Modul Matematika

Contoh: Y
D(3,7)
Nilai optimum dari gambar di samping
dengan fungsi objektif f (x, y)  2x  3y
adalah ....
Pembahasan:

Garis selidik : y0x3 E(0,3)
2x  3y  6 x0 y 2
C(5,3)

Titik awal dan terakhir yang terkena garis 2
selidik adalah titik A dan D, maka di titik
itulah terjadi nilai optimum. X
f (x, y)  2x  3y
A(0,0) 3 B(4,0)

garis selidik:
2x + 3y = k

Untuk titik A(0,0): f (0,0)  2(0)  3(0)  0  0  0 (minimum)

Untuk titik D(3,7): f (3,7)  2(3)  3(7)  6  21  27 (maksimum)

Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika adalah penerjemahan dari kendala-kendala dalam sebuah kejadian ke dalam
bentuk sistem pertidaksamaan linier. Setelah mendapat model matematikanya maka bisa dicari nilai-nilai
optimumnya sebagai solusi kejadian tersebut.
Contoh:
Mas Bejoo akan mengangkut 20 sapi dan 12 domba dengan dengan kendaraan truk dan pick-up. Setiap
truk mampu mengangkut 4 sapi dan 2 domba, sedangkan pick-up mampu mengangkut 2 sapi dan 3
domba sekali angkut. Biaya angkut truk Rp.1.000.000,00 dan biaya angkut pickup Rp.450.000,00. Carilah:
a. Model matematikanya
b. Biaya minimum untuk mengankut ternak
c. Jumlah truk dan pickup agar biaya angkutnya minimum

Pembahasan: Catatan:
a. Mencari model matematika  Jika ditanyakan nilai maksimum maka tanda

Misalkan, jumlah truk = x dan jumlah pick-up = y. sistem pertidaksamaannya “  ”.

Truk Pick-up Total  Jika ditanyakan nilai minimum maka tanda
4 (x) 2 (y) 20
2 (x) 3 (y) 12 sistem pertidaksamaannya “  “.
1.000.000 (x) 450.000 (x)
Sapi
Domba
Biaya

Y

10 B(0,10)

Maka, model matematikanya adalah: 4
4x  2y  20  2x  y 10
2x  3y 12 C A(6,0) X
x0 5 6
y0
f (x, y)  1.000.000x  450.000y

b. Mencari biaya minimum

2x  y 10 x  0  y 10 Cari titik potong C:
y0x5 2x  3y  12

2x  y  10 

daerah yang tidak terdapat titik (0,0) 2y  2 y 1

2x  3y 12 x0 y 4 x  4 1
y0x6 2

Maka, titik C (4 1 ,1) .
2

daerah yang tidak terdapat titik (0,0)

f (x, y)  1.000.000x  450.000y
f (6,0)  6.000.000  0  6.000.000
f (0,10)  0  4.500.000  4.500.000

f (4 1 ,1)  4.500.00  450.000  4.950.000
2

Jadi, biaya minimumnya adalah Rp.4.500.000,00

c. Jumlah kendaraan yang dipakai agar biaya minimum dipenuhi:

Nilai minimum dicapai dititik B(0,10) artinya hanya dipakai kendaraan pick-up saja sebanyak 10,
sedangkan truk tidak dipakai sama sekali.

Matriks

Notasi dan Istilah Dalam Matriks

Matriks adalah penulisan sekumpulan ilangan dalam bentuk baris dan kolom. Biasanya dilambangkan
dalam huruf kapital.

 a11 a12 .... a1n  baris ke-1
  baris ke-2
A   a21 a22 .... a2n 
 .... ....
.... .... 

am1 am2 .... amn 

kolom ke-2
kolom ke-1

a11 : artinya elemen baris ke-1 dan kolom ke-1
a12 : artinya elemen baris ke-1 dan kolom ke-2
a22 : artinya elemen baris ke-2 dan kolom ke-2
amn : artinya elemen baris ke-m dan kolom ke-n

Ordo (Ukuran Matriks)

Ordo adalah ukuran matriks yang ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom. Jika banyak baris m dan

banyak kolom n maka ordo matriks tersebut adalah m  n atau biasa ditulis Amn .
Berikut adalah contoh-contohnya :

A23  1 3 4 B13  3 10 4
2 7 3
1 baris dan 3 kolom
2 baris dan 3 kolom
(disebut jg matriks baris)

2 4 0 4
A33   1 3   
9  C31   3 

 7 8  3  1

3 baris dan 3 kolom 3 baris dan 1 kolom

(disebut juga matriks persegi) (disebut juga matriks kolom)

Transpos Matriks

At adalah transpos matriks A, artinya baris matriks A menjadi kolom matriks At dan kolom matriks A

menjadi baris matriks At . Berikut adalah contoh-contohnya :

3 10 3 5  2  5 2 4  7 2 Catatan
5 10 8    5 3 4 Bt  3 :
A  8   At  ; K   4 3   Kt  8  ; B  2 3
 8   4 Amn  Antm
 7

Operasi Matriks

Matriks Sama

Dua matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan nilai setiap elemenya juga sama.
Contoh:

Jika A   1  4 dan B  a  2b  4 matriks yang sama, maka nilai ab adalah ....
2a    8 
b 7   7 

Pembahasan:

AB

 1  4  a  2b  4
2a  b   8 
7   7 

a  2b  1 2 2a  4b  2
2a  b  8 1 2a  b  8 

 5b  10  b  2
a  2b  1  a  3

Maka, nilai a + b = 5.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang sama.
Cara menjumlahkan/mengurangkan matriks adalah dengan menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen
yang seletak.
Contoh:
Diketahui matriks-matriks berikut:

 2 0 x 2 4 2
M   3 9 N  2 y  2 P  7 7

 8 1  z 5  1 6

Jika berlaku M  N  P maka nilai x  y  z  ....

Pembahasan:  x24x2 x yz2570
M NP  2y 37
 2 0  x 2  4 2
 3 9  2 y  2  7 7 2y 10  y  5
 8 1  z 5  1 6  z  8 1 z  7

 x  2 2 4 2
2 y  3 7  7 7
 z  8 6 1 6

Perkalian Matriks dengan Konstanta

a b   ka kb dengan k adalah konstanta.
k c d  kc 
 kd 

Contoh:

3 x  1 2
2 12 63 4 maka nilai x dan y adalah ....
 y  1

Pembahasan:

3 x  1 2
2 12 63 4
 y  1

6 2x  6 12
2y  2 24 18 24

 2x 12  x  6
 2y  2 18

2y  20  y 10

Maka, nilai x = 6 dan y =10.

Perkalian Dua Matriks

Dua matriks bisa dikalikan jika jumlah kolom pada matriks pertama dengan jumlah baris pada matriks
kedua, berikut gambarannya:

Amn . Bn p  Cm p

harus sama

Berikut adalah cara mengalikan dua matriks :

 a11 a12 b11 b12 b13    a11b11  a12b21 a11b12  a12b22 a11b13  a12b23 
a21 a22 b21 b22 b23  a21b11  a22b21 a21b12  a22b22 
 a21b13  a22b23 

Contoh:

1. A32  B25  C35

2. P13  B34  C14

3. M 23  N25  ?  tidak memenuhi syarat

4. Jika diketahui A  2 4 dan B  4 7 7 maka hasil dari A B adalah ....
 1 5 1 2 3

Pembahasan:

2 44 7 7   (2)(4)  (4)(1) (2)(7)  (4)(2) (2)(7)  (4)(3) 
 1 51 2 3 (1)(4)  (5)(1) (1)(7)  (5)(2) (1)(7)  (5)(3)

  84 14  8 14  12   12 6 26
 4  5  7  10  7  15   17 
 1 8 

Dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat:
1. AB  BA (tidak berlaku sifat komutatif, jika ada hanya berlaku untuk matriks tertentu saja)
2. A  (B  C)  (A  B)  C (berlaku sifat asosiatif)
3. A(B  C)  AB  AC (berlaku sifat distributif)

( A  B)C  AC  BC

4. A.I  A  I . A  A dengan I adalah matriks identitas, I  1 0
0 1

5. (A  B)t  Bt  At

6. Jika A adalah matriks persegi , maka :

A2  A A
A3  A  A2

A4  A  A3
....
An  A  An1
Contoh:

1. Jika diketahui (M  N)2 maka pernyataan berikut benar, kecuali....

a. (M  N)(M  N)

b. M 2  MN  NM  N 2

c. M 2  2MN  N 2
d. MM  MN  NM  NN
e. M (M  N)  N(M  N)

Pembahasan:
(M  N)2  (M  N)(M  N)  jawaban (a) betul

 M (M  N)  N(M  N)  jawaban (e) betul

 MM  MN  NM  NN  jawaban (d) betul

 M 2  MN  NM  N 2  jawaban (b) betul

 M 2  2MN  N 2  jawaban (c) salah, karena MN  NM

Jadi, jawabannya adalah © .

2. Diketahui A  4 7 dan I adalah matriks identitas, maka nilai dari A2  2AI  I  ....
7 1

Pembahasan:

A2  2AI  I  AA  2A  I

 4 74 7  4 7  1 0
7 17 1 27 1 0 1

 16  49 28  7  8 14  1 0
 28  7 49  1 14 2  0 1

 65 35  8 14  1 0  74 49
35 50 14  0 1 49 53
2 

Determinan dan Invers

Determinan Matriks 2 x 2

A  a b maka det A  A  ad  bc
c 
d 

Contoh:

Determinan dari matriks A  6 2
3  2 adalah ....

Pembahasan:

A  6 2 ; det A  6(2)  2(3)  12  6  18
3  2

Determinan Matriks 3 x 3

a11 a12 a13 
A  a21 
a22 a23 

a31 a32 a33 

Dengan metode Sarrus, maka nilai determinan matriks A adalah ....

(–) (–) (–)

a11 a12 a13 a11 a12
det A  a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

(+) (+) (+)
det A  (a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 )  (a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12 )

Contoh:
2 3 1

Dari matriks A  0 4 5 maka det A  ....
3  2 1

Pembahasan:

2 3 12 3
A 0 4 5 0 4

3 2 1 3 2

det A  (8  45  0)  (12  20  0)  53  (8)  61

Invers Matriks
Jika dua matriks dikalikan hasilnya matriks identitas, maka kedua matriks tersebut saling invers.

A  B  I maka A  B 1 atau B  A1
Berikut adalah cara membuat invers sebuah matriks:

A  a b
c 
d  Catatan:

A1  1 d b ; ad  bc  0 Sebuah matriks A, jika det A=0 maka
 c 
 disebut matriks singular dan matriks tersebut
tidak punya invers.

ad bc a

Contoh:

1. A  4 1 maka nilai A1  ....
9 2

Pembahasan:

A1  1 2  1
  9 
8 9 4 

 1 2  1  129  1   2 1
1  9     4
4  4   9

2. Matriks M  2x 1 4 tidak punya invers, maka nilai x adalah ....
 3
 x  2

Pembahasan:

M  2x 1 4
 3
 x  2

M tidak punya invers maka det M = 0.

det M = 0
3(2x  1)  4(x  2)  0

6x  3  4x  8  0

2x 11  0

2x  11
x  5,5

Sifat- sifat invers adalah:

1. A  A1  I atau A1A  I
2. ( A  B)1  B1  A1 atau (A  B  C)1  C 1  B1  A1

Contoh:
1. Bentuk sederhana dari BA(B  A1)B1  ....

Pembahasan:
BA(B  A1)B1  (BAB  BAA1)B1

 (BAB  BI)B1
 (BAB  B)B1
 BABB1  BB1
 BAI  I
 BA  I

Penyelesaian Persamaan Matriks

A X  B , X ? Catatan :
 X  A1.B Ingat dalam matriks tidak ada pembagian. Sebuah matriks saat
berpindah ruas berubah jadi inversnya. Dan, ingat posisi tidak
X  A  B, X  ? berubah, jika awalnya ada di sebelah kiri, maka saat berpindah ruas
 X  B  A1 juga tetap berada di sebelah kiri.

Contoh:

1. Diketahui A  2 3 , B  4 7 . Jika AX  B maka matriks X adalah ....
1 1 7 1

Pembahasan:
AX  B
X  A1B

X  2 1 3 1 3 4 7  1442114 73    17 4   17 4
 1 2  7 1 7  2  10 5 10 5 

2. Diketahui 6 4  4 2 , maka matriks P adalah ....
P2 1 8 6

Pembahasan :

6 4  4 2
P2 1 8 6

AB

PA B
P  B  A1

P  4 2 1  1  4
8 6 6  8  2 
6 

 1 4 2 1  4   1 44  16  12    1 0  4  0 2
2 8 6 2  2 8 12  32  36 2  4  2  2
6  4 

Penyelesaian Persamaan Linier

Persamaan Linier Dua Variabel

Jika diberikan persamaan linier sebagai berikut:
ax  by  p
cx  dy  q

Kemudian, jika dinyatakan dalam matriks diperoleh:

a b  x   p a bp ba p
c d  y  D , Dx  q d , Dy  c q
  q  d
 c

x  Dx dan y  Dy
DD

Contoh:

1. Suatu sistempersamaan linier :

 5x  y  2
 4x  2y  10

Berapakah nilai x dan y yang memenuhi?

Pembahasan:

 5x  y  2  5  1  x    2
 4x  2y  10   4   y  10 
2   

5 1  x  Dx  6  1
D   10  4  6 D6

4 2  y  Dy  42  7
D6
 2 1
Dx  10  4  (10)  6
2

5 2
Dy   4  50  8  42
10

Persamaan Linier Tiga Variabel

Misalkan, diberikan sistem persamaan linier tiga variabel berikut :

aa21xxbb21 y  c1z  p1
y  c2 z  p2

 a3x  b3 y  c3z  p3

Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, diperoleh:

 a1 b1 c1  x  p1 
a2  y  
b2 c2    p2 

a3 b2 c3  z   p3 

a1 b1 c1 p1 b1 c1 a1 p1 c1 a1 b1 p1

D  a2 b2 c2 , Dx  p2 b2 c2 , Dy  a2 p2 c2 , Dz  a2 b2 p2

a3 b2 c3 p3 b2 c3 a3 p2 c3 a3 b2 p3

 x  Dx , y  Dy , z  Dz
D DD

Contoh:

1. Sistem persamaan linier :

x  y  z  6
2x  y  z  7
x  3y  z  10

Maka, penyelesaiannya adalah .... 1 – 2

Pembahasan:

1 1 1 x  6 
2 1  y  
1    7 

1 3 1 z  10

(–) (–) (–)

1 11 11
D 2 1 1 2 1  (11 6)  (1 3  2)  8  6  2
13
1 31

(+) (+) (+)
6 11 6 1

Dx  7 1 1 7 1  (6 10  21)  (10 18  7)  37  35  2
10 3 1 10 3

1 61 16
Dy  2 7 1 2 7  (7  6  20)  (7 10 12)  33  29  4
1 10
1 10 1

11 6 11
Dz  2 1 7 2 1  (10  7  36)  (6  21 20)  53  47  6
13
1 3 10

 x  Dx  2  1 , y  Dy  4  2 , z  Dz  6  3
D2 D2 D2

Barisan dan Deret

Notasi Sigma

Notasi Sigma adalah sebuah notasi atau lambang yang digunakan untuk menuliskan satu penjumlahan
yang beraturan secara ringkas. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut:

n

Ui  U1  U2  U3  ...  Un

i 1

Contoh:

4

 (i  4)  (1  4)  (2  4)  (3  4)  (4  4)  5  6  7  8  26

i1

Sifat- sifat notasi sigma:

n4

 1. K  nK ; dengan K adalah konstanta. Contoh: 6  4(6)  24

i1 i1

nn 55
 2. KUi  K Ui . Contoh: 3i  3i 3(1 2 3 45)  45
i1 i1
i1 i1

n nn 3 33
  3. Ui  Vi   Ui  Vi . Contoh: 3i  7i  3i  7i 3(1 23)  7(1 2 3) 18 42 60
i1 i1 i1 i1 i1 i1

n nn 3 33
  4. Ui  Vi   Ui  Vi . Contoh: 3i  7i  3i  7i 3(1 23) 7(1 23) 18 42   24
i1 i1 i1 i1 i1 i1

m nn 35 5
  5. Ui  Ui  Ui . Contoh: 5i  5i  5i 5(1 2 3 4 5) 75
i1 i4 i1
i1 im1 i1

n n2 86
 6.  Ui  Ui2 . Contoh: 4i  4(i  2)  4[(1 2)  (2 2)  (3 2)  (4  2)  (5 2)  (6  2)]132
i3 i1 i3 i1

n n2

 7. Ui  Ui2 . Contoh:
i3 i5

8 10

 4i   4(i  2)  4[(10  2)  (9  2)  (8  2)  (7  2)  (6  2)  (5  2)] 4(8  7  6  5  4  3) 132

i3 i5

k5

 8. Ui  U k . Contoh: i  3  5  3  8
ik i5

Contoh:

1. Suatu barisan 5  7  9 11 13 dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma .....
Pembahasan:
U1  5  2(1)  3
U 2  7  2(2)  3
...
U5  13  2(5)  3 ...
 Ui  2(i)  3

5

Jadi, penulisannya dalam notasi sigma: 2i  3

i1
4

  2. Nilai dari i2  3i  ....
i2
Pembahasan:
 4 4 4
 i2  3i  i2  3i
i2 i2 i2
 (22  32  42 )  3(2  3  4)
 (4  9  16)  3(9)
 29  27
 56

Barisan dan Deret Aritmetika

Unsur-unsur Dalam Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika adalah susunan angka yang memiliki selisih suku berututan selalu sama. Berikut adalah

contohnya:

2 5 8 11 14 .... a a  b a  2b a  3b a  4b ....

   

U1 U2 U3 U4 U5 U1 U 2 U3 U4 U5

Unsur-unsur dalam barisan atau deret aritmetika: Catatan:
 Suku pertama (a)
Unsur terpenting dalam deret aritmatika:
a  U1 a, b, dan n

 Beda (b) Untuk contoh data:
b  U n  U n1 b  U2  U1  5  2  3

Contoh:

b U5 U4

b U2 U1 ke-n (U n )Untuk contoh data:
 Suku U 4  11

U n  a  (n  1)b U 5  14

Contoh: U 20  a  19b  2  19(3)  59

U 9  a  8b

U12  a  11b Untuk contoh data:

 Jumlah n suku pertama (Sn ) S1  2

Sn  n 2a  (n  1)b Sn  n a Un S2  2  5 8
2 2
atau S3  2  5  8  15

S20  20 2a  19b
2

 104  27  10(31)  310

 Hubungan Un dan Sn CADAS:
U n  Sn  Sn1
Jika Sn  An 2  Bn , maka
Contoh: :
U4  S4  S3
U9  S9  S8 Un  Sn ' A
b  2A

Contoh:

1. Suatu barisan aritmetika dengan suku ketujuh dan suku keduabelas adalah 23 dan 38. Maka, jumlah

sepuluh suku pertama adalah ....

Pembahasan:

U 7  23 , U12  38 , S10  ?

U12  a 11b  38
U 7  a  6b  23 

5b  15  b  3
a5

Sn  n 2a  (n  1)b
2

S10  10 2(5)  9(3)  5(10  27)  5(37)  185
2

2. Jika diketahui rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika Sn  3n2  4n maka suku kesepuluhnya

adalah .... CADAS:
Pembahasan:
Sn  3n2  4n Sn  An 2  Bn
S1  3(1)2  4(1)  7 Un  Sn ' A

S2  3(2)2  4(2)  12  8  20 Sn  3n2  4n
Jadi, diperoleh : Un  6n  4  3
a  U1  S1  7 Un  6n 1
U 2  S2  S1  20  7  13 U10  6(10)  1  61

b  U 2  U1  13  7  6

Maka:

U10  a  9b  7  9(6)  7  54  61

Sisipan Barisan dan Deret Aritmetika

U1 U 2 berlaku: b'  b b’ = beda baru
disisipi k bilangan k 1 k = banyaknya sisipan

Contoh:
Jika di antara bilangan 10 dan 20 disisipi 4 bilangan maka deret aritmetika yang baru adalah ....
Pembahasan:
k=4
b  U 2  U1  20  10  10
Beda baru: b'  b  10  10  2

k 1 41 5
Maka, deret yang baru adalah 10 12 14 16 18  20 .

Suku Tengah

2 5 8 11 14 .... Keterangan:

U1 U2 U3 U4 U5 Ut : suku tengah
Uteng : suku tengah
Ut  a Un atau U teng  U pingki  U pingkan Upingki : suku pinggir kiri
2 2 Upingkan : suku pinggir kanan

Dari contoh data:

U3  U1 U5  2 14 8
2 2

U3  U2 U4  5  11  8
2 2

Dari sini juga dapat dirumuskan:

Sn  nUt

Dari contoh data: S5  5  8  40 .

Contoh:

Diberikan suatu barisan:

3, 7, 11, ..., 163, 167, 171

Maka, suku tengahnya adalah ....

Pembahasan:

Uteng  U pingki  U pingkan  3 171  174  87
2 22

Barisan dan Deret Geometri

Unsur-Unsur Dalam Barisan dan Deret Geometri

Suatu susunan angka dikatakan barisan geometri, jika perbadingan dua suku yang berurutan selalu tetap,
berikut contohnya:

1 2 4 8 16 .... a ar ar 2 ar 3 ar 4 ....
    
U1 U2 U3 U4 U5 U1 U2 U3 U4 U5

Unsur-unsur dalam barisan/deret geometri :
 Suku pertama (a)
 Rasio (r)

r  Un Untuk contoh data:
U n1 r U2  2 2

U1 1

Contoh: Untuk contoh data:
r  U2 ; r  U 22 U10  ar 9  (1)(29 )  (1)(512)  512

U1 U 21
 Suku ke-n (Un)

U n  ar n1

Contoh:
U5  ar 4
U77  ar 76

Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Sn  a(r n  1) untuk r>1 atau Sn  a(1  r n ) untuk r < 1
r 1 1 r

Untuk contoh data:

S9  (1)(29  1)  (1)(512  1)  (1)(511)  511
2 1 1

Contoh:
1. Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku kedua

barisan tersebut adalah....
Pembahasan:
U5  48 , U8  384 , U4  ?
U8  ar 7  384
U5 ar 4 48

r3 8r  2
U5  48  ar 4  48

a(24 )  48
a(16)  48  a  3
U 2  ar  (3)(2)  6
2. Diketahui (t  1), (t 1), (t  5) membentuk suatu barisan geometri, maka nilai t barisan tersebut adalah
....

Pembahasan:
r  U2  U3

U1 U2
t 1  t 5
t 1 t 1
(t 1)(t 1)  (t  1)(t  5)

t 2  2t  1  t 2  4t  5
4t  2t  5 1
2t  6
t  3

Sisipan Barisan dan Deret Geometri

U1 U 2 berlaku : r'  k1 r r’ = rasio baru
disisipi k bilangan k = banyak sisipan

Contoh:

Di antara bilangan 1 dan 8 disisipi 4 bilangan, maka rasio barisan geometri yang baru adalah ....
4

Pembahasan:

k 4, r  U2  8  32

U1 1
4

r'  k1 r  41 32  5 32  2

Suku Tengah

1 2 4 8 16 ....

U1 U2 U3 U4 U5

Ut  aUn atau Uteng  U  Upingki pingkan

Dari contoh data tersebut:
U  U U  116  4

3 15

U  U U  4 16  64  8
4 35

Contoh:
Jika diketahui barisan: 3, 6, 12, .... , 768.

Maka, suku tengahnya adalah ....

Pembahasan:

Uteng  U  Upingki pingkan

 2  768  2.304  48

Deret Geometri Tak Hingga (Konvergen)

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri dengan jumlah n suku tak hingga banyaknya ( n  
) dengan syarat deret tersebut semakin mengecil nilainya, seperti contoh berikut:
8  4  2 1 1  1  1  .... konvergen (nilai deret mengecil hingga suatu nilai tertentu)

248
2  6 18  54 162  .... divergen (nilai deret membesar tak hingga)

Syarat deret konvergen:

1 r 1
Jumlah deret tak hingga (jumlah seluruh deret) adalah:

S  a
1 r

Contoh:

1. Suatu deret tak hingga:
(x  2), (x  2)2 , (x  2)3, ....
Agar deret tersebut konvergen, maka nilai x yang memenuhi adalah ....
Pembahasan:
r  U 2  (x  2)2  x  2
U1 (x  2)
Syarat : 1 r 1  1 x  2 1 (semua ruas ditambah 2)
1 2 x  2  21 2
1 x 3
Jadi, x yang memenuhi adalah1 x  3 .

2. Suatu bola dari ketingian 10 meter jatuh ke tanah, kemudian memantul kembali dengan ketinggian 4
5

dari ketinggian sebelumnya. Begitu terus-menerus hingga bola berhenti. Maka, berapa meter jarak

yang ditempuh oleh bola tersebut?

Pembahasan:

awal = 10m

 4 4  10  8 4  
5 5 5
r 8 6,4

lintasan naik lintasan turun

lintasan naik = lintasan turun = S a 8  8  40
1 r 1 4
1
5 5

seluruh lintasan = awal + lintasan naik + lintasan turun

= awal + 2 x lintasan naik

= 10 + 2(40) = 10 + 80

= 90 m

Cadas:

Lintasan  awal   n  m  dengan r  m
n  m n

Lintasan  10   5  4  dengan r  4
 5  4  5

 10  9  90m

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah metode pembuktian kebenaran suatu pernyataan yang berhubungan dengan
deret. Langkahnya adalah :
1. Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n 1.
2. Jika pernyataan tersebut benar untuk n  k maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk n  k  1

Contoh:
1. Buktikan bahwa 2  4  6  ....  2n  n2  n .

Pembahasan:

 Untuk n = 1 maka:
2n  2(1)  2 (benar)

 Untuk n = k
n2  n  k 2  k ( kita anggap benar)
Untuk n = k +1 kita harus buktikan hasilnya (k  1)2  (k  1)
2  4  6  .... 2k  k 2  k
2  4  6  .... 2k  2(k 1)  (k 1)2  (k 1)
k 2  k  2(k 1)  (k 1)2  (k 1)
k 2  k  2k  2  (k 1)2  (k 1)
(k 2  2k 1)  (k 1)  (k 1)2  (k 1)
(k 1)2  (k 1)  (k  1)2  (k  1) (terbukti)
Karena pernyataan tersebut benar untuk n = k dan n = k +1, maka pernyataan tersebut berlaku
untuk semua n bilangan asli.

Vektor

Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah.

B

A AB  
a

Ruas garis AB adalah adalah vektor AB atau biasa ditulis juga sebagai vektor 
a.

Vektor Dua Dimensi (2D) dan Tiga Dimensi (3D)

Dalam bidang koordinat Cartesius, vektor bisa terletak pada bidang 2 dimensi, yaitu sumbu-X dan sumbu-
Y, bisa juga terletak pada bidang 3 dimensi yaitu sumbu-X, sumbu-Y, dan sumbu-Z.
Dalam Dimensi Dua (Bidang)

Y

Maka,
X

PQ  Q  P   5    2    34  (3,4)  3iˆ  4 ˆj
7 3

QP  P  Q   32    57     3   (3,4)  3iˆ  4 ˆj
 4

Dalam Dimensi Tiga (Ruang)
Y

X
Maka,

Z

PQ  Q  P   4   2    2   (2,2,6)  2iˆ  2 ˆj  6kˆ
5 3   2
7 1   6

QP  P  Q   2    4    2   (2,2,6)  2iˆ  2 ˆj  6kˆ
 3 5   2

1  7   6

Panjang Vektor

Jika   (a1, a2 ) atau   (a1, a2 , a3 ) maka panjang vektor  
a a a (ditulis a ) adalah:

  a12  a22 atau   a12  a22  a32
a a

Contoh: 
a
1. Vektor a  (3, 4) maka panjang vektor adalah ....

Pembahasan:

  32  42  9 16  25  5
a


2. Titik A(2,1,3) dan B(4, 6, – 4). u mewakili vektor AB maka panjang vektor u adalah ....

Pembahasan:

  AB  B  A   4   2  2 
u 6   1   5 

  4 3    7

  22  52  (7)2  4  25  49  78
u

Vektor Satuan

Vektor satuan  adalah  .
a a
a

Contoh: 
u
1. Jika   (4,3) maka vektor satuan adalah ....
u

Pembahasan:

vektor satuan u  u  (4, 3)  (4, 3)  (4, 3)  (4, 3)    4 , 3
u (4)2  32 16  9 25 5  5 5 

Operasi Vektor

Operasi Geometris (Menggunakan Gambar)

1. Penjumlahan
 Cara segitiga

 Cara jajargenjang
 Cara poligon

2. Pengurangan

3. Perkalian skalar

Contoh:

1. Jika ABCDEFadalah segi enam beraturan dengan AB   dan AF   . Nyatakn vektor AC dalam
u v

bentuk  dan  .
u v

Pembahasan:

E D ED
F C O

FC

AB AB

AC  AB  BO  OC BO  AF
OC  AB
AC  AB  AF  AB Catatan:
   Vektor dikatakan sama jika besar
 u  v  u dan arahnya sama.

   
2u v

Operasi Aljabar (Komponen Vektor)
1. Penjumlahan

a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 )

a  b   a1  b1   (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )
 a2  b2 
 
 a3  b3 

Contoh:

a  (3, 2,  4) dan b  (2, 5, 8)

a  b  (3  2, 2  5,  4  8)  (5, 7, 4)

2. Pengurangan

a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 )

a  b   a1  b1   (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )
 a2  b2 
 
 a3  b3 

Contoh:
a  (5, 6, 8) dan b  (2, 1, 2)

a  b  (5  2, 6 1, 8  2)  (3, 5, 6)

3. Perkalian dengan Konstanta

ka  k  a1    ka1   (ka1, ka2 , ka3 )
 a2   ka2 
   
 a3   ka3 

Contoh:

a  (2, 5,  3) maka 2a  2(2, 5,  3)  (4, 10,  6)

Perbandingan Vektor

Titik Segaris ( Kolinier)

A B C AC  k AB

Contoh:

1. Diketahui A(2, 1, 3) , B(4, r, s) , dan C(8, 6, 9) . Jika A,B, dan C segaris maka nilai r dan s adalah ....

Pembahasan: # 2k  6  k  3 # (s  3)k  6
AC  k AB  C  A  k(B  A) # (r 1)k  5 (s  3)3  6
s 3  2
8  2  4  2 (r 1)3  5 s5
6 1  kr 1 
9  3  s  3  r 1 5
3
6  2k 
5  (r 1)k  r  5 1  8
6 (s  3)k  33

Titik atau Vektor Pembagi Dalam Bentuk Koordinat

mn P  mB  nA
mn
AP B

Jika dilihat sebagai perbandingan, maka:
AP : PB  m : n
AB : BP  (m  n) : n

Contoh:

1. Jika P membagi ruas garis R(0, –4, 5) dan S(0, 1, 5) dengan perbandingan 3 : 2, maka koordinat titik P

adalah .... 32
Pembahasan:

RP : PS  3 : 2 RP S
R  3S  2R

32

 2(0,  4, 5)  3(0, 1, 5)  (0, 8, 10)  (0, 3, 15)  (0,  5, 25)  (0,1,5)
5 55

3. Jika diketahui P membagi A(2, 3, 1) dan B(8, –3, 7) dengan perbandingan 2 : –1, maka koordinat titik P

adalah .... 2 P
Pembahasan: AB
AP : PB  2 : 1

P  2B  (1)A –1 –1
2  (1) 2 PB

 2(8,  3, 7)  (1)(2, 3, 1) A
1

 (16, 6,14)  (2,3,1)

 (14,9, 13)

Titik atau Vektor Pembagi Dalam Bentuk Vektor

A mP

n  
mb na
B p  

mn

O

Contoh: APB
O
1. Perhatikan gambar di samping. Jika

  5iˆ  2 ˆj  4kˆ dan   3iˆ  4 ˆj  2kˆ maka
a b

vektor   ....
p

Pembahasan:

Karena P membagi ruas garis AB sama panjang, maka:

AP : PB  1:1
 
  1b    b  
p 1a a

11 2

 (3, 4, 2)  (5, 2, 4)  (2, 6, 6)  (1, 3, 3)
22

p  (1, 3, 3) atau p  iˆ  3 ˆj  3kˆ

Perkalian Skalar Dua Vektor

Jika   (a1, a2 , a3 ) dan  maka:
a b  (b1,b2,b3)

 atau        cos
a  b  a1  b1  a2  b2  a3  b3 a b a b

Dari rumus perkalian tersebut, maka untuk mencari sudut di antara dua vektor adalah:

cos    
a b

ab Catatan:

Sifat dalam perkalian skalar dua vektor adalah:
 
1.   b  b  
a a

2.           
a(b c) a b a c

3.      2
a a a

4. (a  b)2  a 2  b 2  2 a b cos

5. (a  b)2  a 2  b 2  2 a b cos

Contoh:
1. Diketahui P(3, 2, 1), Q(1, 0, 4) , dan R(2, 2, 3) maka hasil dari PQ .PR  ....

Pembahasan:
PQ  Q  P  (1, 0, 4)  (3, 2, 1)  (2, 2, 3)

PR  R  P  (2, 2, 3)  (3, 2, 1)  (5, 0, 2)

PQ  PR  (2, 2, 3)  (5, 0, 2)  (2)(5)  (2)(0)  (3)(2)  10  0  6  4

2. Jika sudut antara vektor   adalah 45 ;   4 dan   2 maka nilai dari   b)2  ....
a dan b a b (a

Pembahasan:

(a  b)2  a 2  b 2  2 a b cos

 42  22  2(4)(2)cos45

 16  4  16  1 2
2

 20  8 2

3. Diberikan   2i  3 j  k dan   3i  j  2k . Jika sudut di antara kedua vektor tersebut adalah 
u v

maka nilai cos dan sin adalah ....

Pembahasan:

  (2,3,1) dan   (3,1,2)
u v

cos  u  v  (2,3,1)(3,1, 2)  6  3  2

u v 22  32  (1)2  (3)2 12  22 4  9 1  9 1 4

 5 CADAS: 14
14 14 cos   5  samping 5

cos   5 ( 90    180 ) 14 miring
14

sin   171
14

tan   171 ; nilai tan di 90    180 negatif (–)
5

Proyeksi Vektor

Jika sebuah vektor  diproyeksikan ke vektor  maka akan didapat sebuah vektor hasil proyeksi yang
a b

searah vektor   ke vektor  yang hasilnya vektor  .
b . Berikut diberikan gambaran proyeksi vektor a b c

1. Proyeksi skalar

    
c a  b menghasilkan nilai skalar vektor c (panjang vektor c )

b

2. Vektor proyeksi (ortogonal)

     
c a b b
2
b 
menghasilkan vektor (persamaan vektor c )

Contoh:

1. Vektor   2iˆ  3 ˆj  4kˆ diproyeksikan ke   2iˆ  2 ˆj  kˆ menghasilkan vektor 
a b c , maka panjang dan


persamaan vektor c adalah ....

Pembahasan:


# panjang vektor c

c  a  b  (2, 3, 4)(2,  2, 1)  4  6  4  2  2
b 22  (2)2 12 4  4 1 9 3

# persamaan vektor 
c

 a  b b  (2, 3, 4)(2,  2, 1)  (2, 2,
 c 1)
2 2
b 22  (2)2 12

 4  6  4 2,2,1

4 41

c  2 (2,  2, 1) atau c   4, 4 , 2 atau   4 iˆ  4 ˆj  2 kˆ
9  9 9 9  c 9 9 9

Transformasi Geometri

Pengertian Transformasi

Transformasi adalah proses perubahan dari satu keadaan menjadi keadaan baru. Dalam matematika,
bentuk umum suatu transformasi adalah:

B'  T  B

B = Benda (keadaan awal) berupa titik atau garis
B‘ = Bayangan (keadaan akhir)
T = Transformasi
Sedangkan, jenis-jenis transformasinya adalah:
1. Translasi (pergeseran)
2. Dilatasi (perkalian)
3. Refleksi (pencerminan)
4. Rotasi
5. Menggunakan matriks

Translasi

Translasi adalah suatu proses transformasi yang memindahkan benda(titik/garis) pada jarak tertentu.
Bentuk umumnya adalah:

B'  T  B atau  xy''   ba    x 
y

Contoh:

1. Sebuah titik (3, 5) ditransli oleh 7 4 , maka bayanganya adalah ....

Pembahasan:

B  (3, 5) dan T   7 4 


B'  T  B

B'   7 4    53 


B'  110

2. Sebuah garis 2y  3x  8 ditranslasikan oleh 12 . Bayangan garis tersebut adalah ....

Pembahasan:

g : 2y  3x  8 , T  12 , g'  ?

 xy''   a    x 
b y

 xy''  12   x    xy''  12 x  x' 2  x y' 1 y
y y x  x'2 y  y'1

g : 2y  3x  8

g': 2( y'1)  3(x'2)  8

2 y'2  3x'6  8

2y'3x'8  8

2 y'3x'  16 atau tanda aksen (‘) bisa dihilangkan, sehingga diperoleh :

 g ': 2y  3x 16

Dilatasi

Dilatasi adalah proses transformasi yang mengubah jarak suatu titik terhadap titik tertentu dengan suatu
faktor pengali. Notasi dilatasi adalah [P, k] dengan P adalah pusat dan k adalah faktor pengali.
Contoh:
1. [O, 2] : artinya dilatasi dengan pusat O(0, 0) dengan faktor pengali 2.
2. [(2,3), 4] : artinya dilatasi dengan pusat (2, 3) dengan faktor pengali 4.

Dilatasi dengan Pusat O(0,0)
Bentuk umumnya adalah:

B' k  B atau  xy''  k   x  atau  xy''   k 0    x 
y 0 k y

Contoh:
1. Titik H(2,3) didilatasi sebesar [O, 5] . Maka bayangannya adalah ....

Pembahasan:
H' k H
H ' 5(2,3)  (10,15)
2. Garis h : 2x  4y  3 didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2, sehingga bayangan yang
terbentuk adalah ....

Pembahasan:
h : 2x  4y  3

 xy''  x   xy''  2x  x' 2x y' 2y
y 2y
[O, 2]:  2    x  1 x' y  1 y'
2 2

h ' : 2  1 x '   4  1 y '   3
 2   2

x ' 2 y '  3

x2y 3

Dilatasi dengan pusat A(a, b)

Bentuk umumnya adalah:

 xy''ab   k   x  ab  atau  xy''  k   x  ab    a 
y  y  b

Contoh:

1. Bayangan yang terbentuk jika titik R(2,3) didilatasikan dengan faktor skala –2 dan dengan pusat (1, 2)

adalah ....

Pembahasan:
R(2, 3) , pusat (1, 2), faktor skala = –2, R’= ?

 xy''  2   2  12   12 
3

 212   12     2   12     12 
 4

Jadi, R’(–1, –2).

2. Bayangan dari garis x  y  12 oleh dilatasi [P, 2] dengan P(0, 3) adalah ....

Pembahasan:
g : x  y  12 , pusat (0, 3), faktor skala 2, g’= ....

 xy''ab   k   x  a 
y  b

 xy''03  2   x  03
y 

 xy''3  2x  x' 2x y'3  2 y  6
2y y'3  2 y  y  y'3
  6 x  1 x'
2 2

g : x  y  12

g': 1 x' y'3  12
2 2

x '  y '  3  24

x' y' 21
Jadi, g : x  y  21.

Refleksi

Refleksi Terhadap Sumbu-X yang berubah adalah nilai y: dalam bentuk matriks:
A(x, y) Mx  A'(x, y)
Y  xy''   1 01 x 
0 y
y A(x, y)

xX
-y

A'(x, y)

Contoh:
1. P(3, 4) Mx P'(3, 4)
2. P(2, 8) Mx  P'(2, 8)
3. g : 3x  2y  4 Mx  g ' : 3x  2y  4

Refleksi Terhadap Sumbu-Y

Y A(x, y) yang berubah adalah nilai x: dalam bentuk matriks:
A'(x, y) xX
:A(x, y) My  A'(x, y)  xy''   1 10  x 
y 0 y

-x

Contoh:
1. P(5, 6) My P '(5, 6)
2. P(5, 4) My  P '(5,4)
3. g : 3x  5y 1My  g ' : 3x  5y 1

Refleksi Terhadap y = x

Y yx

A(x, y)

x dan y saling bertukar: dalam bentuk matriks:
A(x, y) M yx  A' ( y, x)
A'( y, x)  xy''   0 1  x 
1 0 y
X

Contoh:
1. P(3, 5) Myx P '(5,3)

2. g : 4x  5y  10 Myx g': 4y  5x  10

Refleksi Terhadap y = –x

A(x, y) Y

x dan y saling bertukar dan berganti tanda: dalam bentuk matriks:

A(x, y) Myx  A' ( y,x)  xy''   0 01 x 
1 y
A'( y,x)

X

Contoh:

1. P(3,5) Myx  P' (5,3)

2. g : 4x  5y  10 Myx g': 4(y)  5(x)  10 maka g': 4y  5x  10

Refleksi Terhadap Titik Pusat x dan y berganti tanda: dalam bentuk matriks:
A(x, y) Mo  A' (x, y)
Y  xy''   1 01 x 
0 y
A(x, y)

X

A'(x, y)

Contoh:
1. P(10,7) Myx P' (10,7)
2. g : 3x  2 y  23 Myx g': 3x  2 y  23

Refleksi Terhadap Garis x = h

A(x, y) A(2h  x, y)

xh hanya nilai x yang berubah:
A(x, y) Mxh  A'(2h  x, y)

Contoh:
A(3,2) M x4  A' (2(4)  3, 2)  A' (5,2)

Refleksi Terhadap Garis y = k

A(x, y) hanya nilai y yang berubah:
A(x, y) Myk A'(x,2k  y)
yk

Contoh: A'(x,2k  y)

A(5,7) My3 A'(5, 2(3)  7)  A'(5,1)

Refleksi Terhadap Garis (h, k)

A(x, y) nilai x dan y berubah:
(h, k) A(x, y) M(h,k)  A'(2h  x, 2k  y)

Contoh:

A'(2h  x,2k  y)
A(6,3) M(1,2)  A'(2(1)  6, 2(2)  3)  A'(4,1)

Rotasi

Pusat  A’  A’ didapat dari A yang diputar sebesar  derajat
 A  rotasi yang diputar berlawanan arah jarum jam, sudutnya bernilai

A’ positif.

 A’ didapat dari A diputar sebesar   derajat.

 rotasi yang diputar searah jarum jam, sudutnya bernilai negatif.

Rotasi dengan Pusat O(0,0)

Rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut  bisa dinotasikan dengan [O, ] . Bentuk matriksnya adalah:

 xy''   cos  sin   x  Catatan: 90o -90o 180o - 180o 270o -270o
sin  cos y 1 -1 0 0
sin θ 00 -1 -1 -1 1
cos θ
00

Contoh:
1. Titik A(1,7) dirotasikan dengan sudut 90o searah jarum jam. Maka, bayangan titik A adalah ....

Pembahasan:

 xy''   cos  sin   x  ; θ = –90o karena searah jarum jam
sin  cos y

 xy''   cos(90 )  sin(90 ) 1 7 
 sin(90 ) cos(90 )

 xy''   0 101 7    0 7 0     7 
1  1  1

Maka A’(-7, - 1)

2. Garis 2x  3y  5 dirotasikan 270o berlawanan arah jarum jam. Maka, bayangan garis tersebut adalah

....
Pembahasan:

 xy''   cos  sin   x  ; θ = 270o karena berlawanan arah jarum jam
sin  cos y

 x'    cos 270  sin 270  x 
y'  sin 270 cos 270 y

 xy''   0 1  x    0  y 0   y x 
1 0 y  x  

 xy''   y x  x' y
 y' x  x  y'

h : 2x  3y  5

h ' : 2( y ')  3x '  5
 h ' : 2 y  3x  5

Rotasi dengan Pusat P(a, b)

Bentuk matriksnya adalah:

 xy''ab    cos  sin   x  ab  atau  xy''   cos  sin   x  ab    ba 
sin  cos y  sin  cos y 

Contoh:

1. Titik K(2, –4) dirotasi sebesar 45o dengan pusat (1,3). Maka, K’ adalah ....

Pembahasan:

 xy''   cos  sin   x  a    ba 
sin  cos y  b

 xy''   cos 45  sin 45  2  1 3  13
 sin 45 cos 45  4 

 xy''   1 2  1 2 1 7   13
 2 2 2 2
1
2 1

2

 xy''  1 2  7 2   13   1  7 2   13   4 2   13
 2 2 2   2  2 2    3 

1 2  7 1 7 2
2 2 2 2

 xy''   4 2 1 
  3 3 3

Jadi, K'(4 2 1,3 3  3) .

2. Kurva y  x2  2x 1dirotasikan searah jarum jam sebesar 270o dengan pusat (2, 1). Bayangan kurva

tersebut adalah ....

Pembahasan:

 x'a    cos  sin   x  a 
y'b sin  cos y  b

 xy''21   cos(270 )  sin(270 )  x  2 
 sin(270 ) cos(270 ) y  1

 xy''21   0 01 x  12   10((xx22))01(( y  1)     y  1
1 y  y  1) x  2

 xy''21    y  1 x'2   y  1 y'1  x  2
x  2 y  x'2  1 y'1  2  x
y  x'3 x  y'1

h : y  x2  2x 1

h': x'3  ( y'1)2  2( y'1) 1
 x'3  y'2 2y'1 2y'2 1
 x'  y'2 4y'1

 x  y2  4y 1

Transformasi dengan Suatu Matriks

Dalam transformasi bentuk ini matriks sudah disediakan. Bentuk matriksnya:

 x'   a b x  atau  x   1  d b  xy''
 y '  c    y  c a
  d   y  ad bc

Contoh:

1. Bayangan titik (5, 2) hasil transformasi titik tersebut oleh matriks  2 53 adalah ....
4

Pembahasan:

 xy''   a b  x 
c d y

 xy''   2 5352  1020610  1610
4

Maka, bayanganya adalah (16, –10).

2. Garis x  2y 6 ditransformasikan oleh matriks  2 6  . Maka, bayangannya adalah ....
1 4

Pembahasan:

 x   ad 1 bc  d b  xy''
y  c a

 x   8 1 6  4 26 xy''  1  4xx''62yy''
y  1 2

 x   2x'3y'  x  2x'3y'
y 
  1 x' y' y   1 x' y'
2 2

g : x  2y  6

g : 2x ' 3y ' 2 ( 1 x ' y ')  6
2

2x' 3y' x'2y'  6

x y 6

Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah gabungan beberapa transformasi terhadap suatu benda (titik atau kurva).
Sebuah benda yang ditransformasikan oleh T1 dilanjutkan oleh transformasi T2 maka komposisi/
gabungan transformasi terhadap benda sebut adalah T  T2  T1 .
Bentuk umum suatu komposisi transformasi adalah:

B '  Tn ... T2 T1 B

Contoh:

1. Suatu titik A (1, 2) di rotasikan +90o dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-X, maka

bayangan titik A adalah ....

Pembahasan:

T1   cos 90  sin 90    0 01  rotasi +90o
sin 90 cos 90 1

T2  10 01  pencerminan terhadap sumbu-X
A'  T2  T1  A

A'  10 0110 0112

A'   0 0112    12
1 

Maka, A’(–2, –1).

2. B(2, 5) ditranslasikan oleh 53 , kemudian ditransformasi dengan matriks  2 3  sehingga B’ = ....
1 4

Pembahasan:

T1   35  dan T2   2 43
1

B'  T2  T1  B

B'   2 3    35    52 
1 4

B'   2 43150  1504300   4450
1

Maka, B’(40, 45).

3. Suatu garis 2x  3y  2 dicerminkan terhadap garis y  x dan dilanjutkan dengan rotasi 90o searah

jarum jam, maka bayangannya adalah ....
Pembahasan:

T1   0 1   pencerminan terhadap y  x
1 0

T2   cos(90 )  sin(90 )    0 1   rotasi –90o
sin(90 ) cos(90 ) 1 0

g'  T2  T1  g

 xy''   0 10  10 10 x    10 01 x 
1 y y

 xy''   x y  x' x
 y' y  y  y'

g': 2x  3y  2

g': 2(x')  3( y')  2

 g ':2x 3y  2

IRISAN KERUCUT

PENGERTIAN IRISAN KERUCUT

Definisi
Irisan kerucut merupakan kurva yang terbentuk ketika sebua bidang memotong permukaan
kerucut tegak. Irisan kerucut dapat berupa lingkaran, parabola, elips dan hiperbola. Lingkaran
sudah pernah kita bahas di bab khusus lingkaran. Dalam bab ini kita akan membahas parabola,
elips dan hiperbola.

Secara defini irisan kerucut adalah himpunan tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan

titik tertentu dan jarak ke garis tertentu mempuyai perbandingan yang tetap. Perbandingan

tersebut biasa disebut eksentrisitas (e).

1. Eksentrisitas Lingkaran : 0

2. Eksentrisitas Elips :0<e<1

3. Eksentrisitas Parabola : e = 1

PARABOLA

PENGERTIAN PARABOLA
Parabola adalah kurva kumpalan dari titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang
sama terhadap titik (fokus) tertentu dan terhadap garis tertentu (direktris).
Dengan menurunkan d1=d2 , maka akan didapat parabola

Y

Dengan bentuk umum : d1

x2  4 py F(0, p) d2
X
1. Searah sumbu Y O(0,0)
2. Puncak O(0,0) y= - p
3. Fokus (0,p)
4. Sumbu simetri x = 0 (Sumbu Y)
5. Direktris y= -p

PARABOLA PUNCAK (0,0) SEARAH SUMBU X

Sebelumnya sudah dibahas parabola puncak (0,0) dan searah sumbu Y. Berikut adalah parabola

puncak (0,0) searah sumbu X. Y

Dengan bentuk umum : O(0,0) F(p, 0) X

y2  4 px d1

1. Searah sumbu X d2
2. Puncak O(0,0)
3. Fokus (p,0) x=-p
4. Sumbu simetri y = 0 (sumbu X)
5. Direktris x = -p

RINGKASAN PUNCAK PARABOLA (0,0)

Berikut diberikan video ringkasan parabola yang berpuncak di (0,0) baik yang searah sumbu X
maupun searah sumbu Y.

Contoh 1
Tentukan persamaan parabola dengan titik fokus F(0,4) dan puncak P(0,0).
Contoh 2
Tentukan persamaan parabola dengan titik api dan direktrisnya adalah (0,3) dan y + 3 = 0.
Contoh 3
Tentukan persamaan parabola dengan titik fokus (-3,0) dan direktrisnya x = 3.
Contoh 4
Tentukan persamaan parabola dengan garis direktrisnya x + 5 = 0 dan titik api (5,0).
Contoh 5
Buatlah gambar grafik dari persamaan berikut : y2  12x

PARABOLA PUNCAK (H,K) SEARAH SUMBU Y Y

( y  k)2  4 p(x  h) d1 d2
y=k - p
1. Searah sumbu X F(h,k+p) X
2. Puncak O(h,k) (h,k)
3. Fokus (h,k+p)
4. Sumbu simetri x = h O(0,0) x=h
5. Direktris y = k-p

PARABOLA PUNCAK (H,K) SEARAH SUMBU X
Y

( y  k)2  4 p(x  h)

1. Searah sumbu X P(h,k) F(h+p,k)
2. Puncak O(h,k) y =k
3. Fokus (h+p,k)
4. Sumbu simetri y = k O(0,0) d1 X
5. Direktris x = h-p
d2
x =h - p

RINGKASAN PARABOLA PUNCAK (H,K)

Berikut disajikan video ringkasan tentang parabola dengan puncak (h,k).
MENCARI TALI BUSUR

Latus rectum (Tali Busur) adalah garis yang memotong tegak lurus Y
dengan sumbu simeteri dan melalui fokus, jara titik potong

terebutlah yang disebut sebagai tali busur . F(0, p) B
Panjang tali busur AB = |4P| A X

O(0,0)

Contoh 6

Tentukan persamaan parabola dengan puncak (4, 2) dan titik fokus di (6, 2)

Contoh 7

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak di (2,3) dan melalui (4, 4)

Contoh 8

Tuliskan persamaan parabola yang titik fokusnya di F (3,9) dan direktrisnya y  1

Contoh 9

Tuliskan unsur-unsur parabola dari persamaan parabola berikut y2  4 y  4x 12

Contoh 10

Tuliskan unsur-unsur parabola dari persamaan parabola berikut x2  6x  8y 1

Contoh 11

Gambarlah grafik parabola dari persamaan x2  2x  2y  5  0

PENURUNAN RUMUS PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DI TITIK (X,Y)

Berikut disajikan video bagaimana menurunkan rumus untuk mencari persamaan garis singgung
yang diketahui titik singgungnya.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DIKETAHUI TITIK SINGGUNG (X,Y)

Rumus berikut digunakan jika diketahui titik singgung pada parabola. Titik singgung tersebut
(x1, y1) , maka persamaan garis singgungnya adalah :

Rumus Parabola Rumus Garis Singgung
y2  4 px yy1  2 p(x  x1)
x2  4 py xx1  2 p( y  y1)
( y  k)2  4 p(x  h) ( y  k)( y1  k)  2 p(x  x1  2h)
(x  h)2  4 p( y  k) (x  h)(x1  h)  2 p( y  y1  2k)

PENURUNAN RUMUS PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DENGAN DIKETAHUI GRADIEN

Berikut disajikan video bagaimana menurunkan rumus untuk mencari persamaan garis singgung
yang diketahui gradien garis singgungnya.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DIKETAHUI GRADIENNYA

Rumus berikut digunakan jika diketahui gradien garis singgung pada parabola tersebut. Dengan
gradien m , maka persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut .

Rumus Parabola Rumus Garis Singgung
y2  4 px y  mx  p

x2  4 py m
( y  k)2  4 p(x  h) y  mx  pm2
y  k  m(x  h)  p
(x  h)2  4 p( y  k)
m
y  k  m(x  h)  pm2

Contoh 12

Tentukan persamaan garis singgung setiap parabola y2  12x dititik (3, 6)

Contoh 13

Tentukan persamaan garis singgung (x 1)2  2( y  3) di titik (5,5)

Contoh 14

Tentukan persamaan garis singgung kurya y2  6y  6x  8  0 dititik (2, 4)

Contoh 15

Tentukan persamaan garis singgung parabola y2  10x dengan gradien 3

Contoh 16
Buatlah persamaan garis singgung kurva (x 1)2  2( y  3) dengan gradien tegak lurus dengan

garis 2 y  3  x

Contoh 17

Sebuah titik A(6, 2) berada diluar parabola (x 1)2  8( y 1) . Tentukan persamaan garis

singgung parabola yang ditarik dari titik tersebut

ELIPS

PENGERTIAN ELIPS

Himpunan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu (Fokus)
adalah tetap.

UNSUR-UNSUR ELIPS Y
A
1. Fokus : F1 dan F2 C1 F2 P2 X
2. Latus Rectum : F1F2 B
3. Puncak : P1 dan P2 P1 F1
4. Sumbu Mayor : P1 P2 C2
5. Sumbu Minor : AB
6. Tali Busur : C1 C2

PENURUNAN RUMUS PERSAMAAN ELIPS PUSAT (0,0) SEARAH SUMBU X

Beriku dijelaskan dalam video bagaimanan proses mendapatka rumus persamaan elips pusat

(0,0) yang searah sumbu X.

Bentuk umum : x2  y2 1 dengan ab
a2 b2

UNSUR-UNSUR RUMUS ELIPS PUSAT (0,0) SEARAH SUMBU X

Unsur-unsur elips dari rumus : x2  y2  1, adalah :
a2 b2

1. Pusat : (0,0)

2. Fokus : (c, 0) diketahui c2  a2  b2

3. Puncak : (a, 0)

4. Panjang sumbu mayor : 2a

5. Panjang sumbu minor : 2b

6. Eksentrisitas : e c
a

7. Garis direktris : xa
e

8. Panjang Tali Busur : L  2b2
a

PENURUNAN RUMUS PERSAMAAN ELIPS PUSAT (0,0) SEARAH SUMBU Y

Beriku dijelaskan dalam video bagaimanan proses mendapatka rumus persamaan elips pusat

(0,0) yang searah sumbu Y.

x2  y2 1 dengan a  b
b2 a2