188 Introducción al Cálculo
d) La función x2 + y2 = r 2 es un cilindro de radio r, cuyo eje es el eje de coordenadas OZ:
Figura 1 1 .7
e) La función x2 + y2 = z2 es un cono con vértice en el origen de coordenadas, cuyo eje es el eje de
coordenadas OZ\
Figura 11 .8
2 2
f) La función z —j es un paraboloide de vértice el origen de coordenadas, cuyo eje es el eje
de coordenadas OZ (ver Figura 11.9). Sus secciones horizontales son elipses.
,.2 Figura 1 1.9
g) La función 1 es un hiperboloide de una hoja:
Figura 11.10
189Capítulo 11 / Funciones de dos variables
h) La función z2 x2 y2 = 1 es un hiperboloide de dos hojas:
c¿ ----a--¿- — -pr
Í M CeX§ QDDSÍ^QOjJDíKs)
• DEFINICIÓN 11.4 Dado un punto (a ,b ) e R 2, se define el entorno circular de radio r como el
conjunto de los puntos (x, y) e R 2, tales que y (x —a )2 + (y —b)2 < r.
Y
X
Figura 1 1 . 1 2
líim _______________ _________ _________
O DEFINICIÓN 11.5 Sea Z = f (x , y) unafiinción definida en un entorno circular E del punto (a, b).
Se dice que L es el límite de dicha función cuando (x, y) tiende a (a, b), si a toda sucesión de puntos
(x, y) contenida en el plano XY, convergente al punto (a, b), le corresponde una sucesión de valores
f (x , y) que converge a L.
Se puede definir en témiinos de e y 8: la función z = f (x , y) tiene por límite L cuando (x, y)
tiende al punto (a , b) si Ve > 0, 35 (e) > 0, tal que si 0 < V(x —a )2 + (y —b)2 < 8, se cumple que
\f(x ) —L\ < e y se representa:
190 Introducción al Cálculo
De un modo gráfico:
Figura 1 1 . 1 3
Una función de una variable, y — f (x ), posee límite L en un punto x = a si para toda sucesión de
valores de x que tiende a dicho punto, tanto por la derecha como por la izquierda, le corresponde una
sucesión de valores de f (x ) que tiene por límite L. Para funciones de dos variables la situación es más
compleja, ya que la sucesión (x, y) puede tender al punto (a, b) a lo largo de las infinitas curvas que
pasan por (a, b), contenidas en el plano XY. Para que el Kmite exista, ha de ser siempre el mismo con
independencia de la trayectoria seguida.
E je m p l o 11.3 Sea la función: x2 —y2
x2 + 3y2
f( x , y)
de dominio R 2 —(0, 0). Se quiere hallar su límite en (0,0). Si existe, dicho Kmite ha de ser el mismo para
cualquier sucesión (x , y) que tienda a (0, 0), a lo largo de una curva y = 0 (x) que pase por el origen de
coordenadas. El Kmite en la dirección del eje OX, tomando y = 0, es:
lím f (x , y) = Km f (x , 0) = Km -=x—2 —- O2 = 1
(x,;y)->-(0,0) x-±0 x-^-0 X + 3 • 0
El Kmite en la dirección del eje OY, tomando x = 0, es:
(jc.yl)í—m(0,0) f (x , y) = yK->m-0 / ( 0 , y) = Km O2 —y2 = —-31
0-=—+
y-^-0 3y
Los límites no coinciden. Por tanto, la función carece de Kmite en (0,0).
E j e m p l o 1 1 .4 Sea la función: xy
/(*, y) = x2 + y2
de dominio R2 —(0, 0). Se quiere hallar su Kmite en (0, 0).
El Kmite en la dirección del eje OX, tomando y = 0, es:
lím f(x , y) = Km f (x , 0) = Km x ■0
(jc,;y)->(0,0) x-*-0 ’ x-í-0 X 2 + O2
El Kmite en la dirección del eje OY, tomando x = 0, es:
191Capítulo 11 / Funciones de dos variables
Los límites anteriores coinciden, pero considerando la dirección de la recta y —x:
(í,y)lí-m>(0,0) f(x , y) = *l-í>m-0 f (x , x) = xlí^m0 X '2 = 1
—2x-=2• -2
L a función no posee límite, ya que para distintas direcciones los lím ites son distintos.
EJEMPLO 11.5 Sea la función: x2y
x4 + y2
de dominio R2 —(0,0). Se quiere hallar su límite en (0,0).
El límite en la dirección de toda recta que pase por (0,0), y = mx y es:
x2y Xy¿== lí1m1111 mx~ 1l1í1m11 mx m7lT :0
luínmí x—4j--+---m-- zz—xr¿- = —x lr -
(x,>>)->(0,0) x 4 + x->0 x->0 +
Pero, en la dirección de la curva y ¿2.
llm 1
*-»o x 4 + x4 2
La función no posee límite, ya que para distintas direcciones los límites son distintos.
La condición necesaria (pero no suficiente) para que:
es que: lím /( x , y) = L
(x,y)-*(a,b)
lím / ( x , 4Kx))
siendo 4>(x) una curva contenida en XY, que pase por (a, b).
Es decir, el procedimiento anterior permite resolver los casos en los que el límite no existe, pero no
permite resolver los casos afirmativos.
E j e m p l o 11.6 Sea la función:
/( x ,y ) x 2 + y2
Se quiere hallar su límite en (0, 0). Tomando una recta que pase por el origen de coordenadas, y = mx,
se tiene: „3
h m ------ * = h m / ( x , mx) = h m — ——^ = 0
( jr .y ) —>-(0,0) X ¿ + y x-> 0
Si dicho límite existe ha de ser igual a cero, pero su existencia no está probada, ya que lo anterior no
es condición suficiente. Para probarla, se toma la definición de límite:
hm ■0 <----->■ Ve, 35 > 0 / 0 < x2 + y2 < S =>• x2 + y2 < e
En efecto, x --+---y-=• <~ < |x| < ^ x 2 + y2 < S.
Tomando S = e, queda:
0 < yjx2 + y2 < S = x2 + y2 - 0 < e
192 Introducción al Cálculo
Con lo que queda demostrado que (*>yl)í—m>-(0,0) —x =2x+3y ¡2r = 0.
Podría haberse utilizado coordenadas polares1: x = p eos 8, y = p sen 0. Si p —> 0, entonces
(jc, y) -► (0, 0):
x3 /K)-»m■o p ■—cos7zfe0-o--+s-3--s0-e--nxz—0 —plí-m* op a 0 = 0
lím>(0,0) -x=z--+---y--z- = eos
ya que —l < eos3 0 < 1 es una función acotada, y p —> 0.
1. Si existe el Kmite de una función z = f (x , y), en un punto (a, b), dicho límite es único.
2. El Kmite de la suma de dos funciones en un punto (a , b) es igual a la suma de los límites respectivos.
3. El Kmite del producto de dos funciones en un punto (a , b) es igual al producto de los límites
respectivos.
4. El Kmite del cociente de dos funciones en un punto (a, b) es igual al cociente de los límites respec
tivos, siendo el Kmite de la función del denominador distinto de cero.
• DEFINICIÓN 11.6 Se dice que lafunción z —f (x , y) es continua en un punto (a, b) si:
1. Lafunción está definida en (a, b).
2. Existe Km f(x , y).
{x,y)-*(a,b)
3 - ,(x,y)!-ím+(,a,b)
O en términos de e y 8: la función z = f (x , y) es continua en el punto (a, b) si, y sólo si, Ve > 0,
3<5(e) > 0, tal que 0 < y¡(x —a )2 + (y —b)2 < S imphea que |/ ( x , y) —f (a , b)\ < e.
EJEM PLO 1 1 .7 L a función del ejem plo anterior / : K 2 —»• E, definida com o:
f(x ,y ) x3 si (x, y) / (0, 0)
x 2 + y2 si (x, y) = (0, 0)
0
1 Un punto P puede representarse utilizando coordenadas cartesianas (x, y) o coordenadas polares (p, 8), siendo p el módulo
del vector O P y 9, el ángulo de dicho vector con el eje OX.
La relación entre las coordenadas cartesianas y polares viene dada por:
x = p • eos 81
y = p ■sen 8 I
Capítulo 11 / Funciones de dos variables 193
es continua en todo M2, ya que si (x, y) ^ (0, 0):
lím f(x , y) = lím x 3D a 3D = f(a, b)
X-=~-+---y--2 =• = a-2=+----b-2---
(x,y)-*{a,b) (x,y)-+(a,b)
En (0, 0), ^ lím^ ^ f (x , y) = 0 —/(O , 0), como se vio anteriormente (Ejemplo 11.6).
:.i :i . 1 '.j[c1.'I'-.:- 01k’ | ,M:¡ -, |
1. La suma de dos funciones continuas en un punto (a, b) es una función continua en dicho punto
(a, b).
2. El producto de dos funciones continuas en un punto {a, b) es una función continua en dicho punto
(a, b).
3. El cociente de dos funciones continuas en un punto (a, b) es una función continua en dicho punto
(a, b), siendo la función del denominador distinta de cero en (a, b).
4. La función compuesta de dos funciones continuas en un punto (a, b) es una función continua en
dicho punto (a ,b ).
5. Las funciones polinómicas de dos variables son aquéllas que están formadas por sumas de potencias
x’”yn, m, n 6 N. Dichas funciones son continuas en todo R2. Asimismo, las funciones racionales
son continuas excepto en los puntos en donde se anule el denominador.
Si se corta una superficie de ecuación z = f (x , y) con un plano y = b, paralelo al plano XZ, se
obtiene una curva plana z = f (x , b), en la que z es únicamente función de la variable x. Al límite:
/lií-m>o f (a + h ,b )~ f (a, b)
h
se le llama derivada parcial def con respecto a x, en el punto (a, b), y se representa en la forma:
df(a,b)
dx
Geométricamente, ■es la pendiente de la recta tangente a la curva anterior z — / ( x , £>), en
el punto (a, b, c) [siendo c = f (a , ¿>)], contenida en el plano y = b (ver Figura 11.14). Por tanto, la
ecuación de dicha recta será: z - c ^ —3f (da-x-,-b---) (rx - a )
Figura 11.14
194 Introducción al Cálculo
De forma análoga, tomando un plano x = a, paralelo al plano YZ, se obtiene una curva plana
z = f (a , y), en la que la variable z es únicamente función de la variable >■. Al límite:
f ia , b + k ) - f ia , b)
lím
se le llam a derivada parcial de f con respecto a y en el punto (a,b), y se representa:
3f ia , b)
dy
Geométricamente, 3f(3ay,b) es la pendiente de la recta tangente a la curva anterior z = f i a , y), en el
punto (a, b, c), contenida enlel plano x == a (ver Figura 11.15). Por tanto, la ecuación de dicha recta será:
z - c ——3f{idaay,,b ) (y - b)
Figura 1 1 . 1 5
Por último, la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto ia ,b ,c ) será el determinado por
las dos rectas tangentes anteriores:
x —a y —b z —c
1 0 3f ia .b )
0 1 dx
3f i a , b)
dy
Es decir: df{a,b )irx )^- \,---3-f--{d—ay—,b ){ry —b„)
— dx
z —c = - a
EJEM PLO 1 1 .8 Sea la función z = f{x, y) —2xy2 —3xy. L a derivada parcial con respecto a x es:
—3dx/ = lAi—ms-0-2-(-x---+---h--)-y--2--—---3-{--x--+- n--h--)y---—----i-l-x--y--2--—---3-x--y--)
2xy2 + 2hy2 —3xy —3hy —2xy2 + 3xy
hK-+m0 h
= hl„í-mt o 2hy2 - 3 h y •-f-„c----m---h-{--2-y--2h- 3y) = „2y2 —3oy
h-= Km
195Capítulo 11 / Fundones de dos variables
La derivada parcial con respecto a y es:
9 / 2x(y + k)2 - 3 x (y + k) - (2xy2 -3 x y )
—dy■= ¿l-í>m-0 --------------------------- k-----------------------------
— ]jm -2-x--{-y--2--+---k--2--+---2--y-k--)--—---3-x--y---—---3-x--k--—---2--x--y-2---+---3-x--y-
h-yO k
= 2xk2 + Axyk —3xk = lh—i—m>-0k(2xk + 4xy —3x) = 4xy —3x
kl—im>0 ------------ k k
La derivada parcial de z con respecto a x puede hallarse de un modo directo considerando la variable
y como constante. De este modo, z es función de una sola variable x. Del mismo modo, se puede hallar la
derivada parcial de z con respecto a la variable y.
Como y son, a su vez, funciones de las variables x e y, se puede reiterar el proceso, obteniéndose
cuatro derivadas parciales de segundo orden:
L (*L\ = tL . L ( * L \ = Í J - L ( * L \ = í!lL - L(*L\ = tL
d x \ d x / dx2 ’ 9y\9x/ dydx’ d x \d y / dxdy’ d y \ d y / dy2
EJEMPLO 1 1 .9 En la función del ejemplo anterior, z — f ( x , y) = 2 xy2 —3xy:
d2Jf = 0; ddy2d¿fx- = 43, - 3; dd-2-x-df-¿y_ = 4 y _ 3 ; —d2Lf = 4X
dx2 dy2
■ TEOREMA 1 1 . 1 (SCHW ARZ) Si la función z = / ( x , y) admite derivadas parciales en
el punto (a, b), siendo continua en dicho punto, entonces existe 9 y se verifica que:
d2f (a , b) = d2f{ a,b )
dydx dxdy
La diferencial dy de una función de una variable y = f (x ), se definía (Capítulo 6) como
dy = f'{x) dx, donde dy representaba el incremento que experimentaba la variable dependiente y para
un incremento dx de la variable independiente x.
• DEFINICIÓN 11.7 Sea la junción de dos variables z = f (x , y). Si la variable y permanece cons
tante, z esfunción únicamente de la variable x, y la diferencial parcial de z con respecto a x se puede
definir como | | dx, que representa el incremento de z.para un incremento dx de la variable x, cuando y
permanece constante.
Del mismo modo, si x permanece constante, z es función sólo de y, y la diferencial parcial de z
con respecto a y es dy, que representa el incremento de z para un incremento dy de la variable y,
permaneciendo constante la variable x.
• DEFINICIÓN 11.8 Se llama diferencial total de z a la suma de las anteriores diferenciales parciales:
d,z = —d3xz dx, +, d—dyz dy
que representa el incremento de z para sendos incrementos de las variables x e y.
Por otra parte, si x e y son, a su vez, funciones de otra variable t, entonces la derivada de z con
respecto a t será: dz dz dx dz dy
dt dx dt dy dt
que es la regla de la cadena para una función de dos variables.
196 Introducción al Cálculo
■; A ^y ró 'fc'íiv , ó iivn.'.f-K
• DEFINICIÓN 11.9 La junción z = f (x ,y ) presenta un máximo local o relativo (mínimo local o
relativo) en el punto (a, b) si existe un entorno E de dicho punto, tal que f (a , b) > f (x , y) [f (a , b) <
/ ( jc, y ) ] para todo (x, y) e E.
Sea (a, b, c) un punto de la superficie z — f ( x , y). La condición necesaria para la existencia de
un máximo o un mínimo relativos es que las rectas tangentes paralelas a los planos coordenados (Sec
ción 11.9) sean horizontales (ver Figura 11.16), es decir, que se verifiquen las dos condiciones:
df(a,b) _ d f (a, fr)
dx
^ dy
Figura 1 1 , 1 6
Las condiciones anteriores no son suficientes, pues la función podría presentar un punto de silla o
puerto (ver Figura 11.17). En el punto {a, b, c) de la Figura 11.17, las dos rectas tangentes, paralelas a
los planos XZ e YZ, son horizontales y, sin embargo, dicho punto no es un máximo ni un mínimo:
Figura 1 1 . 1 7
Por último, para saber si en el punto (a, b) la función presenta un máximo o un mínimo, se estudia el
Capítulo 11 / Funciones de dos variables 197
determinante llamado hessiano:
d2f (a , b ) d2f (a , b)
dx2 dydx
d2f{a, b) d2f ( a , b )
dxdy dy2
d2f ( a , b ) > 0n 4 en (a, b)
=4> mínimo
Si H > 0:
dx2
Si H < 0 = > punto de silla en (a, b).
Si H = 0, se trata de un caso dudoso.
í)fJotlSo [¡ato®®®ESQBSIMDQHFtyjS^^ ESQii^íMi3Si
Si se desea hallar los máximos y mínimos de una función z = f (x , y), en la que las variables vienen
ligadas por la condición F(x, y) = 0, se puede eliminar una de las variables utilizando dicha condición
F{x, y) = 0 y aplicar, a continuación, el procedimiento expuesto en la sección anterior.
Otra forma de proceder es la conocida con el nombre de método de los multiplicadores de Lagrange:
para hallar los máximos y mínimos de la función z —f (x , y) con la condición F(x, y) = 0, se construye
la llamadafunción de Lagrange, esto es, W(x, y, X) = f (x , y) + XF(x, y); a continuación, se resuelve
el sistema de ecuaciones:
F(x, y) = 0
Los puntos en los que f (x , y) tiene un máximo o un mínimo estarán entre las soluciones del sistema
anterior. A la variable adicional Xse le llama multiplicador de Lagrange.
PROBLEMAS RESUELTOS
En los problemas 11.1 a 11.7, hallar el dominio de las funciones:
1 1 . 1 . i z —-*Jl—x2 —y2.
Resolución
Ha de ser 1 —x2 —y2 > 0 = > x2 + y2 < 1, que es un círculo (incluida la circunferencia) de centro
el origen y radio igual a 1 .
11.2. ? = ln(y2 - 2 x + 3).
Resolución
Ha de cumplirse y2 —2x + 3 > 0. Por tanto, el dominio corresponde al exterior de la parábola
y2 = 2x —3.
198 Introducción al Cálculo
11.3. z —y + are senx.
Resolución
El seno de un ángulo está acotado entre -1 y 1. El dominio será la zona [—1,1] x i .
11.4. X4 r
T9
Resolución
xz2 y2z x2 y2
1 — ------- — > 0 =>■ — + — < 1, que corresponde a una elipse de semiejes iguales a 2 y 3, con
centro el origen.
11.5. hz~= ln(xriry); '
Resolución
Semiplano x + y > 0.
11.6. tl^zíV—:■-íx-:-;-—-1-:-1-;H—' iyi'-.■' C : , V ■í :.í■ÍL:; ^ ^ ! ^:- :: - :i :í■ ■
Resolución
{R —{1}} x {M —{0}}. Todo M2, salvo las rectas x = 1 e y = 0.
11.7. , _ 1
: a/ 1 - x2 —y2
Resolución
x 2 + y2 < 1. El círculo x 2 + y2 —1, sin la circunferencia.
11.8. Calcular el límite: x2~ - y ¿2
lim x 2 —2xy + y2,
(*,y)-KU)
Resolución (x lím ,1) —x 2= x —y y2 = 0 Indeterminado.
-.
Simplificando: , y ) —>-(1 — 2xy +
0
(x.jl,Oí,m-KU) (—x +—(x-y---)-(-xy--)—=2—y) x+y 2
= lím x---—---y-- = oo
-0 =
(x,y)->(l,i)
199Capítulo 1 1 / Fundones de dos variables
11.9.
Resolución
En la dirección de la recta y = mx:
J x 2 + m 2x2 x jl+ m 2 Jl+ m 2
lím —----------------= xlí-m*o V mx - V m
El límite en (0,0) no existe, ya que depende de m y 1 + m2 será distinto para cada valor de m.
1 1 . 1 0 . Estudiar la continuidad de la función:
f ( x , y) = x2 + y2^ si (x, y) (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
i en el punto (0, 0).
Resolución
En coordenadas polares: x —p eos 9, y = p sen 6:
(x,yl)í-m>(0,0) x xy J = plí-m5-0 p eos ti sen plí-m*o p2 eos 9 sen3 9 —0
eos2 0 + sen2 0
2+ y2
ya que eos 9 y sen 9 son funciones acotadas y p -» 0.
La función es continua en (0,0), ya que:
lím = 0 = / ( 0, 0)
1 1 .1 1 . i Estudiar la continuidad de la función: x sen y si (jc, y ) (0 , 0 )
f { x , y) ,, i si (x, y) = (0, 0)
0
Resolución
La función es continua en R2 —(0, 0), por ser f (x , y) una combinación de funciones continuas y el
denominador x 2 + y2 j=. 0, para todo (x, y) / (0, 0). El límite en (0, 0):
200 Introducción al Cálculo
En coordenadas polares:
lím —xxy r- = lím p —cocsozxs00+sesnenx0z—0 = pli-m»o p eos 0 sen 0
p-+o
(x,y)->(0,0) x z + y
ya que eos 0 y sen 0 son funciones acotadas y p —»■0.
La función es continua en (0,0), ya que (x,yl)í-m>(0,0) / ( x , y) = 0 = / ( 0 , 0).
11. 12. i Estudiar la continuidad de la función:
i
[ senx —sen y '' ,
. : x —y
Resolución
Es continua en R2 —{(a, a), a 6 M}, ya que no está definida en los puntos (a, a). Sin embargo:
x+y x -y
(x,yl)í-m>(a,a) -s-e--n-X-x--—---s-ye--n--y- = (x,yl)í-m*(a,a)2---c-o--s-----2-X--—---yS--S-n-----2- —
2 c o sx---+----y-x---- -y—
2 2
= lím x —y
(x,y)^(.a,a)
(x,yl)íi-m>(o,a) cos —* +-—y = cos a
ya que sen cuando 0.
La función posee Kmite en {a, a), pero no está definida.
11.13. Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de la función z = 4x3 —6xy + 2y3
Resolución
Considerando constante la variable y:
3x = 12x 2 —6y
Considerando constante la variable x:
dz -6x + 6y2
3y
Las derivadas parciales segundas son:
—3d xi2r- = 24x; 3B—yz r2- = 12y; 3 z = ---3---z--- = —6,
3y3x 3x3y
11.14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la superficie z = x 2 + y2 + 1, en el punto (1,2,6), pa
ralelas a los planos YZ y XZ. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en dicho punto.
Capítulo 11 / Fundones de dos variables 201
Resolución
ax = 2x. En el punto (1, 2, 6), ~dx = 2. La recta tangente a la superficie en (1,2, 6), paralela al
plano XZ es:
z - 6 = 2 (x - 1 )
dz = 2y. En el punto (1, 2, 6), dz = 4. La recta tangente a la superficie en (1, 2, 6), paralela al plano
— —
YZ es:
z —6 —4 (y —2)
El plano tangente en el punto (1,2, 6) contiene las dos rectas anteriores:
x —1 y —2 z —6 :0
10 2
01 4
Desarrollando el determinante: 2x + 4y —z —4 = 0.
11.15. Hallar la diferencial total de la función z = x ■sen y + y • senx.
Resolución —adxz = sen y + y •eos x
—ddyz = x • eos y + senx
Las derivadas parciales son:
La diferencial total es:
dz = (sen y + y • cosx)rix + (x • eos y + senx)riy
11.16. Hallar el valor aproximado de 1 ,0 1 ’ .
Resolución
Se considera la función z —xy. La diferencial total: dz = y ■xy~] dx + xy ■lnx dy.
Para x = 1 e y = 4, con dx —0,01 y dy —0,03:
dz = 4 • l 4-1 • 0,01 4 - 14 • ln 1 ■0,03 = 0,04
Por tanto: 1,014’03 « l 4 4- 0 ,0 4 = 1,04.
11.17. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm. ¿Cuál será la variación de la hipotenusa cuando
dichos catetos aumenten 3 y 2 mm, respectivamente?
Resolución
Llamando x e y a los catetos, la hipotenusa es z = y / x 2 4- y2.
dz —x dx 4—y/x2y4=- =y=2 dy = ■■■ 3 0,3 4— -...4......... 0,2 = 0,34 cm
y/x2 4- y2 V32 4- 42 V32 4- 42
La hipotenusa aumenta 0,34 cm. Por tanto: 5 4- 0,34 = 5,34 cm.
202 Introducción al Cálculo
Directamente, con la calculadora: a/3,32 + 4,22 —5,3413481...
11.18. i El radio de un cilindro aumenta a razón de 0,1 cm/seg y su altura a razón de 0,2 cm/seg. Hallar la
¡ velocidad de crecimiento del volumen y de la superficie en el instante en que el radio y la altura son
| iguales a 4 y 10 cm, respectivamente.
Resolución
El volumen es V = n r 2h. Por tanto (Sección 11.10):
—ddV—t —2nnrh, —ddrt + n r 2 —ddht
dV rr • 42 • 0,2 =
dt = 27t •4 • 10 • 0 ,1 + 1l,2rr cmS/seg
La superficie S = 2nrh + 2n r2:
—ddS—t = (2nh, + 4.n r ). dr + 2nr —ddht
d—t
—ddSt 2
—(2n ■1 0 + 4rr •4) 0,1 + 2n ■4 ■0 ,2 = 5,2jr
cm /seg
11.19. Hallar los máximos y mínimos de la función:
x2y2 + x + y
xy
Resolución
dz x7y = 0
dx xy¿ —1
dz
dy
Resolviendo el sistema: x = 1, y = 1.
Las derivadas parciales segundas son:
d2Z 2 ' 3z dz = i; 3^£
dx2 x3 ’ dydx dxdy 3y2
El hessiano para x —1, y —1: 21
H 1 2 = 3 >0
d2z 2 > 0, existe un mínimo en ( 1 , 1 ).
Y, puesto que dx2
1 1 .2 0 . , Hallar los máximos y mínimos de la función:
Capítulo 11 / Funciones de dos variables 203
Resolución
dz 3x - 9 y = 0
dx
dz
dy 3y2 —9 x = 0
Resolviendo el sistema: x = 0, y = 0; x = 3, y = 3.
Las derivadas parciales segundas:
d2z 6~x; d2z d2z dz
dx2 dydx dxdy - 9 ; j ? = 6y
Particularizando las anteriores derivadas para x = 0 e y = 0, se obtiene el hessiano:
H= 0 -9 -81 < 0
-9 0
Como H < 0, en (0,0) hay un punto de silla.
Procediendo del mismo modo para x = 3 e y = 3:
H= 18 - 9 : 243 > 0
- 9 18
Y como ddxzS¿j = 18 > 0, en (3, 3) la función presenta un mínimo.
Encontrar el punto de la superficie:
= yjx2 + y2 - x_y + 1
más próximo al origen de coordenadas.
Resolución
Un punto cualquiera de la superficie será (a, b, V a2 + b2 —ab + 1), de distancia d al origen:
d —yj(a —0)z + (b —O)2 + (t/ ci2 + b2 —cib+ 1 —O)2 = V 2a2 + 2b2 —ab + 1
En lugar de d, se considera la función D = d2, por comodidad en los cálculos, ya que si d2 es mínima en
un punto, también lo será d. Igualando a cero las derivadas parciales de D = d2:
dD = 4a —b = 0
da
a —b —0
dD
~db = 4b - a=0
Las derivadas parciales segundas:
d¿ D ■4; d2D d2D - 1"; d2D
da2 dbda dadb db2
El hessiano: H= 4 -1 = 15 > 0
Existe mínimo en (0,0,1). -1 4
204 Introducción al Cálculo
1 1 .2 2 . Dividir un segmento de longitud m en tres partes, de modo que su producto sea máximo.
Resolución
Llamando x, y, m —x —y, a cada una de las partes:
P = xy(m —x —y) —mxy —x2y —xy2
se tiene: dP
dx
■my —2xy —y = 0
-$d—Py = mx —2xy —x2 —0o ■x = y —m /3
Las derivadas parciales segundas:
d2P = -2y, —ddy2—dPx- = d2P = m —2 x —2y; d2P -2x
dx2 -dxd-y —dy—2
El hessiano para x —y = mj3:
-2m/3 —m/3 m /3 > 0
—m/3 —2m/3
Como —dd¿xP7¿T= —2m/3 < 0, existe máximo para x —y = m/3.
11.23. Hallar la distancia mínima entre las rectas:
x = -y = -z ; x = y = z - 2n
Resolución
Las rectas en paramétricas son:
x=a x —b
y —3a y=b
z = 2a z= 2+b
El problema se reduce a hallar el mínimo de la función d:
d = J { a - b)2 + (3a - b)2 + ( 2 a - 2 - b)2
En lugar de la función d se toma la función d2, para simplificar los cálculos. Se igualan a cero las
derivadas parciales de d2:
2(a - b ) + 6(3a - b) + 4(2a - 2 - b) = 0 a = 0, b ■ -2/3
-2 (a - b ) - 2(3a - b) - 2(2a - 2 - b) = 0
Por las condiciones del problema, la función debe presentar un mínimo para a = 0, b ——2/3.
Los puntos de distancia mínima son (0,0, 0) y (—2/3, —2 /3 ,4 /3 ), y dicha distancia mínima es:
-y/4 /9 + 4 /9 + 16/9 = -n/24/3
11.24. Capítulo 1 1 / Funciones de dos variables 205
Se quiere convertir una plancha de zinc de 60 cm de ancho en un canalón, como muestra la Figu
ra 11.18. Hallar el valor de x y de a para que el caudal sea máximo.
xx
60 —2x X ce
Figura 1 1 . 1 8
Resolución
Para que el caudal sea máximo, el área de la sección ha de ser máxima. El área de un trapecio es igual
a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura:
S = 60 —2x + 60 —_2x + 2x ■eos a x ■sen a = (60 - 2 x + x - eos a ) ■x ■sen a
Igualando a cero las derivadas parciales de S\
3S = 60 • sena —4x ■s e n a + 2x •sena •cosa = 0
dx
3S 60 x ■eos a —2x2 ■eos a + x 2(cos2 a —sen2 a ) = 0
3a
Resolviendo el sistema, se obtiene: x = 20 cm, a = 60°.
11.25. El volumen de un paralelepípedo es igual a 8 cm3. Hallar las dimensiones del de superficie total
mínima, empleando el método de los multiplicadores de Lagrange.
Resolución
La superficie total 5 del paralelepípedo de dimensiones a, b y c es:
S = 2 (ab + ac + be)
Se halla el mínimo de la función (Sección 11.12):
W = 2 (ab + ac + be) + X(abc —8)
puesto que el volumen V = abe = 8. Igualando a cero las derivadas parciales de W:
3W : 2 (b + c) + Xbc = 0
3a
3W : =2 (a + c) + Xac —0
~db
3W 2 (a + b) + Xab —0
de
De estas ecuaciones y de la condición abe - 8 = 0, se obtiene la solución a = b = c —2. Se trata de un
cubo.
206 Introducción al Cálculo
PROBLEMAS PROPUESTOS
Hallar el dominio de las funciones:
11.26. Z = 1 + y /-(x - y)2.
11.27. •r
11.28. z= A _ A-
11.29. z = ln(x2 + y).
11.30. z = «Jx • sen}».
11.31. z —x + J y .
11.32. I
x2 + y2
11.33. Representar gráficamente la función z = x2 + y2, hallando sus intersecciones con planos paralelos a los
planos coordenados.
11.34. Realizar lo mismo para la función z —xy.
11.35. Realizar lo mismo para z = A 6 —4x2 —y2.
11.36. Identificar y dibujar las superficies: a) y2 + z2 —9; y b) x2 + 2y2 + z2 —4x + 4y —2z + 3 = 0.
11.37. Estudiar la continuidad de la función: x3 + y3 si (*, y) # (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
f(x ,y ) x2 + y2
en el punto (0, 0). 0
11.38. Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de la función z = e-T+sen>’.
11.39. Hallar lo mismo para la función z = A 2 + y2-
11.40. Hallar el plano tangente a la superficie z2 —2x2 —2y2 —12 = 0, en el punto (1, —1 , 4).
11.41. Hallar la diferencial total de la función z = x 2 + y3 —2xy.
11.42. Hallar lo mismo para la función z —xy.
11.43. El área lateral de un cono sufre un cierto incremento debido a pequeños incrementos de ^ cm en los
valores de r y h, que eran de 4 y 5 cm, respectivamente. Hallar el incremento de dicha área.
11.44. Estimar el valor de A(3,01)2 + (3,99)2.
11.45. Comprobar que la función: 2x + y
Capítulo 1 1 / Funciones de dos variables 207
veri■ffíica que x dz h yd—dyz = 0.
dx
11.46. Comprobar que la función:
z = ln y x 2y + are tg(x 2y)
veri■ffíica que x -d9-xz---- 2oy —d9yz = 0n.
11.47. Dada la función:
z2 + -x - Jy2- z2 = 0
v
demostrar que x 2-d3-xz---1----y-1--dd-yz- = 1
-z.
11.48. Dada la función z3 —xz —y —0, demostrar que:
d2Z 3z2 + X
dxdy (3z2 —x )3
11.49. Hallar los máximos y mínimos de z = x3 + x2y + y2 + 2y + p. Hallar p para que z tenga un mínimo
igual a cero.
11.50. Hallar el paralelepípedo de mayor volumen entre todos los de superficie total igual a 24 cm2, utilizando
el método de los multiplicadores de Lagrange.
11.51. Descomponer el número 9 en tres sumandos, de modo que la suma de sus cubos sea mínima.
11.52. Dados tres puntos del plano no alineados, hallar otro punto tal que la suma de los cuadrados de sus
distancias a ellos sea mínima.
11.53. Inscribir en un círculo de 1 cm de radio un triángulo de área máxima.
11.54. Hallar la distancia mínima del punto (2 ,1 ,1 ) al plano de ecuación x + y + z = 1.
11.55. Sobre los lados de un rectángulo de 8 cm de perímetro se trazan cuatro semicircunferencias exteriores a
él. Hallar la superficie total mínima de la figura obtenida, utilizando el método de los multiplicadores de
Lagrange.
11.56. Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vértice en el origen, con sus aristas adyacentes
coincidiendo con los ejes de coordenadas. Hallar el volumen máximo de la caja si el vértice opuesto al
origen está sobre el plano 6x + 4y + 3z —24 = 0.
11.57. Hallar los máximos y mínimos de la función:
z = x lnx + y Iny
estando ligadas las variables x e y por la relación x + y = 2 .
O J Ü lffM
: en
iNTEGFtA«0 ¡\SMULTIPLE
■ Cj
En el Capítulo 9 se estudió la integral definida, /* f (x )d x , que permitía hallar el área bajo la función
f ( x ) entre las abscisas a y b. Se va a calcular ahora dicha área de un modo más general, mediante una
integral doble. Asimismo, dicha integral doble, f Js f (x , y) dxdy, tiene una interpretación semejante a
aquélla como el volumen bajo la superficie f (x , y) en el dominio S. El desarrollo expuesto para las inte
grales dobles se aplica a las llamadas integrales triples, que no presentan ninguna característica específica
distinta a la de aquéllas.
Si se quiere hallar el área de un recinto S de E 2 (ver Figura 12.1), limitado por las abscisas x = a y
x —b (a < b), y las funciones y = p(x), y —q(x) continuas \p(x) < q(x)], tomando una partición
P = [xa, x i , . . . , x,,} de [a, b], con x¡ < x¡+\ (0 < i < n —1), xq = a, x„ —b, siendo S la norma de la
partición P y t¡ e [x¡ - \ , x¡], el área A del recinto S viene dada por (Sección 9.1):
" rb
Ip Ví) - q(t¡)](xi - x ¡-i) = lp(x) —q(x)) dx
A= ¡=1 a
Figura 12.1
2 1 0 Introducción al Cálculo
Pero se puede expresar A de otra forma; tomando una franja cualquiera [x ,_ i, x¡], puede subdividirse
en franjas horizontales [yj_i, yj], dando lugar a rectángulos cuya suma es el área de la franja considerada
en la Figura:
yj
yj-1
Figura 12 .2
Entonces, el área total A será la suma de las áreas de todos los rectángulos:
A= % /i m (X¡ -X {-1)
£ [£ o v -w -i>
i= 1 _/=!
siendo y la longitud de la diagonal más larga de dichos rectángulos.
El área A se puede expresar como:
p b f pi-qq\¿(x)
/ / dx
Ja L J p(x) ^
Si se tiene una función de dos variables z = f (x , y), definida en un recinto S, a la expresión:
j f(x , y) dxdy
se le llama integral doble sobre el recinto S, y representa el volumen del cilindro de generatrices paralelas
al eje OZ, limitado por la superficie z = f (x , y) y el plano XY en la Figura:
Figura 12 .3
J JLa interpretación de la integral doble, f (x , y) dxdy, como un volumen se basa en el hecho
de que si f (x , y) > 0 en S y se hace una partición de S en subrectángulos, entonces el producto
f (x , y ) dxdy es el volumen del prisma de base dxdy y altura f (x ,y ).
Capítulo 1 2 / Integración m últiple 211
La forma de calcular la integral doble depende de como esté definido el recinto S\
a) Si el recinto S está limitado por las rectas x = a, x = b (a < b) y las funciones y = p(x),
y —q(x) continuas [pix) < q(x')] (ver Figura 12.4), entonces:
-b n pq{x)
í l f i x - y ) , , y j x = L U pPM f ( x , y ) dy dx
Se resuelve, en primer lugar, la integral del corchete y, a continuación, la integral exterior.
Figura 12 .4
b) Si el recinto S está limitado por las rectas y — a, y = b (a < b) y las funciones x Píy),
x = q{y) continuas [p(y) < <?(;y)] (ver Figura 12.5), entonces:
rb r rq(y) f (x ,y ) dx dy
( f n x , y)d x d y =tJaf [LJf pp(y)
J JS
Figura 12 .5
c) Si el recinto S es de otra forma, se descompone en regiones a las que se pueda aplicar los casos
anteriores.
» N ota
1. Si f(x , y) = 1, la anterior integral doble representa el área del recinto S.
2. Si f (x , y) es continua en el recinto [a, b] x [c, d], entonces:
nb rd nd rb
/ / f(x ,y ) dydx = I / / (x, y) dxdy
Ja Je Je Ja
rb rd rb rd
3. Algunas veces, la integral / I f (x, y) dydx se escribe en laforma j dx f(x ,y )d y .E n
este caso, se comienza porJraesoJlever la integral de la derecha y se procedJea marchJ ea atrás.
212 Introducción al Cálculo
12.3. CAMBIOS DE VARIA [Í-.=
j jSi en f (x, y) dxdy se hace un cambio de las variables (x, y) a las nuevas variables (u, v), rela-
cionadas según:
x = gi(u, v) I
y = g2(u, v) I
donde gi(«, v) y g2(«, v) son funciones continuas, con derivadas parciales continuas y exite una corres
pondencia biunívoca entre los recintos S de (x, y) y S* de (u, v) (la correspondencia T : S -+ S* es
//,biyectiva) (Sección 1.6), resulta: f[g \(u , V), gi{u, u)] \J\ dudv
f j f ( x'y) dxdy -
donde: dx dx
|/| = 3u dv
dy
3y
du dv
es el valor absoluto del determinante llamado jacobiano.
Por ejemplo, si se quiere pasar de coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (p, 0) (Sec
ción 11.5):
x = p cos 6 1
y = p sen 0 I
El jacobiano: cos 0 —p sen0
\ J \ sen 9 p cos 6
Por tanto: j j j jf (x, y) dx dy — f (p cos 9, p sen0)p dp dO
12.4. LAIN1EGRAL .ÜOUMl
Si el dominio de integración S es un sólido de M3 y el integrando es una función de tres variables,
f(.x, y, z), definida y acotada en dicho sólido, la integral triple se representa:
f(x , y, z) dxdydz
f íí
Si dicho dominio S es un ortoedro S = [a¡, b\\ x [a2, ¿>2 ] x [a2, ¿3], de forma análoga a la integral doble:
f í í f (x , y, z) dxdydz = í í f \ í f (x , y, z) dz dy dx
J J JS J ci\ J ci2 J a?, J.
E je m p lo 12.1 Sea la función / ( x , y, z ) = X + y + z , definida en S —[0,1] x [0, 2] x [0, 3], entonces:
Capítulo 12 / Integración m últiple 213
Jjj• NOTA Si f(x , y, z) = 1, la integral triple dx dy dz representa el volumen del sólido S.
Para calcular una integral triple, el dominio S se describe del modo siguiente:
1. Los límites de integración de la primera integral de la izquierda serán dos constantes numéricas.
2. Los límites de integración de la segunda integral serán dos funciones continuas de la variable ante
rior.
3. Los límites de integración de la tercera integral serán dos funciones continuas de las variables
anteriores.
E je m p l o 1 2 .2 Calcular: 1
I I Ils (x + y + z + l )3 dx dy dz
siendo S la región limitada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 (ver Figura 12.6).
Figura 12.6
Los puntos de corte del plano x + y + z — 1 con los ejes de coordenadas son los puntos (1, 0,0),
(0 ,1 ,0 ) y (0 ,0 ,1 ). La ecuación de la recta que pasa por (1,0, 0) y (0 ,1 ,0 ) es y —1 —x. Por tanto:
Jfo V.Jo ' l '1 - x -y (x + 1 l )3 dz dy dx «Ir r l - x 1 _i l-x-y dy dx
- 2 (x + y + z +
.fJo y+ z+ M 1 )2 _
-jCT-K 1 1 dy dx
4
(x + y + l )2
-L 8 1 1—X
2(x + y + 1) dx
1' 1- x 1 1 dx
8 4 + 2(x + 1)
-x1-62--38-x------2-1- 1—1 l n ,x + l11,nl " h + b n2
• 'Vri llridi) '.'5)I 1v'I íf tri'fe l.íil d'L'Afe
Sea el punto P(x, y, z) en coordenadas cartesianas. Si las coordenadas polares del punto proyección
de P sobre el plano horizontal XY son (r, 0), el punto P queda determinado por la terna (r, 0, z), que son
las llamadas coordenadas cilindricas de P (ver Figura 12.7).
214 Introducción al Cálculo
Figura 12 .7
La relación entre las coordenadas cilindricas y cartesianas viene dada por las fórmulas:
x —r- eos 9; y = r-se n 0; r —J x 2 + y2', tg 6 = x—
con r > O y O < 0 < 2?r. v
• N ota El cambio a coordenadas cilindricas está principalmente indicado cuando el recinto de in
tegración es cilindrico o en el integrando aparece una expresión de la forma x2 + y2 (ver Problemas
Resueltos).
COORDENADAS ESFÉRICAS
El punto P, de coordenadas cartesianas (x ,y ,z ), puede ser expresado mediante las llamadas coorde
nadas esféricas (p, 0, <p), con p > 0, —n /2 < cp < nJ2 y 6 e [0, 2n), siendo p el módulo del vector
OP, y 0 y los ángulos que forma la proyección de O P sobre el plano XY, con el eje OX y con dicho
vector OP, respectivamente.
Figura 12.8
Las relación entre las coordenadas cartesianas y esféricas viene dada por las fórmulas:
x = p ■eos ip ■eos 6
y —p ■eos (p • sen 0
z = p • sen (p
p2 —X2 + y2 + z2
con p > 0, <p € [—ti/2, 7r / 2] y 6 e [0 ,2n).
@ N ota El cambio a coordenadas esféricas está indicado cuando el recinto de integración es esférico
o cónico (ver Problemas Resueltos).
Capítulo 12 / Integración m últiple 215
m nm m m al
Si en:
/ / is 'y ’ ^ dX d y dZ
se hace un cambio de las variables (x, y, z) a las nuevas variables (n, v, w), relacionadas según:
X = gi(u, V, w)~
y = g2(u, V, w)
z = gs{u, V, w)
de modo que:
<• Las funciones gi (u, v, w), g2 (u, v, w) y gs(u, v, w) tienen derivadas parciales continuas,
o Entre los dominios S y S*, de (x, y, z) y (u, v, w), existe una correspondencia biunívoca (la
correspondencia T : S S* es biyectiva), entonces:
/ f j s ^ x , y ’ z^d x d y d z : / íís* ^ 8X^U' V' W^' 82<‘“ ’ V' W 8 3 (-U’ V’ du dvdw
donde: dx dx dx
du dv dw
dy dy dy_
\J\ du dv dw
dz. dz dz
du dv dw
es el valor absoluto del jacobiano.
Por ejemplo, si se quiere pasar de coordenadas cartesianas (x, y, z) a coordenadas cilindricas (r , 9, z),
el jacobiano es: dx dx dx
97 89 dz eos9 —r sen# 0
dy dy dy r eos 6 0
dr 99 dz sen0 1
dz dz dz 0 0
dr 99
Por tanto: fjjsf(x,y)dxdydz=fjjstf{r eos 6, r sen0, z)r dr d6 dz
z)(Ver ejercicios resueltos).
Si se desea pasar de coordenadas cartesianas (x, y, a coordenadas esféricas (p ,6 , tp), el jacobiano
es:
dx dx dx
dp Í9 dtp eos q>eos 9 —pcostpsen9 —psentpcos9
dy dy 9y_ eos<psen9 p eos tpeos 9 —psentpsen9 = p eos ip
\J\ dp 99 dtp sen cp 0 p eos tp
dz dz dz
dp 99 dtp
Por tanto:
j jj j jjf(x , y) dx dy dz — f (p eos tpeos 9, p eos tpsen 9, p sen tp)p2 eos tpdpd9 dtp
(Ver ejercicios resueltos).
216 Introducción al Cálculo
PROBLEMAS RESUELTOS
12.1. Calcular Jr 2Jr 4(x + 2y) dxdy.
Resolución
/* 4 Ip*2 xr*r j c 2 - ,44 dy = Ifa2 (8 + 8y —2 —4y) dy = [6y + 2y2]2 = 12
dy=k
(x +
A H / A ,r*2
m
2y) dx
;■
12.2. , Hallar el área limitada por y = y , el eje OX y la recta x = 5, mediante una integral doble.
Resolución
Figura 12.9
i[ A y ] * = j A , ] ? 73 <<* = j f 5 y = 10 ■u. s.
12.3. Hallar el área limitada por la curva y = 4 sen X entre x = —7t y x —n, mediante una integral doble.
Resolución
Figura 12.10
A= _ /*4sen;t/2 _ r* 4 sen x- d x — rL—8 eos -x2 “
JJ jr/3
d/jr/3 -J/o ¿y dx = / 2 : 4 V 3 U. :
J tt/3
Capítulo 12 / Integración m últiple 217
12.4. Hallar el área limitada por las curvas y2 —9x e y —— , mediante una integral doble.
Resolución
Figura 12.11
n -/9x í-y — 9 / x 2'
dy dx — / [yVy9 dx
2/9 Jo ' \Í9x — — | dx = 27 u. s.
12.5. Calcular:
' 1 —x2 —y2 dx dy
donde S es el círculo de centro el origen y radio 1.
Resolución
Se pasa a coordenadas polares:
x = p eos 9 1
y —p sen 6 I
resultando:
JJ j-2?rr r l yjl —p2 eos2 9 —p2 sen2 Opdp d9
yj1 —x2 —y2 dx dy =
=t Ú p^ df.
d9
n2ix r pC
2tv
JO L J 1 t2dt
= J/o
mediante el cambio de variable 1 —p2 = t2 -pdp —tdt.
12.6. Calcular:
fí
siendo S el triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta x + y —1, y haciendo el cambio
de variables:
y —x = u I
y+x= v I
218 Introducción al Cálculo v —u y= u+ v
Resolución ——
Despejando x e j e n función de u y v:
y —x = u |
y+ x = vI
Es necesario hallar el nuevo recinto S* para las variables u y v. Para ello, se hallan las imágenes de
los lados x = 0, y —0, x + y = 1 , del triángulo S:
x=0 v —u 0 U= V
y= 0 U — —V
x + y —1 2 V— 1
u+v
v —u u + v = 1
Gráficamente:
Figura 12.12
El jacobiano:
\J\ 1
2
Por tanto:
[íe ^ d x d y = f[ e 'i\d u d v =f 1 rv —2i1e<í>í d udv
JJs JJs* Jo JT- v
2
dV=¡ l =
12.7. Calcular el volumen de la esfera x2 + y 2 + z2 —r 2, mediante integrales dobles.
Resolución
Se trata de una esfera de centro el origen de coordenadas y radio igual a r. Considerando únicamente
el primer octante, S = {(x, y) eM.2 / 0 < x < r, 0 < y < V r2 —x2}.
Capítulo 12 / Integración m últiple 219
Figura 12.13
El volumen total de la esfera será:
8 J J y r 2 —x 2 —y2 dy dx = 8 f ' í yjr2 —x2 —y2 dy dx
Se pasa a coordenadas polares. Es necesario hallar el nuevo recinto S* para las variables p y 9. Para
ello, se halla la imagen del cuadrante de círculo x 2 + y2 = r 2:
x2 + y2 = r 2 ==£• p2 eos2 9 + p2 sen2 9 = r 2 = 4 p2(eos2 9 + sen2 9) —r2
=4- p = r, 0 < p < r, 0 < 9 < —7T
Gráficamente:
tt/2 e
Figura 12.14
Por tanto, S* = {(p, 9) / 0 < p < r, 0 < 9 < n/2}, y:
j J Jfr rx/2 ir/2
V= 8 P \ j r 2 —p2 d9 dp —8 ^ p ^ r 2 —p2 ■9 dp
4„ f ' p f ñ P f dp = - 4 4 j f ’ f i , = í ^ 3 u. v.
haciendo el cambio r 2 —p2 = t2.
12.8. Calcular: JJ ex+ydxdy
siendo S = {(x, y) 6 M / |x| + |y| < 1).
Resolución
Se divide el recinto ó en dos recintos ój y 52, a izquierda y derecha del origen de coordenadas:
220 Introducción al Cálculo
y = -x + l
Figura 12.15
r r c [ C 0 p x + l n \ p —x + \ ex+y dy dx
I / ex+y dxdy + I ex+y dx dy — / f ex+y dy dx + / /
J JS\ J JS2
v — 1 * —X—1 J 0 X—1
j ^'e2x+1 — dx + j (e —e2x_1^
-e2x+l 0- e2x 1 1 1 e2 - l
---- ex
2 +
e_-1 _
12.9. Una pirámide está limitada por los planos coordenados y el plano x + 2y + 3z. —6 = 0. Calcular su
volumen mediante integración doble.
Resolución
Los puntos de corte del plano x + 2y + 3z —6 —0 con los ejes de coordenadas son los puntos (6 ,0 ,0 ),
(0, 3,0) y (0, 0, 2). El recinto S está limitado por los ejes X e Y, y la recta que une los puntos (6, 0,0) y
(0, 3, 0) es:
6 —x
y= —
2" 6 —x ~ 2 y dy dx
1r(6y - x y - y 2) 2 d,x —-1 /f 6(,■6 —6 ~--x-----x —6 —-—x 6 —x dx = 6 u. s.
Jf o o 3Ío\ 2 2
Figura 12.16
Capítulo 12 / Integración m últiple 221
12.10. Dibujar la región del plano que da lugar a las integrales siguientes y cambiar el orden de integración
a> í«en cada una de ellas:
l f(x,y)dydx.
b) / j f(x , y) dxdy.
/4 p2x . ................ .
J f(x , y) dydx.
ResoluciónA 'i ri/y
a) f f f(x , y) dydx — í f f(x ,y )d x d y .
JO J x 4
Jo J j y
Figura 12.17
b) í f f(x , y) dxdy — í f f(x ,y )d y d x + í f f(x ,y )d y d x .
J 0 J —y J —1 J —x » 0 Jx
n2x r2 ny Figura 12.18
py r Bp4
f{x, y) dydx — I / f(x ,y )d x d y + / f(x ,y )d x d y + / f(x ,y )d x d y .
Jl Jl J 2 Jy/2 J 4 Jy/2
Figura 12.19
222 Introducción al Cálculo "4 >2
12.11. Calcular:
í í —-Vv/fXx=:-+|=- = dy dx
;
JQ J/T I
Resolución
El recinto de integración es el de la Figura 12.20. La integral no es fácil.
Figura 12.20
Cambiando el orden de integración:
r2 ry2 i
/ / 'Jo Jo i dx dy x + y2 dy
4xT\ ¡M
J ( 2 ^ - 2-y/y2) dy
(2V2 - 2) J/Or 2 y dy = 4(V 2 - 1)
12.12. Hallar mediante integración doble la superficie limitada por las parábolas 3y2 = 25x y 5x2 = 9y:
a) integrando respecto a y en primer lugar; y b) integrando respecto a x en primer lugar.
Resolución
f í^ iy é ^ f í \ 25 X 5x2 dy dx 10-Tx3 5x3’ 1 0 - 5 = 5 u. s.
Jo J5x2/9 J
o ~~ ~9~ 3V3 ~r¡
n 79373 p5 / 3y2 dy ^ z !1 30V 5 53 _ 5 u. s.
y2¡25 dx dy = J/o V' . 3V5 3V5 25 “
~25~ 25
Figura 12.21
Capítulo 12 / Integración m últiple 223
12.13. Calcular:
III z2 _
siendo S el sólido del primer octante definido por:
x2 y2
Resolución
Figura 12.22 y2
La intersección de S con el plano XY es la elipse de ecuación x2 = 1.
r a r bf ~ ^ f ‘ na rb, 1- _21 c’/ 1 q2 h dydx
Jo Jo Jo yzd.zd.ydx =
nJo Jo
(_- 2 Ir a Ir b jl— y y- ~xJ2Ty~ Tybó23)\d,y d x,
V X aí
2 Jdo Jo
c 2 , flr y 2 x 2y 2 y 4 bjl dx
J J0 [Y 2a 2 4b2. ab2c2
¡y2c2 Ca ( \ X1 15
lo \ 2 a 2 + 2a4 y,á x
12.14. fVS72 rVí72 r 3
Calcular I I J l sen y dzdydx
Jo Jx
Resolución
224 Introducción al Cálculo
Siguiendo el orden de integración propuesto, la segunda integral no tiene primitiva elemental. Es
preciso invertir el orden de integración.
p-Jñ]2 r-y f 3 sen y dz dxdy — [ y f i 7 2 ny n4W ¡2 n
I [z ■sen y dxdy = 2 I / sen y dx dy
Jo Jo J 1 Jo Jo Jo Jo
¡•■s/tF/2
2 I [x • sen y2]l. dy = 2 I y ■sen y2dy
Jo Jo
: [—cosy ]q = 1
12.15. Sin realizar las integrales, describir el dominio de integración y reescribir las integrales en el orden
indicado:
•1 ry r-s/l-y2 dzdx dy, en el orden z, y, x.
I II dx, en el orden y, x,
a) JIfo44 JI/o.A•X¥Jxo- r 12—3,v—6y dz, . dy z.
b)
I
Resolución
a) El recinto es tal que 0 < y < l , 0 < x < y , 0 < z < yj1 —y2. Gráficamente:
Figura 12.24
puesto que z = y/í y2 + z2 = 1. Por tanto, z < y/l —y2 es el interior del círculo
y2 + z2 = 1. Cambiando el orden:
IJO IJx I JO dz dy dx
b) En este caso: 0<x<4, 0 < y 4 —x < z < 1-2--—---3x —6y . Gráficamente:
< —- — , 0
Figura 12.25
Capítulo 12 / Integración múltiple 225
La recta contenida en el plano coordenado XZ, que pasa por los puntos (4,0, 0) y (0, 0, 3) tiene
por ecuación: r —4 7
4 -3 3x + 4z - 12 = 0
Cambiando el orden de integración:
12-4; 1 2 - 3(.T1 - 4 ;
Jmo Jo Jo dy dx dz
12.16. Hallar el volumen del recinto S limitado por el cono zr —x2 + y2, y los planos z = 0 y z = 3.
Resolución
j j jEl volumen V =
dxdydz-
En coordenadas cilindricas (r, 0 , z), el dominio será {(r, 9, z), / 0 < r < 3, 0 < 0 < 2n, *Jx2 + y2
r < z < 3}. Por tanto:
pp2¿7jv1 p/*j3 pp3j pr¿2JnT ppz3
/ / / r dz dr dQ — /j I [rz]^ dr dd
Jo Jo Jr Jo Jo
pf2i njr pp33
= / / (3r - r 2)d rd 0
Jo Jo
= Jfo ■d9 = 9jv u . v .
12.17. Ha.llar el volumen del sólido S limitado por el cilindro x2 + y2 = 4, y los planos y + z = 4 y z = 0.
Resolución
226 Introducción al Cálculo
/2 r - r - \ / 4 — A'2 r 4 ~ ~ y n2 n + a /4 ~ x 2
I ____ I dzdy dx = I ¡
(4 —y) ¿fy dx
-2 J —Ja-x2 Jo J —2 J~s/4-x2
/> (•2 r „2-,4-»/4_■vx22 dx = 16zt-t2u. v.
-Ví= -dx
haciendo el cambio x = 2 sen í.
Podría hacerse en coordenadas cilindricas (r, 9, z). El nuevo dominio sería {(r, 9, z) / 0 < r < 2, 0 <
0 < 27r, 0 < z < 4 —r • sen#}. Por tanto:
12.18. Calcular: n2 jr />4—rsenS
I rdzd8dr —l6nu.v.
Jo
2 y2 z2
~ —rr~ xdxdydz
cz
siendo S el elipsoide: 2 22
— + L. + L. = i
a2 b2 c2
mediante los cambios de variable x = au, y = bv, z —cw.
Resolución
Considerando únicamente el primer octante, el recinto S es el elipsoide de la Figura 12.28:
Figura 12.28
Mediante los cambios x = au, y = bv,z = cw, el nuevo recinto S* es la esfera u2 + v2 + w2 = 1:
i2 —v2 —w2abc dudvdw
Capítulo 12 / Integración múltiple 227
siendo el jacobiano:
dx dx dx a 00 abe
0 b0
du dv dw
0 0c
dy dy 9y_
\J\ du dv d w
dz dz dz
du dv dw
Pasando a coordenadas esféricas:
n »1 r nTT//2z j¡-KJT//Z2 I--------
I J 1 —p2 ■abe ■p eos <pd(p dOdp
Jo
= Sabe j j j * /2 [^ 1 - p2 ■abe ■p2 sen <pjj2 dd dp
8abe J ^ J^ ' y 1 —p2p2 d0 dp = Sabe J [ e / 1 - p2p2 jr/2 dp
r=■ATtnaabbccJIo?JIIrKo!2/2-1-ee-—oo--ss-2?cot1sss4eenní ?2dtttdd=tt == Tirraabbee Ir sen 2t dt
n 2abc Jo
— -—
Jo 4 4
haciendo p —senf dp = cosí dt.
PROBLEMAS PROPUESTOS
12.19. Calcular j j (x2 —y) dydx, siendo S la región comprendida entre las gráficas de las curvas y = x2
y = —x2, x = 1, x ——1.
JJ12.20. Hallar xy dx dy, siendo S la región del primer cuadrante limitada por las curvas y —xLe y1 = x.
12.21. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b, mediante integración doble.
12.22. Hallar el área limitada por las curvas x2 + y2 = 10 e y2 = 9x, mediante integración doble.
12.23. Calcular■/ 1 Jí 3 ex2 dx dy, invirtiendo el orden de integración.
IL
12.24. Calcular7 /o 7J/ j‘i ey dydx.
12.25. r2 Any
e x dxdy. Hacerla de nuevo invirtiendo el orden.
12.26. Sea S el paralelogramo limitado por y = —x ,y = —x + 1, y = 2x, y = 2x —3. Hallar:
228 Introducción al Cálculo
mediante los cambios u = x + y, v —2x —y.
j j12.27. Sea S la región del primer cuadrante limitada por x2 + y2 —4, x2 + y2 = 9, x2 —y2 —4, x2 —y2 = 1.
Hallar xydxdy.
j jj12.28. Sea S la región del primer octante limitada por la función x2 + y2 + z2 = 9. Hallar xyz dx dy dz.
12.29. Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por el cilindro x2 + z = 4 , inferiormente por el plano
12.30. x + z = 2, y lateralmente por los planos y = 0 e y = 3.
JJjCalcular x dx dy dz, siendo S el recinto determinado por x + z < l , z > 0 , x > y2 e y > 0.
JJj12.31. Calcular (x2 + y2)2 dx dy dz, siendo S el recinto determinado por x 2 + y2 = 2z y el plano z = 2.
12.32. Determinar el volumen común a los cilindros x 2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2.
12.33.
j jjCalcular x2 dx dy dz, siendo S el recinto limitado por una esfera de centro el origen y radio r.
12.34. Dibujar el sólido que da lugar a la integral:
4
y cambiar el orden de integración: a) yxz; y b) xzy.
12.35. Calcular la integral:
/ / />s^ + dX d y dZ
siendo S un cono de altura h y base situada en el plano XY, radio a y eje OZ.
12.36. Hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro z —4 —x 2 y el plano y = 6, en el primer octante.
12.37. Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide x 2 + y2 = 4z, el cilindro x 2 + y2 = 8y y el
plano z —0.
G áH V D L O
ECUACIONES
DIFERENCIALES
El objeto de este capítulo es hacer una breve introducción al estudio de las ecuaciones diferenciales,
que constituye una de las ramas más importantes del Cálculo, por sus innumerables aplicaciones en todas
las ciencias.
TJÜbOo P j M s G X U ^
• DEFINICIÓN 1 3 .1 Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que contiene derivadas.
Si la ecuación posee más de una variable independiente, apareciendo así derivadas parciales, recibe el
nombre de ecuación diferencial en derivadas parciales, para distinguirla de las ecuaciones diferenciales
ordinarias, que son aquéllas que no tienen derivadas parciales.
• DEFINICIÓN 1 3 .2 Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que
aparezca en ella.
• DEFINICIÓN 1 3 .3 Se llama grado de una ecuación diferencial al grado de la derivada de mayor
orden que aparezca en ella.
E je m p l o 13.1 dy
—dx
= 3x —2 (primer orden y primer grado)
(segundo orden y primer grado)
y" + 2y' —5 = 0 (segundo orden y tercer grado)
3(y")3 —(yO5 = x
• DEFINICIÓN 1 3 .4 Se llama solución general de una ecuación diferencial a toda relación entre las
variables, libre de derivadas, que satisface dicha ecuación diferencial. Por lo común, la solución general
de una ecuación diferencial de orden n tiene n constantes. Integrar o resolver una ecuación diferencial
es hallar su solución general.
230 Introducción al Cálculo
• DEFINICIÓN 1 3 .5 Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que
se obtiene a partir de la solución general, dando valores a las constantes.
EJEM PLO 1 3 .2 La ecuación diferencial y' —2x tiene por solución general y = x2 - •C. Dando valores
a C se obtiene la familia de parábolas de la figura:
Figura 13.1
Para C = 0, se obtiene la solución particular y —x2.
• D e f in ic ió n 1 3 .6 Dada la ecuación diferencial y' = f (x , y), se dice que ésta está escrita en la
forma estándar y, puesto que y' —dx se puede pasara laforma:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
llamada forma diferencial de la ecuación diferencial.
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
■ T e o re m a 13.1 Si f (x , y) y —3dy/ sonfunciones continuas en un entorno del punto (xo. yo), entonces
la ecuación diferencial y' = f(x , y) tiene una única solución, y —f(x ), que pasa por (xo, yo).
A la condición por la que la función debe tomar el valor yo para x = xo, se le llama condición inicial.
EJEM PLO 13.3 Sea la ecuación diferencial y' = 2x+3y. Evidentemente, la función /( x , y) = 2x+ 3y
9/
es continua en todos los puntos del plano XY. Además, = 3 es continua, por tanto, por cada punto
—
3y
(xo, yo) pasa una única curva solución de la ecuación diferencial.
Las condiciones del anterior teorema no son necesarias, es decir, existen ecuaciones diferenciales que,
a pesar de no verificar las condiciones de dicho teorema, poseen solución única para cada punto (xo, yo).
Se va a ver ahora una serie de métodos de integración de ecuaciones diferenciales. Desgraciadamente,
es muy reducido el número de ecuaciones diferenciales en las que, mediante manipulación e integra
ción ordinaria, sea posible llegar a su solución general. En estos casos, será necesario utilizar métodos
numéricos.
Es de la forma: f (x ) dx + g(y) dy = 0
donde f ( x ) y g(y) son funciones sólo de x y de y, respectivamente.
Su solución general es: j jf(x )d x + g(y) dy = C
siendo C una constante arbitraria.
Capítulo 13 / Ecuaciones diferenciales 231
EJEM PLO 1 3 .4 Integrar la ecuación diferencial x dx + y dy —0.
j jx d x + y dy = C = > y + y = C = X2 + y2 = K
siendo K = 2C. Es una familia de círculos de centro (0,0) y radio ~/K.
: ____________ i
ECUACIONDIFERENCIAL DE VARSBJLES SEPARABLES
Es de la forma:
fi(x ) gi(y) dx + f 2(x) g2(y) dy = 0
Al dividir por gi (y) f 2(x), se obtiene:
—ffzl ((—xx)) d,x +, —g 2 (—y ) d,y = 0n
gi(y)
en la que las variables están separadas. La solución general será:
dx + I —g2(—y) dy = C
gi(y)
siendo C una constante arbitraria.
EJEM PLO 1 3 .5 Resolver la ecuación diferencial y dx —x dy = 0.
Es de variables separables: x—d x y dy = 0. Integrando: ln \x\ —ln |y| = InC o también:
——C =$■ x —Cy
Para la constante arbitraria se ha preferido ln C, en lugar de C.
EGUAeiONESDIFERENCIALESHOMOGElMEAS
• DEFINICIÓN 1 3 .7 Una junción f (x , y) es homogénea de grado n si f(k x , ky) = knf (x , y). La
ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es homogénea de grado n si M(x, y) y N(x, y) son
funciones homogéneas del mismo grado n.
Dada una ecuación diferencial homogénea, la sustitución:
y = vx =>■ dy = v dx + x dv
la convierte en una ecuación diferencial de variables separables.
EJEM PLO 1 3 .6 Resolver x dy + (x + y) dx —0.
Las funciones M(x, y) = x + y y N(x, y) —x son homogéneas de grado 1:
M(kx, ky) = kx +ky = k(x + y) = kM{x, y)
y
N(kx, ky) = kx = kN(x, y)
232 Introducción al Cálculo
Por tanto, el cambio y = vx transfórmala ecuación en una ecuación diferencial de variables separables:
x(v dx + x dv) + (x + vx) dx = 0
x (l + 2v) dx + x2dv = 0
—x dx -1---1--+---2--v--dv = 0
ln|jt| + ^ l n | l + 2u| = l n C
Quitando logaritmos, sustituyendo v = -y y elevando al cuadrado los dos miembros:
x
x2( * = C2 ==4- x 2 + 2xy = K
siendo K = C2.
ílSUgb ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
• DEFINICIÓN 1 3 .8 Se dice que la ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy —0 es exacta si
M(x, y) y N(x, y) sonfunciones continuas que verifican:
BM _ dN
dy dx
y entonces M (x, y) dx + N(x, y) dy es la diferencial total (Sección 11.10) de unafunción z(x, y), y la
ecuación diferencial tiene la solución general z(x, y) —C.
EJEMPLO 13.7 Integrar (3x + y) dx + x dy = 0.
Es exacta, ya que: dM _ dN _
3y 3x
Entonces, el primer miembro de la ecuación diferencial será la diferencial total de una función z(x, y).
Por tanto, la función M(x, y) será la derivada parcial, con respecto a x, de dicha función z(x, y):
dz(x, y) M(x, y) —3x + y
dx
Integrando con respecto a x:
z(x,y) = 3x2 + xy + h(y)
—
donde h(y) es función únicamente de la variable y. Si se deriva parcialmente z(x, y) con respecto a y, se
obtendrá la función N (x, y):
3z(x, y) : x + tí (y) —N(x, y )= x = > tí (y) = 0 h(y) —C
3y
Por tanto, z(x, y) 3x + xy + C.
La solución general será: 3x + 2xy + K —0, siendo K = 2C.
Capítulo 13 / Ecuaciones diferenciales 233
ssjcgiKsia a¡DD@aaffiGDmi
• DEFINICIÓN 1 3 .9 A veces ocurre que la ecuación diferencial:
M{x,y) dx + N (x,y) dy = 0 (13.1)
no es exacta y,sin embargo, al multiplicarla por unafunción (¡>{x, y):
4>{x, y) M(x, y) dx + <t>(x, y) N(x, y) dy = 0 (13.2)
resulta serexacta.Se dice entonces que <p{x,y) es un factor integrantede la ecuación diferencial y la
solución de la ecuación (13.2) será también solución de la ecuación (13.1).
El cálculo de factores integrantes es un problema bastante complejo. Se va a dar ahora algunos de
ellos:
a) Si en (13.1) se verifica:
3M 3N f(x )
dy dx
Ñ
siendo f (x ) función únicamente de la variable x, entonces ef f <~xldx es un factor integrante de la
ecuación diferencial (ver Problema resuelto 13.5).
b) Si en la ecuación (13.1) se verifica:
3M 3N
dy dx
M = -/o o
siendo f (y ) función únicamente de la variable y, entonces e - í es un factor integrante de la
ecuación diferencial,
c) Si en la ecuación (13.1) se verifica:
M (x,y) = yf(x,y) y N (x,y) = xg(x,y)
entoncesxM —yN es un factor integrante de la ecuación diferencial.
/© a
Es de la forma y' + y P{x) —2 0 0 -
La función <¡>{x) = e-l P(x)dx es un factor integrante de la ecuación diferencial y su solución general
es:
y e f P{x)dx _ / Q ( x ) e f P M d x d x + C
Es de la forma y' + y P (x) = y" Q(x).
Mediante el cambio y~"+1 = v, se transforma en una ecuación lineal (Sección 13.8).
234 Introducción al Cálculo
13 10 TRAYECTORIAS ORTOGONALE
Dada una familia de curvas f {x, y, C) = 0, se desea encontrar otra familia F(x, y, C) —0, tal que
para cada curva de la primera familia, que pasa por el punto (xo, yo), exista otra curva de la segunda
familia que pase también por dicho punto y sea ortogonal a ella [sus tangentes han de ser perpendiculares
en (x q , yo)]. Es decir, si ¡x(x, y, y') = 0 es una ecuación diferencial de / ( x , y, C) = 0, entonces:
K x’y' - ^ ) =0
lo es de F(x, y, C) = 0, dado que las rectas tangentes en cada punto de intersección han de ser perpen
diculares. Por tanto, dada una familia f (x , y, C) —0, se obtiene la ecuación diferencial de la familia, se
sustituye y' por:
l_
y'
y se integra la ecuación diferencial resultante, obteniendo así las trayectorias ortogonales F (x, y , C) = 0.
EJEM PLO 1 3 .8 H allar las trayectorias ortogonales de la fam ilia x y = C.
Se halla la ecuación diferencial de la familia:
y dx + x dy = 0 = 3- y' = —x—
Se sustituye y' por — —:
y'
—yi ' = - -x= > y / = -y= y y d y = x d x = » y2 = y2 + F
Las trayectorias ortogonales serán las hipérbolas:
x1 —y1 —C
siendo C = —2K.
Son de la forma:
fl0y (" + a iy ("-1 H------- h a « -iy ' + a„y = P (x)
conao .ai,...,íin e ly a o # 0 .
Considerando el operador D = ~dx, se tiene que y' = ^dx = Dy, y" - D(Dy) = D y, . .. , y la
ecuación diferencial puede escribirse en la forma:
aoDny +ciiDn~1y H h a„_iD y + any = P (x)
o también: (aoDn + a\D n~l -------h an-\D + an)y = P (x)
donde el paréntesis puede considerarse como un polinomio cuya incógnita es el operador D (llamado
polinomio característico) y dicho polinomio se puede descomponer en factores:
a0(D - h ){D - b 2) . . . ( D - bn- i)(D - bn)
Si el segundo miembro P{x) es igual a cero, la ecuación diferencial recibe el nombre de homogénea,
y su solución general es:
y = CieblX + C2ebix + • • • + Cneb'íX
Capítulo 13 / Ecuaciones diferenciales 235
EJEM PLO 1 3 .9 R esolver y" —3 y' + 2y —0.
Utilizando el operador D ——ax , se puede escribir en la forma:
(D2 - 3 D + 2)y = (D - 1)(D —2)y = 0
La solución general será: y = Ciex + C2elx
Si una raíz del polinomio característico es múltiple de orden r, por ejemplo b\, entonces en la solución
aparece la expresión: C i A x' + C2xeb'x + C3xV > * + ■• • + Crxr- 1eb¡x
E je m p lo 13.10 Resolver y'" - ly" + 1 5 / - 9y = 0.
Se escribe en la forma:
(D3 - ID 2 + 15 D - 9)y = (D - 3f (D - l)y = 0
La solución general es: y = C je3'v + C2xe2x + C2ex
Si en el polinomio característico aparece la raíz compleja a + bi, también aparece la conjugada a —bi,
y la solución general es:
y = Aie^a+bi)x + A2e{a~bi)x
= eax(Axebxi + A2e~bxi)
= eax[A\{cosbx + i ■sen bx) + A2(cosbx + i ■senbx)]
= eax(Ci eos bx + C2 sen bx)
utilizando lafórmula de Euler (Sección 2.11).
EJEMPLO 1 3 .1 1 Resolver y" —2 y' + 2y = 0.
Se escribe en la forma: (D2 - 2D + 2)y = 0
Las raíces son 1 ± i, y la solución general es:
y = ex(Ci cosx + C2 senx)
■ TEOREMA 1 3 .2 Si la ecuación diferencial lineal (no homogénea) de orden n:
aoD'ly + a\D n~ly \-an-\D y + any —P (x)
tiene una solución particular yp, y la ecuación diferencial lineal homogénea tiene una solución general
yi„ entonces su solución general es y = yn + yp.
A continuación se va a ver un procedimiento, conocido como método de variación de las cons
tantes, que permite calcular una solución particular yp cuando la solución general de la homogénea y/¡ es
conocida. De la solución general y/, de la ecuación diferencial homogénea:
yh = C jyi(x) + C2y2(x) d------- b C„y„(x)
se obtiene la relación: yP = r i i y i ( x ) + L2y2(x) H-------b L „ y „ (x )
sustituyendo las constantes C; por funciones desconocidas de x, llamadas L¡. El método permite hallar
las funciones L¡, de forma que la relación anterior satisfaga la ecuación diferencial no homogénea. Se
procede del modo siguiente:
236 Introducción al Cálculo
1. Se escribe la solución general y/¡ de la ecuación homogénea.
2. Se reemplazan en y„ las C¡ por las L¡.
3. Se deriva n veces la función y„, igualando a cero los sumandos que contienen L'¡ a cero, salvo los
de la última derivada, que se igualan a P (x). Así, se obtiene n ecuaciones que permiten hallar las
Li.
4. Se escribe la solución particular yp, sustituyendo las L¡ en:
yP = L \yi(x) + L2yi{x) + • •• + Lnyn(x)
(Ver problemas resueltos 13.12 y 13.13).
PROBLEMAS RESUELTOS
13.1. | Resolver 2y dx = x (y + 2) dy.
Resolución
Es una ecuación diferencial de variables separables. Dividiendo los dos miembros por xy:
x—2 dj x = y+ 2 dy
y
Integrando:
21n|x| = y + 2 1 n |y |+ ln C
Su solución general es:
x2 —Cy2ey
13.2. Resolver (x2 —y2) dx + 2xy dy = 0. I
Resolución
Las funciones M(x, y) = x2 —y2 y N(x, y) —2xy son homogéneas de grado 2:
M(kx, ky) = k2x2 —k2y2 = k2(x2 —y2) = k2M{x, y)
y
N(kx, ky) = 2kxky = k2 ■2xy = k2N(x, y)
La ecuación diferencial es homogénea de grado 2 (Sección 13.5). El cambio y = vx la transforma en una
ecuación diferencial de variables separables:
(x2 —v2x2) dx + 2 v x 2 ( v dx + x dv) —0
(x2 —v2x2) dx + 2v2x2dx + 2vx3dv —0
(x2 + v2x2) dx + 2vx3dv —0
x2(l + v2) dx + 2vx3dv = 0
x-1 dx + 2v dv = 0
1--+---u-=z•
ln |x | + ln(l + v2) = ln C
jc(1 + v2) = C
x2 + y2 —Cx
13.3. Capítulo 13 / Ecuaciones diferenciales 237
Una sustancia radiactiva se desintegra con velocidad proporcional a la cantidad H de sustancia pre
sente, siendo k la constante de proporcionalidad. Expresar II en función del tiempo t.
Resolución
dt = —kH (variables separables).
—dH = - k dt = » ln ff = - k t + InC =*• H = Ce_fcí
u
[Ver el Ejemplo 3.13 (Sección 3.11)].
13.4. Resolver (x2— y) dx —x dy = 0.
Resolución
Las funciones M(x, y) —x2 —y y N(x, y) = —x verifican:
9M _ i BN 1
dy ^ dx
Por tanto, la ecuación diferencial es exacta (Sección 13.6):
—d z (dx-x-,-y--)--= 2- y =*• z(x, y) = *~3 - x y +, hU(fy)\
3
Derivando con respecto a y:
a7 -X + tí {y) = ► -X + tí (y) = N = - X = > tí (y) = 0 = 4 > h(y) = C
—dy =
La solución general:
xr33 ■xy + C = 0
T
13.5. Resolver la ecuación diferencial (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0.
Resolución
Sean M (x, y ) = x 2 + y 2 + r y j V ( r , y ) = xy. Las derivadas parciales son:
dM „ dN
~ ^ = 2y' u =y
Por otra parte: dM dN
es función sólo de x. Por tanto: dy dx _ 2y —y _ 1
N xy x
e¡ 2 dx = = x
es un factor integrante (ver Sección 13.7). La ecuación diferencial:
x (x2 + y2 + x) dx + x 2y dy = 0