138 Introducción al Cálculo
con:
R$(x) = x ; 0 < 0 < 1
En el intervalo (0, 0.2), 2 es una cota superior de /( x ):
7?4(x) < —2 • (0,2)4 = 0,000133333 ...
4!
siendo:
e00'22 = 1 + 0„,2 + (0,2)2 + L(0,2p)3 = 1,221333333 ..
7.11. Calcular, mediante un desarrollo en serie, el siguiente límite:
xlí-ms-0 e *2
—ec
Resolución =► / ( 0) = e
DesaiTollando en serie de McLaurin ecos A' : =$■ / ( 0) = 0
/ ( x ) = ecos'v = 4- / " ( 0) = —,
f ( x ) = - senx •ecosx
f " (x ) = sen2 x • eC0SA' —cosx ■ecosx
Por tanto: l í m ^-------x-2------------ r- = lím _ x 2
X—>0 e _ ( _f Xi o 2 + . . . J\ A."—>0 j \ XJ1 fi
( e_
7.12. : Calcular, mediante un desarrollo en serie, la integral:
' p0,5 •senx dx
i 0 X
Resolución
Desarrollando en serie senx:
X 3o X 5J X 71
i 0'5 X _ 3T+ 5 T_ 7Í + -' - í 0’5 A * 2 *4 x6 \J
L x ÍX = J0 ( 1 - 3 í + 5 i - l í + - ) d’‘
r x3 x5 x7 i °>5
= p - 3 ^ + 5 ^ i + 7 7 T + "-]„ ~ 0,4993553.
7.13. Resolver la ecuación eos x —x.
Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función 139
Resolución
Desarrollando eos x en serie de McLaurin:
1 —x—2 —x =$■ x2 + 2x —2 —0 =$■ x = —1 + s/3
Se ha tomado:
cosx sa 1 ------
2
por motivos de sencillez en los cálculos. La solución obtenida ha sido x = —1 + V3 = 0,7 3 2 0 5 0 ... La
solución verdadera es x = 0,739085 . ..
7 .1 4 . | Hallar una función /( x ) , tal que /( 0 ) = 1 y f '(x ) = / ( x ) + x.
Resolución
/ ' ( 0) = / ( 0) + 0 = l + 0 = l
/" ( x ) = f ( x ) + 1 = * / " ( 0) = / ' ( 0) + 1 = 1 + 1 = 2
/'" ( * ) = f" (x ) = > / " '( 0) = / ' ( 0) = 2
f {n(0) = 2 Vn > 2
Desarrollando por McLaurin:
Jf (pe) — 1 x -b2x 2 b2x 3 ~i 2x4 b•••
2! 3! 4!
23
= —1 —x + 2 ^ 1 + x + — + — + + 2ex
ya que: X X 2 X J3
6 ^ 1 + l ! + l ! + 3! + ' “
PROBLEMAS PROPUESTOS
7.15. Desarrollar, en potencias de x —1, el polinomio P (x ) = x4 —1.
Desarrollar en serie de McLaurin las funciones siguientes:
7.16. /(x ) = ax.
7.17. f ( x ) — are sen x .
7.18. / ( x ) = are cosx.
7.19. /( x ) = arctgx.
7.20. f ( x ) —secx.
7.21. / ( x ) = In(cosx).
7.22. / ( x ) = ln(x + V i + x2).
140 Introducción al Cálculo
7.23. Obtener los cuatro primeros términos del desarrollo de lnx, en potencias de x —2.
7.24. Obtener los ocho primeros términos del desarrollo de ex, en potencias de x — 1.
7.25. Desarrollar en serie, mediante la fórmula de McLaurin, la función f ( x ) = (x + 3)e2x, hasta el orden 3.
7.26. Hacer un desarrollo de f ( x ) = ^/x, en potencias de x —1.
7.27. Hallar una cota del error cometido al calcular eos 0,1, a partir del desarrollo de McLaurin para n = 1.
7.28. Hallar el valor de a para que en el desarrollo de la función y3 —axy —8 = 0, en un entorno de cero,
aparezca un término igual a: 1 x3
_ 2 ' 3l
7.29. Verificar la fórmula aproximada:
ln(10 + x) = 2,3 + ^
Comparar los resultados obtenidos con la fórmula anterior para x = —0,3, utilizando la calculadora.
7.30. Calcular, mediante desarrollos en serie, el limite:
jlcí-m5-0cosx —ex
7.31. Calcular, mediante un desarrollo en serie, el límite:
X + eos X — 1
h m ------------------
x —^0 X
7.32. Calcular, mediante un desarrollo en serie, la integral:
/ f0,5
/" e x2dx
Jo0
CAPiroo
LA INTEGRAL INDEFINIDA
La integración es uno de los conceptos más importantes del Cálculo. Es la operación inversa de la
diferenciación y surge de la necesidad de hallar el área limitada por una curva. En este capítulo, dada la
diferencial de una función, se estudiarán diversos métodos para hallar dicha función.
Sea la expresión:
dF(x) = 4x —12 o bien: d F (x ) = (Ax —12) dx
dx
Si se desea hallar la función F (x), se encuentran infinitas soluciones:
F (x) = 2x2 —I2x
F(x) = 2x2 -1 2 x + 5
F(x) = 2x2 - \ 2 x - l
Se deduce de lo anterior que F (x ) ha de ser F (x ) = 2x2 —Í2x + C, siendo C una constante.
En general, si f ( x ) está definida en un intervalo (a, b) y:
d F (x ) = f(x)
dx
en (a, b), se dice que F (x) es una primitiva de f ( x ) y se escribe en la forma:
F (x) = J f(x)dx
En la función del ejemplo anterior:
j (Ax - 12) dx = 2x2 - 1 2 x + C
en donde C recibe el nombre de constante de integración.
142 Introducción al Cálculo
■ PROPOSICIÓN 8.1 Si F \(x) y F2(x) son primitivas de f(x ), entonces Fi(x) y F2{x) se diferencian
en una constante.
D em ostración . En efecto:
dFi(x) , dF2(x) rr N , dFi(x) dF2(x)
—=
~ ir =m = *—x d ^ =°
d[F i(x) - F2(x)] q
dx
=► F i(x) - F2{x) = C
=*• F\(x) = F2(x) + Cm
Por lo tanto, si F (x ) es una primitiva de f(x ), todas las primitivas de f ( x ) son de la forma:
j f{x) dx = F(x) + C
El conjunto de las funciones de la forma F (x) + C recibe el nombre de integral indefinida de f (x ).
PROPIEDADES ELEMENTALES
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales respectivas:
j jJ [ f ( x ) + g(x)]dx = f{x)dx + g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por
la integral de la función: j Jk - f ( x ) d x —k f( x ) d x
Mediante la regla de la cadena y las fórmulas de derivación, se obtiene la tabla siguiente:
/ Xn dx = y'1+1 + C, (n ¿ - 1 ) f f{ x )[f{ x )f dx = 1 f ( x ) “1"+1 +C
■
n +1 /
j f '(x ) sen[/(jc)] dx = —eos [ / (x)] + C J n+L
J f /(x )co s[f(x )]d x = scn[f(x)] + C
f 1 1 ^1 dx = in |/(JC)| + C [ f \x )e fW dx = e ™ + C
/J f(x) J
afW
f ( x ) a f(-x) dx = ------ + C r f'(x) dx = f(x) C
(a > 0, a / 1) / -Jy=/1 =í_-=Ur/=(W*=) ]=?2 are sen +
J ln a J
dx = are eos f ( x ) + C Jí ! + [ / ( * ) ] dx = arctg f ( x ) + C
Jí Vi - [/OO]2
ti
Capítulo 8 / La integral indefinida 143
Si se desea calcular una integral f f ( x ) dx, puede ocurrir que la sustitución x = u(t) transforme
dicha integral en otra más sencilla de calcular. En efecto, si x = u(t) dx —u'(t) dt, y entonces:
j jf ( x ) dx — f[u{t)] u'{t) dt
Integral que, una vez hallada la primitiva en función de la variable t, puede escribirse en función de x
hallando la función inversa de x —u(t).
EJEMPLO 8.1 Sea / \ / l —x2 dx. Mediante el cambio x = sen t ■—> dx —eos t d t:
/y1 3 7 ^
Sean las funciones u(x) y v(x), derivables en el intervalo (a, b). La función u(x) ■v(x) será derivable
en (a, b):
d(uv) = u dv + v du
Integrando los dos miembros:
que es la fórmula de la integración por partes.
E j e m p l o 8 .2 Calcular / x •ln xdx.
Se eligen convenientemente u y dv:
du —dx
X
dv = x dx v= xv. 2
2
Por tanto:
/ x ■lnxrfx = — lnx — X2 1 d _ X2 lnx —
2
Para obtener la primitiva de una función racional P(x)/Q {x), donde P (x) y Q(x) son polinomios de
grados m y n respectivamente, se procede del modo siguiente:
144 Introducción al Cálculo
1. Si m > n, se efectúa la división entre P (x) y <20*0, obteniéndose:
M =CW + M
Q(x) Q(x)
siendo C(x) y R(x) los polinomios cociente y resto de la división de P(x) entre Q(x). A la función
racional R(x)/Q{x) se le aplica el procedimiento expuesto a continuación, dado que el grado de
R(x) es menor que el grado de Q(x).
2. Si m < n, se consideran cuatro casos:
a. El polinomio <200 tiene n raíces reales distintas: x i , . . . , xn. En este caso, se efectúa una
descomposición en fracciones simples:
P (x) Ai Á2 + + A„
QO ) x —x\ x - X 2 x —xn
en donde A i, Á2 , • An son números reales que se pueden calcular sumando las fracciones
anteriores e identificando los coeficientes de las potencias de igual grado de los numeradores
del primer y segundo miembro.
De este modo, aparecen integrales muy sencillas, de la forma:
/ x A—k-dx = A •ln O —k\ + C
b. Si el polinomio <200 tiene una raíz x¡ , de orden de multiplicidad r, se efectúa una descom
posición de la forma:
^ A-\XI. _|'_ (-x---—-A--2-X---l)2 -],_ (x A3 _|_ ... -f- ■( x Ar
—X1)3 —Xl)r
y los coeficientes Ai, A2, A3, ..., Ar se hallan del modo antes expuesto.
Si Q(x), además de la raíz múltiple x¡, posee raíces simples, éstas se tratan del modo expuesto
en el apartado a.
c. Si en el denominador Q(x) aparece un factor de la forma ax2 + bx + c , que no posee raíces
reales, se toma una fracción de la forma:
Ax + B
ax2 + bx + c
y se calculan A y B de modo análogo a como se hizo anteriormente.
d. Si en Q(x) aparece un factor (ax2 + bx + c)r, donde ax2 + bx + c no posee raíces reales, se
toma una suma de fracciones de la forma:
A ix + B\ + -(—axAo22+X. b+—xB+■—2 cr)ñ2 + ... + Arx + Br
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)r
8.7. METODO DE HERMITE
Se suele emplear cuando las raíces de Q(x) son múltiples (especialmente si son complejas). El inte
grando se descompone de la forma:
P(x) q(x) i c(x)
Q(x) = -dx[\L-Q *(x)l +' C(x)
donde <2*(x) es el máximo común divisor de Q(x) y de su derivada Q'(x). El polinomio q(x), con coefi
cientes indeterminados, tiene su grado inferior en una unidad a Q*(x). Por último, C(x) = Q (x)/Q *(x),
y c(x) es un polinomio con coeficientes indeterminados y grado inferior en una unidad a C(x).
Se deriva q (x)/Q *(x), se hallan los coeficientes indeterminados y se obtiene:
q(x) c(x)
Q*(x) + C(x)
/ /P(x) dx" dx
Q(x)
El problema se reduce al cálculo de esta última integral.
Capítulo 8 / La integral indefinida 145
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMETRICA
Las integrales de la forma:
/ i?(senx, cosx) dx
donde i?(senx, cosx) es una función racional de senx y cosx, se pueden resolver mediante el cambio
x = 2 •arctgf.
Escribiendo senx y cosx en función de t:
senx 21 1-t¿
1 +t2’ cosx 1 + 12
La diferencial es: 2dt
1+t2
dx -
que se sustituye en la integral y el integrando se transforma en una función racional en la variable t. Por
último, se escribe la primitiva en función de x haciendo t = tg | .
INTEGRALES IRRACIONALE
a. Si en el integrando aparece la expresión V a2 + b2x2, se hace el cambio x = § tg t, resultando:
^ a 2 + a2 tg2 1 = a ■sec t
b. Si en el integrando aparece la expresión V a2 - b2x2, se hace el cambio x = f sen t, resultando:
V a2 —a2 sen2 1 = a ■eos t
c. Si en el integrando aparece la expresión V bx2 - a2, se hace el cambio x = | sec t, resultando:
V a2 sec2 1 —a2 = a •tg t
d. Si aparece la expresión V x2 + bx + c, se hace V x2 + bx + c = t —x y se transforma en una
integral racional.
e. Si aparece la expresión V - x 2 + bx + c = V (« +x) ( fi - x ) , se hace - x 2 + bx + c = (a + x )2í2
y se transforma en una integral racional.
INTEGRALES BINOMIAS
Son de la forma / x”l(a + bxn) pdx, siendo a, b e 1 y m, n, p e Q , distintos de cero.
Mediante el cambio xn = t y se obtiene una integral de la forma
nL Jí tq{a + bt)p dt
en la que si:
a. p es un número entero positivo, se desarrolla (a + bxn) p y se obtiene una suma de integrales
inmediatas.
b. q es un número entero y p = r/s racional, se hace el cambio a + bt = z s.
c. p y q = r/s son números racionales pero p + q es entero, se hace:
a + bt = z
d. p < 0 es entero y q —r/s es racional, se hace t = zs■
146 Introducción al Cálculo
PROBLEMAS RESUELTOS
8.1. ¡ Calcular Jf Jx
i
Resolución
El mínimo común múltiplo de los índices de las raíces es 6. Por lo tanto, se hace la sustitución x = f6:
íJ Lí 3 ^+ fL4 6t5c dt = 6. j ( .t 5* + ñ d .t = 6, /(íL6 + tt-7)\ + C_ = x +. 6 ^ + c
/"8.2. Calcular / sen3x d x .
Resolución
Mediante la sustitución cosx = í ==> —senx dx — dt.
J sen2x ■senxdx ——j ( í —t2)d t ——(t ——3'^ + C ——cosx d eos3 X h C
8.3. ¡ Calcular Jf x2 + ^4x + 8ñ dx-
Resolución
J Jí x2 +d4xx + 8 dx
x _~ Jf dx 4 ~ 44 [ ^x + 2y +1
J
(x* + 2)2 +
1 f ñ dx 1 /x + 2\
r 2] ^ + 2 y ; ¡ = 2 mcts( ^ r ) + c
8.4. i Calcular' fI x ■ex dx.
Resolución
Se resuelve por partes:
u —x =$■ du = dx
8 147Capítulo / La integral indefinida
8.5. Calcularr jIVex- ■senxc/x.
Resolución u = ex
Integrando por partes: t / n = seaxdx
=+► du = eA<7x
= + v ——cosx
/ = / « ■ ' ■ se„I ^ = - e' . c o S, + / e* . c „ s ^ ,
Aplicando de nuevo la integración por partes: =>• du —ex dx
u = ex =>■ u = senx
dv = cosxdx
y
• sen x dx
Por tanto: -ex ■cosx + e-v •senx —7
7 + 7 = 27 = —eT ■eos x + er ■sen x = + 7, = —ex •eos x + ex ■sen x 1- C
j8 .6 . Calcular 7 = arctg xdx.
Resolución = + du = --1--+d--x-x-^¿
= + v —x
Integrando por partes:
w= arctgx
dv = dx
7= I7 aretgx d,x = x ■are tgx — If x ■dx = jc • aretgx 1 ln(l + x, ) + C
—y
^
8.7. ; Calcular 7 = J[ Xxl¿ +—25xx + ]6 dx.
+
Resolución
Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se efectúa la división:
JIf / + 5 H—x 22r-1í-—x-x--5—-x--2-+-9- 6 \ a,x = x2 1- 5. x + f 2lx —29 dx
J/
Vx /) 2 (x —2)(x —3)
Descomponiendo en fracciones simples:
21x —29 Ai A2 A i ( x - 3 ) + A2( x - 2 )
(x —2)(x —3) x —2 x —3 (x —2)(x —3)
(Ai + A 2)x —3Ai —2A2
_ (x - 2)(x - 3)
148 Introducción al Cálculo
Identificando coeficientes:
Ai + A2 = 21 A = _ 13 A 34
3Ai —2A2 = —29
f 21x-29 d,x = f -13 d,x + ] f 34 d,x
J1 —-(- -x- - - - - - - - - -3- - )- - (- x-— —■— 2- ) JI i-3
x-2 I
luego:
7 = -xy2 + 5x — 13 ■ln |x —2| + 34 •ln |x —3 \ + C
/8. 8. dx dx.
Calcular (x l ) 2(x + 1)
Resolución
(x —l ) 2(x + 1) Ai A2 A3
Se identifican coeficientes: x —1 + ■(x — l )2
X+ 1
Ai(x - l)(x + 1) + A2(x + 1) + A 3 (x - l )2
(x - l ) 2(x + 1 )
(Ai + A3)x2 + (A2 - 2A 3) x - A i + A2 + A3
(x - l ) 2(x + 1 )
Ai + A3 = 0 Ai ' i ' Al = r Á3 = i
A2 —2A3 = 0
-Ai + A2 + A3 = 1
luego:
f^ T ix + f (x —l )2 d x + Jí - ^ — dx
X+ 1
= - i ln |x - 1| - i - p j - j - + i ln |x + 1| + C
8.9. Calcular J x ■dx
(x2 + x + l)(x -f
Resolución
x Ax + B
(x2 + x + l)(x + 1)
x 2 —|—x —|—1 +' x + 1
Procediendo como en el ejercicio anterior e identificando coeficientes:
A = J? = 1; C = - 1
Capítulo 8/ La integral indefinida 149
La integral se reduce a dos integrales más sencillas:
7f x 2 + x + 1 dx - Jf X + 1 = i2 Jí 4x 2 + x^ + í dx - ta |, + 1 1
1f / 2x + 1
= -2 J/ V( x --+---x--+---1- +—x ^2 + 1 + l/■\) rix —ln x+ 1
x
1f
= 1 ln(x2 + x+ 1) + - J/ -x75¿--+--1-x--+---1- dx —ln |x + 11
- 2
Por último, hay que resolver la integral:
Jf x2 +ix + l ÜdXxss Jf /, 1M\ ¿ 33 i33 7J/• 4 / dx
1\2
( * + 2) +i r l'r i) +1
2
J4 í dx 2\/3 f ^
= —3 J/ r2x 1 \2
3 J ( 22xx 11 \x2
(/f + V f ) + (vf + vf) +
/ 2x l \ _
= aic,gbV¡3 + :V/ v¡ ) + c
8. 10. /Calcular ¿Zx
(9 + x 2)2 '
Resolución
El denominador no tiene raíces reales. Se va a utilizar el método de Hermite:
e (x ) = ( 9 + x 2)2
Q!{x) = 2 • (9 + x 2) • 2x
Q*(x) = m.c.d.{Q(x), Q'(x)} = 9 + x 2
Por tanto: d / Ax + B \ Cx + D
(9 + x 2)2 dx l\ 9 + xx 2 / + 9 + x 2
Derivando Ax + B e identificando coeficientes:
9 + x2
C= 0 D 18 , B
-A + D = 0
-2 B + 9C = 0
9A + 9D — 1
Resultando: / dx 1
18(9 + x 2) + 18 7 9 + x 2 18(9 + x 2) 54 are •g© + C
8.11. i Calcular / = í — —
7 3 + cc
150 Introducción al Cálculo
Resolución
Haciendo x = 2 ■are tg t (Sección 8.8):
f 1 2 ' dt - f dt _ 1í / dt
J 1 —í2 J 2J t \2
1 + í2 f2 + 2
+ T+ ^ (v ^ ) +1
1
= V2 r T 7 Tí dt = V 2 aarKe ttgg —j t2 + C
— J ~ 2
7 2
V V 2) +1
=f “ ctE ( ^ ! t80 +c
j8.12. Calcular / cosec;xr/x.
Resolución
Se hace mediante el cambio x = 2 ■are tg t (Sección 8.8):
[ 1 + ff22 n2dsitt fr ...
i ^ r - H ^ - Í 7 = l n | í | + c - ln t g 2 + C
78.13. Calcular I ^ dx.
Resolución
Mediante el cambio x = 2 • tg t (Sección 8.9), se convierte en racional:
j í 1/4 ■tg2 1 + 4 2 dt ^ f sec t dt C dt
J 2 •tg t eos2 1 J tg t ■eos2 1 J sen t ■eos2 1
Haciendo f = 2 • arctgz (Sección 8.8):
2 dz
_ 2 r a + z ¿ )¿ d z
= 2. f J ■! + z 2
2 Z / l — Z2 \ 2 Z ( l — Z2) 2
J
l + z 2 \l + z2/
Y mediante una descomposición en fracciones simples:
( l + Z 2)2 A\ Á2 t —( l +A3z )-=2r +, Á4 , b( A5
z+ ~l—+;--z--- b l —z -z
z ( l - z 2)2 l ) 2
Identificando coeficientes y resolviendo el sistema:
Ai —l, A2 = 0, A3 = —l, A4 = 0 y A5 = l
Resultando:
/• / 1 1 1\ 22
J/ (\ z“ ~ 7( il +1 z )-,22 + 7(¡-l-----z-)722 /) dz = 2 ' ln lz l + Tl +T “z + 1l-----z----h C
siendo: Capítulo 8/ La integral indefinida 151
IV x 2 + 4 —2
z = . Vx2+4 + 2
8.14. Calcular I dx
- h (.x + 1)V x 2 + x + 1
Resolución
Mediante el cambio x 2 + x + 1 = (í —x )2:
x = 2í + 1 'Vdx 2í(~22+f +2í7l7+)^2 2 dt
luego: 1 2 (í + 1 + 1)
~~í (t2- 1 f2 - l \ (2 f + l )2
\ 2f + 1 + 1 ) | í - 2 7 T i ;
22 d t í / 1
+2) " \7
J t(t Jf i dt = ln |í| —ln |í + 2| + C
í+ 2
= ln t + C = ln Vx2X + + X+ 1 +C
í+ 2 x + 2 + \/x2 + x + 1
/■■í8.15. Calcular 1 + x 3 dx.
Resolución c2 dx = df, resultando:
Es una integral binomia (Sección 8.10). Se hace el cambio x 3
j/ = i t¿ ( í + t ) i d t
Y haciendo 1 + t = z3 di = 3z2 dz:
I = ^ j (z3 - l )2 ■z • 3z2 dz = j (z9 - 2z6 + z3) dz
,10 2z7 z4 ^ ( 1 + x 3)10 2 ^ ( 1 + x 3)7 + ^ ( 1 + x 3)4 + c
" lo ~ ~ + J + c ~ 10
PROBLEMAS PROPUESTOS
Calcular las integrales:
8 m / tgx dx.
8 .17. f * dx .
J Vx2 + 5
152 Introducción al Cálculo
8.18. Jf 1 +c osse\nz x dx.
8.19. J sen2xdx.
8 .2 0 . / sen2 x eos x d x .
8 21 í srcsenx^x
8 .2 2 . J V i —x2
j xcosx2dx.
8.23. ■s/2, -f- x
8.24. J ^s/^2 —d xx .
8.25.
j dx
X1 + X + 1
j x seaxdx.
j8.26. laxdx.
8.27. í ~ Vd*x .
8.28.
8.29. J
j xdx
sen2 x '
j sen(lnx)dx.
8.30. Jf ~x~z2~—~T4~x~+g5dx.
8.31. J earcs&ax dx.
j8.32. are sen xdx.
8.33. j x V i + x d x .
8.34. J x 3 + 3^xX2-2—--x--—- -3d x .
8.35.
J dx
3 —3x2 + 2x
Capítulo 8/ La integral Indefinida 153
8.36. Jf 2x3 —x2 + 5x
8.37. (*2 + 1)2
8.38.
8.39. Jr dx
(x2 + l)2’
/ -I--—---s-e--n--x-- dx.
1 + sen x
J tg3xdx.
j8.40. x~2(l + x 2)“ 2 dx.
8.41. Jí v x^ X2x "i-=4 dx.
8.42.
8.43. / < , + i 181,3 ■i x -
8.44.
8.45. Jif -( -1 --+---s--e-n--x--)-3- dx.
8.46.
8.47. cosx
[ —V¡i = 4=x4 dx.
-
J
Jf i T ^ r/aresen* dx-
j ln(l —+fx) dx.
j8.48. x3 ■arctg ^ dx.
8.49. / are sen —x dx.
8.50. r- dx.
(*z -3 ) 2
LA INTEGRAL DEFINIDA
El problema de hallar el área bajo una función / ( x ) y el problema de calcular la tangente a la función
en uno de sus puntos, son los que han dado origen al Cálculo Infinitesimal. En este capítulo se abordará el
primero de ellos. Se considera la integral definida como un área, pero dicha integral puede evaluar otras
magnitudes dependiendo de la función f ( x ) del integrando, tales como volúmenes, longitudes, trabajo,
momentos, etc.
Sea / ( x ) una función definida en [a, b], tal que f (x ) > 0, Vx e [a, b]. Se considera una partición:
P = {xo, x i ,.. ., xn]
de [a, b], con x¡ < x¡+\ (0 < i < n —1), xq = a y xn = b (ver Figura 9.1).
Figura 9.1
Se llama norma de la partición P a la amplitud del mayor de los intervalos de dicha partición:
S = máx {\x¡ —x i-1 [}.
Sean mi y Mi el ínfimo y supremo de la función /( * ) , en [xo, xi]. En dicho intervalo [xo, x\¡, las
áreas si y Si de los rectángulos de alturas m \y M\ son:
íi = m\{xi - x0); Si = M i(xi - x0)
El área Ai, entre la función / ( x ) y el eje OX en [xo, xi], estará acotada entre í ] y S i:
ri ^ Si
156 Introducción al Cálculo
En general, si m¡ y M¡ representan el menor y mayor valor que toma f (x ) en [x,-_i ,x¡]:
s¡ = m¡(xi - x,-_1); S¡ = Mi(x¡ -
El área A¿, entre la función f (x ) y el eje OX en [ x ¡ _ e s t a r á acotada entre s¡ y S¿:
sí < Ai < S¡
y sumando todos los intervalos de la partición P:
* = í > = E m O d -X i-1) < ¿ A , < ¿ > ( x , -xí-x) = =S (9.1)
í= i í=i i= i i= i í= i
siendo:
¿A , = A
i=i
el área comprendida entre /( x ) y el eje OX, entre x —a y x = b.
Cuanto más fina sea la partición P (cuanto menor sea la norma á), más se aproximarían ,y y S al valor
de A. Cuando la norma tiende a cero, s y S tienden a A como límite.
Tomando t¡ e
m¡ < f ( t {) < M¡
se tiene que: 11
Esto es, el área comprendida entre f{x) y el eje OX, entre las abscisas x = a y x —b, se puede expresar
como la suma de infinitos rectángulos de altura igual al valor de f (x ) y cuyas bases tienden a cero.
Se va a ver ahora la relación existente entre la integral de una función f (x ) y el área bajo dicha
función, y que el cálculo del anterior Kmite se puede reducir al cálculo de la primitiva de f(x ).
SI9 .2 . EL AREA Y LA INTEGR
Sea y = f (x ) una función continua en un intervalo [a, b] c M. Sea x e [a , b] y sea s(x) el área
bajo f (x ), entren y x. S ix experimenta un pequeño incremento Ax, s sufre un incremento As, de modo
que dicho incremento queda acotado por la áreas de los rectángulos inferior ABCD y superior ABEF (ver
Figura 9.2):
Figura 9.2
Capítulo 9 / La integral definida 157
Área rectángulo ABCD < Área bajo f (x ) < Área rectángulo ABEF
Esto es: AC ■Ax < As < BF • Ax
Dividiendo por Ax:
AC < As < -B--F-
—Ax
Si Ax -> 0, BF tiende a AC como límite (ver Figura 9.2):
ds = _A_C_ = y =£■ ds —y ■dx =£■ s = r f(x ) ■dx
—dx JI
que se designa por F (x ) + C. Por tanto:
s = F(x) + C
Se ha relacionado el área bajo f{x) y la integral de f(x ). Este resultado es conocido con el nombre de
teoremafundamental del Cálculo.
Para determinar C, se observa que í = 0 cuando x = a. Sustituyendo:
0 = F{a) + C = $ C = —F (a)
Entonces:
s = F (x) —F{a)
El área total bajo f (x ), entre x —a y x = b, será:
s = F{b) - F (a)
El resultado anterior se representa con el símbolo:
t i f (x ) dx = F(b) - F{a)
Ja
y se conoce con el nombre de regla de Barrow. Se lee “integral de f (x ) desde x = a hasta x = b”, donde
a es el llamado límite inferior y b el límite superior.
El signo:
í f(x)dx
Ja
se conoce con el nombre de integral definida.
Recordando la Ecuación (9.1):
ob (9.2)
f f (x ) dx = lím ¿ f(tt)(x ¡ - x,-_i)
J a s ~ + ° ~¿=~ iÍ
Se ha considerado la integral f (x ) dx como el área, pero dicha integral permite evaluar otras
magnitudes dependiendo de la función f (x ) del integrando. Con la integral definida se pueden calcular
volúmenes, longitudes, trabajo, momentos, etc.
158 Introducción al Cálculo
EV M gg oGauaáaao,
Si / ( * ) es una función continua en [a, b], se verifican las siguientes propiedades:
1. Si g(x) es también continua en [a , b ]:
2. Si fe 6 R: Í [/(* ) + # M 1 dx = f f (x ) d x + í g(x) dx
3. Si c e [a, tí]:
Ja Ja Ja
nb nb
I k ■f{x) dx = k I /( * ) dx
Ja Ja
n b nc n b
I f{x)dx= I f(x )d x + I f(x)dx
Ja Ja Je
4. í / ( * ) dx = - f f (x ) dx.
Ja Jb
nb nb
5. | í f (x )d x < í l/ M I dx.
Ja Ja
6. Si / ( * ) < g{x) en [a, b]:
nb nb
/ / ( * ) d x < g M dx
Ja Ja
■ T e o r e m a 9.1 Si f (x ) es una función continua en [a , b], existe al menos un punto a e [a, b] tal
que:
í /M dx = (b —a) f ( a )
Ja
El teorema anterior afirma que el área comprendida bajo la función /( * ) , entre a y b, es igual al área
de un rectángulo de base b —a y altura / ( a ) (ver Figura 9.3).
Al efectuar un cambio de variable en una integral definida, se suele hallar los límites de integración co
rrespondientes a la nueva variable, evitando así el trabajo de tener que deshacer la sustitución y recuperar
la variable primitiva.
Capítulo 9 / La integral definida 159
E je m p l o 9.1 Calcular Ií 9 +Jxdx.
Ja
Si se hace x 2 V x 3-|9 38
j: 3 J4 3
dx = 21 d t, se tiene que para x = 4, t = 2, y para x = 9, t = 3. Por tanto:
n9 r 3 r2f3-|3 _ 38
-T J2- y
I yfx dx = I 2f2 dt
Ja J2
Sea / ( x ) una función continua en el intervalo [a, b\. Se desea hallar el volumen de revolución en
gendrado al girar alrededor del eje OX, el recinto limitado por / ( x ) y OX entre las abscisas x = a y
x = b.
Se. realiza una partición P — {x0, x \ , . . . , xn] del intervalo [a, b], con xo = a y xn — b, como se
hizo en la Sección 9.1. Un rectángulo de base x,• -x ,-_ i y altura f(t¡), t¡ e [x,-_i, x¡], engendra, al girar,
un disco de radio f{t¡) y altura x.¡ —x,_i. La suma de los volúmenes de todos los discos que origina la
partición P es igual al volumen total buscado (ver Figura 9.4):
n
v = o—>0 11, k t / f c )]2 f e -+ ' - 1)
(=1
que, considerando la función g(x) = n ■[ /( x ) ] 2 y recordando la Ecuación (9.2):
v fb g(x) dx = n nb [ / ( x ) ] 2 dx
g(ti)(x¡ —X j —l ) I
sl-í+mo = / Ja
1=1 Ja
Figura 9 .4
Sea / ( x ) una función continua en [a, b]. Sea P una partición del intervalo [a , b] (ver Figura 9.5). La
longitud de la cuerda P,_i P¡ es:
P i-l Pi = 7v[ / f e )- / f e - l)]2+ (xí -X í_1)2 = Vl + U iX i) _( x ¡ x )
{x í - x í - xY
160 Introducción al Cálculo
Figura 9 .5
Según el teorema del valor medio de Lagrange (Sección 6.16), existe un punto e x¡] en el
que la pendiente de la recta tangente, f (ti), es igual a la pendiente de la cuerda:
f(x¡) - f(x ¡-1)
x¡ - Xi-1
lo que implica:
P ^ l ñ = V i + U '(t ¡ )f (Xi - X i - 1)
Cuando S -» 0, la suma de las longitudes de las cuerdas P¡ - 1 P¡ será igual a la longitud L del arco de
curva f (x ), desde x = a hasta x = b. Y recordando la Ecuación (9.2):
V1+( l )2*L = ito ¿
(=1 + [/'M P ta - * - . ) = j f
O también:
ya que la longitud del arco L es la misma integrando desde x = a hasta x = b, respecto al eje OX, que
integrando desde y = c hasta y = d, respecto al eje OY.
•..
AREA DE EAsSUPERFICIE d e r e v o l u c io
El área buscada será igual a la suma de las áreas laterales de los troncos de cono que origina la
partición anterior P, cuando S -» 0.
Se ha visto en la sección anterior que:
Pi-iPi = V 1 + ~ * i-1)
Por otra parte, la superficie lateral de un tronco de cono es n (R + r) l, siendo R y r los radios de las bases
y l la longitud de la generatriz.
Por tanto, el área lateral de uno de dichos troncos será:
2n
Por ser f (x ) continua, existirá al menos un punto t¡ e [x¡-i,x¡], tal que:
Jf Vi) _ f (x i) + nf ( X j - 1 )
Capítulo 9 / La integral definida 1 6 1
El área total será:
S = lím 2jt ftt'd Vi +[/'(fi)]2fe ~ x¡-1) = 2n j f(x) ^1 + dx
1=1
O también:
ya que: 5=21i y f ^ W áy
[ fm *
Al girar alrededor del eje OX, el área plana limitada por la función / ( x ) y el eje OX, entre las abscisas
x —a y x = b, genera un volumen igual a:
rb
í a n U (x )]2 dx
Se puede interpretar el integrando n [ / ( x )]2 como el área del círculo determinado por la intersección
del volumen de revolución con un plano perpendicular al eje OX, a una distancia x del origen de coor
denadas. Análogamente, si la sección determinada en un sólido por un plano perpendicular al eje OX, a .
una distancia x del origen, es igual a A(x), entonces el volumen total será:
V = í A{x) dx
Ja
PROBLEMAS RESUELTOS
9.1. Calcular el área limitada por la función / (x) = ex y el eje OX, entre las abscisas x = 0 y x —ln 2.
Resolución
El área del rectángulo vertical de ancho Ax y altura igual a y = ex es igual a exAx (ver Figura 9.6).
La suma de las áreas de los rectángulos, Ey Ax, desde x = 0 hasta x = ln 2, es la Ecuación (9.2):
I/■ln 2 ex dx — r T-iilnn 22 = e,n —e = 2 — 1 = 1 unidad de superficie
Jo e'vJ o
Figura 9.6
162 Introducción al Cálculo
9.2. Hallar el área limitada por y = x2, la recta y = —x + 2 y el eje de abscisas.
Resolución
El área total será igual a la suma de las áreas bajo y —x2, desde x —0 hasta x = 1, y bajo y -x ~j~2,
desde x —1 hasta x —2 (ver Figura 9.7):
í x2 dx + JIí1 ( —x + 2) dx = r x--3- i l + —X—22—|- 2x - 2 _ 5 u. s.
L3 J 0 i “ 6
Jo
Figura 9 .7
9.3. Hallar el área comprendida entre la parábola x —8 + 2y —y2 y el eje OY, entre las ordenadas y
!:&y. —3. \
Resolución 8y + y,2 r - 92: u. s.
Integrando respecto a OY:
-i ~ 3
/•3
J (8 + 2y - y 2)d y =
9.4. ■Hallar el área limitada por las funciones y —x2 e y = x.
Resolución
La altura del rectángulo vertical, de ancho Ax, es igual a la diferencia de las ordenadas de y = x e
y —x2. Su área será igual a (x —x2) ■Ax (ver Figura 9.8). La suma de las áreas de los rectángulos será;
Jf o (x ■x2) dx ■ xí ,3-, 1
~2 u. s.
Figura 9.8
Capitulo 9 / La integral definida 163
9.5. Calcular el área limitada por la función / ( x ) = x 2 —4 y e le je OX, entre las abscisas x = —2 y x —4.
Resolución
!•4
El valor de la integral I (x2 —4) dx es cero, debido a que el área toma un valor negativo entre
x = - 2 y x = 2 , por ser negativos los valores de / ( x ) en dicho intervalo, y toma un valor positivo entre
x = 2 y x —4, por tomar / ( x ) valores positivos (ver Figura 9.9). Para evitar esto, se debe hacer:
= — /rr-2 (x9 —4) dx + /r-4 (xi —4) dx = —634 u. s.
J -2 J2
Figura 9 .9
9.6. Hallar el área limitada por y\ = 6x •x 2 e y%■:X2 - ■2x.
Resolución
Las parábolas y\ = 6x —x 2 e y%= x ‘ 62xx—sexi-22co_—r(t(Jax1n2_—enO2lvxo))s—=puQ8nvxto_—s Od2-exv22a,bysbcaissaes x 0 y x = 4.
Ax es (8x —2xz) Ax
El área del rectángulo de altura y i —y2 =
(ver Figura 9.10). La suma de las áreas de los infinitos rectángulos desde x = 0 hasta x = 4 es igual a:
Jío (8x —2x ) dx 4x 2x 3 64 u. s.
T
Figura 9 .1 0
9.7. ; Hallar el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y : 2x —4: a) integrando respecto a OY; y
b) integrando respecto a OX.
164 Introducción al Cálculo
Resolución
a) Los puntos de corte de ambas funciones son (1, —2) y (4,4). Por otra parte, el rectángulo horizontal
de altura Ay y longitud igual a la diferencia de las abscisas de la recta y la parábola:
y + 4 y2
2 4~
tiene un área igual a (ver Figura 9.11):
(z± í-£)*
El área buscada será: jt_‘2 (ty—+ 4 - - ) dy = 9 u. s.
Figura 9 .11
b) Para integrar respecto a OX, se divide el recinto en dos partes:
Figura 9 .12
Entre x = 0 y x = 1 la altura del rectángulo es igual al doble de la ordenada y = -jAx, mientras
que entre x = l y x = 4 s u altura es igual a la diferencia de abscisas de la parábola y la recta:
V ix —(2x - 4) (ver Figura 9.12). Por tanto:
JJín 2\/~Ax dx + (V 4x —(2x —4)^ dx —9 u. s.
9.8. i Hallar el área de un círculo de radio r. :
Resolución
Se considera el círculo x 2 + y2 = r 2. El área:
Capítulo 9 / La integral definida 165
Haciendo x = r sen t =>• dx —r eos t dt:
4 f r2eos21dt = 4r2 í 2 1 + eos 2t dt = Ttr2 u. s.
Jo Jo
9.9. Hallar el área del menor de los sectores que la recta x —2 determina en el círculo x2 + y2 —25.
Resolución
c2 dx
Haciendo x = 5 senf:
2: í 2 yÍ25- /25 sen2 1 5 eos t dt = 50 2 eos» tdt —50 í 2 1 + eos 21 ,
/
J are sen | df
J aire sen | J are sen | ^
sen2f : 251are sen j + — \/2 5 —x 2j
25 f +
2 252-^------2V/2—1 u.s.
-25 are sen 5
9.10. Hallar el volumen generado en la rotación del recinto limitado por la parábola y2 = Sx y la recta
x = 2, alrededor del eje OX.
Resolución
Se toma un rectángulo de ancho Ax y altura y = V 8x, que engendra un disco de volumen ny2Ax
n 8x Ax, al girar alrededor del eje OX (ver Figura 9.13).
El volumen total será igual a la suma de los volúmenes de los discos, desde x = 0 hasta x = 2:
V = 7 t í 7 8x dx = 1671 unidades de volumen
Jo
Otra forma de hacerlo sería tomando rectángulos horizontales, como se aprecia en la Figura 9.14:
166 Introducción al Cálculo
Al girar el rectángu2lo de la Figura 9.14 alrededor del eje OX, engendra un anillo de radio y = ■v/Ijc,
altura 2 - x — 2 - y grosor Ay. Cortando longitudinalmente el anillo y transformándolo en una
lámina de longitud 2ny, altura igual a 2 - x = 2 - y2/ 8, y grosor Ay se obtiene la Figura 9.15.
Ay
Figura 9 .15
El volumen del anillo será igual al volumen de la lámina de la Figura 9.15:
2
2ny(2 —x) Ay = 2ny^2 — Ay
El volumen total será igual a la suma de los volúmenes de los anillos desde y = 0 hasta y = 4:
j/*4 2
V = 2n y ( 2. — dy = I6n u. v.
9.11. Hallar el volumen generado en la rotación del recinto limitado por la parábola y2 = 8jc y la recta x —2
\ alrededor de dicha recta.
Resolución
Se toma un rectángulo de ancho Ay y longitud igual & 2 - x (ver Figura 9.16). Al girar éste alrededor
de la recta x = 2 , engendra un disco de volumen:
22
n (2 —x )2Ay = n ^ 2 — Ay
Capítulo 9 / La integral definida 167
El volumen total V será igual a la suma de los volúmenes de los infinitos discos:
desde y ——4 hasta y = 4:
(2~t) uv'C4 /v2\ 2256zr
v = 2,rí
dy = —
Otra forma de hacerlo sería utilizando anillos (ver Figura 9.17).
Figura 9 .17
Se toma un rectángulo vertical de ancho Ax y altura y = V 8x. Al hacerlo girar alrededor de la recta
x = 2, engendra un anillo de radio 2 —x, altura y = V 8x y ancho de la pared igual a Ax:
El volumen del anillo será igual al volumen de la lámina de la Figura 9.18:
2tt(2 —x)yAx —2n (2 —x)-\/8x Ax
Ax
2 —x 2?r(2 —x)
Figura 9 .1 8
168 Introducción al Cálculo
El volumen total V será igual al doble de la suma de los volúmenes de los anillos 4it £¡(2 —x) «/%x Ax:
V = 4, n If 2(2 —x) Vr8—x dx = —251—Ó57—r u. v.
Jo
9.12. Hallar el volumen engendrado al girar el círculo x2 + y2 = 4 alrededor de la recta x —3.
Resolución
Se toma un rectángulo horizontal de ancho Ay. Al hacerlo girar alrededor de la recta x = 3, engendra
un disco con radios exterior e interior iguales a 3 + x y 3 —jc, respectivamente (ver Figura 9.19). El
volumen de este disco será:
77(3 + x )2Ay —jt(3 - x )2Ay = 77 ^3 + -^4 - y ^ \ Ay - 77 ^3 - ^ 4 — Ay = 1277^4 —y2Ay
Figura 9.19
El volumen total:
V = 2 j 12tZtJ4 —y2 dy = 24n2 u. v.
La integral anterior puede resolverse mediante el cambio y = 2 sen t .
Si se desea calcular el volumen anterior utilizando anillos, se toma un rectángulo vertical de ancho
Ax y altura 2y = 2V4 —x2, que al girar alrededor de la recta jc = 3 engendra un anillo de radio 3 —x,
altura 2y y grosor Ax (ver Figura 9.20):
Figura 9.20
Procediendo del mismo modo que en problemas anteriores, el volumen del anillo será:
277(3 —x)2y Ax —2 tc{3 — x ) 2 \ ¡ 4 —x2Ax
Capítulo 9 / La integral definida 169
El volumen total:
r-2
V —2 i t í (3 —xyi'J4 —x2 dx = An f 3 \/4 —x2 dx —4it f x\¡4 —x 2 dx
J - 2 J —2 J —2
La primera integral se resuelve con el cambio x —2 sen t, mientras que la segunda se puede resolver con
4 —x 2 = f, resultando:
V = 24tc2 u . v.
• NOTA En este caso no sería lícito escribir el doble de la integral desde cero hasta 2, ya que los
volúmenes desde -2 hasta 0 y desde 0 hasta 2 no son iguales.
9.13. Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar la función x 3 = 3y entre las abscisas
: x = 0y x = 1.
Resolución
Por tanto, la superficie A: y x < d^y=^„2=>, i+i (( dsy)\ 22_=ii+ix„4*
/•l x 3 _________
A —2 n f —3 V I + x 4 dx
Jo
Haciendo el cambio 1 + x4 = í, resulta A = (V 8 —1) u. s.
9.14. Hallar la longitud de la curva y = x n- , entre x = 0 y x = 1.
Resolución
—ddxy = -32 ■X2i
La longitud L:
L íl L í 3 '\2 . L 9^ J 13VI3-8 ,
JJoo VV \ 2 X2) dX = l
v + T = 27
Resuelta mediante el cambio 1 + ^ = f2
9.15. Hallar la longitud de la curva y = ln x, desde y = 0 hasta y = ln (2V2).
Resolución
y = lnx = + x —e^ = + dx/dy = ey. La longitud L:
yl+7í b I/dx\ 2 /-ln(2V2) ---------
L=í dy=L
con el cambio 1 + e2^ = t2, resulta L = 3 — ln 2 —V2 —ln (V2 —l)u. 1.
170 Introducción al Cálculo
9.16. Hallar el volumen de un sólido de base circular de 4 unidades de radio, sabiendo que toda sección
determinada en él por un plano perpendicular a un diámetro fijo es un triángulo rectángulo isósceles
con la hipotenusa en el plano de la base.
Resolución
Se considera el círculo x2 + y2 = 42:
El área del triángulo sección, a una distancia x del origen de coordenadas, será:
s = = / = 16 _ *2
ya que su altura h es igual a y (ver Figura 9.21).
El volumen:
V= [r 4 —x2) dx = 2í (16 —x2) dx — 3 U. V.
J' -- 44(16 Jo
9.17. Resolver el problema anterior si la sección es un cuadrado.
Resolución
El área de la sección determinada por un plano perpendicular al eje de abscisas, a una distancia x del
origen, será:
5 = (2y)2 = 4y2 = 4 • (16 - x2)
El volumen total V del sólido:
/ 4 p4 -i
4 • (16 —x2) dx —& I (16 —x2) dx — u. v.
-4 Jo 3
9.18. [ Resolver el mismo problema si la sección es un semicírculo.
Resolución 2 j ■(16 —x 2)
El área del semicírculo sección será: S =
El volumen V del sólido: =
V = í 4 — ■(16 —x2) dx = 2í 2— • (16 —x 2) dx = 3 uv
1 Jo
J-
Capítulo 9 / La integral definida 171
E M B LE M A S PR@PUEST©§
9.19. Hallar el área comprendida entre las parábolas y = 6x —x2 e y= x2 —2x.
9.20. Hallar el área comprendida entre la parábola y2 = 4x y la recta y = 2x —4: a) integrando respecto a
OX; b) integrando respecto a OY.
9.21. Hallar el área de la elipse de semiejes a y b.
9.22. Hallar el área de cada uno de los recintos en que la parábola:
x2 = 2y
divide la circunferencia x 2 + y2 = 8.
9.23. Hallar el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX el triángulo de vértices A(2, 0),
B (6 ,1) y C(4, 2).
9.24. Hallar el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por la función:
m=
y las rectas x = ±3.
9.25. Hallar el volumen generado en la rotación del recinto limitado por la parábola y = 4x —x 2 y el eje de
abscisas, respecto a la recta y = 6.
9.26. Hallar el volumen generado al rotar alrededor de la recta x = 2 el recinto limitado por dicha recta y la
9.27.
parábola y2 —8x.
Hallar el volumen engendrado al rotar el recinto del ejercicio anterior alrededor del eje OY: a) mediante
discos; y b) mediante anillos.
9.28. Hallar, mediante anillos, el volumen generado en la rotación del recinto limitado por y ——x 2 —3x + 6
y la recta y = 3 —x, alrededor de la recta x —3.
9.29. Calcular el volumen de una esfera de radio r: a) mediante discos; y b) mediante anillos.
9.30. Representar gráficamente y = e~x~y hallar el volumen generado, al girar alrededor del eje OY, el recinto
limitado por dicha función, el eje OX, y las rectas x = 0 y x = 1 .
9.31. Hallar el volumen generado en la rotación de un arco de y — sen 2x alrededor del eje de abscisas.
9.32. Hallar el volumen de un cono de radio r y altura h: a) mediante discos; y b) mediante anillos.
9.33. Hallar la longitud de la circunferencia de radio r.
9.34. Hallar el perímetro de uno de los triángulos curvilíneos limitados por el eje de abscisas, y por las funciones
y = ln(senx) e y = In(cosx).
9.35. Hallar el volumen de un sólido cuya base es el círculo de ecuación x 2 + y 2 —16x = 0, sabiendo que toda
sección determinada en él por un plano perpendicular al eje OX es un rectángulo de altura igual al doble
de la distancia del origen de coordenadas al plano de la sección.
CAPITULO
INTEGRALES IMPROPIAS
Si en la integral definida J f { x ) dx ocurre que la función f (x ) no está acotada en (a, b) o que a o b,
o ambos, son infinitos, dicha integral recibe el nombre de integral impropia. Cuando f (x ) no está acotada
en (a, b), la integral recibe el nombre de integral impropia de segunda especie. En el primero de los casos,
cuando el que no está acotado es el intervalo (a, b), recibe el nombre de integral impropia de primera
especie.
1 0 .1 CALCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS
CASO 1
Si f (x ) no está acotada en un único punto c 6 (a, b), para h > 0:
r-b pc —e pb
I f (x ) d x = lím I f{x )d x + Km / f (x )d x
Ja c^-oJa «-+0 Jc+S
dx
E je m p l o 10.1 Calcular fJo (x —2)z "
Si no se tiene en cuenta que el integrando presenta una discontinuidad infinita en 2 e (0, 3):
í dx r -1 Se obtiene un resultado erróneo.
/o ( x - 2)2 L x - 2 J
Considerando dicha discontinuidad:
í-3 dX 2 = Jf02 -6 dx ¡5HT-+m0oJJf22-+3i s dx
(x - 2)2
Jfo (x ~2 ) 2 Hm (x —2)2 +
'
e-*0
=2”o[^L~e+£s[-^1 ]j32+5
=a(7-í)+a (_i+í)=oo
174 Introducción al Cálculo
• DEFINICIÓN 10.1 Se dice que la integral impropia anterior:
pb nc—e pb
J/a f (x ) dx = ÉK- m*0J/a / ( x ) dx + Km J/c+S f{x) dx
es convergente si existen y sonfinitos los límites anteriores. Si uno o los dos límites son infinitos, se dice
que es divergente.
CASO 2
Si la función /( x ) no está acotada únicamente en x = a [extremo izquierdo del intervalo (a, b)},
tomando e > 0:
pb pb
I f (x ) d x = Km I f(x )d x
Ja e^® Ja+e
si existe dicho límite.
rd x
E j e m p l o 10 .2 Calcular / — .
Jo ~Jx
La función f (x ) = ~Jx no está acotada en x = 0. Por tanto:
r'J- —«/ /J=xx = Km r2*Jxi2 = lím (2^2 - 2Ve) = 2-V2
J/e e- » 0 L Je e-s- 0
CASO 3
Si la función f{x) no está acotada únicamente en x = b [extremo derecho del intervalo (a, b)],
tomando e > 0:
pb p b —e
JIa f(x )d x —lím J/a f (x )d x
si existe dicho límite.
Calcular /V dx
------- .
- 1E j e m p l o 1 0 .3
Jo x
La función f (x ) = —x —í—1 no está acotada en x = 1. Por tanto:
í 1—e dx = lím ln \x —1 | 1—e _ _ OQ
X — 1 e—*"0 JO
CASO 4
Si / ( x ) es continua Vx > a:
peo pll
I f (x ) d x — lím I f{x)dx
Ja Ja
si existe dicho límite.
E je m p l o 10.4 roo fh (¡x h n
. — lím arctgx 2
o„ — ..... .
1 + X¿ h- yoo Jq 1 + x l i —>-oo
175Capítulo 10 / Integrales impropias
CASO 5
Si f (x ) es continua Vx < b: /b pb
f(x )d x = /híl-í+>m-o0o0J/__/)¡ f(x )d x
-OO
si existe dicho límite.
E je m p l o 10.5
/O ex dx —hl-í+moo I ex dx = hl-í+mOO o /;-l>í■moo(e - e~h) = 1
-o o /, -h
CASO 6
Si / ( x ) es continua Vx e i y c e i e s u n punto cualquiera:
/ OO /»C /*f
f ( x ) d x — lím I f(x ) dx lím I f(x )d x
J-h +
-oo ,"*°° Je
si existen dichos límites.
E je m p l o 10.6
dx rO d^ x [rt’ dx
J/_ 0O 1 + ~x z =h ^oloimJ_/,/ --1--+---x=¿■+ tl-í+moo J/ 0 1 + x z
o + rl-í>moo [Larctgx Jo = —(\ — —2 /^ + 71 7T
: /l-hS'-mOO are tgx
—=
2
poo
Es de la forma V(p) = I tp~le~' dt, (p > 0).
Jo
Esta integral impropia fue introducida por Euler en 1729 y tiene la importante propiedad de que
r (p ) = (p —1)!, para p entero mayor o igual que 1. Así, la función gamma puede ser interpretada como
una generalización del concepto de factorial.
7i. r(i) POO dt = hl—í>mOO 1.
Jo
2. Haciendo el cambio t = x = 4>dt = 2x dx en T(p):
r (p) = roo , roo
/ e~"'v~ (x2) p~l 2x dx —2 / x 2p_1 e~x dx
Jo Jo
Tomando p I2.’
F& = 2 l £^ dX = ^
como se verá más adelante (Sección 10.6).
176 Introducción al Cálculo = x =$■ t = —ln;t dt = —dx
3. Haciendo el cambio , la función adopta la forma:
j jT (p) = (—ln x )p-1 x ~ ~ ~ — 1 dx
4. Se va a calcular F (p), para p > 1. Por partes:
u = tp -1 i. du = (p —_ 111) ííPp_-2
dv —e 1dt = £ -w —_ _ "g - r
luego:
r ( p ) = /poo fp_1 e-r dt
Jo
r “ih C
tp- 1 e~c J/o (p - 1 ) fp_2 e_í di
hl—í>mco L- +
JO
peo
(p —1 ) I tp~2e~~‘dt
Jo
(P - 1) r(p - 1)
ya que:
lím -i
h - * oo tp~il e = Km -----— = 0
0 /i-í-oo e
5. Si p es un número entero positivo, como F (l) = 1, aplicando el resultado anterior se tiene:
F (p) —(p —l)(p —2) • • -2 F (1 )
= (p -l)!
De este modo, la función gamma puede ser interpretada como una generalización del concepto de
factorial.
Como F (p) = r(/p+ i), es posible ampliar F (p) para los valores negativos (no enteros) de p.
6. La función F (p) no está definida para p = 0 y, por tanto, para ningún valor entero negativo. En
efecto:
„ _, = „ —F (p—p-+---1-)-= + ,o o
lím F(p) lím
p-s-0+
o+
„ _ N „ r (P + i) —oo
p-lí±mo- T(p) = Km -----p--------=
p-»-o-
7. Fórmula de los complementos. Si 0 < p < 1, entonces:
r o o r ( i - P) = sen n p
Esta fórmula es útil para calcular determinadas integrales.
Capítulo 10 / Integrales im propias 177
WBGRAFICA DE LA FUNCION
A continuación, se presenta una tabla de valores para la función T (p ), para p e [1,2]:
p T(P) P reP) P i » P r íp)
1,00 1,00000 1,25 0,90640 1,50 0,88623 1,75 0,91906
1,01 0,99433 1,26 0,90440 1,51 0,88659 1,76 0,92137
1,02 0,98884 1,27 0,90250 1,52 0,88704 1,77 0,92376
1,03 0,98355 1,28 0,90072 1,53 0,88757 1,78 0,95623
1,04 0,97844 1,29 0,89904 1,54 0,88818 1,79 0,92877
1,05 0,97350 1,30 0,89747 1,55 0,88887 1,80 0,93138
1,06 0,96874 1,31 0,89600 1,56 0,88964 1,81 0,93408
1,07 0,96415 1,32 0,89464 1,57 0,89049 1,82 0,93685
1,08 0,95973 1,33 0,89338 1,58 0,89142 1,83 0,93969
1,09 0,95546 1,34 0,89222 1,59 0,89243 1,84 0,94261
1,10 0,95135 1,35 0,89115 1,60 0,89352 1,85 0,94561
1 ,1 1 0,94740 1,36 0,89018 1,61 0,89468 1,86 0,94869
1,1 2 0,94359 1,37 0,88931 1,62 0,89592 1,87 0,95184
1,13 0,93993 1,38 0,88854 1,63 0,89724 1,88 0,95507
1,14 0,93642 1,39 0,88785 1,64 0,89864 1,89 0,95838
1,15 0,93304 1,40 0,88726 1,65 0,90012 1,90 0,96177
1,16 0,92980 1,41 0,88676 1,66 0,90167 1.91 0,96523
1,17 0,92670 1,42 0,88636 1,67 0,90330 1,92 0,96877
1,18 0,92373 1,43 0,88604 1,68 0,90500 1,93 0,97240
1,19 0,92089 1,44 0,88581 1,69 0,90678 1,94 0,97610
1,20 0,91817 1,45 0,88566 1,70 0,90864 1,95 0,97988
1,2 1 0,91558 1,46 0,88560 1,71 0,91057 1,96 0,98374
1,22 0,91311 1,47 0,88563 1,72 0,91258 1,97 0,98768
1,23 0,91075 1,48 0,88575 1,73 0,91467 1,98 0,99171
1,24 0,90852 1,49 0,88595 1,74 0,91683 1,99 0,99581
2,00 1,00000
• NOTA La tabla anterior es para p e [1, 2], Para p £ [1, 2] se utilizan lasfórnalas:
r » = r(/? + 1) y T{p) = (p - 1) r ( p - 1)
r(pEJEM PLO 1 0 .7 F(0,3) = r e- 1o-3) = —0,8—97—47 = „2,9916„, ya que F (p ) s + l)
0,3 0,3
r(p )
Er (jpe m- ip)l.o 10.8 F(3,5) = (2,5)r(2,5) = (2,5)(1,5)F(1,5) = 3,32336, dado que T(p) = (p - 1)
E j e m p l o 1 0 .9 Calcular ^ ^ .
7' 7 5 3 ■(i)
2/ 2 2 2
'(i)7 5 3 1 105 ©ir
2222 16
La función T(p) se ha definido para p > 0. Pero como T(p + 1) = p T (p), se puede extender su
dominio al intervalo ( —1, 0). De igual modo, se puede extender a (—2, —1), etc (ver Figura 10.1).
178 Introducción al Cálculo
■ooa- Q á w p M if tiíH p ia a ^ D ^
Es de la form a B(p, q) = í tp 1 (1 —t)q l d t,W p ,q > 0.
Jo
íl®y&
1. B(p, 1) = f tp~l dt l_ 1
Jo
2. H aciendo 1— t = x: o _ p'
B (p,q) = —JrOxq~l (l —x )p~l dx = Ji-l xq~l {\ —x )p~l dx = B{q, p)
3. R esolviendo B(p , q) por p artes: =>> du = - ( q - 1)(1 - f f - 1 dt
=>■ tp
M= ( l _ f)?-1
dv = tp~l dt
se tiene: r tp(l —t)q'-i . i- i f 1tp(l - t ) q ~2 dt = ---- B ( p + l , q - 1)
B (p ,q ) Jo p Jo
ya que el prim er sumando es igual a cero.
4. Las funciones B (p,q) y F (p) están relacionadas mediante la fórmula:
B(p,q) F(p) r ( 9)
r{p + q)
5. Si en la función B(p, q) se hace el cam bio t — sen2 x = > • dt — 2 • se n x • c o s x dx:
r| _
B (p ,q ) = 2 L/ sen2p 2 x cos2q 2 x se n x e o s x dx
= 2 Í sen2p- l x eos2q- l xd x
Capítulo 1 0 / Integrales impropias 179
Y tomando p = q = resulta:
B/I 1\ dX== 2 ?
=n
\ 2 ’ 2 / = 2 Jo
Por la fórmula del apartado anterior:
'1\ _ /l
T(l ) L" V2/J ■—' ' ~■V(52 ) =
Por tanto:
í e” í_ dt = ~2~ (Ver Sección 10.3.)
Jo
PTOBLEMAS RESUELTOS
10. 1. Calcular / dx
Jo
Resolución 1
La función del integrando / ( x ) — ^ /F ^ 2 presenta una discontinuidad infinita en 2 e (0, 3). Por
tanto:
f dx f 2-e dx f 3 dx
=e-l>i0m 1 ~\/Jx.x...——.. =22 + síl--i>^m-0bJJ22+- S Vx —2
I 2- ........-
Joo
Jo ~Jx —
= €l—ím^0 3 ^ - 22-)-2-----|-2- - * , r3^ (x - 2 ) 2 ]3
o
+ 5li-m>o J 2+5
22 il-í»m0(l - 5 23 )1 3 (l-^ ¡)
-6lí->m0(€3 - 2 3 ) +
10.2. ; Calcular I - Jío dx con a > 0.
x2 + a2,
Resolución
/ —hl--í+mx0w0JJfoo dx hH-*m00 1 are tg —xCl
x2 + a2
-Cl
10.3. Calcular 1 = 1f lnx dx.
Jo
Resolución
La función del integrando, / ( x ) = lnx, presenta una asíntota vertical en x = 0. Por tanto:
I = lím f lnx dx = Hm x lnx —x l = lím (—1 —e lnc + e) = —1
€—m J o+e L Je e—^-0
ya que €H->m0 e ln e = 0.
180 Introducción al Cálculo
10.4. ¡ Calcular T(3,4).
Resolución
r(3,4) = (2,4) r(2,4) = (2,4)(1,4) F (l,4) = (2,4)(1,4)(0,88726) = 2,98119
10.5. Calcular r
Resolución
2
De otra forma, mediante la tabla:
10.6. | Calcular: a) 7r!; b) el.
Resolución
a) jr! = r (1 + n ) —n F(jr) = it{n —1) F(;r — 1)
= 7v(n - 1){n - 2) T(jt - 2) = (3,14159)(2,14159)(1,14159)(0,93642)
= 7,1922...
b) e! = T(1 + e ) = eF(e) = e(e - l)F (e - 1) = (2,71828)(1,71828)(0,91258) = 4 ,2 6 2 4 ...
10.7. i Calcular:
Resolución
(7/2)! T ( 7 / 2 + 1) (7/2)(5/2)F(5/2) /o
2 ! (^777/)—2 - 727)7! = 7r (737V) F7(7377/ 2T+T7l )7 = ----- 277!7T7(757/727)----- = 35/ 8
10.8. Calcular 1 = p — 2 Por tanto:
Resolución
Se trata de una función gamma, con p —1 =
181Capítulo 10 / Integrales im propias
De otro modo: / = V2 / = 2 \2 J = 2
10.9. Calcular I — / 00 x e x3 dx.
Resolución
Mediante el cambio x 3 = y = 4 3x2 dx = dy:
r ¿ e - y ^ = = -1 [ , - 1 dyy = 3i r (\ 3? J) = 3- (i->)r
2 - = 0,45083
Jo 3 ^ 2 3 Jo
10.10. ij Calc0ular I = f «Jt V(1 —f)3 dt.
Jo
Resolución
13
Se trata de una función beta, con p —l = - y # —1 = - . Por tanto:
(y)I —B '3 5^ 1r V1. 23 \ tVV25 0\ = ^ ~T~ "•
16
/ T~
T(4) 3!
10. 11. Calcular I = I x2 y/a2 —x2 dx, mediante el cambio x = a-fit-
Jo
Resolución
luego: x = a-y/t =4> dx = —24^7t= dt
,= i , i ( i - <)i* = T B( y )
2 T(3) 2 2! 22 16
4 ' _______________ _________________
/ V (x — 1)2(4 —x )3 dx, mediante el cambio x = l + 3t.
Resolución
182 Introducción al Cálculo
luego:
7 = 3 2 J[o Jjt2(t - l )3 dt = 32 Jfo ti (í —1)1 dt = 9 B ( - , ~ )
\5 5/
= 9„ r ( ó3F)' (3r ( s3 ) = 9„ —(0,-8-8--7--2-6--2)-(!-0-,89352) = 3,56753
)
10.13. fCalcular la integral I = Jo xa(lnx) dx, b e N, mediante el cambio lnx = — ~r 1
Cl
Resolución
lnx ci -j- 1 dx dt
¿Z*4“ 1
luego: t \ b -jn- dt ( - 1 )* f°° t'b e 1dt
o+l -a---+— 7 = JIo
ya que b eN . lo v a + 1 1 e fl+l e 7(-a---+----17T)6T+T1T
1
(-D 6 (- l)b b\
(a +
{a + 1)6+! (i + 1 ) 1)*+!
10.14. Resolver 1 == 1Joi x 12(4 —x) 25 ¡7x.
Resolución
Mediante el cambio x = 4 —4f = £ dx = —4 dt:
jrO , r 1
4 (4í)2 ( 4 - 4 í) 2 dt = 4 (4í)2 ( 4 - 4 í) 1 dt = 45 b (J-, ^
r(Í! ■o: ■(I)]2, 5 r Q
* r(6)
:43 5! »(5 2
5!
121''(i)]2 12n
5!
10.15. rResolver/ = / sen x r/x .
Resolución
Puesto que 2 p —Í = 4 y 2 q —1 = 0 (ver Sección 10.6):
í = i„/5in 5\ „ / l \ 3 1 r /1 \1 2 3*
1 r ( § ) r (§) 2 2! 16
2 \2 ’2)
2 r(3)
Capítulo 1 0 / Integrales im propias 183
10.16. Hallar el volumen que engendra la función f(x ) = —— al girar alrededor del eje OX, entre x —1 y
X^/7t
x = +oo.
Resolución
V = n —i Ir°° —izd .x = lím /r —i^ d x = lím l l h = 1U. V.
Tt J i X 1 h-+ooJi Xa h -¥oo 1
PROBLEMAS PROPUESTOS
Jo10.17. rr 4 dx
Calcular lo
4—x’
10.18. Calcular /Ir° e dx.
10.19.
Calcular l dx
10.20. Calcular F(4,3).
10.21. (9/2'
Calcular (
V3
10.22. Calcular J/o y/ 1 —x 4 dx, mediante el cambio x 4 = t.
10.23. Calcular J/oí i —==1 == dx, mediante el cambio x 4 = t.
VT^V
ri i : dx, mediante el cambio x = t4.
10.24. Calcular /
Jo V I —V *
10.25. Calcular If 2 sen . x „ dx.
Jo cos x
OáflSWM
C1 c
¡ti FUNCIONES DE DOS
VARIABLES c_j
En el Capítulo 5 se han estudiado las funciones de una variable. Muchas funciones dependen de más de
una variable. Por ejemplo, el área S de un rectángulo es función de su base x y de su altura y: S = xy. Los
valores que pueden darse a x e y son totalmente independientes el uno del otro. La relación z = f (x ,y )
puede visualizarse gráficamente mediante una superficie, tomando coordenadas rectangulares x, y, z.
En este capítulo, se van a extender a funciones de dos variables los conceptos allí estudiados: límite,
continuidad, derivadas, máximos y mínimos, etc.
• DEFINICIÓN 11.1 Unafunción de dos variables z —f{ x ,y ) es una aplicación de un subconjunto
D e l 2 en R, es decir, una correspondencia que asigna a cada par de valores (x, y) e D un único valor
z = f(x , y) € M.
EJEM PLO 1 1 .1 L a superficie de un rectángulo, S —xy, es función de las longitudes de sus lados x e y.
S —2 n r2+ 2nrh, la superficie de un cilindro, es función de las longitudes del radio r y d é la altura h.
• DEFINICIÓN 11.2 Se dice que la función z = f (x , y) está definida en un punto {a, b), si existe
f(a ,b ).
• DEFINICIÓN 11.3 Se llama dominio de definición o campo de existencia de unafunción z = f (x , y)
al subconjunto A x B C R 2, para el que dichafunción está definida.
E je m p l o 11.2 La función: ■s/X+ 1
Z y-1
existe si x e A = [—1, oo) e y e B {11. Su dominio de definición es A x B.
186 Introducción al Cálculo
¡[GRAFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABL £
La gráfica de una función de dos variables es una superficie en el espacio M3. Para hacer la repre
sentación gráfica de dicha función se recurre a una tabla de doble entrada. Por ejemplo, sea la función
2 = x2 + yz:
0 1234
0 0 1 4 9 16
1 1 2 5 10 17
2 4 5 8 13 20
3 9 10 13 18 25
4 16 17 20 25 32
Esta forma de representar la superficie es poco práctica, ya que no permite visualizar su aspecto.
Otra forma de proceder sería cortarla con planos paralelos a los planos de coordenadas para tener una
idea aproximada de la forma de la superficie. Por ejemplo, cortando con planos paralelos al plano XYse
obtienen curvas de cota constante, es decir, curvas con z=c constante, llamadas curvas de nivel. Al variar
c, se genera una familia de curvas f (x , y ) —c que permiten visualizar dicha superficie:
Si se corta la superficie anterior con el plano horizontal z = c, se obtiene una circunferencia de
proyección x 2 + y2 = c:
Figura 1 1 .2
La intersección con el plano x —a, paralelo al plano YZ, es una parábola de ecuación z = a2 + y2,
del mismo modo que la intersección de la superficie con el plano y = b, paralelo al plano XZ, es la
parábola de ecuación z = x2 + b2:
Figura 11.3
Capítulo 1 1 / Fundones de dos variables 187
Lo anterior permite tener una idea de la forma de la superficie. Sin embargo, una superficie mínima
mente complicada es difícil de visualizar utilizando estos métodos. Lo más conveniente es utilizar un buen
programa de ordenador que permita no sólo representarla sino estudiar los detalles de dicha superficie.
1 1 .3 . FUMElcMESlNQirABLE
a) El plano de ecuación ax + by + cz + d = 0, c ^ 0, es una función de dos variables:
ax by d
ccc
de dominio K2 (ver Figura 11.4). Los puntos de intersección de dicho plano con los ejes de coor
denadas son los puntos:
-a- , 0, 0 ); o, o d
o, o,
b) La función x2 + y2 + z2 = r 2 es una esfera de centro el origen de coordenadas y radio r:
c) La función + y_2 , £ _2 = 1 es un elipsoide centrado en el origen de coordenadas. Sus ejes
jy2
C2
coinciden con los ejes de coordenadas, y sus semiejes son a, b y c:
Figura 11.6