88 Introducción al Cálculo
5.24. La función f (x )' = x¿ —1 no 'está definida en x = —1. ¿Cuál debe ser el valor d e '/ (—1) para que sea
continua en ese punto?
Resolución
„ —xxz+—11
xl—i>m■—l = x—lí>m■—i x---—-1--1- =2 —1 — ;Por tanto, / ( —1)na de ser.igual a ——21 .
5.25. Estudiar la continuidad de la Punción f (x ) = 1 + 131/*7, en x = 0. Estudiar su comportamiento en el
infinito!
Resolución
No está definida en x = 0.
Xl-í5m-0+ f (x ) = Al—lm>-0/(O + h) = hlí-m¥o —j q_-—3^r = —oo
Km f (x ) = Km /(O —h) = K m —= z-
x —> 0~ h-+ 0 /z-»G ^^
1
OO
Presenta una discontinuidad de salto —1 en x = 0 (ver Figura 5.12).
En el infinito:
Km f (x ) 1+1
Km f (x )
1
5.26. Estudiar la continuidad de la función /(x ) x 1 y construir su gráfica.
Resolución —E(x)
Dom f{x) = R —{x / x e
X+ 1 si —1 < x < 0
f(x) 1 si 0 < x < 1
X
1 si 1 < x < 2
x —1
Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 89
Es discontinua para los valores enteros de x:
xK^ am+ /J( x ) = Kh-m+of (a + h) = /Ki->m0 —a +—h - E (a + h) — -ür 00
Km /(x ) = Km f ( a —h) —/Ki->mo a —h 1 —h) 1
/i-+ 0
—E{a a —{a —Y)
5.27. Estudiar la continuidad, en x = 0, de / ( x ) ,1/x si x 0
si x = 0.
Resolución
1) /(O ) = 0.
2) Km / ( x ) = Km /(O + ft) = linote" = oo.
x —> 0 'i" A—> 0 /z--*0
x^K>-m0- / ( x ) = /Ki—ms-0/(O - h) = hl-í+m0 = hK-*m0 e—j¡ = 0.
Presenta una discontinuidad esencial en x = 0 (ver Figura 5.14).
5.28. Sea / : ->■ E la función:
/J wy ' = j« * '1 ^=■1j .
[ 1 si x
que verifica = 1 > Oy = —1 < 0.
Sin embargo, se cumple que / ( x ) 0, Vx e , ~^-J. ¿Contradice este hecho el teoremá de
......... ......
Bolzano? .-
90 Introducción al Cálculo
Resolución
No, ya que / (x) no es continua en el punto —Tt e 'Tt 3 j t -
.4 ’T -
5.29. Verificai que la ecuación x ■3A— 1 = 0 tiene almenos una raíz en el intervalo [0,1],
Resolución
La función / (x) = x • 3A — 1 es continua en el intervalo [0,1] por ser combinación de funciones
elementales continuas. Además:
/ ( 0) = - 1 < 0; / ( 1) = 2 > 0
Por tanto, según el teorema de Bolzano, existe a e (0, 1) tal que / ( a ) = 0.
5.30. Demostrar que la ecuación x —a ■senx b, 0 < a < l , b > 0 tiene, al menos, una raíz positiva me-
i ñor o igual que a + b.
Resolución
La función f (x) = x —a ■senx —b es continua por ser continuas las funciones que la componen.
Además, / (0) = —b < 0, ya que b > 0.
Por otra parte, f {a + b) = (a + b )- a - s t m (a + b )- b = a - a - s e n (a + b ) = a ■[1 -sen(a+Z ?)] > 0,
ya que - 1 < sen(rz + b) < 1 y a > 0.
Por lo tanto, ha de existir una raíz real positiva menor que a + b.
Si sen (a + b) = 1, f ( a + b) = 0.
5.31. Demostrar que la ecuación x 1-3 + ——-—- — —-—- = 300 tiene, al menos, una raíz real positiva.
¿5+cosx+xz 1
Resolución
La función:
/x(/x )\ = x 123 + —25 +--c-2-o-5-s0-x---+---x7¿ - 300
es continua en todo R por ser suma de funciones continuas y, además, 25 + eos x + x 2 ^ 0, Vx 6 R.
Por otra parte:
/ ( l) = ,i + --2-5--0- _ 300 < o
25 + eos 1 + 1
yaque - 1 < cosx < 1.
Para x = 2:
/ (2) = 2123 + 25 -f- 2eo5s° 2 + 4. - 300 > 0
Según el teorema de Bolzano, ha de existir una raíz en el intervalo (1,2).
5.32. i Compiobai que la ecuación x 3 2x —5 —0 tiene una raíz en el intervalo (2, 3) y aproximar dicha
i raíz con un error menor que 10~2.
Resolución
La función / ( x ) = x 3 - 2x - 5 es continua en todo R y /( 2 ) = - 1 < 0 , /( 3 ) = 16 > 0. Según el
teorema de Bolzano, ha de tener una raíz en el intervalo (2, 3).
y de 91Capítulo 5 / Límite continuidad una función
Para hallar dicha raíz, se considera el punto medio del intervalo (2, 3) y se observa el signo de / ( x )
en ese punto:
/(2 ,5 ) = 2,53 - 5 - 5 = 5,625 > 0
Como / ( 2 ) < 0 y /(2 ,5 ) > 0, en el intervalo (2, 2.5) ha de existir una raíz de /( x ) , según el teorema
de Bolzano.
Reiterando este procedimiento y tomando siempre intervalos en los que / ( x ) tiene signos opuestos
en los extremos, se acorta la longitud de los intervalos y se obtiene una mayor aproximación de la raíz de
f (x ). Así se llega a obtener el intervalo (2.09375, 2.109), y el punto medio a = 2,101375 será la raíz
buscada, con un error menor que 10~2, puesto que la distancia de a a los extremos del intervalo es menor
que 10~2.
PROBLEMAS PROPUESTOS
En los siguientes ejercicios hallar el dominio de definición de las funciones:
5.33. f ( X) =
5.34. f (x ) = 4 —x2 '
f (x ) —V x2 —2.
5.35. f(x ) = V i ~ x 2.
5.36.
5.37. f(x) - V -x + 1
5.38.
5.39. V2 ~{~x
/(x ) = log 2 -j" x
2 -x
f (x) = log(x2 —4).
5.40. f(x ) = are sen log6 —1X0 .
5.41. Vx
5.42. senrrx
/(x ) = yiog(tgx).
5.43. /(x ) = VVI - x .
5.44. f (x ) = V senx —1.
5.45. /(x ) = V T H ^ Í-
5.46. 1
/ W = y ,x---—---|rx-r|-
5.47. / ( x ) = are sen V2x.
5.48. Construir las gráficas de las funciones siguientes:
92 Introducción al Cálculo
■ / ( x ) = l o g 2 x.
■ /( x ) = logl X .
- f(x ) = 2X.2
5.49. Construir la gráfica de las funciones:
a /( x ) = ~Jx —E(x).
a f (x ) —E(x) + ^s/x —E(x).
a f{x) = {x}, siendo {x} = distancia al entero más próximo.
5.50. Hallar f (x + 1), dada la función f ( ^ j = 3x2 —2x + 5.
5.51. Hallar las funciones inversas de:
a f (x ) = 3 • arccosx2.
a f (x ) —4 • sen5x.
Expresar y como función de z, enlos siguientesejercicios:
5.52. y = 2x2, x = 3z + 2.
5.53. y = V4x —2, x = é , t = lnz.
5.54. Siendo / ( x ) = x + 1 y g(x) = x2 —5, hallar f o g y g o f .
5.55. Expresar el área de un trapecio isósceles, de bases a y ó, en función del ángulo x de la base a. Construir
la gráfica de la función para a = 2 y b = 1.
5.56.
5.57. Hallar n para que lím í x ^~ X1 = 6.
x-í-oo \ X /
5.58. Estudiar la continuidad, para los valores enteros de x , de la función / (x) = E (x) + *Jx —E(x).
5.59. Estudiar la continuidad de la función f (x ) —
5.60. Estudiar la continuidad y representar gráficamente la función:
Estudiar su comportamiento en el infinito.
5.61. Estudiar la continuidad de la función:
2^=5 _ i
f(x) =
2^3 + 1
Estudiar su comportamiento en el infinito.
5.62. Estudiar la continuidad de la función: Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 93
5.63. Estudiar la continuidad de la función:
5.64. Estudiar la continuidad de la función: /(*) = z1--—----e-l x
f (x ) = ----- —j -
1 + e i-*
f (x ) = x ■sen —
5.65. Encontrar una función f (x ) discontinua en todos los puntos de su dominio siendo |/( x ) |, sin embargo,
continua en todos ellos.
5.66. Hallar n para que sea continua la función:
ex —1 si x < 0
n + x si x > 0
5.67. Estudiar la continuidad de la función:
. . . f x2 six e I
f(x) = l 1
s ix e Q
5.68. Demostrar que la ecuación x„ x=¿--—---s-5e-4-n-x---+-- 2- = 50 tiene, al menos, una raíz real.
5.69. Hallar una raíz real de la ecuación x3 —3x + 3 = 0, con un error menor que 10- 1 .
dM im ©
/■ DEfflVADA DE UNA
FUNCIÓN
/
El concepto de derivada surgió en el siglo XVII con el problema de hallar la tangente a una función
en uno de sus puntos, y fue desarrollado por Newton y Leibnitz a partir de las ideas de Fermat.
Sea la función f (x ), definida en D C M. Sea el punto x e D, en el que se desea hallar la ecuación de
la recta tangente a la función f (x ). Para ello, será preciso hallar la pendiente de dicha recta tangente.
Sea A(x, f (x )) el punto en cuestión. Considerando un punto B, próximo a A, B(x + h, f (x + /?.)), la
pendiente de la cuerda AB será (ver Figura 6.1):
nicuerda —tg 01 f(x + h) - f(x )
h
B{x + h, f ( x + Ir))
Pero lo que se desea hallar es la pendiente de la recta tangente en el punto A. Si h -> 0, el punto B
tiende a confundirse con el punto A, y la cuerda AB tiende a confundirse con la tangente en A. Por tanto:
f(x+h)-f(x)
mtangente —hK-*m0
96 Introducción al Cálculo
Si existe, el límite anterior recibe el nombre de derivada de f (x ) en el punto x e D, y se representa
f'(x ) o, también, dx
E je m p lo 6.1 Sea la función f ( x ) = x2. Se desea hallar la ecuación de la recta tangente en x = 1.
La derivada de f(x):
fs , (,x ,) = /,lz,í—m>0 f( x + h )-f( x ) (x + h)2 - x 2 2xh + h2 h(2—x>*0+ h) = 2x
-------h------ h—=^0l í m ---h——— = hli—m>-0----- -h= lim
—
Parax = 1:
^tangente — f ( 1 ) = 2 - 1 = 2
Por tanto, la ecuación de la recta tangente será: y —1 = 2{x — 1) (ver Figura 6.2).
Figura 6 .2
EJEMPLO 6.2 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f (x ) = -x en el punto de abscisa
x = —1 .
11 -h
h
f(x) = Um / ( * + /0 ~ / a - ) = Hm ^ ± A _ £ . == lím = jfm " = - 1X1
h-t-0 h A—s-O h h-y0 h-±0 X1 + xh
La derivada en x = —1 es / ' ( —1) = —1. La ecuación de la recta tangente en ( - 1 , —1) es y + 1
- ( x + 1).
El cálculo de la derivada de una función mediante la definición (como se hizo en los dos ejemplos
anteriores) es largo y dificultoso. Por ello, a continuación se va a construir una tabla de derivadas que
permita hacer dicha operación de un modo sencillo y rápido.
DERIVADA DE U N S im p J O N CONSTANT
Sea f{x) = k, con k e
f'{, x) = f(x + h )h——fJ- ±( x-)t = A„lí—m>0 k——h—k = 0
hlí^mr0
z
Capítulo 6 / Derivada de una función 97
DERIVADA DE LA FUNCION
n x ) = Um = ^ (i
J h-+ 0 h /!-> 0 h
+ ■>' + ■■■ + O » ' - * "
h
/i-»0
■lím -,V I /,x " 1+ (\2“J)x'! 2 ■h-i :> - i -1- \n n •xn- 1
/i->o
Sean las funciones f (x ) y g(x):
( / + g) Ms = /„hi->mo -(-/---+---«--)--(--*--+--*n--)-----(--/--+---£--)-(-*--)
f(x + h) - /(x ) + g(x + h) - g(x)
/Kí->m0 h
f(x + h )- f(x ) g(x + h )-g { x )
/h!-m>0 •----------A--------------h /K!->mo——----h-----------
= /'(* ) + g 'M
La derivada de la suma de dos funciones / ( x ) y g(x) es igual a la suma de las derivadas respectivas f '(x )
y g'Cx).
© a DERIVADA DEL PRODUCTO
Sean las funciones f (x ) y g(x):
I r xl, s i- ( f ■g)(x + h) - ( f ■g)(x) / ( x +. h) ■g(x + h) - f (x ) ■g(x)
( / • g) (*) = fit—™s-O--------- hl-í+mo h
h
Sumando y restando la expresión / ( x + h) ■g(x):
f (x + h) ■g(x + h) - f (x + h) ■g(x) + f (x + h) • g(x) - / ( x ) •g(x)
flií-sm-0 h
„ s, f(x + h )- f (x )
= hlí-m*o / ( x +, hM) --g--(-x---+---Ah;-)----g--(--x--)-- f g(x)
/l¡-i>mo----------/r
= / ( x ) - g'Cx) + / '( x ) -g(x)
Es igual a k ■/ '( x ) , consecuencia inmediata de la derivada de un producto.
6 . 7 DERIVADA DE
Representando la función g(x) por g:
98 Introducción al Cálculo
1J
Utilizando el resultado anterior:
U f.l 'f + / ' f f-8' f s - f s '
88
G 9 DERIVADA DE
(n = (/■ /)' = / •f + f - f = 2f f
c • cf y = ( f / y = f y ■f + f ■f = i f f + f f = 3f f
En general, la derivada de / " será n ■f n~l f .
Se demuestra por inducción. Suponiendo que es cierto para n —k: ( f y = k ■f ~ l ■f , habrá que
demostrarla para n —k + 1 :
(. •/+/*•/ =f k+lY = ( f ■f í = ( f y (k ■f ~ l ■f ) ■y + f - f = ( k + D - f . f
DERIVADA DE LAS FUINlMONES HIPERBÓLICAS
2) ex + e ¿hx
ex + e~ x\ l
2 shx
2/
ex —e~x
2
Del mismo modo se procedería con distintas funciones hasta completar la tabla de derivadas:
(sen / ) ' = f • eos / (ln / ) ' L
(eos / ) ' = - f • sen / f
f
(tg / ) ' = —4 ~ 7 (l0ga / ) ' =
COSz J / •lna
(efy = f - e f
(a f y = f - a * - \ n a
(are s e n / ) ' = f
(are eos / ) ' (arctg / ) ' = i + f 0)
(thx)' (cth x)' = s h x (x
ch x
REGLA DE LA CADEIM
Si y = f (u), siendo u = g(x), es decir, y = /[g (x )], la derivada de y con respecto a x, —dx , es:
Capítulo 6 / Derivada de una fu n dó n 99
E j e m p l o 6 .3 Sean y —2ul - 2 y u = 3x + 1. A plicando la regla anterior:
^dxL = ^du. . —dx = 4 u - 3 = 1 2 (3 x + 1) = 3 6 x + 12
Se puede hacer una com probación escribiendo y en función de x, y derivando a continuación:
y = 2(3x + l ) 2 - 2 =+> ^dx = 3 6 x + 12
©m ______________________
Si la relación entre x e y viene dada por una función no despejada para y, se dice que y es función
implícita de x. Por ejemplo, 3x2y —6xy3 + 7 = 0.
Suele ocurrir que no interesa, o no es posible, despejar y para obtenerla como función explícita de x.
En este caso, se deriva término a término, considerando y como función de x.
E j e m p l o 6 .4 Para la función anterior, 3x2y - 6xy3+ 7 = 0, derivando implícitamente: 6xy + 3x2/ -
6y3 —18xy2/ = 0.
6 . 1 3 DERIVADAS LATERAL
• DEFINICIÓN 6.1 Se definen las derivadas de f (x ), a la derecha y a la izquierda del punto x —a,
como los límites respectivos:
/„^4 (, fsl ) =/„hi—>m0 -f--(-a---+---hh) ~ / ( « ) y /_ (,a )\ = lhi-m+o--f--(-a-------/—-?-)h------/-(--f-l-)
donde h > 0.
La condición necesaria y suficiente para la existencia de la derivada f '( a ) es que f'+(a) — fL (a), y
se dice que la función f (x ) es derivable en x —a.
EJEMPLO 6.5 Derivadas laterales en x = 0 de la función:
f(x) ■ x 2 si x > 0
x si x < 0
/ ; ( 0) = l í m f(0 + h )- f (0 ) : lhí-m*0 (Q+ ^h = l í mh-*0f i = 0
h
; I„jm -(-O------h--)----O
fL (0) = /(0 ~ h) - / ( 0) h-+0 —h ,— 1
/lií-mí-0 -h
Figura 6.3
100 Introducción al Cálculo
En la Figura 6.3, se puede observar que, a la derecha de x = 0, la semirrecta tangente es horizontal y
la derivada (pendiente) es igual a cero. A la izquierda, el ángulo de la semirrecta tangente con el eje OX
es de 45° y, por tanto, la derivada es igual a 1. La función no es derivable en x —0, ya que no coinciden
las derivadas a derecha e izquierda en dicho punto.
E j e m p l o 6 .6 D erivadas laterales en x — 0 de la función / ( x) = \x\.
/ , ( 0) = h m /(O + —/ »-)----/--«--)-) = „hm \0—+—h \ - 0 = ,1
/i->0 h h-*- 0h
A—> 0 —h h-y0 —h
Por tanto, en un punto “anguloso” falla la derivabilidad de una función, al no coincidir las rectas
tangentes a derecha e izquierda (ver Figura 6.4).
6 . 1 4 . RELACION ENTRE DERIVABILIDAD Y CONTINUIDA
S! PROPOSICIÓN 6.1 Si la junción f : D —>■E es derivable en el punto a e D, es continua en dicho
punto.
D e m o s t r a c i ó n . Considerando el siguiente límite:
/l!-í►m0 f ( a + h ) - f ( a ) ■hlí-my0 ■f(a + h ) - f ( a ) )] = f'(a) lím h
h h-+0
f '( a ) -0 = 0 = ^ - Ah—mj-0f ( a + h) = f ( a )
que es la condición para que f (x ) sea continua en x = a. ü
En general, la proposición recíproca no es cierta, como se puede apreciar en la función f ( x ) = 1*1,
continua y no derivable en * = 0.
La proposición anterior y su contrarrecíproca [si f (x ) no es continua en x — a = > f (x ) no es
derivable en x = a] van a resultar de gran utilidad en la práctica, a la hora de estudiar la derivabilidad y
continuidad de una función en un punto.
EJEM PLO 6 .7 Estudiar, en el punto x = 0, la derivabilidad y continuidad de la función:
f(x) x 2 + 1 si * > 0
1 si * < 0
Capítulo 6/ Derivada de una función 101
Las derivadas laterales:
f +W - üm h u_>0 A ;¡^ 0
/ i ( 0) = lím / ( ° ~ ft> ~ / W _ K i _ J . = o
/j_>o —h hh
La función es derivable en x = 0. Por tanto, la función es continua en dicho punto.
DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
@D e f i n i c i ó n 6.2 Sea y = / ( x ) una función derivable en un punto x = a. Se llama diferencial dy
de lafunción en dicho punto al producto f (a) •dx, siendo dx el incremento de la variable x.
dy = f '( a ) •dx
En la Figura 6.5, la pendiente de la recta tangente a la función en el punto x —a es:
f'{a) = tga CD CD CD = f '(a ) ■dx
AC dx
Figura 6 .5
Cuando dx tiende a cero, CD « CB = dy = f ( a ) ■dx, pues la recta tangente tiende a confun
dirse con la función, siendo dy el incremento que experimenta la variable dependiente para un pequeño
incremento dx de la variable independiente x .
Al introducir el concepto de diferencial, la notación no es ya simplemente simbólica, es una
fracción real.
EJEM PLO 6 .8 El radio de un círculo es igual a 10 cm, ¿qué variación experimenta su superficie cuando
dicho radio aumenta en 2 mm?
La superficie S es función del radio r: S —tt ■r 2. La diferencial.
d S = 2n r ■dr
Si r = 10 cm y dr —2 mm = 0,2 cm:
dS = 2n . 10 . 0,2 = An = 12,56 cm2
Es fácil de comprobar restando las superficies:
ti ■ ( 1 0 ,2 ) 2 - n ■ 1 0 2 = 1 2 , 6 8 c m 2
Este último es el valor exacto, 12,68 cm2, mientras que el anteriormente obtenido, 12,56 cm2, es el
valor aproximado utilizando la diferencial, esto es, la recta tangente en lugar de la función.
102 Introducción al Cálculo
| GUI© ~■1=t'-1MMMSQSQIB5XiEI^?riifr5YI-.s.
■ T e o r e m a 6.1 ( R o l l e ) Sea / : / - - » E una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y
denvable en {a, b). Si f (a) = f (b), existe al menos un punto a e (a, b), tal que f '( a ) = 0.
D e m o s tra c ió n . Si f{x) es constante, su derivada es cero, y el teorema es evidente. Si / ( x ) no es
constante, tomará valores mayores que / ( a ) , menores que f (a ) , o ambas cosas. Si toma valores mayores
clue f (a )’ alcanzará su máximo k al menos una vez en el intervalo (a, b) (Weierstrass). Sea a 6 (a, b),
tal que / (a) = k. Las derivadas a derecha e izquierda en a:
/ ! ( « ) : Km f (a + h ) - f (a) /'(« ) - f(a - h) - f{á)
h-* 0 h, > lhí-m+0 —h
Puesto que en x = a la función alcanza un máximo, si h tiende a cero, f (a + h) — f (a ) < 0 = s
/!(«) <o. -
Razonando de igual modo, > 0. Al ser la función derivable en el punto a e (a, b), f U a ) =
fL (a) f'{a) = 0. ■
E je m p lo 6.9 La función / ( x ) = $"(x - l )2 toma en los extremos del intervalo [0, 2] el mismo valor,
/ ( 0 ) = /( 2 ) = 1. Sin embargo, no es aplicable el teorema de Rolle, ya que:
2
1
no existe en 1 e [0, 2],
E je m p l o 6 .1 0 La función / (x) = |x| no verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo
[ - 1 , 1 ] ya que, a pesar de ser continua en dicho intervalo y / ( - 1) = / ( 1 ), no es derivable en x = 0,
como se vio con anterioridad.
La razón por la que en el teorema de Rolle se impone que / ( x ) ha de ser continua en [a, b\, en lugar
de en (a, b), se puede ver en el siguiente ejemplo.
E je m p l o 6 .1 1 Sea la función: 1 SI X _ _ _IX
/(x )
tgx si 7t n
1 —2 < X< —2
SI X 71
Es continua y derivable en (—tt/2 , jx/2) y / ( - j r / 2 ) = f (n / 2 ). Sin embargo, no existe ningún pun
to a e (—rr/2, tx/2), tal que f ( a ) = 1/ eos2 a = 0, ya que no es continua en el intervalo cerrado
[- jr /2 , jx/2], aunque sí lo es en ( - tx/2, tx/2) (ver Figura 6.6).
Figura 6.6
Capítulo 6/ Derivada de una función 103
■ T e o r e m a 6 .2 (DEL v a l o r MEDIO d e C a u c h y ) Si las funciones f ix ) y gix) son continuas en
[a, b] y derivables en (a, b), existe al menos un a e (a, b) tal que:
m - f{a) _ f ia )
g(b) —gia) g'(a)
D e m o s t r a c ió n . Considerando la función:
fix ) g(x) 1
F(x) m S(b) 1 [g(b) - g(a)] fix ) - [ f ib) - fia )] g(x) + f(b ) g(a) - f{a) g(b)
f (a ) g(a) 1
La función F (x) es continua en [a , b] y derivable en (a, b), por ser combinación lineal de las funciones
f ix ) y g(x), continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Además, F{a) = F{b) = 0. Por tanto, según el
teorema de Rolle, existe a e (a, b) tal que F \ a ) = 0. Derivando:
F'{x) = [g(b) - g(a)] f ( x ) - [ f (b) - /(íz)] g'{x)
Haciendo F '(a ) = 0: / '( « ) - íf (b ) - f i a ) ] g'{a) = 0
f(b) - f(a ) _ f ia ) _
g ib )-g ia ) g'ia)
E j e m p l o 6.12 Sean f ( x ) = 6x - 2 y gix) - x 2 + 5, continuas en [ 0 , 1 ] y derivables en (0 ,1 ) :
/(l)-/(0 ) fice) ^ 4 - (-2 ) 6 1
£ ( 1 ) - £(0) 6 -5
£'(“ ) 2a
■ T e o r e m a 6 .3 ( d e l v a l o r m e d io d e L a g r a n g e o d e l o s in c r e m e n t o s f in it o s ) Si f i x ) es
continua en [a, b] y derivable en (a , b), existe al menos un punto a e ia,b ) tal que:
= /'(„ )
DEMOSTRACIÓN. E s consecuencia inmediata del teorema anterior, tomando gix) = x , ya que gia) = a,
gib) —b y g'ix) = 1 . ■
Es posible dar una sencilla interpretación geométrica del teorema anterior observando que el primer
miembro es la pendiente de la cuerda que une los puntos A y B, y que el segundo miembro es la pendiente
de la recta tangente en x = a. El teorema viene a decir que existe un punto a en el que la recta tangente
es paralela a la cuerda AB (ver Figura 6.7).
■ T e o r e m a 6 .4 (L ’H o p it a l ) Sean lasfunciones f ix ) y gix) derivables en un entorno del punto xo, 6 /í\
y tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de dicho entorno, salvo en xq.
Si ambas tienden simultáneamente a cero (b a infinito) cuando x tiende a xq, se verifica:
xK-+mxo /OO : lím f i x )
gix) g'ix)
104 Introducción al Cálculo
D e m o s t r a c ió n . Se va a hacer para el caso de que ambas tiendan a cero simultáneamente. Según el
teorema del valor medio de Cauchy 3a 6 (xo, x), tal que:
/ ( * ) _ / ( x ) - / ( x 0)_ f'{ a)
g(x) g ( x ) - g ( x 0) g'(a)
Puesto que a está entre xo y x, a -» xo cuando x -* xo, resultando:
vlím -/g-(-(*-x-)-)- = l, í, m f'W _
X -+ XQ X ^X Q r'(x)
Ejem plo 6.13
lím : lím e* = e°
x-> -0 x -)-0
Ejem plo 6.14
hm 1x--—-•--sceo—nsxx = lím —s e n—x +--x-----c--o--s--x--- = 2 • cosx —x • senx
x-+o senx cosx
x-»o lím
x-*o
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTÍ
El crecimiento (Capítulo 5) de una función derivable se puede estudiar mediante la derivada de un
modo sencillo. Si /'(x o ) > 0, la función es creciente en xo, puesto que /'(x o ) es la pendiente m de la
tangente a la función en dicho punto (m = tg a). Como la pendiente es positiva, el ángulo a , que forma
la recta tangente con el eje OX, es 0 < a < 7r/2 y, por tanto, / ( x ) es creciente en xo (ver Figura 6.8).
Análogamente, si / ' ( x q ) < 0 , la función es decreciente en x q .
■ TEOREMA 6 .5 Sea / ( x ) derivable en (a, b). La función f (x ) es creciente en (a, b) & / '( x ) >
0 Vx e (a, tí). De modo análogo, lafunción / ( x ) es decreciente en (a , b) / '( x ) < 0 Vx e (a, b).
■ T e o r e m a 6 .6 Sea f (x ) derivable en (a, b). Si / '( x ) > 0 Vx e (a, b) / ( x ) es estrictamente
creciente en (a, b). De modo análogo, / '( x ) < 0 V x e (a, b) = 4 / ( x ) es estrictamente decreciente en
(a , tí).
En general, el recíproco no es cierto.
MAXIMOS Y MINIMO
Al igual que el estudio del crecimiento y decrecimiento, la búsqueda de máximos y mínimos (Capítu
lo 5) de una función derivable se puede realizar de un modo adecuado al cálculo mediante la derivada.
Si en un punto xo se verifica que /'(x o ) = 0, la tangente a / ( x ) es horizontal en dicho punto. Para
averiguar si en xo la función presenta un máximo o un mínimo, se calcula /"(x o ): si /"(x o ) < 0, en
xo hay un máximo. Si /"(x o ) > 0, en xo hay un mínimo. Pero el problema se plantea cuando en xo se
anulan la primera y segunda derivadas simultáneamente. En general:
Capítulo 6 / Derivada de una función 105
■ TEOREMA 6 .7 Sea f (x ) derivable n veces en xq y:
f \ x o) = /" ( x o) = ■• • = f {n~l f e ) = 0; / (" f e ) + O
Entonces, si n es par y / (" f e ) < O, lafunción presenta un máximo en x 0. Si n es par y / (" f e ) > O, la
función presenta un mínimo en x q .
6 .1 9 . CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
• DEFINICIÓN 6 .3 Se dice que la función f (x ) es convexa en el intervalo (a, b )s i V xi, x2 e (a, b),
el segmento rectilíneo que une los puntos (x i, f ( x i ) ) y f e , / f e ) ) , queda por encuna de la gráfica de
/ (x ), (ver Figura 6.9).
De modo análogo se define función cóncava (ver Figura 6.10).
Si f (x ) es convexa en un intervalo (a, b) y si xi, X2 6 (a, b) / x\ < X2 = > f f e ) < / f e ) ,
suponiendo que / ( x ) es derivable en (a, b). Esto es, el ángulo que forma la recta tangente en xi es menor
que en xz, debido a la convexidad de /( x ) .
Si f" (x ) > 0 en (a, b), f '(x ) es estrictamente creciente en (a, b) y / (x) es convexa.
Del mismo modo, si f" (x ) < 0 en (a, b), f '(x ) es estrictamente decreciente en (a, b) y / ( x ) es
cóncava.
©bSDb NFLEXIO KQ SKIlSlllil
Se dice que la función / ( x ) presenta un punto de inflexión en xo si en dicho punto la función cambia
de convexa a cóncava, o viceversa.
La condición necesaria para la existencia de inflexión en un punto xo es que sea / (xo) = 0. Sm
embargo, no es condición suficiente. Por ejemplo, la función f (x ) = x4 verifica /"(O ) = 0 y no presenta
inflexión en x = 0. La condición suficiente la da el siguiente teorema:
106 Introducción al Cálculo
■ t e o r e m a 6 . 8 Sea f (x ) derivable n veces en xo y:
/ '( * o) = /"(x o ) = •.. = / ( » - ! (xo) = 0; /<» (xo) / O
Entonces, si n es impar, f (x ) presenta un punto de inflexión en xo.
EjEM pLO 6.15 Sea / ( x ) = x 3. Haciendo f ( x ) = 3x2 = O = » x = 0; la segunda derivada:
/ (x) - 6x =► / (0) = 0; la tercera derivada: /'" ( * ) = 6 / 0 . Así, en x = Opresenta un punto de
inflexión. r
E je m p lo 6.16 S e a f (x ) = x4. La derivada: f'{x) = 4x3 = 0 x = 0; la segunda derivada:
J (x) — 12x = 4 / (0) = 0; se acude a la tercera derivada: f'" (x ) = 24x = 4 /"'(O ) = 0; por
último, a la cuarta derivada: f l v (x) = 24 > 0. La función presenta un mínimo en x = 0.
PRESENTACION GRAFICA DE v jfííxf)
El estudio y representación gráfica de una función explícita y = / ( x ) se suele realizar siguiendo el
siguiente orden para determinar:
1. Dominio de definición o campo de existencia.
2 . Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3. Simetrías. Si la función es simétrica respecto al eje OY, entonces se verifica que f (x ) = / ( - x ) ,
como se aprecia en la Figura 6.1 1 . Entonces, / (x) recibe el nombre de función par.
Si la función presenta simetría respecto al origen de coordenadas, entonces / ( x ) = —/ ( —x) y recibe
el nombre de función impar (ver Figura 6.12).
Figura 6.12
Capítulo 6 / Derivada de una función 107
4. Crecimiento y decrecimiento.
5. Máximos y mínimos.
6. Concavidad y convexidad.
7. Puntos de inflexión.
8. Asíntotas, que se definen como las tangentes a la curva en el infinito. Pueden ser horizontales,
verticales y oblicuas.
Las asíntotas horizontales tienen por ecuación y = n, siendo:
n = lím /(x )
Las verticales son de la forma x —n, siendo:
Km / ( x ) = ±oo
Si la función f (x ) es un cociente irreducible de dos polinomios, las asíntotas verticales están situadas
en los ceros del denominador.
Las asíntotas oblicuas tienen por ecuación y = mx + n, siendo:
m = lím y n = lím [f (x ) - mx]
X-+OO X x-+ oo
ya que dividiendo por x los dos miembros de y = mx + n resulta:
y cuando x -*■ oo:
Despejando n —y —mx: n = lím (y —mx)
PROBLEMAS RESUELTOS
6.1. ; Hallar y' en: a) x2y + xy2 —y = 7. b) 3xy3 —y ■senx = 0.
Resolución
a) Derivando implícitamente:
2xy + x2y! + y2 + 2xyy' —y' = 0 =4- y' = —2xy —y2
x2 + 2 x y - l
b) 3y3 + 9xy2y' —y' ■senx —y • cosx = 0 t y ■cosx —3y3
9xy2 —senx
6.2. Comprobar que y = x ■ex satisface la ecuación diferencial y" —y' —ex = 0.
Resolución
Se calcula la primera y segunda derivada de y:
y' = ex + x • e'v; y" = 2 ■e'v + x • e*
108 Introducción al Cálculo
y se sustituye en la ecuación diferencial:
2ex + x ■ex - (ex + x ■ex) —ex —0
6.3. Derivar xy == yseilx. y •lnx = senx •lny
Resolución y/■lnx H—xy = cosx • lny + senx • —yy'
Tomando logaritmos: , xy ■cosx •ln y —y 2
^ xy ■lnx —x ■senx
Derivando:
6.4. Dada la función f (x ) = ex+3, comprobar que —ax • —dy =■■1.
Resolución
dy = ex+3
dx
Despejando x en la función: x = lny —3
y derivando x con respecto a y:
dx 1 1
Por tanto:
dy y ex+3
dy dx ex+3
dx dy ex+3
6.5. : Dada f(x ) —x ——1 , verificar que —dx ■—dy = 1.
;
Resolución dy —x2 —4x —1
dx (x2 —l ) 2
Derivando y con respecto ax :
x'{x2 —1 ) —2xx'{x + 2)
Derivando x con respecto ay: (x2 —1 )2
Despejando x': , _ dx_ _ (x2 - l )2
dy —x2 —4x —1
Por tanto: Capítulo 6/ Derivada de una función 109
ay dx
dx dy
6.6. Hallar la derivada n-ésima de las funciones:
a) y = cosx.
b) y x:—1 5
Resolución y' = —senx
y" = —cosx
a) Derivando sucesivamente:
yy" '1 = sen*
IV _ eos*
•senx
En general: („ _ I (—1 ) n+2l -senx sin es impar
^ I (—1 ) 2 -cosx s in es par
b) Derivando sucesivamente:
(x - 5)2
2
(x - 5)3
ym _ -2 -3
(x —5)4
,,/v 2 - 3 - 4
(x - 5)5
En general, y('1= (-1 )" (x - 5)'I+1 ‘
6.7. ‘Hallar la derivada n-ésima de la función y = 1
2 —8x + 1 2 ’ .
Resolución
Antes de derivar, es conveniente hacer una descomposición en fracciones simples:
11 A , B _ (A + B ) x_ - 6 A - 2 B
x -2 + x -6 ( x - 2) ( x - 6)
y ~ x2 - 8x + 12 _ (x- 2)(x - 6)
Entonces, 1 = (A + B)x —6A —2B =£■ A—+2BB —= 0l
el -1 B= 1
Resolviendo = sistema: A = —4—1 ; 4
-1 6—) .
Por tanto, y 4(x———2—) —+4(x—----
1 1 0 Introducción al Cálculo i
Derivando sucesivamente: -
yV —— 4(x 2)
-2
yv" —— 4(x - 2): +
yvt" _— 2-3 2-3
4(x - 2)‘
En general:
y(n = ( - 1 ) 'I+1 • ” ! r —12)»+i (.x - 61) n+l
L(X
6.8. Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia:
t : x2 + y 2 —4x + 2y —11 = 0
en el punto de abscisa x = 2 y la ordenada positiva.
Resolución
La ordenada para x = 2:
22 + y2 —4 - 2 + 2- y — 1 1 = 0 = > yi = 3, y2 = - 5
El punto en cuestión es el (2, 3). Derivando implícitamente:
2x + 2yy —■4 + 2yf = 0
Sustimyendo el punto (2, 3) en la derivada:
2-2 + 2- 3 - y ' - 4 + 2y' = 0 = + y / = 0
La ecuación de la recta tangente será:
y - 3 = 0(x - 2) = » y = 3
que es una recta paralela al eje de abscisas.
6.9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x • sen(vy) + 4y 2 = 16 + x, en el
j punto de abscisa x = 0 y ordenada positiva.
Resolución
Para x = 0:
0 • sen(0 • y) + 4y2 = 16 + 0 = + y = ± 2
Derivando:
sen(*y) + x(y + xy') ■cos(xy) + 8yy' = 1
Sustimyendo el punto (0, 2):
167y' = 1 =+> y' = —16
La ecuación de la recta tangente es: y —2 = — ■{x —0).
16
La ecuación de la recta normal es: y —2 = —16(x —0).
Capítulo 6 / Derivada de una función 1 1 1
6.10. Hallar la ecuación de una parábola de la forma:
| y = x 2 + bx + c
que sea tangente a la curva y = (x — l )3 en el punto de abscisa x = 1 .
Resolución
Para x = 1, la función y = (x — l )3 toma el valor cero. Por tanto, el punto de tangencia de ambas
curvas es el (1 , 0).
Las derivadas de ambas funciones en x = 1:
y' = 2x + b =4> y '(l) = 2 + b
y' = 3(x —l )2 =>• y '( l) = 0
Igualando: 2 + b = 0 =>■ b = —2.
Y como la función y = x 2 + bx + c pasa por el punto (1, 0), se ha de verificar que 0 = 1 + b + c,
con lo que c = 1 .
6. 11. Determinar los puntos en los que la curva y —x J + x2 —6x + 1 tiene tangente paralela a la recta
y = 2 x + 1. \
Resolución
La pendiente de la recta y —2x —1 es m = 2. Derivando la función:
y' = 3.x2 + 2x —6
Dicha derivada ha de ser igual a m = 2:
3x9 + 2x —6 = 2 xq = —2, X2 = 4—
Los puntos son (—2, 9) y
6.12. ; Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función:
y = 'n ' f ^ T ¡
paralelas a la recta x —4y + 1 = 0.
Resolución
La derivada primera de la función:
y = i------
7 2x(x + 1)
ha de ser igual a la pendiente de la recta x - 4y + 1= 0. En forma explícita: y = X— |—1 .
44
La pendiente es m = i . Por tanto:
1 1 2 Introducción al Cálculo
/ -2l = l—2 ln 2. Para x = —2, y = ln \/2 = -2l ln 2.
Las rectas tangentes:
y + \ ln2 = i ~ ^
y - i ln 2 = i (x + 2)
6.13. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = xx en el punto de abscisa x = 1.
Resolución
y = xx = > ln y = x ln x =$■ —yy' = lnx + x x—i ==¿- y = xx(\ax + 1)
La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es:
m = 1 (ln 1 + 1 ) = 1
La recta tangente:
y —1 = 1 (x —1) = £• y = x
6.14. ¿Bajo qué ángulo se cortan las curvas de ecuaciones y —senx e.y = cosx?
4
Resolución
Los puntos de corte de ambas funciones se obtienen resolviendo la ecuación:
senx = cosx ==?■ tgx = 1 x= U kir, k eZ
—+
n
El ángulo de corte de las dos curvas en x = — es el de las rectas tangentes respectivas en dicho punto.
Las pendientes en x =
y, = cosx ir V2
2
mi = eos -
4
y. = —senx =$> m% = —sen 7T = ——
—
Por último: V2
1 + m\.m2 ,x t
2
“4
a arctg 2V2 = 70o3l'43"6
6.15. El lado de un triángulo equilátero crece a razón de 5 cm por minuto. ¿Con qué velocidad crece su área
cuando el lado mide 26 cm?
Capítulo 6 / Derivada de una función 113
Resolución
El área A de un triángulo equilátero en función de su lado l es:
A Z2 V 3
4
Se desea saber con qué velocidad v ——dA crece A en el instante en que l = 26 cm. Mediante la regla
de la cadena: _ d A _ d A d ¿ _ 2l
dt di dt 4 dt
Si —dt = 5 : v= 2-26-~ -5 —65-V3 cm2/min.
4
6.16. i Las dimensiones de un depósito en forma de paralelepípedo son 8 m de largo, 2 m de ancho y 4 m de ¡
profundidad; se está llenando de agua a razón de 2 meteos cúbicos por minuto. Hallar la variación de
la altura del nivel del agua respecto al tiempo, en el instante en que la profundidad del líquido es de
l m. |
Resolución
Si la profundidad del agua es igual a x, el volumen de agua contenido en el depósito es:
V= 2 • 8 •x = 16x = 4 x= V dx = 1
—dv —16
—16 = 4
Según la regla de la cadena:
dx dx dV _ 1 _ 1
d i = dV " d i ~ 16 ’ ~~ 8 m/mm
El nivel del agua aumenta de un modo constante, debido a la forma del depósito. Por otea parte, la
profundidad del agua (4 m) es un dato innecesario.
6.17. ¿Con qué velocidad aumenta el áréa de un círculo en el instante en que su radio vale 10 cm, sabiendo
que dicho radio crece uniformemente con velocidad igual a 2 cm por segundo?
Resolución A = n ■t ? = 4 —<d¿Ar = 2nr
Cuando r = 10 cm: _ddAt = -dd-A-r-- dr 2nr ■2 —4.nr
dt =
dA —4te • 10 = 4071-c-ms---
-d—t
6.18. Desde un mismo puerto salen simultáneamente dos barcos. El barco A, en dirección norte, y el barco
B, en dirección este. ¿Con qué velocidad aumenta la distancia entre ellos si la velocidad del barco A
es de 30 lcm/h y la del barco B es de 40 km/h?
114 Introducción al Cálculo
Resolución
D = 7 ( 3 0 1)2 + (40 í)2 = 5 0 1
dD
—dt = 50kmyh
6.19. i Calcular -Vlí—m>0 x--1-+-—--s-ce-ons2xx .
Resolución
Sustituyendo infinitésimos equivalentes y aplicando L’Hopital:
lim x-+----s-e-n--2-x---_ ¡un x + sen2x _ ^ l + 2 se n x -c o s_x _ _1 _
x^0 1 —COSX x-s-0 x 2 x-*0 X 0
6 .20 . i¡ Ca■lcular xl-í»m0 f\ x——c tg x Y/
Resolución
Es una indeterminación de la forma oo —oo. Pasando a la forma jj, sustituyendo infinitésimos equi
valentes y aplicando L’Hopital:
jl1ti--m9-0((Vl-x1------t-1g-1-x-\-/\) = lxi-m*o--t-xg--•-*x-t-g--x-*x---= xlí—m tg x -x
x- x
1 2 • senx •cosx
= Km cos22xx----- • = K m ------- £co2s24^x------- = xl-í+mo sen*
x->ó ,v->o eos2 x
6.21. |: Calcul'ar-xK-tmOxA.
Resolución
A — Km x A'. Tomando logaritmos:
A--Í-0
ln A = Km x • lnx = 0 • (—oo)
x-*0
Se transforma en una indeterminación de la forma —OO y se aplica L’Hopital:
oo
,ln A, — Km ln* = Km 1 A —e°A—1
A"—>0 1 x _ ^0
r = Km ( - x ) = 0
x 1 A'—>0
x2
• N o t a Comprobarlo con la calculadora, dando a x valores próximos a cero: x=0,01, x=0,001, etc.
Capítulo 6 / Derivada de una función 115
6 .22. Calcular lím (1 —x )ctgA.
x-*0
Resolución
Es una indeterminación de la forma 1°°. Tomando logaritmos naturales:
A= lím (1 - x )ctgx =>• ln A = lím ctgx •ln(l - x) - ln(l —x) 0
-v—>0 Km — — — = -
x-»0 x-*U tg X U
Aplicando L’Hopital:
-1
ln A = Xlcí—m>0 1 ~1 - = -41 - = - 1 = » A = e- 1 = 7
6.23. l+ ln (c o sx )
i Calcular ,ylí-m+§ — l-.-+--t-g--x------.
Resolución
lím —l+ l-n--(-c--o- s x ) — 1 + ln O— = —00
l+tgx l + t g | OO
Aplicando L’Hopital:
—senx
ln A = Km CQf — = Km - senx eos x = —1 • 0 = 0
X— 1
6.24. cosx + e* :' •_..........
Calcular xl-í*moo senx + ex
Resolución de la forma —O0O0 . Aplicando L’Hopital:
Es una indeterminación
—senx + e* 00
xK- >m00 c--o--s--x--+-—e A— = —00
ApKcando L’Hopital reiteradamente, permanece la indeterminación. L’Hopital no es aplicable en este
caso. Dividiendo por ex: eos X
— +1
xK—>m-00 hC11A------- = 1
ex
ya que senx y cosx son funciones acotadas, y ex —> 00 cuando x —> 00.
6.25. Representen la función:
/(*) = senx si - y - < x < n
X — 71 S Í 7T < X < 6
Estudiar su continuidad y derivabilidad en x —n .
116 Introducción al Cálculo
Resolución
Las derivadas laterales en x = ?r son:
/+ (* ) /l!í-m»0 h = hl-í+m0 _(jr +/z_) -_ jr - 0. =*lrí->m0 -h* 1
/K!->m0 / O ■h) —h)
fL (n ) -h ■f ( n ) = lhím-+o5sen(7r -h —0 Km —sen—h = Km
h-> 0 — h h~* 0
No es derivable en x : 7r. Las derivadas laterales no coinciden (ver Figura 6.13)
Continuidad en x = n\
1) / ( t t ) = sen?r = 0.
2) x—Km / ( x ) = AK—m^0 / ( j t + h ) : hK->m0 (n + h —n )
jc—lí>m1x / (x) = hK—m>-0f ( n —h ) = hK—m>-0 sen(7r —h) = 0.
Por tanto, Jim / ( x ) = 0 = / (jr), lo que impKca que / ( x ) es continua en x = n.
6.26. ■Estudiar la derivabilidad de la función:
| ■ ’• ■. m =í * si x < 0
l Inx. six > 0
j en el punto de abscisa x = 0.
Resolución
Continuidad de la función en x =0:
1) / ( 0) = 0.
2) Km / ( x ) =hK-+m0 / ( 0 + h) = hK->m-0 ln(0 + h) -OO.
*-+o+
x-K+m0~ /( x ) = hK->m-0 f ( 0 - h ) = hK~+m0 (0 - h) = 0.
La función presenta una discontinuidad esencial en x : 0, por tanto, no es derivable en dicho punto
(ver Figura 6.14).
Figura 6.14
Capítulo 6 / Derivada de una función 117
6.27. ! Escribir sin valores absolutos la función / ( x ) = |3A—3|, representarla gráficamente, y estudiar su
I derivabilidad y continuidad en x = 1 . .
Resolución
3* —3 > 0 =>• 3X > 3 = $ x > 1
Por tanto, x > 1 = > |3* - 3| = 3* - 3. Si x < 1, |3* - 3| = -(3 * - 3) = -3 * + 3.
La función puede reescribirse así:
f(x) = 3* —3 si x > 1
-3* + 3 si x < 1
Derivabilidad en x = 1:
f, (l1;) = l™ímo fí+ h-h—) - f ( 1) = 31+ —3 „ 3(3*-1)
J+ l/!í-m>o ;h------- = bh-m+o------h-------
= hli-myo h—— = 3 • ln3. yaque 3,! - 1 « h ■ln3
J/ ' (K1) = hlí-m+0 — ------—--h, - 3 1-* + 3
= hb-ym0 —h------ = - 3 -ln3
No es derivable en x = 1, ya que / '( 1 ) + / I ( l ) (ver Figura 6.15).
Figura 6 .1 5
Continuidad en x = 1:
1) / ( 1) = 0.
2)' Xlí-m>1+f (x ) = hl-íym0/ ( I + h ) = hlí-my 0(31+/! - 3)= 0.
lím f (x ) = hl—ím>0/ ( I -h ) = f/ii—n>aU( - 3 1_/l + 3) = 0.
x -¥ \~
La función posee límite en x = 1.
3) Xlí-m+1 / ( x ) = / ( 1) = 0 = » f (x ) es continua en x = 1 .
6.28. ! E studiar la derivabilidad y continuidad d e / ( x ) —x —E (x) para los valores enteros de x.
Resolución
Sea a e Z:
1) / ( « ) = a —E (a) = a —a = 0.
118 Introducción al Cálculo
2) lím /( x ) = lím f ( a + h) = Km (a + h) - E(a + h) = a - a = 0.
/i-í- 0 /j—> 0
x-+a+
= lím f ( a - h) = Km (a - h) - E(a - h) = a - (a - 1) = 1 .
lím_ f (x )
/z—> 0 /z—> 0
X~±G
Es discontinua de una unidad de salto para a e Z. Como no es continua, tampoco es derivable en
a e Z (ver Figura 6.16).
/- 2 /l /o V
’- l ’ 1
Figura 6 .1 6
6.29. Estudiar la continuidad y derivabilidad, en * = 0 y x = - 1 , de la función:
sen x si 0 < x < n
f í x) —\ —x3 si 0 > jc > —1
—3x - 2 si —1 > x
Resolución
Derivabilidad en x = 0:
/ j ( 0) = lím /< ° + * W ( ° ) = 1Im ^ ( O + ZD - O = »= ,
/l->0 h /i->o h *—>o h
f U o, = íim M r W - / W ) = , m _ lfra * 1 = 0
/i->o —/i /í—>0 —/j /i~»o —A
No es derivable en x = 0.
Continuidad en x = 0:
1 ) / ( 0) = 0.
2) Í-l9í-m0+ f (x ) = /!l-í>m-0 /( 0 + h) = /il—ím>-0 sen(0 + h) = 0.
xl—í>m0 / ( * ) =/z—>0 lím / ( 0 /z-—>0/i) = lím - ( 0 - h)3 = 0.
La función posee límite en x = 0.
3) I™ f (x ) = f (0) —0 =$■ f (x ) es continua en x = 0.
Figura 6.17
6 119Capítulo / Derivada de una función
Derivabilidad en x = —1:
frí/(, - í^) = /^lj—i>m0 / ( - ! +---*-ll) - / ( - ! ) = lhi„-m*-0-(-----l--+----/ih-)-3------l------= lhi-my -0---3--h---+---3h-h--2-----h---3---= - 3
f_( - 1) = /lif->m0 —/ ( ----l-----A--- h-)—- /—( -—l )- = llií-m*0——3 ( —1 — hhi-) —2 —l = „hlí-myo ——3hh = -3
-
Es derivable en x ——1. Es continua por ser derivable en x = —1 (ver Figura 6.17).
6.30. Sabiendo que ln 13 = 2,565, calcular el valor aproximado de ln 13,1.
Resolución
Sea y = lnx =>■ dy = -x ■dx. = 2,5727.
En x = 13: dy = — 0,1 = 0,0077.
13
ln 13,1 —ln 13 + 0,0077 = 2,565 + 0,0077
6.31. i Sabiendo queare sen0,7 = 0,7754, calcular are senO,72.
Resolución
Se considera la función y —are sen x. Su diferencial: dy — .1 2: • dx.
—x
VI
En x = 0,7: dy = ; 1 0,02 = 0,028.
y/l ~ (0,7)2
are sen 0,72 = are sen0,7 + 0,028 = 0,7754 + 0,028 = 0,8034.
6.32. El radio de una esfera mide 10 cm. Si dicho radio aumenta 1 nrni, ¿cuánto aumenta su volumen?
Resolución
y = / ( r ) = J j t r 3 = > d V = 4 itr 2dr; dV = 4n ■102 • 0,1 = 125,66 cm3
6.33. Hallar el valor de n para que la función y = —nx———1 sea creci.ente.
Resolución
Para que la función sea creciente, la derivada primera ha de ser positiva:
, ;i(x - 2) - (nx - 1 ) - 2 n + 1 1
yy = ----------(-x---—----2-)2 = ---(-x---—---2--)--2- > 0 = + —2 n > —1 = £ • 2 n < 1 = + n < -2
ya que (x —2)122 > 0 para todo valor de x, x ^ 2.
6.34. Estudiar y representar gráficamente la función /( x ) x2
X - 1'
Resolución
1. Dominio. No está definida en x = 1, ya que se anula el denominador. El dominio es E —{1}.
120 Introducción al Cálculo
2. Puntos de corte con los ejes. Si x = 0, / ( x ) = 0. Si f (x ) = 0, se tiene x2 = 0, siendo x = 0 una
raíz doble.
3. SCirmeceitmríaiesn:to/ (y—dxe)cr=ec—i—mx-ie—nto1-.. Ya que f (x ) f ( —x) y f (x ) i=- —/ ( —x), no es ni par ni impar.
4.
Si la primera derivada es positiva, la función es estrictamente cre
ciente: 2x(x —1 ) —xl ■2x
(x —l )2
/'(* ) (.x —l )2 > 0=4 x —2x > 0
ya que el denominador es siempre positivo. Resolviendo la anterior inecuación, resulta que /( x )
es estrictamente creciente parar: 6 (—oo, 0) U (2, oo); decrece en el intervalo (0,2) —{1}.
5. Máximos y mínimos. La primera derivada es:
x1 —2x : 0 = 4 x —2x = 0 ■0, x
/ '( * ) = (x - l )2
La segunda derivada es:
/" (* ) (2x - 2)(x - l )2 - 2 (x - l)(x - 2x) (x - l )3
(x - l )4
Se tiene que /" ( 0 ) < 0, /" ( 2 ) > 0. La función presenta un máximo en x = 0 y un mínimo en
x = 2. Sustituyendo estos valores en f(x ): el máximo se encuentra en (0, 0) y el mínimo, en (2,4).
6. Concavidad y convexidad. Si la segunda derivada es mayor que cero, la función es convexa:
f" (x ) = -(x—-^ —1)3J > 0 4 x > 1
Es convexa para x e (1, 00) y cóncava para x e (—00,1).
7. Puntos de inflexión. Carece de ellos, puesto que:
/"(x) = (x 2 l )3
-
8. Asíntotas. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical, ya que lím / ( x ) = 00.
Por otra parte: X -+ 1
m —xl—iymcc¡ -/-(-xx--)-- = „lim -x-----1--- ■ lím -= =1
x x - í -00 x
X-+ C G
n = Km [ /(x ) —mx] = Km ( — ------- x') = Km -------
x-*oa x - í -00 \ X — 1 / x —->5-0 0 X — 1
~ La función presenta una asíntota obKcua en y = x + 1.
Por último, su representación gráfica:
Capítulo 6/ Derivada de una función 121
6.35. Estudiar y representar la función f (x )
Resolución 0, por tanto, el
1. Dominio de definición. La función no existe si ex — 1 = 0 ==>• ex — 1
dominio es R —{0}.
2. Puntos de corte con los ejes. No hay puntos de corte.
3. Simetrías. f ( - x ) = -e-~--x-——-1 = 4 f (x ) ^ f (x ), f ( - x ) - f ( x ) ; no es par ni impar.
0X
4. Crecimiento y decrecimiento. La primera derivada de la función es: f'{x) —(ex —1 z)n < 0. El
denominador está elevado al cuadrado y es siempre positivo, el numerador es negativo para todo
valor de x, por tanto, es decreciente Vx e R —{0}.
5. Máximos y mínimos. No hay máximos ni mínimos, ya que la primera derivada no se anula para
ningún valor de x.
6. Concavidad y convexidad. La segunda derivada es:
f (x) = —ex{ex —l )2 + 2e2x(ex —1) e2x + ex
—— (ex - (iex - l )3
l )4
El numerador es positivo y el denominador lo es si ex —1 > 0 =4 e; > 1 x > 0. Por tanto,
es convexa en el intervalo (0, oo) y cóncava en (—oo, 0).
7. No hay puntos de inflexión, ya que f"{x) 0 para todo valor de x.
8. Presenta asíntota vertical en x = 0, ya que para x —0 se anula el denominador.
Presenta asíntota horizontal en y = 0 e y = —1, ya que:
lím f (x ) —xl-í>moqex.. *- 1 = 0
1
X—lyím—OOf (x )
; jc-K>m—oo —ex
Su gráfica:
Figura 6 .19
6.36. i Hallar los catetos del triángulo rectángulo de área máxima, entre todos aquéllos que tienen hipotenusa
■igual a 20 cm. .
Resolución
El área de un triángulo rectángulo de catetos a y b es igual a:
1 2 2 Introducción al Cálculo
y como a2 + b2 = 2Q2 S iJW -
z
Se ha obtenido S en función de a. Se ha de hallar el valor de a para el que S alcanza su valor máximo.
Para ello, se halla S' y se iguala a cero:
S' = - ■(y/202 —a2 + a■ -2a 2' :0
- V 202 - a
2
202 - a2 - a2 = 0 : a = V 200 cm
b = V 202 - 200 = V 200 cm
Para comprobar que se trata de un máximo, se puede acudir a la segunda derivada y ver que, efectiva
mente, S'(V200) < 0.
6.37. La base menor de un trapecio rectángulo mide 3 cm y el lado oblicuo 6 cm. Hallar el ángulo que debe
i formar dicho lado con la base mayor para que el área sea máxima.
Resolución x-r---4+2----f6-i ■h
El área del trapecio es:
x --lf- 334-|--33 • l,i =
2
3
a
3X
Figura 6 .2 0
Escribiendo x y h en función del ángulo a (ver Figura 6.20):
S = -6--e--o-s a + 6 6 sen a
ya que h = 6 sen a y x = 6 eos a.
Derivando e igualando a cero:
S' = 18 [—sen2 a + c o s 2 a -fe o s a ] = 18(2 cos2 a + co sa —1) = 0 : a = 60°
Para verificar el resultado se acude a la segunda derivada:
S" —18(—4 • co sa • sen a —sena); S"(60°) < 0
6.38. Una estatua de 4 m de alto está situada sobre una base de 3 m de altura. ¿A qué distancia, desde el
suelo horizontal, se verá dicha estatua bajo un ángulo máximo?
Resolución
En la Figura 6.21:
1 —tg a • tg/3 ’ X
x , 3 tga
X
Capítulo 6/ Derivada de una función 123
Figura 6 .2 1
Despejando a, derivando e igualando a cero:
a —are tg 4x 4(21 + x 2) - 8x2
21 + x2 (21 + x 2)2
4x '2
"+3
4(21 + x 2) —8x 2 = 0 : x = V21 m
6.39. Un canal de agua tiene una desviación en ángulo recto. El ancho del canal es de 5 metros y el de la
desviación es de 3 metros. Hallar la longitud máxima de un tronco que, flotando en el canal, pueda
i tomar la desviación.
Resolución
Sea l = a + b la longitud total del tronco. Por semejanza de triángulos (ver Figura 6.22):
ab
3 ~ 52
l= a+b 3b + b
■s/W ^2
l' 3 • V ¿>2 - 52 - 3b V ^ 5 2 |t 3 ■(b2 —52) —3b2 | 1 0
b2 - 5 2 (b2 - 52) ■-Jb2 - 52 725 + V ^ i 2 = 6.54 m
= » - 7 5 + (b2 - 52) • Vb2 - 52 = 0 = Cb2 - 52)3 :75
a = 4,65 m
124 Introducción al Cálculo
6.40. Dos ciudades A y B distan 4 y 7 km, respectivamente, de una línea de ferrocarril rectilínea. Sabiendo
que la distancia entre ambas es de 5 km, hallar el lugar de la línea donde debe simarse una estación
para que la longitud de las carreteras a construir sea mínima. ' {
Resolución
El lugar estará simado a x km del pie de la perpendicular trazada desde la ciudad A a la línea férrea.
La longimd de la proyección del segmento AB sobre la línea férrea es igual a 4 km (ver Figura 6.23):
Figura 6.23
La longimd total de las dos carreteras:
l = , A 2 + x 2 + 72 + (4 —x )2
Derivando e igualando a cero:
2x 2(4 —x)
2 - V l 6 + x 2 2 ■/ 7 2 + (4 - x )2
Despejando x:
x = 1,45 km
PROBLEMAS PROPUESTOS
6.41. Hallar, mediante límite de cociente de incrementos, la derivada de las funciones:
a) / ( x ) = V 2^ 1 .
b) / ( * ) = x a2 "+: :3! -
6.42. Hallar la derivada de:
a) y = senx2.
b) y = sen2 x.
c) y = sen2 x 2.
Capítulo 6/ Derivada de una función 125
Hallar la derivada de y = (senx)tg;c.
6.44. Hallar la derivada de xy —yx = 0.
6.45. Hallar la derivada n-ésima de y =
16 .W4 &■ Hallar la derivada n-ésima de y x 2 —5x + 6
6.4y7'/i Hallar la derivada n-ésima de y = x2 2x + 1 2
- 3x +
6.48. Hallar la derivada n-ésima de y = sen 4x.
6.49. Derivar implícitamente y2 ■x = x 2 • y.
6.50. Derivar implícitamente xy2 = x • are sen y.
CM^f. Derivar implícitamente (xy)senj: = yx.
6.52. Comprobar si la función y = eax satisface la ecuación diferencial y" —2ay' + a2y = 0.
6.53. Comprobar si y = -J(l + x 2)" satisface la ecuación diferencial (1 + x2)y" + xy' —n2y = 0.
6.54. Comprobar si y = sen(lnx) satisface la ecuación diferencial x2y" + xy' + y = 0.
6.55. Hallar a y b en la ecuación diferencial y" + ay' + by —0, sabiendo que y = e x + 2e2x verifica dicha
ecuación.
6.56. Hallar la derivada de y = -x2-x2---—+---11 conrespecto a la variable u —etgx.
6_.5_ 7_ . Dadas x = b+ a ■eos t e y = are tg —-Jba-2+-—-a-b-■2e-■o-sse-tn-t , —ddxy .
are e o s a + b ■e o s t
, hallar
6.58. Dada la función y = 4. ln(x2 + 1), comprobar que dy dx 1.
—dx • —dy =
' ''x
6.59^/ Hallar el ángulo que forman las curvas de ecuación y2 —4x = 0 y 2x2 + 5y = 12, en el punto (1, 2).
6.60. Demostrar que la parábola:
y = a(x —xi)(x —X2), a > 0, x\ < X2
corta el eje OX bajo ángulos a y fi yt u— < a < n, 0 < < —7 Vj\ que son suplementarios.
6.61. ¿Cómo debe elegirse el parámetro n para que la curva de ecuación y = are tg nx, n > 0, corte el eje OX
bajo un ángulo mayor que 89o?
6.62. Hallar el límite, cuando n 0 0 , de la ordenada de la función y = x’\ correspondiente al punto de inter
sección de la tangente en A(l, 1 ) con el eje de abscisas.
6.63. Hallar los puntos en los que las tangentes a las funciones y = 2x2 e y = x 4 son paralelas.
126 Introducción al Cálculo
6.64. Hallar las longitudes de la subtangente y subnormal a la función / ( x ) = 2x2, en x —1.
6.65. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = x2 + 4x + 5, que pasa por el origen de coordenadas.
6 .6 6 . x2 y2
6.67. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la hipérbola -=• —-=■ = 1, en el punto O o , yo ), es
xxq yyo _ .
a2 b2
Demostrar que la función / ( x ) — m ■enx tiene subtangente constante.
6 .6 8 . En un triángulo rectángulo, el cateto b mide 50 cm; el cateto c disminuye con una velocidad de 2 cm/s.
¿Con qué velocidad decrece la hipotenusa en el instante en que c = 24 cm?
6.69. De un globo esférico escapa el aire con una velocidad de 10 cm3/s. Cuando el radio del globo es de
50 cm:
a) ¿Con qué rapidez está disminuyendo dicho radio?
b) ¿Con qué rapidez está disminuyendo la superficie del globo?
6.70. Una escalera de mano de 4 m de largo está apoyada en el suelo horizontal y en un muro vertical. Supo
niendo que el pie de la escalera se separa del muro vertical a razón de 20 m por minuto:
a) ¿Con qué velocidad desciende el extremo superior cuando el pie está a 3 m del muro vertical?
b) ¿En qué instante el pie y el extremo superior se están desplazando con la misma velocidad?
c) ¿En qué instante el extremo superior desciende con una velocidad de 40 m por minuto?
6.71. Un punto se mueve con velocidad constante sobre la curva y = 3x2 —2x + 1. Cuando x —1, la abscisa
del punto está variando a razón de 0,6 unidades por segundo. ¿Con qué velocidad varía la ordenada en
ese instante?
6.72. Un punto se mueve con velocidad constante sobre la curva y = 6x 2 —3x + 2. ¿En qué punto de la curva
la abscisa y la ordenada del punto están variando con la misma rapidez?
6y73. 3
Un punto se mueve sobre la curva y = -x--+----1 , desplazándose su abscisa con una velocidad constante de
2 unidades por segundo. ¿Con qué velocidad se está moviendo su ordenada al pasar por el punto (2,1)?
6.74. Un punto se mueve sobre la curva y = x2, con velocidad constante. ¿En qué lugar de la curva están
aumentando con igual velocidad la abscisa y la ordenada de dicho punto?
. sx. x ^~~j sea derivable.
(XX *7“ u SI X > i
6.76. Estudiar la derivabilidad y continuidad, en x = 0, de la función f (x ) - ex —1 si x > 0
x3 six < 0.
6.77. Estudiar la derivabilidad y continuidad, en x = 0, para /( x ) senx six > 0
2x si x < 0.
6.78. Utilizando el concepto de diferencial, hallar, aproximadamente, VTÜ.
6.79. Hallar, aproximadamente, utilizando el concepto de diferencial, el incremento del volumen de una esfera
de 10 dm de radio, cuando dicho radio aumenta 3 mm.
Capítulo 6/ Derivada de una función 127
6.80. Dada la función f (x ) = V4x —x2, ¿es aplicable el teorema de Rolle en el intervalo [0,4]? En caso
afirmativo, hallar el valor de a.
6.81. Comprobar el teorema del valor medio para f (x ) = x 2 —3x + 2, en el intervalo [2, 3].
6.82.
Calcular los siguientes límites:
hm x ■senx
x-*0 1 —eos X
6.83. xlí-»m0 x X3
—senx
6.84. hm x • erlx e—2xei=-x---—1---x---+-- 1
6.85.
a - s- 0
senx
*h-m»0 eX
6. 86. alí—m^0 x —ln(l + x)
6.87. alí-»m-o x —sen x
6.88. hm ln(l + x + x 2) + ln(l - x + x 2)
---------------x--(ex —1—)--------------- .
a -> o
6.89. Ah-m>0 sen12x
1 —cosx
6.90. x 3 —3x2 + 3x —1
lím
6.91. hm (secx —tgx).
a-* I
6.92. Vx2+ 7 - 4
hm ---------- .
x —>-3 X —3
6.93. xh—m>0 (1 —2x —x 3) * .
6.94. lím (1 + s e n x ) c
6^5Í hm ("x—2j f r1 )\
x —>1 V X "+i" 1 /
6.96. 2
6.97. Hm (V-x---—----1------ ^ --—----1’)/ •
2
A -i-l X
Vi vxlí—m>-0 l —x .
------+--X-- —
3x
128 Introducción al Cálculo
6.98. ^ /x2- 3 x - 5
6.99.
x->oo \ x 2 — 4^ + 2 /
Estudiar y representar las funciones:
x2
f ( x ) = (x + l)2'
6.100. X
/(*) = x2+ 4
6.101. f ( x ) = x + senx.
6.102. f(x) = l n x^ -Íi.
—1
6.103. / ( x) = x + ex.
6.104. f ( x ) = ln(senx).
6.105. f ( x ) = 2x2 + \x\ + l.
6.106. f ( x ) = \x 2 - 9 \ + |jc |.
6.107. Determinar los valores de a para los que f ( x ) ——1 —ax es decreciente.
6.108. ¿Es cóncava o convexa la función f ( x ) —x +a en x = 2al
6.109. —a
x
Determinar el punto más próximo al punto (0 ,6) de la función f ( x ) = 2x2.
6.110. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y determina con los ejes de coordenadas un
triángulo de area mínima en el primer cuadrante.
6. 111. Dado un semicírculo de 6 cm de radio, hallar las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir
en él.
6.112. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en un cono de 3 m de radio
y 7 m de altura.
6.113. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor superficie lateral que se puede inscribir en una esfera de
10 cm de radio.
6.114. En un triángulo se conoce el ángulo a y se sabe que los lados contiguos a dicho ángulo suman 20 cm.
Hallar la longitud de estos lados de forma que el área del triángulo sea máxima.
6.115. Determinar un punto de la recta y = 2x, tal que la suma de los cuadrados de las distancias de dicho punto
a los puntos A (—5 ,0 ), 5 (5 ,0 ) y C(0, c) sea mínima.
6.116. Determinar un punto de la recta y = 2x + 1, tal que la suma de los cuadrados de las distancias de dicho
punto a las rectas y — x + 3 e y = 3x —5 sea mínima.
6.117. Se tiene un rectángulo de 12 cm de perímetro. Sobre sus lados se trazan cuatro semicircunferencias
exteriores a él. Hallar la superficie total mínima de la figura obtenida.
Capítulo 6 / Derivada de una función 129
6.118. Hallar los máximos y mínimos de la función:
f(x ) = (x-m)(x-n)
----------- --------
6.119. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera
de 10 cm de radio.
6.120. Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área entre todos los de perímetro igual a L.
6.121. Un espejo plano, de dimensiones 80 x 90 cm, se rompe por una esquina. De los dos trozos resultantes,
el menor tiene forma de triángulo rectángulo, de catetos 10 y 12 cm, correspondientes a las dimensiones
menor y mayor del espejo. Hallar el área máxima del espejo rectangular que se puede construir con el
trozo mayor.
6.122. Una esfera de radio R está inscrita en un cono de revolución. ¿Cuál ha de ser el ángulo del vértice del
cono para que su superficie total sea mínima?
6.123. Un barco está situado a 9 km de la orilla rectilínea. Se quiere enviar un mensajero a un campamento
situado en la orilla a 18 km del barco. Teniendo en cuenta que el mensajero recorre 4 km por hora remando
y 5 km por hora andando, hallar a qué punto de la orilla debe dirigirse para llegar al campamento lo antes
posible.
6.124. Una ventana tiene forma de rectángulo, con un semicírculo en la parte superior. Sabiendo que el perímetro
de la ventana es de 4 m, hallar las dimensiones de la ventana de mayor superficie.
6.125. Una empresa fabrica un artículo que vende a 400 euros la unidad. El coste total para colocar en el mercado
x unidades de dicho artículo viene dado por la función / ( x ) = 0,02x2 — 160x + 400.000. ¿Cuántos
artículos será preciso vender para obtener un beneficio máximo?
G É & s m ja
' APROXIMACIÓN LOCAL
s^ lf® ' DE UNA FUNCIÓN
En algunas ocasiones se trabaja con funciones que sería conveniente sustituir por otras funciones más
sencillas (por ejemplo, un polinomio), y tales que su diferencia con las anteriores en un entorno de un
punto sea evaluable y lo más pequeña posible. Es decir, dada una función f (x ), se buscará un polinomio
P (x) tal que, en un entorno de un punto dado a, se pueda sustituir f (x ) por P{x), cometiendo un pequeño
error medible.
% i ■ > : > e @ o n a m w n o s i ? © ü i í s m ■■ *
Sea el polinomio Pn(x) de grado n. Desarrollado en potencias dex - a tiene la forma:
Pn(x) = ao + a\{x —a) + ci2 (x —a )2 + a3(x —a )3 + ■• • + an{x —d)n (/)
Derivando sucesivamente Pn{x):
P'n{x) = ai + 2ü2(x - a ) + 3a3(x —a )2 H b nan(x - a )"- 1
P¡'(x) = 2a2 + 3 • 2a3(x - a) H b n(n —1)an(x - a )"-2
Pf¡n(x) = n\an
Parax = a: Pn(a) = a0
P'n{ a )= a \
P¡l(a) = 2a2
P'ñ'ia) = 3 - 2 a3
P ^ (x ) = n\a,
Despejando ao, a\, a2, ..., an y sustituyendo en Pn(x):
132 Introducción al Cálculo
que es la llamadafórmula de Taylor para polinomios.
E je m p lo 7.1 Desarrollar en potencias de x - 2 el polinomio P (x ) = x 3 + 3x2 —3.
P ( 2 ) = 23 + 3,22 - 3 = 17
P '(x) = 3x2 + 6x = + P '(2) = 3 • 22 + 6 ■2 = 24
P ”(x) = 6x + 6 = + P "(2) = 6 - 2 + 6 = 18
P"(x) = 6 =+> P " (2) = 6
y 94 1R 6
P(x) = 17 + — (X - 2) + — (X - 2)2 + ^(x - 2)3
= 17 + 24(x - 2) + 9(x - 2)2 + (x - 2)3
FORMULAS DE TAYLOR Y MAC-LAUR
La función / ( x ) admite derivadas hasta el orden n + 1 en el punto x = a y se desea hallar un
polinomio Pn(x), con el mayor “parecido” posible a / ( x ) en un entorno de dicho punto, para así poder
sustituir / ( x ) por Pn(x).
Se supone que Pn(x), desarrollado en potencias de x - a, es de la forma vista anteriormente (I):
P,t(x) = ao + ni(x - a) + ü2 (x - a )2 + a^ix - a )3 H f an(x - a )n
Para lograr el mayor “parecido” posible entre Pn(x) y /( x ) , en x = a, la primera condición es que
Pnifl) — f (o), lógicamente. Además, se hará coincidir las derivadas primeras, segundas, terceras, etc.,
con este fin.
Procediendo del mismo modo que en la sección anterior:
Pn(a) = a0 = f (a )
P'n(a) = a\ = f '(a )
P'ñ(a) = 2a2 = / »
P;i'(a) = 3 • 2a3 = / ' »
Pnl(x) = n \an = f {n(a)
Despejando ao. «i, «2, •••, an, y sustituyendo en Pn(x):
Pn(x) = f ( a ) + ^ 1 ' (X - a ) + ^ 2-! (X - a ) 2 + ■■■ + ^ n1\ (X - a ) n
que es el polinomio de Taylor de orden n de la función / ( x ) en el punto x = a.
Se define el resto o término complementario de orden n de la función / ( x ) en el punto x = a como:
PD-n+i ,(x), = f {n+l(a) (,x - a)^n^+1 , con a e (,a, x)n
-{—n +——1 )!
Rn+i(x) expresa el error cometido, en un punto x, al sustituir la función / ( x ) por Pn(x). Se puede
escribir:
/ ( x ) = f ( a ) + 2 M (x _ ay+ ¿ J E ! (x _ fl)2 + . . . + / i M (jc _ a )n + R (x)
1! 2! n\
Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función 133
Si a = 0, el desarrollo anterior recibe el nombre de fórmula de McLaurin:
f (x )^ = f (0) H,-----/1-'(!7O7“)x H,--/-"-(2tO!t-) x2 H,------- ,1---/--n(-inT(0”) „ , Dn+1 ( '
siendo:
Rn+i(x) = f ^ xn+1, con 0 < 0 < 1
(n + 1)!
de modo que 9x está comprendido entre 0 y x.
E je m p lo 7.2 Desarrollar f (x ) —ex mediante la fórmula de McLaurin, para n = 2 y n = 3.
f (x ) = ex /(O) =e° = l
f ( x ) = ex /'(O) = e° = 1
Sustituyendo en la fórmula de McLaurin:
P\{x) = 1 + —x = l + x
P2(x) = 1 + —1 x 1 — x2 ^ 1 + x X2
+ +y
Representando gráficamente /( x ) , P\{x) y Pi(x), se aprecíala aproximación:
f(x)
En general: /(x) = 1 + X+ — + — + ••• H ni + Rn+1(x)
siendo Rn+i(x) 2! 3!
x n+l
(n + 1)! e8x, con 0 < 0 < 1 .
PROBLEMAS RESUELTOS
7.1. | Desarrollar f (x ) = senx mediante la fórmula de McLaurin, para n == 5.
134 Introducción al Cálculo
Resolución
f(x ) : senx /(O) sen 0 = 0
:cosx /'(O ) eos 0 = 1
/'(* ) : —senx /"(O) —sen 0 = 0
/" (* ) —eos X /'"(O ) —eos 0 = —1
/" '(* ) senx
/ /VM cosx /(O) sen 0 = 0
/(O)
eos 0 = 1
—sen x
A continuación, se hallan Pi(x), P$(x) y Ps(x), ya que Pi(x) y P${x) coinciden con P\ (x) y P3(x) por
ser nulas las derivadas respectivas (ver Figura 7.2):
Pi(x) = 0 +
P3(x) = 0 + 'x + 0 - ^37! JC = X ~ ~ oZ X D3 X J5
P5(x) = 0 +
■X + 0 - i - x 3 + 0 + ^ | X 5 x ~ ~ 6 + m>
El desarrollo de McLaurin para n = 5 es:
f ( x ), — X x 3 x 5 sen0x
------------ 1----5--!-------------6---!-----X
3!
con 6 e (0, 1 ).
7.2. Hallar el desarrollo de McLaurin de orden n para la función / ( x ) = (1 + x )m.
Resolución
/ ( 0) = 1 / ' ( 0) = m
/ " ( 0) = m(m - 1 )
f'{x) = m (l + x ) m—1
f" (x ) = m(m - 1)(1 + x ) m~~2 / '" ( 0) = m(m - \){m - 2)
f " ( x ) = m(m - 1 ){m - 2)(1 + x ) m—3
/^*(x) = m(m —1) . . . (m —n + 1)(1 + x)m n =$■ / ^ n(0) = m(m —1 ) . . . (m —n + 1)
Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función 135
El desarrollo de McLaurin:
f(x ) = 1+ m + m(m — 1) xz9 + • ■• + -mi(m----—---1-)--.-.-n-. \^(-m---—---n--+----1)ó xn,, + Rn+l(x )
—1 ! x 2!
0 +(T)X+(2)*2+'''+(n^X " +Rn+1( x )
siendo:
Rn+ 1to n m+ l )) ( l + 0x )m- ,I“ V I+1
7.3. Hall 1 el desarrollo de McLaurin para f (x ) = ln(l + x).
Resolución
/ (0) —ln 1 = 0
f'(x) 1 + x /'(O ) = 1
1 /"(O) = - 1
/'" (0 ) = 2
/"OO = (1 + x )2
f IV(0) = -3 !
f" (x ) = (1 2 n+1 ,
+ x)3
f ,v (x) 3!
(1 + * ) 4
f in(x) = ( - l">n + i Cn- Ü !
(1 + x )n
Entonces: ln X = 0 + X - y + y - -- - + ( - 1 )',+1- + /?„+! W
siendo:
Rn+i(x) /Zl rn+l ( _ 1 )»X«+1
y 9 € (0, 1). ( n + l ) ( l + 0x )'!+1
(1 + 6x)'l+l ( - D n ( n + l ) !
7.4. Hallar el desarrollo de orden dos en un enlomo de —JT, para / ( x ) = tg x.
Resolución
/(x ) ” tgx '(í) ^1
/'(!)-
/'(* ) cos2 x /"SH
2 •senx
/"OO cos3 x
Aplicando la fórmula de Taylor:
22 // 7nr\\ 44 // n7 T\\2¿ 2- eos2 a + 6 • sen2 a , Tt \ 3
1 + tt(x - 4) + v x
■s* = ~ ?) + 3! • eos4 a 4/
con 7t/4 < a < x.
136 Introducción al Cálculo
7.5. i En el desarrollo de McLaurin de / ( x ) — eax aparece un término igual a 36x3. Calcular a.
Resolución
f (x ) = eax = + /(O) = 1
f ( x ) = a - e ax
/" ( x ) = a 2 ■eax = > /'(O ) = a
f'" (x ) = a 3 • eax
=► /"(O) = a2
= + /"'(O) = a3
Por tanto: a a z2 0 a33 ?
+ V.X + 2 \ X + 3 \ X + ‘ "
a3 36 =$■ a = 6
3,
7.6. Hallar eos tt/ 12, con un error menor que 10 3, utilizando la fórmula de McLaurin.
Resolución
/(x ) = cosx = > /(O) = 1
f'(x ) = - senx = + /'(O ) = 0
/" ( * ) = - c o s x = * / " ( 0) = - l
f"'(x) = senx = + / " '( 0) = 0
f IV(x) —cosx = + f IV(0) = 1
El desarrollo de McLaurin:
, X2 X4 X6
COSX — i — “ + “ — “ +
El error ha de ser menor que una milésima: 10“3 = 0,001. Tomando una cifra decimal más, es decir,
cuatro cifras decimales, y tomando términos del desarrollo hasta que se anulen dichas cuatro cifras:
eos ^ = 1 - 0,0342 + 0,0002 - 0,0000 +._•• = 0,9659
Directamente, con la calculadora, resulta 0,9659258.
7.7. Hallar ln l , 3, con un error, menor qué 10"2, utilizando la fórmula de McLaurin, para / ( x ) = ln (l + x).
Resolución
Como se ha visto en un ejercicio anterior:
l n ( l + * ) = X -Xy2 + Xy 3 - —X 4 + . . .
Tomando x = 0,3 y tres cifras decimales, ya que el error ha de ser menor que 10- 2 = 0,01:
ln (l + 0,3) = 0,3 - 0,045 + 0,009 - 0,002 + 0 ,0 0 0 ----- = 0,262
Capítulo 7 / Aproxim ación local de una función 137
7.8. Dada la función / (x) = 10x40 —3x30 + x 10, hacer un desarrollo en serie de potencias de x —1 y
h a l l a r / ( l , 001) con un error menor que 10~2.
Resolución
/ ( x ) = 10x40 - 3x30 + x 10 = 4 /(1) = 8
/ '( * ) = 400x39 - 90x29 + 10x9 = » /'(1 ) = 320
/" ( x ) = 15600x38 - 2610x28 + 90x8 =► /" ( 1 ) = 13080
f " (x ) = 592800x37 - 73080x27 + 720x7 =► /" '(1 ) = 520440
El desarrollo de McLaurin:
f ( x ), = „ 320, ~~ l) + —1320¡—80i,x ~ ^ ) ~ 520440, ~ , •
8+ "Y¡-(x 3--------------- ^
Se toman tres cifras decimales, como se hizo en el ejercicio anterior, puesto que el error ha de ser
menor que ÍO-2 = 0,01:
/(1,001) = 8 + 0,320 + 0,007 + 0,000 + • •• = 8,327
7.9. Calcular sen 0,3 mediante la fórmula de McLaurin. Acotar el error cometido al lomar los siete primeros
términos del desarrollo.
Resolución
se„ x 3 x 5 , x 7 |sen(0x)| , R
con 0 < 8 < 1 . sen0,3 = ° ’3 “ 0 33 0^ 3]5------0-=370,295520206
El error cometido: e = -0^3-|8se n (O ,3 0 )|
y como | sen(0,3 9)\ < 1:
€ < —0,-—3 = 0,0000000016
8!
7.10. Utilizando un desarrollo en serie, calcular el valor de e0,2 para n —3 y acotar el error cometido.
Resolución
Por tanto: / ( * ) = «* = > / ( 0) = 1
/ '( * ) = ex = > / ' ( 0) - 1
f " ( x ) = e x = ¥ / " ( 0) = 1
/" '( * ) = ex = » / " '( 0) = 1
x2 x3
e'c = l + x + — + — + 5 4 ( x)