Modul Matematika

Silogisme

pq premis 1
qr premis 2
 pr kesimpulan

Contoh:
1. Hasil dari penarikan kesimpulan berikut adalah ….

Jika saya rajin bersedekah maka rezeki saya makin banyak
Jika rezeki saya makin banyak maka saya makin bahagia
 ....

Pembahasan :
Misalkan:
p : Saya rajin bersedekah
q : Rezeki saya makin banyak
r : Saya makin bahagia

pq
qr
p  r

p  r : Jika saya rajin bersedekah maka saya makin bahagia

Jadi, kesimpulannya: Jika saya rajin bersedekah maka saya makin bahagia.

2. Diberikan 2 premis seperti berikut:
~p  q
qr
 ....

Maka, kesimpulannya adalah ....

Pembahasan:

~p  q Ingat bentuk ekuivalensi:
qr
p  q ~ p  q

 ....

Maka, premis pertama bisa diubah menjadi:
pq
qr
 pr

Jadi, kesimpulannya p  r .

3. Dari ketiga premis berikut : Ingat bentuk ekuivalensi:
premis 1 : ~ p  q
premis 2 : ~ r  ~q p  q ~ p  q
premis 3 : ~ r q  r ~ r ~ q
 ....
Kesimpulannya adalah .... Ini adalah bentuk silogisme:
Pembahasan:
premis 1 : ~p  q pq
premis 2 : ~r  ~q qr
premis 3 : ~r  pr
 ....
Premis 1 dan 2 diubah menjadi:
pq
qr
~r
 ....
Kemudian, diubah lagi menjadi:
pr
~r
~ p

Jadi, kesimpulannya adalah ~p.

Dimensi Tiga H G
E F
Kubus
D C
 Diagonal bidang B
Contoh diagonal bidang adalah AC, BG, dan FH. Aa

 Panjang diagonal bidang = a 2

 Diagonal ruang
Contoh diagonal ruang adalah AG, BH dan
seterusnya.

 Panjang diagonal ruang = a 3

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

a. Kedudukan Titik Terhadap Garis
1. Titik P terletak pada garis h, jika garis h melalui titik P.
P
h

2. Titik P di luar garis h, jika garis h tidak melalui titik P.
P
h

b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
1. Titik P di bidang α, jika bidang α melalui titik P.

P
α

2. Titik P di luar bidang α, jika bidang α tidak melalui titik P.
P

α

c. Kedudukan Garis Terhadap Garis
1. Garis g dan h berimpit, jika semua titik pada garis g terletak pada garis h, dan sebaliknya.

g=h

2. Garis g dan h berpotongan, jika memiliki satu titik potong.

g

h

titik potong

3. Garis g dan h sejajar, jika kedua garis tersebut tidak punya titik potong.

g
h

4. Garis g dan h bersilangan, jika kedua garis tersebut tidak berpotongan, tidak sejajar, dan tidak
berada pada bidang yang sama.

g



h
α
d. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
1. Garis g terletak pada bidang α, jika paling sedikit terdapat dua titik di garis g terletak pada bidang α .

g
α

2. Garis g sejajar dengan bidang α, jika terdapat garis pada bidang α yang sejajar dengan garis g.
g

α

3. Garis g menembus bidang α, jika garis g tidak terletak pada bidang α dan tidak sejajar dengan
bidang α. Atau, garis g pasti memiliki titik tembus terhadap bidang α.
g

titik tembus

α

e. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang

1. Bidang α dan  berimpit, jika kedua bidang tersebut punya daerah persekutuan.

Daerah persekutuan

α


2. Bidang α dan  sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak punya titik/garis/bidang persekutuan.

h



g
α

3. Bidang α dan  berpotongan, jika kedua bidang tersebut tidak sejajar.

B AB adalah garis perpotongan bidang

 α dan β.

α
A

Proyeksi

Proyeksi Titik
1. Proyeksi titik ke garis

Proyeksi titik P ke garis h adalah menarik garis tegak lurus dari titik P ke garis h.

P

P’
h

Titik P’ hasil proyeksi titik P

2. Proyeksi titik ke bidang

Proyeksi titik P ke bidang α adalah menarik garis tegak lurus dari titik P ke bidang α.
P

P’ Titik P’ hasil proyeksi titik P
α

Proyeksi Garis

1. Proyeksi garis ke garis

Proyeksi dari garis AB ke garis CD diperoleh dengan menarik garis dari titik A dan B tegak lurus ke

garis CD. B

A

C Proyeksi AB adalah A’B’
A’
B’ D

2. Proyeksi garis ke bidang

Proyeksi dari garis AB ke bidang α diperoleh dengan menarik garis dari titik A dan B tegak lurus ke ke

bidang α. B Garis AB berada di luar bidang α.
A

α A’ B’ Proyeksi AB adalah A’B’ B
Garis AB menembus bidang α,

sehingga titik A = A’.

αA B’ Proyeksi AB adalah AB’

B
Garis AB tegak lurus bidang α. Jadi,
proyeksi AB pada α adalah garis

AB itu sendiri.

A
α Proyeksi AB adalah titik A saja.

Jarak Titik, Garis, dan Bidang Dalam Dimensi Tiga

Jarak Antar-Dua Titik

B Jika diketahui sisi mendatar dan sisi tegaknya,
y maka jarak antara titik A dan B adalah:

A AB  x2  y2
x

B(x2, y2) Jika diketahui koordinat titik A dan B, maka
jarak antara titik A dan B adalah:
A(x1, y1)
AB  (x2  x1)2  ( y2  y1)2

Jarak Titik ke Garis
Jarak titik P ke garis h sama dengan jarak titik P ke hasil proyeksinya (P’), yaitu PP’.

P

PP’ adalah jarak titik P ke garis
h

P’ h

Jarak Titik ke Bidang
Jarak titik P ke bidang α sama dengan jarak titik P ke hasil proyeksinya (P’), yaitu PP’.

P
PP’ adalah jarak titik P ke garis α

P’
α

Jarak Dua Garis Sejajar
Jarak garis g dan garis h diperoleh dengan cara membuat garis lain yang memotong dan tegak lurus garis
g dan h. Jarak antara kedua titik potong itulah jarak garis g dan h.

l
Ag

AB adalah jarak garis g dan h
B

h

Jarak Antara Garis dan Bidang yang Sejajar
Jarak garis g ke bidang α diperoleh dengan cara menarik garis ke bidang α melalui sebuah titik di garis g,
sehingga garis tersebut tegak lurus dengan garis g dan bidang α.

g
P

PP’ adalah jarak garis g ke bidang α

P’
α

Jarak Dua Bidang yang Sejajar

Jarak antara dua bidang α dan  diperoleh dengan cara membuat garis yang menembus secara tegak
lurus pada bidang tersebut. Garis yang melalui kedua titik tembus pada bidang α dan  adalah jarak

antara kedua bidang tersebut.

Q



P PQ adalah jarak bidang α dan 
α

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Maka, jarak titik A ke garis EC adalah ....

Pembahasan: H G
Tarik titik proyeksi A ke EC (misalkan titik itu adalah P). Maka,

jarak A ke EC adalah panjang garis AP. Segitiga ACP dapat E F
digambarkan sebagai berikut: C
P
E D
P
63

6 A 6B

A 62 C

L  1 at Ingat, Bro!
2
AC = diagonal bidang = a 2
L AEC  1 AC  AE  1 EC  AP CE = diagonal ruang = a 3
22
Keterangan:
6 2  6  6 3  AP Alas (a) dan tinggi (t) harus saling tegak lurus.
6 2  AP Jadi, jika alasnya AC maka tingginya AE. Dan,
3 jika alasnya EC maka tingginya AP
AP  6 2  3
33

AP  6 6  2 6 cm
3

Maka, jarak titik A ke garis EC adalah 2 6 cm .

Sudut-Sudut Dalam Dimensi Tiga θ B
A B’
Sudut Antara Garis dan Bidang
Lihat gambar berikut.
Garis AB menembus bidang α di A dan B’ adalah proyeksi titik B.

Maka, sudut antara garis AB dan bidang α adalah BAB'  .

α

Sudut Antara Garis Bersilangan
Garis g dan h saling bersilangan. Untuk mencari sudut di antara garis g dan h, geser salah satu garis
sehingga berpotongan, maka titik potong itulah titik sudut antara garis g dan h.

gg

h Garis h digeser ke g θ h’

αα

Sudut di Antara Dua Bidang

Garis l adalah garis perpotongan bidang α dan  . Tarik garis di bidang α yang tegak lurus dengan garis l
(kita sebut garis g) dan tarik garis di bidang  yang tegak lurus dengan garis l (kita sebut garis h).
Perpotongan garis g dan h itulah yang membentuk sudut antara bidang α dan  , yaitu sudut θ.

h l

 g
α
θ

Contoh:

1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika T adalah tengah-tengah bidang atap. Jika AT

dan alas membentuk sudut θ maka nilai cos adalah ....

Pembahasan: G H
T
θ T
A 22 4 EF
T’
C D C

4
T’

AC diagonal bidang = a 2  4 2 A4 B
AT’ = 1 AC  2 2

2
AT  (2 2)2  42  8 16  24  2 6

cos  samping  2 2  1  3
miring 2 6 3 3

cos  1 3
3

3. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Sudut yang dibentuk antara bidang AFH dan CFH adalah θ,

maka nilai sin adalah ....

Pembahasan: sin 1   depan  AT '  2 2 1 1 3
2 miring AT 2 6 33
H G
T
samping  TT ' 4 2 1
cos 1   miring AT  26  63 6
2
EF

sin   2 sin 1  cos 1 
2 2
4D
C T  2  1 3  1 6  2 18
33 9
T’ θ 26
A 4B
26 1  1  2 2
2 2 3

4

22 22 C
A T’
Ingat, Bro!
42

Irisan Bangun Ruang Sin2A = 2sinA.cosA

Bidang irisan adalah sebuah bidang yang memotong bidang suatu bangun ruang sehingga membagi dua
bangun ruang tersebut. Untuk memperjelas, berikut contohnya.
Contoh:

Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P, Q, dan R adalah titik tengah dari AE, BC, dan CG. Maka, bidang

irisan yang terbentuk adalah .... X
H SG

Pembahasan:

Langkah-langkahnya sebagai berikut. T FR
1. Buat garis melalui QR dan perpanjangan garis FG, Z

E

sehingga kita mendapat titik potong X. PD C
2. Perpanjang garis FB sehingga berpotongan Q

dengan garis yang melalui QR di Y.

3. Perpanjang garis YP sehingga berpotongan A UB
dengan perpanjangan garis FE di Z.

4. Hubungkan titik X dan titik Z. Y

5. Maka, terbentuk segitiga XYZ yang memotong

bidang-bidang kubus di PQRSTU.

6. PQRSTU (segienam) itulah yang merupakan

bidang irisan kubus ABCD.EFGH.

STATISTIKA

Data Tunggal

Jika diberikan data tunggal berikut:

x1, x2 , x3, ... , xn

Dari data tersebut dapat diperoleh unsur-unsur statistika berikut.

 Rata- rata (mean)

x  x1  x2  x3  ........  xn n
n
 xi

atau ditulis x  i1
n

 Modus (Mo)

Modus adalah data yang sering muncul atau memiliki frekuensi terbanyak.

 Median (Me)

Median adalah data yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan.

M e  x( n21)

 Jangkauan (J)

Jangkauan adalah selisih data terbesar dengan data terkecil.

J  xmaks  xmin

 Kuartil (Q)

Kuartil adalah nilai yang membagi seluruh data menjadi 4 bagian, setelah data tersebut diurutkan.

Berikut ilustrasinya:

Bagian I Bagian II Bagian III Bagian IV

xQQ Q3 xn
112

Q2  Me (Median) Catatan :

Keterangan: Jika n ganjil Qi  X i (n1)
x1 = data terkecil
4
xn = data gerbesar
Q1 = kuartil 1 atau kuartil bawah Jika n genap Qi  X i n  1
Q2 = kuartil 2 atau kuartil tengah 42
Q3 = kuartil 3 atau kuartil atas

Operasi-operasi yang berhubungan kuartil adalah:

1. Jangkuan kuartil

J k  Q3  Q1

2. Simpangan kuartil (jangkuan semi interkuartil)

Sk  1 (Q3  Q1)
2

 Simpangan rata-rata (SR)

n

 xi  x

S R  i1 n

 Ragam (varians)

n atau S  SB2

(xi  x)2

S  i1
n

 Simpangan baku (SB)

SB  n atau SB  S

 (xi  x)2

i1

n

Contoh:

1. Dari hasil pendataan umur (dalam tahun) pada sebuah kelompok adalah sebagai berikut:

6, 1, 3, 8, 9, 10, 3,12, 3, 15

Carilah unsur- unsur dari data statistik tersebut!

Pembahasan:

a. Rata-rata:

x  6  1  3  8  9  10  3  12  3  15  70  7
10 10

b. Modus (Mo):

Mo = 3

c. Median (Me):

Data setelah diurutkan : 1, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 15

Me  x( n1 )
2

 x(1021)  x5,5 Letak median antara 6 dan 8. Jadi:

 68 Me  6  8  7
2 2

7

d. Jangkuan (J):

J  xmaks  xmin
J  15 1  14

e. Quartil (Q):
Setelah data diurutkan : 1, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 15

Q1  3 Q3  10

Q2  6  8  7
2

Jika dikerjakan dengan rumus, karena n genap (n=10) maka:

Qi  X i n 1
42

Q1  X 1 n 1  X 1 (10)1  X 5 1  X 3  3
42 42 22

Q2  X 2n 1  X 2(10) 1  X 5 1  X 5,5  7
42 42 2

Q3  X 3(10) 1  X 151  X8  10
42 22

Jk  Q3  Q1  10  3  7

Sk  1 (Q3  Q1)  1 (7)  3,5
2 2

f. Simpangangan rata-rata (SR):

n

 xi  x

S R  i1 n

SR  1 7  3  7  3  7  3  7  6  7  8  7  9  7  10  7  12  7  15  7

10

SR  644 411 2358  38  3,8
10 10

g. Ragam (varians):

n

(xi  x)2

S  i1
n

S  (1  2  (3  2  (3  2  (3  2  (6  2  (8  2  (9  7)2  (10  2  (12  2  (15  2
7) 7) 7) 7) 7) 7) 7) 7) 7)

10

S  36  16  16  16  1  1  4  9  25  64  188  18,8
10 10

h. Simpangan baku (SB):

n

 (xi  x)2

SB  i1 atau SB  S

n

SB  S  18,8  4,3

2. Terdapat data nilai matematika 5 orang anak sebagai berikut:

a, 4, 3, t, 9

Jika rata-rata kelas kelima anak tersebut adalah 6 dan nilai selisih a dan t (t > a) adalah 2, maka

berapakahan nilai t?

Pembahasan:

x  a43t 9 6 t  a  14
5 ta2 
a  t 16  30
a  t  14 2t  16
t 8

Data Tunggal dengan Frekuensi

Sama halnya dengan data tunggal, data tunggal dengan frekuensi ini hanya berbeda karena setiap data
yang ditampilkan memiliki frekuensi tertentu.
Berikut adalah contoh data berat badan di sebuah kelas 1 SD ditulis dalam bentuk tabel frekuensi:
24, 22, 25, 25, 21, 23, 24, 23, 22, 24, 21, 22, 23, 21, 21, 22, 25, 24, 23, 24

Tabel frekuensi Tabel frekuensi

Berat (kg) Frekuensi xi fi
21 4
22 4 x1 f1
23 4 x2 f2
24 5
25 3 ... ...
... ...

xn fn

Unsur- unsur statistika untuk data dengan frekuensi pada dasarnya tidak jauh beda dengan data tunggal

tanpa frekuensi. Perbedaannya, unsur-unsur statistikanya dikelompokkan dengan jumlah frekuensi

tertentu. Berikut ini unsur-unsur statistik tersebut:

 Rata- rata (mean)

n

 fi xi

x  i1
n

 Simpangan rata-rata (SR)

n

 fi xi  x

S R  i1 n

 Ragam (varians)

n

 fi (xi  x)2

S  i1
n

 Simpangan baku (SB)

SB  n

 fi (xi  x)2

i1

n

Contoh:

Tabel berikut menyajikan jumlah mobil yang dimilki oleh sekelompok orang.

Jumlah Mobil Jumlah Orang
3 4
4 4
5 3
6 6
7 3

Carilah unsur-unsur statistikanya!

Pembahasan:

xi fi fk fi  xi fi xi  x fi (xi  x)2

3 44 12 4|3 – 5|=8 4(3 – 5)2 = 16
4|4 – 5|=4 4(4 –5)2 = 4
4 48 16 3|5 – 5|=0 3(5 – 5)2 = 0
6|6 – 5|=6 6(6 – 5)2 = 6
5 3 11 15 3|7 – 5|=6 3(7 – 5)2 = 12

6 6 17 36

7 3 20 21

  fi xi  100 fi (xi  x)  38
 fi  20 fi xi  x  24

a. Rata-rata:

n
x
 fi xi  100 5

i 1

n 20

b. Modus (Mo):

Mo = 6 (karena nilai 6 frekuensinya paling banyak, yaitu 6.)

c. Median (Me):

M e  x( n21)  x( 2021)  x10,5  5

d. Jangkuan (J):

J  xmaks  xmin

J 734

e. Quartil (Q):

Qi  X i n 1
42

Q1  X 1 n 1  X 1 (20) 1  X 5,5  4
42 42

Q2  X 2 n 1  X 2(20) 1  X10,5  5
42 42

Q3  X 3 n 1  X 3(20) 1  X15,5  6
42 42

f. Simpangan Rata-rata (SR):

n
SR 
i 1 fi xi  x  24  1, 2
n 20

g. Ragam (varians):

n

S  i1 fi (xi  x )2  38  1, 9

n 20

h. Simpangan baku (SB):

n

 fi (xi  x)2

SB  i1 atau SB  S

n

SB  S  1,9  1,38

Data Dalam Bentuk Interval

Contoh:

Interval Frekuensi Nilai Tengah Interval Frekuensi Nilai Tengah
1-5 3
ai  bi fi (xi ) 6-10 4 8
a1  b1 f1 x1 4 13
a2  b2 f2 x2 11-15 4 18
16-20 5 23
.... .... .... 21-25 3
.... .... ....

an  bn fn xn

Keterangan:  Interval ke-2 = 6 – 10
 Batas bawah kelas ke-2 = 6
 Interval/kelas ke-i = ai  bi  Batas atas kelas ke-2 = 10
 Tepi bawah kelas ke-2 = 6 – 0,5 = 5,5
 Batas bawah kelas ke-i = ai  Tepi atas kelas ke-2 = 10 + 0,5 = 10,5
 Panjang kelas = 10,5 – 5,5 = 5
 Batas atas kelas ke-i = bi
 Nilai tengah kelas ke-2 = 6  10 8

 Tepi bawah kelas ke-i = a i  0,5 2
 Tepi atas kelas ke-i = b i  0,5
 Panjang kelas (C) = tepi atas – tepi bawah

 Nilai tengah: xi  ai  bi
2

Rata-rata (mean) Interval fi xi fi .xi

1. Cara langsung Catatan : 1-5 4 3 12
32
x  fi  xi nf 48 52
n 90
6-10 69

11-15 4 13

x  255 = 12,75 16-20 5 18
20

21-25 3 23

 fi  20  fi  xi  255

2. Cara simpangan rata-rata

x  xs  fi  di Interval fi xi di fi  di
n
1-5 4 3 –15 –60

xs = rata-rata sementara 6-10 4 8 –10 –40

di  xi  xs 11-15 4 13 –5 –20

16-20 5 18 0 0

x  18  105 21-25 3 23 5 15
20
 fi  20  fi  di  105
x  18  5,25  12,75

Rata-rata sementara xs=18 (diambil dari dari frekuensi
paling besar).

3. Cara coding

x  xs   fi  ki  C Interval fi xi ki fi  ki
n
1-5 4 3 –3 –12
ki = ... , –2, –1, 0, 1, 2, .... 6-10 4 8 –2 –8
11-15 4 13 –1 –4
C = Panjang kelas 16-20 5 18 00
21-25 3 23 13
x  18    21  5  fi  20
 20   fi  ki  21

x 18  1, 05 5

x  18  5,25  12,75

C = 5,5 – 0,5 = 5 0 dimulai dari xs

Catatan :

ki ditulis berurutan mulai dari 0 diletakkan pada xs (rata-rata sementara). Kemudian turun -1, -2, -
3.... dan seterusnya untuk interval sebelum xs . Dan naik 1, 2, 3 .... dan seterusnya untuk interval
setelah xs .

Modus (Mo)

Mo  Tb  d1 C Interval fi
d1  d2

Tb = tepi bawah kelas modus 1-5 4

d1 = selisih f modus dengan f sebelumnya 6-10 4

d2 = selisih f modus dengan f sesudahnya 11-15 4 d1 = 5 – 4 = 1

1 16-20 5
1 2
Mo  15,5  5 21-25 3 d2 = 5 – 3 = 2

Mo  15,5  1 5
3

M o  15,5 1,7  17,2 Letak modus karena f-nya terbesar:

Tb = 16 – 0,5 = 15,5

Median (Me)

Me  Tb  1 n f ks C Interval fi fk
2
1-5 4 4
f me 6-10 4 8
11-15 4 12
n = jumlah data 16-20 5 17 fks = 8
21-25 3 20
fks = frekuensi kumulatif sebelum letak n  20

median data

fme = frekuensi median

letak median fme = 4
Tb = 11– 0,5 = 10,5
10  8
Me  10,5  4 5 Keterangan:

Me  10,5  2 5 fk (frekuensi kumulatif) adalah jumlah frekuensi dengan
4
frekuensi-frekuensi sebelumnya secara berurutan.

Me  10,5  2,5  13

Quartil

Qi  Tb  i n fks C Interval fi fk
4
1-5 4 4
f Qi 6-10 4 8 fk1 = 4
11-15 4 12 fk2 = 8
fks = frekuensi kumulatif sebelum letak kuartil 16-20 5 17 fk3 = 12
21-25 3 20
fQi = frekuensi kuartil

Q1  5,5  1 .20  4 5
4

4

 5,5  5  4  5  5,5  1 .5 n  20 Keterangan:
44
letak kuartil ke-3
letak kuartil ke-2 letak kuartil ke-1 di 1 n
4
letak kuartil ke-1
 5,5 1, 25  6,75 letak kuartil ke-2 di 2 n
4

2 .20  8 letak kuartil ke-3 di 3 n
4 4
 10,5  
Q2 4 5

 10,5  10  8  5  10,5  2 .5
44

 10,5  2,5  13

Q3  15,5  3 .20  12 5
4

5

 15,5 15 12   15,5  3  18,25

Rata-Rata Gabungan

Rata-rata gabungan digunakan untuk mencari nilai rata-rata yang terdiri minimal dua kelompok data.

xg  na x a nb  xb Keterangan:
na  nb
xg = rata-rata gabungan
xa = rata-rata kelompok a
na = jumlah anggota kelompok a
xb = rata-rata kelompok b
nb = jumlah anggota kelompok b

Contoh:

1. Kelas 11A dengan jumlah siswa 30 orang rata-rata nilai matematikanya 60, sedangkan kelas 11B yang
jumlah siswanya 35 orang rata-rata nilai matematikanya 64. Jika kedua kelas digabungkan maka nilai
rata-rata gabungannya adalah ....
Pembahasan:

na  30 ; xa  60

nb  35; xb  64 ; xg  ?

xg  na  x a nb  xb  30  60  35  64  1.800  2.240  4.040  62, 15
na  nb 30  35 65 65

4. Rata-rata berat badan 5 orang anak adalah 42 kg. Jika Badu dan Budi bergabung, maka rata-rata berat

badan 7 orang anak menjadi 45 kg. Berapakah rata-rata berat badan Badu dan Budi?
Pembahasan:

na  5 ; xa  42 nb  2 karena kelompok kedua hanya ada 2
nb  2 ; xg  45 ; xb ? orang, yaitu Badu dan Budi.

xg  na x a nb  xb
na  nb

45  5  42  2 xb
52

45  210  2 xb
7

315  210  2 xb
105  2 xb

xb  52,5 kg

Jadi, rata-rata berat badan Badu dan Budi adalah 52,5 kg.

Peluang

Pencacahan

Pengisian Tempat

Jika sebuah kejadian dapat terjadi sebanjak m kemungkinan dan kejadian lainnya sebanyak n

kemungkinan, maka seluruh kejadian yang terjadi sebanyak m x n.

Contoh

1. Neng Amel akan melakukan perjalan dari kota Bandung ke Surabaya melalui Semarang. Jika Bandung
– Semarang ada 3 pilihan rute jalan dan Semarang – Surabaya ada 4 pilihan rute jalan, maka:

a. Berapa cara perjalanan yang ditempuh Amel dari Bandung ke Surabaya?
b. Berapa cara rute perjalanan pulang pergi Bandung – Surabaya, dengan syarat jalan yang sudah

dilalui saat pergi tidak boleh dilalui lagi?

Pembahasan: 3 4 Bandung Semarang Surabaya
a. Cara pergi: 3 x 4 = 12 cara

b. Cara pergi: 12 cara X Semarang X
Cara pulang: 3 2
Bandung Surabaya

3 x 2 = 6 cara

Cara pergi-pulang (PP) = 12 x 6 = 72 cara.
2. Disediakan bilangan: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dari bilangan tersebut, berapa banyaknya bilangan:

a. Tiga digit bebas (tanpa syarat )
b. Tiga digit beda (tidak boleh ada angka berulang)
c. Tiga digit > 500 dan berbeda
d. Tiga digit genap dan berbeda
Pembahasan:
a. Tiga digit bebas (tanpa syarat ):

666 6 x 6 x 6 = 216 Semua angka dapat dipakai kembali.
b. Tiga digit berbeda:

654 Angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai
6 x 5 x 4 = 120 lagi.

c. Tiga digit > 500 dan berbeda:

354 3 x 5 x 4 = 60

Paling depan ada 3 kemungkinan, yaitu angka: 5, 6, 7

d. Tiga digit genap dan berbeda:

653 5 x 4 x 3 = 90

Bilangan terakhir ada 3 kemungkinan angka genap, yaitu: 2, 4, 6.

3. Ada 3 wanita dan 2 pria akan berfoto duduk sejajar, dengan syarat pria harus berada di posisi paling
pinggir. Ada berapa cara mereka dapat duduk?
Pembahasan:
2 3 2 1 1 2 x 3 x 2 x 1 x 1 = 12 cara

pria wanita pria

Permutasi
 Faktorial

n!  n  (n 1)  (n  2)  ....  3  2  1 Syarat: n  0
Bisa ditulis juga sebagai berikut: Ketentuan: 0! 1

n ! n  (n 1)  (n  2)!
Contoh:
5! 5 4 3 21  120
5! 5 4! 120
4! 4 3 21 24

10!  10  9  8  7!  10  9  8  720
7! 7!

 Permutasi dengan semua unsur beda

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang bebeda dengan memperhatikan urutannya. Jadi, susunan
AB tidak sama dengan BA (AB  BA).
Permutasi r unsur dari n unsur adalah:

Prn  n! ; dengan n  r Penulisan permutasi:
(n  r)!
Prn n Pr  P(n,r)

Contoh:

1. Tentukan nilai dari:

a. P310

b. P28 CADAS:

Pembahasan: P310 artinya, 10 turun 3 kali.
P310  10  9  8  720
a. P310  10!
(10  3)! CADAS:

 10!  10 98 7!  10 98  720 P28 artinya, 8 turun 2 kali.
7! 7! P28  8  7  56

b. P28  8!
(8  2)!

 8!  8 7  6!  8 7  56
6! 6!

2. Dari huruf-huruf : S, I, B, E, J, O akan disusun kata yang terdiri dari 4 huruf yang berbeda. Maka,

ada berapa susunan kata yang mungkin dibentuk?

Pembahasan:

n=6,r=4 CADAS:

6! 6! 6 5 43 2! P46  6  5  4  3  360
 4)! 2! 2!
P46  (6    6 5 4 3  360

3. Jika ada 10 orang calon ketua OSIS dan wakil ketua OSIS, maka ada berapa cara untuk memilih

mereka?

Pembahasan:

n = 10 , r = 2 CADAS:

P210 10! 10! 10 9  8! P210  10  9  90
(10  2)! 8! 8!
    10 9  90

 Permutasi dengan beberapa unsur sama
Banyaknya permutasi n unsur, jika terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama, ... ,kn unsur sama.

P n!
k1 !k2 ! ... kn !

Contoh:

1. Dari susunan huruf : MATEMATIKA, ada berapa susunan huruf lainnya yang mungkin dibentuk?

Pembahasan:

n = 10

k1 = 2 (jumlah huruf M)

k2 = 3 (jumlah huruf A)

k3 = 2 (jumlah huruf T)

P  10!  10  9  8 7  6  5 4  3!  10  9  8 7  6  5  151.200
2! 3! 2! (2 1)3!(2 1)

 Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur; dan terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama, ... , kn unsur

sama.

P n!
(n  r)!k1!k2 ! ... kn !

Contoh:
Dari susunan huruf: MATEMATIKA akan dibuat susunan 5 huruf. Ada berapa susunan huruf yang
mungkin dibentuk?

Pembahasan:

n = 10

r=5

k1 = 2 (jumlah huruf M)

k2 = 3 (jumlah huruf A)

k3 = 2 (jumlah huruf T)

P  10!  10  9  8  7  6  5!  10  9  8  7  1.260
(10  5)! 2! 3! 2! 5!(2 1)(3 2 1)(2 1) 4

 Permutasi siklis (melingkar)
Banyak permutasi n unsur yang disusun melingkar adalah:.

P  (n 1)!

Contoh:
Sebanyak 4 pria dan 2 wanita akan duduk melingkar dalam sebuah pertemuan, dengan ketentuan:

a. Mereka duduk tanpa syarat
b. Wanita selalu duduk berdampingan

Pembahasan: PP
a. n = 6 (4 pria + 2 wanita)
P
P  (6 1)! 5! 5  4  3 2 1  120 P
b. n = 5 ( 4 pria + 1 kelompok wanita (2 wanita))
WW
P  (5 1)! 4! 4  3 2 1  24

Ingat kelompok wanita juga punya susunan P22  2
Jadi, susunan duduk seluruhnya adalah 24 x 2 = 48 cara duduk.

Kombinasi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang bebeda dengan tidak memperhatikan urutan. Jadi, susunan

AB sama dengan BA (AB = BA).

Kombinasi r unsur dari n unsur adalah:

Penulisan kombinasi:

C n  n! ; dengan n  r Crn n Cr  C(n,r)
r (n  r)!r!

Dalam kombinasi berlaku:

C n  C(nnr)
r

Contoh:

1. Penyelesaian dari:

a. C310

b. C810

c. (n1) Cn  10, n = ....

Pembahasan: CADAS:

a. C310  (10 10! 3! C310 artinya: 10 turun 3 kali dan dibagi 3 turun
 3)!
sampai 1

 10!  10  9  8 7!  10  9  8  120 P310  10  9  8  120
7! 3! 7! (3 2 1) 3 2 1 3 21

b. C810  (10 10! 2!
 8)!
CADAS:

 10!  10 9 8!  10 9  45 C810  C210  10  9  45
8! 2! 8! (2 1) 2 1 21

c. (n1) Cn  10
(n 1)!  10

((n 1)  n)!n!

(n 1) n!  10
(1)! n!

(n 1) 10
1

n 1  10
n9

2. Seorang guru olahraga akan memilihi 2 siswa untuk pasangan ganda badminton dari 10 siswa yang

mencalonkan diri. Ada berapa cara guru tersebut dapat memilih pasangan ganda yang mungkin?

Pembahasan:

n = 10, r = 2 CADAS:

C210  10!  10!  10  9  8!  10  9  45 C 10  10  9  45
2!(10  2! 8! (2 1).8! 2 1 2 21

2)!

Penggunaan Kombinasi Dalam Binomial Newton

Segitiga Pascal 1 0C0
n=0 11 1C0 1C1
n=1 121 2C0 2C1 2C2
n=2 1331 3C0 3C1 3C2 3C3
n=3 14641 4C0 4C1 4C2 3C3 4C4
n=4 1 5 10 10 5 1 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5
n=5

dan seterusnya.

Ekuivalen dengan: 1

(a + b)0 = 1a + 1b
(a + b)1 = 1a2 + 2ab +1b2
(a + b)2= 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)3= 1a4 + 4a3b + 6+a12bb22 + 4ab3 + 1b4
(a + b)4= 1a5 + 5a4b + 10a3 b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
(a + b)5=

Jadi, bentuk umumnya: Suku ke-k n Cr  a nr b r

n suku ke-k, maka r = k -1

(a  b)n  n Cr  anrbr
r 0

Contoh:

1. Hasil dari (a + b)3 adalah ....
Pembahasan:
(a  b)3  3 C0  a30b0 3C1  a31b1 3C2  a32b2 3C3  a33b3

= 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1 b2 + 1 a0 b3

= 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

2. Suku ke-3 dari ( 2x + y )8 adalah ....
Pembahasan:
( 2x + y )8  n = 8
suku ke-3  r = 2
suku ke-k = n Cr  a nr br

suku ke-3 = 8 C 2(2x)82  y 2  28  (2x)6  y2  28  (64x6 )  y 2  1.792x6 y2

Peluang Sebuah Kejadian

Peluang sebuah kejadian adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan dan seluruh kejadian

yang mungkin terjadi. Catatan:
P( A)  n( A) ; dengan n(A) ≤ n(S)
n(S )  0 ≤ P(A) ≤ 1

 P(A) =0 artinya, kejadianmustahil terjadi
 P(1) = 1 artinya, kejadian pasti terjadi

P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
n(S) = banyaknya seluruh kemungkinan yang bisa terjadi/ banyaknya ruang sampel.
Contoh:
1. Sebuah dadu dilambungkan sekali. Berapakah peluang muncul mata dadu genap?

Pembahasan:
n(A) = 3 (angka genap pada dadu: 2, 4, 6)
n(S) = 6 (seluruh angka pada dadu: 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Peluang muncul mata dadu genap: P( A)  n( A)  3  1

n(S) 6 2

2. Seorang ibu akan melahirkan seorang anak. Berapakah peluang seorang ibu tersebut akan melahirkan
anak laki-laki atau perempuan?
Pembahasan:
n(A) = 2 (bisa laki-laki atau bisa perempuan)
n(S) = 2 (laki-laki dan perempuan)
Peluang melahirkan anak laki-laki atau perempuan: P( A)  n( A)  2  1
n(S) 2

Peluang Komplemen Sebuah Kejadian

Peluang komplemen sebuah kejadian A adalah peluang selain kejadian A atau ditulis P’(A).

P'( A)  1  P( A)

Contoh:
Peluang Andi lulus dalam tes masuk perguruan tinggi adalah 0,56. Berapakah peluang Andi akan gagal
dalam tes tersebut?
Pembahasan:
Peluang Andi lulus tes masuk perguruan tinggi: P(A) = 0,56 ()
Peluang Andi gagal tes masuk perguruan tinggi: P’(A) = 1 – 0,56 = 0,44

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang diharapkan akan terjadi pada suatu waktu. Frekuensi
harapan ini diperoleh dari perkalian antara peluang sebuah kejadian dengan banyaknya percobaan yang
dilakukan.

F( A)  n  P( A)

F(A) = frekuensi harapan kejadian A

n = banyaknya percobaan

P(A) = pelualang kejadian A

Contoh:

Sepuluh kartu yang bernomor 1 s/d 10 dikocok secara acak. Kemudian, akan diambil sebuah kartu lalu

dikembalikan lagi. Jika pengambilan tersebut dilakukan sebanyak 100 kali, maka berapakah frekuensi

harapan terambilnya kartu bernomor prima?

Pembahasan: P(A)  n(A)  4  2
n(A) = 7 (bilangan prima: 2, 3, 5, 7) n(S) 10 5
n(S) = 10 (kartu bernomor: 1, 2, 3, ... , 10)

n = 100 (banyak percobaan yang dilakukan )

F(A) = n P(A)

2

Frekuensi harapan terambilnya kartu bernomor prima: F(A) = 100. = 40

5

Kejadian Majemuk

Kejadian Saling Lepas

Kejadian A dan B saling lepas, jika kejadian A dan B tidak bisa terjadi bersama. Jika digambarkan, kejadian
saling lepas ditunjukkan sebagai berikut.

S B
A
A B 

Peluangnya adalah:
P( A  B)  P( A)  P(B)

Contoh:

Dua buah dadu dilambungkan bersama. Berapakah peluang muncul jumlah kedua mata dadu 8 atau 10?

Pembahasan: Dadu 1 Dadu 2
n(A) = 5  jumlah mata dadu 8:
123456
{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
n(B) = 3  jumlah mata dadu 10: 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
{(4,6),(5,5),(6,4)} 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
n(S) = 36 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,5)
P( A  B)  P( A)  P(B) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

 5  3  8 2
36 36 36 9

Peluang muncul jumlah kedua mata dadu 8 atau 10: 2 .
9

Kejadian Tidak Saling Lepas

Kejadian A dan B tidak saling lepas, jika kejadian A dan B bisa terjadi bersama. Jika digambarkan,
kejadian tidak saling lepas ditunjukkan sebagai berikut.

S AB 
AB

P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B)

Contoh:
Dari setumpuk set kartu bridge akan diambil sebuah kartu. Berapakah peluang terambil kartu berwarna
merah atau as?
Pembahasan:
n(A) = 26 (jumlah kartu warna merah)
n(B) = 4 (jumlah kartu as)
n( A  B) = 2 (jumlah kartu as dan merah)
n(S) = 52 jumlah seluruh kartu bridge)
Peluang terambil kartu berwarna merah atau as:
P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B)

 26  4  2
52 52 52

 28  7
52 13

Kejadian Saling Bebas (Beruntun)

Kejadian berurutan A dan B dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak memengaruhi kejadian B.

Peluangnya adalah:

P( A  B)  P( A)  P(B)

P(A  B) = peluang kejadian A dan B secara berurutan

Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola kuning. Dari dalam kantong, akan diambil 2 bola
satu per satu dan bola yang sudah diambil dikembalikan lagi ke dalam kantong. Berapakah peluang
terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua?

Pembahasan:
n(A) = 4 (jumlah bola merah)
n(B) = 3 (jumlah bola kuning)
n(S) = 7 (jumlah seluruh bola)

Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua:

P( A  B)  P( A)  P(B)  n( A)  n(B)  4  3  12
n(S) n(S) 7 7 21

Kejadian Tidak Saling Bebas
Kejadian berurutan A dan B dikatakan tidak saling bebas, jika kejadian A memengaruhi kejadian B.
Peluangnya adalah:

P( A  B)  P( A)  P(B | A)

P(B | A) = peluang kejadian B setelah kejadian A

Contoh:
Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola kuning. Dari dalam kantong akan diambil 2 bola
satu per satu dengan bola yang sudah diambil tidak dikembalikan lagi. Berapakah peluang terambilnya
bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua?
Pembahasan:
n(A) = 4 (jumlah bola merah) ; n(S A ) = 7 (jumlah seluruh bola saat awal)
n(B) = 3 (jumlah bola kuning); n(S B ) = 6 (jumlah seluruh bola setelah diambil 1 bola)
P( A  B)  P( A)  P(B | A)

 n(A)  n(B)
n(S A ) n(S B )

 4  3  12  2
7 6 42 7

Lingkaran

Definisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu
tersebut adalah pusat lingkaran (P), sedangkan jarak titik ke titik pusat tersebut dinamakan jari-jari (r).

r Unsur utama dalam lingkaran adalah :

titik pusat (P) dan jari-jari (r).

P

Persamaan Lingkaran

 Persamaan lingkaran dengan titik pusat (0,0)

Y Penjelasan:
Rumus jarak di antara dua titik:
K(x,y)
r d  (x2  x1)2  ( y2  y1)2

P(0,0) X Pada lingkaran di samping berlaku:

Persamaannya: d  (x2  x1)2  ( y2  y1)2  r
(x  0)2  ( y  0)2  r
x2  y2  r2 x2  y2  r
x2  y2  r2

Pusat (P) = (0,0)
Jari-jari = r

 Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a, b)

Penjelasan :

Y Pada lingkaran di samping, berlaku:
P(x,y)
d  (x2  x1)2  ( y2  y1)2  r
r (x  a)2  ( y  b)2  r

(a,b)

X (x  a)2  ( y  b)2  r 2

Persamaannya :

(x  a)2  ( y  b)2  r 2

Pusat (P) = (a,b)

Jari-jari = r Atau, jika diuraikan kembali, akan diperoleh:
x2  y2  Ax  By  C  0
(x  a)2  ( y  b)2  r 2
A = –2a; B = –2b ; C = a2 + b2 – r2 x2  2ax  a 2  y 2  2by  b2  r 2
x2  y 2  2ax  2by  a 2  b2  r 2  0

x2  y 2  Ax  By  C  0

Pusat (P) =   A ,  B  ; Jari-jari (r) = 1 A2  1 B2  C  pusat2 C
2 2 44

Contoh:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –3) dan jari-jari 4 adalah ....

Pembahasan:
P = (a,b) = (2, –3); r = 4

(x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x  2)2  ( y  (3))2  42

(x  2)2  ( y  3)2  16

x2  y2  4x  6y  3  0

2. Carilah pusat dan jari jari persamaan lingkaran:
x2  y2  6x  2y  3  0

Pembahasan: A = –6, B = 2, C = –3

x2  y2  Ax  By  C  0
x2  y2  6x  2y  3  0

Pusat (P) =   A ,  B     (6) ,  2   3,1

 2 2  2 2
Jari-jari (r) = pusat2  C  32 12  (3)  9 1 3  13

3. Persamaan lingkaran dengan pusat (–1, 2) dan melalui (4, 5) adalah....
Pembahasan:
P = (a,b) = (–1, 2)

r = ....

(x  a)2  ( y  b)2  r 2 (–1,2)

(x  (1))2  ( y  2)2  r 2 (4,5)
(x 1)2  ( y  2)2  r 2

Melalui (4, 5):

(4 1)2  (5  2)2  r 2

25  9  r 2

34  r2

 (x 1)2  ( y  2)2  34

Rumus-Rumus Penting Dalam Lingkaran

Titik Tengah di Antara Dua Titik

T   x1  x2 , y1  y2  A T B
2 2
(x1, y1 ) // // (x2, y2 )

Jarak Titik ke Titik d
d  (x2  x1)2  ( y2  y1)2

(x1, y1) (x2, y2 )

Contoh:
Suatu persamaan lingkaran yang garis diameternya melalui (5, 4) dan (–3, 6). Maka, persamaan lingkaran
tersebut adalah ....

Pembahasan: (–3, 6)
(x2,y2)
P   x1  x2 , y1  y2 
2 2 P

  5  3 , 4  6  (5, 4)
2 2 (x1, y1)

= (1, 5)
Panjang diameter (D) dari (–3, 6) sampai (5, 4) adalah:

D  (x2  x1)2  ( y2  y1)2
 (3  5)2  (6  4)2  (8)2  (2)2  64  4  68

 2 17

r  17 Catatan:
r 2 17 D = 2r atau r = ½ D

L  (x  a)2  ( y  b)  r 2

(x 1)2  ( y  5)2  17

Jarak Titik ke Garis (x1,y1)
d  ax1  by1  c d
a2  b2
ax  by  c  0

Contoh:
Suatu lingkaran dengan pusat di A(3, 2) dan disinggung oleh garis 3x  4 y  27  0 . Maka, persamaan
lingkaran tersebut adalah ....
Pembahasan:

r  d  ax1  by1  c (x1,y1)
a2  b2 (3, 2)

r  3(3)  4(2)  27  9  8  27  10  2 r
32  42 9 16 5
3x  4 y  27  0
L  (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x  3)2  ( y  2)2  4

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Berikut adalah kedutukan titik A terhadap lingkaran x2  y 2  Ax  By  C  0 .

Titik A di dalam lingkaran Titik A pada lingkaran Titik A di luar lingkaran
A(x1,y1) A(x1,y1) A(x1,y1)

x2  y2  Ax1  By1  C  0 x2  y2  Ax1  By1  C  0 x2  y2  Ax1  By1  C  0
1 1 1 1 1 1

atau (x1  a)2  ( y1  b)2  r 2 atau (x1  a)2  ( y1  b)2  r 2 atau (x1  a)2  ( y1  b)2  r 2

Contoh:

1. Kedudukan titik T(1,2) terhadap llingkaran x2  y 2  4x  5y 10  0 adalah ....

Pembahasan:

x2  y 2  4x  5y 10  0  Substitusi T(1,2) kepada persamaan lingkaran:

12  22  4(1)  5(2) 10 ? 0
1 4  4 10 10 ? 0

1?0
1>0
Jadi, titik T(1,2) berada di luar lingkaran.

2. Kedudukan titik K(2, –3) terhadap lingkaran (x  3)2  ( y  2)2  10 adalah ....

Pembahasan:

(x  3)2  ( y  2)2  10  Substitusi K(2, –3) kepada persamaan lingkaran:
(2  3)2  (3  2)2 ?10

12  (1)2 ?10

2 ? 10
2 < 10
Maka, titik K(2, –3) berada di dalam lingkaran.

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Untuk mengetahui hubungan garis dan lingkaran, dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D

(D  b2  4ac) .

memotong lingkaran menyinggung lingkaran tidak memotong/menyinggung

D>0 D=0 D<0
Contoh:

Kedudukan garis y  2x  3 terhadap lingkaran x2  y2  2x  3y  5  0 adalah...

Pembahasan: Subtitusikan y garis ke persamaan lingkaran

y  2x 3
x2  y2  2x  3y  5  0

x2  (2x  3)2  2x  3(2x  3)  5  0
x2  4x2 12x  9  2x  6x  9  5  0
5x2 16x  23  0  a = 5, b = 16, c = 23
D  b2  4ac

 (16)2  4(5)(23)

 256  460  204

Karena D = –204 < 0, garis tersebut tidak memotong/menyinggung lingkaran.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

 Diketahui Titik Singgungnya
Bentuk persamaan garis singgung (PGS) lingkaran, jika diketahui titik singgungnya adalah sebagai
berikut:

x2  y2  r2 (x  a)2  ( y  b)2  r2 x2  y 2  Ax  By  C  0

(x1,y1) (x1,y1) (x1,y1)

PGS : x1 x+ y1 y = r2 PGS : (x1-a)(x-a)+(y1-a)(y-a) = r2 PGS : x1x+ y1y + A (x1+x) + B (y 1+y)+C=0
2 2

Contoh:

1. Persamaan garis singgung lingkaran x2  y2  10 di titik (1,3) adalah ....

Pembahasan : (x1, y 1)

x2  y2  10  melalui titik (1, 3)

PGS : x1x  y1y  r 2
1x  3y  10
x  3y  10

2. Persamaan garis singgung lingkaran (x  2)2  ( y  4)2  5 di titik (3, –2) adalah ....

Pembahasan:

(x  2)2  ( y  4)2  5  melalui titik (3, –2) (x1, y 1)

PGS : (x1  a)(x  a)  ( y1  b)( y  b)  r 2
(x1  2)(x  2)  ( y1  4)( y  4)  5
(3  2)(x  2)  (2  4)( y  4)  5
1(x  2)  2( y  4)  5
x  2  2y 85
x  2y  1

3. Persamaan garis singgung lingkaran x2  y2  2x  4y  5  0 di titik (2,1) adalah ....

Pembahasan:

x2  y 2  2x  4y  5  0  melalui titik (2,1) (x1, y 1)

x1x  y1 y  A ( x1  x)  B ( y1  y)  c  0
2 2

2x  1y  2 (2  x)  4 (1  y)  5  0
2 2

2x  y  (2  x)  2(1  y)  5  0

2x  y  2  x  2  2y  5  0

x  3y  5  0

 Diketahui Gradien Garis Singgungnya

x2  y2  r2 (x  a)2  ( y  b)2  r 2 atau x2  y 2  Ax  By  C  0

gradien = m gradien = m

PGS : y  mx  r m2  1 PGS : y  b  m(x  a)  r m2  1

Contoh:
1. Persamaan garis singgung lingkaran x2  y 2  5 dengan gradien 2 adalah ....

Pembahasan:
x2  y 2  5, m = 2, r  5

y  mx  r m2 1

y  2x  5 22 1
y  2x  5 5
y  2x  5
Jadi, PGS-nya adalah y  2x  5 atau y  2x  5 .

2. Persamaan garis singgung lingkaran (x  2)2  ( y  3)2  2 dengan gradien –2 adalah ....
Pembahasan :

(x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x  2)2  ( y  3)2  2 ;a = –2, b = 3, r  2 dan m = –2

y  b  m(x  a)  r m2 1

y  3  2(x  2)  2 (2)2 1

y  3  2x  4  2 5

y  2x  4  3  10

y  2x 1  10

Jadi, PGS-nya adalah:

y  2x 1  10 atau y  2x 1  10

3. Garis singgung lingkaran x2  y 2  4x  6y  3  0 dengan gradien 3 adalah ....

Pembahasan:

x2  y 2  4x  6y  3  0 ; A = 4, B = –6, C = 3

   Pusat (P) =
A , B  4 , (6)   2,3 sehingga a = –2 , b = 3.
2 2 2 2

r  pusat2  C  (2)2  32  3  4  9  3  10

Diketahui m = 3, maka:

PGS: y  b  m(x  a)  r m2  1

y  3  3(x  (2))  10 32 1

y  3  3(x  2)  10 10
y  3x  6  3 10

y  3x  9 10
Jadi PGS-nya:

y  3x  9 10 atau y  3x  9 10
 y  3x 19 atau y  3x 1
 Diketahui Titik di Luar Lingkaran
Jika diketahui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, maka ada dua garis singgung yang bisa dibuat dari titik
tersebut, seperti ditunjukkan oleh gambar berikut.

y  y1  m1(x  x1)

P(x1,y1)

y  y1  m2 (x  x1)

Maka, langkah penyelesaiannya adalah:
1. Buat persamaan garis yang melalui titk P(x1,y1) dengan gradien m (belum diketahui) dengan

menggunakan rumus: y  y1  m (x  x1) .
2. Subtitusikan persamaan garis yang diperoleh pada langkah 1 tersebut ke persamaan lingkaran.
3. Dari persamaan lingkara, kita tentukan nilai diskriminan yang bersesuaian (D = 0). Karena garis

menyinggung lingkaran, maka akan didapat nilai m.
4. Masukkan nilai m (gradien) garis yang didapat ke persamaan garis pada langkah 1.

Contoh:

1. Dari titik T(0,10) akan dibuat garis singgung lingkaran x2  y 2  10 . Maka, persamaan garis

singgung yang terjadi adalah... T(0,10)
Pembahasan:
Langkah 1:
T(0,10) dan gradien m:
y  y1  m (x  x1)
y 10  m(x  0)

 y  mx 10

Langkah 2:

x2  y 2  10

x2  (mx  10)2  10

x2  m2 x2  20mx  100  10

(m2 1)x2  20mx  90  0 , sehingga a  m2 1, b  20m, c  90

Langkah 3:

D=0
b2  4ac  0
(20m)2  4(m2 1)(90)  0
400m2  360m2  360  0

40m2  360
m2  9
m   9  3 ,

Jadi, m1  3 atau m2  3 .
Langkah 4:
y  mx  10
Maka, untuk m1  3 atau m2  3 didapat persamaan garis:
 y  3x 10 atau y  3x 10

1

Suku Banyak

Pengertian Suku Banyak

Bentuk umum suku banyak adalah:
an xn  an1xn1  an2 xn2  ....  a2 x2  a1x  a0
Keterangan:
 an , an1, an2 , ... , a2 , a1, a0 adalah koefisien variabel x.
 xn , xn1, xn2 , ... , x2 , x adalah variabel dengan pangkat tertinggi n.

Mencari Nilai Suku Banyak

 Metode subtitusi
Contoh:
Diberikan suku banyak f (x)  2x3  4x2  6x  8 , maka nilai dari f (2) adalah ....
Pembahasan:
f (x)  2x3  4x2  6x  8

f (2)  2(2)3  4(2)2  6(2)  8
 16  16  12  8
 28

Jadi, f (2) = 28.
 Metode Horner/bagan/skema

Contoh:
1. Diberikan suku banyak f (x)  2x3  4x2  6x  8 , maka nilai suku banyak untuk x = 2 adalah ....

Pembahasan:
f (x)  2x3  4x2  6x  8 ; koefisien variabelnya adalah 2, 4, –6, dan 8.

x=2 x3 x2 x1 x0
2 4 –6 8
+ + +
2 4 2 16
 2 20
2 8 10
28

Jadi, hasilnya adalah 28.

2

2. Suatu suku banyak g(x)  5x4  3x2  44x  5 , maka nilai g(–3) adalah ....
Pembahasan:
g(x)  5x4  3x2  20x  5 , koefisien vareabelnya adalah 5, 0, 3, 44, 5

x = –3 x4 x3 x2 x1 x0
5 03 44 5
+ +
 3 ++
–15  3 45  3 –144  3 300

5 –15 48 –100 305

Jadi, hasilnya adalah 305.

Pembagian Suku Banyak

 Metode menurun
Contoh:
1. Suatu suku banyak f (x)  3x4  5x3  6x2  2x  6 dibagi dengan x  3, maka hasil dan sisanya
adalah ....
Pembahasan:

3x3  4x2  6x 16 hasil bagi Catatan:
x  3 3x4  5x3  6x2  2x  6
Proses pembagian berhenti, jika yang
3x4  9x3  dibagi berderajat lebih rendah dari
 4x3  6x2 pembaginya.
4x3 12x2 
6x2  2x sisa
6x2  18x 
16x  6
16x  48 

42

Jadi, hasil pembagian suku banyak f(x) oleh x + 3 adalah 3x3  4x 2  6x  16 dan sisa 42.

2. g(x)  4x4  2x3  2x  10 dibagi x 2  x  3 sisanya adalah ....
Pembahasan:

3

g(x)  4x4  2x3  2x  10 bisa ditulis menjadi g(x)  4x4  2x3  0x2  2x  10 .

4x2  6x  18 hasil bagi Catatan:
x 2  x  3 4x 4  2x3  0x2  2x  10 sisa
Pembagian berhenti di 38x  64 ,
4x 4  4x3 12x 2 
6x3  12x 2  2x karena memiliki derajat lebih rendah
6x3  6x 2 18x 
18x2  20x  10 dari pembagi x 2  x  3 .
18x2 18x  54 
38x  64

Jadi, hasil pembagian suku banyak g(x) oleh x 2  x  3 adalah 4x2  6x  18 dan sisa 38x  64 .
 Metode Horner

Contoh:
1. Suatu suku banyak f (x)  3x4  5x3  6x2  2x  6 dibagi dengan x  3, maka hasil dan sisanya

adalah...
Pembahasan:
Dari pembagi x  3, didapat pembuat nolnya x + 3= 0 sehingga x = –3.

x4 x3 x2 x1 x0
3 5 –6 2 –6
+
x = –3 ++ +  3 48
42
 3 –9  3 12  3 –18

3 –4 6 –16 sisa
x3 x2 x1 x0

hasil bagi

Hasil pembagian: 3x3  4x 2  6x  16 dan sisanya = 42.
 Metode Horner Kino

Metode pembagian ini digunakan, jika pembaginya berupa fungsi tidak linier.
Contoh:
1. Suatu suku banyak g(x)  4x4  2x3  2x  10 dibagi x 2  x  3 , maka hasil dan sisanya adalah ....

Pembahasan:

4

g(x)  4x4  2x3  2x  10 bisa ditulis g(x)  4x4  2x3  0x2  2x  10 .
Pembagi x 2  x  3 kita ‘nol’ kan x2  x  3  0 maka:
x2  x  3  koefisien : 1 dan 3.

x4 x3 x2 x1 x0
4 2 0 2 10
3 +
+ + +
1 1 4  3 12  3 18  3 54

+ +
1 6  1 18

46 18 38 64
x2 x1 x0 x1 x0

hasil bagi sisa

Jadi, hasil pembagiannya adalah 4x2  6x  18 dan sisa = 38x  64 .

Teorema Sisa

Penjelasan Dasar
Dalam pembagian suku banyak ada empat unsur penting yaitu : suku banyak F(x), pembagi P(x), Hasil H(x)
dan sisa S(x). Jika dituliskan dalam satu kesatuan menjadi :

F(x) = P(x) H(x) + S(x) Ilustrasi dengan angka:

analogi 13 dibagi 2 adalah hasilnya 5 dan sisa 3.
Jadi, pembagian tersebut bisa dituliskan:
sisa 13 = 2 . 5 + 3

suku banyak pembagi hasil

sisa

Jika sisa pembagiannya nol atau S(x) = 0, maka: bilangan hasil
 F(x) habis dibagi P(x) yang dibagi pembagi
 P(x) faktor dari F(x)

Pangkat tertinggi sisa satu lebih kecil derajatnya dari pada pangkat tertinggi pembagi:

Pangkat Tertinggi Pangkat Tertinggi Sisa konstanta
Pembagi
xn-1
xn x2
x3 x
x2 k
x

5

Pencarian Sisa Dengan Teorema Sisa
Dari persamaan berikut:

F(x) = P(x) H(x) + S(x)
Misalkan, kita mengganti pembagi P(x) dengan (x – A) maka:

F(x) = (x – A) H(x) + S(x)
Kita akan mencari sisa S(x) dengan menghilangkan H(x) menggunakan cara subtitusi x = A. Maka, didapat:

F(A) = (A – A) H(A) + S(A)
F(A) = 0 . H(A) + S(A)
F(A) = S(A)
Dari persamaan tersebut, dapat disimpulkan:

sisa = F(A) dengan A adalah pembuat nol dari pembagi

Contoh:

1. Suatu suku banyak f (x)  3x4  5x3  2x  5 dibagi dengan x  2 maka sisanya adalah ....

Pembahasan:
x  2  pembuat nolnya x  A  2 , maka sisa pembagiannya:

f (x)  3x4  5x3  2x  5

Sisa = f(A)
Sisa = f(2)

 3(2)4  5(2)3  2(2)  5

 48  40  4  5
 17

2. Jika fungsi suku banyak 2x47  4x71  3x2.012  7k habis dibagi oleh (x  1) , berapakah nilai k tersebut?.

Pembahasan:
Karena habis dibagi, maka pembagian suku banyak tersebut memberikan sisa 0.
x  1  pembuat nolnya x  A  1, maka :

f (x)  2x47  4x71  3x2.012  7k

Sisa = f(A) = f(–1) = 0 Catatan:
2(1)47  4(1)71  3(1)2.012  7k  0 (–1)genap = 1
(–1)ganjil = –1
2(1)  4(1)  3(1)  7k  0
 2  4  3  7k  0
5  7k  0
5  7k

k5
7

6

3. Suatu suku banyak, apabila dibagi dengan x  2 menghasilkan sisa 10; dan apabila dibagi dengan

x  3 bersisa –5. Maka, berapakah sisa suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2  x  6 ?

Pembahasan: Ingat, karena pangkat pembagi x2
f (x)  (x  2) 10 maka sisanya adalah x.

f (2)  10

f (x)  (x  3)  5 CADAS:

f (3)  5 -10 - (-30) = 20
f (2)  10  (2, 10)
f (x)  (x2  x  3)  ax  b f (3)  5  (3,  5) 
f (x)  (x  2)(x  3)  ax  b
Eliminasi: 5y  15x  20
Sisa = f(A) = ax + b y  3x  4

f (2)  2a  b  10 sisa
f (3)   3a  b  5 

5a  15

a=3

2a  b  10
2(3)  b  10

6  b  10
b4

Jadi, sisanya adalah 3x  4 .

Teorema Faktor dan Akar

Pengertian Faktor dan Akar

Suatu nilai merupakan faktor dari suatu suku banyak, jika suku banyak dibagi dengan nilai tersebut tidak
memiliki sisa atau sisa = 0.

Sisa = 0 Ilustrasi dengan angka:

F(x) = P(x) H(x) + S(x) 12 dibagi 2 adalah hasilnya 6 dan sisa 0.
Jadi, pembagian tersebut bisa dituliskan:
Hasil = faktor 12 = 2 . 6 + 0
Pembagi = faktor
sisa

faktor
faktor

Atau bisa dikatakan (x – a) merupakan faktor dari f(x), jika f(a) = 0 dengan nilai a disebut akar. Berikut
ilustrasinya:

F(x) = (x – a)(x – b)(x – c) a, b, c adalah akar dari F(x)

faktor

7

Cara Mencari Faktor dan Akar

Jika diketahui suku banyak:

f (x)  an xn  an1xn1  an2 xn2  ....  a2 x2  a1x  a0

faktor atau akarnya diperoleh dengan cara berikut ini:

1. Tentukan faktor bulat positif a0 (kita namakan p) dan tentukan faktor bulat positif an (kita namakan q).
2. Kita tentukan kombinasi p dan q dengan k   p .

q
3. Masukkan nilai k ke f(x). Jika f(k) = 0, maka k adalah salah satu akar suku banyaknya dan (x – k) adalah

salah satu faktornya.

Contoh:

1. Carilah akar dan faktor dari suku banyak x4  2x3  5x 2  x  10 .
Pembahasan:
Langkah 1:
x 4  2x3  5x 2  x  10  an  1 dan a0  10
p = 1, q = 1, 2, 5, 10
Langkah 2:
k   p  1, 1, 2,  2, 5,  5, 10, 10
q

Langkah 3:
f (1)  (1)4  3(1)3  5(1)2  1 10 1  3  5  1 10  0
Karena f(1) = 0 maka x = 1 adalah akar dan (x – 1) adalah faktor.
f (1)  (1)4  3(1)3  5(1)2 1 10 1  3  5 1 10  8  0
Karena f (1)  0 maka x = –1 bukan akar.
f (2)  (2)4  3(2)3  5(2)2  2 10 16  24  20  2 10  52  0
Karena f (2)  0 maka x = 2 bukan akar.

f (2)  (2)4  3(2)3  5(2)2  2 10 16  24  20  2 10  0
Karena f(– 2) = 0 maka x = – 2 adalah akar dan (x +2) adalah faktor.
Kita sudah mendapatkan 2 faktor (x – 1) dan (x +2). Jika keduanya dikalikan, akan diperoleh:
(x 1)(x  2)  x2  x  2
Maka, x2  x  2 juga merupakan faktor suku banyak tersebut. Untuk mencari faktor lainnya, bisa
dilakukan dengan membagi suku banyak dengan x2  x  2 .