Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
___________________________y / * Datos de catalogación bibliográfica
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
José Ramón Franco Brañas
PEARSON EDUCACIÓN, S. A., Madrid, 2003
ISBN 10: 84-205-3676-8
ISBN 13: 978-84-205-3676-7
Materia: Cálculo 372
Formato 195 x 270 mm Páginas: 320
Todos los derechos reservados.
Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción,
distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con
autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos
mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270
y sgts. Código Penal).
DERECHOS RESERVADOS
© 2003 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A.
Ribera del Loira, 28
28042 MADRID
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
José Ramón Franco Brañas
ISBN 10: 84-205-3676-8
ISBN 13: 978-84-205-3676-7
Depósito legal: M. 13.985-2006
PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S.A.
Última reimpresión, 2006
Equipo editorial:
Editora: Isabel Capella
Técnico editorial: Marta Caicoya
Equipo de producción:
Director: José A. Clares
Técnico: Isabel Muñoz
Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A.
Impreso por: Gráficas Rogar, S.A.
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos
ÍNDICE GENERAL
P R Ó L O G O ................................................................................................................................................................... XI
SÍMBOLOS Y E X P R E S IO N E S ......................................................................... . ...................................................... x m
CAPÍTULO 1. EL NÚMERO R E A L ....................................................................................................................... 1
1.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 1
1.2. El conjunto de los números racionales............................................................................................... 2
1.3. Forma decimal de un número racional............................................................................................... 3
1.4. Segmentos conm ensurables............................................................................................................... 4
1.5. El método de in d u c c ió n ..................................................................................................................... 5
1.6. N um erabilidad..................................................................................................................................... 6
1.7. Propiedades algebraicas de K ............................................................................................................ 7
1.8. El orden en E ........................................................................................................................................ 8
1.9. Densidad de los números racionales en K ......................................................................................... 10
1.10. Valor absoluto de un número re a l..................................................................................................... 10
1.11. Intervalos de E ................................................................................................................................. 11
1.12. Postulado de C antor........................................................................................................................... 12
1.13. C o t a s ................................................................................................................................................. 12
1.14. Completitud de E .............................................................................................................................. 12
1.15. Propiedad arquimediana de E ........................................................................................................ 12
1.16. Entorno de un punto ........................................................................................................................ 13
1.17. Puntos interiores, de acumulación, aislados, adherentes y f r o n te r a ........................................... 13
1.18. Conjuntos abiertos y cerrados ........................................................................................................ 14
Problemas r e s u e lto s ......................................................................................................................................... 14
Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................... 19
VI índice general
CAPÍTULO 2. EL NÚMERO C O M P L E J O ...................................................................................................... 23
2.1. La unidad im aginaria........................................................................................................................... 23
2.2. El número c o m p le jo ........................................................................................................................... 24
2.3. Operaciones con números c o m p le jo s ............................................................................................... 24
2.4. Representación gráfica de un c o m p le jo ............................................................................................ 25
2.5. Módulo y argumento de un c o m p le jo ............................................................................................... 25
2.6. Propiedades del m ó d u lo ..................................................................................................................... 26
2.7. Forma polar y trigonométrica de un com plejo.................................................................................. 26
2.8. Producto y cociente de complejos en forma p o la r ............................................................................ 26
2.9. Potencia de un número complejo en forma p o l a r ............................................................................ 27
2.10. Raíces n-ésimas de un número com plejo......................................................................................... 27
2.11. Fórmula de E u l e r ............................................................................................................................... 27
2.12. Logaritmo de un número com plejo................................................................................................... 28
2.13. Las funciones h ip erb ó licas................................................................................................................ 29
2.14. Relación entre las funciones circulares y las h ip erb ó licas............................................................. 30
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 30
Problemas p ro p u e s to s ................................................................................................................................... 35
CAPÍTULO 3. S U C E S IO N E S ................................................................................................................................ 37
3.1. D e fin ic io n es........................................................................................................................................ 37
3.2. Límite de una sucesión........................................................................................................................ 38
3.3. Sucesiones divergentes........................................................................................................................ 39
3.4. Clasificación de las sucesiones............................................................................................................ 39
3.5. Operaciones con su cesio n es............................................................................................................... 39
3.6. Propiedades de los lím ite s .................................................................................................................. 40
3.7. Operaciones con sucesiones divergentes............................................................................................ 40
3.8. Cálculo de l í m i t e s ............................................................................................................................... 41
42
3.9. Ordenes de infinitud para n -> o o .............................................................. 42
3.10. El número e ......................................................................................................................................... 43
3.11. Aplicaciones del número e ................................................................................................................ 44
44
3.12. Sucesiones de Cauchy ...................................................................................................................... 51
Problemas r e s u e lto s ......................................................................................................................................
Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................
CAPÍTULO 4. SERIES N U M É R IC A S ................................................................................................................ 53
4.1. Concepto de serie ............................................................................................................................... 53
4.2. Series convergentes ........................................................................................ 54
4.3. Series d iv e rg e n te s............................................................................................................................... 54
4.4. Criterio general de convergencia........................................................................................................ 54
4.5. Serie arm ó n ic a..................................................................................................................................... 55
4.6. Serie g eo m étrica.................................................................................................................................. 55
4.7. Series de términos p o s itiv o s ............................................................................................................... 55
4.8. Suma de una s e r i e ............................................................................................................................... 58
4.9. Convergencia de series altern ad as..................................................................................................... 59
4.10. Suma de dos s e r i e s ............................................................................................................................ 60
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 61
Problemas p ro p u e s to s ......................................................................................................... 71
índice general VII
CAPÍTULO 5. LÍM ITE Y CONTINUIDAD DE UNA F U N C IÓ N ............................................................... 73
5.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 73
5.2. Tipos de fu n cio n es.............................................................................................................................. 74
5.3. Suma, producto y cociente de dos funciones .................................................................................. 74
5.4. Composición de funciones.................................................................................................................. 74
5.5. Función inversa..................................................................................................................................... 75
5.6. l im ite de una f u n c ió n ........................................................................................................................ 75
5.7. Propiedades de los lím ite s .................................................................................................................. 76
5.8. Función continua.................................................................................................................................. 76
5.9. Tipos de d isco n tin u id ad ..................................................................................................................... 77
5.10. Crecimiento y decrecim iento........................................................................................................... 78
5.11. Máximo y mínimo de una función. A co tació n............................................................................... 79
5.12. Continuidad uniform e........................................................................................................................ 81
5.13. Infinitésimos .............................................................................................................................. 81
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 82
Problemas p ro p u e s to s ................................................................................................................................... 91
CAPÍTULO 6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ............................................................................................ 95
6.1. Concepto de d e r iv a d a ......................................................................................................................... 95
96
6.2. Derivada de una función constante..................................................................................................... 97
97
6.3. Derivada de la función f (x ) —xn ..................................................................................................... 97
97
6.4. Derivada de la suma de dos fu n cio n es............................................................................................... 97
98
6.5. Derivada del producto de dos fu n cio n es.................................. 98
6.6. Derivada de fe • / ( x ) ............................................................................................................................ 98
98
6.7. Derivada de .................................................................................................................................. 99
99
6.8. Derivada del cociente de dos fu n c io n e s............................................................................................ 100
101
6.9. Derivada de / " ..................................................................................................................................... 102
104
6.10. Derivada de las funciones hiperbólicas............................................................................................ 104
105
6.11. Regla de la c a d e n a ............................................................................................................................ 105
106
6.12. Derivación im p líc ita .' ....................... 107
124
6.13. Derivadas la te r a le s ............................................................................................................................
6.14. Relación entre derivabilidad y continuidad......................................................................................
6.15. Diferencial de una fu n c ió n ...............................................................................................................
6.16. Teoremas sobre derivabilidad............................................................................................................
6.17. Crecimiento y decrecim iento............................................................................................................
6.18. Máximos y m ín im o s .........................................................................................................................
6.19. Concavidad y convexidad..................................................................................................................
6.20. Puntos de in fle x ió n ...............................
6.21. Representación gráfica de y = / ( x ) ...............................................................................................
Problemas r e s u e lto s ......................................................................................................................................
Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................
CAPÍTULO 7. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN ................................................................ 131
7.1. Desarrollo de un polinomio en potencias de x —a ......................................................................... 131
132
7.2. Fórmulas de Taylor y M ac-L aurin...................................................................................................... 133
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 139
Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................
V III índice general
CAPÍTULO 8. LA INTEGRAL IN D E FIN ID A ................................................................................................... 141
8.1. In tro d u cció n ........................................................................................................................................ 141
8.2. Propiedades elem entales..................................................................................................................... 142
8.3. Tabla de in teg ra le s.............................................................................................................................. 142
8.4. Integración por sustitución.................................................................................................................. 143
8.5. Integración por p a r t e s ........................................................................................................................ 143
8.6. Integración de funciones ra c io n a le s.................................................................................................. 143
8.7. Método de H erm ite.............................................................................................................................. 144
8.8. Integración de funciones racionales trigonométricas ..................................................................... 145
8.9. Integrales irra cio n ales........................................................................................................................ 145
8.10. Integrales b in o m ia s........................................................................................................................... 145
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 146
Problemas p ro p u e s to s ................................................................................................................................... 151
CAPÍTULO 9. LA INTEGRAL D E F IN ID A ...................................................................................................... 155
9.1. El área bajo una función f { x ) ........................................................................................................... 155
156
9.2. El área y la integral.............................................................................................................................. 158
9.3. Propiedades de la integral definida..................................................................................................... 158
9.4. Teorema del valor m e d io ..................................................................................................................... 158
9.5. Cambio de variable en una integral definida..................................................................................... 159
9.6. Volumen de revolución........................................................................................................................ 159
9.7. Longitud de un a r c o .................................................................................... 160
9.8. Area de la superficie de re v o lu c ió n .................................................................................................. 161
9.9. Volumen de un sólido de sección c o n o c id a ........................................................................ 161
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 171
Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................
CAPÍTULO 10. INTEGRALES IM P R O P IA S ................................................................................................... 173
10.1. Cálculo de integrales impropias ..................................................................................................... 173
175
10.2. La función gamma T ( p ) .................................................................................................................. 175
177
10.3. Propiedades de la función T(p) ..................................................................................................... 178
178
10.4. Gráfica de la función T ( p ) ............................................................................................................... 179
10.5. La función beta B(p, q) .................................................................................................................. 183
10.6. Propiedades de la función B { p ,q )..................................................................................................
Problemas r e s u e lto s ......................................................................................................................................
Problemas p ro p u e s to s ...................................................................................................................................
CAPÍTULO 11. FUNCIONES DE DOS VARIA BLES...................................................................................... 185
11.1. Función de dos v a ria b le s .................................................................................................................. 185
11.2. Gráfica de una función de dos v a r ia b le s ........................................................................................ 186
11.3. Funciones n o ta b le s ........................................................................................................................... 187
11.4. Entorno de un punto ........................................................................................................................ 189
11.5. Límite de una función........................................................................................................................ 189
11.6. Propiedades de los Emites ................................................................................................................ 192
11.7. Continuidad de una función ............................................................................................................ 192
11.8. Propiedades de las funciones continuas ......................................................................................... 193
11.9. Derivadas p arciales........................................................................................................................... 193
11.10. Diferencial t o t a l ................................................................................................................................ 195
11.11. Máximos y m ínim os......................................................................................................................... 196
índice general IX
11.12. Método de los multiplicadores de Lagrange ............................................................................... 197
Problemas r e s u e lto s ...................................................................................................................................... 197
Problemas propuestos ................................................................................................................................... 206
CAPÍTULO 12. INTEGRACIÓN M Ú L T IP L E ..................................................................................................... 209
12.1. La integral d o b l e ...................................................................................................................................209
12.2. Cálculo de la integral d o b le ...............................................................................................................211
12.3. Cambios de variable ............................................................................................................................ 212
12.4. La integral triple .................................................................................................................................. 212
12.5. Cálculo de la integral trip le ...................................................................................................................213
12.6. Coordenadas cilindricas y esféricas ...................................................................................................213
12.7. Cambios de variable................................................................................................................................ 215
Problemas r e s u e lto s ..........................................................................................................................................216
Problemas p ro p u e s to s .......................................................................................................................................227
CAPÍTULO 13. ECUACIONES D IFE R EN C IA L E S ............................................................................................229
13.1. Introducción........................................................................................................................................... 229
13.2. Teorema de existencia y unicidad......................................................................................................... 230
13.3. Ecuación diferencial de variables se p a ra d a s..................................................................................... 230
13.4. Ecuación diferencial de variables separables..................................................................................... 231
13.5. Ecuaciones diferenciales h o m o g én eas................................................................................................231
13.6. Ecuaciones diferenciales e x a c ta s ......................................................................................................... 232
13.7. Ecuaciones diferenciales de factor integrante ................................................................................... 233
13.8. Ecuación l i n e a l ......................................................................................................................................233
13.9. Ecuación de B e m o u illi......................................................................................................................... 233
13.10. Trayectorias ortogonales ................................................................................................................... 234
13.11. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes ............................................................................. 234
Problemas r e s u e lto s ..........................................................................................................................................236
Problemas p ro p u e s to s .......................................................................................................................................242
CAPÍTULO 14. MÉTODOS N U M É R IC O S ......................................................................................................... 243
14.1. Error absoluto y r e la t iv o ..................................................................................................................... 243
14.2. Aritméticas de punto fijo y punto f lo ta n te .........................................................................................243
14.3. In terp o la ció n ........................................................................................................................................ 245
14.4. Resolución de ecuaciones..................................................................................................................... 246
14.5. Resolución de sistemas de ec u acio n es............................................................................................... 248
14.6. Integración n u m é ric a ............................................................................................................................254
14.7. Resolución numérica de la e. d. y' —f (x , y ) .................................................................................. 255
Problemas r e s u e lto s ..........................................................................................................................................256
Problemas p ro p u e s to s .......................................................................................................................................268
APÉNDICE: F O R M U L A R IO .......................................................................................................................................271
A .l. Áreas y volúmenes.................................................................................................................................. 271
A.2. Logaritm os...............................................................................................................................................271
A.3. Progresiones............................................................................................................................................272
A.4. T rigonom etría........................................................................................................................................ 274
A.5. Funciones h ip e rb ó lic a s ........................................................................................................................ 278
A.6. C o m b in a to ria.................................................................................................................................... 278
A.7. Geometría analítica p l a n a ..................................................................................................................... 279
A.8. Vectores en R3 ............................................................................................................................280
X índice general
A.9. Geometría analítica en R3 .......................................................................................................................281
A. 10. C ó n icas................................................................................................................................................... 282
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIO S PROPUESTOS .......................................................................................285
B IB L IO G R A F ÍA .............................................................................................................................................................299
PROLOGO
Este texto trata de ser un puente entre la enseñanza media y la enseñanza universitaria. Nuestra inten
ción al escribir estas páginas fue la de proporcionar al alumno los conocimientos básicos para seguir con
aprovechamiento un primer curso de Cálculo en una carrera técnica. Así, este libro va primordialmente
dirigido a aquellos alumnos que inician sus estudios universitarios. También puede ser utilizado como
libro de texto en un curso elemental de Cálculo en las distintas Escuelas Universitarias de Ingeniería.
Por otra parte, en el texto se presupone el conocimiento de la Geometría analítica y la Trigonometría.
En cada capítulo, las explicaciones teóricas van acompañadas de ejemplos aclaratorios. Además, se
proponen 700 ejercicios, la mitad totalmente resueltos y el resto con sus soluciones, que tratan de aclarar
los conceptos teóricos, sin detenerse en posibles casos particulares.
Por último, queremos expresar nuestro agradecimiento a todos los profesores y a todos los estudiantes
que nos ayudaron con sus sugerencias y críticas.
José Ramón Franco Brañas
Ponte Aranga, agosto de 2002
SIMBOLOS Y
EXPRESIONES
a alfa i iota P ro
kappa S, a sigma
r, p beta K lambda tau
y gamma mu X ípsilon
A, A. nu T ,v fi
A,8 delta xi ji
€ epsilon V omicron X psi
omega
£ dseta S, | Pi 'p,
eta
n0,,ior ú)
®,e theta
N conjunto de los números naturales AUB unión de los conjuntos A y B
Z intersección de los conjuntos Ay B
Q conjunto de los números enteros ADB
Q+ tal que
E conjunto de los números racionales / existe
E+
C conjunto de los números racionales positivos 3 para todo
==¥ conjunto de los números reales V producto cartesiano de A por B
conjunto de los números reales positivos
A Ax B diferencia de los conjuntos A y 5
V A -B aproximadamente
conjunto de los números complejos
xeA A es subconjunto de B
implicación RS A es subconjunto o es igual a B
x no pertenece al conjunto A
doble implicación ACB
Ac B
y (conjunción lógica)
o (disyunción lógica) x fi A
x pertenece al conjunto A
EL NUMERO REAL CAPITULO
1
Un estudio riguroso del número real haría necesaria su construcción formal. Pero, mas que su cons
trucción, lo que interesa son sus propiedades para el posterior desarrollo del Cálculo. A lo largo del siglo
XIX se perfilaron tres teorías distintas: 1) la axiomática (Weierstrass); 2) la que emplea sucesiones de
Cauchy; 3) la que procede mediante cortaduras (DedeMnd). Se ha preferido, en cambio, comenzar con
una visión intuitiva de R y presentar una lista de propiedades algebraicas (R es un cuerpo conmutativo),
a partir de las que se puedan deducir otras propiedades. A continuación, se presentarán las propiedades
de “orden” (R es un cuerpo ordenado) y, por último, se presentará la propiedad de “completitud” (R es
un cuerpo ordenado completo). La exposición será más asequible si se hace de este modo.
85
El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3 ,...} resulta insuficiente, por ejemplo, para encon
trar solución a la ecuación x + 1 = 0, ya que —1 no es un número natural. Es necesario, por tanto, ampliar
el conjunto N de los números naturales e introducir los conjuntos Z y Q (que permite resolver ecuaciones
de la forma 2x —3 = 0).
■ PROPOSICIÓN 1.1 El par (N , + ) es un semigrupo abeliano*.
DEMOSTRACIÓN. En efecto, el par (N , + ) es un semigrupo, ya que la operación + es interna y asociativa
en N. Además, por ser conmutativa, (N, + ) es semigrupo abeliano. H
■ PROPOSICIÓN 1 .2 El par (Z, •) es semigrupo abeliano con elemento neutro.
■ P r o p o s ic ió n 1.3 El par (Z, + ) es grupo abeliano2.
1 Se dice que el par (A, *) es un semigrupo si se verifica que: 1) La operación * es interna en A: x * y e A, Vx, y e A. 2) La
operación * es asociativa en A: x * (y * z) = (x * y) * z, Vx, y, z e A.
Si la operación * es conmutativa, el semigrupo se llama abeliano o conmutativo.
2 Se dice que el par (A, *) es un grupo si se verifica que: 1) La operación * es interna en A: x * y s A, Vx, y e A. 2) La
operación ♦ es asociativa en A: x * (y * z ) = (x * y )* z, Vx, y , z e A. 3) Existe un elemento neutro e en A: x * e = e*x = x, Vxe A.
4) Existe elemento simétrico x' e A, V x 6 A : x « ' = r ' « = c.
Si la operación * es conmutativa, el grupo se llama abeliano o conmutativo.
2 Introducción al Cálculo
D em o str a c ió n . La operación + es interna y asociativa en Z y 0 e Z es el elemento neutro. Además,
Vx e Z , 3 ( —x ) e Z , tal que x + (—x) = (—x) + x = 0. P or ser conm utativa la operación + en Z , el par
(Z , + ) es grupo abeliano. ■
■ PROPOSICIÓN 1.4 La tema (Z,+, •) es un am'ZZo conmutativo3.
DEMOSTRACIÓN. En efecto, ya que (Z , + ) es grupo abeliano y la operación • es interna, asociativa y
distributiva respecto de la operación + . Como existe elemento neutro en Z para el producto (1 e Z ),
se dice que (Z , + , •) es un anillo con elemento unidad. Por ser la operación • conmutativa, el anillo es
conmutativo o abeliano. ■
ÉlSiCONílUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES 2
Sea el conjunto <Q>de los números racionales. Si se considera una recta y se elige en ella un origen O
y una determinada unidad de medida para la medición de segmentos, se puede tomar para cada número
racional x un segmento de igual longitud que, llevado sobre la recta a partir del origen O hacia la derecha
o hacia la izquierda, según que x sea positivo o negativo, alcanza un punto final p que puede considerarse
como el punto de la recta correspondiente al número racional x. El número racional cero corresponde al
origen O. De este modo, a cada número racional x le corresponde un único p de la recta.
Es de la mayor importancia el hecho de que en la recta haya infinitos puntos que no corresponden a
ningún número racional. La recta es infinitamente más rica en puntos que Q en números.
En efecto, si se consideran dos elementos de Q, por ejemplo, 1/3 y 1/2, al sumarlos y dividirlos por
2 se obtiene el número racional correspondiente, en la recta, al punto medio de ambos:
(1/2 + l/3 ) /2 = 5/12
El número racional (1/3 + 5/12)/2 = 9/24 corresponde a su vez al punto medio de 1/3 y 5/12. Si se
repite el proceso indefinidamente, se encontrarán infinitos números racionales entre 1/3 y 1/2. Se puede
concluir que, dados dos números racionales, por próximos que estén, existen infinitos números racionales
entre ellos.
Se podría pensar, a la vista de lo anterior, que los números racionales recubren completamente la recta
numérica. Esto no es cierto, ya que:
■ TEOREMA 1.1 -J2 no es un número racional.
D e m o s t r a c i ó n . Para demostrarlo, se supone que V2 es racional: 3 a/b e Q / -J2 = a/b, siendo a/b
una fracción irreducible, esto es, a y b son primos entre sí. Elevando al cuadrado: 2 = a2/b2 = V a2 —
2 ■b2. Por tanto, a2 es par. En consecuencia, también lo es a (ver problema resuelto 1.4). Si a es par,
existe un número natural m tal que: a = 2m = > a2 = (2m)2 = 2b2 — V 2m2 —b2 = £• b2 par ==>■ b
par. Entonces, a y b son pares, en contra de la hipótesis de que a/b era irreducible. ■
Por tanto, entre los números racionales existe otro tipo de números, a los que se llama irracionales,
cuyo conjunto se simboliza con la letra I.
Por otra parte, es sencillo representar un número racional en la recta numérica. Por ejemplo, el nú
mero 2/3 (ver Figura 1.1) es fácil situarlo mediante un procedimiento geométrico simple: se traza una
semirrecta cualquiera con origen en O y se toma sobre ella un segmento de longitud arbitraria OC; se
divide OC en tres partes iguales: OA, AB y BC\ se une el punto C con el punto correspondiente al 1 en
la recta y se traza una paralela por B, siendo su intersección con la recta numérica el lugar de 2/3.
3 Se dice que la tema (A, + , •) es un anillo si se verifica que: 1) El par (A, + ) es grupo abeliano. 2) La operación • es interna en
A: x -y e A, Vx, y e A. 3) La operación • es asociativa en A: x ■(y • z) = (x ■y) ■z, Vx, y, z e A. 4) La operación • es distributiva
respecto a + : x • (y + z) = x ■y + x •z, Vx, y, z e A.
Si la operación • es conmutativa, el anillo se llama abeliano o conmutativo.
Capítulo 1 / El núm ero real 3
Figura 1.1
Para situar -Jí, se observa que V2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales a la
unidad (ver Figura 1.2):
Figura 1 .2
■ P r o p o s i c i ó n 1.5 (<Q>, + , •) es un cuerpo conmutativo4.
D e m o s t r a c i ó n . En efecto, ya que los pares (<Q>, + ) y (Q —{0}, •) son grupos abelianos y la operación •
es distributiva respecto a la operación + , como es fácil de comprobar. ■
FORMmbEGiM ftllP E iU N NUMERO RACIONAL
Al transformar en decimal un número racional (simplemente efectuando la división entre numerador
y denominador), se pueden presentar tres casos:
a) Resulta un número entero: 6/2 = 3.
b) Resulta un decimal finito. Esto ocurre cuando el número racional (¡irreducible!) no tiene en el
denominador otros divisores más que 2 y 5. Por ejemplo:
22 • 54 3 •2 3 •22 12 _ 0,0012
7 104 “ w ~
24 • 54
23 • 52 7-5 35 _ 0,035
103 "
23 - 53
c) Resulta un decimal periódico. Por ejemplo: 9/7 = 1,285714, ya que, si se hace la división, lle
gará un momento en que las distintas cifras del resto se agotarán y, al repetirse, darán lugar a un
decimal periódico en el cociente.
Se puede entonces decir que a un número racional le corresponde un decimal periódico, considerando
los números decimales exactos como números con período igual a cero:
2,837 = 2,8370000000. 2 = 2,0000000.
A la inversa, si_se tiene un número decimal periódico y se quiere escribir en forma de fracción, por
ejemplo, x = 2,376, se multiplica x por 1000 y por 10:
lOOOx 2376,767676.
lOx ;23,767676...
4 Se dice que la tema (A, + , •) es un cuerpo si se verifica que: 1) El par (A, + ) es grupo abeliano, con elemento neutro e. 2) El
par (A —{e), •) es grupo. 3) La operación • es distributiva respecto a + : x • (y + z) = x • y + x • z, Vx, y, z 6 A.
Si la operación • es conmutativa, el cuerpo se llama abeliano o conmutativo.
4 Introducción al Cálculo
y se restan ambas igualdades: 990x = 2353
obteniendo: x = -2-3--5-3-
990
• N o ta Un número de Informa n.9 es igual al número entero n + l, resultado que se aprecia al hallar
sufracción generatriz.
EJEMPLO 1.1 Sea x —2.9. Entonces, se multiplica x por 10 y se resta x:
10x = 2 9 ,9 9 9 ...
x = 2,999...
9x = 27
¿Ocurre lo mismo con 2.8? Evidentemente, no: 2.8 = 26/9.
Los números decimales no periódicos son los irracionales. Dentro de ellos se distinguen dos cate
gorías: irracionales algebraicos e irracionales trascendentes.
Números irracionales algebraicos son aquéllos que son solución de una ecuación algebraica, es decir,
una ecuación cuyo primer miembro es un polinomio con coeficientes enteros y cuyo segundo miembro
es igual a cero. De no existir dicha ecuación, el número irracional recibe el nombre de transcendente.
EJEMPLO 1.2 V2 es irracional algebraico, ya que x2 —2 —0, x —\Í2.
Por último, la unión de los números racionales e irracionales constituye el llamado conjunto R de los
números reales, que recubre completamente la recta numérica:
R = Q UI
1.4. SEGMEMiOS CONMENSURABLES
Se consideran dos segmentos a y b, tales que a > b. Si se comparan, puede ocurrir tres cosas:
1. El segmento a contiene un número entero de veces el segmento b.
2. El segmento a contiene un número entero de veces un divisor de b.
En ambos casos, la relación entre a y b se puede expresar mediante un número racional. Se dice
entonces que a y b son conmensurables.
3. No existe ningún divisor de b contenido un número entero de veces en a. Se dice entonces que a y
b son inconmensurables.
EJEMPLO 1.3 La diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables, ya que d —\/2 ■l, y ~/2
no es racional.
EJEMPLO 1.4 La longitud de una circunferencia y su radio son inconmensurables, ya que L —2rcr, y
rt no es racional.
Capítulo 1 / El núm ero real 5
1 .5 EL IVIklUUU Ub IIMUUUUIUIV
Se considera el polinomio P (n) = n2 + n + 41, debido a Euler, y sus valores numéricos para n =
0, 1 , 2 , . . . son:
P (0) = 4 1
P ( l) = 43
P (2) = 47
P (3) = 53
P{4) = 61
Se ha obtenido números primos. Sustituyendo para n —5 ,6,7, 8,9 y 10, se obtienen números primos: 71,
83,97,113,131 y 151, respectivamente. ¿Se puede afirmar que el valor numérico de P{ri) es un número
primo para todo valor natural de ni No. Para n = 40:
P(40) = 402 + 40 4- 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40 •41 + 41 = (40 + 1) ■41 = 412
que no es un número primo. El polinomio anterior produce números primos para n — 0,1, 2 , . . . , 39,
pero falla para n = 40. Por tanto, es inadmisible y peligroso establecer una proposición general para todo
valor natural de n, basándose en proposiciones que se han encontrado verdaderas para valores particulares
de n.
EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La cuestión es la siguiente: si una proposición se cumple para determinados valores naturales, ¿cómo
se podrá determinar si es cierta para todo valor natural?
Para contestar a esta pregunta se emplea la llamada inducción completa o método de inducción:
■ TEOREMA 1.2 Una proposición se cumple para todo número natural si se verifica que:
a) Dicha proposición es cierta para n —1.
b) Si se supone que la proposición es cierta para un valor natural cualquiera n —k, ello implica que
es cierta para n —k + l (efecto dominó).
® NOTA Se ha visto, en elejemplo anterior del polinomio de Euler, elerror que se puede cometer al
pasar por alto la condición b). El siguiente ejemplo muestraque tampoco se puede obviar a).
■ T e o r e m a “F a l a z ” Todo número natural es igual al número natural que le sigue.
“D e m o s t r a c i ó n ” . Se supone cierto para n = k: (1 .1 )
k= k+ 1
y se quiere probar que:
k+ l= k + 2 (1 .2)
En efecto, sumando 1 a ambos miembros de (1.1), se obtiene (1.2). Por tanto, si la proposición es
cierta para k, también lo es para n = k + 1 . ■
El error estuvo en considerar únicamente la condición b) del principio de inducción.
6 Introducción al Cálculo
• DEFINICIÓN 1.1 Se dice que dos conjuntos Ay B son coordinables cuando se puede establecer una
aplicación biyectiva entre ellos5.
Se dice también que dos conjuntos coordinables tienen la misma potencia.
• D e f in ic ió n 1 .2 Un conjunto A esfinito si es coordinable con { 1 ,2 , 3 , . . . , « } e N de extremo n, y
se dice que n es el número de elementos de A o cardinal de A: card(A) = n.
• DEFINICIÓN 1.3 Un conjunto nofinito se denomina infinito.
Según las definiciones anteriores, dos conjuntos finitos son coordinables si tienen el mismo número
de elementos. En conjuntos infinitos, las cosas son distintas, como se ve a continuación.
• D e f in ic ió n 1 .4 Se dice que un conjunto es numerable si es coordinable con N o con un subconjunto
deE.
Por ejemplo, el conjunto P de los números naturales pares es infinito y, además, numerable. En efecto,
se puede establecer una aplicación biyectiva entre Kf y P haciendo corresponder a cada elemento n e N
una imagen 2n e P.
El conjunto Z de los números enteros es un superconjunto de N y, sin embargo, es numerable. Se
puede ver mediante la correspondencia de Z en N, tal que Vx e Z:
/(* ) 2x si x > 0
-2x —1 si x < 0
11 TEOREMA 1.3 La unión de una colección numerable de conjuntos numerables es un conjunto nu
merable.
D e m o s t r a c i ó n . En efecto, sean los conjuntos numerables:
^ 1 = {*11. *12. . . . , X \ n, . . .}
^ 2 = {*21, *22, • • .,* 2 n , • • •}
= {*31, *32, • • • , *3n,
n
La unión de todos ellos |^J X¡ se puede numerar siguiendo el esquema:
/=l
* 1 1 ----- *12 * 1 3 ------*14
*21 *22 *23 *24
*31 *32 *33 *34
*41 *42 *43 *44
*51 *52 *53 *54
5 Una aplicación entre dos conjuntos A y Be s una correspondencia que asigna a todo elemento del conjunto A un solo elemento
del conjunto B. Si en el conjunto A no hay dos elementos que tengan la misma imagen, la aplicación recibe el nombre de inyectiva.
Si todo elemento de B tiene un original en A, la aplicación se llama sobreyectiva. Una aplicación inyectiva y sobreyectiva recibe el
nombre de biyectiva.
Capítulo 1 / El núm ero real 7
Esto es:
X l 1 , X 1 2 j X2 1 , X3 1 , X2 2 , X 13 , X j4 j X2 3 , X32j X4 1 , X5 1 , X 42j • • • ®
Como consecuencia de este teorema se puede ver que el conjunto Q es numerable. Para ello, se forman
los conjuntos:
Yi = {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ... }
Yz = {2/ 1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 ... }
Cada uno de los conjuntos Y¡ es numerable y su unión es 1
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE
Dados dos números reales x e y, su suma es un número real, que se designa x + y, y su producto es
otro número real, que se designa x ■y, cumpliéndose las propiedades siguientes:
Axioma 1 Existe elemento neutro O e K para la suma:
x + 0 = 0 + x = x , Vr e 8
Axioma 2 Existe un elemento opuesto - r e í para todo x e R:
x + (—x) = (—x) + x = 0
Axioma 3 Propiedad asociativa para la suma:
x + {y + z) = {x + y) + z, Vx, y ,z e R
Axioma 4 Propiedad conmutativa para la suma:
x + y = y + x, Vx, y e 1
Axioma 5 Existe elemento neutro l e í . para el producto:
x • 1 = 1 •x = x, Vx e l
Axioma 6 Existe un elemento simétrico 1/x e 1 para todo x e l , x / 0 :
X • (1/x ) = (1/x ) •X = 1
Axioma 7 Se verifica la propiedad asociativa para el producto:
x ■(y ■z) —(x ■y) ■z, Vx, y ,z e 1
Axioma 8 Se verifica la propiedad conmutativa para el producto:
x •y = y ■x, Vx, y e 1
Axioma 9 Se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:
x ■(y + z) —x ■y + x ■z, Vx, y, z e 1
Entonces, la tema (1 , + , ■) constituye un cuerpo conmutativo.
A partir de los axiomas anteriores se deducen todas las leyes usuales del álgebra elemental de 1 . A
continuación, se van a ver algunas:
■ PROPOSICIÓN 1.6 Probar que si dos elementos x, y e l cumplen que x + y = y, entonces x = 0.
8 Introducción al Cálculo
DEMOSTRACIÓN. Se suma —y e R (cuya existencia está garantizada por Ax2) a ambos miembros de la
igualdad x + y = y:
(x + y) + ( - y ) = y + ( - y ) = 0
Por otra parte, en virtud de Ax2, Ax3 y Axl:
(x + y) + ( - y ) = x + (y + ( - y ) ) = x + 0 = x
Por tanto, x = 0. H
■ PROPOSICIÓN 1.7 Probar que si x ■y 56 0, con r . y e l , entonces x ■y = y x —1.
D e m o s t r a c ió n . Análoga a la demostración anterior. ■
■ PROPOSICIÓN 1.8 Demostrar que six + y —0, con x, y e R, entonces y = —x.
D em o str a c ió n . Sumando - r e í (cuya existencia está garantizada por A x2) a ambos miembros de
la igualdad x + y = 0:
( - x ) + (x + y) = ( - x ) + 0
Aplicando Ax3 al primer miembro y A xl al segundo miembro, se obtiene:
((—x) + x) + y = - x
Aplicando ahora Ax2 y Ax 1 al primer miembro, se obtiene que y = —x. ■
■ PROPOSICIÓN 1.9 Sean a ,b e M. Demostrar que la ecuación a + x — b tiene la solución única
x = (—a) + b.
DEMOSTRACIÓN. Sustituyendo X —( —a) + b en la ecuación y aplicando Ax3, Ax2 y A xl:
a + ( ( —a) + b) —(a + (—a )) + b = 0 + b = b
Por tanto, x = ( —a) + b es solución de la ecuación.
Para demostrar que es única, se considera otra solución x':
a + x' —b
Sumando —a a ambos miembros y aplicando Ax3 y A xl:
( - a ) + (a + x') = (—a) + b
x' = (—a) + b
Por tanto, x' = x, y la solución es única. ■
Se dice que una relación R, entre los elementos de un conjunto A, es de orden si verifica los tres
axiomas siguientes:
1) Es reflexiva: Va e A, aRa.
2) Es antisimétrica: Va, b e A :aRb A bRa = y a —b.
3) Es transitiva: V a,b,c e A :aRb A bRc =£> aRc.
Además, si para todo par de elementos a ,b e A se verifica aRb o bRa, se dice que la relación es de
orden total. En caso contrario, la relación es de orden parcial.
Capítulo 1 / El núm ero real 9
■ PROPOSICIÓN 1 .1 0 La relación de inclusión c entre conjuntos es de orden parcial.
D e m o s t r a c ió n . La demostración es inmediata. ■
Pues bien, si en el conjunto R de los números reales se define la relación menor o igual < en la forma:
a < b 3x e R + U {0}/ a + x = b
se puede ver que es una relación de orden.
En efecto, es reflexiva, ya que tomando x = 0 e R + U {0} : a + 0 = a 44- a < a, Va e M.
Es antisimétrica, puesto que Va, b e R:
a < b 44 3x e R + U {0} / a + x = b
b < a 44 3x' e R + U {0} / b + x' = a
Sumando miembro a miembro: a + b + x + x' = b+ a = 4 x + x’ = 0 (por la proposición
1 . 6 ) = 4 * = x ' = 0 (ya quex, x' e R + U {0}) =>• a = b.
Por último, es transitiva, ya que Va, b, c e R:
a < b 44 3*i e R + U {0} / a + xi = b
b < c 44 3x2 € R + U {0} / b + *2 = c
Despejando b en la segunda igualdad y sustituyendo en la primera:
a + xi = —X2 4 - c 4 4 a 4 - x i 4 - X 2 = c 4 4 aRc
ya que x\ + X2 € R + U {0}.
Por otra parte, Va, b e l , siempre existe un número x e R + U {0} / a + x = i o bien b + x —a. Por
lo tanto, R está totalmente ordenado.
Así, (M, + , - , < ) es un cuerpo totalmente ordenado.
■ PROPOSICIÓN 1 .1 1 Sean a, b, c e R. Si a < b, entonces a + c < b + c.
D e m o s t r a c i ó n . E n efecto, a < b ==$■ 3x e R + U {0}/a + X = b. Sum ando c a am bos miembros:
a + c + x = b + c, lo que im plica que a + c < b + c. ■
■ PROPOSICIÓN 1 .1 2 Sean a ,b ,c e R. Si a < b y c > 0, entonces ac < be. Si a < b y c < 0,
entonces ac > be.
D e m o s t r a c i ó n . Análoga a la demostración anterior. ■
■ P r o p o s i c i ó n 1.13 Sean a, b, c, d e R. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.
D em o stració n . a < b 3xi € R + U {0} / a + xi = b
c < d 3x2 € R + U {0} / c + X2 = d
Sumando miembro a miembro: a + c + x i + X 2 = b+ d & a + c < b+ d, y a q u e x i + X 2 e R + U{0}. ■
■ P r o p o s ic ió n 1.14 (D e s ig u a l d a d d e B e r n o u il l i) Si x > 0, entonces (1 4- x )" > 1 + nx.
DEMOSTRACIÓN. Porinducción. Para n = 1 es evidente. Se supone cierta para n = k y se ha de
demostrar para a = k + 1. Si es cierto que (1 + x )k > 1 + kx, como 1 + x > 0,se tiene:
(1 + x )fc+1 = (1 + x )k(l + x ) > (1 + k x )( 1 + x )
= 1 -j- (k -|- l)x E kx2 > 1 4“ {k 4“ 1)*
ya que kx2 > 0. ■
10 Introducción al Cálculo
DENSIDAD DE LOS NUMEROS RACIONÁIÍES EN
Se va a probar ahora que <Q>es denso en IR, esto es, que dados dos números reales distintos cualesquiera,
siempre se podrá encontrar un número racional entre ambos.
IT eo r e m a 1.4 Six, y e K ,x < y, 3 r e < r < y.
D e m o s t r a c ió n . Sean x —X0.X1X2X3X4 . . . e yo-yiyiy^yA • ■•, tales que x < y. Por próximos que se
encuentren, es decir, si xo = yo, x\ = y\, X2 — y2,-.., las cifras que ocupan un lugar determinado n,
cumplirán: x„ < yn. Entonces, el número racional r — yo-}Ty2y3 • • ■yn (decimal finito) es el número
buscado. B
■ C o r o l a r io Si x, y e R , x < y, 3¿ e l / x < i < y.
D em o str a c ió n . Aplicando el teorema anterior a x/s/2 e y /V 2, se obtiene un número racional r / 0
tal que:
x/\/2 < r < y /'/l
y, entonces, i = r V 2 , x < i < y, es el número buscado. ■
1 .1 0 . VALOR ABSOLUTO 1
Si x es un número real, se define su valor absoluto \x| como:
x si x > 0
-x si x < 0
E j e m p l o 1 . 5 |3 | = 3; | - 3 | = - ( - 3 ) = 3.
a P r o p o s ic ió n 1.15 | —x | = |x |, Vx e E.
D e m o s t r a c ió n . Si x = 0, es evidente. Si x > 0 , entonces —x < 0 ; I-x \ = -(-x ) |x |.
Si x < 0 : jx | = —x = | —x |, ya que —x > 0. B
H P r o p o s ic ió n 1.16 |x - y | = |y —x |, Vx, y e l .
D e m o s t r a c ió n . Inm ediata, por la proposición anterior. ■
B P r o p o s ic ió n 1.17 |xy| = |x ||y |, Vx, y e IR.
DEMOSTRACIÓN. Si X o y son cero, la proposición es evidente. Si x > 0 e y > 0, entonces x y > 0,
con lo que |x y | — x y = |x ||y |. Si |x | > 0 e |y | < 0, entonces x y < 0, con lo que |x y | = —x y =
x ( —y ) = |x ||y |. Análogamente, si x < 0 e y > 0. Por último, si x < 0 e y < 0, entonces x y > 0:
\xy\ = x y = (—x ) ( —y ) = | —x || — y | = |x ||y |. B
B P r o p o s ic ió n 1.18 |x | > a = > x > a o x < —a, conx, a e 1 .
D e m o s t r a c ió n . Si x > 0, |x | = x > a. Si x < 0, |x | = —x > a x < —a. B
B P r o p o s i c i ó n 1.19 |x | < a —a < x < a, con x, a e K.
Capítulo 1 / El número real 11
DEMOSTRACIÓN. Si |x | < a, entonces x < a y —x < a. D e la segunda desigualdad se tiene —a < x.
D e aquí, —a < x < a .
Recíprocamente, si —a < x < a, se tiene que —x < a y x < a, de manera que |x| < a. ■
■ P r o p o s i c i ó n 1.20 - | x | < x < \x\, Vx e R.
DEMOSTRACIÓN. Inmediata, tomando a = \x\ en la proposición anterior. ■
■ P r o p o s i c i ó n 1.21 ( D e s i g u a l d a d t r i a n g u l a r ) \x + y\ < |x | + |y |, Vx, y e R.
D e m o s t r a c i ó n . De la proposición anterior, —|x| < x < |x|, —|y| < y < |y|. Sumando miembro a
miembro:
- ( k l + |y|) < * 3 - y < l*|3-|y|
por la proposición 1 .20.
Aplicando que —a < x < a =3> |x| < a, probado anteriormente, se tiene:
|x + y| < |x| + |y| ■
■ P r o p o s i c i ó n 1.22 |x - y | < |x | + |y |, Vx, y e R.
DEMOSTRACIÓN. E s consecuencia de la desigualdad triangular, sustituyendo y p o r —y:
\x -y \ < W + |-y l
Según una proposición anterior, | —y | = |y |, con lo que:
|x —y | < |x | + |y | ■
■ P r o p o s i c i ó n 1.23 |xi + x 2 3------- bx„| < |xi| + |x2| H b |x„|, V xi,x2, . . . , x n s i .
DEMOSTRACIÓN. Por inducción. Para n — 1 es evidente: |xi| = |x i|. Si |xi + x2 + • • • + x*| <
\xi \ + |x2| 3 b |x*|, entonces:
|(xi 3-x2 3- • • • 3-Xk) + Xk+\\ < |xi 3 -x2 3- • • • 3-Xfc| 3- l^t+il
< |x i | 3- |x 2 | 3 b \xk\ 3- \xk+i\ ■
• DEFINICIÓN 1.5 Se llama intervalo abierto de extremos a y b, y se representa (a , b) al conjunto:
{a, b) = {x e R / a < x < b]
• DEFINICIÓN 1 .6 Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se representa [a, b] al conjunto:
[a, b] = {x e R / a < x < b)
Se da ahora, sin demostración, un importante teorema:
■ TEOREMA 1.5 El intervalo ( 0 , 1 ) c R no es numerable.
Al conjunto (0,1) se le llama el continuo y a la potencia de (0,1) se le llama potencia del continuo.
Por lo tanto, R no es numerable y tampoco lo es I = R —Q, ya que Q sí lo es. Por otra parte, es fácil
ver que los números irracionales algebraicos constituyen un conjunto numerable, dado que son solución
de ecuaciones con coeficientes enteros y Z es numerable, como se ha visto (Sección 1.6).
12 Introducción al Cálculo
POSTULADO DE CANTO
Un postulado es un enunciado que se admite como cierto sin demostración. He aquí el de Cantor:
Una sucesión [an, bn] de intervalos, tales que an < an+\ , bn > bn+1 y:
nK-^-moo (bn - a n) = 0
define un único número real r, común a todos ellos.
• D e f i n i c i ó n 1.7 El número real a es cota superior del conjunto A c R, si se verifica x < a, Vx e A.
Si un conjuntoposee cota superior, se dice que está acotado superiormente. Análogamente se dejine cota
inferior y acotado inferiormente.
• D e f i n i c i ó n 1.8 Si el conjunto A está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado.
• D e f i n i c i ó n 1.9 Ala menor de las cotas superiores se le llama supremo. A la mayor de las cotas in
feriores, ínfimo. Si el supremo pertenece al conjunto, se le llama elemento máximo. Si el ínfimopertenece
al conjunto, se le llama elemento mínimo.
EJEMPLO 1.6 Sea el intervalo A = (3, 8]. Son cotas superiores: 8,9 ,1 0 ,1 0 0 , Son cotas inferiores
-5, 1, 2, 3, El conjunto A está acotado superior e inferiormente. Portanto, está acotado. El ínfimo es
3. El supremo es 8. Como 8 e A, recibe el nombre de máximo.
1 . 1 4 COMPLETITUD DE
Se ha visto que a/2 no pertenece a Q. Por tanto, los números racionales no recubren por completo
la recta numérica. Es verdad que se pueden dar sucesiones de aproximaciones a V2, como 1, 1,4, 1,41,
1,414,1,4142,..., pero el conjunto P = { r e Q/x < V2} no posee supremo en Q. Se dice que Q es un
cuerpo incompleto.
Sin embargo, el conjunto de las cotas superiores de P admite un mínimo en R, que es precisamente
*Jl. Se dice que R es un cuerpo completo. En general, un cuerpo ordenado K es completo si cualquier
subconjunto acotado superiormente (inferiormente), P de K, admite supremo (ínfimo) en K.
Por tanto, (R, + ,. , <) es un cuerpo totalmente ordenado y completo.
I
Arquímedes consideró esta propiedad como uno de los axiomas de la Geometría, aunque en las geo
metrías no arquimedianas se prescinde de ella. Viene a decir lo siguiente:
Un segmento de R, de longitud arbitraria p, puede ser recubierto por un número finito de segmentos
de longitud igual a x, con x tan pequeño como se quiera.
■ TEOREMA 1.6 El conjunto N de los números naturales no está acotado superiormente.
D e m o s t r a c i ó n . Por reducción al absurdo. Se supone que N está acotado y que b es el supremo. En
tonces, b —1 no es una cota superior por ser menor que b. Existirá un mínimo número natural n, tal que
n > b — 1. De aquí, n + 1 > b. Y como n + 1 e N, b no es una cota superior; he aquí la contradicción. ■
■ COROLARIO Dado un número real x, existe un número natural n, tal que n > x.
Capítulo 1 / El núm ero real 13
D e m o s t r a c ió n . De no ser cierto, x sería una cota superior de N , en contradicción con el teorema
anterior. ■
■ C o r o l a r io Si X > 0 y p e K, existe n e N, tal que nx > p.
D e m o s t r a c ió n . Inmediata, cambiando x por p/x en el corolario anterior. ■
-ENTORNO DE UN PUNTO
• DEFINICIÓN 1.10 Se llama entorno delpunto x a todo subconjunto que contiene un intervalo abierto
{a, b) que contiene a x.
En la práctica, se suelen considerar entornos de la forma (x —e, x + e), de centro el punto x y radio
€ > 0.
• DEFINICIÓN 1.11 Se llama entorno reducido de un punto x a todo entorno de x del que se ha
excluido el propio x.
PUNTOS INTERIORES. DE ACUMULACION, AISLADOS, ADHERENTES Y FRONTE
• DEFINICIÓN 1.12 Un punto x e A es interior al conjunto A si existe un entorno de x contenido en
A.
El conjunto de los puntos interiores de A se designa por Á. Evidentemente, Á c A.
O DEFINICIÓN 1 .1 3 Se dice que x e A es un punto aislado de A si existe un entorno de x que no
contiene más puntos de A que elpropio x.
El conjunto de los puntos aislados de A se representa Iso(A).
• DEFINICIÓN 1 .1 4 Un punto x es de acumulación de A si todo entorno de x contiene puntos de A
distintos de x. Dicho de otro modo, un punto de A es de acumulación si no es aislado.
El conjunto de los puntos de acumulación se representa A' y recibe el nombre de conjunto derivado
de A.
Evidentemente, Á c A'.
• DEFINICIÓN 1 .1 5 Unpunto x es adherente a A si para todo entorno E de x se verifica que EDA ^
0. _
El conjunto de los puntos adherentes recibe el nombre de adherencia o clausura, y se representa A.
Evidentemente, A C A .
• DEFINICIÓN 1 .1 6 Se dice que un punto x esfrontera de A si todo entorno de x contiene puntos de
Ay de su complementario A°:
£HA^0 £ O Ac / 0
El conjunto de los puntos frontera se representa F{A). El conjunto de los puntos frontera que per
tenecen a A recibe el nombre de frontera interna de A y se representa F¡ (A). El conjunto de los puntos
frontera que no están en A recibe el nombre de frontera externa de A, y se representa Fe(A).
14 Introducción al Cálculo
leiC N P W riísiS B jE R T O ^ y c e r r a d 90-.
• DEFINICIÓN 1.17 Se dice que el conjunto A C M es abierto si todos sus puntos son interiores, esto
es, sipara todo x de A existe un entorno de x contenido en A. Dicho de otro modo, A es abierto si A = Á.
De acuerdo con esta definición, todos los intervalos abiertos de R son conjuntos abiertos.
• DEFINICIÓN 1.18 Se dice que el conjunto A C R es cerrado si contiene todos sus puntos de
acumulación. Dicho de otro modo, A es cerrado si A —A.
De acuerdo con esta definición, todos los intervalos cerrados de R son conjuntos cerrados.
Se da ahora, sin demostración, una interesante proposición que permitirá estudiar los conjuntos cerra
dos de R como complementarios de los abiertos:
■ PROPOSICIÓN 1 .2 4 El complementario de un conjunto cerrado es abierto y viceversa.
■ P r o p o s ic ió n 1 .2 5 R y 0 son abiertos y cerrados.
D e m o st r a c ió n . Es evidente que R es abierto, ya que todos sus puntos son interiores. D el m ism o modo,
es cerrado, ya que contiene a todos sus puntos de acumulación. 0 es abierto y cerrado por la proposición
anterior. ■
Se ha de hacer notar que los términos abierto y cerrado no son antónimos al referirse a subconjuntos
de R. Afortunadamente, R y 0 son los únicos subconjuntos de R abiertos y cerrados a la vez.
PROBLEMAS RESUELTOS
1 .1 . Demostrar que ^ 5 es algebraico.
Resolución
X 3 5 = 0; x3 = 5; x =
1.2. Calcular \/2 J .
Resolución
Sea x —2,1 —2, 777. .. Se multiplica por 10: 10 x = 27, 777.. . Se resta x = 2,777 . . . , y resulta:
9x = 25 = > x = — =>• y ¡2 J ——
1.3. Escribir dos decimales periódicos y dos decimales finitos comprendidos entre 1,33333 y 1,33334.
Resolución
Periódicos: 1,333332 y 1,3. Exactos: 1,333334 y 1,333337
1.4 . Demostrar que si a2 es un número par, también lo es a, a e l
Capítulo 1 / El número real 1 5
Resolución
Por reducción al absurdo. Si a no es par, existe n s ü / f l = 2 n + l . Elevando al cuadrado: a2
4n2 + 4n + 1, que es impar, en contra de la hipótesis.
1 .5 . Demostrar que la suma de dos números irracionales, de la forma J a y J b , es irracional. :
Resolución w,b——J—fl , jfi flt^
—=■+
Por reducción al absurdo. Si V a + *J.b_€__Q_:__«J_a + -e Q . Despejando a: a = n2 -
nn
YYL r~ r~ (Ybl - 17X
2 = Vb = ¿LlTT a) + — , a un absurdo. El segundo miembro (racional) es igual
----- > -— se llega
Yl ¿Lll
a -Jb (irracional).
1.6. . Demostrar que la suma, producto y cociente de dos números irracionales no es necesariamente irracio-
! nal.
Resolución
(4 + ^ ) + ( 2 - V 3 ) = 6; V 8 - V 2 = 4; ^ = 2
y/2
1.7. Se ha visto que siempre es posible encontrar un número racional entre dos números racionales dados.
Probar que siempre es posible encontrar un número irracional entre dos números racionales r e y ,
(x< y).
Resolución
a = x H y ——^ , siendo b un número irracional cualquiera mayor que 1, por ejemplo, n, e, V 2 , . ..
1 .8 . Demostrar que entre dos números irracionales de la forma -Ja y -Jb siempre es posible encontrar otro
í número irracional.
Resolución .—y J br,—y es irracional, como se demostró en un ejercicio anterior.
c —-■-J--a---|-----J--b-esta entre
1 .9 . Demostrar- que la suma r + i de un número racional r y un número irracional i es irracional.
Resolución
Si r + i —s e Q, entonces i —s —r e Q. Absurdo, por tanto, r + i es irracional.
1. 10. ; Dos puntos móviles parten en el mismo instante, con igual velocidad constante, de un vértice de un
hexágono de lado l. Uno recorre el contorno del hexágono y el otro la diagonal d, que une dos vértices
opuestos. ¿Volverán los móviles a encontrarse? Resolver el problema si en lugar de un hexágono fuese i
: un cuadrado.
Resolución
Sí, puesto que d y l son conmensurables: d = 2 • /. Se encontrarán cuando el primer punto haya
completado dos vueltas al contomo del hexágono.
16 Introducción al Cálculo
Si fuese un cuadrado de diagonal d, tendrían que existir dos números naturales m y n tales que m-d —
n ■l, para que los dos puntos se encontraran de nuevo. Esto no es posible, ya que d —l- V 2 y ello implica
que m ■~J2 = n, lo cual es absurdo.
1. 11. ■Demostrar por inducción la fórmula:
í ' 19 + 92 +93 3 -------.+ n29 = —ra—(n—+ ly)(-2.r--a---+--1--)-., n e N
Resolución -j2 _ 1 ' 2 ‘ 3
6
Es cierta para n=l:
Suponiendo que es cierta para n = k :
,2 , ¿2 , l J f c2=*(* + l)(2* + l )
6
se ha de demostrar que es cierta para n = k + 1. En efecto:
l 29 + 292 + ■• ■+ k92 + (* + l )92 = k(k -f- 1 )-oi(-2-k--+- —1 )- + {k + l )92
—
k(k + í)(2k + 1) + 6(k + 1)2
6 [jt(2Jt + 1) + 6 (Jfc+ 1)]
(k + l)(k + 2)(2k + 3)
1. 12. Demostrar por inducción la fórmula:
... l 3 23 ,+ 33 + .... + « 3:= ( i 2 -E 3 ri
-E w)2, n e N -
Resolución
Es cierta para n = 1: l 3 = l 2. Suponiendo que es cierta para n = k:
l 3 + 23 + • • • + k3 = (1 + 2 + 3 + ■• • + k)2
se ha de demostrar para n = k + 1, esto es:
l 2 + 2? + • **+ k 3 + (k + l ) 2 = ( l + 2 + - - - + f c + fc + 1)"^
Por la hipótesis de inducción:
l 2 + 22 + • ■• + k3 + {k + l ) 2 = ( l + 2 + 3 + -- - + k)2 + (k + l ) 2
=( ^ r ■kí +(t + 1)3
= (t + 1)2 ( ^ + t + 1)
= (t + 1)2 * l± £ ± í
(k + l)2 • (k + 2)2
Capítulo 1 / El número real 17
Por otra parte: (1 + 2 H \-k + k + l ) [ - l—+ f c—+ l -(k + 1)12
Por último:
( l i l A . kj + (k + l )3 r l + * + l (k + 1 ) 2 (k + 1f (k + 2)
1. 13. Resolver las inecuaciones: a) |x —3| < 8; ' b) |x + 5| > 4
Resolución < x —3 < 8 : —5 < x ■xe (-5,11)
a) y
X < 11
b)
x+ 5> 4
X > —1 X € (—oo, —9] U [ - 1 , oo)
o
x + 5 < -4 o
x < -9
1.14. x1
Resolver la inecuación 1 ----2-> --1----f---x-
Resolución
Si 1 + x > 0 =9> x > - 1 . Entonces (1 - x /2 )(l + x) > 1 ya que, por ser 1 + x > 0 , resulta una
desigualdad del mismo sentido. Resolviendo:
■x < 0 = > x(x —1 ) < 0 x>0 x e (0,1)
y
x —1 < 0
Si x < 0 y x —1 > 0, no hay solución.
Por otra parte, si 1 + x < 0 x < —1. Entonces, se verifica la desigualdad ( 1 —x / 2 ) ( l + x ) < l ,
ya que, por ser 1 + x < 0, resulta una desigualdad de sentido contrario. Resolviendo:
' X > 0 = + x(x — 1) > 0 : x>0 •X € (1, oo)
y
x —1 > 0
S i x c O y x —1 < 0 ==£• x € (—oo, 0).
Por tanto, x e (—oo, 0) U (1, oo). Teniendo en cuenta que x < —1, resulta x e (-o o , - 1 ) .
Por último, la solución será: x e (—oo, —1) U (0, 1).
1. 15. I Demostrar que todo intervalo (a, b) de M tiene la potencia del continuo.
Resolución
Al intervalo (0,1) c R se le llama el continuo (Sección 1.11). El intervalo (a, b) C M tiene la
potencia de (0, 1) C M, ya que es posible establecer una aplicación biyectiva entre ambos (Sección 1.6):
/ : (0, 1) -► (a, b)
x (-> a + (b —a)x
18 Introducción al Cálculo
La aplicación es inyectiva, dados dos elementos cualesquiera x \, X2 6 (0,1), si yi = y2 '.
a + (b —á)x\ —a + (b —a)x2 = 4 x\ = X2
Es sobreyectiva, ya que para todo y e (a, b) 3 x = y —a e (0,1).
-— -
Por tanto, (a, b) es coordinable con (0,1) y tiene la misma potencia.
1.16. Sea el conjunto A = (1, 1/2, 1/3, 1/4, Encontrar tres cotas superiores y tres cotas inferiores
del conjunto A. ¿Tiene supremo?, ¿y máximo?, ¿tiene ínfimo?, ¿y mínimo?
Resolución
Cotas inferiores: - 3 , 0 , - 1 ; cotas superiores: 1,2, 2,5. Por lo tanto, está acotado.
El supremo es 1, y como 1 e A, recibe el nombre de máximo. El ínfimo es 0 y como 0 no pertenece a
A, el conjunto carece de mínimo.
1. 17. Determinar los puntos de acumulación del conjunto:
[ (- 1 )" 4- -n, n € N
¿Pertenecen al conjunto dado?
Resolución
Dando valores a n, se obtiene: 3-25-47
’ 2’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6’
Los puntos de acumulación son - 1 y 1, que no pertenecen al conjunto dado.
1. 18. Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto:
! A = (1, 2] U j ^ , tí e n J U {3}
Resolución A' = {0} U [1,2]
Iso(A) = lI —n +í-¡1-, n e N } U { 3 }
Int(A) = (1,2) Fe(A) = {0}
A = A U {0}
Fi(A) -n, n e N l U { 2 } ü { 3 }
1. 19. Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto <Q>.
Resolución
Capítulo 1 / El núm ero real 19
1.20. Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto:
A = [0, 1 ] n Q
¿Tiene máximo y mínimo?, ¿es abierto?, ¿es cerrado?
Resolución
Int(A) = 0 Iso(A) = 0
A' = [0,1] A = [0,1]
F¡(A) = A Fe(A) = [0,1] n i
mínimo = 0
máximo = 1
No es abierto ni cerrado, ya que A ^ Int(A) y A ^ A.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.21. Resolver la ecuación 1.23 * + 5 = 2,1.
1.22. Representar +Jl en la recta real.
1.23. Demostrar que el producto r ■i, de un número racional r por un número irracional i, es irracional.
1.24. Dado un número irracional i > 0, encontrar otro número irracional entre O e i .
1.25. Demostrar que -s/3 + V5 es irracional.
1.26. Si a, b, c, d e Q, * e l, demostrar que, en general, ax +b e I.
— -j—j
1.27. Demostrar que si x, y e M, con * =¡¿ 0, son tales que x ■y = 1, entonces y = 1
-.
1.28. Racionalizar —=--------- —.
V x + y/y + Vz
1.29. Dos puntos móviles, con igual velocidad constante, parten del vértice A de un triángulo equilátero ABC
de altura AH, relativa al lado BC. Uno recorre el contorno del triángulo ABC y el otro recorre el contomo
del triángulo ABH, ambos en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. ¿Volverán los
móviles a encontrarse?
1.30. Demostrar por inducción la fórmula:
(a + b)n = ¿ -b\ n e N
1.31. Demostrar por inducción la fórmula:
20 Introducción al Cálculo
1.32. Resolver la inecuación 3x3 —21x + 18 > 0.
1.33. Resolver las inecuaciones:
a ) | 3 - x --1l | < 1 ; b )|x + 4 |> 7
1.34. Resolver las inecuaciones:
11 ----- > 0; b) X —1 > 0
a) - + ——
X 1—X X+ 1
1.35. Resolver la inecuación x + x + 1 > 0 .
1.36. Determinar si son ciertas o falsas cada una de las igualdades:
100 100
a) E ¿2 ^ E z'2-
í= 0 1=1
100
b) ^ 3 = 300.
í=0
100 100
c) ¿ (f + 1)2= ¿ / 2.
1=1 1=0
100 99
d ) E ( ¿ - D 2 = E z2-
1=1 1=0
1.37. Dado el conjunto N, hallar: a) interior; b) puntos aislados; c) conjunto derivado; d) adherencia; e) frontera
interna y frontera externa.
1.38. Hallar lo mismo para el conjunto I de los números irracionales.
1.39. Hallar lo mismo para el conjunto R de los números reales.
En los siguientes problemas, determinar el supremo e ínfimo de los siguientes conjuntos, indicando
cuáles de ellos coinciden con el máximo o mínimo:
1.40. A = (l,2],
1.41. B = {x e Q / 0 < x < 1}.
1.42. C = {l —n +42 . w e n !J.
1.43. D = j l , „ E N ).
1.44. E = [x e R /x 2 —5x + 6 < 0}.
1.45. F = (0, oo).
1.46. G —{3~a + 5~~b; a,b& N }.
1.47. H —{x e R / (x —a)(x —b)(x —c)(x —d) < 0, a < b < c < d}.
Capítulo 1 / El núm ero real 21
1.48. Se consideran los conjuntos A = [1, 3) y B = (2,4], Hallar interior, adherencia, frontera y acotación de
los conjuntos: a) A U B\ b) A fl B.
1.49. Hallar interior, conjunto derivado, adherencia, puntos aislados y frontera del conjunto:
A = (2,3]U n 6 Nj
CAPITULO
EL NÚMERO COMPLEJO
Una ecuación de la forma x 2 + 4 = 0 no tiene solución en el cuerpo M de los números reales. Para
resolver ecuaciones de este tipo se introduce el concepto de unidad imaginaria y se construye, a partir de
él, un superconjunto C de R, llamado conjunto de los números complejos, en el que la anterior ecuación
sí tendría solución.
2 .1 . LA UNIDAD IMAGINARIA
• DEFINICIÓN 2 .1 Se define la unidad imaginaria i como i = -/—l.
Se puede resolver ahora la ecuación x 2 + 4 = 0: = ±2¿
X = = y/A- ( - 1 ) = V 4 •
E je m p l o 2 .1 Calcular V - 1 6 .
P uesto que i = -«/—T> entonces V —16 = V 1 6 ( —1) = V Tó ■-V---1 = ± 4 i.
E je m p lo 2 .2 Resolver la ecuación x 2 + 2x + 2 = 0.
x = —1 ± i.
A continuación, se va a hallar las potencias sucesivas de i :
12 = (V=T)2 = - 1
13 = i2 ■i = (—1) • i = —i
14 = i2 ■i2 = ( - 1 ) • ( - 1 ) = 1
P uesto que i 4 = 1, se tiene que i 5 = i 4 ■i = i , i 6 = i4 ■i 2 = i 2 = —1 repitiéndose los valores de las
potencias.
E je m p l o 2 .3 Calcular i 274.
.274 = ¿4-68+2 = ¿4-68 . ¿2 = (¿4}68 . ( _ 1} = _ L
24 Introducción al Cálculo
____________________________________________________ 1
• DEFINICIÓN 2 .2 Se llama número complejo a la expresión z = a + bi, a, b e M, donde a es la
llamadaparte real y b la parte imaginaria del número complejo. Es decir, un número complejo no es otra
cosa que unpar ordenado de números reales (a, b) e l x l .
Si b —0, se tiene un número real. Así, se pueden considerar los números reales como un subconjunto
de los números complejos.
• DEFINICIÓN 2 .3 Si a = 0, el número complejo 0 + bi = bi recibe el nombre de imaginario puro.
• DEFINICIÓN 2 .4 Se llama conjugado del número complejo z = a + bi al complejo z = a —bi.
• DEFINICIÓN 2 .5 Dos números complejos z\ —a + biy Z2 —c + di son iguales si, y sólo si, a = c
y b = d.
U
§
• DEFINICIÓN 2 .6 Sean los números complejosz \ = a + b i y z 2 = c+ di. Entonces, se definenz\ + Z 2
y z\ ■Zi en laforma:
Zl + Z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Zi ■Z2 — (a + bi)(c + di) — ac + adi + bci + bdi2 = (ac —bd) + (ad + bc)i
De esta manera, dados tres complejos cualesquiera zi, Z2 y Z3 > pertenecientes al conjunto C de los
números complejos, se puede probar:
1. z i +Z2 e C . = 0.
2 . zi + (Z2 + Z3) = (z 1 + Z2> + Z3-
3. 3 0 e C / z\ + 0 —0 + zi = zi-
4. 3(—zi) e C / zi + (—zi) = (—zi) + zi
5. Zl + Z 2 = Z2 + z i -
Por cumplir estas cinco propiedades, el par (C , + ) tiene estructura de grupo abeliano (Sección 1.1).
Además, se verifican:
6. zi •Z2 e C.
7. Zl • (Z2 - 23) = (zi ■Z2 ) -Z3-
8. 3 1 € C / Z ■1 = 1 •Z = Z, Vz 6 c .
9. Vz e C (z ,4 0), 3 z- 1 e C / z • z_1= z- 1 ■z = 1.
10. Zl • Z2 = Z2 ' Zl.
Y por cumplir las propiedades de 6 a 10, el par (C —{0}, •) tiene estructura de grupo abeliano.
Por último, se tiene:
11. z i • (Z2 + Z3) = Z 1 -Z2 + Z1 -Z3-
Por tanto, la tema (C , + , •) tiene estructura de cuerpo conmutativo (Sección 1.2).
• DEFINICIÓN 2.7 Se define el producto de un número real r por un número complejo z = a + bi en
la forma:
r ■z = r ■(a + bi) —r - a + r - b i
Se cumplen para cualesquiera r, r' e R y z i , Z2 6 C las propiedades:
12. r ■(zi + Z2) = r ■zi + r ■Z2 -
13. {r + r') ■zi = r ■zi + r' ■z\.
Capítulo 2 / El núm ero complejo 25
14. r ■(/•' ■zi) —(r • r') •zi-
15. 1 • zi —z\, con l e í .
Las propiedades 1 a 5 determinan que el par (C , + ) tiene estructura de grupo conmutativo para
la suma y, conjuntamente con estas cuatro últimas propiedades, determinan que el conjunto C tenga
estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo R.
EJEMPLO 2.4 Dados los números complejos zi = 1 + i y Z2 = 2 + 3¿, hallar:
a ) z i + z 2; b ) z i - z 2; c ) z i - z 2; d ) z i / z 2.
zi + z2 = (1 + 2) + (1 + 3)/ = 3 + 4/
zi —z2 = (1 —2) + (1 —3)/ = —1 —2/
zi • z2 == (1 + 0 • (2 + 3/) = 2 + 3/ + 2i + 3i2 ——1 + 5i
Zl/Z2 = 1 ± L = 0 + 0 ( 2 - 3 / ) = 5/13 - (1/13)/
' 2 + 3/ (2 + 3/)(2 —3¿) ' '
&& @B6íHI©£)E8 ÜDKD©SIÍOH1SO®
Dado que un número complejo z —a + b i = (a, b) € I x 1 es un par ordenado de números reales,
se puede representar dicho número complejo z mediante el punto (a , b) en el plano XY, llamado plano
complejo. El punto (a, b) recibe el nombre de afijo del número complejo z (ver Figura 2.1).
Figura 2.1
• DEFINICIÓN 2.8 Se define el módulo o valor absoluto de un número complejo z = a + bi como r =
|a + bi | = V a2 + b2.
• DEFINICIÓN 2.9 El valor del ángulo a recibe el nombre de argumento (ver Figura 2.1).
Para un número complejo dado, el argumento admite un conjunto infinito de valores, que se diferen
cian entre sí en 2kir, k e Z . Se llama valor principal del argumento a a aquél que cumple 0 < a < 2n.
EJEMPLO 2 .5 Sea z=3+4i. Entonces: a = arctg4/3
3 + 4 /1= V32 + 42 = 5
26 Introducción al Cálculo
Sean zi, z i , ■■■, zn e C . Se verifica:
1. \zi ■■■Z2 ■■■Zn\ = |Zl I • • • \Z2¡ ■■■\Zn\-
2. \ zi / Z2 \ = |zi|/|Z 2|, con )Z21¥=0-
3. |zi + Z21< Izil + |Z21•
4. |zi + Z2 + •• • +Zn\ < |zil + |Z2l + • • ■+ \zn\-
El punto (a, b) es el afijo del número complejo z = a + b i . En la Figura 2.1:
a —r ■eos a
b = r ■sena
siendo r el módulo de z y a su argumento. De aquí se deduce que:
z = a + bi = r {eos a + i ■sena)
Esta expresión es la llamadaforma trigonométrica del número complejo. Algunas veces se emplea la
abreviatura cis a en lugar de cosa + i • sena.
Otra forma de representar el complejo z, de módulo r y argumento a , sería z = ra, a la que se llama
forma polar o módulo-argumental.
EJEMPLO 2.6 Dado el número complejo z = 1 + V3i , escribirlo en forma polar y trigonométrica.
1 + \/3 i —2^/3 = 2(costt/3 + i ■senn/3)
PRODUCTO Y COCIENTE DE COMPLEJOS EN FORMA POLA „___ ^________i ;
Sean los complejos zi = ra = r(co sa + i ■sena) y Z2 = sp = s (eos fi + i ■sen/3). Su producto:
zi • z.2 —ra ■sp = rs[c o sa • eos /J —sena • sen/í + ¿(sena • cos^S + co sa • sen/i)]
= rs[cos(a + jS) + i ■sen(a + P)] = (rs )a+p
Por lo tanto, el producto de dos complejos es otro complejo que tiene por módulo el producto de sus
módulos y por argumento la suma de los argumentos.
De análoga forma, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, se demuestra que
el cociente tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos:
Z1/Z2 = ra/sp = (r/s)a-p
EJEMPLO 2 .7 Dados los complejos 1 + V3i y V I + i, pasarlos a forma polar y efectuar su producto
y cociente en dicha forma. Comparar con los resultados obtenidos en forma binómica.
En forma polar:
(l + V 3¿)(\/3 + i) —Ijtp ■2jt/6 = (2 • 2) | + | = 4^/2 == 4 n i sen —n2 ) - «
(|ceos —2 +
1 + -\/3Í 2jr/3 ^ 2 N ljr/6 ; eos Jt 4- z s en 7r 6 = -\/3 f -1i
V3 + i 2
2 jr/6 = 3 - i jr__jr —6 2
36
En forma binómica:
^1 4“ V3¿)(V3 -|- z) = 4~ i 4" 3z 4~-\/3¿^ = 4/
1 + V3Í _ (l + V 3 z ) ( V 3 - ¿ ) _ V3 i + 3z - V3z2 2V3 4-2z V3 1.
•n/3 4" i (s/3 4- ¿) (\/3 —/) 34-1 _ 4 ~ 2 + 21
Capítulo 2 / El núm ero complejo 27
2 . 9 POTENCIA DE UN NUMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR
Es consecuencia de lo anterior:
Z" = (r«)n = ra ■ra • a (/•")«
E ste resultado se conoce con el nom bre defórmula de Moivre y viene a d ecir que la potencia n-ésim a
de un número complejo ra es otro complejo de módulo rn y argumento n veces el argumento del primero.
E j e m p l o 2 .8 Calcular (1 + i ) 10.
(1 + ¿)10 = ( ^ / 4) 10 = (25) 5jr/2 = 32i
Si se supone que w = sp es una raíz n-ésima del número complejo z ra :
w = z (sp)'1 = (s")np = ra =*> s" —r, nf$ = a + 2kn s = f/r, f = (a + 2kn)/n
con k = 0, 1 , 2 , . . . , n —1, ya que para k = n se obtiene el mismo valor que para k — 0.
Existen, por tanto, n raíces n-ésimas distintas, si z ^ 0.
EJEMPLO 2 .9 Calcular las raíces cúbicas de 2.
r = 2,n = 3 y a = 0. Por tanto: \ ^ 2te /3, con k = 0,1, 2.
Anticipando los desarrollos en serie de MacLaurin de las funciones ex, sen* y eosx (Capítulo 7):
ex = 1 + x + x2/2\ + x 3/3! + . ..
sen* = x —x 3/3! + jc5/5! —x1/1\ + ...
cosx = 1 —x2/2\ + x 4/4! —x 6/ 6! + . ..
Entonces:
e,a = 1 + ia —a 2/2! —zo:3/ 3 ! + a 4/4! —. ..
= (1 —a 2/2\ + a 4/4! + . . . ) + i ■(a —a 3/3\ + . . . ) = co sa + i ■sena
Así, z = ra = r (cosa + i ■sena) = r ■em. Esta última expresión esla llamada forma canónica o
exponencial del número complejo.
La expresión e'“ = eos a + i ■sen a es la llamadafórmula de Euler.
Dada el0C= eos a + i ■sen a , sumando y restando e~m = eos a —i ■sen a , se deducen las fórmulas:
sena 21 cosa em + e
2
E j e m p l o 2 .1 0 Escribir en forma canónica el número complejo z —1 + i ■
|z| = -s/5, a = 4 z = 1 + i —V 2 •
28 Introducción al Cálculo
2 . 12. LOGARITMO DE UN NUMERO COMPLEJ
Sea el número complejo z = r ■eloí. Suponiendo que su logaritmo es el número complejo x +iy:
ln z = ln r + ia = x + iy
Igualando: x —ln r
y = a + 2kn _
Por tanto, lnz = ln r + (a + 2kn)i.
De lo anterior se desprende que el logaritmo de un complejo z = reia tiene infinitos valores, todos
ellos con parte real igual a ln r y partes imaginarias que difieren entre sí en múltiplos de 2 n . De un modo
gráfico, los afijos de los logaritmos están situados sobre una recta paralela al eje OY.
Para k = 0, se obtiene el llamado valorprincipal.
E je m p l o 2 .1 1 Calcular ln (l + 2¿).
ln(l + 2 ¿) = ln V5 + (1,10715 + 2kn)i = 0,80472 + (1,10715 + 2 kn)i
Gráficamente:
o (lnV 5, 7.39034): k=l
I o (1,2): Afijo de 1 + 2/
o (ln V I, 1,10715): k=0
o (ln V I,-5 ,1 7 6 0 4 ): k=-l
Figura 2 .2
Se tienen ahora los complejos zi y zi, y se desea calcular logz¡ zi- Llamando H —logZj zi, mediante
la definición de logaritmo: Z2 —z f •Tomando logaritmos naturales: ln Z2 = H ■ln z i . Por tanto:
ui lnZ2
H = log« a = S i l
E j e m p l o 2 . 1 2 Calcular log^ (1 + ¿)-
iog.(i + i ) = .l.u..... -f- (7r/4 4" 2'k..7..t.').i. = 1 ~f- 8Ar _ — l—n2— • I
E j e m p l o 2 . 1 3 C alcular log¿ i.
Capítulo 2 / El núm ero complejo 29
El LAS FUNCIONES HIPERBOLIC
Las expresiones 2 ex + e son frecuentes en problemas de Ingeniería y Matemática aplicada.
J2
Se representan con shx y chx, abreviaturas de seno hiperbóbco y coseno hiperbóbco. La razón de estas
denominaciones estriba en que están relacionadas con la hipérbola x
1 de un modo análogo a
cómo las funciones seno y coseno están relacionadas con la circunferencia x¿ + y¿ — 1. En efecto, se
prueba que: ch2 x —sh2 x = 1
Sustituyendo: ch2 x —sh2 x ex + e~
que representa una fórmula análoga a sen2 x + eos2 x = 1 para las funciones circulares.
La fórmula ch2 x —sh2x = 1 sirve para justificar el adjetivo hiperbólico en las definiciones de shx
y chx. Las funciones seno y coseno se llaman circulares porque si B es un punto de la circunferencia
x 2 + y2 — 1, y t es la medida en radianes del arco AB, las coordenadas de B son (cosí, senf). Del
mismo modo, si t recorre los números reales, el punto B, de coordenadas (ch t , sh t), recorre la hipérbola
x2 —y2 = 1 (ver Figura 2.3). Sin embargo, en este caso la variable t no representa un arco sino el
doble del área del segmento parabólico AOB (ver demostración en [14], A.I. Markushevich. Números
Complejos y Aplicaciones Conformes. Ed. Mir).
Figura 2 .3
Para hacer las gráficas de y = chx e y = shx, se representan las funciones y = (1/2)ex s y =
(l/2)e~ x. Sumando y restando, se obtienen sus gráficas:
Figura 2 .4
Por último, las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas se definen de un
modo semejante a las funciones circulares:
30 Introducción al Cálculo
----- -
RELACION^ ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBOLICAS
Dado que: senx 2i cosx exl + e xl
se tiene que: 2i
co sx = chz'x chx = coszx
se n x = ( I / / ) • shz'x s h x = (1 / 0 • s e n ix
PROBLEMAS RESUELTOS
2. 1. : Resolver la ecuación x2 + 4x + 5 = 0.
Resolución
x = -—--4--±----V l6 —20 = —2 ± i
2.2. Calcular i743.
Resolución
¡743 = ¿4485+3 = (¿4)185 . ¿3 = j . ¿3 = _ f
2.3. Dados los números complejos z\ —2 + i y zi = 3 —2i, hallar:
a) zi +Z2 -
b) zi —Z2 -
i . c) Z1 ■Z2-
: d) Zl/Z2-
Resolución
a) zi + z2 = (2 + 0 + (3 - 2 0 = (2 + 3) + (1- 2)i = 5 - i.
b) zi - 22 = (2 - 3) + (1 + 2 )i = - í + 3¿.
c) zi • Z2 = (2 + 0 (3 —2 0 = 6 —4¿ + 3z —2z2 = 8 —i.
Zi/Z2 _ ((32_+ 20.()(33 + 2i) _ 4 7.
+ 2¿) B ^ i.
2.4. SDado el número complejo z = 1 —r, escribirlo en forma polar, trigonométrica y exponencial.
Resolución
Capítulo 2 / El núm ero complejo 31
2.5. La suma de dos números complejos zi y Z2 es 2 + Ai. La parte real de zi es —1 y el cociente z i/zi es
; imaginario puro. Hallarlos.
Resolución
Sean zi —a + bi y Z2 = c + di. Su suma y su cociente:
(a + bi) + (—1 + di) = (a —1) + (b + d)i a + bd —ad —b i
a + bi {a + bi){—l —di) 1 + d2 H— 1:--+---d--2---
-l+ d i (-1 + d i)(- l - di)
Por tanto: a - 1=2
b+d = 4 a = 3, b = 1, d —3
—a + bd = 0 a = 3, b = 3, d = 1
Dos soluciones: 3 + i, —1 + 3¿ y 3 + 3i, —1 + i.
2 .6. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que el cociente z+ 1 sea imaginario puro, siendo
z —a + bil 1
z-
Resolución
z + 1 (a + l) + bi [{a + 1) + bi][(a —1) —bi]
z —1 = (a + 1 ) - bi = [(a - l) + b i][(a - l) - bi]
a2 —1 —2bi + b2 - 1 2bi
(a —l )2 + b2 (a —l )2 + b2 (a — l )2 + b2
Para que sea imaginario puro ha de tener igual a cero su parte real:
a2 + b2 —1 == 0 : a2 + b2 = 1
2.7. i Resolver la ecuación z3 — 1 = 0.
Resolución z3 = a/T. En forma polar:
Z3 - 1 = 0 :
Z — V 1 + 0 ■Í — y / 10» 1 V3
Las raíces son: 2 ~~2 1
1 V3 .
k — 0 : V i o°+36o-o = lo» = 1 (cos0° + i ■ sen0°) = 1
3
k = 1 : V i o°+36o-i = 1120° = 1(eos 120°+ i ■sen 120°)
3
k = 2: V i o°+360-2 = 1240°= 1 (cos240° + i ■sen240°)
2.8. Dado z G C, siendo x = Re(z), probar que 1_ 1 < -2 si x > 1 .
z 2
32 Introducción al Cálculo
Resolución
Sea z = x + iy:
2 —z < 1 =>• |2 —z| < |z| ^ ( 2 - x ) 2 + y2 < ^ x 2 + y2
2z 2
==>■ (2 —x)2 < x 2 = 4 4 —4x + x 2 < x 2 = 4 - 4 —4x < 0
que se cumple para x > 1.
2.9. i ¿Qué región del plano representa el conjunto:
A = |z e C /z • z > 4}?
Resolución
Sea z = x 4- iy. Entonces z • z = (x + iy)(x - iy) = x 2 + y2 > 4, que es el exterior de una
circunferencia de centro (0,0) y radio 2.
2 .10. Dado z e C, siendo x = Re(z), ¿qué región del plano representa el conjunto |z| + x < 1?
Resolución
Sea z = x + iy:
Elevando al cuadrado: y2 = 1 —2x
Entonces, f (x , y ) = >/ x 2 + y2 + x < 1, es el interior de la anterior parábola, ya que / ( 0 , 0 ) < 1.
2.11. Determinar los números complejos z que cumplen:
| siendo a . c e l , Discutir las posibles soluciones según los valores de a y c
Resolución
Sea z = x + iy:
a + z a + x + iy c + x —iy
c + z c + x + iy c + x —iy
— (a + x)(c + x) + y2 (c + x ) y - (a + x )y .
(c + x)2 + y2 (c + x)2 + y2
(c - á)y = y[(c + x )2 + y2]
Si y = 0, la solución es el eje OX.
Si c —a = (c + x )2 + y2 = 4 {x + c)2 + y2 = c —a:
c —a > 0, circunferencia de centro (—c, 0) y radio «Je —a.
c —a < 0, no hay solución.
Capítulo 2 / El número complejo 33
2.12. Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z —V.
Resolución
lnz = i ■ln/ = i ■l n eí r ' = i ■i ■%■=
En forma exponencial: z = e~-zx~ =$■ r =2 e~- XT, a = 0.
2. 13. Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z = i 1+i.
Resolución
ln z = (1 + i) ■ln / = (1 + i) ■ln(l ■e%’1) = (1 + / ) • / • ^ ^ •i
z = e —271 . ¿ 27r’': r = e 2 , a = —TC
2. 14. Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z = 2'.
Resolución
lnz = / •ln2 =>• z = e ',ln2 =£• r —1, a = ln2
2. 15. Hallar el módulo y argumento, tomando el argumento principal: z = (1+ V3 / ) I+Í.
Resolución
lnz = (1 + i) • ln(l + V3i) = (1 + i) ■ln(2 • e ? -') = (1 + /) • ^ ln2 + — •
==(ln2_| ) +(ln2+| ) ' ¿
z = eln2- J ■Vln2+fW r = eln2- f , a = ln2 + |
2.16. Calcular zlni.
Resolución + 2kn^j = i ■^ + 2/br^, k e Z
¿ln; _ glní-lní _ g (lni)2
Por otra parte:
ln¿ = ln 1 + / • ^
(ln/)2 = + 2 y b r ) 2 = + i lni = e- ( f + 2^ ) 2
2. 17. i Calcular' v 2 + ln / (utilizar el argumento principal).
Resolución
z = V2 + ln¡ = (2 + lnz)1/'
34 Introducción al Cálculo
ln(2 + liri) l n ( 2 + | ' ¿)
Inz = -------;-------= ---------- r—------
ln -e(arctg * +2for)''^ ln ( ^ 4 + ( ^ j ) + ^ are tg ^ + IkyrJ ■i
arctg —jr + 2kjr —l n y/4 + / z r va -z
4 ' “ V ' ' \2 ,
z _ garctg | +2kn -ln V4+(f)2'¡' C0I1 & = 0
2. 18. : Resolver la ecuación senx = 3.
Resolución
¿x _ _ L = 6¿
2z e‘-
=4 e2íx- 6z'eix- 1 = 0 = 4 eíx= (3 ± 2VI) •i
ix = ln[(3 ± 2VI) • z] = ln(3 ± 2VI) + ln i = ln(3 ± 2-72) + ( | +2fczr) •z
x = ( | +2zbr) - z•ln(3 ±2VI)
2. 19. | Resolver la ecuación tgx = i ¡2.
Resolución
tgx = -es-oe--ns-x*-- = elx+ e2i—lx—= -21 ==4 ee‘lxx--+----ee----IX = - 12- = 4 3e0u,x-j. = 1
'2
_ 4 2ix_ 12 ix = ln i + 2kni= 4 x = —l- ln - + kn
33 23
2.20. Resolver la ecuación e g-*ht = 1 —i.
Resolución
= ln(l —z) = ln VI + Í2kn — - ) i
Z \ 4/
z + i —z lnVI + (ikiz —^ •ij =4 zj^l —lnVI —^2far - ^ •ij
¿ —1 +lnVI —^2fc:zr —^ •i
—1+lnVI + ^2fczr - ^ •z —1 +lnVI —^2fczr —^ •z
2kn —^ +z'(—1+lnVI)
(—1+lnVI)2+ (2kn 7r \ 2
4/
Capítulo 2 / El núm ero complejo 35
2.21. Si z + - = 2 • eos t, hallar z" +■— .
Resolución
Resolviendo z2 - 2z • eos t + 1 = 0, se obtiene z = eos t ± i ■sen t .
zn —(eos t + i ■sen t)n = eos nt + i • sen nt
1 1 eos t —i ■sen t —eos t —i ■sen t
eos2 1+ sen2 1
z eos t + i • sen t
( -1\\H = (eos t —i ■sen t)n = eos nt —i ■sen nt
zn + í \ n = 2 • eos nt
z
Del mismo modo se hace con eos t —i ■sen t.
2.22. Demostrar la identidad shx + chx —ex
Resolución
shx + chx = -e-x--—- e~x 1---e-x--+- e~x = e„.
PROBLEMAS PROPUESTOS
2.23. En los siguientes ejercicios, expresar los números complejos en forma polar, trigonométrica y expo
nencial:
2 + 2i.
2.24. 1 + V5 •i.
2.25. i.
2.26.
En los siguientes ejercicios, efectuar el producto y el cociente de los complejos zi y Z i en forma
binómica; pasarlos a forma polar, y efectuar su producto y cociente en esta forma, comparando los resul
tados obtenidos:
Z l = 1 + í , Z2 = i-
2.27. zi = V3 + i, Z2 = —1 + V3i.
2.28.
En los siguientes ejercicios, calcular:
^T+T.
2.29.
2.30. ^ = 8 .
2.31. Las raíces de una ecuación de segundo grado son 2 + i y 2 —i . Escribir dicha ecuación.
2.32. Resolver la ecuación —1 b 1 2 1; = 2„ + o3.1 .
x +
36 Introducción al Cálculo
2.33. Una raíz cúbica de un número complejo es igual a 1 + i. Hallar dicho número complejo y sus otras dos
raíces.
2.34. Hallar dos números complejos tales que el primero sea imaginario puro, el módulo del segundo sea igual
V2
a — y que la suma de ambos sea igual a su producto.
2.35. Hallar un número complejo tal que su cuadrado sea igual a su conjugado.
2.36. Demostrar que el cociente de dos números complejostiene por módulo el cociente de los módulos y por
argumento la diferencia de los argumentos.
En los siguientes ejercicios, hallar los números complejos que cumplen:
2.37. a + bi = \a + bi\.
2.38. (a + bi)2 = (a —bi)2.
2.39. \a + bi\ = \a —bi\.
2.40. Demostrar que si z es una raíz n-ésima de 1 (z ^ 1), se cumple que l + z + z2 + z 3 + . . . + zn~l = 0.
2.41. Hallar el valor de a sabiendo que:
2.42. (eos a + i ■sen a) ■(eos 2a + i ■sen 2 a ) ... (eos 50cc + i ■sen 50a) = 1
Sugerencia: escribirlos en forma polar.
En los siguientes ejercicios, demostrar las identidades:
chx —shx = e~x.
2 .43. sh(x + y) = shx ■chy + chx ■shy.
2.44. ch 2x = ch2 x + sh2 y.
2.45. ch 2x = ch2 x + sh2x .
2.46. cosz = chz'z.
2.47. chz = coszz.
2.48. senz = -z • shz'z.
2.49. shz = i- • senz'z.
2.50. Escribir en forma binómica e ^ .
2.51. Calcular sen z.
CAPITULO
ff SUCESIONES
/■'¿¡sal!
/w
En este capítulo se introducirá el importante concepto de límite de una sucesión, haciendo hincapié en
los diversos tipos de límites indeterminados. Al final, se introducirán las sucesiones de Cauchy.
• DEFINICIÓN 3.1 Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N en el conjunto
1.
Los términos de la sucesión se numeran mediante subíndices: a\ designa el primer término, ai, el
segundo, etc. Así pues:
1 e M ai e S
2 € N —^ a2 £
3 e N -» ¿i3 e R
La sucesión se representa por {an} y queda determinada de distintas formas:
1. Mediante una expresión llamada término general en la que aparece la letra n que, al tomar valores
naturales, da lugar a los términos de la sucesión. Por ejemplo, si {an} — -n:
ai = l, 02 = 1 a-i = -1, •• •
2. Dando algunos de sus términos: 1, —2, 3, —4, etc.
Esta forma es la menos conveniente debido a su ambigüedad.
3. De forma recurrente, expresando cada término en función del término o términos que le preceden.
Por ejemplo, la llamada sucesión de Fibonacci: a\ = 1, aj = 1, an = a„_i + a„_2, Vn > 3, esto
es, 1, 1,2, 3,5, 8,13, . . .
• DEFINICIÓN 3.2 Si a e R, la sucesión cuyos términos son todos iguales a a, recibe el nombre de
sucesión constante.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Home
Explore
1. Introducción al Cálculo. Problemas y Ejercicios Resueltos, 2003 - José Ramón Franco Brañas
View in Fullscreen
1. Introducción al Cálculo. Problemas y Ejercicios Resueltos, 2003 - José Ramón Franco Brañas
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search