec2(ax  b)
4. f (x)  cot(ax  b)  f '(x)  acsc2 (ax  b)
5. f (x)  sec(ax  b)  f '(x)  a sec(ax  b)  tan(ax  b)
6. f (x)  csc x(ax  b)  f '(x)  a csc(ax  b) cot(ax  b)

Contoh: CADAS:

1. y  3cos(4x  5) maka y’ = .... f (x)  2sin(2x2  4x)
Pembahasan:
y  3cos(4x  5) f '(x)  2sin(2x2  4x)  (4x  4)
y '  3 4sin (4x  5)  12sin (4x  5)  (8x  8)sin(2x2  4x)

2. f (x)  2sin(2x2  4x) maka f’(x) = ....
Pembahasan:
f (x)  2sin(2x2  4x) ; misal u  2x2  4x
f (x)  2sin u
f '(x)  2cosu u'
f '(x)  2cos(2x2  4x).(4x  4)
f '(x)  (8x  8)cos(2x2  4x)

3. f (x)  2cos3(2x2  4x) maka f’(x) = ....

Pembahasan:

f (x)  2cos3(2x2  4x) ; misal: u  2x2  4x  u' 4x  4

f (x)  2cos3 u , misal t  cosu  t' sin u u' CADAS:
f (x)  2t3
f '(x)  6t 2 t' f (x)  2cos3(2x2  4x)
f '(x)  6cos2 (2x2  4x)  sin(2x2  4x)  (4x  4)
 6cos2 u  sin u  u'
 (24x  24)cos2 (2x2  4x)sin(2x2  4x)

 6cos2 (2x2  4x)  sin(2x2  4x)  (4x  4)

 (24x  24)cos2 (2x2  4x)sin(2x2  4x)

Penggunaan Turunan

 Mencari gradien garis singgung Gradien garis sejajar:

y = f(x) m1 m1 = m2
m2

m =f ’(x1) Gradien garis tegak lurus:
m1
(x1, y1)

PGS  y  y1  m (x  x1) m1  m2  1
Gradien garis singgung pada kurva adalah: m =f ’(x1)
atau m2  1
m1

m2

Dengan f(x) adalah persamaan kurva dan x1 adalah absis dari titik singgungnya.
Contoh:

1. Persamaan garis singgung kurva f (x)  x2  4x 12 di titik (2,3) adalah...

Pembahasan: Ilustrasi garis singgung: f (x)  x2  4x  12

f (x)  x2  4x 12
f '(x)  2x  4

m  f '(2)  2(2)  4  8

y  y1  m(x  x1) (2, 3)
y  3  8(x  2)
y  8x 16  3 (x1,y1)

PGS = ?

PGS: y  8x 13

2. Persamaan garis singgung kurva f (x)  3x2  4x  3 yang tegak lurus dengan garis 4y  2x  8  0

adalah .... 4y  2x  8  0 Ilustrasi garis singgung:
Pembahasan: 4y  2x  8
f (x)  3x2  4x  3 f (x)  3x2  4x  3
f '(x)  6x  4 y   1 x  2 4y  2x  8  0
m  f ' (x1)  6x1  4 2
(x1, y1) PGS ... ?
 m1   1
2

m2  f ' (x1)  6x1  4  2
6x1  6
x1  1
y1  f (1)  3  4  3  2
y1  2
(x1, y1)  (1,2)

y  2  m(x  1)

y  2  2(x 1)
y  2x  2  2

PGS: y  2x

 Fungsi naik dan turun; nilai maksimum dan minimum; serta titik belok

titik maksimum (stasioner) y=f(x)
titik belok (stasioner)
daerah naik y = f(x)

daerah naik

daerah turun titik minimum (stasioner)

f’(x) > 0 maka f(x) disebut fungsi naik f’’(x0) > 0 maka x0 titik stasioner minimum

f’(x) < 0 maka f(x) disebut fungsi turun f’’(x0) < 0 maka x0 titik stasioner
maksimum
f’(x)= 0 maka f(x) disebut fungsi stasioner f’’(x0) = 0 maka x0 titik stasioner belok

x0= akar-akar f’(x)

Jika f(x) digambarkan pada garis bilangan, diperoleh:

naik turun naik naik naik turun turun

+++ --- +++ +++ +++ --- ---
x1 x2 x1 x1

x1 absis titik maksimum x2 absis titik minimum x1 absis titik belok x1 absis titik belok

Contoh:

1. Tentukan interval turun untuk fungsi f (x)  1 x3 16x dan tentukan pula jenis nilai stasionernya.
3

Pembahasan:

Cara I Cara II

f (x)  1 x3  16 x f (x)  1 x3  16x
3 3

f '(x)  0 f '(x)  x2 16  0 + –+
(x  4)(x  4)  0
x2  16  0 –4 4
(x  4)(x  4)  0 x  4 atau x  4
+++ – – – +++

–4 4

f(x) turun pada interval:  4  x  4 Turun pada interval: –4 < x < 4,
Naik pada interval: x < –4 atau x > 4
f (x)  1 x3  16 x Nilai stasioner (maksimum): di x = –4
3
Nilai stasioner (minimum): di x = 4
f '(x)  x2 16  0

(x  4)(x  4)  0

x1  4 atau x  4

f ''(x)  2x

f ''(4)  8 ; – 8 adalah negatif (– 8 < 0), maka di x = – 4 mencapai maksimum.

f ''(4)  8 ; 8 adalah positif (8 > 0), maka di x = 4 mencapai minimum.

2. Titik-titik stasioner dan interval naik/turun/belok dari fungsi f (x)  1 x4  4 x3  2x2 adalah ....
4 3

Pembahasan:

f (x)  1 x4  4 x3  2x2
4 3

f '(x)  x3  4x2  4x  0 – – – +++ +++
x(x2  4x  4)  0 02
min belok

x(x  2)(x  2)  x (x  2)2  0 f (2)  1 16  4 8  8  4
f(x) turun pada x < 0. 4 3 3
f(x) naik pada pada x > 0.
f (0)  1 0 4 00  0
4 3

Titik minimum f(x) di (0,0).

Titik belok f(x) di (2, 4 ) .
3

3. Selembar kertas karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 8 cm x 5 cm. Kemudian, dipotong

keempat sudutnya membentuk persegi dengan sisi x. Dari bangun tersebut akan dibuat kotak,

maka volume maksimumnya adalah ....

Pembahasan:

x 8 x x
x 8 - 2x x 5 - 2x
5 - 2x
5 8 - 2x
x xx
x

V (x)  p  l  t +++ --- +++
 (8  2x)(5  2x)x
 (40 16x 10x  4x2 )x 1 10
 (4x2  26x  40)x 3
 4x3  26x2  40x
maks
V '(x) 12x2  52x  40  0
3x2  13x  10  0
(3x 10)(x 1)  0
x  10 atau x 1

3

V (x)  (8  2x)(5  2x)x
V (1)  (8  2)(5  2)(1)

 (6)(3)(1)  18cm3

 Fungsi Jarak, Kecepatan, dan Percepatan

s(t) T v(t) T  a(t) atau v(t)  s'(t) , a(t)  v'(t) , a  s''(t)

Contoh:

1. Diketahui fungsi jarak dalam t (waktu) s(t)  1 t3  4t 2  12t , maka carilah:
3

a. Kecepatan benda saat t = 1.

b. Percepatan benda saat t = 2.

c. Saat benda berhenti.

Pembahasan:

a. s(t)  1 t3  4t 2  12t
3

v(t)  s'(t)  t2  8t 12

Kecepatan saat t = 1:

v(t)  t2  8t 12

v(1)  12  8(1) 12  1 8 12  5

b. v(t)  t2  8t 12

a(t)  v'(t)  2t  8

Percepatan saat t = 2:
a(t)  2t  8

a(2)  2(2)  8  4  8  4

c. Benda berhenti saat kecepatannya nol:
v(t)  t2  8t 12  0
(t  2)(t  6)  0
t  2 atau t  6
Benda tersebut berhenti saat t  2 atau t  6 .

Integral (Antiturunan)

Integral Tak Tentu

Integral Dasar

 axndx  a x n1  C untuk n  1
n1

 a dx  ax  C

Sifat-sifat dalam operasi integral:

 1. k  f (x) dx  k f (x) dx
  2. f (x)  g(x) dx  f (x) dx  g(x) dx

Contoh:

1. 3x 4 dx  3 x5  C
5

 2.1 x2 dx  1 x2 dx  1 1 x3  C  1 x3  C
2 2 2 3 6

3. 2 dx  2x  C

4. 3x2  4 x  6 dx  ....
x2

Pembahasan:

 3x2  4 x  6 dx  3x 2 1  6x2 dx
x2
 4x 2

 3 x3  4 1 3  6 x1 C
3 1
3 x2

2

 x3 8 3  6x 1
3
 x 2 C

 x3  8 x x  6  C
3 x

5.  x(x2  3x  4) dx  ....
x

Pembahasan:

  x(x2  3x  4) dx 
x
(x3  3x2  4x) dx  (x3  3x2  4 x) x  1 dx
1 2
x2

531

 x 2  3x 2  4x 2 dx

 1 7  3 5  4 3 C

7 x2 5 x2 3 x2

222

 2 x3 x  6 x2 x  8 x x C
7 5 3

Integral Bentuk ln (Logaritma Natural)

 1 dx  ln x  C
x

Contoh:

 1. 2 dx  2 1 dx  2 ln x  C
3x 3 x 3

2x2  4x  3 dx  3 x2
x x
 2. 2x  4  dx   4x  3 ln x  C

Hubungan Integral dan Turunan

f (x) turunan f '(x) turunan f ''(x)
integral integral
atau bisa ditulis:
:

 f (x)  f '(x) dx dan f '(x)  f ''(x) dx

Contoh:
1. Jika diketahui f '(x) 10x4  2x  4 dan f (1) 10 , maka persamaan f (x) adalah ....

Pembahasan:

f (x)  f '(x) dx

 10x4  2x  4 dx  10 x5  2 x2  4x  C
52

 2x5  x2  4x  C

f (1)  2  1  4  C 10

7  C 10  C  3

 f (x)  2x5  x2  4x  3

1. Jika diketahui gradien garis singgung sebuah kurva adalah 2x  3 dan kurva tersebut melalui titik (2, 3),

maka persamaan kurva tersebut adalah ....

Pembahasan: Catatan:
y' 2x  3
Gradien = m = y’ = 2x + 3
y  y' dx

 2x  3 dx  x2  3x  C

y  x2  3x  C ; kurva melalui (2,3):
3  22  3(2)  C
3 10  C  C  7
 y  x2  3x  7

Integral Substitusi

Integral ini dilakukan dengan cara mensubstitusikan/mengganti sebagian unsur integral sehingga integral
tersebut menjadi bentuk baku.

Contoh:

1. 4x(x2  3)5 dx  .... 2.

Pembahasan: Misalkan: CADAS:
Integral
 4x(x2  3)5 dx  .... x2  3u
2x  du
 4x  u5 du  4x (x2  3)5 dx  4x  1 (x2  3)6  C
2x dx 2x 6
2x dx  du
 2u5dx dx  du Tetap Turun  1 (x2  3)6  C
3
2x
 2 u6  C Ingat: Tetap Turun Integral (TTIn)
6

 1 (x2  3)5  C
3

2.  x 1  ....
x2  2x  5

Pembahasan:

x 1  .... CADAS:
x2  2x  5
 Misalkan: Integral

1 x2  2x  5  u  x 1  (x  1)(x 2  2x  5)  1 dx
2 2x  2  du 2
 1)(x 2 
 (x  2x  5) dx dx x2  2x  5
2(x  1) dx  du Tetap Turun

 1 du dx  du  (x  1)  1 (x2  2x  5) 1  C
2 2(x  1) 2
  
( x 1) u 2(x  1) 2x  2 1
2

 1 2 (x2 1 C

 1  1 21  2x  5) 2
2
u du
2
 x2  2x  5  C
1
 1 u1 2 C
2
1

2

 1 2 u C
2 1

 x2  2x  5  C Misalkan:

3. 2x(x 1)3 dx  .... x 1u  x u 1
1  du
Pembahasan: dx
dx  du
 2x(x 1)3 dx  ....
Catatan:
 2(u 1)u3du
 2u4  2u3du Cadas digunakan hanya jika bagian yang dimisalkan
mempunyai pangkat 1 lebih besar dari yang tidak
 2 u5  2 u4  C dimisalkan.
54

 2 (x 1)5  1 (x 1)4  C
52

Integral Parsial

Bentuk integral parsial:

 u dv  u  v   v du

Contoh: CADAS:

1.  3x (2x 1)3 dx  .... TURUNKAN3x (2x 1)3
INTEGRALKAN
Pembahasan: 3 1 1 (2x  1)4  1 (2x  1)4 +
2 4 8 -
 3x(2x  1)3 dx  ....
0 1 1 1 (2x  1)5  1 (2x  1)5
u dv 8 2 5 80

 3 x(2x 1)4  3 (2x 1)5  C
8 80

Misalkan :

u  3x dv  (2x  1)3 dx

du  3 v  1 1 (2x  1)4
dx 24
du  3dx
v  1 (2x  1)4
8

 3x(2x 1)3dx  u  v  v du
 (3x) 1 (2x 1)4  1 (2x 1)4 3dx

88

 (3x) 1 (2x  1)4  3 (2x  1)4 dx
88
 3 x(2x 1)4  3 1 1 (2x 1)5  C

8 825

 3 x(2x 1)4  3 (2x 1)5  C
8 80

Integral Trigonometri

Integral Trigonometri Dasar

Rumus-rumus dasar integral trigonometri adalah:

1. sin x dx   cos x  C 1. f (x)  sin x  f '(x)  cos x
2. cos x dx  sin x  C 2. f (x)  cos x  f '(x)   sin x
3. sec2 x dx  tan x  C 3. f (x)  tan x  f '(x)  sec2 x
4. f (x)  cot x  f '(x)  cos ec2x
4.  cos ec2 x dx  cot x  C 5. f (x)  sec x  f '(x)  sec x  tan x
6. f (x)  cosec x  f '(x)  cosec x  cot x
5. sec x tan x dx  sec x  C
Inget ini, Bro! (di bab Turunan)
6.  cos ec x cot x dx  cos ec x  C

Atau bisa ditulis dalam bentuk berikut :

1. sin(ax  b) dx   1 cos(ax  b)  C
a

2. cos(ax  b) dx  1 sin(ax  b)  C
a

3. sec2 (ax  b) dx  1 tan(ax  b)  C
a

4.  cos ec2 (ax  b) dx   1 cot(ax  b)  C 1.
a

5. sec(ax  b) tan(ax  b) dx  1 sec(ax  b)  C
a

6.  cos ec(ax  b) cot(ax  b) dx   1 cos ec(ax  b)  C
a

Contoh:

1.  2sin (3x  4) dx  2   1 cos (3x  4)  C   2 cos (3x  4)  C
3 3

2. 3cos 4x dx  3 sin 4x  C
4

3.  cos ec (2x  1) cot (2x  1)dx   1 cos ec (2x 1)  C
2

Integral Trigonometri dengan Rumus Trigonometri
Berikut adalah rumus-rumus yang sering digunakan dalam penyelesaian integral trigonometri.

Rumus-rumus identitas dalam trigonometri

sin 2 x  cos2 x  1 sin 2 x  1 cos2 x
1. cos2 x  1 sin 2 x

2. 1 tan2 x  sec2 x tan2 x  sec2 x 1

3. 1 cot2 x  cosec2 x cot2 x  cosec2x 1

Rumus perkalian Rumus sudut rangkap

1. 2sin Acos B  sin( A  B)  sin( A  B) 1. sin 2A  2sin Acos A
2. 2cos Asin B  sin( A  B)  sin( A  B) 2. cos2A  cos2 A  sin 2 A
3. 2cos Acos B  cos(A  B)  cos(A  B)
4.  2sin Asin B  cos(A  B)  cos(A  B) 3. sin 2 A  1  1 cos 2A
22

4. cos2 A  1  1 cos 2A
22

Contoh:

  1. 2 tan2 3x dx  2(1 sec2 3x)dx  2  2sec2 3x dx  2x  2 tan3x  C
3

 2. sin 2 2x dx  1  1 cos 4x dx  1 x  1 1 sin 4x  C  1 x  1 sin 4x  C
22 2 24 28

3. 3cos4x cos2x dx  ....

Pembahasan:

 3cos 4x cos 2x dx  3 2cos 4x cos 2x dx
2

 3 cos(4x  2x)  cos(4x  2x) dx
2

 3 cos6x  cos 2x dx
2

 3  1 sin 6x  1 sin 2x  C
26 2 

 1 sin 6x  3 sin 2x  C
44

Integral Trigonometri dengan Substitusi

Dengan menggunakan substitusi integral, ada bagian dari fungsi yang disubstitusikan/diganti/dimisalkan.
Contoh:

1. 4x  sin( x2  3) dx  .... Misal: CADAS:

Pembahasan: x2 3  u Integral
2x  du
 4x  sin( x2  3) dx  4xsin u du. dx  4x sin( x2  3)dx
2x dx  du
 2sin u du 2x Tetap Turun
 2cosu  C
 2cos(x2  3)  C  4x   cos(x2  3)  C
2x

 2cos(x2  3)  C

2. sin 2x  cos3 2x dx  ....

Pembahasan: Misal: CADAS :
Integral
 sin 2x  cos3 2x dx  sin 2x u3 du cos 2x  u
 2sin 2x  sin 2x  cos3 2xdx
  1 u3du 2sin 2x  du
2 dx Tetap Turun
 1 1u4 C
24 dx  du  sin 2x 1 cos4 2x  C
  1 cos4 2x  C 2sin 2x  2sin 2x 4
8
  1 cos4 2x  C
8

3. 3sec2 x  tan4 x dx  ....

Pembahasan:

 3sec2 x  tan4 x dx  3sec2 x  u4 du Misal: CADAS:
sec2 Integral
tan x  u
x
 3sec2 x  tan4 xdx
 3u4du sec2 x  du
dx Tetap Turun

 3 u5  C dx  du  3sec2 x  1 tan5 x  C
5 sec2 sec2 x 5
x
 3 tan5 x  C
5  3 tan5 x  C
5

Integral Parsial Trigonometri

Contoh: CADAS:

1.  2x.cos3x dx  .... 2x cos3xTURUNKAN
INTEGRALKAN
Pembahasan: 2 1 sin 3x
3
 2x.cos3x dx  .... +

0 1 .  1 cos 3x   1 cos 3x -
3 3 9
Misalkan:
 2 sin 3x  2 cos 3x  C
u  2x dv  cos3x dx 39

du  2 v  1 sin 3x
dx 3
du  2dx

 2x.cos3x dx  uv   vdu

 2x  1 sin 3x  1 sin 3x  2dx CADAS: TURUNKAN sin x
33 INTEGRALKAN cos x
x2  sin x
 2 x sin 3x  2 sin 3x dx 2x
33 2 cos x
 2 x sin 3x  2   1 cos 3x  C
0
3 33
 2 x sin 3x  2 cos 3x  C

39

2. x2 sin x dx  ....

Pembahasan: +
-
 x2 sin x dx  .... +

 x2 cos x  2x sin x  2 cos x  C

Integral Substitusi Trigonometri

Ini adalah materi pengayaan, untuk lebih mendalamnya akan dipelajari pada mata kuliah Kalkulus saat

kalian di perguruan tinggi nanti.

Bentuk subtitusi trigonometri:

Bentuk Subtitusi Hasil
a2  x2
x  a sin a cos

a2  x2 x  a tan a sec

x2  a2 x  a sec a tan

Contoh: Misalkan:

1. dx  .... x  3sin
9  x2
Pembahasan: sin   x
3
9  x2  32  x2  x  3sin 
  arcsin x
32  x2  3cos 3

x  3sin   dx  3cos
d
dx  3cos d

  dx  3cos d  3 d
9  x2 3 cos

 3  C

 3arcsin x  C
3

Integral Fungsi Eksponen

 ex dx  ex  C

Contoh: Misalkan:

 2e3x dx  .... 3x  u
3  du
Pembahasan:
dx
 2eu du  2 eudu dx  du
33
 2 eu  C 3
3
 2 e3x  C
3

Integral Tentu

Integral tentu didefinisikan dengan:

b a dengan f (x)  F'(x) .
f (x)dx  F(b)  F(a)

Contoh:

4

1. 2x  3 dx  ....

2

Pembahasan:

2x 4  3 dx  x 2  3x 4
2
2

    42  3(4)  22  3(2)

 (16 12)  (4 12)  28 16  12



2. 2 (sin x  cos 2x)dx  ....
0

Pembahasan:


2 1
(sin  cos   cos x  2 sin 2x 2
 0
x 2x)dx 0

     1   ( cos 0  1 0)
cos 2 2 sin 2 sin

 0  0  (1  0)  1

Integral Luas

Berikut daerah arsiran yang dibentuk oleh fungsi dan sumbu koordinat Cartesius:

Y

Y ab X I f(x)
f(x) a b II c X

ab X f(x) L  LI  LII

b Y  b c

L  f (x)dx b L  f (x)dx  f (x)dx
ab
a L   f (x)dx

a

Y Y Y
f(x) g(x) f(x)
g(x
f(x)
a b )X
I II I II
b
a b cX a b c g(x X
L  atas  bawah
a L  LI  LII L  LI  LII )
b
 b c  b c
L  f (x)  g(x) dx
L  f (x)dx  g(x)dx L  g(x)  f (x)dx  f (x)  g(x)dx
a
ab ab

CADAS: Bentuk Khusus

a a a a L  2 ab
b b b b 3

a a a a L  1 ab
b b b b 3

Contoh:

1. Luas daerah yang diarsir dari grafik berikut adalah ....

Pembahasan: Cadas:

L  1 x2  2x  1 dx Y f (x)  x2  2x 1 L  1 ab  1 (1)(1)  1
0 3 3 3
1

1 x3  x2  x 1
3 0

01 X

  1  1  1  0  0  0  1
3  3

2. Luas daerah yang dibatasi sumbu-X, y  x2  4x  3 , dan 0  x  2 adalah ....

Pembahasan:

# gambar kurva Y f (x)  x2  4x  3
y  x2  4x  3
0  (x  1)(x  3) I X
x 1 atau x  3 3
Kurva melalui (1,0) dan (3,0) dan membuka ke atas. 2

0 1 II

# menghitung luas

L  LI  LII

 L  1 x2  4x  3 dx  2 x2  4x  3 dx
01

 ( 1 x3  2x2  3x) 1  ( 1 x3  2x2  3x) 2
3 0 3 1

  (13  8 1
 2  3)  (0  0  0) ( 3 8 6)  ( 3  2  3)

     6 
4  2 4 4 2 3 2
3 3 3
33

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x2  6x  9 dan garis y  x 1 adalah ....

Pembahasan: Y y1  x2  6x  9
# gambar kurva y2  x 1

y  x2  6x  9 0 5X

0  x2 6x 9 12
0  (x  3)(x  3) -1
x  3 atau x  3
Kurva membuka ke atas dan menyinggung (3,0). CADAS:
# gambar garis
y  x 1 y1  y2
Saat x  0 maka y  1  (0,1) x2  6x  9  x 1
Saat y  0 maka x  1  (1, 0) x 2  7x 10  0
# titik potong dua kurva D  b2  4ac
y1  y2  (7)2  4(1)(10)  49  40  9
x2  6x  9  x 1
x 2  7x 10  0 L DD  99  9(3)  9
(x  2)(x  5)  0 6a2 6(1)2 6 2

x  2 atau x  5

# menghitung luas

L  5 x  1)  (x2  6x  9)dx

(
2
Catatan:

 5  x2  7x 10 dx L  DD digunakan jika daerah
2 6a2

 dibatasi oleh dua kurva secara

 1 x3  7 x2 10x 5 langsung.
3 2 2

   125  175  50   8  28  20
3 2 3 2

       
250525300  1684120  25  52  27  9
6 6
6 6 62

4. Luas dari daerah yang dibatasi oleh kurva y  x2 , garis y  x  2 , serta sumbu-X adalah ....

Pembahasan: Y
# gambar kurva
2 y1  x2
y  x2
Kurva menyinggung (0,0) membuka ke atas. 1
# gambar garis
y  x  2 I II 2X
Saat x = 0 , maka y = 2  (0,2) 01
y2  x  2

Saat y  0 , maka x  2  (2,0)

# cari titik potong untuk dua kurva

y1  y2 Cadas:
x2  x  2
x2  x  2  0 L  LI  LII
(x  2)(x  1)  0
x  2 atau x 1  1 ab  1 alas  tinggi
3 2

 1 (1)(1)  1 (1)(1)  1  1  5
3 2 3 2 6

# luas daerah

L  LI  LII

1 x2dx  2
 L 
 x  2 dx
01

x3 10 2x)12
    ( x2    ( 
1  1  1  0  (2 4) 1 2)
3 2 3 2

   1  2  3  1  1  5
3 2 2 3 6

Integral Volume Y

Y y = f(x)

Integral Volume Y

Y y = f(x)

b x=f(y)

a b X

b y2dx aX

 a b x2dy
Vx 
Vy a

Y x2=f(y) x1=f(y)
b
y1 = f(x) a

y2 = g(x)

ab X

Vx   b atas2  bawah2 Vy  b kanan2  kiri2

a a

 b y12 y22dx
Vx a  xb 2

 a1 x22dy
Vy 

Contoh:

1. Daerah yang dibatasi oleh y  x2 , sumbu X dan x = 1 diputar 360o terhadap sumbu-X, maka

volume yang terjadi adalah .... Y y  x2
Pembahasan:
# gambar kurva

y  x2

Kurva menyinggung (0,0) dan membuka ke atas.

# menghitung volume

V   1 y 2dx 01 X
0

   
1 x2 2 1 x4dx

dx  
00

    1x511 1
5 0  5 0  5 

2. Daerah yang dibatasi oleh x  y  2 dan y  1 diputar mengelilingi sumbu-Y maka volume yang

terbentuk adalah .... Y
Pembahasan: x y 2
# gambar garis
2
x y 2
Saat x  0 maka y  2  (0,2) y 1
Saat y  0 maka x  2  (2,0) 1

0 2X

# menghitung volume
x y  2  x  y 2

 2 x2dy
Vy
1

 2 ( y  2)2 dy  2 y2
1
1
 Vy  4 y  4 dy

   y3 2
1  2y2 
3 4y

1

        81 8 7  1
3 88  3  2  4  3  3
3

Program Linier

Sistem Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.
Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linier disebut sistem pertidaksamaan linier.
Berikut adalah contohnya:

Pertidaksamaan linier Persamaan linier
2x  3y  4 2x  3y  4
 5x  6y  2 x  2y  5
x0 y3
y  2 x0

Dasar-Dasar Yang Perlu Dikuasai

Membuat Persamaan Garis Memotong Sumbu-X dan sumbu-Y

Y ax  by  ab
a
a adalah absis titik potong dengan sumbu-Y
bX b adalah absis tipot dengan sumbu-X

Contoh: Y X –2 4
5 X
Y –3
4 X –2 Y –5
 5x  2y  10  3x  2y  6 Y
3X
 4x  3y  12  5x  4y  20

Membuat Persamaan Garis Melalui Dua Titik y  y1  x  x1
(x2, y2 ) y2  y1 x2  x1

(x1, y1)

Contoh: (5,1) CADAS:

(3, 4) 20  3  17
(5 , 1)
y  y1  x  x1 (3 , 4)
y2  y1 x2  x1 2 y  3x  17
y4  x3 3x  2 y  17
14 53
y4  x3
3 2
2y  8  3x  9
3x  2y 17

Menggambar Persamaan Garis

Untuk menggambar persamaan garis lurus, caranya adalah mencari titik potong dengan sumbu-X dan
sumbu-Y, kemudian kita buat garis melalui kedua titik tersebut.
Contoh:

1. 2x  4y 12 y0x6 Y
x0 y 3 3

6X

2. 3x  5y 15 y0x5 5 X
x  0  y  3
–3
Y

3. x  4 dan y  2 Y 4 X
–2 y=4 y=–2

Sistem Pertidaksamaan Linier

Menentukan Daerah Penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)

Untuk menentukan daerah arsiran dengan titik uji dapat dilakukan dengan:
1. Menggambar garis tersebut.
2. Ambil sebuah titik uji dan substitusikan titik uji tersebut ke pertidaksamaan.
3. Jika memberikan nilai benar maka daerah tersebut adalah daerah penyelesaian. Jika tidak maka

daerah di seberangnya merupakan daerah penyelesaian.
Atau bisa dilakukan tanpa titik uji, caranya:
 Dengan c  0 , ax  by  c , daerah arsiran di daerah yang terdapat (0, 0).
 Dengan c  0 , ax  by  c , daerah arsiran di daerah yang tidak terdapat titik (0, 0).
Contoh:
1. Himpunan penyelesaian dari : 2x  3y  24 adalah ....

Pembahasan:

# gambar garis: y  0  x 12 8
2x  3y  24 x0 y8 12

# uji titik:
Titik uji (0, 0)  2x  3y  24
0  0  24 (salah), maka daerah arsiran ada di seberangnya.

2. Himpunan penyelesaian dari 3x  2y 12 adalah ....
Pembahasan:
# gambar garis :

3x  2y 12 y0x4 (0,0)
x  0  y  6 4

3x  2y  12 –6

Daerah yang terdapat titik (0,0).

Daerah-Daerah Kuadran

Pada bidang Cartesius, terdapat empat daerah berbeda bidang koordinat titik yang disebut kuadran seperti
ditunjukkan berikut:

Y

Kuadran II Kuadran I
x0 x0

y0 y0

X X X X

Kuadran III Kuadran IV
x0 x0

y0 y0
X X

Y

Sistem Pertidaksamaan Linier
Sistem pertidaksamaan linier adalah gabungan dari beberapa pertidaksamaan linier.
Contoh:
1. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut adalah ….

4 y  2x  4
4x  3y  12
x  0
 y  0
Pembahasan:

4y  2x  4 y  0  x  2 4y  2x  4 y0x3
x 0 y 1 x0 y 4

Y Daerah yang terdapat titik (0,0).

Daerah yang terdapat titik (0,0).

4

4x  3y 12

4x  3y  12

x  0 kuadran I 1 3
y  0 –2 X

Daerah penyelesaian

2. Daerah yang diarsir pada gambar berikut Y
5
menunjukkan himpunan penyelesaian dari beberapa 3

pertidaksamaan linier. Carilah pertidaksamaan-

pertidaksamaan tersebut!

Pembahasan: 4X

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah: Y (0,0) 2

5x  2 y  10

5x  2 y  10 (karena (0,0) termasuk dalam daerahnya). 5
3
3x  4y  12
3x  4 y  12 (karena (0,0) termasuk dalam daerahnya).
2 4X
x0 (0,0)
y0 di kuadran I

Nilai Optimum dari Fungsi Objektif

Fungsi objektif adalah bentuk f (x, y)  ax  by atau z  ax  by yang akan dicari nilainya yang optimum

(maksimum/minimum).

 Dengan subtitusi titik pojok

Dilakukan dengan mensubtitusikan titik-titik pojok daerah arsiran ke fungsi objektif.

Contoh: Y
(3,7)
1. Nilai maksimum dan minimum dari
daerah di samping dengan fungsi

objektif f (x, y)  2x  3y adalah .... (0,3) (5,3)
Pembahasan: (0,0)
f (x, y)  2x  3y X
(4,0)

f (0,0)  0  0  0

f (4,0)  8  0  8

f (5,3) 10  9 19

f (3,7)  6  21  27

f (0,3)  0  9  9

Maka, nilai maksimum = 27 di titik (3, 7) dan nilai minimum = 0 di titik (0, 0).

 Dengan garis selidik

Jika diketahui fungsi objektif f (x, y)  ax  by maka garis selidiknya ax  by  k , dengan k  R . Titik
yang terkena paling awal/akhir dari garis selidik adalah titik optimumnya.