Modul Matematika

Pertidaksamaan

Sifat-Sifat

1. Jika a  b maka b  a .
2. Jika a  b maka berlaku:

a. a  c  b  c
b. a  c  b  c
c. a  k  b  k dan a  b dengan k  0

kk
d. a  k  b  k dan a  b dengan k  0

kk
e. a n  bn dengan n bilangan ganjil
3. Jika a  b  0 maka berlaku:
a. an  bn
b. 1  1

ab
4. Jika a  b dan c  d maka berlaku:

a. a  c  b  d
b. a  c  b  d
5. Jika a  b dan c  d maka a  c  b  d .
6. Jika a  0 dan b  0 maka a . b  0 .

Cara Penggambaran Pertidaksamaan pada Garis Bilangan

Berikut adalah beberapa contohnya:
1. x  a

a  Artinya, a tidak termasuk dalam

2. x  b penyelesaian.

 Artinya, b termasuk dalam
b penyelesaian.

3. x  a atau x  b

ab

4. a  x  b

ab

Pertidaksamaan Linier

Langkah penyelesaian pertidaksamaan linier adalah:
1. Letakkan semua bilangan yang mengandung variabel di ruas kiri dan bilangan yang tidak mengandung

variabel di ruas kanan.
2. Sederhanakan, sehingga di ruas kiri dan kanan pertidaksamaan hanya ada satu komponen.

Contoh:

1. Himpunan penyelesaian dari 4x  8  2x  2 adalah ....

Pembahasan:
4x 8  2x  2

4x  2x  2 8
2x  6
x  3

Jadi, HP-nya adalah {x | x  3}.
2. Himpunan penyelesaian dari 3x 18  5x  30 adalah ....

Pembahasan:
3x 18  5x  30
3x  5x  30 18

 2x  12
x  6

Jadi, HP-nya adalah {x | x  6}.

3. Hasil dari pertidaksamaan 3x  4  x  2  4  x adalah ....

Pembahasan:

3x  4  x  2  4  x bisa dipisah menjadi:

3x  4  x  2 dan x  2  4  x

3x  x  2  4 x x  42

2x  2 2x  6

x 1 x 3

1 3
Jika keduanya digabungkan, menjadi:

13

Daerah himpunan penyelesaian adalah yang terkena/dilalui arsiran dua kali, yaitu x  1 maka HP = {
x  1}.

Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah:

1. Jadikan ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol.
2. Faktorkan/cari pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.
3. Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan dan tentukan daerah positif (+) dan negatif (–).
4. Tentukan daerah himpunan penyelesaianya. Jika pertidaksamaan > atau ≥ maka daerah hasilnya

adalah daerah positif (+); dan jika pertidaksamaannya < atau ≤ maka daerah penyelesaiannya adalah
daerah negatif (–).

Untuk menentukan daerah positif (+) dan negatif (–), bisa dilakukan dengan salah satu cara berikut:
1. Pilih salah satu bilangan di daerah tersebut, kemudian nilai tersebut dimasukkan ke fungsi. Jika

hasilnya positif (+) maka daerah tersebut merupakan daerah positif (+); dan jika hasilnya negatif (–)
maka daerah tersebut negatif daerah negatif (–).
2. Lihat koefisien dari pangkat tertinggi pertidaksamaan. Jika koefisiennya positif (+) maka daerah
tersebut daerah positif (+); dan jika koefisiennya negatif maka daerah tersebut adalah daerah negatif (–
).

Contoh:

Himpunan penyelesaian dari x2  x  6  0 adalah ....

Pembahasan: Kita akan mengecek sebuah nilai, misalnya 4. Kita substitusikan 4:

x2  x  6  0 x2  x  6  42  4  6  16  4  6  6
(x  3)(x  2)  0
x  3, x  2 Karena 6 > 0, maka daerah tersebut adalah daerah positif (+). Daerah
berikutnya adalah berselang-seling antara - dan + .
+++ --- +++
-2 3 Atau bisa dilihat dari :

x2  x 6

Karena koefisien pangkat tertinggi, x2, adalah positif, maka daerah hasil paling kanan
juga positif (+ ). Daerah hasil berikutnya berselang–seling antara + dan - .

HP = { –2 < x < 3 }.

Karena di soal yang ditanyakan adalah “ < ”, maka daerah hasil yang
diarsir adalah daerah negatif (–).

Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Cara penyelesaian pertidaksamaan pangkat tinggi pada dasarnya sama seperti pertidaksamaan kuadrat.
Contoh:

1. Carilah himpunan penyelesaian dari x3  6x2  8x  0 .

Pembahasan:
x3  6x2  8x  0
x(x2  6x  8)  0
x(x  2)(x  4)  0
x 0x 2x 4

--- +++ --- +++
024

HP-nya adalah {0 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 4}.

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x  2)(x2  x  6)  0 adalah ....

Pembahasan:

(x  2)(x2  x  6)  0 Diberi pembatas (air mancur) karena ada akar kembar, yaitu
(x  2)(x  3)(x  2)  0 x = 2 . Jumlah air mancur sesuai jumlah akar kembarnya.
x  2  x  3  x  2

--- +++ ---
-3 +++

2

Maka, HP-nya adalah {x < –3}.

Pertidaksamaan Pecahan

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan pecahan adalah:
1. Pindahkan semua ke ruas kiri, sehingga ruas kanan menjadi nol.
2. Sederhanakan ruas kiri tersebut.
3. Faktorkan bentuk ruas kiri.
4. Tentukan pembuat nolnya. Nilai pembuat nol dari penyebut tidak termasuk dalam himpunan

penyelesaian.
5. Tuliskan nilai-nilai yang diperoleh dari pembuat nol pada garis bilangan.
6. Tentukan tanda untuk daerah positif (+) atau negatif (–) pada setiap interval.
7. Tentukan daerah himpunan penyelesaiannya.

Contoh:

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x  2  1 adalah ....
x3

Pembahasan:

2x  2 1
x3

2x  2 1 0
x3

2x  2  x  3  0 artinya -5 masuk dalam HP karena lambang pada soal “≤”
x3 x3

2x  2  x  3  0 +++ --- +++
x3 –5 3

x5 0 3 pembuat nol tetapi tidak termasuk dalalm HP karena
x3 penyebut tidak boleh 0.
Pembuat nol x  5 dan x  3

Jadi, HP-nya {5  x  3}.

2. Carilah himpunan penyelesaian x2 x4  0 !
8x 
7

Pembahasan:

x4 0
x2 8x  7

x4 0
(x 1)(x  7)

Pembuat nol x   4, x 1, dan x  7 . --- +++ --- +++
–4 1 7
HP-nya adalah {4  x  1atau x  7} .

3. Himpunan penyelesaian dari 3  5 adalah ....
x7 x3

Pembahasan:

35
x7 x3

3  5 0
x7 x3

3(x  3)  5(x  7)  0
(x  7)(x  3)

3x  9  5x  35  0
(x  7)(x  3)

 2x  44  0
(x  7)(x  3)

 2(x  22)  0 +++ --- +++ ---
(x  7)(x  3)
Pembuat nol x  22, x  7, x  3 –3 7 22
HP-nya adalah {3  x  7 atau x  22} .

Pertidaksamaan Bentuk Akar

Langkah penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar adalah:
1. Tentukan syarat akar, yaitu nilai bilangan dalam tanda akar harus ≥ 0.
2. Kuadratkan kedua ruas sehingga tanda akarnya hilang.
3. Pindahkan ke ruas kiri semua komponennya.
4. Tentukan nilai-nilai pembuat nol.
5. Letakkan nilai pembuat nol di garis bilangan.
6. Tentukan daerah penyelesaian (digabungkan dengan syarat akar: lihat langkah nomor 1).

Contoh:

1. Penyelesaian dari 2x  6  4 adalah ....

Pembahasan:

2x 6  4

Syarat 1 (syarat akar): 3

2x 6  0
2x  6
x3

Syarat 2:

2x 6  4

 2x  6 2  42

2x  6 16
2x  16  6

2x  22 11
x 11

Penggabungan syarat (1) dan (2): 3 11

HP-nya adalah {x > 11}.

2. Carilah himpunan penyelesaian dari x  2  2x  6 !

Pembahasan:

x  2  2x  6

Syarat 1 (syarat akar): -2
x20

x  2
Syarat 2 (syarat akar) :

2x  6  0 3
2x  6
x3

Syarat 3 :

x  2  2x  6

   x  2 2  2x  6 2

x  2  2x  6 8
x  2x  6  2
-3 2 8
 x  8
x8 Daerah yang terkena/dilalui arsiran sebanyak 3 kali.

Penggabungan syarat 1, 2, dan 3:
Daerah HP adalah daerah yang
terkena/dilalui arsiran tiga kali, yaitu

{2  x  8} .

Pertidaksamaan Bentuk Mutlak

Sifat dalam pertidaksamaan harga mutlak adalah:

1. f (x)  k maka penyelesaiannya adalah  k  f (k)  k .

2. f (x)  k maka penyelesaiannya adalah f (x)  k atau f (x)  k .

3. f (x)  g(x) maka penyelesaiannya adalah f 2 (x)  g 2 (x) .
Contoh:
1. Penyelesaian dari 2x  3  7 adalah ....

Pembahasan:
2x  3  7

 7  2x  3  7
 7  3  2x  3 7
 4  2x  10
2 x5
Maka, HP-nya adalah {  2  x  5 }.

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2  5x  3  3 adalah ....

Pembahasan:
x2  5x  3  3 , maka penyelesaiannya:

x2  5x  3  3 atau x2  5x  3  3
x2  5x  3  3  0 x2  5x  3  3  0
x2  5x  0
x2  5x  6  0 x(x  5)  0
(x  2)(x  3)  0 x  0  x  5
x  2  x  3

+++ --- +++ +++ --- +++
-5 0
-3 -2

Maka, HP-nya adalah {3  x  2 atau x   5 atau x  0}.

3. Nilai x yang memenuhi 3x  4  2x 1 adalah ....

Pembahasan:
3x  4  2x 1

(3x  4)2  (2x 1)2

9x2  24x 16  4x2  4x 1 +++ --- +++
9x2  4x2  24x  4x 16 1  0 1 3
5x2  20x2 15  0
x2  4x  3  0
(x 1)(x  3)  0
x 1 x  3
Maka, HP-nya adalah {1  x  3} .

Video Pertidaksamaan Logaritma (Bonus)

Trigonometri

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan Trigonometri Dalam Segitiga Siku-Siku

sisi depan terhadapα

sisi miring r y

α sisi samping terhadapα
x

1. sin   y  (depan) kebalikannya cos ec  1  r  (miring)
r (miring) kebalikannya sin  y (depan)
kebalikannya
2. cos  x  ( samping ) sec  1  r  (miring)
r (mi ring) cos x (samping)

3. tan  y  (depan) cot   1  x  ( samping )
x ( samping ) tan y (depan)

Catatan: tanα juga bisa didefinisikan sebagai : tan  sin 
cos

Contoh:

1. Jika diketahui cos  5 , maka nilai sinα dan tanα adalah ....
13

Pembahasan: r =13 Nilai y didapat dari :
cos  5  (depan)
α y  132  52  169  25  144
13 (miring) x=5 y  12

sin   depan  12 y = 12
miring 13

tan  depan  12
samping 5

2. Diketahui tan   k , maka nilai sec  adalah...

Pembahasan: Nilai r didapat dari :
tan   k bisa ditulis tan   k  depan
miring (r ) r  k 2 12  k 2 1
1 samping k
α
sec   miring  k 2  1  k 2  1 1

samping 1

Sudut-Sudut Istimewa
Nilai-nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ditunjukkan pada tabel berikut.

α 0o 30o 45o 60o 90o 180 o 270 o
Sin α 0 12 1 0 –1
Cos α 1 1 2 13 0 –1 0
Tan α 0 2 12 2 ∞ 0∞
13 2
2 1
13 1 2
3
3

Kuadran
Kuadran adalah daerah pergerakan sudut dalam satu putaran sudut yang terdiri atas empat bagian. Nilai-
nilai trigonometri pada setiap kuadran ditunjukkan berikut ini. 1 – 2

90o

Kuadran II Kuadran I Catatan:
0<ø<3
sin + Kuadran I: 0    90
semua + Kuadran II: 90    180
Kuadran III: 180    270
180o 0o atau 360o Kuadran IV: 270    360
(satu kali putaran)

Kuadran III Kuadran IV

tan + cos +

270o

sinα  y  () 90o sinα  y  ()
r y r

cos  x  () cosα  x  ()
r r

tan  y  () tanα  y  ()
x x

180o –x r r x 0o atau 360o
α α sin   y  ()
α α r
r
r cosα  x  ()
r
sin   y  ()
r –y tan   y  ()
270o x
cos  x  ()
r

tanα   y  ()
x

Sudut Berelasi
Sudut berelasi menjelaskan hubungan nilai-nilai trigonometri antara suatu sudut dan sudut lainnya dalam
sebuah kuadran. Berikut ini akan dijelaskan penjabaranya sekaligus diberi teknik penghitungan mudah.
 Sudut berelasi kuadran I

Berikut akan dibahas hubungan sudut α dan (90o – α) dengan α sudut lancip(0o < α < 90o).

90o

y r

180o (90o – α) 0o
α
Kesimpulan:
x
sin  cos (90o   )
270o cos  sin (90o   )
tan  cot (90o   )
sin   y perhatikan cos (90o   )  y
r perhatikan r
perhatikan
cos  x sin (90o   )  x
r r

tan  y tan (90o  )  y
x x

Contoh:

Nilai dari cos 20  cos 40 adalah ....
sin 70  sin 50

Pembahasan:

cos 20  cos 40  sin 70  sin 50 1
sin 70  sin 50 sin 70  sin 50

 Sudut berelasi kuadran II
Berikut akan dibahas hubungan sudut (90o + α) dan (180o – α) dengan α sudut lancip (0o    90o ) .

90 o 90 o

garis h y 0o garis h y 0o
180 o – x r (180 o – α)  r (90 o +  )
o
α 180 o – x α

270 o 270 o

Besar sudut yang dibentuk oleh garis h dan Besar sudut yang dibentuk oleh garis h
sumbu-X positif adalah (180 o – α) atau α dan sumbu-X positif adalah (90 o +  )
terhadap sumbu-X negatif. atau α terhadap sumbu-X negatif.

sin (180o  )  sin  y sin (90o   )  sin  cos   y
r r

cos(180o   )  cos  x cos(90o   )  cos  sin   x
r r

tan (180o )  tan  y tan (90o   )  tan  cot   y
x x

Jadi, bisa disimpulkan: sin (90o   )  cos 
cos (90o   )  sin 
sin (180o   )  sin tan (90o   )   tan 
cos (180o   )   cos
tan (180o   )   tan

 Sudut berelasi kuadran III
Dengan cara yang sama seperti pada kuadran II, pada kuadran III didapat:

sin (180o   )  sin sin (270o   )   cos 
cos (180o   )   cos cos (270o   )  sin 
tan (180o   )  tan tan (270o   )  tan 

 Sudut berelasi kuadran IV
Dengan cara yang sama seperti pada kuadran II dan III, pada kuadran IV didapat:

sin (360o   )  sin sin (270o   )  cos 
cos (360o   )  cos cos (270o   )   sin 
tan (360o   )   tan tan (270o   )   tan 

 Sudut berelasi lebih dari 360o
Untuk sudut yang lebih dari 360o, artinya sudut itu bergerak lebih dari satu putaran, maka berlaku:
sin (n.360o   )  sin
cos (n.360o   )  cos
tan (n.360o   )  tan

n adalah bilangan bulat positif.

Catatan Penting:

sin (n.180o   )   sin dengan n bilangan bulat positif, n = 1, 2, 3, 4, ....
cos (n.180o   )   cos
tan (n.180o   )   tan tanda positif/negatif untuk nilai trigonometri bergantung letak kuadrannya

sin (n.90o   )   cos dengan n bilangan bulat positif ganjil, n = 1, 3, 5, ....
cos (n.90o   )   sin
tan (n.90o   )   cot tanda positif/negatif untuk nilai trigonometri bergantung letak kuadrannya

Contoh:
1. Berapakah nilai dari:

a. cos 150 1500 berada dikuadran II, maka nilai cos
b. tan 240 negatif (-)
c. sin 330

Pembahasan :
a. cos150  cos (180O  30O )

 cos 30   1 3
2

Atau bisa diselesaikan dengan cara:
cos150  cos (90  60 )

  sin 60   1 3 2400 berada dikuadran III, maka nilai tan
2 positif (+)

b. tan 240  tan(180  60) 3300 berada dikuadran IV, maka nilai sin
negatif (-)
 tan 60  3

c. sin 330  sin(360  30)

  sin 30   1
2

2. Nilai dari dari :

a. tan 750
b. sin 1230

Pembahasan:

a. tan 750  tan 2360  30

 tan 30  1
2

b. sin1.230  tan (3 360 150 )

 tan 150  tan (180  30 )

  tan 30   1 3
3

Sudut Negatif
Sudut positif artinya perputaran sudut berlawanan arah dengan jarum jam.
Sudut negatif artinya perputaran sudut searah dengan jarum jam.

Dalam sudut negatif berlaku: α searah jarum
-α jam
sin ( )  sin
cos ( )  cos berlawan arah
tan ( )   tan jarum jam

Satuan Ukuran Sudut

Derajat dan Radian
Satuan yang biasa dipakai pada pengukuran sudut adalah derajat dan radian.

 radian = 180o

Jika   3,14 atau   22 maka:
7

1radian  180  180 57,3
 3,14

1radian  57,3

180   radian
1   radian

180
1  3,14 radian = 0,017 radian

180
1  0,017 radian

Contoh:

1. Ubahlah sudut 2  dalam satuan derajat!
3

Pembahasan:

Bentuk 2  artinya 2  radian (satuan ‘radian’ sering kali tidak dituliskan). Jadi, untuk mengubah ke dalam
33

satuan derajat, dilakukan dengan cara mengubah  menjadi 180o atau dikali dengan 180 :


2   2 180  120
33
4. Ubahlah bentuk 150o dalam bentuk  radian !

Pembahasan:
Untuk mengubah bentuk derajat ke  radian, caranya dikali dengan  .

180 

150 150 . 1   5 
180 6

Derajat, Menit, dan Detik

Satuan sudut bisa juga dinyatakan dalam bentuk menit(’) dan detik (’’).

1o = 60’ (menit) atau 1’ = 1
60

1o = 3600’’ (detik) atau 1’’ = 1 
3600

Contoh:
Ubahlah bentuk 30o 30’ 36’’ menjadi bentuk sudut dalam satuan derajat!

Pembahasan:
30o 30’ 36’’ = (30  30 1  36 1 ) = (30 + 0,5 + 0,01)o = 30,51o

60 3.600

Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

P dalam koordinat Cartesius: P(x, y)

P
y

r
P dalam koordinat kutub: P( r , α)

α
x

Mengubah koordinat Cartesius P(x, y) ke koordinat kutub P(r, α)

r  x2  y2

tan  y
x

Contoh:
Ubahlah titik-titik dalam koordinat Cartesius berikut menjadi koordinat kutub:
a. (3, 3 3)
b. (1, 3)
Pembahasan:
a. Dari koordinat Cartesius (3, 3 3) , maka x  3, y  3 3 .

r  x2  y2  32  (3 3)2  9  27  36  6
tan  y  3 3  3 , maka α = 60o

x3
Jadi, hasilnya (6, 60o).
b. Dari koordinat Cartesius (1, 3) , maka x  1, y  3 .

r  x2  y 2  (1)2  ( 3)2  1  3  4  2

tan  y  3   3 , maka α = 120o

x 1
Jadi, hasilnya(2, 120o).

Mengubah titik P(r, α) dalam koordinat kutub ke koordinat Cartesius P(x, y)

x  r  cos
y  r  sin 

Contoh:
Ubah titik-titik dalam bentuk koordinat kutub berikut menjadi koordinat Cartesius:
a. (4, 30o)

b. (8, 2  )
3

Pembahasan:
a. Dari koordinat kutub (4, 30o), maka r = 4 dan α = 30o

x  r  cos  4  cos30  4  1 3  2 3
2

y  r  sin   4  sin 30  4  1  2
2

Jadi, hasilnya (2 3,2) .
b. Dari koordinat kutub (8, 2  ) , maka r = 8 dan   2   2 .180  120 .

3 33
x  r  cos  8  cos 120  8  ( 1 )  4

2

y  r  sin   8  sin 120  8  1 3  4 3
2

Jadi, hasilnya (4,4 3) .

Rumus Identitas

Rumus- rumus identitas dalam trigonometri adalah:

sin 2 x  1 cos2 x

sin 2 x  cos2 y  1

cos2 x  1 sin 2 x

1 tan2 x  sec2 x tan2 x  sec2 x 1

1 cot2 x  cos ec2 x cot2 x  cosec2 x 1

Contoh:

1. Bentuk sederhana dari (sin2 x 1)(1 tan2 x) adalah ....

Pembahasan:

(sin2 x 1)(1 tan2 x)  (1 sin2 x)(sec2 x)

  cos2 x  1
cos2 x

 1

2. Buktikan:

1  tan2 x  1
cos2
x

Pembahasan:

1  tan2 x  1
cos2 x

Kita uraikan ruas kiri persamaan:

1 x  tan2 x
cos2

 sec2 x  tan2 x  (1  tan2 x)  tan2 x

1 tan2 x  tan2 x 1 (terbukti)

Persamaan Trigonometri

Rumus- rumus dalam persamaan trigonometri adalah :

1. sin x  sin
x    k.360 atau x  (180   )  k.360 ; dengan k bilangan bulat

2. cos x  cos
x    k.360 atau x    k.360 ; dengan k bilangan bulat

3. tan x  tan

x    k.180

Contoh:

1. Himpunan penyelesaian dari sin x  1 3 , untuk 0  x  360o adalah ....
2

Pembahasan:
sin x  1 3

2
sin x  sin 60o

x  60  k.360 atau x  (180  60)  k.360

x  60  k.360 atau x  120  k.360 420o dan 480o tidak masuk dalam HP
k  0: x  60  0 atau x  120  0
x  60 atau x  120 karena 0  x  360o
k  1: x  60  360 atau x  120  360

x  420 atau x  480

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah{60 , 120 } .

2. Himpunan penyelesaian dari cos 3x  1 2  0 , untuk 0  x  180o adalah ....
2

Pembahasan:
cos 3x  1 2  0

2
cos3x  1 2

2
cos 3x  cos 45

3x  45  k.360 atau 3x  45  k.360
x  15  k.120 atau x  15  k.120

k  0: x  15  0 atau x  15  0

x  15 atau x  15
k  1: x  15  120 atau x  15  120

x  135 atau x  105 -15o, 255o dan 235o tidak masuk dalam HP
k  2: x  15  240 atau x  15  240
karena 0  x  180o
x  255 atau x  235

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {15 ,105 ,135} .

3. Himpunan penyelesaian dari tan (2x  30 )  1 3 , untuk nilai 0  x  360 adalah ....

3
Pembahasan:
tan(2x  30)  1 3

3
tan (2x  30 )  tan 30

2x  30  30  k.180
2x  60  k.180
x  30  k.90

k  0: x  30  0
x  30

k 1: x  30  90
x  120

k  2: x  30 180
x  210

k  3: x  30  270
x  300

k  4: x  30  360
x  390

Maka, himpunan penyelesaiannya{30 , 120 , 210 , 300 } .

Rumus-Rumus Segitiga Dalam Trigonometri

Aturan Sinus

C

ba abc
Ac B sin A sin B sin C

Aturan sinus dipakai, jika diketahui:
1. Dua sudut dan satu sisi; atau
2. Dua sisi dan satu sudut (yang bukan sudut apit).

Contoh:

Jika diketahui segitiga ABC dengan  A  120 ,  B  30 , dan a  8 . Tentukanlah panjang b!

Pembahasan: C a=8

Karena  A  120 ,  B  30 maka C  30 . 30
abc
120 30 B
sin A sin B sin C
8 b A

sin120 sin 30

8  sin 30  b atau b 8  sin 30
sin 120 sin 120

b 8 1 dirasionalkan b 8  3 8 3
1 32 33 3
2

b 8
3

b8 3
3

Aturan Cosinus a2  b2  c2  2bc  cos A cos A  b2  c 2  a 2
C b2  a2  c2  2ac  cos B 2bc
c2  a2  b2  2ab  cosC
ba cos B  a 2  c 2  b2
2ac
Ac B
cos C  a 2  b2  c 2
2ab

Aturan cosinus dipakai, jika diketahui:
1. Dua sisi dan satu sudut apit;
2. Ketiga sisi.
Contoh:

1. Diketahui segitiga ABC dengan b  5, c  8 , dan  A  60 , maka panjang sisi a adalah ....

Pembahasan: C

a2  b2  c2  2bccos A b =5 a=....
a2  52  82  2  5  8  cos60
a 2  25  64  80  1 60o c=8 B
A
2

a2  89  40  49

a  7 karena yang ditanyakan adalah panjang a; dan panjang itu harus bernilai positif, maka a = 7.

2. Jika diketahui segitiga PQR dengan panjang tiap sisinya 6, 8, dan 10;maka nilai cosinus sudut

terbesarnya adalah ....

Pembahasan:

Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang, maka sudut P
terbesarnya adalah sudut P.

cos P  q2  r2  p2  82  62 102  64  36 100 100 100 q =8 r=6
2qr 2 8 6 96 96 R p= 10 Q

cos P  0  0
96

Maka besar sudut P adalah 90o

Luas Segitiga ta L 1 at
 Diketahui alas dan tinggi 2

t
a

Catatan: L  1  a b sin C
Hubungan alas dan tinggi harus saling tegak lurus 2

 Diketahui dua sisi dan satu sudut apit L  1  a  c sin B
C 2

ba L  1 b  c sin A
2
Ac B

Contoh:

Sebuah segitiga ABC dengan b = 4 cm, c = 5 cm, dan  A  45 , maka luasnya adalah ....

Pembahasan:

L  1  b  c  sin A C
2

L  1  4  5  sin 45 b=4 a
2
45o B
L  10  1 2 A c=5
2

L  5 2 cm2

 Diketahui tiga sudut dan satu sisi L  a2 sin B sin C
C 2sin A

ba L  b2 sin Asin C
2sin B
Ac B
L  c2 sin Asin B
2sin C

Contoh:

Pada segitiga ABC diketahui  A  120 , B  30 , dan a = 4 cm. Maka, luas segitiga tersebut adalah ....

Pembahasan:

Diketahui a = 4 cm,  A  120 , dan B  30 , maka C  30 .

L  a2 sin B sin C
2sin A

L  42 sin 30 sin 30
2sin 120

16  1  1 4
L 2 2 
21 3 3
2

L4 3
3

 Diketahui panjang seluruh sisinya
C

ba

Ac B L  s(s  a)(s  b)(s  c)

Dengan s adalah setengah keliling:
s  1 (a  b  c)

2

Contoh:
Suatu segitiga dengan sisi – sisi nya 5 cm, 6 cm dan 7 cm. Maka luas segitiganya adalah....
Pembahasan:
s  1 (a  b  c)  1 (5  6  7)  1 (18)  9

2 22

L  s(s  a)(s  b)(s  c)

 9(9  5)(9  6)(9  7)

 9432
 36 6
6 6

Luas Segi-n Beraturan

r

L  1 nr 2  360 
2 sin  n 



n = banyaknya jumlah sisi
r = jari-jari lingkaran

Contoh:

Sebuah segi-12 beraturan dengan jari-jari lingkarannya adalah 2 cm. Maka, luas segi-12 beraturan tersebut

adalah ....

Pembahasan:

n = 12, r = 2 cm

L  1 nr 2 sin 360 
2 n

L  1 12 22  sin  360 
2 12

L  6  4  sin 30

L  64 1
2

L  12cm2

Jari-Jari Lingkaran rd  L ABC ; atau
 Jari-jari lingkaran dalam segitiga s

C rd  s(s  a)(s  b)(s  c)
s
b
a

rd

A B
c

 Jari-jari lingkaran luar segitiga
C

b rl  a A b c ; atau
rl 2 sin 2sin B 2sin C

a rl  abc  abc
4L ABC s (s  a)(s  b)(s  c)
A rl 4
rl

c

B

 Jari-jari lingkaran singgung

ra  s. tan 1 A
2

ra  LABC  s(s  a)(s  b)(s  c)
sa sa

C rb

b ra 1
rc 2
a rb  s. tan B

A cB rb  LABC  s(s  a)(s  b)(s  c)
sb sb

rc  s. tan 1C
2

rc  LABC  s(s  a)(s  b)(s  c)
sc sc

Grafik Fungsi Trigonometri

Grafik Fungsi Sin x
 Bentuk dasar

Bentuk dasar y  f (x)  sin x digambarkan sebagai berikut.

y Catatan:
 1 gelombang = 1 gunung + 1 lembah
1 y  sin x  Periode: besar sudut yang dibutuhkan untuk

menempuh satu gelombang.
 Frekuensi: banyaknya gelombang dalam 360o

90o 180o 270o 360o x

-1

Dari grafik tersebut didapat:
1. Nilai maksimum 1 dan nilai minimum –1
2. Amplitudo (maks – min) = (1 – (–1)) = 2

3. Periode = 360o = 2

 Bentuk umum fungsi sin x adalah:
y  asin (kx  b) , dengan a,b, dan k bilangan real; a ≠ 0 dan k ≠ 0.

Dari bentuk umum tersebut, bisa didapat: Jika k negatif kita ubah ke positif untuk
1. Maksimum a dan minimum  a mempermudah penyelesaian. Ingat
bentuk: sin (x) = – sin (x)!
2. Amplitudo = 2a
3. Periode = 360

k

 Cara menggambar grafik
Langkah menggambar grafik sin x adalah sebagai berikut:

y  sin x bentuk dasar, periodenya: 2
y  sin kx
y  sin(kx  b) periodenya : 2  360
y  a sin(kx  b) kk

b

Jika (+) geser kurva ke kiri sejauh

k
b

Jika (-) geser kurva ke kanan sejauh

k

perbesar kurva:nilai maksimum menjadi |a| dan nilai
minimum = –|a|

Contoh:

1. Gambar persamaan kurva dari y  2 sin 3x untuk 0  x  360adalah ....

Pembahasan: y

1 y  sin x

Langkah I

y  sin x 90o 180o 270o x

360o

Maksimum = 1 –1
Minimum = –1
y
Periode = 2  360 y  sin 3x

Langkah II 1
y  sin 3x
Periode menjadi: 30o 90o 150o 210o 270o 330o x
60o
2  2  360  120 120o 180o 240o 300o 360o
k3 3
-1

y

Langkah III 2
y  2sin 3x
Nilai maksimum dan minimum menjadi: y  2sin 3x

Maksimum = a  2  2 1

Minimum =  a   2  2 30o 90o 150o 210o 270o 330o x
60o
120o 180o 240o 300o 360o

-1

-2

2. Grafik kurva dari persamaan y  2sin (2x  90) untuk 0  x  360adalah ....

Pembahasan:

Langkah I kita lewati y
(dianggap sudah paham)

Langkah II 1 y  sin 2x
y  sin 2x
Maksimum = 1 90o 180o 270o x
Minimum = –1
360o
Periode = 2  360  180
22 –1

Langkah III y y  sin (2x  90)
y  sin (2x  90)
Grafik digeser ke kiri sejauh: 1 90o 180o 270o x
90o
b  90  45 –90o 360o
k2 –1

Langkah IV y y  2sin(2x  90)
y  2sin(2x  90)
Maks dan min menjadi 2 90o 270o x
1 180o
Maksimum = a  2  2 360o
–1
Minimum =  a   2  2 –2

Grafik Fungsi Cos x y  cos x
 Bentuk Dasar

Bentuk dasar y  f (x)  cos x digambarkan sebagai berikut.
y

1

90o 180o 270o 360o x

–1

Dari grafik tersebut, didapat:
1. Nilai maksimum 1 dan nilai minimum –1.
2. Amplitudo: nilai (maksimum – minimum) = (1 – (–1)) = 2.

3. Periode = 360o = 2 .

 Bentuk umum fungsi cos x adalah:

y  a cos(kx  b) dengan a,b dan k bilangan real; a ≠ 0 dan k ≠ 0

Dari bentuk umum tersebut, bisa didapat: Jika k negatif, kita ubah ke positif untuk
1. Nilai maksimum a dan minimum  a . mempermudah penyelesaian. Ingat

bentuk: cos (x) = cos x!

2. Amplitudo = 2a

360

3. Periode =

k

 Cara menggambar grafik
Langkah menggambar grafik cos x adalah sebagai berikut:

y  cos x bentuk dasar: periodenya 2

y  cos kx periodenya: 2  360
y  cos(kx  b) kk
b

Jika (+) geser kurva ke kiri sejauh

kb

Jika (-) geser kurva ke kanan sejauh

k

y  a cos(kx  b) perbesar kurva: nilai maksimum menjadi |a| dan nilai minimum –|a|

Contoh:

1. Diberikan persamaan y  2 cos3x , maka bentuk grafik untuk 0  x  360 adalah....

Pembahasan: y y  cos x
Langkah I
y  cos x 1 180o 270o x

Maksimum = 1 90o 360o
Minimum = –1 –1

Periode = 2  360

y

Langkah II 1
y  cos 3x
Periode menjadi : y  cos3x

2  2  360  120 30o 90o 150o 210o 270o 330o x
k3 3 60o 120o 180o 240o 300o 360o

Langkah III –1
y  2 cos3x
Nilai maksimum dan minimum menjadi: y

Maksimum = a   2  2 2

Minimum =  a   2  2 y  2 cos3x

1

30o 90o 150o 210o 270o 330o x

60o 120o 180o 240o 300o 360o

–1

–2

2. Bentuk grafik dari persamaan y  3cos(2x  90) untuk 0  x  360adalah ....

Pembahasan: y

Langkah II 1
y  cos 2x
y  cos 2x
Periodenya menjadi:
45o 135o 215o 315o x
2  2  360  180
k2 2 90o 180o 270o 360o

–1

Langkah III y
y  cos(2x  90)
1
Grafik digeser ke kanan sejauh:
y  cos(2x  90)
b  90  45
k2 45o 135o 215o 315o x

90o 180o 270o 360o

–1

Langkah IV y
y  3cos(2x  90)
Nilai maksimum dan minimum menjadi : 3

Maksimum = a  3  3 2

Minimum =  a   3  3 y  3cos(2x  90)

1

45o 135o 215o 315o x

90o 180o 270o 360o

–1

–2

–3

Grafik Fungsi Tan x
 Bentuk dasar

Bentuk dasar y  f (x)  tan x digambarkan sebagai berikut:

y

3 120o135o 180o 270o 360o x
1 45o 60o 90o

–1
3

Dari grafik tersebut, didapat:
1. Nilai maksimum di tak hingga besarnya (~) dan nilai minimumnya juga di tak hingga kecilnya (– ~).
2. Amplitudo nilai grafik fungsi tan x memiliki nilai yang tak hingga besarnya.
3. Periode = 180o = 

 Bentuk umum fungsi tan x

y  a tan(kx  b) Jika k negatif, kita ubah ke positif

, dengan a,b, dan k bilangan real; a ≠ 0 dan k ≠un0tu.k mempermudah penyelesaian.
Ingat bentuk: tan ( –x) = – tan x!

Dari bentuk umum tersebut, bisa didapat:

1. Nilai maksimum selalu di tak hingga besarnya (~), dan nilai minimum di tak hingga kecilnya (– ~)
2. Nilai amplitudo selalu tak hingga besarnya (~).

180

3. Periode =

k

 Cara menggambar grafik
Langkah menggambar grafik cos adalah sebagai berikut :

y  tan x bentuk dasar: periode = 
y  tan kx
y  tan(kx  b) periodenya:   180
y  a cos(kx  b) kk
b

Jika (+) geser kurva kekiri sejauh

kb

Jika (-) geser kurva kekanan sejauh

k
perbesar kurva a kali untuk setiap nilai x-nya.

Contoh:

1. Untuk 0  x  360, maka bentuk grafik dari y  tan 2x adalah ....

Pembahasan:
Langkah I
y  tan x

Maksimum = ~ y
Minimum = –~
3
Periode =   180 1

-1 120o 135o 180o 270o x360o
-3 45o 60o 90o

y

Langkah II 3
y  tan 2x 1

Periode menjadi : 45o 135o 225o 225o
90o 270o
    180  90 22,5o 180o 360o x
k2 2 30o

-1

-3

y

2. Gambar grafik dari y  2 tan(x  90) dengan 3 120o 135o 180o 270o x
1 45o 60o 90o
0  x  360. 360o
-1
Pembahasan: -3
Langkah I
y  tan x

Maksimum = ~
Minimum = –~

Periode =   180

y

Langkah II 3
y  tan(x  90) 1

Periode tetap =   180 -90o 30o 45o 90o 135o 150o 180o 270o x
-1
Grafik digeser ke kiri sebesar: 360o
-3
b  90  90
k1 y

Langkah III 23
y  2 tan(x  90)
Setiap nilai y diperbesar/diperkecil 2 kali 2
untuk setiap nilai x yang bersesuaian.
30o 45o 90o 135o 150o 180o 270o x360o

-2
-2 3

Rumus-Rumus Trigonometri

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

1. sin( A  B)  sin Acos B  cos Asin B
2. sin( A  B)  sin Acos B  cos Asin B
3. cos( A  B)  cos Acos B  sin Asin B
4. cos( A  B)  cos Acos B  sin Asin B
5. tan( A  B)  tan A  tan B

1  tan A tan B
6. tan( A  B)  tan A  tan B

1  tan A tan B

Contoh:
1. Berapakah nilai dari sin 15  ....

Pembahasan:
sin15  sin (45  30)
 sin 45 cos30  cos 45 sin 30
 1 21 31 21

22 22
1 61 2

44
 1 ( 6  2)

4
2. Nilai cos105 adalah ....

Pembahasan:

cos105  cos (60  45)
 cos 60 cos 45  sin 60 sin 45

 11 21 31 2
22 2 2

1 21 6
44

 1 ( 2  6)
4

3. Jika diketahui tan x  1 dan sin y  3 , maka nilai tan(x  y)  ....
25

Pembahasan:

tan x  1 dan sin y  3  (depan) 53 tan y  3
2 5 (miring) y 4

tan(x  y)  tan x  tan y 4
1 tan x tan y

 13  23  1 1 8  2
24 44 4

1  1  3 8  3 11 4 11 11
24 8 8 8

Rumus Sudut Rangkap

Rumus-rumus sudut rangkap ini didapat dari penurunan rumus jumlah sudut sebelumnya sehingga didapat

sebagai berikut: sin 2A  2sin Acos A
1. cos2A  cos2 A  sin 2 A
2.

 2cos2 A 1

1 2sin2A

3. tan 2 A  2 tan A
 tan 2A
1

4. sin 3A  3sin A  4sin 2 A

5. cos3A  4cos2  3cos A

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

1. 2sin Acos B  sin( A  B)  sin( A  B)
2. 2 cos Asin B  sin( A  B)  sin( A  B)
3. 2 cos Acos B  cos( A  B)  cos( A  B)
4.  2sin Asin B  cos( A  B)  cos( A  B)

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

1. sin A  sin B  2sin 1 ( A  B) cos 1 ( A  B)
22

2. sin A  sin B  2 cos 1 ( A  B) sin 1 ( A  B)
22

3. cos A  cos B  2 cos 1 ( A  B) cos 1 ( A  B)
22

4. cos A  cos B  2sin 1 ( A  B) sin 1 ( A  B)
22

Logika Matematika

Kalimat

Dalam logika matematika kita akan banyak bicara tentang kalimat. Kalimat dalam logika ada beberapa
macam, yaitu kalimat terbuka, kalimat tertutup (pernyataan), dan bukan pernyataan.

Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa diketahui nilai benar atau salahnya. Kalimat terbuka juga
biasanya masih mengandung variabel.
Contoh:
1. x adalah bilangan prima

Keterangan:
Kalimat ini belum bisa ditentukan nilai benar atau salahnya karena bergantung pada nilai x.
2. x + 2 = 5
Keterangan:
kalimat ini juga belum diketahui benar atau salahnya. Jika x kita ganti dengan 3, maka kalimat ini
menjadi benar. Tetapi, jika kita ganti dengan bilangan lain, pernyataan menjadi salah.

Kalimat Tertutup (Pernyataan)
Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilainya: benar atau salah.

Contoh:

1. Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
Keterangan:
Ini adalah pernyataan dan bernilai benar, karena sesuai dengan fakta yang ada.

2. Setiap segitiga siku-siku, maka pasti segitiga tersebut samakaki.
Keterangan:
Ini adalah pernyataan dan bernilai salah, karena suatu segitiga siku-siku belum tentu samakaki.

3. Jika x adalah bilangan cacah, maka x 2 ≥ 0.
Keterangan:
Ini adalah pernyataan yang bernilai benar. Karena bilangan cacah dimulai dari 0, maka hasil
kuadratnya pasti akan lebih besar atau sama dengan 0.

Kalimat Bukan pernyataan
Kalimat bukan pernyataan adalah kalimat yang tidak bisa ditentukan nilainya benar/salah atau bisa
dikatakan memiliki pengertian yang relatif.
Contoh:
1. Kota Jakarta jauh.

Keterangan:
Kalimat ini relatif nilainya, karena jauh atau dekat adalah hal yang relatif.
2. Apakah kamu suka makan nasi?
Keterangan:
Kalimat ini mengandung tanya tanya, jadi tidak bisa diketahui nilainya benar/salah.

Negasi/Ingkaran/Lawan

Negasi dari suatu pernyataan adalah kebalikan dari pernyataan tersebut. Jika suatu pernyataan bernilai
benar, maka negasi dari pernyataan tersebut bernilai salah. Jika suatu kalimat dilambangkan p, maka
negasinya dilambangkan dengan ~p.

p ~p ~(~p) = p

BS B
SB S

Contoh:
1. p = 3 bilangan ganjil

~p = 3 bukan bilangan ganjil
2. ~q = x bukan bilangan cacah

~(~q) = q = x bilangan cacah
3. r = x > 3

~r = x ≤ 3

Pernyataan Berkuantor

Kalimat berkuantor adalah kalimat mengandung kuantitas atau jumlah, seperti semua, seluruh, setiap,
beberapa, dan sebagainya. Ada dua jenis kuantor :
1. Kuantor universal, dilambangkan  , dibaca semua, seluruh, setiap, atau tanpa kecuali.

(x)P(x) dibaca semua nilai x mempunyai sifat x.
Contoh:
 Semua siswa rajin belajar.
 Setiap ibu rumah tangga rajin memasak.

2. Kuantor eksistensial, dilambangkan  , dibaca beberapa, ada, terdapat, atau sekurang-kurangnya.
(x)P(x) dibaca terdapat nilai x yang tidak mempunyai sifat x.
Contoh:
 Ada siswa yang rajin belajar.
 Beberapa ibu rumah tangga rajin memasak.

3. Negasi Kalimat Berkuantor

 ~ (x)P(x)  (x) ~ P(x)

Contoh:
p = Semua pelajar berjuang meraih prestasi.
~p = Ada pelajar tidak berjuang meraih prestasi.

 ~ (x)P(x)  (x) ~ P(x)

Contoh:
p = Beberapa kambing menyukai rumput.
~p = Setiap kambing tidak menyukai rumput.

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk dari gabungan beberapa kalimat tunggal
dengan menggunakan kata penghubung. Kata penghubung dalam matematika adalah disjungsi (atau),
konjungsi (dan), implikasi (maka), dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Istilah Lambang Kata penghubung
Disjungsi  ..... atau .....
Konjungsi  ..... dan ....
Implikasi 
Biimplikasi  jika .... maka ....
.... jika dan hanya jika ....

 Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dua pernyataan atau lebih dengan
kata penghubung “atau” dan disimbolkan “  ”.
Pernyataan “ p  q ” dibaca “p atau q” .

Tabel kebenaran p  q : pq
pq

BBB

BSB

SBB

SSS

Catatan: Disjungsi akan bernilai salah, jika kedua pernyataannya bernilai salah; atau disjungsi akan bernilai benar, jika salah
satunya pernyataannya bernilai benar.

Contoh:
1. Nilai kebenaran dari kalimat “2 x 7 = 10 atau 7 adalah bilangan prima “ adalah ....

Pembahasan:
“2 x 7 = 10 atau 7 adalah bilangan prima “

SB
SB = B
Maka, nilai kebenaranya adalah B (benar).

 Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih
dengan kata penghubung “dan” dan disimbolkan dengan “  ”.
Pernyataan “ p  q ” dibaca “p dan q”.
Tabel kebenaran p  q :
p q pq
BBB
BSS
SBS
SSS

Catatan: Konjungsi akan bernilai benar, jika kedua pernyataannya bernilai benar; atau konjungsi akan bernilai salah jika
minimal satu pernyataannya bernilai salah.

Contoh:
1. Nilai kebenaran dari pernyataan “ 23 < 2 x 3 dan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o”.

Pembahasan:
“ 23 < 2x3 dan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o” .

SB
S  B=S
Maka, nilai kebenaranya adalah S (salah).

 Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dua kalimat atau lebih dengan kata
penghubung “jika ... maka ....” disimbolkan “  ”.
Pernyataan “p  q” dibaca “ jika p maka q”.
p disebut antisenden
q disebut konsekuen
Tabel kebenaran p  q :
p q pq
BBB
BSS
SBB
SSB

Catatan: Implikasi akan bernilai salah, jika antisenden benar dan konsekuen salah.
Contoh :

1. Nilai kebenaran dari “jika 25 = 10 maka 55 = 25” adalah ....

Pembahasan:
“ jika 25 = 10 maka 55 = 25 “

S S
S S =B

Maka, nilai kebenarannya adalah B (benar).

 Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan dengan kata
penghubung “ .... jika dan hanya jika ....” disimbolkan “ ....  ....”.

Pernyataan “ p  q “ dibaca “ p jika dan hanya jika q” .

Biimpikasi ini sesungguhnya penggabungan dua implikasi, maka:
p  q  (p  q)  (q  p)

Tabel kebenaran p  q :
p q pq
BBB
BSS
SBS
SSB

Catatan: Biimplikasi akan bernilai benar, jika kedua pernyataan bernilai sama ( B  B atau S  S ).

Contoh:
1. Nilai kebenaran dari “ 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang bernilai genap jika dan hanya jika

23 = 6 “ adalah...
Pembahasan:
“ 2 adalah satu-satunya bila prima yang bernilai genap jika dan hanya jika 23 = 6 “

S
B
B  S = S Maka, nilai kebenarannya adalah S (salah).

Operasi Pernyataan Majemuk

a. Komutatif

pq  qp
pq qp

b. Asosiatif

(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)

c. Distributif

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

d. Absorbsi

p  (q  p)  p
p  (q  p)  p

Ekuivalensi

Pernyataan ekuivalen adalah dua pernyataan atau lebih dengan nilai kebenaran sama. Ada dua
pernyataan ekuivalen yang paling sering digunakan, yaitu:

1. p  q  ~ p  q

Berikut adalah pembuktian, bahwa pernyataan p  q ekuivalen dengan ~ p  q :

p q pq p ~p q ~p  q
BBB BSBB
BSS BSSS
SBB SBBB
SSB SBSB

Bernilai kebenaran sama

Proses yang perlu dilakukan dalam mengubah p  q menjadi ~ p  q adalah:
 Antisenden (p) diubah menjadi negasinya (~p); atau sebaliknya dari ~p berubah menjadi p.
 Impilkasi (  ) berubah menjadi konjungsi (  ); atau sebaliknya dari  berubah menjadi  .
 Konsekuen (q) tidak berubah.
Contoh:
1. ~ p  q  p  q
2. ~ p ~ q  p ~ q
3. ~ p ~ q  p ~ q

2. p  q  ~ q  ~ p

Berikut adalah pembuktian, bahwa pernyataan p  q ekuivalen dengan ~ q ~ p :

p q pq p ~p q ~q ~q  ~p
BBB
BSS BSBS B
SBB
SSB BSSB S

SBBS B

SBSB B

Bernilai kebenaran sama

Proses yang perlu dilakukan untuk merubah p  q menjadi ~ q ~ p adalah:
 tukarkan posisi antisenden(p) dengan konsekuen (q)
 negasikan antesenden dan konsekuen setelah dipertukarkan

Contoh:
1. ~ p  q ~ q  p
2. ~ p ~ q  q  p
3. q ~ p  p ~ q

Ingkaran/Negasi Kalimat Majemuk

Ingkaran Disjungsi
Pernyataan disjungsi (  ) apabila diingkarkan menjadi konjungsi (  ).

~ (p  q) ~ p ~ q

Contoh:
1. ~ (~ p  q)  p ~ q
2. ~ (~ p ~ q)  p  q
Ingkaran Konjungsi
Pernyataan konjungsi (  ) apabila diingkarkan menjadi disjungsi (  ).

~ (p  q) ~ p ~ q

Contoh :

1. ~ (p  q) ~ p ~ q

2. ~ (p ~ q) ~ p  q

Ingkaran Implikasi

Implikasi tidak bisa diingkarkan secara langsung, harus diubah lebih dahulu menjadi bentuk disjungsi.

Kemudian, baru bisa dilakukan proses ingkaran.

~ (p  q)  ~ (~ p  q) Ingat ekuivalensi: p  q ~ p  q
 p ~ q

Jadi :

~ (p  q)  p ~ q

Contoh:
1. ~ (~ p  q)  ~ (p  q)  ~ p ~ q
2. ~ (~ p ~ q)  ~ (p ~ q)  ~ p  q

Ingkaran Biimplikasi

Proses ingkaran biimplikasi adalah sebagai berikut:

~ (p  q)  ~ (p  q)  (q  p) Ingat bentuk biimplikasi : p  q  (p  q)  (q  p)

~ (~ p  q)  (~ q  p) Ingat ekuivalensi: p  q ~ p  q

 (p ~ q)  (q ~ p)

Jadi:

~ (p  q)  (p ~ q)  (q ~ p)

Contoh:

1. ~ (~ p  q)  ~ (~ p  q)  (q ~ p) ~ (p  q)  (~ q ~ p)  (~ p ~ q)  (q  p)
2. ~ (~ p ~ q)  ~ (~ p ~ q)  (~ q ~ p) ~ (p ~ q)  (q ~ p)  (~ p  q)  (~ q  p)

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk seluruh kemungkinannya.
Kontradiksi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai salah untuk seluruh kemungkinannya.

p q ~p p  ~q ( p  ~q)  p

BBS S B

BSB B B

SBS S B

SSB S B

p ~p q ~p  q p  (~ p  q) ( p  ~q)  p adalah tautologi karena nilai

BSB S S kebenarannya selalu benar.

BSS S S p  (~ p  q) adalah kontradiksi karena nilai

SBB B S kebenaranya selalu salah.

SBS S S

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi “ p  q” dapat dilakukan operasi konvers, invers, dan kontraposisi

Konvers Tukarkan posisi antisenden dan konsekuen.

Invers Negasikan antisenden dan konsekuennya.

Kontraposisi

Tukarkan posisi antisenden dan konsekuen, kemudian
negasikan kedua ruas.

Contoh:

1. Invers dari pernyataan “ (p  q)  r ” adalah ....
Pembahasan:
(p  q)  r  ~ (p  q) ~ r
 (~ p ~ q) ~ r

2. Kontraposisi dari kalimat “ jika saya optimis maka saya sukses” adalah ....
Pembahasan:
“ jika saya optimis maka saya sukses “
pq

Jadi, kontraposisi p  q adalah ~ q ~ p . Jika ditulis dalam kalimat menjadi:

“ Jika saya tidak sukses maka saya tidak optimis.”

Penarikan Kesimpulan

Dalam matematika ada tiga cara dalam menarik kesimpulan, yaitu modus ponen, modus tollens, dan
silogisme.

Modus Ponens

pq premis 1
p premis 2
q kesimpulan

Contoh:
1. Penarikan kesimpulan dari:

Jika hari hujan maka Jakarta banjir
Hari hujan
 ....

Pembahasan:
Misalkan:
p: hari hujan
q: Jakarta banjir
maka:
pq
p
q

Jadi, kesimpulannya adalah q: Jakarta banjir.
2. Penarikan kesimpulan dari:

Jika Rudi tidak makan nasi maka Rudi masih merasa lapar
Rudi tidak makan nasi.
 ....

Pembahasan:
Misalkan:
~p = Rudi tidak makan nasi
q = Rudi masih merasa lapar
maka:
~pq
~p
q

Jadi, kesimpulannya adalah q: Rudi masih merasa lapar

Modus Tollens
p  q premis 1
~q premis 2
~p kesimpulan

Contoh:
1. Penarikan kesimpulan dari:

Jika Andi berpikir positif maka masalah cepat selesai
Masalah tidak cepat selesai
 ....

Pembahasan:
Misalkan:
p: Andi berpikir positif
q: Masalah cepat selesai
~q: Masalah tidak cepat selesai
pq
~q
 ~p

Jadi, kesimpulannya adalah ~p: Andi tidak berpikir positif
2. Hasil dari premis-premis berikut adalah ….

Jika saya bekerja keras atau saya optimis maka saya akan sukses
Saya tidak sukses
 ....

Pembahasan:
Misalkan:
p  q: Saya bekerja keras atau saya optimis
r : Saya akan sukses
~r : Saya tidak sukses
(p  q)  r
~r
 ~ (p  q)

Jadi, kesimpulannya ~ (p  q) ~ p ~ q
~p~q: Saya tidak bekerja keras dan saya tidak optimis